348

ARCH.MATH.

Vollstiindige Durchschnitte und p-Basen Von I~EIN~ARDTKI~m~ und EI~NSTKII~Z*)

Die folgende Note beseh~ftigt sieh mit der Frage nach der Existenz einer (endlichen) p-Basis ffir eine lokale Ringerweiterung R--> S (p Primzahl). In Abschnitt 2 wird eine notwendige und hinreiehende Bedingung daffir angegeben, dab ein p-Erzeugendensystem (vg]. Abschnitt 2) yon S fiber/~ eine p-Basis yon S fiber R enth~lt (Satz 5). In diesem Kriterium tritt in entseheidender Weise der Begriff des lokalen vollst~ndigen Durchschnitts auf; ist z. B. R e i n regul~rer lokaler Ring, S ein lokaler Integrit~tsbereieh, der R umfaBt, und ist die Erweiterung der QuotientenkSrper yon p-Potenzgrad, so folgt aus der Existenz eines p-Erzeugendensystems die Existenz einer p-Basis von S fiber R dann und nur dann, wenn S ein lokaler vollst~ndiger Durchschnitt ist (Kor. 1 yon Satz 5). In Abschnitt 1 schicken wir einige Betraehtungen fiber lokale Ringerweiterungen im Zusammenhang mit lokalen vollst~ndigen Durchschnitten voraus, die auch selbst~ndiges Interesse besitzen. Absehnitt 3 enth~lt ein weiteres Kriterium ffir die Existenz yon p-Basen mit Hilfe yon Differentialen; hierbei wird allerdings vorausgesetzt, dab Char. R = p ist. In Abschnitt 4 wird auf einige globale Anwendungen der lokalen Kriterien hingewiesen.

1. Yollst~indige Durchschnitte. Es sei R e i n units kommutativer Ring, M ein unit~rer B-Modul, x = (Xl . . . . . xr) ein System yon Elementen aus R. Mit K (R, x) wird der Koszulkomplex yon R bezfiglich x bezeichnet; seine hier verwendeten Eigenschaften kann man aus [2], [3] und [9] entnehmen. Es sei

K(M, x_) = K ( R , ~2) @~ M und H (M, x) die Homologie dieses Komplexes. R sei ein noetherscher lokaler Ring, m sein maximales Ideal und ~sein Restklassenk6rper. Ist a ein beliebiges Ideal y o n / ~ . n d sind _x = { x l , . . . , xr}, x' = { x l , . . . , xr} zwei kfirzeste Erzeugendensysteme yon a, so gilt K ( M , x) ~---K ( M , _x') und H ( M , _x) ~_~H ( M , x') (vgl. [11], S. 22); wir setzen daher H ( M , x) = H ( M , a). Ffir jeden noetherschen lokalen Ring R l~Bt sicb nun eine Invariante d(R) folgendermaBen definieren : d(R) = dimrH1 (R, m) -- dim m/m 2 + dim R. t

*) Unterstiitzt durch l~ato Grant SCOM 5-2-05 (147).

9

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Vollst~ndige Durchschnitte und p-Basen

349

Lemma 1. Ist f~ die Komplettierung yon R bezi~glich der Radilealtopologie, so gilt = d(R).

Es ist n~mlich K(R, x) = K ( R , x) QR 1~ und H(/~, s = H ( R , m) (~R/~. Da ~t bzw. m die Moduln H1 (/~, ~t) bzw. H1 (R, m) annullieren, ist

dim~ H1 (/~, r~) = dim~H1 (R, ra). Satz 1. Es sei R = S/a, wobei S ein regul~irer lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ~t ist undct ein Ideal von S. h(a) bezeichne die H6he yon a. Dann gilt: d ( R ) = dim~ al,, a - - ( d i m S - - d i m R ) = d i m ~ altt a - - h (a).

B e w e i s l ) . Aus der exakten Folge 0 --> a -+ S -> R -+ 0 ergibt sieh die exakte Folge 0 -+ Tor~ (R, ~) --> a/rt a --->S/rt. Wegen a C n ist ct/na ~ S/tt die Nullabbildung, folglich TorSt (R, ~) _~_ a/na. Es daft angenommen werden, dal~ a C n 2 gilt, denn ist x e a, x ~ ~2, so ist R auch homomorphes Bild des regu]~ren lokalen Rings S/(x). x = {xl . . . . . xr} sei ein minimales Erzeugendensystem yon n, dann ist das System x = ix1 . . . . , dr} der Restklassen der xi in R e i n minimales Erzeugendensystem yon m u n d es gilt R Q s K ( S , x) _~ K ( R , "x). Da S regular ist, ist K ( S , x) eine S-freie Aufl6sung yon ~ = S/rt. Es folgt TorS(R, ~) --~-H i ( R , x) = H i ( R , m). Somit ist dim~ a/~ a = dim~ H i ( R , m). Andererseits gilt dim~ m/m 2 = r = dim S, woraus die Behauptung folgt. Korollar. Es gilt stets d(R) > O. D a d (R) = d (/~) ist und R (nach den Cohenschen Strukturs~itzen) Restklassenring eines regul~ren lokalen Rings ist, folg% d(R) :> 0 aus der Tatsaehe, dal~ die H6he eines Ideals hSehstens gleieh seiner minimalen Erzeugendenzahl ist. B e m e r k u n g 1. Nicht jeder noethersehe lokale Ring ist Restklassenring eines regul~ren lokalen Rings. Bezeiehnen wir mit ch (a) die Koh6he eines 1deals a, so gilt in jedem regul~ren lokalen Ring S die Formel h(a) -+- ch(a) = dim S, die sich auf jeden nullteilerfreien Restklassenring yon S iibertr~igt. Andererseits gibt es nullteilerfreie noethersehe lokale Ringe, in denen diese Formel nicht gilt (vgl. [8], p. 201, Example 2). B e m e r k u n g 2. Es sei S ein regul~rer lokaler Ring und R = S/a. Genau dann gilt d(R) = 0, wenn a yon einer S-Folge erzeugt wird, d. h. wenn R ein sogenannter lokaler voUsti~ndiger Durchschnitt ist. Neuerdings bezeichnet man einen noetherschen lokalen Ring R schon als lokalen vollsts Durchschnitt, wenn seine Komplettierung R e i n lokaler vollst~ndiger Durchsehnitt im obigen Shin ist, d. h. genau dann, wenn d(R) = 0 gilt. Ringe R mit d(R) = 1 treten in [4], S. 344 als ,,lokate fast vollst~ndige Durchschnitte" auf. 1) Ein Beweis kann aus Ass~us [1], S. 196ff. entnommen werden. Wir geben bier e i n e n r e n Beweis.

ande-

350

R. KmHL und E. Ku~z

ARCH.M A ~ .

B e m e r k u n g 3. I s t R ---- S/a, wobei S ein regul~rer loka]er Ring ist, so ergibt sich aus Satz 1 ffir jedes Primideal p yon R: d(R~) ~ d ( R ) . Denn ist ~3 das vollsts Urbfld yon p in S, so ist R~ ----S ~ / a . S ~ und dim S~ -- - dim R~ = dim S -- dim R, w~hrend die minimale Erzeugendenzahl yon a- S~ hSchstens gleich der yon a ist. Wir lassen das anscheinend niehttriviale Problem often, ob die obige Relation auch ffir Ringe R gilt, die nieht Faktorringe yon regu1/~ren lokalen Ringen sind. Es seien nun R und S zwei noethersehe lokale Ringe mit den maximalen Idealen m bzw. It und es sei ~0: R --> S ein lokaler Homomorphismus (d. h. ~0(m) C n). Wir definieren die relative Invariante d ( S I R ) durch

d(S I R) = d(SlmS). Wegen S/6t S = SI-"'m'-"Sgilt A

L e m m a 2.

d (S] R) = d (S t R).

Die in Bemerkung 2 ausgesprochene Tatsache fibertr~gt sich in folgender Form auf den relativen Fall: Satz 2. R und S seien noethersche lokale Ringe, m das maximale Ideal yon R, a ein Ideal yon S und S = S/a. R --> S sei ein lo/caler Homomorphismus und S sei R-flach. Ferner sei S / m S ein regul~irer lokaler Ring. Dann sind /olgende Aussagen ~iquivalent: a) S ist R-flaeh und a wird von einer S.lVolge erzeugt. b) S ist R.flach u~ut es gilt d ( S I R ) = O. e) a wird yon Urbildern in S einer S/mS-Folge erzeugt. B e w e i s . I s t S R-flach, so ergibt sich aus der exakten Folge

O--->a--+S-+S~O durch tensorielle Multiplikation mit R / m die exakte Folge 0 -+ aim a --->~lrn~ - + s / m s -~o. Es folgt : Genau dann erzeugen xl, 9 9 x~ e a das Ideal a, wenn ihre Bilder in S/m den Kern des Homomorphismus S/m S --->S / m S erzeugen. Die Behauptung folgt nun unmittelbar aus der Bemerkung 2 und dem folgenden L e m m a 3. R und S seien noethersche lokale Ringe, R --->S ein lokaler Homomorlohismus und S sei R-flach. i sei ein Ideal yon R und es werde R/i = ~ und S / i S = gesetzt. Dann sind ]olgende A ussagen 6aluivalent : a) xl . . . . . xn e S bilden eine S-.Folge und S/(xl, . 9 xn) ist R-flach. b), Die Restkla~sen Xl . . . . , xn e S der xi bilden eine S-2"olge und S/(.~1 . . . . , xn) ist i~-flach.

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Vollst~ndige Durchschnitte und p-Basen

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Satz 3. /~ und S seien noethersche lokale Ringe mit den maximalen Idealen m bzw. und den RestklassenkSrpern ~ bzw. ~. R --> S sei ein lolcaler Homomorphismus, S sei R-flach und ~ endlich erzeugt iiber ~. D a n n gilt

d(S) <=d(R) + d(S IR). Ist d ( S 1R) = O, so gilt sogar d ( S ) = d ( R ) .

Wir zeigen zuerst L e m m a 4. R und S seien noethersche lo]cale Ringe, R--> S sei ein lokaler Homomorphismus und S sei R-flach. D a n n ist d i m s = d i r e r + dim S / m ~ , wobei m das maximale Ideal von R ist.

I s t r0 das Nilradikal yon/~, so gilt bekanntlich dim R = dim R/ro. Es darf daher angenommen werden, dab R und S keine nilpotenten Elemente enthalten. Ffir dim R = 0 ist nichts zu zeigen. Es sei dim R = n > 0 und die Behauptung sei ffir alle Ringe R' m i t dim R' < n schon bewiesen. Wegen dim R > 0 existiert ein Nichtnulltefler x e m . x ist aueh ~qichtnulltefler yon 0, weil S R-flach ist; ferner ist S/(x) flaeh fiber R/(x). Aus dim R/(x) -~ dim R -- 1, dim S/(x) ---- dim S - - 1 und der Induktionsvoraussetzung ergibt sich die Behauptung. Z u m Beweis yon Satz 3 darf nach L e m m a 1 und 2 angenommen werden, dab R und S komplett sind. Dann ist R ---- ~/a, wobei/~ ein regul~rer lokaler Ring und a ein Ideal yon R ist. Es sei ~ = ~011, 9 9 ~r) und Yl . . . . . Yr e S sei ein Vertretersystem ffir die ~i. Ferner sei xl . . . . . xs ein minimales Erzeugendensystem yon m Dann ist S homomorphes Bfld des regul/iren lokalen Rings = (R[Y1 . . . . . Yr])~ [[X1 . . . . , Xs]]

(Yt,Xf

Unbestimmte),

wobei ~ der K e r n des ttomomorphismus ~ [ Y1 . . . . . Yr] "-> ~ ist, d e r / ~ auf ~ und Y~ auf U~ abbfldet (i = 1 . . . . . r). I s t b der K e r n yon S - > 2, so hat man ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen O --->a -+ R ~ R -+ O O--+ 5---> S --> S -+ O.

Die maximalen Ideale yon R bzw. S seien ~ bzw. {t. I s t i ein Ideal eines noetherschen Rings, so bezeichnet/~ (i) die minimale Erzeugendenanzahl yon i. Wir zeigen:

__<

+

+

I s t dies bewiesen, so folgt d(S) ~ d ( R ) -~ d(S] R) naeh Satz 1. ~ a c h L e m m a 4 n/~mlich ist dim S ~ - d i m R ~ dim Sire S und nach Konstruktion ist S / ~ S ein regul/~rer tokaler Ring mit dim S = dim R ~- dim S/m S.

352

R. KIEHL und E. Kc~z

ARCH.MATH.

W i t setzen S : = S / a S und 51 = 5/aS. Aus der exakten Folge

0--> 51--> 81--> S ~ 0 ergibt sich dureh tensorielle Multiplikation mit R / m fiber R die exakte Folge

0 --> 51/'~ 51 -+ S:/~n S: ~ S/m S -+ O. Wegen S : / ~ S : = S / { n S ist g(5:/~n51) = # ( 5 + ~ S / ~ S ) und naeh dem L e m m a von N A K A Y A M A ist #(5ilE~ 5:) = #(5:). Ist andererseitsa : . . . . , a~ ein minimales Erzeugendensystem yon a (~ = / ~ (a))und b:, . .., b: G 5 ein Vertretersystem ffir ein minimales Erzeugendensystem b: . . . . , b: y o n 51 (a ---- tt (51)), d a n n bilden a : . . . . . ae, bl . . . . , b~ ein Erzeugendensystem y o n 5. Folglieh ist/x(5) < tt(a) ~-~u(5:), womit (1) bewiesen ist. Es sei nun d (S ] R) = 0. p sei der K e r n des H o m o m o r p h i s m u s R [ Y: . . . . , Ys] --> ~, der R a u f ~ u n d Y~ a u f U~ abbildet (i =- 1 . . . . , s). D a n n ist

S: = ( R [ Y : . . . . . Y~])~ [[X1 . . . . . Xt]] u n d daher ist Sx R-itach. Aus Satz 2 folgt, da$ b: . . . . . b~ eine S:-Folge bflden. D a

S:/('b: . . . . ; b,;) --= S R-flach ist, ergibt sich aus L e m m a 3, da$ b: , . . . , bz eine S-Folge ist u n d dab $2 = S](bl . . . . . bz) R-flaeh ist. D a der t t o m o m o r p h i s m u s R --> $2 lokal ist, ist $2 sogar treuflaeh fiber R, woraus folgt, dab a : . . . . . ae nicht nur ein minimales Erzeugendensystem y o n a, sondern auch y o n a $2 ist. Es ergibt sieh, da$ a : , 9 9 ae, bl . . . . . b~ ein minimales Erzeugendensystem y o n 5 ist, denn aus einer Relation ~ rt a~ -Jr- ~ sl bj 0 (r~,sj-GS) -=

i=1

]=1

folgt sj e ~ (j = 1 . . . . . a), indem m a n modulo a S reehnet, u n d r / ~ ~(i = 1, . .., ~), indem m a n modulo (b: . . . . . b~) reehnet. Mithin gilt in (1) das Gleiehheitszeiehen u n d e s folgt d(R) = d(S). Korollar. R, S, T seien noethersche lokale Ringe mit maximalen Idealen mR, ms, mT und Restklassenk6rpern ~R, ~z, ~T. R --> S --+ T seien lokale Homomorphismen, S sei R-flach und T sei S.flach. Ist ~r endlich erzeugt iiber ~, so gilt

d(TI R ) < d(S] R) + d(T] S). Ist d ( T [ S ) = O, so ist sogar d(T] R) = d(S] R). =- T/ran T ist flach fiber Z = S/m~S. W e g e n d(T] R) -= d(~), d(S I R) = d(S) u n d d (T ] S) ----d (s I ~) folgt die B e h a u p t u n g aus Satz 3. Satz 4. R sei ein regul~rer lokaler Ring, S ein noetherscher lokaler Ring und R --->S ein lokaler Homomorphismus. S sei iiber R quaziendlich (d.h. S sei endlicher R-Modul). Dann sind /olgende Aussagen iiquivalent : a) S ist R-flach und d(S] R) = 0. b) Es gilt dim R = dim S und d (S) = O.

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Vollst~indige Durchschnitte und p-Basen

353

B e w e is. a) --> b). Aus Satz 3 folgt d (S) = 0 und aus der Endlichkeitsvoraussetzung ergibt sich, dab S I m S ein endlicher R/m-Modul ist. Daher ist dim ( S i m S ) = 0 u n d aus L e m m a 4 fotgt ~im R -----dim S. b) -+ a). Ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit dfirfen R und S komplett vorausgesetzt werden. Wegen d (S) ----0 ist S dann ein lokaler vollst~ndiger Durchschnitt, daher insbesondere ein Cohen-Macaulay-Ring. Die homologische Kodimension eodim S yon S stimmt mit der homologischen Kodimension COdimR S yon S, aufgefaBt als RModul, fiberein, da S fiber R endlich ist. Aus codima S -----codim S ----dim S = dim R und aus der Formel hdR S = dim R -- codimn S (vgl. etwa [9]), wobei hd die homologische Dimension bedeutet, folgt hdR S = 0. Mithin ist S R-projektiv und daher sogar R-frei. d ( S I R ) = 0 ergibt sich aus Satz 2, weft S wegen d(S) = 0 homomorphes Bfld eines regul~ren lokalen Rings der Form S = (R [X1 . . . . . Xn])~ ist, wobei der Kern yon einer S-Folge erzeugt wird. 2. p-Basen. R, S seien zwei kommutative, unit/~re Ringe, ~0 : R --> S ein Ring. homomorphismus und p eine Primzahl. Definition. Elemente xl . . . . . x,~ e S heiflen eine p . B a s i s (ein lo-Erzeugendensystem) yon S ~ber R, wenn x~ e q~(R) ]iir i = 1 . . . . . n und wenn die Elemente x~. . . . Xn~ (0 ~ ~ ~= 19 -- 1) eine Basis (ein Erzeugendensystem) des R-Moduls S bilden. Existiert eine io-Basis yon S fiber R, so k a n n R vermSge ~ mit einem Unterring yon S identifiziert werden. I s t umgekehrt R C S, so bflden xl . . . . . xn e S genau dann eine T-Basis (ein lo-Erzeugendensystem) yon S fiber R, wenn der Homomorphismus r R [ X 1 . . . . . Xn] --->S mit r : x~ (i ----- 1 . . . . . n) surjektiv ist und K e r n ~b yon X~ -- x~ . . . . . X~ -- x~ erzeugt wird (die Elemente X~ - - x~ . . . . . X~ -- x~ enth~lt). R und S seien nun noethersche lokale Ringe mit den maximalen Idealen m bzw. a und ~ : R - - > S sei ein lokaler Homomorphismus. Satz 5. Es existiere ein p-Erzeugendensystem xt . . . . . xn yon S iiber R. D a n n sind ]olgende Aussagen dquivalent: a) A u s xl . . . . . xn 15flt sich eine p-Basis von S i~ber R auswShlen. b) S ist R-flach (somit R-/rei) vom Rang pm (m >= O) und d ( S I R) ---- O. B e w e i s . I s t Xl . . . . ,xr eine lo-Basis yon S fiber R, so ist S ~-- R [ X ~ , . . . , X r ] l ( X ~ -- ~ , . . . ,

X~ -- ~ )

und Sims

~

~[x~ .... , x,]/(x~

-

~ .....

x~ -

~)

,

wenn ~ tier RestklassenkSrper yon R ist und ~ die Restklasse yon x~ in ~ bedeutet. Es folgt d ( S I R) = d ( S / m S ) = O. U m zu zeigen, dab aus b) auch a) folgt, beweisen wir zun/ichst zwei L e m m a t a : L e m m a 5. R sei ein regul~irer lokaler Ring der Dimension n und es sei Char. R = Char. R i m . Arahiv der Mathematik XVI

~4

354

R. K~s.~n und E. Kvsz

~cm ~.

q sei ein von einem Parametersystem von R erzeugtes Ideal aus R und ~ = M ~ {~ I ~ c ~ ,

~ ~ m~+l}.

D a n n g i l t / i i r die Lgnge des R - M o d u l s R / q 1R(R/q) ~- ~'1" ~'2 "" ~n m i t gewissen natiirlichen Zahlen vi ~ Vl (i = 1 . . . . . n).

B e w e i s . l~fir n = 1 ist R e i n diskreter Bewertungsring und die B e h a u p t u n g ist daher t r i v i a l Sie sei ]etzt ffir alle regul~ren lokalen Ringe der Dimension ~ n - - 1 bewiesen u n d es sei dim R = n. W i r diirfen ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit R k o m p l e t t voraussetzen. D a n n ist R----k[[Xl . . . . . Xn]] ein Potenzreihenring in n U n b e s t i m m t e n fiber /c = R/rrt. W i r d q y o n den Potenzreihen F1 . . . . . Fn erzeugt, so gilt Z(R/q) = d i m ~ ( R / q ) = (k[Ex~ . . . . . x . ] ] : ~ [ [ F ~ . . . . . i % ] ] ) ,

wobei der letzte Ausdruck den R a n g des k [[F1 .... , Fn]]-freien Moduls ]~[ [ x l , . . . , xn]] bedeutet (vgl. etwa [12], R e m a r k p. 301). Es sei Fn e m "~, F n ~ m "~+1. E n t h ~ l t k unendlich viele Elemente, so l~Bt sich dureh eine geeignete lineare Transformation 9~

=

~;

+

~x~ (~ ~ k ) ,

t

Xn-1 ~

t

X n - 1 -~- g n - 1 Xn t

Xn ~

Xn

stets erreichen, dal~ Xn~ in F n wirklich auftritt. Besitzt/c nur endiich viele Elemente, so gehe m a n zu ~ ---- ]c (D~ R fiber, wobei ]~ eine endliche algebraische Erweiterung y o n / c mit genfigend vielen E l e m e n t e n ist. 57ach dem Weierstral~schen Vorbereitungssatz ([12], Chap. V I I , Th. 5) ist d a n n 7r

. . . . , x n ] ] / ( F . ) ~ k [[xl . . . . .

x.]]/(x~ 1)

als k [ E x l , . . . , xn-1]]-Modul; es genfigt daher, die B e h a u p t u n g ffir ein Ideal q der F o r m q ---- (F1 . . . . . _Fn_l, x~1) zu beweisen, wobei die F~ (i ~-- 1 . . . . . n -- 1) Anfangsgrade ~ vl besitzen. Es ist d a n n Yl

l ( R / q ) = (~ [[xl . . . . . x~]] : kEEF1 . . . . . F ~ - I , x~ ]]) =

= (k[[xl . . . . . x~]] : ~[[F1, ..., F ~ - I , xn]]) x x (~[[F1 . . . . . ~'~-1, x~]] : k[[F1 . . . . . F ~ - I , x~q]) = = l(k[[x~ . . . . . x ~ - l ] ] / ( ~

..... i~_~)) .~,

wenn F~ alas Bfld y o n F~ modulo xn ist (i---- 1, ..., n voraussetzung folgt nun die B e h a u p t u n g .

1). Aus der Induktions-

Vol. XVI, 1 9 6 5

Vollst~ndige Durchschnitte und p-Basen

355

L e m m a 6. k sei e i n K 6 r p e r , R - ~ k[x] ~-- k [ X ] / ( / ( X ) ) e i n lokaler R i n g m i t d e m R e s t k l a s s e n k 6 r p e r k u n d es sei xP ----- ~ e k. D a n n existiert e i n ~ G k m i t (x ~ ~)~ -~ O. B e w e i s . D a R lokal ist, g r i t / ( X ) = o:. g ( X ) ~ mit ~ G k u n d einem irreduziblen P o l y n o m g (X) G k [X] mit hSchstem Koeffizienten 1. Da R den RestklassenkSrper k besitzt, ist g ( X ) linear: g ( X ) = X ~ ~r Ferner ist X P - - ~ -~ ( X - - u) ~. h ( X ) mit h ( X ) G / c [ X ] . I s t p ~- Char. k, so folgt ~ ---- zP u n d (x -- z)~ ---- 0. I s t p ~: Char. k, s o i s t entweder v = 1, d . h . x - - u = 0 - - - - ( x - - u ) P o d e r ~ = 0 , d . h . xP----0. Sind R u n d S in Satz 5 KSrper, so folgt a) aus b) u n m i t t e l b a r auf G r u n d der Tatsache, daI~ ffir jedes x G S m i t xP G R entweder x e R oder (R[x] : R) --~ p gilt, weft ( S : R ) = p m ist. I m allgemeinen Fall sei &~ die Restklasse y o n x~ in S ---- S / m S (i ---- 1 . . . . . n). Es genfigt zu zeigen, dal3 sieh aus dem System x: . . . . . xn eine p-Basis y o n S fiber ~-- R / m ausw~hlen l~13t, denn nach dem L e m m a y o n NAK~u bilden d a n n die Urbilder eine p-Basis y o n S fiber R. Die Restklassen ~: . . . . . ~n der x~ im RestklassenkSrper ~ yon S bflden ein p-Erzeugendensystem y o n ~ fiber ~. I s t Char. = q :~ T , so ist ~ fiber ~ separabel algebraiseh u n d e s existiert bekanntlieh ein KSrper ~__~_~ mit ~_C~_CS. Aus

~:~.~ ~ = dim~ ~- (~: ~) = p ~

(2)

ergibt sich, dal~ (~ : ~) eine p - P o t e n z ist, was bei Char. ~ ----p ohnehin der Fall ist. Folglich enth~lt ~: . . . . . ~n eine p-Basis yon ~ fiber ~, etwa ~q+l, --., ~n. D a n n ist ---- ~[xe+: . . . . . xn] bei beliebiger Charakteristik y o n ~ ein zu ~ isomorpher KSrper u n d e s genfigt somit zu zeigen, dal] aus &l . . . . . de eine p-Basis y o n S fiber ~ ausgew~hlt werden kann. Naeh (2) ist aueh dim~i, ~ eine p - P o t e n z : dims~ S ----p~~ Ffir jedes i = 1 . . . . . ~ ist ~[di] ein lokaler Ring. Aus L e m m a 6 folgt die Existenz eines ut G ~ m i t (xi - - u~)p ~- 0. W i r dfirfen daher annehmen, dab schon d~ ---- 0 ist (i ~- 1 . . . . , ~). D a n n ist S ~ ~ [ [ X : . . . . . Xq]]/a, wobei das Ideal a aus ~ [ [ X : . . . . . Xe]] die Elemente X~ (i ----- 1 . . . . . ~) enths Ya+x, . . . , Y q G a sei ein Vertretersystem ffir ein minimales E r z e u g e n d e n s y s t e m y o n a -~ (X1, ..., X q ) 2 / ( X : . . . . . X q ) ~. D a n n ist bei geeigneter Numerierung X1 . . . . . X a , Ya+x . . . . . Yq ein minimales Erzeugendensystem vo~ ( X : , ..., Xq). Es folgt S ---~ ~ [IX: . . . . . Xa]]/5 m i t b ---- a/(Ya+l, --., Yq)Insbesondere gilt (X~ . . . . . X~) C 5 C (X1 . . . . . Xa) 2. Wegen d(S) ---- 0 wird ~ nach Satz 1 y o n a E l e m e n t e n erzeugt. Es sei v: ---- Min(v] ~ C (X: . . . . . Xa) ~, 5 ~ ( X : , ..., Xa)~+:}. N a c h L e m m a 5 gibt es natfirliehe Zahlen v~ . . . . , ~a mit vi ~ vx (i = 1 . . . . , a), so da~ p~~ = dim~ S ---= ld (S) -----v : - ~2--. va. Andererseits ist l.~ (S) ~ l~i ( ~ [ [ X : . . . . . X a ] ] / ( X ~ . . . . . X ~ ) ) = p a . W e g e n ~: > 2 ergibt sich ~: ---- v2 . . . .

l~ (,~) = l~: (~[[x: .....

-=- va = p , somit x~]]/(z~ .....

x~)) 24*

356

R. KIEHL und E. Kv~z

ARCH. MATH.

und folglich ~ ~ ~ [ [ X i . . . . . Xa]]/(X~ . . . . . X~). Xl . . . . . ~a ist daher die gesuchte p-Basis yon S fiber ~. Korollar 1. R sei ein reguldrer lokaler Ring, S ein lokaler Integrit5tsbereich und R--->S ein lokaler Monomorphismus. Es existiere ein p-Erzeugendensystem yon S iiber R und es sei (L : K) -~ 1om, wobei L und K die Quotientenk6rper yon S bzw. B sin& Dann sind ]olgende Aussagen dquivalent: a) Es existiert eine p-Basis von S iiber R. b) d(S) = O. Es ist nur zu zeigen, dab a) aus b) folgt. S ist ganz fiber R, weil die Existenz eines p-Erzeugendensystems yon S fiber R vorausgesetzt ist, folglich ist dim S = dim R. Aus Satz 4 folgt, dal] S R-flach ist (folglich R-frei) und dal3 d ( S I R) -= 0 gilt.-Ferner ist t~angR S ~ (L : K) = pro. Die Existenz einer p-Basis yon S fiber R folgt nun aus Satz 5. Korollar 2. R sei ein lolcaler, S ein reguliirer lol~aler Ring und R - ~ S ein lokaler Monomorphismus. Es existiere ein p-Erzeugendensystem yon S iiber R und es sei (L : K) ~ 19m, wobei L und K die Quotientenl~Srper von S bzw. R bedeuten. Dann sind ]olgende Aussagen iiquivalent: a) Es existiert eine p-Basis von S iiber R. b) R ist ein reguliirer lokaler Ring. a) folgt aus b) nach Korollar 1. Gilt a), so ist S als R-Modul treuflaeh und folglich R noethersch. Sind M und N zwei R-Moduln, so ergibt sich aus tier Formel Tornz (S QR M, S (DR N) -~ S Qi~ Tor~ (M, N), dab mit S auch R endliche globale homologische Dimension besitzt und somit ein regul~rer lokaler Ring ist. 3. p-Basen und Differentiale. R, S seien lokale Ringe der Charakteristik p . 0 (p Pl~mzahl), q~:R-->S ein lokaler Homomorphismus, M ( S I R ) der Differentialmodul yon S fiber/~. Satz 6. Folgende Aussagen sind iiquivalent: a) Es existiert eine p-Basis von S iiber R. b) ~ ist ein Monomorphismus, S endlicher R-Modul mit SP C R und M (S I R) ist ein ]reier S-Modul. Sind diese Voraussetzungen er/iillt, so bilden xl, ..., xn e S genau dann eine p-Basis yon S iiber R, wenn die Di//erentiale dxl . . . . . dxn eine S-Basis yon M (S 1R) bilden. B e w e i s . Es ist klar, dab b) aus a) folgt. Wir zeigen die Umkehrung: Ist M ( S 1It) frei, so besitzt es eine Basis der Form dxl . . . . . dxn(x~ ~ S). Die . ~. p 1) sind linear unabh~ngig fiber R. Denn ist Potenzprodukte x~1 . .x n .(0 .~ v~ ](X1 . . . . . Xn) e R[X1 . . . . . Xn] ein Polynom niedrigsten Grades mit den Eigenschaften : ~r Gradx, ] ~ p -- 1 (i • 1 . . . . . n), fl) /(xl . . . . . xn) = 0, so folgt aus d/ (xl . . . . . xn) = h~(xl, ..., xn) dxl + ' "

+ s

..., x,) d x , = 0,

u

Xu

1965

Vollst~ndige Durchschnitte und p-Basen

357

dab f~, (xl, ..., xn) ~ 0 ist (i = 1. . . . . n). Da der Grad der fz, kleiner als der Grad yon ] ist, folgt /~, = 0 (i = 1, ..., n), folglieh/(X1, ..., Xn) e R und somit / : 0 wegen ] (xl . . . . , Xn) = O. Aus M (S[ R[xl . . . . . xn]) ~-- 0 ergibt sieh, dab S fiber R[Xl, ..., Xn] unverzweigt ist und dab beide Ringe den gleiehen RestklassenkSrper besitzen {[5], Satz 1). Da S endlieher Modul fiber R [xl, ..., xn] ist, folgt S ---- R [xl; .... xn] nach dem Lemma yon N)~KAY~A. Insbesondere ist damit aueh die letzte Behauptung von Satz 6 bewiesen. Es seien jetzt R und S beliebige kommutative unit/ire Ringe der Charakteristik p (p Primzahl) und ~: R -> S ein Ringhomomorphismus.Wir setzen d (S) ----Max {d (Sm)}, m

wenn m alle maximalen Ideale yon S durchl/~uft und nennen S regul/ir, wenn alle Ringe S,~ regul/ire lokale Ringe sind. Aus Satz 6 und Korollar 1 und 2 yon Satz 5 ergeben sich : KoroUar 1. R sei regulSr, S ein Integrit~tsbereich, q~: R --> S ein Monomorlohismus, S ein endlicher R-Modul und S~ C ti. Dann sind ]olgende Aussagen dquivalent: a) d(S) = O.

b) M (S 1R) ist S-laroje]ctiv. Korollar 2. S sei reguldr, cf : R --> S ein Monomorphismus, S ein endlieher R-Modul und S~ C R. Dann Bind ~olgende Aussagen 5.quivalent: a) R ist reguliir. b) M (S I R) ist S.projelctiv. A (S [ R) sei die/~uBere Algebra yon M (S [ B), in iiblieher Weise mit der Struktur einer Differentialalgebra versehen. Z ( S I R) sei der Ring der Zyklen, B(S] R) das Z(S] R)-Ideal der R/~nder yon A (S[ R) und H (S[ R) ~-- Z ( S 1R)/B(S I B ) d i e Homologie yon A (S] B). Ist ~ : R -~ S ein Monomorphismus und S~ C R, so kann R als S-Modul aufgefaBt werden, vermSge des durch die Potenzierung mit P definierten Ringhomomorphismus S --> R. C ~ T I E g hat in [6] gezeigt: Sind R und S KSrper mit (S: R) ~ 0% so existiert ein kanonischer Ringisomorphismus

c: R |

R) ~_ H(S I R),

bei dem r | 1 (r e B) auf ~ und ds (s e S) auf sp -1 ds abgebfldet ~_rd, wobei der Querstrieh die Homologieldasse des betreffenden Elements bedeutet. Der Beweis fibertr~gt sieh sofort auf Ringe R und S, wenn vorausgesetzt wird, dab eine p-Basis Xl . . . . . xn yon S fiber R existiert: Wie in [6] ergibt sieh

z (s ] ~) = B (S ] g) | R E~ -~ d ~ . . . . . ~ - ~ dzn] ; der dortige Beweis macht keinen Gebrauch davon, dab R und S KSrper sind. Man definiert einen Ringhomomorphismus 7 : Z (S I R) -> R | A (S ] R) dutch

y(B(S]R))=O, y(r)=r|174 7 (~-~ dz~) = 1 | dz~ (i = 1. . . . . n).

ffir r e R ,

358

R. Kmm. und E. Kv~z

Aacm ~,ATH.

Wie in [10] ffir KSrper ergibt sich, dal3 7 nieht yon der W a h l der p-Basis abh&ngt: I s t n~mlich 2V die Menge aller s ~ S m i t y(s~ -1 d s ) = 1 (~ ds, d a n n sind B, x ~ , .... xn in N enthalten, ferner ist mit x, y e N auch x . y e N. W i r zeigen, dal] aueh x + y e .u gilt, woraus N - - - - S folgt : Aus (x + y)V-1 d (x + y) = \~,= 0 und

folgt p--1

(x -+ y ) P - l d ( x --? y) = xP-Zdx + y ~ - l d y + ~, (-- 1)~' (xp-l-ryr dx -- x P - ~ y r - l d y ) . Aus xP-~y~-ldy __ x p - l - ~ y r d x = ~-1 d(xP-ryr)

(v =-- 1 , . . . , p - - 1)

folgt (x + y)v-1 d (x + y) = xV-1 dx + yV-1 dy + dz

mit

z z S,

folglieh x + y e IV. Aus N = S ergibt sich jetzt unmittelbar, dab 7 einen Ringisomorphismus C mit den angegebenen Eigenschaften induziert. C existiert sehon, wenn m a n fordert, d a $ S ein endlicher R-Modul ist und dab M ( S I R) S-projektiv ist, oder - - was d a m i t /iquivalent ist -- wenn lokal p-Basen existieren; dies ist enthalten in der im folgenden Abschnitt angegebenen Verallgemeinerung a u f Schemata. I s t _x = {xz . . . . . xn} eine p-Basis y o n S fiber R, so definieren wir die R-hneare Abbildung az : S -->/t (Tatesche Spur) durch 2

o.( : r

.........

<

....

..... .-,

/

a(yl ..... .....x,) Yn) ~ S die Es sei y = {Yl . . . . . Yn} eine weitere p-Basis yon S fiber R und a(xl

durch d y z " " dyn = a(yl; .... Y~) a (x, ..... x~) dxl"'" dxn definierte Funktionaldeterminante. D a n n gilt

Lemma 7.

~-~=

0 (Yz ..... Yn) ~v- 1 a(xl,-.,--~)) ~ 2).

Es sei s = ~ r ......... .x~ . . . . xn"

und

(o=sdxz'"dxn

a (xl ..... xn) = a(yz ..... yn) " ' s ' d y l " ' ' d y n "

e H (S l R) ist auch gleich der Homologieklasse y o n r~_ I ..... ~- 1 @1"'" xn)~-i dxl . " dx~ , 2) Fiir s e S, a e HomR (S, R) sei s. ~ e HomR (S, R) durch (s" a) (x) = a (sx) definiert.

u

XVI, 1 9 6 5

Vollst~indige Durchschnitte und p-Basen

359

denn es ist z. B. 9v - i

.., .......

....

.....

vi + i

xi~-

'

....

x2~

Daher ist a~_(s) Q d x l ' " dxn = ay [[ ~a(xi . ..... 5 x~) " s)

| dyl "" dyn

das Urbild yon ~ beim Isomorphismus C und folglich -

a(xl,

~ /

"

Lemma 8. Die S-lineare Abbildung Cpx : S --~ Homa(S, R), die s e S au] s . ax 2) abbildet, ist ein Isomorphismus. Es ist nur zu zeigen, dab jede R-lineare Abbildung h : S - - > R yon der ~orm h----s-a z ist, mit s e S . Ist h(x~ . . . . x ~ " ) = r ......... ( O ~ v ~ p - - 1 ) , so gilt die Formel mit 8=

Z

~'vi

v

p--7,i-- 1 .~p--v,~-- 1 Zl """

0 ~,~ <:p--i

Es sei jetzt ~ (S ] R) der S-Modul der Differentialformen n-ten Grades yon S fiber R. Es werde

~

(s] R) = ~(sl R) | (p --

|

~(Sl/~)

i')-mal

und i| 1-m (S] R) : Homi~ (.Qp-1 (S ] R), R) gesetzt. Dann gilt Satz 7. Es existiert ein kanonischer Isomorphismus yon S-Moduln Hom~ (S, R) ---~D i - ~ (S ] R). Beweis. Nach Lemma 7 gilt (dxl "" dxn) |

@ (dxi "" dxn) | ax

:

(4yi " " dyn) |

|

(dyl "" dyn) Q ay_.

Aus Lemma 8 ergibt sich ein kanonischer Isomorphismus yon S-Moduln D P -i (S [ R)

|

HomR (S, R) --~-S.

Aus den kanonischen S-Isomorphismen Home (D p-i (S ] R) |

HomR (S, R), R) ---~Di-~ (S I R) |

Home (Home (S, R), R) --~

folgt die Behauptung. 4. Globale Anwendungen yon p-Basen. In diesem Abschnitt sollen einige Verallgemeinerungen der vorausgehenden Ergebnisse auf Schemata formuliert werden. AuBerdem wird eine Anwendung yon p-Basen auf algebraische Mannigfaltigkeiten fiber einem K6rper der Charakteristik p angegeben werden, die im Zusammenhang

360

R. KI~nT. und E. Ku~z

ARCh. ~aT~.

m i t der sogenannten kanonischen Garbe steht. Einige Grundbegriffe fiber Schemata werden als bekannt vorausgesetzt. X sei ein Praschema mit der Strukturgarbe &x. Wir nennen X regular, wenn ffir jedes x e X der lokale Ring 0x regular ist. I s t X lokal noethersch, so setzen wir d(X) = Max{d(~)x)} 3). xeX

Wir sagen, dab X die Charakteristik p besitzt, wenn ffir jedes x e X der loka]e Ring 0x die Charakteristik p besitzt. I s t U eine offene, affine Teilmenge yon X, so hat auch der Ring &x(U) die Charakteristik p. Die Potenzierung mit p definiert einen kar/onischen Morphismus ~ : X -> X. Y sei ein weiteres Praschema, •r seine Strukturgarbe und [:X--+ Y ein Morphismus yon X in Y. ~0 sei die zugeh6rige stetige Abbildung der zugrunde liegenden topologischen Rs und O : O r - - > ~ . Ox der zugehSrige Garbenmorphismus. Bekanntlieh heiBt J affm, wenn ffir jede offene, affine Teflmenge V yon Y auch ~-1 (g) affin ist. ] heil3t endlich, wenn es affin ist, und wenn es eine offene, affine l~berdeckung {V~} yon Y gibt, so dab ffir jedes ~ gilt: Ox(q~-i(V~)) ist endlicher &r(V~)Modul. Wir sagen, dab der Niorphismus [ lokal eine p-Basis besitzt, wenn er affin ist und wenn eine offene, affine ]~berdeckung { Ve} yon Y existiert, so dab Ox(q0-1 (V~)) ffir jedes e eine p-Basis fiber &r(Ve) besitzt. Sind X und Y Pr/~schemata der Charakteristik p . 0 und besitzt [ : X -> Y lokal eine p-Basis, darm liefert die Potenzierung mit p einen Morphismus g : Y --> X, so dab das Diagramm X +X Y k o m m u t a t i v ist. g)r kann dann als ~x-Modul aufgefaBt werden. I s t [ : X --~ Y ein endlieher, surjektiver Morphismus yon Pr~sehemata der Charakteristik p . 0 und existiert ein Morphismus g : Y ~ X, so dab das obige Diagramm k o m m u t a t i v ist, so besitzt ] genau dann lokal eine p-Basis, wenn ffir jedes x s X der lokale Ring g)x eine p-Basis fiber O~(~) besitzt. Auf Grand yon Kor. 1 und 2 zu Satz 5 zeigt m a n unter den obigen Voraussetzungen leieht: I s t X regul/ir, so existiert genau dann lokal eine p-Basis yon [, wenn auch Y regul/~r ist. I s t dagegen Y regul/ir uncl X lokal noethersch und integer vorausgesetzt, so besitzt ] genau dann lokal eine p-Basis, werm d(X) = 0 ist. 9.[ = 2 (X I Y) sei die Garbe der Differentialformen yon X fiber Y. 9.[ ist eine quasikoharente Garbe fiber X (koh/~rent, falls [ endlich), die man wie folgt erh/ilt: l~fir jede offene, affine Teilmenge U yon X sei 92[(U) = A(~)x(U)/(cp*C)y) (U)). I s t V C U eine weitere offene, affine Teilmenge yon X, so ist tier Restriktionshomomorphismus d e r d e m k o m m u t a t i v e n Diagramm

~* ~r(U) -+ Ox(U) ~* 0 r (V) -+ ex(V) 3) Lst X ein aftines Schema zu einem noethersehen Ring R, so bleibt die ~rage, ob stets

d(X) = d(R) ist, vgl. Bemerkung 3 naeh Satz 1.

Yol. XVI, 1 9 6 5

Vollst~indige Durchschnitte und p-Basen

361

gem~tl~ der Funktoreigenschaft yon A zugeordnete Homomorphismus. Dureh diese Angaben ist bis auf Isomorphie eindeutig eine quasikoh~rente Garbe ~ auf X bestimmt. Speziell ist 9~x = A (&~l&~(x)) ffir x e X . Durch die Differentiationen

dv:A ((~x(U)/~* (~r (V)) --->A (&x(V)/q~* &r (U)) wird ein Morphismus d : 9~ -+ ~ definiert, 2 aufgefal~t als Garbe von abelsehen Gruppen. Es sei ~ (X] Y) = Kern d, ~ (Z[ Y) = Bild d und ~ (XI'Y) = 3 (XI Y ) / ~ (X] Y). ~, !8 und ~ sind Garben yon abelsehen Gruppen. Im AnschluB an Abschnitt 3 ergibt sich Satz 8. X und Y seien Priischemata der Charakteristik p , O, [ : X---> Y besitze lokal eine p-Basis. 3)ann ist q~. ~ (X I Y),eine kohgrente Garbe von (;r-Moduln und es existiert ein kanonischer Isomorphismus

e r |162 ~ (X] Y) ~ ~ , @(X l Y). Unter den Voraussetzungen yon Satz 8 bezeichnen wit mit .c2(XIY ) die Garbe der Differentialformen hbchsten Grades von X fiber Y und setzen

D~-l(x I y) = ~ ( x I y) |162 9 - |162 9 ( z l r), (p -

i)-mal

ferner

~1-~ (X ] Y) =~fomr r (Qp-1 (X I Y), (~Y)" Die globale Verallgemeinerung yon Satz 7 ist Satz 9. X und Y seien Prgschemata der Charakteristik p :~ 0, ] : X ---->Y besitze lokal eine p-Basis. Dann existiert ein kanonischer Isomorphismus

~ o m r r (Ox, Or) ~_ D 1-~ (X] Y). ]~s sei jetzt X eine algebraisehe Mannigfaltigkeit fiber einem KSrper k, d.h. X besitzt eine endliche offene, affine Uberdeckung Us, so dab Ox(U~) ffir jedes ~ eine endlich erzeugte k-Algebra ist (,,X ist ein Schema endlichen Typs fiber k"). Ist n = dim X, so ist der Funktor T x ( | = Hom~(Hn(X, @), k) kovariant und linksexakt auf der Kategorie K der koh~renten Garben | auf X. Der SE~m~sche Dualits besagt: Ist X projektiv, so ist der Funktor T x darstellbar, d. h. es existiert eine bis auf lsomorphie eindeutig bestimmte Garbe ~ x fiber X, so dal~ der Funktor T x ( ~ ) isomorph zum Funktor Homdgx(| , ~x) ist. Wir nennen ~ x die kanonische Garbe yon X. Ist Y eine weitere algebraische Mannigfaltigkeit fiber k mit dim Y = n und ist ] : X -+ Y ein endlicher Morphismus, so folgt aus der Darstellbarkeit yon T y auch leicht die Darstellbarkeit yon T x u n d e s ergibt sich

~ x = $Fomt~r ( (P2z, ~ r ) .

362

R. KI~.HL und E. K w z

I s t [ flach (d. h. ist (Px fiir jedes x e X ein flacher Or

~ x = l* (~r)

|

ARCmMATh. so ergibt sich

:~omr (Ox, e r ) .

I s t Char. k ----p * 0 und existiert fiir f lokal eine p-Basis, so ist f insbesondere endlioh u n d flach. N a c h Satz 9 folgt d a n n Satz 10. /r sei ein K6rper der Charakteristib p , O. X und Y seien algebraische Mannig/altigkeiten iiber lc und ] : X--> Y besitze loIcal eine p.Basis. Existiert die kanonische Garbe ~ r yon Y, so existiert auch die lcanonische Garbe ~:r yon X und es gilt

~x~/*(~r) |162 ~9~-~(x[ y). Literaturverzeichnis [1] E. F. Assv~Is jr., On the homology of local rings. Illinois J. Math. 3, 187--199 (1959). [2] M. AUSLA~DERand D. A. B~CHSBAUI~I,Codimension and multiplicity. Ann. of Math., II. Ser. 68, 648--657 (1958). [3] M. AUSLA~D~.Rand D. A. BUCHSBA~, Homologieal dimension in local rings. Trans. Amer. Math. Soc. 85, 390--405 (1957). [4] R. BERGER, Differentialmoduln lokaler Ringe der Dimension 1. Math. Z. 81, 326--354 (1963). [5] R. BERO~.~ und E. Ku~z, ~ber die Struktur der Differentialmoduln yon diskreten Bewertungsringen. Math. Z. 77, 314--338 (1961). [6] P. CARTIER, Questions de rationalit~ des diviseurs en g~om~trie alg~brique. Bull. Soc. Math. France 86, 177--251 (1958). [7] A. GROTHENDIECK,]~l~ments de g~om~trie alg~brique IV. Publ. Math. 20 (1964). [8] M. NAGATA,Local rings. New York--London 1962. [9] J. P. S~.I~RE, Alg~bre local. Multiplicit6 d'intersection. Vorlesungsausarbeitung, College de France 1958. [10] C. S. SES~DRI, L'operation de Cartier. Application. In: Sere. Chevalley 1958/59, Expos~ 6. [11] J. TARE, Homology of noetherian rings and local rings. Illinois J. Math. 1, 14--27 (1957). [12] O. Z~aIsxI and P. SAMUEL,Commutative algebra, vol. IL New Y o r k - T o r o n t o - London 1960. Eingegangen am 3. 4. 1964 Anschrift der Autoren: Reinhardt KieM Ernst Kunz Mathematisches Institut der Universit~t 69 Heidelberg, TiergartenstraBe