Analysis Mathematica, 41(2015), 241–255 DOI: 10.1007/s10476-015-0301-4

 bazis Haara v obratnyh teoremah Kratny i priblieni i teoremah vloeni V. S. ROMANK Institut matematiki, Nacionalno i akademii nauk Ukrainy, Ukraina 01601, Kiev-4, ul. Terewenkovska 3, e-mail: [email protected] Postupilo 30 in, 2014.

R e z  m e . Na osnove ocenok nailuqxih priblieni i polinomami po bazisu Haara dokazany obratnye teoremy dl funkci i, opredel¨ ennyh na ediniqnom kube d-mernogo evklidovogo prostranstva. Ustanovleny teoremy vloeni v xkale prostranstv Lebega, a take sootnoxeni, svzyvawie veliqiny nailuqxih priblieni i v sootvetstvuwih prostranstvah.

Vvedenie Struktura raboty sleduwa. V punktah 1, 2 fiksiruts osnovnye iz zade istvovannyh obektov: funkcionalnye prostranstva i gladkostnye harakteristiki funkci i, a take approksimacionnye sistemy. Soderatelna qast sostoit iz dvuh paragrafov. V pervom opisany gladkostnye svo istva funkci i, dopuskawih opredelennu stepen priblieni polinomami po kratno i sisteme Haara. Vo vtorom — na osnove kratnogo bazisa Haara dokazany teoremy vloeni v xkale prostranstv Lebega funkci i summiruemyh na ediniqnom kube evklidovogo prostranstva Rd . Neobhodimye kommentarii k poluqennym rezultatam dats po hodu izloeni. Vsdu v rabote ispolzuts standartnye oboznaqeni N, R, R+ , Z, Z+ sootvetstvenno dl mnoestv naturalnyh, vewe0133–3852/$ 20.00 c 2015 Akad´emiai Kiad´o, Budapest 

242

V. S. Romank

stvennyh, vewestvennyh neotricatelnyh, celyh, celyh neotricatelnyh qisel. I oboznaqaet otrezok [0, 1].  Qerez Ad = di=1 A, d ∈ N oboznaqaets dekartovo proizvedenie d mnoestv A, gde A — odno iz mnoestv N, R, R+ , Z, Z+ ili  otrezok [a, b] ⊂ R, a qerez di=1 M(i) — tenzornoe proizvedenie nekotoryh mnoestv M(i), i = 1, d, v qastnosti, — funkcionalnyh; # A oboznaqaet koliqestvo toqek koneqnogo mnoestva A ⊂ Zd , a card A — koliqestvo lementov nekotorogo koneqnogo mnoestva A; χB (t), t ∈ Rd — harakteristiqeska funkci mnoestva B ⊂ Rd . Dl vyraeni i a i b, opredelemyh nekotoro i sovokupnost parametrov, zapis a  b oznaqaet, qto suwestvut poloitelnye veliqiny c1 i c2 , ne zaviswie ot odnogo suwestvennogo parametra takie, qto c1 b ≤ a ≤ c2 b. Esli tolko a ≤ c2 b (c1 b ≤ a), to pixem a  b (a  b). V bolxinstve sluqaev v otnoxenih a  b suwestvennym vlets odin iz qislovyh parametrov n, k, N i t.p. Qerez C(p), C1 (d, p), Cp oboznaqats veliqiny, zaviswie, vozmono, tolko ot ukazannyh parametrov i poloitelnye pri vseh dopustimyh znaqenih tih parametrov, a qerez C , C1 , C2 i t.p. — absoltnye poloitelnye postonnye, neobzatelno odinakovye v raznyh mestah teksta. Upotreblemye simvoly O i o imet obweprinty i smysl.

1. Funkcionalnye prostranstva i gladkostnye harakteristiki funkci i i ϕ: Ω → R, izmeriLq (Ω), 1 ≤ q ≤ ∞, — prostranstvo funkci i normo i myh na izmerimom mnoestve Ω ⊂ Rd , s koneqno

ϕ Lq (Ω) =



Ω

|ϕ(x)|q dx

1/q

,

1 ≤ q < ∞,

ϕ L∞ (Ω) = ess sup |ϕ(x)|. x∈Ω

V sluqae Ω = I budem inogda pisat Lq vmesto Lq (Id ) i · q vmesto

· Lq (Id ) pri 1 ≤ q ≤ ∞. Pri 1 ≤ p ≤ ∞ opredelim modul nepreryvnosti funkci i ϕ ∈ Lp posredstvom ravenstva d

ω(ϕ, t)p :=

sup

0≤τi
Δτ ϕ Lp (Idτ ) ,

Kratny i bazis Haara v obratnyh teoremah priblieni

243

gde τ = (τ1 , . . . , τd ) ∈ Id , Idτ :=

d 

[0, 1 − τi ]

i

Δτ (ϕ, x) := ϕ(x + τ ) − ϕ(x) pri x, x + τ ∈ Id .

i=1

Nardu s tim modulem nepreryvnosti budem ispolzovat drugo i, opredelenny i sleduwim obrazom. Prodolim funkci i ϕ ∈ Lp , zadannu na [0, 1)d na vse Rd periodiqeski po kado peremenno i. Novu 1-periodiqesku funkci oboznaqim qerez ϕ0 i poloim ω ∗ (ϕ, t)p := sup Δτ ϕ0 p , 0≤τi
0

0

0

gde Δτ (ϕ , x) = ϕ (x + τ ) − ϕ (x), x ∈ Rd . Pontno, qto ω(ϕ, t)p ≤ ω ∗ (ϕ, t)p , priqem, kak pokazano Ulnovym [1], dae v sluqae d = 1 ti moduli nepreryvnosti mogut razliqats po pordku pri t → +0.

2. Approksimacionnye sistemy Oboznaqim qerez Dj , j = 1, 2, . . . mnoestvo dvoiqnyh poluotkrytyh intervalov j-go urovn otrezka I: Dj = {Ijs : s = 0, 1, . . . , 2j−1 − 1}, gde Ijs = [s2−j+1 , (s + 1)2−j+1 ). Poloim take I00 := I i D0 = {I00 }. Opredelim funkcii Haara, polaga HI00 (t) = χI (t),

t∈R

i dl j = 1, 2, . . . , s = 0, 1, . . . , 2j−1 − 1 ⎧ s −1/2 ⎪ , ⎨ |Ij |

HIjs (t) =

⎪ ⎩

−|Ijs |−1/2 , 0,

t ∈ [s2−j+1 , (s + 12 )2−j+1 ), t ∈ [(s + 12 )2−j+1 , (s + 1)2−j+1 ), t ∈ R \ Ijs ,

gde |Ijs | = 2−j+1 — dlina intervala Ijs . Sistema H = {HI00 } ∪ {HIjs }j=1,2,...,

s=0,1,...,2j−1 −1

nazyvaets bazisno i sistemo i Haara. Upordoqim sistemu H sleduwim obrazom. Poloim h0 (t) = HI00 (t) i dl j = 1, 2, . . ., s = 0, 1, . . . , 2j−1 − 1 h2j−1 +s (t) = hsj (t) = HIjs (t).

244

V. S. Romank

Poluqennu posledovatelnost funkci i hn , n = 0, 1, . . . oboznaqim qerez H. Kak pokazano v [2], sistema H vlets ortonormirovannym bazisom Xaudera v prostranstve Lp (I) pri 1 ≤ p < ∞. Sleduet zametit, qto v originalnom opredelenii funkci i bazisno i sistemy H, dannom Haarom [3], v otliqie ot privedennogo, vo vnutrennih toqkah razryva funkcii sistemy H polagats ravnymi polusumme ih predelnyh znaqeni i sprava i sleva, a na koncah otrezka [0, 1] ih predelnym znaqenim iznutri otrezka. Takoe otliqie v opredelenii bazisnyh sistem suwestvenno otraaets na ih svo istvah v prostranstve nepreryvnyh na otrezke I funkci i, no ne v prostranstve Lp (I) pri 1 ≤ p < ∞. Opredelim teper kratnu bazisnu sistemu Haara funkci i, d opredelennyh na ediniqnom kube I , d ≥ 2. Oboznaqim qerez Qj :=

d

Dj ,

j = 1, 2, . . .

i=1

mnoestvo kubov I dvoiqnogo razbieni kuba Id obemom |I| = 2(−j+1)d , t.e.

Qj = Ijl = 

d 



Ijli : l = (l1 , . . . , ld ), 0 ≤ li < 2j−1 , i = 1, d ,

i=1

a qerez Q := ∞ j=1 Qj — mnoestvo vseh kubov dvoiqnogo razbied ni I . Poloim Hd0 := {HId } ∪ {HI }I∈Q , gde funkci x ∈ Rd HId (x) = χId (x), d i dl j ∈ N i I ∈ Qj (t.e. I = i=1 Ijsi ) (1)

HI (x1 , . . . , xd ) =



i∈E

HI si (xi ) × j



i∈T\E

|Ijsi |−1/2 χI si (xi ), j

gde E — proizvolnoe nepustoe podmnoestvo mnoestva T := {1, 2, . . . , d}, v tom qisle dopuskaets E = T i v tom sluqae mnoi i. tel i∈T\E zamenets edinice Zametim, qto sovokupnost vseh podmnoestv E s zadannym qislom card E = d i mnoestvom E = T formulo i (1) opredelets i s nositelmi na fiksirovannom kube I ∈ Qj , a znaqit 2d −1 funkci na kadom kube Ijl =

d  i=1

Ijli ,

l = (l1 , . . . , ld ), 0 ≤ lj < 2j−1 , i = 1, d.

Kratny i bazis Haara v obratnyh teoremah priblieni

245

Sistemu Hd0 , d ≥ 2, mono opredelit i drugim sposobom, ishod iz odnomernogo bazisa Haara H i ispolzu pri tom vektornu numeraci vhodwih v tu sistemu funkci i. S to i cel razobem mnoestvo Zd+ na neperesekawies podmnoestva Z0,d := Y0,d gde

Zj,d := Yj,d \ Yj−1,d , j = 1, 2, . . . ,

i

Y0,d = {0} = {(0, 0, . . . , 0)} ∈ Zd+ ,



Yj,d = k¯ = (k1 , . . . , kd ) ∈ Zd+ : 0 ≤ ki < 2j , i = 1, d , Pontno, qto Zd+ =

∞

j=0 Zj,d .

# Yj,d = 2jd

i

j = 1, 2, . . .

Otmetim take, qto # Zj,d = (2d − 1)2(j−1)d  2jd .

Itak, opredelim sistemu funkci i s d peremennymi Hd0 = {hk¯ }k∈Z ¯ d := + polaga h0 =

∞ 

{hk¯ }k∈Z , ¯ j,d

j=0

d

h0

i=1

i dl k¯ ∈ Zj,d , j = 1, 2, . . . hk¯ =



i∈E

hki ⊗



|h2j−1 +ki |,

gde E = {i ∈ T : 2j−1 ≤ ki < 2j }.

i∈T\E

d Pontno, qto Hd0 = Hd0 , t.e. mnoestva {hk¯ }k∈Z ¯ d i H0 sovpa+ dat. Bolee togo, medu indeksacie i dvoiqnymi kubami iz Qj funkci i mnoestva Hd0 i indeksacie i vektorami iz Zj,d funkci i d mnoestva H0 ustanavlivaets vzaimno odnoznaqnoe sootvetstvie , j = 1, 2, . . . tak, qto {hI }I∈Qj = {hk¯ }k∈Z ¯ j,d ¯ Upordoqim vektory k = (k1 , . . . , kd ) mnoestva Zd+ , raspoloiv ih v vide posledovatelnosti k¯(1) , k¯(2) , . . . , k¯(m) , . . . tak, qto k¯(1) = (0, 0, . . . , 0) ∈ Zd+ i dl i = 2, 3, . . . (i) (i+1) : j = 1, d}. max {k¯j : j = 1, d} ≤ max {k¯j

Sootvetstvuwu takomu upordoqivani posledovatelnost i sistemy Hd0 oboznaqim qerez Hd i zanumerovav (hk¯ (i) )∞ i=1 funkci funkcii soglasno sootvetstvi k¯(i) → i, budem pisat Hd = (hi )∞ i=1 . d V [4] pokazano, qto ortonormirovanna sistema H = (hi )∞ i=1 vlets bazisom Xaudera v Lp (Id ) pri 1 ≤ p < ∞ i dl lbo i

246

V. S. Romank

funkcii f ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p ≤ ∞, spravedlivo sleduwee Fure– Haara razloenie, shodwees v prostranstve Lp (Id ): f (x) =

∞ 

Rj f (x).

j=0

Zdes Rj , j = 0, 1, . . . — operatory, opredelennye na Lp (Id ) sootnoxeniem  Rj f (x) = (f, hk¯ )hk¯ (x), x ∈ Rd , ¯ k∈Z j,d



(f, hk¯ ) = Id f (x)hk¯ (x) dx — ko fficienty Fure funkcii f po sii proektor prosteme Hd0 . Takim obrazom, Rj — ortogonalny stranstva L1 na podprostranstvo 

Wj := span{hk¯ , k¯ ∈ Zj,d } = u : u =





¯ k∈Z j,d

ck¯ hk¯ , ck¯ ∈ R .

Qerez Pn oboznaqim operator Pn : Lp → Vn ortogonalnogo proektirovani prostranstva Lp (Id ) na podprostranstvo 

Vn := span {hk¯ , k¯ ∈ Yn,d } = u : u = t.e. Pn f (x) =

 ¯ n,d k∈Y

(f, hk¯ ) hk¯ (x),



¯ n,d k∈Y



ck¯ hk¯ , ck¯ ∈ R ,

f ∈ Lp (Id ).

V [4, lemma 3.2] dokazano, qto ∀f ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p ≤ ∞ dl n ∈ N spravedlivy neravenstva (2)

Pn f p ≤ C1 (d, p) f p ,

(3)

f − Pn f p ≤ C2 (d, p)ω(f, 2−n )p . Tam e ustanovleno, qto esli f ∈ Vn , to ∀ δ, 0 < δ ≤ 1

(4)

ω(f, δ)p ≤ C(d, p)( min{δ2n ; 1})

1/p

f p .

Neravenstva (2) i (3) dopuskat rasprostranenie na sluqa i bolee obwih, qem Pn , operatorov. Dl proizvolnogo mnoestva Ω ⊂ Zd+ takogo, qto Yn,d ⊂ Ω ⊂ Yn+1,d opredelim operatory PnΩ , istvuwie po formule n ∈ Z+ , de PnΩ f (x) = Oboznaqim S :=



¯ k∈Ω

(f, hk¯ )hk¯ (x), 

¯ k∈Ω∩Z n+1,d

x ∈ Id .

supp hk¯ ,

Kratny i bazis Haara v obratnyh teoremah priblieni

247

gde, napomnim, Zn+1,d = Yn+1,d \ Yn,d . Togda PnΩ f (x) =

(5)



x ∈ S, x ∈ Id \ S.

Pn+1 f (x), Pn f (x),

S uqetom svo istv modul nepreryvnosti ω(f, t)p , f ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p ≤ ∞, iz (3) poluqaem, qto pri Yn,d ⊂ Ω ⊂ Yn+1,d , n ∈ N,

f − 

=

S

≤

PnΩ f pp



=

Id

|f (x) − PnΩ f (x)|p dx =

|f (x) − Pn+1 f (x)|p dx +





|f (x) − Pn+1 f (x)| dx +

Id \S



p

Id

Id −n

≤ C4 (d, p)(ω p (f, 2−n−1 )p + ω p (f, 2

|f (x) − Pn f (x)|p dx ≤

|f (x) − Pn f (x)|p dx ≤ )p ) ≤ C5 (d, p)ω p (f, 2−n )p ,

t.e. (6)

f − PnΩ f p ≤ C6 (d, p)ω(f, 2−n )p .

Kak sledstvie (6) poluqaem take bolee obwee, qem (2), neravenstvo (7)

PnΩ f p ≤ C7 (d, p) f p . §1. Nailuqxee priblienie i gladkost funkci i

Oboznaqim qerez EVn (f )p nailuqxee priblienie funkcii f ∈ Lp lementami podprostranstva Vn :  

EVn (f )p = EVn (f, Hd0 , Lp ) := inf f − ck ¯ ∈R



¯ n,d k∈Y

 

ck¯ hk¯  . p

Otmetim, qto dim Vn = # Yn,d = 2nd . V [5] posredstvom ocenok veliqin EVn (f )p dana konstruktivna harakteristika klassov Geldera Hpα (ih opredelenie sm. nie). A imenno, dokazano, qto pri 1 ≤ p < ∞ i 0 < α < p1 uslovi f ∈ Hpα i EVn (f )p  2−nα ravnosilny. Okazyvaets, qto ograniqenie na parametr α v tom utverdenii suwestvenno. V sluqae d = 1 to bylo vyvleno B. I. Golubovym [6]. Esli α = p1 , to ocenka EVn (f )p  2−nα dl f ∈ Lp ue neobzatelno vleqet prinadlenost funkcii f prostranstvu Hpα , odnako vse e garantiruet opredelennu gladkost funkcii f , opisannu v terminah

248

V. S. Romank

module i nepreryvnosti ω(f, t)p i ω ∗ (f, t)p . to otraeno v teoreme 1, v kotoru dl celostnosti vklqen i rezultat v sluqae 0 < α < p1 . Dl 0 < α ≤ 1 i 1 ≤ p ≤ ∞ opredelim mnoestva



Hpα (M ) = Lip(α, p, M ) := f ∈ Lp : ω(f, t)p ≤ M tα , i



Hpα = Lip(α, p) :=

M >0

Hpα (M ).

M >0

Line inoe prostranstvo

Hpα

snabdim normo i · Hpα :

f Hpα = f p + sup t−α ω(f, t)p . t>0

Zametim, qto |f |Hpα := supt>0 t−α ω(f, t)p — polunorma na Hpα . i normo i · Hpα — banahovo pri vseh Prostranstvo Hpα s koneqno 1 ≤ p ≤ ∞ i nazyvaets prostranstvom Geldera–Lipxic (pri 0 < α < 1 — prostranstvom Geldera). Poloim take lip(α, p) := {f ∈ Lp : ω(f, t)p = o(tα ), t → +0}. Esli v opredelenii mnoestva lip(α, p) vmesto ω(f, t)p ispolzuets ω ∗ (f, t)p , to budem upotreblt oboznaqenie lip∗ (α, p). T e o r e m a 1. Pust 1 ≤ p < ∞. Togda (a) esli 0 < α < 1p ≤ 1, to EVn (f )p  2−nα ravnosilno f ∈ Lip(α, p); (b) esli 0 < p1 < α ≤ 1, to EVn (f )p  2−nα vleqet f ∈ Lip( p1 , p), no neobzatelno f ∈ lip( p1 , p), a znaqit i neobzatelno f ∈ lip∗ ( p1 , p); (v) esli 0 < α = 1p ≤ 1, to EVn (f )p  2−n/p vleqet ω(f, δ)p = 1

1

O(δ p | ln δ|), no neobzatelno ω ∗ (f, δ)p = o(δ p | ln δ|), δ → +0.

D o k a z a t e l  s t v o . Utverdenie (a) dokazano v [5, teorema 2]. Utverdeni (b) i (v) v utverditelno i qasti (tak e kak i utverdenie (a)) vlts neposredstvennymi sledstvimi neravenstva tipa Deksona (3) i teoremy 1 iz [5], soglasno kotoro i ∀f ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p < ∞ vypolnets neravenstvo −n

ω(f, 2

)p ≤

n 

n Cp(1) 2− p

k

2 p EVk (f )p .

k=0 −(n+1)

V samom dele, dl n ∈ Z+ pri 2 ω(f, δ)p ≤ ω(f, 2−n )p ≤ Cp(1) 2− p

n

n  k=0

< δ ≤ 2−n imeem

2 p EVk (f )p ≤ Cp(2) 2− p k

n

n  k=0

2 p 2−kα , k

249

Kratny i bazis Haara v obratnyh teoremah priblieni (3)

1

otkuda, v sluqae (b) — ω(f, δ)p ≤ Cp δ p , a v sluqae (v) — ω(f, δ)p ≤ (4) 1 Cp δ p | ln δ|. Dl dokazatelstva vtoro i qasti utverdeni (b) poloim f (t) = HI10 (t1 )

d  i=2

t = (t1 , . . . , td ) ∈ Rd ,

χI10 (ti ),

gde, napomnim, χA (y), y ∈ R — harakteristiqeska funkci mnoestva A ⊂ R. Togda, oqevidno, EVn (f )p = 0 pri n ≥ 2, v qastnosti, n istvitelno, EVn (f )p = O(2− p ) pri n → ∞. Odnako f ∈ lip( p1 , p). De d dl proizvolnogo τ = (τ1 , . . . , τd ) ∈ I imeem

Δτ f p = =

d 

1

(1−τi ) p

i=2



1−τ1 0



Id τ

|f (x + τ ) − f (x)|p dx

|HI10 (x1 +τ1 )−HI10 (x1 )|p dx1

i sup

Δτ f p = Cp t1/p ,

0≤τi
1/p

1/p

=

d √ 1 1 = 2 2 τ1p (1−τi ) p i=2

Cp > 0,

bolee, f ∈ lip∗ ( p1 , p). a znaqit f ∈ Ostalos dokazat vtoru qast utverdeni (v). Dl togo i, dostatoqno privesti primer funkcii f1 ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p < ∞ tako 1 −n ∗ qto EVn (f1 )p = O(2 p ), no sootnoxenie ω (f1 , δ)p = o(δ p | ln δ|) ne vypolnets. Poloim (8)

f1 (t) =

∞ 

2− 2 XI(k,d) (t), k

t = (t1 , . . . , td ),

k=2

gde I(k, d) ⊂ Qk , toqnee, I(k, d) = razbieni kuba Id , a

d  i=0

XI(k,d)(t) = HIk0 (t1 )

Ik0 — kub k-go urovn dvoiqnogo

d  i=2

χIk0 (ti ),

t ∈ Id .

Dl obosnovani korrektnosti opredeleni funkcii f1 sootnoxeniem (8), dokaem shodimost po norme prostranstva Lp (Id ) rda v n pravo i qasti (8) i odnovremenno pokaem, qto EVn (f1 )p = O(2− p ). Dl n ∈ N imeem  ∞  ∞    −k  k   2 2 XI(k,d)  ≤ 2− 2 XI(k,d) p ≤ EVn (f1 )p ≤  k=n+1

p

k=n+1

250

V. S. Romank

≤

∞ 

1

1

2− 2 2−k( p − 2 ) = k

k=n+1

∞ 

2− p  2− p . k

n

k=n+1

Ocenim teper p-modul nepreryvnosti ω ∗ (f1 , t)p funkcii f1 : ω ∗ (f1 , 2−N )p ≥ ω ∗ (PN f1 , 2−N )p − ω ∗ (f1 − PN f1 , 2−N )p ≥

(9)

≥ ω ∗ (PN f1 , 2−N )p − 2 f1 − PN f1 p . No f1 − PN f1 p  EVN (f1 )p (sm. [5]), a EVN (f1 )p  2− p i esli my pokaem, qto ne vypolnets sootnoxenie ω ∗ (PN f1 , 2−N )p = N o(2− p N ), N → ∞, a toqnee, qto N

ω ∗ (PN f1 , 2−N )p ≥ Cp 2− p N, N

to mono budet utverdat, qto raznost v pravo i qasti (9) poloitelna, naqina s nekotorogo dostatoqno bolxogo N i, kak sledstvie (9), togda protivoreqivo i sootnoxenie 1

ω ∗ (f1 , δ)p = o(δ p | ln δ|),

δ → +0.

i vekItak, oboznaqiv qerez ξ(N ) := (ξ1 (N ), . . . , ξd (N )) d-merny tor s koordinatami ξi (N ) = 2−(N +1) , i = 1, d, polaga



IdN := t = (t1 , . . . , td ) : t1 ∈ [1 − 2−(N +1) , 1], tj ∈ [0, 1], j = 2, d , imeem (napomnim, qto qerez f 0 dalee my oboznaqaem 1-periodiqeskoe po kado i peremenno i prodolenie funkcii f ∈ Lp (Id )) ω ∗ (PN f1 , 2−N )p ≥ ω ∗ (PN f1 , 2−(N +1) )p ≥

(10) ≥

 Id N

 N p 1/p   −k  0 0  2 2 XI(k,d)(t + ξ(N )) − XI(k,d)(t)  dt =  k=2



= 

=

Id N 1

 p 1/p  N −k 0   2 2 XI(k,d)(t + ξ(N )) dt =  k=2

 N p 1/p   −k 0   2 H 0 (t + ξ (N )) dt 2 . 1 1   Ik 1 −(N +1)

1−2

k=2

Uqityva, qto HI00 (t1 + 2−(N +1) ) = 2 2

k

k

pri t1 ∈ [1 − 2−(N +1) , 1],

posle lementarnyh preobrazovani i vyraeni pod znakom inteN grala v pravo i qasti (10), poluqim ω ∗ (PN f1 , 2−N )p ≥ Cp 2− p N . Teorema 1 dokazana.

Kratny i bazis Haara v obratnyh teoremah priblieni

251

§2. Teoremy vloeni v xkale prostranstv Lp Oboznaqim qerez En∗ (f )p veliqinu nailuqxego priblieni ino i oboloqko i n pervyh funkci i bazisa funkcii f ∈ Lp (Id ) line Hd = (hi )∞ : i=1  

En∗ (f )p := inf f − ck ∈R

n 

 

ck hk  . p

k=1

V tom paragrafe rexaets vopros o dostatoqnyh uslovih na znaqeni veliqin En∗ (f )p , garantiruwih implikaci f ∈ Lp (Id ) ⇒ f ∈ Lq (Id ) pri 1 ≤ p < q ≤ ∞ i sootvetstvuwu i po e i ocenku En∗ (f )q posredstvom En∗ (f )p . V sluqae priblieni i peremenno i tot voptrigonometriqesko i sisteme {eikx }k∈Z s odno ros dostatoqno polno izuqen v rabotah [7–9], a analogi osnovnyh rezultatov iz [7] v sluqae priblieni i po bazisu Haara funkci i odno i peremenno i (t. e. pri d = 1) ustanovleny B.I. Golubovym [6]. Sleduwa teorema v sluqae d = 1 dokazana Golubovym [6]. T e o r e m a 2. Pust f ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p < q < ∞ i ∞ 

1

1

Ek∗ (f )k p − q −1 < ∞.

k=1

Togda f ∈ Lq (I ), priq¨em d

1

1

En∗ (f )q  n p − q En∗ (f )p +

∞ 

1

1

k p − q −1 Ek∗ (f )p .

k=n+1

i D o k a z a t e l  s t v o . Tak kak Hd = (hi )∞ i=1 — ortogonalny i funkcii f ∈ Lp (Id ) bazis v Lp (Id ) pri 1 ≤ p < ∞, to dl lbo spravedlivo razloenie (11)

f (x) = Sn f (x) +

∞  



Sn2(k+1)d f (x) − Sn2kd f (x) ,

k=0

gde Sm f (x) := Sm (f, x) :=

m 

(f, hi )hi (x)

i=1

— qastna summa Fure–Haara pordka m, 

(f, hi ) =

Id

f (t)hi (t) dt,

i = 1, 2, . . .

— ko fficienty Fure funkcii f po sisteme Hd . Sootnoxenie (11) vlets ishodnym pri ocenke En∗ (f )q .

252

V. S. Romank

Privedem fakty, kotorye take budut ispolzovats. Vnaqale, ishod iz lemmy 3.1 iz [4], prideryvas shemy dokazatelstva lemmy 4 iz [6] (dl sluqa d = 1), neslono , pokazat, qto dl lbo i sistemy de istvitelnyh qisel {ak¯ }k∈K ¯ j gde Kj := Zj,d ∪ Zj+1,d , j — proizvolnoe naturalnoe qislo, spravedlivy sootnoxeni (12)

(13)

     1/s d d   ak¯ hk¯   2−j( s − 2 ) |ak¯ |s ,  ¯ k∈K j

s

¯ k∈K j

     ak¯ hk¯  

∞

¯ k∈K j

1 ≤ s < ∞,

jd

 2 2 max |ak¯ |. ¯ k∈K j

Otmetim tolko, qto pri dokazatelstve neravenstva  v (12), v kaqestve vspomagatelnogo, ispolzuets take neravenstvo (3.7) iz [4]. Dalee v [5], ispolzu neravenstvo (2), dl f ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p ≤ ∞, dokazano sootnoxenie

f − Pn f p  EVn (f )p . Analogiqnym obrazom (ispolzu vmesto (2) neravenstvo (7)) pri Yn,d ⊂ Ω ⊂ Yn+1,d ustanavlivaem sootnoxenie (14)

f − PnΩ f p  EL(Ω) (f )p ,

gde EL(Ω) (f )p — nailuqxee priblienie funkcii f v prostranstve Lp (Id ) lementami podprostranstva

L(Ω) = u : u(x) =



¯ k∈Ω



ck¯ hk¯ (x), ck¯ ∈ R ,

Polaga l = # Ω, sootnoxenie (14) mono perepisat v vide (15)

f − Sl f p  El∗ (f )p ,

utverda pri tom, qto (15) vypolnets pri lbyh znaqenih l ∈ N. Prodolim dokazatelstvo teoremy 2. Itak, pust m ∈ Z+ i 2md < n ≤ 2(m+1)d . Togda, uqityva, qto kd n2 > 2(k+m)d i n2(k+1)d ≤ 2(k+m+2)d , a raznost Sn2(k+1)d f − Sn2kd f prinadleit prostranstvu Wk+m+1 ∪Wk+m+2 , primen sotnoxenie (12), a zatem (14), poluqim pri 1 ≤ p < q < ∞ (16)

(k+m)d( 12 − 1q )

Sn2(k+1)d f − Sn2kd f q  2



(k+1)d n2

s=n2kd +1

|(f, hs )|q

1/q



253

Kratny i bazis Haara v obratnyh teoremah priblieni (k+m)d( 12 − q1 )



(k+1)d n2

2

|(f, hs )|

p

1/p



s=n2kd +1 1

1

1

1

∗  2(k+m)d( p − q ) Sn2(k+1)d f − Sn2kd f p  (n2kd ) p − q En2 kd (f )p .

Pri q = +∞, ispolzu (13), takim e obrazom ubedaems, qto neravenstvo 1

1

∗

Sn2(k+1)d f − Sn2kd f q  (n2kd ) p − q En2 kd (f )p

(17)

spravedlivo i pri 1 ≤ p < q = +∞. Iz (11), ispolzu (16) i (17), poluqim pri 1 ≤ p < q ≤ ∞ En∗ (f )q ≤ f − Sn f q ≤

∞ 

Sn2(k+1)d f − Sn2kd f q 

k=0



∞ 

1

1

1

∞ 

1

∗ p − q E ∗ (f ) + (n2kd ) p − q En2 kd (f )p  n p n

1

1

j p − q −1 Ej∗ (f )p .

j=n+1

k=0

Teorema 2 dokazana. T e o r e m a 3. Pust f ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p < q < ∞. Togda 

f q ≤ C1 (p, q) f p +

(18)

 ∞

q

k p −2 (Ek∗ (f )p )q

1/q 

k=1

i ∀n ∈ N (19)

En∗ (f )q



≤ C2 (p, q) n

1 1 p−q

En∗ (f )p

+

  ∞

k

q p −2

(Ek∗ (f )p )q

1/q 

.

k=n+1

Z a m e q a n i e . a) Pri p = 1, q = 2 v sluqae priblieni trigonometriqeskimi polinomami (pri d = 1!) v poslednem neravenstve 1 mnoitel n 2 mono zamenit na 1 [7]. b) V sluqae priblieni i po sisteme Haara Hd mnoitel v (19) nelz zamenit nikakim drugim, imewim pordok n 1 1 o(n p − q ) [6]. 1 1 p−q

D o k a z a t e l  s t v o t e o r e m y 3. Kak pokazano P.L. Ulnovym [7, s. 121-122] neravenstvo (19) est sledstvie neravenstva (18) (znaqenie razmernosti d v takom zaklqenii, kak i pribliawa sistema funkci i opredelwe i roli ne igrat). Sledovatelno dostatoqno dokazat (18). Shema dokazatelstva neravenstva (18) analogiqna to i, kotora primenlas B. I. Golubovym [6] v sluqae d = 1. Otpravnym

254

V. S. Romank

vlets neravenstvo, dokazannoe P. L. Ulnovym [10, s. 668– 671]: esli d = 1 i f ∈ Lp (Id ), 1 ≤ p < q < ∞, to 

(20)

f q ≤ C(p, q) f 1 +

 ∞

 q 1 q n p −2 ω(f, )p n n=1

1  q

,

gde poloitelna veliqina C(p, q) zavisit lix ot p i q. Faktiqeski povtor dokazatelstvo P. L. Ulnova, neslono ubedits v spravedlivosti neravenstva (20) i v sluqae d > 1. No soglasno sledstvi teoremy 1 iz [5], 

n 1  1 1  n− p j p −1 Ej∗ (f )p . n p j=1

ω f,

(21)

Podstavl pravu qast (21) v (20) vmesto ω(f, n1 )p , poluqim (uqityva take, qto f 1 ≤ f p , 1 < p < ∞) 

(22)

f q ≤ C(p, q) f p +

 ∞

n

−2

 n

n=1

j

1 p −1

Ej∗ (f )p

q 1/q 

.

j=1

Primenim teper k pravo i qasti (22) neravenstvo Hardi– Littlvuda [11, s. 308]: esli an ≥ 0, n = 1, 2, . . . i 1 < α < ∞, to ∞ 

n−α

n 

n=1

n=1

n−2

q

≤ C(α, q)

n 

∞ 

n−α (nan )q .

n=1

k=1

Polaga pri tom ak = k ∞ 

ak

1 p −1

Ek∗ (f )p ,

1

k p −1 Ek∗ (f )p

q

poluqim 

∞ 

q

n p −2 (En∗ (f ))p . q

n=1

k=1

Otsda i iz (22) sleduet (18). Teorema 3 dokazana.

Literatura [1] P. L. Ulnov, O rdah po sisteme Haara, Mat. sb., 63(3)(1964), 357–391. [2] I. Schauder, Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems, Math. Z., 28(1928), 317–320. [3] A. Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann., 69(1910), 331–371. [4] V. S. Romank, Bazisna sistema Haara funkcii mnogih peremennyh i e¨e approksimacionnye svo istva na klassah Besova i ih analogah , Kiev (2012) (prepr. NAN Ukrainy, In-t matematiki, 2012.2).

Kratny i bazis Haara v obratnyh teoremah priblieni

255

[5] V. S. Romank, Konstruktivna harakteristika klassov Geldera i mqlennye priblieni po kratnomu bazisu Haara, Ukr. mat. urn., 66(3) (2014), 349–360. [6] B. I. Golubov, Nailuqxie priblieni funkci i v metrike Lq polinomami Haara i Uolxa, Mat. sb., 87(2)(1972), 254–274. [7] P. L. Ulnov, Teoremy vloeni i sootnoxeni medu nailuqximi priblienimi (modulmi nepreryvnosti) v raznyh metrikah, Mat. sb., 81(1)(1970), 104–131. [8] A. A. Konxkov, Nailuqxie priblieni trigonometriqeskimi polinomami i ko fficienty Fure, Mat. sb., 44(1)(1958), 53–84. [9] V. I. Kolda, Teoremy vloeni i neravenstva raznyh metrik dl nailuqxih priblieni i, Mat. sb., 102(2)(1977), 195–215. [10] P. L. Ulnov, Vloenie nekotoryh klassov funkci i, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 32(1968), 649–686. [11] G. G. Hardi, D. E. Littlvud, i G. Polia, Neravenstva, Izd-vo inostr. lit. (Moskva, 1948).

Multiple Haar base in the converse theorems of approximation and imbedding theorems V. S. ROMANYUK

On the bases of the estimates of the best approximation by polynomials with respect to the Haar basis, we prove converse theorems for functions defined on the unit cube of the d-dimensional Euclidean space. We establish imbedding theorems on the scale of Lebesgue spaces as well as relations connecting the magnitudes of the best approximations in the corresponding spaces.

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, 01601 Ukraine, Kiev-4, Tereschenkivska st. 3, e-mail: [email protected]