453
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels nach S c h r 6 d i n g e r s Undulationsmechanik. II. Intensitiitsfragen 1). Von Hans Rademacher und Fritz Reiehe in Breslau. Mit 1 Abbildung. (Eingegangen am 29. November 1926.) Es werden nach der ,~{ethode yon S o h r S d i n g e r die Intensit~ten im Rotationsspektrum des symmetrischen Kreisels bereehnet. In einer vor kurzem ersehienenen Arbeit 2) wurden die EnergJewerte und die Eigenfunktionen des symmetrisehen Kreisels au[ Grund yon S e h r S d i n g e r s Wellenmeehanik bereehnet. I n der folgenden Abhandlung ist aueh das Intensit~tsprob]em fiir den vorliegenden Fail gelSst. w 1.
Um die [ntensit~ten und Auswahlregeln abzuleiten, mull man
in bekannter Weise die H e i s e n b e r g - B o r n - J o r d a n s c h e n Matrizen des elektrischen Moments bilden 3). Es seien ~, ~, ~ die Komponenten des (klassiseh gebildeten) elektrischen ]~[oments des Kreise]s parallel den ttaupttritgheltsachsen, bezogen auf ein k(irperfestes System.
Sind al/]271 die Riehtungskosinus der
~-Achse mit den raumfesten x-, y-, z-Achsen, ebenso ~2 l]2 72 bzw. a~/]~ 73 die Riehtungskosinus tier 7- bzw. ~-Aehse mit den raumfesten Aehsen, so sind die Komponenten des elektrischen Moments, bezogen auf das raumfeste System :
y = / ] ~ ~ +/]~ ~ +/]~ ~,
(1)
1) Erst naeh Absehlufl dieser Arbeit erhielten wir Kenntnis von einer Abhandlung von D. M. D e n n i s o n (Phys. Rev. 28, 318, 1926), in der dieser Verfasser das gleiehe Problem naeh der ~[ethode yon H e i s e n b e r g , B o r n und J o r d a n behandelt. Die yon D e n n i s o n bestimmten Energiewerte unterscheiden sieh yon den unserigen nur um eine von den Quantenzahleu unabhfingige Konstante. Seine Intensitatsformeln deeken sieh mit den unserigen. Ein wesentlicher Unterschied ist jedoeh folgeuder: D e n n i s on schlieflt aus tier Analogie zu den Atomen, daft die 3 Quantenzahlen j, % C (bei ihm mit m, n, a bezeiehnet) entweder alle drei ganzzahlig, oder alle drei h a l b z a h l i g s i n d , w~hrend nach unserer Rechnung, die die Form der kinetisehen Energie direkt aus der klassisehen Meehanik iibernimmt, j, ~, C zwangl/~ufig gauzzahlig werden. Eine Halbzahligkeit dieser Gr6flen ist wohl erst dann zu erwarten, wenn die E i g e n r o t a t i o u e n der Eiektronen des Kreiselmolekiils in geeigneter Weise berfieksiehtigt werden. '~) ZS. f. Phys. 89, 444, 1926, im folgenden zitiert als I. 3) E. S e b r S d i n g e r , Ann. d. Phys. 79~ 741, 755; 80, 464, la26.
ttans Rademacher und Fritz Reiche,
454
Die 9 R i c h t u n g s k o s i n u s % . . .
7~ lassen sich in folgender Weise
durch die 3 E u l e r s c h e n W i n k e l @ (Neigungswinkel), qo (Eigendrehungswinkel), ~ (Pr~zessionswinkel) ausdriicken ~): (Z1 ~
COS ~{) COS ~) - -
sin ~ sin
~ cos g,
~ ~--- - - sin ~ cos ~ - - cos r sin ~p cos #, % ~--- sin ~ sin ~, fll -~- cos q0 sin ~p -~ sin qo cos ~ cos ~, fl~ -~- - - sin q~ sin ~ + cos ~ cos ~ cos ~,
(2)
fl~ - ~ - - cos ~p sin ~, 7~ ---~ sin r sin ~, 7a ~--- cos q0 sin @, 7~ ~
cos @.
Setzt m a n diese Ausdriicke in (1) ein, so lassen sich die G l e i c h u n g e n ~olgendermafien zusammenfassen : x-~iy
~
(~ ~_ i ~ ) . 1: ~- cosO" . e i ~ § 2 1 - - cos
x--iy
~
(~--i~).
1 Jr cos@ 2 "e-i~P-iY~
(3)
1 - - cos 9 . sin @ i
w 2.
. . sin @
'
Die (unnormierten) Eigenfunk~ionen unsores P r o b l e m s
sind
nach I (32): (d, s , ~ ; t, r ~ ) -----coast tal~.(1 - t ) s t ~ . F ( - p ; l + d + s + p ; l + d ; t). ei(*~ +*'W), (4) wo die F J a c o b i s c h e P o l y n o m e sind, u n d ferner 1 --
cos
2
(5) -
~
~, v ganze Z a h l e n / 1) Vgl. Gans and W e b e r , Repertorium d. Phys. I, S. 42, 43, 1915, oder CI. S c h a e f e r , Einfiihrung in die theoretisehe Physik, Bd. 1~ w 72, 1914.
Die Quantelung des symmetrischen KreiseIs usw.
455
Ist allgemein q eine der GrSl]en x, y, z oder eine lineare Kombination wie x+__iy, so berechnen sieh die entsprechenden Heisenbergschen )[atrizenelemente, nach S e h r ( i d i n g e r , wie folgt ~): q [d 1 8~ iO1 ; d 2 8~.p~]
q. u (d~ s~lo~; t r ~p). ~ (d~ s~_~%; t.cp ~). 0" d V
(G)
Dabei ist in unserem Falle die Dichtigkeitsfunktion @, wie aus I (16b) ersichtlich, gleich 1. Das u d V des Konfigurationsraumes ist 2) : d V ~ dtdvfld~, (7) and die Integrationen in (6) sind naeh t yon 0 bis 1, naeh ~ und ~p yon 0 bis 2 :r zu erstrecken: ~ ist die zu u koniugiert komplexe Eigeafunktion. Ist die Entartung der Kreiselbewegung durch ein der z-Achse paral]eles StSrIeld au~gehoben, so ist die Energie naeh I (30) und I (45) durch die drei ganzzahligen Quantenzahlen j, v, v' eharakterisiert, wo [vgl. I (28), I (29) und I (48)]
d+s
}
o<_l~'l~j Einem bestimmten ,~bergang" Jl vl v~---> j~v~v~, bei dem sieh die Quantenzahlen um J2 - - J l
:
Alj;
V2--T 1 ~
z~V;
T ~ - - ~:1 ~---- J r '
(,9)
~ndern, entspricht, also ein l~bergang des Wertsystems dlslp 1 in d2sap~, bei dem d, s, 19 die :s
d~--d 1 ~ z t d ;
s2 - s 1 : z / s ;
P~--21 ~ J~o
(10)
erleideai. Auf die sen (Jbergang bezieht sich das Matrizenelement (6). Der Nenner im Ausdruck (6) dlent zur Normierung der Eigenfunktionen auf 1. Aus sparer ersichtlichen Griinden (siehe w 4) setzen wir die in (4) often gelassene Konstante gleich (d+,) p
__ (d-~p)! /o!d!
und sehreiben abkiirzend: (d~-p~./v(__p,/ 1 - ~ - d ~ - s + p , 2
1 ~-d, t) =
O(d, s,p, t).
(11)
1) E. S c h r S d i n g e r , Ann. d. Phys. 80, 464, 1926. ~) Vgl. I, S. 451, Anmerkung 1. (Der Faktor 2 kann hier fortgelassen werden.)
Hans Rademaeher und Fritz Reiche,
456
Dann w e r d e n die Eigenfunktionen:
u(dsp; type) ~ ta/2.(1 --t)81~.~(dspt).ei(~e+~"r ). Durch diese yon 1 abweichende Normierung w e r d e a ]~atrizenelemente (6) - -
(4a)
ersichtlich
die
eben w e g e n des in (6) auftretenden Nenners - -
nicht betroIfen. Beachtet man nun, dM] nach (5): 1 -}- cos ~
1 - - cos I~
l--t;
2
--
2
cos ,I~ ~--- 1 - - 2 t;
sin @ ~
t;
(5a)
2 tUa. (1 - - t) ~]~-
und definier~ die Io]genden Integrale: 2~ .
.
-
1
Idq).ei~l~p_i~2%
.
0 2~
1
f d r
ei'p + i ~1 ~p- i ~2 %
0 2~
I
Id~.e_i~p+i~t(y_i~2~p
~
(12)
o 2~
o 2~
1 I 0 2~
R ~
~
dO.e'i~v+i~V~'-i~2'~ ',
. 0
1
dl -[-d2
sl -[-82
et.t
dTdt
81pl d2 s~ P2
.(1-t)
.
(elslp,
0 1
dl + d2
sl 4- s2
0 1
d t4-d24-1
Y~
~d181 Pl
d2 s2 P2
idl slp 1 d2 82 P2
f dt. t
2
. (1 - - t)
2
0 1
d t. ta.
J-dsp o
(1
-
-
(13)
st + 8 2 4 - 1
0 8 . 0 2 (d s p t),
.~(dlS~Plt).r
'
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw.
457
so erhalt man aus (3), (6), (7), (4 a) und (5 a) die Matrlzenelemente: ( J - K ) ~ ~ p, d~ s2 P2 (X + i y ) [ d 1 81~91 d 2 82~92] = (~ + ~ ~) Q(fl Q~lj~ ~/J_dlsIPl" Jd2s2P2
Kal
"Ldl st Pl
slPl
( X - g ~ ) [ d I 81~ 1 d2 82~02] = ( ~ - g ,)'efl',~J" ~/Jdl_,lpl "d~::::P2~xoz (14)
Kdi sl Pl
Ldi sl Pl
i d 1 Sl Pl d2 ?2P2
da s2 P2
+ ~" Pep -P~!,,
+ i (~ - i ~). R~Pv. ~Jd~lpl" Jd~s~p~ w 3.
d2 s2 p,,
~Jdlstpt" Jdasap~
Die Integrale (12) haben folgende Werte:
---- 0, wenn v 2 =r vl, Qg, ~ 1, wena v~ ~ v 1 ~- 1, 0, wenn v 2 ~ v 1 + 1,
R,f ---- 1, wenn v~ ---: v 1 ~--- O, wenn vu :r
v1 - 1 ,
: @u : :
O, wenn v~ :~: Vl,
1, wenn v~ ----- v'1 + 1, O, wenn v~ :r v'l -~- 1,
(15)
1, R~k ~--- 1, wenn v~ : v ' l - - 1, = O, wenn v~ =f= v ' l - - 1.
Da nun alle Glleder in (x-4- y)[...] den Faktor Q~, alle Glieder in (x - - i y) [...] den Faktor .Rq. und alle Glieder in ~ [...] den F a k t o r _P~ besitzen, so ergibt sich nach (15) sofort die folgende bekannte A u s w a h l r e g e l fiir z':
J r ' -~- v'2--v'l ~
0; 4-1,
(16)
und zwar verkniipfg mit der P o l a r i s a t i o n s r e g e l : ~'2 ~ ~'1 + i : (x + i v)[-..] ~ o; (x - - i v) [.- .] = o; ~ [...] == o, Strahlung links-zirkular, senkrecht zum Felde polarisiert (6+-Komponente), "/:'2 ~
T ' I - - 1: (x - - i y) [. . .] =:f::0 ; (X ~- i y) [. . .] ----'0; Z [ . . . ] ~ 0 ,
Strahlung rechts-zirkular, senkrech~ zum Felde polarisiert (6_-Komponente), ~'~ =
~'1:
z[...1=r x [ . . . ] ----- y [ . . . ] = o, Strahlung linear, parallel dem Felde polarisiert (~-Komponente).
(17)
Hans Rademacher und Fritz Reiche,
458
Ganz analog folgt aus dem Anftreten der Faktoren Pq, Q+R+ in (14) nach (15) die bekannte A u s w a h l r e g e l fiir v: 1 -~- 0; --+1,
, d r -~- ~ - - v
(18)
und zwar sin(t, wie aus (14) ersich~lich, die Ubergange, bel denen v~-----vl~-1 ist (positiver, negativer Zweig), mlt der senkreeht zur Figurenaehse liegenden Komponente des elektrischen Moments (~, ~) verkniipft, wahrend die~enlgen Ubergange, bei denen v~ ~ v~ ist (Nullzweig), zu der Komponente des elektrischen Moments parallel der Figurenaehse (~) gehiiren. Wir erhalten also, ie nach den Spriingen yon v und v', die folgenden neun Falle : 1. % ~
oJ.so
!
t
v, ----- v~ § 1.
v, + 1;
-
2, wenn v 1 -~ v'l ~ 0;
~-=
2, wennv l + v ' ~ < - l ;
A ~ ----- - - 1 ,
O~ (x--iy)[...]
0;
~
z[.
wenn v 1 ~-v'l---- - - 1 ;
+~' /
A~--0.
..] ~ 0 , ( J - - K)d~ s~Pl d2 s2 P2
(x + i y ) [ . . . ] = 2x[...]
;
Gebraucht werden also hier auger J~, s,p, das stets auftrit~, die Integrale : (J-
K)dl: ~1;+pl
und
( J - - K)dl: ~:;1 9
d l ; S l - 2 ; p2
Ad=0;
As=
(x+i~)[...]=o;
d~_; s~.; p2
@2, wennvl-~v~O
;
A~----- ~-1,
- - 2 , wenn v1~-v'1 ~
1;
J~ ~
0,
1;
L/v ---~ 0.
'
wenn v1 ~ - v t ~
*
--1,
z[...]=o,
(x - ~y) [. . .] = 2~[...] :
--2~y[...] = ( ~ - - i ~ ) .
Gebraueht werden hier: ( J - - K)dl;sl:p 1 dl;sl+-~;p2
und
( J - - K)dl; sl:pl . all; sl ;p2
J--K
1/-~.
/ /
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw. r
3. v~ = v ~ - l ;
v2 : v l - -
1.
J d --- -~ 2, w e n n vl ~ vi ~
Js=0;
--2,
wena vi--v'l~l;
0,
w e n n vi ~ v l =
(x + i ~) [...] :
o;
(x -
2x[...]
i y) [. . .] =
a59
~ [...] :
=
O; ~
1;
~n ~ == -+i, 1, I ~=o.
o,
-2i~[...]
=
K
(~ + i ~ ) . V ~
"9
G e b r a u c h t w e r d e n hier:
Kdl.,+sl ; p t ds
Kdl ; s~; pl .
und
sl; P2
dt ; sl;P2
r
~ld =
ds=O;
~- 2, w e n n v l - - v ' i ~
O;
z/~=
=
--2,
wenn v1 - v ' l ~
~- 1;
z/~----- - - 1 ,
:
O,
w e n n v 1 - - vl :
~- 1 ;
A ~ ----- O.
r
(~ - - i y) [. . .] :
o;
(~ + i y ) [ . . . ]
2x[...] :
:
~[...]
:
~-1,
o, 2iy[...]
:
K /.-3..
(~--i~). !
Gebraucht werden bier:
Kal ~l pl dl•
5. v~ ~ v l - ~
r
1;
v2 = v l .
Kal s~ pl "
und
; ss P2 r
d 1 8s P2
z/s ----- ~- 1 ; L/d ---- - - 1, w e n n v 1 ~-- v'i ~ 0 u n d v i - - v'i ~ 0 ; J ~ ~-- 0,
As= z/s =
1; A d ~ - l ,
wenn vi-~v'~0
u n d 171 - - V ' I ~ _ ~ 0 ] , ~
- - 1; A d --" - - 1, w e n n v i -~ v ' l ~ 0 u n d v~ --v'~ ~ 0 ; x[... ] ::y[...]
z[...] =
~--- 0;
0,
L/~ = L
--i(~-i~).l/~.
- - 1.
.. I
Gebraucht werden hier: (alle 4: K o m b i n a t i o n e n der u
Ldl sl Pt dt•
+--l;p2 r
6. v~ ~ - - - % - - 1 ;
vu = v ~ .
!).
p
As :
+ l; Ad :
--1, wenn v~-v'l~0;
Vl--V'~O;
A~ :
0,
~/s :
--1;
~-1, wenu vl~-v'l~O;
v~--V'l~0;
J~ :
0,
?~[...I - -
~(~-~'~).~.~..
z/d :
L
xi...!
=
o;
~[...]
=
460
Hans Radomacher und Fritz Reiche,
Gebraucht werden hier: (alle 4 Kombinationen !).
Ldl st Pt
d1+-1; s l •
7.~=~;
~'~:~;+
1o
As=
-f- l, A d :
+1,
As =
+1, Ad =
- - 1 , w e n n ~1 + ~ > 0; t~ -- ~'~ >
0; A ~ =
0,
As =
--1, A d =
+ 1 , "W'eIl]3. '~1 "~ T'I < 0 ; T 1 - - T'1 ~
0 ; z:~ "~ =
0,
As =
--1, Ad :
- - 1 , w e n n v~ -1--r < 0; vj - - ~'~ > 0; d ~" =
--
(x--iy)[...]
=
o;
~[...] =
(~ + i y ) [ . . . ]
=
2~[...]
=
o,
Z
2i~[...]
=
-- 2i~.C_y " 9
Gebraucht werden hier: (alle 4 Kombinationen !).
Ldl s~Pt dl-+ 1 ; S l •
8.
v~-:
Vl;
t
t
v2 : v ~ - - l .
As =
+ 1 , Ad =
+1,
As =
-~-1, A d =
- - 1 , wenn v1-~-r
Vl--V'~ < O ; d ~ -~- O,
+ 1 , wenn v x + v ~ > 0; t --1, w e n n W l - ~ T l > O;
'gl--V'l>0; t .'~1--,1~1<0;
As :
--1, Ad : As = --1, Ad =
wenn
(x+iy)[...l:o;
'I~I-~-T;~0
; ~I--T;~0;
~;
=
+1,]
z~
= 0, * z~.~ . . . .
1.
~[...]:o,
(z - - i y) [. . .] =
2x[...]
:
-2iy[...]
:
L
2i~.C~
"9
Gebraucht wird bier: (alle 4 Kombinationen !).
Ldt st Pt dr•
9.
v2
:
"~1;
81-+1;/)2
t
t
TO :
V I.
As=O;
Ad=
O;
A~=O,J--2K w
Gebraucht wird hier: (J-- 2 K)dlslpt. dt st P2
w 4. Die in der vorangehenden (~bersicht a]s ,,gebraucht" bezeichneten Integrale, die durch Spezialisierung und Komblnation der all-
461
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw.
gemeinen Iabgrale (13) entstehen, stel]en wir hier noch einmal zusammen. Ihre Berectmung erfolgt in diesem Paragraphen. Jd s p
g d l st Pl
i d l si PI di•
dl Sl P2
(J
(19)
dl +2;sl;p2
dl Sl P2
(J
+-l;P2
]~dl Sl Pt
K)< ~, ~
( J - - 2 K)ai .~p,
dl; 8!•
dl si P2
Fiir die in (11) eingeftihrten Funktionen
O(d,s, 10; t ) = ( d ~ P ) F ( - - p , /J
1§
/
p, d, s ~
l§
t). (20)
0 ganzzahlig
gilt die Symme~rieformel
9 (d, s, p; t) = Beweis:
( - - 1-)p 9 (s, d, 10; 1 -- t).
(21)
Nach Gang ist 1)
F (~, ~, r; t) = -Fr(-r~)- ~r (F7~ _-~- F~(-~-, fl)
~, ~ + ~ + 1 - - r; 1 - - ~,)
§ F(7)F(~ + f l - 7 ) ( 1 - t ) r - ~ - f l , t l - r F ( 1 - a , 1-fl, 7+ 1 - a - f l ; Setzen wir a ~ F ( - - p, fl, 7; t) =
- - p , so wird
1
F (.)
l-t).
- - 0, also
v ( 7 ) +Fp( )7F (+; , p_ - - ~fl)F ( - - p , , . ~, - - p + ~ + 1 - - 7 ; t - - t )
1"(7
F(7) (7 - - fl) (7-- fl § 1)... (7-- fl § 1) : F ( r ~_p) ff(-10, f l , - p + f l + l - 7 ; 1-t), und folglich V(7 + f ) F ( - 1 0 , ~, 7; *) v(r) ~--- ( - 1 ) p ( f l - ~ , - 1 0 + l ) . . . ( f l - 7 - 1 ) ( f l - 7 ) F ( - 2 , fl,-p~-[]+l-7; l - t ) = (--1)p /-'(,6 -- 7 § F ( f l _ 7 _ p ~_ l) F ( - - p , fl, - - p § fl § l - - 7 ; l - - t ) , speziell ffir fl -~ l § d § s § p, 7----- l § d also: (10 + d) ! _~
di
(p + s)! ~
z(-p,l+d+s+p,l+d;t)-~-(-1)P~.~,
z(-p,l+d+s+p,l+s;1-t),
woraus durch Division mit 10! die behauptete Gleichung (21) hervorgeht. 1) C. F. G a u B , 1§
Allgemeine Untersuehungen fiber die unendliche Reihe
7 x § . - . , iibersetzt von H. S i m o n . Zeitschrift fitr l)hyslk. Bd. XLI.
Berlin 1888.
Formel (87). 30
Hans Rademaeher und Fritz Reiche,
462
Die Formeln fiir ,,benachbarte" hypergeometrisehe Funktionen kann man samtlich auf die Funkfionen ~ ( d , s,2; t) iiber~ragen. W i t brauchen nur die beiden folgenden: 2~-d
cP(d,s,~v; t) =
l_{_d_~s~_2p~(d,s+l,l)--l;
l§247247
-~ 1 - ~ d ~ - s ~ - 2 p p+s
q~(d,s,p; t) = - - l ~ d - ] - s +
t)
(I)(d,s-]-l,2; t),
2p ~ ( d +
(22)
1, s , . p - - 1; t)
1 -~d~-s-~-p O(d-~- 1, s,p; t). -~ 1 - ~ d 4 - s - ] - 2 p
(23)
Die Formel (22) folg~ aus der Gaul3schenl):
o = ( ~ - ~ ) F ( ~ , ~, r; t) + ~ F ( ~ + 1~~, 7; t) - - ~F(~, ~ + 1, 7; t), unmit{elbar durch Eintragen der Werte ~ ~--- - - 1), fl = 1 ~- d ~- s -~/o~ 7 ~--- 1 + d und dureh tteranziehung der Definition (20). Gleiehung (23) geht aus (22) auf Grund der Symmetrieformel (21) hervor. Es gilt ferner die folgende 0 r ~ h o g o n a l i t a t s f o r m e l (vgl. I, Anhang II, Nr. 2) : 1
.[ta(1--t)sO(d,s, pl;t) O(d,s, p2;t)dt :
0
fiir
/ 9 1 : : ~ %.
(24)
0
Ftir p~ ~ ~%~
dagegen, unter Beriicksiehtigung der Normierung in (20):
1
(d+~)~
Jdsp = ~ td.(1--t)~.O~(ds~v; t)dt =
( l + d ~ - s ~ - 2 p ) p ! (d-[-s-~)!
o
9 (25)
Mit diesen Hilfsmitteln gehen wir an die Bestimmung der ben(itigten Integrale. Es handelt sich nach (13) und (19) im wesentliehen um folgende: 1 t ~ d +I d2 + 1
Ka~s~p~ = | d282P2
st +2S2
(1 ~ t )
3 0 1 f dt~-d2
O(d~,s~,~) (~ (d~, s~, p~) d t,
sl+s2 (dl, 81,~1) (~) (d~, 82, ~o2) dt,
d2 sa Pe o
1 d t + d2.~ 1
s
~ I t d2 s2P2
2
#t .~_$2 ~ 1
(1 -- t)
2
r (dl, s,,p,) r (d~, s2,~o2)dt
0
~iir gewiSse Wer~e der d u n d s und fiir alle p. l) GauB, 1. c., Formel (2).
]
I
(26)
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw.
I I: D a s I n t e g r a l Ia) Js ~
s2 - s ~
2,
~
~ t a (1 - - t)s~ 9 (d, s~,/01) 9 (d, sa,/0~) dr.
f
2~
I
~
( J - - K)as~ p,
d, ~ d
J--K.
463
d.
? (27)
J o
d; s l T g ; p 2
Wenn wir die Formel (22) auf ihre eigene rechte Seite anwenden, so erhalten wir: 9 (d, s,/0) =
(/0 + d) (/0 + d - 1) ~(d,s § 2,/0--2) (1 § d + s § 2/0) (d § S § 21o)
(/0 § d) (1 + d § s + /0) O (d, s ~- 2,/0-- 1) (1 § 2 4 7 2 4 7 2 4 7 § 2/0) (1 § 2 4 7 2 4 7 § d) + ~(d,s § 2,/0-- 1)
§
(l§
+
~-s §
(28)
( 2 § d § s § 2/0)
(l§247247247
( l § d § s § 2p) (2 § 2 4 7 2 4 7 2/0)
O ( 4 s + 2, Z).
Diese~Formel wenden wir auf O(d, sl,/01) in (27) an, wol~ei wlr noch die beiden mittleren Glieder rechts in (28) zusammenfassen: dist~-2;P2
1
(p~+~) (pl+d- 1) .
.
.
.
r ,
t d
(1 + d + s 1 + 2 Pa) (d + s 1 + 2/01) J
( 1-t)~2 ~ (d, s~,/01-2 )
~ (d, s2,/0~) d t
0 1
+ (d ~ ~ ) - ~
~
, (29)
~
2(/0,+d)(l+d+sl+/01)
7~-/01)] t~(1 - t)~ ~ (d, s~,/01-1) ~ (d, ~,/0~)d t 0 1
(1+d+s,+/01)(2+d+sl+/0,) ~'d . . . . ~ . . . . + -(Vi~~Vd~J ~ ~ -~) ~'t", s~,/0,,)~(a, s~,/0~)at. 0
Aus (29) Iolgt unter Beachtung yon (24):
(J---K)aslpl
=:~ 0
nur fiir
/02 =
d;s~" + 2;P2
t.r~ - - K)d sl Pl
/01 - - 2 P l - ],
(30)
/01
=
0
fiir P ~ / 0 1 - - 2
und/0~>21.
d; ~cl ~ 2;p2
30*
464
Hans Rademacher und Fritz Reiche,
1. /o~ - - - - p , - - 2 . ])ann liefert (29) in Verbindung mit (24) und (25):
J--K~
(PI -~ d) (/)' @ d - - 1) (d @/%)] (.s~@ P2) ! (lq-dq-s~ q-2p~) (dq-s,@2/~a) (i @dd-s2@2p2)p2! (d .'~@p~).
oder
(J-- K)d.~p~ (d+p,)! (s~+p~)! se : s,+2~. (d+s,+2p,-1)(d~-Sl+2P,)(d+s , , 2Pl+ l)(d+Q+p~)! p:! (p~ =1)~-2/
(31,)
2. P2 ~ t o, - - 1 :
2(p~ +d)(1 +d+s, +p,) (d +P2) ! (s2 +2~) ! (d + s 7 + 2pl) (2 + d + 81 ~- 2Pl ) (1 + d + s~ + 2pu)~v2 ! (d + so +P2) !
J--K~ oder
(J - - K ) d . ~ ~ d;si+2ipl--I
2(d+2,)! (s~-p~)! (d+.Sl+ 2 p 0 ( l + d + s , +21)l)(2+d+s1+2s 3. p~
(~2
s,+2~.
(31:)
2 ! (d+s 1+p,)!' 2 ~ = 2 1 - 1 /
~)1:
=
J-- K ~
(d+2~) ! (s2+po.)!
(l+d+s~+Pl)(2+d+Sl+2)~)
(1 +d+s,+2pl ) (2+d+s, +2Pa ) (1 +d+so_+2p~)p2! (d+s2+p2)! oder ( J - - 1<)~m p~ d;st§
(d + ~2+ 2 & - l) (d + ~ +2p2 ) (d+s2+2P~ + 1)po ! (d+s,+&) !' \ J , p ~ = p , / Ib) Ms ~--- s ~ - - s ,
~
--2,
d, ~
d~ =
(31p
d.
Man erh~lt die Werte Yon J - - K aus den vorigen durch ausnahmslose Vertauschung der Indizes 1 und "2. le) z/s =
~/d ~
O, s2 =
s, ~
s, d, =
d2 =
d:
1
(J
-
-
K)a~w = dsp2
I t e (1 - - t)~ + 1 @ (d, s, ~)~) 9 (d, s, l'o) dr. 0
(32)
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw.
465
Die Anwendung yon (22) auf 9 (d, s, Pl) und q)(d, s, p~) ergibt:
( J - K)aspl dsP2 1
(l)~ + d) (l+d+s+22s) (1,~+ d) f ta(1-t)'s + 1 O(d,s+l,p~-l) ~ (d, s+l, p~-l)dt - - (l+d+s+22~) _
o 1
-~ (l+d+s+2p~)+d)(l (P~ +d+ s+-P~)(l+d+s+2p~) f ta(1-t)s+tff)(d's+ l'pl-1)O(d's+ l'l)~)dt o 1
A: (l+d+s+2p~) +d+s+P' (l )(P~+d)(l+d+s+22~)f ta(1-t)s+t O(d's+ l'P~)O(d's+ l'p2-1)dt o 1
+ (1 + d+ ~ +_p~)(1 +d+s+p~) f ta(1 -t)s + t if) (d, s+ 1,1h) qO(d, s+ 1,p~) d t. (l +d+s+21)~)(l+d+s+21)~) 0
Wegen (24) folgt hieraus: (J--K)a~m = 0 far P2 ~ 1 ) 1 - - 1
und P2 ~ P ~ - ] - 1,[
dsP2
dagegen ist
(J--K)dsm ~ 0 fiir
P2 =
lh--1;
p l ; P14- 1.
dsP2
1. p~ = p l - - 1 . Wegen (24) und (25) lolgt,: (d+pr (s+ 1 +p2)! (Pl+d)(l+d+s+192) ( l +d+s+2 Pi) ( l +d+s +2p2) (1 +d+s+1 +2j%)p~ ! (d+s+l +p~)!
J--K~oder
(d §
(J-K)~.~p~ ds;pl-1
2. P2 =
J--K=
r (~ +pl)!
= (d+s+2pl-1) (d+s+2pl) (d+s+2Pl+ 1)p2! (d+.~+p2) !' @2=:P1-1)" (34~) :Pl = I 9:
( d + p - 1)! (.v+p) ! (P + d)~ ( l + d + s + 2 p ) ~ (d+s+2~) (1)-1)! (d+s+~))! (1 +d+s+2) ~ (d+p)! (s+ 1 +1))! + (1 + d + s + 2 p ) '~ (2+d+s+2p):p! (d+s+ l+~)!
(d+t))! (s+~0! / l~(d+~) = (l+d+se2p)2p! (d+s+)O!ld+s+2p oder
(j__ K)(~sp
(l +d+s+P)(s+ l +P)l 2+d+s+21)
J
(d+/p)! r { 2~)(d+ s+P+ l)+(s+d)(s+ 1)} asi, - - (s+d+2p) (s+d+2p+ l) (s+d+2p+2)p! (s+d+p) l' (/h=2)2=/~ (342) _
_
466
Hans Rademacher und Fritz Reiche,
3* ~02 =
~91 ~ - 1.
(l+d+s+p~)(d+2~) (l+d+s+2~vl)(l+d+s+2p~)
J-K=
(d+p~)!(s+ l +p~)! (l+d+s+l+2p~)pl!(d+s+
l+p~)!
oder (d + ~%) ! (~ + ;o~) !
(Or-K)~.p~t ~11 (d+ s+2p~-l)(d+s + 290~)(d+s +2p~+ 1)21! (d+s+2)l)! (p~ =Pl+ 1) (34a) I II: Das I n t e g r a l K . IIa) s ~ = s
l=s,
d~--d, =
I
~-2.
1
Kdlsp 1 = |td2(1--t)'~qO(dl,S, Pl,t) qO(d~,s, lo~,t) dt.
(35)
d 1 + 2"~ s ; p 2 J 0
Ersetzt man hierin t dureh 1 - - t , so entsteht 1
K = ~ (1
--
t ) d2
t s (I) (dl, s, 21; 1 - - t) ~ (d~, s, 292; 1 - - t) d t,
0
und nach der Symmetrieformel (21) also: 1
K ---- ( - - 1)pl + ~2 ~ t~ (1 - - t)~2 q, (s, d 1, Pl ; t) 9 (s, d~, p~; t) d t.
(3~)
o
Durch Vertauschen yon s und d geht das Integral (36) im Falle IIa) aus dem Integral (27) des Falles Ia) hervor. Man liest daher aus den Formeln (30), (31) ab: Kdlspl
----0
fiir p ~ 0 1 - - 2
und P 2 ~ P l ;
(37)
d 1 ~- 2 ~ sp2
dagegen: (s +pl) ! (d~ +~%) ! KdtsPlal+2;s;p,--2= (s+dl+2_pl-1)(s+dl+2~l)(S+dl+2pl+l)(s+d~+_P~)!~v2! fiir P~ : P l - - 2
(371)
-- 2 (S +~01) ! (d~ +p~)! K a lCll-~2; ~pl s ; p t - -:I
(s§247
!
fiir P~ = P l - - 1
(373)
(s +2~)! (d2 +1%)!
K d ldls p l-l- 2; s; p l =
(s+d2+2p.2_l)(s+d~+2p2)(s+d2+2p~+~)p~l(s+d~+~2)l flit s = ~o~ (37~)
Itier ist iiberall d~ = d 1 ~- 2.
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw. IIb)
s2 :s
1 ~s
d~--d~
~
467
--2.
1
Kalsp~
~ ta~(1 --t)sO(d~, 8,21; t)qO(do,s,2~; t) dt.
~
(38)
d 0
dt--2;~;p2
Formel (38) im Fall IIb) entsteht aus (35) im Fall H a ) durch Vertausehung der Lndizes 1 und 2; also folgt aus (37):
Kalsp 1
~
0
fiir
22~21
und
2 2 ~ 2 ~ + 2;
(39)
cll--2;sip2
dagegen :
(s + 22) ! (G + 2 0 ! Kd~sp~ (s+d2+222_l)(s+d~+22~)(s+d2+222+1)(s+dl+21)!211 dl- 2;s;p 1 + 2 ffir 22 ~ 21 + 2
2 (s +22)! (dl +20!
K d ~ sp~ di--2;s;Pl+l
(s+d2+ 222 ) (1+s+do+222) (2 +s+d2+2p~)pll (s+d2+2~) l fiir 2n ~ 2 1 ~ - 1 (392)
(s +21)! (dl +p~)! (s~d~+221_l)(s+dl+22~)(s+dl+221+l)211(s+d~+2~)!
][~dlsp d l - - 21; s ; p l - -
Hier ist iiberall d~ ~
fiir
d~ - - 2.
s 2 - - s 1 - - s,
IIc)
(391)
d~ ~
/02 ~-/01.
(39~)
d 1--- d.
I
Kdspl dsp2
J
t d + 1 (1 - - t) s . ~ (d, 8,21j t) ~) (d, 8,22; t) dr.
o
Wie unter I[ a) last dies Integral slch umformen in 1
Kdspl
(--
1)Pl + t)2 I- ts (1 - - t) d + 1 0 (8, d , 2 1 ;
t) 9 (s, d, 2~ ; t) d t.
3
dsP2
o
Man erkennt, dal] der Fall II c) aus I e) wieder dureh Vertauschen yon d und s hervorgeht. Daher folgt aus (33) und (34) Kdspt
0
~
fiir
2~Pl--
1
und
2 2 ~ 2 ~ + 1;
(40)
d8102
dagegen:
Kdsp~ d#; Px-Kds p dsp
1
- (s +20! (d +20! (s+d+2pl_1)(s+d+22~)(s+d+2pl+1)p2!(s+d+2~)!
iiir 2n ~ 2 1 - - 1 (401) (s+2)! (d+2)l ( 2 2 ( d + s +p + 1) + (d+s) (d+ 1)} --~ ( s + d + 22) ( s + d + 2 p + 1) ( s + d + 2 p + 2)21 ( s + d + 2 ) l fiir s ~ 2 1 ----2 (402)
-(s +2~)! (d +2~) ! Kasp~ d s ~ p t + l~
(s+d+2p~__l)(s+d+222)(s+d+2p2+ l)21!(s+d+pl)! fiir
/2 ~ 2 ~ +
1 (408)
Hans Rademachcr und Frits Reiche,
468
i
I I I a ) s2 - s ~
l,
d~--d~
i.
1
.Lt~ +stl)~l;8t+ l;p2= _t ta~(1--t)'s~qS(dz's*')h; t) @(d~'s2'P2; t)dt"
(41)
0
Wir verschaffen uns zun~chst eine neue Hilfsforme], indem wit die Formel (23) auf die rechte Seite yon (22) ~nwenden:
9 (d,s,1);t) =-
(p + d) (p 4- s)
(t + d + s + 2~)(d + s + "2p) §
~ ( d + 1,.~+ 1 , i J ~ 2 ; t )
(z~ + d) (1 4- d + s 4- 2) O(d+Ls+l;2~--l;t) (1 q- d.4- s + ~ ) ( d + s + 2p)
(1 § + s +P)(2 + s 4- 1) O ( d - ~ - l , s + 1 , p - 1 :t) (1+d4-s+ 22)(d+s§ ~ + 2) (1 + d + s 4 - p ) ( 2 + d - t - s + 2 ) -~ (14-d-+-s4-22)(24-d+s+22)cp (d + 1, s -~ 1,p; t).
--
Diese Formel au~ ~ (all, s~, 21; t) angewandt, l~t]~ unter Zusammenfassung tier beiden mi~tleren Glieder aus (41) hervorgehen:
(dl
L ~-
+1) 1)
1
(s, + 21)
(1+ d~+s~+ 2190(d~+s~+.p~)
0
l (1 + d~ +s~ +PO (d~ - s 0
/" a~
---~ . . . . . . 9 -~ (d~+sa+22~)(2+d~+st+.2~) j/ t ~(1- t).~O(d~, so, 2 ~ - 1:, t,) 9 (d~, s~, 2~; t)dt 9 1 (l+d~+s~+/o0(2+d~+s~+2~) Ita~(1--t)s~O(d~,s~,~z;t)O(d~,s~,2~;t)dt. (42) 0
Wegen (24) erkennt man hieraus:
Le~.~o~
=-0
ftir 2 ~ : V ~ - - 2
und P ~ 2 ~ .
(43)
d~.+ 1 ; s I + 1; ,P2
Dagegen: 1. Fiir j% ~ 2~ -- 2 ist nach (42) und (24), (25): L =
(d~ +2~)! (% -F~,) !
oder
LaLs~pt =
~" + s l + 2 p v - 1 ) ( d a + ~ d - f ~ + 2 2 x + l ) p 2 ! ( d
+s ~-/%)! ~=~-,~, ](43~)
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw. 2. P2 ~
469
P~ - - I :
L=
(l +d~ + s~ +p~)(d~- s~)
(d~-p2)!(s2+p~)!
(d~+s~+ 2~1 ) ( 2 + d l + s ~ + 2 / o l )
( l + d 2+s 2+2p2)p~!(d 2 + s ~ + p 2 ) !
oder
Ld~ s~p~
dt + l ; s l + l ; p l - - 1
(d2 +1:'2) ! (sg +.P2) ! (dl- 8l)
__
--(d~+s~+2p~)(d~+s~+22~+l)(d~+s~+2p~+2)p
(P~ ---- s176- - i")
~(d~+s~+pl)I 9
d~ ~- d~ ~
.
82
~
S1
9 (432)
-}-
3. 2~ : p~ ~ p. (1 + d~+ s 1+ 2p) (2 + G + s~+ 2p) (1 + G + s, + 2p)p ! (G § s2 + P) ! oder L d 1 sj_pr
=
(d2 + ~ ) ] (s~ + l)) !
~ d 2= d 1 + 1 ).
d~+1;st +l;p~ (d~+ s2+ 2 p - 1) (d2+ s2+ 2p) (d 2+ s~+ 2p+ 1)p! (d~+ s~+lJ) ! \ s 2 = s, + 1 / HIb) s2 - s ~ ----~ @1,
(433)
d~--d~ = - - 1 .
1 Ldlslp I ~ d~--lisi+l;p2
itdt(1--t)"2~(d~,sl,p~;t)~(d2,s2,p~;t)dt. 0
Auf ~(dl,sl,pl ; t) wenden wir (22), auf O(d2,s2,p2; t) ~edoch (23) an. Dann entsteht: 1
L ~
(d~+P~)(s~'+P2) f t~6(1--t)~2O(d~'s~'p~-l)'(I)(dl'S~'p~-l)dt (l+d~+s1+2Pl)(1+d2+s2+2p2) 0 1
~- (1 + d~(d~ + s~ +/)1) P+ 2pl) 2(1 +)(1d2++ds22 + s2 + 2p2 ) .f td~(1-t)~20(d~'s2'l)~-l)'~(d~'s2'~)2)dt 0 1
(1 + d~ +sj +p~) (s~_+1)2) i td~(1--t)s2qO(d~ p~). qO(d~, s~,p2 1)dr -- (l+d~+~+2pl)(1+d2+s2+2~2) 's2' . -0 I
-~ +(ld~+s~++d~+s~ 2P)(l1+de+s~+. 22e)(1+111) (1 +d2+s2+~p2) f td~(1 --t)s2~(d~' so,p~)._ qO(dlS~p~)dt._ 0
Hieraus liest man wegen (24) ab: Lglstp 1
~
all--1 ; s t q - 1 ; p 2
0
fiir
P2 ~i~ - - 1
und fiir t)2 >1~1 q- 1.
(44)
470
Hans Rademacher und Fritz Reiehe,
Dagegen: 1. Fiir/02 = / 0 1 +
L =
-
1
folgf aus (44)
(1+dl+sl+/01)(s2+/02) (d~+/01)! (s2+/0~)! (1 +d~+s 1 + 2/01)(1 +d2+s2+ 2/02) (1 +d1+82+ 2/01)/01 ! (d1+82+/01)!
oder __ LdLstp ~ - -
dl--1;sl + l ; P t + l
(d 1 +i)i)! (s 2 +/02)! //02=/01+ 1 \ (d2+s~+2/0 _ 1)(d2+s~+2/0~)(d~+s2+2/02+l)/01!(d,+sl+/01)l(d~--dl-1) "(451) "\82 ~ 81-~-l /
2. /0~ = / 0 1 ----/0: L ----
(d~+/0)(s~ +p) (d1+/0-1)! (s2+/0-1)! (1 + dl+sl+ 2/0) (1+ d2+s2+ 2/0) (1+ dl+ s2+ 2 (/0-1)) ( p - l ) ! (d~+ s~+ p - 1 ) !
+ (1 + d I + 81 +/0) (1
+ d 2 + s~ +/0) (d 1 +/0)! (s 2 +/0) ! (1 + d I + s 1 + 2/0) (1 + d 2 + s~ + 2/0) (1 + d 1 + s~ + 2/0)/0! (d 1 + s 2 +/0)!
_
(d 1 +/0) ! (s~ + / 0 ) ! (dl + s 2 + 2/0) 2 (da + s~ + 2/0 - 1) (/0 - 1)! (d~ + s~ +/0)!
+
(dl +/0) ! (s2 +/0) ! (dl + s2 +/0) p ! (d l + s 1+/0)!
(d l + s 2 + 2 / 0 ) 2 ( d ~ + s 2 + 2 p + l ) oder
(d 1 +/0) ! (s. +/0) ! (d 1 + sl) //0~=/0~=P\ "Ld~s~PLdl--1;.%T1;pl=( d l + s 2 + 2 p - 1 ) (dl+s~+2/0) (d~+s~+2/0 + 1) p ! (dl+ sa+p) ! ~.d~=d~-s2__s~ + 1/1)' (452)
3. /02 ~------/01-1: L-----
(dl+/00(1+d2+s2+/02) (1 + d~ + s~ + 2pa ) (1 + d~ + s 2 + 2 ~ )
(dl +/02)! (s~+/02)! (1 +da +s2+ 2 p 2 ) p 2 ! (d a + s 2 + 1o2) !
oder -Ldl sl Pl
dl--1;~:+l;pl--1
=
(d I + p i ) ! (8, +/09)! //02----/01--1\ ( d ~ = d l - 1 ) 9 (453) (d 1 + s 1 + 2/01-1) (d 1 + s l + 2/01) (d 1 + s 1 + 2/01 + 1) ./03! (d~ + s~+p2 ) ! \ s . = s 1 + 1 /
I I I e ) s2 - s
1=-1,
d2-d
1=
-~- 1.
I I I c) ist aus I I I b) durch Vertauschung der Indizes 1 und 2 (iibrigens auch durch Yertauschung yon s und d) zu gewinnen. Also folgt:
Ld181pl
=
dl + l ; s l - - 1 ; p 2
0
fiir
22~/01--1
und
/0~
1.
(46)
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw.
471
Dagegen: L d l si Pl dtq-1;si--lil~t--1 (d2 +133) !
(81 q-P1) !
(dl +sl + 2 /ol-1)(d j +sl + 2pl)(dl +sl + 2/ot + 1)/O.] (do_+s2+pu)l -Ldt st Pt dl+
Itir /Os=/Ol i , ds= d 1 + 1 ss=s 1 - 1 ]
(46,)
fib
(4%)
(
1; s t - - 1 ; p t
(d~ +/O)! (s 1+/O)! (d~ + ~) (d2+ sl+ 21o- 1) (d2+ s 1+ 2/)) (&_+s 1 + 2/O+ 1)/O! (d2+ s~+/o) !
/O1=1)2--/O , S2 ~---81 --
L d i st p~
dlq-list--1;pt
,
q-1
(d: +/O~) ! % +~)!
ffir /oa=/~l+l . d~= d 1 + 1~ s2=s I - 1 7
(d~+ss+ 21%- 1) (d~+ so+ 2p_~)(d2+s2+ 2/O2+ 1) lh! (dl+ sl+/Ol) !
IIId) s s - - s t = - - 1 ,
d2 - d 1 ~
(4%)
(
--1.
I H d) geht aus III a) durch Vertauschung der Indizes 1 und 2 hervor: Ldlstpl --~ 0 ftir /O2~/Ot @ 2 und /O2 ~ / O r
(47)
dt--l~ 81--1;p2
Dagegen : i d l st pl dt--lisl--1;Pl
q-2
- (d~ +/O~) ! (s~ + P2) ! fiir p2=/ol+ 2 , (ds+ss+2/o~-i) (d 2 + s2+ 2to3) (d~+ ss+ 2/os+ 1)/01 ! ( d l ~ - S l "~/Ol)! {d~=d 1 - 1 kS2 = S1 "-- 1 ]
Ld, sl Pl
dl--1 ; Sl--1;p t +
1
(4t +/q)! (sl +/~,) ! ('t2-s2) (d~+ s2+2/o2) (d2+s2+2/o2+ 1) (d2+s~+ 2.p2+ 2)/O11 (d2+ s~ +/O~) !
fiir i%=/ot+l ,
(472)
s~=sl-1]
~dl siPi dr--l; sl-- 1;pi
(dl + /o)! (sl + /o)! (d~+ s~ + 2p
(471)
1) (d~ + s~+ 22) (d~ + s~+ 2/O + 1)p ! (d 2 + s 2+ 1o)!
ftir p2=pl=/o .
(473)
2z81 --
I IV: D a s I n t e g r a l J - - 2 K . As:
Ad:
0,
0,
s, ----- s~ ~--- s,
[ d, ~
d~---- d.
( J - - 2 K ) d i s l p 1 liltt sich nach I c) und II c) berechnen: d l 81 P2
(or -
2 K)elslpl = dl si P2
0
fiir
/o~pl--1
und
p~plq-1.
(48)
472
H a n s R a d e m a c h e r und F r i t z R e i c h e ,
Dagegen: (J-- 2 K)d~m dl si ; Pl -- 1
2 (d +&)! (s +&)!
(d+s+ 2p~- 1) (d+s+ 2p~) (d+s+ 2p~ + 1)p 2 ! (d+s+2s)! fiir P2 = P l - 1,
(480
dl Sl; P l
(d + p) ! (s +~) ! (d + s) ( s - d)
(s+d+ 2p)(s+d+ 2p+ l)(s+d+ 2p+ 2) p! (s+d+p)!
fiir p2 =21 =p,
(48~)
ftir & = P l + 1.
(488)
dl *1 ; Pl + 1
(d+s+ 2 p a - 1 ) (d +s+ 2p2 ) (d+ s+ 2p2+l)pa!
(d+8+pl)!
w 5. In den folgenden Tabellen sind die
,,normierten", d.h. durch
J d t slpx" Jd2 s2P2 dividierten Integrale, die im vorangehenden Paragraphen berechnet worden sind, iibersichtlich zusammengestellt. In der ersten und zwelten Spalte stehen die Werte yon z/s und z/d, in der dritten der hieraus nach (S) sich ergebende Wert yon Z/~ z ~I (Z/ s _4_ Z/ d). In der vierten Spalte stehen dieienigen z/p-Werte, fiir die die betreffenden Integrale yon Null verschieden sind, in der fiinften Spalte die nach (8) aus Z/~ und z/p folgenden Werte yon Z/j. In der sechsten Spalte sind die normierten Integralwerte eingetragen und in der siebenten Spalte die diesbeztiglichen Formdn des w 4 vermerkt. Aus den Tabellen folgt sofort die bekannte A u s w a h l r e g e l f a r die Quantenzahl j: Z/J ~ J s - - J l ~-----1; O; + 1. (49)
Mit den in den Tabellen zusammengestelltea Integralwerten gehen wir nun in das Schema des w 3 ein, wo die Matrizenelemente aufgefiihrt waren. Das Schema war dort in n e u n U n t e r f R l l e eingeteilt, ie nach den zusammengehSggen Sprtingen der Quantenzahlen v und v'. Aus dem Obigen erhellt, da~ wir d rei H a u p t f M l e unterscheiden kSnnen:
i. z / j = - - 1 ,
ii. z / j = + ~ ,
iii. z / j = o ,
von denen jeder in der friiher angegebenen Weise in neun UnterfMle zerNllt. Gemal3 dem Schema in ~ 3 sollte sich ieder dieser neun Unterfalle - - bis auf Unterfall 9 - - noch in drei oder vier TeihnterfMle aufspalten, ie naeh den Werten yon _4s und z/d. Das Einsetzen der Integralwerte aus den Tabellcn zeigt jedoch, dal3 in jedem der nmm Unterfglle diese TeilunterfMle stets zum gleiehen Resultat fiihren, wenn man allgemein
--1
0
--1
0
0
0
0
0
__o
0
--2
i'
o
0
l
+~
--
0
I)
.d ~
0
--2
J (l
1
+
+l
-{ ~
~-~
o
+~
0
o
0
0
~-~
--
--1
--1
--1.
..tj
--1
/
/
0
--2
_tp z:
=
:
::
7
: -=::~:7::==
81-}-'~)1~-
~)1(({+~)1)(8-~-~91)-(d~-8-~)1)
(d~-stq-21,--1)(dJFsiq-2p-~-l)
.1/
(d + :~..,) (d q- p.2 - - i)p.2 (p~ - - i)
1 d-~s+2p~
.~/(
p~(d-~-p2)(sq-io2)(dq-sq-pu ) d~-sq-2p2--1)(d-~-s-~ 2p.~-I )
d-~ s.2 "~- 2 p2 [ ( d -~ s~ ~- 2 2,a - - 1 ) (d -~ s.) -~ 2 29~ -~ l )
1
d+s,2 -~- 2 p ' [
|/(s.2+p)(s2-~p--1)(d+s~-.p)(d-~s~-~p--1) ~'Tz27--1)(d~-s~-~2p-~-l)
(d + ,) (, + 2p + l) + ~p (p + 1) (d + .~ + z p) (d + s + 2 ~ + 9.)
(d -~ 81 ~- 2pl ) (d q- si -~ 2pa Jr 2)
2 V(p~+ t) (~ + p, + 1) (~ + pO (d + < + v,~
(d -~- pa) (sx -~Pl -~ 1) (d-~ 81 -~Pl -~ 1) (d -}- sl -~ 2pa) (d + s: -~ 21): -~- 2)
|S
]"
1
1)
: .......
. |/(Sl -~ p) (Sa ~- 2~ - - 1) (d + S1 -~ 2)) (d -~ s~ -~- p - - 1)
[
2~
=:=~:
j~- j(
vT.::. ~' (d~- s:-~ 2 p ~ - - 1)(d
: :== = :~-:=:
d-~sa4721,
1
el+ s:-~-2p:
=::
Tabelle 1.
(Indlzes
(Indizes
(Indizes
343
vertauscht)
31~
313
342
vertauscht)
31~
312
34~
vertauscht)
313
311
Berer nach Formal
g g
g
m
o~
d8
0
0
0
0
0
0
0
dd
d~
0
0
+1
--1
--1
dp
K V. . . . .
~/(d~-~-p)(d~-~-p--1)(s+d.~@p)(s@d~@p--1)
l)
s ~ --
2 .1/ r:(d@~vl)(s4-, th)(d@s@Pl) dq-sq-219: [ ( d @ s @ 2 p l - - 1 ) ( d + s @ 2 p l @ l ) d'2 (d+s+ep)(~+~+epq-2) 2 . 1 / p2(d@p2)(s@p~)(d+s@p~) dq s@2p2 [ ( d + s ~ 2 p : - - l ) ( d - ~ s - ~ 2 p ~ @ l )
V .....
J--2K
I . I/ p~(p~--l)(s@p~)(s@p~--l) d..@s@2p~ [(d~@s@ 2p.~-- l)(d~@
[email protected]@ l ) i 1/- P~ (d +p~) (s +p:) (d § s + p.2) -- ~ + ~ + 2 ~,," ~ ( ~ ~ - - - ~ T ;-~ 2 :o2 + 1)
1
V~(s +px) (d: + p : + l) (~ + d: +p~ + t) (d: + s + 2p,) (~: + s + 2p~ + 2) 2 V(p1-4-1) (s ~ - p : + 1) (dl -~pl) (s @ d, + p l ) (d: @s@ 2p:)(d, @ s@ 2p: @ 2) 2p (c~ + s + p + :) + (d + s) (d + 1) (d@s-4-2p)(d@s@ 2p~- 2)
(~+~ + 2~:" t ( a + ~ + 2 p : - : ) O - - V : - 5 - ~ T
1 . 1/ P:(Pl--1)(s@Pl)(s-~Ih - 1 ) dl--~-s--~-2p: [(d:@s-4-21):--l)(d:-~-s@21),@ l) 1 .1/(dl-~-p)(dl-~-p--1)(s-3vdl-~p)(s@dl-~-p--1) dl-}-s--}-2,v r (d:q-s@2p---1)(d:@s+2p-~-l)
T a b e l l e 2.
483
48~
481
Berechnet nach FormM
403
39~
373
40,2
392
37u
40:
393
~71
Berechnet nach Formel
--1
--1
+:
+1
+1
--1
--1
--1
--1
0
0
+1
--1
+1
0
0
--1
+l
--1
0
+1
0
0
--i
--1
--1
--1
--1
0
+1
+:
+:
§
+:
+:
0
--1
-]-1
+1
--1
--I
--1
--1
--i
0
--1
--1
+1
--2
+1
-I 1
+i
~d
J8
|/
L
p:(pl--1)(pa-+-d:)(s:~-pl)
-V. . . . .
1/~l(dl-[-ff1)(dl-~-~l--1)(dl-J~81-~-p1)
p~) 1)
1/pu (s~ -~ p~) (s~ -~- pu -- 1) (d~ ~ s.~ ~- p~)
9 1 .[/~.~(d~-~-p~)(d~-kp~--l)(d~-s~-~ d ~ - ~ + z~o~ [ ~-~ ~--V~T - ~ : -- 1) ( ~ + ~ + ~ +
1
(d~ - - s~) "V(p:+ 1)(d:+ s: + p l ) (d: + s: + ~p~) (d: + s: + ~ p~ + ~) 1 |/(d2 -~-P) (s~ -~ 29) (d: -~ s~ 4- 1)) (d~ -~- s~ -]- p -- 1)
(cll -~- sl) "Y( dl + 2 0 "Jr-1) (s: -]-p) (dl-~-s: ~- 2p)(d:-[- s:-~- 2p~- 2)
47:
463
45:
43 s
47~
462
45,~
(d: + s: + 2p) (d: + s, § 2 p + 2)
(d: -~- 81) .V(dl-~-2))(81-]-p -I- 1)
473 43~
(d:-~s:-~-2p--1)(di~--s:-~-2p--~l)
46:
453
43f
Bcrechnet nagh Formr
(d: - - s~) .Vp~(d~ + s: + p ~ + 1) (
[
1/(dl+p)(81+p)(dl+Sl +p)(dl + 81 + t ) - - ~
1 d:--~-s:-~2p
1/P:(S: ~-Pl)(s:-[ Pl--1)(d:-~- s : ~ - l h )
1
dl -}- s: + 2io 1 " [ ( d : -~ sl + 2p: - - 1) (d: + s: + 21o1 -~- 1)
1
d~ + s: § 2 p:" V(d: + s~ § 2 p~ -- 1) (d: § s~ § 2 p: + 1)
1
T a b e l l e 3.
.o
7~
5
Hans Rademacher und Fritz Reiche,
476
an Stelle der drei Zahlen s, d, I) die Zahlen j, v, v' einfiihrt. z. B. an dem ttauptfall I, Unterfall 1 ausfiihrlieh erlautert:
I, 1:
,d j =
a) A s ~
§
v1 § g--K
--1;
v~ =
2; A d - - ~ 0. F v: __~ 0, also sl ~
__
1
~. ....
1/'
1;
v'2 :
v'l §
r [~1 - ~ "$1 I =
p:--I
(d ~- ~Ol)(d --~01 - - 1 ) ( p : -
~(jl--1)
sI d-
d §
---- ( j : - - l ) §
2
s~. '
d + s 1. 2 '
/
(d -J- ~Ol)1ol
1)1)~
d-
d § s~ 2 ;
daher
r
TI'
T1 +
d -[- s~
P' ~ J :
1.
-~- 8: -~ 2~o I - - 1) (d § 81 ~- 21)~ § 1)
d -~- 81 § 21)1" [ ( d
Nun ist
vI §
Es sei dies
d -L
.~\ /
d,
:
~j 1 ~- ~ )
~j 1
2 81)'~ = J~l - J181 -[-
=
J~ - J~ (~: + ~'~) + ~ ~:': =
(Jl -
d2
812 4
~1) (J: - - T':)'
ebenso (d -~ Pl - - 1) (~1 --- 1) :
(/1 - - 1 - - Vl) (Jl - - 1 - - T'I),
also j_
~T; ~
~'.... b) A s
~
l
1/(ix
4j:
[
- - "gl) (Jl - - 1 - - T1) (Jl - - "s (Jl - - 1 - - "1~'1)
(Jl--{)(J,
- - ~,')" A d
F
~: § v: ~
J-K_ ["...
1
- - 1,
j:
also
sl
:
--
"gl
--
t
"~1,
W (s~ + ~) (s~ +1) - - l) (d + sl + p) (d + s~ + p - 1 ) (d + s 1 + 2 p - - 1) (d + s~ + 2 p + 1)
d -F s~
--~Z-+P;
81 ~- 1) 7--~ Jl duller
- ~ O.
d + s~ + 2Io
Nun is~
§
d - - st.
2
PzJl-'
d + s:.
'_~ - '
d ~ 81 ~- 1) ~ - Jl 4- d § s~.
2
d § j~ - - j: (v: ~- vl) ~- ~l Ti ~ (51 ~- p - - 1) (d -[- 51 ~- 1) - - ]) ~
Also ergibt sich fiir J - - ~ K
' 812
(/1 - - Vl) (Jl - - Vl) (Jl - - 1 - - TI) (Jl - - 1 - - T'i).
derselbe Wert wie in "a).
d2
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw.
e) A s ~ t
O;
477
Ad:0. t
v:~-v: =
--1,
J--K
1 1/ ~1 (d + p,) (~ § ~o,) (d + s + PI) d @ s @21o: V (d + s + 2p~ - - 1)(d + s + 2~1 + 1)
~/ . . . .
also
o
Hier wird 10:(d+p:)=
d-ks
:
2
1
~
= j [ _ _ j l s _4
4
= J[ + Jl (~1 + ~':) + ~1~': = (J, § ~:) (J~ + 41) = (j: - - 1 - - ~:). (j, - - 1 - - ~:~). (s + ~ ) ( d § s § p , ) = =
01
d ~ s)(j: #~)'d+s\
j ~ - - j ~ (v: @
J--K
Also ergibt sich fiir - -
v':)
@ T*I"~'1 =
=j~ §
+ s'~--d~4
(Jl - - ~'1) (Jl - - T'I)"
der gleiche Ausdruck wie in a) und b).
V ....
Das im Falle I, 1 entstehende ]Katrizenelement ist also:
x[j:v:V'l; j : - - 1, v: @ 1, v'l q- 1] = 1
1
iy[j:vlV'1; j : - - l ,
v 1 § 1, v'l + 1]
V ( j , - - v,) (j, - - 1 - - v,) (j, - - v',) (j: - - 1 - - v':)
= ~ (~ + i ~) .4-?7 ~ _
(J, _ }) (J: + ~)
w 6. In analoger Weise lassen sich in allen iibrigen Fallen die Matrlzenelemente berechnen. Wir wollen iedoch nicht die Matrizenelemente selbst hinsehreiben, sondern sogleieh zur Bildtmg der I n t e n s i t l i t s g r S l ~ e n schreiten. Die Intensitat S (ausgestrahlte Energie) einer beim Ubergang j: v: v'x ~ 3, v, v., emittierten Linie ist bekanntlieh (bezogen auf e i n Molekfil des Anfangsniveaus): 9
s =
t
~ . {I~l ~ + lyl ~ +
t~t'} .~'
=
~.R.r
(50)
wo z eine Proportionalitgtskonstante, v die Frequenz der bei dem betrachteten Ubergang emittierten Linie und /~ die Quadratsumme der Absolutbetrage der Matrizenelemente darstellt. Dabei ist u durch die B ohrsehe Frequenzbedingung gegeben: v ~
1
~ { E ~ - E2} ,
(51)
wo E 1 die Energie des Anfangszustandes, ~'~ dig des Endzustandes und b dig P l a n c k s e h e Konstante bedeutet. Betraehtet man (klassischmechaniseh gesproehen) nut die R o t a t i o n s b e w e g u n g e n des Kreisels, so hat die Energle E , nach I (30), wenn wir das yon dem schwachen Zeitschrift ftir Physik. rid. XLI.
3i
Hans Rademacher and Fritz Reiche,
478 StSrfeld herriihrende den W e r t
Zusatzglied
in erster Ngherung
vernachlgssigen,
_Ej,~ = a h j ( j + 1) + flhv ~,
]
wo A und C die beiden Tragheitsmomente des Kreisels sin& und (52) folgt dann in der erwahnten Naherung:
Aus (51)
I n der folgenden IJbersicht sind die R - W e r t e fiir a l l e m ~ g l i c h e n Uberg~age angegeben. Aus ihnen folgen die Intensit~ten pro Molektil fiir den Fall eines schwachen S~Srieldes nach (50) und (53). Dabei ist
~
+
n~ =
0~
(54)
gesetzt. Die Totalstrahlungen ergeben sieh dann dureh Multiplikation mit der Anzahl tier Molekiile im Ausgangsniveau.
I I. A j = - - I ; ( j ~ = j l - - 1 ) . I 1. v~ ~
v:-}- 1; /~ •
"r2 :
I
1:'1 -~- 1.
@,. (j, - - v:) ( j : - -
1 - - v:) (j, - - v:) (j: - - 1 - - v',)
8j~ (2jl-- 1)(2j~ + 1) 2.
v2=~h-1;
~=~:'~--1.
R ~ 3.
v~ ~ v
0 u (j' @ v ' ) ( j ' - I @ v,)(j, @r',)(jl--l@r',) 8j~ (2/~ - - 1) (2jl + 1)
1 +1;
R ~ 4.
6.
v~ ~
(55~)
v1-1;
v2 ~ ' 1 - - 1 .
02 (j' - - vl) (Jl - - 1 - - vl) (jl @ v'~) (Jl - - 1 -~ vl)' 8j~ (2j~ - - 1) (2ix @ 1) v2 ~
(553)
v'l-~l.
R :
0 e (j~ -}- v~) (Jl - - 1 ~: vl) (jl - - v'l) (j, -8j~ (2jl - - 1) (2j~ -}- 1)
n =
e ~ 9 (j~ - - ~ ) (j~ - - 1 - - ~ ) (j~ + r~) (j~ - - ~i)
v~=v~--l;
(55~)
1
- - v'l)
4j~ (2jl - - 1) ( 2 j l q- 1)
(55J (55~)
v',=v'~.
R ~--- 02. (j~ -~ %)(Jl - - 1 @ v~) (j~ ~- vl) (Jl - - v'~) 4 j~ (2jr - - 1) (2j~ @ 1)
(55~)
Die Quantelung des symmetrischen Kreiscls usw.
479
t
')j~ (2~ - - ]) (2.h + 1) 8.
%---= v~;
;r :
(~G)
vo---- v ' ~ - - l . ~ . (J, + ~) G - - ~,) G + ~ii (J~ - - ~ + ~',) 2jl 2 (O-jl
--
1) ( 2 j l
-]-
(,~)
])
.
(5G)
j~ ( 2 / ~ - - 1) (2j~ @ 1)
i IL
dj =-F
1;
(J2 = J ~ §
1).[
8j~ ( 2 j 2 - - 1) (2j 2 + 1) 2.
T'2 ~ - -
~1 - -
R =
1;
G
----= Trl - -
'~2 :
0e.(j2-~)(j2-1-vs)(/s-z~)(j2--
T1 - ~
R = 4.
1;
~
T2 :
I-G) -
(562)
1.
(j~ § r~) (L - - 1 + ~ ) (j~ - - ~ ) G - - 1 - - ~,',) 8 j ~ ( 2 j 2 - - 1) (2j2 q- 1)
r~----~--l;
/~ :
T '1 - -
(56~)
l.
8j~ (2j.2 - - 1)(2/~ q- [) 3,
-
(5%)
r;=v'~§
92. (is - - ~2) (Js - - 1 - - v~) (j, -~- v;) (is - - 1 @ v;) 8 j ~ ( 2 j 2 - - 1)(2j~ + 1) -
(564)
r
R ---- q2. (J2 q- v~) (J_9 - - 1 q- %) (j: q- r;) (js - - r'2)
4j~ (2d~ - - 1) (2j~ q- 1) 6.
v~ =
v ~ - - 1;
r
v2 =
(565)
!
~i.
4 j ~ ( 2 j : - - 1) (2j~ ~- 1) 7. v~--~ %;
~ ~
t
~+
(566)
1. 2 j ~ ( 2 j ~ - - 1)(2je-I- 1)
(567) 31"
Hans Rademacher und Fritz Reiche,
480 8.
r~ =
vl; /~
9.
%
:
=
T-~ = ~2.
rI ;
r.'l--1.
(J~
T2 :
~-
v2) (J~ -- T-s) (J2 -- T-~) (J2 -- 1 2 j ~ ( 2 j 2 - - 1) (2js + 1)
--
v;)
(56s)
T '1 9
j ~ ( 2 j 2 - - 1) (2is + 1)
(562)
Die Formeln des Hauptfalles I I gehen ersichtllch, und wie man erwarren mull, aus denen des t{auptfalles I dutch Ver~auschen der Indizes 1 und 2 hervor. So entspricht z. B. der Fall I I 1. dem Falle I 2., der Fall I I 2. dem Falle I 1. usw.
Ira. nj = 0; (4 = . T-2 =
~1 + 1 ; R =
.
T-2 =
•1
Z
T-I -~-
I
1.
O2 . ( j l - - v,) (j~ -t- 1 @ T-l) (Jr - - vl) (j~ -~- 1 @ T-i) 8j~(Jl @ 1) 2
~" vs---- T - I - - 1 ;
j~ =
v2
Jl)"
T-2 - - T-l-- 1.
02 (Jl @ ' g l ) ( J i @ 1 - - V , ) ( j , @ T-'i)(Jl ~- l - - T - ; ) 8 j ; ( / , @ 1) 2 ~- 1;
v; =
sj~(L + 1)2
T2 = - T - l - - l ; .~ =
. vs--
= .
vs =
v2 =
v2 t2
:
(57,)
vl.
q2, T-'12(Jl - - T1) (Jl ~- 1 @- T-l) 4j~ (j, -t- 1) 2
vI -- 1 ;
(578)
T-2 = T - i + l .
02. (Jl -~- "/71)(Jl @- 1 - - T1) (Jl - - "/:1) (Jl -~ 1 @ T"l)
v 1 @ 1;
(572)
T-'I- - 1.
2 = - o ~ 9 (L - - v,) (L + 1 + T-,) (L + T-i) (L + 1 - - ~i)
4.
(571)
(575)
T-1 9
=
9~ .vl (ix + VI)(Jl @ 1 --T-l) 4 j ~ ( j I ~- 1) 2
(57~)
R =
~2. T-~(Jl - - T-i) (Jl + 1 -1- T-i) 2jSl(j~ 4- 1) s
(577)
.
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw. 8.
v2 = v l ;
v~ = V ' x - - 1 .
2r = 9. v~-----v~;
481
~ , ~[ (L + ~;) (L + 1 - - ~i)
2j~(j I ~- 1) 2
(578)
v~---~'~.
J~(Jl +
1) 2
w 7. Von besonderem ][nteresse sind 4ie In~ensi~ten in dem Entartungsfall des s t S r u n g s f r e i e n K r e i s e l s , die allein durch die beiden Quantenzahlen j und v charakterisiert sin& Sie gehen aus den Intensitaten des unentarteten, schwach gest(irten Kreisels, die im vorigen Paragraphen zusammengestellt worden sind, durch folgende Summierung hervor: wir fassen zuers~ den Haupt[ali I (Jl - ~ J l - 1) ins Auge. Gemall dem Sprunge der Quantenzahl v zerf~llt er in drei Gruppen: a ) "gl - ~ T1 - 7 1,
b)
T 1 --~ T 1 - -
1,
(3) "~1 ---~ T'I-
Jede dieser Gruppen umfagt drei Unterfalle, ie nach den Spriingen der Quantenzahl v', n~mlich: - ) ~ ' 1 - ~ ~; + 1,
Die Zuordnung dieser Gruppen und Unterf~lle zu den im vorigen Paragraphen zusammengestellten F~llen 1 . . . . 9. ist die folgende: a) ~) . . . . . .
Fall 1,
a) ~) . . . . . .
,,
3,
a) ?) . . . . . .
,
5,
G r u p p e a),
b) ~) . . . . . .
,,
4, /
b) fl) . . . . . .
,,
2,
b) r )
......
,,
6, ]
c) ~.) . . . . . .
,,
7,
c) ~) . . . . . .
,,
s,
o) r )
,
~,
......
! f
,,
b),
~
C)~
Genau das gleiche gilt yon den Haupff~llen I I und ~II. mul~ nun :
Man
Hans Rademacher und Fritz Reiche,
482
1. in ~eder Grnppe die GrS~en R der drei Unter[alle cr sammenzahlen :
~ + ~ + R7 '2. in jeder Gruppe ~
=
R,
fiber v'l yon - - J l
/~), 7) zu(58)
bis @ J l
summieren
[,,g.1. (8)],
3. den Faksor ~ . v 4 beifiigen. Die Intensitat, wie Msher bezogen au[ e i n M o l e k f i l s i n e s u n e n t a r t e t e n (j, v, v ' ) - N i v e a u s , wird dann: +J~
Be[ der Bildung der Summe ~ zeigt sieh das bemerkenswerte Resultat, d a b in a l l e n F a l l e n R y o n v'l u n a b h a n g i g w i r d . So [st z.B. [fir den :Fall I a), d.h. den Ubergang J l v l - - ~ J l - - 1; v 1 + 1:
R(~) . =
.#~)~ + -~a ~(~)~ + n(~) -.,. -oa r
~
e~
1 -- ~,)
(J, -- ~:,) (.i~ --
R~~[) -+- R~~) + -.~ p,(~) ,
,
" S j ~ ( 2 j ~ - - 1)(2j~ + 1) " l(,J~-- Zl) (J~ - - 1 - - z,)
+ (j~ + ~',) (.i, - - ] + rl) § 2 (j~ - - r,P) 1 =
02. ( . i , - - ~,) (,i, - - 1 - 4.i~ (2j~ § :1)
~)
Die Summe R hat also [fir a l l e 2j1 1 Ausgangsniveaus (Jl vl *'1), in die sich das Niveau (Jl vl) in einem sehwaehen St~rfeld aufspaltet, den gleichen Wert. Ebenso last sieh zeigen, da~ die Summe R [fir die drei an[ demselben E n d n i v e a u (j~v_ov.'.,) endigenden Uberg~nge yon r.~_ unabh~.ngig [st, dal] also ]~ ~fir alle 2j_o - - 1 E n d n i v e a u s , in die sich das Niveau (jerk) im sehwaehen StSrfeld aufspaltet, den gleichen \Vert besitzt. Diese beiden Satze sind das genaue Analogon der ) r n s t e i n - B u r g e r - D o r g e 1 o schen Smnmenrege]n [iir den Zeemane[fekt ~). Aus diesen Satzen geht hervor, dal~ (lie be[ der Bildung der Intensit~t S nStige Summation yon ~ fiber v~ (yon - - j ~ bis + j ~ ) einfaeh auf eine Mnltiplikation yon R mit dem Gewieht gh ~ 2j~ + 1 des Anfangsniveaus herauskommt. Die in dieser Weise sieh ergebenden ]ntensW, tten habmt die [olgeuden Werte :
l) Vg]. H. Hsnl, Z~. f. Phys. 31, 34U, 1926.
Die QuanteIung des symmetrischen Kreisels usw.
"jt--l,z~_"k
l ~
4j~
3f'Q 2"
9 ~, v ~a~l t _ ~, ~ +
,),.
483
(so~)
I b) j~ v~ --). j ~ - - l, ~1--1"
.~.~
e~" (j, + vl) (j, I
r
JlV~
~.~ "3t -- 1, rz ~
--)" j ~ - -
~"
I I a) j~ T 1 '-3t ~- 1, "~1 + 1 =
~
"
~
-
-
1 + ~,)
( Jl ~i
9 ~v~ _
~, ~ _ 0 *.
(60
b)
1, v ~ .
01 + ~,) (L Jl
-
-
~:~) , v ~ ~ " t 3 i - - 1, "~11 9
(6o0
J l - ~ 1, T1 -~- 1.
~
4
V~Jr +z~~,~ + ~)~.
(j~ + 1)
(61a)
I I b) J, % --~ Jl @ 1, v~ - - 1. ,oj~ ~- 1,.zl-- 1 - -
O, - -
g
I I e) j~ v~ - ~ j~ + 1 , ,~ ~
~J~ ~ 1 . ~ [ ~
~2
o
~
+ 1) (L
4(j~-~
-- ~
1)
+ 2). (d ~~,
:h+,,~_a)q
(61b)
~1"
(L j, § t
9tvj~ + 1, ~u 9
I I I a) Jl v, ---> j,, v~ + 1. ,q~.t~ uJl"~l+ 1 =
~'~
0~. 01 - - vl) (J~ @ v, -~- 1) (2j, + 1) ( .il ~t 4jl(j 1 Jr- 1) .~vjv~l + , ) ' .
(62a)
I I I b) Jl vl --> Jl, vt - - 1. S{~ ,7~, ~
i ~
x
I I I e) Jl
S~1
02 (j~ ,4- v,) (j~ - - v, + 1) (2jl + 1) {~)j~7~_ ~: 4j~ (j~ @ 1) " ~ )'1, ~ i . 1 ~ TI ~
(62b)
Jl TI"
~2 v~(2Jl -~ 1) . ( v A ~ 4
(62c)
Diese F o r m e l n sind bereits vor Aufstellmag der Quantenmechanik yon H. t t S n l 1) dutch Yerscharfung des Korrespondenzprinzips abgeleitet worden. Folgende B e m e r k u n g is~ bier am Pla~ze: die in den Formeln (60), (61) und (62) au[tretenden Frequenzea haben, w e n n w i r w i e d e r (wie 1) ~[. tISnl, Ann. d. Phys. 79, 314, 315, 1926.
Hans Rademaeher und Fritz Reiche,
484
oben erwahnt) n u t die , , R o t a t i o n s b e w e g u n g e n " des m o l e k i i l s ins A u g e ~assen, nach (53) folgende Werte: I a)
~'~~ ~l + i - -- 2 u j , - - fl (2 ~ + ]). ~j~.-i;
I b)
~.:~1__ 1 ; ~ 1 _ _ 1 - -
Kreisel(63a)
(63b) (63e) (64a) (64b) (G4o) (~5a) (65b) (G5e)
I c) xI a) lib) IIe) III a)
~Jl; ~i + 1
-- 2 r
+ 1).
---I - - ~ ( 2 v
I -~- 1).
~t m b) V'h Jl ; ~i -- 1 H I e)
fl (2 z, - - 1).
q:::
----
O.
Der Fall I H c) ]iefert eine verschwindende Frequenz, die zugehiirige Intensitatsformel (62c) wird also bier illusorisch, da sieh ja die ,Rotationsenergie" fiberhaupt nicht andert. Alle anderen Falle kSnnen positive oder negative, in besonderen Fallen aueh versehwindende Frequenzen lie~ern. Man erkennt leicht, daft die F~dle Ia) bis IIIb) sieh so zu vier Paaren ordnen lassen, dab die beiden Fille eines Paares zuelnander i n v e r s e ~Tberg~nge ergeben. Diese Paare sind Ia) IIb); Ib) IIa); Ic) IIc); IIIa) IIIb). Betrachten wir z. B. den Fall Ia).
Der inverse Ubergang ist bier:
Jl--1; ~l+l-~Jl; z~. Die diesem Ubergang zugehSrige Frequenz und Intensitat entnehmen wit aus I I b ) [Formeln (64b) und (61b)], indem wir dort Jl und v, dureh j, - - 1 und v 1 + 1 ersetzen. Dies ergibt 'V~1-1;
~I+I
:
--
2r
+ fl (2v, + 1),
3t ~i ~ 1 - - 1; Zl -}-1 (Jl - - V, - - 1) (j, - - V,) ( V j ~ 1; ~1+ i),, S~L~I ~--- x P 2 4j ! ~t 1
also nach (63a) und (60a) den folgenden Z u s a m m e n h a n g inversen Obergingen: v il~t i - 1; ~1 + 1 -- -- __ v JJll -~t- 1 ;~i + S.it-l;~+l ~ 31TI
zwischen
I~
SA~I
jl--li~l+l"
Oanz entsprechend liefern auch die anderen Paare yon Fallen die Tatsaehe, da(] die Intensitaten zueinander inverser l~Tberginge gleich, die
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw.
485
Frequenzen absolut genommen gleich, aber yon verschiedenen Vorzeichen sin& Der Sachverhalt wird ]edoeh etwas anders, wean man nicht mehr die reine ,,Rotationsbewegung" des Kreiselmolektils betraehtet, sondern aueh die Schwingungen seiner Atome (oder gar Elektronenspriinge) mitberiieksichtig~. In diesem Falle tritt zu dem ,Ro~ationsterm" der Energie ein iiberwiegend grol~er ,,Schwingungsterm" (oder gar ein ,,Elektronenterm") additiv hinzu, wenn man in erster Naherung ungestSrte Superposition der Sehwingungen (bzw. Elektronenbewegungen) and tier Rotationen annimmt. In den Frequenzen (63), (64) and (65) tritt dann zu den hingeschriebenen Gliedern iiberall ein iiberwiegend groBes Frequenzglied hinzu, das yon den Spriingen der Schwingungsquantenzahlen (oder der E]ektronenquantenzahlen) herriihrt, und das ein Versehwinden oder Negativwerden der Frequenzen aussehliel]t. Die Intensitatsformeln (60), (61) und (62) behalten dann ihre Bedeutung bei; nar beziehen sie sieh ietzt alle auf ein u n d d e n s e ] b e n Schwlngungsquanten- bzw. Elektronensprung. In die Proportionalitatskonstante u gehen dann die Quantenzahlen der Sehwingungen (bzw. der Elektronenbewegungen) ein. Ein bekannter S p e z ~ a l ~ a l l ergibt sieh, wenn v i m Anfangs- und Endzustand den Wert Null besitzt (v1 ~--- v2 ~ 0). Das Kreiselmolekiil besitzt dana keinen Drehimpuls um die Figurenaehse und reduziert sich auf den einfaehen R o t a t o r . Von den Intensitatsformeln kommen in diesem Falle nur (60e), (61e) und (62c) in Betraeht und nehmen die Form an : ~g:
~C: E~c:
Sit-1
=
~"
"Jl" (vii-I)',
Jl 4, Siil+l ~ g. ~2 (Jl ~- 1). (7)it+l) sJ'~ ~
0.
(66z)
(66ii) (66m)
Diese Formeln sind yon verschledenen Autoren 1) abgeleitet worden. Sie sind zugleich der Ausdruek der bekannten A u s w a h ] r e g e l des R o t a t o r s : J j ~ _ ~ 1. Auch die Intensitatsformeln des Rotators im schwachen S~iirfeld [olgen ohne weiteres durch Spezialisieren (vI ---~ v~ ~ 0) aus unseren Formeln (50), (557) , (55s) , (559) , (567) , (56s) , (569); sie decken sich vollst~ndig mit den von L: M e n s i n g 2) nach der Methode yon H e i s e n b e r g B o r n - J o r d an abgeleiteten Ausdriieken. ~) R. It. Fowler, Phil. Mag. 49, 1272, 1925; G. H. Dieke, ZS. f. Phys. 88, 161, 1925; E.C. Kemble, ebenda 85, 286, 1925 ; L. Mensing, ebenda 86, 823, 1926. 2) L. Mensing, ZS. f. Phys. 36, 822, 1926.
Hans gademaeher und Fritz Reichc,
48{;
w 8. Wir zeigen zum Schlusse noch, da~ die Intensit~tsgrSl~en (60), (61), (62) einem a l l g e m e i n e n S u m m e n s a t z genfigen, der bei geeigneter Wahl der Konstanten mlt dem T h o m a s - K u h u s c h e n f-Summensatz 1) iibereinstimmt. Die Proportionalitittskonstante ~ ergibt sich, gemg~ dem Korrespondenzprinzip, durch Uhergang zu gro~en j und v und Vergleich mit der klassischen Strahlung zu: t;4 .~4 - - 3c 3 ' (67) wo c ~ 3 . 1 0 l~ die Liehtgeschwindigkeit im Vakuum bedeutet. Die spontanen ~bergangswahrscheinlichkeiten a fiir einea Ubergang jlvl--->jyv~ ~olgen aus den oben definierten Intensit~tsgrtil]en S in bekannter Welse: J~ ~
~ ~
-- --
(68)
I jl~gl
Wir definieren nun, in Analogie zum Rotator, A b k l i n g u n g s z e i t e n T fiir die Rotationsbewegungen des Kreisels in folgender WeiseY): Es sei
3 c a 4, '2,~, - -
(69)
16 ~2 v" ,u2
die Abklingungszeit, wenn die Strahhmg dutch die Momentkomponente tt ( ~ ~, ~, ~ oder 0) des Kreisels erzeugt wird; dabei ist ~ die emittierte Frequenz, Jr, eine in elnfacher Weise yon den Tr~gheitsmomenten abh~nglge GrSfie, deren Bestimmung wir uns noch vorbehalten. Die GrSl]e f, die in den f-Smnmensatz eingeht, ist dann gegeben durch die Beziehung 8) t :J'2h ~%
~
~J ~ " "lJ2"r'-'
2' ~"
(70)
Schreiben wit die Intensit~ten S in der Form
sJ, ~L
~ . (v:J:*~
(71)
wo It 2 entweder ~ ~ + ~ ~ 0 ~ oder ~ ~ ist, und wo die Funktion aus (60), (61), (62) hervorgeht, so folgt aus (67), (68), (69), (70), (71): f3.'t~j.
' ~ ~,-, =
-V-~ "J." ] " ~jt'vtl ~ ~/e(jlv~; ~ + ~ 4:R:2
j~v~)
(72)
~) W. Thomas, Naturw. 18, 627, 1925; W. Kuhn, ZS. f. Phys. ,~3, 408, 1925; F. Reiche und W. Thomas, ebenda g4, 510, i925. 3) ggl. M. P l a n c k , Wiirmestrahlung, 5. Anti., w 151. a) Vgl. F. Reiche und W. Thomas, 1. c.
487
Die Quan%elnng des s y m m e t r i s c h e n K r e i s e l s usw.
Wit schreiben nm~ den f - S u m m e n s a t z s p e k t r u m ' : des K r e i s e l s in der Gestalt:
-z'f~--~f~
=
~tir
das
,,Rotations-
(73)
3.
Dabei bedeutet g alas statistische Gewicht des ins Auge gefa6ten Quantenzustandes, ga das Gewicht der hSheren Quantenzustiinde, yon denen ~'berg:,inge nach dem betrachteten Zustand stattfinden; fa bezieht sich au[ dieienigen ]JbergRnge, die a u f dem betrachteten Zustand endigen, fe auf
~+~
~.~+~~ J~+~-~
,h- 1~~.F1
b Fig. I.
dieienig'en Uberg~nge, die Yon dem betrachteten Zustand ausg'ehen. Die rechts stehende Zahl 3 ist die Zahl der Periodizitaten des durch ein StSrield unentartet gemachten Kreisels. Es sei Jl v, das ins Auge gefafite Niveau und j~v 2 sei ein beliebiges tier benachbarten Niveaus, in die oder ~ o n denen Ubergiingc mSglich sind. Es kommen die in der F~gur angegebenen Niveaus in Frage 1). Nun ist fiir einen l~bergang j~v 2 ---)-jlvl wege~ gj ~ 2j @ 1 und wegen (72) rJ:2~2 - -
4 ~2
~J t zl
? / ~ ( J 2 ~r2 ; J t z
~)
i [I
urn[ ~tir einen (J~bergang j, v1 --->J2 v 2
(74)
/
b ~ nun n a c h w 7 32~2
31"gi
I) Die gegenseitige Lage der Niveaus in der Figur ist willktirlich angenommen und kann stimm~ w e r d e n .
n u r yon F a l l zu F a l l aus den W e r t e n y o n a, fl, J l ,
T1 be-
Hans Rademaeher und Fritz Reiche,
488 und
~W(jlzl;j2z2 ) ~-
~U2z2;Jt~)
und da ferner ~Jlzl ~ positiv oder negativ ist, ~e naehdem das Niveau j~v~ fiber oder unter j~v~ liegt, so ist der Ausdruek 4 zu j,,vh ~2 ~p. h
,
( J i l t ; J2~2)
Ji*l
gleich einem gafa oder gleich einem (--gfe), i e naehdem j~v~ fiber oder unter j~ v I llegt. Duher kSnnen wir den f-Summensatz (73) in folgender Form schreiben: h
9 2j~
@ 1 ~. ]
rr ~t~3~ t2q:l ~ T:lffe .(21 ~1 ; 32. ~2) =
3,
(75)
22~2
wo fiber alle in Betracht kommenden Niveaus j2v~ zu summieren ist, und iedesmal J~. gleich JQ oder J~ zu setzen ist, ie nachdem in -~.q4~ [Formeln (60a) bis (62c)] der Faktor p~ oder ~'~ auftrith Ausffihrlich schreibt sich (75) n~eh (60a) bis (65e) folgendermuflen: 4~
1 JJo 2 L+IL,,7 [-2~j'+~
(2
~
+ 1)]-(Jl - - r~) (Jl - - 1 - - rl) 4L
+ a~. [-- 2 ~:i~ - - ~ (2 ~ - - 1)]. (L + ~,) (J, - 1 + r~) 4jl + ]~. [-- 2 a jl ] (Jl + rx) (J~ - - vl)
L
+ Jo . [2 a (jl + l ) + fl (2 v~ 4-1)] ( J l + v a + l ) ( J a + v l + 2 ) 9 4(L + 1) -~ J~. [2 g (j, ~- 1)--/~ (2 v 1 - - 1)] (jl - - rl ~- 1) (j~ - - v I ~- 2) 4 (j~ ~- 1)
~t~ Ova.[2 ~Z(jl .~_ X)]..(L q - r l + 1 ) ( J l - - ~ ' 1 - ~ 1) L+
1
-]- J:~ "~[0 (2 v~ 4- 1)]. (Jl - - vx) (Jl "~ vx -~- 1) (2j, q- 1) 4L (L + 1) ~- J,,. [-- fl (2 v~ - - 1)]. oder, nach kurzer Rechnung: 4 ~2 h
(Jl + rl) 01 - - r , + 1) (2j~ + 1)} = 4jl (j~ + 1)
Die Quantelung des symmetrischea Kreisels usw.
48,9
Ftihrt man ftir c~ und fl ihre Werte aus (52) ein, so erhglt maa die einfache Beziehung zwischen den Triigheitsmomenten A, C und den noch offengelassenen Konstanten J,.,, ~ :
Die GrStien J,, und J- lassen sieh aus dieser Gleichung einzeln nicht bestimmen. Jedoch kann man folgende plausible Symmetriebetrachtung anstellen: Bei den Obergangen, die mit einer ,,p-Strahlung" verkniipft sind, gilt wegen 92 ~ ~u q_ ~u fiir die Intensitg~ S,., die Beziehung
ebenso ftir die {~,bergangswahrseheinlichkeiten: a,2 ---- a~ 4- a,~. Wir setzen nun
4
=
J~ + 4 ,
(77)
was, bei Spezialisierung der Gleiehung (76) fiir den K u g e l k r e i s e l (A ~ C), dureh die in diesem Falle vorhandene (]leiehwertigkeit der ~-, ,]- und ~-Achse nahegelegt wird. ])ann ist naeh (72) aueh
(78)
f,., = f.: + f,~. Mau kann also (76) au~ die (~estalt bringen:
2A
,2C
--3,
(79)
die offenbar aus der allgemeineren symmetrisch gebauten Gleichung fiir drei verschiedene Tragheitsmomente A, B, C:
J: -Jr-J:
J,I -I- d, 2A
"
I-
2B
"~
<1:. q- if,7 >,2c
--3,
(80)
dureh die Spezialisierung A = B hervorgeht. Aus tier Gleiehwertigkeit der drei Glieder auf der linken Sei~e yon (80) sehliet3en wir: 4q-J7
=
2A;
JT-}-Jg----
und daher [iir unseren Fall (A ~ Or,., =
2C;
2B;
Y~q-J,~ =
20
(81)
B) unter Beaehtung von (77): J.---~ 2 A - - C .
(82)
Mit den so bestimmten Werten yon Y,, und J.- ]st die Gleichung (76), d. h. der f-Summensatz, jederffalls erfiillk DaB dariiber hinaus die aus
Hans Rademacher und Fritz Reiche,
490
(81) ersch]ossenen Wer~e yon J~, J:~,, J,: zu Ausdriicken fiir T und f ffihren. die man als naturg'emal]e Verallgemeinerungen bek~mnter Formeln ansprechen darf, kann man in folgender Weise zeigen: Allgemein iolg't aus (8 l) : J~----- B -~ C - - A ;
J,~ ~
C-~A---B;
J: ~
A~-.B--C
(85)
oder, wenn man die Massen des Kreiselmolekiils mi~ mi, Jhre k~irperfesten Koordinaten (bezogen auf die Haupttragheitsachsen) mit x'iy'i z'~ bezeichnet : =
mixi;
J,~ :
2~miy'9;
r
J: =
2 ~ ] m i z ~ 2.
i
(84)
i
Ftihrt man in analoger Weise die Ladungen ei des Molekiils ein, so lassen sich die Komponenten des elektrischen Moments in der Form schreiben :
Die in (69) definierten Abklingungszeiien werden dann: 12
3 c3. ~ m i x i i
T$ ~
i ~2
3 Ca. ~
m iyi
i
i
3 c a 9 ~ ] m~ z'~~
f
(8~)
i
s i
T,, ~-<
i
s
[(E
+
/
(E
,
t
Diese Ausdriicke sind in der Tat naheliegende Verallgemeinerungen der bekannten Formel 3 c a n~,
T--
8 ~ 2 e ~v~
(87)
for den linearen 0szillator mit der Eigenfrequenz v, d e r n u r ein einziges ,,strahlendes" Teilchen v(m der Ladung e und der masse m enthalt.
Die Quantelung des symmetrischen Kreisels usw.
491.
Ftir die GrSl3en f folgt ferner aus (72)) (84) and (77):
f~ - -
f ~- - -
h
,v.
mi
2 j 4- l ' x i
)
h
.v.
. 'mj
2 j @ 1" y'
)
h
.v.
G =~-~
\[2j@l
i
tt ~
'V" i
(88)
[
'/
txi ~ Y'i
.]
Auch diese Formeln sind naturgemafie u ein ,,strahlendes" Teilchen geltenden Ausdruckes ~) :
des fiir
2 ~2
f =
h .v.m(~",
(89)
wenn man die Quadrate der k l a s s i s c h e n A m p l i t u d e n v e k t o r e n ~2 dureh die Quadrate der , , c h a r a k t e r i s t i s c h e n " Ubergangsamplit u d e n ?l2 ersetzt und tiber alle Teilehen summiert. Dabei sind z. B. bei einer ~-Welle far z i r k u l a r e S t r a h l u n g die Komponenten tier eharakteristischen Amplltuden (bezogen auf ein r a u m f e s t e s System
x) y) Z): 9 (i)x
_~(i)y = _ _ 2~j .@ 1 Xi)
9f(~) ~--- 0,
(90)
(i)Z
also 4~/-r
+----T X,~i )
wie es die erste der Formeln (88) erfordert. Fiir eine l i n e a r p a r a l l e l z p o l a r i s i e r t e Strahlung ist analog:
"(o.r = " ( o r = O ;
"(*~z=
2jTl'Z~'
(91)
also auch hier ~(i)J
=
2j~l'X~"
1) Vgl. F. Reiche uml W. Thomas, 1. c. Formel (3c).
I
492
Hans Rademacher und Fritz Reiche, Die (4uantelung usw.
Fiihrt man nun den fiir die Strahlung m~l]gebenden Vektor des ,,Ubergangsmoments"
z
~
e~ ~(o
(92)
i
ein, so ist die ausgestrahlte Energie (pro Molekiil eines unentarteten Niveaus) in bekannter Weise dutch die Beziehung: S~--~ ( 2 j ~ - 1 ) .
16 ~ v ~ 3c z 92
(93)
gegeben, die nach (85), (90), (91), (92) in der Tat die Ausdriicke (60), (61), (62) llefert.
