Beitr ige zum Zinsfugproblem Von Ernst Zwinggi (Basel) In der Untersuchung ,A study of the dependence of the premium on the rate of interest"0 haben wir festgehalten, daft bei der L/Ssung des Zinsful~problems in den weitaus meisten F~illen versucht wird, den Rentenbarwert zum neuen (variierten) Zinssatz ohne Neuberechnung der Kommutationszahlen anzugeben; nut ausnahmsweise wird auf die Prlimie oder auf das Deckungskapital unmittelbar, d. h. ohne vorherige Bestimmung des Rentenbarwertes, geschlossen. Anschliei~end an diese Feststellung haben wir ein Verfahren entwickelt, das ohne gr/Sfleren Rechenaufwand als er fiir die Ermittlung des Rentenbarwertes erforderlich ist, die Pr~imie zum neuen Zinsfuf~ direkt zu berechnen erlaubt. Im folgenden m6chten wir ein weiteres Verfahren mitteilen, das ebenfalls ohne bedeutenden Aufwand die neue Pr~imie anzugeben gestattet; daran anschliei~end leiten wir Formeln ab, welche das Deckungskapital bei variiertem Zinsfui~ unmittelbar bestimmen lassen. Die Grundlagen des Vorgehens gehen auf einen Ansatz zuriick, der uns den Einfluf~ einer Variation der Invalidierungswahrscheinlichkeiten auf die Pr~imie ermitteln liei~2). 1 Fiir den AnfangszinsfuB i0 mit v 0 -- 1 + i~ und mit den Abkiirzungen F(t) = rio+t dx+t, (1)

Fn = v~lx+n, o(t) =

1x+t,

l~it~t sich die Pr~imie der gemischten Versicherung ,1" schreiben als 3) n--i

(2)

F(t) + Fo P(io) _ t=on - - 1

y o(t)

t=0

t) erschienenin der Skandinavisk Aktuarletidskrift, 33. Jahrgang, 1950, S. 88--97. 2) Variation der Rechnungsgrundlagen in der Invalidenversicherung. Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker, 49. Band, 1949, S. 158--164.

3) Wir verzichten voriibergehend, das Alter x und die Dauer n als Indizes mitzufiihren. 105

1

Wir lassen io in i iibergehen. Wir setzen dazu v -

1 + i -- v° + e, womit

e bestimmt ist. Fiir die neue Pr~imie folgt dann n-1

(3)

Z (v° + e)t+l dx+t + (v o + e)n lx+n P(i) = t=o n--1

II --I'-°

E (% + e)t lx+t t=O

Durch Entwicklung yon (v o + e) t in die Binomialreihe erhalten wir fiir den Nenner unter Beachtung der Abkiirzungen (1) die Form n--I

(4)

I = E

n--I

qo(t) + -L-e

t=O

V0

n-i

qo(t) + =

q~(t) + . . . . =

Sei mit n-I

E z:=O (5)

~(~)

und n-t

bezelchnet. Ferner beachten wir, dag

(6)

iq w = ~ 0+'I • / - - (Dlt+'-i~ ~ r-1 ?j~_2 #~li+,-2~ / ~ , r-2 1 - - -

~_

- + ... ( - ~)'-' (,_~,) ('+,') + l - ~)' und schlieglich dag 4) n--i

(7)

n-1

~=0

t=O

n-1

n--I

4=0

t=O

Gleidmng (4) l~igt sich nunmehr unter Verwendung yon (5), (6) und (7) s&reiben als

..... 4) Es handelt sidl bei (7) um die T3bertragung einer bekannten Eigenschaft der Summen der diskontierten Zahlen der Lebenden Dx, S~) = Nx, S(x1) = Sx, S~ ). . . . auf die Funktion 9a(t). Vgl. dazn E. Fischer: Das Zinsfugproblem der Lebensversicherung als Interpolationsaufgabe. (Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker, 42. Band, 1942, S. 211.) Man hat an die Stelle yon Dx+ t blog ~o(t) zu setzen. 106

Wir fiihren weiter die Abkiirzungen ein

m1=

~ o 0 - - ~ o °) '

(9)

v0 mo=

2 ! ( ~ ( f f ) - - 2 ~ ° 1 1 + ~ (°°))

%9 und erhalten (10)

8"

I = m o + role + m~. ~

+ ......

Diesen Ausdruck setzen wir gleich (ll)

I = m oexp 21e+

e" + . . . .

,

wobei zwischen~ .den Parametern mi und 2i die Beziehungen gelten 5) ml

(12)

=

/%1 ITIO,

m2 = 21 ml + 22 mo,

Etwas ausgedehnter gestaltet sich die Umformung des Z~ihlers II in (3). Wir entwickeln ebenfalls zuerst in die Binomialreihe und erhalten unter Beachtung yon (1)

H = y~ F(~) + Fo + ± (13)

V°

t=o

('~')F(~) +(~)Fn + Ll=O

+ --~ ~,~o (~')F(~) +(~) F~ + . . . . . . Sei n--I

(14)

V,~°)o = ~, F(t); t=O

dann ist, analog zu (7), n--I

(15)

n--1

iF(°" = ~ , ~P~)= E ~=0

(t+')F(t)"

t=O

5) Thielesche Semi-Invarianten. Die Giiltigkeit yon (i2) kann leicht durch Differentiation yon (I0) und (11) und Koeffizientenvergleich erwiesen werden. 107

Zur U m f o r m u n g yon ~ (t-~1)F(t) beniitzen wir die Eigenschaft, da~ n--I

n--1

~0

t=O

¢o2,=y, ~,:,= y ('~)F(o, woraus folgt n--I

(16)

Y (T)F(o = WCo~)-~(o'. t=O

Die Gleichungen (14), (15) u~d (16) in (13) eingefiihrt fiihren auf

~o ~(o'+

Fo +

(17) + Vo~

......

Wir setzen no = ~(o°) + Fn, (18)

n 1 --

~(o' + (I)Fn Vo

n2 ~

2~ (,V(o2~-,/o'~+ (~) Fo), Vg

und erhalten g2

(19)

II=n o+nle+n~+

.....

,

oder auch (20)

II = n o exp )'le + 72 ~

+ .....

mit nl ~

(21)

~1 Ilo~

n~ ----Yl nl + Y2 no,

Die Ergebnisse (20) und (11) werden in (3) eingesetzt; es folgt P(i) = II I Well aber

no exp 0'1 - - 41) e + ()'2 - - 1 ~ ) ~ + " ' - • mo

-mo no -= ist, wird 108

~p(o°) + Fn ~(oO) -- P(io)

(22)

P(i) = V(i0) exp (71 - - 41) e + (y= - - 42) ~

+ .....

Damit ist eine sehr einfa&e Beziehung zwischen der gesuchten Priimie P(i) und der als bekannt vorauszusetzenden Pr~imie P(i0) hergestellt. Die Koeffizienten Yl, 7~ . . . . . ,ll, ,1o. . . . . lassen sich ohne Miihe berechnen, da sie ldcht durch die Summen der diskontierten Zahlen der Lebenden und Gestorbenen ausgedrii&t werden kiinnen. Es folgt der Rdhe nach: aus (7) 11--1

~(oO)=mo

1 EDx+t

Nx--Nx+n x V0

V~ t = 0 n--1 v=O

Vo

1 [S(a) __ S(2) - - n Sx±n' ~(?r °, = v~- [ x x+~

n(n + 1) Nx+n] ," 2 l

aus (9) ml=

m 2 --

1+va °I

1

-- Sx - - Sx+n - - Nx - - (n - - 1 ) Nx+n ,

(1 +voX i°)'° [2 S~) - - 2 S(2)x+.- - 4 Sx - - (2n - - 4) Sx+n + + 2 N ~ - - (n 2 - - 3 n + 2) Nx+n] ;

aus (12) ~1

ml m o

'1= _

m~

).~ ;

m o

aus (1) Dx+n Fn = - - ; x Vo

aus (14) n--1

v'°°) = v 7

M x - - Mx+n . x Vo

= c~+, =

au~ (15) n--1

~,0~, = y , ~ = v=O

Rx-

~

+~-

n Mx+o

V~

n(n + 1) M.+~] ! 2 109

aus (18) no

1 [Mx v~

n 1 --

1-Fi° [Rx--Rx+n--nMx+n-knDx+nl X

Mx+n + Dx+n] ,

"V0

rl 2 ~

,

(1 +voXi°)' [21~)- 2 R (2~x+n-- 2 Rx --(2n -- 2) Rx+n --

-

n(n - - 1) Mx+n -t- n(n -- 1) Dx+n t ;

aus (21) n 1 n o

7~

n2 -

-

n o

2

71"

Fiir Absch~itzungen und fiir kiirzere Versicherungsdauern geniigt es, sich in (22) auf die Bestimmung der Koeffizienten Yl und 21 zu beschr~inken, d. h. die Beziehung zu verwenden (23) P(i) P(i0) exp [(71 - - 21)~]. Gleichung (23) besagt nicht, daf~ sich die Pr~imie als eine Exponentialfunktion mit dem Zinsfuf~ selber als Variable darstellen l~i~t; die Variable ist =

~ V - - V

O.

Wir tassen auf Seite 111 einige Zahlenbeispiele folgen, welche die Giiltigkeit des Verfahrens bdegen. Die Werte unter Ziffer A sind nach Formel (23) berechnet, die Werte unter B nach Formel (22) und Beschr~inkung auf die dort angegebenen Glieder. Als Sterbetafeln und Ausgangszinss~itze i0 w~ihlten wir: a) Schweizerische Volkssterbetafel fiJr M~inner 1939/44 (SM 1939/44); i 0 = 3°/0. b) Deutsche Sterbetafel fiir M~inner 1924/26 (DM 1924/26); i 0 = 4%. Formel (23) reicht in ihrer Genauigkeit aus, Zinsfuf~variationen bis zu +1/2% zu erfassen; die relativen Abweichungen iibersteigen in keinem der durchgeredmeten Beispiele 0,50/00. Zur Berechnung der Parameter 71 und 21 find hSchstens die Zahlen Rx und Sx nStig, die wohl fiJr alle Sterbetafeln tabelliert vorliegen. Fiir Zinsfugvariationen zwischen +1/2% und + 1% steigt bei Verwendung yon (23) die relative Abweichung auf 1,9%o maximal; fiir Absch~itzungen geniigt (23) jedenfaIls immer noch. Sofern grS£ere Genauigkeit erforderlich ist, wird man (22) heranziehen; zur Berechnung yon 7~ und 2~ bedarf man der R E) und S~). Die Tabellierung dieser Werte bedeutet keinen grot~en Rechenaufwand und lohnt sich auch fiir andere Zwecke. 110

Relative Abweich~ngen in Promille

X

SM 1939/44 i o = 3°/o

DM 1924/26 i o = 4°1o

i

A

i

2°/o

1,7

0,5

1,9 1,2 0,4 0,4 0,3 0,3 0,4 0,3 0,8

0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 (--) 0,5

rl

B

20 30 40 20 30 40 20 30 40 20

40 30 20 40 30 20 40 30 20 40

30

30

1,5

(--) o,2

40

20

1,0

(--) 0,1

21120/0

31/~°/o

4°/o

3°/o

A

B

1,2

0,5 0:2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,1 0,1

0,9 0,9 0,3 0,2 0,2 0,5 0,2 0,2

3~/-'°/o

41/2%

Sofern man sich auf Gleichung (23) bes&r~.nkt und annimmt, es seien die Pr~imien fiir zwei Zinss~itze bekannt, so liif~t sich die Ermittlung yon y~ und )l1 aus den Kommutationszahlen umgehen. Fiir i = il lautet (23) e(il) = P(i0) exp [(X, - - 22) e] = P(io) exp [K e] mite = vl-

v 0. Daraus ist K berechenbar; es wird

K = 1 in P(i0. e P(io) ' damit ist die, Bestimmung yon P(i) aus

P(i)

(24)

= P(io) exp [K e]

mit der beliebigen Zinsful~variation e -- v - - v o m~Sglich. Die folgenden numerischen Beispiele belegen die Genauigkeit des Vorgehens. Fiir die Sterbetafel SM 1939/44, i o = 3°/o und i 1 = 21/2°/o erhalten wir die folgenden Abweichungen:

Relative Abweiehungen in PromiHe i

20/o 31/s°/o

4°/o

x = 20 n=40

x = 30 n=30

x = 40 n=20

1,0

0,9 0,9 2,5

0,5 0,6

0,6 1,4

1,6

Es kann nicht allgemein dariiber ausgesagt werden, welches dcr beiden beschriebenen Vorgehen genauer ist; im einen Fall sind die relativen Ab111

weidmngen kleiner, im andern gr/Si~er. Maf~gebend ist nicht allein die Zinsfuf~variation e, sondern auch der Umstand, ob man von P(i0) oder yon P(il) aus extrapoliert. Abschliei~end wollen wit die beschriebenen Verf~hren auf die n~iherungsweise direkte Bestimmung des Deckungskapitals bei Variation des Zinsfufles ausdehnen. Wir haben fiir den Zinsfut~ i0 die Beziehung t V ~ (io) = 1 - - a~+t: ~ (io) a~n7 (io)

(25) Weil

1

n-i

ax~ (io) ~- L-x ~

vt° lx +t -- m°lx

t=O

ist, folgt entsprechend I in (3) fiir den variierten Zinsfufl i die Beziehung 1

I1--1

ax~ (i) = ~ ~ (Vo + ~)t lx+t t=0

und gem~ifl (11), wenn wit nunmehr in 41 und 22 die Indizes x und n beifiigen, (26)

ax~ (i) = a ~ (i0) exp '~l (x, n) e + 42 (x, n) ~ - + . ' . .

Analog ist a~+t ".~--~1(i) = a~+t ."n--~l (i0) exp/41 (x -t- t, n - t ) e + + ,~(x-I- t , n - t ) - ~ - + . . . . Beide Gleichungen eingefiihrt in t V ~ (i) = 1

ax+t: ~ (i) ax~ (i)

ergeben tVx~ (i) - - 1 - - ( 1 - tVx~ (io))exp [(41 (x + t, n - t ) -

4t (x, n))e +

Es treten in (27) die n~imlichen Parameter ~1 und 4z auf wie in (22); somit gelten fiir die Darstellung durch Kommutationszahlen die gleichen Formeln wie vorher. Die Giite der Approximation geht aus den folgenden Beispielen hervor, welche fiir x = 30, n = 30 berechnet sind. Die Werte unter Ziffer A gelten bei Besdtr~inkung auf 41, die Werte unter B bei Mitnahme des Gliedes mit 42. 112

Relative Abweichungen in Promille Sterbetafel

t = 10

Zinsfut~

t = 20

A

B

A

B

SM 1939/44 i 0 = 3 °/0 i i

= 2*/2% = 31/2%

( - ) 1,3

0,0 0,0

(--) 0,4 ( - ) 0,4

0,0 0,1

( - ) 5,0 ( - ) 1,3 (--) 1,3

(--) 0,1 0,0 0,1

( - ) 2,0 ( - ) 0,5 (--) 0,6

0,0 0,0 0,0

(--)

DM 1924/26 i o = 4 °/o i = 3 % i = 31/-.% i = 4'/2%

1,2

Begniigt man sich in (27) mit dem Parameter 21, also mit (28)

tVx~ ( i ) = 1 - - ( 1 - -

tVxn7 (io)) exp [(21 (x + t , n - - t ) - - 3 4 (x, n)) 8]

und nimmt an, das Deckungskapital sei zu den beiden Ziffern io und il bekannt, so fiihrt das schon bei der Pr~imie angewendete Verfahren zu einer einfachen Extrapolationsformel. Fiir i = i 1 ist tVxn7 ( i l ) = 1 - - ( 1 -

tVxn7 (io))exp [(2x (x + t , n - - t ) - -

21 (x, n))13] =

= 1 - - (1 - - tVxn7 (io)) exp [ H e ] mit ~ = v 1 - - v o. Daraus folgt fiir (29)

H

1 In 1 - - tVx~ (il) 8 1 - - t V x n 7 (io) " Aus dem nun bekannten H kann auf das Deckungskapital zum Zinsfuf~ i geschlossen werden gem~if~ =

(30) tVxn7 ( i ) = 1 - - ( 1 - - tVxn7 (io)) exp [ H e ] mit 8 = v - - v o. Filr die Sterbetafel DM 1924/26, x = 30, n = 30, i o = 4°/o, i 1 = 3t/Wo erhalten wir folgende Abweichungen:

Relative Abweichungen in Promille t

i = 30/o

10 20

(--) 2,6 (--) 1,0

i =

4112o/0

(--) 2,8 (--) 1,2

Auch hier gilt die Bemerkung, daf~ die Genauigkeit davon abh~ingt, wie wir io und il w~ihlen und ob wir yon i o aus oder von il aus extrapolieren. 113