Ein Modell zur Bewertung von PCS-Optionen Oliver Flasse, Thomas Hartung, Peter Liebwein (Mtinchen) 1. E i n l e i t u n g :

Entwicklung

des Alternativen

Risikotransfers

Vor dem Hintergrund stetig anwachsender Sch~iden durch Naturkatastrophen 1) zu Beginn der 90er Jahre und der damit verbundenen Kapazi~tsengp~isse nehmen die Bemtihungen zu, Teile dieser Risiken auf alternative Risikotr~iger zu transferieren. Als potentielle Risiko~ibemehmer kristallisierten sich schnell die Teilnehmer an den internationalen Finanzmarkten heraus. Bruchteile des dort bewegten Volumens gentigen, um die Kapazitat zur Ubemahme von Katastrophenrisiken signifikant zu erh6hen. 2) Bestandteil der zu diesem Zweck entwickelten und unter dem Oberbegriff ,,Altemativer Risikotransfer" (ART) subsumierten Instrumente sind die an der Chicago Board of Trade (CBOT) gehandelten Schadenderivate. 3) Wie bereits in der Vergangenheit ftir ahnliche Kontrakte im Kapitalmarktbereich beobachtbar, dtirfte die Etablierung dieser Schadenderivate in hohem Mal3e von ihrer Bewertbarkeit und der damit einhergehenden M~glichkeit zur objektiven Preisfindung und Vergleichbarkeit mit den herk6mmlichen Instrumenten der Risikoweitergabe abh~ingen. Ziel der folgenden Ausftihrungen ist es daher, zum einen ausgew~ihlte Optionspreismodelle beztiglich ihrer Anwendbarkeit zur Bewertung von PCS-Schadenoptionen kritisch zu analysieren, zum anderen gegebenenfalls Vorschl~ige zu deren Modifikation zu unterbreiten bzw. alternative Bewertungsmodelle zu entwickeln.

2. G r u n d l a g e n

der PCS-Optionen

Die derzeit aktuellen Derivatformen, die PCS Catastrophe Insurance Options, werden seit dem 29. September 1995 an der CBOT gehandelt. Als Basisinstrumente wurden verschiedene regional segmentierte PCS-Schadenindizes 4) konzipiert (vgl. Abbildung 1), welche l) Vgl. Albrecht/K6nig/Schradin, 1995, S. 635--639. 2) So betr~gt alleine die durchschnittliche ~gliche Wertschwankung am amerikanischen Aktienmarkt ca. 0,7%. Bezogen auf das insgesamt an den amerikanischen Aktienb6rsen notierte Kapital fiJhrt dies im Durchschnitt zu t~iglichen absoluten Wertschwankungen in H6he von 133 Mrd. US-$. Vgl. Booth, 1996, S. 16; Canter/Cole/Sandor, 1996a, S. 20; Schweizer RUckversicherungs-Gesellschaft, 1996, S. 4; Doherty, 1997, S. 1. Aktuelle Sch~tzungen beziffern das 6konomische Schadenpotential von Katastrophenereignissen wie Erdbeben in Kalifornien oder Hurrikans in den siid6stlichen US-amerikanischen Bundesstaaten auf Betr~ige bis zu 145 Mrd. US-$. Vgl. MUller, 1994, S. 564. 3) Im Jahre 1992 begann die Chicago Board of Trade (CBOT), eine der in Chicago beheimateten Terminb6rsen, mit dem Handel von Terminkontrakten auf Schadenindizes. Die ursprunglich gehandelten Produkte wurden in der Zwischenzeit modifiziert, ebenso die diesen Produkten zugrundeliegenden Schadenindizes. Heute werden Optionen auf Schadenindizes gehandelt, die zum Beispiel ftir Versicherungsunternehmen ~ihnliche Absichemngsm6glichkeiten bieten wie bestimmte Vertragsformen der nichtproportionalen Rtickversicherung. Vgl. Board of Trade of the City of Chicago, 1995. Zu weiteren Entwicklungen im Rahmen von Versicherungs- und Schadenderivaten vgl. auch Albrecht/Schradin, 1998, S. 573-610; Schradin, 1998, S. 322-439; Rust, 1998, S. 5-118. 4) Diese Indizes werden vonder Property Claims Services (PCS), einer nichterwerbswirtschaftlich ausgerichteten Institution der US-amerikanischen Versicherungsbranche ftir die Erfassung und Sch~itzung von Katastrophenrisiken, erstellt. 239

PCS Options PCS Optionen = standardisierte, b~rsengehandelte Terminkontrakte auf PCS (Property Claim Services) Katastrophenschadenindices Indices: 9 nationaler 9 5 regionale

Index Indices

r Osten ,." ,,.9

93

Nordoslen SOdosten Mittlerer Westen Westen Bundesstaaten-lndices

,.- Florida ,- T e x a s 9.- Kalifornien

Abbildung 1: Regionale Strukturierung der Schadenindizes

t~iglich neu errechnet und vertiffentlicht werden und Sch~iden bis zu 50 Milliarden US-$ Gesamtschadensumme abbilden. 5) Mit Ausnahme der PCS-Optionen, die sich auf Kalifomien und den westlichen Teil der Vereinigten Staaten beziehen und nur fur einj~ihrigen Schadenperioden 6) angeboten werden, sind alle anderen PCS-Kontrakte auf ein bestimmtes Schadenquartal festgelegt. 7) An die jeweilige Schadenperiode schlieBt sich die Anpassungs- bzw. Entwicklungsperiode an, die wahlweise sechs oder zwSlf Monate andauern kann. Begriindet durch die tiblicherweise l~mger andauernde Zeitspanne bis zur definitiven Kenntnis der Schadenhtihen werden innerhalb dieser Anpassungsperiode Korrekturen der Schadensch~itzungen vorgenommen, die wiederum Beriicksichtigung in den Indizes finden. Zur besseren Visualisierung und Handhabung der entsprechenden Schadensummen werden Indizes mittels Division durch 100 Millionen US-$ gebildet; folglich sind Indexwerte zwischen 0 und 500 realisierbar. In Abh~ingigkeit von den realisierbaren Indexwerten werden die Optionen als ,,small caps" oder als ,,large caps" gehandelt. Small caps umfassen dabei ein aggregiertes Gesamtschadenvolumen bis zu 20 Milliarden US-S, large caps ein Volumen von 20 bis zu 50 Milliarden US-$.

5) Vgl. ausftihdich Board of Trade of the City of Chicago, 1995. 6) Die Schadenperiode umf~t den Zeitraum, innerhalb dessen Katastrophenereignisse eintreten mtissen, um im jeweiligen Index Beriicksichtigung zu finden. Als Katastrophe gelten dabei Einzelsch~den, die einen versicherten Schaden von mehr als 25 Millionen US-$ verursachen und eine grSgere Anzahl von Versicherungsuntemehmen betreffen. Vgl. Canter/Cole/Sandor, 1996a, S. 20; Mtinchener RiJck, 1998, S. 38. 7) Dies ist durch die Abdeckung der damit verbundenen Risiken begrtindet. Wahrend Kalifomien und die westlichen Teile der USA haupts~ichlich von saisonal unabh~ingigen Erdbeben bedroht werden, sind die restlichen Gebiete insbesondere den meist im dritten Schadenquartal auftretenden Hurrikans ausgesetzt. Vgl. Canter/Cole/Sandor, 1996b, S. 103. 240

PCS-Optionen sind Optionen europ~iischen Typs, d.h. sie k6nnen nur am Ende der Laufzeit ausgeiibt werden, wobei am F~illigkeitstag ein Barausgleich in Geldeinheiten erfolgt. Beispielsweise kommt es immer dann zu einer Zahlung an den Inhaber einer PCS-Call-Option, wenn am Ende der Anpassungsperiode der Wert des realisierten Schadenindizes den im Optionskontrakt als Ausiibungspreis fungierenden Indexwert Ubersteigt. Ein (tibersteigender) Indexpunkt entspricht dann einem Wert von 200 US-$. PCS-Optionen werden bis zum Ende der Anpassungsperiode gehandelt, wobei prinzipiell der Wert der Option an den zugrundeliegenden Index gekoppelt ist. Zur Bestimmung des t~glichen Wertes der Option ist es daher unabdingbar, die Kursstochastik des Indizes ftir die Optionsrestlaufzeit abzusch~itzen. 8) 3. G r u n d m o d e l l e

der Indexentwicklung

Der Verlauf eines PCS-Indizes kann als Realisation (Pfad) eines stochastischen Prozesses (S (t): t e [0, T]) mit Werten in [0; 500] Indexpunkten aufgefal3t werden, der zu Beginn einer Schadenperiode in Null startet und bis zum Ende T der Anpassungsperiode definiert ist. Bei der Modellierung der Kursstochastik eines PCS-Indizes ist zu beachten, da6 diese sich aus zwei Komponenten zusammensetzt: Der Index entwickelt sich gem~i6 der kumulierten zufiilligen Schadenrealisationen 9) und gem~i6 der kumulierten Korrekturen der Schadenh/She durch die PCS aufgrund detaillierterer Informationen tiber die Sch~iden. Folglich sind zwei stochastische Prozesse zu unterscheiden: Der im PCS-Index enthaltene Schadenprozefl (S (t): t ~ [0, T]) zeigt grunds~itzlich echte Stochastizit~it nur in der Schadenperiode und weist ausschlie61ich eine nicht fallende Entwicklung auf. 1~ Durch ihn werden s~mtliche w~arend der Schadenperiode eintretenden Katastrophenschadenereignisse hinsichtlich Anzahl und Htihe kumuliert erf~t. Der entsprechende Korrekturprozefl (A (t): t ~ [0, T]) durchl~iuft sowohl Schaden- als auch Anpassungsperiode,11) wobei grunds~itzlich Anpassungen sowohl nach oben als auch nach unten zu berticksichtigen sind (vgl. Abbildung 2). 12) Daher kann der Stand eines PCS-Indizes (S (t): t e [0, T]) durch die folgende Addition generiert werden: 13) S (t) = S (t) + A (t)

fur alle t e [0, T]

8) Vgl. Geman/Yor, 1997, S. 186. 9) Bzw. nach den zufiilligen Realisationen der Schadenschfitzungen durch die PCS. lo) W~hrend der Anpassungsperiode verharTt die durch den Schadenprozel3 abgebildete aggregierte Schadenht~he auf dem zum Ende der Schadenperiode erreichten Niveau. ll) Mit steigendem Schadenindex nimmt das Korrekturpotential zu, so dab von einer im Zeitablauf ansteigenden Bedeutung des Korrekturprozesses auszugehen ist. Welter w~re denkbar, eine unterschiedliche Struktur oder unterschiedliche Parameter des Korrekturprozesses einerseits fiar die Schadenperiode und andererseits ftir die Anpassungsperiode anzusetzen. Vgl. Cummins/Geman 1995, S. 51. In diesem Fall k~nnte der Korrekturprozel3 (A (t): t e [0, T]) dargestellt werden durch A (t) :=A 1(t) 9 1 It ~ Schadenperiode}+ A2 (t) 91 {t~ Anpassungsperiode}, wobei A l (t) die Korrekturen der PCS w~hrend der Schadenperiode und A2 (t) diejenigen wahrend der Anpassungsperiode widerspiegeln. Es bezeichne ftir eine Menge K hierbei 1K die Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion zu K. Weiter ist zu beachten, dab erst nach Eintritt des ersten Schadens zum Zeitpunkt T mtiglicherweise Korrekturen erfolgen; demnach ist for t e [0, r] A (t)=0 zu setzen. 12) Obwohl aufgrund der Sp~tschadenproblematik bei Vorliegen neuer Informationen Korrekturen des Schadenindizes tendenziell nach oben ausfallen werden, ist grunds~itzlich auch der gegenteilige Fall denkbar. 13) Bei der Modellierung eines PCS-Schadenindizes S (t) und insbesondere bei der Gewinnung der zugrundeliegenden Verteilungsparameter lassen sich grundsfitzlich zwei F~ille unterscheiden, die 241

Sehadenprezell in [0,T] 6 .......................

i

4

3 2 1

ol

_1

I

Korrekturproze6 in [O,T] 0,08 0,06 0,04 0,02 0 -0,02 -0,04 -0,06

I,. .~..llilill4ill " ",1 I I f,

, II

llllli, lllilll~ lllil 'ill "I

i !

PCS-Schadenindex in [0,TI

I

I

J

Abbildung 2: Disaggregation der PCS-Kursstochastik in SchadenprozeB und Korrekturprozel] beide durch die vorgestellte Trennung in Schaden- und KorrekturprozeB erfal3t werden k6nnen: Im ersten Fall - hierauf wird in dieser Arbeit stets Bezug genommen - reprasentiert S (t) die ad hoc bekannt gewordenen ScMden (bzw. die entsprechende kumulierte Sch~itzung der PCS) bis zum Zeitpunkt t ~ [0, T]. Diese Schadensch~itzungen S (t) sind in der Folge zu korrigieren und demnach spiegelt A (t) die erfolgten Korrekturen bis zum Zeitpunkt t wider. Der zweite Fall stellt auf eine Situation ab, in der zur Gewinnung des PCS-Schadenindizes Datenmaterial verwendet wird, welches bereits von den definitiven Endst~inden der jeweiligen Katastrophen(-sch~iden) ausgeht; solche Daten sind beispielsweise im Rahmen des Pricings von Rtickversicherungsvertragen zu verwenden. In diesem Fall wiarde S (t) die bis zum Zeitpunkt t eingetretenen Katastrophen mit ihren kumulierten tatstichlichen Schadenbelastungen darstellen. Die resultierenden endgtiltige Belastungen sind zum Zeitpunkt t der Abbildung der Realitat in den PCS-Schadenindex jedoch meist noch nicht vollstandig bekannt, wodurch der Prozel] A (t) eine andere Bedeutung erhalt: A (t) spiegelt dann das zum Zeitpunkt t noch nicht bekannte wahre SchadenausmaB dar und wtirde somit aufgrund des vorliegenden Informationsdefizits stets nicht-positiv (A(t)_<0) sein. Zur hiermit in Zusammenhang stehenden IBNR- und IBNER-Problematik vgl. Mack, 1997, S. 266-267, S. 273-281 und S. 304-310, Levin, 1995, S. 2951 und Kiln, 1991, S. 355-376. 242

Die Bewertung der PCS-Optionen h~ingt somit vonder Stochastik des Schadenprozesses und vonder des Korrekturprozesses ab. 14) Im folgenden werden vor diesem Hintergrund einige ,,klassische" Optionsbewertungsverfahren hinsichtlich ihrer Eignung zur Modellierung der Indexstochastizit~it und zur Bewertung yon PCS-Optionen untersucht. 4. T r a d i t i o n e l l e

Optionsbewertungsverfahren

4.1 Das Diffusionsmodell von Black/Scholes

Das klassische Bewertungsmodell von Black/Scholes ~5) unterstellt eine geometrische Brown'sche Bewegung des Underlyings.16) Zur Modellierung der Stochastik des Underlyings wird daher meist folgende Gleichung verwendet: dS =/.tS dt+ a S dZ wobei/2 die erwartete Rendite des Underlyings, ~ die entsprechende Standardabweichung und Z den Brown'schen Prozel3 darstellen. Unter den getroffenen Annahmen folgt die relative Entwicklung des Underlyings beispielhaft folgendem Verlauf: Geometrischer Brown'scher Proze8 20 15 10

Abbildung 3: Diffusionsmodellvon Black/Scholes Als Ergebnis weiteffUhrender ~)berlegungen 17) folgt die Bewertungsformel fur Kaufoptionen nach Black/Scholes: C = S. ~ ( d l ) - K' e -rT. ~ (d2) ln(S)+(r+lcr2) mit d l =

o" ~fT

"T

l n ( S ) + ( r - l c r 2' ) T 2 und

d z=

t4) Die Disaggregation in Schaden- und Korrekturprozel3k6nnte als horizontale Trennung aufgefaSt werden. Die bekannten Ans~itzezur Modellierung der Kursstochastik des Underlying nehmen bisher keine Trennung in diese logisch eigenst~indigen Komponenten vor, sondern trennen meist in die Stochastik der Schadenperiode und in die der Anpassungsperiode. In diesem Sinne kOnnte dabei von einer vertikalen Trennung gesprochen werden. 15) Vgl. Black/Scholes, 1973, S. 637-659. 16) Die Kursentwicklung folgt demnach zu jedem Zeitpunkt einer Lognormalverteilung.Vgl. Chriss, 1997, S. 109-112. Daneben werden die idealtypischen Annahmen eines vollkommenen Marktes unterstellt, wie zum Beispiel das Fehlen von Steuern und Transaktionskosten, die Existenz eines konstanten risikofreien Zinssatzes, etc. Zum geometrischen Brown'schen Prozel] und den dazugeh6rigen Eigenschaften vgl. Malliaris/Brock, 1990, S. 36-38 und Chriss, 1997, S. 93-117. 17) Vgl. Hull, 1997, S. 237-241. 243

Aufw~-tsentwieklung in dt Su J

S

S e ~ar

Abwartsentwieklungin
Im Sprungmodell von Cox/Ross wird die Kursveriinderung des Underlyings durch die Gleichung aS dt + S (X - 1) dN mit Wahrscheinlichkeit A, dt dS = [/~S dt + 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 - A dt beschrieben. 21) Dabei bildet # die erwartete Kursveriinderung des Underlyings und N einen Poisson-Prozel3 mit Intensit~it ~, ab. 22) Der Parameter A entspricht der Ankunftsrate i8) Der Term S 9 9 (d t) ist als diskontierter erwarteter Wert des Underlyings zur Optionsfalligkeit gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dab der Wert des Underlyings den Basispreis am Ende von T iibersteigt - interpretierbar. Analog stellt der zweite Term den diskontierten Basispreis dar, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dab der Kurs des Undedyings S iiber dem Ausiibungspreis K liegt. 19) Vgl. Cummins/Geman, 1995, S. 51. 20) Vgl. Canter/Cole/Sandor, 1996a, S. 20; Chang/Chang/Yu, 1996, S. 601; Mtiller, 1996, S. 1300. 21) Vgl. Cox/Ross, 1976, S. 147. z2) Merton interpretiert dieses Modell wie folgt: Das ,,Poisson-getriebene" Ereignis ist die Ankunft eines ftir das Underlying relevanten Informationspakets. Nach Eintritt eines solchen Ereignisses wird eine zuf~illige SprunghOhe ,,gezogen", welche die Auswirkung auf das Underlying modelliert. Vgl. Merton, 1976, S. 128. 244

von relativen Kurssprtingen in H~he der zufalligen Komponente X. Grundannahme hierbei ist, dab der Kurs des Underlyings im betrachteten Zeitintervall einer binomialen Entwicklung folgt, wobei hinsichtlich der Anwendung auf einen PCS-Schadenindex geringe Kursveriinderungen mit einer hohen Wahrscheinlichkeit, sprungartige Verimderungen hingegen mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit modelliert werden sollten. Werden im Sprungmodell von Cox/Ross die Aufw~irtsentwicklung deterministisch durch u mit (geringer) Eintrittswahrscheinlichkeit X dt und die hier als ,,Korrekturentwicklung" zu deutende Abwiirtsentwicklung23) ebenfalls deterministisch durch e *dt mit entsprechender Gegenwahrscheinlichkeit 1-Xdt gesetzt, so ergibt sich bei Diskretisierung der Zeitachse die in Abbildung 4 dargestellte Veriinderung des Underlyings.24 Beispielhaft entspricht unter den skizzierten Modellannahmen die relative Kursentwicklung des Underlyings folgendem Verlauf:

Sprungprozefl 15

10

I

J Abbildung 5: Sprungmodellvon Cox/Ross

Bei deterministischer Aufw~'tsentwicklung u mit Eintrittswahrscheinlichkeit ~,dt und deterministischer Abw~'tsentwicklung e ~dt mit Gegenwahrscheinlichkeit 1- & dt (vgl. oben) gelingt die Ableitung einer geschlossenen Optionswertformel fur eine europ~iische Kaufoption: 25) C=ST(x;y,-Ke

-rT ~ ( x ; Y /

(ln ( r ) - ~) uT mit y =

ln(K) -~T und x als kleinste natiirliche Zahl grt~Ber gleich

u- 1

In (u)

i

e-Y - - Y stellt die komplementiire Poisson-Verteilungsfunktion dar.

(x; y) = i=x

u > 1 beschreibt die ausschlieBlich nach oben gerichteten relativen Kursspriinge, deren Sprungh6hen deterministisch festgelegt sind. Ebenso deterministisch wird die Korrekturentwicklung hinsichtlich ihrer Richtung und H6he abgebildet. Diese Annahmen schr~inken aller23) In den klassischen AnwendungsfaUendes Sprungmodellsentspricht die hier als Korrektur aufgefal3te Entwicklung einer Abw~'tsbewegungdes Underlyings(~ < 0). Vgl. Cox/Ross/Rubinstein, 1979 oder Rendleman/Bartter, 1979. 24) Hierbei ist dt nicht als infinitesimaleZeitspanne,sondem als diskreter Zeitschritt aufzufassen. 25) Vgl. Cox/Rubinstein, 1985, S. 365-366. 245

dings die ad~iquate Anwendungsm~glichkeit des Modells zur Bewertung der PCS-Optionen stark ein. Realiter ist davon auszugehen, dab insbesondere die Schadenh6hen einer stochastischen Entwicklung folgen.26) Die deterministische Modellierung der Korrekturentwicklung bedeutet, dab die Sch~iden ausschliel31ich tiber- oder untersch~itzt werden (4 < 0 bzw. > 0) oder auf gleichem Niveau verharren (4 = 0), so dab die Korrekturen der PCS stets in die gleiche Richtung zu erfolgen h~itten. Grundsiitzlich w~e das Sprungmodell von Cox/Ross bei adiiquater Definition der Modellparameter, beispielsweise als Zufallsvariablen, durchaus geeignet, den Schadenprozel3 oder den kombinierten Schaden- und Korrekturprozel3 wahrend der Schadenperiode abzubilden. Die Annahme, da6 es zu seltenen Spriingen kommt, die durch eine hohe Sprungamplitude bei einem sich sonst kaum veriindemden Niveau des Underlyings gekennzeichnet sind, kann mit dem Verlauf eines Indizes in der Schadenperiode verglichen werden. Allerdings ergeben sich bei einer solchen verallgemeinerten Modellbildung Probleme bei der Herleitung einer geschlossenen Optionswertformel.27) 4.3 Das Sprung-Diffusionsmodell yon Merton

Im Sprung-Diffusionsmodell von Merton werden zur Modellierung der Wertentwicklung des Underlyings das Diffusionsmodell von Black/Scholes und das Sprungmodell von Cox/Ross miteinander kombiniert, wodurch sich die Kursverfinderung mittels folgender Gleichung beschreiben liil~t:28) dS = ( / t - Z k ) S dt+tr S dZ+S dN wobei ~ die erwartete Entwicklung des Underlyings, G die entsprechende Standardabweichung, z9) Z einen Brown schen Proze6, k die erwartete Sprungh6he 3~ und N den PoissonProzef3 der Katastrophenzahl mit Intensit~it A,beschreiben. Beispielhaft entwickelt sich hier das Underlying gem~il3folgendem Verlauf:

Sprung-Diffusionsprozefl 30 25

~k~

re

20

,,v~

,r,,

15 10 5

vrev

0

Abbildung 6: Sprung-Diffusionsmodellvon Merton 26) Die meisten empirischen Untersuchungen der Schadenh6hen ergeben stark asymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilungen, weshalb der Ansatz des Erwartungswerts als deterministische Sprungh~he nur bedingt sinnvoll ist. 27) Vgl. Terstege, 1995, S. 59. 28) Vgl. Merton, 1976, S. 128-129 und Cummins/Geman, 1995, S. 51. 29) p und G geben den bedingten Erwartungswert bzw. die bedingte Standardabweichung bei NichtAuftreten eines Katastrophenereignissesan. Vgl. Merton, 1976, S. 128. 3o) Es gilt k=E (Y-1), wobei Y-1 analog zum Modell von Cox/Ross die zufallige relative Ver~inderung des Underlyings bezeichnet. Vgl. Merton, 1976, S. 128-129. 246

Weiterftihrende Oberlegungen 3l) ergeben dann folgende Bewertungsgleichung ftir den aktuellen Wert einer europ~iischen Kaufoption: C = Y~ e-ZT(itT)n e -zkT, n! En(Cn(SXn K,T,

0 -2

,r)),

n=r

mit

it = Sprungankunftsrate des Poisson-Prozesses pro Zeiteinheit, T = Restlaufzeit der Option in Jahren, C, (.) = Call-Wert nach der Black/Scholes-Formel mit den Variablen Kurs der Underlyings S X n e-zkT, AusUbungspreis K, Restlaufzeit T, momentaner Standardabweichung o" und risikolosem Zinssatz r, E n (.) = Erwartungswert beztiglich der Verteilung der Zufallsvariablen Xn, n

Xn

= Zufallsvariable mit X n---l"I Yj ,

Yj

= relative Ver~inderung des Underlyings bei aufgetretenen Sprtingen.

j=l

Eine m6gliche Vereinfachung ist insofern darstellbar, fails die Zufallsvariable YJ als lognormalverteilt angenommen wird: 32) ,7. ( i t T ( l + k ) ) n e -'t(l+k)T C = n=02" n!

mit rn= r - it k + niert ist und o"n =

C n

(S, K, T, an, rn),

nln(l+k) , wobei k als Mittelwert der prozentualen Sprungh6he deftT 0"2 + 6 2 Tn '

wobei o"2 als Varianz des stetigen bzw. ~r~ als Varianz

des nichtstetigen Kursprozesses definiert sind. Unter den gegebenen Annahmen und Restriktionen erscheint das Modell von Merton durchaus geeignet, um den Verlauf der PCS-Katastrophenschadenindizes zu modellieren. Die in der obigen Formel unterstellte kontinuierliche Entwicklung des Underlyings eignet sich zur Abbildung des Korrekturprozesses, die diskreten Sprtinge mit stochastischer Anzahl und H6he k6nnten bei geeigneter Parameterwahl zur ad~iquaten Abbildung des Schadenprozesses ftihren.

5. S t r a i g h t - F o r w a r d - B e w e r t u n g s m o d e l l

5.1 Straight-Forward-Modell des Underlyings Bevor auf eine weiterfiihrende Modellierung des PCS-Schadenindizes eingegangen wird, seien zwei generelle Kritikpunkte, denen oftmals nicht die ni3tige Beachtung geschenkt wird, vorangestellt: 9 Bei allen vorgestellten Bewertungsans~itzen, die aus der Kapitalmarkttheorie entlehnt sind, stellt sich grunds~itzlich die Frage, ob die Modellierung des Schaden-bzw. Korrek31) Vgl. Merton, 1976, S. 129-134. 32) Vgl. Merton, 1976, S. 135. In praxi wird eine Lognormalverteilung oftmals als geeignet erachtet, die (absolute) SchadenhOhe von Einzelschaden zu modellieren. Vgl. Mack, 1997, S. 93. Man beachte, dal3 hier jedoch stets die relative Sprungh0he modelliert wird. 247

turprozesses fiber Verteilungsannahmen beztiglich der relativen Wertentwicklung des Underlyings sinnvoll 33) 9 Weiter ist zu hinterfragen, ob das Treffen teilweise realit~itsfemer Priimissen in der Modellierung der PCS-Indizes als ,,Preis" ffir eine geschlossene Ltisung akzeptabel ist. 34)

ist.

Beztiglich der Modellierung des Schadenprozesses S (t) soil daher auf die ,,klassische" Versicherungstechnik zuriickgegriffen werden. Die Kalkulation von Versicherungspr~nien (Bewertung von Versicherungstiteln) erfolgt fiblicherweise bei Betrachtung der absoluten Sch~iden. Hierbei hat sich das sog. kollektive Modell etabliert, welches den Gesamtschaden einer Periode durch die beiden Zufallsvariablen Schadenzahl N und Einzelschadenhtihe X n zusammensetzt. 35) Bei statischer Betrachtung gilt somit

N =EXn. n=l Unter relativ allgemeinen Voraussetzungen ist die Modellierung der Schadenzahl N - wie in den Sprungmodellen von Cox/Ross bzw. Merton - durch eine Poisson-Verteilung als geeignet anzusehen. 36) Ftir die Schadenhiihe X n pro Schadenfall ktinnen verschiedene Verteilungsannahmen getroffen werden, so z.B. die Lognormalverteilung. 37) Beim Obergang vonder statischen Betrachtung zu stochastischen Prozessen gilt: 38,39)

N(t) S(t)= Z Xn. n=l 33) Vgl. Geman/Yor, 1997, S. 186. 34) So wurde bereits oben erkannt, dab beispielsweise das reine Diffusionsmodell nach Black/Scholes zur Modellierung eines PCS-Indizes abzulehnen ist. ,~hnlich ftihrt auch Schradin unter der Zielsetzung einer analytischen Liisung aus, dab eine ,,realit~itsn~here Modellierung (...) zu unangemessenen technischen Komplikationen ftihren" (Schradin, 1998, S. 428} wiirde. Vgl. weiter Mtiller, 1996, S. 1299-1310; Schradin, 1998, S. 427--432. 35) Meist werden hierbei folgende Annahmen getroffen: Die SchadenhOhen (X,: n = 1, 2 .... ) sind stochastisch unabhlingig und identisch verteilt und weiter sind die Schadenhtihen (Xn: n= 1, 2.... ) .~lobal stochastisch unabh~gig vonder Schadenzahl N. ) Vgl. Mack, 1997, S. 76; Kliippelberg, 1994, S. 33-34; Geman/Yor, 1997, S. 187. 37) Andere verwendete Verteilungen sind beispielsweise die gestutzte Normal-, die Gamma-, die inverse GauB-, die loglogistische, die Log-Laplace-, die Nullpunkt-Pareto, oder die Weibull-Verteilung. Vgl. Mack, 1997, S. 84-106, insbesondere S. 99. Zu den Charakteristika der jeweiligen Verteilungen v~)l. auch Johnson/Kotz, 1969, und Johnson/Kotz, 1970. Dabei bezeichne (N (t): t ~ [0, T]) den ZahlprozeB, welcher die kumulierte Anzahl N (t) der Katastrophenschiiden im Zeitraum [0, t] widerspiegelt. Weiter wird beztiglich der (nicht-kumulierten) Schadenhtihen X, meist eine Zeitstabilitiitshypothese vorausgesetzt, d.h. es gilt Xn(t) = Xn ffir alle t e [0, T]. 39) MOiler verwendet ftir die Abbildung quasi eine Synthese aus dem relativen Ansatz der Kapitalmarkttheorie und dem klassischen Modell der Versicherungstechnik und modelliert den Schadenindex

.(N(t) )

zum Zcitpunkt tin der Schadenperiodr durch S (t)=S (0). exp ( n~_1 X n , wobei die (realitiitsfernr Voraussetzung gegeben sein muB, dab S (0)>0. Vgl. MSller, S. 1301. Dieses Modell verhindert jedoch eine direkte Ubertragung der aus der Versicherungstechnik gewonnenen Verteilungen der absoluten Schadenhi~hen. Auch Schradin sttitzt sich auf diese Modelliemng des PCS-Indizes wahrend der Schadenperiode und schrfinkt zudem die Einzelschadenhtihenverteilungen Xn auf exponentialverteiltr Zufallsvariablen r Vgl. Schradin, 1998, S. 427--428. 248

Umformuliert in stochastische Differentiale ergibt sich n~iherungsweise 4~ X dS = X dN =

mit Wahrscheinlichkeit ~ dt mit Wahrscheinlichkeit 1 - ~ dt

wobei N einen homogenen Poisson-Prozel341) der Katastrophenschadenzahl mit Intensit~it X und X die stochastische 42 Sprungh6he darstellt. Nachdem nur Katastrophensch~iden innerhalb einer definierten Schadenperiode in den PCS-Index eingehen, wird der Poisson-Prozel3 am Ende der Schadenperiode gestoppt und dS ab dann auf Null gesetzt. Zur Abbildung des Korrekturprozesses A (t) ist ebenso die Ubertragung von iiblichen Verfahren aus der Versicherungstechnik denkbar und sinnvoll. 43) Die meisten Modelle der PCS-Indizes wurden jedoch tendenziell aus modifizierten kapitalmarkttheoretischen Uberlegungen generiert, so dab sich offenbar die Modellierung der PCS-Korrekturen mittels eines geometrischen Brown'schen Prozesses durchgesetzt hat. 44) Aus diesem Grunde soil in dem hier vorgestellten Modell des Korrekturprozesses A (t) analog verfahren werden, womit sich folgender Zusammenhang ergibt: 45) dA=/.t S d t + t y S dZ wobei dA die vom gesamten Indexstand S abhiingige Anpassung (Korrektur) mit relativem Erwartungswert/1 bzw. relativer Standardabweichung tr und Z den Brown'schen Prozel3 bezeichnet. ~)) Vernachlassigt wird bei dieser Schreibweise, dab mtiglicherweise mehrere Katastrophensch~iden zeitgleich eintreten ktinnen. Bei der sp~iter diskutierten Monte-Carlo-Simulation wird der Fall eines Katastrophenkumuls jedoch implementiert. Weiter wird bei dieser Schreibweise die Annahme unterstellt, dab die Schadenh~hen identisch verteilt sind. 41) Ein homogener Poisson-Prozel3 (N (t): t ~ [0, T]) mit Intensit~it ;t ist unter anderem dadurch gekennzeichnet, dab die Zuw~ichse N (t)-N (s) for so) implementiert. 249

Mit den Bezeichnungen dieses Abschnitts und einem Brown'schen Prozef5 (Z(t): t ~ [0, T]) lal3t sich der einem PCS-Index zugrundeliegende stochastische ProzeB (S (t): t ~ [0, T]) zusammengefal3t wie folgt modellieren: 9 In Notation mit stochastischen Prozessen: S (t) = S (t) + A (t) r

,.(N(t).-.

)

S (t) = [ ~__X n .l{teSchadenperiode} + (e #+~rt aZ(t) "l{s(t)>0})

ftir alle t ~ [0, T]

9 In Notation mit stochastischen Differentialen: 46) dS = dS + dA r

dS = dS + dA =

0

bis zum ersten Schadeneintritt

X dN+/.tS dt + oS dZ

ab dem ersten Schadeneinlxitt bis zur Entwicklungsperiode

[ #S dt + oS dZ

w~ihrend der Entwicklungsperiode

9 In Notation mit Rekursionsformeln bei S (0) S (t + h) = S ( t + h ) + A

=0:47'48)

(t+h) ~ S (t+h) =

N(h)

I

n~--IXn+ S (t)" exp [(/z - 0,5 o'2) 9h + o.~/h. Z t ] in der Schadenperiode

I S it). exp [(/z - 0, 5 o'2) 9h + o'~/-la 9Z t ]

in der Entwicklungsperiode

5.2 Bewertung einer PCS Call-Option zum Beginn der Schadenperiode PCS-Optionen werden meist als unmittelbares Substitut zur Rtickversicherung aufgefal3t, d.h. als Instrument zum Hedging von Katastrophenrisiken. Preisvergleiche zwischen beiden risikopolitischen Instrumenten werden daher sinnvollerweise zum Beginn der Schadenperiode angestellt. 49) Im folgenden wird somit ein Ansatz zur Bewertung von PCSCall-Optionen mit Basispreis k und Cap 7 ftir den Beginn der Schadenperiode vorgestellt. Dazu wird der stochastische Wert der Option am Austibungstage - gemessen in Indexpunkten ) - mit dem risikolosen Zinssatz auf den Zeitpunkt 0 diskontiert: )

50

51

46) Vgl. ~nlich auch Geman/Yor, 1997, S. 187. 47) Ohne Beschr~inkung der Allgemeinheit reicht die DarsteUung der Herleitung der Rekursionsformel fur die Anpassungsperiode. Wird die Gleichung in Form der stochastischen Differentialen diskretisiert, so ergibt sich sofort A SIS =/~ At + orZ ~ und damit ein Kursverlauf der Form S = e x. Analog kann fur den logarithmierten Schadenindex verfahren werden, wobei man die Beziehung A (In (S)) = (#-0,5 o 2) At+ orZ VAt-erh~ilt. Wegen A(ln (S)) =A In (S (t+At))- (ln (S (t)) =In (S (t +At)/S (t)) gilt somit insgesamt: S (t + At) = S (t). exp [(#- 0,5 o2) At + orZt V'~-]. Vgl. auch Cummins/Geman, 1995, S. 53 und Malliaris/Brock, 1990. S. 38. ns) Weiter wurde verwendet, d ~ N (t + h)-N (t) und N (h) fur einen beliebigen - in Null startenden Zahlprozel3 (N (t): t ~ [0, T]) mit station~iren Zuw~chsen gleichverteilt sind. Ebenso geht die Unabh~ingigkeit der Schadenh6hen Xn vonder Eintrittszeit t ein. 49) Die Preisbestimmung klassischer Rtickversicherung erfolgt prinzipiell vor Beginn des Deckungszeitraums. 5o) Zur Bestimmung des Geldwertes der Option ist der Wert V gemessen in Indexpunkten mit US-$ 200 zu multiplizieren. 51) Zum Zeitpunkt T besitzt eine PCS-Call Option den Wert rain (max (S (T)-k; 0); 7-k). Vgl. z.B. Cummins/Geman S. 53 und Mtiller, 1996, S. 1303. 250

V (0) = e -rv. min (max (S ( T ) - k; 0); ~,- k). In Abh~ingigkeit der Wahrscheinlichkeitsverteilung von S (T) kann im Idealfall somit eine Verteilung fiir V (0) generiert werden. Der daraus resultierende Optionswert zum Zeitpunkt 0 kann mit Hilfe des Erwartungswertes als quasi-deterministischer Wert abgebildet werden52), so dab gilt: 53) c (0) = E [V (0)] = E [e-rT min (max (S ( T ) - k; 0); ),- k)].

5.3 Anwendung von Monte-Carlo-Simulationen Eine analytische Bewertung der PCS-Optionen zu Beginn der Schadenperiode gem~il3 obigem Ansatz ist im allgemeinen problematisch. 54) Wenn komplexe Zusammenhange im Rahmen eines ModeUs durch mathematische Ans~itze dargestellt werden kOnnen, analytische oder numerische L6sungsverfahren aber nicht existieren oder zu aufwendig sind, ist die Verwendung von Simulationen empfehlenswert. Da die stochastische Entwicklung der Schadenindizes mittels stochastischer Prozesse abgebildet werden kann, bietet sich die Anwendung von Monte-Carlo-Simulationen an. 55) Die Monte-Carlo-Methode l~il3t sich zur Simulation des Korrekturprozesses (A(t): t ~ [0, T]) und des Schadenprozesses (S(t): t ~ [0, T]) anwenden. Somit kann mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation eine hinreichend genaue Stichprobenverteilung fiir S (t) zu beliebigen Zeitpunkten t - insbesondere fur S (T) - gewonnen werden, aus der mittels der resultierenden Verteilung von V (0) die Bewertung c (0) einer PCS-Call-Option ableitbar ist. 56) Die Bewertungsproblematik reduziert sich folglich auf die Bestimmung ad~iquater Verteilungsmodelle und die Ermittlung der relevanten Verteilungsparameter. Im folgenden ist eine Aufstellung der erforderlichen allgemeinen und prozeBdefinierenden Parameter gegeben:

52) Ziel ist es hier, wie auch in der traditionellen Optionspreistheorie, einen pr~iferenzfreien Ansatz zu entwickeln. Ansonsten w~ren auch andere Bewertungsfunktionale, wie z.B. ein ~ , o')-Kriterium denkbar, bei dem die Risikoeinstellung des Bewerters zum Ausdruck kommen kann. 53) Bezeichnet .~t die o'-Algebra der t-Vergangenheit des den Schadenindizes abbildenden stochastischen Prozesses (S (t): t ~ [0, T]), so kOnnte der Wert der PCS-Call-Option zum Zeitpunkt t als bedingter Erwartungswert E (V (T) I 3~t) formuliert werden. Vgl. auch GemardYor, 1997, S. 187 mit den dort angegebenen Literaturhinweisen. Hierauf soll im folgenden jedoch verzichtet werden. 54) Eine MOglichkeit hierzu w~ire allenfalls, mittels restriktiver Annahmen bezUglich der Kursentwicklung des Underlyings handhabbare Verteilungen fur den Indexstand am Ende der Anpassungsperiode zu gestalten. 55) Vgl. beispielsweise Cummins/Geman, 1995, S. 53-54; Geman/Yor, 1997, S. 186. 56) m-malige Simulation ergibt m Realisationen (v 1. . . . . Vm) von V (0) mit zugeh6rigen relativen Haufigkeiten (pj . . . . .

Pro)"

Somit ist c (0) = ~ v i 'Pi.

9

i=l

251

Allgemeine Parameter

Korrekturparameter ~7) Schadenparameter 9 Schadenzahlprozel~, z.B. homogener Poisson-Prozel~ 9 Schadenhtihenverteilung, z.B. Lognormalverteilung 58)

Laufzeit der Option T, Basispreis k, Cap ~', risikofreier Zinssatz r Stichprobenanzahl m Drift FtA Streuung O"A Intensit~it A, Formparameter o" Skalenparameter b = e ~

6. B e i s p i e l e

6. I Partialmodelle und Spezifikationen Im folgenden werden Beispiele aufgezeigt, welche die Variabilit~it des vorgestellten Straight-Forward-Modells belegen sollen. Hierbei wird hinsichtlich der Parameter eine Beschr~nkung auf den PCS National-Index vorgenommen; eine Anwendung auf andere PCSIndizes kann jedoch in vt~lliger Analogie erfolgen. Zur realit~itsnahen Modellierung und zur Darstellung transparenter Bewertungen von PCSOptionen kommt der Ermittlung der relevanten Parameter eine entscheidende Bedeutung zu. Ein wesentlicher Plausibilit~itsindikator der Modellierung der Kursstochastik des Underlyings ist beispielsweise im gesch~itzten Erwartungswert des PCS-Indizes zu sehen. Ausgehend von den historischen wertberichtigten Indexs~nden des PCS National-Indizes (j~ihrliche Schadenperiode) erscheint die Verwendung des empirischen Mittels als Sch~itzer 9 5 9 ) In Abb i ldung 7 sind daher zwei for den Erwartungswert nur eingeschriinkt geelgnet. 57) Der Korrekturprozel3 habe hier grunds~itzlich die Form dA=/.t Sdt+ crS dZ. Vgl. auch die FuBnoten 43 und 44. 58) Eine lognormalverteilte Zufallsvariable X mit Formparameter tr und Skalenparameter b = e u besitzt die Verteilungsfunktion F x ( x ) = ~ / l n ( - ~ - / ~ / = ~ / l n ( ~ ) / b / ,

wobei ~(.) die Verteilungsfunktion

der Standard-Normalverteilung ist, und die Momente E (X k ) = exp k/~ +

= b k. exp

.

Vgl. Mack, 1997, S. 99. Im fnlgenden werde #x :=E (X) gesetzt. Empirisch konnten beispielsweise Hurrikansch~den in den USA im Zeitraum zwischen 1954 und 1986 mittels einer Lognormalverteilung modelliert werden. Vgl. Levi/Patrat, 1991, S. 253-276. Vgl. zu weiteren Untersuchungen, welche eine Lognormalverteilungsannahme stUtzen, z.B. Shpilberg, 1977, S. 103-115 und Embrechts/ Schmidli, 1994, S. 1-34. 59) Bei Beachtung der zunehmenden Wertekonzentration - insbesnndere in den yon Naturkatastrophen gef~rdeten Gebieten wie beispielsweise Florida - und der tendenziell steigenden Versicherungsdichte erscheinen Trendannahmen zur Abbildung der Zeitinstabilit~t der Katastrophenschadenh~ihen gerechtfertigt. Zudem wird im Zusammenhang mit der glnbalen Klimaver~nderung - unabh~gig yore Anteil des anthropngenen Einflusses - oftmals eine Zunahme der Anzahl und der Intensit~t yon Naturkatastrophen unterstellt. Vgl. M0nchener Rtick, 1997, S. 37-38 und S. 61; M0nchener ROck, 1990, S. 106--113. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dag sich beispielsweise die Erdbebenh~iufigkeit in der Vergangenheit nicht signifikant ver~ndert hat. Vgl. Wagner, 1997, S. 512. 252

PCS National-Index (Annual) 300 250

200

.Ai

,oo

................................

PCS

Mittelwert

" "'

......

~'b' ~,~"

linearer Trend

~

"

'

expon. Trend J

Abbildung 7: Schatzung des Erwartungswerts eines PCS-Indizes Trends - zum einen ein linearer Trend und zum anderen ein exponentieller Trend - angetragen, welche in fol~enden Sch~itzungen des Erwartungswerts des PCS National-Indizes for 1998 resultieren: "~'6t 9 Empirischer Mittelwert: 31,5 Punkte, 9 Linearer Trend: 73,3 Punkte, 9 Exponentieller Trend: 58,8 Punkte. Im folgenden werden die derart plausibilisierten Szenarien der Kursstochastiken und Parameter der Beispiele skizziert: FUr die allgemeinen Parameter einer PCS-CaU-Option auf den PCS National-Index seien folgende Werte gew~ihlt: 9 Die Schadenperiode betrage ein Jahr und es werde eine Anpassungsperiode ebenfalls yon einem Jahr betrachtet. Die Bewertung der PCS-Call-Option soil zu Beginn der Handelsperiode erfolgen, womit S (0) = 0 und T--- 2 ist. 9 Der Basispreis der Small-Cap-Option (Cap T= 200) werde zunfichst auf k = 40 gesetzt. Aus den in Abschnitt 5.1 genannten Gr0nden wird der Korrekturprozefl (A (t): t ~ [0, T]) anhand zweier Szenarien modelliert: 62'63) 60) Hierbei sei darauf hingewiesen, dab der derzeitige (15.7. 1998 bzw. 29.12. 1998) Indexstand des PCS National-Indizes bei 44,2 bzw. 71,8 Punkten liegt. Vgl. Board of Trade of the City of Chicago, 1998. 61) Zu genaueren Untersuchungen von Katastrophenschadentrends vgl. D'Arcy/France, 1992, S. 575-600. 62) Beide Szenarien beachten die Tatsache, dab eine Korrektur durch die PCS erst dann erfolgen wird, nachdem (mindestens) ein Katastrophenschaden eingetreten ist. Vgl. Ful3note 11. Der Einfachheit halber werden zudem die gleiche Stochastizi~t in Schaden- und Anpassungsperiode unterstellt. Zur horizontalen und vertikalen Trennung vgl. auch Ful3note 14. 63) Unterstellt wird, dab der wesentlich Anteil des PCS-Schadenindizes durch den Schadenprozel3 bestimmt wird. Eine Sensitivit~itsanalyse des Modells ergab dann, dab der Optionswert nur marginal auf Ver~nderungen der Stochastizit~it des Korrekturprozesses reagiert und sorrut eine grobe Sch~itzung der Parameter des Korrekturprozesses ausreicht. 253

9 Szenario (AB): Der KorrekturprozeB gehorche einer geometrischen Brown'schen Bewegung mit Drift~ = 0,04 und Streuung tr= 0,02. 64) 9 Szenario (A J): 65) Der KorrekturprozeB folge einem SprungprozeB mit Poisson-verteilter Korrekturzahl AA= 8 und lognormalverteilter Sprunghtihe mit Formparameter tYA=0,5 und Skalenparameter b A := e~A= d -4'7. Die w ~ r e n d der Optionslaufzeit T zu erwartende Gesamtkorrektur durch die PCS wtirde hierbei 0,08 Indexpunkte betragen. 66) FUr den Schadenprozefl (S(t): t e [0, T]) wird schlieBlich folgendes Szenario bzw. Szenarienspektrum 67) unterstellt: 9 Der ZahlprozeB der Anzahl der Katastrophensch~den folge einem homogenen PoissonProzeB, dessen Intensit~iten F := (A1, A2, As, ~4):= (3; 4; 5; 6) gesetzt werden. 68) 9 Die unabh~ingigen und identisch verteilten Katastrophenschadenh/3hen seien als lognormalverteilt mit erwarteten Schadenh/Shen M x := (~tx,1,/~x,2,/-tx,3,/1x,4) := (10; 12; 14; 16) konstruiert. 69) Zu einer r

der Szenarien und Parameter vgl. die Tabellen 1 bis 4 im Anhang.

~4) Beispielsweise verwenden Geman/Yor, 1997, S. 187, Cummins/Geman, 1995, S. 51 und Chang/ Chang/Yu, 1996, S. 605 einen solchen KorrekturprozeB w~rend der Anpassungsperiode. Vgl. auch FuBnote 44. 65) Die Nomenklatur AB soil auf den Anpassungs-(A) bzw. KorrekturprozeB mit geometrischer Brown'scher Bewegung (B) hindeuten; AJ soil auf einen Jump-(J) bzw. SprungprozeB hinweisen. 66) Die Verwendung eines Sprungprozesses zur Modellierung des Korrekturprozesses ktinnte durch folgende Uberlegung gerechtfertigt werden: Eine Korrektur der Schadensch~tzung durch die PCS wird nach der Ankunft neuer Informationen zur eingetretenen Katastrophe vorgenommen und bewirkt einen unstetigen Sprung im PCS-Index. Vgl. die FuBnoten 22 und 43. 67) Als HaupteinfluBgrt~Ben des PCS-Indexes werden die Schadenzahl und die Schadenhtihen des Schadenprozesses unterstellt. Aus diesem Grund wird ein Spektrum von vier Schadenzahlszenarien und von vier Schadenh/Jhenszenarien vorgestellt. 68) Hierbei kann ~i als erwartete Schadenzahl pro Jahr gedeutet werden. Geman/Yor kupieren den Poisson-ProzeB anhand einer als maximal angenommenen Schadenzahl ,t.i=5. Vgl. Geman/Yor, 1997, S. 190. Wegen der unterstellten Homogenitat des Poisson-Prozesses ergeben sich hier als viertelj~rlich erwartete Schadenzahlen (0,75; 1,00; 1,25; 1,5). Cummins/Geman setzen in diesem Zusammenhang die erwartete Schadenzahl ohne weitere Ertirterung auf ;t = 0,5. Im Originaltext heiBt es ohne Beleg: ,,In accordance with the actuarial literature, we choose &=0,5". Cummins/Geman, 1995, S. 54. 69) Eine lognormalverteilte Zufallsvariable X mit Formparameter tr und Skalenparameter b = eu entsteht aus einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert/l und Varianz o.2 und hat den

/~

Erwartungswert /l x . = E ( X ) = E ( X ) = e x p ~+--~-- =b exp

. Vgl. Mack, 1997, S. 99. Die

angegebenen Erwartungswerte der Schadenh6hen ergeben sich n~herungsweise aus den gleichbleibenden Formparametem (o"1, 0.2, (3"3,o'4):--(1,157; 1,157; 1,157; 1,157) und den Skalenparametern (b t, b2, b 3, b4) :=(e 1'634 ; e 1'816 ; eYl'970.; e2 ' 104 ), welche for das Szenario des Schadenprozesses verwendet wurden. Wie man leicht sieht, wurden die Formparameter und Skalenparameter so gew~lt, dab ftir alle Schadenh0henszenarien jeweils eine gleich ,,gef'~ihdiche" Schadenh/Jhenverteilung - gemessen am Variationskoeffizienten - resultiert. Cummins/Geman setzen ohne weitere ErOrterung eine erwartete Katastrophenschadenh/Jhe von 0,8 an. Im Originaltext heil3t es ohne Beleg: ,,In accordance with the actuarial literature, we choose (...) 0,8". Cummins/Geman, 1995, S. 54. 254

6.2 Ergebnisse In den Abbildungen 8 und 9 werden die resultierenden Optionspreise der PCS-Call-Optionen auf den PCS-National Index zu Beginn der Handelsperiode dargestellt, wobei siimtliche Szenarien betrachtet werden. 7~ Zur Verdeutlichung der stochastischen Struktur des PCS-Index ist in Abbildung 10 die Wahrscheinlichkeitsverteilung des PCS-National Indizes zum Ende der Anpassungsperiode angegeben. Aus Grtinden der Obersichtlichkeit wird hierbei und im folgenden nur ein ,,mittleres" Szenario (PCS) betrachtet: Die Intensit~it des Schadenzahlprozesses wird als ~3=5 gew~ihlt, der Formparameter der Schadenht~he entspricht 0"3= 1,157 und der Skalenparameter der Schadenhtihe entspricht

Abbildung 8: Wert der PCS-Call-Option unter dem Korrekturszenario (AB) in US-$

Abbildung 9: Wert der PCS-Call-Option unter dem Korrekturszenario (AJ) in US-$ 70) Zu den einzelnen Werten vgl. die Tabellen 5 und 6 im Anhang. Man beachte, dab ausgehend von den Abbildungen 8 und 9 eine Aussage tiber die Sensitivit~it des Modells tendenziell nut bzgl. der Intensit~it des Schadenzahlprozesses miJglich ist, denn die angetragene Kennzahl des Erwartungswerts der KatastrophenschadenhOhen ergibt sich durch Aggregation des Formparameters und des Skalenparameters der Lognormalverteilung. 255

b 3=e 1'970; als Korrekturszenario wird das Szenario (AB) betrachtet, welches dem KorrekturprozeB einen geometrischen Brown'schen Prozeg mit Drift # = 0 , 0 4 und Streuung or= 0,02 unterstellt. Im Szenario (PCS) erh~ilt man durch die betrachtete Monte-Carlo-Simulation die in Abbildung 10 dargestellte (Stichproben-)Verteilung des PCS-National Indizes: 71'7z)

PCS-National Index (Annual) (PCS) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 -0,0~s

A

t I I I I I t I , , ] I I I I I I I I I I I I I

Abbildung 10: Verteilung 73 des PCS-National Index (Annual) im Szenario (PCS)

Ausgehend von dieser Situation ergibt sich ein Optionswert c(0) in H~he von US-$ 5354,60 (vgl. auch Abbildung 8). Nachdem hier der Optionswert als Erwartungswert c (0) = E (V/(0)) = E [e-ra" mm 9 (max (S ( T ) - k ; 0); y - k ) ] der Wahrscheinlichkeitsverteilung von V (0) gebildet wurde, seien zus~itzlich weitere Kennzahlen dieser Verteilung angegeben:

Parameter von V (0) Minimalwert der Monte-Carlo-Simulation Maximalwert der Monte-Carlo-Simulation 74) Erwartungswert c (0) Varianz Streuung Schiefe Variationskoeffizient

0,00 28.954,80 5.354,60 56.022.513,51

US-$ US-$ US-$ US-$ 2

7.484,82 US-$

1,67 1,40

71) Der Erwartungswert realisierte sich dabei in HOhe eines Indexstands von 65,3 Indexpunkten. 72) Aus Grtinden der Ubersichtlichkeit wurde in Abbildung 10 lediglich die (Stichproben-)Wahrscheinlichkeitsverteilung bis zu einem Indexstand von bis zu 648 Indexpunkten angetragen. 73) Im Sinne einer empirischen Wahrscheinlichkeitsdichte. 74) Dieser Wert ergibt sich gerade aus der Abzinsung der maximalen Auszahlung der Option. 256

Als weitere Variation kann beispielsweise der Cap 7 variiert werden, womit man zu Bewertungen von PCS-Call-Spreads gelangt. Dies ist in Abbildung 11 fiir das betrachtete Szenario (PCS) bei stets gleichbleibendem Ausiibungspreis von k=40 dargestellt: 75'76) Wert von PCS 40/y Call-Spreads

6000 5000 4000

ooo o/

....iy -

i

T

i

r

i

i

i

I

i

r

r

~

i

i

r

i

Abbildung 11: Optionspreise in US-$ yon ~S-Call-Spreads im Szenafio (PCS)

6.3 Empirische Relevanz Grunds~itzlich h~ingt die Qualit~it des Modells und der zugeh6rigen L0sungen vonder Qualit/it der eingesetzten Parameter ab. Die vorgestellten Beispiele sind daher tendenziell als Szenarien zu interpretieren. Prinzipiell soil lediglich die Handhabbarkeit und M/ichtigkeit des Straigth-Forward-Modells belegt werden. Die Problematik des vorgestellten Bewertungsansatzes ist folglich weniger in den Charakteristika des Modells zu sehen, sondem vielmehr in der Ermittlung bzw. Auswahl der erforderlichen Verteilungsparameter. Insbesondere ist zu beachten, dab bei einer rein statistischvergangenheitsorientierten Gewinnung der Parameter implizit deren Zeitstabilit~it unterstellt wird. Letztlich lieBe nur eine genauere Kenntnis der den Katastrophensch~iden und der Korrektur der PCS zugrundeliegenden Stochastizit~it eine ad~iquate Bewertung der PCS-Optionen mittels des vorgestellten Modells zu. Eine ad~iquate Bewertung anhand eines verwendeten Modells sollte zus~itzlich die Risikoeinstellung der Marktteilnehmer beriicksichtigen, welche die Wahrscheinlichkeitsverteilung des PCS-Indizes zum Ende der Anpassungsperiode zu bewerten haben. Ein derart empirisch fundiertes Bewertungsmodell sollte somit ann~ihemd Optionspreise liefern, welche an der CBOT tats~ichlich zu beobachten sind - vgl. Abbildung 12. 77)

75) Es sei daran erinnert, dab eih Indexpunkt das Wert~iquivalent von 200 US-$ besitzt; demnach w~ire ftir ein Cap y in H6he von 200 Indexpunkten eine maximale Auszahlung von 32.000 US-$ zum Ende der Handelsperiode mOglich. 76) Die entsprechenden Zahlenwerte finden sich in Tabelle 7 des Anhangs. 77) Solange eine empirische Uberprtifung der Stochastizit~iten des Schaden- und Korrekturprozesses sowie der eingehenden Parameter noch aussteht, sind modellbasierte PCS-Optionspreise, welche in der Empirie zu beobachten sind, mOglicherweise zufiillig oder sollten mit dem Begriff ,,Data-Snooping" umschrieben werden. 257

Ftir den Fall empirisch belegter Parameter ergibt sich eine - insgesamt betrachtet - relativ einfache Bewertung von den an der CBOT gehandelten Optionen. W~ire diese Vorarbeit einer empirischen Uberprtifung bereits geleistet, so kann das vorgestellte Modell - zusammen mit einer hinreichend grogen Anzahl von Monte-Carlo-Simulationen - relativ leicht implementiert werden. Vgl. Abbildung 13.

AditquateTransformation Reales Problem

Bewertungvon PCS-Optionen

4

~ Formales Modell

Straight-Forward-Modell It EmpirischeErmittlungder / ~ProzesseundParameter/ 0berprilfung des ModeHs

\ ..

/ FormaleMethoden

~

/

Uberprtifung 9 der L6sung s.un.g \

/

.Monte-Carlo-Simulation des Underlymgs

Formale L6sung Bewertung anhand des Straight-Forward-Modells

Abbildung 12: Empirische Oberpriifung

Individueller Input: restliche Schaden- oder Entwicklungsperiode Zinserwartung r Austibungskurs k Cap 7'

Empiriseher Input: /zA o-A O"

Monte-Carlo-Simulation des Straight-Forward-Modeils

b=e/~ s(o Output:

c(O Optionswert Abbildung 13: Implementierung des Modells 258

7. Z u s a m m e n f a s s u n g Die vorgestellte Aufspaltung eines PCS-Schadenindizes in einen zugrundeliegenden Schaden- und KorrekturprozeB erlaubt eine logische Trennung zwischen den rein zuf~illigen Katastrophensch~iden und der nachfolgenden Korrekturen durch die PCS: Der Schadenprozel3 kann einer anderen stochastischen Struktur als der Korrekturprozel3 gehorchen, womit erstmals eine direkte Ubertragung der Schadenerfahrung aus der Versicherungswirtschaft in die Bewertung von PCS-Katastrophen-Optionen erm6glicht wird und des weiteren eine Anwendung bekannter Verfahren zur Modellierung der Korrekturen durch die PCS erfolgen ktinnte. 78) Die in der einschl~igigen Literatur vorgenommene Trennung der stochastischen Prozesse nach Schaden- und Anpassungsperiode lassen sich daraus als einfache Spezialf~ille ableiten, womit letztlich auch die dort getroffenen Pr~missen besser auf ihre praxisrelevante Giiltigkeit hin untersucht werden ktinnen. Wird der SchadenprozeB wie im Straight-Forward-Modell als stochastische Summe zuf~illiger KatastrophenschadenhOhen modelliert, so er6ffnet sich durch das Konzept der doppelten Stochastizit~it die Mt~glichkeit, den Katastrophenschadenzahlprozel3 unabh~gig von den Katastrophenschadenhtihen zu modellieren. Durchweg wird der Schadenzahlprozel3 durch einen (homogenen) Poisson-ProzeB abgebildet, womit die in den bisher g~gigen Bewertungsans~itzen entwickelten und empirisch tiberpriiften Ankunftsraten in das Straight-Forward-Modell integriert werden k6nnen. 79 ) Ftir die Schadenh6hen wiederum ist die direkte Ubertragung des in der (Rtick-)Versicherungswirtschaft gewonnenen Datenmaterials mt~glich, wodurch die statistische Datenbasis der PCS-Indizes deutlich erweitert werden kann und somit eine bessere Sch~tzung der eingehenden Modellparameter ermiSglicht wird. Problembehaftet bei der Anwendung stochastischer Simulationen oder analytischer Verfahren zur Preisermittlung von PCS-Optionen ist die Identifizierung der erforderlichen Parameter. Selbst durch Anwendung versicherungstechnischer Instrumentarien, beispielsweise Schadenstatistiken und Katastrophenmodelle, stehen beziiglich Katastrophen aufgrund deren Charakteristika, d.h. geringe Eintrittswahrscheinlichkeit verbunden mit hohem Schadenpotential, nur unzureichende Daten zur Verftigung. 8~ Weiterhin ist als Nachteil aufzufassen, d ~ eine stochastische Simulation keine geschlossene Ltisung bereitstellen kann. Analytische Verfahren besitzen aufgrund der Nachvollziehbarkeit ihrer Herleitung und der mathematischen Asthetik oftmals h6here Akzeptanz. 81) Allerdings existieren im Bereich der PCS-Option noch keine adgiquaten analytischen Bewertungsmodelle. ,,It would seem that a new and potentially( far more complex option pricing theory needs to be developed for catastrophe options. )

78) Vgl. die Anmerkungen in FuBnote 13, welche die verschiedenartige Interpretation des Korrekturprozesses einerseits als Korrekturen durch die PCS und andererseits als ,,Informationsdefizit-Prozel3" verdeutlichen. Das Modell ist zudem offen, auch den Korrekturen einen Sprung- oder Sprungdiffusionsprozel3 zu unterstellen; letztere sind etablierte Verfahren, um die Ankunft neuer Informationen hier tiber das Ausmat3 der Katastrophenschaden- zu modellieren. Vgl. hierzu insbesondere Ful3note 22. 79) Denkbar w~ireebenso die Modellierung der Schadenzahl durch eine negative Binomialverteilung oder andere Verteilungsmodelle.Vgl. Helten, 1973, S. 78-95 und Mack, 1997, S. 76-84. 80) Vgl. Klilppelberg, 1994, S. 33. 8J) So kann das Modell von Black/Scholes, das eine analytische Bewertung von Aktienoptionen ermtiglicht, als notwendige Bedingung fur den Durchbruch des Handels in entsprechenden Optionen angesehen werden. Vgl. auch Bernstein, 1996, S. 310-316. 82) Jaffee/Russell, 1997, S. 220. 259

Im Rahmen des bisherigen methodischen Vorgehens ist kritisch zu hinterfragen, inwieweit die Abbildung der Korrekturen durch einen Random Walk zul~issig ist. Die Vergangenheit zeigte, dab erstmalige Sch~itzungen m6glicher versicherter Sch~iden nach dem Eintritt einer Katastrophe erheblicher Anpassungen bedurften.83) Daher kt~nnte - wie bereits in einem Szenario vorgefiihrt - gerechtfertigt sein, den Korrekturprozef5 beispielsweise als Sprung-, als Sprung-Diffusionsprozel3 oder mit Hilfe versicherungstechnischer Methoden zu modellieren. Auch hierbei wird erkennbar, dab das vorgestellte Straight-Forwared-Modell wegen des allgemeinen und modularen Zugangs leicht modifiziert werden kann, um eine realit~itsnahe Abbildung der PCS-Schadenindizes zu generieren. Entscheidend ist somit ausschliel31ich die Modellierung und Simulation des Underlyings auf der Basis empirisch tiberpriifter Parameter; die Bewertung der PCS-Options kann dann anhand Anwendung klassischer Bewertungsmethoden erfolgen. Anhang Zusammenfassung der verwendeten Parameter bzgl. PCS-Call-Optionen bzw. PCS-CallSpreads auf den PCS-National Index (Annual): Tabelle 1: Allgemeine Parameter Schadenperiode Anpassungsperiode Optionslaufzeit Basispreis Cap Zinssatz p.a.

T k 7 r

1 Jahr 1 Jahr 2 Jahre 40 Indexpunkte 200 Indexpunkte 5%

Tabelle 2: Parameter zum Korrekturszenario(AB) geometrische Brown'sche Bewegung Drift Streuung

/a cr

0,04 0,02

Tabelle 3: Parameter zum Korrekturszenario(AJ) Poisson-Lognormal-SprungprozeB Intensit~it der Korrekturzahl Formparameter Korrekturh/)he Skalenparameter Korrekturh~he

7A trA bA

8 0,5 e -4'7

83) Als Beispiel kann das Northridge-Erdbeben 1994 angefiihrt werden, bei dem sich erste Sch~itzungen auf US-$ 2,5 Mrd. beliefen, schliel31ichjedoch auf US-$ 12,5 Mrd. angepal3t werden muBten. Vgl. Canter/Cole/Sandor, 1996a, S. 20; Miiller, 1994, S. 561. 260

Tabelle 4: Parameter zu den Schadenszenarien Poisson-Lognormal-Schadenprozel3 Intensit~it Schadenzahl Formparameter Schadenh0he Skalenparameter Schadenh6he resultierende erwartete SchadenhOhe resultierender erwarteter Gesamtschaden p.a.

(3; 4; 5; 6) (1,157; 1,157; 1,157; 1,157)

(~'1' ~'2' "71"3,~4) (0-1, 0"2, 0"3, 0"4) (bl, b2, b3, b4)

(el,634; el,816; el,970; e2,104)

(I/X, 1, l/X, 2, l/X, 3, l/X,4)

(10; 12; 14; 16) (30; 36; 42; 48) (40; 48; 56; 64) (50; 60; 70; 80) (60; 72; 84; 96)

'~'i'l/xj for i,j~ {1,2,3,4}

Tabelle 5: PCS-Call-Optionsp~ise zumKo~ekturszenario(AB) Preisin US $

l/x,l

l/x,2

l/x,3

l/X,4

~ &2 ~3 A4

1413,20 2091,28 2972,81 4046,40

2014,18 2930,89 4149,27 5554,62

2656,04 3832,87 5354,60 7026,55

3309,06 4749,01 6563,39 8534,11

Tabelle 6: PCS-C~l-Optionsp~ise zumKo~ekturszenario(AJ) Preisin US $

l/x,l

l/x,2

l/x, 3

l/x.4

~l &2 ~3

1276,44 1900,19 2694,48 3672,49

1843,06 2689,25 3819,54 5121,26

2459,34 3538,55 4689,14 6589,28

3099,73 4435,05 6160,53 8020,84

~4

Tabelle 7: PCS-Call-Spread Optionspreise zum Szenario (PCS) Ausiibungspreis k

Cap y

Preis in US $

40 40 40 40 4O 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 4O

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

0,00 1000,86 1840,21 2527,23 3085,00 3529,65 3885,34 4175,98 4420,51 4617,96 4787,72 4931,22 5048,72 5146,68 5230,22 5300,55 5354,60 261

LITERATURHINWEISE

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Das entwickelte Modell wird schlieBlich im Rahmen einer stochastischen Simulation zu einer L6sung gebracht, welche einen Sch~itzwert fur den Preis einer PCS-Call-Option zu Beginn der Handelsperiode angibt.

Summary A Pricing Model for PCS-Catastrophe-Options In analogy to the traditional financial derivatives the implementation and acceptance of insurance loss derivatives are primarily dependent on the existance and adequacy of pricing models and therefore on the comparability with traditional risk-transfer instruments like reinsurance. The presented paper critically analyzes some option pricing models as proposed for PCS Cat Options and additionally develops some suggestions for alternative pricing models. The developed "Straight-Forward-Model" is splitting the stochastic process of the PCS Index into two stochastic components: a loss process and an adaption process. This splitting allows an adequate separation of pure stochastic catastrophe losses and the not necessarily stochastic adaptions and estimations by the PCS. Additionally the isolation of a stochastic catastrophe loss process makes it possible to use the statistic and stochastic experience of the traditional insurance business for pricing alternative risk-transfer concepts. By monte-carlo-simulations the developed model finally is lead to a solution that estimates the price of a PCS Cat call option at the beginning of the loss period.

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