!""#!"
∗
%$
! " # $
%& '( ( % ( & $
X Kσ X X ω ω !
1 " Σ1 κ κ <κ
κ κ = κ # ZFC GCH # $ % GCH & κ κ' κ&
()*
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
κ " # $$ % & '
& ' L # ( $ ) *'
!!! !! ! ! ! " ! !
X Kσ
X X Kσ Kσ X A ⊆ X Kσ A Kσ !Kσ " # ω ω
ω ω Kσ
# $
Kσ ω ω % & '( ) *+,-
. ** ! % Kσ "
& %-/ Kσ ω ω . ** '( ) ** 0*, ! *1 2 / . Gδ A " X A Kσ X A !!X ∗ + $$ ' $$, - $
$$ +&./ 01!!2 / * 3$ , ! " ' & , ! %
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
()<
ω ω ( 3 !4 & '( ) $ 1*1,- "
&( 3 !4 -/ Σ11 A X A Kσ X A X ω ω & * . **- '(, 5 " 5 2 ω κ ! κ = κ<κ . κ κ κ κ κ 2
Ns = {x ∈ κ κ | s ⊆ x} s <κ κ t : α → κ α < κ 6 7 (κ κ)n+1 % #
κ κ 6 T ⊆ (<κ κ)n+1 & (<κ κ)n+1 - lh(t0 ) = . . . = lh(tn ) t0 α, . . . , tn α ∈ T t0 , . . . , tn ∈ T α < lh(t0 ) 8 T 7 [T ] & T - κ T x0 , . . . , xn ∈ (κ κ)n+1 x0 α, . . . , xn α ∈ T α < κ 9 (κ κ)n+1
[T ] T ⊆ (<κ κ)n+1 8 C (κ κ)n+1 &*-
TC = {x0 α, . . . , xn α | x0 , . . . , xn ∈ C, α < κ}
C 6 T ⊆ (κ κ)n+1 2 [T ] 2
2 T [T ] $ TC C (κ κ)n+1 [TC ] = C . κ κ Σ11 5 κ κ × κ κ Σ11 κ κ 5 p[T ]
()7
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
κ! & - T <κ κ × <κ κ κ κ Π11 Σ11 7 % Kσ Kσ
: κ 7 X
&- A ⊆ X κ
A X
% κ &- A ⊆ X Kκ κ! κ! X &- X κ & Kκ - κ! & ! Kκ - 3
κ κ % <κ κ 7 κ = κ<κ κ κ κ! κ κ $ κ! & Kκ - κ κ κ! & Kκ - . κ = ω ; % # κ κ κ Kκ & κ Kκ κ κ < : 1=> κ<κ = κ κ κ κ!# κ κ κ!
κ κ- & . **-/
κ
κ
Kκ
κ κ
7
!
8 7 κ A ⊆ κ κ 7 A Kκ κ κ A κ κ κ κ 9 7 ! . *) 3 Kω Kσ * Σ11 κ κ % κ = ω
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
())
% Σ11 κ κ κ<κ = κ > ω
" κ # κ = κ<κ $ P(κ) # # &*- P(κ) <κ κ+ % & κ+ ' &1- P(κ) H(κ+ ) ( H(κ+ ), ∈ κ &- P(κ) ( Σ11 κ κ #)
3 κ ; 3 κ κ κ 2 κ ; & ' 9 *, $ 1-
! ;
& 3 *
-
*
8 7 κ A ⊆ κ κ 7 A Kκ κ κ A κ κ κ κ 7 7 ?7 *=
" κ # + # κ = κ<κ $ P # # &*- P <κ κ+ % & κ+ ' &1- P ( Σ11 κ κ #) 6 $ P(κ) ≤P(κ) 5 $ κ = ω Fσ Gδ #
()=
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
κ ; κ = ω Σ11 & κ!# - !
% ' 9, & : 1=- ; κ κ 2 κ! κ κ . *) κ 2 κ! κ 2 {x ∈ κ 2 | ∀α < κ ∃β < κ (α < β ∧ x(β) = 1)} κ!# κ κ κ κ % @ ' 3+*, 7 & - Σ11 κ κ % 9 ! κ ; P(κ) *
,
<κ
: ν ≤ κ 7 κ T
κ
&- T 2 <κ &- T ν t ∈ T s ∈ T t ν ! T ν ! &- T 2! κ κ! $ κ!@ <κ κ T ⊆ <κ κ κ @ T [T ] T
8 7 κ A ⊆ κ κ 7 A Kκ κ κ κ!@ T [T ] ⊆ A 9 "
1** [T ] κ κ κ!@ T ?7 *** ?7 *=
> 0 κ κ κ κ+ κ κ * 1 ω' <ω ω
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
()(
1*1 κ ; A ⊆ κ κ ! 7 % 7 @! % *
" κ # + - κ # + # P(κ) $ . / ( Σ11 κ κ 0 #) **1
κ ; ; <κ! κ+ ! > κ
L L & 'A +B,- 9 κ ; κ 2 @! % / κ!@ > κ κ & $ 1- Kκ κ κ . *) $ &*- &1- * !% & P(κ)- % Σ11 ; ; & 7
3 0-
GCH $ P # # &*- # P ( GCH &1- - κ P ( Σ11 κ κ #) 9 %
7 κ κ 6 κ!
(=8
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
8 7 κ A ⊆ κ κ κ A κ A κ κ κ 2 ! ; κ!
% @ κ κ κ!
! % Kκ κ κ % ≤κ & "
1 $ 1B- & ':C*1 "
,- Σ11 κ κ κ!
: ! κ+ & % 3 - κ ; 3 Σ11 κ κ % 10 κ ; & - 3 !
/ '3 : *),
7 Σ11 κ κ ** % κ!
L P ! ** κ T ⊆ <κ κ & L- [T ] κ!
& )- $ ** ZFC+GCH Σ11 κ κ &κ - ! % κ!
&$ )0- 6
! % ω
< / ? @ A+ 6< B67C
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
(=6
1
: κ 7 A κ 6 A κ & κ & κ!@- T ⊆ <κ κ & κ!@- S ⊆ T [S] ⊆ A [S] ∩ A = ∅ κ
9 κ!3 ; κ!
A ⊆ κ κ κ!
κ!3 ; 3 Σ11 & Π11 - κ κ κ!3 ; : %% ': *), κ!@ ; κ!@ κ!3 ; κ!
)1 Σ11 % κ!@ κ!3 ; &
κ ; - $ ** Σ11 Π11 κ!3 ; & κ!@ - κ!
&$ ))-
?7 **) ; κ!
. % =* μ μ μ!$ & μ 7 μ<μ = μ- κ > μ κ<κ = κ κ κ %
GCH ; μ = ω !
% κ 8DE L % & *- 7
κ!# κ!( . (; & '.(*),-
(=5
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
; ZFC κ κ = κ<κ 9 κ
6 7
2
: T
<κ
κ
&- T κ T ∩ α κ = ∅ α < κ &- T κ κ α < κ T ∩ α κ κ &- T κ κ! [T ] = ∅ & - T κ κ! [T ] κ % κ! κ κ F κ = ω1 G 'A6B ,
% . ;
3( T ⊆ <κ κ # 4( &*- [T ] κ &1- T κ # κ ) 5 & S <κ κ S ⊆ T S κ ) 5 ' - C ⊆ κ κ κ C &*- κ # κ ) 5 3
[T ] κ!
α < κ T ∩ α κ κ {Nt | t ∈ T ∩ α κ} [T ] κ 9 T κ! % 5 S ?7 &1-
∂S = {t ∈ T \ S | ∀α < lh(t) (t α ∈ S)}.
x ∈ [T ] x ∈ / [S] = ∅ α < κ x α ∈ ∂S C = {Nt | t ∈ ∂S} 5
[T ] C
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
(=>
κ S κ 3 C 7
[T ] κ! .
T κ! κ! % 5 ! : U
[T ] ?7 S = {t ∈ T | U Nt ∩ [T ] κ}.
S <κ κ κ! S ⊆ T 6 7 S ⊆ <α κ α < κ S κ # S κ! % 5 [S] = ∅ . x ∈ [S] 3 U
[T ] U ∈ U α < κ Nxα ⊆ U x α ∈ / S 8 α < κ S ⊆ <α κ t ∈ T ∩ α κ ⊆ T \ S Ut ⊆ U
Nt ∩ [T ] κ 3 T ∩ α κ κ κ {Ut | t ∈ T ∩ α κ} ⊆ U [T ] κ '@4* )=, κ 2 κ! κ ; ' 9 *,
$ κ 2 κ κ κ # + 8 x, y ∈ κ κ x ≤ y x(α) ≤ y(α) α < κ x ≤∗ y β < κ x(α) ≤ y(α) β ≤ α < κ
2
: A κ κ
&- 6 A x ∈ κ κ y ≤ x y ∈ A &- 6 A ! x ∈ κ κ y ≤∗ x y ∈ A ! - A = α<κ Aα ⊆ κ κ Aα A
( 8 α < κ ; xα ∈ κ κ y ≤ xα y ∈ Aα ?7 x ∈ κ κ
x(α) = supβ≤α xβ (α) α < κ/ x A
" " A κ κ
(=*
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
- A κ κ κ A - A Kκ κ κ A ( - κ # + ( ( $ A κ & ( Kκ' A & ( ( ' 7 A κ! # : 11 &*&1&-
T ⊆ <κ κ A κ! A ⊆ [T ] 8 α < κ 7 L(α) = {t(α) | t ∈ T, α ∈ dom(t)} L(α) κ T ∩ α+1 κ κ ?7 x ∈ κ κ x(α) = sup L(α) α < κ x A &*- "
1)
&1- &- κ ; : x ∈ κ κ A 7 T = {t ∈ <κ κ | ∀α ∈ dom(t) (t(α) ≤ x(α))}.
T <κ κ A ⊆ [T ] @
κ T κ! κ! % 5 κ
# : 11 [T ] κ! A A κ! A Kκ 6 κ!
Kκ %
! κ # + A κ κ # κ $ # 4( &*- $ A κ κ &1- $ A Kκ κ κ &- $ A κ - A #) # . *) κ κ Kκ κ κ $ κ κ κ Kκ A κ κ!
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
(=<
A κ 2 3 κ κ κ 2 ' 9 *, A κ κ 2 κ!
% Kκ ! ;
# κ # + κ κ ( κ $ ( A ⊆ κ κ A & ' Kκ A κ . Kα ⊆ κ κ α < κ κ!
A ⊆ α<κ Kα # Kα κ!
% ≤κ "
1 A % ≤κ
.
! κ 2 κ κ 4 ?7 **+ κ!@ 8 ! ι : <κ κ → <κ κ ι ι(u) = {ι(u α) | α < lh(u)} u ∈ <κ κ lh(u) ∈ Lim
3( T ⊆ <κ κ # 4( &*- [T ] κ 26 &1- 5 i : κ 2 → κ κ # ran(i) ⊆ [T ]6 &- ( 5 ι : <κ 2 → T 6 &0- T &*- ⇒ &1- &- ⇒ &0- &0- ⇒ &*-
&1- ⇒ &- : i : κ 2 → κ κ 5 ran(i) ⊆ [T ] 6 ! 5 e : <κ 2 → <κ 2 ι : <κ 2 → T s ∈ <κ 2/ & - i[Ne(s) ∩ κ 2] ⊆ Nι(s) ∩ [T ] &- Nι(s 0) ∩ Nι(s 1) = ∅ e & - ι
(=7
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
T & - ι &- 7 ι(s) s ∈ <κ 2 "; x0 , x1 ∈ Ne(s) ∩ κ 2 x0 = x1 i(x0 ) = i(x1 ) i(x0 ), i(x1 ) ∈ Nι(s) & - i 7 lh(ι(s)) < α < κ lh(e(s)) < β < κ i(x0 ) α = i(x1 ) α i[Nxj β ∩ κ 2] ⊆ Ni(xj )α ∩ [T ] j = 0, 1 e(s j) = xj β ι(s j) = i(xj ) α
=*
& & - S = ran(ι) [S] ⊆ ran(i) ; <ω ω
$ - μ # μ = μ<μ T <μ μ i : μ 2 → μ μ 5 # ran(i) ⊆ [T ] S ⊆ T # [S] ⊆ ran(i)
: 1
κ κ
! " T ⊆ <κ κ &*- - S ⊆ T κ0 [S] κ κ &1- κ # + - [T ] κ κ κ0 S ⊆ T . &*-
S ! ! 5 ι :
<κ
κ → S
{ι(u α) | α < κ} = {s ∈ S | ι(u) ⊆ s, lh(s) = lh(ι(u 0))}
u ∈ <κ κ 5 7 f : κ κ → [S] : x → {ι(x α) | α < κ}. 6 &1- 6 [T ] κ κ f : κ κ → [T ]
- s¯ ∈ <κ κ t¯ ∈ [T ] # Nt¯ ⊆ f [Ns¯] s ∈ <κ κ t ∈ T s¯ ⊆ s t¯ ⊆ t f [Ns] = Nt ∩ [T ] 7 "; x ∈ Ns¯ f (x) ∈ Nt¯ H f 7 2 αn < κ | n <
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
(=)
ω α0 = max{lh(¯ s), lh(t¯)} Nf (x)α2n+2 ∩ [T ] ⊆ f [Nxα2n+1 ] ⊆ Nf (x)α2n
n < ω 3 α = sup{αn | n < ω} s = x α t = f (x) α H f 5 s t 2
- t ∈ T κ s T # t ⊆ s 7 t ∈
T κ! : U T [U ] = Nt ∩ [T ] 3 κ U κ! # : 11 ; κ [U ] κ! κ κ [T ] [U ] f κ! κ κ
$ 1*** 1**1 u ∈ <κ κ (su , tu , γu ) ∈ <κ κ × T × κ u, v ∈ <κ κ/ & - u v su sv tu tv > &- u v <κ κ su sv <κ κ tu tv T > &- lh(s) ∈ Lim su = {suα | α < lh(u)} tu = {tuα | α < lh(u)}> &- f [Nsu ] = Ntu ∩ [T ]> &- α, β < κ γu < lh(tu α ), lh(tu β ) tu α γu = tu β γu tu α (γu ) = tu β (γu ) $ &- & tu ∈ T - &- 7 κ! S = {t ∈ T | ∃u ∈ <κ κ (t ⊆ tu )} κ!@ T "
1**
" κ # + A κ κ $ A #) 0
#)
(==
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
@ $ 1 : 1 ! ; "
1** ; % 2
" A κ κ $ A #) A Kκ κ κ T ⊆ <κ κ [T ] ⊆ A [T ] κ κ κ
% Σ11 κ κ κ κ = κ<κ & *- & * **1- * !!%& κ ;
6 7
8
8 A κ κ K(A) 7 &- $ K(A) p = αp , cp αp < κ part
cp : A −−−→ κ κ 8 p ∈ K(A) γ ∈ ran(cp ) 7 Tp (γ) = {x β | β ≤ αp , x ∈ dom(cp ), cp (x) = γ}.
&- 8 p, q ∈ K(A) p ≤K(A) q αq ≤ αp cq ⊆ cp Tp (γ) ! Tq (γ) γ ∈ ran(cq ) Tp (γ) ∩ αq +1 κ = Tq (γ)
! 3( α < κ Dα = {p ∈ K(A) | α ≤ αp }
K(A) p K(A) αp < α q = α, cp ∈ K(A) q ≤K(A) p
4 D P D D
4 567 5867
88
/- 9- $%: 2$%./.';
(=(
: P
&- 6 P <κ D P <κ P D &- 6 P κ g : P → κ p q glbP (p, q) P p, q ∈ P g(p) = g(q)
' $ K(A) <κ κ + : D K(A) κ ?7
p = αp , cp
αp = sup{αq | q ∈ D} cp =
{cq | q ∈ D}.
p K(A) & cp !7 D - 6 p ≤K(A) q q ∈ D # 7 p q Tp (γ) ! Tq (γ) γ ∈ ran(cq ) ⊆ ran(cp ) . x ∈ dom(cp ) cp (x) = γ # 7 cp q ∈ D x ∈ dom(cq ) D r ∈ D r ≤K(A) q, q
x ∈ dom(cr ) 3 cr ⊆ cp x β ∈ Tr (γ) β ≤ αq ≤ αr Tr (γ) ! Tq (γ) x β ∈ Tq (γ) β ≤ αq 2 9 K(A) κ!; . f : K(A) → κ f (p) = f (q) αp = αq ran(cp ) = ran(cq ) Tp (γ) = Tq (γ) γ ∈ ran(cp ) & f κ = κ<κ - 3 D = {p ∈ K(A) | ∀x, y ∈ dom(cp ) (x = y ⇒ x αp = y αp )}.
H cp <κ
"
! 1 D K(A) . K(A) → D; p → p¯ p¯ ≤K(A) p ≺·, · 8D . g : K(A) → κ : p → ≺f (p), f (¯ p).
6 g K(A) κ!; . f (¯ p) = f (¯ q ) p q K(A) . x ∈ dom(cp¯) ∩ dom(cq¯) γ = cp¯(x) 3 x αp¯ ∈ Tp¯(γ) = Tq¯(γ) y ∈ dom(cq¯) cq¯(y) = γ x αp¯ = y αp¯ # 7 D
((8
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
x = y cq¯(x) = γ = cp¯(x) r = αp¯, cp¯ ∪ cq¯ K(A) p¯ q¯ p q . p, q ∈ K(A) f (p) = f (q) glbK(A) (p, q) 3 r = αp , cp ∪ cq r ∈ K(A) ran(cp ) = ran(cq ) = ran(cr ) Tp (γ) = Tq (γ) = Tr (γ) γ ∈ ran(cr ) r ≤K(A) p, q s ≤K(A) r s ∈ K(A) s ≤K(A) p, q / r = glbK(A) (p, q)
! 3( x ∈ A Dx = {p ∈ K(A) | x ∈ dom(cp )}
K(A) 8
p K(A) x ∈ / dom(cp ) γ < κ γ ∈ / ran(cp ) ?7 αq = αp cq : dom(cp ) ∪ {x} → κ cq (x) = γ cq (y) = cp (y) y ∈ dom(cp ) q = αq , cq ∈ K(A) q ≤K(A) p
8!
G K(A)! V cG = {cp | p ∈ G} : A → κ.
# "
) cG ! 5
' B* 3 ),
" P˙ K(A) <κ G ∗ H ˙ ( V - γ < κ (K(A) ∗ P) TG (γ) = {x β | β < κ, x ∈ A, cG (x) = γ}
κ # κ ) 5 V[G, H] 3 TG(γ) = {Tp(γ) | p ∈ G, γ ∈ ran(cp )} "
1
7 K(A) TG (γ) κ! V[G, H] ˙ ! TG (γ) : T˙γ (K(A) ∗ P) ˙ ! S˙ p0 , q˙0 (K(A) ∗ P) G ∗ H S˙ κ! % 5 T˙γ 3 κ ˙ ! 7 2 (K(A)∗ P)
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
((6
pn , q˙n | n < ω K(A) ∗ P˙ αpn < αpn+1 pn+1 , q˙n+1 F x ˇα ˇ pn ∈ / S˙ G
n < ω x ∈ dom(cpn ) ?7 p = sup{αpn | n < ω}, {cpn | n < ω} . p K(A) pn n < ω 7 K(A)! q˙ P˙ p, q ˙ ≤K(A)∗P˙ ˙ ˇ G pn , q˙n n < ω I p, q ˙ F Tγ ∩ αˇ p κ ˇ=R R = {x αp | x ∈ dom(cp ), cp (x) = γ}.
# p, q ˙ F sˇ ∈ / S˙ G s ∈ R 3 p, q ˙ ≤K(A)∗P˙ p0 , q˙0 S˙ T˙γ
# " P˙ K(A) <κ G ∗ H ˙ ( V $ (K(A) ∗ P) A=
{[TG (γ)]V[G,H] | γ < κ}.
- A Kκ κ κ V[G, H] # "
) A ⊆ {[TG(γ)]V[G,H]
| γ < κ} γ < κ x ∈ [TG (γ)]V[G,H] ˙ ! x˙ κ κ x = x˙ G∗H x ∈ / A "; (K(A) ∗ P) ˙ ! TG (γ) p0 , q˙0 T˙γ (K(A) ∗ P) F x˙ ∈ [T˙γ ] \ Aˇ G p0 , q˙0 G ∗ H 3 κ ˙ ! 7 2 pn , q˙n | (K(A)∗ P) n < ω K(A) ∗ P˙ 2 sn ∈ <κ κ | n < ω αpn < lh(sn ) < αpn+1 pn+1 , q˙n+1 F sˇn ⊆ x˙ G sn ⊆ y n < ω y ∈ dom(cpn ) 3 p = sup{αn | n < ω}, {cpn | n < ω} .
p ∈ K(A) p ≤K(A) pn n < ω 7 K(A)! q˙ P˙ p, q ˙ ≤K(A)∗P˙ pn , q˙n n < ω 3 s = {sn | n < ω} ∈ αp κ s ∈ / Tp (γ) p, q ˙ F sˇ ⊆ x˙ G ˙ p, q F x˙ ∈ / Tγ G
((5
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
: T ⊆ <κ κ × <κ κ A = p[T ] & T 5 V- 6 K(A)! V[G] V p[T ]V[G] Kκ p[T ]V[G]
89
8 T ⊆ <κ κ × <κ κ ι:
<κ
2 → T : s → ts0 , ts1
∃x T s, s ∈ <κ 2 i = 0, 1
&- s s tsi tsi &- s s <κ 2 ts0 ts0 <κ κ &- lh(s) ∈ Lim tsi = {tsα | α < lh(s)}. i
! $ " T <κ κ × <κ κ - ∃x T p[T ] κ κ κ 2 6 7 ?7 S =
{t ∈ <κ κ | ∃s ∈ <κ 2 (t ⊆ ts0 )} S <κ κ i : κ 2 → [S] : x → {txα | α < κ} 0
κ 2 [S] 8 x ∈ κ 2 | α < κ} f (x) p[T ] {txα 1 [S] !!κ κ p[T ] κ 2
&':C*1 : =,-/ $ # 4( ( T <κ κ × <κ κ &*- $ ∃x T &1- - P <κ # P # κ # P # p[T ] #
* <κ!
K(A) κ 2
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
((>
7 #
'# B 01,
" λ P<α | α ≤ λ, P˙ α | α < λ # <κ ½ P : P˙ α <ˇκ κˇ+ ; α < λ $ P<λ κ+ % $ 9 κ ; λ = 2κ <α
3 κ κ = κ<κ <κ!
<κ! & '$*+ "
,- P = P<α | α ≤ λ, P˙ α | α < λ
<κ!
2 b˙ α | α < λ α < λ/ κ V[G] & - b˙ α P˙ <α !
b˙ G α 5 (2 )
<κ κ× <κ κ V[G] G P<α !
V> ¯ 7 P<β &- α = ≺β, γ G P<α ! V G ¯ G V[G] G ˙ ˙ G T = bβ (γ) A = p[T ] Pα = K(A)V[G]
- α ≤ λ P<α <κ κ+ % 7 : *1 '$*+ "
! ,
- α ≤ λ ½ P : λˇ = 2κˇ ; 7 # 7 K(A) ; P˙ α <α
H(κ+ ) P<α ! V α < λ 3 P<α 7 κ+ ! $ *1* P<α λ ½ P<α F λˇ = 2κˇ G α < λ : G P<λ ! V 8 α < λ Gα 7 P<α G κ V κ V[G] <κ!2 @
((*
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
κ! % 5 V κ! % 5 V[G] <κ! & ':C*1 "
,- 6 κ ; V[G] $ 1 κ κ κ 2 V[G] "; T ⊆ <κ κ × <κ κ V[G] 7 A = p[T ]V[G] . V[G] ∃x ! T 3 κ ; V[G] ; "
*+ A κ κ V[G] A 7 % V[G] 9 V[G] ∃x ! T 3 P<λ 7 κ+ ! 7 β < λ T ∈ V[Gβ ] 3 G λ = (2κ )V[Gβ ] γ < λ T = b˙ β β (γ) ?7 α = ≺β, γ 3 '$*+ "
*1, V[G] V[Gα ] <κ! ∃x ! T V[Gα ] : ** V[Gα ] α A = p[T ]V[Gα] @ P˙ G V[G] α = K(A) V[Gα+1 ] <κ! A Kκ κ κ V[G] : B A 7 % V[G] 1 ( !
; * ; %
8 8 &κ! -/
: H(κ) 7
&- H(κ) p = tp , ap tp ∈ αp κ αp < κ ap ∈ [κ κ]<κ &- 8 p, q ∈ H(κ) p ≤H(κ) q tq ⊆ tp aq ⊆ ap x(β) < tp (β) x ∈ aq β ∈ αp \ αq
H(κ)
' $ H(κ) +
<κ
κ
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
((<
! 3( α < κ x ∈ κ κ D = {p ∈ H(κ) | α < αp , x ∈ ap }
H(κ) 8 ! 6 h˙ H(κ)! h˙ G =
{tp | p ∈ G} : κ → κ
G H(κ)! V
! - G H(κ) ( V h˙ G # (κ κ)V ( κ κ V[G] I % : ** ;
8 *
: T <κ κ × <κ κ ∃x
T ι:
<κ
κ → T : s → ts0 , ts1
s, s ∈ i = 0, 1
<κ
2
&- s s tsi tsi &- lh(ts0 ) ≤ γs < κ α < β < κ • γs < lh(t0s α ), lh(t0s β )
• t0s
α
γs = t0s
β
γs
• t0s α (γs ) = t0s β (γs ) &- lh(s) ∈ Lim
tsi =
sα {ti | α < lh(s)}.
! " T <κ κ×<κ κ - ∃x T κ0 S [S] ⊆ p[T ] 6 7 7 S = t ∈ <κ κ | ∃s ∈ <κ κ (t ts0 ) ,
((7
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
S κ!@ [S] ⊆ p[T ] "; y ∈ [S] x = {s ∈ <κ κ | ts0 ⊆ y} κ κ y = {txα | α < κ} 0 xα y, {t1 | α < κ} ∈ [T ] y ∈ p[T ]
$ " T <κ κ×<κ κ - ∃x T p[T ] Kκ κ κ "
1** * ∃x ! !
κ " T <κ κ × <κ κ P <κ x˙ P κ κ ½P : x˙ ∈ p[T ] ; ( q ∈ P ( β < κ β ≤ γ < κ 4 qα | α < κ P # q # qα : x(ˇ ˙ γ) > α ˇ ; α < κ $ ∃x T : y˙ P! κ κ ½P F x,˙ y˙ ∈ [Tˇ] G 6
7 ∃x ! ts0 , ts1 | s ∈ <κ κ T 2 ps | s ∈ <κ κ s, s ∈ <κ κ & - s ⊆ s ps ≤P ps &- ps F tˇs0 ⊆ x˙ ∧ tˇs1 ⊆ y˙ G
sα s ∈ <κ κ lh(s) ∈ Lim tsα 0 t1 psα
α < lh(s) ps p ≤P psα α < lh(s) 7 tsi ?7 *B 9 ts0 ts1 ps
! s ∈ <κ κ # 7 lh(ts0 ) < γ < κ γ+1 2 tα κ | α < κ, i = 0, 1 pα ∈ P | α < κ i ∈ α ˇ pα ≤P ps pα F t0 ⊆ x˙ ∧ tˇα 1 ⊆ y˙ G tα (γ) = tβ (γ) α, β < κ 3 κ γs ≤ γ 5 f : κ → κ f (α) f (β) f (α) f (β) f (α) t0 γ s = t0 γs t0
= t0 α, β < κ ?7 tis α = ti ps α = pf (α) α < κ i = 0, 1
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
(()
" p ∈ H(κ) x˙ H(κ) κ κ # p : x˙ ≤∗ h˙ ; - q H(κ) # p β < κ β ≤ γ < κ 4 qα | α < κ H(κ) # q qα : x(ˇ ˙ γ) > α ˇ ; α < κ q ≤H(κ) p β < κ 8 β ≤ γ < κ αγ < κ r F x(ˇ ˙ γ) < α ˇγ G r q H(κ) x(γ) ˙ 7 g ∈ κ κ q F x˙ ≤∗ gˇ G 7 r = tq , aq ∪ {g} r H(κ) r ≤H(κ) q r F x˙ ≤∗ gˇ ≤∗ h˙ G
%
" p H(κ) # p : κˇ # + ; $ # 4( ( T <κ κ × <κ κ &*- $ ∃x T &1- p[T ] Kκ κ κ / V <κ &- p[T ] Kκ κ κ H(κ) / V ˙ ; &0- p : ∃x ∈ p[T ] (x ≤∗ h) &)- $ H(κ) x˙ κ κ ½H(κ) : x˙ ∈ p[T ] ; q ≤H(κ) p β < κ β ≤ γ < κ 4 qα | α < κ / q H(κ) qα : x(ˇ ˙ γ) > α ˇ; α < κ &=- $ <κ P P x˙ κ κ ½H(κ) : x˙ ∈ p[T ] ; q ≤P p β < κ β ≤ γ < κ 4 qα | α < κ / q P qα : x(ˇ ˙ γ) > α ˇ ; α < κ &1- &- &)- &=- : 11 &0- !
&)- &=- &*- : 1* @ &*- &1-
7 H(κ) <κ κ & ! " V
((=
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
$ 1+ ∃x ! T ∃x ! <κ! . &- G H(κ)! V p ∈ G # κ ; V[G] p[T ] Kκ κ κ : 1= p[T ] V[G] x ∈ p[T ] x ≤∗ h˙ G &0- 9 κ : 1 2 p F κ ˇ ; G &- ⇒ &0- 6 *
$ .
:
P = P<α | α ≤ κ+ , P˙ α | α < κ+
<κ!
α < λ & - α ½ P<α F P˙ α = H(ˇ κ) G κ ˇ ˙ &- α ½ F Pα = K( κ ˇ ) G P<α
6
P(κ) P<κ+ 7 ! # : *1 ; α ≤ κ+ P<α <κ! κ+ !( <κ!
<κ! κ!; &*- !
* 7 &1- * 7 J
P<α H(κ+ ) 7 H(κ+ ), ∈ α P<κ+
P(κ) 7 H(κ+ ) : α < κ+ P<α¯ ⊆ H(κ+ ) α ¯ < α α ∈ Lim P<α ¯ + 1 q˙ P<α¯ !
H(κ+ ) 9 α = α Pα¯ q˙ H(κ+ ) 7 2 & '8 . =,- H(κ+ ) P<α¯ 7 κ+ ! P<α ⊆ H(κ+ ) 9
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
(((
K(κ κ) H(κ) 7 H(κ+ ), ∈ Σ1 ! κ P<α+1 7 H(κ+ ), ∈, P<α
7 H(κ+ ), ∈ . &- * 7 : G P<κ+ ! V 8 α < κ+ Gα 7 P<α <κ α G Gα 7 P˙ G κ × <κ κ α G . T ⊆ V[G] V[G] p[T ] Kκ κ κ 3 P<κ+ 7 κ+ ! V α0 < κ+ T ∈ V[Gα0 ] 6 κ ; . κ ; V[G] # : 1= ! p[T ] V[G] "; α0 < α < κ+ ; κ ; V[Gα , Gα ] p[T ] V[Gα , Gα ] V[G] V[Gα , Gα ] <κ! Π1 & - H(κ+ ), ∈ p ∈ Gα ⊆ H(κ)V[Gα ] ˙ G p F κ ; ∧ ∃x ∈ p[Tˇ] (x ≤∗ h)
V[Gα ] # : 1 ∃x ! T V[Gα ] ∃x ! V[G] # "
! * V[G] p[T ] κ!@ κ κ "
1** 9 κ ; V[G] "; α0 < α < κ+ α 3 P˙ G = K(κ κ)V[Gα ] V[G] V[Gα , Gα ] α <κ! : B (κ κ)V[Gα ] Kκ κ κ V[G] p[T ]V[Gα] p[T ]V[G] # : ** V[Gα ] ∃x ! T ∃x ! V[G] "
*+ p[T ] κ 2 V[G] 3 κ ; V[G] $ 1 κ κ V[G] ) &* + ! , + Σ11 κ κ 7
6888
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
% Col(κ, λ) λ κ & κ ; -
' " κ λ > κ G Col(κ, λ) ( V $ V[G] ( Σ11 κ κ #) : T ⊆ <κ κ × <κ κ V[G] p[T ]
Kκ κ κ V[G] W V T ∈ W V[G] = W[H] Col(κ, λ)! W . κ ; V[G] 3 (κ κ)W κ V[G] p[T ]W p[T ]V[G] $ 1 "
*+ p[T ] κ κ V[G] 9 κ ; V[G] # : 1= ; p[T ] V[G] H0 , H1 ∈ V[G] H0 H(κ)! W H1 Col(κ, λ)! W[H0 ] V[G] = W[H0 , H1 ] 3 V[G] W[H0 ] <κ! ; p[T ] W[H0 ] x ∈ p[T ]W[H0 ] x ≤∗ h˙ H0 # "
1** : 1 p[T ] κ κ V[G]
**/ P 5 K
* 6 7 > !% P = P<α | α ∈ On, P˙ α | α ∈ On
K
7 ν ∈ On &*- ν P˙ ν <ν ! ν + ! H(ν + ) 7 H(ν + ), ∈
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
6886
&1- ν P˙ ν P<ν !
' GCH " P 3( α ≤ β # P˙ [α,β) P<α $ # ( δ &*- $ P<δ δ P<δ+1 δ + &1- - α < δ P<α H(δ) ( H(δ), ∈ α &- - α ≥ δ ½ P : P˙ [δ+1,α) <δˇ+ ; &0- # P ( GCH 7 <δ+1
* 2 7 '$*+ "
*1, 9 P 7 ν P<ν 7 # 7 ν ν 7 (ν <ν ) 2 ν ν P<ν 7 ν + ν¯ < ν # P<¯ν +1 7 ν + . ν 3 P<α σ !
α P CH ν P<ν+1 ν + 7 ν + ! # P GCH δ 9 ¯ 7 ν : G P<ν+1 ! V G cof(ν) V[G] ¯
P< cof(ν) G # ( ν) ⊆ V[G] ¯
¯
¯
(2ν )V[G] = (ν cof(ν) )V[G] ≤ (ν cof(ν) )V[G] = (2ν )V[G] = (ν + )V[G] = (ν + )V[G] ,
P<¯ν +1 ν P<ν+1
6885
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
% ; 7 'L B, 4 δ δ ZFC− δ <δ !2
2
: δ ≤ μ ≤ ν μ = μ<μ 6 δ (μ, ν) μ! M N j : M → N δ ν N ⊆ N j(δ) > ν 9 GCH N ν + 7 3; ν !2 8 θ δ ≤ θ θ ! δ ! M N j : M → N δ Vθ ⊆ N j(δ) > θ δ θ! θ ≥ δ 9 θ! ; ?M% 5 ; 7 % GCH
' &'? += : ),-/ δ (θ + 1) (δ, θ ) 4 δ ≤ μ δ μ M j : V → M δ μ M ⊆ M j(δ) > μ @
2 7 Pκ (μ)
! '' " δ ≤ μ # μ = μ<μ - δ μ (μ, μ) . μ! M : j : V → W μ! j(M ) j(μ)! W j(μ) > μ (μ j(M ))V ⊆ (μ j(M ))W ⊆ j(M ) 6 j M : M → j(M )
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
688>
9
δ (μ, μ)! W
! ' " δ ≤ μ # μ = μ<δ 2μ = μ+ - δ (μ+ , μ+ ) μ : θ J X
H(θ) μ+ μ X ⊆ X μ+ + 1 ⊆ X π : X, ∈ → M, ∈ M μ+ ! P(Pδ (μ)) ⊆ M # + N j : M → N μ N ⊆ N j(δ) > μ+ 7 U = {X ⊆ Pδ (μ) | j[μ] ∈ j(X)},
U 7 Pδ (μ) V I (μ, ν)!
; κ '43+, & 'A +B ?7 *1,- 'A +B 3 0,
'" " δ # δ = δ<δ - P δ+ Q˙ P <δ+ P ∗ Q˙ δ . J θ X
˙ ∈ X "; p0 , q˙0 ∈
H(θ) δ <δ X ⊆ X δ +1 ⊆ X P∗ Q ˙ (P∗ Q)∩X : D˙ α | α < δ P! ˙
Q X # 2 q˙α | α < δ ˙ X ½P F q˙α+1 ∈ D˙ α G P! Q ½P F q˙β ≤Q˙ q˙α G α < β < δ I Q˙ ˙ ½P F q˙ ≤ ˙ q˙α G α < δ P! q˙ Q Q ˙ ! p0 , q ˙ (X, P ∗ Q) ˙ : rβ , s˙ β ) | β < ρ 3
D ∈ X P ∗ Q ˙ D X ?7 D = {s˙ β , rβ | β < ρ} ∈ X D˙ P!
'" ½P : D˙ Q˙ ;
688*
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
7 : p P q˙ ˙ β < ρ rβ , s˙ β ≤ ˙ ˙ p, q Q ˙ P ∗ Q P∗Q p, q ˙ rβ ≤P p rβ F s˙ β ≤Q˙ q˙ G rβ F s˙ β ∈ D˙ G ¯ = {r ∈ P | r F ∃s ∈ D˙ (s˙ ≤ ˙ q) D Q ˙ G } P # α < δ D˙ = D˙ α
'" $ E = {p ∈ P | ∃β < ρ (p ≤P rβ ∧ p : q˙α = s˙ β ; )} ∈ X
# p0 P 7 3
p1 ≤P p0 H P! V
p1 ∈ H 3 q˙αH ∈ D˙ H β < ρ rβ ∈ H q˙αH = s˙ H β E ∩ H p1 : A ∈ X E p0 3 P 7 δ + ! ˙ ! A ⊆ X 3
G = G0 ∗G1 P∗ Q V p0 , q ˙ ∈ G # ; p ∈ A ∩ G0 ∩ X ˙ p, ½Q˙ ) ∈ G p, q ˙ ∈ G p ≤P p0 p0 , q ˙ ∈ G 3 ½P F q˙ ≤Q˙ q˙α G p, q˙α ∈ G 6 p ∈ A ⊆ E ∩ X β ∈ X ∩ δ p ≤P rβ p F q˙α = s˙ β G 6 p, q˙α ≤P∗Q˙ rβ , s˙ β ∈ X rβ , s˙ β ∈ D ∩ G ∩ X 6
' GCH " P - δ (μ, ν) # ν δ (μ, ν) ( P / : G P<ν+1 ! V M0 μ! V[G] x˙
P<ν+1 ! μ M0 6 ; V 7 J θ 6 ; P<ν+1 P<μ+1 ∗ P˙ [μ+1,ν+1) : 0* : 0= 'A +B . *,
P<ν+1 μ!
7 X H(θ) μ p, q ∈ P<ν+1 <μ X ⊆ X μ + 1 ⊆ X p, x, ˙ P<ν+1 ∈ X q ≤ P<ν+1 p q ∈ G (X, P<ν+1 )! : π : X, ∈ → M, ∈ M
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
688<
μ! N ν + j : M → N ν N ⊆ N j(δ) > ν : Pν+1 P ν + 1 6 7 δM = π(δ) δN = j(δM ) νM = π(ν) νN = j(νM ) @ = π(Pν+1 ) = Q <α | α ≤ νM + 1, Q ˙ α | α ≤ νM Q
= j(Q) = R <α | α ≤ νN + 1, R ˙ α | α ≤ νN . R
# H(μ)V = H(μ)M = H(μ)N H(ν + )V = <μ = R <μ P<ν+1 = R <ν+1 H(ν + )N P<μ = Q
' (ν N [G])V[G] ⊆ N [G] 7 : x ν
V[G] P<ν+1 ! x˙ x V 3 P<ν+1 7 ν + ! V
x˙ ∈ H(ν + )V ⊆ N x
N [G] 9 ; x ∈ ([N ∩ On]ν )V[G] 3 P<ν+1 7 ν + ! V f, y ∈ V x ⊆ y ⊆ N ∩ On f : y → ν 5 I f, y ∈ N # f [x] ⊆ ν N [G] x ∈ N [G] ν (N ∩On) ⊆ N [G] N [G] ZFC− + # R0 = R˙ G [ν+1,δN ) <ν ! + V[G] @ N [G] ν V[G] F ∈ V[G] R0 ! N [G] : H0 <δ G F # 7 R N ν V[G] ( N [H0 ]) ⊆ N [H0 ] # 7 P˙ δ : 0* ; + 0 ¯ R1 = R˙ H [δN ,νN +1) <ν ! V[G] ?7 G = π[G ∩ X] <νM +1 ! M @ ¯ Q 3 q ∈ G X ! ; G
¯ D = {r [δN , νN + 1) | r ∈ j[G}
R1 ν m R1 m ≤R1 r r ∈ D
R1 N [H0 ] ν + V[G] H1 ∈ V[G]
6887
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
<νN +1 R1 ! N [H0 ] m ∈ H1 : H 7 R H0 H1
(ν N [H])V[G] ⊆ N [H] <νM +1 δ ¯ 3
r Q "; r ∈ G j(r) δ = r δ j(r) [δ, δN ) j(δ) [δN , νN + 1) ∈ D j(r) ∈ H
'$*+ "
¯ → N [H] j # *, j∗ : M [G] ¯ G G ¯ 'A +B : * , ; x˙ = π(x) ˙ ∈ M [G] ¯ M0 μ! M [G] # j(M0 ) j(μ)! N [H] j(μ) ≥ j(κ) > ν (ν j(M0 ))V[G] ⊆ (ν j(M0 ))N [H] ⊆ j(M0 ) 6 j∗ M0 : M0 → j(M0 )
κ (μ, ν)! P<ν+1 ! 3 P˙ [ν+1,α) <ν + ! α > ν
'# GCH - P # P ( 6 ** *
$ 8
GCH 6 7 !% P = P<α | α ∈ On, P˙ α | α ∈ On K
ν ∈ On & - ½ P<ν F νˇ νˇ = νˇ<ˇν G P˙ ν P<ν ! P(ν) * &- I P˙ ν P<ν !
P(ν) * P P 7 ! &*- ** : V[G] P! V κ ¯ 7 P<κ+1 G # G ; * Σ11 κ κ 7 % ¯ ¯ 3 : 0* H(κ+ )V[G] = H(κ+ )V[G] V[G] &1- **
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
688)
" # & - % κ!
I
Σ11 κ κ #) - A Σ11 κ κ C κ κ κ κ D C κ κ D ⊆ A A ∩ D = ∅ Π11 A ⊆ κ κ # A∩C !!κκ
κ κ 3 A ∩ C % Kκ K ⊆ κ κ A ∩ C ⊆ K $ C \ K 3 Σ11 7 % # C Kκ . *) C \ K !!κ κ D κ κ 3 D ⊆ C \ K ⊆ C \ A
4 ?7 **) κ!3 ; κ!@
" κ # κ = κ<κ ( Σ11 κ κ #) - κ # + Σ11 Π11 κ κ κ< + &1- - κ # + Σ11 Π11 κ κ κ0 Σ11 A ⊆ κ κ Σ11 &*-
T ⊆ <κ κ &*- κ ; T [T ] C κ 2 : 1 $ 1 C κ κ # : )* D C κ κ D ⊆ A A ∩ D = ∅ H : 1 S [S] ⊆ D 3 [S] ⊆ [T ] S κ! S
688=
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
S T [S] ⊆ A A ∩ [S] = ∅ 2 &1- κ ; T κ!@ # "
1** [T ] κ κ : )* D [T ] D ⊆ A A∩D = ∅ # "
1** κ!@ S [S] ⊆ D S κ!@ T [S] ⊆ A A∩[S] = ∅ 2
3 0 % κ!3 ; κ!@ κ!
V = L P $ 8 - κ T <κ κ ( P / V [T ] ( κ . κ G P<κ+1 ! V
$ S, T ∈ V S κ V[G] T # + S % V[G] T <κ κ [T ] ) κ+ |T ∩ α κ| ≤ |α| α ∈ S 7 . κ V & 'A(= 3
1,- # 'A(= , κ T <κ κ [T ] % κ+ |T ∩ α κ| ≤ |α| α < κ 3 P<κ+1 T κ!( V[G] 9 κ V κ @ V '$*+ "
*, P<κ 7 κ! 3 P˙ κ P<κ ! <κ! P<κ+1 κ #
'.(*) 3 , 7 S κ ; S !( V ;
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
688(
: T $ )* & ':C*1 3 ,- [T ] κ!
V[G] : 0* 4 "
1 κ ; κ!
& - % ;/
κ κ
' - # ZFC ( κ Σ11 κ κ #) # κ κ # κ . L P
! **/ ** )
κ!
& ! - κ!3 ;
κ κ & ! ; κ- @ κ!@ κ!
κ ;
- # ZFC ( # + κ Σ11 Π11 κ κ κ< + ( # + κ Σ11 Π11 κ κ κ0 # ( κ κ κ # κ . L P
**/ ** )1
9 L ! ** & ; L
κ!@ κ!
& κ- / ;
ZFC κ!3 ;
6868
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
$ % ! 6 % μ $ μ
" < μ = μ<μ G Add(μ, 1) ( V - κ > μ # κ = κ<κ (κ κ)V κ κ V[G] #) 6
" P κ # P ( κ ) 5 " T˙ P <κ κ ½P : T˙ ⊆ V˙ [T˙ ] κ ; . $ T <κ κ [T ] κ ½P : [T˙ ] ⊆ [Tˇ] ; 6 7 T = {t ∈ <κ κ | ∃p ∈ P (p F tˇ ∈ T˙ G )}.
T <κ κ κ ½P F T˙ ⊆ Tˇ G @ s ∈ T α < κ t ∈ T s ⊆ t lh(t) > α
" T κ 7 α < κ
|T ∩ α κ| = κ : t(α) | α < κ T ∩ α κ # : 11 D p ∈ P βp < κ p F ∀t ∈ T˙ ∩ αˇ κ ˇ ∃β < βˇp (t = tˇ(β)) G
P : A D 3 P 7 κ! β∗ = sup{βp | p ∈ A} < κ # ½P F tˇ(ˇb∗ + 1) ∈ / T˙ G
" T 7
t ∈ T Nt ∩ [T ] = ∅ ?7 Tt = {s ∈ T | s ⊆ t ∨ t ⊆ s} # ; Tt κ! Tt κ! % 5 ";
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
6866
p ∈ P p F tˇ ∈ T˙ G G P! V p ∈ G 3 T˙ G V[G] t ∈ T˙ G x ∈ [T˙ G ]V[G] t ⊆ x x ∈ [Tt ]V[G] > Tt κ! % 5 V[G]
" T κ ) 5 7
κ! % 5 S T # D p ∈ P βp < κ p F ∀t ∈ Sˇ ∩ T˙ (lh(t) < βˇp ) G
P : A D 3 P 7 κ! s ∈ S lh(s) > βp p ∈ A ½P F tˇ ∈/ T˙ G I 7 ½P F [T˙ ] ⊆ [Tˇ] G : 11 [T ] κ! 9 κ 6 ; / 3
G Add(κ, 1)! V κ ; V[G] # ( & '(B,- V ⊆ W ⊆ V[G] κ!3 S ⊆ <κ κ W V[G] W 7 κ! κ! S S W S κ! S V[G] S V[G] @ S κ! κ! % 5 [S] κ! V[G] T <κ κ W [T ] κ! W [S]V[G] ⊆ [T ]V[G] # ; S ⊆ T [T ] κ! W 2 7 μ M M <μ μ μ M 2 2 "; & '83 B N **,- 6
& '83 B N 1,- '83 B,
6865
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
'L6 B,
2 $ ! μ
" " μ # μ = μ<μ T˙ Add(μ, 1) <μμ - G Add(μ, 1) ( V x ∈ [T˙ G]V[G] # x ∈/ V Add(μ, 1) <μ 2
6 !
i : <μ (μ × 2) → <μ 2 ι : <μ (μ × 2) → <μ μ i(t) F ˇι(tˇ ∈ T˙ ) G t ∈ <μ (μ × 2) 3 i(∅) = ι(∅) 3 i(t) ι(t) t ∈ <μ (μ × 2) : Dt
p i(t) Add(μ, 1) lh(p) > lh(t) s, t0 , t1 ∈ <μ μ p s 2! T˙ ι(t) t0 , t1 s T˙ . p ∈ Dt 7 sp , t0p , t1p ∈ <μ μ : Et p ∈ Dt p α ∈ / Dt α < lh(p) Et i(t) Add(μ, 1) . 5 ft : κ → Et 8 α < μ k < 2 7 i(t α, k) = ft (α) k ι(t α, k) = tkf (α) 9 {i(t α, k) | α < μ, k = 0, 1} i(t) Add(μ, 1)
" - α < μ Aα = {i(t) | t ∈ α (μ × 2)} / Add(μ, 1) 7 Aα ! α < μ . q Add(μ, 1) α < μ # ; 2 pβ | β ≤ α qβ | β ≤ α Add(μ, 1) pβ ∈ Aβ qβ ≤Add(μ,1) pβ , q β ≤ α pα Aα q " - α < μ {Aβ | α < β < μ} Add(μ, 1)
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
686>
7
"; q Add(μ, 1) β < μ α, lh(q) < β # p ∈ Aβ q 3 !
Add(μ, 1) ! p ≤Add(μ,1) q
" - G Add(μ, 1) ( V x ∈ (μ (μ × 2))V[G] i(x α) 4 Aα ∩ G ( α < μ 7 6 tα | α < μ
tα ∈ α (μ×2) i(tα ) ∈ Aα ∩G tβ tα β < α < μ 7 i α ∈ Lim ∩ μ t ∈ α (μ × 2) 2 t β | β < α 7
# i i(t) ∈ Aα 2 i(t β) | β < α G G
# $ = Add(μ, 1)! y˙ [T˙ ]
G Add(μ, 1)! V x ∈ (μ (μ × 2))V[G] i(x α) ∈ Aα ∩ G ι(x α) ⊆ y˙ G α < μ @ t ∈ <μ (μ × 2) α < μ k < 2 i(t α, k) F tˇfkt (α) ⊆ y˙ G
"' - G Add(μ, 1) ( V y˙ G ∈/ V 7 q ∈ Add(μ, 1)
y ∈ μ μ q F y˙ = yˇ G # t ∈ <μ (μ × 2) i(t) ≤Add(μ,1) q k < 2 tkft (0) ⊆ y i(t 0, k) F tˇfkt (0) ⊆ y˙ = yˇ G $ =0 x = y˙ G 2
9 μ!@ Add(μ, 1)! 7 μ μ 4 δ M δ ! & ' +,- δ M δ
686*
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
M
':3*) 1,
"' " μ # μ = μ<μ < κ M # μ+ ( S (<μ μ)M <μ μ T (<κ κ)M <κ κ - T S S∗ # [S∗ ] ⊆ M T
c : μ + 1 → κ !
5 ι : ≤μ 2 → T lh(ι(s)) = c(lh(s)) s ∈ dom(ι) # μ+ = (μ+ )M cof(c(μ))M = μ C ∈ M C ⊆ c(μ) c[μ] ⊆ C |C|M = μ @ D ∈ [μ 2]μ s ∈ μ 2 γ ∈ C t ∈ D ¯ ∈ M c(s) γ ⊆ t H (c(μ) κ)M M 7 D ¯ ⊆ (c(μ) κ)M D ⊆ D ¯ |D| ¯ M = μ 6 ; M ; D 2 γα | α < μ C 7 c(μ) 8 α < μ ¯
; tα β | β < μ {t γα | t ∈ D} 7 ¯ → μ μ : t → h(t), h: D h(t)(α) = min{β < μ | tα β ⊆ t} α < μ 9 ; V i = h ◦ ι : μ 2 → μ μ 5 ran(i) ⊆ [S]M ⊆ [S] "; s ∈ μ 2 α < μ α∗ < μ γα ≤ c(α∗ ) s ∈ μ 2 s α∗ = s α∗ ι(s) γα = ι(s ) γα i(s) (α + 1) = i(s ) (α + 1) i
$ 1*+ 6 % μ $ μ
$ !
: μ μ = μ<μ < κ G Add(μ, 1)! V 3 S = (<κ κ)V 3 Add(μ, 1) κ ; S [S] = (κ κ)V V[G] ! (κ κ)V κ κ V[G] [S] 7 % V[G] 3 V μ+ !
V[G] : = : =0
S V[G] [S]
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
686<
κ κ : 1 % & - Kκ κ κ V[G] : =1 V 2 Tα | α < κ
<κ κ [S] = (κ κ)V ⊆ {[Tα ]V[G] | α < κ} [Tα ] κ! V α < κ # V κ κ Kκ . *) 9 [S] = (κ κ)V Kκ κ κ V[G] : 1 / (κ κ)V & - : 1= 6 !
! " - S <κ κ [S] #) T <κ κ [T ] #) 3 ∂S = {t ∈ <κκ | t ∈/ S ∧ ∀α < lh(t) (t α ∈ S)} T = S ∪ {t 0(α) ∈ <κ κ | s ∈ ∂S ∧ α < κ},
0(α) 2 α 2 0 T [S] ⊆ [T ] [T ] \ [S] [T ] [T ] Kκ κ κ [T ] [S] κ κ [T ] %
& % ! L ; 8DE L ! . (; '.(*), !
%
V = L - κ κ κ #)
[T ] T ⊆ <κ κ
6867
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
! " T ⊆ <κ κ # # &*- T 6 &1- [T ] κ= Dα | α < κ 4 [T ] x ∈ [T ] # x ∈ α<κ Dα &4( T κ κ # '6 &- ( T κ $ [T ] #) [T ] 7 % 3 T &*- : 1 [T ] κ κ [T ] Kκ ! κ κ 3 [T ] [T ] 2 κ! κ! [T ] 2 Tα | α < κ T [T ] = {[Tα ] | α < κ} [Tα ] κ! α < κ 3 [T ] κ!# &1- α∗ < κ [Tα∗ ] [T ] t∗ T Nt∗ ∩ [T ] ⊆ [Tα∗ ] # &- t∗ κ! T [T ] ∩ Nt∗ ⊆ [Tα∗ ]
κ! [Tα∗ ] κ
$ .
. κ
T ⊆ <κ κ &*-O&- "
! 1 κ = μ+ μ ν = cof(μ)> ν = ω ?7 F : {t ∈ <κ κ | lh(t) ∈ Lim, cof(lh(t)) = ν} → κ
F (t) = min{α < κ | lh(t) < α, ran(t) ⊆ α, Lα |= ZFC− , cof(lh(t))Lα = ν}
t ∈ dom(F ) .
T = {t ∈ <κ κ | ∀α ≤ lh(t) t α ∈ dom(F ) ⇒ t α ∈ LF (t) }.
T <κ κ κ @ T / t ∈ [T ] x ∈ κ κ t ⊆ x x(α) = 0 lh(t) ≤ α < κ x ∈ [T ]
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
686)
$ T &*- .2 7 T
# : 1 7 ! 5 ι : <κ 2 → T 6 2 λρ | ρ ≤ ν (ν, κ) 5 eρ : ξ<ρ λξ → <κ 2 | ρ ≤ ν ρ¯ < ρ < ν x ∈ ξ<ρ λξ & &&&-
eρ¯(x ρ¯) ⊆ eρ (x) λρ¯ ≤ lh((ι ◦ eρ¯)(x ρ¯)) < λρ ran((ι ◦ eρ¯)(x ρ¯)) ⊆ λρ κ λρ
8 ρ < ν 2 λρ¯ | ρ¯ < ρ eρ¯ : ξ<ρ¯ λξ → <κ 2 | ρ¯ < ρ
ρ ∈ Lim 7 λρ = supρ<ρ λρ¯ eρ (x) = ρ<ρ eρ¯(x ρ¯) x ∈ ξ<ρ λξ ¯ ¯ 9 ρ = ρ¯ + 1 3 GCH ρ < ν ξ<ρ λξ κ λρ lh((ι ◦ eρ¯)(x)) < λρ ran((ι ◦ eρ¯)(x)) ⊆ λρ x ∈ ξ<ρ λξ κ 7 λρ
"; y ∈ ξ<ρ¯ λξ s ∈ <κ 2 eρ¯(y) ⊆ s lh(s) > λρ¯ 8 α < λρ¯ 7 eρ (y α) = sα sα : lh(s) + λρ¯ → 2 2 s ⊆ sα sα (lh(s) + β) = 1 ←→ α = β β < λρ¯ 2 ?7 i = ι ◦ eν λ = λν λ∗ = min{α < κ | λ < α, Lα |= ZFC− , cof(λ)Lα = ν}. i 5 ξ<ν λξ T ∩ λ λ (F ◦ i)(x) = λ∗ x ∈ ξ<ν λξ ran(i) ⊆ Lλ∗ κ λ 7 λ+ = 2λ = λn ≤ |Lλ∗ | = λ, n<ω
686=
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
μ κ = μ+ κ = 2μ = λξ ≤ |Lλ∗ | = μ < κ, ξ<ν
$ [T ] κ= &1- .2 7 !
= Dα | α < κ !
[T ] 2 D α<κ Dα = ¯ ∅ : D
α < κ @ κα Lδα α ≤ κα < δα < F (t) t : κα → κ 6 2 tα | α < κ T α < κ & - t0 = ∅ ¯ α lh(t) ≥ κα &- tα+1
3 Nt ∩ [T ] = ∅ t ∈ T α 7 ν # α ≤ κα = κ ∩ Mα g : κ → κ : β → κβ
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
686(
¯ β | β < κ Mα 7 Mα 2 D 2 t tα = α<α tα¯ ¯ 7 Lδα , ∈ tα Ltα T 7 x = {tα | α < κ} x ∈ [T ] x ∈ Dα α < κ
# 7 T t T t α ∈ T α < κ
T κ! T 7 & "
1
' #
( ) '3, λ > κ G Col(κ, λ)! V κ κ 7 κ κ!
V[G] κ ; V[G] κ κ 7 κ 7 %
2 . ;
- ! - #) Π11 κ κ & Σ11 ' # > 9 Σ12 ω ω % ! ω1 ! 9 ; 10 7 κ κ
- ! - λ > κ G Col(κ, λ) ( V κ # + V[G] ( κ κ V[G] κ #) > ! ; % ! 2 κ!
;
6858
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
- ! - # + κ Σ11 κ κ ( κ & ( 5 Σ11 ' κ κ #) > # )1 κ ; % Σ11 κ κ κ!@
- ! ' - κ # + Σ11 #) κ0 > 6 ;
- ! - Σ11 κ κ κ0 Σ11 #) > 7 κ # + > 3 * % Σ11 κ κ ; κ '( ) 1**B, ; ?7 *B
*
8 7 κ A κ κ 7 ! A Kκ κ κ A ! & !!A- κ κ 9 3 = % % / 2 % @ * κ ; !
% % Σ11 κ κ
- ! " - # + κ () #) Σ11 κ κ> . !& +( ! ; ;
4 567 5867
/- 9- $%: 2$%./.';
6856
*!
A =>C 3 - + ' + 1 4 =) % 9 % 6(=> 6D<( A% 68C 3 % 2 5868 )) A287C ' 2E F 3 2 & ! 0 0 + !5887" =>D(< AB68 AG (>C ' G & ( ))! $ ' % 4 7 $ 9 G 6((> >878 AG(=C ' 3 G & / 0 * % + !6((=" 58*D58( A8>C 3 2 & +, - %%, %% - B ' !588>" 5<)D5)) A1)>C 1 % % (2α )α 0 ' !6()>" 6*>D6*7 A86C 0 & . # κ 2 B ' !5886" 56(D55( A3 )5C 3 / 0 ' + !6()5" 55(D>8=H * !6()5" **> 3& A37(C 3 %% L V !6(7(" A3 8=C / 0 3 3 + !588=" 656C + ' % ' %, ' # 0 0 + !586>" 6*<*D6*(5 A8)C 0 L & ' ' 2 $ 3 '
!588)" 68(D6)*
6855 AC
+,%- + './/. . 012 %+$%/
$ 3 '
3 # $ % $ A/ =6C / M N % 0 ' + !6(=6" 5>>D57= A4(=C 0 4 0 , 3 + !6((=" 6667D66>7 A4 (=C 4 & 0%, 0 0 + !6((=" 5=>D5(<
