manuscripta math.
60, 437 - 461 (1988)
manuscripta mathematica @ Springer-Verlag 1988
ZUM ISODIAMETRISCHEN PROBLEM IM HYPERBOLISCHEN RAUM JUrgen Schneider In the hyperbolic space E. Schmidt [E.Sch], using a construction due to H. A. Schgarz, proved for compact sets the "Spiegeltheorem", a counterpart of the Bunn-Minkowskitheorem. The isodiametric i n e q u a l i t y can be derived from the "Spiegeltheorem". In t h i s note another well known construction in convexity theory, namely the Steiner-symmetrization, is generalized to compact sets in hyperbolic space. This symmetrization leads to a d i r e c t proof of the isodiametric i n e q u a l i t y and a complete description of the e q u a l i t y case. INHALT O. Definitionen und Bezeichnungen l . Die Steiner-Symmetrisierung im hyperbolischen Raum 2. Die Bieberbachsche Ungleichung 3. Die isodiametrische Ungleichung 4. Gleichheitsdiskussion bei der isodiametrischen Ungleichung
O. Definitionen und Bezeichnungen E sei eine Hyperebene im hyperbolischen Raum M und g eine zu E orthogonale Gerade mit dem Schni%tpunkt o = g N E. Zu jedem Punkt p E M g i b t es eine zweidimensionale Ebene T dutch p, welche die Gerade g enth51t. Jede Verbindungsgerade yon Punkten aus g mit p l i e g t ebenfalls in T.
437
J. SCHNEIDER
bezeichne die orthogonale Projektion auf g. g Ag~p] s e i die A b s t a n d s l i n i e von g in T durch p mit dem Spurpunkt p = Ag[p] n E i n E. Oer Punkt p i s t
dutch
(p',p)
mit p' = rig(p) e i n d e u t i g f e s t g e l e g t . FUr den Abstand pq = d ( p , q ) zweier Punkte p = ( p ' , p) und q = (q',
q) g i l t
sinh2 P~2 = cosh o~ cosh o~ sinh 2
2
+ sinh2 pq2
(*)
und f u r die H e t r i k e r h ~ l t man dutch GrenzUbergang q ~ p ds 2 = cosh 2 r dg 2 + ~ d g 2, wobei ~A die dutch A b s t a n d s l i n i e n yon g bewirkte P r o j e k t i o n ist
und d~ die H e t r i k der Ebene E und r den Abstand zu g
bezeichnet (Zur H e r l e i t u n g v e r g l e i c h e man E. Schmidt [E.Sch] w 12, (49),
(50) oder [Sch] w 1, 2 ) ) . FUr die benutzten
Modelle und Gleichungen der hyperbolischen Geometrie v e r g l e i c h e man auch die BUcher yon Busemann/Kelly [BK] und Lenz ELI. 1 n-1 Seien u ,...,u
o und
beliebige Koordinaten
un : H ~ R
in E m i t
dem Ursprung
sei der auf der zu E orthogenalen
g von o aus gemessene
BogenlQngenparameter,
Geraden
dann erh~lt man
fur das Linienelement n-1
ds2=
z . . du i du j + cosh2r (dun) 2 i,j=l 1j 1 n In den Koordinaten u , . . . , u hat die M e t r i k von R die Gestalt
gij
= z''z)
1 < i, <
gni = 0
.
j =< n-1 <
1 ~ 9 = n-1
gnn = c~ .
wobei f u r 1 - z , j
<
= n die g i i
n i c h t yon u
n
abhdngen.
FUr das Volumenelement e r g i b t sich damit dv = ~ / ~
du 1 - ' ' d u n = cosh r ~
= cosh r dE du n
438
zj
dul'-'dun-ldu n
J.SCHNEIDER mi%
dE = $ det z . . ' du 1...du n.-1 1j Der Abstand pq = d(p,q) der Punkte p, q i s t p o s i t i v und sinh besitz% eine eindeutige Umkehrfunktion, also g i b t es
eine Funktion
~ so, dab aus (*) f o l g t
pq = ~(o~',o~,-pq, p ' q ' )
(A).
Sind die ersten drei Argumente von ~ fest, dann i s t im 4. Argument monoton wachsend. FUr eine kompakte Menge K in M bezeichne Kip] = K n AgEp] den Durchschnitt von K mit der Abstandslinie AgE~3 und PE~] = ng(K[~]) die orthogonale Projektion auf g von KEp]. I s t ~1 das 1-dimensionale kesbegue-MaB auf den Abstandsl i n i e n zu g, dann g i l t Ul(K[p]) = cosh o-~Ul(PEp]). FUr die Hengen K, L aus M bezeichne D(K,L) = sup [
d(p,q)! p c K, q ~ L ]
den maximalen Abstand von K und L. Setzt man K = L, dann is% D(K) = D(K,K) der Durchmesser der Menge K. Zu der kompakten Menge K in M heiBt die kompakte Menge K
P
= [ p 6 M I d(K,p) ~ ~]
die ~uBere Parallelmenge von K im Abstand p > O.
1. Die Steiner-Syrnmetrisierun~ im hyperbolischen Raum In diesem Paragraphen wird eine Verallgemeinerung der 5%einerschen Symmetrisierung im hyperbolischen Raum definier%. Sodann werden Eigenschaften dieser 5ymmetrisierung hergeleitet. Zum Abschlu8 wird gezeigt,da8 Kugeln bei Symme%risierung wieder Kugeln ergeben.
439
J. SCHNEIDER
DEFINITION 1.1. K sei eine kompakte Menge i__nnH. Weiter sei Ks[P] die in der Abstandslinie Ag[p] gelegene, z__uuE
symmetrische, d. h. bezU~lich p = E n AgEp~ symmetrische, zusammenh~ngende kompakte
Men@e die dasselbe ~I-MaB hat
wie Kip] ( ~l(Ks[P] = ~I(K[p]) ). Dann wird durch die Vereinigung S(K) = U Ks[P7
Uber alle Abstandslinien Ag[p] mit Kip] ~ ~ die an der Hyperebene s Steinersymme%risierte Men@e yon K erkl~rt. LEMMA 1.1. K sei eine kompakte Men@e i_nn M, E eine Hyperebene i_~n M und g ane zu E orthogonale Gerade. FUr die orthogonale erojektion P[~] = ng(K[~]) yon
K[p] auf g gilt: p ~ ~l(P[p?) i s t nach oben h a l b s t e t i 9 .
Begeis FUr p > O
sei
P r~3. = { p ~ g J d ( e [ p ] , p )
=< p } d i e
p Parallelmenge zu Pip] in g. Wegen der Honotonie des
~l-Ma~es g i l t
nun ~ I ( P [ ~ ] ) = lim , l ( P p [ p ? ) . p-O
Also gib% es zu jedem festen Punkt p E E und gegebenem r > O ein p > O so, dab g i l t ,l(ep[p])
~ ~l(e[p?) + r
Nun sei pC[p] = { peg I d(eEp~,p) >= p } diejenige p abgeschlossene Menge in g, deren Punk%e zu P[p~ nicht kleineren Abstand
als o haben. Die Henge KC[~7 -l(pC[~])p: - - g P " i s t abgeschlossen und nicht beschrSnkt; auSerdem i s t der
Durchschnitt KC[p] n Kip] = ~ leer. Wegen der Abgeschlossen0
heir von KC[p] und der Kompaktheit von K gibt es ein p positives
440
J. SCHNEIDER 6
r
min[
d(r,q)
I r E K, q E K~Ep] } > 0
6
I s t nun q E E ein Punkt mit d(p,q) < 6, dann g i b t es in K[q] keinen Punkt q, dessen P r o j e k t i o n ~g(q) auf g in pC[~] l i e g t . Nimmt man an, es g i b t einen solchen Punkt q, P dann g i b t es einen Punkt p E AgEP] so, dab ~g(p) = ~g(q)
ist, also gilt --
m
d(p,q) = d(p,q) < 6 , im Niderspruch zur D e f i n i t i o n
zu 6. Somit ~t aber
PFq] = n (K[q]) zu pC[~] punktefremd, 9
6-
d. h. es i s t
P
P[q] fi Pp[p] = @.Nun i s t P[q] c Pp[~] und aus der Honotonie des ~l-HaBes f o l g t
Insgesamt g i l t :
Zu jedem Punkt p E E und zu jedem c > O
g i b t es ein 6 > O so, dab f u r d(p,q) < 6 mit q E E g i l t ~I(PEq]) ~ ~I(PEp]) + ~. Damit i s t die H o l b s t e t i g k e i t
gezeigt.
SATZ 1.1. S sei die Symmetrisierun@ an der Hyperebene E v e r m i t t e l s der Abstandslinien zu der Geraden g, die zu E ortho@onal i s t . (i)
Dann 9 i l t :
S i s t monoton, d
h. sind K, k kompakte Hengen mit
K c L, dann i s t S(K) c S(L). (ii)
I s t K kompakt, so i s t S(K) ebenfalls kompakt.
Beweis Teil
(i)
f o l g t s o f o r t aus der Totsache,daB die Teilmengen-
beziehung K c L auch f u r den Durchschnitt mit Abstandsl i n i e n K[~] = K n AgEp] c LEp] = L N AgEp] g U l t i g i s t und aus der Honotonie des ~l-HaSes.
441
J. SCHNEIDER Zu (ii): Wegen der Kompakthei% von K gibt es eine Kugel B um den Punk% o = E N g mi% K c B. B is% symme%risch zu E und da fur jede Abstandslinie Ag[p] zu g
Bs[P] = B[p] g i l t ,
i s t S(B) = B. Wegen K c B folg% aus der Honotonie der Symmetrisierung S(K) c S(B) = B die Beschr~nkthei% von S(K). Zu zeigen i s t noch die Abgeschlossenhei% von S(K). Dazu sei ( P i ) i ~ e i n e
kovergente Folge in S ( K ) . ~
zeigen
is%, dab der Gzenzwer% p = l~m Pi ebenfalls in S(K) lieg%. Nun sei Pi' = ~g(Pi) die durch orthogonale Projektion ng auf g entstandene Falge und Pi = ~A(Pi ) die dutch Projektion nA ldngs Abstandslinien entstandene Folge in E. Aufgrund der S%etigkeit der Projek%ionen ~
und nA si nd diese Folgen g ebenfalls kanvergen%. Insgesam% g i l t also Pi ~ p !
!
Pi ~ p Pi ~ p" Die Abstandslinie Ag[Pi] durch Pi enth~l% sicherlich den Punkt Pi E S(K), damit is% abet ouch Ag[Pi] N K = K[Pi] ~ ~. W~hl% man nun in jeder Menge K[Pi ] einen Punk% aus, dann besitz% die ausgew~hlte Punk%folge wegen der Kompaktheit van K einen in K gelegenen H~ufungspunkt h E K. Da die Folge Pi gegen p konvergier%, lieg% h auf der
Abs%andslinie Ag[p3 ~ h, und dami% ist der Durchschni%% K n Ag[p] ~ @ nich% leer. Aufgrund der Kanstruktion van S(K) is% S(K) n Ag[p] ~ ~ ebenfalls nich% leer. FUr die dutch arthogonale Projek%ion auf g entstandene Menge P[pi ] = ~g(K[Pi] ) gilt nach Lemma 1.1 lim sup ~I(PE~?) ~ ~I(PEF3). i Nun gilt aufgrund der Symme%risierungsvorschrif%
op~ <=
i
2 ~1
442
J. SCHNEIDER
Aus der Konvergenz der Folge ( P i ) i ~ Konvergenz dez Strecken (oP~)i~ ~
gegen p' f o l g t die
gegen op'. Damit i s t
op' ~ ! ~1 (PE~) und nach Konstruktion yon S(K) l i e g t p ~ S(K) in S(K). SATZ 1.2. Das Volumen einer kompakten Menge K b l e i b t bei der Symmetrisierun@ erhalten,
d. h. es g i l t
V(K) = V(S(K)). Die Behauptung f o l g t s o f o r t aus dem Satz von Fubini.
SATZ 1.3. I s t B eine Kugel im hyperbolischen Raum, dann i s t die symmetrisierte Menge S(B) = B ebenfalls eine Kugel. Beweis B = B(p) sei die Kugel um den Punkt p. I s t E die zu g P orthogonale Hyperebene dutch den Punkt p, dann i s t B(p) symmetrisch zu dieser Hyperebene. Dutch die Translation der Hyperebene E 15ngs g in die SymmetrisierungsP hyperebene E wird B in die Kugel B(p) mit p E Ag[p] geschoben. Damit i s t S(B) = B(~) = e eine Kugel.
2. Die Bieberbachsche Ungleichung Um das Verhalten des Durchmessers einer kompakten Menge K bei dez Symmetrisierung zu bestimmen, erweiBt es sich als nUtzlich wie bei E. Schmidt [E.Sch] w 5 (89) die Abstands~nderung zveier kompakter Mengen bei der Symmetrisierung zu untersuchen. Damit l~Bt sich dann die Bieberbachsche Ungleichung fur den Durchmesser im hyperbolischen Raum gewinnen, vgl. Blaschke [B1 1] w 25 I I I .
443
J. SCHNEIDER
LEMMA 2.1. S sei die Symmetrisierun 9 an der Hyperebene E v e r m i t t e l s der Abstandslinien zu der zu E ortho@onalen Geraden g. Sind K1, K2 kompakte Mengen i_nn M, dann vergr~Bert sich der Maximalabstand der Men@en bei der Symmetrisierun9 n i c h t ,
d. h. es g i l t
D(S(K1),S(K2)) ~~ Beweis Zun~chst wird die Behauptung f u r den Fall
dim M = 1 ,
d. h. f u r die hyperbolische Gerade g bewiesen. Die Hyperebene E = [o] i s t dabei ein Punkt ouf g. Aufgrund der Kompaktheit yon K. ( i = 1, 2 1
) g i b t es auf g Punkte
m. = min { p E g I P E Ki ] z H.z =max { p fu r die g i l t
~g
I P CK i
(i=1,
}
<
m. = M. 1
Damit g i l t
2)
( i = I, 2 ).
1
fu r das eindimensionale ~l-.MaB yon K.z die
Absch~tzung ~ l ( K i ) ~ Mi - mi
( i = l , 2 ).
FUr den Maximalabstand der beiden Mengen gelten nun die beiden Ungleichungen D(KI,K 2) ~ I M1 - m 2 1 D(KI,K 2) ~ ! M2 - ml 1
Das #l-Ma8 kann nach oben abgeschetzt werden dutch ~1(K1) + #1(K2) ~ M1 - m1 + M2 - m2
~1 M1 -m21 + I
M2
m1
I ~
2 D(K1,K 2) Die symmetrisierten Mengen S(K i ) = I i zu o symmetrische I n t e r v a l l e
( i = 1, 2 ) sind
I . und somit i s t 1
v i = max { p E g [ p E I i
} =
=
].
- minr p E g I P E I i
444
J. SCHNEIDER Wegen der Symmetrie der Intervalle zu o gilt fur den
Maximalabstand D(S(K1),S(K2)) = v 1 + v 2 , wobei
#I(S(Ki)) = #l(Ii) = 2v i
( i = I, 2 ) ist.
Do sich bei der Symmetrisierung das ~I-MaB nicht ~ndert, folgt aus
# l ( K i ) = ml(S(Ki)) die Abschatzung
( i = 1, 2 ) 1
D(S(K1),S(K2)) = v 1 + v 2 = ~ ( # I ( S ( K 1 ) )
+ #1(S(K2)) ) =
2 ( ~I(K1 ) + ~l(K2) ) ~ D(K1,K 2) D(S(K1),S(K2)) ~ D(K1,K 2) , Domit i s t die Behouptung fur den eindimensionalen Fall bewiesen. Nun sei die Dimension
dim M => 2.
Aufgrund der Konstruktion der Symmetrisierung S i s t fur p ( E und kompaktes K S(K)[p] = S(K) n Ag[p] = S(K n AgEP]) = S(K[p]) und damit gilt fur die auf g projizierte Menge Pip] = rig(Kip]) =
S(~g(K[
=
(S(KEp])).
FUr i = I, 2 ist K.l und somit auch der Schnitt mit der
Abstandslinie
K. Ep] = K i n A [~] kompakt und wegen der I g Stetigkeit der Orthogonalprojektion ~g ist Pi[p] = ~g(Ki[P]) ebenfalls kompakt. Damit gilt fur den Maximalabstand van
Pl[p] und P2[~]
( p, q E E ) nach dem ersten Tell
D(S(PI[p]),S(P2[q])) ~ D(PI[p],P2[q]) FUr den Abstand zweier Punkte p, q g i l t nach (A)
(*)
d(p,q) = ~ ( o ~ , o ~ , ~ , d ( p ' , q ' ) ) . I s t nun der Punkt p E Kl[P] , dann l i e g t Pl[p] = ~g(Kl[P])
; entsprechendes g i l t
445
p' = ~g(p) in fur
q e K2[q].
SCHNEIDER
J.
Definiert man nun die Mengen N
= [ d(p,q) I P E KI[P] , q ~ K2[q] ]
und
N' = [ d ( p ' , q ' ) I P' C Pl[p] , q' C P2Fq7 : dann i s t die Funktion ~ eingeschr~nkt auf das 4. Argument .
.
.
.
.
', f
~4 = ~T4.Arg.: N' ~ N eine monotone und b i j e k t i v e Funktion; damit folgt ~4( sup N') = sup N. FUr den maximalen Abstand von KI[ p] und K2[q] erh~lt man d(K l [ p ] , K 2 [ q ] ) = ~(op,oq,pq, d(P l [ p ] , P 2 [ q ] ) ) und entsprechend fur die symmetrisierten Mengen S(KI[ p ] ) und S(K2[q]) d (S (KI [p]), S(K2[q])) =~ (o~', o~,~'q; d (S (P1 [p]), S(P2[q]) ) ) o Aus der Ungleichung (*) folgt damit D(S (K l E~]), s (K2[#])) --< D(KI [p], K2[q]). Bildet man nun rechter Hand dos Supremum D(K1,K2) = sup { D(KI[P],K2[q]) I damn wird die linke Seite
KI[P] ~ ~, K2[q] ~ ~ },
D(S(KI[P]),S(K2[q])) _-
Setzt man in Lemma 2.1
K1 = K2 = K, dann folgt aus der
Tatsache, dab D(K,K) = D(K) der Durchmesser der kompakten Menge K i s t , der SATZ 2.1. (Bieberbachsche Ungleichung) Bei der Steinerschen Symmetrisierun@ S an der Hyperebene E vergr~Bert sich der Durchmesser elmer kompakten Menge K nicht, do h. es g i l t D(S(K)) ~ D(K).
446
g. SCHNEIDER 3. Die isodiametrische Ungleichun@ In diesem Paragraphen wird die aus der Konvexit~tstheorie bekonnte Abh~ngigkei% yon Volumen und Durchmesser hergeleite%.
SATZ 3.1. Unter allen kompakten Mengen @leichen Durchmessers hat die Kugel das grSBte Volumen. Beweis Im n-dimensionalen hyperbolischen Raum seien ( E i ) l ~ i ~ n n paarweise verschiedene orthogonale Hyperebenen, die a l l e den Punkt o enthalten. Zu jeder Hyperebene E. sei 1
gi diejenige orthogonale Gerade durch o = E I9 N gi" Hit S. = S werden die Symmetrisierungen an E. vermittels i gi l der Geraden gi bezeichne% und mi%
S = SnOSn_1 0 . . . O S 1 die HintereinanderausfUhrung der n Symmetrisierungen. Da bei jeder Symmetrisierung das Volumen erhalten b l e i b t , gilt
fur kompakte Mengen K V(K) = V(S(K))
und aufgrund der Bieberbachschen Ungleichung i s t
D(K) ~ D(S(K)). Zu der symmetrisierten Menge S(K) gib% es nun eine Kugel BR(O) so, 4a8 gilt
S(K) c BR(O) und 2 R = D(S(K)). Denn andernfalls gBbe es einen Punk% p E S(K) mit p / BR(O). Aufgrund der Konstruktion yon S(K) i st S(K) punktsymmetrisch zu o und dami% lSge auch der an o gespiegelte Punkt p* E
S(K)
in S(K). Der Abstand von p und p* w~re somit
447
J. SCHNEIDER
d(p,p*) > 2 R = D(S(K)), was der D e f i n i t i o n von D widersp~che. Aus S(K) c BR(O) folg% wegen der Monotonie des Volumens
V(S(K)) ~ V(BR(O)). Insgesam% g i l t damit
V(K) = V(S(K)) ~ V(BR(O)) und D(K) ~ D(S(K)) = 2 R . Bei gegebenem Durchmesser hat dami% K kein gr6Beres Volumen ols die Kugel
BD(K)(O)
gleichen Durchmessers.
2 4. Gleichheitsdi s kussion bei der isodiametrischen Ungleichun @ Nun wird gezeigt, dab die Kugel die einzige kompakte Menge is%, die bei gegebenem Durchmesser das grSBte Volumen besi%z%. Durch ~hnliche Be%rach%ungen wie bei der Behandlung des "Spiegel%heorems" van E. Schmidt FE.Sch] w 5, w 8 ergib% sich die Gleichhei%sdiskussion der isodiametrischen Ungleichung im zwei-dimensionalen Fall. Sadann wird gezeigt, daB, falls die bei der Symme• E en•
S an der Hyperebene
Menge S(K) eine Kugel is%, der Durchmesser
der kompakten Originalmenge K gr6Ber als D(S(K)) is%, oder dab K schon eine Kugel war. Dami% 158t sich dann die Einzigkeit der Kugel zeigen.
DEFINITION 4.1. K sei eine kompakte Hence i._.n_nHmi% n i c h t leerem Inneren
K9 ~ ~
vom Durchmesser D(K). K heiBt von
konstanter Breite D(K), f a l l s es zu jedem Randpunkt r E 5(con K) der konvexen HUlle p E K s_~o9 i b t , dab
con K von K einen Punkt
d(r,p) = D(K) g i l t .
448
J. SCHNEIDER FUr die Definition der konvexen HUlle con K von K und deren Eigenschaften im hyperbolischen Raumvergleiche man E. Schmidt [E.Sch] w 1 X I I I und XIV. LEMMA 4.1. K sei eine konvexe kompakte Men@e konstanter Breite D(K) in der hyperbolischen Ebene M2. Dqn.n @ibt e_.Es keine drei Randpunkte
Pl' P2 'P3 E ~K,
die auf einem
Grenzkreis oder einer Abstandslinie liegen. Beweis Die hyperbolische Ebene M2 veranschaulichen w i t dutch 2 dos Poincar&sche Kreismodell Mp = { (x,y) ~ R2 I x2 + Y < 1 }, vgl. Blaschke ~B1 2] w 17. I s t nun S ein Kreis in der Ebene R 2, der Mp schneider, dann i s t nach kenz ILl Kapitel V w 3 der n i c h t l e e r e Durchschnitt Mp N S ~ a) eine Abstandslinie,
wenn bMp n S = Is 1, s2]
zweipunktig ist, b) ein Orenzkreis, wenn 5Mp N S = I s ] einpunktig
ist und c) ein hyperbolischer Kreis, wenn S c Mp i s t . Wit nehmen nun an, dab K drei Randpunkte besitzt,
Pl' P2' P3 C bK
die ouf einer Abstandslinie liegen. Dann gibt
es genau einen Kreis S durch
Pl' P2' P3 ' der 5Mp in
zwei Punkten schneider. Nun sei o . B . d . A . Pl
und
P3
gelegene Punkt. K = con K
konstanter Breite Punkt
p~ E K mit
P2 der zwischen i s t konvex und von
D(K), damit g i b t es zu d(p~,p2) = D(K).
P2 E ~K einen
I s t nun
BD(K)(p~)
die Kreisscheibe um p
, donn ist K c BD(K)( P2' )" Damit ' Da liegen aber auch die Punkte, PI' P3 in BD(K)(P2). 5BD(K)(p~)
ein Kreis in Mp ist, lJegt mit bBD(K)(p~)
auch BD(K)(p~) c Mp gonz im Poincar&schen Modell Hp.
44g
J. SCHNEIDER
Der Punkt
P2
i s t ein Randpunkt van
BD(K)(p' ) c Mp ganz in Mp l i e g t ,
BD(K)(p~),._ und da
k~nnen die Punkte
Pl' P3 nicht our S und damit auch nicht auf einer Abstandslinie liegen. Also gibt es keine drei Randpunkte van K die auf einer Abstandslinie bzw. auf einer Geraden (Abstandslinie zur Geraden g vom Abstand O) liegen. Falls die Randpunkte
Pl' P2' P3 auf einem Grenzkreis S
liegen, is% in Mp der Schnitt
S n bMp = {s)
Wie oben sieht man, dab die Punkte
einpunktig.
Pl' P3 nicht g l e i c h -
zeitig auf S und innerhalb einer Kreisscheibe
BD(K)(p~),
die den zwischen
P2 als
%
Pl und
P3
liegenden Punkt
#
Randpunk% besitzt, liegen k6nnen.
LEHMA 4.2. K sei eine kompakte Menge in der hyperbolischen Ebene M 2 und B sei der zu K fl~chengleiche Kreis. Gilt f u r den Durchmesser D(B) = D(K),
dann i s t K eine konvexe Men@e konstanter Breite D(K). Beweis Zun~chst zeigen wir, dab K eine Menge van konstanter Breite i s t . Dazu nimm% man an, dab es einen Randpunkt
p C bK
so gib%,
dab gilt
D([p ],K) < = D(K) - e Nun sei
B (p)
um p und
< O < ~ =
~1 D(K).
de r abgeschlossene Kreis vom Radius r
K v : K U Be(p)
die Vereinigungsmenge von K mit
diesem Kreis. Der Durchmesser D(Kv) der Menge K V wird nun weiter untersucht. Dazu seien Sind Falls
q, r f K , dann ist q EK
und
q, r C K V
mit
d(q,r) = D(Kv).
d(q,r) = < D(K).
r C B (p)
ist,
ungleichung
450
gilt
wegen der Dreiecks-
J. SCHNEIDER =<
d(q,r) und f u r
d(p,q) + d(p,r)
=<
D ( [ p } , K ) + r <= D(K)
q, r E B (p) i s t 6 d ( q , r ) =< 2 ~ =< D(K).
Damit g i l t
f u r den Duzchmesser
D(Kv) ~ D(K). Andererseits gilt
wegen
K c Kv
f u r den Durchmesser
D(K) ~ D(Kv). Also e r h ~ l t man f u r den Durchmesser die Gleichung D(K) = D(Kv). Da p ein Randpunkt yon K i s t ,
g i b t es wegen der Kompakt-
h e i r yon K einen i n n e r e n Punkt yon B (p), der mitsamt e i n e r Umgebung i n
Kv\K
$iegt,
d. h. es g i l t
Wegen V(B~(~)) ~
V(Kv\K) = V(K v) - V(K)
e~(~) c
Kv\K.
e r h ~ l t man damit
V(K v) > V(K) . I s t Bv der zu Kv f l ~ c h e n g l e i c h e K r e i s , Radius r v v o n
dann g i l t
f u r den
Bv 1
r V > ~ D(B). W~hlt man f u r Bv und B die Kreise um den Punkt o, dann sind B ~
Bv
konzentrische Kreise,
und da
D(Kv) = D(K) = D(B)
ist,
h~tte
Kv bei nichtgr6Berem Durchmesser a l s D(B) gr~Seres Volumen g i e B im Widezspruch zur i s o d i a m e t r i s c h e n Ungleichung. Also g i l t
f u r a l l e Randpunkte
p E aK die Gleichung
D ( { p ] , K ) = D(K). Als n~chstes zeigen w i r die K o n v e x i t ~ t von K. Wegen der Kompaktheit von K und da f u r jeden Randpunkt p E ~K
D ( { p ] , K ) = D(K)
einen Punkt
q E K
mit
gilt,
g i b t es zu
p E ~K
d ( p , q ) = D(K). I s t nun
die K r e i s s c h e i b e vom Radius D(K) um q, dann i s t und damit i s t
p E 5BD(K)(q ) N ~K
BD(K)(q). Damit i s t
BD(K)(q) K c BD(K)(q),
ein Randpunkt yon
die Stgtzgerade H(p) an BD(K)(q) auch
451
J. SCHNEIDER
StUtzgerade an K. Also g i b t es zu jedem Randpunkt p von K eine StUtzgerade an K. Nun g i r d gezeigt, dab mit qlq2
c K
in K l i e g t .
ql'
q2 ~ K
Dazu nimmt man an, dab es einen
inneren Punkt r der Strecke qlq2 Da man o.B.d.A.
auch die Strecke
V(K) > 0
g i b t mit
r / K.
annehmen kann, g ~ t
es nach
dem Satz von Fubini einen von r ausgehenden H a l b s t r a h l s mit
Ul(S N K) > 0 und
s ein Punkt mit
qo ~ K
p ~ r
p ~ 5K
und
q l ' q2 / s . Daher l i e g e n auf
und auf qo r e i n
Punkt
p ~ 5K
P ~ qo " Durch jeden Randpunkt
g i b t es eine StUtzgerade H(p) an K. Der Punkt
p i s t ein i n n e r e r Punkt des Dreiecks
( q l , q 2 , qo )
und somit k~nnen die d r e i Eckpunkte n i c h t auf e i n e r Seite der StUtzgeraden H(p) l i e g e n . Dies w i d e r s p r i c h t aber der StUtzeigenschaft der Geraden H(p). Also l i e g t die Strecke qlq2 i n K und somit i s t K als konvex erkannt.
LEMMA 4.3. S sei die Symmetrisierun@ an e i n e r zur Geraden g orthogonalen Geraden E v e r m i t t e l s der A b s t a n d s l i n i e n zEu g. K sei eine kompakte Menge i n der hyperbolischen Ebene M2 und B der zu K fl~chengleiche K r e i s . G i l t f u r den Durchmesser
D(K) =D(B) , dann i s t die szmmetrisSerte
Men@e S(K) konvex und yon konstanter B r e i t e D(K). Beweis Aufgrund der Bieberbachschen Ungleichung g i l t Durchmesser
f u r den
D(S(K)) ~ D(K) . Wegen D(K) = D(B)
ist
D(S(K)) ~ D(B). Die Symmetrisierung e r h ~ l t das Volumen, also g i l t auch
V(S(K)) = V(K)
und gegen
V(S(K)) = V(B) . Nimm% man nun
V(K) =V(B)
D(S(K)) < D(B)
und b e t r a c h t e t die konzentrischen Kugeln
an,
BD(S(K))(o)~BD(B)(O),__ 2
452
ist
2
J. SCHNEIDER dann erh~it man aus der isodiametrischen Ungleichung wegen BD(B)(O) ~ B
aus
2
V(S(K)) = < V(BD(s(K) ) (o)) < V(B) 2 zu
einenViderspruch D(S(K)) = D(B)
V(S(K)) = V(B). Also gilt
und aus L emma 4.2. folgt die Konvexit~t
van S(K) sowie die Tatsache,
dab
S(K) van konstanter Breite
D(K) i s t .
DEFINITION 4.2. K sei eine kompakte Hence in der hyperbolischen Ebene M2 mit nichtleerem Inneren K0 ~ ~ . Ein Randpunkt
p ( ~K
heiBt re@ul~r, falls es durch p nur
eine Gerade H(p) s_~o@ib%, da__BSK in einer durch H(p) be@renzten ab~eschlossenen Halbebene lieut.
LEHHA 4.4. K sei eine kompakte Men@e konstanter B r e i t e D(K) in der hyperbolischen Ebene M2. I s t
p E ~K
ein
re~ul~rer Randpunkt van K, dann @ibt es zu p nut einen Punkt q mit
d(p,q) = D(K).
Beweis Nimmt man an, es g~be zwei verschie4ene Punkte mit
q, q'
d(p,q) = d(p,q') = D(K) , dann liegt K in einer durch
H(p) begrenzten Halbebene,
wobei die durch p gehende Gerade
H(p) orthogonal zu der Strecke pq ist. Andererseits liegt K ebenfalls in der dutch H'(p) begrenz%en Halbebene, wobei H'(p) eine zur 5%recke pq' orthogonale Gerade durch p ist. Aus
q ~ q'
folgt
H(p) ~ H'(p)
regul~r.
453
und damit is% p nich%
g. SCHNEIDER LEMMA 4.5. K s e i eine zu der K r e i s s c h e i b e B flSchen@leiche
kompakte Men@e in der hyperbolischen Ebene H 2 fur deren Durchmesser
D(K)=D(B)
gilt. Sind p, q verschiedene
re~ul~re Randpunkte von K, dann gibt es Punkte ~, ~
mit
d ( p , ~ ) = d(q,~) = D(K) . I s t E die zur Strecke pq ortho@o@onale Gerade dutch den M i t t e l p u n k t von pq , dann l i e g e n d i e Punkte ~, ~
spiegelbildlich
zu E.
Beweis Nun seien p, q regulSre Randpunkte von K und g die Gerade durch p, q u n d o der M i t t e l p u n k t der Strecke pq . S s e i die Symmetrisierung v e r m i t t e l s der A b s t a n d s l i n i e n zu g an der zu g orthogonalen Geraden E durch o . Es bezeichne den S c h n i t t von K m i t der Abstandslinie
K[~] = K n A [ ~ ] _
dutch
g
a ( E und
ng(K[a]) = P[~]
die orthogonole
B
Projektion yon
K[a]
auf g.
Entsprechende Bezeichnungen
werden fur die symmetrisierte Menge S(K) gewShlt. Nach Lemma 4.2
i s t K konvex. Wegen der Konvexit~t yon K i s t
pq = K n g = K[o] = PFo] eine Strecke, und da o der M i t t e l p u n k t von pq i s t ,
gilt
S(K) N g = K[o]
. Damit
sind die Randpunkte p, q yon K e b e n f a l l s Randpunkte yon S(K) . Nach Lemma 4.3 g i b t es zu
p EK
ist
D(S(K)) = D(K) = D(B) , also
einen Punkt
p'
E S(K)
mit
d(p,p') = D(B) . Ist Ag[p']
die A b s t a n d s l i n i e dutch p ' ,
dann g i l t
D(B) = D(S(K[p']),S(KFo])) Nach Lemma 2.1
gilt
D(S(K[p']),S(K[o])) < D(KE~],KEo]) < D(K) , und aus
D(K) = D(S(K)) = D(B) f o l g t
D ( S ( K [ ~ ] ) , S ( K [ o ] ) ) = D(K[p-r],K[o]) : D(K) .
Hit Hilfe der Funktion ~ erhalten wir aus (A)
454
(*)
J. SCHNEIDER D(S(KEp~]),S(K[o]))
=
~(oo,o--~,o-'TT,D(S(eE~]),s(e[o])))
und
D(Kt~,K[o]) =
~(oo,o~',o~',D(eEp'-'r],e[o]))
9
Damit folgt aus (*)
D(S(P[p-r]),S(P[o])) = D(P[p"T],P[o]) Die Mengen
S(P[p T] ) , S(P[o])
(**)
.
sind konzentrische
Intervalle bezUglich o in g. Da K yon konstanter Breite D(K)
ist, ist K[p'~ nach Lemma 4.1
zusammenh~ngend.
Damit sind p[~7] und P[o] Intervalle in g und ist symmetrisch bezUglich o wegen
P[o] = K[o]
P[oq = S(P[o]).
p[~7] is% ebenfalls symme%risch bezUglich o und somit sind P[o] und P[p'] konzentrische an, o
Intervalle. Denn nimmt man
w~re nicht Mittelpunkt yon P[p'] , dann steht, da
S(P[p-T]) ~ p[~'7] und
~I(S(P[p'-;'])) = uI(P[p'-T])
ist,
D(P[pT],P[o]) > D(S(P[p-7]),S(P[o])) = D(S(P[p~]),P[o]) im Widerspruch zu (**).Nun seien Pound qo die Endpunkte von p[~T],
dabei sei Po nich% auf derselben Seite wie
p gelegen. Dann g i l t D(P[pT],P[o]) = d(Po,p) = d(qo,q) . Sind nun qo
~, ~ ( K[ ~T] die Punkte mit
Po = ~g(P)
und
= ~g(~) ,dann g i l t wegen (*) d(p,~) = d(q,~) : D(K)
Da p und q regul~re Randpunkte yon K sind, sind die Punkte und ~ ebenfalls Randpunkte yon K. Aufgrund der obigen Konstruktion sind die Punkte p, q und die Punkte ~, spiegelbildlich
bezUglich der Geraden E.
455
J. SCHNEIDER
SATZ 4.1. K sei eine kompakte Men@e in der hyperbolischen Ebene M2 und B die zu K fl~chen@leiche Kreisscheibe. G i l t D(K) = D(B) , dann i s t K eine Kreisscheibe. Beweis Nun seien
PI' P2' P3
paarweise verschiedene regul~re
Randpunkte van K und q]' q2' q 3
diejenigen Punkte
van K, fur die gilt d(Pi,q i ) = D(K) Nach Lemma 4.1
i = 1, 2, 3 .
liegen die Punkte
auf einer Abstandslinie
Pl' P2' p 3
nicht
(bzw. Geraden) oder auf einem
Grenzkreis. Damit g i b t es abet einen Kreis durch diese Punkte. I s t m der Mittelpunk% des Kreises durch Pl' P2' P3 ' dann g i l t d(Pl,m) = d(P2,m) = d(P3,m) Zun~chst sei
q i ~ m ( i = 1, 2, 3 ) und mit einer festen
van m ausgehenden Halbgeraden k seien ~i = ~(k'mPi)
i = I, 2,3,
8i = ~(k'mqi)
i = 1, 2, 3
die im halboffenen I n t e r v a l l Damit g i l t
fur die Winkel
( - ~ , ~ ] gelegenen Winkel. ~(mPi,mqi )
I ~i - 8i I < 2~
i = I, 2, 3.
Ist E l dos durch den Mittelpunkt o I van plP2 gehende Lot, donn ist
m E El
und E I halbiert den Winkel ~(mPl,mP2 ) .
Andererseits halbier% E I den Winkel ~(mq],mq2), ~1 + ~2
also gilt
81 + B2 -
+ zl~
z~
~ .
Entsprechend ~ r h d l t man2fUr die anderen Winkel ~i + ~i+I 8i + 8i+I 2 2 + z.~1 wobei die Indices mad 3 zu wdhlen sind. Damit erhalten wir ~1 -
mit
81 = ( Zl
- z2 + %) ~
z 1 - z2 + z3 c ~ .
456
z.~ E ~ ,
J. sCHNEiDER Da E1Winkelhalbierende d.h. und
c1 = B1 P2' q2
m6glich i s t , P2' q2
kann der Fall
nicht eintreten.
z 1 - z 2 + z 3 = O,
Denn dann wUrden
auf derselben Seite yon E1 liegen, da nach der obigen Konstruktion
spiegelbildlich I
ist,
-
Entsprechendes f o l g t
Pl' ql
was n i c h t
Pl' ql und
bezUglich E1 sind. Also i s t
I =
f u r die Winkeldifferenzen
I ~i - 8i I = ~
i = 1, 2 , 3 .
Dami% is% m der Schnittpunk% der Strecken ~iqi ( i = 1, 2, 3 ) und der Geraden E'z . I s t nun
ql = m , dann
i s t wegen d(Pl,m) = d ( p l , q l )
= D(K)
m Randpunkt, und da d(Pi,m) = d ( P i , q i )
= D(K)
i = 1, 2, 3
ist, f~llt q2 und q3 mit m zusammen. Die Strecken piqi schneiden sich wieder in m, ebenso die Geraden E. 1
( i = 1, 2, 3 )
Sind nun die beiden regulSren Randpunkte P2 ~ ql
fest gew~hlt, dann g i b t es wegen Lemma 4.5
genau eine Gerade H(Pi) in Pi i = 1, 2
Pl' P2 mit
i = 1, 2 an K. I s t fur
h.z die zu H(Pi) orthogonale Gerade dutch Pi'
dann i s t nach dem oben Bewiesenen
m = h 1 D h2
genau
der M i t t e l p u n k t des Kreises S, der Pl und P2 und einen beliebigen weiteren regul~ren Randpunkt
P3 r 5K als
Randpunkt e n t h S l t . Somit liegen a l l e regul~ren Randpunkte yon K auf S. Nach Lemma 4.1
i s t K eine konvexe Henge,
also l~gen die regulSren Randpunkte 5K van K auf dem Rand 5K Uberall d i c h t . Die Menge K i s t kompakt und damit i s t jeder Punkt yon K HSufungspunkt, also i s t Kreisscheibe.
457
K = S
eine
J. SCHNEIDER LEMMA 4.6. K sei eine kompakte Menge i n M .
S sei die
Symmetrisierung an einer zu g orthogonalen Hyperebene E mit
o = E n g 9 Ist
S(K) = B(o)
eine Kugel u__mmo,
dann i s t D(K) > D(S(K))=D(B(o))
,
falls K keine Ku@el ist. Beweis FUr jede 2-dimensionale Ebene T, die S(K) R T = B(o) n T
ein Kreis. Die Menge
dasselbe 2-dimensionale Ma8 wie 2-dimensionale Ebene T gilt S(K) n g
c
g c T enth~lt, ist K n T
hat
S(K) n T . FUr jede
K N g
c
K N T
und
S(K) R T . Da K keine Kugel ist, gibt es
eine 2-dimensionale Ebene T so, dab K n T ist. Denn w~re fur jede Ebene T
KRT
ein Kreis,
dann w~re K eine Kugel und nach Satz 1.3 ebenfalls eine Kugel. Da nun
K R T
kein Kreis
w~re dann S(K)
kein Kreis ist, gilt
nach Satz 4.1
D( K n T ) > D(S(K) n T ) = D(B(o)) und aus D(K) ~ D( K n T )
folgt die B ehauptung.
SATZ 4.2. K sei eine kompakte, yon der Kugel verschiedene, Menge i.~nM vom Durchmesser D(K) und BD(K) sei eine Kugel. Dann gilt
2 V(K) < V(BD(K)) 2
Beweis D(K) sei der Durchmesser der kompakten Menge K. Wegen der Kompak~heit van K g i b t es Punkte d(p,q) = D(K)
458
p, q ~ K
so, dab g i l t
J. SCHNEIDER Nun kons%ruieren wir mi% Hilfe yon Symme%risierungen eine Menge, die denseben Durchmesser und dasselbe Volumen wie K hat. Dazu sei o der Mit%elpunkt der Strecke pq und gn die Gerade, welche pq en%h5lt. Im h y p e r b o l i s c h e n Raum M
(Ei)1~i~n n paarweise verschiedene orthogonale
seien
Hyperebenen dutch o, wobei
gn•
ist. S i sei die
Symmetrisierung an def. Hyperebene E. vermit%els der 1
A b s t a n d s l i n i e n zu mit
g i N Ei = o .
der zu E. orthogonalen Geraden gi 1
Zun5chst betrachten w i r die H i n t e r -
einanderausfUhrung
Sn_1OSn_2 O" ..CS 1 verschiedenen n-1Symmetrisierungen
S*
der yon S
=
S. mi%
n
i
1 = < i ~ n-1 . Aufgrund der Bieberbachschen Ungleichung
gilt
f u r den Durchmesser der Mengen D(Ki) = D ( S i ( K i _ I ) )
Da f u r ist,
i = 1,2,...,n-1
~ D(Ki_ 1)
(K0 = K)
i = 1,2,...,n-1.
die Hyperebene E. zu E orthogonal 1
n
die zu En or%hogonale Gerade gn i n E.. 1 Damit
liegt
l i e g e n die Punkte ist,
Ki = S i ( K i _ 1)
folgt
p, q ~ E.
1
i n E. , und da 1
d ( p , q ) = D(K)
f u r den Durchmesser bei jeder Symmetrisierung S.
1
D(K~) = D(S~(K~_I))
= D(K~_ 1)
i = 1,2 .... ,n-1.
Bei der H i n t e r e i n a n d e r a u s f U h r u n g der Symme%risierungen S* erhSl% man eine kompakte Menge
K* = S*(K)
f u r deren
Durchmesser D(K*) = D(S*(K)) = ~ K ) und f u r deren Volumen V(K*) = V(S*(K)) = V(K) gilt.
Nun symmetrisieren w i r K* an der Hyperebene E .Dabei
erh~l% man eine kompak•
n
Menge
C = Sn(K*) , die symme%-
r i s c h bezUglich a l l e n Hyperebenen auch symmetrisch bezUglich o i s t . das Volumen erhal%en, is%
459
(Ei)l~i~ n
und damit
Da die Symmetrisierungen
J. SCHNEIDER V(C) = V(Sn(K*)) = V(K*) = V(K) . FUr den Durchmesser g i l t nun aufgrund der Bieberbachschen Ungleichung
D(C) = D(Sn(K*)) ~ D(K*) =~K) Da die Menge C symmetrisch bezUglich o ist, liegt C in der Kugel
BD(c)(O) , d. h. es i s t 2
C c BD(c)(O) . 2 Im F a l l e dab
D(C) < D(K) i s t ,
gilt
BDCc}(O).. ~ BDCK)(O).
Damit f o l g t aus
2
2
V(K) = V(C) = < V(BD(c) (o)) < V(BD(K) (o)) die Behauptung. 2 2 Andernfalls
ist
Teilmenge yon
D(C) = D(K) . C i s t dabei eine echte BD(K)(O) , d.h. es i s t
C ~ BD(K)(O)
2
2
Denn da K keine Kugel i s t ,
und da bei einer der
Symmetrisierungen S.z die Kugel
hStte nach Lemma 4.6
C =
BD(K)(O) entstUnde, 2
K gr6geren Durchmesser als C, was
nach obiger Konstruktion n i c h t m6glich i s t . Kompaktheit von C und da
C _~ BD(K)(O).
ist,
Wegen der g i b t es
2 einen Punkt
p ~ BD(K)(O)
mit
p ~ C . Nun i s t
d(C,p) > 0
2 p o s i t i v und somit l i e g t Da C c BD(K)(O ) i s t , %
p in einer r
erh~lt man aus
#
2
V(Br ) = < V(BD(K) (o)\C) = V(BD(K) (o)) - V(C) 2 2 die Behauptung V(K) = V(C) < V(BD(K)(O)) 9 2
460
B c BD(K)(O)\C.
2
J. SCHNEIDER LITERATUR [B1 I] BLASCHKE, W.: Kreis und Kugel, 2. Auflage, Berlin: de Gruyter 1956 [B1 2] BLASCHKE, W.: Vorlesungen Uber Differentialgeometrie Trr , Berlin: Springer 1929 [BK] BUSEMANN,H., KELLY, P.: Projective Geometry and Projective Metrics, New York: Academic Press 1953 ILl LENZ, H.: Nichteuklidische Geometrie, Mannheim: B. I. 1967 ~.Sc~ SCHMIDT, E.: DerBrunn-Minkowskische Satz und sein Spiegeltheorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in dez euklidischen und hyperbolischen geometrie. Math. Ann. 120, 307-422 (1947-49) [Sch] SCHNEIDER, J.: Uber die Symmetrisierung kompakter Mengen im hyperbolischen Raum, S t u t t g a r t : Dissertation 1986 JUrgen Schneider Mathematisches I n s t i t u t der Universit~t HebelstraSe 29 7800 Freiburg i . Br.
(Eingegangen am I.
461
Oktober 1987)
