Analysis Mathematica, 34(2008), 83–103 DOI: 10.1007/s10476-008-0201-y
Зkvivalentnye normirovki prostranstv , associirovannyh s funkcii obobwennym sdvigom Gegenbauзra V. S. GULIEV i З. Dж. IBRAGIMOV Vagif Sabirogly Guliev, Bakinski i gosudarstvenny i universitet, Institut matematiki i mehaniki, Nacionalьno i akademii nauk Azerba idжana, e-mail:
[email protected] Зlьman Dжavanxirogly Ibragimov, Azerba idжanska gosudarstvenna neft na akademi , e-mail:
[email protected] Postupilo 26 dekabr 2006 g., pererabotanny i variant – 26 sent br 2007 g.
R e z m e . V rabote na idena formula Te ilora–Delьsarta dl funkci i obobwennogo sdviga Gegenbauзra. S pomowь formuly Te ilora–Delьsarta dl funkci i obobwennogo sdviga Gegenbauзra postroena nekotora veliqina, igrawa rolь modul gladkosti k-go por dka (pri k = 1 зta veliqina sovpadaet s modulem nepreryvnosti pervogo por dka), associirovanna s obobwennym sdvigom Gegenbauзra. S pomowь зto i veliqiny i K -funkcionala Petre poluqena interpol cionna teorema. Poluqeny takжe зkvivalentye normirovki prostranstv funkci i, associirovannyh s obobwennym sdvigom Gegenbauзra.
1. Vvedenie V klassiqesko i teorii pribliжeni i funkci i na R bolьxu rolь igraet operator sdviga f (t) → f (t + s),
t, s ∈ R
i sv zanna s nim tehnika analiza Furьe. Sdvigi obrazut odnoparametriqesku gruppu izometri i banahovyh prostranstv (BP) Lp (R) ili C(R). Mnogie zadaqi teorii pribliжeni i rasprostraneny i na abstraktnu situaci, kogda v proizvolьnom BP imeets odnoparametriqeska gruppa ili polugruppa operatorov (sm. [2, 16]). Drugim estestvennym obobweniem operatorov sdviga 0133–3852/$ 20.00 c 2008 Akad´emiai Kiad´o, Budapest
84
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
na R vl ts operatory obobwennogo sdviga (OOS) Delьsarta– Levitana (sm. [3, 4, 8, 9]). Sleduet otmetitь, qto OOS poroжdats sootvetstvuwimi differencialьnymi operatorami Bessel , kobi, Зrmita, Lagerra i t.d. i vl ts sledstvi mi tak nazyvaemyh iiteorem sloжeni hh dl sobstvennyh funkci i зtih operatorov. Poзtomu predstavl ets bolee estestvennym izuqenie strukturno i i konstruktivno i harakteristiki klassa funkci i v terminah OOS. V nasto wee vrem imeets bolьxoe koliqestvo rabot, v kotoryh daets opisanie strukturno i i konstruktivno i harakteristiki klassa funkci i v terminah obobwennogo modul gladkosti poroжdenno i OOS. Ispolьzu OOS ustanavlivats pr mye i obratnye teoremy teorii pribliжeni i (sm., napr. [1, 6, 11–15, 17]). V danno i rabote poluqeny analogi nekotoryh rezulьtatov raboty [10]. Na idena formula Te ilora–Delьsarta dl funkci i obobwennogo sdviga Gegenbauзra. S pomowь formuly Te ilora– Delьsarta dl funkci i obobwennogo sdviga Gegenbauзra postroena nekotora veliqina igrawa rolь modul gladkosti k-go por dka (pri k = 1 зta veliqina sovpadaet s modulem nepreryvnosti pervogo por dka), associirovanna s obobwennym sdvigom Gegenbauзra. S pomowь зto i veliqiny i K-funkcionala Petre poluqena interpol cionna teorema. Poluqeny takжe зkvivalentye normirovki prostranstv funkci i, associirovannyh s obobwennym sdvigom Gegenbauзra.
2. Opredeleni i oboznaqeni Funkcii Gegenbauзra Pαλ (x),
α ∈ [1, ∞), x ∈ [1, ∞), λ ∈ (0, 21 )
vl ts sobstvennymi funkci mi differencialьnogo operatora (sm. [5]) d 2 1 d (x − 1)λ+ 2 . dx dx Funkci obobwennogo sdviga, poroжdenna operatorom Dλ , imeet vid (1)
(2)
1
Dλ = (x2 − 1) 2 −λ
At f (x) ≡ Aλt f (x) = Cλ
Z
π 0
f ((x, t)ϕ ) dµλ (ϕ),
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 85
gde Cλ =
Γ(λ + 12 ) , Γ( 12 )Γ(λ)
(x, t)ϕ = xt −
Oboznaqim qerez
dµλ (ϕ) = (sin ϕ)2λ−1 dϕ, p
p
x2 − 1 t2 − 1 cos ϕ.
Lp,λ [1, ∞) ≡ Lp ([1, ∞), dmλ ),
1≤p≤∞
klass funkci i s koneqno i normo i Z
kf kp,λ = (
∞ 1
|f (x)|p dmλ (x))1/p ,
1 ≤ p < ∞,
kf k∞,λ = ess sup |f (x)|, x∈[1,∞)
gde
1
dmλ (x) = (x2 − 1)λ− 2 dx.
Poloжim θ(s, σ) =
− 0,
Rs
σ (u
2
1
− 1)−λ− 2 du,
esli 1 < σ < s, esli σ ≥ s,
(3) C1 (ch s) = −
Z
ch s
Z
θ(ch s, σ) dmλ (σ) =
1
Pokaжem, qto
ch s 1
1
(t2 − 1)−λ− 2
Z
t 1
dmλ (σ) dt.
Dλ C1 (ch s) = 1. Iz (1) i (3) imeem 1
(sh s)C1′ (ch s) = (sh s)(ch2 s − 1)−λ− 2 ili C1′ (ch s)
(4)
−2λ−1
= (sh s)
Z
(sh s)C1′′ (ch s) = −(2λ + 1)(sh s)−2λ−2 ch s ili (5)
(sh
2
s)C1′′ (ch s)
−2λ−1
= −(2λ + 1)(sh s)
ch s
dmλ (t)
1
ch s
dmλ (t).
1
Otsda imeem
Z
Z
ch s
dmλ (t) + (sh s)−1 ,
1
ch s
Z
ch s 1
dmλ (t) + 1.
Umnoжiv (4) na (2λ + 1) ch s i sloжiv s (5), poluqim (sh2 s)C1′′ (ch s) + (2λ + 1)(ch s)C1′ (ch s) = 1,
86
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
qto ravnosilьno Dλ C1 (ch s) = 1. Poloжim C0 = 1 i (6)
Cn (ch s) = − =
Z
ch s 1
Z
(t − 1)
θ(ch s, σ)Cn−1 (σ) dmλ (σ) =
1
−λ− 21
2
ch s
dt
Z
t 1
Cn−1 (σ) dmλ (σ),
Pokaжem, qto Dλ Cn (ch s) = Cn−1 (ch s), 1
ili (7)
n = 1, 2, . . . ,
(sh s)Cn′ (ch s) = (ch2 s − 1)−λ− 2 (sh s) Cn′ (ch s)
−2λ−1
= (sh s)
Otsda nahodim
Z
n = 1, 2, . . . .
Z
ch s 1
Cn−1 (t) dmλ (t),
ch s 1
Cn−1 (t) dmλ (t).
(sh2 s)Cn′′ (ch s) =
(8)
= −(2λ + 1)(sh s)−2λ−1 (ch s)
Z
ch s 1
Cn−1 (t) dmλ (t) + Cn−1 (ch s).
Umnoжiv (6) na (2λ + 1) ch s i sloжiv s(7), poluqim (sh2 s)Cn′′ (ch s) + (2λ + 1)(ch s)Cn′ (ch s) = Cn−1 (ch s), n = 1, 2, . . . , qto ravnosilьno Dλ Cn (ch s) = Cn−1 (ch s), n = 1, 2, . . . . Rassmotrim funkcii (9)
R1 (ch s)f (x) =
(10) Rk (ch s)f (x) =
Z
Z
ch s 1
θ(ch s, σ)(Aσ Dλ f (x)) dmλ (σ),
ch s 1
θ(ch s, σ)(Rk−1 (σ)Dλ f (x)) dmλ (σ),
k = 2, 3, . . . .
V dalьne ixem nam ponadob ts vspomogatelьnye utverжdeni , kotorye predstavl t i samosto telьny i interes. 3. Vspomogatelьnye utverжdeni L e m m a 1. Esli funkci f (x) opredelena na promeжutke [1, ∞) i v toqke x0 ∈ [1, ∞) imeet koneqnye proizvodnye do vtorogo por dka vklqitelьno, to v зtoi toqke spravedlivo ravenstvo Aλ f (x0 ) − f (x0 ) x2 − 1 ′′ Dλ f (x0 ) lim ch t = 0 f (x0 ) + x0 f ′ (x0 ) ≡ . t→0 ch t − 1 2λ + 1 2λ + 1
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 87
D o k a z a t e l ь s t v o . Oboznaqim ψ(t) = Aλch t f (x0 ). Pustь u = x0 ch t −
q
Poloжiv x0 = ch α, poluqim, qto
x20 − 1 sh t cos ϕ.
u = ch α ch t − sh α sh t cos ϕ.
Otsda sleduet, qto
1 ≤ ch(α − t) ≤ u ≤ ch(α + t) < ∞.
Togda (11) (12)
π
ψ ′ (t) = Cλ
Z
ψ ′′ (t) = Cλ
Z
+ Cλ
Z
π 0
π
“
x0 ch t −
Iz (11) i (12) imeem ′
(13)
′
x20 − 1 ch t cos ϕ
q
(14) ψ ′′ (0) = Cλ (x20 − 1)f ′′ (x0 )
”
q
Z
x20
π 0
−1
Z
0
π
cos ϕ dµλ (ϕ) = 0,
cos2 ϕ dµλ (ϕ) + Cλ x0 f ′ (x0 )
Uqityva ravenstva (sm. napr., [7, s. 383]) Cλ
Z
π 0
f ′′ (u) dµλ (ϕ) +
x20 − 1 sh t cos ϕ f ′ (u) dµλ (ϕ).
ψ (0) = −f (x0 )Cλ
a takжe
”2
q
x0 sh t −
0
”
x20 − 1 ch t cos ϕ f ′ (u) dµλ (ϕ),
x0 sh t −
0
“
q
“
k
(cos ϕ) dµλ (ϕ) =
(
0, Γ(λ+ 21 )Γ(n+ 12 ) , Γ( 12 )Γ(n+λ+ 12 )
Z
x20 − 1 ′′ Dλ f (x0 ) f (x0 ) + x0 f ′ (x0 ) = . 2λ + 1 2λ + 1 Po formule Te ilora 1 (16) ψ(t) = ψ(0) + ψ ′ (0)t + ψ ′′ (0)t2 + o(t2 ), t → 0. 2 Uqityva (13) i (15), v (16) budem imetь ψ ′′ (0) =
Aλch t f (x0 ) = f (x0 ) +
0
k = 2n − 1, k = 2n
v (14), poluqim (15)
π
1 Dλ f (x0 ) 2 t + o(t2 ), 2 2λ + 1
t→0
dµλ (ϕ).
88
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
Aλch t f (x0 ) − f (x0 ) Dλ f (x0 ) = 2 t→0 t 2(2λ + 1) λ A f (x0 ) − f (x0 ) Dλ f (x0 ) lim ch t = 2 t t→0 2(2λ + 1) 4 sh 2
⇐⇒
lim
⇐⇒
Aλch t f (x0 ) − f (x0 ) Dλ f (x0 ) = . t→0 ch t − 1 2λ + 1 Lemma 1 dokazana. ⇐⇒
lim
Z a m e q a n i e 1. Utverжdenie lemmy 1 moжno zapisatь v ravnosilьno i forme Aλt f (x0 ) − f (x0 ) Dλ f (x0 ) = . t→1+0 t−1 2λ + 1 lim
L e m m a 2. Esli f ∈ Lp,λ [1, ∞), 1 ≤ p ≤ ∞, to dl lbogo t ∈ [1, ∞) spravedlivo neravenstvo kAλt f kp,λ ≤ kf kp,λ .
D o k a z a t e l ь s t v o . Pustь snaqala p = 1, togda kAλt f k1,λ
≤ Cλ
Z
∞ 1
Z
π 0
|f ((x, t)ϕ )| dµλ (ϕ) dmλ (x).
Dela vo vnutrennem integrale zamenu peremennyh 1
1
cos ϕ = (xt − z)(x2 − 1)− 2 (t2 − 1)− 2 ,
z = (x, t)ϕ ,
1
dϕ = (1 − x2 − t2 − z 2 + 2xzt)− 2 dz, 1
1
1
(sin ϕ)2λ−1 = (1 − x2 − t2 − z 2 + 2xzt)λ− 2 (x2 − 1) 2 −λ (t2 − 1) 2 −λ , poluqim 1 kAλt f k1,λ ≤ Cλ (t2 − 1) 2 −λ × ×
Z
1
√ √ ∞ Z xt+ x2 −1 t2 −1 xt−
Poskolьku
xt −
√
√ t2 −1
x2 −1
p
(1 − x2 − t2 − z 2 + 2xzt)λ−1 |f (z)| dz dx.
p
x2 − 1 t2 − 1 ≤ z ≤ xt + p
p
p
x2 − 1 t 2 − 1
p
⇐⇒ |z − xt| ≤ x2 − 1 t2 − 1 ⇐⇒ z 2 − 2xtz + x2 t2 ≤ x2 t2 − x2 − t2 + 1 ⇐⇒ z 2 − 2xtz ≤ 1 − x2 − t2 ⇐⇒ x2 − 2xtz + z 2 t2 ≤ 1 − x2 − t2 + z 2 t2 ⇐⇒ (x − zt)2 ≤ (z 2 − 1)(t2 − 1) ⇐⇒
|x − zt| ≤
p
p
z 2 − 1 t2 − 1
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 89
⇐⇒
zt −
p
p
z 2 − 1 t2 − 1 ≤ x ≤ zt +
p
to, men por dok integrirovani , poluqim
p
z 2 − 1 t2 − 1,
kAλt f k1,λ ≤
2
≤ Cλ (t −1)
1 2 −λ
Z
∞ 1
|f (z)|
Z
√ √ zt+ z 2 −1 t2 −1 √ √ zt− z 2 −1 t2 −1
(1−x2 −t2 −z 2 +2xzt)λ−1 dx dz.
Teperь, uqityva , qto “
p
p
z 2 − 1 t2 − 1 − x
zt +
”“
x − zt +
”
p
p
z 2 − 1 t2 − 1 =
= 1 − x2 − t2 − z 2 + 2xtz
i ispolьzu ravenstvo (sm. napr., [7, s. 299]) Z
b a
(x − a)µ−1 (b − x)ν−1 dx = (b − a)µ+ν−1 B(µ, ν),
gde B(µ, ν) — з ilerov integral pervogo roda, pri µ = ν = λ poluqim Z ∞
kAλt f k1,λ ≤
1
|f (z)| dmλ (z) = kf k1,λ .
Pustь teperь 1 < p < ∞. Togda po neravenstvu Gelьdera imeem kAλt f kp,λ = Cλ “
≤ Cλ
Z
“Z
1
∞
1
Z
∞˛Z π π
˛ ˛
0
0
“
˛p ˛
”
”1
f (x, t)ϕ dµλ (ϕ)˛ dmλ (x)
˛ ˛p ”1 p ˛ ˛ ˛f ((x, t)ϕ )˛ dµλ (ϕ) dmλ (x) .
p
≤
Poloжiv vo vnutrennem integrale z = (x, t)ϕ i postupa kak i vyxe, poluqim Z kAλt f kp,λ ≤
Pustь p = ∞, togda
“
∞
1
” p1
|f (z)|p dmλ (z)
‚ ‚ ‚ ‚
= ‚f ‚
p,λ
.
kAλt f k∞,λ ≤ ess sup |Aλt f (x)| ≤ ess sup |f (z)| = kf k∞,λ . x∈[1,∞)
z∈[1,∞)
Lemma 2 dokazana. tor (17)
Pustь f, g ∈ L1,λ [1, ∞). Svertko i зtih funkci i nazovem opera(f ∗ g)(x) =
Z
∞ 1
g(t)Aλt f (x) dmλ (t).
Otmetim, qto dl funkci i f, g ∈ L1,λ [1, ∞) svertka f ∗ g opredelena pri poqti vseh x ∈ [1, ∞) i f ∗ g ∈ L1,λ [1, ∞).
90
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
L e m m a 3. Dl f, g ∈ L1,λ [1, ∞) spravedlivo ravenstvo (f ∗ g)(x) = (g ∗ f )(x). D o k a z a t e l ь s t v o . Poloжiv z = (x, t)ϕ v (17) i postupa kak i pri dokazatelьstve lemmy 2, poluqim (f ∗ g)(x) = Cλ ×
Z
√ √ xu+ x2 −1 u2 −1
xu−
√
√
x2 −1
u2 −1
Z
∞ 1
1
(x2 − 1) 2 −λ g(u) ×
(1 − x2 − u2 − z 2 + 2xzu)λ−1 f (z) dz du = 1
= Cλ (x2 − 1) 2 −λ ×
Z
√ √ xz+ x2 −1 z 2 −1
√ √ xz− x2 −1 z 2 −1
Z
∞
1
f (z) ×
(1 − x2 − u2 − z 2 + 2xzu)λ−1 g(u) du dz.
Poloжiv vo vnutrennem integrale u = (x, z)ϕ , poluqim (f ∗ g)(x) =
Z
∞ 1
f (z)Aλz g(x) dmλ (z) = (g ∗ f )(x).
Lemma 3 dokazana. L e m m a 4. Dl dostatoqno gladkih funkcii operator Dλ samosopr жen, t.e. spravedlivo ravenstvo Z
∞
1
f (x)Dλ g(x) dmλ (x) =
Z
∞ 1
g(x)Dλ f (x) dmλ (x).
D o k a z a t e l ь s t v o . Soglasno lemme 1, s uqetom lemmy 3 moжem napisatь Z ∞
1
=
Z
∞ 1
“
f (x)
f (x)Dλ g(x) dmλ (x) =
Aλt g(x) − g(x) ” dmλ (x) = t→1+0 t−1 lim
∞ 1 [f (x)Aλt g(x) − f (x)g(x)] dmλ (x) = t→1+0 t − 1 1 Z ∞ 1 = lim (g(x)Aλt f (x) − g(x)f (x)) dmλ (x) = t→1+0 t − 1 1
= lim
Z
Aλt f (x) − f (x) ” = g(x) lim dmλ (x) = t→1+0 t−1 1 Lemma 4 dokazana. Z
∞
“
Z
1
∞
g(x)Dλ f (x) dmλ (x).
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 91
V dalьne ixem simvol ϕ(s) ∼ ψ(s) pri s → a oznaqaet, qto
lim
s→a
ϕ(s) = 1. ψ(s)
L e m m a 5. Spravedlivo neravenstvo 2k M (k, λ) (ch s − 1)k ≤ Ck (ch s) ≤ M (k, λ)(ch s − 1)k , (ch s + 1)k
(18)
s≥0
i Ck (ch s) ∼ M (k, λ)(ch s − 1)k
(19) gde
M (k, λ) =
pri s → 0,
1 . k! (2λ + 1)(2λ + 3) · · · (2λ + 2k − 1)
D o k a z a t e l ь s t v o . Ocenim C1 (ch s) sverhu: (20)
C1 (ch s) = =
Z
≤
Z
ch s 1
ch s 1
Z
ch s
σ
1
(t2 − 1)−λ− 2 dt dmλ (σ) =
1
1
(σ − 1)λ− 2 (σ + 1)λ− 2 λ− 12
ch s
Z
λ− 12
(σ − 1) (σ + 1) 1 (σ + 1)λ+ 2
1
Z
= ≤
Z
2 2(1 − 2λ)
Z
ch s 1
ch s
1
λ− 12
σ
Z
1
(t − 1)−λ− 2 1 dt dσ ≤ (t + 1)λ+ 2
ch s
1
(t − 1)−λ− 2 dt dσ =
σ 1
(t − 1) 2 −λ ˛˛ch s dσ ≤ 1 − λ ˛σ 2
(σ − 1) σ+1
1
ch s
h
˛
1
1
i
(σ − 1)λ− 2 (ch s − 1) 2 −λ − (σ − 1) 2 −λ dσ =
1 1 = (chs − 1) 2 −λ 1 − 2λ h
Z
ch s
λ− 12
(σ − 1)
1
dσ −
λ+ 12
Z
ch s
i
dσ = 1
i 1 1 (ch s − 1) (ch s − 1) 2 −λ − (ch s − 1) = 1 1 − 2λ λ+ 2 h i 1 2 1 = (ch s − 1) − (ch s − 1) = (ch s − 1). 1 − 2λ 2λ + 1 2λ + 1 Teperь ocenim C1 (ch s) snizu h
=
(21)
C1 (s) = =
Z
1
Z
ch s
2
λ− 12
1
(σ − 1)
ch s
λ− 12
(σ − 1) 1 (σ + 1) 2 −λ
Z
ch s
σ
Z
ch s
σ
1
(t2 − 1)−λ− 2 dt dσ = 1
(t − 1)−λ− 2 1 dt dσ ≥ (t + 1)λ+ 2
92
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
1 ≥ ch s + 1
Z
chs
λ− 21
(σ − 1)
1
1 = ch s + 1
Z
ch s
Z
σ
ch s
1
λ− 12
(σ − 1)
1
1
(t − 1)−λ− 2 dt dσ = (t − 1) 2 −λ ˛˛ch s dσ = ˛ 1 σ 2 −λ ˛
h i ch s 1 1 1 1 2 (σ − 1)λ− 2 (ch s − 1) 2 −λ − (σ − 1) 2 −λ dσ = = 1 − 2λ ch s + 1 1 h 2 i 2 1 2 ch s − 1 = (ch s − 1) − (ch s − 1) = . 1 − 2λ ch s + 1 2λ + 1 2λ + 1 ch s + 1 Iz (20) i (21) poluqaem, qto Z
2 ch s − 1 ch s − 1 ≤ C1 (ch s) ≤ 2λ + 1 ch s + 1 2λ + 1
i
ch s − 1 pri s → 0, 2λ + 1 t.e. utverжdenie lemmy 5 spravedlivo pri k = 1. Dopustim, qto neravenstvo (18) spravedlivo pri k = m, t.e. C1 (ch s) ∼
(22)
2m M (m, λ) (ch s − 1)m ≤ Cm (ch s) ≤ M (m, λ)(ch s − 1)m . (ch s + 1)m
Uqityva pravu qastь poslednego neravenstva i (6), budem imetь (23) ≤ M (m, λ)
Z
ch s 1
= M (m, λ)
Z
Cm+1 (ch s) ≤
ch s 1
≤ M (m, λ) = M (m, λ)
Z
h
ch s 1
Z
m+λ− 21
(σ − 1) 1 (σ + 1) 2 −λ ch s
1
Z
ch s σ
1
(t2 − 1)−λ− 2 dt dσ = 1
ch s
(t − 1)−λ− 2 dt dσ ≤ 1 (t + 1)λ+ 2
σ
1
1
(σ − 1)m+λ− 2 1
h
(t − 1) 2 −λ ˛˛ch s dσ = ˛ 1 σ 2 −λ 1
1
i
(σ − 1)m+λ− 2 (ch s − 1) 2 −λ − (σ − 1) 2 −λ dσ = Z
1
= M (m, λ) (ch s − 1) 2 −λ h
Z
1
(σ 2 − 1)λ− 2 (σ − 1)m
1
ch s 1
= M (m, λ) (ch s − 1) 2 −λ
1
(σ − 1)m+λ− 2 dσ − 1 1)m+λ+ 2 ˛˛ch s
(σ − m+λ+
h 2(ch s − 1)m+1
= M (m, λ)
2λ + 2m + 1
1 2
−
˛
1
−
Z
1
ch s
i
(σ − 1)m dσ =
(σ − 1)m+1 ˛˛ch s i = ˛ 1 m+1
(ch s − 1)m+1 i = m+1
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 93
= M (m + 1, λ)(ch s − 1)m+1 .
A iz levo i qasti neravenstva (22) i (6) poluqaem (24)
Cm+1 (ch s) ≥ ≥ 2m M (m, λ)
Z
1
= 2m M (m, λ) ≥
1
(σ − 1)λ− 2 (σ − 1)m (σ + 1)m
ch s
Z
2m M (m, λ) (ch s + 1)m+1
ch s 1
Z
ch s 1
2m M (m, λ) = (ch s + 1)m+1 =
2m+1 M (m, λ) (1 − 2λ)(ch s + 1)m+1 =
1
(σ − 1)m+λ− 2 1 (σ + 1)m+ 2 −λ
Z
Z
1
(σ − 1)m+λ− 2 ch s
1
ch s 1
Z
Z
ch s σ
ch s
σ
Z
ch s σ
1
(t2 − 1)−λ− 2 dt dσ = 1
(t − 1)−λ− 2 dt dσ ≥ 1 (t + 1)λ+ 2 1
(t2 − 1)−λ− 2 dt dσ = 1
m+λ− 21
(σ − 1)
1
h
(t − 1) 2 −λ ˛˛ch s dσ = ˛ 1 σ 2 −λ 1
1
i
(σ−1)m+λ− 2 (ch s−1) 2 −λ −(σ−1) 2 −λ dσ =
2m+1 M (m + 1, λ) (ch s − 1)m+1 . (ch s + 1)m+1
Iz (23) i (24) sleduet, qto neravenstvo (18) verno pri k = m + 1, no togda, soglasno principu matematiqesko i indukcii, ono verno i pri lbom k. Legko zametitь, qto sootnoxenie (19) neposredstvenno sleduet iz (18). Lemma 5 dokazana.
4. Formula Te ilora–Delьsarta Napodobie togo, kak operatory sdviga dopuskat razloжenie v r d po stepen m operatora differencirovani , operatory Aλt , opredelennye formulo i (2), mogut bytь razloжeny po stepen m operatora Gegenbauзra Dλ . L e m m a 6. Esli k funkcii f (k − 1) raz primenim operator Dλ , to spravedliva formula Teilora–Delьsarta (T-D) (25)
Rk (ch s)f (x) = Aλch s f (x) − f (x) − − C1 (ch s)Dλ f (x) − · · · − Ck−1 (ch s)Dλk−1 f (x).
94
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
D o k a z a t e l ь s t v o . Provodim metodom matematiqesko i indukcii. Proverim spravedlivostь (25) pri k = 1. Iz (8) s uqetom lemmy 4 budem imetь Z ch s i d h 2 1 d R1 (ch s)f (x) = θ(ch s, σ) (σ − 1)λ+ 2 Aλσ f (x) dσ = dσ dσ 1 Z ch s h i 1 d = θ(ch s, σ) d (σ 2 − 1)λ+ 2 Aλσ f (x) = dσ 1 ˛ch s 1 d ˛ = θ(ch s, σ)(σ 2 − 1)λ+ 2 Aλσ f (x)˛ + 1 dσ Z ch s d λ + Aσ f (x) dσ = Aλch s f (x) − f (x). dσ 1 Itak, pri k = 1 ravenstvo (25) dokazano. Dopustim, qto ravenstvo (25) spravedlivo pri k = m, togda poluqim Rm+1 (ch s)f (x) = =
Z
ch s
Z
ch s 1
1
θ(ch s, σ)(Rm (σ)Dλ f (x))(σ 2 − 1)λ− 2 dσ = “
θ(ch s, σ)Dλ Aλσ f (x) − f (x) − C1 (ch s)Dλ1 f (x) −
1
”
1
− · · · − Cm−1 (ch s)Dλm−1 f (x) (σ 2 − 1)λ− 2 dσ = =
Z
ch s
1
− Dλ f (x) − ··· −
1
θ(ch s, σ)(Dλ Aλσ f (x))(σ 2 − 1)λ− 2 dσ −
Dλm f (x)
Z
Z
ch s
1 ch s
1
1
θ(ch s, σ)(σ 2 − 1)λ− 2 dσ − 1
θ(ch s, σ)Cm−1 (σ)(σ 2 − 1)λ− 2 dσ =
= Aλch s f (x) − f (x) − C1 (ch s)Dλ f (x) − · · · − Cm (ch s)Dλm f (x). Soglasno principu matematiqesko i indukcii formula (25) imeet mesto pri lbom k. Lemma 6 dokazana. Z a m e q a n i e 2. Otmetim, qto lemma 1 moжet bytь poluqena kak sledstvie iz lemmy 6. De istvitelьno, iz (25) pri k = 1 imeem λ R2 (ch s)f (x) = Ach s f (x) − f (x) − C1 (ch s)Dλ f (x). Iz (19) sleduet,qto R2 (ch s) → 0 pri s → 0, no togda Aλ f (x) − f (x) Aλ f (x) − f (x) Dλ f (x) lim ch s = lim ch s = . s→0 s→0 C1 (ch s) ch s − 1 2λ + 1
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 95
L e m m a 7. Pustь 1 ≤ p < ∞ i Dλk f ∈ Lp,λ [1, ∞), k = 1, 2, . . . , togda pri lbom s > 0 spravedlivo neravenstvo “ ch s − 1 ”k kRk (ch s)f kp,λ ≤ kDλk f kp,λ . 2λ + 1 D o k a z a t e l ь s t v o . Ocenim normu R1 (ch s)f (x). Ispolьzu obobwennoe neravenstvo Minkovskogo, poluqim
≤
Z
kR1 (ch s)f kp,λ ≤
ch s 1
≤
“Z
|θ(ch s, σ)| sup 1<σ
=
∞ 1
kAλσ Dλ f kp,λ sup 1<σ
”1
|Aλσ Dλ f (x)|p dmλ (x) Z
ch s
p
dmλ (σ) ≤
|θ(ch s, σ)| dmλ (σ) =
1
kAλσ Dλ f kp,λ |C1 (ch s)|.
Uqityva zdesь lemmu 2 i (18) pri k = 1, poluqim (26)
ch s − 1 kDλ f kp,λ . 2λ + 1
kAλch s f − f kp,λ ≤
No togda posledovatelьno imeem ch s − 1 kRk (ch s)f kp,λ ≤ kRk−1 (ch s)Dλ f kp,λ ≤ 2λ + 1 “ ch s − 1 ”2 “ ch s − 1 ”k ≤ kRk−2 (ch s)Dλ2 f kp,λ ≤ · · · ≤ kDλk f kp,λ . 2λ + 1 2λ + 1 Lemma 7 dokazana. S l e d s t v i e 1. Esli Dλ f ∈ Lp,λ [1, ∞), 1 ≤ p < ∞, to ‚ ‚
‚ ‚
lim ‚Aλch s f − f ‚
s→0
p,λ
= 0.
5. Interpol ci (k = 1) Pustь X0 i X1 — banahovy prostranstva. Poloжim K(f, s) = K(f, s; X0 , X1 ) =
inf
f =f0 +f1
(kf kX0 + skf1 kX1 ),
gde f ∈ X0 + X1
i
0 < s < ∞.
Oboznaqim qerez (X0 , X1 )θ,q , gde 0 < θ < 1, 1 < q < ∞ i 0 ≤ θ ≤ 1, q = ∞, prostranstvo зlementov f ∈ X0 + X1 takih, qto
96
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
Z
∞ 0
ds < ∞, s sup s−θ K(f, s) < ∞,
(s−θ K(f, s))q
0
esli 1 ≤ q < ∞, esli q = ∞.
Poloжim ω(f, s)p,λ = sup kAλch σ f − f kp,λ . 0<σ
Oboznaqim Dp,λ = Lp,λ (Dλ ), 1 ≤ p ≤ ∞, klass vseh funkci i takih qto, Dλ f ∈ Lp,λ s koneqno i normo i kf kDp,λ := kDλ f kp,λ .
Simvol
α(s) ≃ β(s) pri s → 0, oznaqaet, qto suwestvut posto nnye C1 i C2 takie, qto C1 α(s) ≤ β(s) ≤ C2 α(s). T e o r e m a 1. Spravedlivo sootnoxenie √ ω(f, s)p,λ ≃ K(f, s; Lp,λ , Dp,λ ),
Takim obrazom,
s → 0.
(s−2θ ω(f, s))qp,λ ds s < ∞, −2θ sup0
(R∞
1 ≤ q < ∞, q = ∞.
0
f ∈ (Lp,λ , Dp,λ )θ,q ⇐⇒
D o k a z a t e l ь s t v o . Pustь f = f0 + f1 ,
gde f0 ∈ Lp,λ i f1 ∈ Dp,λ .
Togda po lemme 2 (27) i iz lemmy 7 pri k = 1 (28)
ω(f, s)p,λ ≤ 2kf0 kp,λ ,
ω(f0 , s)p,λ ≤
ch s − 1 kDλ f1 kp,λ . 2λ + 1
Tak kak ω(f1 , s)p,λ ≤ ω(f0 , s)p,λ + ω(f1 , s)p,λ , to iz (27) i (28) imeem “
”
ω(f, s)p,λ ≤ 2 kf0 kp,λ + (ch s − 1)kDλ f1 kp,λ . No togda po opredeleni K(f, s) (29)
ω(f, s)p,λ ≤ 2K(f, ch s − 1).
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 97
Dl dokazatelьstva obratnogo neravenstva podberem f0 i f1 , poloжiv −1
f1 (x) = (C1 (ch s))
Z
ch s 1
θ(ch s, σ)(Aλσ f (x)) dmλ (σ),
f0 = f − f1 .
Togda iz (25) imeem
Dλ f1 (x) = (C1 (ch s))−1 (Aλch s f (x) − f (x)).
Otsda s uqetom lemmy 5 pri k = 1 poluqim
(ch s − 1)kDλ f1 kp,λ ≤ (ch s + 1)kAλch s f − f kp,λ ,
otkuda sleduet, qto (30)
(ch s − 1)kDλ f1 kp,λ ≤ (ch s + 1)ω(f, s)p,λ .
S drugo i storony,
f0 (x) = −(C1 (ch s))−1 Otsda imeem
×
ch s 1
ch s 1
θ(ch s, σ)(Aλσ f (x) − f (x)) dmλ (σ).
kf0 kp,λ ≤ (C1 (ch s))−1 ×
(31) Z
Z
θ(ch s, σ)kAλσ f − f kp,λ dmλ (σ) ≤ ω(f, s)p,λ .
Skladyva (30) i (31), poluqim kf0 kp,λ + (ch s − 1)kDλ f1 kp,λ ≤ (ch s + 2)ω(f, s)p,λ ,
otkuda sleduet, qto (32)
K(f, ch s − 1) ≤ (ch s + 2)ω(f, s)p,λ .
Uqityva , qto
s s2 ∼ ≃ s2 2 2 i kombiniru (29) i (32), budem imetь ch s − 1 ∼ 2 sh2
K(f, s2 ) ≃ ω(f, s)p,λ ,
pri s → 0 s → 0,
otkuda i sleduet utverжdenie teoremy 1.
T e o r e m a 2. Pustь f ∈ Lp,λ [1, ∞), 1 ≤ p < ∞ i dl nekotorogo g ∈ Lp,λ [1, ∞) imeet mesto sootnoxenie (33)
lim k(C1 (ch s))−1 (Aλch s f − f ) − gkp,λ = 0.
s→0
Togda f ∈ Dp,λ i Dλ f = g.
98
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
D o k a z a t e l ь s t v o . Pustь f0 i f1 te жe funkcii, qto i v teoreme 1. Togda C1 (ch s)Dλ f1 = Aλch s f − f,
sledovatelьno, f1 ∈ Dp,λ i (34)
kf0 kp,λ + (ch s − 1)kf1 kDp,λ ≤ 2ω(f, s)p,λ .
Iz uslovi i teoremy (33) i neravenstva (18) sleduet, qto ω(f, s)p,λ = O(ch s − 1),
Togda iz (34) imeem
f0 → 0 v Lp,λ
f1 → f v Lp,λ
poskolьku
S drugo i storony,
s → 0.
pri s → 0,
pri s → 0,
kf0 kp,λ = kf − f1 kp,λ .
Dλ f1 = (C1 (ch s))−1 (Aλch s f − f ) → g v Lp,λ
pri s → 0.
No togda v silu zamknutosti operatora Dλ v Lp,λ my imeem Dλ f = g. Takim obrazom, f ∈ Dp,λ i Dλ f = g. Teorema 2 dokazana. S l e d s t v i e 2. Esli ω(f, s)p,λ = o(s2 ), s → 0, to Dλ f = 0. 6. Interpol ci (k ≥ 2) k k Poloжim Dp,λ = Dp,λ (Dλk ), k ≥ 1. Oboznaqim normu f ∈ Dp,λ qerez kf kDk = kDλk f kp,λ . p,λ
Poloжim
k (f, s)p,λ = sup kRk (ch σ)f kp,λ . 0<σ
T e o r e m a 3. Spravedlivo sootnoxenie √ k−1 k , Dp,λ ), (35) s1−k k (f, s)p,λ ≃ K(f, s; Dp,λ
Takim obrazom, my imeem
⇐⇒
(R∞
k−1 k f ∈ (Dp,λ , Dp,λ )θ,q
(s2(1−k−θ) k (f, s)p,λ )q dt t < ∞, 2(1−k−θ) sup0
s → 0.
esli 1 ≤ q < ∞, esli q = ∞.
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 99
D o k a z a t e l ь s t v o . Esli k−1 k f0 ∈ Dp,λ , f1 ∈ Dp,λ ,
f = f0 + f1 , to iz lemmy 7 imeem
“ ch s − 1 ”k
kDλk f1 kp,λ ≤ (ch s − 1)k kDλk f1 kp,λ .
(36)
k (f1 , s)p,λ ≤
(37)
Rk (ch σ)f0 (x) = Rk−1 (ch σ)f0 (x) − Ck−1 (ch σ)Dλk−1 f0 (x).
2λ + 1 S drugo i storony, po lemme 6 Otkuda imeem
kRk (ch σ)f0 kp,λ ≤ kRk−1 (ch σ)f0 kp,λ + Ck−1 (ch σ)kDλk−1 f0 kp,λ .
Uqityva zdesь lemmy 5 i 7, poluqim “ ch s − 1 ”k−1 (38) k (f0 , s)p,λ ≤ kDλk−1 f0 kp,λ + 2λ + 1
+ M (k − 1, λ)(ch s − 1)k−1 kDλk−1 f0 kp,λ ≤ (ch s − 1)k−1 kDλk−1 f0 kp,λ .
Iz (36) i (38) imeem (39)
“
”
k (f, s) ≤ (ch s − 1)k−1 kDλk−1 f0 kp,λ + (ch s − 1)kDλk f1 kp,λ = = 2(ch s − 1)k−1 K(f, ch s − 1).
Dl obratimosti neravenstva (39) vvedem veliqinu (40)
J1 (ch s)f (x) = Jn (ch s)f (x) =
Z
Z
ch s 1
θ(ch s, σ)Aλσ f (x) dmλ (σ),
ch s 1
θ(ch s, σ)Jn−1 (σ)f (x) dmλ (σ).
Iz (9) i (10) sleduet, qto Dλk Jk (ch s)f (x) = Rk (ch s)f (x),
(41)
(k = 1, 2, . . .)
Poloжim (42)
f1 (x) = (Ck (ch s))−1 Jk (ch s)f (x),
Iz (41) i (42) imeem
f0 (x) = f (x) − f1 (x).
kDλk f1 kp,λ = (Ck (ch s))−1 kRk (ch s)f kp,λ ≤ (Ck (ch s))−1 k (f, s)p,λ . Uqityva zdesь lemmu 5, poluqim kDλk f1 kp,λ ≤
(ch s + 1)k (ch s − 1)−k k (f, s)p,λ . 2k M (k, λ)
100
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
Otsda imeem (43)
(ch s + 1)k (ch s − 1)1−k k (f, s)p,λ . 2k M (k, λ) Teperь, ispolьzu (40), (37) i (41), poluqim Dλk−1 f0 (x) = Dλk−1 f (x) − (Ck (ch s))−1 Dλk−1 Jk (ch s)f (x) = (ch s − 1)kDλk f1 kp,λ ≤
= Dλk−1 f (x) − (Ck (ch s))−1 ×
Z
ch s 1
Z
ch s
1
θ(ch s, σ)(Dλk−1 Jk−1 (σ)f (x)) dmλ (σ) =
= Dλk−1 f (x) − (Ck (ch s))−1 × h
i
θ(ch s, σ) Dλk−1 Jk−1 (σ)f (x) − Ck−1 (σ)Dλk−1 f (x) dmλ (σ) −
− (Ck (ch s))−1
Z
ch s 1
θ(ch s, σ)Ck−1 (σ)Dλk−1 f (x) dmλ (σ) =
= Dλk−1 f (x) − Dλk−1 f (x)(Ck (ch s))−1 − (Ck (ch s))−1
Z
ch s 1
h
ch s
1
θ(ch s, σ)Ck−1 (σ) dmλ (σ) − i
θ(ch s, σ) Jk−1 (σ) − Ck−1 (σ) Dλk−1 f (x) dmλ (σ) =
= −(Ck (ch s))−1 h
Z
Z
ch s 1
θ(ch s, σ) × i
× Rk−1 (ch s)f (x) − Ck−1 (σ)Dλk−1 f (x) dmλ (σ) = −1
= −(Ck (ch s))
Z
ch s
1
θ(ch s, σ)Rk (ch s)f (x) dmλ (σ) =
= −(Ck (ch s))−1 C1 (ch s)Rk (ch s)f (x). Otsda imeem kDλk−1 f0 kp,λ ≤ |Ck (ch s)|−1 |C1 (ch s)| k (f, s)p,λ . Uqityva zdesь lemmu 5, poluqim (ch s + 1)k (44) kDλk−1 f0 kp,λ ≤ k (ch s − 1)1−k k (f, s)p,λ . 2 M (k, λ) Skladyva (43) i (44), poluqim (ch s + 1)k kDλk−1 f0 kp,λ + (ch s − 1)kDλk f1 kp,λ ≤ k−1 (ch s − 1)1−k k (f, s)p,λ . 2 M (k, λ) Otsda sleduet, qto (ch s + 1)k (45) K(f, ch s − 1) ≤ k (ch s − 1)1−k k (f, s)p,λ . 2 M (k, λ) Utverжdenie teoremy vytekaet iz (39) i (45), esli uqestь, qto ch s − 1 ≃ s2 . Teorema 3 dokazana.
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 101 k−1 T e o r e m a 4. Esli f ∈ Dp,λ [1, ∞), 1 ≤ p < ∞ i dl g ∈ Lp,λ [1, ∞)
(46)
‚ R (ch s)f ‚ k
lim ‚
s→0
to
Ck (ch s)
k f ∈ Dp,λ
i
‚ ‚
− g‚
p,λ
= 0,
Dλk f = g.
D o k a z a t e l ь s t v o . Poloжim f = f0 + f1 , gde Dλk−1 f1 (x) = (Ck (ch s))−1
Z
ch s 1
θ(ch s, σ)(Rk−1 (σ)f (x)) dmλ (σ),
Dλk−1 f0 = Dλk−1 f − Dλk−1 f1 . Otsda sleduet, qto Ck (ch s)Dλk f1 = Rk (ch s)f i (47)
Ck (ch s)kDλk f1 kp,λ = kRk (ch s)kp,λ ≤k (f, s)p,λ
Iz uslovi i teoremy (46) i neravenstva (18) sleduet, qto k (f, s)p,λ = O(ch s − 1)k ,
(48)
Dalee, tak kak
s → 0.
Ck−1 (ch s)Dλk−1 f1 = Rk−1 (ch s)f, to
Ck−1 (ch s)Dλk−1 f0 = Ck−1 (ch s)Dλk−1 f − Rk−1 (ch s)f =
= −(Rk−1 (ch s)f − Ck−1 (ch s)Dλk−1 f ) = −Rk (ch s)f. Otsda sleduet, qto Dλk−1 f0 = −(Ck−1 (ch s))−1 Rk (ch s)f,
(49)
Iz (47) i (49) sleduet, qto
kDλk−1 f0 kp,λ + (Ck−1 (ch s))−1 Ck (ch s)kDλk f1 kp,λ ≤
≤ 2(Ck−1 (ch s))−1 k (f, s)p,λ . Uqityva zdesь lemmu 5 i neravenstvo (45), poluqim kDλk−1 f0 kp,λ +
(50)
Ck (ch s) kD k f1 kp,λ ≤ Ck−1 (ch s) λ
(ch s + 1)k−1 (ch s − 1)1−k k (f, s)p,λ . 2k−2 M (k − 1, λ) Iz (48) i (50) sleduet, qto ≤
kDλk−1 f0 kp,λ → 0
pri s → 0,
102
V. S. Guliev i З. Dж. Ibragimov
no togda
kDλk−1 f − Dλk−1 f1 kp,λ → 0 pri s → 0. S drugo i storony, Rk (ch s)f Dλk f1 = →g v Lp,λ [1, ∞). Ck (ch s) A potomu v silu zamknutosti operatora Dλ , Dλk f ∈ Lp,λ [1, ∞)
i
Dλk f = g.
Teorema 4 dokazana.
S l e d s t v i e 3. Pustь f ∈ Lp,λ [1, ∞), 1 ≤ p < ∞. Esli k (f, s)p,λ = o(s2k ),
to
Dλk f
= 0.
s → 0,
V zaklqenie avtory prinos t blagodarnostь recenzentu za r d poleznyh zameqani i.
Literatura [1] D. V. Alekseev, Pribliжenie funkci i odno i i neskolьkih de istvitelьnyh peremennyh s vesom Qebyxeva–Зrmita, Kand. dis., MGU (Moskva, 2006). [2] P. L. Butzer and H. Behrens, Semi-groups of operators and approximation, Springer (Berlin–Heidelberg–New York, 1967). [3] J. Delsarte, Sur une extension de la formule Taylor, J. Math. Pures Appl., 17(1936), 213–231. [4] J. Delsarte, Une extension nouvelle de la theorie des fonctions periodiques de Bohr, Acta Math., 69(1938), 259–317. [5] L. Durand, P. M. Fisbone, and L. M. Simmons, Expansion formulas and addition theorems for Gegenbauer functions, J. Math. Phys., 17(1976), 1933–1948. [6] Ar. S. Dжafarov, Obobwennye moduli nepreryvnosti i ih sv zi s nailuqximi pribliжeni mi. Issledovani po teorii line inyh operatorov, Trudy Azerba idжanskogo gosuniversitetea (1987), 26–49. n i I. M. Ryжik, Tablicy integralov, summ, r dov i [7] I. S. Gradxtei proizvedeni i , Nauka (Moskva, 1971). [8] B. M. Levitan, Razloжenie po funkci m Bessel v r dy i integraly Furьe, Uspehi matem. nauk , 6(1951), 102–143. [9] B. M. Levitan, Teori operatorov obobwennogo sdviga, Nauka (Moskva, 1973). ¨ fstro ¨ m and J. Peetre, Approximation theorems connected with generalized [10] L. Lo translations, Math. Ann., 181(1969), 255–268. [11] M. K. Potapov, O strukturnyh i konstruktivnyh harakteristikah nekotoryh klassov funkci i, Trudy MIAN , 131(1974), 211–231.
Зkvivalentnye normirovki prostranstv i obobwenny i sdvig Gegenbauзra 103 [12] M. K. Potapov, Pr ma i obratna teoremy teorii pribliжeni i dl m-go obobwennogo modul gladkosti, Trudy MIAN , 232(2001), 289–297. [13] M. K. Potapov i G. N. Kazimirov, O pribliжenii algebraiqeskimi mnogoqlenami funkci i, imewih danny i por dok k-go obobwennogo modul gladkosti, Matem. zametki, 63(1998), 425–436. [14] S. Z. Rafalьson, O pribliжenii funkci i algebraiqeskimi mnogoqlenami v metrikah Lp , Doklady AN SSSR , 208(1973), 545–549. [15] S. Z. Rafalьson, Nekotorye pr mye i obratnye teoremy o pribliжenii funkci i v metrikah Lp,α algebraiqeskimi mnogoqlenami, dep. v VINITI (1979), 16 str. [16] A. P. Terehin, Ograniqenna gruppa operatorov i nailuqxee pribliжenie, Differencialьnye uravneni i vyqislitelьna matematika, Izd-vo Saratovskogo un-ta, (Saratov, 1975), vyp. 2, 3–28. [17] G. V. Жidkov, Konstruktivna harakteristika odnogo klassa neperiodiqeskih funkci i, Doklady AN SSSR , 169(1966), 1002–1005.
On equivalent normalizations of functional spaces associated with the generalized Gegenbauer shift V. S. GULIEV and E. J. IBRAGIMOV
Taylor–Delsart formula is elaborated in the paper for functions of the generalized Gegenbauer shift. This formula is utilized to construct a version of the Gegenbauer shift modulus of smoothness of order k which for k = 1 reduces to the modulus of smoothness of the first order. By means of this modulus and Peetre’s K -functional, an interpolation theorem is obtained. Equivalent normalizations are obtained for functional spaces associated with the generalized Gegenbauer shift.
