Sulla struttura dello spaz~o-tempo (*)(**).

- The paper ]its is the sphere o] ]oundational researches on Physical Geometry. A methodological line is ]ollowed which aims at giving general mathematical models o] space and time and capturing the ]oundational value of the corresponding chronogeometrical structures; along this line a canonical model o] space-time is provided which ]orms the largest substratum underlying both the ~ewtouian and the relativistic models o/ space-time, whose peculiar ]eatures are then derived by means o] the invariance conditions imposed upon the ehronogeometrical structures by some additional physical hypotheses.

Summary.

Introduzione.

Con lo sviluppo della Teoria della Relativit~ ~ invalso il p u n t o di vista di considerare elemento primitive della Geometria Fisica, sia helle teorie newtoniane ehe in que]le relativistiche~ lo spazio-tempo o universe degli eve~ti, di cui poi ciascuna teoriu ~ intesa fornire un p~rticolare modello matematico. ~ e ~ seguit~ quindi l'esigenz~ di ~n~lizzare in dettaglio le strutture inerenti i suddetti mode]li e specinlmente le relazioni Ira ta]i s t r u t t u r e e le ~ssunzioni fisiche che esse esprimono [1]. P e r t~l via si ~ venuto costituendo un quudro di ricerche comparate sui fondamenti della Geometria Fisica newtoniana c relativistic% nel quule si distinguono dub linee direttrici princip~li: da un lute ]e ricerche sugli uspetti relativistici dello spuziotempo newtoniuno [2-5], rivolte nd ~n~lizzare in questo le successive s t r u t t u r e geometrico-differenziali (eonforme, proiettiv~, ui~ine, metrics) assunte come fondumentali in l~el~tivit~ [6, 7]; dall'~]tro le ricerche sugli aspetti newtoniuni dello spuzio-tempo relutivistico [8-12]~ rive]re a d e r i w r e in questo s t r u t t u r e corrispendenti ulle nozioni newtoniune di spuzio e tempo ed uvcnti il signific~to operuzionale di osserv~bili fisiehe. R e c e n t e m e n t e si ~ vennt~ poi configur~ndo un~ terza line~ di rieerc~, r i v o l ~ ~lla descrizione formale generale dello spazio e dcl tempo ed al reeupero del va.lore fonduzionule del]e corrispondenti strutture cronogeometriche. Precisumente, nell'umbito di ta.le linea di ricerca, C. Harrison ha introdotto [13] nell'univcrso degli eventi strutture cronogeometriche g~obali (sistema spazio-temporale, classe canonica di sistemi spazio-temporali) che risult~no un comune fondamento delle teorie piatte~ newtoniane e relativistich% dello spazio-tempo.

(*) L~voro eseguito nell's~mbito del Gruppo Nazionale per 1~ Fisic~ M~tem~tica del C.N.R. (**) Entrata in :Red~zione il 5 dicembre 1978.

358

~E~A~O G n A s s ~ :

Sulla struttura dello spazio-tempo

D ' a l t r a p~rte, nell'ambito dell~ medesimu linea di ricerca, ho i n t r o d o t t o [14-16] in un modello generule d'universo, eostituito du unu 4-variet~ ~ connessione affine [17], s t r u t t u r e cronogeometriche locali (1-/orma temporale, metrica spaziale, eonnessione spaziale) che risultano comuni anehe ulle teorie non piatte dello spazio-tempo. T e l presente lavoro, su]la base di quest'ultim~ impostazione metodologiea, propongo una generalizzazione dellu teoria form~le di C. Harrison che, sintetizzando i risultati cronogeometrici dci w r i lavori precedentemente citati, realizza un approecio fondazionule nnificato a tutte le teoric, newtoniane e rel~tivistiehe, dello spazio-tempo. Momento centrule di tale approccio ~ l'individuuzione di un modello canonico di spazio. tempo, che cvidenzia il completo baguglio di s t r u t t u r e cronogeometriche e corrispondenti ~ssunzioni fisiehe costitucnti il comune f o n d a m e n t o delle suddctte teorie. I1 piano del l~voro (~) ~ il seguente: (i) I n una 4-vuriet~ M, assunta comb modello mutematico fondamentale d'universo, si ridefiniscono (w167 1, 2) le s t r u t t u r e eronogeometriehe di C. ttarrison, in corrispondenza, u nozioni loeali di spazio e tempo intese nella molteplicit~ delle relutive determinazoni fisiche. (ii) L'introduzione in M di unu classe canonica C di sistemi spuzio-temporali e di una conncssione affine D, collegate da naturuli condizioni di comp~tibilits conduce (w 3) nl pre~nnunci~to modello cunonico di spnzio-tempo. (iii) Condizioni di invariunza imposte ull'interno di C d~ un prineipio di isotropia ottic~ e dal suo limite newtoniano condncono (w167 4, 5) alle speeiulizzuzioni einsteiniun~ e newtonianu del modc]lo canonico. L~ prima viene u identificarsi (nel c~so generale) con lo spuzio-tempo di Einstein-Cartan [23, 24], di cui poi 1~ second~ forniscc ]'unalogo newtoniano.

l. - Sistema spazio-temporale.

1.1 De/inizione. Sis M una vnriet~ differenzinle re~le 4-dimensional% ussunta comb modello m~tem~tico fondamentule d'univcrso. Le nozioni di spazio e tempo (e quelle correlate di misura ed evoluzione) saranno modellate in M mediante ]a struttur~ di sistema 8pazio-temporaZe S, definito come segue: 1-1 D]~Fn~izio~. - S ~ un sistem~ sp~zio-tempor~le in M se = (11, g, V) ,

(i) Per le tecniche matematiehe in esso adoperate (teoria dei fibrati vettoriali e strutture associate), cf. [18-20]; per le tecniche logiehe (metodo di assiomatizzazione mediante predicati teorico-insiemistici), cf. [21, 22].

~[:~E:NATO G ~ S S ~ I :

Sulla struttura dello spazio-tempo

359

denotando (17, g, V) un insieme costituito ds u n s s t r u t t u r s qussi:prodotto / / , uns metrica lorentzisns g ed u n s connessione sffine V verificsnti i seguenti sssiomi(~1) H decompone il fibrato t s n g e n t e T M hells somms di W h i t n e y (1.1)

TM = a@0,

dove a denotu unu distribuzione 3-dimensionule e 0 un~ distribuzione orientata 1-dimensionMe su M. ($2) g si decompone nella somma (3)

g = g , o ~ § goor ,

(1.2)

dove g~ dcnots u n s metrics fibruts definits positivs in a e go uns metrics fibrstu deftnits negstivs in 0. ($3) V si decompone nells somms

(1.3)

V = V~o$, -~

Voo$o,

dove V~ denots un~ connessione metrics in a e V0 u n s connessione metrics in 0. 1.2 Propriet& a) L'assioms ($1) dcscrive, 9recisundone ls struttm'~ topologicu, le nozioni di sp~zio e tempo locMi. Precisamente, H definisce hello spszio tsngente T ~ M (per ogni x e M) due relszioni di equivnlenzs, curutterizzate da quozientiZ = e O. costituiti dsi lutersli di 0. c a, rispettivsmente, tMi che, stunte (1.1), T~M risults isomorfo, tr~mite le corrispondenti proiezioni canoniche, ~1 prodotto curtesiuno 3 ~- 1-dimensionMe Z~• O.. Identificando T=M con u n intorno infmitesimo di x in M, ]e suddctte reluzioni surunno ullors interpretute come rel~zioni di genidentit5 e simuItaneitd locali in M, ossiu relazioni i cui quozienti Z . e O~ (isomorfi u a~ e 0. rispettiv~mente) defiaiscono spazio e tempo locali in M (per questi sssumendo v~lidu l'ordinsris geometris sffine). I1 9refisssto orientsmento su O, the ssrs denotuto con 1, corrisponder~ poi sll'assunzione che sis univocamente determinuto il verso del tempo. Con riferimento sl sistems S, a e 0 si dirsnno distribuzioni spaziale e temporale e H, the lc sintetizzs, strutt~ra spazio-temporale. Si osservi che ls distribuzione temporsle 0, essendo 1-dimensionsle, ~ senz'~ltro integrubfle. ~5 p e r t a n t o possibile riguurdare 18 vurie relazioni di genidentit~ locale

(3) Con r in TM.

TM---> a, $0: TM--->O si indicheranno le proiezioni su a e 0 definite da / /

t~E~ATO GI~ASSI~I: Sulla struttura dello spazio-tempo

360

come determinazioni di u n ' u n i c a relazionc di genidentitd globale, c s r a t t e r i z z a t a d s un quoziente X eostituito dalle sottovariet~ integrs]i mussimsli di 0. Lo spazio globale Z (recante g e n e r s ] m e n t e u n a s t r u t t u r a differenzisle, m s non affine) ssrs inteso r a p p r e s e n t s t i v o di un eontinuo 3-dimensionsle di psrticelle (resli o idesli) ovvero di un sistema di ri]erimento, eostituente il supporto fisico di 2. b) L ' a s s i o m s (22) definisee la s t r u t t u r a m e t r i c s dello spszio e del t e m p o loesli. P r e e i s s m e n t % g si decompon% s t s n t e (1.2), in unu eoppia di metriehe degeneri (semidefinite e di opposte segnsture), g~oC$o e goo fro, che risultsno i n v s r i s n t i per t r s sformszioni di T M p r e s e r v s n t i r i s p e t t i v s m e n t e ls genidentit~ e ls simultaneits I relstivi intervslli elementari s s r s n n o allora i n t e r p r e t a t i come intervalli spaziale e iemporale, corrispondenti alle misure locali di distanzs e d u r s t a (per queste sssum e n d o v a l i d s l'ordinsria g e o m e t r i s euclidea). Con riferimento sl sistems S, g~ e go si d i m n n o metriche spaziale e temporale e g, che le sintetizzs, metrica spazio-temporale (~). A1 fine di un~ulteriore csrstterizzszione delle metriche g verificanti l ' s s s i o m a (22), consideriamo, insieme alls clssse ~ delle m e t r i e h e suddette, la elssse ~' delle coppie (v, h) costituite da (i) u n s 1-]orma temporale v(4), ossia u n a 1-forma o v u n q u e non nulla in M verificsnte le condizioni (1.4) (1.5)

K e r (3) ---~ - - or (0) = ] (~)

(una siffstts 1-forms, oltre s descrivere la s t r u t t u r a topologics e l ' o r i e n t s m e n t o del t e m p o locale, definisce u n a metric~ t e m p o r s l e k d a t s da koff0 ~- -- ~ G v); (ii) u n a metrica spszisle h (~). Ogni m e t r i c a g e ~ ~ suseettibile, in m o d o univoeo, dells decomposizione (1.6)

g = -- 3 |

~ + ho~,

in cui la coppia (3, h) e ~' ~ d a t a da

(1.7)

3=-

(1.8)

h =go,

g(~)

(8) L'introduzione in M della metriea spazio-temporale g consente di fornire un'interpre tazione potenzialmente operativa alla struttura differenziale d i $ / , che viene infatti ad ammettere un atlante di coordinate interpretabili, nell'intorno infmitesimo di eiascun punto, come misure di distanza e durata. (4) Cf. [14], pp. 721-722. (5) Si ~ posto Ker (T) = {u e TM: = 0}; inoltre T-or (0) denota il T-orientamento di 0 (definito dal generatore globale p caratterizzato dalla condizione = 1). (~) Cf. [16], p. 510.

RE~h~O GRhSS~Z: Sulla struttura dello spazio-tempo

361

denota.ndo 7 il generutore globule ]-orientuto di 0 cur~tterizzuto d~lla condizione (1.9)

g(7, 7) : - -

1

e g(y) lu relutiva immagine nell'isomorfismo definito da g fra T M e il suo duale. D'altra parte, ad ogni coppia (z, h ) e ~' l'equazione (1.6) associa evidentcmente una metrica g e g, sicchg sussiste la seguente proposizione:

1-2 P~oPosIzIo~E. - L'equazione (1.6) definisce un~ biiezione di ~ su ~'. c) L'~ssiomu ($3) introduce-una connessione tru le v~rie detcrmin~zioni dello sp~zio e del tempo loculi. Precisumente, V si decompone, st~nte (1.3)~ in una coppia di connessioni metriche in M, V~o ~ e Voo ~o, che risult~no inv~riunti per trasform~zioni preserv~nti rispettiv~mente ]u genidentit~ e 1~ simultaneitY. Le eorrispondenti derivuzioni eovuriunti s~ranno ullor~ interpretate come derivazioni spaziale e temporale~ utte ~ deserivere loeulmente (in uccordo con l~ordinuriu geometriu euclidea) Fevoluzione rel~tiv% spuzi~le e temporule, di grandezze fisiche. Con riferimento ul sistemu S, V~ e V0 si dir~nno connessioni spaziale (7) e temporale e V~ che le sintetizz% co~nessione spazio-temporale. A1 fine di an~ul~eriore cur~tterizzuzione della eonnessione spazio-tempor~lc V~ consideri~mone i coefiicienti c5~ (s) relutivi nll~ genericu sezione s del fibr~to B(I1) = ((ei)/e~ e c~, eo e O}

costituito d~lle busi di T M adattate ~ H. Lu decomponibilit~ (1.3)~ che equivule ~11~ duplice condizione di a e 0-riducibilit~ di V~ ~ espress~ in s d~lle equuzioni (9) (1.10)

~o __ -- 0

~0

~

"~--

~0 0 --

0 ;

i rimunenti coefficienti ~5~, ~o~ curatterizzuno le connessioni ridotte V~ e Vo, il cui ~ r~ttere metrico ~ espresso in s, se quest~ ~ g-ortonormule, d~lle condizioni di untisimmetriu (lo) (1.11)

aS~ -~ ~ = 0 i

e5~ ~-~ 0.

Sussiste pertanto le seguente proposizione:

(7) Cf. [15], p. 212. (s) Gli indici latini variano da 0 a 3, quelli greci da 1 a 3. (9) Cf. [15], p.. 216. (10) Cf. [18], p. 118,

RE~ATO G~ASSI~I: Sulla struttura dello spazio-tempo

362

1-3 PaoPomzm~'E. - L s eonnessione spazio-temporMe V a m m e t t e , in ogni sezione g-ortonormMe di B(H), eocificienti verifieanti le condizioni (1.10, 11). d) Sis S = (H, g, V) un sistems spazio-temporsle in M. 1-4 DEFI:NIZIOgE. - S ~ un sistems spszio-temporMe piatto se V g u n s sione globslmente p i s t t s in M(11).

eonnes-

L a connessione globalmente p i a t t a V stsbilisee tru le fibre di T M un isomorfismo csnonico che consente di identificsrle t u t t e con un unieo spszio vettoriMe M. Nel suddetto isomorfismo si corrispondono isometricamente~ stsnte (~3), sis le fibre di ehe quelle di 0. Di eonseguenzs, s t s n t e ($1) e ($2), il sistema p i s t t o S risults csrstterizzato hello spszio sffine (M, M) t o m e segue: (i) L s s t r u t t u r s H = (a, 0) risults costituits da una eoppia di sottospazi vettorisli supplementari di M (con 0 direzione orientata). Questi definiscono in M due relazioni di equivMenzs (genidentit~ e simultsneits g]obMi)~ csratterizzate da quozienti 22 e O (spazio e tempo globMi) costituiti dsi sottospszi sffini di direzione 0 e ~ r i s p e t t i v s m e n t e e muniti di nsturMi s t r u t t u r e affini (X, a), (O, 0) che rendono un isomorfismo ls proiezione csnonics di M nel p r o d o t t o csrtesiano Z • (ii) L s metrics spszio-temporMe g = (g,, go) risults costituita d~ u n s coppia di metriche s t r e t t s m e n t e euclidee (di opposte segnsture) in (Z, ~) e (0, 0), cui eorrispondono in M intervMli spsziale e temporMe globMi. (iii) L s connessione spszio-temporale V = (V~, Vo) risulta costituits dallu coppia delle eonnessioni p i s t t e di (Z, a) e (O, 0), cui corrispondono ]e derivszioni ordinarie in a e 0 .

2. - Classe c a n o n l c a di s i s t e m i s p a z i o - t e m p o r a l i .

2.1 DeJinizione. I1 e a r s t t e r e relstivo (al sistema di riferimento) delle nozioni di si0szio e tempo, modellate in M mediante la s t r u t t u r a di sistems spszio-temporsle, induce s considerare in 3 / c l s s s i di sistemi siffstti. Preeissmente~ s d ogni collezione di sistemi di riferimento corrisponder~ in M u n s elasse canonica C di sistemi spazio-temporMi, definita come segue: 2-1 DEFINIZIONE. -- C b ttna classe canoniea di sistemi spszio-temporali in M se b

c = {s,

...),

(11) V 6 ciog caratterizzata, ill coordinate globali su M, da coeilicienti identieamente nulli.

~E~ATO GRASSI~I: SuZla struttura dello spazio-tempo

363

4enotando {S, S', ...} un insieme costituito da sistemi spazio-temporali in M verificanti i seguenti assiomi: (C1) Per ogni S, S'E C, ed in ogni punto di M, vale la disequazione (1~)

g(Y, y ' ) < 0 .

(2.1)

(C2) Per ogni S, S'e C, ed in ogni punto di M, valgono le implicazioni (la) (2.2)

0 = 0'::~ v :

3'

(2.3)

a=

h'

a'::> h =

e inoltre (2.4)

a -- a' ~ V~ = V'o,.

2.2 Propriet& a) L'assioma (C1) impone a C u n a condizione di ammissibilit~ fisic~. Precisamente, siano Tc la classe dei vettori del genere tempo (costituita dai vettori non nulli appartenenti alle distribuzioni temporali di C) ed So la elasse dei vettori del genere spazio (costituita dai vettori non nulli appartenenti alle distribuzioni spaziali di C). Da (C1) segue che dette classi sono disgiunte, (2.5)

To n so = o .

Inoltre eiascun sistema S e C realizza, medi~nte le sottoclassi T j = {u e To: g@, u) > 0} T + = {u e To: g(y, u) < 0}, una partizione passato-futuro P~ di Tc che, stante (C1), risulta invariante al variare di S in C. Infatti, indicata con u' la componente del generico vettore u e Ta h n g o il generatore y' della distribuzione temloorale 0' che lo contiene, per ogni S e C sussiste, stante (2.1), l'equivalenza g(y, u) ~ 0 ~

u' ~0

(12) Per S' si adotteranno, munite di apici, le medesime notazioni introdotte per S. (13) In corrispondenza al generico sistema spazio-temporale S, (T, h) denoter~ ia coppia caratterizzata da (1.7,8). \

~E~ATO GRASSI~I: Sulla struttura ddlo spazio-tempo

364

il cui seeondo membro g indipendente da N; cib prova appunto la preannuneiata condizione di invarianza (2.6)

P~ -~ Ps'

(VS, S'~ C).

I n v e r s a m e n t e , o r e sussistano per ipotesi le eondizioni (2.5, 6), risulta senz'altro verifieato l'assioma (C1). I n tal easo infatti, per ogni S, S'e C ed in ogni p u n t o di M non possono essere verifieate n~ la condizione g(y, ) / ) = 0 (che comporterebbe, in eontrasto con (2.5), la relazione assurda y'c Tc (3 So), ng ]a condizione g(y, y ' ) > O (ehe, coesistendo con g~(y', y')------ 1, eomporterebbe, stante (2.6), la relazione assurda 7' e !r~ (h 2%), + 9 rimane ciuindi verificata ]~ condizione (2.1) ehe p r o v a rasserto. Sussiste p e r t a n t o 1~ seguente proposizione: 2-2 PROPOSIZIO~E. - L'assioma (C1) ~ eompletamente equivalente alle condizioni (2.5, 6). Le condizioni (2.5, 6), riguardando i vettori del genere tempo come traiettorie d'universo loeali di particelle (14), hanno il seguente significato fisieo: la condizione (2.5) conforme all'assunzione che, rispetto a eiascun sistema di riferimento, ogni partieella abbia velocit~ finita; la eondizione (2.6) g eonforme all'assunzione che sia invariante l'ordine temporale degli eventi causalmente connettibili. b) L'assioma (C2) riduce C ad una elasse eli sistemi spazio-temporali fisicamente distinti. Preeisamente, le condizioni (2.2, 3) riehiedono che su ciascllna fibra delle distribuzioni spaziali e temporali di C la s t r u t t u r a metriea, che ~ a priori determinata solo a meno di isomorfismi, sia univocamente fissata (la (2.2) richiede anche ehe a eiascuna fibra temporale risulti u n i v o c a m e n t e assoeiato un ordinamento temporale locale in M). Analog~mente (deriv~ndo da (2.2) l'implicazione 0 -~ 0' ~ V 0 = V'0,) le condizioni (2.2, 4) riehiedono the su ciascuna distribuzione spaziale e temporale di C anehe 1~ connessione metriea sia univoc~mente fiss~ta. Se no deduce, tenendo eonto anche di (2.1), la seguente proposizione: 2-3 PI~OPOSlZlO~NE. - I sistemi spazio-temporali S, S I ... costituenti una classe canonica hanno supporti fisici distinti, ovvero S s ~ S' <=> Z : # Z ' . c) Si assuma ora che la elasse canonica C corrisponda alla totalitd dei sistemi di riferimento. I n tal caso, Tc dovr~ essere riguardata come 1~ totalit~ delle traiettorie d'universo locali di partieelle; in particolare, ogni distribuzione 0 del genere tempo (generata (14) Cf. il comm~ a) del n. 1.2.

I%E~AT0 GRASSI~I: Sulla struttura delio spazio-tempo

365

cio6 d s sezioni di To) rappresenter~ un continuo che, stante l'ipotesi dianzi a s s u n t s su C, dovrs necessariamente costituire il supporto fisico di un sistema S e C. P e r t a n t o , nel caso in esame, C deve possedere il seguente requisito di T-massimalitd: 2-4 DEFINIZIONE. -- C 6 u n s classe canonica T - m a s s i m a l e se, per ogni distribuzione 0 del genere tempo~ esiste un sistema S e C che ha 0 come sua distribuzione temporMe. d) Sis C u n a classe canonica di sistemi spazio-temporali in M. 2-5 D]~FINIZI0~E. -- C 6 u n a classe csnonica piatta se 6 costituita da sistemi piatti aventi la m e d e s i m s connessione spazio-temporMe. D s un p u n t o di v i s t a geometrico, C individus u n i v o c a m e n t e in M una s t r u t t u r a di spszio u r i n e (M, M) recante una classe privilegiats di sistemi c a r a t t e r i z z a t i dai requisiti (i), (ii), (iii) di cui sl u. 1.2 d). D a u n p u n t o di vista cinematico, C risulta costituita da sistemi r e c i p r o c a m e n t e a n i m s t i di m o t o traslstorio uniforme. B a s r a infatti osservare che, indicsto con v = -- ri,(y')/g(y, y') fl c a m p o delle velocits relative di d u e sistemi spszio-temporali S ed S', dalla condizione V = V', verificats in C, si deduce la condizione Vv = 0~ che earatterizza a p p u n t o un m o t o trsslatorio uniforme.

3. - Modello c a n o n i c o di s p a z i o - t e m p o .

3.1 De/inizione. I n t u t t e le attuMi teorie fisiche il modello m s t e m ~ t i c o i o n d a m e n t a l e d'universo M si considers altresi munito di una connessione Jondamentale D, necesssria ai fini della formulazione differenziale generalmente c o v s r i a n t e delle teorie. I n t r o d u c e n d o in M una t s l eonnessione insieme s d u n a clssse canonica di sistemi spazio-temporali, si perviene s d un modeUo canonico di spazio-tempo K, dcfinito come segue: 3-1 DEFII~IZIONE. -- K 6 un modello canonico di spazio-tempo se 6 K = (M~ C~ D) denotando (M, C, D) un insieme costituito da una 4-variet~ M, una classe canonica T - m s s s i m a l e C in M ed u n s connessione sfiine D in M, verificanti i seguenti assiomi: (K1) P e r ogni S e C valgono le relazioni (3.1)

V~ = ria(D),

V0 = rio(D).

(K2) Le cl~ssi Tc cd Sc sono D - i n v a r i a n t i (15). (15) I1 trasporto parMlelo definito da D in TM trasforma vettori di T e (risp. So) in vettori di T o (risp. SG). Risultano poi separatamente D-invarianti le sottoclassi T~, T +.

RE~A~o G~ASSINI: Suila struttura ddio spazio-tempo

366 3.2 Proprietdt.

a) L'assioma (K 1) determina univocamente, per ogni S e C, il criterio di scelta (che ~ a priori del t u t t o arbitrario) della relativa connessione spazio-temporale V. Precisamente, stante (3.1), V definisee, lungo la generiea linea 1 di M, un trasporto parallelo (e,) in B(II) ehe si identifica con il trasporto generalizzato di ~ermi-Walker, sia della t e r n a Sl~ziale (e~) (xe) e sia dell'asse temporMe eo, ivi definito da D mediante le relazioni di parallelismo naturale r

=

= eo,

in eui la base ~e~) b da intendersi definita dai differenziali, v a l u t a t i lungo l, De, ~l ~i-

ei

9

Dall'assioma (K1) si deduce la seguente proposizione: 3-2 P~oPosIzIo~E. - I n un modeUo canonico K sussiston% in corrispondenza a ciascun sistema S e C, le equazioni di struttura

~$~a(Dg) = 0,

~oo(Dg)= 0

r

il'o(D~) = 0 .

(3.2) o equivalentemente (3.3)

= 0,

Indicati infatti con % i coefiicienti di D in una sezione s di B(ll), le condizioni (3.1) sono espresse da (3.4)

~

~

Se poi s ~ g-ortonormale, da (1.11) e (3.4) si deducono le equazioni (3.5)

~

ch% in termini intrinseei, si scrivono nella forma (3.2) o (3.3). b) L'assioma (K2) esprime un naturale requisito di compatibflit~ fra le s t r u t t u r e componenti C e / ) imposte alla variet~ di base M dalla s t r u t t u r a composta K. D a tale requisito consegue che: 3-3 P~o~osizioNE. - I n un modello canonico K rinsieme delle geodetiche delia connessione fondamentale D risulta ripartito nelle seguenti classi: geodetiehe del

(16) Cf. [14], pp. 723 e seg.

RE,AT0 G~AssI~I: Suila struttura ddlo spazio-tempo

367

genere tempo, ovunque tangenti a vettori di To; geodetiche del genere spazio, ovunque t~ngenti a vettori di So; infine geodetiehe ovunque tangenti a vettori di Lc = T M -- (To

U

~'o).

La suddett~ ripartizione eonsente di individu~re nelFinsieme delle geodetiehe di D elussi di traiettorie d'universo fisicamente privilegiate. In partieolare, si indicher~ con ~ la sottoclasse privilegiata di C costituita dai sistemi spazio-temporali a supporto geodetico, eio5 dai sistemi S e C il eui supporto fisieo 27 ~ una congruenzu di geodetiche~ del genere tempo, di D. c) Sis K : (M, C~ D) un modello eanonieo di spazio-tempo. 3-4 DEFI~IZIO~E. -- K ~ un modello canonico piatto di spazio-tempo se (i) D 5 una connessione globalmente piatta in M; (ii) per ogni S e C, vale l~implieazione D 0-riducibile ~ D a-riducibile. Stante (i), Finsieme dei campi vettoriali D-uniformi su M ~ senz~altro non vuoto; in partieolare risulta non vuoto, stante (K2), il sottoinsieme costituito dai campi del genere tempo, eiaseuno dei quali genera, per la T-massimalit~ di C, il supporto, evidentemente geodetieo, di un sistema S e C. Risultu pert~nto provato che: 3-5 P~oPosIzIo~E. - La classe C dei sistemi a supporto geodetico ~ non vuota. Stante (ii)~ la connessione D, ehe in eiascun sistema S e C ~ gi~ 0-riducibile, risulta ivi altresi a-ridueibile; dette eondizioni di ridueibilit~, unite alle condizioni (3.1), identificano D con la connessione spazio-temporale V relativa ad S, (3.6)

D :

V.

Ne segue che: 3-6 PROPOSIZI0~E. - C ~ una classe c~noniea piatta, con connessione spaziotemporale D. Vulgono dunque per C le considerazioni, geometriche e cinematiche, esposte al n. 2.2 d). Dal punto di vista geometrico va peraltro preeisato che la classe C ~ completamente e~ratterizzata in C dall~ condizione (3.7)

Dy--~ O.

Infatti, ogni sistema S e C verifieante (3.7) ha un supporto evidentemente geodetico ed ~ppartiene quindi a C; vicevers% ogni sistem~ S e C verifica, st~nte 3-6, ]a condizione (3.6), da cui, tenendo eonto di (1.10)2 e (1.11)~, segue 18 (3.7). l~imane dunque provato che:

368

~ENATO GRASSI~I: Sulla struttura dello spazio-tempo

3-7 P ~ o P o s i z I o ~ E . - A p p ~ r t e n g o n o ~ C t u t t i e soli i sistemi S e C verifieanti 1~ condizione (3.7). D~I p u n t o di vist~ cinematico v a inoltre precisuto che C 6 una classe completa di sistemi r e c i p r o c a m e n t e a n i m a t i di m o t o trasla~torio uniforme. I n f a t t i , 1~ condizione Dv : O, che c~ratterizza i m o t i tr~slatori uniformi di sistemi S ' e C rispetto ad un prefiss~to sistema S e C, risulta equiv~lente alla condizione DV'= 01 che car~tterizza, stante 3-7, l ' a p p a r t e n e n z ~ di S' a C. R i m a n e dunque p r o v ~ t o che: 3-8 PROPOSlZ~O~E. - Fissato un generico sistema S e CI risultano a p p a r t e n e r e a t u t t i e soli i sistemi S ' e C a n i m a t i di m o t o traslatorio uniforme rispetto ad 8.

4. - Modello e i n s t e i n i a n o di s p a z i o - t e m p o .

4.1 De]inizione. Si a s s u m a che in ogni sistem~ di riferimento un agente fisico L(la luce) si p r o p a g h i i s o t r o p i c a m e n t e con velocit~ c ~- 1. I n d i o a t a con C u n a classe canonica T-massim~le, r a p p r e s e n t a t i v a della totalit~ dei sistemi di riferimento I si consideri, in corrispondenz~ a ciascun sistema S e C, la s t r u t t u r a conforme K e r (g) (17) definita in M dalla r e l ~ t i w m e t r i c a sp~zio-temporale g. I1 principio di isotropia ottica dianzi enunciato si formula in M richiedendo llinva rianz~ della s u d d e t t a s t r u t t u r a conforme al v a r i a r e di S in C 1 ovvero, per ogni S, Sr~ C~ K e r (g) = K e r (g') . D~ d e t t a condizione di invarianz~ segue 1~ rel~zione

g = fg', con ] funzione differenziabile su M alla qu~le un principio di reciprocitd impone di soddisfare anche la relazione g'= tg, che, insieme ~lla precedente 1 rende per essa possibili solo le determinazioni ]=1

t

]=--1;

(17) Si 6 posto Ker (g) = {u e TM: g(u, u) = 0}.

~E~ATO GRASSI~I: Sulla struttura deilo spazio-tempO

369

di queste solo la prima ~ tompatibile con l'assioma (C1), sicth~, per ogni 2, 2'~ C, risulta g=g'. Si 6 pert~nto indotti ad assumere the la tlasse C sia pretisamente una classe cane. nica massimale di sistemi spazio-temporali in M ~venti la medesima m e t r i t a spaziotemporale. D e n o m i n a t a elasse einsteiniana una siffatta classe tanonita~ si perviene per tal via ad un meddle einsteiniano di spazio-tempo E, definite t o m e segue: 4-] DEFI~IZIOSIE,

-

E ~ un modello einsteiniano di spazio-tempo se

denotando (M, C, D) un modello tanonico di spazio-tempo verifitante l'assioma (E) C ~ una tlasse einsteini~n~. 4.2 Propriet& a) Sia E - ~ (M, C, D) un modello einsteiniano di spazio-tempo. I sistemi 2 E C definiscono in M (stante l'assioma (E)) una metrica spazio-temporale assoluta g, ton Ker (g) univot~mente orientate (stante l'assioma (C1)) dai rel~tivi generatori y (is). Inoltre la connessione fondamentale D soddisfa l'equazione di struttura (4.1)

Dg -~ 0 .

Infatti, in torrispondenza a t i a s t u n sistema S e C risultano soddisfatte (st~nte 3-2) le equazioni di s t r u t t u r a (3.2); si perviene allora alla (4.1) mostrando che in 2 risultano soddisfatte a n t h e le equazioni ~o(Dg) = 0 . A tale scope basra osservare the !'equazione del trasporto parallelo D u = O, lunge la generita linea di M, a m m e t t e t o m e soluzioni (stante (K2)) a n t h e sezioni di Lc; per ognuna di t~li soluzioni, in una sezione di B ( I I ) si ha (Dg~o) u ~ u ~

0,

(is) Le classi T o, Lo, S o vengono a idelltificarsi rispettivamente con l'interno, la frontiera, l'esterno dei coni nulli costitllenti le fbre di Ker (g) e la partizione invariante (T~, T +) di T o si identifica con quella ivi determinata dall'orientamento di Ker (g). 24

-

Annali di Matema~ica

i ~ ] + : ~ o GnASSI~I: Sulla struttura dello spazio-tempo

370

du cui, p o t e n d o ~ssegnsre vnlori iniziuli urbitr~ri ~d u ~, segue

Dg~o = 0 o v v e r o ]~9~sserto. Sussiste p e r t u n t o lu s e g u e n t e p r o p o s i z i o n e : 4-2 P~o~os~zlo~E. - P ~ s s u n d o d~ u n ~ cl~sse einsteini~nu C ull~ c o r r i s p o n d e n t e m e t r i c ~ sp~zio-tempor~le ussoluta gr si viene u definire un'~pplic~zione T : E -+ E ~ che a d ogni modelto einsteinisno di s p ~ z i o - t e m p o

(4.2)

/~ = (M, Cr D)

~ssoci~ u n a s t r u t t u r u g e o m e t r i c ~

E'=

(4.3)

( M r gr D)

costituitu d s u n n 4-vuriet~ M r e c u n t e u n s m e t r i c s lorentziunu g con K e r (g) o r i e n t s t o ed u n s connessione ufiine D verificante (4.1). Sia ora E ' = (Mr g, D) u n u s t r u t t u r ~ g e o m e t r i e u del t i p o (4.3). D~gli ~ssiomi dells teori~ si d e d u c e che u n modello einsteini~no E verificsnte 1s condizione

T(E)=~', se esiste, ~ u n i v o e ~ m e n t e d e t e r m i n ~ t o ed ~ d~to p r e c i s ~ m e n t e d~ E - ~ (M, C, D), d o v e C d e n o t ~ 1~ cl~sse di t u t t i e soli i sistemi S = (H, g, V) eosl costituiti: (i) H eonsiste di un~ d i s t r i b u z i o n e 1-dimension~le 0 intern~ ed e q u i o r i e n t s t ~ s K e r (g) [19); (ii) g e E ' (.~0); (iii) V ~ dut% in f u n z i o n e di D ~ E ' r d~ (1.3)r (3.1) (~1).

(19) Per l'esistenza di un~ siffat~a distribuzione, cf. [19], p. 531.

(20) La 1-forma temporale e la me~ric~ spaziale dedotte da g, in corrispondenza a II, mediante (1.7,8) si identificano con il tempo stasdard e 1~ metrica spaziale standard introdotti in [8]. (21) Le connessioni verificanti, in corrispondenza a //, la condizione (1.3) si identificano con le connessioni adattate introdotte in [24]. In particolare, la connessione (1.3), (3.1) si identifica con la connessione vincolata introdotta in [25].

I%ENATO GlcAssn~I: Sulta struttura dello spazlo-tempo

371

D ' s l t r s p~rte, con tale determinazione dells el~sse C (senz'altro non vuot~), risultsno soddisfstti, stsnte (4.1), t u t t i gli assiomi che gsrsntiscono che E sis effet" t i v s m e n t e un modello einsteinisno di sp~zio-tempo. l~imsne pert~nto p r o v s t o che: 4-3 PRoP0SlZI0Z~E. - L'upplicszione kP' b biiettivs. Le proposizioni 4-2 e 4-3 forniscono uns esrstterizzszione del modello einsteiniano di sp~zio-tempo (4.2) in termini dells ben n o t s strutt~trs geometries (4.3), costituente lo spazio-tempo di Einstein-Cartan (~) del qu~le ls formulazione (4.2) fornisee la complets ~nMisi cronogeometries. b) Si~ E = (M, C, D) a n modello einsteiniano di sp~zio-tempo con connessione fondsmentsle D piatta. I n t~l e~so C definisce univocsmente in M, st~nte (4.1), u n s metriea g minkowskiana e kg(E) ~ 1o spazio-tempo di Minkowski (M, g). Sussistono le seguenti proposizioni: 4-4 P~OVOSIZI0~E. - E ~ un modello csnonico pistto. B~st~ inf~tti osserv~re ehe, st~nte (4.1), per ogni S e C sono soddisf~tte, nells generie~ sezione g-ortonormsle s di B(II), le equszioni

Dg~o = (D,xo (DO ~.~ 0 ; poieh6 d'altr~ Iosrte le condizioni di 0 e a-riducibilits di D sono espresse in s dalle equuzioni O) 0 ~

0 ~

o ~ (Dtr

0

risult~ verific~ts anehe 1~ condizione (ii) dells definizione 3-4. 4-5 P~OP0SIZI0~E. - C si identific~ con 1~ dasse minkowskiana costituit~ dai sistemi sp~zio-tempor~li pi~tti di metrics g. B~st~ inf~tti osservare che, st~nte (4.1), C es~urisce l'inter~ classe dei sistemi sp~ziotempor~li piatti al0p~rtenenti ~ C, 1~ qu~l% per l~ costituzione di C, coincide appunto con l~ suddett~ cl~sse minkowski~na.

5. - Modello n e w t o n i a n o di spazio.tempo.

5.1 De/inizione. Si assuma or~ che l'~gente fisieo L (1~ luce) in ogni sistem~ di riferimento si propaghi isotropicamente con velocits e = c~. (22) Cf. [23].

372

RE~)~ro G ~ A s s y ~ : Sulla struttura dello spazio-tempo

I n d i c a t a con C una classe canonica T-massimale~ r a p p r e s e n t a t i v a della totalit~ dei sistemi di riferimento, si consideri, in torrispondenza a ciastun sistema S e C, la s t r u t t m ' a conforme (degenere) K e r (3) definita in M dalla relativa 1-forma tempotale 3. I1 limite newtoniano dianzi atcolto si f o r m u l a in M richiedendo l~invarianza dell~ s u d d c t t a s t r u t t u r a conforme al variare di S in C, ovvero, per ogni S~ S'e C, K e r (3) -= K e r (3') . D a d e t t a eondizione di i n v a r i a n z a segue la relazione T =

]T r ,

t o n ] funzione differenziabile su M all~ quale un principio di retiprocit~ impone di soddisfare anche la relazione. Tp = ] 3 ,

che, insieme alla pretedente~ rende per essa possibile solo le determinazioni

]=1,

]=--1;

di queste solo la p r i m a ~ compatibile t o e l~ssiom~ (C1), sitch~, per ogni S~ S'~ C~ risulta T~_T

~

da cui, stante (2.3), segue anche

h~-h'. Si 5 pert~nto indotti ad assumere the 1~ tl~sse C sia precis~mente u n a classe c~nonic~ massim~le di sistemi spazio-temporali in M a v e n t i la medesim~ 1-form~ tempor~le e 1~ medesim~ metriea sp~zi~le. D e n o m i n a t ~ classe newtoniana u n a siff~tta classe canonica, si perviene per tal via a d un modeIlo newtoniano di spazio-tempo N, definito come segue: 5-1 DEFINIZI0~E. -- ~u 5 un modello newtoni~no di spa zio-tempo se N = (M, C , D ) , d e n o t a n d o (M~ C~ D) un modello eanonico di sp~zio-tempo verificante l'~ssioma (N) C ~ una cl~sse n e w t o n i ~ n ~ .

RE,AT0 G~ASSI~: Sulla struttq~ra dello spazio-tempo

373

5.2 Proprietd~. a) Sia N ~-- (M, C, D) u n mode]lo newtoniano di spazio-tempo. I sistemi S E C definiscono in M (stante l'assioma (N)) u n a 1-]orma temporale assoluta ~ (~a) ed u n a melriea spaziale assoluta h. I n o l t r e la connessione f o n d s m e n t a l e D soddisfa le equazioni di struttura (5.1)

D r -~ 0 ,

Dh -~ 0 .

Inf~tti, in corrispondenzg ~ ciascun sistemu S E C risult~no soddisfatte (stgnte 3-2) le equazioni di s t r u t t u r ~ (3.3); si perviene a]lora slle (5.1) m o s t m n d o che in S risu]tuno soddisfatte anche le equazioni r

=

o.

A tale scopo b~sta osservare che l'eqnazione dcl t r s s p o r t o para~llclo Du ~-- 0, lungo lg gcnericu lineu di M, ~ m m e t t e come soluzioni (stante (K2)) gnche sezioni di So; per ognung di tgli soluzioni, in una sezione di B(II) si ha (D~) u~= 0 , da cui~ potendo ussegnure vulori inizi~li urbitrari ~d u ~, segue /)T~ ---~ 0 ovvero l'asserto (2~). Sussiste p e r t u n t o la seguente proposizione: 5-2 P ~ o P o s i z i o ~ E . . - P s s s a n d o d~ un~ clusse newtoniana C alle corrispondenti metriche spaziale e tempor~le ~ssolute (~, h), si viene ~ definite un'upplicszione r

-+N'

che ~d ogni modello newtoniano di spazioitempo (5.2)

N = (M, C, 1))

~ssocia un~ s t r u t t u r a geometrics (5.3)

2 1 ' = (M, v, h, D)

(28) Le classi T o ed S o vengono a iden~ificarsi rispettivamente con l'interno e la frontiera dei eoni nulli (degeneranti in iperpiani) costituenti le fibre di Ker (3) e la partizione invariante (TO, T +) di T o si identifiea con quella ivi determinata dal T-orientamento. (~) Se D 6 simmetrica~ l'equazione (5.1)1 assicura in particolare l'integrabilit~ della distribuzione Ker (3) (cf. [5], p. 447).

374

RE~ATO G~Ass~z~x: Sulla struttura delve spazio-tempo

eostituita d~ u n a 4-varlet4 M reeante u n a l - r e t i n a ~ o v u n q u e non null% u n a m e t r i e a fibrgta h in K e r (~) definita positiva ed u n a eonnessione aifine D verifie~nte (5.1). Sia era N ' = (M~ ~, h, D) u n a s t r u t t u r a g e o m e t r i c a del tipo (5.3). Dagli assiomi della teoria si deduce ehe un modello newtoniano N verifie~nte la condizione ~(N) = N', se esiste, ~ u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a t e ed 5 date p r e c i s a m e n t e da N -~ (M, C, D), dove C d e n o t a la elasse di t u t t i e sell i sistemi S - ~ (]7, g, V) cosl eostituiti: (i) H consiste di u n a distribuzione 1-dimensionale 0 r K e r (~)(35), ~-orient a t s , e da ~ = K e r (~); (ii) g ~ data, in funzione di v, h e N ' ,

da (1.6);

(iii) V ~ dat% in funzione di D e N ' , da (1.3), (3.1). D ' a l t r ~ parte, con tale determinazione della classe C (senz'gltro non vuota), risultano soddisfatti, s t a n t e (5.1), t u t t i gli assiomi che gargntiseono che N sia effett i v a m e n t e un modello newtoniano di sp~zio-tempo. R i m a n e p e r t a n t o p r o r a t e ehe: 5-3 P~oPosIzIoz~E. - L'applicazione q~ ~ biiettiva. Le proposizioni 5-2 e 5-3 forniscono u n a earatterizzazione del mode]lo newtoniano di spazio-tempo (5.2) in termini della b e n n o t a s t r u t t u r a geometriea (5.3), costituente lo spazio-tempo di Newton-Caftan (analogo newtoniano dello spazio-tempo relativistieo di Einstein-Caftan) del quale la formulazione (5.2) fornisce la completa analisi cronogeometricao b) Sia N = (M, C, D) u n modello newtoniano di spazio-tempo con connessione f o n d a m e n t a l e piatta. I n tal ease C definisce in M, s t a n t e (5.1)7 una metriea ('c, h) galiIeiana (2~) e O(N) 1o spazio-tempo di Galilei (M, ~, h). Poieh~ da (5.1) segue la riducibilit~ di 39 in K e r (~) e ricordando la eostituzione di C, sussistono le seguenti proposizioni: 5-4 P~0P0SlZI0Z~E. - N ~ un modello c~nonico piatto. 5-5 PROP0SIZIONE. -- C si identifica con la classe galileiana costituit~ d~i sistemi sp~zio-tempor~li p i a t t i di m e t r i c a (v, h). (35) Per l'esistenza di una siffatta distribuzione, cf. [5], p. 447. (36) La metrica (T, h) ~ cio~ caratterizzata, in coordinate globali su M, da componenti costanti.

~EI~ATO Gl%ASSINI: Sulla struttura dello spazio-tempo

375

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