E. K:~HLER: Geometria Aritmetiea

195

una completa (ved. 262) estenslone di p~ soddisfaeente alle premesse del teor e m a 280, siech~ valgono le relazioni

(so*)

(So*)

:

(so*)

(so*)

per ogni ~ E (s~*), mediante le quali le formule (***) si semplificano in (+)

= n, (so)

1 (so)

= (so)

is0)

III. In quanto So-modulo, 1' anello A ha u n a so-base linearmAnte indipendente (red. 99), e questa sar'k, secondo l'osservazione 268, anehe linearmente indipendente rood Po • A, sicch~ essa serve a caleolare eel procedimento esposto in ,59 le norme e traecie, tanto in S relativamente a (So), quanSo in (~t) relativamente a (so*), essendo essa anche So*-base linearmente indipendente di L~. (Ved. 276). Qualora a~ sia elemenSo di S, come presuppone il teorema da dimostrare, troveremo quindi NSa~ = ~(Zt) x, (s-i (so,)

(~.+)

Tsx-(Si

T(Z~) x (s**)

in un sense tale, che per x E A i membri destri sono le idee dei membri sinistri di queste equazioni. Da ( + ) e (++) seguono le relazioni asserite nel teorema suddetSo, 4. D i f f e r e n t i

relative.

288. Una varieS,~t V estensione di una varietit V,, (ved. 250) sar~t distinta come estensione algebrica della Vo, allora e soltanto allora, t h e ogni prospeS. Siva ~ E V h a una base anello algebrico sopra la proiezione So ~--S del. 1' aspetto S. Rammentiamo che varietit estensioni si eonsiderano soltanto nel ease di variet'h primarie. Se S ~ l'oggetto di tale variet~ V, ehiameremo S l y , eio~ il soggetto della prospettiva totale di V, il corpo della variet~ V, e la caratteristiea di questo sark delta la caratteristica della varietY. Una varieti~ aritmetica ~ ovviamente estensione algebrica di ogni variettt, di cui essa sia semplicemente estensione. 284. Sia V variettt estensione algebrica della varietal Vo.

I differenti relativi n-esimi

(so)

b,, ~

V ~ s --- So~ Vo

282 - - 284

196

E. K:~IILER: Gco'mctria Aritmettca

sono gli ideali

~" Vo(s) V di u n a figura b n V . in V, che diremo V relativa

alla

la

n-esima

differente

di

Vo.

DI~OSTRAZIONE. - Da S D s in V segue So D So per le eorrispondenti proiezioni 80 *-" S , so ~ s in Vo (red. "254). Di seguito a So E V(so), S E V(s) sono soddisfatte le premesse del teorema 15 per Ao -- so, Ao -" So, A -- s, A-~ S, sicch~ possiamo ricavarne la relazione

V~V(8)=b,,

=V,,

• 8=V,,

(s).

caratterizzante l ' i n s i e m e degli ideali suddetti quale totalit~ degli ideali di una figura. Nel caso di una varietSt V aritmctica definiamo anche la n-esima diff¢. rente (assoluta)

bnV, la quale, in quanto figura, ~ definita da

dove b~(s) designa 1' n - e s i m o differente assoluto, cio~ basantesi (red. 14) sulla differenziazione assoluta. Dato ehe la differenziazione assoluta di un aspetto s coincide con quella relativa al suo sotto-anello [1], la n - e s i m a differente ~,,V d i a n a variet~ primaria, arltmetica e chiusa, pub interpretarsi come differente relativa alla variet~t V([1]). Invero, V--* V([1]), poich~ la prima eondizione per varieth estensioni (red. 250) ~ soddisfatta (red. 73) di seguito al fatto [1] C s per ogni s E V, m e n t r e la seeonda condizione si verifica in bane alla chiusura della V. 285. L a relazione generale 0° (~o)C ~ ' ( i ) ~ ~ ' ( Z ) " " " fra i differenti (red. 14) induce la relazione V

V

delle differenti.

2 8 4 - - 285

E. K:/-HLER: Geometria Aritmetiva

197

Se S designa l'aspetto totale della varietk V supposta primaria, la proiezione So ~ S sar~t 1' aspetto totale di Vo ~ V, giaeehb 1' ideale Do "- [~ f'~ So i~ eostituito solameute da elementi infinitesimali. Nel caso di una varietit IT prima, eio~ quando S e So sono eorpi, si ealeolano (red. 19) per i differenti ~,,

gli ideali 0, se n ~ d i m ~ - { - msep.~o , e ~, s e n b maggiore di questa

somma. Infatti, le equazioni differenziali relative a S o d e l eorpo S (algebrieo sopra So, poieh~ V ~ supposta (red. 284) algebriea sopra la Vo) si riducono d (ved. 18) a quelle esprimenti, ehe S . - ~ o S ha una S-base eostituita da S @ insep. S0 S differenziali linearmente indipendenti, hpplieando questa r -- dim ~o osservazione alle differenti, possiamo eonstatare : Nel caso in cui gli oggetti di V ~ Vo sono corpi K D Ko, la p r i m a diffe. V rente relativa ~, Vo non totale ~ quella dell'ordine

K . K n -- dim ~ -}- lnsep. Ko" 286. Rammentiamo e h e l a corrispondenza infinitesimale generiea [A, dA] di un anello A (red. 4), ehe supponiamo dotato di un elemento 1, si eostruisoe in tre passi: 1) A ogni x E A si assoeia preeisamente un simbolo h~, la totalit~ dei quali si designi con hA. 2) Nell' anello A[AA] dei polinomi con eoeffieienti appartenenti all' anello A e con argomenti presi dall'insieme hA si genera un ideale ~ con tutti i polinomi dei tipi A ( x . y ) - - ~ . A y - - y . A~

(~, yE A)

A~. Ay. 3) Identifieando gli elementi x, ~ ~, Ax ~ ~ di A[hA]/b con ~v, risp. con dx, si ottiene [.4, dA] ~-- A[AA]/O.

Semplifieheremo il linguaggio, descrivendo questo procedimento nel modo seguente: Si aggiungono all'anello A i simboli da~(~ E A ) l e g a t i solamente dalle relazioni d(~ -~- y) - - d~ - - dy

= 0

d(~ . y) - - ~ . d# - - y . da~ -- O

--0.

d x . d#

~85

--

286

(~¢, y E A )

198

E. K£nLEa : GeoJ~ctria A r i t m e f i c a

287. Se l'anello A ~ ri~ulta d a l l ' a n e l l o A ~ 1 m e d i a n t e l'omomorfismo col nucleo If, si p u b estendere a a u n omomorfismo ~ di [A, dA] s u [A ~, d%'l:], avente il nucleo ~ -" n . [A, dA] + d n . [A, dA].

DIMOSTRAZIO~E. - Considerando gli elementi di A come simboli di elementi di A ~, il che esige (,) n--0 in A ~ ( h E n ) , possiamo definire la corrispondenza infinitesimalc generica [A:, d~A ~] quale anello generato sopra A~ dagli elementi d~x (~ E A)tegati solamente dalle relazioni d~(x, + y) - - d~x - - day (, , )

~ 0

d~(x . y) - - x • d~y - - y . d~x ~- 0 dox . d~y

~- 0

alle quali debbono aggiungersi le equazioni (**)

dq~ ~ d:y

(per x ~ - - y~)

ottenute dal primo passo della costruzione descritta in 286. Ora, te prime delle reiazioni (**) permettono di sostituire alle (***)le equazioni (+)

d~n ~ O,

(n E n),

siceh~ l' anello [A ~, d~A ~] si presenta defiriito dalle relazioni (, ,) prese insieme col sistema

(++)

(n E u).

n =- O, d°n ~-- 0

L'anetlo [A, d~A] definito da (**) ,~ isomorfo alla eorrisponden~,a infini. tesimale generiea [A, dA1. siech~ l'aggiunzione delle relazioni (**) alle (++) definisee un anello isomorfo a [A, dA]/t~

e. d. d. 288. Per c a l c o l a r e u ~ differente ~ , ( ~ ) , si p u b valersi della ,'elazione

) considerando il differente al membro destro ~ome ideale i n s. h

DI~os~axzrO~]~. - So [s, ds] - - s + ~ s . dx~ Jr- s* dso, definita in quanto s-sopramodulo d i s . dso dalle relazioni h

(*)

Y~ aii" d~t C s . dso ~=~

287 ~

288

(/=1, 2, ...), (aqEs),

E. KXHLER: Geo~ietria Aq'ft,~tetica

199

la eorrispondenza infinitesimale generica di s, l'anello infinitesimale Is ~, d:s °] corrispondente all'anello s ~ = s/p ~'+~ si definisce (red. 287) aggiungendo alle relazioni (.) le congruenze p --- 0, dp -- 0 (per ogni p E p"+~) delle quali le ultime assumono (di seguito alle regole di differenziazione eontenute helle (.)) tutte quante la forma h

Y~ bj . d ~ C ~ . dso

(bj E p~).

]--1

Volendo calcolare il differente b,~ so

si formano tutti i determinanti

dell'ordine h--n della matriee (a,~). I1 differente al membro destro della relazione da dimostrare si ottiene similmente dalla matrice (aij) completata da righe del ripe b~ b2... bh, eseguendo perb i ca]cell solamente modulo t~ra+L Siecome questa seconda matriee differisee della prima solamente con righe costituite da elementi _= 0 rood p " , i due differenti nclla relazione suddetta sono uguali rood p " . 289. P e r peter applicare l'osservazione precedente al ealcolo dei differenti, ricerchiamo pifi in dettaglio la struttura degli anelli sip "~+~ considerati come s o p r a - , n e l l i di So + pm+x/p,,+x, p r e s u p p o n e n d o che s/p sia algebrieo sopra so + p/p

e ehe gli ideali p, Po abbiano basi finite. I. Sia s/p = (So + p/p, zl + p, ..., z,,, + p)

definito sopra So + p / p dalle relazioni (1)

l~(xl, ..., ~ , ) c p

(f~(X1, ..., X,,) ~ so[X1, .... X,,,] = so[x])

(i = l, ... 1), e designi M ( X ) C s o [ X ] un sistema moltiplicativo (come p. es. la totalit/~ dei g(X)Eso[X] soddisfacenti a g(~rl,...,x,,,)cloD) tale, che ogni elemento d i s p a m m e t t a una rappresentazione f ( ~ l , ..., x.,) + p gCxl, ..., ~ )

(con f(X)Eso[X], g(X)~M(x)).

b

Se p = Y. p~. s, estendiamo so[X] a u n

anello so[X~ .... , X , , , u~, ..., u~] =

i=1

= so[X, u] di polinomi a m + h argomenti liberi e ne forniamo l'anello

A = so[X, u]..

M(X)

288

--

289

(contenuto nell'oggetto di So[X, u])

200

Geome~ria Aritmetica

E. KXHLER:

eio~ la totalitk dei q u 0 z i e n t i con numeratore

in so[X, u] e denominatore

in

8o[X] M(X). Dall'ipotesi suddetta, brevemente riprodotta con s : M--ix-i ~ p' segue (2)

s =

o0t~l, ... ~Xm, Pl, ..- ,~hj ~ 1),+1 con n qualunque. M(x~,..., x~) ho

II. 8e Po = ] p~O. So, procuriamo, ehe questi p~o si trovino fra i polinomi i=1

f~(X), supponendo p. es. f s ( X ) = p s ° per i---~'ho. Cib permette di assicurare ehe l' ideale so[X] S=l fi(X). M(X)

a(X) la totalit~ degli elementi f ( X ) = b(X) con a(X)Eso[X], b(X)EM(X), soddisfacenti a f ( x ) C p. [nfatti, si trova dapprima l

con a~(X) E 8o[X],

a(X) c ~, as(X), fi(X) + p[X] i=1

poich~ le relazioni (1) definiscono s/O sopra il corpo so ~-p/p, e poi si osser1

ver~

ehe

a ( X ) - - ~ ai(X), f~(X) C [p r'~so][X] "- PofX]

appartiene

all'ideale

i::t

ho

f,(x) • so[x]. i=1

III. Si seelgano, supposto h =

P

(red. 195),

f~X, u) = fs(X1, ..., X~, u~, ..., u,) e so[X, u]

(i=l-t-1,..., l+r),

omogenei di gradi n i > 1 rispetto agli argomenti u~, ... , u a , in modo tale che ]~(x~,...,x,,, u l , . . . , u a ) + p[u~,...,un] ( i - - l T 1 , . . . , l ~ r ) costituiscano una base dell'ideale delle forme s/p[ul, ..., ua] (red. 196) tangenti lo zero. IV. Designando con U l'ideale E us.A. costruiremo nell' anello individuale

A/U ~ = ~. l + r elementi ¢Pi (i := 1, ..., l + r), le eui approssimazioni (yea. 269)

(3)

(~d,, = fi"'(X, u) + u "+~

generano nel modo l-}-~

(41

f ' ( X , u) = Y, f~"'(X, u). A + u "+1

lu totalit~t f('~(X~ u) degli elementi f(X, u)E A soddisfacenti a

f ( x ~ , . . . , x ~ , p~,..., Ph) C p'+~.

289

E. K ~ : L ~ : Geometrla Aritmetiea

201

V. Prendiamo f{°)(X, u) -- f~(X) per i : I, .... l e

fP'(X, u) -- 0 (n < hi), f~¢"'(X, u) : f~(X, u) (n -- n~), per i -- i + 1, ..., l -]- r e supponiamo gih costruite le approssimazioni (3) e dimostrata l'afformazione (4) per n < N, come certo si pub dire per N : 1. Siano Us k - - I , . . . , \

h--1

i monomi ut ~,...uh~h di grade N in un

qualsiasi ordine, e designino iP~ i corrispondenti prodotti p~l...phih. Poich~ dall'ipotesi d'induzione segue f~(N--I~(X~,p) C pN ei saranno elementi ~ P, C ON+~ cio~ che f~N-~)(X , u ) - ask(X) 6 ~so[X] ( X ) siffatti, che f~,N-~ (w, p ) - - kEa,i~(x,.

-- ~ a~a(X). Ua E f(~). Se qaindi poniamo k

(5)

5'N'(X, u) = f~'~-')(X; . ) - - ~ a~h(X) • U., k

le approssimazioni (~)~--f~(N'(X, u)--}-llN+~ sono contenute nelle corrispondenti Sia era f(X, u) un elemento qualunque di A soddisfaeente a

(6)

f(~, P) C P~+~.

Da f(x, p ) C ply coneladiamo mediante l' ipotesi d' induzione ehe f(X, u) =

~, f~'N-~'(X, u). b~N-~'(X, u) + ~. b~(X, u). Uh i=1

k

con b~(N-~, ba 6 A, oppure

f(X, u) = E A'~'(X, u). bi'N-',iX, u) .9c ~ oa(X, u). Ua

(7)

k

con ca 6 A, come risulta da (5). L' ipotesi (6) e i l fatto f ~ ( x , p) C P~+~ indueono allora E ca(w, p). iPa C k

CO ~+~, sicch~ Ec~(x, 0). U~-{-p[u]6s/p[u~,...,uh] i~ forma di grade/~ tangente k

lo zero. Si troveranno pertanto (red. III) r elementi g~(N-,~(X, u)6 A, forme di gradi N--n~ rispetto agli argomenti u, coile quali si strive ~,va(x, O).Ua C k

C :~ g~'~-",'(x, u). Ii(x, u) + p[u].

Essendo la differenza Z ca(X, 0). U a -

Z g~-%'(X, u). f~(X, u), riguardo

k

agli argomenii u, polinomio omogeneo di grade N, i cui eoefficient.i si annullane rood p dope la sostimzione X ~ x. essa ammette (red. II) una rappre' " so[x] sentazione ~ (,=E ed,(X), f,(X))U, con e,a(X)~ ~ ) , siceh~ tenuto eonto di f~(X, u)C/~(~v)(X, u) + U, si ottiene 1

y. c,(X, u). U, C ~ f~'CX, u) (~ e~(X). U~) + ~ g~'~-n,'(X, u) . 5~'~'(X, u) + u ~+~ k

~-x

k

i>l

~89 Annali di Matematica

a6

202

E. KXHLEn: Geouletria Aritmetica

eio~ finalmente (red. (7)) l+r

C8)

f(x, u)C i =Zi f/s)(X, u). bS)(x, u)+ uN+

COn

b,(~)(X, u) -- b~(N-~)(X, u) -{- E e*e(X) • Uk 1, b J ) ( X , u) : b~(N-~)(X, u) + g J - " * ) ( X , u)

(9)

il ehe verifiea la (4) anche per n - - N

(i ~ l) (i > l).

e quindi generalmente.

VI. Avendo provato IV, conoseiamo la struttura dell'anello s/pn+~: (~0)

s/p

,,+~ so[X~,..., Xm, u~,..., u,,]lf~, ------M(XI I... , I

A / f .,)

con

t ~'', = Z f,(~'(X, u ) . A + U'*+~ .

VII. Siamo ormai in grado di indieare le equazioni differenziali di s/p n+~ relative a so + p~+l/t0 ~+~. Le equazioni differenziali di A si ottengono, aggiungendo alle equazioni da (X, u) -- E axe(X, u ) . dXi-{- E au¢(X, u ) . du~-[-doa(X, u), (dove a(X, u)

elemento qualunque di A e doa designa una combinazione lineare di differenziali di elementi di so) le sole relazioni d(ao -b bo) - - dao -- dbo : 0 d(ao . bo) - - ao . dbo - - bo . dao -- O,

(ao, bo E So)

poieh~ la totalit/~ di queste equazioni garantisce la validiti~ delle regole di differenziazione. Siccome secondo 287 le equazioni differenziali di A/~ (m si derivano da quelle di A, aggiungendo le relazioni f~n~(X, u ) ~ O, d~(n~(X, u ) ~ O, troviamo che (in conseguenza a (10) e (2)) fi,¢(x, p) . dxj + hE l~,~(x, p) . dpk -- O, j=l

(i = 1, 2, ..., 1 -[- r)

k=l

"

dq ~ 0 (q E p,,+l), dao ~-- 0 (ao E So)

sono le equazioni differenziali di s/p n÷l relative a s o - [ - p ' ÷ l / p ~ + l , presciso da quelle esprimenti s. ds :

E s . dxi + ~2 s . dp~ + s . dso + s . do "+1. ~r---1

k:l

L' ideale

289

E. K~IILER: Geometria Aritmetiea

203

a cui si riferisce l'osservazione 988. 6 quindi generato da On e dai determinanti di ordine m + h - v presi dalla matrice

k= l,...,m

k= l,...,h

i----1

~,~, 1 l+l

fl.)(x, p) $ t' k

l+r Da N"'(X, u ) C f~(X, u ) + u ~ per i > l e dal fatto, t h e f~(X, u) ~ omogeneo di grado ~> 1 rispetto a u l , . . . , u h (red. III), mentre per i~_ ho si ha f~c°'(X, u)=p~o (red. II), segue, t h e la matrice suddetta coincide rood p con la seguente : k= l,...,m k= l,...,h i--1 ho

(ll)

/ ....

0

f ip~,-, tltl~ P)

l

t+t

o

0

l+r Volendo conoseere il primo indite v per eui

D[_ _.s/_p2___,~sia ' ~So + p ' / p ' )

-- s -~- p~/p~)

dobbiamo calcolare il rango m + h - - ~ di quella matrice rood p, il quale 6 almeno uguale alla somma dei ranghi ]nod p delle matrici k=

1,..., h

k=

i=1

1,...,m

i--ho+l •

f'l~(z, p ) =

U,

e d ' a l t r a parte soddisfa atla disuguaglianza (12)

m -{- h - - v ~ l - - ha + tango (U mod p). Partendo da relazioni pto C k=l ~ a~(~).p~ +

p, (con

s0[X] conse-

a~(X) E ~ - ~ )

guenze delie ipotesi I e II, possiamo prendere (ved. V) k

fia)(X, u) - - p i ° - - ~ aih(X), uk e quindi U -- (-- a~h(x)). k=I

289

E.K.,'iImEE¢ : (IcoJ~e'tria ~lritmetica

204

Ora p o ' s + P ~ - - - - ~ . p ~ ° - s ÷ p ~ ' :

~ ~

rango (U mod t.')= IP-o • S :q2-p2) • Per calcolare il rango ( F m o d p ) messe I le relazioni

aik(x . p ~ ) . s + p ~ mostra (ved. 257)

osserviamo, the di seguito alle pre-

(5~(x) + p) . d(x, ÷ p) C s/p . d(so + p/p)

(i -- 1, ..., l)

definiscono il modulo sip • d(s/p) -- Z s/p • d(x, + p) + s i p . d(so ÷ p/p) sopra s/p . d(so ÷ p/p) (red. 18), e che pertanto (red. 19) dim

s/p insep.- s/p -- m -- tango ( F m o d p)~ so + p/p + so -t- P/O

il che fornisce m+h--r~(po

• s05-~ P~I) + m -- (dim s0 -~P/p + insep.so - ~ )

•

Tenendo conto di

(oo

o,t ÷ (oo o÷

ne deduciamo mediante l'osservazione 228 il teorema 290. Se s/p ~ algebrioo sopra So ÷ p/p e gli ideali p, Po hanno basi finite, il primo indite v per cui sia b~ So - - s , soddisfa alle disuguaglianze (po • 8P-+- t0~')~ + dim

s/p ~ v ~ ( p o . S + p ~) + dim - s/p q- insep. - sip So ÷ p/p P So ÷ p/P So + p/p

(purch/~ i differen~i esistano, it che certo avviene, quando p sia estensione algebrica di Po) D I ~ o s T ~ z I o ~ . - La seconda disuguaglianza ~ gi~ dimostrata. Quanto alla prima basra osservare, che it corpo s/O pub essere generato sopra so + O/P con m = dim

s/p ÷ 1 -+- insep, s/p so + p/p s° + 1o/P

elementi x~ ÷ p (red. 37) e che in conseguenza di questo si pub trovare un sistema fi(X) E so[X] (i ~ t) soddisfacente alle premesse 289 I I e costituito solamente con s/p

l -~ ho ~ 1 Jr- insep, so ~-O-~V p

~89 ~

290

E. K~HLER : Geometria .lr~tmeti~a

205

polinomi (ved. 29.5). I n t r o d u e e n d o questi valori di m, 1 in 289 (12), si ottiene la. disuguaglianza da dirnostrare. 291. Le eonsiderazioni esposte in 2~9 sono preparate a dare un risultato pifi dettagliato di quello or era enunciate sui differenti, ehe perb presuppone la dimostraz, ione del lemrna ehe segue: (Valendosi delle deuominazioni di 289, si pub dire ehe) l' individualit~ s* isomorfa alta perce#ione ~+~

211 ~=~ ~(X, u) . 21

So[X, u] i 21 = ~ / u •

d~

DIMOSTRAZIONE. L a sostituzione X--~ ~, u - - - p m u t a ogni elemento =(X, u) 6 ~t definite da (~(X, u)), = a,(X, u) q- II"+~ nell' elemento ~($, p) di s* definite da (~(~, p))~, = a,(a% p) q- p"+~, stabilendo eosi un omornorfisrno di 21 su s*, poich~ di seguito a 289 (2) ogni elemento di s* b in questo sense i m m a g i n e di un elernento di 2t. Sia ~'X, u) un elemento del nucleo di questo omornorfismo, il ehe equivale a supporre a,,(~, p ) C P"+~ per ogni n. Seeondo 289 (4) vale allora

/+r

(*)

aN(X, u) C ~ I%'N'(X, U) . b~'N'(X, u) + I1N+~ i=l

eon

b~'N'(X, u) = b~N-I'(X, u) q- Z e~s(X) . Uh

(*.1

(i ~ l)

k

b~'N'(X, u) -- b~'N-t'(X, u) + g~'N-"~'(I, u)

( / > l~

poich5 il fatto aN(X, u) C aN_I(X, u) q- ti N indue~;

aN(X, u) C Y~fi'N-l'(X, u). b~'N-I'(X, u) + UN e permette pertanto di riprodurre la eonelusione con Ia quale si dimostrava la formula rieorrente 289 (9). P o n e n d o n, -- 0 per i ~ l e (~i)N-- biN+"i(X, u) q- I1'v+l per ogni i e N, si g~rantisoono di seguito a (**) le relazioni (~)~r C (~)~-1 neeessarie e suffieienti affineh~ esistano elementi ~i 6 21 con le approssimazioni (~),,. Siecome da ( . . ) segue Z+,"

aN(X, u) + U~+1 C ~ fi'N'(x, U). b~'N+n?(X, u) + UN+I = ~ (q0~)N(~)N, i=:t

avrerno ~(X, u)E )/~i(X, u ) . 2t, e, d. d. i

29%. Designi d* la differenziazione generica in una individualit~ s*, cio~ quella data dalla eorrisponden,,a infinitesirnale generiea [s*, d*s*] di s* (red. 5), e sia So --- s. Di seguito a (~ p * ~ - - 0 (red. 270) l'ideale i ~ l , ... ,CD

u =

n

Is*. d'so +

290-

"~2

p*'[s*, d*s*]l

E. K~i.HLEI:~: Gc,o~('~ria .4ri~tmetica

206

contenuto in s*.d*s*, donde segue che il sotto-anello s * ~ n/11 di Is*, d*s*]/11 isomorfo a s*. Identifieando ogni ~Es* con l'elemento corrispondente ~ @ n di quel sotto-anello, e scrivendo d ~ invece di d*~ + n, si definisee una cor80

rispondenza infinitesimale

[ d -i ss* *- - s * + .

d

-

8*~ 80

dis*,

8o

s* ~

Is*,

d*s*l/ll

la cui differenziazione sari~ distinta dalla generica, chiamandola la

differenziazione individuale d i s relativa a so. Se 1' s*-modulo s*. _d s* ~ finito, 80

sicchb pub applicarsi la teoria di F I T T I ~ G, designeremo con

l' n-esimo differente individuale d i s (o p) relativo a so (o Po), eio~ l' ideale in s* generato dai determinanti di ordine m - n della matrice (a~h) di an sistema (di equazioni differenziali individuali relative a so) '-

d

a,h • - ~a =

k~l

0

(i :

80

1,

...)

'~ d di equazioni eio6, t h e definiscono s*.-d s * - - Z s* • - ~ . 80

k=l

8o

293. Le effuazioni differenziali individuali relative a So dell'anello s* descritto in 291 sono " 3~i(x, p) d i~ ~ ( x , p) d • - x,h -4- Z 0 i-~l, l-{-r). k=l DI~IOSTRAZIONE.

~Xk -

80

i=1

~pj

8o p j - -

"'"

Valendoci delle denomiuazioni usate in 289, eonsideriamo

s* come immagine omomorfa di : ~ -

siX, u] / -~:~/u

del tipo descritto in 291.

I. Da ogni a(X, u)E s°[X' u] si ottengono gli elementi M(X)

ax(X,,

u) _ ~a(X,~x~u) ,

a,j(X, u). __ Oa(X,_~uju)

dello stesso anello, calcolando le derivate parziali col solito proeedimento, che ovviamente ha risultato unico, q u a n d o si eonsiderano gli elementi di So come costanti (in senso ovvio). Questo proeedimento ~ tale, che ogni elemento a(X, u)E ~ definito da (a(X, u)), ~ a.(X, u) -~ U"+1 determina le approssimazioni

(.)

(~x,(x, u)). = a.x.(x, u) + u "+1, ( ~ (x, u)). = a,,+~, ~s(x, u) + u "+1

~92

--

293

E. K~H:m~: Geomctr~a A r i t m e t ~ a

207

di elementi axe(X, u), au,(X, u) di ~ , poieh~ le relazioni a , + , inducono a,,+~x~ - - a,,x~ C U " + ~ , a,,+~uj ~ a.+~u. C tl"+~.

a,, C U"+~

II. Designamo generalmente l'idea in s* (red. 269) di un elemento d i s col medesimo segno come questo elemento stesso. Quindi, se a,,(x, p ) + p"+: 6 la n-esima approssimazione di un elemento a(x, p) 6 s*, avremo (a(x, p) - - a,(x,, p)), = p"+~ epperb a(x, p) - - a.(x, p) C pn+l. s* = (p*)"+:

(**)

(red. 271)

Similmente si derivano da (.) le relazioni

~,(x, p) -- a., ~,(~, p) C P"+~. s*, %j(x, p) -- a. ~j(x, p) C P"" s*, le quali, tenuto conto delia eonseguenza d*a(x, p ) - - d*a,(~c, p) C O" • d's* di (..), insegnano d*a(x, p) - - ~ ax,(x, p) . d ' x , - - Z o:~(x, p) . d'p1 C s* . d'so + p*".d*s*

(:.)

di seguito a d*a,,(x, p) C E a , x~(x, p) . d ' x , + Z a,, ~j(x, p) . d*p + s* . d'so. i 1

Passando alla differenziazione individuale d definita in 292, dedueiamo 8o

da (.~) l' equazione d_ ~(~c, p) = y, a~i(~c' p) • -d x~ + ~, o%(x, p ) . ~ d.

(+)

8o

i

80

]

"

Cib dimostra

s * . d s * = ~ s*. d

+ ~ s*. d

e le relazioni d

(++) k= 1

III. s* d s* 8o

h

d

~, ~(x, p). ~ox~ + # =~1 ~, ~(x, p). Sopi = o. '

Per provare ehe queste 1 + r

equ~zioni definiscono il modulo

osserviamo che le relazioni

(a + b)z(X, u) -- az(X, u) + bz(X, u),

(a . b)z = a . bz + b . az

indueono (mediante (~)) le relazioni

(~ + i~),(x, p) = ~,(x, p) + ~,(x, p) (~. ~),(~, p) = ~(x, p). ~,(x, p) + Zx, p). ~.(x, p)

~8

(Z = Xi o u.~)

E. K~HLI~R: Geometria Aritmetica

208

e quindi la validitSt delle regole di differenzia~ione d 8o

d

80

d

d

d

80

80

8o

se si definiscono i differenziali d_ ~(~, p) delle <
formula (+). P e r due espressioni ~(r,, p) e ~(x, p), che rappresentano un medesimo elemento d i s * , sarA, (ved. 291) ~(X, u)--~t(X, u ) C Z~(X, u ) - ~ , e le relazioni (+~-) servono altora a p p u n t o per garantire l' unicitit d ~(x, p) -- d ~(~, P) della 80

- - 80

forma pfaffiana assoeiata dalla formula (+) a quell' elemento di s*.

--s*, definite dalle Rieonosciuto ormai il sopra-anello {s*, d-s*] so ] - - s * + s * • dso relazioni (++) prese insieme con d

d

8o

8o

- ~- - ~ = O

(~, ~ ~ s*),

come corrispondenza infinitesimale di s*, ci r i m a n e a verificare

(++)

n

s*

So + P*". s*,

s*

= 0

(ved. 292), appoggiandoci su quelle relazioni. Notiamo all' uopo che 1' anello s*, so

]

-- p* + s* -ds * , e cio~ aspetto noetheriano, poich~ (ved. 279) s* ~ noetheriano 80

s* e s*, so

= s * , -so xl,...

' ~o~,,, Sop1,..., ~op~ . Ne segue (red. 99) n

= o,

il che equivale a (~-+~) di seguito a d ~- So = O, D" = p*" + p*"-* • - s* 80

80

e al fatto t h e il membro sinistro di (÷÷÷) si decompone in

n ~=-I, , . . , CC

P*" -1-

N ~-~1, , . , ,00

~93

p , , . ds,. ~0

E. K~HLER: Geometria Aritmetioa

209

294. Se nel caso O-÷ Oo il corpo s/p ~ algebrieo sopra so + p/p e gli

").

ideali p, Po hanno basi finite, allora esistono i differenti individuali ~.* ( ~ (red. 29?), i ffuali risultano uguali a "-- ~)))

* 8*

purch~ i differenti al membro destro altresi esistano. DIMOSTRAZlONE. - Soddisfatte le premesse di 289, 291, 293, poSsiamo vaterci delle relazioni descritte in 293 per calcolare il differente 0 , * ( s ) q u a l e ideale generato dai determinanti di ordine m + h - - n

k=l,...,m

j=l,...,h

~,(~, p)

~%(x, p)

~x~

~pj

i~1 .

della matrice

l~-r D ' a l t r a parte rieaviamo da 289 VI, ehe i l differente

considerato come ideale D plVel in s, ~ generato da oN+I e dai determinanti di ordine m + h - - n delia matriee k-- l,...,m

i--1 l+r

~f~,N,(x' p) ~xh

j=i,...,h ~f~,N,(~, p) ~pj

dove i punti al di sotto sostituiscono elementi di pN. Ora da (q~i(X, u))~z--fi(N~(X, U)+ UN+I (red. 289 (3)) si deduee af~(N,(x, p) az

a¢p~(x,p) s* 3z C pN.

(per z - - ~k o --- p

e quindi

• + pN+VpN+~]"

294 ,4nnali di Matematica

~

E. KXHLER: 6teometria Aritmetica

210

dove il membro destro ~, seeondo 288, u~uale a *

Basta finalmente applieare il lemma "236 per eompletare la dimostrazione. 295. Studiamo con maggiore ampiezza il easo che p sia regolare, pur mantenendo le premesse di 289. Siano r la dimensione e t l'inseparabilit'~ di s/p relative a so A-P/P e supponiamo ~:1, ..., xr+,. E s siffatti, che i differenziali d(z~ -4- P) (i = 1, ..., r + ~) eostituiseano una s/p-base di s / p . d(s/p) rood s / p . d(so "4- P/P). Traspor~ando i ragionamenti di 37 al easo presente e scegliendo la numerazione degli x~ in modo appropriato, si realizza la situazione seguente: k - - (So -4- P/P, x, -4- P, ..., x, -t- P) ~ r - d i m e n s i o n a l e sopra so "4- P/P, ko -- (k, x,, Jr" P) con m -- r -4- ~ -t- 1 e x,,, E s, 6 il massimo corpo separa. bile sopra k, intermedio fra k e s/p, s / p = (so + p/P, z~ + p, ..., z,, + p). Possiamo quindi prendere per M(X) (red. 289) la totalitA dei polinomi so[X~, ..., Xr] non appartene.nti a po[X~,..., Xr]. Definiamo sueeessivamente i eorpi intermedi k~ 0 . - - 1 , . . . , 0, ponendo k~----- (ko, x~+l "4- P), k~ - - (k~, tv,.~ ~ -f- p), eee. L'inseparabilit~ p u r a (red. ~5) di k~. relativa a ko, e quindi a k~._l, permette di definire kz relativamente a k~_~ con una relazione del tipo F~(a:,,

~,,,) .--. ~ " z + g(~r~, .." ~,,) C P

dove p designa la earatteristiea di s/p, e g(X)fi so[X,,...,M(X) X~+t_,, X~,]

Dalla

separabilit~t di ko sopra k segue similmente la possibilit~ di definite ko relativamente a k mediante un' equazione

to FoCX~, .... x,,) = xY,~+ ,=1 "~ a~Cx). ~ " ~ C P il eui membro sinistro soddisfa

con a~(X)

Eso[X~, Xd MCX) '

a

Fo~,Cx~, ..., o~,,,) c]z p. Ammettendo aUora ogni elemento [(X) ~ so[X~, ..., X,,] = M(-Xi so[X] una rappreM(X) sentazione

(,)

t(x) =

~ o ~ ( x ) . F~(X) + ~---0

Y, a,.,,, . ..CX) t*~fo

294

--

~95

X,,, • x ~

... x ~ ,

E. KXHLER: Geometria Aritmetiea

211

con a,,,,1 "'" ,,I(X) E so[X1M.... ( X ), I,.] , e essendo re" ).=lIIp"z il grade di s / p relative a k, si conclude t h e f(~l

'""

~,n) C P equivale a a,,,~ ... ,,,~(X)E __r--poixj,siceh~

M(X)

so[X]

he

k=O

so[X]

i=i

he i=1

,

la totalit'~ degli etementi f ( x ) soddisfacenti a [(;c) C PPonendo f~(X~, ..., X,~) = pie (i <_ he), f~_~÷~.(X)-- Fx(X) e he -{- L A- 1 -- l, si ottengono elementi f~E so[X] i quali, p u t non essendo polinomi come ave. M(X)' vamo supposto in 289 I, soddisfano alla premessa 289 II, ehe unicamente essenziale per le conclusioni tratte in 289, siech~ possiamo afformare l'esi. stenza di h0 q - ~ - l elementi

So[X. u] /

~,(X, u) E M ( : X ) / U

= ~ tall ehe (~,)o -- f~(X), s* -- ~ / Z , q~,(X, u ) ~

(red. 291). Ricorrendo alla lore eostrttzione deseritta in 289 V, vediamo subito, che tutti quelli fi(N)(X, u) approssimanti i q~(X, u) possono scegliersi come polinomi in X~+~ .... , X,~ di gradi limitati, e preeisamente del ripe (, ,)

fCN'(X, u) = f~X) +

~, ... /,,,, ,N) (X, u), ~ X , . X~+I ~+,. a~,.,....~ ,,
~N)

dove i eoefficienti a~,~ ...,~ ~ (ain . . . . . *n,)N "-- at.N) .

$~4~

1 ...

M4¢

so[X, u]

approssimano

M(X)

elementi

at,m,... ~ E ~1:

-~- || Nq'l-

Invero, i termini a~a(X) della formula seguito a (.), essere scelti dall'insieme ,2

,,,~ ,,,~ x ~ , . x , 4 ~ ... x~+~.

ricorrente

So[X~,..., X~] M(x)

289 (5)possono, di

'

.
e, faeendo cosL si verificauo le relazioni a! N~ C a (N-n + I1N neeessarie e sufficienti per l'esistenza degli ~,,,~,...,,~ . Riassumendo questi risultati e le lore eonseguenze riguardo al ealeolo dei differenti, serivendo y inveee di x,,, e z~ inveee di x,+~, usando hello stesso tempo un linguaggio pifl sempliee, il cui sense precise perb sark pienamente perspicuo. 296. Sotto le ipotesi h

he

P ~ t3o, s / p ~ algebrico sopra so -q- p / p , p = E p~. s, Po = E p~o. s,, dim so "4s/pP / O = r,

insep, 80 ~s/pO/P - - : '

295

--

296

P ~ regolare,

212

E. KXm.~r:: Geometritt Aritmetiea

si !rovano elementi ~v, (i ~ r). y. zl 'j Sg :) di s e u n aspetto s,. di base [so, x~, ..., x~] e origine ~r == ];,~ " .~ siffatli, che s* -~ [~, y, z~, ..., z:] ~ sopraanello a ba,~e finita sopra l'(~nel~o ~t C s* degli a ~ s* approssimali da elementi di [s~, p~, ... ,p~] con qu~dsiasi prec.isione. L a s t r u t t u r a dell' anello s* ~ definita (in u n senso t h e subito sara precisato) da ho + 1 -]- ¢ equazion~ (I)~(~, ..., ~ , (*)

y, z~..., z:, p~ .... ,Pa) -" p~O -4- . . . . . . . . . . . . . . . .

-- 0

(I)ho+~(m~,...,x,~ y, z~ .... ,z:, p ~ , . . . , p ~ ) z= f ( x ~ , . . . . ~ , y ) + . . . . . . . .

=0

eho+~+¢(x~, ..., x~, y , z ~ , . . . , z~, p ~ , . . . , p a ) = f~(m~, ..., x , , y, z ~ , . . . , z j ) - f - . . . = 0

( i < h o , j < ' : , dove f(z~, ... ,x,,., y ) = yro+ a~ . ya-~ + ... + af, con a~Es~, fj(x~,... ..., x~, y, z~, ..., zj) C zj ~ if" [s~, y, z~ , ..., zl_~], fz, cj: p, fJ~t C P (red. 289 VII), e i p u n l i indic.arm elementi di P% L ' n - e s i m o differente i n d i v i d u a t e (red. 299) ~ , , ( S )

$ l'idealegenerato dai

determinanti di ordine r + 1 -b : A- h - - rt della matrive V --" Xa, ... , ~¢, y, Zl, ... , Z~, p~, ... , p~

:

(~¢,,(®, y_, z, p))

hoA-l-bt \

av

L ' a f ~ e r m a z i o n e t h e le relazioni (,) definiseono s* signifioa q u e s t o : L ' a n e l l o s* r i s u l t a d a l l ' a n e l l o i n d i v i d u a l e So[Z~ . . . . , X , . ,

Y,,,Z~, . . . , Z , , u~ . . . . , u~

u~

(dove M ( X ) = So[Z] senza po[X])

M(Z~,...,Zd

m e d i a n t e l ' o m o m o r f i s m o X~ - - x~, Y - - * y, Z j ~ z j , a v e n t e come n u e l e o l ' i d e a l e g e n e r a t o dagli e l e m e n t i

• ~z~,...,z~, L Z~,...,Z0, u~,...,u~)

uh - - p ~ ,

ao -* aoESo,

( i = 1,...,h0+ 1 + 0 .

297. S e p --~ Po sono pexfette, siovh~ Po' s -- pe, e se di piit s/p ~ r - d i m e n .

sionalmente algebric, o sopra so + p/P, si ha b~*

, [ s~,_

C P~-~ • s* sempre, e

s/p ~ inseparabile sopra so-}"

~96--

297

PIP.

E. KXHLER:

Geometria

213

Avitmetiva

Invero, poichb la prima delte equazioni @~ = 0 (ved. 296) assume la forma p O _ p : ... = O, avremo (in un sense ehe si spiega da se): v -- xl,...,xr,

y,

zl,...,zt

Pl

i--1 2

~)c

.:

A 8*

dove la matriee A ha mod p* il range 1 (red. 289 VII). 298. Quanto al ealeolo esplieito dei differenti individuali b,,* (;.): hal ease "~u!

or era considerate, si raeeomanda di riferire s* al sue sotto-anello st*. I. ~ a n t e n e n d o le denominazioni di 296, avremo

(,)

s--

~

s~. y". z:"~ ... z: ~, + p =

E

n
s ~ . y " , z~~ ... z : ' • p~t-l-pN.

n
e r a , di seguito a fu@, y) ,-~:p. f(z, y A"P~) C f(x, y) + p~. f~,(x, y) + p~ si pub presupporre f ( x l , ... ,x~, y) cI:O "~, eiob O --- f(x,r .... , w r , y ) . s , i' ehe permetre di prendere p ~ - - f ( ~ , ..., ~r,.Y). Da (,) segue allora (**)

s =

~

s,. ~.

z : ~ ... ~:'~ -4- Po. s.

.-
Siccome /0- II p"~ -- f b il grade di s/p retativo a 8~ -{- p / p , vale (red. "~58) i (**)

(p,. s} =

\

s

/s~

e . f,

date che p : s - - p , . . s (red. 296).

D ' a l t r a parte la prospettiva perfetta p~E V([so, x t , . . . ,x~]) soddisfa a p J ' ~ f " [so, xl, ..., x~] = Po" [so, a~l,..., x.~] -- p f'~ [so, xl,..., x~] ed i~ pertanto (red. 73) individuata da p in [So, x~, .... ~ ] , siechb si ha la situazione p~ ~ p. Questo fatto e 1' osservazione (***) mostrano, secondo 277, "
e la indipendenza l i n e , r e degli elementi (+)

y " . z : ~ ... z ~

(n ~ e • fo, % < FJ)

sopra s*. Rieordiamo ehe nel ease preuente 1' individualiti~ s~* ~ sotto-anollo di s* (red. 275).

297

-

298

214

E. K~HLEI¢: (le~mt~lria Aritmetic.a Valendoci delle approssimazioni e--lt

a,=+~(x, Y, z , u)),_~ = f~(x. r , z ) +

~ u, : . f , , , ( x ,

L z) + u ~

e introducendo p~ =-f(x,, y), otteniamo elementi f1(~,, y, z) + ~, (f(~, y ) ) ' , f.,,(x, y, z) C P " s* = Po" s*

(red. 271),

mentre si ha immediatamente ([(~x~ y))~CPo-S*. Ci~) fornisee~ (serivendo Po inveee di pzo), 1 -{- ~ equazioni de| tipo

(~o(X,

y, z) = ) f ( x , , .., ,x~, y)~ + po~;i ~

=,,,~ ... ,,,,(x~, ..., x~) . y " . ~,"~ . z:".. - 0

f0 ~< f~ .
(+~)

(~(x, y, s) = )

si p~' +

Y,

~e. fo my
~,,,,,~. , , ~ ( ~ , . . . , ~ ) . y " . z~'~ ... s~'~ = 0

con a,,m~ ... m~(xx, ... xr), ~,,m~ "" ,,~(x~ , ..., xr) E St*. Dall'indipendenza lineare degli elomenti (+) e dalla forma delle 1 ~ equazioni suddctte segue subito, ehe ogni relazione g(x, y, z ) - - 0 con g(x. Y , Z ) Es~*IY. Z~, ... ,Z~] si deduce da quelle (++) mediante le operazioni ideali (red. 4). II. Rammentiamo ehe l'immersione di elementi y(~)Esr* in s* eonsiste in eib, che si prende in s* (~,(~)),, = o.(~) + p"+~

(+++)

(c,,(~) ~ s~),

se c . ( x ) J r p~+~ ~ Ia eorrispondente approssimazione di y(~) in s~*. La conseguenza ~o.+ICx,, , .,., x,~)

~x,

~c.(x~ , ..., x,.)

~xi

CPo "+~ • s~

di 6~+~(x)- o,~(~)CPon+~.s~ (dove le derivate s'intendono in senso ovvio), mostra, ehe ponendo (

, ..., x.))

~o.(~, ..., x.)

si definiscono elementi ~Y(X)E 8,.* in modo indipendente dalla scelta degli~ele. menti c,(~) approssimanti T(~). Siccome (***) induce (red. 271) T ( ~ ) - v n ( x ) C pn+l. a* e quindi

~98

E. K~_HLER: Geometria Ari, tmetica

215

d

dove - designa la differenziazione individuale relativa a So, avremo 80

d ~o,~,~

(oo)

• ..

, ~)=

~, ~r(x,, ... x,) d

-~

--

~l~i

•

Si verifica come in 293 III, ehe queste sole relazioni, pensate per ogni elemento 7 E st* garantiseono la validit~ delle regole di differenziazione per l'operazione d definita da (oo) dentro l'anello st*. 80

III. Poich~ s * = [s,*, y, st, ... ,zJ, ogni elemento a Es* 6 polinomio in y, z~,...,z,: ~ = g ( x ~ , . . . , ~ , y, z~,...,z,) con g(x~,...,x~, Y, Z~,...,Z~)Es~*[Y,Z], e si ha necessariamente

(0%)

-o:=

8o

a~ ,=,~, . -~o

q-

~

Y-t- i=,~ ~o~''

dove ~g si ottiene dall'apptieazione di (oo) ai eoefficienti di quel polinomio, mentre ~g ~ , ~ og . j sono i risultati della sostituzione Y ~ y Z - ~ z nei polinomi

gr(x,,...,x~, Y, Z~,...,Z,), gz~(x,,...,x~, Y, Z,,...,Z,). In partieolare valgono le 1 ~ :

z

relazioni

~ ~,+~ s~y

~=o

q=o,...,~)

le quali sono sufficienti a garantire la indipendenza della forma pfaffiana d

80

data da (ooo), dalla seelta del polinomio g rappresentante a. Soddisfatte le regole di differenziazione dall'operazione _d definita in s* 8o

da (o°o), possiamo affermare, ripetendo la eonclusione di 293 III, ehe si tratta delia differenziazione individuale d i s relativa a so. ehiaro ormai, ehe i determinanti dellu ma~ric~ V = - - ~ I , . . . , ~ ) . ) y) Zl,...)Zt

/=0 o

derivata dalle espressioni ~t definite in (-~+), forniscono i differenti indiRileviamone un case particolarmente importante:

298

2!6

E. KXHI,EI~: 6'ee~melt'io Aritmetica

299. Sotto le premesse : p --~ Po perfetle, Po • s : pc, s / p algebrico e separa. bile sopra s o + p/p di dimensione r, si trovano elementi x~ (i ~'r), y d i s tall, the p individua in [so, x~, ..., x,.] una prospetliva p~ perfetta siffatta, ehe P~ : t3o" s~ e s* ~ definita sopra s~* con u n a sola espressione ~(x~,..., x~, y ) - t" e. f--1 = (yf-~- Z a~. yr-t)e jr. Po" ~ ~ " Yt -- O, dove a~ E s~, a~ E sr*, f - - g r a d e di s/p i~l

i=I

relative a S~ + p/p. [ dif[erenti individuali d i s relativi a so sono.

9,,* ~ = 0 (n < r), 9.,,*

= , s (n > r), 9~*

= ~

+ ~=~ ~

• s*.

300. Se p - ~ Po sono perfette, mentre s / p ~ finite e separabile sopra so + p/p, il eorpo (red. 273) (s*) 6 finite sopra (So*)e definite da una sola equazione ~ ( y ) - 0 (red. 299). Poich6 90* So --~Y(Y)" s*, il corpo ( s * ) : (So*, y) ~ separabile sopra (so*) allora e soltanto allora, ehe sia 90 ~ =l=O. In questo easo possiamo appiieare l'osservazione 1 ~ e eoneluderne l'equivalenza delle due situazioni

(s)c

T(s, ) (~. [so*, x]) CSo* e ~- 90* ~ (so*)

[so*, y]

per ogni ~ E (s*)

(tenuto eonto di s * = [So*, y]). Ne deduciamo il lemma: Solto le premesse: p ~ Po perfelte, s / p finite e separabile sopra so + p/p, segue per ogni ~ E (s*) ]__x

da T(8~g, ~ os')CSo" lc~ situa~io~/~e~ • 9o*t.~_t C s * e \~o/ (So*)

rip,versa,

301. Sia Po prospettiva perfetta d i k o - - ( s o) e design/ k un eorpo finite e separabile sopra ko. L ' i n t e g r i t k I ( k ) elatotalit~

l,)

ha allora una so-base finita (red. 103)

p~ delle prospetfive (perfette seeondo 263)di baseI(s~), che

• estendono Po, ~ eompleta estensione di l~o. Avendo queste prospettive p~ basi algebriehe sopra So, esse posseggono differenfi Oo(~o) , i quali di seguito a 9o ~ --90 ~ . k (ved. 284) sono diversi da zero (red. 290).

299

--

301

E. KI(HLm¢: t¢~'~mctria Aritmetica

217

I corpi S,/O, sono finiti sopra so-I-l~/P~- Sapponondoli relativamente sepa. rabili, possiamo applieare il risultato 300, trovando cosi. the daa~k,

x . ~o(8~/Cs,

segue T(s,,,(~.s~' )C8o*, ~So*)

(,,) (,,)

poieh~ secondo 294 si ha ~o* so --~)o so "8~*. Soddisfatto le premosse di 266 t h e sono anche quelle del teorema 282 avromo h

Tkz~ k

~2 Tts. *z i:=:t .... Is,:~l

per ogni zEk.

Se quindi k : (ko, y) ~ definito sopr~l ko da un'equazio~e f(y).~ y " % -~-a~. yn-~q_ ... _}. a , , - - 0 con aiEso, si troverh per ogni elemento x Ek soda

~

disfacente a ~ - o o ( s ' t c s , \no/

( i - - 1 , . , . , h ) , a situazione

T k (x. [s., y]) C ": T(s~*~(x. [so, y]) C So*, cio~ T k ( x . [So, y]) C so* f~ (so) --- So (ved. 274), la quale secondo 100 (~quivale a ~c.fF~(y)C[so, y]. Abbiamo dimostrato co:~ cib: Se le prospettive perfette Pt ( i - " 1,..., h) del corpo k - - ( k o , y), definito sopra k o da f(y) -- yn ft. a~. yn-~ _}_ ... _.~ a,, -- O, (ai E so), costituiseono u n a com. pleta estensione della prospettiva perfetta Po di ko, e se di 19lit tutti i oorpi s,/p, sono separabili sopra s0 q-p,/p,, allora si conclude da x.Ek, ae. ~)o(~]Cs, \'.'Ol

( i - - 1 , ..., h) la situazione

~ . f~cy) c is,,, y]. 302. hggiungiamo un lemma the talvolta faeilita il calcolo del diffe. rente ~)o*(so) • Se p --. Po .~ono perfette, mentre s/O ~ finito e separabile sopra so q- p/p, ogni elemenio ~ E s* ~ integro sopra so*. Supposto (s*) -- (so*, ~) definito dail' equa. zione ,5(~.)~_~'q-:¢~. ~.,~-lq_ ... q - a m = 0 , (~Eso*), e separabile sopra (So*), si ha

~o*(: ) = *~(~.). e

quindi ~(~)C ~o*(:0) per ogni polinomio ,~(X) E so*[X] annullato da ~.

301 Anuali di Matematt'ca

--

~)2 ~8

E.K.~HLER: Geometrla Aritmetlca

218

DII~OS~lCAZlOI~E. - I. Poieh6 (s*) ~ finito sopra (so*), l ' e l e m e n t o ~ soddisfa ad un' equazione ~b(~)= ~o" ~*' + a~ • ~'*-~ + ... + :¢,, -- 0 con a~ E So*, ao :~= O~ dove si pub supporre a,,, ~i= P o * = Po" So*, a, C Po* (i ~ m). Moltiplicando con a~x(CSo *) otteniamo una relazione ~"* + ~ . ~"*-x + ... •.. + ~ CPo" [so*, ~], datla quale si derivano, riducendo le potenze di ~ con esponente ~ m mediante questa relazione stessa, altre re]azioni del tipo

~m 2t- yl(N} . ~m-12V. ... -~ ~iN~ c peN+X . [8o*, ~] (yi(N~ E 8o*)

per ogni N 2 0 .

Partendo da T,(°' = ~,, si pub procurare yi ~N+x~- y~lv~C t~0m+~. So*, sicch~ esistono elementi $~E So* Cs* con le approssimazioni (Ti)m= (T~N~)N, essendo (yi(N+X')N+z C (yi(N+I))N C (~(i(N))N -Ju (Po N'4-1 "8o*)N--- ('[i(N))N. Allora (~'~ + y~- ~"-~ + ... • -. "~- Ym)N = (~m ..~ yz¢N, . ~m -~.3V .., +

y(mN))N---~)N+~,eio~ ~m+y~,~m-~ +

... +

7,.=0.

II. Applicando qaesto procedimento all'equazione irriducibile +(~)-" 0 soddisfatta da Ull elemento ~Es* t h e genera (s*) sopra (So*), troveremo ehe in quests equazione si pub prendere ao-- 1. Secondo 100 vale allora

T (s, ) (~-~).[So*, ~])Cso* (so*}

e

quindi (ved. 300) 1. ~ ~.~

D~*(~-| .~\ C 8"~ ~ \ oo/

'

cio~ Do* (~) C ~(~) • s*. P o n e n d o Do*(So)=pr.s * (con p . s - - p ) ,

possiamo affermare secondo 300

anche

[so*,

T(s,___[ } ( p - " . [So*, ~]) C so* e quindi (ved. 100) p - " E ~b~(~) ' (So'} cio~ +~(~) C p " - [so*, ~] C Do*(S-/ e finalmente Do* So -- ~b¢(~). s*.

\Sol

III. Ogni ~(X)E so*IX] annullato da ~ ~ divisibile con ~.(X): ~ ( X ) - ~(X). • x(X) (con x(X) E So*[X]), e si ha ~(~) -- q~.(~) • X(~-)C Do so " 303. Se O b prospettiva aritmetica di un corpo k, mentre Po designa la prospettiva individuata da O ne11'anetlo [1] generato dalFelemento 1 di k, il primo i n d i t e r per cui sia Dr(s)--D~

- - s , ~ (red. 290 e 3~): r----h--~-{-

-{-dim s/p~ dove h signifies l' smpiezzs d i p (red. 195) e ~--0 o 1, seeondoch8 la caratteristica di s/p sia E p2 o no, qualora la si consideri come elemento di k. Applicando la disuguaglianza h o h :> ord : -- dim~ k -- dima s/p g

302

--

303

(ved. 234 e 248),

E. l{'{lil.i';l"

: ID,,,,~'lr'u~

2t9

.lri#metica

nelta qual,~, vab; it segno -- precisam~,nte quando O 6 regolare, troviamo r > dim, k -- dim~, s/p "4- dim .s'/p - - ~. $4; ear k = cars/p, si pui~ sostituire al|a dit'ferenza delle dimen.~ioni arit. m~;tiche quella delle dim,nsioni algebriehe eorrispondenti, e ¢ sara O, poich~ la caratteristi(.a di s/p, iat[.rpretata come elemento di k, b 1o zero di k. In questo caso i.~ quindi r ~ d i m k . Qualora per~J ~.ark sia diversa da ears~O, (,iob ear k : 0, car sip = p .-~- 0, si avra dim sip = dima s/p, dim a k == 'li~ k + I, e pertanto r ~ d i m k + 1, s[,~ p C p '~, e r > d i m k , s~, p c : p ~ . l)al fatto che il rango d~d modulo differenziale ass~Jluto k . dk e uguale a dim k-- n fred. 3 2 ) , {h~.riviamo ancora ~)a(kj-- k, ~),~_l(k)-- 0 e quindi ~),,(s) :4: (L ~),~_~(s) -- 0, essendo ~),,(k) - - ~),,,(s). k (ved. 284). Dato ehe helle disuguag|ianze suddette, e eiob r>_n r~n+l

se

car k -- car sil)

o

se

cark:~=cars/O:pC])

car k =l= car, s i 0 - - p : _ p ~ , ~,

vale ta disuguaglianza precisamente quando p sia singolare, eiob non-regotare, possiamo enunciate ormai i] lemma di MEHNER: Per la regolaritit di u n a prospettiva sionale k ~ necessario e sufficienle : ~),~÷~(s)----s ~),,(s) = s

se

aritmetica 0 di u n cf)rFtJ t~-di.men.

eark=~ears/p=pCO:,

in ogni altro caso.

'~OL Consideriamo aneora un caso importante par la ~eometria algebrica, e eiob quello in cui s sia aspetto di un corpo algebrico e n-dimensionale sopra un corpo fondamentale k,, e abbia una base algebricn sopra k~. sicehb esso pub considerarsi come estensione delF aspetto totale so-" ko di ko. L ' i n d i c e designato con r nel ragionamento precedente 6 adesso (red. 090): r = h + + dim ko +P/Op/p , purch5 sia inseP, ko +P':Op/p -- O, e il teorema 249 fornisce in questo

caso,•

h ~ d i m T -,k :--dinl

~o

tenuto pip

conto

ko + p/p

0 h ~_ ord O

di

oppure r ~ d i m

~o

(red.

234):

la

disuguaglianza

sicch6 ot!ei~iamo il h:mma di

ZARISKI :

Per ogni prospettiva 1), algebrica sopra u n corpo ko con s:p separabile ' sopra ko -1- P/P, il p r i m o differente

~)~.('~') ko uguale a s ~ di indice r ~ d i m

ove si h a ugualit& allora e soltanto allora che p sia regolare.

808

--

80t

k ko"