Monatshefte fiir Mathematik, 72, 1--5 (1968)
Die d i o p h a n t i s c h e G l e i c h u n g x~ § 4 D = y~ im Z u s a m m e n h a n g mit K l a s s e n z a h l e n Von
Alexander Aigner, Graz (Eingegangen am 9. November 1966) In der angeffihrten Gleichung sei D ~ 1, ungerade und quadratfrei, x und y ungerade und p eine ungerade Primzahl. Diese Gleichung wurde, auch in iihnlicher oder allgemeinerer Form, schon einigemale behandelt, besonders von W. Ljunggren [1], T. NageU [2] und B. Stolt [3]. Hier seien nun einige weitere Konsequenzen fiber diese Gleiehung ausgeffihrt.
Ljunggren [1] zeigte, daB, falls die Klassenzahl des imagin~tr-quadratischen KSrpers K(~/-~D) nicht dureh p teilbar ist, die Gleichung allgemein unmSglich wird, wenn p ~ 3(8) und es dann auch ftir p --~ 3(8) bei festem D insgesamt fiir alle Exponenten p hSchstens endlich viele LSsungen gibt, auch ohne Beniitzung der S~ttze yon Siegel und Skolem. Beim Ansatz, welcher auf dieses Ergebnis ffihrt, unterscheiden wit einen ,,Hauptfall"
x + 2 x / _ ~ = (~ - 2 x/uD)~
(1)
und einen nut ffir p ~-- 3 und D -~ 3(8) mSglichen ,,Nebenfall"
x + 2 ~ =
~j=
_D
(2)
Beidemale ist a ungerade und auch zu D teilerfremd. Daraus ergibt sich ein gewisser Unterschied zwisehen den Fiillen p ~ 3 und p -~ 3. Beginnen wir mit dem einfaeheren Fall p = 3. Der ,,ttauptfall" (1) ergibt hier dutch Vergleich der Imaginitrteile 4 D - ~ 3 a ~ § 1, also zu gegebenem D nut ein a, und das aueh nut in dem besonderen Falle, dab eben (4 D--1)/3 eine Quadratzahl ist. Die betreffenden (quadratfreien) Werte yon D liegen in einer arithmetischen Reihe 2. Ordnung Monatshefte ffir :!Ylathematik. Bd. 72/1.
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und wit bringen eine Liste dieser D unterhalb 1000 samt der zugehiirigen Klassenzahl h von K(%/-- D). D I 7 19 37 61 91 127 217 271 331 397 469 547 631 721 817 919 h / 1 1 2 6 2 5 8 11 3 6 16 3 13 16 12 19 Analog fiihrt der ,,~ebeafall" (2) auf D ~ 3 a 2 i demnach zwei solche Listen: D h
19 1
43 1
91 2
D h
11 1
59 3
131 5
163 1
259 4
379 3
523 5
16 und ergibt
691 5
883 3
sowie 227 5
347 5
491 9
659 11
851 10
Unter diesen insgesamt 31 F~llen befinden sich 9 mit dutch 3 teflbarer Klassenzahl, also ungef~ihr ein Drittel. -- Die beiden Werte D ---- 19 und D = 91 kommen in den beiden ersten Listen v e t ; sie sind abet auch die einzigen zwei Listen gemeinsamen Werte. Denn die Gleichung ( 3 a 2 - ~ 1 ) / 4 ~ 3 b 2 ~ - 1 6 ergibt a 2 - 4 b 3 = 2 1 mit den einzigen LSsungen (5,1) und (11,5), welche eben zu den We~ten D ~ 19 und D ~ 91 fiihren. Ein Vergleich mit der dritten Liste eriib~igt sich, weil deren Werte zu den anderen sehon rood. 3 inkongruent sind. -Wit k5nnen also den Satz ausspreehen: D----19 und D = 91 sind die beiden einzigen Werte ohne dutch 3 teilbare Ktassenzahl, welche mehr als eine L6sung yon x 2 ~ - 4 D ~ y~ au/weisen; und zwar haben sie je zwei. Die betreffenden LSsungen lauten: 73~-76=
58
10152 -~ 76 ~ 1013
1553-~364~
29a
10681 ~ Jr 364 ~ 4853
Mit durch 3 teilbare~ Klassenzahl kSnnen ohneweiters noch mehr LSsungen auftreten. So finder man zum Beispiel bei D ---- 547 die drei Liisungen 93 q- 2188 ~ 13a, 1493 -k 2188 = 29a, 1575452 -k 2188 ~- 29173 und vielleieht gibt es noeh andere. Und nun zum Falle p ~ 3. Hier ist nach [1] die endliche Anzahl der LSsungen beim Ansatz (1) dutch die Beschriinkung a 2 < 4 D gegeben und au•erdem gelten stets mit dem ungeraden Exponenten (p -- 1)/2 -- denn es ist ia p ~ 3(8) -- die beiden Kongruenzen
Die diophantische Gleichung x ~ d- 4 D = yp (16 D) (p-1)I~ ~ 1 n o d T(4 D d- a s) (12 D - - a s) -
-
3 (3)
daher D quadratischer Rest naoh diesen drei F a k t o r e n - - und (8 D) c0-1)12 ~ (2 aS) (p-1)/2 ~ - - 1 rood 4 D - - a s.
(4)
Aus ihnen k a n n n a n schlie~en, da~ 4 D d- a s keinen F a k t o r der F o r m
4 n d- 3
4 D - - a s keinen F a k t o r der F o r m
8 n d- 5,7
12 D - - a ~ keinen F a k t o r der F o r m 12 n d- 5,7 enthalten darf. Diese Kriterien erweisen sich sehon als zienlich einschneidend. Mit ihrer Hilfe ist auch sogleieh, ohne weitere Hilfssgtze, die Klasse D ~ 5(6) generell auszuscMie~en (vorausgesetzt natiirlich p ~"h). D e n n fiir a ~ 0(3) wird hier 4 D § a s ~- 0(3) ; flit a : 3 r mad D ~ 6 m -4- 5 jedoch wird 12 D - - a s = 3(24 m d- 20 - - 3 r ~) und darin der K l a m m e r ausdruck ~ 17(24) nnd nul~ einen F a k t o r ~ ~ 5(12) enthalten. Die K o n g r u e n z e n (3) und (4) fiihren fallweise auch auf den Ausschlu~ y o n LSsungen n i t t e l s hSherer Potenzreste sowie a u f Bedingungen fiir den E x p o n e n t e n p. I h n e n lgl]t sieh sogar sine weitere Kongruenz an die Seite stellen: falls p -~ 1(3) ist, was oft dutch die erw~hnten Bedingungen zu erzwingen ist, so gilt noch
(4 D d- a~)(p-1)ls ~ (4 aS)(p-1)]~ ~ - - 1 n o d ~ D - - 3 a e,
(5)
woraus folgt, d a ] dann 4 D - - 3 a s keinen F a k t o r der F o r m 4 n -4- 3 enthalten darf und sich die GrSl]enbeschrankung 3 a 2 ~ 4 D ergibt. Diese Teilerbedingung wird gegebenenfalls bei D - 0(3) unerfiillbar, weft dann 4 D - - 3 a s den Teiler 3 b e k o n n t . Das resultiert aus F o r m e l (25) in [1] _ ~
(~(~+~)/2§ ](p+~)/~) _ _ (a s + 4 D) c~-~)/s - - 1
n i t ,~ : a d- 2 % / ~ , ~ = a - - 2 % / Z D, weft fiir p ~ 1(3) der Zi~hler des Bruches links dutch ~s d- ~ -4- Xs = 3 a s - - 4 D teilbar wird. A u f Grund biquadratischer Reste l~tl]t sich noch allgemein feststellen, dal~ das J a c o b i s y n b o l ( D / a ) ~ d - 1 sein mull. D e n n enth~lt die Zahl 4 D ~- a s einen Primteiler 4 n -4- 3, so wird eine LSsung schon
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A. Aigner
von vornherein unm5glich; enthalt sie aber nut Primteiler 4 n + 1, so wird nach (3) die Zahl 16 D - - - - 4 a 2 biquadratischer Rest mod 4 D + a ~ und da - - 4 immer biquadratischer Rest ist, aueh a 2 biquadratiseher, das heil~t a quadratischer Rest. Es gilt demnach
(a/4 D + a 3) = (4 D + a2/a) = (D/a) -~ + 1. Fiille mit (D/a) = - - 1 seheiden somit yon vornherein aus. Unter Anwendung all dieser K~iterien wollen wit schliel~lich noch die kleinsten Werte yon D nach mSglichen LSsungen mit p > 3 absuchen. Zun~ichst tritt hier unter den Klassenzahlen kein Primfakto~ > 3 auf; erst bei D = 47 wird h----5. Und fiir die Wirksamkeit der Kriterien seien nun zwei Beispiele herausgegriffen. Bei D = 15 etwa kommen nut die Werte a = 1 und a ~ 7 in Betracht. Diese ffihren nach (3) auf 240 @-1)/~ - - 1 (61) bzw. 240 @-1)/2 ~ 1 (109). Da abe~ 240 weder nach 61 noch nach 109 kubischer Rest ist, mug p - 1 dureh 3 teilbar sein. Und somit tritt die Kongruenz (5) mit ihren Folgerungen, speziell fii~ 3 [ D in K r a f t und schlieBt jede LSsung aus. Als weiteres Beispiel diene D = 31; hier werden yon den We~ten a m i t a < %/]24 und (31/a) ~-- + 1 zuniiehst a ~- 1, 3, 11 schon dutch die aus den KongTuenzen (3) und (4) folgenden Teilerbedingungen ausgeschlossen. (372 - - 1 = 7.53; 124 + 32 ---- 7.19; 124 + 112 ---- 5.72.) Es verbleiben a ~-- 5 und a : 9. Bei a = 5 wird jedoeh 124 - - 53 = 99 und somit nach (4) 248 (v-1)/~ ------- - 1 (99) und dadurch, weil 248 nicht kubischer Rest rood 9 ist, p ------1(3) erzwungen. D a m i t t r i t t abet (5) in Kraft, was hier wegen 124 - - 3.52 ---- 49 unerfiillbar ist. - - Bei a = 9 abet wird 124 + 93 ~ 5.41 und (3) nicht mSglich, da 31 nicht 8. Potenzrest rood 41 ist. Auf diese Weise l~$t sich fiir alle Werte D < 47 in s~imtlichen Fiillen ein solcher AussehlieSungsgrund finden. Wit formulieren also den Satz:
Die Gleichung x 3 + 4 D ---- yP ist in der ange/iihrten A~'t mit D < 47 /iir alle Primzahlexponenten p > 3 unl6sbar. LSsungen mit dutch p teilbarer KlassenzaM (allerdings nieht zu gegebenem D) lassen sieh ja ve~h~iltnismiil~ig leicht linden; z. B.
Die diophantische Gleichung x 2 -[- 4 D : yp
5
53 ~ ~ 316 ----55 ffir D : 79; 6092 -~ 412 : 135 fiir D : 103; 279 ~ ~- 284 : 57 fiir D --~ 71. ~ Es erscheint aber sehr zweifelhaft, ob es bei nicht d u t c h p teilbarer Klassenzahl iiberhaupt eine LSsung mit p ~ 3 gibt.
Literatur
[1] W. Ljunggren: On the diophantine equation Cx2 ~ - D ~ yn. Pacific J. Math. 14, 585--596 (1964). [2] T . NageU: Sur l'impossibi]it6 de quelques ~quations s deux ind~termin~es, :Norsk Mat. Forenings Skrifter, Ser. I, Nr. 13. Oslo 1923. [3] B. Stolt, ~ber einen verallgemeinerten Fermatschen S~tz. Acta aritmetica 5, 267--276 (1959).
