Hlathematische Amalen

Math. Ann. 277, 433-446 (1987)

O Springer-Verlag1987

D'autres composantes non r6duites de Hilb IP3 Philippe Ellia D6partement de Math6matiques, CNRS UA ~68, Universit6 de Nice, Pare Valrose, F-06034 Nice Cedex, France

Introduction I1 y a d6jd quelques ann6es Mumford montrait [22] l'existence d'une composante irrbductible, non r6duite du sch6ma de Hilbert des courbes (lisses, connexes) de IP3. Depuis d'autres exemples ont suivi [10, 15]. Dans tousles cas il s'agit de courbes trac6es sur des surfaces cubiques. Le probl6me de d6cider si une famille maximale de courbes trac6es sur des cubiques lisses constitue une composante irr6ductible, non r6duite de HilbP 3 a 6t6 6tudi6 de faqon syst6matique par Kleppe [15-17]. En particulier dans [15, 17], Kleppe 6nonce la conjecture suivante: (*) Conjecture (Kleppe). Soit W une famille maximale de courbes de degr6 d, genre g dont l'616ment g6n6ral, X, est trac6 sur une surface cubique lisse. Alors West une composante irr6duetible, non r6duite de H i l b F 3 si et seulement si: d>14,3d-18
et

hl(Jx(3))=~0.

Cette conjecture est motiv6e par le r6sultat suivant:

Proposition (Kleppe, [17, Theorem 10]). Soit X une courbe lisse connexe, de degrk d, genre g trac~e sur une surface, S, de degr~ s. On suppose d > s ~, h X(Jx(S)) = 0 et h l(N x) =ht((gx(S)). Alors X correspond gt un point lisse d'une composante irrOductible de Hilb]p3, de dimension ( 4 - s)d + ( S 3 3 ) - 2 + g, formde de courbes trac~es sur une surface de degr~ s. La d6monstration consiste en une 6tude infinit6simale du sch6ma des drapeaux courbes-surfaces. Un 6nonc6 similaire (sans d6monstration) se trouve dans [12, p. 265]. Si S est une cubique lisse, l'hypoth6se hl(Nx)=h~(Ox(3)) est v6rifi6e. D'autre part une famille maximale, W, comme dons la conjecture (*) ci dessus, a dimension d + g + 18. Pour qu'une telle famille soit une composante irr6ductible non r6duite il est donc n6cessaire que: d + g + 1 8 > 4 d et hl(Jx(3))+0. La conjecture 6nonce que ces conditions sont suffisantes. Ceci n'est pas vrai en g6n6ral. II faut supposer de plus que la courbe g6n6rale de W, X, est lin6airement normale. En effet, dans le cos contraire, X est sp6cialisation de courbes trac6es sur des quartiques h conique double (cf. VI.6) et par suite W ne peut ~tre une eornposante irr6ductible de HilbF 3. La conjecture (*) doit done ~tre modifi6e.

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Remarquons, au passage, que l'exemple VI.6 conforte la philosophie selon laquelle il existe des composantes non r6duites de HilblP 3 dont la courbe g6n6rale est trac6e sur une surface, de degr6 sup6rieur ~ trois, ~(g6n6rale dans une famille particuli6re, [,,11, p. 218]. Finalement il faut observer que si g>(d2-4d+8)/8, alors toute courbe de degr6 d, genre g, trac6e sur une cubique lisse est lin6airement normale dans ~,3 (cf. VI.5). Ceci dit, dans [,15, 17] Kleppe d6montre une partie de (*) (bien entendu, dans le domaine des courbes lin6airement normales): Th~or~me (Kleppe). La conjecture (*) est vraie si: 14 18,

g > - 1 +(dZ-4)/8 g>

7 + ( d - 2)2/8.

Dans cet article on am61iore ce r6sultat en d6montrant (cf. VIA, 5): Th~or~me. (I) La conjecture (*) est vraie si d>38, g>(d2-4d+8)/8. (II) Sous l'hypothbse suppl~mentaire: h i ( i x ( l ) ) = 0 , la conjecture (*) est vraie si d=>21, g > G(d, 5). Ici G(d, 5) d6signe le genre maximum des courbes de degr6 d non contenues dans une quartique. On a: G(d, 5)~dZ/lO (cf. 1.1). Esquissons rapidement la d~monstration de (II) du th6or~me [la partie (I) se d6montre de la m~me faqon]. L'essentiel du travail consiste ~ montrer que la famille maximale consider6e est une composante. Le fait que cette composante est non r6duite suit alors de l'hypoth6se hi(ix(3)) ~ 0. L'hypoth6se g > G(d, 5) implique que toute courbe de degr~ d, genre g est situ6e sur une quartique. On est donc amen6, en suivant une m6thode brutale et classique, ~t majorer les dimensions des families de courbes, de degr6 d, genre g, trac6es sur des surfaces quartiques irr6ductibles. Ceci est particulibrement d61icat dans le cas des surfaces singulibres. Par un argument de sp6cialisation on montre d'abord que l'on peut se restreindre ne consid6rer qu'un certain type de quartiques singulibres (i.e. avec des points doubles isol6s ou une droite double ou une conique double) (cf. 1.3). Si le lieu singulier est de dimension un, des arguments sp6cifiques permettent de conclure (IV, V). Dans le cas des singularit6s isolbes il faut d'abord des renseignements sur leur nature et sur leur nombre; pour cela on utilise [.26] (ou [.6]). Mais cela ne suffit pas car le diviseur anti-canonique de la r6solution minimale (cf. 11.2) peut ne pas ~tre r6duit. Or il faut majorer les multiplicit6s intervenant dans ce diviseur (cf. IliA). Pour cela on utilise (cf. 11.3) les classifications de Laufer [18] et d'Epema [6]. Dans la derni~re partie de cet article on utilise le th6or~me pr6c6dent pour r6pondre/t une question de N. Mestrano (en fait cette question a 6t6 la motivation initiale de ce travail). On exhibe en effet des courbes g6n6riques dot6es d'un point rationnel particulier qui emp~che le groupe de Picard d'&re engendr6 par les classes des diviseurs canonique et hyperplan (cf. VII.4).

I. Un lemme de sp~cialisation

1.1. Genre maximum des courbes non contenues dans une quartique. On travaille sur un corps alg6briquement clos, de caract6ristique nulle. On pose G(d, s) = Max {g(C)/3C < F a, lisse, connexe, de degr6 d avec h~ - 1)) = 0}. Pour

Cornposantes non reduites de Hilb ~'3 s = 5 on a [9]: si d ~ 2 1 = 1 + [d(d + 5 ) - 4 r ( 5 - r)]/10.

et d+r=-O

435 (mod5), 0 < r < 4 ,

alors:

G(d,5)

1.2. Notation. Soit F une surface quartique irr6ductible de F 3. Le lieu singulier de F, not6 Sv, est le sous-sch6ma de F d6fini par l'id6al jacobien de F. A priori ce sch6ma n'est pas de dimension pure, ni Cohen-Macaulay. Nous noterons par S~ le plus grand sous-sch6ma Cohen-Macaulay de dimension un, de St.

1.3. Lemme. Soit ~Y une famille maximale de courbes de IP3, de degrk d, genre g, dont le membre g~n(ral est situk sur une surface cubique lisse. Si d >=17 pour prouver que les courbes de .~" ne sont pas routes sp(cialisations de courbes trac(es sur une quartique irrdductible, il suffit de consid~rer les courbes de degr~ d, genre g, situ~es sur des quartiques irr~ductibles, F, qui ne sont pas des c6nes et v~rifient l'une des deux conditions suivantes : (1) dim(St)=0 et F a au plus des points doubles (2) dim(Sv)= 1 et S~ (cf. 1.2) est soit une droite, soit une conique lisse, soit une conique dkg~n~r~e en deux droites distinctes. Ddmonstration. Supposons qu'il existe une famille plate de courbes c~__cp~. (T une courbe lisse), de fibre sp6ciale, ~to, une courbe de ~ trac6e sur une cubique lisse, de fibre g6n6rale une courbe c~t v6rifiant h~ 1 (nb: d > 17). Soit Ft(t ~: to) l'unique quartique irr6ductible contenant ~t. Par les propri6t~s du sch6ma de Hilbert on obtient une famille plate ~- c F 3 de surfaces quartiques avec ~t = Ft(t 4: to) et o~ ~ o est une quartique r6ductible contenant ~to- Le lieu singulier de ~to est une cubique plane, 6ventuellement d6g6n6r6e en la r6union d'une conique lisse et d'une droite ou de trois droites distinctes. On sait en effet que ce ne peut ~tre la r6union d'une droite et d'une droite double. En particulier O~ton'a que des points doubles. Par semi-continuit6 il enest de m~me de ~ pour t g6n6ral dans T. Par suite ~t ne peut 8tre un c6ne. Maintenant soit S~ le lieu singulier relatif. Supposons que pour t dans U, U ouvert non vide de T, S~ soit de dimension relative 6gale ~ un. Quitte h n6gliger des composantes de dimension un de S~ et quitte ft restreindre U, S~ d6finit une famille plate de courbes sur un ouvert de T. Par propret6 de HilbP 3, cette famille se prolonge en une famille plate g~ ~ T. Au point to, g~(to) est un sous-sch6ma de S~o (propret6 du Jacobien). D'apr6s la description du lieu singulier de ~to, g~(to) est de l'un des types suivants: (a) une cubique plane, (b) une droite (c) la r6union de deux droites distinctes incidentes, (d) une conique lisse. De plus dans les cas (b) ..... (d) il peut y avoir des points immerg6s. Pour t g6n6ral dans T, S ~1t est un sous-sch6ma de S~(t) ce dernier 6tant une g6n6ralisation plate de S~(to). De plus deg(S~,)---deg(~(t))(dans lP,a). Si S~, est de degr6 trois alors c'est une cubique plane. Ce cas est exclu (J~ serait r6ductible). Si S~, est de degr6 deux ce ne peut ~tre une droite double [elle sp6cialiserait en une droite double sous-sch6ma de ~(to), ce qui est impossible]. De na~me S~, ne peut ~tre la r6union de deux droites distinctes. En effet une telle r6union, et ~ fortiori ~ ( t ) , ne peut sp6cialiser en un sch6ma plan.

II. Quartiques de ~,3 A singularit~ isol~s ILl. G~n~ralit~s. Soit F__c•3 une telIe surface. D6signons par P ~ - , F la r~solution minimale. S i x E S v, le genre de la singularit6 en x est po(x):=dim(Rlrt,(9~)x.

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Comme Wrest inversible, x est Gorenstein. Remarquons de plus que F 6tant normale, les singularit6s rationnelles [i.e. avec pg(x)= 0] sont des points doubles rationnels [14]. Soit SF = s~ ofa s ~ est exactement l'ensemble des singularit6s rationnelles de F. D'apr6s [26, Th6or6me 3] (cf. aussi [6]) seuls les cas suivants peuvent se presenter: si q := ha(P, (gp) alors (a) q = 0, S~ = {x}, pg(x) = 1 (b) q = 1, S~ = {x,, x2}, po(xi)= 1, 1 < i< 2 (c) q = 1, S~ = {y}, Po(Y)= 2 (d) q=3, F est un c6ne sur une quartique plane lisse; le sommet est une singularit6 de genre 4. D'apr+s 1.3 nous pouvons ignorer le cas (d). Finalement duns le cas (a) la singularit6 est minimale elliptique [18; 14, Proposition 1.2] et duns le cas (b) chaque point singulier est une singularit6 simple elliptique [26, 6].

11.2. Le diviseur anti-eanonique. On a w~ = rc*wv| W) off West un diviseur effectifayant son support sur le lieu exceptionnel au-dessus de S~ ,(W= x~,~.~W(x)l'j En effet les singularit6s rationnelles <> (cf. par ex. [14, Sect. 1]). D6signons par Z(X) le cycle fondamental de x e S~. Rappelons ([2]) que si

A(x) = ~) Ai(x ) est la d6composition irr6ductible de n - l(x) alors Z(x) est le plus i=1

petit cycle effectif Z, de support A(x), tel que: Z . Ai(x) 1, 1 < i ~ n, si pg(x) > 1). i=1

11.3. Lemme. Si x est un point double non rationnel d' une quartique de p3 alors avec les notations ci-dessus: wi(x ) < 8, 1 < i < n (resp. wi(x) < 2 duns les cas (b), (c)).

D~monstration. Dans le cas (a), W(x)= Z(x) et comme x est un point double, on a [18, Theorem 3.13]: - Z(x) 2 < 2. Ces singularit6s ont 6t6 classifi6es par Laufer. On v6rifie le lemme en calculant le cycle fondamental de chaque singularit6 de la liste de Laufer [18, pp. 1290-1292]. Le cas le plus d6favorable est la singularit6 Xl

D9,.,O:

. . .

X~

Xe

0----''"

I

B,-

~

I

I

oB

avec les notations de [18], on a: Z = 2X x + 3X2 + 4X3 + 5 X 4 "~6Xs + 7X6+ 8X7 + 5X s + 4 X 9 + 2B + B 1. Le cas (b) est un cas particulier de (a): chaque A(xi) est une courbe irr6ductible, lisse et W(xi)=A(xi). Le cas (c) est trait6 duns [6, Th6or6me 9, p. 181].

11.4. Remarque. La majoration de 11.3 n'est sans doute pus optimale car il est vraisemblable que seules certaines singularit6s de la liste de Laufer sont des singularit6s de quartiques de 1~3.

Composantes non reduites de Hilb ~3

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III. Majoration des dimensions des families de courbes trac~es sur des quartiques singularit~s isol~es Soit F__Z~3 une quartique ayant au plus des points doubles isol6s et X____F une courbe lisse, connexe, de degr6 d, genre g. On note P la r6solution minimale de F et la transform6e de X dans F. On pose Z,r (gp()~).

III.1. Lemme. On a h ~

g + 8 (resp. g + 2 dans les cas (b), (c)).

D~monstration. Sur ff on a la suite exacte: O ~ * ~ C p ~ C x ~ O , en tensorisant par w~: O ~ w p | Par dualit6 de Serre: h ~ h2(wp| Donc h~ < hl(wpl ~') + h2(w~). C'est-fi-dire: h~ < hl(wpl~) + 1. Avec les notations de I1.2: w~ = (9~(-W). Comme X est lisse, X rencontre chaque composante de supp(W)= U re-l(x) au plus en un point et transversalement. Donc x~S'F

w~[)~=(9~(-~) off d e g ( ~ ) = W . 3 ~ . Par suite hl(w~lY;)=h~ ce qui, par Riemann-Roch, est 6gal fi g + ( ) ~ . W ) - I . D'apr6s 11.3 ceci est major6 par g + 7 dans le cas (a), g + 1 dans les cas (b), (c). 111.2. Corollaire. Les courbes de degr~ d, genre g trac~es sur des quartiques ayant au plus des points doubles isol~s forment des familles de dimension au plus g + 39.

D~monstration. Ces dimensions sont major6es par q + ( h ~ (resp. q + h~162 1 + 32 si les quartiques sont singuli6res). En effet grfice au th6or6me de Noether on majore la dimension (projective) des quartiques par 33 (resp. 32 dans le cas singulier). On ajoute q pour tenir compte de syst~mes continus de courbes non lin6airement 8quivalentes. On conclut avec II.1 et III.1. IV. Courbes sur les quartiques ~ droite double Soit F =z~ 3 u n e quartique avec dim(Se) = 1. On notera p: F' ~ F la normalisation de F et ~ : f f ~ F ' la r6solution minimale de F'. Pour compter les dimensions de families de courbes sur F on travaille sur P via F'. I1 est donc important (cf. III) de mattriser les singularit6s de F'. Dans le cas qui nous occupe c'est ce que permet de faire le lemme suivant: IV.1. Lemme. Avec les notations ci-dessus si q ( F ) = 0 alors F' a au plus des

singularit~s rationnelles. D~monstration. Soit F: = HomeF(p,(gF,, (fF) le conducteur de p. Comme wr = (9r, en utilisant la dualit6 pour un morphisme fini, on a: F=p,wr,. Donc h~ = h~ p,wF, ) = h~ F). Mais F est un id6al de (~e. Par cons6quent h~ = 0 et, par dualit6 de Serre: h2(CF,)=0. La suite spectrale de Leray pour n donne: O-+HI((gF,)--+HI((gp)~H~ En utilisant l'hypoth6se on conclut h~ ln,Op) = O. On suppose maintenant que F n'est pas un c6ne et que S~ est une droite D. Soit X C F une courbe lisse, connexe, de degr6 d, genre g. On notera par X' (resp.)~) la transform6e stricte de X dans F' (resp. if). On pose LP = (f~(~'). Finalement on d6signe par r le nombre de points (compt6s proprement) off X rencontre D (i.e. r ~ long ((~v~/jx + Jo))"

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Ph. Ellia Nous utiliserons le fait suivant, classiquement connu (cf. par ex. [3]):

IV.2. Lemme. Une quartique de ~,3 d droite double (i.e. S~ est une droite) est

rationnelle. IV.3. Lemme. Avec les notations ci-dessus : h~

") < g + r.

D~monstration. On a la suite exacte:

d'ofi r o n tire: h2(wp| '~) < hl(wv| 1. I1 s'agit donc de calculer hl(wp| Comme F est int~gre et SE (car Cohen-Macaulay), le conducteur F, vu comme id6al de (9v, d6finit un sous-sch6ma Cohen-Macaulay, de dimension pure 6gale fi un de F (~de lieu non normal de F>~ cf. [7, p. 46, Corollary 5.23]). Dans le cas pr6sent ce sous-sch6ma n'est autre que D. Soit ~ : = Dc~X, long(~) = r. On a une suite exacte O~F| off r un faisceau de torsion. I1 s'ensuit que hX(F| =hl(J~,x). De la suite exacte: O ~ J ~ , x ~ C x ~ ( 9 ~ O on d6duit h ~ ( J ~ , x ) = g + r - 1 . On voit donc que pour conclure il suftit de montrer: h~(w~|174 Comme F' n'a que des singularit6s rationnelles (IV.l, IV.2) on a rc*wr,=wv (cf. II.2). Par suite: hl(wp|174 Soit/~: X'--*X la restriction de p ~ X'. On a une suite exacte: O ~ T ~ p . w v , | x ~/~.(Wv,| off T e s t un faisceau de torsion. En prenant la cohomologie il vient: hl(p.wr|174 Or, d'une part on a: F = p . w r, (cf. d~monstration de IV.I) et d'autre part: h~(p.(wr| = hl(wv,| ,) car la suite spectrale de Leray associ6e h /~ d6g6n6re). Ces deux remarques jointes ~ (*) montrent bien: hX(X, F| = hl(w~| IV.4. Lemme. Les courbes lisses, connexes, de degr~ d, genre g situkes sur des

quartiques fi droite double (qui ne sont pas des c6nes) et qui rencontrent r fois la droite double, forment des familles de dimension au plus g + r + 24. D~monstration. Ceci d6coule de IV.3, IV.2 (q(ff) = 0) et du fait que la dimension des quartiques ~ droite double vaut 25. Nous aurons besoin (cf. VI.2) du lemme suivant: IV.5. Lemme. Soit C c=~3 une courbe lisse, connexe, de degr~ d >=12. Si C a une r-s~cante, r > d - 5, alors h~(~c(r- 2)) ~=0. D~monstration. Soit L la r-s6cante de C. On a une suite exacte: O ~ c ~ z ~ c ~ c . C~L~ 0 a vec ~c.c~L ~- (9~(--r). En tensorisant par (~r~(r-2) et en prenant la cohomologie on obtient: ...~H~(~c(r--2))~H~(OL(--2))~H2(~C~L(r-- 2)). Il suffit donc de montrer: h2(jC~L(r--2))=O. Pour cela consid6rons la suite de Mayer-Vietoris: O~(Pc~t(r--2)~(gc(r--2)~(~L(r--2) :,(gp~O, P=Cc~L. Si hX(d3c(r-2)| alors H ~ est surjective et ha((gc(r-2))=O ce qui d6montre hZ(~C~L(r-- 2)) = 0. On a deg((Pc(r- 2)@ (Pc(- P)) = d ( r - 2 ) - r. En utilisant l'hypoth6se r>=d-5 et la majoration du genre de Castelnuovo il vient d ( r - 2 ) - r =>2 g - 1 , ce qui permet de conclure. V. Courbes sur les quartiques ~ conique double V.1. Lemme. Soit F~_P 3 une quartique telle que S~ soit une conique lisse ou une conique r~duite, d~g~n~r~e. Si F n'est pas un c6ne alors F s'obtient par projection

Composantes non reduites de Hilb ~,3

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d' une surface intersection complete de deux hyperquadriques de ~j4. En particulier F ne contient pas de courbes lin~airement normales dans ~3 de degr~ >=5. D~monstration. La premi6re partie du lemme est classique (cf. [3] et aussi [8]). Pour la dernibre partie soit S la surface de degr6 4 de p4. Si C =cF est une courbe lisse, connexe, de degr6 __>5, elle n'est pas contenue dans le lieu singulier de F. Par suite la projection ~ : S ~ F induit un isomorphisme ~: C ' - , C , C ' c S et deg(C') = deg(C). Donc C' n'est pas contenue dans une section hyperplane de S. Par suite h~ = h~ __>5. VI. Un crit~re pour obtenir des composantes irr,Muctibles non r6duites de Hilb F 3

Rappelons avant tout le lemme suivant qui se d~montre de fa~on analogue ~ 111.2 (avec Sv = 0). VI.1. Lemme. Les courbes de degr~ d >=10, genre g, trac~es sur des surfaces cubiques lisses forment des familles irr~ductibles maximales de dimension d + g + 18. VI.2. Proposition. Soient d, g des entiers v&ifiant d > 21, g - 3d + 18 > 0. Soit YCune famille maximale de courbes lisses, connexes, de genre get degr~ d dont le membre g~n&al, Y, est trac~ sur une surface cubique lisse et v&ifie hi(Jr(I))=0. Si Y est sp&ialisation de X et si h~ 0 alors h~ 0.

D~monstration. D'apr6s VIA et 1.3 il suffit de v6rifier que les familles de courbes trac6es sur des quartiques ayant: (a) au plus des points doubles, (b) une conique double, (c) une droite double, ont dimension au plus d + g + 18. Pour (a) cela suit de III.2 et de l'hypoth6se d =>21. D'apr+s V.1 les courbes de degr6 d>__5 trac6es sur une quartique h conique double ne sont pas lin6airement normales. Par semi-continuit6, Y, qui v6rifie h~(Jr(1))=0, ne peut ~tre sp+cialisation de telles courbes. Ceci r6gle le cas (b). Finalement si X est une g6n6risation de Y trac6e sur une quartique ~ droite double, d'apr6s IV.4, X a une r-s6cante avec r =>d - 5 . D'apr6s IV.5, c(X)>__d - 7 . Par semi-continuit6: c(Y)>=d-7. Or (cf. VI.3 ci dessous) on sait que: c(Y) + 2e(Y) + 3 __d - 7 implique h ~((9r(3))= 0. De la suite exacte: 0-~Jr(3) ~ (9r3(3)--*(9r(3) ~ 0 , il suit (si d=> 10): g - 3d+ 18 = - hi(Jr(3)). Done notre hypoth6se implique hX(Jr(3)) = 0 et 3d = g + 18 (*). II s'ensuit que: dim(W) = h~ En effet la suite exacte des fibr6s normaux: O~Nr, s ~ N r ~ N s [ Y ~ O , montre h l ( N r ) = 0 et done h~ On conclut avec (*) et VIA. L'6galit6 dim(W) = h~ implique que W est une composante irr6ductible de Hilb p3, de dimension 4d, lisse au point I-Y]. Par suite Y ne peut ~tre sp6cialisation d'une courbe X avec h~ 0. Le lemme suivant m'a 6t6 communiqu6 par L. Gruson. VI.3. Lemme. Soit Y une courbe lisse, connexe, de degr~ d trac& sur une surface lisse de degr~ s. Soit e (resp. e) l'indice de compl~tude (resp. de sp&ialit~) de Y Alors c<-
D~monstration. Soit S la surface lisse de degr6 s contenant Y On pose J r . s = U. II s'agit de montrer: h~(E(t)) = 0, t ~ d + (1 - s)e + s 2 - 4 s + 1. On a une suite exacte:

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0~d~s ~L~cnc(4 - s ) ~ 0 (car L | (9c = Nc. s). En tensorisant par s - 4-- e, on voit que L ( s - 4 - e ) admet une section s'annulant le long d'une courbe B. Si 6 est le degr6 de B alors 6 = d + s ( s - 4 - e ) . D'apr6s 1-24, Theorem, p. 113]: JB, s(6) =LV(e+4--s+6) est engendr6 par ses sections. D'apr6s Bertini, une section g6n6rale de E ( e + 4 - s + ~ ) a comme lieu des z6ros une courbe lisse, X. Comme plus haut on a une suite exacte: O~Os(k)~LV(e + 4 - s + fi + k)~o~x(4- s + k)~0. Pour k > s - 3 on a bien hl(LV(e+4-s+~+k))=O. VI.4. Th6or~me. Soit YCune famille maximale de courbes lisses, connexes, de degrd d, genre g, dont le membre gdnOral, Y, est tracd sur une surface cubique lisse. Supposons : (1) hl(Jr(3))~e0; (2) d>21, g>G(d, 5); (3) hi(Jr(I))=0, alors (radhdrence dans HilbP 3 de) YC est une composante irrdductible, non rdduite de HilbP 3. Ddmonstration. L'hypoth+se g > G(d, 5) assure que g - 3 d + 18 est positif et que toute courbe int6gre de degr6 d, genre g est contenue dans une surface de degr6 < 4. On peut donc appliquer VI.2 et d6duire que Y" est une composante irr6ductible de Hilb• 3. Pour voir que cette composante est non r+duite il suffit de montrer: h~ 18. Comme hl(Nr)= hl(0r(3)), de la suite exacte: 0--, J r ( 3 ) ~ fgr3(3) (_Or(3)~0, il vient: hl(Nr)= 18 + g - 3d + hi(Jr(3)). On conclut avec l'hypoth+se (1) car Z(Nr)= 4d. Dans certains cas l'hypoth6se de lin6arit6 normale est automatiquement v~rifi~e: VI.5. Corollaire. Soient YC et Y comme en V1.4. On suppose: (1) hl(Jr(3))oe0; (2) d > 3 8 et g>(dZ-4d+8)/8. Alors (l'adhdrence dans H i l b ~ 3 de) YE est une eomposante irr~ductible, non rdduite de HilbP 3. D~monstration. Pour d > 38, (d z - 4d + 8)/8 > G(d, 5) donc (2) de VI.4 est v~rifi6e. Si VI.4 (3) n'est pas v6rifi6e alors Y est isomorphe ~ une courbe de degr6 d, ~ trac6e sur une surface de Del Pezzo de F 4. Comme ~"n'est contenue dans aucune surface de degr6 trois de p4 (d_> 13), d'apr6s [13, (3.15)]: g < ( d z - 4 d + 8)/8, ce qui est absurde. VI.6. Remarque. Soit X_~ ~ une courbe intersection compl6te de deux hyperquadriques et d'une hypersurface de degr+ b. On suppose que la surface, S', intersection des deux hyperquadriques est lisse. On sait que S' est l'6clat6 de F 2 en cinq points en position g6n6rale, plong6 par le syst6me des cubiques passant par ces cinq points. Si l'on projette X par un point g6n+ral, p, de p4(p r S'), la projection nv(X) est une courbe lisse de F 3 trac6e sur la quartique ~i conique double %(S'). Si l'on sp6cialise pen un point, Po, de S ' \ X qui ne rencontre aucune des (16) droites de S' alors Xo = %o(X) est une courbe lisse de F 3 trac6e sur la surface cubique lisse So=n.o(S'). Le degr6 et le genre de Xo v6rifient g = ( d Z - 4 d + 8 ) / 8 (d=4b, g = 2b ~ - 2b + 1). On v6rifie facilement que hl(Jxo(1)), hl(JXo(3)) #: 0. Etant donn6 que l'on peut inverser cette construction (cf. VII.2) on d6duit que toute courbe de multidegr6 (3b; b,..., b, 0) sur une cubique lisse est sp6cialisation de courbes trac6es sur une quartique ~ conique double. Ceci montre que l'hypoth~se (3) de VI.4 est n6cessaire et que la conjecture de Kleppe doit ~tre modifi6e (en ajoutant la condition de lin6arit6 normale).

Composantes non reduites de Hilb ~3

441

VII. Appfication: points rationnels particuliers de certaines courbes g6n6riques Soit ~ une composante irr~ductible de H(d, g) (schema de Hilbert des courbes de degr6 d, genre g de F3). Soit K le corps des fonctions rationnelles de ~ e a . On note c~Kla courbe universelle d6finie sur K. Le probl+me 6tudi6 est le suivant: ~existe-til un diviseur effectif de degr6 un sur ffK qui ne soit pas combinaison lin6aire du diviseur canonique et du diviseur h y p e r p l a n ? , Remarquons que cela revient/l chercher s'il existe une section rationnelle, tr, de ~*--*~rea (Ot~ r est d6duite de la courbe universelle par le changement de base ~ e d ~ o ~ ) telle que, sur un ouvert, le fibr6 associ6 au diviseur de tr ne soit pas combinaison lin6aire du fibr6 canonique et du fibr6 hyperplan. En VII.4 on d6crit une famille de composantes irr+ductibles de Hilb• 3 pour lesquelles le probl~me ci-dessus admet une r6ponse positive. Pour plus de details sur ce sujet cf. 1-19-21, 4] et VII.5. VII.1. Definition. Soit b > 1 un entier. Une courbe lisse, connexe, C____~3, sera dite de type b si C est trac6e sur une surface cubique lisse, S, et si, dans une base convenable de Pic(S), C a multidegr6 (3b; b, b, b, b, b, 1). VII.2. Lemme. (1) Soit Y ~ IP* une courbe lisse, connexe, intersection comptdte de deux hyperquadriques Q1, Q2 et d'une hypersurface de degr~ b, b > 1. Supposons que S'= Q 1nQ2 soit lisse. Pour un point, y, assez gdndral sur Y, la projection de centre y, nr, induit un isomorphisme de Y sur son image. La courbe C : = nr(Y) est de type b. R~ciproquement route courbe de type b s'obtient ainsi. (2) Si C c=~ 3 est une courbe de type b, b > 4, alors hl(Jc(1))=0 et hl(Jc(3)) ~0. Ddmonstration. Rappelons que S' est l'6clat6 de ~,2 en cinq points Pt ..... Ps en position g6n6rale, plong6 par le syst6me des cubiques passant par les P~, 1 < i < 5. En particulier S' contient un nombre fini ( = 16) de droites et si y ~ S' n'est sur aucune de ces droites alors ny(S') est une surface cubique lisse, S, de p3. La courbe Y a multidegr6 b. Hs,=(3b;b .... ,b) sur S' et C = n r ( Y ) est lisse, de multidegr6 (3b;b .... , b , t ) sur S. R6ciproquement soit C une courbe de type b sur une cubique lisse S. On peut repr6senter S comme l'6clat6 de F 2 en six points P~ . . . . . P6 en position g6n6rale, plong6 par le syst6me des cubiques passant par les Pg, 1 < i < 6. Soit ~ 0 : S ~ F 2 le orphlsme d eclatement. Par definition de C on peut supposer E 6 C -- 1 O1~1E 6 est le diviseur exceptionnel au dessus de P6. Soit IP' l'6clat6 de p2 en P~ .... , P5 et : p, % ~a4 l'immersion donn6e par le syst~me des cubiques passant par P , . . . , Ps. Alors S' = ~ ( P ) est intersection compl&e de deux hyperquadriques et S = ny(S' ) o~ Y=lp(P6). Finalement soit Y l'adh6rence dans S' de 7zy-l(C\P6). Alors Y a rnultidegr6 (3b; b..... b) et nr(Y ) = C. (2) Avec les notations de (1):(gc(1)=(gy(l-y). Comme Y est lin6airement normale dans ~4, il en est de m~me de C dans ~3. Donc h~(~c(1))=0. On a: (9c(3)= (9r(3 - 3y). Soit (9r(3 - y) = L | avec L = (9r(2), E = 60r(1 - y). Comme L e t E sont tr6s amples il en est de m~me de L| Par suite h~ h~ - y ) ) - 2. Finalement: h~ = h~ 3. Comme Y est une intersection complete de type (2, 2, b) on a h~(~r(3))= 0 et h~ 10 (si b > 4). On en d6duit h~ = 22 et par cons6quent: h1(~c(3)) = 3. iTI

"

~r

,

9

9

.

442

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VII.3. Corollaire. Si b > 8 l'adh~rence dans Hilb• 3 de l'ensemble des courbes de type b est une composante irr~ductible, non r~duite, ~f(b), de Hilb• 3.

D~monstration. Une courbe de type b a degr6 d = 4 b - 1 , genre g = 2 b 2 - 2 b + 1. Pour b > 8, g > G(d, 5). On conclut avec VI.4. On note H(b) le plus grand ouvert lisse de ~r constitu6 de courbes de type b et cr b la courbe universelle au dessus de H(b) (obtenue par changement de base). VIL4. Proposition. Avec les notations ci dessus : (1) cCb~H(b ) admet une section. (2) Pic(cCb)/Pic(H(b))n'est pas engendr~ par les classes du fibr~ canonique et du fibr~ hyperplan.

D~monstration. Avec des notations 6videntes on v6rifie facilement que E 6 est l'unique des vingt-sept droites de S dont le nombre d'intersection avec C vaut un. f Ceci d6finit la section, a, de c~b ,H(b) (poser tr ( [ C ] ) = P o~ P:=CnE6). Comme H(b) est lisse et comme f est propre, plat, de fibres lisses, on en d6duit que cr best lisse. Ainsi on peut associer un fibr6, ~ , au diviseur donn6 par a. On a ~lI-,ttc]~-(gc(P). I1 nous faut montrer que pour C g6n6rale, (gc(P) n'est pas isomorphe/t co~(r pour certains entiers n, E. Soit Y=ZlP4 une courbe dont C est la projection (cf. VII.2). On a: (~c(1)=~r(1-P), ~Oc~Ogr=(gy(b-1 ). Si (gc(P)=~Oc(~) alors (gr((E + 1)- P) ~- (gy(b- 1 + E) (*). En faisant varier le point P dans un ouvert, A, de Y on obtient une famille de courbes, { YO.}e~A,de type b. Si pour chaque Q dans A: d~rQ(Q) ~ to~,Q(~) alors, d'apr6s (*), pour chaque (P, P') ~ A 2: (f + 1)- P ,-~(E + 1). P'. n

Soit Poe A et consid6rons l'immersion: Y--~J Jac~ of1 j(X) = (gy(X - Po). Soit Je+ 1: = {L~ Jac~ re+ 1)~ (~y}. On sait (cf. par ex. [23]) que dim(Je+ 1)= 0. On ne peut done avoir j(A)C Je+l et la proposition est d6montr6e.

VIL5. Remarques. (1) Dans [20, 21], Mestrano a montr6 que si d est suffisamment grand devant g ou si (d-1)2/8 < g < 1 + d(d-3)/6 alors il existe une composante irr6ductible, ~ , du sch6ma de Hilbert des courbes de degr6 d, genre g, telle que cr n'admette pas de section rationnelle. (2) Dans [20, Remarque 7] et [4] on trouvera des exemples de composantes irr6ductibles, ~ , telles que c r admette une section rationnelle. Mais dans tous ces exemples la section est d'un type tr6s simple: le fibr6 obtenu/~ partir de la section est combinaison lin6aire du fibr6 canonique et du fibr6 hyperplan. (3) Dans [19] (Contre-exemple 1, p. 462) en consid6rant les degr6s de diviseurs, Mestrano exhibe des composantes ~ , telles que Pic(Cg~e)/Pic(~r~) ne soit pas engendr6 par co~, d~(1). Mais dans ces exemples C r n'admet pas de section rationnelle.

Appendice Dans cet appendice on calcule le cycle fondamental, Z, des singularit~s elliptiques minimales qui sont des points doubles. D'apr6s [18, Theorem 3.13] on a : mult((gx)~ - Z 2. On peut done se contenter des Tables 1, 2, pp. 1290-1292 de [18] dont on reprend les notations. Rappelons que ron peut calculer Z via une

Composantes non reduites de Hilb Ba3

443

<>[18, p. 1259]. Remarquons finalement que pour obtenir la majoration de 11.3 il suffit de voir que le cycle, Z, propos6 ici v6rifie: A i 9Z__<0,

p~ t~ i (rc-l(x)= U A~) Table 1

Slngularlt~

~#NWNN

A~w

Grophe duel

(-2,-2,-2,-3) (-2,-2,-2,-4)

N F--*'''"BLN

XI..........Xn

(-2,-3,-2,-3) [-2,-2,-2,-2,-2)1

B

|-1

J=1

h

s

(-2,-2,-2,-3) (-z,-z,-3,-~) (-2,-2,-2,-4)

I1

B)+2

2B+Z:

j=l

X~........ Xn

:E XI i;1

BI=N W~

F---N

A

~ ,04/'~ ,N II O+ l~m, ~ w ,,0

2:E • § Bi=w

-IF--...Lw

A4,MWI,IN

B| = N

n

(-2,-2,-3,-3)

~,o+~.o+~.o+~.,,,.,o

Cgcle fondomental

-2,-2,-2,-2,-2)

B

Y,L........ Ym

4

2A + ~ BI J=l

Bj =

N

n m 2B+2 T. Xl+ 2 ~E Yj+ I=1 J=l 5

+~B z I=1 I~

/~,,,o+ A,, ,o+ AN ,0 + AN ,0 +

(-2,-2,-2,-2,-2)

w

N

.\'L/.

B] = N ,

B;I

444

Ph. Ellia

Table I (continued)

du~

Stngulart~

~,.,,o+A'~,..,o

(-2.-2,-2,-2)

a•

'r

==M

I

x.B

I1

x:7::L.

Y~Y2 Y3

~,.o+~,.o+A'~..w.o (-2.-2,-2,-2)

.:F_._. x, . . . . . . . . . .

(-2o-2,-2)

B = O, BI = -

!2.+ ~: ,~,§215 E BI+2B+2XI+3X=+4X=." +3X,,+2~

.~

•

Bj = , , , B = O

Y~....-.Xn Y, Y, Y, Ys

'~,,,,,,o+ET,0

+3Y=+j~IB]

B|=w.B=O

(-2.--2.-2)

L._:LJ ~,,,,o+Os...o

12B+21 X|+2{Y,+Y~)+ 1=I

I=1

X, X~ X3 A,, o+A'~ ,,,, o

C~clefomlamento!

(-2,-2)

2B+2]:XI +T-.Bj +3Y,+4Y= +2Y=+3Y4+ZYs

B = O, Bj =w ZZXI+ZBj +2B+3Y1+4Y="

+SY=+6Y,+3Ys+4Y,+2V Y, Y, Y, .......... .Y,

X,.....Xn

~.o+~,,o+Ds,,,.o (-2,-2.-z)

B = O. Bj =w B,D+B=+2(B+Ba)+4XI+ +OX=+~iXs+5X4+4~ X~ X2 X4 Xs

~,.o+~.o+ET.o

(-2,--2)

~

X'T r ~, ~ L

X, X= ~

Xs X, X;,

)":B+j2BO'Bj=N +3X~+'4X*+Sxs+B=+6X=+,3)~+4Xz+ZXt

Composantes non reduites de Hilb p3

445

Table 1 (continued) Slngularl16 D4,...

h=.

Grsph~ dual

Cgcle fondamental

,!

'(-2,-2,-4)

B| =M

(-2,-2.-3)

2x,+exa+gxe+2X,+~'TB I

[-2,-3,-3)

.---@--4

X, X2 X~ [6.--

(-Z,-5) ( -2.-4),(-3,-3)

ZXl+ 5Xa+4X=+2X.+SY~+ +2~+ZB I (B I = . )

X6

X, X2 X~ X4 Xs E8,.

i(-3)(-4)

2Xt + 4Xa+ 3Y,,+ 6Xa+ 5)q+ +4X6+3Xz+ZXe+B= e--iS--- ). . . . . ~ B I X, X= Xe

A%o§

(-2,-2)

"=B I ;

#--m''--~N

2X, + 3X=+ 4X=+ 5X~+6X, + +eX.+4X;,+2B+~I~

XI........... Xs Xz A'7,..,O

(-2,-2) q k---.-~

BI==N

S_

..~--.~

)

2Xt+ 3X,,~+4Xs+ 5X, + 4Y,s+ § +~B 1

X,.......... X4.......... Xr D9,.,o

(-2)

x _L_ ,.....iS....x,

x,

.

2X,+3X2+4X:+SX4+6Xs+ +7X,+BX~+SXI+4Xg+ 428+8,

Dens tou8 lee autree cos le cgcle fo~lenwntal est r6dult

Remerciements. Je remercie L. Gruson, A. Hirschowitz, Ch. Peskine, N. Mestrano et E. Ballico pour des conversations utiles et stimulantes pendant la pr6paration de cet article. En outre je remercie L. Gruson et le referee dont les remarques ant permis une am61ioration de la premi6re r6daction de ce travail. Bibliographie 1. Amasaki, M.: Examples of nonsingular irreducible curves which give reducible points of red(H(d,g)). Preprint RIMS, Kyoto University (1984) 2. Artin, M.: On isolated singularities of surfaces. Am. J. Math. 84, 485492 (1962) 3. Conforto, F.: Superficie razionali. Bologna: Zanichelli 1939 4. Ellia, Ph.: Points rationnels de courbes g~n~riques de ~,3. Boll. Unions Mat. Ital. VI. Ser. 4, 167-.I 72 (1985) 5. Ellia, Ph., Fiorentini, M.: D6faut de postulation et singularit6s du sch6ma de Hilbert .... Ann. Univ. Ferrara Nuova Ser. Sez. VII, 30, 185-198 (1984) 6. Epema, D.: Surfaces with canonical hyperplane sections, Th~se Leiden, cf. aussi: Indagationes Math. 45, 173-184 (1983)

446

Ph. Ellia

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Re~u le 27 janvier 1986; revise- le 1 d~cembre 1986