Une elasse d'espaces at~nR g+n6rgli.*~ Par N. NIZZTTE

I. Introduction Le pr6sent travail est consacr6 k l'~tude d ' u n e classe d'espaces affins g6n6ralis~s, 6tude bas+e sur les propri6t+s des points impropres de l'espace. Nous montrons n o t a m m e n t que, si certaines conditions simples sont remplies, il est possible de munir d ' u n syst~me de coordonn+es des espaces aflins g~n~ralis6s formant une classe assez vaste (contenant par exemple les espaces afl~ns classiques, les espaces affins sur u n presque-corps, des espaces construits au moyen d'anneaux ternaires, l'espace k n dimensions sur l'anneau des entiers, ainsi que d'autres espaces moins structur6s). U n travail ult+rieur montrera c o m m e n t l'utiIisation des m~mes notions p e m e t de classer les syst~mes de coordonn6es obtenus, c'est-k-dire de diff~rencier les exemples eit+s plus haut.

H. Espaces atBn.q g~n~raHs~s: d6finitions, propri6t+s g~n~rales, exemples 1. Dans ce travail, un espace a ~ n g~n~ralis~, ou, plus simplement, espace a ~ n , sera un espace lin~aire 1) d o n t l'ensemble des droites est muni d'une relation de parall~lisme. On exigera que ce parall~lisme soit une relation d'gquivalence et que pour tout painS p d route droite D, il existe exactemenS une droiSe D' paraU~le & D et consenans p (postulat d'Euelide). Si D et D' sont deux droites parall~les, on 6crira DIID'. I1 est ais~ de trouver des exemples d'espaces a m n s (g~n~ralis~s): citons n o t a m m e n t les espaces aflins sur un corps ou sur u n presque-corps [3], l'ensemble des points ~ coordonn~es enti~res d ' u n espace afire r~el muni de la structure affine induite (rSseau cristallographique), ou les espaces ci-dessous construits ~ partir d'un autre espace affin: (i) Soit ~ u n espace affin et g~ un sous-ensemble de d sans t a n g e n t e (c'est-k-dire qu'aucune droite de d ne coupe 8 en u n seul point). Alors $', avec la structure induite par celle de ~ est Sgalement un espace aflln. (ii) Soit ~r u n espace afire fini (poss~dant u n hombre fini de points), x) Rappelons qu'un e.sTxm~li~aire est un ensemble de points structur~ par la donn6e de sous-ensembles contenant au moins deux points (les droites), tels que deux points distincts quelconques sont contenus darts une et une settle droite [2].

Une e ! ~

d'espaees a'lBna g6n6mlis~

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soit d ' un espaco amn isomorphe 1) it J d et soit p cet isomorphisme. Soient P l , . - . , Pn les points de d et p~ = p(p~) (i = 1 , . . . , n) les points de Jar'. Alors d u ~r est un espace atran si--les droites de A u d ' sont les droites de d , les droites de ~ ' ou les couples de points (Pt, P~) quels que soient la, dans d et p~ dans JaC'--Dx IIDs si 1~ D1 et Da appartiennent it d (resp. ~ ' ) et sont parall61es dans J~r (resp. d ' ) ou si 2~ Dx e ~r D2 e j d , e t D2 est parall~le it p(D1) dans d ' , ou si 3~ D1 ffi (Pt, P~), D2 = (p~, p~) etquel -j-(k-i)modn. 2. Dans un espace affin gdn6ralisd, le paraU61isme est une relation d'dquivalence: il existe par consdquent une partition de r e n s e m b l e des droites en classes d'dquivalences que nous nommerons po/nts imprertrres; reprdsentera le point impropre de la droite D et D(p) reprdsentora la droite passant par p e t de point impropre ]~. U n espace afire compldtd par ses points impropres peut toujours ~tre mnni d'une structure d'espace lindaire (il suflit de eompldter les droites par leur point impropre et de munir l'ensemblc des points impropres de la structure lindaire triviale oh les clroites sont les couples de points) mais eeci est de peu d'int~r~t puisque ces "droites impropres" ne reflibteront en gdndral rien de la structure de l'espaee afire donnd. Nous prdfdrerons munir l'ensemble des points impropres de respace d'une structure (dventuellement non lindaire) en relation avee les varidtds affines de l'espace. 8. U n e varigt~ a~ne d ' u n espace atrm ~ est un sous-ensemble 4~ de J d tel que, quels que soient les points p, q, r (q ~ r) de d', la droite parallAle it la droite ddterminde par q et r et passant par p e s t enti~rement contenue dans ~. De ce fair, une varidt~ a~ne d'un esI~ze a~n poss&te eUe-m~me une structure d'espace a~n. I1 est clair que route varidtd a~ine 8 d'un espace a ~ n s / e s t une varidtd lingaire 2) de gd mais la rdciproque est fausse: si j~v est un espace atrm (usuel) sur le corps it deux dldments, t o u t triple de points distincts de est une varidtd lindaire de ~ et non une varidtd affine. I1 en est de m~me dans l'exemple suivant off les droites ont plus de deux points: soit ~ l'espace aflln tridimensionnel rdel, soient a un plan de et D~, Ds deux droites sdcantes de a. On obtient un espace affin ~ ' en munissant ~ d ' u n n o u v e a u paralldlisme: deux droites X, Y sont parall~les dans ~ ' si elles l'dtaient dans ~ sauf clans le cas oh X 9 a, Y ~ a et X HYII D, (i = 1 ou 2). Les anciennes parall~les it DI hors de a deviennent parallbles it Ds et inversdment. ie8 droi~es d'un ~ a ~ n ~ sont des vari~ds a~ne.s, de m~me que les ~oi~ts, ~ o~ . ~ tout entier. x) D e u x espaces a m u s (gdndrallsds) sent ~ m o ~ / ~

s'il existe une bijection entre

eux qui prdserve droites et paralldlisme. 2) C'est-~-dire que route droite de 8 qui a deux points distincts dans dr a tous ses points darts 8.

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N. Nizette

4. On v o i t i m m O i i a t e m e n t que toute intersection de varigtds a~nes est une varidtd a O~ne. D~s lors, nous appellerons varidtd a ~ n e enqendrde I) par un sous-ensemble d' d ' u n espace affin ~ , et repr6senterons par (d'), l'intersection de routes les vari~t~s atiines de ~ c o n t e n a n t d'. P o u r all,get les notations, nous poserons 8'1 + dr2 -- (d' 1 u d'2); ainsi la droite j o i g n a n t d e u x points distinets p et q sera repr4sent~e p a r 1~ + q. L e p o i n t impropre d e p + q s e r a n o t ~ p + q. 5. L a proposition s u i v a n t e m o n t r e qu'il est possible de construire (d~) partir d u sous-ensemble d': appelons 2) ddrivg premier ~1 du sous-ensemble d' la r6union de d' et des parall~les, men6es cn les p o i n t s de 8', a u x droites qui o n t d e u x points distincts dans d'. On d~finit p a r i n d u c t i o n le ddrivd n e de: ~ " = ( ~ - 1 ) 1 Yn > 1. Proposition. Soit 8 un sous-ensemble d'un espace a ~ n d . On a ( ~ ) = ; tout point et toute droite de ~d~ appartient d la fermeture d'un sous-ensemble fini de 8.

I,.)i~No ~

Ddnwnstration Comme ( d ' ) est une vari6td affme de g~, on a n~eessairement U~eNo ~'~ = (d'~; il suflit de m o n t r e r que U~GNod~ est ~galement u n e vari~td afline de ~ , c'est-~-dire que si Pl, P2 ~ P~ e U~e~0 ~ , si D = p~ + P3, alors D ( ~ ) ~ U~,~o ~ . On sait qu'il existe n~ ~ ~o (J --- 1,. 2, 3) tels que p~ ~ d'~; si n est le plus p e t i t entier sup6rieur ~ n 1, n2, n a, on a, par d6finition de d~: D(p~) avec D -- p~ + Pa. E n f m , si u n point ou u n e droite a p p a r t i e n t k U*~uo ~ , il existe u n plus p e t i t n ~ ~o tel que ce p o i n t ou cette droite a p p a r t i e n t k ~,n;. cet $1~ment a p p a r t i e n t donc au ddrivd d ' a u plus trois points de d ~ - 1 et la ddmonstrat i o n s'ach~ve par induction. Corollaire. ~i, pour le sou~-ensemble ~f, il existe n tel que ~n = ~ + 1 , alors ( ~ ) = ~n. C'est s u r t o u t ce eorollaire qui sera utilis$ par la suite.

III. Points impropres couples, points impropres conjugu~s 1. Points impropres coupl6s 1.1. Extension Soient ~ u n espace aflin, d~un sous-ensemble de p o i n t s de ~ , P1 . . . . . P . des points impropres de ~ . Nous appellerons extension de ~ par le point impropre P1 l'ensemble U r ~ P I ( p ) ; cet ensemble de points sera repr6sentd par e x t (d', P1). L'extension de ~ par P1 et P~, notde e x t (~, P1, PQ, 1) Ou encore fermeture de dr. 2) Cette notion a dtd introduite par F. BUEKENHOUTpour les espaces lindaires [1].

Une classe d'espaces afllns g~n6ralis6s

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sera par d~finition ext (ext (~', Pt), P~); on aura finalement par induction e x t (g, P 1 , o o o, e n ) = ext (ext (8, P1,- 9 Pn-1), Pn)1.2. Propr/~t& Si I~ est un point de ~f, et P un point impropre de ~ , ext (p, P ) est une droite (il s'agit de P(p)). Si 8 est une variSt~ afllne de d , et P un point impropre de ~, e x t (~', P) -- ep. Mais si P n'est pas un point impropre de la vari6t~ affine ~', ext (~', P ) n'est en g6n~ral pas une vari6t~ afline de ~ , puisqu'en effet, on pout avoir ext (p, P~, P~) ~ ext (p, P~, P~} quand les points Px et P~ sent distincts, comme le montre l'exemple suivant, Soient ~ un plan aflln au sens habituel, p un point de ~ , A e t B deux droites s6cantes en p, A' une paraU~le k A ne passant pas par p, p' le point A' ~ B. L'ensemble ~ {p} est encore un espace affin avec la structure induite par celle de ~r il est clair que ext (p', A', B) = ~ - {I~} ext (p', B, A).

1.& Points impropres couplgs Soient ~ un espace affin, :~ une vari6t~ affme de ~ , A, B deux points impropres de ~ . Nous dirons que A est coupl~ ~ B clans Y$ si Yp 9 ~ , Vq 9 .~(l~), vr 9 B(p), B(q) ~ .7(r) # ~ . La relation ainsi d6firde est r6flexive et sym6trique. 1.4. Proposition. Soient ~ un espace a~n, A, B deux points improlares distincts de ~ et couplds clans ~ . Quel que soit le point p de ~r on a: (i) ext (p, A, B) -- e x t (p, B, A) (ii) Vq 9 e x t (p, A, B), ext (q, A, B) = ext (p, A, B) (iii) Vq, r 9 ext (p, A, B), A(q) ~ B(r) ~ r

Dgmonstra~ (i) Montrons que e x t (p, A, B) est contenue dans ext (p, B, A). Soit q 9 ext (p, A, B)-- il existe un point r de A(p) tel que q appartient /~(r). Puisque A e t B s e n t coupl6s dans ~ , A(q) N B(p) ~ O ; comme ~ B, A(q) ~ B(p) et leur intersection est un point, s. D~s lors, s 9 q 9 A(s) donc q 9 ext (p, B, A). On montre de m6me que ext (p, B, A) est contenue dans ext (p, A, B). (ii) I1 suflit de prouver que ext ( p , A , B) contient A(q) et que ext (q, A, B) contient A(p). Comme q 9 ext (p, A, B), il existe un point r de A(p) tel que q 9 Soit s u n point de .4(q). Comme A et B sent couples dans d , B ( s ) n A(r) # o et cette intersection est un point t car A # B. Donc s 9 ext (p, A, B) et e x t (p, A, B) contient A(q). La seconde partie de la d6monstration est analogue ~ la premiere. (iii) La proposition est 6vidente si q = r, si q 9 l](r), s i r 9 ,4(q). Dans

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t o u t autre cas, il existe un point q' de ,4(p) tel que q ~ B(q') et un point r' de .4(p) tel que r ~ J~(r'). Puisque A et B sont coupl6s dans d , A(q) 6~ ~(r) ~ 0 . 1.5. L'exemple suivant montre que, dans un espace afifin, l'extension d ' u n point par deux points impropres couples et distincts n'est pas n~cessairement une vari~t~ affine. Consid~irons l'espace ainu quadridimensionnel r~el d et soient a, b deux droites gauches ~ l'infini de cet espace. On construit un espace afire g6n~ralis6 d ' comme suit: - - l e s points de ~ ' sont les points propres de d ; - - l e s droites de d ' sont, soit les droites de ~ sans point commun avec a et b, soit les plans de d contenant a ou b. P a r d6finition, deux droites de ~ ' sont parall&les si les sous-ensembles dont elles proviennent sont parall~les dans d . Les points impropres de d ' sont en fair les droites a et b ainsi que les points ~ l'infini de ~r ext6rieurs k a et b: soit U un tel point. II est clair que, pour ~t~', U est coupl~ K a; s i p est un point de d ' , e x t (?, U, a) coincide avec un sous-espace tridimensionnel de ~r lequel contient au moins un point de la droite b. I1 contient par cons6quent au moins deux points distincts d'une droite de d coupant b. D u point de vue de ~tr on volt que ext (p, U, a) contient deux points distincts d'une droite de point impropre b. La fermeture de e x t (p, U, a) doit par cons~quent contenir cette droite; on en dOluit que la fermeture de e x t (p, U, a) contient e x t (p, a, b) qui est l'espace ~ ' , donc e x t (p, U, a) n'est pas une vari6t~ afline de ~r 1.6. Cependant, on a la Proposition. ,~oit A un point intpropre de l'escape a ~ n x l coupl~ dan~ x l aux point~ impropres d'une varidtd a~ne Y$ de d . Alors les parall~les aux droites de Y$ mendes en les points de e x t (~, A) sont contenues dans ext (~', .,~). I1 faut montrer que, pour tout p ~ e x t (~, A), pour t o u t B ~ 1 ) , /~(p) ~ ext (~, ~). L a proposition est ~vidente si A est un point impropre de ~ puisque dans ce cas, ~ --- ext (~, .4). Dans l'autre cas, consid~rons A ( p ) r 5~. Cette intersection est non vide car, comme p ~ ext (~, A), il existe un point q de ~ tel que p ~ .4(q). Cette intersection est r~duite au point q, sinon A ( p ) c 5~ ce qui impliquerair A ~ ~i~. Soit p ' un point quelconque de B(p). Comme A est coupl~ k B, .4(p') n B(q) ~ ~ , donc il existe un point q' de B(q) tel que p ' ~ A(q') ce qui montre que p' ~ ext (~, .4). a) ~ ~ ~ signifie que Best le point impropre d'une droite do ~ir.

Une classe d'espaees ~.mna g~nfralis6s

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2. Points impropres conjugu~s 2.1. Soient A # B deux points impropres coupl6s d ' u n escape affin d , p u n point de ~ , q, r deux points distincts de ext (p, A, B): on a vu que

.~(q) 63.~(r) #

0.

Si ext (p, A, B) est une vari6t6 affme de d , la relation A(q') 63 B(r') # 0 est vraie pour t o u t couple de points q', r' de la droite q + r, ou de route parall&le k q Jr r men6e en un point de ext (p, A, B). EUe a mgme lieu pour t o u t couple de points de toute parall~le k q + r si ext (p, A, B) est une vari~t~ a n n e de ~ quel que soit p dans d . Ceci nous conduit adopter la d6finltion suivante:

2.2. Deux points impropres A, B d'un espace a n n ~r seront dits conjugugs darts une varigtd a~ne ~ de M si, quels que soient lea points Pl # P 2 , _qx ~ q2 de ~ avec Px +1D2 Ilql + q2, -4(Px) 63/~(P2) # O implique A(ql) 63 -B(q2) # 0 . Cette relation eat ~galement r6flexive et sym~trique. 2.& Propr/~t& Lea propositions suivantes montrent que la relation de conjugaison eat plus contralgnante que la relation de couplage. Proposition 1. Deux points impropres A, B oonjugu~s dans un espaoe a ~ n ,~ sent coupl~ dans ,~. E n effet, soient p u n point quelconque de d , q u n point quelconque de A(p), r u n point quelconque de /](p). Puisque .4 eat conjugu6 ~ /] et que A(q) 63 B(r) # ~ , A(r) r # O. Proposition 2. Soit ~ une vari~td a~ne d'un espace a ~ n ,~r, ~ un point impropre conjugug dans ~ aux points impropres de ~r Alors ext (~, .4) est une varidtd a.~ine de ~ . Supposons A r ~ , auquel cas la proposition eat 6vidente. Montrons t o u t d'abord qu'une droite D a y a n t deux points distincts dans ext (~, .4) y est n6ceasairement contenue. Ceei est vrai si D eat parall~le k une droite de ~ puisque .4 eat conjugu6, done coupl6, aux points impropres de ~ , et eat encore vrai si A e D, par construction de e x t (~, ,4). Soient alors p # q lea points de D appartenant k ext (~, .4). On sait qu'fl existe d e u x points distincts p', q' de ~ tels que p ~ A(p'), q ~ A(q'). Soit B = p ' + q'; B(p) n .4(q') # ~ puisque B eat coupl4 ~ .4, ce qui montre que A(q) 63/~(p) # ~ . Comme .4 eat conjugu6 ~ /], s i r eat u n point quelconque de D, /](p)r # ~ d'oh /~(p')63.4(r) # ~ et r e ext (~, A). II reste ~ m o n t r e r que s i s eat un point quelconque de ext (,~, A), D(s) eat contenue dans ext (~, A). Soit s' u n point quelconque de D(s). Comme B eat conjugu~ ~ .4, et comme _~(q) r # ~ (voir ci-dessus), /](s) 63,4(s') # ~ . Or, B(s)

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est contenue dans ext (~, A) done A.(a') ~galement et s' appartient e x t (~, A), ce qui aeh~ve la d~monstration.

2.4. Exemple Reprenons l'exemple 1.5 ci-dessus. Les points impropres a et b de ~ ' sont eonjugu~s dans a~'. De plus, soient C~ p C~ deux points impropres de ~ situ~s sur une droite ~ l'infini de ~ gauche avee a et b. Ces deux points impropres sont ~galement eonjugu~s dans ~ ' , et ext (p, C 1, C2) est une vari~t~ aflhae de a~' strietement contenue dans ext (p, a, b) = a~' quel clue soit le point p de ~ ' . 2.5. La proposition suivante, qui se d~duit imm~diatement de la discussion du paragraphe 2.1 et de la proposition 2, montre que la relation de conjugaison est une relation naturelle:

Proposition. ~oien~ A , B deu~ points improFes distincts d'un espace a ~ n ~ f couplds dans ~f, soit 1a un point de .~f. Alors e x t (p, A, B) est une varidtd a~ne de ~ si et seulement si A est conjugud ?t B darts ~r IV.

Espaces amng ~ rel~re

1.1. On a v u pr~c~lemment (II,2.3) que si A est un point impropre d ' u n espace atfin a~ conju_gu~ dans ~ aux points impropres d'une vari6t~ afl]ne ~ , alors ext (~, A) est 6galement une vari~t~ affme de ~ . Consid~rons un espaee aflin d et une suite (p, A1 . . . . . An) off p est un point propre de ~ et A1 . . . . . An des points impropres de ~ tels que, en posant E o = {1~), on ait par induction:

!

Ai est conjugu~ dans d aux points impropres de E~ ~ x , .4~ n ' a p p a r t i e n t pas ~ E~_ 1 E~ = ext (E~_ 1, A~)

~

pour t o u t i = 1 . . . . . n, et enfin E n = J~. Nous dirons alors que la suite (p, -41,- 9 An) est un repute de ~ . Si (p, A1 . . . . . An) est un rep~re de d , les ensembles de points ~ , E0, E l , . . . , E n forment un ensemble de vari~t~s alpines de ~ ordonndes par inclusion, c'est-~-clire un drapeau de d , que nous appellerons drapeau du rep~re (p, A1 . . . . , A.).

1.2. Exemples (a) Dans un plan aflin usuel ~, route suite (1o, A1, A2) O~lp est un point quelconque de ~ et oh A 1, A ~ sont deux points impropres clistincts de ~, est un rep~re de ~. (b) I)ans un espace affin usuel ~ de dimension n, route suite 1) Par contre, il peut arriver que l'extension d'une vari~t~ affine ~ par un point impropro A coup]6 aux points impropres de ~ soit une vari6t~ airme sans que soit conjugu6 aux points impropres de ~.

Une classe d'espaces afllns gdmga~lls~

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(P, -~1 . . . . . -4n) off p e s t quelconque dans d et off A 1 , . . . , -4n engendrent projectivement l'espace impropre de ~ , est un rel~re. (c) E s t un repute ~galement, la suite (p, a, b) quel que soit p de d si d est l'espace affin g6n6ralis~ figurant en exemple 1.5 de II. (d) Soit d l'espace amn obtenu comme restriction aux points ~ coordonn~es enti&res de la structure afllne de l'espace affin r~el de dimension n. Soient p --- (0 . . . . . 0), p~ = (~1, ~i2,- .., 8t~) (i -- 1 , . . . , n) avec ~tj = 1 s i i = j e t 0 s i i ~j. La suite (p, p + Pl, P + P2, 9 9 P + Pn) est un rel~re de ~ . (e) Soit a un plan d ' u n espace afl~n d tridimensionnel sur un corps de caract~ristique ~ 2. Soient p u n point propre de l'espace ext6rieur k ~, q u n point propre de a, A, B deux points impropres distincts de ~. L'ensemble des points propres de ~ - a muni de la structure induite par celle de d est un espace ai~n g6n6ralis6 dont (p, A, B, ~%--~) est un rel~re.

1.& Propri~t& Proposition 1. Le drapeau d'un rep~re d'un espar~ a ~ n est maximal. Soit ~ , Eo, E l , . . . , E n le drapeau du rep~re (p, Ax . . . . . An) de l'espace aflin ~ . S i c e drapeau n'~tait pas maximal, il existerait une vari~t~ affine de ~ contenant strictement E t_x et strictement contenue dans E t pour un certain i ~ 1 , . . . , n. Or, s'il existe un point q appartenant k ~ - E~_ 1, il existe un point q' de E~_ 1 tel que q est sur .4~(q'), puisque q ~ ext ( E l - l , -4~). De ce fair, contient E~_ 1 ~) A~(q') puisque q ~ q'. On en d~luirait que ~ contient ext (E~_I, .4~) - E~, d'od la contradiction. Proposition 2. Soit (p, A1 . . . . . An) un rep~re de l'espace a ~ n ~ . Les points impropres A~, A~ sont conjuguds dans ~/ quels que soient i et j. On voit imm$diatement que le point impropre A, est conjugu4 aux points impropres A~ quel que soit k inf4rieur k i puisque ces Ak appartiennent k E,_ 1 et que, par d$finition du rel~re, A, est conjugu$ aux points impropres de E,_ 1. Corollaire. Si (p, A1 . . . . , A , ) est un rep~re de ~ , les points impropres A~, A~ sont couples dans ~ quels que soient i et j. Lemme 1. ~oient ~ , ~ ' deu~ vari~Ms a~nes de ~ dont les points irapro,fires coincident. ~i le point impropre A est conjugud aux points impropres de ~ clans .~, il est conjugud aux points impropres de ~ ' darts ~ . De plus, les varidtds a~nes e x t (~, .4) et e x t (~', A) ont radmes points impropres.

D~monstration La premiere partie du lemme est immOliate. Soit B u n point impropre de ext (~, A): montrons q u e / ] appartient

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1~. Nizette

e x t ( ~ ' , A). On peut supposer que B n'appartient pas ~. ~ sans quoi la propri6t6 est ~vidente. Soient alors p un point de ext (~, A) et q un point distinct de p sur ]~(p): A(p) (~ .4(q) -- O et H ( p ) (~ ~ ~ o ~ A(q) (~ ~ puisque ]~(p) est contenue dans ext (~, A). Comme H n'est pas un point impropre de ~ , H ( p ) r ~ est tin point, soit p ' ; de m~me, soit q' - - - ~ r~ H(q); on a p' ~ q'. Puisque p' + q' eat eontenue dana ~, H est conjugu4, done coupl6 p' + q' et de ee fait (p' + q')(p) r A(q) eat non vide. (i) Soient k pr~ent r u n point de 8 ' , et s u n point de B(r) distinct de r: il auffit de prouver que s appartient k ext ( ~ ' , A). Comme A est conjugu~ k p' + q', (1) implique (p' + q')(r) n A ( s ) ~ 0 . Or (p' + q')(s) est contenue dans ~ ' d'ofi A(s) n S ' ~ o et donc s appartient k ext ( 8 ' , A). Lemme 2. Soient p, q deux points d'un eapace a ~ ~ f : (p, A i , . . . , An) est u n rep~re de d si et seulement si (q, H 1. . . . , An) eat u n r e ~ r e de ~ . Lea drapcaux correapondant & ces deux rep~rea ant m~me cardinal. Ce lemme d6coule imm&liatement d u lemme 1.

2,_La proposition suivante justifie le nora de rep&re donn4 k la suite (P, A i . . . . . An): Proposition. Soit (p, A 1 , . . . , H . ) un rep~re de l'ea~ce a ~ n d . I1 exi.ste une corresIaondance biunivoque entre lea points q de ~ et lea n-uplea de points (qa . . . . . qn) tels que, pour t~'ut i = 1 . . . . . n, qi aplaartien$ & A~(p). Dgmonstration Le lemme 2 montre que (p, H 1. . . . . H,~) et (q, H 1. . . . , An) sont des rep~res de ~ . Soient O, E~ . . . . , E n et O, E~ . . . . . E~ lea drapeaux correspondants. On sait que A , n'appartient ni k En-x ni k En_ ~, d~s lora, H,(q) n E,_~ eat au plus un point. D'autre part, cette intersection eat non vide; en effet, comme q 9 ext (E~_a, An) , il existe un r de E~_~ sur A(q). Si r = p, Hn(~) r E n_ ~ eontient q et noua poserons qn = q. S i r # p, r + p appartient ~ En-~ donc ~ E~_ x (eeci d~coule, par induction, du lemme 1) et, puisque A , est conjugu6, donc coupl4 ~ r + p, (r--4-~)(q) n H n ( p ) r o . Nous prendrons comme qn cet unique point d'interseetion. De ce fait correspond au point q de ~ le couple (r, qn) off r appartient En_ ~ et qn, k An(P)" Montrons que la correspondance ainsi construite est biunivoque. 1~ La correspondance est surjective. Soit (qn, r) un couple de points tels que r e En_ ~, qn 9 An(P). S i r = p, on prend q --- q, et le couple eorrespondant k q est (r, q,). Si r ~ p, (r---+--~)(q,) t~ H,(r) eat au plus un point puisque An n'ap?

Une classe d'espaces a ~ . a g~n4ralimfs

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partient pas k E.___1 (lemme 1) e t e s t non vide puisque r + p e s t conjugud, done coupld, k A n. Soit q le point (V~--~)(qn) 63.4.(r): le couple correspondant k q est (q., r). 2~ La correspondance est injective. Soient q, q' deux points distincts de ~ , (qn, r) et (q~, r') les couples associ~s (q., q~ ~ A . ( ~ ) , r, r' ~ E._~). Si q, -- ~ , alors r ~ r', sinon q et q' appartiennent k A,(r) auquel cas on a q, ~ q~ s i r = p, ou bien (r-'-~)(q') ~ ( ~ ) ( q ) s i r ~ p puisque A , n'est pas un point impropre de E , _ x (lemme 1). Mais alors, on ne p e u t avoir q. = q~ puisque {q.} = (r---~)(q) r A.(j0) et {q~} = (r---~)(q') 63 A.(p). La d6monstration s'ach&ve alors par induction s u r n . 8. Nous avons v u au paragraphe 2 que s i d poss~le un r e l a t e , t o u t point q de ~ poss&de une "projection" q' dans E2 = e x t (p, A1, A2); cette projection q' est l'intersection de Al(q2) et A2(ql)- D6montrons la Proposition. Soit s t un espace a~n muni d'un rep~re (p, A1 . . . . . An), aoit D droite de d . Les projections de D clans E2 sont confondue8 ou align~es. Soient ~ , Eo, ."., E,t l e drapeau du rep~re et Px, P2, Pa trois points deux ~ deux distincts de la droite D, soient rl, r2, r 8 les projections des p~ dans E . _ I , c'est-h.-dire les points E . _ 1 63 -4.(Pt), i = 1, 2, 3. Si r 1 = r2, alors Pl, ~2 apparticnnent ~ A.(rl) et, comme Pl ~ P2, Pl + P2 = -4.(rl) d'ofi Pa ~ An(r1) ce qui implique r 8 = r 1. Soit alors r x r r 2. On sait que A~ est conjugu6, donc couple, k ~ + r~; alors (rl----~-~2)(lal) 63 A.(r2) ~ z ou encore ( ~ ) ( P l ) 63 A.(P2) ~ o . Comme rx + r2 est conjugu6 k A., on a (r-~-~-~2)(px) 63 -4.(Pa) ~ ~ et, rl + r2 6tant coupl6 k A . , (r-TT~a)(rl) 63 A.(Pa) # ~ . Cette intersection est r6duite k un seul point puisque _4~ n'est pas un point impropre de En_~: il s'agit d u point r a. Nous avons ainsi montr6 que r a appartient k r x + r~. La ddmonstration s'ach~ve alors par induction sur n. 4.1. L a proposition prdc4dente montre que les points de la droite D se projettent dans E~ suivant un point ou un sous-ensemble de points d'une droite D'. Ce sous-ensemble peut ~tre strictement contenu dans la droite D', a u t r e m e n t dit, il peut ne pas y avoir de bijection entre les points de D et de D ' ainsi que le montrent les exemples (d) et (e) d'espaces affms k repute cites en 1.2 ci-dessus. Mais la ddmonstration prdcOiente montre clairement que l'a~lication de D clans D' eat injective. 4.2. Proposition. Soient Dx, D~ deux droites paraU~es d'un e s l ~ e aj~n pourvu d'un rep~re (P, Ax . . . . , A , ) . Si la projection de D~ clans En_ x ( d o ~ , duns E2) e8$ une droite, ceUe de D 2 dgalement et ces droites sont parall~es.

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N. Nizette

Dgmonstration Soit D~ la projection de D 1 dans E . _ 1 ~ partir du point impropre -4.. Si D~ est un point, cela implique que D1 = -4., donc D2 = -4. et la projection de D 2 est Sgalement un point. Soient p, q deux points distincts de D 1, p', q' leurs projections dans E._ x = ext(p,.41,...,A._1). Comme An est coupl~ ~ p ' + q', (p' + q')(p) f~ A.(q') est un point, q". D~s lors, (p' + q')(p) r A.(q) = {q"} (1). Soient k present r, s deux points distincts de D 2. En vertu de (1) et puisque p ' + q' et .4. sont conjugu4s, (p' + q')(r) ~ A.(s) est un point, s". Soit r' la projection de r et s dans En_ x. Comme p ' + q' est coupl~ k -4n, on a: (p' + q')(r') ~ A.(s") ~ ~ ; soit 8' ce point. Comme s' appartient k A.(s), s' est la projection de s dans E._~. I1 est clair que r' ~ s'; r' + s' est par consequent la projection de D~ dans E , _ I et r' + s' est parall~le k p' + q'. 5. L a proposition suivante met en Svidence une autre propri~t6 de la "projection" k partir des points impropres -41 . . . . . A.-

Proposition. So/t (p,-41 . . . . , A.) un rep~re de l'espace a~in ~ , soit q un point de A.(p). Alors E = ext (p, Ax,. 9 An-l_) est isomorphe en rant qu'espame a ~ n g~ndralisd ~ E ' = e x t (q, Ax . . . . , A . _ I ) par projection partir de An. Lea droite8 qui se correspondent dana cettc projection sont paraU~les. Ddmonstration La proposition est 6vidente si q = p puisque .4. n'est pas un point impropre de E. Soit q ~ p. I1 r~sulte par induction ~ partir du lemme 1 (1,3) que les points impropres de E et E ' coincident (1). Soit r' un point de E': ou bien r' -- q et A.(r') n E = {p}, ou bien r' ~ q. Alors (r' + q)(p) est contenue dans E en vertu de (1). De plus, -4. est conjugu~, donc coupl~ k r' + q. De ce fair, (r' + q)(p) n .4.(r') est non vide et r~duit ~ un point, soit r. Soit s' un_point de_E' distinct de r', soit s sa _pr~176 dans E. On a s ~ r sinon An(r) = An(s) d'ofi on d~duirait que A n est un point impropre de E'. La projection de E' dans E ~ partir de .4. est par cons6quent une application injective. P a r un raisonnement analogue, on montre qu'elle est surjective. Montrons ~ present que les droites de E et de E ' se correspondent dans cette projection. I1 suflit ~ cet effet de montrer que trois points quelconques alignSs de E ' se p r o j e t t e n t sur trois points alignSs de E: ceei est un cas particulier de la proposition pr$c~xlente, et que la correspondance entre une droite

Une classe d'espaces affi-, g~n~dis&

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D et sa projection D' est biunivoque---ceci rC=sulte du fair que D est eonjugu~, done coupl$ ~ A,. Pour achever la d~monstration, il reste ~ prouver que si D~, D~ sont deux droites paraU~les de E', leurs projections D~, D~ dans E sont parall~les et invers~ment. Cette propri~t~ est 6vidente si on sait qu'une droite D' de E ' et sa projection D dans E sont parall~les. Soient r' un point de D' et r la projection de r' dans E. D'(r) est contenue dans E. Comme D' est coupl~ ~ A , , quel que soit le point s' de D', A,(s) ~ D'(r) # ~ done D'(r) est bien la projection de D'. 6.1. Dans les exemples fournis en 1.2 ci-dessus, l'ordre dans lequel sont pris les points impropres pour constituer le rel~re n'a pas d'importance. Mais en g6n6ral, si (p,-41 . . . . . .4,) est un rep~re de l'espace affin ~ , (P, A~(1). . . . . -4~(n)) oh ~ est une permutation de {1 . . . . . n} n'est pas n~cessairement un rep~re de d . 6.2. Cependant, on a la Proposition. Si (p, A1 . . . . . A,) est un repute de l'espace a ~ n ~r ~ ext (p, -4o(t), 9 9 -, Ao(n)) queUe que soit la permutation a de { 1 , . . . , n}.

=

Ddmonstration Soit q u n point quelconque de ~ . I1 suffit de montrer que q appartient E = e x t (iv, A(1) . . . . . A(n)). Soient (qx. . . . , q,) les coordonn4es de q dans le rep~re (p, -41 . . . . . -4,)(1) p e t ql appartiennent k AI(IV). (2) Al(q2) est isomorphe ~ -41(iv) par projection ~t partir de As: les points q2, P, q, A2(ql) r Al(q2) forment un paraU~logramme eontenu dans ext (iv, AI, A2). (3) e x t (qs, A1, A2) est isomorphe k ext (iv, A1, A2) et le paraU$1og r a m m e pr6e6dent se projette ~ partir de A3 suivant un parall61ogramme; ces deux figures forment un parall~lipip~de de ext (p, -41,- --, -43)(4) E n eontinuant cette construction, on obtient un hyperparall61ipip,de de e x t (iv, A1 . . . . . .4~), dans lequel le "sommet oppose" k iv est q. Ce s o m m e t est en effet dans ext (q~, A~ . . . . . A , - 1 ) done sa projection sur _~(p) est qn. P a r induction, on montre que ses projections sont (q~. . . . . q~) et done qu'il coincide avec q. (5) P o u r prouver que q appartient k ext (iv, .4a(x). . . . , .4~(,)), il suffit de r e m a r q u e r que si, dans l'hyperparall$1ipip~de d6cit ci-dessus, p a r t a n t du point p, on d~crit l'ar~te de point impropre Aar jusqu'k l'autre sommet sur eette ar~te, puis l'ar~te de point impropre Aa(2), etc, on aboutit n~cessairement en q apr~s avoir utilis6 tous les points impropres A~ (i = 1 , . . . , n ) . Corollaire. ~qoit (iv, A~ . . . . , A , ) un rep_~re de l'espace a ~ n ~ . Si, ivour une permutation a de {1 . . . . . n}, (iv, A~(1),..., A~(m) est dgalement un

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N. Nizette

repute de ~ , alors, qud que soit le 1aoint q de ~ , l'ensemble des ordonngs de q est le m~me pour les deux reputes.

points r

V. Espaces atBns ~ rel~re sym~trique complet 1.1. Soit (p,-~1 . . . . , .4,) un rep~re de l'espaee affin ~ . Nous dirons que ce rep~re est symdtrique si (p, An, A n - l , . . . . A1) est 6galement un rep~re de d . 1.2. Soit a = (kl, k 2 , . . . , k,) une p e r m u t a t i o n de (1, 2 . . . . , n). Nous dirons que a est une R-permutation de (1 . . . . , n) si et seulement si: quels que soient k,, kj sup6rieura ~ kl, i inf6rieur ~ j implique k, infSrieur ~ kj. - - q u e l s que soient k,, ks inf~riettrs ~ kl, i inf~rieur ~ j implique k, sup6rieur ~ kj. Les permutations (3, 2, 4, 5, 1) et (4, 5, 3, 2, 1) sont des R-permutations de ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) . Propri~t& Si (k1. . . . , k,) est une R-permutation de (1 . . . . , n), on a, pour tout i suI~rieur ~ 1, k, > max ( k l , . . . , k,_l) ou bien k, < min (kl . . . . . k, _ x). 1.3. Lemme. Soit (la, A 1 , . . . , A,z) un rep$re de l'espac.e a~_n ~r Soit (i 1. . . . . ij) une sous-suite de la suite ( 1 , . . . , n). Alors e x t (p, A ~ , , . . . , .4~,) est une varidM a~ne de ~ et (p, ] h , " 9 ", ]~j) enest un repute. E n effet, ext (p, "4A1)est une droite; le point impropre .4~ est conjugu6 k .4,~ _ p u i s q u e A,~ est conjugu6 aux points impropres de ext (p, .41 . . . . , A~2_~) et que cette vari~t~ affine eontient -4t,(P). On en d~duit que ext (p, ~,x, A,~) est une vari~t~ affine. De m~me, .4~ est conjugu6 aux points impropres de_ ext (p,A,~, A~) puisque cette vari~t$ affine eat contenue dans ext (p, A , a , . . . , A,~_~). La d6monstration s'ach~ve par induction. 2. Proposition. Si (p, A ~ , . . . , .4,) est un rep~re symdtrique de l'espace a ~ n .~f, et a une R-permutation de (1 . . . . . n), (p, _~a(~). . . . , ~a(,)) est ggalement un repute de .~. Dgmonstration Soit ( k ~ , . . . , k,) la R-permutation a. (1) On a k~ < k2 ou k2 < kl. D~s lors, (k~, k2) est une sous-suite de ( 1 , . . . , n) ou de (n . . . . . 1); on d6duit du lemme pr6e6dent que (p, .4~z, .4~) eat un rep~re de la vari6t~ affine E = ext (p, .4~,, A ~ ) . (2) Montrons k pr6sent que ] ~ . est conjugu6 aux points impropres de E. Puisque a est une R-permutation, on a ka < min (k~, k~) ou ka > m a x (kl, k2).

Une classe d'espaces ~fflna g 6 n ~

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Consid6rons le premier cas. I1 existe une permutation de kl, k~ qui Lransforme la suite (kl, k2, ks) en une suite (k~, k~, ks) d6croissante. Or, 0elle-ci est une sous-suite de ( n , . . . , 1): le lemme pr6c&lent m o n t r e que ext (1O,Ak~, -4k~, Aka) est une vari~t~ affine de ~ et que (1O,Ak~, Ak~, Aka) en est u n rel~re. Donc Ak8 est conjugu6 aux points impropres de ext (I0,-4k~, A-~). Mais puisque eelle-ci est 6gale (proposition 6, I I I ) ext (1O,A~I, A~2), Aks est conjugu~ aux points impropres de E. La d6monstration est analogue si k8 > max (kl, k~). (3) On en d&luit que e x t (1O,-4k~, A~2, -~8) est une vari6t~ at~ine de pour laquelle (1O,Ak~, ~k~, Aks) est un rel~re. (4) La d6monstration de la proposition s'ach~ve par induction. 8. Coordonn~es & l . Consid~rons la suite ( 1 , . . . , n). Quels que soient k, k + 1 de (1 . . . . , n), il existe une R-permutation de {1 . . . . ,n} a m e n a n t ( 1 , . . . , n ) sur (k,/~ + 1 , . . . ). La proposition (III,3) et la pr~c~dente m o n t r e n t que: Proposition. Soit ~ un e81oace a O~n ~ relo~re sym~trique (1O,A1 . . . . . An)" Q,uels que soient k e$ k + 1 dans (1 . . . . , n), ext (1O,Ak, A~+~) est une vari~tg a ~ n e P~ et toute droite de .~f se 1orojette suivant un 1ooint de P~ ou un sous-en~emble x) de 1ooint~ d'une droite de P~. Cette projection est injective. Deux droites la~rall~les de ~ se projettent routes deux suivant un 1ooint de P~, ou suivant des 1ooints de deux droites 1oarall~les de P~. &2. La proposition pr4c&lente ne r~sout pas compl~tement le probl~me de la description des droites de J~r par leurs projections dans les vari~t4s P~: d'une part, la correspondance entre les points d'une droite et les points d'une de ses projections n'est pas biunivoque; d ' a u t r e part, deux droites distinctes de ~r peuvent avoir la m~me projection dans chaque vari~t~ P~, ainsi que le montre l'exemple suivant. Soient ~r un espaee affin et (1O,Ax, A2, Aa) u n rep~re de ~r Soient D:, D~ deux droites distinctes de ext (p, A1, Aa) (qui est une vari~t~ atfme) telles que Dx et D~ sont diff4rents de A x et A~. Ces deux droites se projettent routes deux sur -4~(1O) dans Px et sur A~(1O) dans P~. Ce probl~me partieulier serait rSsolu si les droites de e x t (q, A~, As) Staient, par projection suivant .42, en correspondance biunivoque avee les droites de ext (1O,A~, A~) quel que soit q. Mais ceci n'est en gSn~ral pas le eas et nous sommes amends ~ introduire u n nouvel axiome.

4. Espaces afl~n~ ~krelate sym~trique eomplet 4.1. Le rel~re sym~trique (_p, A: . . . . . A,) de l'espace aflin ~ sera dit c,omlolet si le point impropre A~ est eoupl6 quel que soit i aux points impropres de ext (1O,A~,- 9 -4~-x, -~ + a , - - - , An) (cette extension est bien z) Ce sous-ensemble est la droite tout enti6re si ~ est un espace de SPERNER[4], c'est-k-dire un espace a ~ n g~n6rali~ dont toutes les droites ont m6me cardinal fini.

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N. Nizette

ine vari~t~ atone puisque (1 . . . . , i -- 1, i + 1 . . . . , n) est u n e sous-suite d e (1 . . . . , n)). 4.2. S o i e n t ~ p r ~ e n t q(ql . . . . . qn) e t r(r 1. . . . . r , ) d e u x p o i n t s d i s t i n c t s de l'espace airm ~ m u n i d ' u n rep~re s y m ~ t r i q u e c o m p l e t (p, -41,- 9 -, 4 , ) . S u p p o s o n s que, p o u r u n c e r t a i n k, qk = rk. Alors, quel que soit le p o i n t s d e q + r,s~ = q ~ - r k. I1 suffit de consid~rer le parall61ipip~de c o n s t r u i t sur les p o i n t s coo r d o n n ~ s d u p o i n t s p o u r c o n s t a t e r q u e sk = qk i m p l i q u e que s a p p a r t i e n t ~ e x t ( q k , - 4 x , . . . , - 4 k - a , - 4 ~ + x . . . . , 4 , ) e t p a r c o n s e q u e n t , la d r o i t e q + r e s t e n t i ~ r e m e n t c o n t e n u e d a n s c e t t e vari~t6 affine. C o m m e le rep~re de d est c o m p l e t , A k est coupl~ a u x p o i n t s i m p r o p r e s de e x t (p, A1 . . . . , A ~ - I , Ak+l, 9 9 An), c'est-~-dire a u x points i m p r o p r e s d e e x t (qk, A1 . . . . , ~ - 1 , A k + l , . . . , 4 , ) e t on m o n t r e sans difficult~ que ces d e u x vari~t~s affmes s o n t i s o m o r p h e s p a r p r o j e c t i o n ~ p a r t i r d u p o i n t i m p r o p r e Ak. I)&s lors, la droite p + q est en c o r r e s p o n d a n c e b i u n i v o q u e p a r project i o n ~ p a r t i r de A k a v e c u n e d r o i t e (qui lui est parall~le) de e x t (p, -41 . . . . , A~-1, Ak + 1 , - - . , 4 , ) . O n a la 4.3. Proposition. Soient q ~ r deux p o i n t s de l'espace a~in d m u n i d ' u n repute symdtrique complet (p, A x, . 9 4 , ) et soient (ql, . 9 qn) et (r I . . . . , r , ) les coordonndes de q e t r dans ce rep~re. Soient (il, . . . , ik) la suite des valeurs de i telles que q~ = r t et (Jl . . . . , Jm) la suite des indices tels que q~ v~ r~. On a: (i) P o u r tout point (ii) L a droite q + partir de A q . . . . ~ est parall$le. Soit P t (t = 1 . . . . . 8e projette, ~ partir

s de q + r et p o u r tout t de 1 , . . . , ]c: s~, = q~. r est en correspondance biunivoque, par projection h 1), avec une droite D de e x t (p, A ~ . . . . . A~,) qui lui m - 1) la varigtd a ~ n e e x t (p, A~,, A~,.~). A l o r s D de A h . . . . . A~,, suivant des p o i n t s d'une droite de

chaque P~. (iii) S i s est u n point de la droite q + r dont on conna~t l'un des points coordonndes p a r m i s~ . . . . . s~=, on peut, ~ partir des projections de q + r, reconstruire les autres points coordonngs de s: on prendra: (1) s~, = q~ p o u r t o u t t de 1 , . . . , k; (2) si s~ est le p o i n t coordonn~ c o n n u de s, s]**~ sera donn~ p a r (A~,§ ~ (A~,(D~ (~ A~,§ si D~ est la p r o j e c t i o n d e q + r d a n s P v P a r u n e c o n s t r u c t i o n analogue, s~_~ sera c o n n u et, de p r o c h e en p r o c h e , t o u t les p o i n t s s~ p o u r t o u t t de 1 , . . . , m.

Remarque. Cette c o n s t r u c t i o n est basSe sur des propri4t~s S v i d e n t e s d u parall~lipipbde c o n s t r u i t sur les p o i n t s c o o r d o n n ~ d e s e t sur le f a i t que s est u n p o i n t de q + r. ~) L'ordre dans lequel ces projections sont effectu~es est sans importance.

Une olaase d'espaces arena g~n&ralis~s

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4.4. La proposition pr6c6dente ne permet en g~n~ral pas de reconstruire une droite de d ~ partir de ses projections: l'exemple suivant montre que, clans un espace affin d muni d'un rel~re sym6trique complet, deux droites distinctes (et non parall&les) peuvent avoir les m~mes projections 1). Soit d l'espace amn tridimensionnel sur le corps ~ 9 616ments. Soient I0(0, 0, 0), q(1, 1, 1), qt(1, 0, 0), q2(0, 1, 0) et qa(0, 0, 1). Posons A~ = + q ~ ( i = 1, 2,3). On voit que d eat un espace afire ~ rel~re sym6trique complet (10, -41, -42, A3). Soient D 1. . . . . De1 les parall~les k 10 + q et soient ~! (i = 1. . . . . 81) une bijection entre la droite D l e t le plan afl~n ~ sur le corps k trois 616ments. On munit ~ t d ' u n e nouvelle structure d'espace airm ~ ' en posant: les points de d ' sont les points de d ; - - l e s droites de ~ ' sont les droites de ~ non parall&les k 10 + q; - - les images des droites de ~ par les bijections ~r~; deux droites de d ' sont parall~les si elles sont parall&les dans d ou si elles sont l'image de droites parall~les de ~ . On voit ais6ment que (10, A1, -42, Aa) est encore un rep~re sym6trique complet pour ~ ' . D'autre part, deux droites distinctes de ~ ' o n t pour image par ~q deux droites distinctes de ~ contenues dans la m6me droite de d ' et qui ont par cons6quent la m~me projection dans e x t (10, A1, A2) et la m6me projection dans e x t (10, A2, Aa). La situation d6crite dans cet exemple est pr~cis6e par la -

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5.1. Proposition. Soit . ~ un es10ace a~in ~ re10~re sym~rique com101et (10, A1 . . . . , An). Soit D u n e droite de ~ . L'en~semble des 10oints de ~ dont les projections wtrpartiennent aux projections de D est une v a r i ~ a~ne de ~r Soit V(D) cet ensemble de points. I1 suflit de constater que si 10 ~ q, r sont trois points de V(D), (~%--~)(r) est contenue dans V(D). Or 10 + q et (~--~-~)(r) ont des projections parall~les; ees projections ont un point commun puisque r e V(D) et sont donc confondues, ce qui d6montre la proposition. 5.2. Soient D1, D 2 deux droites de ~ . Les v a r i 6 t ~ aflines V(D1} et V(D~) sont disjointes, ont un seul point eommun ou sont confondues: en effet, si elles o n t deux points distincts communs, leurs projections D 1 et D2 coincident. On en d&luit que l'espace ~ concr~tis$ par les vari6t~s aflines V(D) pour route droite D de ~r est un espace lin~aire ~) que nous appellerons espace r~Tulier de ~ (r~g ~ ) . z) I1 est clair que lee projections de deux droites parallbles de ~ sont n~ssairement paredl61es. a) Les droites de rdg ~r sont les vari6t~s affmes V(D) pour route D de ~ .

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N. Nize%te

L'espace r~gulier de ~ s'6rige naturellement en s a2~n g~dralis~: il suffit de poser que deux droites de r~g ~ sont parall~les si et seulement si leurs projections (au sens de la proposition 4.3) sont parall~les. Lemme 1. Salt ~ un espace a ~ n muni d'un repute symdtrique complet. Les droites de d de point impropre A1, 9 9 A , sont des droites de r~g ~ . I1 en est de m$me des droites de d contenues dans les varidtds a~nes ext (p, A~, Aj) quels que soient i et j dans 1 , . . . , n.

La d~monstration de ce lemme est immdxliate. I ~ m m e 2. Pour que deux droites de r6g ~ soient parall~les, il s u ~ t qu'elles contiennent chacune une droite de d et que ces deux droites soient parall~les dans x/. D'autre part, si deux droites D1, D 2 de r~g d y sont parall~les, si D a est une droite de ~r contenue dans D1, si p e s t un point de D 2, Ds(P) (au sens de d ) est contenue dans D 2. La premiere partie du lemme est connue; la seconde rSsulte du fair que les projections de Ds(P) sont n~cessairement contenues dans celles de D 2. Lemme 3. Si (p,-41 . . . . . ] , ) repute de rSg J~.

est un rep~re de ~f, il est dgalement un

Ddmonstration. Sauf mention expresse, les droites utilis~es sont des droites de ~ . (i) Soit E 1 = -41(P)- E1 est Sgalement une droite de rSg ~ . (ii) -42 est conjugu6 k -41 dans ~ : montrons que ces points impropres sont 6galement conjugu4s dans r6g ~ . ConsidSrons deux points q, r de r~g ~ tels q ue -4~(q)_ ~-42(r) r ~ . Cette intersection est un point, soit s, puisque A~ r A2. Soient q" ~ r' deux points de r~g ~ tels que q + r = q' + r' pour rSg ~ . I1 faut montrer que .4~(q') (~ .4~(r') r ~ . Consid~rons ext (p, A~, A:) au sens de ~ et tra~ons ~ ) ( p ) dont soit t un point distinct de p. Comme A~ et .42 sont conjuguSs dans ~ , Au(t) r AI(1o) r ~ et est un point t'. P a r cons4quent, q(~-~-~)(p) pour r4g ~r a deux points distincts dans ext (p, A~, Au) et y est enti~rement contenue (lemme 1). De ce fait, pour tout point t de (~-4-~)(p) pour r~g ~ , A~(t) ~ .4~(p) r ConsidSrons k present q' e t r ' : ils dSterminent une droite de ~ dont la parall~le en p est contenue dans (~-%--~)(p) de rSg ~ . La propri~t~ en r4sulte puisque A~ est conjugu4 ~ .4~ dans ~ . (iii) Soit E~ -- ext (p, A~, Au): il s'agit du m~me ensemble de points que l'extension soit prise pour ~ ou pour r~g ~ et dana les deux cas, il s'agit d'une vari~t~ affme. (iv) Soit .4 un point impropre de E~ pour r~g ~ . Montrons que Aa est conjugu$ ~. ,4 pour r~g M.

Une classe d'espsces a~n~ ~ n $ ~

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Soient q ~ r deux points de r6g ~ gels que, dans r6g ~,, A(q) n Az(r) ~ . I1 s'agit alors d ' u n point s car -48 n'appartient pas ~ E2. Soient q' r r' deux points gels que, dans r6g ~r q + r = q' + r'. I1 f a u t montrer, toujours dans r6g d , que .4(q') n .43(r') r ~ . Consid6rons ~ pr6sent l'espace d . Soit E8 = ext (p, A1, As, A3); q e t r d6terminent une droite; construisons (q + r)(p) dont soit t u n point distinct de p; construisons 6galem e n t (q + s)(p): comme -43 est eonjugu6 aux droites de E 2, A z ( t ) n (q + 8)(p) # ~ et est un point t'. On en d6duit que (q + r)(p) au sens de r6g ~r poss~le deux points distincts p e t t dans E z. Elle y est n6cessairement contenue. E n effet, puisque p et t appartiennent ~ Es, leurs points coordonn6s song gels que p~ = Q, p~ = Q . . . . . Pn -- tn. Tout point de la droite p + t pour r6g ~ aura les m6mes points coordonn6s d'indice 4, 5 . . . . . n; ces points song donc tous contenus dans E~. D~s lots, tous les points de (q + r)(p) pour r6g ~ se projettent ~ partir de .43 suivant des points de E a. Montrons que ces points a p p a r t i e n n e n t ~t (q + s)(p) pour r6g ~ . Soit u un point de (~ + r)(p) (pour r~g ~ ) distinct de p et t. ~ e s projections de ~0, t, u song n6cess~irement align~es sur les projections de (q + r)(p) pour r~g ~ . Soient 10, ~', a' les projections de ~v, ~, u dans ~2I1 suffit de voir que les droites p + t" et p + u' sont contenues dans une m~me droite de s ceei est ~vident puisque ~ est un espaee affin muni d'un rep~re, et que les projections de p + ~' et p + u' dans ce rep~re doivent co~ncider avec les projections de (q + r)(~v) pour r~g ~ . On sait ~ pr6sent que, dans r~g ~ , quel que soit le point u de (r + r)(~v), . ~ ( u ) n (~ + s)(~0) ~ ~ . De plus, (q' + r')(~v) est eontenue dans (~ + r)(p) pour r~g ~ ; si v est un point de (r + r')(p), -~s(P) n (~ + ~)(P) ~ d'apr~s ce qui precede, et est un point v , (p + r162 pour ~ est contenue dans (r + s)(r pour r~g ~ et, comme _~8 est conjugu~ ~ A dans ~, A3(r') n A(q') ~ ~ . (v) L a d~monstration s'ach~ve par induction. Proposition. S i (p, A t . . . . , An) est un repute symgtrique comlolet de ~ , il eat un repute symgtrique complet de r~g ~f.

Dgmonstration. II reste, en vertu des lemmes pr6c6dents, ~ montrer que (I0, -41 . . . . , An) est complet pour r6g d , c'est-~-dire que .4~ est coupl6 aux points impropres de ext (p, A1 . . . . , A,-1, Ai+l . . . . ,-4n) quel que soit i de 1. . . . , n. Soit .4 un point impropre de cette extension. I1 faut montrer que, quel que soit le point q de rSg d , quels que soient r sur A{q) et s de -4t(q), A~(r) r A(s) ~ ~ . L a propri~t6 est 6vidente si r -- q; sinon r + q est ane droite de d et A~ est coupl6 k son point impropre. De ce fait,

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N. Nizette

(r + q ) ( s ) n A i ( r ) ~ O d a n s ~

e t la propri~t~ s'en d ~ d u i t p u i s q u e (r + q)(8) est c o n t e n u e d a n s A(8) ( l e m m e 2). L a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e est imm(xliate:

Proposition. Soit a~ un eapaee a ~ n muni d'un rep~re 8ym~trique complet. Un point p de r~g ~r wppartient g~ une droite de r~g ~ t si et seulement si lea projections de p appartiennent aua: projection8 de la droite (au sens de la p r o p o s i t i o n 4.3). Exemple. L ' e s p a c e atFan sur le corps d ' o r d r e n e u f est l'espace r~gulier d e l'espace atrm de l ' e x e m p l e 4.4.

Bibliographie [1] F. BU~NHOUT, Espaces lindaires. Sdminaire de Gdom~trie, Universitd Libre de Bruxelles, 1967. [2] P. L~oxs, Gdomdtrie de la relativitd restreinte. Bull. Soe. Math. Belg. 14, 381-388 (1962). [3] N. NIzEz~Jz, Les varidtds lindaires des espaces airms sur un presque-eorps. Bull. Soc. Math. Belg. XXII-3, 268-295 (1970). [4] E. S P E R ~ , Affine R/~ume mit schwacher Inzidenz und zugeh6rige algebraische Strukturen. J. Reine Angew. Math. 204, 205-215 (1960).

Ein~yegangen am 5.6.75 Anschrift des Autors: N. Nizette, Dept. de Mathdmatique -CP 135, Universitd Libre de Bruxelles, 50, Av. F. Roosevelt, B-105O Bruxelles.