Analysis Mathematica, 34(2008), 187–224 DOI: 10.1007/s10476-008-0303-6

Ortopopereqniki klassov mnogomernyh  , maoranta smexannyh periodiqeskih funkcii module i nepreryvnosti kotoryh soderit kak stepennye, tak i logarifmiqeskie mnoiteli  N. N. PUSTOVOITOV Moskovski i gosudarstvenny i tehniqeskii universitet MAMI, Rossi, Moskva 105839, ul. E. Semenovska 38

Postupilo 24 oktbr 2007 g.

R e z  m e . V rabote issleduts ortopopereqniki klassov mnogomernyh periodiqeskih funkci i, integriruemyh v p- i stepeni, smexannye moduli nepreryvnosti kotoryh imet maorantu, soderaxu kak stepennye, tak i logarifmiqeskie mnoiteli.

Vvedenie V predlagaemo i rabote izuqats ortopopereqniki, opredelemye dl klassa funkci i F ⊂ Lp ravenstvom d⊥ M (F, Lp ) =

‚ ‚

inf M sup ‚f (x) −

{Ui (x)}i=1 f ∈F

M X i=1

‚ ‚

(f (·), Ui (·))Ui (x)‚ , p

gde inf berets po ortonormirovannym sistemam {Ui (x)}M i=1 ograniqennyh funkci i. Vpervye ortopopereqniki dl klassov Soboleva i Nikolskogo byli rassmotreny Temlkovym [10]. Zatem oni izuqalis Temlkovym [1, 11–13] Din Zungom [3] i Galeevym [4]. My rassmotrim klassy periodiqeskih funkci i d vewestvennyh peremennyh, imewih maorantu smexannyh module i nepreryvnosti bolee obwego vida, qem dl klassov Nikolskogo. My ispolzuem metody, analogiqnye metodam, primenennym v [10–13]. 0133–3852/$ 20.00 c 2008 Akad´emiai Kiad´o, Budapest 

188

N. N. Pustovo itov

Kak vidno iz opredeleni ortopopereqnikov, priblieniem funkcii sluit ee ortogonalna proekci na podprostranstvo razmernosti M . Kak i v rabotah [11–13], rassmotrim tesno svzannye s ortopopereqnikami veliqiny dB M (F, Lp ) =

inf

sup f (x) − Gf (x)p ,

G∈LM (B)p f ∈F

inyh operatorov G, v oblast gde B ≥ 1, LM (B)p — mnoestvo line opredeleni kotoryh vhodt vse trigonometriqeskie polinomy, a mnoestvo znaqeni i imeet razmernost ne vyxe M i soderits v prostranstve Lp ([−π; π]d ), i dl vseh κ = (κ1 , . . . , κd ) (κj — celye, j = 1, . . . , d) vypolneno neravenstvo Gei(k,x) 2 ≤ B. Otmetim, qto operatory ortogonalnogo proektirovani na podprostranstva razmernosti M soderats v LM (1)2 . Iz oprede⊥ leni veliqin dB M (F, Lp ) i dM (F, Lp ) sleduet neravenstvo ⊥ dB M (F, Lp ) ≤ dM (F, Lp ).

(1)

Oqevidno, qto ti veliqiny ne menxe, qem popereqniki po Kolmogorovu. Budem rassmatrivat funkcii d de istvitelnyh peremennyh i peremenno i. f (x) = f (x1 , . . . , xd ), imewie period 2π po kado i Vvedem smexannye raznosti pordka l s xagom hj po peremenno xj , j = 1, . . . , d Δlh f (x) = Δl(h1 ,...,hd ) f (x1 , . . . , xd ) = Δlh1 · · · Δlhd f (x1 , . . . , xd ). ti raznosti porodat smexanny i modul nepreryvnosti pordka l: Ω(f ; t)q = Ω(f ; (t1 , . . . , td ))1 =

Δlh f (x)q . sup |hj | ≤ tj j = 1, . . . , d

i peremenno i tj obladaet vsemi Funkci Ω(f ; t)q po kado svo istvami odnomernyh module i nepreryvnosti pordka l. Rassmotrim klassy funkci i n

o

HqΩ = f (x) ∈ L0q ([−π; π]d ) : Ω(f ; t)q ≤ Ω(t) . Zdes uslovie f (x) ∈ L0q ([−π; π]d ) oznaqaet, qto f (x) ∈ Lq ([−π; π]d ) i, krome togo, Z π

−π

f (x) dxj = 0,

j = 1, . . . , d.

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

189

My budem rassmatrivat v to i rabote funkci Ω(t) = Ω(t1 , . . . , td ), zadannu pri tj ≥ 0, j = 1, . . . , d, sleduwim obrazom: (2) Ω(t) = Ω(t1 , . . . , td ) =

8 Q > < dj=1 > : 0,

trj (log

1 bj tj )+

,

esli tj > 0, j = 1, . . . , d; Q

d esli j=1 tj = 0. Zdes, kak i vsdu nie, beruts logarifmy po osnovani 2, krome togo, (log τ )+ = max{1, log τ }. Take polagaem, qto 0 < r < l. V rabotah [1, 11–13] issledovany ortopopereqniki klassov Nikolskogo, t.e. klassov HqΩ s maoranto i

Ω(t) =

d Y

r

tj j .

j=1

Kak my vidim iz (2), v rassmatrivaemom zdes sluqae vvodts krome stepennyh take i logarifmiqeskie mnoiteli. V rabote avtora [7] izuqeny ortopopereqniki klassov HqΩ s maoranto i, zadavaemo i ravenstvom (2) dl sluqa d = 2. Zdes e rassmatrivaets proizvolna razmernost d. Funkci, zadavaema ravenstvom (2), udovletvoret uslovim (S) i (Sl ) (sm. [2, 5]). Potomu dl naxih klassov HqΩ spravedliva sleduwa teorema o predstavlenii (sm. [5]): T e o r e m a A. Pust funkci f (x) = f (x1 , . . . , xd ) imeet period 2π po kadoi peremennoi i prinadleit prostranstvu L0q ([−π; π]d ). Togda f (x) prinadleit klassu HqΩ s Ω(t) iz (2) v tom i tolko tom sluqae, esli dl vektorov s = (s1 , . . . , sd ) s naturalnymi komponentami verny neravenstva 1 < q < ∞, (3) δs (f ; x)q  Ω(2−s ), As (f ; x)q  Ω(2−s ),

(4)

1 ≤ q ≤ ∞.

Pri 1 < q < ∞ uslovi (3) i (4) kvivalentny; 2−s = , . . . , 2−sd ). Zdes X fb(k)ei(k,x) δs (f ; x) =

−s1

(2

k∈ρ(s)

— dvoiqna paqka rda Fure funkcii f (x) (opredelenie ρ(s) sm. nie); As (f, x) oboznaqaet svertku δs (f, x) s drom (5)

As (x) = 2d

d Y

(V2sj −1 (xj ) − V2sj −2 (xj )),

j=1

190

N. N. Pustovo itov

porodennym drami Valle-Pussena Vm (τ ) pordka 2m−1 (sqitaem V2−1 (τ ) ≡ 1)). To est, As (f, x) = δs (f ; x) ∗ As (x). Dalee nam ponadobits sleduwa T e o r e m a B (mnogomerna teorema Littlvuda-Pli). Esli f (x) ∈ L0p ([−π; π]d ), to dl 1 < p < ∞ verno pordkovoe sootnoxenie ‚“ X ‚

(1)

Cp,d f (x)p ≤ ‚

(6)

|δs (f ; x)|2

s

”1/2 ‚ (2) ‚ ‚ ≤ Cp,d f (x)p . p

Zdes summa berets po vsem vektoram s = (s1 , . . . , sd ) s naturalnymi komponentami. Vvedem pribliawie mnoestva. Dl vektora s = (s1 , . . . , sd ) s naturalnymi komponentami opredelim dvoiqnu paqku n

o

ρ(s) = k = (k1 , . . . , kd ) : kj — celye, 2sj −1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, . . . , d . Dl naturalnogo N poloim n

1o . N S uqetom opredeleni (2) mnoestvo κ(N ) mono opredelit i tak: κ(N ) = s = (s1 , . . . , sd ) : sj ∈ N, j = 1, . . . , d, Ω(2−s ) ≥

n

κ(N ) = s : sj ∈ N, j = 1, . . . , d,

d Y

b

o

2rsj sjj ≤ N .

j=1

Dalee, pust

Cκ(N ) = Nd \ κ(N ).

V kaqestve pribliawih podprostranstv vozmem podprostranstva trigonometriqeskih polinomov, spektr kotoryh soderits vo mnoestvah Q(N ) =

[

ρ(s).

s∈κ(N )

Nardu s mnoestvami Q(N ) rassmotrim take mnoestva n “ 1 1 ” 1o ,..., ≥ , Γ(N ) = k = (k1 , . . . , kd ) : |kj | ∈ N, j = 1, . . . , d, Ω |k1 | |kd | N to est n

Γ(N ) = k = (k1 , . . . , kd ) : |kj | ∈ N, j = 1, . . . , d,

d Y j=1

b

o

|kj |r (log |kj |)+j ≤ N .

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

191

V to i rabote req idet o pordkovyh neravenstvah i pordkovyh ravenstvah. Zapis A(N )  B(N ) oznaqaet, qto suwestvuet veliqina C > 0, ne zaviswa ot N i taka, qto A(N ) ≤ CB(N ). Pordkovoe ravenstvo A(N )  B(N )

oznaqaet, qto

C −1 A(N ) ≤ B(N ) ≤ CA(N ),

gde C > 0 ne zavisit ot N . Vvedennye vyxe mnoestva Q(N ) i Γ(N ) kvivalentny, a imenno, iz neravenstv Ω(|k1 |−1 , . . . , |kd |−1 ) ≤ Ω(21−s1 , . . . , 21−sd ) ≤ ≤ 2ld Ω(2−s ) ≤ 2ld Ω(|k1 |−1 , . . . , |kd |−1 ), vernyh dl κ ∈ ρ(s) sleduet, qto Γ(N ) ⊂ Q(2ld N ) ⊂ Γ(2ld N ). Dalee budet pokazano, qto qislo lementov |Γ(N )| mnoestva Γ(N ) imeet stepenno i pordok rosta (sm. teoremu V). Potomu budet |Γ(N )|  |Q(N )|, t.e. qislo lementov mnoestva Γ(N ) po pordku ravno qislu lementov mnoestva Q(N ). Avtorom dokazana sleduwa teorema o qisle lementov mnoestva Γ(N ): T e o r e m a V. Koliqestvo lementov mnoestva Γ(N ) po pordku ravno: 1) N 1/r (log N )−1 (log log N )ν−1 , esli b1 = · · · = bν = r < bν+1 ≤ · · · ≤ bd ; b1

2) N 1/r (log N )− r

−···− brν +(ν−1)

(log log N )μ , esli

b1 ≤ · · · ≤ bν < r = bν+1 = · · · = bν+μ < bν+μ+1 ≤ · · · ≤ bd ; b1

3) N 1/r (log N )− r

−···− brν +(ν−1)

(log log N )d−ν , esli

b1 ≤ · · · ≤ bν < r = bν+1 = · · · = bd ; b1

4) N 1/r (log N )− r

−···− brν +(ν−1)

, esli

b1 ≤ · · · ≤ bν < r < bν+1 ≤ · · · ≤ bd ; 5) N 1/r (log N )−b1 /r , esli r ≤ b1 ≤ · · · ≤ bd , b − r1

6) N 1/r (log N )

b −···− rd

+(d−1)

b2 > r;

, esli

b1 ≤ · · · ≤ bd < r.

192

N. N. Pustovo itov

Take nam ponadobts mnoestva n

θ(N ) = s = (s1 , . . . , sd ) : sj ∈ N, j = 1, . . . , d,

1 1o −s ≤ Ω(2 ) < . 2l N N

V rabote [6] dokazano pordkovoe ravenstvo (7)

|θ(N )|  (log N )d−1 . Avtorom dokazana Lemma A. Summa

X

d Y

s∈θ(N ) j=1

−γj

sj

po pordku ravna: 1) (log N )d−1−γ1 −···−γd , esli γ1 ≤ · · · ≤ γd < 1; 2) (log N )ν−1−γ1 −···−γν (log log N )d−ν , esli γ1 ≤ · · · ≤ γν < 1 = γν+1 = · · · = γd ; 3) (log N )ν−1−γ1 −···−γν (log log N )μ , esli γ1 ≤ · · · ≤ γν < 1 = γν+1 = · · · = γν+μ < γν+μ+1 ≤ · · · ≤ γd ; 4)

(log log N )ν−1 , log N

esli

γ1 = · · · = γν = 1 < γν+1 ≤ · · · ≤ γd ; 5) (log N )−γ1 , esli 1 < γ1 ≤ · · · ≤ γd ; 6) (log N )ν−1−γ1 −···−γν , esli γ1 ≤ · · · ≤ γν < 1 < γν+1 ≤ · · · ≤ γd . Qerez EQ(N ) (f )p oboznaqim nailuqxee (v norme Lp ) priblienie funkcii f (x) trigonometriqeskimi polinomami s garmonikami iz Q(N ), a qerez EQ(N ) (HqΩ )p oboznaqim verhn gran vseh EQ(N ) (f )p po f ∈ HqΩ . Iz teoremy 1 raboty [6] vytekaet T e o r e m a G. Pust parametry p i q udovletvort odnomu iz sleduwih sootnoxenii : 1 ≤ q = p < ∞;

1 < p < q ≤ ∞,

q ≥ 2;

1 ≤ p < q ≤ 2.

Priqem Ω(t) opredelets iz (2) s 0 < r < l. Togda 1 EQ(N ) (HqΩ )p  (log N )(d−1)/q0 . N

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

193

Iz teoremy 2 raboty [6] i lemmy A vyvodits T e o r e m a D. Pust 1 ≤ q < p < ∞ i Ω(t) opredelets ravenstvom (2) s 1 1 − < r < l. q p Togda 1 1 1 1 “ X s1 ( 1q − p1 )p ”1/p 2  N r ( q − p −r) · φ1 (N, d, q, p, r), EQ(N ) (HqΩ )p  N s∈θ(N ) gde φ1 (N, d, q, p, r) po pordku ravno: 1) log N )

d−1 1 1 p −( rq − rp )(b1 +···+bd )

, esli

b1 ≤ · · · ≤ bd < 2) (log N )

ν−1 1 1 p −( rq − rp )(b1 +···+bν )

b1 ≤ · · · ≤ bν < 3) (log N )

4)

· (log log N )(d−ν)/p , esli

r = bν+1 = · · · = bd ; (p/q) − 1

ν−1 1 1 p −( rq − rp )(b1 +···+bν )

b1 ≤ · · · ≤ bν <

r ; (p/q) − 1

· (log log N )μ/p , esli

r = bν+1 = · · · = bν+μ < bν+μ+1 ≤ · · · ≤ bd ; (p/q) − 1

(log log N )(ν−1)/p , (log N )1/p

esli

b1 = · · · = bν =

r < bν+1 ≤ · · · ≤ bd ; (p/q) − 1

5) (log N )

ν−1 1 1 p −( rq − rp )b1

6) (log N )

ν−1 1 1 p −( rq − rp )(b1 +···+bν )

, esli r < b1 ≤ · · · ≤ bd ; (p − q) − 1

b1 ≤ · · · ≤ bν <

, esli

r < bν+1 ≤ · · · ≤ bd . (p/q) − 1

Mnoestva Γ(N ) i Q(N ) vlts analogami giperboliqeskih krestov i stupenqatyh giperboliqeskih krestov, ispolzuemyh pri izuqenii klassov Nikolskogo Hqr . Mnoestva Γ(N ) i Q(N ) porodats poverhnostmi urovn funkci i Ω(t) iz (2).

194

N. N. Pustovo itov

 v rabote [9] vysnil, qto vmesto priblieni Telkovskii i trigonometriqeskimi polinomami so spektrom iz svoih giperboliqeskih krestov v nekotoryh sluqah luqxe brat priblieni trigonometriqeskimi polinomami so spektrom iz ne svoih giperboliqeskih krestov. Delo v tom, qto hot ne svoi giperboliqeskie kresty nemnogo xire, qem  svoi giperboliqeskie kresty, odnako po pordku qisla ih lementov sovpadat. Pri tom trigonometriqeskie polinomy so spektrom iz  ne svoih giperboliqeskih krestov v nekotoryh sluqah dat priblieni po pordku luqxie, qem trigonometriqeskie polinomy so spektrom iz svoih giperboliqeskih krestov. Okazalos, qto ffekt ne svoih giperboliqeskih krestov voznikaet i pri opredelennyh razliqih v pokazatelh logarifmiqeskih mnoitele i. tot sluqa i dl razmernosti d = 2 izuqen v rabotah avtora [7] i [8]. ffekt  ne svoih giperboliqeskih krestov v naxem sluqae voznikaet, esli nekotorye bj bolxe r. Budem sqitat, qto bν ≤ r < bν+1 . Analogami  ne svoih giperboliqeskih krestov vlts mnoestva [ ρ(s), Q (N ) = s∈κ (N )

gde

n

d Y

κ (N ) = s − (s1 , . . . , sd ) : sj ∈ N, j = 1, . . . , d,

b

o

2rsj sjj ≤ N ,

j=1

priqem bj = bj , j = 1, . . . , ν V sluqae

i

r < bj < bj , j = ν + 1, . . . , d.

r < b1 = · · · = bν < bν+1 ≤ · · · ≤ bd

berem bj = b1 , j = 1, . . . , ν

i

b1 < bj < bj , j = ν + 1, . . . , d.

Dl veliqin EQ (N ) (HqΩ )q = sup EQ (N ) (f )q f ∈HqΩ

avtorom dokazana sleduwa T e o r e m a E. Pust 1 < q < ∞. Oboznaqim q0 = min{q, 2}. Togda 1 EQ (N ) (HqΩ )q  φ2 (N, d, q0 , b, b ), N gde φ2 (N, d, q0 , b, b ) po pordku ravno:

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

1) (log N )

d−1   q0 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bd −bd )

, esli

bν+1 − bν+1 ≤ · · · ≤ bd − bd < 2) (log N )

ν+μ−1 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bν+μ −bν+μ ) q0

1 ; q0

(log log N )

d−μ−ν q0

, esli

bν+1 − bν+1 ≤ · · · ≤ bν+μ − bν+μ < bν+μ+1 − bν+μ+1 = · · · = bd − bd = 3) (log N )

195

ν+μ−1 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bν+μ −bν+μ ) q0

1 ; q0

ξ

(log log N ) q0 , esli

bν+1 − bν+1 ≤ · · · ≤ bν+μ − bν+μ < bν+μ+1 − bν+μ+1 = · · · = 1 < bν+μ+ξ+1 − bν+μ+ξ+1 ≤ · · · ≤ bd − bd ; = bν+μ+ξ − bν+μ+ξ = q0

bν+1 − bν+1

μ

ν−1 q0

(log log N ) q0 , esli 1 = · · · = bν+μ − bν+μ = < bν+μ+1 − bν+μ+1 ≤ · · · ≤ bd − bd ; q0

4) (log N )

5) (log N )

6) (log N )

ν−1 q0

, esli 1 < bν+1 − bν+1 ≤ · · · ≤ bd − bd ; q0

ν+μ−1 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bν+μ −bν+μ ) q0

bν+1 − bν+1 ≤ · · · ≤ bν+μ − bν+μ

, esli 1 < < bν+μ+1 − bν+μ+1 ≤ · · · ≤ bd − bd . q0

Z a m e q a n i e 1. Pri q = 1, ∞ verna sleduwa ocenka sverhu: 1 f (x) − VQ (N ) (f ; x)q  φ2 (N, d, 1, b, b ), N gde

VQ (N ) (f ; x) = VQ (N ) (x) ∗ f (x),

priqem (sm. (5)) VQ (N ) (x) =

X

As (x).

s∈κ (N )

Pri dokazatelstve nam ponadobts sleduwie lemmy, vlwies sledstvimi Lemm 1 i 2 iz [6]. L e m m a B. Dl Ω(t) iz (2) s r > 0 pri 0 < p < ∞ verno neravenstvo X X (Ω(2−s ))p  (Ω(2−s ))p . s∈Cκ(N )

s∈θ(N )

196

N. N. Pustovo itov

L e m m a V. Dl Ω(t) iz (2) s r > β pri 0 < p < ∞ verno neravenstvo X

X

(Ω(2−s )2s1 β )p 

s∈Cκ(N )

(Ω(2−s )2s1 β )p .

s∈θ(N )

Tak e nam ponadobts sleduwie lemmy, dokazannye Temlkovym (sm. [11–13]). L e m m a G. Dl 1 ≤ q < p < ∞ i dl f (x) ∈ L0q ([−π; π]d ) verno neravenstvo X“

f (x)pp 

1

1

δs (f ; x)q 2s1 ( q − p )

”p

.

s

Zdes summa berets po vsem vektoram s = (s1 , . . . , sd ) s naturalnymi koordinatami. L e m m a D. Pust lineinyi operator A zadan ravenstvom L X

Aei(k,x) =

akm ψm (x),

m=1

gde

{ψm (x)}L m=1

— nabor funkcii, dl kotoryh ψm (x)2 ≤ 1,

m = 1, . . . , L.

Togda dl lbogo trigonometriqeskogo polinoma t(x) verno neravenstvo “

min Re At(x − y) ≤ L y=x

L X X

|akm b t(k)|2

”1/2

.

m=1 k

L e m m a E. Pust G ∈ LM (B)2 i opredelen ravenstvom i(k,x)

Ge

=

L X

akm ψm (x)

m=1

gde L — razmernost podprostranstva znaqenii operatora G, a i bazis togo podprostranstva. {ψm (x)}L m=1 — ortonormirovanny Togda dl lbyh trigonometriqeskih polinomov t(x) i u(x) imeet mesto ocenka min Re(Gt(x + y), u(x + y)) ≤ y

b b(k)| · |W |1/2 · · max |u ≤ B max |t(k)| k∈W

k∈W

L “ X X k∈W m=1

gde b u b(k) = 0}. W = {k : t(k)

|ψbm (k)|2

”1/2

,

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

197

Z a m e q a n i e k l e m m e E. V uslovih lemmy E verna ocenka “

”

min Re Gt(x + y), u(x + y) ≤ y

b · u2 ≤ B max |t(k)|

L “ X X

k∈W

|ψbm (k)|2

”1/2

.

k∈W m=1

Razob em naxe izloenie na sluqai v zavisimosti ot znaqeni i parametrov b1 , . . . , bd . 1. Pervy i sluqa i Pust b1 ≤ · · · ≤ bd < r. V tom sluqae berem b1

M = |Q(N )|  N 1/r (log N )− r

−···−

,

b1 +···+bd −(d−1)r

N  M (log M )

log M  log N,

r

bd r +d−1

.

T e o r e m a 1. Pust b1 ≤ · · · ≤ bd < r, funkci Ω(t) zadana formuloi (2), priqem “1 n 1 1” 1o − ≡ max 0; − . r> q p + q p Sqitaem, qto 1 ≤ p, q ≤ ∞. Pri 1 ≤ q < p < ∞, krome togo, predpoloim, qto p j = 1, . . . , d. bj < r/( − 1), q Togda 1

1

−r+( q − p )+ Ω (log M )−b1 −···−bd +(d−1)(r+h(p,q)) , dB M (Hq , Lp )  M

gde h(p, q) =

8 > 1 − 1q , > > > < 2 − 1, p

1 > , > q > > :1 2

,

q

esli esli esli esli

p = ∞, 1 ≤ q ≤ ∞; 1 ≤ q < p < ∞; 1 ≤ p ≤ q ≤ 2; 1 ≤ p ≤ q, q ≥ 2, p < ∞.

Ω Ukazanny i pordok veliqin dB M (Hq , Lp ) realizut podprostranstva trigonometriqeskih polinomov s garmonikami iz Q(N ).

T e o r e m a 2. V uslovih teoremy 1, za isklqeniem sluqaev (p, q) = (1, 1), (∞, ∞), verno pordkovoe ravenstvo Ω B Ω d⊥ M (Hq , Lp )  dM (Hq , Lp ). Ω Pordok veliqin d⊥ M (Hq , Lp ) realizuets temi e podprostranstvami, qto i v teoreme 1.

198

N. N. Pustovo itov

Z a m e q a n i e 2. Pri 1 ≤ q < p < ∞ nalagaem dopolnitelnoe uslovie r . bj < (p/q) − 1 Otmetim, qto pri q < p ≤ 2q iz uslovi bj < r sleduet to neravenstvo. Esli e p > 2q, to to neravenstvo vlets dopolnitelnym usloviem. D o k a z a t e l  s t v o t e o r e m 1 i 2 . Dokaem snaqala ocenki sverhu. Iz neravenstva (1) sleduet, qto ocenki sverhu sleduet dokazyΩ vat dl d⊥ M (Hq , Lp ) za isklqeniem sluqaev (p, q) = (1, 1), (∞, ∞). V sluqae (p, q) = (1, 1), (∞, ∞) ocenki sverhu budut dokazany dl Ω dB M (Hq , Lp ). 1) Pust 1 ≤ p ≤ q < ∞, q > 1. Togda dl funkcii f (x) iz HqΩ , primen teoremu A i lemmu B, poluqaem: f (x) − SQ(N ) (f, x)p ≤ f (x) − SQ(N ) (f, x)q  ≤

“ X

”1/q0

(Ω(2−s ))q0



s∈θ(N )

1 (log N )(d−1)/q0  N

−b1 −···−bd +(d−1)(r+ q1 )

 M −r (log M )

0

.

Zdes SQ(N ) (f ; x) oboznaqaet summu Fure, sootvetstvuwu mnoestvu Q(N ). 2) Pust teper 1 ≤ p < q = ∞. Togda sup f (x) − SQ(N ) (f ; x)p  sup f (x) − SQ(N ) (f ; x)p+1 

Ω f ∈H∞



“ X

Ω f ∈Hp+1

(Ω(2−s ))2

s∈θ(N )

”1/2



1 1 (log N )  M −r (log N )−b1 −···−bd +(d−1)(r+ 2 ) . N

Zdes my ispolzovali tot fakt, qto p + 1 ≥ 2 i lemmu B. 3) Teper vozmem 1 ≤ q < p < ∞. Sqitaem, qto r>

1 1 − . q p

Po teoreme A, lemmam G i V imeem: sup f (x) − SQ(N ) (f ; x)p 

f ∈HqΩ

“ X “

1

1

”p ”1/p

2s1 ( q − p ) Ω(2−s )

s∈θ(N )



Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh r ) (p/q)−1

(po teoreme D s uqetom togo, qto bj < 1

1

1

 N r ( q − p −r) (log N ) 1

199

d−1 1 1 p −( rq − rp )(b1 +···+bd )

1

2



1

 M q − p −r (log M )−b1 −···−bd +(d−1)(r+ p − q ) . 4) Pust teper p = ∞, 1 ≤ q < ∞, r > 1/q. Otmetim, qto esli q = 1, to r > 1, sledovatelno, l > 1. Analogiqno dokazatelstvu ocenok sverhu v [7], dl f (x) ∈ HqΩ imeem: X

f (x) − SQ(N ) (f, x)∞ ≤

δs (f, x)∞ 

s∈Cκ(N )



X

Ω(2−s ) · 2

s1 q



s∈Cκ(N ) 1

1

b1

bd

1 N

X

2

s1 q



s∈θ(N )

1

1

 N r ( q −r) (log N )d−1− qr −···− qr  M q −r (log M )(d−1)(1− q +r)−b1 −···−bd . Zdes my primenili lemmu A s γj =

bj <1 qr

i uqli tot fakt, qto dl s ∈ θ(N ) budet 2s1  N 1/r

d Y

−bj /r

sj

.

j=1

5) (p, q) = (1, 1), (∞, ∞). V tom sluqae my poluqaem ocenki Ω sverhu lix dl dB M (Hq , Lp ). Operator X

VQ(N ) (f, x) =

As (f, x)

s∈κ(N )

prinadleit mnoestvu LM (1)p ,

M = |Q(N )|,

1 ≤ p ≤ ∞.

Dl f (x) ∈ HqΩ imeem: f (x) − VQ(N ) (f, x)p 

X s∈θ(N )

Ω(2−s ) 

1 (log N )d−1  N

 M −r (log M )−b1 −···−bd +(d−1)(r+1) . Ocenki sverhu v teoremah 1 i 2 dokazany.

200

N. N. Pustovo itov

Dokaem ocenki snizu. 1) p = ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. My budem priderivats shemy, primenenno i Temlkovym v rabotah [12–13]. Analogiqno tomu, kak to bylo sdelano v rabote [8] dl razmernosti 2, mono pokazat, qto suwestvuet mnoestvo θ1 (N ) ⊂ θ(N ) takoe, qto dl s = (s1 , . . . , sd ) ∈ θ1 (N ) budet sj  log N, ] j = 1, . . . , d

|θ1 (N )|  (log N )d−1 .

i

Rassmotrim funkci, vlwus analogom funkcii iz primera 2 raboty [13]: X

g1 (x) =

Ks (x),

s∈θ1 (N )

gde (7 )

Ks (x) = ei(k j

kjs

=

s

,x)

·

d Y

K2sj −2 (xj ),

j=1

2sj −1 + 2sj −2 , 1,

sj ≥ 2; sj = 1,

iera. Kn (τ ) — dro Fe Pust G ∈ LM (B)∞ . My utverdaem, qto suwestvuet y ∗ = ∗ (y1 , . . . , yd∗ ) takoe, qto g1 (x − y ∗ ) − Gg1 (x − y ∗ )∞ M

(8) Dl mnoestva

Θ1 (N ) =

[

ρ(s)

s∈θ1 (N )

spravedlivo sootnoxenie |Θ1 (N )|  |Q(N )|  M. Ocenka snizu (8) dokazyvaets analogiqno dokazatelstvu sootnoxeni (29) iz [7] s ispolzovaniem lemmy D. Dalee rassmotrim funkci 1 bd ” q −1 b1 C“ 1 N r (log N )− r −···− r · g1 (x). g2 (x) = N V silu teoremy A funkci g2 (x) pri nekotorom C > 0 prinadleit klassu HqΩ i, krome togo, verna ocenka snizu 1

1

(9) g2 (x − y ∗ ) − Gg2 (x − y ∗ )∞ M q −r (log M )−b1 −···−bd +(d−1)(1− q +r) . 2) 1 ≤ q < p < ∞. Rassmotrim operator A = (SQ(2l N ) − SQ(N ) )G,

201

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

gde SQ(N ) — operator vzti qastiqno i summy Fure, sootvetstvuwi i mnoestvu Q(N ), G ∈ LM (B)p . Tak e, kak v [7], dokazyvaets, qto dl trigonometriqeskogo polinoma t(x) so spektrom iz Θ1 (N ) verno neravenstvo “

1

b1

t∞  tp N r (log N )− r

−···−

bd r

”1

p

1

(log N )(d−1)(1− p ) .

Otsda s uqetom neravenstva (9) poluqaem: 1

1

2

1

g2 (x − y ∗ ) − Gg2 (x − y ∗ )p M q − p −r (log M )−b1 −···−bd +(d−1)(r+ p − q ) . 3) 1 ≤ p ≤ q, q ≥ 2, p < ∞. Zdes vozmem funkci, analogiqnu funkcii iz primera 6 raboty [13]. My utverdaem, qto dl iduts N , θ2 (N ) ⊂ θ1 (N ), θ1 (N ) opredeleno vyxe, G ∈ LM (B)1 na 1 |θ1 (N )|, 2 iduts vektory ks takie, qto dl i v kadom ρ(s), s ∈ θ2 (N ), na funkcii X s ei(k ,x) g3 (x) = |θ2 (N )| ≥

s∈θ2 (N ) ∗

na idets y =

(y1∗ , . . . , yd∗ ),

qto

∗

g3 (x + y ) − Gg3 (x + y ∗ )1 (log M )(d−1)/2 .

(10)

De istvitelno, kak i v [13], berem ρs =

L X X

|ψbm (k)|2 ,

L ≤ M,

k∈ρ(s) m=1

funkcii ψm (x) vzty iz opredeleni operatora G (sm. lemmu E). Tak kak ψm (x)2 ≤ 1, to

X

(11)

ρs ≤ M.

s∈θ1 (N )

Vozmem

n

θ2 (N ) = s ∈ θ1 (N ) : ρs ≤

2M o . |θ1 (N )|

Iz (11) sleduet, qto |θ2 (N )| ≥

|θ1 (N )| . 2

202

N. N. Pustovo itov

V kadom ρ(s), s ∈ θ2 (N ) vozmem ks tak, qtoby vypolnlis neravenstva L X 2M ρs ≤ . |ψbm (ks )|2 ≤ |ρ(s)| |ρ(s)| · |θ1 (N )| m=1 Rassmotrim veliqinu β(y) = (G(g3 (x + y)), sign g3 (x + y)). Po zameqani k lemme E budet min Re β(y) 

“

y

L X

X

|ψbm (ks )|2

”1/2



s∈θ2 (N ) m=1



“ X 1 ”1/2 M 1/2 · = A. |θ1 (N )|1/2 2s1 s∈θ (N ) 1

Tak kak dl s ∈ θ1 (N ) imeem s1

2

N

1/r

d Y

(log N )−bj /r ,

j=1

to (12)

A

M 1/2 · (log N )(d−1)/2 N 1/2r (log N )

bd b1 d−1 2 − 2r −···− 2r



M 1/2 (log N )(d−1)/2 . |Q(N )|1/2

S drugo i storony, tak e kak i v [13] dokazyvaets neravenstvo (13)

g3 1 |θ1 (N )|1/2  (log N )(d−1)/2 .

Zafiksiruem dostatoqno bolxoe M . Vyberem N tak, qtoby, vo-pervyh, Q(N )  M i, vo-vtoryh, prava qast v (13) byla kak minimum vdvoe bolxe, qem prava qast v (12). Dalee, de istvu tak e, kak i v [13] pri dokazatelstve primera 6, poluqaem ocenku (10). Teper rassmotrim funkci g4 (x) = C ·

1 g3 (x). N

Po teoreme A pri nekotorom C > 0 budet g4 (x) ∈ HqΩ . Togda s uqetom (10) budem imet:

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

203

g4 (x + y ∗ ) − Gg4 (x + y ∗ )p ≥ g4 (x + y ∗ ) − Gg4 (x + y ∗ )1 1 1

(log M )(d−1)/2  M −r (log M )−b1 −···−bd +(d−1)(r+ 2 ) . N 4) 1 ≤ p ≤ q ≤ 2. V tom sluqae rassmotrim funkci, analogiqnu funkcii iz primera 7 raboty [13]. Pust N dostatoqno veliko. Vozmem mnoestvo θ1 (N ), opredelennoe vyxe. Poloiv ν = [|θ1 (N )|1/d ] (kvadratna skobka oznaqaet celu qast qisla), razob em πd = [−π; π]d na ν d kubov s rebrom 2π/ν . Ustanovim vzaimno odnoznaqnoe sootvetstvie medu mnoestvom θ(N ) ⊂ θ1 (N ) takim, qto |θ(N )| = ν d i poluqivxims mnoestvom kubov. Dl s ∈ θ(N ) qerez xs oboznaqim centr sootvetstvuwego kuba. Poloim u = 2[log2 (

|θ1 (N )| )] 2

,

gde kvadratna skobka oboznaqaet celu qast qisla, priqem u  (log N )(d−1)/d . iduts N i mnoestvo θ3 (N ) ⊂ θ(N ) Pust G ∈ LM (B)1 . Na takie, qto 1 |θ3 (N )| ≥ |θ(N )|, 2 idets kub Δs ⊂ ρ(s) s centrom ks (ks i v kadom ρ(s), s ∈ θ3 (N ), na opredeleny v (7)) i rebrom 2u i takie, qto dl funkcii g5 (x) =

X s∈θ3 (N )

ei(k

s

,x)

d Y

Ku (xj − xsj )

j=1

iera) na idets y ∗ , pri kotorom (zdes Ku (τ ) — dra Fe (14)

g5 (x + y ∗ ) − Gg5 (x + y ∗ )1 (log M )d−1 .

Dokaem to utverdenie. Pust ρs te e, qto i v predyduwem sluqae. Vozmem n 2M o . θ3 (N ) = s ∈ θ(N ) : ρs ≤ |θ(N )| Otsda s uqetom (11) sleduet, qto 1 |θ3 (N )| ≥ |θ(N )|. 2

204

N. N. Pustovo itov

V kadom ρ(s), s ∈ θ3 (N ), , vozmem kub Δs s rebrom 2u tako i, qto X

L X

|ψbm (k)|2 ≤

k∈Δs m=1

|Δs | 2M |Δs | . · ρs ≤ |ρ(s)| |ρ(s)| · |θ(N )|

Rassmotrim funkci β(y) = (Gg5 (x + y), g5 (x + y)). Oboznaqim

[

W (N ) =

Δs .

s∈θ3 (N )

Po lemme E imeem: (15)

min Re β(y)  |W (N )|1/2 y

 (log N )d−1 M 1/2

“

“

X M |Δs | ”1/2  |θ(N )| s∈θ3 (N ) |ρ(s)|

X

N −1/r

s∈θ3 (N )



(16)

M 1/2 d−1

b1

bd

N 1/2r (log N ) 2 − 2r −···− 2r S drugo i storony,

d Y

X



j=1

(log N )2(d−1) 

(g5 (x + y), g5 (x + y)) =

” b /r 1/2

sj j

M 1/2 (log N )2(d−1) . |Q(N )|1/2

Ku 22  (log N )2(d−1) .

s∈θ3 (N )

Zafiksiruem M i vozmem N tak, qtoby, vo-pervyh, Q(N )  M ; a vo-vtoryh, prava qast (16) byla by kak minimum vdvoe bolxe, qem prava qast v (15). Dalee soverxenno analogiqno tomu, kak to bylo sdelano v [13] pri dokazatelstve primera 7, poluqaem (14). Teper rassmotrim funkci 1

(log N )( q −1)(d−1) g5 (x). g6 (x) = C N V silu teoremy A ta funkci pri nekotorom C > 0 prinadleit klassu HqΩ , priqem verno neravenstvo g6 (x + y ∗ ) − Gg6 (x + y ∗ )p

1 (log N )(d−1)/q  N 1

 M −r (log M )−b1 −···−bd +(d−1)(r+ q ) . Teoremy 1 i 2 dokazany.

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

205

2. Vtoro i sluqa i Rassmotrim zdes sluqa i, kogda nekotorye bj = r. Rezultaty zdes znaqitelno menee polny, qem v pervom sluqae. T e o r e m a 3. Pust bj , j = 1, . . . , d, udovletvort odnomu iz uslovii : 1) b1 ≤ · · · ≤ bν < r = bν+1 = · · · = bd ; 2) b1 ≤ · · · ≤ bν < r = bν+1 = · · · = bν+μ < bν+μ+1 ≤ · · · ≤ bd ; 2) b1 = · · · = bν = r < bν+1 ≤ · · · ≤ bd

(ν ≥ 2).

Predpoloim, qto funkci Ω(t) opredelets formuloi (2). Togda pri r > 1/2 budet Ω ⊥ Ω dB M (H1 , L2 )  dM (H1 , L2 ) 

1 |Q(N )|1/2 . N

Pri r > 1 imeem: Ω ⊥ Ω dB M (H1 , L∞ )  dM (H1 , L∞ ) 

1 |Q(N )|, N

priqem zdes M = |Q(N )|. Pravilny i pordok realizuets podprostranstvami trigonometriqeskih polinomov so spektrom iz Q(N ). Z a m e q a n i e 3. S uqetom teoremy V sootnoxeni iz teoremy 3 mono zapisat sleduwim obrazom: 1

Ω ⊥ Ω 2 −r φ (M, r, b , . . . b ), dB 3 1 d M (H1 , L2 )  dM (H1 , L2 )  M Ω ⊥ Ω 1−r φ3 (M, r, b1 , . . . bd ), dB M (H1 , L∞ )  dM (H1 , L∞ )  M

gde φ3 (M, r, b1 , . . . , bd ) ravno: 1) (log M )r(ν−1)−b1 −···−bν (log log M )r(d−ν) , esli b1 ≤ · · · ≤ bν < r = bν+1 = · · · = bd ; 2) (log M )r(ν−1)−b1 −···−bν (log log M )μr , esli b1 ≤ · · · ≤ bν < r = bν+1 = · · · = bν+μ < bν+μ+1 ≤ · · · ≤ bd ; 3) (log M )−r (log log M )r(ν−1) , esli b1 = · · · = bν = r < bν+1 ≤ · · · ≤ bd ,

ν ≥ 2.

206

N. N. Pustovo itov

D o k a z a t e l  s t v o t e o r e m y 3. Dokaem ocenki sverhu. 1) q = 1, p = 2. sup f (x) − SQ(N ) (f ; x)2 

f ∈H1Ω

“ X

2s1 (Ω(2−s ))2

”1/2

s∈θ(N )



1 |Q(N )|1/2 . N

Zdes my ispolzovali tot fakt, qto X

2s1  |Q(N )|

(sm. (25) iz [8]).

s∈θ(N )

2) q = 1, p = ∞. Analogiqno 4 sluqa dokazatelstva ocenok sverhu v teoremah 1, 2 imeem: 1 X s1 1 2  |Q(N )|. sup f (x) − SQ(N ) (f ; x)∞  N s∈θ(N ) N f ∈H1Ω Ocenki sverhu dokazany. Dokaem ocenki snizu. 1) p = ∞, q = 1. Rassmotrim funkci X

g7 (x) =

Ks (x),

s∈θ(N )

gde Ks (x) opredeleny v (7). Analogiqno dokazatelstvu sootnoxeni (29) iz [7] dl G ∈ LM (B)∞ imeem: g7 (x − y) − Gg7 (x − y)∞ ≥ g7 (0) − min Re Gg7 (x − y). y=x

Zdes, s odno i storony, po lemme D (17)

min Re Gg7 (x − y)  M 1/2

“ X

y=x

2s1

”1/2

 M 1/2 |Q(N )|1/2 .

s∈θ(N )

S drugo i storony, po svo istvam dra Fe iera poluqim: (18)

g7 (0) 

X

2s1  |Q(N )|.

s∈θ(N )

Vybira N tak, qtoby

|Q(N )|  M

i, krome togo, prava qast v (18) byla kak minimum vdvoe bolxe pravo i qasti v (17), poluqaem, qto suwestvuet y ∗ = (y1∗ , . . . , yd∗ )

tako i, qto

g7 (x − y ∗ ) − Gg7 (x − y ∗ )∞ M.

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

207

Vzv, dalee

C g7 (x), N poluqim, qto pri nekotorom C > 0 my imeem g8 (x) ∈ H1Ω i verna ocenka snizu M . (19) g8 (x − y ∗ ) − Gg8 (x − y ∗ )∞ N g8 (x) =

2) p = 2, q = 1. Dokazatelstvo provodim analogiqno sluqa 2) dokazatelstva ocenok snizu v teoremah 1, 2. Dl trigonometriqeskogo polinoma t(x) so spektrom iz [

Θ(N ) =

ρ(s)

s∈θ(N )

verno neravenstvo t∞  t2 |Θ(N )|1/2 .

(20)

Dalee, rassmotrev operator A(SQ(2l N ) − SQ(N ) )G, s uqetom neravenstv (19) i (20) poluqim: 1 1 g8 (x − y ∗ ) − Gg8 (x − y ∗ )2 M |Q(N )|−1/2  M 1/2 . N N Teorema 3 dokazana.

3. Treti i sluqa i Pust

b1 ≤ · · · ≤ bν < r < bν+1 ≤ · · · ≤ bd .

V tom sluqae b1

−···− brν

(21)

M  N 1/r (log N )ν−1− r

(22)

N  M r (log M )b1 +···+bν −r(ν−1) .

,

T e o r e m a 4. Pust b1 ≤ · · · ≤ bν < r < bν+1 ≤ · · · ≤ bd i funkci Ω(t) zadaets ravenstvom (2), “1 1” − < r < l. q p +

208

N. N. Pustovo itov

Predpoloim, qto 1 ≤ p, q ≤ ∞ a take, qto v sluqae p ≤ q, p < ∞ budet r > 1; pri p = ∞, 1 < q < ∞ budet bj > 1, j = ν + 1, . . . , d; rq pri q = p = ∞ predpolagaem, qto bj > r1 , j = ν + 1, . . . , d; a pri 1 ≤ q < p < ∞ sqitaem, qto r < bν+1 ≤ . . . ≤ bd . b1 ≤ · · · ≤ bν < p − 1 q Ω Togda dB M (Hq , Lp ) po pordku ravno:

1) pri 1 ≤ q < p ≤ ∞: 1

1

M −(r−( q − p )) (log M )h(p,q)(ν−1) φ4 (M ); 2) pri 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ ((p, q) = (∞, ∞)): M −r (log M )

(d−1) q0 −(bν+1 −r)−···−(bd −r)

esli bj < r + M −r (log M ) esli

1 , q0

φ4 (M ),

j = ν + 1, . . . , d;

(ν+ξ−1) −(bν+1 −r)−···−(bν+ξ −r) q0

φ4 (M ),

1 , j = ν + 1, . . . , ν + ξ; q0 1 j = ν + ξ + 1, . . . , d; bj > r + , q0 C(ε)M −r φ4 (M ) ×

bj < r +

× (log M )

(ν+ξ+μ−1) −(bν+1 −r)−···−(bν+ξ −r)−(bν+ξ+1 −r−ε)−···−(bν+ξ+μ −r−ε) q0

esli bj < r +

1 , q0

j = ν + 1, . . . , ν + ξ;

1 , j = ν + ξ + 1, . . . , v + ξ + μ, q0 1 j = ν + ξ + μ + 1, . . . , d bj > r + , q0

bj = r +

priqem C(ε) → +∞ M −r (log M )

pri ε ↓ 0; (ν−1) q0

φ4 (M ),

,

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

esli bν+1 > r +

209

1 ; q0

3) pri q = p = ∞: M −r (log M )ν−1 φ4 (M ),

gde φ4 (M ) = (log M )r(ν−1)−b1 −···−bν ;

h(p, q) opredeleno v teoreme 1; q0 = min{q; 2}. T e o r e m a 5. Pust parametry r, b1 , . . . , bd , p, q i funkci Ω(t) udovletvort uslovim teoremy 4, isklqa sluqai (p, q) = (1, 1) i (∞, ∞). Togda Ω B Ω d⊥ M (Hq , Lp )  dM (Hq , Lp ).

V teoremah 4 i 5 optimalnymi (v smysle pordka) podprostranstvami vlts podprostranstva trigonometriqeskih polinomov s garmonikami iz mnoestv Q(N ) pri p > q i iz mnoestv Q (N ) pri p ≥ q, priqem dl j = ν + 1, . . . , d predpolagaets, qto 1 1 pri bj ≤ r + bj − bj < q0 q0 i 1 1 pri bj > r + . bj − bj > q0 q0 D o k a z a t e l  s t v o t e o r e m 4 i 5 . Snaqala dokaem ocenki sverhu. 1) 1 ≤ p ≤ q < ∞, q > 1. Budem v rassmatrivaemom sluqae pribliat funkcii f (x) iz HqΩ trigonometriqeskimi polinomami so spektrom iz Q (N ). Togda po teoreme E dl f (x) ∈ HqΩ imeem: 1 φ2 (N, d, q0 , b, b ). N V poslednem neravenstve konstanty soderat mnoiteli 1 1 − q0 (bj − bj ) f (x) − SQ (N ) (f, x)p  f (x) − SQ (N ) (f, x)q 

(to sleduet iz dokazatelstva teoremy E). Esli 1 , j = ν + 1, . . . , d, bj − r < q0 to, vzv bj tak, qtoby bylo r < bj < bj , budem imet: 0 < bj − bj < bj − r <

1 . q0

210

N. N. Pustovo itov

Togda pri bj ↓ r budet 1 1 ≤ ,  1 − q0 (bj − bj ) 1 − q0 (bj − r) t.e. konstanty v ukazannom neravenstve ograniqeny i my moem pere iti k predelu pri bj ↓ r. V predele poluqim: f (x) − SQ (N ) (f, x)p 

(d−1) 1 (log N ) q0 −(bν+1 −r)−···−(bd −r) . N

Esli e

1 , q0 1 , bj − r > q0 to berem bj tak, qto bj − r <

j = ν + 1, . . . , ν + ξ; j = ν + ξ + 1, . . . , d,

1 , j = ν + 1, . . . , ν + ξ, q0 1 , j = ν + ξ + 1, . . . , d. bj − bj > q0 Dalee primenem teoremu E i perehodim k predelu pri bj − bj <

bj ↓ r,

j = ν + 1, . . . , ν + ξ.

V itoge poluqaem: f (x) − SQ (N ) (f, x)p  Esli e bj − r <

(ν+ξ−1) 1 −(bν+1 −r)−···−(bν+ξ −r) (log N ) q0 . N

1 , q0

j = ν + 1, . . . , ν + ξ,

1 , j = ν + ξ + 1, . . . , ν + ξ + μ, q0 1 , j = ν + ξ + μ + 1, . . . , d, bj − r > q0 to, vzv bj tak, qto bj − r =

r < bj < bj ,

j = ν + 1, . . . , d,

1 , j = ν + 1, . . . , ν + ξ + μ, q0 1 , j = ν + ξ + μ + 1, . . . , d, bj − bj > q0 to pri perehode k predelu pri bj − bj <

bj ↓ r,

j = ν + ξ + μ,

211

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

poluqim, qto konstanty (dl j = ν + ξ + 1, . . . , ν + ξ + μ) budut neograniqennymi i poluqaets neravenstvo f (x) − SQ (N ) (f, x)p  ν+ξ+μ−1 C(ε) −(bν+1 −r)−···−(bν+ξ −r)−(bν+ξ+1 −r−ε)−···−(b(ν+ξ+μ −r−ε) (log N ) q0 , N gde C(ε) → +∞ pri ε ↓ 0.



2) 1 ≤ p < q = ∞. V tom sluqae, kak i v predyduwem, pribliaem trigonometriqeskimi polinomami s garmonikami iz mnoestv Q (N ): sup f (x) − SQ (N ) (f ; x)p 

Ω f ∈H∞

 sup f (x) − SQ (N ) (f ; x)p+1  Ω f ∈Hp+1

1 φ2 (N, d, 2, b, b ) N

(sm. teoremu E). I tak e, kak i v predyduwem sluqae, poluqaem ocenku sverhu. 3) 1 ≤ q < p < ∞. V tom sluqae spektr pribliawih trigonometriqeskih polinomov leit v mnoestvah Q(N ). Po teoreme D s uqetom ograniqeni i na bj dl f (x) ∈ HqΩ poluqaem: 1

1

1

f (x) − SQ(N ) (f, x)p  N r ( q − p −r) (log N )

(ν−1) 1 1 q0 −( rq − rp )(b1 +···+bν )

.

4) 1 ≤ q < p = ∞. Analogiqno dokazatelstvu ocenok sverhu v sootvetstvuwem sluqae iz teorem 1 i 2 dl f (x) ∈ HqΩ poluqaem: f (x) − SQ(N ) (f, x)∞ 

1 N

X

2

s1 q

1

 N rq −1

s∈θ(N )

X

d Y

s∈θ(N ) j=1

−bj

sj rq .

Dalee, ispolzu lemmu A i uqityva neravenstva bj > 1, rq

j = ν + 1, . . . , d,

imeem: 1

1

f (x) − SQ(N ) (f ; x)∞  N rq −1 (log N )ν−1− rq (b1 +···+bν ) , qto daet s uqetom (21) i (22) trebuemye ocenki sverhu. 5) (p, q) = (1, 1), (∞, ∞). V tom punkte budem funkcii f (x) ∈ HqΩ , q = 1, ∞, pribliat ee mnogomernymi summami Valle

212

N. N. Pustovo itov

Pussena VQ (N ) (f ; x), sootvetstvuwimi mnoestvami Q (N ). Po zameqani 1 k teoreme E dl p = 1, ∞, imeem: 1 1 f (x) − VQ (N ) (f ; x)p  φ2 (N, d, 1, b, b )  (log N )ν−1 . N N Zdes my ispolzovali uslovie bj > r + 1,

j = ν + 1, . . . , d.

Dalee, ispolzu (22), prihodim k trebuemo i ocenke sverhu. Ocenki sverhu dokazany. Dalee dokaem ocenki snizu. 1) p = ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Kak bylo dokazano vyxe, suwestvuet mnoestvo θ1 (N ) ⊂ θ(N ) takoe, qto |θ1 (N )|  (log N )d−1

i

sj  log N, j = 1, . . . , d.

Analogiqno tomu mono utverdat, qto suwestvuet mnoestvo (ν)

n

o

θ1 (N ) = s ∈ θ(N ) : sj  log N, j = 1, . . . , ν, sj = 1, j = ν + 1, . . . , d takoe, qto

(ν)

|θ1 (N )|  (log N )ν−1 . Rassmotrim funkci X

g9 (x) =

(ν)

Ks(ν) (x)

=

ν Y

eixj ,

j=ν+1

s∈θ1

gde

d Y

Ks(ν) (x)

s

eikj xj K2sj −2 (xj ),

j=1

j

2sj −1 + 2sj −2 , sj ≥ 2, 1, sj = 1, j = 1, . . . , ν, iera. Kn (τ ) — dro Fe Pust operator G prinadleit LM (B)∞ . Oqevidno, kjs =

g9 (x − y) − Gg9 (x − y)∞ ≥ g9 (0) − min Re Gg9 (x − y). y=x

Po lemme D (23)

min Re Gg0 (x − y)  M 1/2 y=x

“

“

X

2s1

”1/2



(ν)

s∈θ1 (N ) b1

 M 1/2 N 1/r (log N )− r

−···− brν +(ν−1)

”1/2

 M 1/2 |Q(N )|1/2 .

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

213

(ν)

Zdes my ispolzovali to, qto dl s ∈ θ1 (N ) budet b1

2s1  N 1/r (log N )− r

−···− brν

.

S drugo i storony, (24)

X

g9 (0) 

b1

2s1  N 1/r (log N )− r

−···− brν +(ν−1)

 |Q(N )|.

(ν) s∈θ1 (N )

Dalee vyberem N tak, qtoby |Q(N )|  M i prava qast v (24) byla by kak minimum vdvoe bolxe, qem prava qast v (23). Pri takom vybore N poluqim, qto suwestvuet y ∗ takoe, qto g9 (x − y ∗ ) − Gg9 (x − y ∗ ) ≥ M.

(25)

Vzv teper funkci ” 1 −1 b1 bν 1 “ 1/r q N (log N )− r −···− r g9 (x), N poluqim trebuemu ocenku snizu.

(26)

g10 (x) =

2) 1 ≤ q < p < ∞. Rassmotrim operator A ∈ SB(N ) G, gde [

B(N ) =

ρ(s),

(ν)

s∈θ1 (N )

i summy Fure, a SB(N ) oboznaqaet operator vzti qastiqno sootvetstvuwe i mnoestvu B(N ). Dl trigonometriqeskogo polinoma so spektrom iz B(N ) imeem: t(x) = t(x) ∗

“

X

”

ei(k,x) .

k∈B(N )

Sledovatelno,

‚ ‚

t∞ ≤ tp · ‚

‚ ‚

X k∈B(N )

ei(k,x) ‚  , p

gde

1 1 +  = 1. p p

Primen takie e rassudeni, kak i v rabote [7, str. 140], poluqaem: ‚ ‚  ‚ ‚

X

k∈B(N )

“

‚p

ei(k,x) ‚

p



X



2s1 (p −1) 

(ν)

s∈θ1 (N ) b1

 N 1/r (log N )− r

−···− brν

”p −1

(log N )ν−1 .

214

N. N. Pustovo itov

S uqetom togo, vzv funkci g10 (x), imeem: g10 (x − y ∗ ) − Ag10 (x − y ∗ )∞  g10 (x − y ∗ ) − Gg10 (x − y ∗ )p × “

b1

× N 1/r (log N )− r

−···− brν

”1/p

1

(log N )(ν−1)(1− p ) .

Teper, primen sootnoxeni (25) i (26), poluqaem trebuemye ocenki snizu. 3) 1 ≤ p ≤ q, q ≥ 2, p < ∞. Rassmotrim mnoestvo n

θ  (N ) = s = (s1 , . . . , sd ), sj ∈ N, j = 1, . . . , d, N <

d Y

b

o

2rsj sjj ≤ 2l N ,

j=1

gde

r < bj < bj , j = ν + 1, . . . , d. bj = bj , j = 1, . . . , ν; Otmetim, qto dl s ∈ θ  (N ) verno sootnoxenie d Y

Ω(2−s )  N −1

(27)

b −bj

sj j

≤

j=ν+1

1 . N

Dl s = (s1 , . . . , sd ), sj ∈ N, j = 1, . . . , d, opredelim veliqiny ρs = Ω(2−s )

L X X

|ψbm (k)|2 .

k∈ρ(s) m=1

Zdes L ≤ M , funkcii {ψm (x)}L m=1 obrazut ortonormirovannu sistemu (sm. lemmu E). Dalee, ispolzu (27), poluqaem (28)

X s∈θ  (N )

ρs ≤

X

1 N

Vozmem mnoestvo

L X X

|ψbm (k)|2 ≤

s∈θ  (N ) k∈ρ(s) m=1

n

θ1 (N ) = s ∈ θ  (N ) : ρs ≤

M . N

2M o . N |θ  (N )|

Iz (28) sleduet, qto

|θ  (N )| . 2 V kadom ρ(s), s ∈ θ1 (N ) vozmem ks tak, qtoby |θ1 (N )| ≥

L X

|ψbm (ks )|2 ≤

m=1

Rassmotrim funkci g11 (x) =

2M ρs ≤ .  |ρ(s)| N |θ (N )| · |ρ(s)| X

s∈θ1 (N )

Ω(2−s )ei(k

s

,x)

.

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

215

Vozmem operator G ∈ LM (B)1 . Oboznaqim β(y) = (Gg11 (x + y), sign g11 (x + y)). Po zameqani k lemme E

L ”1/2 1“ X X |ψbm (ks )|2  N s∈θ (N ) m=1

min Re β(y)  y

1

1/2

M N 3/2 |θ  (N )|1/2



“

1 ”1/2 = A. |ρ(s)| s∈θ  (N ) X 1

Ispolzu oqevidnoe neravenstvo 1 ≤ 1, |ρ(s)|

(29)

poluqaem:

Dalee imeem: g11 2 =

“

X

A

(Ω(2−s ))2

M 1/2 . N 3/2

”1/2



s∈θ1 (N )



d ” Y d−1   1 1“ X −2(bj −bj ) 1/2 sj

(log N ) 2 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bd −bd ) . N s∈θ (N ) j=ν+1 N 1

Zdes my ispolzovali (24) i tot fakt, qto dl s ∈ θ1 (N )

sj  log N, j = ν + 1, . . . , d.

Dalee, polaga bj < r + i vzv

1 , 2

j = ν + 1, . . . , d,

1 , j = ν + 1, . . . , d, 2 po mnogomerno i teoreme Littlvuda–Pli, sootnoxeni (27) i lemme A (vzv bj : bj − bj <

γj = 0, j = 1, . . . , ν, poluqaem:

‚“ ‚

g11 4  ‚

X

(Ω(2−s ))2

s∈θ1 (N )

Tak kak

”1/2 ‚ d−1   1 ‚ (log N ) 2 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bd −bd ) . ‚  4

N

1/3

g11 2 ≤ g11 1

to (30)

γj = 2(bj − bj ) < 1, j = ν + 1, . . . , d),

g11 1

2/3

· g11 4 ,

d−1   1 (log N ) 2 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bd −bd ) . N

216

N. N. Pustovo itov

Otmetim, qto pri bolxih N takih, qto M  |Q(N )| i pri r > 1 prava qast v (30) bolxe, qem prava qast v (29). Potomu mono utverdat, qto pri nekotorom y ∗ budet g11 (x + y ∗ ) − Gg11 (x + y ∗ )1 ≥ |(g11 (x + y ∗ ) − Gg11 (x + y ∗ ), d−1   1 sign g11 (x + y ∗ ))| (log N ) 2 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bd −bd ) . N Perehod k predelu pri bj ↓ r,

j = ν + 1, . . . , d,

i uqityva (21), (22), poluqaem ocenku snizu dl 1 j = ν + 1, . . . , d. bj < r + , 2 Esli e 1 1 bj > r + , j = ν + ξ + 1, . . . , d, bj < r + , j = ν + 1, . . . , ν + ξ; 2 2 to berem bj tak, qtoby 0 < bj − bj <

1 , 2

j = ν + 1, . . . , ν + ξ

i

1 , j = ν + ξ + 1, . . . , d. 2 V tom sluqae nuno vzt mnoestvo bj − bj > n

o

θ2 (N ) = s ∈ θ  (N ) : sj = 1, j = ν + ξ + 1, . . . , d . Zatem vzt mnoestvo n

θ3 (N ) = s ∈ θ2 (N ) : ρs ≤ i rassmotret funkci g12 (x) =

X

2M o N |θ2 (N )|

Ω(2−s )ei(k

s

,x)

,

s∈θ3 (N )

gde ks dl s ∈ θ3 (N ) vzto tak, qto L X m=1

|ψbm (ks )|2 ≤

ρs . |ρ(s)|

Dalee, analogiqno predyduwemu sluqa dokazyvaets, qto pri nekotorom y ∗ vypolneno neravenstvo

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

217

g12 (x + y ∗ ) − Gg12 (x + y ∗ )1

(31)

ν+ξ−1   1 (log N ) 2 −(bν+1 −bν+1 )−···−(bν+ξ −bν+ξ ) . N Zatem, perehod k predelu pri

bj ↓ r,

j = ν + 1, . . . , ν + ξ,

poluqaem nunu ocenku snizu. V sluqae 1 j = ν + 1, . . . , ν + ξ, bj < r + , 2 1 j = ν + ξ + 1, . . . , ν + ξ + μ, bj = r + , 2 1 j = ν + ξ + μ + 1, . . . , d, bj > r + , 2 dokazatelstvo ocenok snizu analogiqno dokazatelstvu neravenstva (31). 4) 1 ≤ p ≤ q ≤ 2. Zdes, kak i pri dokazatelstve ocenok snizu v teoremah 1, 2 v sootvetstvuwem sluqae, ispolzuem funkci analogiqnu funkcii iz primera 7 raboty [13]. Kak i v predyduwem sluqae, spektr pribliawih trigonometriqeskih polinomov leit v mnoestvah Q (N ). Vozmem mnoestvo n

o

1

θ4 (N ) = s ∈ θ  (N ) : sj ≥ 2(log N )1− d , j = 1, . . . , d . Kak netrudno ubedits, |θ4 (N )|  (log N )d−1 . Vozmem υ = [|θ4 (N )|1/d ],



θ (N ) ⊂ θ4 (N ),



|θ (N )| = υ d ,

i razobem πd = [−π; π]d na υ d kubov. Ustanovim vzaimno odno znaqnoe sootvetstvie medu poluqennym mnoestvom kubov i θ (N ).  Dl s ∈ θ (N ) qerez xs oboznaqim centr sootvetstvuwego kuba. Pust  u = 2[log |θ4 |/d] i ρs te e, qto i v predyduwem sluqae. Zdes, kak i vyxe, L ≤ M , funkcii ψm (x) vzty iz lemmy E. S uqetom (27) imeem: X M . ρs ≤ N  s∈θ (N )

218

N. N. Pustovo itov

Vozmem

n

o

2M



θ5 (N ) = s ∈ θ (N ) : ρs ≤



N |θ (N )|

Tak kak

.



|θ (N )| . 2  Dl kadogo s ∈ θ 5 (N ) vozmem kuby Δs ⊂ ρ(s) s centrami v toqkah ks (kotorye opredeleny v (7)) i rebrom 2u takie, qto to |θ5 (N )| ≥

ψm (x)2 = 1,

X

L X

|ψbm (k)|2 ≤

k∈Δs m=1

|Δs | 2M |Δs | . · ρs ≤  |ρ(s)| N |ρ(s)| · |θ (N )|

Rassmotrim funkci g13 (x) =

X

Ω(2−s )ei(k

s

,x)

s∈θ5 (N )

d Y

Ku (xj − xsj )

j=1

iera). Vozmem G ∈ LM (B)1 i oboznaqim (Ku (τ ) — dro Fe β(y) = (Gg13 (x + y), g13 (x + y)). Poloim

W (N ) =

[

Δs .

s∈θ5 (N )

Togda po lemme E s uqetom (27) poluqim “ X 1 M |Δs | ”1/2  (32) min Re β(y)  2 · |W (N )|1/2  y N N |θ (N )| s∈θ (N ) |ρ(s)| 5

1/2

3 M (log N ) 2 (d−1) . N 5/2 Zdes my ispolzovali oqevidnoe neravenstvo 1 ≤ 1. |ρ(s)| S drugo i storony,   1 (33) (g13 (x + y), g13 (x + y)) 2 (log N )2(d−1)−(bν+1 −bν+1 −···−(bd −bd ) . N Zdes ispolzovano sootnoxenie (27), a take tot fakt, qto



Ku 22  (log N )d−1 . Tak kak prava qast v (32) po pordku ravna (ν−1) 1 3 1 M 1/2 − 2r (b1 +···+bν ) 2 (d−1)+ 2 (log N ) , 5 1 |Q(N )|1/2 N 2 − 2r

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

219

to pri r > 1 i pri bolxih N takih, qto |Q(N )|  M, prava qast v (33) budet bolxe, qem prava qast v (32). S uqetom togo pri nekotorom y ∗ budem imet |(g13 (x + y ∗ ) − Gg13 (x + y ∗ ), g13 (x + y ∗ ))|   1 (log N )2(d−1)−(bν+1 −bν+1 )−···−(bd −bd ) . 2 N Dalee, analogiqno dokazatelstvu primera 7 iz [13] poluqaem neravenstvo   1 (34) g13 (x + y ∗ ) − Gg13 (x + y ∗ )1 (log N )d−1−(bν+1 −bν+1 )−···−(bd −bd ) . N Predpoloim, qto 1 j = ν + 1, . . . , d. bj < r + , q

Vozmem funkci 1

g14 (x) = C(log N )(d−1)( q −1) g13 (x) i tak kak

d ‚Y ‚ 1 ‚ ‚ Ku (xj − xsj )‚  (log N )(d−1)(1− q ) , ‚ q

j=1

to po teoreme A funkci g14 (x) prinadleit klassu HqΩ pri nekotorom C > 0. Uqityva (34), poluqaem: d−1   1 (log N ) q −(bν+1 −bν+1 )−···−(bd −bd ) . N Perehod v tom neravenstve k predelu pri

(35) g14 (x + y ∗ ) − Gg14 (x + y ∗ )1 bj ↓ r,

j = ν + 1, . . . , d,

poluqaem trebuemu ocenku snizu dl sluqa 1 j = ν + 1, . . . , d. bj < r + , q Pust teper bj < r +

1 , q

j = ν + 1, . . . , ν + ξ,

bj > r +

1 , q

j = ν + ξ + 1, . . . , d.

220

N. N. Pustovo itov

V tom sluqae sleduet vzt mnoestvo n

1

θ6 (N ) = s ∈ θ  (N ) : sj ≥ 2(log N )1− d , j = 1, . . . , ν + ξ, o

sj = 1, j = ν + ξ + 1, . . . , d . Kak netrudno ubedits, |θ6 (N )|  (log N )ν+ξ−1 . Dalee, de istvu analogiqno dokazatelstvu (35), a zatem perehod k predelu pri bj ↓ r,

j = ν + 1, . . . , ν + ξ,

poluqaem nunu ocenku snizu. I tak e dokazyvaets ocenka snizu v sluqae 1 j = ν + 1, . . . , ν + ξ, bj < r + , q 1 j = ν + ξ + 1, . . . , ν + ξ + μ, bj = r + , q 1 j = ν + ξ + μ + 1, . . . , d. bj > r + , q Teoremy 4 i 5 dokazany.

4. Qetverty i sluqa i Pust

r ≤ b1 ≤ . . . ≤ bd ,

b2 > r.

V tom sluqae (36)

M  N 1/r (log N )−b1 /r ,

N  M r (log M )b1 .

My predpolagaem, qto b1 = · · · = bν < bν+1 ≤ · · · ≤ bd . Pri ν = 1 budet r ≤ b1 < b2 . Esli e ν ≥ 2, to b1 > r. T e o r e m a 6. Pust r ≤ b1 = · · · = bν < bν+1 ≤ · · · ≤ bd ,

priqem

b2 > r.

Pust 1 ≤ p; q ≤ ∞. Predpoloim, qto v sluqae p ≤ q, p < ∞ budet r > 1; pri 1 ≤ q < p < ∞ budet r ; b2 > (p/q) − 1

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

221

pri p = ∞, q > ∞ sqitaem, qto b2 /rq > 1, a pri p = q = ∞ predpolagaem, qto b2 > b1 + 1. Predpoloim, qto funkci Ω(t) Ω opredelets ravenstvom (2) s 0 < r < l. Togda veliqina dB M (Hq , Lp ) po pordku ravna: 1) pri 1 ≤ q < p ≤ ∞, r > 1

1 q

− p1 , libo q = p = ∞, r > 0:

1

M q − p −r (log M )−b1 ; 2) pri 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, p < ∞, r > 1: −b1 + d−1 −(bν+1 −bν )−···−(bd −bν ) q

M −r (log M ) esli

bj < bν +

0

1 , q0

M −r (log M )−b1 +

,

j = ν + 1, . . . , d;

ν+ξ−1 −(bν+1 −bν )−...−(bν+ξ −bν ) q0

,

esli bj < bν +

1 , j = ν + 1, . . . , ν + ξ; q0

bj > bν +

1 , j = ν + ξ + 1, . . . , d; q0

C(ε)M −r × ×(log M )−b1 + esli

ν+ξ+μ−1 −(bν+1 −bν )−···−(bν+ξ −bν )−(bν+ξ+1 −bν −ε)−···−(bν+ξ+μ −bν −ε) q0

bj < bν +

1 , q0

j = ν + 1, . . . , ν + ξ;

1 , j = ν + ξ + 1, . . . , ν + ξ + μ; q0 1 j = ν + ξ + μ + 1, . . . , d, bj > bν + , q0 (C(ε) → ∞ pri ε ↓ 0); bj = bν +

−b1 + ν−1 q

M −r (log M ) esli bj > bν +

1 , q0

0

,

j = ν + 1, . . . , d.

Zdes q0 = min{q; 2}. T e o r e m a 7. V uslovih teoremy 6, za isklqeniem sluqaev Ω (p, q) = (1, 1), (∞, ∞), dl ortopopereqnikov d⊥ M (Hq , Lp ) verno pordkovoe ravenstvo Ω B Ω d⊥ M (Hq , Lp )  dM (Hq , Lp ).

222

N. N. Pustovo itov

Pordki popereqnikov v teoremah 6 i 7 pri q < p realizut podprostranstva trigonometriqeskih polinomov s garmonikami iz Q(N ); pri q ≥ p — podprostranstva trigonometriqeskih polinomov s garmonikami iz Q (N ). D o k a z a t e l  s t v o t e o r e m 6 i 7 . Snaqala dokaem ocenki sverhu. 1) 1 ≤ p ≤ q < ∞, q > 1. Dokazatelstvo v tom sluqae provodits tak e, kak i v dokazatelstve teorem 4 i 5. 2) 1 ≤ p < q = ∞. Dokazatelstvo take analogiqno dokazatelstvu teorem 4 i 5. 3) 1 ≤ q < p < ∞. V tom sluqae dokazatelstvo sleduet iz teoremy D s uqetom uslovi r . b2 > (p/q) − 1 4) 1 ≤ q < p = ∞. Dokazatelstvo zdes provodits tak e, kak i v teoremah 4, 5 s uqetom b2 /rq > 1 po lemme A. 5) (q, p) = (1, 1), (∞, ∞). Dokazatelstvo ocenok sverhu v tih sluqah sleduet iz zameqani 1 k teoreme E s uqetom togo, qto b2 > b1 + 1. Dalee dokaem ocenki snizu. 1) p = ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Vozmem vektor s˜ = (˜ s1 , . . . , s˜d ) iz θ(N ) tako i, qto s˜2 = · · · = s˜d = 1. s˜1  log N, Rassmotrim funkci g15 (x) = Ks˜(x) = ei(k

s ˜

,x)

K2s˜1 −2 (x1 ),

gde

ks˜ = (2s˜1 −1 + 2s˜1 −2 ; 1; . . . ; 1). Zdes, kak i ranxe, ispolzuts dra Fe iera. Togda s uqetom togo, qto 2˜s1  N 1/r (log N )−b1 /r ,

po lemme D dl operatora G ∈ LM (B)∞ imeem: (37)

min Re Gg15 (x − y)  M 1/2 y=x

“

“X

|gb15 (k)|2

”1/2

k

 M 1/2 (2˜s1 )1/2  M 1/2 N 1/r (log N )−b1 /r



”1/2

.

Ortopopereqniki nekotoryh klassov funkci i mnogih peremennyh

223

S drugo i storony, (38)

g15 (0)  2˜s1  N 1/r (log N )−b1 /r .

Mono vzt N tak, qtoby bylo |Q(N )|  M i prava qast v (38) byla kak minimum vdvoe bolxe, qem prava qast v (37). Togda pri nekotorom y ∗ analogiqno dokazatelstvu teorem 4, 5 poluqim: g15 (x − y ∗ ) − Gg15 (x − y ∗ )∞ M. Dalee, vzv funkci C ˜s1 ( 1q −1) 2 g15 (x), N poluqim trebuemye ocenki snizu. g16 (x) =

2) 1 ≤ q < p < ∞. Rassmotrim operator A = Sρ(˜s) G,

gde G ∈ LM (B)p ,

i summy Fure, sootvetstvuwe i a Sρ(˜s) — operator vzti qastno paqke ρ(˜ s), gde s˜ opredeleno vyxe. Dl trigonometriqeskogo polinoma t(x) so spektrom iz ρ(˜ s) budet ‚ X ‚

t∞ ≤ tp · ‚

k∈ρ(˜ s)

‚ ‚

ei(k,x) ‚   tp 2 p

˜ s1 p

.

Uqityva to, dalee provodim dokazatelstvo s primeneniem funkcii g16 (x) tak e, kak i pri dokazatelstve teorem 4, 5. Ocenki snizu v sluqae 1 ≤ p ≤ q, q ≥ 2, p < ∞, a take v sluqae 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 dokazyvats analogiqno dokazatelstvu teorem 4, 5. Teoremy 6 i 7 dokazany. Avtor vyraaet gluboku blagodarnost svoemu uqitel V. N. Temlkovu za vesma poleznye obsudeni ortopopereqnikov i za ego postonnoe vnimanie k rabote avtora.

Literatura [1] A. V. Andrianov i V. N. Temlkov, O dvuh metodah rasprostraneni svo istv sistem funkci i ot odno i peremenno i na ih tenzornoe proizvedenie, Tr. MIAN , 219(1997), 32–43.

224

Pustovo itov: Ortopopereqniki klassov funkci i mnogih peremennyh

[2] N. K. Bari i S. B. Steqkin, Nailuqxie priblieni i differencialnye svo istva dvuh soprennyh funkci i, Tr. Mosk. matem. ob-va, 5(1956), 483– 522. [3] Din Zung, Priblienie funkci i mnogih peremennyh na tore trigonometriqeskimi polinomami, Matem. sb., 131(1986), No. 2, 251–271. [4] . M. Galeev, Pordki ortoproekcionnyh popereqikov klassov periodiqeskih funkci i odno i i neskolkih peremennyh, Matem. zametki, 43(1988), No. 2, 197–211.  tov, Predstavlenie i priblienie periodiqeskih funkci [5] N. N. Pustovoi i mnogih peremennyh s zadannym smexannym modulem nepreryvnosti, Analysis Math., 20(1994), 35–48.  tov, Priblienie mnogomernyh funkci [6] N. N. Pustovoi i s zadanno i maoranto i smexannyh module i nepreryvnosti, Matem. zametki, 65(1999), No. 1, 107–117.  tov, Ortopopereqniki nekotoryh klassov periodiqeskih [7] N. N. Pustovoi funkci i dvuh peremennyh s zadanno i maoranto i smexannyh module i nepreryvnosti, Izv. RAN , seri matem., 64(2000), No. 1, 123–144.  tov, O priblienii i harakterizacii periodiqeskih funk[8] N. N. Pustovoi ci i mnogih peremennyh, imewih maorantu smexannyh module i nepreryvnosti specialnogo vida, Analysis Math., 29(2003), 201–218.  , Nekotorye ocenki dl trigonometriqeskih rdov s [9] S. A. Telkovskii kvazivypuklymi kofficientami, Matem. sb., 63(1964), No. 3, 426–444. [10] V. N. Temlkov, Popereqniki nekotoryh klassov funkci i neskolkih peremennyh, DAN SSSR , 267(1982), No. 2, 314–317. [11] V. N. Temlkov, Priblienie funkci i s ograniqenno i smexanno i proizvodno i, Tr. MIAN , 178(1986), 1–112. [12] V. N. Temlkov, Ob ocenkah ortopopereqnikov klassov funkci i s ograniqenno i smexanno i proizvodno i, Voprosy qisto i i prikladno i matematiki, Doklady po matematike i ee priloenim, 1(1987), No. 1, 3–30. [13] V. N. Temlkov, Ocenki asimptotiqeskih harakteristik klassov funkci is ograniqenno i smexanno i proizvodno i ili raznost, Tr. MIAN , 189(1989), 138–168.

On the widths of multivariate periodic classes of functions whose mixed moduli of continuity are bounded by a product of power- and logarithmic-type functions N. N. PUSTOVOITOV

Ortho-widths are studied for classes of multivariate periodic functions in the spaces Lp , 1 ≤ p ≤ ∞, whose mixed moduli of continuity are bounded by a certain product of power- and logarithmic type functions.