Zum BegrifI des linearen Zusammenhanges Von Josef Sehmid, Innsbruck (Eingegangen am 6. Mdrz 1964)

Inhaltsiibersicht Seite Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 w 1. Kovariante Differentiation auf einer p~rallelisierbaren M~nnigfaltigkeit 328 w2. Die kovariante Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 w3. Die klassisehe Definition des ]inearen Zusammenhanges . . . . . . . 335 w4. Die Definition des linearen Zusammenhanges mit Hilfe des Hauptfaserbiindels der n-Beine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 w5. Kovariante Differentiation auf dem H~uptfaserbiindel P . . . . . . 345 w6. Torsion und Kriimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 w 7. Lineare Zusammenh~nge yon einfachem Typ . . . . . . . . . . . 354 w8. Beziehungen zwisehen linearen ZusammenhSngen . . . . . . . . . . 357 w9. Der metrische Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Liter~ur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

Einleitung Der nun schon ,,klassischen" Definition des linearen (oder affinen) Zusammenhanges auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mi~ Hilfe der Christoffelsymbole, der ,,Komponen~en" des linearen Zusammenhanges, stellt m a n heute oft den allgemeineren Begriff des infinitesimalen Zusammenhanges auf einem differenzierbaren Faserbiindel voran, der im wesen~lichen schon attf E. Caftan zuriickgeht und yon Ch. Ehresmann pr/izisiert und weiterentwickelt wurde. Der lineare Zusammenhang ist ein Spezialfall dieses allgemeinen Zusammcnhangsbegrfffes. Man erh~tlt ilm aus dem infinitesimalen Zusammenhang in dem zur (n-dim., diffb.) Mannigfal~igkei~ gehSrenden Hauptfaserbiindel der n-Beine oder einem dazu assoziierten Faserbiindel. F/it diesen Fall liefert diese ,,moderne" Definition nich~ nur eine formal beffiedigende Darstelhmg bekannter Resultate der Differentialgeometrie, sondern auch wesentlich neue

J. Schmid : Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

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Einsichten. Vor allen Dingen kommt auf diese Art der enge Zusammenhang zwischen Differentialgeometrie und Liesehen Gruppen und deren wechselseitige Befruehtung klar zum Vorschein, wie dies etwa in dem Buch yon Nomizu, [11] sehr schSn dargestellt ist. Bei der folgenden Untersuehung ging es mir zuniichst datum, einen mSglichst direkten und einsichtigen Zusammenhang zwischen der ~ilteren und der neueren Definition des liuearen Zusammenha~nges herzustellen, und zwar wurde dabei nicht die Parallelversehiebung, sondern die kovariante Differentiation in den Vordergrund gestellt. Die parallelisierbaren Mannigfaltigkeiten sind der einfachste Fall, einen (ausgezeichneten) linearen Zusammenhang und damit eine kovariante Differentiation einzufiihren (w 1). Dieser Vorgang wird in w 2 auf den allgemeinen Fall iibertragen, indem man die Betrachtungen yon w 1 nicht nur lokalisiert sondern ,,punktalisiert" und dann eine einfache Differenzierbarkeitsforderung stellt, um schliel~lich wieder global kovariant differenzieren zu kiinnen. In w 3 wird gezeigt, dab sieh aus dieser Definition der kovarianten Differentiation sofort die klassische Definition ergibt und im ersten Tell yon w 4 folgg daraus sozusagen zwangslaufig die moderne Definition, indem man die Voraussetzungen yon w 2 genauer analysiert. Man weil~ [11], dal~ ein linearer Zusammenhang eine (vollst~ndige) Parallelisierung des zur betraehteten n-dim. Mannigfaltigkeit M gehSrenden Hauptfaserbfindels P der n-Beine induziert. Damit ergab sich nach den vorhergehenden Betrachtungen als zweite Aufgabe die Frage, wie die kovariante Differentiation, die man durch diese Parallelisieruug auf P, entsprechend w 1 einffihren kann, mit der auf M gegebenen zusammenh/ingt. Die einfache Beziehung zwischen beiden Differentiationsprozessen kann man dutch die Feststellung charakterisieren, dal~ sich jede kovariante Differentiation auf einer diffb. Mannigfaltigkeit M yon einer Parallelisierung entsprechend w 1 herleiten l~tl~t, wobei abet im allgemeinen natiirlich die Parallelisierung yon P anstelle der yon M zu treten hat. Der Priizisierung und dem Naehweis dieser Behauptung dienen der zweite Tefl yon w 4 und w 5. Das kommt unter anderem darauf hinaus, den schon yon Kobayashi, [7] mad Nomizu, [11 ] bemerkten Zusammenhang zwischen der kovarianten Differentiation auf M und der ,,Liedifferentiation" auf P jenem Gesichtspunkt unterzuordnen. Die folgenden Abschnitte sind zu einem Tell einer mSglichst konsequenten Ausnutzung der vollst~ndigen Parallelisierung des tIauptfaser-

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biindels P gewidmet, zum anderen Teil wird das Augenmerk auf die Beziehung zwischen einem linearen Zusammenhang und dem zugehSrigen ,,transponierten" linearen Zusammenhang (Graeub, [6]) gerichtet, den man schon bei Liegruppen mit Erfolg ausgenutzt hat (vgl. z. B. [6]). Obwohl der lineare Zusammenhang auf M im Vordergrund des Interesses steht, wird im Hinblick auf das Vorhergehende fast nur noch mit dem zugehSrigen Hauptfaserbiindel P gearbeitet. In w 6 werden Torsion und K_riJmmung eingefiihrt und die bel~annten Beziehungen zwischen diesen hergestellt. Wenn auch die Resultate dieses und des nachsten Abschnittes nicht neu sind, diirf~e vielleicht doch deren Herleitung neue Gesichtspunkte aufzeigen. Vor allem scheint mir Formel (6.1) yon Interesse zu sein, die im wesentlichen das Analogon der Strukturgleichungen des linearen Zusa,mm.enhanges darstellt, ausgedriickt dutch Vel~offelder, anstelle yon Formen. Ihre Brauchbarkeit zeigt sich nicht nut bei der Herleitung jener Identit~ten, die zusammen aus einer einmaligen Anwendung der Jacobi-Identit~t fiir Vektorfelder folgen, sondern fiir alles Weitere. w7 bring~ eine kurze Anwendung dieser NIethoden auf lineare Zusammenh~nge yon ,,einfachem Typ" ([11]), d. h. solche, bei d enen Kriimmung und (oder) Torsion kovariant konstant sind, bzw. verschwinden und die u. a. yon Kobayashi, [7], Nomizu, [10], [11] und C~aeub, [6] eingehender untersucht wurden. In den beiden letzten Abschni~ten werden dann die Beziehungen zwischen einem linearen Zusammenhang, dessen transponierten Zusammenhang and dem zu diesen gehSrenden torsionsfreien linearen Zusa.mmenhang untersucht, und S~tze beziiglich der Kriimmung, wie man sie bei Liegruppen kennt, verallgemeinert, bzw. ~hnliche bewiesen. Und zwar wird alas in w 8 fiir den allgemeinen Fall und in w 9 fiir den metrischen Zusammenhang durchgefiihrt.

w 1. Kovariante Differentiation au[ einer parallelisierbaren Mannigfaltigkeit M sei eine n-dimensionale, parallelisierbare Mannigfaltigkeit. Wit betrachten eine feste Parallelisierung yon M, d. h. n differenzierbare, kontravariante Vektorfelder B:, B2, . . . , B~ auf M, die in jedem Punkt yon M ein (linear unabh~ngiges) n-Bein B:(p), B2(p), . . . , B~(p) aufspannen. Diese Parallehsierung gibt auf natiirhche Weise Anlal] zu einem bestimmten linearen Zusammenhang D yon M, den man etwa definieren kann duroh die Fes~setzung, dal~ die n Felder B!, . . . . B~ eine

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

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Basis (fiber dem KSrper R der reellen Zahlen) der paraltelen kontravarianten Vektoffelder yon D sind. Ein Vektorfeld X auf M heist also parallel (in bezug auf D), wenn es eine Linearkombination X : c'B~ der B~ mit konstanten Koeffizienten ci ist (i ~--1, 2. . . . , n)1. Die zu D gehSrige kovariante Differentiation, die ebenfalls mit D bezeichnet wird, ist dann einfach die gew5hnliche, komponentenweise Differentiation, wobei die zu differenzierenden (Tensor-)Felder auf die mit B1, . . . , Bn und den entsprechenden dualen kovarianten Feldern ~o1, . . . , wn gebfldete (Tensor-)Basis zu beziehen sind. D ist also ein linearer Zusammenhang mit identisch verschwindender Krfimmung. Wit wollen diese Differentiation am Beispiel eines (diffb., kontrav.) Vektorfeldes X a u f M durchfiihren. A(p) sei ein Vektor aus dem (kontrav.) Tangentialraum Mp von p C M. X soll im Punkte p nach dem Vektor A(p) kovariant differenziert werden. Dazu stellen wit X als Linearkombination der Basisfelder dar: X = XF'B~. X I , . . . , X ~ sind dabei differenzierbare Funktionen auf M. Die kovariante Ableitung von X naeh A(p) ist dann gegeben durch den Vektor

Da(p)(X) = A(p)(X'~)B z(p). Ist A ein (nicht notwendig diffb.) Vektoffeld auf M, so ist die kovariante Ableitung yon X nach A definiert als das Vektorfeld Da(X), bestimmt dutch

Da(X)(p) = Da(p)(X). Mit A ist auch Da(X) differenzierbar. Das kovariante Differential yon X ist das Tensoffeld D(X) der Stufe (1,1), definiert dutch

D(X)(A) = Da(X), oder explizit gesehrieben

D(X) = B,(X 0 B~ | ~ . Es gibt noch eine zweite MSglichkeit, mit tIilfe der Vektorfelder B1, . . . , Bn eine kovariante Differentiation D' und damit einen linearen Zusammenhang auf M zu definieren. Dazu seien wieder X ein diffb. Vektorfeld auf M und A(T ) ein Vektor aus My. A(p) liiBt sieh in der Form A(p) = at'Bu(p) darstellen. Wit betten A(p) in ein diffb. Vektorfeld A auf M ein, das dutch A ~ aUB~, definiert ist, mit denselben 1 ~ber doppelt auftretende (griechisch geschriebene) Indizes ist jeweils yon 1 bis n zu summieren. Die(selben) freien Indizes werden lateiniseh oder griechisch geschrieben und laufen ebenfallsyon 1 bis n, auch wenn das nicht immer explizit angegeben wird.

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J. Schmid

konstanten Koeffizienten, wie sie fiir A(p) gelten. Damit definieren wir mit Hilfe des Lieproduktes [, ] die kovariante Ableitung D'a(p)(X ) = [A, X](p). Entsprechend wie im ersten Fall, wird D' fiir ein Vektorfeld A definiert:

D'~t(X)(p) = D'A(p)(X). Um D' direkt auf beliebige Tensorfelder erweitern zu kSnnen, sehreiben wir das Lieprodnkt in der Form [A, X] = ~(A)(X), wo ~(A) die (Lie-) Derivation bedeutet, die zur infinitesimalen Transformation A gehSrt (vgl. w 4 und allgemeiner [5], [8]). Ist S ein beliebiges diffb. Tensorfeld auf M, so kann man damit die kovariante Ableitung von S im Punkte p nach dem Vektor A(p) in der Form

D'~(,)(8) = ~(A)(S)(p) schreiben. Ffir den so definierten linearen Zusammenhang D' sind die Felder B1, . . . , B~ im allgemeinen nattirlich nieht mehr parallel und es laft sich i. a. auch keine Parallelisierung B'I, . . . , B'n von M linden, derart daft D' sich in bezug auf diese zweite Parallelisierung naeh der ersten Art definieren liefe. Die Bedingung daffir, daf das wenigstens lokal geht, ist, wie man leieht naehreehnet, das Verschwinden des kovarianten Differentials D(T) des zu D gehSrigen Torsionstensors T oder, was dasselbe bedeutet, daf die Lieprodukte [Bi, Bi] der Basisfelder in bezug auf D parallele Felder sind. D und D' hgngen abet auf einfache Art miteinander zusammen. Seien dazu X und Y diffb., kontrav. Vektorfelder auf M, und X wie oben durch die Basisfelder dargestellt. Dann gilt

D'x(Y ) = X'[B~, Y] = [X'B~,, Y] + Y(XU)B, = [X, Y] + Dr(X ). Dabei wurde fiir das Lieprodukt yon zwei Vektorfeldern IX und gY, wo / und g diffb. Funktionen, X und Y wie oben erkl~rt sind, die bekannte Formel

f/X, gY] = ]g[X, Y] + ]X(g) Y A gy(/) X benutzt, die aueh im folgenden oft angewendet wird. D' heift der zu D transponierte lineare Zusammenhang (vgl. [6]).

w 2. Die kovariante Differentiation M sei eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es wird uns im folgenden nicht um Differenzierbarkeitsvoraussetzungen gehen, so dal] wir ffir die ganze Arbeit voraussetzen, wie es aueh fiir w 1 sehon stfllsehweigend gesehehen ist, M und die zu betraehtenden Funktionen

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

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und Vektor- bzw. Tensorfelder seien unendlieh oft differenzierbar, falls nichts anderes ausdriicklieh gesagt wird. Differenzierbar heil~t also hier yon der Klasse C ~. 2.1. Es solt zuniiehst eine kovariante Differentiation in einem beliebigen aber festgehaltenen Punkt p C M definiert werden. Das ist eine Vorsehrift, die jedem diffb. Vektor- bzw. Tensorfeld, das in einer Umgebung yon p definiert ist und jeclem Vektor ans dem Tangentialraum Mp yon p a u f bestimmte Weise einen Vektor bzw. Tensor (derselben Stufe) in p zuordnet, genauer, die kovariante Differentiation in p soll jedem Vektor aus Mp eine Derivation der (diffb.) Tensoralgebra um p in die Tensoralgebra yon p zuordnen. Dazu w~hlen wit in einer Umgebung von p, entsprechend dem Vorgang in w 1, n diffb. Vektorfelcler 2 B I = ~B1, B2 = ~B2, . . - , B~ = PB, 3, die in p und damit in jedem Punkt q einer gewissen Umgebung U von p ein (linear unabh/~ngiges) n-Bein aufspannen, das wie in w 1 bezeiehnet wird. X sei ein diffb. Vektorfeld auf U und l~l~t sieh daher als Linearkombination der B i sehreiben: x = X.B , (2. mit diffb. Funktionen X i auf U (i = 1, 2, . . . , n). Die kovariante Ableitung des Feldes X im Punkt p nach dem Vektor A(p) C Mp wird, entsprechend w 1, definiert als der Vektor

Da(p)(X) = A(p)(X')B ~(p)

(2.2)

aus Mp. Es ist klar, dal~ DA(p)(X) unabhgngig yon der Wahl der Umgebung U ist. In Wirklichkeit brauche~ wit yon den Feldern B1, . . . , Bn, die wit die zur kovarianten Differentiation in p geh5rigen punl~talen Basis/elder nennen, nut die Vektoren in p und deren (erste) Ableitungen nach n linear unabhangigen Riehtungen, um (2.2) bflden zu k6nnen. Das sol1 sp/iter (w 4) genaner dargelegt werden. Vorl/infig halten wir jedoch an den punktalen Basisfeldern fest. Die so definierte Differentiation D ~ PD a hat die folgenden ch'ei Eigenschaften, wie man unmittelbar aus der Definition folgert: Sind Y ein weiteres diffb. Vektorfeld anf U, B(p) sin weiterer Vektor aus Mp, / eine diffb. Funktion auf U, a und b reelle Zahlen, dann gilt (vgl. [9], S. 43) Unter einem Vektorfeld schlechthin verstehen wir immer ein kontravariantes Vektorfeld, entsprechend fiir einen Vektor. 3 Woes uns nicht unbedingt erforderlich scheint, werden wir B i start PBi schreiben, entsprechend D start PD, usw,

332

J. Schmid

(PD1)

D~(p)+bB(p)(X) ~-- aD A(p)(X ) -[- bD B(~)(X), D e)(X + r ) =

(VDa)

+

D~(~)(/X) = A(p)(/) X(p) + ](p) D~)(X).

Insbesondere ist mit A(T) auch D~(p)(X) der Nullvektor. Ffir ein Tensorfeld auf U wird die kovariante Differentiation in p sinngem/i~ definier~. Sei dazu S ein diffb. Tensorfeld der Stufe (r, s) auf U. Mit ~o1, . . . , cos bezeichnen wit wieder die zu B1 . . . . , B. dualen kovarianten Vektorfelder, die auch die zu PD gehSrigen punktalen Basis/ormen heiBen. Es gilt also < Bi, oJj > = ~ , wo (~ (i, j ---- 1, 2, . . . , n) das Kroneckersymbol ist und <, > die Verjfingung bedeutet. Damit litl~t sich S in der Form S = ,~ .... ~' -" .... '8B~1 |

"'" | B~r |176 ia 9

|

(2.3)

... |

r

darstellen, mit diffb. Funktionen Sj...j 8. Ms kovariante Ableitung yon S i m Punkte p nach dem Vektor A(p) wird der Tensor in p

DA(p)(S ) -~ A(p)(S~':" ..~",8) B~,(p) |

. | B,,(p) . . | .~o',(p) |

| o)'8(p)

(2.4) definiert, der die gleiche Stufe wie S hat. Speziell gilt fiir eine dfffb. Funktion ] auf U = A(p)(/). (2.5) Das kowriante Differential D(S) yon S i m der Stufe (r, s ~- 1) in p, definiert durch

Punkte p ist der Tensor

(DS)(A(p)) = D~(p) S 4,

(2.6)

wobei nur das letzte kontravariante Argument in Evidenz gesetzt ist. Faint man DS als multilineare Abbfldung X Mp ~ | M v auf, so 8+1

~'

schreibt sieh (2.6) in tier Form

(DS)(Yx(p), . . . , Ys(P), A(p)) -= ( D ~ ) S) (Y~(p), . . . , Y~(p)),

(2.6')

mit A(p), YI(P), . . . , Y~(P) aus M v. Seien nun Ya, . . . , Y8 diffb. Vektorfelder auf U und bezeichnen wie iiblich Y~(p), . . . , Ys(T), S(p) die entspreehenden Vektoren, bzw. den en~sprechenden Tensor in p, dann gilt a Start D(S) schreiben wir oft DS, ebenso D.a(v) S fiir D~@)(S), A/ fiir A(]), USW.

Zum Begriff des liaearen Zusammenhanges

(DS) (YI(P), ..., Y,(P), A(p))

= D ( )(SCY1,

...,

333

Y,)) - -

8

-- X S ( p ) ( Y I ( P ) 999 Y,-I(P), DA(p)(Y,), Y,+I(T) . . . , Y,(P)),

(2.6")

4=1

wie man mit Hilfe der leieht zu besti~tigenden Regel A(p) (X, w) = (Da(p)(X), ~o(p)) q- (Z(p), Da~)(o)))

(2.7)

direkt nachrechnet. X bzw. eo bedeuten dabei in (2.7) ein kontra- bzw. kovariantes diffb. Vektorfeld auf U. Schlie•lieh l~il]t sich DS explizit in der Form D S = B,(p)(S,~ :: :~:) B~,(p) Q . . . | B,~(p) @ eo'~(p) |

|

|

) (2.8)

schreiben. Es sou nun noch die Frage nach allen mSgliehen punktalen Basisfeldern ffir D ~ PD untersucht werden. Aus den Feldern B1, . . . , B n erh~ilt man ]edes andere System yon nim Punkte p linear nnabhiingigen Vektorfeldera B'I, ... B'n auf U in der Form B'~ = a~Ba,

i -~ 1 . . . . , n,

(2.9)

wo (a~) eine in p nieht singul~ire n-reihige differenzierbare Matrixfunktion auf U ist, det(a~(p)) =~ 0 (i,j = 1, . . . , n). Die Felder (2.9) bestlmmen eine kovariante Differentiation D'--~ PD' in p. Nehmen wit an, dal~ D und D' fibereinstimTnen, d. h. gilt Da~)(X) = D'a(p)(X) fiir alle diffb. Vektorfelder X auf U und alle Vektoren A(p) ~Mp, so erhiilt man ffir die Transformationsm~trix (a~) die Bedingung, dal~ ihr (gewShnliches) Differential im Punkt p versehwindet (da~)(p) -~ O,

i, j -~ 1, . . . , n,

(2.10)

d. h. die Matrix (a~) ist ha Punkt p stationar. Ist umgekehrt (2.10) erffillt, so sind die Felder (2.9) ebenfalls punktale Basisfelder ffir D. Die kovariante Differentiation in p bestimmt also eine (~quivalenz-) Klasse yon punktalen Basisfeldern, wahrend umgekehrt ]edes Element dieser Klasse die kovariante Differentiation eindeutig bestimmt. Entsprechend wie in w 1, lal~t sieh mit Hilfe der zu D gehSrigen punktalen Basisfelder B1. . . . , B~ noch auf eine zweite Art eine kovariante Differentiation D' ~ PD' in p defiaieren, die wieder die zu D transponierte kovariante Differentiation heil~t. Sei wie friiher A(p) ~- a~'B~,(p)

(2.11)

trod daraus das diffb. Vektorfeld A auf U gebfldet, nach der Vorschrift

334

J. Schmid A =

(2.11')

Damit definieren wit = [A, X](p).

(2.12)

Fiir D' gelten die entspreehenden Regeln (PD'I), (PD'2), (PD'a), wie ffir D. Werden die Felder B 1 , . . . , Bn entspreehend (2.9) und (2.10) transformiert, so ttndert sich D' dabei nicht. Mit Hilfe der Derivation 2(A) laBt sich wie in w1 die kovariante Differentiation D' direkt auf die ganze Tensoralgebra um p erweitern. 2,2. Nun sei jedem Punkt p yon M eine kovariante Differentiation ~D gemttB (2.2) bzw. (2.4) zugeordnet, d. h. zu jedem Punkt p ffM gibt es eine Umgebung U(p) und darauf diffb, punktale Basisfelder PB1, . . . , PBn. A sei ein (nicht notwendig diffb.) Vektorfeld und X ein diffb. Vektorfeld auf M. Dann definieren wit die Di//erentiation yon X nach A als das Vektorfeld Da(X), bestimmt durch Da(X)(p) = PDa(p)(X), p e M, (2.13) wobei PD~(v)(X) entsprechend 2.1 mit Hilfe der zu PD gehSrigen punktalen Basisfel4er PB~, . . . , PB~ zu bilden ist. Aus den Eigenschaften der punktalen kovarianten Differentiationen folgen die entsprechenden globalen Eigenschaften: Sind Y ein weiteres diffb. Vektorfeld auf M, B ein weiteres (nicht notwendig diffb.) Vektorfeld, a und b (nicht notwendig diffb.) Funktionen und ] eine diffb. Funktion auf M, so gilt

(31)

Daa+bB(X) = aDA(X ) + bD~(X),

(D~)

DA(X + Y) = D~(X) + D~(Y),

(Da)

Da(/X) = (A]) X + IDa(X) 4

2.3. H~ngen die punktalen kovarianten Differentiationen yon 2.2 auf M differenzierbar zusammen, d. h. so, dal] fiir io zwei diffb. Vektorfelder A und X auf M stets such das nach (2.13) gebildete Feld Da(X) dffferenzierbar ist, so ist auf M definitionsgemiiB eine kovariante Di]/erentiation D und damit ein linearer Zusammenhang, der aueh mit D bezeichnet werde, eingefiihrt. Da(X) heil~t die kovariante Ableitung yon X nach A. Ffir die so definierte kovariante Differentiation gelten entsprechend die Regeln (D1), (D2), (Ds). In diesem Fall wird man dazu im allgemeinea nut diffb. Vektorfelder A, B und dfffb. Funktionen a, b in Betracht ziehen. Ist S eia dfffb. Tensorfeld der Stufe (r, s), so wird die kovariante Ableitung Da(S ) = D a S 4 yon S naeh dem Vektorfeld A entsprechend definiert dutch

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges (D~ S)(p) ---- VDa(p)S

335 (2.14)

und ist wieder ein diffb. Tensorfeld der Stufe (r, s), falls A differenzierbar ist. Entspreehend wird das kovariante Di/]erential DS yon S fiber die punktalen kovarianten Differentiale wie in 2.1 definiert und es gelten daffir die dort angegebenen Formeln global. DS ist insbesondere ein differenzierbares Tensorfeld der Stufe (r, s Jr 1). Umgekehrt wird nach Koszul dutch einen Operator D, der je zwei diffb. Vektorfeldern A, X auf M ein diffb. Vektorfeld D~(X) auf M zuordnet and den Regeln (D1), (D2), (Da) genfigt, eine kovariante Differentiation (im fibliehen Sinne) auf M definiert. Vgl. [11], [10], [9]. Wie friiher 1/iBt sich zu einer kovarianten Differentiation D die dazu transponierte kovariante Differentiation D' auf M einffihren dutch D'a(X)(p) = PD'~(p)(X),

(2.15)

wobei die reehte Seite von (2.15) naeh (2.12) ztt bilden ist. D un4 D' hiingen wie in w 1 miteinander zusammen: Sind X und Y diffb. Vektorfelder ~uf M, so gilt D ' x ( Y ) = D~.(X) -- [Y, X]. (2.16)

w 3. Die klassisehe Definition des linearen Zusammenhanges Es soll nun der Zusammenhang der im vorhergehenden kbschnitt eingeffihrten kovarianten Differentiation mit der fibliehen Definition mit Hilfe der Christoffelsymbole explizit hergestellt werden. Dazu braucht man nut (2.2) auf ein allgemeines Bezugssystem umzuschreiben. 3.1. Auf M sei im Punkte p eine kovariante Differentiation D ~ VDa entsprechend 2.1, Formel (2.2), definiert. Die zu D gehSrenden punktalen Basisfelder seien zusammenfassend mit b ~ - ( B 1. . . . , Bn) =(VB1, . . . , PB~)= Pb a bezeichnet und in einer Umgebung U yon p definiert. In U sei ein weiteres punktweise linear unabh/~ngiges System yon n diffb. Vektorfeldern e = (El, . . . , E~) gegeben, das als Bezugssystem (ffir Vektor- bzw. Tensorfelder) dienen mSge. Die Komponenten eines Vektorfeldes auf U sind also Funktionen des jeweiligen Bezugssystems (und des Ortes). Dementspreehend sehreiben wir das in 2.1 benutzte diffb. Vektorfeld X auf U, das in p nach dem Vektor A(p) C Mp differenziert werden soll, folgendermal]en an X ----X'(b) B , • X'(e) E,, X(p) --: X"(b(p)) B ( p ) = X'(e(p)) E,(p).

(3.1)

Entsprechend haben wit A(p) = A*(e(p))E~.(p), und ffir die punktalen Basisfelder

336

J. Schmid

B~ : B~(e) E~, B~(p) = B~(e(p)) E~(p), i = 1, . . . , n.

(C~) sei die zu

(3.2)

(B~) inverse Matrixfunl~ion auf U:

B~ Cj~ = Bj,, C~i__ -- ~,i

i,j=l,.

. .,n.

(3.3)

i = 1, . . . , n

(3.4)

i = 1, . .. n.

(3.5)

Aus (3.1) und (3.2) folgt

X~'(b) B~(e) -: X'(e), und mit (3.3)

X'(b) : Q,(e) ~ X"(e), Differentiation von (3.4) nach A(p) gibt ffir

v ---- 1, . . . , n

A(p)(X~'(b)) B~(e(p)) + X~'(b(p)) A(p)(B~(e)) = A(p)(X'(e)),

(3.6)

wobei also ~(e(p)) den Weft der Funktion Bi(e ) im Punkte p bedeutet, usw. Schliel]lich bezeichnen wir noch die Ableitung yon B~(e) nach Ea(p) mit B',(e(p)),~ = E~(p)(B'~(e)) 1, ebenso X~'(e(p)),~ = E~(p)(X~'(e)). Mit ttilfe yon (3.2), (3.6), (3.5) und den eb~n eingefiihrten Abkiirzungen kSnnen wit jetzt die kovariante Ableitung yon X nach A(p) in (2.2) auf das e-System nmschreiben:

D~(p)(X) = A(p)(X~'(b)) B~,(p) = A(p)(X~'(b)) B~(e(p)) E,(p) = = {A(p)(X'(e)) -- A(p)(B~(e)) X~'(b(p))} E,(p) -~ -: A~(e(p)) {X~(e(p)),~ -- B'~(e(p)),~ G~(e(p)) X~(e(p))} E,(p). Setzen wit noeh fiir i, j, k = 1, . . . , n

Pl'~k(e(p)) = F~k(e(p)) = -- B~(e(p)),i C~(e(p)),

(3.7)

so erhalten wit welter

D~(p)(X) = A~(e(p)) {X'(e(p)),~ q- I~,~(e(p)) X~(e(p))} E,(p).

(3.8)

Mit der weiteren gebr/iuchlichen Abkfirzung

X'(e(p)) h = X~(e(P)),~ -k /~(e(p)) X"(e(p)),

(3.9)

erh/flt man schlieBlich

D~(p)(X) -: A~(e(p)) X'(e(p))h E,(p).

(3.10)

Die Formeln (3.8), (3.9) und (3.10) sind die fibliche Form ffir die Darstellung der kovarianten Ableitung, wenn man noch speziell als

Zum Begriff des linearen Zus~mmenhanges

337

0 Bezugssystem e die Vektoffelder u-----(~uuv . . . , ~uu,) zugruncle legt, die zu einem Koordinatensystem (ul, . . . , u~), das wieder zusammenfassend mit u bezeichnet werde, in U gehSren. Ist ]-= (F1, ... , F~) ein weiteres Bezugssystem auf U, so h/~ngen e und / dutch eine nicht singul/~re Matrixfunktion a ----(a~) auf U zusammen: Fj = a~ E a (j = 1, . . . , n). Sei b -----(b~) die zu a inverse Matrixfunktion auf U: a~ b7 = a~ b~ ----~ (i, j -----1, . . . , n). Drfickt man D~)(X) ira Bezugssystem ] aus, so erh~lt man in (3.8) ein Wertesystem F~(/(10)). Ausgehend yon der (3.7) entsprechenden Formel fiir das Bezugssystem /, rechnet man direkt naeh, dal~ sich die / ~ wie die Komponenten eines linearen Zusammenhanges transformieren

=

7(10) b,(10) +

(3.1:)

3.2. Sei nun entsprechend 2.2 flit jeden Punkt io 6 M eine kovariante Differentiation VD definiert, derart, da$ diese wie in 2.3 zu einer kovarianten Differentiation D auf ganz M Anlal~ geben, d. h. mit zwei diffb. Vektoffeldern A und X immer auch Da(X ) differenzierbar ist. Aus (3.8) folgt, alas dann die /~(e) auf der Umgebung U, auf der das Bezugssystem e definiert ist, differenzierbare Funktionen sind. Die F~., mit der Transformationsregel (3.11), slnd die Kom10onenten des linearen Zusammenhauges. Die Formela (3.8) bis (3.10) fassen wit kurz zusammen in der Form D A X ) ~ = {X',a + r~. X"} A ~ = X~;~ A ~ i---- 1, . . . , n . (3.12) Xr = X~,~ + / ~ , X ~ Bezieht man die zu D transponierte kovariante Differentiation D' auf dasselbe Bezugssystem wie D, so erhalt man entsprechencl D'z(X) ~ = {X',x + / ~ , X"} A x, mit/~'~., = / ~ . (3.13)

w 4. Die DeIini/ion des linearen Zusammenhanges mit Itilfe des ltauptfaserbiindels der n.Beine Das Ziel dieses Abschnittes ist es, ausgehend yon der Definition der kovarianten Differentiation in w 2, die moderne Definition des linearen Zusammenhanges mit tIilfe des Hauptfaserbiindels der n-Beine herzuleiten. 4.1. M sei wieder eine n-dim., diffb. Mannigfaltigkeit, P das zu M gehSrige I-Iauptfaserbiindel der n-Beine yon M, ~: P -+ M die natiirlithe Projektion yon P a u f M, die jedem Punkt yon P, d. i. jedem (nicht 5Ionatshefte fiir Mathematik. Bd, 68/4.

22

338

J. Schmid

ausgearteten) n-Bein yon M, den Angriffspunkt des n-Beines in M zuordnet. Auf P operiert die allgemeine lineare Gruppe G = Gl(n, R), d. i. die Gruppe der n-reihigen nicht singularen reellen Matrizen, yon rechts, P • G --~ P, nach folgender Vorschrift. Ist x = (X1, . . . , X~) C r und g = (g~) eG, so gilt (x,g) --> xg = (g~ X~,g~ X~, . . . , gn~X~). Jeder Punkt x von P induziert eine lineare Abbildung eines festen n-dimensionalen, reellen Vektorraumes V -- der Standardfaser des Tangentialbfindels TI(M) von M -- in den Tangentialraum M~(x). Sei dazu vl, v~. . . . , v~ eine (ira folgenden festgehaltene) Basis von V. Die Abbildung x : V -> M~(x), mit x = (X1, . . . , X~) C P, ffihrt vi in X i fiber: x ( v i ) = X i (i = 1 , . . . , n). G operiert von links auf V nach folgender Vorschrfft: (g, vi) --> gv~ -= g~a v~ (g = (g~) C G). Ffir die obige Abbfldung gilt: (xg)(vi) = x(gv~). Vgl. [11], [12]. U sei eine Koordinatenumgebung eines Punktes io von M mit den Koordinaten u = (u1, uS, . . . , un). Weiter sei auf U ein Bezugssystem e = (El, E2, . . . , E~) im Sinn yon w 3, d. h. ein System yon punktweise linear unabh~ngigen, diffb. Vektorfeldern gegeben. In ~z-l(U) fiihren wir 1 die Koordinaten (u, e) -~ (u1, u 2, . . ., u ~, E~, E~, . . . , E~, E 21. . . . , E~) ein, wobei ffir einen Punkt x = (X 1. . . . . Xn) C~z-I(U) gelten soll

u~(x) = u"(z(x)), Xj = E~(x) E~(~z(x)), i , j = 1, . . . , n. Mit den Bezeiclmungen von w 3 gilt also, wenn z(x) = p ist: E~(x) = -= X~(e(p)). Die Ei(x ) sind also immer Elemente einer nicht singul~ren n-reihigen Matrix (E~(x)). 4.2. Im Punkt p C M sei entsprechend 2.1 eine kovariante Differentiation D = PD definiert. Sie ist bestimmt durch Vorgabe eines Systems von n punktalen Basisfeldern b = (B 1. . . . , B~) = (PB1, . . . , PB~) = Pb, die in U ddiniert sein mSgen ~. Diese Basisfelder lassen sieh auffassen als eine diffb. Schnittflache fiber U in P, d. h. eine diffb. Abbildung b: U -~ P. (3.8) und (3.7) zeigen abet, wie schon friiher angedeutet, dal~ man von dieser Schnittfl~che nur den Punkt fiber p und n linear unabh~ngige Tangentialvektoren an die Schnittflache in diesem Punkt braucht, um die kovariante Differentiation D in p festzulegen. Denn D ist im Bezugssystem e bestimmt dutch die n 3 Zahlen I'~,,(e(p)), die ihrerseits nach (3.7) durch die n 2 Zahlen C~(e(p)) und die n 3 Zahlen B~(e(p)),~ festgelegt sind. Das n-Bein x = b ( p ) = ( B l ( p ) , . . . , B,(p)), mit B~(p) -~ B~(e('p)) E~(p) --=E~(x) E~(p), bestimmt die Matrix (B~(e(~))) und damit die dazu inverse Matrix (C~(e(p))). Die Bflder der Vektoren E~(lo) beim Schnitt b sehliel]lieh bestimmen die Zahlen /F~(e(p)),~. Von

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

339

den Abbfldungen db in den Tangentialritumen, die dutch b: U -> P induziert warden, bezeichnen wit diejenige zwischen den Tangentialriiumen der Punkte p und x -~ b(p) mit Dx. Dann gilt fiir j ---- 1 . . . . , n

D (Ej(p)) =

Sj(x) = R (p)(u

!x"

Ix

(4. ])

Welter gilt

d~(~j(x)) = z(Ej(x)) = Ej(p) 5,

j = 1, . . . , n.

Hi~tten wir der Differentiation D ein anderes Bezugssystem /----(F1, . . . , Fn) zugrunde gelegt, so wiiren dutch die dazu gehSrigen Bestimmungsgr51~en von D, I'~(](p)) bzw. C~(/(p)) und B~(/(p)),~ wieder der Punkt x = b(p), abet die Vektoren Dx(F~(T) ) = _F,(x) bestimmt women, die abet wieder tangential an die Schnittfliiehe b in x und somit Linearkombinationen der ~z(x) sind, wie man leieht auch direkt naehrechnet. Bezeichnet man den Tangentialraum yon P im Punkt x C P mit P~, so kann man den bisher festgestellten Sachverhalt so ausdriieken:

Die kovariante Di]]erentiation D i m Punkt p induziert eine lineare Abbildung Dx : Mp --> P~, mit d~ o Dx ~ Identit~t. Umgekehrt bestimmt diese Abbildung die kovariante DiHerentiation in p. Dx ist abet schon dutch das Bild Q, ~- Dx(M~) und dz eindeutig festgelegt und es gilt die direkte Summenzerlegung P~ = G~ 9 Q~,

(4.2)

wo Gz den Teilraum yon P~ bezeichlmt, der tangential an die Faser 7c-1(p) in x ist. Legt man schliel~lich der kovarianten Differentiation in p nieht die Basisfelder b=( B1, . . . , Bn) zugrunde, sondem die mit g-~(g}) ~ G transformierten Felder bg = (g~ B , , . . . , g~ B~), so kommt man zur selben Differentiation, wie sehon in 2.1 festgestellt. (Allgemeiner kSnnte g noch von den Punkten auf U (diffb.) abh~ngen, solange nut die dadurch vermittelte Abbildung g: U ~ G i n p station~tr ist, d. h. dg=O inp gilt. Das wiirde aber im Endeffekt ffir die folgende l~berlegung niehts Neues liefern.) In diesem Fall erhiilt man einen n-dim., linearen Teflraum Qxg von P~g ira Punkte (bg)(p)~-b(p)g-~ xg von P. Die durch bg Im allgemeinen werden wir fiir eine diffb. Abbildung und die von dieser induzierten Abbildung in den Tangentialr~umen dieselbe Bezeichnung verwenden. 22*

340

J. Schmid

bestimmte Schnittfl~tche ist die mit Hilfe von g verschobeae Sehnittfl~tehe b. Damit ist auch Q~a der bei g verschobene Raum

Q~g = Q~g 5

(4.3)

(Bei der allgemeineren Situation folgt das wegen (dg)(p) -----0.) Also gilt zusammenfassead:

Die kovariante Di//erentiation D im Punkt p C M bestimmt zu jedem Punkt x C z-l(p), der Faser iiber p, einen an die Faser komplementgren Teilraum Q~, d. h. es gilt (4.2) ]i~r jeden Punkt dieser Easer. Diese Riiume hiingen miteinander dutch Verschiebung mit den Elementen g C G, entsprechend (4.3) zusammen. Die Teilr/~ume Q~ heiBen horizontale Teikiiume, die Tangentialr/iume an die Faser G~ hei]]en vertikal. Ebenso werdea die Vektoren aus diesen zueinander komplementaren R/iumen horizontal bzw. vertikal genannt (vgl. [1], [11]). Sei nun in jedem Punkt p C M eine kovariante Differentiation definiert, die zu einer kovarianten Differentiation D auf M Anlal~ geben. Die zu D gehSrendea horizoatalen Teilriiume Q,, die dana in jedem Punkt x C P definier~ sind, hitngen in diesem Fall differenzierbar miteinander zusammen. Das heil]t, zu j edem Punkt x C P gibt es eine Umgebung W yon x und n panktweise linear unabhangige diffb. Vektorfelder auf W, die in ]edem Punkt y yon W den Raum Qu aufspannen. Das folgt aus dot Dffferenzierbarkeit der / ~ in einem festen Bezugssystem e, das auf einer Koordinatenumgebung U von p C M mit den Koordinaten u = (u1. . . . , u s) definiert sein mSge. In W = ~-I(U) werde dana das Koordinatensystem (u, e) yon 4.1 verwendet. Aus (3.7) folgt

B~(e(p)),~ = -- l~aq(e(p)) B~(e(p)) ---- -- F;q(e(p)) E~(b(p)). Die Vektorfelder/~i, definiert auf z-I(U) dureh 0 a L(y) " _ E~(q)(u . ) a.u . . I Y ~Q(e(q))"(Y)aE; I Y'

(4.4)

(4.5)

(j = 1, . . . . n), mit q = ~(y) C U, sind differenzierbar und spannea nach (4.4) und (4.1) den Raum Qy auf. Umgekehrt erhalt man aus der Vorgabe der Q, mit den Eigenseha~en (4.2) and (4.3), ffir alle x C P, die Klassen der zu einer (kovarianten) Differentiation D gehSrigen punktalen Basisfelder odor D direkt. (Vgl. die Definition eines Tangentialvektors mit IIilfe einer Wegeklasse,

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

341

z. B. [5].) Damit haben wit die moderne Definition des linearen Zusammenhanges (vgl. [11]):

Ein linearer Zusammenhang au] einer di//b., n-dim. Mannig/altigkeit M ist gegeben dutch ein di/]b., n-dim., horizontales Richtungs/eld x --> Qx au/ dem zu M geh6rigen Haupt/aserbiindel P der n-Beine yon M, das gegeniiber der Rechtsoperation yon Gl(n, R) au/ P invariant ist. 4.3. Eia linearer Zusammenhang auf M induziert eine vollstgndige Parallelisierung von P ([11], S. 50, Prop. 1). Sei dazu D der lineare Zusammenhang auf M. Nach 4.2 induzier~ dieser zu jedem Punkt x ~ P einen Isomorphismus Dx:M~(x)---> Qz, der iavers ist zu der Einschr~inktmg yon dz auf Q~. Damit l~l~t sich jeder Vektor X C M~(~)in eindentiger Weise in einen darfiber liegenden Vektor Dx(X) = X G Q~ hoehheben, so dal~ also dn(~) -~ X grit. Der Basisvektor vi der Standardlaser V yon TI(M) (s. 4.1) gibt nun Anlal~ zu einem horizontalen Vek~orfeld B~ auf P, das folgendermal~en 4efiniert ist:

Bi(x ) ~-- Dx(x(vi)), x = (X1, . . . , X,) C P, i ~- 1, . . . , n. Bi(x ) ist also der horizontale Vel~or X~ an x, der fiber X i ~- xi(v ) liegt (s. 4.1). B1, B2, . . . , B~ sind n punktweise linear nnabhiingige Vektorfelder, die sog. Basis]elder auf P, die zu D geh5ren. Die Vektoren Bl(x), B2(x),..., B~(x) spanaen ffir jeden Punkt x ~ P den Ranm Q~ auf. Andererseits gibt die Rechtsoperation yon G a u f P Anla~ zu einer Daxstellung clef Liealgebra ~ (die zu den linksinvarianten Vektorfeldern yon G gehSrt) dutch vertikale dfffb. Vektoffelder auf P, d. h. diffb. Vektorfelder, die in jedem Punkt x yon P tangential an die Faser dutch x siad, also in G~ liegen trod diesen Raum aufspannen. Die zu G gehSrige Liealgebra ~ besteht aus allen n-reihigen Matrizen. Die A~ (i,j -~ 1, . . . , n) seien jene Basis yon ~, wo A~ die n-reihige Matrix ist, die ira Schnittpunikt der j-ten Zefle und der/-ten Spalte eine 1 und sonst lauter Nullen hat: ((Aj)h), (A~)h= Oh~j, i, j,/r h ---- 1. . . . , n. Dabei bedeutet/c den Zeilen- und h den Spaltenindex. Diese Basis yon iaduziert bei der obigen Darstellung n 2 vertikale, dfffb. Yektorfelder A~ auf P, die Fundamental~elder yon P h e l e n . Die Basis- und die obigen Fundamentalfelder yon P sind punktw e i s e linear unabh~ngig und stellen eine vollstiindige Parallelisierung yon P dar.

342

J. Schmicl

4.4. Wir gebea noch die explizi~e Dars~ellung der Basis- uad Fundamentalfelder im Koordinatensystem (u, e) yon 4.1. In U gelte 3 B~ = U~~3-~u",

.. . , n,

2=1,

also U~ = E~(u ~) ( = E~(u) in der Bezeichnungsweise yon 3.1, 2, u = = 1, . . . , n). Wit fassen U~ als Funk~ion auf~-l(U) auf, gem/~B U~(y) = = U~(z~(y)), fiir y 6 z - l ( U ) . U~ ist also konstant auf jeder Faser z-l(q), q 6 U. Entsprechend definieren wir /'~Q(y)- _r'~(e(p)), mit q = ~(y), (z, 2, 9 = 1, . .., n). Dann haben die horizontalen Vektorfelder Ej yon (4.5), die auf z~-l(U) definiert sind und bei z~ ( = dz) auf Ej projiziert werden, im Koordiaatensystem (u, e) die Form 3 ~ j = V;au~ ---

0 ~ ~ ~, r;oE~ 3E~,

j=

l, . . . , ~ .

(4.53

Damit 1/il~t sich B i auf ~-I(U) in der Form B i = E~ Ex darstellen, also sind die B~ differenzierbar uncles gilt 0

B i = L ~ U a, a u ~ - - .

/~,~ o ~a - ~ -~q . ~

0 '

i ---- 1,

"'"

n.

(4.6)

Ffir einen Vektor A = (A~)C g s und das zugeh6rige Fundamentalfeld A = A auf P gilt im Koordinatensystem (u, e) auf z-I(U) die Darstellung 3

~i - A~ E;aE; .

(4.7')

Insbesondere gilt ffir die Fundamentalfelcler A~, die zur speziellen Basis A~ yon g e gehSren 3 i , j = 1, . . . , n . A~ = E~a E ~. , (4.7) Sei a = (a~) CG und xff~-l(U). Dann sind die Koordinatenfunktionen im Punkr xa dutch diejenigen des Punktes x bestimmt nach der Regel u~(xa) =- u~(x), Ei(xa ) -=- a~ E,,(x), ~

i, j = 1, . . . , n.

(4.8)

Ffir einen Vektor B mad den bei a transformierten Vektor B a in P~ bzw. P ~ gelten fiir x ~ - ~ ( U ) die DarsSellungen Daft das eine Mal A/. die Bezeichnung fiir eine Matrix, das andere Mal fiir ein MaSrixelement ist, diirf$e wohl keine Verwirrung verursachen.

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

B -~

+ B' ~ -u'lx

343

~E~ ] xa" B ~'~-E ;Ix ,Ba -~ B ~Ou*l xa + %' B:~-~

(4.9)

Bedeutet a -1 die zu a inverse Matrix aus G, dann gelten ffir die Basisund Fundamentalfelder die folgenden Transformationsregeln B e a : (a-1)7 B~,

i --:- ], . . . . n,

(4.10) (4.11')

A a == a - ~ A a ,

speziell A ~ a = ( a -2 )~~ a~, A ~, ,

(4 . 11)

i , j = 1, . . ., n.

Fiir das Lieprodukt yon zwei Vel~orfeldern B u n d C auf P gilt (4.12)

[B, C] a ~- [Ba, Ca].

Mit G operier~ auch die Liealgebra 6 yon G a u f den Vektorfeldern yon P. Ist A = (A~) C 6, aft) die zu A gehSrige 1-parametrige Unterd gruppe yon G, a(0) -~ dta(t)lt=0 --= A, uncl ist C ein (diffb.) Vektorfeld auf P, so wir4 C dureh A folgendermal~en transformiert: (4.13)

C -~ ~ ( A ) C = lim~ {C - - Ca(t)} = [A, C] = s b-).O

wo A wieder das vertikale Vektorfeld (Fundamentalfeld) auf P ist, das yon A erzeug~ wird. Insbesondere gilt ffir die Basisfelder ~(A)B~ = A~ B, = [A, B~],

i = 1. . . . , n;

(4.14')

h, k, i = 1,. .., n

(4.14)

und fiir die spezielle Basis A~ von 6: h B~] -~ 0~h B k , ~ ( A kh) B ~ = [Ak, und ffir die Fundamentalfelder h i ~(Ak)A j

h [Ak,h A~]__ (~jh A~~ -- ~ki Aj,

h,~,i,j~--l,

...,n.

(4.15)

4.5. Zu den Basis- und Fundamentalfeldern Be, A~ (i, j -~ 1, . . . , n), die die vollst~ndige Parallelisierung yon P geben, betrachten wit die dualen, kovarianten Vektoffelder ok, ~ h, (k, h = 1, . . . , n). Sie mSgen entsprechend Basis- bzw. Fundamental]ormen hei~en. Das sind also diffb. 1-Formen ~uf P, bestimmt 4 ~ c h die Gleichungen

: ~,

O,

= 0 i

k

i k

i,j,k,h=:

1. . . . , n .

344

J. Schmid

Im Koordinatensystem (u, e) yon 4.1 bzw. 4.4 seien (iv~) bzw. (V~) die inversen Matrixfunktionen zu (E~) bzw. (U~). Damit gestattea die Basisund Fmadamentafformen in diesem Koordinatensystem auf ~-I(U) die Darstellung to~ = i ~

~ = ~

V~ du ~

k,h=

Eh~F,~ V~"du~ + ~ dE~

1, . . . , n .

(4.16)

(4.17)

(Dabei sind wie frfiher d i e / ~ auf e und (V~) auf u bezogen !) (4.16) mad (4.17) gebea die bekanntea 1-1q'ormen auf P, dutch die der lineare Zusammenhang auf M oft definiert wird. Ffir kovariante Vektoren bzw. Tensoren auf P definieren wit eine Rechtsoperation yon G dutch die yon den Elementen yon G induzierten kontragredienten Transformationen (vgl. [2]): Sind a CG, co(x) ein (beliebiger abet festgehaltener) kovarianter Vektor an x ~ P , B(xa) ein (variabler) kontravarianter Vektor an xa, so ist co(x)a tier kovariante Vektor an xa, definiert dutch = .

(4.18)

En~spreohead werden Funktionen / auf P transformiert: (]a)(x) = ](xa-1).

(4.18')

Damit gilt fiir ein (kontrav.) Vektorfeld C und eine diffb, lq'unktion / auf P (Ca)(/a) = (C/)a. (4.19) Fiir die Basis- un4 Fundamentafformen gelten dieTransformationsregeln " to~ a = a ueo, /~ - - I 9 tt w~a = at,(a )heo,,

a=(a~) ~G,k,h=l,...,n.

(4.20) (4.21)

Sehlie$1ich operier~ die Liealgebra g yon G a u f dea kovarianten, diffb. Vektorfeldera yon P. Seien o) eine diffb. 1-Form auf P und die iibrigen Bezeidmungen wie bei der Definition (4.13). Dann wird die Liederivierte s yon ~ bei A C g definierr dutch

~(A)oJ = lira ~{eo--o~a(t)}.

(4.22)

t+0

Insbesondere gilt fiir die Basis- und Fundamentafformen ~(A)a, ~ = -- A~ o)Q ~(A)~,~, - - -

A~~ oJh~ + Ag %*

k, h = 1. . . . , n.

(4.23) (4.24)

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

345

F fir eine diffb. Funktion / auf P gilt schlie~lich mit den obigen Bezeichnungen

~ ( A ) / = A/,

(4.25)

w 5. Kovariante Differentiation auf dem HauptfaserbUndel P Ein linearer Zusammenhang auf M induziert nach dem vorhergehenden eine vollstiindige Parallelisierung yon P. Diese gibt nachw 1 Anla~ zu einem linearen Zusammenhang auf P. Es soll nun die hSehst einfaehe Beziehung zwisehen den zugehSrigen kovarianten Differentiationen aLffM und auf P hergestellt werden (vgl. [7], [11]). In dieser Beziehung soll aueh die Reehtfertigung fiir die in der Einleitung aufgestellte Behauptung liegen, dal~ jede kovariante Differentiation in gewissem Sinn eiae solche ist, die yon einer vollst~indigen Parallelisierung, entspreehend w 1, induziert wird. M sei wieder eine linear zusammenhiingende Mannigfa]tigkeit der Dimension n, P das zugehSrige Hauptfaserbiindel der n-Beine yon M. Ebenso werden aueh die weiteren Bezeiehnungen von den vorhergehenden Absehnitten iibernommen. 5.1. Auf P betraehten wit differenzierbare Tensorfelder, und zwar interessieren uns speziell solche, die n ~ aus den Basisfeldern B1, . . . , B n und den dazu gehSrigen dualen Feldern (in bezug auf den gegebenen linearen Zusammenhang D yon M), den Basisformen ~o1, . . . , eon, aufgebaut sind. Sie sollen horizontale Tensorfelder hei~en. Ein solches (diffb.) Tensorfeld S der Stufe (r, s) hat also (bis auf kanonische Isomorphie) die Form S =._.1.... So,...orBol |

... |

|

| ... |

(5.1)

Die Komponenten S ~ yon S sind diffb. Funktionen auf P. Die Indizes @~und %. laufen dabei jeweils von 1 bis n, was wit im folgenden nicht immer ausdriicklich anschreiben werden (vgl. Ful3note 1). Der zu S gehSrige Tensor im Punkt x C P wird entsprechend bezeichnet mit "-~1

- 9 9 (T8

S(x) = S ..... ~,(z) Bo,(z) | O 1 . . 9O r

| Bor(x ) | o~ (x) |

| o~~

(5.1')

Die horizontalen Tensorfelder bflden eiae Un~eralgebra D(P) der Tensoralgebra T(P) yon P. G operiert yon rechts auf T(P) entsprechend (4.9) und (4.18) lmd ffihrt D(P) in sich fiber. Das bei a CG transformierte Tensorfeld S wird mit Sa bezeichnet. Nach (4.10) und (4.20) gilt

346

J. Schmid el

99

'O r

Sa = (S......8 a) B0, a @... @ Bo, a | ~", a | _.

--

(S~,::'er

(a. - - 1. ) ~ a. .~x . .. a ~ B ~

- - 1 ~q

.asa)(a

)e," .

| ~"~ a =

|

@B~r@

(5.2)

gl. 9 'gr

~o;.,@...|

.... ~sB~ | 1 7 4 1 7 4 1 7 4 1 7 4

mit .a;a)(a

(Sa)~::..~ 8

)e,"" (a)e~a~'"a~

(5. 2')

Ist S invariant bei a, also Sa = S, so gilt nach (5.2') ffir die Komponenten yon S ~'

"~r

el...er

S&...~8=(S ....... a ) ( a "

--1 ~t

I , - t - - l ~ r ,,.~

)e, "'" t~

'er~,"'a~s'

as

bzw.

(5.3) so,...%

.........

=

s;::

,

~8 ,~, " " a~ ta

).1"'" (a ).8"

Ist S invariant bei G, so gilt also (5.3) fiir allea C G. Die Operation yon G auf D ( P ) (bzw. T ( P ) ) gibt ftir jedes Element A = (A~,) C g Veranlassung zu einer Derivation ~(A) auf D ( P ) (bzw. T(P)). DefinitionsgemaB ist = lim 1~{8 -- Sa(t)},

s

(5.4)

wo a(t) wieder die zu A gehSrige 1-parametrige Untergruppe yon Gist. Insbesondere gilt ffir das Tensorfeld S in (5.1) ~(A)S = s

0...... .... 0,) Be ' |

A-i=1 Z S ..... e''''e" osBo~ | .

9| .

.~|

. | Be" |

| . .. |

+

. @ Boi_ 1 @ ~ ( A ) B e i | Bei+l |

|

.

|

8+~

S .o...... .... e, Be, |

(5.5)

j=l

... | Bet |162 a, |

| co"i-1 | ~(A)eo~162 | o~"j+l @ . . . |

~.

Mit Rficksicht auf (4.25), (4.14) und (~. 23) 1/iBt sich das weiterschreiben ~(A)S={A(S

Ol.. "Or

...... ) +

~

ei l~ el''" ei--1 u Oi-bl"" "Or __

A~ _ , .... o

i=1 8

_ r, ~~o i ~ a,u ~..... .... o~i_l~aj+~ ..... ~J B ~, |

und damit fiir die Komponenten

" " | Bo, |

|

| eo"8

(5.5')

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

= A(So,..~ . . . . .o),, +

347

(5.5")

.... i~1

8

9 "~a~...c,~_ 1 ~ ~j§

".as

Ist S Lkvariant bei G, so wird S yon 2(A) annuUiert ffiralle A aus ~.

(Falls M zusammenhiingend, orientierbar und orientiert ist und man sich auf das Hauptfaserbiindel P' der (positiv) orientierten n-Beine von M beschr/inkt, dessen Gruppe die 1-Komponente yon Gist, ist diese Bedingung auch hinreichend ffir die Invarianz.) Die bei G invariantea Tensorfelder heigen kurz invariante Tensorfelder. Die horizontalen, invarianten, diffb. Tensorfelder hei]en basisch (vgl. [3]) 7. Die basischen Tensorfelder yon P bilden eine Unteralgebra B(P) yon D(P). B(P) (und ebenso D(P)) ist auch abgeschlossen gegeniiber der Verjfingung. Ffir elk basisches (kontrav.) Vektorfeld C gilt msbesondere ~(A)C -- [A, C] = 0,

A C ~.

(5.6)

Ffir die Komponenten eines basischea Tensorfeldes S -- immer bezogen auf die Basisfelder und Basisformen -- gilt nach (5.5") die infinitesimale Invarianzeigenschaft A(Sal.:oa:)*Q1.

. ~ .... ~'t - - i ~I l A~i,~e.... ~ i - l ~ i + ~ . . . ~ , =J=~1 A~j"Jot...a]_l,~a]4_l...as

(5.7)

ffir alle A = (A~) G ~ und die zugehSrigen Fundamentalfelder .4 auf P. (Umgekehrt sLkd horizontale Tensorfelder auf P' mit dieser Eigenschaft invariant, also basisch.) Zu einem linearen Zusammenhang auf M gehSr~ also eLkdeutig eine basische Tensoralgebra auf P. Die verschiedenen basischen Tensoralgebren yon P sind aber zueLkander isomorph nach dem folgenden

Satz 1. Die zu einem linearen Zusammenhang au] M geh6rige basische Tensoralgebra B( P) yon P ist kanonisch isomorph zur di]/b. Tensoralgebra T(M) yon M. Die Verjiingung ist vertauschbar mit diesem Isomorphismus. Beweis. Ist S elk basisches Tensorfeld der Stufe (r, s) auf P, so zeigt (5.3), da~ die Komponenten yon S in den Punkten x ~ z - l ( p ) die Komponenten eines Tensors S (der gleichen Stufe) im Punkt p ~ M sind, bezogen auf das ieweilige n-Bein x von M. Dieser Schlul~ 1/~l~t v Die Basisfeldersind nicht basisch!

348

d. Schmid

sieh umkehren. S ist mit S dffferenzierbar und umgekehrt. Der Zusatz fiber die Verjiingtmg folgt ebenfalls sofort aus der Definition yon bzw. S. Zusatz zu Satz 1. Das Lieprodukt von zwei basisehen Vektoffeldern auf P ist im allgemeinen nicht mehr basisch, wohl aber invariant naeh (4.12). Bei der Isomorphie von Satz 1 entspricht dem Lieprodukt zweier diffb. Vektoffelder auf M der horizontale Teil des Lieproduktes der entspreehenden basischen Vektorfelder (s. [11], S. 27, Lemma 2). 5.2. Betrachten wit nun auf P die durch die vollstandige Parallelisierung induzierte kovariante Differentiation A entspreehend w 1. Sind S ein diffb. Tensorfeld auf P mad C ein Vektorfeld auf P, so erhiflt man die kovariante Ableitung Ac(S) yon S nach C dadurch, dag man die Komponenten yon S -- wie immer bezogen auf die Basis- und Fundamentalfelder mad deren duale Felder -- naeh C differenziert. Ffir das Tensoffeld S yon (5.1) gilt also Ads)

= _,._~, ~, Bo~

|

.|

.

Bo, . .|

A t.~o .... 0, Ct~/al

. . .Cr

~. , .|

| ~o~,

O,(,go.... o,~ :

(5.8)

(5.8')

--~.'--O" 1. . .aS/"

Wir besehranken mls nun insbesondere auf basische Tensorfelder. Daffir gilt Satz 2. Die kovariante Ableitung zlc(S ) eines basischen Tensor]eldes S nach einem basischen Vektor]eld C ist wieder basisch. Beweis. S babe die Form (5.1). Dam.it hat Av(S ) die Form (5.8)

und die Komponenten haben die Form (5.8'). Fiir (5.8') ist daher die Giiltigkeit der (5.3) entspreehenden Formel unter den im Satz genannten Voraussetzungen naehzuweisen. Unter Berficksichtigung yon (4.19), Ca = C und (5.3) gilt C(S o.... o~)a(a-lV, i.-lv~.(h . . . a~ = Clio .... Ora~(a-~ ~ I al...lTr K 701 """ ~('~ ]01.r --~[~al...(I $ I~, )01 """ ...

(a

--1 ~

C(S~::.~'),

al

)q;aa, ...

a~;

G((,~o,...Ora~(a-1),~ -----

,,-,,..as ,,

.

[_-li%

.az

,o, " t~ / o , ~ , " " a~)

=

w.z.b.w.

Das kovariante Differential eines basischen Tensorfeldes ist dagegen im allgemeinen nieht mehr basisch, wohl abet dessert horizontaler Tell. Es ist zweckm~l]ig, den Differentialoperator A aufzuspaiten in einen horizontalen und einen vertikalen Teil, d. h. nach den Differentiationen in horizontMer mad in vertikaler Richtung

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges A = Ah |

349

A~.

(5.9)

Ffir das Tensorfeld S in (5.1) gilt dann 0~. A h ( S ) = B , , ( S ...... ~)B~ |

.. @ Bq |

9 9 ~r

A~(S) = _~,._,, A'(,q~ ..... .... ~~,B~, |

.

.| .

. | .

|

|

. |

|

~, |

(5.9')

0* r (5.9")

Ah(S ) heiBt das horizontale kovariante Differential yon S, A~(S) das vertikale kovariante Differential yon S. Zur Abkfirzung schreiben wir noeh Sea .... e~ _~ n~ 0 . \ ~ 0t,qa...e,~ 1 . . . 0*8 ~ ~t .1 9 9 9 O'3!"

(5.9"')

Mit diesen Bezeichnungen gilt Satz 3. Das horizontale kovariante Differential Ah(S ) eines basischen Tensor/eldes S der Stu]e (r, s) ist ein basisches Tensor/eld der Stu]e (r, s ~- 1). Beweis. Mit Riicksicht auf (4.19), (4.10) und (5.3) gilt ta ~ r a . as 0* )~, ... , ,~, ~, ..aasaa -- -- (B~ a) (S~::"q' a) (a -1 )q, ~, ~ a~: (a -1 )q~ a ~ a~0* 9 .0*s;0*a)(a

-~ (a )0*aaBe((So ."q" . a~ = B~ (S~::::~:) =

S~...~,~,

.

.. w.~.b.w.

Ist S ein horizontales, diffb. Tensorfeld und C ein horizontales Vektorfeld, so gilt Ao(S ) = (AS)(C) = (Ah S)(C) ~. 5.3. Die kovariante Differentiation und -- mit der offensichtlichen Einschriinkung auf den horizontalen Tefl -- das horizontale kovariante Differential lassen sieh also innerhalb der basischen Tensoralgebra ausffihren. Ffir den Zusammenhang der kovarianten Differentiationen auf P und auf M gilt nun Satz 4. Bei der Isomorphie yon B(P) mit T(M) geht die kovariante Ableitung au] B(P) in die au] T(M) iiber. Ebenso geht das horizontale kovariante Differential au/ B(P) in das kovariante Di//erential au] T(M) iiber. Beweis. Wit beweisen zun~chst den zweiten Teil des Satzes. S sei ein basisches Tensorfeld der Form (5.1). Wir betrachten es in der Koordinatenumgebung (u, e) yon (4.1). Der dureh die Isomorphie B(P) ~__ T(M) yon S induzierte Tensor ~ p ) im Punkt p C U hat im Bezugssystem e (atff U) die Komponenten

350

J. Schmid a t . - .:.~(p) s ~,.. ,a =

s$::::~:(e(p)),

e(p) =

(E~(p), . . ., E~(p)).

Mit den Bezeichnungen yon 4.1 und 4.5 gilt also o ~ . . . Or

wobei S~,..& als Funktion auf zr-l(U) aufgefaBt, nur yon den Koordi-~i

9*- a r

naten u 1, . . . , u* abhangt. Wir brauchen noch die Ableitungen a

a

_ _

____

@

D a m i t gilt m i t Riicksicht auf (4.6) und mit der obigen Bezeichnungs-

weise und der yon 3.1 3 S o~.... .... ~8.: E ~ U ~ - - ~ Sau"'~ .... ~,', ~ _ .....~, ,;o --P~,qQ - o , , - ...... ......

_ ~ , q ~ .... r~~ E~E,o _ aE~,._o .....~,,, ~ :

S

'

X - P ~' i=1 8

.

.

. ai--1

.

.

.

~

i

. i+1

.

. --a r

--

o~

~ fle~a~#S

as

r X F ,6~.. 'fls ] = 1

01 at

...

E,: ~(~,,a~,:) :+~ ... o, :~ : . . . . ...

~s

~"

PP:"'&.../~/-~",:/+I...Ps;

-~%E~, .

a,

:=1

. .

E~8E~ fls

,~

und damit 01"'

'0"8;U

el

. . . .

~-

- " ....", ~'1

" " ~

~

(5 ' 10)

also

AhS : DS, wo

A~S das yon A~S induzierte Tensorfeld auf M bedeutet. D a m i t ist

die zweite Behauptung des Satzes bewiesen. Sei nun C ein basisches Vektorfeld auf P, C das yon C induzierte Vektorfeld auf M. Dann gilt wieder fiir die Komponenten C" yon C im Bezugssystem e y

Dutch Multiplikation dieser Gleichung m i t (5.10) (und anschlieBender

Summation) folgt S~ .... 0.

&E"'

..

,,

~,...

o8

.~, .... ~ ~..

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

351

also

AcS -- D~S, wo wieder AcS das yon AcS auf M induzierte Tensoffeld bedeutet, womit der Satz vollstandig bewiesen ist.

Bemerkung. Abschliel~end sei zu diesem Abschnitt noch erw~hnt, dal~ es zweekmiil]ig ist, in diesem Zusammenhang nicht nut die basische Tensoralgebra auf P zu betrachten, sondern die gesamte (bei G) invariante, diffb. Tensoralgebra von P, bezogen auf die durch einen linearen Zusammenhang auf M induzierte Parallelisiertmg. Diese invariante Tensoralgebra steht in enger Beziehung zur basischen Tensoralgebra. Darauf soU jedoch in dieser Arbeit nicht waiter eingegangen warden. Ffir den Fall der (alternierenden) Differentiafformen auf M bzw. P, oder allgemeiner auf einem zu M gehSrenden Hauptfaserbfindel, auf dem ein infinitesimaler Zusammenhang erklitrt ist, vgl. [3], [4]. w 6. Torsion und Kriimmung Voraussetzungen und Bezeichnungen seien die gleichen wie im vorangehenden Abschnitt. Bildet man das Lieprodukt der Basisfelder auf P, so kommt man zur Torsion und Krfimmung des gegebenen linearen Zusammenhanges auf M. ~bergang zu den dualen Feldern liefert die Strukturgleichungen. Wendet man die Jacobi-Identit~t, die allgemein fiir (diffb.) Vektoffelder gilt, speziell auf die Basisfelder an, so erh~ilt man unmittelbar die klassischen Identit~ten, die zwisehen Torsionsund Krfimmungstensor und derea kovarianten Ableitungen bestehen. 6.1. Zerlegt man das Lieprodukt zweier Basisfelder in den horizontalea und den vertikalen Tell, so erh~lt man eine Darstellung [Bi, Bj] ---- Tj~ Bo + RT~~AM,

i, j ---- 1, . . . , n.

(6.1)

Tj~., R,~i sind dabei diffb. Funktionen auf P, deren Transformationsverhalten bei den Rechtsoperationen von G nun bestimmt werden soll. Wendet man a ~ (a~) ~ G auf (6.1) an, so erhiilt man mit Riicksicht auf (4.12), (4.10), nochmalige Anwendung yon (6.1) und wegen (4.11) durch Koeffizientenvergleich Tjia-~

~a,(a )i(a )~, R~jia:-= R,;.~a,(a )~(a )j(a )~.

Daraus folgt nach (5.3), dal~ T -----T~ B~ | (o~ | ~o"

(6.2)

352

J. Sehmid

und P. -~ R ~ B, | to~ | to" | to'

(6.3)

basische Tensoffelder auf P sind. Diese trod die itmen auf M entsprechenden Tensoffelder T uncl R heil]en das Torsions- uad das Kri~mmungs/e/d auf P bzw. M, des gegebenen linearen Zusammenhanges D auf M. Aus (6.1) folgt die schiefe Symmetrie dieser Tensoffelder in den (letzten) beiden kontravarianten Argumenten (bzw. kovarianten oder unteren Indizes). Die fibliche Deutung der beiden Tensorfelder ergibt sich leicht aus w 5. Seien X, Y diffb. Vektoffelder auf M, X, Y die ihnen entsprechenden horizontalen (und damit basischen) Vektoffelder auf P. Mit der fiblichen Darstellung X = X~B~, Y -----Y~B~ und (6.1) gilt [X, Y] = [X~B~, Y~B~] = X ~Y~ T ~ B~ + X" B~(Y~) B~ -- Y~B~(X ~) B~ +

+ X Y R ~ A~.

(6.4)

Nun ist abet X"B~(Y~)B~ = Ax(Y), Y~B~(X~)B~ = Ar(X ). Setzen wir noch welter X ~ Y~T~ B, = T(Y, X) und nennen dieses (basische) Vektoffeld aaf P das zu Y und X gehSrige Torsions]eld, so 1/~l~tsich (6.4) weiterschreiben in der Form ~ v~ X~ A;. [X, Y] = T(Y, X) + Ax(Y) -- At(X) + ~,z.

(6.4')

Der horizontale Tell clavon [X, Y]h = Ax(Y) -- At(X) -- T(X,

Y)

(6.5')

entspricht nach dem Zusatz zu Satz 1 dem Liel0rodukt [X, Y] auf M. Dem Torsionsfelcl T(X, Y) auf P entspricht auf M das Vektoffeld T(X, Y) (= T(X, Y)) mad man nennt es wieder 4as zu .~ und Y geh5rige Torsionsfelcl (von D). Mit den Siitzen 1 uncl 4 erh/~lt man damit T(X, Y) = D~(~') -- D~(X) -- [X, Y],

(6.5)

d. i. die wohlbekannte Deutung des Torsionstensors (vgl. [11], [9]). Die Komponenten des Torsionstensors lassen sich dutch die Komponenten des liaearen Zusammenhanges ausdrficken in der Form =

k,j, i =

1,...,

(6.5')

Sei Z ein weiteres diffb. Vet~offeld auf M, Z -~ Z"B, das ihm entsprechende basische Vektoffeld aaf P. Dana gilt Atx ' r](Z)-~ [X, Y] (Z~ Bo = X(Y(Z")) B , -

Y(X(Z~)) B, ----

= A x (ArZ) -- A r (AxZ).

(6.6)

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

353

Andererseits erh~ilt man mit (6.4)

AEz' ~(Z) = AEz' ~h(Z) + X ~ Y~ R,~ A~(Z') B,. Da Z basisch ist, folg%wegen (5.6) und (4.14) T A:(Z')B, = -- Z y[A,, B,] ---- -- Z ' B , .

Setzt man welter .~"vaP"~ ~ Z~B, = R(Y, X)Z und nennt dieses (basische) Vektorfeld das zu Y, X und Z gehSrige Kriimmungs]eld auf P (entsprechend auf M), so folgt damit un4 wegen der schiefen Symmetrie von R in Y und X A[x ' r](Z) -~ A[x ' rib(Z) + R(X, Y)Z.

(6.7)

Vergleich yon (6.6) trod (6.7) gibt R(X, f ) g = Ax(ArZ) -- A r ( A x Z ) -- AEx, r]h(g).

(6.8')

Ffir das Krfimmungsfeld R(X, Y)Z ( = R(X, Y)Z) auf M erh~lt man daraus die bekannte Form (vgl. [11], [9]) R(X, Y)Z ---- D y ( D ~ ) -- D~(Dz2) -- Dryr,F](Z).

(6.8)

Die Komponenten des Krfimmungstensors lassen sieh in bekannter Weise dureh die Komponenten des linearen Zusammenhanges D ausdriieken

=

- r~,, + r~, r ~ . - f ~ r,~..

(6.s")

6.2. Aus der Beziehung zwisehen dem Differential einer 1-Form und dem Lieprodukt yon Vektorfeldern (co(Y) = (Y, co), usw.) d(D(X A Y) : Xeo(Y) -- Yo)(X) -- o~([X, Y]) folgen mit ttiffe yon (4.14), (4.15) und (6.1) die Strukturgleichungen des linearen Zusammenhanges 1 d(.o k ____-(Dis ^ o)]z

~p

(6.9)

(_D A (DP

k,h = 1. . . . ,n.

1 d~i = < ^ (D~ + ~ R~is,~, ^ ~"

(6.10)

6.3. ScMie~lich soll noeh die Jacobi-Identitat ftir Vektoffelder speziell auf die Basisfelder angewendet un4 Koeffizientenvergleich gemacht werden. Es gilt jedenfalls

[[B,, B~], B~] + [[Bj, B~], B~] + [[B~, B,], Bj] = Agj, Bo + B~, A~ = O. Mit tIilfe yon (6.1) und (4.14) erhalt man fox die Koeffizienten Monatshefte f i r Mathematik, Bd. 68]4.

23

354

J. Schmid

A~j~ ---- T ~ T~ -5 T~ T~j -5 Tj~ T~ -- {Bk(Tj~) -5 B,(ir~j) -5 Bj(T[~)} -5

+ R;5~+ ~ + R~%, ~j~ -- R;k~ T~ + R:,~ T~'j+ R:~ T~ -- {B~(R:~,) + B~(R:j + B~(R:,~)}. Setzen wir noch wie in w 5 B~(T~) -- T~,;~, Bk(R;.~) -~ R~i,;~ usw., so haben wit wegen der linearen Unabhiingigkeit der Basis- und Fundamentalfelder die Identit~tten

T~;k+ T;j;,+ r~,j= T;,T~+ r~,~j+ TT~r~+~j~+RT~j+R~k (6.11) R:j~;k -5 R:kj;,-5 R:~k;j -----R:k ~ T~ -5 R~, T~ -5 R:#~ T~k .

(6.12)

Aus Satz 4 folgt, dal] (6.11) und (6.12) die bekannten klassischen Identitiiten zwischen Torsions- und Kriimmungstensor und deren kovarianten Ableitungen sind; (6.12) ist insbesondere die sog. Bianchi,Identit~it. w 7. Lineare Zusammenhiinge yon einfachem Typ

Die konsequente Verwendung der Basis- und Fundamentalfelder auf P, die zu einem linearen Zusammenhang D auf M gehSren, liefert einfache Beweise fiir die bekannten Beziehungen zwisehen linear zusammenh~tngenden Mannigfaltigkeiten, deren Krfimmungs- und Torsionstensor kovariant konstant sind, bzw. verschwinden und homogenen Raumen bzw. Liegruppen. Wir wollen in diesem Abschnitt auf diese Beziehungen kurz eingehen. Vgl. dazu [6], [7], [10], [11]. M sei wieder eine n-dim., diffb. Mannigfaltigkeit mit einem linearen Zusammenhang D, fiber den im folgenden immer stiirkere Voraussetzungen gemaeht werden. 7.1. Wir gehen aus v o n d e r Darstellung (6.1) ffir das Lieprodukt der Basisfelder auf P, die zu D geh5ren

[B~, Bj] = Tj~B~ + R~.~A~,

i,j = 1, . . . , n .

(6.1)

T~(x) bzw. R~ji(x ) sind, wie wit gesehen haben, die Komponenten des Torsions- bzw. Kriimmungstensors von D i m Punkte p ----~(x) auf M, bezogen auf das n-Bein x 6 P. Ffir diesen ganzen Abschnitt werde nun vorausgesetzt, dat~ das kovariante Differential des Kriimmungstensors auf M identisch versehwinde, d. h. auf ganz P gilt Bk(R~]~) = O,

k, h, l,j, i ---- 1, . . . , n.

(7.1)

Daraus und aus (6.1) folgt ~

"

01.

(7.2)

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

355

Mit Rfieksicht auf (5.7) gibt das die folgende Identitat ffir den Kriimmungstensor R~.~ R~hk + R~j~ R ~ + R~j~ R~h~ -- R ~ R;'h~ = 0, (7.3) die also gilt, falls D R = 0 ist auf M. Mit Hilfe von (4.15), (7.2) und (7.3) erh/~lt man die Darstellung ~ ~ k A~, -f- R~j~ ~ Rxh ~ ~ A~ ~ . [R~j, A~, R,~k A~] = R~j, R;~

(7.4)

Dutch Vertausehung der Paare yon Indizes (h, k) und (j, i) und Vergleich erh/~lt man daraus die weitere Identit~it R~.~ R,"~ + R~.~ R2h~ -t- R~h~R ~ + R~'hkR,~ = 0. (7.3') Die Vel~orfelder R~, A~ , j, i -- 1, . . . , n, (7.5) spannen in jedem Punkt x C P einen vertikalen Unterraum H~ c P~ auf. Diese Unterri~ume haben alle die gleiche Dimension m, 0 _< m ~< Denn aus (4.11) und (5.3) folgt R:s~(x) A~(x)a ---- (a-1)~(a-1)~. R ~ ( x a ) A~(xa) und damit Hxa c Hx~. Entsprechend gilt H~a a -1 c H~. Also gilt sogar H~a = H~a.

(7.6)

Fiir zwei Punkte x, y yon P, die sich auf P durch einen horizontalen Weg verbinden lassen, d. i. ein (stfiekweise glatter) Weg, dessen Tangentialvektoren alle horizontal sind, -- wir schreiben daffir x ~-, y, vgl. [1], [11] -- folgt aus (7.1) R~i(x ) = R~ii(y ) und damit aueh Gleichheit ffir die Dimensionen yon H~ und Hy, dim Hx = dim H r. Setzen wir nun weiter voraus, M sei zusammenhgngend. Dann lassen sich fiir je zwei Punkte x und z yon P ein Puakt y C P und ein Element a ~ G linden, mit x ~ y und z : ya (s. [1], S. 432; [11], S. 28, Prop. 1). Damit folgt allgemein dim//~ = dimH~, x, z C P. Wir haben damit ein (gegeniiber G) invariantes, vertikales und differenzierbares Richtungsfeld x -+ //~,

x ~ P,

(7.7)

auf P, das nach (7.4) involutiv ist, d. h. mit zwei (diffb., evtl. nut lokal definierbaren) Vektoffeldern geh5rt auch deren Lieprodukt zum Richtungsfeld. Realisiert man die 1-Komponenten der Holonomiegruppen, die zu den Punkten von M gehSren, als Unterr/~ume der betreffenden Fasern yon P, so ist, unter der Voraussetzung (7.1), (7.7) das zu diesen Holonomiegruppen gehSrende Riehtungsfeld (vgl. [1], [11]). 235

356

J. Schmid Schliel]lich betrachten wit das (invariaate,) diffb. Richtungsfeld x ~ H~ | Q~,

x 6P,

(7.8)

wo Q~ wie frfiher der horizontale Unterraum yon P~ ist, der zu D gehSrt. Aus (6.1), (4.14) uad (7.4) folgt, da~ (7.8) involutiv ist (vgl. [10], insbes. S. 62). Aus ehler maximalen, zusammenh~ngenden Integralmannigfaltigkeit P' yon (7.8) sind die R~i~ konstant tmd daher bflden die Einschr~nkungea der Vektoffelder (7.5) auf P' nach (7.4) eine reelle m-dimensionale Liealgebra I). P' ist wieder eia Hauptfaserbfindel fiber M mit der Holonomiegruppe als Strukturgruppe (s. [11]). 7.2. Setzen wir nun weiter voraus, da~ aueh das kovariante Differential D T des Torsionstensors identisch auf M verschwinde, d. h. auf P gilt dana ideatiseh Sk(T~) = O,

k, h, i , j = 1 , . . . , n.

(7.9)

Eatspreehend (7.3) erh~ilt man daraus (otme (7.1) vorauszusetzen) die Ideatitat R ~ T~z + R~ T~ -- R~i, T~ = O. (7.3") Auf der Integralmannigfaltigkeit P' von 7.1 sind dann sowohl die Komponeaten des Kriimmungs- als auch des Torsionstensors konstant trod damit bilden die Einsehr~inkungen der Basisfelder and der Vektorfelder (7.5) auf P' nach (6.1), (4.14), (7.4) eine reelle (n -+- m)-dimensionale Liealgebra I trod die Felder (7.5) eine Uateralgebra t) yon [ (vgl. [10], S. 62). P' l~il]t sich dann lokal zu einer Liegruppe maehen, auf der I) eine (abgeschlosseae) Untergruppe erzeugt. Damit haben wir den bekannten Satz (vgl. [7], [10]) Verschwinden au/ einer zusammenhiingenden Mannin]altigkeit M, au] der ein linearer Zusammenhang D de]iniert ist, das kovariante Di]]erential der Kriimmung und der Torsion yon D, dana lgiJ3tsich das au] die Holonomiegruppe reduzierte HauTt/aserbi~ndel P' yon P lokal zu einer LiegruTpe machen und M ist mit Hil/e yon P' lokal als homogener Raum dargestellt.

Ist M zus~tzlieh noeh ein/ach zusammenhiingend trod ist der lJ~eare Zusammenhang auf M vollstiindig (s. [7], [11]), so gilt die obige Quotientendarstellung yon M global, d. h. P' l~l]t sieh in diesem Fall zu eiaer (globalen) Liegruppe maehen, auf der I) eine abgesehlossene Untergruppe (die ttolonomiegruppe) erzeugt und M ist der (liake) Restklassenraum yon P' nach der Holoaomiegruppe ([7]).

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

357

7.3. Setzt man schlie~lich voraus, da~ auf der linear zusammenh~tngenden Mannigfaltigkeit M die Kriimmung identisch verschwinde, darm zeigt (6.1), dab das zum liaearen Zusammen]aang gehSrende Richtungsfeld x -~ Q, involutiv ist. Verschwindet aul~erdem noch das kovariante Differential der Torsion auf M, dana bilden die Einschrankungen der Basisfelder auf eine maximale, zusammenhiingende (ndimensionale) Integralmannigfaltigkeit Be dieses Richtungsfeldes eine reelle, n-dimensionale Liealgebra. Po lii~t sich damit lokal zu einer Liegruppe machen und ebenso die Mannigfaltigkeit M, die (lokal) diffeomorph zu Po ist. Ist M zusittzlich noch einfach zusammenhiingend und ist der lineare Zusammenhang vollsti~ndig, dana sind P0 und M (global) diffeomorph nad P0 und damit auch M lassen sich in diesem Falle global zu Liegruppen machen (vgl. [6]).

w 8. Beziehungen zwisehen linearen Zusammenh~ingen Zuni~chst gehen wit kurz auf die allgemeine Beziehung zwischen linearen Zusammenh~ingen auf einer Man_rdgfaltigkeR ein. Anschliel~end untersuchen wit zu einem gegebenen linearen Zusammenhang D den dazu transponierten Zusammen]aang D' und den dutch diese eindeutig bestlmmten torsionsfreien linearen Zusammenhang D O= ~ (D ~- D'). Unter geeigneten Voraussetzungen ergeben sich Verallgemeinerungen der Verhiiltnisse, wie sie bei der dffferentialgeometrischen Behandlung der Lieschen Gruppen auftreten (vgl. dazu etwa [6], [9]). 8.1. Sei M eine n-dimensionale, dffferenzierbare Mannigfaltigkeit, auf der zwei lineare Zusammenh~nge D bzw. D' gegeben seien. Bi, . . . , B n bzw. Bl',..., B: seien die zugehSrigen Basisfelder auf P. /1, . . . , t, bzw. ]1',..., f,/ seien zwei Systeme yon diffb. Fnaktionen auf M, fib die identisch ]~ ~- ]( -~ 1 auf M gelte (i = 1, . . . , n). F a ] t man diese FunkCionen als Funktionen yon P a u f s, -- jede Funktion ist dann konstant auf ]eder Faser -- so kann man die Vektoffelder B'( ----/~ B~ ~- I / B / 9 ,

i = 1, . . . , n,

(8.1)

auf P bilden. Sie sind punktweise linear unabhiingig auf P, transformieren sich bei G entsprechend (4.10) mid es gilt dz(B~'(x))---=d~(B~(x)) ~d~(Bi(x)) , x G P. Das heiBt, die (diffb.) Vektoffelder s D. h. m a n betrachtet die Funktionen ~*/i bzw. ~*fi', f'fir die wir aber wieder /~ bzw. /t' schreiben, wie das gelegentlieh (ffir andere Funktionen) auch schon frfiher gesehehen ist. s Dabei ist rdeht fiber i zu summieren (gleiehe Stellung der der Indizes).

358

d. Schmid

(8.1) bilden wieder ein System yon Basisfeldern ffir einen linearen Zusammenhang D" auf M. Falls ]1 = / ~ . . . . . ]~ = ] und ]1' - ]~' -~ ..... /~' = f gilt, sehreiben wir D" in der Form D " = / D A- f D ' . B ~ - B~' ist ein vertikales Vektoffeld auf P. Daher l~$t sich B~' in der Form B i = Bi + C~ A•,

i = 1, . . . , n,

(8.2)

darstellen. Aus (8.2), (4.10) und (4.11) folgt fiir das Funktionensystem {C~.} auf P die Transformationsregel (5.3): Ci~a=Oal, a,~(a )i(a

)i,a=(aa~,)er

i,j,k=l,

..,n.

(8.3)

Die Funktionen C~ sind also die Komponenten eines basischen Tensorfeldes (in bezug auf D oder D') der Stufe (1, 2), bzw. eines diffb. Tensorfeldes derselben Stufe auf M. Umgekehrt erh/flt man aus einem linearen Zusammenhang D auf M mit den zugehSrigen Basisfeldern B1, . . . , B~ auf P jeden anderen linearen Zusammenhang D' auf M mit den Basisfeldern BI', . . . , B~' in der Form (8.2), wobei die Ci~ die Komponenten eines diffb. Tensoffeldes C der Stufe (1,2) auf M sind (bezogen jeweils auf das betreffende n-Bein x = (X1, 9.., X~) C P). Aus den Lieprodukten der Basisfelder ergeben sich naeh (6.1) die Komponenten der Torsion und der Kriimmung [B~,' B/] = T'j~ B~' +

R '~ ~ji A ~ .

Dutch einfaehe Rechnung erh/ilt man mit Rficksiehr auf (6.1), (4.14) und (4.15) '" = R~j, -4- Bi(G~,) -- Bj(C~) ' ~ -- C~tv(Tj, -- C~ ~- Vii ) ~- Gig C;.t:-- C~Ft Ci.r, R:i~

(8.5) bzw., mit Hilfe yon (5.7) R~j~ = R~v~-~ B,(C;) -- B j ( C J -- Cu~ T~ -- C~p C# + C~u C~ .

(8.5')

Ist C symmetriseh (in den kontravarianten Argumenten), so haben D und D' also dieselbe Torsion, ist C sehiefsymmetriseh, so hat der Torsionstensor T' yon D' die Form T' ---- T -- 2 C, wo T der Torsionstenso~ yon Dist. 8.2. Sei nun D wieder ein linearer Zusammenhang auf M mit den Basisfeldern B x , . . . , B, mad D ~ der zu D transponierte lineare Zusammenhang. Die Komponenten yon D' gehen naeh (3.13) aus denen yon D dureh Vertauschen der beiden unteren Indizes hervor. Aus (4.6) und (6.5") folgt ffir die zu D' gehSrigen Basisfelder B~ die Darstellung

Z u m Begriff des l i n e a r e n Z u s ~ m m e n h ~ n g c s

Be = B~ q- T~ A;,

359

i = 1, . . . , n,

(8.6)

wo T~ die Komponenten des Torsionstensors T von D sind. Fiir den Torsionstensor T' yon D' gilt T' -~ -- T. Die Komponenten des Kriimmungstensors R' von D' haben -- bezogen auf die n-Beine x C P -nach (8.5) bzw. (8.5') die Form R~# --

~,

B~{T~i) -- Bj(T~) -- { T,, Tj~ + r~, T~j + Tj, ~},

(8.7)

bzw.

R'~i~ = R~#

-

-

B,(T~j)

-

-

. ~- T,, . Tj, tt + T~, ~ T~j tt + T~, a t tT~. Bj(T~)

(8

.7')

Mit Hilfe yon (6.11) ergibt sich schliel]lich aus (8.7')

R,j~ '~ --- B~(T~) q- R ~ -

Rj~.

(8.8)

Da der zu D' transponierte lineare Zusammenhang wieder D ist, folgt aus (8.8) und dutch ,,Transponieren" dieser Gleichung der bekannte Satz (vgl. [6])

Verschwinden die Kriimmung und die kovariante Ableitung der Torsion eines linearen Zusammenhanges identisch, so gilt dasselbe ]iir den transponierten linearen Zusammenhang. 8.3. SehlieJ~lieh betrachten wit noeh den zu D und D' gehSrigen linearen Zusammenhang Do -----~(D+D'). Die zu Do gehSrigen Basisfelder seien C1, . . . , C~. Fiir sie gilt nach (8.6) 1 bzw.

(8.9)

i=1, 1 C~ = B'~ -- ~ Ti~ A~.

...,n (8.9')

Do hat nach (8.4) keine (d. h. identisch verschwindende) Torsion, w/ihrend nach (8.5) bzw. (8.5') ffir die Komponenten X~.i des Kriimmungstensors Ro von D o gilt 1

1

tt {C~(T~j)-+Cj(Tg~)}--i{Ti, T~jgTj,o Tit~},

(8.10)

bzw.

1

1

{B~(T~j) -ff Bj(T~) } q- i {J(T)~.~ q- r ~ T~},

(8.1o')

wobei wir zur Abkfirzung den Tensor J(T) der Stufe (1,3) eingefiihrt haben, dessen Komponenten aus denen von T in der Form

360

J. Schmid

J(T)~;, = T~ A ; ( ~ ) = T~. T~ + Z~ ~ + fT. r~.

(8.11)

gebfldet werden1. J(T) heifle der zu T gehSrige Jacobi-Tensor. Er ist antisymmetrisch in den un~eren drei Indizes. Verschwinden die Krfimmung und die kovarianSe Ableitung der Torsion yon D iden~isch, so erh~lt man fiir die Komponenten des Krfimmungstensors Ro des zu D gehSrigen ~orsionsfreien Zusammenhanges D o nach (8.10') 1 denn fiir den Torsionstensor T yon D verschwinde~ in diesem Fall der zugehSrige Jacobi-Tensor J(T) nach (8.8) und (8.7') identisch. Auf einer Liegruppe sind der Links- und der Rech~szusammenhang, die zu den links- bzw. rech~sinvarianten Vektoffeldern geh5ren, zueinander ~ransponiert. (8.12) ist dann die bekannte Darstelhng der Komponenten des Kriimmungstensors des zugehSrigen torsionsfreien Zusammenhanges dutch die S~ruk~urkonstan~en. Verwendet man start (8.9) die ,,~ransponierten" Bestimmungsgleichungen (8.9') fiir die C~, so erhiil~ man stat~ (8.10) 1

1

Aus (8.10) und (8.10') erhiilt man 1

1

bzw.

R,~ -- R',~.~= C~(T:~.) q- C+(T~).

(8.14)

8.4. Wit betrachten weiter die linearen Zusammenh/inge D, D' und Do auf M. Es werde nun vorausgesetz~, die Krfimmungstensoren R und R' yon D und D' seien auf ganz M entgegengesetz~gleich, R q- R' = 0. (8.13) zeig~ dann, daI~ der Kriimmungstensor Ro yon Do die Form 1

hat. Daraus folgt, zusammen mi~ (6.11), angewendet atff Ro, dab der zu T gehSrige gacobi-Tensor, definier~ in (8.11), identisch verschwindet. Also kann man die Komponen~en yon R o auch in dot Form

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges 1 X~, = ~ Y~, T~

a, ~, j, i = 1 , . . . , n,

361 (8.15)

schreiben. Damit gilt in Verallgemeinerung des Sachverhaltes bei Liegruppen der Satz 5. Versehwindet /i~r einen linearen Zusammenhang D und dessen transponierten linearen Zusammenhang D' die Summe der zugehSrigen Kri~mmungstensoren, R q - R ' = O, so lassen sieh die Komponenten des Kriimmungstensors Ro, der zum torsions]reien linearen Zusammenhang Do = ~ ( D + D') gehSrt, dutch die Komponenten des zu D gehSrigen Torsionstensors T in der Form (8.15) ausdriicken und der zu T gehSrige Jacobi- Tensor J ( T) versehwindet identiseh.

Ffir die Lieprodukte der Basisfelder yon D bzw. D' ergibt sich aus (8.9) bzw. (8.9') 1

1

[B,,Bj] = Tj,C~ + {Z~j,q- ~ (Cj(T[~)-}-C~(T~j))+ ~(J(T)~j~q- T~T~) } A., (8.16) bzw.

1 1 [B;, B~] -~ -- T~C(~ Jr {X~. i -- ~ (Cj(T~:) + C,(T~i)) + ~(J(T)~i, -~ +

(8.16')

Ffir die Summe dieser Lieprodukte gilt somit ffir i , j = 1, . .., n 1 [B~, Bj] + [B,, B}] = 2 {27~j,+ ~(J(T)~j, -b T~, Tj,)}A,.

(8.17)

Unter der Voraussetzung, da]~ die Svmmen entsprechender Lieprodukte (8.17) identisch verschwinden, erhiilt man ffir die Komponenten des Krfimmungstensors R o yon D o die Darstellung =

-

1

+

Mit Rficksicht auf die Antisymmetrie von J ( T ) in den unteren Indizes folgt daraus mit ttilfe yon (6.11), angewendet auf Ro, wieder das Verschwinden yon J ( T ) and damit schliel~lich ffir die Komponenten von R o 1 L~., -= -- ~ T~% T~ , Also grit

a, ~:,j, i = l, . . ., n.

(8.18)

362

J. Schmid

Satz 6. Verschwinden ]iir einen linearen Zusammenhang D und dessen transponierten linearen Zusammenhang D' die Summen (8.17) entsprechender Lieprodukte der Basis/ebter yon D und D', so lassen sieh die Komponenten des Kriimmungstensors R o des zugeh6rigen torsions]reien Zusammenhanges D o ~ ~(D~-D') mit Hil/e der Komponenten des zu D geh6rigen Torsionstensors T in der Form (8.18) darstellen und der zu T gehSrige Jaeobi- Tensor J ( T) verschwindet identisch.

w 9. Der metrische Zusammenhang Ist auf einer diffb., n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M eine Riemannsche Metrik g gegeben, so gibt es genau einen linearen Zusammenhang Do ohne Torsion auf M, derart, dal] das kovariante Differential Dog des metrisehen Grundtensors gauf M identisch verschwindet. Das ist der bekannte zu g gehSrige Riemannsche Zusammenhang. Allgemein soll ein linearer Zusammenhang D auf M metrisch (in bezug auf eine gegebene Metrik g) heil~en, wenn das kovariante Differential Dg auf M identiseh versehwindet. Betraehtet man zu einer Riemannsehen Mannig~altigkeit M das zugehSrige Hauptfaserbfindel /5 der orthonormierten n-Beine yon M, das auf kanonisehe Art ein Unterbiindel yon P, dem Hauptfaserbfindel aller n-Beine yon M, ist, so zeig~ sich, da] die dutch den metrisehen Zusammenhang D induzierte vollstiindige Parallelisierung von P eine ebensolehe y o n / 5 induziert, insbesondere, da] die Einschr~inkungen a u f / 5 der zu D gehSrigen Basisfelder auf P tangential an t) sind. Umgekehrt, wenn die Einschrankungen auf P der Basisfelder eines linearen Zusammenhanges D auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit M tangential an/5 sind, so ist D ein zur betreffenden Metrik gehSrender metriseher Zusammenhang. Wir nennen umgekehrt einen metrisehen Grundtensor g auf M invariant (in bezug auf einen linearen Zusammenhang D yon M), falls das kovariante Differential Dg von g identisch verschwindet. Die Metrik g heiBt biinvariant, falls g invariant in bezug auf D und den zugehSrigen transponierten Zusammenhang D' ist, Dg=O=D'g. In diesem Fall ist g aueh invariant gegenfiber D o = I~(D~-D'), d. h. Do ist der zu g gehSrige Riemannsche Zusammenhang. Im Falle einer biinvarianten Metrik lassen sieh unter bestimmten weiteren Voraussetzungen ahnliche Aussagen fiber die Riemannsche Krfimmung des zugehSrigen Riemannschen Zusammenhanges maehen, wie sie bei Lieschen Gruppen gelten, auf denen eine (gegenfiber Links- und Reehtsverschiebung) biinvariante Metrik eingeffihrt werden kann.

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

363

M sei im folgenden wieder eine diffb., n-dim. Mannigfaltigkeit, P das Hauptfaserbiindel der n-Beine yon M. 9.1. Auf M sei dutch das symmetrische, positiv definite, diffb. Tensorfeld g der Stufe (0,2) eine Riemannsche Metrik eingeffihrt. Betrachtet man die Komponenten g~j yon g als Funktionen auf P, so ist die Nullstellenmenge des Systems von Funktionen (bzw. des davon erzeugten Ideals) ( . . . , g i j - - ~ j , ..-) i , j = 1, . . . , n , auf P, wo ~ij das Kroneckersymbol bedeutet, das Teilbiindel P c P der orthonormierten n-Beine yon M D=(xePIg~j(x)=5,j;

i,j=l,

...,n}.

(9.1)

Auf/5 operiert die Untergruppe 0 = O(n) der orthonormierten Matrizen yon G = Gl(n R) yon rechts, genauer, 0 ist die Strukturgruppe des ttauptfaserbfindels/5. Die zu 0 gehSrige Liealgebra o ist die Unteralgebra der schiefsymmetrisehen Matrizen yon ~. Die Matrizen A~j = A~ -- A~, 1 ~ i ~ j ~_ n, wo die A~ die Matrizen yon 4.3 shad, bilden eine Basis i i yon ~. Die Einschrtinkungen der Fundamentalfelder A~j ~ A~--A~. yon P a u f / 5 sind tangential an /5 and jedes vertikale Vek~orfeld yon P, dessen Einschr~nkung auf t5 tangential an i5 ist, ltil~t sich auf/5 durch diese Vektorfelder linear kombinieren. Ist D ein linearer Zusammenhang auf M, ffir den Dg = 0 auf ganz M grit, d. h. ein in bezug anf g metrischer Zusammenhang, so gilt fiir die zu D gehSrigen Basisfelder B 1. . . . , B~ auf P Bk(g~ ) -= 0

k, i, j = 1, . . . , n,

(9.2)

und umgekehrt, wenn (9,2) gilt, ist D ein metrischer Zusammenhang. (9.2) besagt aber gerade, da]] die Einschr~nkungen der Basisfelder auf P tangential an /5 sind. Diese Einschr~inkungen der Basisfelder und die der oben angegebenen Fundamentalfelder "B1, 9 9 ", B n ' A12, A13, 9 9

An-in

(9.3)

stellen die dureh D induzierte vollst~ndige Parallelisierung yon/5 dar. Ffir das Transformationsverhalten der Basisfelder Bi auf t5 gegenfiber 0 grit die (4.10) entspreehende Regel Bi a = (a-1)~Bq,

a ~- (a~) e O , i, ---- 1 . . . . , n,

(9.4)

wi~hrend die (4.11) entsprechende Regel fiir die Fundamentalfelder (wegen der Or~hogonalitat der Matrizen yon O) nun folgendermal]en geschrieben werden kann:

364

J. Schmid Aij a ---- (a-1)~(a-1)~Aq(,,

a ---- (a{) C O , i , j :

1, . . . , n.

(9.5)

Damit hat man auf/5, entsprechend A auf P, einen durch D auf natfir]]che Weise induzierten linearen Zusammenhang ~. Ist umgekehrt dutch die Basis- und Fundamentalfelder (9.3) auf ~, die den Transformationsgesetzen (9.4) und (9.5) gehorchen, ein ]]nearer Zusammenhang A auf t) definiert, so induziert dieser einen metrlschen Zusammenhang D auf M. Die Einschriinkung auf/5 des zu diesem linearen Zusammenhang D gehSrigen linearen Zusammenhanges A auf P, ist tier vorgegebene lineare Zusammenhang ~. z] auf /5 laBt sich natfir]]ch such direl~ zu A auf P erweitern. Start yon einem linearen Zusammenhang D aaf M zu dem entsprechenden A auf P zu gehen, ist es bei einem metrischen Zusammenhang oft yon Vortefl, nur zu dem entsprechenden Zusammenhang z] auf t5 zu gehen. Wit wollen das bier abet nicht machen. 9.2. Sei D' irgendein ~orsionsfreier linearer Zusammenhang auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit M, deren metrischer Grundtensor wieder g heiBe. B'I, ... , B'~ seien die zugehSrigen Basisfelder auf P. Die Basisfelder C 1 , . . . , C~ eines be]]ebigen anderen torsionsfreien linearen Zusammenhanges D Oauf M lassen sich nach 8.1 durch diejenigen yon D' und die Fundamentaffelder in der Form O ' k = B ~ - - C ~ , A ~,

~:1

. . . . ,n,

ausdrficken, wo die C~ die Komponenten eines diffb. Tensorfeldes C der Stufe (1,2) auf M sind, das symmetrisch in den kontravarianten Argumenten ist. SoU Do zur Metrik g gehSren, d. h. Dog identisch verschwinden, so mug nach (9.2) C~(g~j) = B'k(g~j ) - - C ~ A~(g~j) -- 0

auf P gelten, fiir i , j , k = 1, . . . , n. Da g ein (etwa in bezug auf D') basisches Tensorfeld auf P induziert, lassen sich diese Bedingungen nach (5.7) in der Form B'k(gij ) = C~i g,, j + C~j gi,, ,

i, j, k = 1, . . . , n,

schreiben. Under Berficksichtigung der Symmetrien yon C und g erhalt man aus diesen Gleichungen B'k(g~j ) + B~(gk~ ) - - B;(gjk ) ~- 2C;~ g,,~

trod daraus schlieB]]ch mit Hilfe des zu g gehSrigen kontravarianten MaBtensors mit den Komponenten (g~J)

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges , , J -- B'~(g,i) }, C~j-~ gk ~ - { B,(g~) + Bi(g

i, i, k = 1, . . . , n.

365 (9.6)

Das heist, der Tensor C und damit D O sind eindeutig bestimmt dutch die obige Forderung. (9.6) zeigt gleichzeitig die Existenz yon D O(unter der Voraussetzung, da6 es auf M fiberhaupt einen linearen Zusammenhang gibt; dazu vgl. etwa [11], w 9). 9.3. Sei D nun ein metrischer Zusammenhang auf M. Fiir die Lieprodukte der Basisfelder B1, . . . , B~ von D gilt naeh w6 die DarsteUung [B~, Bj] ~- T~ B, ~- R~.~A~,

i, j ---- 1, . . . , n,

(6.1)

mit den Komponenten des Torsions- und Kriimmungstensors yon D als Koeffizienten auf der rechten Seite. Wegen (9.2) gilt ([B,, Bj] --

Bo) (gk ) = Rg, A;(gk,) = 0.

Mit Rficksicht auf (5.7) erhiilt man daraus = RZj

+ RTj,

= 0.

Zieht man mit Hilfe des Ma6tensors in der iiblichen Weise Indizes hinauf und hemnter, so gilt damit fiir den (rein) kovarianten Krfimmungstensor R~j, + R~i, -~ 0 l, k, j, i = 1, . . . , n. (9.7) Das heist, der kovariante Kriimm]nlgstensor eines metrisehen Zussmmenhanges ist sehiefsymmetriseh in den ersten beiden Indizes (und natfirlieh, wie jmmer, sehiefsymmetrisch in den letzten beiden Indizes). 9.4. Sei zusittzlich zu den Voraussetzungen yon 9.3 die auf M gegebene Metrik g auch invariant gegeniiber dem zu D transponierten linearen Zusammenhang D'. Die Basisfelder B~, . . . , B'~ yon D' hiingen mit denen yon D nach (8.6) zusammen. Aus der Biinvarianz yon g folgt mit Hilfe von (8.6) und (5.7) fiir i,j, k = - 1 , . . . , n und daraus die zyklisehe Symmetrie des (rein) kovarianten Torsionstensors T,~k = T~,j

i, j, k ---- 1, . . . , n.

(9.9)

Daraus und aus der schiefen Symmetrie in den letzten beiden Indizes ergibt sich schlieShch die schiefe Symmetrie in den ersten Indizes oder allgemeiner die (vollstandige) Antisymmetrie des kovarianten Torsionstensors yon D.

366

J. Schmid

9.5. Sind die Voraussetzungen yon 9.4 erffillt, d. h. ist g biiavariant gegenfiber D und D', so ist g nach (9.8) und (8.9) auch invariant gegenfiber dem zu D und D' geh5renden torsionsfreien linearen Zusammenhang Do ---- ~ ( D + D ' ) , d. h. Do ist der zu g gehSrende, eindeutig bestimmte Riemannsche Zusammenhang. (9.7), angewendet auf Do, gibt die wohlbekannte schiefe Symmetrie des kovarianten Riemannschen Krfimmungstensors in den ersten beiden Indizes. Daraus und aus der schiefen Symmetrie in den letzten beiden Indizes folgt mit Hilfe yon (6.11) auf bekannte Weise die Symmetrie in bezug auf das erste und zweite Indexpaar yon R0 Z~jkh = X ~ j

i, j, k, h = 1, . . . , n.

Seien X und Y aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren an einem Punkt p G M. Die Riemannsche Kri~mmung K ( X , Y) des durch X und Y aufgespannten Fl~tchenelementes in p ist gegeben durch den Ausdruck K ( X , Y) = Z~+,, i " Y~ X ~ Y',

(9.10)

wo die Komponenten X ~ yon X und Y~ yon Y natfirlich auf dasselbe n-Bein x C P zu beziehen sind, wie die Komponenten X~,, von R0. Siehe z. B. [9]. 9.6. Sei nun ffir einen linearen Zusammenhang D und dessen transponierten Zusammenhang D' die Voraussetzung von Satz 5 aus w 8 efffillt, d. h. es m5ge die Summe der Kriimmungstensoren R und R' von D und D' versehwinden, R + R' -- 0. Aul~erdem sei die auf M gegebene Metrik biinvariant in bezug auf D und D'. Dann hat der Riemannsche Kriimmungstensor, d. i. der zuD 0 ---- I~(D+D')gehSrende Krfimmungstensor Ro naeh ]enem Satz die Form (8.15). Kovariant gesehrieben sieht er dann mit Rfieksicht auf (9.9) folgendermal~en aus: 1 X,hkj~ ---- ~gS~ Tsh~ T, ji ,

h , k , j , i = l, . . . , n .

(9.11)

Sind X und Y zwei orthonormierte Vektoren aus Mp, dann gilt in diesem Fall naeh (9.10) und (9.11) ffir die Riemannsehe Krfimmung des dutch X und Y aufgespannten Fli~ehenelementes 1 K ( X , Y) = X~o~ X ~ Y~ X a Y~ = ~ g~" T~.~ X ~ Y~ T,o~X ~ Y~ ~ O, da g eine positiv definite quadratische Form ist. Also folgt daraus

Zum Begriff des linearen Zusammenhanges

367

Satz 7. Gibt es au] einer Riemannschen Mannig/altigkeit zwei zueinander transponierte (zur betre]/enden Metrik geh6rende) metrische Zusammenhiinge, deren Kri~m~nungstensoren entgegengesetzt gleich sind, so wird die Riemannsche Kri~mmung au] der Mannig/altig]~eit hie negativ. E n t s p r e c h e n d folgt aus Satz 6 y o n w 8

Satz 8. Gibt es au] einer Riemannsehen Mannig/altigkeit zwei zueinander transponierte (zur betre]/enden MetriIr geh6rende) metrische Zusammenhiinge, derart, daft die Lieprodukte einander entsprechender Basis]elder der beiden linearen Zusammenhgnge stets entgegengesetzt gleich sind, so wird die Riemannsche Kriimmung au/ der Mannig/altiglceit hie positiv.

Literatur

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