Sin" les anneaux tels que tout produit de copies d'un module quasi-injectif soit un module quasi-injectif (*). CI.A~T])E TISSERO~ (Lyon)

R~sum6.

Uu auneau A tel que tout produit de copies d'un A-module quasi-injecti] soit u~ A-module quasi-i~jecti] est appel6 un O-anneau. Pour un auneau A tout A-module quasiinjecti] est injecti] si et seulement si A est un Q-anuea,u dont te radical de Jacobsou R(A) est nut. On 6tudie les propri6t6s des Q-anneaux d'abord e~ g6n6rat puis lorsqu'its sont noeth~riens. Duns ce cas on s'int6resse d'unc part au compl6t6 d'un Q-anneau semi-local A pour la topologie I~(A)-adique ct d'autre part on caraet6rise les Q-anneaux locaux dont on donne des exemples. -

Certains probl~mes g6n6raux consistent g caract6riser les anneaux A tels que la elasse de A-modules a.yant une propri6t6 P donn6e soit stable par produit (resp. somme directe). P a r exemple duns [6], CHASE caraet6rise les a n n e a u x tels que t o u t produit de modules plats soit a n module plat et lea a n n e a n x tels que t o u t produit de modules projectifs soit un module projectif. Duns l'6tude de ces probl~mes on peut parfois se limiter aux anneaux tels que t o u t produit (respeetivement route somme) de copies d ' u n module a y a n t la propri6t6 P air la propri6t6 P (cf. [6], th6or~Ines 2.1 et 3.3); un tel module est appel6 I I - P (resp. X - P ) . On s'est int6ress6 g des problbmes analogues p o u r des propri6t6s P moins classiques: la qussi-injectivit6 et la quasi-projeetivit6. L a X-quasi-injeetivit6 est 6tudi6e duns [12] et la Ztquasi-projectivit6 duns [12] et [32]. La X'-quasi-projeetivit6 est 6tudi6e duns [22], [28] et [32]. Duns la partie I de eet article, on rappelle d'abord quelques r6sultats sur la quasi-injeetivit6 puls on introdult les anneaux tels que t o u t module quasi-injeetif soit H-quasi-injectif, dont l'6tude est le b u t de ee travail. Ces anneaux sont appel6s Q-anneaux duns [32]. L'6tude de ees anneaux fair intervenir une notion un p e a plus g6n6rale, celle de C1 anneau, d6finie de la fagon suivante: si E est l'enveloppe injective d ' u n e somme d ' u n A-module simple de chaque type, alors A est u n C1 a n n e a u si t o u t sous-module quasi-injeetif de E est//-quasi-injectif. Si A est u n C1 anneau, il y a une dualit6 entre eertains sons-modules quasi-injeetifs de E et eertains id6aux de A (II. proposition 2.6) qui rappelle nn r6sultat de [20] (th6orSme 4.2). Les C1 anneaux et les Q-anneaux sont 6tudi6s parallSlement duns la pattie I I off on donne des propri6t6s de stabilit6 de ees anneaux ainsi que des carat6risations duns le cas off leur radical de Jaeobson est nul. On met 6galement en 6vidence duns cette p a t t i e certains caract~res noeth6riens des Q-anneaux, et on rappelle le fair (*) Entrata in Redazione il 1 agosto 1973.

38

CLAUDE !rISSERO~N: SUr les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

dfi ~ I~E~AL%T [27] que si A est un Q-anneau de radicM ~ alors A~ ~ ~ est un annenu noeth6rien. ~>~0 Ceci nous a m i n e duns la p a t t i e I I I , ~ nous limiter £ r 6 t u d e des C1 a n n e a u x et des Q-anneaux A, noeth6riens et tels que ~ 2~~' = 0. Duns une premiere partie on n~0

m o n t r e que le eompl6t6 d ' u n C1 a n n e a u noeth6rien A de radical ~ tel que A / ~ soit semi-simple et ~ :R" - - 0 se comporte ~ peu pros c o m m e un a n n e a u de Zariski. n~o

Duns une seconde p a t t i e on caract6rise certains Q-anneuux noeth6riens, ca qui p e r m e t entre a u t r e de m o n t r e r q u ' u n a n n e a u de D e d e k i n d p r e m i e r born6 A est un Q-anneau si et seulement si A / f t est u n anneau simple.

I. - Modules

quasi-injectifs,

modules

z-quasi-injectifs.

1. - Notations.

Duns l~ suite, les a n n e a u x sont des a n n e a u x £ unit6 et les modules sont des modules ~ gauche unitaires. On dit q u ' u n a n n e a u A est noeth6rien (resp. ~rtinien...) si A est un a n n e a u noeth6rien £ gauche (resp. artinien ~ gauche ...). On note Mod A la cat6gorie des A-modules ~ gauche, et EA(M) ou E(M) Fen~eloppe injective d ' u n A-mole M. La notion duale de la notion d~enveloppe injective est celle de c o u v e r t u r e projective et on dit q u ' u n anneau A est parfait (resp. semi-parfait) si t o u t A - m o dule (rcsp. t o u t A - m o d u l e de t y p e fini) poss~de une couverture projective [1]. Soient X une p a l t i e de A et I7 une partie d ' u n A-module M, on pose I~(Y) = =- (a c A : a17 = 0} et r~(X) = (x E M: X x = 0}. Si cela n ' i n t r o d u i t pus d'ambiguit6, on note i(17) au lieu de I~(17). On d6signe toujours p a r :R(A) ou 2~ le radical de J a c o b son de l ' a n n e a u A. P o u r un module M on note M (~) (resp. M I) la s o m m e directe (resp. le produit) d ' u n e famille de copies de M index6e p a r un ensemble I . On dit q u ' u n module M est co-irr6duetible si l'intersection de deux sous-modules n o n nuls quelconques de M est toujours non nulle.

2. - Rappels et c o m p l e m e n t s .

2.1. - Modules quasi-injecti]s. Soit A un anneau, un A - m o d u l e M est qu~si-injectif si le foncteur HomA(. , M) est exact sur les suites ex~etes de la f o r m e 0--> N ' - ~ M - ~ N " - - > 0 . P a r exemple t o u t module semi-simple est qu~si-injectif. Si M est a n module quasi-injectif, t o u t facteur direct de M e t route s o m m e finie de copies de M sont des modules quasiinjectifs [17].

C]~AVDE TlSSER0%: Sur les anneaux tels que tout produit de copies~ etc.

39

Plus g6n6ralement, pour un A-module M soit i-~(M) la classe des A-modules _AT tels que le foneteur t t o m x ( - , M ) soit exact sur les suites exaetes de 1~ forme 0--> --> N'--> N ~ N"--> 0, et soit I M la famille des id6aux a de A tels que A / a ~ i-~(M). Alors la sous-cat6gorie pleine i-~(M) a y a n t pour objets les modules de i-~(M) est ferm6e au sens de [13], i.e. est stable par sousobjets, objets quotients et sommes directes quelconques, ([32] proposition 2.1). et la famille I M est topologisante ([13] voir aussi [3] chapitre 2, § 2, exercice 16). De plus un module N ~ i-~(M) si et seulemerit si N coincide avee le sous-module I M N des 616ments x ~ 2~ tels que Ann(x) I M. On a alors 1~ proposition suivante: 2.1.1. PROP0SITIO~-. - Pour un A-module M les conditions suivantes sont dquivalentes : a) M est un A-module quasi-injecti]; b) M est stable par les endomorphismes de son enveloppe injeetive E(M); e) On a la relation I M M = - M . L'6quivalence de a) et c) r6sulte de ce qui pr6c~de. L~6quivalence de a) et b) est le th6or~me 1.1 de [17]. 2.1.2. RE~IARQUE. - P o u r un A-module M d6signons par Y2M (resp. t~s) l'ensemble des id6aux de A qui contiennent u n id6al de lu forme Ann(x) pour x E M (resp. de la forme Ann(X) pour une partie finie X de M). On a Ann(x) ~ ~ r pour tout x ~ M, donc les relations tP~ c I ~ et I~±M = M sont 6quivalentes car la famille I M est topologisante. Or il r6sulte des d6finitions que la condition tQi c ! i signifie exactem e n t que: Pour tout id6al b de A , tout morphisme ]: b - ~ M dont le noyau appartient ~t Y2~ se prolonge ~t A . Cette derni~re condition, 6quivalente g la quasi-injectivit6 de M a 6t6 trouv6e ind6pend~mment par FUCHS et par des m6thodes diff6rentes ([11], voir aussi [28]). 2.2. - Modules Z-quasi-injecti]s. R e m a r q u o n s d~abord que t o u t module semi-simple est X-quasi-injectif, ce fair sera souvent utilis6 duns la suite. L a proposition suivante r6sulte de ([22], th6or~mes 1.7 et 1.11). 2.2.1. PROPOSITIOn. -- Pour un A-module quasi-injecti] M les conditions suivantes sont dquivalentes : a) M est un module Z-quasi-injecti]; b) Ze module M (N) est quasi-injecti];

40

CLAUDE

TISSERO/~*

~ur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

c) Les gldments de ~ , annulateurs de sous-ensembles de M vdri]ient la condition maximale (~otution de 2.1.2); d) M est somme directe d'une ]amille (E~)~ de modules quasi-iujectifs inddcomposables telle que toute somme directe ]inie des Es soit X-quasi-injective.

2.2.2. C0t~0LLAIRE. - - Soit M un module Z-quasi-injecti], on peut trouver une ddeomposition de M e n somme directe de modules quasi-injecti/s inddcomposables de la forme: M = G N ~ ~) ott pour i :/:j les enveloppes injectives des modules iY~ et N~ ne sont pas isomorphes.

D'apr~s 2.2.1 M se d~eompose en somme directe de modules quusi-injeetifs inddcomposables, soient N e t 5;' deux modules figurant duns cette ddeomposition et tels que les enveloppes injeetives ]~(N) et ]~(N') soient isomorphes. Comme le module N • N' est quasi-injectif, les modules N et N' sont isomorphes ([15], proposition 2.4) et on peut done ~erire la ddcomposition de M comme il est dit d~ns le corolluire. La proposition suiv~nte montre que sur un anneau noethdrien A tout module quasi-injectif 9oss~de une telle d~composition. 2.2.3. PRoPosition. - Pour un anneau A l e s conditions suivantes sont gquivalentes: a) l'anneau A est noethdrien; b) tout A-module quasi-injecti] est Z-quasi-injecti]; c) toute somme directe de modules injecti]s est un module quasi-injecti]; d) tout module injecti] est X-injecti]; e) route somme directe de modules injecti]s est un module injeeti].

L'~quivalence des conditions a), b), c) es~ 1~ proposition 3.1 de [32]; L'~quiv~]ence des conditions b) et d) est le th~or~me 2.3 de [12]; L'equiv~lence de a) et b) est 1~ proposition 4.1 de [6]. 2.3. - Modules H-quasi-injeeti]s. l ~ p p e l o n s d'ubord la caract6risation suivanto des modules H quasi-injeetifs. 2.3.1. PROPOSITION. valentes:

-

Pour un A-module M Ies conditions suivantes sont dqui-

a) M est H quasi-injeeti]; b) M est un Afl~(M)-module injecti];

e) M ~-q~(M)([A(M)) Ot~ E ( M ) est l'enveloppe injective de M; d) M = rz(~±)(a) pour un iddaI a de A .

CLAUDE TISSERO:N: ~ u r

les anneaux tels qua tout produit de copies, etc.

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a) ~ b) est la proposition 2.7 de [32] cur M est un A/IA(M)-module injeetif si et seulement si I~(M) e ][M" Carte 6quivalence a 6t6 trouv6e ind6pendamment pax"FULLE~ qui m o n t r e aussi qua a)<=> b)<=> d) ([12], th6or~me 1.2). I1 est clair qua c ) ~ d). 2.3.2. ]~E~AI~QUE. -- Tout A-module M poss~de une enveloppe quasi-injective qui est le plus petit sous-module quasi-injeetif de E ( M ) eontenant M. L a proposition 2.3.1 m o n t r e qua pour t o u t module M le module ~'g(M)(I[A(M)) est le plus petit sous-module H-quasi-injectif de E ( M ) e o n t e n a n t M. Rappelons q u ' u n A-module M est fiddle si I ~ ( M ) = 0. 2.3.3. - COROLLAIRE. - - Tout module TI quasi-injeetif et /id~le est i~jeeti]. On dit q u ' u n auneau A est un Q-anneau si t o u t module quasi-injectif est H-quasiinjeetif. On a la earact6risation suivante: 2.3.4. - PROPOSITIO~ ([32], Proposition 2.9). - Un anneau A est un Q-anneau st et seulement si pour tout iddal biIat~re a de A, tout A/a-module quasi-injecti/ et ]id~le est injecti/. Etudions main£enant une notion qui va jouer u n rble i m p o r t a n t duns l'6tude des Q-anneaux et qui v a nous p e r m e t t r e de d6finir les C1 anneaux.

2.4. - Ze cogdndrateur minimal de )~od A. Un A-module Q est u n cogdndrateur de Mod A si et seulement si tout A-module M est isomorphe ~ u n sous-module d ' u n produit de copies de Q; ceei 6quivaut ~ dire qua Q contient une enveloppe injeetive de chaque t y p e de module simple ([31], expos6 6, th6or~me 1.8). Soit T u n ensemble de repr6sentants des types de A-modules simptes et soit $ = • S; le module E($) est u n cog6n6rateur injeetif de Mod A contenu, £ u n iSOSeT

morphisme pros, duns t o u t eog6n6rateur injectif de ~ o d A, ee module est done u n cog6u6rateur injectif minimal, at, par abus de laugage on dira qua E($) est le coggngrateur minimal de Mod A. Ce module est d6fini ~ u n isomorphisme pros, et est fid~le, comma &ailleurs t o u t eog6n6rateur. 2.4.1. D ~ x ~ I T I o ~ . - On dit qu.'u~ anneau A est un C1 anneau si tout sous-modu~e quasi-injecti] du cogdn~rateur minimal E de ~fod A est II-quasi-injecti/. D'apr~s 2.3.1 il revient au m~me de dire que pour t o u t sous-module quasi-injectif de E on a N = rs(N)(~A(N)). 2.4.2. RE~A~quE. -- Soit A u n anneau e o m m u t a t i f noeth6rien, local et eomplet pour la topologie d6finie par son id6al m a x i m u m m, et soit E = E~(A/m) le eog6n6rateur minimal de l~od A; alors, d'apr~s le th6or~me 4.2 de [20] on a N = r~(I~(N))

42

CLAUDE TISSiERON: Sur les anneaux tets que tout produit de copies, etc.

pour t o u t sous-module N de E, et comme E = E~(N) lorsque N ~ 0, ceci m o n t r e quc A est u n C1 unneau. On verru £ la p a t t i e I I I que 1~ dimension de Krull d ' u n Q-unnuu noetherien commututif est toujours au plus 6gule £ 1. Comme il existe des unneuux locuux noetheriens et complets de dimension de Krull > 1, ceci m o n t r e qu'il existe des C1 unneaux qui ne sont pus des Q-unneaux. :Par uilleurs, il est cluir que t o u t Q-unneau est u n C1 unneuu.

II. - G6n6ralit6s sur les C1 a n n e a u x et l e s Q - a n n u a u x .

Duns cette partie upres quelques resultats preliminuires sur le cogenerateur minimal on donne quelques proprietes generules des C1 unneuux et des Q-unneaux, en purticulier des proprietes de stubilites et une premiere curact~xisution des C1 unneaux qui p e r m e t de cur~et6riser les C1 unneuux noetheriens sans rudicaux et lea Q-unneuux sans rudicaux. Ces proprietes font uppurultre entre autres certains caructbres noetheriens des Q anne~ux qui sont complet6s par les r6sultuts de RENAVU~T ruppeles au n. 4.

1. - Propri6t6s du cog6n6rateur minimal.

Enon~ons d'ubord deux lemmes utiles pour la suite: 1.1. LEMME. - Soit E un cogdndrateur de ~¢[od A,

a) pour tout iddal a de A on a ta relation a----l~(r~(a)); b) si ~ est Z-injeeti], alors A est anneau noethdrien. a) P o u r un id6al a de A il existe une injection ] de A/a duns un produit E I de copies de E. Posons ](x) = (/~(x))~± et soit X = {]~(1 ~- a), i ~ I } . On verifie ~isem e n t que a = IA(X), puis que a-----I~(r~(a)). L'assertion b) r6sulte i m m e d i a t e m e n t de a) et de la proposition 3 page 184 de [9]. 1.2. LE~XYm. - Soient p u n iddal bilat~re de l'anneau A et F u n A-module inject if, alors rr(p) est un A / p module injeeti], et si M est un sous-module essentiel de r~(p) l'enveloppe injeetive du A/p-modute M est rF(p). Soit ] u n morphisme d ' u n ideal G/p dana r~(p), le compos6 G-+G/p ~ r ~ ( p ) se prolonge en unc application A-lineaire g: A - + / ~ telle que g(p) ----0, done g se factorise par un morphisme v: A/p---~F qui prolonge ] car v ( A / p ) ¢ rF(p) , et rp(p) est u n A/o-module injectif. Comme les structures de A-module et de A/p-module de r~(p) coincident, t o u t sous-A-module essentiel de r~(p) est u n sous-A/p-module essentiel de r~(p) d'ofl la seconde assertion.

CLAUDE TISSERON:

Sur lea anneaux tels que tout produit de cop@s, etc.

43

1.3. COMP0SAI~TE p - P ~ L ~ R E D'U~ MODULE. -- Spit p u n id6al bilat6re de l ' a n n e a u A, p o u r un A - m o d u l e M on note M(~) le sous-module de M form6 des x e M unnul6s p a r une puissance de p. On dit que M(~) est la eompoaante p-primaire de M. Spit T u n ensemble de repr6sent~nts des t y p e s de A-modules simples, notons T , 1~ p a t t i e de T form6e des S e T tels que pS = 0. On p e u t d6terminer ais6ment la composan~e p - p r i m a i r e du Socle 8---- O S du cog~n6rateur m i n i m a l E de Mod A; c o m m e l ' ~ n n u l a t e u r d ' u n module simple est u n ideal premier, on v6rifie facilement que p o u r t o u t module simple S on a p S = 0 si et seulement si il existe n tel que p" S = 0. On s donc toujours les inclusions

® ~ c rs(p) c 8(~).

SeTo

Spit x e 8(v), on p e u t 6erire x = x ~ + ...-~ x~ o~t les modules Ax, sont simples, app a r t i e n n e n t £ T et sont annul6s p a r une puissance de p, donc aussi p a r p, et les Ax, sont contenus duns • S. Ceci m o n t r e que l'on s les 6galit6s suiv~ntes:

seT~ ® g = rs(V) = 8(~).

S~T~

1.4. Pt~OP0SITIOt~. - Soient p un iddal bitat&e de A e t E le cogdn&ateur minimal de ~ o d A~ alors: 1) le A/p-module E'----r~(p) eat le eogdn&ateur minimal de M o d A / p ; 2) pour tout n > l on a r~(p ~) = r~(p ") o ~ / ~ eat une enveloppe injective de 8(~) dana E, el on a 8(~) c E(p) c F . 1) Soient T et Tp les ensembles d~finis en 1.3, on p e u t eonsid~rer Tv c o m m e un ensemble de repr6sentants des t y p e s de A / p - m o d u l e s simples. Soit 8 ' = O S,

SeTp

alors 8' est n n sous-module essentiel de r2(p) c o m m e on le v6rifie uis6ment et ls conclusion r~sulte de 1.2. 2) On a E(~)= [Jr~(p ~) p a r d6finition, et il sufiit de m o n t r e r que p o u r t o u t n~>l

entier n >~1 cn s r~(p ~) c F, a u t r e m e n t dit, il suffit de m o n t r e r que s i x e E cst annul6 p a r p" alors x e/~. Spit doric x tel que p"x----0, spit G un suppl6mentaire de F d~ns E, on '~ x - - - - y + z avcc y e F et z e G , d e p l u s c o m m e l a s o m m e F Q G est directe on s aussi p~z----0. Si z=~0 il existe a e A tel que a z e 8 et az~:O~ c o m m e p~ est u n id6~l bilat6re on ~ p " a z = O donc a z e 8 ( , ) c F et a z e F n G----{0} ce qui est absurd% done z----0 et x = y e F , ce qui uch~ve la d6monstration. 1.5. PROPOSITIOn. - Noit A un C1 anneau de radical ~. cogdn&ateur minimal E de Mod A est un module ~.-primaire.

Si ~] ~----0 alors le ~>~1

CLAUDE TISSERON: ~Ur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

44 Soit E ' =

Ur~(~),

comme los iddaux ~ " sour bilatdres chaque r ~ ( ~ ~) est un

sous-module de E et E ' est un sous-module de E, de plus il est ais6 de vdrifier que E ' est stable par t o u s l e s endomorphismes de 1~. On a ~ 8 := 0 oft 8 est to aocle de E done 8 c E ' et E ' eat osaentiel duns E done E - ~ E_~(E') et il r~stflte de 1.2.1.1 que E ' cat un soua-module quasi-injectif de E. D'apr~a te lemme 1.1 on ~ ~ ( E ' ) = = n IA(rz(~))-=- n gt~, et E ' est un module fid~le. Comme A est un C1 anneau, n~l

n~l

le sous-module quasi-injeetif et fid~le/Y de E est injeetif et on a E ' = E 4 ( E ' ) ~-~ ~, 4'off la proposition.

2. - P r e m i e r e s

propri6t6s.

Les propositions suivantes donnent des propridtds de stabilit6 des C1 anneaux et des Q-anneaux, ainsi que des exemples de tels anneaux. 2.]. PROPOSITION.

a) Tout anneau artinien est un Q-anneau; b) Tout produit ]ini de Q-anneaux (resp. de C1 anneaux) est un Q-anneau, (resp. un C1 anneau). L'assertion a) est la proposition 2.8 de [32], etle a 6t6 trouv~e i n d @ e n d a m m e n t par FtYLLEI~ ([12], corollaire 1.3). -~[ontrons b). Soit A u n anneau produit d'une f~mille finio d ' a n n e a u x (Ai)~<~<., on pout 6crire A = QAe~ off e~, ..., e~ sont des idempotents c e n t r a u x et orthogonaux de A tels que pour l < i < n

A~ soit isomorphe £ Aei.

Soit M un A-modul% on

pout 6crire M = Q e~M et il ost facile de vdrifier que M eat un A - m o d u l e / / - q u a s i injcetif ai et aeuloment si pour 1 < i < n , le A e c m o d u l e e~M est/I-quasi-injectif. Ainsi A est u n Q-~nneau si et seulement ai~ pour l < i < n , Ae~=A~ est un Q-anne~u. I1 est 6gulement facile de v~rifier que si E est le cogdn6r~teur minimal de Mod A Mora pour l < i < n eiE eat lo cog~ndrateur minimal de Mod Ae~. Cornme t o u t sousn

module quasi-injoctif M de ]~ s'dcrit M = ~ e ~ M off e~M est a n sous-module quasiinjectif de eiE, l'unneau A est u n C1 anneuu d~s que, pour l < i < n , un C1 ~nneau.

Ae~=A~ est

2.2. RE:~ARQUE. -- E n gdndral un produit infini de Q-~nneaux n'est pus un Qa n n e a u et ce n'est pus un C1 ~nne~u comme le m o n t r e l'exomplo suiv~nt: soit (K~)~z une f~mille infinie de corps et soit A l'anneau 1-[ Ki, le module M = @ K i est le I

/

socle du A-module A , ot M eat somme 4 ' u n A-module simple de chaque type. L~ proposition 6.2 de [26] m o n t r e que l'anno~u A ost auto-injectif et ainsi le A-module A ,

CLAUDE TlSSERO~: Sur les anneaux tels que tout produit de copies, ete.

45

est le eog~nSrateur minimal de ~5od A. Le A-module M est quasi-injeetif et fid~le m~is n'est pus injeetif car E ~ ( M ) ~ - A ~ , doric, d'~pr~s I, 2.3.4, A n'est pus un C1 anne~u. 2.3. LElWIE. - Soient A et B deux anneaux et T: ~[od B--->l~od A un foncteur additi]. Considdrons les propridtds suivantes:

a) T est pleinement ]id~le et poss~de un adjoint ~ gauche U: 5~od A - ÷ ~ [ o d B ; b) l'image par U de toute injection N--~ T ( M ) ot~ M est un B-module, est une injection; c) l'image par T d'un monomorphisme essentiel est un monomorphisme essentiel. d) pour tout B-mod~de simple S le A-module T(S) est simple: 1) si A est un Q-anneau et si lea propri~tds a) b) sont vd~'i]ides, alors B est un Q-anneau ; 2) si A est un C1 anneau et si les propridtds a), b), c), d) sont vdrifides alors B est un C1 anneau. Pour t o u t A-module N et tout B-module M on u des morphismes canoniques q~.: iV-~ T U ( N ) et ~±: UT(M)--~ M qui r~sultent de l'adjonetion de T et U. 1) Supposons v~rifi~es les conditions a) e~ b). Comme T poss~de un adjoint ~ gauche T est exact ~ gauche et prdserve les monomorphismes. Comme T es~ pleinement fid~le ~ est un isomorphisme pour ~out B-module M. Montrons qu'un B-module M est//-quasi-injectif si et seulement si T ( M ) est un A-module //-quasi-injectiL Soit i: ~--~ T ( M ) u n sous-A-module de T(M) off M est a n B-module. L'application y ~ o U(i): U(N)-~ M est une injection. On a un diagrumme commutatif: Hom~(M, M)

I~0m~(VMOV(O.ai)

4 t t o m A(T(M), T ( M ) )

~ H o m , ( U ( N ) , M)

ttomA( i.T(M) )

÷HOmA(2t , T ( M ) )

duns lequel ~ est risomorphisme de l'adjonction, fi est l'application d~finie par fl(]) = = T(]) et fi est un isomorphisme car T e s t pleinement fid~le. I1 est facile de v~rifier avec ce diagramme que M est quasi-injeetif si et seulement si T ( M ) est quasi-injeetif. Comme T poss~de un adjoint £ gauche, T preserve les produits et pour tout B-module M e t t o u t ensemble I on s T ( M z) ~ > T ( M ) z, ce qui montre que M eat H-qussiinjectif si et settlement si T ( M ) est H-quasi-injectif. I1 r~sulte de ceci que si A est un Q-anneau, ~lors B est un Q-unneaa. 4 - -dnnali d i M a t e m a t i c a

46

CLAUDE TISSERON: Sur les anneaux tels q~e tout produit de copies, etc.

2) Supposons de plus que c) soit vdrifi~e. Soit M un sous-B-module quasiinjeetif du cog6n~rateur minimal de Mod B. Le socle 8 de M est essentiel duns M et les composantes isotypiques de 8 sont simples. I1 est facile de v~rifier que si S et S' sont des B-modules simples non isomorphes, alors T(S) et T(S') sont des Amodules simples non isomorphes et il r~sulte de c) que Y(8) est un A-module semisimple essentiel duns T(M) dont les composantes isotypiques sont simples. Le module T ( M ) est quasi-injectif d'apr6s 1) et ainsi T ( M ) est isomorphe ~ un sous-module quasi-injectif du cogdndrateur minimal de N[od A. Si A est un C1 anneau, alors T(M) est H-quasi-injectif et aussi M d'apr~s 1), done, si A est un C1 anneau, B est an C1 anneau. 2.4. COROLLAII~E. -- Soit /: A - ~ B conditions suivantes :

un dpimorphisme d'anneaux vdri/iant l'une des

(i) ] est surjecti]; (ii) B e s t un A-module ~ droite plat; 1) Si A est un Q-anneau alors B est un Q-anneau,. 2) Si A est un C1 anneau et si pour tout B-module simple S le A-module / , ( ~ ) est simple alors B e s t un C1 anneau. (Condition toujours vdri/ide si / e s t surjecti/). Soit / , : Mod B -~ Mod A le foneteur restriction des scalaires et soit /* -- B Q~. Le foncteur extension des scalaires~ adjoint £ gauche ~ / , . I1 r~sulte de ]a proposition 2.1 de [24] q u e / , est pleinement fid~le. Pour un A-module N e t un B-module M on note ~ : N - ~ / , / * ( N ) et ~vz~:/*/,(M) --~ M les morphismes canoniques. Pour t o u t B-module M le morphisme %vM est un isomorphisme donc aussi ~I,(M) ear on a la rola~ion / , ( V ~ ) ° ~ L ( M ) - ]f,(M)" I1 est facile de v6rifier que chaeune des conditions (i) et (ii) implique la condition b) du lemme 2.3 et l~assertion du corollaire relative aux Q-anneaux r6sulte directement du lemme. Pour terminer la d6monstration il sui~t de montrer que chaeune des conditions (i) et (ii) implique la condition c) du lemme. La v6rification (i) ~ c) est imm6diate. Montrons que ( i i ) ~ c). Supposons que B soit a n A-module £ droite plat, alors/* est exact. Soit i: M -~ P un sous-B-module essentiel d ' u n B-module P. Pour montrer que te monomorphisme ],(i) est essentiel on montre qu~un morphisme u : / , ( _ P ) - > N est injeetif ribs que u o/,(i) est injeotif. S i u o/,(i) est injeetif alors/*(u) o]*/,(i) l'est aussi. Comme tv~ et yp sont des isomorphismes, l'essentialit6 de i montre ais6ment que/*(u) est injectif, doric / , / * ( u ) est aussi injectif; et la relation / , /*(u) °~s,(~)= ~ o u montre que u est injectif car %.W) est un isomorphisme. Ceci termine la d6monstration. 2.5. COROLLAI~E. -- Soit A u n Q-anneau (resp. un C1 anneau)~ si P e s t un gdndrateur projecti/ de t y p e / i n i alors Panneau EndA(.P ) est un Q-anneau h droite (resp. un C1 anneau d droite).

CLAVDE TlSSEaO~: Sur les anneaux tels que tout prod~it de copies~ etc.

47

Si P e s t un g6n~rateur projectif de t y p e fini, le foncteur T = t t o m ~ ( P , . ) est une @quivalence entre l~{od A e t la eat~gorie des modules ~ droite sur l ' a n n e a n T(P) -~ = End~(P), done T es~ une dquivalence entre ~{od A e t la categoric des modules gauche sur l'anneau oppos6 ~ End~(P). Comme T v6rifie tes conditions a), b), c), d) d u lemme on a bien le rdsultat annonc~. Suivant B. R o v x [30] disons q u ' u n module simple S est attach6 ~ u n module M sU1 existe deux sous-modules N', 5~ de M~ N ' c h r tels que hr/~Y'_ ~ S. On a alors la proposition suivante: 2.6. PI~OPOSITIO~~. - Soft A le cogdndrateur minimal de :~Iod A,

a) Si A est un C1 anneau alors A vdri]ie la condition suivante: (i)

Zes correspondances a--*-r2(a) et ~ > I A ( N ) sont des bijections ddcroissantes et inverses l'une de l~autre entre t'ensemble des iddaux bitat~res de A contenus dana 2t(A) et l'ensembte des sous-modules quasi-injecti]s et essentiels de E;

b) Considdrons les conditions suivantes: (if) Tout module simple S est Ie seul module simple attachd ~ E A(S ) ; (iii) Ze module Q E(B), ott T eat un ensemble de reprgaentants des types de SeT

A-modules simples, est injecti]. Si A vdri]ie les conditions (i)~ (if) et (iii) alors A est un C1 anneau. l{appelons q u ' u n sous-module N d ' u n module M est caractdristique dans M si -~ est stable par les endomorphismcs de M. I1 est facile de v6rifier que t o u t sous-module caract6ristique d~un module quasi-injectif est quasi-injectif. a) Soft AT un sous-module quasi-injectif et essentiel de E, on ~ /~ = EA(N ) et d'apr~s 1.2.3.1, on a ~Y = r~(IA{iV)); de plus le socle 8 de E est contenu duns AT et on a I A ( N ) c I ~ ( 8 ) = g{(A). Inversement, pour u n id6al bilatSre a c : g ( A ) on a 8 c r~(J{(A))cry(a) et r~(a) est u n sous-module essentiel de B; on v6rifle ais~ment que r~(a) est u n sous-module caract6ristique de E et ainsi r~(a) est quasi-injectif, on a entin a = I~(r~(a)) avec 1.1 et ceci ach~ve l~ d6monstration de a). b) On conserve les notations de 1.3 Supposons v~rifi~e la condition (iii), on a alors E .... • E~(S). Supposons de plus que la condition (if) soft v~rifi~e et montrons SeT

que pour t o u t S e T le module EA(S ) eat caract~ristique dans E. P o u r cela il suffit de m o n t r e r que pour t o u t module simple S ' e T different de S, tou~ morphisme ]: E A ( S ) - + E d ( S ' ) est nul, or s'il exist~it ]: E A ( S ) - ~ E ~ ( S ' ) non nul on aurait S ' ~ ~]-l(S')/Ker(]) ce qui contredirait (if) et ainsi E~(S) est caract~ristique duns E.

48

CLAUDE TISSERO~: Sur les anneaux tels que tout produit de copies~ etc.

Soit m u i n t e n u n t N u n sous-module quusi-injectif de /~, soit T ' l'ensemble des types de modules simples qui sont duns le socle de/Y. On u Ex(N) = • Ex(S), comme SeT'

ehuque EA(S ) est euractdristique duns E~ le module/~(_~r) est euructdristique duns E, eomme N e s t caruct~ristique duns E~(N), ccci montrc que N e s t cuructdristique duns E. I1 est ulors ~ucile de v~rifier que le module M = _~® Q Ex(S) est curaet~riSET-- T'

stique duns E, donc M est quusi-injectif; de plus M est essentiel duns E car M contient le socle de E. Si A vdrifie ls condition i)~ on ~ M = r~(~(M)) et M est Hquasi-injectif (I.2.3.1) donc )~ est ~ussi//-quusi-injectif car on vdrifie uisdment que t o u t fucteur direct d~un module //-quusi-injectif est a n module //-quusi-injcctif. I1 r~sulte de ceci que t o u t sous-module quusi-injectif de E est H-quusi-injectif donc A est u n C1 unneuu. 2.7. RE~ARQUES. -- 1) Un unneuu noethdrien commututif poss~de toujours l~ condition ii) de 2.6. E n effet; soit S ~ A / m un A-module simple off m est un id~ul muximul d ' u n unneuu noeth~rien commututif A, ulors S est uttueh4 ~/~A(S). Soient N', des sous-modules de EA(S ) tels que N / N ~ soit a n A-module simple, soit x e N - - N', d'apr~s le th~orSme 3.¢ de [20] il existe n tel que m~x----0 done m , c Ann(N/~Y') et l'id~al muximul Ann(/¥/_~') coincide uvec m, ceci m o n t r e que N / N ' est isomorphe S et S est l'unique module simple uttuch4 ~ E d(S ). 2) Lu condition iii) de 2.6 est en purticulier vdrifi~e d~s que A est noethSrien, ou dSs que l'ensemble des types de modules simples est fini.

3. -

C1 a n n e a u x

et Q-anneaux

sans radicaux.

l~appelons qu"on dit qu'un unneuu A est un V-anneau si A v6rifie les conditions 6quivalentes suivantes ([10]~ page 130): a) T o u t module simple est injectif; b) Tout id6al est l'intersection des id6aux muximuux le contenant. Duns un tel anneuu 0 est l'intersection de tous les id6uux m u x i m u u x et le rudical est nnl. Comme duns 1.3~ on dSsigne par T u n ensemble de repr~sentunts des types de A-motiVes simples et on pose 8---- Q S. SeT

Le lemme suivunt m o n t r e lu relation qui existe entre les V-unneuux et les C1 unneuux sans rudicuux. 3.1. LE~I~E. - Zes assertions s~tivantes sont 6quivalentes:

a) A est un C1 anneau sans radical; b) le module 8-~ G S est injecti] (A est alors un V-anneau). SeT

CLAUDE TISSEtLO.N: S u r les a n n e a u x tels que tout produit de copies, etc.

49

a) ~ b). On u E = E(8) oh E est le cog6n6rateur minimal et d~uprbs 1.1 8 - = r~(I~(8)). Comme ~ ( 8 ) = YL(A)= 0 on a 8 = E et 8 est injectif. I1 est clair que A est u n V-anneuu d6s qne 8 est injeetif. b) ~ a). Si 8 est injectif, alors A est un V-anneau et ~ ( A ) = 0. De plus on u alors E = 8 et t o u t sous-module de E est facteur direct de E, done t o u t sous-module de E est injectif et £ fortiori//-quasi-injectif, uinsi A est u n C1 anneuu. Les deux lemmes et la proposition suivants nous ont 6t6 communiqu6s par G. I~E~AUL~. I]S d o n n e n t une premi6re d6composition des C1 anneuux sans radicaux. 3.2. L E ~ ) m . - / ~ e centre C d~un V - a n n e a u A est a n n e a u rdgulier (an sens de V. ~ E U -

1) l~lontrons d ' u b o r d que pour t o u t id6al a de A on a a : a -~. Si a ~ a ' - il e x i s t e u n i d 6 u l m u x i m u l m tel que a ~ c m et a c r e . On u alors l = a q - m o f l a e a et m e r e d'ofl a = - a ~ + am, e r a et 1 = a + m e r e ce qui est ~bsurde, doric a = a ~. 2) Soit C le centre de A , on u A x - - ( A x ) ~ pour x e C, donc il existe a e A tel que x - - x : a . On u ulors 6gulement x -= x~a =- x~a(xa) -= x~a(xa) ~ = x(x2a~)x, et t o u t revient ~ m o n t r e r que x~a ~ ~ C. On termine m u i n t e n a n t la d6monstration en m o n t r u n t par r6currence s u r n que x ~ a ~ e C pour t o u t n > l . On ~ x~a = x e C, supposons que x ~ a ~ - l e C et soit y e A , les relations suivantes: y x 2 a . .... y x ~ a ~ - ~ a = x : a ~ - ~ y a : = a , ~ - ~ y x ~ a = x ~ a ~ y ,

m o n t r e n t que x~-a~e C et ceci termine la d6monstration. 3.3. IJE~:gE. - Soit A u n

anneau.

S i 8 = Q S est u n module injecti], alors A SeT

ne contient p a s une in]initg d'idempotents centraux deux a deux orthogonaux.

Soit (ei)i~x une famille d ' i d e m p o t e n t s eentraux deux a deux orthogonuux. P o u r t o u t i e I soit m~ u n id6al tr gauche m a x i m a l c o n t e n a n t A(1--e~). 1) Montrons que pour i ~=j les modules simples A / m ~ e t A / m j ne sont pus isomorphes. Supposons qu'il existe a n morphisme non nul u: A / m ~ - ~ . A / m j , ~lors Fapplication compos6e v : A e ~ - > A - - + A / m ~ d ~ A / m j est non nulle et est de la forme ae~--~ -~.ae~x pour x e A / m j car A / m j est injectif. Posons x = b q - m ~ on a b - - e j b = : (1 - - e j ) b e ra~ et x = e~b q- mj =: e j x . P o u r t o u t a e A on a done ae~x = ae~e¢x = 0 et v est halle, ce qui estabsttrde. Lesmodules A / m ~ et A / m ¢ sont done non isomorphes. 2) P o u r t o u t i ~ I soit f~: Ae~-> A / m ~ l'applieution d6finie par ] ( e ~ ) : i q - m ~ . D'upr~s 1) on p e a t eonsid6rer G A / m ~ comme un sous-module de 8 et ] : G ] , d6fiI

nit une application de @ Ae~ duns 8. 7

I

50

CLAUDE TISSER01~: ~ur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

P a r hypoth~se O Ae~ est u n ideal de A e t 8 es~ u n A - m o d u l e injectif donc ] se f prolonge en une application g de A duns. 8. C o m m e A est de t y p e fini I m g eat un sous-module de longueur finie de $, d o n c • A/m~ = I m ] c I m g est uussi un module de longueur finie et ceei p r o u v e que I est fini. 3 . 4 . I ° R O P O S I T I 0 : N . - Soit A un CI anneau sans radical, alors A - ~ f I V, olt V, est un C1 anneau sans radical dont le centre est un corps.

Spit A u n C1 anneuu sans rudicul, le centre C de A est u n anneuu r~gulier (3.2) qui ne contient pus une infinit~ d ' i d e m p o t e n t s centr~ux deux ~ deux orthogonuux (3.] et 3.3) donc C eat u n unneuu semi-simple c o m m u t a t i f , c'est-£-dire C eat un produit fini de corps. On p e u t done ~crire C = CclO ...® Ce~ off e~, ..., e~: sont des idemp o t e n t s centruux et d e a x ~ d e u x orthogona.ux de A, et off Ce~, ..., Ce~ sont des corps. On a de p h s duns C (done ausai duns A) lu relation 1 = e~ ~ ...-~ e.. I1 rdsulte de ceci que A = Ae~O ...® A c , et A est isomorphe uu produit des anneuux Ae~, ...,Ae~. Chaque Ae~ a u n radical nul car 0 = 2u(A)----$t(Ae~)×...×~(Ae~), et ehaque Ae~ eat u n C t a n n e u u d'upr~s 2.~, c o m m e Ce~ eat te centre de Ae~ il suffit de poser V~ =-Ae~ p o u r uvoir le rdsultut de la proposition. lqoua ullona m u i n t e n u n t aupposer qne A eat noethdrien, noua pourrons alors uvoir des rdsultuts plus prdcis sur les V, duns ce cus. Commenpona par un Jerome. 3.5. L E ~ E . - Soil A un C1 anneau noeth&'ien, alors tout module quasi-injecti] dont le socle est essentiel est un module II-quasi-injecti]. a) Montrons d'~bord que si A est noethdrien, ulors route s o m m e de copies d ' u n module H-quusi-injectif est un module H-quusi-injectif. Si 2~ eat H-quusi-injectif, on u £ V - r~(N)(I(N)) d'upr~s 1.2.3.1, c o m m e A est noethdrien on u E(N) (x)-- E ( N (x)) pour t o u t ensemble X et uinsi on u les relations: =

=

C o m m e I(N) -- I(N (x)) ceci m o n t r e que le module N (x) est H-quusi-injectif d'upr~s 1.2.3.1. b) Spit m a i n t e n u n t N u n module quasi-injectif dont le socle U est essentiel. C o m m e A est noe~hdrien, il rdsulte de 1.2.2.2 et de 1.2.2.3 que 2 / s ' d c r i t N ---- +(f)~v~~-(2~,) off chaque N , eat quusi-injectif inddcomposuble et off p o u r i V=j les modules E ( N , ) et ~(5r~) ne son$ pus isomorphes. P o u r i ~ I le module ~ , est quusi-injectif inddcompos~ble done N~ est coirrdductible, c o m m e U est essentiel duns N le soele U ~ - ~ ; , de N , est non nul et ce aocle est donc simple, spit S~ le socle simple de N~.. C o m m e /~(S~)----E(~Y,) les modules S~ et S~ ne sont pus isomorphes p o u r i ¢ j e t le module @ ~ ( h ~ ) est isomorphe £ u n sous-module du cogdndrateur m i n i m a l E de Mod A. Spit M ---- @ N~, te module M es~ quasi-injeetif car M est fucteur direct de 3? c o m m e ieI

CLAUDE TlSSEI¢o~: Sur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

51

on le v6rifie ais6ment et M est donc isomorphe ~ un sous-module quasi-injectif de E Comme A est u n C1 anneau, M est H-quasi-injectif. Soit ~ = ~ et soit K ~ = ieI

----~ - - ~ ; pour i ~ I, on a M (3) = N O Q .~g~) et _~r est facteur direct de M(3); d'apr~s a) le module M (~) est H-quasi-injectif et N est //-quasi-injectif comme facteur direct d ' u n module H-quasi-injeetif. 3.6. THeORiZE. - Pour un anneau A l e s

conditions suivantes sont dquivalentes:

a) A est un C1 anneau noethdrien sans radical; b) A est u n V-anneau noethdrien; c) A est produit ]ini de V-anneaux noethdriens quasi-simples; d) tout A-module semi-simple est injectif.

a) ~ d). Soit toujours 8 = O S. Le module $ est fid~le car A est sans radical. SeT

Soit U un module semi-simple, alors U(~ 8 est semi-simple doric H-quasi-injectif d'apr~s 3.5, or U ® 8 est fid~le donc U® 8 est injectif d'apr~s 1.2.3.3 et U est injectif. d) ~ b). Si d) est v6rifi6 il est clair que A est un V-anneau. Le module 8 est injectif donc coincide avec le cog6n6rateur minimal E = E($) de ~lod A. Le module 8 est donc u n cog6n6rateur Z-injectif et A est noeth6rien d'aprbs 1.1. b) ~ c). Le radical de A est nul donc A est semi-premier et il r6sulte de [10] (page 130) que le V-anneau noeth6rien A est produit fini de V-anneaux noeth6riens quasi-simples. e) ~ a). Un produit fini de V-anneaux noeth6riens quasi-simples est u n a n n e a u noeth6rien sans radical, et d'apr~s 2.1 il sufilt de m o n t r e r q u ' u n V-anneau noeth6rien est u n C1 a n n e a u mais ceci r6snlte imm6diatement de 3.1 et le th6or~me est donc d6montr6. L'6quivalence b)<~ d) a 6t6 trouv6e ind6pendament et par une n6thode diff~rente par K. A. BYICD ([5], proposition i). RE~At~QVES:

1) Soit A un V-anneau noeth~rien quasi-simple, alors A est u n C1 anneau quasi-simple donc sans id~aux bilat~res ¢ 0 ct d'apr~s 3.4 le centre de A est un corps.

2) I1 r6sulte ais6ment de 3.4 et 3.6 que si A est u n V-anneau noeth6rien aiors A est quasi-simple si et settlement si le centre de A est un corps. 3.~. TH-~01C~YIE. - Pour un anneau A l e s

conditions suivantes sont dquivalentes:

a) A est un Q-anneau sans radical;

b)

A est un Q-anncau noethdrien sans radical;

52

CLAUDE TlssE~0~-: Sur tes anneaux tels que tout produit de eopies~ etc.

c) A est produit ]ini de V-anneaux noethdriens quasi-simples (B~)~<~<. tets que tout B~-modute quasi-injecti] est i~jecti]; d) tout A-module quasi-injecti] est injeeti]. Les implications a) ~ b) et b) ~ c) r6sultent de 1~ proposition 1 et du lemme 2

de [27]. c) ~ d). Soit A------IIB~, on p e a t 6erire A = OAe~, off les e~ l < i < n i=l

sont des

i=i

idempotents c e n t r a u x et orthogonaux de A tels que pour 1 < i < n its ~nne~ux Ae~ et B~ sont isomorphes, done t o u t Ae~-module quasi-injectif est injeetif. Soit M u n A-module quasi-injeetif, montrons que M esf injectif. On peut 6crire M---- @ e~ M, pour 1 < i < n e ~ est u n A-module qu~sidnjeetif eomme f~cteur direct de M et e~M est aussi un Ae~-module quasi-injectif donc e~M est un Ae~-module injectif et on v6rifie Mors ais~ment que M est n n A-module injectif. d) ~ a). Si tout A-module qu~si-injectif est injectif, ulors A est un Q-~nneau et un V-~nneau et un V-unneuu est toujours sans radical. 3.8. ~EMARQUE. -- Donnons u n exemple de V-anneau noeth6rien quasi-simple tel que t o u t module qu~si-injectif soit injectif. Cet exemple est d~ ~ G. I~E~'AULT ([31]~ expos~ 20) et utilise un anneuu introduit par J. I-I. CozznNs [7]. Soit ~2 la clbture alg6brique d u corps Z / 2 Z et soit ] l'auto-morphisme de ~O d6fini par ] ( a ) = a ~. On d6finit l'anneau A = .Q[X~ Q] comme I'ensemble des polyn6mes formels ~ a s X ~muni de la relation X a = a2X. Soit S l'cnsemble multiplic~tif form6 i=0

des X ~, k>~O, on peut construire l'anneau des quotients A s et l'anneau A s possSde les propri~t6s suiva.ntes: ([31], expos6 20~ th6orgme 7): a) A S est u n anneau sans diviseurs de 0 principal ~ gauche et ~ droite; b) A s est a n anneau quasi-simple; c) A s est u n V-anneau ~ droite; d) t o u s l e s modules ~ droite simples sont isomorphes. Le corollaire l 0 de ([31], expos6 20) m o n t r e que t o u t As-module quasi-injectif est u n As-module injectif. 3.9. COn.OL:SAI~E. --_Pour tout Q-anneau A, t~anneau A/9~(A) est un V-an~eau noethdrien. 3.10. C01~0LI,ALRE. -- Un anneau commutati] et sans radical est un Q-annea~ si et seulement s i i l est produit ]ini de corps.

CLAUDE [rI~SERON: ~ur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

53

Soit A u n anneau r6duit (i.e. sans 61gment nilpotent), eomme nn ideal simple d ' u n a n n e a u est engendrg par un i d e m p o t e n t ou es~ de carr~ nul t o u t idgal simple non nul de A est engendr4 par un idempotent non nul. Consid~rons l ' a n n e a u A s de 3.4, c o m m e A s est u n Q-anneau sans diviseurs de zSro, e'est un Q-anneau r6duit et l'unitg de A s est t'unique i d e m p o t e n t non nul de A s , donc A s n e contient aucnn ideal propre simple non nul. Comme A s n ' e s t pus un corps, le socle de A s est nul. On a plus g6ngralement le r6sultat suivant: 3.]1. PROPOSZTIO5-. - Un Q-anneau (resp. un C1 an.neau) rdduit A est produit direct d'un produit fini de corps et d'un Q-anneau (resp. un C1 anneau) rdduit d socle nul. Montrons d ' a b o r d la proposition lorsque A est un C1 anneau. Soit S u n id6al simple 411 C1 a n n e a u r6duit A, comme A ne contient pus d'616m e n t nilpotent non nul, on a S = Ae off e est un i d e m p o t e n t de A, de plus l'exercise 17 du § 6 de [2] m o n t r e que e est central. On petit donc 6crire le socle (gauche) g de A sous la forme g = QAe~ off ]es e~, ieI

i e I sont des idempotents c e n t r a n x ct orthogonaux de A. Comme A est r6duit, on a g (3 fi(A) = 0 car si 0 va x ¢ g r3 fi(A) l'id6a] A x contient un i d e m p o t e n t non nul, ce qui est a.bsnrde t a r fi(A) ne contient aucun i d e m p o t e n t non nul. Ceci m o n t r e que g s'injecte duns A / f i ( A ) . I1 rbsulte alors de 3.3 et 3.7 que les ~ e~+ R(A) soar en n o m b r e fini, donc aussi les e~, e t e ' - - - ~ c~ est un i d e m p o t e n t central de A. On a alors A---- G × A ( 1 - - e') o~ A ( 1 - - e ' ) est un Cl-anne~u rSduit £ socle nul et G ~ Ae' cst un ~nnea, u semisimple rSduit donc preduit fini de corps d'aprds ]e 1creme 6.1 de [29]. Montrons m a i n t e n a n t ta proposition Iorsque A est un Q-unneau r~duit. Si A est a n Q-anneau alors A est un C1 a n n e a u et A ~ B × C off B e s t u n produit fini de corps et C est un C1 anneau r~duit £ socle nul. L ' a n n e a u C est isomorphe ~ u n quotient de A e t la proposition 2.4 a) m o n t r e que C est u n Q-anneau.

4. - Caracteres n o e t h ~ r i e n s des Q - a n n e a u x .

Oll a v u en 3.5 q u ' u n Q-anneau sans radical est un a n n e a u noeth~rien. Les deux th~or~mes suivants, riffs ~ G. RS.NA~L% m o n t r e n t qu'il existe d'autres conditions sous lesquelles les Q-anneaux v~rifient des conditions de chaine. 4:.1. TI~O~t.]~ME ([27], Th~or~me 5). - Soit A u n Q-a~neau de radical N tel que A/2~

soit semi-simple, et soit a == N fi'.

Alors l'anneau A/a est un Q-anneau noethdrien.

n>~O

4.2. TH~0IC]~E ([27], thdor~me 4). -

Un Q-anneau (d gauche) par~air h gauche

ou parfait d droite est artinien h gauche. 4.3. CO]~O]~LA]tCE.- Soit A u n Q-anneau tel que A / f i soit semi-simple~ alors pour tout entier n l'anneau A / f i ~ est artinien.

CLAUDE TISSEI~Ot~: ~ur les anneaux tels que tout produit de eopie~ etc.

54

E n effet, A / ~ "~ est un Q-anneau d'apr~s 2.4 et est parfait d'apr~s le th6or~me P de [1]. Rappelons q u ' u n a n n e a u A est semi-artinien si t o u t module non nul a u n socle essentiel [23]. On a alors: ~.4. PROPOSITIO~N. -- U n Q-anne~u s e m i - a r t i n i e n est a r t i n i e n .

Soit A un Q-anneau semi-artinien~ et soit 2~ son radical, il r6sulte de 2.4 et de la proposition 3.2 de [23] que A / ~ est un Q-anneau semi-artinien sans radical. Soit $ le socle de A/$~, l'exercice 4 du § 6 de [2] m o n t r e que $ (~ i A / ~ ( $ ) = 0, comme $ est essentiel duns A/2~, on a i~/~t(8 ) = 0 et le module quasi-injectif $ est fid~le, done $ est u n A / f i - m o d u t e injeetif car A/2~ est u n Q-anneau, et A/9~ = $ est un a n n e a u semi-simple. L a proposition 3.2 de [23] m o n t r e aussi que g~ est T-nilpotent droite donc A est a n anneau parfait d'apr~s le th6or~me P de [1] et A est artinien avec 4.2. 4.5. ]~:E:MARQUES: 1) Soit A u n a n n e a u local e o m m u t a t i f de radical m =/: 0 tel que m 2 = 0. Si A n'est pus noeth6rien, le corollaire 4.3 m o n t r e que A n'est pus u n Q-anneau, done d'a,pr~s 1.2.3.4 il existe un id6al bilat~re a de A et un A / a - m o d u l e quasi-injectif et fid~le qui n~est un A/a-module injectif. E n fair, ici on peut construire explicitement u n A-module quasi-injectif et fid~le non injeetif. Supposons done que A ne soit pus noeth6rien. Comme m ~ = 0 le radical m de A est u n A / m - m o d u l e done m est un A / m - m o d u l e semi-simple et on peut 6erire m -~ 0 Aa~ oh pour i e I Ann(a~) == m. Montrons d ' a b o r d que / est infini. Si I e s t fini on peut 6crire I ~-{il, ..., in) et la suite

O~ Aal~ A a l Q Aa2, ...~ @ A a ~ , m, A , k=l

est alors une suite de J o r d a n Holder de A, rams ceci est zbsurde ear A n ' e s t pus noeth6rien, done I est infini. Soit m a i n t e n a n t E ----37(A/m) et soit xo = 1 + m cA~re. P o u r i e I posons a~ = ~ - ~ ) A a ~ . Cornme E est injeetif, rapplieation lin6aire g~: m-->/~ d6finie pour i e I par g~(a~) = 0 et g~(a~) = xo se prolonge en une application lin6aire de A duns E. I1 existe done x ~ ] i 7 tel que pour t o u t a E m g~(a)--axe. On a en partieulier a~x~ = Xo et a/x~ --~ 0. Cette derni~re relation m o n t r e que a~ c Ann(x~). Montrons que a ~ = Ann(x~). Soit a ~ A n n ( x / ) , on a A n n ( x ~ ) c m car x ~ ¢ 0 , done a E m et on peut 6crire a = ca~+ b off c ~ A et bEa~. Comme a~z~= 0 on a bx~= 0 et les relations 0 = a x e = ea~x~ = cxo m o n t r e n t que eeAnn(z0) = m ; or m = &nn(a~) done ca~ = 0 et ~-~-b~ai.

Consid~rons l'application lin6aire g: m -> E d6finie par g(a~) = xo pour t o u t i ~ I . P a r injecti~dt6 de ~ cet~e application se prolonge ~ A et il existe z ~ E tel que pour

CLP~VDE T~SSE~O~: ~ur les anneaux teIs que tout produit de copies, etc.

55

t o u t a e m g(a)=az, on a donc a~z=xo p o u r t o u t i ~ I . C o m m e A est c o m m u t a t i f a~ est un id6al bilatbre de A pour t o u t i e t il est i m m 6 d i a t de v6rifier que r~(a~) est un sous-module caruct6ristique de E p o u r t o u t i. Le module iY = ~ rE(a~) est aussi un sous-module curact6ristique de E donc N e s t un sous-module quasi-injectif de E. On v a m o n t r e r que ~ est fidble et n ' e s t pus injectif. P o u r i ~ I on a a~x~ = 0 done x ~ e N et I ( N ) c A A n n ( x ~ ) = [~a~, c o m m e ~ a ~ = 0 on a I ( N ) - = 0 et N e s t fid~le. ~i ~ ~z C o m m e E est inddcomposable t o u t sous-module non nul de E est essentiel duns E et E ----E ( N ) et p o u r m o n t r e r que N e s t non injectif il suffit de m o n t r e r que N ¢ E. P o u r cela on m o n t r e que z ~ N . Raisonnons p a r l ' a b s u r d e ; si z ~ N on p e u t ~crire

z = ZYk k=l

off ykerB(ai~), c o m m e I e s t

a~ea~ pour l < k < n

infini, il existe i ~ I

et a~z= ~a~y~-~O.

tel que i~(i~, ...~ i.}, on a alors

Ceci est absm~de car a~z:xo:/:O.

~=1

E n r~sumd, le module X est un module quusi-injectif, fid~le et n o r injectif. 2) Lorsque A est un Q-anneau la condition (( A / ~ semi-simple ~)d u thdor~me 4.1 n ' e s t pus ndcessaire p o u r que A/[7 ~n soit noeth~rien, p a r exemple l ' a n n e a u A s de 3.4 est un Q-anneau sans radical, noeth~rien et non semi-simple. Si A est u n Q-anneau c o m m u t a t f f , la condition A/9~ semi-simple est toujours vdrifi~e d'apr~s 3.6; cette condition est aussi v~rifi~e lorsque A est un Q-anneau auto-injectif ~ gauche (i.e. A est m~ A - m o d u l e ~ gauche injectif) (cf. [27]).

III - Etude du cas noetherien

non eommutatif.

Soit A un Q-anneau de radical 54, alors A/2~ est produit fini de V-anneaux noeth~riens quasi-simples (II.3.3). Duns la mesure off les V-anneuux sont assez m a l connus duns le cas non c o m m u t a t i f , il semble difficile d ' a v o i r des r6sultats sur la struct u r e de A suns faire des h y p o t h e s e s suppl6mentaires p o r t a n t p a r exemple sur A/2~: p a r exemple on a v u en II.4.1 que si A/tiC est semi-simple, alors A / A ~ est u n a n n e a u n>~0

noeth6rien.

On 6tndie ici la structure de A / ~ 2~~ lorsque A est a n C1 a n n e a u ou n~0

u n Q-anneau noeth~rien et lorsque A / ~ est quasi-simple ou semi-simple D ' a p r ~ s 11.2.4, on p e u t supposer que N :~----0. n~0

C o m m e la terminologie relative a u x ~ n n e a u x locaux non e o m m u t a t i f s v a r i e becaucoup s u i v a n t les auteurs, nous pr6cisons celle que nous utilisons: On dit q u ' u n a n n e a u A de radical 9~ est quasi-local (resp. semi-local) si A v6rifie

56

CLAUDE TISSERON: Sur les anneaux tds que tout produit de copies, etc.

les conditions sulvantes: 1) L ' a n n e a u A est noeth6rien; 2) On a, ~ 5 ~ = 0 ; n~>0

3) L ' a n n e a u A/2~ est quasi-simple (resp. 3') l'anneau A / ~ est semi-simple). Le condition 3) exprime que 9~ est l'unique id6al bitat~re maximal de A. Si A est un anneau quasi-local ou semi-local tel que A/2~ soit u n anneuu simple on dit que A est un ~nne~u local. Duns une premiere partie on 6tudie le s6par6 compl6t6 ~ d ' u n C1 anneau semilocal A pour la topologie $~-adique et on montre que 3_ se comporte ~ peu pros comme un anneau de Z A R , I S K I , Duns une seconde pa,rtie on caract6rise certains Q-anneaux quasi locaux. Pour un id6al bilatbre p de A l e s notations/~, E(v), 8, 8(,) sont celles de II.1.3.

A) S6par6 compl6t6 d'un C1 anneau semi-local. 1. - Preliminaires.

Soit A un anne~u, soit C u n e sous-cat6gorie fermSe de Mod A, pour un A-module M on note T c M l~ topologie lin6~ire sur M ay~nt pour sous-modules ouverts ]es sousmodu]es N de M te]s que M / N ~ C. Soit p u n id6~l bilat~re de A, pour un A-module M la topologie lin6~ire sur M pour laquelle les sous-modules p'~M, n >0, sont un syst6me fondamental de voisinages de 0, est la topologie p-adique de M qui est not6e T ~ M . On note ~ Ie s6pa.r6 compl6t6 de A pour la topologie p-a,dique. On ~ un morphisme c~nonique d'anne~ux i: A -~ 2 dont le noy~u est ~ p~ et ~ est u n ~nneau s6par6 ~0

et compte~ pour la topologie Iin6aire d6finie par les id6aux if, off p% est l'adh6rence de i(p ") d~ns A. On ~ ~lors le r6sult~t suiva,nt qui r6sulte de ([3], ch~pitre 3, formules (18), (19), (21) p~ge 49). 1.1. L E ~ ] ~ . - Pour tout entier n on a p~ =: i-~(~~) et A = i(A) ~ et le morphisme eanonique A / p ~ - + 3 / p "~' est un isomorphisme. 2. - .Le compldtg d'un C1 anneau semi-local.

2.1. D]~FI~ITIO~. - Soit p un iddal bilat~re d'un anneau A et soit C-~ Dis A la sous-cat~gorie des A-modules discrets assoeige de la ]amille topologisante des iddaux qui contiennent une puissance de p. On dira que A vdri]ie la condition Rv si R,: Pour tout A-module M e t tout sous-modute N de M la topologie T e N est induite par la topologic T a M . 2.2. PI~0POSITION. -- Soit A un C1 anneau noethdrien tel que pour un iddal bilat~re p la topotogie p-adique soit artinienne et s@arde, ah~rs A v~ri/ie Ia condition R .

CLAUDE TISSEI~0:N: ~qur les anneaux tels que toq~t produit de copies, etc.

57

Comme 0---- ~ p n e s t l'annulateur de E(,) le module E(~) est fid~le, comme A n>~0

est u n C1 ~nneau, le module quasi-injeetif E(~) est H-qu~si-injectif done E(p) est injectif d'apr~s 1.2.3.3. P o u r m o n t r e r que Rv est v6rifi6e il sufflt d'apr~s la proposition 9 page 427 de [13] de m o n t r e r que C est stable p~r enveloppes injectives. Soit M ~ C , pour t o u t x e M il existe n tel que p'x----0 et p ~ A x = 0 car p" est bilat~re, done A x est un A/p"-module et le socle de Ax, comme A-module ou comme A/p'-module, n'est pus nul. Ceci m o n t r e que le socle S de M est essentiel d~ns M. L'enveloppe injective de M coincide done avee/~'j(S). Soit T ' l'ensemble des types de modules simples qui figurent duns S, comme S est diseret t o u t module simple U ~ T ' est discret i.e. ~nnul6 par p et U est faeteur direct de 8(v) (cf. II.1.3). Posons S---- 0 U(x~), posons X - - - - ~ X v et soit :Yv J X - - X v on v6rifie ais6ment que ,o(p) .~(x) U~T'

T'

est somme directe de 2 e% de O U (Y~). Ceei m o n t r e que E~(S) est fucteur direct. UeT'

de EA(8(~)) (x) , comme A est noeth6rien ~A(8(p) (x)) est isomorphe ~ E~(8(~)) (x) et ainsi E~(M) ==E~(S) est facteur direct d'm~e somme directe de copies de E~(8(,)). Comme E(~) est injectif, on a E(~)----E~(8(v)) d'~prbs I I . 1 A et ] ~ ( S ( , ) ) - - E ( p ) e ~. La eat6goric ferm6e ¢ est stable par sommes directes et sous-objet done ]~A(M) uppartient ff et ff est stable par enveloppes injectives, ce qui ach~ve la d6monstration. 2.3.

LE~VrE. - Soit A un anneau noethdrien et soil p u n iddal bilat~re de A tel que O. Si la condition Ro est ve'ri]ie'e alors:

n~>0

a) pour tout A-module de type ]ini M le morphisme eanoniq~te ffi @a M--* ~i ole M est le compldl6 s@ard de M pour ta topologie p-adique, est bije~i];

b) le A-module ~ droite A est plat; e) si p --- ~(A) alors tout module de type ]ini est s@ar6 et ~I est ]id~lement plat. L a d6monstration du lemme est assez semblable ~ celle du cas c o m m u t u t i f nous la donnons n6anmoins en d6tail. Cette d6monstration v a se faire en plusieurs 6tapes. Soit toujours C la cat6gorie ferm6e d6finie en 2.1. 1) Pour tout module de type ]ini M tes topologies T e M et T ~ M co'incident. Soit 7¢ u n sous-module ouvert de M pour T~ M, il existe n tel que O ' M c_~ et p a r suite M / P i e C, done N e s t ouvert pour T a M . l~6ciproquement si M est engendr6 par xl, ..., xq et si N est ouvert pour T c M il existe u n entier n tel que p ~ x ~ c N pour ] < i < q et ainsi O~McfV done • est ouvert pour T , M . 2) Pour lout module de type ]ini M on a x ~ N p ~ M s i et seulement si il existe a ~ p tel que ( 1 - - a ) x = 0 . ~>~o I1 est clair que s i x = ax avec a e p a,lors x = a ' x pour t o u t entier b e t x e ~ O~M n~>o

58

CLAUDE T~SSE~ON: Sur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

l~dciproquement si x e/v _-- n ~°~ M la topologie p-adique de A x coindice avec T c A x ~0

donc est induite par la topologie T e M qui coincide a v e c l a topologie p-adique de M ainsi la topologie p-adique de A x est la topologie grossi~re et Ax -----pAx, en purticulier x -~ ax avee a ~ p. 3) Montrons maintenant que pour toute suite exacte F ~ G

~ H de A-modules

de type ]ini~ la suite ~ ~-~ ~-~H qu'on en ddduit par passage aux sdpards compldtds pour les topologies p-adiques, est exaete. D'abord u et v sont des morphismes stricts pour les topologies p-adiques de ~ , G et H, en effet~ pour n > 0 lea relations u(p"/v) = p ' u ( ~ ) montrent que l~image par u de t o u t voisinage de 0 duns F pour T~/a est un voisinage de 0 duns u(F) pour T~u(F), or d'apr~s la condition Rv et 1) la topologie Tvu(F ) coincide a v e c l a topologie induite sur u(F) par / ' v M , ainsi u est un morphisme stric~ d'aprSs un r~sultat de [4] (chap. 3, § 2, n. 8, prop. 2.4.); on montre de la mSme fagon que v e s t un morphiame strict. L'ex~ctitude du foncteur completion p-adique sur les modules de type tint r~sulte alors d ' u n lemme de [3] (chap. 3. § 2, n. 12, lemme 2). 4) Montrons maintenant que pour tout module de type ]ini M le morphisme canonique ~M: -~ ~A M -+ M est bijeeti]. Cette assertion eat ~vidente ai M = A e t on ae ram~ne imm~diatement g ce caa si M est libre de t y p e fini~ doric l~assertion est aussi vraie pour t o u t module libre de t y p e tint. Duns le cas gdn~ral comme A est noeth~rien et M est de t y p e tint, il existe une pr~.sentation

off Z' et L sont des modules librea de type tint. On a alora un diagramme commutatif:

La premiere ligne est exacte car .4 Q~: est exact g droite. D'apr~s ce qui pr~cSde la seconde ligne est ex~cte et aL', ~L sont des isomorphismes, donc ~L est bijectif d'aprga le lemme des cinq, ce qui d~montre le point 4). 5) On termine maintenant la ddmonstration. Pour tout ideal a de A l'application canonique ~ ® a a ~ ~ est injective comme compos6e de ~a et de l'injection ~-+ ~ , doric le A-module d droite .~ eat plat d'apr~s un r6sultat de [3] (chap. 1, § 2, n. 3, prop. 1).

CLAUDE T~SSERO~: Sur les anneaux tels que tout produit de eopies, etc.

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Supposons de plus que p ~ 5¢(A). P o u r t o u t a~g~(A) 1 - - a est inversible, d'upr~s 2) pour t o u t module de t y p e fini M on a N ~(A)~M--: 0 et M est sdpur4 n~0

pour la topologie 5¢(A)-adique. Soit M un A-module non nul, il existe x ~ M tel que A x ~:0, le A-module A x est sdp~r~ pour la topologie ~(A)-udique done A x s~injecte duns fi~x et ~ x ~ _~ ~.~ A x ~ O. Comme ~ est plus _~ ~)A M contient ~ ( ~ A x et ~ ( ~ M ¢ 0 pour t o u t A-module non nul M, i.e. ~ est fidSlement plat. 2.4. RE~ARQVE. - Si A est u n unneau noethdrien et si pour u n id~ul bilat~re p de A la condition Rv est v~rifi~e, on peut d~montrer que pour entier n on u ~" ~- ~" duns le s~pur~ comp~t4 _~ de A p o u r lu ¢opologie p-~dique. 2.5. T.tt~0R~ME. -- Soit B un C1 anneau semi-local, soit q un iddal bilat~re de B contenan$ ~(B), soit A l~anneau B / ~ q ~ et soit p l~image de q duns A. Soit A l e sdpard n~O

complete de A (resp. B) pour ~a topologie p-adique (resp. q-adique), a~ors: a) pour tout A-module de type fini M le morphisme canonique ~ ~A M--> ~1 o4 ~f est le compldtd sdpard de M pour la topo~ogie p-adique, est bijeeti]; b) le A-module ~ elroite ~ est plat; c) si ~ ~-- ~(B) aIors tout A-module de type ]ini est sdpard et _~ est ]id~lement plat. L ' a n n e a u B e s t noeth~rien et tel que B/2~(B) soit semi-simple donc pour t o u t entier n Fanne~u B / ~ ( B ) "~est artinien et il en est m~me de B/q ~ done aussi de A/O ~. A u t r e m e n t di~ l~ ¢opologie p-adique du C1 anneau noeth~rien A est urtinienne et s~par~e et d'~pr~s 2.2, A v~rifie la c o n d i t i o n / ~ , et le thdor~me r~sulte du lemme 2.3.

B) Q-anneaux noeth6riens quasi-loeaux. 1. - Preliminaixes. Duns route cette p~rtie, comme duns A mt o u s l e s ~nneaux sont noethdriens. On dit qualm iddal premier p d ' u n a n n e a u A est u n ideal premier minimal si p est u n ~16ment minimal de l'ensemble des id~aux premiers de A. On dit que p e s t u n ideal premier maximal s i p est un ~l~ment m a x i m a l de l'ensemble des id~aux premiers de A; comme u n ideal bilat~re m a x i m a l parmi l'ensemble des iddaux bil~t~res est premier, les id~aux premiers m u x i m a u x coincident avec les idduux bilat~res maximaux. Soit M u n A-module, on dit q u ' u n ideal premier p e s t associ~ ~ M si il existe u n sous-module N de M tel que p soit l'annulateur de t o u t sous-module non nul de N. Quand A est u n a n n e a u noeth~rieu pour t o u t module M il existe un id6al bilat~re, maximal p a r m i les annul~teurs de sous-modules non nuls de M e t on v~rifie Iaeilement q u ' u n tel ideal est premier et associ~ ~ M.

60

CLAVDE T~SSERO~: Sur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

On d~signe par Ass~(M) ou Ass(M) l'ensemble des id6uux premiers assoei6s ~ M. Comme A est noeth6rien Ass(M) ve 0 pour M =/: 0. I1 est facile de v6rifier que si M est coirr6duetible, alors Ass(M) est r~du/t ~ u n 616ment. On uuru souvent besoin des r6sultuts suivants qui r6sultent des th~or~mes 3.9 e~ 4.4 de [14] et du th~or~me ] p~ge 418 de [13]. 1.1. LElVI3~E. -- Soit A un anneau noethdrien semi-premier, alors: a) Un iddal a de A est essentiel dans A si et seulement si a eontient un dldment rggulier ; b) Z'anneau A a ~n anneau total des fractions d gauche, eet anneau est semisimple et coincide avec l'envetoppe injective de A . E n particulier, si A est un anneau premier, t o u t iddal bilat~re non nul est essentiel et contient done un 616ment r6gulier. De plus lorsque A est premier, l'unne~u totul des fractions h g~uche de A est simple. On d6montre m a i n t e n a n t une proposition relutive ~ lu structure de E~(A/p) pour un id6al premier p de A. L'ussertion a) figure sans d~monstration dans [29] page 61. 1.2. PnoposImIO~. - Spit p ~tn iddal premier de A , il existe un unique module injecti] et inddeomposable ~ tel que: a) Ass(F)---{p} et E(A/p) est isomorphe h F~; b) si 0 = rF(O) alors Q n'a pas de sous-modqde quasi-injecti] propre non nul. 1) Comme A / p est monogSne, E ( A / p ) est somme d ' u n e fumille finie (/v~)l
-= {q}, et spit h ; c F i tel que Ann(N') = q pour tout sous-module non nul N ' de N. P a r essentiulit4 de A/p darts E ( A / p ) on a N (~ A/p =A0, done q = A n n ( N (h A/p) -----p; on ~ doric pour ~out i Ass(F~) --- {p}. 2) I1 r6sulte de II.1.2 que le module B = rs(~/p)(p ) = Ort~,(p) est l'enveloppe i=1

injective du A/o-module A/p. Done B e s t l'anneau t o t a l des fractions ~ gauche de l'anneuu premier noeth6rien A / p et B est un unneuu simple d'upr~s le th6or~me de Goldie. De plus pour t o u t i le module Q~ -- r2,(p) est non nul car {p} -- Ass(_F~) et Q~ est u n A/p-module injectif. 3) M:ontrons que Q~ est un B-module. Le sous A/p-module singulier de l'anneau premier noeth6rien A / p est nul, done B et les Qi sont des A/p-modules ~ sous-module singulier nul. Spit c u n 616merit r6gulier de A/O , et spit x c Q~; le A/p-module Q~ est injeetif done le morphisme a e - > a x de (A/p)c dans Qi s'6crit ac--->aey pour yEQ~ et x = cy. De plus y est uni-

CLAUDE TlSS]~oN: Sur les anneaux tels que tout produit de eopies~ etc.

61

q u e m e n t d~termin6 par cette condition car si cy = cy' po~tr y' ~Q, alors c a e A n n ( y - - y ' ) , et A n n ( y - - y ' ) est essentiel duns A/O , done y = y' car le sous-module singulier de Q~ est nul. Comme t o u t ~16ment de B s'6erit c-~a avee a ~ A/O e t e r6gulier duns A / p on v6rifie ais6ment que Q~ est un B-module en d6finissant le produit de c - ~ a ~ B et de x~Q~ par c - ~ a x = z off z e s t tel que a x = e z . 4) Comme Q~ est u n A/p-module coirr6ductible, Qi est ~ fortiori u n B-module eoirrdduetible, a u t r e m e n t dit Q~ est u n iddsl coirr6ductible de r a n n e a u simple B, donc Q~ est u n B-module simple, et ceei prouve que les Q~ sont des id6~ux simples de B. Comme B est u n anneau simple, t o u s l e s Q~ sont isomorphes comme B-module, done aussi comme A-module, done tous les F~ sont des A-modules isomorphes puisque Ceei ach~ve la d6monstra~ion de a). 5) Montrons m a i n t e n a n t b). Spit i fix6, montrons que Q~ ne contient aucun sous-module quasi-injectif propre non nul. Spit N~ un sous-A-module quasi-injeetif non nul de Q~, alors N i est u n sous-A/pmodule quasi-injectif de Q~. P o u r j =/=i Q~ est un A/p-module isomorphe ~ Q~ et Qj eontient u n sous-A/p-module quasi-injeetif N~ isomorphe £ N~. Comme tes A/Omodules Qj sont coirr&lueitibles, N5 est essentiel duns Qj et le module N = Q Nj ~=1

est essentiel duns B =

Q Q j , comme A/p-module; donc N t~ A l p est u n ideal i=~

gauche essentiel de l'annea.u premier A / p et il existe un 616ment r6gulier e de A/O tel que c E N. De plus eomme les modules quasi-injectifs N~ s o n t t o u s isomorphes, N est quasi-injeetif. On m o n t r e m a i n t e n a n t que N--= B. Spit b ~ B , comme N contient un 616ment r6gulier c, l'application 1c ~ 2b de (A/p)e duns B est u n A/p-morphisme qui se prolonge en uu endomorphisme u du A / p module injectif B ; le sous-modute quasi-injectif et essentiel N de B es~ invariant par u et b = u ( c ) a N . Ceci m o n t r e que N = B ; on a done aussi N ~ = Q ~ et ceei ach6ve la d6monstration de l'existence de Y v6rifiant a) et b). L'unicit6 de F r6sulte de l'unicit6 de la d6composition d ' u n module injectif en modules injeetifs ind6composables. Spit ~ u n ensemble de repr6sentants des types de A-modules injectifs et ind6composables. P o u r Y ~ tel que {p} = ASSA(/V) on pose ~ ( F ) = p e t ~x d6finit une application entre ~ et Fensemble des id6aux premiers de A. D'apr~s 1.2 pour t o u t id6al premier p on a A s s d ( E x ( A / p ) ) = {p} et ~A est surjeetive. E n g6n6ral l'application FA n'est pus injective, on a cependant le r6sultat elassique suivant: 1.3. LE~Evm ([20] proposition 3.1). - Si A est un an neau noethdrien commutati] alors l'applieation %~ est bijective. On a 6gatement le r6sultat suivant qui nous servira au num6ro 3: 5 -

Annaii

di

.~latematica

62

CLAUDE TISSERON: Sur les anneaux tels que tout produit de copies~ etc.

1.4. PRoPosiTion. - Si la correspondance %~ est bijeetive pour l~anneau A alors pour tout anneau quotient A' de A la correspondance ~ , est bijective. Soit A'---- A/a un quotient de A p a r un ideal bilat~re a. Soient p ' = p/a up ideal p r e m i e r de A ' off p e s t un ideal p r e m i e r de A, et F~ G deux A ' - m o d u l e s injeetifs ind~compos~bles auxquels p' est associ~. I1 est i m m ~ d i a t de v~rifier que F et G sont des A-modules quasi-injectifs et eoirr~ductibles et que p e s t associ~ a u x A-modules E~(F) et E~(G). C o m m e ~ est bijeetive on a EA(F) = E~(G). Consid~rons / v O G, e o m m e A ' - m o d u l e F ~ G est injectif~ donc quasi-injectif, et F ~ G est aussi quasi-injeetif c o m m a A-module. L a proposition 2.4 de [15] m o n t r e que les A-modules F et G sont sont isomorphes~ done les A ' - m o d u l e s F et G sont isomorphes et cf~, est injeetive donc bijective.

2. - Za condition Co. 2.1. LE~-VrE. - Soit F u n

module injecti] inddcomposable, posons A s s ( F ) = {p}, si F n'a pas de sous-module quasi-injecti] propre non uul, alors p----I~(.~) et p e s t un iddal premier minimal. Soit N u n sous-module non nul de F tel que p - = I~(N) il est imm~diat de vdrifler que r~(p) est u n sous-module caractdristique de F , donc r~(p) est u n sous-module quasi-injectif non nul de F et on a F----r~(p). C o m m e on a ¢oujours IA(F ) c p on Montrons m a i n t e n a n t que O est un ideal p r e m i e r minimal. Soit q un ideal p r e m i e r tel clue q c p. On a qtV =- 0 et F est dope u n A/q-module injectif (II.1.2). Si q ~ p l'iddal p/q de l ' a n n e a u p r e m i e r noethdrien A/q est bilut~re done p/q est u n ideal essentiel duns A/q et p/q eontient un 41~ment rdgulier c de l ' a n n e a u A/q (1.1). C o m m e F est u n A/q-module injectif t o u t ~l~ment de F est divisible p a r c, mais ceei est absurde car c e p/q et c o m m e OF----0 on a cF----0. Cette absurdit~ m o n t r e que q = p e t p est p r e m i e r minimal. 2.2. D]~NI~rIo~. - On dit qu'un anneau A vdri]ie la condition Co si pour tout iddal premier minimal et non maximal p tout module injecti] inddcomposable F tel que {p} : -- AssA(/~ ) n'a pas de sous-module quasi-injecti] propre non nul. Cette ddfinition est justifi~e p a r la proposition suivante: 2.3. P:aorosITIo~. - Soit A un Q-anneau noethdrien tel que N 9~ = O, alors: n~O

a) l'anneau A vdri]ie la condition Co; b) tout iddal premier non maximal de A est un iddal premier minimal. 2.3.1. - On d~montre d ' a b o r d que s i p est un iddal p r e m i e r de A tel que fit ¢ p alors p est un id~ul p r e m i e r m i n i m a l at pour t o u t injectif ind~composuble F tel que {p} = Ass~(F) le module F n ' a pus de sons-module quasi-injeetif p r o p r e non nul.

CLAUDE TISSERON: ~ u r les anneaux tels que tout produit de copies, ere.

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Spit p u n id6al premier tel que :~¢ p, et spit F u n module injectif inddeomposable tel que {p} = AssA(F ). I1 existe u n sons-module N de F tel que pour tout sous-module N ' v a 0 de N on air I ~ ( N ' ) = - p . Spit Q u n sous-module quasi-injectif non nul de F et consid6rons M ----E O Q off E est le cog~n~rateur minimal, comme E est fid~le M est fid~le. Montrons que M est quasi-injeetif. D'apr~s 1.2.1.1 il sui~it de m o n t r e r que M est stable par les endomorphismes de E ( M ) = E G - ~ et pour cela il suffit de m o n t r e r que t o u t morphisme ]: E - + F est nul. Spit doric ]: E-~/W et x e E tet que ](x):/: 0, il existe a ~ A tel que a](x) N - - { 0 } , et d'apr~s II.1.5 il existe n tel que 2~"ax-~ O. On a done les relations suivantes:

Yt~ c IA(Aax ) C 1A(Aa](x) ) = p . Ceci prouve que g¢ c p e~ contredit l'hypoth~se done ] = 0 et M est quasi-injectif. Comme A est un Q-anneau, le module quasi-injectif et fid~le M est injectif done Q est injectff et Q = F. A u t r e m e n t dit, F n'~ pus de sons-module quasi-injectif p r o p r e non nul, et d'apr~s 2.1 p e s t premier minimal. 2.3.2. - Montrons m a i n t e n a n t q u ' u n ideal premier non maximal de A ne contient pus le radical de A. Compte t e n u de 2.3.1 ceci termineru la d~monstration de la proposition. L ' a n n e a u A/2~ est produit fini d ' a n n e a u x quasi-simples (II.3.3), par ailleurs un anneau quasi simple est premier et il est facile de v~rifier que les iddaux premiers & u n produit fini d ' a n n e a u x quasi-simples sprit exuctement les id@aux bilat~res maximaux. A u t r e m e n t dit t o u t iddal premier de A qui contient 2~ est u n ideal bilstere maximal, i.e. un iddal premier maximal et ceci d~montre 2.3.2. On donne m a i n t e n a n t deux propositions de caract~re technique qui seront utilis~s d~ns le hum@to suivant. 2.4. ]?R01)0SITION. -- •oit A u n

anneau noethe'rien,

1) Si A vdri]ie la condition (Co) alors A v6ri]ie la condition suivante: (C'o). pour

tout iddal premier minimal et non maximal p l'anneau total des ]factions h gauche de A / p est EA(A/p); 2) Si la correspondance q~A entre types d'injecti]s indgcomposables et iddaux pre-

miers~ est bijective alors les conditions (Co) e$ ( C~) sont dquivatentes. 1) Spit p u n iddal premier minimal et non maximal de A, d'apr~s 1.2 il existe un module injectif inddcomposable F tel que Ass(F) = {p} et E~(A/p) -= F n. Cornme A v~rifie (Co) on a OF = 0 d'apr~s 2.1 done PEa(A/O ) ---- 0 et d'apr~s II.1.2 on a EAI~(A/p ) = EA(A/p ) et la conclusion r~sulte de ce que E d/~(A/p ) est l'anneau total des fractions £ gauche de A/p (1.1). 2) On suppose que la correspondance ?~ est bijective, il suffit de m o n t r e r que la condition (Co) implique la condition (Co). Spit p u n ideal premier minimal et non

64

CLAUDE TISSERO~: Sur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

m a x i m a l de A e t soit F un module injectif ind6composable auquel p e s t associ6, c o m m e ~:a est bijective it r@suJte de 1.2 que EA(A/p ) est isomorphe ~ une s o m m e finie de copies de F~ si (C'o) est v6rifi6e alors EA(A/O ) est un A / 0 - m o d u l e doric pEA(A/o ) ----0 et OF = 0. On a alors F = rr(~0 ) et 1.2 m o n t r e 6gulement que F n ' a pus de sousmodule quasi-injectif propre non nul, doric A v6rifie la condition (Co). 2.5. PnoeOSlmiO~. - Soit A un anneau tel que tout iddal premier de A soit maximal ou minimal, si A vgri]ie (Co) alors tout anneau quotient de A vdri]ie (Co). Soit a un id6al bilat~re de A e t soit A ' = A / a u n quotient de A, soit p' un ideal p r e m i e r m i n i m a l et non m a x i m a l de A ', alors p ' = p/a o;1 p es~ un id6al premier de A, non m a x i m a l et p a r suite minimal. Soit F ' un A ' - m o d u l e injectif ind6composable tel que {p'}----AssA,(F'), soit F = - E A ( F ' ) ; on v6rifie i m m d d i a t e m e n t quc F est I m A - m o d u l e injectif ind~composable tel que {p} = Ass~(F)~ doric ~vee 2.1, F n ' a pus de sous-module quusi-injectif propre non nuI. Or F ' est un sous-module quusi-injectif non nul de F, on a donc F ' = : F et A ' v6rifie la condition (Co). Les r6sultats pr6c6dents v o n t maintenan* 6tre utilis6s pour caract6riser certains Q-anneaux quasi-locaux.

3. - Caracterisation des Q-anneaux locaux. Soit A un Q-anneau noeth~rien de radical ~ tel que ~ ~ :

0

alors

A

est

n~o

un C1 unneau et A vdrifie la condition Co et la condition b) de 2.3. On v a ddmontrer ici une r~ciproque de ce r~sultat lorsque A est un a n n e a u local tel que 18 correspondance ~ soit bijective. I~emarquons d ' a b o r d que lorsque A est local, le radical 9~ de A est l~unique iddal bilat~re m a x i m a l de A e t 2~ est u n idSal premier. De plus c o m m e t o u t iddul bilat~re est contenu duns u n ideal bilatbre m a x i m a l , ~ contient tous les id6aux bilat~res de A et en particulier St contient t o u s l e s iddaux premiers. 3.1. TH~01~]~E. -- Soit A un anneau local tel que Ia correspondance q~A entre types d'injecti]s inddcomposables et iddaux bilat~res premiers soit bijective~ alors A est u n Q-anneau si et seulement si A v6ri]ie les conditions suivantes:

a) A est un C1 anneau; b) pour tout idgal premier p distinct de ~ l~anneau total des ]factions ~ gauche de l'anneau A/O coincide avec E~(A/O ). Les conditions sont n~cessaires: Si A est un Q-anneuu alors A est un C1 anneau et A vdrifie la condition b) d'apr~s 2.3 et 2.4. Les conditions sont suffisa.ntes: ~ o u s commen~ons par ddmontrer le r~sultat suiv~nt: 3.1.1. - Si A est un unneau local v~rifiant les conditions a) et b) ci-dessus et si 18 correspondance ~A est bijective alors t o u t A-module quasiAnjectif fidble est injectif.

CLAUDE TISSE~ON: Sur les anneau$ tets que tout produit de copies~ etc.

65

Soit p u n id6al premier, il existe un unique module injectif indgcomposable auquel est assoei6. S i p # 9~ notons /P, l'injectif ind6composable tel que {p} = Ass(_F~); d'aprbs 1.2 on p e u t 6erire E~(A/O) ~_1.~ pour un entier n, d'apr~s b) on a pE~(A/O) = = 0 doric O F ~ - 0 et d'aprgs 1.2 F , = r%(l~) n'a pus de sous-module quasi-injectif propre non nul. Etudions le c a s p = 5¢. Comme A est local, il y u u n seul t y p e de A-module simple, soit N u n A-module simple, alors E = E(S) est le cog6n6rateur minimal et E est l'unique injectif ind6eomposable auquel 9~ esg ussoci6. Soit 27 un module quasi-injeetif, d6composons _ATen somme direete de modules quusi-injee~ifs et ind6composables. D e u x faeteurs de cette somme qui oat lu re@me enveloppe injective sont isomorphes d'aprgs la proposition 2.4 de [15] et on peut 6crire O~.Q

off ~ est contenu duns l'ensemble des id6aux premiers distincts de :R, e t o~ 270 est un sous-module quasi-injeetif de E ; zQ pent ~tre vide et 27o p e u t ~tre r6duit ~ 0. Supposons que N ne soit pus injectif et montrons que -AT n'est pus fid~le ee qui ddmontrera 3.1.1. Si 27 n'est pus injectif alors No V=0 et No n'est pus injectif done 270 =~ E. Distinguons deux cas suiv~nt que Q - - 0 ou ~ :/: 0. (i) Si zQ----0 ulors N----27(o~), comme 27o =-rz(IA(27o)) d'apr~s la condition C1 et eomme 2 7 o # / ~ on a i~(N0)~-0 donc 27 n~est pus fid~le car I~(27)----i~(No). (ii) Si ~ # ~t montrons d'abord que pour p E ~ on a rz(O)c No. Le module 27o®/~, est quusi-injeetif comme facteur direct de 57 doric pollr n entier 27~®/7~ est quasi-injectii et 270® F~ est aussi quasi-injectif. Si on prend n tel que F p _ ~Ed(A/O ) on volt que 270® EA(A/O) est quasi-injectif. Le module 270® ~A(A/P) --= = M est donc stable par les endomorphismes de son enveloppe injective E ® EA(A/o), soit x ~ E tel que px = 0, on a u n morphisme non nul ]: A/O ÷ A / A n n ( x ) - ÷ E tel que x = ](1 + p), et ] se prolonge en u n morphisme non nul u: E d(A/t~ ) -+E tel que xeu(EA(A/t))) , si v e s t l'endomorphisme de E® E~(A/O) obtenu en prolongeant u par 0 sur E on a v(M) c M donc u(Ea(A/p)) c 270 et x E 270. Ceci m o n t r e que ¢~(p) c270 et d'apr~s 1.1.1. et 2.1 on a r~o

~A27o) c l~(r~(~)) = ~ = ~ A i g p .

I1 r6sulte de ces relations que I~(27o)= i~(N), comme No=/=E on a IA(N0)#0 de lu m~me fa~on qu'en (i) et ceei m o n t r e que N n~est pus fid~le et aeh~ve lu dgmonstrution de 3.1.1. 3.1.2. - On m o n t r e m a i n t e n a n t que A est un Q-anneau en montra, n t que pour t o u t id6al bilat~re a de A t o u t A/a-module quasi-injectif et fid~le est injeetif (I.2.3A).

66

CLAIYDE TISSER0i~: Sur les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

Soit A'----A/a un ~nne~u quotient de A. A' est 6videmment un anne~n local, la correspondence ~%, est bijective d'~pr~s 1.~, et A' est un C1 ~nneau d'apr~s II.2.1 et pour mon~rer que t o u t A'-module quasi-injeetif et fidNe est injec~if il suffit d'apr~s 3.1.1 de m o n t r e r que A ~ v6rifie l'~nalogue de ls condition b) de 3.1. On ~ ~m duns la d6monstration de 3.1.1 que pour t o u t id6ml premier p ¢ ~ 1Unjeetif ind@composable F , tel que {p} = Ass(Fv) n~a p~s de sous-module quasi-injeetif propre non nul et d'apr~s 2.1 ceci mon~re que t o u t idea.1 premier tp ~= 2~ est premier minimal, a u t r e m e n t dit la condition b) de 3.1 n'es% pus autre chose que la condition (C~) de la proposition 2.4. L a m~me proposition 2.1 m o n t r e que A v~rifie (Q) et d'apr~s 2.5 l'mnneau A' v6rifie mussi (Co) une derni6re utilis~tion de 2.4 m o n t r e que A' v6rifie la condition b) de la proposition 3.1 et ceci ~ch~ve la d6monstration. 3.2. [REI~IARQUE.

1) I1 est facile de g6n6raliser la proposition 3.1 £ u n anneau quasilocal, m~is cette g6n6ralisation n'est q u ' a p p a r e n t e car on p e u t d6montrer ~is6ment q u ' u n anne~u quasi-local A tel que la correspondance ~% soit bijective est en fair local. 2) I1 existe des Q-anneaux A tels que la correspondance ~ ne soit pus bijective' par exemple l'anne~u A d6fini en II.3.~ est un @-anneau duns lequel 0 est le seul id6al premier, mais il y a deux types de modules injectifs ind6composables: l'enveloppe injective de A et l'enveloppe in]ective de l'unique t y p e de A-module simple (cf. [31] expos6 20). Voici un exemple de @-anneau local pus n6eesssirement e o m m u t a t i f tel que ~A soit bijective. 3.3. Pi~oPosx~Ioi~. - Soit A un anneau local sans diviseur de 0 dont Ie radical m est ~

iddal d gauche principal et tel que A / m soit un corps, alors A est un Q-anneau.

Montrons que A v6rifie les conditions du th6or@me 3.1. Posons m = Aa. 1) D'~pr~s la proposition 2.1 de [25] t o u t id6al ~ gauche de A est bilat~re et de la forme m~-~ A a ~. II r6sulte alors du th6orSme 3.5 de [18] que la correspondance ~a est bijective. 2) L'id6al 0 est le seul id6al premier de A autre que m et il est clair que A v6rifie t~ condi%ion b) de 3.1. 3) Montrons que A v6rifie la condition C1. Soit E-----EA(A/m ) le cog6n6rateur minimal de Mod A. lVIontrons d'abord que E = U r~(Aa '~) en m o n t r a n t que M---- U rl~(Aa ~) est injectif. Soit ] u n morphisme n~l

n~>l

d~un id6al £ gauche A a ~ de A duns M et soit x-----](an), le module injeetif E est divisible et comme a ~ est r6gulier il existe y ~ E tel que x-----a~y. Comme me M it existe m tel que a~x ---- 0 et on a a~+~y ----0~ donc y e M e t M est injeetif. Cornme M est essen~iel duns /~ on a M = E.

CLAUDE TZS~ER0:N: Sur les anneaux tels que tout produit de copies~ etc.

67

Montrons m a i n t e n a n t que les modules r~(Aa ~) sont les seuls sous-modules quasiinjectifs de E. D ' a b o r d p o u r t o u t x ~ E il existe un unique n tel que A n n ( x ) = Aan; en effet il existe u n unique n tel que x ~ r s ( A a ~) - - r s ( A a "-~) et on a A a ~ c Ann(x) ~ A a "-~ donc A n n ( x ) = - A a ~. Soit m a i n t e n a n t 5~ un sous-module quasi-injectif de E, supposons N ~: E, alors il existe n tel que r s ( A a ~) ¢ N. Soit m le plus grand entier tel que rs(Aa ~) c ~Y, si rz(Aa ~) ~= N i l existe x e N tel que amx ~= 0 et il existe p > 1 tel que A n n ( x ) = A a ~+~. Soit Mors y ~ r~(Aa ~+~) on a A n n ( x ) c Ann(y) et il existe un m o r p h i s m e Ax--> A y qui se prolonge en un e n d o m o r p h i s m e u de E, c o m m e h r est quasi-injectif on a u ( N ) c N e ¢ y----u(x) ~ N . On a donc r~(Aa ~+~) c N, ce qui contredit la d~finition de m e t p a r consequent 2V----rs(Aa~'). C o m m e p o u r t o u t entier n on a A a ~ = I~r~(Aa '~) il est clair que A v~rifie la condition C1.

4. - D'autres exemples de Q-anneau. 5Tous c o m m e n g o n s p a r donner des conditions suffisantes p o u r q u ' u n C1 a n n e a u noeth~rien soit quasi-local. 4.1. LE~lV[E. - Soit A u n C1 anneau noethdrien~ A est quasi-local d~s que l'une des conditions suivantes est vdrifide :

1) pour tout iddal bilat~re maximal O on a A P" = 0; n~O

2) A est premier et il existe un iddal biIat~re maximal ~) tel que ~ On= O. n~O

Si A eat quasi-simple, il n ' y a r i e n & rien ~ d~montrer, on p e u t doric supposer que A n ' e s t pas quasi-simple et A poss~de Mors des id~aux bilat~res m a x i m a u x . a) Montrons d ' a b o r d que A a un unique id~M bilat~re m a x i m a l . Soit p u n

ideal bilat~re m a x i m a l tel que ~ p " = 0. Soit E le cog~n4rateur min~l

n i m a l de Mod A.

Le module E(~)---- U rs(p ") est u n sous-module quasi-injectif et n~l

fid~le de E car IA(E(v))= r - ) I ~ r s ( p - ) = ~ p " = 0 (II.1.1), donc E(v) eat injectif car A est u n C1 anneau. De plus en n o t a n t 8(,) le sous-module du socle de E annul~ p a r p on a E ( , ) = EA(8(~)) (II.1.3 et II.1.4). Soit q u n ideal bilat~re m a x i m a l distinct de V, on v a m o n t r e r que cette hypoth~se est absurde ce qui d~montrera a). Soit S u n sous-module simple de E annul~ p a r q, on a q = I~(S)~ m o n t r o n s que le module N = E(,)O S est injectif. T o u t sous-module simple de 8(,) est annul5 p a r p e t c o m m e I~(S) = q le module S n ' e s t isomorphe ~ aucun sous-module de 8 w et ainsi h r est u n sous-module de E ; le module ~r est fid~le car/iT(v) est fid~le, et, p o u r m o n t r e r que 2V est injectif, il suffit de m o n t r e r que ~V eat quasi-injectii car A est un C1 anneau. Montrons que h r est quasi-injeetif. Soit T~ l'ensemble des sousmodules simples de 8(~), on a 8(,)---- @ U (II.1.3) et E ( , ) = @ E ( U ) car A es~ noeth~rien.

Soit U e T , , soit ~: E ( U ) -> E(S) un m o r p h i s m e non nul, il existe x e E ( U )

CLAUDE TISSERO~N: Sur le8 anneaux tels qu~ tout prod~dt de copies, etc.

68

tel que ](x)~: O, it existe a e A tel que a]@)~ S - {0} et il existe n tel que p ' c c ~ ( A a x ) ci~(Aa](x))= IA(S ) ----cl et ceei est absurde car p e t q sont des id6aux bilat6res m a x i m a u x distincts. A u t r e m e n t dit, t o u t morphisme de Era) duns E(S) est nul et on v6rifie alors faeilement qne N eat stable par t o u s l e s endomorphismes de son enveloppe injective E ( N ) - Era)® E(S) et ainsi N eat quasi-injeetif. I1 r6sulte de ceci que _~ est injectif done S aussi, et ceei m o n t r e que t o u t sousmodule simple de ~ annul6 par clest injeetif. P o u r terminer la d6monstration de a) on distingue m a i n t e n a n t deux eas suivant que ~ q ~ = 0 (condition 1)) ou que A est premier (condition 2)). n~>l

1) Si E1 q~-- 0 alors en posant E(¢) = m r~(q ~) on a d'apr6s II. 1.1 les relan~l

n>~l

tions: ~(E(,)) = .Q £.~(%(q~)) = ~ q~, = 0. I1 r6sulte de ce qui pr6e6de que le module 8@ n~>l

n~>l

somme des sous-modules simples de E annul6s par ct est injeetif et d'apr6s II.1.4 on a $(¢)= E@, ee qui eat absurde ear cfcI~($@) = 0 et q ---- 0, et ceci montre que la condition a) est v6rifi6e duns c e c a s . 2) Si E est premier, Fid6al bilat6re ct contient un 616ment r6gulier c qui divise chaque module simple injectif 2 annul6 par q ce qui est absurde et ceci d6montre la condition a) duns ce cas et ]a d6monstrat.ion de a) eat termin6e. b) Montrons que 5~ eat Funique id6al bilat6re maximal de A e e que A est quasi-local.

qui prouvera

Comme t o u t id6al bilat6re maximal contient 18 radical $t de A, il r6sulte de a) que l'anneau A/2~ a a n unique id6al bilat6re maximal. D'apr6s 1.2.4 et II.3.6, l'anneau A / ~ est produit fini d ' a n n e a u x quasi-simples. I1 est facile de v6rifier qu'un produit de n a,nneaux quasi- simples poss6de n id6aux bilat6res m a x i m a u x , et par cons6quent A/St est r6duit ~ nn seul anneau quasi-simple, i.e. A/J~ est quasi-simple et la proposition est d6montr6e. 4.2. COROLLA~.E. -- Soit A un Ct anneau noethgrien commutati], alors chaque id6al premier de A est contenu dans un unique ideal bilat~re maximal. Soit p un id6al premier de A. Si ~ est maximal, il n'y a rien ~ d6montrcr. Sinon l'anneau A/p est a n C1 anneau d'apr6s II.2.4 (i), noeth6rien int6gre done pour t o u t id6al maximal m on a E1 m ' ~-- 0 et AlP est un anneau local d'apr6s 4.1 d'o~ le corollaire, n~o l~appelons qu'un anneau A est dit born6 £ gauche si t o u t id6al £ gauche essentiel contient un id6al bilat6re non nul. On a u n e notion analogue d'anneau born6 ~ droite. Rappelons 6gatement qu'un anneau de valuation discr6te est un anneau local A sans diviseurs de 0 dont t o u s l e s id6aux ~ gauche et ~ droite sont principaux et tel que A/Yu(A) soit un corps, il existe alors a ~ A tel que R ( A ) = Aa = aA et t o u t id6al~ ~, gauche o u h droite, de A eat de la forme A a ~ = a"A ([25] proposition2.1 et th6or6me 3.6).

CLAUDE TISSERON: SUr les anneaux tels que tout produit de copies, etc.

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4.3. P~0POSITI0~. - Soit A un anneau local sans diviseurs de 0 dont tous les iddaux gauche et tousles iddaux ~ droite sont principaux, aIors A est un Q-anneau. Si le radical ft de A est nul alors A est un corps et un Q-anneau. Supposons :R ¢ 0 et rnontrons que A vSrifie les conditions du th~or~me 3.1. D ' a b o r d A est un a n n e a u premier, noeth4rien et hSr~ditaire des deux c6t~s dont le radical n ' e s t pas nul done A est born4 ~ gauche et £ droite d'apr~s le th~or~me 4.13 de [8] ct il est facile de v4rifier en utilisant le %h~or~me 3.5 de [18] que la correspond a n c e ~ est bijective. De plus ridSal 0 est le seal id4al premier de A autre que 2~ et il est clair que A v4rifie la condition b) de 3.1. Montrons que A est u n C1 annean. D ' a p r ~ s la proposition 2.3 et le l e m m e 2.10 de [21] l ' a n n e a u A coincide avec son enveloppe locale ]~(g£) qui est le sous-anneau du corps des fl'actions Q de A engendr~ p a r A et les inverses dans Q des 41~ments de C(9~) = {c E Alex ~ ~ x ~ 2@ Soit le s4par4 compl6tb de A p o u r la topologie 2~-adique, d'apr~s les lemmes 2.1 et 2.2 de [19] t'anne~u ~ est u n a n n e a u semi-local premier d o n t t o u s l e s id6aux £ gauche et t o u s l e s id4aux ~ droite song p r i n c i p a u x et _~ est u n a n n e a u de matrices sur un unneau de v a l u a t i o n discrete D. I1 r~sulte done de 3.3 et de I I . 2 . 5 que A est un Qanneau. De plus les l e m m e s 2.3 et 3.15 de [15] m o n t r e n t qu'il n ' y a q u ' u n e classe de A^m odules simples et _4 est un a n n e a u local. Ces lemmes m o n t r c n t aussi que si S est u n A - m o d u l e simple alors S est un fi_-module simple et le t h4or~me 3.17 de [19] m o n t r e qu'alors EA(S ) = .Es(S). On p e u t m a i n t e n ~ n t m o n t r e r que A v6rifie la condition C1. Soit N u n sous-module quasi-injeetif non nul de E = E ~ ( S ) = Es(S), alors N est u n sous-module de E p a r d6finition de la s t r u c t u r e de .~-module de E ([19] lemme 3.14) et on v6rifie ais6ment que N est un s o u s - 3 - m o d u l e quasi-injeetif de E, on a done 3 / = r~(I~(N)) ear _~ est u n Q-anneau. C o m m e 2v est non nul IS(N ) est u n ideal bilatgre de A e t d'aprgs le th@or~me 3.5 de [25] it existe n tel que I3(3r ) = = ~ ( 3 ) ,~. D'apr@s le l e m m e 1 de [16] on a 2~(~)-O A =-2~- et :g(-~)" = ~2~ ~ et on peut @crire les ~galitgs suivantes: ~T _ r ~ ( a ( 3 ) - )

= r~(~'~) -

r~(~(N)

c~ A ) - - r ~ ( ~ A ~ ; ) ) .

C o m m e / ~ est le cog~n~rateur m i n i m a l de ~lod A ceci m o n t r e que A v~rifie ta condition C1 et la proposition 4.3 est d4montr4e. Rappelons q u ' u n a n n e a n de D e d e k i n d p r e m i e r est un a n n e a u premier, noeth~rien et h~r4ditaire des deux c6t~s, qui ne poss~de pas d'idSM bilat~re propre i d e m p o t e n t [8]. 4.4. CO~OLLAIRE. -- Soit A u n anneau de Dedekind premier born6 (d gauche et d droite) aIors les assertions suivantes sont dquivalentes:

a) A est un Q-anneau,

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CLAUDE T~SSEaO:~: Sur Ies anneaux tels quc tout produit de copies, etc.

b) A est un C1 anneau, 4) A est un anneau local. Soit A un anneau de Dedekind premier borne. On suppose que A n ' e s t pas un a n n e a u simple sinon il n ' y a rien £ d~montrer. L ' i m p l i c a t i o n a) ~ b) est triviale, montrons que b) ~ c) et que c ~ a). b) ~ e): P o u r t o u t ideal bilat~re m a x i m a l p de A on a [7 P ~ = 0 d'apr~s ([8] proposition2.2 n~0

et lemme 4.1), donc d'upr~s 4.1 l'unneau A est quasi-local. Corame A est born~ et n'est pus un unneau simple, on ~ 9~(A)V=0 et il r~sulte de ([21] lemme 2.10 et propositions 2.3 et 2.6) que A/2~(A) est un anne~u simple done A est un anneau local. 4) ~ a). Si A est un a n n e a u de Dedekind premier born~ et local alors A est un anneuu de matrices sur un ~nneau D suns diviseurs de 0, a id~aux ~ gauche et ~ droite principaux, semi local et bornd ([21J corollaire 3.10). E n f u i t i l est f~cile de vSrifier que c o m m e A/2~(A) est simple D / ~ ( D ) est aussi simple car sinon un idemp o t e n t non nul et different de 1 de D/2~(D) permet de construire u n idempotent central non nul et different de 1 de A/2~(A) ce qui est absurde; ainsi D e s t un a n n e a u tocal. I I r@sulte alors de 4.3 que D e s t u n Q-anneau et A est aussi u n Qunneau d'apr~s II.2.5. Dans un article ult4rieur, noun ~tudierons plus pr~cis6ment la structure des C1 a n n e a u x et des Q-anneuux noeth4riens commutatffs, dans ce c~s le corollaire 4.2 permet de d~montrer q u ' u n C1 anneau noeth~rien est produit fini de C1 anne~ux locaux.

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