139

Die Conchoidenfl~che, eine Linienflhche 4. 0rdnung. Von G. Huber in Bern. I. Definition und Erzeugung der Fiiiche durch B e w e g u n g einer Geraden.

Zieht man vom Nullpunkt 0 eines reehtwinkligen~ ebenen Coordinatensystems Strahlen nach einer festen Geraden~ y~---p~ der L e i t l i n i e L~ und tragt auf jedem Strahl vom Sehnittpunkt mit L aus nach beidell Seiten eine beliebig gewahlt% abet constante Streeke s ab, so liegen alle so erhaltenen Endpunkte aui einer Curve 4. Ordnung: welche die C o n e h o i d e des Nikom e d e s heif~t. Ihre Gleichung ist :

(y--z~) ~ (x~ § y~) = ~ y~. Die Curve besteht aus zwei unendliehen Zweigen~ w e l c h e die Leitlinie L zur gemeinschaftlichen Asymptote haben, deren unendlieh ferner Bertihrungspunkt ein S e 1 b s t b e r ii h r u n g s p u n k t der Curve ist. D e r Nullpunkt 0 ist conjugierter Punkt, Spitze oder Knotenpunkt. jenaehdem s ~< p

ist. Bei veranderlichem s or-

halt man unendlieh viele Conchoiden yon derselben Asymptote L und gemeinsehaftlichem Doppelpunkt 0 und zwar besteht die Curve: Ftir s--=o aus der doppclten Leitlinie L und dem conjugierten Punkt O. Fiir s < p aus zwei uaendliehen~ einfaehen Zweigen~ zu versehiedenen Seiten yon L und dem eonjugierten P u n k t O. Ftir s = p aus zwei unendliehen, einfachen Zweigen: der eine mit Spitze in 0. Fiir S > l ) aus zwei unendliehen Zweigen~ der eine mit Schleife und Doppelpunkt in O. Ftir s = c~ aus der doppelt gelegten x Axe und einem Kreis ,con unendlieh grogem Radius um 0 als Mittelpunkt. Der Oft der Wendepunkte aller Conehoiden dieses Systems ist die N e i l ' s e h e P a r a b e l y3=2px~.

140

G. Huber.

Wir setzen nun den veranderliehen Parameter s gleieh der r/iumlichen Coordinate z~ dann werden die Conchoiden des obigen Systems aus einander herausgehoben, sie liegen in Ebenen parallel zur (xy) Ebene~ oberhalb und nnterhalb derselben nnd bilden in ihrer G e s a m m t h e i t eineFl/~eh% welehe die C o n e h o i d e n fli~ehe heigen m~ige. Die Fli~che ist yon der 4. Ordnung: ihre Gleiehung heifit: 0)

(Y --p)~ (x ~ § y~) = ~ z~.

Arts dieser Definition ergeben sieh sofort foIgende Eigenschaften : :1. Die F1/~ehe liegt symmetriseh zur (xy) und zur (yz) Ebene. +y

t ~

\

.) Fig. 1. Conchoidensystem.

2. Die zur (xy) Ebene parallelen ebenen Sehnitte z----:k s, sind die oben angegebenen Conchoiden der versehiedenen Arten; z ~ : k p gibt zwei Conchoiden mit Spitzen auf der z-Axe. 3. Die Leitlinie L ( y ~ p ) in der (x y) Ebene ist D o p p e l g e r a d e L der Ft5che. 4. Die z-Ax% als Ort aller Doppelpunkte der Conchoiden ~ - - - s ~ p ist ebenfalls D o p p e l g e r a d % Z~ der Fl~iche. Die Punkte z ~ • p a u f derselben~ die wit mit S und S' bezeichnen, sind u n i p l a n a r e Doppelpunkt% mit der (yz)Ebene als gemeinsehaftlicher Tangentialebene. Das zwischen S und S' liegende Sttiek dieser Doppelgeraden, den Werten z ~---s ~ p entsprechend~ ist i s o l i e r t und liegt nicht auf der Fi5che selbst. 5. Die zur (xy)Ebene parallele unendlieh ferne Ebene schneider die Fl~ehe in einem K r e i s yon unendlieh grol~em Radius~ dessen Mittelpunkt im unendlich fernen Punkt der z-Axe Z

--

--

Die Conchoidenflache, eine Linienfl~che 4. Ordnung.

141

liegt und dessen Richtungskegel die Gleichung x ~ @ y ~ - - z ~ hat, und in der doppelt gelegten unend|ich fernen Geraden der (xy) Eben% es ist dies eine d r i t t e D o p p e l g e r a d % G ~ der ]?l~iehe. 6. Die durch die Doppelgerade L h in d u r e h g e h end e~ zur (x z) Ebene parallele Ebene y - - p~ ist A s y m p t o t e n e b e n e der Fl~tche~ |iings ihrer unendlich fernen Geraden iindet S e l b s t b e r f i h r u n g der Fli~ehe statt~ diese Ber~ihrungsgerade fi~llt zusammen mit der obigen Doppelgeraden G~ der (xz) Ebene. E b e n e n b t i s e h e l d u r e h d i e D o p p e l g e r a d e G~. Eine zur (xz) Ebene parallele Eben% y--b: schneidet die Flach% nebst in ( ; ~ noch in des H y p e r b e l : Zt2

(2)

XF2

(b

1

deren reelle Axe in der Richtung der z-Axe liegt. Ffir b - - 0 redueiert sich die Hyperbel auf die Doppelgerade Z~ ftir b--p auf

L,

und far b--=- p entsteht die g l e i e h s e i t i g e

Z~2 __ i t 2

-~, P~

Ffir b - - o . ,

Hyperbel

werden beide Axen der Hyperbel

nnendlich gro$. Die zur (yz) Ebene parMlelen ebenen Sehnitte sind Curven 4. Ordnung mit Doppelpunkt in L u n d G~. Die (gz)Ebene selbst sehneidet die Fl~iehe in den b e i d e n G e r a d e n : (3)

=

= z +p,

sie gehen durch den Schnittpunkt D der Leitlinie L mit der-~-y= Ax% bilden mit der (xy) Ebene die Winkel ~ 45 o und gehen durch die Doppelpunkte S und S' auf der z-Axe. (Fig: 2). E b e n e n b ~ s c h e l d u r e h d i e D o p p e l g e r a d e Z. Jede Ebene dureh eine Doppelgerade sehneidet die Fl~tehe "noeh in einer Curve 2. Ordnung. Die Gleichung einer beliebigen Schr~ittebene durch die z-Axe ist y - tg a . x, wo a der Winkel ist~ den die Ebene mit der positiven (xz)Ebene bildet. Maeht man diese Ebene dureh Drehung des Coordinatensystems um den Winkel a u m die z-Axe zur (xz) Ebene und setzt in der transformierten Gleiehung y ' ~ 0~ so erh~tlt man als Schnitteurve die beiden Geraden:

z--•

(4)

welche Nr jedes ~ reell sind.

P)

sin

Ffir ~ -

mit Gc~ zusammen und far ~ - - 4 - ~

DS

und

DS'

in der

(yz) Ebene.

0 fallen beide Geraden

sind sie die beiden Geraden Die Absehnitte der Geraden

142

G. Huber.

////" / x.

11

\

\(

~

t

i //

/ //

/1

% //

/

X

"~\\/ /

/ l/

iI //

j/

/I / s

// //

,~v

/

i/

/

//

/

/ ,q7 /

ix Fig. 2. Conchoidenfl~che. P , beide gehen auf der z-Ax% der Doppelgeraden Z, sind z o ----- :]= sin~ durch denselben Punkt A (x' o -

/9 a) d e r sin

x'-Axe~ welcher der

Schnittpunkt der Schnittebene mit L ist. (Fig. 2). Beide Gerade bilden sowohl mit der (xy) Ebene als auch mit Z die Winkel 45 ~ Es gilt also der Satz: Durch jeden Punkt der Doppelgeraden L gehen zwei Gerade der Fliich% welche mit der (xy) Ebene die Winkel =1=45 o bilden und welche die Doppelgerade Z in gleichem Abstande yon Nullpunkt unter dem Winkel 45 o schneiden. Die Fu$punkte jeder Geraden auf L und Z sind yon 0 gleich welt entfernt. Diese Geradenpaare werden auf der Fl~tche yon dem Ebenenbtischel durch Z ausgeschnitten. Ebenenbiische| durch die Doppelgerade L. Wit machen zuerst die Leitlinie L in der (xy) Ebene dutch Parallelverschiebung des Axensystemes (y ~ - y ' - ~ - p ) zur x'-Achs% so dass D zum Nullpunkt and die Asymptotenebene y ~ p zur (x' z') Ebene wird. Die Gleichung einer beliebigen Ebene dutch L ist y ' ~ - t g ~. z'~ wo ~ ihr Neigungswinkel mit der Asymptotenebene ist. Wir drehen dann das Coordinatensystem um den Winkel

Die Conchoiclenflache~ eine Linienflache 4. Oranung.

143

am L, so dass die Sehnittebene zur (x'z') Ebene wird and setzen dann y ' ~ O . Die Gleichung der Sehnittcurve auf der Fl~tehe in dieser Ebene wird:

Es sind dies z w e i G e r a d e , welehe dureh den Punkt z' = - P der z'-Axe hindurehgehen~ es ist der Sehnittpnnkt B der sin Sehnittebene (~) mit der urspr~tngliehen z-Ax% der Doppelgeraden Z. Die beiden Geraden sehneiden L in gleiehem Abstande x'~-~~---:kp

sin~

yon D in A. lmcl A' (Fig. 2) und haben gleiehe

Neigung gegen L ; sie sind nur reell~ wenn ~ absolut < 4 5 o ist~ d. h. wenn die Sehnittebene gegen die Asymptotenebene beiderseits weniger als 45 o geneigt ist. Ftir ~ = i 45 o fallen sie in x ' = 0 ~ mit der z ' - A x e z t l s a m m e n , der Axensehnitt atlf Z wird z = _-k_P, es sind dies bez~iglieh die Geraden D S' und D S in der (y z) Ebene, dies sind Grenzlagen der Geraden ; z w i s e hen S und S' auf Z liegen keine Sehnittpnnkte yon reellen Geraden der Flaehe. Es gilt also der Satz: Dutch jeden Punkt tier Doppelgeraden Z: mit Ausnahme der Punkte zwisehen den nniplanaren Doppelpunkten S und S' (z = :kp)~ gehen zwei Gerade der Flaehe, welche L in gleiehem Abstande yon D sehneiden. Diese Geradenpaare liegen in Ebenen~ die alle dureh die Doppelgerade L gehen. Zwisehen S und S' ist die Doppelgerade eine isolierte Gerade der Flgehe. Aus diesen beiden Satzen folgt: Die Conchoidenfl~tehe kann erzeugt werden dureh B e w e g ll n g e i n e r G e r a d e n ~ E r z e u g e n d e n v die l~ings z w e i e r f e s t e r ~ windsehiefer und zu einander senkreehter Geraden~ L e i t l i n i e n , L u n d Z, so fortgeleitet~ dass sie mit der einen Leitlinie Z und mit der dureh die andere~/~, senkreeht zur ersten gelegten Ebene, stets einen Winkel yon 45 o bildet; oder auch s% dass die Sehnittpunkte der bewegten Geraden mit L u n d Z stets gleiehen Abstand haben yore Ful~punkt 0 der einen Leitlinie Z, in der dureh die andere Leitlinie L senkreeht zur ersteren gelegten Ebene. D i e Conehoidenflaehe ist also eine windsehiefe Regelfl~tehe 4. O r d n u n g . Zieht man dutch den Nullpunkt zll s~mmtliehen Erzeugenclen der Fl~iehe loarallele Gerad% so bilden diese den R i e h t u n g s oder L ei t k e g e 1 der Flaehe. Weil nun alle Erzeugenden die z-Axe unter dem Winkel 45 o sehneidenv so ist der Leitkegel sin g e r a d e r K r e i s k e g e l yore 0ffnungswinke] 90~ dessen Axe in der z-Axe liegt; seine Gleichung ist:

(6)

§

=

144

~. ttuber.

Die Erzeugenden dieses Kegels schneiden dig entsprechenden d e r F 1/~c h e im Unendlichen in einem Kreis yon unendlich grol]em Radius~ der in einer zur z-Axe senkreehten Ebene um den unendlich fernen Punkt derselben beschrieben ist. Die F1/~ehe 1/~sst sigh nun aueh folgenderweise definieren: Die Conchoidenflache ist eine Regelfl/iche~ erzeugt dureh ]3ewegung einer Geraden~ die stets d r e i e b e n e L e i t l i n i e n schneidet. Zwei derselben sind zwei zu einander senkrechte, windsehiefe Gerade, w~hrend die dritte Leitlinie ein um den unendlieh fernen Punkt der einen Leitgeraden mit unendlich grol~em Radius beschriebener Kreis ist, dessen Ebene zu dieser senkrecht steht. Die in dieser unendlich fernen Ebene liegende Erzeugende Goo ist Doppelerzeugende der Fl/~ehe. Durch jeden Punkt derzwei Leitgeraden gehen zwei Erzeugend% sle sind D op p el e u r v e n der Fl~ehe, wahrend dureh jeden Punkt des unendlieh fernen Kreises nur eine Erzeugende geht~ sonst darchsehneiden sieh keine zwei Erzeugende der F1/iche. Der Leitkegel schneidet die Conchoidenflache aul]erdem noch in der g l e i c h s e i t i g e n H y p e r b e l : (7)

z '~ - - x '~ = P~

welehe in der Ebene y ~--~ liegt; ihre Axe liegt in der Richtung der z-Axe und ihre Asymptoten sind parallel den in der (xz) Ebene liegenden Kegelerzeugenden. Der Leitkege.1 sehneidet die concentrische Einheitskugel x~--~-y~-~-z2~--~l m z w e i K l e i n k r e i s e n parallel der (xy) Ebene vom Radius r = ~ ] / 2 ,

ins Abstand

]/2-yon der (xy)

Ebene, sie heil~en d i e s p h ~ t r i s e h e I n d i k a t r i x den der Fl~tehe.

der Erzeugen-

11. P a r a m e t e r c u r v e n auf der FHiche.

Die Coordinaten eines Conchoidenpunktes in der (xy)Ebene lassen sieh durch trigonometrische Funetionen eines veranderlichen Parameters v in der Form x~(p--scosv)

tangv,

y-~(p--scosv)

darstellen, wo v der Winkel ist, den der Leitstrahl des Punktes mit der positiven y-Axe bildet. Setzt man die Strecke s gleich einem ver/inderliehen Parameter u, so lassen sieh die Coordinaten der Punkto der Conehoidenfl/~che folgenderweise dutch k r u m m l i n i g e C o o r d i n a t e n u,v darstellen:

Die Conchoidenfli~ch% elne Linienfl~iche 4. Ordnung.

145

x = (/9 - - u cos v) tang v

(8)

y =

(p--

u cos v)

Z ~/~

wo v der Winkel ist r den eine um die Doppelgerad e Z in negativer Riehtung sieh drehende Ebene mit der positiven (yz)Ebene bildet und u der Abstand einer zur (xy) Ebene parallelen, ver~nderliehen Ebene yon dieser Ebene. Den Werten u ~ p und v ~---0, bez. 2 = entsprieht der Doppelp u n k t S (0 r 0,19). Den Werten u ~ - - p ~ v ~ ~= 7: entsprieht der Doppelpunkt

8' (0, 0r - - p). Die P a r a m e t e r c u r v e n u ~ k o n s t a n t sind die C o n c h o iden~ die P a r a m e t e r c u r v e n v ~ konstant sind die g e r a d 1! n i g e n E r z e u g e n d e n der Fl~tehe. J e d e m W e r t v entspricht elne bestimmte Erzeugende. Dutch jeden P u n k t der zwei Leitlinien L uncl Z gehen je zwei Erzeugende entspreehend den W e r t e n v and 180~ - v, beztiglich ::E v. Ftir v ~ 0 und v ~ - 1 8 0 0 erhiilt man die zwei Erzeugenden x-~-0v y :k z ~ p ~ kS sind die in der (y z) Ebene liegenclen Erzeugenden S D und S ' D~ welehe sieh in D auf L reehtwinklig durehsehneidem Ftir v z

• ~ werden die Gleiehungen der Erzeugenden:

x-~-~

y-~-p~ z ~ u

9l. h. diese zwei Erzeugenden fallen mit der unendlieh fernen Geraden der Asymptotenebene y ~ - p zusammen, sie bilden die Doppelgerade G ~ . Die Erzeugenden schneiden die positive oder negative z-Axe~ au~erhalb der Streeke S S'~ jenaehdem die Winkelwerte v im ersten und vierten beztiglich im zweiten und dritten Quadranten liegen. Die Gleiehung der Leitlinie L i s t u ~ - 0 und diejenige yon Z ist (9)

u~

P COS ~

denn ftir diesen W e r t yon u wird x =-= 0, y ~---0 und z - -

P

COS V

Absehnitt der Erzeugenden v auf Z r dieser wird ein Minimum z~:p~ ftir v = 0 , 2r, und v - - - - : ~ r , d. h. in den Punkten S und S'. W i t bestimmen nun die G a u l ~ i s e h e n Fundamental, g r S l ~ e n . Es wird: __--__

dx

du--

sinv~

dy

du--

Mona~sh. fitr Mathematik u. Physik. XlV. Jahrg.

cosv~

dz

--=1

du

10

146

~. tIuber. dx d v

~

p --

cos 2 v

74 COS V~

d~ x _O_ d2 :q__ _ d2 z __ d u2 d u2 d u2 d ~x t~Z v d~ v = 2 p ~ v @ u sin v~ d~x d u d v --

~Z

-~-usinv~

d~ y

cos v,

d2 z

--0

d V '2 - -

~ c o s V~

~ V~

d~Y

----sinv~

d~ z dudv

dudv

FundamentalgrSl~en

--~0 dv

erster

--0.

Ordnung:

xt2 - ~ 2 E--~ Y. (d ~Tu/ F~

dx dx ~" ~ ' d v--

(~o)

tgv Pcosv

(dxt2 = G ~ ~. [d v/ (p 2 - - 2 p u cos 3 v @ u ~ cos ~ v) : cos ~ v

~=EG--F

~ = { p ~ tg 2 v @ 2 ( p - - u cosy) 2 }: cos ~ v.

FundamentalgrSgen

1 D :=- ~

(~)

zweiter

d ~ x d~y

d2z]

dx

dz

dV

D'--

-~-, -~-,

d u l=

dx

dz

dy

0,

~g D " ~-~ _ _ I

cos v

Ordnung:

(p __ u cos v --

p tgv

- - ~ c o s v'

2 p tg 2 v ) .

Kr timmungsmag: 1

D. D"--D

'2

_ _ p 2 s i n 2v

Well k stets negativ ist~ so sind alle P u n k t e der Flitche hyperbolische " P u n k t e , die I t a u p t k r i i m m u n g s r a d i e n Pl und ?2 sind in j e d e m entgegengesetzt gerichtet. Fttr v = 07 ~ und =L ~ d. h. lgngs der E r z e u g e n d e n DS~ D S ' und Gm ist stets ]~ ~---0 (mit A u s n a h m e der D o p p e l p u n k t e S und S'). cos 2 v

Ftir u = cos -p~'v langs der Doppelgeraden Z~ wird k - dies ist der genden v.

Maximalwert

yon

pStg2 v'

/5 li~ngs einer bestimmten E r z e u -

147

Die Cochoidenfliiche, eine Linienflache 4. Ordnung.

In den Doppelpnnkten S ( v = 0 ) und S ' ( v = ~ ) auf Z i s t ]~:~ cx~ und nimmt yon hier aus nach beiden Seiten bis zum unendlieh fernen Punkt yon Z absolut bis zu k=O ab. Auf jeder Erzeugenden nimmt, yon ihrem Schnittpunkt mit Z aus, nach beiden Seiten k ebenfalls absolut ab bis za k-----0 im Unendlichen. Mittlere Krammung:

H_~! @ I=ED"--2FD'@GD Pi (13)

P~

~2

2 cos v

~--2- [tg 2 v (p - - u cos v) 2 - - u ~ @

Die Gleiehung mungsradien:

zur

Bestimmung

up cos

der

v].

Hauptkrtim-

(DD"--D '2) p 2 (ED"@ G D--2FD') p @~2~_ 0 wird : (14)

p2sin2v.p~"@2peosv ]/p'~ tg~ v ~ - 2 (p - - u cos v) 2. .{ueosv(p--ueosv)@2tg2v(_p-- 2ueosv)}-- - [p~ tg~ v q - 2 (p - .

cos v)~i ~ =

0.

Es wird Pl = P2 und die mittlere KrCimmung H----0~ wenn der Coefficient yon p verschwindet; dies gesehieht zunaehst: w e n n ?) ~-- 7-~ , r~

also in den Punkten

von G ~ ,

we Pl = @ ( x ~

and P2 ~ -- ~ ist. Den andern Fall werden wir bei den Asymptotenlinien behandeln. In den Punkten der Leitlinie L (u----0) werden die beiden tIauptkriimmungsradien :

~

1}== --19 (Silly ~ 2 sin v cos v

V2)]/2@tg2v.

Im Punkte D derselben, v = 0 und =, werden beide unendlieh grog. Den beiden Parameterwerten v und =-~-.v in irgend einem Punkt der Doppelgeraden L entspreehen zwm Paare yon Krtimmungsradien~ die sieh aber nur durch das Vorzeichen anterscheiden. In den Punkten der Leitlinie Z ( U = c o s P w) i r d : v p~] p P~t

tg v (1 q= ]/2). cos v

In den Doppelpunkten S (v ~ 0) und S' (v ~ ~) werden beide Haulatkrtimmungsradien za Null. 10"

148

G. Huber.

In den Punkten der in der ( j z ) Ebene liegenden Erzeugenden D S(v =: 0) und D S ' (v --=-r~) wird der eine Hauptkriimmungsradius 91 stets unendlieh, und der andere P2 = ] / 2 (p-u)2", Ausu nahme findet nur in den Punkten S und S ' selbst statt~ wo Die D i f f e r e n t i a l g l e i e h u n g der Conehoidenfliiehe wird: (15)

der Krammungslinien

2psinve~176176 9 du d r - - pStgv ( p - - 2 u cos v @ u cos sv) dv ~: 0.

Die Gleiehung ist erfiilh ftir v : 0 und v : ~ , die zwei Erzeugenden S D und S ' D sind also Krihnmungslinien der Fl~tehe. Die allgemeine Integration l~tsst sieh nieht ausftihren. Dieerste ]?undamentalformoderdasLinienelement a u f d e r F l a c h e wird dutch den Ausdruek gegeben:

d s 2 : E d u s @ 2 F d u d v @ G dv~-~-2du s (16)

~21) t g ~ d u d v @ ( p , ~

2pueos3v@u~eos,lv) ,,Iv~

COS V

eOS4V *

Den Winkel w, unter welehem die Parametercurven u = const. (Conehoiden) und v = const. (Erzeugende) sich sehneiden erh~tlt man

(17)

aus

:

cos w - -

F FE. G

Den

--

p sin v 1/2 (p~ - - 2 p u e o s ~ v @ u ~ cos ~ v)

Winkel % den

eine Erzeagende

v mit der Leitlinie

L (u -=- 0) bildet~ ergibt sieh hiernaeh aus cos a = ~ Ffir v = 0

und

v - - - ~ wird ~ = 9 0 ~

1

sin v.

Erzeugende S D und

S ' D in (yz) Ebene. 7~

Ffir v--~ :k ~- wird ~ = d- 45 ~ Doppelgerade Go~. Die Neigung der Erzeugenden gegen L nimmt also yon der senkrechten Lage yon D aas nach beiden Seiten auf L bis ins Unendliehe bis auf 45 o ab, welches der Minimalwert ist. Die Doppelerzeugende Goo schneidet die beiden Leitlinien L und Z im Unendlichen unter dem Winkel 45 ~ Ftir u = oc wird w = 90~ d. h. die Erzeugenden der Fli~ehe schneiden ihren unendlieh fernen Kreis reehtwinklig. IlL Tangentialebenen der Fliiche.

Die Gleiehung der Tangentialebene in einem Punkte u, v der F15ehe in ihrer einfaehsten Form lautet:

Die Conchoidenfl~iche, eine Linlenfl~iche 4. Orclnung.

149

(17) x u sin v cos ~ v -- y (p - - u cos ~ v) - - z (p - - u cos ,') cos v @@ 2 ( 2 - - u cos v) = 0.

Sie geht dutch diejenige Erzeugende v der Fl~ich% nut welcher der Punkt liegt. Bei eonstantem v und variablem u stsllt die Gleiehung das B t i s e h e l d s r T a n g c n t i a l e b e n e n in s~immtlichen Punkten einer Erzeugenden V dar. Die Tangentialebenenbiischel S 1 ~ 0 und S 2 ~ 0~ zweier Erzeugenden v1 and v~ sind p r o j e e t i v i s e h ~ es entspreehen sieh je zwei solehe Ebenen beider Biisshel~ deren Beriihrungspunkte auf derselben Csnehoide u liegen. Das Erzeugnis der beiden projectivischen B~ischel ist ein Hyperboloid~ welchem die Gcradcn v1 und v2 als Erzeugende angehSren. Jades dieser ttyperboloide schneidet dis (x y) Ebene in der Leitlinis L und einer zweiten Geraden. In den Punkten der Doppelerzeugenden G~ ist v~---d: 2~ far diese Werts redueiert sieh die Gleiehung (17) der Tangentialebene auf y ~ p ~ sic ist unabhangig yon u, d. h. die Fl~tehe besitzt in allen Punkten yon G~o d i e s e 1b c Tangentialeben% es ist die Asymptotenebsn% y = p , der Flttehe. Dis Parameter tier Erzeugenden D S und D S ' sind v = 0 und v = =, ftir diese wird dis Gleiehung der Tangsntialebene y :~ z = p , sie ist unabhgngig yon u, d. h. langs der beiden Erzeugenden D S nnd D S ' besitzt die Flache je eins e i n z i g s T a n gentialeben% wslehe auf der ( j z ) Ebene senkrecht steht. Jede dieser Ebenen sshneidet die Flgche auger in der doppslt zu z~thlenden Erzeugenden D S bezr D S ' noeh in der Leitlinis L. Das Baschel der Tangentialebenen dureh die Leitlinie Z (u =-Pcos v ) h a t die Gleichung: (18)

x ~---y tang v

wo v der Winkel ist~ den dis Tangentialebsns mit der positivsn

(yz) Ebene bildet. In jedem Punkts z = u - - - ] J -

COS V

yon Z gibt es

zwei~ symmetrissh zur (yz) Ebene liegende Tangentialebenen~ entspreehend den zwei Parameterwerten~ =l:: v des Punktes und jades Paar geh0rt zu zwei Punkten yon Z, dis in gleichem Abstands yon 0 liegen~ wo dsr zweite Punkt die Parameter (= @ v) hat. Jeds Tangentialebene durch Z enthalt daher zwei Erzeugende~ v und ~:@v, oder - - v und - - ( r r @ v ) , dis sieh auf L sehneiden. In den uniplanaren Doppelpunkten S (u ==i% v ~ 0) und S' ( u ~ --p~ V m_ ~,) fallen dis zwei Tangentialsbenen ia tier

(

(y z) Ebene, im unendlieh fernen Punkts von Z, u ~ ~

")

v = :h ~

in der (xz) Ebene zusammen. In den Punkten zwisehsn S und S' sind die Tangentialebenen imaginsr.

150

G. Huber.

Die Paare yon Tangentialebenen in den auf einander folgen den Punkten yon Z bilden eine I n v o l u t i o n yon Ebenen~ deren reelle Doppelebenen~ die (yz) und die (xz) Ebene auf einander senkrecht stehen~ die I n v o l u t i o n ist also g l e i c h s e i t i g h y p e r bolisch. Das B~tschel der Tangentialebenen in den Punkten der Leitlinie L (~t ~---0) hat die Gleichung : (19)

y -~- zeos v = p .

Zu jedem Punkte yon .L gehSren zwei symmetriseh zur (yz) Ebene liegend% den Parameterwerten v und z @ v entsprechende Tangentialebenen. Je zwei symmetrisch zum Punkte D liegenden Punkten auf L entsprieht dasselbe Tangentialebenenpaar. Jede dieser Ebenen enth~tlt daher zwei Erzeugende (4- v)~ der Fl~che, welche sieh auf Z durehsehneiden. Im unendlieh fernen Punkt, v = 4- ~ yon L fallen beide Tangentialebenen in der Asymptotenebene y = p zusammen. Im Punkte D (v = 0~ T,) stehen sie auf einunder senkreeht and sind die Tangentialebenen y 4- z ~---2 l~tngs der Erzeugenden D S und D S'~ sin bilden mit der Asymptotenebene die Winkel ~ 450 und sind die ~ul~ersten reellen Tangentialebenen durch L~ bei grSl;erer Neigung werden sin imagin~r. Die Paare der Tangentialebenen dutch L bilden ebenfalls einegleiehseitighyperbolisehoInvolution vonEbenen~ deren Doppelebenen die Asymptotenebene y---~p und die (xy) Ebene sind~ die letztere entsprieht den imagin~tren Parametern Diese beiden gleichseitig hyperbolisehen Involutionen der Tangentialebenen~ deren Scheitelkanten L und Z der Richtung naeh auf einander senkreeht stehen~ sind zu einander p r o j e e t i v isch. Jedem Werte des Parameterwinkels v entsprieht in beiden je ein Ebenenpaar und die auf einander folgenden Sehnittlinien allot Paare entspreehender Ebenen der beiden Involutionen erzengen eineRegelfl~ehe4. Ordnung~unsere Conehoidenflaehe. Die Scheitelkanten Z und L sind Doppellinien derselben. Der @z) Ebene als Doppelebene (v ~ 0~ ~) der Involution Z entspreehen in der Involution L die zwei Ebenen y 4- z ~---p~ die Tangentialebenen lungs der Erzeugenden D S und DS'~ welehe in diesen Ebenea doppelt zu zahlen sind. Der (x z) Ebene als Doppelebene v ~--- 4- ~ der Involution Z entspricht die Asymptotenebene y = p als Doppelebene der Invo]ntion L~ beide sind zu einander parallel~ ihre Schnittlinie ist die D o p p e l e r z e u g e d e G~o der Fl~tehe. Der zweiten Doppelebene der Involution L, der (xy)Ebene entspreehen zwei imagin~re Ebenen der Involution Z~ die Tangentialebenen y = 4- i x im Nullpunkt 0 auf der isolierten Strecke S S ' der Doppelgeraden Z.

D i e C o n c h o i d e n f l ~ c h e , e i n e Linienflg~che 4. O r d n u n g .

151

Versehiebt man die Involution L parallel mit sigh selbst, so dass .L mit der x-Axe zusammenf~tllt~ und die beiden Scheitelkanten x und Z sieh sehneiden, so erzeugen die beiden Involutionen den L e i t k e g e 1 der Conehoidenfliieh% die Doppelebene (x z) sondert sich ab. Dareh Elimination des Parameters v ads den Gleiehungen (18) and (19) der beiden Involutionen ergibt sich die Gleichung der Conehoidenfli~ehe. Verschwindet in der Gleichung (17) der Tangentialebene der Coefficient yon y: JO--UCOS

3# ~0~

also P COS 3 V

so wird dieselbe parallel zur y-Axe. Setzt man diesen Wert yon u in den Flaehengleichungen (8) ein~ so erhalt man die Gleichungen derjenigen Curve auf der Flitch% in deren Punkten die zur yAxe parailelen Tangentialebenen d i e F l i t c h e beriihren, namlich : io (20) x = - - p t g 35; y ~ - - p t g 2% z = COS 3 V "

Die Coordinate y ist stets negativ. Ffir v ~ 0 , ~ wird x ~ y ~ 0 and z ~ • es sind die Doppelpunkte S u n d S' der Flache, in welehen die Coordinate z den absolut kleinsten Wert hat.

Fiir v - - - - ~

wird x z y ~ z - - c ~ .

Die Projeetionen der Carve auf die Coordinatenebenen sind: (x y) Ebene: y3 _= _ . p x 2 = N e i l s c h e P a r a b e l mit Spitze in O. (20a) (yz)Ebene: (p--y)3zp2z2.-= N e i l s e h e P a r a b e l m i t Spitzein D. 2

2

2

(xz) Ebene: z ~ - - S ~ - - - p X - ~ - E v o l u t e d e r g l e i e h s e i t i g e n Hyperbel 2

z2--',,2=~

welehe in der Ebene y = ~

liegt and die

Darchschnittslinie des Leitkegels mit der Conchoidenfli~che ist. (Gleiehung 7). Diese Evolute ist die E n v e l o p p e derjenigen Geraden~ in welchen die zar y-Axe p~rallelen Tangentialebenen tier Fliiehe die (x z) Ebene oder cine daza parallele Ebene (y ~ z. B.) durchschneiden. Die Raumcurve auf der Fl~tehe selbst hat in S and S' Spitzen and geht yon diesen aus in zwei eongruenten Theilen, yon der

152

G. tIuber.

Form riiumlieher Neilseher Parabeh b auf der negativen Seite der (xz) Ebene naeh oben und naeh unten auf den beiden Wnlsten der Fl/tehe ins Unendliehe. IV. Centralpunkt und Strictionslinie.

Legt man dureh irgend eine Erzeugende v das Btisehel der Tangentialebenen, so ksnnen diese paarweise so einander zugeordnet werden~ dass je zwei auf einander senkreeht stehen. Alle diese Paare reehtwinkliger Tangentialebenen bilden eine I n v o l u t i o n ~ somit bilden ihre Beriihrungspunkte auf der Erzeugenden eine Involution ,con Punkten~ in der alas DoppelverMltnis yon irgend vier Punkten gleieh dem der eonjugierten Tangentialebenen ist, Das C e n t r u m der Involution der Bertihrungspunkte auf einer Erzeugenden ist der Bertihrungspunkt deijenigen Tangentialebene, welehe s e n k r e e h t steht auf der Tangentialebene im unendlieh fernen P u n k t dieser Erzeugenden, wir nennen ihn den C e n t r a l punkt der Erzeugenden. Die Gleiehung der Tangentialebene im Punkte (u~v) ist naeh (17) : x u sin v cos ~ v - - y (io - - u eos3v) - - z (P - - u cos v) cos v @ +2)

(2) - - u cos v) - ~ 0.

Die Tangentialebene im unendlieh fernen Punkt ( u = o ~ ) tier Erzeugenden v wird: (21)

x sin v cos v @ y cos 2 v @ z cos v = 2 .

Sell diese auf der ersteren senkreeht stehen~ so muss die Bedingung erftillt sein: u cos v - - 2 ~ O~ hieraus fo]gt als Parameter des Centralpunktes anf der Erzeugenden v der Wert u = - 2 -, d. h. er liegt auf der z-Axe, cos

v

und die

9

Oleiehung der zuh~rigen Tangentialebene wird: x ~ y . tg 5 sie geht dureh die betreffende Erzeugende und die z-Axe. W i t finden also: Der Centralpunkt jeder Erzeugenden der Conchoidenfl~iche liegt in ihrem Sehnittpunkt mit der Doppelgeraden~ der Leitlinie Z~ es ist deljenige Punkt der Erzeugenden, in welehem sie yon der n'Xehst folgenden Erzeugenden den k~trzesten Abstand hat. Der Ort aller dieser Centr~alpunkte ist die Leitlinie Z~ sie heil~t die S t r i e t i o n s l i n i e der ]~liiehe. Lungs jeder Erzeugenden nimmt der absolute Betrag des Krttmmungsmaties K im Centralpunkt seinen M a x i m a 1w e r t an,

Die Conchoidenflache, eine Linienflache 4. Ordnung.

--

COS 2 V

K--~t~g.~v~

und

153

n~ihert sich um so mehr der Null, je weiter

sieh ein P u n k t auf der Erzeugenden beiderseits yore Centralpunkt entfernt. Das Maximum auf den verschiedenen Erzeugenden in den Punkten der Strictionslinie Z iindert seinen W e r t continuierlich: es hat seinen absolut grSl3ten Wert~ K = - - 0 % in den Dol0pelpunkten S ( v - - ~ 0 ) u n d S ' ( v = v ) ~ nimmt oberhalb beztiglich unterhalb dieser Punkte stetig ab bis K = 0 im unendlich fernen P u n k t der Strictionslinie. Die Tangentialebenen in den unendlich fernen Punkten der Erzeugenden bilden die a s y m p t o t i s c h e Developpable der Conchoidenfl~tch% sie ist yon der 6. Ordnung~ sie schneidet die (yz) und die (xy) Ebene in Geraden~ deren Enveloppe die beiden Parabeln z2--~--4py und x~=--4p(y--p)sin& Dis za diesen Tangentialebenen parallel durch den Nullpunkt gelegten Ebenen umhtillen den Leitkegel. V. N o r m a l e n der Flitche.

Die Gleichungen der N o r m a l e n der Conchoidenfl~tche ergeben sich als:

in einem Punkte

(u~v)

(22) x (p - - u cos v) - - (p - - u cos v) 2 tg v = u cos v. sin v (u - - z) und

y(p

ueosv)--(2--ucosv) 2 =(ueos~V--c~v)(u--z).

Eliminiert man aus beiden Gleichungen den Parameter u, so ergibt sich als geometrischer Ort aller Normalen 1/~ngs einer Erzeugenden v die F l ~ t c h e z w e i t e n G r a d e s : (y sin v - - x cos v) (x sin v + y cos v - - z) =

(23)

P

(3082 V

(x-}- z sin v - - p tg v).

Die Fliiche ist eine Regelfl~ich% sie kann erzeugt werden durch die folgenden zwei Paare p r o j e e t i v i s c h e r Ebenenbtischel: y sin v - - x cos v - - eose v k (x sin v -@ b' cos v - - z) = x @ z sin v - - p tg v

und x sin v ~ y cos i

cos 2 v

), (x sin v - - y cos v) ~---x ~ - z sin v - - p t g v wok

ein ver~tnder|icher Parameter bedeutet.

]54

G. IIuber.

Das erste Paar liefert die eine Sehar von.Erzeugenden~ die sammtlich parallel sind der festen Ebene y s i n v - - x cos v ~ 0 oder x = y tg" v~ welehe dureh die z-Axe und die betreffende Erzeugende geht und welehe der parallelen Ebenensehar selbst angehSrt. Die zweite Schar yon Erzeugenden der Fl~ehe 2. Grades ist parallel der festen Ebene x s i n v @ y c o s v - - z = 0 , welehe senkreeht steht auf der zugehSrigen Erzeugenden v~ es ist dies die Normalensehar. Die Normalenfl~tehe lgngs jeder Erzeugenden ist also ein hyperbolisehes Paraboloid und da die ebenen Sehnitte parallel der (xy) Ebene mit der Flache gleiehseitige ttyperbeln sind~ so ist das Paraboloid g l e i c h s e i t i g , der Seheitel desselben liegt im Centralpunkt der Erzeugenden, also auf der Leitlinie Z. Die den Erzeugenden D S (v ~---0) und D S' (v = ~) zugehsrigen Normalenparaboloide redueieren sieh auf zwei Ebenen~ die @z) Ebene und die darauf senkrechte Tangentialebene lgngs /) S beztiglich D S'. Ftir u = 0 erh~tlt man die Normalen in den Punkten der Leitlinie L der Conehoidenfl~teh% ngmlich: x~iotgv

und y c o s v - - z ~ T c o s v .

In jedem Punkt yon L gibt es zwei Normalen, symmetriseh zur Asymptotenebene y ~ p ~ entsprechend den Werten v und 180 ~ sie stehen auf L senkreeht. Die beiden Normalen in D (v ~ 0, 7.) stehen auf einander senkreeht und fallen mit D S' und D S zusammen~ sie bilden mit der Asymptotenebene die Winkel • 450 . Vom Punkte D aus naeh beiden Seiten auf L nghern sieh die Normalen in ihrer Neigung immer mehr der (xy) Ebene und im unendlieh fernen Punkt yon L fallen beide in der (xy) Ebene zusammen. Dureh Elimination -con v aus den obigen zwei Normalengleichungen ergibt sieh die N o r m a l e n f l ~ c h e l~tngs der Leitlinie L~ n~tmlieh: hIaeht man die Leitlinie L zur x-Ax% so wird ihre Gleiehung :

(24)

z'~ (~'~ + p ~ ) = ~ y'~.

Sic ist eine Regelflaehe 4. Ordnung~ L i s t Doppellinie und die unendlich ferne Gerade der (x y) Ebene enth~lt zwei zasammenfallende Erzeugende derselben. Eine Ebene z ~ ~ c, parallel zur (x y) Ebene sehneidet diese Fl~ehe in der H y p e r b e 1 : ~/2 C2

Xr2 p2

ihre imagin~re Axe ist constant = - p . F t i r z = c ~---0 redueiert sic sich auf die Leitlinie L uncl fiir z = c z ~ p wird sic g 1e i e h-

Die ConchoidenflEeh% eine L~nienfi~che 4. Ordnung.

:[55

s e i t i g , der eine Seheitel liegt in S beztiglich S'. Diese ~qormalenfl~tche hat mit der Conchoidenfl~tehe die Leitlinie L und die Geraden S D und S ' D gemein. Die Gleiehung der Normalen in einem Punkte u - - P cos V tier Leitlinie Z sind: z--

P COS V

und x ~ - - - c o t g v ,

y.

In jeclem Pankte von Z gibt es zwei solche Normalen~ v and 2 : : - - v , die senkreeht a~tf Z stehen nncl symmetriseh zur ,(x z)Ebene liegen. Fiir v ~ 0 und 2 ;r, im Doppelpunkte S fallen sie zusammen in einer zur x-Axe parallelen Geraden (z ~-t)~ y ~ 0)~ ebenso im Punkte S' far v-~-~: r.. Im unendlieh fernen Punkt yon Z ( v - ~ - ~ . ) f a l l e n

die beiden Normalen mit dec unendlich

fernen Geraden der (y z) Ebene zusammen~ parallel znr y-Axe. Die Normalen litngs des Leitlinie Z bilden ebenfalls sine Regelfl~tehe 4 0 r d n u n g ~ far welche Z Doppellinie ist~ auf der alle Erzeugenden senkrecht stehen; ihre Gleichung ist:

(25)

x ~ z~ = p ~ (x~ @ y~).

Die zur (yz) Ebene parallelen ebenen Sehnitt% x ~ a~ sind z ~ y~ H y p e r b el n ~ - - a~ = 1, die z ur (x y) Ebenen parallen Sehnitte sind Curven 4. Ordnung. Die in der Ebene z ~ =J= c liegenden Normalen der Flitche haben die Gleiehung: P y ~ ! x I/c ~ - - 2 ~ sie sind nut reell~ wenn c absolut ~ p ist; ftir c = ~ p ~ d. h. in S und S' fallen sie in y ~ 0 zusammen~ far c ~ p g 2 stehen sie auf einander senkreeht und far z = c - ~ ~ cx~ fallen sie in x ~-- 0, z - - ~ zusammen. Die Fl~tche besteht aus zwei congruenten getrennten Theilen mit 'je einer scharfen Sehneide parallel zur x-Axe dureh S and S' und einer dritten solehen Sc,hneide in der unendlieh fernen Geraden der (yz) Eben% parallel der y-Axe. Diese Normalenflifehe sehneidet die Conchoidenfl~teh% auger in Z, in einer Curve, deren Projection auf die ( z y ) E b e n e die gleichseitige Hyperbel (y p ) 2 z ~ = p 2 ist~ ihre Halbaxe ist p~ Mitt.elpunkt D. Die Projektion auf die (x y) Ebene besteht auf zwel congruenten gleichseitigen Hyperbeln x y - - p (x ~ y) -~- 0~ sie sehneiden sich in O, Halbaxe ~ - p ]/2~ Mittelpnnkte M 1 ( ~ p ~ p) und M 2 (p~p)~ die Leitlinie L ist gemeinsehaftliehe Asymptote i die zwei anderen Asymptoten sind x--- =t=p. Die Projection auf die (xz) Ebene ist die Curve 4. Ordnung (x--lg)2(z 2 _ p ~ ) : _ p 4 .

156

O. IIuber.

VI. Asymptotenlinien oder Haupttangentencurven. Die Erzeugenden einer Regelflache bilden die eine Sehar yon Asymptotenlinien. Die Differentialgleichung der zweiten Schar~ die sogenannte z w e i t e F u n d a m e n t a l f o r m der Fl~tche:

D d u S @ 2 D ' d u . d v @ D" dvS=O, (Bianchi~ Differentialgeometrie p. 87) reduciert ist, auf

sieh~ da _ D = 0

2 D' d u @ D" d v ~ O . Ffir die Conehoidenfl~tehe wird diese Gleiehung: 2ptgv.du@u(p~ueosv--2ptg~v)

dv=O

oder

(26)

d,, dv

cos v 2ptgv

. . . . . . .

(1 - - 2 tg'~,'/

u~@

2tg-v

/

u~0.

Es ist dies die Form der R i c c a t i ' s c h e n Difierentialgleiehung. U m sie zu integrieren, substituiert man u ~ 0 t, und bestimmt 0 s% dass dO

,2

1--2tg

(~v @

v0=0

2 tg v

wird, also

dO 0 --

1 eotgv) dv.

2tg'2V--l dv=(tgv-2tgv

Hieraus Log 0 = - - Log cos v - - l_ Log sin v = Log eosvVsin~ 2 O--

1 cos v 1/sin v"

Die Differentialgleichung geht nun fiber in: dt cos v . . . . . . .

tv

t~

Ot 2 - -

2ptgv

2ptgv]/sinv'

also

dt t2

I cos Vd v

dv

1

d sin v

2p

(sin v) ~

3

2 p tg v ]/sin v

2 p (sin v)~

integriert : 1

1

t

p ]/sin v

~C

3

Die Conchoidenfl~ch% eine Linlenfli~che 4. Ordnung.

157

Weil nun 1 O __ 1 ist, so wird das Integral t u u cos v ]/sin v tier Differentialgleiehung (26) oder die Gleiehung der z w e i t e n Sehar yon Asymptotenlinieu: (p -- u cos v) 2 =- C~_p2 u ~ cos ~ v sin v, oder (27)

P

u -: cos v (1 •

Cp u

v)

wo C eine beliebige Constante bedeutet. Setzt man diesen Wert yon u in den Fliiehengleichungen ein~ so erhi~lt man die Coordinaten der Punkte einer Asymptotenlinie C in der Form:

,(2s)

x=

_.-r=Cp u "l/sin v ___ 9tang v 1 i Cp~/sinv

~•

:s C p ~ l / ~ n v 1 ~ Cp ]/sinv

P cos v (1 :~ C p Vsin v)

Jedem Werte des veranderliehen Parameters C entsprieht eine bestimmte Asymptotenlini% we.!ehe, da z hie gleieh ~ull werden kann, aus zwei eongruenten Asten oberhalb und unterhalb der ( x y ) E b e n e besteht. ~egativen Werten yon C entspreehen dieselben Curven wie positiven Werten. Ftir v = 0 und = wird x=y=O, z = ~ p ~ unahh~ngig yon C~ d. h. A11e A s y m p t o t e n linien gehen dureh die Doppelpunkte S und S tier Flaehe. Cp ~" Ftir v - - - ~ wird x ~ i ~ Y--Cp• 1~ z ~ : o % die Asymptotencurve C liegt also so auf der Flitch% dass sie zwischen den zwei parallelen Ebenen y - - CpCP~ ~ 17 welehe gewissermai]en ihre Asymptotenebenen sind, ins Unendliehe verl~tuft. Ftir C : : 0 fallen beide Ebenen mlt der ( x z ) E b e n % ffir C ~ mit der Asymptotenebene y ~ 2 ) der Fli~che zusammem Die Projection einer Asymptotenlinie C hat die Gleichung: In der (xy) Ebene:

C p~ x~{ C~p4(p __y)~ _ y~}__~y6 Asymptoten y - - Cp 5:1 " In der (yz) Ebene: z~{C4zvt (p __ y)4 _ _ y4} :

C p~

C4_p4 (l) _ ff)G Asymptoten y - - C v • 1"

158

G. ttuber.

In der (x z) Ebene ist sie ebenfalls vom seehsten Grade. Die Asymptotenlinien sind also R a u m e u r v e n s e e h s t e r 0 rd n u n g. Die Asymptotenlinie C = 0 besteht aus der 4faehen Leitlinie Z and der Doppelgeraden G ~ . Die Asymptotenlinie C = oc bosteht aus der 4faehen Leitlinie L und den zwei Erzeugenden D S und D S'. Die Curven atff der Fli~ch% in deren Punkten sieh die Asymptotenlinien der beiden Seharen rechtwinklig durehsehneiden, d. h. der Ort der Punkte, in welehen die obigen Asymptotenlinien (28) die Erzeugenden der Conehoidenfl~tehe reehtwinklig sehneiden, ist zugleieh tier Ort der Punkt% in welehen die mittlere Krtimmung H = 0 ist. Die Gleiehung dieser Fli~eheneurve ist daher naeh Gleiehung (13): (29)

(p - - u cos v) 2 tg 2 v - - u ~ -- p (p -- u cos v) @p-2 :

0.

Fiihrt man mit Hilfe der Flachengleichungen: (p--ucosv) tgv=x,

p--ucosv:y~

u----z

reehtwinklige Coordinaten ein~ so wird die ~leiehung: x ~ __ z~ _ p :y _~_p2 ~___0. Die gesuehte Ortseurve ist die Durehsehnittslinie dieses gleiehseitig hyperbolisehen Paraboloids mit der Conehoidenflache. Die Projection der Sehnitteurve auf die (x y) Ebene hat die Gleiehung: (p -- y) y~ @~o x ~ (2 y - - 2 ) = 0. Der Nullpunkt ist Spitz% y = ~

Asymptote.

Diejenige auf die (5' z) Ebene: z~ (P~ - - 229 Y) @ (?/ . 1)).2 (Y~ .@ P b .'

P~)

0, Asymptote y : ~ . 2 )

Die Ramneurve selbst ist yon der 8. Ordnung~ sie besitzt in D einen Doppelpankt und geht dureh S und S'. VIi. Orthogonale Trajeetorien der Erzeugenden und geod/itische Linien.

Zwei Curvenscharen q~(u, v) : c und ~ (% v) : C auf einer Fliichedurchsehneiden sieh orthogonal~ wenn der gemisehte Differentialparameter der beiden Funetionen ~ (% 4) = 0 ist. Die Differentialgleiehung der zu einer gegebenen Curvensehar q~(u, v) ~ 6'., orthogonalen Trajeetorien ist (Bianehi p. 66): ~v

Oul

Die Conchoidenflach%eiue Linienflaehe 4. Ordaung.

159

Die Gleichung der Sehar der Erzeugenden der Fl~tche ist nun -~ v ~ c ~ const. Die Differentialgleiehung ihrer orthogonalea Trajeetorien reduciert sieh auf

Edu-~-T'dv~-O~ also

du

p sin,s dv~-O oder du-~ p d c o s v _ _ 0 ~ 2 costs

2 cos"v

integriert : u

P 2

u=

Cd

1 - - C~ cos v

also

(3o)

P

2 cos v

Dies ist die Parametergleiehung der o r t h o g o n a 1 e n T r ajectorien der Erzeugenden d e r F l l i c h e ; setzt man~diesen Wert yon u in den Fl~ehengleiehungen ein~ so erhitlt man die Gleichungen der Trajeetorien selbst: (31) x - ~ '

--Ceosv

tgv,

y-- p 2

Ceosv,

z~--~C-~ 2 c o s y

Jedem positiven oder negativen Werte yon C entsprieht eine bestimmte Trajeetorie; far C = 0 werden ihre Gleiehungen: x~

-tg'v,

y__2:~__eonst.,

z=2eo-~sv.

Dureh Elimination yon v folgt: z ~ - x 2 - - - ~p~- , d. h.: Die zu den Erzeugenden der Conehoidenflaehe orthogonale Trajeetorie C ~---0 ist eine gleiehseitige Hyperbel yon der ttalbaxe/~ welche in der zur Asymptotenebene parallelen Ebene y ~ p liegt~ sie ist identiseh, mit der'enigenj ttyperbel (7)~ in weleher der Leitkegel die Fliiche schneidet. Diese Hyperbel durchsehneidet also nile Erzeugenden reehtwinklig. Die Trajeetorie C ~- ~ liegt ganz im Unendliehen~ sie besteht aus dem in der Ebene z ~ cx~ liegenden unendlich grogen Kreis und der Doppelgeraden G o . Hieraus folgt: Alle Erzengenden der Fliiche schneiden den unendlich fernen Kreis derselben reehtwinklig, wie aaeh aus der Besehaffenheit des Leitkegels hervorgeht. Dureh Elimination der Veriinderliehen v a u s je 2 der Gleiehnngen (31) erhiilt man die Projeetionen der orthogonalen Tra-

160

G. Huber.

jeetorien aaf die drei Coordinatenebenen. Diejenige auf die (xy) Ebene wird : 2

Diese Projectionen sind C o n e h o i d e n yore Parameter s ~- C~ dem Nullpunkt als Pol und der g e m e i n s e h a f t l i e h e n Leitlinie y~---~- und zwar erh~lt man: Fiir C ~ 0 ~ die doppelte Leitlinie 9' ~ ~- und den conjugierten & Punkt 0. Ftir C absolut ~ ~-~ eine Conehoide mit zwei J~sten und dem coniugierten Punkt O. ~ Fiir C ~ i ~

eine Conchoide mit Spitze in 0.

Ftir C absolut ~ ~ , eine Conehoide mit Doppelpunkt in 0. Ftir C ~ ~-.~, unendlich grol~er Kreis um 0 und doppelte x-Axe. Die Projeetionen der Trajectorien auf die (yz) Ebene bilden ein System g l e i c h s e i t i g e r H y p e r b e l n vonder Gleichung:

P --eonst. und z ~ Asymptoten : y - - 2-

C,

Mittelpunkt : (y - - 19 - - const. ~ z ~ C). 2 y~p~ y ~

A]le diese tIyper~eln gehen dutch den Punkt D (x~-~-0, z ~ 0 ) auf L. F(ir C ~ 0 zerfallt die Hyperbel in die beiden Geraden und z ~ 0 .

Die Projectionen auf die (xz) Ebene sind C u r v e n 4. Ordhung:

(34)

4 x~ ( z - - C)2 = ( z - - 2 C)~ {4 ( z - - V)~ - - p~}. Die Gerade z ~ C ist Asymptote der Curve mit imaginaren

Berfihrungspunkten;

x wird nur reell~ wenn z ~ C @

< C - - = P ist, die, Geraden z = C~= p

oder

sind Tangenten in den

Seheiteln der Curve auf der z-Axe. Die Curve besteh~ aus zwei nnendliehen Asten oberhalb bezttglieh unterhalb dieser beiden Tangenten~ der obere Ast besitzt eine Sehleife mit Doppelpunk~

Die Conchoidenflgche,, eine LinienflSche 4. Ordnung.

161

in z = 2 C auf der z- Axe, insofern C absolut ~ p ist. Ftir C .~- ~ wird er zur Spitze in S ( z = i o ) mit der z - A x e als Rfiekkehrtangente. Fib" C = 0 zerfallt die Cm've in z ~ ~- 0, die doppelte x- Axe f12 und in die gleiehseitige Hyperbel z 2 - - x ~. . . . 4 Aus den Gleiehungen (31) ergeben sieh die Coordinaten der Sehnittpunkte der orthogonalen Trajeetorie C mit der (x y) Ebene fur cos v = 2 p , n~tmlich x = =J= ] / ~ - - j O

2 und y~---j0,

cliese zwei Sehnittpunkte auf ]~ liegen symmetrisch zum Punkte P ist, fur C = :/=P D (07 p) ~ sie sincl nut reell I9 wenn C absolut ~ -~ s sie in D zusammen~ die Trajeetorie bertihrt hier die Leitlinie L. Zwei Trajectorien, die zwei g/eichen~ aber entgegengesetzten Werten yon C entspreehen~ .durehsehneiden sieh in zwei Punkten auf L. Aus den Coordinaten der Schnittpankte folgt: x~

y~ = 4 C ~,

d. h. die Constante 2 C ist gleich dem "Radius vector jedes der beiden Sehnittpunkte der Trajectorie mit der (.xy) Ebene. Die Sehnittpunkte der Trajeetorie mit der (y r Ebene erh•lt man s

v:

0 und ~

niimlieh: y = p T C, z :

C ~ - ~ - . Beide

Sehnittpunkte liegen auf der Erzeugenden D S beziiglieh D S' und sind ft~r jedes C reell; fttr C =

B i y = O, z = p ) ,

Nllt der eine Sehnittpunkt in

der zweite in D (:~/=p, z = 0 ) .

Aul~er Nr v =-0 und ~ wird noeh x ~---0 far cos v =

, wobei

zugleieh aueh y ~-~ 0 und z = 2 C wird. Dieser Punkt der Trajeeti~rie auf der z - A x e ist D o p p e l p u n k t ~ S p i t z e (in S bez. S') oder >P conjugierter P u n k t , je naehdem Cabsolut ~ - 2 - ist. Aul~er in diesem reellen oder imagin~iren Doppe!punkt wird die (xz) Ebene in keinem andern Punkt gesehnitten. Aus diesen Untersuehungen folgt~ dass die orthogonalen Trajeetorien der Erzeugenden der Conehoidenflgehe R a u m e u r v e n 4. O r d n u n g sind. Solange C absolut ~ P~ ist~ besteht die Curve aus zwei unendliehen einfachen Zweigen~ die zwischen der (xz) Ebene und der Asymptotenebene y = p verlaufen~ ftir ein positives C oberhalb~ ffir eln negatives C unterhalb der (xy) Ebene. let /~onatsh, f. Ma~hem~tik u. Physik. XIV. J'ahrg.

11

162

G. Huber."

C absolut ~

, so besitzt die Trajectorie einen Doppelpunkt a u f

der Leitlinie Z and schneider die (xy)Ebene

in zwei Punkten

anf L. Die Trajeetorien C ~- :[= P bilden den Ubergang, ein Ast besitzt, in S beztiglich S' eine Spitz% w~thrend der zweite Ast die Leitlinie L in D oberhalb, bez. unterhalb der: (xy) Ebene bertihrt. Weil die Parametereurven v ~ const, als Erzeugende eine einfach unendliehe Schar g e o d ~tt i s c h e r L i n i e n auf der Conchoidenfl~ehe sind~ so sind ihre orthogonalen Trajectorien sogenannte g e o d a t i s e h p a r a l l e l e L i n i e n . Die Streeken, welehe a u f d e n Erzeugenden v yon irgend zwei ihrer orthogonalen Trajectorien ausgesehnitten werden~ ~,dnd alle gleieh lang. Beide Curvensysteme bilden ein g e o d i i t i s e h e s Orthogonalsystem. I~imm~ man= diese beiden System% die Erzeugenden v and ihre orthogonalea Trajeetorien C, als Parametereurven der Conehoidenit~tch% so werden ihre Gleiehungen naeh (31)~ wenn man gleiehzeitig das ver~nderliehe C dareh

u

- - ersetzt:

V2

x ~---

- - ] / - ~ cos v tg v

u

Z--vvq

p 2cos ~

u and v heifien die g e Q d a t i s e h e n C o o r d i n a t e n eines Fl~tehenpunktes. Die FundamentalgrSl~en erster Ordnung werden:

E--~I~

F--~O~

G-~- ( ] / 2 " u c ~ 4 cos ~ v

und das Quadrat des Linienelementes auf der Flache wird:

ds'__~ du 2 -Jr G.dv ~. Die allgemeine Differentialgleichung der geod~tisehen Linien, nimmt nun die einfaehere Gestalt an:

(36)

2G~

Ou \ ~ / - ~ v d v

Ou--

Dabei hat G den obigen Wert und

0 G __ u u "Ou--

"l/2eosv

'

9

163

D i e Conchoidenfli~che, eine L[nienfliiche $:. O r d n u n g .

~Gov -- 2Ptg~v--{ *v

-~sin'v)--c~176

Die Integration dieser Gleichung lasst sich aber nicht ausftihren. Eine geod~ttisehe Linie ist bestimmt durch einen Flachenpankt

dv P(u~v) und die Riehtang 7~U~ in weleher sie durch den-

selben hindurehgeht. Bedeutet 0 den ~eigungswinkel, den die geodi~tisehe Linie mit den Parametercurven v bildet~ so kann nach G a u s s die Differentialgleiehung der geodatisehen Linien folgenderweise zerlegt werden:

cos,0= 1 (E du dv y ~ k "ds +F"-dT) and

d O --

1. 0 ] / E ]/G 0v

1 aVG __ ] / E au

9d u

dv.

Legen wit nan obiges geodatisehes 0rthogonalsystem zu Grand% so reducieren sieh diese Gleichungen zu: cOS 0 ~

1

.

(37) and

+

dO

a l/-~ dv u

duj

]/2 V(u ]/2 cos v - p ) ~ -~- 2 p: tff- v

wo G den obigen Weft hat. Die Integration der zweiten Gleiehung ftihrt ani ein elliptisches Integral. VIii. Orthogonale Trajectorien der Conchoiden.

Die Differentialgleichung der zu den Parametercurven u ~ const.~ d e n Conchoiden~ orthogonalen Trajectorien ist:

Ydu-~G.dv=O~ als0 :

(38)

du

cos 2 v

o

2

dv [-psinv u- -~- tg--v-u

P

--

0.

sinv cos2v

Es ist eine Rieeati'sehe I)ifferentialgleiehung. Weil die z-Ax% als Leitlinie Z~ alle Conchoidea auf der Fl~che rect~twinklig durchschneidet~ so ist ihre Gleichung u -

P

cos v

ein Integral derselben.~

Um das allgemeine Integral zu fiuden, setzt man daher u ~ - P ~ -~- t~ cos V

dann geht die Differentialgleichung fiber in: 11"

164

G. Huber. ~

COS 2 V

dv

p sin v

t2~-O;

oder: t 2 - - /9 sinvCtV

p

sin v --- sin v dv

integriert: 1{ Log tg~-v @ cos v @ Log C} und t ~-~ 1t ---20

--P -~-Log( ~ ~v'~" cos v Ctg )

Setzt man fiir t seinen Weft,, so ergibt sieh das allgemeine Integral der Gleiehung (38), oder die Parametergleiehung der g'esuehten orthogonalen Trajeetorien: V

(39)

u

-=

-t~

V '~\

Dureh Einsetzen in den Fl~tehengleiehungen ergeben sieh die Gleiehungen der Trajeetorien selbst: p sin v

X--

V

+ (40)

y=

j0 C o s v

~o~ Z=

(o<~ ,; )

)

J edem positiven Wert d er Integrationseonstanten C and 0 ~ v % entsprieht eine bestimmte Trajeetorie. Far v = 0~ resp. 7 wird x = 0 7 y~---0~ z ~ - - - ~ T , unabh~tngig yon C, d. h. alle Trajeetorien gehen dureh die uniplanaren Doppelpunkte S und S' der Fl~iehe. Ffir p 1 v--- ' wird x - y = 0 , z = , % : c - ~ und flit tg v =Y 2pC LogC ~ 2 -- C wird x - - C ~ 1 ~ y-~-~p und z = 0 ~ es sehneiden also alle Trajeetorien paarweise die Leitlinie L ; ist C % 1~ so wird der Absehnitt x auf ihr yon D aus gereehnet negafiv~ fiir C ~ 1 wird er positiv und N r C = 1 wird er unendlieh. Fiir denjenigen Weft yon v~ ffir welehen der gemeinsehaftliehe Nenner cos t, @ Log (Ctg 4 ) = 0 \

ist~ werden alle drei Coordinaten unendlieh grog.

165

Die Conchoidenfliich% eine Linienflache 4. Ordnung.

Die Projection der Trajeetorien auf die @y) Ebene ist: p--y

C (]/ x~ _ ~ y'Z _ _ y) = x e

.

Alle Curven gehen durch den Nullpunkt und beriihren die y-Axe. Die Projection auf die ( y z ) Ebene wird: 2 (p--y):

Alle diese Curven gehen dureh den Punkt D auf L and durch S und S' auf der z-Axe. Die Trajectorien C = 0 and C = oo bestehen aus der Leit|inie Z and der Erzeugenden D S'~ beztiglieh D S in der (y z) Ebene. IX. Geod~itische Kriimmung der Parametercurven.

Wird eine Fli~eheneurve C senkrecht auf die Tangentialebene eines Punktes P derselben projicier% so heil~t die Kriimmung ihrer Pr~ection C' im Punkte P die t a n g e n t i a l e oder g e o d i ~ t i s c h e K r t i m m u n g der Curve C im Punkte P. Der zugehSrige Kriimmungsmittelpunkt M der Curve C' heist der ~ i t t e l p u n k t der g e o d a t i s c h e n K r i i m m u n g der Curve C and die Entfernung P M d e r R a d i u s pg d e r g e o d a t i s e h e n K r i i m m u n g . Weil die Parametercurven v die geradlinigen Erzeugenden 1 sind~ so ist ihre geod~ttische Krtimmung - - stets gleich Null. G Ist die geod~ttische Kriimmung in ~llen Pankten einer Carve gleich 2~ull~ so ist sie eine geod~ttische Linie, daher ist j e d e Gerade auf einer Fl~tche eine geodatische Linie. Aus der Bonnet'schen Gleichung ergibt sieh der Ausdruek ftir die geodatisehe Krtimmung der Parameterlinien u ~--const. (Conchoiden) :

also (41)

cos

1 - -

Pu

eos )[2p siu

- eos

cosy)]

3

@ 2 _ 2 p u cos~v + u ~-cos'v) T

1/p~t~;'~v -Jr-2 @ - - u 1

Nun ist die geod~ttische Krttmmung--~-~-0: G

cosy) ~

166

G. Huber. 1. wenn u-----0 ist: Leitlinie L ;

(42)

2.

,,

v ~-- ~ ~ - ist : unendlich ferne Doppelerzeugende Gac ;

3.

,

4.

,

p - - u cos v = 0 ist : Leitlinie Z~ als Strietionslinie der Fl~tehe ; p (l_2tg~v) 2 2 s i n ~ v - - e o s ~ v ( p - - u c o s v ) .... 0 oder u:= e0S V

Diese Gleichung stellt eine Curve auf der Flaehe dar~ in deren Punkten die hindurchgehenden C o n c h o i d e n die geodgtisehe Krttmmung N u l l haben; diese Curve ist daher die Strictionslinie des zu den Conchoiden orthogonalen Curvensystems. (G]eiehung 40.) Setzt man de~ Wert u in den Gleichungen der Fl/iehe ein~ so erhglt man die Gleichungen dieser Strictionslinie: (43)

x=2ptg~v~

y--~-22otg2v~

z-~-

p (1

2 tg 2 v) COS V

Die Coordinate y ist stets positiv~ die Curve liegt also ganz auf der positiven Seite der (xz) Ebene. Fttr v~---0 und ~ wird x=y=0 und z = I p ~ es sind dig Doppelpunkte S u n d S ' . Fttr

tg v =

•

wird

x =

•

y =

p,

z =

0 als Sehnitt-

punkte der Curve mit Leitlinie L. F a r v ~--- ::k ~ - wird x = :k ec~ y = d= cx~, z ~-- ~_ oc. Die Projection dieser Striktionslinie auf die (xy) Ebene ist die N e i l ' s e h e P a r a b e l y 3 ~ 2 p x ~ . Projieiert man aber alle Conehoiden~ z = u ~---constant, der Flgehe senkreeht auf die (x y) Ebene~ so erh~lt man das eingangs erwlihnte Conehoidensystem yon der gemeinsehaftliehen Asymptote L und der Ort aller Wendepunkte dieses Curvensystems ist d i e s e l b e N e i l ' s e h e Parabel

y3 _~ 219 x ~. Die Projection der Strietionslinie auf die (yz) Ebene ist die Curve 3: Ordnung z ~ ~ ~

( y - - p ) ~ (y @ 22o)~ sic hat den P n n k t

D (y ~---p~ z ~---0) zum Doppelpunkt~ und eine Schleife veto Scheitel y ~ - - - - 219 auf die y - A x e . Die Projection auf die (xz) Ebene ist die Curve 6. Ordnung:

4 ( x 2 - - z ~"@ 2 ) ) ~ = 2 7 p ~ x ~. Die Punkte S und S' sind Spitzen der Curve. Hieraus tblgt: Der Oft aller Punkte der Conchoidenfli~eh% in welchen die geodi~tische Krtimmung der dureh sie hindurchgehenden Conchoiden z ~ u--= const, gleieh Null ist, ist eine Raumcurve 6. Ordnung; welche aus zwei eongruenten Zweigen besteht~ welche in der Form yon ri~umlichen N e i l ' s e h e n Parabeln yon den Spitzen S und S ~

Die Conchoidenflache, eine Linienfl~che 4. Ordnung.

167

aas naeh unten, beztiglieh oben ins Unendliehe gehen~ wobei sie sich aaf der Leitlinie L durehkreuzen. Diese Carve ist die Strictionslinie der orthogonalen Trajeetorien der Conchoiden and zugleieh der Ort der Wendepunkte aller Conehoiden der Flaehe. In den Punkten der Erzeugenden D S (v-----0) wird die geodiitisehe Krttmmang .

1

.

.

--u

.

Im unendlich fernen Punkt

nnd im Sehnittpunkt '% D "dieser ]/2 ( pGeraden - - u ) 2 mit L i s t 1 ~ 0, and im 1 % Punkte S wird -oz. In den ]?unkten der Erzeugenden D S' durehlauft - -1 dieselben % Werte. Die Doppelpankte S and S' sind % die einzigen Pankte der Fli~che~ in denen 1 unencllieh grog wird. Pu

Nimmt man die Erzeugenden v nnd ihre orthogonalen Trajeetorien u als Parametereurven an (Gleiehung 35), so wird die geo&ttisehe Kriimmung dieser Trajeetorien: 1 -- =

,(44)

?t

--

]/)-cos

-- ]/Seosv

(uggeosv --20)

(u]/2cosv--p)~ @ 2p2tg ~v

v/

Li~ngs der Trajeetorie it = 0 ~ welehe die gleiehseitige_tIyperbel ,z 2 - - x ~

- - - ~P~- in der Ebene y ~ _ _~ _ ist~ wird - 1- _ _ ] / 2 c o s y Pt 2)(1-~-2tg~v) ' and 15ngs tier Erzeugenden S D beztiglieh S D ' ( v - = O ~ T.) wird 1

?t

V2

1

p =:, u ] / 2 ~ speeiell im Punkte D wird ?t

X. G e o d J i t i s c h e

Torsion

]/2

.... P

der Parametercurven.

Unter der g e o d i~t i s e h e n T o r s i o n in einem Pankte einer Fl~tehencarve versteht man nach B o n n e t die Torsion derjenigen geodiitischen Linie, welche die Fliicheneurve in diesem Pankte bertihrt. Die Krtimmangslinien der Flliehe sind diejenigen Curven, welche in jedem Punkte die geodiitisehe Torsion Null besitzen. 1 1 Fttr die geodi~tischen Torsionen ~0, and ~ der Parameterlinien~ tier Conehoiden u = eonst, und Erzeugenden v ~---const, gelten die folgenden Ausdrticke (Bianchi~ Differentialgeometrie p. 167):

G. tIuber.

168

1

(45)

GD'--ti'D"

p~ sin v (p - - u cos v - - u cos v sin ~ v)

{p tg.., + 2 O, - - .os ,)"} {p. 1 (46)

To - -

_FD--ED' E~

,o.., § ,. oos. H

- - / 9 sin v 2" tg~ v @ 2 ( p - - u cos v) 2

Dabei ist f/1 ~_____ tc~ gleich dem negativen Quadrat des K r f i m mungsmaBes der Fl~che in demselben Punkt% denn die Erzeugenden sirld Asymptotenlinien. 1 Ffir v = 07 7: und :h ~ wird unabh~ngig yon u~ T ~ = 0 1" und ~ - - ~ 0 : d. h. die Erzeugenden D S . D S ' und Gm sind Kriimmungslinien

der

Fl~ehe. 1 1 Die geod~itisehen Torsionen ~ und - ~ werden gleieh und

entgegengesetzt. 1 1. Wenn /~' ~ 0 ist~ dann wird -p sin v f/~

1

D' -~/'~ ]/E. G

--

Y 2 Cp~ 2 2 u cos ~ v -4- u~ cos~ v) I n diesem Falle stehen die Parametereurven u und v, also auch die sie ber~ihrenden geod~itischen Linien aufeinander s e n k -

recht.

-

Nun Jst/, = 0 far v ~ 0 und ~

dann wird ,--7 1 ~--u

1 ~---0 f/;

far jedes u~ es sind die Erzeugenden D S und D S ' . 2. W e n n D = 0 und D " = 0 ist, d. h. wenn die Parameterlinien A s y m p t o t e n l i n i e n der FlSehe sin& In diesem Falle 1 1 D' Die Bedingung D ~---0 ist stets erfallt~ da die Parameterlinien die eine Sehar der Asymptotenlinien sind~ die zweite Bedingung D " = 0 ist in tolgenden drei F~tllen erfallt: 1 1 sin v a) Wenn ~ = 0 ist, T,~ - ~/;, - - 2) (2 @ tg ~ v) in den Punkten der Leitlinie L~ als Asymptotenlinie. 7t 1 b) ~ ~ oc also v = :h - ~ , wi- - -

1

- - 0, die Doppelgerado

G ~ als Asymptoten- und Kriimmungslinie. c) W e n n u p(1--2tgSV) ist' 1 1 cosy cos v "1'~ T~ 2tgv(l@8tg~v) I n den Punkten dieser Flgchencurve b e r tt h r t j e eine Asymptotenlinie der zweiten Schar die durch den betreffenden P u n k t hindurch-

Die Conchoidenflitche, eine Linienfli~che 4. Ordnung.

189

gehende Conehoide u. Diese Curve ist identiseh mit der im vorhergehenden Abschnitt gefundenen~ welche dureh die Wendepunkte aller Conehoiden hindurehgeht and lgngs weleher die geodatische Krttmmung gleich Null ist. 1 1 In den Spitzen S u n d S' der Curve ist die Torsion T ~ - T~ -~- ~ yon hier aus nimmt sie ab bis zu Null im Unendlichen. 1 Die geodatisehe T o r s i o n - 5 [ ~ (Gleiehung 45)

wird

N u 1l~ wenn is - - u cos v - - u cos v sin ~ v ~ 0 ist~ oder wenn (47)

io cos v (1 @ sin ~ v)

u --

Diese Curve ist daher der Ort aller soleher Punkte der Flach% in welchen die eine Krttmmungslinie die durch diesen P u n k t gehende Conehoide bertthrt~ wshrend die andern sie reehtwinklig sehneidet. Setzt man diesen Wert fttr u in den Fl~tehengleichungen ein~ so erh~tlt man die Gleiehungen dieser Curve: (48)

x --

josin 2 v t g v 1 + sin ~ v

Y~

p s i n 2v 1 -4- sin ~ v

Die Coordinate y wird hie negativ. S(v~0) y~-~

und S ' ( v ~ ) z~

1) cos v (1 -t- sin~ v Die Curve besitzt in

Spitzen; ffir v : d = ~ - w i r d

x~-=t=co,

=h oc~ d. h. die Curve ]iegt ganz zwischen der ( x z )

Ebene und der Ebene y ~ P . Projection auf die ( x y ) Ebene: (x ' @ y2) y @ (y - - 2 ) x2 -~- 0, Asymptote y = ~

Spitze in 0.

,Projection auf die (y z) Ebene: (p - - y)3 __ (p _ _ 2 y) z~ -= O, Asymptote 5'

" P ~ Spitze in (ff ~---19~ z = 1

Die Flaeheneurve ~ =

0).

0 besteht aus zwei eongruenten~ sym-

metriseh zur (x 5') und (y z) Ebene liegenden Theilen, die yon den Spitzen S bezaglieh S' aus naeh oben und unten asymptotiseh zur lgbene y = ~

ins Unendliehe laufen.

Die T a n g e n t i a l e b e n e an die Conehoidenfl~tehe in einem Punkte dieser Curve hat die Gleiehung: x cos v - - 2 y sin v - - z sin v cos v @ p sin v = 0~

170

G. Ituber.

ihr Abschnitt auf der y - A x e ist y - -

p - - c o n s t , d. h. alle Tan2 1 gentialebenen der Fli~ehe li~ngs der Curve ~ = 0 umhtillen einen K e g e l vom Scheitel Q (0, ~ ,

0). Versc',iebt man das r

system parallel naeh diesem Seheite]~ so wird die Gleiehung dieses Kegels :~ 2

2

2

x 'V @- (2 y,)V : (49)

z,~-

oder

(z '2 - - 4 y '~ - - x'~) 3 = 81 x '2 y'~ z 2. Die in der @ z ) E b e n e

liegenden Erzeugenden z ' =

i

2y'~ %

die dureh S und S' gehen, some die in dec (x'z') Ebene (y ~-- ~ ) liegenden z' = =1=x' sind R tte k k e h r k a n t e n des Kegels. Die ebenen Sehnitte parallel der (x y ) E b e n e sind Ellipsenevoluten~ die]enigen parallel den zwei andern Coordinatenebenen sind Hyperbelevolaten.

Speeiell ist der

ebene Sehnitt y'

(Asymptotenebene) die Evolute z ' ~ Hyperbel z ' ~ -

x '2-

-~.

x'~=p

P

~- der

oder

:

gleiehseitigen

Diese stimmt mit der frtther gefundenen

Evolute (Gleichung 20a) tiberein~ welche dis Enveloppe derjenigen Geradeu ist~ in welchen die/ zur y , Axe parallelen Tangentialebenen der Fli~che die Asymptotenebene sehneiden. XI. Ebeneneoordinaten und die ReeiprocalflJiehe.

Die Gleiehung der Tangentialebene im Pnnkte (% v) der ConehoidenflAehe kann in der Form gesehrieben werden: u sin v cos ~ v (p - - u cos ~v) cos v p ( p - - u e o s v ) X - - P (2 - - u cos v) y - - - - . zp @ l

:0.

Die Coefficienten yon x, y und z~ n~tmlieh: u sin v cos 2 v

(50)

p(p--

(p - - u cos a v)

eosv)'

cos v

:-

1)

welehe die negativen reciproken Werte der Axenabschnitte der Ebene bedeuten, heil3en die E b e n e n c o o r d i n a t e n der Tangentialebene. Durch Elimination der Parameter % v ergibt sigh die Gleiehung der C o n c h o i d e n f l ~ t c h e in EbenenCoordinaten: (51)

~ (p ~ - - 1) @ (2r~ @ 1) 2 U =

0,

sie ist also eine L i n i e n f l a e h e 4. C l a s s e . Setzt man ~ = 0 , so erh~tlt man die Enveloppe der Sehnitflinien der zur y - A x e

Die Conchoidenfl~tche, eine Linienflhche 4. Ordnung. io~rallelen Tangentialebenen mit der ( x z ) E b e n e . 9dieser Enveloppe in Linieneoordinaten ist: (52)

_

+

=

171

Die Gleiehung

o.

Diese Enveloppe haben wir sehon in Absehnitt III untersueht 2

2

2

und ihre Gleiehung (20 a) in reehtwinkligen Coordinaten z~ - - S ~ p ~ p,2. .gefunden~ als Evolute der gleiehseitigen Hyperbel z ' ~ - - x ~ = - - z~ Betraehtet man ~ q , ~ als P u n k t e o o r d i n a t e n ~ so stellt die Gleiehung (51) die sog. R e e i p r o e a l f l a e h e der Conehoidenfl~tehe dar~ sie ist eine L i n i e n f l • e h e 4. O r d n u n g . Jeder Tangentialebene in einem Punkte u, v der Grundflsehe F entsprieht zufolge der Gleiehung (50) ein bestimmter Punkt ~ ~, tier Reeiproealflaehe F ' und die eonjagierten Curvensysteme nnd Asymptotenlinien yon F gehen in solehe yon F ' fiber. Versehiebt man das r~umliehe Coordinatensystem parallel naeh dem Punkte O' r~ = - -

auf der y- Axe und bezeiehnet die neuen

Axen und Coordinaten mit x', y'~ z'~ so wird die Gleiehung (51) tier Reeiprokalfli~ehe :

(53)

:r

+

sie ist symmetriseh in Bezug auf alle drei nenen Coordinatenebenen. Der Nullpunkt ist uniplanarer Doppelpankt mit der (y' z') Ebene a l s Tangentialebene. Ein zur (x y ) E b e n e paralleler Sehnitt~ z' = c ~ besteht aus tier unendlieh fernen Geraden Y:c der (z y) Ebene und aus dem Linienpaar e, e' (Fig. 3): {54)

x~(1--p2c~)--l)~c~y '2 = 0 oaer y' = •

] / 1 - - p ~ c~ x ' -, 2c

dtssen Sehnittpunkt auf der z'-Axe liegt~ dasselbe ist nut reell wenn I c ! < 1 ist. Far c ~ 0 fallen sie in der ( x y ) Ebene mit P der f - A x e zusainmen and ffir c ~ 4-_ 1-- fallen sit zusammen mit P

1

zwei Parallelen zur x'-Axe in der (a.' z') Ebene im Abstand z' = 4- - -

yon der x'-O~xe. Diese zwei parallelen Geraden y und y' sind Doppelgeradt der Fli~eh% zwisehen den durch sit hindurehgehenden 1

parallelen Ebenen z ' - = 4- ~- liegt ,tie Liaienfli~ehe eingesehlossen. Ein zur (x'z') Ebene paralleler Sehnitt~ y ' = b~ besteht aus t i e r Curve 4. Ordnung: p2 z,.~ (x,2 @ b~) -- x'~ = 0;

172

G. Huber.

sie besteht aus zwei unendlichen

[~sten~ die sieh im Nullpunkt

durchschneiden~ zwisehen den Asymptoten z'~---• 1 . Der Sehnitt P mit der (x'z') Ebene selbst, 5 ~ 0, zerf~llt in die doppelte z'-Axe 1 und die zwei Geraden z ' ~ ~ - - . 2 Der zur (y'z') Ebene parallele Sehnitt x ' ~ a ist die Curve 4. Ordnung : i)2 z,2 (y,~ @ a 2) __ c~' ----- 0.

Die Curve besteht aus zwei eonchoidalen~ congruenten Asteu mit den Seheiteln z ' ~

:~_~

ft~r welche die dazwisehen]iegende

y ' - A x e der Sehnittebene gemeinsehaftliehe Asymptote ist. Der Schllitt mit der (y' z') Ebene selbst~ a ~ 0, redueiert sieh auf die doppelte y'- und z'-Axe. Die Coordinaten eilles Puuktes der Reciprokalfl~tehe F'~ weleher der Tangentialebene des Pullktes (~e~v) der Conchoidenflaehe 1"" entsprieht~ sind naeh dell Gleiehungen (50)~ bezogen auf des transformierte Coordinatensystem : (55) x ' - -

'~ s i n v c o s 2 ~

p (p

--

u

cos v) '

y'~

- - - ?~ c o s ?) s i n 2 v

? (p

--

u cos v)

z'=-----

cosy p

Jeder Geraden yon .F als Enveloppe ihrer Tangentialebenen entsprieht eine Gerade auf 1~" als Ort der elltsprechenden Punkte. Der Leitlinie L (u ~ 0) von F entsprieht x' --- y' ~ 0 ~ z' - d. h.

die

doppelte

O(z'--~-) Z (~ - \

z'-Axe

und Q ' ( z ' = - t - @ ) d e r -'wvi Z

zwischen

den

Fl~tche l'".

COS F

P Punkte~

Der Leitlinle

d]~'~l~tehe/? e r entsprieht die unendlieh ferne ])oppel'

COS V /

gerade y~ der (x' y') Ebene in Y'. Der Erzeugenden v yon J~' entspricht y' ~ - - tg v. x'~ z' - -

die

Erzeugende

COS V

der Reeiprokalfl~tehe 1,", welehe parallel P ist der @' y') Ebene und die z'-Axe sehneidet. Dureh jeden Punkt der z'-Axe gehen zwei solehe Erzeugende ( ~ v), symmetriseh zur (x' z') Ebenel 1 Far v = 0 fallen sie zusammen in j ] ' = 0~ z' - , d. h. der P Erzeugenden D S yon F entsprieht die Doppelgerade ~q' in dev (x' z') Ebene parallel zur x'-Axe in F'. Bei positiv beziiglieh negativ waehsendem v w~tehst aueh der Winkel zwisehen den entspreehenden

, r,2 wird ihr Winkel gleieh reeiproken Erzeugenden und fiir v = ~_

Die Conchoidenflache~

173

e i n e Lini,!~nfl~che 4. O r d n u n g .

180~ sic fallen in d e r y'-Axe zusammen. Bei weiter positiv und negativ waehsendem v treten die reeipreken Erzeugenden wieder auseinande% und far v ~--- ~ ~ wird ihr Winkel ~--- 360~ sie fallen zusammen in der Doppelgeraden

y' == 0, z' = -t- p

in der (x' z')

Eben% diese entsprieht der Erzeugenden D S' yon/~\ Die reeiproken Erzeugenden sind ferner paarweise z~t einander parallel und parallel der (x' y') Eben% in der Ebene y' = - - tg v. x' liegend, entspreehend den Werten v un(1 ~, @ v. Die Parametereurven u ~ const, auf T" sind Raumeurven 6. Ordnung~ die alle in 0' einen Doppelpunkt haben und nur symmetriseh sind zur (y' z') Ebene. Zusammengefasst finden wit: Die Reeiprokalfl~tehe der Conehoidenfl~tehe ist eine Linienfl~tehe 4. Ordnang~ die symmetriseh ist za alien drei Coordinaten1 ebenen and ganz zwisehen den zwei parallelen Ebenen z ' = ~ - P verlauft. Ihre geradlinigen Erzeugenden sind al]e parallel der (x' y') Ebene und sehneiden sieh paarweise auf der z'-Axe uncl auf der unendlieh fernen Geraden g~o der (x' y') Eben% denn die Erzeugenden sind noeh paarweise parallel in Ebenen durch die z'-Axe. Die Fl~tche besitzt fttnf Doppelgerade: die y' unit z'-Ax% gm und 1 ,die parallelen Geraden z' ~- :J:=--- in der (x' z') Ebene~ g und g'. P ,(Fig. 3.) i-I-tg

g

q, i

t7' 1

Fig. 3, ]~eciprokalfl~tche.

174

G. Huber.

Zwisehen diesen iiui]ersten Geraden g und Y' erstreckt siel~ die Fliiche in der Form yon zwei unendlich langen Windmtihlenittigeln, yon denen der eine reehts, der andere links um die z ' - A x e gewunden ist; diese durchsetzen sieh l~ngs der y - A x e und treffen in den Geraden y und y' zusammen. Die Drehung jedes Fltigels betr~tgt 180 ~ XII. D i e Kernfl~iche.

Aus der gleie h Null gesetzten K e s se'sehen Determinante d e r Conehoidenfliiche ergibt sich die Gleichung ihrer Kernflache: (56)

(y,

p)'~ (x ~ q - y'~) - - z ~ ( y ~ - - 3 x 2) :

0.

Die Fliiche ist eine L i n i e n f l ~ t e h e 4. O r d n u n g ~ die symmetriseh zur (xy) und (yz) Ebene liegt. Die (xy) E b e n e schneider die Kernflliche in der D o p p e 1g e r a d e n L (y ~ p) nnd im eonjugierten P u n k t 07 die (yz) Ebene in der doppelten z - A x e Doppelgerade Z~ und in den beiden Geraden y • z = p ~ welche als Erzeugende D S und D S' der Conehoidenfl~che angeharen. Die (xz) Ebene schneider in der Doppelgeraden Z und den imaginaren Geraden 3 z ~ ~-- p~ = 0. Eine durch die z - A x e gelegte Ebene y = t g a . G welche durch Drehung um die z - A x e zur (xz) Ebene gemaeht wird r schneidet die Kernflliche in den b e i d e n G e r a d e n : (57)

z ~--- :k

1 (x' sin ~ - - / ) ) . V 1 - - 4 cos ~

Die beiden Geraden sind nur reell, wenn 60 ~ ~ a ~ 1200 ist~ sie gehen durch denselben Punkt der x'-Axe im Abstand x ' - -

.P

sln

v0n 0~ weleher ein Punkt yon L im Abstand x = p eotg a yon D ist und sehneiden Z im Abstand z - -

• p yon O. F t i r V 1 - - 4 cos ~ = 600 und 1200 wird z --- ~: cx~ und ftir ~ = 900 wird z = ~: p~ Schnittpunkte S und S'~ es ist dies der absolut kleinste Wert, den z annehmen kann; zwischen S und S' wird die Dopgelgerade Z yen keinen Geraden geschnitten~ die Strecke S S ' derselben ist~ wio bei der Conchoidenfl~iche~ isolierte Doppelgerade. Die Punkte S und S r sind ebenfalls u n i p l a n a r e Doppelpunkte der Kernflitch%, mit der (yz) Ebene als Tangentialebene. In den Grenzf~tllen a = 600 und a = 120 o fallen die beiden Geraden zusammen und werden parallel zm" z-Ax% diese beiden Geraden 1 und l'~ welehe die Leitlinie L i m

Abstand x ' = - : k

P3/3 von D in den Punkten F~ F ' sehneiden (Fig. 4)~ sind die i~ul~ersten Erzeugenden, welche L sehneiden, li~ngs derselben b e r tt h r e n be-

17b

Die Conchoidenfl~che~ eine Linlenfliichr 4. Ordnung.

ziJglieh die Ebenen y ~ ~= V 3 x die Kernflache. Dem Winkel a ~ 90 ~ entsprechen die zwei Geraden D S und D S' in der (yz) Ebene. % 1' I///

"

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]Pi~. 4.

Kernfl~ehe,

Wir betrachten nun Schnitte der Kernftiiche mit Ebenen, die durch die Leitlinie L gehen. Macht man durch Parallelverschiebung L zur x-Ax% so dass die Asymptotenebene der Conchoidenfii~che zur (xz) Ebene wird, so ist die Gleichung einer Schnittebene y ~---tang ~. z~ wo ~ ihr lqeigungswinkel gegen die Asymlototenebene ist. Macht man diese durch Drehung des Coordinatensystems zur (x'z') Ebene~ so wird die Gleichung der Schnittcurve:

I//

1

tg ~

(z' ~in ~ ~p).

Der Sehnitt besteht aus z w e i G e r a d e n z'=

~P

durch den Punkt

der X-Axe, welcher der Schnittpunkt der Sehnittebene

mit der urspriinglichen z-Ax% z~-~---pcotg'} ist; durch diesen Punkt gehen auch die beiden in dieser Ebene liegenden Erzeugenden der Conchoidenflache: ihre Fugpunkte in L dagegen~ ~/ cos 2 x' ~ -V 1 ~- 2 cos 2 ~ p~ sind naher an D, als diejenigen der Conchoidenfil~che~ ihr Maximalabstand yon D tritt ein ftir ~ ~ 0~ ni~mlieh

176 x'=il/2a~

G. Huber. es sind dies die Fugpunkte F u n d

1"" der zu Z

parallelen Erzett~enden l und t' der Kernflaehe Die beiden Sehnittgert~den sind t~l~rhaupt nur dann reell, wenn ~ absolut ~ 45 ~ d. h. wenn die Sehnittebenr die Asymptotenebene beiderseits weniger als 450 geneigt ist~ wie dies aueh bei der Conehoidenflgehe der l~'all ist. Den Werten ~ ~---~: 45 o entspreehen die Erzeugenden D S und D ~S". Eine zur ( x y ) Ebene parallele Ebene z = c sehneidet die Kernflaehe in der Curve 4. Ordnung: (59)

(y - - 2 ) ~ (x ~ § y~) ---- e ~ (y~ - - 3 x~).

Denkt man sich alle diese Sehnitteurven~ die ~nderlieheu Abstand c entspreehen, orthogonal auf die projieiert, wobei sie unverZtndert bleiben, so bertihren die zwei festen Geraden y-~-~= ] / 3 . x in den festen

einem ver(xy) Ebene

alle Curven Punkten T

und T' (x = :~ ~-3-' y re_p) aufder Leitlinie L (Fig. 5). Die Sehnitt+~#

,1'

le

2 / F i g ' . 5.

Sehnltt

z =

c der Kernfl~tehe.

punkte mit der y - A x e sind y = _ p • c~ der Nullpunkt ist Doppel-

II/3c~-~-p~

punktmitdenTangenteny~+ ~ c2 /)~ 9x . Dabei sind s Falle zu unterseheiden: -1. Ffir c ~ p besteht die Curve aus einem geschlossenen Blatte zwisehen T und f ' , Seheitel y~---p ~= c und dem eonjugierten Punkt O. (Fig. 5).

177

Die Conchoidenfl~ch% eine Linienflache 4. Ordnung.

2. Ftir c ~ 0 reduciert sich das Blatt auf die Strecke TT' der Leitlinie L. 3. Fiir c-~-p besitzt das Blatt im Nullpunkt eine Spitze, mit tier y - A x e als Rtiekkehrtangente. 4. Ftir c > p besteht die Curve aus zwei ungleichen Schleifen mit Knotenpunkt in 0 und den Scheiteln x ~ 0, y : p i c. 5. Ftir c ~-- oc zerfi~llt die Curve in das Geradenpaar y ~- i ]/5. X und in einen Kreis yon unendlich gro~em Radiu% der um den Nullpunkt besehrieben ist. In diesen Linien sehneidet die Kernfliiehe die unendlich ferne Ebene z = ~ und zwar geh•ren nur diejenigen Kreisbogen der Schnittlinie an, welche zwischen den Schnittgeraden y ~ I ] / 3 .x in denjenigen Winkelr~tumen liegen~ dureh welche die (yz) Ebene geht. Mit Hilfe dieser Schnitte kann man sich leicht ein Bild der Kernflache machen. D e r L e i t k e g e l d e r K e r n f l ~ t c h e hat zur Gleiehung: (60)

y2 @2 _~ Y'9 ~- z2 (Y~--- 3 x2).

Die zur (xy) Ebene parallelen ebenen Sehnitte, z ~ c~ sind iemniscaten~Srmige Curven~ mit eongruenten Schleifen~ deren Scheitel auf der y- Axe in y ~ ~ c liegen~ der •ullpunkt auf der z- Axe ist doppelter Infiexionsknoten mit den Tangenten y ~ i ]/3.x~ welche fiir alle Schnitteurven dieselbe Lage haben. Der Kegel besteht aus zwei congruenten Manteln~ die l~ngs der D o p p e l k a n t e Z zusammenh~tngen~ die Tangentialebenen l~ngs derselben sind y ~ • ] / 3 . x . Die iu der (yz)Ebene liegenden Erzeugenden des Kegels sind z ~ ~ y, die eine dem einen, die zweite dem andern Kegebnantel angehSrend. Der Leitkegel schneidet die unendlieh ferne Ebene z ~ ~ in denselben zwei Geraden y ~ • ]/3. % ~mbst zugehSrigen Kreisbogen von unendlich gro~em Radius wie die Kernil~tehe selbst. Hiernaeh ergibt sieh folgende Erzeugung der Kernfl~tche der Conchoidenflaehe als Linienfliiehe 4. Ordnung: Die Kernfli~ehe wird erzeugt dureh Bewegung einer Geraden~ die stets drei ebene Leitlinien schneidet. Zwei derselben sind die beiden zu einander senkreehten und windsehies Geraden L und Z, welche aueh Leitlinien der Conehoidenfliiche sind~ w~thrend die dritte, in der zu Z senkrecht stehenden unendlieh fernen Ebene ]iegend% aus zwei Geraden besteht~ die sieh im unendlieh fernen Punkt yon Z unter dem Winkel 60 o schneiden und aus zwei quasi ihre Enden verbindenden Kreisbogen yon unendlich groi]em Radius. Der Durehschnitt der Conehoidenfl~tche mit ihrer Kernfliiehe ist eine Raumeurve~ welehe der Ort der p a r a b o l i s e h e n oder Wendepunkte der gegebenen Fli~ehe ist; li~ngs derselben ist alas Krtimmungsma~ / c ~ 0 . Ist nun f----0 die Gleichung der Monat~sh. fiir ~Mathematik u. P h y s i k , XI~r". J a h r g .

12

178

G. Huber.

Conchoidenfliiche, so llisst sich die Gleichung ihrer Kernfl~che

,f-q-3x2z ~ = 0 schreiben. Die Durchschnittscurve der beiden Fli~chen zerf~tllt also in ebene Curven~ die in der (yz) und (xy) Ebene liegen~ diese bestehen aus den Doppelgeraden L und Z und den beiden Erzeugenden D S und DS' in der (yz)Eben% welche beiden Fli~chen angeh5ren. Die letzteren sind als parabolische Linien der Conchoidenfl~tche zu betrachten~ wie frtiher gefunden~ ist das Kriimmungsma~ 1~tngs derselben Null. XilI. Complanation der Conehoidenfl~iche.

Well alle Erzeugenden

der Flliche die beiden Leitlinien

L ( u = O ) und Z(U=cosp v ) schneiden, so bilden die in der (yz) Ebene liegende Erzeugende D S (v------O) and eine beliebige Erzeugende v mit L und Z ein w i n d s c h i e f e s V i e r e c k D S A B (Fig. 6)~ dessen Seiten ein geschlossenes Sttick der Oberfl~iche begrenzen.

.z. 84

Z x +X

Fig. 6.

Nindschiefes Viereck.

179

D i e C o n c h o i d e n f l a c h % eine Linienfl~iche 4, O r d n u n g .

Wir wollen den Inhalt dieses Fli~chenstttckes bestimmen. Das Flitchenelemeint ist : d F - ~ Y E G - - F2 . du dv

__ ]/2

u~cos2v__2pueosv

(2_4_tg2v) d u d v .

COSY

Usa den Inhalt des windsehiefen Vierecks D S A B ist nach u yon u = 0

bis u - -

P

COS V

zu erhalten:

und nach y yon y - ~ - 0 his v

zu integrieren~ also P

ff F = f,] cY~ dv ,f/ F u~cos~v--'2V,.,.eosv__ _L , (~ + tg~v) du. osy 0

0

Nun ist das innere Integral: P

/=[

....

r(u c o s v - - p )

i/

~

~oo~; 1- v~'uc~

-

:te'+

0 P

ptg

v

@ 47e~ v L ~

e~

p) + 1/~

{(u c o s v -

o '

we R den gleichen Ausdruck wie unter dem ersten Wurzelzeiehen bedeutet. Setzt man die Grenzen ein~ so wird: P

..... --__

(

p~

[tg2v Lo (1/2 @ tg2v @ ~ / 2 ) _ _ y 2

21,~-cosv/V;

g ' - - - t g ~ - ......

~

}

+~g~Y'

0

somit : .

{

tgy

21/2 5

/ cos:v

Wir substiiuieren tg v - ~ l / 2 unbestimmt :

9

t~

dv

cos 2 v

9~ v

dY

2oJ

cos2v

- - ~/-2 d t und integrieren

Nun ergibt sich dureh partielle Integration:

j, lfLog(1/l+t~+l]dt~ 3 ./

~

t

/

~t~Log(1/?+t~+l] ,

~

t

l r t~

/

§ --I-~ dt 3 Jl/l+t ~ 12'~

180

G. ttuber.

Ferner :

2-~/I+t~ + ~-Log (t + Vi + t~),

J~ J

also P~ tt 3 Log -3-.

1/] -J-tt ~-~- 1

~-Log (t~- I/i-j-tg-J-2t l/l--~i~}.

Substituiert man rfickwirts t = ~

1

tg v und setzt die Grenzen

ein, so verschwindet der ganze Ausdruck an der untern Grenze und man erhalt den Inhalt des windschiefen Vierecks D S A B :

(61)

F_--

3 |2}7~ Log \

tg v

- ~ - L o g ( tgv-~]/2-j-tg~v)]/~ + tg v ]/2--~- tg~ j

als Function des Parameters v der ver~nderlichen Seite A B des Vierecks. Speciell wird {fir v : - - : 4

F=

2~-~Log(]/2~-]/3)-l-,Jog

f~tg~: ~2: _z<=2P~ 3 ILog (,

~

~]/3-

+ ~/~) + ~/~-}9

Dcr Ausdruck ftir F liisst sich noch auf anderc Form bringcn. Im windschiefen Viereck A B S D (Fig. 6) ist: Scite D S = d = I/ OD~-~- OS 2~ p ]/ 2 ~ constant Seite D A = x = p tang v Diagonalc A S : k : 1/OA '2-~- 0 S 2 :

_~_p2:2]/}_~_ tg~v

i / p~ Diagonale DB'~-- k'~- ]/0 B 2-~ OD 2 -~ ~/ ~os~-v _~_p2 = p ~ _ [ _

tg2 v,

also ist k ' ~ k, d. h. jedes dicser windschiefen Vierecke hat gieich lange Diagonalen, folglich sind die Schnittpunkte jeder Erzeugenden der Flachc mit den Leitlinien L und Z sowohl gleich welt yore Nullpunkt O, als auch yon den Punkten S und D entfcrn% in welchen zwei Punkten die Erzeugende v = 0 Z und L schncidet.

Die Conchoidenfl~tche,elar Linienfli~che4. Ordnunff.

18~

Fiihrt man die Werte d, x und k in der Inhaltsformel (61) ein~ so wird dioselbe: 1

x3

Weil nan x ~ 1 / ~

d ~ ist, so wird auch:

DS ~= 1/~

3

womit der Inhalt des windsehiefen Viereeks dnrch die eonstante Seite d and die veriinderliehe Diagonale 7. ausgedrttekt ist. Die Seite A B des Viereeks, d. h. die Lange der Erzeugenden v zwischen den Leitlinien L u n d Z findet man aus dem gleiehsehenklig reehtwinkligen Dreieck OAB~ in welchem O B ~

OA--

p

COS V

ist,

ni~mlieh A B . ~ r - = P 1 / 5 . Diese Li~ng% sowie die Absehnitte O A --~ COS V

O B lassen sieh leicht fiir jeden Wert yon v eonstruieren. Man

zieht in einem rechtwinkligen Coordinatensystem die zur x ' A x e parallelen Geraden y = : p (Leitlinie L) und y -~-pl/-2 und legt yon O aus einen Strahl unter dem Winkel v zur y - Axe: welcher die beiden Parallelen in A beztiglieh O sehneidet, dann ist O A OQ =

9"

P

und

cosy COS V

Die Coordinaten der Nitte der Erzeugenden A B sind: x=

tgv~

y - - p2 --eonstant~

Z=2cosv.

Durch Elimination yon v folgt: z 2 - - x "~-~- ~-~ p2 d. h. der Oft der Mitten der zwischen den Leitlinien L un4 Z liegenden Strecken s~tmmtlicher Erzeugenden der Conehoidenflaehe ist diejenige g I e i e hs e i t i g e H y p e r b e 1 in der Ebene y ~- p I

tier Leitkegel die Flache durchsehneidet.

(Gleieh. 7)~ in weleher