ESSAI D'UNE BIBLIOGRAPHIE DE LA REPRESENTATION ANALYTIOUE D'UNE FONCTIONMONOGNE.' PAR

EINAR

HILLE

~t PRINCETON, N. J., ]~t~s Unis.

Introduction.

I.

Le probl~me de la reprgsentation analytique d'une fonction monog~ne

se prdsente s o u s une f o r m e variable avec la d~finition de la fonction donnde. D'une part il est possible de caract~riser jusqu'£ un certaiu point la fonction anulytique par ses singularitgs.

D'autre part on peut ddfinir la fonction par une

expression analytique, valable dans une certaine partie du plan complexe. 2.

Darts l e premier cas, nous sommes immddiatement en prdsence d'une

question d'existence. Soi~ D u n

d0maine connexe arbitraire duns le plan com-

Y a-t-il une fonction monog~e uniforme qui admet D comme domaine

plexe.

d'existence?

En fair, il y a une infinitd de telles fonctions.

Cela dtant, nous

nous demandons s'il est possible de se donner £ l'avance l'allure de la fonction aux points accessibles de la fronti~re /7 du domaine D.

La rdponse £ cette

question - - qui ne forme gu~re un chapitre a c h e v d - d@end de l'interprdtation donnde a u mot

))allure)).

Duns le voisinage d'un point isold de F o n peut se

donner la partie principale de la sdrie de Laurent.

Les points non-isolds pr~sen-

tent des problbmes d'un caract~re tout £ fair diffdrent et beaucoup plus difficile, des probl~mes qui font appel aux m~thodes les plus puissantes des thdories modernes des ensembles et de l'intdgration. 3.

Pour construire effectivement une fonction monog~ne don~ D est le

domaine d'existence, on peut se servir des sgries de fonctions rationnelles. 1 La b i b l i o g r a p h i e s u i v a n t e a ~t6 dlaborde s u r la d e m a n d e de M. Mittag-Leffler. La R~daction. l--2822.

Acta mathematica.

52.

Imprim6 le 23 janvier 1929,

En

Einar Hille. effet, route fonction holomorphe et uniforme d u n s / ) peut se reprdsenter par une sdrie de fonctions rationnelles, uniformdment convergente duns tout domaine ferm6 int6rieur g D.

Lorsque le domaine est simplement connexe les fonc-

tions rationnelles peuvent ~tre remplac6es par des polynomes. 4.

Duns plusieurs questions le degrd asy,~ptotique d'approximation d'une fonc-

tion analytique par des polynbmes de degr6 donn6 est d'une certaine importance. Ce degr6 e s t d6,termin6 par la situation et la nature des points singuliers de la fonction donn6e. 5.

Le domaine de convergence d'une s6rie de fonctions rationnelles donn6e

peut ~tre form6 de plusieurs domaines s6par6s qui n'ont aucun point int6rieur commun.

Dans chaque domaine la s6rie repr6sente une fonction monog~ne, mais

les fonctions correspondant aux domaines diff6rents sont distinctes dans le cas g6n6ral.

I1 s'ensuit que des s6ries de ce caractbre se prgtent g 1s construction

de fonctio~s lacunaires.

Mais elles ont 6galement conduit ~ des consid6rations

plus profondes qui ont donn6 naissance aux th6ories des fonctio~s mo,nog~nes non-

aualytiques et des fonctions quasi-analytiques. 6. Nous venons d'observer qu'une expression analytique peut d6finir plusieurs fonctions analytiques. Or, il n'en est pus ainsi pour la sdrie de Taylor, qui n'est pus sujette g cette ambiguit6. Cette s6rie est 6galement remarquable par la simplicit6 de ses propri6t6s de convergence. Le cercle de convergence de la s6rie ~anz ~ une fois d6termin6, nous nous proposons de trouver rallure de 1s fonction sur la p6riph6rie et en dehors de son cercle de convergence. 7- CommenQons par la question concernant la p6riph6rie de ce cercle. Ici nous rencontrons une forme du probl~me d'Abel, que nous pouvons exprimer, sous une forme un peu g6n6ralis6e et modifi6e, comme il suit. Soit u ( t ) - ~ u n ( t ) une s6rie convergente pour o ~ t < I. Trouver des conditions suffisantes pour l'existence de lim ~t(t), et 6tudier les relations entre cette limite et la s6rie formelle t~l

zu, (O. La premiere question qui se pose est donc de trouver des conditions pour l'existence de valeurs limites sur le cercle de convergence.

En un point z = z o

situ6 sur ce cercle et off il existe une valeur l i m i t e - d u moins pour un passage g la limite convenable - - nous avons g trouver les relations entre cette limite et 1s s6rie ~anz'~.

Or sur le cercle de convergence la s6rie de Taylor est la somme

formelle de deux s6ries trigonom6triques conjugu6es.

C'est doric g la th6orie des

Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d'une fonction monog6ne.

3

s6ries trigonom6triques et en particulier £ celle des s6ries de Fourier que nous devons nous adresser pour obtenir des renseignements sur cette question difficile. I1 y u une classe singuli~re de s6ries de Taylor, £ savoir les s&'ies non-

8.

prolongeables, pour lesquelles il n'y a uucun probl~me de repr6sentution en dehors du cercle de convergence, du moins si l'on ne recourt pus uu 19rolongement nonanalytique. 9.

Lu m6thode classique pour le prolongement analy~ique d'une s6rie em

fibre est d'une importance th6orique fondamentule, mais elle ne se pr6te gu~re aux calculs num6riques.

Duns le cas off les coefficients an s0nt les valeurs prises

par une fonction analytique g ( z ) -

poss6dunt des propri6t6s usymptotiques con-

v e n a b l e s - pour les valeurs enti~res de z, on peut souvent trouver un prolongeI1 y a bien d'uutres exemples de relations e~tre

meat imm6diat duns t o u t le p l a n .

les coefficients et les singularitds; nous rappelons les th6orSmes de composition, aujourd'hui classiques, les recherches r6centes sur l'influence du curactSre arithm6tique des coefficients, sur les lacunes, sur les suites hyper-convergentes et ainsi de suite. IO. m6thodes.

Duns le cas g6n6ral off l'on ne suit rien sur les a~, il faut utiliser d'uutres Nous savons d6j~ qu'une fonction monogSne uniforme peut 6tre re-

prdsent6e par une s6rie de polynomes duns un domaine simplement connexe. Soit donc f ( z ) ~ a ~ , z gence.

~ une s6rie prolongeable en dehors de son cercle de conver-

On peut trouver - - et cela d'une infinit6 de maniSres d i f f 6 r e n t e s - des

constantes C~,n telles que la s6rie oo

~l

~,~0

\m--O

converge vers f(z) duns un domaine donn6 simplement connexe off cette fonetion est monog~ne et uniforme.

Si le domaine est lid d'une mani~re par~iculi~re aux

points singuliers de f(z), les cm, ~ peuvent dire choisis ind@endunts des an. L'id6e directrice duns ces recherches est la notion d'dtoile, configuration g6om6trique d6pendant d'une part des points singuliers de f(z), d'uutre part des propri6tds analyti(lues d'une fonction g6n6ratrice.

S u r la fronti~re de l'6toile de convergence

le probl~me d'Abel se pr6sente sous une forme assez difficile. I I.

Le probl~me de la d6termination du prolongement analytique d'une

s6rie enti~re duns une 6toile a des aloplicatio~s importantes, surtout dans la th6orie des 6quations diff6renti.elles lin6aires.

4

Einar Hille. I2.

On peut regarder le probl~me de l'dvaluation d'une s6rie enti~re surson

cercle de convergence ou en dehors de ce cercle comme un cas sp6cial du probl~me de la sommation d'une s6rie divergente.

La th~orie des s~ries sommables dolt son

existence surtout aux questions soulev6es par 1e probl~me du prolongement analytique.

Les recherches sur le cercle de convergence demandent des m6thodes de

sommation subtiles; en dehors du cercle il faut recourir £ des mdthodes plus puiss~ntes mais aussi moins d~licates.

I1 y a beaucoup de relations (d'~quivalence,

thdor~mes tauberie.ns et ainsi de suite) entre les diff~rentes m6thodes de sommation qui soar tr~s importantes pour les applications. Lesfonctions sommatrices assocides ~ ces m6thodes diverses ont des propri6t6s analytiques int6ressantes. I3.

A cStg de la th~orie des sdries sommables s'est ddvelopp6e une th6orie

des sdries asymptot~;ques di~mrgentes ~ laquelle se rattachent des recherches sur les

fo,t~ctions de grands ~mmbres, questions qui ont plusieurs applications dans la th6orie de la repr6sentation analytique. I4.

Tels sont les cliff,rents problbmes qui interv.iennent dans la repr6sentation

analytique d'une fonction monogbne et qui forment l'objet de la bibliographie suivante. II nous reste ~ dire quelques roots sur les limitations que nous nous somrues impos6es dans notre travail.

Nous n'avons pas essay~ de retracer l'origine

de notre problbme jusqu'aux grands maitres du ealcul infinitesimal. Nous citons quelques travaux d'Abel, de Cauchy et de ses contemporains, mais, £ ees travaux prbs, presque tous les ouvrages datent d'apr~s I876.

I~ous avons essay6

de tenir compte de t o u s l e s travaux publi6s .~usqu'~ la fin de l'ann6e I926, mais il est 6vident qu'une partie de la litt6rature des dernibres ann6es dolt nous avoir 6chapp6. En g6n6ral, nous nous sommes limit6s aux fonctions d'u,ne variable com-

plexe.

Nous n'avons pas consid6rd la th6orie des fonctions enti~res ou m6ro-

morphes, ni les recherches qui partent du th6or~me de M. Picard.

Nous avons

supprim6 t o u s l e s travaux sur le d~veloppement d'une fonction en s6rie de polynomes sp6ciaux (d'Hermite, de Laguerre, de Legendre etc.).

Nous avons trait6

les :s6ries sp6ciales d'interpolation (de Gauss, de Newton, de Stirling etc.) et les s6ries de facult~s presque de la m6me manibre.

Enfin nous n'avons cit6 qu'une

trbs petite partie des travaux sur les s6ries de Fourier et de Diriehtet; mais nous avons essay6 de citer tous ceux des travaux modernes qui sont importants pour le probl~me d'Abel.

Essai d'une bibliographie de la rePr6sentation analytique d'une fonction monog~ne. 15.

5

Pour faciliter l'usage de notre bibliographie nous avons fai~ suivre

chaque ouvrage d'une indication d u contenu, sous la forme de quelques num~ros

de classification entre crochets.

P o u r la signification de ces nombres nous ren-

voyons le lecteur £ la liste suivante.

L i s t e des n u m ~ r o s de classification. I.

Repr@sentation d ' u n e f o n c t i o n m o n o g ~ n e u n i f o r m e .

IO]. Fonetions monog~nes en g~n6ral. [II]. Expressions analytiques repr~sentant plusieurs fonctions monog~nes. [~2]. Fonctions lacunaires. Lignes singuli~res.

[~3]. [i41. [I6].

Existence, repr6sentation et propri~t6s des fonctions analytiques poss6dant des singularit6s donn6es. S6ries de polyn6me s o u d e fonctions rationnelles. Questions de degr6 d'approximation. Fonctions monog~nes non-analytiques. II.

[2o]. [2 i].

[22]. [23]. [241. [25]. [25]. [27]. [28].

S~ries enti~res en g~n6ral. Propri6t6s 616mentaires. L'allure sur le cercle de convergence. Probl~me d'Abel. S6ries non-prolongeables. Relations entre coefficients et singularit~s. Prolongement analytique dans une ~toile. L'allure du prolongement sur la fronti~re de l'~toile. Applications diverses. Prolongement non-analytique. III.

[3o]. [3i]. [32]. [33]. [34]. [35].

L a s~rie de Taylor.

S~ries d i v e r g e n t e s , s o m m a b l e s ou a s y m p t o t i q u e s .

Questions g6n6rales sur la sommabilit6. M6thodes sp6ciales de sommation. Propri6t6s analytiques des fonctions sommatrices. Th6or6mes taub6riens et questions analogues. S6ries semi-convergentes ou asymptotiques. F0nctions de grands hombres.

6

Einar Hille.

Bibliographie. N. H. A b e l . (1) U n t e r s u c h u n g e n fiber die Reihe TFb I

i + -.x+

~n(~n-- i) ~ t ( , n - - I) ( m - - 2) X 8 x~+ +1.2 1.2. 3

ll. S. W.

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[14].

(6) Su una classe di serie di polinomi di u n a variabile complessa. Atti R. Accad. Naz. dei Lincei, Rendiconti. 5:e sdrie, t. 3 r, l:er semestre(1922 ) p. 1 9 7 - - 2 O l . [14]. (7) Sur les courbes de convergence des s6ries proc6dant suivant les inverses de polyhomes dorm,s. Comptes Rendus, t. i 8 o (23 F6vrier 1925) p. 5 5 6 - - 5 5 9 . [I4].

Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d'une fonction monog~ne.

7

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[I2, 22, 31, 33]"

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0[

Essai d'une bibliographie de la representation analytique d'une fonction monog~ne.

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Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d'une fonction monog~ne.

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Einar Hille.

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Impri m6 le 23 janvier 1929.

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(i) En nodvmndig og tilstrmkkelig Betingclse for at en given T a y l o r ' s k Rmkke ikke har singulmre P u n k t e r udenfor et retlinet Snit. [ ~ Une condition n6cessaire et

Einar Hille.

36

suffisante pour qu'une s6rie de Taylor donn6e n'ait pas de points singuliers en dehors d'une coupure rectiligne.] Nyt Widsskrift for Mat. (B), t. 2i ( i g i o ) p. 4 9 - - 5 2 . [24]. R. J e n t s c h . (i) Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen. Th6se, Berlin, ~914, 39 P., 8°, et Acta Math., t. 4~ (I9~7) P. 2 1 9 - - 2 5 I . [I4, 22]. (2) Fortgesetzte Untersuchungen iiber die Abschnitte yon Potenzreihen. _A_eta Math., t. 41 (1917) p. 253--270. [23, 24]. (3) Uber Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten. Math. Annalen, t. 78 (i917) p. 275--285 . [24]. F. J o h a n s s o n . (,) Uber die Nullstellen gewisser mit .E,~(x) verwandten Funktionen. Arkiv f~r Mat., Astr. o. Fys., t. i8, n:o i i (i924) 56 p. Th6se, Stockholm, I924. [32]. A. J o n q u i 6 r e . X ?~

(I) Note sur la s4rie Z ~ '

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Konvergenz

Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d'une fonction monog~ne.

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38

Einar Hille.

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X+5-'7

i924 (2:e 6d.)

p., 8 °. [30].

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Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d ' u n e fonction monoggne.

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4~

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u"~e-2V~m darts

Func-

le voisinage d u point u ~ i (en

tch6que). 0asopis, t. 39 (I9IO) P- I 2 I - - I 3 3 . [24]. (9) R e m a r q u e s c o m p a r a t i v e s sur les s6ries de M. F r e d h o l m et de M. Du Bois-Reymond. Une contribution h la d6termination du domaine d'existence des fonetions analytiques d'une n a t u r e speciale (en teh6que). Oasopis, t. 39 (I9IO) P. 2 2 5 - - 2 3 6 . [I2, 23]. 1~,. L e R o y .

(I) Sur les points singuliers d ' u n e fonction d6finie p a r un d 6 v e l o p p e m e n t de Taylor. Comptes Rendus, t. i27 (5 D6c. ~898 ) p. 9 4 8 - - 9 5 ° . [24]. (2) S u r les s6ries divergentes et les fonctions d6finies par un d6veloppement d e Taylor. Comptes Rendus, t. ~27 (3 ~ Oct. ~898 ) p. 5 5 4 - - 5 5 7 , et t. i28 (20 F 6 v r i e r i899 ) P. 4 9 2 - - 4 9 5 • [24, 25, 34].

44

Einar Hille.

(3) Sur les s6ries divergentes. Comptes Rendus, t. 13o (i 4 Mai 19oo ) p. i 2 9 3 - - ~ 2 9 6 et (5 J u i n i 9 o o ) p. i535 - - 1 5 3 6 . [22, 31]. (4) Sur les s6ries divergentes et les fonctions d6finies par un d6veloppement de Taylor, Annales de Toulouse, s6rie 2, tl 2 (19oo) p. 3 1 7 - - 4 3 ° . [24, 25, 3i]. (5) Valeurs a s y m p t o t i q u e s d e certaines s6ries proc6dant suivant les puissances enfibres et positives d ' u n e variable r6elle. Bulletin Sci. Math., 2:e s6rie, t. 24 (19oo) p. 2 4 5 - - 2 6 8 . [22]. P. L d v y .

(1) Remarques sur les proc6dds de s o m m a t i o n des sdries divergentes. Comptes Rendus, t. i82 (29 Mars i926 ) p. 8 3 5 - - 8 3 8 . [30]. (2) Sur les conditions d'application et sur la r~gularit6 des proc6dds de sommation des s6ries divergentes. Bulletin Soc. Math. de France, t. 54 (~926) P. 1 - - 2 5 . [3o] • W.

Lewicki.

(i) Zur Theorie der Potenzreihen. Monatshefte fiir Math. u n d Physik, t. i2 (I9Ol) p. 3 2 9 - - 3 3 5 . [23]. (2) Sur la tb6orie des s6ries enti~res (en ukrainien). Naukove t o v a r y s t v o imeni Sev~enka. Lw6w. Z b i r n y k mat.-pryd.-likars'koi sekcii, t. 7, n:o i (i9oo) io p [2i?]. (3) Les derni~res conqu6tes dans la th6orie des fonctions analytiques (en ukrainien). Ibid., t. 7, n:o 4 (I9OI) I 2 p. [24, 25].

J. W . L i n d e b e r g . (i) Sur l'existence de fonctions d ' u n e variable complexe et de fonctions h a r m o n i q u e s born~es. Annales Acad. Sci. Fennicae (A), t. I I , n:o 6 (1918) 27 p. [13]. E. L i n d e l 6 f . (i) Sur la t r a n s f o r m a t i o n d'Euler et la d6termiriation des points singuliers d ' u n e fonction d6finie par son d~veloppement de Taylor. Comptes Rendus, t. 126 (28 F6vrier 1898 ) p. 6 3 2 - - 6 3 4 . [24, 3I]. (2) Remarques sur un prineipe g6n6ral de la th6orie des fonctions analytiques. Acta Soe. Sci. Fennieae, t. 24, n:o 7 (1898) i 3. 1 - - 3 9 - [24, 25, 31] • (3) Sur le p r o l o n g e m e n t analytique. Bull. Soc. Math. de France, t. 29 (19Ol) p. i 5 7 - - i 6 o . [25]. (4) Une application de la thdorie des r6sidus au prolongement analytique des s6ries de Taylor. Comptes Rendus, t. I35 (29 D6c. i9o2 ) p. 1 3 1 5 - - i 3 1 8 . [25].

Essai d ' u n e bibliographie de la repr6sentation analytique d ' u n e fonction monog6ne.

45

(5) Quelques applications d ' u n e formule s o m m a t o i r e g6n6rale. Aeta Soc. Sci. Fennicae, t. 3 I, n:o 3 (I9°2) P. 1 - - 4 6 . [25 , 311. (6) Sur la d6termination de la croissance des fonctions enti6res d6finies par un d6v e l o p p e m e n t de Taylor. Bull. Sci. Math., 2:e s6rie, t. 27 (i9o3) p. 2~3--226. [321. (7) Sur l'application de la th6orie des r6sidus au p r o l o n g e m e n t analytique des s6ries de Taylor. J o u r n a l de Math., s6rie 5, t. 9 (I9°3) P. 2~3---22I. [25]. .(8) Sur une formule s o m m a t o i r e g6n6rale. Acta Math., t. 27 (I9O3) p . . 3 o 5 - - 3 i i . [25, 311. (9) Le caleu] des r6sidus et ses applications k la th6orie des fonctions. Paris, Gauthier-Villars, i9o5, V I + i43 p., 8 ° . [~o, 24, 25, 32]. J . E. L i t t l e w o o d . (i) The converse of Abel's t h e o r e m on power series. Proceedings London Math. Soc., s6rie 2, t. 9 ( I 9 ~ I ) P' 4 3 4 - - 4 4 8 .

[22, 331.

E. L u g a r o . (i) I n t o r n o alle singolarit~ di u n a funzione dipendenti da quelle di pifl funzioni date: Periodico di Mat., 3:e s6rie, t. i (i9o4) p. i o 5 - - i 2 3 . [24]. F. L u c ~ c s .

(i) B e m e r k u n g zu einem Konvergenzsatze des H e r r n Landau. Archly d. Math. u. Phys., 3:e s6rie, t. 23 (~9~5) p. 3 5 7 - - 3 5 8 .

[33].

J. L i i r o t h . (I) Eine historische B e m e r k u n g zur Funktionentheorie. Math. Annalen, t. 6o (I9o5) p. 3 9 8 - - 4 O l . Ill]. N. L u s i n . (i) l)ber eine Potenzreihe. l~endiconti Circ. Mat. di Palermo, t. 32 ( r 9 i i ) p. 3 8 6 - - 3 9 o. [22]. (2) Ob odnom sluha~ r j a d a Taylor'a. [~-~ Sur un cas particulier de la s6rie de Taylor.] Mat. Sbornik ezd. Moskovskim Mat. O b ~ e s t v o m , t. 28 ( I 9 I I - - I 2 ) p. 2 9 5 - - 3 o 2 .

[22]. N. L u s i n

e t J. P r i w a l o f f .

(i) Sur l'unicit6 et la multiplicit6 des fonctions analytiques. Comptes l~endus, t. ~78 (28 J a n v i e r i924) p. 4 5 5 - - 4 5 9 .

[22].

46

Einar Hille. E. lYIaillet.

(i) Sur les s~ries divergentes et les ~quations diff6rentielles. Comptes Rendus, t. i34 (28 Avril 19o2 ) p. 975--977. [27, 3I] • (2) Sur les s6ries divergentes et les 6quations diffdrentielles. Annales de l']~cole Normale, 3:e s6rie, t. 2o (i9o3) p. 487--5~8. [25, 27, 3x]. J. M a l m q u i s t . (i) Sur le calcul des int~grales d'un syst~me d'6quations diff6rentielles par la m6thode de Cauchy-Lipsc.hitz. Arkiv f6r Mat., Astr. o. Fysik, t. i, N:o io (i9o3) p. 149--156. [27]. (2) ]~tude d'une fonction enti~re. Acta Math., t. 29 (I9o5) V. 2o3--2,5. [32]. S. Mandolbrojt. (i) Sur les s~ries de Taylor qui ont des lacunes. Comptes Rendus, t. ~76 (~2 Mars i923) p. 728--730; (9 Avril i923) p. 978--

98r. [24]. (2) Quelques th6or~mes sur les s6ries enti~res. Comptes Rendus, t. 177 (io D6c. i923) p. 1271--x273. [23, 24]. (3) Sur les s6ries de Taylor qui pr~sentent des lacunes. Annales de l'l~cole Norm., s~rie 3, t. 4 ° (I923) p. 413---462. Aussi Th~se, Paris, Gauthier-Villars, i923, 5 o p., 4 °. [23, 24]. (4) Sur les s~ries d'Eisenstein. Comptes Rendus, t. ~78 (~7 Mars ~924) p. 985--987 . [24]. (5) Sur les s6ries de Taylor prolongeables. Comptes Rendus, t. ~78 (2 Juin x924) p. i873--x875. [24]. (6) Quelques th6or~mes sur le nombre des points singuliers d'une s6rie enti~re. Comptes Rendus, t. i8~ (6 Juillet i925) p. 20--22. [24]. (7) Sur la meilleure approximation des fonctions analytiques et leurs points singuliers. Comptes Rendus, t. ~8~ (2x Sept. i9e5) p. 365--358. [~5, 24]. (8) Sur la d6finition des fonctions analytiques. Acta Math., t. 45 (I925) P' I29--~43. [24]. (9) Quelques g~n6ralisations des th6or~mes sur les s~ries qui admettent des lacunes. Comptes Rendus, t. 182 ( 4 J a n v i e r ~926) p. 38--39 . Erratum p. 548. [24]. (io) Les hombres transcendants et les fonctions analytiques. Comptes Rendus, t. i82 (i:er F6vrier x926 ) p. 305--30.7 . Errata p. 548. [241. (ii) Sur la d~termination effective des points singuliers d'une fonction analytique donn~e par son d6veloppement en s6rie de puissances. Comptes Rendus, t. x82 (x 5 F6vrier x9e6 ) p. 4 3 7 ~ 4 3 9 . [24].

Essai d'une bibliographic de la repr6sentation analytique d'une fonetion monog~ne.

47

(I2) La recherche des points singuliers d'une fonetion analytique repr6sent6e par une s6rie des puissances. Journal de Math., 9:e s6rie, t. 5 (I926) P. I 9 7 - - 2 I O . [24]. (i3) Sur les s6ries de Taylor qui ont des lacUnes g6ngralis6es. Bulletin Soc. Math. de France, t. 53 (1925) P. 235--245. [24]. P. M a r t i n o t t i . (i) Su le serie d'interpolazione. R . Ist. Lombardo. Rendiconti , 2:e s6rie, t. 43 (I9IO) P. 3 9 I - - 4 °I. [I4]. (2) Ulteriori ricerche su le serie d'interpolazione. R. Ist. Lombardo. Rendiconti, 2:e s6rie, t. 43 (191o) P- 555--559. [I4]. (3) Su la convergenza dei polinomi e deile serie d'interpolazione. R. Ist. Lombardo. Rendiconti, 2:e s6rie, t. 43 (191o) P. 750--77 °. [~4]. T. N I a t s u m o t o .

(I) Sur la s~rie entigre dont quelques sommes partielles convergent en dehors du cercle de convergence. T6huku Math. Journal, t. 27 (~926) p. 243--247- [23, 24]. :

S. M a z u r k i e w i c z .

(I) O niesumowalnych szeregach potegowych i trygonometryeznyeh. [ = Sur les s6ries entigres et les s6ries trigonom6triques non-sommables.] Prate matematyczno-flzyczne, t. 28 (i917) p. i o 9 - - i i 8 . (2) Sur les s6ries de puissances. Fundamenta Math., t. 3 (1922) P. 52--58. [221.

[22].

W. Meierh6fer. (I) IJber die Konvergenz von Potenzreihen auf dem Konvergenzkreise. T h ~ s e , Miinchen, i92o , 24 p. [22]. Hi. Mellin. (i) Die Theorie der asymptotischen Reihen vom Standpunkte der Theorie der reziproken Funktionen und Integrale. Annales Aead. Sei. Fennicae A, t. Ig, n:o 4 (I922) io8 p. [34]. (2) Abriss einer allgemeinen and einheitliehen Theorie der asymptotisehen Reihen. Wissensehaftliehe Vortriige geh. auf d. Fiinften Kongress der Skand. Math. in Helsingfors i922. Helsingfors, i923, p. i - - i 7. [34]. (3) Anwendung einer allgemeinen Methode zur Herleitung asymptotisehen Formeln. Annales Acad. Sci. Fennicae, A, t. 2o, n:o i (1924) 44 P. [22, 34]. (4) Ueber die analytisehe Fortsetzung von Funktionen, welche durch gewisse allgemeine Diriehletsehe Reihen deflniert sind. Annales Aead. Sei. Fennieae, A, t. 20, n:o io (I924) 60 p. [24, 25].

48

Einar Hille. Ch. M 6 r a y .

(I) Observations sur la 16gitimit6 de l'in~erpolation. Annales de l'J~eole Normale, 3:e s6rie, t. ~ (i884) p. I 6 5 - - 1 7 6 . [14]. (2) Sur l'impossibilit6 de franchir par la formule de T a y l o r les cereles de convergence de eertaines s6ries enti6res. Bulletin Sci. Math., 2:e s6rie, t. i2 (i888) p. 2 4 8 - - 2 5 2 . [23]. C. M i g n o s i . 1 (i) Inversione d'un t e o r e m a sul rapporto delle medie (Cp) di due serie. Rendiconto Accad. Sci. fis. e mat. di Napoli, 3:e s6rie, t. 27 ( i 9 2 i ) p. i 7 - - 2 8 . [33]. (2) Sulle medie di Doetsch delle funzioni. Note e memorie di mat., Catania, t. I ( I 9 2 I ) p. I 3 6 - - I 5 8 . [3I]. S. Minet~i.

(I) Sul raggio di convergenza degli sviluppi tayloriani intero positivo con g(n) trascendente intera. Atti

R. Accad.

Y, anz n ove an=g(n) per n

Naz. dei Lincei. Rendiconti, 6:e s6rie, t. 3 (I926) P. 723---73 I.

[21, 24]. (z) Sulla ricerca della singolarit'~ delle f(z)=Y,,anz n o r e a n = g ( n ) per n intero positivo con g(n) trascendente intera. Atti R. Accad. Naz. dei Lincei. Rendiconti, 6:e s6rie, t. 4 (1925)P. I 4 - - I 7 . [24]. (3) Ancora sugli sviluppi tayloriani di .~anz n dove an-----g(n) con g(n) trascendente intera. Atti R. Accad. Naz. dei Lincei. Rendiconti, 6:e s6rie, t. 4 (t926) P. 113. [24]. (4) Sur le r a y o n de convergence et sur les singularit6s d ' u n e classe de fonctions analytiques d6finies par le d6veloppement de Taylor. Comptes Rendus, t. I82 (28 Juin i926 ) p. ~ 5 9 5 - - 1 5 9 7 . [2~, 24]. (5) Sur le rayon de convergence et sur les singularit6s de certains d6veloppements tayloriens et des fonctions analytiques qu'ils d6finissent. Comptes Rendns, t. 183 (~7 Aofit 1926 ) p. 4 1 4 - - 4 1 5 . [21, 24]. G.

Mittag-Leffler.

(i) En m e t o d art a n a l y t i s k t framst~lla en funktion af rationel karakter, hvilken blir o~ndlig alltid och endast uti vissa fSreskrifna o~indlighetspunkter, hvilkas kons t a n t e r ~iro p~ f~irhand angifna. [ = M6thode pour la repr6sentation analytique d'une fonction de caract6re rationnel qui devient infinie seulement en des points donn6s dont les constantes sont donn6es.] ()fversigt K. Vetenskaps-Akad. FSrhandl., t. 33, n:o 6 (i876) p. 3 - - 1 5 . [~3, ~4]. (2) Ytterligare om den a n a l y t i s k a framstiillningen af f u n k t i o n e r utaf rationel k a r a k ter. [ = Remarques additionelles sur la repr6sentation analytique des fonctions de c a r a c t 6 r e rationnel.] (~fversigt K. Vetenskaps-Akad. Fiirhandl., t. 34, n:o I (I877) p. I 7 - - 3 2 . [I3, 14]. Voir p. 8o.

Essai d'une bibllographie de la reprdsentation analytique d'une fonction monogbne.

49

(3) Om den analytiska framst~illningen af en funktion af rationel karakter meal en godtyekligt vald gr~tnspunkt. [~-~-Sur la repr6sentation analytique d'une fonetion de caract6re rationnel ayant un point limite arbitrairement choisi.] 0fversigt K. Vetenskaps-Akad. FSrhandl., t. 34, n:o ~ (~877) p. 33--43. [~3, ~4]. (4) Om den analytiska framst~llningen af en funktion af rationel karakter meal ett ~indligt antal godtyckligt fSrskrifna gr~nspunkter. [ = Sur la repr6sentation analytique d'une fonetion de earaet6re rationel ayant un hombre fini de points limites arbitrairement choisis.] 0fversigt K. Vetenskapsakad. FSrhandl., t. 34, n:o 2 (I877) p. 3 ~ - - 4 I . [~3, I4]. (5) Till fr~gan om den analytiska framst/illningen af en funktion af rationelkarakter genom qvoten a f t v a best~ndigt konvergerande potensserier. [ ~ Sur la repr6senration analytique d'une fonetion de caractbre rationnel par le quotient de deux sdries enti6res partout convergentes.] Ofversigt K. Vetenskaps-Akad. F~rhandl., t. 34, n:o 3 (x877) P. 5 - - I 3 • [I3]. (6) Om den analytiska framstiillningen af funktioner af rationel karakter utaf flere oberoende variabler. I, II. [ ~ Sur la reprdsentation analytique des fonctions de caractbre rationnel de plusieurs variables ind6pendantes.] 0fversigt K. Vetenskaps-Akad. FSrhandl., t. 34, n:o io (I877) p. 3 - - I 5 , 1 7 3 I. [I3]. (7) Extrait d'une lettre ~ M. Hermite. Bulletin Sci. Math., s6rie 2, t. 3 (r879) P. 259--278. [~3, ~4]. (8) Funktionsteoretiska studier. I. En ny serieutveckling fSr funktioner af rati0nel karakter. [ = Recherches sur la th6orie des fonctions. I. Un nouveau ddveloppement en s6rie pour les fonctions de caraet~re rationnel.] Acta Soc. Sci. Fennicae, t. ~ (~879) p. 275--293. [~3, ~4]. (9) N£gra funktionsteoretiska unders5kningar. [-- Quelques recherehes sur la th6orie des fonctions.] (~fversigt Finska Vet.-Soc:s FSrhandl., t. 23 (i88~) p. 95--99. [~]. (Io) Recherches sur la th6orie des fonctions. Bulletin Sci. Math., 2:e sdrie, t. 5 (~88i) p. 388--392 . [~]. ( ~ ) Fullst~ndig analytisk framstKllning af hvarje entydig monogen funktion, hvars singul~ra sti~llen utgSra en v/irdem~ingd af fSrsta slaget. [ = Repr6sentation analytique eomplbte de route fonction monog~ne uniforme dont les points singuliers forment un ensemble de la premibre classe.] C)fversigt K, Vetenskaps-Akad. FSrhandl., t. 39, n:o 2 (i882) p. ~x--45. [~3, ~4]. (i2) Om den analytiska framst/illningen af en entydig monogen funktion hvilken uti omgifningen af hvarje punkt, som Kr bel~igen innanfSre en viss cirkelperiferi, endast har ett/~ndligt antal singul/~ra st/~llen. [~-~-Sur la repr6sentation analytique d'une fonction monogbne uniforme qui n'admet qu'un nombre fini de points singuliers dans le voisinage de chaque point intdrieur '~ un certain cercle.] ()fversigt K. Vetenskaps-Akad. FSrhandl., t. 39, n:o 4 (~882) p. 2~--24. [I3, ~41. 7--2822.

Acta mathematlext.

52.

Imprirn6 Io 25 janvier 1929.

50

Einar Hille.

(i3) Sur la th6orie des fonctions uniformes d'une variable. Comptes Rendus, t. 94 (I3 F6vrier i882) p. 4 1 4 - - 4 1 6 ; (20 F6vrier) p. 5 i i 514; (~3 Mars) p. 713--715; (2o Mars) p. 7 8 1 - - 7 8 3 ; (3 Avril) p. 9 3 8 - - 9 4 i ; (~o Avril) p. Io4o---io42 ; (i 7 Avril) p. ~ o 5 - - i ~ o 7 ; (24 Avril) p. ~ 6 3 - - i ~ 6 5 ; e t t . 95 (~4 Aofit ~882) p. 335--336 . [i3, 14]. (i4) Sur la repr6sentation analytique des fonctions monog6nes uniformes d'une variable ind6pendante. Acta Math., t. 4 (i884) p. 1--79. [I3, I4]. (i5) Sur une transeendante remarquable d6couverte par M. Fredholm, Comptes Rendus, t. ~io (24 Mars ~89o ) p. 627--629 . [23]. (i6) Sur une transcendante remarquable trouv6e par M. Fredhohn. Lettre de M. Mittag-Leffler h M. Poinear6. Acta Math., t. 1 5 (I89I) I). 2 7 9 - - 2 8 0 . [23]. (I7) Om en generalisering af potensserien. [:- Sur une g6n6ralisation de la s6rie entib, re.] ()fversigt K. Vet.-Akad. Fhrhandl., t. 55 (~898)P. I 3 5 - - I 3 8 - [25]. (~8) Om den analytiska framst:,~llningen af on allm~n monogen funktion. [-=: Sur la repr6sentation analytique d'une fonction monog6ne g6n6rale.] Ofversigt K. Vet.-Akad. Fhrhandl., t. 55 (I898) P. 247--262, 263---282 et 375 - - 3 8 5 . [25]. (i9) Sur la repr6sentation d'une branche nniforme de fonction analytique. Comptes Rendus, t. i28 (~5 Mai ~899 ) p. ~212--~2~ 5. [25]. (20) Sulla rappresentazione analitica di un ramo uniforme di una fuuzione monogena. Atti R. Aecad, di Torino, t. 34 (I899) P. 4 8 1 - - 4 9 I. [25]. (2i) Sur la repr6sentation analytique d'une branehe uniforme d'une fonetion monog~ne. (Premiere note.) Aeta Math., t. 23 (i899) p. 43--62. [25]. (22) Sur la repr6sentation analytique d'une branche uniforme d'une fonetion monog~ne. (Seconde note.) Acta Math., t. 24 (~9oo) p . r 8 3 - - 2 o 4. [25]. (23) Sur la repr6sentation analytique d'une branche uniforme d'une fonction monog6ne. (Troisi6me note.) Aeta Math., t. 24 (i9oo) p. 205--244. [25, 26]. (24) On the analytical representation, of a uniform branch of a monogenie function. Transactions Cambridge Phil. See., t. ~8 (i9oo) p. i - - i I . [25]. (25) On multiply infinite series and on an extension of Taylor's series. Proceedings London Math. See., t. 32 (i9oo) p . 72--78. [25]. (26) Ueber eine Verallgemeinerung der Taylorschen Reihe. Ghttinger Naehriehten i9oo p. i 9 4 - - 2 o 5. [25]. (27) Sur une formule de M. Fredholm. Comptes Rendus, t. ~32 (25 Mars i 9 o i ) p. 75~--753 . [25].

Essai d'une bibliographic de la repr6sentation analytique d'une fonction monog6ne.

(281 (29) (30) (3 I) (321

(33)

(34)

(35)

(36) (37)

(38) (39) (40) (41) (42) (43)

(44)

51

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52

Einar Hille.

Prace mat.-fiz., t. ~6 (I9O5) p. ~ 5 7 - - i 7 5 , ~ 7 5 - - ~ 9 6 , ~ 9 7 - - 2 3 2 ; t. ~7 (~9 o6) p. 2 2 3 - - 2 5 8 , e t t . ,8 (19o7) p. 8 i - - ~ 4 i . [25, 26]. (45) Sur la repr4sentation arithm4tique des fonetions analytiques gdndrale d'une variable eomplexe. Atti del IV Congrezzo int. dei Mat. R o m a i9o8 , t. i p. 6 7 - - 8 5 . [25, 26, 32]. (46) Sur un problbme d'Abel. (Extra it d'nne lettre h M. Marcel Riesz.) Rendiconti Circ. Mat. di Palermo, t. 3 ° (~9io) p. 3 3 7 - - 3 3 8 . [26]. ¢v

(47) GrundlSggande

satser

inom

teorien

fSr

integralen

I(1)

--le-°(+')t F(v)d~,. 0

(48)

(49) (5 ° ) (5 I)

(52)

(53)

[ = Th4orSmes f o n d a m e n t a u x dans la th4orie de l'intdgrale . . . . . ] Beretning om den 3. skand, mat. kongress. Kristiania i 9 i 3 . Oslo, i915, p. 37 --6o. lJber die analytische D a r s t e l h m g eines eindeutigen Zweiges einer monogenen Funktion. (Avec une addition: Ein Satz des H e r r n Marcel Riesz, p. ~ 6 i - - ~ 6 4 . [26].) Miinehener Berichte, i915, p. ~ o 9 - - i 6 4 . [25, 26]. [Tber einen Satz des H e r r n Serge Bernstein. Mfinchener Berichte, 1915, p. 4 1 9 - - 4 2 4 . [15, 25]. Sur un th4orSme de M. Serge Bernstein. T6huku Math. Journal, t. 9 (I916) i)' 1---6. [15, 25]. Sur la reprdsentation analytique d'une branche u n i f o r m e d ' u n e fonetion monog~ne. (Sixi~me note.) Acta Math., t. 42 (I9~ 9) p. 285---3o8. [25]. Om lineiir fortsiittning af analytiska funktioner. [ - - S u r le l?rolongement lin4aire des fonctions analytiques.] Matematisk Tidskrift B, i919, p. 2 9 - - 3 3 . [I4, 28]. Sur la s6rie de Diriclilet et la s6rie de facult~s. Acta Math., t. 46 (~925) p. 3 3 7 - - 3 4 0 . [~4, 25]. J. M o l l e r u p .

(I) Une m4thode de sommabilit6 par des m o y e n n e s 41oign6es. Danske Videnskab. Selskab. Meddelelser, t. 3, n:o 8 ( , 9 2 0 ) 2 9

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P. M o n t e l .

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Sur les suites infinies de fonctions. Th~se, Paris, Gauthier-Villars r9o7, Io 3 p. 4 ° , et Annales de l']~cole Norm., s6rie 3, t. 24 (i9o7) p. 2 3 3 - - 3 3 4 . [I41. (2) Lemons sur les s6ries de p o l y n o m e s h une variable complexe. Paris, Gauthier-Villars, i 9 i o , V I + I 2 8 p. 8 ° . [i3, i4, 25]. (3) Sur les s6ries de Taylor pr6sentant des laeunes. Comptes Rendus des s6ances Soc. Math. de France. (27 Mai i925) p. 33. [23].

Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d'une fonction monog6ne. R. M o n t e s s u s

53

de Ballore.

(1) Sur la repr6sentation des fonctions par des suites de fractions rationnelles. Comptes Rendus, t. i38 (22 F6vrier i9o4) p. 4 7 1 - - 4 7 4 . [i3, 14]. C. N. M o o r e . (1) On the introduction of convergence factors into summable series and summable integrals. Transactions American Math. Soc., t. 8 (19o7) p. 2 9 9 - - 3 3 0 . I22, 31]. (2) Sur la relation entre certaines m6thodes pour la sommation d'une s6rie divergente. Comptes Rendus, t . i 5 8 (15 Juin 1914) p. i 7 7 4 - - 1 7 7 5 . [3I]. (3) Applications of the theory of summability to developments in orthogonal functions. Bull. Amer. Math. Soc., t. 25 (19~8--T9) p. 258--275. [22, 311. (4) Generalized limits in general analysis. I, II. Trans. Amer. Math. Sot., t. 24 (1922) p . 7 9 - - 8 8 e t t . 25 (i923) p. 4 5 9 - - 4 6 8 . [3 ° , 31]. G. M o r e r a . (i) Sulla rappresentazione delle funzioni di una variabile conlplessa per mezzo di espressioni analitiehe infinite. Atti R. Accad. Sci. di Torino, t. 21 (1886) p. 8 9 2 - - 8 9 9 . [I1, 13]. (2) Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa. Rendiconti R. Ist. Lombardo, 2:e s6rie, t. 19 (1885) p: 3 0 4 - - 3 0 7 . [13]. P i a Nalli.

(I)

Sulle serie di Dirichlet. Rendiconti Circ. Mat. di Palermo, (2) Sulla sommabilith delle serie, con Rendiconti Circ. Mat. di Palermo, (3) Sopra una relazione fra la teoria delle serie divergenti. Rendieonii Circ. Mat. di Palermo,

t. 40 ( I 9 I 5) p. 4 4 - - 7 % 167--168. [3I] • partieolare riguardo alle serie eli Diriehlet. t. 42 (1916) p. 6 1 - - 7 2 . [3I]. della composizione di prima specie e lo studio t. 42 (1917) p. 2 0 6 - - 2 2 6 . [31]. L. N e d e r .

(1) Zur Konvergenz tier trigonometrischen Reihen, einschliesslich der Potenzreihen auf dem Konvergenzkreise. Th6se. G6ttingen, 1919, 45 P., 8°- [22]. (2) Konvergenzdefekte der Potenzreihen stetiger Funktionen auf dem Rande des Konvergenzkreises. Math. Zeitschrift, t. 6 (192o) p. 2 6 2 - - 2 6 9 . [22]. (3) Zur Theorie der trigonometrischen Reihen. Math. Annalen, t. 84 (1921) p. I I 7 - - I 3 6 . [22]. (4) Uber Taubersche Bedingungen. Proceedings London Math. Soe., 2:e s6rie, t. 23 (1924) p. i 7 2 - - ~ 8 4 . [2z, 31, 33].

54

Einar Hille. F. N e v a n l i n n a .

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p.,

Essai d ' u n e bibliographie de la repr6sentation analytiqne d ' u n e fonction monog6ne.

55

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56

Einar Hille.

(3) Selected topics in the general theory of functions. Bulletin American Math. Soc., t. 5 (~898) P. 5 9 - - 8 7 • [I3, 24]. (4) Allgemeine Theorie tier analytischen Funktionen a) einer und b) mehrerer komplexen GrSssen. Encyklop~idie d. math. Wissenschaften, t. 2:2 (~9o2) p. ~ - - ~ 4 . [io]. (5) Lehrbuch der Funktionentheorie. I. Leipzig, B. G. Teubner, ~9~2 (2:e ~d.) X I I + 7 6 6 p., 8 ° . [io, 20]. A. O s t r o w s k i . (i) Uber eine Eigenschaft gewisser Potenzreihen mit unendlich vielen verschwindenden Koeffizienten. Berliner Sitzungsberichte (i921) p. 557--555. [23, 24]. (2) Einige Bemerkungen fiber Singularit~ten Taylorscher und Dirichletscher Reihen. Berliner Sitzungsberichte, 1923, p. 39--44. [24]. (3) Uber Potenzreihen, die tiberkonvergente Abschnittsfolgen besitzen. Berliner Sitzungsberichte (i923) p. 1 8 5 - - I 9 2 . [23, 24]. (4) Uber al]gemeine Konvergenzs~tze des komplexen Funktionentheorie. Jahresbericht d. Deutschen Math.-Verein., t. 32 (,923) p. i 8 5 - - ~ 9 4 . [23, 241. (5) Uber vollst~ndige Gebiete gleichm~ssiger Konvergenz yon Folgen analytischer Funktionen. Hamburger Math. Abhandlungen, t. i (1923) p. 327--35 ° . [23, 24]. (6) Uber die Bedeutung der Jensenschen Formel fiir einige Fragen der komplexen Funktionentheorie. (Aus einem Briefe an Herrn F. Riesz.) Aeta Litt. ae. Sci., Szeged, t. i (~923) p. 8 o - - 8 7 . [22]. (7) u b e r die Darstellung analytischer Funktionen durch Potenzreihen. Jahresbericht d. Deutschen Math.-Verein., t. 32 (i923) p. 286--295, et t. 34 (~925) p. 183. [23, 24]. (8) On Hadamard's test for singular points. Journal London Math. See., t. i (~926) p. 236--239. [22, 24]. (9) On representation of analytical functions by power series. Journal London Math. Soe., t. i (t926) p. 251--263 . [23, 24]. (io) Uber einen Satz v o n Herrn Hadamard. Jahresbericht d. Deutschen Math.-Verein., t. 35 (1926) P. t79 - I 8 2 . [24]' (i I) Uber Singularit~iten gewisser mit Liicken behafteten Potenzreihen. Jahresbericht d. Deutschen Math.-Verein., t. 35 (I926) P. 269--28o. [24]' B. O t t o l e n g h i .

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Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d'une fonction monogSne.

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Acta mathematiea.

52.

Imprim6 le 25 janvier 1929.

58

Einar Hille.

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Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d'une fonction monog6ne.

59

(3) Sur les fonctions repr6sent6es par une classe 6tendue d'int6grales d6finies. Bulletin Soc. Math. de France, t. 32 (~9o4) p. 67---~o 3. [~3, 24]. (4) Les speetres num6riques. Paris, Gauthier-Villars, i 9 i % V I I I + 1 1 o p., 8 °. [24]. H. P e t r i n i .

(I) Sur une extension d'un th6or6me de M. Mittag-Leffler. Arkiv fSr Mat., Astr. o. Fys., t. i5, n:o 2~ (5921) 3 P. [52, i3]. E. P h r a g m 4 n . (i) Sur une extension d'un th6or6me de M. Mittag-Leffler. C o m p t e s Rendus, t. 128 (~2 Juin ~899 ) p. ~434--1437. [25]. oo /*

(2) Sur le domaine de convergence de l'int6grale infinie

[.F(ax)e-ada.

my 0

Comptes Rendus, t. I32 (io Juin I9OI ) p. i 3 9 6 - - ~ 3 9 9 . [25, 3~]. (3) Sur une extension d'un th6or6me classique de la th6orie des fonetions. Acta Math., t. 28 (I9O4) p. 351--368. [~3]. E. P h r a g m 6 n

et E. Lindel6f.

(i) Sur une extension d'un principe classique de l'analyse et sur quelques propri6t6s des fonctions monog6nes dans le voisinage d'un point singulier. Acta Math., t. 31 (19o8) p. 3 8 1 - - 4 o 6 . [13]. 1~,. P i c a r d . (i) M6moire sur ]es fonctions enti6res. Annales de l']~cole Norm., 2:e s6rie, t. 9 (I880) p. I 4 5 - - I 6 6 . [I31. (2) Sur la d6composition e n faeteurs primaires des fonetions uniformes ayant une ligne de points singuliers essentiels. Comptes Rendus, t. 92 (2I Mars i 8 8 i ) p. 690--692. [I3]. (3) Sur les fonetions uniformes affect6es de coupures. Comptes Rendus, t. 94 (22 Mai 1882) p. 14o5--~4o 7. [53]. (4) Quelques remarques sur le prolongement des fonetions. Comptes Rendus, t. x28 (23 Janvier 5899 ) p. ~ 9 3 - - i 9 5 . [281. (5) Sur le d6veloppement en s6ries "des int6grales des 6quations diff6rentielles par la m6thode de Cauchy. Comptes Rendus, t. i28 (5 Juin ~899 ) p. i 3 6 3 - - i 3 6 6 . [271. (6) Sur certains d6veloppements en s6ries d6duits de la m6thode de Cauchy dans la th6orie des 6quations diff6rentielles ordinaires. Annales de l'l~eole Norm., 3:e s6rie, t. 21 (19o4) p. I 4 I - - - I S I , [25, 27]. (7) Sur le d6veloppement de l'analyse et ses rapports avec diverses sciences. Conf6rences faites en Am6rique. Paris, Gauthier-Villars, 19o5, 167 p., 8 °. [13, 25].

60

Einar Hille. S. P i n c h e r l e .

(1) Aleuni teoremi sopra gli sviluppi in serie per funzioni analitiehe. Rendieonti R. Ist. Lombardo, 2:e s6rie, t. I 5 (I882) p. 2 2 4 - - 2 2 5 . [I4]. (2) Sopra un'applicazione della funzioni sferiche a l theorema di Mittag-Leffler e alla determinazione delle funzioni a spazi laeunari. Rendiconti d. Accad. d. Sei. d. Ist. d. Bologna, 1883, p. i o o - - i o 5. [i2, 13, I4]. (3) Sui sistemi di funzioni analitiche e le serie formate col medesimi. Annali di Mat., 2:e s6rie, t. 12 ( 1 8 8 3 - - 1 8 8 4 ) p. 1 1 - - 4 1 et l O 7 - - 1 3 3 . [i4]. (4) Sopra una formola del sig. ttermite. Atti d. R. Aeead. dei Lincei. Rendieonti, 4:e s~rie, t. i (~885) p. 2 6 7 - - 2 6 8 . [ii]. (5) Une formule dans la th~orie des fonctions. ()fversigt K. Vetenskapsakad. F6rhandl., t. 43 (1886) p. 5 1 - - 5 5 . [i2, 14]. (6) Costruzione di nuove espressioni analitiehe atte a rappresentare funzioni con un n u m e r o infinito di punti singolari. Atti d. R. Acead. dei Lineei. Rendiconti, 4:e s~rie, t, 3 (I887) P. 3 7 0 - - 3 7 5 •

b3, 14]. (7) Sur le d6veloppement d ' u n e fonetion analytique en s6rie de polyn6mes. Comptes Rendus, t. lO 7 (~7 D6e. 1888) p. 9 8 6 - - 9 8 9 . [i4]. (8) Sulle serie di potenze. (Estratto di una lettera al dottore Vivanti.) Annali di Mat., 2:e s6rie, t. 21 (1893) p. i 3 8 - - i 4 o . [24]. (9) Sull'operazione aggiunta. Rendieonti d. R. Accad. d. Sci. Bologna n u o v a serie, t. 2 ( i 8 9 7 - - 9 8 ) p. i 3 o - 139. [24]. (io) Sulle singolarit'~ di una funzione the dipende da due h m z i o n i date. Atti d. R. Aeead. dei Lincei. Rendieonti, 5:e s6rie, t. 8 (1899) p. 2 2 8 - - 2 3 2 . [24]. ( I i ) A proposito di un reeente teorema del Sig. H a d a m a r d . Rendiconti d. R. Aecad. d. Seienze dell'Istituto di Bologna, t. 3 ( 1 8 9 9 ) P . 6 7 - - 7 4 . [24]. (12) Di aleune operazioni atte ad aggiungere o togliere singo!arit'X in una funzione analitiea. Annali di Mat., 3:e s6rie, t. 4 (19oo) 1x. 2 1 9 - - 2 8 o - [24]. (13) Di una n u o v a operazione funzionale e di qualehe sua applieazione. Rendieonto R. Aeead. d. Sei., Bologna, n u o v a s6rie, t. 7 ( 1 9 o 3 ) P . 83---98.

[22, 24]. (14)

Sugli sviluppo a ssintotiei e le serie sommabili. Atti R. Aeead. Naz. dei Lineei. Rendieonti, 5:e s6rie, t. 13 ( 1 9 o 4 ) p . 5 1 3 - - 5 1 9 •

[31 , 34]' (I5) Sur les fonetions d6terminantes. Annales de l']~eole Normale, 3:e s6rie, t. 22 (19o5) p. 9 - - 6 8 . [24]. (I6) Sulle singolarith di una funzione ehe dipende da due funzioni date. Atti d. R. Aeead. dei Lineei, Rondieonti; 5:e s6rie, t. 15 (19o6) p. 6 o 3 - - 6 1 o . [24].

Essai d'une bibliographie de la representation analytique d ' u n e fonction monog~ne.

61

(i7) Sopra l'estensione agli sviluppi assintotici di un t e o r e m a del sig. Hurwitz. Atti d. R. Accad. dei Lincei, Rendieonti, 5:e s6rie, t. ~6 (i9o7) p. 3 - - 5 . [24, 34]. (i8) Alcune spigolature nel campo delle funzioni determinanti. Atti del IV Congresso int. dei mat. R o m a i9o8 , t. 2, p. 4 4 - - 4 8 . [24]. (i9) Sulle funzioni trascendenti semplici. Atti R. Accad. Naz. dei Lincei, Rendiconti, 5:e s6rie, t. 33: ~ (~924) P. 5 2 - - 5 7 • [24]' (20) Ancora su]le funzioni trascendenti semplici. Atti R. Accad. dei Lincei, Rendiconti, 5:e s6rie, t. 33: ~ (I924) P. 2 ° 3 - - 2 ° 6 ' [24]. (2i) Su una separazione di singularit~ in u n a funzione analitica. Atti R. Accad. Naz. dei Lincei, Rendiconti, 5:e s6rie, t. 33, i:er s e m e s t r e ( i 9 2 4 ) p. 2 4 9 - - 2 5 3 .

[24]. S. P i n c h e r l e

e t IJ. A m a l d i .

(i) Le operazioni distributive e le loro applicazioni a]l'analisi. Bologna, Zanichelli, i 9 o i , X I I + 4 9 o p., 8 °. [24]. G. P i r o n d i n i . (i) Nuovo metodo per costruire delle funzioni continue a spazi laeunari. P a r m a , Rossi-Ubaldi, ~9o5, i6 p., 8 ° . [i2]. M. P l a n c h e r e l .

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sdries de Laplace et de Legendre. di Palermo, t. 33 (1912) P. 4 t - - 6 6 . [3~]. la th6orie des s6ries trigonom6triques dans le dernier t. 24 (I924---25) p. 1 9 - - 5 8 .

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Sur les s6ries des polyn6mes. Comptes Rendus, t. 96 (5 Mars i883) p. 5 3 7 - - 5 3 9 . [~4]. (2) Sur les fonctions "~ espaees laeunaires. Comptes Rendus, t. 96 (i6 Avril i883) p. II34--II36. [I2]. (3) Sur les fonctions "~ espaces lacunaires. Acta Soc. Sci. Fennicae, t. i2 (i883) p. 3 4 1 - - 3 5 o . [~2]. (4) Sur les ~quations lin~aires aux diff6rentielles ordinaires et aux diff6rences finies. A m e r i c a n Journal of Math., t. 7 (I885) P. 203---258. [I4].

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Einar Hille.

(5) Sur les int6grales irr~guli~res des 6quations lin6aires. Acta Math., t. 8 (~886) p. 295--344 . [34](6) Sur les fonctions h espaces lacunaires. American Journai of Math., t. 14 (i892) p. 2 0 1 - - 2 2 i . [i2]. G. P61ya.

(I)

Une s6rie de puissances est-elle en g~n6ra.1 non-continuable? L'enseignement math., t. 17 (1915) p. 343--344- [23]. (2) Uber Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. Math. Annalen, t. 77 (1915) P. 497--513 • [22, 231. (3) Uber Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten. Math. Annalen, t. 78 (I917) p. 286--293. [24]. (4) l~ber die Potenzreihen, deren Konvergenzkreis natiirliche Grenze ist. Acta Math., t. 41 (I917) p. 9 9 - - I I 8 . [231. (5) Sur les propri6t~s arithm~tiques des s6ries enti~res, qui repr6sentent des fonctions rationnelles. L'enseignement math., t. 19 (i917) p. 323 . [24]. (6) Arithmetische Eigenschaften der Reihenentwicklungen rationaler Funktionen. Journal fiir Math., t. iSi (i92o) p. I - - 3 i . [24]. (7) Bemerkung tiber die Mittag-Lefflerschen Funktionen E~(z). (Auszug aus einem an Herrn Mittag-Leffler gerichteten Briefe.) T6huku Math. Journal, t. ~9 (~9 z~) P. 24~--248. [32]. (8) Sur les sdries entibres '~ coefficients entiers. Proceedings London Math. Soc., s6rie z, t. 2i (I922) p. 2 2 - - 3 8 . [2,3 , 24]. (9) Arithmetische Eigenschaften und analytischer Charakter. Jahresbericht d. Deutschen Math.-Verein., t. 31 (~922) p. ~ o 7 - - ~ 5. [23 , 24]. i o ) U e b e r die Existenz nnendlich vieler singuli~rer Punkte auf der Konvergenzgeraden gewisser Dirichletseher Reihen. Berliner Sitzungsberiehte, i923, p. 4 5 - - 5 o. [22]. i1) Analytische Fortsetzung und konvexe Kurven. Math. Annalen, t. 89 (i923) p. 179--~9 I. [24, 25]. (i2) Sur l'existence d'une limite consid6r6e par M. Hadamard. L'enseignement math., t. 24 (I9~4--25) p. 7 6 - - 7 8 • [241. D. P o m p 6 i u . (i) Sur les fonctions de variables complexes. Comptes Rendus, t. 134 (26 Mat ~9o2) p. i i 9 5 - - i i 9 7 . [13, ~6]. (2) Sur les singularit6s des fonctions analytiques uniformes. Comptes Rendus, t. ~39 (28 Nov. ~9o4) p. 9 1 4 - - 9 1 5 . [r31. (3) Sur la continnit6 des fonctions de variables complexes. Annales de Toulouse, s~rie 2, t. 7 (19o5)P. 264--315 • Publi6 aussi comme Th~se, Paris, Gauthier-Villars. [13].

Essai d'une bibliographic de la repr6sentation analytique d'une fonetion monogSne.

63

(4) Sur les singularit6s des fonctions analytiques uniformes. Comptes Rendus, t. I49 (i2 Juillet i9o9) p. i o 3 - - i o 5 et t. ~5 o (2i F6vrier

i9~o) p. 454--455.

[13].

(5) Sur les singularit6s discontinues des fonctions analytiques uniformes. Comptes Rendus, t. I49 (6 D6e. ~9o9) p. ~o5o---io51. [i3]. (6) Sur ]a repr6sentation des fonctions analytiques par des int6grales d6finies. Comptes Rendus, t. I49 (27 D6e. ~9o9) p. i 3 5 5 - - i 3 5 7 . [I3]. (7) Sur les singularit6s des fonctions analytiques uniformes. Rendiconti Circ. Mat. di Palermo, t. 29 (191o) p. 306--307 . [i3]. (8) Sur un exemple de fonction analytique partout continue. American Journal of Math., t. 32 (i9IO) p. 327--332. [~3]. (9) Sur les singularit~s des fonetions analytiques uniformes. L'enseignement math., t. z2 ( , 9 i o ) p. i 8 - - 2 o . [i3]. (io) Sur les fonctions analytiques uniformes. Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 9 (~9 I°) I 7 2 - - I 7 5 ' [13]' (ii) Sur les fonctions de variable complexe. Comptes Rendus, t. 153 (2 Oct. i 9 z i ) 624--626. [i3]. (i2) Sur certMnes s~ries de fractions simples. Nieuw Archief voor Wiskunde, s6rie 2, t. io (i913) p. 3 5 3 - - 3 5 6 . [ii, ~4]. (I3) Sur les polynomes d'approximation. T6huku Math. 3ournal, t. 6 (]914) p. I i 5 - - i I 9. [i5]. K. Popoff. (1) Sur le d6veloppement d'une fonction holomorphe en s6rie de polynomes et de fractions rationnelles. Bulletin Soc. Math. de France, t. 52 (1923) p. 532--536. [13, ~4]. (2) Sur les lacunes que peut pr6senter une s6rie de Taylor qui repr6sente une fonction analytique r6guliSre ~ l'infini et qui n'admet qu'un point singulier qui est un point singulier essentiel. Comptes Rendus, t. i82 (8 F6vrier ~926) p. 369--371 . [24]. M. B. Porter.

(I)

The polynomial convergents of a power series. Annals of Math., s6rie 2, t. 8 (i9o7) p. i 8 9 - - ~ 9 2 . [~I, 23, 24]. K. A. P o u k k a .

(i) Uber die Cauchy'schen reziproken Funktionen und deren Anwendung auf die analytische Fortsetzung der Taylor'schen Reihe. Th~se, Helsingfors 19o7, ] V + 4 9 P., 8 °. I24, 25]. (2) Die analytische Fortsetzung yon Potenzreihen, deren Koeffizienten durch ganze Funktionen der Ordnungszahl ausgedriickt werden k6nnen. Annales Acad. Sci. Fennicae (A), t. 7, n:o 15 (1916) 16 p. [24].

6~

Einar Hille. A. P r i n g s h e i m .

(i) Ueber gewisse Reihen, welche in g e t r e n n t e n Convergenzgebieten verschiedene, willkiirlich vorgeschriebene Functionen darstellen. Math. AnnMen, t. 22 (1883) p. i o 9 - - 1 1 6 . [ii]. (2) Ueber das Verhalten gewisser Potenzreihen auf dem Convergenzkreise. Math. AnnMen, t. 25 (1885) p. 4 1 9 - - 4 2 6 . [22]. (3) Zur Theorie der T a y l o r ' s e h e n Reihe und der anMytisehen F u n k t i o n e n m i t beschr~nktem Existenzbereieh. Mtinehener Berichte, t. 22 (I892) p. 2II----245. [12, 23]. (4) Zur Theorie der T a y l o r ' s c h e n Reihe und der analytischen Funetionen Init besehriinktem Existenzbereieh. Math. Annalen, t. 42 (1893) p. 1 5 3 - - 1 8 4 . [i2, 23]. (5) Ueber Funetionen, welche in gewissen P u n k t e n endliehe Differentialquotienten jeder endlichen Ordnung, abet keine Taylor'sehe Reihenentwiekelung besitzen. Math. Annalen, t. 44 ( I 8 9 4 ) P . 4 I - - 5 6 . [221(6) Ueber die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen des T a y l o r ' s c h e n Lehrsatzes fiir Fmletionen einer reellen Variabeln. Math. Annalen, t. 44 (5894) P. 57 _ 8 2 . [23]. (7) Ueber Potenzreihen auf dem Convergenzkreise u n d Fourier'sehe Reihen. Sitzungsberichte . . . . Miinchen, t. 25 (1895) p. 3 3 7 - - 3 6 4 . [22]. (8) Ueber zwei Abel'sche Siitze, die Stetigkeit yon R e i h e n s u m m e n betreffend. Miinchener Berichte, t. 27 (1897) p. 3 4 3 - - 3 5 6 . [22]. (9) Ueber eine besondere G a t t u n g yon singulSren Stellen analytiseher Funetionen. Math. A n n a l e n , t. 5 ° (1898) p. 4 4 2 - - 4 6 1 . [14, 24]. (io) Irrationalzahlen und K o n v e r g e n z unendlieher Prozesse. Eneyklopgdie d. Math. Wissensehaften IA3, 1898 , p. 47 - 1 4 6 - [3o] • (i i) Ueber das Verhalten von Potenzreihen auf dem Convergenzkreise. Sitzungsberiehte . . . . Mtinchen, t. 3 ° (19oo) p. 3 7 - - 5 0 0 . [22]. (I2) I3ber die Divergenz gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. Sitzungsberiehte . . . . Mtinehen, t. 31 (19Ol) 1). 5 o 5 - - 5 2 4 . [22]. (13) IJber den Divergenz-Charakter gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze. Acta Math., t. 28 (19o4) p. 1 - - 3 o . [22]. (14) ~Tber einige funktionentheoretische A n w e n d u n g e n der Eulerschen Reihen-Transformation. Miinchener Berichte, 1912 , i 3. 1 1 - - 9 1 . [22, 23, 24, 25, 31]. (I5) Uber die )[quivalenz der sogenannten HSlderschen u n d Ces'~roschen Grenzwerte und die Verallgemeinerung eines beim Beweise beniitzten Grenzwertsatzes. Miinchener Berichte, i916 , p. 2 0 9 - - 2 2 4 et 1918 , p. 8 9 - - 9 2 . [31]. (16) [Jber eine K o n v e r g e n z b e d i n g u n g fiir unendliche Reihen, die (lurch iterierte Mittelbildung reduzibel sind. Mfinchener Sitzungsberichte, i92o , i). 2 7 5 - - 2 8 4 . [33].

Essai d'une bibliographie de la repr6sentation ana]ytique d'une fonetion monog~ne.

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(2)

67

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68

Einar Hille.

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Essai d ' u n e bibliographie de la repr4senta~ion analytique d'une fonction monog~ne.

69

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alge-

70

Einar Hille.

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72

Einar Hille. P. St~iokel.

(i) Zur Theorie Journal fiir (2) Zur Theorie Journal fiir

der eindeutigen Functionen. Math., t. io6 (~89o) p. i 8 9 - - i 9 2 . [r3]. der eindeutigen analytischen Fuuctionen. Math., t. 112 (i893) p. 2 6 2 - - 2 6 4 . [111 12, I3, 23]. H. S t e i n h a u s .

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Essai d'une bibliographie de la repr6sentation analytique d'une fonction monog~ne.

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O. Stolz.

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(I)

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80

E i n a r Hille.

ADDENDA.

1

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Fddoroff.

(i) Sur la c o n t i n u i t 6 des fonctions a n a l y t i q u e s . Mat. Sbornik, t. 32 ( i 9 2 4 ) p. 1 1 5 - - I 2 ~ . [~3]. (2) O p r o i z v o d n o j analitiSeskoj f u n k c i i vblizi mno~estva osobich toSek. [ = S u r la ddriv6e d ' u n e fonction a n a l y t i q u e d a n s le v o i s i n a g e d ' u n e n s e m b l e de p o i n t s singuliers.] Mat. Sbornik, t. 32 (1924) p. 1 2 2 - - - ~ 3 4 .

[13].

A. Haar. (2) U b e r a s y m p t o t i s e h e E n t w i c k l u n g e n y o n F u n k t i o n e n . Math. A n n a l e n , t. 96 (1926) p. 6 9 - - 1 o 7.

[34, 351.

A. Maksymowicz. (i) C o n t r i b u t i o n '~ la th6orie des s6ries s o m m a b l e s p a r la m 6 t h o d e de Cesaro-HSlder.

[R~sum~?] B u l l e t i n int. _A_cad. Sci. de Cracovie, A. ~92o, p. 6 5 - - 6 9 .

[24, 33].

G. M i g n o s i .

(3) E s t e n s i o n e dei t e o r e m i di Abel, Ces'~ro e F r o b e n i u s sulle serie di potenze, I e II. R e n d i c o n t o Accad. Sci. di Napoli, 3:e s6rie, t. 26 (192o) p. 2 2 5 - - 2 3 5 , 2 3 7 - - 2 4 5 [24]. A. Rajchman

e t A_. Z y g m u n d .

(i) Sur la r e l a t i o n d u proc6d6 de s o m m a t i o n de CesKro et celui de R i e m a n n . B u l l e t i n int. Acad. Sci. de Cracovie, A. 1925, p. 5 9 - - 8 0 . [31 , 33]. 1 Pendant la correction des 6preuves, j'ai ajout6 plusieurs ouvrages qui m'avaient echapp6 auparavant pour une raison ou pour une autre. Les ouvrages que je n'ai pas pu faire figurer leur place normale ont 6t6 placds dans cet addenda. Je n'ai fair aucun effort pour introduire dans cette bibliographie les ouvrages publids pendant les deux anndes qui ont suivi sa rddaction. E.H.

A v