Journal of Geometry Vol. 41 (1991)
DOPPELEBENEN
Walter
Benz
0047-2468/91/020133-1251.50+0.20/0
(c) 1991Birkh~user Verlag, Basel
UND LOOPS
zum 60. G e b u r t s t a g
Gfinter P i c k e r t
G e n e r a l i z i n g the c o n c e p t of d i f f e r e n c e sets in groups c o n d i t i o n s are g i v e n for a loop (P,+) (with e q u a l i t y of left and right inverses) and a subset D of P such that (i) the left t r a n s l a t e s of D and the r i g h t t r a n s l a t e s of -D (the set of i n v e r s e s for e l e m e n t s of D) resp. are the lines of two p r o j e c t i v e p l a n e s w i t h point set P, f o r m i n g a d o u b l e p l a n e (i.e. the lines of one p l a n e are o v a l s of the other), (ii) the loop o p e r a t i o n has a c e r t a i n g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n in the d o u b l e plane.
Eine
Doppelebene ist ein Paar
derselben
Punktmenge
jede G e r a d e
P, wobei
yon n' ein Oval
(n,n')
jede G e r a d e
in n i s t .
jedem o E P eine Loop-Verknfipfung Inversenexistenz(d.h.zu =
(-p)
+o p;
Vorschrift
s.hierzu
Nach
E b e n e n mit
yon n ein Oval [i],
Satz
+0 mit n e u t r a l e m
jedem p E P
z.B.
projektiver
hat m a n
[2], S.54)
-pep
Element
(L)
(-p)
= o
folgende
+o
p
=
p
=
p
+o
o,
(op)'N oq =
{o,r},
(rq)~
{r, p +o q}
~ falls P,q
bezeichnen
n'-Gerade
o und
mit p +0
d u r c h die
zu
definiert: o
hierbei
in n' und
1 wird
xy,
d u r c h x,y,
die T a n g e n t e n
rp =
(xy)'
ffir x , y ~ P ,
(s.[I]),S.168).
F6r
jede n - G e r a d e
o
x + y die n- bzw.
und w e n n r=q oder r=p ist,
in r an das n ' - O v a l
+
,J
oq bzw.
bedeuten
das h-Oval
d u r c h o lassen
die (rq)',
(op)'
sich dann die
rp
134
Pickert
Geraden
yon n,n'
als p+D bzw.
gezeigt,
wird diese
Existenz
einer abelschen
transitiv operiert; so dab
(P,+)
ist. Dann Ovale
eine abelsche
sind die p+D bildet,
in
daffir a n g e g e b e n Assoziativit~t einer
Loop
D(IDI~3)
Ebene
Existenz
n',
in
[i]
Spezialfall: die ~uf P
einer
Verkn6pfung D
+,
(IDI~3)
yon n und die -D+p
die mit n zusammen
eine
Doppelebene die
zusammen
yon +0 besagen,
Rekonstruktion
(p~P)
eine der
wird
Konfigurationsbedingungen Kommutativit~t im folgenden
Inversenexistenz
ausgegangen
Wie
den
yon n-Kollineationen, dazu:
(L) liefert
einer
mit
dutch
= +.
werden,
(P,+)
P) darstellen.
(p~ P) die G e r a d e n
+0
[i] bei
(p
motiviert
Gruppe mit Differenzmenge
einer
und
Gruppenverknfipfung:
WShrend
Gruppe
~quivalent
(in n), G e r a d e n
Doppelebene
-D+p
Konstruktion
und nach
sowie
Bedingungen
und
umgekehrt
einer
yon
Teilmenge
daffir gesucht,
dab die
Inzidenzgebilde [P,+,D]
=d,f
(p,{p+D I p e P }
)
(P) [P,+,D] ' =def eine D o p p e l e b e n e (P,+)
gebildete
bilden
Inzidenzgebilde
net.
wird p-q
:def
)
und die mit dem n e u t r a l e n
Verkn~pfung
definierten Ferner
(P,{-D+P I p 9 P}
p+
Element
+o mit + fibereinstimmt. werden
im f o l g e n d e n
(-q),
-p+q
Die
mit n,n'
:a,f
o yon
in
(P)
bezeich-
(-p)+q
gesetzt.
l.Wir Ebenen
formulieren sind,
zuerst
wobei
(*)
zus~tzlich
p + p' ~
gefordert
wird.
Die
noch
daffir,
cp+p
dab n,n'
projektive
ffir alle P,p'EP
p+D + p'+D,
Schnittpunktexistenz 4
V
(s)
Bedingungen
-D+p + -D+p' in n besagt
--
p+d
p,p' ~ P
p
dann
I
(d,d') 6 D'
die in n' e n t s p r e c h e n d
(p + p=
(s' ) Vp,p, Da
E P
I
3
-d+p
= -d'+p').
--(d,d ) ~ D z
(S),(S')
p + p'
I (p+D)n(p'+D) ] --~.
}
I (-D+p) n (-D+p')
I )
: i
Pickert
135
besagen,
sind damit
erf~llt.
Die V e r b i n d b a r k e i t
Ivl
wegen
je z w e i e r
Ip +
p,p'E P
(V')
IDI a 2 auch die F o r d e r u n g e n
V
3 (p=q+d d , d ' ~ D; q ~ P
(p + p ' ~ p,p'~ P
Da auf p+D m e h r Geraden
~
,
(p=-d+q
p'=-d'+q).
d , d ' g D; q E P
als zwei
in n gibt
(*)
in n,n' besagt:
Punkte
Punkte
(entsprechend
liegen
und es m e h r
ffir n'),
als zwei
sind A u s a r t u n g s f ~ l l e
ausgeschlossen: [P,+,D],[P,+,D]'
sind g e n a u d a n n p r o j e k t i v e
Ebenen
mit
(*),
wenn(S), (S'), (V), (V') gelten. Im e n d l i c h e n Punkt
sind
(V),(V')
p in n g e h e n g e n a u
d ~ D; d u r c h schneiden womit
Fall
q+p geht
die
wegen
[D[ G e r a d e n
durch
Fall
d e n n aus A n z a h l g r 6 n d e n
sich p'+D
folgt
Gruppe
ist,
auf den e r s t e n = p"+D,
es nun r mit
sich
+p'
Kommutativit~t)
(*) wie
ben6tigt);
{r} = Dn(q+D)
und d a h e r
2.Es wird nun eine Punkt
p+r=r,
Bedingung -a+q
eine A u s n a h m e g e r a d e
d.h.
(Tangente)
Ebenen
A u c h wenn
beschr~nken
(P,+) wobei
darf:
man
Aus
(daffir wird die q+D + D gibt
(unter A u s n u t z e n = q+p+D
der
= q+D,
p'=p".
unter der
der n ' - G e r a d e n einen
ist.
p~-~-D+p
f6r eine G e r a d e
gesucht,
(a~D)
(S)
[D[ Punkten,
folgt herleiten,
p+r E p+D = D, p+r ~ p + q + D somit
und w e g e n
G in
sind p~,p+D,
Behauptung
jeden
die mit p=r+d,
da~ n,n' p r o j e k t i v e
folgt p + D = D
noch nicht
also p+r E DN(q+D),
einen
l~t
Dutch
yon p,q b e w i e s e n
auf die G e r a d e n m e n g e ) .
Tell der
p = -p"
Kommutativit~t
durch
(*) daraus,
(der P u n k t -
n~mlich
G mit p ~ G ,
p die G e r a d e
sein sollen;
abelsche
r+D,
[D[ die V e r b i n d b a r k e i t
Im e n d l i c h e n
Bijektionen
fiberflfssig:
also eine G e r a d e
[D[ G e r a d e n
[G I =
dabei
weiteren
jede n - G e r a d e
p+D
-D+q bis auf g e n a u Punkt
yon -D+q
enth~It. -a+q ~ p+D besagt
die E x i s t e n z
(i)
mit
-a + q = p § b
Kann man hier tauschen,
yon b ~ D
im Fall
so e r h ~ I t
a~b die E l e m e n t e
man einen
weiteren
a,b m i t e i n a n d e r Punkt-b+q
yon
ver-
(-D+q)N(p+D).
Pickert
136
Es l i e g t d a h e r (O)
nahe,
~ie
Ovalbedingung zu f o r d e r n :
folgende
~
(-a + q = p + b =~ -b + q = p + a). p,q 6P;a,b,E
Definiert
D
m a n n u n die A b b i l d u n g
(I)
(fOr a l l e b ~ D ) ,
sich
-b+q ~(-b+q) f .
FOr d i e A b b i l d u n g
so hat
~ yon
man
-D+q durch
(-b+q) ~= p + D m i t
- a + q ~ ( - b + q ) ~ , und m i t
~ in das G e r a d e n b O s c h e l
~ mit
(O) e r g i b t
Tr~ger
-a+q gilt
also (2) Zu
{-a+q, jeder Geraden
-b+q}
p+D6~
gibt
mit
p+D =
(-b+q) 9 . A l s o
FOr
jeden
Punkt
(2) m i t
Injektivit~t -a+q + p+a ~a+q
yon
b'
schneidet
Jede
in g e n a u
(-b+q) ~,
so dab
so w ~ r e
(i) u n d d a h e r
zu a + b.
Damit
= o, b = d f o l g t
p+a
(I),
also
auf ~.
ist nun d i e (-b+q) u u n d
(wegen d e r
p+D durch-a+q
Punkten.
sie n a c h
H~tte
einen
mit
die dutch
Punkt
-b+q +
(2) d i e G e r a d e
= p+b gelten
(O) d i e
V
Gerade
p+D noch
ist - D + q
aus
yon -D+q
(2) g e r a d e
zwei
Ausnahmegerade
-D+q gemeinsam,
(O0)
Bijektion
(-b'+q) 9 , so da~
= b gilt:
-D+q
ein b~ D mit
m i t b ' E D\[a}
-b'+q wegen
b auch
b'
-a+q mit
Mita
es n u n g e n a u
ist o e i n e
-a+q,
start
y o n o)
= p+a bestimmte
Widerspruch
(-D+q)N(-b+q) 9 .
-b'+q ~(-b+q)"
Verbindungsgerade wegen
~
als O v a l
monte
im
nachgewiesen.
Bedingung
P = -d +
(p + d).
p E P; d ~ D
Mit
ihrer
Hilfe
ergibt
sich
aus d e r o b e n
hergeleiteten
Tangentenbedingung - a + q = p + a d i e T a n g e n t e n b e s t i m m u n g (T)
(-a+(-a+q))
Der Obergang und
+ dutch
y o n n zu n' die
+ D ist die Tangente an - D + q erfolgt
entgegengesetzte
(mit x +' y = y + x)
ersetzt.
q + a = -b + p Die Anderung
yon
(gebundenen)
Variablen.
(O) b e s t e h t Daher
nun
einfach,
Verkn~pfung
Dabei ~
wird
indem man D durch
Implikation
in e i n e r
wir
-D
+'
q + b = -a + p
also nur haben
die
in -a+q.
in
(O) zu
:
Umbenennung
der
Pickett
SATZ und
137
i.
Sind
n
=
gilt(O),
3.Es
sollen
b=o,
a=d
[P,+,D],
so
nun
und
ist
weitere
p statt
(Oo ') diese
Bedingung
Folgerungen
q erh~it
mit
aus
(O)
gezogen
werden.
Mit
(-d + p)
+ d
;
dED man
auch
dutch
yon
n
n'.
(Oo)
p ~P,
Ebenen
man
erhSlt
kann
projektive
Doppelebene.
Obergang
(3)
Zu
[P,+,D]'
eine
p =
beschriebenen
Beweis
=
n')
~ PEP;
Zum
n'
( n,
<.
man
>
sich
zu
den
in
2 bei
Bemerkenswert
(O) ist
hierbei
(Oo ') offenbar
d ED
wird
q mit
p
= q+d
(-d
+ p)
+ d =
(-d
+
auf
"---~." b e s c h r S n k e n :
bestimmt.
(q + d))
Dann
+ d
folgt
=
q+d
= p.
(0o) Bestimmt
man
q6P
zu
p6P,
a,b~D
durch
(i),
so
erhSlt
= p+a
und n a c h
man
nach
(0o ' ) q Nach
(O)
ergibt
=
sich q
Daher
folgt
aus
=
p=o
aus
+ a. (i)
(p + a)
-b+q
(Oo ') d a r a u s
+ b.
(O)
Vp E P ;
(O,I
Mit
(p + b)
(p
+ al
+ b
=
(p
+ b)
+ a.
a,b~D
liefert
(0~)
die
Kommutativit~it
V
a + b = b
yon
+ in
D:
+ a.
a,b(D Setzt
man
(ffir r 6 P ,
und
r+b
yon
a,b)(i),
= q,
(O,)
nach und
zu
unver~ndert w~hrend
(Oo) (O)
aIso
(O,)
nach
so
gilt
= p+b,
also
+
(r + b)
=
(Oo ') a l s o (mit
(-a
r = p+a,
Vertauschung
+ r)
+ b.
a,b~D
statt+
(lediglich in
= p,
r = -b+q,
-a r~P;
+'
-a+r
liefert-a+q
~/ w
Obergang
a,bED)
und
Ersetzen
die
Variablen
yon a,b
D durch werden
-D
l~St
(O2)
vertauscht),
(*)
138
Pickett
(O1 ')
V
-a peP;
0bergeht,
was
HILFSSATZ
i.
+
(-b + p)
= -b
+
(-a
+ p)
a,beD
natOrlich Unter
ebenfalls
aus
Voraussetzung
yon
(O)
folgt.
(Oo)
sind
Es
gilt
nun
sogar
(O) , (O1) , (O, ') , (02)
~quivalent.
Beweis. Da
Nach
(O)
~
folgenden (O1)
(3)
steht
(O1, 2)
neben
schon
Implikationen
--~
(O1 ').
bestimmt.
Man
Zu
(Oo)
bewiesen zu
auch ist,
(Oo ')
zur
braucht
Verf~gung.
man
nut
die
beweisen:
p E P und
a,b~D
wird
q durch
-a+p
= q+b
erh~It
- a + (-b+p)
= - a + (-b+ ((q+b) +a) ) = (0o ' ) (0~) =
- a + (-b+ ((q+a) +b) )
-b+(q+b)
= -b+(-a+p)
.
(i)
nach
-b+(-a+q)
= (0o)
q
(0o) (O1 ') dann
-->
Aus
-a+(-b+q)
(Oz) also
(O).
} p
daher
= p und
(O).
Zu
+ b = -a p
= -a
(i) +(r
+ r
folgt nach
(Oo ') s c h l i e S l i c h
bestimmt + b)
=
=
(Oo ')
man
(-a
r durch
+r)
+b, und
-a
+
(-b + q)
(S)
^
(V)
~
(Oo ,Oo ') h a t
man
(fOr
= p,
-b+q
q = r+b,
nach
nach
(O1 ')
= p+a
hat
nach
(O2)
(Oo ') s c h l i e S l i c h
(0o) p + a = -b Ferner
+ q
erhalten
HILFSSATZ
Beweis.
2. Nach
p
ergibt
(fOr
d , d ' e D) -d
da
die
+ q sich
+ p
= q
(S')
aus
der (V)
^ p'
= -d'
(V')
aus
= -d'
Eindeutigkeit
Eindeutigkeit daher
wir
(Oo)A
= -d
daher
.
des
+ q
(S).
+ p'(
(S')^
$
(V')
d,d'e
D)
} p + d = q = p'
Ebenfalls
) p
= q
Schnittpunktes
Verbindungsgeraden
mittels
+ d
^ p'
sich
;
(Oo ,Oo ') h a t
= q + d'
bekanntlich
nach
+ d'
auch
zieht,
man
; die
ergibt
sich
Pickett
139
Mittels
(O0,00 ') v e r e i n f a c h e n
(s*)
V
sich (S,V) zu 4 , (d,d') E D s
(p+p P,P'E P
(v* )
(P + P ' = ~ Vp,p,
denn
3
~ p
p
: d
§ (p + d)
(-d + p)
p' :
+d'
;
d,d'~ D
(f6r d , d ' ~ D)
p+d = p'+d' p = q+d
<
Y p' = -d'+(p+d),
p' = q+d'
~
-d+p = -d'+p'r
> -d+p = q = _d,+p,,
p' =
(-d+p)+d'
Es gilt nun aber (4)
(O,) ^
denn die
in
(V*)
mit p' = -d + Gleichung
Das Ergebnis zusammen SATZ
auftretende
(p + d'),
in
(S*)
~
(v*)
Gleichung
;
ist wegen
also nach V e r t a u s c h e n
(02)
Equivalent
yon d,d'
mit der
(S*). yon
i, Satz
I, die H i l f s s ~ t z e
mit der R e d u k t i o n
2. Unter
yon
(S,V)
den V o r a u s s e t z u n g e n
auf
1,2 sowie (S*,V*)
(S*) , (Oo,,)
(3),(4)
ergeben
nun
ist
i
([P,+,D] , [P,+,D] ') eine Doppelebene. Mit der
Spezialisierung
p=o 4
pEP\{o} die d e f i n i e r e n d e (P,+),
zu erkennen. allgemein
zweifelhaft, sich
abet
Wie
-D+p
in
wird erst
2 die in einmal
(D) der Ansatz
[3] gezeigt,
dab
(S*)
um
[P,+,D]
Gruppen
als p r o j e k t i v e
Ebene
kann d a n n aber noch nicht
(S*)
werden.
nach
sich
(D) bei K o m m u t a t i v i t ~ t
Es ist daher
zieht.
In 5 wird
und e i n g e s c h r ~ n k t e r
ausreicht.
4. Um B e d i n g u n g e n von Satz
ausreicht,
(O)^ (D) bereits
zeigen,
liefert
yon Differenzmengen D bei
(p s D) als Oval n a c h g e w i e s e n
ob
Assoziativit~t
p')
(d,d')E D 2
Eigenschaft
die b e k a n n t l i c h
(und p start
zu finden,
unter
(L) e r k l ~ r t e s = p +0 q
denen mit den V o r a u s s e t z u n g e n
Verkn6pfung
(p,q E P\{o})
§
mit
bestimmt,
+ fibereinstimmt, nachdem
gem~B
140
Pickert
(5)
p
(6)
q = -b
gemacht
ist.
Man
(7)
hat
r ~ (op)'noq,
(8)
+ a
(a,a'G
D)
+ b'
(b,b'G
D)
dann
r = -b
welter
Da
= -a'
bei
Als
a=b
(8)
(d.h.
auch
im
N~chss
r=o)
in
Fall
a~b
=
{o,r}.
nach
(T)
diesem
wird
(6,7)
sind
(rq)'
diese
im
nun
Fall
sind
r~q
(d.h.
-b+D
= -D+q'
(op) ',
r~o)
-b+D
= oq
= q'
erf011t
q'
bestimmt:
fOr
in
o an
-D+a
ist,
Es
=
gibt
c,d ~D
mit
+ q'.
wegen
c=a,
(Oo , O ' o , O 1 )
(-b+a)+d
=
d=b',
= q+a
q'
~quivalent
mit
(-b+d)+a. (= r + b ' ) .
Somit
ist
= q + a = r + b'. F6r
Yt])
den
Fall
r=q
an
-D+q'
Tangente
P +oq
(~---)a=b') in
nachzuweisen.
Da
r=-b'+q'
ist,
ergibt
Tangente
nach
(T)
c=-a+ (-a+q')
r(=q)
nach
=
Also g i l t Wir
c,deD
p = p' sind
diese
Gleichungen
als
-b+D
sich
die
c+D
mit
=
-b.
als -a+q
(Oo)
welter
rp
= p'+D:
Es
mit
+ c
wegen
die
(9) auch bei r=q.
bestimmen
gibt
ist
(Oo)
(Oo)
(5,7)
mit
(<==~a~b')
(9)
Nach
und
daher
Tangente
, r = -d
Gleichungen
(-b+b')+c Diese
=
Fall.
q = - c + q' Nach
-D+a
+ a
(op) 'Qoq
gilt
(s.Fig.)
,
,
r = p'
(O0,Oo',O1')
+ d
.
~quivalent
mit -c Diese ist
nun
im
+
(-a'
sind
Fall
+ a)
erf611t
f6r
(< ~
b+a')
r+p
(zo) F~r
p'
den
Fall
bestimmen:
= p'
r=p
Nach
(< (T)
p'
= -d c=b,
= -b
> b=a')
+
(-b +a)
d=a',
+ p = -a'
ist
p'
= -b
= -b+p
+
(-d §
(=-a'+r).
+ r
p'+D
als
Tangente
= -b
+ r = -b
in
folgt
= -b
+
(-b + a)
Somit
+ p
;
r an
-D+a
zu
Pickert
also
141
gilt
Es g i l t
(i0)
jetzt
auch
(Ii) und
bei
sIP
so
r=p.
zu b e s t i m m e n ,
s E p'+D, im F a l l
(9,10)
r=s
die
gewinnt
-D+q'
Tangente
man
da~
nach
in r an
(O0,O0')
-D+q'
p'
gerade
+ a'
= -b'
p'+D
+ q'
ist.
und
Aus
nach
(O)
schlie~lich -a'
+ q'
= p'
+ b'
= -a' = Wegen
(-a'
(7)
(12) erfQllt ersten
+
+ r)
ist
somit
s =
(-a'
(die
(@ p'+D,
+ b' (ii)
+
zweite
mittels
r
a'=b'
Nach
(=-b'+q'
wegen
wegen also
5.
der
aus
gerade
Nach
+ b'
nun
ist
(9),(0o))
(9,Oo,i0)
v
wenn
den (I)
+
geht
bedeutet
= r =
(-a'
in d i e s e m -D+q'
((-b + a) 6brigens
nach
+ r) Fall
die
+ b') auch
ist
+ a' die
,
Tangente
Gerade
(-b'+(-b'+q'))+D,
Gleichung
-a'+(-b'+q')=-a'+r=p'
gesuchte
Bedingung
ffir +0
die
(-a'+a)
gilt.
Nun
l~Bt
yon sich
zurfickfflhren,
V
(A)
die
in
+
(-b + b')
=
=+
:
(-a'+(-b+a))+b'.
a,b,a' ,b'~ D Satz
2 ist
also
aber
(I)
noch
n~mlich
auf
die
P + q P,q
und
der
(12), (Oo ')
genau
auf
dann
= q
+ p
~ P
eingeschr~nkte
A s s o z i a ti vi t~ t
~ / v
(p - a) PGP;
a,b ~D
+ b = p +
+o = +,
einfachere
Kommutativit~t
(P,+) (K)
aus
folgenden
Voraussetzungen
Bedingungen
r=s
an
~/
Unter
= -a'
Gleichungen
hervor),
(T)
+ b'
D'+D.
(5,6,12)
(I)
(9), (i0).
fflr
dieser
(02)
nach nach
(-b + a))
(-a'+r) also
-D+q')
(r + b')
(-a + b)
der
Loop
142
Pickert
In d e r
folgenden
(Ko)
Herleitung
~/
werden
die
Spezialisierung
+ a
a - b = -b a,b E D
(folgt
aus
(I) m i t
a'=b'=o)
sowie
eine
weitere
Assoziativit~ts-
bedingung (Ao)
~/
-a +
(b - c)
=
(-a + b)
-c
a,b,c ~D benutzt. HILFSSATZ
Beweis. b)
Aus
3.
a)
a)
(K) ^ (O, ') ~
b)
(I)
- a + (b-c)
(I) m i t
b'
Bedingung
(Ko) :
HILFSSATZ
4.
Beweis. und
nach
a)
~
(Ao).
= - a + (-c+b) = -c+ (-a+b) (Ko) (O1 ' )
= 0 ergibt (-a'+a)-b
a)
(Oo,1)^(D)^(I) (D)^(I)
c)
(OI')^(D)A(K)^(A) (D)
~
kann
Hilfssatz
man
benutzt
(p-b) +b'
werden;
Nach
mit
(I)
folgenden
(I).
Darstellungen
= -a'+((-b+b')+a) (02) = (I)
D folgt
und
p + q
nach
3a)
= (p-b)+b' (A)
= (Ao)
darf
Hilfssatz
3b)
dann:
= ( - a ' + (-b+a)) +b' (Ko)
Hilfssatz
voraussetzen
benutzen:
(5) v o r a u s g e s e t z t b,b'~
(5,6)
man
(Ao)
= p+ (-b+b') (I)
verwenden
und
erh~it
(5)
(-a'+a)+(-b+b')
Das
die
~
= (-a'+(-b+a))+b' (03)
darf
aus
(K).
(O, ', 02)
= (-a'+ (a-b)) +b' (Ao) c)
mit
(D)
~
der
(-a+b) -c
= -a'+(a-b) .
= (-a'+(-b+b'))+a (O1 ' )
= -a'+((-b+a)+b') (O1) Nach
mittels
= (K)
(A) .
1 auch
q + p = (-b+(-a'+b'))+a (I)
(Ao)
sich
= -a'+(-b+a)
b)
Nach
b)
(Ao).
zu A n f a n g
wegen
(S*)
des
---9 (D)
Abschnitts zusammen
(-a'+(a-b))+b'
Festgestellte mit
Hilfssatz
= (Ko)
ergibt 4
(-a'+(-b+a))+b'
Pickett
SATZ mit
143
3.
Unter
der
(K)^(A) Wie
den
nach
(L)
Voraussetzungen in
P definierten
(S*),(00,I)
stimmt
Verkn6pfung
+o
~ genau
dann
6berein,
wenn
nun
auf
gilt.
schon
am
SchluB
yon
3 angek~ndigt,
l~t
sich
(S*)
(D)
reduzieren: HILFSSATZ
5.
(O0,1)A(D)^(Ko)^(A)
Beweis.
Nach
(5)
d,d' ~ D
und
daher,
Ferner
auch
(O1',O2)
-d'+(a+d)
= (-d'+a)+d (O2)
Beachtung
yon
(3),
= -d'
+ d)
"
= a+q
l~Bt
(A')
zur
Verf6gung.
Mit
ist = -d'+(-a'+(a+d)) (02)
unter
p'+a'
1 stehen
(S*)
-d'+(p+d)
p' und
Hilfssatz
~
+(p
bestimmt
sich
(O0,,)
•
= -a'+(-d'+(a+d)) (Oi')
,
= (a-d')+d = a+(-d'+d) (K0) (A)
,
p'
+ a'
(-d'
+ d),
q eindeutig. unter
Voraussetzung
~/
(p + b) P E P;
= a +
-a
yon
= p +
(K)^(A)
auf
(b - a)
a,b e D
reduzieren: HILFSSATZ
6.
a)
(K) ^ (A)
~
(O0)
b)
(K) /% (A)
~
((O,)
Beweis.
a)
(-d+p)+d
= (p-d)+d (K) b)
(02)
Nach
Wegen
gen6gt
die
= p+(-d+d) (A) Hilfssatz
.'. (A')) .
Herleitung
yon
(O0 '):
= p.
1 und
Teil
a)
kann
man
start
(O1)
hier
verwenden: -a+(p+b)
Aus
(3)
4
den
S~tzen
= (p+b)-a, (K) 2,3
(-a+p)+b
ergibt
sich
= (p-a)+b = p+(-a+b) = p+(b-a) (K) (A) (K)
nun
mit
S A T Z 4. I s t (P,+) e i n e k o m m u t a t i v e Loop und D eine Teilmenge v o n P m i t IDI>3,
den
Hilfss~tzen
mit
neutralem
5,6
Element
4
p~P\{o}
V p(P;
(d,d') E D 9 (p-a)
a,beD
+ b
= p +
(b-a)
=
(p+b)
der
-a,
o
Plckert
144
so ist
([P,+,D],[P,+,D]')
Doppelebene,
und die
mit d e n D e f i n i t i o n e n
nach
(L) d e f i n i e r t e
(P) e i n e
Verkn6pfung
+o
stimmt
mit
~berein. Aus d e n V o r a u s s e t z u n g e n
yon
Satz
4 ergeben
sich noch
f~r a l l e
a,b,c,d ~ D (13)
a + b = c + d ~
{a,b]
=
{c,d}
(13')
-a -b = -c -d -----) {a,b}
=
{c,d}
Beweis.
Aus
b-d=c-a
und nach der
a+b=c+d
folgt
der
{a,b}
Entsprechend -a+(d-b)
folgt
= -c,
=
aus
d-b
nach
(a+b)-d=c,
Eindeutigkeitsaussage
(b=d^c=a)v(b=c also
Reihe
^d=a)
,
in
a+(b-d)=c,
(D) d a h e r
,
{c,d} -a-b
= a-c,
= -c-d der
woraus
Reihe
sich nach
nach
(-a-b)+d
(D) w i e d e r
= -c,
{a,b}
={c,d]
ergibt. Insbesondere
erh~It
(14)
man
aus
(13,13')
o ~ D ---$ V
a+b4D
^ -a-b~-n,
a , b ~ D\{o} (15) Denn
o ~D fur
a=ovb=o aus gilt
a,b,c ED und ebenso
a=-b auch
~ ergibt
( a , b ~ D),
DN(-D)
=
a+b=c+o
{o} nach
-a-b = -c-o nach also
a+b=o
(13)
(13')
{a,b}
=
{c,o},
ebenfalls
, und o~ D nach
(14)
also
a=ovb=o. a=o=b
(15).
LITERATUR [I] P I C K E R T , G.: D i f f e r e n z m e n g e n (1988/89), 165-179. [2]
PICKERT, 1975 ~ .
G.:
Projektive
und O v a l e .
Ebenen.
[3] POTT, A.: A N o t e on N o n - A b e l i a n E u r o p . J . C o m b i n a t o r i c s 9 (1988),
Discr.Math.73
Berlin/Heidelberg/New
Difference 169-170.
Sets.
G~nter Pickert M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t der Justus-Liebig-Universit~t Arndtstr. 2 D-6300 GieBen
(Eingegangen
am 7.
November 1990)
Da
folgt,
York
