Sulle molteplicith d'intersezione delle varieth algebriche ed analitiche e sopra una teoria geometrica dell'eliminazione. H.errn OSKAR PERRON zum 70. Geburtstag gewidmet.

Memoria di Francesco Severi in Roma. Introduzione. I1 c o n c e t t o di molteplicit~t d'intersezione, sul quale son t o r n a t o v a r i e v o l t e dal 1933, onde p r e c i s a r n e il v a l o r e c o s t r u t t i v o e critico e conferirgli la m a g g i o r e estensione, ~ f o n d a m e n t a l e nella g e o m e t r i a a l g e b r i c a 1). Esso costituisce uno degli scopi principali d ' u n a r e c e n t e o p e r a di

n. WEIL 2). I1 p r o b l e m a pifi i m p o r t a n t e , d a cui posson farsi d e r i v a r e le soluzioni di t u t t i gli altri congeneri, ~ quello d e l l ' i n t e r s e z i o n e di due variet/~ algebriche (irriducibili) Wh, V~ t r a c c i a t e s o p r a u n a v a r i e t ~ alg e b r i c a irridueibile M,, essendo h + k ~ r. I miei scopi sono e r a : a ) Di collegare la definizione di Well alla mia e di m o s t r a r e come quella d i s c e n d a d a questa. b) Di stabilire it c a r a t t e r e intrinseco e i n v a r i a n t e p e r t r a s f o r m a zioni p s e u d 0 c o n f o r m i (e quindi per t r a s f o r m a z i o n i birazionali s e n z a eccezioni) della m i a definizione.; m e n t r e quella di Weil ha c a r a t t e r e p r o i e t t i v o e n o n intrinseco.. Alla definizione di Well si pu6 per6 d a r e f a c i l m e n t e un c o n t e n u t o i n v a r i a n t e , bench6 non intrinseco (n. 9). C o m u n q u e , p o n e n d 0 in rilievo i) Ved. le citazioni pifl aggiornate in proposito nell'ultima mia Memoria sull'argomento: Il concetto generale di molteplicit~t delle soluzioni pei sistemi di equazioni algebriche e la teoria dell'eliminazione (Annali di Matematica, vol. 26, pagg. 221--270; 1947). Vedi pure le mie lezioni (litografate) tenute a Roma nel 1947--48 e 1948--49: Introduzione alla geometria algebrica : geometria numerativa (Roma, Edizioni Universitarie Docet, 1948--49). L'ultima parte di queste lezioni, da tenersi nel 1949--50, sar~ ulteriormente pubblicata. ~) Foundation of algebraic geometry (American Math. Society. Colloquium publications, New York, 1946J. L'Autore stesso dichiara che "the main purpose of the book is to present a detailed and connected treatment of the propertiev of intersection-multiplicities, which is to !nclude all that is necessary and sufficient to legitimize the use made of these multiplicities in classical algebraic geometry, especially of the Italian school." Vedi pure la recensione chiara e sintetica che del libro di Well ha fatto WN ~ER W~nKDEN (Nieuw Archly veer Wiskunde, 1949).

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queste c a r a t t e r i s t i c h e di tale definizione, non si vuole sminuirne l'imp p r t a n z a e l'eleganza. L a definizione dell'A. ~ d i n a m i c a ; quella di Weil ha il pregio di essere in g r a n parte s t a t i c a l ) . Inoltre essa offre il v a n t a g g i o di ricondurre la moltepl!cit/~ d'intersezione di due variet/~ qualunque, al p i t semplice eoncetto di molteplicit/~ d'intersezione d ' u n a variet~ con nno spazio lineare. c) Di esporre un eenno di estensione della teoria alle variet/~ analitiche, per le quali le eonclusioni sostanziali del eampo algebrico p e r m a n g 0 n o i m m u t a t e 4). d) D ' i n d i e a r e u n a n u o v a semplicissima d i m o s t r a z i o n e del t e o r e m a di BEZ0UT inerente ad r~equazioni algebriche in r variabili~ col preciso e o m p l e m e n t o inerente alla m o l t e p l i e i t ~ ' d ' i n t e r s e z i o n e delle soluzioni isolate. Questa dimostrazione ~ essenzialmente g e o m e t r i e a e non ricorre n~ a concetti n~ ad operazioni di eliminazione'~). e) D ' i n d i c a r e una n u o v a via molto rapida e g e o m e t r i c a onde pervenire al risultante di r_+ 1 forme di r + 1 variabili e all'u-risultante di r forme, senza a l c u n a p p o g g i o alle elassiche teorie dell'eliminazione ~). In relazione all'u-risultante dimostro l'esistenza anche di risultanti limiti, cui ~ necessario rieorrere q u a n d o vi sono infiniti punti eomuni ad r forme di S t , epper5 l'u-risultante formale svanisce i d e n t i c a m e n t e ; 8) Ma pub dlvenire del tutto dinar~ica attraverso il coneetto di specializzazione (w~ D~R WAERnE~, W~IL). ~) II dott. P. SAMUEL, che ho incon~rato nel Convegno matematieo di Liegi (dicembre 1949), dopo che il pl'esente lavoro era preparato~ mi tia informato dell'esistenza di un lavoro di CHEVALLEY(Intersections of algebraic and algebroid varieties, Trans. Amer. Math. Soc. t. 57, 1945, pp. 1--85) ehe non ho ora n~ il modo n~ il tempo di eonsultare. Probabilmente le osservazioni del n. 10 della presente Memoria verr~.nno assorbite dalla ricerea di Chevalley; ma i punti di vista sono di eerto dive~'si. D'altronde le mie eonsiderazioni sono estremamente semplici. 5) Va osservato pure che il cosidetto ,,teorema di B~zout per due variet'~ di dimensioni complemelltari V~, ~V,_k di S,.", fu da me dimostrato nel 1933 indipendentemente dall'eliminazione (col solo ausilio del prineipio di'eorrispondenza di Chasles eompletato con la regola di Zeuthen). Da questo teorema dedueesi. quai? eorollario, quello che coacerne l'intersezione di pifi variet~ di dimensioni b,, k~, ..., k~ di S~., con ~ ki ~ (t--1)r (qualora esse si taglino in una varietil di dimensione normale). Per t -~- r~ k, ~ k~ ~ .. : ~ k t r - - 1 ne deriva il teorema di B~zout per r 2orme di S~., ehe si taglino in un nu.mero finito di punti, Tale teorema risu[ta cosi anche per questa via svincolato dall'eliminazione. Ma la dimostrazione esposta nella presente Memoria ~ molto pifi semplice ed elementare. ~) Pertanto anche per la via qui indicata viene cancellata dalla geometria algebriea ogni traeeia di sviluppi inerenti atle teorie dell'eliminazione, anehe se, sotto certi riflessi, convenga conservare una parte del linguaggio. Questo 5 uno scopo altrimenti realizzato da CItEV.~L~,~Y e da WE~ (ved. l'opera citala di A. W~L, pag. 31). ~

Molteplicit~ d'intersezione delle variet& algebriche.

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cib che avevo altrove fatto (1947) pel risultante di KRONECKER(dim0strando che con cib si eliminano le circostanze paradossali a cui talvolta d~t luogo l'applicazione di questo risultante ). Dai risultanti limiti deducesi poi quello che chiamo risultante ridotto, che serve a determinare .(con le loro molteplicit~) le eventuali intersezioni isolate e pseudisolate: queste ultime provenienti da soluzioni comuni a tutti i risultanti limiti, a l pari delle intersezioni isolate. In ultimo la considerazione dell'u-risultante e del risultante ridotto d~ luogo a risultanti ridotti di varie dimensioni, che definiscono la molteplicit~ d'intersezione delle componenti delle varie dimensioni di una variet~ algebrica anche impura, definita per interferenza 7) da un sistema qualunque d i equazioni algebriche; e ci5 d'accordo col concetto di tall molteplicit~ introdotto nella mia Memoria citata del 1947. La definizione delrAUtore. 1. Richiamo in primo luogo la definizione del 1933s). Cominciamo dal caso in cui h + k ~ r e le V~, W,_~ hanno un'intersezione isolata nel punt(~ semplice P di M~. Si dice che P ~ intersezione semplice delle V , W o che in P l e V , W hanno molteplicit~ d'intersezione 1, s'esse passano per P semplicemente senza tangenti comuni. Suppongasi ora che P sia un!inte.rf:renza qualunque isolata delle V, W e c he una delle due varietY, sia p.,es. Vk~ p0ssa v a r i a r e entro M~ in un sistema algebric0 irriducibile 27, in guisa che la generica V~ dell'intorno di Vk in 27 non passi per P e incontri W~_~ soltanto in intersezioni semplici. I1 numero i ( ~ 1 ) d i ~ueste intersezioni resta invariato finch6 son soddisfatte le ipotesi (intersezioni tutte semplici distinte da P). Esso definiscesi quale molteplicit5 d'intersezione delle Vk, W~_~ in P. Per Vk~V~, gli i punti tendono a riunirsi in P: donde la ragione della denominazione, che dunqt~e rispeechia bene il fatto geometrico. Il numero i resta it medesimo se, essendo, variabile W, si mutano le veci delle due variets e se, essendo variabili entrambe, si fa subire a ciascuna dell~ due un piccolo spostamento generico nel rispettivo intorno entro il sistema irridueibile in cui essa ~ variabile sopra M~. In quest'ultimo caso le due variet~ spostate hanno nell'intorno di P esattamente i intersezioni semplici. Perch~ la definizione abbia valore generale, oceorre considerare inoltre il caso in eui ciascuna delle due varietit non pub variare entro 7) Nella Memoria del 1947 ho stimato opportuno di riserbare il nome d'interferenza all'insieme dei punti comuni a due variet~t, quando i punti stessi si considerino a prescindere dalla molteplicit~t d'intersezione. s) ('lber die Grundlagen der algebraischen Geometric (Abhandl. aus dem Math. Seminar der Hamburgischcn [_lnivcrsitlit.~. 335--364; 1933):

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M+ (caso c o n c r e t a m e n t e possibile). Si dimostra allora che si pub scegliere (in infiniti modi) sopra i ~ una variet/~ p u r a V~ n o n p a s s a n t e per P (questo ~ l'essenziale, di cui anehe VAN DER WAERDEN profitta nella sua teoria) tale c h e l a H ~ V + V' a p p a r t e n g a sopra M~ ad un sistema irriducibile 27~ la'cui generica H, dell'intorno di H, incontri W soltanto in ~un certo n u m e r o i d'intersezioni semplici. I1 n u m e r o i ~ indipendente, sotto l e ipotesi espresse~ dalla scelta delle V', H e~ se V ~ variabile in un sistema irriducibile, i uguaglia il n u m e r o che si ottiene, in questo caso~ come sopra si ~ detto. Mutando le veci delle V~ W l'intero non cangia. Esso ~ i n v a r i a n t e per t r a s f o r m a z i o n i analitiche biregolari. Condizione necessaria e sufficiente perch~ le V, W si incontrino semplicemente in P, ~ che i ~ 1. Quando h + k > r e S~ ~ ]o spazio ambiente di M~, la molteplicit~ d'intersezione delle V, W si definisce in r e l a z i o n e al p u n t o generico P di una componente irriducibile C~ di dimensione normale l ~- h + k - r~ dell'interferenza delle V, W g); e ci si riduce al caso p r e c e d e n t e segando t u t t o con un S~-z generico passante per P. L a molteplicit~ d'intersezione di V~ W lungo C ~ d a t a dalla molteplicit~ d'intersezione in P deile sezioni di V, W col p r e d e t t o Sd-z generico~~

La definizione di Well. 2. E c c o o r a la definizione

di

WEIL11).

C o n s e r v a t e le notazioni e le ipotesi precedenti, vogliamo definire la molteplicit~ d'intersezione delle V, W lungo C ( h + k - r ~ 0). All'uopo si consideri il p r o d o t t o V x W costituito dalle coppie X, X r, essendo il p u n t o X variabile su V ed il punto X' su W. Sia: P u n punto generico di C i F s ( X - - P ) - ~ - 0 ( ] ~ 1~ . . . , r) un sistema di r equazioni lineari, a v e n t i una sola soluzione sullo spazio t a n g e n t e in P ad M,. Lo spazio lineare F j ( X -- X') ~ 0 (] -~- 1, . . . , r) contiene la varietdt diagonale bmrente a C, cio~ l'insieme delle coppie X, X' per cui X, mobile su C, coinci~le con X'. 9) Se P appartiene ad una componente di dimensione anormale, la molteplicit~ di questa fra l e componenti dell'interfereuza di V, W si valuta com'~ spiegato nella mia Memoria del 1933 (ved. ii successivo n. 23). lo) L'esser generico P sulla C. che si suppone non sia luogo di punti multipli di M,., significa 1) che P ~ semplice per M,; 2) che fra le coppie incidenti (P, S~:_z) quelle per cui la molteplieit~ d'intersezione in P delle sezioni di V, W con Sz_z ~ maggiore del minimo valore che questa molteplieit~ pub eonseguire al variare di P su C~ eostituiscono una variet~ algebrica subordinata entro la variet~ irridueibile di tutte le coppie (P~ Sa_t) (P variabile su C e Sd_l passante per PIll) Foundation, etc.; Cap. VI, pag. 142.

Molteplicit~ d'intersezione delle variet~ algebriche.

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La molteplicit~ d'intersezione della variet/~ diagonaie nella eomplessiva intersezione di V x W con lo spazio lineare F ~ ( X - X ' ) : 0 ~, per definizione, la molteplicitk.d'intersezione d i C , quale componente dell'intersezione di V, W in Mr. Questa ~ indubbiamente una definizione elegante e semplice, la qnale (come si ~ gi~ detto) riduce il concetto di molteplicit/t d'intersezione di V, W lungo C al concetto di molteplicit~t d'intersezione d'una variet~ con uno spazio lineare; il qual concetto s'intende stabilito coi mezzi elementari noti. Naturalmente la definizione esposta in tanto legittima , in quanto si provi, come l'Autore citato fa, che il numero definito ~ indipendente dagli elementi arbitrari, che compai0no n e l l a definizione; che nel caso della molteplicit/~ d'intersezione 1 si ricade nella definizione ~ usuale; ecc.. Ci renderemo ora conto det val0re geometrico della definizione di Weil e, constateremo cosi ch'essa pub farsi derivare senza difficoltk dalla nostra ed anzi che equivale a propriet~ considerate da tempo nell'indirizzo ehe ci ~ consueto (n. 5, 0ss. 2~).

Rapporti fra le due definizioni. 3. Anzitutto potrem0 abbreviare l'esposizione riferendoci al caso h+k~r, perch~ anche qui il caso h + k > r pub ridursi a questo per sezione con un conveniente spazio lineare. L e Vk, W~-k hanno dunque nel punto semplice P di M~ un'iatersezione isolata. Fisseremo l'attenzione sulla variets di Com~.~DoSEGRE T -~ S~ x S~, dello spazio S o [Q : d(d § 2)] prodotto dello spazio ambiente S~ di Mr, percorso dal punto X, con lo spazio medesimo S~ percorso dal punto X'; e indieheremo rispettivamente con Y, Z i prodotti Mr >~ M~~ V >~ W tracciati su T, ove V ~ percorso da X e W da X'; e con U, Uo le variet~t diagonali di T, Y. Le variet~ T, U son prive di punti multipli in S0 e le Y, Uo possiedono in P x P u n punto semplice. In primo luogo supponiamo ehe le V, W s'incontrino semplicemente in P; e~ se P non ~ al finito, portiamolo al finito con una trasformazione omografica, o n d e usare pif~ comodamente coordinate non omogenee. La trasformazione, essendo dovunque biregolare, non altera la proprietor da considerarsi. La rappresentazione parametrica nello S o delle coordinate omogenee del punto x x x' mobile su T, s'imaginers ottenuta alla maniera di C. S~6R~, mediante i prodotti a due a dub delle coordinate omogenee x , , x ~ , . . . , x d , 1; x : , x ' ~ , . . . , x ~ 1 dei punti X~X'. Vi saranno cosi, fra le (d + 1)~ coordinate .~, d uguali alle x ed altrettante uguali alle x', le chiameremo coordinate ~i ~'.

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Lo spazio lineare F i ( X - P) -~ 0, considerato da Weil, potr~ rappresentarsi in S~ con r equazioni lineari (omogenee nelle differenze x ~ p , fra le coordinate omonime di X, P) del t i p o : f~(x - p) = o E lo spazio lineare F j ( X - X ' ) S~ con equazioni del tipo:

(j =

1, 2 , . . . ,

r).

0 potr~ rappresentarsi nello spazio

( x - x') - - 0

(] - - 1, 2 , . . . , r)

lineari omogenee nelle differenze x - - x ' . La falda lineare di M, avente l'origine in P 8 rappresentata in Sa da un sistema di d - - r equazioni olomorfe: o~(x) = o 9

(m - - 1, 2 , . . . ,

d-r),

le O ~ ( x ) ~ 0 essendo singolarmente falde lineari a d - - 1 dimensioni di Se, aventi l'origine P e funzionalmente indipendenti attorno a P ~). Similmente sieno : O~(x) - - 0, r

-- 0

(m - - 1 , . . . , d - - r; m~ - - 1 , . . . , r - k)

O~(x) - - O, ~ ( x )

= 0

(m = 1 , . . . , d - - r ; m~ --:- 1 , . . . , k)

i sistemi di equazioni olomorfe rispettivamente rappresentativi delle falde lineari di V, W aventi l'origine P, o v e le d equazioni (1)

O,~ = 0, cpm~- - 0, ~,,~ - : 0

(le m, m,, m~ variando come sopra)

son funzionalmente indipendenti nell'intorno di P. Le 2 d - r equazioni (~)

o~(x) =

o, O~(x') -

o, ~ , ( x )

- - 0, v~o(x') - : o

rappresentano i n T la falda con cui Z passa per P x P ~). Si riconosce subito che anche q u e s t a falda ~ lineare, perch~ le singole falde lineari (2) di origine P x P sono, nell'intorno dell'origine, funzionalmente indipendenti. Da ci5 u n a prima conseguenza: a) Se le V, W s'incontrano semplicemente nel punto semplice P di M~, il lbro prodotto Z - - V x W sopra Y M, x M'~ passa per P x P con una falda lineare. Si osservi inoltre che helle (2) figurano soltanto le coordinate ~, ~' del punto mobile X x X ' e che le (2) oer X - - X ' riduconsi alle d 1~) Ved. le mie Vorlesungen fiber algebraische Geometrie (Leipzig, Teubner, 1921; pag. 309). u altresi per pid ampie considerazioni sulle falde analitiche ed in l~articolare lineari, la mia Memoria, Sul teorema fondamentale dei sistemi continui di curve sopra una superficie algebrica (Annali di Matematica, t. 434, 1944,; pag. 159). la) Per ottenere la rappresentazione di detta falda in So occorrerebbe aggiungere le equazioni (quadratiche) di T in S,~.

Molteplicith d'intersezione delle varietit algebriche.

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equazioni (li, le quali interpretate in Y, hanno sulla Uo una ~ola soluzione semplice in P x P, perch6 nell'intorno di P x P esse son funzionalmente indipendenti. Ne deriva che: b ) Nell'ipotesi precedente, la varietdt diagonale Uo del prodotto Y ~ M,. x M~ ha in P x P una intersezione semplice con Z. 4, Sia infine P un'intersezione isolata qualunque, anche non semplice, delle V, W e V sia mobile n e l sistoma 2:, come a l n. 1, La generica ~" dell'intorno di V in ~ incontra allora semplicemente W, attorno a P, i n i punti ed il prodotto Z ----- V x W possiede nell'intorno di P x P altrettanti punti semplici, imagini delle predette intersezioni. In ciascuno di questi Z t a g l i a semplicemente Uo, in virtfi di b). Se IT-~ V, la Z-tende a Z e le i intersezioni semplici di Z~ Uo at~orno a P x P tendono al punto P x P ~ per cui Uo passa (semplicemente). Se n6 V n6 W son variabili in M r , s! applicher~ alle V, W, e in conseguenza alle Z, Uo, il procedimento ihdicato alla fine del n: 1 e si concluders similmente che le molteplicit~ d'intersezione di V, W in P e di V x W, Uo in P x P son uguali. Pertanto: e) Te'nuta' ferma la definizione di molteplicitd d'intersezione data dall'Autore nel 1933, le molteplicitd d'intersezione di V, W in una loro intersezione isolata P (semplice pe r Mr) e del prodotto V x W con la varietd diagonale Uo di M~ x M'r nel punto P x P (semplice per M~ x M~) Sono uguali.

Uguaglianza delle molteplicit~ desunte dalle due definizioni. 5. Un piccolo passo' ancora ci' conduce a provare c h e il numero i, secondo l'antica accezione, 6 identieo a quello definito secondo WF.~I~. Invero in So io spazio S0-r, diciamolo a, di equazioni Fj(x - x ' ) -~-- 0 (j ~- 1, . . . , r) considerato con Weil nel n. 2, in relazione ad uno spazio Sd-r di S~, di equazioni-Fj(x~p)-----0, p a s s a n t e pel punto P di coordinate non omogenee p, e indipendente dallo S~ tangente in P ad M,, incontra semplicemente in P x P, entro So, la varietk M~ x P. Quest'affermazione si dimostra cosi. La falda lineare di Y, di origine P >< P, 6 rappresentata in T dalle equazioni O,~(x) ~ O, O,~(x') ~--- 0 e dentro T, la falda lineare con cui M ~ x P passa per P x P, 6 data da x~--~ p~ (n = 1 , . . . , d), Ore(x) = 0 (m = 1 , . . . , d - - r), ove le p'(--~-- p) son le coordinate non om0genee di P. Le 2 d equazioni x~ z p~, tom (x) 0, Fr (x - x') = 0 rappresentano dunque l'interferenza di Mr x P con a, n e l l ' i n t o r n o di P>< P. contato semplicemente~ perch6 le falde lineari rappresenrate da quelle equazioni son funzionalmente indipendenti attorno a P. Si aggiunga che l'interferenza d i a con Y consta intanto d611a variet/t .U~oper cui ~ passa.; e nell'intorno di P >< P quest'interferenza

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F. Severi:

riducesi s o l t a n t o

alla f a l d a lineare di Uo per P x P, perch~ Uo s e g a ogni M , x X'i e quindi a n c h e Mr x P, in u n a sola intersezione semplice, che per M ~ x P ~ a p p u n t o P x P ; e a s e g a M ~ x P alla s t e s s a g u i s a ; sicch4 l ' u l t e r i o r e intersezione di a con Y non passa pe r P x P. In conclusione : d) La molteplicit~ d!intersezione di V x W con la variet~ diagonale U~ in P x P, entro Y, uguaglia la molteplicit(t d'intersezione ivi di W x W con uno spazio lineare generico S~_~ passante per Uo, entro lo spazio ambiente Se. Cosi r e s t a d i m o s t r a t o c h e l a n o s t r a detinizione di moIteplicit/~ d'intersezione equivale a quella di Weil. Osservazione 1 ~. In realt/t nella definizione di Well invece di un So_r generico p a s s a n t e p e r Uo, figura lo .S~,_, p a r t i c o l a r e u. Ma o v v i o che, se fra gli S o_~ per Uo ve n'~ uno, a~ che i n c o n t r a Y in Uo e u l t e r i o r m e n t e in u n a variet/~ non passante per P x P, le stesso accade per lo S~_, generico e o n t e n e n t e Uo; p o t e n d o a v v e n i r e s o l t a n t o ehe l ' u l t e r i o r e intersezione passi per P x P in c o r r i s p o n d e n z a agli S o - , di u n a variet/~ s u b o r d i n a t a nel sistema lineare degli S o-~ cont e n e n t i Uo 14). Osservazione 2 ~. Che la molteplicit/t d'intersezione di Vk, W , _ ~ in P d e b b a esser u g u a l e alla molteplicit/t d~intersezione di V x W con Uo in P x P , p o t e v a p r e v e d e r s i a priori, in quanto, se le V, W si s e g a n o in un n u m e r o finito di punti (sempliei per M) e son variabili in sistemi algebrici i n f i n i t i e a questo caso~ con pieeoli spostam e n t i di V, W, o con l'artifieio di cui alla fine del n. 1, ei si pub s e m p r e ridurre - - il n u m e r o delle loro intersezioni (semplici per le V, W generiche entr0 i loro sistemi) si c o n s e r v a i m m u t a t o al v a r i a r e delle V, W. D ' a l t r o n d e tale n u m e r o 5 uguale a quello delle coincidenze della c o r r i s p o ~ d e n z a c ~ ' costituita su M, dalle eoppie X, X' con X su V e X' su W; cio~ al n u m e r o delle intersezioni (semplici) di V x W con Uo 15). 1,) Si pu6 aggiungere cbela varietb, diagonale U di T (e quindi la Uo di Y) appartiene entro SQ ad uno spazio lineare S~ di dimensione ~ = 0 -

9

Invero, ogni iperpiano di Se rappresentato dall'annullarsi di una forma bilineare nelle coordinate ornogenee dei punti X, X' di M~., M~., la quale Sv/~nisea identieamente per X = X' (come accade appunto per l'iperpiano ~), passa per U. Ora ogni forma del tipo indicato ~ combinazione lineare dei determinanti di seeondo ordine estratti dalla matriee delle coordinate omogenee di X, X'; epperb le forme siffatte sono(d2~ -- 1)" linearmente indipendenti. L'interferenza di S~ con ~ in $

quanto ~ luogo dei punti di Ydove ~ nulla la precedente matrice, coincide con U. 15) Questo concetto ~ gi~ realizzato per le corrispondenze sopra una curva nel mio Trattato di geometria algebrica (Bologna, Zanichelli, vol. P, parte I, 1926).

Molteplicit~.d'intersezione d elle Varieth algebriche.

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P e r a r r i v a r e alla definizione di Well seeondo la via a e c e n n a t a , che r i e n t r a nei q u a d r o delle considerazioni a noi famili~ri~ b a s t a stabilire s o l t a n t o la propriet/t d), la quale, come si ~ visto, si c o n s e g u e facilmente.

Limiti d'invarianza delle due definizioni. 6. P r o v i a m o ora che la nostra definizione ha carattere intrinseco e invariante per trasformazioni pseudoconformi 16) (in particvlare birazionali senza eccezioni). R i f e r i a m o c i p r i m a a due variet/~ di dimensioni complemer~tari n e l l ' a m b i e n t e Mr. I n t a n t o nella defin]zione di c u i s i p a r l a i n t e r v e n g o n o soltanto elem e n t i interni ad M~ (anche se i mezzi con c u i . e s s a si consegue, allo s t a t o della teoria, sono estrinseci). Si ~ e e r c a t o di soddisfare a tale requisito, in v i s t a delle applicazioni alla g e o m e t r i a sopra ~M~ la quale, a l m e n o nelle formulazioni conclusive, riehiede eoncetti intrinseci17). In verit~ nella definizione del 1933 c'5 un residuo in a p p a r e n z a estrinseco (perch~ r e l a t i v o a l l ' a m b i e n t e proiettivo di M~) 1/~ d o v e ta v a l u t a z i o n e della molteplieit/~ d'intersezione si riduce al c o m p u t o di c e r t e intersezioni ,,semplici", che sono p r o i e t t i v a m e n t e definite. Ma facile p a s s a r e a n c h e qui ad u n a nozione intrinseca. Si consideri u n a t r a s f o r m a z i o n e p s e u d o c o n f o r m e T t r a g l ' i n t o r n i di due punti semplici P, P' di due variet/t algebriche M~, M~. L ' i p o t e s i che i punti sieno semplici ~ essenziale, a l m e n o in u n a c e r t a misura, che sar~ in seguito specificata. Una falda lineare cp, c~ k, di origine P, s o p r a M~, ~ p r o i e t t i v a m e n t e definita d a l l a condizione di essere del 1~ ordine (ossia i n t e r s e c a t a a t t o r n o a P in un sol p u n t o d a un Sd-~ d e l l ' a m b i e n t e S~ di M, p r o s simo ad un S~_~ u s c e n t e da P, i n d i p e n d e a t e dallo S, t a n g e n t e ivi a M~) od a n c h e dalla condizione (equivalente) di esser r a p p r e s e n t a b i l e in Sd con un sistema di d - - k equazioni olomorfe e fun z i o n a l m e n t e i n d i p e n d e n t i a t t o r n o a P. Ma, a m a l g r a d o di questo suo c a r a t t e r e 18) C0si ho denominato da tempo - - e la denominazione ~ Stata adottata da E. CARTAN e dalla sua seuola - - le trasformationi analitiehe biregolaii. Non sto qui a r!peter la ragione della denominazione. 17) Se si astrae da questo scope, basta la nozione introdotta nella prima parte della Memoria del 1933 retativa alla molteplicit~ d'intersezione entro un ambiente lineare. E Cib perch~ la definizione sopra una qualunque Mr," nell'intorno di un suo punto semplie e P, ne deriva per proiezione dell'intorno di P da un S~-r-1 generico, sopra l'ihtorno di un punt 0 di un St. (proiezione biregolare), in quanto il-numero definit0 riesce indipendente dagli elementi arbitrari della proiezione. Inveee nella Memoria del 1933 si reput5 necessario una definizione intrinseea, che aderisse meg'li9 al signifieato geometrieo infinitesimale del fatto da esprimere.

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F. Severi:

proiettivo, cp si muta, mediante T, in una falda lineare ~p', cx~~, di origine P', t r a e e i a t a su M~. In sintesi si potrebbe dire e h e l a linearit/~ della falda impegna soltanto l'intorno di 1~ ordine e le trasformazioni pseudoeonformi, ehe mutino un punto sempliee in un punto sempliee, non alterano la linearit5 degli intorni di 1~ ordine, in q u a n t o indueono tra essi un'omografia. P r o v i a m o dunque e h e l a falda cp', omologa di ~o nella T, ~ lineare. Basta all'uopo t e n e r conto ehe seelta una p a r a m e t r i z z a z i o n e assolutamente regolare 'is) della falda lineare q~, c~', con eui M, passa per P (ottenuta per esempio con la proiezione di q~ sopra un S, da un S d - , - 1 sghembo con lo S, t a n g e n t e in P a O) q) viene ad esser r a p p r e s e n t a t a da un sistema di r - - k equazioni negli r parametri, olomorfe e funzionalmente indipendenti in P ; e the tali c a r a t t e r i s t i e h e delle equazioni non m u t a n o con la t r a s f o r m a z i o n e p s e u d o e o n f o r m e T. Stabilita l'invarianza della linearitd delle falde di origine P in una trasformazione pseudocon/orme, che conservi la linearit~t della falda ambiente, a cagione dell'omografia indotta da T f r a le stelle t a n g e n t i in P, P' a Mr, Mr spazi tange'nti indipendenti si m u t a n o in spazi tangenti indipendenti, epper5 un'intersezione semplice in P di due falde lineari di dimensioni c o m p l e m e n t a r i e di origine P, ha e a r a t t e r e invariante. E si noti che~ pel t e o r e m a d'esistenza delle funzioni analitiche implicite, viene c o n s e r v a t a anche, per una coppia d i falde lineari di dimensioni c o m p l e m e n t a r i tracciate nell'intorno di M,, la definizione infinitesimale dell'intersezione semplice. A questo puntb ~ da osservarsi che la linearifft della /alda ambien~te non ~ strettamente necessaria pel tipo di conclusioni che si vogliono trarre. Ci si pu5 cio~ riferire anche ad una falda di Mr avente l'origine in un punto multiplo P di M,, pureh~ la falda (varietA analitica o caratteristica, secondo la denomicazione di LEvI-C~vrrA, irriducibile in piccolo a t t o r n o a P e costituente un intorno, parziale o totale, del punto P sopra Mr) goda della proprietA di essere di ordine invariantivo (relativo) uno, cio~ di a m m e t t e r e una r a p p r e s e n t a z i o n e p a r a m e t r i c a a s s o l u t a m e n t e regolare, in guisa da risultare, dal punto di vista delle trasfo~mazioni pseudoconformi, equivalente ad una falda lineare ~9). Sopra una tal falda le corrispondenti delle falde lineari sono ~s) Ved. ~ tal pr0posito la mia citata Memoria~ Sul teoremt~ fondamentale dei sistemi eontinui di curve sopra una superficie algebrica (Annali di Matematica, 1944). ~'~) I rami di curva algebrica sono tutti equivalenti a rami lineari; non cosi le falde di variet~t. Perch5 una-falda sift equivalente pseudoconformemente ad una falda lineare ~ necessario che il suo cono tangente nell'origine sia raziohate. Perci6 p. es. un punto triplo conico ordinal:io d'una superficie di $3 ~ ori.gine di una falda di 30 ordine non equivalente ad una falda lineare (e quindi non regolarmente parametrizzabile). Invece un punto cuspidale ordinario d'una superficie ~ origine d'una falda di 2~ ordine, equivalente ad una falda lineare.

Molteplicit~ d'intersezione 4elle va~iet~ algebriche.

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invariantivamente definite e cosi le loro intersezioni semplici; ecc. E percib tutto quanto si dice per. le falde lineari si pub applicare a falde di questa natura. In ques~o senso a b b i a m o sopra avvertito che la semplicit~ dei punti P~ P~ di M~., M~ non ~ strettamente necessaria. Basta riferirsi a due punti origin i di falde equivalenti, in modo pseudoconforme~ a falde lineari. Ritornando ora alla nostra questione principale, si conclude senz'alt r o nel modo enunciato al Principio di questo n. 7. Dal n. prec. si trae come corollario che la molteplicit~t s di un punto multiplo P di una V~ algebrica tracciata su Mr, ~quando P semplice per M+, ~ invariante per trasformazioni pseudoconformi dell'intorno di P in My, che conservino la linearit(t dell'intorno : proposizione questa di uso frequente in geometria algebrica (limitatamente alle trasformazioni birazionali), della quale non mi consta sia mai stata data una dimostrazione generale. Infatti la mo]teplicit~ di P pe'r Vk non ~ c h e l a molteplicit/t d'intersezione di V k e della W~_~ s e g a t a s u Mr da un S~-k generico per P. 8. Dobbiamo infine considerate due variet/~ Vk, Wh di Mr aventi in comune il punto /) semplice per M r , q u a n d o ~ soddisfata la disuguaglianza l ~ h § k - - r > 0 e le due ;variet/~ s'incontrano attorno a P lungo una variets pura C di dimensione normale 1. La molteplicit~t d'intersezione i del!e Vk~ Wh in=P (mediante sezione delle V, W con uno spazio lineare S~--l, dell'ambiente S~ di M,, passante e per P e non tangente ivi a C) ~ a norma della Memoria del 1933, la medesima di quella che presentano~ nel punto proiezione di P~ le proiezioni delle V~ W~ sopra un S~ da un Sd--~-i sghembo con lo S~ tangente a M~ in P. La questione ~ cosi ricondotta al caso in cui l'ambiente My ~ uno spazio proiettivo St. Esaminiamo dunque questo caso, dimostrando c h e l a molteplicitb, d'intersezione i delle V, W, dedotta per sezione con un S~-z passante per P e non tange_nte ivi a C~ ~ la stessa di queila che similmente si ottiene segando con una falda tineare ~p~-z di origine P~ dello S~, ia quale non tocchi in P la C. Diciamo all'uopo Vk la trasformata di Vk con un'omografia di S~ generica nell'intorno dell'omografia identica. Allora (secondo la Memoria del 1933) le V, W si tagliano~ nelle vicinanze di P~ lung0 una variet/~ C~ di dimensione normale l~ la quale, alla sua volta, ~ tagliata dallo S~_~ tangente in P a r in i intersezioni semplici. 0gnuna di queste ~ origine di una falda lineare c ~ contenuta in C. E siccome l'origine di questa ~alda ~ vicina quanto si vuole alla falda fissa (p, di origine prossima a P e di dimensione compiementare, cosi le due ~alde s'incontrano, attorno alle loro vicinissime origini~ in un punto ed in un solo, perch~ i loro spazi tangenti neIle origini, in quanto prossimi a due spazi di uguali dimensione indipendenti, sono indipendenti.

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F. Severi:

Viceversa, ogni intersezioue (necessariamente semplice) di cp con nell'intorno di P, essendo origine di una falda lineare di C e a v e n d o l'origine prossima allo Sr-~ t a n g e n t e in P a % ~ vicinissima a un'intersezione semplice di questo Sr-~ con C. Insomma r e i l suo Sr-z t a n g e n t e segano C, nolle vicinanze di P, hello stesso n u m e r o i d'intersezioni semplici e si conclude che se la molteplicit(t d'intersezione i delle Vk, Wh (h + k -- r --~ l > O) tracciate su Mr e incontrantesi nell'intorno di P in una variet(t pura di dimensione normale l, si definisce segando con una falda lineare c~ r-t, di origine P, non tangente ivi a C, l'intero i ottenuto ~ indipendente dal cangiamento della falda considerata sotto le ipotesi espresse: epperb esso ~ uguale a quello o t t e n u t o segando con un Sd-~ lineare, ossia con la falda lineare c~ r-~ traccia di questo su Mr. L a definizione attuale, di manifesto c a r a t t e r e intrinseco e invariante, equivale dunque a quella del 1933. Quanto P sia generico in C il n u m e r o definito ~. la molteplicit(t d'intersezione delle V, W lungo C. 9. R i t o r n a n d o ora alla definizione di Well osserveremo che il car a t t e r e proiettivo della definizione si pub subito eliminare, t r a s f o r m a n d o la detlnizione stessa in una di c a r a t t e r e invariante~ ma non intrinseco. Basra all'uopo p r e n d e r e c o m e molteplicit$ d'intersezione delle V~ W in P la molteplicit~ d'intersezione di V x W con U0 in P x P. Invero~ gli enti V x W, Uo son eollegati i n v a r i a n t i v a m e n t e (rispetto a trasfcrmazioni birazionali) con V, W, Mr; ma sono enti esterni ad Mr.

Estensione alle variet~t analitielle. 10. La maggior parte delle considerazioni e dei concetti preeedenti si puO trasportare alle variet(t algebroidi attorno ad un punto P, tracclare sopra una falda lineare di origine P. Ci limitiamo a pochi cenni in proposito. Con argomentazioni pressoeh~ i d e n t i e h e ' a quelle del n. 4 della mia Memoria del 1933 si p r o v a che, s e l e variet~ algebroidi (irriducibili o p u r e in piccolo) Vk, W~-k di un St, hanno in eomune il p u n t o P a t t o r n o a cui esse son definite; la t r a s f o r m a t a di una di esse mediante un' omografia g e n e r i c a m e n t e prossima all'identit/~ taglia l'altra in un certo n u m e r o finito i d'intersezioni semplici (origini per a m b e d u e le variet/t di falde lineari a spazi t a n g e n t i indipendenti) e questo n u m e r o non cangia, m u t a n d o le veci delle due variet/t. Quando le V, W abbiano in P un'intersezione isolata, i definisee la molteplicit(t dr delle due variet(~ algebroidi in P. I1 caso di due variet/~ a]gebroidi definite a t t o r n o all'origine P di una falda lineare (/)r, che le contiene, si riconduce al p r o c e d e n t e m e d i a n t e proiezione sopra un S,~ in quanto questa ~ una trasforma-

Molteplicit~ d'intersezione delle variet~ algebriche.

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zione pseudoconforme tra q)~ e l'intorno di un punto di S,, in cui quella faida si proietta. Se poi le V , W hanno le dimensioni k , h , c o n k + h - - r : l > 0 , e si tagliano attorno a P lungo una variet~ analitica C, di dimensione normale l, la loro molteplicit/~ d'intersezione si definisce segandole in P con una falda lineare di o r i g i n e P, appartenente alla falda lineare ambiente ~P,, di dimensione r = l e non t a n g e n t e in P a C. II concetto '~ invariante per trasformazioni pseudoconformi. In particolare la molteplicitd s di una varietd algebroide pura nell'origine P della falda lineare ambiente ov'essa ~ definita,. ~ invariante per trasformazioni pseudoconformi, che rispettino la linearitd della /alda ambiente. Se la variet/t 6 non soltanto pura, ma irriducibiie i n piccolo, ossm u n a f a l d a (analitica), la sua molteplieit/~ nell'origine P della f a l d a l'ordine della falda; e dunque non soltanto per le [alde lineari (di 1~ ordine), ma anche per le falde di ordine qualunque tracciate sopra una falda lineare ~, avente la stessa loro origine, l'ordine ~ invariante per ogni trasformazione pseudoconforme che muti 9 in un'altra falda lineare. Una nuova dimostrazione puramente geometrica del teorema di B6zout.

11. Ecco ora la dimostrazione del teorema di B6zout per r equazioni algebriehe in r variabili, cui si ~ alluso nell"introduzione. 1, Consideriamo il sistema lineare 23, di dimensione N ~- +t/'\Tr/ delle forme d'ordine l di St. Esso gode delle proprietg seguenti: 1) ]~ privo di punti base, perch6 si pub sempre costruire una forma d'ordine l (p. es. mediante iperpiani) che non passi per un punto comunque prefissato di St. 2) I~ semplice, ossia t u t t e le forme di 22, che passano per un punto qualunque P di St, non hanno altri punti comuni. Preso invero un punto Q di St, distinto da P, si pub costruire una forma d'ordine 1 passante per P e non per Q: p. es. la somma d'un iperpiano per P e non per Q e di una f o r m a d'ordine l - 1 generica. Si pub pertanto fare l'imagine proiettiv~ M r dello Sr entro un S~v a mezzo del sistema 222~ L a variet'~ Mr si costruisce ponendo le ~eoordinate proiettive omogenee di un punto di un SN proporzionali ad N + 1 forme linearmente indipendenti~ di ordine l [le quali forme non hanno alcun punto comune, se no si contraddirebbe a 1)]. La Mr ~ in corrispondenza birazionale senza eccezioni con lo St. Le sezioni iperpiane di Mr son le imagini delle forme di ordine l di St. Le omografie di Sr m u t a n o in s6 il sistema lineare di tutte le go) Varietg considerata pel primo da V~o~xsE (Rendiconti dei Lincei, 1884). Mathematischo Zeitschrift. Bd. 52.

56

840

F. Severi:

.forme di ordine 1 di S~ epper6 inducono su Mr un gruppo continuo di trasformazioni birazionali (senza eccezioni), che mutano sezioni iperpiane in sezioni ipcrpiane; cio~ in un gruppe di omografie. E questo gruppo 6 transitivo su Mr, come il gruppo corrispondente sopra S,. Perci6 due punti qualunque di Ms sono proiettivamente equivalenti; e dunque sono tutti semplici. La corrispondenza senza eccezioni fra S~ ed Mr, essendo birazionale e quindi continua,, muta gl! elementi lineari di Sr negli elementi lineari di" M,; e quindi .forme di S~ che passino semplicemente per un p u n t o P, senza avere ivi tangenti comuni, in sezioni iperpiane di M~ passanti semplicemente pel punto omologo P', senza avere ivi tangenti comuni; e viceversa. Ad una r-pla di forme di ordine 1 di S~ risponde una r-pla di sezioni iperpiane di Mr: le due r-ple si diranno associate. Esse son insieme linearmente indipendenti; perci6 ad una r:pla di forme d'ordine 1 linearmente indipendenti di Sr resta associato un S~v-~ di S~v: ai punti comuni alla r-pla i punti comuni ad M~ e allo SN--,. Sia S~v-, generico entro SN (e precisamente non appartenente alla variet~ algebrica subordinata alla grassmanniana degli S~-~ di S~v, riempita dagli S~v-~ ehe toccano in qualche punto M~ o.che hanno con Mr infinite interferenze). Allora le intersezioni di S~v-r con Mr son tutte semplici (le due variet~ S~v_~ ed M~, di dimensioni complementari, passano per ciascuna di quelle intersezioni semplicemente senza toccarsi) e il loro numero uguaglia l'ordine ~ d i Mr. Ne deriva che u n a r-pla generiea di forme di Sr (necessariamente indipendenti per la genericit~t) d~ luogo a .u intersezioni semplici (per. ciascuna delle quali passano semplicemente le r forme, s e n z a avere alcuna t a n g e n t e comune). I1-numero ~ si conserva costan,te~ se non diviene infinito, al variare dello S~v_r, cio6 delle r forme associate, purch6 cia~cuna interferenza is01ata P di r forme particolari ~!) s~ conti con la propria ,molteplieit~ d'intersezione" i uguale a quella con cui ii punto P' si deve contare fra le intersezioni di S~v-~ ed Mr. Essendo poi i i l numero delle intersezioni semplici prossime a P' in cui Mr 6 segata da un S~v-~ genericamente prossimo al dato (e quindi non passante per P'), il numero i u.guaglia anche quello dclle intersezioni semplici prossime a P, in cui si segano le forme di una r-pla genericamente prossima alla data (ossia di forme, necessariamente linearmente indipendenti, appartenenti a u n intorno abbastanza ristretto della r-pla considerata~ e non aventi l'intersezione' P). Se inoltre per un S~v-r pa~'ticolare Vi sono infinite interferenze con M~ e un'interferenza isolata P', la moltepl.icits d'intersezione dello ~1) Le quail son necessariameate iinearmeate indip~ndenti, in quanto abbiano un'intersezione isolata.

Molteplicits d'intersezione delle varieth algebriche.

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S~v-r con Mr in P' e delle r forme associate (linearmente indipendenti) nel punto omologo P, pub ancora esser v a l u t a t a come sopra. Ne deriva che l'ordine # di Mr pub esser valutato intersecando r forme qualunque d'ordine 1 di' St, le quali abbiano soltanto intersezioni semplici, corn'5 a p p u n t o il caso di r forme ciascuna delle quali c o n s t i di ipe'rpiani g e n e r i e i . Pertanto IL ~ l r e si conclude col teorema di Bdzout nei caso di r forme di S~. aventi ordini uguali. Tutto cib pub apparire nuovo soltanto a chi non abbia c o m p l e t a conosce~za della geometria algebrica italiana; per chiunque ]nvece abbia esperienza in questo campo, quant.o abbiamo esposto ~ in fondo una precisazione ed un collegamento di eireostanze note, enunciate per5 di s01ito sotto forma piit breve, il cui significato ei 5 stato sempre familiare per Fuso quasisecolare dei nostri maestri e nostro da mezzo secolo. 12. Vediamo ora come si compia il passaggio ad r forme A~, A . , . . i, Ar aventi ordini qualunque n,, n s , . . . , n r . Scelto un intero l, non minore del massimo degli n, dieiamo BI~ B~, . . . , Br r forme di Sr aventi gli ordini rispettivi l - n~, l - n ~ , l - n r e eostituite ciascuna da tanti iperpiani generici quant'~ l'ordine della forma. Supponiamo inoltre acquisito il teorema ehe abbiamo in vista (e del quale ci risparmiamo il notissimo enunciato) negli spazi di dimensione < r. Poniamo: CI=AI+B~,

C~=A~+Bs,...,Cr =Ar+Br.

Designato il numero delle interferenze di r forme di Sr (quand'~ finito scrivendo tra graffe il simbolo delle forme di cui si parla, nell'ipotesi ehe le A~, A~, . . . , A~ non abbiano infinite interferenze, attesa la generieit/~ degl'iperpiani eostituenti le B~, B~, .. :, Br, potremo scrivere :

(3)

{C,,C,,...,Cr} -~- {AI, A s , . . . , A r } + Z { A ~ , , A , s , . . . , A ~ q , Biq+~,,..,B,,.}

ore il sommatorio ~ esteso a tutte le possibili combinazioni semplici 9 di q delle A (q-----0, 1 , . . . , r - - I ) e di r - - q delle B. I1 valore dei singoli addendi del sommatorio si calcola col teorema di BSzout negli spazi lineari di dimensione < r o per q - - - 0 intersecando fra loro le forme B , , . . . , B,. costituite soltanto da iperpiani; il valore del primo membro ~ noto in virtfi di quanto si ~ dimostrato nel n. precedente. Ne deriva il valore di { A , , A s , . . . . At}. A calcoli fatti si trova il prodotto n~ n . . . . nr E si riconosce di pifi che, se le intersezioni delle A~, As, . . . , A~ son tutte semplici, i l loro numer0 espresso da questo prodotto; altrimenti ciascuna va contata con la debita molteplicitit, il cui significato risulta senz'altro it consueto. Se le As, A s , . . . , Ar hanno infinite intersezioni (e quindi cosi avviene delle C~, C , , . . . , C~), la r e l a z i o n e ' ( 3 ) d e v e intendersi, per tutti i simboli che in esse figurano, limitata alle intersezioni isolate e si sbocca n e l solito significato della molteplicitlt d'intersezione in ciascuna di queste. Dunque: 56*

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F. Severi:

II teorema di Bdzout per r forme algebriche di S~ pu5 conseguirsi rigorosamente, con semplice procedimento geometrieo~ che comprende la precisazione del significato delle molteplicitg~ d'intersezione per le inter/erenze isolate, anche quando, oltre queste, ne esistono infinite altre.

Un metodo geometrico per ottenere rapidamente il risu|tante. 13. I1 p r o e e d i m e n t o esposto, a l g e b r i e a m e n t e i n t e r p r e t a t o , sboeea in modo ovvio nel risultante di r + 1 forme del medesimo ordine in r + 1 variab!li; e da questo non ~ diffieile trarre, mere6 il e o n e e t t o del n. prec., il l'iSultante per r + 1 forme di ordini qualunque. Ma molto pifi sempliee r a g i o n a r e come segue. Consideriamd la varie,t/~ di Segre Wt di dimensione t z

~ N~ -- r - - 1 i=0

=

;i=0,1,...,r;no=n

imaginedelle(r+l)-plediforme

di ordini rispettivi n, n , , . . . , n, a p p a r t e n e n t i ad S,. E n t r o W t l e (r + 1)ple di forme passanti pei singoli punti di S, formano un e6nnesso irridueibile di dimensione massima t - - 1 , ehe ~ perci6 r a p p r e s e n t a b i l e e n t r o Wt con una sola equazione~). Designati con U ( U o , . . . , UNo), u'(us i eoeffieienti delle forme di u n a (r + 1)-pla variabile in Wt~3), il connesso p r e d e t t o vien d u n q u e rappres e n t a t o da u n ' e q u a z i o n e del tipo (6)

D(u, u ' , . . . , u ~) ---- 0,

o r e D 5 una forma nelle singole serie di variabi!i , il eui grado, in ciascuna serie di variabili, ~ l'indice c o r r i s p o n d e n t e del connesso. L a (6) esprime la condizione necessaria e sufficiente perchd l e r + 1 /orme date abbiano un punto comune, epperb riducesi al risultante

delle forme u, u', . . . . u ~. Date g e n e r i c a m e n t e le u', . . . , u ~, l!indice del connesso, rispetto alle variabili u, uguaglia il n u m e r o dei sistemi lineari c~ N~ di forme u, che passano pei singoli punti comuni alle u ' , . . . , u~; cio~ (n. 12) il n u m e r o nl n~ . . . n~ delle intersezioni (tutte semp]ici) delle u ' , . . . , u~; siceh6 i fattori lineari dell'equazione (6) nelle u sono t a n t i distinti q u a n t ' ~ il g r a d o dell'equazione e sono d u n q u e tutti semplici. Perci5 22) Per la teoria generale dei connessi rinvio ad una mia Memoria in corso di stampa negli Atti di Salamanca (ved. pure il faseicolo II delle mie citate lezioni di geometria numerativa; pag. 134 e segg.). Ivi appunto ~ dimostrato che un connesso algebrico di dimensione massima, entro il prodotto di pifi spazi lineari, ~ rappresentabile con una sola equazione nelle coordinate dei punti di questi spazi. .2s) Nel soguito ogni forma viene indicata con la lettera ehe denota il eomplesso de'suoi coefficienti; cosi u, u'; etc.

Molteplieit~ d'intersezione d.elle variet~ algebriche.

843

il" polinomio ( 6 ) ~ omogeneo nei coefficienti di ciascuna delle r + 1 forme date ed ha, rispetto ad essi, l'ordine uguale al prodotto degli ordini delle altre. Inoltre esso 5 irriducibile rispetto al complesso delle variabili ind e t e r m i n a t e U, u'~ ...~ u ~. Di p i t D ~ individuato (a meno di un fat tore costaate), perch~ o g n i polinomio esprimente la d e t t a condizione necessaria e sufficiente, r a p p r e s e n t a il connesso irriducibile di cui si Parlat o ~4). 14. Quando le u', u " , . . . , u ~ sono dat~ comunque, purch~ segantisi in un n u m e r o finito di punti~ la forma nelle u a cui riducesi D(u, u', . . . , u~), u g u a g l i a t a a zero, r a p p r e s e n t a p e r t a n t o col suoi fattori lineari le interferenze delle date forme~ in c o o r d i n a t e di forme u d'ordine n passanti per questi punti. In particolare, se n - ~ - 1 , la forma R(~t), a cui riducesi la (6), uguagliata a zero, rappresenta (in coordinate d'iperpiani) le stelle d'iperpiani aventi i centri nelle intersezioni delle date forme. P e r t a n t o R(u) ~ l'u-risultante (MERTENS) delle forme u ' , . . . , u ~, ben conosciuto negli sviluppi dell'algebra moderna!5)= Esso si d e e o m p o n e in t a n t e forme lineari q u a n t e sono le stelle predette. ]~ di g r a d o n~, n~, . . . , n~ e, q u a n d o le u'~ . . . , u;' son indeterminate, ha a l t r e t t a n t i fattori lineari s e m p l i e i . Seeondo gli algebristi moderni la molteplieit~ d'intersezione di u n a r-pla qualunque u'~ . . . , u ~ in ciascuno dei punti eomuni (supposti in n u m e r o finito) ~ definita d a l l ' e s p o n e n t e con cui il e o r r i s p o n d e n t e fattore lineare di R(u) figura he.1 polinomio stesso. 1~ u n a d efinizione statica. C o n s t a t e r e m o nel n. successivo ehe ognuno di questi esponenti uguaglia alia sua volta anche la molteplicit~t d'intersezione delle u ' ~ , . . , u ~ intesa in senso dinamico e geometrico. Lo u-risuhante limite R r ( u ) e il risuhante ridotto. 15. R a p p r e s e n t i a m o la totalitg delle r-ple (ordinate) u ' , . . . , u ~ d i forme degli ordini n~ . . . , n~ dello S~, col punti della v a r i e t g di Segre V~ (priva di punti multipli)~ di dimensione ~--= ~ N i - - r ,

prodotto

~1

2~) Per la teoria del risultante dal punto di vista algebrico moderno veggasi ME,TENS (Sitz. der math.-nat. Klasse der Wiener Akademie, 1886 e 1889) ; MACAULAY (Proc. Lond. Math. Society, 1903) ; HURWITZ(Annali di Matematica, 1913) ; van der WAE~D~N, Moderne Algebra (Springer, 1931), II Tell, S. 1 e segg.; PERaO~ Algebra (G6schen, 1932~II Auflage), S. 221,274 ; HODGEe PEI)O~, Methods of.algebraic geometry (Cambridge, :[947), p. 139 e segg.; G ~ 5 ~ , Moderne algebraische Geometrie (Springer, 1949), p.'39 e segg. Nel lavoro citato di MnVCA~L~V(red. anche G~SB~a, 1. c.) si d~ un'esplieita espressione del risultante di r~- 1 forme di ~,. come quoziente di due determinanti. ~) Ved. p. es. van der WnEaD~N, Moderne Algebra (Springer, 1931), II Tell, S. 21.

844

F. Severi:

degli r sistemi lineari di forme dei detti ordini situati in a l t r e t t a n t i spazi proiettivi S~, sovrapposti al dato. Riferiamoei d a p p r i m a al senso algebrico statico della molteplieit/~. d'intersezione e p r o v i a m o che le r-ple con un numero finito di intersezioni~ di cui taluna non semplic G son rappresentate da punti d'una varietdt algebrica subordinata a V~. Infatti, se una r-pla con un n u m e r o finito d'intersezioni possiede un'intersezione non Semplice, R ( u ) h a in corrispondenza un f a t t o r e lineare multiplo e i suoi coefficienti soddisfanno percib ad un certo sistema di equazioni algebriche 2~). Le r-ple con un n u m e r o finito d'intersezioni, di cui qualcuna non semplice, riempiono d u n q u e in V; una v a r i e t h algebrica. Anche le r-ple con infinite intersezioni riempiono in V~ una vaHet~ algebrica, perch6 esse son cara:tterizzate dall'annullarsi identieo del polinomio R(u). Invero, una r-pla con infinite intersezioni non pub dare che un R ( u ) i d e n t i c a m e n t e nul!o , in q u a n t o esistono-infini~e 9stelle col centri in punti comuni alle forme stesse; e~ vieeversa~ se R.(u) si annulla identicarnente, ogni iperpiano u di S, fa parte di una stella col centro in qualche p u n t o comune alle r forme date~ e ci6 significa che quell'iperpiano incontra il luo~o delle i n t e r f e r e n z e delle r forme, il quale d u n q u e contiene qualehe c o m p o n e n t e di dimensione ~ 1. Siccome q u a n d o le u'~ . . . , u ' sono a coefficienti indeterminati, R(u) non contiene che fattori lineari semplici, a t t e s a l'irriducibilit/t di V~, s i p u 6 l e g i t t i m a m e n t e c o n c l u d e r e che una r-pla generica el6 luogo ad un numero finito tt-~-n~ n.. .. ; n~ d'intersezioni tutte semplici, nel senso che le r-ple con infinite intersezioni o con un n u m e r o finito d'intersezioni, di cui talune non semplici (r-ple che chiameremo complessivamente "singolari")~ appttrtengono ad una variet~ algebrica ( e v e n t u a l m e n t e riducibile e impura) E~ le cui c o m p o n e n t i h a n n o t u t t e dimensioni < ~. Ne deriva che nell'intorno dell'imagine su V~ di una r-pla u', ...~ u~, comunque fissata, la variet/~ E p e n e t r a eventualmente~ se u ' ~ . . . , u ~ singolare, con falde (analitiehe) di dimensione < ~, ma c o m u n q u e esse non riempiono l ' i n t o r n o ; e la E non p e n e t r a a f f a t t o nell'intorno, se u~ ., non 6 singolare. In conseguenzai pus t r a c c i a r t i su V~, in infiniti modi, un ramo anaiitieo y~ a v e n t e l'origine hell'imagine di u ' , . . . , u" e non apparten e n t e ad E ; questo ramo non ha cop E nelI'intorno .dell'origine alcuna interse$ione distinta dalForigine, epper6 il p u n t o mobile su 7~ r a p p f e s e n t a una r-pla ~ ' , . . . , ~7' con u n n u m e r o finito d'intersezioni t u t t e semplici. D u n q u e : as) Quello che, nel sistema lineare delle forme di ordine tt--~n~ n2... n,. di un St, rappresenta le forme spezzate in form e lineari, di cui una almeno doppia.

MoltepIicit~ d'intersezione d elle variet~ algebriche.

845

Data una qualunque r-pla u', . . . , u r di r forme di ordini n~, . . . , nr di S,, anche con intersezioni non semplici o con infinite intersezioni~ essa pub sempre considerarsi quale limite di una r-pla F ~ , . . . , (t~ la quale, durante la variazione (salvo e v e n t u a l m e n t e al limite), conservasi ognora con n, n . . . . n~ intersezioni semplici. 16. T u t t o cib premesso, possiamo definite l'u-risultante RT(u ) relativo ad una r-pla qualunque u', . . . , u ~ di [orme di ordini nl, n~, ...'~ nr e a d un ramo analitieo 7 di V~ , a v e n t e l'origine in (u', . . . , u~). Sia, a questo scopo, s un p a r ~ m e t r o uniformizzante b i r e g o l a r m e n t e 7 e l'origine del r a m o corrisponda a ~. ~ 0. Allora i coefficienti dello u-risultante R(U) della r-pla non singolare variabile in 7, son funzioni olomorfe di X, a t t o r n o a X ~---0. Se u ~ 1 ~ l'ordine m i n i m o dei coefficienti d i R(u) rispetto a )~, il polinomio ~1- R (u) per ), -~ 0 t e n d e ad un polinomio ben d e t e r m i n a t o RT(u ) non i d e n t i c a m e n t e hullo. l] centro di u n a delle stelle che annullano

1 R(u) v~ria mante-

nendosi sempre c o m u n e alle ~'~ ~. ,, ~ , le quali h a n n o o r d i n a t a m e n t e per limiti i polinomi u~ . , u ~. Perci5 quel c e n t r o ha p e r limite u n a i n t e r f e r e n z a delle u'~ . . . , u ~. Ne d e r i v a che i fattori lineari di R7(u)~ r a p p r e s e n t ~ n o a l t r e t t a n t i punti d ' i n t e r f e r e n z a delle u ' , . . . ~ u ~. Qui possiamo subito fare due precisazioni. L a prima ~ che R7(u), a meno di un e v e n t u a l e f a t t o r e costante non hullo, non dipende dal p a r a m e t r o ~, scelto per la r a p p r e s e n t a z i o n e biregolare di 7. Infatti, se t~ e un altro p a r a m e t r o analogo (che dia anch'esso l'origine per t ~ - 0), i p a r a m e t r i ~.,/t sono funzioni olomorfe l'uno dell'altro nell'intorno dell'origine~ sicch~ il c a n g i a m e n t o del p a r a m e t r o p o r t a al pifi soltanto la moltiplicazione del limite per un f a t t o r e c o s t a n t e non hullo. L a seconda 5 che se u ' , . . . , u ~ d/~ lu0go ad un n u m e r o finito d ' i n t e r f e r e n z e ed R(U) ~ lo u-resultante ben d e t e r m i n a t o relativo ad u n a tale r-pla, i due polinomi R(u), RT(u ) differiscono a l p i f l per un f a t t o r e c o s t a n t e non nullo, qualunque sia 7 (non giacente in E). Infatti, in questo easo i eoeffieienti di /~(u), che son forme n e i coefficienti di ~', ...~ ~*, non si annullano tutti q u a n d o (~', . . . , ~ ) -~(u', . . . , U*), se no le u', .... , u * a v r e b b e r o i n f n i t e interse'zioni. (In tal caso dunque, ~ v ~ 0). E siceome i coefficienti di R(u), come polinomi, son funzioni continue dei coefficienti di ~ ' , . . . , ~*, nel caso in esame, R(u) ~ sempre limite di R(u). T e n u t o conto del t e o r e m a di continuit~ delle funzioni algebriche ~7) se ne trae, nell'ipotesi di un n u m e r o finito di interferenze, che ogni '

.

.

27) Ved. le mieLezioni di Analisi (Bologna~ Zanichelli, I I e d . 1946, p. 346).

846

F. Severi:

f a t t o r e lineare i-plo di R(u) ~ limite di i fattori lineari semplici di R(u); donde la eonclusione p r e a n n u n e i a t a alia fine del n. 14. Passiamo al caso ehe vi sieno infinite interferenze. Allora ciaseuna dei fattori lineari di R~(u) ha un proprio esponente e si ha d u n q u e p e r quel dato 7 una molteplieit/~ statiea di u g n u n o dei limi~i d e l l e i n t e r f e r e n z e di ~ , . . . , ~ , la quale molteplieit~ aequista valore geometrico, dinamico, in virtfi del eitato t e o r e m a d i continuitY; nel senso che in o g n u n a delle i n t e r f e r e n z e limite, confluisee un eerto n u m e r o i ~ 1 d'intersezioni sempllci variabili delle ~', . . . , . ~ e la somma delle molteplicit/~ o t t e n u t e ~ n~ n . . . . n~, ossia il grado di RT(u), p e r c h , , d u r a n t e l a variazione, il g r a d o di _R(u) rimane immutato. Le molteplicits cosi definite dipendono a priori da 7. Occorre ind a g a r e in qual misura esse ne dipendono effettivamente. Bisogna a questo p u n t o distinguere le eventuali interferenze limiti indipendenti da ~', da quelle ehe dipendono effettivamente dalla seelta del ramo. Mostriamo in primo luogo che ogni i n t e r f e r e n z a isolata P delle u ' ~ . . . , u ' 5 indipendente da ~,. Consideriamo all'uopo le r-ple p a s s a n t i pel punto P, le quali eostituiscono una variet/~ di Segre Z~_,(P) a p p a r t e n e n t e a V~. Le r-ple di Z~_~(P) a v e n t i infinite interferenze a t t o r n o a P~ formano un insieme, che ~ parte propria di Z~_,(P), perch~ u ' , . . . , u ~ non a p p a r t i e n e a ta]e insieme. La totalit/t delle r-ple passanti per un dato punto Q dell'intorno di P in S~, forma d u n q u e una variet/t Z~_~(Q) le cui r-pie prossime ad u ' , . . . , u r hanno tutte, helle vicinanze di P, un n u m e r o finito d'intersezioni (uguale alla molteplicit~ d'intersezione in P delle u', . . . , u~). P e r t a n t o le r-ple prossime alia d a t a e passanti pei punti Q, sono in c o r r i s p o n d e n z a b i e o n t i n u a d'indici finiti con le posizioni di Q a t t o r n o a P ; perci5 le Z~_~(Q) sono c~ ~ e riempi0no V~. Vuol dire insomma che ogni r - p l a dell'intorno di u ' , . . . , u ~ ha qualehe i n t e r f e r e n z a nell'intorno di P. Epper5 qualunque sia il ramo 7 lungo il quale la r-pla ~'~ . . . , ~ varia t e n d e n d o a u', . . . , u ~, sempre qualche i n t e r f e r e n z a t e n d e a p~8). L a stessa eonclusione si pub stabilire o applieando il m e t o d o di eliminazione di KRONE.CKER (il che abbiamo qui volut0 evitare, t r a t t a n dosi di conseguire il fine metodologico di svincolare la n o s t r a t r a t t a 2s) L'argomen tazione precedente dimostra altresi il eriterio di PLUCKER-CLEBSCIt sotto la forma datagli dall'Autore (Ved. la suecessiva nota (29) a pi~ di pag.). Siag- " giunga che fra Sr e V~intercede una eorrispondenza irriducibile T, in cui sono omo= loghi un punto Q di Sr ed un punto Q' di V~, quando Q ~ comune alle forme della r-pla rappresentata da Q'. A punti particolari Q' di V~ posson eorrispondere infiniti punti Q, ma eomunque ognuno di questi, a causa dell'irriducibilit~t di T, pub ottenersi come limite di punti omologhi del generico Q'. Quest'osservazione rlescira utile tra breve.

Molteplicit~ d'interse.zione &elte vaxieth a~lgebriche.

" 847

zione da o g n u n o dei processi conosciuti di e l i m i n a z i o n e ) o p p u r e applicando un t e o r e m a di POI~CARE', precisato da OSGOOD, sulle funzioni analitiche di pifi variabili ~). 17. L a conclusione p r e c e d e n t e ha tale i m p o r t a n z a pet n o s t r o scope, che val la p e n a di c o n s i d e r a r l a sotto un altro aspetto. Stabiliamo a n z i t u t t o un facile l e m m a : In u n o spazio Sr (di cui sieno Xo, xl, . . . , xr le coordinate o m o g e n e e di p u n t o ) ogni r a m o analitieo di d a t a origine p u b s e m p r e derivarsi per c o n t i n u i t d da un ramo prefissato della stessa origine. Sieno : ~)

x~ = a ~ o + a i l t A - a ~ 2 t ~ + . . .

fl)

x~=b~o+b~lt+b~f+...

(i = 0, 1, . . . , r) (b~0 = a~o; i = 0, 1 , . . . , r )

le r a p p r e s e n t a z i o n i p a r a m e t r i e h e dei due dati rami a, fl, la eui origine comune corrisponde a t = 0. Le serie dei seeondi membri s'intendono c o n s i d e r a t e in un coniune eerchio di c o n v e r g e n z a . L e serie : "

E Ire a~j + (b~i -- ai~) ~1] t j

(i =

O, 1, ...,

r)

i=O

sono c o n v e r g e n t i in quel cerehie, qualunque sieno i valori (finiti) dei p a r a m e t r i re, v~. Percib 7)

x~ =

~,, [~oa~:j + (b~j -- ai~) ~l] t j

(i = 0, 1, . . . , r)

j=0

r a p p r e s e n t a un ramo r delia stessa origine dei preeedenti. F a e e n d o v a r i a r e il p u n t o della r e t t a complessa (~o, ~,) da (1, 0) a (1, 1), il ramo 7 passa con continuit~ dalIa posizione iniziale: a alla ft. L a eonclusione pu6 applicarsi ai rami t r a c e i a t i du V~ per un sue p u n t o P (che 6 sempliee), perch6 l'intorno di P 6 b i r e g o l a r m e n t e r a p p r e s e n t a b i l e h e l l ' i n t e r n e di un p u n t o di un S~. Ci6 posto, poich6 (n. prec.) l ' i n t e r f e r e n z a isolata P delle u ' , . . . , u' pub conseguirsi quale limite di una delle i n t e r f e r e n z e di ~ ' , . . . , z~* quand0 (~', . . . , ~r) v a r i a in un e o n v e n i e n t e t a m e , d e n o t i a m o con ~ un tat ramo, di origine (u', . . . , u~), e con fl un qualsiasi altro ramo di V~, a v e n t e la stessa origine (ed esterno ad E). F a c c i a m o poi variare il t a m e 7 di origine (u', . . . , u ~) da c~ a fl; varia cosi con con tinuit/~ i l risultante R~(u) ed o g n u n o dei suoi fattori lineari, ehe r a p p r e s e n t a sempre u n ' i n t e r f e r e n z a delle u', . . . , u". Onde, se P dipendesse dalla 2.~) Cfr. in proposito la mia Nota: Sulla compatibilit~ dei sistemi'di equazioni algebriche ed analitiche (Rend. della R. Aecademia naz. dei Lineei, vol. XVII, 1~ sere., 1933, pag. 1), noneh6 i trattati seguenti, citati nella Nota medesima: OSGOOD,Lehrbuch tier Funktionentheorie (Leipzig, Teubner, 1929, IIB., I Lief. p. 135) ; LnFSCnETZ, Topology (American Mathematical Society, 1930, pag. 383).

848

F. Severi:

variazione di ~,, il p u n t o stesso v a r i e r e b b e in modo eontinuo a pardalla posizione P e non sarebbe una i n t e r f e r e n z a isolata. L a molteplieit'X d'intersezione definita per ciaseuno dei limiti delle i n t e r f e r e n z e di 8', . . . , ~r., q u a n d o (~', . . . , ~ ) ~ ( u ' , ., u ~) su 7, dipende a priori essa stessa da 7, ma nella variazione c o n t i n u a di ~, non possibile che un fattore lineare di Rr(u), distinto dal fattore lineare ehe compete a una d e t e r m i n a t a i n t e r f e r e n z a isolata, v e n g a a eoineidere con quest'ultimo, altrimenti q u e s t ' i n t e r f e r e n z a e e s s e r e b b e di essere isolata. P e r t a n t o possiamo asserire che la molteplieit~ d ' i n t e r s e zione di u n ' i n t e r f e r e n z a isolata 6 indipendente da 718. Oltre alle i n t e r f e r e n z e isolate, posson esservi altre interferenze indipendenti da 7; le ehiamiamo interferenze pseudoisolate. La molteplieitS, d'intersezione in una di queste, la definiamo come il valore minimo ~ 1 eonseguibile per tutti i possibili 7, in q u a n t v 6 n a t u r a l e ehe per u n ' i n t e r f e r e n z a pseudoisolata la molteplieitS, d'intersezione possa variare, m u t a n d o 7. R i a s s u m e n d 0 l'analisi svolta dal n. 17 in poi, possiamo e n u n c i a r e : Una qualunque r-pla u', . . . . u ~ di f o r m e di ordini nl, . . . . nr di S~, a n c h e con infinite i n t e r f e r e n z e e con i n t e r f e r e n z e multiple, considerata come lirnite di u~a r-pla u ~, a intersezioni semplici, variabile sopra un ramo analitico 7 di origine (u', . . . , ur), definisce per (~', . . . , ~ ) - * (u', . . . , u ~) un u-resultante lirnite Rr (u) delle u', . . . , u ~ (ivi compreso il caso in cui l'u-resultante ordinario R(u) svanisca identicarnente). II resultante limite ~ i n d i p e n d e n t e da 7 (salvo un fattore costante non ~ullo) allora e soltanto allora che u', . . . . u ~ abbiano un n u m e r o finito di interferenze; e d ' e s s o allora coincide con R (u). In ogni caso le stelle d'iperpiani soddisfacenti ad R:,(u) 0 ha~no per centri i n t e r f e r e n z e delle u', . . ., u ~ e tra questi centri vi sono sempre, p e r qualunque 7, le eventuali i n t e r f e r e n z e isolate. La rnolteplicitg~ d ' i n t e r s e z i o n e in una P di queste, ~ pure i n d i p e n d e n t e da 7 ed uguaglia sia l'esponente del ,fattore lineare Corrispondente di R r ( u ), come il n u m e r o delle intersezioni semplici di ~ , . . . , ~ , che confiuiscono verso P per ( ~ ' , . . . , ~ ) - * ( u ' , . . . , u ~) su 7. Vi posson essere anche i n t e r f e r e n z e i n d i p e n d e n t i da ~, diverse dalle i n t e r f e r e n z e isolate (pseudoisolate). Ogni i n t e r f e r e n z a delle u', . . . . , ur, anche non isolata, pud sernpre ottenersi come limite di qualche interferenza di una r-pla di forrne a v e n t i un nurnero finito d'interferenze, la quale varii i n un conveniente rarno analitico 7, non a v e n d o rnai (fuori che al lirnite) infinite interferenze. 19.. Che cosa accade dei limiti delle intersezioni di ~' ~ quando v a r i a il ramo ~,? T e n u t o eonto del n. 17, si pub far v a r i a r e 7 da una, a, ad altra posizione ¢t, a t t r a v e r s o alla famiglia analitica oo' di rami, data daIla

tire

Molteplicifft d'intersezione d,elle varieth algebriche.

849

rappresentazione x, = (~o-- ,1) E a, i t~ + *l E b*i t~ ]=0

(i - - O, 1, . . ., r).

]=0

L ' e l e m e n t o di q u e s t a famiglia, d i p e n d e n d o in modo analitico biunivoco, senza eccezione, dal p u n t o (%, ,,) variabile sopra u n a r e t t a p r o i e t t i v a eomplessa, descrive un sistema c~ ' razionale. E p p e r 6 due gruppi limiti, deducibili l'uno dall'altr0 sopra u n a comp o n e n t e irriducibile delt'interferenza di u ' . . . . , u *, appartengOno ad un sistema c~ ~ razionale di gruppi analoghi; ossia son congiunti da u n a serie lineare sopra una c u r v a t r a c c i a t a in quella c o m p o n e n t e ; e d u n q u e ao) la totalitk di quei gruppi limiti costituisce u n a serie d'equivalenza. In con clusione: Le intersezioni limiti descrivono serie di equivalenza sulle componenti dell'interferenza delle u ' ~ . . . , u ~. 20. I risultanti limiti, essendo di ordine costante helle u, a p p a r t e n g o n o ad u n sistema lineare e vi ~ p e r t a n t o un numero finito di risult a n t i limiti linearmente indipendenti. Un f a t t o r e lineare c o m u n e a t u t t i questi risultanti limiti ~ indipendente dalla scelta del ramo epper5 c o r r i s p o n d e a u n ' i n t e r f e r e n z a isolata o pseudoisolata. Nel caso che l ' i n t e r f e r e n z a sia isolata, ~ invafiabile, come si ~ visto, anche l'espon e n t e con cui quel f a t t o r e comune comparisce nei risultanti limiti; nel caso di una i n t e r f e r e n z a .pseudoisolata c'~ invece un esponente .qenerico, che pu6 crescere per rami 7 particolari in q u a n t o un f a t t o r e lineare variabile pu6 venire a sovrapporsi ad un f a t t o r e l i n e a r e fisso. Risulta cosi senz'altro che: I1 massimo comun divisore dei risultanti limiti 81) consta dei fattori lineari corrispondenti alle interferenze isolate e alle interferenze pseudoisolate. Lo chiamiamo risultante ridotto. Esse serve a determinare le inter]erenze isolate e le pseudoisolate delle quali dd la molteplicitd d'intersezione (minima per le interferenze pseudoisolate). II risuhante per un sistema qualunque di equazioni. 21. P e r un sistema qualunque di forme la molteplicit/~ d'intersezione in u n ' i n t e r f e r e n z a isolata o in u n ' i n t e r f e r e n z a k-dimensionale sono definite nella mia Memoria del 1947 /citata nella n o t a 1) a pi~ di pag.) e a d essa faccio riferimento. 80) Ved. F. SEWRI, Ulteriori sviluppi della teoria delle serie di equivalenza sulle superficie algebriche (Commentationes Pontificia Academia Scientiarum, 91942, p. 980). 31) Cio~ del massimo numero di quelli che son linearmente indipendenti.

850

F. Sev~ri: Sia

(7)

fj(x) - - 0

(] - - 1 , 2 , . . . , h)

un dato sistema di forme nelle coordinate omogenee x0, xl, . . . , x, di un punto x di S~, le quali non abbiano che interferenze isolate. Se gli ordini delle f sono uguali tra loro, le f riduconsi ad almeno r linearmente indipendenti 32), sicch6 r combinazioni lineari di esse, e -sieno h

(8)

E Zzsfs ~-- 0

(l - - 1, 2 . . . . , r)

a p a r a m e t r i indeterminati (e quindi generici), sono linearmente indipendenti. La molteplicitg d'intersezione delle (7) in un punto comune isolato ~ (per definizione) la molteplicitg d'intersezione delle (8) in quel punt(). E questa ~ data dall'esponente del fattore lineare dell'urisultante R(U; Z) delle (8), che corrisponde all'interferenza medesima. Variando le Z, il risul~ante R (u; Z ) v a r i a entro un sistema lineare aa); il massimo comun divisore delle forme di questo sistema ~ u n a forma S(u), la quale si scinde in tanti fattori lineari q u a n t i sono i punti comuni alle (7) e ciascuno d i tali fattori ha per esponente la molteplicitg d'intersez~one delle ( 7 ) n e l punto medesimo. L a forma deve perci6 legittimamente considerarsi quale r i s u l t a n t e d e l d a t o sis t e r n a di e q u a z i o n i . Passiamo al caso pifi generale di h forme (7) di ordini disuguali, nl, n , , . . . , n, e sia n il massimo di questi, Se ~ d e n o t a un iperpiano generico di S,, esso non passa per al.cuna delle interferenze isolate delle (7); epper6 le interferenze del sistema di forme: (9) @n-~,fs(X) - - 0 (] - - 1 , . . . , h), abbraceiano quelle delle forme (7), ciascuna conservandosi isolata pel sistema (9.); e comprendono altre interferenze isolate o no, la cui posizione dipende da ~. Prese r generiche combinazioni lineari delle (9) i cui parametri chiamiamo ancora ~ la loro molteplicit~ d'intersezi0ne' in un punto comune alle (7) ~ (per definizione)la molteplicits d'intersezione in quel punto di tall combinazioni lineari. L'u-risultante d e l l e (9) pub ben essere identicamente nullo (ci5 aecade quando le (9) h a n n o infiniti punti comuni); ma ad ogni modo posslamo considerare l'u-risultante ridotto R(u; ~) delle predette combinazioni lineari. Variando le ~t, questo u-risultante si m u o v e in un sistema lineare e i l massimo comune divisore S(u) delle forme di questo sistema l'u-risultante delle (7) originarie. Ogni fattore lineare di tale risultante elevato ad un esponente uguale alla molteplicit~ d'intersezione delle (7) nella interferenza isolata corrispondente. 3~) Ved. la mia Memoria del 1947~ pag. 227. 3.~) Descrivendo ivi un sistema unirazionale!

Molteplicit~ d~'inters~ione delle variet~ algebriche.

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Lo stesso procedimento ~ appticabile anche quando le (7) abbian0 infnite interferenze e qualche i n t e r f e r e n z a isolata, purch6 si faccia riferimento, soltanto ~lle interferenze i s o l a t e e p~eudoisolate :delle forme .date. 22. I1 passaggio ad un sistema di equaiioni (7)Che abbiamo interferenze di dimensione > 0 non offre difficolt~. Anzitutto conviene distinguere nell'interferenza delle (7) le variet~ pure che la compong0no e disporle p. es. iri ordine decrescente di dimensione. Avremo cosi le variet/t Mh,, Mh~, . . . fino eventualmente ad una Mo (gruppo di punti isolati) essendo hi > h e > . . . > 084). Se si vuole un risultante delle (7), che riguardi in modo particofare un punto P generico di una delle predette variet~ pure, per es. la Mat, si segheranno le forme date con u n S~-h~ generico~ rappresentato da hi equazioni lineari a coefficienti indeterminati t~ (e quindi linearmente indipendenti) e si costruir~ il risultante S(u; g) del sistema formato dalle (7) e dalle h~ equazioni lineari. I fattori lineari di S(u; it) d~nno col loro esponenti la moltepliciti~ d'intersezione delle (7)lungo ciascuna delle componenti irriducibili di Mai ed eventualmente lungo certe altre variet/~ di' dimensione h~ (situate sopra componenti di dimensione > h~ dell'interferenza), le quali per sezione con lo S~-h~ generano interferenze pseudoisolate del sistema sezione. a4) E' noto (p. es. attraverso al metodo di eliminazione di K~ONECKEa) che l'is01amento di queste componenti delle varie dimensioni si compie razionalmente.

(Eingegangen am 21. Januar 1950).