D6finition d'un crit~re de r6versibilit6 et de rupture pour les mortiers et b6tons. I~tude sur module.

M. L O R R A I N et J.C. MASO (z)

Lorsqu'on assimile le b6ton h un mat6riau homog~ne et isotrope, aucun des crit~res statiques usuels, tels que le crit~re d'extension maximale de Brandenberger, le crit~re de Rankine, le crit~re de cisaillement maximal ou le crit~re de la courbe intrins~que de Caquot, ne peut expliquer Failure des traces des surfaces d'6tat limite dans le plan (~rl, ~r2) des contraintes appliqu6es au mat~riau (fig. z). En effet, les crit~res de Rankine, du cisaillement maximal ou de Caquot sont incompatibles avec la concavit6 de la trace des surfaces d'~tat limite que l'on peut observer expdrimentalement en compression biaxiale. Cette m~me courbe devrait ~tre alors, selon le crit~re de Brandenberger, une droite perpendiculaire ~ la premiere bissectrice du rep~re (az, a~), en 61asticit~ lin~aire. La similitude des comportements limites des mortiers et bdtons et des fontes a, par ailleurs, conduit de nombreux chercheurs et, en particulier, Vile [x] ~ id~aliser la trace des surfaces d'~tat limite dans le plan (crz, ~ ) en un contour rectiligne form~, dans le quadrant de compression biaxiale, de deux droites parall~les aux axes de coordonn6es (fig. ~). D~s lors, seuls les crit~res ind~pendants de la contrainte principale intermddiaire peuvent expliquer l'allure des traces des surfaces d'~tat limite. Aussi le crit~re presque universellement adopt~ pour les mortiers et b6tons est-il un cas particulier du crit~re de Caquot. I1 s'agit de la th6orie de Coulomb-Mohr, modifide par Paul [z] et Vile pour tenir compte de la faible r~sistance de ces mat~riaux ~ la traction. Cependant nos travaux et ceux r~alis6s avee Bascoul [3] montrent qu'on ne trouve pas de courbe intrins~que lorsqu'on repr6sente dans le plan de Mohr les ~tats de contraintes limites en compression biaxiale. Ce r~sultat n'infirme pas la validit6 du th6or~me de Caquot, dont l'~nonc~ original est rappel~ ci-apr~s. ,~ Lorsqu'un corps est isotrope, et qu'il y a relation de cause /a effet entre la contrainte et le glissement sur son plan d'application, le domaine ~lastique est d~termin~ par une surface de r~volution autour de la normale, dite surface intrins~que. Nous nommerons courbe intrins~que sa m~ridienne ~ [4]. Cela montre qu'~ une ~chelle globale, on ne peut pas admettre que l'~tat limite r~versible est atteint dans le mat~riau par suite d ' u n glissement interne.

(1) D6partement de Gdnie Civil, Institut National des Sciences Appliqu6es de Toulouse, France. 420

I1 convient alors, pour 6tudier u n ph6nom~ne local tel que l'apparition de ddsordres irr6versibles darts un mat6riau, d'examiner les distributions locales de d6formations et de contraintes dans ce mat~riau en tenant compte de sa structure interne r6elle. La nature particuli~rement complexe des b~tons nous a conduit ~ mener 1'dtude de ces distributions locales sur un schema simplifi6 qui se prate ais6ment aux calculs de la th6orie de l'61asticit& Nous avons 6tudi6, dans plusieurs hypotheses de crit~re, le comportement du mod~le th~orique ~ la limite du domaine de r6versibilit~. Nous avons d6fini, dans chaque cas, l'allure de la trace de la surface d'~tat limite dans le plan (cq, ~2). Nous avons ~galement d6termind les figures de microfissuration en pr6eisant l'origine et l'orientation des microfissures. Nous avons compar~ nos r6sultats aux travaux que nous avons men6s avec Bascoul en compression biaxiale, et ~ ceux de Calvet [5] en compression monoaxiale.

/ Fig. 1. - - Trace de la surface d'6tat limite, selon G.W.I). Vile.

H. LORRAIN - J.C. H A S O I. D I ~ F I N I T I O N DE Bt~TON

DU

MODI~LE

THI~ORIQUE

Nous avons suppos~ que le matdriau n'dtait pas fissur6 initialement. Nous avons repris l'hypoth~se formulde par Dantu [6], selon laquelle on peut consid6rer le b&on comme un milieu h~t~rog~ne ~ deux phases homog~nes et isotropes, le mortier d'une part et les cailloux d'autre part. On peut alors repr6senter un bdton comme un mat6riau composite granulaire coherent dont la matrice, 61astique, a pour caract~ristiques m~caniques E = 2 ooo daN/ram 2 et v = 0,2, et dont les singularit4s sont, soit des inclusions rigides par rapport ~ la matrice, soit des trous. Les premieres repr~sentent les cailloux et les secondes les pores. Nous avons choisi, pour notre &ude, le module le plus 6ldmentaire en traitant l e c a s d'une singularit6 unique, trou libre ou granular rigide. Nous avons distingu~ deux types de liaison entre la matrice et la singularit& Dans un premier cas nous avons suppos~ qu'il y avait adherence [7] entre l'inclusion et la matrice. Les d~placements de l'inclusion et de la matrice sont alors ~gaux ~ l'interface. Dans un second cas nous avons suppos~ qu'il n'y avait pas adh*rence. II existe alors deux types de conditions aux limites ~ l'interface. Sur la pattie en contact ces conditions sont celles de l'adh6rence. Sur la partie d4collde, elles sont celles d'un bord libre. Nous avons, de plus, darts le cas de la non-adh4rence, suppos~ qu'il n'y avait pas de frottement au contact entre Ia singutarit~ et la matrice. Pour la d4termination th6orique du champ de contraintes et de d6formations dans le module, nous avons utilisd la variable complexe en 41asticit6 lindaire en coordonn6es polaires et la re&bode de Muskhelishvili [8]. Dans le cas de l'adh~rence nous avons appliqu4 le principe de superposition aux r~sultats donn~s par Muskhelishvili pour une sollicitation monoaxiale, afin d'obtenir la solution th~orique du probl~me pour une sollicitation biaxiale quelconque. Dans le cas de la non-adherence, nous avons g6n6ralis~ la sollicitation biaxiale la solution proposde par Astre [9] en traction monoaxiale. Nous ne pr6sentons pas, dans cette communication, les expressions math~matiques des composantes des tenseurs contraintes et d~formations.

m

LIMITE

I I . i . Gt~NERALITt~S E T M t ~ T H O D E D ' I ~ T U D E La connaissance des distributions thdoriques des contraintes et des d4formations en tout point du module nous permet d'~tudier le comportement du sch4ma th6orique de bdton ~ la fronti~re du domaine de r6versibilit& D~s lots qu'on connalt, en effet, les crit~res auxquels obdissent les deux phases homog~nes en pr4sence, on peut d&erminer, pour une sollicitation donn~e, en quels points l'6tat limite est atteint et d6finir ainsi avec pr6cision les zones o/1 apparaissent les premi&res plastifications ou les premieres microfissures. Lorsqu'on ne connalt pas les crit~res auxquels ob6issent les deux phases homog~nes, on peut, ~ partir d'obserrations exp~rimentales suffisamment fines de l'apparition des premiers ddsordres irr~versibles, tenter de d4finir les lois du passage ~ l'4tat limite r~versible. Nous avons, pour cela, examin4 plusieurs hypotheses de crit~res : - - l e crit~re de Rankine, exprim~ en traction pour tenir compte de la faible rdsistance des b&ons vis-a-vis de ce type de sollicitation, - - le crit~re de cisaillement maximal, - - le crit~re d'extension maximale de Brandenberger, - - le crit~re de distorsion maximale, - - le crit~re de Caquot, sous la forme de la th~orie de Coulomb-Mohr modifi4e, qui est une combinaison du crit~re de Rankine dans les quadrants de traction et du crit~re du cisaillement maximal darts le quadrant de la compression biaxiale. Nous avons compar~ le comportement thdorique du module, dans chacune de ces hypotheses, ~ son comportement r~el, tant e n c e qui concerne l'allure de la trace dans le plan (oi, a2) d e la surface d'&at limite, qu'en ce qui concerne les figures de microfissuration. Nous avons limit~ nos investigations au cas o~ l'itr~versibilit6 se produit d'abord darts la matrice. C'est alors au niveau de l'interface que se produisent les premiers d4sordres puisque c'est i~ que les contraintes et les d6formations locales prennent leurs valeurs maximales. II.z. A L L U R E D E LA TRACE, D A N S D E LA SURFACE D'F, T A T L I M I T E

I

(O'1, if2),

2.1. D 6 f i n i t i o n s et n o t a t i o n s

7

iI

// Fig. 2. - - T r a c e id6alis6e de la s u r f a c e d'6tat limite, solon G . W . D .

Vile.

II. I ~ T U D E D U C O M P O R T E M E N T DU MODI~LE THI~ORIQUE A LA DU DOMAINE DE RI~u

Nous avons &udi6 l'allure de la fronti~re du domaine de r6versibilit6 trac6e dans le plan R 2 des contraintes ext6rieures appliqu6es au module. Los lois de comportement ~ la limite du domaine r6versible sont, en effet, g~n~ralement &udi~es clans l'espace abstrait R 3 des contraintes, ot~ l'on repr6sente g6om6triquement le crit~re par le volume dont la surface a pour 6quation l'expression du crit~re en fonction des contraintes principales. Dans le cas de solides homog~nes, et pour des champs de contraintes uniformes, il y a identit6 entre le tenseur des contraintes locales et le tenseur des contraintes appliqu6es au solide. Lorsque le mat6riau &udi6 est h6t6rog~ne, il n'est plus possible d'identifier les composantes des tenseurs des contraintes locales et les contraintes ext6rieures appliqu~es. Pour 6viter toute ambiguit6 nous d~signerons ces derni~res par les lettres P l e t p> 421

VOL.

7 - N ~ 4 2 - 1974 - M A T # R I A U X

ET

CONSTRUCTIONS

P1

i

_P2

Fig. 3a. - - Trace de la surface d'6tat limite. Crit6re d'extension maximale (granulat adh6ren0.

Seul le second r~f~rentiel peut se prater ~ la reprdsentation graphique des rdsultats exp6rimentaux lors de sollicitations biaxiales. C'est dans ce rep~re que l'on connalt l'allure du convexe d'6tat limite r6versible pour les mortiers et b6tons. N o u s avons choisi de pr6senter nos r6sultats th6oriques dans le rdf~rentiel (pl, p2) pour en faciliter la comparaison avec les conclusions des autres auteurs. 2.2. R 6 s u l t a t s Les courbes des figures 3 a 7 repr6sentent les traces thdoriques des surfaces d'6tat limite r~versible pour le module 616mentaire. Dans le cas du granular rigide adherent nous avons obtenu une trace de la surface d'~tat limite tout ~ fait comparable ~ celle obtenue, sur module 6galement, par Buyukozturk, Nilson et Slate [io]. Dans le cas du trou libre, ou du granulat rigide non adh6rent, nous avons constat6 une forte extension de la

/

)

Fig. 3b. - - Trace de la surface d'6tat iimite. Crit6re d'extension maximale (trou libre).

trace darts le sens des (pl, p2) croissants en compression biaxiale. Nous avons pu v~rifier ce r~sultat par l'exp6rience. 2. 3 . C o n c l u s i o n s Nous pouvons constater que le crit~re de la contrainte maximale de traction ne peut convenir puisque, dans le cas de compression biaxiale et pour un rapport pl/p2 inf6rieur ~ 4, routes les contraintes locales sont des c o m pressions. La trace de la surface limite n'est alors plus d6finie. Les crit~res de cisaillement maximal et de distorsion maximale ne peuvent pas ~tre non plus retenus puisque le convexe d'6tat limite qui leur est associ6 est sym~trique par rapport aux bissectrices du rep~re. Ceci reviendrait admettre que les mortiers et b6tons ont un c o m p o r tement physique sym6trique en traction et en compression. Le crit&re &extension maximale, de m~me que le crit~re de la th6orie de C o u l o m b - M o h r modifi6e, conduisent

P1

..~P2

Fig. 3c. - - Trace de la surface d'6tat limite. Crit~re d'extension maximale, (granulat non-adh6rent).

422

Fig. 4. - - Trace de la surface d'6tat limite. Crit~re de distorsion maximale (granulat adh6rent).

M.

LORRAIN

- J.C. HASO

P1

_P2 O

Fig. 5a. - - Trace de la surface d'6tat limite. Crit6re de cisaillement maximal (granulat adh6rent).

Fig. 5b. - - Trace de la surface d'6tat limite. Crit~re de cisaillement maximal (trou libre).

des convexes tout ~ fait semblables ~ ceux que l'on observe exp6rimentalement. II convient de remarquer la similitude des courbes ainsi obtenues, relatives ~ un module tr~s ~16mentaire, aux r~sultats des travaux que nous avons men6s avec Bascoul [3] sur le mat6riau r6el.

pagation de la fissuration, puis la rupture, avec autant de rigueur. En effet, d~s l'ouverture d'une microfissure, l'6quilibre m~canique du module est boulevers~. I1 se produit alors une redistribution des contraintes et des d~formations locales au voisinage de la microfissure.

I1. 3. A L L U R E DES F I G U R E S D E F I S S U R A T I O N La d6termination des points o/1 la fonction crit~re passe par u n maximum absolu nous permet de localiser les points origines des microfissures. L'orientation initiale de ces microfissures d6pend de l'orientation du rep~re principal des contraintes ~ leur origine. Si l'6tude du module th6orique nous permet de d6terminer ais~ment ces 616ments dans chaque hypoth~se de crit~re, il nous est cependant impossible d'6tudier la pro-

3.1. Cas de la c o m p r e s s i o n m o n o a x i a l e Nous avons 6tudi6 trois cas, selon que la singularit~ est un trou libre, u n granulat rigide adh6rent ou nonadh6rent, reprenant ainsi les param~tres des travaux de Calvet sur le comportement m~canique de modules matrice de pate pure de ciment ou de mortier. 3.1.I. Cas du granulat rigide adherent Les figures 8 a) et b) repr6sentent l'aspect du module de Calvet sous une faible charge lots de la microfissuration puis sous charge ~lev~e lots de la rupture.

P1

NON

0

Fig. 5c. - - Trace de la surface d'6tat limite. Crit6re de cisaiilement maximal (granulat non-adh6rent).

C

OEFINIE

~2

Fig. 6. - - Trace de la surface d'~tat limite. Crit~re de Rankine en traction (granulat adh6rent).

423

VOL.

7 - N ~ 4 2 . 1974

- MATI=RIAUX

ET

CONSTRUCTIONS

Pl

P1

1

i

~2

Fig. 7a. - - Trace de la surface d'6tat limite. Th6orie de CoulombMohr (granulat adh6rent).

Le tableau II-x regroupe, au contour de la singularitY, les valeurs th~oriques des fonctions crit~res ~tudi~es. Les valeurs encadr~es sont les maxima absolus sur le contour. C'est en ces points que doivent apparakre les premieres microfissures, dans chaque hypoth~se de crit~re. On peut constater d'apr~s ce tableau que toutes les fonctions crit~res sont maximales dans un m~me voisinage 4 ~ < 0 < 6o~ C'est figalement dans ce voisinage que s'ouvre la premiere micro fissure, ainsi que nous pouvons l'observer sur les figures de fissuration de Calvet (fig. 8 a). La fissuration se d~veloppe ensure diff~remment dans les deux matrices, en fonction de la nature particuli~re de chaque mat~riau. Ces figures de fissuration que 1'on observe ainsi, dans le cas particulier de ce module ~l~mentaire, sont analogues celles que l'on peut observer darts les b~tons [~], [ ~ ] . On peut remarquer, en effet, la presence de c6nes de mortier, relativement importants, qui adherent, apr~s rupture compl~te du mat~riau, aux granulats, le sommet du c6ne ~tant situ~ sur l'axe de chargement.

I P1

/ Fig. 7c. - - Trace de la surface d'6tat limite. Th6orie de CoulombMohr (granulat non-adh6rent).

424

/ Fig. 7b. - - Trace de la surface d'6tat limite. TMorie de CoulombMohr (trou libre).

Tous les crit~res fitudi~s permettent d'apporter une explication satisfaisante au comP0rtement du modfile de Calvet, pour ufi granulat adherent. Pour d~finir avec plus de precision le crit~re auquel ob~it le module, il convient d'examiner le cas du trou libre et celui du granulat nonadherent. 3.I.2. Cas du trou libre Les figures 9 a) et b) repr~sentent l'aspect du module de Calvet sous faible charge lors de la microfissuration, puis sous charge ~lev~e lors de la rupture. Le tableau II-2 regroupe les valeurs th~oriques des fonctions critfires ~tudi~es, au contour du trou libre. Les valeurs encadr~es sont les maxima absolus. On peut remarquer, d'aprfis le tableau II-2, que les premieres microfissures dues ~ l'extension maximale ou la contrainte de traction maximale doivent se produire sur l'axe de sym4trie du module parall~le ~t la direction de chargement (0 = oo). Les premieres microfissures dues au cisaillement maximal ou ~ la distorsion maximale doivent se manifester sur l'axe de sym4trie perpendiculaire ~ la direction de chargement (0 = 9o~ Or, comme nous pouvons le constater sur les figures 9 a) et b) la seule microfissure qui apparalt ~t faible charge est dirig4e suivant l'axe 0 = oo. I1 en r4sulte que nous pouvons 41iminer les crit~res de cisaillement maximal et de distorsion maximale qui ne peuvent pas expliquer l'allure de la distribution exp4rimentale des fissures dans le module ~14mentaire. Par contre, le crit~re d'extension maximale, ainsi que le crit~re de Rankine en traction, conduisent ~t une figure de premi6re fissurati0n qui s'accorde bien avec les observations de Calvet. I1 en est de m~me de la th4orie de Coulomb-Mohr modifi4e qui se ram~ne, dans le cas de la compression monoaxiale, au crit~re de Rankine en traction.

3,I,3. Gas du granulat rigide non-adhdrent Nous pouvons constater, sur les figures xo a) et b), la similitude des comportements du module sans adherence et du module perc6 d ' u n trou libre. Nous retrouvons cette similitude sur les valeurs des fonctions crit~res ~ l'interface, dans la matrice. Nos conclusions, en ce qui concerne les premiers d6sordres irr~versibles, seront donc les m~mes qu'au paragraphe precedent.

M.

p~te pure

p~te pure

mortier

(

Fig. 8a.

--

LORRAIN

Mod61e de Caivet - granulat adh4rent. Premi6re

Fig. 8b.

- -

- J.C. MASO

mortier

1 /!

ModUle de Calvet - granulat adh6rent. Rupture.

fissure.

TABLEAU ll-I

0

E e

IO

0

--

E 7'

0,35 1,76

--

0,33 1,77

O,31

40

I'78

1,76

--0,06

max

1,21

1,26

5~

1,8I ~

I

1i - - 0 ' 1 9

1,48]

1,38

i

i

T A B L E A U II-2

--

1,7o i

i --0'27

i

[

I

1,42

--

1,45 - -

0,29

80

7~

60

-o,45 I -o,5o i -o,47

--0,34

cr Tract r

Cas du granulat adh4rent

30

20

--

--

- -

0,3 5

-- 0,15

1,o6

0,56

o , 2 2

- -

90 --

0,0 5 0,20

o , o 7

- -

1,2I

o,88!

0,47

0,06

60

7~

80

9~

Cas du trou libre

i

0 Ee S

0

IO - - 0,88

--I

20

I

I

30

4~

- - 0,532 i

-- %13

5~ - - 0,27

- - 0,4

- - o,51

0,58

2,4

3,04

3,46

- -

0,6

.....

E7

1,2

~r Tract

1,o6 - - 0,88

T max

I

0,88

0,64 --

0,78

0,53

O

0,53

O

T A B L E A U II-3

0

0

IO

Ee

--

1,02

0,97

Tract

- -

0,63

- - 0,59

20

I --0,75 - - 0,42

1,6

--

o,65

--

2,53

1,35

3,6

i

2,88

Cas du granulat non-adherent

30

40

-- 0,23

-- 0,2I

5o - -

o,18

60

70

80

9o

-- 0,I6

- - 0,28

- - 0,55

- - o,28

-- 0,22

425

VOL.

7 -

N ~ 42 -

1974 - MATI~RIAUX

p~te pure

ET

CONSTRUCTIONS

rm)rtier

()

pate pure

mortier

()

Fig. 9a. - - Mod61e de Calvet - trou fibre. Premi6re fissure.

Fig. 9b. - - Mod/~le de Calvet - trou libre. Rupture.

3.I.4. Conclusions II r~sulte de cette 6rude que seuls les crit~res d'extension maximale, de la contrainte de traction maximale et la th~orie de Coulomb-Mohr modifi6e peuvent expliquer le comportement du module 616mentaire de b~ton sous l'effet d'une sollicitation de compression monoaxiale. Comme, par ailleurs, l'6tude des traces th~oriques et exp6rimentales dans le plan (pl, p2) des surfaces d'6tat limite r~versible nous a permis de conclure que le crit~re de Rankine en traction ne pouvait expliquer le comportement du module ~l~mentaire de b~ton, nous pouvons restreindre la suite de notre 6tude au crit~re d'extension maximale et/a la thdorie de Coulomb-Mohr modifi~e.

Les microfissures qui en rdsultent sont donc des fissures d'extension dans l'~paisseur de l'6chantillon. La th6orie de Coulomb-Mohr modifi~e se ram~ne, dans le cas de la compression biaxiale, au crit~re de cisaillement maximal. Les microfissures qui en sont la consequence sont des clivages situ6s dans te plan m~dian de l'6chantillon. Or, t o u s l e s exp6rimentateurs [io], [3], [i] ont observ6 l'apparition de microfissures d'extension dams l'6paisseur de l'6chantillon et non pas de clivages. Nous avons pu ~galement v6rifier ces r6sultats sur le module de Calvet, sollicit6 en compression biaxiale. Nous devons donc rejeter la th~orie de CoulombMohr modifi~e et conclure que seul le crit~re d'extension maximale peut expliquer le comportement du module 616mentaire de b6ton sous l'effet de sollicflations, monoaxiales ou biaxiales, de compression. Pour 6tendre cette conclusion au plan R 2 des sollicirations appliqu~es au module, il nous reste ~ dtudier le

3.2. Cas de la c o m p r e s s i o n b i a x i a l e Les extensions maximales sont perpendiculaires au plan (xoy) des sollicitations pl et p2 appliqu6es au module.

pate )ure

mortier

pfite pure

mortier

I I

V

l

()

Fig. lOa. - - Mod61e de Calvet - granulat non-adh6rent. Premi6re fissure.

426

Fig. 10b. - - M o d / ~ l e Rupture.

de

Calvet

-

granulat

non-adh6rent.

1.1. L O R R A I N - J . C .

MASO

santes d~s que l'on se rapproche de 9 o~ l'axe de la plus grande contrainte de traction appliqu4e au module ~tant choisi c o m m e axe de r4f~rence. La microfissure qui r~sulte de cette distribution th~orique de d4formations d'extension s'ouvre pour la valeur de 0 correspondant au m a x i m u m absolu de l'extension sur le contour. Ells se propage ensuite brutalement le long de la calotte fortement sollicit4e vis-a-vis des extensions, lorsque le granulat n'est pas rompu pr~alablement, puis se prolonge dans la matrice perpendiculairement la direction de la plus grande traction. On trouve ainsi une figure de fissuration tout ~t f a r conforme aux observations exp~rimentales que nous avons rappel~es pr6c~demment.

t P1 E~

O

R

it

Fig. 11. - - Variations de la d~formation d'extension sur le contour du granulat adh6rent. Cas de la traction.

3.3.2. Cas du trou libre Los valeurs th~oriques de l'extension au contour du trou libre sont maximales pour 0 = 9 o~ l'axe de la plus grands traction ~tant pris c o m m e r~f~rence. C'est donc en ce point que doit s'ouvrir la premiere microfissure, qui se propage ensuite perpendiculairement la direction de la plus grande traction. La figure de fissuration th~orique ainsi obtenue s'accorde bien avec los observations que Yon peut pratiquer exp~rimentalement.

III. C O N C L U S I O N comportement du module 6l~mentaire dans la seule hypoth~se du crit~re d'extension maximale, pour des soUicitations monoaxiales ou biaxiales de traction. 3"3" Cas d e la t r a c t i o n , l o r s d e s o l l i c i t a t i o n s m o n o axiales ou biaxiales 3.3.1. Cas du granulat rigide adhdrent Les auteurs qui ont ~tudi~ la nature des fissures qui apparaissent dans des pi~ces de b6ton sollicit6es en traction ent observ6 que la fissuration se produit brutalement d'une part et que, d'autre part, les surfaces de rupture correspondantes sont orthogonales ~ la direction de traction. Les surfaces de rupture suivent le contour des granulats situ~s sur leur direction de propagation sauf lorsque ceux-ci sont rompus. La courbe de la figure I I repr6sente l'allure des variations de la d6formation d'extension dans le cas de sollicitations de traction. Nous pouvons r e m a r q u e r que ces variations sont faibles autour de leur valeur maximale puis rapidement d~crois-

Le crit~re d'extension maximale de Brandenberger apporte au c o m p o r t e m e n t du module th6orique de b6ton, une explication satisfaisante rant du point de vue des traces des surfaces d'~tat limite dans le plan (pl, p2), que du point de vue du d6veloppement des microfissures lots du passage ~t l'dtat limite r6versible. La thdorie de C o u l o m b - M o h r , comme nous l'avons montrd, ne permet pas d'expliquer l'allure de la microfissuration en compression biaxiale et dolt, par consequent, ~tre abandonn~e. II convient de souligner particuli~rement cos r6sultats puisque le crit~re d'extension maximale, initialement propos6 par D e Saint-Venant, repris puis ddvelopp6 par Brandenberger, est aujourd'hui presque universellement abandonnd. II semble cependant que la th6orie de Brandenberger, selon laquelle l'6tat limits est atteint ~ la suite d ' u n e ddcoh6sion du mat6riau lorsque 1'extension d6passe un certain seuil soit plus en accord avec la microstructure des mortiers et bdtons que la th~orie de C o u l o m b - M o h r , cas particulier de la courbe intrins~que de Caquot, qui repose sur l'hypoth~se du glissement interne.

RI~Ft~RENCES

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-

-

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