Sulla deformazione delle quadriche generaii. Inversione

di u n t e o r e m a

di D a r b o u x

e d e s t e n s i o n e d e i t e o r e m i di G u i c h a r d sulle q u a d r i c h e d i r o t a z i o n e .

(Di G~OVANNI MANFREDINI, a Terni.)

PREFAZIONE. I n alcune Note pubblicate nei Comptes Rendus del 1899 DARBOUX ha dimostrato il seguente teorema sulla deformazione delle quadriche: ~ Se una quadrica rotola sopra una sua deformata (S) gli otto punti di intersezione delle geueratrici isotrope col piano tangente comune descrivono otto superficie isoterme che si corrispondono per similitudine degli elementi infinitesimi. Due di queste superficie (Pi (P'), generate da retie di sistema diverso, souo le due falde di un inviluppo di sfere e le normali nei punti corrispondenti P, P', cio~ i raggi della sfera delt'inviluppo passante per P e P', giacciono nel piano tangente comune alla quadrica e alla sua deformata. ~) Ci ~ sembrato interessante ricercare se era possibile l'iuversione del teorema di DAaBOUX e ci siamo proposti di trovare per quali inviluppi di sfere avviene ctle, deformando comunque la stiperficie (S), inviluppo del piano determinato dai due punti di contatto di ogni sfera e dal corrispondeate centro, le due falde (P), (P') si corrispondono sempre in modo conforme. Nel capitolo I abbiamo stabilito il sistema di equazioni differenziali che 6 necessario integrare per risolvere la questione. La discussione e l'integrazione del sisterna, in tutti i casi, ~ stata fatta nel capitolo I[. I1 risultato ottenuto ~ il seguente : ~ Le superficie (S) che godono delia proprieth suddetta, souo, nel caso generale, quadriche a curvatura di G~uss posit ira. Come casi particolari si ha poi: a) la (S) ~ applicabile sulla complementare di ulm deformata di un

70

Manfredini: SulIa deformazione delle quadriche generali.

elissoide allungato o di un iperbotoide a due falde, entrambi di rotazione; b) la (S) ~ applicabile sulla complementare di una deformata di un paraboloide di rotazione. >~ Sussiste dunque il teorema inverso di quello di DAnBOUX. I due cast particolari a) e b) si potevano dedurre anche da uno studio del BIANCm sulla deformazione delle congruenze (Geom. Di#., Vol. II, cap. XVII) studio che, oltre essere interessante per s~ stesso, mette in evidenza l'importanza delle propriet'~ delle quadriche di rotazione espresse net noti teoremi di GUICHARD. Infatti il B1A~cm ha dimostrato (id. § 263) che se le due falde di un inviluppo di sfere si corrispondono in modo conforme per tutte le deformazioni della superficie (S~), luogo dei centri delle sfere, atlora (S,) ~ applicabile su una quadrica di rotazione di GUICHARD. Ora, per i teoremi di WEINGARTEN, mentre (S~) si flette, la sua complementare rispetto alle geodetiche trasformate di meridiani, che ~ appunto la nostra superficie (S), si deforma pure, mantenendosi sempre applicabite ad una superficie di rotazione. Diciamo ora brevemente dell'estensione dei teoremi di GUICHARD che costituisce la parte principale del capitolo III. t~ noto che, net cast partieolari a) e b), ad ogni deformazione della superiicie (S~) (quadrica di GUICHARD), e quindi ad ogni deformazione di (S), le due falde (P), (P') delrinviluppo di sfere sono, nel caso a), due superticie a curvatura media costante e, nel caso b), due superficie ad area minima. Si pub dunque dire che, per qualunque defbrmazione di (S), net cast a) e b) rimane invariata la curvatura media delle falde (P), (P'). Orbene, una tale proprieth vale nel caso generate cio~, me~tre la quadrica (S) si flette, la curvatura media H della falda (P) e la curvatura media tt' della falda (P') sono sempre le stesse funzioni d i u e v. Perb, mentre net cast particotari a) e b) si ha H ~ - - H ' ~ c0stante oppure H-----H'~--0, nel caso generale la funzione H ~ differente dalla funzione H'. Tel~endo presente la costruzione geometrica di DARBOUX per le super]icie (isoterme) (P) e (P'), si pub dire che una retta isotropa della quadrica (S) genera, per tutte le deformazioni della quadrica stessa, superficie che hanno ugual curvatm'a media H, mentre una generatrice isotropa di sistema diverso genera superficie tutte di egual curvatura media H'. Iafine di questa propriefft abbiamo dimostrato anche l'inversa cio~: (~Se le due falde (P), (P') di un inviluppo di sfere mantengono invariata la curvatura media per tutte le ilessioni della superiicie inviluppo del piano de-

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche generali.

71

terminato dai due punti di contatto di ogni sfera e dal corrispondente centro, questa superiicie ~ in generale una quadrica di DARBOUX e, ill casi particolari, la complementare di una deformata di una quadrica di G u m ~ m ) . G. MANFREDINI. TerJ~i, 1908.

CAPITOLO I. § 1, EQUAZIONI FONDAMENTALL

Consideriamo un iuviluppo di sfere e indichiamo con (81) la superficie luogo dei centri delle sfere, con x, Yl zl le coordinate di un punto generico $1 di (S~) e con R (u v) il raggio delle sfere, indichiamo poi con (P), (P') le due falde dell' inviluppo descritto dai punti di contatto P, P ' di una sfera generica. Indichiamo poi con (S) la superiicie inviluppo del piano determinato dai tre punti S,, P, P ' e con S il punto di contatto di questo piano colin (S). Se noi deformiamo la superficie (S) i punti S,, P, P ' di ogni suo piano tangente manterranuo, per qualunque flessione, la stessa posizione rispetto agli elementi superficiali di (S) appartenenti a ciascun piano tangente e i punti P, P ' saranno punti corrispondenti di un inviluppo di sfere che avraano i loro centri sulla nuova superficie (S,), se le no~*mali di questa (S,) giaceranno nei piani tangenti della deformata di (S) e se i raggi S, P ~ p , S, -P' ~ p' di ogni sfera si manterranno normali alle superticie (P) e (P'). Scriviamo le equazioni differenziali che esprimono queste condizioni. Nel paragrafo seguente ricercheremo poi qua!i equazioni bisogna aggiungere a quelle che troveremo per avere il sistema che integrato risolver~ in tutti i casi la questione:per quali superficie (S) avviene che, per qualunque flessione della (S), le due falde (P), (1)') dell'inviluppo di sfere si corrispondono per similitudine delle parti infinitesime ? Riferiamo la superiicie (S) a u n sistema ortogonale u, v tale che le tangenti atle u sieno paraltele alle normali r della superficie dei centri (S~). Se

7~

M a n f r e d i n i : 8ulla deformazione deUe quadriche geuerali.

con E, G, D, D', D" indichiamo i eoefficienti delle forme differenziali di (8) e con E~, G,., iF,. quelli della prima forma differenziale della congruenza delle rette r ; se inoltre indichiamo con X~, Y~, Z~ i coseni di direzione delle tangenti aUe u e con X,, Y(, Z, ~ coseni di direzione delle tangenti alle v e con X~, Y~, Z~ quelli delle normali alla (S), dalle formule

E,= ZLTg:

, ~ : = Y,t-a- u

, o,.= Z

ricordando te formole fondamentali della teoria delle superticie (BiAz~cm,

Geom. Diff., vol. II, pag. 91) avremo:

-~v + g F,.=

~1~"-~ av

G,.= /~

au

D'D" G

]

~ e

Per scrivere la seconda forma fondamentale della congruenza delle rette r prenderemo come superiicie di partenza quella descritta dal punto d'incontro di una r colla tangente alla linea v nel punto S di (S). Indichiamo con x', y', z', le coordinate di questo punto e con A la sua ascissa rispetto agli assi ortogonali costituiti dalle tangenti alle u e v nel punto 8. Si avr'h :

x'=x+AX,,

y'=y+AY,,

z'----z+AZ~. ax

aX,

Derivando la prima rispetto a u e sostituendo per ~-~ e ~

i loro wl-

lori, daft dalle formule della teoeia delle superiicie gi'a citate, si h a :

Ox'

,, =

(

OA)

~IE + g - 4

x,

A D~/E AD ~/g a ,, .v,~,+ --~

x:~. .

(°2)

Analogamente derivando rispetto a v e sostituendo

o v = g7 X, + ~!-0+ \/E

au

~lE

quindi indicando con e,., f,., f',., g,. i coefficienti della seconda forma tbnda-

M a n f r e d i n i : Sulla deformazione delle quadriche generali.

73

m e n t a l e della e o n g r u e n z a e ealeolando solo f,. e f',, ehe ei sono neeessari, dalle aX~ ~x' f,,. ~X~ ~ x '

f , . = Z au av

=~

av ou

s o s t i t u e n d o per mezzo delle (°2), (2') e delle f o n d a m e n t a l i eitate a v r e l n o :

3 A :1 ~ ? )

A D''

~,

(a)

0 r a bisogna esprimere c h e l a e o n g r u e n z a deseritta da r ~ n o r m a l e e ehe costituita dalle n o r m a l i della superficie (&). E v i d e n t e m e n t e le condizioni s o n o :

U g u a g l i a n d o le due (3) si h a :

\/d ~u dove

K

~/~ +3A~

g-4 ]

indiea la e u r v a t u r a totale di (S). Per ealeolare le altre oeeorre p r i m a

calcolare ~-~7 e ~ - .

I n d i c a n d o con B l'ordinata del p u n t o S, rispetto agli

assi costituiti dalle t a n g e n t i alle linee u, v a v r e m o :

x,--=-x~-AX,+BX~. Derivando rispetto a u e v e s o s t i t u e n d o per mezzo delle solite formule avremo :

~v

x~+

u +

xl

__

(~) A

x3

B 0~LG'lx v~ ~u) ' + (~ / g + gaB v + 4E

x~ + [ A D'

Annali di Matematica, Serie IH, Tomo XV1.

+

B D" t j

i i0

7~

Manlredini: Sulla de[ormazione delle quadriche generaIi.

risulta eosl: aB

a

~u

~v =

II

v/~ a v

\/~

\

II!

au)'

La I, II, III esprimono dunque c h e l a eongruenza descritta da r ~ la congruenza delle normali della superlicie descritta dal centro S, della sfera mobile. Ora bisogna esprimere che te rette p e p' descrivono le congruenze delle normali alle due falde (P) e (P') dell'inviluppo. Consideriamo la congruenza delle normali alia falda (P) e prendiamo (&) per superficie di partenza, indichiamo poi con ~ l'angolo c h e l a S, P = p forma colla direzione positiva della tangente a l l a v della superticie (S), con X, Y, Z i coseni di direzione della retta p e con %, f~, f',,, g,, i eoeffieienti della seeonda forma fondamentale della ,congruenza deseritta da p, avremo: X = X~ cos z q- X~ sen e derivando rispetto a u e v e sostituendo nel modo gih detto s'E~

v/(~ 3v] Xlq- cos~

g,-/-=--sen~kau

:~;

v/~

X~÷

(-,) 3X ~v

--

+eos~

sell

~-~ + / ~ ,

X~+

[ D' COS ~ /)" sen ~,) +(@+ x,. Ora tenendo presenti le (4), semplificate dalle I I e III, ed essendo

i

o

~v ~ u '

g"--Z~v

~v

M a n f r g d i n i : Sulla deformazione delle quadriche generali. si

75

ha

~i~ -av ] t

q-O - -

(D
V?,,

(~° U

(6) f',, = -- sen ~ [~-v + ~/~ g g ) k"

\/G- a v -I- a u -i-

(v' <:,,~o

s," ~,~ q "A s) "~:t + , - - ? ~ - + .... ,ia--i ( 7 + ,I~, g,,=--sen :{~-V+7~

a-v

7.g' a u ) ~-

(.V'eos~

BS)"]

D" sen ,) (d_D.;

I coefficienti E,,, F~, G~, della, prima forina fondamentale della congruenza descritta da r cio~:

I ~~ , ' = ~ \(ax~, au]

G = ~" aa /u

aa xv '

?xV ~,=Zta,,]

si colcolano pure facilmente per mezzo delle (5)

_~

, ~<~

(D~o~o ~'~on~7

#

,~o , u~r

(~,~o~o .,,~o~<)~.

+

D" sen z)

qO.

(7)

Manfred;ni: SuUa deformazione delle quadriche generali.

76

La eongruenza descritta da p sarfi normale se ~, = f'~,; tenendo conto delle formule ora calcolate e delia I si ha :

~a [~A

B

-- sen ~

~]E

-t-

----

= B cos ~ ~/E a K. Questa equazione non muta cambiando z in - - z, e poich~ la congruenza delle normali di (P') g evidentemente la riflessa della congruenza delle normali di (P) rispetto alla superiicie (S,), me viene di conseguenza the se normale la congruenza descritta da p sar'h normale anche quelta descritta da p'; risulta cosi dimostrato il teorema di DUPIN. Esprimiamo ora c h e l a superticie (P) g normale alia congruenza descritta da p. Indicando con Xo, Yo, Zo le coordinate di P avremo le due condizioni

2; x °~°=o ,a. 0ccorre ealcolare

%x°~°0~=o.

(s)

e ~-~. Essendo

x o = x , + R X. derivando rapporto a u e v e sostituendo colle (4) e (5) tenendo conto anche delle I I e III si h a :

9Xo

/

(~/~3_t ~ , ( A + R c o s z )

B+Rsen

~/~

~ ~/E~

~--~Ix, +

_v(A +~]~jRcos~ D -~ B +~/GRsen~ D') X~

x,,,

(~ (A + R cos ~)

B+Rsenz ~/~ ~ ) x, + +(~(Rsen~)~ v +Rcos~v,~?~) x~ ÷ +\(A +R-e°s D ' v ' E* -t- (B--t-Rsen*D")X~~ ,

(9)

Manfredini:

Sulla deform~zione delle quadriche generalL

77

sostituendo nelle (8) si ha

v/cos

. . . .

~R cos ~ ~ - - -~v -

V

VI

Notiamo che anche queste equazioni non c a m b i a n o se in esse si m u t a in - - ~ e si d'~ lo stesso valore a R, quindi se la c o n g r u e n z a descritta da p n o r m a l e a (P) anche la c o n g r u e n z a descritta da p' sar'~ n o r m a l e all'altra falda (P') dell'inviluppo di sfere. Le equazioni I, II, III, IV, V, VI tin qui trovate sono fondamentaIi per i calcoli s e g u e n t i ; esse intanto d i m o s t r a n o il t e o r e m a di RmAcouR (BIANCIJI, VO1. lI, 133) perch~ sono indipendenti dai coeflicienti della seconda forma f o n d a m e n t a l e della superficie (S).

,~ 9. CORRISPONDENZA CONFORME DELLE SUPERFICIE ( P ) E (P').

Ora d o b b i a m o esprimere t h e sulle due falde si c o r r i s p o n d o n o le linee di l u n g h e z z a nulla cio~ che i coeflicienti Eo Go Fo della prima forma fondamentale della superficie (P) sono proporzionali ai coefficienti E'o G'o F'o della prima forma f o n d a m e n t a l e di (P') e che questa proporzionalit~ si m a n t i e n e per tutte le flessioni della superficie (S). Occorre d u n q u e prima di tutto calcolare Eo Go Fo perch~ per calcolare E'o G'o F'o baster~ poi m u t a r e ~ in - - ~ . Le ibrmule (9), q u a n d o si t e n g a conto delle V e VI e si s u p p o n g a cos ~ =l= 0, e s c l u d e n d o cosi il caso in cui le due falde (P), (P') si riducono a due superficie parallele alla ($1) (*), di(~) Se cos ~ = 0 dalia V e VI risulta R--costante ciob (_P) e (P') sono parallele a (Sl). Ricordando chela corrispondenza fra (P) e (P') deve essere conforme si pub dimostrare facilmente che queste due superficie saranno a curvatura media eostante mentre la (St), cio~ il luogo dei centri delle sfere, ~ una superficie a curvatura di GAuss costante. Allora, come risulta da una Memoria dei-BtANCm (Annali di Matematica, 1901) sulla deformazione detle congruenze, la superficie (S) ~ applicabile su una quadrica imaginaria che tocca l'assoluto in un punto ovvero l'oscula.

78

Manfredini:

Sulla deformaziol~e delle quadriche generali.

ventano VG

a v J X~

cos

÷[A +~/E_RCos~D ÷ B÷~/GRCOs~D'] X~ xo

(lo)

[0 (R sen ~)

X~ cos ~

tl~

,

7i.[A -f- tlE//C°S ~D'-/- B -4-~/GR sen ~ D"] X~

quindi si ha: 1 [D (R sen~)

Rcos ~ B-~ R sen z ]~

_~[A-~-Rcosz

Fo--cos ~ |

~u

~/~ [~(Rsenz) v

Rcos: ~liG] -t

q~

-~-~j-4--

(l~)

o] Go=~

1 [~ (R sen z) R cos ~ ~_~/GI~._I ov + dE ~u J _~ [A-~ ~/~ R cos z D ' + B~-Rsenz .... q ~ . . . .

]

D" ~.

0ra osservialno che si avr'h corrispondenza conforme fra (P) e (P') se si ha: Eo _ Fo __ Go _ + q Eo Go-- F~o (1~) E'o Fo Go ?EoGo--Fo e che Eo Go- Fo~ ~, come risulta dalle (11), il quadrato perfetto di cos~ [ 1 [~(R~)~_u sen

Rcos~,/G.~ 1

[A-~,/ERCOs~D' -t B-+-x!GR . sen . . ~D"] .

I [~(Rsenz) eRcosz ~]G] [A~-Rcosz

. B~-RsenzD,]

M a n [ r e d i n i : Sulla de]ormazione delle qttadriche generali.

79

mentre E'o ~ ' o - F'o ~ il quadrato dell espressmne analoga che si ottiene dalla precedente cambiando ¢ in --~. Consideriamo prima l'equazione: F'o qEo Oo - ~

- Fo rE',, G'o - - ~ ' ~ = o

e nel paragrafo seguente considereremo l'analoga prendendo invece il segno -tcio~ F' ~Eo Go ....F'~ + Fo \/E'o G'o -- F'~o~ 0 che b una delle (12). Essa dovr'h essere un'identith in forza delle equazioni di GAuss e di CODAZZi (BIANGHI, VO1. II, 90) e quindi ci dar~ tante equazioni differenziali uguagliando a zero i coefiicienti del polinomio in D, D', D" che forma il primo lnembro. Per gli sviluppi che seguiranno poniamo per brevitY: 0 (R sen ~) ~u --a,

l O\/E ~/~ ~ ~ R cos ~ = .,,

O ( R~v sen¢)=b '

1 O~~~/ G R c o s z ~ n , ~/~

Rsenz x/~ - - r A ~-- -R= .cos . . . . .z.

~/.~

B ~--- ~-q

p,

si aw"5

F'o~/E,~ G o - F : - - F o vE o ( ; , ~ - • o----

l(a t -- m)(p D' -4-q I9" - ~ r D") --(b~-~'t) pD-+ qD'-4-rD'

I ' o(°

+ r']

-4- cos ~

l

(a-km)(pD'-kqD"--rD")--(b--n)

,

+

+ O11 )D-4-qD'--rD'

[

--~

(13)

]

~ - c ~ - ~ (n2--b '~) a ( p D-4-q D') -4-mr D' -4-~[(pD'~r-qD")'~--r2D"~][a(pD-~-ql)')-~-mrD']--

Sviluppando e sostituendo nella parte di terzo grado in D, D', D" per

80

M a n f r e d i n i : SuIla deformazione delte quadriche generali.

D '2, D D " - - K E G, secondo la formula di GAuss, e u g u a g l i a n d o a zero i eoefticienti avremo le equazioni richieste. I1 sistema si pub perb sempliticare perch6 nell'equazione che risulta a n n u l l a n d o il eoefficiente di D ~ D' cio6:

p~b=O n o n pub essere p = 0 quindi dovrgt essere b = O. Infatti se tbsse p-----O, cio~ A + R cos : = O, t e n e n d o eonto a n c h e della (q'~ - - r ~) (a q ÷ m r) = 0 che si ottiene a n n u l l a n d o il coefficiente di D "~D' si avrebbe eontemporaneam e n t e q = - - r = = 0 ow, ero a q q - m r = 0 . Sia a q q - m r = 0 cio~: B

L

1 aVeR= (R sen z) -~ ~/~ i~ v cos z sen z = 0

A e poniamo in questa per R cos ~, - - A , poi per I/G

av

,

aB ~u'

come si ri-

eava dalla II, a v r e m o :

B a(Rsen~) _aBRsen ~u

~u

ed essendo B 4 0, sen ~ =]~ 0, altrimenti dalla V si avrebl)e ~/E-----0, segue : ~l°g(RB ~u

~):0.

(14,)

Inoltre dall'equazione che si ottiene a n n u l l a n d o il coefliciente di D "~ D, .-se p ~ 0 e q ' * - - r ~=1= 0, si ricava n r - b q----0 e sostituendo B ~ (R sen ~)

av

l

~ ~/q R ~ sen ~ cos ~ ---- 0.

VE au

P o n i a m o in questa, come nella preeedente, per - - R cos ~, A, poi al posto di

A ?vIG- il VF au

suo valore dato dalla III, a v r e m o : R sen z

log

B

B

M a n f r e d | n | : Sulla deformazione delle quadriche ge~e~'edi.

quiudi

~

81

= 0, cio6 B - - ~ ~/G ? (v). O r a la (14~) d~l B = R s e n : + (v)

e poich6, per la precedente

lbrmula,

B differ|see

da ~/G-per

uJ]a f u n z i o u e

m o l t i p l i c a t r i c e d e l l a s o l a v p o t r e m o s e m p r e , c a m b i a H d o c o n v e t f i e H i e m e H t e il p a r a m e t r o v, t h r e in m o d o c h e s i a + (v) ~ I. R i s u t t a c o s | B ~ - - R se~J ~. A t l o r a ponendo

u e l l a I I e u e l l a V, A ~ - - R c o s ~, B ~ R s e n ~ si v e d e c h e n o u p o s -

s o n o s u s s i s t e r e se ~ o n 6 I / E = 0. Sia o r a q ~ - - r - ' : 0, a l t r o c a s o p e r cui 6 possibile l'annullamento d e l c o e f l i c i e n t e di D'"-D', sarh o q = r o q ~ r; sostituendo mente, tuito

a q e r i loro valor| avremo

o B ~-

R set~ 6 t h e

il s i s t e m a

nullarsi

si r i d u c e

si })u6 c a m b i a r e

o B:Rsen

sempre

~ i~ - - ¢ .

z, c o m e

p~'ecedente-

al c a s o gih t r a l t a t o

p e r c h i ~ it~

N e l l a p~b = 0 dovr'h d t m ( l u e a~l-

il f a t t o r e b cio6 s a r h - ~ ( R s e ~ ~ ) - ~ ( ) . A b b i a m o v

cosi il s i s i e m ~ :

a p-~- n r - - : ( )

d a l (',oeftieiel)te di I)~ D"

(~)

a q if- m r ~ 0

dal c o e f l i c i e l l t e di D D ' D"

(~)

d a l c o e f l i c i e t l t e di D

(y)

dal c o e f f i c i e u t e di D ' .

(3)

,u ~ --- c o s ~ ~)~'~ E G K = 0 ( m ~ - - a'-') - - c o s "~ ~ (q'~ - - 'r '2) E G K --~- (~ Le equazioni

provenienti

dall'a~nullare

gli a l t r i coeflicieJ~ti del p o l i n o -

m i o (13) s o n o c o l ~ s e g u e n z a d e l l e p r e c e d e n t | e q u e l l e p r o v e n i e l l t i d a l l e a l t r e (12) ( p r e n d e n d o s e m p r e il s e g n o q - ) n o n d f i u n o t o a d | z i o n | n u o v e . N o t i a m o c h e il e o e f f l c i e n t e di D p o t e v a a l l o r a si p r e s e n t a del capitolo

essere

annullato

il c a s o B ~ 0 c h e t r a t t e r e m o

seguente

anche ponendo

a-----0 e t h e

separatamente

in

principio

(*).

(~) Iaihtti s e a ~ 0 le (~,) e (~) dam]o n r - 0, m ~.... 0, s e r ~ 0 sarh R sen ~ = 0 cio6 ~==0 e allora dalla IV segue o K---0, cio~. l a ( S ) ~ sviluppabile, o B - - 0 caso che, come abbiamo gi.h detto, verrh trattato poi anche per q =i=0. Se (S) ?~ sviluppabile potremo i'at'e ~ / E ~ l, ~/~ ~ 1 e aUora le (a) (~) (7) (~) sono soddisfatte e le I, lI, III, IV, V, VI, danno solamente B ~ - v, A ~----- (R + u), quindi distendendo la (S) su un piano tutte le sfere passano per un punto e hanno i centri su uaa tetra del de|to piano, Se fiaalmente abbiamo ,m-----0 e ~ 0, ancora ritx'overemo o B ~ 0 K - - - 0 o A ~ 0 . Se A ~ 0

o K~0

perchi'~ sarh ~ - - ~ ~ 0 '

~u

~ 0 e allora dalta I segue

dalla IV segue "~vR~0 ed essendo R s e n a costautepercM ~,a - ~ b ~ 0 f/

sari~ - ~ - : ~ 0 ; ma allora dalla IV si ha nuovamente B ~ 0 . Annali di Matematica, Serie III, Tomo XVI.

11

82

Manfredini: 8ulla deformazione delle quadriche generali.

P o n i a m o nella (a) per a il suo valore rieavato dalla (}) (~ leeito pereh~ s u p p o n i a m o B =l= 0) si avr'a a ~ = q' cos ~ z E G K, e t o g l i e n d o q u e s t a dalla (S) si avrfi a ~ = r ~ cos ~ , E G K. A b b i a m o eosi le e q u a z i o n i : n = -----cos ~ ~]E G K p

)

a = W- cos z ~/EG K r

({

m = _+ cos ~ ~/E G K q

)

(15)

e si d o v r a n n o p r e n d e r e , in tutte tre, i segni s u p e r i o r i o gl'inferiori; detti segni v e n g o n o stabiliti dalle (~) ([~). S o s t i t u e n d o p e r n, a, m, p, r, q i loro valori e o s s e r v a n d o ehe per la II si h a

A au--V'O perch~ se fosse A = 0

av

la I d a r e b b e 9 ~ / ( 7 - - 0

e allora s a r e b b e n = 0

e lla

p r i m a delle (l 5) d a r e b b e o cos z = (~ o K----- 0 o p = 0, cio~ u n o dei casi gi'~ discussi, si h a : ~u

R

log (R sen ~) u = -T cos z V £ ~ a log B _ + A ~]E R ~u R

J '

(16)

1 :

quindi 91o g [

B

=°

e i n t e g r a n d o B = ~/(TR sen ~ ? (v). D i s p o n e n d o

convenientemente

m e t r o v p o t r e m o fare ~ (v) ---- 1 e si avrh B - - ~ / G R

del para-

sen ~. Rispetto alla falda

(P) dell'inviluppo esiste d u n q u e fi'a le funzioni B, l]G, R, s e u z la relazione s u d d e t t a ; ora n o t i a m o che R ~ positivo a n c h e per la falda (P') e che B n o n deve m u t a r e il suo valore, quindi p e r ( P ' ) si dovrgt p o r r e B = - - ~/CTR sen c. [nsomnm avremo : B = ± VG-R sen ~ (17) sec(mdo t h e ~, ~ positivo o negativo.

M a n f r e d i n i : Sulla deformazione deUe quadriche generali.

83

Possiamo subito ricavare altre relazioni fla. le funzioni ineognite. E liecessario per questo fare alcune trasformazioni su qualcuna delle formule trovate. 0sserviamo prima di tutto c h e l a I e la IV quando si tenga conto della V e VI si possono scrivere: -t- A eosn gE---OK= 0

-P-

O~, OR

Oa O R + e o s ~ n ~ f - d B K = O .

Ou 0v

0v Ou

~h~-

(18) (19)

Ora prendiamo la prima e la seeonda delle (16) e dopo averle seritte sotto la forma

0 (R sen ~) 0u

-- R Sell ~ COS ~ ~]L~

A÷Reos~q-d-K.

I OVF qF a u

n

moltipliehiamole membro a membro e sommando membro a membro l'equazione ehe risulta con l

0~/E ~ (R sen a) -- 0

V~ Ov

Ov

(che ~ vera perch~ ~(R0vSen~) = 0) tenendo eonto della (18). Avrelno 1' equazione differenziale : Ou ~/f a u -~ 0v ~/0 Ov + K ~ / f G s e n ~ e o s ~ = 0 .

1 ~/G

1 ~/E

(20)

(la soluzione ~IZ~ ~ u W av possibile purch~ si supponga K=I=O e cos ~ =1= 0, come si vede tenendo presente la (19)) avremo: Risolviamo la (18) e la (20) rispetto a

1 0VG 1 [serfz0R q~ Or, --~ l eS;~ 0v 1 OqE

I

[ A s e n t 0n

Asen~avl cos~ a

sen ~e OR]

Ma niredini

8~

: S u l l a deformazione deUe quadriche geJ,te,rali.

e s o s t i t u e n d o i v a l o r i t r o v a t i nella V e VI

+cos quindi

cio~ ~, (u)~ quindi

~ = cos ~. Ma si pub fare, c a m b i a n d o il p a r a m e t r o u, ~ (u) =

i

cos

e allora, dalle (21) si ricava A R -q- cos~ -4- u = 0.

(23)

F r a le f u n z i o n i incognite, f u n z i o n i che s o d d i s f a n o a u n sistema, di equazioni differenziali eostituito dalle 6 f o n d a m e n t a l i del § I e d a l l e (~) ([~) (7) (a) ora trovate, s u s s i s t o n o d u n q u e tre relazioni eio~ le (17) (22) (~'~).

~ his. ESAME DE[. CASO F ' ~E,, G,, -- Fg 4:- Fo ~E'o G',, - - F'~ = O.

C o n s i d e r i a m o , per completa.re la d i s c u s s i o n e dei casi particola.ri, le e(luazioni che p r o v e n g o n o da F ' ~IE,, G,, - - Y~, q- Fo ~IE',, G'o - - F ' ] = 0. Si vede subito t h e il ealcolo si svolge in m a n i e r a a n a l o g a s c a m b i a n d o nelle (13) del p a r a g r a f o p r e c e d e n t e b con n e a con - - m . Allora in l u o g o d e l l ' e q u a z i o n e p'~b = 0 (pag. :l~) si avr'a p~u-----0. F a e e i a m o s u b i t o vedere che n o n p u s essere p = O. Se fosse p -= 0 s a r e b b e m q q- a r = O, "re q - - b r --= 0 (eoefficienti di D""-D', D"'-' D) q u i n d i s o s t i t u e n d o colle I I e lII si a v r e b b e a (B 2 - - R: sen'-' z) = 0 au

a ( B'-' - - R ~ sen ' z) = ~ I/G B av

ciob, ~/G B = ~ (v), e m u t a n d o il p a r a m e t r o v, ~/G B -~ 1, B ~ = R -° sen ~ ~ q-- 2 v.

Manfredini:

Sulla deformazione delIe quadriche generali.

85

Allora p o n e n d o nella l I e V pet" B it valore d a t o da~la p r e c e d e n t e e per A il valore - - R cos,3 si vede che q u e s t e e q u a z i o n i n o n p o s s o n o s u s s i s t e r e se non + VE=0

ovvero cos + = 0. E s c l u s o cosi il caso di p = 0 sat'h n = 0, ed

1 09~/GR cos ~ sarh ~ ~ I/G ---- 0 cio~ ~/G = 1. e s s e n d o ~+----- ~I~ v+ Si avr+a a l l o r a tm s i s t e m a a t m l o g o al s i s t e m a (~.) (}) (-r) (8) ling. m p --- b r +-- 0

la)

dal coefliciente di D ~ D"

(~')

mq+ar=O

,,

.

>>D D ' D "

(~')

b ~ - - cos ~ ~ p++ E G K = 0

>,

>',

,> D

(7')

>>

>>

>, D"

(a')

(m + - - ++) -~ cos +++ (q: - - r ~) E G K = 0

N o t i a m o a n c h e qui che il coefi%iente di D poteva esscre a n n u l l a t o a n c h e con m = 0 ,

ma allora - ~ 7 - =

0, q u i n d i (S) & s v i l u p p a b i l e e si ha. u n caso

gi'a t r a t t a t o n e l l ' u l t i m a N0ta. T r a s f o r m a n d o il s i s t e m a p v e e e d e n t e in m o d o a n a l o g o a quello t e n u t o per il s i s t e m a (~¢)(~)(7)(8) a b b i a m o :

a (R sen ~) v

t+.

q~ av a (R sen ~) 0u

= --+-__cos <*(A -}- R cos ~) VR

= +

°,/a-

-

(i6'+

= w- B cos ~ q ~ R

m e n t r e le 6 e q u a z i o n i f o n d a m e n t a l i d i v e n t a n o

(l') A q ~ K = a W a A . av

9v '

([~,) a B _

sen z [a z a R

av

a z aR')

avau

a4+BaWtC0S~,+ OgRg = 0 ; Derivando A-t-Rcosz

j.

a.

'

0U') ~--g=A a+,

+Bq~K=O; bA

OR

(VI') 0v COS ~ + ~ v =

~A r i s p e t t o a v e p o n e n d o per ~ 7

0.

it valore d a t o

86

M a n f r ed i. n i: S u l l a deformazione deite quadriche ge~erali.

dalla VI' abbiamo ~ (A + R cos ~,) = sen ~ 3 (R sen z) e, per la prima delle v cos ~ av (16'), disponendo e o n v e n i e n t e m e n t e del p a r a m e t r o u (A ÷ R cos z) ~/E = 1

(o~)

Eliminando fra le ultime due (16') e la (V'), B cos z-a-J-7.E e t/K si h a : U'U

VF. ÷

a (A ÷ R cos ~) u - - 0 eio~ per la (~) ~~~/~ u - (W?.

Derivando allot'a la s e c o n d a delle (16') rispetto ad u e t e n e n d o conto di questa formula e della formula di GAuss per il valore di K si ha,: COSz ~z E sen ~ = (1 ÷ 3 sen ~ zi ~u"

(~')

Risolviamo ora il sistema da integrate rispetto alle derivate sostituendo colla s e c o n d a delle (16") per ~/K il suo valore. Dalla (I') si ha (essendo sen ~-~i= 0)

~A

A

av - - sen ~ / ~

ai/E ~v

~R

e dalla (VI')

~-v- =

Acos~

~VE

sen ~ ~ V/~ ~ v

Dalla prima delle (16') e dalla preeedente a: ov

2A-+-Reos: R sen

aW

Dalla (IV') e dalla terza delle (16'), sostituendo colle preeedenti aIe au

Bcos~ sen'~

aW av

a~ au

~B Bsen~

aV£ av

1nfine dalla (V') aA __ ~]~ a-u =

B (1 ÷ sen =,;) a VE sen ~ ~ av

Allora scrivendo la condizione d'integrabilit'a fl'a le equazioni elm d a n n o aR aR .... e e telmndo conto di tutte In precedenti ehe d~nno le val'ie d e d v a t e a ,, a7

Manfredini.: S~dla deformazione delle quadrieh,e generali.

delte funzioni ineognite e della formula di G~uss per eliminate ~

87

si

ha:

1 sen ~

~1~.

~v

Colla penultima de[ sistema preeedente elilninando sel~--z~++ B ~ tin e sostit u e n d o inoltre per A ~ / E - - I

il valore - - - R t / E e o s z , se<'ondo la o~, si h a : ~v ~u

E sen z cos ~.

--

Quindi confrontando colla (~) si vede the sono compatibili solo se sen ~ = 0, caso gi5 es(!luso R i a s s u m e n d o possiamo dire the il sistema di equazioni differenziale che l?." . . . . 1~7 " ; = si ha da F',~[~oGo - - F~-~-Fo~I~oG',, 0 ~ iJ~ generale ineompatibile e in casi particolari da sotuzioni di nessuna inq)ortanza.

§ 3. EIAMINAZIONE DELLE FUNZIONt Vl~ A , B~ ])AI, SISTEMA I)A 1NTEGRARE.

Vediamo come si sempliti('a il sistema differenziate trovato nel § 2 elim i n a n d o le funzioni I/E, A, B per mezzo (telle (1.7) (22) (23). L'equazione (~) d~ VGu

u ~/G d log (R sen z) --

R

d u

(a)

e la Ill delle fondameniali, tenendo conto della precedente, sostituendo cio~ per t9 -~~]G ~-T il suo valore d5

-

sen 6

du

T _~-seiT~- "

(b)

La (~.) ci d~t il valore della curvatm-a della superficie ( S ) e s p r e s s a p e r ~ ed R cio~: K-1 [d log' (R sen ~)]~. COS~ q [

d u

J.

(e)

88

M a n f r e d i n i : Sulla deformazione delle quadriche generali.

L'equazione (~) eio~ a q -4- m r = 0 diviene sen ~ _-- .+. G d log (R sen ~) '~ du

(d)

Finalmente la I seritta sotto la forma (18), quando si tenga eonto delle I/G ~sen ~ d~ (a) (e) (d) per eliminate -~-U-' K e ~--~--

sen~ u

G--1

d(Rsen~)

= --uT-

du

(e)

Dalle attre equazioni non si rieavano condizioni nuove perch(? la II u n a eonseguenza della (a) e della (e); la IV ~ eonseguenza delle (e) e (d); ta V e VI sono identieamente soddisfatte e finatmente la (,~) ~ eonseguenza delle (d) e (e). I1 sistema da integrate si riduee eosi alle equazioni (a) (b) (e) (d)(e). Determiniamo la funzione R sen z della sola u. Trasformiamo la (c) tenendo conto dell'equazione di Gauss cio~: a V~I

e ponendo ~]E = cos ~. " 1

'

1

(~ COS ~ ~V

]

__

~/G [d log (R sen z)]-'. cos ~ z

0 r a in questa sostituiamo per ----e~O'u¢~ ~ cOSovq

~ u

i loro valori dati dalle

fornmle (a) e (d)

[ ~_ty_G "-- d, log(Rsenz) ] ~ ~ v [ ~]-d d ( R sen z)] u[Rcos~ du Reos~ ~u J, VG [.d log (R sen ~)I ~ eos'~ ~ [ ~ I" Dobbiamo ora sviluppare, cio6 derivare rispetto a u e v le espressioni fi'a pal'entesi del l)rimo membro tenendo eonto delle (a) e (b) per le deriiTate di x/G e delle (d), (e) per le derivate di R eos ~. Avremo allora la seguente

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche generali.

89

equazione differenziale per la funzione R sen

u

d~log(Rsen z) d log (R sen z) _ 2 u [d log (R sen z)]~= O" du ~ +~ du du

Questa equazione con una prima integrazione d'~ d log (R sen ~,) _ 1 du -- ~ u ( l ± c'u) dove c~ ~ una costante positiva. Con una seeonda integrazione abbiamo 1

u

cl

log (R sell ~) =-~- log 1~-+~C~--~i+ log ~£ indieando con c, un'altra eostante. Di qui si rieava Rsen~=

e1

/--u

.......

~ - Vl --~c~u

Se conveniamo di prendere il valore positivo del radicale dovremo prendere c~ positivo quando ~ ~ positivo e c, negativo quando, per la seeonda falda, cambiamo ~ in - - z .

CAPITOI~O 11.

In questo Capitolo troveremo tutte le superiicie (S) the risolvono il problema che ei siamo proposto eseludendo solo il easo delle due falde ( P ) ( P ' ) parallele alla superficie dei eentri (S,), easo che fu gi'h eonsiderato in nota a pag. 77. Riprendiamo percib le equazioni fondamentali e vediamo come cambiano, insieme a quelle della cot~rispondenza conforme, quando z ~ 0, tratteremo poi il caso B = 0 che fu pure eseluso e flnahnente svolgeremo il caso generale.

Annali di Matematica, Serie III, Tomo XVI.

1~2

90

M a n f r e d i n i : Sulla deformazio~e delle quadriche generali.

§ 1. CAso ~ = 0 . Le due falde (P) e ( P ' ) c o i n c i d o n o quindi le condizioni della corrispondenza conforme, come si pub veriticare anche analiticamente, sono soddisfatte. La IV, delle fondamentali, per z ---- 0 dh o K = 0 o B---- 0; m a il caso K----- 0 fu gi'~ trattato in nota a pag. 81 quindi ci resta solo da vedere come cambiano le equazioni t b n d a m e n t a l i p o n e n d o ~, ~ 0 e B = 0. Dalla I[ si ha, non p o t e n d o essere e v i d e n t e m e n t e A = 0, ~I/E v = 0 quindi, c a m b i a n d o il p a r a m e t r o u, ~E-----1 cio~ le linee v, sulla superticie (S), sono geodetiche. La II[ e la V e VI insieme d'hnno rispettivamente

~u

A+R-----u e la I ~ u n a c o n s e g u e n z a della prima delle preeedenti. L ' e l e m e n t o lineare della superticie (S) d s ~ ---- d u ~ + e -JR+" d v ~ dove R ~ u n a funzione arbitraria. La (S) non ~ d u n q u e determinata, s~rh applicahile sopra una superticie di rotazione solo q u a n d o R ~ Una funzione della sola u.

§ 2. Caso B = 0 .

Se poniamo B = 0 nella II avremo ~--E = 0 quindi, come nel caso pre~v cedente, ~/E = 1 cio~ le linee v sono geodetiche della superiicie (S). Ci6 del resto risulta anche geometricamente. Infatti se B = 0 te tangenti a l l e v di (S) sono anehe tangenti a (S,) cio~ (S) e (S,) sono falde focali di u n a c o n g r u e n z a e poich~ i piani focali sono ortogonali, la c o n g r u e n z a ~ n o n n a l e cio~ (S)

M a n f r e di n i : S u l l a deformazione deUe quadriche .qe,~erali.

91

e (S,) sono due evolute di u n a stessa evolvente. Dalla VI si ricava ~R v ma essendo

--

COS

~

~A av

-

a (R sen ~) = 0 si avr& a n c h e v a~, s e n ~ OA av R ~v

S o s t i t u e n d o q u e s t o valore di a-;v nella IV, d o p o avere fatto t/~,'= l e B = 0 avremo:

a A._[a:

sen

- -R( 1

Ov [ a u Ma dalla V si h a :

(, +}:)

+-~u)Ja All sen * =0. OR COS

a

au

--

aA quindi s o s t i t u e n d o per I -I-~-u il vatore ricavato da q u e s t ' u l t i m a si ha:

l aA a ( R s e t : . ) = 0 .

R by

au

In q u e s t a e q u a z i o n e n o n potr/~ essere ~ (R~sen u ,)0

perclff~ si ritorne-

rebbe a uno dei casi gi~ trattati, lnfatti d o v e n d o essere soddisfatta anche la (~) (pag. 81) sar'a o ~~/nG - - O

e a]lora K-~-O,

o sen:-~O

ciob , = 0

OA ~R t h e ~ il caso precedente. Sarfi. d u n q u e ~-~j = 0. Atlora dalta VI segue 0-v- - - 0 e da a (Ravsen ~,) = 0 anche

as

= 0. F i n a l m e n t e la Ill ci m o s t r a che anche

qG, c o m e :, R, A ~ u n a f u n z i o n e della, sola u. I1 sistema che d o b b i a m o integrare in questo caso particolare ~ il seguente /

du

,.

du

du]'

M a n f r e d i n i : Sulle de[ormazio~i delle quadriche generali.

92

dA) 1 -+-d--u cos ~, - -

dR du

V'

dlog~/G ~ ( A ) du ~ + cos ~ t/~:

('~')

d log (R sen ~) du = ~ cos ~ q~:

(~')

e le equazioni p r o v e n g o n o r i s p e t t i v a m e n t e dalle l, [II, V, (y), (~). Nelle ultime due si d o v r a n n o p r e n d e r e c o n t e m p o r a n e a m e n t e i segni superiori o gl'inferiori secondo la (~) che ~ u n a c o n s e g u e n z a di esse; n o t i a m o a n c h e che la I' si ottiene derivando la III'. E l i m i n i a m o R nella (~') per mezzo della (,[') t e n e n d o conto della. V' per - -R e della I' per eliminare d l o g q ~ { si esclude facilmente che possa essere

~u

du

\

1 ~ oA =0~ si ha ou

]

dA) 1 l dz 0 ! -4- d-u- ~ l - - t - s e n ~ c o s ~ du~-e per la III' d l o g qG ~ d log (A tang ~)

du

du

e integrando VG = ? (v) A t a n g ~. C a m b i a n d o il p a r a m e t r o v p o r r e m o \/G = ___ A t a n g c o n v e u e n d o di p r e n d e r e il segno - ~ per la falda (P) e il segno - - per la falda (P'). C~onsiderando solo la (P) eliminiamo A dal sistema per mezzo della p r e c e d e n t e o s s e r v a n d o che i calcoli per ]a (P') sono m a n i f e s t a m e n t e identici. Si avrh, : d ~/G = - - tang ~

(i)

~/G cos ~ da sen -~ du

(o.)

du

dR du

d a

R " s e l l -~ (~

da

~/G cot ~~ (R sen ~, ~- ~/G)

(3)

Ma~fredirti : Sulla deformazione delle quadriche generali.

93

o s s e r v a n d o che nella (3) ~ leeito dividere per R sen z + ~/G, perch~ se fosse R sen ~-4-~]~ = 0 la (.{) e la llI' sarebbero incompatibili, e c h e l a ($') ~ u n a c o n s e g u e n z a della (V') e della (7). Per mezzo delle (3) c a m b i a m o helle (1) e (~) la variabile i n d i p e n d e n t e u in d ~]G = _ ~/G cot ~ (R sen ~ + !/6t) ~ d¢ R" sen ~ ¢ dR

V¢~ cos sen ~ ~

d

ed e l i m i n i a m o R d e r i v a n d o la p r i m a rispetto a ¢, si otterrh cosi la s e g u e n t e equazione differenziale p e r l/G

d"q-G d~

3 ¢~ \--~-~-] {dV-G~"- - 2 c o t ( 2 ~ ) d ~~/-/ ~~ = 0.

Con u n a p r i m a integrazione si ha. 3

dVG=c, de

GT s e n 2

e successivamente ~/¢, cos ~ ~ -4- c~ L ' e t e m e n t o lineare, m u t a n d o le costa, nti c,, c, delia fornmla p r e c e d e n t e e o s s e r v a n d o che

dW du

dqO do d,: d u = - - t a n g

si potrh scrivere:

1

[

]

ds ~ ~__c, sen ~ ~ + c~ (ci sen~-~ + o~)~ d ~ -~- d v ~ . C o m e a b b i a m o osservato in principio di questo paragrafo (S) e (S,) sono due falde ibcali di u n a c o n g r u e n z a n o r m a l e cio~ si p o s s o n o considerare c o m e due evolute di una stessa evoluente e poich~ la (4), che d'h l'elemento lineare di (S) d i m o s t r a che (S) ~ applicabile sopra u n a superficie di rotazione, per il t e o r e m a di W E I N G A R T E N , a n c h e ($1) sara applicabile s o p r a u n a superiicie di rotazione. Calcoliamo l ' e l e m e n t o lineare di ($1), cio~ della c o m p l e m e n t a r e

9~

Mce n f r e di rti: Sulla deformazione detle quadriche generali.

di (S) rispetto alle geodetiche v e v e d r e m o che (S,) ~ applicabile su u n a quadrica di rotazione. Si sa che se d s°'= d u ~ + r~d v ~, dove r ~ u n a funzione della sola u, l'elemento iineare di u n a superficie riferita a un sistema di geodetiche v e alle traiettorie ortogonali u, l'elemento lineare della c o m p l e m e n t a r e rispetto alle geodetiche v ~ dato da d s,2

=

(rr") 2 ~

duo--~

d v~ r, ~

(v. BL~NCm, VO1. I, ~ 136") dove d v, ~---r (D d u + D' d v), per la formula di CODAZZ~, ~ u n differenziale esatto. Nel n o s t r o caso essendo d s'o- = d u~ + G d v ~

si ha:

[~d~ ~/G| =/__ d:' t[du/

d v~

J

e ponendo

per l'elemento lineare della superficie (S,) si ha d 0.2 d 8 t:~ ------:

sen ' 0. (c~ sen ~0. + c~) + coto- 0. d v~.

Nel caso di co- == 0 questo ~ l'elemento lineare del paral)(~loide di rotazione (B~ANCHI, VOl. [[, § ~57). Se co--i:-0 l'elemento lineare trovato appartiene a un ellissoide di rotazione o a u n iperboloide di rotazione a due falde (B~NCHI, VO1. II, § 258). R i a s s u m e n d o : Nel caso di B - ~ 0 la superficie (S) ~ applicabile sulla complementare di u~a quadrica di rotazione a p u n t i ellittici. Notiamo che p e r i teoremi di GUICHARD le due falde (P), (P') sono due superiicie m i n i m e q u a n d o (S) 6 la c o m p l e m e n t a r e del paraboloide di rotazione e sono d u e superiicie a c u r v a t u r a m e d i a eostante q u a n d o (S) ~ ]a c o m p l e m e n t a r e di u n ellissoide o di u n iperboloide di rotazione.

M a n f r e d i n i : Sttlla deformazione delle quadriche generali.

95

'§ 3. I~'TEGRAZlONEDEL SISTEMA (a) (b) (d) (e). DISTINZlONE DEI VARI CASI. Riprendiamo le tbrmole in line del Capitolo I per trattare il caso genetale. Abbiamo veduto che il sistema da integrare b, costituito dalle equazioni (a) (b) (d) (e) in cui R sen a, o t t e n u t o coll'integrazione della (c), ~ dato dalla formula (24) cio~:

,/i.I ~ c u ~u R s e n a = , 2 - c, V

(5)

Vediamo come si pub determinate la funzione ~/G the in questo easo funzione di u e ,v. Sar'~ necessario, come ora vedremo, suddividere il calcolo in tre distinti secondo che si ha -/-c ', - - d , o c - 0. Seri;¢endo le eondizioni d'integvabilitt~ fra le equazioni d e e abbiamo: G d~ log d(Ru'sen ~) _~_2 \/G -~l/O)~-d log (Rdusen ~) _ ~)_VGu ~~q-~v el (RdSenu~) -- 0. l)alht (5) e da d log d(Ru sen ~) ~-- 2 u (1 +__ 1 c~u) derivando e sostituendo nella precedente si ha

q8 "

,o,

q~

~----4-- - -~ q! + c ~ u

~ qG ~ v

t +_ °2 c~ u q ~ = 0.

(6)

~2 (1 ± c ~ u )

Per integrate questa equazione lineare alle derivate parziali consideriamo il sistema du

2 ~ / i ± c~ u

~(l +_.c~

T

da cui v = - - - ~ -0,W t~•( I ± cau :U

i t-~

log ~/~ : .t' u1 (~--2 c~ Uu) d u-4-1og?' l~c ~

i (7) )

dove t~ e ~' sono due costanti. Per avere l'integrale generale della (6) ha-

96

Manfredini:

Sulla deformazione deUe quadriche generali.

ster~t fare ?' f u n z i o n e a r b i t r a r i a di ~, r i c a v a t a dalla prima delle (7). P e r poi d e t e r m i n a r e q u e s t a f u n z i o n e a r b i t r a r i a ~ d o v r e m o t e n e r c o n t o delle altre e q u a z i o n i del sistema. Dalla p r i m a delle (7) si d e d u c e , e s s e n d o v reale, che nel caso di + c ~, 1 u potr~ p r e u d e r e valori positivi d a o a ~ e valori uegativi tali che i u ! ~ ~ ; 1 nel caso invece di - - c t, u dovr~ p r e n d e r e valori positivi m i n o r i di c~ e n e s s u n valore n e g a t i v o e nel caso di c = 0 valori positivi q u a l u n q u e m a n e s s u n valore negativo. P r i m a di p r o s e g u i r e n e l l ' i n t e g r a z i o n e c a m b i a m o u p o n e n d o nel c a s o di + c ~, c 2 u = senh~ u, ; uet c a s o di - - c ~, c-" u ---- sen ~ u, e intine per c = 0, ~/u -----u~

§ 4. CAso (+d). Mutiamo, c o m e a b b i a m o detto, ¢~u in s e n h '~ u , , le (7) h l t e g r a t e d'~nno v--

6

u,+,~

log VG ~ log (senh u, c o s h u,) + log ?'. Quindi, i a d i c a n d o della (6) sat'h:

con y u n a

funzione arbitraria,

l' integrale

generale

(°,)

VO ~- s e n h u, e o s h u~ ? v +

~-- u~ .

P e r d e t e r m i n a r e la f u n z i o n e ~. o s s e r v i a m o c h e l a P..

R sen n = ~cc f a u g h

Ul

(5) diviene

(s)

e q u i n d i la (a) e la (d) d'~nno ---- c--~t a n g h u, sen ~ - - + c~ G v - - ~2s e n h -°u, c o s h ~ u,

(9)

(10)

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche generali.

97

Dalla (9) moltiplicando per sen q e sostituendo per R sen ~ il suo valore dato dalla (8). si ha sen ~ ~

cc~ 0 log~/G. 2 0u

(11)

Ma derivando il valore di ~/G trovato e dividendo per ~/G si h a : log ~/G i + 2 s e n h '~u~ + c, ~' 0u~ = s e n h u , cosh u, c -~ quindi per la (11) sen~--

c c, I + 2 s e n h ~ u, ~_ ~ _?..i. 2 sen]] u~ cosh u, - - ~

D'altra parte la (d) sostituendo per G il suo valore d'~ 0 sen

quindi sarh

~

c '~

0 [cc~ l + 2 s e n h u , v

2

+ ci "?']

s e n h u , coshu~

2

~

c~ . --= 2 '?~

cio~

Per integrate q u e s t a equazione basta integrare ~-~ tiene dalla p r e c e d e n t e c a m b i a n d o ~ in -c- % o p p u r e ~/-7:

~__

C, ) l n d i c a n d o con V? il valore assoluto di u n a costante si h a : d log ~?~ ~/~ + ~ dl

e integrando n u o v a m e n t e ~ _ _1 sett. senh ~-

(net caso di + ??)

_

(nel caso di - - ~ 2 )

1 sett. sen 1

(nel caso di /J. ~ 0).

Annali di Matematica, Serie III, Tomo XVI.

13

98

Manfredini

: S u U a d e f o r m a z i o n e delle q u a d r i c h e generali.

La costante addittiva di questa seconda integrazione si pub sempre supc1 porte nulta perch6 essendo ~ ~ v -+- -c- u, equivale a cambiare il parametro v in v q - k (kcostante). Si h a n n o d u n q u e tre fbrme per la funzione ~ che si ottengono risolvendo le precedenti e ricordando the prima dell'integrazione abbiamo mutato ~ in ~ ~ _

abbiamo

~. c~ ~ senhtJ. (v-+- ~ u,) V-

~-

c,

(nel caso di ~ Is.'~)

(12)

(nel caso di - - ~ )

c sen ~. (v q - - ~ ul)

~~

c~

(nel caso di t ~ = 0 )

C v -[- C, U,

:

il caso di - ~ c '~ si suddivide d u n q u e in tre che ora tratteremo separatamente (q- ~,J). -- Sostituendo il valore di y dato dalla prima detle (12) nella formula che dh ~G e cambiando ~u~ in u, e ~.v in vl si ha ~]~ -= _

~ v, senh u, ~ c, l c senh v, + ~ - u,)

(13)

[)erivando rispetto a u, e sostituendo nella (11) sen ~ = e c~ eotgh u, ~ -~-~ eotgh v, q-

u,

(14)

quindi ]'elemento lineare della superficie (S) d s 2 -~ E d u* -+- G d v '~

essendo ~/E ---- cos a, d u --

senh u, 2c ~ d u , ,

d vl dr--

Y.

diverr'h, tenendo conto

anche delle (13) e (14) C1 --

eotgh u, - - ~

eotgh ,v~ + - ~ u~

d u{ q l-I, C,

senh ~ v, . + ~ - u,

M a n f r e d i n i : SuUa deformazione delle quadriche generali.

99

P e r trovare l'equazione di u n a delle superficie (S) il cui elemento lineare ha la f o r m a p r e c e d e n t e conviene camt)iare le v, della superficie p o n e n d o 0 ~ v~ ÷ ~ - - ~ u,, allora l'elemento lineare, a meno di u n a costante moltiplicativa si pub scrivere d ~.~ ~ senh ~ u,

[ 2 c senh 0

senh 0

--(cotgh ul -- cotgh O)du -l- c-- j1 quindi si pu6 porre d z ~ ~ senh~ u-----Ad u~ G~ 6~

[~,. c, dy+idx=senhu'[2c

du, senh ~)

[7. c~ d u, d y - - i d x = senh u, [ 2 c s e n h 0

dO senh ~)

+(co,g.o,

,o

-- ~]--cotgh

°) d

d0 senh 0

I fattori integranti delle due ultime espressioni differenziali s a r a n n o ris p e t t i v a m e n t e l -4-senhCOSh00 e - - 1 --senhCOSh{}0 il cui prodotto ~ 1. Si avrfi cosi: i d x -=

~.c, 2-c senh u, d u, A-- cosl! u, cotgh t) d u,

senh u, senh ~ 0 d 0

cosh u, cosh 0 d y - - senh 0 d u, - - s e n h u, senh.~------6d e dz

s e n h u, .

.

.

.

66~

du,

e i n t e g r a n d o si ha ix=

- - - ~-~ - cosh u, -+- s e n h u, cotgh 0

s e n h u~ Y -- senh 0 eosh u, 66t

(i+')

100

Martfredini:

Sulla deformazione deUe quadriche generali.

Per avere 1' equazione di (S) basterh eliminare u, e 0 helle formule prey. C~ cedenti; poniamo per brevith o ~ - ~ ~, cc, = ~ si ha: x ~+y'~ + ~'~ (i - - ~'~)z ~ - - 2 i:¢ ~ x z - - 1 = O. La superficie (S) ~ dunque una quadrica a centro immaginaria. Le linee u, sono, come risulta dall'ultima delle (1¥), quelle che si ottengono tagliando la superficie con piani paralleli al piano z ~ 0 esse sono cio/~ i circoli di un sistema. Vedremo in seguito, dopo fatta l'integrazione negli altri casi, come si possono generare le due superiicid (P) e (P') cio~ le due falde dell'inviluppo di sfere che si corrispondono per similitudine delle patti infinitesime per tutte le flessioni della superficie (S). ( - - y . ~ ) . - Cerchiamo l'equazione della (S) quando per y si prenda la seconda delle (i2). Si avr~ prima di tutto: y.c, e poi, con ua calcolo de! tutto analogo, si avrfi: i y -- senh u, sen 0 x ---- ~ Z--

(15)

cosh u, + senh u~ cotg 0

cosh u, 001

ponendo anche qui 2C--~ y c, ~' c c~ = ~ ed eliminando u, e 0 si h a : x~ + y ~ + ( ~

+ l)~ z~--2~xz--

l =O

1 ciob un ellissoide reale che ~ compreso fra i piani paralleli z = -~-, z = - - ~1- ,

per6 la parte di esso che d~t origine alle due falde (P), (P') dell'inviluppo di sfere ~ ta parte immaginaria come risulta dalie formule (15), perch,, per 1

l'ultima, z ~ sempre maggiore in valore assoluto di ~- per qualunque valore del parametro u~.

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche ge~erali.

(~. = 0). - - Ora p r e n d i a m o p e r y la t e r z a delle (12) cio~ ~ ----- - -

101

(31

(3v --}- C1 ~Z

P o n i a m o c o m e nei easi p r e e e d e n t i u~ al p o s t o di 2 u~ saris: (31

(3~

t

sen a = c (3, c o t g h u, --- -d~f

Ol

(31

Cambiando nell'elemento lineare v-~-a-u, d s 2 = s e n h '~ u ,

in 0 si a v r h :

I __ cotgh.~ uj d - c~ cotgh(3 0 u , it d n~

c~ d(3u~Fd 0 t-

e si pot~'h p o r r e d x = c o s h u~

d u, -J

0~ d- 1 i d y = - - cosh u~ --2.-:0- d u,

dz--

s e n h ul

(3(31

s e n h u, (0~ ~_ 1) d 0 ~ 0~

c, s e n h u~ d u, 2 (3

s e a h u, c~ s e n h u~ d u, 20 ~ (0 -~- - 1) d 0 d 2c

du~

e integrando x =

s e n h ul 0 '~ - - 1 20

Cl c o s h ui 2c

2-~coshu, i y = - - s e n h ul -0 ~~+ J 20 dsenh u o (31

~

i I

(16)

]

q u i n d i e l i m i n a n d o ul e O.

x+

z ÷

y+i~z

=l--c~c~z ~

k

a b b i a m o cio~ u n a quadrica a centro imaginaria. O s s e r v i a m o che in q u e s t o caso le due falde (P) (P') d e l i ' i n v i l u p p o di sfere s o n o g e n e r a t e dai p u n t i delia q u a d r i c a per i quali z >

ERRATA-CORRIGE :

1

-c-c~ c o m e r i s u l t a

|02

Manfredini:

SuUa deformazione delle quadriche generali.

dalle (16). Le tre quadriche fin qui trovate h a n n o a c o m u n e nel piano z = 0 1 il cireolo reale x ~+y"-----1; inoltre esse toccano i piani paralleli z = + ~ - , 1 z - - - - - - - - ~ ($ = c o , )

in p u n t i differenti che sono p u n t i circolari per ciascuna

delle quadriche.

§ 5. CAso (--d). Le formule t h e si trovano differiscono dalle a n a l o g h e nel caso di ( + c ~) solo per il c a m b i a m e n t o delle funzioni iperboliche in funzioni circolari. Pon e n d o nelle (7) d u--=-sen u, si ha (17)

Ed essendo R sen z = c, tang u, e senz----- c c~ ~ log ~/G , facendo calcoli 2c 2 ~u~ anaioghi a quelli del caso ( + c ~) si trova per ~ la stessa equazione differenziale quindi a v r e m o tre funzioni ~ c o r r i s p o n d e n t i r i s p e t t i v a m e n t e a + u?, --V?, ~ . = 0 . ( + ,u.~). - - P o n i a m o i! primo valore della, funzione $ helle (17) e facciamo V'-'v= v, m e t t e n d o inoltre u, al posto di 2 u, si ha ~/~ =

__

~ c,

sen u,

2 c senh v, + 2 c sen q -----e e, eotg u, - -

v cotgh

u,

v~ + g ? - u,

p o n i a m o v, +4- - ~ g~ = 0 e a n a l o g a m e n t e al caso di ( + c ~) risulter~ :

d £ = sen~ u' i c" . . . c~ .

(~~2 ~o], ~

cotg ~ u, + t'T -c, cotg u, cotgh 01 d u,~ --

u. cl d u , dO dO ~ ] c senh" 0 + s e n h ~ 0-

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche gen, erali.

103

per le c o o r d i n a t e x, y, z di un p u n t o di (S) si h a : sen ul Y ~-- senh 0 p- Cj

ix ~ ~

'~

cos u~ + sen u, cotgh 0

COS U I 0 Cj

f

08)

!

Eliminiamo ora u~ e 0 e aw:emo l'equazione

x,~ + y,~ _ (~.2_+ i ) ~ z,~ _ 2 i ~ ~ x z + 1 ~ - 0 !J' ~1 dove a bbianlo p o s t o ~ c =

~'' c c, = ~. A b b i a m o cosl u n a n u o v a quadrica a

centro i m m a g i n a r i a che ha a c o m u n e colla quadrica del caso ( + c ~) (+p.~) le generatrici isotrope x~icc-~-iy~O

x--i~--iy--=O

1 situate nel piano z =-p- e le generatriei i s o t r o p e

x+i~+iy~O situate nel piano z = - - ~ -

x~,-i:c--iy=O

1

( - - ? . ~ ) . - P e r a v e r e le formule corrispondenti a q u e s t o caso baster~ p r e n d e r e quelle del caso ( + c '~) ( - - p ? ) e m u t a t e in esse le funzioni iperboliche di ul in funzioni circolari. I n t e g r a n d o a b b i a m o : i y -----senu~ sen 0 x ~ -- ~

cos ul + sen u, cotg 0

COS ~1

E l i m i n a n d o u, e 0 e p o n e n d o , come nei casi precedenti, :z cl

(19)

M a n f r e d i n i : Sulla deformazione delle quadriche generali.

104

si ha x ~+y~+(~-

1)~z ~-2

~ ~xz÷l

~0

quindi la q u a d r i c a ~ reale e p r e c i s a m e n t e un iperboloide a due falde. Bisogna osservare, c o m e risulta dalle (19), che le d u e ihlde (P), (P') si o t t e n g o n o dalla parte i m m a g i n a r i a di q u e s t a q u a d r i c a cio~ dalla parte coral

1

presa fra i piani paralleli z = ~ - ,

z ~-----~.

Questo iperboloide e r elis-

soide reale del caso (-F-S) (--7-~) h a n n o a c o m u u e le generatrici isotrope 1 x - - a H- i y -----O, x - - ~ - - i y -~--0 poste tlel piano z ~ 77 e le generatrici isoF

1 t r o p e x -~- ~ -I- i y = O, x -{- ~ ~- i y ~ 0 poste nel piano z = - - -~- •

(~-~ 0). - - Le formule relative si o t t e r r a n n o da quelle del caso (-~c ~) (g.-~ O) c a m b i a n d o le funzioni iperboliche in funzioni circolari. E s e g u e a d o l'integrazione a b b i a m o 0 ~ --

x~senu, iy------senu~ Z~

~0

I

Cl COS U I

~

0~ -~ 1 20

2c

i

cl cos u~ 2c

~

COS U I

(s0)

I

E l i m i n a n d o u, e 0 a b b i a m o l'equazione della quadrica (~i Z - -

cio~ u n a quadrica immaginaria a centro. La parte che dfi le superficie (P) (P') quella c o m p r e s a fra. i piani paralleli z - ~ -

1

z-

C61 ~

I

. Questa q u a d r i c a

CC 1

interseca quella dei caso (-~-c ~) (g.-~ O) secondo le generatrici isotrope

G

Manfredini: Sulla deformazione deUe quadriche generali.

poste nel piano z = - -

1

e s e e o n d o be altre due generatriei isotrope

x - - i y - - - - ~ClO

x+iy=O poste nel p i a n o z . . . . . . . .

105

1

0

.

Osserviamo ehe le tre q u a d r i e h e trovate net easo (--c") h a n n o a com u n e nel p i a n o z = 0 il eireolo i m a g i n a r i o x ~ + y~ ÷ 1 = 0.

§ 6. CAso c = : 0 .

Le formule (7) nel caso di c - ~ 0 d i v e n t a n o

l(du+ log ~]G = j

'd~uU+ log ~'.

Per l'integrazione p o n i a m o ~/u = u,, si h a :

v = --ct ul +p

quindi l'integrale generale sarh VG -----ul ~ (v + ol u,).

II valore di R sen ~ in i h n z i o n e della n u o v a variabile u~ ~ dato da Cl

R sen ~ -----~- u . Le equazioni (d) (a) del Capitolo I d i v e n g o n o r i s p e t t i v a m e n t e

sen ~

G

R ~ q~

A n n a l i d i Matematica, Serie III, Tomo XVI.

(a')

q~ 14

106

Manfredini:

Sulla deformazione deIle quadriche generali:

Datla seconda si ha, come nei casi gi~t trattati seII

cl b log VG 2 ~ u~

~ ---~ - -

(22)

Derivando la (21) rispetto a u~ e dividendo per ~/G si ha,: log ~/G 0 ul

1 + at ~' u~ ?

quindi s o s t i t u e n d o nella (22) sen ~ = -~

+

•

Derivando q u e s t a rispetto a v e c o n f r o n t a n d o colic (a') si avr~ l'equazione differenziale

P r o c e d e n d o in m o d o analogo ai casi precedenti si trovano le funzioni 8-c~ = - - s e n h ~. (v + cl ul)

(nel caso di + v?) (nel caso di - - ?.~)

sen t~.(v + c~ u~)

(nel caso di ,~ = 0).

v + c~ u~

V e d i a m o quail sono le superiicie (S) corrispondenti. ( + ~'~). - - Per le due funzioni ~/G e sen ~ r i c o r d a n d o la (21) e la (22) avremo

_

~/G= sen

a =

(~1

~ u~

~u.C 1 U ~ senh• (v + c, u,) u.G~

,

l

'-2- cough ~. (v + cl ul).

Scriviamo t'elemento lineare della superficie p o n e n d o 7. v = v ~

e u, al

Manfredini

: S u l l a deformazione delle quadriche generali.

107

posto di ~. c, u, avremo : d s ~ = u~ i ~

-- ul

eotgh (v, -~- u,)

du~ -4- senh ~ (v, + u.,) "

Per trovare i tre differenziali che integrati d'hnno le coordinate x, y, z, di un punto di (S) poniamo d z ---=~. c--Yd u,

(23)

allora baster~t moltiplicare ul d r , d x -+- i d y ~ senh (u~ -t- v,) d - ( 1 -

u, cotgh ( v , - + - u , ) ) d u ,

ul d vl d ~ - - i d y ~ senh (u~ --[- v,) - - ( l -

ul cotgh (v, d - u , ) ) a u ,

e

rispetfivamente per tagh-~-1 (u',--t-v,) e eotgh -21 ( u , - b v,) il cut prodotto ~ 1 per ottenere due differenziali esatti. Integrando pot le espressioni ottenute e la (23) si ha $/'i

senh (u, -~- v,) i y = ul cotgh (u1-4- v,) -[ u~ •

2

u~ ~

,

°

,.. c] Eliminando ul, vl si ha l'equazione : x~ -+- Y ~

~

- - i ~" c~ y z -4- F"cl z - O

cio~ un paraboloide i m a g i n a r i o in cut le ul sono circoli e le v, le loro traiettorie ortogonali; il piano z~--0 tocca il paraboloide in uno dei punti circolari. (--i.~l. -- Le formole relative a questo caso si ottengono da quelle del caso precedente cambiando le funzioni iperboliche in funzioni circolari. Integrando ed eliminando le variabili u, v, vediamo, nel medesimo modo, che otteniamo lo stesso paraboloide del caso precedente.

108

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche generali.

c1

(~. = 0 ) . - - In questo caso~ si ha ? ~--

quindi

L' elemento lineare d s °', quando si ponga u, al posto di c, u~ sarh

(:

v-+-u,1

d u~ -4- (v + u~ )~J

Si potrfi porre dx q-idy

=u, dv-+-vdu~

d0~idy--~,v÷uy~dv dz'--

( v + u " ~ du,

2W~ dul

quindi i~tegrando x - 4 - i y--~u, v o~ -- i Y -~ -2- v _+_u-~ u~

Eliminando u, e v abbiamo l'equazione x" ~ y~ q-c~ x z - - i c ~ y z

x

y

~ z

Otteniamo ciob aacora un paraboloide. Se consideriamo l'equazione dei due piani che dal!'origine degli assi proiettano]e generatrici del paraboh)ide giacenti sul piano all' infinito cio~ ( x - ~ i y-~- c~ z) (o~ - - i y) --- O vediamo che il piano x - - i y ~ 0 ~ tangente al cono che dall'origine proietta l'assoluto quindi possiamo dire che nel caso di y--~ 0 abbiamo un paraboloide imagiuario che tocca l'assoluto.

Mart[red~ni: Sulh~ deforma~zio~e delle quadriche genercdi.

109

§ 7. GENERAZrONE DELSE FALDE (P) e (P'). INVnRSmNE DEL TEOREMA DI D*RBOUX. V e d i a m o ora come si p o s s o n o generare le superficie (P) e (P') e prend i a m o per e s e m p i o la quadrica a centro imaginaria c o r r i s p o n d e n t e al caso ( ~ - c ~) (~-~.~) la cui equazione x ~ -t- y~ q- (1 - - ¢¢~)~ z ~ - - 2 i ~ ~ x z - - 1 ~ 0. I C o n s i d e r i a m o il p i a n o z ~ ~ - , esso ~ t a n g e n t e alla q u a d r i c a c o n s i d e r a t a e la taglia helle due generatrici isotrope

y--ix

--~ ~ - - O

y-~-ix-~-~-~-O.

D i m o s t r e r e m o ora che i p u n t i P, P ' sono i p u n t i d ' i n t e r s e z i o n e delle rette isotrope precedenti col piano t a n g e n t e alla quadric~t (S) nel p u n t o x y z, cio~ c h e t e superticie (P) (P'), q u a n d o la q u a d r i c a n o n ~ deformata, si ri• d u c o n o alle generatrici isotrope stesse. Infatti le coordinate di P, rispetto agli assi ortogonali costituiti dalle tangenti alle u e v nel piano t a n g e n t e alla q u a d r i c a nel p u n t o S, sono, c o m e s a p p i a m o A -t- R cos % B -t- R sen % quindi indicando, come gih a b b i a m o fatto con xo Yo Zo le coordinate di P, con X, Y, Z, i coseni di direzione della taugente alla v e X~ Y~ Z~ quelli della t a n g e n t e alla u a v r e m o : x0 = x + (A + R cos ~) XI + (B -~- R sen ~) X~ yo ~ y -~- (A -t- R cos z) Y, ~- (B -~- R sen ~) :Y~ Zo ~ z -~ (A + R cos ~) Z, -t- (B + R sen ~) Z~ (le coordinate di P ' si o t t e r r a n n o c a m b i a n d o z in --q). R i c o r d a n d o ora le relazioni (17), (22), (23) del Capitolo I e le fin'mule che d a n n o i coseni di direzione delle t a n g e u t i alle tinee coordinate u, v abbiamo

i

y.--ix,,~-(y--ix)--u - - - - i

(y

-

i x) -~-

W

Rse"

(y-ix)

110

~

Manfredini:

Sulla deformazione deUe quadriche generali.

In queste formule poniamo per ~G il valore dato dalla (i3) cio~: _~ ~,. cl senh ul 2 c senh 0 ' per R sen a il valore dato dalIa (8), sostituendo u~ con

U~

C1

-~-, secondo il c a m b i a m e n t o fatto a pag. 98, cio~ R sen ~, ~ ~

finalmente per u p o n i a m o

tagh

e

senh -~uA 2 c~ in conseguenza dei due c a m b i a m e n t i del

p a r a m e t r o u (§ ~) e a v r e m o : senh ~ u~ 2 ~(y--ix) yo--ix~ -~- (y - - i x) - c~ ~u

~_~.cl s e n h u ~ - - 2 c s e n h 0 ~(y - - i x ) 4`~ c cosh 2 u~

~v

senh ~ u:~ Zo "--Z

--

°

Ora, ricordando le (!4`') che d a n n o le coordinate x, y, z di u n punto della quadrica considerata e t e n e n d o conto dei c a m b i a m e n t i dei p a r a m e t r i u e v (§ 4,), si ha: y--ix-----

cosh 0 -- J :J. cl cosh ul senh0 senhu,-~-~-g

(y - - i x) [cosh 0 -- 1 i ~. c, senh ul I au ~ - [ s-~h~0 i c ° s h u ' - ~ - 2 c s e n h 0 t :¢~- ~-~ senh u~j

y. (cosh v

ul u~ senh ~- cosh -~

1) senh u~ senh ~ 0 0 --

inoltre cosh u~

~z

2c

C 01

~ 't,~

Cj

Quiadi sostituendo helle precedenti Yo - - i Xo 1 ~o ~

~. Cl 1

Manfredini:

Sulla deformazione deIIe quadriche generali.

111

I1 punto P ~

(Xo y,. z0) giace dunque sulla generatrice isotropa che ha 1 per equazioni y -- i x -- ~ = 0, z = -~- e in modo analogo si pub dimostrare 1 che il punto P' appartiene alt'altra generatrice y + i x + ~. ~ 0, z ~ -~. Tutte

le superficie (P) (P') corrispondenti alle varie deformate (S) della quadrica imaginaria considerata si possono dunque ottenere facendo rotolare ta quadrica stessa sulle sue deformate (S) e consideraHdo i pm~ti d'incontro di due generatrici isotrope uscenti dal medesimo punto circolare col piano tangente comune. La stessa propriet~ vale per tutte le altre quadriche che abbiamo trovato ai §§ 4, 5, 6. Cib conferma il teorema di DA~BOUX (Comptes Rendus, 1899) cio~: se una quadrica rotola su una sua deformata gli otto punti d'intersezione delle sue generatrici isotrope col piano tangente comune descrivono otto superiicie che si corrispondono per similitudine degli elementi itliilfitesimi. Inoltre due superiicie ge,~erate da rette di sistema divers0 sono le due falde di un inviluppo di st'ere e la quadrica non ~ altro che l'inviiuppo dei piani determinati dai due punti di contatto P, P ' e del centro S~ di ogni sfera. I risultati iin qui ottenuti ci permettono anche di enunciate il teorema inverso del teorema di DARBOUX cio~.: Se le due falde (P), (P') di un inviluppo di sfere si corrispondono per similitudine delle parti infinitesime e se questa propriet~ si mantiene per tutte le flessioni della superficie inwiIuppo dei piani determinati dai due punti di contatto P, P' e dal centro S~ di ogni. sfera, questa superficie ~ appIicabile sopra una quadrica e, iJ~ casi particolari, sopra la compleme~dare eli una de[ormata di una quadrica di rotazione a punti eUittici.

CAPITOLO ]II. Trovate, nel Capitolo precedente, le superiicie (S) che risolvono il problema propostoci, vediamo ora alcune proprieth geometriche della (S) e delle due falde (P), (P') degli inviluppi di sfere. Occorrer~t percib tener presente le tbrmole trovate nel Capitolo l, escludendo i casi particolari di sen a = 0 eB=O.

112

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche generali.

§ 1. CORRISPONDENZA FRA LE ASS1NTOTICHE DI ( S )

LE LINSE D~ LUNC~H~ZZ~ ~ULLA D, ( P ) , ( P ' ) .

C o n s i d e r i a m o le formole (il) del Capitolo I e trasformiamole, t e n e n d o conto delle (a) (d) (e) e poi della (c) dello stesso Capitolo, dove per K poDD,,~D,~ n i a m o il suo valore E G Se per brevit'~ p o n i a m o

.R~ se[l ~ o" D"

M = u '~D - - e u ~/~~ + 1 R s e n a D ' + [ b / ~ ~+ 1 ~(

a v r e m o facilmente

Eo=-=DM

Fo~--D'M

Go-~D"M

(t)

per i coeflicienti della p r i m a forma f o n d a m e n t a l e della falda (P). Per (P') a v r e m o a n a l o g a m e n t e , c a m b i a n d o

a in - - a e B ~-~/G R sen

in B = --'~/G R sen

M':u'~D--2u

v aV~ -I

R sen a D ' + I\ -V~a] - l t

'~ R '~sen ~a D"

e per i eoefficienti E'o, F'o, G'o della p r i m a forma f o n d a m e n t a l e si avr~t E ' o ---- D M '

F ' o = D' M '

G' o ---- D" M'.

(2)

Dalle (1) e (2) segue e v i d e n t e m e n t e il t e o r e m a : In tutte le flessioni della superficie (S), alle assintotiche di questa superficie corrispondono le linee di lunghezza nulla di (P) e (P').

§ ~. CALGOLO DEI (iOEFFICIENTI DELLA SECONDA FORMA FONDAMENq;ALE

DZLLE SUVERFICIE (V) ~ (P').

h l d i c h i a m o con Do D'o D"o i coefticienti della seconda forma differenziale della superficie (P) e con Do D'o D"o i coefiicienti della s e c o n d a forina differenziale di (P'). Per la (P) si h a :

Do = __ ~ ? xo OX

~ ~v ~~ uX

D " o = - - ~x' ~~v x° O X ~'v"

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche genera.li.

113

Ora e s s e n d o x o = x~ -q- R X si avrh:

axo

~x,q_RaX

~i+ = ~ U

?R

a-7 + x a,--;

quindi

Do = -- (R G + e,,)

D'o = - - ( R F ~ - 4 - f , , )

D " o = - - ( R O 2 , q-g,,)

dove E~,F~ G~,, e,, f,,g~, sono i coetlicienti della l)rima e della seeonda forma differenziale della c o n g r u e n z a descrilta dalla retta t); i vah)ri di questi coei: ticienti sono daft dalle formule (6) e (7) del Capitolo 1. T e n e n d o conto delle (17), (~2), (2'.t) del Capitolo [ per eliminare ~/E, A, B e delle equazioni del sistema (a) (b) ((:) (d) (e) per eliminate iul.te le derivale e p o n e n d o inollre DD,,_D,~ t)er K il valore E G - si ha: I--G I),, = (D D" .- D '2) R "~sen ~ ~ ) ~

1 ] ~-+qa q-- R .....

qo

1 -~- W R sen ~ D'i ] VG

uVg

Wo)

+ (o+ en o

/~ " -4-

, + OW,

o o")= (3)

sen q

D"o sen ~ D"

+

P r e n d e n d o inveei~ nelle stesse formute del Capitolo [ i segni int'eriori e Annali di Matematica, Serie IIt, Tomo XVI.

15

M a n f r e d i n i : Sulla deformazione delle quadriche generali.

Jl$

e a m b i a n d o z in - - ¢ si a v r a n n o le f o r m u l e s e g u e n t i per la falda (P'):

Do=

-

(DD"--D"~)R~sen'~

[,_o u~ ~-

"

i~ -q-

sen~

~J--

D',, = -- (D D"-- D '~) ~ ~en~, [-u ~ 5 + X/~-

~÷

' ,

- l/~RsenCD"

= (3')

=- (D D " - - D ''~) R sen ~

R

v'G

a, -%

-+-(D'-- sieJGaD") (~ I) -~ 1-_G~-~ R sen ~ D")

senZD")(,uD'.-~-]-~?J--G R senz."). Le (3) e (3') d a l m o d u n q u e i coeilicienti delle s e e o a d e fi)rme diff(,renziali di ( P ) e (P') espressi per i coefticienti (If;lie f o r m e diffevenzia.li di (S) e per le funzioni R e sen ~,.

3. CALCOLO 1)ELLA (IURVATURA MEDIA DELLE.FAI~DE (t) ) E (.lY).

l n d i e h i a m o con Ho la c u r v a t u r a media della superiicie (P). Dalla formula

1to= s o s t i t u e n d o per

Eo,

2D'oFo--EoD"o--GoD o Eo Go - - F~o

(7o, Fo i valori dati dalla (1) si h a :

Ho=

2 1)' o D ' - - D D"o - - D"

(D

O" - - D '~)M

Do

Manfredini:

S u l l a deformazioue delle quadriche genera, li.

115

sopprimendo il fattore 31 comune al numeratore e al denominatore e the evidentemente non pub essere hullo. Sostituendo per Do D'o D 0 i valori dati dalle (3) (tenendo conto delle due espressioni per D'(3 troviamo facilmente, per il numeratore della frazione precedente. i - |

!

quindi H° --- R

u

[n modo analogo per la labia. (P') si aw'h: --

D

Do

o --

(D

D'~)

--

M ' l

quindi H'o=

1

~

--

(r,)

t +Ca u

AI)biamo cosi il teoreraa : La curvatura media delle fidde ( P ) e (P') dell'inviluppo di sfere rimau, e iuxariata per tutte le flessioni della su,perficie (S).

Questo teorema b l'esLens]one dci noti teoremi di GUICHART) sulte qua.driche di rotazione. ]nfatti, come al)biamo notato ne] Cap. I|, § 2, ciob ~lel caso in cui (S) /~ la comi)lemeHtare della (S,), luogo dei centri delle sfere, e (tuesta /~ ]a deformata di una qaadrica di rotazione, le due falde (P), (P') sono, per i teoremi eli G~:tc~At~i), due superficie ad area minima (cio5 H : H ' : O ) se la (S,) ~ applicabile J~el paraboloide di rotaziolm; sono invece (.lt~e SUl)erficie a c u r v a t . r a media, costante ((;lob t t : H ' : costante) se (S~) ~ applicabile sopra un ellissoide a|iungato, o t m iperboioide, entrambi di rota,zione.

§

~. PROPmFT)~ CARATTERISTICA DELLE DUE FALDE ( P ) ,

(P')

DELL'INVILUPPO DI SFERE.

La propriet~ ora dimostrata 5 caratteristica per le falde (P), (P') degli inviluppi di sfere che si corrispondono per similitudine delle parti infinitesime, cio~ si Ira6 dimostrare inversamente che, se per tutte le flessioni di (S) non variano te curvature medie di (P) e (P') queste superficie sono rappresentabili in modo conforme l'una sulraltra.

116

Manfredini: Sulla deformazione delle quadriche generali.

Riprendiamo per la dimostrazione le formule trovate nel Capitolo I e poniamo per brevitb. :

au 1

[~(Rsena)

av = P

Rcosa ~ x / E ] = M

D cos o

D' sen a

AD Vls

+v'f

1 [~(Rsenq> cos a ~v D' co_sq _~ D" sen q

BD'

AD'

R e o s a ~ \/~l-~- AT __~

8

BD" ~/G

B+Rsena

A + Rcosa A -~-~R cos ~

a-

D' +

B + R sen

D" = RS-F-~=p.

Le formule (6) (7) del Capitolo I diventano cosi: sencT ~)R + T ~ e"=Peos~-au sena 0R ~u + ~

f,~ - - Q c o s ~ _

f~=pSena ~R c o s : ~v t-~<~0

senq OR g"=Qcosq

~v

e le (11) che danno i coefficienti della prima forma differenziale di (P.) si eambiano in E o = M ~ + :d

Fo = M N +

~ [~

G,>---~N2 + ~'-'.

Finaln)ente i coefficienti della seconda forma differenziale di (P), che come abbiamo veduto, sono dati da:

--Do=RE~,-Ve~

--D'o=BF~,+f~

--D"o=-RGp+g

risultano, introducendo le formule precedenti, della forma:

--Do-~PM+T~ --D"o=QN-~-8 ~ --2D'=PN-+QM+ T[tt~8.

M a n f r e d i n i : Sulla deformazione delle quadriche generali.

117

Cib posto la curvatura media H~, della superticie (P) eio~: D' o Fo ~ Eo D"o - - Go Do

Ho =

EoQ-

F'~

diverr~

o: Q - - ~ P + 7

2V-- 8 M

(6)

H o =

dividendo il n u m e r a t o r e e i l d e n o m i n a t o r e per ~ N--- ~ 3I ehe ~ diverso da zero perch~ il suo q u a d r a t o ~ uguale a E0 ¢;0 - - F,~. Se per ~.,/~, 7, ~ p o n i a m o i loro valori a v r e m o per H o u n a funziotm di u e v che, s e c o n d o le condizioni del probtema che ei p r o p o n i a m o , dovrh non variare q u a h m q u e sia:no i coefficienti di D, D', D". La (6) ~ d u n q u e , in forza dell'equazione di G a u s s ( B i a i c m , vol. [I, pag. 9 0 ) u n ' i d e n t i t a in D, D', D". Si avrh per c o n s e g u e n z a : H° N A + R

q~

cosa

=P

A + R cos ~

(7)

Ho M B + q~ R sen ~ - B + q~ R sen ~ sen P + .-.{/-~- M

(s)

A + R cos ~ ~]~

Q

~/Jq

Q+

cos

qK N

Holm A + Rc°saq.~

-

N B+RsenaJ\/G - -

B + R sen ~ co.~ q ~]~ + M ~/~-

i'\ seJl a N ~/---~

t /

(9)

Altre tre equazioni analoghe si avranno scrivendo le condizioni necessarie aflinch~ n o n muff la curvatura media 1F,, della seconda falda (P') m e n t r e la (S) si flette. Queste e q u a z i o n i si avrarino c a m b i a n d o nelle precedenti H 0 in H'o, ~ in - - ~ e M, N, P, Q r i s p e t t i v a m e n t e nelle espressioni a u a l o g h e o t t e n u t e c a m b i a n d o q in - - a e che p o t r e m o illdicare con M', N', P', Q'. A v r e m o d u n q u e sei equazioni differenziali fl'a cui d o v r e m o eliminare Ho, H'o e le equazioni risultanti dopo questa eliminazione, insieme colle I, II, III, IV, V, VI f o r m e r a n n o it s i s t e m a da integrate. Per l'eliminazione di tto e H'o d i s c u t i a m o p r i m a di tutto il caso particolare A + R cos a = 0 r i c o r d a n d o che le formule usate in questo paragrafo sono calcolate s u p p o u e n d o cos ~-i= 0. Se fosse A - + R cos a - - 0 dalla (7) risulterebbe N = 0 e scrivendo l'equaR sen a zione analoga alla (7) per la falda (P') si avrebbe N' ~---0 quindi ~v ~--- 0,

~i~ ~ u =o.

118

Man/rediai:

Sulla deformazione delle quadriche genercdi,

Inoltre dalla (9) e dall' equazione a.naloga per la superficie (P'), elimin a n d o a u si ha,: B ~a uB + R sen a a ( R ~s eun a ) - _~_ 0

e derivando rispetto a v

Kai

,g-u]t = o.

Ma per le relazimli precedenti la (~) e la (3) (tivengono rispettivamente

aB ~u quindi si avr'a

=0

Aa~/E ~v

aB an

1

ed (S) ~ sviluppabile; easo senza importanza.

Per la diseussione di altri easi partieolari ~ utile osservare ehe ogni equazione o relazione fra le funzioni da d e t e r m i n a r e non deve m u t a t e se si eambia ~ in - - ~ pereh~ le funzioni A, B, R, ~ relative alla (P) sono anehe relative alla (P')..Cosi eseludiamo il easo B-+--Rsen ~-= 0 osservando ehe si dovr'a avere aneora B - - R sen q = 0 quindi B = 0, sen ~ = 0. Allora le (7) (8) (9) si ridueono a una sola equazione ehe d'a il valore di lI° = e le sei equazioni tolo I1. In questo cidente con (P'). Consideriamo porte A + R cos,

u

---R

uR fondamentali d a n n o il sistema discusso al § I del Capieaso (S), (S,) sono le due falde dell'evolula di (P) eoin-

d u n q u e le equazioni (7), (g), (9) helle quali possiamo sup=~==0, B q- R sen a - -- 0. Risolvendo le prime due abbiamo : COS a

H,,N-----Q+ A.+ R c o s z

A'

sen

lfoM= P+

Seng M

(to)

e sostituendo nelta (9) (B cos ~ -- A sell z)

(B + R sen q)

N

W (A + R cos o)

]

----- 0.

(Jl)

Dalle (10) eliminando Ho a v r e m o : Beoga--.A

(M Q --

sellq

N P) --[- (A 4- R eoso) (B + R senz) M N = 0 .

(1~2)

Manfredini:

Sulta deformdzione delle quadrich.e generali.

119

Tale eliminazione ~ possibile pereh~ n o n p u b essere e o n t e m p o r a n e a n l e n t e M= N=0 altrimenti sarebbe E, Go - - l+g = 0; n~ p u b darsi ehe uno solo dei fattori M o N si annulli poiehb per la (11) sarebbe B e o s a - - A s e n a = 0 e quindi anehe. B e o s a - + A s e n ~ = = 0 ei0~. B = 0 s e n ~ = 0 e hi ritorna al easo preeedente. Caleolando M Q - - N P e t e n e n d o eonto delle I e IV si h a :

M Q

-

-

N P : (B cos a - A sen ~) Kt/~-O

quindi s o s t i t u e n d o nella (12) e dividendo per B e o s a - - A

M A" (A -~- R cos a) (B-t R s e n ~ )

sen a:

= o.

(l~)

IAm~man(Io 3t o N fra q u e s t u l l i m a e la (11) a b b i a m o r i s p e t l i v a m e n i e

K G:

A;~

1 (A ÷ R cos q)~

1 (B i R seu a)'-'

K E = 3 1 ~-

da cui N=~(A

4-Rcosa)~GK

M :

+= (B -V R sen (~) VE-/-~

iwendendo (',()lll,eml)oralleameJ~[e i scglli slq~eriori o gl' iuferiori per non eontradire I'equazione (l:i). Polliamo helle precedenti per 3/ e A ' i h)ro valori:

(R sen ~) _+ R c o s ,~ ~ qG + = . . . . . __ c()s ~(A -+ R s e n ¢ ) ~ G K 0 ~v (R sen ~)

R cos ~ ~ ~]72

(B + R sen ~) V E K

0.

l n s i e m e con queste due equazioni differenziali d o w ' e m o c o n s i d e r a t e quelle che si o t t e n g o n o ill m o d o a m d o g o dalle formule relative alla falda (P') e che differiscono dalle precedenti solo per il segno della funzionc a. La coesistenza di (lueste q u a t t r o equazioni porta e v i d e n t e m e n t e alle equazioui seguenti: (R~)vSena) = 0

~ lOg~uv'IG - = ~ A -t- RRcos ~ v E K

) !

~log(Rsen~)

==÷cos~

EK

R OrE

(

)

(1~)

120

Manfredini:

Sulla deformazione delle quadriche generali.

dove abbiamo potuto dividere per R s e n a perch~ il caso o ' = 0 ~ giA stato considerato. ~B A ~VE Rammentando t a [ I deUe fondamentali (Capitolo I)eio~ 0u ~ 0 ~,o e ponendo nell' ultima delle (15) per dendo i casi A - - 0 ,

B =

~vE

1

il suo valore si ha (eselu-

0)

log B u

--4-

AvEK R

che insieme alle prime tre delle (14~) d~ quattro equazioni gi~ trovate nel Capitolo l, § 2 e ehe caratterizzano il caso generale della eorrispondenza per similitudine delle patti infinitesime fra le due falde (P) e (P'). Trattiamo i due casi eselusi A == 0, B = 0. Si vede faeilmente che non pub essere A - - 0 . Se fosse B---0 dalt'ultima delle (1~)si avrebbe

~u - - 0

quindi r E = 1 che eolle prime tre delle (1Q d'h il sistema ehe ~ gi'h stato discusso at § 2 del Capitolo II. Abbiamo eio~ ehe (S) ~ complementare di una quadrica di rotazione. Sussiste dunque in tutti i easi, il teorema inverso di quello dimostrato nel paragrafo preeedente cio~: Se le due falde (P) (P') di un iYtvihq~po di sfere mantengono iuvariata la curvalura media per tutte le flessiotd della superficie (S) le due falde, ad oguuna di queste flessioni, si corrispondono per similitudine delle patti iufinitesime. Inoltre per i teoremi di GumHAm) e per i risultati stabiliti nel § 2 di questo Capitolo, la eurvatura media delle fah]e (P), (P') ~ data, da: H,, = H'o : ()

quando (S) ~ applicabile sulta complementare del paraboloide di rotazione; H o = H'o = costante quando (S) ~ applicabile sulla complementare dell'ellissoide allungato o dell'iperboloide a due falde entrambi di rotazione; tI0

=

1 R- --

l--vG u

, H o

1 R

l+vG u

Manfredini:

i21

SulIa deformazione deIle quadriche generali,

quando (S) ~ applicabile su una delle quadriche del Cap. II, §~ 4, 5, 6, ossia su una quadrica di DARBOUX. Considerando queste ultime formule ed osservando che non pub essere I t o = H'o (altrimenti sarebbe v t ~ = 0 ) si ha: Le complementari delle quadriche di rotazione dei teoremi di GUICHARD sono le sole superficie (S) per le quali le due falde (P), (P') degli i n v i l u p p i di sfere hanno nei punti corrispo.~denti uguale curvalura media per tutte le flessioni della superficie (S).

§ 5. CORRISPONDENZA DELLE LINEE DI CURVATURA

DE ,LE DCI, FAL,E ( P ) , (P').

Dimostriamo ora the sulle due falde (P), (P')si eorrispol~dono le linee di curvatura. L'equazione differenziale delle linee di eurvatura della (P) (E o D' o - - Fo Do) d u ~ -~- (EoD" o -- Go Do) d u d v-~- (F o D" o - - Go D'o) d v ~ ~--~-0.

Sostituendo colle (i) abbiamo ( D D' o - - D' Do) d u ~ -~- (D D" o ~

D" Do) d u d v + (D' D"o - - D" D'o) d v" - ~ O.

Calcoliamo i tre coefficienti di questa forma differenziale colle formule (3) : avremo (tenendo presenti le due falde)

R ~sea ~ o"D")

Per la falda (P) prenderemo in queste formule il segno superiore, per la falda (P') dovremo prendere i segni inferiori e cambiare a in -- ~. Si vede cosl che le equazioni differenziali delle linee di curvatura delte due falde Annali di Matematica, Serie III, Tomo XVI.

16

1~2

Manfredini:

Sutla deformazione delle quadriche generali.

(P) (P') coincidono nella:

--R~sen~adu-~-Rsenadv uG D d u - f - D'd v

Rseuadu-j-udv

~0

D'd u-~- D" d v

quindi: Le iinee di curvatura delle due falde degl'inviluppi di sfere $)er i quali (S) ~ applicabile sopra una quadrica di DARBOCXsi corrispondono. Ora, come D.~RBOUXha dimostrato, (Comptes Rendus, maggio 1899) quando due falde di un inviluppo di sfere si corrispondono per similitudine delle parti infinitesime e iaoltre vi ~ corrispondenza delle linee di curvatura, Ie due falde sono superficie isoterme, quindi: Le falde (P) (P') degli inviluppi di sfere considerati sono superficie isoterme. Dimostriamo infine che le linee di curvatura di (P) e (t 2') corrispondono a un sistema coniugato della superficie (S). Infatti ~ noto che, se

A d u~-~ B d u d v - q - G d v ~-~--0 requazione differenziale di un doppio sistema di l~nee sopra una superticie, la condizione affinch~ queste linee costituiscono un sistema coniugato data da:

AD"--BD'-~-CD~O. Nel caso nostro si ha identicamente - ~ R~sen 2a D' -~ R s e n a D ) D " - - ( u D ~I--GuG R ~ sen ~ a D") D' -~ --}- (u D ' - - R sen (~D") D -~ O.