Annals of Global Analysis and Geometry 16: 543–571, 1998. © 1998 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
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Stabilité de la Cohomologie LP au Voisinage de 2 pour les Espaces Localement Symétriques NOËL LOHOUE Département de Mathématiques, Université de Paris Sud, Bâtiment 425, 91405 Orsay Cedex, France Abstract. We give a sufficient condition for stability around 2 of Lp cohomology of a system over locally symmetric space. Résumé. On donne une condition suffisante pour que le cohomologie Lp des espaces localement symétriques soit stable au voisinage de 2. On en déduit une réponse à une conjecture de Zucker. Mathematics Subject Classification (1991): 35Q05, 43A85, 58G15 Key words: heat equation on forms, Lp cohomology Mots clés: cohomologie Lp , équation de la chaleur sur les formes
1. Notations et Définitions (A) Soit G un groupe de Lie semi-simple de centre fini, connexe, non compact. Soit K un sous-groupe compact maximal de G. On note K resp. G l’algèbre de Lie de K, resp. l’algèbre de Lie de G. Soit G = K ⊕ p la décomposition de Carton de G où p est l’orthogonal de K pour la forme Killing. On considère une représentation ρ de G de dimension finie ρ : G → GL(F ) sur un espace vectoriel réel ou complexe muni d’un produit scalaire h iF admissible: (i) si X ∈ K, U, V ∈ F , hρ(X), U, V iF = −hU, ρ(X)V i, (ii) si X ∈ p, (U, V ) ∈ F hρ(X)U, V iF = hU, ρ(X)V i, où ρ(X), pour X ∈ G est le prolongement naturel de ρ à G. On note M˜ = G/K l’espace symétrique associé et l’on considère un sousgroupe discret de G, sans torsion; on note M = 0\G/K. La relation d’équivalence (x, u) ∼ (x 0 , u0 ) si (x 0 , u0 ) = (γ x, ρ(γ )u) définit un fibré vectoriel E(ρ) au-dessus de M de fibré Ez , en chaque point z de la base isomorphe à F . On note (A∞ [E(ρ)], d) le complexe des formes différentielles C ∞ à support compact sur M à valeurs dans E(ρ).
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N. LOHOUE
Pour tout 0 ≤ k ≤ dim M, on note Ak∞ [E(ρ)] l’espace des formes de degré k. C ∞ à support compact; si 1 ≤ p < ∞, ω ∈ Ak∞ [E(ρ)]. On pose: Z p kωkp = kωz kp . dσ (z) M p
où dσ (z) désigne l’élément de volume riemannien et l’on note Lk [E(ρ)] le complété de Ak∞ [E(ρ)] pour la norme k kp ; si p = +∞ on adopte la définition usuelle. On note d l’opérateur de différentiation extérieure sur les formes de classe C 1 et δ son adjoint formel au sens L2k (E(ρ)). Soit α une forme différentielle à valeurs dans E(ρ) on dit que dα = η (pour une η de degré k + 1, si α est de degré k) au sens faible, si pour toute ϕ ∈ Ak+1 ∞ [E(ρ)] hϕ, ηi = hδϕ, αi. p
p
On note Wpk [E(ρ)] l’espace des formes ω ∈ Lk [E(ρ)] telles que dω ∈ Lk+1 [E(ρ)] muni de la norme |||ω|||p = kωkp + kdωkp . On obtient alors un complexe: dk
→ Wpk [E(ρ)] → Wpk+1 [E(ρ)] → 0 et les espaces de cohomologie associés: Hpk [E(ρ)] = Ker dk /Im dk−1 , H¯ pk [E(ρ)] = Ker dk /Im dk+1 . Dans [12] Zucker pose la question suivante: soit M = G | K un espace symétrique avec rang G = rang K. Soient M un quotient arithmétique de M et M˜ s sa com˜ Alors pactification de Satake; on note ρ une représentation de 0 où M = 0\M. H¯ 2+ε (E(ρ)) = H¯ 2 (E(ρ)) = I Hm (Ms , E(ρ)), où I Hm¯ désigne l’invariant de Goresky et MacPherson de l’espace stratifié Ms , pour la définition précise de I Hm , voir [13]. On veut essentiellement prouver le théorème suivant: THÉORÈME. Supposons que les dimensions de H2k [E(ρ)] et de H2k+1 [E(ρ)] soient finies. Il existe ε > 0 tel que pour tout (2 + ε)/(1 + ε) < p < 2 + ε alors Hpk [E(ρ)] = H¯ pk [E(ρ)] = H¯ 2k [E(ρ)] = H2k [E(ρ)]. COROLLAIRE. Si le rang de G est égal au rang K et si 0 est un réseau arithmétique. Hpk [E(ρ)] = H¯ pk [E(ρ)] = H¯ 2k [E(ρ)] = H2k [E(ρ)].
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
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Si 2+ε < p < 2 + ε. 1+ε Ce corollaire montre que la conjecture de Zucker [12] est vraie pour les espaces hermitiens localement symétriques de volume fini de groupe fondamental arithmétique. En effet d’après [3] H2k [E(ρ)] est de dimension finie quel que soit k. Rappels. Dans ce paragraphe on rassemble plusieurs faits connus dont on aura besoin par la suite. Soit B la forme de Killing de G; soient X1 , . . . , XN une base orthonormée de p par rapport à B et XN+1 , . . . , Xn une base de K orthonormée par rapport à B où n = dim G: on pourra consulter [6] pour les résultats que l’on va énoncer. On note ω1 , . . . , ωn la base duale de X1 , . . . , Xn : ωλ (Xµ ) = δλ,µ .ωλ peut-être considérée comme une 1 forme sur G invariante à gauche et ainsi elle donne lieu à une forme ω˜ λ sur 0\G. Toute k forme ω sur M à valeurs dans E(ρ) s’identifie à une forme ω˜ sur 0\G N 1 X ωλ ,...,λ ω˜ λ1 , . . . , ω˜ λk ω˜ = k! λ ,...,λ =1 1 k 1
k
à valeurs dans F telle que: (i)
ωλ1 ,...,λk = 0 si un des λµ > N,
(ii)
Xh ωλ1 ,...,λk = ρ(Xk )ωλ1 ,...,λk −
k X n X
Chi uj ωj i1 , . . . , ıˆu , . . . , ik
u=1 j =1
pour k > N, où Chi uj sont des constantes, ρ(Xh ) est la différentielle de ρ en Xh voir [6, p. 410]. De plus f i1 ,...,ik+1 = (1 ) (dω) ◦
k+1 X (−1)u−1 [Xiu + ρ(Xiu )]ωi1 ,...,ˆıu ,...,ik+1 i=1
hη, θi =
Z N 1 X hηi1 ,...,ik , θi1 ,...,ik iF dσ (x) k! i ,...,i =1 1
k
0\G
pour toutes formes C ∞ à support compact η, θ. Alors: (δ)n)i1 ,...,ik−1 = −
N X [Xh − ρ(Xh )]ηh i1 , . . . ih−1 . h=1
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N. LOHOUE
Voir [6, p. 382]. (2◦ ) (1k η)i1 ,...,ik = −Cηi1 ,...,ik + ρ(C)ηi1 ,...,ik . Pour les preuves ultérieures il est souhaitable de considérer une forme sur M à valeurs dans E(ρ) comme une fonction sur 0\G. Pour toute forme ω comme précédemment, on associera la fonction fω définie sur 0\G à valeurs dans 3k p ∗ ⊗ F : fω (g)(Zλ1 , . . . , Zλk ) = ωλ1 ,...,λk (g);
Zλi ∈ p.
Soit πk la représentation naturelle de K sur 3k p ∗ , alors la fonction fω est πk ⊗ ρ, K équivariante: fω (gu) = πk (u−1 ⊗ ρ(u−1 )f (g). Et réciproquement toute fonction f sur 0\G à valeurs dans 3k p ∗ ⊗ F , πk ⊗ ρ, K équivariante provient d’une forme différentielle sur M à valeurs dans E(ρ). Comme f λ1 ,...,λk . fdω (g)(Zλ1 , . . . , Zλk ) = (dω) Si f =
N X
fλ1 ,...,λk ωλ1 ∧; . . . , ωλk ,
λ1 ,...,λk =1
(df )i1 ,...,ik+1 =
k X (−1)u−1 [Xiu + ρ(Xiu )]ωi1 ,...,ˆıu ,...,ik u=1
et 1k f = −Cf + ρ(C)f. de l’équation de la chaleur associée à l’opérateur Soit pt la solution fondamentale Pn P n 2 2 X sur G et = k h=1 h h=N+1 Xh . On pose: Z Z t [2(πk ⊗ρ)(K )−ρ(C)] du1 pt (u1 gu2 )(πk ⊗ ρ)(u−1 (πk ⊗ ρ)(u2 ) du2 , ht (g) = 1 )e K K
pkt (g, g 0 , t) =
X
ht (g −1 γ g 0 ).
γ ∈0
Alors d’après [7, pp. 17, 18] et [2] pkt est la solution fondamentale de l’équation de la chaleur pour 1k : pkt (g, g 0 ) = e−t 1k (g, g 0 ).
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
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On a le lemme suivant: LEMME 1. (1◦ ) Il existe une constante γ telle que kpkt (g, g 0 )k ≤ eγ t p0t (x, y) où x = π(g), y = π(g 0 ) : π : G → 0\G/K. (2◦ ) Pour toute fonction équivariante f , C ∞ à support compact d(pkt f ) = pk+1 (df ); t
δ(pkt f ) = pk−1 (δf ). t
Preuve du lemme. (1◦ ) (πk ⊗ ρ)(K ) et ρ(C) sont des applications linéaires bornées sur 3k p ∗ ⊗ F ; par conséquent:
t [2(π ⊗ρ)( )−ρ(C)] k K
≤ eγ t où γ est une constante.
e Alors:
Z Z
kht (g)k ≤ e
γt
pt (u1 gu2 ) du1 du2 K K
= eγ t p0t (g)
(∗)
où p0t désigne la solution fondamentale de l’équation de la chaleur sur M˜ pour les fonctions. En effet soit φλ une fonction sphérique sur G. Si la mesure de Haar sur K est normalisée: Z Z Z Z pt (u1 gu2 ) du1 du2 ϕλ (g) dg = pt (g)ϕλ (g) dg, G K K
∂ ∂t
G
Z
Z pt (g)ϕλ (g) dg =
G
G
n X
Xi2 pt (g)ϕλ (g) dg
i=1
Z =
!
pt (g)
n X
X12 ϕλ (g) dg
i=1
G
Z
= −(λ + ρ ) 2
2
pt (g)ϕλ (g) dg G
Z Z Z
= −(λ2 + ρ 2 )
pt (u1 gu2 ) du1 du2 ϕλ (g) dg. G K K
Par conséquent (ρ étant la demi-somme des racines positive associées à une chambre de Weyl): Z Z Z 2 2 pt (u1 gu2 ) du1 du2 ϕλ (g) dg = ce−(λ +ρ )t , G K K
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N. LOHOUE
où C est une constante qui vaut 1 si l’on évalue les 2 membres en t = 0. Alors Z Z Z pt (u1 gu2 ) du1 du2 G K K
est une fonction sur G/K, bi-invariante dont la transformée de Fourier sphérique est celle de la solution fondamentale de l’équation de la chaleur sur M˜ pour les fonctions. L’assertion (*) en découle. X kht (g −1 γ g 0 )k kpkt (g, g 0 , t)k ≤ γ ∈0
≤ eγ t
X
pt0 (g −1 γ g 0 ).
γ ∈0
Montrons par exemple que: d(pkt ϕ) = pk+1 (dϕ). t Soient ωt1 et ωt2 deux fonctions sur R + telles que pour chaque t, ωt0 soit une fonction sur 0\G à valeurs dans 3k p ∗ ⊗F , πk ⊗ρ équivariante; supposons que pour chaque t, ωt0 ∈ Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F ) et satisfait ∂ωti = −1k ωti ; ∂t
ω0i = ω0 .
Alors ωt1 = ωt2 . Considérons la fonction α(t) = kωt1 − ωt2 k22 dα(t) = −21k (ωt1 − ωt2 ), dt
(wt1 − ω22 ) ≤ 0,
α est décroissante, α(0) = 0, par conséquent α(t) = 0, ∀t, d’où le résultat: ∂ (d pkt ϕ) = −d(1k pkt ϕ) ∂t = −1k+1 d(pkt ϕ) car d pkt ϕ|t =0 = dϕ. De même ∂ k+1 dϕ (p dϕ) = −(1k+1 )pk+1 t ∂t t
pk+1 dϕ|t =0 = dϕ. t
d 2 = δ 2 = 0,
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
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La remarque précédente permet de conclure que d pkt ϕ = pk+1 dϕ. t REMARQUES. On considère Ak ∞[E(ρ)] comme domaine de l’opérateur non p borné d de Lk [E(ρ)] alors Wpk [E(ρ)] est le domaine de la fermeture de d p dans Lk [E(ρ)]. On va directement raisonner sur les fonctions correspondantes: 3k∞ [E(ρ)] correspond à l’espace [Cc∞ (0\G, 3k p ∗ ⊗F )]K des fonctions sur 0\G à p valeurs dans 3k p ∗ ⊗F , πk ⊗ρ, K équivariantes, C ∞ , à support compact; Lk [E(ρ)] p k ∗ K à l’espace [L (0\G, 3 p ⊗ F )] l’espace des fonctions sur 0\G à valeurs dans 3k p ∗ ⊗ F , πk ⊗ ρ, K équivariantes telles que Z kf (g)kp dσ (g) = kf kpp < ∞. 0\G/K
Enfin Wpk [E(ρ)] correspond à celles pour lesquelles: |||f |||p = kf kp + kdf kp < ∞; on le note [Wpk (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K . La différentielle faible de f est définie par: hdf, ϕi = hf, δϕi pour toute distribution f sur 0\G à valeurs dans 3k p ∗ ⊗F . Ceci étant, si f est dans le domaine de la fermeture de d il est clair que f est dans [Wpk (0\G, 3k p ∗ ⊗F )]K . Soit f dans l’espace (Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F ))K telle que pour η ∈ p (L [0\G, 3k p ∗ ⊗ F ])K .hδϕ, f i = hφ, ηi on considère une suite ϕj de fonctions sur M, C ∞ à support compact telles que: lim ϕj = 1;
j →∞
lim Xh ϕj = 0,
j →∞
|Xh ϕj | ≤ 1,
1 ≤ h ≤ N.
Une telle suite existe car M est complète; voir [1]. On veut prouver qu’il existe une suite fi telle que fi ∈ Cc∞ lim1→∞ kfi − f kp + kdfi − df kp = 0. Soit t` une suite de nombres réels qui tend vers 0, on considère la suite double ϕj pkt` f ; comme f est dans [Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K , ϕj pkt` f est C ∞ à support compact. lim ϕj pkt` f = f
dans
j →∞ t` →∞
En effet ˙ kϕj pkt` f k(g)
Lp .
Z ≤e
p0t (g, ˙ z)kf k(z) dσ (z);
γ t`
soit ε > 0,
(*)
M
f = fε(1) + fε(2)
avec
fε(2) ∈ [Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )];
kfε(2) kp ≤ ε/2,
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N. LOHOUE
fε(1) ∈ [Cc∞ (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K ;
kfε1 kp ≤ 2kf kp ,
kpkt` f − f kp = kpkt` fε(1) − fε(1) + pkt` fε(2) − tε(2) kp , kpkt` f − f k ≤ kpkt` fε1 − fε1 kp + kpkt` fε(2) kp + ε/2. Mais d’après (*) kpkt` fε(2) kp ≤ Ckfε(2)k ≤ cε/2. Si 1 ≤ p ≤ 2: kpkt` fε(1) − fε(1) kp ≤ Ckpkt` fε1 − fε1 kθ2 × kpkt − fε1 k1−θ p1 , lim kpkt` fε(1) − fε1 kp ≤ lim kpkt` fε1 − fε1 k2 = 0.
`→∞
`→∞
Si 2 ≤ p ≤ ∞ et 1/p = ((1 − θ)/2) + (θ/∞): 1 1−θ lim kpkτ` (fε1 ) − fε1 kp ≤ lim kpkt (fε1 ) − fε1 k1−θ 2 kfε k∞ ,
`→∞
d(ϕj pkt` f )i1 ,...,ik+1
`→∞
k+1 X = (−1)u−1 [Xiu + ρ(Xiu )][ϕj pkt` (f )]i1 ,...,ˆıu ,...,ik+1 u=1
=
k+1 X (−1)u−1 Xiu ϕj [pkt` (f )]i1 ,...,ˆıu ,...,ik+1 u=1 k+1 X + ϕj (−1)u−1 Xiu [pkt` (f )]i1 ,...,ˆıu ,...,ik+1 u=1 k+1 X + ϕj (−1)u−1 ρ(Xiu )pkt` (f )u1 ,...,ˆıu ,...,ik+1 u=1
= ϕj [d(pkt` (f )]i1 ,...,ik+1 k+1 X + (−1)u−1 Xiu ϕj pkt` (f )i1 ,...,ˆıu ,...,ik+1 . u=1
pkt` f est C ∞ et la norme Lp de d pkt` f est bornée par une constante qui dépend de t` fois le norme de f dans Lp .
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
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En effet, soit ε < t` , pkt` (f ) = pkt` [pkt` −ε (f )] d[pkt` (f )]i1 ,...,ik+1
k+1 X = (−1)u−1 Xiu pkt`−ε (f )] i
1 ,...,ˆıu ,...,ik+1
u=1
+
k+1 X (−1)u−1 ρ(Xiu )pkt` (f )i1 ,...,ˆıu ,...,ik+1 . u=1
On pose pour simplifier ω = pkt` −ε (f ) et l’on s’intéresse à Xiu [pkε (ω)]i1 ,...,ˆıu ,...,ik+1 XZ k pε (ω) = hε (g −1 γ ge)ω(g 0 ) dg 0 . γ ∈00\G
Si eI est une base orthonormée de 3k p ∗ ⊗ F : X ωI eI ; hε (g −1 γ g 0 )ω(g 0 ) ω = I
=
X
ωI hε (g −1 γ g 0 )eI
I
=
X
−1 0 J ωI hI,J ε (g γ g )e .
I,J
Si (i1 , . . . , ıˆu , . . . , ik+1 ) = J XZ X k −1 0 0 ωI (g 0 )hI,J [pε (ω)]J = ε (g γ g ) dg , γ ∈00\G
Xiu [pkε (ω)]J
=
I
XZ X γ ∈00\G
Alors
−1 0 ωI (g 0 )Xi hI,J ε (g γ g ) dg.
I
Z
kω(g 0 )k
kXiu pkε (ω)J k ≤ eγ ε 0\G
X γ ∈0
Z
≤ C e
0
kω(g )k
1 γε 0\G
dg 0
Z
|Xi pε (u1 g −1 γ g 0 u2 )| du1 du2
K×K
X Z
e−(δ
2 (gu ,γ g 0 u ))/4ε 1 2
du1 du2 dg 0
γ ∈0K×K
d’après [8, p. 433]. Z Z X 2 0 (a) e−(δ (gu1 ,γ g u2 ))/4ε du1 du2 dg 0 d’après la formule de Weil M K×K γ ∈0
552
N. LOHOUE
Z Z =
0 u ))4ε 2
e−(δ
2 (gu
e−(δ
2 (0,g 0 u ,u−1 g −1 ))/4ε 2 1
1 ,g
dg 0
M˜ K×K
Z Z
=
dg 0 = C.
M˜ K×K
De même: (b)
Z Z X
e−(δ
2 (gu
1 ,γ g
0 u ))/4ε 2
du1 du2 d g˙
M K×K γ ∈I
=
Z Z X
e−(δ
2 (γ gu ,g 0 u ))/4ε 1 2
du1 du2 d g˙
M K×K γ ∈0
Z Z
=
e−(δ
2 (gu
1 ,g
0 u ))/4ε 2
du1 du2 d g˙ = cste.
M˜ K×K
Par conséquent le lemme bien connu montre que avec (a) et (b) que: kXiu (pkε ω)J kp ≤ Ckωkp . Il s’en suit que: kd[pkt` (f )]J kp ≤ C kpkt` −ε (f )kp + kpkt` (f )kp ≤ Ckf kp d’après la partie 1 du lemme et l’on voit que: kd pkt` (f )kp ≤ Ckf kp on montrerait de même que pkt f et d pkt` sont C ∞ avec le lemme de Sobolev. Soit ψ une fonction Cc∞ . Alors: hd[pkt` (f )], ψi = hpkt` (f ), δψi = hf, pkt` (δψ)i = hf, δ[pk+1 t` (ψ)]i. Mais: k+1 hf, δ(ϕj pk+1 t` ψ)i = hdf, ϕj pt` (ψ)i.
Si l’on prouve que: k+1 lim kδ[ϕj pk+1 t` (ψ)] − δ[pt` (ψ)]kp = 0.
j →∞
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
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Alors k+1 lim hf, δ[ϕj , pk+1 t` (ψ)]i = hf, δ[pt` (ψ)]i
j →∞
k+1 = lim hdf, ϕj pk+1 t` (ψ)i = hdf, pt` (ψ)i j →∞
et hd[pkt` (f )], ψi = hpk+1 t` (df ), ψi (*) donc d pkt` (f ) = pk+1 t` (df ). Mais δ ϕj [pk+1 t` (ψ)] i
1 ,...,ik
=
ϕj δ(pk+1 t` (ψ))i1 ,...,ik
−
N X
Xh ϕj pk+1 t` (ψ)h i1 , . . . , ik ,
h=1
la même preuve que précédemment montre que kδ[pk+1 t` (ψ)]kp ≤ Ckψkp . P Comme limj →∞ N h=1 |Xh ϕj | = 0. Le théorème de convergence dominée de Lebesgue montre que
k+1 lim δ{ϕ; [pk+1 t` (ψ)]} − δ[pt` (ψ)] p = 0 j →∞
d’où le résultat souhaité. Alors il existe une suite fh ∈ Cc∞ telle que lim kfh − f kp + kd(fh ) − d(f )kp = 0.
h→∞
D’après la seconde partie pour tout ε > 0 il existe t (ε) telle que pour tout 0 < t < t (ε) kpk+1 (df ) − d(f )k ≤ ε/2. t De même kpkt (f ) − f k ≤ ε/2 et kd{pkt (f )} − df kp + kpkt (f ) − f kp ≤ ε. On choisit t (ε) et l’on sait par ailleurs qu’il existe j (ε) tel que ∀j > j0 (ε) kd[ϕj pkt(ε)(f )] − d(pkt(ε)(f )kp ≤ ε/2 et kϕj pkt(ε)(f ) − pkt(ε)(f )kp ≤ ε/2.
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N. LOHOUE
Il s’en suit que si j (ε) > j0 (ε) kd[ϕj (ε) pkt(ε)(f ) − df kp + kϕj (ε) pkt(ε)(f ) − f kp ≤ kd(ϕj pkt(ε) (f ) − d pkt(ε)(f )kp + kd(pkt(ε) (f ) − d(f )kp + kϕj (ε)pkt(ε) (f ) − pkj (ε)(f )kp + kpkt(ε) (f ) − f kp ≤ 2ε. (**) Si l’on pose ε = 1/2h, h ∈ N + on trouve une suite ϕj (h) pkt(h) (f ) = fh telle que limh→∞ kdfh − df kp + kfh − f kp = 0 on aura besoin du lemme suivant: LEMME 2. Il existe une constante ε > 0 telle que toute fonction f , πk ⊗ ρ. K équivariante harmonique: 1k f = 0, de carré sommable soit dans (Lp [0\G, 3k p ∗ ⊗ F ])K , pour tout p tel que 2+ε < p < 2 + ε. 1+ε Preuve du lemme. Sous les hypothèses du théorème, d’après [3] pour tout k l’espace des fonctions harmoniques dans [L2 (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K et de (L2 (0\G, 3k+1 p ∗ ⊗ F ))K est de dimension finie; il s’en suit que l’image de dk−1 est fermée, voir [3]. Il existe alors une application linéaire bornée Tk de [L2 [0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K dans [L2 (0\G, 3k−1 p ∗ ⊗ F )]K et Tk+1 , voir [9, p. 210], telle que: dk−1 Tk ϕ + Tk+1 dk ϕ = (1 − Pk )ϕ), où Pk est la projection orthogonale sur l’espace des formes harmoniques de degré k, pour toute ϕ de classe Cc∞ . k(1 − Pk )(ϕ)k2 = h(1 − Pk )ϕ, (1 − Pk )2 ϕi = h(1 − Pk )ϕ, (dk−1 Tk + Tk+1 dk )(1 − Pk )ϕ = hδk−1 (1 − Pk )ϕ, Tk (1 − Pk )ϕi + h(1 − Pk )ϕ, Tk+1 , dk (1 − Pk )ϕi = h(1 − Pk−1 )δk−1 ϕ, Tk (1 − Pk )ϕi + h(1 − Pk )ϕ, Tk+1 (1 − Pk+1 )dk ϕi. Par conséquent: k(1 − Pk )(ϕ)k22 ≤ Ck(1 − Pk−1 )δk−1 ϕk2 k(1 − Pk )ϕk2 + Ck(1 − Pk )ϕk2 k(1 − Pk+1 )dk ϕk2 ≤ Ck(1 − Pk )ϕk2 (kdk ϕk22 + kδk−1 (ϕ)k2 )1/2
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
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et k(1 − Pk )(ϕ)k22 ≤ Chdk−1 δk−1 ϕ + δk dk ϕ, ϕi = Ch1k ϕ, ϕi.
(*)
Alors il existe une boule Br de centre 0 et de rayon r telle que pour toute f ∈ Cc∞ , πk ⊗ ρ, K équivariante à support disjoint de Br . kf k22 ≤ Ch1f, f i. ∞ Sinon il existe une suite de fonctions C∞ ; fn , à support disjoints, πk ⊗ ρ, K équivariante telles que
h1k (fn ), fn ihCkfn k22 . Cette suite engendre un sous-espace fermé de dimension infinie H0 dans (L2 (0\G, 3k p ∗ ⊗ F ))K ; commes les supports des fn sont deux à deux disjoints, pour toute f ∈ H0 , h1k (f ), f ihCkf k22 . Alors la prection P (H0 ) sur l’espace Hk des fonctions harmoniques de [L2 (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K est injective; autrement il existe f ∈ H0 telle que P (f ) = 0 auquel cas k(1 − P )f k22 = kf k22 ≤ Ch1k (f ), f i ce qui est une contradiction. Comme H0 est de dimension infinie et que Hk est de dimension finie, il y a une contradiction. Soit ψ une fonction réelle, C ∞ , à support compact contenue dans 0\G\Br , K invariante. Soit f ∈ [L2 (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K , harmonique. On remarque qu’à cause de l’égalité [2, p. 3] pour toute ϕ raisonnable, P d’abord 2 X ϕ + R.ϕ où R est une application linéaire à coefficients 1k ϕ = − N i=1 i constants. Par suite ! Z X N kXi ϕ|2 + hRϕ, ϕi (g)d ˙ g, ˙ h1k ϕ, ϕi = 0\G
i=1
0 = h1k (f ), ψ 2 f i =
Z X N hXi f, ψ 2 Xi f i + 2Xi ψψhXi f, f i dσ 0\G i=1
Z
ψ 2 hR(f ), f i
+ 0\G
=
Z X N
ψ 2 kXi f k2 + hR(f ), f i dσ (g) ˙
0\G i=1
Z
+ 0\G
2Xi ψψhXi f, f i dσ (g). ˙
556
N. LOHOUE
Par ailleurs Z h1k (ψf ), (ψf )i =
|ψ|2
kXi f k2 + 2ψXi ψhXi f, f i dσ (g) ˙
i=1
0\G
+
N X
Z X N
|f |2 |Xi ψ|2 + ψ 2 hR(f ), f id g˙ ≥ Ckψf k22
0\G i=1
et Z Cψ 2 −
N X
! |Xi ψ|2 |f |2 (g)d ˙ g˙ ≥ 0
i=1
0\G
on en déduit que si ϕ2 et ϕ1 sont comme précédemment en posant ψ = ϕ1 eϕ2 " # Z N X ϕ12 eϕ2 C − |Xi ϕ1 |2 |f |2 (x)dδ( ˙ x) ˙ i=1
0\G
Z ≤
e2ϕ2
" N X
|Xi ϕ2 |2 + 2ϕ2
i=1
0\G
N X
# Xi ϕ1 X1 ϕ2 |f |2 (g) ˙ dσ
i=1
un argument analogue à celui de [5] montre que: Z ˙ |f (g)| ˙ 2 e2Cδ(0,g) dσ (g) < ∞. M
De même kf (x)k =
Z kpk1/2f (x)k
p01 (x, y)kf (y)k dσ (y)
≤ C M
1/2 Z ≤ eγ kf2 k [p01/2 (x, y)]2 dσ (y) M
≤ C(vol[B(x, 1)])−1/2 kf k2 . D’après [11] il existe C1 > 0 telle que [vol(B(x, 1))]−1/2 ≤ eC1 δ(0,x) . Alors kf (x)k ≤ CeC1 δ(0,x) kf k2 . Soit 1 < p < ∞.
(*)
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
Si 1 ≤ p ≤ 2, on considère Z kf (x)k2 dσ (x) ≤ δ(x,0)≥`
Z
557
e2cδ(0,x)kf (x)k2 e−2cδ(0,x) dσ (x)
δ(x,0)≥`
≤ e
−2c`
Z e2cδ(0,x) kf (x)k2 dσ (x)
M
Z kf (x)kp dσ (x) =
≤ c2 e−2c` , Z ∞ X
kf (x)kp dσ (x).
`=0 `<δ(x,0)≤`+1
M
D’après l’inégalité de Hölder Z kf (x)kp dσ (x) `<δ(x,0)≤`+1
Z
≤
1−p/2
dσ (x)
`≤δ(x,0)≤`+1
p/2
Z
kf (x)k2 dσ (x)
δ(x,0)≥`
≤ c(`q ec2 ` )1−p/2 e−pc` . La série:
Z
∞ X
kf (x)kp dσ (x)
`=0 `<δ(x,0)≤`+1
converge si p < (2c2 )/(c2 + 2c), f ∈ [Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K . Si 2 < p Z kf (g)k ˙ p dσ (g) ˙ M
Z = Z ≤
kf (g)k ˙ p−2 e−2
√ c δ(0,g) ˙
kf (g)k ˙ 2 e2
dσ (g) ˙
M √ p−2 −2 c δ(0,g) ˙
˙ e(p−2)C1 δ(0,g) kf k2
e
M
Si
√ c δ(0,g) ˙
√ √ (p − 2)C1 < 2 c 2 c √ . ·ε < εC1 < 2 c C1
kf (g)k ˙ 2 e2
√
c δ(0,g) ˙
dσ (g). ˙
558
N. LOHOUE
Cette intégrale ne dépasse pas Z √ p−2 ˙ ˙ 2 e2 c δ(0,g) dσ (g) ˙ kf k2 · kf (g)k M
et f ∈ [Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K . Si 2 < p < 2 + ε, on peut choisir ε tel que f ∈ Lp dès que (2 + ε)/(1 + ε) < p < 2 + ε. Pour poursuivre la preuve, on aura besoin d’un lemme dont l’énoncé nécessite quelques notations et définitions. NOTATIONS ET DÉFINITIONS. On note (3k p ∗ ⊗F )C le complexifié de 3k p ∗ ⊗ F et pour chaque 1 ≤ p ≤ ∞, Lp [0\G, (3k p ∗ ⊗ F )C .] l’espace de Banach complexe des fonctions sur 0\G de puissance-p-ième intégrables si p < ∞ avec la modification habituelle si p = +∞. Chaque f ∈ LP [0\G, (3k p ∗ ⊗ F )C .] s’écrit: f (g) = f1 (g) + if2 (g),
fj (g) | 3k p ∗ ⊗ F.
On pose: ((πk ⊗ ρ)(u)f )(g) = (πk ⊗ ρ)(u)f (g) + i(πk ⊗ ρ)(u)f2 (g), Z π˜ f (g) = (πk ⊗ ρ)(u)f (gu) du. K
Alors πf ˜ (gu) = (πk ⊗ ρ)(u−1 )f (g). Soit f1 , . . . , f` une base orthonormée 2 k ∗ des fonctions P` harmoniques dans L [0\G, (3 p ⊗ F ). La projection Pk s’écrit Pk (f ) = i=1 hf, fi ifi on a le lemme suivant LEMME 3. Il existe ε1 > 0 Rtel que pour tout (2 + ε1 )/(1 + ε1 ) < p < 2 + ε1 , ∞ pour tout α ≥ 0, G = 0 t α pkt dt (1 − P ) soit un opérateur continu sur (Lp [0\G, (3k p ∗ ⊗ F )])K . Démonstration du lemme. Soit ε comme au lemme précédent. Si f ∈ ˜ ) = π(f ˜ 1 ) + π˜ (f2 ) on pose (Lp (0\G, (3k p ∗ ⊗ F )C ], π(f Pk π˜ (f ) = Pk π(f ˜ 1 ) + iPk π(f ˜ 2 ). Remarquons que kπ˜ (f )p ≤ kf kp . P Par ailleurs si (2 + ε)/(1 + ε) < p < 2 + ε; kPk (f )kp `i=1 kfi kp kfi kp ≤ ˜ ) Ckf kp puisque (2 + ε)/(1 + ε) < p 0 < 2 + ε. Alors l’opérateur (1 − Pk )π(f satisfait l’inégalité: k(1 − Pk )π˜ (f )kp ≤ Ckf kp .
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
559
Et l’opérateur
pkt (1 − Pk )π˜ (f ) = pkt (1 − Pk )π(f ˜ 1 ) + i pkt (1 − Pk )π(f ˜ 2 ). Si p = 2kpkt (1 − Pk )π˜ (fi )k ≤ e−t /C kfi k2 la constante C provient du (*) du Lemme 2. ˜ 2→2 ≤ C1 e−t /C . Puisque Par conséquent kpkt (1 − Pk )πk Z k γt ˜ )(x)k ≤ e p0t (x, y)k(1 − Pk )π(f ˜ )k(y) dσ (y). kpt (1 − Pk )π(f M
Si (2 + ε)/(1 + ε) < p < 2 + ε kpkt (1 − Pk )πk ˜ p ≤ eγ t k(1 − Pk )π˜ (f )kp ≤ c1 eγ t kf kp . L’inégalité de Riesz Torin montre alors que si 2 < p < 2 + ε 0 < 2 + ε ˜ )k ≤ C1 e−((1−θ)t)/c eγ θt kf kp kpkt (1 − Pk )π(f pour que −
(1 − θ) + γ θ < 0; c
1 1−θ θ = + . p 2 2+ε
Il faut que 2 ≤p < 2+
ε . (2 + ε)(γ C + 1) − ε
Maintenant si 1 ≤ p ≤ 2 (1 + ε 0 )(θ) 1 − θ 1 = , + p 2 + ε0 2 q est l’exposant conjugé de p : (1/q) = ((1 − θ)/2) + (θ/(2 + ε)) de plus θγ −
(θ) < 0. 2
Par conséquent: kpkt (1 − Pk )π˜ (f )kp ≤ C1 e−[(1−θ)/c+γ θ]t kf kp et pour tout (2 + ε1 )/(1 + ε1 ) < p < 2 + ε1 ; ε1 = ε/((2 + ε)(γ C + 1) − ε)
Z∞
Z∞
α k ˜ ) dt ≤ C c−cp t t α dtkf kp
t pt (1 − Pk )π(f
0
p
0
560
N. LOHOUE
ce qu’il fallait démontrer. Maintenant on veut étudier les relations entre d, δ et 1. Pour cela on va utiliser d’autres notations. DÉFINITIONS ET NOTATIONS. Soit λ un nombre réel que l’on choisit très grand pour ce qui va suivre, λ > 0. On considère le semi-groupe Ptk,λ = e−λt pkt et le semi-groupe de Poisson associé Ptk,λ de générateur infinitésimal −(λI + 1k )1/2 . Alors si f est une fonction de Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )K . Z∞ √ k,λ f (g)e−u u du. Pt (f )(g) = pk,λ t 2 /4u 0 −λ(t 2 /4u)
2
kpk,λ f kp ≤ e eγ (t /4u) kf kp , comme λ est grand Ptk,λ f est bien définie si t 2 /4u f est dans [Lp (0\G, 3k kp ∗ ⊗ F )]K . On a le lemme suivant: LEMME 4. Soit f ∈ C0∞ ; Ptk,λ (f )kt =0 = f . ∂ 2 k,λ P f − (λ + 1)Ptk,λ f = 0. ∂t 2 t Il existe des constantes C1 et C2 telles que (1◦ )
(2◦ ) (a)
N X
Xi2 kPtk,λ f k2 +
1=i
(b)
N X
∂2 kPtk,λ (f )k2 ≥ C1 kdPtk,λ (f )k2 ∂t 2
Xi2 kPtk,λ (f )k2 +
i=1 ◦
(3 )
N X
2
∂ ∂2
k,λ 2 k,λ P kP (f )k ≥ C (f )
2 t t 2 ∂t ∂t
Xi2 (kPfk,λ (f )k2 + ε)1/2 +
i=1
∂2 (kPtk,λ f k2 + ε)1/2 ≥ 0 ∂t 2
pour tout ε > 0. Démonstration du lemme. Il est clair que Ptk,λ (f )|t =0 = f et aussi évident que l’on a la relation ∂ 2 k,λ P (f ) = (λ + 1)Ptk,λ (f ). ∂t 2 t Montrons (2◦ ) kPtk,λ f k2 = hPtk,λ (f ), Ptk,λ (f )i, Xi2 kPtk,λ (f )k2 = 2hXi2 P1k,λ (f ), Ptk,λ (f )i + 2kXi Ptk,λ (f )k2 ,
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
et N X
X2 kPtk,λ (f )k2 +
i=1
=2
∂2 kPtk,λ (f )k2 ∂t 2
N X hXi2 Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i i=1
+2
N X
kXi Ptk,λ (f )k2
i=1
* +
k,λ 2 2 k,λ
∂Pt f P (f ) ∂ t k,λ
+ 2 , Pt (f )
∂t + 2 ∂t 2 =2
N X
kXi Ptk,λ (f )k2
i=1
+2
k,λ
∂Pt (f ) 2
+ 2
∂t
N X hXi2 Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i i=1
+ λkPtk,λ (f )k2 + 2h1k Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i
N X
∂ k,λ 2 k,λ 2
kXi Pt (f )k + 2 Pt (f ) =2
∂t i=1 +
2λkPtk,λ (f )k2
N X +2 hXi2 Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i i=1
−2
N X hX12 Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i + hR(Ptk,λ(f ), Ptk,λ (f )i i=1
=2
N X i=1
kXi Ptk,λ (f )k2
∂ k,λ 2
+ 2 Pt (f )
∂t
+ 2λkPtk,λ (f )k2 + hR[Ptk,λ (f )], Ptk,λ (f )i. On peut choisir λ assez grand tel que hR[Ptk,λ (f )], Ptk,λ (f )i > −
λ kP k,λ (f )k2 . 2 t
561
562
N. LOHOUE
Alors: N X
Xi2 kPtk,λ (f )k2 +
i=1
≤2
N X
∂2 kPtk,λ (f )k2 ∂t 2
kXi Ptk,λ (f )k2
i=1
∂ k,λ 2 λ
+ 2 Pt (f ) + 3 kPtk,λ (f )k2 .
∂t 2
(2b) est alors évident. Quand à (2a) dPtk,λ (f )i1 ,...,ik+1 =
k X (−1)u−1 [XIU + ρ(Xiu )]Ptk,λ (f )i1 ,...,ˆıu ,...,ik u=1
hdPtk,λ (f )i1 ,...,ik+1 , dPtk,λ (f )i1 ,...,ik+1 i k k XX (−1)u−1 (−1)v−1 h[Xiu + ρ(Xiu )] = u=1 v=1
×
Ptk,λ (f )i1 ,...,ˆıu ,...,ik , [Xiv n X
≤ C
+
ρ(Xiv )]Ptk,λ (f )i1 ,...,ˆıu ,...,ik i !
kXi Ptk,λ (F )k2 + kPtk,λ (f )k2
i=1
X k k X u−1 v−1 k,λ k,λ + (−1) (−1) hρ(Xiu )Pt (f )I , Xiv Pt (f )J i u=1 v=1 N X
≤ C
!
kXi Ptk,λ (f )k2 + kPtk,λ (f )k2
i+1
X k k X k,λ k,λ + C hPt (f )iu , Xiv Pt (f )Jv i u=1 v=1
≤ C
N X
kXi Ptk,λ (f )k2 + kPtk,λ (f )k2
i=1
+C
k X k X
kPtk,λ (f )kIu kXiv ptk,λ (f )Jv k
u=1 v=1
≤ C
N X i=1
kXi Ptk,λ (f )k2
! +
kPtk,λ (f )k2
,
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
C
−1
kdPtk,λ (f )k2
≤
N X
563
kXi Ptk,λ (f )k2 + kPtk,λ (f )k2
i=1
≤
N X
Xi2 kPtk,λ (f )k2 +
∂2 kPtk,λ (f )k2 ∂t 2
Xi2 kPtk,λ (f )k2 +
∂2 kPtk,λ (f )k2 . ∂t 2
i=1
on prouve également que C
−1
kδ(Ptk,λ (f )k2
≤
N X i=1
(**)
Il reste à prouver (3). ∂2 (kPtk,λ (f )k2 + ε)1/2 ∂t 2 2 ∂ k,λ 2 −1/2 2 k,λ k,λ k,λ k,λ = (kPt (f )k + ε) P (f ), Pt (f ) hXi Pt (f ), Pt (f )i + ∂t 2 t k,λ 2 k,λ 2 −1/2 ∂Pt (f ) + (kPt (f )k + ε) ∂t * + ∂Ptk,λ (f ) k,λ − Pt (f ) (kPtk,λ (f )k2 + ε)−3/2 ∂t
Xi2 [hPtk,λ (f ), Ptk,λ (f )i2 + ε]1/2 +
+ kXi Ptk,λ (f )k2 (kPtk,λ (f )k2 + ε)−1/2 − hXi Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i2 (kPtk,λ (f )k2 + ε)−3/2 . Mais:
k,λ ∂Pt (f ) ∂ k,λ k,λ
kP k,λ (f )k, ∂t Pt (f ), Pt (f ) ≤
t ∂t hXi P k,λ (f ), P k,λ (f )i ≤ kXi P k,λ (f )k kP k,λ (f )k. t t t t Par conséquent: (kPtk,λ (f )k2
k,λ
2
−1/2 ∂Pt (f )
+ ε)
∂t
*
+2 ∂Ptk,λ (f ) , Ptk,λ (f ) (kPtk,λ (f )k2 + ε)−3/2 − ∂t + kXi Ptk,λ (f )k2 (kPtk,λ (f ) + ε)−1/2 − hXi Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i2 (kPtk,λ (f )k2 + ε)−3/2 ≥ ( ).
564
N. LOHOUE
Il faudrait donc regarder: 2 N X ∂ 2 k,λ k,λ k,λ k,λ hXi Pt (f ), Pt (f )i + P (f ), Pt (f ) . ∂t 2 t i=1 Mais on sait que cette expression vaut: N X hXi2 Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i + h(λ + 1k )Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i i=1
=
N X hXi2 Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i + λkPtk,λ (f )k2 i=1
−
N X hXi2 Ptk,λ (f ), Ptk,λ (f )i + hR(Ptk,λ (f )), Ptk,λ (f )i i=1
= λkPtk,λ (f )k2 + hR(Ptk,λ (f )), Ptk,λ (f )i ≥
λ kP k,λ (f )k2 ≥ 0. 2 t
Ce qu’il fallait prouver. On veut prouver le dernier lemme qui sera utilisé pour la preuve finale du théorème; il est inspiré de [1]. LEMME 5. Soit λ un nombre réel comme ci-dessus. Alors il existe des constantes C1 et C2 tells que: kd(λ + 1k )−1/2 (f )kp ≤ C1 kf kp , kδ(λ + 1k )−1/2 (f )kp ≤ C2 kf kp . Preuve du lemme. On va supposer que f est de classe Cc∞ on pose alors f0 = f et f¯(x, t) = Ptk,λ (f0 ); soit ω0 ∈ Cc∞ Z∞ f0 (x) = 0
∂ 2 f¯ (x, s)s ds, ∂t 2
Z∞ df0 = 4
∂2 d : f¯(x, 2s)s ds. ∂s 2
0
Mais 2 ∂2 ¯(x, s) = d ∂ f¯(x, s) = d[(λ + 1k )f¯], d f ∂s 2 ∂s 2
d(λ + 1k )f¯(x, 2s) = (λ + 1k+1 )1/2Psk+1,λ d(λ + 1k )1/2 Psk,λ (f ).
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
565
Par conséquent: Z∞ hdf0 , ω0 i = 4 h(λ + 1k+1 )1/2 Psk+1,λ d(λ + 1k )1/2 Psk,λ (f ), ω0 is ds 0
Z∞ ∂ k+1,λ k 1/2 k,λ ω0 s ds. = 4 d[λ + 1 ) Ps (f )], P ∂s s 0
Si on pose ω = Psk+1,λ ω0 ,
h(x, s) = (λ + 1k )1/2 Psk,λ (f );
Z∞ ∂ dh(x, s), hdf0 , ω0 i = 4 ω(x, s) s ds, ∂s 0
hdf0 , ω0 i ≤ 4
Z∞
!1/2 Z∞ !1/2 2 ∂ ω(x, s) s ds kdh(x, s)k s ds . ∂s 2
0
0
Il de remarquer que sur les fonctions sur 0\G, K invariante à droire Pconvient N 2 i=1 Xi n’est autre que le Laplacien L sur les fonctions de M. D’après le Lemme 4(a) et (b) ∂2 kdh(x, s)k2 ≤ C L + 2 kh(x, s)k2 = L1 kh(x, s)k2 , ∂s
2
2
∂
ω(x, s) ≤ C1 L + ∂ kω(x, s)k2 ,
∂s ∂s 2 !1/2 Z∞ ∂ ω(x, s)k2 s ds ≤ ∂s
!2 Z∞ ∂2 L + 2 kω(x, s)k ∂s
0
0
(*)
on veut appliquer le théorème 3.6 de [1] à la fonction kω(x, s)k; on peut supposer que ω0 est de classe C0∞ , auquel cas le Lemme 1 nous apprend que pour tout ε > 0(L + (∂ 2 /∂s 2 ))(kω(x, s)k2 + ε)1/2 ≥ 0, kω(x, s)k n’est pas C ∞ , mais comme il est signalé dans [1, p. 159] on peut se contenter du fait que kω(x, s)k2 soit C ∞ et du fait que ∂2 L + 2 (kω(x, s)k2 + ε)1/2 ≥ 0. ∂s
566
N. LOHOUE
Il reste à vérifier que Z∞ s ds 0
N X ∂2 2 kω(x, s)k + Xi2 kω(x, s)k2 ∂t 2 i=1
+
2 ∂ kω(x, s)k + (∇kω(x, s)k2 ) < ∞, ∂s
2 2 2
∂ω ∂ ω ∂ 2
∂t 2 kω(x, t)k = 2 ∂t 2 , ω + 2 ∂t
2
2
∂ ω
∂ω
≤
∂t 2 kωk + 2 ∂t , ∂2 ω = (λ + 1k+1 )Ptk+1,λ ω0 = λPtk+1,λ ω0 + Ptk+1,λ 1k+1 ω0 , ∂t 2
2 2
∂ k+1,λ
ω0 k2 + kPtk+1,λ (1k+1 ω0 )k2 .
∂t 2 ω ≤ λkPt Comme ω0 est Cc∞ , 1k+1 ω0 ∈ Cc∞ . Alors comme Ptk+1,λ Z∞ ω0 =
e−λ(t
2 /4u)
pk+1 ω e−u u−1/2 du, t 2 /4u 0
0
Z∞ kPtk+1,λ ω0 k
≤
√ −λ(t 2 /4u) −γ (t 2 /4u) −u ue e e
Z
p0t 2 /4u (x, y)kω0 k(y) dσ (y) du, M
0
et Z∞ kPtk+1,λ ω0 k2
≤
e(γ −λ)−(t
2 /4u)
√
e−u e−1/2 kω0 k2 du = e−
λ−γ
tkω0 k2
0
si λ > γ . Si t ≥ 1, kPtk+1,λ ω0 k(x) = kPεk+1,λ Ptk+1,λ −ε ω0 k(x) Z kPεk+1,λ (x, y)k2 dσ (y) M
Z ≤e
2εγ M
Z∞ 2 +(γ ε 2 /4u) −(λε 2 /4u) −u −1/2 0 dσ (y) e e e u pε2 /4u (x, y) du 0
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
≤ e2εγ
567
2 Z Z∞ e−u u−1/2 p0t 2 /4u (x, y) du dσ (y) M
0
0 (x, x) ≤ e2εγ P2ε
et kPtk+1,λ ω0 k(x) ≤ C[Pε0 (x, x)]1/2 e−(
√ λ−γ )t
kω0 k2 ,
!
2 Z∞ 2 Z 1 2
∂ω
∂ ω
kωk(x, s) + 2 (x, s) s ds + ∂ω (x, s)s ds
∂s
∂t 2
∂s 0
0
Z∞ +
2 !
2
∂ω
∂ ω
s ds
kω(x, s)k + 2
(x, s) (x, s)
∂s
∂t 2
1
Z∞ 0 ≤ cste + cste P2ε (x, x)
! e−2(λ−γ )t s dskω0 k2 + Ck(1k+1 + λ)ω0 k2 .
1
Les mêmes estimations sont valables pour Lkω(x, s)k2 , (∂/∂s)kω(x, s)k2 ainsi que pour ∇kω(x, s)k2 . Il découle alors du théorème 3.6 sus-cité que
Z∞
Z∞ !1/2 !1/2
2
∂
2
L1 kωk (x, s)s ds
≤ C
∂s ω(x, s) s ds
0
0
p
0
p
0
≤ Ckω0 kp0 . Par ailleurs L1 (kdh(x, s)k ) ≥ 0 il s’en suit d’après [1, p. 154] que kdh(x, 2s)k2 ≥ Ps0 (kdhs k2 ) et [1, p. 22] ≤ CPs0 {L1 (kh(x, s)k2 )}. Alors: Z∞ Z∞ 2 kdh(x, s)k s ds = 2 kdh(x, 2s)k2 s ds 2
0
0
Z∞ ≤ 2C
Ps0 (L1 (kh(; s)k2 ))s ds. 0
Mais le lemme 3.5 de [1] dit que:
" Z∞ #
0 2 Ps {L1 (kh(; s)k )}s ds
0
!2/p
Z ≤C p/2
k(λ + 1k )
1/2
M
p
2
f (x)k dσ (x)
568
N. LOHOUE
par conséquent:
" Z∞ #1/2
kdh(x, s)k2 s ds
≤
p
0
!1/p
Z k(λ + 1k )1/2f (x)kp dσ (x)2
.
M
Si 1 < p ≤ 2, on renverse le rôle de h et ω dans le raisonnement précédent car N X ∂2 2 Xi + 2 (kω(x, s)k) ≥ 0. ∂s i=1 Ce qui prouvera qu’en tout état de cause: |hdf0 , ω0 i| ≤ k(λ + 1k )1/2 f0 kp kω0 kp0 et kdf0 kp ≤ k(λ + 1k )1/2f0 kp donc kd(1k + λ)−1/2 f kp ≤ Cp kf kp . On recommence les mêmes arguments avec δ pour voir qu’il existe Cp telle que: kδ(1k + λ)−1/2 f kp ≤ Cp kf kp . Preuve du théorème. On a déjà remarqué que f ∈ [Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K si f est harmonique dans L2 , 2 ≤ p < 2 + ε1 où ε1 est choisi comme dans le Lemme 4. Alors il existe Cp telle que kPk (f )kp ≤ Cp kf kp . [Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K = Hp ⊗ Hk , où Hp est le noyau de Pk . Soit ω ∈ [Lp (0\G, 3k p ∗ ⊗ F )]K telle que dω = 0, Pk (ω) = 0. D’après le Lemme 3.
Z∞
Z∞
pkt ω dt = pkt (1 − Pk )(ω) dt ≤ Ckωkp .
p
0
p
0
De plus Z∞ (a)
(dδ + δd)
pkt ω dt = (dδ + δd)1−1 k ω = ω
0
car si θ est C0∞ * Z∞ + * Z∞ + k k 1k pt ω dt, θ = pt ω dt, 1k θ . 0
0
STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
Comme
R∞ 0
569
kpkt ωkp dt ≤ Ckωkp cette expression vaut:
Z∞ Z∞ ∂ pkt k − hpt ω, 1k θi dt = ω, θ dt ∂t 0
0
ZT * = lim − T →∞
∂ pk,λ t ω, θ ∂t
+ dt
0
= lim hω, θi − hpk,λ T ω, θi = hω, θi T →∞
d’où l’égalité (a) sur Hp −1 −1 −1 dδ1−1 k ω = dδ[1k − (1k + λ) ]ω + dδ(1k + λ) ω −1 = λdδ(1k + λ)−1 1−1 k ω + dδ(1k + λ) ω.
On a aussi la relation: −1 −1 −1 δd1−1 k ω = λδd(1k + λ) (1k ) ω + δd(1k + λ) ω.
D’une part: d’après Lemme 3 (b)
k1−1 k kp ≥ Ckωkp .
D’autre part: δ(1k + λ)−1 = (1k−1 + λ)−1 δ, d(1k + λ)−1 = (1k+1 + λ)−1 d. Alors, d’après le Lemme 5 kdδ(1k + λ)−1 ωkp = kd(1k−1 + λ)−1 δωkp ≤ Ck(1k−1 + λ)−1/2 δωkp ≤ Ckωkp car (1k−1 + λ)−1/2 δ est l’adjoint de d(1k−1 + λ)−1/2 . De même: kδd(1k + λ)−1 ψkp ≤ Ckψkp . Alors: kdδ1−1 k ωkp ≤ Ckωkp .
570
N. LOHOUE
De même kδd(1k )−1 ωkp ≤ Ckωkp on veut montrer que cette forme est nulle; soit θ une fonction C ∞ à support compact. ! Z∞ −1 pkt ω converge en norme hδd(1−1 k ω, θi = h(1k ) ω, δdθi car 0
Z∞ = hpkt ω, δ dθi dt car dθ est Cc∞ 0
Z∞ = hd pkt ω, dθi dt d’après remarques (*) 0
Z∞ hpk+1 dω, dθi car ω est fermée = t 0
= 0 par conséquent δd(1k )−1 ω = 0 et dδ1−1 k ω =ω
avec
δ(1k )−1 ω ∈ Lp .
En effet −1 −1 δ(1k )−1 ω = δ(1−1 k − (1k + λ) )ω + δ(1k + λ) ω −1 = λδ(1k + λ)−1 1−1 k ω + δ(1k + λ) ω
par conséquent: −1/2 ωkp kδ(1k )−1 ωkp ≤ Ck(1k + λ)−1/2 1−1 k ωkp + C1 k(1k + λ)
≤ Ckωkp . Soit ω ∈ Hk alors ω n’est pas adhérent au sous-espace Im dp de Lp constitué des fonctions θ ∈ Lp tels que θ = dθ1 avec θ1 dans Lp . On sait d’après les remarques (**) qu’il existe, pour une telle θ, une suite {θn } de fonctions dans, C ∞ , 0 à support compact telle que limn→∞ kdθn(1) − θkp + kθ1 − θn(1) kp . Comme ω ∈ Lp , si θ ∈ Im dp pour chaque n: hδω, θn0 i = hω, dθn0 i = 0 et par passage à la limite hω, dθ1 i = 0. Si ω appartenait à l’adhérence, hω, ωi = 0 ce qui impliquerait que ω = 0. La cohomologie réduite ainsi que la cohomologie Lp simple est représenté par Hk . References 1.
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STABILITE´ DE LA COHOMOLOGIE LP AU VOISINAGE DE 2
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
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(Received December 10, 1997; revised version April 4, 1998)
