Math. Z. 215, 269 280 (1994)

Mathematische Zeitschrift ~) Springer-Verlag 1994

Surfaces d'Enriques et une construction de surfaces de type g n ral avec pg = 0 Daniel Naie Math~matiques Brit. 425, Universit6 de Paris-Sud, F-91405 Orsay, France Received 27 August 1992; in final form 22 February 1993

0 Introduction Le but de cet article est de pr6senter une construction de surfaces de type g6ndral en utilisant une m6thode du m~me type que celle de T o d o r o v dans [12]. Lfi, T o d o r o v obtient ses surfaces comme rev~tements doubles ramifi6s d'une surface de Kummer. N o u s raisons la construction en partant d'une surface d'Enriques. Ensuite, nous 6valuons le groupe fondamental pour les surfaces construites. On doit pr6ciser que la surface a v e c K 2 = 4, a 6t~ construite d'une mani~re analogue par K e u m (cf. [7]). I1 donne aussi le calcul de ~zl. Les surfaces avec K 2 = 1 et 2 ont paru dans les travaux de Reid, [10] et [11]. Je veux remercier A. Beauville pour m'avoir propos6 le sujet, et p o u r les discussions que j'ai eues avec lui, qui ont ordonn6 mes id6es et m ' o n t aid6 fi franchir les points d61icats. Je reste oblig6 au referee pour ses commentaires et critiques pertinents. J'ai ~crit cet article au d6but de l'ann~e 1992, pendant un s6jour fi l'Universit~ de Paris Sud, en b6n~ficiant d'une bourse accord6e par le Ministdre de le Recherche et de l'Espace.

1 Pr~liminaires Les surfaces consid6r6es sont des surfaces projectives complexes, sauf dans la d6monstration du th6or6me 3.1 ot~ l'on consid6re aussi des rev~tements universels. Une surface lisse est une surface minimale si et seulement si elle ne contient pas de ( - 1)-courbes. Une surface minimale S est de type g6nral si et seulement si K 2 > 0 et K s ' D > 0, quelque soit D un diviseur effectif sur S. Soient X, S deux surfaces lisses; un revfitement double ramifi6 ~: X ~ S est une application finie, g6n6riquement 2:1. L'application g induit une involution sur X (c'est ~ dire une action de Z / 2 sur X). L'ensemble des points fixes de l'action forment une courbe lisse C', le lieu de ramification de g sur X. L'image r6duite de C'

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D. Naie

sur S est une courbe lisse C (non n6cessairement connexe) d o n t la classe dans Pic S est divisible p a r deux; on a C ~ 2B, de sorte que 7z*C = 2C' et 7~*B ~ C'. L a surface S 6tant fix6e, la donn6e du rev6tement d o u b l e ramifi6 ~: X ~ S est 6quivalente ~ la donn6e d ' u n e classe de diviseur (gs(B) et d'une courbe lisse C ~ 2B; on a alors n,(gx ~- (gsO(-gs( - B). U n calcul imm6diat (cf. [3]) donne: K x ~ rc*K s + C' ~ zt*(K s + B) po(X) = pg(S) + h~

Ks + B)

K 2 = 2K~ + 4 B ' K s + 2B 2 1

1

Z((gx) = 2Z((gs) + ~ B ' K s + ~ B

2

(1)

.

En plus 7~*: Pic S ~ P i c X est injectif et ~*D" ~z*D' = 2 D ' D ' . Les ( - 1)-courbes sur X a p p a r a i s s e n t c o m m e les images inverses de ( - l)courbes sur S disjointes du lieu de ramification, ou c o m m e les images inverses r6duites de ( - 2)-courbes sur S contenues dans le lieu de ramification. O n note p a r (Tors S)2 le s o u s - g r o u p e engendr6 p a r les 616ments de deux torsion de Pic S. L e m m e 1.1 Soient S, X deux surJhces lisses, (Ej)j~j une./amille de courbes lisses et disjointes sur S e t n: X ~ S un revOtement double ram!fib le long des Ej. Soient (: (Z/2)J -~ P i c S | Z / 2 l'homomorphisme associO aux Ej et e l'blOment de (Z/2) J correspondant a ~4~ s E j. Si (Tors S)2 = 0, alors(Tors X)2 --~ ker ( / e Z / 2 . DOmonstration. Le r6sultat est dOmontr6 dans [5]: soit G -~ Z / 2 le g r o u p e (de Galois) du rev6tement X - ~ S e t soit la suite exacte de G-modules: 0 -~ J g x ( X ) * / C * ~ D i v X ~ P i c X --, 0 .

La suite longue de c o h o m o l o g i e donne: 0 -~ ( J g x ( X ) * / C * ) ~ -~ ( D i v X ) G ~ (Pic X) c' ~ 0 ,

et on consid6re te d i a g r a m m e de suites exactes: 0 --+

0 ~

,/IIs(S)*/C*

~

(JIx(X)*/C*) ~ ~

DivS

~

PicS

~

0

( D i v X ) z --* ( P i c X ) z --, 0 .

En a p p l i q u a n t le lemme du serpent, on obtient: 0 ~ P i c S - - * ( P i c X ) G ~ (Z/2)-~J--, 0 eZ/2 et en a p p l i q u a n t , encore une fois, le l e m m e du serpent fi la m u l t i p l i c a t i o n p a r 2 dans cette suite, on obtien le r6sultat en o b s e v a n t que t o u t 61ement d ' o r d r e deux de Pic X est G-inariant. Q.E.D. Soit G u n g r o u p e fini d ' h o m e o m o r p h i s m e s qui agit sur une variht6 X. C o m m e dans [2], un 616ment g ~ G est n o m m 4 614ment elliptique si g a des points fixes sur X. Le s o u s - g r o u p e elliptique est le s o u s - g r o u p e engendr6 p a r les 616ments elliptiques. P a r

Surfaces d'Enriques

271

la suite, on utilisera la marne notation pour une action et pour l'action induite correspondante. La proposition suivante est un cas particulier du r6sultat [1] d'Armstrong: Proposition 1.2 Soient X et G comme ci-dessus. Si G agit sur X et ~ (X) = O, alors nl ( X / G ) = G/E, olt E est le sous-groupe elliptique. Dans la par. 3, on utilisera l'invariance suivante qui est bien connue: Proposition 1.3 Soit P une singularitb rationelle sur la surface X o et X une rbsolution minimale. Alors 7 r l ( X o ) = ~I (X). Le thOorOme d'annulation de R a m a n u j a m sera souvent utilis6 (voir [9]): Th/~or+me 1.4 Soient S une surface lisse et D u n diviseur effectif 1-connexe et avec D 2 > O, alors HX(S, (gs( - D)) = O.

2 Ensembles de ( - 2)-eourbes sur une surface d'Enriques et une construction de surfaces de type genfiral Nous voulons d6crire les surfaces d'Enriques qui admettent des revatements doubles ramifi6s le long des diviseurs form6s par des ( - 2)-courbes disjointes. En marne temps, nous observons l'existence de ces surfaces d'Enriques et en 6tudiant leurs g6om6trie nous pouvons faire la construction d6sir6e des surfaces de type g6n~ral (le th~or~me 2.10). Soient S une surface minimale d'Enriques et (Ej)j~j un ensemble non vide de ( - 2)-courbes disjointes tels que ~ j ~ j E j ~ 2B. Proposition 2.1 Dans les conditions ci-dessus IJt = 4 ou 8. Dbmonstration: Soit 7c: X ' --+ S le rev6tement double dont le lieu de ramification est ~ j ~ s E j . Puisque les ~ I(Ej) sont des ( - 1)-courbes, on peut consid6rer le morphisme birationnel e: X ' --+ X qui contracte ces courbes. En utilisant les formules (1), on a: Kx, = 7c*(Ks + B) ~ rr*Ks + ~ 7 ~ - I ( E j )

,

jeJ

donc e * K x ~ ~ * K s . Puisque e*: P i c X ~ P i c X ' est un morphisme injectif et c * 2 K x ~ rc*2Ks ~ O, on a 2 K x ~ O, alors X est une surface minimale avec la dimension de K o d a i r a 6gale fi zhro. Puis 1 Z((~x) = )~((gx,) = 2)~((~s) + ~ ( B ' K s + B 2) 1 =

2 -

-iJi,

4''

parce que B 2 = - - 1/2]J]. O n conclut que IJI est divisible par 4. D'apr6s la classification des invariants numeriques des surfaces projectives complexes avec la dimension de K o d a i r a nulle (cf. [4-1), X est soit une surface d'Enriques et alors Z((gx)= 1 et IJI = 4 , soit une surface bielliptique et alors 7~((9x)=0 et 13I = 8. Q.E.D.

272

D. Naie

N o u s voulons caractdriser plus pr6cis6ment le cas [J] = 8. Soient donc 7c: X ' --* S c o m m e ci-dessus, p: K --* S le rev~tement d o u b l e canonique, K 6tant une surface K3 et A ' = K x s X ' . O n a l e d i a g r a m m e suivant: A'

~

qJ. K

X'

.~ p

S

Sur K, il y a 16 ( - 2)-courbes et la c o n s t r u c t i o n implique que l ' a p p l i c a t i o n q est ramifi6e exactement le long de ces courbes. Alors (cf. [8]) K est une surface de K u m m e r et A' est une surface abdlienne 6clat6e dans ses 16 points d ' o r d r e deux. Soit A cette surface. Si on denote p a r a l'involution sur X ' associ6e firc et p a r 0 l'involution sur K associ6e fi p, nous avons alors S = A'/(a, O) et X = A/(O). La classification des surfaces bielliptiques (cf. [4]) implique que soit 9 A = C1 x C2 avec Ck (k = 1, 2) des courbes elliptiques lisses, soit 9 A = C1 X C 2 / ( Z / 2 ) , Z/2 6tant engendr6 p a r une t r a n s l a t i o n sur C2 qui agit aussi p a r t r a n s l a t i o n sur C1. En plus a est la symdtrie a ~ t r a n s l a t i o n sur C1.

- a sur A et 0 une sym&rie sur C2 agissant p a r

P a r la suite, nous considerons le cas A = C1 x C2 (voir la r e m a r q u e 3.5 sur ce point). N o u s p o u v o n s s u p p o s e r Ck = C / ( 1 , 2k) k = 1, 2 et choisir les coordonn6es zk sur Ck telles que:

~(Zl,Z2) = ( - Zl, - z2)

O(zl,z2)=

Zx + ~ , - z2 + y

(2)

9

(3)

Le r6sultat suivant est bien connu, mais sa d 6 m o n s t r a t i o n va ilustrer c o m m e n t s ' a p p l i q u e la p r o p o s i t i o n 1.2 d ' A r m s t r o n g . Cette technique sera utilis6e d a n s la par. 3 L e m m e 2.2 ~zl (S) = Z / 2 . Dbmonstration. Soient Zl, z2, z3 et z~ les t r a n s l a t i o n s suivantes sur C 2 :

"Cl(Z1,Z2)-~-(Z1 Jr- 1, Z2) ,

T2(Z1,Z2)'-'~'(Z1 -~- ~ l , Z 2 )

~3(Z1, Z2) : (Z1, Z 2 -'~ 1),

~4(Z1, Z2) : (Z1, Z2 @ ~ 2 ) .

(4)

Alors A = C Z / ( r l , z2, z3, r4l[Zk, z~] = 1). En consid6rant (C 2) le rev6tement universel de A ' (C 2 6clat~ dans une infinit6 de points), on a:

( c 2 ) , L, A' ~ K Z S . L ' a p p l i c a t i o n r e s t 6tal6e. O n se rappelle que l ' a p p l i c a t i o n q est ramifi6e le long de 16 ( - 2)-courves sur K et que l ' a p p l i c a t i o n p e s t &al6e. O n a p p l i q u e la p r o p o s i t i o n 1.2 p o u r qor: (C2) ' ~ K. Soit H l e g r o u p e engendr6 au niveau de (C2) ' p a r a, ~1, r2, r3 et z4. En utilisant la forme explicite de ces actions, les formules 4, H = ( a , z l , zz, z3, 7~4l["Ck, 7~1] = 1, a 2 = 1, [a, Zk] = Zk 2 ) ,

Surfaces d'Enriques

273

donc K = A ' / ( a [ 0.2 = 1 ) = (C 2),/H. On observe que 0., zl a, z2 0., z3 0. et z4 0. sont contenues dans le sous-groupe elliptique (par exemple sur C 2, z l a ( Z l , z2) = ( - zl + l, - z2), donc (1/2, 0) est un point fixe pour z10.. Au niveau de (C2) ' la ( - 1)-courbe correspondente se trouve dans le lieu fixe de z10.). Alors E = H et n l ( K ) = 1. C o m m e K est le rev~tement universel de S, n,(S) = Z/2. Q.E.D. Remarque 2.3 La surface a, 0, Zl,Z2, r3 et z4.

S=(C2)'/G

Off G est

le groupe

engendr6

par

Les deux projections naturelles au niveau de A' descendent fi deux fibrations elliptiques sur P~, au niveau de K et aussi au niveau de S. Sur S, notons que: (i) I1 y a deux pinceaux elliptiques INk[ (k = 1, 2), tels que les deux fibres doubles not6es par 2Dk, 2D~ ( ~ 2Fk) satisfont D1 "D2 = 1 (F1 "F2 = 4). En plus Dk et D~ sont lisses. (ii) Chaque fibration contient deux fibres singuli6res de type I~"

2r~+ E E j - 2 r i + E Ej j e Jk

j 9 j~

avec Jk w J'k = J, une union disjointe. Ces fibres, avec les fibres doubles ci-dessus, sont les seules fibres singuli6res. (iii) ~ j ~ j E j = 2(Fk -- Fk -- Fi). (iv) K s ~ Dk -- D'k. P o u r construire les surfaces de type gbn6ral avec pg = 0, nous devons trouver une courbe C' = 2B' sur la surface d'Enriques S, telle que I K s + B'I soit vide et que I C'[ contienne un 616ment lisse (cette condition n'est pas absolument n~cessaire, mais elle va 6clairer la construction). Soit le syst6me lin~aire tCI = ]F~ + F2I. La courbe C est divisible par deux dans PicS, C ~ 2 ( D x + D 2 ) , mais K s + B ~ D'1 +D2>=O. Donc, nous ne trouvons pas directement la courbe C' dans ce syst6me lin6aire, mais des 616ments de t C I, modifi6s par des ( - 2)-courbes, vont produire des candidats pour la courbe C'.

D'abord, si un 616ment de ]C I recontre une courbe E j, il doit la contenir c o m m e une composante, parce que C" E~ = 0. Dans ce cas C ~ Q + ~ i ~ i El, avec Q effectif I c J, e t Q ' E i , # O , i e l . Th~or6me 2.4 On peut trouver des sous-ensembles I ~ J, tels que I I1 = O, 1, 2 et 3 et dans chaque cas:

Q+ y e , ~ c ieI

avec Q lisse. En particulier Q2 = 8 - 2[I [.

Avant que nous 6tablissions le th6or6me, nous d~montrerons quelques r6sultats pr61iminaires. Le th6or6me de R i e m a n n - R o c h et le thdor6me 1.4 impliquent dim[C[ = 4, puisque C 2 = 8. C o m m e [Fll + F2 c ICl, le syst6me IC[ n'a pas de points fixes et donne une application rdguli~re: (Pc: S --* p4 .

274

D. Naie

L e m m e 2.5 deg (pc = 2. D~monstration. On doit v6rifier que deg (p ne peut &re ni 1 ni 4. Dans le dernier cas on

a

2 = deg(p(S) > codim(p(S) + I = 3 , d'oti une contradiction. Soit B un 616ment g6ndrique dans ]D1 + D21. On a B 2 = 2, dimJB[ = 1 et puisque DI + D2 ~ D'~ + D~, les points D2 c~ D ] e t D~ c~ D~ sont les seuls points fixes de I BI. Alors B e s t lisse et irr6ductible de genre g6om6trique 2. C o m m e B + K s ~ (D1 + D 2 ) +

(D~

-- D 2 ) ~

D1

+

D~

,

en appliquant le Th6or6me 1.4, H 1 (S, (fis(B)) = H 1(S, (gs(Ks - B)) = 0. Alors la restriction de (p fi B est donnde par le syst6me lin6aire complet: ]C]~ j=] 2(B + Ks)IB 1=1 2KB]. On conclut que (Pc]B = (P2K,: B - * p2 est de degr6 2, donc deg(p 4= 1.

Q.E.D.

L e m m e 2.6 Soit F la composante double d'une fibre singulikre, cf (ii) cidessus. La restriction de Pc a F est un isomorphisme sur une conique. D~monstration. La courbe F est rationnelle et C" F = 2. C o m m e H ~ (S, (gs(C - F)) = 0 et C" F = 2, I Cl ddcoupe sur F l e syst6me complet associ6 fi H~ et donc l'image de F par (Pc est une conique. Q.E.D. N o t o n s que C" E s = 0, donc les E s sont contract6es par (Pc- Soit Ps = (Pc(Es)" Sur 2; = (Pc(S), les quatre coniques qui correspondent aux composantes doubles des fibres singuli6res, ont, deux par deux, deux points c o m m u n s parmi les points Ps. De plus, deux coniques qui se coupent, repr6sentent une section hyperplane p o u r X. L e m m e 2.7 Les points P~ sont lisses sur 2;. D~monstration. La factorisation de Stein donne (Pc'S~So~2;

cP4

off: la surface X est de degr6 4, la premi6re fl6che est le m o r p h i s m e birationnel qui contrcte les courbes E s, - la deuxi6me fl6che est un revatement double ramifi6 et le diviseur de ramification sur So contient les images des courbes F. Les points sur So correspondants aux Ps sont des points doubles rationnels. C o m m e les Ps, vus dans le lieu de ramification, sont des points doubles, on conclut (cf. [3]), que les Ps sont lisses sur 2;. Q.E.D.

-

-

Nous allons m o n t r e r maintenant qu'il existe des sections hyperplanes de 27, contenant exactement k points Ps off elles sont lisses (0 _< k < 3). Pour k =< 2 l'existence est 6vidente. P o u r k = 3, soient F~ et F2 deux composantes doubles telles que les coniques correspondantes sur 2; se coupent. L e m m e 2.8 Il y a une section hyperplane de 2; qui passe par trois points Pj appartenant il (P(F~) ~ (F2) dont exactement un seul point est commun iz ces deux coniques.

Surfaces d'Enriques

275

D~monstration. Soient Qk = ~0(Fk), k = 1, 2. Soit L l e 2-plan engendr6 par trois points choisis c o m m e dans l'6nonc6 de la proposition. Alors, L e s t contenu darts l'hyperplan de p4 correspondant ~ Q1 w Q2 et ne coincide pas avec les deux 2-plans engendr6s par les coniques Q1 et Q2. C o m p t a n t les multiplicit6s, iS ~ LI = 4 et le quatri6me point doit se trouver sur Q1 u Q2. I1 correspond & une direction au point c o m m u n aux deux coniques. Evidement, cette direction est diff6rente des deux tangentes & Q1 et Q2. Alors, si on consid&e les hyperplans qui contiennent L, on a un syst6me lin6aire sur Z de dimension 1, passant par les 'quatre points' de 2; c~ L. D'apr6s le Th6or6me de Bertini on conclut la proposition. Q.E.D.

Remarque 2.9 En regardant la d6monstration ci-dessus, nous observons que parmi les trois points choisis, il n'y a pas deux situ6s simultan6ment fi l'intersection de deux conniques ~0(F). Nous verrons dans la remarque 3.3 que cette condition est n6cessaire. Sous ce rapport, dans le cas l / l = 2, les deux points situ6s sur la section hyperplane cherch6e peuvent avoir deux positions diff&entes: ils ne forment pas l'intersection de deux conniques q~(F), ou -- ils se trouvent exactement ~ l'intersection de deux conniques. -

D~monstration du thOor&me 2.4. Soit H une section hyperplane comme ci-dessus. On note par I l'ensemble {i e J: Pi~ H}. Alors, ~p*H= Q + Z E i ~ C , ieJ

o0 Q est lisse. En particulier Q- El = 2 et ]II = 0, 1, 2 et 3. Dans le cas [ 11 = 2, la remarque ci-dessus implique que les courbes Ei peuvent 6tre: soit des composantes qui ne se trouvent pas simultanOment sur deux fibres singuliOres, soit des composantes c o m m u n e s & deux fibres singuliOres. Q.E.D. Th/~or6me 2.10 La courbe C' = Q + EjEJ-IEj est divisible par deux. La surface Y,

module minimal de la surface Y' obtenue comme revOtement double de S ramifiO le long de Q + ~j~j iEj, est de type gOnkral avec p g ( Y ) = O et K 2 = 4 - [ I [ . DOmonstration. Soit I' = J - I. O n peut 6crire C'=Q+

ZEj=C+ZEj-2ZE, j~l'

jeJ

iel

(F 1 q- F2) q- 2(F1 - F, - F'I) -- 2 ~ E, ieI

= 2B' (on a utilis6 (iii) ci-dessus). D o n c C' est divisible par deux. Soit ~: Y'--, S le revatement double ramifi6 le long de C' et E: Y' ~ Y le morphisme birationnel qui contracte les ( - l)-courbes ~ - 1 (Ej),j e F. En utilisant les formules (1) on obtient: e*Ky ~ ~*Ks + rr I(Q), K~ = 4 - III et Z((gy) = 1. Puisque S est une surface minimale, Y est minimale, donc de type g~n&al. P o u r finir on doit montrer que Pg(Y) = po(Y') = 0. C'est fi dire IKs + B'I = 0, puisque

p~(Y') = pg(S) + h~

+ B) = h~

+ B).

276

D. Naie

Supposons que IKs + B'I 9 O. C o m m e (Ks + B ) ' E j = - l ( j ~ I ' ) , composantes fixes de [Ks + B'[. La formule explicite de B' donne: K s + B' ~ D'I + D 2 q- F 1 - - f f l - - F'I - - 2

Ej sont des

Ei "

isl

Donc, apr~s la soustraction des Ej j ~ I ' D'I + D2

q-

F1 -- F1 - F'I - ~ E s => 0 . j~J

Maintenent, comme:

(D'a+D2+Fx-Fx--F'~-~Ej)'FI(ouF'~)=-1 jEJ

F1 et F'~ sont des composantes fixes pour ce diviseur effectif. D o n c D'1 + D2 + F1 - 2Yi - 2F'1 - ~ Ej ~ D'~ +

D 2 --

F 1

=> 0

.

jeJ

On est arriv6 ~i une contradiction parce que (D'~ + D2 + F1)" bouge. Q.E.D.

F2

=

-

2 et F2

Remarque 2.11 Pour les surfaces Y pour lesquelles K 2 = 2, 3 ou 4, le syst6me bicanonique est sans points fixes. Puisque e*2Ky ~ n'Q, il suffit de montrer que te syst6me I Q[ n'a pas de points fixes sur S dans les cas Ill = 0, 1 et 2. Mais 9a c'est clair si 'on regarde les sections hyperplanes corespondantes sur 2" (on utilise les notations du lemme 2.8). Par exemple, dans le cas 1I I -- 2, les sections hyperplanes de 27 qui passent par les deux points Pi (i e I), n'ont pas d'autres points fixes puisque la droite d6termin6e par les Pi (i e I) ne coupe pas 2; en un autre point.

3 Le calcul de rq (Y) N o u s voulons d6terminer le groupe fondamental des surfaces de type g6n6ral que nous venons de construire. L'id6e du calcul et de relever l'action du groupe G (voir la remarque 2.3), qui agisse sur la surface simplement-connexe C 2 en d o n n a n t la surface d'Enriques Ca~G, fi une surface simplement-connexe U. Ensuite, nous utilisons la relation entre les 616ments elliptique de cette action et de la premiere pour que nous puissons appliquer la proposition 1.2. Th~or~me 3.1 Soit Y une surface construite dans le thborbme 2.10, alors nl ( Y) est

bgale it G

si

III = 0

(Z/2) 2 x Z / 4

si

[II = 1

Z/2xZ/4

ou (Z/2) 3 si Z/4

si

111=2

111=3,

oi~ G est un groupe isomorphe it celui donnb par la remarque 2.3.

Surfaces d'Enriques

277

Dkmonstration: Soient T' = Y' • s K et ~' : Z ' ~ A' le revfitement double ramifi6 le long de q*p*Q (on v6rifie aisement que cette courbe est divisible par deux sur A' parce que q*p*Ej sont divisible par deux; ells proviennent du lieu de ramification de q sur K). On a le diagramme suivant: 0 Z' ~ T' q

A'

~

f ~

Y'

p

K

~

S.

On conclut que g est ramifi6 le long de la c o u r b e f * n* ~ t E~ (qui est la somme de 211[ ( - 4)-courbes sur T'), que ~o: T' --* K est le rev6tement double ramifi6 le long de p*(Q + ~j~j_~Ej) et q u e f : T' ~ Y' est un rev6tement double 6tal& Apr6s la contraction des ( - 1)-courbes sur T', T e s t une surface de T o d o r o v (cf. [12]). O n cotracte les courbes rationnelles qui correspondent aux E j, j ~ J. D'apr6s le lemme 1.3, les groupes fondamentaux sont conserv6s. On augmente le diagramme en prenant le rev~tement universel de A. On a: U

h ~

C2

-~

Z 0

0 ---4

A

~

r

O1~1U = C 2 X AZo et ~: U inverse de Q.

~

C 2

To

f ~

Ko

~

q

Yo

p

So

est le rev6tement double ramifi6 le long de l'image

Lemme 3.2 La surface U est simplement-connexe.

Dbmonstration. Les lieux de ramification de 7 et qJ se correspondent, donc comme r e s t &al6e, h est 6tal6e. L'application ~: Zo --, A est ramifi6e diviseur ample sur A (c'est pour qa qu'on a contract6 les courbes rationelles). Alors le th6or6me de Cornalba [6], implique: ~/,: nl(Zo)

--~ n l ( A ) = Z 4 .

Au niveau de n l , ~ , est un isomorphisme, r , , h, sont injectives, 7, est surjective (7 est ramifi6e) et n l ( C 2) = 1 donc n l ( U ) = 1. Q.E.D. O n se rappele (voir la remarque 2.3), que So = U/G, off:

G ~ (17, 0, 351, 352, T3, T4][35k, 351] ~ 1, [0", 2"k] = Tk-2, 0"2~-~- 1 , 0 2 = T2, [ 0 , ~1 ] ~- 1, [0, 352-1= 1, [0, 353 ] = 353 2, [ 0 , 354 ] = T 4 2, [ 0 , (7] = 352 354 ) 9

Alors, notant aussi avec G le groupe lift6 au niveau de U, Yo = U/G. 9 Cas [II = 0. O n a vu q u e f , g, et h sont 6tal6es ( f e t h par la construction et g parce que son lieu de r a m i f c a t i o n au niveau de T' est f*n*~i~tEi = ~b si II[ = 0 ) . Alors, c o m m e n ~ ( U ) = 1, U ~ U/G= Yo repr6sente te rev6tement universel de Yo. D o n c n l ( Y o ) = G. P o u r finir la d6monstration on doit estimer le sous-groupe elliptique de G sur U. Soit o~ ~ E c G u n 616ment elliptique sur C 2. Si le lieu fixe de ~o rencontre le lieu de ramification de 7, o9 est elliptique au niveau de U. Dans une premi6re 6tape, cette relation entre les 616ments elliptiques ne permet que de trouver un sous-groupe de E. En utilisant le lemme 1.1 on pourra conclure que ce sous-groupe repr6sent le sous-groupe elliptique tout entier.

278

D. Naie

9 Casll[ = l. Soient [0, 01, [21/2, 22/2] e Ales deux points d'ordre deux qui se trouvent sur l'image de q*p*Q (voir les formules 2, 3 pour a et 0). Alors a et 272r4tr sont des 616ments elliptique sur C 2 et d'apr6s la remarque ci-dessus, a, 272274a e E au niveau de U. En utilisant la proposition 1.2, on conclut que Zl (Yo) est un quotien de G/(a,

272274 0-) =

01127k27l] =

(271,272,273,274,

27k = 27k i , 272274 =

1,

0z =

1, 272, [ 0 , 7~k ] =

1)

= (Z/2) z • Z / 4 . On fait les m6me raisonements pour le groupe H (Ko = C2/H et To = U/H). On obtient que 7Zl(To) est un quotien du (Z/32) 3. On applique le lemme 1.1 au rev~tement double qg: T ~ K:

H2(K, Z) = Z 22, alors (Tors K)2 = 0, le lieu de ramification, p*Q + ~,j~l p* Ej, contient 15 courbes disjointes: p*Q et 1 4 ( - 1)-courbes, - (" (Z/2) 15 ~ Pic K | Z/2. Alors (Tots T)2 -~ ker (/(eZ/2). Comme 7zl (To) est un quotien du (Z/2) 3, on a que dimz/2ker ( < 4. -

On fini si on identifie trois 616ments dans ker (, tels qu'avec e, ils forment un syst6me lin6aire ind6pendent. Pour qa, on doit regarder plus en detail les pinceaux elliptiques de K. Ils ont chacun quatre fibres singuli6res de type I~. Soient E(',') les ( - 2)-courbes qui forment le lieu de ramification de A' ~ K. Par exemple q- 1 E(0, 0) est la ( - 1)-courbe qui correspond au point [0, 0] sur A. Les 616ments Sl=E

0,

+E

+ E(0' ~ ) +

~,~

+E

,

E ( ~ ' 1 + 2) 2

+E

2

'

+E ( ~ ) 1 q, 2 )~2 + E ( 1 + 2 , 1' + 2 22

E 1

1+

~3=E(@,O)+E(I22~,O)+E@,~)+E(~,@)

sont divisibles par deux dans PicK (par example ~1 ~ p*(F1 -2F1). Donc ils correspondent dans ker ( aux ~16ments cherch~s. 9 CasllI = 2. D'apr~s l'observation faite dans la d~monstration du th6or~me 2.4, on peut supposer que [0, 0], [ @ ' ~-~1' [ ~ ' ~1 et [ 1 +2 21 ' t + 22 2 7 I @ ' @ 1' [ ~ , 0] et [0, @ ] s~

les deux p~

d'~

,ou[0,0],

deux q ui se trouvent sur

Surfaces d'Enriques

279

l'image de q*p*Q. Alors tr, -L-22740-, T1T30" , "L'IT2T3"C40" o n 0", 272"[40", "/720", g40" repr6sentent des 616ments elliptiques sur C 2 et aussi sur U. O n conclut que ~1 (Yo) est un qotient de Z/2 x Z/4 ou de ( Z / 2 ) 3. C o m m e pour le cas II[ = 1, on trouve que r q ( T o ) = (Z/2) 2 et donc le r6sultat: rCl(Y ) = (Z/2) 2 et donc le r6sultat:

rq(Y) = Z / 2 x Z / 4 9 C a s l l l = 3. 2

' 2

'

On

peut

et

2

'

OU

supposer '

2

( Z / 2 ) 3,

que

[0,0],

,~

,

L 01 ~,

,

, sont les points d'ordre deux qui se

trouvent sur l'image de q* p*Q (voir la remarque 2.9). Alors, a, z2z4a, ~1 a, % z2r4a, z 1 % a et ZlZ2Z3z4a sont elliptiques sur C 2 et sur U. Par ta m6me technique on trouve que rq(Yo) = (0104 = 1) = Z/4. Q.E.D.

Remarque 3.3

N o u s pouvons pr6ciser le th6or6me 2.4. Dans le c a s l l I = 3, il n'y a pas deux courbes Ei telles qu'elles soient c o m m u n e s fi deux deux mames fibres signuli6res. Supposons le contraire; alors dans le calcule du groupe fondamental cidessus on peut choisir [0,0],

et ' 2'2 2 ' 2 ' comme les points d'ordre deux qui se trouvent sur l'image de q*p*Q. Les 616ments a, r2z4a, %o, %c,, z l z 3 0 et "c1~52"c3"c4o-sont elliptiques sur C 2 et U. D o n c ~ (Iio) est un qotient de

G/(ff,

,

[~q,0~

'k 2

0,

J'

g2q540 , "L2 o , "[40, g l g 3 0", gl"C2 q53'1740)

= (Zl,0l[rl,0 = Z/2

x

] = 1, T2 = 0 2 - -

1)

Z/2

et ~1 ( T o ) e s t un quotient de Z/2. En faite, ~ l ( T o ) =

E=E(~'O)+E(L~'O)+E\2'2]+ +E

(1) 0,~

+E

(@ ~)(1-t-22) , +E 0 , ~

, +E

2 (~

Z/2

parce que

'2J ,

1-F22) 2

est divisible par deux dans Pic K (on applique encore une lois le lemme 1.1). N o u s sommes arriv6/~ une contradiction: 7r1 (Iio) = Z / 2 x Z / 2 (dans [10], Reid montre qu'il n'existe pas une surface de type g6n6ral avec Po = 0, K 2 = 1 et le groupe de torsion Z / 2 x Z/2).

Remarque 3.4 Dans [10 Sect. 2], Reid a construit les surfaces de type g6n~ral avec p, = 0, K 2 = 1 et le groupe de torsion Z/4. I1 d~crit le rev&ement 6tal~ correspondant fi Tors Y, plus precis son anneau canonique c o m m e le quotient d'un anneau gradu6 avec des poids et identifie l'anneau canonique de Y avec le sousanneau invari~ par Faction de Z / 4 (le th~or6me 2.2). I1 conclut que l'espace des modules est irr6ductible pour ces surfaces. Les surfaces que nous avons construites avec ~1 (Y) = Z / 4 se retrouvent dans la presentation de Reid: le produit fibr& T x y T repr6sente le rev@tement 6ta16 correspondant fi Tors Y.

280

D. Naie

R e m a r q u e 3.5 T o u t e s les c o n s t r u c t i o n s et t o u s l e s calculs des g r o u p e s f o n d a m e n t a u x q u e n o u s a v o n s faits d a n s les pars. 2 et 3, o n t eu c o m m e p o i n t de d 6 p a r t une surface d ' E n r i q u e s S = A ' / ( a , 0). L ' a p p l i c a t i o n A ' ~ A 6tait l ' 6 c l a t e m e n t des p o i n t s d ' o r d r e deux, a v e c A une surface a b e l i e n n e 6gale fi C1 x C2. Si n o u s a v i o n s c o n s i d e 6 r e au d ~ b u t A = C1 x C 2 / Z / 2 , n o u s a u r i o n s o b t e n u des surfaces de T o d o r o v a v e c K 2 = 8 - 2111, et nl d o n n 6 p a r le th6or6rne 3.1.

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