Uber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. Von Erhard Schmidt, Berlin.

Einleitung. In dieser Arbeit sol[ ein Beweis ffir die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises und der Kugel ira Raume yon drei und n Dimensionen auseinande~gesetzt werden. Der Bereich der VergleichskSrper wird nicht dutch die Forderung der Konvexit~tt eingeschr~nkt. Denn der Verzicht aufdiese Voraussetzung dr~ingt sich angesichts der Schwierigkeit auf, welcher im Raume yon drei und mehr Dimensionen die Herstellung eines Veffahrens begegnet, urn zu einem gegebenen nicht konvexen KSrper einen konvexen yon nicht gr61~erer Oberfl~iche und nicht geringerem Volumen zu bestimmen. Auch fiber die topologische Struktur der in Betracht gezogenen KSrper und ihrer Oberfliichen werden keiner]ei Voraussetzungen gemacht. Es wird im wesentlichen und kurz gesagt lediglich vorausgesetzt, dab die Berandung aUer Dimensionenzahlen aus endlich vielen zweimal stetig dif: ferenzierbaren Stricken besteht. Das Beweisverfahrea folgt dem Wege, den H. A. Schwarz 1) in seiner klassischen Abhandlung ,,Beweis des Satzes, dab die Kugel kleinere Oberfl~che besitzt, als jeder andere KSrper gleichen Volumens" gewiesen hat. Endlich daft noch auf die in den w167 2 und 11 gegebenen Verschiirfungen der isoperimetrischen Abschatzung hingewiesen werden, welche sich geometrisch als sehr einfaeh und anschaulieh darstellen. Herrn Dr. Lohan ra5chte ich fiir seine wertvolle Unterstritzung bei der Darstellung meinen Dank aussprechen. Inhaltsverzeichnis. w 1. Die isoperimetrische Eigensehaft des Kreises . . . . . . . . . w 2. Versch~irfung der isoperimetrischen Ungleichung in der E b e n e . . w 3. Die isoperimetrische Aufgabe frir RotationskSrper im Raume yon n Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 4. Vorbereitende Hilfss~itze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 5. Uber differenzierbare Mannigfaltigkeiten im n-.dimensionalen Raum

690 694 696 709 717

I) H. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Bd. II, S. 327--340.

E. $ehmidt.

690

w 6. Erkl~irung einer Klasse yon Mannigfaltigkeiten im n-dimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 7. Einige Sgtze aus der Theorie der mehrfachen Integrale . . . . w 8. IntegrMe fiber regul~ire Marmigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . w 9. Beweis des Greenschen Lemmas im n-dimensionalen Ra~um und einige Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w 10. Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft fiir die Kugel im n-dimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~. w 11. Verschiirfung der isoperimetrischen Absch~itzung im n-dimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . .

723 737 743 764 771 779

w Die isoperimetrisehe E i g e n s e h a f t des Kreises.

Wit sehieken zun~ehst folgendes voraus: Es sei x = x (s) eine stetige Funktion mit der Periode 1. Die Ableitung x' sei mit Ausnahme yon hSehstens endlieh vielen Stellen bestimmt und stetig. I x'l bleibe jedoch noch integrabe}. Das Maximum und das Minimum der Funktion x (s) seien m~ und /zx, und es sei 89(m~ - ~ )

= e~ > o.

Man setze (1)

~ =~(s)=

~ + ~2 " '

x(~)

~ ' = ~'(s) -----eT, a ~ = ~,.

Dann werden 4- Q~ die Extrema der F u n k t i o n ~ (s). Sic kSnnen natfirlieh beliebig oft erreieht werden. Man darf jedoch annehmen, dal~ etwa ist (2)

z (0) = o~,

~ (~) = -

e~

(0 < ~ < 1).

Man betraehte nun den Halbkreis (3)

~2 + ~2 = e~,

~l ~ 0.

Der l~liieheninhalt -ff ~ dieses Hal bkreises gestatte$ wegen (2) die folgenden beiden Darstellungen o (4)

..,t ,~

.f

I

d,

~

f

r . a

ff

o

r

d'd8 t

'

~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w L

691

Die Addition dieser beiden Ungleichungen ergibt wegen (1) t

o

Nach dieser Vorbereitung kommen wit zur isoperimetrischen Aufgabe. Es seieu x = x (s), y -----y (s)die laufendenKoordinaten einergesch]ossenen einfaehen Kurve G als Funlctionen ihrer Bogen]~inge. Die L~nge der Kurve sei l, also $ (s) und y (s) periodische Funktionen mit der Periode I. Die Ableitungen x" und y' seien mit Ausnahme yon hSchsten~ endlich vielen Stellen bestimmt und stetig. Es gi!t also (7)

x 'z + y'~ = 1.

Es bezeichne J den yon der Kurve C umschlossenen Fli~cheninha]t. Dalm ist, wenn die Kurve C so durchlaufen wird, dab die iiuBere Normale zur Durchlaufungsrichtung so liegt wie die positive X-Achse zur positiven Y-Achse, l

(s)

t=

l

f y'ds 5

o

Nun ist das inhere Produkt des Ve~ors, dessen erste .Komponente ~, zweite ~ und L~inge Q~ ist, mit dem Einheitsvektor, dessen erste Komponente y" und zweite t x'l ist, nicht grSBer als das Pmclukt der L~ngen der beiden Vektoren, d.h. es ist

Aus (8) un4 (10) folg~ I

(11)

l

g < ~(0,--~'1$'t) d s = e f t o

~7"ix"t ds, o

also ist wegen .(6) (12)~) (13)

z2

J < Ofl--ree~ = 4:~

.~(~

~

-2e~

)~,

d < u

Es sei noch auf das ~'olgende hingewiesen, x (s) und y (s) sind :Funktionen yon beschriinkter Schwankung. D e r obige Bewels wird daher yon ieder Differenzierbarkeitsvoraussetzung befreit, wenn man durchweg anstatt ~) Diese Ungleiehung ist auch in einer fiir ebene konvexe -Bereiche giiltigen Identi~t y o n Santal6 enthalten, zu weleher er mi~ den Methoden der Integra}geometrie ge]angt. (Vgl. W. Bla~hke, Vorlesungen fiber InCegralgeometrie, Heft I, Leipzig 1935, S. 26.)

692

E. ~chmidt.

des Riemannschen Integrals das Stieltjessche benutzt, in dem unter den Integralzeichen die Ausdriicke

d~ ds '

ds, lz'ids, y'ds

ersetzt werden dutch

d~(s), [d~(~)l, Id~(~)l, dy(s). Der Beweis bleibt dabei ohne jede .hLuderung bestehen, nur treten a n die Stelle yon (9) und (10) die Ungleichungen

~ A y + ~ j A x [ ~ O,t/A"w+ A ' y <__ o, As, ~ A y <= O, A s - - ~ I A x [. 5etzt soil noeh bewiesen werden, dab der Kreis die einzige Fiyur ist, fiir welche in der isoperimetrischen Ungleichung (13) das Gleichheitszeichen gilt. Beweis. Das Gleichheitszeichen in (13) fordert afortiori das Gleichheitszeiehen in (12) und dieses das Gleichheitszeichen in (10) und (9). Letzteres bedingt abet ~: y'

(14)

=

Mithin ist (15)

y'~ = ~ . ~ Vg

~l: [x']

=

:1.

ex

__!(, e~

Ebenso ergibt sieh (16)

x'*--

o~

y-

]'

2

wobei m, und /~, das Maximum and das Minimum yon y (s) bedeuten und ~>0 ~o~ = m~--p, 2 ist. Die Addition yon (15) und (16) ergibt 1

-

2

+0~

~

=1.

Nun foigt aus der Ungleichung (12) und der ihr enfspreehenden Ungleichung (18)

J--~4=

4-

--20, , l

Also zeigt (17), daB die Kurve ein Kreis ist, w. z. b. w. Da 2 Q~ die Breite eines der Kurve C umsehriebenen Parallelstreifens bedeutet, wenn das Koordinatensystem so gewghlt wird, daB die Y-Achse dem Streifen parallel wird, so hat die Ungleichung (12) ein gewisses selbstgndiges

Uber das isoperimetrisehe Problem im Raum yon n Dimensionen. w1.

693

Interesse, indem sie eine Schranke fiir den Inhalt gibt, wenn der Umfang und eine Breite vorgeschrieben sind. Die dutch die Ungleichung (12) gegebene Absch~tzung bei festem ~x und l kann fiir 2 ~o~< _l nicht versch~rft werden. Denn ersetzt man in einem 9"g den Koordinatenachsen parallel orientierten Rechteck mit den Seiten 2 ~ und 7 = 891 - ztQ~ die der X-Achse parallelen Seiten 2 ~ durch auf diesen als Durchmesser ruhende, nach aulJen gewandte Halbkreise mit dem Radius Qx, so ergibt sich eine Figur mit dem vorgeschriebenen Umfang I und der vorgeschriebenen Breite 2 ~z. Dabei wird / ----- 2 z~Q,~§ 2:y, J ---- z~e~ 4- 2 e~7 und es gilt mithin in der Ungleichung (12) das Gleichheitszeichen. Der Beweis dafiir, dal3 diese Figur die einzige ist, fiir welche in der Ungleichung (12) das Gleichheitszeichen besteht, ist an Hand des Beweisganges f'tir (12) trivial und bedarf an dieser Stelle um so weniger einer Ausfiihrung, als der w3 II durehgeftihrte Beweis fiir den entsprechenden Satz bei RotationskSrpern ganz /ihnlich verl~uft. Fiir den Fall 2 e~ > l liefert die Ungleichung (12) bei vorgeschriebenem und ~ nicht die genaue Schranke fiir den Inhalt. Diese kann folgendermal~en ermittelt werden: Es sei 2 ~ > ~ ur~d a* der Radius desjenigen Kreises, bei wetchem der zur Sehne 2 ~ geh5rige kleinere Bogen die L/inge ~ hat. Verdoppelt man das zu diesem Bogen gehSrige Kreissegment durch Spiegelung an der Sehne~ so erhMt man eine Figur yore Umfang 1 und der Breite 2 ~ . Diese und nut diese Figur liefert bei vorgeschriebenem 1 und ~ das Maximum des Inhalts. Der doppelte Inhalt des yon der Sehne 2 Q~ und dem Bogen 1 gebildeten Kreissegments als Funktion von l und ~ betrachtet, ]iefert also die genaue Schranke. Der ~iuBerst einfache Beweis kann an dieser Stelle unterdrficlct werden, da er ganz analog dem in w3 III durchgefiihrten Beweise der entsprechenden S~tze fiir RotationskSrper im Raume yon n Dimensionen verl/iuft. Bezeichnet endlich 2 Q' die kleinste und 2 ~" die grSl3te Breite der Kurve C, so gelten gemKl] (12) die Ungleichungen

(20)

J~4~

u

-2e

,

J=<4.~

.u

-2e"~.

Nun ist 2 Q" - - 2 ~' ~

-- 2 o')

l

.

,, Yt

e " -- 0' =< -~

(

,V

2

o,

i

' ).

4- I ~- - - 2 ~"i

694:

E. Schmidt.

Also ist ~" -- ~' nicht grS~er als der grSBere der beiden Summanden in der Klammer auf der rechten Seite, und es ergibt sieh aus der entspreehenden Ungleichung (20)a fortiori

J -~ 4~

i-6

2~')~"

-Das ist die Ungleichung yon Bonnesena). w Versehiirfung der isoperimetrisehen Ungleiehung ill der Ebene.

Die isoperimetrische Ungleiclmng l~l~t sich auch folgendermaflen verschKrfen: =

,:~

-

.~ M S

~ -

u

(,,~ -

r~)~.

Hierbei bedeuten S den Schwerpunkt der Kurve, r 1 und r, ihre kleinste und grSflte Entfernung vom Schwerpunkt, M den Mittelpunkt eines beliebigen, l~ 03 der Kurve umschriebenen Rechtecks und v~seine ha]be Diagonale. 21 ~2 isr also die Differenz des Quadrats der halben Diagonale des umsehriebenen Reehtecks und des Quadrats der halben Diagonale des dem Vergleichskreise yore Umfang l umsehriebenen Quadrats. Diese Ungleiehung enth~ilt den Isoperimetriesatz und wegen des letzten Gl]edes auf ihrer rechten Seite auch den Satz, daft das Gleichheitszeichen nur fiir den Kreis er~eicht wird. Beweis. Setzt man ~*---- Y

2

'

so gilt zunachst die der Ungleichung (6) entspreehende Ungleiehung l o

Dutch Addition mit der Ungleiehung (6) ergibt sieh I

- ( ~ + e$)'< ~(v'l~'l + , * . l y ' l ) d , , o

also gem~i[~ der Sehwarzschen Ungleiehung naeh Multiplikation mit 88 I

(22)

4 ,.x-t-

.o~)'~ "~ T

!

(n-1~'l+,7*.ly'l)'d~

1.ds o 'l

o

-- --4z j" (,7.1~,l + ,;,. ly, i)~ ds. o

s) T. B o n n e s e n , P r o b l ~ m e s des I S o l ~ r i m 6 t r e s , P a r i s 1929, S. 67.

Uber das isoperimetrische Problem im l~um yon n Dimensionen. w2.

695

~'un ist l

J = i x y ' - -2y x ' ds~ o

also nach der Schwarzschen Ungleichung !

==

2 yx' ~ds.

Ferner gelten die Identit~ten

(xy' -- y x ' f + (xx' + y y ' f = (x 2 + y~) (x '2 4- y,2) _ x ~ + y2

(7/. Ix'l + 7*" lY'I)~ + (~" !Y'! -- ~*" ix'l) ~ ---- ( ~ ~,- ~'2)( x'~ + Y'~)

Die Addition dieser beiden Gleichungen ergibt, wenn r :die Entfernung yore Koordinatenanfangspunkt bedeutet,

1 [dr~'~ 2 (24) (xy' - y ~ ' f + (~. l~'l + ~*. ly'l)' + u t~7]

Jetzt denke man sich den Schwerpunkt S der Kur~re zum KoordinatenanfangsImnkt gew~h!t. Dann ist zun~ichst

o

o

Es bezeichne ferner M d e . Mittelpunkt des achsenparallelen, der Kurve umschriebenen Rechtecks u n d ~ seine halbe Diagonale. Dann gilt

l Multipliziert man jetzt die Ungleichmlg (24) mit -i" und integriert, so ergibt sieh bei Einftthrung yon (22) und (23):

j2 _jr_yra

2r,

\da/

d s ~'< I2 4

41 P M S ~ '

o l

o l

o

696

E. Schmidt.

Es sei nun r 1 die kleinste trod r~ die grSflte Entfemung der Kurve yon ihrem Schwerpunkt. Man kann annehmen, daft fiir s =- 0 r ~- r 1 mad s = s 2 r=r~wird (0
r~ - r~ =

( r ~ - r ? ) ~N

I dd s~ d s o

42

1.ds o

~-gg/ ds, 0

l

jf dd". d . '

rt =

~ e . / ds<=ss o

l

Tt-

82

(~ - ,.;), ~_ (t - s,)

(-a-;) a . ,

$$ l

#2

k-~sJ ds >=s~(r,

fl'""

-

r,)', j , - ~ / ds >- ~

0

(r2 -- r~)~,

#2 t

-

- T (r~ - r',)'.

o

Ftih~ man diese Ungleiehung in (25) ein, so ergibt sieh die Ungleiehung (21), W. Z, b . w .

w

Die isoperimetrische Aufgabe ]iir Rotationski~rper im Raum yon ~t Dimensionen. I. Es bezeiclme En das Volumen der Einheitslmgel im n-dimensionalen Raum. DaIm ist ihre Oberfliiche h e n und E ~ R n, n E n l ~ -1 geben das Volumen und die Oberfliiche der Kugel mit dem Radius R an. Es seien nun z = z (s), r = r (s) die laufenden rechtwinkligen Koordinaten einer einfachen ebenen Kurve C a]s Funktionen der Boge~i~nge. Die Kurve verlaufe ganz in der Halbebene r > 0 und treffe die Z-Achse nut in zwei Punkten, ihrem Anfangs-und Endpunkt, die auch zusammenfallen kSnnen. Die Ableittmgen z' und r' seien bestimmt und stetig mit hSchstens endlich vielen AusnahmesteUen. Das Maximum yon r (s) sei ~ und es sei s -~ a die erste Stelle, wo dieser Wert angenommen wird. Dann ist, wenn 1 die L~nge der Kurve bedeutet, (26)

r(0)=0,

r ( a ) = ~, r ( 1 ) = - 0

und fiir 0 < s < a ,

0
Es sei nun K ein RotationskSrper im •-dimensionalen Raum (xl, z~ . . . . . z,_z, z), dessert Oberfl~he O dutch die Gleichungen gegeben ist: (27)

z = z(s),

~

x~ = r(s) g, I

0 ~ s ~ l.

~rber das isoperimetrische Problem im l~um yon n Di~mensionen. | 3. L 897 Die inneren Punkte des Rotationsk6rpers K sind also dutch die Oleichungen gegeben: . -, 1

wobei der th,nkt (z~, r~) in der (z, r)-Ebene aUe inneren Punkte des yon der Kurve C mad der Z-Achse umschlossenen Oebiets durchlguft. Es sei ferner noch hervorgehoben, dal3 die tiber die Kurve C gemachten Annahmen die Voraussetznng enthalten, dal] der Rotationsk6rper K mit der Rotationsachse mindestens einen lhmkt gemein hat. Nut auf solche Rotationsk6rper beziehen sich also die nachfolgenden Entwicklungen. F,s bezeichne 01 denjenigen Tell der Obefflgche, fiir welchen 0 ~ s --~ ist, und 0~ denjenigen, fiir welchen a g s g list. Man betrachte jetzt die Halbkugel n--I

1

Ihr Volumen Vo gestattet dann die folgenden beiden Abschiitzungen:

(28)

Vo = 89

g_ ~r Ol

(29)

V o = 89

~ J ~tcos(Nz)ldeo, O2

wobei dco das Oberflgchenelement des RotationskSrpers K bedeutet und N die zugehOrige Richtung der /~uQeren Normale. Durch Addition folgt

(3o)

E.~- __ j'~lcos(Zc~)ld~. O

~Fiir das Vo]umen V des KSrpers K hat man die n -- I Darst~llungen

V = S z~cos(Nx~)dr

~ = 1,2, .... n - - 1.

0

Dutch Addition folgt n:-I

(31)

V=

t

~ 2 z, cos(Nx~)d~. d o 1 Nun ist das innere Produkt des Vektors mit den Komponenten x I . . . . , x~_~, und der Lgnge 0 mit dem Einheitsvektor mit den Komponentev cos (Nx~) . . . . . cos (Nz~_~), tcos (tVz)l nicht grSl3er als das Produkt der Lgngen dieser beiden Vektoren, d. h. es ist

(32)

~; ~cos(N=~) 1

__< ~ - ;Icos(Nz)l.

698

E. Schmidt.

Die Einfiihrung dieses Resultats in die Gleichung (31) ergibt

l(

.-i

ir

e'!OI-

o

)

o

wobei I01 den Fliicheninhalt yon O bedeuten soll. Hieraus folgt wegen (30) (33)

v < ~

(IOl 0 - E .

~-).

Nun erreieht die Funktion 1 ,, - ~ ( I o t . t -

~.t.)

bei festem ]0[ fiir t > 0 ihr Maximum M an der Stelle t = P, wobei nE.p.-1

= IOJ

ist, also P den Radius der sogenannten Veryleichskugel, d. hl der Kugel mit dem Oberfl~cheninhalt ]O I bedeutet. Man erh~ilt M=

1

'lg--

i"

1

(nE.P"-~.P--s

-~=

.

1

1

IOi " - l .

Also ergibt (33) ?l

(34)

v < --"

~n

~l

-IOl "-~

n

Das ist die isol~erimetrische Ungleichung. Daft die Kugel der einzige Rotationsk6rper ist, /iir welchen das Gleichheitszeichen gilt, /in(let am Schlufl yon II seinen Beweis. II. Die Ungleichung (33) hat ein gewisses selbstandiges Interesse, indem sie eine Abschiitzung des u des RotationskSrpers gibt bei vorgeschriebener Obeffl~iche und vorgeschriebenem Radius Q des grSBten ,,Breitenkreises" (eigentlich der grSBten (n -- 1)-dimensionalen ,,Breitenkugel"). Wir wollen jetzt feststellen, wann in der Ungleichuny (33) das Gleichheitszeichen stehen kann. Das Gleichheitszeichen in (33) fordert zun~chst auch das Gleichheitszeichen in (30) und mithin auch in (28) und (29). Hieraus folgt, dab die Projektion yon 01 auf die (n -- 1)-dimensionale Ebene z = 0 die (n -- 1)-dimensionale Kugel ~ ' x~ = 02 iiberall nur einmal bedeckt. Dasse]be muB fiir die 1

~ber das isoperimetrische Prablem im Raum yon nqDimensionen. w 3, II. 699-

Pro]ektion yon 02 gelten. Ist also s --- a' die letzte Stelle,fiirwelche r (s) den Maximalwert ~oannimmt, so m u B ge]ten: r (0) = 0

(36)

fiir (0 < s < ~)

0 < r (s) < ~

r ' (s) :> O,

fiir (a < s < d )

r (s) ----- ~

r' (s) = O,

fiir (a' < s < ! )

e>r(s)>O

r ' ( s ) ~<0,

r (1) = o.

Nun liegt die iiuflere Normale N in einem Punkt der Obeffl~che unseres RotationskSrpers in der zweidimensionalen durch diesen Punkt und durch die Z-Aehse gehenden Meridianebene, und zwar senkrecht auf der Meridiankurve z = z (s), r = r (s). Denkt m a n sich die Kurve C so durchlaufen, dab die ~ul3ereN0rmale in bezug auf das yon ihr und der Z-Aehse umscMossene Gebiet zur Durchlaufungsrichtung so liegt, wie die Richtung der Positiven r-Achse zur Richtung der Positiven Z-Achse, so hat m a n zuniichst wegen z'2 + r'2 = 1 dz

(37)

z' = ~-~ ~ cos (N r).

Diese Gleichung gilt natiirlieh nut mit Ausnahme der hSchstens endl~eh vielen Stellen, an welehen z' und r' nicht beide bestfinmt und stetig sind. Das G]eichheitszeichen in (33) fordert ferner auch das Gleichheitszeiehen in (32) und dieses fordert bekanntlieh das Bes~ehen der Gleichungen (39)

%=

o c o s (Nx,),

~ = ~o l e o s ( N z ) [ ,

v = 1,2 .... ,n-1.

Nun ist (40)

Z' =

COS (.N r) =

S

COS(Nx,')

cos (rx,.)

1

=

V" ~" x,. ----1

Hieraus folgt (41)

r' =

V. ~1

~o~' ,~

wobei a u f der rechten Seite wegen (36) fiir 0 < s < a das positive u n d fiir a' < s < l das negative Vorzeichen gilt. Die Gleichungen (40) u n d (41) sichern wegen der Stetigkeit y o n r (s), der Festlegung des Vorzeiehens der Q u a d r a t w u r z e l in (41) u n d wegen ihres u an den Stellen u n d a ' die ausnahmslose B e s t i m m t h e i t und S t e t i g k e i t yon z' u n d r'. Wegen r (0) --- 0 folgt also ftir 0 ~ s --< a r (s) =

q sin 2_. *2

~g

Wegen r (a) ---- ~ ergibt sieh a = -ff 9 ~o. Mathemafisehe Zeitschrlft.

44.

45

700

E. Schmidt. Ebenso folgt bei Beriicksichtigung der Gleichung r (a') = fiir a' <_ s ~ l

r(s)

0 . c o s ~ ' ~o '

=

und wegen r (1) = 0 l

--

OJ

~ Q. -b ' -~

Wegen (40) folgt jetzt bei Beriicksichtigung yon (36), wenn der Koordinatenanfangspunkt so gew~hlt wird, dab z (0) ----- -- ~ wird, Yr

fiir

0 ~ s ~ ~,

fiir

-~o =<8 ~ a',

fiir

9

r=osmy,

8

z=s--=2Q,

r~Q,

o r ~ s ~ t =9a ' + ~ e , ~g

z=--gcos~,

r=ecos

s - ~e

8 ~

, z = e s l. n ~ + z ~' (a')o 9

8 ~

O. f

Wenn also in der Ungleichung (33) das Gleichheitszeichen gelten soil, so muff die Kurve C folgende Gestalt haben: Sie besteht aus einem ViertelKreisbogen mit dem Mittelpunkt (z = 0, r----0) und dem Radius p., der vom Punkte (z = -- ~o, r = 0) zum Punkte (z = 0, r -- ~) fiihrt, einem der Z-Achse parallelen Geradenstiick yon der L~nge 7 = a ' ~

~ e ~ 0, das

vom Punkte (z = 0, r = ~) zum Punkte (z = 7, r = ~) fiihrt und einem zweiten Viertel-Kreisbogen mit dem Mittelpunkt (z = 7, r = 0) und dem Radius ~, der vom P u n ~ e (z = y, r = e) zum Punkte (z = 7 -b ~, r = 0) fiihrt. Fiir den entsprechenden Rota~ionskSrper erh~ilt man V ---- E~0 ~ § E~_10 ~-I .y, Iol = ~ E . e " - 1 + (n -

1)E~_~e --~ r.

Es gilt also in der Ungleichung (33) in der Tat das Gleichheitszeichen. Nun ergibt sich fiir 7 die Gleichung ]0]-

h e n e I~-1

y _:u ( n - - 1 ) E . _ l

0"'-2 ~

hen

(pn-1 -- e~-l)

(~--l)B,~ - I -~

"

Die Figur existiert mithin nut fiir 0 ~ P. Damit haben wit also bewiesen: Fiir ~ ~ P gilt in der Ungleichung (33) das Gleichheitszeichen . u r fiir die angegebene Figur. Darin ist auch der Beweis dafiir en~halten, da~ in der isoperimetrischen U~ufleiohun9 (34), welche ja dem Fall Q = P, 7 = 0 entspricht, das GleichheiZszeichen nut fiir die Kugel gilt. III. Im vorigen Abschnitt II ist bewiesen worden, dal~ die Ungleichung (33) als Absch~tzung des Volumens eines Rotationsk6rpers bei vorgeschriebenem

Ober das isoperimetrisehe Problem im Raum yon n Dimensionen. w3, III. 701 Oberfl~cheninhalt IOI und vorgeschriebenem Maximum Q des Radius seiner Breitenkugel im Fal]e Q ~ P nicht verbessert werden kann, mit anderen Worten, dal3 sie die genaue Schranke liefert. In diesem Abschnitt soil auch fiir den Fall ~ > P die genaue Schranke ermittelt werden. Diese ist kleiner als die durch die Ung]eichtmg (33) gegebene, erweist sich abet r ihrer ganz elementaren und einfachen geometrischen Darste]lung in ihrem analytischen Ausdruck als wesentlich komplizierter. Es bezeichne K~ die dutch die Gleichung (i'

.~_.j

xY +

a ~

~2 =

i

gegebene Kugel, {K~{ ihr Volumen, 03 ihre Obeffliiohe, {O'a{ deren Flgchent inhalt. Es bezeichne femer fiir a => ~ K'a..o und Oa.,z denjenigen Tell der Kugel und denjenigen Teil ihrer Oberfl~iche, fiir welchen

(2')

~~

+ Va-~-- e ~

ist. Dementspreohend bezeichne IK a,~ , { das u yon K' {0~,~{ den Fl~oheninhalt yon O'a, ~; ferner bezeiohne .Sa. ' Q den zu 0~, ' o gehSrigen Sektor und [S~, o{ sein Volumen. Dann ist zungchst I & o l9- -

-ga IOk.~!

, a , 1 ~u " I IKo..o{ = 7l o3.,.,{--a-E,,_,

(a')

~/a~

~-~

Audererseits is L wenn ~ ~ 0 dutch (I') bestimmt wird, X',. ~,. =< C 1 Die Subtraktion dieser Gleichung yon der mit n multiplizierten Gleichung (3') ergibt (6')

(~-

I){K;,.o{= a.}o'o,,{-

Ca,~,~..d~,~,,.

~ n--1

2

X,.z

-'~- C"

1

Man bezeichne nun mit K'a~ ~ den RotationskSrper, der aus der Kugetkalotte K~, e entsteht, indem man sie durch Spiege|ung an der Schnittebene verdoppelt. Dementsprechend bezeichne man mit IK~: el das Volumen yon /~: v' mit O~:.odie Oberfliiche und mit O" deren Fl~chen~nhalt. a, Dann ist

{K',;,,{= 2.{Ko,~I,

(7')

t ,,,~{= 2{oo,~{.

Opt

Also. ist wegen (6') (8')

K o,,o{

= ~

{a.lO;: ~ I--

f

...

X,. z,.* ~ C" 1

45*

702

E. Schmidt.

Unter Beibehaltung der Bezeiclmungsweise yon I u n d der Voraussetzung a ~ 0 gilt nun offenbar, wenn ~ der Oleichung (1') geniigt und grSl]er oder gleieh Null bleibt, entsprechend (28), (29): n~t

~

O1

1

Cdzx".d~,-~ t~-- I

S

1

~

O~

e2

~'v zv ~

2

~ ~C.Icos(Nz)ldo~.

Ir 1

1

Ferner ist entspreehend (32) ~ -- 1

,~ ~vcos (N :~)

< a - C" I eos(.,V z) I-

1

Wegen (31) ist daher

O

Hieraus folgt wegen (9') (10')

V ~ 1---L-(a. Iol-2 _ ,,_~

.I

C'd~ ...,~:~,_0=r

IOI, e).

1

Man wghle nun, was im Falle ~o'>" P, wie nachher gezeigt werden wird, stets mSglich ist, a* so, dal~ io',,:, .,I = Iol wird. Dann ergibt sieh wegen (8') (11') V ~ [K': .,,lDamit ist bewiesen, clap bei vorgeschriebenem Oberfl~heninhall [01 und vorgeschriebenem Maximum ~ des Radii~s der Breitenkugel in, Falle 9 ~--P kein Rotationsk~rper dn gr6~eres Volumen hat als die dutch Spiegelung an der ~ehniUebene verdoppelte KugelkaIotte K'a",e. Es eriibrigt noch zu zeigen, dal~ fiir 9 ~ P die zur Bestimmung yon a* dienende Gleichung

(12')

I~',,.,I = Ioi, ~iso Io'~.,,.,I = ~ Ioi

eine LSsung a* ~ p besitzt. Man erhglt (o~,,,,I

I

= n~l

2

2:,, x,, ---~e" 1

r

1

(~" c)

dX~

'"

d~,-. x,

~ :> 0. -

"

t:rber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w3, IIL 703 9 wobei N die iiuilere Normalenrichtung auf der Kugel (1') bedeutet. Es isVhlso -

n--1

r

cos (N, ;) = ~ = + Vh"--; a

r'= ~

:c~.

1

Daher ist (13')

,O'.,v[ =

J V - -1- - dr~x : . . . d x n - , , r_~ e 1 - - - a- 2

~ > O.

Nun ist definitionsmiiflig flit a ---- ~ I'0'a, e i gleich dem Obeffl~icheninhalt der n-dimensionalen Halbkugel mit dem Radius ~, d. h. es ist (14',)

'* ~-E,, ~ " - ~ -~

IO;,~ I =

~-E,,P,,-~

=

•z o'~'

IO;~1 _~ ilOl. Ferner folgt aus der Darstellung (13'), dal~ IO'a,~] fiir a ~ ~ mit wachsendem a monoton stetig abnimmt, und da/~

(15')

lira to'o,~l = E . - ~ e "-~ a

--*~ r

ist. Da nun offenbar

(16")

89Ioj > t:,,_,

~,=-~

sein mul~, so folgt aus (14'), (15'), dal~ die Gleichung (12')eine, und zwar nur eine LSsung a* > ~ besitzt, w. z. b. w. Nun ist

(~7')

Ig':, J = r

loJ, ~),

wobei die l~unktion aaf der rechten Seite dutch (10') definiert ist, w~ihrend a* sich vermSge (12') als Funktion yon Iol und Q darstellt. Also ergibt sich IK'a:,el als Funktion von l Ol und Q:

IK", ~1 = r(Iol, e).

(183

Im folgenden soil der Verlauf dieser Funktion diskutiert werden. 9 Z u n ~ h s t ergibt die Ausftthrung der partiellen Differentiation nach a in (10') bei Beriicksichtigung yon (2') und (13')

(i9')

r (a, I O I, e) =-: ~ _I ~ _~ (I 0 - 210'a. e I).

Also ~st wegen (14') (20') (21')

r (a, IOI, e) < 0

flit 9_--
Ge,n{iB (10'), (2') wird 1

(22') ~ (e, Io I, e) = ~ (l o I ~ - E~ e"). Aus (17'), (20'), (18') folgt fiir Q > P ,, 1 ( (23') -/" ([01, ~o)'--= ]Ka*,el < ~----~-~ IOtq -- E,,Q").

704

E. Schmidt.

Die dutch die Ungleichung (11') dargestellte Schranke ist also fiir 0 > P in der Tat kleiner als die dutch die Ungleichung (33) gegebene, wiihrend fiir ~ = P die beiden Schranken gemiifl (14') zusammenfallen. Nun ist im Raum (xa . . . x~-l) der ( n - 1)-dimensionale Fliicheninhalt derjenigen l~mlrtmenge, fiir welche r 1 ~ ~ ~ r I + A r 1 ist, gegeben durch den Ausdruck 2 ~ _ 1(~'I'It" A~'I)"-1 - - 2 n _ l r ~ - l .

Daraus folgt leicht 9

(2u

~ = (~-- 1 ) E . _ , olr"-'};a'--r~dr"

,~$~dxx"'dz"-

Ferner ist wegen (8') r(I Oi' ~)--- ~ - 1 1a'[O I - 2 ( n - 1)E,,_ aI r , ' - q i a * ' - r 2 d ,} ----q)(a*, I0 I, Q). 0

.Man erhiilt wegen (21') (25') OP(IOI, o) _-- ~a (a*, IO l, ~) ~-~ -[- ~b.o(a*, IO[, ~)) -----~ (a*, ]OI, Q) 0o

=

Ebenso folgt (26')'

or(Ioi,

0]OI

=

o)

2 E,, _ , e" 21/~ -

o~,

-= ~101(a*, I01, ~o) ~- ~ _ 1 a*.

Man definiere nun P durch die Gleichung (279 2 2 . _ 1 p.-1 = iol. Da, wie aus der Definition yon Bn. x und E . tmmittelbar folgt, n2n > 2 E,~. 1 ist, so ergibt die P definierende Oleichung

. 2 . p.-1 = Io[ in Verbindung mit der Gleichung (27') p.>P. Gem~B V.oraussetzung und den Ungleichtmgen (16') und (27') durchliiuft als0 Q das Gebiet Dabei nimmt die Funktion /~(]OI, 5) wegen (25') bei festem [Ol Und wachsendem ~ ab, wiihrend sie wegen {26') bei festem ~ und wachsendem IOI zunimmt. :Nun ist wegen (5'), da a * > ~ ist:

I (28')

I

giiltig fiir a* > P.

21Ka*,el < ~---

a * - { 2- ~9 ~

2(a*--

~/~--~o')2.--1~" - ~

Ex-x~'*-x<2E'~-l"~

a*

P'* + 1 ]/a*,--~' --}-

Uber das isoperimetrisehe Problem im Raum yon a Dimensionen. w3, IIL 705 Ebenso erh~|t man aus (3,) und (27') a*

(29')

I

--

2

_

Ioi

!/ o \~ - l

i

1:o*'-r

Gemall (28') folgt bei festem iOl aus (30') (313

a* --~ oz, r(foJ, Q) -,,. o.

Bei Beriicksichtigung yon (31') ergibt (29') bei festem IOl a~s (30') auch noch (32')

e --> P.

Da bei festem lOI und wachsendem ~ a* wegen (12'), (13') monoton w~ichst und wegen (25') F(1OI, ~) monoton abnimm~, so folgen aus jeder der drei Konvergenzen (30'), (31'), (32') die beiden anderen. Endlich wird wegen (14') fiir ~ = P auch a* = P und mithin (33')

T'(IOI, P) = 2 IK~,, f'l = En pn.

Als Sctduflresultat erh~lt ma~ die 9emafl (1U), (18') tiir 9 >=-P 9iiltir e Ungleichung (343 V < r (]Ot, e). Diese Schranke kann bei festem lOI mad 9 nicht verbessert werden, da fiir den rnit K~', r bezeichneten RotationskSrper das Gleichheitszeiehen gilt. K " r ist der einziffe Rotationsk6rper, /iir welehen das Gleichheit.szeichen statthat. Beweisa): Aus der Giiltigkeit des Gleichheitszeiehens in (34') schlieBt man wie in II auf das Bestehen der Relationen (36) und der Gleichungen x,. = a* cos (N x,.), ~ = - a * t c o s ( N z ) l , v = 1 , 2 , . . . , n 1. Hieraus folgen wiederun~ ganz wie in II (35') -(36')

z' = ~ , r' =

1/1

,'

a*~"

Wegen r N ~ < a* bleibt Ir'I > o, und es fallen mithin in (36) e und e" zu~mmen. Das Vorzeichen auf der rechten Seite yon (36') isg als0 wegen (36) fiir 0 < s < a positiv und ftir a < s < l negativ. Die Gleichungen (35') und (36') siehern wegen der Stetigkeit yon r (,) und der Festlegung des Vorzeiehens der Quadratwurzel yon (36') die Be~) Da der Fall o ~ P, d. h. der Fall der Kugel schon in II erledig~ ist, daft bier die .~nnahme o > P und mithin wegen (14') aueh a* > o gemacht werden.

706

E. Schmidt.

stimmtheit und Stetigkeit yon z ' und r' an allen Stellen mit Ausnahme yon s ~-a, wo z' zwar auch noch bestimmt und stetig bleibt, aber die vordere und hintere Derivierte yon r dutch Vorzeiehenwechsel einen Sprung bilden. Fiihrt man in (36') im Intervall a ~ s _~ l l s statt s ein, so folgt w e g e n r ( 0 ) = r ( 1 ) = 0 . r(s) = r (l -- s), r Ca) = r ( 1 - - a ) =0,1=2a. Da jetzt z dutch (35') his auf eine Konstante bestimmt ist, so ist die Gestalt der Meridiankurve eindeutig [estgelegt, das heiBt, es gibt nut einen einzigen Rotationsk6rper, fiir wflchen in (34') das Gleichheitszeichen gilt und dieser ist gem~ifi (18') die T,oppelkalotte K~'., e. IV. Unser Be~ Asgang benutzt die Gleichung (31), die ihrerseits mit Hilfe des sogenannten Greenschen Lemmas hergeleitet wird. Da der Beweis dieses Lemmas im n-dimensionalen Raum nicht einfach erscheint, so soll hier noch ein anderer Beweis der Gleichung (31) angegeben werden. Man setze im Raum mit den rechtwinkligen Koordinaten xl, ~z . . . . . x,_ x, z 71-- 1

(1")

~_I ~ = ~,

r :> O.

1

Das Volumen derjenigen Punktmenge, welehe den Ungleiehungen (2") r 1 <_ r ~ ~'t + A % z 1 ~_ z < z~ -+- A z 1 geniigt, ist gegeben dutch den Ausdruek (3") zl zl {E,, _ i (rt + ~ r l ) " - 1 _ Z , _ ~~7 1} wobei E , _ x dieselbe Bedeutung hat wie in I. Mit anderen Worten: Dem dureh die Ungleiehungen (2") in der Meridianebene (r, z) definierten Reehteck entspricht bei Rotation um die z-Aehse im n-dimensionalen Raum ein KSrper, dessen Volumen dutch die Formel (3") gegeben wird. Dem Element d r d z in der Meridianebene entsprieht daher bei der Rotation um die z-Aehse das Volumenelement (n -- 1) E . _ x r n - ~ d r dz. Bezeichnet man also in der Meridianebene mit T das yon der Meridiankurve C trod der Rotationsachse z begre~zte Gebiet, so erh~lt man fiir das Volumen V des Rotationsk6rpers K die Gleichung (4")

v = 5 (n -

1) E,,_,

T

Um einen passenden Ausdruek fiir das Oberfl~iehenelement yon K z~l linden, setze

man

(5"i Dann ist wegen (1")

(6")

~, = ~ (s) ~,, ~-1 2., + r = 1.

~ = 1, 2 , . . . , n - 1.

1

Man beziehe auf ~in~an Teilgebiet der Oberfliiche der dutch diese Gleiehung gegebenen Einh~g~ku~el ~x, ~ . . . . , ~ - 1 auf (n ~ 2) Parameter TI~ T 2, . . .j

Tn-2,

(~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w3, IV. 707 Man bezeichne ferner m i t W o den Vektor m i t den K o m p o n e n t e n Ox I

Oxn-i dz Os d a

"'"

und m i t

W,,, m = 1, 2 . . . . .

n-

2, die Vektoren m i t den K o m p o n e n t e n

O ~:1 0 x~._ 1 O v , a ' ' " Ov m '

O.

Man setze

~- 0, 1, . . , n -- 2,

Do = II~.li

# -----0, 1 . . . . . n -- 2, ~----- 1,2 . . . . , n - - 2 ,

wobei die S y m b o l e rechts die aus den inneren Produlv~en

~:, = (W~, W.) gebfldeten D e t e r m i n a n t e n bedeuten. D a n a ist D O gleich der S u m m e der Q u a d r a t e aUer aus den K o m p o n e n t e n der V e k t o r e n Wo, W 1. . . . . W n - ~ gebildeten U n t e r d e t e r m i n a n t e n ( n - 1)-ter Ordnung und D 1 gleich der S u m m e der Q u a d r a t e aller aus den K o m p o n e n t e n der Vektoren W 1. . . . , Wn_ 2 gebildeten U n t e r d e t e r m i n a n t e n ( n - 2)-ter Ordnung. Mithin gilt fiir das Oberfl~chenelement yon K deo = + ]/-ffo d s d'Q . . . dye,_ 2.

)'fir das Oberfl~iehenelement d S der Oberfl~iehe S der Einheitskugel (6") gilt wegen

~,

1

OTm -

0~,.

v----- t, 2, . .., n - - I, m--

r(8) O~:m'

1,2,...,n--2,

V ~ - -0"dzl . . d ~ , , - ~ . d S -----(r+~8))" N u n ist

n--1

%o=._.

(~-g rl') + i r i s / = \ d a ]

+ kds!

= 1

1

und fiir /~ -~ 1, 2 . . . . , n -

2 wegen (6") n--1

dr s

07?,

1

Mithin ist

Do = D1.

Also gilt die iibrigens auch infinitesimalgeometrisch evidente Gleichung

doJ = (r (s))"-~ ds gS. Man erhalt daher zunachst fiir den Oberfl~cheninhalt yon K die Gleichung l

(7")

l

lot=

= (.0

8

wobei 1 die L/~nge der Meridiankurve C bedeutet.

0

708

E. Schmidt. Nun ist

a~l

x, cos(x~,N) doJ -~ ~ o

l

B~Io

l

S

0

Also ist ' n--1

(8")

1

x, cos(x~,N) doJ ~- E . _ l ~ r " - l c o s ( r , N ) d s .

n-1

0 0

iVIan transformiere jetzt den Ausdruck auf der rechten Seite durch knwendung des Greenschen Lemmas fttr das yon der Kurve C und der z-Achse in der Meridianebene (r, z) begrenzte Gebiet T, fttr we]chen Fall der Beweis des Lemmas keine Schwierigkeiten bietet. Dann folgt 1

0

T

Die beiden letzten Oleichungen (8") und (9") ergeben w e g e n (4") die Oleichung (31), die zu beweisen war. Zum Schlu'l sei noch bemerkt, dal3 die Sgtze dieses Paragraphen in der Folge nur fiir solche RotationskSrper gebraucht werden, bei welchen, abgesehen yon zwei der r-Achse paraUelen Oeradenstiicken, welche in den Anfangsund Endpunkt der Meridiankurve C auf der z-Achse einmiinden, ]gngs dieser Kurve r = r (z) eine eindeutige Funktion yon z ist, Fiir diesen Fall ist aber die Umfo~mung (9") v611ig trivial. V. Die in diesem Paragraphen gegebene Herteitung der isoperimetrischen Ungleichungen I (33), (34) und III (34') macht yon der u dal~ der betrachtete KSrper ein RotationskSrper ist, eigentlich keinen Oebrauch. Es wird vielmehr hdiglich die Voraussetzlang benutzt I dab die senkrechte Projektion des KSrpers auf eine gewisse Ebene, der die Gleichung z -~ 0 beigelegt wird, eine (n -- 1)-dimensionale Kugel ausfiillt, deren Radius mit ~ bezeichnet wird~ Das ist auch der Grund der genauen ~J'bereinstimmung der in diesem Paragraphen gegebenen Herleitung der isoperimetrischen Ungleichungen mit den in w 1 entwickelten Beweisen fiir die entsprechenden Ungleichungen in der Ebene. Denn die senl~echte Projektion eines yon einer geschlossenen Kurve begrenzten Gebietes auf eine Gerade fiillt eine Strecke aus. Eine Strecke aber ist ein eindimensionaler Kreis mit ihrem Mittelpunkt als Zentrum und ihrer halben Lgnge Ms Radius. Ich habe im vorliegenden Paragraphen bei der Herleitung der isoperimetrischen Ungleichungen yon der Verallgemeinerung im obigen Sinn abgesehen, weft ich dana auf'den Vorteil hgtte verzichten miissen, das Greensche Lemma nut in einer Form zu benutzen, die, wie bier unter IV geschehen, sich auf den Fall yon zwei Dimensionen zuriickfiihren lgl]t.

Uber

das isoperimetrische

Problem

im Raum

yon n Dimensionen.

w 4, L

709

w Yorbereitende Hiifssiitze. L Ein Satz von SchwarzS). Es seien ! (x) und g (x) fiir a

~---'

j'~+a~(~).d~>__ ~

(42)

x ~ b stetige Funktionen yon x. Dann is!

+ V(i t(~)d~ )(i'

g(~)d~

;,

Beweis. Wegen der Identit~it

(! (~). / (y) + ~ (~). g (y))2 + (/(~) g (y) - g (~). ! (y))~ = (i ~ (x) + # (x)) (p (y) + g~ (y))

(4s) is!

! (~) / (y) + g (x~ .g (y) < 1/t~ (~) + g~ (~). ~/!~y) + g~ (y).

(44) Also is~ bb

0 _< ~ ~ [~7~(~) + g~ (~). V/~ (y) + g. (y) - (! (~) / (y) + g (~) g (y))] d~ dr aa

b

b

b

b

b

b

a

a

a

5

w. z. b,w, Wie aus der 'IdentitY! (43) hervorgeht, gilt das Gleichheitszeichen d~:ln und nut dann, wenn die Funktionen ! (x) und g (x) linear abh~ngig sind und ihr Vorzeichen aicht wechseln. Die tineare Abhiingigkeit is! no~wendig und hinreichend, clamit in der Ungleichung (44) die Quadrar der be!den Seiten gleich werden. Be! schon bestehender linearer Abh~ngigkeir is! abet die Ausschaltang eines Vorzeichenwechsels notwendig unct hinreichead, damit aaf der linken Seite das Vorzeichen positiv bleibt. Das Analogon der Schwarzschen Relation fii.r eadliche Surnmen laute~ n

_C

-

n

2

n

2

und besagt also weiter nichts, als da~ die Entfernung des Anfangs- und End~ punk~es eines ebenen Streckenzuges, der von den n Strecken mi~ den Kom3) I. c., S. 331.

710

E. Schmidt.

ponenten ~r ~, gebildet wird, seine L~,nge nicht iibertreffen kann. Auch bier gilt das Gleichheitszeichen damn and nut dann, wenn keine der beiden Zahlenreihen ~,. und fl,., ~ = 1, 2 , . . . , n, einen Vorzeichenwechsel enth~It und beide linear abhi~ngig sin& Es seien nun die n Fnn~ionenl~are [,. (x,.), g, (x,.) stetig fiir a,. ~ x,. ~ b,., = 1, 2 , . . . , n. Setzt man jetzt br

b~,

{If'

~[I'

1/t~ (x,) + r (x,). d~,, = v,, a t.

so ist wegen der Relation (42) und mithin wegen (45)

I

I

"

Also explizite

1

al'

V(2" !

ay

)' (2? 1

tt 1.

Diese Relation bleibt unver~ndert bestehen, wenn x, einen Punkt in einem beschriinkten, abgeschlossenen Raumstiick yon m~ Dimensionen bedeutet und d x, das entsprechende Raumelement. Dabei gilt das Gleichheitszeichen dana und nut dann, wenn sowohl das Verhaltnis der Funktionen

1 (:~,.) : ~ (x,.) als aueh ihr Vorzeichen yon xr und yon v unabb~.ngig siad. Jetzt folgen einige I-Iilfssiitze, yon denen die ersten trivial und bekannt u n d nur zur Bequemliehkeit des Lesers mit kurzen Beweisen versehen sind. Ich sehicke voraus, daB, wenn hiqr und in der Folge vom ~uBeren und inneren Inhalt einer Punktmenge die Rede ist, immer der Inhalt im Simae yon Riemann-Peano-Jordan gemeint ist. II. Es seien u = U (x, y), v ---- v (x, y) als einmal stetig differenzierbare Funktionen in einem l~'echteek der (x, y)-Ebene definiert. Es bezeichne R den Inhalt des Rechtec'ks, J den ~uBeren Inhalt der yon den Punkten (u, v ) in der (u, v)-Ebene bedeckten Pun~-~rhenge und' m das Maximum des aba (u, v) soluten Betrages der Funktionaldeterminante 0 (z, y----)"

•ber das isoperimetrischeProblem im Raum yon ~ Dimensionen. w

II. 711

Dann ist J ~ m . R. Der Satz gilt euch fiir m = 0, d.h. fiir den Fall des identisehen Versehwindens der Funktionald~.terminante. Beweis. Teilt man das Reehteck durch Hal.bierung der Seiten in vier kongruente Teilreehtecke tmd bedeutet J~, ~ = 1. . . . ,4, den ~iuBeren Inhalt des Bildes jedes dieser Teilrechtecke in der (u, v)-Ebene, so ist zuniiehst 4

1

Y

1

'J, 1

T

Es sei nun ]~ der ~ul]ere Inhalt des Bil~.es eines derjenigen der vier Teilrechteeke, ffir welches ~- den grSl]ten Wert annimmt.

Dann ist

4

s

-~ ~ ~-. 4 Teilt man nun dieses Rechteck dureh Halbierung der Seiten wiederum in vier kongruente Teilrechtecke, deren Bilder in der (u, v)-Ebene etwa die ~iutteren lnhalte J-,' haben, so ergibt sich

y

~ -


4 16 Durch unbeschr~nkte Fortsetzung dieses Verfahrens erhRlt man eine Fotge ineinander eingesehaehtelter Reehtecke, deren SeitenlRngen gegen Null konvergieren und ffir welche der Quotient des ~iu6eren Inhalts des Bi]des, divid~ert dutch den Inhalt des Rechteeks nieht abnimmt, also insbesondere nicht unter R sinkt. Es bezeichne nun xo, Y0den Grenzpunkt dieser Rechtecksfolge und Do ~ den Wert des absoluten Betrages der Funktionaldeterminante in diesem Punkte. Dann folgt aus d e m ersten Mittelwertsatz der Differentialreehnung und der Stetigkeit der Ableitungen leicht, da6 es zu jedem ~ ~ 0 ein e > 0 gibt, so daft das Bild eines Rechtecks v o m Inhalt R*, welches ganz in d e m u m den Punkt xo, Yo mit d e m Radius e beschriebenen Kreise liegt, sich in der (u, v)Ebene in ein Parallelogramm einbetten ]~iBt,dessen Inhalt ~einer als (D o § ~) R* ist. Das gilt auch, wenn D, verschwindet. Also gilt auch fiir den guBeren Inhalt J* des Bildes des Reehteeks R* j* # , < (Do + ~).

712

E. Schmidt.

In Verbindung mit dem vorigen ergibt sich hieraus

und mithin J<

D O~ m,

W. Z. b. w. III. Es seien u ---- u (x, y), v--- v (x, y) als einmal stetig differenzierbare Funktionen in einem Reehteek der (x, y)-Ebene definiert. Dann entspricht a (~, v) der Gesamtheit derjenigen Punkte in der (x, y)-Ebene, fiir welche ~(--~, y) -----0 wird, in der (u, v)-Ebene zun/ichst gewil] eine abgeschlossene und beschr~inkte Punktmenge, die natiirlich auch leer sein kann. Diese Punktmenge hat den ~u~eren Inhalt Null. Beweis. Es sei 6 > 0. Man zerlege das Definitionsrechteck dutch Parallelen zu den Seiten in ein Netz so kleiner, miteinander kongruenter Teilrechtecke, dab die Differenz des Wertes der Funktionaldeterminante fiir irgend zwei Punkte im Innern oder auf dem Rande ein und desselben Teilrechtecks kleiner als 6 bleibt. Dann ist ffir jedes Teflrechteck, das im Innern oder auf dem Rande eine Nullstelle der Funktionaldeterminante enthRlt, der absolute Betrag dieser Determinante ldeiner als 6. Bezeiehnet R v den Inhalt eines solchen Teilreehtecks, so ist nach Satz II der/iuBere Inhalt des Bildes dieses Teilrechtecks in der (u, v)-Ebene kleiner als 6- R~. Der RuBere Inhalt des Bildes der Gesamtheit dieser Teilrechtecke ist mithin kleiner oder gleich 6. R, wobei R wie friiher den Inhalt des Definitionsrechtecks bezeichnet. Da das Bild der Nullstellen der Funktionaldeterminante yon eben dem Bilde der Gesamtheit dieser Teilreehtecke iiberdeckt wird, und 6 beliebig klein angenommen werden kann, ist der zu fiihrende Beweis erbracht. IV. Es seien u = u (x, y), v = v (x, y) als einmal stetig differenzierbare Funktionen in einem Rechteck der (x, y)-Ebene definiert. Es sei nun (u, v) ein Bildpunkt, dem unendlieh viele Originalpunkte in der (x, y)-Ebene entsprechen. Diese haben i m Definitionsrechteck der (x, y)-Ebene einen H~iufungsplmkt, dem derselbe Weft (u, v) entsprechen und O (~, v)

in welchem die Funktionaldeterminante a(x,y)----0 werden muB. Mithin ist die Gesamtheit derjenigen Punkte in de r (u, v)-Ebene, welchen in der (x, y)-Ebene unendlich viele Punkte entsprechen, enthalten, in der Gesamtheit 9

.

O (u, v)

der Bfldptmkte der NullsteIlen der F , m ~ t m n a l d e t e r m ] r m n t e ~ . Gem~B III

ist also die Oesamiheit derjenigen Bildpunkte in der (u, v)-Ebene, welvhen in der (x, y)-Ebene unendlich viele Oriflinalpunkte entsprechen, einschliefllich der Hau/ungspunkte dieser Bildpunkte eine abgescldossene beschriinkte Punktmenge yore i~ufleren Inhalt Null.

Uber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen.

w

V. 713

V. Die Sgtze II, I I I , IV und ihre Beweise bleiben unvergndert bestehen, wenn es sieh um n Funktionen yon n Variablen handelt, welche in einem n-dimensionalen rechtwinkligen ParaUelotop definiert sind. Aus der Verallgemeinerung yon II ziehen wir noch die triviale Folgerung:

V (A). Es sei im k-dimensionalen Raum eine (k -- 1)~limensionale Fl~che gegeben dutch die Oleichungen Xi =

X~ (tl, t 2 . . . . .

g~-l)

~ =

1, 2 . . . .

, k,

wobei der lbmkt (tx,..., t~_l) im Paramete~aum etwa ein rechtwinkliges ParaUelotop dureMguft und die Funktionen einmal stetig differenzierbar sind. ])ann ist der k-dimensionale Inhalt der Fl~he gldich Null. Man kann n~mlich einen/c-ten Scheinparameter tk, O ~ t~ ~ 1, hinzufiigen, yon welchem.die x~ g a r nicht abh~ngen. Dann ist die Funktioneldeterminante o (=1..... %) ~ 0 0 (t I ....

, t~)

und der Satz II fiir k Variable ergibt die zu beweisende Aussage. Dieser Satz l~iflt sich nocll folgenderm~flen erweitern. V (B). Es sei im n-dimensionalen Raum eine k-dimensionale Mannig, faltigkeit gegeben dutch die G]eichungen x, =/,

( t l , t.2, . o ., t~)

~ =

1, 2 . . . . .

n,

wobei der Punl~ (tz, t~,..., t~) im Parameterraum etwa ein rechtwink]iges Paralle]otop durchl~uft, und die Funktionen einmal stetig dffferenzierbar sind. Es sei ferner/r < l ~ n. Dann ist ira n-dimensionalen Raum der l-dimensionale Fld~heninhalt der Manniq/altigkeit gleich Null. Man kann. n~imlich 1 -- k Scheinparameter t~,, # = k + 1. . . . . 1 hinzufiigen, welche die Intervalle 0 ~ t, ~ 1 durchlaufen, und yon wetehen die Funl~ionen /, g a r nicht abh~ngen. Der l-dimensionale Fl~eheninhalt der Mannigfaltlgkeit wird dann gegeben dutch das Integral

~ A dq, dt~ . . . . .

dtz,

wobei die Parameter q, t 2. . . . , tz das dutch die obigen Festsetzungen bestimmte l-dimensionale reehtwinklige Parallelotop durchlaufen, und A den nicht negativen Weft der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Unterdeterminanten l-ter Ordnung in der Funl~iona[matrix

IOf.l,

1,2,...,n,

=

.,z

bedeutet. Da nun alle diese Determinanten ideatisch verschwinden, so versehwindet auch A identiseh, was die zu beweisende Aussage nach sich zieht.

714

E. Schmidt.

VI. Es seien im k-dimensionalen Raum (xl, x 2. . . . , x~) endlich viele 3Iannigfaltigkeiten T 0~ /~ = 1, 2 , . . . , l, gegeben dutch Gleichungen yen der Gesta]t x~ = / ~ )

(q, t~,. : .,t~_2)

,t = 1, 2 . . . . , k, tt = 1, 2 , . . . ,

l,

wobei der Punkt (tl, t~. . . . , tk-2) im ( k - 2)-dimensionalen Parameterra,m ftir jedes tt etwa ein rechtwinldiges ParaUelotop durchlaufen mSge, und die Funktionen einmal stetig differenzierbar sind. Sind dann Q und Q zwei au] keiner der Mannig/altigkeiten gelegene Punkte, so lassen sie sich au/ einem aus zwei geraden Strecken bestehenden Weye verbinden, tier keine tier Mannig/altigkeiten schneidet. Dabei kann die eine der beiden geraden Wegstrecken beliebig klein gewi~hlt werden, so daft also der Verbindungsweg in beliebiger Nahe der Strecke Q Q verliiu/t ~'). Beweis. Die Koordinaten yon Q seien x(2), ,1 = 1, 2 , . . . . k. Verbindet man Q mit jedem Punkte yon T (,') durch eine gerade Strecke, so wird die aus diesen Strecken gebi|dete Punktmenge V (~') gegeben durch die Gleichungen x~ = z~ 9(1 - t) + t./~') (ti, t~. . . . , t~_ 2) 0 _< t -< 1, ,1 = 1, 2 . . . . . k, und hat mithin gemiil3 V (A) den i~uBeren Inhalt Null. Mithin hat auch die Vereinigungsmenge V aller V ~'), tt -= 1~ 2 . . . . . l, den iiulleren Inhalt Null. Es seien nun K und K zwei k-dimensionale Vollkugeln um Q und Q als Mittelpunkte, welehe keinen Punkt miteinander und keinen Punkt mit einem T (,~) gemein haben. Die Vereinigungsmenge der geraden Verbindungsstrecken zwischen Q und allen Punkten yon K hat offenbar mit K einen Durchschnitt, dessert Inhalt > 0 ist. Dieser Durchschnitt kann daher nicht yon V iiberdeckt ~verden. Also gibt es in _~ Punl~e, deren gerade Verbindungsstrecke mit Q keines der T (,") sehneidet. Verbindet man einen solchen Punkt durch ein Geradenstiick mit Q, so erhiilt man einen Verbindungsweg zwisehen Q und yon den in dem zu beweisenden Satze verlangten Eigensehaften. Da der Radius yon K beliebig ldein angenommen werden kann, so lal~t sich auch die zusiitzliche Forderung erfiillen, dall die in Q endende gerade Wegstrecke. beliebig klein ausfi~ll~. VII. Es sei eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit im n-dimensionalen Raum definiert dureh die Gleiehungen (46)

x,=

x,(tl, t 2. . . . . tk),

v = 1,2,...,n,

1
wobei der Punkt (ta, t~,..., tk) des Parameterraumes etwa ein k-dimensionales rechtwinkliges Parallelotop durchlaufe, und die Funktionen zweimal stetig a) I)er StLtz und der Beweis bl~l~ben unver/~ndert bestehen, wenn die Anzah] der Mannigfaltigkeiten T (p) abzahlbar unendlich ist. Nur mull dann im Beweise tier Riemann-Peano-Jordansche Inha]tsbegriff durch das Bore lsche Mall ersetzt werden.

(~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w4, VII. 715 ~ifferenzierbar sind. natrix

Es werde feIner vorausgesetzt, daft die Funktional0x. I v = 1 , 2 , . . . , n , -~. 1~-~1,2 ..... k

(~.7)

in jedem Punkt den Rang k habe. Die linearen Gleichungen

Ox 1

haben dann in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein LSsungssystem vom Range ( n - k), welches die Normalenriehtungen in diesem Punkte angibt. Man betraehte nun die auf der Einheitskuge] im n-dimensionalen Raum fixierten Richtungspunkte der Gesamtheit aUer Normalen der Mannigfaltigkeit. Dann gilt der folgende Satz: Die dutch Hinzuziehun 9 ihrer H~u/ungspunkte abqeschlossene Menye derjenigen Richtungspunkte au] der Einheitskuffel, welchen Normalen in unendlich vielen Punkten der Mannif]altigkeit entsprechen~ hat -- au] der Einheitskugel qemessen-- den gufleren Inhalt Null. Man setze dabei fest, dal3 jeder Normaten ihre beiden diametralen Richtungspunkte auf der Einheitskugel entsprect~en. B e we is. Zuni~chst liiI~t sieh j edem Punkte P des Definitionsparallelotops ein diesem parallel orientiertes den Punkt P a l s Mittelpunkt enthaltendes Parallelotop up ~;on folgenden Eigenschaften zuordnen: Es sei P ein innerer Punkt des DefinitionsparaIle|otops; dann is+~ ztp so klein gew~hlt, daI3 es ebenfaUs ganz im Innern desselben liegt, und dal3 ferner eine der in P voraussetzungsgem~fl nicht verschwindenden Unterdeterminanten k-ter Ordnung der Funktiona]matrix (4:7) in np einschiiel~lich des Randes =~ O bleibt. Es sei P ein Randpunkt. des Definitionsparalleloteps; dann ist 7tp so klein gew~hit, dab eine der voraussetzungsgem~i] in P nicht verschwindenden Unterdeterminanten k-ter Ordnung der Funktionalmatrix (47) im FaralIelotop t ~p einschlie~lich des Randes ~ 0 bleibt, wobei ~ , den Durchschnitt yon z e mit dem Definitionsparallelotop darstellt. Nach dem Borelschen Satze l~]t sich jetzt das ganzeDefinitionsparaUelotop yon endlich vielen der 1)aralielotope 7~p bedecken. Man ersetze nun unter diesen diejenigen, ftir welche der Punkt P ein Randpunkt des Definitionsparallelotops ist, durch die entsprechenden ParaUetotope 7~. Das Ergebnis ist eine ~berdeckung des Definitionsparallelotops dutch endlich viele para]iel orientierte TeilparaUelotope, dergestalt, dal] es fiir iedes dersetben eine Unterdeterminante k-ter Ordnung der Funktionalmatrix gibt, welche in diesem einschlieBlich des Randes ~= 0 bleibt. Es geniigt daher offenbar, die zu beweisende Behauptung fiir solche Teilparallelotope darzutun. Mathematische

Zeitschrift.

44.

46

716

E. Schmidt. Wir diiffen daher voraussetzen, dalt etwa

a (zl . . . . . zk) :--.O + o bleibt. Dann kSnnen im Gleiehungssystem (48) fiir eine Normale nieht s~mtliehe ~:e, e ---- k + 1 , . . . , n verschwinden. Fiir jede Normale mull es also unterden Koordinaten ~e eine dem absoluten Betrage naeh grSllte geben, und diese kalm nieht versehwinden. Man betrachte nun diejenigenNormalen, fiir welche etwa ~g dem absoluten Betrage nach yon keinem $~ iibertroffen werde, Ft lest, k + 1 < ~t ___n. AUe diese Normalenriehtungen erhiilt man, wenn man setzt oder

I Q[
k+l
und die iibrigen ~1, ~ , - --, ~k dureh die AuflSsung d er linearen Gleichungen (48) bestimmt. Auf diese Weise erhiilt man fiir jedes /~ zwei, also im ganzen 2 (n -- k), Systeme yon Normalenrichtungen, dere n Oesamtheit ]ede Normalenrichtung mindestens einmal fiberdeckt. Man betrachte nun eines diesel" Systeme, etwa das System

(49)

~o=1,

I~} _--<1,

k+l
Die Gesamtheit dieser Punkte liegt aufder (n -- 1)-dimensionalen, die Einheitskugel beriihrenden Ebene ~, = 1 und wird dutch Gleichungen gegeben yon der Gestalt ~a -~ h ( t l , . . . ,

~e=t 0

t~, $ k + 1 , . . . ,

~,-1)

2 = 1, 2 , . . . , k, ~=k+l,

k+2 ..... n--l,

wobei die/x e i n m a t stetig differenzierbare Funktionen ihrer Argumente sind. Betraehtet man jetzt die t 1. . . . , t~, ~ + 1. . . . . ~n-1 als die unabhiingig Ver~inderlichen und die ~1. . . . , ~ , ~k+ 1, 9 9 -, ~n- 1 als die abhiingig Veranderfichen, so sind die u des Satzes IV in seiner Verallgemeinerung V erFtillt. Also ist der auf der (n -- 1)-dimensionalen Ebene 2, = l'gemessene ~ul3ere Inhait der dureh Hinzuziehuag ihrer Hiiufungspunkte abgesehlossenen Menge derjenigen dieser Punkte, welehen Normalen in unendlich vielen Punkten entsprechen, gleieli Null. Der iiuBere Inhalt der Menge der entspreehenden Riehtungspunkte auf tier Einheitskugel ist mithin auch Null, und da das fiir jede der oben definierten 2 (n -- k) Systeme yon Richtungspunkten gilt, ist der zu fiihrende Beweis fiir den Satz VII erbracht.

Uber das isoperimetrische Problem im R a u m

yon u. Dimensionen.

w

I, H.

717

w t~b~r differenzierbare Mannigfaltigkeiten im n-dimensionalen Raum. I. Wir wollen uns der folgenden Bezeichnungsweise bedienen: Die Gesamtheit derjenigen Punkte einer Punktmenge. die yon einem ihrel Punkte um weniger als ein 5 ~ 0 entfernt sind, soll die J-Umgebung dieses Punktes auf der Punktmenge heiBen. i u s dieser Definition ergeben sich unmittelbar die beiden folgenden S~tze: I (1). Es sei P ein gemeinsamer Punkt der Punktmengen rL r~l, ~s; es we~de die (~-Umgebung yon P auf ~ yon ~1 bedecl~t und die 51-Umgebung yon P auf ~1 yon ~2 bedeckt. Dann wird aueh die 5'-Umgebung yon P auf yon g~ bedeckt, wobei ~' die nicht-gr613ere unter den beiden Zahlen (~ und ~1 bedeutet. I (2). Es sei P ein gemeinsamer Punkt der Punktmengen ~ und ~I; es werde die 5-Umgebung von P auf ~ yon ~1 bedeckt. Es sei Q ein Punk~ der ~-Umgebung yon P auf ~. Dann wird (lie 51-Umgebung yon Q auf ebenfalls yon ~1 iiberdeckt, wobei ~1 ~ ~ -- PQ ~ 0 ist. II. Es sei im n-dimensionalenRaum eine k-dimensionale Marmigfaltigkeit (1 g k g n -- 1) defi.~iert durch die G]eichungen (50)

x, -- x, (t, t2,. ~., t~), rt

(51)

~_--
r

~r

9 ---- 1, 2 , . . , u, p

~
~.=1,2,...,~.

Es seien ferner die Funktionen x,. (t~, ts,..., t~) zwe:~malstetig differenzierbar. Die Funktionalmatrix

(0t~

habe

in

jedem Punla

des Defin~tions~

bereiches (51) den Rang k. Endlich sei noch die dutch die obigen Funk~ionea vermittelte Abbildung eindeutig umkehrbar und mithin auch die Umkehrung stetig. Eine solche Mannigfaltigkeit solt im folgenden t~urz a|s ein ]r sionales Gru~dgebilde bezeichnet werdem Liegt der Pun~rt (t~, t~,..., t~) ira Innvrn des Defihitionsparal]elotops (51), so sell der entsprechende Punk~ (xl, x s , . . . , x~) ein innerer ~) Punlrt des Grundgebitdes hei~en. Es sei hier noch vorausgeschickt~ da~ alle in diesem und irn fo|gendea Paragraphen entwickelten Definitionen, S~t~e u~d Beweise unver~n4er~ giiltig bleiben, wenn fiir das Grundgebflde start der zweima~igvn stetigen Diffe~enzierbarkeit nut die einmalige stetige Differenzierbarkeit vo~rausgesetzt wird. Eine Ausnahme bilden ledigiieh die S~tze w6 V (1) unct V (2), die sich au~" den Satz w4 VII uncl damit wesentlich auf die zweimalige stetige Dff~erenzierbarkeit stiitzen. ~) Auf den Beweis der Unabhfia~gigkeit dieaer Definition yon de~ Waht deu Par~metersystems t~ ts ... t~ k&un hier verzichtet werden~ 4a in der Folge kein Gebrauch davon gemaehr wird,

46*

718

E. Schmidt.

II (1). Es sei das Grundgebilde Gk gegeben durch die Gleichungen x , ----/~ (Q . . . . , tk),

v ---- 1, 2 . . . . . ~,

und das Grundgebilde G~ dureh die Gleiehungen

x, = / * (t*,..

:, t*),

9 = 1, 2 . . . . , n.

Es sei Q ein gemeinsamer innerer Punkt yon Gk und q*. Liegt dan~ eine yewisse 5*-Umgebung yon Q au/ G* im Innern yon Gk, so liegt auch eine gewisse ~-Umyebung yon Q au] G~ im Innern yon G*. Beweis: In Q muB zunaehst mindestens eine derFunktionaldeterminanten 0(l,,~,t,~. . . . . 0 (fl, t~ . . . . .

l"k)=F:0 tk)

sein. Wir kSnnen annehmen, dab a (h, h . . . . . b,)

o (t. t2, .... t~,) :4::0

ist. Daher l~iflt sieh ein neues im Innern yon Gk enthaltenes Grundgebilde G'k bestimmen, das Q im Innern behiilt, auf (xl, x 2 , . . . , x~) aIs Parameter bezogen ist, und dessen Inneres eine &Umgebung yon Q auf G~ enth~lt. G'k werde gegeben dureh die Gleichungen (52)

x, = 9~, (xl . . . . . xk),

/~ = k -}- 1 . . . . , ~.

Dann liegt gem~ifl I (1) aueh eine gewisse Umgebung yon Q auf G* im Innern yon G~. Es wird daher innerhalb dieser Umgebung G* auch gegeben dutch die Gleiehungen (52) in Verbindung mit den Gleichungen (53)

~. = t* (t*, . . . , t k *) ,

2---- 1 , 2 , . .

.,

k-

Nun mul~ in Q die Funktionaldeterminante (54)

o (If ..... t~) o(**, Y,q) 4 : 0

/ a ~'/

sein, well sonst in Q der Rang der Funktionalmatrix | ~-~j v ---- 1, 2 . . . . . n; 2 ---- 1, 2 . . . . . k kleiner als k ausfiele. Es sei nun fiir den Punkt Q x~. = x~., 2 -- 1, 2 , . . . , k. Dann lassen sich wegen (54) die Gleiehungen (53) in geniigender N~he des Punktes (x ~ x ~ x:) umkehren, w. z. b. w. II (2)~ Es sei z~ eine im Innern des Grundgebildes G~ liegende Punktmenge. Dann sol[ die Punlctmenge g relativ-o]]en zu G~ heiBen, wenn es zu jedem Punkte Q yon z~ein (~ > 0 gibt, so daft die (~-Umgebung yon Q im Innern yon Gk g angehSrt. Diese Definition ist offenbar gleiehbedeutend mit der folgenden: II (3). Eine im Innern des Gnmdgebildes G~ liegende Punktmenge hei~t relativ-o//en zu Gk, wenn im Definitionsparallelotop des k-dimensionalen Parameterraums yon Gk die g entsprechende und demgem~l~ im Innern des Parallelotops liegende Punktmenge in bezug auf den Parameterraum eine o//ene, d . h . nur aus inneren Punlaen bestehende Punktmenge darstellt.

?Jber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. ~ b, Ill. 719 II (4). Es bezeichne G~* ein yore Innern yon Gk iiberdeektes Grundgebilde; es ~ei ~* der Durchschnitt der zu Gk relativ-offenen Punktmenge ~ mit d e m

Innern yon Gk*. Dann ist ~* relativ-offen zu G~*. Beweis. Es sei Q ein Punkt von z*. Dann ist Q auch ein Punkt yon ~; daher gibt es ein ~ > 0, so da~ im Innern yon G~ die ~-Umgebung yon Q angehSrt. Afortiori gehSrt auch im Innern yon G~*die ~-Umgebung yon Q an, definitionsgemgB gehSrt sie daher auch zu ~*, w. z. b. w. III. Den Gegenstand dieses Absehnitts bflden im n-dimensionalen Raum (xl, x s , . . . , x~) gele~ene Punktmengen M~, 1 --~ k ~ n -- 1, yon folgenden Eigenschaften: a) Mk ist besvhr~inkt und abgeschlossen. b) Zu jedem Punkt yon Mk lgflt sich ein Grundgebilde G~. bestimmen, dessen Inheres diesen Punkt einschliefllich einer gewissen Umgebung des Punktes au/ M~ bedeckt. Lafit sich das Grundgebilde Gk so wahlen, daft es ganz yon M~ bedeck wird, so heiflt der Punkt ein innerer Punkt yon Mk, sonst ein Randpunkt. c) Die Menge der inneren Punkte yon M~ ist nicht leer. d) Jeder Randpunkt ist Hdu]ungspunkt yon inneren Punkte~. Es darf hier hervorgehoben werden, dab die Voraussetzung, dab M~ eine zusam~nenh~ngende Punktmenge bildet, bier nicht gemacht wird. Ferner sei bemerkt, dab (c) aus (d) folgt, wenn vorausgesetzt wird. dab M~ nicht leer ist. F o l g e r u n g e n . Es sei vorausgeschickt, dab (lie nachstehencten ~olgerungen III (1, 2 . . . . ,11) sieh lediglieh aas den Voraussetzungen HI (a) und HI (b) ergeben. Erst die Folgerung III (12) bedarf noch der Voraussetzuug III (d). IIl (1). Die Menge der Randpunkte yon Mk ist abgesctdossen. Beweis. Es sei P ein innerer Punkt yon M~ und G, gemaB III (b) ein Grundgebilde, das ganz auf Mk liegt, und (lessen Inheres den Punk~ P einschlieBlieh seiner ~-Umgebung auf M~ bedeckt. Es sei Q ein Punkt der 3-Umgebung yon P auf Mk. Dann wird gemiiB I (2) auch eine gewisse Umgebung yon Q atff Mk vom Innern yon Gk iiberdeckt. Nach der Definition H I (b) ist daher auch Q ein innerer Punkt yon Mk. Also besteht die 8-Umgebung von P auf M, aus inneren Punkten yon Mk. P kann mithin nicht H~ufungspunkt yon Randlaunkten yon Mk sein, w. z. b. w. K o r o l l a r . Die RandpunkCmenge kann leer sein. Dann soil Mk geschlossen heiBen. HI (2). Es sei P ein beliebiger Punkt yon Mk, und es sei Gk gema~ IH (b) ein Grundgebilde, dessen Inneres den Punkt P nebst einer gewissen Umgebtmg yon P a u f M~ bedeekt.

720

E. Schmidt.

Dann enthiilt jedes yore Innern yon Gk iiberdeckte Grundgebilde G~, P noch als inneren Punkt besitzt, ebenfalls in seinem Innern eine gewi~se Umgebung yon P a u f Mk. Beweis. Gem~B II (1) fo]gt aus den fiber G* gemachten Voraussetzuagen a fortiori, dab P nebst einer gewissen Umgebung yon P auf Gk ~om Innern yon Gk* bedeckt wird. Da nun voraussetzungsgemaB P nebst einer gewissen Umgebung yon P auf Mk yon Gs bedeckt wird, so wird such gemafl I (1) P nebst einer gewissen Umgebung yon P auf Ms yore Innem yon G~ bedeckt.

das

W. Z. b . w .

III (3). Es sei P ein innerer Punkt vonMk, und es seien Gk undGs gem~B III (b) zwei auf Mk liegende P in ihrem Innern enthaltende Grundgebilde; Gk bedecke die 6-Umgebung yon P auf Ms, G~ die ~--Umgebung. Man grenze im Innern yon G~ -- etwa dutch Zusammenziehung des Definitionsparallelotops im k-dimensionalen Parameterraum yon Gs - - e i n P noch im Inneren enthaltendes TeilgrundgebildeoG* dergestalt ab, dab es nut aus Punkten besteht, die yon P urn weniger als ~entfernt sind. Da Gk*yon M1, bedeckt wird, so liegt es ganz in der ~-Umgebung yon P auf Mk und mithin auch im Innern yon G~. Andererseits zeigt Satz III (2), angewandt auf Gk und G~*,dab auch das Innere yon G~ eine gewisse Umgebung yon P auf M~ iiberdeckt. Wit haben also das folgende Ergebnis: Es sei P ein innerer Punkt yon Ms. Dann l~i~t sich zu zwei gem~ III (b) P nebst einer gewissen Umgebung yon P a u / M~ im Innern enthaltenden Grundgebilden, die beide ganz au] Ms liegen, stets ein drittes Grundqebilde yon denselben Eigenscha]ten besti,rtmen, das im Innern yon beiden liegt. III (4). Der Punkt P ist schon dann als in,nerer Punkt .von M~ sichergestellt, wenn sich ein P in, Innern entbxtltendes Grund~ebilde G* k bestin*men l ~ t , das ganz au] M~ liegt. Beweis. Es bedarf lediglich des Nachweises, dab auch eine gewisse ,Umgebung von P auf Mk vom Innern yon G~* bedeckt wird. Nun gibt es gemiiB III (b) ein Grundgebilde G~, dessen Inheres P nebst einer &Umgebung auf M~ bedeckt. Diese bedeckt wiederum, weil G~ auf Ms liegt, die O-Umgebung yon P aufGk*. Also wird a'fortiori die &Umgebung yon P auf Gk* vom Innern yon G~bedeckt. Gem~B II (1) wird daher auch eine gewisse Umgebtmg yon P auf Gs vom Innern yon G* bedeckt. Hieraus und aus der Defiaitionseigenschaft von G~, eine gewisse Umgebuag yon P auf Mk zu bedecken, folgt gemiiB I (1), dab auch eine gewisse Umgebung von P auf Ms yore Innera yon G~ bedeckt wird, w. z. b. w. Dieser Satz III (4) l~iBt sich auch so aussprechen:

Ober dab isoperimetrische Problem im Raum yon

n

Dimensionem w5, III. 721

Lieqt ein Crrundqebilde O* au/ Mk, so ist jeder innere Punkt yon G* auch ein innerer Punkt yon Mk. III (5). Der Satz III (4) laBt sich folgendermal]en verschiiaffen: Der Punkt P ist schon dann als innerer Punkt van Mk sichergesteIlt, wenn sich ein P im Innern enthaltendes Grundgebilde Gk bestimmen lgflt, so daft eine ~-Umgebung yon P a u / Gk yon Mk bedeckt wird. Beweis. Wir k6nnen, wie beim Beweise yon III (3), im Iaaern yon Gk ein P noch im imaern enthaltendes Teilgrundgebilde G* so abgrenzen, dal~ es ganz in die ~-Umgebung yon P auf Gk hineiaf~llt und mithin voraussetzungsgem~fl auf M~ liegt. Damit ist der zu beweisende Satz III (5) aufden Satz III (4) zuriickgefiihrt. III (6). Beschrlinkt man sich nur auf solche, in ihrer Existenz clu~vh III (b) gesicherten Grundgebflde Gk, bei welchen yon vornherein vorausgesetzt wird, dail ihr Inneres den Punkt P einsehlieillich einer gewissen Umgebung yon P auf M~ enth~It, so liil~t der Satz H I (5) sich folgendermal3en umkehren: Ist P ein innerer Punkt yon Mk, So besteht auch eine gewisse Umgebung yon P au/ G~ nut aus inneren Punkten vo~n M~. Beweis. DefinitionsgemaB gibt es jedenfalts ein P ira Innern enthaltendes Grundgebitde G'~, das yon Mk bedeckt wird. Da nun eine ($-Umgebtmg vo~ P aufMk yore Innern yon Gk bedeckt wird, so wird afortiori auch die 6-Umgebung yon P auf G~ yore Innern yon Gk bedeckt. Gem~i{~ II (1) wird daher auch eine gewisse Umgebung yon P auf Gk yore Inaern yon G~ bedeekr Sie besteht daher nur aus Punkten yon M~, und zwar gem~l~ dem Schlui~satz yon III (4) nut aus inneren Punkten yon Mk, w. z. b. w. III (7). Die Folgerungen III (5) and III (6) lassen sich so zusammenfassen: Es sei P eirr Punkt yon M~; es sei Gk gemi~$ III (b) ein Gruadgebfide, dessert Inneres P nebst einer gewissen Umgebung yon P auf Mk bedeelrt. Unter dieser Voraussetzung ist P dann und nur dann ein Randpunkt yon M~, wenn P relativ zu Gk ein Randpunkt des Durchschnitts der Punktmengen Mk und G~ ist, d. h. wenn in jeder Umgebung yon P auf Gk Punkte 15egen, die nieht zu Mk gehSren. III (8). Es sei P ein Randpunkt yon M~. Dann gibt es ein P nebst einer gewissen Umgebung yon P a u ] M~ im Innern enthaItendes Crrundgebilde G.~ yon der Eigensehafl, daft die Gesamtheit der im Innern yon Ge qelegenen inneren Punkte von Mk eine zu ~ im Sinne yon II (2) relativ o]/ene Punktmenge bildet. r

DaI3 diese Punktmenge nicht leer ist~ wird erst dutch Heranziehung yon III (d) gesichert.

722

E. Schmidt.

Ferner kann dabei noch verlangt werden, dal] G--kim Innern eines vorgegebenen Grundgebildes G~ liegt, dessen Inneres den Punkt P einschliel]lich einer O-Umgebung yon P auf M~ bedeckt. Beweis. Es sei Q ein in der 5-Umgebung yon P auf M~ gelegener Punkt. Gem~l~ I (2) wird dann eine gewisse Umgebung von Q auf Mk ebenfalls vom lnnern yon G~ bedeckt. Ist nun Q ein innerer Punkt yon M~, so folgt hieraus gemgl~ III (6), dal] auch eine gewisse Umgebung yon Q auf G~ nut aus inneren Punkten yon Mk besteht. Also bildet die Gesamtheit der in der 5-Umgebung yon P gelegenen inneren Punkte yon Mk eine zu Gk relativ-offene Plmktmenge. Man grenze nun im Innern yon G~ etwa wie in III (3), ein P noch im Innern enthaltendes Teilgrundgebilde G-k so ab, dab es ganz in die O-Umgebung yon P aufGk fgllt. Das Grundgebilde G-~hat dann wegen II (4) die im Satze III (8) geforderten Eigenschaften, w. z. b. w. III (9). I s t P ein Randpunkt yon M~ und G~ ein Grundgebilde von den unter III(8) angegebenen Eigenschaften, so hat jedes im Innern yon G~ liegende, P noch im Innern enthaltende Grundgebilde, dieselben Eigenschaften. Beweis. Das folgt unmittelbar aus den S/~tzen III (2) und II (4). III (10). Es sei w eine beschr~nkte abgesehlossene Punktmenge im n-dimensionalen Ranm. Es sei jedem Punkt P von ~o eine n-dimensionale Kugel yon beliebig verEnderlichem Radius 6p :> 0 zugeordnet. Dann besagt der Borelsche ~~-t z , dal] sich unter diesen Kugeln schon endlieh viele so ausw~ihlen lassen, dab jeder Punkt yon ~o im Innern mindestens einer der ausgew~hlten Kugeln liegt. Das l~l]t sich in unserer Termin~176 auch so ausdriicken: Ist jedem Punkte P yon e) eine 5p-Umgebung von P auf co zugeordnet, so geniigen schon endlich viele dieser Umgebungen, um eo zu iiberdecken. Wegen III (a) und II! (b) l~iflt sich daher MR schon yore Innern yon endlich vielen der Grundgebilde Gk iiberdecken. III (11). Wegen III (b) und III (3) gibt es zu jeden, inneren Punkt yon M , eine eindeutig bestimmte Tangentensehar yore Range k, welche die k-dimensionale Tangentialebene bildet, und senkrecht zu dieser eine eindeutig bestimmte Normalenschar yore Range n -- k, welche die Normalebene bildet. Wegen III (1) ~ndern sich die k-diraensionale Tangentialebene und die (n -- k)-dimensionale Normalebene stetig mit dem Punkte, zu welchem sie gehiiren. III (12). Auch zu jedem Randpunkt P yon Mk erh~lt man eine Tangenten.schar yore Range k, welche die k-dimensionale Tangentialebene bildet, und senkreeht zu dieser eine Normalenschar vom Range n - k, welche die ( n - k)-dimensionale Nor malebene bildet, indem man die k-dimensi0nale

l~ber das isoperimetrisehe Problem im Raum von ~ Dimensionen. w6, I, II. 723 Tangentialebene und die (n -- k)-dimensionale Normalebene in bezug auf ein beliebiges Grundgebilde Gk konstruiert, dessen Inheres gem/if I I i (b) den Pankt P nebst einer &Umgebung voa ihm auf M~ bedeckt. Diese Konstruktion ist eindeutig, d. h. yon der Wahl des Grundgebildez G~ unabhar~ig. Beweis. Es geniigt, die Unabh~i~agigkeit der ( n - k)-dimensionalen Normalebene yon der Wahl yon Gk nachzuweisen. Wie im Laufe des Beweises yon III (8) gezeigt, bfldet die Gesamtheit der in der O-Umgebung yon P gelegenen inneren Punkte yon Me eine zu Gk relativ-offene Punktmenge. Ist daher Q ein innerer Punkt yon M~ in der 5-Umgebung yon P, so erh~ilt man in Q die Normalebene zu M~, indem man die Normalebene zu Gk bildet. Es sei nun / ~ eine unendliche Folge yon inneren Punkten yon Mx, welche gegen P konvergiert'. Die Existenz einer solchen Punktfolge ist dutch III (d) sichergestellt. Man kann annehmen, daft alle Punkte pm innerhalb der O-Umgebung yon P auf M~ liegen. Die Normalebeae des Punktes P~ zu Mk ist dann identisch mit seiner Normalebene zu Gk, und letztere konvergiert gegen die Normalebene yon P zu G~. Also konvergiert die in P~ a ls irmerem Punkt yon Mk gem~f III (11) eindeutig bestimmte Normalebene zu M~ gegen die Normalebene in P Zu G~. Letztere ist daher ebenfalls eindeutig bestimmt, d. h. unabh~agig yon der Wahl w n Gk, w, z. b. w. Es sei, wie oben, P ein Randpunkt yon M~ und G~ ein Grtmdgebilde, dessen Inneres den.Punkt P einschliel]lich einer 5-Umgebung yon ibm auf M~ bedeckt. Ist dann P" ein beliebiger innerer oder Randpunkt yon M~ innerhalb de~ ~-Umgebung yon P, se wird gem~it] I (2) auch der Punkt P' r~ebst einer gewissen Umgebung yon ihm auf Mk yon Gk bedeckt. Iafolgedessen ia~ in jedem Punkt P' die Normalebene zu Mk identisch mit der Normalebene zu Gk. Daraus folgt: Die Stetigkeit der ~Inderunq. der (n -- k)-dimensionalen Normalebene und damit auch der k-dimensionalen Tanyentialebene zu M~ bleibt auch erhahen, wenn der Bezugspunh au] dem Rande von M~ liegt.

w Erkl~rung einer Klasse yon Mannigfa]tigkeiten im n-dimensionalen Raum. Wir woUen im n-dimensionalen Raum eine Klasse von ~annigfaltigkeiten definieren. I. Eine regu~re O-dimensionale Mqnnig]altigkeit ist ein Pmfl~. Jede Gerade durch diesen Punk't gilt als Norma]e der Mann~gfaltigkeig, II. Eine re,gul~re 1-dimensionate Mannig[altigkeit M 1 wird in folgender Weise definiert:

724

E. Schmidt.

M 1 genfigt den Definitionsforderungen w5 III (a, b, c, d) ffir k = 1. Dazu kommt noch die Forderung: II (e). Die O ~ t ~ i t der in~ren Pun~te v ~ M1 ist z u s a m ~ n ~ n g e ~ , d. h. je zwei innere Punkte yon M x sind auf einem nur dutch innere Punkte [aufendem Wege verbindbar. Under einem ,,Wege" wird dabei, wie fiblich, das eindeutige stetige Bild einer abgesch[ossenen end[ichen geraden Strecke verstanden - - ohne die Voraussetzung der eh~deutigen Un~ehrbarkeit der Abbildung. F o | g e r u n g e n . Es ge|ten zun~ehst aUe Folgerungen w5 III (1, 2 , . . . , 12). Den Folgerungen w5 III (11, 12) entsprieht insbesondere der Satz: w6 II (11, 12). In jedem Punkte yon Mx, auch in jedem Randpunkte, gibt es eine wohlbestimm~e Tangente und eine wohlbestimmte l~ormalenschar vom Range n - 1, weIche die ( n - 1)-dimensionale Normalebene bildet. Tangente und Norma[ebene ~ndern sich stetig mit dem Bezugspunkte. In jedem Randpunkte yon M1, den wir als 0-dimensionale regulate Randmannigfaltigkeit ansehen, gibt es noch in bezug auf diese Randmannigfaltigkeit gem~l~ w6 1 eine Normalenschar vom Range n, die aus allen Geraden durch diesen Punkt besteht. Die Gesamtheit aller dieser bTormalen heil3t das vollst~ndige Normalensystem der Mannigfaltigkeit M a. Da gem~13 w5 III (10) auf Grund des Borelsehen Satzes M 1 sich schon yore Innern yon endlieh vielen Grundgebilden'G I bedecken l~iSt, so folgt aus w6 II (e} leichL da] M 1 entweder keinen Randpunkt hat, d. h. geschlossen ist, oder zwei. II {13). Es werde M 1 yon einer (n -- 1)-dimensionaleh Ebene gesehnitten. Es finde nirgends eine Beriihrung statt, und zwar in folgendem Sinne: In keinem Schnitte liege die Ebene senkrecht zu einer der zu diesem Punkte gehSrenden Normalen des vollstgndigen Normalensystems yon M 1. In der letzten Voraussetzung ist also insbesondere auch die Annahme inbegriffen, da$ die Ebene dutch keinen der Randpunkte (Endpunkte) von M1 geht. Dann be~teht der Schnitt der Ebene mit M 1 aus endlich vielen regulgren O-dimensionalen Mannig]altigkeiten, d. h. aus endlich vielen Punkten. G~be es n~mlich unendIieh viele Schnittpunlae, so miiflten diese einen H~ufungspunkt haben. In einem solehen miil~te abet eine Beriihrung stattfinden -- gegen die Voraussetzung. II (14). Unter den Voraussetzungen yon II (13) wird M 1 dutch die Schnittebene in e~ilich viele regukire 1-dimensionale Mannig]ahigkeiten zerlegt. Beweis. Man kann annehmen, dal~ die Ebene die Gleichung x 1 -- c hat. Es geniigt dann, den zu beweisenden Sachverhalt fiir diejenige Punktmenge T festzustellen, fiir welehe x 1 g c ist.

Ober das isoperimetrische Problem im Raum yon ~ Dimensionen. w6, III.

725

Zun~chst ist T beschr~inkt und abgeschlossen, effiiUt also die Definitionsforderung w 5 I I I (a). Auch w5 I I I (b) bleibt fiir Tefffillt, und zwar dergesta[t, dab fiir x 1 < c, ein innerer P u n k t von M 1 ein innerer Punkt yon T bte'bt und ein R a n d p u n k t yon M 1 ein Randpunkt yon T. Aueh w5 I I I (d) bleibt, wie zuniichst erhellt, fiir die Randpunkte yon T, fiir welche x 1 < c ist, effii]lt. Es sei nun P ein Schnittpunkt yon M 1 mit der Ebene, Mso e~n Punk~, fiir welchen x 1 = c ist. Dann kann, wie bei den Voraussetzungen fib~r die Schnittebene ausdriicklich hervorgehoben, P kein Randpunkt yon M 1 sein. Es gibt also ein auf M 1 liegendes Grundgebilde G1, dessen Inneres P nebst einer gewissen Umgebung yon P auf M 1 enth~lt. Gem~B I I (13) gibt es nur end!ich viele Schnittptmkte yon M 1 mit der Ebene. Wit kSnnen daher G 1 so klein w~ihlen, dab kern weiterer Schnittpunkt und auch kein Randpunkt yon M 1 auf G 1 !iegt. Da voraussetzungsgemaB G 1 die Ebene nicht berfihrt, so zerlegt der P u n k t P- G~ in zwei nicht leere Stiicke. In dem einen gilt x 1 < c u n d e s besteht nur aus inneren Punkten yon M s und mithin auch yon T, in dem anderen Stfick gilt x 1 > c und es enth~ilt mithin keinen P u n k t yon :T. GemgB w 5 I I I (7) ist daher P ein Randpunkt yon T, und da P HRufungspunkt yon inneren Punk~en yon T ist, so ist die Forderung w5 I I I (d) nunmehr fiir alle R a n d p u n k t e yon T erffitlt. Damit ist aueh bewiesen, dab die Menge der inneren Punkte yon T nicht leer ist, d. h. dab auch die Forderung w5 I I I (c) erfiiUt ist. Es sei n u n / / e i n innerer P u n k t yon Mx, f~r welchen x 1 > c ist und den wir festhalten. Es sei Q ein beliebiger innerer Punkt yon T , also aueh ein innerer P u n k t yon M 1, Gem~i~ H (e) ist Q m i t / / a u f einem Wege verbindbar, d e r n u r aus inneren Punkten yon M 1 besteht. In der Durchlaufungsrichtung yon Q naeh H muB dieser Weg einen ersten Schnittpunkt m i t der Ebene x x = c haben. Es sei P dieser Sehnittpunkt. Dann ist Q auf einem nur aus inneren Punkten yon T bestehenden Wege verbindbar mit dem zu T geh6renden der beiden zusammenh~ingenden Stiicke yon G1, in welehe, wie oben gezeigtl G 1 durch P zer]egt wird. Da es gemR{~ II (13) nut endlich viele so!ehe Schnittpunkte gibt, so zerfallen die inneren Punkte yon T in endlich viele zusammenh~ngende Komponenten. T zeff~llt daher auch in end|ieh viete regulate 1-climensionale Mannigfa]tigkeiten, w. z. b. w. III. Wir definieren jetzt rekursiv in aufsteigender Dimensionenzah|, indem wit die Folgerungen aus den Definitionen unter Heranziehung des Induktionsschlusses beweisen: Eine regultire k-dimensionale Mannig]altigkeit Mk im r~-dimensionalen Raum, 2 ~ k ~ n -- 1, wird dureh folgende Eigenschaften definiert: M~ geniigt zungchst den Forderungen w 5 I I I (a, b, e, d).

726

E. Schmidt.

Dazu konmlen noeh die Eigenschaften: III (e). Die Gesamtheit der inneren Punkte yon M ~ ist zusammenh~ngend -im iiblichen, unter II (e) sehon erkl~ten Sinn dieses Ausdrucks. III (f). Wenn iiberhaupt Randpunkte vorhanden sind, d.h. wenn M~ nic]~ geschlossen ist, so besteht der Rand aus endlich vielen rezjuldren (k ~ 1 )dimensionalen Manniqfaltig'~ten, yon denen je zwei nut Punkte gemein haben kSnnen, die fiir beide wiederum Randpunkte sind. F o l g e r u n g e n . Es geiten zun~ichst alle Folgerungen w5 III (1, 2 . . . . , 11, 12). Den Folgerungen w5 III (11, 12) entspricht insbdsondere der Satz: III (11, 12). In jedem Punkte yon Mk, aueh in jedem Randpunkte, gibt es eine wohlbestimmte Tangentenschar vom Range k, .welehe die k-dimensionale Tangentialebene bildet, und desgleichen eine wohlbestimmte Normalensehar vom Range (n -- k), welche die (n -- k)-dimensionale Normalebene bildet. Tangentialebene und Normalebene ~ndern sich stetig mit dem Bezugspunlae. Fiigt man zu diesen Normalen die vollst~ndigen Nornmlensysteme hinzu, welche zu jeder der endlieh vielen regul~iren (k -- 1)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten yon Mk gehSren, so erh~ilt man das vo!lsta'ndige Normalensystem yon M~. III (13). Mk werde yon einer (n -- 1)-dimensionalen Ebene gesehnitten. Es finde nirgends eine Beriihrung statt, und zwar in folgendem Sinne: In keinem Sehnittpunkt liege die Ebene senkrecht zu einer zu diesem Punkte gehSrenden Normalen des vollstandigen Normalensystems yon M~ Dann besteht der Schnitt aus endlich vielen regul~ren (k ~ 1)-dimensionalen ManniY/altiffkeiten. Wenn zwei derselben Punkte gemein haben, so miissen diese ~iir beide Manniq/altigkeiten Randpunkte sein -- und zwar /iir beide Randpunkte hiiherer Ordnung, d.h. solche Randpunkte, welche nicht in* Innern einer ihrer (k - 2 )-dimensionalen Randm annig]altiil "keiten liegen. Endlich geht jeder innere Punkt yon Mk in einen inneren Punkt einer der endflich vielen reyularen ( k - 1)-dimensianalen Schnittmannig/alti~keiten iiber, jeder Randpunkt yon M~ in einen Randpunkt des Schnittes. !Beweis. Wit schieken dem Beweise dieses Satzes eine Disposition voraus, w~l~e angibt, in weleher Folge die einze]nen Aussagen zu Beweis kommen: Zuniichst werden fiir die Sehnittmannigfaltigkeit unter (A) die Eigenschaften w5 H I (a) und III (b) bewiesen. Unter (B) wird bewiesen, dal3 auf dem Schm~v ein iimerer Pu~lrt yon M), in einen inneren Punkt des Schnittes iibergeht. (C) besch~ftigt sich mit denjenigen auf dem Schnitt gelegenen Randpunkten yon M~, welehe innere Punkte einer der reguliiren (k -- 1)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten R~_ I yon M~ sind. Es wird bewiesen, daft ein solcher Randpunkt auch in einen Randpunkt des Sehnittes iibergeht, und dai~

~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w6, I!I. 727 fiir diesen auch w5 III (d) erftillt ist, und zwar dergestalt, dab in einer geniigend kleinen Umgebung des Punktes alle inneren Punkte des Schnittes zusammenh~ngen. (D) behandelt endlich diejenigen Randpunkte yon M~, wetche nich~ inhere Punkte eines R~_ 1 sind, d. h. welche auf dem Rande yon endlich vielen der R~_ 1 liegen. Erst an dieser Stelle wird yon dem Veffahren des Induktionsschlusses Gebrauch gemacht, indem der zu beweisende Sat~ III (13) fiir die R~_ 1 vollinhaltlich als giiltig vorausgesetzt wird. Und zwar ergibt sich auf diesem Wege zun~chst, dab w5 III (d) auch fiir diese Randpunkte des Schnittes gilt, womit die Giiltigkeit yon w5 III (d) ftir a//e Randpunkte des Schnittes bewiesen ist. Gleichlaufend ergibt sich auch die Aussage des Satzes III (13), dab auf dem Schnitt ein Randpunkt yon Mk in einen Randpunkt des Schnittes iibergeht , als fiir alle Randpunkte yon Mk giiltig. Unter (E) wird gezeigt, dab an Stelle der Giiltigkeit yon w6 III (e) der Satz tritL da~ der Schnitt aus endlich vielen Komponenten besteht, deren jede eine regul~re ( k - 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Endlich wird hier auch die Aussage des Satzes III (13) bewiesen, taut welcher zwci verschiedene Komponenten keinen Punkt gemein haben kSnnen, der im Innern einer ihrer (k -- 2)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten ]iegr (A) Zun~chst ist die Menge der Schnittpunkte beschr~nkt und abge= schlossen. Also ist w5 III (a) erfiillt. Die Ebene habe die Gleichung x 1 = c. Es sei P ein beliebiger inneter oder Randpunkt yon M~ und Gk ein gem~B w5 III (b) P im Innern enthaltendes Grundgebilde, dessen Inneres eine 6-Umgebung yon P a u f M~ enth~ilt. G~ werde gegeben durch die Gleichungen x,. =

x~. (tl, t 2. . . . , t~),

v =

1, 2 , . . . ,

n.

Da Mk in P yon der Ebeae nicht beriihrt wird, so ist dort mindestens eine der Funktionaldeterminanten 0 (xl, %r x,~. . . . . %) 0 (t~, 12. . . . . tk) ~ O. Wir kSnnen annehmen, dal~ e~wa ist 0 (z~, z,2. . . . . x k) 0 ( t . t~. . . . . tk) ~: O.

Daher li~t sieh ein neues in Gk enthaltendes Grundget)ilde G'k bestimmen, das P im Innern enthiilt, auf x 1, x~. . . . , x~ als Parameter bezogen ist und eine 6'-Umgebung yon P auf M~ im Innern enthi~lt. Bei festgehaltenem x 1 = o wird P innerer Punkt eines G~_ 1, das auf x2, xs . . . . . x~ als Parameter bezogen ist und eine ~'-Umgebung yon P in bezug auf den 8chnitt der Ebene mit M~ im Innern enthiilt.

728

E. Schmidt.

Die Eigenschaft w5 III (b) ist also ftir jeden Punk* des Schnittes effiillt. (B) Ist P innerer Punkt yon Mk, so kann man annehmen, dab G~ und mithin auch G'~ nur aus Punl~en yon Mk bestehen. Also besteht auch G'~_1 nut aus Punbten des Schnittes. Damit ist also auch bewiesen, tta~ ein innerer P u n k t v(m M~ in einen inneren Punkt des Schnittes iibergeht.

(C) Es sei nun P ein Randpunkt yon M~, und zwar ein innerer Punkt einer der Randmannigfaltigkeiten Rk_ 1. Wegen w6 III (f) kann dann P auf keiner anderen Randmannigfaltigkeit liegen. Wit kSnnen daher das ~ Definierte auf xl, x ~ , . . . , x~ als Parameter bezogene G~ so klein wiihlen, dall die auf G~ liegenden Randpunkte yon M~ ein und derselben Randmannigfaltigkeit Rk_ i angehSren. G~ enthalte in seinem Innern die ~'-Umgebung yon P auf M~. In P ist x 1 = c ; ferner seien in P xa----x~, ~ = 2 , 3 , . . . , k . Damn wird G~ gegeben' dutch die Gleichungen x, = f,(x1, z s, . . . . zk),

(55)

" < ~, ~ a;,

v = k A- 1, k-+-2 . . . . . n,

a'~' <= x,~ < a"

alt t < v < ax,

a~' < x~~ < a~,

r

9

= 2 , 3 . . . . . k.

Gemiill w5 III (b) gibt es ein P im Imnern enthaltendes Grundgebilde F~_ 1, das mnr aus l~mtrten yon R~_ ~ besteht und dessen Inheres eine gewisse Umgebmng yon P in bezug auf R~_ 1 enthiilt. Man kann annehmen, dal~ F~_ x ganz im Innern yon G~ enthalten ist. /'~-x ist also gegeben dutch die Gleichungen (557 in Verbindung mit Gleichungen yon der Form % = % ( t i , . . . , tk_~),

~ = 1, 2 . . . . , k.

Gemi~l~Voraussetzung wird/'~_ 1 in P yon der Ebene x 1 ---- c nicht b e r e f t . Daher ist in P eine der Funktionaldeterminanten 8 ( z p z,.s, z,.s, . . . . z,rt_ 1) # 0 ,

a(t.

t~. . . . . tk_

~)

wobei v,, v a , . . . , vk_x k - 2 Indizes unter den k bedeuten. Man kann annehmen, dall etwa ist

! Indizes 2, 3 . . . . , k

a ( z l , z2..... x ~ _ 1) #0. O (h, t~, . . . . tk _ ~)

Man kann daher ein neues, im Innern y o n / ~ _ 1 enthaltenes Grundgebilde F~_ besti~men, das gegeben wird dutch die Gleichungen (55) in Verbindung mit einer Gleichung tt

(56~

ai' < c" < c < c' < a,,' a~' < b~' < z~~< be' < %,' 9 -~--2 , 3 , . . ' . , k - - 1 .

Ober das isoperimetrisehe Problem im Raum yon n Dimensionen. w6, III. 729 F~._ I enth/ilt dann in seinem Innern eine gewisse rl-Umgebung yon P in bezug auf den ganzen Rand von Mk. Man w~hle nun die Schranken

c"<:d~'
b~,'
(~ -----2, 3 , . . . , k - - 1),

dergestalt, da$ das dem Teilparallelotop

d~ <= x,, <=a~,

(57)

~ = 1,2,.o~

durch die Gleichungen (55) entsprechende Grundgebilde G~' nut Punkte enth~lt, die yon P u m weniger als das oben festgesteUte ~ en$fernt sind. G~ enthalte die (W-Umgebung yon P auf M~. In dem Teilparallelotop (57) entsprechen den auf G~' liegenden Randpunkten yon M~ nur diejenigen Punkte, welche gleichzeitig auch auf der Fl/iche 58)

z~ = h ( x , , . . . ,

xk_~),

d~' =< x,., _< d~,

e = !, 2 . . . . , k -

l,

40) = h(c, x2,..., z~_,) liegen. Nun ist d~' < x~ < d i. Man kann daher bei festgehaltenem d~' und d~. dm ubrlgen Schranken de, d_, ~ = 1, 2 . . . . . k - 1 sieh so nahe aneinander gertiekg denken, dell fiir # ___ x~ N ds s < / k (xl . . . . , xk_ ~) < dk, b|eibt. Dann zerlegt die Fl~iche (58) das Parallelotop (57) in zwei zusammenhgngende Gebiete xk > ]k (xl . . . . . x~_l) und xk
9

o

tt

t

rt

Es miissen daher in jedem der beiden Gebiete, in welche das Paral]elotop (57) durch die Fl/iche (58) zerlegt wird, entweder alle oder kein einziger Punkt der obigen offenen Punktmenge angehSren; denn den im Innern yon G~' liegenden Randpunl~en yon Mk entsprechen, wie oben hervorgehoben, im Innern des Paral]elotops (57) ausscMielllich die Punkte der Fl~iehe (58). Da nun die offene Punktmenge nicht leer ist, so mull eines der beiden Gebiete nut aus solehen Punkten bestehen, welchen auf G~' innere Punkte yon M~ entsprechen. ])as andere Gebiet ]~ann dann keinen einzigen solchen P u n ~ enthalten, well andernfalls der Punkt P sich gegen die Vorausser ats innerer Punkt yon M~ erwiese.

730

E. Sehmidt.

Es bezeichne nun GI~-1 dasjenige (k 1)-dimensionale Grtmdgebilde, in welches G~ iibergeht, wenn x 1 ----- c festgehalten wird. Dann ist G~_ 1 bezogen auf das Definitionsparallelotop -

(59)

H

-

r

d~ _--
~

2, 3 . . . . , k, ,,, und enth~]t P als inneren Punkt. Da ferner das Innere yon Gk die O'-Um=

gebung von P auf Me fiberdeckt, so fiberdeckt auch das Inhere yon G-~_1 die 5"-Umgebung yon P auf dem Schnitt. Endlich entsprechen entweder denjenigen Punkten im Innern des Parallelotops (59), flit welche x~ > h (c, x ~ , . . . , x~)

ist, auf G~_ 1 inhere Punkte yon Me und daher auch, wie unter (B) bewiesen auch innere Punkte des Schnittes, w~hrend allen 1)unkten, ffir welche xe < / ~ (c, x, . . . . , xe)

ist, auf Ge-1 Punkte entsprechen, die nicht auf Mk liegen; oder es ist das Umgekehrte der Fail. Genv~fl w5 III (7) wird dahez der Punk$ P auch ein Randpunkt des Schnittes im Sinne yon w5 III (b). Ferner ist auch w5 III (d) fiir den Punkt P in bezug auf den Schnitt erfiillt; denn P ist Hiiufungspunkt von inneren Punkten des Schnittes. Endlich ergibt sich aus dem Obigen, dal] alle inneren Punk-re des Schnittes in geniigender N~ihe yon P auf Wegen miteinander verbindbar sind, die nut aus inneren Punkten des Schnittes bestehen. (D) Da wit den hier zu beweisenden Satz w6 III (13) ffir k --'1 ats vollst~ndig gfiltig annehmen dfirfen, so ergibt sich, dal] die Ebene x 1 -- v jede der Randmannigfaltigkeiten R e - i von M k gar nicht oder in endlich vielen reguliiren ( k - 2)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten R'e-~ schneider. Dabei geht jeder inhere Punkt eines Re_ 1 in einen inneren Punkt eines R' _ ~ fiber und jeder Randpunkt in einen Randpunkt. Ist nun endlich P ein Randpunkt yon M~, der nicht innerer Punkt yon einem Re_ 1 ist, so gehen dutch P hSchstens endlich viele R e_ 1 und mithin auch endlich viele R~_~ und P wird Randpunkt yon diesen. Da w5 III (d) gemiil~ dem Verfahren des Induktionsschlusses ffir den Schnitt mit jedem Re-1 als giiltig betrachtet werden darf, so ist P tt~ufungspunkt yon inneren Punkten der Mannigfaltigkeiten R'l,~_~,d. h. yon inneren Punkten der Re-1, welche auf der Ebene x 1 = c liegen. Da nun diese Punkte, wie am Schlui~ von (C) auseinandergesetzt, H~ufungspunk'te yon inneren Punkten des Schnittes der Ebene mit Me sind, so ist nunmehr w5 III (d) aueh fiir P und damit fiir alle Randpunkte des Sehnittes mit Me bewiesen. Ferner ist jetzt auch die Aussage des zu beweisenden Satzes III (13), daft ein auf dem Schnitt

Uber das isoperimetrische Problem im Raum yon ~ Dimensionen. w6, IH. 731 gelegener Randpunkt yon M~ in einen Randpunkt des Schnittes iibergeht, fiir alle Rand.punkte yon Mk bewiesen. (E) w6 III (e) braucht natiirlich nicht erfiillt zu sein; es bleibt vielmehr noeh zu zeigen, daft der Schnitt aus endlich vielen Komponenten besteht, d. h. aus endlich vielen abgesehlossenen Punktmengen, deren innere Punkte zusammenh~ingen. Das soil jetzt bewiesen werden: Ist zun~chst P innerer Punkt einer der Randmannigfaltigkeiten des Schaittes R'~,_ 2, so h~ngen alle Punkte des Schnittes in geniigender N~ihe yon P miteinander zusammen, denn P ist dann auch innerer Punkt eines R~_ 1 und fiir diese ist das am Schlul~ yon (C) ldargelegt. Da nun wegen der Giiltigkeit yon w6 III (e) fiir jedes R~_ 2 je zwei innere Punkte eines und desselben R'I:_ z auf einem Wege, d e r n u r aus inneren Punkten desselben besteh~, sich verbinden lassen, so folgt leicht, dab die inneren Punkte eines R~_ 2 nut Randpunkte einer einzigen Komponente sein kSnnen. Da es nut endliCh viele R'~_ s gibt, so ist jetzt bewiesen, dal~ es nut endlich viele Komponenten gibt, auf deren Rand ein innerer Punkt eines R~_ ~ liegt. Gleiehzeitig ist damit auch die Aussage des zu beweisenden Satzes III (13) bewiesen, taut welcher zwei verschiedene Komponenten keinen inneren Punkt eines R~_ ~ gemein haben k6nnen. Wir haben jetzt noch zu beweisen: (F) Es gibt auf dem Sehnitt nur endlich vieie randlose, d. h. geschlossene Komponenten. (G) Ist P ein auf dem Rande eines Rk-1 und mithin auch eines R [ . z gelegener Randpunkt einer Komponente des Schnittes , so enth/~lt der Rand dieser Komponente mindestens eines der R~_ z, auf welchen P liegt, vollst/indig. Diese beiden letzten Aussagen ergeben, dab der Schnitt nur endhch viele Komponenten besitzt, und dab fiir jede derselben auch w6 III (f) erfiillt ist. Mit dem noch zu fiihrenden Beweise der Aussagen (F) und .(G) ist also der Beweis des Satzes III (13) in alien Stiicken erbracht. Um nun die Giiltigkeit yon (F) und (G) einzusehen, gen~igt es, die folgende Aussage (H) zu beweisen: (H) Ist P ein auf dem Rande eines R~_ 1 und mithin auch auf dem Rande eines R'k_~ gelegener Punkt des Schnittes, so gehSrt jeder irmere Punkt des Schnittes in geniigender N/ihe yon P einer Komponente an, deren Rand eines der / ~ _ ~, a u f deren Rande P liegt, vollst/indig enth/ilt. Dai3 aus (H) (G) folgt, ist klar. Aus (H) foigt aber auch (F). Denn zun/~chst ergibt (H), dab in einer gewissen Umgebung eines auf dem Rande eines R~_~ gelegenen Sehnittpunktes P kein Punkt einer geschlossenen Komponente angehSren kann. Dasselbe gilt abet auch, wie unter (C) gezeigt, flit jeden Randpunkt P, der im Innern eines Rk-1 liegt. Also gibt es flit M~thematische Zeitschrlft.

44.

47

732

E. Schmidt.

jeden Randpuntrt des Schnittes eine gewisse Umgebung, innerhalb welcher kein Punkt einer geschlossenen Komponente angeh5ren kann. Die Vereinigungsmenge aller geschlossenen Komponenten kann also keinen H~iufungspuntrt auf dem Rande des Schnittes haben. Giibe es nun unendlich viele geschlossene Komponenten, so nehme man aus jeder einen Punkt heraus. Diese Purd~te miiBten einen H~iufungspunkt ]laben, der, wie eben gezeigt, nicht auf dem Rande des Schnittes liegen kann. Er kann abet natiirlich auch nicht im Innern des Schnittes liegen, da in einer gewissen Umgebung eines inneren Punktes alle P~mlrte des Schnittes ein und derselben Komluonente angehSren miissen. Damit ist also gezeigt, dab aus (H) auch (F) folgt. Es eriibrigt sich also nut noch der Beweis yon (H), der nunmehr gefiihrt werden soil: Zun~chst kSnnen wit, wie in (A) gezeigt, ein P im Innern e~thaltendes, eine gewisse Umgebung yon P auf dem Schnitt iiberdeckendes Grundgebilde G~_ ~ bestimmen, welches auf k -- 1 unter den Koordinaten x~, ~a,.- -, x~ also etwa auf x2, x a , . . . , xk als Parameter bezogen ist. Man betrachte nun die Gesamtheit derjenigen R~_ 2, we]che P nicht enthalten und auf denjenigen R~_ 3, welche P enthalten, wiederum diejenigen ihrer Randmannigfaltigkeiten R~-a, we]che P nicht enthalten. Da jede dieser endlich vielen Mannigfaltigkeiten, auf welchen P nicht liegt, abgeschlossen ist, so l~Bt sich G~_ 1 yon vornherein so klein abgrenzen, dab es keinen Punkt einer dieser Mannigfa|tigkeiten enth~lt. Damit ist erreicht, dab die Gesamtheit der Randpunkte des Schnittes, we|che aufG~_ 1 liegen, nur den Randmannigfaltigkeiten R~ _ 2, R~ _ s angehSrt, welche P enthalten. Zu jedem der P enthaltenden ~ _ s gibt es ein P im Innern enthaltendes Grundgebflde ] ~ - s , welches eine gewisse Umgebung yon P in bezug auf dieses R ~k-3 enth~lt. Die Gesamtheit dieser endlich vielen F~_ 3 enth~lt also eine gewisse ~'-Umgebung yon P in bezug auf die Gesamtheit der genannten R~_ a. Man kann sich nun G~_ 1 wiederum so klein abgegrenzt denken, dab es nur aus Punkten besteht, die yon P u m weniger als ~'" entfernt sind. Die Gesamtheit der den R~_ a angehSrenden Randpunkte des Schnittes, welche auf G~_ 1 liegen, wird also yon den endlich vielen 1~_ s fiberdeckt. Es werde nun G~._1 gegeben dutch die Gleichungen (60) x~ = x~, (x2, xs . . . . . x~), ~ -- k § 1, k + 2 , . . . , n, te

(61)

r

o~ ~ xa <: aa, < <

~ = 2, 3 , .

""

k,

wobei dem Punkte P im Definitionsparal]elotop (61) der Ptmkt (x~ ~o. . . . . x~) entspreehen mSge. Jedes der Grundgebflde / ~ - a wird dann, solange es auf G~_ 1 verliiuft, dutch Gleichungen yon der Gestalt (62)

xz =

r

(tl, 9 9 tk-a),

2 = 2, 3 , . . . ,

k

Ober das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w6, III'

733

in Verbindung mit den Gleichungen (60) gegeben, wobei der index ~ die verschiedenen Grundgebilde markiert. Nun haben wit unter (A), (B), (C), (D 7 schon bewiesen, dab der Schnit~ die Forderungen ~ 5 III (a, b, c, d 7 erftillt. Daher gelten fiir den Schnitt auch die S~tze w5 III (8) und w5 III (97. Wir kSnnen uns daher das Definitionspara]lelotop (61) so gew~hlt denken, dab 'die im Innern yon G~_ 1 gelegenen inneren Punkte des Schnittes eine relativ-offene Punktmenge zuG~_ 1 biMen, welche nicht leer ist. Gem~iB w5 II (3) bilden dann auch im Innern des Parallelotops (61) diejemgen Punkte, welchen aufG~_ I jnnere Punk~e des Schnittes entsprechen, im Raume (x~, Xs. . . . . xk) eine offene Punktmenge, weiche nicht leer ist. Es sei Q einer ihrer Punkte, Q sei ein Punkt im Innern de s ParMlelotops, welchem auf G~_ 1 ein nicht auf dem Sehnitt gelegener Punkt entspricht. Nun kann man gem~iB w4 VI Q und ~) dutch einen nut aus zwei geraden Strecken bestehenden, ganz im Innern des Parallelotops verlaufenden Weg verbinden, der keines der Grundgebilde (627 schneidet. Auf diesem Wege miissen Randpunkte der oben erw~ihnten offenen Punktmenge liegen. Es sei Q* yon Q aus gesehen der erste dieser Randpunkte. Dem Punlae Q* mul~ dann auf G~_ 1 ein Randpunkt des Schnittes entsprechen, und da dieser Randpunkt auf keinem der Grundgebilde (627 und mithin auch auf keinem der R~_ s liegcn kann, so ist er ein innerer Punkt eines der ~ _ 3, w. z. b. w. III (14). Unter den Yoraussetzu~#en yon III (13) wird Mk dutch die Schnfttebene in endlivh vide reguliire k-dimensionale Mannig/altigkeits

zer~gt. Beweis.

Man kaml annehmea , d a B d i e Schnittebene die Gleichung Xl~C

hat. Es geniigt dann den zu beweisenden Saehverhalt fiir diejenige Pun]~tmenge T festzustellen, fiir we]che Xt ~

ist. Zun~ichst ist T beschrankt und abgeschlossen, erfiillt also die Fordemng

w 5 m (a). Aueh w5 III (b) b!eibt fiir T offenbar effiillt mad zwar dergestalt, dab fiir x 1 < c ein innerer.Punkt yon Mk ein innerer Punkt yon T bleibt und ein Randpunkt yon M~ ein Randpunkt yon T. Auch w5 III (d) bleibt, wie zungchst erhellt, fiir die Randpl:nkte yon T, fiir welche x 1 < c ist, erfilUt. Nun wird. gemiiB dem eben bewi.esenen Satze I I i (13) Mk yon der Ebene x 1 = c in endlich vielen (k --. 1)-dim~nsionalen regul~ren Mannigfaltigkeiten 47*

734

E. Schmidt.

M ~ - I geschnitten, yon denen je zwei nur Punkte gemein haben k6nnen, die auf beiden Randpunkte sind. Dabei geht ein innerer Punkt yon M~ in einen inneren Pnnbt eines der M~_ 1 fiber und ein Randpunkt yon Mk in einen Randpunkt yon einem oder einigen der M~_ 1Es sei nun P ein auf der Ebene x 1 ~ c gelegener innerer Punkt yon M~.. Dann gibt es, wie beim Beweis yon III (13) unter (A) und (B) ausgefiihrt, ein den P u n k t P nebst einer ~'-Umgebung yon P a u f Mk im Innern enthaltendes GrundgebildeG~, das nur aus Punk ten vonMk besteht, und auf (Xl, x2, .--, xk) als Parameter bezogen ist. Im Innern yon G~ entspreehen den Punkten, in welchen z 1 ~ c ist, innere Punkte yon T und den Punkten, fiir welche x 1 ~ e ist, nicht zu T gehSrende Punkte. Da Gk den Punkt P nebst seiner ~'-Umgebung auf T afortiori im Innern enth~tlt, so ist P nach w5 III (7) ein Randpunkt yon T, Ferner sehen wir, d a f je zwei in der ~'-Umgebung yon P a u f T gelegene inhere Punkte yon T auf einem nur aus inneren Punkten yon T bestehenden Wege verbindbar sind. Da gemw w6 III (e)~ zwei innere Punkte eines und desselben M~_ 1 auf einem nur aus inneren Punk~en dieses M~_ ' 1 bestehenden Wege verbindbar sind, so folgt jetzt leicht, dab die inneren Punkte von M~,_ 1 nur Randplmbte einer und derselben Komponente yon T sein kSnnen. 9

t

"

p

Da ferner, wie eben gezeigt, jeder innere P u n k t P eines M'~_ 1 H~ufungspunkt yon inneren PnnIrt~n Yon T ist, und da wegen w5 III (fl) jeder Randp,n]ct eines M~_ ~ H~ufungspunkt von inneren Punkten dieses M~._ 1 ist, so ist jetzt die Giiltigkeit yon w5 1H (d) fiir alle Punkte yon T bewiesen, welehe auf der Schnittebene x 1 = c liegen. "Es sei n u n H ein innerer Punkt yon Mk, fiir welchen X1 > c ist, und den wit festhalten. Es sei Q ein beiiebiger innerer Punkt yon T und also auch ein innerer Punkt yon Mk. Gem~f w6 III (e) ist Q mit H auf einem ganz im Innern yon Mk verlaufenden Wege verbindbar. In der Durchlaufungsrichtung yon Q nach H muf" dieser Weg einen ersten Schnittpunl~t mit der Ebene x 1 = c haben. D i e s e r Schn~ttpunkt muff innerer Punkt eines der M~__1 sein. Also gehSrt Q derienigen , wie oben gezeigt, einzigen Komponenl~e yon T an, welche dieses M'~_ 1 als Randgebilde besitzt. Also besteht T aus nut endlich vielen Komponenten in dem Sinne, dab die inneren Punkte einer trod derselben Komponente auf inneren Wegen miteinander verbindbar sind, w~hrend das fiir innere Punkte zweier verschiedener Komponenten unmSglich ist. Nun zerlegt gem~fl der allgemeinen Voraussetzung des Induktionsschhsses die Ebene x 1 ~ c jede der regul~ren (k -- 1)-dimensionalen R a n d mannigfaltigkeiten R~_ 1 yon M~ in endlich viele regul~tre (k -- 1)-dimensionale Mannigfaltigkeiten.

~0ber dss isoperimetrische Problem im l~aum yon n Dimensionen. w6, IV. 735 Hieraus folgt leicht, dal] fiir T auch w6 III (f) erfiillt ist, und dab jede Komponente yon T einschlieBlich ihres Randes eine regul~ire k-dimensionale Mannigfaltigkeit bildet, w. z. b. w. IV. Im n-dimensionalen Raum wird eine regulgre n-dimensionale Mannig]altigkeit, die aueh als regul~rer KSrper bezeichnet werden soil, in folgender Weise definiert. a) Der KSrper ist eine beschr~inkte abgeschlossene Punktmenge. b) Innere thmkte und Randpunkte werden wie gewSh~Jich in bezug auf den n-dimensionalen Raum definlert. c) Die Menge der inneren Punkte ist nieht leer. d) Jeder Randpunkt ist H~tufungspunkt von irmeren Punkten. e) Die inneren Punkte h~iaagen zusammen im fiblichen w6 II (e) sehon erkl~irten Sinne dieses Ausdrueks. f) Der Rand besteht aus end',ich vielen reguliiren (n -- 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, yon denen je zwei nut Punkte gemein haben kSnnen, die auf beiden Randpunkte sind. Das vollstdndige Normalensystem des KSrpers wird dann durch die Gesamtheir der vollstandigo* Normalensysteme seiner endlich vielen regulhren (n -- 1)dimensionalen Raudmannigfaltigkeiten gebildet. Dem Satze III (13) entspricht der folgende Sa~z, der daher attch mit IV (13) markiert werden mSge: IV (13). Der KSrper werde yon einer ( n - 1)-dimensionalen Ebene geschnitten. Es finde dabei nirgends eine Beriihrung st.a,tt, and zwar in folgeudem Sinne: In keinem Schnittpunkte mit dem Raude des KSrpers iiege die Ebene senkrecht zu einer der zudiesem Punkte gehSrenden Normalen des vollst~tndigen Normalensystems des KSrpers. Dann besteht'der Schnitt aus endlich vielen regularen KSrpern in bezug au] den ( ~ - 1)-dimensionalen Raum der Seh~ittebe~.e. Wenn zwei d~erselben Punkte yemein haben, so miissen diese ]iir beide KSrper Raratpunkte sein und zwar [iir beide Randpunkte hSherer Ordnung, d.h. solche Randpunkge, .wetchz nicht im Innern einer ihrer regu[gren ( n - 2)-dimensionaten Randmanni#]ahigkeiten liegen. Endlich geht jeder innere Punkt yon K fiber in einen inneren Punkt eines der endlich vielen regul~ren KSrper in bezug auf den (n -- 1)-dimensionalen Raum der Schnittebene, aus welchen der Schnitt besteht, und jeder Randpunkt in einen Randpunkt. Der Beweis ergibt sich gemi~l~ und entsprechend dem Satze und Beweise III (13). IV (14). Unter den Voraussetzungen yon IV (13) un:rd der K6rper dureh die 8ehnittebene in endlich viele regulate KSrper zerlegt. Der Beweis ergibt sich wie in III (i4).

736

E. Schmidt.

V (1). Es bezeichne im n-dimensionalen Raum M~ (0 ~ k ~ n -- 1) eine regulate k-dimensionale Mannigfaltigkeit. Gemiil~ w5 III (10) l~l~t sich Mk sowohl wie jede der endlich vielen Randmannigfaltigkeiten yon M~ auf Grund des Borelschen Satzes dutch endlich viele Grundgebilde entsprechender Dimensionenzahl iiberdecken. Gem~fl w4 VII ist fiir jedes dieser endlich vielen ~berdeckungsgrundgebilde der auf der Einheitskugel im n-dimensiona]en Raum gemessene ~ul~ere Inhatt der dutch Zuziehung der H~iufungspunkte abgeschlossenen Menge derjenigen Richtungspunkte, welchen Normalen in unendlieh vielen Punkten des Grundgebildes entsprechen, gleich Null. Also ist wegen w5 III (11, 12), w6 II (11, 12), w6 III (H, 12) auch der auf der Einheitskugel im n-dimensionalen Raum gemessene ~ul~ere Inhalt der dutch Zuziehung ihrer H~ufungspunkte abgeschlossenen Menge derjenigen Richtungspunkte, welchen Normalen des voUst~indigen Normalensystems yon M~ in unendlich vie|en Punkten von M~ entsprechen, gleich Null. Nun besteht das vollst~indige Normalensystem eines regul~ren KSrpers im n-dimensionalen Raum aus den vollst~ndigen Normalensystemen seiner endlich vielen reguliiren (n -- 1)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten. Daher ist auch der auf der Einheitskugel gemessene ~uBere Inhalt der dutch Zuziehung ihrer H~ufungspunkte abgeschlossenen Menge derjenigen Richtungspunkte, owelchen Normalen des vollst~ndigen Normalensystems eines regul~ren KSrpers in unendlich vielen Punkten des Randes entsprechen, gleich Null. Dieser Satz l~l~t sich noch folgendermal]en verallgemeinern: Gegeben sei im n-dimensionalen Raum eine endliche Zaht yon regul~ren KSrpern und regul~ren Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimensionenzahl. Dann ist der auf der Einheitskugel im n-dimensionalen Raum gemessene ~iuflere inhalt der dutch die Zuziehung ihrer H~iufungspunkte abgesehlossenen Menge derjenigen Richtungspunkte, welchen in der Gesamtheit der vollst~udigen Normalensysteme dieser regulitren K6rper und regul~ren Mannigfaltigkeiten Normalen in unendlich vielen Punkten entsprechen, gleich l~ull. Diese Rich~ungspunkte einsehliefllich ihrer H~ufungspunkte und die ihnen entsprechenden Richtungen sollen als s/ngu/~r in bezug auf das gegebene System yon regul~ren KSrpern und regul~ren Mannigfaltigkeiten bezeichnet werden. Wit sehen also, daft die nichtsingularen,~Richtun~slmnkte au[ der Einheitskugel als Komplement~,menge einer abges~chlossenen Pun~menqe eine o//ene Punktmenye bilden, deren Inhalt bestimmt und gleich der Oberfliiche der Kugel ist. A ~ortiori yibt es daher in beliebiqer Nahe jedes singul~iren Richtunqspun~es nivhtsinguliire. In der Schar der zu einer nichtsingul~ren Richtuny senkrechten ( n - 1).dimensionalen Ebenen glint es, wie unmiUelbar aus der

]0ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w7, I.

737

Definition [o~t, nut endlich vide, welche einen der KSrper oder eine der Man~iq/alti~keiten des geqebenen Systems beriihren und jede dieser endlich vielen Beriihrunysebenen ent]ff~It nut endlivh viele Beriihrungspu~kte. Dabei wird, wie nochmals betont sei, unter einer Beriihrung der Ebene mit einem regul~en K5rper oder einer regu|iixen Mannigfaltigkeit das Senkrechtstehen der Ebene zu einer der zum Beriihruugspunkt gehSrenden Normalen des voUst~ndiffen Normalensystems des reguliiren KSrpers oder der regul~iren Mannigfaltigkeit verstandem V (2). Es sei im n-dimensionalen Raum ein System yon endlich vielen reguliiren KSrpern und regul~ren Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimensionenzahl gegeben. Es bezeichne ferner H~, v ---- 1, 2 , . . . , n, ein vorgegebenes System zueinander orthogonaler Einheitsvektoren. Dann lassen sich zu jedem e > 0 n zueinander orthogonale Einheitsvektaren H,*. bestimmen, deren Riehtungen in bezuil au] das gegebene System yon KSrpern und Mannig]alt~keiten s~mtlich im Sinne yon V (1) nichtsinguIgr sind, und wdche den Gleichunyen

[tt,*

-

tt,, 1 <

~,

~ =

1, 2 . . . . .

n

geniigen. Beweis. Gemii~ V (1) gibt es in beliebiger N~ihe y o n H 1 nichtsingul~re Einheitsvektoren, d. h. Einheitsvektoren yon nichtsingul/irer Richtung. Man karm daher das s~axr gedachte EinheitsvelCvorensystem H~, v = 1, 2 . . . . , n, durch eine beliebig kleine Drehung in ein ebenfaUs orthcgonales Einheitsvektorensystem H~ iibeffiihren, in welchem H~ niehtsingul~ir'ist. Nun bilden die Endpunkte der nichtsingul~iren Einheitsvektoren auf der Einheitskugel eine o]/ene Punktmenge. Bei geniigend ldeiner Drehung des Vektorensystems H} bleibt daher der erste Velctor nichtsinguli~r. Man kann daher wiederum dutch eine beliebig kleine Drehung das System ~ in ein System H~ iiberfiihren, in welchem H~ nich~singul/ir bleibt, wakrend H~ nichtsinguliir wird. Dutch eine weitere be]iebig kleine Drehung kann man das System H~ in ein System H~ iibeffiihren, in welehem H~ und H~ nichtsingul~r bleiben und Haa niehtsinguliir wird. Dutch n-malige Wieclerholung dieses Verfahrens ergibt sich der zu beweisende Satz. w Einige SAtze aus der Theorie der mehrfachen Integrale.

Zuniichst sollen unter I, II, III einige allgemein bekannte Siitze aus der Theorie der mehrfachen Integrale ohue Beweis rekapituliert werden: I. Es bezeichne to eine beschr~nkte Punktmenge Jm m-dimensionalen Raum. Man bezeiclme mit ](to) ihren ~iuileren mad mit J (to) ihren inneren Inhaltl wobei, wie schon w4 erw~mt, diesen Begriffen die Riemama-Peano-

738

E. Schmidt.

Jordansche Definition zugrunde gelegt ist. Sind der ~ufere und innere Inhalt gleich, so spricht man yon einem bestimmten Inhalt, der mit J (~) bezeiclmet werden m5ge. Ist die Punktmenge ~o1 in der beschr~nkten Punktmenge oJ2 enthalten, to 1 < eo~, ao ist Bezeichnet oJ1 -~ t% ~- . . -~ o~t die Vereinigungsmenge der beschriinkten Punktmengen to 1, tos, . . . , oJ~, so gilt: l

1

Haben unter den ~,., v = 1, 2 . . . . , l, je zwei nur Punkte gemein, die auf dem Rande beider liegen, so gilt aueh l

1

H a t endlich noch jede der Punktmengen t% einen bestimmten Inhalt, so folgt aus den beiden letzten Ungleichungen, daft auch to 1 -~ to2 Jr . . . ~- eoz einen bestimmten Inhalt besitzt, und daft die Gleichung gilt I

1

II (1). Endlieh gilt der wichtige Satz:

Eine beschr~nkte Punk~menge hat dann und nut dann einen bestimmten lnhalt, wenn ihr Rand den ~u~eren Inhalt Null hat. I I (2). Es seien nun to 1 und e% zwei Punktmengen mit den Riindern ~1 und ~s. Dann ist der R a n d vor~ o~1 -~- tos in el 4-." es enthalten. Denn ist P ein Pun~., der nieht in Q1 ~ ~~ enthalten ist, so m u f P entweder fiir to 1 und fiir co2 ein iiuferer P u n k t oder fiir eine der beiden Punktmengen ein innerer P u n k t sein. Im ersten Fall ist P ein ~uferer Punkt yon to I -~- e%, im zweiten ein innerer. P liegt a!sa in keinem Falle auf dem Rande von w . z. b. w .

l~,benso beweist man, d a f der Rand des Durehsehnitts yon o~1 und cos in ~1 + ~ enthalten ist. Da die Komplement~rpunktmenge yon ~o~ ebenfalls den Rand ~1 hat, so folgt, d a f aueh der Rand des Durehsehnitts yon cos mit der Komplement~rpunktmenge yon to~ in ~ 5r- ~s enthalten ist. Gilt r 1 < t%, so besagt der letzte Satz, dab auch der Rand yon cos --r 1 in ~x + ~s enthalten ist. In Verbindung mit dem Kriterium I ! (1) ergibt sich hieraus:

Sind to~ und t% beschr~inkte Punktmengen yon bestimmtem Inhalt, so haben auch ihr Durchschnitt, .ihre Vereinigungsmenge und der Durchschnitt der einen mit der Komplement~rmenge der anderen einen bestimmten I~halt.

Ober das isoperimetrisehe Problem im Raum yon u Dimensionen. w7, III, iV. 739 Das Entsprechende gilt natiirlich auch fiir endlich viele beschr~inkte Punktmengen yon bestimmtem lnhalt. III~ Es bezeichne im m-dimensionalen Raum mit den reeh~wi~Adigen Koordinaten x~, x2, . . . , x,~ r eine beschr~nkte abgesehlossene Purd~tmenge yon bestimmtem Inhalt. Es bezeiehne ferner ~ eine in r definierte stetjge Funktion. Definiert man jetzt 9 dutch die Gleiehung (63)

ldx 2...dxm,

9 = ~dx

so hag das Integral bekauntlich im Riemarmschen Sirme eJnen bes~imra~en Wert. Es bezeichne nun ~ ($) den Schnitt yon eo mit der Ebene x 1 = $. Wit machen nun noeh die Voraussetzung, dal3 in dieser (m -- 1)-dimensionalen Ebene die Punktmenge oJ ($) ebenfalls eJnen bestimmten In]ialt babe, und zwar fiir jeden Wert yon ~. Definiert man jetzt die Funktion ~ (~) dutch die Gieichung (64)

~($) = jt ~ d x2 . . . d x , , 9$

so hat das Integral auf der reehten Seite ebenfalls im Riemannschen Sinne einen bestimmten Wert. W~h]t man ~ und fi so, dab fiir alle Pun~te yon w

~.<=xl <=fl ~st, so gilt endlich, wie bekannt, die Gleichung (65)

r = ~($)

Dabei ist ~ dutch (63) definiert, und das Integral auf der rechten Seite yon ( 6 5 ) h a t im Riemanaschen Sinne einen bestimmten Weft. IV. Im m-dimensionalen Raum mit den rechtwinkligen Koordinaten (x.~, x ~ , . . . , x ~ ) m S g e n bezeichaen m eine bescbritnkte, abgesehlossene Punktmenge, s ihren Rand, eo ($) und s ($) die Schnitte yon oJ und s mit der Ebene x 1 -----$, ~0 eine in eo definier~.e stetige Funktion. Die Punktmenge habe einen bestimmten Inhalt, was gemii/3 II (1) gleichbedeutend ist mit der Gleichung (~) = o,

wobei das Symbol J den m-dimensiona!en Inhalt im'Raume (x D x~ . . . . . bedeuten soli. Ferner machen wit noch die Voraussetzung, da~ die Gleiehung (66)

Y~, _~ (~ ($)) = 0

x~)

740

E. Schmidt.

,gilt, wobei das Symbol J ~ _ t den auf der Ebene ~1 ~ ~ gemessenen ~u~eren (m -- 1)-dimensionalen Inha]t bedeutet. Dann gelten die folgenden S~tze: (A) Die Punktmenge co (~) hat auf der Ebene x 1 = ~ einen bestimmten (m 1)-dimensionalen Inhalt J ~ _ 1 (o0 (~)). (B) Definiert man wie in III (67)

~ ($) = .I ~ d x 2 "'" d z ~ , to!t)

(68)

9 = .( ~0dx, d~, ... dx,~, tO

so haben die beiden Integrale auf der rechten Seite im Riemannschen Sinn6 einen bestimmten Weft. (C) Bind ~ und /~ so gewRhlt, dab fiir alle Punkte yon co ~ _~ Xl ~

(69)

bleibt, so gilt die Gleichung

(70)

~ = f ~ (~) ~ ~.

(D) 9 (~) stellteine ~beraU stetigeFunktion yon ~ dar. Beweis. Oem~ifi III folgen die Aussagen (B) und (C) aus (A). Wir haben mithin nut (A) und (D) zu beweisen. Wit beweisen zun~chst (A): Es bezeichne ~ (~) die Gesamtl~eit der auf der Ebene x I -~ ~ gelegenen inneren Punkte yon m. Dann ist natiirlichjeder Punkt yon ~ (~) auch ein innerer Punkt yon ~o (~) in bezug aufdie (m -- 1)-dimensionale Ebene x I = ~; abet das Umgekehrte braucht~ nicht der Fall zu sein. C~) und s(~) sind gemiil~ ihrer Definition punk-tfremd, und es gilt die Punktmengengleichung (71)

eo (~) = ~ (~) + s (~).

Da co (~) eine abgeschlossene Punl~tmenge ist, so enthiilt sie. ihren Rand. Da ~ (~) auf der Ebene ~1 = ~'eine offene Punktmenge bildet, so folgt aus (7t)~ dal~ der Rand yon o~ (~) in s (~) enthalten ist. Wegen der Voraussetzung (66) ist daher der ~uflere auf der (m 1)-dimensionalen Ebene Xl -- ~ gemessene Inhalt das Randes yon o~ (~) a fortiori gleieh Null, und dami.t ist wegen II (1) d i e Aussage (A) bewiesen. Jetzt wollen wir die Aussage (D) beweisen: Man wiihle )," und 7' so, dal~ f'0z alle Pnnlrte yon o) die Ungleichungen (72)

~," ~ z~ ~_ ~',

9 = 2, 3 . . . . .

m

Uber das isoperimetrische Problem ira Raum yon • Dimensionen. w 7, IV. 741

gelten. Man bezeichne im ( m - 1)-dimensionalen Raum (xs, x a , ~ x,~) mit Win- 1 den durch die Ungleichungen (72) gegebenen Wiirfel. In dem dutch diese Ungleichungen i n Verbindung mit der Ungleichung (69) dargesteUten m-dimensionalen ParaUelotop definiere man wie iiblieh die Hilfsfunk~ion (xl, x~ . . . . . xm) durch die Festsetzung, dab fiir die PunkCe yon oJ

ist, w~hrend fiir die iibrigen Punkte gilt. Man halte jetzt x 1 ----- ~ fest und betraehte ~ ~ y~(~, x 2. . . . . x~) als Funktion yon x ~ . . . x~. Diese Funktion ist in W~_ 1 definiert. Ihre Un= stetigkeiten kSnnen nut auf s (~) liegen und haben daher wegen (66) den ~iu~eren Inhalt Null. Da die Funktion besehrgnkt ist, so ist ihre Integrabilit~t im Riemannsehen Sinne gesichert. Man erh~lt ftir die zu untersuchende Funktion 9 (~) die Darstellung

(73)

r

S

V ($, x ~ . . . x,,,) d x 2 . . . d x ~ .

w,n _

Es sei nun ein Wert ~ = ~* vorgegeben. Man zerlege W~_ 1 in ein l~e~z miteinander kongruenter zu dem Achsensystem (x~ . . . x~) paralleler Teilwiirfe]. Man bezeiehne mit q~ (}*) die Gesamtheit derjeuigen Teiiwiiffel, welehe Punkte enthalten, denen auf der Ebene x I = }* Punkte yon s (}*) entsprechen. Die iibrigen Teilwiirfel sind dann, immer auf der Ebene x x = }* betrachtet, entweder punktfremd zu ~ (}*), oder sie sind in ~ (~*) enthalten. Die Gesamtheit der ersteren Teilwiirfel yon Wm_ i bezeichne man mit q~ (~*), die der letzteren mit q~ (~*). Fiir ')

(7~)

(z2 . . . x=) < q~ (,~*)

ist also

(7~)

(~*, ~ . . .

x ~ ) ~ o~.

Wegen der Abgesehlossenheit v~n q~ (~*) und r gibt es daher ein ~ > 9, so da~ fiir (76) I~ -- $*1 < +] (74) auch noeh die Relation (77) nach sich zieht.

(~, x~ . . . x~) <:]7oJ

~) Im folgenden wird das Zeiehen <2 bzw. <:~ aueh ftir das mengentheoretische Enthaltensein, bzw. Nichtenthaltensein benutzt; die Klammern auf den linken Seiten bezeichnen die Punkte mit den eingeklammerten Koordinaten. 9

742

E. Schmidt. Ebenso gilt ftir

(78) (79)

(x, ...

x,,) < q~ (2"),

(2*, x z . . . x~) < ~ (2*) < ~ - s .

Wegen der Abgeschlossenheit yon ~ (~*) und s gibt es daher ein ff > 0, so dab fiir : (8o)

[~ -

,/

2"1 <

(78) auch noch die Relation (81)

(2, x~ . . . z . , ) < (o -

s
naeh sich zieht. Gelten alsc die beiden Ungleichungen (82)

1~-:2"1'<~

und

12--2"1 <'1',

so ist (83) (84)

,p(2, x ~ . . . x , ~ ) = 0

f i i r (x~... x,m)
~(2, x ~ . . . x~,)---- ~(2, x ~ . . . x~) fiir

( x ~ . . . x~)
Nun ist gem~13 (73)

v2(2,x2...x,~)dx2..:dx,~+- i v2(2'x~ "'" x'~)dxs"'dxm q a ($*) qs(~*) ~ + ~ vJ(2,x~"'x,,,)dx2""dxm"

(85) q~(2) = f

qi ($*)

Also ist bei Festhaltung der Voraussetzung (82). gem~l~ (83) und (84) (86) ~ ( 2 ) =

v2(2'z'"'z")dx'"'dx"+

i q s ($*)

f ~(~,x,...x,,,)dx,...dx,,, q i ($*)

(87) O ( ~ ) - - e h ( 2 * ) -

{ {~(2,x, ... x~,)-- ~(2*,x2 ... x,,,)}dx2 .. dx,~

q ;(~* )

+

~ (~(2~x~... x ~ ) - v ( 2 * , ~ .... z~)}d~,...dx~. q t (~*)

nezeichnet # das Maximum yon [~1 in oJ, so ist p auch das Maximum yon [Vl in seinem gesamten, dutch die Ung!eichungen (69) und (71) gegebenen Definitionsbereich. Die Gleichung (87) ergibt (88)

2,uJm_, (q~(2*))

1@(2) -- r +

I I

...

...

...

qi (~*)

Im ersten Summanden auf der rechten Seite der obigen Ungleiehung kann der Faktor J ~ - I (q, (2*)) auf Grund der Voraussetzung (66) dutch die Wahl der Wiirfelnetzzerlegung yon W~_ x beliebig klein gemacht werden. Der

~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w8, I, IL

743

zweite Summand konvergiert bei nunmehr festgehaltener Netzzerlegtmg, also bei festgehaltenem Integrationsgebiet, wegen der Stetigkeit von ~0 mit I~ -- ~*t gegen Null. Also sichert die Ungleichung (88) die Stetigkeit yon r (~) an der beliebig gew~hlten Stelle ~*, w. z. b. w. w Integrale fiber reguliire Mannigralfigkeiten.

I. Es sei im n-dimensionalen Raum K ein regul~irer KSrper im Sinne yon w6 IV. Dann hat K einen bestimmten Inhalt. Gem~B w7 II (1) ist das gleicho bedeutend mit der Aw~sage, da[~ der Rand von K den ~uI~eren Inhalt Null hat. B e w e i s . Gemini3 w6 IV (f) besteht der Rand yon K aus endtich vielen regul~ren ( n - 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Jede derselben l ~ t sich gem~B w 5 III (10) aaf Grund des Borelschen Satzes dutch endlich viete (n -- 1)-dimensionale Grtmdgebilde bedecken. Ein solches hat abet g e m ~ w4 V (A) den n-dimensionalen "~ui]eren Inhalt Null. Also hat auch de~ Rand yon K den i~ui~eren Inhalt Null, w. z. b. w. II. Es sei das rechtwinktige Koordinatensystem so gew~ihlt, dab die Rich,~ung der xl-Achse gem~[~ w6 V (1) nichtsinguli~r ist. Es bezeichne Q (~) den Schnitt der Ebene x 1 = ~ mit K und s (.~) den Schnitt der Ebene mit dem Rande von K. Dann gilt fiir den auf dieser Ebene gemessenen ~ul~eren Inhalt yon s (~) die Gleichung (89)

~-

1 (s (~)) = 0,

nnd zwar fiir jeden Wert yon ~. B e w e is. Es geniigt der Nachweis, dal~ wenn M~_ 1 eine der endlich vielen regul~iren ( n - 1)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten yon K bezeichnet, der Schnitt der Ebene mit M~_ 1 den ~iuf~eren Inhalt Null hat. Da die Ebene nichtsingul~ir ist, kann sie die Mannigfaltigkeit in hSchstens endlich vielen Punkten beriihren. Urn jeden dieser Beriihrungspunkte als Mittelpunkt lege man eine (n -- 1)-dimensionale, in der Ebene x 1 = ~ liegende Kugel mit dem Radius s ~ 0. Es sei nun der Punkt P kein Berfihrungspunkt. Dann kann gem~f~ w6 I I I (13) (.~.), wenn man dnrt k = n, -- 1 setzt, eine gewisse 5'-Umgebung yon P auf dem Schnitt der Ebene mit Mn-1 yon einem auf der Ebene gelegenen ( n - 2)-dimensionalen Grundgebilde G'n_~ iiberdeckt werden. Das gilt, sowohl wenn P ein innerer Punkt als auch wenn P ein Randpunkt yon M , _ 1 ist. Nach dem Borelschen Satze 1Al]t sich jetzt der ganze Schnitt der Ebene mit Mn_ 1 durch die oben um die Beriihrungspunkte konstruierten Kugeln vom Radius e und eine Auswahl yon endlich vielen der Grundgebitde

744

E. Schmidt.

' G,_ 2 iiberdeek en. Naeh w4 V (A) ist der auf der (n 1)-dimensionalen Ebene gemessene ~iuflere Imhalt jedes G'~_ s gleich Null. Da endlich e beliel)ig klein gew~ihlt werden kenn, so folgt, dal3 der ~iuBere ( n - 1)-dimensionale Inhalt des Schnittes der Ebene x 1 = } mit M~_ 1 gleich Null ist, was allein noeh zu beweisen war. III. Da die eben bewicsene Gleichung (89) mit der Gleiehung (66) iibereinstimmt, so gelten fiir jeden regul~iren KSrper K die Aussagen des Satzes w7 IV. Setzt man die dort auftretende stetige Funktion ~ zuniichst g!eich 1, so lautet der Satz: Die Richtung der xl-Achse sei nichtsingul~r. Dann hat der Querschnitt Q (~) der •bene x 1 -~ $ mit dem re4]ul~ren K6rper K fiir alle Werte yon ~ einen

bestimmten Inhalt J , _ I (Q ($)). J,~-I (Q (~)) ist fiir alle Werte yon ~ eine stetige Funktion yon ~. Sind ~ und fl so gew~hlt, dal3 fiir alle Punkte yon K (90)

~ < xl < fl

ist, so gilt

fl

J ( K ) -~ ~ J , - I ( Q (~))d~.

(91)

~z

Allgemeiner ergibt der Satz w7 IV: Es sei r eine in K definierte stetige Funktion. Man definiere die Funktion ~b (~) dutch die Gleichung (92)

9 (~) -~J~)q~_ (~, xg ... x~) d~ s ... dxn.

Dana ist das Integral auf der rechten Seite fiir al|e Werte yon $im Riemannsehen Sinne bestimmt; ~ (~) stellt fiir alle Werte yon ~ eine stetige Funktion yon ~ dar. Endlich gilt (93)

i q~dx'dx" ... dx. = ~ ( ~ . ) d ~ . K

IV (1). Dieser Abschnitt sowie der folgende Abselmitt V dienen der Herleitung der im Absehnitt VI (1) zusammengefaflten Satze. Es bezeichne M~, 1 g k ~_ n -- 1 eine reguliixe k-dimensionale Mannigfaltigkeit i m n-dimensionalen Raum. Das reehtwinldige Koordinatensystem x 1 . . . x, sei gemal3 w6 V (2) so gewahlt, dal~ s~mtliche Koordinatenachsen in bezug auf Mk nivhtsingul~re Richttmgen haben. E s g]bt also unter den Ebenen x, ~- coast, ~ ---- 1, 2 . . . . , n, nut endlich viele, welche Mk im Sinne yon w6 III (13) beriihren, und jede dieser endlieh vielen Ebenen hat nut endlich viele Beriihrungspurdae. Im folgenden soil ein n-dimensionales, aehsenparalleles ParaUelotop, dessen (n -- 1)-dimensionale Randparallelotope siimtlieh auf Ebenen liegen,

~ber das isoperimetrischo Problem im Raum yon n Dimensionen. w8, IV. 745 welche M~ nicht bertihren, kurz als ein beriihrungs/renutes Parallelotop bezeichnet werden. Es sei nun P ein be|iebiger innerer oder Randpunkt yon M~ mit den Koordinaten Pl, P2, .-., P~. Wie aus den w6 III (13) unter (A) gemachten Ausftihrungen unmittelbar hervorgeht, gibt es dann ein den Punkt P nebst einer ~'-Umgebung yon ibm auf M~ im Innern enthaltendes Grundgebilde G'k, das gegeben wird durch die Gleichungen. (94)

~ = la (x~l, x~ . . . . . x,k), ,t =

k+

1.....

n.

Dabei bedeutet vl, v , , . . . , v~ eine gewisse Permutation der Indizes I, 2 , . . . , n, und die Funlaionen ]a sind in einem Parallelotop erkliirt, das gegeben werde durch die Ungleichungen tp

(95)

we

a,. < x,. ~ ai.o,,

a~, < P'e < a,. ,

~ = 1 , 2 . . . . . k. Ist P ein innerer Punkt yon M~, so kann gemaB w6 III (13)(B) angenommen werden, daft G~ ganz auf Mk liegt. Ist dagegen P ein Randpunkt yon M~, so kann, wie in w6 III (13) (C) ausgefiihrt, auf Grund yon w5 III (8) angenommen werden, daft die im Innern yon G~ gelegenen inneren Punkte yon Mk eine relativ offene Punktmenge zu GL. bilden. ?

IV (2). Es sei n u n / / e i n n-dimensionales, achsenparalleles, beriihrungsfremdes Paral|e|o~op, das den Punkt P nicht zu enthalten braucht, dessen s~hntliche Punkte aber yon P um weniger als 5' entfernt s~nd, wobei $' die oben in IV (1) angegebene Bedeutung hat. / / w e r d e ferner gegeben durch die Gleichungen 06)

b"e -< _ x,.q ~ _ b~o, .

a,. < b"~


e
e,

= 1, 2 . . . . . k.

(97)

b~"a ~ z,.a ~ b;,a,

a = ~ + 1. . . . . .a,

wobei die aD, " a,q' dieselbe Bedeutung wie in (95) haben. Dann gilt der folgende Hilfssatz: Enth~lt//iiberhaupt Punkte yon Mk, so geniigen diese den Gleichungen (94). Die Funktionen /~ sind dabei im k-dimensionalen ParaUelotop (96) zweimal stetig dffferenzierbar definiert. In diesem ]c-dimensionalenParallelotop entspricht verm6ge der Gleichungen (94) dem Durchsctmitt yon M~ mit dem n-dimensionalen Parallelotop / / ein~ abgeschlossene Pun~menge //~ des k-dimensionalen Raumes (x,, x,. . . . . . x~k) yon folgenden Eigenschaften:

746

E. Schmidt. (A) Die

Ra~ipunkte yon H~ liegen entweder auf den durch die Gleichungen x , o = b,."e,

z,.,o= b'..o, .

o=

1,2,...,k,

gegebenen ( k - 1)-dimensionalen Randebenen des k-dimensionalen Parallelotops (96); oder es entsprechen itmen vermSge der Gleiehungen (94) Sehnittpunkte yon MR mit den dutch die Gleichungen (98)

x,~ = b',.~, z,~ = b',.~,

it = k -4- 1. . . . . n,

gegebenen ( n - 1)-dimensionalen Randebenen des n-dimensionalen Parallelotops H; oder endlieh, es entsprechen ihnen vermSge der Gleiehungen (94) Randpunkte yon MR. Hierbei kann natiirlich ein Randpunkt mehreren dieser drei Kategorien yon Randpunkten gleiehzeitig angehSren. (B) //~ hat im k-dimensionalen Raum (xq, x, 2. . . . , x,.k) einen bestimmten Inhalt. Beweis. Es bediirfen nur die Behauptungen (A) und (B) eines Beweises: Wir beweisen jetzt (A). Es sei zun~ehst P ein innerer Punkt yon M~. Dann besteht gem~ll IV (1) G'~ nur aus Punkten yon M~. Also liegen afortiori auch alle dem k-dimensionalen Parallelotop (96) vermSge der Gleichungen (94) entsprechenden Punkte auf Mk. Daraus folgt unmittelbar die Behauptung (A) -- und zwar dergestalt, dal~ yon den unter (A) aufgeziihlten drei Kategorien yon Randpunkten der Punktmenge Hk nut die beiden ersten Kategorien auftreten kSnnen. Es liege nun P auf dem Rande yon MI~. Dana kSnnen wit gem~l~ IV (1) almehmen, dal~ die im Innern yon G~ gelegenen inneren Punkte yon MR eine relativ-offene Punktmenge zu G'k bilden. Dasselbe gilt wegen w5 II (4) aueh in bezug auf den dem k-dimensionalen Paralleloto~ (96) entsprechenden Teil yon G~. Bei Beriicksiehtigung yon w5 II (3) folgt hieraus leicht, daft in diesem Falle nur noch solehe Randpunkte yon H~ hinzukommen kSnnen, ~-elche Randpunkten yon Mk entsprechen. Damit ist die Behauptung (A) vollst~ndig bewiesen. Urn (B) zu beweisen, geniigt es gem~l~ w7 II (1) festzustellen, dal~ im k-dimensionalen Raum (x,~, x,.2, . . . , x,.k) der ~ul~ere Inhalt des Randes yon Hk gleich Null ist. Das ergibt sich aber leicht aus (A). Denn die Randpunkte der ersten der drei in (A) aufgewiesenen Arten liegen auf endlich vielen (k -- 1)-dimensionalen Ebenen und haben daher den iiul3eren Inhalt Null. Den Randpunkten der zweiten Art entsprechen auf M~ Punkte des Sehnittes mit den endlieh vie]en beriihrungsfremden Ebenen (98), also gem~iB t

~ e r das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w8, IV. 747 w6 III (13) Punkte, welche auf endlich vielen regul~ren (k -- 1)-dimensionalen Mannigf~ltigkeiten liegen. Den Randpunk~en dritter Art yon/-/k entspreehen auf Mk Randpunkte yon M k , also ebenfalls Punkte, welche auf endlleh vielen regul~ren ( k - 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten liegen. Jede regml~re (k -- 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit liil~t sich gem~B w5 III (10) auf Grund des Borelschen Satzes durch endlich viele (k -- 1)-dimensionale Grundgebilde im n-dimensionalen Raum iiberdeeken. Also kann die Gesamtheit derjenigen Punkte yon Mk, welehen Randpunkte zweiter und drifter Art y o n / I ~ entspreehen, yon endlich vielen ( k - 1)~dimensionalen Grundgebilden iiberdeekt werden. Die s~mtlichen n Koordinaten des laufenden Punktes eines solehen Grtmdgebildes sind definitionsgem~B zweimal stetig differen$ierbare Funktionen yon k - 1 Parametern, die ein rechtwinkliges ( k - 1)-dimensionales Parallelotop durchlaufen. Das gilt also insbesondere aueh fiir die Koordinaten xu, x,~, . . . , x,.k. Gem~B w4 V (A) bilden also die Koordinaten x,1, x,~, . . . , x,.~ des laufenden Punktes eines jeden der endlieh vielen Grundgebilde im k-dimensionalen Raum (xu, x,~ . . . . . x,~k) eine Punktmenge vom ~uBeren Inhalt Null. Damit ist auch (B) vollst~ndig bewiesen. ~][V(3) Hilfssatz: Es gibt ein ~ > 0, so dab ein be!iebiges n-dimensionates, achsenparalleles, beriihrungsfremdes, dutch die Ungleichungen v=1,2 .....

" b~''
n,

gegebenes Parallelotop/-/, dessen Kantenl~ngen s~mtlich kleiner als ~ sind, folgende Eigenschaft hat: Der Durchschnitt yon Mk mit H genfigt, sofern er nicht leer ist, Gleichungen yon der Form x,.~ = t~. (~,,, ~,~ .....

x,k),

,!. = k + 1,..,

~.

Dabei bedeutet vl, v~, . . . , v~ eine gewisse Permutation cler Indizes 1, 2 . . . . , n, die l~unktionen ]z sind in dem k-dimensionalen Parallelotop FF

(99)

t

b,. ~ x~e ~ b,r

e =- 1, 2 . . . . . k,

zweima! stetig differenzierbar definiert, und dem Durchschnitt yon M~ m i t / / entspricht in d e m k-dimensionalen Parallelotop (99)eine abgeschlossene Pun~menge //k des k-dimensionalen Raumes ( x , 1 , . . . , x,.~), ffir welehe die S~tze IV (2) (A) und (B) gelten. //~ hat also insbesondere einen bestimmten Inhalt Beweis. Wir fiihren den Beweis indirekt. W~re der Hilfssatz nieht richtig, so lieBe sieh eine unendliehe Folge yon aehsenparallelen, beriihrungsfremden Parallelotopen bestimmen, deren s~mtliche Kantenl~ngen gegen Null konvergieren, und deren Durchsehnit~ mit Matherna~lsche Ze|tschr~.

44.

~8

748

E. Schmidt.

M~ nicht leer is't, wiihrend keines dieser Parallelotope, die im Hilfss~z ibrmulierte Eigenschaft hat. Die 5Iittelpunkte dieser Parallelotope wiirden eine beschriink~e Punktfolge bilden. Also liel~e sieh eine unendliehe Teilfolge yon Parallelotopen //~, p -~ 1, 2, . .. ad inf'., so ausw~ihlen, daI3 ihre Mittelpunkte gegen einen Punkt P konvergieren. Wegen der Abgesehlossenheit yon MR mii~te dann P aufM~ liegen. Bestimmt man nun zu diesem Punkt P gem~l~ IV (1) ein Grundgebilde G'z, so miil]ten die Parallelotope ]/~ yon einem gewissen p ab den Vol'~ussetzungen des Hflfssatzes IV (2) geniigen. Gem/il3 diesem Hilfssatz miil3ten sie dann aueh die in dem zu beweisenden Hilfssatz IV (3) formulierte Eigenschaft besitzen - - im Widerspruch zur u IV (4)..&us dem Hflfssatz IV (3) ergibt sich als unmittelbare Folgerung der Satz: Unter Beibehaltun@ der Bezeichnungen yon IV (3) bedeute/1 ein n-dimensionales, aehsenparaileles, beriihrungsfremdes Parallelotop, dessen Kantenl[ingen s~mtlich < # sind. Ist dann der Dttrehschnitt yon H und M~ nicht leer, so hat er einen bestimmten k-dimensionalen Fl[~cheninha]t, der gegeben wird durch das Integral (100)

~ -'4k d x , 1 dx,, 2 . . .

d x , k.

z.,k I-Iier bedeutet /Ik die nicht negative Wurzel aus der Summe der Quadrate der Unterdeterminan~en k-ter Ordnung in der F-nk~iona|matrix

{

0x,a

~ a----

1,2 .....

n,

wobei die %~ a = k ~- 1 . . . n dureh Gleichungen yon der Form (94) als Funktionen yon %~ . . . x,,~ dargestellt sind. Ferner ist der Integrationsb e r e i c h / / ~ im Raume .% . . . x,.k eine Punktmenge yon bestimmtem Inhalt, und das Integral hat daher wegen der Stetigkeit von A~ im Riemannsehen Sinn einen bestimmten Weft (w7 III). IV (5). Es bezeichne nun W einen n-dimensionalen, achsenparallelen Wiirfel, der M~ ganz im In~,~ern enthalt. Dann kann man dutch endlieh viele zu den Koordinatenaehsen sentrrechte ( n - 1)-dimensionale Ebenen, dere~ keine Mk im Sinne yon w6 I I I (13) beriihrt, W in ein Netz v6n n-dimensionalen, achsenparallelen, ber'fihrungsfremden Parallelotopen zerlegen, deren Kantenlangen sn.mtlich <: ~] sind, wobei ~ die im Hflfssatz IV (3) angegebene Bedeutung hat. Es durchlaufe//', T-~ 1, 2, . . . , l, diejenigen dieser Farallelotope, welehe tibexhaupt l~m~te yon M~ enthalten.

Ober das isoperimetrischeProblem im Raum yon n Dimensionen. w 8, V. ~em~B IV (3) gibt es dann fiirjedes dieser Parallelotope eine yon diesem abhiingende Permutation vl, v2,..., v~ der In~zes I, 2 .... , n, so dab der Durchsclmitt yon M k mad H " dutch Gleichungen yon der Form (94) gegeben wird, wohei der Punkt (x~t, x,2, ,.., x,k) im k-dimensionalen R a u m der Koordinaten x,.I ... x,.k eine Punktmenge //~, yon bestimmtem Inhalt durchl~uft. Gem~l~ IV (4) ergibt sich der k-dimensionale Fliicheninhalt des Durchsehnitts yon M k und //* (lurch das H ~ entsprechende Integral (100)

(101)

f

...

wobei nochmals betont sei, dab die Permutation Vl, v2, ..., v~ der Indizes I, 2, ..., n sich mit z ~ndern kann. Nun liegtvoraussetzungsgemR~ die Berandung jedes der Parailelotope//~ aufsolchen (n -- l)-dimensionalen Ebenen, welche M ~ i m Sinne yon w 6 I H (13) nicht beriihren. Der Schnitt yon M k mit einer solchen Ebene besteht daher aus endlich vielen regul~ren (/c- l)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und l~i~t sich daher gem~B w 5 III (10) auf Grund des Borelschen Satzes durch endlich viele ( k - 1)-dimensionale Grundgebilde iiberdecken. Jedes dieser Grundgebilde hat aber gem~il3 w 4 V (]3) den /c-dimensionaleh FIRcheninhalt Null. Also ist auch der/c-dimensionale Fl~cheninhalt des Durchschnitts yon M k mit der Gesamtheit der Berandungen aller Parallelotope/P gleich 1~ull. Es k o m m C daher ]~ein endlicher Teil des k-dimensionalen Fl~cheninhalts yon M ~ mehrfach in Anschlag, wenn man die k-dimensionalen Fi/icheninhalte der Durchschnitte yon M k mit allen/P summiert. Bezeichnet dahcr F~ (Mk) den/c-dimenvionalen Fl~Rcheninhaltyon Mk, so hat Fk (Mk) einen b.estimmten Sinn, und es gilt die Gleichung i

Ist ferner 9 eine stetige Funktion auf M~, so gilt t

-"+ 4 wobei cla+ das k-dimensionale FIRchenelement bedeutet. Wie in IV sei das rechtwinklige Koordinatensystem gem~iB w6 V (2) so gewiihlt, daft siimtliche Achsen in bezug auf Mk nichtsinguliire Richtungen haben. V (1). Man bezeichne mit M~ (x 1 ~ a),

M~(a ~ x 1 _< b),

a < b, 48 *

750

E. Schmidt.

diejenigen Teile yon M~, ffir welehe Zl_~a

a~xl<~b

bzw.

ist. Wird M~ yon der Ebene Xl ---- a im Sinne yon wa I I I (13) nicht beriihrt, so kann man diese Ebene bei der Bildung des Para]lelotopnetzes nach den Vorschriften, yon IV (5) als Netzebene w~ihlen. Dann liefert die Gleichung (102), wenn man fiber diejenigen Parallelotope summiert, welche unterhalb der Ebene x i : a liegen, eine Darstellung ffir den Fliiehenin_halt yon M~ (x I < a), der mit Fk (M~ (x i -< a)) bezeichnet werden mSge. Wird M~ auch yon der Ebene x I : b i m Sinne yon w6 I I I (13) nieht berfihrt, so wahle man auch diese als Netzebene. Dann liefert die Gleichung {102) bei Summation fiber diejenigen Parallelotope, welche zwischen den Ebenen x i : a und x I = b liegen, den Fl~cheninhalt Fk (Mk (a < Xl -<: b)) und es ergibt sich die Gleichung (104)

F~ (M~ (x x < b)) ----Fk (Mk (Xl ~ a))-t- F k ( M k (a ~ x 1 < b)).

V (2). Wit wollen nun folgendes beweisen: SchlieBt man zun~ichst die hTchstens endlich vielen Ausnalunewerte yon aus, ffir welche Mk yon der Ebene x I ---- r im Sinae yon w6 I I I (13) beriihrt wird, so i s t der nach dem Obigen wohldefinierte Fl~icheninhalt

(xl _-- ~' so bestimmen, daft ~r r ~' ist, und dal~ im Intervall ~' ~ ~ ~_ fl' keiner der oben genannten endlich vielen Ausnahmewerte yon r Beschr~inkt man sich dann auf M~ (~' ~_ x x ~ fl'), so kann man in den unter IV (1, 2, 3, 4, 5) gemachten Ausffihrtmgen bei der Indexpermutation ui, v2 . . . . . v. gem~fl w6 I I I (13)(A) und (B) durchweg v1 = 1 setzen. Man konstruiere nun zwischea den Ebenen x 1 = s und x i ----fl' als ~ul3ersten Netzebenen ein achsenparalleles, berfihrungsfremdes Parallelotopnetz nach den Vorschriften IV (5). Dieses halte man /est. Die s~imtlichen KantenlRngen der Parallelotope sind zunRchst voraussetzungsgemRfl klemer als ~, wobei ~ dieselbe Bedeutung hat, wie in IV (3), IV (4) und IV (5). M bezeichne eine Zahl, welche grTl~er ist als das Maximum yon A~ fiir s~mtliehe Parallelotope. Es sei nun ~' < r < r < fl' und r -- r kleiner als die kleinste Kantenl~nge ira Parallelotopnetz. Gem~ifl (102) ist l' _

_

=

Akdz~dx,...dx,~; X

g

Uber das isoperimetrische Problem im Raum yon n ]Dimensionen. w8, V.

751

wobei auf der rechten Seite fiber diejenigen l' ParMlelotope summiert wird, welche Punkte von Me enthalten. Der Integrationsbereich H i hat dabei im Raum (xl, x , . . . , xvk) einen bestimmten Inhalt und liegt in einem achsenparalle]en Parallelotop, dessen Kantenli~ngen slimtlich kleiner als ~7 sin& Hieraus folgt l'

pJ

i

n k ('h ~

xl ~

~:~)

Der Integrationsbereich /Y~ (~1 ~ xl ~ ~ ) kann leer sein, jedenfalls abet liegt er im Rat~m (xl, x~2 . . . x,.k) i n einem achsenparallelen Parallelotop, dessen den Achsen x~ .. ~ x~ parallele Kanten kleiaer als ~y sind, wl~hrend die der xl-Achse parallele Kante hSchstens gleich ~ - - - ~ 1 ist. Mithin ist Also ist wegen (106) "F~ (Me ( ~ < x~ ~ ~ ) ) < l' M r~~ - ~ (~.. -- ~).

Diese Gleichung sichert wegen (104) die Stetigkeit yon F~ ( i ~ (x~ ~ ~)) an allen Stellen yon ~ im Innern des Interval:is (~', fl'), also auch an dex: SteIle ~', w. z. b. w. V (3). Es sei jetzt ~" einer der endlich vie]en Ausnahmewer~e yon ~, fiir welchen Me ~on der Ebene x~ = ~" im Sinne v o n w 6 I H (13) berfihr~ wird. Wit woUen beweisen, dai~ F~ (M~ (xx ~ ~)) auch an der Steile $ = ~" woMdefmiert und als Funktion yon ~ stetig is~. Beweis. Die zu beweisende Behauptung ist wegen (104) offenbar, wenn es getingt, das Folgende festzustellen: Zu jedem e > 0 lassen sich ~ und ~ so bestimmen, dab beide keine Ausnahmewerte yon ~ sind, daI~ ferner (107)

~; < ~" < ~

ist, und da{~ endtich wird. Zu diesem Zweck wlihlen wit ~' und fl' so, dal~

~' < ~"
~'<~=<~'

752

E. Schmidt.

~" den einzigen Ausnahmewert yon s darstellt. Mk werde yon der Ebene x 1 = ~" in den endlich vielen Punkten P~, a -----1, 2, . . . , ~, beriihrt. Zu ~edem po konstruiere man ein n-dimensionales, achsenparalleles, bertihrungsfremdes Parallelotop T ~ das P~ im Innern enthalt, dessen Kantenlangen siimtlich kleiner als die in IV (3)definierte Gr6Be ~] und ferner so klein sind, dab je zwei T" keinen Punkt gemein haben, und da~ end]ich a]le Pars]lelotope T ~ zwischen den Ebenen xl = ~' und x 1 = fl' liegen. Dann gibt es gem~f Hilfssatz .IV (3) zu jedevh a eine yon diesem abhangige Permutation ~1, ~2. . . . , ~, der Indizes 1, 2 , . . . , n, so dal3 der Durchsehnitt D (M~, T ~ yon Mk mit dem Parallelotop T a dureh Gleichungen yon der Form (94) gegeben wird, wobei der Punkt x,.1, x,.2,..., x,k im k-dimensionalen Raum (xl 1 . . . x,.k) eine Punktmenge T~. y o n bestimmtem Inhalt durchliiuft. Gem~f (102) ergibt sich also die Gleichung (109)

Fk ( D ( M k , T~

=

~ A~.dxl.

. . . dx, k.

Es bezeiehne nun T '~ ein n-dimensionales, achsenparaUeles, beriihrungsfremdes Teilparallelotop yon T ~ das entsteht, indem man die k zu den Achsen x , . . . x~ senkrechten Randebenenpaare zusammenriickt, w~hrend die n -- k zu den iibrigen Achsen senkrechten Randebenen festgehalten werden, und zwar dergestalt, daft der P u n k t / ~ noch im Innern yon T '~ bleibt, dal~ abet die zu den Achsen x,l . . . x~.k parallelen Kanten s~mtlich kleiner als eine GrSI3e e' ~ 0 werden. Es bezeichne ferner M' eine Zahl, die grSl~er als das Maximum yon A~ fiir s~mtliche T ~ ist. Dann ist

1

tr

Tk

Man w~ihle nun zuerst ~' so klein, d a f g

(111) ~,M' 8 '~ < wird. Jetzt halte man die T'" lest und bezeichne mit M~ die abgeschlossene Punktmenge derjenigen Punkte yon MR, welche nicht im Innern eines der Parallelotope T '~ ]iegen, und dementsprechend mit M~ ( ~ _< x~ _~ ~), ~' < ~ < ~" < ~ < fl', denjenigenTeilvonM~,fiirwelchen ~ ~_ x~ <: ~ i s t . Nun beweist man ganz wie in V {2), daft [M" mit ~'2-- ~'x gegen ~ull konvergiert. Man kann also ~= -- ~ so klein w~hlen, d a f .

s

Ober das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen w8, VI. 753 wird. Nun ist Y

Also ist wegen (110), (111)

Hieraus ergibt sich wegen (112) die zu beweisende Ungleichung (108). VI. Es sei Mk, 1 ~< k _< n -- 1, eine regul~re k-dimensionale Mannigfaltigkeit im n-dimensionalen Raum. Das rechtwinklige Koordinatensystem x x, x2, 9 9 xn sei gem~ll w6 V (2) so gewahlt, dab s~mtliche Aehsen in bezug auf M , nichtsingul~re Richtungen haben. Es bezeiehne Mk (xx g ~) denjenigen Teil yon Mk, fiir weichen x x ~ $ ist. Das Symbol F , bedeute den k-dimensionalen Fliicheninhalt. Dann lassen sich die Ergebnisse yon V (2) und V (3) in folgendem Satz zusammenfassen: VI (1). Der Fldvheninhalt (113)

Fro (Me (x~ < $))

ist /iir alle Werte yon $ wohlbestimmt und als Funktion yon $ s~etig. ]~Lieraus folgt leicht: Es bezeichne ~ eine ~uf M~ stetige Funktion. Dann is~ auch das Integral ~114)

~j q~da~

fiir alle Werte yon ~ im Riemannschen Sinne bestimmt und als Funktion yon ~ stetig. Dabei bedeutet da, das k-dimensionale F1/iehenelement. VI (2). Wie wit in VII und VIII beweisen werden, gelten noch folgende Siitze: Abgesehen yon den endlich vielen Ausrathmestellen yon ~, /iir welehe M~ yon der Ebene x~ = $ im 8inne yon w6 III (13) beriihrt wird, sind der Fldichen. inhalt (113) und das Integral (114) als Funktionen yon ~ einmal stetig dil]erenzierbar und es bestehen die Gleiehungen (115) ~-~

=

cos ~'(~, t) d a ~ - 1,

$r (z~"= D (116)

J Mk

(117) ~-~ (118)

~dak

(xl ~ ~)

~-

j

l ~ > '~"

q~ cos ~'(x~,T) d a k - ~'

M k ( z i = ~)

__

cos

(x~, '

q

Z

'P."cos ~" (x~, ~1

k = l .

754

E. Schmidt.

IIierbei bedeutet M k (xl 2 ~) den Schnitt yon M k mit der Ebene x I -- 5. (xl,t) bedeutet den zwischen 0 und ~ liegenden Winkel, welchen die Richtung der x1-Aehse mit ihrersenlcrechtenProjelaion auf die k-dimensionale Tangentialebene yon M k bildet. Da voraussetzungsgem~ii~ M ~ vonder Ebene x I = ~ nicht beriihrt wird, so ist dieser Winkel durchweg < -~ und gem~il3 w 6 II (11, 12) und III (11, 12) fiiralle Punkte yon M ~ stetig. Da endlich der Integrationsbereich M k (Xl ----~) der Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (115,116) gemRI~ w aus endlich vielen reguliiren (/c- 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten besteht, welche nur Randpunkte miteinander gemein haben, so sind gem~iB den Schlul]ergebnissen yon IV (5) des laufenden Paragraphen diese Integrale im Riemannschen Sinne bestimms In den Gleichungen (117),(118) bedeuten ~ und ~, (Xl,t) die Werte yon und P (xl,t) in den Schnittpunkten yon M I mit der Ebene x I = ~, welche, da M I voraussetzungsgem~il~ yon dieser Ebene nicht beriihrt wird, gem~B w 6 II (13) nur in endlicher Zahl vorimnden sein kSnnen. VI (3). Bevor wir ira Abschnitt VII an den Beweis der S~itze VI (2) herantreten, ziehen wit unter VI (3) und VI (4) aus ihnen noch einige Folgerungen: An den endlich vielen Ausnahmestellen yon ~, fiir welche M k yon der Ebene x I ----~ im Sinne yon w 6 II (13)und III (13)beriihrtwird, brauchen die Differentialquotienten der Funktionen (113), (114) iiberhaupt nicht zu existieren. Da abet gem~i~ VI (I) die Funktionen selber auch an diesen Ausnahmestellen stetig bleiben, so gilt folgendes: Es sei fiir alle Punkte von M~ (119)

~ < X 1 ___~--~.

Es sei ferner ~' eine beliebige Stelle dieses Intervalls, also

~'<~. Dann ist

~t

(120) (121) wobei die Integranden auf den rechten Seiten dutch die Gleichungen {115), (116), (117), (118) sich darstellen lassen und abgesehen yon den endlich vielen Ausnahmewerten yon ~ stetig sind. Bezeichnet endlich Max[~[ das

~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon ~ Dimensionen. w8, VII. 755 Maximum yon [ tPl aufM~, so folgt, wenn ~ keiner der endlich vielen kusnahmewerte ist, aus den Gleichungen (115), (116), (117), (118)

Mithin ist gemiiB (120), (121) (123)

t'ld~ { a

l"

~d(~.lld~ < Max, qJ,.F.(M.).

,V~ (zt ~ D

Der Differentialquotient

ist also auch absolut integrabel. u (4). Es sei k ~ 2. Es bezeichne ~ eine auf M~ stetige Funktion. Dann folgt aus VI (2) fiir r = ~ cos ~ (x 1, t): Abgesehen yon den endlich vielen .4~usnahmestellen yon $ ist das Integral . k(:rt ~

D

als Funktion yon ~ stetig. Fiir ~ -- 1 erh~]t man: Abgesehen yon den endlich vielen Ausnahmestellen von ~ ist =

als Funktion yon 5 stetig. VII. Wit haben jetzt die Si~tze VI (2) zu beweisen. Das ist erreich~, were1 die Giiltigkeit der Gleichungen (115), (t16), (117), (118).lind die Stetigkeit ihrer rechten Seiten als Funktionen yon ~ festgestellt wird, und zwar geniigt diese Feststellung fiir die Gleichungen (116) und (118), da aus diesen die Gleichaagen (115) und (117) durch die Spezialisierung ~ - 1 sich ergeben..in diesem Abschnitt soll das fiir den trivialen Fall der Gleichung (118) durchgef'uhrt werden. Es sei ~* ein Wert yon ~, fiir welchen M 1 yon der Ebene x 1 = ~* im Slime yon w6 II (13) nicht beriihrt werde. Dann liegen auf dieser Ebene nur endlich viele Pnnl~te von M 1 und keiner dieser Punk~e isr ein Randlaunk~ (Endpunkt) yon M~. Man bezeichne diese Schnittpunkte, die also siim~Iich innere Punkte yon M~ sind, mit/m.,/x ~ 1, 2 . . . . , ?. Gem~ifl w6 I H (13) (A) und (B) gibt es zu jedem/m ein diesen Punkt nebst einer ~(~)-Umgebung yon ibm auf M~ im Innern enthaltendes Grundgebilde G~ das ganz auf Mx liegt, und gegeben wird dutch die Gleichungen (12

)

z~ = t~ (z,),

a (:'~ ~ x~ < b(~, at")< z* < b(.~).

2 = 2, 3,

...,

n,

756

E. Schmidt.

M a n kann dabei die Intervall~ngen bc")

a (~) so klein w~hlen, dab je zwei

der Grundgebilde keinen Punkt gemein haben. Bezeichnet M~' die abgeschlossene Punktmenge derjenigen Punkte yon MI, welche nicht im Innern ether der u m die Punkte/m als Mittelpunkt emit den Radien (~(~)konstruierten Kugeln liegen, so hat M I yon der Ebene x I = 2" eine Minimalentfernung (~* ~ 0. M a n wiihle jetzt ein h ~ 0 so klein, dab die Ungleichungen tt

h~6*,

h~b ~"J-~*,

h~*--a

~,~), / ~ = 1 , 2 , . . . , ) , ,

statthaben. Dann besteht der zwischen den Ebenen x 1 = ~* -- h, x 1 = ~* -k h liegende Tell y o n M 1 nur aus den ~ durch die Gleichungen (124) frir 2" -- h _ x 1 ~ 2" + h gegebenen, miteinander punktfremden Kurvenstricken. Hieraus folgt unmittelbar frir ~* -- h < ~ < ~* ~- h die Griltigkeit dcr Gleichung (118) und die Stetigkeit ihrer rechten Seite als Funktion yon ~, w. z. b. w.

VIII. Jetzt gehen wir zum Beweise cler Gleichung (116) tiber. Es set also k ~> 2. Da der Koordinatenanfangspunkt beliebig gew~ihlt werden kann, geniigt es, die Gleichung in der Umgebung der Stelle ~ ~ 0 zu beweisen. Man w~ih]e. wie friiher, ar und fl' so, dab (125)

a' < 0 < fl'

ist, und dab im Interval] (126)

cr ~ ~ ~ fl'

keiner der endlich vielen Ausnahmewerte liegt, fiir welchen M~ yon der Ebene x 1 = ~ im Sinne yon w6 I I I (13) berrihrt wird. Frir die Werte yon ~ im Intervall (126) besteht also der Sehnitt Mk (xl = ~) aus endlich vielen regul~iren ( k - 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, yon denen je zwei nut Punkte gemein haben k6nnen, die fiir keine von beiden im Irmern oder im Innern einer ihrer (k -- 2)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten liegen. Insbesor.dere gilt das auch fiir Mk (xl ---- 0). Gem~iB w6 V (2) kann man also in der ( n - 1)-dimensionalen Ebene X1 - ~ - 0

die Koordinatenachsen xs, x s , . . . , xn in ein ebenfalls rechtwinkliges Achsensystem x'2, x ' a , . . . , x'~ dergestalt transformieren, dal] die Riehtungen x~, x a , . . , x'~ im (n -- 1)-dimensionalen, auf der Ebene x 1 ----0 ausgebreiteten Raum in bezug auf die endlich vielen regul~ren (k -- 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, aus welchen Mk (xl = 0) besteht, oder kurz gesagt, in bezug auf Mk (x 1 ~ 0), nichtsinguldr werden. Da die,dazu erforderlivhe Drehung gemRl~. w6 V (2) beliebig klein gew~hlt werden kann und da im n-dimensionalen Raum die in bezug auf M~. nichtsingul~ren Richtungspunlcte gem~fl w6 V (1) auf der

(~ber das isoperimetrisehe Problem im Raum yon ~ Dimensionen. w 8, VIII. 757 Einheitskugel eine offene Punktmenge bilden, so daft angenommen werden, d a 6 die Achsenrichtungen x~, ~ . . . . , x~ im n-dimensionalen Raum in bezug auf Mk nichtsin!lu~r bleiben. Wit beweisen zun~chst folgenden Hilfssatz: Es sei c,., 2 ~ r ~ n, keiner der endlich vielen Ausnahmewerte, ftir welchen die (n -- 1)-dimensionale Ebene t

X v ~-- V r

M~ im Sinne yon w6 III (13) beriihrt; ferner sei cv auch keiner der endlich vielen Ausnahmewerte, fiir welche die ( n - 2)-dimensionale Ebene x 1 ~-~ 0, xt, --- c~ im (n -- 1)-dimensionalenl auf der Ebene x x = 0 ausgebreiteten Raum eine der endlich vielen regularen Mannigfaltigkeiten, aus welchen M~ (x 1 = 0) besteht, oder kurz gesagt, M~(x x = 0) im Sinne yon w6 III (13) bertihrt. Dann l ~ t sich eine Schranke v~ > 0 so bestimmen, da~ ftir It] < v~ im ( n - l)-dimensionalen, auf der Ebene x 1 = ~ ausgebreiteten Raum M~ (x 1 = ~) yon der (n -- 2)-dimensionalen 'Ebene x 1 = ~, x', = c,. im Simne yon w6 III (13) ebenfalls nicht beriihrt wird. Wir fiihren den Beweis dieser Behauptung indirekt: Tr~fe die Behauptung nicht zu, so lieJ~e sich auf M~ eine unendliche Folge yon Punkten P~ mit der Koordinate z~ =: ~c.~, ~' < ~r < ~', 1~ +'~i< I~ ~"~t, ~r ~ 0 bestimmen, in ~velchen M~ (x 1 = ~ ) ) yon der (n -- 2)-dimensionalen Ebene xl = $0o, x~. = c,. im Sinne yon w6 III (13) beriihrt wird. Man kann als durch Auswahl erreicht annehmen, d a $ die Folge Pg gegen einen Punkt po konvergiert, der dana auf M~ (x 1 = 0) liegt. Gem~l] der Definition der Beriihrung im Sinne yon w6 III (13) liegt in jedem der Punkte P.~ die Richtnag der x:.-Achse senkrecht zum Sclmitt der Ebene x 1 = ~ ) mit der Mannigfaltigkeit Mk oder mit einer ihrer endlich vielen Randmannigfaltigkeiten yon geringerer Dimensionenzahl. Man kann als dutch Auswahl erreicht annehmen, da$ es sich dabei immer um ein und ,dieselbe q-dimensionale Mannigfaltigkeit Re handelt, wobei ftir q = k R~ die Mannigfaltigkeit M~ selbst bedeuten soll. Nun ist Rr eine regulate q-dimensionale Mannigfaltigkeit, und da die naendlich vielen verschiedenen Punkte / ~ alle auf R~ liegen, so ist ge~n~$ w 6 1 ~ > 0. Mithin gibt es gem~l~ w6 II (11, 12) und III (11, 12) eine mit dem laufenden Punkt yon Re sich stetig ~ndernde wohldefinierte ~-dimensionale Tangentialebene yon Ra. ~Vegen der Abgeschlossenheit yon R~ mug ferner auch i~ auf Re liegen. Bezeictmen .t~ und t~ die Tangentialeb~nen in den Punkten P~' und /~, so gilt zun~chst -~

Sq.

758

E. Schmidt.

Da die (n 1)-dimensionale Ebene z 1 ~ ~ o voraussetzungagem~fl R~ nicht bcriihrt, so schneider sie tq in einer (q -- 1)'-dimensionalen Ebene, die mit t~_ bezeichnet werden m6ge. Ebe~so schneider die Ebene z 1 = 0 to in einer (q -- 1)-dimensionalen Ebene, welche mit tq~ bezeiclmet werde. Dann gilt t~

O

tq--1 -~ tq--1.

Da nun voraussetzungsgem~fl in jedem Punlrte p~ die Richtung der z',-Aehse .~ 1 stehen miiflte, so wiire die Richtung der ~'~-Achse auch senkrecht zu tq_ senkreeht zu tq~ 1 -- in direktemWiderspruch zu den dem Hilfssatz zugrunde gelegten Annahmen, w. z. b. w. Dieses vorausgeschiekt, k6nnen wir jetzt, wie in u (2) gezeigt, zwischen den Ebenen zl = ~' und zl ~ / 3 ' als iiu~ersten Netzebenen ein dem Achsensystem (Zl, z~, x~. . . . . x~) paralleles, beriiln~ngsfremdes Parallelotopnetz nach denVorschriften yon IV (5) konstruieren, und zwar dergestalt, daft fiir jedes der Parallelotope in der entsprechenden Permutati~,n ~1, ~ , ---, ~, rl ---- 1 gesetzt werden kann. Wir k~nnen dabei annehmen, dab die Ebene zl = 0 keine Netzebene ist. Da femer die Richtungen der Achsen ~ , ~ , . . . , ~ in dem (n -- 1)-dimensionalen auf der Ebene ~1 -- 0 ausgebreiteten Raum in bezug auf Mk (~1 ~ 0) nichtsingal~r sind, so kann noch erreicht werden, dab keine der Netzebenen 2 , 3 . . . . n, (127) ~ ' . c~, . . . 9 mit clef Ebene xl ---- 0 einen Sclmitt bildet, weleher eine der endlich vielen regul~ren (k ~ 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, aus welchen M~(~ 1 ~ 0) besteht, oder kurz gesagt, Mk (zl ~- 0), im Sinne yon w6 III (13) bertihrt. Es gilt mithin fiir jede dieser Ebenen der eben bewiesene Hi_lfssatz. Es gibt daher ein ~' > 0, so dab fiir I~1 ~ 0' in der (n -- 1)-dimensionalen Ebene M~ ( z l - ~ ~) vom Sctmitt keiner der Netzebenen x/~ ~ c~ mit der Ebene z~ = ~ im Sinne yon w6 III (13) ber/ihrt wird. Man kann ferner noeh annehmen, daft 0' ldeiner ist als die Entfernung der Ebene ~ = 0 w n der n~chsten Zu ihr parallelen Netzebene. Man. fiige nun zu dem Netze noch die beiden Ebenen ~ ---- ~ 0' als neue Netzebenen hinzu und betrachte das Para]lelotopnetz zwischen diesen beiden Ebenen. //~ durcldaufe alle diejenigen Parallelotope des Netzes, deren Durchschnitt mit M~ nlcht leer ist. Nach den getroffenen Festsetzungen bilden ftir jedes dieser Parallelotope die beiden Ebenen ~ ~ • O! Begrenzungsebenen. ]/~ werde gegeben dutch die Ungleiehungen (128) - - O' ~ ~ ~ ~ O' (129) c, <_ ~--< c,,, ~,~2,3,...,~.

t~ber das isoperimetrisehe Problem im Raum yon n Dimensionen. w8, VIII. 759 Gem{ill IV (5), IV (3) und IV (2) geniigt dann der Durchschnitt yon M~ und H r Gleichungen vc.n der Form (130)

x,.~ ~

/~ ( x , , x,, . . . x,,,),

s = k -t- 1, . . ,

n.

Dabei bedeutet v~, ~a. . . . . u~ eine yon v abh{ingige Permutation der die Funktionen /z sind im k-dimensionalen n -- 1 Indizes 2 , 3 , . . . , n ; Parallelotop (131)

--O'~

(132)

xI g§

c~e ~ x,~ <= c, e,

e = 2,3 . . . . , k ,

zweimal stetig differenzierbar definiert; endlich entspricht dem Durchschnitt yon M~ und H" im k-dimensionalen Raum ( x I, x',,3 " " " x',k) eine im Parallelotop (131), (132) liegende, abgesch]ossene Punktmenge//~, welche den Eigenschaften IV (2)(A) und (B) geniigt, also insbesondere gem{iB (B) einen bestimmten k-dimensionalen Inhalt hat. Man erh{ilt zun{ichst entsprechend {101) und (105) die Gleichung (133) ~.(-~'

~ epd~k = ~ ~, ~ + :~')

Zf

r A~ d x l d x ,

'2 .

. . d x , k.

p,,

Dabei bedeutet wie friiher z]~ die nichtnegar Wurzel aus der Summe der Quadrate der Unterdeterminanten k-ter Ord~ung der Funktionalmatrix, welehe vermSge tier ~]eichungen (130) aus den Ableitungen der n Variablen x ~ , x ~' . .. .x ~ . . x ,', , nach den k Variablen x l , x,~2 . . . x',,~ gebildet wird. Man bezeichne nun im k-dimensionalen Raum (xl, x~r~ ..~ x,'.k) mit 8~ den Rand y o n / / ~ und mit s~ (~) den Sehnitt yon s~ mit d e r ( k -- 1)-diraensionalen Ebene x I = ~. Dann ist gem{il~ IV (2)(B)

(134)

2~ (s ~) = o.

Es gilt aber, wie wit jetzt zeigen wollen, fiir

(135) auch die Gleichung (136)

-

~' < ~ < § ~'

J ~ _ , (s~ (~)) = 0.

Es geniigt: diese Gleichung fiir den Sehnitt der Ebene x 1 = ~ mit jeder der drei Kategorien yon Randpunkten zu beweisen, aus welchen s~ g e m ~ IV (2) (A) besteht. Die im k-dimensionalen Raum (xl, x , . . . , x~) auf der ( k - - 1 ) - d i mensionalen Ebene x 1 -~ ~: gelegenen Punkte der ersten Kategorie ]iegen auf dem Schnitt dieser ]~bene mit den ( k - 1)-dimensionalen Ebenen (137)

x:e ~-~ a "~ ,

x''e

v'e '~,

~ -~- 2 , . . ,]r

760

E. Schmidt.

also auf endlich vielen (k -- 2)-dimensionalen Ebenen. Ihre Gesamtheit hat mithin den (k -- 1)-dimensionalen ~iuferen Inhalt Null. Den auf der Ebene x 1 ---- ~ gelegenen Punkten der zweiten Kategorie von s entsprechen im n-dimensionalenRaum vermSge der Gleichungen 030) Schi~ittpunkte yon Mk (x 1 = r mit einer der ( n - 1)-dimensionalen Ebenen (138)

x'~'2 =

''~ ~ CrY.

' X"Z

=

'" ~ Cr).

~=k-I-1,

..,n,

oder, wenn man sich auf den (n -- 1)-dimensionalen, auf der Ebene x 1 = ausgebreiteten Raum beschr~inkt, Punkte des Schnittes einer der jetzt ( n - - 2)-dimensionalen Ebenen (138) mit M~ (x 1 ----- ~). Nun ist aber v~' gerade so gew~ihlt, daft fiir I ~ I ~ v~'keine der endlich vielen regularen (/r -- 1)-dimensionalen Mannigfa]tigkeiten, aus welchen Mk (xl ---- ~) gem~if w6 I I I (13) besteht, im (n -- 1)-dimensionalen aufder Ebene x 1 = ~ ausgebreiteten Raume yon einer der Ebenen (138) im Sinne yon w6 I I I (13) beriihrt wird. Gem~l~ nochmaliger .(nwendung des Satzes w6 I I I (13) besteht also der Schnitt jeder der genannten endlich vielen reguliiren (k ~ 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten mit jeder der Ebenen (138) wiederum aus endlich vielen regul~ren (k ~ 2)-dimensionalen )Iannigfaltigkeiten. .klso entsprechen den auf der Ebene x 1 = ~ gelegenen Punkten der zweiten Kategorie yon s vermSge der Gleichungen (130) auf Mk Punkte, welche auf endlich vielen, auf der Ebene x 1 ---- ~ ausgebreiteten regul~iren ( k - 2)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten liegen. Dasselbe gilt abet auch fiir die auf der Ebene x 1 == ~ gelegenen Punkte der dritten Kategorie yon s. Denn diesen entsprechen vermSge der Gleichungen (130) auf Mk Punkte des Schnittes der Ebene x 1 = ~ mit dem Rande yon Mk. Dieser Schnitt besteht aber geln~iI~dem Satze w6 I I I (13) ebenfalls aus end]ich vielen regul~iren (k -- 2)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Jede reguliire ( k - 2)-dimensionale Mannigfaltigkeit l ~ t sich gem~il~ w5 I I I (10) auf Grund des BoreIschen Satzes yon endlich vielen (k -- 2)-dimensionalen Grundgebilden iiberdecken. Also kann die Gesamtheit derjenigen Punkte, welche vermSge der Gleichungen (130) den Punkten der zweiten oder dritten Kategorie yon s entsprechen, welche auf der Ebene x 1 ~- ~ liegen, yon endlich vielen, auf der Ebene x 1 ---- ~ ausgebreiteten (k -- 2)-dimensionalen Grundgebilden iiberdeckt werden. Die s~mtlichen Koordinaten x:..., x:.k x:~:+.., x:,~ des laufend e n Punktes eines solchen Grundgebildes sind definitionsgem~fl zweimal stetig differenzierbare Funktionen yon k - 2 Parametern, die ein rechtwinkliges ( / r 2)-dimensionales Parallelotop durchlaufen. Das gilt ins' x..,..., ' ' welche die entbesondere auch fiir die Koordinaten x,., x,,k, sprechenden Punkte yon s auf der Ebene x 1 ~ ~ charakterisieren, Gem~ifl w4 V (A) ist daher auch der (k -- 1)-dimensionale ~iu~ere Inhalt der Gesamt-

~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w 8, VIII. 761

heit der Punkte der zweiten und dritten Kategorie yon s, welche auf der Ebene x 1 = ~ liegen, gleich Null. Damit ist die G]eichung (136) bewiesen. Die Gleichungen (134) und (136) stimmen nun mit den Voraussetzungen des Satzes w7 IV iiberein. Es gelten daher entsprechend w7 IV (A, B, C, D) die folgenden S~tze: Man bezeichne mit H~. (~) den Sehnitt der Ebene x 1 = 2 mit der Punktmenge //~ und fiir (139)

-- v~' < 2 ~ < ~

< ~ ~'

mit H~ (2, _--
9 o

|'/g~

r1~k(r

so ist das Integral auf der reehten Seite im Riemannschen Sinne bestimmt und die Funktion ~b" (2) ist fiir l~l < v~, ~tetig. -. Endlich gilt

k dx, dx,.~

. . dx'~, =

r

Nun gilt, wie in IX bewiesen werden soll~ die folgende Identit~t: Bezeiehnet A~_ 1 die nieht negative Wurzel aus der Summe der Quadrate der Unterdeterminanten (k -- 1)-ter Ordnung der Funk~mnalmatrix, welche vermSge der Gleiehungen (130) gebildet wird a u s den Ableitungen der ' . . . x,' e x',k+, " ' " x~ ' naeh den k -- 1 Variablen x,.~ . . . x,.~ Variablen x,~ so ist

Ak_~ ---

(I42)

---- cos ~ ( x ~ , t ) .

Durch Einfiihrung der Identit~t (142) in (140) erhKlt man (143)

@'($) =

S

~ cos ~(x,,t) dak-x"

Hierbei bedeutet D ( I I ' , M ~ ( x , = ~)) den Durchschnitt yon / F m i t M~ (xj = ~), und d ~ _ , das (k -- 1)-dimensionale Fl~ehenelement. Dutch Summation ergibt sieh ' (144)

i

'

~ cos ~ (x. ~) d ~ _

~

=

2:

r

(~).

762

E. Sehmidt.

Die Summation ist gestattet; denn derjenige Teil yon M~ (x x = ~), weleher auf der Berandung der //~ ]iegt und daher in der Snmn~e auf der rechten Seite verrnSge (143) als Integrationsgebiet mehrfaeh in Ansehlag kommen kann, 1Rl~t ,ieh, wie beim Beweise der Gleichung (136) ausgefiihrt, yon endlieh vielen (k -- 2)-dimensionalen Grundgebilden iiberdecken und hat daher gem~il~ w4 V (13) den (k'-- 1)-dimens,_'onalen Fl[ieheninhalt Null. Da ]eder der Summanden auf der rechten Seite yon (144) als Funktion yon ~ stetig ist, so gilt das aueh fOx das Integral auf der linken Seite. Nun gilt entsprechend der Gleichung (133) (145)

I

I

cpda~=~_~

~A~dx, dx',, ... dx'~k.

n~.C- ~ z - ~) Wegen (141) folgt hie~aus

I

(146)

~pda~=i ~O'(~)d~.

Da der Integrand auf der reehten Sei.te, wie eben gezeigt, stetig ist, so folgt hieraus (147) d-~-~d ~ ~pd ok =,~ r (~s). d

Da wegen (104) (148)

xk(,S~ e,)~da~ =

~dok +

In

~

~da~

let,so folgt aus (147) und (144)

d

d$9

~

~pdal,=

I

1 ~0 cos ~'(zl, t) dak-l"

Damit ist die Gfiltigkeit der Gleichung (116) und die Stetigkeit ihrer beiden Seiten als Funktion yon ~ bewiesen. IX. Wit gehen jetzt zum Beweise der Identit~t (142) fiber. Es m6gen V1, F~ . . . . , Fk die k linear unabhangigen Vektoren im n-dimensionalen Raum bezeichnen, welche auf Grund der Oleichungen (130) dutch die Ableitungen der n Variablen #

r

nach den k Variablen r

3;1 X'2 "'" ~;'k gebildet werden.

~Jber das isoperimetrische Problem im R a u m

yon n Dimensionen.

w 8, IX.

763

Dann gelten, wie evident, die Gleichunge n p . = 1, 2 , . . . , ~,

(~49)

( ~ ) ' = H(v., v,)tl

(150)

( a ~ - , ) ' = It(V,, V~)tt

q = 1, 2,...,'a, p = 2, ..., n, q=2,...,n,

wobei die rechten Seiten die aus den inneren Produkten (V~, Vr gebildeten Determinanten bedeuten. Bezeichnet nun E 1 den Einheitsvektor der xl-Aehse, so ist (151)

(E~ V,) = 1,

(152)

(El, L)

=

q

O,

=

2 ....

, ~t.

Bezeichnet H die Projek{ion'von E l auf die yon den Vektoren Vx..~ Vk ausgespannte k-dimensionale Ebene, so gilt

(153)

= ~

H

cqVe,

1

(154) (155) Aus (153), (155) folgt

E I = H +.

L,

(L, V , ) = O ,

q=1,2

. . . . .

k.

(L, H) 0, trod daher wegen (154) (156)' (El, H) = (H, ~ ) = ]HI ~. =

N u n ist definitionsgemiil~

cos ~ (z. t) =

(E1, H)

,

also ist wegen (156) cos ~' ( ~ , t) = [ / / b

cos' ~ ( ~ , t) = (B~, H). Fiibxt man auf der reehten Seite dieser Gleiehung (153) ein, so ergeben (151),

(152) (157)

cos ~ ~ (zz, t) = q.

Die innere Multiplikation der Gleichung (154) mit VI ergibt wegen (155),

(153), (15i) (155)

2 J (rl,vj

= 1.

1

Ebenso ergibt die innere Multiplikation yon (154) mit Vs, p -- 2 . . . . , k, ~egen (15s), (153), (152) k

(159)

2 . ~ ( v . , V~) c~ = 0,

p = 2 . . . . , k.

1 Mathematische Zeitschrift, 44,

49

764

E. Schmidt.

Die AuflSsung der Gleichungen (158), (159) ergibt wegen (149), (150)

(A~_,),

c1 = - ~

(160)

Da cos ~ (xl, t) definitionsgem~fl positivist, so folgt aus (160) und (1"57) die zu beweisende Identit~t (142).

w Beweis des Greenschen Lemmas im n - d i m e n s i o n a l e n R a u m und einige Anwendungen.

Da der Beweis des sogenamlten Greenschen Lemmas im ~z-dimensionalen Raum anschaulich zwar ei~euchtend ist, in der Durchfiihrung aber nicht einfach erscheint, so sei hier ein Beweis angegeben unter den Voraussetzungen, mit welchen das Lemma in der Folge Anwendung findet. I. Es sei K ein regul~rer KSrper im n-dimensionalen Raum mit den rechtwinkligen Koordinaten Yl, Y2,..., Y,. Es bezeichne ~v eine in K definierte, nebst ihren ersten Ableitungen stetige Funktion. Dann besteht das Greensche Lemma in der tdentit~t (161) 9

I ~c~

~-dyl "" dY'" Y,u

R

K

Hierbei bedeutet R den Rand yon K und N die Riehtung der ~uBeren NormaleH.

Diese ist gemaB w6 II (11, 12) und III (11, 12) auf jeder der endlich vielen regul~ren ( n - 1)-dimensionalen Manaigfaltigkeiten R~_I, aus welchen R voraussetzungsgem~fl besteht, in jedem Punkte bestimmt und stetig. Beweis. Nach dem Verfahren des Induktionsschlusses maehen wir die Voraussetzung, dab die Zu beweisende Identitiit (161)fiir den Raum yon ,n -- 1 Dimensionen giiltig ist. Nun fithren wir auf Grund yon w6 V (2) ein rechtwinkliges Koordinatensystem x 1, xs . . . . . x,~ ein, dessen Aehsenriehtungen in bezug anf K nichtsingul~tr sind. Dann ist tt

cos (y,,, N) = ~_.~" cos (y,, x,) cos (~, N). I R

a y~, =

cce

(y~, x,.) ~-~.

~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w9, L

765

Hieraus folgt |eicht, dal3 die Identit~it (161) bewiesen ist, wenn fiir alle Indizes ~ die entspreehende Gleichung

(162)

~0eos(x,.,N)do~_~.=~ dx,.., d ~ .R

K

gilt. Wir k6nnen die Bezeiehnung so gew~hlt denken, dab in der zu beweisenden Gleiehung (162) 9 ~ 1 ist. D a je zwei R~_ 1 voraussetzungsgemgl~ nur Punkte gemein haben kSnnen, welche auf beiden wiederum Randpunkte sind, also auf endlich vielen regul~iren (n -- 2)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten liegen, so ist

I q~cos(x,.,N)da,~_,-=~, j"

(163)

2~

eos(x. )da

,.

a~2n_ 1

' Es seien s

~ und fl so gewahlt, daft fiir alle Punkte yon K

ist. Endlich bezeichne Q (~), den Quersclmitt des KSrpers K mit der Ebene X l ~ .

Dann ist gem~l] (92), (93) (164)

~0 ~ d z~ . d x.

J

d X2

=

a

9 ~ ~ ~ Xn~

Q(D

Es sei nun n => 3. Dann ist gem~13 (116), (121) (165)

qJcos(x,.,N)da,~_~=

d~

~cos(x~,N)Cos ~(xl,~) da,,_~,

Rn -- 1

Dabei ist der Faktor yon d~ unter dem Integral auf der rechten Seite an den endlich vielen ~[usnahmestellen yon ~, fiir welehe der Rand R yon der Ebene x 1 -~ ~ im Sinne yon w 6 I I I (13) beriihrt wird, Ms nicht definiert anzusehen, wiihrend e r an den iibrigen 8tellen Ms letmk~ion von ~ stetig und gemii~ w8 V I (3) im ganzen Gebiet absolut integrabel ist. Es sei ~ keiner dieser-Ausnahmewerte. Bezeiclmet dann N' die senkrechte Projektion yon N auf die Ebene x 1 = ~, so ist (166) cos (NN') > O. Man bezeiehne nun mit El, E~ . . . . . E~ die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen xl, x ~ . . . , x~, mit N. N' die Einheitsvektoren in der Richtung von N und N' und mit T den Einheitsvektor in der Richtung der Projektion yon E 1 auf die Ebene x 1 = ~. Dann ist zuniiehst (167) (Ex, 2') = cos ~ (xl, t) > 0, 49*

766

E. Schmidt.

(168)

(N, N') = cos (N, N') > 0, N = (N, N') .N" -F (N, E,). El, E, = (E,, T)- T + (E,,N)- N.

(169)

(170)

Bildet man auf beiden Seiten dieser Gleichungen das Quad~at der LRnge der Vektoren, so ergibt sich

1 = (N,

+ (El,N),,

I = (Eli T)' + (E,, Also ist wegen (167), (168) (171)

(N, N') = cos (iV, N') = cos ~P (xl, t).

Multipliziert man (169) mit E,, 9 ~= 1, so ergibt sich

(E,.,iV) = (N, N'). (B,.,N'). Also ist wegen (1.71) (172)

cos (z,, N) = cos ~ (zl, t) -cos (z,, N').

Die Einfithrung dieser trivialen Identitiit in (165) ergibt

(173) ~Jt

S

R--

I

~ cos (x,,N) d ~ , _ , =

d~

~

1

~

~t

S

~pcos (z,., N') d ~,~_,,

z

R'#~--I( 1'-~" ;)

wobei in dem Integral auf der rechten Seite der Faktor Yon d ~ an den oben genannten endlich vielen Ausnahmestellen yon ~ als nicht definiert zu betrachten ist. Nun kSunen je zwei verschiedene R~_ 1 nut l~mbte gemein ha~hen, die auf ihren reguliiren ( n - 2)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten liegen. Der Schnitt einer jeder derselben mit der Ebene x 1 = ~ besteht gem/i~ w6 I I I (13) aus endlichvielen (n -- 3)-dimensionalen regul/iren Mannigfaltigkeiten. Also kSnnen je zwei verschiedene R ~ _ , (z, = ~) fiur Punkte gemein haben, die auf endlich vielen regul/iren ( n - 3)-dimensionalen Maunigfaltigkeiten liegen. Dahez i s t

(174)

I

q,cos (~,N')d~r,,~, = ~'I I ~cos(z~,N')d~,_,.

Summiert man in (173)tiber~, so .ergibtsich wegen (!63) und (!7~) (175) iI~ cos(z,,N)d c;,,_,=: Id~ R

~

I R (zI =~t')

~pcos(x~.,N,)dr

~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w9, II. 767 wobei in dem Integral auf der rechten Seite der Faktor yon d ~ an den endlich vielen Ausnahmeste/len yon ~ als nieht definiert zu betrachten ist. Nun gilt

ox.. dxs ... dx~.

~eos(x,,N')d~n_2

(176) (~i ----~)

Q (~)

Denn in dem auf der Ebene x i ---- ~ ausgebreiteten ( n - 1)-dimensionalen Raum besteht gem~iB w6 IV (13) Q'(~) aus endlieh vielen regu]~ren K6rpern, yon denen je zwei nur Randpunkte gemein haben k6nnen, die fiir beide Randpunkte h6herer Ordnung sind, d.h. auf den endlieh vielen regu!~ren ( n - 3)-dimensionalen Randmannigfaltigkeit~n liegen. Ferner besteht ebenfalls gemiil3 w6 IV (13) R (x I ---- ~) aus der Gesamtheit der Rander' dieser regul~ren (n -- 1)-dimensionalen KSrper, in welche Q (~) zeff~]lt, w ~ r e n d N' die ~uflere l~Tormalenriehtung durchlauft. Fiir jeden dieser K6rper kann aber die Gleichung (176) auf Grund der Voraussetzung des Induktionssehlusses als gii/t~g angeseh'en werden. Fiihrt man (176) auf cler rechten Seite yon (175) ein~ so ergibt (164) die allein noeh zu beweisende Gleichung (162). II. Wit haben also die Greensehe Identit~it (161) nur noeh fiir n ---- 2 zu beweisen, d. h. fiir den Fall, daft K eine regu|~re 2-dimensionale Mannigfaltigkeit in der gewShnliehen Ebene ist. Wie in I gezeigt, geniigt es, die Gleichung ~cos(x~,N) d(71 = ~ d ~i gx~ R K zu beweisen, wobei (xl, x2) rechtwinklige Koordinaten sind, deren Achsen in bezug auf K niehtsingul~ire Richtungen haben. Man erh~ilt entsprechend cler G]eichung (163) (177)

(178)

f ~ c o s (x,,N) d ~ -----~ ,

I q~cos(x,,N)d~.

Statt cler Gleiehung (165) ergibt sieh wegen (118), (12I) 1

wobei der Index/~'die Werte der betreffenden Funktionen an den endlich vielen Schnittpunkten der Geraden x 1 ~ ~ mit R~ markiert. Dabei ist der Fakt~r yon d~ an d~n endlieh vie]en Ausnahmestellen yon ~, fiir welche :R yon der Geraden x 1 -~ ~ im Sinne yon w6 II (13) beriihrt wird, d. h. alsb ftir welche die Gerade eine der Mannigfaltigkeiten 'R~ im ilblichen Sinne beriihrt oder

768

E. Schmidt.

dutch einen ihrer Endpunkte geht, als nieht definiert zu betraehten. An den iibrigen Stellen ist e r als Funktion yon ~ stetig und gemiiB w8 VI (3) im ganzen Gebiet absolut integrabel. Nun ist

eos (x~, N)~ = • cos 7t~, (Xx, t),

wobei das positive Vorzeiehen gilt, wenn an der betreffenden Stelle die Riehtung d e r wachsenden x 2 aus K hinaustritt, das negative, wenn sie hineintritt. Dutch Stimmation der Gleiehung (179) tiber 1 ergibt sieh demgem~B bei Beriieksichtigung yon (178) fl "~ 8 r I ~cos(~0,,N)dal I d~ .I o-~2dx2 9 R a Q (~) Wegen (164) folgt hieraus die Gieichung .(177), die allein noch zu beweisen war. IIi. Es sei K ein regul~rer KSrper im n-dimensionalen Raum. Es sei n ~ 3. Die reehtwirddigen Koordinaten xa, x 2...... Xn seien so gew~ihlt, daft ihre Richtungen in bezug auf K niehtsingul~r sind. Der Rand yon K werde mit R bezeiehnet. Es gibt dann nur endlieh viele Werte yon ~, ftir welche K yon der Ebene x x = ~ im Sinne v0n w6 IV (13) bertihrt wird, oder, was definitionsm~l~ig dasselbe ist, eine der endlieh vielen regut~ren (~ -- 1)-dimensionalen Msnnigfaltigkeiten, aus denen R zusammengesetzt ist, yon der Ebene x I = im Sinne yon w6 IH (13) beriihrt wird. Diese Werte sollen im folgenden kurz als die Ausnahmestellen yon ~ bezeichnet werden. E s s e i nun ~' keine tier Ausnahmestellen. Gem~l] w6 IV (14) besteht d a n n K (x 1 ~ ~') aus endlich vielen reguli~ren KSrpern. Die endlich vielen reguliiren (n -- 1).dimensionalen Randmannigfaltigkeiten dieser endliehvielen K6rper erfiillen den Quersehnitt Q (~') und die Punktmenge R (x x _~ ~'), d. h~ denjenigen Tell des Randes R, ftir welehen x~ ~ ~' ist. Dabei kSnnen je zw~i" verschiedene dieser regul~ren ( n - 1)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten nur Punkte gemein haben, die fiir beide wiederum auf dem Rande liegen, die also auf endlich vielen regul~ren (n -- 2)-dimensionalen Marmigfaltigkeiten g elegen sind. Indem man auf jeden dieser KSrper das Greensehe Lemma anwendet und dann das Resultat fiber alle KSrper summiert, ergibt sieh ftir eine befiebige nebst ihren ersten Ableitungen in K stetig definierte Funktion =

I

I

I

~cos(x~,N)da,_~+ zdx~:..dz,= /~(zi~_ $') Q(~') Also ist wegen (92) und' (93) (180)

I g d ' , ... d,z, = -Q(~t, )

Z eos (~,, N) g a . - 1

i R(zt ~ ,

ox d z x d x ~ . . . d x . .

)

a~, a

Q(~

~

Uber das isoperimetrisehe Problem im Raum yon n Dimensionen. w9, IV. 769 wobei u so gew~iMt ist; daft ftir alle Punlae yon K X1 ~

Dabei stellt der Faktor yon d~ im zweiten Integrale auf der rechten Seite gemliB w8 III eine stetige Funktion yon ~ dar. Jetzt wende man auf jede der endlich vielen regul~ixen ( n - 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, aus welehen R definitionsm~il~ig besteht, die Gleichung (116) an, indem m a n fiir ~ die Funktion X cos (x 1, N) einsetzt. Durch Summation ergibt sich dann d d~'

I

!

geos (x~, N7 d a,,_~ =

g cos (x v N) cos ~u1(x~,0

dan-~,

Nun ist offenbar (1817

cos ~ (x v t) = sin (x 1, N) > 0.

Bei Einfiihrung dieser beiden letzten Gleichungen ergibt die Differentiation yon (1807 nach ~' (182).

~g

zd~...dz~=

--

Q(~')

Z cotg R (Z I = ~')

Q (~')

Dabei sind die Integrale auf der rechten Seite beide als FunkCionen yon ~:' stetig. Das Integral

QI~_ Z dx~.. . . dxn

(183)

is$ also als Funktion yon $, abgesehen yon den endlich vielen Ausnahmestellen stetig differenzierbar. Aber auch an diesen Ausnahmestellen bleibt das Integral selbst gem~B w8 III stetig. IV. SetzV man im Integral (t83) Z ~ 1 und definiert die Funktion J (~) durch die Gleichung (184i

J

n-l(Q

=

wobei das Symbol J~_ 1 den (n -- 1)-dimensionalen Inhalt bedeutet, so ergibt sich: J (~) ist fiir alle Werte yon ~ stetig und abgesehen v~n den endlich vielen Jkusnahmestellen auch stet~g differenz, ierbar. Abgesehen yon diesen Ausnahmestellen gilt dann auch die Darste]lung (185)

d~ ~J

(~)=-

i R (xl -----0

e~

770

E. Schmidt.

Bezeichnet 0t* das Minimum und/~* das Maxinmm yon x 1 in K, so ist wegen der fiir alle Werte yon ~ giiltigen Stetigkeit von J (~)

(186)

J (~*) ---- J (fl*) = 0.

Da nun gem~il~ der Definitionseigenschaft w6 IV (d) jeder Randpunkt yon K Hi~ufungspunkt yon inneren Punkten ist, so ist a* die untere Grenze yon x I fiir alle irmeren Punkte yon K und fl* die obere Grenze. Ist daher ~* < ~ < ~ * , so gibt es einen inneren Punkt P " , fiir welchen x 1 ~ ~ ist, and einen inneren Punkt P', fiir welchen x 1 > ~ istl Gem/k~ der Definitionseigenschaf~ w6 IV (e) lassen sich nun P " und P' durch einen ganz im Innern yon K verlaufenden Weg verbinden. Also mull es auf der Ebene x 1 ~ ~ inhere Punkte yon K geben. Diese sind afortiori auch innere Punkte des Querschnittes Q(~). Daher verschwindet im Intervall ~* < ~ < ~* J (~) nut an den Endpunkten ~* und {~*, welche iibrigens offenbar, auch zu den sogenannten Ausnahmestellen,von ~ geh6ren. V. Setzt man im Integral (183) Z = x,, ~ -~ 2, 3 , . . . , n, so ergibt sich aus dem Abschnitt I I I : D a s Integral (187)

_ .~Vx , d x ~ . . . d %

ist als FunkCion yon ~ iiberall stetig und abgesehen yon den endlich vielen Ausnahmestenen yon ~ stetig differenaierbar. Es sei nun a*
~---- 2, 3 . . . . . n.

Dann gilt

(188) wobei der Nenner, wie in IV gezeigt, nicht verschwindet. Die oben mlter IV and V gemachten A u s f ~ r u n g e n ergeben also: Die Koordinaten ~, (~), 9 ~ 2, 3 , . . . , n, des Schwerpun~es yon Q (~) sind fiir a* < ~ < 15" als Funktionen yon ~ iiberal] stetig und abgesehen yon den endlich vielen .~.usnahmewerten stetig differenzierbar.

Uber das isoperimetrische Problem im Raum von n Dimensionen. w10~

771

VI. Man wende die Satze w8 VI (1)und (2) auf die endlich vielen reguliiren

( n - 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten an, aus welchen R zusammengesetzt ist. Dutch Summation ergibt sich dann: Der Fliichenlnhalt

(189)

F._I(R(xl < ~))

ist als Funktion yon ~ iiberall stetig und abgesehen yon den endlich vielen sogenannten Ausnahmestel!en auch stetig differenzierbar. Bei Beriicksiehtigung der Gleichung (190) cos ~ (x,, t) = sin (zl, N) > O liefert die Gleichung (115) fiir den Differentialquotienten, abgesehen yon den Ausnahmestellen, die Darstellung (191)

d} {F,,_,(R(x, <_~))1 =

sin(x,,N)da,,_2. R(zl = D

Nun ist (192)

1 sin (xl, N)2 = 1 -F cotg(x,,N) ~.

Xlso folgt aus der w4 1 hergeleiteten Ungleichung yon Schwarz bei Einfiihrung yon (185)

_d {F,~_, (R(x, =< ~))] =>"

da,,_,

t/

-{-

(193) ~d{F,~_,(.R(x, =< }))} _>-- (F,~_~(R(x, -~ }))}g+

J(~)

)")

Hierbei gilt das Gleichheitszeichen dann und nur dann, wenn flit x 1 =: cotg (x 1, N) konstant bleibt. Diese Bedingung ist, da gemiil~ (190) Sin (xl, N) positiv ist, gleichbedeutend mit der Bedingung , da~ fiir x 1 = ~ cos (x 1, N) konstant bleibt. Wendet man endlich den Satz w8 VI (4) auf die einzelnen regul~iren (~ -- l)-dimensionalen Mannigfa/tigkeiten an, aus we|ehen R zusammengesetz~. ist, so ergibt sich dutch Summation, daft, abgesehen yon den endlich vielen sogenannten Ausnahmestellen yon ~ auch F,_~(R(xl = ~ ) ) als Funl~ion yon } stetig ist. Von dieser Einsicht wird iibrigens in der Fo]ge kein Gebrauch gemacht.

w10. 3eweis der isoperimetrisehen Eigensehaft fiir die Kugel im n-dimensionalen Raum. Es sei n ~ 3 und K ein regul~irer KSrper im n-dimensionalen Raum im Slime yon w6 IV, V sein Volumen, 0 seine Oberfl~iche und t 01 deren Fl~iehens) H. A. Schwarz, l. c., S. 331 (Ib).

772

E. Schmidt.

inhalt, Es bedeute wie in w3 E~ das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel. /)ann 9dt: n

(194:)

V <

Da~ G ~ z e ~ h e n

n l

9!

lOin_: t

"

gilt nut/iir die Kugd.

Beweis. (I). Wir nehmen den Satz fiir n

1 Dimensionen als bewiesen

an. Dann gilt im ( n - l)-dimensionalen Raum zun~ichst folgende Erweiteruug: Es seien K~ mit den Volumina F~ und den Obeffliichenlnhalten[0~[ (p = 1,2, . . . , m) m reguliire (n -- 1)-dimensionale K6rper im ( n -- 1)dimensionalen Raum, von denen je zwei nur Punkte gemein haben k6nnen, die fiir keinen Yon beiden innere Punkte oder Randpunkte sind, die im Innern einer seiner regul~ren (~ -- 2)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten liegen. Bezeichnet V das Volumen der Vereinigungsmenge dieser K0rper und 0 die Obeffliiehe de r Vereinigungsmenge, so ist zunttchst wegen der gemachten Voraussetzungen V =

~

V~,

IoI = ~ : ~ IO,,I.

1

1

F~ gilt aber aueh die isoperimetrische Ungleichung n--1

(195)

V < ~_

~. [o I~ - L

~n-- ~ = "

1

,,-- ~

I

~ ,

(n--l) n-s-g

_x

wobei das Gleichheitszeichen nut dann besteht, wenn es sich urn einen einzigen KSrper handelt und dieser eine Kugel ist. Denn es ist Wt

~/t

1

?t~

1

1 I

"

I

'

~

"to tlo l-:'

= 1'

,

~z~

I

= 1

Es sei wie in I n > 3. Man behalte die Bezeichnungsweise yon w9 III, IV, V, VI bei, Bur m6ge der Rand R des reguliiren KSrpers K mit 0 bezeictmet werden. Es sei ~ keine der endlich vielen Ausnahmestellen, fiir welche ~i: yon der Ebene x x = ~ im Sinne yon w6 IV (13) beriihrt wird. Dann besteht gemgfl w6 IV (13) der Querschnitt Q (~) aus endlich vielen reguliiren (n -- 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, welche in dem auf d e r Ebene x 1 ~ ausgebreiteten ( n - 1)-dimensionalen Raum die Voraussetzungen der Ung!eichung (195) effiillen. iI.

Ober das isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w 10, IIL 773

Also gilt (196)

J (~) ~ ~ - ~

{Fn :-s (0 (zx = ~ ) ) } ~ - '

wobei ~ _ ~ wie in (195} definiert ist. Dabei gilt das Gleichheitszeichen dann mad nur dann, wean Q (~) eine (n - l)-dimensionale Kugel ist. Definiert man

!o (~ ~_ ~)l = P~_~ (o ( ~ < ~)), so ergibt sich gemiilt (193), (196) -1'

$ n--2

Abgesehen yon den endlich vielen Ausnahmestellen sind die Ausdriicke auf beiden Seiten gem~iB w 9 IV und w 9 V I a l s Funktionen yon $ stetig, wahrend die ~'unktionen

J (~),

Io (x~ < ~)l

iiberall, also insbesondere auch an den AusnahmesteUen, stetig bleiben. Definiert man daher [OI durch die Gleichtmg (198)

t l=

+

so gilt

(199)

Iol > 161.

Dabei ist der. Integrand auf der rechten Seite von ,/198) an den endlich vielen Ausnahmestellen yon ~ als nicht definiert zu betrachten, wi~hrend er, wie eben hervorgehoben, sonst iiberall stetig bleibt. Ferner gilt in (199) das Gleichheitszeichen wegen (193), (196) dann uad nut dann, wenn, immer abgesehen yon den endIich vielen Ausnahmeste]len yon ~, erstens: cos (xl, N) a u f der Ebene x 1 = ~ konstant bleibt; zweitens: Q (~) eine (n - 1)-dimensionale Kugel ist. III. Wit wollen nun beweisen, dab die am SchluI3 yon I i angegeb~nen, flit die Giiltigkeit des Gleichheitszeichens in (199) notwendigen und hinreichenden Bedingungen nur erfiillt stud, wenn K ein RotationskSrper um eine zur xl-Achse parallele Rotationsachse ist, dessen Oberfl~che einer Gleichung yon der Form (200)

~

(x~ - - c , f = r (x~)~"

geniigt. Dabei bede.uten die c,. Konstanten und die Funktion r (xx) wird definiert durch die Gleichung (201) E~_ ~ r (~)" -~ = J (~). 9) H. A. Sehwarz, I. c., S. 335 (IIb).

7'14:

E. Schmidt.

B e w e i s . Aus der Gleichung (201) folgt zun~chst, dab r (~) fiir alle Werte yon ~ stetig ist. Nun ist, wie w 9 IV gezeigt, J (~) abgesehen yon den endlich vieien Ausnahmestellen stetig differenzierbar und verschwindet im Intervall ~* < ~ ~/~* nut an den Stellen ~ ---- ~* mad ~ ---- fl*, welche auch zu den Ausnahmestellen gehSren. Daher ist r (~), abgesehen yon den Auanahmestellen, auch stetig differenzierbar und verschwindet im Intervall ~* < ~ ~ / ~ * nur an den Endptmkten ~* und fl*. Es seien ferner xv = ~v (~), v = 2, 3 . . . . , n, die Koordinaten des Mittelpunktes der Kugel Q (}). Da tier Mittelpunkt mit dem Schwerpunkt der Kugel zusammenfiillt, so sind gemiil] w 9 V auch die Funktionen rj, ($) fiir a* < z 1 < fl* abgesehen yon den endlich vielen Ausnahmestellen stetig differenzierbar and einschlielllich dieser Stellen stetig. Abgesehen yon den Ausnahmestellen yon } ist der ( n - 1)-dimensionah Inhalt der Kugel Q (~) definitionsgemaB gleich J (}) and ihr Radius wegen (201) gleich r (~): Schreibt man start } wieder xt, so ist also, abgesehen yon den endlich vielen Ausnahmestellen yon xl, die Gleichang der Obeffliiche 0 n

(202)

/ (Xl, x2, . . , , zn),, ~ - s

(z, -- 7, (zl))' -- r (x.1)2 -~ 0. 2

Nun ist cos ~ (ah, N ) = a/

.

[O z~/ n

/a/~.

\a x/ :~ \O z,/ "

Durch Differe~iat/on yon (202)ergibt sich 2

~ ' (,~,~,Tv (~,)),~'~(~,)-

2 ,. (~,),-' (,,,,),

2 n

Aus der Einfiihrung dieser beiden Formeln in (203) folgt

,~;!,~,)(,~. - ,~,(~,)) - ,. (~1).~-,-(~,) + oo~g (,~,, N),-(,~,) = o.

(20~) ~ ,

2

Voraussetzungsgem&I] ist cotg (x~, N) bei festem x 1 konstant. Wenn daher nicht siimtliche Abteitmagen ~', (xl), v = 2, 3 , . . . , n, verschwinden, so stellt die letzte Gleichung (204)bei festgehaltenem xx, ~* < x~ < fl*, im Raume

Uber das isoperimetrische Problem im Raum yon ~ Dimensionen. wI0, IV. 775 (x~, x 3 . . . . .

x~) zwei parallele (n - - 2 ) - d i m e n s i o n a l e E b e n e n daro Auf diesen

miiBte die ganze Oberfl~che der (n -- 1)-dimensionalen Kuge| (202) liegen, deren Radius r (xl) , wie oben gezeigt, nicht verschwindet. Das ist unm6glich. Also verschwinden, abgesehen yon den endlich vie|en Ausnahmestellen, samtliche Ableitungen rt', (xl) , ~ ~ 2, 3 . . . . . n. Da abet die Funktionen ~ (xl) an den Stellen ~* und/3* zwar nicht definiert, aber im Gebiet ~* <: x 1 < fl* einschlieBlich der Ausnahmestel|en stetig sind, so sind sie in diesem Gebiet Konstanten. Bezeichnet man diese mit c~., ~ ----- 2, 3, . . . , n, und die endlich vielen Ausnahmewerte yon x 1 mit ~ , p ~ 1, 2, . . . , so geniigen also abgesehen yon den auf den Ebenen x 1 ---- ~ , p ~--- 1, 2, . . . gelegenen Punkten, (tie Punk'te yon 0 der Gleichung }2

(205)

~'~ (x~ -- c,) ~ -= r (x~) ~. 2

Liegt nun ein Punkt Q im Innern des dutch (205) dargestellten Rota~ionskSrpers auf einer der Ausnahmeebenen x 1 = ~ , so ist er H~ufungspunkt yon inneren Punkten des RotationskSrpers (205), die auf keiner der Ausnahmeebenen liegen und d a h e r dem gegebenen K5rper K angehSren. Also gehSren alle inneren und mithin auch alle Randpunkte des RotationskSrpers (205) K an. Lieg~ aber ein Punkt Q im _~u~ern des RotationskSrpers auf einer der Ausnahmeebenen, so kaml er nicht Hhufungspunkt yon inneren Punkten yon K sein. Gem~il] der Definitionseigenschaft w6 IV (d) mull aber ieder Punkt eines regul~ren KSrpers H~iufungspunkt yon inneren Punkten sein. Also gehSrt der Punkt Q nicht zu K. Damit ist festgestellt, dal3 der KSrper K mit dem durch die Gleichuug (205) gegebenen RotationskSrper identisch ist, W. Z. b . w .

IV (1). Man ordne nun dem KSrper K einen RotationskSrper ~'~ mit dem Volumen I7~,der Oberf|[icheO~ und deren Fli~cheninhalt iO~I in folgender Weise zu 1~ : Es sei O
b'*--~* 2

Die Rotationsachse sei die xl-Achse. In der Meridianebene der Meridiankurve C fiir (206)

(xl, r ) s e i l~ings

~* ~- E ~ x I ~ f l * -- e.

wobei die FmArtion r (xl) , wie in III, dutch die Gleichung (201) definiert ist. 10) Der durch (205) gegebene RotationskSrper k5nnte wegen des Verschwindens yon J(~) an den Stellen a* and fl* vine Meridiankurve yon unendlieher Lfmge besitzen. Aus diesem Grunde empfiehlt 8ich bier der Umweg fiber die approximierenden RotationskSrper _~.

776

E. Schmidt. Von den Punkten

xl==*+e,

r=r(~*+,),

x,=3*-,,

r=r(3*-,)

aus miinde die Meridiankurve C auf zwei der r-Achse parallelen Oeradenstricken in die P,mkte der Rotationsachse X1 =

0t* +

~,

X1 =

~* ~

e

eill.

Nun ist wegen (198), (199) (207) ~t

Femer ist wegen (201) --1

1

] ~ g ", ,--', J (~)"-' J (t). - d r(t) = (;:-_ d~ Bezeiclmet / ~ das Minimum yon J (})im Interva]l (206), so ist, wie in III gezeigt, p~ > 0 . (2o8)

Gem~ii3 (208) ist daher (209)

~

<

1

9

(~--1) ,,-1

En-- 1 /~

Also ist wegen (207) auch das Integral

( 1o,

I

endlieh. Die Meridiankurve C des RotationskSrpers i~', hat mltmn auch eine endliche Lange. Der KSrper R~ effiillt damit in Beriicksichtigung der schon unter III iiber die Funktion r (~) gemachten Feststellungen die Voraussetzungen der w3 in B ~racht gezogenen RotationskSrper. Es gilt also fiir R~ die isoperimetrische Ungleichung {34) 7;

(211)

V.<

I

I

.10l,,-,

Nun ist

v-.=

j" J ( O d . ~ .

~ber das isoperimetrisehe Problem im Raum yon n Dimensionem w10, IV. 777 Da wegen (91) 9

ist, so folgt (212)

lira V, = V. ~-2;p0

Fiir den Oberfliicheninhalt ]0~ I erhiilt man gem~il3 w3 IV (7") (213)

tO~1 = E,,=,(r(~* + e))~-~ + E,,_, ff(fl* -- ~)p-~ + (n - 1) E . _ ,

Nun ist wegen (201)

_~

--

~ /

wobei ~n-1 wie in (195) definiert ist. Aus (213), (214), (198) folgt wegea r (~*) = r (fl*) = 0

(215)

lim Id~t ---- IO!.

Die Gleichungen (211), (212), (215) ergeben (2!6)

1

1

V ~_ - - 7 - ' - - - V - " fOt ~-!nu-1 E : - 1

Wegen (199) folgt hieraus afortiori die zu beweisende isoperimetrische Ungleichung (194). IV (2). Man kann der isoperimetrischen Ungleichung noch fo]gende Verschgrfung geben: Ist o das Maximum der durch (201) definierten stetigen Funktion r (~), so ist wegen {206) bei geniigend Meinem s ~oauch das Maximum des Radius der ( n - 1)-dimensionalen Breitenkugel d e s Rotationsk6rpers K,. Es ist daher gem~B (33) V ~

'

-

~_l(Io~t-e

-E.

Wegen (212), (215) folgt hieraus V=< ~_~(101..o--~0").

e'~) 9

778

E. Schmidt.

Also gilt wegen (199) die, wie w 1 gezeigt, versch~iffte isoperimetrische Un~ gleichung 1 (217) F _~ n ' i " ( l O t ' q -- E , Q " ) . V. Jetzt soll noch bewiesen werden, daft in der isoperimetrischen Ungleichung (194)alas Gleichheitszeichen nur fiir die Kugel gilt. Beweis. Das Gleichheitszeichen in (194) fordert wegen (216)~auch das Gleichheitszeichen in (199) und dieses fordert, wie in III bewiesen, daft K ein RotationskSrper urn eine der Xl-Achse parailele Rotationsachse ist, dessen 0beffliiche einer Gleichung yon der Form 71

(218)

~

(x,.~ -- c,,)' = r (z~) ~ 2

geniigt. Auf Grand yon w3 II liefe sich hieraus die zu beweisende Behauptung folgern. Man kann jedoch den Beweis w3 II fiir den vorliegenden Zweck entbehren und schlieft einfacher folgendermafen: Die Vertauschung von xlmit x 2 ergibt, daft das Gleichheitszeichen in (194) ebenso auch fordert, daft der Kfrper K ein RotationskSrper urn eine der x2-Achse parallele Rotationsachse ist, dessen Oberfl~iche einer der Gleichung (218) entsprechenden Gleichung geniigt. Die beiden Rotationsachsen schneiden sich im Schwerpunkt yon K. Denkt man sich diesen zum Koordinatenanfangspunkt gewahlt, so werden die xl-Achse und die x~-Achse zu Rotationsachsen des KSrpers. Die Gleichung seiner Oberfl~che l~flt sich dann entsprechend (218) in folgenden beiden Gestalten darstel]en. n

(219)

2

~ ~ x~ ~ r I (z~) 2,

1 ~t

(220)

~

~I = ~ + rs (=Jg.

1

Bezeichnen ~* und ~* wie friiher das Minimum und das Maximum yon x 1 in K, so gilt, wie unter III gezeigt, @'I (r

-~- ~'1 ( ~ * )

=

0.

Die beiden Extrenmlwerte x 1 ----=* un:l x 1 ----fl* werden daher auf den Schnittp~mbten der xl-kchse mit 0 angenommen und liegen also auf dem Schnitt der Ebene x 2 ----0 mit O. Da dieser Schnitt dutch die Oberfl~che einer ( n - 1)-dimensionalen Kugel gebildet wird, so nimmt die Koordinate x 1 auf dem Schnitte auch alle Werte zwischen =* und fl* an. Also werden alle Werte, welche =1 iiberhaupt auf 0 annimmt, auch auf dem Schnitt def. Ebene

~[ber d u isoperimetrische Problem im Raum yon ~t Dimenaionen. wlI, L 779 x t = 0 mit O angenommen. Fiir diesen Schnitt gilt nun gemiiB (219), (220) ~ die Gleiehung x~ + rl (xl) ~ = rs (0p. Also ergibt (219) fiir alle Punkte yon O die Gleichung n

~ I x~~ = r~ (0p, 1

d.h. K ist eine Kugel, w. z. b. w.

w 11. Yerseh~rfung der isoperimetrischen Abseh~itzung im n-dimensionalen Raum. I. H i l f s s a t z . Es bezeichne oJ eine beschrttnkte, abgeschlossene~ Punktmenge im'n-dimensionalen Raum und Q ihren Querschnitt mit einer beliebigen (n -- 1)-dimensionalen Ebene E. Es bezeiehne Q die Gesamtheit der auf Q gelegenen inneren Punkte yon m. Jeder Punkt yon (~ist dann auch ein innerer Punkt yon Q in bezug auf E, abet das Umgekehrte braucht nicht der Fall zu sein. Es mSge ebenso die unendliche Folge der Ebenen E mmit o~ die Quer -~ sehnitte Qmbilden, und Q~ die Gesamtheit der auf Qmgelegenen inneren Punkte yon w bezeichnen. Es gelte endlich die Konvergenz

(221) Dann ist (222) lira sup 3 (Q~) =< :T (q).

(223)

Dabei bedeuten die Symbole J und J den inneren trod aufleren (n -- 1)-dimensionalen Inhalt. Mit anderen Worten: J(Q) ist als Funktion yon E nach oben halbstetig trod J_ (~))nach tinten. Jedoch soil im folgenden yon dieser Deutung der Ungleichungen (222), (223) kein weiterer Gebrauch gemach~ werden. Beweis der U n g l e i c h u n g (222). Man zerlege die Ebene E in ein Netz paralleler kongruenter ( n - 1)-dimensionaler Wiixfel und bezeichne mit Q' cliejenige Punktmenge, welche aus allen den Wiirfe]n zusammengesetzt ist, die ganz in Q enthalten sind. Zu jedem e > 0 kann das Wiirfelnetz so dicht gew~ih]t werden, da~ (224) Mathematische Zeitschrlft.

J (Q') "> _J (Q) - e 4~.

50

780

E. Schmidt.

wird. Es sei nun h die Minimalentfernung zwischen Q' und dem Rande yon co. Dann i~t h > 0. Man kann nun wegen (221) m so grol] w~hlen, da~ die Entfernung jes zu Q' geh6renden Punktes P yon demjenigen Punkte yon E ~, dessen senkrechte Projektion auf E der Punkt P ist, kleiner als h bleibt. Die Gesamtheit dieser auf. E ~ gelegenen Punkte, die mit Q'~ bezeichnet werden m6ge, besteht daher nur aus inneren Punkten yon eo, Es ist also (22 )

<

(226)

g (Q,jm) _ j (Q,,~) ~ j (~m).

Ferner ist, wennN und Nmdie Normalenrichtungen yon E und E m bezeichnen, (227)

y (Q,)= j (Q,m) .]cos (NI N~)I.

Aus (226), (227), (224) folgt j (~)m) ____j (Q,.~) ~ j (Q,) > j ( ~ _ ~, (228)

J

> J

-

Da die letzte Ungleichung ftir jedes e > 0 bei geniigend groflem m erfiillt ist, so ist der zu fiihrende Beweis fiir die Ungl.eichung (222) erbracht. Beweis der U n g l e i c h u n g (223). Man zerlege die Ebene E in ein Netz paralleler, kongruenter (n -- 1)-dimensionaler Wiirfel und bezeichne mit Q" diejenige Ptm~menge, welche aus allen den Wiirfe]n zusammengesetzt ist, welche im Innern oder auf dem Rande Punkte yon Q enthalten. Zu jedem e > 0 kann das Wiirfelnetz so dicht gew~ihlt werden, dab (229) J (Q") < J (Q) + e wird. Es sei h die Minimalentfernung zwischen eo und der Gesamtheit der nicht zu Q" gehSrenden (n - 1)-dimensionalen Netzwiirfel auf ~. Dann ist h > 0 . Man kann wegen (221) m so grol~ wghlen, dab die Entfernung jedes auf dem Querschnitt Qm liegenden Punktes yon seiner senkrechten Projektion auf E kleiner als h bleibt. Dann muff diese Projektion auf Q" fiegen. Bezeichnet also Q,,,n diejeaige Punktmenge auf E m, deren senlvrechte Projektion auf E Q" erfiillt, so ist (230) Q~ < Q'", (231) Femer ist (232)

"f (Qm) ~ ~(Q,,,,,} _. g (Q,,m). J (Q") = J (Q"~'~). Icos (N, N ~) I-

.&us (231), (232), (229) ergibt sich y(Q=) <= j (Q,,,,,) =

I

_ . j (Q,) <

I cos (N, N')I

~ ( f (Q) + ~). Icos (~N'~)I

Ober d~s isoperimetrische Problem im Raum yon n Dimensionen. w]l, IIL 781 Da die letzte Ungleichung fiir jedes e > 0 bei genfigend groBem m erfiillt ist, so ergibt sieh wegen

]cos (N, N ' ) t -> 1 die zu beweisende Ungleiehung (223)~ II. H i l f s s a t z . Es bezeiehne ~1eine Riehtung im n-dimensionalen Raum, die etwa durch eine dutch den Koordinatenanfangspunkt gehende, nicht mit einem Durchlaufungssinn versehene Gerade ~j repr~sentiert sei. Unter der Gesamtheit der zu ~ senkrechten (n -- 1)-dimensionalen Ebenen gibt es dann mindes~ens eine, fiir we]che der ~uBere Inhalt ihres Querschnitts mit der beschr~nk~en, abgesehlossenen Punktmenge to zum Maximum wird. B e w e i s . Es sei M die obere Grenze der ~uBeren Inha|te der zu ~t senkreehten Quersehnitte. Dann gibt es senkreeht zu '11eine Folge yon Ebenen E m mit den Querschnitten Qm: so dal] (233)

.~ (Qm) __>M

gilt. Man kann dureh Auswahl als erreieht annehmen, daf$ die Ebenen E ~ gegen eine zu t/ senkrechte Ebene E konvergieren: (234)

E ~ -+ E.

Der Querschnitt yon E werde mit Q bezeichnet. Dann folgt aus (234)," (223), (233)

M < .)-(O) und damit wegen der Definition yon M (235)

-J (Q) = M,

W. Z. b. w .

Man bezeiehne einen solchen Querschnitt als einen zur Richtung ~ senkrechten Maximal~uerschnitt. HI. Unter Beibehaltur~g der Bezeichnungsweise von I und IZ bezeiehne man ferner mit s den Rand yon to und mit D (Q, s) den Durchschnitt yon Q and s. Dann gilt zun~ehst die Punktmengengleichung (236)

Q = Q + D (Q, s),

wobei die beiden Summanden a u f d e r rechten.Seite punktfremd sin& Hieraus folgt (237)

~] (Q) < "J (Q) § J (D (Q, s)).

Da Q eine offene Punktmenge i s t und Q eine abgeschlossene, so ergibt (236), dal~ sowohl der Rand yon Q als auch der Rand yon Q in D (Q, s) enthalten sin&

782

E. Schmidt. Ist also

(238)

J ( D (Q, s)) = 0,

so haben sowohl Qals auch Q R(inder vom ~ufleren Inhalt Null und mithin gem~ifl w 7 II (1) beide einen bestimmten Inhalt, d. h. es ist

J (Q) ~ Y (~)) = J (Q), J (Q) --- J (Q) -- J (Q). Die Einfiihrung yon (238) m (237) ergibt endlieh bei Beriicksiehtigung yon (236) (239)

J (Q) = J ((~) = J (Q) =

J--(Q).

Zuin Sehlufl sei noch bemerkt, daft die Gleiehung (238) auch eine notwendige Bedingung fiir die Giiltigkeit der Gleiehungen (239) darstellt. Denn weg m d e r Punktfremdheit der beiden Summanden auf der reehten Seite siehert die Gleiehung (236) aueh die Ungleiehung J (Q) >-__J (~)) -t- J ( D (Q, s)). Auf die Ausfiihrung des sich fast unmittelbar darbietenden Beweises dieser allgemein bekannten Ungleiehung kann bier um so mehr verzichtet werden, als yon der Schluflbemerkung in der Folge kein Gebrauch gemaeht wird. IV. Der V e r s e h ~ r f u n g s s a t z . Es sei K em regul~irer KSrper im n-dimensionalen Raum, V sein Volumen, 0 seine Oberfliiche, [0] deren Fl~eheninhalt. Ms Vergleichskugel bezeiehne man die n-dimensionale Kugel mit demselben Oberfliicheninhalt ]0 t. Der Radius P der Vergleiehskugel wird dann gegeben durch die Gleiehung (240)

nE, Pn-l=

lot.

Senkrecht zu jeder Richtung hat der Maximalquerschnitt der Vergleichskugel den Inhalt (241)

E,_ 1 p,-1.

Unter Beibehaltung der Bezeichnungsweise yon I und II bezeichne man jetzt einen beliebigen Querschnitt Q' yon K als exzessiv, wenn J (~)') griifler ist als der Inhalt des Maximalquersehnitts der Vergleichskugel. Ferner bezeiehne man entsprechend II einen zu einer Richtung l/ senkreehten Maximalquersclmitt Q' als de/ekt, wenn J-(Q') kleiner ist als der Inhalt des Maximalquersehnitts der Vergleichskugel. Man definiere nun P' im ersten Fall dureh die Gleichtmg (242)

E . _ I P " - ~ = J (Q:),

~ber das isoperimetrische Problem im Raum yon ~ Dimensionen. w|], IV. "/83

und im zweiten Fal] durch die Gleichung (243)

E._~P ''-~ = J

~').

Dann ist also im ersten F a l ] (244)

P' > P,

im zweiten Fall (245)

P' < P.

Nun nimmt, wie schon w 3 1 ausgefiihrt, die Funktion (246)

,,-

1 1 (t~

-

E,t,),

t >

o,

fiir t -----P ihr Maximum an, und zwar wird das Maximum gleich E. P"; also gleich dem u der Vergleichskugel. Also ist sowohl fiir den Fall eines exzessiven Querschnitts sis auch fiir den Fall eines defekten, zu einer Richtlmg senkrechten Maxima]querschnitts (247)

. _ 1 ~ (IoJ. P' -- R .

p,n) <

v0,

wobei Vo das Volumen der Vergleichskugel bedeutet und mithin dutch die Gleiclmng (248)

V0 -

~ nn--I

~

""-

~-- I

En

gegeben wird. Nach diesen Vorbereitungen ]~I3t sich die Verscharfung der isoperimetrischen Abschatzung, welche das Ziel dieses Paragraphen ist, in folgender Weise formulieren: Sowohl ]iir den Fall eines exzessiven Querschnitts als auch ]iir den Fall eines de/ekten Maximalquerschnitts gilt/iir dab Volumen V des K6r~ers K die AbschOlzung (249)

V _-< ~ - i _ ~ ( [ o l . P ' - E . P ' , , ) ,

wobei P" im ersteren Fall dutch die Oleichung (242) gege~en wird, im letzteren dutch die Gleiehung (243). Aus (247), (248) geht hervor, daft diese Absch~tzung sch~irfer ist als die durch den isoperimetrischen Hauptsatz (194) gegebene. Ehe wit zum Beweise iibergehen, seien noch folgende Bemerktmgen vorausgeschickt. Hat der in Betracht gezogene exzessive Querschnitt oder defekte Maximalquerschnitt Q' die Eigenschaft, daa die auf ihm liegenden Punkte yon 0

784

E. Schmidt.

den ~u~eren lnhalt Null haben, so kann wegen III (239) P' in beiden F~llen durch die Gleichung (250) E , - 1 P " - * = J (Q') bestimmt werden.

V. B e w e i s d e r U n g l e i c h u n g (249): Es sei ein Querschnitt Q' gegebem Man w~hle das rechtwinklige Koordinatensystem (Xl, x : , . . . , x,) so, dal~ die Richtung der Xl-Achse senkrecht zu Q' liegt. Dabei kann natiirlich nicht mehr gefordert werden, daft die Richtungen der Koordinatena~hsen in bezug auf K nichtsingul~ir sind. Man kann aber auf Grund yon w6 V (2) eine tmendliche Folge yon rechtwinkligen Koordinatensystemen ( x ~ i , x ~ : ...... x~,~) bestimmen, deren Koordinatenanfangspnnl~te mit dem des Koordinatensystems (xl, x2, . . . , x~) zusammenfallen, deren Achsenrichtungen in bezug auf K s~imtlich nichtsingul~ir sind, trod deren positive Richtung der xm~-Achse gegen die positive Richtung der xl-Achse konvergiert. Man bezeichne nuu mit Qm(~) den Querschnitt der Ebene, welche im Koordinatensystem (X,~l,X,~2,...,x,~,) dutch die Gleiehung X ~ l - ~ dargestellt wird, trod mit Q (~) den Querschnitt der Ebene, welche im Koordinatensystem (Xl, x: . . . . , x.) dutch die Gleiehung x 1 = ~ dargestellt wir'd. Der gegebene, Querschnitt Q" liege beim Koordinatensystem (xl, x2,..., xn) auf der Ebene x I = ~', so dal~ also

(251) Q' Q (~') wird. Man definiere nun, wie w10 (20!), ,r~ (~) dutch die Gleichung (252)

g~_ lr,,,(~) n-~ = J (Q~(~)).

Dann ist, wie dort ausgefiihrt, r~ (~) eine iiberall stetige Fnnktion yon ~. Man bezeichne mit 0~ das Maximum yon rm (~) und mit ~ eine Stelle, an welcher dasselbe erreicht wird, (253)

r,,(~m) = e .....

Man kama dutch Auswahl als erreicht annehmen, dal$ die drei beschr~nkten Zahlenfolgen konvergieren. Es gelte also

(254) r~(~') - ~ r', ~ - + ~", Dann ist zun~chst (255) r' _< e". Ferner ist gem~l~ (217) v < ~

1

e., - ~ d'.

n

()ol e,. - E,.o,~),

Ober das isoperimetrische Problem im Raum yon ~ Dimensionen. w 11, V. 785 und daher w e g e n (254)

v _-< z:-~_~(Iol d' - E~Q "" ).

(256)

Nun konvergiert die Ebene des Querschnitts Q~ (~') gegen die Ebene des Querschnitts Q'. Daher ist gem~il~ (222)

(257)

lim infJ_(Q~(~')) >-- - J (Q). ~t

Da entsprechend w8 1 (89) der iiul]ere Inhalt des Durchschnitts yon Q~(~) mit 0 fiir alle W,~rte yon ~ verschwindet, so gilt die G]eichung (239). Es ist also

(258)

f(Q~(~)) : J (Q~(~))

J (Q~(~)),

und fiir } ---- ~' wegen (252)

J (~=(r)) = E._,~=(~'r-,. Aus (257) und '(254) foIgt mithin

E . _ I , ' " - ' ->- J (Q'), und wegen (255) a fortiori (259) -~ . - 1 Q ,, n- 1 --> J(Q'). Andererseits konvergiert die Ebene des Quersehnitts Q.. (#~.) wegen (254) gegen die Ebene des Querschnitts Q (#"). Daher ist gemaB (223)

(260) Jim sup J-(O~,(~)) _<](O (}")). Nun ist gemiil](258), (252), (253)

J(q~($~)) J(Q.(}~))

__~

E.-I~=(}o,) --I

-

n-1

E~-Io,~

.

Bei Einfiihrung dieser GIeichung ergibt (260) lira sup E._ ~Q".,-1 __<5(Q (~")). Also gilt wegen (254)

(261)

--, - l e " ,-I = ~ < J (Q (~")).

Ist nun Q' ein Maximalquerschnitt, so gilt

(262)

J (Q ($")) <_ J-(Q').

Wird daher W dutch die Gleichung B . _ I P, . - 1 = j (Q,) definiert, so ist wegen (261), (262) e" ~P'. Ist endlich Q' ein de]e~er Max,malquerschnitt, so gilt gemiiJ] (245)

(263)

e" < P' < P.

786

E. Sehmldt.

Es sei nun Q! ein exzessivet Querschnitt. Definiert man P' durch die Gleichung

(264)

.tl~n_ i p ' it-1 = j (Q'I,

so ist zuniichst definitionsmiil~ig

P'>P. Ferner folgt aus (259), (264)

g" > p . Also gilt, wenn Q' ein exzessiver Querschnitt ist, (265)

9" > P' ~ P.

Die Funktion

.~_i(~ ] O I - t - B.t,,) nimmt nun mit wachsendem t fiir 0 --< t < P zu, wiihrend sie fiir t ~ P abnimmt. Die zu b3weisende Ungleichung (249) folgt daher aus (256) afortiori, und zwar, wenn Q' ein defekter Maximalquersclmitt is,, wegen (263), und wenn Q' ein exzessiver Querschnitt ist, wegen (265), w. z. b. w. VI. Im Falle eines defekten Maximalquersclmitts ist bei vorgeschriebenem 101 mad P' die dutch (249) gegebene Schranke eine genaue. Denn es gibt, wie w3 II gezeigt, dann einen RotationskSrper, dessen Oberfliiche den Fliicheninhalt I01 hat, mad fiir welchen P' das Maximum der Radien der (n - 1)-dimensionalen Breitenkugeln is,, w~hrend in der Ungleichung (2491 das Gleichheitszeichen gilt. Um nun auch im FaUe eines exzessiven Querschnitts die genaue Schranke zu finden, verfahre man folgendermallen: Man definiere die Funktion

G (lot, ~) " dutch die Gleichungen

(266) (2671

1

G(IOI, Q) = ~ _ ~ ( I o l . ~ ,

- E,,~-)

O (lOI, ~1 = r ( l o I , ~)

ft~r t, < P, f ~ e > e.

I-Iierbei ist die Funk,ion p([o l, ~1 ftir ~ > P dutch die Gleichmag w3 III (18') erldiirt and wegen w3 III (25'), (26') eine stetige Funl~ion ihrer beiden Argumente. Endlich nimmt sie gem~ill w (33') fiir g ---=P den Weft E,,P" an, also denselben Wert, welchen die rechte Seite yon (266) fiir g = P erreicht. Also ist die Funk, ion G ([0], ~) eine stetige Funlaion ihrer beiden Argumente, insbesondere such liings der ,,Naht" ~ = P.

(Jber das isoperimetrische Problem im Raum yon n~Dimensionen. wII, VL 787 Nun gilt sowohl [iir den Fall eines exzessiven Querschnitts als aueh /iir den Fall ein~,~ defekten Maximalquerschnitts fiir das Volumen V des KSrpers K mit dem Oberfldcheninhalt I01 die, Ab.~ch~zun 9 (268)

V <: G (IOI, P'),

wobei P' in* ersteren Fail dutch die Gleiehuny (242)"gegeben wird, im letzteren dutch die Gleichung, (24~). Beweis. Es gilt gemaf w3 1 (33) und w3 III (34') unter den dog angegebenen Voraussetzungen fiir Rotationsk6rper die Ungleichung

{269)

V ~ G (I01, ~),

wobei V das Volumen, tOi den Obeffl~cheninhalt und ~ das Maximum der Radien der (n -- 1)-dimensionalen Breltenkugeln bezeichnen. Benutzt man n~n in w10 IV (2) an Stelle der zur I-Ierleitung der Ungleichung {217) herangezogenen Ungleichung (33) di~ Ungleichung (269), so ergibt sich an Stelle von (217) unter der dort zugrunde liegenden u setztmg, daft die Achsenrichtuagen des rechtwinkligen Koordinatensystems ( x l . . . xn) in bezug auf den reguliiren K6rper K nichtsingul~ir sind, die Ungleichang (270)

V _--
wobei V das Volument:{O l den Oberfl~cheninhalt yon K bedeuten, und Q das Maximum der durchd4e' Gleichang (201) definierten stetigen Funktion r (~) bezeichnet. An dem im Abschnitt V des vorliegenden Paragraphen 11 entwickelten Beweise ~ndere man nun weiter nichts, als dab man an Stelle der zur Herleitung der Ungleichung,(256) herangezogenen Ungleichung (217) die Ungleichtmg (270) einfii]art. Dann ergibt sich an Stelle der Ungleichung {256) die Ungleichtmg

(271)

v =< a (iol, e').

Nnn nimm~ die Funktion

a (Ioi, bei festem t01 mit wachsendem ~ fiir 0 ~ ~ < P zu, wahrend sie fiir ~ ~ P gemaf w3 III (25') abnimmt. Die zu beweisende Ungleichung (268) fplgt daher aus (271) a fortiori, and zwar, wean Q' ein defekter Maximalquerschnitt ist, wegen (263), and wean Q' ein exzessiver Querschnitt ist, wegen (265), ~. z. b. w.

788

E. S c h m i d t , ~ b e r das isoperimetrisehe

Problem usw.

Dal~ die Ungleichung (268) bei vorgegebenem ]0] und P' f l i t den Fall eines defekten Maximalquerschnitts die genaue Schranke liefert, ist schon am Eingang dieses Abschnitts hervorgehoben worden. Aber auch fiir den Fal] eines exzessiven Querschnitts, .ds.~ P' > P, stellt die Ungleichung (268) die genaue Schranke dar. Denn es gibt dann, wie w3 III gezeigt, einen Rotationsk6rper, und zwar in der dort gewiihiten Bezeichnungsweise den Rotationsk6rper Ka," p., der den v0rgegebenen ODerfl~icheninhalt IOI und als exzessiven Quersclmitt eine (n - 1)-dimensionale Breitenkugel mit dem vorgegebenen Radius P' besitzt, w~hrend in der Ungleiehung (268)das G]eichheitszeichen statthat. Dal3 endlich die dutch die Ungleichung (268) dargestellte Schranke ftiz P'~> P in' der Tat kleiner ist, als die durch die Ungleichung (249) gegebene, folgt unmittelbar aus (267) u n d w 3 III {23'). Zum Schlufl sei noch auf folgende Formuliemng der isoperimetrischen Ungleichungen hingewiesen: Fiihrt man als Gegenstiiek zu dem Radius P der Kugel gleicher Ober]16,che den dutch die Oleichung En p . n = V de/inierten Radius P* der Kugel gleichen Volumens ein, so erhalten die isoperimetrisehen U ngleichungen (194) und (249) die ein/ache Gestalt (272)

P* =< P,

(273)

n P'~ - z p, __ p',~

P*~ =<_

Da "die rechte 8eite (273) mit P' ]iir 0 < P' < P waehst, /iir P" >= P abnimmt und ]iir P ' = P ihr Maximum P" annimmt, so steUt (273) eine Versehdrfung der mit der gew6hnlichen isoperimetrischen Unleiehung 094) gteiehbedentenden Ungleichung (272) dar. Wie oben gezeigt, ist die Svhranke (273) fiir P' ~_ P eine genaue, wahrend sie /iir P' > P dutch (268} verkleinert werden kann. Die explizite Bereehnu-g dieser Schranke erfordert die Aufl6sung einer an Hand yon w 3 III leicht aufzustellenden. Gleiehung, welche bei geradem n transzendent, bei ungeradem n algebraiseh vom Grade 89( n - - l ) ist. Fiir n - 3 erh~ilt man als genaue Schranke: (274)

p.8 ~ (2P~-- W ~)( P~ +2 P': ) ,x).

In der Tat wird dieser Ausdruek yore Quadrat der rechten Seite (273) u m 8 9 (P'~ -- pa)s iibertroffen. 11) Daff P' 2 ~ 2 P~- sein muff, folgt daraus, dab die Obeffl~che eines KSrpers mehr a]s doppelt so grol3 sein muff wie jeder Querschnitt.

( E i n g e g a n g e n a m 3. N o v e m b e r

1938.)