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Ingenieur-Archiv 51 (1981) 31--43

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Springer-VeflagI981

Zur korrekten Modellbildung in der Dynamik diskreter Systeme H. Troger und K. Zeman, Wien {Jbersicht: Zur korrekten Modellbildung bei linearen, autonomen, dynamischen Systemen wird f~r die Ermittlung der richtigen Anzahl yon Parametern die Theorie der Verzweigungsdiagramme voit 2V[atrizen von V. I. Arnold verwendet. AIs Beispiele werden die Doppelpendel mit tangentialer und richtungstreuer Endlast behandelt. S u m m a r y : In order to obtain a correct model of a linear, autonomous, dynamical system with the right number of parameters the theory of bifurcation diagrams of matrices developed by V. I. Arnold is used. As examples two double pendula with a follower force respectively with dead Ioading are considered.

1 Einleitun~

Auf das Auftreten yon destabilisierenden Effektcn yon D~tmpfungskrgften und der damit zusammenhgngenden Frage der korrekten Nodellbildung wurde yon H. Ziegler in [1! erstmals hingewiesen. Diese Frage ist seither in cinigen Arbeiten (z.B. [2], [3~) untersucht worden. Hierzu wurde ats Musterbeispiet des ebene Doppelpendel mit tangentialer Folgelast (Bild t) herangezogen ([4, 51)- An diesem Beispiel konnte der Einflul3 viskoser D/impfung in den Gelenken auf den kritischen Weft der Belastung, far den die gestreckte Lage des Doppelpendels instabil wurde, ohne grogen mathematischen Aufwand gut studiert werdem Es ergeben

P

!

Bild 1. Ebenes Doppelpendel mit tangentialer Folgelast

0020-1 ,!54/81/005 t/o031/$ 2.60

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Ingenieur-Archiv

5I ( 1 9 8 0

sich zwei interessante Effekte. Einmal tritt eine Verminderung der kritischen Last ft~r das Eintreten yon Instabilit~t bei Vorhandensein yon sehwacher viskoser D~mpfung gegentiber dem unged~mpften Fall auf. Zweitens ergibt sieh beim Grenz0bergang vom ged~impften System zum ungedXmpften System ein anderer Wert ft~r dig kritische Last, als er sich bei Berechnung aus einem yon vorneherein unged~impften System ergeben h~itte. Auf diese speziellen Fragen wird noch genauer eingegangen werden. Das grunds~tzliche Problem, das bier aufgeworfen wird, ist offensichtlich der Einflul3 yon Parametern auf das qualitative Systemverhalten und insbesondere die Frage nach der Anzahl der Parameter, die notwendig sind, um das Systemverhalten qualitativ vollst~indig beschreiben zu k6nnen. Dat3 diese Fragen offensichtlich yon groBem praktischem Interesse sind, ist leicht einzusehen. Mtissen n~imlicla beispielsweise Parameterwerte experimentell bestimmt werden, dann ist es sehr wichtig, bereits ira voraus zu wissen, ob die richtigen und gen~igend viele Parameter gew~ihlt wurden. In diesem Zusammenhang spielt der Begriff der strukturellen Stabilit~tt ([6~ S. 90), der noch genauer erkl~trt werden wird, eine wesentliehe Rolle. Das zweite wichtige Hilfsmittel ist dig Theorie der Verzweigungsdiagramme yon ~{atrizen, wie sie von V. I. Arnold (E7] ab S. 67) entwickelt wurde. Sie gestattet es, for linearisierte, autonome, gew6hnliche Differentialgleiehungssysteme die notwendige Anzahl yon Parametern zu bestimmen.

2

Strukturelle Stabilit/it

Der Begriff der strukturellen Stabflit~t ist fiir dig folgenden LTberlegungen yon zentraler Bedeutung. Grob gesprochen versteht man darunter die Unempfindlichkeit eines Systems in seinem qualitativen Verhalten gegen kleine Starungen seiner Parameter. Anders ausgedrfiekt 5eJBt das, daB, wenn man das ursprOngIiche System durch ein neues, im Parameterraum benachbartes System ersetzt, dann beide Systeme dasselbe Verhalten in qualitativer Hinsicht zeigen mtissen. Der Unterschied zur Stabilit~tsdefinition im Sinne von Liapunov liegt darin, dab bei letzterer ft~r ein gegebenes System die Stabilit~it einer L6sung betrachtet wird, w~hrend bei der strukturellen Stabilit~t das Verhalten des Systems bei kleinen St6rungen des Systems selbst untersucht wird. Ft~r bestimmte Systemklassen, wie etwa Gradientensysteme oder dynamische Systeme auf zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten ist die Frage nach struktureller Stabilit~t yore mathematischen Standpunkt her weitgehend gel6st (E6, 8, 9])Wichtig ist nun insbesondere die Frage naeh der strukturellen Stabilit~t yon Systemfamilien. Diese Frage ist in E6] (ab S. 90) behandelt und sol1 bier nur an einem einfachen Beispiel betrachtet werden, das jedoch for das noeh zu behandelnde Doppelpendel mit tangentialer Folgelast wiehtig sein wird. Bei der Behandlung eines axial gedrtickten Stabsystems mit einem Freiheitsgrad, der mit x bezeiehnet wird, wird bei Anwendung der Katastrophentheorie ([61, S. 29t) gezeigt, dab das Problem durch eine Potentialfunktion vierten Grades qualitativ vollst~tndig beschrieben werden kann. 13eriicksichtigt man nur einen Parameter a (Last), so erh~ilt man ein Potential der Form X6

V = T+

X2

a T,

0)

woraus die Berechnung der Gleichgewichtslagen aus OV

0x

-

x~ +

ay. =

0

(2)

zur Geraden x = 0 und der ParabeI x 2 + a = 0 fOhrt. Dies iiefert den bekannten Verzweigungsgraphen (Bild 2), wie er hS~ufig in Lehrbfichern der StabiIit~tstheorie elastischer Strukturen zu finden ist. Es ist nun jedoch yon der Theorie der Strukturstabilit~t der Gradientensysteme ([61, S. 90) her bekannt, dab eine Auffaltung oder Deformation der Funktion x4/4 zu x~/4 + + a (x2/2) zu keiner strukturell stabilen Familie ftihrt, denn dazu sind mindestens zwei Parameter notwendig. Eine solehe Familie, die dann s~mtliche m6glichen Deformationen yon Familien 4. Grades enth~lt, nennt man versal. Ein einfaches Beispiel dazu ist in Bild 3 an-

H. Troger und K. Zeman: Zur korrekten Modellbildung in der Dynamik diskreter Systeme

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x~

X?+O=O

/

x=O

Bild 2, Verzweigungsgraph f*ir die Poten'cialfunktion V = --- x * 4

1( a

tg

+

--

2

x2

J C

b

Bild 3. Symmetrische (b) und unsymmetrische (c) Deformation der Funktion .,4 (a)

gegebe~a, wo eine Deformatiort yogi x 4 (Bitd 3 a) m i t nnr einem P a r a m e t e r a in der F o r m x 4 + a x e nur eine symmetrische Deformation (Bitd 3 b) liefert, die die klarerweise mbgliche unsymmetrische Deformation yon x 4 (BiId 3 c} niche enth~tt. Dazu ist ein zweiter P a r a m e t e r b (zum Beispiel eine I m p e r f e k t i o n beim axial gedrtickten Stab) neben dem L a s t p a r a m e t e r a notwendig. Diese beiden P a r a m e t e r stellen nun ffir das Potential x ~ eine universale Deformation dar, wobei unter einer universalen Deformation eine versale Deformation mit der minima!en Anzahl yon P a r a m e t e r n zu verstelhen ist. Es ergibt sich nun X4

X2

V =T+aT+bx.

(3)

Die Funktionen x 2 und x ergeben sich aus der Katastrophentheorie ([6] S. f23). Ans (3) folgt die Menge der Gleichgewichtslagen 0v

--

0x

=

X3 -I_

~ ax + b =0,

(4)

die eine gtatte Fl{iche i m R a mit den Koordinaten x, a, b darstellt (~6} S. 84). Fiir b @ 0 wird der G r a p h yon Bild 2 zu jenem in Bild 4 verRndert. Topologisch, qualitativ sind die Graphen in Bild 2 und Bild 4 klarerweise verschieden. In ]3ild 2 liegt ein Sehnittpunkt vor, w~thrend in Bild 4, wie klein auch immer b ~ 0 ist, kein Schnittpunkt auftritt. Dies kann dazu ftihren, dag eine IV[odellbildung ohne Beriieksiehtigung des Parameters b zu einer Systembeschreibung

{

B i l d 4. V e r z w e i g u n g s g r a p h

fiir die P o t e n t i a l f u n k t i o r x V == *--4x4 + --2 x~ T' bx

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ttihrt, die beispielsweise bei experimentetlen Untersuchungen auch bei noch so sorgfiiltiger Versuchsausfiihrung qualitativ ungeeignete Resultate liefert. Gleichung (3) stellt eine strukturell stabile Familie dar, die die strukturell instabilen Systeme (singuliiren Systeme), die qualitative Wechsel im Systemverhalten bei kleinen Parameter~tnderungen erleiden, als Verzweigungspunkte im Parameterraum enth~tlt. Diese Singularitiiten treten ftir eine versale Familie in strukturell stabiler Weise auf, und k6nnen nicht durch kleine Deformationen der Familie vermieden werden. In Bild 5 ist das Verzweigungsdiagramm,

b

B i l d 5. S e m i k u b i s c h e P a r a b e l 4 a 3 + 27b 2 = 0, d i e d a s V e r z w e i g u n g s d i a g r a m l n ( M e n g e d e r ] 3 i f u r k a t i o n s w e r t e i m t t Parameterraum) in der Parameterebene a, b Iflr V = - - x 4 + 2 ax2 + b x d a r s t e l l t

4

das die Menge der Verzweigungswerte (kritischen Parameterwerte) im Parameterraum darstellt, ftir die Familie (3) angegeben. Es wird sich zeigen (Bilder t0 und t t), dab beim Doppelpendel mit tangentialer Folgelast ebenfalls eine qualitative Anderung im Systemverhalten, wie sie in den unterschiedlichen Graphen in Bild 2 und Bild 4 zum Ausdruck kam, vorhanden ist. Weiters wird sich zeigen, dab bei Modellbildung mit nur einem Parameter strukturell instabile Singularit~ten auftreten.

3

Verzweigungsdiagramme

von Matrizen

Es werden nun lineare, autonome Differentialgleichungssysteme der Form =

A(Z) x

(5)

betrachtet, wobei x ein n-Vektor ist und A(~.) eine n • n Matrix, die vom r-Parametervektor ), abh~tngt. Wtinschenswert w~tre es nun, im Parameterraum jene Bereiche angeben zu k6nnen, Ifir die qualitativ gleichwertiges Systemverhalten vorliegt. Die Begrenzungen dieser Bereiche stellten dann die Verzweigungs- oder Bifurkationsbereiche dar. Eine so allgemeine Behandlung ist jedoch, wie in [7] (S. t t 3) ausgeftihrt ist, derzeit noch nicht m6glich. Es wird daher nicht das Systemverhalten, sondern die Struktur der Matrix A(~.), die dutch Eigenwerte und Elementarteiler ([12, 131) gegeben ist, als charakterisierende Systemgr613e herangezogen. DaB die Struktur der Matrix A(~.) in (5) auch ftir das Verhalten tier L6sungen von (5) bedeutungsvoll ist, ist einzusehen, wenn beispielsweise eine Parameteriinderung zur Folge hat, dab der gr613te Eigenwert yon komplex auf reell wechselt, besonders dann, wenn dabei der Realteil Null ist. Es tritt hierbei Iolgende Anderung in der Matrixstruktur auf: Zuerst liegen zwei Eigenwerte a m ~ -~-i(1), 0( 2 ~--- - - i O ) v o r . Ftir den kritischen Parameterwert (Verzweigungspunkt) ergibt sich dann mit ~1 ~ a~ = 0 eine DoppelwurzeI. AnschlieBend erh~lt man zwei reelle Eigenwerte, yon denen einer positiv ist. Das System ist bei der Parametefitnderung instabil geworden. An der Stabilit~tsgrenze hatte sich eine Matrixstruktur (Doppelwurzel) ergeben, die noch genauer untersucht werden wird. Aus der Algebra ([7] S. 67) ist bekannt, dab die Reduktion einer Matrix auf ihre Jordansche Normalform eille instabile Operation ist, denn sowohl die Normalform selbst, wie auch die

H. T r o g e r m i d K. Z e m a n : Z u r k o r r e k t e n ModellbiIdung in der D y n a m i k diskreter Systelne

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Transformation auf die Normalform sind strukturell instabil. Somit stellen bei einer Aufteilung des Parameterraumes entsprechend der Struktur der l~{atrix A(Z), die Parameterwerte, die zu Matrizen mit JordanblSeken, die nun die singul~iren Systeme darstellen, fiihren, die Verzweigungsmenge im Parameterraum dar. Hat man daher ein Systemmodell gebildet, dessen Matrix A auf eine Jordanstruktur reduzierbar ist, wird fiir kleine Parameter~inderungen, wie sie bei realen Systemen immer auftreten werden, eine qualitative Anderung der I~{atrixstruktur erfolgen, die fiir das Systemverhalten bedeutungsvolle Auswirkungen haben kann. Genauso wie vorhin die strukturell instabile Funktion x 4 in eine strukturell stabile Familie eingebettet wurde, mug nun eine strukturell instabile Jordanform in eine strukturell stabile ~atrizenfamilie eingebettet werden. Als erstes stellt sich die Frage nach der Anzahl der notwendigen Parameter 2~. . . . . /l,, um eine universale Deformation der l~atrixstruktur zu erhalten. Diese Frage beantwortet die Kodimension c der Aufteilung des Parameterraumes, die dureh (E7] S. 70) P

c -- E [~h(i) § 3~2(i) + ... -- 1]

(6)

i--1

gegeben ist. Dabei ist p die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte, und nl(i ) > ~ ( i ) > ... sind die Dimensionen der Jordanbl6cke, die z u m / - t e n Eigenwert gehSren (siehe Anhang 1). Es werden nun die folgenden Bezeichnungen beniitzt. Mit griechischen Bruchstaben c~, fl, 7 .... werden Eigenwerte bezeichnet. Die Gr6Be ~" bezeichnet dann einen 2 x 2 Jordanblock [0

tctJ' w~threndcc~einer2 • 1 7 6

: J entspricht. Es ist dannbeispiels-

weise cta eine IVfatrix der folgenden Form

t~176 1

r162 I o o ~ o o o ~

o

Fiir entsprechende Werte yon c nach (6) sind in [71 und [101 die zugehSrigen Verzweigungsbereiche, die in strukturell stabiler Weise im Parameterraum auftreten, und die ihnen entsprechenden Jordanformen angegeben. Ist c = 1, so haben wir nur Punkte auf der Parametergeraden und die einzige zugehSrige typische Singularit~it ist ein 2 • 2 Jordanblock cd (Bild 6). Ftir c = 2 erhalten wir zweiparametrige Matrizenfamilien und die einzigen in strukturell stabiler Weise auftretenden Verzweigungsbereiche sind Kurven mit einem 2 X 2 Jordanblock ~2, Knoten mit zwei 2 • 2 Jordanbl6cken cd~2, Spitzenpunkte mit einem 3 • 3 Jordanblock ~ und isolierte Punkte mit zwei 2 x 2 JordanblScken ~2~2, wobei ~ der konjugiert komplexe Eigenwert zu c~ ist (Bild 7).

(x

/

a 2 cz

~/

/

B i l d 6. Die einzige t y p i s c h e S i n g u l a r i t ~ t in der M a t r i x s t r u k t u r in einer e i n p a r a m e t r i g e n M a t r i z e n f a m i l i e ist ein 2 • 2 J o r d a n b l o c k , d e m ein P u n k t als V e r z w e i g u n g s m e n g e a u f der P a r a m e t e r g e r a d e n e n t s p r i c h t cr 3

B i l d 7. V e r z w e i g u n g s b e r e i c h e u n d die z u g e h 6 r i g e n t y p i s c h e n Singularit~iten der M a t r i x s t r u k t u r ft~r zweip a r a m e t r i g e M a t r i z e n f a m i l i e n in der P a r a m e t e r e b e n e 3*

36

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Ftir c ~- 3 ergeben sich zus~ttzliche ffmf typische Formen, die in [10] aufgelistet sind. Falls die Matrizenfamilie Matrizen mit komplizierteren Jordanformen enth~lt oder ira Verzweigungsdiagramm kompliziertere Verzweigtmgsbereiche auftreten als nach der obigen Anfzghlung entsprechend dem Weft yon. c in typischer Weise auftreten dtirften, so kann durch eine kleine Deformation der Matrix erreicht werden, dab diese Singularit~tten verschwinden oder in mehrere einfachere zerfallen ([7], S. 65 und 71). In [10] sind weitere universale Deformationen der entsprechenden Jordanmatrizen angegeben. So ergeben sich for Matrizen mit zwei 2 • 2 Jordanbl6cken die folgenden universalen Deformationen beziiglich der Matrixstruktur: a) mit reellen Eigenwerten A0, ) = A ~ + B ( g ) =

0

~

0

21 0

o o# o

o

+lo o

#

0

(7)

o o o

;.,2

b) mit konjugiert komplexen Eigenwerten ~ = f + i,~

A(Z)--A0+B(~)=

o

~ o

-rj

4

Anwendungen

4.1

o ~

~; f

+

0 o

& o

o 0 o

(8)

und Folgerungen

D@pel#eeadel ~nit ta#agerttialer F o l g d a s t

Es wird ein aus zwei starren Stgben (konzentrierte Massen mx und m2), die mit Drehfedern und viskosen D~tmpfern k~ aneinander gekoppelt sind, bestehendes, ebenes Doppelpendel, das mit einer tangentialen Folgelast P (Bild t) belastet ist, betrachtet. Es handelt sich dabei um ein System, wie es in [4] behandelt wurde. Die um die Lage 91 = ~~ = 0 linearisierten Bewegungsgleichungen lauten in der Form yon (5) (siehe [4]) -- Ax,

wobei x und A durch x~ =

(~, ~, ~,, ~)

(9)

und

A =

0

1

0

0

F - 3

- ( K ~ + 2K~)

2 -- F

2

2

2

~2

0

0

0

t

5 -- F 2,

K 1 + 41< 2 2

F -- 4 2

~-2K~

0o)

gegeben sind. Dabei sind F = Pl/~ und K~ = k / ( ~ m l ~ ) t;~. Berechnet man nun ftir (i0) den Wert der Kodimension c nach (6) im physikalisch interessanten Weft im Parameterraum, der dutch das unged~impfte System an der Stabilit~ttsgrenze (F = F o, K~ = 0) gegeben ist, so ergibt sich eine ~{atrixstruktur ~.a~2 und daraus r == 2 (siehe Anhang t). Damit ben6tigt man mindestens zwei Parameter um eine strukturell stabile Deformation in der Urngebung dieses kritischen Punktes zu erhatten. Nimmt man ein bestimmtes Verh{iltnis der Dgmpfungskonstanten, beispielsweise K1/Is 2 = t, an, dann hat man zwei physikalische Parameter, n~mlich die Betastung F u n d den D~mpfungsparameter K = K~ = K2. ]3erechnet man nun das Verzweigungsdiagramm (siehe Anhang 2), so erh~tlt man Bild 8..Es ist ersichtlich, dab nur jene in Abschnitt 3 angefiihrten, flir c = 2 in strukturell stabiler Weise auftretenden Singularitgten vorhanden sind und somit die Betrachtung des Systems als eine mindestens zweiparametrige Familie geniigt.

It. Troger und K. Zeman: Zur korrekten ModeUbildung in der Dynamik diskreter Systeme

37

F*

\ 5

/

....

Bild 8. Verzweigungsdiagramm fi?r das tangential belastete Doppelpendel nach Bild 1

az ,:zz ,

\

cdb, z ,

\

,

g O~2 .

i

J

0

3 F~

o~2

~

'

=

~Fz 6 b

K:~ #0

F

Bild 9. Einparametrige Matrizenfamitien Ifir das tangential belastete Doppelpendel mit a untypischen (K = 0) und nach einer kleinen Deformation der Familie b typischen (K :g 0) Singularit~tten

H g t t e m a n jedoch von v o r n e h e r e m nur eine einparametrige Familie ( L a s t p a r a m e t e r F, K ~ 0) b e t r a c h t e t , wtirde m a n das Verzweigungsdiagramm y o n Bild 9 a erhalten, das aus Bild 8 als Gerade K = 0 hervorgegangen ist. Dm in t3ild 9 a a u l t r e t e n d e n Singularititten ~2~2 u n d ~f12 sind aber far eine einparametrige Familie strukturell instabil (untypisch) u n d k6nnen d u r c h eine kleine System~tnderung (Systemdeformation), die d u r c h Variation eines oder mehrerer Matrixelemente bewirkt werden kann, vermieden werden. Dies ist d a n n ein Hinweis daftkr, dab die Systemfamilie nicht strukturell stabil ist, beziehungsweise, dab das Systemmodell nicht in O r d n u n g ist. Withlt m a n im speziellen Fall als kleine D e f o r m a t i o n geringe Dikmpfung K - - - e = k o n s t a n t (e ~ t) u n d b e t r a c h t e t wiederum eine b e n a c h b a r t liegende e i n p a r a m e t r i g e Familie ( L a s t p a r a m e t e r F), so erhiilt m a n das Verzweigungsdiagramm 9b. (Gerade K = ~ in Bild 8.) Die Singularitlkt ~20~2 ist n u n g&nzlich verschwunden, wlihrend ~2/52 in zwei einfaehere Singularitiiten v o m T y p ~2 aufgespaltet wurde. Diese beiden Singularit~kten e2 sind ftkr einparametrige Systeme strukturell stabil. Ftir K = e = constant gentkgt d a h e r eine B e t r a c h t u n g als einparametriges System. Das E i n t r e t e n yon Instabilit~it erfolgt n u n o h n e A n d e r u n g in der M a t r i x s t r u k t u r und ist a m besten im D e k r e m e n t d i a g r a m m (Bild t0), in d e m die Niveaulinien des gr613ten Realteiles der Matrix eingetragen sind, zu erkennen. D a v o m S t a n d p u n k t der Modellbildung besonders das unged~impfte S y s t e m an der Stabilit&tsgrenze y o n Interesse ist, soll es noch etwas genauer b e t r a c h t e t werden. Es liegt eine Matrix ~2~%or, wobei ~1 = ~2 = i0) u n d ~a = ~4 = ~ = --i0) mit 0)4 = t/2 sind. Aus (8) folgt die zugehSrige charakteristische Gleichung fill zwei imaginlire Doppelwurzeln zu p4 ~_ (20)2 __ 2Zl)

V2 _~_ 409,)2,p_~ ~ .@ 21 ~. 2(.02)~1@

404 =

0 ,

(tl)

wobei 21 uncl 22 nach (8) universale D e f o r m a t i o n s p a r a m e t e r sind. Die charakteristische Gleic h u n g ffir (40) l a u t e t /*~ -F

[K2

./(ffa _[_ 2

F @ 7]ff 2 2

1

-}- IQ~ @ 2 =- 0 .

('12)

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Ingenieur-Archiv 5t (1981)

Bild 10. Dekrementdiagramm (Diagramm der Niveaulinien des gr613ten Reakeiles (D) der Eigenwerte der Systemmatrix) ft~r das Doppelpendel mit Folgelast (dick ausgezogene Linien en~csprechen Knickstellen der DekrementflS~che ([7] ab S. 75))

Um (t 1) und (t 2) miteinander vergleichen zu kSnnen, fiihren wir in (12) die neue Variable 7

v = / * + • K ein und erhalten damit

V4 @

_

_

t3132Ke -- F +

v2 + \ 6 4

+ 74 K

F -

5635 K4 49 K2 F 23t KS t --409~ -- 6 4 q- t28 q- ~ - = 0 .

K

v --

(13)

Ftir eine kleine Deformation um den P u n k t F = F o und K = 0 in der Parameterebene mit den beiden lokalen P a r a m e t e r n c1 und e2 (% e2 ~ 1) in der F o r m F = F o + e1 und K = e,, ist nach Einsetzen in (t 3) ersichtlich, dab die beiden Polynome (t t) und (t 3) die gleiche qualitative Abh~ngigkeit yon den P a r a m e t e r n 21, ),2 beziehungsweise % e2 besitzen. Man nennt dann die beiden Polynome zueinander stark ~tquivalent ([6] S. 296). Weiteres sind e1 und e2 lokal universale Parameter. D a m i t ist aber auch klar, dab ein Systemmodell, in dem e2 ~ 0 (keine D~impfing) gesetzt ist, strukturell instabil ist. Dies wird besonders deutlich im Vergleich zu den Bildern 2 und 4, wenn man sich Realteil und Imagin~irteil der Eigenwerte yon (11) ftir das unged~mpfte beziehungsweise schwach ged/impfte System aufzeichnet, wie das in [4] und [1t] gemacht ist. Es ergeben sich die beiden in den Bildern 11 und 12 gezeichneten Figuren. Aus diesen ist in Analogie zu den Bildern 2 und 4 erkennbar, dab unabh~ngig yon der GrSBe der D~impfung immer ein Aufplatzen des Diagrammes im Schnittpunkt /r = F o in einen aus zwei getrennten K u r v e n bestehenden Graphen erfolgt. Dies folgt aus dem Versehwinden der Singularit~tt c~%~~ in F = F 0 bei Hinzutreten yon D~impfung (Bild 8 und Bild 9 a, b). Aus den Bildern 11 und 12 ist welters ersichtlich, dab die far F = F * = 3.5 + 1/2 auftretenden Verzweigungen erhalten bleiben. Der D~mpfungseinflul3 ft~hrt ]edoch dazu, dab diese Verzweigungspunkte nicht mehr beim gleichen Wert von F auftreten, sondern bei zwei verschiedenen Werten, die in Bildern 8 und t2 mit _F1 und F~ bezeichnet sind und im Verzweigungsdiagramm durch SingularitXten ~2 gegeben sind. Bild t2 liefert somit eine anschauliche Interpretation des Aufbrechens einer komplizierteren Singularit~t ~2/52 in einfachere (~2). Welters ist aus Bild 12 erkennbar, dab far den Grenziibergang K -+ 0(e 2 ~ 0) der Wert von FI~ konstant bleibt (siehe auch [tt], Abb. 1) und ungleich dem Wert ist, wie er ftir das von vorneherein unged~tmpfte System gefunden wurde. Dies ist auch deutlich dem D e k r e m e n t d i a g r a m m (Bild 10) zu entnehmen. Es ist n$mlich ft~r das StabilitS.tsverhalten jener Linienzug im D e k r e m e n t d i a g r a m m wichtig, der dem Realteil Null entspricht. Dieser ist in Bild t0 als D = 0 eingetragen. Dieser Linienzug separiert Bereiche yon stabilem und instabilem Verhalten. Was nun beim Grenziibergang

It. Troger und K. Zeman: Zur korrekten Modellbildung in der Dynamik diskreter Systeme

39

iF*

-1

Im

Re

Bild 11. Verlauf von Realteil und Ilnagin/irteil der Eigellwerte von (10) fi~r K = 0 (nach [4]) (Pfeile zeige in Richtung von wachsendenl F)

q I

-1

1

Re

Iml

)+

'-1

.......~

-1 Bild 12. W'ie Bild t0 aber far K ~ e =~ 0 (nach [4]) K - . 0 passiert, 1/iBt sich leicht aus Bild 10 ablesen. Fiir j e d e n W e r t F ) F1~, fiir den fiir K =1= 0 stabiles V e r h a l t e n vorliegt, wird b e i m G r e n z i i b e r g a n g bei fJberschreiten der Linie D = 0 Instabilit~it a u f t r e t e n . D a h e r k a n n i m G r e n z i i b e r g a n g h6chstens F~ u n d n i c h t F 0 a n g e n o m m e n werden.

4.2

D o p p e l p e n d e l m i t richtungstreuer E n d l a s t ( B i l d 13)

Die Matrix A().) h a t n u n folgendes A u s s e h e n m

0 F --

A(Z) F

3

K 1 +

2K 2

F

-- 2

2

2

0

0

0

--

5

K 1

@ 4K 2 2

0

0

2

2 R

1

K~ t

3F -- 4 2

--

2K 2

40

Ingenieur-Archiv 51 (t 981)

P~m2=m ml:2m.~ k2

k//////////~1 Bild 13. Ebenes Doppelpendel mit richtungstreuer t3elastung

~

j(z 2

Bild 14. Verzweigungsdiagramm fiir das richtungstreu belastete Doppelpendel

Berechnet man sich den Wert der Kodimension c nach (6) an der Stabilit~ttsgrenze ftir das unged~tmpfte System, so ergibt sich ein 2 x 2 Jordanblock und somit c = I (siehe Anhang 1). Dennoch wird ein Verzweigungsdiagramm ftir eine zweiparametrige Matrizenfamilie mit K 1 = K 2 --- K als zweitem P a r a m e t e r neben dem L a s t p a r a m e t e r F, wie es in Bild 14 angegeben ist, entworfen. I m P u n k t F~ und K = 0 besitzt das System nur einen 2 • 2 Jordanblock ~2. Dies ist eine typische, in strukturell stabiler Weise auftretende Singularit~tt fiir einparametrige Matrizenfamilien. Daher hat eine kleine Anderung eines zweiten Parameters (D~mpfung K = ~ q= 0 keinen qualitativen EinfluB). (Siehe die Linie K = ~ in Bild 14, ffir die sich dieselben Singularit~ten ergeben, wie fiir K -- 0). Somit ist es zul~tssig, ftir die Berechnung der kritischen Belastung ein unged/impftes Systemmodell zu verwenden.

4.3 Folgerungen Der wesentliche Unterschied in den beiden Beispielen 4.1 und 4.2 ist, dab fiir das ungedS.mpfte Doppelpendel mit Folgelast (Fall 4.t) an der Stabilit~ttsgrenze fiir die S y s t e m m a t r i x eine J o r d a n f o r m im Verzweigungsdiagramm auftritt, die die Kodimension zwei besitzt, w~thrend ftir das unged~tmpfte Doppelpendel mit richtungstreuer Belastung (Fall 4.2) an der Stabilit/itsgrenze ftir die S y s t e m m a t r i x e!ne J o r d a n f o r m im Verzweigungsdiagramm vorhanden ist, deren Kodimension eins ist. Das heiBt somit, dab im Fall 4.1 mindestens zwei P a r a m e t e r und im Fall 4.2 mindestens ein P a r a m e t e r notwendig sind, um eine strukturell stabile Deformation zu erhalten. DaB m a n im Falle 4.2 mit einem einzigen P a r a m e t e r auskommt, sieht man aus

H. Troger und K. Zeman: Zur korrekten Modellbildung in der Dynamik diskreter Systeme

4-1

Bild 14 sofort, wenn man lokale Parameter im Punkt F k und K = 0 so w~thlt, dab einer in Richtung der Tangente an die Verzweigungslinie in (Fk, 0) und der zweite senkrecht dazu gerichtet ist. Dann wird sich lokal nur die Variation des zweiten Parameters qualitativ auf die Matrixstruktur auswirken. Zusammenfassend kann man folgende Regel angeben: Ober die Anzahl der in einer Modellbildung notwendigen Parameter wird durch den Wert der Kodimension c uach (6) lokal um einen physikalisch interessierenden Punkt im Parameterraum entschieden. Dabei ist der Wert der Kodimension unabh~tngig yon der Dimension des Parameterraumes. Hfi.tte man beispielsweise ftir ein dreiparametriges System durch einen physikalisch interessierenden Punkt im Parameterraum eine Verzweigungslinie (Kodimension c = 2), so mt113te man lokal ttir eine Modellbildung zwei Parameter mitnehmen, die eine F15.che aufspannen, die von der Verzweigungslinie transversal geschnitten werden mul3. Fiir das Auftreten einer Verzweigungsfl~che im Parameterraum (Kodimension c = 1)gentigte ein geeignet gew~thlter Parameter, um das qualitative Systemverhalten ausreichend zu beschreiben. Ob man die Parameterwahl inkorrekt durchgeftihrt hat, erkennt man am Auftreten yon untypischen Singularit~tten ftir Verzweigungswerte im Parameterraum, die erkennen lassen, dab unzulS~ssige EinschrS.nkungen (z.13. K i = 0 im Beispiel 4A) gemacht wurden.

5 Zusammenfassung Mittels der in ~_7] entwickelten Theorie der Verzweigungsdiagramme von Matrizen und bei Verwendung des Begriffes der Strukturstabilit~t k6nnen Aussagen iiber die notwendige Anzahl von Parametern in Modellbildungen, die fiir eine vollstgndige, qualitative Beschreibung linearer, autonomer, dynamischer Systeme notwendig sind, gemacht werden. Konstruiert man sich die Verzweigungsbereiche im Parameterraum, so kann aus dem Wert der Kodimension der Verzweigungsbereiche in physikalisch interessierenden Parameterpunkten abgeleitet werden, ob gewisse Parameterwerte ohne Einflul3 auf das qualitative Systemverhalten im Systemmodell weggelassen werden k6nnen. Als Beispiele sind die Doppelpendel mit tangentialer und richtungstreuer Belastung betrachtet.

Anhang 1 E r m i t t l u n g yon M a t r i x s t r u k t u r u n d K o d i m e n s i o n i m kritischen P u n k t F alas Doppelpendel m i t Folgelast

F o u n d K ..... 0 fi~r

Fi~r F ~ F o = 3,5 -- ~/2 ist tfir die Matrix A naeh (10) stets der Realteil eines Eigenwertes des eharakteristischen Polynomes gr6Ber als Null, w~thrend ft~r F < F o rein imagin~re Eigenwerte auftreten. Ftir F = F o ergeben sich mehrfaehe Eigenwerte 4/-

~ 1 = ~2 : - i ]/12 = i(~ , 4/T

Zur Bestimmung der Struktur der Matrix (~131 ab S. 233) im Punkt F = Fo, K~ = 0 muB noch der Rangabfall zu den obigen Eigenwerten ermittelt werden. Er ist ftir ~1 = a2 und ~a = a4 jeweils gleieh t. Dies bedeutet, dab die Matrix im Punkt (F = F0, K = 0) nicht diagonalisiert werden kann, da zu den doppelten Eigenwerten jeweils nur ein Eigenvektor existiert. Die Matrix hat daher die Struktur ~2~, die die folgende Anordnung liefert:

%

~;

0

0

0 ~a 1 0 0 ~a

:

io)

0 0

0

0

--i(o 1 0--ira

"

42

Ingenieur-Archiv 51 (1981) Damit ergibt sich aus (6) mit 35 ~- 2 ,

'*i(t) -~ 2,

n~(t)=0

fiirk=2,3

<(2)

%(2) = 0

ffir k == 2, 3, .. ,

=

2,

.....

die Kodimension c zu: c = 2.

Anhang 2

Berechnung des Vemweigungsdiagrammes Die ftir o = 2 m6glichen typischen, durch kleine De%rmationen unvermeidbaren Singularit i t e n sind im Abschnitt 3 angeftihrt, Zur Berechnung des Verzweigungsdiagrammes wird ein Koeffizientenvergleich des charakteristischen Polynomes der Systemmatrix A -- bier der Matrix (10) -- mit den charakteristischen Potynomen der Matrizen mit den jeweitigen Jordanstrukturen durctlgefiihrt mid dann fiir die daraus berechneten Parameterwerte mit HiKe yon Rangabfall und, falls erforderlich, Elementarteilern die Struktur der Matrix fiberprfift. Hier sollen nun znr Erklgrung der Vorgangsweise nut diejenigen Punkte der Parameterebene berechnet werden, die einer Singularitgt yore Typ ~2~= entspreehen. Das charakteristische Polynom der Systemmatrix A lautet

,<.I

2

+

.'(?

+ v K + - E = o .'

--F+

(I)

Die Matrix rnit der S t m k t u r ~z/52 hat folgendes Aussehen:

0 0

0

/5 t

00/5 Ihr charakteristisches Polynom erhilt man zu

1 "

Der Koeffizientenvergleich der beiden charakteristischen Polynome (I) und (II) liefert folgendes nichtlineares Gleichungssystem 7K, -2~ - 2/7 = 7 K~

7

/7~ + 4~/5 + ~ = --2 - F + T '

(Iti)

- 2 ~ / ~ 2 - - 2oe25 = K , ~2fl2 __

l 2

Es sind dies vier Gleichungen fiir die vier Unbekannten a,/5, F, K, wobei F, K reell sind, und /5 jedoch reell oder konjugiert komplex sein k6nnen. Man erh~lt folgende L6sungen (Punkte der Parameterebene)

K=o F=2

7 ~ ,-- F * ' V2 =

/

K--o

]

F

'E

~

"-• n =

1 -~< =

=

-~ ,;,-~-

'

/ 7

-,-

t

7 -~'2 =?~ t - ,'E

=-+-~ n =

--

....

=

/

+fl,7

'i

i J

"

H. Troger und K. Zeman: Zur korrekten ModeIlbiIdung in der Dynamik diskreter Systeme

43

Der RangabfalI der zugehSrigen Matrix ist in beiden F~llen gleich "I (siehe auch Anhang 1), daher ist die lV~atrix nicht diagonalisierbar und hat eine Struktur entsprechend ~2/52 ftir LSsung (*) bzw. ~2~2 fiir L5sung (**). Die Berechnung der anderen Singularit~ten erfolgt in analoger Weise. Es soll jedoch noch bemerkt werden, dal3 bet einer Matrix mit der Struktur ~ , also

Ii 1 0 0

0

0

~ 0

0

5 Unbekannte o~, fl, y, F, K aus 4 Gteichungen berechnet werden solIen. Dies gibt natiirlich, wie es ja sein muB mad auch aus den Bildern 8 und 14 ersichtlich ist, eine Kurve in der Parameterebene F, K.

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Eingegange~* am 25. August 198o Prof. Dr. H. Troger Dipl. Ing. K. Zeman I n s t i t u t ftir Mechanik Technische Universit~t Wien Karlsplatz 13 A-I040 Wien

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