Acta Math. Hungar., 151 (2) (2017), 409–455 Acta Math. Hungar. DOI: 10.1007/s10474-017-0688-4 DOI: First published online February 21, 2017 4090
´ SOMME DES CHIFFRES ET REPARTITION DANS LES CLASSES DE CONGRUENCE POUR ´ LES PALINDROMES ELLIPSEPHIQUES K. ALOUI1,3,∗,† , CH. MAUDUIT2 and M. MKAOUAR3 1
´ Universit´ e de Lorraine, Institut Elie Cartan de Lorraine, UMR 7502, Campus Aiguillettes, BP 70739, 54506 Vandœuvre-l` es-Nancy cedex, France e-mail:
[email protected]
2 Universit´ e d’Aix-Marseille et Institut Universitaire de France, Institut de Math´ ematiques de Marseille UMR 7373 CNRS, Campus de Luminy, case 907, 13288 Marseille cedex 9, France e-mail:
[email protected] 3
Universit´ e de Sfax, Facult´ e des Sciences de Sfax, Route de la Soukra km 3.5, B.P. 1171, Sfax 3000, Tunisie e-mail:
[email protected] (Received August 2, 2016; revised December 5, 2016; accepted December 8, 2016)
R´ esum´ e L’objet de cet article est de g´en´eraliser plusieurs r´esultats concernant la r´epartition dans les progressions arithm´etiques de la fonction somme des chiffres au cas des nombres palindromes ellips´ephiques. Abstract. We generalize several results concerning the distribution in residue classes of the sum of digits function to the case of palindromes with missing digits.
1. Introduction Le long de cet article, on utilise les notations suivantes : on d´esigne par N, N∗ , Z et R l’ensemble des nombres entiers naturels, des nombres entiers naturels non nuls, des nombres entiers relatifs et des nombres r´eels respectivement. Etant donn´e un nombre r´eel x, on note ⌊x⌋ sa partie enti`ere et on pose e(x) = e2iπx . Le pgcd de deux nombres entiers a et b est d´esign´e par (a, b), leur ppcm est not´e [a, b] et si a ≤ b, on note a, b l’ensemble {a, a + 1, . . . , b}. Le nombre d’´el´ements d’un ensemble A est d´esign´ e par |A|. On convient que, pour une suite de nombres complexes (aj )j∈N , nj=m aj = 0 et nj=m aj = 1 d`es que m > n. Soient f et g deux fonctions arithm´etiques, ∗ Corresponding
author. first author was supported by the binational research project MuDeRa (ANR-14-CE340009) which is funded by the French and Austrian Science Funds ANR and FWF. Key words and phrases: sum of digits function, missing digit, palindrome, residue class, equidistribution modulo 1. Mathematics Subject Classification: 11A63, 11B50, 11B85, 11L15. † The
c 2017 0236-5294/$ 20.00 © � 0 Akad´ emiai Kiad´ o, Budapest 0236-5294/$20.00 Akade ´miai Kiado ´, Budapest, Hungary
410 2
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
si f = O(g(n)) alors on ´ecrit f (n) ≪ g(n) ; si la constante implicite d´epend de certains param`etres α, β, . . . alors on ´ecrit f (n) = Oα,β,...(g(n)) et f (n) ≪α,β,... g(n). Si q ≥ 2 est un nombre entier, tout nombre entier strictement positif n poss`ede une unique repr´esentation q-adique de la forme : (1.1)
n=
ν k=0
ak q k ,
ak ∈ 0, q − 1 pour tout k ∈ 0, ν ,
aν �= 0
et on note repq (n) = aν . . . a0 ∈ 0, q − 1 ν+1 . On d´efinit la somme des chiffres du nombre entier n dont la repr´esentation en base q est (1.1), par : Sq (n) =
ν
ak ,
k=0
que l’on d´esignera dor´enavant, `a moins qu’il y ait un risque de confusion, par S(n). On peut se r´ef´erer `a [1, Chapitre 3] et [23] pour de plus amples informations sur l’histoire de la fonction somme des chiffres. On appelle nombre palindrome (en base q) tout nombre entier n dont l’´ecriture en base q est sym´etrique, c’est-`a-dire tel que repq (n) = aν . . . a0 avec ak = aν−k ∈ 0, q − 1 pour tout k ∈ 0, ν , aν �= 0, (pour les palindromes ayant un nombre impair de chiffres, le chiffre du milieu n’ob´eit donc a` aucune condition sp´ecifique). Les palindromes ayant 2ν chiffres sont des combinaisons enti`eres de q 2k+1 + 1 (pour k = 0, . . . , ν − 1) et sont donc toujours divisibles par q + 1. Par cons´equent, ils ne peuvent pas ˆetre premiers (sauf ´eventuellement pour q + 1 lui-mˆeme). Comme nous le verrons, la parit´e du nombre de chiffres joue un rˆ ole important dans l’´etude des propri´et´es multiplicatives des palindromes. D´ efinition 1.1. Le noyau du nombre entier n est le nombre entier obtenu en supprimant les deux chiffres extrˆemes a0 et aν de la repr´esentation (1.1). Si l’on note qalq (n) le noyau de l’entier n (de l’arabe qalb qui signifie noyau), on a donc qalq (n) =
ν−1
ak q k−1 .
k=1
Clairement le noyau d’un palindrome n’est pas n´ecessairement un palindrome comme le montre l’exemple de 10201 qui donne pour noyau 20 et celui-ci n’est pas palindrome. Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
411 3
D´ efinition 1.2. Un nombre entier n est un pseudopalindrome si la repr´esentation q-adique de n se termine exactement par r z´eros (pour un certain nombre entier r ∈ N) et si qnr est un palindrome. D´ efinition 1.3. Si n est un nombre entier tel que repq (n) = aν . . . a0 , on appelle repr´esentation de longueur l ≥ ν de n, not´ee l- repq (n), le mot obtenu en ajoutant (l − ν) z´eros `a gauche du mot repq (n) : l-repq (n) = 0l−ν aν . . . a0 . Ceci nous am`ene a` faire attention lorsqu’il s’agit d’ordonner les pseudopalindromes. En fait, l’ordre que l’on adopte sur ces mots s’explique comme suit : les blocs de chiffres les plus longs sont les plus grands, par exemple q − 1 < 00 < 000 (ici les z´eros `a gauche comptent et ne seront pas supprim´es). Puis, dans chaque bloc de longeur r ∈ N, on suit l’ordre lexicographique. Ainsi les premiers blocs de chiffres s’ordonnent comme suit 0 < · · · < q − 1 < 00 < 01 < · · · < 0(q − 1) < 10 < · · · . L’´etude des propri´et´es arithm´etiques et combinatoires des nombres palindromes a fait l’objet de plusieurs travaux : W. D. Banks, A. B´erczes, J. Cilleruelo, S. Col, D. N. Hart, K. Ji, F. Luca, P. Pollack, M. Sakata, I. E. Shparlinski, R. Tesoro, H. Wilf et V. Ziegler [3,5–7,9,22,26]. On se propose, dans cet article, de donner quelques propri´et´es arithm´etiques des nombres palindromes dont l’´ecriture dans une base fix´ee n’utilise que les chiffres d’un sous-ensemble D de 0, q − 1 donn´e appel´es ellips´ephiques (voir [2,8]). Les propri´et´es arithm´etiques des entiers ellips´ephiques ont ´et´e ´etudi´ees intensivement dans plusieurs r´ef´erences. On peut citer notamment les travaux de K. Aloui, W. Banks, J. Coquet, C. Dartyge, P. Erd˝ os, M. Filaseta, S. Konyagin, C. Mauduit, A. S´ ark¨ozy et I. E. Shparlinski (voir [2,4,10–17,19,20]).
D´ efinition 1.4. Pour D ⊂ 0, q − 1 et N ∈ N, on note WD (N ) = n < N , repq (n) = aν . . . a0 ∈ Dν+1 .
Dans [2], Aloui reprend l’´etude de Gelfond [18] concernant la structure arithm´etique de certains ensembles d’entiers en progression arithm´etique soumis ` a des conditions sur la somme des chiffres et il d´emontre en particulier les th´eor`emes B et C dont on citera les ´enonc´es complets dans le paragraphe 2. Dans le mˆeme article, l’auteur a ´egalement montr´e que la suite des nombres ellips´ephiques est bien r´epartie dans les classes de congruence modulo m et m′ sous r´eserve de satisfaire `a certaines propri´et´es arithm´etiques sur les ´el´ements de l’ensemble D. En outre, il a montr´e que les suites (S(n)α)n∈WD et (nα)n∈WD ,S(n)≡r mod m sont ´equir´eparties modulo 1 si, et Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
412 4
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
seulement si α est irrationnel. Ces r´esultats seront g´en´eralis´es dans la partie 7. On note Pq l’ensemble des nombres palindromes en base q et Pq∗ l’ensemble des nombres pseudopalindromes en base q. Pour tout (N, a, m′ ) ∈ N × Z × N∗ , on pose Pq (N ) = {n ∈ Pq , n < N },
Pq (N, a, m′ ) = {n ∈ Pq (N ), n ≡ a mod m′ }. Le Corollaire 4.5 de W. D. Banks, D. N. Hart et M. Sakata [3] donne la majoration : Th´ eor` eme A [3]. Il existe une constante c > 0 ne d´ependant que de q telle que, uniform´ement pour les nombres entiers m′ v´erifiant (m′ , q 3 − q) = 1 et N > 0, nous avons la majoration c ln(N ) |Pq (N )| ≪ max |Pq (N, a, m′ )| − |P (N )|q exp − . q q a∈Z m′ m′2 Si
(1.2)
m′ <
c ln(N ) 1/2 ln(ln(N ))
et (m′ , q 3 − q) = 1,
le Th´eor`eme A repose sur des majorations des sommes de Kloosterman et fournit un ´equivalent de |Pq (N, a, m′ )|. Sous la condition (1.2), les palindromes sont uniform´ement distribu´es dans les progressions arithm´etiques modulo m′ . Le Th´eor`eme A impose cependant de choisir m′ assez petit pour avoir des applications arithm´etiques de bonne qualit´e. Dans le Th´eor`eme 1 de [9], S. Col prolonge le domaine de validit´e de m′ (tout en gardant la contrainte (m′ , q 3 − q) = 1) par le biais de quelques identit´es ´el´ementaires permettant de briser la sym´etrie qui caract´erise les palindromes. Notre Corollaire 2.3 constitue un analogue de ce th´eor`eme dans le cas des palindromes ellips´ephiques. Le lecteur int´eress´e pourrait se r´ef´erer `a [8,16,24,25] pour des r´esultats et des d´etails suppl´ementaires. On utilisera librement les relations suivantes valables pour tout ν ∈ N : ν + 1 ν + 1 ν ν + , − =− . ν= 2 2 2 2 Enfin, on remarquera que tout nombre entier ν s’´ecrit ν = 2⌊ ν2 ⌋ + λ(ν) avec ν + 1 ν 1 si ν est impair, − = λ(ν) = 2 2 0 si ν est pair,
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
413 5
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
la fonction λ ´etant clairement paire, 2-p´eriodique sur Z et v´erifiant (1.3)
λ(ν + 1) = 1 − λ(ν)
pour tout ν ∈ Z.
´ 2. Enonc´ e des r´ esultats Soient a et r des nombres entiers relatifs, q, m et m′ des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2. Soit D une partie non vide de 0, q − 1 avec |D| ≥ 2. Conform´ement `a l’usage ´etabli dans [2], on note par D − D = {|d − d′ | : d et d′ ∈ D, d �= d′ }, Dl = 0, l − 1 ∩ D,
δ = min(D),
pour tout nombre entier l ∈ 0, q .
Etant donn´e un ensemble E, on pose 1l E la fonction indicatrice de E, i.e : � 1, si x ∈ E, 1l E : x �−→ 0, sinon. Pour tout nombre entier naturel N , on pose PD (N ) = WD (N ) ∩ Pq et ∗ (N ) = W (N ) ∩ P ∗ , PD D q � � PD (N, a, m′ , r, m) = n ∈ PD (N ), n ≡ a mod m′ , S(n) ≡ r mod m , � � ∗ ∗ PD (N, a, m′ , r, m) = n ∈ PD (N ), n ≡ a mod m′ , S(n) ≡ r mod m
et pour z ∈ N, z ≥ 2
MD,γ (N, r, m) =
�
n ∈ PD (N ) ; n, n + 1, . . . , n + γ − 1 ne sont divisibles par aucune puissance z-i`eme d’un nombre premier et S(n) ≡ r mod m
�
.
En outre, on rappelle l’ensemble T d´efini dans [2] (t, s) ∈ N2 , t < m′ ; s < m : pour tout T = T (D, q, m, m′ ) = τ ∈ D − D et pour tout j ∈ {0, 1}, . j (q tm + sm′ )τ ≡ 0 mod mm′
Le premier auteur arrive `a estimer le nombre d’entiers ellips´ephiques soumis `a des contraintes sur la somme des chiffres [2]. Plus pr´ecis´ement, il ´enonce le th´eor`eme suivant :
Th´ eor` eme B [2]. Soient (a, r) ∈ Z2 , q , m et m′ des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 tels que (m, q − 1) = 1. Si N est un nombre entier tel Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
414 6
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
que repq (N ) = lν . . . l0 , alors il existe un nombre complexe S(N, a, m′ , r, m) et un r´eel λ < 1 tels que :
n ≡ a mod m′ , S(n) ≡ r mod m}| t s s |WD (N )| ν t − a cos 2π δ (1 + · · · + q ) + (ν + 1) − r = mm′ m′ m m′ m
|{n ∈ WD (N ),
(t,s)∈T
+
ln |D| 1 S(N, a, m′ , r, m) + Oq,m,m′ (N λ ln q ). ′ mm
Notons que l’on peut toujours se ramener au cas o` u (m, q − 1) = 1. En effet, si d = (m, q − 1), on pose m1 = m alors on a identiquement S(n) ≡ n d mod d. Pour tout r´esidu h modulo m repr´esent´e par l modulo d, il vient que l + td : t ∈ N, S(l + td) ≡ h mod m1 . n ∈ N : S(n) ≡ h mod m = 0≤l
On se propose en premier lieu de prouver ce r´esultat dans le cas des palindromes ellips´ephiques (ceci fera l’objet du Th´eor`eme 2.1 et du Corollaire 2.2). Dans le mˆeme article, il d´etermine le nombre d’entiers ellips´ephiques sans facteur puissance z-i`eme dont la somme des chiffres appartient `a une progression arithm´etique donn´ee : Th´ eor` eme C [2]. Etant donn´e q , m et z des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 tels que (m, q − 1) = 1, soit l ∈ Z. Pour tout N ∈ N, le cardinal de l’ensemble MD,1 (N, r, m) des ´el´ements de WD (N ) qui ne sont pas divisibles par la puissance z -i`eme d’un nombre premier et qui v´erifient les conditions ν ν S(n) = ak ≡ l mod m, n = ak q k k=0
k=0
est donn´e par la formule
|MD,1 (N, r, m)| s s t 1 −r cos 2π δ (1 + · · · + q ν ) z + (ν + 1) = |WD (N )| mζ(z) d m m (t,s)∈T
1 1 ln |D| + S(N, 0, d , r, m) + O N z +λ(1− z ) ln q , z
o` u ζ est la fonction Zˆeta de Riemann et λ est la constante cit´ee dans le Th´eor`eme B. Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
415 7
Ce th´eor`eme sera ´etendu, aux palindromes ellips´ephiques, par le Th´eor`eme 2.4. De plus, si un nombre entier N v´erifie repq (N ) = aν . . . a0 , on appelle palindromis´e de N le nombre entier N ∗ obtenu en rempla¸cant chaque chiffre `a droite par son sym´etrique `a gauche, i.e. ν
N ∗ = λ(ν + 1)a⌊ ν2 ⌋ q ⌊ 2 ⌋ +
ν �
ak (q k + q ν−k )
k=⌊ ν2 ⌋+1
ν � ν νq2 + ak (q k + q ν−k ) a 2 ν k= 2 +1 = ν � k ν−k ) ν+1 ak (q + q k=
si ν est pair, si ν est impair.
2
Par exemple, si N = 10212 alors N ∗ = 10201. On d´esigne par
et
(t, s) ∈ 0, m′ − 1 × 0, m − 1 : il existe k0 ∈ N et τ0 ∈ D − D tels que (q k0 tm + U = U(D, q, m, m′ ) = sm′ )τ0 �≡ 0 mod mm′ et pour tout τ ∈ , D, pour tout couple (j, k) ∈ {0, 1}2 , D − k j ′ ′ [(q + 1)q tm + 2sm ]τ ≡ 0 mod mm (t, s) ∈ 0, m′ − 1 × 0, m − 1 ; tels qu’il existe τ0 ∈ D − D v´erifiant [(q k + 1)q j tm + V = V(D, q, m, m′ ) = ′ ′ , pour une infinit´ e de 2sm ]τ0 �≡ 0 mod mm 2 couples (j, k) ∈ N
(t, s) ∈ 0, m′ − 1 × 0, m − 1 ; tels qu’il existe τ0 ∈ D − D v´erifiant [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ0 �≡ 0 mod mm′ , pour un nombre ′ 2 W = W(D, q, m, m ) = fini non nul de couples (j, k) ∈ N et . pour tout τ ∈ D − D \ {τ0 }, [(q k + 1)q j tm + ′ ]τ �≡ 0 mod mm′ , pour un nombre fini 2sm 2 (´eventuellement nul) de couples (j, k) ∈ N
Les ensembles T et U vont fournir le terme principal des formules des th´eor`emes qui suivent tandis que V fournira le terme d’erreur. Etant donn´e des param`etres entiers a, m′ , r, m (m′ et m ´etant non nuls) et N tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on convient de noter Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
416 8
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
• A(N, a, m′ , r, m) = a1 (N, a, m′ , r, m) + a2 (N, a, m′ , r, m) + a3 (N, a, m′ , r, m), avec a1 (N, a, m′ , r, m) ⌊ ν−1 ⌋ 2
=
(t,s)∈T k=0
s t |D|k+1 sin πδ (q 2k + · · · + 1) ′ + (2k + 1) m m
s t × sin π (δ(q 2k + · · · + 1) − 2a) ′ + (δ(2k + 1) − 2r ) , m m ν
′
a2 (N, a, m , r, m) =
⌊2⌋
(t,s)∈T k=1
s t |D|k sin πδ (q 2k−1 + · · · + 1) ′ + 2k m m
t s × sin π δ(q 2k−1 + · · · + 1) − 2a , + 2(δk − r) m′ m ν ν ν+1 ′ a3 (N, a, m , r, m) = 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋ k=j+1
(t,s)∈T j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
ν+1 ν ν t × sin πδ (q ν + · · · + q ⌊ 2 ⌋+1 + λ(ν)q ⌊ 2 ⌋+1 + q ⌊ 2 ⌋ + · · · + 1) ′ m ν+1 ν ν s sin π δ q ν + · · · + q ⌊ 2 ⌋+1 + λ(ν)q ⌊ 2 ⌋+1 + q ⌊ 2 ⌋ + · · · + 1 + (ν + 1) m t s . − 2a + δ(ν + 1) − 2r m′ m • B(N, a, m′ , r, m) = b1 (N, a, m′ , r, m) + b2 (N, a, m′ , r, m) + b3 (N, a, m′ , r, m), avec ⌊ ν−1 ⌋ 2 ′
b1 (N, a, m , r, m) =
(t,s)∈U k=1
s k t |D| e d q ′+ m m k
d∈D
s t × e (δ q 2k + · · · + q k+1 + q k−1 + · · · + 1 − a) ′ + (2δk − r) , m m
b2 (N, a, m′ , r, m)
ν
=
⌊2⌋
(t,s)∈U k=1
t s , |D|k cos 2π δ(q 2k−1 + · · · + 1) − a + (2δk − r) m′ m
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
417 9
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
b3 (N, a, m′ , r, m) =
ν
e
(t,s)∈U j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
(δ(qν + · · · + q⌊
ν+1 2
⌋+1
ν
+ q ⌊ 2 ⌋−1 + · · · + 1) − a)
t m′
s ν s ⌊ ν2 ⌋ t −r + 2δ + (1 + λ(ν)) e d (λ(ν)q + 1)q 2 m m′ m d∈D
×
ν
k=j+1
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋ .
• C(N, a, m′ , r, m) = c1 (N, a, m′ , r, m) + c2 (N, a, m′ , r, m) + c3 (N, a, m′ , r, m), avec c1 (N, a, m′ , r, m) ⌋ ⌊ ν−1 2
= (|D| − 1)
k=1
|D|k−1
(t,s)∈U
d∈D
s t , cos 2π (dq k − a) ′ + (d − r) m m
ν
c2 (N, a, m′ , r, m) = (|D|⌊ 2 ⌋ − 1)
=
×
⌊ ν2 ⌋−1
(|Dlν | − 1)|D|
(t,s)∈U
d∈D
+
(t,s)∈U
c3 (N, a, m′ , r, m) ν ν−1
⌋+1 j=⌊ ν+1 2
k=j+1
ta sr , + cos 2π m′ m j−1−⌊ ν+1 ⌋ 2 1l D (lk ) |Dlj ||D|
t s ⌊ ν2 ⌋ . cos 2π d(λ(ν)q + 1)q −a + d(λ(ν) + 1) − r m′ m
Notre article est structur´e de la fa¸con suivante : Le paragraphe 3 est constitu´e par des lemmes techniques sur la fonction g´en´eratrice des palindromes ellips´ephiques et les sommes d’exponentielles requises pour prouver les th´eor`emes suivants. On consacre le paragraphe 4 `a la pr´esentation de certaines propri´et´es des ensembles T , U , V et W dont on aura besoin par la suite dans le paragraphe 6. Le paragraphe 5 est d´evou´e `a la pr´esentation de quelques exemples illustratifs sur les ensembles T , U et V. On exhibera explicitement les ´el´ements qui vont intervenir dans le terme d’erreur (provenant essentiellement de l’ensemble V). Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
418 10
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
Dans le paragraphe 6, on ´enonce notre premier th´eor`eme qui ´etend le Th´eor`eme B au cas des palindromes ellips´ephiques et s’´enonce ainsi : Th´ eor` eme 2.1. Etant donn´e (a, r) ∈ Z2 , q , m et m′ des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 tels que (m, q − 1) = (m′ , q 3 − q) = 1, si 0 �∈ D et si N est un nombre entier tel que repq (N ) = lν . . . l0 , alors ta sr PD (N, a, m′ , r, m) = |PD (N )| cos 2π + mm′ m′ m (t,s)∈T
+
ln |D| 1 1 B(N, a, m′ , r, m) − 2 A(N, a, m′ , r, m)) + Oq,m,m′ (N 2 ω ln q ), ( ′ mm
avec
ln ρ 2 < 1, ρ = max ω= + 3 3 ln |D|
3 k s t j , max e d (q + 1)q ′ + . m m 2 (j,k)∈N2 (t,s)∈V
d∈D
Dans le cas 0 ∈ D, la formule ´enonc´ee au Th´eor`eme 2.1 s’´ecrit sous la forme suivante : Corollaire 2.2. Etant donn´e (a, r) ∈ Z2 , q , m et m′ des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 tels que (m, q − 1) = (m′ , q 3 − q) = 1, si 0 ∈ D et si N est un nombre entier tel que repq (N ) = lν . . . l0 , alors ta sr PD (N, a, m′ , r, m) = |PD (N )| cos 2π + mm′ m′ m (t,s)∈T
+
1 ln |D| 1 C(N, a, m′ , r, m) + Oq,m,m′ N 2 ω ln q , ′ mm
o` u ω est la constante ´enonc´ee au Th´eor`eme 2.1.
Cette formule se simplifie lorsque D = 0, q − 1 . En fait, dans ce cas on trouve le Corollaire 2.3. Etant donn´e (a, r) ∈ Z2 , q , m et m′ des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 avec (m, q − 1) = (m′ , q 3 − q) = 1, on suppose que D = 0, q − 1 et que N est un nombre entier tel que repq (N ) = lν . . . l0 , Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
419 11
il vient que :
� � � PD (N, a, m′ , r, m)� �
|PD (N )| �√ si m est impair, + Oq,m,m′ N ω ′ mm � |PD (N )| q−1 ν−1 ν 1 r 1+(−1) + (q ⌊ 2 ⌋ − 1) + (−1)r (q ⌊ 2 ⌋ − 1) ′ ′ = mm mm (−1) 2 � �� �√ � −q ν + (−1)r 1+(−1)(ν+1)q−1 Nν+1 + Oq,m,m′ N ω sinon. ⌋+1 ⌊ 2 q
2
ω ´etant la constante exprim´ee dans le Th´eor`eme 2.1.
On retrouve en particulier le r´esultat de [3,9] affirmant que les palindromes sont uniform´ement distribu´es dans les progressions arithm´etiques modulo m′ (il suffit de prendre m = 1). N´eanmoins, notre m´ethode ne permet pas de d´eterminer la taille convenable de m′ comme celle signal´ee dans (1.2) ou dans [9, (1.3)]. Les exemples concrets pr´esent´es au paragraphe pr´ec´edent montreront en pratique comment distinguer les ´el´ements de la partie principale (provenant essentiellement de T et U ) et ceux du terme d’erreur selon deux cas de figure. Ensuite, il est ais´e d’´etablir l’analogue du Th´eor`eme C pour les palindromes ellips´ephiques dans les cas 0 �∈ D et 0 ∈ D tout en s’inspirant de la d´emarche faite dans [2] : Th´ eor` eme 2.4. Etant donn´e r ∈ Z, q , m et z des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 et γ un nombre entier strictement positif. Alors � � � MD,γ (N, r, m)� � � � � 1 − 2 A(N, 0, dz , r, m) cos 2π sr γ |PD (N )| m m(ζ(z)) (t,s)∈T � � 1 1 1 ln |D| � z + B(N, 0, d , r, m) + O N z + 2 ω(1− z ) ln q si 0 �∈ D, � � = � � � 1 z cos 2π sr m + C(N, 0, d , r, m) m(ζ(z))γ |PD (N )| (t,s)∈T � 1 1 1 ln |D| � + O N z + 2 ω(1− z ) ln q sinon, o` u ω est la constante impliqu´ee dans le Th´eor`eme 2.1.
Ce th´eor`eme se d´emontre exactement comme les Th´eor`emes 2.5, 2.6 et les Corollaires 2.7, 2.8 de [2]. Le paragraphe 7 est d´evou´e aux ´enonc´es et aux d´emonstrations de quelques r´esultats d’´equir´epartition modulo 1 qui d´ecoulent imm´ediatement des formules ´etablies au paragraphe 3, `a savoir les Lemmes 3.3, 3.5 et 3.7. Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
420 12
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
3. Lemmes pr´ eliminaires ∗ et R ` On commence par introduire les fonctions RN N a valeurs complexes d´efinies pour tout nombre entier N , pour tous nombres r´eels α, β et pour toute partie non vide D de 0, q − 1 par : ∗ ∗ RN (α, β) = RN (D, α, β) = e nα + S(n)β , ∗ n∈PD (N )
RN (α, β) = RN (D, α, β) =
n∈PD (N )
e nα + S(n)β .
Le fonction RN permettra de cribler les ´el´ements de PD (N, a, m′ , r, m). En effet, on peut ´enoncer le lemme suivant qui se prouve exactement comme le Lemme 3.1 de [2]. Lemme 3.1. Soient q , m′ et m des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 et soit (a, r) ∈ Z2 . Pour tout nombre entier naturel N , on a
et
PD (N, a, m′ , r, m) = ∗ PD (N, a, m′ , r, m) =
m−1 m′ −1 1 ta rs t s RN , e − e − , mm′ m′ m m′ m t=0
s=0
m−1 m′ −1 1 ta rs ∗ t s R . e − ′ e − , mm′ m m N m′ m s=0
t=0
Dans tout ce qui suit, on d´efinit les fonctions 1 2 χD : N −→ {0, 1}, (l, h) �−→ 0
si h > l, sinon
et (3.1)
ψδ : : 0, q − 1 −→ {0, 1},
l �−→
1 0
si l ≥ δ = min(D), sinon.
Maintenant, on ´enonce un lemme permettant de d´eterminer le cardinal de PD (N ) lorsque 0 �∈ D.
Lemme 3.2. Soit D ⊂ 1, q − 1 . Pour tout nombre entier N tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on a : ⌊ ν+1 ⌋ 2
ν
|PD (N )| = Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
⌊2⌋ j=1
|D|j +
j=1
|D|j
421 13
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
+
ν ν
k=j+1
j=⌊ ν+1 ⌋ 2
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋ + χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋ 2
ν
k=ν−j
2
ν
1l D (lk )
k=⌊ ν+1 ⌋ 2
1l D (lk ) 1l PD lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 χD (lν−j , lj ). ν
ν
En particulier, |PD (N )| ≪q |D| 2 et |D| 2 ≪q |PD (N )|.
Preuve. Soit N = lν q ν + N ′ q + l0 avec ν = ⌊ lnlnNq ⌋, N ′ < q ν−1 et lν �= 0. On ´ecrit N ′ = lν−1 q ν−2 + · · · + l1 et on divise les ´el´ements de PD (lν q ν + N ′ q + l0 ) en deux ensembles : les nombres entiers strictement inf´erieurs `a lν q ν (|PD (lν q ν )| ´el´ements) et ceux entre lν q ν et lν q ν + N ′ q + l0 . ◦ Si N ′ < q ν−2 , le deuxi`eme ensemble est vide (puisque 0 �∈ D). ◦ Si q ν−2 ≤ N ′ < q ν−1 et lν �∈ D, le deuxi`eme ensemble est encore vide. ◦ Si q ν−2 ≤ N ′ < q ν−1 et lν ∈ D, les ´el´ements du deuxi`eme ensemble sont de la forme
o` u q ν−2 < N0 < N ′ est un nombre palindrome, auquels on ajoute lν q ν + N ′ q + lν si l0 > lν et N ′ est un palindrome. Par cons´equent, le deuxi`eme ensemble contient |PD (N ′ )| − |PD (q ν−2 )| + 1l PD (lν−1 q ν−2 + · · · + l1 )χD (lν , l0 ) ´el´ements. Il s’en suit alors que |PD (N )| = |PD (lν q ν )| + 1l D (lν )ψδ (lν−1 ) |PD (lν−1 q ν−2 + · · · + l1 )| − |PD (q ν−2 )| + 1l PD (lν−1 q ν−2 + · · · + l1 )χD (lν , l0 ) .
En r´eit´erant le proc´ed´e, on obtient la formule (3.2)
|PD (N )| ν
= |PD (lν q )| +
ν ν−1
⌋ j=⌊ ν+1 2
k=j+1
1l D (lk )ψδ (lk−1 )
|PD (lj q
2j−ν
)| − |PD (q
2j−ν
)|
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
422 14
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
+ χD lν−⌊
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν
k=ν−j
ν−1 2
⌋ , l⌊
ν−1 2
lD ⌋ 1
l⌊
ν+1 2
⌋
ν
1l D (lk )ψδ (lk−1 )
k=⌊ ν+1 ⌋+1 2
1l D (lk )ψδ (lk−1 ) 1l PD (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1)χD (lν−j , lj ).
On se donne un nombre entier naturel k et on consid`ere l ∈ 1, q − 1 . On s´epare les ´el´ements de PD (lq k ) en deux ensembles : les nombres entiers inf´erieurs strictement `a q k (|PD (q k )| ´el´ements) et ceux entre q k et lq k k (|Dl ||D|⌊ 2 ⌋ ´el´ements).
Il vient alors que (3.3)
k
|PD (lq k )| = |PD (q k )| + |Dl ||D|⌊ 2 ⌋ .
Puis, un calcul combinatoire (distinguant les palindromes dont les nombres de chiffres sont pairs et ceux dont les nombres de chiffres sont impairs) permet d’´etablir que ⌊ k+1 ⌋ 2
k
(3.4)
|PD (q k )| =
⌊2⌋ j=1
|D|j +
j=1
|D|j .
En injectant (3.4) dans (3.3) puis dans (3.2) et en utilisant les identit´es (3.5)
1l D (l)ψδ (l) = 1l D (l),
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
(3.6)
423 15
ψδ (l)|Dl | = |Dl |
et ψδ (lν−j−1 )1l PD (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )
(3.7)
= 1l PD (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 ),
pour 0 ≤ j ≤
ν − 3 , 2
on obtient la formule d´esir´ee. Ensuite, on cherche `a simplifier l’expression de la fonction RN lorsque 0 �∈ D. Lemme 3.3. Soit D ⊂ 1, q − 1 . Pour tous nombres r´eels α, β et pour tout nombre entier N tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on a :
RN (α, β) =
⌊ ν−1 ⌋ 2
k=0
×
k−1 j=0
d∈D
ν 2
k e d(q α + β)
d∈D
e d (q 2k−2j + 1)q j α + 2β
⌊ ⌋ k−1 2k−2j−1 j e d (q + 1)q α + 2β + k=1 j=0
+
d∈D
×
ν
⌋ j=⌊ ν+1 2
ν
d∈D
ν e d (λ(ν)q + 1)q ⌊ 2 ⌋ α + (λ(ν) + 1)β
k=j+1
ν ν 1l D (lk ) e lk (q k + q ν−k )α + 2 lk β k=j+1
k=j+1
× Rlj ((q 2j−ν + 1)q ν−j α, 2β ) ×
⌋ j−2−⌊ ν+1 2
i=0
∗
d∈D
e(d (q 2j−2i−2−ν + 1)q ν+1+i−j α + 2β ) ∗
+ e N α + S(N )β χD lν−⌊
ν−1 2
⌋ , l⌊
ν−1 2
⌋
ν
1l D (lk )
⌋ k=⌊ ν+1 2
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
424 16
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR ν−3
∗
∗
+ e N α + S(N )β
⌊ 2 ⌋ ν j=0
1l D (lk )
k=ν−j
× 1l PD (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ). Preuve. Soit N = lν q ν + N ′ q + l0 avec ν = ⌊ lnlnNq ⌋, N ′ < q ν−1 et lν �= 0. Ecrivons, N ′ = lν−1 q ν−2 + · · · + l1 , on a : Rlν qν +N ′ q+l0 (α, β) = Rlν qν (α, β) + e(nα + S(n)β). lν q ν ≤n
Mais, si lν �∈ D ou si N ′ < q ν−2 , la deuxi`eme somme est nulle et l’expression se r´eduit ` a Rlqν (α, β). Dans le cas contraire (q ν−2 ≤ N ′ < q ν−1 et lν ∈ D), le raisonnement effectu´e dans la d´emonstration du Lemme 3.2 permet d’´ecrire : e(nα + S(n)β) lν q ν ≤n
=
e((lν q ν + nq + lν )α + S(lν q ν + nq + lν )β )
n∈PD (N ′ )\PD (q ν−2 )
+ 1l PD (N ′ )χD (lν , l0 )e((lν q ν + N ′ q + lν )α + (2lν + S(N ′ ))β ) = e(lν ((q ν + 1)α + 2β)) RN ′ (qα, β) − Rqν−2 (qα, β) + 1l PD (N ′ )χD (lν , l0 )e(N ′ qα + S(N ′ )β) .
En passant par la fonction ψδ pr´ec´edemment d´efinie dans (3.1), on aura RN (α, β) = Rlν qν (α, β) + 1l D (lν )ψδ (lν−1 )e(lν ((q ν + 1)α + 2β)) × Rlν−1 qν−2 +N ′′ q+l1 (qα, β) − Rqν−2 (qα, β) + 1l PD (lν−1 q ν−2 + · · · + l1 ) × χD (lν , l0 )e((lν−1 q ν−2 + N ′′ q + lν−1 )qα + (2lν−1 + S(N ′′ ))β ) .
On r´eit`ere le proc´ed´e tout en tenant compte des identit´es (3.5) et (3.7). On trouve (3.8)
RN (α, β) = Rlν qν (α, β)
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
∗
∗
+ e(N α + S(N )β )χD (lν−⌊
ν−1 2
⌋ , l⌊
ν−1 2
⌋
ν
)
425 17
1l D (lk ) + e N ∗ α + S(N ∗ )β
k=⌊ ν+1 ⌋ 2
× +
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν
k=ν−j
ν−1 ν
j=⌊ ν+1 ⌋ 2
k=j+1
1l D (lk ) 1l PD (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ) ν ν k ν−k 1l D (lk ) ψδ (lj )e lk (q + q )α + 2 lk β k=j+1
k=j+1
× [Rlj q2j−ν (q ν−j α, β) − Rq2j−ν (q ν−j α, β)]. Puis, pour tout nombre entier k ≥ 2 et pour tout nombre entier l ∈ 2, q − 1 , on ´ecrit : e(nα + S(n)β) Rlqk (α, β) = n∈PD (lq k )
= Rqk (α, β) +
e(nα + S(n)β) = Rqk (α, β)
1≤d
+
k
k
e((dq k + nq + d)α + S(dq k + nq + d)β )
1≤d
= Rqk (α, β) +
1≤d
e(d((q k + 1)α + 2β))[Rqk−1 (qα, β) − Rqk−2 (qα, β)]
= Rqk (α, β) + Rl ((q k + 1)α, 2β )[Rqk−1 (qα, β) − Rqk−2 (qα, β)]. De plus, cette relation est ´evidemment vraie pour l = 1 donc vraie pour tout l ∈ 1, q − 1 . En particulier, (3.9) Rlqk (α, β) − Rqk (α, β) = Rl ((q k + 1)α, 2β)[Rqk−1 (qα, β) − Rqk−2 (qα, β)]. Ensuite, on ´ecrit Rqk+1 (α, β) =
k
e(nα + S(n)β)
j=0 q j ≤n
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
426 18
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
=
e(d(α + β)) +
d∈D
+
k
e(d((q + 1)α + 2β))
d∈D
e((dq j + mq + d)α + S(dq j + mq + d)β )
j=2 d∈D m∈PD (q j−1 )\PD (q j−2 )
=
e(d(α + β)) +
d∈D
+
k
j=2 d∈D
e(d((q + 1)α + 2β))
d∈D
e(d((q j + 1)α + 2β))[Rqj−1 (qα, β) − Rqj−2 (qα, β)].
Il vient alors que :
=
d∈D
Rqk+1 (α, β) − Rqk (α, β) k e(d((q + 1)α + 2β)) [Rqk−1 (qα, β) − Rqk−2 (qα, β)].
On discute suivant les cas k + 1 pair ou impair en remarquant que la diff´erence Rqk−1 (qα, β) − Rqk−2 (qα, β) d´esigne la valeur de R(qα, β) pour les nombres palindromes ellips´ephiques `a k − 1 chiffres et par r´ecurrence simultan´ee on montre que (3.10) Rqk (α, β) =
⌋ ⌊ k−1 2
i=0
d∈D
i−1 2i−2j j e(d(q α + β)) e(d((q + 1)q α + 2β)) i
j=0
d∈D
k
+
⌊ 2 ⌋ i−1 i=1 j=0
e(d((q
2i−2j−1
j
+ 1)q α + 2β))
d∈D
et (3.11) Rqk+1 (α, β) − Rqk (α, β) = ×
⌊ k2 ⌋−1
j=0
e(d((q
e(d((λ(k)q + 1)q
⌊ k2 ⌋
α + (λ(k) + 1)β))
d∈D
k−2j
d∈D
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
+ 1)q α + 2β)) , j
pour tout k ∈ N.
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
427 19
D’o` u la formule en substituant (3.11) et (3.10) dans (3.9) puis dans (3.8) et en passant par l’identit´e (3.6). ∗ (N ). Puis, on passe au lemme suivant qui d´etermine le cardinal de PD
Lemme 3.4. Soit D ⊂ 0, q − 1 tel que 0 ∈ D. Pour tout nombre entier N tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on a : ⌊ ν+1 ⌋ 2
ν
∗ |PD (N )|
⌊2⌋
=
j=1
j
|D| +
j=1
|D| +
+ χD lν−⌊
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν
k=ν−j
j
ν−1 2
ν ν
j=⌊ ν+1 ⌋ 2
⌋ , l⌊
ν−1 2
⌋
k=j+1
ν
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋
1l D (lk )
k=⌊ ν+1 ⌋ 2
1l D (lk ) 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ).
Preuve. Soit N = lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 avec 0q ν−2 ≤ N ′ < 0q ν−1 (en particulier (ν + 1)- repq (N ′ ) poss`ede ν − 1 chiffres y compris des z´eros ´eventuels `a gauche). On ´ecrit (ν + 1)- repq (N ′ ) = lν−1 q ν−2 + · · · + l1 ∗ (l q ν + (ν + 1)- rep (N ′ )q + l ) en deux et on divise les ´el´ements de PD ν 0 q ∗ (l q ν )| ensembles : les nombres entiers strictement inf´erieurs `a lν q ν (|PD ν ν ν ′ ´el´ements) et ceux entre lν q et lν q + (ν + 1)- repq (N )q + l0 . ∗ (l q ν + (ν + 1)- rep (N ′ )q + l )| = |P ∗ (l q ν )|. ◦ Si lν �∈ D, alors |PD ν 0 q D ν ◦ Sinon, on ajoute les pseudopalindromes entre lν q ν et
lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 , de sorte que ∗ ∗ (lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 )| = |PD (lν q ν )| |PD
∗ ∗ + |PD ((ν + 1)- repq (N ′ ))| − |PD (0q ν−2 )| + 1l PD∗ ((ν + 1)- repq (N ′ ))χD (lν , l0 ).
Ainsi, ∗ ∗ ∗ (N )| = |PD (lν q ν )| + 1l D (lν ) |PD ((ν + 1)- repq (N ′ ))| |PD ∗ (0q ν−2 )| + 1l PD∗ ((ν + 1)- repq (N ′ ))χD (lν , l0 ) . − |PD Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
428 20
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
En r´eit´erant le proc´ed´e, on obtient la formule (3.12)
∗ ∗ |PD (N )| = |PD (lν q ν )| ν−1 ν ∗ ∗ 1l D (lk ) |PD (lj q 2j−ν )| − |PD (0q 2j−ν )| + j=⌊ ν+1 ⌋ 2
k=j+1
+ χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν
k=ν−j
2
2
ν
k=⌊
ν+1 2
1l D (lk ) ⌋
1l D (lk ) 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ).
On se donne un nombre entier naturel k et on consid`ere l ∈ 0, q − 1 , une ´etude analogue `a celle du Lemme 3.2 m`ene aux identit´es k
∗ ∗ |PD (lq k )| = |PD (0q k )| + |Dl ||D|⌊ 2 ⌋
(3.13) et
⌊ k+1 ⌋ 2
k
∗ (0q k )| = |PD
(3.14)
⌊2⌋ j=1
|D|j +
j=1
|D|j .
En injectant (3.14) dans (3.13) puis dans (3.12), on obtient la formule d´esir´ee. Lemme 3.5. Soit D ⊂ 0, q − 1 tel que 0 ∈ D. Pour tout nombre entier N tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on pose N ∗ le palindromis´e de N . Alors, on a : ∗ RN (α, β)
=
⌋ ⌊ ν−1 2
k=0
×
k−1 j=0
d∈D
k
e(d(q α + β))
d∈D
e(d((q 2k−2j + 1)q j α + 2β))
ν 2
+
⌊ ⌋ k−1 k=1 j=0
+
d∈D
e(d((q
d∈D
2k−2j−1
j
+ 1)q α + 2β))
ν e(d((λ(ν)q + 1)q ⌊ 2 ⌋ α + (λ(ν) + 1)β))
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
×
ν ν
k=j+1
j=⌊ ν+1 ⌋ 2
429 21
ν ν k ν−k 1l D (lk ) e lk (q + q )α + 2 lk β k=j+1
k=j+1
× Rlj ((q 2j−ν + 1)q ν−j α, 2β) ×
⌋ j−2−⌊ ν+1 2
i=0
∗
∗
e(d((q
×
j=0
ν
k=ν−j
+ 1)q
ν+1+i−j
α + 2β))
d∈D
+ e(N α + S(N )β)χD lν−⌊ ⌊ ν−3 ⌋ 2
2j−2i−2−ν
ν−1 2
⌋ , l⌊
ν−1 2
⌋
ν
1l D (lk ) + e(N ∗ α + S(N ∗ )β)
⌋ k=⌊ ν+1 2
1l D (lk ) 1l PD∗ lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 χD (lν−j , lj ).
Preuve. Soit N = lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 avec 0q ν−2 ≤ N ′ < 0q ν−1 . Ecrivons, (ν + 1)- repq (N ′ ) = lν−1 q ν−2 + · · · + l1 , on a :
Rl∗ν qν +(ν+1)- repq (N ′ )q+l0 (α, β) =
e(nα + S(n)β)
∗ n∈PD (lν q ν +(ν+1)- repq (N ′ )q+l0 )
=
∗ D
e(nα + S(n)β) + ν
n∈P (lν q )
ν
e(nα + S(n)β). ′
lν q ≤n
ν
Mais, si lν �∈ D la deuxi`eme somme est nulle et l’expression se r´eduit `a Rl∗ν qν (α, β). Dans le cas contraire, on ´ecrit : e(nα + S(n)β) lν q ν ≤n
=
e((lν q ν + nq + lν )α + S(lν q ν + nq + lν )β )
∗ ∗ n∈PD ((ν+1)- repq (N ′ ))\PD (0q ν−2 )
+ 1l PD∗ ((ν + 1)- repq (N ′ ))χD (lν , l0 ) × e((lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + lν )α + (2lν + S((ν + 1)- repq (N ′ )))β ) Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
430 22
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
= e(lν ((q ν + 1)α + 2β)) R∗(ν+1)- repq (N ′ ) (qα, β) − R∗0qν−2 (qα, β) + 1l PD∗ ((ν + 1)- repq (N ′ ))χD (lν , l0 )
× e((ν + 1)- repq (N ′ )qα + S((ν + 1)- repq (N ′ ))β ) . En conclusion, Rl∗ν qν +(ν+1)- repq (N ′ )q+l0 (α, β) = Rl∗ν qν (α, β) + 1l D (lν )e(lν ((q ν + 1)α + 2β)) R∗(ν+1)- repq (N ′ ) (qα, β) − R∗0qν−2 (qα, β) + 1l PD∗ ((ν + 1)- repq (N ′ ))χD (lν , l0 )
× e((ν + 1)- repq (N ′ )qα + S((ν + 1)- repq (N ′ ))β ) . On applique successivement le point pr´ec´edent pour obtenir ∗ (α, β) = Rl∗ν qν (α, β) + e(N ∗ α + S(N ∗ )β) RN
(3.15)
× χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋
×
⌊ ν−3 ⌋ 2
j=0
+
2
ν
k=ν−j
ν
k=⌊
ν+1 2
1l D (lk ) + e(N ∗ α + S(N ∗ )β) ⌋
1l D (lk ) 1l PD∗ lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 χD (lν−j , lj )
ν−1 ν
j=⌊ ν+1 ⌋ 2
2
k=j+1
ν ν k ν−k 1l D (lk ) e lk (q + q )α + 2 lk β k=j+1
k=j+1
∗ ν−j × [Rl∗j q2j−ν (q ν−j α, β) − R0q α, β)]. 2j−ν (q
Puis, pour tout nombre entier k ≥ 2 et pour tout nombre entier l ∈ 1, q − 1 , on ´ecrit : ∗ ∗ (3.16) e(nα + S(n)β) = R0q Rlq k (α, β) = k (α, β) ∗ n∈PD (lq k )
+
0≤d
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
∗ e(nα + S(n)β) = R0q k (α, β)
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
+
431 23
e((dq k + nq + d)α + S(dq k + nq + d)β )
∗ ∗ 0≤d
∗ = R0q k (α, β) +
0≤d
∗ ∗ e(d((q k + 1)α + 2β))[R0q k−1 (qα, β) − R0q k−2 (qα, β)]
k ∗ ∗ ∗ = R0q + 1)α, 2β)[R0q k (α, β) + Rl ((q k−1 (qα, β) − R0q k−2 (qα, β)].
En outre, cette relation est trivialement vraie pour l = 0 donc vraie pour tout l ∈ 0, q − 1 . Par ailleurs, on ´ecrit grˆace `a (3.16) (3.17) ∗ ∗ k ∗ ∗ + 1)α, 2β)[R0q Rlq k (α, β) − R0q k (α, β) = Rl ((q k−1 (qα, β) − R0q k−2 (qα, β) ]. Ensuite, on ´ecrit : ∗ R0q k+1 (α, β) =
k
j=0 0q ≤n<0q ∗ n∈PD
=
e(d(α + β)) +
d∈D
+
k
j
e(nα + S(n)β) j+1
e(d((q + 1)α + 2β))
d∈D
e((dq j + mq + d)α + S(dq j + mq + d)β )
j=2 d∈D m∈P (0q j−1 )\P (0q j−2 ) ∗ D
=
e(d(α + β)) +
d∈D
+
k
j=2 d∈D
∗ D
e d((q + 1)α + 2β)
d∈D
∗ ∗ e(d((q j + 1)α + 2β))[R0q j−1 (qα, β) − R0q j−2 (qα, β)].
On en tire la relation : ∗ ∗ R0q k+1 (α, β) − R0q k (α, β) k ∗ ∗ e(d((q + 1)α + 2β)) [R0q = k−1 (qα, β) − R0q k−2 (qα, β)]. d∈D
On discute suivant les cas k + 1 pair ou impair en remarquant que la ∗ ∗ esigne la valeur de R∗ (α, β) pour les diff´erence R0q k+1 (α, β) − R0q k (α, β) d´ Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
432 24
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
pseudopalindromes ellips´ephiques `a k + 1 chiffres exactement (y compris des z´eros ´eventuels `a gauche) et par r´ecurrence simultan´ee on montre que ∗ R0q k (α, β)
(3.18) =
⌊ k−1 ⌋ 2
i=0
i−1
i
e(d(q α + β))
j=0
d∈D
e(d((q
⌊ ⌋
+
i=1 j=0
e(d((q
j
2i−2j−1
d∈D
+ 1)q α + 2β))
d∈D
k 2
i−1
2i−2j
+ 1)q α + 2β)) . j
On pourra remarquer au passage que ∗ ∗ R0q k+1 (α, β) − R0q k (α, β)
(3.19) =
e(d((λ(k)q + 1)q
⌊ k2 ⌋
α + (λ(k) + 1)β ))
d∈D
×
⌊ k2 ⌋−1
j=0
e(d((q
k−2j
d∈D
+ 1)q α + 2β)) . j
D’o` u la formule en substituant (3.19) dans (3.17) puis (3.18) et (3.17) dans (3.16) et dans (3.15). Ensuite, on pr´esente le lemme suivant qui d´etermine le cardinal de PD (N ). On remarquera que dans ce cas, un palindrome est construit par superposition (` a droite et `a gauche) d’un pseudopalindrome. Lemme 3.6. Soit D ⊂ 0, q − 1 tel que 0 ∈ D. Pour tout nombre entier N tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on a : ⌋ ⌊ ν+1 2
|PD (N )| = |D|
−1+
ν ν
j=⌊ ν+1 ⌋ 2
+ χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν
k=ν−j
2
2
k=j+1
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋
ν
1l D (lk )
k=⌊ ν+1 ⌋ 2
1l D (lk ) 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ).
En particulier, |PD (N )| ≪q |D|ν/2 et |D|ν/2 ≪q |PD (N )|. Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
433 25
Preuve. Soit N = lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 avec ν = ⌊ lnlnNq ⌋, 0q ν−2 ≤ N ′ < 0q ν−1 (en particulier (ν + 1)- repq (N ′ ) poss`ede ν − 1 chiffres y compris des z´eros ´eventuels `a gauche) et lν �= 0. On ´ecrit (ν + 1)- repq (N ′ ) = lν−1 q ν−2 + · · · + l1 et on divise les ´el´ements de PD (lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 ) en deux ensembles : les nombres entiers strictement inf´erieurs `a lν q ν (|PD (lν q ν )| ´el´ements) et ceux entre lν q ν et lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 . ◦ Si lν �∈ D, alors |PD (lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 )| = |PD (lν q ν )|. ◦ Sinon, on ajoute les palindromes ellips´ephiques entre lν q ν et lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 , de sorte que |PD (lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 )| = |PD (lν q ν )|
∗ ∗ + |PD (0q ν−2 )| + 1l PD∗ ((ν + 1)- repq (N ′ ))χD (lν , l0 ). ((ν + 1)- repq (N ′ ))| − |PD
Ainsi, on trouve par r´eit´eration et en passant par l’identit´e (3.17) PD (lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 ) = |PD (lν q ν )|
(3.20)
+ χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋ 2
+
ν−3 ⌊ ν 2 ⌋
j=0
k=ν−j
+
2
ν
k=⌊
ν+1 2
1l D (lk )
⌋
1l D (lk ) 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ) ν ν−1
⌋ j=⌊ ν+1 2
k=j+1
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋ .
On s´epare les palindromes ellips´ephiques inf´erieurs strictement a` lν q ν en deux ensembles : ceux inf´erieurs strictement `a q ν et ceux entre q ν et lν q ν . Il s’en suit l’identit´e (3.21)
ν
|PD (lν q ν )| = |PD (q ν )| + (|Dlν | − 1)|D|⌊ 2 ⌋ . Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
434 26
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
Finalement, un calcul combinatoire permet d’´etablir que
(3.22)
ν
|PD (q )| = |D| + (|D| − 1) ν
ν ⌋−1 ⌊ 2
= |D|⌊ 2 ⌋ + |D|⌊
j=0
ν+1 2
⌋
⌋ ⌊ ν−1 2 j
|D| +
j=1
j
|D|
− 1.
La formule d´esir´ee est d´eduite en injectant (3.22) dans (3.21) que l’on substitue dans (3.20). Enfin, on termine ce paragraphe par un lemme qui simplifie l’expression de la fonction RN pour le cas 0 ∈ D. Lemme 3.7. Soit D ⊂ 0, q − 1 tel que 0 ∈ D. Pour tout nombre entier N tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on pose N ∗ le palindromis´e de N . Alors, on a :
RN (α, β) =
⌊ ν−1 ⌋ 2
k=0
×
d∈D\{0}
k−2 i=0
d∈D
e(d((q 2k + 1)α + 2β)) e(d(q k α + β)) d∈D
e(d((q 2k−2i−2 + 1)q i+1 α + 2β))
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
435 27
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES ν
+
⌊2⌋ k=1
i=0
e(d((q
+
⌋ j=⌊ ν+1 2
× Rlj ((q
2j−ν
⌊ ν2 ⌋−2
i=0
ν
k=j+1
+ 1)q
ν−j
2k−2i−3
+ [Rlν ((q + 1)α, 2β) − 1]
ν−1
+ 1)α + 2β))
+ 1)q
i+1
α + 2β ))
d∈D
ν
×
d∈D\{0}
k−2
×
e(d((q
2k−1
d∈D
e(d((λ(ν)q + 1)q
⌊ ν2 ⌋
α + (λ(ν) + 1)β))
d∈D
e(d((q ν−2i−2 + 1)q i+1 α + 2β))
ν ν k ν−k 1l D (lk ) e lk (q + q )α + 2 lk β k=j+1
α, 2β )
k=j+1
e(d((λ(ν)q + 1)q
⌊ ν2 ⌋
α + (λ(ν) + 1)β))
d∈D
j−2−⌊
×
ν+1 2
i=0
⌋
e(d((q
2j−2i−2−ν
+ 1)q
ν+1+i−j
α + 2β))
d∈D
∗
∗
+ 1 + e(N α + S(N )β)χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋
∗
∗
+ e(N α + S(N )β)
2
2
⌊ ν−3 ⌋ 2
j=0
ν
k=ν−j
ν
1l D (lk )
k=⌊ ν+1 ⌋ 2
1l D (lk )
× 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ). Preuve. Soit N = lν q ν + (ν + 1)- repq (N ′ )q + l0 avec ν = ⌊ lnlnNq ⌋, 0q ν−2 ≤ N ′ < 0q ν−1 et lν �= 0. On ´ecrit (ν + 1)- repq (N ′ ) = lν−1 q ν−2 + · · · + l1 , alors : e(nα + S(n)β) Rlν qν +(ν+1)- repq (N ′ )q+l0 (α, β) = n∈PD (lν q ν +(ν+1)- repq (N ′ )q+l0 )
=
n∈PD (lν q ν )
e(nα + S(n)β) +
e(nα + S(n)β).
lν q ν ≤n
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
436 28
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
Mais, si lν �∈ D la deuxi`eme somme est nulle et l’expression se r´eduit `a Rlν qν (α, β). Dans le cas contraire, on ´ecrit : e(nα + S(n)β) lν q ν ≤n
=
e((lν q ν + nq + lν )α + S(lν q ν + nq + lν )β )
∗ ∗ n∈PD (N ′ )\PD (0q ν−2 )
+ 1l PD∗ (N ′ )χD (lν , l0 )e((lν q ν + N ′ q + lν )α + (2lν + S(N ′ ))β ) = e(lν ((q ν + 1)α + 2β)) R∗(ν+1)- repq (N ′ ) (qα, β) − R∗0qν−2 (qα, β) + 1l PD∗ ((ν + 1)- repq (N ′ ))χD (lν , l0 )
e((ν + 1)- repq (N ′ )qα + S((ν + 1)- repq (N ′ ))β) .
Il s’en suit par r´eit´eration et via le Lemme 3.5 :
RN (α, β) = Rlν qν (α, β) + 1l D (lν )e(lν ((q ν + 1)α + 2β))
(3.23)
× R∗(ν+1)- repq (N ′ ) (qα, β) − R∗0qν−2 (qα, β) + 1l PD∗ ((ν + 1)- repq (N ′ )) × χD (l, h)e((ν + 1)- repq (N ′ )qα + S((ν + 1)- repq (N ′ ))β ) = Rlν qν (α, β) + e(N ∗ α + S(N ∗ )β)χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋ 2
∗
∗
+ e(N α + S(N )β)
⌊ ν−3 ⌋ 2
j=0
ν
2
1l D (lk )
k=ν−j
ν
k=⌊
ν+1 2
1l D (lk ) ⌋
× 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ) ⌊ ν2 ⌋ e d((λ(ν)q + 1)q α + (λ(ν) + 1)β) + d∈D
+
ν−1
⌋ j=⌊ ν+1 2
ν
k=j+1
ν ν k ν−k 1l D (lk ) e lk (q + q )α + 2 lk β k=j+1
× Rlj ((q 2j−ν + 1)q ν−j α, 2β ) Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
k=j+1
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
×
⌋ j−2−⌊ ν+1 2
i=0
e(d((q
2j−2i−2−ν
+ 1)q
d∈D
ν+1+i−j
437 29
α + 2β)) .
Puis, d’apr`es (3.19) (3.24)
Rlν qν (α, β) = Rqν (α, β) e(nα + S(n)β) = Rqν (α, β)
+
1≤d
+
e((dq ν + nq + d)α + S(dq ν + nq + d)β )
∗ ∗ 1≤d
= Rqν (α, β) +
∗ ∗ e(d((q ν + 1)α + 2β))[R0q ν−1 (qα, β) − R0q ν−2 (qα, β)]
1≤d
= Rqν (α, β) +
e(d((λ(ν)q + 1)q
⌊ ν2 ⌋
α + (λ(ν) + 1)β))
d∈D
ν
× [Rlν ((q + 1)α, 2β) − 1]
⌊ ν2 ⌋−2
i=0
d∈D
e(d((q ν−2i−2 + 1)q i+1 α + 2β)) .
Ensuite, on ´ecrit : Rqν+1 (α, β) = 1 +
ν
e(nα + S(n)β)
j=0 q j ≤n
=
e(d(α + β)) +
d∈D
+
ν
e(d((q + 1)α + 2β))
d∈D
e((dq j + mq + d)α + S(dq j + mq + d)β )
j=2 1≤d
=
d∈D
+
ν
j=2 1≤d
∗ D
e(d(α + β)) +
e(d((q + 1)α + 2β))
d∈D
∗ ∗ e(d((q j + 1)α + 2β))[R0q j−1 (qα, β) − R0q j−2 (qα, β)].
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
438 30
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
On en tire la relation :
=
d∈D\{0}
Rqν+1 (α, β) − Rqν (α, β) ν ∗ ∗ e(d((q + 1)α + 2β)) [R0q ν−1 (qα, β) − R0q ν−2 (qα, β)].
On discute suivant les cas ν + 1 pair ou impair en remarquant que la diff´erence Rqν+1 (α, β) − Rqν (α, β) d´esigne la valeur de R(α, β) pour les palindromes ellips´ephiques `a ν + 1 chiffres et par r´ecurrence simultan´ee on montre que Rqν (α, β) =
(3.25)
⌋ ⌊ ν−1 2
k=0
×
e(d(q α + β))
i=0
d∈D
+ 1)α + 2β))
d∈D\{0}
k−2
k
e(d((q
2k
e(d((q
2k−2i−2
+ 1)q
+1+
k=1
×
k−2 i=0
d∈D
e(d((q
2k−1
+ 1)α + 2β))
d∈D\{0}
e(d (q
2k−2i−3
α + 2β))
d∈D
⌊ν ⌋
2
i+1
+ 1)q
i+1
α + 2β ) .
D’o` u la formule en reportant (3.25) dans (3.24) que l’on injecte dans (3.23). 4. Quelques propri´ et´ es des ensembles T , U , V et W L’ensemble T a ´et´e introduit dans [2] ainsi que certaines de ses propri´et´es. L’objet de ce paragraphe est de pr´esenter quelques propri´et´es des ensembles T , U , V et W afin d’´etablir les Th´eor`emes 2.1 et 2.4 ainsi que le Corollaire 2.2. Proposition 4.1. Les ensembles T , U , V et W sont sym´etriques dans le sens o` u : si (t, s) ∈ T avec 0 ≤ t < m′ et 0 ≤ s < m alors (m′ − t, m − s) ∈ T avec la convention (m′ , s) = (0, s) et (t, m) = (t, 0). Il en est de mˆeme pour les ensembles U , V et W . Proposition 4.2. Si (t, s) ∈ T alors pour tout τ ∈ D − D on a (q j tm + sm′ )τ ≡ 0 mod mm′ Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
439 31 � pour tout j ∈ N et (q k + 1)q j tm + 2sm′ τ ≡ 0 mod mm′ pour tous couples (j, k) ∈ N2 . ´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
�
Preuve. Le premier point est d´emontr´e dans la Proposition 4.2 de [2]. Le deuxi`eme point s’en suit en sommant les in´egalit´es (q j tm + sm′ )τ ≡ 0 mod mm′ et (q k tm + sm′ )τ ≡ 0 mod mm′ . Proposition 4.3. (t, s) ∈ 0, m′ − 1 × 0, m − 1 : il existe k0 ∈ N et τ0 ∈ D − D tels que (q k0 tm + sm′ )τ �≡ 0 mod mm′ et pour tout 0 U = τ ∈ D − D, pour tout couple (j, k) ∈ N2 , � (q k + 1)q j tm + . 2sm′ � τ ≡ 0 mod mm′
Preuve. La preuve est similaire `a celle de la Proposition 4.2 de [2].
Proposition 4.4. Si m et m′ sont impairs alors U = ∅. Si U �= ∅, soit (t, s) ∈ U alors pour τ ∈ D − D et k ∈ N donn´es, on a ou bien (q k tm + sm′ )τ ′ ≡ 0 mod mm′ ou bien (q k tm + sm′ )τ ≡ mm mod mm′ . 2 Preuve. • On suppose que m et m′ sont impairs. S’il existe (t, s) ∈ U alors il existe τ0 ∈ D − D et k0 ∈ N tels que � (q k0 tm + sm′ )τ0 �≡ 0 mod mm′ , (2q k0 tm + 2sm′ )τ0 ≡ 0 mod mm′ . Ceci est manifestement absurde si mm′ est impair. � ∅ et on se donne (t, s) ∈ U alors • Si mm′ est pair, on suppose que U = pour τ ∈ D − D et k ∈ N, il existe r ∈ 0, mm′ − 1 tel que (q k tm + sm′ )τ ′ ≡ r mod mm′ . Or 2(q k tm + sm′ )τ ≡ 0 mod mm′ et donc r = 0 ou r = mm 2 . Proposition 4.5. On suppose que U est non vide alors, (t, s) ∈ 0, m′ − 1 × 0, m − 1 : il existe τ0 ∈ D − D tel que ′ pour tout k ∈ N (q k tm + sm′ )τ ≡ mm mod mm′ et pour tout 0 2 � U= . τ ∈ D� − D, pour tous couples (j, k) ∈ N2 , (q k + 1)q j tm + 2sm′ τ ≡ 0 mod mm′ Preuve. Si (t, s) ∈ U , il existe τ0 ∈ D − D et k0 ∈ N tel que
(∗)
(q k0 tm + sm′ )τ0 ≡
mm′ mod mm′ , 2 Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
440 32
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
(en vertu de la proposition pr´ec´edente). S’il existe j ∈ N tel que (q j tm + sm′ )τ0 �≡
mm′ mod mm′ 2
alors (∗∗)
(q j tm + sm′ )τ0 ≡ 0 mod mm′ ,
toujours d’apr`es la proposition pr´ec´edente. Ainsi, en sommant les identit´es (∗∗) et (∗), on trouve [(q k0 + q j )tm + 2sm′ ]τ0 �≡ 0 mod mm′ , en contradiction avec la d´efinition de U . A fortiori, (q k tm + sm′ )τ0 ≡ mm′ mod mm′ , pour tout k ∈ N. 2 Proposition 4.6. Soient m, m′ et q des nombres entiers v´erifiant − 1)) = 1. On suppose que D − D contient un ´el´ement premier avec ′ [m, m ] alors si m est impair, ∅ U = m 0, 2 sinon.
(m′ , q(q
Preuve. On suppose que U �= ∅ et on se donne (t, s) ∈ U . Puisqu’il existe τ1 ∈ D − D tel que (τ1, [m, m′ ]) = 1 alors pour tout k ∈ N, on a [(q k + 1)tm + 2sm′ ]τ1 ≡ 0 mod mm′ , (1) [(q k+1 + 1)tm + 2sm′ ]τ1 ≡ 0 mod mm′ .
En soustrayant ces deux congruences et compte tenu de l’hypoth`ese (m′ , q(q − 1)τ1 ) = 1, on trouve m′ | t qui implique t = 0 (vu que t ∈ 0, m′ − 1 ). En substituant dans (1) et compte tenu de l’hypoth`ese (m, τ1 ) = 1, il vient que m | 2s. • Si m est impair alors m | s impliquant s = 0 et donc (0, 0) ∈ U ce qui est impossible tant que pour tout (t, s) ∈ U , il existe τ0 ∈ D − D satisfaisant (q k tm + sm′ )τ0 �≡ 0 mod mm′ , pour tout k ∈ N. • Si m est pair alors la contrainte m|2s implique soit s = 0 qui est encore `a rejeter comme vu ci-haut, ou bien s = m 2. Proposition 4.7. Soient q , m et m′ des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 tels que (m′ , q) = 1, alors W = ∅. Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
441 33
Preuve. S’il existait (t, s) ∈ W, alors il lui correspondrait τ0 ∈ D − D et (au moins) un couple (j0 , k0 ) ∈ N2 tel que [(q k0 + 1)q j0 tm + 2sm′ ]τ0 �≡ 0 mod mm′ . Posons n1 = max {j ∈ N, [(q k0 + 1)q j tm + 2sm′ ]τ0 �≡ 0 mod mm′ }, qui existe bien au vu de la d´efinition de l’ensemble W (et on a d´ej`a n1 ≥ j0 ). On a donc m′ ∤ (q k0 + 1)q n1 (q − 1)tτ0, m′ | (q k0 + 1)q n1 +1 (q − 1)tτ0, ce qui est incompatible vu l’hypoth`ese (m′ , q) = 1. En vertu des Propositions 4.2, 4.7, de l’hypoth`ese (m′ , q 3 − q) = 1 et de la d´efinition des ensembles T , U , V et W, on conclut que (4.1)
0, m′ − 1 × 0, m − 1 = T ∪ U ∪ V,
o` u les ´el´ements de cette r´eunion sont deux `a deux disjoints. Proposition 4.8. Soient q , m et m′ des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 tels que (m′ , q) = 1. Si V �= ∅, on consid`ere (t, s) ∈ V , il existe τ0 ∈ D − D tel que [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ0 �≡ 0 mod mm′ , pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 . Alors l’ensemble {(j, k) ∈ N2 , (qk + 1)qj tm + 2sm′ τ0 ≡ 0 mod mm′ } est soit vide, soit infini.
Preuve. Supposons au contraire qu’il en existe un nombre fini non nul. Soit (j1, k1 ) un tel couple, posons n2 = max {j ∈ N, (q k1 + 1)q j tm + 2sm′ τ0 ≡ 0 mod mm′ }, en particulier n2 ≥ j1 . Alors m′ | (q k1 + 1)q n2 tmτ0 , m′ ∤ (q k1 + 1)q n2 +1 tmτ0 ,
ce qui est absurde tant que (m′ , q) = 1. Proposition 4.9. Soient q , m et m′ des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 2 tels que (m′ , q 3 − q) = 1. Si V �= ∅, on consid`ere (t, s) ∈ V , il existe τ0 ∈ D − D tel que [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ0 �≡ 0 mod mm′ , pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 . On suppose que [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ0 ≡ 0 Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
442 34
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
mod mm′ , pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 . Soit b un nombre entier assez grand alors on a 1 ≤ j < b , [(q b−2j + 1)q j tm + 2sm′ ]τ0 ≡ 0 mod mm′ 2 2 ≤ . ̺b = b/2 3 Preuve. On pose (pour 1 ≤ j < 2b ) aj ∈ 0, mm′ − 1 le nombre entier v´erifiant [(q b−2j + 1)q j tm + 2sm′ ]τ0 ≡ aj mod mm′ . S’il existe trois termes cons´ecutifs nuls aj , aj+1 et aj+2 alors on aura (∗) aj+1 − qaj ≡ [(1 − q 2 )q b−j−1 tm + 2(1 − q)sm′ ]τ0 mod mm′ ≡ 0 mod mm′ .
aj+2 − qaj+1 ≡ [(1 − q 2 )q b−j−2tm + 2(1 − q)sm′ ]τ0 mod mm′ ≡ 0 mod mm′ . Il en d´ecoule alors, en faisant la diff´erence, que m′ | tτ0 et m | 2sτ0 . De sorte que [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ0 ≡ 0 mod mm′ pour tous couples (j, k) ∈ N2 , ce qui est absurde. Mainenant, on a prouv´e que parmi trois termes cons´ecutifs des aj il y en a au plus deux nuls et le taux maximal des aj nuls est obtenu lorsque b ∗ 2 = 3h (avec h ∈ N ) auquel cas on a au plus 2h termes nuls. Remarque 4.10. On aurait pu montrer que ̺b ≤ 12 si (m, m′ ) = 1. En effet, dans ce cas l’identit´e (∗) implique m′ | tτ0 et on conclut comme dans la d´emonstration pr´ec´edente. 5. Exemples • Si m = 4, m′ = 7, q = 4 et D = {0, 1} alors T = {(0, 0)}, U = {(0, 2)} et les autres couples sont dans V. En effet, le couple (0, 2) satisfait : (q j tm + sm′ )τ1 = 14 �≡ 0 mod 28,
[(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ1 ≡ 0 mod 28,
pour tout j ∈ N,
pour tous couples (j, k) ∈ N2 .
Pour les couples (0, 1) et (0, 3), on v´erifie [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ1 ≡ 14s mod 28 �≡ 0 mod 28, pour tous couples (j, k) ∈ N2 . Pour les couples (t, s) avec t �= 0, on v´erifie [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ1 = (4k + 1)4j+1t + 14s �≡ 0 mod 28, pour tous couples (j, k) ∈ N2 . Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
443 35
On est dans le cas o` u tous les ´el´ements (t, s) ∈ V v´erifient [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ]τ1 �≡ 0 mod 28, pour tous couples (j, k) ∈ N2 qui se traite conform´ement aux in´egalit´es (6.13) et (6.14). • Consid´erons maintenant les param`etres m = 2, m′ = 11, q = 6 et D = {0, 1}. Les couples (t, s) (avec t �= 0) appartiennent `a V et on est dans le cas o` u (q k + 1)q j tm + 2sm′ �≡ 0 mod mm′ , pour une infinit´e de couples (j, k) 2 u (q k + 1)q j tm + 2sm′ ≡ 0 mod mm′ , pour une infinit´e de couples ∈ N et o` (j, k) ∈ N2 . En effet, (q k + 1)q j tm + 2sm
≡ 0 mod mm′ , �≡ 0 mod mm′ ,
pour tous (j, k) ∈ N2 tels que k = 10h + 5, pour tous (j, k) ∈ N2 tels que k = � 10h + 5.
Ce cas se traite conform´ement aux in´egalit´es (6.13) et (6.15). 6. D´ emonstration du Th´ eor` eme 2.1 et du Corollaire 2.2 On va maintenant entamer la d´emonstration de notre r´esultat principal en distinguant les cas 0 �∈ D et 0 ∈ D. 6.1. Si 0 �∈ D. Soit N un nombre entier assez grand, tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on pose pour j ∈ {1, 2, 3} Aj =
sr 1 ta e − − [ τ1 + τ 2 + τ 3 + τ 4 ] , mm′ m′ m (t,s)
o` u ⌊ ν−1 ⌋ 2
τ1 =
k=0
t s k−1 s t , Rq (q 2(k−j) + 1)q j ′ , 2 Rq q k ′ , m m m m j=0
ν 2
τ2 =
⌊ ⌋ k−1 k=1 j=0
s t , Rq (q 2(k−j)−1 + 1)q j ′ , 2 m m
ν s t τ3 = e d (λ(ν)q + 1)q ⌊ 2 ⌋ ′ + (λ(ν) + 1) m m d∈D
×
ν
⌋ j=⌊ ν+1 2
ν
k=j+1
ν ν s k ν−k t 1l D (lk ) e lk (q + q ) ′ +2 lk m m k=j+1
k=j+1
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
444 36
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
×
j−2−⌊ ν+1 ⌋ 2
i=0
s t × Rlj (q 2j−ν + 1)q ν−j ′ , 2 m m s 2j−2i−2−ν ν+1+i−j t +2 e d (q + 1)q m′ m
d∈D
et
×e
ν ν 2
k=⌊ ⌋+1
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν t s τ4 = e λ(ν + 1)l⌊ ν2 ⌋ q ⌊ 2 ⌋ ′ + λ(ν + 1)l⌊ ν2 ⌋ m m t s χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋ lk (q ν−k + q k ) ′ + 2 2 2 m m ν
k=ν−j
ν
k=⌊
ν+1 2
1l D (lk ) ⌋
1l D (lk ) 1l PD (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ) .
Les sommes A1 , A2 et A3 correspondent respectivement `a (t, s) ∈ T , (t, s) ∈ U et (t, s) ∈ V. En cons´equence des Lemmes 3.1, 3.3 et de l’identit´e (4.1), on obtient : |PD (N, a, m′ , r, m)| = A1 + A2 + A3 .
(6.1)
D’abord, pour chaque (t, s) ∈ T , pour tous couples (j, k) ∈ N2 et pour chaque l ∈ 0, q , on a t t s s = |Dl | e δ q j ′ + e d qj ′ + m m m m d∈Dl
et (6.2)
s s t t = |Dl |e δ (q k + 1)q j ′ + 2 . e d (q k + 1)q j ′ + 2 m m m m
d∈Dl
Alors, on peut ´ecrire via les identit´es (1.3) et ν + 2 − λ(ν + 1) = ν + 1, 2 2 ⌋ ⌊ ν−1 2
τ1 =
k=0
t s , |D|k+1 e δ (q 2k + · · · + 1) ′ + (2k + 1) m m
⌊ν⌋
τ2 =
2
k=1
t s |D|k e δ (q 2k−1 + · · · + 1) ′ + 2k , m m
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
445 37
ν+1 ν+1 ν ν τ3 = e δ q ν + · · · + q ⌊ 2 ⌋+1 + λ(ν)q ⌊ 2 ⌋+1 + q ⌊ 2 ⌋ + 2q ⌊ 2 ⌋ +q
⌊ ν2 ⌋−1
t s + ··· + 1 + (ν + 3) m′ m ν
+
j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
+ q⌊
ν+1 2
⌋+1
ν
k=j+1
ν
⌋+1 k=⌊ ν+1 2
1l D (lk ) Dl⌊ ν+1 ⌋ |D| 2
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋ e δ (q ν + · · ·
ν
ν
+ λ(ν)q ⌊ 2 ⌋+1 + q ⌊ 2 ⌋ + · · · + 1)
et
s t + (ν + 1) m′ m
t ν+1 ν τ4 = e δ q ν + · · · + q ⌊ 2 ⌋ + q ⌊ 2 ⌋ + · · · + 1 m′ ν s ν +1 +2 1l D (lk ) χD lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋ 2 2 2 m ν+1 k=⌊
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν
k=ν−j
2
⌋
1l D (lk ) 1l PD (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ) .
D’o` u l’expression 1 A1 = mm′
(6.3)
(t,s)∈T
+
ν ν
⌋ j=⌊ ν+1 2
k=j+1
⌊ν ⌋ 2 k=1
⌋ ⌊ ν−1 2
|D|k +
k=0
|D|k+1
⌊ ν−3 ⌋ ν 2 j−⌊ ν+1 ⌋ 2 1l D (lk ) |Dlj ||D| + 1l D (lk ) j=0
k=ν−j
× 1l PD lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 χD (lν−j , lj ) ν 1l D (lk ) + χD (lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋ ) 2
2
k=⌊ ν+1 ⌋ 2
1 sr ta + ×e − ′ − m m mm′
⌊ ν−1 ⌋ 2
(t,s)∈T k=0
|D|k+1
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
446 38
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
ta s ta sr sr t 2k − ′− −e − ′ − × e δ (q + · · · + 1) ′ + (2k + 1) m m m m m m ⌊ν ⌋
2 1 s ta sr t k 2k−1 + − + 2k − |D| + · · · + 1) e δ (q mm′ m′ m m′ m (t,s)∈T k=1
ν
ta 1 sr −e − ′ − + m m mm′
(t,s)∈T j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
ν
k=j+1
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋
t ν+1 ν ν × e δ q ν + · · · + q ⌊ 2 ⌋+1 + λ(ν)q ⌊ 2 ⌋+1 + q ⌊ 2 ⌋ + · · · + 1 m′ ta sr sr s ta − ′− −e − ′ − + O(ν) + (ν + 1) m m m m m ta |PD (N )| 2 sr = − cos 2π + A(N, a, m′ , r, m) + O(ν). mm′ m′ m mm′ (t,s)∈T
La derni`ere ´egalit´e d´ecoule imm´ediatement du Lemme 3.2 et de l’identit´e eiϕ − eiψ = 2iei
ϕ+ψ 2
sin
ϕ − ψ 2
;
valable ∀ϕ et ψ ∈ R.
Ensuite, pour chaque (t, s) ∈ U , pour tous couples (j, k) ∈ N2 et pour chaque l ∈ 0, q , l’identit´e (6.2) est satisfaite alors τ1 =
⌊ ν−1 ⌋ 2
k=1
t s |D|k e d qk ′ + m m
d∈D
t s + O(1), × e δ q 2k + · · · + q k+1 + q k−1 + · · · + 1 + 2k m′ m ν
τ2 =
⌊2⌋ k=1
t s , + 2k |D|k e δ q 2k−1 + · · · + 1 m′ m
s ν ν t ν ⌊ ν+1 ⌋ ⌊ ⌋ τ3 = e δ (q + · · · + q 2 + q 2 + · · · + 1) ′ + 2 +1 m 2 m ν s t e d (λ(ν)q + 1)q ⌊ 2 ⌋ ′ + (λ(ν) + 1) × m m d∈D
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
×
ν
k=⌊ ν+1 ⌋+1 2
447 39
1l D (lk ) |Dl⌊ ν+1 ⌋ | 2
ν+1 ν ν s t + e δ (q ν + · · · + q ⌊ 2 ⌋+1 + q ⌊ 2 ⌋−1 + · · · + 1) ′ + 2⌊ ⌋ m 2 m s ⌊ ν2 ⌋ t × + (λ(ν) + 1) e d (λ(ν)q + 1)q m′ m d∈D
×
ν
j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
ν
k=j+1
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋
et τ4 = O(ν). D’o` u (6.4)
A2 =
1 B(N, a, m′ , r, m) + O(ν). mm′
Enfin, on d´etermine une majoration de A3 . Notons que si V = ∅ alors |PD (N, a, m′ , r, m)| = A1 ou A1 + A2 (suivant que U est vide ou non) et le choix de n’importe quel ω < 1 permet de conclure. Dans le cas contraire, soit (t, s) ∈ V, alors il existe d0 et d′0 ∈ D tels que [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ](d0 − d′0 ) �≡ 0 mod mm′ pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 . Il vient alors que pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 : (6.5) k s k s j t j t < e d (q + 1)q ′ + 2 e d (q + 1)q m′ + 2 m = |D|. m m d∈D
d∈D
En fait, l’in´egalit´e est stricte en vertu du cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e triangulaire. Posons
et
I = {(j, k) ∈ N2 : [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ](d0 − d′0 ) �≡ 0 mod mm′ } k s t j . η = sup e d (q + 1)q ′ + 2 m m (j,k)∈I, (t,s)∈V
d∈D
Comme les nombres entiers q k+j + q j d´ecrivent un nombre fini de valeurs mod m′ lorsque (j, k) d´ecrit I et d’apr`es (6.5), on peut ´ecrire : s t k j < |D|. (6.6) η = max e d (q + 1)q ′ + 2 m m (j,k)∈I, (t,s)∈V
d∈D
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
448 40
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
On pose maintenant 3 ρ = max η, 2
(6.7)
et on discute en distinguant deux cas : • Si [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ](d0 − d′0 ) �≡ 0 mod mm′ pour tous couples (j, k) ∈ N2 . Alors ⌋ ⌊ ν−1 2
|τ1 | ≤ |D| + |D|
ρ ≪q ρ
k=1
|τ3 | ≤ Dl⌊ ν+1 ⌋ |D| + |D| 2
⌊ν ⌋
⌊ ν−1 ⌋ 2
k
ν
j=⌊
ν+1 2
⌋+1
,
|τ2 | ≤
|Dlj |ρj−1−⌊
ν+1 2
2
k=1
ν
ρk ≪q ρ⌊ 2 ⌋ ,
⌋ ≪ ρ⌊ ν2 ⌋ , q
τ4 ≪q ν
ν
et donc |A3 | ≪q ρ 2 . Ainsi, le choix de (6.8)
ln ρ <1 ln |D|
ω= 1
ln |D|
prouve que A3 = Oq,m,m′ (N 2 ω ln q ). • Si [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ](d0 − d′0 ) ≡ 0 mod mm′ pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 , on pose (6.9)
ω=
ln ρ 2 + <1 3 3 ln |D|
et on applique la Proposition 4.9 `a chacune des expressions τ1 , τ2 , τ3 et τ4 en remarquant que pour un nombre entier h assez grand, on a (6.10)
ρ ρ +̺2h (1− lnln|D| )) h( lnln|D|
|D|h̺2h ρh(1−̺2h ) = |D|
≤ |D|hω
et il s’en suit alors ⌊ ν−1 ⌋ 2
|τ1 | ≤ |D| + |D| ν 2
k=1
|D|k̺2k ρk(1−̺2k ) ≪q |D|ω⌊
⌊ ⌋
|τ2 | ≤
k=1
ν
|D|k̺2k ρk(1−̺2k ) ≪q |D|ω⌊ 2 ⌋ ,
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
ν−1 2
⌋
,
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
|τ3 | ≤ Dl⌊ ν+1 ⌋ |D| + |D| 2
ν
j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
|Dlj ||D|(j−1−⌊
(j−1−⌊ ν+1 ⌋)(1−̺2(j−1−⌊ ν+1 ⌋) ) 2
× ̺2(j−1−⌊ ν+1 ⌋) ρ
2
2
1
ν+1 2
449 41
⌋)
ν
≪q |D|ω(⌊ 2 ⌋−1)
ln |D|
et τ4 ≪q ν et par cons´equent A3 = Oq,m,m′ (N 2 ω ln q ). En conclusion, les relations (6.1), (6.3), (6.4) (6.8) et (6.9) permettent d’´etablir la formule cherch´ee. 6.2. Si 0 ∈ D. Soit N un nombre entier assez grand, tel que repq (N ) = lν . . . l0 , on pose pour j ∈ {1, 2, 3} 1 ta sr Aj = e − − [σ1 + σ2 + σ3 + σ4 + σ5 ], mm′ m′ m (t,s)
o` u σ1 =
⌋ ⌊ ν−1 2
k=0
d∈D\{0}
×
s s t 2k k t e d (q + 1) ′ + 2 e d q ′+ m m m m d∈D
k−2 i=0
d∈D
s 2k−2i−2 i+1 t , e d (q + 1)q +2 m′ m
ν 2
σ2 =
⌊ ⌋ k=1
d∈D\{0}
t s 2k−1 e d (q + 1) ′ + 2 m m
k−2 s 2k−2i−3 i+1 t × , +2 e d (q + 1)q m′ m i=0 d∈D t s −1 σ3 = Rlν (q ν + 1) ′ , 2 m m s ⌊ ν2 ⌋ t × + (λ(ν) + 1) e d (λ(ν)q + 1)q m′ m d∈D
ν 2
× σ4 =
⌊ ⌋−2
i=0
s ν−2i−2 i+1 t , e d (q + 1)q +2 m′ m
d∈D
ν ν−1
⌋ j=⌊ ν+1 2
k=j+1
ν s k ν−k t 1l D (lk ) e lk (q + q ) ′ +2 m m k=j+1
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
450 42
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
s t × Rlj (q 2j−ν + 1)q ν−j ′ , 2 m m s ⌊ ν2 ⌋ t × e d (λ(ν)q + 1)q + (λ(ν) + 1) m′ m d∈D
×
⌋ j−2−⌊ ν+1 2
i=0
s t e d (q 2j−2i−2−ν + 1)q ν+1+i−j ′ + 2 m m
d∈D
et ∗
∗
σ5 = 1 + e(N α + S(N )β)χD (lν−⌊
ν−1 2
⌋ , l⌊
ν−1 2
⌋
)
ν
1l D (lk )
⌋ k=⌊ ν+1 2 ∗
∗
+ e(N α + S(N )β)
⌊ ν−3 ⌋ 2
j=0
ν
1l D (lk )
k=ν−j
× 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ). Les sommes A1 , A2 et A3 correspondent respectivement `a (t, s) ∈ T , (t, s) ∈ U et (t, s) ∈ V. Clairement, grˆace aux Lemmes 3.1 et 3.7 et `a l’identit´e (4.1), on peut ´ecrire : PD (N, a, m′ , r, m) = A1 + A2 + A3 . (6.11) D’abord, puisque pour chaque (t, s) ∈ T , pour tous couples (j, k) ∈ N2 et pour chaque l ∈ 0, q , s j t s t = = |Dl |, e d (q k + 1)q j ′ + 2 e d q ′+ m m m m
d∈Dl
d∈Dl
alors on peut exprimer la somme A1 en cons´equence du Lemme 3.6 (6.12) ta ν+1 ν 1 sr |Dlν ||D|⌊ 2 ⌋ + |D|⌊ 2 ⌋ + |D|2 − 2|D| e − ′− A1 = mm′ m m (t,s)∈T
+
ν
⌋+1 k=⌊ ν+1 2
1l D (lk ) Dl⌊ ν+1 ⌋ |D| + 2
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
ν−1
j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
ν
k=j+1
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−⌊ 2 ⌋
451 43
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
+ χD (lν−⌊
ν−1 2
⌋ , l⌊
ν−1 2
⌋
ν
)
1l D (lk )
k=⌊ ν+1 ⌋ 2
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν
k=ν−j
=
1l D (lk ) 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj )
ta sr |PD (N )| + O(1). cos 2π + mm′ m′ m (t,s)∈T
Puis, on passe `a la somme A2 qui s’exprime (6.13)
A2 =
ta 1 sr e − − mm′ m′ m (t,s)∈U
⌋
⌊
× (|D| − 1)
ν−1 2
k=1
k−1
|D|
s k t e d q ′+ m m d∈D
⌊ ν2 ⌋ t s + (|D| − 1) + (|D| − 1) e d |D|k−1 + m′ m d∈D k=1 s ⌊ ν2 ⌋−1 ⌊ ν2 ⌋ t + (|Dlν | − 1)|D| e d (λ(ν)q + 1)q + (λ(ν) + 1) m′ m d∈D
s ⌊ ν2 ⌋ t + Dl⌊ ν+1 ⌋ + (λ(ν) + 1) e d(λ(ν)q + 1)q 2 m′ m d∈D
ν−1
+
j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
ν
k=j+1
k=⌊
ν ν+1 2
1l D (lk ) ⌋+1
ν+1 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−1−⌊ 2 ⌋
s ⌊ ν2 ⌋ t × e d(λ(ν)q + 1)q + (λ(ν) + 1) m′ m d∈D
+1 + χD (lν−⌊ ν−1 ⌋ , l⌊ ν−1 ⌋ ) 2
2
ν
1l D (lk )
k=⌊ ν+1 ⌋ 2
+
⌋ ⌊ ν−3 2
j=0
ν
k=ν−j
1l D (lk ) 1l PD∗ (lν−j−1 q ν−2j−2 + · · · + lj+1 )χD (lν−j , lj ) Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
452 44
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
1 = mm′
(t,s)∈U
⌋ ⌊ ν−1 2
(|D| − 1)
k=1
|D|k−1
s t k × cos 2π (dq − a) ′ + (d − r) m m d∈D ta ν sr + (|D|⌊ 2 ⌋ − 1) cos 2π + m′ m s ν t + + d(λ(ν) + 1) − r cos 2π d(λ(ν)q + 1)q ⌊ 2 ⌋ − a m′ m d∈D ν−1 ν ν+1 ν × (|Dlν | − 1)|D|⌊ 2 ⌋−1 + 1l D (lk ) |Dlj ||D|j−1−⌊ 2 ⌋ + O(ν).
j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
k=j+1
Ensuite, on cherche `a estimer la somme A3 . Il est `a signaler que si V = ∅ alors |PD (N, a, m′ , r, m)| se r´eduit `a A1 ou A1 + A2 (suivant que U est vide ou non) et n’importe quel nombre r´eel ω < 1 permet d’atteindre la conclusion souhait´ee. Dans le cas contraire, on se donne (t, s) ∈ V, donc il existe d0 et d′0 ∈ D tels que [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ](d0 − d′0 ) �≡ 0 mod mm′ pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 . Il s’en suit que pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 : k s k s j t j t < e d (q + 1)q ′ + e d (q + 1)q m′ + m = |D|. m m d∈D
d∈D
Posons η et ρ d´efinis respectivement dans (6.6) et (6.7), puis discutons suivant deux cas : • Si [(q k + 1)q j tm + sm′ ](d0 − d′0 ) �≡ 0 mod mm′ pour tous couples (j, k) ∈ N2 . Alors ⌊ ν−1 ⌋ 2
|σ1 | ≤ (|D| − 1)|D| + (|D| − 1)|D| ⌊ν⌋
|σ2 | ≤ (|D| − 1)
2
k=1
ν
ρk−1 ≪q ρ⌊ 2 ⌋ ,
|σ4 | ≤ Dl⌊ ν+1 ⌋ |D| + |D| 2
Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
k=1
ρk−1 ≪q ρ⌊
ν−1 2
⌋
,
ν
ν
|σ3 | ≤ (|Dlν | − 1)|D|ρ⌊ 2 ⌋−1 ≪q ρ⌊ 2 ⌋−1 , ν−1
j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
|Dlj |ρj−1−⌊
ν+1 2
⌋
ν
≪q ρ⌊ 2 ⌋−1 .
453 45
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
et σ5 = Oq (ν). Ainsi, le choix de ω =
ln ρ ln |D|
prouve que
1
A3 ≪q,m,m′ N 2 ω
(6.14)
ln |D| ln q
.
• Si [(q k + 1)q j tm + 2sm′ ](d0 − d′0 ) ≡ 0 mod mm′ pour une infinit´e de couples (j, k) ∈ N2 , on pose ω la constante d´efinie dans (6.9) et on applique la Proposition 4.9 `a chacune des expressions σ1 , σ2 , σ3 , σ4 et σ5 en tenant compte de l’identit´e (6.10) ⌋ ⌊ ν−1 2
|σ1 | ≤ |D|(|D| − 1) + |D|(|D| − 1) ν
|σ2 | ≤ (|D| − 1)
⌊2⌋ k=1
k=1
|D|(k−1)ω ≪q |D|ω⌊
ν−1 2
⌋
,
ν
|D|(k−1)ω ≪q |D|ω⌊ 2 ⌋ , ν
ν
|σ3 | ≤ (|Dlν | − 1)|D||D|(⌊ 2 ⌋−1)ω ≪q |D|ω(⌊ 2 ⌋−1) , |σ4 | ≤ Dl⌊ ν+1 ⌋ |D| + |D| 2
ν−1
j=⌊ ν+1 ⌋+1 2
|Dlj ||D|ω(j−1−⌊
ν+1 2
⌋)
ν
≪q |D|ω(⌊ 2 ⌋−1)
et σ5 ≪ ν, impliquant (6.15)
1
A3 ≪q,m,m′ N 2 ω
ln |D| ln q
.
En conclusion, les relations (6.11), (6.12), (6.13), (6.14) et (6.15) permettent d’´etablir la formule cherch´ee. Preuve du Corollaire 2.3. La Proposition 4.3 de [2] permet de r´eduire l’ensemble T `a {(0, 0)} et la Proposition 4.6 implique ∅ si m est impair, U = m 0, 2 sinon, que l’on injecte dans le Corollaire 2.2 pour achever la d´emonstration. 7. Applications ` a l’´ equir´ epartition modulo 1 Le crit`ere de Weyl (voir [21] ou [27]) permet de ramener l’´etude de l’´equir´epartition modulo 1 `a l’estimation de sommes d’exponentielles. Les formules pr´e sent´ees au paragraphe 3 permettent d’´etudier les sommes d’exponentielles n∈PD∗ (N ) e(S(n)α) et n∈PD (N ) e(S(n)α) et donc de d´emontrer Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
454 46
K. K. ALOUI, ALOUI, CH. CH. MAUDUIT MAUDUIT et et M. M. MKAOUAR MKAOUAR
l’´equir´epartition modulo 1 des suites (S(n)α)n∈PD∗ et (S(n)α)n∈PD de mani`ere parfaitement analogue `a celle du Corollaire 9.1 de [2]. Proposition 7.1. Les suites (S(n)α)n∈PD∗ et (S(n)α)n∈PD sont ´equir´eparties modulo 1 si et seulement si α ∈ R \ Q. De la mˆeme mani`ere, on peut d´emontrer la proposition suivante
Proposition 7.2. Soit m ≥ 2 et r ∈ Z. Les suites (nα)n∈PD∗ ,S(n)≡r mod m et (nα)n∈PD ,S(n)≡r mod m sont ´equir´eparties modulo 1 si et seulement si α ∈ R \ Q. References [1] J.-P. Allouche et J. Shallit, Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalization, Cambridge University Press (2003). [2] K. Aloui, Sur les nombres ellips´ephiques : somme des chiffres et r´epartition dans les classes de congruence, Period. Math. Hungar., 70 (2015), 171–208. [3] W. D. Banks, D. N. Hart et M. Sakata, Almost all palindromes are composite, Math. Res. Lett., 11 (2004), 853–868. [4] W. D. Banks et I. E. Shparlinski, Arithmetic properties of numbers with restricted digits, Acta Arith., 112 (2004), 313–332. [5] A. B´erczes et V. Ziegler, On simultaneous palidromes, t´el´echargeable depuis, http://arxiv.org/pdf/1403.0787.pdf. [6] J. Cilleruelo, F. Luca et I. E. Shparlinski, Power values of palindromes, J. Comb. Number Theory, 1 (2009), 101–107. [7] J. Cilleruelo, F. Luca et R. Tesoro, Palindromes in linear recurrence sequences, Monatsh. Math., 171 (2013), 433–442. [8] S. Col, Diviseurs des nombres ellips´ephiques, Period. Math. Hungar., 58 (2009), 1–23. [9] S. Col, Palindromes dans les progressions arithm´etiques, Acta Arith., 137 (2009), 1–41. [10] J. Coquet, On the uniform distribution modulo one of subsequences of polynomial sequences, J. Number Theory, 10 (1978), 291–296. [11] J. Coquet, On the uniform distribution modulo one of subsequences of polynomial sequences. II, J. Number Theory, 12 (1980), 244–250. [12] J. Coquet, Graphes connexes, repr´esentation des entiers et ´equir´epartition, J. Number Theory, 16 (1983), 363–375. [13] C. Dartyge et C. Mauduit, Nombres presque premiers dont l’´ecriture en base r ne comporte pas certains chiffres, J. Number Theory, 81 (2000), 270–291. [14] C. Dartyge et C. Mauduit, Ensembles de densit´e nulle contenant des entiers poss´edant au plus deux facteurs premiers, J. Number Theory, 91 (2001), 230–255. [15] P. Erd˝ os, C. Mauduit et A. S` ark¨ ozy, On arithmetic properties of integers with missing digits I: Distribution in residue classes, J. Number Theory, 70 (1998), 99–120. [16] P. Erd˝ os, C. Mauduit et A. S` ark¨ ozy, On arithmetic properties of integers with missing digits II: Prime factors, Discrete Math., 200 (1999), 149–164. [17] M. Filaseta et S. Konyagin, Squarefree values of polynomials all of whose coefficients are 0 and 1, Acta Arith., 74 (1996), 191–205. [18] A. O. Gelfond, Sur les nombres qui ont des propri´et´es additives et multiplicatives donn´ees, Acta Arith., 13 (1968), 259–265. [19] S. Konyagin, Arithmetic properties of integers with missing digits: distribution in residue classes, Period. Math. Hungar., 42 (2001), 145–162. Acta Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica Mathematica Hungarica
´ CLASSES DE CONGRUENCE CONGRUENCE POUR POUR LES LES PALINDROMES PALINDROMES ELLIPS ELLIPSÉPHIQUES CLASSES DE EPHIQUES
455 47
[20] S. Konyagin, C. Mauduit et A. S` ark¨ ozy, On the number of prime factors of integers characterized by digit properties, Period. Math. Hungar., 40 (2000), 37–52. [21] L. Kuipers et H. Niederreiter, Uniform Distribution of Sequences, Dover Publications (New York, 2006). [22] F. Luca, Palindromes in Lucas sequences, Monatsh. Math., 138 (2003), 209–223. [23] C. Mauduit, Multiplicative properties of the Thue-Morse sequence, Period. Math. Hungar., 43 (2001), 137–153. [24] C. Mauduit et A. S` ark¨ ozy, On the arithmetic structure of sets characterized by sum of digits properties, J. Number Theory, 61 (1996), 25–38. [25] C. Mauduit et A. S` ark¨ ozy, On the arithmetic structure of the integers whose sum of digits is fixed, Acta Arith., 81 (1997), 145–173. [26] P. Pollack, Palindromic sums of proper divisors, t´el´echargeable depuis, http://alpha.math.uga.edu/ pollack/palindrome-final.pdf. [27] G. Rauzy, Propri´et´es statistiques des suites arithm´etiques, Presses Universitaires de France (Paris, 1976); Le Math´ematicien, no. 15, Collection SUP.
Acta Mathematica Hungarica Hungarica 151, 2017 Acta Mathematica
