Analysis Mathematica, 37(2011), 181–213 DOI: 10.1007/s10476-011-0303-9

Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov r  mnogih peremennyh Bp,θ periodiqeskih funkcii A. S. ROMANK Institut matematiki, Nacionalnoi Akademii Nauk Ukrainy, Ukraina, Kiev 01601, ul. Terewenkovska 3, e-mail: [email protected] Postupilo 11 marta 2010 g.

R e z  m e . Poluqeny toqnye po pordku ocenki ortoproekcionnyh i lir periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh v ne inyh popereqnikov klassov Bp,θ prostranstve Lq , 1 ≤ p, q ≤ ∞. Ustanovlen pordok nailuqxego priblieni v r periodiqeskih funkci i dvuh peremennyh trigonoprostranstve L∞ klassov B∞,θ metriqeskimi polinomami s «nomerami» garmonik iz giperboliqeskogo kresta.

Vvedenie V nastowe i rabote prodolats issledovani approksimar periodiqeskih funkci i mnogih tivnyh harakteristik klassov Bp,θ peremennyh, kotorye izuqalis v rabotah [20, 24]. Bolee konkretno ob tom budet idti req v sootvetstvuwih qasth raboty, a snaqala privedem neobhodimye oboznaqeni, opredeleni i sformuliruem izvestnye utverdeni, kotorye budut ispolzovats. Pust Rd , d ≥ 1, oboznaqaet d-mernoe prostranstvo s lementami (x, y) = x1 y1 + · · · + xd yd x = (x1 , . . . , xd ), i Lp (πd ),

πd =

d 

[−π; π],

j=1

0133–3852/$ 20.00 c 2011 Akad´emiai Kiad´o, Budapest 

182

A. S. Romank

— prostranstvo 2π-periodiqeskih po kado i peremenno i funkci i f (x), dl kotoryh 

f p = (2π)−d



πd

|f (x)|p dx

1/p

< ∞,

1 ≤ p < ∞,

f ∞ = ess sup |f (x)| < ∞. x∈πd

Dalee budem predpolagat, qto dl f ∈ Lp (πd ) vypolneno dopolnitelnoe uslovie 

π −π

f (x) dxj = 0,

j = 1, d.

Mnoestvo takih funkci i budem oboznaqat L0p (πd ). Dl funkcii f ∈ L0p (πd ), 1 ≤ p ≤ ∞, rassmotrim raznost pervogo pordka po j- i peremenno i s xagom h h,j f (x) = f (x1 , . . . , xj−1 , xj + h, xj+1 , . . . , xd ) − f (x) i opredelim raznost l-go pordka lh,j f (x)

l







= h,j · · · h,j f (x)

v toqke xj s xagom h. Dalee, esli k = (k1 , . . . , kd ),

kj ∈ N, j = 1, d,

to smexanna raznost pordka k s vektornym xagom h = (h1 , . . . , hd ) opredelets sleduwim obrazom: kh f (x) = kh11 ,1 · · · khdd ,d f (x). Pust zadan vektor r = (r1 , . . . , rd ),

rj > 0, j = 1, d

i parametry 1 ≤ θ ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞. Togda funkci f ∈ L0p (πd ) r , esli prinadleit klassu Bp,θ  πd

kh f (x)θp

dhj 1/θ

d  j=1

sup kh f (x)p h

1+rj θ

hj

d 

−rj

hj

≤ 1,

≤ 1,

1 ≤ θ < ∞, θ = ∞.

j=1

Pri tom dl vektorov k = (k1 , . . . , kd ) i r = (r1 , . . . , rd ) predpor lagats vypolnennymi uslovi kj > rj , j = 1, d. Klassy Bp,θ est analogi klassov, kotorye vvedeny Besovym [2] i pri θ = ∞ r = Hpr , gde Hpr — analogi klassov vvedennyh Nikolskim (sm., Bp,∞

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

183

naprimer, [17, s. 189]). Dalee nam budet udobnee polzovats kvivalentnym (s toqnost do absoltnyh postonnyh) opreder v neskolko drugom vide, dl formulirovki leniem klassov Bp,θ kotorogo privedem neobhodimye oboznaqeni. Dl vektorov s = (s1 , . . . , sd ), sj ∈ N poloim

k = (k1 , . . . , kd ), kj ∈ Z, j = 1, d,

i



ρ(s) = k = (k1 , ..., kd ) : 2sj −1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d i dl f ∈ L0p (πd ) oboznaqim



δs (f, x) =



f (k)ei(k,x) ,

k∈ρ(s)

 −d

−i(k,t) dt— kofficienty Fure funkcii gde f (k) = (2π) πd f (t)e f (x). Pust 1 < p < ∞, r = (r1 , . . . , rd ), rj > 0, j = 1, d. Togda klassy r Bp,θ mono opredelit sleduwim obrazom (sm., naprimer, [15]):



r r = f (x) : f Bp,θ = Bp,θ

pri 1 ≤ θ < ∞ i



2(s,r)θ δs (f, x)θp

1/θ



≤1

s





r r = f (x) : f Bp,∞ = sup 2(s,r) δs (f, x)p ≤ 1 . Bp,∞ s

Obratim vnimanie, qto pri sootvetstvuwem vidoizmenenii r mono «blokov» δs (f, x), privedennoe opredelenie klassov Bp,θ rasprostranit i na kra inie znaqeni p = 1 i p = ∞ (sm., naprimer, [15, zameqanie 2.1]). Pust Vl (t), l ∈ N, oboznaqaet dro Valle-Pussena vida Vl (t) = 1 + 2

l

cos kt + 2

k=1

2l−1



1−

k=l+1

k − l cos kt. l

Sopostavim kadomu vektoru s = (s1 , . . . , sd ), sj ∈ N, j = 1, d, polinom As (x) =

d  

j=1

i dl f ∈

L0p (πd ),



V2sj (xj ) − V2sj −1 (xj )

1 ≤ p ≤ ∞, poloim As (f, x) = f (x) ∗ As (x),

184

A. S. Romank

gde ∗ oboznaqaet operaci sv¨ ertki. Togda pri 1 ≤ p ≤ ∞, r = (r1 , . . . , rd ), rj > 0, j = 1, d

r r = f (x) : f Bp,θ = Bp,θ

pri 1 ≤ θ < ∞ i



2(s,r)θ As (f, x)θp

1/θ



≤1

s





r r = f (x) : f Bp,∞ = sup 2(s,r) As (f, x) |p ≤ 1 . Bp,∞ s

V kommentarih k poluqennym rezultatam my budem obrar i wats k sootvetstvuwim ocenkam na klassah funkci i Wp,α potomu dl udobstva napomnim ih opredelenie. Pust Fr (x, α), r = (r1 , . . . , rd ), oboznaqat mnogomernye analogi der Bernulli, t.e. Fr (x, α) = 2

d

d 

−rj

kj



cos kj xj −

k j=1

αj π  , 2

rj > 0, αj ∈ R,

i v summe uqastvut tolko te vektory k = (k1 , . . . , kd ), dl kotoryh r kj > 0, j = 1, d. Oboznaqim (sm., naprimer, [26, s. 31]) qerez Wp,α klass funkci i f (x), predstavimyh v vide −d

f (x) = ϕ(x) ∗ Fr (x, α) = (2π)



πd

ϕ(y)Fr ((x − y), α) dy,

gde ϕ ∈ Lp (πd ), ϕp ≤ 1. Nie budem predpolagat, qto koordinaty vektorov r = (r1 , . . . , rd ), kotorye soderats v opredelenih klassov, upordoqeny v vide: 0 < r1 = r2 = . . . = rν < rν+1 ≤ . . . ≤ rd . Vektoru r = (r1 , . . . , rd ) sopostavim vektor γ = (γ1 , . . . , γd ),

γj = rj /r1 , j = 1, d,

kotoromu, v svo oqered, sopostavlets vektor γ  = (γ1 , . . . , γd ), gde γj = γj pri j = 1, ν i 1 < γj < γj pri j = ν + 1, d. Poluqennye rezultaty budem formulirovat v terminah pordkovyh sootnoxeni i. Dl funkci i μ1 (N ) i μ2 (N ) zapis μ1 μ2 oznaqaet, qto suwestvuet postonna C > 0 taka, qto μ1 (N ) ≤ Cμ2 (N ). Sootnoxenie μ1 μ2 ravnosilno tomu, qto μ1 μ2 i μ1  μ2 . Otmetim, qto vse postonnye Ci , i = 1, 2, . . . , kotorye budut vstreqats v rabote mogut zaviset tolko ot teh parametrov, kotorye soderats v opredelenih klassov, metriki i razmernosti prostranstva Rd . Esli — nekotoroe koneqnoe mnoestvo, to qerez | | budem oboznaqat koliqestvo ego lementov.

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

185

Sformuliruem izvestnye utverdeni, kotorye budut ispolzovats. T e o r e m a A (Littlvuda–Pli [17, s. 65]). Pust zadano p ∈ (1, ∞). Suwestvut poloitelnye konstanty C1 (p) i C2 (p) takie, qto dl kadoi funkcii f ∈ L0p (πd ) spravedliva ocenka  

C1 (p)f p ≤ 

|δs (f, x)|2

1/2    ≤ C2 (p)f p .

s

p

T e o r e m a B (sm. [16]). Pust n = (n1 , . . . , nd ), nj — celye neotricatelnye qisla, j = 1, d, i

t(x) =

ck ei(k,x) .

|kj |≤nj

Togda pri 1 ≤ q < p < ∞ imeet mesto neravenstvo d 

tp ≤ 2

d

1

njq

1 −p

tq .

j=1

to neravenstvo ustanovleno S. M. Nikolskim i nazvano «neravenstvom raznyh metrik». V odnomernom sluqae i pri p = ∞ sootvetstvuwee neravenstvo dokazal Dekson [12]. T e o r e m a V (sm. [26, s. 32]). Dl togo, qtoby kh f p

d 

|hj |rj ,

kj > rd ,

j=1

neobhodimo i dostatoqno, qtoby vypolnlis sootnoxeni δs (f, x)p 2−(s,r) ,

1 < p < ∞,

−(s,r)

1 ≤ p ≤ ∞.

As (f, x)p 2

,

Otmetim, qto v processe dokazatelstva poluqennyh rezultatov ispolzuts i razvivats metody, kotorye primenlis pri issledovanii rassmatrivaemyh approksimativnyh harakteristik r i Hpr v rabotah [5, 8, 25, 27, 28]. Bolee podrobno na klassah Wp,α ob tom budet govorits v sootvetstvuwih kommentarih. r v prostranstve L∞ §1. Popereqniki klassov Bp,θ

V tom paragrafe poluqeny toqnye po pordku ocenki ortor , 1 ≤ p < ∞, v prostproekcionnyh popereqnikov klassov Bp,θ ranstve L∞ , a take ustanovleny pordki priblieni tih e

186

A. S. Romank

klassov funkci i v prostranstve L∞ s pomow line inyh operatorov, kotorye podqineny opredelennym uslovim. Sootvetstvuwie approksimativnye harakteristiki svzany s ortoproekcir , o qem bolee konkretno budet onnymi popereqnikami klassov Bp,θ idti req nie. Dl formulirovki i dokazatelstva poluqennyh rezultatov nam ponadobts sootvetstvuwie oboznaqeni i opredeleni. i ui ∈ Pust {ui (x)}M i=1 — ortonormirovanna sistema funkci i funkcii f ∈ L0q (πd ), 1 ≤ q ≤ ∞, postavim v L∞ (πd ). Kado  sootvetstvie pribliawi i apparat vida M i=1 (f, ui )ui (x), t.e. ortogonalnu proekci funkcii f (x) na podprostranstvo, porodennoe sistemo i funkci i {ui (x)}M i=1 . Esli F ⊂ Lq (πd ) — klass funkci i, to veliqina (1.1)

d⊥ M (F, Lq )

=

inf

sup f (x) −

{ui (x)}M i=1 f ∈F

M

(f, ui )ui (x)q ,

i=1

nazyvaets ortoproekcionnym popereqnikom (Fure-popereqnikom) klassa F v prostranstve Lq (πd ). Popereqnik d⊥ M (F, Lq ) vveden Temlkovym v rabote [25], gde take rassmotrena veliqina (1.2)

dB M (F, Lq ) =

inf

sup

G∈LM (B)q f ∈F ∩D(G)

f (x) − Gf (x)q .

inyh operatorov, Zdes qerez LM (B)q oboznaqeno mnoestvo line udovletvorwih uslovim: a) oblast opredeleni D(G) tih operatorov soderit vse trigonometriqeskie polinomy, a ih oblast znaqeni i soderits v podprostranstve razmernosti M prostranstva Lq (πd ); b) suwestvuet qislo B ≥ 1 takoe, qto dl vseh vektorov k = (k1 , . . . , kd ), vypolneno neravenstvo Gei(k,x) 2 ≤ B. Otmetim, qto k LM (1)2 prinadleat operatory ortogonalnogo proektirovani na prostranstva razmernosti M , a take operatory, kotorye zadats na ortonormirovanno i sisteme funkci i s pomow multiplikatora, opredelwegos posledovateli, qto |λl | ≤ 1 dl vseh l. Legko videt, qto sonost {λl } tako glasno opredeleni i (1.3)

⊥ dB M (F, Lq ) ≤ dM (F, Lq ).

r , libo F = Hpr veliqiny (1.1) V teh sluqah, kogda F = Wp,α i (1.2) izuqalis v rabotah [1, 6, 7, 27] (sm. take knigi [26,

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

187

28]), gde mono oznakomits s bolee podrobno i bibliografie i, issledovani i v tih napravlenih. Otmetim take, qto povedenie Fure-popereqnikov klassov periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh, gladkost kotoryh zadaets s pomow smexannyh module i nepreryvnosti, issledovalos v rabote [10]. Teper pere idem k formulirovke i dokazatelstvu poluqennyh rezultatov. T e o r e m a 1.1. Pust 1 ≤ p < ∞. Togda pri r1 > 1/p, 1 ≤ θ < ∞, spravedlivy pordkovye sootnoxeni r B r d⊥ M (Bp,θ , L∞ ) dM (Bp,θ , L∞ )

(1.4)

1

1

(M −1 logν−1 M )r1 − p (logν−1 M )1− θ . D o k a z a t e l  s t v o . Soglasno (1.3) ocenki sverhu v (1.4) r dostatoqno dokazat dl popereqnika d⊥ M (Bp,θ , L∞ ), a snizu — dl r veliqiny dB M (Bp,θ , L∞ ). r Ocenka sverhu dl popereqnika d⊥ M (Bp,θ , L∞ ) sleduet iz teoremy 2.1 [20], v kotoro i poluqen pordok priblieni funkci i r , 1 ≤ p < ∞, ih stupenqatymi giperboliqf (x) iz klassov Bp,θ eskimi summami Fure Snγ (f, x) =



δs (f, x).

(s,γ)
Vospolzovavxis sootnoxeniem iz [20] 1

1

sup f (x) − Snγ (f, x)∞ 2−n(r1 − p ) n(ν−1)(1− θ )

r f ∈Bp,θ

pri uslovii M 2n nν−1 , prihodim k iskomo i ocenke sverhu r r (B , L ) i, sledovatelno, dl dB dl popereqnika d⊥ ∞ M M (Bp,θ , L∞ ). p,θ r Perehod k ustanovleni ocenki snizu veliqiny dB M (Bp,θ , L∞ ), zametim, qto pri tom dostatoqno rassmotret sluqa i ν = d. V provodimyh rassudenih my budem ispolzovat vspomogatelnoe utverdenie, dl formulirovki kotorogo vvedem neobhodimye oboznaqeni. Dl s = (s1 , . . . , sd ), sj ∈ N, j = 1, d, poloim θn = {s : s1 + . . . + sd = n}

i

Ωn =



s∈θn

Zametim, qto pri tom imet mesto sootnoxeni |θn | nd−1

i

|Ωn | 2n nd−1 .

ρ(s).

188

A. S. Romank

Pust Kl−1 (x), x ∈ [−π; π], oboznaqaet dro Fe iera pordka l − 1:  |m|  imx 1− e . Kl−1 (x) = l |m|


ϕ(x) =

Ks (x),

s∈θn

gde Ks (x) = ei(k

s

,x)

d 

K2sj −2 −1 (xj ),

j=1



2sj −1 + 2sj −2 , pri sj ≥ 2, 1, pri sj = 1, j = 1, d, Knj (xj ) ≡ 1 pri nj < 1. Sledu Temlkovu [27] sformuliruem poluqennoe im utverdenie v vide primera. kjs =

iduts P r i m e r 1.1. Pust G ∈ LM (B)q , 1 < q ≤ ∞. Togda na ∗ qislo n, takoe, qto |Ωn | ≤ C(B, d)M i vektor y , dl kotoryh 

1

2n(1− q ) n 2n nd−1 ,

ϕ(x − y ∗ ) − Gϕ(x − y ∗ )q 

d−1 q

,

1 < q < ∞, q = ∞.

Itak, rassmotrim funkci 1

g1 (x) = C1 2−n(r1 − p +1) n− θ ϕ(x), gde qislo n svzano s M soglasno uslovi i primera 1.1. Pokaem, i C1 > 0 priqto funkci g1 (x) pri nadleawem vybore postonno r , 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < ∞. nadleit klassu Bp,θ De istvitelno, poskolku v silu svo istva dra Fe iera Ks 1 = 1, to vospolzovavxis neravenstvom raznyh metrik (teorema B), budem imet r = g1 Bp,θ



1

s

2−n(r1 − p +1) n− 1

2−n(r1 − p +1) n−

d−1 θ

d−1 θ

2(s,r)θ As (g1 , x)θp





1

d−1 θ

1/θ



2(s,r)θ As (ϕ, x)θp

1/θ



s∈θn 1

2(s,r)θ 2(s,1)(1− p )θ Ks (x)θ1

s∈θn

= 2−n(r1 − p +1) n−

d−1

1

2n(r1 − p +1)

r . Otsda zaklqaem, qto g1 ∈ Bp,θ

 1/θ

1

s∈θn

n−

d−1 θ

n

1/θ

d−1 θ

=

= 1.

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

189

Teper, vospolzovavxis rezultatom primera 1.1 pri q = ∞, poluqim g1 (x − y ∗ ) − Gg1 (x − y ∗ )∞ 

(1.5)

1

 2−n(r1 − p +1) n− 1

d−1 θ

ϕ(x − y ∗ ) − Gϕ(x − y ∗ )∞  1

1

 2−n(r1 − p +1) n− θ 2n nd−1 = 2−n(r1 − p ) n(d−1)(1− θ )

1 1

(M −1 logd−1 M )r1 − p (logd−1 M )1− θ . Teorema dokazana. d−1

Z a m e q a n i e 1.1. V teoreme 1.1 ostals ne rassmotrennym sluqa i p = ∞, dl kotorogo udalos ustanovit pordok veliqiny B r dM (B∞,θ , L∞ ). T e o r e m a 1.2. Pust r1 > 0, 1 ≤ θ < ∞. Togda spravedliva ocenka 1

r −r1 (logν−1 M )r1 +1− θ . dB M (B∞,θ , L∞ ) M

(1.6)

D o k a z a t e l  s t v o . Snaqala poluqim v (1.6) ocenku sverhu. r trigonoS to i cel rassmotrim priblienie funkci i f ∈ B∞,θ metriqeskimi polinomami tn (f, x) vida

tn (f, x) =

(1.7)

As (f, x),

(s,γ  )
gde n udovletvoret sootnoxeni M 2n nν−1 . Kak otmeqalos vyxe, operator G, sopostavlwi i funkcii r trigonometriqeski i polinom vida (1.7), prinadleit f ∈ B∞,θ LM (1)2 . Itak, pust θ ∈ (1, ∞). Togda v silu neravenstv Minkovskogo r budem imet i Geldera (s pokazatelem θ), dl f ∈ B∞,θ

f (x) − tn (f, x)∞ ≤

(1.8)

As (f, x)∞ ≤

(s,γ  )≥n

≤



(s,γ  )≥n

r ≤ f B∞,θ



2(s,r)θ As (f, x)θ∞

2−

(s,γ  )≥n

(s,γ)r1 θ θ−1

1 



θ

1− 1 θ

2−

(s,r)θ θ−1

1− 1

(s,γ  )≥n

≤





2−

(s,γ)r1 θ θ−1

θ

≤

1− 1 θ

.

(s,γ  )≥n

Dl zaverxeni ocenki (1.8) vospolzuems sootnoxeniem [26, s. 11] (1.9)



(s,γ  )≥n

2−β(s,γ) 2−βn nν−1 ,

β > 0.

190

A. S. Romank

Takim obrazom, soglasno (1.8) i (1.9) nahodim pri M 2n nν−1 1

f (x) − tn (f, x)∞ 2−nr1 n(ν−1)(1− θ )



M −r1 logν−1 M

r1 +1− 1 θ

1 < θ < ∞.

,

Esli e θ = 1, to vospolzovavxis neravenstvom Minkovskogo, poluqim As (f, x)∞ = f (x) − tn (f, x)∞ ≤ =

(s,γ  )≥n





2(s,r) As (f, x)∞ 2−(s,r) ≤ 2−nr1

(s,γ  )≥n

2(s,r) As (f, x)∞ ≤

(s,γ  )≥n



r ≤ 2−nr1 M −r1 logν−1 M ≤ 2−nr1 f B∞,1

r1

.

Ocenka sverhu v (1.6) ustanovlena. Dl dokazatelstva sootvetstvuwe i ocenki snizu dostatoqno rassmotret sluqa i ν = d. Rassmotrim funkci d−1

C2 > 0, g2 (x) = C2 2−n(r1 +1) n− θ ϕ(x), gde ϕ(x) iz primera 1.1. Netrudno ubedits, qto pri nadleawem r . vybore postonno i C2 > 0, funkci g2 (x) prinadleit klassu B∞,θ De istvitelno, v silu svo istva dra Fe iera s

s 1 , s ∈ θn , As (ϕ, x)∞ K (x)∞ 2 i potomu 

r = g2 B∞,θ





s

2(s,r)θ As (g2 , x)θ∞

s∈θn

2−n(r1 +1) n−

2(s,r)θ As (g2 , x)θ∞

d−1 θ

 (s,1)=n

2−n(r1 +1) n

− d−1 θ

1/θ

1/θ



2(s,r)θ As (ϕ, x)θ∞





2(s,1)(r1 +1)θ

1/θ

1/θ





(s,1)=n d−1

d−1

2−n(r1 +1) n− θ 2n(r1 +1) n θ = 1. Takim obrazom, vospolzovavxis sootvetstvuwe i ocenko i iz primera 1.1, budem imet g2 (x − y ∗ ) − Gg2 (x − y ∗ )∞   2−n(r1 +1) n− − d−1 θ

d−1 θ

ϕ(x − y ∗ ) − Gϕ(x − y ∗ )∞  1

1

2n nd−1 = 2−nr1 n(d−1)(1− θ ) M −r1 (logd−1 M )r1 +1− θ .  2−n(r1 +1) n Teorema dokazana.

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

191

r r Z a m e q a n i e 1.2. Pordki veliqin dB M (F∞ , L∞ ), gde F∞ — r r klassy W∞,α , libo H∞ , ustanovleny v [27]. Otmetim take, qto v r rabote [1] na ideny pordki i popereqnikov d⊥ M (F∞ , L∞ ) pri d ≥ 1.

V zaklqenie paragrafa poluqim toqnye po pordku ocenki r Fure–popereqnikov d⊥ M (B∞,θ , L∞ ) i kolmogorovskih popereqnikov r klassov Bp,θ v prostranstve L∞ v odnomernom sluqae. Napomnim, qto M -mernym kolmogorovskim popereqnikom centralno-simmetriqnogo mnoestva Φ banahova prostranstva X nazyvaets veliqina dM (Φ, X ) = inf sup inf f − uX , LM f ∈Φ u∈LM

gde LM — podprostranstvo razmernosti M prostranstva X . Imeet mesto T e o r e m a 1.3. Pust d = 1. Togda pri r1 > 0 i 1 ≤ θ < ∞ r1 −r1 . d⊥ M (B∞,θ , L∞ ) M

(1.10)

D o k a z a t e l  s t v o . Ocenka sverhu v (1.10) sleduet iz rezultata, poluqennogo v [1]: (1.11)



r −r1 logd−1 M d⊥ M (H∞ , L∞ ) M

r1 +1

,

gde r = (r1 , . . . , r1 ) ∈ Rd+ , d ≥ 1. Tak, polaga v (1.11) d = 1, i vospolzovavxis vloeniem r1 r1 , 1 ≤ θ < ∞, prihodim k iskomo i ocenke sverhu v (1.10). B∞,θ ⊂ H∞ Sootvetstvuwa ocenka snizu v (1.10) sleduet iz teoremy 1.2 pri ν = 1 soglasno sootnoxeni (1.3). Teorema dokazana. Z a m e q a n i e 1.3. Ob edin rezultat teoremy 1.1 pri d = 1 s ocenko i (1.10), moem zapisat pordkovoe sootnoxenie (1.12)

1

r1 −r1 + p , d⊥ M (Bp,θ , L∞ ) M

1 ≤ p ≤ ∞, r1 > p1 , 1 ≤ θ < ∞. T e o r e m a 1.4. Pust 1 ≤ p ≤ ∞, r1 > max{ p1 ; 12 } i 1 ≤ θ < ∞. Togda pri d = 1 spravedliva ocenka (1.13) gde a+ = max{a; 0}.

1

1

r1 , L∞ ) M −r1 +( p − 2 )+ , dM (Bp,θ

192

A. S. Romank

D o k a z a t e l  s t v o . Poluqim snaqala ocenku sverhu v sluqae p = 2. Izvestno (sm., naprimer, [26, s. 101]), qto pri r1 > 12 dM (H2r1 , L∞ ) M −r1 .

(1.14)

ta ocenka vlets sledstviem pordkovo i ocenki r , L∞ ) M −r1 , dM (W2,α

ustanovlenno i v [13]. Takim obrazom, prinima vo vnimanie, qto r1 ⊂ H2r1 , B2,θ

1 ≤ θ < ∞,

iz (1.14) nahodim (1.15)

r1 , L∞ ) dM (H2r1 , L∞ ) M −r1 . dM (B2,θ

Pust teper 2 < p ≤ ∞. V takom sluqae soglasno vloeni r1 r1 ⊂ B2,θ i ocenke (1.15) moem zapisat Bp,θ r1 r1 , L∞ ) dM (B2,θ , L∞ ) M −r1 . dM (Bp,θ

Nakonec, dl poluqeni iskomo i ocenki sverhu popereqnika r1 , L∞ ) v sluqae 1 ≤ p < 2 dostatoqno vospolzovats vloedM (Bp,θ niem r1 − p1 + 12

r1 ⊂ B2,θ Bp,θ

(sm., naprimer, [20, s. 104]) i ocenko i (1.15). Polaga v (1.15) vmesto r1 znaqenie r1 − p1 + 12 , prihodim k ocenke r1 − p1 + 12

r1 , L∞ ) dM (B2,θ dM (Bp,θ

1

1

, L∞ ) M −r1 + p − 2 .

Ocenka sverhu v (1.13) ustanovlena. Sootvetstvuwa ocenka snizu poluqena v [21]. Teorema dokazana. Otmetim qto v [21] ustanovleny pordkovye ocenki kolmogor , L∞ ) dl vseh razmernoste i d ≥ 1, rovskih popereqnikov dM (Bp,θ no √ pri tom ninie i verhnie ocenki razliqats mnoitelem log M . Z a m e q a n i e 1.4. Sopostaviv pri p = ∞ ocenki (1.12) i (1.13) moem zapisat 1 r1 r1 −r1 , L∞ ) d⊥ , r1 > . dM (B∞,θ M (B∞,θ , L∞ ) M 2 Dl vseh ostalnyh znaqeni i p ∈ [1, ∞) pordki veliqin r1 r1 , L∞ ) i d⊥ (B , L ) razliqny. dM (Bp,θ ∞ M p,θ

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

193

r §2. Popereqniki klassov Bp,θ v prostranstve Lq , 1 < q < ∞ r V tom paragrafe issleduets povedenie veliqin d⊥ M (Bp,θ , Lq ) dl nekotoryh sootnoxeni i medu parametrami p

r dB M (Bp,θ , Lq )

i i q.

T e o r e m a 2.1. Pust 1 ≤ p < q < ∞. Togda pri r1 > θ < ∞, spravedlivy sootnoxeni

1 p

− 1q , 1 ≤

r B r d⊥ M (Bp,θ , Lq ) dM (Bp,θ , Lq )

1

1

1

1

(M −1 logν−1 M )r1 − p + q (logν−1 M )( q − θ )+ . r D o k a z a t e l  s t v o . Ocenka sverhu dl popereqnika d⊥ M (Bp,θ , r Lq ) i, sledovatelno, dl dB M (Bp,θ , Lq ), vytekaet iz rezultatov r ih stupenqatymi giperpriblieni funkci i f (x) iz klassov Bp,θ γ boliqeskimi summami Fure Sn (f, x), poluqennymi v [18] i [22], pri 1 < p < ∞ i p = 1 sootvetstvenno. Pri dokazatelstve ocenki r i ν = d. snizu veliqiny dB M (Bp,θ , Lq ) dostatoqno rassmotret sluqa Pust snaqala θ ∈ [q, ∞). V takom sluqae, rassmotrev funkci g1 (x), i vospolzovavxis sootvetstvuwim rezultatom primera 1.1, budem imet

g1 (x − y ∗ ) − Gg1 (x − y ∗ )q  1

 2−n(r1 − p +1) n− 1

d−1 θ

ϕ(x − y ∗ ) − Gϕ(x − y ∗ )q 

1

1

1

1

1

 2−n(r1 − p +1) n− θ 2n(1− q ) n q = 2−n(r1 − p + q ) n(d−1)( q − θ )

1 1 1 1

(M −1 logd−1 M )r1 − p + q (logd−1 M ) q − θ . Pri rassmotrenii sluqa θ ∈ [1, q) budem ispolzovat vspomogatelnoe utverdenie iz [27]. d−1

d−1

iduts P r i m e r 2.1. Pust G ∈ LM (B)q , 1 < q < ∞. Togda na qislo n takoe, qto |Ωn | ≤ C(B, d)M i vektory s∗ ∈ θn i y ∗ ∈ πd , dl kotoryh (2.1)

∗

∗

1

Ks (x − y ∗ ) − GKs (x − y ∗ )q  2n(1− q ) . Itak, rassmotrim funkci 1

∗

g3 (x) = C3 2−n(r1 +1− p ) Ks (x),

C3 > 0.

Legko ubedits, qto pri sootvetstvuwem vybore postor , 1 ≤ p < ∞. nno i C3 > 0 funkci g3 (x) prinadleit klassu Bp,θ De istvitelno, poskolku v silu svo istva dra Fe iera ∗

∗

Ks (x)p 2 s

1 (1− p1 )

1

= 2n(1− p ) ,

1 ≤ p ≤ ∞,

194

A. S. Romank

r to dl g3 Bp,θ moem zapisat r = g3 Bp,θ 1

∗

2−n(r1 +1− p ) 2(s



2(s,r)θ As (g3 , x)θp

1/θ



s ,r)

∗

1

∗

Ks (x)p = 2−n(r1 − p ) Ks (x)p

1

1

2−n(r1 − p ) 2n(r1 − p ) = 1. r . Sledovatelno, g3 ∈ Bp,θ Takim obrazom, v silu (2.1) budem imet g3 (x − y ∗ ) − Gg3 (x − y ∗ )q  1

∗

∗

 2−n(r1 +1− p ) Ks (x − y ∗ ) − GKs (x − y ∗ )q  1

1

1

1

1

1

 2−n(r1 +1− p ) 2n(1− q ) = 2−n(r1 − p + q ) (M −1 logd−1 M )r1 − p + q . r Otsda sleduet iskoma ocenka snizu dl dB M (Bp,θ , Lq ), a take i ⊥ r dl popereqnika dM (Bp,θ , Lq ). Teorema dokazana. r Z a m e q a n i e 2.1. Pordki popereqnikov d⊥ M (Fp , Lq ) i veliqin r r dB M (Fp , Lq ), v teh sluqah, kogda v kaqestve Fp ispolzuts klassy r r Wp,α , libo Hp , a parametry p, q i r1 udovletvort uslovim teoremy 2.1, ustanovleny Temlkovym [27]. r i H1r imet mesto Sleduet otmetit, qto dl klassov W1,α sootnoxeni r ⊥ r (2.2) d⊥ M (W1,α , Lq ) dM (H1 , Lq )

1

(M −1 logν−1 M )r1 −1+ q (logν−1 M )1/q , 1 < q < ∞, i takim obrazom s toqki zreni pordkov ortoproekcir i H1r v tom sluqae nerazliqimy. onnyh popereqnikov klassy W1,α S drugo i storony, sopostaviv rezultat teoremy 2.1 pri p = 1 s ocenkami (2.2), moem zapisat ν−1 r ⊥ r M )−1/β , (2.3) d⊥ M (B1,θ , Lq ) dM (F1 , Lq )(log gde β = max{θ; q}, 1 < q < ∞. Sootnoxenie (2.3) imeet mnogomernu specifiku, t.e. pri d=1 r1 r1 −r1 +1− 1q ⊥ . d⊥ M (B1,θ , Lq ) dM (F1 , Lq ) M Otmetim take, qto analogiqnye sootnoxeni imet mesto i r B r dl veliqin dB M (B1,θ , Lq ) i dM (F1 , Lq ). V zaklqenie paragrafa privedem pordkovye ocenki rassmatrivaemyh veliqin dl drugih sootnoxeni i medu parametrami p i q.

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

195

T e o r e m a 2.2. Pust 1 < q ≤ p ≤ ∞, p ≥ 2, (q, p) = (∞; ∞), r1 > 0. Togda pri 1 ≤ θ < ∞ (2.4)

1

1

r B r −r1 (logν−1 M )r1 +( 2 − θ )+ . d⊥ M (Bp,θ , Lq ) dM (Bp,θ , Lq ) M

D o k a z a t e l  s t v o . Ocenka snizu v (2.4) sleduet iz rezultata, poluqennogo v [24]: (2.5)

1

1

r B r −r1 (logν−1 M )r1 +( p∗ − θ )+ , d⊥ M (Bp,θ , L1 ) dM (Bp,θ , L1 ) M

gde p∗ = min{2; p}, 1 < p ≤ ∞, r1 > 0, 1 ≤ θ < ∞. r B r Ocenka sverhu dl d⊥ M (Bp,θ , Lq ) i, sledovatelno, dl dM (Bp,θ , i Lq ) take sleduet iz izvestnyh rezultatov priblieni funkci r v prostranstve Lq , 1 < q ≤ p < ∞ ih stupenqatymi iz klassov Bp,θ giperboliqeskimi summami Fure s sootvetstvuwim koliqestvom garmonik [18]. Teorema dokazana. r Z a m e q a n i e 2.2. Pordok popereqnika d⊥ M (Bp,θ , Lq ), 1 < q < r p ≤ 2, poluqen Galeevym [7]. Ocenka snizu dl dB M (Bp,θ , Lq ) v tom sluqae poluqaets kak sledstvie sootnoxeni (2.5). Takim obrazom, pri 1 < q ≤ p ≤ 2, r1 > 0 i 1 ≤ θ < ∞, spravedlivy sootnoxeni 1

1

r B r −r1 (logν−1 M )r1 +( p − θ )+ . d⊥ M (Bp,θ , Lq ) dM (Bp,θ , Lq ) M

r v prostranstve Lq §3. Line inye popereqniki klassov Bp,θ

V nastowem paragrafe, ispolzu i razviva metody, kotorye primenlis v [5, 8] (tam e privedena sootvetstvuwa bibliografi) pri poluqenii ocenok line inyh popereqnikov klassov r r inyh Wp,α i Hp , my ustanavlivaem toqnye po pordku ocenki line r v prostranstve Lq dl nekotoryh sootpopereqnikov klassov Bp,θ noxeni i medu p i q. Napomnim opredelenie line inogo popereqnika, kotory i byl vveden Tihomirovym [29] i zatem privedem utverdeni, kotorye budut ispolzovats pri dokazatelstve poluqennyh rezultatov. Pust W — mnoestvo v banahovom prostranstve X . Line iny i popereqnik mnoestva W v prostranstve X (oboznaqaets λM (W, X )) opredelets po formule λM (W, X ) = inf sup x − AxX , A

x∈W

196

A. S. Romank

gde inf berets po vsem de istvuwim v X line inym operatoram A, razmernost oblasti znaqeni i kotoryh ne prevyxaet M . Zametim, qto soglasno opredeleni i ortoproekcionnogo i line inogo popereqnikov dl nih imeet mesto sootnoxenie r r , Lq ) ≤ d⊥ λM (Bp,θ M (Bp,θ , Lq ).

i Pust lpm oboznaqaet prostranstvo Rm , snabennoe normo = xlm p

⎧ m  ⎪ ⎨( |xi |p )1/p ,

1 ≤ p < ∞,

⎪ ⎩ max |xi |,

p = ∞,

i=1

1≤i≤m

i xar v lpm . i Bpm — ediniqny 1 p

+

T e o r e m a G (sm. [9]). Pust M < m, 1 ≤ p < 2 ≤ q < ∞, ≥ 1. Togda

1 q



1

1

1

1



λM (Bpm , lqm ) max m q − p , min{1, m q M − 2 } 1 −

M m



.

Otmetim, qto v sluqae p = 1, q > 2 sootvetstvuwi i rezultat sleduet iz utverdeni o kolmogorovskom popereqnike oktadra B1m v prostranstve lqm , ustanovlennogo Kaxinym [14]. T e o r e m a D (sm. [4]). Medu prostranstvom trigonometriqeskih polinomov vida f (t) =



ck ei(k,t)

k∈ρ(s) (s,1)

i prostranstvom R2 suwestvuet izomorfizm, sopostavlwii (s,1) funkcii f (·) vektor δs f j = {fn (τj )} ∈ R2 fn (t) =



ck ei(k,t) ,

l = 1, d, n = (±1, . . . , ±1) ∈ Rd ,

sgn kl =sgn nl

ji = 1, 2, . . . , 2si −1 , τj = (π22−s1 j1 , . . . , π22−sd jd ), i pri tom imeet mesto sootnoxenie 

−(s,1)

δs (f, x)p 2

(s,1) 2

|δs f j |p

1/p

, p ∈ (1, ∞).

j=1

i f (x) Pust s ∈ Nd i T (ρ(s)) oboznaqaet mnoestvo funkci vida ck ei(k,x) . f (x) = k∈ρ(s)

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

197

V [5], kak sledstvie opredeleni line inogo popereqnika, teoremy D i teoremy Littlvuda–Pli privedeno vspomogatelnoe utverdenie. L e m m a A. Pust s ∈ Nd , f (·) ∈ T (ρ(s)), Ms ∈ Z+ , Ms ≤ . Togda pri 1 < p, q < ∞ suwestvuet lineinyi operator ΛMs : 2 T (ρ(s)) → T (ρ(s)), razmernost oblasti znaqenii kotorogo ne prevyxaet Ms i takoi, qto (s,1)

(s,1)

f (·) − ΛMs f (·)q λMs (Bp2

(3.1)

(s,1)

, lq2

1

1

)2(s,1)( p − q ) f (·)p .

Teper sformuliruem i dokaem poluqennoe nami utverdenie. T e o r e m a 3.1. Pust 1 ≤ p < 2 ≤ q < p , r1 > p1 . Togda pri 1 ≤ θ ≤ ∞ spravedlivo sootnoxenie 1

gde

1 p

1

1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + 2 (logν−1 M )( 2 − θ )+ , λM (Bp,θ

(3.2) +

1 p

= 1.

D o k a z a t e l  s t v o . Ustanovim v (3.2) ocenku sverhu snaqala v sluqae 1 < p < 2 ≤ q < p . Po zadannomu M podberem n iz sootnoxeni M 2n nν−1 i kadomu vektoru s ∈ Nd postavim v sootvetstvie qisla 

Ms =

(3.3)

2(s,1) , 2n+α(n−(s,γ)) ,

(s, γ  ) ≤ n, (s, γ  ) > n,

gde α > 0 — nekotoroe qislo, kotoroe budet podobrano nie i [a] — cela qast qisla a.  Ocenim s Ms . Soglasno sootnoxeni (1.9) moem zapisat

Ms ≤

s

2n nν−1 + 2n+αn



(s,γ  )≤n





2(s,1) +

2n+α(n−(s,γ))

(s,γ  )>n

2−α(s,γ) 2n nν−1 + 2n nν−1 2n nν−1 M.

(s,γ  )>n r . RassPust f (x) — proizvolna funkci iz klassa Bp,θ istvuwi i na f (x) motrim line iny i operator ΛM , ranga M , de po formule ΛMs δs (f, x), ΛM f (x) = s

gde ΛMs — operatory iz lemmy A.

198

A. S. Romank

Ocenim f (x) − ΛM f (x)q . Vospolzovavxis posledovatelno teoremo i Littlvuda–Pli, neravenstvom Minkovskogo i sootnoxeniem (3.1), poluqim (3.4)

 



f (x) − ΛM f (x)q 

|δs (f, x) − ΛMs δs (f, x)|2

1/2    = q

(s,γ  )>n

 

 1/2 



= 

|δs (f, x) − ΛMs δs (f, x)|2  q

≤



 2 1/2  

|δs (f, x) − ΛMs δs (f, x)|



q

(s,γ  )>n







(s,1)

(s,γ  )>n

≤

2

(s,γ  )>n

λ2Ms (Bp2

(s,1)

, lq2

1

1

)22(s,1)( p − q ) δs (f, x)2p

1/2

= I1 .

Poskolku soglasno teoreme G i vyboru qisel Ms (s,1)

λMs (Bp2

(3.5)

(s,1)

, lq2

1

−1

) 2(s,1) q Ms 2 ,

to iz (3.4) i (3.5) nahodim I1





2

(s,γ  )>n

(3.6)

=



1

1

2 q (s,1) Ms−1 22(s,1)( p − q ) δs (f, x)2p

(s,γ  )>n

2

Ms−1 2 p (s,1) δs (f, x)2p

1/2

1/2

=

.

Podstaviv v (3.6) vmesto Ms sootvetstvuwie znaqeni iz (3.3) prodolim ocenku I1 : (3.7)

I1





2

(s,γ  )>n

≤ 2− 2 − n

αn 2



2−n−α(n−(s,γ)) 2 p (s,1) δs (f, x)2p

(s,γ  )>n

= 2− 2 − n

αn 2



(s,γ  )>n

1

22(s,γ)( 2 + p ) δs (f, x)2p α

1

1/2

1/2

22(s,r) 2−2(s,γ)(r1 − p − 2 ) δs (f, x)2p α

≤

=

1/2

= I2 .

Qtoby poluqit ocenku I2 rassmotrim neskolko sluqaev. Pust snaqala 1 ≤ θ ≤ 2. Togda vybrav qislo α iz uslovi 1 α r1 − − > 0 p 2

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

199

i vospolzovavxis neravenstvom 

(3.8)

aμk 1

1/μ1

≤



k

aμk 2

1/μ2

nahodim I2 ≤ 2− 2 − n

(3.9)

ak ≥ 0, 1 ≤ μ2 ≤ μ1 < ∞,

,

k

αn 2

1

2−n(r1 − p − 2 ) α



(s,γ  )>n

1

1

1

2(s,r)θ δs (f, x)θp

1/θ

1

1

≤ 1

r ≤ 2−n(r1 − p + 2 ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + 2 . ≤ 2−n(r1 − p + 2 ) f Bp,θ

Soglasno opredeleni line inogo popereqnika iz (3.4)–(3.7) i (3.9) poluqaem iskomu ocenku pri 1 ≤ θ ≤ 2: 1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + 2 . λM (Bp,θ

Pust teper 2 < θ < ∞. V takom sluqae, primeniv k I2 snaqala neravenstvo Geldera s pokazatelem θ/2, a zatem, vospolzovavxis sootnoxeniem (1.9), budem imet (3.10)

I2 ≤ 2− 2 − n

αn 2





1

 θ−2

2θ

2−(s,γ)(r1 − p − 2 ) θ−2 α

2θ

×

(s,γ  )>n

×



(s,γ  )>n

2− 2 − n

1

1

2(s,r)θ δs (f, x)θp

αn 1 α 2 −n(r1 − p − 2 ) 1

1

1/θ



1

r n(ν−1)( 2 − θ ) f Bp,θ ≤ 1

1

1

1

1

≤ 2−n(r1 − p + 2 ) n(ν−1)( 2 − θ ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + 2 (logν−1 M ) 2 − θ . Sopostaviv (3.4)–(3.7) i (3.10), poluqaem iskomu ocenku r , Lq ): sverhu popereqnika λM (Bp,θ 1

1

1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + 2 (logν−1 M ) 2 − θ . λM (Bp,θ

Nakonec, esli θ = ∞, to prinima vo vnimanie, qto dl f ∈ r = Hpr soglasno teoreme V Bp,∞ δs (f, x)p 2−(s,r) , nahodim (3.11)

I2 2− 2 − n

αn 2





s ∈ Nd , 1

2−2(s,γ)(r1 − p + 2 ) α

1/2



(s,γ  )>n

2− 2 − n

αn 2

(M

1

2−n(r1 − p − 2 ) n −1

log

ν−1

α

ν−1 2

1 r1 − p + 21

M)

1

1

= 2−n(r1 − p + 2 ) n (log

ν−1

1/2

M)

ν−1 2

.



200

A. S. Romank

Analogiqno predyduwim sluqam, sopostaviv (3.4)–(3.7) i (3.11), prihodim k ocenke 1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + 2 (logν−1 M )1/2 . λM (Bp,θ

Takim obrazom, dl zaverxeni dokazatelstva ocenki sverhu v (3.2) ostalos rassmotret sluqa i p = 1. Otnositelno togo sluqa otmetim sleduwee. V [23] pri poluqenii ocenki sverhu r , Lq ), 2 ≤ q < ∞, r1 > 1, trigonometriqeskogo popereqnika dTM (B1,θ 1 ≤ θ ≤ ∞, byl postroen line iny i operator, kotory i realizuet pordkovu ocenku (3.12)

1

1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − 2 (logν−1 M )( 2 − θ )+ . dTM (B1,θ

Sledovatelno, povtoriv rassudeni, kotorye primenlis pri ustanovlenii ocenki sverhu v (3.12), prihodim k iskomo i r ocenke sverhu line inogo popereqnika λM (B1,θ , Lq ). Ocenka sverhu v teoreme dokazana. Ocenka snizu v (3.2) sleduet iz izvestnyh ocenok kolmogorovr , Lq ) pri p = 1 i 1 < p ≤ 2, poluqennyh v skih popereqnikov dM (Bp,θ rabotah [23] i [19] sootvetstvenno. Teorema dokazana. Otmetim, qto utverdeni, sootvetstvuwie teoreme 3.1 dl r i Hpr v sluqae 1 < p < 2 ≤ q < p , poluqeny Galeevym klassov Wp,α [8]. Sformuliruem dva sledstvi, kotorye otnosts k line inym r i H1r v prostranstve Lq , 2 ≤ q < ∞. popereqnikam klassov W1,α Polaga v teoreme 3.1 θ = ∞, poluqaem S l e d s t v i e 3.1. Pust 2 ≤ q < ∞, r1 > 1. Togda (3.13)

1

λM (H1r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − 2 (logν−1 M )1/2 .

S l e d s t v i e 3.2. Pust 2 ≤ q < ∞, r1 > 1. Togda (3.14)

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − 2 (logν−1 M )1/2 . λM (W1,α

Ocenka snizu v (3.14) sleduet iz sootvetstvuwe i ocenki kolr mogorovskogo popereqnika dM (W1,α , Lq ) [26, s. 69], a sverhu — iz r ⊂ H1r . ocenki (3.13) v silu vloeni W1,α Obratim vnimanie, qto s odno i storony, soglasno (3.13) i (3.14) r , Lq ) λM (H1r , Lq ), 2 ≤ q < ∞, λM (W1,α

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

201

i, takim obrazom, s toqki zreni line inyh popereqnikov klassy r i H1r v tom sluqae nerazliqimy. S drugo i storony, soW1,α postaviv (3.13), (3.14) i (3.2) pri p = 1, vidim, qto r , Lq ) λM (F1r , Lq )(logν−1 M )−1/δ , λM (B1,θ r , libo H1r i δ = max{θ; 2}. gde F1r — klassy W1,α

T e o r e m a 3.2. Pust 1 < p ≤ 2, p < q < ∞, r1 > 1 − 1/q. Togda pri 2 ≤ θ ≤ q spravedlivo sootnoxenie 1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − 2 + q . λM (Bp,θ

(3.15)

D o k a z a t e l  s t v o . Snaqala poluqim v (3.15) ocenku sverhu. Pust qisla M , n i Ms , a take operatory ΛM i ΛMs imet tot e smysl, qto i pri dokazatelstve ocenki sverhu v teoreme 3.1. Dl togo, qtoby poluqit ocenku sverhu veliqiny f (·) − ΛM f (·)q ,

r f ∈ Bp,θ ,

nam ponadobits vspomogatelnoe utverdenie [26, s. 25]. L e m m a B. Pust 1 ≤ p < q < ∞ i f ∈ Lp (πd ). Togda f (·)qq



1

1

δs (f, ·)p 2 s 1 ( p − q )

q

,

s

gde s1 = s1 + · · · + sd . Poskolku soglasno uslovi teoremy 2 ≤ p < q < ∞, to vospolzovavxis snaqala lemmo i B (s zameno i indeksa p na p ) i zatem lemmo i A, moem zapisat f (·) − ΛM f (·)q

(3.16)







s 1 ( p1 − 1q )

2

δs (f, ·) − ΛMs δs (f, ·)p

q 1/q



(s,γ  )>n









1

s 1 ( p1 − 1q ) s 1 ( p − p1 )

2

2

(s,γ  )>n

=



(s,γ  )>n



1

1

(s,1)

λMs (Bp2 (s,1)

2 s 1 ( p − q ) λMs (Bp2

(s,1)

, lp2

(s,1)

, lp2

)δs (f, ·)p

)δs (f, ·)p

q 1/q

q 1/q

.

=

202

A. S. Romank

Dalee, poskolku v silu teoremy G (s,1)

λMs (Bp2

(s,1)

, lp2

) 2

s1 p

−1

Ms 2 ,

to iz (3.16) poluqim f (·) − ΛM f (·)q

(3.17)







1

1

2 s 1 ( p − q ) 2

s1 p

−1

Ms 2 δs (f, ·)p

q 1/q

=

(s,γ  )>n



=





−1

1

2 s 1 (1− q ) Ms 2 δs (f, ·)p

q 1/q

.

(s,γ  )>n

Qtoby prodolit ocenku (3.17), podstavim vmesto Ms sootvetstvuwie znaqeni i, vypolniv lementarnye preobrazovani, poluqim f (·) − ΛM f (·)q

(3.18)







1

2 s 1 (1− q ) 2− 2 − 2 (n−(s,γ)) δs (f, ·)p n

α

q 1/q

=

(s,γ  )>n

= 2− 2 − n

αn 2







1

2 s 1 (1− q ) 2 2 (s,γ) δs (f, ·)p α

q 1/q

≤

(s,γ  )>n

≤ 2− 2 − n

αn 2







1

2(s,γ)(1− q + 2 ) δs (f, ·)p α

q 1/q

=

(s,γ  )>n

= 2− 2 − n

αn 2







1

2−(s,γ)(r1 −1+ q − 2 ) 2(s,r) δs (f, ·)p α

q 1/q

= I3 .

(s,γ  )>n

Dl poluqeni ocenki I3 vyberem parametr α iz sootnoxeni 1 α r1 − 1 + − > 0, q 2 a zatem, vospolzovavxis neravenstvom (3.8), budem imet (3.19)

I3 ≤ 2− 2 − n

αn 2

1

2−n(r1 −1+ q − 2 ) α



(s,γ  )>n

1

1

1

1

2(s,r)θ δs (f, ·)θp



r ≤ 2−n(r1 − 2 + q ) M −1 logν−1 M ≤ 2−n(r1 − 2 + q ) f Bp,θ

1/θ

≤

 r1 − 1 + 1 2

q

.

Takim obrazom, soglasno opredeleni line inogo popereqnika iz (3.17)–(3.19) poluqaem iskomu ocenku 1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − 2 + q . λM (Bp,θ

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

203

Perehod k ustanovleni v (3.15) sootvetstvuwe i ocenki snizu, napomnim, qto dostatoqno rassmotret sluqa i ν = d. Krome r r ⊃ B2,θ i togo, poskolku pri 1 < p ≤ 2 spravedlivy vloeni Bp,θ r r B2,θ ⊃ B2,2 pri θ ≥ 2, to dostatoqno poluqit nunu ocenku snizu r , Lq ). dl popereqnika λM (B2,2 Itak, po zadannomu M vyberem qislo μ iz uslovi i M 2μ μd−1

2μ μd−1 ≥ 2M

i

i poloim S = {s : (s, 1) = μ}. Oboznaqim qerez Tμ mnoestvo  trigonometriqeskih polinomov s nomerami garmonik iz s∈S ρ(s). Togda soglasno opredeleni line inogo popereqnika i v silu teoremy Littlvuda–Pli r r r , Lq ) ≥ λM (B2,2 ∩ Tμ , Lq )  λM (B2,2 ∩ Tμ , Lq ∩ Tμ ). λM (B2,2

(3.20)

Dalee, pust f ∈ L2 ∩ Tμ . V silu teoremy D moem zapisat r

2μr1 f B2,2

(3.21)



δs (f, ·)22

1/2



s∈S

2

μr1



−(s,1)

2

(s,1) 2

j 2

|δs f |

1/2

μ(r1 − 12 )

2

(s,1)  2

j=1

s∈S

|δs f j |2

1/2

.

s∈S j=1

Otsda zaklqaem, qto esli dl f ∈ L2 ∩Tμ vypolneno sootnoxenie (s,1)  2

(3.22)

|δs f j |2

1/2

1

2−μ(r1 − 2 ) ,

s∈S j=1

to

r ∩ Tμ , C4 f ∈ B2,2

C4 > 0.

−μ(r1 − 12 )

2μ |S|

1

B2 radiusa C4 2−μ(r1 − 2 ) Inymi slovami xaru C4 2 2μ |S| iz prostranstva l2 soglasno sootnoxenim (3.21) i (3.22) sor ∩ Tμ . Krome togo, esli postavlets ediniqny i xar iz B2,2 g ∈ Lq ∩ T μ ,

2 ≤ q < ∞,

to v silu teoremy Littlvuda–Pli, neravenstva (3.8) i teoremy D moem zapisat  

gq  

(3.23)  

=

s∈S

|δs (g, ·)|2

1/2    =

s∈S

|δs (g, ·)|2

q

 1/q q/2 1/q    ≥ |δs (g, ·)|q  =  1

s∈S

1

204

A. S. Romank

=



δs (g, ·)qq

1/q





s∈S

−(s,1)

2

(s,1) 2

2

(s,1)  2

1/q



j=1

s∈S −μ q

|δs gj |q

|δs gj |q

1/q

.

s∈S j=1

Takim obrazom, v silu (3.20)–(3.23) budem imet (3.24)

1

1

2μ |S|

r , Lq )  2−μ(r1 − 2 + q ) λM (B2 λM (B2,2

, lq2

μ

|S|

).

Dalee, vospolzovavxis izvestnym sootnoxeniem (sm., naprimer, [30, s. 209]) 2μ |S|

λM (B2

, lq2

μ

|S|

2μ |S|

) = dM (Bq

2μ |S|

, l2

),

iz (3.24) prihodim k ocenke (3.25)

1

1

2μ |S|

r , Lq )  2−μ(r1 − 2 + q ) dM (Bq λM (B2,2

2μ |S|

, l2

).

Qtoby prodolit ocenku (3.25) nam ponadobits utverdenie poluqennoe Kaxinym [13]. L e m m a V. Pust M < n. Togda pri 1 ≤ p ≤ 2 ≤ q < ∞ (3.26)



1

1

1

1



dM (Bpn , lqn ) max n q − p , min{1, n q M − 2 } 1 −

M n



.

Itak, vospolzovavxis (3.26) pri rassmatrivaemyh nami uslovih moem zapisat 2μ |S|

dM (Bq

(3.27)

1 2

2μ |S|

, l2

− 12

 min 1, (2μ μd−1 ) (C2μ μd−1 )

)

 

1−

M 2μ μd−1

≥C5 >0.

Sledovatelno iz (3.25) i (3.27) poluqaem iskomu ocenku r r , Lq )  λM (B2,2 , Lq )  λM (Bp,θ 1

1

1

1

 2−μ(r1 − 2 + q ) (M −1 logd−1 M )r1 − 2 + q . Ocenka snizu i vmeste s ne i teorema dokazana. S l e d s t v i e 3.3. Pust 1 < p ≤ 2, p < q < ∞, r1 > 1 − 1q . Togda (3.28)

1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − 2 + q . λM (Wp,α

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

205

Ocenka sverhu v (3.28) sleduet iz teoremy 3.2 pri θ = 2 soglasno vloeni r r ⊂ Bp,2 , Wp,α

1 < p ≤ 2.

Sootvetstvuwa ocenka snizu take vlets sledstviem ocenki r r ⊂ Wp,α i (3.15) pri θ = 2 i p = 2 soglasno sootnoxenim W2,α r r W2,α = B2,2 . Z a m e q a n i e 3.1. Ocenka (3.28) ranee privedena Galeevym [5] (sm. take [8]). T e o r e m a 3.3. Pust 2 ≤ p < q < ∞, r1 > θ ≤ q spravedliva ocenka

1 p

− 1q . Togda pri 2 ≤

1

1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + q . λM (Bp,θ

(3.29)

D o k a z a t e l  s t v o . Ocenka sverhu v (3.29) sleduet iz sootr ih vetstvuwe i ocenki priblieni funkci i f (x) iz klassa Bp,θ γ stupenqatymi giperboliqeskimi summami Fure Sn (f, x) pri uslovii M 2n nν−1 [18]. Sootvetstvuwa ocenka snizu v (3.29) sleduet iz teoremy 3.2. De istvitelno, v silu neravenstva razr nyh metrik dl f ∈ Bp,θ imeem r = f Bp,θ

=







2(s,r)θ δs (f, x)θp

1/θ

1

1

2(s,r)θ 2(s,1)( 2 − p )θ δs (f, x)θ2

s 1

1

2(s,r− p + 2 )θ δs (f, x)θ2

1/θ

1/θ

= f 

1 p

+

1 2

=

r− 1 + 1 2

B2,θ p

s

gde r −



s

oboznaqaet vektor s koordinatami rj − r− p1 + 12

1 p

, + 12 , j = 1, d.

r ⊂ Bp,θ , 2 ≤ p < ∞. Iz togo sootnoxeni zaklqaem, qto B2,θ 1 Sledovatelno, polaga v teoreme 3.2 p = 2 i r − p + 12 vmesto r, poluqim r− 1 + 21

r , Lq )  λM (B2,θ p λM (Bp,θ

1

1

, Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + q .

Teorema dokazana. S l e d s t v i e 3.4. Pust 2 ≤ p < q < ∞, r1 > (3.30)

1

1 p

− 1q . Togda 1

r , Lq ) (M −1 logν−1 M )r1 − p + 2 . λM (Wp,α

206

A. S. Romank

Ocenka sverhu v (3.30) sleduet iz rezultata priblieni r ih stupenqatymi giperboliqeskimi summami funkci i klassa Wp,α Fure [3] s sootvetstvuwim koliqestvom garmonik, a snizu — iz (3.29) soglasno vloeni r r ⊂ Wp,α , Bp,2

p ≥ 2.

Otmetim, qto ocenka (3.30) privedena v [5] (sm. take [8]). Z a m e q a n i e 3.2. Toqnye po pordku ocenki line inyh popei medu p i q, kotoreqnikov klassov Hpr dl teh sootnoxeni rye rassmotreny v teoremah 3.2 i 3.3, po–vidimomu, neizvestny. Otmetim tolko, qto ocenki sverhu i nesovpadawie s nimi po pordku ocenki snizu dl popereqnikov λM (Hpr , Lq ) v ukazannyh sluqah poluqeny Galeevym [8] i zatem ninie ocenki utoqneny Izaakom [11]. V odnomernom sluqae (d = 1) rezultaty teorem 3.2 i 3.3 udalos rasprostranit na vs oblast izmeneni parametra θ. Sluqa i θ = ∞ ranee rassmotren v [8]. Sformuliruem i dokaem sootvetstvuwee utverdenie. T e o r e m a 3.4. Pust d = 1, 1 ≤ θ < ∞. Togda (3.31)

r1 , Lq ) λM (Bp,θ



⎧ ⎨ M −r1 + 12 − 1q ,

p ≤ 2,

⎩ M −r1 + p1 − 1q ,

2 ≤ p < q < ∞, r1 >

1 p

+

1 q

< 1, r1 > 1 − 1q , 1 p

− 1q .

D o k a z a t e l  s t v o . Ocenki sverhu v (3.31) sledut iz izvestnyh v tih sluqah ocenok line inyh popereqnikov λM (Hpr1 , Lq ) [8] r1 r1 v silu vloeni Bp,θ ⊂ Hp . Perehod v (3.31) k ocenkam snizu, rassmotrim snaqala sluqa i p ≤ 2, 1p + 1q < 1, r1 > 1 − 1q . Poskolku ocenka sverhu v tom sluqae ne zavisit ot parametra θ, to iskomu ocenku snizu dostatoqno poluqit pri θ = 1. Krome togo, poskolku r1 r1 ⊃ B2,1 , Bp,1

1 < p ≤ 2,

r1 , to dostatoqno poluqit ocenku snizu line inogo popereqnika λM (B2,1 Lq ). Zametim take, qto pri 2 ≤ θ < ∞ ocenka snizu sleduet iz teoremy 3.2 pri d = 1. Itak, po zadannomu M podberem qislo μ iz uslovi 2M ≤ 2μ < 4M i oboznaqim qerez Tμ mnoestvo trigonometriqeskih polinomov δμ (f, x). Togda, kak otmeqalos vyxe (sm. (3.20)), pri d ≥ 1 spravedlivo sootnoxenie

(3.32)

r1 r1 , Lq )  λM (B2,1 ∩ Tμ , Lq ∩ Tμ ). λM (B2,1

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

207

Pust f ∈ L2 ∩ Tμ . V silu teoremy D pri d = 1 moem zapisat r1 = 2 f B2,1

μr1

δμ (f, x)2 2

μr1



2 μ

−μ

2

|δμ f j |2

1/2

=

j=1 μr1 − μ 2

=2

2μ 

|δμ f j |2

1/2

.

j=1

Otsda zaklqaem, qto esli dl f ∈ L2 ∩Tμ vypolneno sootnoxenie 2μ 

(3.33)

|δμ f j |2

1/2

μ

2−μr1 + 2 ,

j=1

to

r1 ∩ Tμ , C6 > 0. C6 f ∈ B2,1 Krome togo, esli g ∈ Lq ∩ Tμ , 2 ≤ q < ∞, to v silu teoremy D pri d = 1 imeem

gq = δμ (g, ·)q

(3.34) 

2 μ

−μ

2

|δμ g |

j q

1/q

−μ q

=2

2μ 

j=1

|δμ gj |q

1/q

.

j=1

Takim obrazom, soglasno (3.32)–(3.34) μ

μ

r1 , Lq )  2−μr1 + 2 − q λM (B22 , lq2 ) λM (B2,1 μ

μ

i v silu togo, qto λM (B22 , lq2 ) = dM (Bq2 , l22 ) μ

μ

μ

μ

(sm. [30, s. 209]), prihodim k ocenke (3.35)

1

1

r1 , Lq )  2−μ(r1 − 2 + q ) dM (Bq2 , l22 ). λM (B2,1 μ

μ

Dalee, povtoriv rassudeni, kotorye primenlis pri dokazatelstve ocenki snizu v teoreme 3.2, nahodim pri 2M ≤ 2μ < 4M (3.36)

dM (Bq2 , l22 ) ≥ C7 > 0. μ

μ

Nakonec, sopostaviv (3.35) i (3.36), prihodim k iskomo i otsenke snizu v pervom sootnoxenii (3.31) (3.37)

1

1

1

1

r1 , Lq )  2−μ(r1 − 2 + q ) M −r1 + 2 − q . λM (B2,1

Ocenka snizu vo vtorom sootnoxenii (3.31) poluqaets iz (3.37) iz teh e soobraeni i, qto i v teoreme 3.3. Teorema dokazana.

208

A. S. Romank

r §4. Nailuqxee priblienie klassov B∞,θ v prostranstve L∞

V rabotah [20, 24] izuqalis nailuqxie priblieni klassov 1 < p < ∞, periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh v prostranstve L∞ trigonometriqeskimi polinomami s nomerami garmonik iz giperboliqeskih krestov. Zdes v dvumernom sluqae, my ustanovim toqnu po pordku ocenku nailuqxego priblieni r v prostranstve L∞ trigonometriqeskimi polinomami klassov B∞,θ s nomerami garmonik iz stupenqatogo giperboliqeskogo kresta i, takim obrazom, dopolnim rezultaty iz [20, 24]. Dl formulirovki i dokazatelstva poluqennogo utverdeni nam ponadobts nekotorye oboznaqeni i opredeleni. Pust s = (s1 , . . . , sd ) ∈ Nd , r , Bp,θ



ρ(s) = k ∈ Zd : 2sj −1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d i



Q1n = k : |k| ∈







ρ(s) .

s 1 ≤n

Q1n

nazyvat stupenqatym giperNapomnim, qto mnoestvo boliqeskim krestom. Nam budet udobno rassmatrivat take mnoestvo

Γ(N ) = k :

d 



max(|kj |, 1) ≤ N ,

j=1

kotoroe poluqilo nazvanie giperboliqeski i krest. Otmetim, qto |Q1n | 2n nd−1 i sootvetstvenno |Γ(N )| N logd−1 N. Pust T (Q1n ) i T (N ) oboznaqat mnoestva trigonometriqeskih polinomov s nomerami garmonik iz Q1n i Γ(N ) sootvetstvenno. i vida Qerez T ⊥ (N ) oboznaqim mnoestvo funkci



T ⊥ (N ) = g ∈ L1 : (f, g) = 0, f ∈ T (N ) . Dl f ∈ Lq (πd ), 1 ≤ q ≤ ∞, opredelim veliqinu EQ1n (f )q =

inf

t∈T (Q1n )

f − tq

— nailuqxee priblienie funkcii f (x) trigonometriqeskimi polinomami iz T (Q1n ). Dl funkcionalnogo klassa F polagaem EQ1n (F )q = sup EQ1n (f )q . f ∈F

Spravedlivo sleduwee utverdenie:

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

209

T e o r e m a 4.1. Pust d = 2, r = (r1 , r1 ), r1 > 0 i 1 ≤ θ < ∞. Togda 1

r )∞ 2−nr1 n1− θ . EQ1n (B∞,θ

(4.1)

r )∞ D o k a z a t e l  s t v o . Ocenku sverhu veliqiny EQ1n (B∞,θ provedem dl vseh razmernoste i d ≥ 2. r , r = (r1 , . . . , r1 ) ∈ Rd+ , d ≥ 2. Rassmotrim dl Pust f ∈ B∞,θ f (x) pribliawi i polinom tn (f, x) vida



 tn (f, x) =

As (f, x).

s 1 ≤n

Togda moem zapisat

 

f (x) − tn (f, x)∞ = 

(4.2)

 

As (f, x)

s 1 >n

∞

≤



As (f, x)∞ .

s 1 >n

Pust snaqala θ ∈ (1, ∞). V takom sluqae, primeniv k posledne i summe (4.2) snaqala neravenstvo Geldera s pokazatelem θ, i vospolzovavxis zatem sootnoxeniem

2−α(s,1) 2−αn nd−1 ,

α > 0,

s 1 >n

budem imet EQ1n (f )∞ ≤ f (x) − tn (f, x)∞ ≤

(4.3) ≤



s 1 >n

2(s,1)r1 θ As (f, x)θ∞

r 2−nr1 n f B∞,θ

gde (4.4)

d−1 θ

1/θ 

2−(s,1)r1 θ



1/θ



s 1 >n 1

≤ 2−nr1 n(d−1)(1− θ ) ,

1 θ

+ θ1 = 1. Esli e θ = 1, to otpravivxis ot (4.2), nahodim EQ1n (f )∞ ≤ 2−nr1



2(s,1)r1 As (f, x)∞ ≤

s 1 >n

r ≤ 2−nr1 . ≤ 2−nr1 f B∞,1

Takim obrazom, iz (4.3) i (4.4) prihodim k iskomo i ocenke sverhu v (4.1). Pri dokazatelstve v (4.1) ocenki snizu my budem ispolzovat funkci, kotora rassmatrivalas Temlkovym pri ocenke sootr (sm. naprimer, [28, s. 167]). vetstvuwe i veliqiny na klassah H∞

210

A. S. Romank

Vvedem neobhodimoe oboznaqenie. Dl vektorov s = (s1 , s2 ) ∈ Z2+ poloim S(m) = {s : s = 2s , gde s1 + s2 = m} i zametim, qto pri tom |S(m)| m. Rassmotrim trigonometriqeski i polinom dvuh peremennyh vida Pm (x) =

m 





(1 + cos 4s1 x1 cos 4m−s1 x2 ).

s1 =0

V [28, s. 167] pokazano, qto tot polinom mono predstavit sleduwim obrazom Pm (x) = 1 +

m





cos 4s1 x1 cos 4m−s1 x2 + tm (x),

s1 =0

gde tm (x) ∈ T ⊥ (4m ) i krome togo Pm 1 = 1, Pm (x) ≥ 0. Teper rassmotrim funkci v(x) = 2−2r1 m

m

s m−s 1 x1 +4 1 x2 )

ei(4

.

s1 =0 r soglasno teoreme A dl nee vypolneno sootnoPoskolku v ∈ H∞ xenie As (v, x)∞ 2−(s,1)r1 .

Sledovatelno, r = vB∞,θ







2(s,1)r1 θ As (v, x)θ∞

1/θ



s

2(s,1)r1 θ 2−(s,1)r1 θ

1/θ

=



s∈S(m)

1/θ

1

1

mθ .

s∈S(m)

Iz togo sootnoxeni zaklqaem, qto funkci u(x) = C8 m

− θ1 −2r1 m

2

m

s m−s 1 x1 +4 1 x2 )

ei(4

s1 =0 r s sootvetstvuwe i postonno i C8 > 0 prinadleit klassu B∞,θ . ∗ Dalee, pust t ∈ T (Q2m−1 ) — polinom nailuqxego priblieni funkcii u(x). Togda, s odno i storony, moem zapisat

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

(4.5)

1

((u(x) − t∗ (x)), (Pm (x) − 1)) = C8 m− θ 2−2r1 m−2

m

211

1

s1 =0 1

1

2−2r1 m m− θ (m + 1) 2−2r1 m m1− θ . S drugo i storony, v silu neravenstva Geldera nahodim (4.6)

((u(x) − t∗ (x)), (Pm (x) − 1)) ≤ u(x) − t∗ (x)∞ Pm (x) − 11 ≤

≤ 2u(x) − t∗ (x)∞ = 2EQ2m−1 (u)∞ . Sopostaviv (4.5) i (4.6), poluqaem (4.7)

1

E2m−1 (u)∞  2−2r1 m m1− θ .

Nakonec, prinima vo vnimanie, qto n = 2m iz (4.7), prihodim k iskomo i ocenke snizu v (4.1). Ocenka snizu i vmeste s ne i teorema dokazana. r )∞ take v Z a m e q a n i e 4.1. Pordok veliqiny EQ1n (H∞ dvumernom sluqae ranee ustanovlen Temlkovym (sm., naprimer, [28, s. 167]). Dl ostalnyh razmernoste i d ≥ 3 pordki veliqin r r )∞ , 1 ≤ θ < ∞ i EQ1n (H∞ )∞ , po-vidimomu, neizvestny. EQ1n (B∞,θ

Literatura [1] A. V. Andrianov i V. N. Temlkov, O dvuh metodah rasprostraneni svo istv sistem funkci i ot odno i peremenno i na ih tenzornoe proizvedenie, Tr. MIRAN , 219(1997), 32–43. [2] O. V. Besov, O nekotorom seme istve funkcionalnyh prostranstv. Teoremy vloeni i prodoleni, DAN SSSR , 126(6)(1959), 1163–1165. [3] . M. Galeev, Priblienie summami Fure klassov funkci i s neskolkimi ograniqennymi proizvodnymi, Matem. zametki, 23(2)(1978), 197–212. [4] . M. Galeev, Popereqniki po Kolmogorovu klassov periodiqeskih funkci i pr i H  pr v prostranstve L  q , Izv. AN SSSR (ser. matem.), mnogih peremennyh W 49(5)(1985), 916–934. [5] . M. Galeev, O line inyh popereqnikah klassov periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh, Vestnik MGU , Ser. 1, Matem., meh., 4(1987), 13–16. [6] . M. Galeev, Pordki ortoproekcionnyh popereqnikov klassov periodiqeskih funkci i odno i i neskolkih peremennyh, Matem. zametki, 43(2) (1988), 197–211. [7] . M. Galeev, Priblienie klassov periodiqeskih funkci i neskolkih peremennyh dernymi operatorami, Matem. zametki, 47(3)(1990), 32–41. [8] . M. Galeev, Line inye popereqniki klassov Geldera–Nikolskogo periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh, Matem. zametki, 59(2)(1996), 189– 199.

212

A. S. Romank

[9] E. D. Gluskin, Normy sluqa inyh matric i popereqniki koneqnomernyh mnoestv, Matem. sb., 120(2)(1983), 180–189. [10] Din Zung, Priblienie funkci i mnogih peremennyh na tore trigonometriqeskimi polinomami, Matem. sb., 131(2)(1986), 251–271. [11] A. D. Izaak, Popereqniki klassov G¨ eldera–Nikolskogo i koneqnomernyh mnoestv v prostranstvah so smexanno i normo i, Matem. zametki, 59(3)(1996), 459–461. [12] D. Jackson, Certain problem of closest approximation, Bull. Amer. Math. Soc., 39(12)(1933), 889–906. [13] B. S. Kaxin, Popereqniki nekotoryh koneqnomernyh mnoestv i klassy gladkih funkci i, Izv. AN SSSR (ser. matem.), 41(2) (1977), 334–351. [14] B. S. Kaxin, O nekotoryh svo istvah matric ograniqennyh operatorov iz prostranstva l2n v l2m , Izv. AN Arm. SSR (ser. matem.), 15(5)(1980), 379– 394.  , Prostranstva funkci [15] P. I. Lizorkin i S. M. Nikolskii i smexanno i gladkosti s dekompozicionno i toqki zreni, Tr. MIAN SSSR , 187(1989), 143–161.  , Neravenstva dl celyh funkci [16] S. M. Nikolskii i koneqno i stepeni i ih primenenie v teorii differenciruemyh funkci i mnogih peremennyh, Tr. MIAN SSSR , 38(1951), 244–278.  , Priblienie funkci [17] S. M. Nikolskii i mnogih peremennyh i teoremy vloeni , Nauka (Moskva, 1969). [18] A. S. Romank, Priblienie klassov Besova periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh v prostranstve Lq , Ukr. matem. urn., 43(10)(1991), 1398–1408. [19] A. S. Romank, O nailuqxih trigonometriqeskih priblienih i kolmogorovskih popereqnikah klassov Besova funkci i mnogih peremennyh, Ukr. matem. urn., 45(5)(1993), 663–675. r [20] A. S. Romank, Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh line inymi metodami i nailuqxie priblieni, Matem. sb., 195(2)(2004), 91–116. r v metrike [21] A. S. Romank, Kolmogorovskie popereqniki klassov Besova Bp,θ prostranstva L∞ , Ukr. matem. visnik , 2(2)(2005), 201–218. [22] A. S. Romank, Biline inye i trigonometriqeskie priblieni klassov r periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh, Izv. RAN (ser. Besova Bp,θ matem.), 70(2)(2006), 69–98. [23] A. S. Romank, Kolmogorovskie i trigonometriqeskie popereqniki klassov r periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh, Matem. sb., 197(1) Besova Bp,θ (2006), 71–96. [24] A. S. Romank, Nailuqxie priblieni i popereqniki klassov periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh, Matem. sb., 199(2)(2008), 93–144. [25] V. N. Temlkov, Popereqniki nekotoryh klassov funkci i neskolkih peremennyh, DAN SSSR , 267(2)(1982), 314–317. [26] V. N. Temlkov, Priblienie funkci i s ograniqenno i smexanno i proizvodno i, Tr. MIAN SSSR , 178(1986), 1–112.

r Popereqniki i nailuqxee priblienie klassov Bp,θ

213

[27] V. N. Temlkov, Ocenki asimptotiqeskih harakteristik klassov funkci i s ograniqenno i smexanno i proizvodno i ili raznost, Tr. MIAN SSSR , 189(1988), 138–168. [28] V. N. Temlkov, Approximation of periodic functions, Nova Science Publishers (New York, 1993). [29] V. M. Tihomirov, Popereqniki mnoestv v funkcionalnom prostranstve i teori nailuqxih priblieni i, Uspehi matem. nauk , 15(3)(1960), 81–120. [30] V. M. Tihomirov, Teori priblieni i, Itogi nauki i tehniki. Sovrem. probl. matematiki. Fundam. napravleni , VINITI, 14(1987), 103–260.

r Diameters and best approximation of the classes Bp,θ of periodic functions of several variables

A. S. ROMANYUK

Exact estimates with respect to the order of magnitude are obtained for the orthor of periodic functions of several variables projective and linear diameters of the classes Bp,θ in the spaces Lq , 1 ≤ p, q ≤ ∞. The order of magnitude of the best approximation is r of periodic functions of two variables with established in the space L∞ of the classes B∞,θ trigonometric polynomials with harmonics from a hyperbolic cross.