Zur Theorie der Randwertaufgaben d e r Differentialgleiehung J J U - - O. Von

Kurt SchrSder in Berlin.

Yon grol~er Bedeutung fiir die mathematische Physik ist die Frage nach der Existenz einer l%nktion U, die-in .einem einfach zusammenhiingenden Gebiet R oder in dem Xull3ren R~ eines solchen Gebietes -- nut derartige Gebiete soUen bier betrachtet werden -- mit ihren partiellen Ableitungen bis zur vierten Orctuung stetig ist und dort der Differentialgleichung

AAU=0 geniig~, deren partielle ~-bleitungen erster Ordnung ferner in dem dutch seine Berandung S abgeschlossenen Gebiet R bzw. Ra stetig sind und auf ~ vorgeschriebene Werte annehmen. Das innere Problem fiir den ebenen Fal{ warde in der Literatur bereits yon verschiedenen Autoren mehr oder weniger vollstKndig behandelt, und zwar yon S. ZX~,~BA1) und A. KoR~r2) mit sukzessiven Approxlmationen, yon A. HAx~ 3), J. tL~DX~ARD4) und G. I~URIC~.LLA5) mit Integralgleichungen u n d yon W. RITZe) und K. FRI~.DmCHSr) mit den direl~en Methoden der 1) S. ZAREM~BA, L ~ u a t i o n biharmonique et une classe remarquable de fonctions fondamentales harmoniques. Bull. de l'ac. des sc. de Cracovie, 1907, S. 147--196. 3) 2~. KORN, Sur l'~quilibre des plaques ~lastiques encastr6es. Ann. de 1'6c. norm. 25 (1908), S. 529--583. 3) A. HAAa, Die Ranclwertaufgab~ der Differentialgleiehung A A U ----0. G6ttinger Nachr. 1907, S. 280--287. 4) j. HADAMARD, ]K6moire sur le probl~me d'analyse relatif ~ ]'6quilibre des plaques 61astiques encastr~es. M~m. say. ~trang. (2) 33 (1908), Nr. 4. 5) Cx.LAURICELLA, Sur l'int6gration de l'~quation relative ~ l'~quilibre des plaques 61astiques encastr~es. Acta math. 32 (1909), S. 201--256. (Diese Arbeit wurde 1906 bereits als Preissehrift der Pariser Akademie eingereicht.) 6) W. RITZ, ~ber eine neue ]Kethode zur IAisung gewisser Randwertauigaben. G~ttinger Nachr. 1908, S. 236--248; ~ber eine neue Methode zur I~sung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physflr. Journ. L Math. 135 (1908), S. 1--61. 7) K. FRIEDKICH8, Die Randwert- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastisehen Platten (Anwendung der direkten Methoden der Variationsrechnung). Math. Annalen 98 (1928), S. 205--247.

55~

K. SchrSder.

Variationsrechnung. Das dazugeh~rige iiul~e~e Problem wurde yon G. LAu~Icma~s) unter Benutzung yon Integ~algleichungen untersucht. Die yon ~l~rn gegebene L ~ u n g ist abet insofern unbefriedigend, worauf zuerst N. MusCm~LISVI~9) hln~ewiesen hat, als es neben ~ andere yon dem LAu~xcR~aschen Veffahren nicht effa~te L~sungen geben kann, die ~veniger stark a]s sle i m Unendlichen anwachsen. Im r~mllchen Fal! ist biaher lediglich das innere Problem yon S. ZA~M~A10), A. KoR~n) und sehtie~lich yon G. I ~ u ~ i c E ~ 12) im Anschlu~ an Untersuchungen yon J. I~a~DHOL~I~) i~ber das Hanptprob~.em der Elastizitiitstheorie behandelt worden. In der vorliegenden A~beit sollen die erw~hnten eleganten Untersucb~mgen yon L ~ v ~ a ] c ~ wieder aufgenommen ~verden, zun~chst mit dem Ziel~ eine Reihe yon darin vorhaudenen Liicken auszufiillen, die L~sung fiir das noch nieht behandelte iiuflere rii~mliehe Problem zu gewinnen und Eindeutigkeitss~tze aufzustellen. Sodann abet war unser Bestreben darauf gerichtet, mit mSgliehst geringen Voraussetzungen iiber die Be~andung ~ und die vorgegebenen Randwerte auszukommen. Die vorgenommene Erweiterung der Voraussetzungen ist jedoch nicht Selbstzweck, sondern sie dient dazu, eine Relhe yon neuen S~tzen aufznsteUen, die die Grundlage fdr einen sowotd f'tir die allgemeine Theorie der biharmonischen Randwe~taufgaben als auch f'~ir die Anwendungen wichtigen, in einer fo]genden A~beit zu beweisenden Satz bilden, welcher ]~iureichende Bedin~mg~en f'tir die Existenz der par~iellen Ableitungen ~-ter Ordnung yon U am Rande ~q angibt. Bei den Beweisen unserer S/itze kSnnen wit Methoden verwenden, wie sic in neuerer Zeit in der Potentialtheorie yon J. SCH~UD~ 14) und O. D. K~LOe~) entwickelt warden. 8) G. LAURIC~LLA,1. C. Anm.8). 9) N. MUSCKZLI~VlLI,Sur l'int6gration de F6quation biharmonique. Bull. de Fac. des so. de Rnssie (6) 18 (1919), S. 663--686; vgl. such N. MUSCHELIw Applications des int6grsles analogues h celles de Csuchy ~ quelques problbmes de ls physique math6mstique, Tiflis 1922, insbes. S. 98--101. 10) S. Z~m~BA, 1. c. ~nm. 1).

n) A. KORN, Allgemeine LSsung des biharmonischen Problems im Raume. Bull. de rac. des sc. de Cracovie 1907, S. 837--896.

lz) G. LAURICEIJ~, Sulla integrazione delrequazione A~V -~ 0. RendicontiRoma 16, II (1907), S. 373--383.

is) j. F~tEDHOI~, Solution d'un probl~mefondamental de la theorie de' l'elasticit& Arkiv fSr Mat. Astron. och ~ys. 2, Nr. 28 (1906). ~4) J. ScHAUDRR, Potentialtheoretisehe Untersuchungen.

Erste Abhandlung.

Math. Zeitschr. 88 (1931), S . 602--640. 1~) O. D. K~IJ~OG, On the derivations of harmonic functions on the boundary. Transactions of the American math. soc. 33 (1931), S. 486--510.

Randwertsufgaben tier Diiferentislgleichung A A U

555

ffi O.

w Die Regularititsvoraussetzungen fiber die Berandung. 1. Yon dot Borandung S des rRl~m!iohen Gebietes R setzen wir zun~chst voraus, dab sie in jedem Plmkt eine Taugentialebene hat und dal~ es zu jedem it~ei l%~trte p eine solche Umgebung ll(p) ~bt, daft die darin enthaltene Teilmenge ~p yon ~ in einem rechtwi'nk!ig-kartesischen Bezugssystem z, y, z, bei dem die z, y-Ebene mit der Tangentialebene yon ~q hn Punkte/~ identisch ist, sich eindeutig in der Form

darstellen ~Bt. Dabei sollen die partieHen Ableitungen 0-~, ~-~ stetig sein und einer in 1~ gleichmiifligen HSlderbedingung (ira folgenden kurz H-Bedingung genannt) geniigen, so da~ f'tir irgendeinen weiteren Punkt q aus 8p

(1)

[D~T(q)- D~'(I~)I ~ A ~

(0 <.2 < 1)

mit yon p u n a b h ~ g e n Konstanten A und ~ gilt, wenn t die Projektion dot Strecke p-q auf die Tangentia~ebene im Punkte p ist und unter D ein Symbol flit die Bildung einer partiellen Ableitung erster Ordnung verstanden wird. Es existiert dann gleichm~/~ig fftr alle Punk-re p yon ~q eine solche positive Zahl Co, dal~ die lokale Fl~chendarsteJlung z ---- ~(z, y) in p auf der ganzen Kreisscheibe z 2 -~ y2 ~ go2 definiert ist. Als Umgebung lI(p) kann man daher fiir jeden plmkt 1~eine Kugel K#o mit dem fest~n Radius go und dem Mittelpunkt 1~ w~hLen. Weiter sei fifr ~ eine Fl~chenfunktion ](/~) gegeben. In dex Umgebung yon p ist sie als F~m~ion von z, y darstellbar. Ihr werden in p die T angentialableitungen

al(~) und o1(~) zugeschrieben, falls diese existie~en. Fiir die Ableitungen in einer beliebigen Tangentialrichtung t in/~ setzen wit entsprechend

otot(~) --- ot_~_(~)cos ~, z) +

--~c o(~) s~

8, y).

Hat nun die Fl~chenfnnktion ](p) in allen Punkten der Fl~che Tangentialableitungen, so sagen wit, daft diese gleichm~flig in p eine~ H-Bedinguug gen0gen, rafts fiir irgendeinen Punkt ~ aus ~q~

101")a,. o!a=(,)l~- .Ov. '1~

~1~'] ~ o,,'

(0< ~ 1 )

556

K. SchrOier.

gilt, wobei O und v yon p unabhiingig sin& und ~O/(q) bzw" Of at,(q) die Tangen$ialableitungen yon [ an der Stelle q in d e n Tangentialrichtungen darstellen, die sich dutch Schnitt der Flii~he S mit der x, z-Ebene bzw. der y, z-Ebene in q ergeben. Besitzt die FF~chenfunk$ion ](iP) in d e m Sinne einer gleichm/igigen H-Bedingung mit dem Exponenten q (0 < Q < i) gentigende partielle AbleRungen erster 0rdnung, dai3 fiir alle lfl~henpunkCe mig die parCiellen Ableitungen 0! (q) 0! (q) existieren und einer Bedingung

Ox ' Oy

al(q)Ox

aJ(~)l <

O[(q)oy r

_

< -

-

mit yon p unabhRugigen Zahlen JO ~md ~ geniigen, so kann man zeigen, da]} Tangentialableitungen besit~, die efiaer gleichm~fligen H-Bedfiagung mjt einem Exponenten a geniigen, der gleJch der ~eineren der beiden Zahlen e und ~ isr wenn 2 wie bisher den ,,FliichenexTonenten" , d.h. die in (1) auftretende Konstante bedeutet. Bezeichnet man nRmlich d a s lokale Koordinatensystem im Pnnkte q mit x', y', z', und wfitflt man es deraz$, dab die ~', z'-Ebene mit der x, z-Ebene zusammenf~illt, so ist X = C~)S (Z, Zt) Z' "~ COS (Z, Z')Z' + Zq,

mad es wird OI (q)

Otx

a] (cos {z, z'} x' -}- cos CZ,Z') z' + Zq, 0)] 0 X'

O] (veq, O) a ] (xq, O) - - cos (x, z') = - Ox Ox ~r

Jz' = 0, z' = 0

1

(Otp.O~_(Xq,0)_)~

2. Bedeugeg S die Berandung eines ebenen Oebietes R, so so].l es auch hier zu jedem ihrer Pmald0e p eine Umgebung 1I (y) derarr geben, dab die darin enthaltene T eilmenge Sp yon ~ in elnem rech~winldig-kartesischen Bezugssystem x, y, bei dem die x-Achse mit der Tangente yon S in p identisch ist, sich elndeutig in der Form y = ~(x) darstel[en l~i~t. Die Ableitung q0'(x) soll stetig seln und einer in p gleichm~Lfligen H-Bedingung geniigen, so dai] fiir einen weiteren P u n ~ q aus Sp

}V'(q)-- V'(P) I < A t ~

(0 < ~ < 1 )

isg, wobei die Konstanten A and 2 yon p unabh~ngig sind. Auch die iibrigen im vorhergehenden Abschnitt eingefiihrten Definitionen besigzen ira ebenen Fall ihr naheliegendes Oegenstiick.

Randwertaufgaben dot ]Yifferentialgleichung A A U = 0.

557

w Zusammenstellung yon geometrisehen Hing~tzen a6). 1. Ist P d n Ptmkt au/ der Flachenmn~nalen % in ~ trod h sei~ z-Koordinate, so geU~, falls q ei~ beliebiger weiterer Punkt vo~ Sp mit den Koordinatm x, y, z ~85 un~ ~[~an unt~r rqp die E ~ f e r ~ u ~ der Pu~kte q u~d P versceht, die folgende~ Gleichungen und U~leichungen :

(2)

rq1p

_ 0h=1 1 1 ~Z'J _}_1y2t +

]

'

| 1 h § O [(x2 ~- y2"~- h2)-2] lT), Vx=+~+h=

(8) O08(9"qp,np) = COSO'qp, Z) = h - - z rqe

(4)

1-Z XB_{_ y=_}_hz)-~-

ooS(rqe,~q)= i/,x=+#+h 2 t-0 (x2+y~4-,/#)'g , ;I

(5)

COS (rq p, Z) =

~/X2 + Yt + h,~

(6)

cos(,-,7~,y ) =

f~+v=+~,=+

l

(7)

,cos (.q. z),} ]COS (nq, y)

0 ( z ~ + # + h ~ ) -~ '~),

~ A rqp,

2. F~ll~ P mit ~ z~sammen, so erlmlten w& statt dessen, unter K eine (vo~ der Fly, he a b I ~ e n d e ) Komta~le vers~anden : (9)

]COS (rqp,nq)] ~ K A r q ~ ,

(10)

[cos ( r q ~ , ~ ) ] <: K A r q p ,

+ 0 (12)

1 ~,~/;r_~p >

1

- %

=

1

1/~

r

[i

( ~ + y'-)~ ~'), 1 1-~] 9 ~gi + yi) 2 J

3. Bezeichnet v vine beliebige Richtu~ im Raume, so gilt ]iir drei beliebige Pc~kte P1, P~, P im Raume (13)

](30S (r.p.p1, 'P) - - COS (rfp P2' 11,,)[ <

~ 'rPl P2 ~P PI

16) Fiir die nicht ausgefiihrten Beweise verweisen wir auf J. SCltATo~DEIL 1. C. Anm. 14). 3~) Bei SCtIAUDER ist bier das entgegengesetzte Zeichen angegeben. Ist aber die positive z-Richtung mit der Richtung np identisch, und bedeutet h die z-Koordinate "con P, so muB das bei uns angegebene Zeichen stehen.

558

K. Sehr/kler.

4. Es seie~ p~ u ~ p~.zwei Ptmltte der Fla~he, der~ E~tlemu~ ldei~e~"als e__o 2 ist. Um de~ Mi~tel~tm~ der 8trecke p ~ beschreibe ma~ elne KWd mit dem Radius r ~ , ; sie sei, ~oieauch entslve~hendgebildeteKugdn, im Jolgenden Text m~t Kp, p, bez~h~t. Fiir jtw~ aufl~halb Kmp~ lieqeftden Flw~c~e~u~tkt bestdtcm da~n die Abschatz~m~ (1~)

Ic0S (~'qPt ' fgq) - - COIl (~qp~, ~q)[ ~ ~

rPlP2

~'qPt

m~d (15)

~+ I cos (rq.,, ..,) -- cos (rq.,, . . , ) I ~_ K A ( \,q.,

l ~'.,.,) -

5. g ~ je~rt Punkt P, d~r au~er~lb yon K ~ , Iiegt, ist

~ < ,~,---:

(16) und i

(17)

1

rp,pt

"~p~_ __~.__I '%,

(]8)

~

~.K

'%,

9

6. Fiir die i~ eitwm P~kte q vo~ ~p i . w 1 defi~ierte t f - R i r gilt bei Z ~ r ~ l e q u ~ dries b e l ~ e n ~ec~inklby-ka~tesisc~n Bez~ssystems ~, ~, C:

Icos (~, x) - cos (~, t,)l | [cos (~, z) - coa (~,t,)] /

(19)

~- Ate;

Icos (C, ~) - cob (C, t,)l

e~s~e~ Absch~zu~en bestd~ i//~ d/e t y - R / d ~ . Ist n~mlich z ein EinheitBvektor in ~-Richtung, i= ein EinheitBvektor in tf-Richtung, so slnd die links stehenden Gr~llen kleiner oder gleich als

I~

1

r

wenn a den Winkel bezeic]met, (len t lind ~= miteinander bilden.

7. Ist t~ eine im Punkte Pl, t2 d$11e im Pu~kte ~. ta~e~tiale Ri~ht~s~9, wobei ]iir die Richtunyskosi~us ~egen ei~ beliebiges rechtwinklig-kartcsisdw_s ~, 7, ~-Koordinatensystem

Ico~ (~, h) - cos (~, t~)] } (20)

/cos (~/, h) - cos (~/, t~)] !( < Ar~,p~ I cos (C, t~) - cos (C, t~.)l ]

Randwertaufgaben der Differenti~lgleichung A A U ~ 0.

559

gilt, so bestehen die U~le~hungen (21)

Ir

(22)

1008 ( r q p t

(n~, t~) - co~ ( ~ , ~)1 < 3 ~ , , , ,

COS (Tqp,, t2) I ~ 6 rptp.._!s.4_ 3 A r~tp, ~ f qpj. 8. Fapt man den A u s ~ k cos O'p,p, 1,) bei te~em P ~ P~ ~ d / e s t ~ R i e ~ u ~ ~,als Funl~ion des Pmddes Pauf, so hat man/iir die A b ~ m ~ in eitwr beliebigen Richtu~z9 t i m Ra~me

(23)

, tl) --

a cos ( ~ p, ~) = {cos (~, t) - cos (T~x ~, t) cos (r~, ~, ~,)} i

rP 1P

Setzt man niimlich P1 P = rP1 P. und ist tein Einheitsvektor in t-Richtung (I t[ = 1), so liegen die Endpunkte P der Vektoren PI-~, falls man P in t-Richtung vadieren l ~ t , atff der Geraden rp1p = tPiPo d- tL Daher wird OrP11"

t,

und es folgt, falls u ein Eiaheitsvektor in ~-Richtung ist, (In I ---- 1): 0 0 ~ r/~t p . n / = 1 t . r t - - r ~ l p . r c~ ( r ~ e ' t) o-~ COS (rP, ~, ~) ---! Tp~ p tr~,~,p 1

= {co~ (,, ~) - cos ( ~ ~, ,) cos ( ~ , ~, t)} - ~ , .

w Hiffssiitze fiber Integrale, die die bfl~onischen Analoga des Potentials einer Doppelbelegung darstellen. 1. Unter ~, 7, ~ verstehen wit, wie eben, die Koordinate~ in bezW au/ em bdiebi~es rechtwuzkl~-kartesisehes Bezwssystem. Die geschlosse~e F l ~ S geniige den in w 1 genannten Voraussetz~ngen. Alsdann gilt

II

~,~

(,~)

(8)

[ 0

je nachdem P im Innengebiet yon S, au/ ~ oder im Auflengebiet yon S lieqt. W e i ~ ist bei beliebi~er Lage des Punktes P:

(25)

a~ (~)

o,7

a,,~, d a = j j (s)

~,p

da=o.

560

K. Schr6der.

Hierbei bedeuten P = (~, 7, ~) den ,,Aufpunkt", ?' = (~p,, •,, ~p,) den Integrationspunkt; np, bezeichnet die innere Normale, und es ist orp,e Orp,~ ~rp,p arfe 0.., = ~ cos (r + - ~ , cos (~, ..,) + - ~ cos r ..,) gesetzt. Dem Beweis yon (24) trod (25) legen wit folgenden Hilfss atz xs) zugrunde: Sind die Funhionentripel u, v, w und ~, v, w i m Bereich R + S z w d m a [ 19) s/e$~ di]]erenzierbar, u ~ geniigen sie dort den 1)it[ere~tialg~iehungen (26)

Au+k~

=0,

Av+k~q

= O, A w W k ~

= 0

mi$ Ou

Ov

~+~+y~,

Ow

wobei k ein Parameter ist, so besteht u~er tlenutzu~j der tlezeivhmmgem ou(P) Ou(P)

x....~(P.~) = { ~ o o , ( , , . ~ )

+

--~oo~(,,.,)+ -vv-oo,(,,. ~)}

+ k _t__b_T_ . (P) f a_.t_ _ '_._~_ at,~( P ) . au,(~)lat;/ cos (n~,, ~) + + ~k

la,,(P) I - - E U cos (rip, ,7) -t- a ,n (p) cos (,p , r _ at, (1') cos (rip, ~:)

(27),

aw (P) cos (rip, ~:)},

Y.,o,.(,,,,) = {~co,(.., ~)+ ~o,(..,,)+ ~co, +, {~ + 0.,.__~,+ 0_~ ~__~,} co,(.., ,) +

(.., c)}

On

k

+2--4~ I % ; '

+ _ _

O,o (P) Or

z,,,,,,, (P, ~) = ~~,o~(p)cos(n,. ~:)+

COS (rap, ~1)

oo,

_

Ou (P)

O ~ COS (rip, r/)},

~,,,m cos(,,p,.~)+~cos(,,., ~)}

+ k Ou(P) ~ + ~ Or(P) Jr" Ow(P)l a~ ~cos (.,~, ~) + + 2--4-$ ~ o ~ cos ~np, ~) + O,~or(P) cos (n~,, r

cos (n~, ~/) o,,0~P),~cos (.~, ~')}

is) Vgl. zu diesem Hilfssatz G. LAUI~ICI~LLA,~Lletme applieazioni della teoria delle equazioni funzionali alla fisica-matematica. II Nuovo Cimento, serie 5a, X I I I , S. 104 --118, 155--174, 237--262, 501--518, insbes. S. 109. 19) Es wfirde auch geniigen, vorauszusetzen, dab die zweiten Ableitungen in // und die ersten in R + S stetig sind.

Randwertaufgaben der Differentialgleiehung A A U ~- O.

561

die, Integral]ormel

(28) j'~ {[~1~ x~,~, ~ ( f , v') + [~]s r;,;, ~ (v', v') + [wl~ z~. ;. ~ (p', p') - [~]s x,~,.,,~ (ir p') - [~,]s Y~.,,~ (v', v') - [6Is z,,..,,. (v', v')} do = o. Die Relation (28) folgt nnmittelbar be* Benutzung des GAussschen Integralsatzes und einer G~s~.Nschen Formel aus

o=

{"[~+~+~-~-~o-V~

0 ~ o r o~o~ oco~. +

(R~

+v

[ A ~ + k g ~ , I + . - E - ~ X ~ o , ~ o C + a,~o ~

jj'j,ro,,o = _

o.o.

~t~,~ + ~ + ~ (R)

k

o.,.

ooo

o,o

+ ~ + ~ + o c o r

Ow O~] + o ,o o ~, o ,o o ~ + ~..( _g~ + k O-O + o~ o~ + o-~ o-~ a~tOn o~a~ O~Ow OwO~ a~ou

[OuO~

o~o,7

o~ o,dJ +

ocoo

o~o,~

o,~oc

o~oC

{[u]s x~,,, ~ (p',p') + [vls

oCO~

OCO~., d t - -

~.~,~. (~, p ) + [~]s z~, ~,r.(p',v')}do

dd (S)

and einer entsprechenden Beziehung, die sieh duroh Vertauschung der Tripel u, v, ~ und u, v, ~ ergibt. Ist nunmehr P1 ein beliebiger in R gelegener pnnkt, so sind die neun dutch Ul

(p, p1) =

1

k

0 a re, p

~rP- l- P2 ( l + / d

k

wl (P, P1)

=

k

o* rr,

as rp, p

2(l+k) O ~ O n '

o.m , v~(P, P x ) = p

2 (1-I--k) 0 5 0 ~ '

(P, Px) =

k OSrp, p 2 ( l + k ) O~la~ '

v~(p, p1) _

1

k

2(l+k)

rpt P

O~rp~e 0~*

'

(29) W2 ( P , P I ) =

k 2(i+t)

k

,,8 ( P, t'1) =

OSrp,

OSr_p, p

o,ToC ' k

i"

2 0 + k ) oCo~ '

vs(P, P1) 1

w8 (P, P~) = reap

=

k

Os rpI p

2(1-]-k) OCO~/ ' Os r e I j,

2(1+k) OCg gegebenen Funktionen in R + S mit Ausnahme des Punktes P t beliebig oft differenzierbar und geniigen den Gleichungen (26). Wgtdt man alsdann die drei Funktionentripel (29) der Re*he nach fiir u, v, w, und umgibt man den

562

K. SchrSder.

Punkt P1 mit einer ganz in R gelegenen Kugel So, so folgt aus clef zu (28) analogen Formel, bei der neben dem Fl~chenintegral fiber S noch ein Fl~chenintegral fiber So auftritt mit aus der Potentialtheorie gels Scbluflweise, wenn man den Radius yon So gegen Null gehen l~i~t, dab

lit

u (P1) = ~

. . . .

{[u]s X~,,,1,w, (P', P ; P1) + [V]s Y~t,~,,~l (p ,p , P1) ~-

-- [Ul]8

Xu, v,w (P', V') ~

[Vl]S

Y~,~,~

(P',

P')

-

-

-- [wl]s Z~,~,,~ (p', 1

r

p')} d ~,

f

{[U]sX~,~,,~,(p ,p ; P1) + [v]s Y~,,~,,~,(p',p'; P1) +

v(P~) = ~

~s)

+ [w]s z,,~.~,~., (p', p'; PI) -

-- [u2]s X~,~,~

(p', p')

-- [v2]s Y~,~.~ (p', y') - -

- [w~]s Z~,,,,~ (p', p')} d,~, ~, (P~) = ~

(p," p ," P~) +

{[u]s X~,,~.~, (p', p': P~) + [v]s ] r (s)

+ [w]s a~,~,~, m (p', p'; P1) --

- [ua]sX,~,v,w (p', p') -- [v3]s Y~,~,~, (p', y') --

-- Lws]sZ,~,~,~ (p', p')} dq sein mull. Hierbei ist g e m ~ (27) und (29) 0

Y~,,~.~,(P, P: P1) -- 2+1r

l

0

O~

Ov

onp ]

Z'a-~',.~, (P'P; P~) -- 2+]r

o$

o~-

1

' \

3-~p

X,~,v.,,~, @, P; P1) = Y.,, ~,, ~, (p, y;/)1), 0 1

~]r Orpp I (')rpp I O(r~pt) Ov + o~ Dnp ' X..,.,,~.~ (p, p; P~) ='z~,,.,,~, (p,p; P~), Y . , , ~ , ~ (p, p; P1) = z.~,~,,~. (p, p; P~), Z,~,.,~,~2(p,p; P~) = 2-{-.Ir

2 zu setzen.

O -P

'

1

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U

=

0.

563

Analoge Betrachtungen kann man fiir das AuJ]engebiet Ra yon R anste]len, wenn vorausgesetzt wird, daft die Funktionen u, v, w in R~ + S zweimal stetig differenzierbar sind und dort den Gleichungen (26) genfigen, dal] sie ferner, fails der Aufpnnkt P sich unbegrenzt welt yore Ursprung O des Koordinatensystems entfernt, woh|bestimmten Grenzwerten uo, Vo, wo zustreben, 9

1

w ~ r e n d ihre ersten partiellen Ableitungen dabei wm-:~- verschwinden. Es top

ergeben sich fiir u (P1), v (P1), w (P1) mit P1 in Ra Ausdrficke yon der Form (30), mit dem einzigen Unterschied, dall auf der rechten Seite bzw. die Bestandteile uo, vo, wo additiv hinzutreten. Liegt schlielllieh der Punkt P1 auf der Berandung S yon R, so umgebe man ihn ebenfalls mit einer Kugel So und wende (28), falls ~, ~, w bzw. gleieh elnem der Tripel (29) ist, auf die Oberfl~che des Teilgebietes yon R an, das aus R dutch Weg3aahme der Durchschnittsmenge yon R uud dem abgeschlossenen KugelkSrper yon So entstet.t. L~il3tman den Radius von So gegen Null gehen, so erh~l~ man eine zu (30) analoge Formel, die sieh yon dieser nur dadurch 'unterscheidet, dal] de'r vor den Integralen fiber S stehende Faktor 1 dutch ~-~ 1 zu ersetzen ist. 4--~ W/ihlt man aber in (30) und in den im Text erwiihnten entsprechenden Formetn, die sieh ergeben, wenn P1 auf S oder in R~ liegt, speziell u(P) -

],

v ( P ) _= o,

w(P) -

o,

und beaehtet man, dal~ als Folgerung aus dem G~.~Nschen Satz der Potentialtheorie r~,p

de =

2~

0

(53

ist, je naehdem P in B, auf S oder in R, liegt, so resultieren unmittelbar die behaupteten Relationen (24) und (25).

2. Ist au] S elne integrable und besehrankte Funktion /(p) geqeben, so 9eniigen die Inteqrale cos~ (rp,p, ~) cos (rs,,~, n v, ) d a

V ( p ) = I I/(P') (8)

2 rp, P

u',W~

II

W (p) =

cos (rp,p, ~) cos (rv,z,, ~j) cos (rl,, v' n~, )

[ (p') (S)

re

da

P' V

au/ S 91eichmi~flig einer H-Bedi*w~ mit dem iVl~henexponenten 2.

564

K. Schr6der. Dazu zeigen wit, daft flit irgendeinen Fl~henpu-kt q ~

I v(~)- v(r)l } < K ~ F m l t I ~ lw (q) - wip)] -

rpq < ~~0..

~

gilt.

Beachtet man niimlich, daft rpq ~ Kt ist, so folgt daraus unmitteibar die Behauptung. Wir fiihren bier, wie auch bei den folgenden Hilfssiitzen den Beweis nut fiir das Integral V (p), da er f ~ W (p) ganz analog veri~uft. Um p und q beschreibe man die ira w2, Absctmitt'4 niiher gekennzeichnete Kugel Kpq. Der Durchschnitt yon 8 und gpq heine s; welter sei E -- s ----ft. Damit wird II cos' ~)co, V (q) - V (p) = l (r') ('fq' (5,q' %') a.o (s)

--

~P'q

II

/(p')

(,)

4-

II / (P') /

(rp,q.

eos'(rp, p,,)eos(rp.p.,p.) ri"P

r2pWq

(rp.q, rip,)

~

,(T~-

r~,2 p

(rp.p, #P')I d Ct.

I

Die beiden ersten Integrale lassen sich ihrem absohten Betrage nach dutch die bereits yon Sc~L~vv~.~~0) abgesehatzten Integrale

II (*)

p'q

und

l=~ %'r %')i d~ < KA finlllrp~q (,)

majorisieren. Beschreibt man urn den Punkt p die feste, d.h. yon q unabh~ngige Kugel K~,0, so enthNt sie die Kugel Kpqhl ihrem Inneren. Derin K oogeiegene Tell yon ~ - - s heifle S". Zerlegt man nun das Integral ~ in [~ und ~ , (S-.)

(8")

(S-e- S")

so liefert das letztere sicher die fiiz die H-Bedingung efforderliche Absch~tzung. Fiir das restliche Integral kann geschrieben werden:

p~q

(S") +

I I t (p') eos~ (rp,~,, ~) icOs(rp'q''p') ~ p'q

99 (8")

to) j. SCHAUDBB,1. c. Anm.~'), insbee. S. 613.

C08(rp'p''P')} ~" f'p'p

Randwert~ufgsben der Differentbdg~iohung A d U ----0.

Das zweite Integral kann dutch das

y o n 8CIIAUD]g]ggl)

565

abgesch~zte Integral

~' p

{8")

majorisiert werden. Dss erste Integral ist abet schlielllich bei Beachtnng yon (9), (13) und (16) kleiner oder gleich als 4

II

II~')I ".sP~~ql~176 np')l d~

(8")

"P' q

_~ 4 ~ 1 / 1 5 , ~ K A 5,~ a,, -~ K A f ~ l t l r p ~ (s,') l',q

wenn man beriicksichtigt, daft zun~hst eo

(8") ~ ' p

~1

ist, falls Qa den Abstand des Punktes p yore Eande der Projektion yon 8" auf die Taugentialebene in p bedentet, und dsll naeh (12) ~, =

89

+ o[~q])

~t. 3. Geniigt t(~) aul 8 e(mer fl~d~ma~len H-Bedi~3r ~it dem Kz~o~,~,~ /,, d.h. ~r [/(q) --/(P)I --~ Bt" (0 < p < 1; q in Sp), so hat man flit V (p) mid W (p) ei~ der drei AbscJ~zmtg~

I V ( q ) - v0,)l IW(q) - W(p)l

z ; ~ B t ~+" ~_ K A B t , KABtllogtl

je ~ l d e m p+Jl
p§

p+~l=l

ist. Da wegen (24)

f(~) (S)

(~'PtP' $)r da r2 P'P ---~ J f [ (~) COS'(rp, q, ~)2C08(rp, q, ftp,.) dff ~--- 02-'~--~[ (~) (s)

r~, q

m) j . 8CHXUD~E, 1. c. Anm. x~), insbes. S. 613. Matbematische Zeitaehriff. 48.

37

.

566

K. SchrSder.

sein muB, so kann man ' ~)cos (rp.q.~p.) r---if- P' q

V ( q ) - - V ( p ) = I I {t ( p t ) _ f (p)} {e~ (8)

cos~ (%,p, ~) eo8 (rp,p, ~P')I r~,p

!

da

schreiben. Zur Absch~tzung dieser Differenz verwende man die bereits im Abschnitt 2 dieses Paragraphen benutzten F]~henstiicke s, S, S -- s, ~". Ff~ ~ finder (s) man unter Anwendung einer Absch~tzung yon Sc~Auv~,R ~)

(31)

tIII (8)

II [c~ dq-~ I/(p') ! (p) t (8) r~,q + --IIit(c)- t(p)l I~('~'.'"~')m~ <= g A S 4 ; ~ <= K A B t ~§ <

-

~.

-

Wegen (9), (13) und (16) und einer weiteren Absch~tzung yon ScHxvD~a ua) ist weiter

I I [ ~ ff I [t(p')_](p)[ 'c~ (,S")

(8")

~)--c~a'(r,'p' ~)l'[c~

da:~_

rP2'q

+ I I 11(p')-1(nl i~o..(~,,.~),.,oo.(~, ,~...~,)-oo.(%.-~.)I d~ + (B")

+

(S")

P' q

II(p')-t(v)l.lco~(,'p,,,~)l-I~os(~'~.,,nr

-~.pqd -~ KABrpq "rp, q

__

I. ~

~)'q

~

rp, p

a,,

e2_(a+u)

~o

< KA

Bg"pq 02_(~+.) 89

Aus den gewonnenen Absch~tzungen gewinnt man abet genau wie bei Sc~uv~.~ die Behauptung. N . B . Fiir ~ -t- p > 1 folgt insbesondere aus der letzten Absch~tzung

I!!l-

KA-Br, qe~+''-1"

Daraus kann man bei Beachtung yon (31) eine fiir sla~tere Zwecke niitzliche Beme~kung ablesen. Ist ~ ein Fl~chenstiick, das ganz in einer Kugel yore ~) J. SCHAUDER, 1. c. Anm. 14), insbes. S. 614.

~) J. SCHAUD~.]~, 1. c. Anm. 14), insbes. S. 614.

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U = O.

567

qo u m p enthalten ist, u n d grit r~q < 8, so folgt im Falle 2 + # > 1 Radius ~ < -~

f'tir alas fiber a erstreckte Integral

tI.(0

{l(p')-t(p)}~

-

(5'q'~)COS(~'q'~'P')

r176

d~

q < KAB~+."-lrpq.

}1

P'P

Man b r a u c h t ]a in der eben angegebenen Absch~tzung ~0 n u t d u t c h e zu ersetzen u n d ~in (31) rp q < e zu beriicksichtigen.

4. Ist ~t + / x > 1, so existieren au/ der FiChe die Ta~qentialableitungen 0 V (p) und ~ Ot 0t

u~d si~t d ~ c h {1 (p') - ! (v)} {eos~ (~,p, ~)cos (%,, t) +

= (s)

+ 2 cos (5,'., ~) cos (r~,p, %,) cos (~, t) - 5 cos~ O'r

~) cos (~r

~r

cos (rp, p, t)} 1

da

bz~). o w (p) Ot § cos (rep, ~) cos (rp.p, he) cos (7, t) + + cos (~r - 5cos (rp,p, ~) cos

(rep, 7) cos (rp,p, %0

~) cos (rr

%,) cos (~, t) -

9

1

cos (rp,p, t)} p-~ d~

gegebe~. Beweis.

Sei t eine an die Fl~che im P u n k t e p tangentiale Richtung.

U m p beschreibe m a n eine K u g e l K~ v o m R a d i u s s mit s < ~ .

D e r Dureh-

selmitt yon S und K~ heil~e a. Da nach (24) ot = ~o f f oV(p)

{/(p') - t(p)} cos,(.~p,,, e)~os(5, , , %,) a e

r 2 p'p (S) ist, so folgt bei Beachtung y o n (23), falls man das reehts s~ehende Inte-

(o)

~

o7

(S-O

(S-

=

a)

;t {! (p') -

1 (p)} {eos~ (~p,p, ~ cos (~p,, t) +

(8-a)

+ 2 c o s (rev, ~) cos (rr --

5 cos 2

he) cos (~, t) - -

(rp, p, ~) cos (~'p,p, rip,) COS (rp,p, t)} ~

1

r~,p

da. 37*

568

IL S c ~ e r .

Da nun aber weber 0__

OI

=tim

t ---~O

(o)

(/ (p')

7 (~)

9 / (v)} l ~ ' (5,,q, ~) ~ %, q, %,) ri2, q t --

t--~O rpq

coe' %,,, r--2--'-oo8 (rv~,, %')1. do" ,';,), !

(o)

gilt, falls q ein Punkt yon Ep ist, der in t-Richtnng liegt, und t wie bisher die Projektion yon ~ auf die Tangentialebene in p darsteUt, so ergibt sich bei Beachtung der Nebenbemerkung im Abschnitt 3 dieses 1)aragraphen, daft 1

ist mad also wegen 2 -t- p > 1 mit s gegen Null geht. 5. Ist 0 < ~ < 1, 0 < p < 1, # + 2 > 1, so gen~jen die Tangent~a/abteiamge~ o V (p) ~ ---g-Fo W (p) ei~er H - B e d i ~ t ~ mitdem E z ~ o ~ e n ~ + # - l. Es handelt rich also datum zu zeigen, daft fiir a[le q aus Ep Otz 0V(~)

1

Oz [ C~u +~_x 0V(p)] <=

gilt (vgl. w 1). Wit brauchen nut eine der beiden Relationen zu beweiaen. Bezeichnet man das in der Kugel K.q (r.q < ~ ) gelegene F]~chenstfiok mit s und sehreibt man die links stehende Differenz der beiden Ableitungen unter Benutzung der im vorheTgehenden Hilfssatz angegebenen Integraldarstellung als Differenz zweier Integrale, so findet man fiir die Integralanteile fiber s die Absch~tzung

[.fJl J.f i/(r O)

(.<, t.) +

(a)

+ 2 cos (~,,, q, ~) cos (rr

%0 cos (~, t,) 1 7"p, q

-- 5 cosS(rp, q, ~) cos (rp, q, rip,) cos (rp, q, t=) I ~

dtt -~-

+ .~.[I/(f) -/(v)! lcos" (,p.,,, ~:) cos ('V, :~) + 09

+ 2 cos trp,p, ~) cos (~'p,p, %0 cos (~, z) -

- 5 coa~(r,,,,,, ~) cos (,',,,p, %,) co~ (~'~,~, z) l ~

1

do

Randwertaufgaben der Differentis]gleiehung A A U

=

O.

569

oder falls man (7), (9), (10) mad

[cos(rp, q,~)l ~ 1, [cos(f,G)[

_ 1, [cosff~,q,~.)l ~ 1;

benutzt _< K A B

d.h.

raSq "f--~sq d o -I-

" p' " p r ;, . . _ o ,

2rpq

(s2) (e)

0

N . B . Diese Absch~tz,mg besteht such fiir p = 1. Es sind also nut noch die Anteite der Integrale tiber E" zu untersuchen. Zun~chst ist

+ 2 cos (rp, q, ~) cos (rp, q, %.) co8(~, t,) -

- 5~os~ (.~,~, ~)~o~ (.~,~, .,,,)~os (.~,,, t.)} ~

+~ t (p)" - / ( p ) )

do +

[(~os,(,,..,. ~) oos (,,,.. t,) +

(S")

+ 2 COS (rp, v, ~) COS ffp, q, %,) COS (~, tffi) --- 5CO~ (r~,q, #)COS(Tp, q, %,) COS(rp, q,t.)) -- (COS~ (rp,p, ~) ~S (%. Z) + 2 ~

*

5;~,q

(rp,p, ~) COS(rp,p, %,) CO.(~, Z) --

-5~os, (,~.,. ~) ~os (,,.,. ,..) ~os (,..,.. ~)} ~ ] , , p*p

-= I § Das Integral I ] ~ t sich nach (7) mzd (9) folgenderma$en s b a c h ~ z e n _

- ~- do ~ KABr~q de (s,,~ rp.q 89"~q

d.h.

. KABrpqr~q . . .=

Tpq

T4"AJq -"+J'-z

N . B . Diese Abschiitznng gilt such f'tir p = 1.

.

K. SchrSder.

570

Das Integral II werde weiter zerlegt in II =

f f {l (p') - t(v)} l c~ (rp'q ' ~-~) e~ (np' "tx)

i'a

i'prq

(8")

+ 2

fl

do+

p'p

'OOS(I'P'q'~)OOS(I'P'q''P')COS(~'$x) ~ -

{# (v') -

t (v)} /

i'p'q

(8")

_ co~ (rp>, e) oo8 i'~(i'P'~",~p,) cos (~, ~)} - 5

II

da -

p'p

{OOSt

{l (l,') - l (p)}

~)OOS

%'q'

(i'~,q, %o

co8(i'p,e, tZ)

l.ll

(8")

P' q

co~115,'p' ~) oos (%,p,i'~%0 cos 1%,p, 5!} d a p' p

= J1 + Ju + JaDa

":

II (s,,)

e,o~(~v'p' ~) oos (%. *=)1 -~J "4-"

"<'"-'<"t tt ~176<''q' %3 `, ~176 q <''' '"

rp, e (%,, x) /

cos' (%,p, ~) r I ~176 (%'1~' *) ~os (%,, t,) ~+1 ~ " i'~'q %,q +

cos2 (i'p'~' " ~) cos (%. x) 3q ~'p'

J

+

oo.'(.p,., ~)~os (%,, ")/] do, // i'~,p

ao hat man bei Beachtung yon (13), (7), (21), (18) und (16) II

IJl] ~ K A B

u

(8")

[

r2

4

i'P'q

r~.

+

p p nq ~_

r3p'q

qo

1

,#.4pq

[

da

',Jo + K A B ~))q

89rpq

~ rpq

Fiir ~ + p > 1 und /~ < 1 ergibt sich daher ~+#-1 . I J l [ _<-- K A ,B rpq

Genau so erkennt man nach (13), (9), (14), (19) mad (18), daft

iJ~[ ~ K A B

~/~ r

r~

rla,prpq + rp,p p,p pq 3 -~

I ~'PPq P'q-J~- r3 rl_~ Oo

9o

e3_(~-+.) + KABrpq

< KABr~e

89~ q _ < K A B ' , p_a+~,-x e -1-

02_(~+~)

89"~q

KA

Br~vq _z+~-I < K A *-',vq r~c,+x-a , "~q --

%'~ ~vq da

4 ~'p' q

Randwertaufgaben der Differentialgleichung ~1 A U ----- O.

571

d.h.

(34)

~A lel~t~+~-l""pq

I ' / ~ 1 -<

ist, und gemiiB (13), (10), (14), (9), (22) und (18) wird schliel~lich

,s,,) (

<~ KABr:, e

~i'2-4-~

"i' q

~ +

KABr~e

o~-(l+~),

d.h.

(35)

[ J s I - _< - -KAF! - , - , , -r

9

6. Besitzt die F~nktion t(P) au/ S tangentiale Ableitu~gen, die gleie,hrt~flig eider H-Bedi~]u~ mit dem Exponente~ e > 0 9eniigen:

I al(q) o,, ot~

ol(~) I o~ [ _ Oy

(q. in S,; Maxla!~-~ _ 0),

I

V (p) W (p) gl,~,hmap~ einer H-Beno ge~e~ die Ta~l. entialabte'it,u~en O --~-t - u~ O ~,~ d ~ mit &,,m B~pone~en 2. a/ in Beweis. Wegen der Existenz der Tangentialableitnngen ~Ol und Ty jedem Pnnlrte p muff

II (q)--l(p)l < K C t

sein, so dab ](p) gleichm/iBig einer H-Beding,mg mit dem Exponenten/~ -= 1 geniigt. Schreibt man nun, wie bei dem vorstehenden Hilfssatz Or(q)

ov(p)

0 tx

a a~

als Integral iiber ~, so folgt nach den auch bei/~ ~ 1 geltenden Absch/itznngen (32) und (33)

572

K. Schrfider. Bei Benutzmlg des im P u a k t e ? lokalen Koordinatensystems wird uun

man die in der zum Punkte ?* gehSrigen t~-Richtung variierende lokale

Tangentialkoordinate t. =

(z --

~*) coa a + {~($, 0) -- ~(z*, 0)} sin

ein, wo ~ der Winkel zwischen der z-Achse mad der tz-Richtung iat, so gilt

~" \0 tzl cos ct -_ / al ~" 1/1 -t- r / ~ -- ~atzl [ ' Lt,t~x/ J "

Damit erhiilt man ohne weiteres bei Beaehtung yon (1) und der Vorau~etzmlg

dieses Hilfssatzes~)

1~61

l~p'l-t~p~ = (~)o~' + ~ot,~jo~' + o [~',+. +

t't+il.

Fiir das Integral I I kann dann geschrieben werden

{...r

- 5 cos~ (rr - {~ - -

1

~) cos (r,.,, n,.) cos (~,~. t,)} ~;~.

(,~.~, ~) co~ (n,., ~) + 2 r

5

+ b~

(,~.~,~) cos (~.,. n~.) cob (~, ~) --

r~,~

da

y' [" ' ' ] d a +ts'II O [t''+" + t''+'] " [" "

= II~ + II~ + II~, falls ao = ~az/o 9t) Bei SClIAUDFAt,1. c. Anm. 1~) wird auf der rechten Seit~ irrtfimiicherweise nur ein 0 It"I+ ~ tmgegeben.

Rsndwertsufgaben der Differengs]gleiehung A A U ----O.

573

gesetzt igt. Dem Integral IIa lii~t sich wie das Integral II beim Beweise des Hilfssatzes 5 absch~tzen: ~o

Ills[ _~ KAOr~e

eo

e2_(l+,)+KACreq

ea_(l+.+z)-~

9o

90

89~q

89req

9o

q- K A C r~q

90

oa_(1+9~)q- K A

e2_(1+~) 89rpq

89r~q

~_ KAOrvq. Von den Integralen II1 und II, braucht nut eines, etwa II1, sbgesch~tzt zu werden. Das Integral II1 zerlege man analog zu der f~ihoren Zerlegung yon II in J1 q- J~ -b J3 in die drei Teilintegrale t

II1 = J~ + J~ -F Ja. Nimmt man welter bei J~ die Zerspaltung vor, wie ale frtiher f'~ J~ angegeben wurde, so finder man bei Beschtung yon Jz'] ~ r~,~:

[j~[=laoI.Iz,lc~176 _

JJ

(8")

-7-"

~,~

c~ (r,'p' ~:) ~176(rip', z)} d o. I

-F

ao

x'.

~,~

(.q")

--

oos9(r~.~,, 0 cos (,~f. ~,)I d a I I --F (8 ~')

rp~q

I

I I Z' COBJ(rp',, '~) {008 (~'p,, '.r)-- COS('p,, "~)I

<: K A C rpa + ao(s,,,

r~,q

Aug

cos (rp,~,, 0 -- cos (r~.,p, z) cos (x, ~:) + cos (5,'w Y) cos (y, 0 + + cos (r~,~, ~) cos (z, 0

folgt abet nach (11) und (10)

~- o It'~] cos (~, 0 + o [e'] cos (v, 0 + o [t"] cog (z, 0 ,

574

K. SehrSder.

so dall auch ~s2

(r,,,.,,,~:) =

z'~

-1- y,s 2z'y' cos2 (x, ~:) - t'~ cos' (y, ~:) + - - t , , cos (z, ~e) cos (y, ~) +

~

+ o [t'q ist. Damit erh/flt man, wenn man neben (19), (7) und (8) beachtet, dall nach

(16) und (12) -~-_

~+0

f'~, q

gilt, die Absehiitzung

l Ifz'c~176176176 g

[ao(S") {eo~ (x,t~) -

a.~r,

Ij'x'~176176~3.q

~os (z, ~)} (8")

+

{S") 4'

a0 {008 ( z , t=) --

cos

< KACr~vq + + KA ~ eose(x,~)

(z, z)} I.I x' cos' (r,.,.3 ,) oas (.,..z)~0" (8")

-i~da+eos~(y,~)jj (8'9

(S")

+ 2cos(x,,)cos(y,~);Ix"'~'da ~'S (S'9

Die drei bier auf der rechten Seite stehenden Integrale sind aber beschriiakt, denn sie unterscheiden sich zuniichst dutch beschr]ink%e Gz6aen yon den Integralen mi% demselben Integranden, die abet start fiber S " fiber die Projektion ~qi' yon S" auf die Tangentialebene in p erstreckt werden. Ersetzt man weiterhin die Integrationsfl~iche S 1 dutch die konzentrisch zu p gelegene Kreisringfliiche $2, deren Randkreisradien ~1 und Q~ (01 < ~r gleich dem minima[en bz~. maximalen Abstand der Randpnnkte yon S 1 yore Pnnl~te p sind, dann wird z.B. H

,t

t-vrda = (s;'~ 2~ ~2

-~--a~ d~

---o =o

Q~

-

~aa

t~da ,t

(s~')

wt

(ss -s~ ) --

ircaa t,

tt

(s~ - 8 1 )

t-;r-a-

----- - ,,

~,

(8~ - s ~ )

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U = 0.

575

Das letztere Integral ist aber, abgesehen yon einem beschr~nkten Bestandtefl, gleich dem Integral tiber ein Fl~henstiick, das yon den inneren Randkurven yon ~ql und &9~ berandet wird. Bezeichnet man den maximalen Abstand eines Pnnktes der inneren Randkmve yon B I vom Punkte ? mit Q8 (~3 < 2 r~q), so gilt p,

tt

rt

qa

t-r~d~ ~ K

y
.... < K ~

--

(s~')

e{

Lol

"

r

Auf dem inneren Rand yon ~" gibt es nun einen Punkt ?*, dessen Projektion yon ? den Abstand ~1 hat. Es ist dann offensichtlich r~p. ~ K. Da abet fiir alle Punkte auf dlesem Rande, also insbesondere fiir p*, die Absch~itzung r ~ =< 89r ~ + r ~ . oder r~q < 2 r ~ , besteht, so folgt schliefllich, wie behauptet,

(S~') ~hnhch sehlieflt man f'ar die zwei verbleibenden Integrale. Zut Abschiitznng der Integrale Jx und J 2 kann man unmittelbar die im 5. Abschnitt angegebenen Absch~itzungen (34) und (35) fiir J~ mad Js ~erwenden, wenn man den dort auftretenden Exponenten p duIch I und ~ dutch 0 ersetzt, so dab schlie]~lich IJ;I ~ KAO,~q und IJ;I ~ KAOr~q i

t

wkd. 7. F~ir ei~en beliebi~e~ P u ~ P gilt

(37)

IIIII c~176176

d..

1<_K.

dG

--

(S)

Das let eine unmittelbare Folge der in der Potentmltheorie ben6tigten Ab, schi~tzung~-~) ,(38)

I i [ c~ ,~,p %') I d e ~ K. (s) ~5) Fiir den Beweis vgl. J. SCHAUDF~R, !. e. Anm. 1~), insbes. S. 628.

576

K. Schtq}der.

8. ~ind Y~(p) und Ya(P) bz~. W~(p) und Wa(p) die G~fen~erte yon V(p) bate. W (p), ~enn sich der Punkt P yon in*ten odef auflen dnem Punkte p yon 8 n~ke~, so gilt, ]a~ls I(P) steti9 ist,

L (p) - v . (7~) = ~ ! (p) u~

Y~(p) + V,(p) ffi 2 ) ' J

] (P') cos~ (rp, p, ~) toe (rp,~, %,) d ~

r

(s)

b~to.

W~(p)-W.(~) =o,

w,(p) + w,(p)= 2 IJ/(p')~'",'p'~)~'('~,")~",,",')r

do.

(8)

Schreibt man niimlich, um z. B. das erste Relationenpaar zu beweisen,

(s)

+

(t

.,(...,

(s)

~ ,p

do,

so erkennt man bei Beachtung des Hilfsaatzes 7 in bekannter Schluflweise, dab das zweite Integral beim Durchgang dutch die Fliiche stetig ist. Der Hilfssatz 1 dieses Paragraphen liefert dann die Relationen

v, (~) - t (v) ~ = v (p) - 1 (v) ~ = L (p) oder

(39)

L (p) = v (p) + ~ 1 (p),

(40)

va (p) = v (~) - ~ t (p),

aus denen die Behauptung folgt. Entsprechend hat man

(41)

W~(p) = W(p),

(42)

wa(p) = W(p).

9. Besitzt die B e ~ f (P) paaielle Ableitungen~ die ihrerseits einer gleichm~fliqen H-Bedinqu~ mit dem gxponenten 2 genii#en, und Imnvergieren die

R a n d w e r t a u f g a b e n der Differentialgleichung A z~ U = O.

577

Punkt/olgen p~i bzw. P~, langs der Narmalen yon der einen oder anderen Seite yon S ~e~en p, so ~ilt /at das im Punkte p lokale Koardinatensystem lira p Z_.~

(8)

ts

+ 2 cos (r,,,~, ~) cos (r~,~, n~,) cos (~, z) -

0~

=

{/(p') - / ( p ) )

{cos

(~,,,, ~) cos (r,,,, ,~) cos C,~,, ~) +

Pn

+ cos (r~,~, ~) cos (r~,~, %,) cos - 5 cos

(~, ~) + cos (r~,~, ~) cos Cr~,~, n~) cos (~, z) -

(%~, ~) cos ( r ~ , 1) cos Cr~,~, ; n~,) cos (r~,~, ~ ) } ~

da.

B e w e i s . Es ist zungchst auf Orund yon Hilfssatz 1:

O V (P)

np') da}

O {lz(p)](p)I.Ic~176

o ~ = ~ - ~

2 p ~'~,

9

(8)

Schreibt man den rechts in der Klammer stehenden Ausdruck als ein einziges Integral iiber S und zerlegt es in der Form

j'j" = j'j" + (,53

(8-~)

(~)

wo s ein Tei]fliichenstiick yon S ist, das ganz im Innern yon S# enthalten ist, und dessen Projektion auf die Tangentialebene in p ein Kreis K~ yore Radius e ist (e <. e0), so brauchen wit uns wegen = lim

lira

p -..-). ~

(~-s)

(~-s)

+ 2 cos (r~,~, -

~) cos (rp, p, %,) cos (~, :v) -

5 cos~Cr~,,p, ~) cos (r~,,p, n,,) cos (r,,,e, ~)} _sl-:~d,r r~,p

(,q-~)

+ 2 cos (r~,~, ~) cos (r~,~, he) cos (~, z) - 5 eos,(~,,,, ~) eo~ (r,,,, ,~,,) eo~ (r,,,, :~)} ~

1

d~

578

K. SehrSder.

nut mit der Ableitung des Integrals !! zu befassen, flit die wit bei Beachtung yon (36) auch

(e)

(s)

+ 2 cos (~, p, ~) cos (~r p, he) cos (~, x ) -- 5 COS~"(~, p,

~) CO~(~, p, rip,) 008 ( ~ , p ,

II

II

(s)

(0

~)~

~~

1

~

+

= I + II + IIl schreiben kGnnen. Ftir IIIII gilt aber nach (2)

(t'~+h~) 2

_<_

0 ~

(~'~

d~
~

(~)

=O[sq,

0

so da~ das Integral I H mit e -~ 0 gegen Null geht. Das Integral I zerlegen wir gemii~ den drei Summanden in der geschweiften Klammer des Integranden in drei Teilintegrale. Das erste Teilintegral l~il~t sich wegen (2) und (7) folgendermal~en absch~tzen:

x

-~-%"~)da I ~'p~ p

(8}

_ (s)

0

wena man noch nach (1) z' = 0 [t 'z+~] beachtet. Da gem~l~ cos ( ~ ' v , ~) = cos @~,v, z) cos

@, ~) + cos (r~,v, Y) cos (y, ~) +

+ cos (r~,p, z) cos

(z, ~)

und (5), (6) und (3) die Abseh~tzung cos (43)

(r~,~, ~) =

cos

(~, ~)

cos

(=, ~) + 0 [(t'~ + h~)~]

~

-

, ~ cos (y, ~) + ~'~ + ~

Randwertau/gaben der Differentia]gleichung A A/7 = 0.

579

besteht, so erh~lt man fiir das zweite Teilintegral wegen (2) und(4) die Relation

(Z)oji o)

-- ~ ( ~ ) o J J " l -

~o.(,.~)-

o o . ((y, , ~) +

"

(s)

+ r

h

cos (~, ~) + o [(e ~ +

~)~ 1}

-(r, + ~,')~'-"

(,) ..

~.. ,

~(j(t,~+~,) -~

_ cos(L ~) cos (~,z)h, I I ,t', 7~,,~ ~' a. + ore] } (s) t

o

(~

o

at = - ~ - (~)oOO~" (~, ~) ~ I ( - ~' -

~:~, (~ + h~)~ 1

2

1 I

wenn man beriiekaichtisr dall 2a 3 -

-

dx

.-~-

ist, die Absch~tzungen

.

.

.

.

hzl

e~ e~

':--z d ~ = 0 [d], (h~)s o (9~)~

o (e s +h~) ~ d~ <

-~

ha

f O~+z d

(h~)~ d (~)~

0[~] ~ =

bestehen, und die Integrale 'j"

z' y'

b

dzdy

= O,

If

x'

b

dxdy

---- 0

580

K. Schrfider.

shad, wie m a n unter Einfiihrung von PolaIkeoidinaten sofoIt sieht. Bei festem e und h - ~ 0 geht also das zweite Teilin~egral gegen

je nachdem der l~all P~ -+ p oder ~

-+ p vorliegt.

Fiir das dritte Teilintegral yon I finder m a n sctrlieBlich nach (43), (2), (4) und (5) r~,p (s)

Sl

"

(s) ~t ~t

+ 2 ~

cos (z, ~) cos (y, ~) - 2 - 2

t '~

~'~ cos (z, ~:) cos (z, ~) + h~

2 y' h cos (y. ~) cos (z, ~) + 0 [(t'2 + h2)~]} t' ~ q- h~

{ r + i,, {Vt'~ ~- 1,,'~

+ o tu', + h,)~l} '-(t', + ~,) "

-~

o

~ da +

eos~ ($, y ) h

~ da +

cs) (t'~ ..4-h~)~

t,) (t'~ +h2) i

7

7 dor~ ~.) (t"~ -4-/t~)~

(,~ (t '~ A- h~)~ _

2 cos (~, , ) cos (~:, z) h2 ~ I x" d~-t,) (t'~ + h~)~ -- 2 cos (~, y) cos (~, z) h ~-

= -- 5

cos~ g:, z)-~-

+ c o ~ , ~ ) ~ ,. {

~

~ + ~e', ~

~ d~ -4- 0 [e~]

5 ~ +

4(

1 ~ e - + -2h- 2) ~'+~'~,-~ +

._~

~

~+

~

8

~1} +

+0[~],

Randwertauigaben der Differentialgleiehung A A U

wenn man

noch

581

0.

=

Deacn~e~,da~

2z~

2~

-4"

2~

cos~ ~ sin* O d O = u

cos~ O d ~ = ~z,

o

o

o

2~

2z~

2~

o

o

o

(z~ + a)~

5 (z~ + a)*

und I

xs

xs =

7 dx

b

2 15

1 s

ist. Der Limes bei festem 8 und h -~ 0 des dritten Teflintegrals ist also

= T2~

(~) o [cos~(8,~)+~-cos~(~:,y)+ycos~(8,z) ~ ] +0[~],

je nachdem dot 1Tall P~ --~ p oder P~ -~ p vorliegt. Das Integral I konvergiert also COx h - ~ 0 gegen 1 P~p ~

1 cos~-(~, z)] + 0 [~] + -~ -~,~/o ] ~ [Cos"(~, ~) + cos~ (~, y) + co~ (~, z)] + 0 [~] = =k -~" \g~/o

-

(~)o"

Nimmt man mit dem Integral II eine entsprechende Zerlegung ~ drei Te~lintegrale vor, so findet man, dal] das erste ein 0 [e~]ist, wii~end die beiden anderen ergeben

(ff-Y)oO/ I I y , 2cos(rfp,~)cos(~.,p,~?,)cos(~,~)

= - ~(~)o/~

~ 9~

(~ ~ 9

- cos (,, .) cos (~, z) h. ~'~" J(.) J MathemaUsehe ZeltsohriR. 48.

X'

'

~'

.l__~d

~o+oo.~..o.~.,~ ,d~ +0[~'],

C'~ +/~)~

,

~2

~o_

K. SehrOder.

582

d.h. flit h ~ O : o

'~o

ylo

bzw.

(,,)

(~

= -5

~o

eos2(~,x)l~

II

x, ay, 7 d o + ~ 1 7 6

h

(~) (t'~+ h~)i

II (,)

~d o + (~'~+I~) i

"~.~ (t' t + kl)i c,) ( r

h:) ~

d.h. ftirh --~ 0

T 5

o2eOs(~:;x)cos(~:,y)u

+ 0[~ ~] xo

y/o

wenn man noch beachtet, dab 2~

2:~

2~

o

o

o

Da mithin lira II + 0 [~a] = 0 [~1 ist, so folgt

lira f f

lira {I + II + III}

h.-~O Jd (~)

h--~O

:~ ~

~/

Bandwertaufgaben der Differentialgleiehung A A U = O.

58,3

10. U~er der Vorattssetzun2 yon Hil/ssatz 9 hat man /(ir die Normalableitungen yon Y bzw. W die Limesrelatio~n lira W P~

{[ (p') -- ] (p)} {cos' (r~,,, ~) cos (n,,, rip) -l-

=

P~ ~ p a ......~

(s)

P

A- 2cos(r~,~, ~)cos(r~,p, n f ) cos(N, ~) --

- 5 cos2 %,., 0 cos %,~, n~,) cos (~,., rip)}- ~ d~ ~ rptp T ~ c o s (~, z) Jl ot~ Ol ,

0.

{/(p') - l(v)) {cos (r~,., 2) cos (r.,~, n) cos (n.,, n~j +

P n --'~ p

(S)

+ cos (r~,., ~) cos (r.,p, %0 cos (%, ,~) +

P~"

+ cos ( ~ , . , ,]) cos (r~,., .p,) cos (n~, ~) - 5 cos try,., ~)cos(~.p, ~) cos (rp,~, %0 cos (r~,., np)} ~r$,p d(~ -T

I

[,o,,o ~ cos (y,.j)) +

Beweis. l~aeh Hilfssatz 1 dieses Paragraphen ist

OV(P} o~

0 {

= ~

v(P)-

/(p)

fletos'(r,'p,')c~ ,$.~ (S)

do}.

Wird der in der geschweiften Klammer stehende Ausdruck wieder analog wie bei dem Beweise yon Hilfssatz 9 als ein Integral tiber S geschrieben und in der Form

II = II + II (8)

(S - s)

(s)

zerlegt, so braucht wegen lira {~z II}-----lira II{/~ p....~p ( S - s)

( S - a)

+ 2 cos (r~,p, 0 cos (rcp, n~,) cos (%, ~) -- 5COS2

1 ($'p'p, 2) COS($'p,p, rip,) COS (~'p,p, ~p)} y-~-p d~T

: ( S - s)

+ 2 cos %,., ~) cos %,., %,) cos (%, ~) - 5 cos %,., ~) cos %,., ~.,) cos (r~0~, %)}-~,- , de.

38"

584

K. SchrSder.

[man vergleiehe hierzu (23)] nur noch der Limes yon

~

0, II O)

(s)

(%, ~) 5 cos2 (r,,,p, ~) cos(r,,,p, %,) cos (r~,p, ~p)} ~l,p do +

+ 2 cos (r~,p, ~) cos (r~,~, %,) cos

-

O)

(s) I + II + [II

untersucht zu werden. Fiir I I I erkennt man genau, wie im vorhergehenden Abschnitt, daft

IIIii ~ o [~] ist. Zerlegt man I wieder in drei Teilintegrale, so findet man fiir das erste bei Beachtung yon (43) und (8) Ol

(%" %) d e

"

(0

(s)

2x'y' + ~ cos (z, ~) cos (y,.~)

2x'h t'~ + h~ cos (z, ~) cos (z, ~:) 2 y'h

r ~+ h2 cos (y, $) cos

'

[Vt'2 +/t2.~

(r +

(z, ~) +

h ~'-Vj

so dab f i i r h --> 0 sich der Grenzwert =F -g-.

0cos (~, x) cos (~. z) -b 0 [e)-]

ergibt. Fiir das zweite Teilinteg~al yon I folgt nach (43) und (4) rp, p Ca)

(s)

/1__ +o[ /~

(,",+h,) ' J"

Randwertaufgaben der Diiferentialgleichung & A U -----0.

585

so dal~ der Grenzwert fiir h -~

ist. Fiir das dritte Teilintegral yon I w~rd schljel~lich

(~)0 I I ~'5 COS2(~"P' ~)COS(T,,p, (s)

-

~

~p,)COS(rl~,p,'~'bp)_.~da ra;,p

cos~(z, ~) + ~

cos~(y, ~) + ~

cos~(z, ~) +

(~) 2 x' y'

2 $" h

+t,-r-4-D+h,cos(~,~)cos(y,~) 2y'h ...+.

t,-~+h.,cos(~,~)eos(z,~)

oo~ (y, ~) cos <~, ~) + o[<,,, +

-

~)~]}

Z

2

(t'= + h=)-~-A so dal~ der Grenzwert f i i r h -+ 0

~o (~)o co~<~,=)oo,<~,~)~ ~ +ot+~ = + ?

(~)oOO~<~,=)co~<~,~) +

0

lautet. Damit ist also erkannt, da~ lira I = :F

i,--+o

~(",) ~ o e~s (~,

x) cos (~, z) + 0 [~"]

ist. Wird daa Integral I I entspreehend behandelt, so ergibt sieh lira I I = q: ~

h --.-~o

(~) o cos (~, y) cos (~, z) W ,~ --if- oo~(~, ~> ~:

so dal~ insgesamt

(s) ist.

586

K. Sehr6der.

N.B. Die Grenzwerte in den Hilfssiitzen 9 und 10 werden gleiehm/i~ig angenomrnen. 11. Geniigt die Belegu~ /(p) ei~er H-Bedi~j~] mit dem Exponenten p, so geniigen die lntefrale V (P) und W (P) in R + S u~d in Ra + S ei,ae,rH-Bedi~lung mit dem gle~c~n ExT,onenten p,, wenn man hie'f, abweiehend yon der f~her benutzten Terminologie, die Werte vcm V und W in einem Punkte p d e r Berandung S van R bzw. R~ dutch

v(p) =

lira V (P~),

W (p) =

V(p) ---- lira V(P,~),

IT'(p) =

lira W(P,~)

bzw. p ~ _.~ p

lira W(P~) p a n --~ p

9egeben denkt. Beweis~6). Es seien P1, P2 zwei beliebige in R (oder in R~) gelegene Pnnkte, fiir die Qo

gilt, mad deren Entfemung yon tier Fl~che ldeiner als T~o ist. Versteht man unter KI~ die Kugel mit dem Radius rta um den Mittelp!mkt P yon PsPa, so sei s = S'Kx2, wobei s natiirlich auch die Nullmenge sein kann. Mit Po bezeiclme man den P1 am niiclmten gelegenen Punkt yon S, so daft Qc

ist. Die Streeke P0Px steht dann offenbar auf S senkreeht. Es kann nun ~)eos(r~.pi,

V ('8)J3

t

=Jj+jj (el

np,) -

rp,pt

cos~ (r~,p., ~) cos (r~, p,, %, ! / d ! ~ ' P2

(8-s)

geschrieben werden. I s t s nieht gleich der Nullmenge, so gibt es mindestens einen Punkt p yon s mit 1 3 ~s) Bei den fiir den Beweis benutzten Absch&tzungen sind in Richtigstellung der urspriinglichen SCHAUDBItschen :Fassung einige Modifikstionen angebrscht worden, die auch bei dvr Beh~ndlung des PotentiMs der Doppelschicht entsprechend zu benutzen sind.

Rsndwertmufgaben der Differentialgleichung A A U = 0.

58"/

se daft anch 3

und daher T~ o

gilt. Da dann fii~ jeden P t m ~ p yon s

ist, so folgt auf Grund yon Hilfssatz 7 dieses Paragraphen, daft (44)

J(s)J cos* (rl,,e,, ~) co8 Irp, e,, %0}

ist. Aul~erhalb yon Kx2 muB uach (13) und (17)

(45)

[

CO89(f~pl, ~)COS(fpel, np)

eos~(r~el, ~)cos(rpe2,~p) [

f~P1

~K

PP2 f~l

tit

r~p~ sein. Versteht man unter K ~paeodie feste Kugel mit dem Radius ~Qo um 5o, so ist s, da flit einen beliebigen pnnkt p yon s ~0

%p0 ~ 3 r12 <

gilt, m'-~%o~'~P~enthalten. Die Menge E -- 8 9KCP0) ~o lie gt also au~erhaib yon K12. Da abet fiir einen beliebigen Plmlrt p yon ihr ~'pPI ~ r ~ p o - t'poPJ ~ Q_~0_~o = ~o --

--

2

4

4

sein mu~, so ergibt sich nach der gleiohzeitig erfiiUten Ungleichung (45) die Absch~tzung (46)

I

Y~

] --~

KBrxg,

(8-8 9KQo (~~ wenn flit

Max II( )l

die Konstante

B g t.

B

der H-Bedingung

fiir /(p)

gleichzeitig

588

K. 8ohr6der.

Versteht man welter unter 21~ die Kugel yore Radius zlz um den Pnnkt i% mid ist ~ ----~ . R12, so gilt nach dem Hilfssatz 7 dieses t)axagraphen

F~,Pt (o)

-

cos ~ (r v, p , , ~) cos

=
(r~,p~, rip,)

/

da +

I I Ic~ (r,'e,' 0 ~176 (o)

Ia o}

rv' l"2

< KBr~2. ~iir einen beliebigenPnnkt p yon S . K iv~ bestehen nun die Absch~itzungen --~0 (48)

r ~ o ~_ K A ( # + y ~ ) 8 9

~vP~

(z~ + y2)89

wenn man das in Po lokale rechtwinklige Koordinatensystem zugrunde legt, bei dem die Strecke Po P1 auf der z-Achse llegt. Daher findet man nach (45) und (48)

(49)

I"1'

=< K B r12 < K A B rl~

ii

JJ

1

(s.,~~

~,',o d ~

s - . de ~ K A B ri'~.

( x " + v'~) 2

Aus (44), (46), (47) und (49) folgt aber insgesamt

(s-S.%o)

(s . %**)- (, ~

~)

q.e.d. 12. D/e in diesem Paraxjraphen flit den Raum abgeleiteten HilJssatze 9eIten mtaatis mtaandis auch /iir die Ebe~e. Sind ~, ~/die Koordinaten in bezug auf ein beliebiges in der Ebene gelegenes reehtwinklig-kartesisches Bezugssystem, so bestehen, fails die Kurve den in w 1 genannten Voraussetzlmgen geniigt, die (24) lmd (25) entsprechenden Relationen

0o) 18)

(81

r~, p

Randwertaufgaben der Differentialgleichung ~ A U -----0.

589

je nachdem P im Innengebiet yon •, auf8 oder im Aul~engebiet yon 8 ]iegt, und

(51)

I Or~,p Orp,p 0 (l~ r~-~P)ds o~ 0,2 o%, (s) --i r J

p,~)oos(rp, e,~y) eos(r~,p,n~,) ds = 0 r~,p

(8)

bei beliebiger I~ge des Aufpnnlr~es P. Den Beweis yon (50) und (51) kann man mater Benutzung des erst an einer sp/iteren Stelle dieser Arbeit angegebenen ebenen Analogons (161), (16 2) der r~omllchen Beziehungen (30) mit derselben Methode erbringen, die zum Beweise yon (24) und (25) herangezogen wurde. ]Kit geometrischen Hilfssiitzen in der Art, wie sie in w2 angegeben wurden, kSnnen die Analoga der Hilfssiitze 2 his 11 flir den ebenen Fall bewiesen werden. Die Analoga der Hilfss~itze 2 his 6 lassen sich jedoch auch nnmlttelbar aus den bereits bewiesenen S~itzen f'fir den r~umlichen Fall ablesen, wie jetzt noch kurz gezeigt werden soil27). Man erg~mze das ~, ~-Koordinatensystem dutch eine zur ~, ~-Ebene senkrechte ~-Achse zu einem r~nmlichen Bezugssystem und bride mit Hilfe der auf der Kurve E definierten integrablen FnnkCion /(p) das iiBer einen unendlich langen Zylinder, dessen Erzeugende der ~-Achse parallel sind, erstreckte Integral

(8)

-b

wobei p der auf dem Zylinder gelegene Integrationspunkt, P ein p~nlrt der ~, ~-Ebene ist und die Definition yon/(p) dadurch auf alle Pnnkte p des Zy'hnders erweitert wirdl dal3 f'tir sie der Weft der Fuuktion gleich dem an denjenlgen anfE gelegenen Punkten p' angenommenen Weft ist, die dieselben ~, ~]-Koordinaten besitzen. Da abet mit die Gleichungen

Or~,e

5,'e o-r~,p und O(r-~) _ _ = r,, p

rp, p

Orp, p

(r~,p -~-Cs)"i

"~) Vgl. hierzu O . D . KELLOG, Foundations of potential theory. Insbes. S. 172--174.

Berlin 1929.

590

K. Schr6der.

bestehen, so erh~ilt man b

~

1

b

-b

=-l(v')~,,,~,

,)

~

I

+ =v-~

r~,p

~1~

(r~o p + ~*)*J-b

u n d also

(~3) ~i~

t(~) ~--~-~ (,S)

o,--~r ds

-

'

=

~ ) d.. o.,.

t(v)t--~-] (s)

W~h]~ m a n n u n

feste Zah] a m i t 0 < a < b, so w i r d

elne

b

0

1

3r~,p

wad

I

(a,,~,

-o

o

1

t(p') 3 (a,,,p~ O,r rp, p \ ~

~--- --b

9

I - - ~o~

l

~)

_-T~,3r~, e + r~,p

One,

1

~~ ~ ~(rp, p - ~ - a )t

3 r~), p

so da~ wegen (53)

(54)

V' (~) =

t(p') ~-~V~

o%,

(s) a

T

(8)

3

t(r ,-a-~-., ~ (~)

sein muff.

9 -a

x-~-/

~,.

-

0%

d

ds

-

,3..,~ + ~'.'.)

~ g"

(':, p + a2) t-I

Randwertaufgaben

der

Differentialgleichung A A

U =

0.

591

Das erste rechts stehende Integral ist aber ein Integral yon dem Typ, wie er in den vorhergehenden Abschnitten dieses Paragraphen untersucht wurde, so daft die darauf beziiglichen S~tze unmittelbar angewendet werden kSnnen. Es ist allerdings anzumerken, daft das herausgeschnittene Stiick der Zylinderfl~che keine geschlossene Ffiiche darstellt. Da uns abet das Verhalten eines solchen Integrals und seiner Tangentialableitungen lediglich in Fliichenpunlrten y interessieIt, die gleichzeitig der Kuzve S angehSren, so kSnnen wit das Zylindeffliichenstiick einfach daduzch zu einer geschlossenen Fliiche erg~nzen, sofern das bei den Beweisen efforderlich ist, dal~ wit die yon der Zylinderfl~che heiausgeschnittenen endlichen Fliiehenstiicke in den Ebenen = 4- a hinzunehmen. Das zweite Integral rechts ist dagegen an j e d e r Stelle P der ~, ~-Ebene beliebig oft partieU nach $ und ~ differenzierbar. Um das zu erkennen, bedarf es nur der Untersuchung einer auf S gelegenen Stelle, fiir die ja r~,e = 0 sein kann. In der Umgebung einer solchen Stelle mit r~, p = 0 g~lt abet die Reihenentwicklung

(#'--~)'O%,'e [5,'P

%,,e

3

4

-

~__

a--~

3

...]

1 r~,e + 3 r ~ , e + a4

--

2

a~

..

r~,p

wobei in der zuletzt angesehriebenen Reihe nut Potenzen mit einem ungeradzahligen Exponenten gIS~er gleieh 3 auftreten, so daft man schliel~lich mit geeigneten Koeffizienten al, as . . . .

= (~'-

O r~, p

~)~T~,

o

= (~' _ ~)2 ~ ;

3

A-

5

[a~r~,p + a3r~,p , asr~,e + ...]

o,,

rp,p + u rp,p + ...

]

592

K. 8chrSder.

schreiben kann. Da hier abet in der eckigen Klammer eine Potenzreihe steht, die nach Potenzen yon (~' -- ~)~ + (~' -- ~)2 fortsehreitet, so ist klar, dag der letztere Ausdruck an der SteUe ~ - ~', ~ - 7' mad damit, wie behauptet, das zweite Integral auf der rechten Seite yon (54) aueh an einer aufS gelegenen Steile be]iebig oft nach ~ und y differenziert werden kann. Fiir das Integral

I

W'(e)=

O~.~,j,Or~,l, 0 (l~

/(P') or

0,1

r-~'P)ds

o%,

(s)

kann man eine zu (54) analoge Formel aufstellen und daraus dieselben Sohliisse ziehen. Beachtet man, dal~ wegen der zu (38) analogen Relation

f oo8(r~,~,%,)l d s < K, bei der K eine yon der Lage des Pnnlrtes P unabhii~gige Konstante ist, die Abschatzungen

(s)I]o~176

}< K

I I ~176(r''P' ')

c~176 p

(S)

beatehen, so ergeben sich die (39), (40), (41) und (42) entsprechenden Relationen

(55)

L' (p) = v' (p) + ~- t (p),

(56)

v~ (p) = v '
(57)

w,.' (p) = w,(p),

(58)

w~ (p) = w'(p),

falls die Funktion ](p) als stetig vorausgesetzt wird.

f(p)

Besitzt die Funktion eine erste partielle Ableitung, die einer gleichmii~igen H-Bedingung mit dem Kurvenexponenten )t geniigt, und versteht man unter in einem Punkte p von S lokales Koordinatensystem, bei

x: y ein

593

Randwertaufgaben der Differentialgleiohung A Zl U -----O.

dem die y-Achse in die Richtung der in das Innere yon R weisenden Normalen zeigt, so folgt ans Hilfssatz 9 und l0 unmittelbar, dal~ die Grenzwerte

a v, (P[,) lim ~ Ox

a v' (P:) lim - -O x

'

OV'(P~)

aV'(P,a,)

lim - -

n --~ oo

(59)

Oy

0

lira

W'

lim ~ - -

'

n --~ ~

(P.)i

lira

'

Ox

il "'-~ c~

Oy

a

lim

Oy

,, ._>

.

"

W ~ (P~)

'

Oz

$1 . - . ) . cio

aw , ( ~ ) lim - - ,

n ---* ~

'

a w'(P~) Oy

~

existieren, wenn die Punl~folgen zo~ bzw. P~ yon innen bzw. yon sullen gegen p konvergieren, land daft insbesondere bei Beachtnng yon (54)

tav'(P~)

av'(.PT,~) t

low' (e'.)

aw'(e:) t! -~.

3 4~,

und

,li_~moo |

ist. Unter derselben Voraussetzung fiber spiiter benStig~en Limesrelationen

lira ,,_+~

(60)

2a

ax

=o

gelten dann aber die folgenden

j(p)

[log 0%,

t(r')

(m

-

2

<~,,

da

lira / [ 0

,,~ol

~

~

(~

/(r

0 ~p,

(s)

-

~

JP=

t(v')

-

J,,=~,:)/

o..,

0I,o< d,1 J't(r [~

ds P = e ~

,Pn

Onr,

ds

-=-

p_~_ pa

2~

594

K. Schr6der.

is~, und (6~) ,lim__>{ t 2 a W' (x :

,

~: ~

I_

I(P)

rp, P a d s

p=p~,

o%,

(z)

-

,) W'(P~)

2 o~=t=

O

L

~

(~)

,-

/(p)

__

r~,v-~ l

0 %,

=0

d s i p = "~

wegen

J =d-

o.,, 0

-

L

X~

(8)

/(P')

rp, P J d 8

o%,

-

=0. P = P~

w Das innere Problem im l~ume. 1. Wir wollen in diesem Paragraphen fiir da~ innere r~umliche Problem folgenden Exis~enz- und Eindeutigkeitssatz beweisen: I l a u p t s a t z I. Geniigt die Berangun J S des ein/ach zusammenhi~ngenden ganz im EncIlichen gelegenen Gebietes R den im w 1 gen~nnten Voraussetzungen, und besitzen die au[ S de]inierten Funlctionen Q, a, T dort pavtielle Ableitungen erster Or&aung, die einer gleichma]3igen H-Bedingung geniigen, und sind sie die au/ S angenommenen Werte der partiellen Ableitungen erster Ordnung einer in R zweimal stetig di/ferenzierbare~ Funktion qS(~, ~7, $), so gibt es (bis au/ eine additive Konstante) genau eine is R biharmonische Funktion U, deren partielle Ableitungen erster Ordnung in R + S steti9 sind und au/ S bzw. mit ~, a, ~: iibereinstimmen. Nimmt man an, dal~ es eine biharmonische Funktion U mit den verlangtea Eigeaschaftea gibe, und setzt man u - - OU

OU

OU

Ou

Ov

Ow

so geniigen die Funktionen u, v, w, 9, offenbar im Gebiet R den Differentialgleichungen

(62)

A u - O #~ = 0 ,

8~ = O, A v - ~-Tj

A w - o~ g-~ = O,

Ate=O,

Randwertau~gaben der Di~erentia]gleichung if A U ----0.

595

sowie den (im Sinne von Grenziiberg~ngen aus R auf S zu verstehenden) Randbedingungen (63)

L' ]s =

IvIs =

=

und umgekehrt gilt der gleich zu beweisende Satz 1. Sing die Funktionen ~, (t, ~ die auf S angenommenen Werte der partiellen Ableitungen einer in R zweimal stetig di//erenzierbaren Funktien (~, ~/, ~), und gibt es ein LSsungssystem u, v, w des Problems (62), (63), das in R --? S stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzt, so existiert eine blharmonische Funktien U derart, daft

ou

Ou

oU

w=o-V,

ist. Mit diesem Satz i i s t abet zugleich der Hauptsatz I, jedenfalls was die Existenz einer LSsung anlangt, bewiesen, wenn man die folsenden in den Abschnitten 4 bis 11 zu beweisenden Si~tze heranzieht: Satz 2. Bei belie;bigvorgegeben~n art~S stetigen Funktionen Q, a, ~ hat das Problem (62), (63) is R stets einz LSsunj. Satz 3. Besitzen die Funktitmzn ~, a, v au] E iiberdies partieUe Ableitungen erster Ordttung, die einer 91ei~hm~fligen H-Bedinsuny 9eniigen, so s6td die n~ch Satz 2 existierenden L6sunjs/unktionen in R A- S einmal stetig partieU di//erenzierbar. Der Nachweis fiir die im Hauptsatz I behauptete Einzigkeit der LSsung bleibt einem besonderen Absclmitt vorbehalten, wo sie sogar unter allgemeineren Voraussetzungen aufgezeigt werden wird. 2. Dem Beweise des Satzes 1 schicken wit einen H i l f s s a t z voraus, der auch f'tir die folgenden Schltisse ben5tigt wird: Geniiqt die Berandung S des eiafach zusammenh~ngend~, yattz im Endlic~n ge~egenen qebiet R den in w 1 genannten Voraussetzungen, so koran man eine unendliche Fore yon yanz is R gelegenen, denselben Voraussetzungen geniiyenden, gegen S konvergierengen Fl~chen S. konstruieren, die die Eigenscha/t besitzen, daft ]iir eine Folge yon inte!rrablen und gleiehma'fli~ beschr~nkten Funktienen /.(p), die resp. au{ E. definiert sing, und die/iir n --> ~ geyen eine au] S de/inierte inte~able Funktion [ (p ) konvergieren, die JLimesrelation

zt. Beweis. Die zu R + E gehfrige GREs~sche Funktion, die auf S versehwindet und in elnem Punkte P yon R einen Pol aufweist, werde mit G bezeichnet. Die Fnn~ion G besitzt bei den getroffenen Regularitiitsvoraus-

596

K. Schr~ier.

setzungen tiber ~ nach S~tzen yon SCH~V~R ~S) und K~LOO ~) in dem abgesehlossenen Bereich R ~ ~q mit Ausnahme des Punktes P stetige partielke 8~ Ableitungen erster Ordnung. l~iir die Normalableitung I ~ ] s mul~, wie yon L. LICHTENSTEIN30) bewiesen wurde, 8q sein. Ist 10 ein beliebiger Punkt auf 8, so bezeictme man mit Z.o~ das Innere eines greiszylinders, dessen G~undkreisfl~che den Radius ~ besitzt, der die H~he 2 ~ hat, dessen Mittelpunkt mit ~ zusammenfiillt und dessen Achse mit der Normale ~ hn Punkte p identisch ist. Man k ann dann sicher den Radius ~ so klein wiihlen, daft erstens ~ kleiner als ~o ist, wobei ~o die in der Einleitung angegebene Bedeutung hat, da~ zweitens in der Du~chsclmittsmenge yon R - J - ~ und Z~ b~ ~ 0 ist, und dal3 drittens Zel den Punkt P nicht enth~lt. Versteht man welter unter B den Bereich, der alle Punkte yon R enthiilt, deIen Entfetnung yon S grSl~er oder gleich als ~ > 0 sei, wobei ~ < ~1 ist, so wird die Funktion G in B ein p o s i t i v e s Minimum M annehinen. Es soil nun gezeigt werden, dab die dutch

G~--~M (n ~ ganze Zahl ~_ 2) gegebenen ~quipotentialfl~chen eine Fliichenschar ~ mit den gewiinschten Eigenschaften ergeben. Jeder Plmkt des Bereiehes B1, der aus allen Plmkten yon R ~- ~ besteht, deren EntfeInung yon ~ kleiner oder gleich ~ ist, gehSrt nun einem Zylinder Z~L an. Nach dem HE[~.-BoRET~schen ~berdecknngssatz l'aflt sich dann 1~1 bereits mit endlich vielen Z~,1 iiberdecken. Da jeder Punkt der Fl~che S~ (n ~ 2) yon S um weniger als ~ entfernt ist, so gehSIt jede solche ~l~che ganz dem Bereich B1 an und wird also ebenfalls yon den endlich vielen Zylindern Z,.,~ iiberdeckt. Ist p der Mittelpunkt eines yon diesen Zylindern, so w~hle man in p das Tangential-Normalkoordinatensystem x, y, z. F~nth~lt dieser Zy]inder das ~) J. SC~UDER, 1. c., Anm. ~*). 29) O. D. KF~LLOQ,1. c., Anm. is). ao) L. IACHT~NSTEIN,~])er eine Eigenschaft der klassischen Gl~EEl~schenFunktion. Math. Zeitschr. 11 (1921), S. 319--320.

Randwertsufgaben der Differentislgleichung ~l A U = 0.

597

Fl~chenstii~k ~v yon S~, und ist (zo, Yo, zo) ein beliebiger darsuf gelegener Punkt, so ksnn F~ nach dem Satz fiber hnplizite Fun~ctionen in einer gewissen Umgebung dieses Punktes eindeutig und aualytisch in der Form z =

r

(x, y )

dargestellt werden, d a j s Oz

ist. Diese eindeutige Darstellung liiBt sich abet auf das gauze Fliichenstiick F~ susdehnen, denn w ~ e fiir zwei beliebige Punkte (Xo, Yo, Zo) und (zo, Yo, Zo+ l) yon R, die gleichzeitig Z~,~ sngeh~ren, O(Zo, yo, Zo) = o (~o, yo, Zo + ~),

so miiflte nsch dem Mittelwe~tsstz der Differcntislrechnung l ~ 0 (Xo,Yo,Zo+ ~ l) scin, wenn man noch beachtet, daft wegen dcr eindeutigen und stetigen Darstellbsrkeit des Z~,, angehSrenden Fliichenstiickes iv yon ~ in der Form

~(z,

z =

.V)

mit (Zo, Yo, Zo) und (Zo, Yo, Zo + l) such she Punkte (Zo, Yo, Zo + tgl) fiir 0 < # < 1 dem Gebiet Z o1 9 R sngehSren. Daaber O0(Xo, #o, Zo+O l) ~z

to

ist. so folgt notwendig Z~-0.

Man iiberlcgt sich weiterhin, daft jede Fl~che 8n die Berandung eines einfach zusammenhiingenden Gebietes ist 31). Bezeichnet man die Projektion yon F n bzw. F auf die x-y-Eb'ene mit F~ bzw. F, so wird zun~chst

(Pn)

(Fn)

Ds hier die Ableitungen O~n Ox

O0 (x, y, ~ (x, y~) Oz O0(x,y,q~n(x,y) ) ' Oz

a~vn ~y

dO (x, y, ~ (x, y~) ~y O0(x,y,q~n(x,y) ) OZ

~) Vgl. hierzu O. D. KEIJ~G, l.c., Anm. :Y), insbes. S. 238--239. 39

Mathematlsche Zeitsehrtft. 48.

K. Schr6der.

598

flit alle . (n => 2) gleichmiillig beschriinkt sind, and

e,,(~, y)

lira

-=

e(z, y),

~F-~=~ ist, so folgt nach dem Satz yon ARZ~Lx-LEB~.SeVr lira

;ff,,(p)da=/~ f(p)da.

Beachtet man schlielllieh, daft die FF~chev ~ mad ~ . dutch die endlJch vielen iiberdeckenden Zylinder Zel in endlich vide Stiicke zerlegt werden, deren Randkurven stiick-weise stetige Tangenten besitzen 32), und deren jedes auch, wenn es mehreren Z el gleichzeitig angehiirt, jeweils nut einem dieser Zylinder zugeordnet sei, so folgt dutch Summation, wie behauptet,

,,Lun (~/,, (P) d(~ = !~ / (P) d~'. 3. Man bilde nan, um den $atz 1 zu beweiaen, mit Hilfe der in R + ~q einmal stetig partiell differenzierbaren L6sungsfunktionen u, v, w des Problems (62), (63) and der gegebenen in R zweimal stetig differenzierbaren Funktion ~ die neuen Fanktionen

(64)

'#, = u

,9,t,

7v =

a/~ '

v

~ = w

'

07

,9C '

fiir die. offenbar (65)

[~1, = o,

[v--], = o,

[w-], = o

ist. Da alsdann ,9~

,gfi

Ow

(66)

av ,9 @

w3 = ,9,,t

,9~t a ~t

,9~

,9 v at

at~

,gu

,gt'

,gu 0~

sein muff, so folgt aus (62) (67)

awg

aw.~

aC---g~-~ = 0 ,

aw3

'9wl

-b-T-WT=0,

'9wl

'gn

'gW

,gwj

,9r = 0 .

a:) Vgl. hierzu O. D. K~LLOa, 1. c., Anm. 27), insbes S. 97--107.

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A .4 U ~- 0.

599

Auf den yon den im zweiten Abschnitt konstruierten Fl~ichen 8~ begrenzteu Bereich R~ ~- S~ wende man den GAussschen Integralsatz in der Form

(Rn)

(68) = f~ (~,~ + ~ + ~ d ~ + ff(~ ( ~ ( . ~ , , (Rn) + ~ ( ~ oo~ t~r

an. der des der

~) - ~ o ~ ( . ~ , ,~))

(rm)

~) -

~ co~ (~p,, ~)) + ~ (w~ eo~ (n,,, ~) - ~ cos

%,, ~))}d.

Da bei Beaehtung yon (67) die ]inke Seite yon (68) und wegen (65) aucb Limes des reehts stehenden Oberfl~chenintegrals f'fir n --> ~ auf Grund im zweiten Absclmitt bewiesenen Hilfssatzes verschwindet, so fo]gt aus damit resultierenden Relation

~ ~ + =~ + =~ d~ = 0, (R)

da~ die Fnnl~tionen w~, w~ trod w3 in R identisch versehwinden. Gem~i~ (66) existiert aber alsdaIm in R tatsRchlich eine Funktion U ($, ~, ~) derart, dal~ '1$ . - ~

OU - -

'0--

OU

'll)~

OU

ist, wobei naeh ~62) und (63) AAU--O

in R

mad OU

OU

OU

wird. 4. Bei dem Beweis des Satzes 2, zu dem wit nunmehr in den Abschnitten 4 bis 6 iibergehen, benutzen wit ein yon LAUmCEL~Aa~) ausgebautes elegantes SchluBverfahren F~EDHOLMS~). Neben der Problemstellung (62), (63) betrachte man zugleich die bereits im w3, Abschnitt 1 herangezogenen Differentialgleichungen

O0 (69) A u + k ~ - ~ = 0 ,

00 zlv+k~-;~7=0,

O0 Aw+k~-~=0,

AO=0

und Randbedingungen (7o)

[u]s = e,

[V]s =

a,

[w]s =

mit k als Parameter, wie sie beim I-Iauptproblem der Elasti~it~tstheorie auftreten. sa) G. LAURICELLA, 1. c., Anm. 1~). 34) J. FREDttOI,M, 1. c., Anm. 13). 39*

600

K. Sehr6der. Mit den abk0rzenden Bezeichnungen k -~

2+k'

3k

2

cos (rpp, .~) --

~.{3

~e

-~

(rpp, ~) c~

0

K~(P,p;~) =2+t:

o~

2 rp p

1

o~p

o~

9- 3 ~ cos (r~e, ~) ~

3k

1} cos (r~p. n~) --

(%p, ~)

Orpe Orpp

0

cos

(rpp, rip)

1 (~)

2

rp p

(71)

K ~ ( P , p ; u) = K~.~(P,p; x), 0

--

1

a

1

cOS(rpp,~;p) -L~ ~{3eosg.(rpp, q) -- 1J/ c ~ rp2 p

T

rp p

3k arpp a%p a~pp!( l-L-] K~ ~( P, p; x) : 2-}-k O~

O~

Onp

COS(rpp, rl) COS(rpp, ~) COS (rpp,~p) 3 X

.....

~P

K;~(P,p;g) =- K~..:(P,y;x),

K;,(P,p;~) = Kn;(P,p;~t),

o(• K ~ ( P , y ; u) -- 2 + k

O.~ + ~

a

1

O..

ooa (~pe. %) + ~{3 cos~ (r,p. ~) - 1} oo8 (rpp.,,) ~p2 p

rpg p

'

Rimdwertaufgaben der Differentialgleichung A d U

=

O.

601

werde zuniichst das System der inhomogenen linearen Integralgleichuugen zur Bestimmung der mabekannten Funktionen f(p; x), g(p; u} mad h(p; ~)

I(P; ~) + 1 II(K~,(p,p,;,)/(p,;g).jr - K~(p,p';~),(p';:~)-f,~ + K~:(p, p'; ~) h(p'; ~)}d~ = e(P),

172)

ilf {K,~(p, f ; '0 l(p'; '0 + K~(p, f;,,) g(p';,,)

g(p; ~) + ~

~-

{K~(p,p';~)t('p';~)+K~(~,p';~)g(p';~)+

h(p;~) + ~-~

(s)

--t-K~.r (p, p' ; ~) h(p' ; ~)} da = ~:(p),

untersucht, wobei wir annehmen, da~ k =~ -- 2 ist, und da~ die inhomogenen Bestandteile g, a, 9 auf ~ stetige Funktionen sind. Ein solches System laflt sich stets auf eine einzige Integralgleichnng zuriiclNiihren. Man w~ihle dazu statt des Integrationsgebietes ~ eine aus drei Exemplaren yon ~qbestehende Fl~che 6, die um sie voneinande~ unterscheiden zu kSnnen, mit ~(~), ~ , ~(~ bezeichnet seien. Ein Punkt ~ soll ~ angehS~en, wenn er auf einer der Fliichen ~(m (p ~_ I, 2, 3) liegt. Unter Benutznng der fiir den Augenbllck gebranchten neuen Bezeichnungen ~1, ~ , ~a start

~, ~, ~,

h(p;~), /2(p;~), /a(p;~) statt /(p;z), g(p;~), h(p;~) und

el(p), e2(p), es(p) stau e(~), ~(p), ~(p) definiere man auf ~ die beiden l~unktionen ]* (p; u) ~ ], (i0; u),

falls p auf S (') lieg~ (/~ = 1, 2, 3)

~*(p) = ~ (p),

fails p a u f S (") liegt ~ = 1, 2, 3)

und und auflerdem eine Fnn]rtion K(p, q; u) der beiden anf ~ variierenden Verkaderlichen p und q dutch K(p, q; n) ----Kf~, (p, q; u), falls p a u f 8 t") und q auf S (') liegt. Das System (72) kann alsdann dutch die einzige Integratgleichung

(7~)

'.IS

/*(p;~) + ~

K(p, p';~)t*@';~)d,~ = o*(~) (G) ersetzt werden, wenn man tinter dem auf der linken Seite stehenden Integral naturgemii~ 9

versteht.

9

602

K. Schrfder. Da die Keine des Integralgleichungssystems (72) wegen (9) fiir p' -=- p

wie ~

1

.

.

.

.

.

unend]ich werden, so erkennt man genau wle m d e r Potentlaltheone

dutch ][~bergang zu den iterierten Kemen, daft man anf (73) die FREDnOLZ~sche Theorie anwenden kann. Ist die natiirliche Zahl m hinreichend grog, so erweisen sich die m-ten iterieIten Kerne als auf ~q stetige Funktionen 3~). Wit k~nnen fOr m insbesondere eine ungerade Zahl w~hlen. Wit behaupten nnnmehr, dab die FI~r,DHOLMsche 1%nnerdeteiminante Dtm)(x), die in iiblicher Weise mit Hilfe der m-ten iteIieIten Kerne gebildet wird, fOr ~ = 0 nicht versehwinden kann, so daI~ die ganze transzendente Funktion D(m)(r) sicherlieh nieht identisch verschwindet. Da niimlich for Q, a, ~ ~---0, 0, 0 lind ~ ~ 0 (d. h. k ~ 0} das System (72) in das System der homogenen Integralgleichungen

t (v) + ~l I.I cos (r,,,,%,),(,')da=O, ~,~ (,,~

1 II c~ g (P) + ~ (8)

(,'}da 2 r~,p

h (v) + ~1 1 . I c ~ ~,p

g

O, =

') h (v') da = 0

iibergeht, so hKtte fiir D(~')(O) = 0 die aug einer solehen homogenen Integralgleiehung duIeh m-fache Iteration heIvorgehende Integralgleichung eine nicht identiseh versehwindende Lfsung. Dann mnB es abet eine m4e Einheitswurzel % (e~' = 1) und eine nieht identiseh versehwindende Funktion fl(P) derart geben, dab ~" I I c ~ j,(,')da = 0

~.~

t~ (:p) + V=

(,s')

JarSe), woraus wieder die Existenz einer nicht identisch verschwindenden Funktion ]e(p) folgt, die der Integralgleiehmag

b ('D) + ~~"~I

~176(r''" ~,p ~p) t2(,')da = 0

(8)

genii~. ~) Vgl. hierzu E. GOURSAT, Cours d'analyse HI, 3. Aufl., Paris 1923, insbes. S. 362--364 und O. D. K~LLOG, 1. c., Anm. 27), insbes. S. 299--309. Be} Vgl. etwa A. KNESER, Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik. Braunschweig 1911. Insbes. S. 213--214.

Randwertaufgaben der DifferentiMgleichung A ,4 U = 0.

608

Fi~r diese Integralgleichung kann man abet mater Benutzung yon S~tzen fiber Potentia|e der einfachen Schicht, wie sie bei unseren Voraussetzungen fiber die Beraudung S yon SCHAUD~RsT) bewiesen wurden, mit Schlu~weisen, die im Rahmen der Potentialtheorie gel~ufig sind, im Gegensatz zu dem eben Festgestellten zeigen, daft sie weder fOx e. = 1 noch flit eine beliebige komplexe m-te ]~inheitawarzel s~ eine nichttriviale I~sung besitzen kaunaq), so dab tatsiich]ich D (~) (0) ~=0 sein mull. Ist ~ keine Nullstelle yon D(m)(u), so lautet unter Benutzung der fOx nichtbeschr~kte Kerne, deren m-re Iterierte stetig sind, giiltigen Form der Resolvente a~) die eindeutig bestimmt~ LSsung yon (72) (74)

/(p;~)

$'(~;u)

g(p;u) =

- - D('~) (,0'

G (l~; ~) D(")

(~)'

h(p;~) =

H (p; ,r

D(m (~),

wobei die in u ganzen transzendenten mad in p stetigen Funktionen F, q, H den Integralgleiehungen

ill {If~t(p,p';u)F(p';u)+K&(p,p';~.)O(i/;~l+

F(y;~) + ~

~s)

(75)

+ ~(p,

v' ; ~) H (p' ; ~)}

a,~ =

D(")(~)O(V ),

(7(p; ~) + 1 I f {K,/$(p, p';;4)F (p'; x)"4- K,,(p, p ' ; x ) G ( p ' ; u ) + (s) + K,~(P, p';x) H(p'; u)}da = D'~)(u)a(p),

H(~;~) + ~

Ill {I~:d~,F;,4F(F;,~)+K~(~,F;,~)G(F;,,)+ (s)

+ Kr (/,, p'; u)H(y'; x)} da = D('~)(x)r(~p)

geniigen. Man kann sich nun davon fiberzeugen, dab die mit Hilfe yon F i G, H ffir die Punkte P = (~, ~/, ~)~ yon R geb'fldeten F - n ~ i o n e n {K~(P, p ' ; u ) F ( p ' ; z ) +Kt,.(P,p';•

u*(P; u) = ~-~

+ K~:(P, V'; ~)H(v'; :~)}d,~,

(~ (76)

)+

(P,p';u)O(p:;u)+ Ill(s) { K ~ P , p ' ; ~ ) F ( p ' ; ~ ) ++K ~Kn;(P, H (p' ;

v*(P; ~) = ~-~=

p'; u)

1

w * ( P ; ~) = ~

:

(s)

~:)}da,

p' ; z) G(p' ; u) 4+ K;~(P, p'; ~)H(p; z)}da

37) j. SCHAUDER, 1. c., Anm. ~4), insbes. S. 635--640. as) Vgl. hierzu A. KNESER, 1. c., Anm. ~), insbes. S. 203--204 und S. 219--222 und O.D. KELLOG, 1. c., Anm. :~), insbes. S. 309--310. =) Vgl. etwa E. GOURSAT, |. c.0 Anm. a~), insbes. S. 382--384.

604

K. SehrOder.

in R den (77)

Oleichungen

O,

o @* A v* -{-k -~-~.~ O, =

O*

. Or* + ~ * = -an* ~ +-~-~

h o ~* = Au*+..o~

A w* + k 0~ -~* T =

o,

geniigen und auf S wegen (39), (41) und wegen der bekannten Sprungrelationen ritz das Potential der Doppelschicht gemii~ (75) die Randwerte

(78)

[U*]s----

D(')(~)0,

[V*]s = D(")(~)a,

[e*]s -----D(~)(~)T

annehmen. Mit den Funktionen 1

ui--'--(l-}'k) r~p

k

OSr~P

2

O~ ~ '

k OZrplp q)l=

k a'~rpl,

9. a ~ a n ,

wl=

20~0

C

bilden ngmlich such folgende Funktionen ein LSsungstripel yon (77): a

1

0

1

,

9

2

ara

k |

e_~p aq

9,1--% a t

o( )o O~l a-.~ -6~

3

r~np

rp2 p

3 ~--~P ~--,Tp

on.

l"pp

k -------2

r3p

rpp

[

j

t"pp

o

k

1

at

2

0[ rpp

r~p 0 % o

r~p

On~ J

1

3k Or~p Or~p 9.

at

0%

O C On~

2

0 np

und znghieh mit 0

us ~

05

'

vs--

1

~

'

W2

0~"

ist das auch fiir die Funktionen o #

~2

m

m

1 o~

#n r'

~-

a,7 a,~--~' % = - - ~ :

an~

6O5

R a n d w e r t a u f g a b e n d e r Differentialgleichung A A U = 0.

der Fall. Da auch die Funktionen 0

1

0

1

O~

O'q

O~

ein Lbsungssystem darstellen, so gilt das schlieBlich, wie behauptet, fiir die Funktionen 0 1 , j;

%4--~

(79)

--~us=

' 4- k , k 3k Or~,~, Or~,p v1 - ~ v 2 - - ~ v a = 2 O~ Oq ,

~

,

.~

3 k o.,.p.,:,

w~ + ~ ~v.z - ~ w3 = 2

O~

0 n~

'

o,.~,~ O~

Die restlichen Reiationen ergeben sich dutch zyklische Vertauschung. Fiir die dutch (76) gegebene L6sung ist 0 1

O(p'; (8)

o

+ 0~

(8o) ~

One,

g)

+

o(# H (~'; ~)}d~ 0%,

O~ One,

o

+0~

}

~--~p: H ( p ' ; ~ ) da.

5. Innerhalb yon R sind u*, v*, w* beliebig oft nach ~, 7, ~, ~ differenzierbar, so dab die Reihenfolge yon alffeinanderfolgenden Differentiationen vertauscht werden kann. Dutch i-malige Differentiation yon (77) nach u ergibt sich AOiU*tk

0 0i,~ *

0ui AO~'v*

181)

0---~ 0~-----Y+ i

0,

k 0 0 ~ a * . 4 _ i ( 2 + k ) ~ 0 0 ~-~0.

0u i + AOiw*

(2+k)~ 0 Oi - 1 0 . 2 0~ 0ui-~ -+. . . . .

~ j 0u --2

'

k OOiO *

o,,,~ + 0"~"O* A Ou~ = 0 ,

i~-~ ~--~--~-~ + i

2

0,1 0u i-1 + . . . .

0,

( 2 + k ) ~ ~ 0i - 1 ~ *

'2

o ~ 0,,,~-I + . . . .

O,

606

K. SchrOter.

wobei dutch die Punkte Gfieder gekennzeielmet sind, die Ableitungen yon tg* naeh x yon niederer als der (i -- 1)-ten Ordnung enthalten. Fiir die Randwerte der /-ten Ableitungen yon u*, v*, w* finder man

[~

(82) [ ~ " * 1 = d ' ' ` ' , + e, L 0 ,i .Is

d ~i

-

L 0 u ~Js--

~ ' ~ ' ~ ' (')

d u~

I o'w* 1 - +~'~,

o,

L-~2-r~Js--

(.) ~

d u~

Denn es ist z.B. innerhalb yon R

o

=2.jj~\

o:

1

,o/~__~

o..,

(8)

C~(,-

+

,

/

,, o . . .

o+

"

_

\-ff~-t

O%,

a ~-1

0 r,, p 0 r , , p

+

0( -----) 1

" , , p ! 0 i O (p'; ~)

03) 0 - 1 0 (p'; ~r

Orlo, P O r p ' p

+ 3i a ~

o,---~-0 % - -

au~-a

Or~,~ O~r, ~

+3i

Or~, e Or~,p O~ 0r

0%,

+ ~

O~I/(~,;~)

0~-1 ii (~,;~)lda '

5.,---~

~

so da] auf Grund yon (39), (40), (41) und (42) und dem Randverhalten des Potentials der Doppelsehieht bei Ann~iherung yon P an S

[

O' ~,* (P.; ,)J 0 "~

o'F (,: ,) S -~"

0 ut

-F ~-~1I I {K,:.(p, pI; .) O'F(P';') [ + i OKee(P'";~) O.

o,,-1

~-

(8)

~- i OK~(p,p'; ~) 0i-10(p'; x) Ox i Ox Oxi-1 ~0 (p,p'; x) oi-i } 0~H (p'; x~ + i K~ H ( p ' ; x ) da + Ke~(p,p'; x) Ox 0~i-1

--F Ke.7(p.p'; x) 0~o(P'; u)

~

. {K~(p.p'; x) F(p';x)

0if(P; - - ")o +, 2-~ ~ o.i (s)

diDCm)(~)

§ K~,(p, p'; x)G (p'; x) + Kt; (p, p'; ~) H (p'; x)}da = - sein muB.

o (p)

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U = 0.

607

6. Nehmen wir nun an, dall der Wert Zo = - 1 (k = -- 1) eine (t + 1)fache Nullstelle yon D(~)(z) darstellt, so dall (84)

D(~)(~~

=

d D (=) (xo) a~ .....

dt D (=~ 0r d~t

=

d t + 1 D(m) (x~ d,tt+l ~

0,

ist und also (85) Dt=)(u) = ( r . - Uo)t+ld(u) mit d(.~o) ~= 0 gilt. Da alsdann (76), (77) und {78) Oe* (P; A u * ( P ; -- 1) O 0 * ( a~ P ; --1) - - 0 , Av*(P;-1) O0*(P;

A w * ( P ; - 1)

0r

~1)

--

1)

0

=0,

0'

und [U*]s = O,

[V*]s = O,

[w*]s = 0

ergeben, so behaupten wit, da~ in R u-(P;--1)-=-0,

v* (P; --1) _ 0, w* (P; --1) -----0

sein muB. Zum Beweise diesei Tatsaehe zeigen wir zun~iehst, dall die ersten partie]len Ableitungen yon u*, v*, w* bei AnniiJaelung des Punktes P an 8 existieren und stetig sind. Auf Grund des Hilfssatzes 2 von w 3 und desentsplechenden yon SCnAUD~.R bewiesenen Satzes fiber das Potential der Doppelsehicht (eine Bemerkung, die auch auf die weitelen yon w 3 benutzten Hilfssiitze zu iibertragenJst) geniigen die Funktionen E(p; -- 1), G(p; -- 1), H ( p ; -- 1) wegen (75) einer H-Bedingung mit dem Fl~ichenexponenten )t. Wit wollen almehlnen, was man ohne weiteres tun kann, dal~ kein Vielfaches von )L -- 1 ist. Dann folgt ebenfaUs aus (75) nach dem Hilfssatz 3 yon w 3, daI~ dieselben Funktionen fiir 2 2 < 1 einer H-Bedingung mit dem Exponenten 2 ) t u n d ffir 2 2 > 1 einer H-Bedingung mit dem Exponenten 1 genfigen. Im l~alle 2 2 < 1 fahre man so fort. Die betrachteten drei Funktionen genfigen also stets einer H-Bedingung mit dem Exponenten 1. Auf Grund der Hilfss~tze 4 und 5 yon w3 existieren dann auf S die Tangentia]ableitungen OF{p; --1) Ot

OG(p; --1) '

Ot

O H ( p ; --1) '

Ot

and erfiillen eine H-Bedingung mit dem Exponenten ~ + # -- 1 = e, wobei man ffir # eine beliebige Zahl mit 0 < / , < i wiihlea kama, fiir die 2 + / , > 1 ist. Naeh' dem Hilfssatz 6 desselben Paragraphen genfigen dann die drei Tangentialableitungen einer H-Bedingung mit dem Exponenten ~. Die Hilfssi~tze 9 und 10 zeigen sehlieBfieh, dab die ersten paItiellen Ableittmgen yon u*(P; -- !), v * ( P ; - 1), w*(P; -- 1) bei normaler Arm~herung an S gegen

608

K. SehrOder.

wotdbestimmte Grenzwerte konvergieren. Da diese Konvergenz gleichmii~ig ist, so erkennt man, daft die Ableitungen such in R + 8 stetig sind 4o). Nach Satz 1 gibt es dann eine biharmonische Fnn~ion U* derart, dal~ ~* ( P ; - - 1)

=

0 U* 0~'

v* ( P ; - - 1)

o U* 0~

=

w* ( P ; - - 1)

=

0 U* 0-q-

ist.

Verateht man nun unter S~ eiae dcr Fliichen, die im Abschnitt 2 dieses Pars%~rsphe- definiert wurde, so kann man auf ihr Inneres R~ eine GR~.Essche Formel in der Gestalt on

(Rn)

on

i da ,

(Sn}

anwenden. Bildet man hierin den l~mes fiir n --~ ~

so gehtS~ ~ U *.0 U* do~

gegen Null, da A U* beachr~nkt bleibt, w~hrend ~

gegen Null konvergiert.

' 0 U*

(,~n)"

On

Bei dem ersten Bestandtefl auf der rechten Seite beachte man aber, dal~ fiir Mle Pnnkte P auf S~, deren Abstand yon S mit h bezeictmet sei, [[U*]s.I < ~ Ch~ mit ]D~U* I < C in R + S sein muff, da U* ,nit seinen partieUen Ableitungen erster Ordnung auf S verschwindct, und die Ableitungen zweiter Ordnung in R + S beschr~inl~t sin& Beriicksichtigt man abet, da~ A U* einein R + S stetigeharmonische Funktion ist, so hat man nach einem Satz aus der Potentialtheorie 41) f'fir alle Punkte P von ~n:

On

.,s~

<3"2CT'

so daft schlielllich ~

da < -~ C2 Fn hn

(sn)

ist, wenn F , den Fl~cheninhalt yon S, und h~ den maximalen Abstand eines auf S~ gelegenen Punktes P~ yon S bedeuten. Da also auch dieser Bestandteil fiir n -~ ~ , d. h. h~ -+ 0 gegen NuU geht, so gilt in R + S AU*~O und da U* auf S verschwindet, so muff in R + S U*-~ 0 s0) ~iir den Beweis dieser Tatsache sei auf 1K. SULLIVAN, On the derivatives of Newtonian and logarithmic potentials near the acting masses. Transactions of the Am. math. soc. 34 (1932), S. 137--171, insbes. S. 146--147, verwiesen. 4l) Vgl. O. D. KELLOG, 1. c., Anm. 87), insbes. S. 227.

Randwertaufgaben

der Dillerentialgleichung

A A U = 0.

609

und damit auch, wie behauptet, u*(P;-1)~O,

v* (P; --1) ---D, w * ( P ; -

1)~0

~eJ.n. Aus (81) folgt n u n fiir i = 1 wegen 0 ~ ( P ; -- 1) ~- 0

A -~+k

= O, A ~O~ + k 07 O_ A--o~-x +

0r

=0,

=0

wiihrend nach (82) and (84) [o~* 1 = -O-~-Js O,

[o,* 1 = t-gT.Js O,

fo~*] t a ~ Js = 0

ist. Mit derselben Methode, m i t der eben das Verschwinden yon u*, v*, w* bewiesen wurde, li~/lt sich darm zeigen, daft in R Ou* (P;0~ ~ 1 ) __ 0,

Ov* (P;0~e--1) ~ 0,

Ow*(P;o~ ~ 1 ) :

0

sein mull. Es ist dazu n u t nachzuweisen, daft die partiellen Ableitungen der Funktionen O u * ( P ; --1) Ov*(P; --I) Ow* (P; --1) 0u ' 0~ ' 0~ nach ~, ~/, ~ in R + S stetige F u n k t i o n e n sind, was ohne weiteres gelingt, wenn m a n beachtet, da/l m a n neben (83) und entsprechenden Gleichungen fiir Oiv* (P;~) und O~w* (P;u) fiir 01F (~;~) die Funktionalrelation

0 ui

0 ui

0 ui

0%,

/

Og

+

(8) ' i

O\7,,p .g/-lo(p.;~. )

Or,,, r +3/

+.$i

a~

1

O,~

O r , , , Or,, , 05 Or

0%,

Onp,

ax~_ 1

Oqr,,~ Or,,, _ _ ~ +3u

0 ~- t H (p';~) O~i_ 1

0~

}

0C

On v,

OiH(v';,j "~ Ou ~

~i/~,~) (u)

dO --

d~

e(P)

and entsprechende Relationen fiir 0iO (p;x) und Oilt(p;~) hat. In dieser Weise e r k e n n t m a n der Reihe nach fiir i = 0, 1, 2 . . . . . Oiu * (P; -- 1) _ O, egxi --

0 i v* ( P ; - - 1)- = O, au~_ ~

--

t, daft in R

0i w* (P; --1) Ou i ~ 0

610

K. SehrOter.

gilt. Daher kann geschrieben werden u*(P; z) = (z -~ 1)t+lu'(P; ~), v*(P; z) = (Y. q- 1)t+lv'(P; z), w*(P; ~) = (u + 1)'+lw'(P; z). Hierbei besitzen die Funl~tionen u', v', w' dieselben Differenzierbarkeitseigenschaften wie die Furrktionen u*, v*, w* und geniigen naeh (77), (78) und (85) den Gleiehungen A u ' + k y f f0~' =O, A v' + k T ~0~' ,j =0, A w' + k ~ -0~' ~=0,

~,

Ou" -

[u']s = dC~-)~,

Ov'

o~ + - ~ , ~ - b

[r

=- d(~)~,

Daher steUen die Funktionen u ( P ; -- l) = u * ( P ; - - 1 ) (87) Dtm}(-- 1) '

Ow'

o~,

[w']s = d(~)~.

v*(P; --1) V (P; - - 1) -- D(m) (__ 1) '

w(P; -- 1) = w * ( P ; - - 1 ) D (~) (-- 1) stets bei beliebigen stetigen Randfunktionen 5, a, ~ eine LSsung yon (62), (63) dar, ganz gleich, ob D (~) (-- 1) ungleich Null ist oder verschwindet. Damit ist also Satz 2 bewiesen. 7. Als u fiir den Beweis des im Abschnitt 1 dieses Paragraphen genannten Satzes 3, des ebendort erwi~hnten Eindeutigkeitssatzes, sowie einiger weiterer Siitze bediirfen wit einiger Hilfssi~tze, yon denen wit zuniichst den folgenden beweisen: Oeniigen in gem Integralgleichungssyston (75) mit D (~) (• =~ 0 die Funktio~en @(p), a.(p), ~(p) einer H-Bedingun 9 mit dem E xponenten iz, so er/i~llen auch d~e L6sungs/unktionen F (p; z), G(p; u), H (p;z) eine H-Bedingung mit dem Exponenten t~. Beweis42). Wir nehmen zun~tchst an, dab kein Vieffaches yon ~t gleich 1 ist. Da nach (75) die LSsungsfunktionen stetig shad, so geniigen die in diesen Gleichungen auftretenden Integrale nach Hiffssatz 2 yon w 3 einer H-Bedingung mit dam Exponenten 2, so dab wiederum nach (75) die LSsungsfunktionen eine H-Bedingung mit dem Exponenten Min (2, #) effiillen. Fiir # ~ Z ist also der Hilfssatz bewiesen. Ist aber # > 2, so geniigen die LSsungsfunktionen zun~ehst einer H-Bedingung mit dem Exponenten 2 und demgemi~B die Integrale in (75) rtaeh Hilfssatz 3 yon w 3 einer H-Bedingung mit dem Exponenten 22, falls 2 2 < 1 1, falls 2 2 > 1 ist (der Fall 2 2 = 1 ist ja ausgeschlossen worden). 42) Er verl~uft wSrtlich Kenau, wie der Beweis des entsprechenden Satzes in der Potentialtheorie bei J. SCHA~DER, 1. c., Anm. 14).

Randwertaufgaben der Differentialgleichu ng A A U = 0.

611

Fiir 2 ~ > 1 folgt also aus (75), dab die LSsungsfunktionen einer H-Bedingung mit dem Exponenten/x geniigen. Im Falle 2 2 < 1 ist die Behauptung ebenso fiir/z < 2 2 erwiesen. Ist a b e r / t > 2 2, so gehe man entsprechend einen Sehritt weiter. Man mull nach mindestens n Schritten zum Ziele kommen, wenn n e i n e ganze Zahl bezeiehnet, fiir die n . 2 > 1 ist. 8. Aus dem eben bewiesenen ttilfssatz ergibt sich unmittelbar der folgende H i l f s s a t z : Geniioen die Rand/unktionen ~(p), a(p), z(p) einer H-Bedinguny ~wit dem Exponenten i~, und ist D(m)(• =~ 0, so er]iillen die gem~fl (75) und (76)

dazugehSriqen LSsungstunktionen u (P; u)

u* (P;~) D (~) (u)

- - - - ,

v(P;~)=

v* (P; x) D(m} (~) '

w(P;~)=

w* (P;~)

D(m) (x)

yon (69), (70) in R + S eine H-Bedinyung mit demselben Exponenten #. Beweis. Auf Grand des eben bewiesenen Hilfssatzes geniigen nfiJnfich die dutch (75) gegebenen Belegungsf~mlctionen _F(p; y.), G (p; •), H (p;u) einer H-Bedingung mit dem Exponenten /~. Dann folgt abet unmittelbar nach Hilfssatz 11 yon w 3, da~ die durch (76) gegebenen Funktionen u * ( P ; z ) , v*(P; u), w*(P; z) und damit auch die Funktionen u(P; z), v(P; z), w(P; ~.) in R + S e i n e H-Bedingung mit dem Exponenten/~ erfiillen. 9. Welter woUen wit den H i l f s s a t z beweisen: Geniigen die Rand/unktionen

~(p), a(p), ~(p) einer H-Bedingu~g mit dem J~xponenten /~, so er/iillen die dutch (87) gegebenen L6sungs]unktionen u ( P ; -- 1) -- u*CP; --1) D( ~ ) ( - 1 ) ' w (P;

-

v(P;--1)

v*(P; ~ l ) = D(m)(_l) '

w* (P; --1) 1) -- D(~) (-- 1)

yon (62), (63) in R -~ S ei~e H-Bedingung mit gem Exponenten /~. Beweis. Fiir D (~) (-- 1) =~ 0 liegt nur der eben bewiesene Hilfssatz fiir u : -- 1 vor. Sei also D ''~) (-- 1) gleich Null. Bezeichnet P einen bellebigen Punkt yon R, so ist u ( P ; z ) = u*(P;~) D(m)(u) in einer gewissen in der komplexen z-Ebene gelegenen Umgebung yon y. = -- 1 analytisch. Als eine solche Umgebung kann gleichm~i~ig fiir alle P aug R die Kreisscheibe

I~. + li < r gew~ihlt werden, bei der r die Entfernung der n~chsten an z = -- I gelegenen komplexwertigen Nul]stelle yon D ~)(~.) ist. Sind P1 und P~ zwei beliebige Punkte aus R, so besitzt die Funktion u12(~) : u(Pl; z) - u(P2; z)

612

K. Sehr~ler.

dieselbe Regularit~tseigenschaft.

In der Kreisscheibe

der komplexen z-Ebene ist alsdann die Funktion u12(u) reguliir analytisch und D(m)(u) verschwindet nut bei u = -- 1. Es liiBt sich also f'dr u12(-- 1) nach der CAUCHYSChen Integralformel U12 ( - - 1) -----

2"-~1.~ u~___w_Td ~ (~) g

schreiben, wobei das Integral iiber den Kreis Ir. -~ 11 = Q der ~-Ebene erstreckt wird. Versteht man unter M das Maximmn yon ]ul 2 (u)] auf diesem Kreise, so gilt also die Absch~tzung 1 1 lU12(-- 1)] ----- lU (P1; -- 1) -- u ( P ~ ; - - 1)1 < ~ 2 n 0 - - M ----- M . ----e Delmt man m_mmehr die t~berlegungen, die zum Hilfasatz 8 gef'dhrt haben, auf die komplexen ~-Werte mit [z + 11 = e aus, f'~ die ja D (') (~.) t 0 ist, so mal~ Max {iu(P1; z) -- u(P2; Y')I} < K B ~ , , p,

(l~. + 11 = e) sein. Die Konstante 2~ ist hierbei zugleich mit @ yon der Lage dez Punkte P1, P= unabhiiaagig. Aus dem Ietzten Ergebnis folgt dann abet, ~vie behauptet, ]u(Pa; -- 1) -- u(P2; -- 1)1 5 KB~p, p,. 10. Welter gilt folgender H i l f s s a t z . Besitzen in dem lnteqralqle~chU~lSsystem (75) mit D(')(r.) ~ 0 die Funktionen e(P), a(p), ~(p) Tanyential-

ableitungen, die einer H-Bedingu~q mit dem gx~onenten i~ <=2 genii#en, so besitzen die eindeutig bestimmten L6sungs/unktionen F (p; y.), G (p; z), H (p; ~.) Tangentialableitungen, die der gleiehen H-.Bedingun 9 yenii4len. Beweis4a). Da ~, a, z Tangentialableitungen besitzen, so effiillen sie eine H-Bedingung mit einem beliebigen Exponenten/to < 1. Nach dem I-Iilfssatz 7 'dieses Paragraphen geniigen dann aueh wegen (75) die Funktionen F (P; z), G (p; ~), H (p; z) ebenfaUs einer H-Bedingung re_it dem Exponenten/~0. Man wiihle/~o so grolt, dab/~0 q- 2 > 1 is~. Igach Hiffssatz 4 und 5 yon w 3 existieren dann die Tangentialableitungen der in (75) vorkommenden Integrale und geniigen einer H-Bedingung mit dem Exponenten ~ + / x o -- 1. Aus (75) folgt dann abet wieder, daft die Tangentialableitungen yon F(p; u), G(p; Y.), H(p; ~.) einer H-Bedingung mit dem Exponenten E = Min (/u, 2 q- P0 -- 1) geniigen. Nach dem Hilfssatz 6 yon w 3 effiiUen dann abet die Tangential~) Er verliiuft wSrtlich genau wie der Beweis des ent~prechenden Satzes in der Potentialtheorie bei J. SCHAUD~B, I. c., Anm. a4).

Randwertaufgsben der Differentislgleiehung A A U ----0.

613

ableitungen der Integrale in (75) eine H-Bedin~mg mit dem Exponenten ~t. Dsmit folgt dann schlieillich aus (75), dal~ F(p; ~), G(p; z), H(p; ~t) Tangentialab[eitungen besitzen, die einer H-Bedingung mit dem Exponenten p = Min (p, ~) geniigen. 11. Mit dem eben erhaltenen Ergebnis k6nnen wit atsdanu den im ersten Abschnitt dieses Paragrsphen angegebenen Satz 3 beweisen, nach dem die dutch (87) gegebenen L6sungsfunktionen u(P;--

1) =

u* (P; - - 1 ) D(.)(_I) ' w(P;--1)

v(P,--

1) =

v* (P; --1) D(,, ) ( _ 1) '

= to*(P;--1)

D'=) (-- 1) yon (62), (63) in R + S stetige partieUe Ableitungen erster Ordnung haben, falls die Randflmktionen 0(P), a(p), T(p) partielle Ableitungen erster Orclnung besitzen, die einer gleichmii~igen H-Bedingung geniigen. Da n~mlich alsdann die Randfunktionen nach der Bemerkung am Ende yon w 1 auch Tangentialableitungen besitzen, die einer gleichm~i~igen H-Bedingung geniigen, so ist dieser Satz fiir D ('n) (-- 1) ~= 0 eine uumittelbare Folge des Hilfssatzes 10 dieses Paragraphen und der Hilfsstitze 9 und 10 yon w3. Schreibt man aber im Falle D (~) (-- 1) = 0 ~hnllch wie im Abschnitt 9 dieses Paragraphen, u(P;--1)= 1 ~u(P;~). wobei das Integral tiber einen yon P unabhii~gigen Kreis in der komple~en z-Ebene, auf dem D (~) (u) ~ 0 ist, erstreckt wird [mad entsprechend fiir v(P; -- 1), w(P; -- 1)], so erkennt man auf Gnmd derselben Hiffssiitze, da~ auch in diesem Fall die ersten partiellen Ableitnngen der angegebenen L6sungsfunktionen in R + S stetig sind. 12. Wit sind nunmehr in der Lage, den bereits im ersten Xbschnitt angekiindigten Eindeutigkeitssatz unter folgenden a]lgemeinen Voraussetzungen zu beweisen: Satz 4. Werden die Funktionen O(P), a(p), ~(p) au/ ~ lediglich als stdiq vorausgesetzt, so kann es (bis aut eine additive Konstante) h6chsten8 eine in R biharmonlsche Funktion U geben, deren partielle Ableitungen erster Ordnunq in R + ~ stetig sind u~d bei Annaheru~y an 8 bzto. gegen die Fun~ionen 9, a, T lwnver94~ren. B eweis. Sei U eine be]iebige derartige bi~azmonische F~mktion. Ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung besitzen auf den im Abschnitt 2 dieses Paragraphen konstruierten Flttchen 8, stetig vafiierende Randf~mktionen Qr ~,), rr die att6erdem sicherlich Tangentialableitungen aufweisen, die einer H-Bedingung mit einem beliebigen Exponenten p < 1 gentigen. Mathemaflsehe Zeltsehrlft. 48.

40

614

K. Schr6der.

Zu diesen RandS~nlrtionen konatruiere man nun die zu (87) analogen Fnnktionen u(,~)(P;-

1)

--

~,,) ( . P ; - 1 ) ~)~ ( - 1)

,

V(n ) (P; - - 1) -- v~n) (P; - - 1)

n'~') ~(n) (- 1) '

(88)

w(.) ( P ; -

1) -- w ~ ) ( P ; - - 1 ) D(m) (.~ (-- 1)

die nach den Aussagen von Satz 1 bib 3 die LSsung der biharmonischen Randwertaufgabe fiir / ~ q-Sn darste]len. Da nach Satz 3 die ersten partiellen Ableitungen dieser Funktionen in R~ q- S~ als stetige Funktionen existieren, so folgt aus ~berlegungen, wie sie im Absctmitt 6 dieses Paragraphen angestellt warden, dal3 in R~ 00 ~U = u ( ~ (P: -- 1),

007ff = v ( ~ ) ( P ; - -

1),

OU OC = w(~) (P; - - 1 )

,

sein mull Beachtet man nun, dal~ sich fiir die die FREDnOT.Mschen Determinanten darstellenden unendlichen Reihen bei Benutzung des HADAUARDsehen Determinantensatzes konvergente yon n unabhKngige Majoranten angeben lassen, so bestehen s ,t --~ oo die folgenden Limesrelationen lira DI~)) (u) = D (m) (u), lim F(.) (P; u) = F (P; ~),

lira G(~) (P; u) = G (P; u).

lim H(,,) (P; u) = H (P; u), ~ -.--~ oo

Ist nun D (~) (-- 1) ~= 0, so ist yon einem gewissen ~ ab auch D ~ ) ( - - 1) ~ 0, und es ergibt sieh (89)

lira u(~)(P; -- 1) = u * ( P ; - - 1 ) lira v(.) (P; - 1) = v*(P; - - 1 ) , ~-->~ D(~) ( - 1) ' , , - - ~ D (m) (-- 1) lira w(.) (P; -- 1) = w* (P; - - 1) n--->~r D (m) (-- 1)

Im Falle D (m)(-- 1) = 0 gehe man yon dem Satz aus, da~ die Folge D(..)(~)(u)" in jedem ganz Jan ]~ndhehen gelegenen Gebiet der komplexen u-Ebene gleiehm~i~ig gegen D("')(u) konvergiert. Es ist n~ianlich D(,~) (~) (u) - als FR~DHOL/~sehe Determinante eine unendliehe Reihe der Gestalt ,.., d n q (~)

~=1

deren E l e m e n t e bei Benu~zung sich in der F o r m

( , = 1, 2,

""

.),

des HADA~A~DSehen D e t e r m i n a n t e n s a t z e s

Ranawertaufgaben der Differentialgleichung zJ A U = 0.

615

absch~tzen lassen, wobei cr yon n und dem in dem endlichen Gebiet der ~-Ebene gelegenen x unabh~ngig ist, und die Reihe Z c^ konvergiert. W i h l t ~1

~"

man alsdann bei vorgegebenem e > 0 eine natfirliehe Zahl ~i und die natiirliche Zahl ~ so groll, dall

2

1.

er

~O=nl+l

ist, womit also ~i fes~gelegt wird, mid dall nl

o=1

mit d e (x) =

lira

giL$' so gewinnt man die Absehiitzung

D(~,) <

D(m)

.r~(m,)

.'.-'o,~(x) -

~1

~1

,o ~ n 1 + 1

o~

co

2

E

~1

i

Q=I

@--~ nl-l- 1

~1

r +

Z

I d.,, (x)

-

d~(~) I <

'~,

die die Behauptung beweist. Ist clann auf der Berandung eines in der ~-Ebene gelegenen Kreises um den Pnnkt ~ = -- 1 durchweg D('')(x) =4=O, so gilt das wegen der G|eichm~iJ~igkeit der Konvergenz auch yon einem gewissen n ab fiir die Fnnlctionen D~X~) (u). Schreibr man also mit einem fiber einen solchen greis erstreckten Integral i A~"("~ (P;-~') ,~(.)(P;-1)=~y ,,+l d

und entsprechende Ausdriiclre fiir v~(B; -- 1), w , ( P ; -- 1), so erkennt man, dab die Limesrelationen (89) auch im Falle D(~)( - 1) ~ 0 gelten. Damit ist also gezeigt, dall jede L6sung die Gestalt (87) haben mldl, so dab es hSchstens eine L6sung geben kann. 13. Mit Hilfe des eben bewiesenen Eindeutigkeitssatzes k6nnen wit nunmehr folgenden Satz aussprechen, der fiir eine anschlieBende, bereits in der Einleitung erw~hnte Arbeit des Veffassers yon Wichtigkeit sein wird. S a t z 5. lqehmen div ersten FartieU6~ Able~unge,t der in R biharmonisdten iVunktian U bei An~herustg a~t S die Rand/unktionen ~(p), a(p), v(p) an, die 40*

616

K. Sehr6der.

einer H-Bed~unfl mit don ExFonent~n p ge,qiig~n, so erfiillen aech die Fartie$b~ Ableitungen OU

OU

OU

in R + S e i ~ H-Bedingut, 9 mit dem Exyonenten p.

Der Beweis folgt unmittelbar aus Satz 4 und dem in Abschnitt 9 bewiesenen Hilfssatz. 14. Unter einem reguliixen Oberfiitchenelement E verstehe man bei Zugrundelegung einea rechtwinklig kaxtesischen Bezngssystcms eine rt~umliche Punktmenge yon p~mkten (x, y, z), fiir deren z-Koordinate bei geeigneter Orientiernng der Koordinatenachsen

gilt, wobei ~(x, y) eindeutig ist und stetige partieUe Ableitungen erster Ordnung in einem ebenen Gebiet G der x, y-Ebene besitzt, das yon einer endlichen Anzahl yon aneinander schlieBenden, dutch eine einmal stetig differenzierbare Parameterdarstellung gegebenen doppelpunktfreien Kuxvenbogen begrenzt wird. Unter Benutzung dieser Definition beschlie~en wit diesen Paragraphen mit dem folgenden Satz 6. R sei ein besehr~inktes, o//enes Kontinuum, dessen Berandung S ein regul~tres Oberfl~chenelemettt E mit den /olgenden Eiqenschaften enthalte: (a) Der WinkeI, den zwei ~armalen yon E miteinander einschliefen, sei stets kleiner als 60 ~ (b } In einem Koordinatensystem, dessen Achsen in einem beliebigen Punkte p yon E tangential bzw. no~mal zu E seien, lasse sich E, dutch eine Funktion z = ~ (x, y)

darstellen, die eindeutiy ist und stet~qe partieUe Ableitungen zweiter Ordntmg hinsiehtlieh z u ~ y besitzt, die einer in p gleichm~ifigen H-Bedinyun q (Exponent ~t) genibyen.

(c) Zu jedem reful~ren Oberfl~henelement E', das im Inne'rn yon E enthalten ist, gebe es eine positive Zahl ax dera~t, daft eine K w e l mit dem Radius al um iryendeinen Punkt yon E,' yon S nut Punkte enthdh, die gleiehzeitiq E angehSren (diese Voraussetzung soU mehr/aehe Rand~unkte ausschlieflen). Die Funktion U (~, 7, ~) sei in R eitutaaig und biha~monisch, in R Jr S sei sie mit ihren ersten partieUen Ableitunyen stetig, toobei die letzteren bei Anndherung an S gegen Rand/unldionen e (r ), a (p ), 9 (p ) konvergieren, die auf E einer gleichmaf igen H-Bedingu~ q (Exponent p) geniigen.

Rsndwert~ufgsben der Differentialgleichung A A U ~ 0.

617

Es wird dann behauptet, daft es ein Gebiet R' gibt, welches aUe Punlcte yon R in einer g e ~ s e n Nadibarscha/t yon B' e~sth~, so dap in R' + g ' &e F u n l ~ i o ~ o~'~ U , #~ U , a~U einer gleic~r~igen H-Bedinge~ mit dem Exponenten g en ~ en .

Dem Beweise dieses Sstzes sehieken wit zuniiehst einen H i l f s s a t z vorau8.

15. Es fibt ein reftubares O b e r l l a e ~ t E", dos fanz in E entt~en ist, und das E' in seinem Innem enth4~t, yon der Eigensehaft, dap es dur~ ein g a ~ in R liegendes FlOr~henstack zu einer ein/achen gesehlosscnen Fl~he erg~nzt werden trann, die durch~oeg den in w 1 genannten Vorae,ssetzungen genfiftt. Beweis. Die Einheitsvektoren des z, y, z-Systems in einem Punkte p yon B seien mit ex, e2, ea bezeichnet. Man w~hle eine einfache gescldossene, im Innern yon ~, aber im .~uBeren yon E' gelegene Kurve (7, die etwa dutch den auf p bezogenen Ortsvektor in der Form =

(s) =

ex + y(s) e, + z(s) e3

(0 < s -< So)

gegeben sei, wobei angenommen werden soil, daft die drei Funktionen z(s), y(s), z(s) zwehnal stetig nach s differenzierbar sind, und die zweiten Ableitungen aul~erdem einer in s gleictmait~igen H-Bedingung mit dem Exponenten genfigen. Solche Kurven gibt es sicherlich auf E44). Das yon C begrenzte reguliire Oberfliichenelement heille E". Zu E" konstruiere man nun das Psrallelfl~chenstfick En' im Abstand k, das dutch 0_~ Ox z~ ~- 9 + h cos (n, z) ---- x - r h, Yh = Y + h cos (n, y) = y ~ 0o,# h, zh = z + n c o s ( n , z )

=

=

1 + ~0 x I + ~b--~l !

z+--~-I h

gegeben ist, wenn der Punkt (z, y, z) auf E" liegt. Wit nehmen h so klein (/, wird im folgenden noch welter eingeschriinkt werden), dal~ sieh die Normalenstficke zwischen E '~ + C und ~ + CA nicht schneiden, und da~ E n ganz in R liegt, was bei Beachtung der Voraussetzung (c) fiber E stets m6glich ist. Wegen der Voraussetzungen fiber ~ besitzt En, wenn es als Teilstfick yon gew~hlt wird, offenbar die verlangten Eigenschaften. Die beiden Fliichenstficke ~ " und ~ ergiinze man nun in folgender Weise zu einer geschlossenen l~Itiche. In einem beliebigen Punkte yon C, dem etwa u) VgL hierzu O. D. KI~LLOO, 1. c., Anm. ~), insbes. S. 318--319.

K. Schr6der.

618

der Parameter s entspreche, und der kurz als der Punkt s auf C bezeichnet werde, wiihle man das dutch die Einheitsvektoren el(s), e2(s), es(s) charakterisierte Tangential-Normalkoordinatensystem (die diesbeziigJichen Koordinaten seien mit ~), ~*~), ~c~ bezeichnet), bei dem e3(s) mit dem Fl~tchennormalenvektor u(s) (lu(s)] = 1) und e2(s) mit dem Tangentenvektor t(s) (I t (s) l = 1) an C identisch sind. Den Punkt s auf C und den auf der F l ~ h e m normalen in s gelegenen Punkt mit den Koordinater .~c,~= O, ~7C') = O, ~') = h verbinde man dutch den in der yon el(s) und es(s) aufgespannten Ebene ge, legenen Kurvenbogen C ~), der die Parameterdarstellung (90)

~ (~) = "c -~ cos ~- ,

(~) -- T

sm ~- § 1 ,

~ h <: ~ ~_ -~ h

besitzt, wobei ~ eine positive Zahl sei, iiber die noch veffiigt wird. Die Fl'ache, die aus allen C (a~ (0 ~ s ~ So) besteht, werde mit F~ ~ bezeichnet. Wit behaupten, dal~ bei hinreichend kleinem h und ~ die Fl~iche E ' ~- Fh, ~-~ E~" einfach geschlossen ist und den in w 1 genannten Voraussetzungen gentigt, wobei -~h, 9 ~- E~' abgesehen yon der Randkurve C ganz in R liegt. Es ist dazu nut noch zu zeigen, daft Fh, ~ bei hinreichend kleinem h und einfach ist, den in w 1 genannten Voraussetzungen geniigt und abgesehen yon G ganz in R liegt. F~ ~ ist in Vektoren dutch die Parameterdarstellung = t(s, ~) --- ~r(s, ~) ex + y(s, ~) r + z(s, ~) e3 = ,.(s) + r ex(s) + ~')(,~) e3(s) = z(s) e~ + y(s) r + z(s) e3 +

(91)

+ r

e~(s) + ~*~(,x) e3(s)

oder in Koordinaten durch (92)

= ~(s, ~) : ~i8) + ~'~(~) co~ (e~(s), e~) + ~'~(~) co~ (e3(8), e~), y(S) -}- ~(*)(~)COS(el(S), r -~- ~(*)(~)COS(e3(S), e2),

y -- y(s, 0r :

= ~ (~, ~) = ~ is) + r

cos (e~ is), e~) + r

CO~ (e~(s), e~)

gegeben. Beachtet man nun, dai] e~(s) = t(s) x .(s), = .is), t(s) = ~'(s) = ~'(s)ex + y'(s)e~ + z'(s)es

e~(s)

und s

el -

e2 + ~

1

e3

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U ~ 0.

619

Jet, SO kann fiir (91) und (92) bei Beachtung yon (90) ausfiihrHcher

h

h (sin(~) + 1 ) . +

und z =

~(s,e)

----- z(s) +

'+Tr

~cos

y = y (s, ~) = ~ (s) - ~ 2 cos

.[~],o~o

(~-)

o,

-

,

_

/~ (sm
t

=~

<~. ~ :

o+

+,~oos,~,

~=

z' (s),

~<~---~1_[~~o=,.1, +$

y' (s)

- [ ~ ]o~ . 1

8 9

+ 1

gesehrieben werden. Man sieht, da$ die drei lennlrtionen x,(s, e), y(s, ~), z(s, ~) als ~'maktionen yon s trod a einmal stetig differenzierbar sind und die partiellen Ableitnngen einer in s (0 < s =< So) und • -- ~-/t ~ ot < =~/~ gleichmiilligen H-Bedingung mit dem Exponenten 2 geniigen. Die Fliiche Fh,, lii~t sich dann fiir jedes in einem Punkte (s, a) gelegene Tangential-Normalkoordinatensystem x, y, z im KMnen dutch eine l%n~ion z = ~ (x, y) mit den gewiinschten Eigenschaften eindeutig darstellen, wenn gezeigt werden kann, daft die Vektoren ~_~und ~ stets linear unabhrmgig sin& Nun ist o= 0-7 = t(s) + ~ e, o s 0__~0~=

- - (~2+sin)

(+)d

' ( s i n ( + ) + 1) e n~ (s) , (t(s) X ,(s)) + -~

~ cos (+) n (s). t (s) x n (s) + -ff

Fiir keinen Parameterwert s m i t 0 < s < so und a mit

ist der gektor 00~zefiir ~ > 0 gleich dem Nullvektor. Die gektoren g~ mad sind sodann sicher linear unabhii~gig, wenn h so klein gew~hlt wird, dall

620

K. Solu'~r.

erstens ~-~ = (0 _~ s < _ So) nicht gleich dem Nullvektor ist -- das ist ja wegen + 2eos(~-)4 (t(s) X .(s))+ ~1-j-S-- I stets mSglich -- und da~ zweitens I ~-~ ax -- t(s) I so kleinist, da~ ez (0 ~ s ~ So)

~l>

1--h

~ s

_

_

der yon n(s) und t(s) • n(s) attfgespannten Ebene angehSrt. Wire] die Bogenl~nge auf den Kurven ~ ~- konst, mit s= und die Bogenl~age auf den Kurven s = konst, mit r bezeichnet, wobei also niemals

4" und

V(

'

h (sin (T) + 1) dn (')~2

4~'=~- ~- ~z' sin' (~1 + cos' (~) gilt, so zeigt sieh welter, daft die ersten partiellen Ableit,ngen Ox (s, =) a s=

'

az(s,=) die jeweils flit = = konst, bzw. s ~ konst, zu bi[den sind, bei Ann~herung des Ptmktes ( s , = ) a n einen Punkt ( s , - - ~ - h) bzw. (s, ~ h ) der Randkm~e C yon E " bzw. der Randkurve 0h yon R~' gegen die entsprechenden Werte der Ableitungen konvergieren, die sich bei Ann~herung an dieselben Randp~mkte anf E" bzw. E~' ergeben. Da~u beachte man, dab n(s) auch Nonnalvektor yon E~' ist, und daft

[8~ ds]

[oz 1

t(t)+h

d n (s)

ds

r a, d,, l

- =[~-,~ = t ( s ) x n ( s ) , OOs-la=-~ h ~rt d o ~ J a ~ - $ h [o~j =r~ 1 . =-t(.lx.(.)

ist. Welter werde gezeigt, da~ sich dieaes Fl~chenstiick, wenn nut h und klein genug gew~hIt werden, nicht selbst iiberschneiden kann. Zmn Beweise gehen wit yon der Bemerkung aus, dal~ die durch z = z(s, n, ~) - - z(s) + n .

(s) + 9 t (s) x n (s)

gegebene, einmal stetig nach s, ~, r partielI di_fferenzierbare, dreiparsmetrJge Vektorm~nnigfaltigkeit im kleinen eineindeutig auf dis Parameter s, ~, r

Randwertaufgaben der Differentialgleichung zl A U = 0.

621

bezogen ist, da die Kolonnen der-Funktionalmatrix aus den Komponenten der Vektoren

t(s) + ndn ~ (s) + ,"~ (t (s) x . ( s ) ) , . (s), t (s) x . (s) bestehen und diese Vektoren bei hinreichend kleinem h mad ro fiir alle s, n, r mit 0 ~ s ~ So, 0 -< n ~ h, 0 <: r ~ ro linear unabhiingig sin& Wit denken mas h, das den bereits genannten Einsehffmkmagen geniigt, und ro so gewKhlt, daft die letztere Voraussetzung zutrifft. Wit betrachten dann nur solche h T-Werte, flit die T ~ =< roist. Wiirde nun fiir die Folgen h, --> 0, % --> 0 (v ~ 1, 2 , . . . ) stets eine Oberschneidung der Fliic,he eintreten, so wiirde es auf C zwei Punktfolgen p(l) und/~2~ (u = 1, 2 , . . . ) mit den zugehSrigen Parametern ~,^(1)und s~2) so geben, dal3 die Kurvenbogen O ('~'1)) und O ('~)) stets einen Sehnittpunkt haben. Die Folge p(1) muB mindestens einen Hiiufungspunkt haben, den wit etwa p:l) nennen. Ebenso mu~ es fiir die Folge /X2:, mindestens einen H~iufungspunkt /~2) geben. Wegen h~ --> 0, % -~ 0 mu~ p(1) __ p(2) sein. Da die Kurve C nach Voraussetzung einfach ist, gilt fiir die zugehSrigen Parameterwerte s (1) ~ s(2). Es gibt nun Teilfolgen p(l~ mad P~) /s(1)~ (s (2)) yon p~l) bzw. /~,2), die gegen p(1) konvergieren derart, dab O" z, " mad O r ' jeweils einen Schnittpunkt haben. Dazu miiflte es aber Parameterwerte s~ ), s (2), n~. ), n (2), r~,. ) und r ~2) mit 7 ~T i" v

s ( ' ~ s (',

s (~)--s (~), n~ )-~0,

n~ ) ~ 0 ,

r

r( ~ 0

geben, f~r die ;-

(s=, + ~ t ~ , • .(s~))

-~. (o~-j + ~- t (s~,) x ist. Das widersprieht aber der einleitenden Bemerkung iiber die dreiparametrige Vektormannigfaltigkeit

I = ~(s, n, O. SchlieBlich werde gezeigt, dab Yn. ,, abgesehen yon der Randkmve C, ganz in R liegt. Zun~chst gibt es nach der Voraussetzung (c) iiber 2~ zu E " eine positive Zahl b, so dab eine Kugel mit dem Radius b u m irgendeinen Punkt yon E " yon S nur Punlrte enthiilt, die gleichzeitig E angehiiren. Bezeiehnet man nun mit o die Entfernung des Randes der Projektion yon ~ " auf die Tangentialebene in einem Punkte yon C yore Rande der Projektion yon E, so muff b offenbar kleiner als ~ sein, derm sonst giibe es sieher eine Kugel yore Radius b u m einen Punkt yon E", die Punkte yon ~q enthielte, die niehr zu E gehSren.

622

K. SehrOier.

Bezeichnet nun a2 die nntere Grenze der Kriimmungsradien aller NoImalschnitte yon • -- auf Orund der Voraussetzungen fiber E ist a2 > 0 --, so unterliege ~ auBer den frfiheren Forderungen der Einschr~kung, dal~ (93)

h < Min (b, as)

ist. Welter w~hle man ~ abgesehen yon d~n fziiheren Forderungen so, dal~ 0 < 9 < 1

(94)

gilt. Wegen (93) und (94) geh6rt daun jeder erzeugende Bogen U(') yon Fn,, ganz der Kugel vom Radius b u m den Punlrt s yon U an. In dieser Kugel kommen nach Voraussetzung yon S nut Punkte vor, die such • angehiiren. Netunen wit nun an, dal~ , v 9 abgesehen yon U nicht ganz in R liegt, so mfil~te die Punktmenge •n, 9 -- U mit E Punkte gemeinsam haben. Dann gibt es aber einen Bogen U(sl, der mit E, abgesehen yon dem Punkte s auf U, noch einen weiteren Punkt gemeinsam hat. Schneidet die el (8), e3 (s)-Ebene E l~ings der Kurve E('), deren Gleichung laute, so miissen also C (~)und ~(~), abgeseben yon s, noch einen weiteren Punla gemeinsam haben. Versteht man nun unter K (8) den I-lalbkreisbogen ~:') (at) = -~ cos

,

-~

_

~(') (at) = -~ sin

+ 1 ,

yh,

so haben wegen der vorhin gemachten Bemerkung fiber b auch E ~") und K ('~, abgesehen yore Punkte s yon G, einen weiteren 1)unkt P -- (}~, ~(o")) gemeinsam. Versteht man nun unter fle~(~(~))bzw. flK (~)) die Winkel, die die Tangenten an E (') bzw. K ~) mit der positiven ~(~)-Achse bilden, so mul~ es in 0 =< ~(') ~_ ~ ) sicherlich ~(')-Werte gebe n, fiir die

#~ (~'~') > #~ ( ~ ) ist, fails nicbt dauernd (95)

#~ (r

= #~ (r

ist. Die untere Grenze dieser }(s)-Werte sei mit }~,') bezeichnet, so dal~ x(s~ ~ 0. grit. Ist abet in 0 g }(s) g }(o~) st~indig (95) effiiUt, so setze man ~a h Wird *nit K(1~) der Kreis yore Radius ~ bezeichnet, der E (~) im Punkte

~, = (~7), ~")(r berfihrt, so liegt die Kurve ~') fiir ~(*) > ~(,~),falls ~(') -- ~(**)hinreichend klein ist, entweder K(,~) an, oder sie durchsetzt diesen Kreis. Ist nun t die Bogen-

R a n d w e r $ a u f g a b e n d e r Differentialgleichtmg A A U = O.

623

lii~ge auf K(1*) and besitzt E(') in einem ~, ~-Koordinatensystem, daa in P1 die Tangential-Normallage hat, die Gleichung

(~),

= v

so sind die zu derselben Abszisse h

2t

= ~ sin -hgehSrenden

~-Ordinaten dutch , ( ~ sin (~s

~-

--

gegeben. Ftir alle hinreichend kleinen positiven t grit also

(,_

o.

Aus I d'~,(~ *) = ~ 1 d2~(~ d ~ *) It -- ~4t3 + ' ' ' ] 2 '

wobei }* ein geeigneter Zwischenwert ist, mid aus y

1 -- cos

, ~

h

3h 8 + ' ' "

folgt dann abet fiir die Kriimmung ~. yon E(') in P1 d~v(O) > -

d~

2

2

=~->a-~'

da dr(0) = 0ist. Bezeichnet man mit ~ den Winkel, den die Fliichennormalen in p und P1 miteinander einschlie$en, nach der Voraussetzung (a) iiber E ist cos e > ~, so liefert die Formel yon MrvsmrR fiir die Kriimmung u~ des ebenen Normalsctmittes yon E in Px, dessen Ebeue die ~-Achse enthiilt, 2 cos e

1

~2

a2

Die daraus resultierende Ungleichung 1 --< ~n

a2

widerspricht aber der Bedeutung yon a2. 16. Das Innere des yon der geschlossenen Fliiche S berandeten Gebietes werde mit )~ bezeichnet, wobei also R ganz dem Gebiete R angehSrt. Bildet man alsdann, um den Satz 6 zu beweisen, mit den auf S angenommenen Werten der partiellen Ableitungen ~-,U 00U 0 fiir das Gebiet R Funktionen 0

u ( P ; - - 1), + ( P ; - - 1 ) ,

~(P;--1)

624

K. 8chr~er.

der Gestalt (87), so kann man dem Beweis des Satzes 4 entnehmen, daB in

~+~

ov_~(p;_l), ov_~(p;_l), oH 0~--

On--

a~ =~(P;

-- 1)

sein mull. Es gibt nun sieher eine positive Zahl bl derart, daB eine Kugel mit dem Radius bl um irgendeinen Pnnkt yon E' yon/~ keine anderen Punkte enth~It a]s solche, die gleichzeitig E" angeh6ren (vgl. die entsprechende Definition yon a~). Versteht man dann unter R' das Tei]gebiet yon R, welches aus allen Punkten yon ~ besteht, deren Abstand yon einem beliebigen Punkte yon E' kleiner als ~bt ist, so soil gezeigt werden, dab die l~unktionen ~(P;--1),

~(P;-1),

~(P;-1)

fiir alle Punkte yon R ' + E' einer gleichmaBigen H-Bedingung mit dem Exlmnenten p geniigen, womit Satz 6 bewiesen wgre. Dazu beachte man zun~chst, dab man den Hi!fssatz 3 yon w 3 in der fo]genden modifizie~en Gestalt beweisen kann: ][st ](p) atff ~ eine integrable Funktion, die auf dem in B enthaltenen regul~en Fliichenelement E ' (HSlderKonstanten: A, g) einer gleichmii~igen H-Bedingung (HSlder-Konstanten: B, p) geniigt, so gilt fiir are Punkte p und q yon einem ganz in E" enthaltenen regul~ren Fl~chenelement E' eine der drei Abschgtzungen

I KABt~+J' IV(q) -

V(p)[ } <__ K A B t

IW(q) W(p)I

,

KAthllog tl

je nachdem p-{-~t
/z+~>l,

/z-i-Z-=l

ist. Aus dem Bcweise des Hilfssatzes 7 yon w4 ist dann aber zu ersehen, dab die Funktionen F(p; u), ~(p; u), H(p; u), die dem zu der Berandung ~ gehSrigen Integralgleichungssystem (75) geniigen, auf E' eine H-Bedingung mit dem Exponenten/z erfiillen. Als Modifikation yon Hilfssatz 11 in w3 kann man weiterhin zeigen, daft flit eine auf S definierte integrable Belegungsfunktion/(p), die auf E " einer gleichm~i~igen H-Bedingung mit dem Exponenten ~ geniigt, die Integrale V {P) und W (P) in R' % E' eine gleichm~il~ige H-Bedingung mit demselben Exponenten ~u effiillen. Bei dem Beweise, der sonst genau wie der Beweis yon Hilfssatz 11 in w 3 verl~iuft, ist nut die dort vorkommende Zahl Qo durch bl zu ersetzen. Damit folgt aber, daB die dutch (76) nach Ersatz von u*(P; Y.), v*(P;~.), w*(P;~) dutch ~ * ( P ; . ) , ~*(P;z), ~ * ( P ; z ) und von F(p;y.),

G(p; x), H(p; ~) bzw. durch F(p; ~.),G(p; z),/~(p;~) gegebenen Funktionen

625

I~ndwert~ufgaben der Diiferentialgleichung ALi U = 0.

~*, v*, w* in R ' - } - E ' einer gleichmii~igen H-Bedingung geniigen, so dal] dasselbe scbliel]lich auch yon ~(P;-

1) = g * ( P ; - 1 ) ,

7(P;-

1) -- ~ * ( P ; - - 1 )

D (m~ ( - - 1)

D ( ' ) ( - - 1)

~ ( P ; -- 1) = w*(p;--1) D im) ( - - 1) '

und zwar sowohl ftir D (n'~(-- 1) 0= 0 als auch fiir D (') (-- 1) - 0

gilt.

w

Das iu2ere Problem im Raume. 1. Fik das Kul]ere Problem im Raume besteht folgender Existenz- und Eindeutigkeitssatz H a u p t s a tz II. Ist Ra das Auflengebiet eines ein[ach zusam~nha~qenden, ganz ira Endlichen gelegenen Ge~ietes R, dessen .Bera~lung S den in w 1 genannten Voraussetzungen geniigt, und besitzen die au/ S de]inierten Funktionen ~, a, r dort partielle Ableitungen erster Ordnu~!l, die einer gleichmdfligen H-JBedinyun 9 yeniigen, und sind sie die au/ S angenommenen Werte der Fartiellen Ableitungen erster Ordnung e~ner in R~ zweimal stetig di/[erenzierbaren Funktion q)($, 7, ~),

deren erste partielle Ableitungen im U~endlichen wie 1~ verschwinden, so gibt ro p

es (bis au/ eine additive Konslante) genau eine in R, biharmonische Funktion U, deren partielle Ableitungen erster Ordnung m R,, + S stetiq si~d, au/ ,S bzw. mit ~, a, ~ iibereinstimmen und im Unendlichen wie l__ verschwiflden, Yt)P 1

wdhrend die partielle~ Ableitunffen zweiter Ordnuny dort wie r$---pgegen Null

uehen"9. Dem Problem (62), (63) des vorigen Paragraphen entsprechend gehen wix jetzt" yon dem auf das Gebiet R. und seine Berandung S beziiglichen Probleln

(96)

A u - - ~-~ / ~

O,

A v - - ~-~ =

O,

A w - - ~--~ =

O,

A0=

0,

[u]s-~ e, I r i s = a , [ w ] s = z aus und kSnnen dafiir den folgendea Satz beweisen: (97)

4~) Die im Text angegebenen Eigenschaften yon U i m Unendliehen folgen aueh bereits aus den sehw~eheren Forderungen, dab fiir r o l , ---> oc lira D 1 U ~

O,

lim (r o p D uU) ~ 0

sein soil, wie man an den auf das Gebiet R,L sngewandten Forme]n (~OI unmittelbar erkennen kann - - eine Bemerkung, die sieh auch auf die folgenden S~tze 7, 8 und 10 sinngemal3 iibertragen l~Bt.

626

K. Schr6der.

S atz 7. Sind die F u ~ i o n e n p, a, 7; die au] 8 ange~ommenen Werte der partiellen Ableitungen ei,~er in R~ zweimal stetig ditferenzierbaren Funktion r (~, ~, ~), deren erste partielleAbleitungen imUnendlichen wie

1_~verschwi~den,

top

und gibt es ein L6sungssystem u, v, w r Problems (96), (97), das im Unendlichen 1 wie - - versvhwi~det, und dessen partielle Ableitungen erster Ordnung in R~ ~- S ro p

stetir sind und im Unendlichen wie r~o--~, 1 verschudnden, so existiert eine bih~rmonische Funktion U derart, daft OU

U~-~-~,

V ~

OU

W--

OU

~st.

Bedeuten die Fl~chen S a eine im Gebiet R~ gelegene Folge yon gegen S konvergierenden N~herungsfl~hen, die man aus den frfiher definierten fin Gebiet R gelegenen Fl~chen S~ durch die Transformation dutch reziproke Radien gewinnt, und wird das yon ihnen begrenzte Aul~engebiet mit R~ bezeichnet, so lege man dem Beweise, der sonst genau wie der yon Satz 1 geffihrt wird, eine Integralformel der Gestalt (68) zu'grunde, bei der aber das Fl~chenintegral fiber die Fl~che S,a und die Raumintegrale fiber das AuBengebiet R,~ erstreckt werden. Satz 7 sichert alsdann zusammen mit den beiden folgenden, in den n~ehsten Abschnitten zu beweisenden S~tzen die Existenz einer fin Gebiet R~ biharmonisehen Funktion mit den im Hauptsatz behaupteten Eigenschaften : Satz 8. Bei beliebig vorgegebenen au I S stetigen Funktionen 9, (~, r hat das Problem (96), (97) stets ein System yon L6sungs[unktio~,en u, v, w, die im 1 Unendlichen wie - - verschwinden, wdhrend ihre partiellen Ableitungen erster ~'0 P

1 Ordnung dort wie r~---p gegen Null gehen.

S atz 9. J~esitzen die Eunktionen ~, a, T a u / S iiberdies partielle Ableitungen erster Ordnung, die einer gleichmafligen H-Bedingung genioen, so sind die navh Satz 8 ezistierenden LSsu~gs]unktionen in R~ § S ei~mal stet~g parti~ll di]]erenzierbar. Hinsichtlieh der Einzigkeit der LSsung. kSnnen wir folgenden allgemeinen Satz beweisen : Satz 10. Werden die Funktionen o, a, v au] S lediglieh als stetig vorausgesetzt, so kann es (tds au[ eine additive Konstante) hSchstens eine in R biharmonische Funktion U geben, dere.n partielle Ableitungen erster Ordnung in R~ § S stetig sind, bei An~herung an S bzw. gegen die Funktionen o, a, r

Randwertaufgaben tier Differentialgleichung 3 A U = 0.

konvergieren und im Unvrdliehe~ wie ~

627

verschwinden, wahrend die partidlen

ro p 1

Ableitunqen zwdter Ordntm9 dort wie r~o---~ 9egen Null 9ehen. 2. Indem wit start des Problems (96), (97) gleieh das allgemeinere Problem (98)

oo

Au+kg-~=O,

koo =

Av+

o,~

oo

Aw+kg~

O,

[U]s = O, [V]s = a,

(99)

=O,

AO=o,

[W]s =

betrachten, bei d e m k ein Parameter ist, gehen wit yon dem mit Hilfe der dutch (71) gegebenen Kerne gebildeten Integralgleichungssystem

t(p;~)-~

(100)

IIS {K~(p,p, i.II

)t(~';~)+K~(p,p';x)g(~';~)+

(s)

+ Kt~ (y, p'; z) h(y'; ~)} d r = Q(p),

cs)

{K,~(2, p';z) l ( 2 ' ; z ) + K , , (p, p' ; n) g(p';x)+ + K ~ (p, p" ; x) h(p" ; ~)}da = a(p),

g(p;z)--~-~

h(v;~) - ~

{K;~(v,p';~)/(p';~) + g ~ (2, p';~.) g(p'; ~.) +

(s) aus, bei dem wieder

~, K~: (2 Y", ~) h(p'; z)} da = v(p) k

-- 2+k

(k ~

- - 2)

gesetzt ist. Das dazugehSrige homogene Integralgleiehungssystem

h (P; u) - ~

(lol)

gl(p;x) - ~

(y, p'; z) gl (P' ; ~) +

. (s~

+ K~; (io, p'; ~) hl(p'; z)}da = 0,

{ ~ (p, p ;z) h(p'; ~-) +/~~,~ (p, p'; z) gl (p'; z) +
1

hl(p;x ) -- ~

0,

~_ (2, p'; ~) 91 (2'; z) + + K~;- (p, p'; y.) hl(p'; z)}da ==0

(s)

besitzt nun fiir alle z-Werte, wie unmittelbar aus (24) uad (25) zu ersehen ist, die drei linear unabhKngigen LSsungssysteme (102)

/11 = a ,

qll = 0, hi 1 = 0,

]lz=0,

912=b,

[la = O, gls = 0 ,

hlz=0,

hla = c,

628

K. Schr~ler.

wenn a, b, c 4rei beliebige niehtverschwindende Konstanten sind. Sch~eibt man mmmehr das System (101) nach der im Abschnitt 4 yon w4 angegebenen Methode als eine einzige homogene Integralgleichung

/ ~ ( p ) - ~ I.l'K(p,p';~)/~(p')da = O,

(6) ~obei die u auf der dort angegebenen Fl~che ~ variieren, so miissen ~lso die mit Hilfe der m-ten Iteriexten (m hin~eichend gloff und ungerade) ~[es Kerns 1

2"--~K(p,q; ~) ~ebildeten FaEVnOL~Lsehen Unterdeterminanten yon niederer ais der dritten :)rdnung identisch in u und ihren auf ~ variierenden Variablen verschwinden. Wit behaupten abet, daft es fiir ~ --- 0 (d. h. k ---- 0) eine Unterdeterminante tritter Ordnung geben muff, die ung|eich Null ist, so daft also bei geeigneten mf ~ gelegenen Punkten Pl, P2, P~; ql, q2, q8

.,~ (::"'. o),o - - . - qq3~' lilt. Denn w~re (103) nieht effiillt, so mii~te das aus (101) fiir 7. = 0 hervor:ehende Integralgleichungssystem co8

11(p)

-

(r~,p, %,) ~,~ /j(p')da ~ O,

(s)

I

gl (p) -

cos (rp,~,up,) gl(P') 2

da ~ O,

(s)

/h (p) -

cos (rp,~,~up,) hi (p') da -~ 0

~

(s)

ach n~facher Iteration mehr als drei linear unabh~ingige L6sungssysteme esitzen. Dann wiixe daa abet auch der Fall flit das System

/i(p)

~ .Ij

~

(8)

,1 (,) _ '?" .I.f c~ ( r ~' ' ' rip'' g~(p') da = O,

(8) ~ ' I i c~ (s)

rp.p

~l(,')da

=-O,

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U ----0.

629

wobei ~/~ eine geeignet zu w~ihlende m-te Einheitswurzel (~/~ -~ 1) is~. Bereits im Abschnitt 4 yon w4 warde abet erwiihnt, daft fiir dieses System iiberhaupt nut dann nicht identisch verschwindende LSslmgen existieren, wenn ~ = 1 ist. Dann besitzt es abet, wie in der Potentialtheorie bei der Behandlung des ~iufleren Problems bewiesen wird as), auch nut die drei in (102) angegebenen linear unabhiingigen LSsungssysteme, so dal~ tatsRchlich (103) zutrifft. 3. Die in g ganze transzendente Funktion

(104)

D(-)

P'

9 ,,)

\ q~ q~ qs '

kann also nur ftirin der komplexen ~-Ebene diskret gelegene ~-Werte verschwinden. Fiirx-Werte, fiirdie die Dete _rmlmmte (104) nicht verschwindeto geben alsdann nach einem Ergebnis der F ~ v ~ o ~ s c h e n Theorie die Determinauten ~ qsqs'

(105)

'

qzP q~ ' ~qx q~ P

drei linear unabh~ngige LSsungssysteme des m-fach iterierten zu (101) assoziierten Integr alglelchungssyst eros

{K~ (p',p; ~)/sir; ~) + K~, (p',p; ~) gs (p';Y.)+

Is(y; ~) - ~ (~) (lO6)

gs(p;~) - ~1 [ I

+ / l ' ~ (p', p; ~) hs(p'; ~)} ~a = O,

{K",~(p, p; ~'.) fs(pt; g) +.K,pl (p', p; g) gs(pt; x) +

(s)

+ K,I~ (p', p; z) hs(p'; u)} d a = O,

{K~.e(p',p; ~,.)/s(p';

h,.(p;~)- ~

~'-)+K~(p', p; ~) gs(p'; Y.) +

+ K ~ (p',p; x) ~(p'; ~)}d~ = o

(~

und damit auch yon (106) selbst, da (106) miudestens drei linear unabhfmgige L6sungen hat. Diese durch (105) gegebenen LSslmgen yon (106) seien mit

121(P;~), g~l(P;~), ~21(P;~), (10v)

/s3(p;~), #ss(r;~), ~s(P; ~) ~) Vgl. etwa W. STERNBBRG,PotentiMtheorie II, Berlin und LeiFzig 1926, imizL S. 108. Die dortigen Schlfume gelten auoh bei unseren Voraumetzungen fiber die Berandung. Mjtheamt~he 7Mt~hrlft. 48.

41

630

K. Schrfder.

bezeichnet. Fiir die betrachteten z-Werte lauten dann die notwendigen und hinreiohenden Bedingungen fiir die Existenz einer LSsung der inhomogenen Gleichungen (100)

i~ (121(P'; ~) e(P') + g21(~gt; g) q(~') "~ ]t21(pt; Y-) T(~t)} aft = O, (,~) (lOS)

~I {/u~-(P'; ~) ~(P') -}- g~(P'; ~) a(p') -k- h~(p'; z) v(p')} da = O, t8)

~ {/~(p'; ~) e(p') + ~ ( v ' ; ~) ~(v') + ~ ( v ' ; ~) ~(~')}g~ = o,

(~)

die, wenn ale iiberhaup~ erfiill~ sind, natiirlich identiseh in ~ gelten, da die Fnnktionen (107) in x ganz transzendent sind. Nehraen wit nunmehr zuniichst an, dal~ die gegebenen Randfunktionen ~(p), a(p), ~(p) a u f S stetig sind und diese Bedingungen fiir alle ~ ~erfiillen, so kann f'tir ~. Werte, fiix die die Determinante (104) nicht verschwindet, eine LSsung yon (100) in der Form

/(p; ~) =

~(~; ,,) D(m, (Pt P~ Pn. u) ' \ ql q:~ q3 ' h (p; u) =

q(p; u) ----

a (p; ~,)

D(,~, (', ,, P~ ; ,~) ' H(p; u)

q~ qa qa angegeben werden, wobei die jeweils im ZgMer ~tehenden Funktionen in z ganz transzendent sind mad den Integralgleichmagen

lff

(s)

ql q2 q3 '

G(p; (109)

dd

ts)

+ K~ (v, v'; ~,) H(V'; ~)}d~ = D(')( p~p''~. ,,) ~(V), "

{K:~(p,

H(p;~) -- ~-~

ql q2 q3'

;~)F(1~';~)q-K~,7(p,p';~)O(p';~t)q-

(8) geniigen.

q- K;r (r, p", ~r H (p'; u)} da = D ~') \tPap,p.a., x) ~(p) q~ q2 q3

1 K (p,, q; ~) die Fx~,DaOT,msche Bildet man nltmlich fiir den Kern ~-~ Unterdetermina~te D(m) (P Pl P2 P~ ; x ) \ q qx q~ q'~

631

Randwertaufgaben der Difierentialgleichung A A U : 0.

fiir die bekanntlich die Relation (110)

D(m) (P:P~ P~ :Ps ; u) q q~ q.~ q:~ ql q'~ q3 1

D On)(P~ P~ P~; x) \ q q.,_ q.~ i-

?R

D(-, ('~ V' P3 . ,,) \ql q~ q3 "

D("O (P' P' P" ; ,,)

1

m

1

m

+ (~-~) K `~) (P, q2; ~)

(6)

\q ql q.~ D(m) (Pl P'2 T3 ; x) Wh q~ qa D(m) [Pl P~ P3. u) \q q, q~' + D(m,(Pt P'~ P3. R) \qt q~ qa" D(m) (P' Pl P'~P:' ; x ) \q ql q". qa da (n~) PJ P~Pa x) D ( q~ q.~ q3

besteht 47), nnd setzt man (111)

(p, q ; ~) = ~1 K (P, q 9, ~) + (1)2K(~)(p,q ; x) + ... +

v(m) (p vl ~,~ v~ . ,,) (112)

(113)

\qql q~ q:~" D(m) Pt P~ P3 ; u ql q'~ qa

F (~) (p, q ; u) =

(

rip, q; ~) = ~(p, q; ~) + / / a ( p , p ' ,

)'

~)r(~,(r q, ~)d~,

(6)

so stellt die Fun~ction (114)

[* (p; ~) : ~* (y) + (~! F(I~, p'; • ~* (p') da

eine LSsung der zu dem System (100) ~quivalenten Integralgleichung (115)

/* (p ; ~) -- l

I I K (p, p'; x) /* (p' ; x) da ~ O* (p ) (6)

dar. ~) Vgl. E. GOURSIT, 1. e.. Anm. as), insbes. S. 376. 41"

632

K. Sohr6der. Beweis.

(116)

Es ist z~miiehst

1 IIK(p,p';u) g?(p, q; u) -- ~-~ = -f-~K(p, f l ; ~ ) - - ~ !

ff2(p',q;u)da

K(p,p';~)K(")(p',q;~)da. (61

Setzt man mm

Y-'(v, q; ,~) = F(p, q; ~) - ~

; ,~) F(~/, q; ~)d~

K(v,

~ .Q(p, q[; ~c) -~- .l'I.Q(p, 7/ ; ~t) F(m)(p', q; y.) dq -(6) -

~

K(p,

;~.).O(p,p';~.)d~--

15)

2nlj'j" .[f K ( P ' P ' ; r ' ) D ' ( P " I / ' ; z )

F('" , (P, ,,_r ~) dale, d%,,.,

(~) (~) ,so wixd bei Zusammenfassung des ersten und dIi~en 8ummanden gernfil~ (116)

. .2~ . . .

\2.~/

f K(p, (6)

p';u) ~"(')"( p ', q ; z ) d a +

-[-.If-Q(p,,';~) F(m)(p',~;~r (6) ; z) D(p',

2~

Y.) F(")(p '', q; ~.) da~, d%,,.

(6) (~) Daraus folgt aber ebenfaUs bei Beachtung yon (116) 1 ~P(p,q;x) = ~-~K(p,q;~)

__ll~m+l(I \~/ K(p, p,;~.) Kr o.

(6) (6)

(6) ($)

(6)

'

q;z)da+

633

Randwer~aufgaben der Differentialgleichung A A U = O.

Wegen (112), (110) und (105) erhalt man alsdann (117)

F(p,q;z)--~--~IJ'K(p,p';~t)I'(p',q;~)da

Yt(p,q;y.)=

(6)

{ i ]m+l

l

[~1 (q; ~r

[[K(p,p,;z)Kl,,,)(p,,ql;u)da_[

-

qt q~ q3 / 1 , - + 1 /)r /~3 ( q ; - ) ! ~~) -- ~2-] (p,~,~; q~ q-~ qa t 1 ~m+~ ..

I K" ,

= ~

+

r K(p,lr

K(m)(p',qa;z)da

K('~+l)(p, qt;u ) ~-

/~(q; ~.)D(~)/~,~,~;~ ~ ,

~ q;~)- ~

/ 1 \re+l_.

\ ] qq', qa x / 1 \m+l $

ly{m+l) [~ ~ ~r

9

-

"

Fiir die duxch (11r

D (~a)[P~ P~ P~" u) ~,qa q~ qn '

q~ q~ q~ gegebene Fnnktion ist nun

1 iIK(p,p"z)]'(,./;z)(~#---' 2~ ' (6)

f!K(I~,p';z)O*(p')t~tr-~ (6)

(~)

(~)

oder nfit (117) 2"-~

; ~)/*(p';

~.)da : ~

(~)

K(p, p'; ~t)O*(p')da"Jr (~)

+ I j'o*(p') l~F(p,p' ;z)-~ K(p,p' ;z)+ { l ]'+l K('~l(P'q';g) (6) ~ql q~ q3' / [ 1 ~m+l K (re+l) (p,q~;~)~. t~,.~t~+[ 1 ~,n+l K(~+0(p,q~;~) * 9 /

D(m)l ~'x~'~'n. ul ~qt q'Zq3' ]

\ql q~ qn

= I.I r(p, p' ; z)Q*(p')d~ + (6) [ 1 ~m+l Ktm+1)(p,q~; u)

o ( p ) t 21 (p'; z)g~

-

~ql q~ qs' ]

[ 1 ]m+a Ktm+0(p,q2;u) -

-

~2"-~n/

fl(m) [Pl

P-zPs. x)

\ql q~ qs' { 1 ,nt+l K(m+x) {P, qs; u) \qa q2 q3" ]

"o*(p')l:~ (v'; ~)g~

I I e* (p')l:.~@'; ~)d..

+

/

,.. ,

}

634

K. Schrfider.

Wegen (108) m ~

1

dann abet einfach

K(p,p

2=

;~)I

r(p,~/;~)~*(p')do,

(r ; ~ ) d ~ =

(e) oder wegen (114)

(6)

~

X(v, p'; ~)t*(v'; ~)d~ = / * ( p ; ~) - e*(v) (6)

sein, womit die Behauptung bewiesea ist. 4. Mit wSrflich den gleichen Methoden, die bei der Behandlung des inneren rRumlichen Problems benutzt wurden, kann m a n zeigen, dab die Funktionen

u(P; ~) =

(118)

u*(P;x) , v(P: u) = v*(P; ~) D(m)(~* P~ Ps. ~ D(m) [P~P.2Ps. u~ ' w(P; ~) =

w* (P; x)

mit

{K~(P, p';•

u * ( P ; ~ ) =g-~

(6) v*(P; x) = ~

-t- Ko~(P, p';z) O(p';z) +

+ K~(P, p'; x) H(p'; • {K~,~(P,p';~)F(p';~) + K~(P; p';u) G(p';~) +

(~) w*(P;

~) =

I

~

+ K~r

~)}do,.

p'; •

, Jj {K.(~, v'...~)F(v'-~)+ K~, (~, v'; ~.) o(v', ~.) +

+ K~c(P, p'; z)H(v'; z)} d(r

(6)

fiir~. = k ------- I, auch wenn die in ihnen vorkommende Nenne~detelminante dor~ verschwindet, das Problem (98), (99) 16sen, womit also der Satz 8 fiir Funktionen @, a, ~, die fi~ alle ~ den Bedingungen (108) geniigen, bewiesen ist~). ~) Die beider L6sung des inneren Problems herangezogene G~tEE~'sche Formel (86) l~13t sich hier beim ~ul~eren Problem sinngem~B in der Form

~fY (~ ~*)~ ~ (~:) II l ~* ~ (~-)

"

benutzen, wo U* durch

0 U*

u* (P; --1) = "-~-,

0 U*

v*(P; - - 1 ) = - ~ ,

a U*

w * ( P; - - 1 ) = ~

gegeben ist, wenn auf E die Gleichungen [,~*(P; --i)1s = O, Iv* (P; --I)]s --_ O, [ w * (P; - - i ) ] s = 0 a U* bestehen, da ja im Unendlichen U* sieh beschrKnkt verh~It, -~n

i

wie ~ ,

1 top

OA U*

1

wie .--6-- und - ~ - - - - wie ..-K'- versehwindet.

"oP

top

d U*

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U -----0.

635

5. Erf'tillen abet die gegebenen Funktionen q, a, v fiir alle u-Werte nicht die Bedingungen (108), so bilde man unter Benutzung der drei LSsungs*systeme 1-~-k 1 Ul ~ 2-~k r o p l~

vl --

]r O~rOp 1 _~ 2 (2nt--k) O~"~ = 2~-OOP O~rOp

2(~+~)

l-t-} 1 ve ----=2--~]~ r 0 p W2

V3 - -

wB

0~

I'

20~Oq

'

2 0~0~'

~ O~rot,

k 2 (2--t-/r

O~rOp 2(2-~-k) O,yO~ - -

0'2top ~ 0 , ~ ----"2 r o e

{ 1 + ~ 2tOp

10~rop I 2

0~

I'

~ 0"2tOp 2 OriOn'

k

O~rop

~r 0 2 t o p

k

@~rop

~ #ZrOp

1-[- k 1 2+]~ tOp

2

g O~rop --

O~rr

ue - -

(119)

0~0~

10~rOp I

~ O"rOp

2(?~-k) 0,10~ -= 09top

W 1 --~

1 f2rop

k 02top__ 2(2-l-k) 0~ "~

1 0 " r0o~l "~ , I{ 1 _~_ ~r { - -1 ~ -9 2top 2roe -

yon (98), bei denen r o y der Abstand des nach Annahme im Gebiet R gelegenen Koordinatenursprungs 0 des*~, 7, ~-Systems yon dem im Gebiet R. liegenden AufpUnkt P ist, die neuen Randfunktionen ~--- Q -- ll [~1],_~ -- l~ [~t~] s -- 13 [~a],S,

(12o)

=

~ -- ll [Vl]S -- l~ [V2]S --/3

[VS]S,

u =- ~ - - 11 [ W l ] S - - l,~ [ W 2 ] s ~ ba [%]s.

Setzt man sie in (108} start Q, a, ~ ein, so ergibt s'mh zur Bestimmung der ll, l~,/a ein System von drei linearen inhomogenen Gleiehungen, yon dessen dreixeihiger Koeffizientendetezminante A (~), die ja eine ganze transzendente Funktion m ~ ist, wit in den n~chsten Absehnitten zeigen werden, dal~ sie nioht identisch versehwiadet.

636

K. SchrCMer.

Fiir aile Werte yon ~, ftir die weder die FssvHormsche Determinante (10~) noah /1(~) verschwindet, ffdlt sich eine LSsung der inhomogenen Integralgleichnngen

+ K~(v, r ,0~(~';,~)/e~ = ~(~l,

ill

~P; ,0 - ~

{K~(~, r ,0iqf; ~) + K~d~, ~';~.)O(v'; ,0 +

(s)

{K~t(~,, p'; ~)/(p';~.) + K:~(p, ~'; ~)~(~'; ~) +

~(~;~1- ~ is) in der Form f(p; ~) =

\ql q~ q~

~ql qs qs'

/~(1~;~) --

~ (~; ~) DOn)[~1 Pi PS. g) A (U) \q~ qs qa"

angeben, wobei wieder die jeweils im Z~hler stehenden F unktionen in ganz trsnszendent sind und den Integralgleichungen PP --

1 - -

--

F ( p ; x ) -~-~ J J { K ~ ( p , p ' ; x ) (8)

--

F(p'; u) - 4 - K ~ , ( p , p ' ; u ) q ( p ' ; x )

"4-

+ g~ :(p, p'; ~) H (p'; ~)}~,, -- - D (') P"~'~ ~ ] A (~) ~(p), ~,fl q'~ P~qs' J

J$

#(P;,0

(s) (121)

"4- K,r;(P, P'; u) H(p'; z)}da -D On) [P'P~Pa'x~ A (u)o(p), -\ q l q~ qs' ]

H@;x) - - ~

{K~ (p, p'; ~)F(p'; ~) + g~(p, p'; ~) q(p'; xl + (8)

+ K~(p, ~o';,d H(p';~)}do = D (') t p'p' ~"- z) A (~) ~(p) ~ql q2 qs'

gen~en.

9

R a n d w e r t a u f g a b e n der Differentialgleichung A A U = 0.

637

Mit den beim inneren Problem benutzten Methoden kann alsdann gezeigt werden, daft die ~unl~-ionen

u(P;~) (

. )+D

\

; ] A ( u ) {/t(u)u~(P;~c)+l.~(u)ui(P;u)+la(u)ua(P;u)}

qt q~qa

v (P; ~) (~22)

~* (P; u) +D(=) [ P ~ ;

u~ A ~u~~l (.) ~ (P; u) +l~(u) v~(P; ~) +la (u) ~s (P; u) }

~qtq~qs ] ~ ~ a

~ql q2 q~'

w(P; ~) ] \q~ q.2 ga

mit

~*(P; z) = ~

iJ {g"(P' P';')

+ K.W, p';

*

+ K ~ : ( e , y ;,~u ) H ( p ' ; u ) } d a ,

v*(P; z) = ~ {123)

(8)

+ K,:(P, p'; u)H (p'; z)} da, p'; x)F(p';• :w*(P;~) = ~1 !".. { {K~:(P, ,.

+ K~,(P, p'; ~)G (p'; z) +

(8)

+ K : : ( P , p'; y.)//(p'; ~)} da, die fiir x-Werte, ftir welche die Determinanten (104) und A (~) nicht verschwinden, offenbar den G]eichungen (98) geniigen, und deren Randwerte ffir solche u-Werte ~(p), a(p) und r(p) sind, stets in einer gewissen Umgebnng der Stelle ~ = k = -- 1 reguli~r analytisch in u sind. Bei dem Beweise beachte man, dab bier als Analogon zu (78) flit die Randwerte der Zghlerfunktionen in (122)

~. (p; ~) + D(.) (~,vt v~. ~) A (~) {tl(~-) ul (v; ~) + ~(~)us (v; ~) + h(~)u3(p; ~)} \qa q~ qa'

= D('){\ql paP~ps" q'2 qa ' z) A (x) e(P)

638

K. SchrSder.

und fiir die Randwerte ihrer partiellen Ableitungen nach u als Analogon zu (82) lira

00'~--~[ ~ , ( p : ; u) + D(")[ t~s\q~q~ q, u) A (u) {ll(u) ul(P,~; u) +

P : .-->p

+ I..(~)u~(P~; ~) + ~.(,,)u.(~;,,)}]

o,[

= o,--} .O(")(~,,m,,.,~ ~,ql q2 qa '

~ 0i = --

) A(~.)-~(p;,O ] + A

O~D(~){PxPiPs. u) A (u) ~q a q~ q.,o,~ /'(~)e(P) =

e(P)

0 ut

und ~mtspreehendes fiir die Z~hleffunkr

"con v (P; ~) and w (P ; z.) gilt.

Schreibt man abet

u(P;-

1)=

1 (D,u,(P;u) ~,

~-9~., -V-4T-aT..

1

(D.v(P;--1)

v(P; - 1) = f&-,:.,

-~[

,~v.,

024) w ( P ' - - l ) - - ~ , 2"~nil~ w(P;--1) wobei die Integrale fiber einen in der Y.-Ebene gelegenen Kxeis mit dem Mittelpunkt u = -- 1 erstreckt werden, der so ge~iihlt ist, dab in seinem lnnern und auf seinem Rande eventuell mit Ausnahme des Punktes ~ -~ -- I keine Nullste!le yon D(")(~) mit d(• liegt, so folgt

= ~00, w ( p ; - 1) = ~-~il ~ ~(~} 4u = rip), und man erkennt, daf~ die Funktionen

u(P; -- 1), v ( P ; - - 1), w ( P ; - - l ) das Problem (96), (97) lSsen, womit Satz 8 bewiesen ist. Die Behauptungen yon Satz 9 und 10 lassen sieh dann unmittelbar mit den beim innerenProblem benutzten Methoden unter Verwendung yon (124) best[itigen49). 49) Man beachte dabei, dab die partiellen Ableitungen dritter Ordnung von U 1 im Unendlichen wie ---5r'~l verschwinden, wie unmittelbar aus (30) zu erkennen ist.

Randwertaufgaben der Differentialgleichung .A A U = 0.

639

6. Es ist noch der Beweis der Tatsache nachzutiagen, da~ A (~) nJcht identisch in ~ verschwinden kann. W~ werden dazu in mehreren Schritten den H i l f s s a t z beweisen: E s gilt A(O) ~ O. Ist /2(P), ge(P), h2(p) eine beliebige nicht identisch verschwindende LSsung des Systems (106) fiir z ~ k = 0, d.h. hegen diei nieht siimtlieh idengiseh versehwindende Funktionen vor, die den Ingegralgleiehungen

1~-(v)

-

~

1 ffc~

O,

,~,~

(s)

1 IIc~

(125)

g~(p) -- ~

r~

)

po~

ge(p')da --= O,

(8) 1 IIc~

~__ 0

(8)

geniigen, so wird behauptet, da~ die mit ihnen gebildeten Potentiale der einfachen Schicht u'(P) ~ ~1

If

~ 12(p')d~, rl~'P

(8)

(126)

1-rp,- gp~ . ( l , ' ) d ~ .

v'(P) = ~

(8) ~o' (P) = ~1 f l %,1 v h~(p')da,

die ]a bekamltlieh im ganzen Raume stegig sind, in R durehweg konstang sein miissen. Es geniigt, den Beweis fiir u' (P) zu ftihren. Wit gehen v o n d e r ftir eine be[iebige l%nktion u' (P), fiir die in R die Potentialgleiehung A u' = 0 eifiillt ist, giiltigen IntegIa}foimel

(R)

(S)

aus, bei der vorausgesetzt wird, dal~ das in ihr vorkommende Fliiehenintegral ~ (S)

als lira ~ existierg. Die Gleiehung (12"/) gilt offenbar aueh far d~s Au~enn---~co (8~)

gebiet R~, wenn dort A u'

1

0 ist, und u' im Unendlichen wie - - vettOp schwindet, wiihrend die paltieUen Ableitungen erster Ordnung dort wie oP gegen Null gehen. 7. Ist mm P,~ bzw. P~ eine in R bzw. in R~ gelegene Punktfolge, die liings n~ gegen p konvergierL so bestehen f ~ die dutch (126) gegebene Funktion u' (P)

640

K. Schr0der.

nach einem bek~nnten Satz der Potentialtheorie, der auch bei unseren Voraussetzungen iiber S zutrifft 50), die Limesrelationen

(,~) "-'-'<>= ,i,~ r~ ~ ri~.<,',,,~]JP=Pn ,=-~=t.o,l+ L~ nP J J ri"P

lira(,,., ~'~',,'~' <,<.=o. i-I'l~

t,S;)

,,->.= L~'',, j..i "p,t,>-

da 1,

--

II

2~/~(p)§

l~(f)

co'<"""> do.

"7,'1, ts) (8) Da die Konvergenz aber in bezug auf die Lage des Pnnk~es p gIeichmii~ig effolgt, so gelten diese Limesbeziehungen auch bei beliebiger Anniiherung der Plmktfolge P~ bzw. ~ an den punier ?. Wiihlt man nun die Punktfolge P~ derart, daft jeder Pnnlct P~ auch Pnnlrt einer Fl~che S~ der ganz in R gelegenen Folge yon gegen 8 konvergierenden Approximationsfl~chen ist und als solcher mit p~ bezeichnet werde. so soil bewiesen werden, daI] die Limesrelation

<,30, aim

=*~,

(8)

Ir :, <,> ,,<,1

,=

.iI"

(8)

,

(8)

besteht. Da der recht~ stehende Grenzwert existiert, so geniigt es zu zeigen, da~

!0_

lira ,, ._..>.~ [0 ,li

[ f s,(~'----~)e,, _ ~,,, j j

n (8~

,.p, p

_,~<, (s)

7 -~ lira (///2(P') n ---~ oo qJJ

~'l,' l>

, P

= i,,,

2

==0

ist. Versteht man abet unter s den Tell yon ~, dessen Projektion auf die Tangentialebene im Punkte p ein K~eis yore Radius Qo um p ist, und zerlegt man das letzte ~l~chenintegral ff~ in I.f ~- .f~, so ist klar, daft die behauptete (8)

(~)

(8-s)

Limesbeziehung fiir ~ richtig ist. Um sie abet auch flit ~ nachzuweisen, (.~- s)

(,9

schreiben wit, falls mit x, y, z ein im Punkte p lokales Koordinatensystem bezeichnet wird, c o s (," , , , ~.) - c o s O" ' , ~ ' )

P'tl = cos (,,,,,,,, ~) (oos (:,;, ',,,D - oos (:~, ,,,, )) + P Pti

P'Pn

Pn

+ ~os (~- ,,~, ~) {cos (~, %) - r + ~o~

(,',. "." z) (oos (~, ,,,.,,)

-

~o~

%,)) +

(z, %,, )}.

u0) Vgl. J. SCItAUDI~R, 1. r Anm. 14), lushes. S. 636.

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A

A U

~

O.

641

Die Komponenten des Normalvektors im Punkte p bzw. p~ sind aber dutch

[

o,r

I

o7,

o, :

bzw.

[

/

o-3 '

O q ~ 'J . (o.),----- V1 -4-(~"~) g-/'0~o'~"~

Oq,.___. Oq,____.U,.} Ox

Oy

tOrt ~

ton ~

1

= 1/, +

(%-)')

gegeben, wobei z./B.

aq,(v) o~

--

o a~v) ox

o~,,0,)

oa(r)'

o~

Oz

o a (p~) oa, (_oo(lv) # o, -o a- (p~) ~ 0 ) =

oa(v'.)

Oz

\ ~

oz

ist, wenn man mater G (x, y, z) die bereits im w4, Absehnitt 2 zur Definition der Fl~chen 8~ benutzte GREENsche Fnnktion flit das Gebiet R versteht. Da nun nach bekannten Siitzen fiber Potentialfnnktionen bei nnseIen Voraussetzungen fiber die Berandung die partiellen Ableitmagen erster 0rdnung yon G(x, y, z) in R + 8 einer H-Bexlingung mit dem Exponenten ~ genfigen 5x), so erhalten wit die Abseh~tzung Icos (r~.,~.

rip) -- cos (r,.~.~. "p~)l < K~p~.

Ftir das abzuschiitzende Integral ergibt sich also gleiehm~d3igffir alle PuniC. p yon S die obere Schranke

(s)

P Pn

Der reehts stehende Ausdruck muff fiir • -+ zo gegen Null gehen. Denn ist f'tir den Augenblick der Plmkt p~ auf der Normalen im Punkte p gelegen und ist h ~ = r ~, so gilt naeh (2) PPn (,)

~. , .

(t" + i,,.,)1_.

(,) 2 ~

@o

0

0

= h.~ {~ (tog (~g + h.~) - log h.~) + 0 [111. 61) Vgl. J. SCltLAVDER, 1. c., Anm. 14), insbes. S. 635, und O. D. K~LLO0, 1. 0, Anm. 15), insbes. S. 608.

642

K. Sehr6der.

Nach der bereits mehrfach benutzten SchluBweise muB dann abet auch der Ausdruck bei beliebiger Anngheru~g an den Punkt 10 gegen ~luU gehen. Im AnschluB an (129) lassen sich entsprechende Betrachtungen anstellen, wenn man fiir die ~ eine Folge yon Punl~en w~hlt, die auf den in R~ gelegenen Approximationsfl~hen S~ liegen, so dab (131)

lira [4 0 n - + o~ [o n ~

j',f 12(p')da] = lira [~-i~l~(P'-.---~)da] p = vna n --> o~ 3(s)J rp, p Jp=p~ (s) rp, p

ist. N . B . Mit S~tzen aus der Theorie des Potentials der einfachen Schicht k5nnte man zeigen, daft die dutch (125) uad (126) gegebene Funktion u' (P) in R q - S stetige erste partielle Ableitungen besitzt~2), so daft (130) anch unmittdbar ans

=

lira / ~ ]

'~ ~ ~ t L

~

-Is> = v/.

cos(~,

l a,, '

+

nP~)

(P)]

9

+ L--~--~ J-,>= ,>,, =

/

[ a u' (P)}

lim / [ - - g g - j p = i cos

(~, %)

+ fou' {P) 1

cos (~, n~) +

[ o u ' (P)]

i cos (~, n

~)/

'>,, /

+

,_oo ., (~, ~:)

o u ' f P ) 1 ='' + fk~-~--j.

oo~

(r ~.)lf

folgen wiirde. 8. Wendet man nun (127) zun~chst auf den Bereich R~ q- S~ an, so erh~lt man bei Beachtung yon (130) und (128), wenn man zur Grenze n--~ oo tibergeht, dab in ganz R

(132)

u'(P)

= a',

v ' ( P ) = b',

w'(P)

= c'

sein mu~, wo a', b', o' drei Konstanten sind, yon denen wit z~ngchst zeigen wollen, dab sie nicht s~mt]ich verschwinden kSnnen. Aus a' = b' =- v' = 0 wiirde ngmlich, da die Funktionen u' (P), v' (P), w' (P) im ganzen Raume stetig sind, (133)

lim u' (/~) = 0,

lim v' (1~) = 0,

lira w' (p~) = 0

folgen. Da jedoch nach (131) und (129) der in (131) auf der linken Seite stehende Grenzwert existiert and die Funktionen u' (P), v' (P), w' (P) ira Unendliohen 5~) Vgl. J. SCHAUDER, 1. c., Anm. 14), insbes. S. 635--640.

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U = O,

643

wie __1 verschwinden, w/ihrend ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung tOp

1

dort wie r ~ - gegen Null gehen, so folg~ aus dem Ingegralsatz (127), wenn man Jim zun~chst aufden Bereich R~ + S~ anwendet, trod dann zur Grenze ~-> r iibergeht und (133) beachtet, daft im Gebie~ R~ u' ( P ) = o,

~,' ( P ) _~

o,

o

w ' (.P) -

trod damit ebendort

Ou'(P) = O, Ov'(P) = 0 ,

Ow'(P) ~ o 0 nv

O%

con r

sein miillte. Aus (129) kSnnte man dann aber auf

]2 (la)

+

1 j" I

~

.f2 (p')

c~

r2

O,

=

(8)

g~ (p) + ~

" P'

g2(P )

008

_ (5,'1,' %) ~

= O,

(s) I"1"

,

(p) + ~' |~| h , O , )

cos

~.~

(8)

schliei~en. Daraus wiirde jedoch wegen (125) im Widerspruch zur Annahme 12(P)--0, g~(r)=0, h~(p)~O folgen. 9. W~ihlt man nnnmehr Ffir ]9(2), gg(p), h~(p) der Reihe nach die drei linear unabh~ngigen LSsungssysteme (107) yon (106) mit u = 0, so sind die mit ihnen gebildeten Fnnktionen (126), die bzw. mit u 1, v~, w t, u.,, v2, w.~, u s, va, w 3 bezeichnet seien nach dem vorhergehenden Abschnitt in R siimtlioh konstant: t

t

t

I

t

t

t

t

(134)

t

Ul ~ al~ U2 ~ a2, U3 ~ aa, t

t

t

~)1 = bl, ~)2 = b2, V3 = ha, t

t

qi)l = ~ w2 = 02~ ~)3 = ca. t

i

Es muB dann (135)

D :

(/1,

bl,

as,

b~, e~ ~=0

c1

as,

b3,

ca

sein. Denn andernfaUs wiixde es drei Zahlen kl, k2, ka ~: 0, 0, 0 derart geben, da~ kaal + ~a~ + ]~a~ = 0, klb~ + k2b~ + ~b8 = 0, klel + k,r + ks~ = 0

6~4

K. SehrSder.

ist. Bildet man dann mit (7.36)

9~ -=- kxg21 "4- kr 9~.~ -4- k3 9~'s,

die Funktionen (126), so mn~ flit sie offenbar in R u' ~ k~a~ + k~.a~ -4- k3a~ = O, v' =- kibx -4- k,zb~ -4- ~ba = O, ~' ~---kit1 -4- k~.C2-4- k$Ca = 0 sein. Nach dem im vorhergehenden Absclmitt benutzten Sehlufl wiirde also

h(v) - o, ~(v) - o, ~ ( v ) =- o folgen, was jedoch gemi~ (136) ira Widerspruch zu tier Bedeutung yon f~l, ]2~, /23, 921, 9~-~, 923, h21, h22, h23 zu.derAussage fiihrt, daft dieseLSsungssyateme yon (106) linear abh~ngig w~en. 10. Beachtet man nun, da$ fiir die dutch (119) gegebenen Fnnktionen 1 u~ (~; O) = ~%---~, vx (p; O} -- O, wx (?; O) = O,

~.(~; o) = 0,

1 ~ ( ~ ; 0) = ~%--~, w~(~; 0) = 0,

~ ( p ; 0) = 0,

vs(p; 0) = 0,

wa(p; 0) = ~%o

gilt, mad daft man infolgedessen wegen (134) ftir die Elemente der Determinante

A(O) =

~11 ~12 ~13I

~ ~ 2 ~2s .~81 ~82 ~s8

in der ersten Zeile

811 = !~{/, 1 (?'; 0)~1 (~'; 0) -4- g~ ~ @'; 0)~1 (p'; 0) -4- h~ 1 (p'; 0)wl (p'; 0)}da = ~al,

~ = !~ {/,l(p ' ;o) tt~(v ' ;o).4.9~(v';o) v,(v ' ; o ) + h ~ ( v ' ;o) ~ ,(v ' ;0)}d~=~b~, ~}

'

(8) u~d entaprechende Wert, e fii~ ~ x , ~2~, ~2s,/}sx, ~3~, ~88 erhKlt, so ist unmittelbar aus (135) zu ersehen, dall al

bl

cl

a~ b~ ~ ist, womit der ira Abschnitt 6 dieses Paragraphen formulierte Hilfesatz bewiesen ist.

645

Randwertaufgaben der Dffferentialgleichung A A U = 0.

w6. Das inhere Problem in der Ebene. 1. Es handelt sich in diesem Paragraphen datum, den folgenden Existenzund Eindeutigkeitssatz zu beweisen: H a u p t s a t z III. Geniigt die Randkurve S des ein/avh zasammenN~ngend,en, ganz im 2~ndllvhen 9elegen~n Gebietes R den in w 1 genannten Voraussetz,u~en, and sind die aa/ S de/inierten tVanktionen 0 and a dort stetig ~ d geniigen sied, er Relation

(137)

f {e (P')cos (n'p,,?)-- a(p')cos (n'p,~:)}ds

= O,

(8)

dann gibt es (bis aa/ eine additive Kanstantej 9enaa ei/ae in R bihavmon~c~ Jetmktion U, deren ~artielle Ableitange~ erster Ordnturt9 in R Jr ~ steti9 sitUt and aa/ S bzw. mit Q and a iibereinstimmen.

Existiert eine biharmonisehe Funktion mit den verlangten Eigensehaften, so gilt mit OU vq Ou Ov OU (138) a = Y-S ' offensiehtlich in R (139)

au

0v

0-~=g~,

Ae=0

und (14o)

[u]s = e,

Iris

=

~r,

und umgekehrt folgt ans dem Bestehen yon (139), (140) und (137) die Existenz einer F~mktion U, flit die die Gleichungen (138) effiillt sind, so dab sie das ursprtingliche Problem 16st. Die Bedingung (137) ist, damit das Problem tiberhaupt eine LSsung hat, wie man aus dem GAussschen Satz erkennt, sicherlich n0twendig, sie erweist sich abet auch zusammen mit den anderen Voraussetzungen als hinreiehend. Indem wit uns daher lediglich mit dem Problem (139), (140) zusammen mit (137) besch~ftigen, zeigen wit zun~chst den S a t z 11. ~ind die Funktio~en ~ and a art~ ~ stetig und geniigen sie der Relation (137), so existiert eine L6san 9 des Problems (139), 040). Den Beweisgang, fiir den die im ri~umlichen Fall benutzten Methoden versagen, kSnnen wit mater Auafiillung ein~ger Liicken und Verallgemeinerung auf die yon uns zugrunde gelegten Voraussetzungen tiber E einer Arbeit yon G. LAURIC~LLA63)entnehmen. 68) G. LAURICE~LA, 1. C., Anm. 6). ~fathematisehe Zeitschrift. 48.

42

646

K. Schrfider. 2. Mit den abkiirzenden Bezeiehnungen //Orv p~2 a (l~ r-~) K ~ (P, :,) = U - g V )

o..

,

~,,p

o,.,,p o.,,p o (log-~-p) O~ O,~ On.

(141) K ~ (P, p) = Kn~ (P, p) = =

cos~(rpp,~l)eos(r~p, nv ) =

__ cos

(rpp, ~) cos(rpp, vl) cos (r~e, ~t)

d ~v

r~ p

betrachte man das inhomogene System yon FREDBOL~schen I~e~algleichungen

l(v) + -~ {K~(v. v')t(v') + K~,(v. p')g(v')}& = e(v). 042)

(,s')

~

g(p) + ~

{K~gv, v')l(p') + K,~(v, p')g(r

= ~(v).

(.q)

Yon dem zu dean entsprechenden homogenen Gleichungssystem

h(p) + ~ ! {K~Cv, (143)

r')l~(v') + K~,(p, V')g~(p')}ds = o,

(8)

{K,t(V. v')t~(P') + K,,Cp. v')gKv')}ds = o

(s) gehSrigen assoziierten Gleichungssystem

(1~)

12(P) -4- 2~ I {K~f(p', V)Ig.(P') + Ki,I(P', y)gg.(p')}gs--= 0, (s) g,(~) + u

{K~dv', pIs

+ K~(v', v)g~.(v'I}gs = o

(8) kann man dureh direk~e Reetmung zeigen, daft es die LSsung 12Cp) = cos C",, ~),

g2 (p) = - cos ( - , , ~)

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U = 0.

647

besitzt. Denn es wird nach (50) und (51) 2 I { / ~ ( P ,' P) cos (%,, "l) (8)

=

.--

K ~ , ( p ,, p) cos (%, , ~)} &

-g~-,~ ( a~ cos (%, , v) + - ~ - c o s (%,, D}

"

"~'V'~s

(s) =

2 y Orv, v dry, ~ 1 Orv, v n O~ Onv, rv,v On v d s =

2 [ ar~_,v Or~,v ~ J O~ On v

(s)

rv, v/ d s On v,

(s)

Or~,~

0 (]~ r-~,~)

(s) = 2~

cos(n~, $)

O~

a~

0%, -

(s)

J\ a,j

)

a%,

= - - c o s (,~,, ~) und ebenso cos (~,,, ~) - K~ ~(p', p) cos (%. 0} d8 = cos ( ~ , ~). (s) Damit besitzt auch (143) mindestens eine nicht triviale LSsung /x (P), gl (P), yon der man mit denselben Betrachtungen wie in w4, Abschnitt 6 under Verwendung der in w3, Absctmitt 12 gewonnenen ebenen Analoga der Hilfss~tze 2 his 6 yon w3 zeigen kann, dal3 sie eine Tangentialableitung besitzen, die auf S einer gleichm~i~igen H-Bedingung mit dem Kurvenexponenten 2 geniigt. In den n~chsten Abschnitten woUen wit in mehreren Schritten nachweisen, daft jede weitere LSsung fl(P), gl(P) yon (143) ein Vieffaches yon tl (p), g ~ (p) sein m~. 3. Als direkte l~olgerung aus einer G ~ s c h e n Formel l ~ t sich fiir eine im Gebiet R existierende beliebige LSsung u, v yon (139) der Integralsatz

(145) fl i,'au,,

,,av,,

1,au

(2)

+ S {[u], x..,(p', p') +

r . o(p'. p')} d, - 0

ableiten, wenn man zu der dutch (138) in R definierten Potentiaffunktion 0 eine konjugierte Potentialfunktion Z dutch (146) OO _ 0 x 0_~ = Oz 42 *

648

K. SchrSder.

einfiihrt und

(147)

/~,,(P)

X~, ~ (P, p) -- ~ ~ ~7

a,,(P)~ ~ / cos (%,

~) + \{o~,(P)

1 2Z

\

(P)) cos (%, ,/),

ou(P))_ocos (n,, ~) aetzt, und wenn yon dem auf der linben Seite in (145) stehenden Kurvenintegral vorausgesetzt wird, da6 es als lira ~ existiert, wobei die S~, analog wie beim r&nmlichen Fall, eine Folge yon in R gelegenen, dutch die zu R gehSrige GREE~sche Fl,nlr~ion gegebenen, gegen ~ konvergierenden analytischen Appro~nationskurven sind. Die Formel (145) gilt auch fiir das Au~engebietR,, falls die Funktionen u und v den Gleichungen (139) geniigen, im Unendlichen beschr~nlrt sind, und ihre partieUen Ableitungen erster Ordnung dort wie 1 r~e verschwinden, und falls weiterhin das Ku~venintegral ala lira ~ existiert. Den Beweis yon (145) e~bringen wit, indem wit flit zwei beliebige im Gebiet R existierende L6sungen u, v und ~, ~ yon (139) die Richtigkeit des fiir sp~tere Zwecke benStigten allgemeinezen Integralsatzes

(R)

-~-(|{~). [u]sX~,,-~(~,p') + [v]s -

,

y

~,~(:~,~')}ds '

0

aufzeigen, wobei das Kurvenintegral(~)wieder~ als lira fexistieren soil. Ein entsprechender Integralsatz gilt f'fix das Au~engebiet Ra. Das links auftretende Fliichenintegral zerlege man niimlich in die beiden Integrale

~

-

(R)

and

(R)

~

~

~

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U

=

0.

649

Fiir das erste Integral finder man nach einer G a s ~ s c h e n Formel

(R)

(R)

I

o.

(s) (o.

(%,, ~) +

+ v o-~ cos

~

(%,, ~)

cos

)/

gs.

Da nun

oo Au---~ =0,

o~ o~j--0

A~

ist, so erhiilt man nach dem OAgssschen Integralsatz

(R)

(R) (R)

(S)

wenn man noch beachtet, dal~

-Ou

-Or

ist. Man hat also insgesamt fiir das erste Integral

=

u

-

~-v[--

T o-~ cos (n~,, ~) +

-~ 7. -

-2 ~

cos (np,, ~)

+

X -~-~- ~-~ cos (n,,, ~) -- -~ O--~cos (n,,, r))]} ds.

Fiir das zweite Integral kann man aber bei Benutzung des GAvssschen Integralsatzes

,150, l I f [ O u 0 4

q.. Ov O~

OuO~

(9, 0~,

0,

Or

d~ dv

(R) 1 II (a)

(s) + v o-~ cos (n~,, $) -

~

0~,

0 / 0~,

00f~

650

K. ~hrOter.

sehreiben, wenn man beriickaichtigt, dal~

Uo-~.--.~----0,

v~--~o~=0

ist. Mit (149) und (150) ist abet (148) bewiesen. Subtrahiert man die dutch Vertauschung yon u mit tt bzw. yon v mit aus (148) erhaltene Gleichung yon (148), so finder man die flit spiitere Zwecke benftigte Relation (151)

~{[u]sX~,~(P',P') "4- [V]s Y~,:~(p',p') -- [~t]sX,,,~(y', p') -(8}

-- [v]s Y., ~ (P', V')} ds -= O, wobei das Integral als lira

~ zu verstehen ist.

Geht man yon dem (148)

entsprechenden Integralsatz f'tir das Gebiet R. aus, so gelangt man dutch dasselbe Yorgehen ebenfalls zu einer Relation der Form (151) mit dem einzigen Unterschied, da$ jetzt das Kurvenintegral f als lim ~ zu verstehen ist. (s) " - + ~ (s~) 4. Mit Hrife der Funktionen /I(P) und gl(Y) bride man nunmehr die folgenden LSsungen yon (139)

~I(P) (152)

s

I {K$$ (P, p') l~(p') -f- K~, 1(P,p') gl(?')} gs, (s)

vl(P) = ~-2 j {K~ (P, v') h (v') + K~ (P, V') g~(V')} d~, (8)

fiir die wegenr (153)

(57) und (143) die Limesrelationen lira v~(P~) = vi(?) - 0

]im u~(P,~) = ui(?) ----O,

n ---~co

~ ---)-oo

bestehen, l~iir diese FunkCionen ist nun (154)

O (l~ r-~,P) ds A_ O~ : Ou~(P) Ova(P) 2 0 I o~ + o----W-= -# ~ . , fi(P') o,,,, (s)

+ u ~

g~(P')

o %,

~ d damit kaun im Gebiet R oder im P~biet R. gemiig (146)

0 (l~ r~'p ) (8) gesetzt werden.

2

0 (log ~ , p ) (.~

Randwertaufgsben der Differentialgleiohung A A U ----0.

651

Bezeichnet man die Tangentialrichtung im Kurvenpunkt p yon 8, die zus~mmen mit der Normalenrichtung ~p dieselbe 0rientierung wie das ~, ~]-System hat, mit tp, und beaehtet man, dag OK~(P,p) O.K~,I(P,p ) OK~,7(P, p) OK,p1(P,p) Or O~ ' 0,1 O~ isr so ergeben die Ausdriieke (147) fiix die l~mktionen u = ua, v = vl wegen (154) lind (155) _

_

x Zl) oos (%, ~)

to~,~ = - - / ~.0r - ' - ~ .1 //I(P)-_ (s)

+2

~

h(p') o~

d s ' l t- ~ Sgl(~J) (8)

o.1

0%,

o%,

(s)

l

0,j gl(P')\-gg-/

}

0%,

ds eos(nr

(s)

on s h(P') o#

on

o%,

ds.t-

l gl (P')

o %.

(s)

+ 9.r~0 .[ g~(P) (o,,. p], ~-Uf-/

a %,

(s)

+ ~o I h (i.9

- ~o

o %,

(S)

(,~)

und daher (156)

Xu,,~,(P, p) = : ~

1~ (p')

0 (log~)ds-0%,

(s)

1 o !g~(p,)

0%,

ds-

( 1 ) __ 0 log~ Or~,p Or~,p

2 O I

atp. h(p') o~ (s)

o,7

o%,

O{l~ ] \ r~,,p/ ds~ + -Y gi~(, g: ~P J ~--gU/ o %, 2

O

)

. ,.[Or~,p~g

ds+

ds-Jf -

K. Sehrfider.

652 Ebenao erhiilt man

(157)

Y"1,"~(P'P) ~ \o~ + ~

l i!

= g ~'- gl(P')

0%,

ds + g ~S)/l(P') "

._~ 2 O I -y ~

vP

(8)

on

ds --

ds+

Orv'POrv'pO(l~

gl(P') o~

0%,

0%,

)

ds.

5. Da aber die Fnnktionen ]I (P) lind gl (P) auf Se[ne Tangentialableitung beaitzen, die einer gleiehra~i~igen H-Bedingtmg mit dem ]~xponentea ~ geniigr so sma . . sowom . . oua_~,0u~o,7,Ov,O~,av~o.o' 01, Z1 als auch die Ausdriieke (156) und (157) in R q- S und in R~ -bS stetig, und aus (60) lind (61) erkennt man ~_mmittelbar, dal3 die letzteren sieh auoh stetig verhalten, wema der Punkt P den Flgchenpunkt p passiert. Wendet man daher (145) auf den ganz in R gelegenen Bereieh R,~ q- S,~ an trod lgl~t n unbeselar~nkr wachsen, so folgt bei Beaehtang yon (153), daiS iaR U l ( P ) ~ O , 01(P)~--O and damit

O,(P)=_o und also zl(P)

--- c

sein mul~, wobei c eine Konstante ist. In ganz R gilt infolgedessen x~,, ,., (P, p) =

- ~ ~ cos (n~, 7),

Y,,t, ~, (P, p) = 89c cos (np, ~). Nach der eben gemachten Bemerkung fiber das Verhaiten der Ausdriicke (156) mad (157) bei Anngherung an einen Randpunkt yon S folgt dan~ abet fiir eine im Gebiet R, gelegene Punktfolge p,a, die gegen p konvergiert, lira X.,,,,, (P:, p) =

- _~ c cos (rip, 7),

lira Y,,~,,,, (P2, P) = 89c cos (~p, ~). n --,-~ o c

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A ,I U ~- 0.

653

Hieraus erkennt man, daft die Konstante v ungleich Null sein muff. Denn wenn ~o~ unbeschriinkt w~chst, so gehen ul (P) und vl (P) wie 1. gegen Null, top 1

w~hrend ihre ersten partiellen Ableitnngen und 7.1 wie r~--p verschwinden. Man kann also (145) auf den Bereich R~ + ~ anwenden, Wiixe also c = 0, so erhielte man ira Limes n --> ~ , das in Ra u ~ ( P ) --- o,

~(P)

-

o

sein miiBte. Da abet wegen (56), (58) und (143)

~(P,P')ll(P')+Kt_~(P,P')gl(P')}ds

lira u~(P~) = u~(p) = - - / I ( P ) + u (s)

=

-

2 h(p),

lira v~(N) = v~ (p) = -- q~ (p) "4- "~ {K~(p, f') ]~ (p') + K,~(p, p') fl(f')}'de

(s)

= - 2 g~ (p)

ist, so wiirde im Widerspruch zu der Bedeutung der Fnnl~onen/1 (P), gl (P)

h(v) = o, g1(p) ~ o folgen. 6. Nehmen wit nun an, dais die homogenen Gleichungen (143) neben /I(P), gl (P) die Funktionen/1 (p), ~I(P) als nicht identisoh verschwindende Lfsnng besitzen. Bildet man mit iimen analog zu (152) die LSsungsfnn~ionen ill(P), vl(P) yon (139), so muff aus den gleichen Griinden wie eben in R X-

p) = - 89 ~ cos (n~, ~),

_ (P,

Y;,, ,- (P, p) = 89c cos (nr, $) sein, wo ~ eine nichtverschwindende Konstante ist. Wi~hlt man nun eine weitere Konstante k so, dall c+k~=0 ist, und bestimmt fiir die LSsungsf~mktionen

il = / 1 + kf~, il = al + ~ 1 die zu (152) analogen LSsungsfunktionen ~ (P), v~ (P) yon (139), so gilt oftensichtlich in ganz R X~,,,~,(P, p) =

-

~ (4 + k ~ cos (%, ~) = o,

y~,, ~, tP, p) = ~ (~ + k~) cos (~p, ~) = o.

.Kit dem Schlullverfahren am Ende des letzten Abschnitts erkennt man dann abet, daft

h=o,

~=o

054

K. SchrSder.

sein mul~, so daft in der Tat eine beliebige L5sung ]1 (~), 91 (P) yon (143) ein Vieffaches der LSsung ]I(P), gl(P) sein mu~. 7. Da somit das assoziie~te Gleichungssystem (144) die Funktionen h(v)

=

cos

(%, n),

g~(v)

=

-

cos

(~,, ~)

als einzige linear unabh~ingige LSsung besitzt, so lautet die no~wendige mad hinreichende Bedingung daftir, da~ das inhomogene System (142) eine L5sung besitzt: ~ {e(F)cos (~,, n) - ~(v') cos (~,, ~)}as = o. (s) Effiillen die gegebenen Randfunktionen diese Bedingung, so existie~t also eine LSsung ](p), g(p) yon (142). Die mit ihnen gebildeten Funktionen

u(P) = u2 I {K$$ (P,p')/(p') + K~, (P, p')g(p')}ds, (158)

(s) v(P) = ~- {Kn~(P, V') ](P') + K,~ (P, 1/) g(p')lds (s)

15sen alsdann das Problem (139}, (140), womit der Nachweis yon Satz 11 erbracht ist. 8. Der Hauptsatz III ist alsdann in seinem vollen Umfange zugleich mit dem folgenden Eindeutigkeitssatz bewiesen: Satz 12. Sind die Funlaionen Q und a au/ S stetig und geniJ~en sie der Relation (137), so kann es hiichstens eine Liisung des Problems (139), (140) geben. Den Beweis erbringen wit in mehreren Sehritten, indem wit mit dean Hilfssatz beginnen: Das dutch ginfiih~unq eines P a r a ~ s :~ erganzte homogene Integralqlewhu~qssystem (143)

fi(v) + (159)

L besitzt /iir u =

(160)

{K:._~(v, F) fi(F) + I ~ (v, F)

~. -~

-

g~(v'I}ds =

o,

(s) ?

(K,~ (v. F) h (p') + K,, (v. v I ) g ~ ( F ) }

& = o

(8) 1 die ~sumj hiP) = a~(p) + b~,

9~(p) = ax~7(p) -t- c~,

~enn a~, b~, v~ beliebige Konstanten .~nd..

655

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A/I U = O.

Beweis. Ist P~ = (~1, ~I) ein beliebiger P~mkt im Innern yon R, der der Mittelpunkt eines ganz in R gelegenen Kreises So sei, und benutzt man die in dem yon S und So berandeten Gebiet Ro definierten LSs,mgsSmktionen Orppt)2 t2(P) = --log 1 ~ + ~ / , rPP1

Orpp~ Orppt OO 0,7

~(P) =

yon (139), flit die

O(log-~l ~ mad also

X~, ~ (P, p) = - 2 ~--~7- j

Y ~ , , = ( P , p ) = 2arj~P' a r F p ' O~ 0,!

0%

'

oflog'--I ~

rpp . On

zu setzen ist, ,~o fiefeIt die Foamel (151) bei a~s der Potentialtheorie bekanntem Vorgehen, wenn man die Kiei~peIipheIie So auf P1 zusammenzieht, u(~a,yl) = ~

{-- [u]s X~, 7, (p', p') -- [V]s Y~, ~ (P , ~') + (8)

(161)

+ [~]s x,,,,, (p', ~') + [~]s Y~,,, (p', p')} 4s

_-- 1~ j"{[U]s K...~. (Pa,

P') -k- [V]s K=n. (P1,

F')} ds

+

(s)

+ ~1

I {[~]s x~,~ (p', p')

+ [~]s Y,,, o (p', f)} d..

(8)

Ebenso finder man bei Benutzung der in dem yon ~ und So berandeten Gebiet definierten LSsungsfunktionen arpp t Orpp I

(P) = _ _

Orpp t )2 (P) = -- lorg~pIp~ 4- ~--g~.q,

yon (139), fiir die X= = ( P , p) -~ 9. Orpp, Orpp,

PPt /

K. Sehr6der.

656 ist

v(~1,~1) = ~

{ - [U]sX~,; (p', f ) - [V]s YT,,~(p', f ) + + [~t]s x,,,~(p', p') + [~]s Y,,,~(p', v')} &

(162)

j {[,,]~K~ (P~, r + [~]~K~ (~, v')) ~, + tS)

+

v')+

r,,,,,(p,,

(8) W~hlt man nnnmehr die LSsungsfunkCionen

u(~,~l) = a l ~ +bl,

v(~,7) =a1~1+ 0

yon (139), so ist Xu,. (P, 10) = -- d cos (n~, ~1), Yu, ~(P, P) =- d cos (%, ~), wenn d eine Konstante bedeutet. Dann mull aber nach dean GAussschen Integralsatz

(~{[~']sX,..~(P P') + [v]sr~,~ (V', ~')) ds = -- d~ {[~]~ co~ (~,, ~) -- [~]~ r (8) und ebenso

(.~,, ~)} d~ = 0

I{[~]~x.,~(v, v') + ~]sY.,~(v, ~')} t

t

(s)

d,

=

o

sein, da u ( P ) und v ( P ) im Punkte P1 yon R nut eine logarithmische Singularitiit haben, wiiJarend ~ (P) und ~ (P) in ganz R stetig sin& Somit ergeben (161) und (162), wenn man beachtet, dab P1 ein beliebiger Punkt yon R war:

1I (S)

und 1 j" / aft/A- r = -- {(ax~(P') + bl)K~(P, p') + (ax~?(p') + va)K,,7(P,t )}ds. (s)

Liillt man daher den in R gelegenen Punkt (~, ~/) gegen einen Punk$ p yon ~q konvergieren, so erhiilt man

a~(~,) + b~ = ~ (~r

{(~l~(p') + b~)K~(f, V') +

+ b~) + (,sl

+ (a~n(~') + ol)K~(V, r

d.,

~,~1~) + ~ = -g l~,~(v) + ~) + ~ . {(a~elv') + b~)K,~(v, v') + (8)

+ (a~n(~o'l + ~)K,~,,(V, f ) } & , womi~ der tIilfssatz bewiesen ist.

R a n d w e r t a u f g s b e n d e r Differentialgleichung A A U = 0.

657

9. Welter gilt der H i l f s s a t z : Das I~x/ra~leic~u~ssysl~n (!59) be~/tz~ k e / ~ komp/exe~ E/ge~oen. Beweis. Sei x = a , + i g ~ mit g~ =~ 0 ein solcher gigenwert; die zugeh6rigen nicht identisch verschwindenden Eigenfunktionen seien

gl (p) = ~ 1 (p) + i gl ~ (~). Bildet man damit gem~J] (152) die LSsungsfunktionen ul(P) = '~11(T) + iul~(P), vl(P) = v ~ ( P ) + iris(P) yon (139), so folgt aus

(~) + u~ I { / ; ~ (,)

u, (~) = / 1

(p' p')h (p')+ ~. (p, :.')g~ (~')} as,

u~' (p) = - h (~0) + -~ I { ~ ~. (~,, ~,') h (p') + ~ . ~ (p, v') g~ (v')} d ,,

(16a)

(~

'I

(8)

(8)

indem man die erste b~.w. &itte Gleiehung mit ~1 + " mulgiplizie~t trod sie jewefts zu d e r m i t

1 -2 ~

multiplizierten zweiten bzw. viezten Gleichung

hinzu~ldiert. -~--U

1

lq-x

,,

2t" (8)

9.

v,

"2 v~ = gl + ~

{K~/~ + K,~gl}cls =O (8)

oder, indem man zu Real- und Imagin~teil iibergeht,

(l+~l)

v~-

(1 - ~-~),J~'o+ x~ v"h + ~.= v;'l = o. Beachtet man nun, da~ die mit den Funktionen ull(.P), vll(_P) bzw. ulg.(P), vl ~(P) gebftdeten Aus&iicke X~,,. ~,, (P, p), Y,q,, ,,, (P, p) bzw. X,, .~, ,,, (P' P)' Y~, 2, ",, (-P' P) sich nach den Beme~kungen am Anfang des AbschnitSs5, fails der Punkt P den KuIvenpunkt p passieIt, stetig verhalten, ~o folgt, in-

658

K. Sehrfider.

dem man die erste der zuletzt erhaltenen Gleiehungen,nit X~, ~, o,, (1~,T) multipliziert, ale zu der mit Y . t , , ~ (P, P) multiplizierten dritten Gleichung addiert nnd davon die mit X~, ,, ~, ((p, p) multiplizierte zweite Gleichung uud die mit Yu11, ~tl(P, multiplizierte vierte Gleichung subtrahiert, nat.;, indem man alsdann tiber S integriert wegen (151)

~)

(s)

' ')Y,,,,, .,1 (v', v')}~] + F{u•,(P')X,,,,. .,t(P', P') + v,l(P (s)

va [--,, y

(s) Ebenao findet man (1 -~Xl)

[(!{~ ~__ 9 LI(P)' X Uil, V l t ( P'' ~ ' )

~ t - , , y '~tt,',l (p', p')} ds + "~" v 11kV)

i [--,, y ut2, ,t~(~9, pt)}d8] --I-~{~il2(P)' Xtttl, vt~Cp', p') + v 12/~0) (s) _

0

_

~,)[~{~l(v')x.,,.."(v',v')+ +(!{~(v')x.~,

,~tv~

v a

(8)

,

,,y

.,,,~,,(v,v')}d,+ ,

.,~(v', v') + ~(~')r.,~, ~,~(v', v')}d~] = o.

Da die Determinante

I -- X2, -- ;~2 l+nl, --(1--~1)

= 2 n ~ ~= 0

iSt, 80 rni.~sell die Ausdrticke in den ecldgen Klammern versehwinden, d . h . es mu~ wegen

(145)

~o,I + ~o,

~)i

,7+

(R)

+fY (21

und

t\ o,y/

\o~/+~-\~

a,) y ) d~d~ +

(Ra)

0,1 ] J (Ra)

sein.

Randwertaufgaben der Differentialgleiehung A A U = O.

659

Darius enCn;mmt man aber, da~ mit geeigneten Konstanten al~, bll, c1~; all, bil, r

al~, bl~., via; alu, b~s, r

die Gleichungen U~l(P) = a ~

~- ba~,

~11(P) = a l l ~ -J- vii in R, v n ( P ) = a,:~ + e~, in 2 .

u~(P) = a~

-~ bl~

v~,(P) = a l ~ + c12 in R,

bzw. t

vl,(P)

=

9

a12~7 + ~12 in R~

bestehen miissen. Da die Funktionen u~ ,.(P) und v~,.(P) abet im Unendlichen verschwinden, so ergibt sich =

b',,

=

=

=

b'.

=

=

o,

d.h.

~(/')

=

o,

~ ( P ) - o in R..

Subtrahiext man alsdann in (163) die zweite Gleichung yon der eraten und die vierte yon der drit~en, so findet man 2 h(P) = (all ~- ialz) ~ (P) -~- (bll 2r ibis),

2 gl(p) = (all + ial~),1 (p) + (cll + ic12).

Nach dem im vorhergehenden Abschnitt bewiesenen Hilfssatz ist dann abet

/l(p) - ~2 j~~K ~ p" , p')h(p') + g~,(p, p')g~(p')}& = o, (s) [$

91(P) -- ~ j {K,}(p, P')/l(P') -{- K,,(p, P') gl (p')} ds = O. (s) Wegen (159) mit u = ul + iuu (u2 .~ O) ergibt sich somit ]l(P) (l + r) = O. gl(P) (l + x) = 0 . Da abet/1 (P) und gl(P} nicht zugleich identisch verschwinden, so mu~ im Widerspruch zut Annatmae ~2~---0

sein. 10. Wit kSnnen nunmehr den folgenden t t i l f s s a t z beweisen: Ist m vine u~erade Zahl, so besitzt das aus (143)dutch ra-/ache Iteration hervorgehende homogene In~lralqleivhungssystem genau eine l~near unabh~ingi~e J56suny, ]iir die ma~ ei~e beliebige ~ivht identisch verschwindende 1,6su~ van (143) w~kle~ ]~anf$.

660

K. SchrSder.

B e w e i s . Nach dem u yon w 4, Abschnitt 4 schreibe man das System (143) zun~chst als eine einzige Integralgleichung

f*(p) + ~

(164)

K(p, P')I*(P') ds = O.

(6)

Die daraus dutch m-faehe Iteration heivorgehende Gleichung (165)

[(')(p) ~- (-- 1)~ -

' \( ~

[

/l:(')(~,

1"" (p')gs

= 0

(6)

babe die nichtidentiseh versehwindende LSsung ](m). Sind dann e,, e2 . . . . . s~ die m-ten Einheitswurzeln, bei denen el = 1 die einzige reelle Wurzel sei, so setze man (166) m ~., (p)

KO),P')f~)(P') ~s + , , ~ , ] .)

= l(~)(p) - % 9j

(T'P ")t('~

(~)

(6)

e~

K ( ~ - ' (p, 1r

~V') gs.

(6)

Die m-Funktionen ~.~ (r) kSnnen nieht siizntlich identisch verschwinden, da man sonst dutch Addition bei Beachtung yon m

(167)

2:~=0

(e=1,2 ..... ~-1)

~=I

auf

/(~')(p) - 0 schlie~en kSnnte. Verschwinde also fiir ein gewisses/~ die Funktion ~ (y) nicht identisch.

Es folgt -

K (p, p') %, (p') d s (6)

2

K (fl, p')[(m)(p')ds (G)

_

(p,T')I('~

e,, (6)

(6)

-,.,,)+,,.,,,, +(

und also bei Beachtung yon (165)

(1~)

~,,@) + 8:,-~ K(p, p') ~.(p')d8 = 0 . r~

-t-

661

l~ndwertsulgaben der Differentialgleichung A zl U ~ 0.

Auf Grund des im Absclmi~ 9 bewiesenen HiIfssatzes mu~ dann 8~ reell, d. h. % ---- el = 1 sein. Der einzige nichtverschwin~lende Ausdruck der Form (166) ist also der fiir ~u = 1, der wegen (168) gleich einem Vieffachen einer nichtidentisch verschwindenden LSsung /*(p) yon (164) sein mul~:

I K(p, p')l("~

+ ( 2 ) ' I K(~)(p, p,)/(m)(p,)ds +

(6) D Q D ~

(6)

(-- 1)m--1(~-)m--1[ K('-1)(~, P~')f(')(~le) ~8 = ~1/~ (:P), (6)

Dutch Addition der Gleichl~ngen (166) erh~ilt man also bei Beachtlmg yon (167) ~ / ( ' ) ( p ) = kltl*(p),

womit der HilfssaCz bewiesen ist. 11. Man w~hle nun die ungerade Zahl m so gro[l, dal~ der iterierte Kern K(~)(p, q) auf seinem Definitionsbereich durchweg stetig ist. Nach dem eben bewiesenen Hilfssatz verschwindet die fiir den Ke~n (169)

( - - 1 ) " (~)'~ K("' (p,q)

gebildete FRED~OIamChe UnterdeCerminante

nicht identisch in den auf ~ gelegenen plmlrten p und q; es wird also ein solches punlrtepaar Pl, ql geben, daft (17o)

z~ ~)(p'~ ', ql/ ~

o

ist.

Bildet man ebenfalls fiir den Kern (169) die F~DHOLXsche Unterdeterminante ~q f l / '

und setzt man (p, q) = _ 2 K (p, q) +

(171)

.F (~) (p, q) =

r (p.q) =

K(')(p, q) -- + . . .

+ ( - 1)"

K (~, q),

\ q' q'/ ,

(p, q)

Mathematische Zeltsehrift. 48.

(1,, p')

', q)e., 43

662

K. Sch~ler.

so beweist man mit der im Abschnitt 3 yon w5 benutzten Methode, dal~ die F-n~tion (172) ]*(1~) -- q*(P) +(J F(p, r') @*(P')ds stets eine Iiisuag der dem inhomogenen System (142) iiquivalenten Integralgleichang P

(17a)

t*(~) + ~ | K(~, p')t*(p')d, =~*(p) (G)

iat. 12. Wit aind mmmehr in der Lage, den im 8. Abschnit% bereits formulierten SaO. 12 maheweiaen. Sind die ~n wieder die in R gelegenen, gegen S mit wactmendem n konvergierenden Approxfmationakurven, and ste]]%daa Fuakr u(P), v(P) eine beliebige L6sang des Problems (139), (140) dar, so verstehe man unter

~(.)(P), %.~(P) die zu dem Gebiet R. gehSrigen LSsungsf~mktionen der Gleiehungen (139) yon der Fox~. (158), die bei Ann~herung an die Berandung L% yon R~ gegen die dort yon den F~mktionen u(P), v(P) angenommenen Werte konvergieren, also u(.,(P) = ~ I {Kr~,.(P, P')I(.)(Y') + K~,,.(P, ~')g(.)(p')} ds, (s.)

(174)

v(.)(P) =- ~. J {K,~,,(P, r')/(,,)(P') -4- K,~,7'.(P, P')g(,,,(P')} ds,

(s.) wobei wit fiir die FmakZionen/(.)(p), 9(.)(10) die zu (172) analog gebauten, auf die Kurven ~(.) beztig]iehen LSsungen des Integralgleiehangssy~ems ~ ? K{ t~,.~v ", t(.)(v) + ~-j

(175)

p')/(.)(p') + K~,,.(p, v')g(.)(p')}as = ["]s.,

(s~)

'I

(s.) wKhlen.

Wix behaupten, dab innerhalb R.

u(,,~(P) =--u(P), v(.)(P) -- v(P)

(176)

sein muff. Da n~mlich u(.)(P) and v(n)(P) in tg,, + S. stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen, so gilt dasse]be yon den Differenzf,ml~ionen ~.)(P)

= u(.)(P) - u(P),

~(.)(P) = ~(.)(P) -

~(~.).

R~ndwertaufgaben der Differentialgleichung A A U ---- O.

663

W~hlt man zu der Potentiatfnntrtion --

O~(n )

O~(n ~

Ou(~)

0 v(n)

~Ou

0 v\

) = u ~

1(-) (P')

o%,

~-

~

(sn)

o%, (s,o

als konjugierte PotentialSm~ion die Funktion

I O(log 1~ 2 a \ r~,p/ds 2 X(.) (P) . . . . . -~ o v t(") (p') 0%, +-;

j.

(s,,)

~l

"

0 ~ go.) (~')

dS--

o %,

(s,,)

oo

(~) wobei C eine in R~ gelegene Kurve bedeutet, die yon einem beliebigen festen Punbt P0 zu dem variablen Pnnlct P vezl~uft, so ist Z(n)(P) in R~ ~- S~ stetig. Da aber die Randwerte der Fnnlr~ionen u(~)(P), v(n)(P), die sich ergeben, wenn sich der in R, gelegene P~mlrt P der Berandung S~ ni~hert, verschwinden, so folgt aus dem fiir den Bereich R. W S~ benutzten Integralsatz (145), daft in R~, wie behauptet v(n)(P) = v ( . ) ( P ) - - v ( P ) ~ 0

~(n)(P) ---- u(n)(P) - - u ( P ) ---- O,

sein muB. Sind nun die in (171) auftretenden, auf ~ gelegenen P~mkCe Pl lind ql so gewfi~lt, dab (170) gilt, and sind Ply, ql. zwei a~f den ~(.) gelegene PunkCfolgen mit

(n)

Pln -''~ Pl'

qln ~n) ql,

so muff yon einem gewissen ~ ab auch \ q t n / 4= 0

sein, und man erkennt, dab bei unbegrenzt wachsendem ~ die Flmktionen /(~)(P), g(n~(P) gegen die dutch (172) gegebenen LSsungen yon (142) und damit die Funktionen (174) gegen die wohlbestimmten LSsungsflml~tionen 058) des Problems (139), (140) konvergieren. Wegen (176) ist also eine beliebige LSsung u ( P ) , v ( P ) mit der dutch (158) gegebenen LSsung identisch und damit eindeutig bestimmt. 43 *

664

K. SohrOder. w Das ~uliere Problem in der Ebene.

1. In diesem letzten Paragraphen beweisen wit den folgenden Existenzund Eindeutigkeitssatz: H a u p t a a t z IV. Geniigt die Ra~utkurve des ein/ach zusammenhtinyenden, ganz im Endlichen geleyenen Gebietes R den in w 1 ge~annten Voraussetzu~e~, und sind die au/ S de/inierten Funktio~en ~ und a do~ stetiq u~i geniigen sie de~ Relati(m (177)

~{e(P') cos (he ~1) -- a(p') cos (n~,, ~)} ds = O,

(s)

dann gibt es (bis auf eine additive Konstante) 9enau eime im Auflengebiet R~ yon R e ~ i g e biharmonieche F~ktion U, deren partielle Ableitu~gen erster Ordnun 9 in R~ + S stetiq s6ut, auJ S bzw. mit ~ und a iibereinstimmen u~d im Unendlichen sieh beschr~,kt verhalte~, w~hrend die partieUen Ableitusuyen 1 wrsdttainden 54). z/weit~ Ordmu~en i,m U~ndlichen wie r~---~ Existiert im Gebiet Raeine biharmonische Funktioa mit den verlangten Eigenschaften, so gilt wieder mit

078)

OU

OU

Ou

Ov

offensichtlich (179)

Ou

8v

und (18o)

[ u l s = e,

[~]s = o.

Hinsichtlich des Problems (179), (180) besteht aber der in den niichsten Abschnitten zu beweisende S at z 13. S i ~ die F ~ n l ~ n ~ ~zd a 99[ E steti9, so gibt es cite LS"s~l u, v des Problems (179), (180), die im U~mdliehen sich beschr~nkt verhalt, wahrend 1 v~sch~n. ihre partiell~n Ableitu~gen erster Ordnu~g wie r~--p Beim Vergleich dieses Satzes mit dem entsprechenden Satz 11 fiir das inncre Problem im ebenen Fall fifllt auf, daft bier die Voraussetzung (177) ~) Es wfirde geniigen vorauszusetzen, d~B die partiellen Ableitungen erster Ordnung yon U sich im Unendliehen besehr~nkt verhalten und dal3 fiir rop -+ c~ lira (ro P D s U ) ~ O

ist -- eine Bemerkung, die sich sinngem~8 auch ~ui die folgenden S~tze 13 und 14 iibertragen l&Bt.

Randwertaufgaben der Differentia]gleichung A A U

=

0.

665

nicht benStigt wird. Will man abet 1,mgekehrt yon einer IAisung u, v yon (179), (180) ausgehend eine in R6 e i n d e u t i g e biharmonische l~lmktion U finden, fiir die (178) grit, indem man

v ( P ) =(!,{ud~ + ~d~} setzt, wobei O eine ganz in R~ verlanfende Kutve darstellt, die einen beliebig gewf~hlten, abex lessen P~mkt P0 mit einem variablen Punkt P verbindet, so miissen die gegebenen Randf~mktionen offenbar notwendig der Gleichung (177) geniigen. Verziehtet man jedoch auf die Eindeutigkeit yon U, so kann die Voraussetzung (177), die fiir das innere Problem immer gefordert werden muflte, entbehrt werden. 2. Mit den dutch (141) gegebenen Kernen betrachte man das inhomogene Integralgleieh~_mgssyst em

/(p) - ~(181)

{A-~(p, ~')l(p') + g ~ ( p , v'Ig(p')}ds = o(p), (s) {K~dp, p')/(p') + K~(V, p')g(p')}ds = ,7(p).

g(p) - ~-

(Xl Das zugehSrige homogene System

t~(p) - -~ (182)

~(p, p')t~(p') + K~(p, p')g~(p'I}& -- o, (s)

g~(p) - -~

{g~(~, ~')fi(~') + g ~ ( p , v ' I ~ ( ~ ' ) } & = o

besitzt nach dem Hilfssatz im Abschnitt 8 yon w6 die drei linear unabh~ngigen LSsungen (183)

h 1 ( ~ ) = ~(~),

~11(~)=

tl~(P) = k,

g~(p) ---- O,

tl ~ (p) = 0,

g~ ~(p) = t.

~(p),

Als t t i l f s s a t z wollen wit mmmehr beweisen: Jede bel/eb~e ~sunq fx (P), ~ (P) yon (182) ist yon den dutch (183) ge~eben~ L6sungen linear abht~ig. Beweis. Mit ttilfe yon/~(p) und g~(p) bride man die dutch ul(P) = u

{K~I(P, P')]I(P') + K~,(P, p')g~(p')}ds,

(x)

(184) vl (P) =

{KTI$(P, Pt)/I(P') -~- KtI~(P, ~)')~l(~)')}d $ (s)

666

K. Schr6der.

gegebenen lr die sowohl im Gebiet R als auoh im Oebiet Ra LSs,mgen der Differentialgleichungen (179) darstellen. Fiir sie bestehen bei Beachtung yon (55), (56), (57), (58) und (182) die Limesrelationen tim ul(/'~) Paa ~ ~

9.

h(p) - ~

j-

| {gee(m, ~')h(p') +

(8)J

'IK Pna ~ P

+

K~(p,

p')g~(p')} ds =

0,

(8)

+ K~(p, p')g1(p')}ds

(18,5) lira u~(P,~) = h@) + ~ P1 ~ J~

= o,

.~@, t,')h@') + (8)

+ K~(p, ~')gl(p')} ds = 2 h(~), u~

,,~(/~) = m(~) + - ~

P~ "-> ~

{K~d~, ~')h(~') + (8)

Da die part,iellen Ableitungen erster O~dnung yon ul, vl in R + S als anoh in R~ + ~ stetig sind und zusammen mit der zu

#~ ----- -,f ~

h @')

a%,

(8)

ds + "g a~ .q' @')

o%,

ds

(S)

konjugierten Potentia~mktion

ds (8)

(S)

im Unendlichen wie r$--~ 1 verschwinden, und ul und vl dort ebenfalls verschwinden, so folgt aua der auf das Gebiet R~ beziigliehen Relation (145) bei Beachtung der ersten beiden Gleichungen (185), dab im Gebiet Ra

ul(P) --- 0 und ~I(P) = 0 sein mug. Da somit auch #1 (P) in R~ identisch verschwindet, so gilt das auch f'fir die konjugierte Potentialf,mktion Z1(P), die ja im Unendllchen yon vornherein verschwindet,

Randwertaufgaben der Differentialgleichung A A U = 0.

667

Damit bekommt man ffir die dutch (147) gegebe~en Ausdrficke, die sich nach den ]]emerkungen im Abschnitt 5 yon w 6 beim I)urchgang dutch die Fl~che stetig verhalten, zun~chst lira X.,,~, (P,,", ~,) = O, ~m

P~v

Y.,,.~(P:, ~) = 0

und also auch

r,m x . , , . , (P~, p) = o,

Aus (145) folg~ da~m abet ,mmi~elbar, d ~ im Gebiet R ul (P) --= al ~ § bl, ~1 (P) ------al ~ + cl sein mu]3, wo a 1, bl, cz Konstanten sind. Wegen der beiden letzten Gleichungen yon (185) hat man also

h (~,) = 89(~ t: (~) + h),

g~ (~,) = 89(~,1 (~,) + ~),

womit der Hilfssatz bewiesen ist. 3. Das zu dem System (182) assoziierte Gleichungssystem

l,(p) - ~ -

{ K ~ f , ~)t2(p') + K~,(p', p)g~.(r')}ds ---- O,

(1861

(s)

g,.(1,) - ~-

{K~(~,, ~)/,.(p') + K~(p', p)~,,.(~,')),~s = o (s)

besitzt dann ebenfalls genau drei linear unabh~xgige LSsungen

t~.~(p), g2~(p);

t,.~(~,), ~,(p);

t~s(2,), g,.3(~'),

so daft man als notwendige und hinreichende Beai~gung dafiir, dal3 das System (181) eine LGsung besitzt

j" {Q (p')/~(p') + (, (~')~(~')) ~ = o, (8)

(187)

.I {e (~')/~(~') + ~ (~')~(~')} ~ = o, (8)

J' {e (~')l~(p') + ~ (~')~.(~,')} ~ = o (s)

ezh~/t.

668

K. SchrOd~r.

Erftillen die gegebenen Randi~mlrtionen diese Be~lingungen, so liefern die nat einer LSsung /(p), 9(P) des Systems (181) gebildeten F~mk'tionen =

p')/(p') +

(188)

v(P) = -~

p')g(p')}d..

(s) {K~(P, Y')I(~') + K ~ ( P , p')9(y')}ds (,s)

offenbar eine LSslmg des Proteins (179), (180). 4. Der Fall, daiS die Bedlngungen (187) nicht effiillt sind, effordert eine ~bnliche Sonderbetrachtung, wie sie beim iiugeren Problem im Raume durchgeffihrt wurde. Liegt der Ursprung 0 des ~, ~/-Koordinatensystemsim Gebiet R, so gentigen die Funktionen

(189)

uo(P) =

~

o(P} =

'I

im Gebiet Ra den Differentialgleiehungen (179). Wit behaupten, daft diese Fnnktionen sich n i c h t in der Form

uo(P) = -~ (190)

{K~(P, P')[o(P') + K~.~(P,P')9o(p')}ds,

(s) vo(P) = 2 I {K,~(P.

P')/o(P') + K,,(P. P')~o(y')} ds

(8)

mit atd ~ stetigen Funktionen /o (P) und go(P) da~stellen lassen. Da n~mllch nach (141) ausfiihrlich geschrieben Ki~ (P, p) = oos~(r~e, ,~) cos (r~p, .~) r~p wad oom(r~, ~) cos (r~p, 7) oo. (r~p. %) K~, (P, p) = -r~p i~t, .rid gleichm~ig f ~ alle P~nle~e F aufE, falls der p . n ~ p auf der positiven ~-Aehse ins Unendliche riickt, die Limesbeziehungen

"~ 1, cos (%p, ~) -* 1, cos (%p, ~) -~0, cos (~.p, %) -~cos (~, . . ) r.p bestehen, so wird ftir die auf der rechten Seite yon (190) gegebene Funktion ~ ( P ) bei diesem Grenziibergang r o p ~ o ( P ) .-+ O,

im Gegensatz zu dam Limesverhalten der auf der rechten Seite yon (189) gegebenen Funktion uo(P), fiir die r o p u o ( P ) ~_ ! -. 1 ro p

sein mug.

Randwertaufgaben der Differentia]gleichung A A U = 0.

669

5. Verschwinden nun ffir die gegebenen Randf~m~tionen Q, a die lh~en Seiten yon (187)nicht gleiehzeit~, so behaupten wit, dab sich drei Konstanten h, k, 1 so besthnmen lassen, dab die Bedingungen (187) f'~ die neuen Randfunktionen (191)

~(P) ---- e ( ? ) - - h -#- -~P) -

tOp

k,

~(?) ---- a ( ? ) - - h ~ u(p)

op

erfiiltt sind. Dazu mii~ten die drei Konstanten aus dem linearen inhomogenen Gleichungssystem

+ ~i g'ic]0')d$

]~ j" {~]~1(~')+r](~P--'--)g21(P')}d8 (8)

(Z)

(8)

(s)

(s)

(X)

(192) (s)

Op'

rop'

r

= | {q(P')[2~(P')+ a (P')qUu(P')) ds, (s) (8)

(s)

=(}(eo,

(p')t~3(P') +

(z)

a(p')g2a(p')}ds

ermittelt werden. Die Koeffizientendeterminante dieaes Gleichungssystems ist, wie alsbald gezeigt werden wird, ungleich Null, so daft eine solche Bestimmung stets eindeutig mSglieh ist. Es existieren also zwei Funktionen ](p) und ~(p) aim LSsungen eines inhomogenen Integralgleiehungssystems der Form (181), bei dem sis inhomogene Bestandteile statt ~ und a die dareh (191) gegebenen Yun~ionen gew~ihlt sind. Die mit ihnen gebildeten Funktionen

u(P) : (193)

2:~ I {K}t(P' p') l(P') -f- K~,(P, p') ~(p')} ds -f- h E~ --toP -t- k, (s)

v(P) = -~ {K,t(P, p')](p') + K,,(P, ?')~(p')}ds + hisS)P + l [Ssen alsdann offenbar das Problem (178), (179), womit Satz 13 ganz allgemein bewiesen ist. Die fox den Fall der Giiltigkeit ~on (187) dutch (190) gegebene LSsung ist offenbar in (193) mitenthalten, da in diesem Fall die sich aus (192) ergebenden Konstanten h, k, l siimtlich verschwinden mtissen.

670

K. Schr(kler.

6. Nehmen wit, am den Beweis zu vervollst~digen, an, dab die e r w ~ n t e Koeffizientendeterminante gleich Null ist. Das zu (192) gehSrige, fiir ~ = a = 0 sich ergebende homogene lineare Gleichungssystem besitzt dann eine nicht triviale L~sung h, k, I. Also gibt es zwei l~unktionen 7 (P) und 9 (p), die eiuem inhomogenen Integralgleichungssystem der Form (181) geniigen, dessen inhomogene Bestandteile die l~un~ionen (194)

h ~ (~)

~ (p)

sin& Die mit 7, 9 gebildeten l~lm]rtionen

~(P) --- -~ {K~e(P, p'),'~(p') -t- K~(P, p')} (p')} ds, (195)

~s)

~ (P) --= -~ {K~e (P, p')/(p') + K ~ ( P , p') ~ (?')} gs (8)

yon act Form (188) gcniigcn im Gcbiet R= den Differentialgleichungen (179) und nehmen auf S die Randwerte (196)

[~]s = h t (~-~)~- k,

[~]s = h ~ (~--~)~- l

an. Die ~lm~tionen r~ p

9

sind dann hn Gebiet R= ebenfaUs L6snngen der Gleichungen (179) und konvergieren bei Anniiher~mg an ~ wegen (196) gegen die Randwerte (198)

[u*]~ ---- 0,

[v*]s = 0.

Da die Funktionen (194) auf S Tangentialableitungen beaitzen, die einer gleichm~Bigen H-Bedingung gentigen, so gilt dasselbe yon den l~mk'~ionen 7 (P), (p), und d amit existieren yon den ~unktionen (197) in R~ -b S die im Unend1 lichen wie r~--p versehwindenden ersten partiellen Ableitlmgen. W~hlt man als zu

v~, _~_ Ou*

Or*

2 0 I

O (l~ r~,P) ds.. k

(8)

( + "~ ~

0%, [8)

Randwertaufgaben der I)iffe~nt~algleichung ,4 A U = 0.

671

konjugierte Potentialflml~ion 0 log g*

=

_

_

__

0~, (s)

(s)

1 so ist 7.* in R~ + ~ stetig und verschwindet im Unendlichen ebenfalls wie r~--p" Da somit die mit d~esem •* gebildeten Funktionen

x.., (/% p),

(P, r)

1 gegen Null gehen, wiikrend in Ra + S stetig sind und im Unendiichen wie r~--p die Fnnktionen u*, v* selbst fin Unendlichen aich besehr~nlr~ verhalten mad auf ~ wegen (198) verschwindende Randwer~ ~nnehmen, so folgt aus dem auf Ra + S angewandten Integralsatz (145), da~ in Ra u*(P) = O,

v*(P)=--O,

d.h. wegen (197) h!+~----~(P),

h-~--+t-----~(P)

sein muff. Das ist abet nach dem fin Abschnitt 4 Bewiesenen nicht miiglich, so daft wit bei der zu Beginn dieses Abschnitts gemachten Annahme zu einem Widerspruch gelangt sin& 7. Schreibt man das Integralgleichungssystem fiir die Flmlrtionen 7(P), ~(p) als eine einzige Integralgleichung in der Form (199)

]* (p) -- ~

K (p, ~o')/* (p')

ds = ~*(p),

(e} so sei die ungerade ZaM m so gew~Jalt, daft der iterierte Kern K (=)(p, q) auf seinem Definitionsbereich stetig ist. Man iiberiegt dann genau wie in w 6, dal~ der Kern (200)

(~)'~ K(=)(p, q)

genau drei linear unabb~n~ge Eigenf~mirtionen besitzt, so dal3 die f'fir Jim gebildete FR~DHO~SOhe Determinante \q~ qa qs/

nicht iden~isch in den auf ~ variierenden Griiflen Px, P2, Pa; ql, ~z, qa verschwindet. Wit w~hlen fiir diese sechs Gr61~en ein spezielles Wertesystem, fiir das diese Determinante nicht verschwindet.

672

K. SchrSder.

Bildet man welter fiir den Kern (200) die I~REDHOLMscheUnterdetermlnante D (m) (P P~~ P8I \q q~ qs qa/

und setzt man Q

D(" ( ' " " " ) r(,~) (p, q) =

~q q~ q~ q8 , q~ qa/

F(p, q) -----Q(p, fl) -}- I D--(P, P')F(m)(P ', q)ds, (~)

so whhle man fiir [* (p) im Rinblick auf eine sp~tere Anwendung d~e dutch

(2ol)

f*(p) =

p')0*(p') ds

gegebene LSsung tier Integralgleichung (199). Die drei linear tmabh~iagigen LSsungen

des assoziierten homogenen-Systems (186) denke man sich ferner dutch die drei linear unabh~ngigen LSsungen

/

(

(202) /~1 (P) = D(') (P' p' P8 ,/*'z (P) = D(m) p~ P2 ~8'I /*a (P) = De'n) (P~ ~' \P qs ~I3

qi P q~]'

\q~ q~ p

der zu (186) ~Clttivalenten Integralgleichtmg

/*(~)- ~?.IK(~', ~,)/*(~,') ~s =

o

(~)

gegeben. 8. Den Satz 13 ergiinzen wit zum SchluJ~ durch folgenden Eindeutigkeitssatz : Satz 14. ,~ind die F u ~ i o n e n ~ u~l c; au/ S stetiq, so kann es hSchstens eine LSsung des Problems (179), (180) geben, die sieh im Une~liehen besch~'gnkt verhalt, w~hrend ihre partielIen Ableitu~en

erster O rdnung wie "~---e 1 vet-

schwinden. Geniigen die gegebenen Randfunktionen ~ trod a der Bedingung (177), so beweisen die S~tze 13 und 14 zusammengenommen den Hauptsatz IV.

Beweis yon Satz 14. Sind die S~ wieder die in R~ gelegenen gegen S konvergierenden Approximationskurven, und stellt das Funktionenpaar u (P),

Randwertaufgaben

der Differentialgleichung

673

A A U = O,

v (P) eine behebige LSsung des Problems (179), (180) dar, so verstehe man unter

u(.~(P),

v(~)(P)

die zu dem Gebiet R~ geh6rigen LSsungsfunktionen der Gleiehungen (179) yon der Form (193), die bei Anngherung an die Berandung 8~ yon R~ gegen die dort yon den Funktionen u (P), v (P) angenommenen Werte konvergieren, also

~,.)(P) = ~ j {K~,.(e, V)/,.,(V)+ K~..W, p')g~,o(p')} ds + (s~) (203)

+ h. ~--g + k.,

%o(P) = ~2 I {.K,~;,.(.P, p)' t (,o(P') +g,~,~, ,,C-p, p')g(.)(p')}ds + ,S a (,,) + h,,-~p + ~.,

wobei wit f'fir die F,mktionen/(.) (p), 9(.)(P) die zu (201) analog gebauten, auf die Kurven S~a beziigliohen LSsungen des Integralgleiehungssystems

t(.~(p)

~

{ ~, (p, p )t(.)(v ) + K~,,.(p, p')g(.)(V)}d~ = [u --

(,,)~~

h. ~.3--~ (P) --

k~].~,

t.

g(.)(p) -- ~2 I {K,~,.(p, p )/(,,)(p ) + K,,,.(p, p')g(.)(p')}ds '

,

(s:)

= ~[v - h. '~,~P(P--A_ "]s~

walden Wir bchanpten, dal~ innerhalb R~

u<,,)(P) - u(p), v<.)(P) - v(P)

(~o~)

aein muff. Da n~zulieh u(n)(P ) und v(.)(P) in R~ + ~ stetige partiolle Ableitungen erster Ordnung besitzen, so gilt dasselbe yon den Differenzfunktionen ~(.)(P)

= u<.>(e) -

u(P),

~<.:(e) = v<.)(P) - v(e).

Zu der Potentialfnnktion

Ou

Ov 1

deren partielle Ableitlmgen erster Ordn~g im Unendlichen Me r~-p verschwinden, gehSrt nun die im Gebiet R. eindeutige konjugierte Potentialfunktion

(305)

Ox Ox = l I 0o z(e)-- I {~d~+X~d,7} (0

(0

OOd~ '

674

K . Schr~kler.

wobei C eine ganz in R a gelegene Kurve bedeutet, die "con einem beliebigen festen Punkt PQ zu dem variablen Punkt P verliiuft. DaB Z (P) durch (205) in Ra wirklich als eindeutige Funktion erkliirt wird, folgt daraus, dab (206)

g-~d~1 - ~ d ~ } = 0

(c) ist, wenn fiber irgendeine in R~ gelegene gesehlossene Kurve C integriert wird, aueh dann, wenn C das Gebiet R in seinem Innern enth~ilt. Denn versteht man im letzteren ~aUe unter Ko einen Kreis um den in R gelegenen Ursprung 0 des Koordinatensystems, der C und damit auch R in seinem Innern enth~ilt, so mull nach dem GAvssschen Integralsatz, da in dem zwischen C und K gelegenen Teflgebiet yon Ra AO=O ist~ O0 d _

=

~J

{b-~d~

-

b-~,a~l

K~

sein. Da aber das rechts stehende Integral' wenn der Radius yon K0 unbegrenzt wiichst, gegen 0 konvergiert, so ist (206) bewiesen. Die dutch (205) gegebene Funktion g (P) verschwindet im Unendlichen 1~. Wiihlt man nun zu der Potentialfunktion offenbar wie r0~----O-U + ,~~j 2

o

-- ~ o ~

t"

0 ,d '

O(l~ 1 ' + 20 I \ rP'P/ds

](.) (p )

a n v,

g(.)(p')

o hog _L, \ r , , : , ds

~ a Jl

-- 0

0 %,

als in R~ eindeutige konjugierte Poten.:,ialfunktion die Funktion

(

O(log 1 ' i(,,)(P) =

+io,1 l(.)(p')

0%,

0 log +Y~

g~,,)(P)

a%,

(sT,)

f

/O0 _,

O~

so ist Z(,o(P) in / ~ + S~ stetig und versehwindet ebenso wie die ersten -- - im Unend]ichen wie r~p" 1 Da aber partiellen Ableitungen yon u(.) uud v(.) die Randwerte der ~unktionen u-~n)(P), v-~.)(P), die sich ergeben, wenn der in R~ gelegene Punkt T gegen die Berandung San konvergiert, versehwinden,

Randwertaufgaben der Differentialgleichung ,J zJ U = 0.

675

und die Funktionen selbst sich im Unendlichen beschriinkt verhalten, so folgt aus dem auf R~ + S a angewandten Integralsatz (145), daB, wie behauptet, u(,--)(p) -

u(n)(P) -

u(P)

~

0,

v--~)(P) = % , ) ( P )

-

~,(~) -= 0

sein mu~. SJnd nun Pzn, P~., I~3~; qz., q2", qs~ sechs auf den ~(~) gelegene Punktfolgen, fiir die die Limesbeziehungen t~

Pz,

P2n ~

l~

P3, ~

P3,

bestehen, so mu~ yon einem gewissen n a b

D ('~) (P~" P~'~ P~') + 0 (n) \qzn q'2n q~n

sein, und man erkennt, dab bei unbegrenzt wachsendem n die Funktionen [(,~)(p), g(,,)(p) gegen die durch (201) gegebenen Funktionen [-(p), ~(p)konvergieren, wenn man noch beaehtet, dab die Konstanten h., k,, t,, die mit Hilfe der dttreh (202) gegebenen Funktionen

f21, n(P)' g21, n(]0) ; /22, n(P)' ~22,,,(P); [23, n(P), g23,,t(~J) gewonnen werden, fiir n -+ oo gegen die aus dem Gleiehungssystem (192) zu bestimmenden Konstanten h, k, l konvergieren. Damit konvergieren aber die Funktionen (203) gegen die dutch (193) gegebenen LSsungsfunktionen des Problems (179), (180). Wegen (204) ist also eine beliebige LSsung u (P), v (P) mit der LSsung (193) identisck, und damit eindeutig bestimmt.

(Eingegangen am 22. Mai 1942.)