Die Probleme der modernen Galoisschen Theorie Von NIKOLAJ TSCHEBOTAR~3W,Kasan Das soeben verflossene Ioo-j~ihrige Jubil~iumsdatum des Todes yon EVARISTE GALOIS gibt mir den Anlai3, den heutigen Stand seiner wichtigsten Sch6pfung darzulegen, die unter dem Namen ,,Galoissche Theorie" bekannt ist. Zugleich erlaube ich mir, zu versuchen, einige Voraussagungen tiber die Galoissche Theorie des Zuktinffigen zu machen. Der urspriingliche Zielpunkt der Galoisschen Theorie, die Frhge nach der Darstellung der Wurzeln yon algebraischen Gleichungen durch Radikalausdrticke, wurde yon Galois selbst und yon seinen frtiheren Nachfolgern beinahe erledigt. Das Haupthilfsmittel abet, welches yon Galois in seinen Untersuchungen benutzt wurde, die Beschreibung yon algebraischen Zahlk6rpern durch die ihnen entsprechenden Gruppen, erwies seine Macht auch ftir ziemlich entfernte Zweige der mathematischen Analysis. Auf diese Weise entstanden in der Mathematik neue Gebiete wie ,,Riemannsche Fl~chen", ,,automorphe Funktionen", ,,kontinuierliche Transformationsgruppen", u. s. w. Auf3erdem sind in der klassischen Galoisschen Theorie selbst neue Aufgaben entstanden, welche einer wesentlichen Vertiefung des Galoisschen Grundgedankens bedtirfen. Das Problem der Auffindung yon Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe hat verlang't, die Theorie der allgemeinen rationalen Funktionenk6rper zn studieren (das Problem yon L~ROTHSTEINITZ). Eine Erweiterung des Problems der RadikaUbsung, das sogenannte Kleinsche Formenproblem, hat anderseits die Theorie der endlichen Gruppen mit der Theorie der kontinuierlichen Grappen verkntipft. Die ,,lineare Gruppentheorie" ist eine wahre Brticke, welche diese beiden Zweige der Grupi)entheorie verbindet. Im vorliegenden Bericht will ich den gegenw~irtigen Apparat durchgehen, welcher zur Beherrschung der Probleme der Galoisschen Theorie ntitzlich sein kann. Dabei fasse ich den Begriff der ,,Galoisschen Theorie" etwas welter auf, als das bei Anwendung der Gruppentheorie auf algebraische Gleichungen tiblich ist, indem ich in ihn alle Fragen einschlief3e, die den Begriff ,,das Rationale" dem Begriff ,,das algebraische Irrationale" gegentiberstellen. Dazu geh6ren einige recht sch6ne Resultate and Pro1) Der Auszug dieses Berichtes wurde am Internationalen Mathemafiker-Kongreg in Ziirieh~ I9321 als Vortrag gehaltert. 17 Commentarii Mathematici Helvetlcl

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bleme der algebraischen Funktionenk6rper von mehreren Veriinderlichen, die bis jetzt nur durch die Methoden der algebraischen Geometrie 16sbar sind. Es ist das grof3e Verdienst der alten deutschen und der italienischen Geometer, dat3 sie manche dieser Probleme mit Hilfe der algebraischen Geometrie gel6st haben, wiihrend wit Algebraiker daftir noch keine Methode besitzen. Ich lege bei der Wahl des Materials hauptsiichtich meinen eigenen Geschmack zugrunde, so daf3 ich fiir die Objektivit~it dieser Wahl keinen Anspruch erhebe. Inhalt. S I. Grundlagen der Galoisschen Theorie. S2. Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe. $3. Ueber die analytische Form der zu einer vorgeschriebenen Permutationsklasse geh6renden Primzahlen. w4. Resolventenproblem. 5. Weitere Fragen der allgemeinen K6rpertheorie.

w 1. Grundlagen der Galoisschen Theorie i. Man kann die Arbeiten, die sich mit den Grundlagen der Galoisschen Theorie beschiiftigen, in zwei Arten einteilen. Zur ersten Art gehtiren die Arbeiten, welche neue Wege zur Begrtindug der klassischen Galoisschen Theorie suchen, w~ihrend die Arbeiten der zweiten Art den Begriff der Galoisschen Gruppen vertiefen und seine Anwendung aut viel weitere Gebiete m6glich machen, als das die klassische Theorie zu tun imstande ist 2. Unter den Arbeiten der ersten Art sind die yon F. Mertens (50), S. Schatunowski (62) und A. Loewy (46, 47) besonders zu erwlihnen. Mertens erkl/irt den Begriff der Galoisschen Gruppe und beweist die dazu geh6rigen Fundamentals/itze, ohne die Begriffe des Normalk6rpers, der Galoisschen Resolvente usw. zu benutzen. Er geht vom Begriffe der Irreduzibilit~it in erweiterten Bereichen aus. Ist die gegebene Gleichung f(x)-----o irreduzibel, und ist xl eine ihrer Wurzeln, so findet er einen Faktor ~(x; x,) des Polynoms fl(x) , welcher im Bereiche K[x,] irreX--

duzibel ist.

X I

Dann findet er einen im Bereiche K [ x , , x2] irreduziblen

Faktor des Polynoms / ' (x; x,), wobei x~ eine Wurzel yon • (x; x~) ist. X --

2" 2

F~ihrt er so fort, so kommt er zum System (i.~)

236

go = f(x), Z, = f , ( x ; ~,), z~ = f , ( x ; x,, x~). . . . , z . _ , ---- f . _ , (x; x,, ..., x.._~)

von Polynomen, die ein System von Fundamentalmoduln bilden. Jede ganze rationale Funktion of(x,, x2 . . . . , .1:,,) ist dann und nut dann gleich Null, wenn sie (bei den ver~.nderlichen xl) in der Gestalt

(I .2)

s

Z, (x,)-!- ... -i-_,o,,_,. Z,,_, (x,,)

darstellbar ist, wobei die Pi Polynome sind. Die Galoissche Gruppe besteht aus den Permutationen, die jedes Polynom Z,. (xl +~) in ein Polynom der Gestalt (I.2) iiberf'tihren. Die Ordnung dieser Galoisschen G r u p p e ist gleich dem Produkt der Grade der Polynome (I.I). 3. Schatunowski stellt eine Theorie auf, die sich formal mit der Mertensschen deckt, geht abet dabei yon einem viel allgemeineren Standpunkt aus. Seine Arbeit steht auf dem Grunde der Kroneckerschen Idee der funktionalen Moduln, die darin besteht, daf3 man jede von einer Wurzel x~ der Gleichung (I.3)

f(:~') = x" -~- al .z"n ' ~ - . . . -]- a , , :c -j- a, - - O

abh~ingige Gr6f3e als eine Funktion ciner unbestimmten Ver~nderlichen auffal3t und und als Gleiehheitszeiehen das Kongruenzzeichen modulo f(w) zugrunde lefft. Da man in der Galoisschen Theorie aueh Funktionen yon mehreren Wurzeln der Gleichung (I.3) betrachtet, so sucht Schatunowski, ein System von funktionalen Moduln der Veriinderlichen x~, .% . . . . ,-r derart aufzustellen, dai3 das Restsystem nach diesen Moduln dem durch die Wurzeln der Gleichung (I.3) erzeugten algebraischen ZahlkSrper isomorph ist. Das Modulsystem (1.4) ~p,---~ :r,-~-.v.,-[-...-+-.v,-~-a,, ~ - ~ - . v , . % - ~ - . . . ~-x,, ,.z,,---a, . . . . . ~

=

x,.~:, ... x,, --

ist dazu nicht geeignet, da etwa die f(xi) o sind. Das System

0-5)

(--9"

a,

naeh diesem System nicht

f(-~,), f(-*9 . . . . , f(x,,)

kann auch nicht zu diesem Zwecke dienen, da etwa nicht y~-~_o wohl abet w i V z o

(rood f ( x l ) , f(w~) . . . . , f ( x , ) ) ,

(mod f ( x , ) , f ( x , ) . . . . , f(x,,))

gilt,

wobei

V

die

Vandermondesche Determinante der Gr6f3en x,, x2, ..., x , bedeutet. Die Systeme (1.4) und (I.5) sind nach moderner Ausdruckweise keine Primideale. 237

Schatunowski stellt ein verlangtes Modulsystem auf, indem er die von ihm genannten Cauchyschen Moduln zugrunde legt. Man erh~ilt diese Moduln folgendermat3en: als den ersten Modul nehme man /;(x,); als den zweiten Modul den Quotienten der Division yon /~(xL) durch x t - - x ~ ; als den dritten Modul den Quotienten der Division des nach Potenzen yon x, geordneten zweiten Moduls durch ~ 2 - - x 3 , usw. Das Cauchysche Modulsystem gibt ein mit dem entsprechenden Zahlk6rper isomorphes Restklassensystem dann und nur dann, wenn die Gleichung (1.3) affektlos ist. Dann ist jeder dieser Moduln irreduzibel nach dem System der ihm vorangehenden Moduln. Ist das nicht der Fall, so kommt Schatunowski zum allgemeinen Mertensschen Modulsystem. Die Grade dieser Moduln geben Aufschlut3 tiber die Transitivit~ts- und Primitivit~tsverh~iltnisse der Gleichung (1.3). Fallen z.B. die Z" ersten Moduln mit den Cauchyschen Moduln tiberein, so ist die Gruppe k-fach transitiv. Die Arbeit von Schatunowski enth~.lt die einleitenden Grundlagen der Theorie, die man heute Theorie der J~olynomideale nennt. Sie besch~iftigt sich mit den Bereiehen, deren Moduln reduzibel sind. Kann man dabei eine neue (endliehe) Anzahl Moduln adjungieren, so daf3 der Bereich sich in einen K6rper verwandelt, so wird der ursprfingliche Bereich ,,ttalbk'orper" genannt. Von Wichtigkeit ist der yon Schatunowski eingefiihrte Begriff der ErweiterunEen ~,zveiter Art. Er nennt so die Bereiche, die aus den urspriinglichen Bereichen entstehen, wenn man zu ihren Modulsystemen neue IVIoduln adjungiert, mit anderen Worten, gewisse nicht verschwindende Gr6f3en des ursprfinglichen Bereiches gleich Null setzt. Es w~ire natiirlicher, diese Erweiterungen Faktorbereic~e zu nennen, in Uebereinstimmung mit dem Begriff I;aktorgrz~pe. Es gilt der Satz, daf3 ein K6rper keine Erweiterungen zweiter A r t zulRt3t. Es ist dabei angenommen, dal3 alle K6rper nur die Charakteristik Null haben k6nnen. Gehen wir aber zu einer Primzahlcharakteristik p fiber, so l~iuft dies auf die Hinzuffigung des neuen Moduls p hinaus, und ein K/Srper bleibt K6rper. Indem man yon der Mertens-Schatunowskischen Definition der Galoisschen Gruppe ausgeht, kann man leicht den folgenden zuerst yon I. Schur (7o; vgl. auch 79) bewiesenen Satz beweisen: Die Gruppe eines Faktork6rpers ist ein Teiler der Gruppe eines ursprfingliehen K6rpers. 4. Die goewysche Begrtindung der Galoisschen Theorie hat einige Beriihrungspunkte mit der Mertens-Schatunowskischen Theorie, vor allem dadurch, daI3 sie die Zugrundelegung yon normalen K6rpern vermeidet. 238

Loewy geht nicht von einer, sondern von mehreren algebraischen Gr6f3en aus, die einen K6rper fi' erzeugen m6gen und Dir@enten genannt werden. Die erste Dirigente 01 ist Wurzel einer Gleichung mit den Koeffizienten aus dem Rationalit~itsbereich; die zweite Dirigente ist Wurzel einer Gleichung vom Typ f(Ol; :~) ~ o; die dritte vom Typ f(Ol, 0-~; z) ---~o, usw. Sind alle diese Gleichungen irreduzibel, so nennt Loewy ,,Transmutation des K~rpers ])" den Ersatz einer Dirigente Oi durch eine konjugierte Wurzel in allen Gleichungen, wo 01 vorkommt (was notwendig auch den Ersatz aller nachstehenden Dirigenten nach sich zieht), und beweist, dat3 iede Relation zwischen den Dirigenten nicht gest6rt wird, wenn man auf sie solche Transmutationen austibt. Diese Transmutationen k6nnen wohl gewisse K6rpergr6f3en aus dem K6rper _P hinausf/ihren. Diejenigen Transmutationen, welche aus dem K6rper P nicht hinausgehen, bilden eine Gruppe, welche Gruppe der automorphen Transmutationen genannt wird. Gruppentheoretisch bedeutet dies folgendes: Ein K6rper _/0 ist keineswegs, wenn er nicht normal ist, durch seine Gruppe bestimmt; er ist durch seine Galoissche Gruppe 05 und ihre Untergruppe ~ bestimmt, zu welcher eine primitive Gr6f3e von ~P geh6rt. Ist ~f der Normalisator der Gruppe f) innerhalb 05, so ist die automorphe Gruppe von P mit 2(/~ isomorph. Die Gesamtheit aller Transmutationen von _P bildet abet keine Gruppe im gew6hnlichen Sinne. Loewy nennt solche Operationsmengen 3/]zsc/l~rz/p~en und untersucht ihre Struktureigenschaften (47). Jede Mischgruppe ~ enth~ilt einen Kern 65, d. h. die gr6f3te in ~ enthaltene gew6hnliche Gruppe und besteht aus einigen Nebengruppen (Restklassen) nach 05. Es ist wesentlich, dat3 eine Faktorgruppe yon nach einer beliebigen (nicht notwendig normalen) Untergruppe f) yon 05 wieder eine Mischgruppe ist, deren Kern ~/05 ist, wo ~ den Normalisator von Y) innerhalb 05 bedeutet. Diese Tatsachen erlauben, eine Misehgruppe als ein mehr ad~iquates Bild eines K6rpers zu betrachten. Eine /ihnliche Gruppenbildung hat H. Brandt (7) eingeftihrt, welche das grandtscbe Gruppoid genannt wird. 5. Ehe wit zu den Arbeiten der zweiten Art iibergehen, mtissen wir die moderne Auffassung des Begriffes ,Galoissche Gruppe" darlegen, welche yon der ~.lteren Auffassung abweicht. Es ist ftir mich schwer, zu sagen, yon wem die neuere Auffassung herriihrt. Die ~iltere Galoissche Theorie betrachtete die Elemente der Galoisschen Gruppe, die Substitutionen (oder Permutationen), als Vertauschungen unter den Wurzeln einer erzeugenden Gleichung (die woh! auch reduzibel sein kann), welche s~imtliche Relationen zwischen diesen Wurzeln nieht st6ren. Die moderne Galoissche Theorie betrachtet dagegen UebergF, nge, welche 239

gleichzeitig alle Gr6f3en eines K6rpers K erleiden, ohne die zwischen ihnen bestehenden Relationen zu st6ren. Mit anderen Worten, ]edes Element der Galoisschen Gruppe ist eine Abbildung eines (normalen) K6rpers _/V auf sich selbst, oder, wie man in der Gruppentheorie zu sagen braucht, ein Automorphismus, d. h. ein solcher Uebergang aller Gr6i3en des K6rpers in andere Gr6f3en desselben K6rpers, welcher die Summe und das Produkt in die Summe bzw. das Produkt tiberfiihrt. 6. Ffir die Galoissche Theorie ist die gegenseitige Zuordnung der Unterk6rper von K und der Untergruppen seiner Galoisschen Gruppe vor allem wesentlich. Man kann das genauer wie folgt formulieren (43; 74, Anhang; 3): Man ordne jedem Unterk6rper Uvon K die gr6t3te Untergruppe s yon (~ zu, die die Gr6t3en yon U nicht ~ndert. A11dererseits ordne man jeder Untergruppe ~ yon ~ den gr6f3ten Unterk6rper U(~) von K zu, deren Gr6f3en sich nicht gegentiber ]) ~indern. Ist U~ ~ U,~, so ist ~ (U1) < ~ (U2) und umgekehrt. Auf3erdem gilt:

(1.6)

U[O (U)] > U, ~ [U(~)] > [) .

Man kann aber die Galoissche Theorie nur dann ohne weiteres entwickeln, wenn gilt : (1.7) (i.8)

U[s

= U, =

Damit (1.8) gelte, muf3 K fiber seinem Rationalifiitsbereich endlich sein (Krull, 43). Damit (1.7) gelte, muf3 K fiber seinem Rationalit~itsbereich yon der I. Art sein (Baer-Hasse, 74, Anhang). Besitzt _K den K6rper der rationalen Zahlen als Teller (dann sagt man: K hat die Charakteristik Null), so ist K jedenfalls yon der I. Art. Hat K dagegen die Charakteristik p (d. h. gibt es eine Primzahl p, die innerhalb K gleich Null ist), so ist K dann und nur dann v o n d e r I. Art, wenn eine den K6rper / ( erzeugende Gr6t3e einer irreduziblen Gleichung mit lauter verschiedenen Wurzeln genfigt. 2V ist tiber seinem Rationalitiitsbereich endlich, wenn es eine endliche Anzahl Basiszahlen gibt, so daf3 jede Gr6t3e von K linear dutch diese Basiszahlen mit den Koeffizienten aus dem Rationalit~itsbereich darstellbar ist. 7. Ist K unendlich, so hat Krull (43) den Hauptsatz der Galoisschen Theorie auch auf diesen Fall erweitert, indem er nicht alle Untergruppen yon ~, sondern nut die abgeschlossenen Untergruppen in 13etracht zog. 240

Darunter versteht er folgendes. Ist 7 ein Element von 05 und z ein endlicher normaler Unterk6rper yon K, so bewirkt y eine Abbildung yon z auf sich selbst. Bewirken y und y* eine gleiche Abbildung yon z, so sagen wit, y* befinde sich in einer z-Umg'ebung" von y. Diese Definition der U m g e b u n g erftillt alle Hausdorffschen Umgebungsaxiome: a) Jedes Element y ist in jeder seiner Umgebungen enthalten. b) Der Durchsehnitt zweier Umgebungen von 7 enth~ilt eine neue Umgebung von y. E r ist vielmehr selbst eine Umgebung von y. Denn der Durchsehnitt yon den zl- und z2-Umgebungen ist die z3-Umgebung, wobei z3 als Vereinigungsk6rper yon z, und z2 endlich und normal ist. c) Ist @ ein Element der z-Umgebung von 7, so gibt es eine Umgebung yon 3, die ganz in der z - U m g e b u n g von y liegt. Vielmehr fallen die z-Umgebungen von y und ~ zusammen, da sie den Inbegriff der Elemente von 05 enthalten, die unter den Elementen des K6rpers z eine und dieselbe Permutation bewirken. Sind ), und d verschiedene Elemente yon 05, so gibt es eine Umgebun K von ),, die das Element 3 nicht enth~ilt. Denn sind ?, und 3 versehieden, so gibt es in iV Gr6t3en, die sich gegeniiber y und $ verschieden verhalten. Da jede dieser Gr6f3en einen endlichen K 6 r p e r erzeugt, so entspreehen diesen K6rpern verschiedene U m g e b u n g e n yon ), und a. Diese Definition erlaubt, Hdufungselemente (H.-E.) zu definieren. Ist t) eine Untergruppe yon (6, so soll ein Hiiufungselement (kurz H.-E.) yon I~ Elemente yon f~ in jeder seiner U m g e b u n g e n enthalten. Ein H.-E. yon g? braucht wohl selbst in g? nicht enthalten zu sein. Enthiilt aber eine Untergruppe s von 05 alle ihre H.-E., so heit3t sie abgescMossen. Jede Gruppe, zu der ein Unterk6rper yon K geh6rt, ist abgeschlossen. U m g e k e h r t : zu jeder abgeschlossenen G r u p p e f) m u g ein Unterk6rper U yon K geh6ren, so dab s163 ] =- s gilt. Urn also die Fundamentals~itze der Galoisschen Theorie auf unendliche K 6 r p e r erweitern zu k6nhen, muf3 man nur diejenigen U n t e r g r u p p e n yon ~ in Betracht nehmen, welche abgeschlossen sind. 8. Die Bedingungen ftir das Bestehen der Relation (1.7) wurden yon R. Baer (3) ausfiihrlich untersucht. E r fand, dat3 es jedenfalls einen Zwischenk6rper S gibt, den er den starren K~rper zwischen K und dem Rationalitiitsbereich nennt. Der starre K 6 r p e r ist dadurch charakterisiert, daf3 K ordentlich ist (d. h. stets (1.8) gilt), wenn man S als Rationatitlitsbereich nimmt, wiihrend alle Gr6t3en yon S gegentiber allen Automorphismen yon K invariant bleiben. Ich kann hier nicht in die weiteren interessanten Ausftihrungen dieser Arbeit eingehen. 9. Es ist sehr schwer, die Galoissche Gruppe ftir die Fiille zu deft241

nieren, wo der zu untersuchende K6rper K einen h6heren Transzendenzgrad hat als sein Rationalit~itsbereich. Der Grund dazu liegt darin, dat3 die universdle Norm eines solchen K6rpers (d. h. der K6rper, welcher alle mit den Unterk6rpern yon /Y. konjugierten K6rper enth~ilt) ein unendlicher K6rper ist, dessen Definition schwer analytisch aufzufassen ist. Um eine Gruppe, welche die Haupteigenschaften der Galoisschen Gruppe besitzen soll, mindestens theoretisch aufzustellen, @ann man folgendes Schema skizzieren. Es seien xl, x~ . . . . . x~ die erzeugenden Gr6,f3en eines K6rpers At, zwischen denen gewisse algebraische Relationen bestehen m6gen, die wir mit (I)bezeichnen wollen. Man kann jeden Unterk6rper U yon /C analog dutch erzeugende Gr6t3en ~,, ~2, ..., ~,~ bestimmen, wobei die ~i sich rational durch die :r,-ausdrticken: ~-=

~ ( x , , x2 . . . . , x~)

(i ~

I, 2, . . . , ~ ) .

Die Gleichungen (i,)

~ ; ( x , , x~ . . . . , x~) =

~i(y,,y~ .....

yn)

(i--

1 , 2 , . . . , m)

bestimmen cinch neuen K6rper, dessen Erzeugenden [x~, x2, ..., x~; Y,, Y2 . . . . . y~; y~', ys' . . . . . y~'; ...] durch die Relationen (I) und (I I) verbunden sind. Diesen K6rper kann man relative Norm (in bezug auf U) von ] ( nennen. Der Uebergang von (a:,, x~ . . . . , x~) zu (Yl, Y~. . . . , Y~) wird als Transmutation v o n / C oder Permutation seiner Relativnorm bezeichnet. Durchl~iuft U s~imtliche Unterk6rper von K, so erzeugen die entsprechenden Relativnormen die gesuchte universelle Norm. Das Kompositum sRmtlicher soeben aufgestellter Permutationen ist eine Gruppe, die alle Haupteigenschaffen der Galoisschen Gruppe besitzt. IO. Man kann die Galoissche Gruppe eines K6rpers algebraischer Funktionen etwas anders aufstellen, indem man nicht die Funktionen des K6rpers, sondern die Gesamtheit ihrer Wertesysteme ins Auge fal3t, die die sogenannte absohtte Rz'emannsc~e Fldc~e bilden (vgl. 86). Dann fiihrt jede Transformation der Galoisschen Gruppe jeden W e f t einer Funktion von K in einen andern Wert fiber, so daf3 zwischen den Werten verschiedener Funktionen dieselben Relationen bestehen bleiben. Da jede Funktion durch die Gesamtheit ihrer Werte vollst~indig bestimmt ist, so werden dutch eine solehe Transformation auch die Funktionen bestimmt, in welche die gegebenen Funktionen iibergehen. Die verschiedenen Monodroznfeffrz~pen, die gewisse Rationalit~itsbereiche in Ruhe lassen, sind in dieser Gruppe enthalten. Es kann sehr wohl eintreten, daf3 eine Transformation einige Funktionen von K aus ]C hinausfiihrt. Das finder im Falle einer unabh~ingigen Ver~inderlichen seinen Ausdruck 242

darin, dat3 eine durch ihre Null- und Unendlichkeitsstellen bis auf eine multiplikative Konstante bestimmte Funktion

f~ -

p~' p~' ... P l P2

~,,,'

... t~,~

in ein Produkt

Pl P.~ ... P,, iibergeht, worin der Z~ihler und der Nenner in verschiedenen Idealklassen liegen. Jede Transformation, welche Divisoren i.~ ~iquivalente Divisoren iiberffihrt, geh6rt zu der sogenannten Gruppe der Tralzsflormationen in sich (38), die eine analoge Rolle spielt wie die von A. L o e w y (47) eingefiihrte Gruppe der automor2/zen Transfiormationen. I I. Es ist in der Theorie der algebraischen Funktionen eine Gruppe von Wichtigkeit, die mit der soeben definierten Galoisschen Gruppe in engem Zusammenhange steht. Es seien uip, V, u,,v,V, .... z4 'V die auf der Riemannschen F15.che von K definierten linear unabh~ingigen Abelschen Integrale I. Gattung. Das Jacobische Umkehrungsproblem besteht in der L6sung des Gleichungssystems (I.9)

@',, t'1' _[_ ~y~, i'~.' _~_ ... @ U,?~' P'~ ~ V~" (i ~--- I, 2 . . . . . p),

wobei die unteren Grenzen Pi gegeben und die oberen Grenzen p / gesucht sind und die Kongruenzen nach den Periodensystemen als Moduln genommen sind. Dieses Problem ist bei ,,allgemeiner L a g e " der Punkte Pl eindeutig 16sbar (54;4). Fassen wir die p,., p;' als Koordinaten der Punkte t ~ J )' eines p-dimensionalen Raumes auf, so bestimmt jedes Wertesystem der Parameter v; eine Transformation, welche jeden Punkt P in einen bestimmten Punkt P ' iiberfiihrt (hier mut3 man die sich durch die Ordnung der Koordinatenwerte unterscheidenden Punkte als nicht verschieden betrachten, so daf3 man diese Punkte eindeutig mittels der W e r t e der symmetrischen Funktionen von p; bestimmen kann). Die Gruppe dieser Transformationen ist mit der p-gliedrigen Gruppe der parallelen Verschiebungen i~n kleinen isomorp/z (vgl. 67) und findet ihren analytischen Ausdruck in den Additionsformeln der Abelschen Funktionen. Sie ist Untergruppe einer erweiterten Galoisschen Gruppe, die die Koordinaten des Punktes _P voneinander unabh~ingig transformiert. Im folgenden wollen wir diese Gruppe yacobisc/w. Gruppe nennen. 243

w

Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe

Das Problem der Auffindung von Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe gehSrt zu den wichtigsten Problemen der modernen Galoisschen Theorie und ist bis jetzt noch nicht gelbst. Es kann in den folgenden drei Arten aufgefaf3t werden: I. Man finde irgendwelche Gleichungen, deren Gruppe mit einer gegebenen Gruppe ~ isomorph ist. II. Man finde die allgemeinste parametrische Form der Koeffizienten einer Gleichung, deren Gruppe mit ~ oder einem Teiler yon isomorph ist. Die Darstellbarkeit der Koeffizienten in dieser F o r m soll notwendige und hinreichende Bedingung daftir sein, daG die Gruppe der Gleichung entweder mit ~ oder mit einem Teller yon (~ isomorph ist. III. Man stelle ein Verfahren auf zur Bestimmung yon Gleichungen, deren Gruppe mit (~ isomorph ist. Dieses Verfahren soll alle Gleichungen dieser Art erschSpfen, falls es hinl~nglich welt fortgesetzt wird. 2. Die Aufgabe II l~if3t stets eine L6sung zu, wenn itir eine gegebene Gruppe ~ der verallgemeinerte Liirothsche Satz (welcher auch Satz von der rationalen M i n i m a l b a s i s heit3t) gilt. Dieser Satz kann folgendermal3en formuliert werden: Ist K . (xl, x2 . . . . , :r.) der Kbrper der rationalen Funktionen der Ver~inderlichen & , x,, . . . . , x . , so ist jeder Unterk6rper yon K . (x,, x , , . . . , x.) mit K,~ (xl, x, . . . . . x~,) (m ~ n) isomorph. (Man kann auch sagen : dieser K6rper ist rein transzendent). Diesen Satz hat Ltiroth (48)ftir den Fall n = I bewiesen. Castelnuovo (I5) hat den Beweis fiir n = 2 gefunden. Fiir den Fall n ~---3 haben G. Fano (21) und F. Enriques (20) ein Gegenbeispiel gefunden. Ftir die t 6 s u n g der Aufgabe II ist aber dieser Satz nicht in seinem vollen Umfange notwendig. Beschriinken wir uns auf den Fall, dat3 der zu untersuchende Unterk6rper den Kbrper der elementar-symmetrischen Funktionen yon x,, x~ . . . . , ~-, enth~ilt, so ist die Richtigkeit des Satzes mit der L/Ssbarkeit der Aufgabe II vollst~indig iiquivalent. Nun ist aber die Frage nach der Richtigkeit dieses Satzes ,,in engerer Fassung" bis jetzt often (vgl. 74, Bemerkung yon B. L. Van der Waerden). Triftt auch dies nicht allgemein zu, so kann man ftir jede abstrakt gegebene endliche Gruppe ~ entscheiden, ob sie ,,Ltirothsch" ist oder nicht, d . h . ob der Kbrper K (a,, a.a . . . . . a , ; ~0) rein transzendent ist, wobei ~ als Permutationsgruppe yon &, x~, ..., x,~ dargestellt ist, a,, a2 . . . . , a , die 244

elementar-symmetrischen Funktionen yon x , , .*'~ . . . . , .r,, sind, und q eine zu 05 geh6rende Funktion yon xl, x., . . . . , x,, ist. 3- E. Noether (55) hat aus der Aufgabe II die Aufgabe I gefolgert, indem sie den Hilbertschen Irreduzibilit~ttssatz (35) heranzog, nach welchem man bei jedem irreduziblen Polynom fiir den einen Teil der Variablen solche Zahlenwerte wiihlen kann, daf3 sich ein irreduzibles Po!ynom der tibrigen Variablen ergibt. Man kann dieses Ergebnis etwas versch~irfen, indem man nicht nur die Aufgabe I, sondern auch die Aufgabe III aus der Aufgabe II folgert. Dazu benutzt man das folgende yon M. Bauer (5,6) angegebene Verfahren. Es ist bekannt, daf3 die Galoissche Gruppe 05 einer algebraischen Gleichung

(2.1)

A . ' " + ( ' l l . ~ "n 1-~--- . . . -{- ~ n 1 , . $ ' @ ( l r t = O

sich in eine ihrer Untergruppen verwandelt, wenn man die Gr6f3en des RationalitS.tsbereiches nicht absolut, sondern modulo einer Primzahl (oder eines Primideals) dieses Rationalit~itsbereichs betrachtet, wenn man also den Rationalit~itsbereich dutch seinen Faktorbereich ersetzt (16, 7o, 79). Es ist andererseits bekannt, daf3 die Galoissche Gruppe einer Primzahlmodulkongruenz zyklisch ist, und daf3 dabei eine erzeugende Permutation der letzteren Gruppe aus den Zyklen yon den Ordnungen besteht, die den Graden der irreduziblen Bestandteile unserer Kongruenz gleich sind. Daraus folgt: gilt (2.2)

f (x) : ~ . .Y. (, : )

. :t:(:) . . 2 . . . . . .~'(:) ~

(mod P)

wobei X n(:) i ein modulo P irreduzibles Polynom vom Grade n i bedeutet (n, + n~ -[- ... -1- nk z n ) , so enth~lt die Gruppe yon (2.I) eine Permutation mit den n,-, n : , ..., nk-gliedrigen Zyklen. 4. Wir nehmen an, der K 6 r p e r K ( a , , a2 . . . . . a,,; q~) sei rein transzendent (vgl. die Bezeichnungen der N ~ 2). D . h . es gibt rationale Funktionen r,1, zr2, ..., zr, yon a , , a~ . . . . . a,,; ~0 derart, daf3 umgekehrt a,, a2, ..., a , ; ~0 sich durch die 7ri ausdriicken lassen. Nun sei (b,, 052, .... 05s ein System der U n t e r g r u p p e n yon 05 derart, dat3 jede echte Untergruppe yon 05 ein Teiler wenigstens des einen yon den 05,- ist. Ein solches System kann man sicher aufstellen, indem man als die 05i z.B. alle echten Untergruppen yon 05 nimmt. Es sei ~0i eine zu 05; gehSrende Funktion yon .v~, x, ..... x~ (i ~ I, 2, ..., s), und es sei F; (xl) das Polynom des niedrig'sten Grades, dessen Koeffi245

zienten rationale Funktionen von 7q, 7r~, ..., ~, sind und dessen Wurzel 91 ist ( i ~ I, 2, ..., s). Man erkennt, daf3 der Grad you 1;i(zi) dem Index (~:(~i) gleich ist ( i = I, 2 . . . . , s) . Die Gruppe der Gleichung Fi(~;)~-~ 0 enth~ilt als transitive Permutationsgruppe eine Permutation ~., welche alle Ziffern iindert. Dieser Permutation entspricht wenigstens eine Permutation von ~ . Es sei Si eine solche Permutation, deren Zyklen von den Ordnungen n~, n2, ..., nk sein m6gen. Man nehme eine beliebige Primzahl Pi ~ n - - 2 und man setze

(2.3)

f ( x ) ~- .~,,

x,,

... x . ~

- (-~i) wobei 2~,j ein modulo Pi irreduzibles Polynom v o m Grade ny bedeutet. Dadurch werden ftir die al die Kongruenzklassen modulo Pl bestimmt. Wir setzen diese in die Ausdrticke der Koeffizienten der Gleichung F(~,) ~ o ein und erhalten die K o n g r u e n z

F (~) -~ o

(mod Pi) ,

welche sicher eine oder m e h r e r e rationale Wurzeln hat. Es sei q~i eine dieser Wurzeln. Daun gehe q01 in die anderen rationalen Wurzeln tiber mittels einiger Permutationen 2',, 2"~. . . . , 2'v der symmetrischen Permutationsgruppe $ yon :r~, x~ . . . . . :r~. Durch die Festsetzung (2.3) ist die , b r e i t e " Klasse der Permutation bestimmt, zu der Pi geh6rt, d.h. die Gesamtheit aller mit S~ innerhalb 5 ~ihnlichen Permutationen. W~hlen wir aber die Kongruenzklasse von q~i fest, so wird dadurch eine Abteilung von Si innerhalb ~i bestimmt. Ist 2~ die Abteilung yon Si, so sind

g e r a d e diejenigen Abteilungen yon ~ , welche den Z y k l e n t y p von Si haben. Einer dieser Abteilungen muf3 die Abteilung der von uns gew~.hlten Permutation S,. entsprechen. Setzen wir die W e r t e von 9~s" ( j z I, 2, ..., v) in die Ausdrticke der Koeffizienten der G!eichung Fi(zi) ~ o ein, so entspricht mindestens eine der daraus entstandenen Kongruenzen /;~'(zl)~ o (modp;) der Permutation ~. und besitzt demnach keine rationale Wurzeln. D.h. Pi geh6rt in K ( x ~ , x ~ . . . . , w , ) zu einer Permutationsklasse, welche nicht in ~5i enthalten ist. N e h m e n wir i z I, 2 . . . . , s, so erhalten wir ftir a~, as, ..., an; qo und also ftir ~r~, rc~. . . . , rG die Kongruenzklassen modulo 1o ~ P l P ~ . . . P s . 246

Wiihlen wir dabei die zr; innerhalb der soeben bestimmten Kongruenzklassen fest und setzen diese Werte in die Ausdrficke der Kongruenzen der Gleichung f ( x ) = o ein, so ist die Gruppe der so entstehenden Gleichung genau 03. Denn sie ist einerseits kraft der parametrischen Ausdriicke yon den al in 03 enthalten. Andererseits ist sie wegen der aufgestellten Kongruenzbedingungen in keiner der Gruppen 031,03~ . . . . . 03, enthalten. 5. Will man insbesondere die affektlosen Gleichungen aufstellen, so kann man nach einem Vorgang yon M. Bauer drei beliebige Primzahlen p, q, r (r ~ n - - 2 ) nehmen und dann das Polynom f(.v) dutch drei Kongruenzbedingungen f(w) ~ X~ ~) (mod p) , f(x') ~ A~r ( x ' - - b ) (mod q) , f(.v) ~ 21~(') (.r--b,) (x'--b2) ... ( x - b,,_ ~)

(mod r)

beschr~inken. Die Gruppe der Gleichung /;(x) = o enth~ilt einen n-gliedrigen, einen (n--I)-gliedrigen Zyklus und eine Transposition und ist demnach die symmetrische Gruppe (5, 6, 79)6. Das in N~ dargelegte Verfahren erlaubt, alle m6glichen Gleichungen mit der Gruppe 03 zu ersch6pfen, wenn man es hinl~inglich weit fortsetzt. Das folgt aus dem folgenden Ergebnis von Frobenius (23): Enth~tlt die Gruppe der Gleichung f ( x ) = o eine Permutation mit den Zyklen ~a,, n~, ...,nk ( X n ; = n), so gibt es unendlich viele Primzahlen p derart, daf3 die Kongruenz f ( w ) ~ o (mod _p) in irreduzible Polynome yon den Graden n , , ~.,, ..., nk zerf~illt. Der etwas vage Begriff ,,alle Gleichungen" kann dadurch pr~izisiert werden, dat3 wir uns die Aufgabe stellen, s~imtliche Gleichungen mit der Gruppe 03 aufzustellen, deren Koeffizienten eine gegebene Grenze nicht iibersteigen. Dazu muf3 man das Frobeniussche Resultat folgendermat3en verschSxfen : Man finde die Grenzen, unterhalb deren sich gewit3 eine vorgeschriebene Anzahl der Primzahlen yon verlangter Beschaffenheit befindet. Solche Grenzen haben L. Kronecker (42) und F. Mertens (49) fiir den Fall der arithmetisehen Progressionen angegeben. Ich habe diese Absch~itzung tiir die Frobeniussche Aufgabe durehgefiihrt (8I). Das Ergebnis ist wie folgt. Ist (2.4)

x = Max

2 ~ ge/ld @21

ffir a l l e d I / ,

247

so sind im IntervaUe (1, :r) sicher V Primzahlen enthalten, die zur Abteilung von S geh6ren. Die Konstanten A d , g.d, h a , W h~tngen yon den gewissen Unterk6rpern yon K und v o n d e r Zahl /7 ab. Um diese Grenze explizite dutch die Koeffizienten der Gleichung (2.I) auszudriicken, ist es n6tig, fiir gewisse Konstanten von K Abschiitzungen anzugeben. Ganz neuerdings hat R. Remak (61) ffir den Regulator eines K6rpers eine obere und eine untere Grenze aufgestellt, was ftir die Absch~tzung der Formel (2.4) besonders wichtig ist. 7. Suchen wit nut die L6sung der Aufgabe I, so ist die L6sbarkeit der Lfiirothschen Aufgabe nicht notwendig. Ist fi'(9))7__ o die Gleichung, der eine zu ~5 geh6rende Funktion 9) genfligt, so sind die Koeffizienten des Polynoms /7 (9)) rationale Funktionen der Koeffizienten a,, a2, ..., a,, " (PJ) " (~J) . . . . t,, "z(PJ) (modpj), des Polynoms fl(x). Nehmen wir f ( x ) ~ A:, 1 _~,~ k so werden dadurch die al modulo p j bestimmt. Setzen wir ihre W e r t e in die Kongruenz F ( z ) z o (mod p j ) ein, so muf3 diese Kongruenz wenigstens eine rationale Wurzel haben. H a t sie mehrere Wurzeln, so w~ihlen wir unter ihnen diejenige, welche einer fiir uns n6tigen Abteilung entspricht. DurchlSuft j die W e r t e 1, 2, ..., s, so werden a,, a~ . . . . , a~; %o modulis p , , p~ . . . . . p , , also modulo P ~ - p , P2 ..-Ps bestimmt, sind also

(o) ~(0)

_(0)

in der F o r m al - - al :)) ~- P t i , 9) ~ 9)0 -j- ])u darstellbar, wo a~ , -2 ,..., ~,, ; 9) Konstanten bedeuten. Setzen wir dies in die Gleic/1zr F (9))~-o ein, so erhalten wir eine Diophantische Gleichung (P (t,, t2, ..., t~; u ) ~ o . Die Aufgabe l~uft demnach auf die L6sung dieser Gleichung hinaus. Man beachte dabei, daf3 diese Gleichung folgende Eigenschaften besitzt: 1) Sie ist stets in gebrochenen rationalen Zahlen 16sbar. Man kann mimlich statt der ai die elementar-symmetrischen Funktionen der n willktirlichen rationalen Zahlenwerte einsetzen, so dal3 die L6sung n ,,Freiheitsgrade" besitzt. 2) Sie ist stets in ganzenp-adischen Zahlen 16sbar, wobei die Primzahlp ganz beliebig zu w~ihlen ist. Die L6sbarkeit der Gleichung ~0 ___~0 hiingt v o n d e r Wahl der zu ~5 geh6renden Funktion nicht ab. 8. Es sind der L6sung der in Rede stehenden Aufgaben fiir einige spezielle Gruppen viele Arbeiten gewidmet. An der ersten Linie steht die A r b e i t von D. Hilbert (35), in welcher die Aufgabe I auf Grund des Irreduzibilit~tssatzes ftir symmetrische und alternierende Gruppen j e d e r Ordnung gel6st ist. Die wirkliche Aufstellung von Gleichungen mit alternierender Gruppe wurde neuerdings von I. Schur (72) fast vollstiindig 248

durchgeftihrt. Ist n~imlich n ~ o (mod 4), so zeigt Schur, dat3 die Gleichung .:V

X '2

:'c" n

E . (x) = i -~- ~ -t- ~.~ + ... ~- ~ . , = o die alternierende Gruppe als Galoissche Gruppe besitzt. Andererseits beweist er (Crelle: I65, I931), daf3 bei n_=_ : (rood 2) die Gleichung

,--

(:)x :)x2 2!+

- 3 i - - ..- + ( - '1~ (n_t_ :)! - ~

ebenfalls die alternierende Gruppe als Galoissche Gruppe hat. 9. Bei der L6sung der Aufgabe II ist es wichtig, die Ltirothsche Aufgabe dutch rationMzaMige rationale Funktionen zu 15sen. Dieser Frage ftir den Fall aufl6sbarer Gruppen vom Primzahlgrad sind die Arbeiten yon S. Breuer (IO, I I) und Ph. Furtw:ingler (27) gewidmet. Furtw:ingler hat fiir den Fall zyklischer Gruppen vom Primzahlgrad 2 folgendes hinreichendes Kriterium aufgestellt: Die Aufgabe l~if3t eine L6sung zu, wenn es gelingt, ein ganzzahliges Zahlensystem eo, e,, ...,e~_.~ aufzustellen, so daf3 I) die Hankelsche Determinante Co,

t~

...,

ep

~:'1 ~

g2 ~

9 9 .~

CO

ist, 2) die Kongruenzen ~-' el g i ~ o (mod 2) gelten, wobei g" eine Primitivwurzel yon 2 ist. Dieses Kriterium ist z.B. fiir 2 =- 47 nicht erfiillt. Nachtfiiglich gibt Furtw/ingler einige allgemeine Vorschriften fiir die Aufstellung der rationalen Minimalbasen von metazyklischen Gruppen. Breuer hat mehrere ~ihnliche Kriterien hergeleitet, indem er seinen Satz tiber die Zerspaltung eines K6rpers der rationalen Funktionen yon n Ver~nderlichen in zwei UnterkSrper benutzte, yon denen einer yon den vollmetazyklischen Funktionen der erzeugenden Ver~inderlichen abh~tngt. Io. Die Aufgaben I und IIi wurden auf Relativk6rper erwcitert. Zun~ichst kann die Aufgabc III als f~r Relativk6rper gel6st betrachtet werden, wenn einc bckanntc Rationalbasis nicht rationalzahlig ist, son249

dern gewisse Kreisk6rperzahlen unter den Koeffizienten enth~.lt (vgl. z. B. E. Fischer, 22). Das ist aber keine Erweiterung der Aufgabe. Eine L6sung der Aufgaben I und III kann nur dann als befriedigende Erweiterung der Aufgaben auf Relativk6rper betrachtet werden, wcnn wir auch fiber die absolute Galoissche Gruppe etwas sagen k6nnen. Man kann die Arbeiten yon O. Ore (57) und H. Hasse (3~ , 31) als die ersten in dieser Richtung nennen, obwohl sie sich nicht unmittelbar mit diesen Aufgaben besch~iftigen. Hasse legt einen Zahlk6rper k und eine Anzahl der darin enthaltenen Primideale 1ol zugrunde. Dann findet er unendlich viele Oberk6rper K, in denen die Pi in Primideale von vorgeschriebener Ordnung und Multiplizit~it zerfallen. Sodann macht er eine wesentliche Verschlirfung dieses Resultats, indem er die vorgeschriebenen Zerlegungen reguliir annimmt und verlangt, daf3 K / k relativ Abelsch ist. Er gibt den Existenzbeweis unter gewissen einschr~inkenden Voraussetzungen. I I. Die allgemeine Aufgabe I ftir Relativk6rper kann folgendermaf3en formuliert werden (vgl. 84): Aus162 A. Es sei ein algebraischer Zahlk6rper k gegeben, dessen Gruppe 6 sein m6ge. Es sei aut3erdem eine abstrakte Gruppe ~ mit einem Normalteiler E)gegeben, so dab die Faktorgruppe (~/s mit isomorph ist. Man finde die notwendigen und hinreichenden Bedingungen daftir, daf3 es einen Oberk6rper K yon k gibt, dessen Gruppe mit isomorph ist. Das nachstehende Beispiel zeigt, daf3 diese Aufgabe in manchen F~llen nicht 16sbar ist. Es sei k zyklisch vom Primzahlgrade l. tb sei zyklisch v o n d e r Ordnung l". Die kritischen Primzahlen yon k seien wohl _~ I (mod l), aber nicht ~ I (mod 1~). Aus dem ~,alzlentlzeorer Jklo~zodromiesats folgt, daf3 _/C wenigstens eine Tr~igheitsgruppe yon der Ordnung l ~ enthalten muf3 (vffl. 82). Die einer solchen Tragheitsgruppe entsprechende Primzahl p muf3 auch in k kritisch sein, was unm6glich ist, da sie bekanntlich die Kongruenz p ~ I (mod 1~) befriedigt. Dieses Beispiel zeigt auch, daf3 die L6sbarkeit der Aufgabe A nicht durch die blosse Struktur der Gruppe ffS, sondern auch durch gewisse arithmetische Eigenschaften des K6rpers k bestimmt wird. I2. Ftir die Aufgabe A in bezug auf Abelsche Gruppen hat A. Scholz (63, 64) besonders wichtige Ergebnisse erhalten. Seine Untersuchungen betreffen meistens die zweistufigen Gruppen (d.h. Gruppen mit Abelschen Kommutatorgruppen) und schreiten wesentlich in zwei Richtungen fort. Erstens hat er eine sehr zweckm~ff3ige Klassifikation yon zwei-

250

stufigen Gruppen durchgeffihrt. Die einfitchste seiner Klassen, welche er

Dispositionsgruppe~z nannte, l~iGt eine L6sung der Aufgabe A unabh~ngig von den arithmetischen Eigenschaften des K6rpers k zu (63). Man kann die Dispositionsgruppe als Gruppe ~ definieren, deren Abelsche Normalteiler ~ das direkte Produkt aller zyklischen Gruppen ist, die mit einer yon ihnen konjugiert sind. Auf3erdem soil jede dieser zyklischen Gruppen keinen Normalisator auger s besitzen. Scholz hat ffir die Dispositionsgruppen folgende zwei S~itze bewiesen: I) Eine Dispositionsgruppe ~3 wird vollst~ndig bestimmt, sobald man die Gruppe ~3/s und die Ordnung eines erzeugenden Elements yon kennt. 2) Ist ein algebraischer Zahlk/Srper k mit der Gruppe ~/~7) gegeben, so kann man stets einen Oberk6rper K finden, dessen Gruppe mit isomorph ist. Sparer hat Scholz den ersten dieser S~itze auf den Fall erweitert, wo sowohl ~/f~ als auch 1~ nieht Abelsch, sondern ganz beliebig sind (65). Zweitens hat Scholz andere m/Sgliche Typen yon zweistufigen Gruppen eingehend untersucht (64). Er hat n~.mlich unter allen zweistufigen Gruppen zwei JF[aximaltypen (d. h. solche Typen, dat3 eine jede zweistufige Gruppe als Faktorgruppe eines Produkts yon Gruppen dieser Typen dargestellt werden kann) gefunden: Ringgruppen und Zweigxrztppen. Ringgruppen sind stets Faktorgruppen gewisser Potenzen yon Dispositionsgruppen. Zweiggruppen besitzen dagegen eine Eigenschaft, die eine solche Darstellung nicht zul~13t: sie haben keine Abelsche Obergruppe der Kommutatorgruppe. Demnach bleibt die Frage nach der Existenz von Relativk/Srpern mit Zweiggruppen often. 13. Ich habe der Aufgabe A eine Arbeit gewidmet (84). Darin habe ich den Begriff der Dispositionsgruppe etwas verallgemeinert, indem ich die Forderung, dab jede erzeugende zyklische Untergruppe yon s keinen Normalisator auger ~ zul~it3t, weggeworfen habe. Dann entstehen die sogenannten Sc~ol,~scteen Gruppen, denen die reinverzweigten (d. h. keine unverzweigte Oberk6rper yon 1~ enthaltenden) K6rper mit den Relativdiskriminanten entsprechen, deren Primidealteiler innerhalb k nicht kritisch sind. Die Frage nach der Einzigkeit einer Scholzschen Gruppe, wenn die Faktorgruppe ~3/~, die Ordnung eines erzeugenden Elements von ~ und sein Normalisator gegeben sind, bleibt often. Die Frage nach der Existenz eines Relativk6rpers mit einer gegebenen Scholzschen Gruppe ist auf die Existenzfrage yon Hauptprimidealen p mit vorgeschriebenen Werten des Hasseschen Normenrestsymbols ( P 2 ~ ) ( v g l . I8

Commentarii Mathematici Helvetici

25I

Hasse, 32 III) zurtickgefiihrt. Diese Frage liegt aber auf3er dem Rahmen der bis jetzt bekannten analytischen Idealtheorie. I4. Geh/srt die Gruppe 05 nicht zum Typ der Scholzschen Gruppen, so kann man nur dann die Existenz eines entsprechenden Oberk6rpers erwarten, wenn er entweder einen absoluten Teilklassenk6rper enth~lt oder seine relativ kritischen Primideale auch innerhalb k kritisch sin& In diesem Falle bleiben wit unter der vollen Herrschaft der individuellen Eigenttimlichkeiten des K6rpers k. Die Gruppen der absoluten Klassenk6rper k6nnen ebenfalls nicht ganz willktirlich sein. Einerseits sind sie dutch den schon obenerw~ihnten Monodromiesatz beschr~nkt, nach welchem alle Tr~gheitsgruppen durch Komposition die volle Galoissche Gruppe des K6rpers erzeugen, w~ihrend die Tr~tgheitsgruppen eines relativ unverzweigten K6rpers eine eineindeutige Abbildung auf die Tr~igheitsgruppen des Grundk6rpers k zulassen. Ieh habe, indem ich yon diesem Prinzip ausging, eine Klassifikation der m6glichen Gruppentypen von absoluten Klassenk6rpern durchgeffihrt (82). Andererseits haben F. Pollaczek (60) und Scholz (66) eine durch die Eigensehaften des Grundeinheitensystems beeinflul3te Einschrankung der absoluten Klassenk6rper entdeckt und entwickelt.

w

Ueber die analytische Form der zu vorgeschriebener Permutationsklasse gehSrenden Primzahlen I. Ein algebraischer Zahlk6rper ist bekanntlich nicht durch seine Galoissche Gruppe vollst~ndig bestimmt. Die bekannten Invarianten, die den K/Srper vollstiindig bestimmen, sind die sogenannten Artin-Symbole (@) (3 2 III, S. 6), d.h. die Permutationsklassen, zu denen einzelne Primzahlen geh6ren. Die Anzahl dieser Invarianten ist unendlich, woraus folgt, dal3 sie nicht voneinander unabh~ingiff sein k6nnen. Die zwischen ihnen bestehenden Relationen k6nnen hergeleitet werden, wenn wir die analytische Form kennen, in welcher die Primzahlen darstellbar sind, die zu gewissen Permutationsklassen geh6ren, d.h. einem und demselben Wert von ( ~ - ) e n t s p r e c h e n .

Es erweist sich, daf3 solche analytische

Formen yon den Struktureigenschaften der entsprechenden Gruppen 65 abNingen. Dieser Zusammenhang liefert einen tiefen Einblick in die arithmetisehe Struktur eines K6rpers mit bekannter Galoisschen Gruppe. 2. Zun~ichst erinnere ich an den klassischen Fall eines Abelschen K6rpers. Damit eine Primzahl zu einer gegebenen Permutation (in 252

diesem Fall besteht jede Permutationsklasse nur aus einer Permutation) geh6re, mug sie in der Form einer der verschiedenen arithmetischen Progressionen a x - ~ - b darstellbar sein, die der Permutation der Galoisschen Gruppe eindeutig entsprechen. Die Zahl a ist ftir alle Permutationen dieselbe und besteht aus den Primzahlen, die in der Diskriminante des K6rpers aufgehen, w~hrend die b den verschiedenen Permutationen der Galoisschen Gruppe zugeordnet sind. 3. Der weitere klassisch gewordene Fall entspricht der komplexen Multiplikation der elliptischen Funktionen. Ist ein Zahlk6rper relativ Abelsch tiber einem imagin~r-quadratischen K6rper, so ist jede zu einer gegebenen Permutationsklasse geh6rende Primzahl durch eine oder mehrere positive quadratische Formen darstellbar, deren Diskriminante von dem K6rper abh~.ngt (genauer: gleich der Diskriminante des imagin~tr-quadratischen K6rpers ist) und deren Klassen den Permutationsklassen zugeordnet sind. 4. Diese Tatsache wurde von Kronecker vermutet (,,Jugendtraum") und von R. Fueter (24, 25) bewiesen. Die Prinzipien, auf denen sie beruht, folgen aus der verallgemeinerten Klassenkbrpertheorie. Faf3t man n~mlich nur diejenigen Zahlen eines K6rpers k als Hauptideale auf, welche gewissen Kongruenzen modulo eines Ideals [ (welches man Fiihrer nennt) gentigen, und ist It die Klassenzahl in diesem neuen Sinne, so gibt es einen relativ Abelschen K6rper K vom Relativgrade k, sogenannten Klassenk6rper, der die Eigensehaft besitzt, dalB innerhalb K diejenigen und nur diejenigen Primideale yon k vollst~ndig zerfallen, welche in der Hauptklasse liegen (Ph. Furtw~ngler, 26; T. Takagi, 76). Man kann umgekehrt jeden tiber k relativ Abelschen K6rper als einen Klassenk6rper mit geeignet gew~hltem Ftihrer betrachten (Fueter, 24; Takagi, 76; Hasse, 32). 5. Nun stellen wir uns die allgemeine Frage naeh der analytischen Form der Primzahlen, welche zu dutch die Potenzen einer Permutation S erzeugten Klassen geh6ren. Es sei ein normaler algebraischer Zahlk6rper K gegeben, dessen Gruppe sei 03. Es sei ferner oc eine Permutation yon 03. Damit eine Primzahl p zu einer der Klassen geh6re, die durch Potenzen yon S erzeugt sind, ist notwendig und hinreichend, daf3 der zu ~s geh6rende Unterk6rper K s yon K ein Primidealteiler p von p ersten Grades enth~ilt, wobei e~s die dutch Potenzen yon S erzeugte zyklische Untergruppe von 03 ist. Es sei a, as, . . . , aa ein System der Repriisentanten aller verschiedenen Idealklassen von /(s, und es sei (/z~i),/z~i), ...,/z~')) eine Basis des Ideals 253

a, (i = 1,2 . . . . . /z). Dann ist A r ([~"' x, @/z~~ x., @ ... -~- lt~~ x,,) die (zerlegbare) F o r m ~-ten Grades der Ver~inderlichen x~, x2 . . . . , x~, deren Koeffizienten die Zahl N(al) als gr6f3ten gemeinsamen Teiler haben. D e r Quotient

(3.i) N ~ / x ,

+

~,

~ + ~v(~,)

...

~-~j_

.

.

~.(x,, x2, .

.

.,-,) ( i =

'

~, 2,

..

"'

/~)

ist also eine primitive F o r m n-ten Grades. E r g e b e n wir den x; alle ganzen rationalen Zahlenwerte, so durchlaufen die W e r t e der F o r m f,.(x~, x~ . . . . , .v~) die N o r m e n aller Ideale, deren Klasse zu der Klasse von a; entgegengesetzt ist. Denn liegt b in der zu a,. entgegengesetzten Idealklasse, .if) if) so ist ha; ein Hauptideal, welches mit einer Zahl .,-~,~z~ @ x2/2~ @ ... @ 9

~,,

~,0") des Ideals cti assoziiert sein m6ge. Es gilt also: .

lV(b) X ( a , ) = l V ( x , ~ ? - t - x ~ , 4 '

@ ... -,I- x "~ . ~ ~m ) =

X ( a , ) ~ . ( x , , x ~ . . . . . x,).

Ist p ein Primideal ersten Grades von -Ks, gilt also N(p) ~ p , so suche m a n denjenigen Repr~isentant al, dessen Klasse zur Klasse von p entg e g e n g e s e t z t ist. Dann ist p in der F o r m ~-(x,, x2 . . . . . x,) darstellbar. Ist umgekehrt p in der F o r m ~.(x,, x~, . . . , x~) darstellbar, so ist 2V(a,.)p in der F o r m iV (x, F~i)@ x~ It.(.,;)@... --[-x'~/~')) darstellbar. Die Zahl x, lz~;) ... x~lz . ist dureh al teilbar, und die N o r m des Quotientenideals x'~ 12~'~ @ . ~, 2 @ ... @ x~

ist gleich p. Daraus folgt, dal3 es ein

al

Ideal mit der N o r m p gibt. Dieses Ideal mut3 ein Primideal vom G r a d e I sein. 6. U m die Bedingung ftir die Zugeh6rigkeit einer Primzahl p zur Abt e i l u n f yon S aufzustellen, mtissen wir ihre Zugeh6rigkeit zu den Potenzen S* yon S ausschlief3en, deren E x p o n e n t e n k nicht zur Ordnung f yon S relativ prim sind. Dazu muf3 p in-Ks mindestens ein Primideal ersten Grades enthalten, wiihrend dies ftir kein K s k zutrifft, wenn (k, D - ~ I i s t . Sind (3.-')

gi(x,,

x~ . . . . .

x~),

~;(x,,

x, ....

, x,),

...

die den K 6 r p e r n Ksk entsprechenden F o r m e n , die ebenso wie die F o r m f,.(:r~, xz . . . . . x-,,) g e b a u t sind, so geh6rt p zur Abteilung von oc dann und nur dann, wenn sie dutch eine der F o r m e n (3.I), aber durch keine der F o r m e n (3.2) darstellbar ist. 254

7- Wie kann man die Zugehtirigkeit einer Primzahl p zur Klasse von S charakterisieren? Ich kann das nur dann dartun, wenn ich eine Zahl a derart kenne, daf3 p / ~ I (mod a) ist, aber keine niedere als die f-te Potenz von p ~_ I (mod a) ist. Bildet man dann den Unterk6rper K(~/) des K6rpers der a-ten Einheitswurzeln, so bleibt p in K(r~)unzerlegbar. Ist p 7-~ b (mod a), so gilt: ~l~ ~ ~a (mod p). Nun bilden wir die Gr6f3e

~ = ~to 4- ~la~os 4,- ... 4- , j - 1

~os,i-1,

wobei ~o eine Gr6f3e von K ist, und die Gleichung q)(.~) z o, der geniigt. H~ilt man schon fiir festgestellt, daf3 p zur Abteilung yon S geh6rt, so geh6rt p znr Klasse yon S dann und nur dann, wenn die Kongruenz q) (~) ~ o (modp) rationale Wurzeln besitzt, d. h. wenn p im K6rper K (.~) mindestens einen Primidealteiler vom Grade z hat. Man kann also ein Formensystem derart aufstellen, dat3 p durch sie dann und nur dann darstellbar ist, wenn p zur Klasse yon S geh6rt. Man kann ftir j e d e s p gewit3 die entsprechende Zahl a finden ; den verschiedenen p entsprechen aber verschiedene Formen. Ich kann demnach nicht eine endliche Anzahl yon Formen aufstellen, die ftir s~mtliche Primzahlen giiltig w~iren. 8. Aus diesem Kriterium folgen die in N ~ N ~ 2,3 betrachteten klassischen Kriterien nicht. Um ein allgemeineres Kriterium aufzustellen, betrachten wir den Fall, daf3 ~ einen Abelschen Normalteiler ~ hat. Dann kann man K als einen relativ Abelschen K6rper in bezug auf den zu ~ geh6rigen K 6 r p e r /r auffassen. K ist also ein Klassenk6rper yon k. Nach dem allgemeinen ReziprozitRtsgesetze yon E. Artin (2) besteht zwischen den Permutationen yon f~ und den Idealklassen (genauer: den Restklassen nach einer gewissen Idealklassenuntergruppe) yon k eine eineindeutige Beziehung, welche den Charakter eines Isomorphismus hat. Die dem K6rper k entsprechenden Formen (3.i) zerfallen demnach in die Formensysteme ~,., von denen jedes einer der erw~ihnten Restklassen entspricht. Die Anzahl der Formensysteme ist gleich der Ordnung yon ~. Das Artinsche Reziprozit~itsgesetz besagt, daf3 eine Primzahl p dann und nut dann durch eine der F o r m e n des Systems 23; darstellbar ist, wenn sie zur Klasse yon Si geh6rt, wobei Si eine dem System 23; entsprechende Permutation yon CQ ist. Dieses Formensystem hat den Vorteil, daf3 der Grad der ihnen entsprechenden F o r m e n im allgemeinen niedriger ist. ]st z.B. K absolut Abelsch, so ist k der rationale K6rper, so dal3 die Normen mit den Zahlen selbst zusammenfallen. Die Klasseneinteilung der Zahlen des rationalen K6rpers im ,,engeren" Sinne ist nichts anderes als ihre Verteilung unter den Kongruenzklassen nach 255

einem gewissen Modul, den man Fiihrer nennt. Ist k quadratisch, so kommen wir zu den quadratischen Formen, in roller Uebereinstimmung mit der allgemeinen Theorie. 9. Wir bemerken noch, dai3 die dem K 6 r p e r k entspreehenden F o r m e n die sogenannte Formenkomposition zulassen. Ist z.B. a," (a) -- fi (.,:,, .'~-, .....

~,,),

JV(~,) =

A (y,, ..v~ .... , y.),

so ist

xv(at,)

=

,r, ( x , , .,-,~. . . . , ~,,)./'.. ( y , , . ~ ,

..., y , )

.

Liegt andererseits ab etwa in der zu a3 entgegengesetzten Idealklasse, so ist _/V(ab) z ~ (x~, :r2 . . . . . :r,), wobei z~, z o. . . . . .~, gewisse ganzzahlige bilineare Ausdrticke in :v~, xo . . . . , x ~ und Y l , Y , . . . . . y,, sind, welche man erhalten kann, indem man im bilinearen Ausdruck

X ~7 ~ ~J~)-~,~, wo I~7 ~, ~7 ), ..., ~,,(~ ~, ( ~ ) , ~7' ) . . . . . tz~~)) die Basen der ZgJ

Ideale at, b2 sind, die Ft7)/zj"(2) durch eine Basis (/t~a), ft7 ), ..., ,~" (3),) des

Ideals a, b2 ausdrtickt: ~7~f~J."'--= ~X" c~. ~ ) , d.h. a, a. a b = . . Z s

c~9

tj,$

und die Koeffizienten yon ~ ) mit ~, bezeichnet: ~_7~ ~

c~j z i ~ . . Es ist

i,j

leicht zu verstehen, dal3 diese Komposition der F o r m e n der Multiplikation der ihnen entsprechenden F o r m e n entsprichL lo. U m eine einfachste analytische Gestalt der zu verschiedenen Permutationsklassen eines gegebenen Zahlkbrpers gehbrenden Primzahlen zu erhalten, brauchen wit, maximale Abelsche Normalteiler seiner Gruppe (~ zu finden. Dazu beachten wit, daf3 eine Permutation S yon (~ dann und nur dann in einem Abelschen Normalteiler yon (~ enthalten sein kann, wenn ihre Klasse Abelsch ist, d.h. wenn alle Permutationen ihrer Klasse miteinander vertauschbar sind. Ist ~1, ~;~ . . . . . ~k die Gesamtheit aller Abelschen Klassen yon (~, so besteht jeder Abelsche Norma|teiler yon (~ aus denjenigen Permutationen dieser Klassen, welche auch miteinander vertauschbar sind. Sind z.B. ~ und (~2 vertauschbar, so ist ihre H#lle, d . h . die kleinste (E, und ~ enthaltende Gruppe, ein Abelscher Normalteiler yon ~ . Die Einzigkeit des maximalen Abelschen Normalteilers kann nicht erwartet werden, da die Vertauschbarkeit eine nicht transitive Eigenschaff ist. Das folgende Beispiel zeigt, dai3 es wirklich F~.lle gibt, wo ~ mehrere verschiedene maximale Abelsche Normalteiler enthRlt. Es sei (~ mittels 256

3 erzeugender Elemente s,, sz, s3 definiert, die durch folgende Relationen verbunden sind:

(p ist eine Primzahl). Beide Untergruppen (st, s~) und (s~, ss) sind Abelsche Normalteiler von 05. Beide sind maximal, da die einzige echte Obergruppe jeder dieser Gruppen, 05 selbst, nicht Abelsch ist. Andererseits sind sie voneinander verschieden. I I. Als Beispiel betrachten wir einen allgemeinen kubischen Zahlk6rper K. Zu seiner alternierenden Gruppe geh6rt ein quadratischer Unterk6rper h, und man kann naeh der Fueter-Takagischen Theorie K als Ringklassenk6rper von h betrachten. Den zu betrachtenden Ringklassen von h entspricht ein System von bin~iren quadratischen Formen, welches sich in drei Untersysteme 23t, 23z, 238 zerspaltet, yon denen jedes einer der 3 Permutationen yon ~ entspricht. Ist D die Diskriminante dieses Formensystems, so ist ( ~ - ) ~ - ~ - I

die notwendige

und hinreichende

Bedingung dafiir, dat3 p dutch eine dieser Formen darstellbar sei. Dasjenige der Systeme 231, 232,238, etwa 23,, welche die Eigenschait 23~2 3 1 - 23t besitzt, soll das tlazt~tsystem genannt werden. Dann zerfallen alle zur Diskriminante yon K relativ primen Primzahlen in folgende drei Arten : I) (.D) _~._---- I, p geh6rt zu ~ nicht, also geh6rt es zu einer der Transpositionen. 2) ( p ) : =

@ I, p ist durch eine der eormen 23.:, 238 darstellbar, p ge-

h6rt zu einem der dreigliedrigen Zyklen. 3)(-D-)= ~I,p

ist durch e i n e d e r F o r m e n 231 darsteUbar. _pgeh6rt

zur identischen Permutation. Den kubischen K6rper haben in dieser Hinsicht Dedekind, (i7) , Voronoi (85)und Takagi untersucht. Neuerdings hat Hasse (33) den kubischen K6rper auf klassenk6rpertheoretischer Grundlage untersucht, indem er auch die kritischen Primideale mitbetrachtete. Auf diese Aufgabe hat mich B. Delaunay freundlicherweise aufmerksam gemacht. 12. Nun will ich ein sehr elegantes Verfahren von A. Speiser (73) erwS.hnen, das dazu dient, um die Ordnung f der Permutation zu 257

bestimmen, zu deren Klasse eine Primzahl p geh6rt. den Beweis etwas abzu~indern. Ist (3"3)

Ich erlaube mir,

fl (x) ~ x" -Jr- a, .v"-x Jr- a2 .~"-~ Jr-... -~- a,,_ , .v -Jr- a, - - o

die zu untersuchende Gleichung, so betrachten wir die Differenzengleichung (3.4) Y (m -~- u) -F- a, y (m -{--n - - I) -+- ... -~- a,,_, y (m -j- I) -+- a, y (m) = o. Ihre allgemeinste L6sung ist bekanntlich (3.5)

y (m) --~ 6", ~7 + C, a;' + ... -+- C. ~ ; ,

wobei a,, as . . . . , a , die Wurzeln der Gleichung (3-3) und C~, C,~. . . . , C, willktirliche Konstanten sind. Setzen w i r y (I) z y (2) z ... ~ y ( n - - I) ~ o, y (n) -~- I, so ist C,- ~ f I(al) . Nun betrachten wir den G F [ p / ] als Grundk6rper. Ist u die kleinste (ganzzahlige) Periode der Funktion y (m) modulo p, so ist a ~ I (mod p) ( i ~ I, 2 . . . . , n) und umgekehrt. Denn ist y (u) ~_y (u -~ I) ~ ... ~-~y (u -~- n - - I) ~- O (mod p), y (u -~- n) ~ I (mod p), so folgtdaraus C i ~

I

( m o d p ) , d . h . aT_~_I (modp). Da abet ~7 f ' (~;) (ai---~af) eine erzeugende Permutation der Gruppe der Kongruenz f (w)--= o (mod p) ist und demnach ihre Ordnung gleich der kleinsten Zahl f i s t , fiir welche gilt: a f / ~ a;(mod p), so ist f dem kleinsten Exponenten gleich, ffir den gilt: p Y ~ I (rood u). ~3- Hasse hat neuerdings die Frage nach der arithmetischen Struktur yon Zahlk6rpern auf einen ganz neuen Boden gestellt, indem er die Theorie der Zahlk6rper mit den sogenannten ,,Algebren'" (d. h. ]zyperkomp/exen Systemen) verkntipfte (34, 9). Jedem K6rper entspricht ein ,zyklisches" hyperkomplexes System, welches yon E. Noether unter dem Namen versc/zri~nktes Pradukr eingefiihrt wurde. Da abet umgekehrt einer zyklischen Algebra mehrere K6rper mit verschiedenen Galoisschen Gruppen, insbesondere zyklische K6rper entsprechen, so wurden dadurch die arithmetischen Eigenschaften von K6rpern mit denjenigen von zyklischen K6rpern in innigsten Zusammenhang gebracht.

w 4. Resolventenproblem I. Es gibt in der allgemeinen algebraischen K6rpertheorie eine Frage, die das Resolventenproblem als speziellen Fall enth~ilt: 258

Es sei ein K 6 r p e r K rationaler Funktionen mehrerer Ver~nderlichen x~, xz . . . . , x~ gegeben. Man bestimme den wa/~ren T r a n s z e n d c n z g r a d von 1( in bezug auf seinen gewissen U n t e r k 6 r p e r k, d . h . die kleinste Zahl m, so daf3 K als direktes Produkt eines K 6 r p e r s alg~ebraiscker Funktionen von nz Ver~inderlichen, die in k aufgehen, und eines gewissen Unterk6rpers von k erscheint (vgl. unten w 5). U m den Z u s a m m e n h a n g dieser F r a g e mit dem Reso]ventenproblem zu erl~iutern, betrachten wir den K 6 r p e r / C a l l e r rationalen Funktionen der Ver~inderlichen x , , x2 . . . . . x,,, wiihrend k aus den elementaren symmetrischen Funktionen a , , a o. . . . . a,, der Ver~inderlichen x~, x~ . . . . . x~ und ihren rationalen Funktionen besteht. Man finde eine Gleichung n-ten Grades (Resolvente), deren Koeffizienten rationale Funktionen yon a~, a2 . . . . . a , sind, yon denen eine m6glichst kleine Anzahl m funktional unabhiingig ist, und deren Wurzeln den ganzen K 6 r p e r K erzeugen. Mit anderen Worten, es handelt sich um eine Tschirnhausensche Transformation der Gleichung

(4.i) mit den unbeschriinkt ver/inderlichen Koeffizienten a , , a2 . . . . . a,, in eine Gleichung, deren Koeffizienten eine m6glichst kleine Anzahl Freiheitsgrade haben. Es ist zweckm~it3ig, die A u f g a b e dadurch zu erweitern, dat3 man im Kaeflfl,~ientenkiSrper k auch irrationale Funktionen yon a l , a~ . . . . . a,, einf/Jhrt, die aber ebenfalls yon einem nicht gr6f3eren als m wahren Transzendenzgrade sind, z.B. ~ v / D , wo D die Diskriminante der Gleichung (4.I) bedeutet. Diese A u f g a b e kann als eine natiirliche Erweiterung der urspr[inglichen Grundaufgabe der Galoisschen Theorie, der Radikall6sung, aufgefaf3t werden. Denn die Darstellung yon Wurzeln durch Radikalausdriicke hat den Vorteil, daf3 sie erlaubt, die Wurzeln durch eine Folge yon Operationen zu ermitteln, yon denen jede nut mit einer Ver~inderlichen zu tun hat. Man kann demnach eine Tabelle bewerkstelligen, die j e d e m Radikand sein Radikal zuordnet, so daf3 solche Tabellen uns erm6glichen, Wurzeln aller aufl6sbaren Gleichungen v o m g e g e b e n e n G r a d e zu berechnen. 2. Die soeben erw~ihnte Eigenschaft ist keineswegs ftir aufl6sbare Gleichungen charakteristisch. Man kann vielmehr die Auffindung von Gleichungswurzeln dutch Operationen ganz anderer A r t anfstellen, von denen jeder diese Eigenschaft zukommt. Man kann zun8chst die 259

allgemeine Gleichung 5-ten Grades erw~ihnen. Es war schon lance bekannt (BrinE, I2), daf3 man sie auf die sogenannte Bring-Jerrardsche Form

(4.2)

y~ -~- p y -~- q = o

bringen kann, wenn man auf sie eine Tschirnhausensche Transformation anwendet, deren Koeffizienten Wurzeln der Gleichungen yon den Graden _~_ 4 sind, also Darstellungen durch Radikalausdriicke zulassen (vgl. J. J. Sylvester, 75). Andererseits war der Zusammenhang der Gleichungen 5-ten Grades mit dem Teilungsproblem der Perioden yon elliptischen Funktionen (also des Argumentes von Modulfunktionen) durch 5 seit langem bekannt. Dies erm6glicht, eine allgemeine Gleichung 5-ten Grades auf einem transzendenten Wege zu 16sen (vgl. 29, 86). 3. Diese Aufgabe wurde yon F. Klein auf eine Weise gel6st, die einen Einbliek auf das allgemeine Resolventenproblem liefert (4I). Er hat n~imlich die allgemeine Gleichung 5-ten Grades auf eine etwas andere Normalform (4.3)

y~ _+_ i 5 y ~

io 7 .y2 _[_ 372 ~ o

mit Hilfe von nur quadratischen IrrationalitS.ten gebracht, yon denen die eine %/-D- und die andere ~v/-5- ist. Das zweite, viel wichtigere Verdienst yon Klein fiir das Resolventenproblem besteht darin, daf3 er den inneren Grund entwickelte, warum das Resolventenproblem ftir Gleichungen 5-ten Grades 16sbar ist. Er kniipfte n~imlich dieses Problem an das sogenannte Formenproblem, welches im folgenden besteht. Betrachten wir die h6chste endliche Gruppe bin~rer linearer Substitutionen, die Ikosaedergruppe, so kann man fiir sie eine Gleichung 6o-ten Grades (4-4)

(D3~ - 522 D 2 ~ - i o 005 D 2 ~ z . I ) ~ ( D 1~ §

i o 005 D ' ~ i iI) ~ --

522 D ~ -/- I)' z

i) 6

aufstellen, deren Koeffizienten yon einer Form z der Ver~inderlichen xl, a:2 abh~ingen, die gegeniiber den Substitutionen yon ~i invariant ist, w~ihrend ihre Wurzeln ineinander mit Hilfe dieser Substitutionen tibergehen. Die Galoissche Gruppe dieser Gleichung ist als Ikosaedergruppe mit der alternierenden Gruppe 5-ten Grades isomorph. Daraus kann man schlief3en, dai3 jede Gleichung 5-ten Grades auf die Gestalt (4.4) (oder auch (4.3)) gebracht werden kann, wenn man sie einer rationalen 260

Transformation unterwirft, deren Koeffizienten eventuell % / D enthalten, wobei D die Diskriminante dieser Gleichung bedeutet. Die Grundidee der Reduktion yon Gleichungen 5-ten Grades auf einparametrige Resolventen I/iuft darauf hinaus, dab die Kompositionsreihe der symmetrischen Gruppe 5-ten Grades aus zwei Gliedern besteht, yon denen die eine Gruppe 2-ten Grades ist, w/ihrend die andere mit der Ikosaedergruppe isomorph ist, welche als Gruppe gebrochener linearer Substitutionen einer Ver~inderlichen dargestellt werden kann. 4. Diese Idee wurde yon Klein auf andere Gleichungen angewandt, n/imlich auf die einfache Gruppe yon der Ordnung I68, die durch tern/ire lineare homogene Substitutionen darstellbar ist. Dieser Gruppe entspricht eine spezielle Klasse yon Gleichungen 7-ten Grades, die diese Gruppe als Galoissche Gruppe haben. Da die tern/ire lineare homogene Substitutionsgruppe mit der Gruppe der gebrochenen linearen Substitutionen yon zwei Ver/inderlichen isomorph ist, so k6nnen wit ganz ebenso schlief3en, daf3 die in Rede stehenden Gleichungen eine zweiparametrige Resolvente besitzen. Etwas komplizierter war der Sachverhalt bei den alternierenden Gleichungen 6-ten Grades. Die alternierende Gruppe 6-ten Grades besitzt keine Darstellung durch tern/ire lineare homogene Substitutionen. Deswegen dachte Klein, daf3 die allgemeinen Gleichungen 6-ten Grades nicht eine 2-parametrige Resolvente besitzen, und suchte ftir sie 3-parametrige Resolventen. A. Wiman (89) beachtete, daf3 diese Gruppe trotzdem eine Darstellung durch gebrochene lineare Substitutionen yon zwei Ver/inderlichen zul/if3t. Denn man kann diese Gruppe als eine Faktorgruppe einer gewissen Gruppe yon der Ordnung IO8O auffassen, welche als lineare homogene Gruppe yon drei Ver/inderlichen dargestellt werden kann. Der ihr entsprechende Normalteiler s dritter Ordnung liegt im Zentrum der Gruppe und erscheint also als Gruppe, deren Substitutionen nur die Multiplikationen der Ver/inderlichen mit den 3-ten Einheitswurzeln bewirken. Fassen wir nun die Verh/iltnisse der Ver~inderlichen ins Auge, so erleiden diese eine gebrochene lineare Substitutionsgruppe. Ueben wir auf die urspr/inglichen Ver/inderlichen die Substitutionen yon ~Q aus, so erleiden ihre Verh/iltnisse keine Aenderung. Die auf diese Weise konstruierte Gruppe gebrochener linearer Substitutionen ist also mit ihrer Faktorgruppe, d. h. mit der alternierenden Gruppe 6-ten Grades isomorph. 5. Die Frage nach der Darstellung der endlichen Gruppen dutch gebrochene lineare Substitutionen wurde yon I. Schur (69, 7o) allgemein untersucht. Es erwies sich, daf3 diese Aufgabe stets dutch eine endliche 26i

Anzahl von Operationen erledigt werden kann. Um n~imlich alle solche Darstellungen von einer gegebenen endlichen Gruppe (~ zu ermitteln, muf3 man eine zu (~5 entsprechende Darstel/ungsgruppe t{ finden, die folgende Eigenschaften besitzen soil: I. ~ soll mit einer Faktorgruppe l{/lll isomorph sein. II. ~ soil im Zentrum von if liegen. III. Die Kommutatorgruppe yon ~ ist die Faktorgruppe ~)/~1l, wobei ~D die Kommutatorgruppe yon If ist. Jeder Gruppe ~ entspricht nur eine endliche Anzahi der verschiedenen Darstellungsgruppen 1{. Findet man alle Darstellungen yon 1{ durch lineare homogene Substitutionen, so ergibt jede dieser Darstellungen eine Darstellung von ~5 dutch gebrochene lineare Substitutionen. Das ist der allgemeinste Weg zur Bildung s~imtlicher Darstellungen dieser Art von ~ . 6. A. Wiman (9o) hat die Frage nach den Darstellungen der symmetrischen und alternierenden Gruppen yon h6heren Graden untersucht. Es erwies sich, daf3 bei n ~ 8 die symmetrischen Gruppen _~, als lineare homogene Gruppen von nicht weniger als n - - I Ver~inderlichen dargestellt werden k6nnen und dasselbe yon den alternierenden Gruppen gilt. 7. D. Hilbert (36) hat ein Problem (,I3. Problem") gestellt, das mit dem oben besprochenen Kleinschen Problem viele BerLihrungspunkte hat. Die Wurzeln der Gleichung (4.1) seien als Funktionen yon n Ver~inderlichen aufgefaf3t. Man fragt, ob sie nicht als Superpositionen von Funktionen einer kleineren Anzahl k Ver~inderlichen und rationaler Operationen dargestellt werden k6nnen. Sp~iter (37) land er die tolgenden Werte fiir die /e bei n ~ 9 :

k~

I

2

3

4

4

Wiman (91) verallgemeinerte dies Resultat, indem er zeigte, dab fiir alle n ~ 9 die Ungleichung k ~ n - - 5 gilt, d. tl. daf3 man jede allgemeine Gleichung vom Grade n ~ 9 mindestens um 5 Variablen vermindern kann, wenn man sic einer Tschirnhausenschen Transformation unterwirft. (VK1. auch R. Garver, 28). 8. Ich (83) habe mir den Zweck gestellt, den Zusammenhang zwischen der Reduktionsf~ihigkeit einer Gleichung und der Darstellbarkeit ihrer Galoisschen Gruppe als Transformationsgruppe von einer m6glichst 262

kleinen Anzahl Variablen n~iher zu untersuchen. Dazu fiihre ich den folgenden Beg'rift der Ein~/eidztn~.%~ruppe (kurz E . G . ) ein: Ist 03 eine gegebene endliche Gruppe, so heif3t eine kontinuierliche Gruppe l ' dann und nur dann E . G . yon 03, wenn sie den folgenden Bedingungen geniigt : I) [' enth~ilt eine mit 03 isomorphe Gruppe als Teiler. 2) Es gibt keinen echten Teller yon 1", welcher die Eigenschaft I) besitzt. 3) Es gibt keine echte Faktorgruppe yon 1, welche die Eigenschaft I) besitzt. Dann beweise ich den folgenden Satz. Eine algebraische Gleiehung mit unbeschr~inkt verS.nderlichen Koeffizienten besitzt eine Resolvente mit k Parametern dann und nur dann, wenn ihre Galoissche Gruppe 03 eine E . G . hat, welche im kdimensionalen Raume darstellbar ist. Um den msten Teil dieses Satzes zu beweisen, nehmen wir an, die Gruppe 03 sei einfach, was zu unseren Zwecken hinreichend ist. Dann ist jede E. G. yon 03 ebenfalls eine einfache Gruppe. Hat dann eine 03 als Teiler enthaltende kontinuierliche Gruppe I ' einen echten Normalteiler 1"1, so kann /', entweder die ganze Gruppe 03 oder kein Element von auf3er I enthalten. Im ersten Falle wiederspricht dies der Bedingung 2). Im zweiten Falle hat die Faktorgruppe F/1"1 einen mit 03 isomorphen Teiler, was der Bedingung 3) widerspricht. Man kann vielmehr folgendes beweisen: ist eine 03 als Teiler enthaltende kontinuierliche Gruppe I ' im k-dimensionalen Raume darstellbar (oder kurz: ist / ' eine k-Gruppe), so ist derjenige Teller einer Faktorgruppe von /', welcher E. G. yon 03 ist, ebenfalls eine k-Gruppe. Daf3 ein Teiler einer k-Gruppe wieder eine k-Gruppe ist, ist evident. U m zu beweisen, dab eine einfache Faktorgruppe einer k-Gruppe wieder eine k-Gruppe ist, erinnern wit uns an einen zuerst allgemein yon E. E. Levi (44) bewiesenen Satz: Hat eine kontinuierliche Gruppe 1' eine einfache Faktorgruppe FI, so besitzt sie aueh einen mit 1', isomorphen Teiler. 9. Liit3t 03, als Transformation der Wurzeln als Ver/inderlichen aufgefaf3t, eine E. G. zu, die zu einer k-Gruppe nicht nut isomorph, sondern auch ~/znlic~ ist, so erh~ilt man unmittelbar eine L6sung der Aufgabe. Dann kann man niimlich k gewisse Funktionen &, &, ..., ~k der Ver/inderlichen xl, x2, .... =r~ aufstellen, welche eine mit [ ' isomorphe G r u p p e beschreiben, indem man die ace den Transformationen yon / ' unterwirft. Man kann dabei, den Untersuchungen yon Lie-Engel (45, S. 522) zufolge, 263

die ~i auf rationalem W e g e finden, da sie Imprimitivit~itssysteme von I ' bilden. Ist die G r u p p e / ' transitiv, so kann man als die ~, rationale Funktionen von a6, :r2 . . . . , :~-, nehmen. I m Gegenfalle h/ingen sie von einer Irrationalit~tt 0 ab, die von den Invarianten der Gruppe I" abh~ngt. Fassen wir etwa ~'i als rationale Funktion yon x,, ac~, ..., ~c= auf, so erzeugen alle mit ~; konjugierten Gr6t3en den mit k Ix,, :r2 . . . . , x~] zusammenfallenden K6rper. Andererseits hRngen diese Gr6f3en nut von z,, ~2. . . . , ~ ab, da sie durch Ausiibung der Transformationen der G r u p p e 63 erzeugt werden, w~hrend die Transformationen von 63 in der G r u p p e /1 auftreten, welche die ~; in Funktionen der ~,. iiberfiihrt. Daraus folgt, daf3 s; einer Gleichung geniigt, deren Koeffizienten nut yon k Parametern abh~ingen, w~ihrend die x; sich durch die ~; rational ausdriieken. 1o. Ist eine E. G . / 1 der Gruppe 63 mit einer k-Gruppe isomorph, aber nicht Rhnlich, so kann man das Cartansche Prinzip anwenden, welches im folgenden besteht (14): Sind zwei kontinuierliche G r u p p e n I ~ und I'1 isomorph, so kann man die Gruppe F so erweitern, daf3 man die Gruppe N~ erh~lt, indem man auf die gewissen Funktionen der erweiterten G r u p p e entsprechenden Variablen die Transformationen von I ' ausiibt. Unter einer Erweiterung der Gruppe I" versteht man folgendes. Sind ac,, at2. . . . . w~ die der Gruppe F entsprechenden Variablen, so fiihre man neue Folgen

(4.5)

"ffl)

.'F~)

...

) ,gg~)

xY),

x,"),

.... x~(~>

.~,'l(m-l))

X~(t~--l))

.,,

) X~, ( z ~ - l )

von Variablen ein, so daf3 man die erweiterte G r u p p e I ' erh~ilt, indem man auf jede F o l g e x~ ~) , x!,~>,.,. . . . , x ~ )

(~ =

o, :, 2, ..., , ~ -

:)

gleichzeitig Transformationen der urspriinglichen Gruppe l 7 ausiibt. U m in diesem Falle eine k-parametrige Resolvente zu bilden, fiihren wir statt der .~:~), -~,JD, ..., x ~ ) (~ =

:, 2, ..., m - - I) neue Ver~inderliche

a(ok), a~D. . . . . a~_): nach den F o r m e l n

4.6)

264

............

~ ......................................

(,~ : - I, 2, ..., ~ t ~ - I)

ein. U e b e n wit auf die Veriinderlichen (4.5) die Transformationen F aus, so erleiden die ~iAk)gewisse Transformationen, die sich identische Transformation verwandeln, wenn man in der Rolle Transformationen von ~5 nimmt. Setzen wit diese Ausdrticke der Funktionen Z/(.L.I, r

"'',

f~Sn;

.~.~1) -g.(1) 2 ,

...~

.(1) ;

-~n

...

;

X1

(m 1) ~ X 2(m~--l) ~

...~

U von in die von (7 in eine

(m--l)'~)

Arn

etwa &, ein, welche eine Transformation einer k-Gruppe erleidet, wenn man auf die x) k) die Transformationen yon / ' austibt, so h~.ngen

die

Funktionen z, zl ~1, ..., &*N-~ nur von k Parametern ab, wobei (~ ~ I -~- s, -~- ... -~- SN i ist. Da bei diesen Transformationen die Ver~tnderlichen

a~,.k) invariant bleiben, so k6nnen wir ihnen willktirliche rationale Zahlenwerte zuschreiben, indem man nur besorgt, daf3 die Differenzen zl ~ ; - & ( i - - I , 2 . . . . . N - - I ) lauter von Null verschieden sind. Es entsteht dadurch eine Galoissche Resolvente mit k Parametern. U m aber zu einer k-parametrigen Gleichung tiberzugehen, die mit der Gleichung (4.1) dutch eine Tschirnhausensche Transformation verbunden ist, brauchen wit, eine zu derjenigen Gruppe geh6rige Funktion von den &,i zu bilden, zu welcher etwa xl geh6rt. I I. Es ist nicht ausgeschlossen, dat3 der U e b e r g a n g yon den -*'i zu den Zr nicht rational ist, sondern eine Irrationalit~it 0 enthS.lt, die yon den Invarianten der erweiterten Gruppe [ ' abh~ingt. W i r wollen die irreduzible Gleichung R ( 0 ) ~ - o , der 0 gentigt, Nebenresolvente nennen. Es entsteht die wesentliche Frage, ob nicht eine Nebenresolvente m e h r wesentliche Parameter als die Gleichung (4.1) selbst enthiilt. Ich kann heute diese F r a g e allgemein nicht beantworten. Es ist nur bekannt, daf3 fiir symmetrische ~ die Nebenresolvente o-parametrig, also numerisch, und fiir alternierende ~ hSchstens I - p a r a m e t r i g ist. I2. Nun beweisen wir den zweiten Tell des gestellten Satzes. Es seien Z , Z=, ..., Z= s~mtliche Wurzeln einer k-parametrigen Resolvente der Gleichung (4,I), welche in der Gestalt einer normalen Gleichung gegeben sein m6ge. Die Z,. sind Funktionen von x , x2, ..., x,, die zur Einheitsgruppe geh6ren. U e b e n wir auf die a:i die Permutationen der Gruppe ~3 aus, so erleiden die Zi gewisse Permutationen, die eine mit ~i isom o r p h e Gruppe bilden, die sich yon ~ nur durch eine andere Bezeichnung der Ver~inderlichen unterscheidet. W i r fassen zun~chst Z1, Z2 . . . . , Z~ als unabh~ingige Veriinderliche aut 265

und kleiden ~; mittels einer kontinuierlichen Gruppe /7 folgendermal3en ein: wit nehmen aus ~ ein System yon Permutationen A, B, ..., die durch Komposition die ganze Gruppe 6 erzeugen. Wir fassen jede dieser Permutationen, etwa ~/, als eine lineare homogene Transformation auf und bringen sie in eine normale Gestalt: ul --+ .k;u;

(i =

I, 2 . . . . .

.),

2zrl

w o e -~ e '~ eine Einheitswurzel ist und die IIi gewisse lineare Funktionen yon Z~, Z~ . . . . . Z . bedeuten. Dann nehmen wir u l - + eki t ui

(i ~ ~, 2 . . . . . n)

als eine der erzeugenden Transformationen der Gruppe /11, die sich in 2 ~ri A verwandelt, wenn wir darin t ~--setzen. K e h r e n wir zu den urm spriinglichen Variabten Z1, Z,, ..., Z , zurtick und verfahren so mit allen erzeugenden Transformationen A , B, ...1 so erhalten wir eine kontinuierliche Gruppe F, die die G r u p p e ~5 einkleidet. I ' hat als lineare Gruppe der n Ver~inderlichen nur eine endliche Anzahl Parameter. Nun fassen wir die Z~. als Funktionen von -vi auf und betrachten die x i als Koordinaten eines Raumes 2q, wobei zwei Punkte (x~, x2 . . . . , x.) und (x~~, x~~. . . . . x . ~) dann und nut dann als nicht verschieden betrachtet sein sollen, wenn Z,. (x~, x~ . . . . .

x',) =

Z ; ( x , ' , x~' . . . . , x . ' )

(i =

I, 2, ..., n)

gilt. Da unter den Funktionen Zt, Z ~ , . . . , Z,, genau k funktional unabhiingig sind, so hat der Raum ~q k Dimensionen. Die Gruppe /7 induziert im Raume ~ eine kontinuierliche Gruppe, die mit /7 ,,im kleinen isomorph" ist (67) und die mit 05 isomorphe Gruppe als Teiler enth~ilt, da etwa Z~ zur identischen Gruppe von 05 geh6rt. Somit l~if3t 05 eine k-Gruppe als E. G. zu, w. z. b. w. 13. Beim Beweise dieses Satzes ist es wesentlich, daf3 jedes W e r t e s y stem der Parameter der Gruppe f ' eindeutig den Punkt des Raumes 2R bestimmt. Demnach trifft f/fir unsere Gruppe die Schreiersche Definition (67) zu, so dab hier die ganze Schreiersche Theorie anwendbar ist. Ist aber diese Bedingung nicht erfiillt, so k6nnen wir z. B. der Erscheinung begegnen, dat3 eine nicht zyklische Monodromiegruppe einer algebraischen 266

Funktion einer Ver~inderlichen eine eingliedrige kontinuierliche Gruppe als E. G. zulS,f3t. Zum Beispiel: die durch die Gleichungen

definierte kontinuierliche Gruppe enth~ilt als Teller die symmetrische Permutationsgruppe 3-ten Grades, die sogar nicht Abelsch ist. I4. Es sei eine endliche Gruppe 05 ohne Zentrum gegeben. Wie kann man diejenigen ihrer E. G. bestimmen, welche im Raume yon m6glichst kleiner Dimensionszahl darstellbar sind? Um diese Frage zu beantworten, beachte man, daf3 jede der gesuchten kontinuierlichen Gruppen stets mit einer gewissen linearen homogenen Gruppe [' ,tim kleinen isomorph" ist. Dabei muf3 / ' entweder 05 selbst oder eine endliche Gruppe als Teller enthalten, welche 05 als Faktorgruppe in bezug auf ihr Zentrum enth~ilt. Das folgt aus der Schreierschen Theorie der ,,im kleinen isomorphen Gruppen" (67), n a c h welcher alle ,tim kleinen isomorphen" Gruppen Faktorgruppen einer Ueberlagerungsgruppe in bezug auf diskrete Untergruppen sind, die im Zentrum der Ueberlagerungsgruppe liegen. Dann folgt aus den Untersuchungen yon I. Schur (69, 7o), daf3 man alle ,,Darstellungsgruppen" in Betracht ziehen mul3. Ihre Anzahl ist bekanntlich endlich. Diese Frage lXf3t eine ziemlich leichte Beantwortung zu, falls 05 eine einfache Gruppe ist. Denn dann sind auch ihre E. G. einfach. Es folgt abet aus den Untersuchungen yon W. Killing (4o) und E. Cartan (I3) , daf3 es auBer einer endlichen leicht angebbaren Anzahl yon Ausnahmen nut drei verschiedene Typen einfacher Gruppen gibt: 1) volle unimodulare lineare Gruppen; 2) orthogonale Gruppen; 3) Komplexgruppen. Es ist aut3erdem bekannt (Cartan, I3) dat3 n-dimensionale Gruppen vom Typ I) (n--I)-Gruppen und yon den Typen 2), 3) (n - - 2)-Gruppen sin& Daraus folgt, daf3 man nur die linearen homogenen Gruppen yon h6chstens n - - I Dimensionen untersuchen muf3, ob sie nicht ~3 einkleiden k6nnen, wobei n den Grad der Gleichung (4.I) bedeutet. Andererseits hat Wiman (91; vgl. auch R. Garver, 28) bewiesen, dab die alternierenden Gruppen n-ten Grades (n ~ 8) nicht durch lineare homogene Substitutionen vom weniger als ( ~ - I)-tem Grade darstellbar sind. Das erlaubt uns noch nicht, die Aufgabe der Auffindung yon Resolventen mit weniger als n - - 3 Parameter als unm6glich anzusehen. Denn man mul3 nicht nut die Darsteltbarkeit der alternierenden Gruppen selbst, sondern auch ihrer Darstellungsgruppen untersuchen. Wit haben uns am Beispiel n---~ 6 iiberzeugt, daI3 dies manchmal die Parameterzahl der 19 Commentarii Mathematici Helvetici.

,267

Resolvente zu erniedrigen erlaubt. Indessen mul3 ich noch einmal ausdrticklich betonen, dal3 die Sylvester-Hilbert-Wimansche Aufgabe, die fiir n ~ 9 die Reduktion mindestens um 5 Parameter ergibt, nicht als einen speziellen Fall des Kleinschen Problems betrachtet werden kann. Mit anderen Worten, wir k6nnen a priori nicht behaupten, daf3 eine Parameterreduktion, die mit Hilfe elner Kette yon Resolventen gelungen ist, auch mit Hilfe nur einer Resolvente geschehen mul3. Der fiir die klassische Galoissche Theorie gtiltige Satz yon den nattirlichen Irrationalit~iten kann nicht unmittelbar auf das Resolventenproblem erweitert werden. Die Erledigung der Frage nach den Ketten yon Resolventen erfordert ein eingehendes Studium des Resolventenproblems im Falle, wo die Koeffizienten der Gleichung (4.1) nicht frei, sondern durch einige Relationen verbunden sind. (Vgl. w 5, N8). Dann kann es eintreten, dat3 die sich einzukleidende endliche Gruppe nicht mit der Monodromiegruppe der Gleichung (4.I) zusammenf~illt. Wit haben in N ~ ] 3 ein Beispiel dieser Erscheinung gesehen. ] 5. Das Einkleidungsproblem yon endlichen Gruppen durch kontinuierliche ist auch yon selbstst~indigem Interesse. Ich kann bis jetzt nicht aussagen, ob eine endliehe Gruppe eine endliche oder eine unendliche Anzahl nicht isomorpher kontinuierlicher Gruppen als E. G. zul~if3t. Es ist fiir die L6sung dieser Aufgabe die Darstellungstheorie yon kontinuierlichen Gruppen yon Nutzen (Cartan, I3; Schur, 7I; R. Brauer, 8; H. Weyl, 88). Es ist abet sehr ungtinstig, daf3 jede kontinuierliche Gruppe unendlich viele irreduzible lineare homogene Darstetlungen zut~it3t. Die Umkehrung dieser Aufgabe wurde schon seit langem gestellt. Das ist das Problem der Aufsuchung yon allen endlichen Gruppen, die in einer gegebenen kontinuierlichen Gruppe enthalten sind. C. Jordan (39) hat fiir dieses Problem folgenden fundamentalen Satz bewiesen; Jede kontinuierliche lineare homogene Gruppe f ' enth~ilt nur solche nicht isomorphe endliche Untergruppen 05, deren Faktorgruppen in bezug auf Abelsche Normalteiler zu einer endlichen fiir jede Gruppe / ' angebbaren Anzahl yon endlichen Gruppen geh6rt.

w

Weitere Fragen der allgemeinen K6rpertheorie

I. Die Fragen der algebraischen Zahlk6rpertheorie, die die algebraischen Zahlen in bezug auf ihre Rationalit~it betrachten, sind meistens dutch die Methoden der Galoisschen Theorie 16sbar. Enthalten aber die zu untersuchenden K6rper gewisse transzendente (ver~inderliche) Gr6ssen, 268

so lassen die diesen K6rpern entsprechenden Strukturfragen nicht eine unmittelbare gruppentheoretische Einkleidung zu. Wenn ich nichtsdestoweniger diese Fragen in den Galoisschen Ideenkreis einschlief3e, so mache ich dies aus folgenden Griinden: Es ist erstens nicht naturgemiit3, die Galoissehe Theorie als denjenigen Ideenkreis zu definieren, dessen Probleme mit Hilfe der Galoisschen Gruppe gel6st werden k/Snnen, da die Galoissche Gruppe ein Ltisungsmittel ist, wiihrend sogar dieselben Probleme mit Hilfe wesentlich verschiedener Mittel 16sbar sein k6nnen, so daf3 ein L6sungsmittel keineswegs geeignet ist, ein Wissenschaftsgebiet abzugrenzen. Zweitens k6nnen wir von vornherein nicht sagen, ob ein zu untersuchendes Problem nicht mit Hilfe eines zweckm~if3ig eingeffihrten Begriffes der Galoisschen Gruppe get6st werden kann. Es ist vielmehr zweckm~if3iger, die Galoissche Theorie als den Problemenkreis zu deftnieren, dessen Probleme sich mit der rationalen Abh~ingigkeit yon K/Srpern und einzelnen K6rpergr6f3en besch~iftigen.

2. Identit~ vo• zwei a@ebraisc/zen ]~Orpern. Ein K6rper ist keineswegs durch seine Galoissche Gruppe bestimmt. Man kann vielmehr verschiedene K/Srper mit isomorphen Gruppen aufstellen. Die Frage nach der Identit~it von K6rpern liegt also eigentlich auger dem Rahmen der Galoisschen Theorie. Ist K ein Zahlk/Srper, so ist diese Frage im wesentlichen zahlentheoretisch. Ihre Beantwortung w~ire am besten dadurch geleistet, daf3 wir ein vollst~indiges Invariantensystem yon Zahlk6rpern aufstellen. Ffir dieses letztere Problem stud zwei Methoden bekannt. Die eine folgt aus der Dedekind-Frobeniusschen Theorie (vgl. g 3). Diese Methode ist unbequem wegen der unendlichen Anzahl yon Invarianten, die miteinander durch wenig bekannte Relationen verbunden sind. - - Die zweite Methode beruht auf dem Verhalten der K6rperdiskriminanten. Es gibt nur eine endliche Anzahl yon K6rpern mit gegebener K/Srperdiskriminante. Es ist aber kein Invariantensystem dieser Art bekannt, welches den K6rper eindeutig bestimmt. Auf3erdem kann die K{Srperdiskriminante nicht jeden ganzzahligen Wert annehmen, und wir wissen bis heute nicht, welche Zahlenwerte sie annehmen kann. 3- Es gibt dennoch eine rein algebraische Methode fiir die L6sung des Identit~tsproblems. Sind K und K1 die zu untersuchenden K6rper, deren Gruppen mit 03 isomorph sind, so hat das Kompositum KK, im allgemeinen das direkte Produkt 03 X 113 als Galoissche Gruppe. Haben aber K und Kt einen nicht rationalen Durchschnitt, so verwandelt sich die Gruppe yon KK~ in einen echten Teiler yon ~ N ~ . Sind insbesondere K und K, identisch, so ist die Gruppe yon KK1 mit 05 iso269

morph. Daraus kann man ein brauchbares Kriterium der Identit~t von K und K~ herleiten. Sind n~.mlich

(5.,)

x" + a~x"-' + ... + a , - , x - k a , ,

-=- o, y" + b,y"--~ + ... +bn_lY+[~

n =0

die Gleichungen, deren einzelne Wurzeln die K 6 r p e r K bzw. A~ erzeugen, so ist K~---K~ dann und nur dann, wenn eine der Gr6f3en

: ~ - ~ y , + x ~ y s + . . . + . , - , y k,

(k=

~,2 . . . . , ~ - - ~ )

rational ist, wobei x i , xs . . . . . x,, und y ~ , y~ . . . . , y,, s~imtliche Wurzeln der k Gleichungen (5.1) bedeuten. J e d e der Gr6t3en x kl y , ~ _ ~-ky 2 _ ~ ... q-x,,y,, gentigt einer Gleiehung yore G r a d e n ! , deren Koeffizienten man rational dutch die a~., bl ausdriicken kann. Die K 6 r p e r K u n d / ~ sind dann und nur dann identiseh, wenn diese Gleichung wenigstens eine rationale Wurzel besitzt. H a t dabei ~ bekannte Normalteiler, so kann man den Grad dieser ( , , g e m i s c h t e n " ) G l e i c h u n g mit Hilfe gemischter Resolventen erniedrigen (78). 4. W i t betrachten nRher die F/~lle n ~ 3 und n ~ 4 . Sind

die zu untersuchenden Gleichungen, so muf3 erstens das Produkt ihrer Diskriminanten ein vollst~.ndiges Q u a d r a t sein. Die Gr6t3e z ~ xl y~ ,~xs y~-~-x3 Y3 gentigt einer der gemischten Gleichungen

Ist z eine ihrer rationalen Wurzeln, und ist z " - - p p ~ o , so kann man die Koeffizienten des rationalen U e b e r g a n g s y -~ a0 -~- a, x ~- as x * aus den Gleichungen 3a0--zPas~~

--2pai--3qas-----z,

--2pa0--3qal-[-2pSas--u

bestimmen, wobei u - ~ x~y,-Jr- x2ys'S _~_ :~3Y~ .2 ~--- 3 ( q p z _ _ p S ~ Nun gehen wir zu d e m Fall n ~---4 iaber. Sind

270

ist.

die zu untersuchenden Gleichungen, so 16sen wir das Problem zun~ichst flit die kubischen Gleichungen

,~'--P, z 2 - - 4 ~ , z - - p ] q- 4p=p,-~-o, ~ --p.,.

4.P~z--p,@4p,.p,=o,

denen bekanntlich die Gr6t3en z = x, ;v, @ x3 x4 bzw. z = x, x2 @ x3 x, gentigen. Ftihren wir dann die Bezeichnungen

ein, so mut3 die Gleichung - -

@ "

--

--

-

man die Koeffizienten eo, ~ , a,, e~ des U e b e r g a n g s a2ac~ @ e3x 2 aus den Gleichungen

--

2i#~

a2

--

2 ~

C~ o - -

--

q p2_p2q- ~6p~p~ -- q- I 6 ~ p , + ~pP, ~4 P. = o

mindestens eine rationale Wurzel haben. Ist dabei F ' ( T ) ~ - o ,

4 ao - -

8

-

so kann

x -= ao 4- a , x @

3_P3 a3 = o, - - 2p2 a, - - 3P~ a2 @ (2p~ - - 4P,) a3 =

T,

4P,) a , @ 5P, P~ a= @ ( - - 2j~] -1- 3P] -[- 6p2p,) a , :

Z

bestimmen, wobei ist: 0:x,

.2

.2 x1 + ~2x2 +

.~.$

~ x~ + xl.2 x,,

Z = x~ x, + .r,8 x, + x~8 x'~ q- x,3 x , .

5. Ist K ein algebraischer Funktionsk6rper, so l~if3t die Galoissche Theorie keine A n w e n d u n g auf die L 6 s u n g des Identit~itsproblems zu. Besitzt 32 nur eine unabh~ingige Variable, so ist das Problem mit Hilfe funktionentheoretischer Mittel gel6st. Ist n~imlich sein Geschlecht p ~> I, so wird K durch 3 P - - 3 unabhS.ngige kontinuierliche P a r a m e t e r w e r t e bestimmt. Fiir die solche K 6 r p e r erzeugenden Gleichungen sind Normalformen bekannt. Finden wit far jeden der zu vergleichenden K 6 r p e r je eine Normaltorm, so wird das Problem durch ihre Zusammenstellung gei6st (3, S. 9 o - - 9 2 ) .

27I

H/ingt /V von mehreren unabh~ingigen Ver~inderlichen ab, so ist das Problem im allgemeinen unerledigt. Die alten deutschen und die italienischen Geometer haben in diesem Gebiete mehrere auf3erordentlich wichtige Resultate erhalten. Dennoch ftirchte ich, dat3 wir dartiber noch heute folgende Phrase wiederholen mtissen, die im Ziiricher Vortrag yon F. Enriques enthalten ist (I9): 9Malheureusement la plupart de ces probl6mes demeurent aujourd'hui sans r6ponse, et les contributions qu'on a port6es dans ce champ de recherches ressemblent en v6rit6 k de rares flambeaux au milieu d'une obscurit6 6paisse. 6. Rationale Mim'~nalbasis. Betrachten wir den K6rper Kn aller rationalen Funktionen von n unabhangigen Ver~tnderlichen xl, x2, ..., x~, so entsteht die F r a g e nach allen m6glichen T y p e n seiner Unterk6rper. Man kann leicht ,,triviale T y p e n " solcher U n t e r k 6 r p e r aufstellen: man nehme n~imlich eine Anzahl m ~ n funktional unabh~ingiger Elemente yon _K~ (d. h. rationaler Funktionen von xl, :r2 . . . . , x~) als erzeugende Elemente eines Unterk6rpers. Der auf diese Weise gebildete Ktirper ist offenbar entweder mit /Y~ oder mit dem K6rper A~ der rationalen Funktionen von m (m ~ n) Veranderlichen isomorph. Man kann abet die Existenz von anderen K 6 r p e r n erwarten: man nehme als erzeugende Elemente eines Unterk6rpers irgendwelche Elemente von K ~ , die miteinander durch algebraische Relationen verbunden sein k6nnen. Es entsteht die Frage, ob die ,trivialen" T y p e n yon Unterk6rpern alle m6glichen T y p e n ersch6pfen. Mit anderen Worten, fragt man nach der Existenz eines Systems unabhiingiger Elemente des Unterk6rpers, durch welche alle Elemente dieses Unterk6rpers rational darstellbar sind. Ein solches System nennt man rationale 3r Diese F r a g e wurde fiir n z I von L/iroth (48; vgl. auch E. Netto, 53) bejahend beantwortet. G. Castelnuovo (I5) hat dieses Resultat aut den Fall n z 2 erweitert. Sein Beweis beruht auf den Methoden der algebraischen Geometrie. Fiir den Fall n - - 3 haben G. Fano (2I) und F. Enriques (20) ein Gegenbeispiel ffefunden, indem sie einen Unterk6rper der K6rpers der rationalen Funktionen yon drei Veriinderlichen aufgestellt haben, welcher keine rationale Minimalbasis besitzt. Das Problem der rationalen Minimalbasis hat eine Anwendung in der klassisehen Galoisschen Theorie, n~mlich in der F r a g e nach der Existenz von K 6 r p e r n mit vorgeschriebener Galoisscher Gruppe (w2). Um diese letztere F r a g e zu beantworten, ist es n6tig, das Problem der rationalen Minimalbasis nur fiir den Fall zu 16sen, daf3 der zu untersuchende Unter272

k6rper den K 6 r p e r der elementar-symmetrischen Funktionen eines Systems erzeugender Elemente von /ft, enthXlt. Bei dieser Beschr~inkung ist das Problem der rationalen Minimalbasis weder erledigt noch widerlegt (vgl. 74). Dieses Problem kann auch als Problem der Identit~t von K 6 r p e r n aufgefaf3t werden. D e n n sind unter den erzeugenden Elementen eines Unterk6rpers K von /(~ etwa m (m ~ n) funktional unabh~ingig, so wird die F r a g e darauf zurtickgefiihrt, die Identit~it (genauer: Isomorphismus) von /s und _,r(m nachzuweisen.

7. Einfac/~ste Al~fl~sun~ van Gleic/~un~en mit me~reren Veriinderh'chen. Es sei ein K 6 r p e r K der rationalen Funktionen yon n VerSnderliehen xl, x~ . . . . , .a:, gegeben, zwisehen denen eine algebraische Relation f (x,, x2 . . . . , x,) = o besteht (der Fall mehrerer Relationen kann sehr leieht auf diesen Fall zurfickgefiihrt werden). Man soll neue erzeugende Gr6f3en y l , y~ . . . . . y~ yon K so w~hlen, daf3 die zwischen den yl bestehende Gleichung yon m6gliehst niedrigem Grade in bezug auf eine yon ihnen, etwa yon y l , ist. W a s kann man yon dieser Gradzahl sagen? Diese F r a g e wurde yon Enriques (I9) a m ersten internationalen Mathematiker-Kongref3 (Zi~rich, I897) ausffihrlieh behandelt. Ich erlaube mir, einige der dort betraehteten sch6nen Resultate zu wiederholen. I) Wir fassen :rl, :c2 als Ver~nderliche und :rs,:r~ . . . . , a:~ als Parameter auf. Ist das Gesehlecht der Gleichung f(:r~, a:~) = f ( : : t , a:~, a:~, ..., a:~) = o bestiindig gleich Null, so kann man eine Veriinderliehe t derart ausw~hlen, daf3 :r~, a:~ sich rational durch t, :r3, a:4, ..., a:~ und eine Quadratwurzel einer rationalen Funktion yon a:3, .~'~.... ,a:, ausdriJeken (M. Noether, 56). Ist n - - 3, so kann man sich durch zweckm~f3ige W a h l yon t auch yon der quadratisehen Irrationalit~.t befreien. Man kann vermuten, daf3 dieser Satz yon Bedeutung ffir die Auffindung yon K 6 r p e r n mit vorgeschriebener G r u p p e (~ ist. Das letztere Problem scheint leichter 16sbar zu sein, wenn die G r u p p e :R/(~ yon ungerader Ordnung ist, wobei 2~ den H o l o m o r ~ der G r u p p e ~ bedeutet. 2) Ist das Geschlecht p der Gleiehung f(a:,, x2) = o ~ x, so kann der K 6 r p e r K durch Adjunktion einer Irrationalit~t yore G r a d e ~_~ 2 ~ - - 2 gel6st werden. N u r im Falle p = I kann man die obere Grenze fiir den Grad dieser Irrationalit~t nicht yon vornherein angeben.

8. ,, Wahrer Transzendenzgrad" eines Oberkarpers. Es sei ein K 6 r p e r 273

k der rationalen Funktionen von ul,u~, ...,un gegeben, die miteinander eventuell durch eine algebraische Relation f(u~, .~, ..., ~.) =

(5.2)

o

verbunden sein k6nnen. Es sei auf3erdem ein Oberk6rper _A~ von demselben Transzendenzgrad gegeben, dessen erzeugende Gr6f3en :vh, x2 . . . . . x . mit den ul durch die Gleichungen

(5.3) ~ , ( x , , x 2

.... ,x.)=-,,~2(xl,~

.... ,~.)=~,

.... ,~.(x,,x~

..... x.)=u.

verbunden sind. Man finde einen Unterk6rper K~ von K derart, daf3 I) das Kompositum von K1 und k genau den K 6 r p e r ]C ergibt; 2) der Transzendenzgrad von 2k~ m6glichst klein ist. Den Transzendenzgrad von K1 wollen wit den wahren Transzendenzgrad von K/k nennen. Es ist ersichtlich, dat3 jedes Problem der K/Srpertheorie wesentlich vereinfacht wird, wenn man den Transzendenzgrad eines zu untersuchenden K6rpers vermindert. Darin liegt die Bedeutung dieses Problems. Dieses Problem verwandelt sich als Spezialfall in das sogenannte Resolventenproblem (w Um zum Resolventenproblem ~iberzugehen, mul3 man die Gleichungen (5.3) folgendermaf3en spezialisieren: xl +

~,, +

... + x .

----- - - u~, x ~ x , +

... + x . _ l

~. =

u,,

. . . . x , : ~ , ... x . =

(-- I)"~,.

Die x; sind mit anderen W o r t e n die Wurzeln der Gleichung x" +

u, x " - '

§

... u . _ l x +

~.---= o ,

w~ihrend k durch ul, u2 . . . . , u~ und eine zu einer gegebenen Permutationsgruppe ~5 g e h 6 r e n d e Funktion ~O erzeugt wird, die mit den u; durch eine leicht angebbare Gleichung verbunden ist. Das Resolventenproblem und seine Erweiterung - - das Problem nach den K e t t e n von R e s o l v e n t e n - sind zugleich extreme Aufgaben der klassischen Galoisschen Theorie. Das Resolventenproblem llif3t eine L6sung zu mit Hilfe der kontinuierlichen Gruppentheorie (w

9. RationalitatsfraEen [#r die Perioden elliptischer und Abelscker Integrale. Wir betrachten zun~.chst den Fall eines elliptisehen Gebildes. 274

Es sei ein algebraischer Funktionsk6rper/C (x,3I) gegeben, wobei zwischen x und y die Gleichung (5-4)

y ~ - - ( I - - x ~) (I - - k ~ x ~) - - o

besteht. Dann kann man x und y bekanntlich dutch elliptische Funktionen (5.5)

x = sn (zr k),

y = cn (u, k) dn (u, k)

uniformisieren. Es sei auf3erdem auf dem Gebilde (5.4)ein Punkt (Xo,Yo) gegeben, der dem W e r t e u = zto des Arguments u entspricht: Xo = ~ (~o, k),

yo = ~ (,~o, k) d ~ (-o, ~) 9

u0 ist eindeutig bis auf ein ganzzahliges Vielfaches der Perioden 4 K, 4 / ~ ' bestimmt. Es ist zu entscheiden, ob Uo ein rationales Vielfaches yon 4 K, 4 K ' ist. Diese Aufgabe kann auch als Aufgabe der klassischen Galoissehen Theorie formuliert werden. In der Tat, wir k6nnen annehmen, k, Xo, Yo seien algebraische Zahlen, da dieser Fall allein Schwierigkeiten bietet. Wir nehmen noch an, der Rationalit~tsbereich R enthalte den Modul k. m K @ m' K ' Ist Uo~ (modd 4 K, 4 K'), wobei m, m', n ganze rationale n

Zahlen sind, so gentigt Xo----se

-n

, k

einer sogenannten

Teilungsgleichung (5.6)

•. (Xo, k) = o ,

die bei ver~inderlichem k irreduzibel ist, kann aber innerhalb R zerfallen, wenn k gewisse Zahlenwerte annimmt. Es sei nun f(Xo)--~ o die irreduzible Gleichung, der Xo geniigt. Die F r a g e ist, ob es W e r t e von n gibt, bei denen ~0~ (x, k) durch f ( x ) teilbar ist. Io. Bezeichnen wir die Punkte der Riemannschen Fl~tche, fiir welche sn u ~ s• Uo gilt, mit 7)1 und P~, so kann unsere Bedingung folgendermat3en aufgefaf3t werden: n u (7)1) - -

n

u

(Pz) ~

o

(modd 4 I(, 4 K ' ) ,

wobei u (P) das Integral erster Gattung ist. Daraus folgt nach dem Abelschen T h e o r e m , daf3 es eine Funktion q9 (x,y) des K6rpers K(x,y) gibt, die in 7~ eine einzige n-fache Null und in _P, einen einzigen n-fachen 275

Pol hat. Man kann auch sagen, daf3 das Ideal P~ ein Hauptideal rot.

P;:

Dann kann man ~0 dutch Primfunktionen ausdriicken, d. h. in der Gestalt q~ ~- e "'II(P~'P~) darstellen, wobei I I ( P ~ , P2) das Integral dritter Gattung mit den Residuen @ 2 ~ri in P~ und - - 2 7ri in P2 bedeutet. Man kann die Funktion z zweiter Ordnung aufstellen, die in/>~ und -P2 unendlich wird/dazu setze man z. B. naeh Zolotareffz ~-Dann wird I1

su' (u, k)

s n '~(u, k ) -

/

s n ~ (Uo, k ) ] "

(1)1, P,) in die Gestalt ~+A q~

(~ --

I) (~ --

I

~) (~ -- ~)

dz

I

gebracht, wobei a - - dn ~ Uo' fl --~ cn ~Uo ist, und es handelt sich darum -

-

zu erkennen, ob dieses Integral (bei geeignetem Werte yon A, dessen Wahl der Normierung der Perioden in H(P~, ~ ) entspricht) dutch Logarithmen integrierbar ist oder nicht. I I. Diese Frage wurde zum erstenmal von Abel (I)gestellt. Abel 16ste dieses Problem auf algebraisehem Wege, indem er die Tatsache -P;' eine f u n k t i o n a l e E i n ~ e i t ist,P d.h. daf3 die Norm benutzte, dat3 ~0 = p--~ -j- q VRvon ~0 etwa Konstante istl und die sich ftir q ) ~

-- cV~

ergebende

Diophantische Gleichung .p2 q2 R--~ I mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung yon VR (x) zu 16sen suchte. Damit dies m6glich sei, ist notwendig und hinreiehend, da[3 die Kettenbruchentwieklung yon VR(w) periodisch ist. Diese Periodizit~t kann aber nicht ohne weiteres nach einer endlichen Anzahl yon Schritten best~tigt oder widerlegt werden. Es war dazu notwendig, ffir die m6gliche Periode eine obere Schranke anzugeben. Diese Aufgabe wurde von P. Tchebycheff (77) fiir den Fall rationaler Koeffizienten yon R (x) und von G. Zolotareff (92) ffir allgemeine reelle _R (x) erledigt. Tchebycheff und Zolotareff ermitteln dies Resultat, indem sie auf die Veriinderlichen folgende Transformationen:

+~l' (II) u - - - , - ( i + k ' ) u ,

k--,- i-~7,

a-~

~_.. ( V/~-~---=) (~-- ,) § V~ ) ' I --~- ~ - - ~ 276

nach und nach aus~iben. Die Transformation (II) hat den Zweck, ein gerades n in ein ungerades n tiberzuftihren, und ist nichts anderes als die Landensche Transformation. Liegt nach einigen Schritten die Gr6f3e

2VF

I-~-~ nicht im K6rper A7 (a, fl), so ist das ein Merkmal dafiir, dal3 das auf diese Weise transformierte Integral einem ungeraden n entspricht. Dann muf3 man die Transformation (I) anwenden. Die Antwort ist positiv, wenn die Folge dieser Transformationen eine Periode aufweist. Andererseits zeigen schon nach einer endlichen Anzahl yon Schritten gewisse Teilbarkeitsbedingungen, daf3 die Aufgabe unm6glich ist. I2. Die Frage nach der Kommensurabilit~it elliptischer Integrale ist noch auf einen ganz anderen Zweig der Mathematik, n~imlich auf eine Frage der Diophantischen Analysis anwendbar. Es sei eine Gleichung (5.7)

f(x,y)=o

gegeben, deren Koeffizienten einem algebraischen Zahlk6rper K angeh6ren und deren Geschlecht p z I ist. Es handelt sich um die Existenz der W e r t e xo,yo, die der Gleichung (5.7) gentigen und im K 6 r p e r l(enthalten sind. Sie seien kurz rationale Punkte der Kurve (5.7) genannt. Man kann die Gleichung (5.7) in die Gestalt

(5.8)

Y" ~ 4 x3 - - E2 x m g~

transformieren, indem man n6tigenfalls den K 6 r p e r K erweitert. Die K u r v e (5.8) kann folgendermaf3en parametrisch dargestellt werden:

(5-9)

x=p

(u),

y=p'

(u) .

Entsprechen einige W e r t e ul, u2 des Arguments u rationalen Punkten yon (5.8), so folgt aus dem Additionstheorem, daf3 auch die ul ~ us rationalen Punkten entsprechen. Die Argumente der rationalen Punkte der Kurve (5.8) bilden mit anderen W o r t e n einen additiven Modul, den wir im folgenden K-Ratianalitdtsmodul nennen wollen. H. Poincar6 (59) hat vermutet und L . J . Mordell (51) hat bewiesen, dai3 jeder Rationalit~itsmodul eine endliche Basis besitzt. Ist (ut, us, .... u,) eine solche Basis, so entsteht die Frage nach der Struktur der durch diese Basis erzeugten additiven Abelschen Gruppe 2(. Da man jeden W e r t des Arguments u modulis or, o, reduzieren kann, wo to1, to, die Perioden von p (u),p' (u) sind, so ist die Anzahl unab-

277

hiingiger erzeugender Elemente unendlicher Ordnung ( R a n g ) dieser Gruppe dann und nut dann gleich n, wenn es zwischen den ui keine Kongruenz der Gestalt

(5.1o)

ml u, -~- m, us ~- ... -]- mR u, ~_ o (mod to,, w~)

gibt, wobei die m,. ganze rationale Zahlen sind. Im allgemeinen besteht aber die Basis yon 2[ aus einer Anzahl Q der Elemente -//,,A2 . . . . . -//p von unendlicher Ordnung und einer Anzahl der Elemente //1, B~ . . . . ,B~ (Q -~- o ~ n) yon endlichen Ordnungen. Die Zahl Q heif3t nach Kronecker R a t i o n a l i t ~ t s r a n g des Systems ul, u2, ..., r (mod 01, ~o~), d. h. die gr6t3te Anzahl von rational unabh~mgigen Elementen. Das Zolotareffsche Verfahren erm6glicht uns, den Rationalitiitsrang im Falle n z I zu bestimmen 2), und liif3t hoffentlich eine unmittelbare Erweiterung auf den allgemeinen Fall zu. 13. Man kann die aus diesen Ueberlegungen entstehenden Aufgaben folgendermaf3en formulieren : I. Man finde eine Methode zur Unterscheidung, ob der dutch die Gleichungen sn a ~ Xo, cn a . dn a ~ 3Io (oder : _p (a) ~ x0, p ' (a) ~ Y0) deftnierte Wert a des Arguments u mit den Perioden kommensurabel ist oder nicht. Es handelt sich nur darum, die F r a g e ftir den Fall zu erledigen, daf3 die Landensche Transformation einer gegebenen elliptischen Funktion periodisch ist. Dieser Fall tritt nicht ein, wenn die Kurve (5-4) (oder (5.8)) reell ist. II. Man bestimme den Rationalit~itsrang eines Moduls (ul, us . . . . . u~) (mod to~, w2), wobei die ul aus den Gleichungen fl (ul) ~ x l , p ' (ul) ~ y~ zu bestimmen sind und o r , w~ die Perioden der elliptisehen Funktion p (u) bedeuten. III. Es seien ein elliptischer Funktionsk6rper (etwa dureh A n g a b e des Moduls k) und ein die Gr6t3e k enthaltender algebraiseher Zahlk6rper K gegeben. Man finde eine Basis des entsprechenden K-Rationalitiitsmoduls. Ist eine Basis (u~, us, ..., u,) (durch explizite A n g a b e der W e r t e yon p (ul)) gegeben, so entscheide man, ob sie eine Basis des K-Rationalit~ttsmoduls ist o d e r nicht. 14. Man kann die Formulierungen der soeben erwiihnten Aufgaben ohne grot3e Mtihe auf allgemeinere K 6 r p e r algebraischer Funktionen 2) T. Nagell (52~ S. 96, Z. IO--Xl v . o . ) meint~ ~on n'a pas de m6thode g~n6rale pour reconnattre si l'argument d'un point donn6 (.~ y) est commensurable avec une p6riode ou non.* Tatsiichlich ist diese Aufgabe in den erwiihnten Zolotareffsehen Untersuehungen gel6st. 278

i.ibertragen. Zunichst liegt es nahe, da(3 die Frage nach der Endlichkeit einer algebraisch angegebenen Transformation der in wI, N ~ beschriebenen ,Jacobischen Gruppe" mit der Frage nach der Integrabilitit der Abelschen Integrale durch Logarithmen nahe verwandt ist. Andererseits kann man die Ueberlegungen des N ~ Io ohne weiteres auf den allgemeinen Fall tibertragen. Dies zeigt, daf3 auch zwischen der Jacobischen Gruppe und der Idealklassengruppe eines algebraischen Funktionsk6rpers ein gewisser Zusammenhang besteht. Andererseits ist mit diesem Problem die Frage nach den funktionalen Einheiten verbunden. 3) A. Weil ( 8 7 ) h a t mit Hilfe einer ~thnlichen Methode Diophantische Gleichungen / ( : r , y ) z o bei beliebigem p untersucht. Er hat insbesondere das Mordellsche Resultat fiber die Endlichkeit yon K-Rationalititsmoduln auf beliebige p ~_~ I erweitert. Dazu benutzte er die Jacobische Gruppe, wahrend Mordell (5 I) implizite die Teilung der elliptischen Funktionen benutzte. 15. Das Diophantische Problem kann als Spezialfall des Hilbert-Doergeschen Irreduzibilitatsproblems betrachtet werden: Es sei eine Gleichung /(z, t ) - - o gegeben. Man finde alle Werte tl yon t, bei welchen / ( z , tl) ein in einem vorgegebenen Zahlk6rper k reduzibles Polynom ist. Nach K. Doerge folgt aus den Untersuchungen yon Weil (87) , dat3 es bei p ~ I nut dann unendlich viele Werte dieser A r t yon t gibt, wenn /'(z, t) sich nach einer gewissen Substitution der Gestalt ~

C__ m 21 - m

-+- C

m+l /a~--m+l -~- .-- @ CO -@ 6'1 ~/ ~ - . . . -1-

Cm U m

in ein identisch zerfallendes Polynom von ~ und u verwandelt4). Die in Rede stehende Arbeit yon Doerge ist dem Fall gewidmet, dat3 z eine funktionale Einheit ist. Dann erh~ilt Doerge sehr einfache Bedingungen dafiir, daf3 /'(~, t) nut bei einer endlichen Anzahl der Werte yon t in k reduzibel wird. Es ist bemerkenswert, dal3 sich dadurch ein neuer unmittelbarer Zusammenhang zwischen den Diophantischen Gleichungen und den funktionalen Einheiten ergibt. (Eingegangen den I2. September I932) 8) Auf diesen Zusammenhang hat mieh meiu hochverehrter Lehrer ProL Dr. D. Grave aufmerksam gemacht. Vergl. z. B. Verh. Russ. Math. Kongret~ in Moskau (l 927)~ S. 215 (russisch). 4) Zusatz bei Korrektur. In dieser Richtung hat C.R. Siegel (Abh. preuss. Akad., Berlin~ I93o , N ~ I) wesentliche neue Resuhate erhalten.

279

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3. R. Bae G A b b i l d u n g s e i g e n s c h a f t e n

algebraischer Erweiterungen. Math. Zeitsehrift 33 (x93I)~ S. 451--479. 4. tt. ~'.Baker, A b e l ' s T h e o r e m a n d t h e a l l i e d T h e o r y etc. Cambridge I897. 5. ~l. Bauer~ G a n z z a h l i g e G l e i c h u n g e n o h n e A f f e k t . Math. Ann. 64 (19o7), S. 325--327.

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280

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281

teilerfremd ist, unendlieh viele Primzahlen e n t h ~ i l t . Sitzber. Wiener Akad. lO6 (x897), S. 254--286. 5o. F. Mertens, E i n B e w e i s d e s G a l o i s ' s c h e n Fundamentalsatzes. Sitzber. Wiener Akad. xII (i9o2)~ S. 17--37. 5 I. L . d . Mordell, On t h e R a t i o n a l S o l u t i o n s o f t h e I n d e t e r m i n a t e Equat i o n s o f t h e T h i r d a n d F o u r t h D e g r e e s . Proe. Cambr. Phil. Soe. 21 (I92Z)~ S. 179--192. 52 . T. 2Vagell~ S u r l e s p r o p r i d t 6 s a r i t h m 6 t i q u e s d e s e u b i q u e s p l a n e s du p r e m i e r g e n r e . Aeta Math. 52 (I928)~ S. 93--x26. 53. E. Netto~ U e b e r e i n e n L t i r o t h - G o r d a n ' s e h e n S a t z . Math. Ann. 46 (t895)~ S. 3IO--3x8. 54. C. Neumann, V o r l e s u n g e n tiber Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale. 2. Aufl. Lpz, I884. 55. E. 2Voether~ G l e i c h u n g e n mit vorgesehriebener G r u p p e . Math. Ann. 78 (1918)~ S. 221--227 . 56. M. 2Voether, U e b e r F l i i e h e n ~ w e l e h e S c h a a r e n r a t i o n a l e r Curven bes i t z e n . Math. Ann. 3 (1871)~ S. 161--227. 57. O. Ore, Z u r T h e o r i e d e r E i s e n s t e i n s e h e n Gleichungen. Math. Zeitschrift 2o (I924), S. 267--279. 58. O. Perron~ U e b e r G l e i c h u n g e n o h n e A f f e k t . Sitzber. Heidlb. Akad. I923~ 3- Abh. 59. H. Polncard~Sur l e s p r o p r i 6 t 6 s a r i t h m 6 t i q u e s descourbes alg6briques. Journ. de Math. (5) t7 (19oi), S. I6I. 6o. F. Pollaezek~ U e b e r d i e E i n h e i t e n r e l a t i v - A b e l s c h e r Z a h l k S r p e r . Math. Zeitschrift 3~ (1929)1 S. 52o--55I. 61. R. Remak, U e b e r d i e A b s c h i i t z u n g d e s a b s o l u t e n B e t r a g e s d e s R e g u lators eines algebraischen ZahlkSrpers nach unten. Crel|e x67 (Hensel-Festband~ I93I), S. 360--378. 62. S. Sehatunouski, A l g e b r a a l s L e h r e y o n d e n K o n g r u e n z e n nach funkt i o n a l e n M o d u l n (russiseh). Diss Odessa 1917. 63 . A. Seholz, U e b e r d i e B i l d u n g a l g e b r a i s c h e r ZahlkSrper mit auflSsbarer Galoisscher Gruppe. Math. Zeitschrift 3o (I929)~ S. 332--356. 64 . A. Schotz, R e d u k t i o n der Konstruktion von KSrpern mit zweistufiger ( m e t a b e l s c h e r ) G r u p p e . Sitzber. Heidlb. Akad. 1929, 14. Abh. 65 . A. Scholz~ E i n B e i t r a g z u r T h e o r i e d e r Z u s a m m e n s e t z u n g endlicher Gruppen. Math. Zeitschrift 32 (193o)~ S. I87--I89. 66. A. Seholz~ U e b e r d a s V e r h i i l t n i s y o n I d e a l k l a s s e n und Einheiteng r u p p e in A b e l s e h e n KSrpern yon Primzahlpotenzgrad. Sitzber. Heidlb. Akad. x93% 3. Abh.~ S. 31--55. 67. O. Schreie G D i e V e r w a n d t s c h a f t s t e t i g e r G r u p p e n im g r o g e n . Hamb. Abh. 5 (I927)~ S. 233--244. 68. L Sehu G U e b e r e i n e K l a s s e y o n M a t r i z e n ~ d i e s i e h e i n e r g e g e b e n e n M a t r i x z u o r d n e n l a s s e n . Diss. Berlin 19oI. 69. l. Sehu G U e b e r d i e D a r s t e l l u n g der endliehen Gruppen dureh gebroehene lineare Substitutionen. Crelle 127 (19o4)~ S. 20--50; II, Crelle I32 (19o7)~ S. 85--137. 7~. 1. Sehur~ B e i s p i e l e ftir G l e i e h u n g e n o h n e A f f e k t . Jahresber. DMV. 29 (t92o). 282

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77. P. Tehebycheff, Sur l ' i u t 6 g r a t i o n

d e Ia d i f f 6 r e n t i e l l e

x+A

,~/x4+~xa+~x2+Tx~dX"

Oeuvres I~ S. 517--53o. 78 . N. Tschebotar6w~ D i e d e r T s c h i r n h a u s e n s c h e n umgekehrte Aufgabe. Journal des Sciences I (1922) (russisch). 79. N. Tsehebotar6w~ Z u r A u f g a b e d e r B e s t i m m u n g yon algebraischeo Gleichungen mit vorgeschriebener G r u p p e (russisch). Bull. Soc. Math. Kasam (3) I (I926)~ S. 26--32. 8o. hr. Tsehebotar6w, D i e B e s t i m m u n g der Dichtigkeit einer Menge yon P r i m z a h l e n ~ w e l c h e zu e i n e r g e g e b e n e n S u b s t i t u t i o n s k l a s s e geh 6 r e n . Math. Ann 95 (I925)~ S. 19t--228. 81. ~ . Tschebotar6w. S t u d i e n f i b e r P r i m z a h l e n d i c h t i g k e i t e m Bull. Soc. Math. Kasan: I, (3) 2 (1927), S. 14--2o; II, (3) 3 (z928), S. x - - I 7. 82. ~V. Tschebotar6w~ Z u r G r u p p e n t h e o r i e des KlassenkSrpers. Crelle I61 (1929)~ S. 179--193. 83 . N. Tsehebotarb'w~ U e b e r e i n a l g e b r a i s c h e s P r o b l e m y o n H e r r n H i l b e r t . Math. Ann.: I~ Io4 (I93I)~ S. 459--471; II~ lO 5 (I93I)~ S. 24o--255. 84. h r . Tsehebotar6w, U n t e r s u e h u n g e n iiber relativ Abelsche Zahlk6rper. Crelle 167 [Hensel-Festband; 193I)~ S. 98--12~. 85. G. Voronoi~ U e b e r g a n z e a l g e b r a i s c h e Z a h l e n ~ d i e y o n e i n e r W u r z e l e i n e r G l e i c h u n g 3. G r a d e s a b h ~ i n g e n (russisch). Mag. Diss. S-Pb. 1894. 86. tt. Weber~ L e h r b u c h d e r A l g e b r a ~ Bd. 3. Braunschweig 19o8. 87. A. Weil~ L ' a r i t h m d t i q u e s u r l e s e o u r b e s a l g ~ b r i q u e s . ActaMath. 52(i929) ~ S. 281--315. 88. H. Weyl, T h e o r i e d e r D a r s t e l l u n g kontinuierlicher halb-einfaeher Gruppen dur~h lineareTransformationen. Math. Zeitschrift:I, 23 (1925) ~ S. 27I--3o9; II, 24 (1925), s. 328--376; III, 24 (1925)~ s. 377--395. 89. A. Wiman, U e b e r e i n e e i n f a c h e G r u p p e y o n 36o e b e n e n C o l l i n e a t i o n en. Math. Ann. 47 (1896)~ S. 531--556, 9~ . A. Wiman~ U e b e r d i e D a r s t e l l u n g d e r s y m m e t r i s c h e n und a l t e r n i e r e n den Vertausehungsgruppen usw. Math. Ann. 52 (1899), S. ~43--27o. 9L A. Wiman, U e b e r d i e A n w e n d u n g d e r T s c h i r n h a u s e n t r a n s f o r m a t i o n a u f d i e R e d u k t i o n a l g e b r a i s c h e r G l e i c h u n g e n . NovaAetaUppsalai927~ S. X + 3--8. 92. G. Zolotareff~ T h 6 o r i e d e s n o m b r e s c o m p l e x e s e n t i e r s a v e c u n e a p p l i c a t i o n v e r s le c a l c u l i n t 6 g r a l (russisch). Diss. S.-Pb. 1874. Oeuvres tomeI, Leningrad 193t~ S. I61--36o. 20 CommentarilMathemat~clHelvedci

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