Numer. Math. 45, 301-321 (1984)

Numerische MathemalJk

9 Springer-Verlag 1984

Estimations des erreurs de meilleure approximation polynomiale et d'interpolation de Lagrange dans les espaces de Sobolev d'ordre non entier A.M. Sanchez et R. Arcangeli Laboratoire d'Analyse Num6rique, Universit6 de Pau et des Pays de l'Adour, Avenue de l'Universit6, F-64000 Pau, France

R6sum6. On 6tablit des majorations explicites de l'erreur de meilleure approximation polynomiale ainsi que des majorations explicites et nonexplicites de l'erreur d'interpolation de Lagrange, lorsque la fonction consid6r6e appartient / t u n espace de Sobolev d'ordre non entier d6fini sur un ouvert born6 de ~". Les r6sultats obtenus g6ndralisent les r6sultats connus dans le cas des espaces de Sobolev d'ordre entier.

Estimation of the Best Polynomial Approximation Error and the Lagrange Interpolation Error in Fractional-order Sobolev Spaces Summary. Explicit bounds for the best polynomial approximation error, explicit and non-explicit bounds for the Lagrange interpolation error are derived for functions belonging to fractional order Sobolev spaces defined over a bounded open set in F,.". Thus the classical results of the integer order Sobolev spaces are extended.

Subject Classifications: AMS(MOS): 65N30, CR: G18. 1. Introduction L'6tude des erreurs de meilleure approximation polynomiale et d'interpolation polynomiale d'une fonction de plusieurs variables r6elles a, dequis quelques ann6es, donn6 lieu /t de nombreux travaux. Citons en particulier Bramble et Hilbert [4, 5], Ciarlet et Wagschal [8], Ciarlet et Raviart [7], Strang [20], Arcangeli et Gout [-3], Meinguet [15], Gout [10], Dupont et Scott [9]. La plupart des r6sultats contenus dans ces articles se situent dans le cadre des espaces de Sobolev d'ordre entier usuels, Dupont et Scott 6tant les seuls /t s'int&esser au probl6me de l'estimation de l'erreur de meilleure approximation polyn~)miale dans les espaces de Sobolev d'ordre non entier. Notre propos dans ce travail est d'obtenir des majorations de l'erreur de meilleure approximation polynomiale ainsi que de l'erreur d'interpolation (de

302

A.M. Sanchez et R. Arcangeli

Lagrange) dans un sur-espace de polyn6mes, lorsque la fonction consid6r6e appartient h un espace de Sobolev d'ordre non entier: c'est le cas de la solution de nombreux probl~mes elliptiques avec conditions aux limites de type 6galit~ ou in6galit6, notamment du probl6me mod61e suivant.

Exemple

1.I

(cf. Grisvard

1-12]). Soient

pt]l,+oo[,

stl0,~l,

ouvert born6 connexe dont la fronti6re F est un polygone ~ J c6t6s d'angles int6rieurs de mesures o~j, avec V j = I ..... J,

2 s--+2<--, p coj

et f t Ws'P(f2).

(1.1)

Alors si u~W01'2(f2) est solution de Au=f, u appartient ~t W~+2,P(f2). [] L'hypoth~se (1.1) n'est nullement formelle. En effet

Exemple 1.2 (cf. Scott [19]). Soient 12 un ouvert born6 de lR" de ffonti~re F et co un sous-ensemble ferm6 de f2 tels que mes{xtO;d(x, cowF)<~}=O(e),

~0,

(1.2)

off d d6signe la distance euclidienne. Alors, pour toute fonction

f eWl"2(Q',, oJ)c~L~(O) et pour tout st]O, ~[, o n a

f t W ~"2(0). On peut montrer que l'hypothSse (1.2) est v6rifi6e lorsque f2 est un ouvert born6 h ffontiSre lipschitzienne et que (par exemple) co est contenu dans une r6union finie d'hyperplans. [] Au paragraphe 2, aprSs avoir rappel6 la d6finition des espaces de Sobolev d'ordre non entier WS'P(f2), avec s=k+a, kt]N et a t ] 0 , 1[, on introduit les semi-normes I'l,,p,~ et [']l,p,o, 0=
~sous l'hypoth~se k>-n~ ~ l'estimation des semi-normes \ p/ [.].,,p,a, 0 < m < k, de l'erreur de P-interpolation (avec P = Pk(O)). Les m&hodes utilis6es sont bas6es sur la formule de Taylor avec reste int6gral. Supposant f2 convexe, on obtient des majorations directes expIicites des erreurs d'approximarion et d'interpolation, qui g6n6ratisent tes r6sultats de [3] au cas des espaces de Sobolev d'ordre non entier et compl~tent les r6sultats d'approximation de Dupont et Scott (&ablis sans hypoth+se de convexit6 sur O, mais ne

Les espaces de S o b o l e v d ' o r d r e n o n entier

303

pr6cisant pas la structure des constantes entrant dans les majorations, en particulier en ce qui concerne leur d6pendance par rapport au diam6tre h de ~). L'6tude de l'erreur de P-interpolation de Lagrange est reprise au paragran phe 5 sous les hypoth6ses plus g6n6rales: ~2 connexe et s > - et sous l'hypoth6se P plus restrictive: O est l'616ment g6n6rique d'une famille affine d'ouverts de R". En utilisant la m6thode du domaine de r6f6rence de Ciarlet [6], on obtient encore des majorations, d6pendant cette fois de constantes non calcul6es, qui g~n&alisent les r6sultats connus pour les espaces de Sobolev d'ordre entier. Dans t o u s l e s cas, en m~me temps que les majorations de l'erreur d'approximation ou d'interpolation, on obtient les orclres asymptotiques de ces majorations, d6finis come suit (cf. Gout [10]). Notons indiff6remment Em,p,~(u)= rain [u-~O],.,v.a, erreur de meilleure Pk(f2)-approximation en semi-norme [']m,v,~, ou E,~,p,~(u)= [u-IlU]m,p,~, seminorme [']m,p,a de l'erreur de P-interpolation (avec PDPk(f2)). Alors si, pour tout m = 0 , 1..... k, il existe des constantes C(m) et v(m) ind6pendantes de f2, telles que Vu~W~'P(f2), E,.,p,a
de K), on d6duit alors des majorations locales (1.3) sur K le r6sultat global sur f2: Vm=0, 1.... ,k,

Vu~W~'P(O),

( ~ (Em.p.x(u))P)l/p< C(m)h~tm~[u]~,p,a Keg-h

(1.4)

si p < + oo (et un r6sultat analogue si p = + oo) qui montre que l'gerreur globale)) ( ~ (Em,;,K(u))P)lip est en 0(h ~")) quand h tend vers 0. K ~,Y-h

On notera que, pour obtenir (1.4), on utilise de mani6re d6cisive les propri6t6s de sur-additivit6 de la puissance p-i6me de la seminorme [']~,p,a, lorsque p < + oo, ou de monotonie de la semi-norme [.] .... a (cf. paragraphe 2). Ces propri6t6s des semi-normes [']~,p,a et [.]~,p,~, et aussi bien entendu leur caract+re explicite, justifient leur introduction. n Dans le cas particulier k > - , on peut obtenir des majorations locales de P rerreur d'interpolation en raisonnant par interpolation abstraite entre espaces de Banach ~ partir de r6sultats connus pour les espaces de Sobolev d'ordre entier (par exemple ceux de [3]). C'est ce qui est fait au paragraphe 4, Remarque 3.2, en utilisant la m6thode K de Peetre [17]: la norme correspon-

304

A.M. Sanchez et R. Arcangeli

dant ~t la m6thode K v6rifiant une propri6t6 de type sur-additivit6 convenable, on retrouve de cette mani6re les ordres asymptotiques des majorations d'erreur obtenues au Th6or~me 4.1. Terminons par un exemple: supposons que n = p = 2 , s = ~ . Utilisant les r6sultats des Th6or~mes 3.1 et 5.3, on obtient

v(m)=3-m,

re=O, 1,

(1.5)

alors que si l'on reste dans le cadre des espaces de Sobolev d'ordre entier, on a seulement v(m)=l-m, re=O, 1. Cela montre en particulier que l'interpol6 <<616ments finis>> affine par triangles d'une fonction u~H3/2(f2), off f2 d6signe un ouvert polygonal de ~ 2 , converge vers u dans Hi(O) quand le diam6tre h de la triangulation tend vers 0. Pr6cisons que le r6sultat (1.5) peut 6tre d6duit de Dupont et Scott [9] lorsque f2 est l'616ment g6n6rique d'une famille affine r6guli~re d'ouverts de N".

2. N o t a t i o n s

Soient n~lN* et f2 un ouvert non vide born6 de R". On suppose JR" muni de la norme euclidienne I.[ et on d6signe par h le diam6tre de f2 et par p le m a x i m u m des diam6tres des boules contenues dans ~. Pour tout nombre p o l l , + ~ ] et pour tout rn~lN, on d6signe par Wm'P(f2) l'espace de Sobolev (d'ordre entier) usuel, muni lorsque p < + ~ , des seminormes 1 S IO~

Ivl~,,,~=( ~

p,

1=0, 1..... m,

I=[=ta

off d~v d6signe la d6riv6e partielle de v d'ordre ~ =(~1 .... , c~,)~N" et + c% ainsi que des semi-normes

I~1= ~1 +

...

1

[v]t,p,r~=(S IlOtv(x)lfdx) p,

/ = 0 , 1..... m,

12

off Dlv d6signe la d6riv6e totale de v d'ordre l, avec la modification habituelle lorsque p = + oo. Soit s un nombre r6el non entier strictement positif. On pose

s=k+a, avec k e n et a~]0,11-. Alors, pour tout p E [ 1 , + o o ] , on d6signe par l'espace des (classes de) fonctions v~wR'P(I2) telles que

Ivl~'P'~= ~

lal=k

$

Idly(x) -O~v(y)l p Ix y["+'" dxdy<

+ oo,

oxo

si p < + Go, et Iv[. . . . ~ = m a x

sup ess

I~v(x) -O~v(y)l

< + ~,

Ws'P(f2t

Les espaces de Sobolev d ' o r d r e n o n entier

305

si p = +co. On d6finit sur W~'P(O) les semi-normes [.]t,p,~, O
[v]~,p,o = (r~! HDkv(x)-Dkv(y)UP dxdy)7 ' Ix - y l "+"" sip < + 0% et par

IIDkv(x) -D%(Y) I[

[v] . . . . ~ = sup ess

Ix - Y r

~x~

'

si p= + oo. On suppose Ws'p(Y2) muni de la norme l I~:

IP

P

P

sip < + 0% et

tlvll. . . . o = m a x ( m a x

o__
Ivl,,~,~,lvl . . . . ~)

s i p = +oo. Remarquons que la semi-norme I" I~,p,o (comme la semi-norme [.],,p,o et la norme I1' I1~,~,~) v6rifie, lorsque p < + ~ , la propri6t6 (6vidente) de sur-additivit6 de la puissance p-i6me p Vl)EWS'P(f]lk-)~-~2), Ivl~,p,~,,~2>=lvl~,..~, +l 1) Is,.,o~,

off (2 x et f22 sont des ouverts disjoints de ~ " (alors qu'il y a additivit~ lorsque sEN) et, lorsque p = + 0% la propri6t6 (non moins 6vidente) de monotonie

VvEWS'p(Ox),

Ivl. . . . ~,~lvl . . . . ~2,

off 01 et f2z sont deux ouverts de R" tels que 01 o f 2e. Les espaces W~'P(O), stiR, sont les espaces de Sobolev d'ordre non entier (cf. Grisvard [11, 12], Peetre [17], Adams et al. [2], Lions and Magenes [13] dans le cas p = 2 , Adams [1]). Ce sont des espaces de Banach, v6rifiant notamment les propri6t6s suivantes, lorsque s est un ouvert born6 gt frontiOre

lipschitzienne. VsE~.*, VsEI(*

Vpe[1, + ~ [:N(~) est dense dans WS'P(O), n

,

s>-+j,

VpE[1,

+

oo[:W~'P(O)~--*U(~),

(2.1) (2.2)

P

W ~,~(f2)c-"~ck(o).

(2.3)

Pour pE]l, + o o [ , les relations (2.1) et (2.2) r6sultent par exemple de rexistence d'un op6rateur de prolongement de W~'P(O) dans W~'P(R ") [cf. [2]] et de propri6t6s analogues sur R"; pour p = 1, cf. Sanchez [18]. Enfin la relation (2.3) r6sulte de la relation

Vs'e[k,s[, et de la relation (2.2).

VpE[1,+oo[,

ws,~(a)~--,ws',,'(a)

306

A.M. Sanchez et R. Arcangeli

On v6rifie que l'on a aussi l'inclusion

Ck+ t(~) = W+, ~(Q). D'autre part, pour tout k e N , pour tout v~Ck(Q), pour tout a~f2 et pour tout xeO, on pose ,~ D Iv(a)" (x - a) z

Ok(v; a ) ( x )

l=oZ"

l!

et, pour tout keN, on d6signe par Pk(Q) l'espace des restrictions ~ (2 des (fonctions) polyn6mes ~t n variables de degr6 < k par rapport /~ l'ensemble des variables. Enfin, dans la suite, on conviendra, pour toute relation valable pour p c [ l ,

1

+ oo], que - = 0 pour p = + 0% et on d6signera parfom par la m6me lettre C P des constantes diff6rentes.

3. Erreur de meilleure Pk-approximation dans W~'P(~) On montre d'abord la

Proposition 3.1 Soient s un ouvert non vide bornO convexe de ~ " et s = k + a un 1 nombre rdel, avec k e n et a e ] 0 , 1 [. On pose Vpe[1,+oo],

VmeN,

re
@(k,a,m)=

(1--t)'(k-"-l)tr~dt \0

avec

r=min(p,q),

1 1 -+-= P

", /

(3.1)

1.

q

Alors

1) pour tout pe[-1, + oo[ et pour toute fonction u~W~'P(Q), on a: (i) pour tout entier m, avee 0 < m < k,

c (k,a,m)

(~ [U--~k(U; a)]~,p,ada) <(~--~-f!

Eu]~,p,ah

P

(ii) pour m = k, L

p (~ [u --~bk(U; a)]k,p, ada) P < [u]~,p, ah

2) pour p = + oo, pour toute fonction ueW~'~ (iii) pour tout entier m, avec O < m
~+~P;

et pour tout a e O , on a:

Coo(k, a, m) [U - IPk(U; a)] . . . . a <=( k - - ~ m_ ~ I-u]. . . . ah s- m,

(iv) pour m = k [u --Ok(U; a)]k, oo,~ < [U] . . . . ~h ~.

Les espaces de Sobolev d'ordre non entier

307

Dimonstration. 1) Etudions d'abord le cas p < + ~ . a) Montrons clans un premier temps les r6sultats (i) et (ii) lorsque ue~(O), espace des restrictions ~ f2 des fonctions de ~ ( ~ " ) . D'apr6s la formule de Taylor h l'ordre k - m - l , avec re
D'u(x) - D"qPk_ l(u; a)(x) 1

- ( k - m - 1)r ! (1 - t ) ~-~- 1Dku(a + t(x --a))'(x --a)k-mdt, soit encore

D~u(x) -- D'~P k(U; a)(x) 1 1 -.f (1 - - t) k (k m 1 ) -o

~ - 1 ( O k u (a + t ( x - - a)) - - O ku (a)) " ( x - - a) k - m d t,

(3.2)

d'ofi

IID"u(x)- o"~,~(u; a)(x)ll h k- m

<(k - m - l )

1

! ! (1 __f)k-m-1 ilDku(a+t(x_a))_Dku(a)t[ dt.

(3.3)

Utilisant l'in6galit6 de Holder, il vient:

[JD"u( x) -- D"O k(U; a) (x)lf < = (k-m-I)!

(1

-

-

t) "v(k-m- 1)iiDku(a + t(x --a)) --Dku(a)ll p dt,

et apr~s int6gration par rapport g x e t a sur f2 x Q,

[U--Ok(U; a)]~,p,ada I2

hk-m <=((k - m - l ) ! / ]1, ~S(1 - t ) p(k-m- 1)[1Dku(a+t(x --a)) -Dku(a)llVdxdadt

(3.4)

off @ est mis pour t2 x f2 x ] 0 , 1[. Soit qi: ~ ~ F," x ~ " • F, l'application qui ~ (x, a, t) f a r correspondre (x', a', t') d6fini par

x'=a+t(x-a) a' =a

t' = t .

I1 est clair que ~ est un Cl-diff6omorphisme de ~ sur ~ ' = ~ ( ~ ) et que ~ ' est inclus dans 9 . Compte tenu de ce que S (1 + t') v(k-m- 1) t,p, 11D~u(x')--Dku(a')lf dx' da' dt'< + ~ ,

~,

Ix'-a'[ "+v"

308

A.M. Sanchez et R. Arcangeli

puisque u~WS'V(f2), il r6sulte de ( 3 - 4 ) que

S [u--~Pk(u;a)]~,.,ada

I2

<

hn+PaS(1 --t)P(k-m-1)tn+Pa ] ] D k u ( a + f ( x - - a ) ) - - D k u ( a ) [ I P

= (k-m-l)!

dxdadt

It(x-a)[ "+p"

~

et, apr6s changement de variables, m a j o r a t i o n de l'int6grale sur 9 ' par celle sur 9 , puis int6gration en t', on obtient le r6sultat (i) pour tout u ~ ( O ) lorsque p_-<2, puisqu'alors r =p. Lorsque p>2, r=q. Dans ce cas, on modifie la d6monstration pr6c6dente: on part, non plus de ( 3 - 3), mais de l'in6galit6

[[Omu(x) -- Om~k(U ; a)(x)rl hk-m

<= ( k - m - l ) !

1

! 1-(1+ t)k-m-1 t~] [t-~llDku(a + t(x --a))--Dku(a)H] dt + Ce,

off C est une constante convenable et e un n o m b r e e ]0,1[, arbitraire. On applique l'in6galit6 de H61der fl l'int6grale du 2e m e m b r e de faqon fi faire apparaitre

(1--t)r(k-"-~F'dt

la quantit6

~/~, puis on raisonne comme

pr6c6demment et enfin, apr6s majoration, on fait tendre e vers 0 dans le r6sultat obtenu. R e m a r q u a n t d'autre part que, pour tout x~f2 et pour tout asf2, on a l'identit6 Dku(x) --Dg~kR(u; a)(x)= Dku(x) -- Dku(a), (3.5) on en d6duit le r6sultat (ii) pour tout ue@(O). b) Le cas g6n6ral dans (i) et (ii) s'obtient alors en raisonnant par densit6, compte tenu de (2.1). 2) Consid6rons m a i n t e n a n t le cas p = + 0o. Soit ueWS'~(f2). Puisque, d'apr6s (2.3), ueck(~), on a encore la relation (3.2), pour O
hs-m < =(k-m-l)!

1 [[Dku(a+t(x--a))--Dku(a)][ dt, ~o ( 1 - - t ) k - ' - l t ~ it(x_a)l ~

et il vient, pour tout aef2,

[u-O~(u;a)L,

~

<

1) t

(l-t)

~-~-~t~dt

r u ] . . . . o,

d'ofi le r6sultat (iii) lorsque 0 __
(3.5).

[]

Remarque 3.1. Le choix (3.1) de la constante Cp(k,a,m) dans les majoration~ obtenues est justifi6 par le fait que:

Les espaces de S o b o l e v d ' o r d r e n o n entier

Vpe[1, + oo[,

309

Vk~N*,

Cp(k,a,m)<

m
VmeN,

1--t)P(k-m-1)tPOdt

V a i l 0 , 1[:

=C*(k,a,m).

On notera que les valeurs num~riques des constantes Cp(k, a, m) sont connues, puisque C p(k, a, m) = B (r (k - m - 1) + 1, r a + 1), off B e s t la fonction eulOrienne de premidre espdce. D'autres choix que (3.1) sont ~videmment possibles: utilisant de diffhrentes manihres l'inhgalit6 de Hblder ~t partir de (3.3), on obtient, dans la dhmonstration de la proposition 3.1, les m~mes majorations avec des constantes diff4rentes: Cv(k, a, m), C*(k, a,m), c o m m e on l'a d4j/t vu, mais encore par exemple, pour p < + oo,

(

]

~l/ql l ~l/P C'~(k,a,m)= q ( k - m - - 1 ) + l ! \pa+l] ' C~(k,a,m)= p ( k - m - - 1 ) + l

\qa+l]

1 1 -p- + -q- = 1,

=C;(k,a,m).

On v6rifie que, pour p = 2 , on a: VkeN*,

VmeN, 9

m
Vae]0, 1 [:

p

,r

C2(k,a,m)-mln{C2(k,a,m); C2(k,a,m)}.

[]

On a alors le Th6or6me 3.1. Soient f2 un ouvert non vide bornO convexe de R ~ et s = k + a un hombre r~el, avec k e n et a e ] 0 , 1[. Alors, pour tout p e [ 1 , + or] et pour route fonction ueWS, P(f2), on a: (i) pour tout entier m, avec 0 <=m < k,

J Cp(k, a,m) min [u-O]m,~,a<=(mesO)-P(k_m_l)v[U]s,p, nh

~e Pk(~)

s-m+"P,

off Cp(k, a, m) est la constante ddfinie en (3.1), (ii) pour rn=k, 1

min [u--g,]k,p,n<(mes~2)

a+ E

p[u]~,p, rah

P.

OePu(~)

D~monstration. Pour tout p c [ l , + o o], pour tout entier m, avec O<_m<_k et pour presque tout aef2, on a 6videmment min [u -~k]m,p,O= < [u --Ok(U; a)]m,p,~.

(3.6)

Pour p < + ~ , on prend les normes LP(~) des deux membres consid6r6s comme fonctions de la variable a: il vient

310

A.M. Sanchez et R. Arcangeli 1

1

(mes f2) p min [u-~b]m,p,a<(~ [U-Ok(u;a)]P,p, oda) p, ~Pk(~)

d'od les r6sultats (i) et (ii) lorsque p < + ~ , d'apr~s la Proposition 3.1, 1). Pour p= +~, les r6sultats (i) et (ii) d6coulent directement de (3.6) et de la Proposition 3.1, 2). []

Remarque 3.2. Si l'on a d m e t que, dans les majorations (i) et (ii), les termes 1

( m e s t ? ) - 7 et h n/p ~ s e compensent>>, alors on voit que le Th6or6me 3.1 g6n6ralise les r6sultats connus dans le cas des espaces de Sobolev d'ordre entier (cf. par exemple, [31): c'est en particulier ce qui a lieu lorsque f2 est l'616ment g6n6rique d'une famille (9 d'ouverts de ~ " v6rifiant (cf. Ciarlet et Raviart [7]) l'hypoth6se: h V f2~(9, - = a . [] H~r>O, P On d6duit du Th6or~me 3.1 un r6sultat d'6quivalence de normes sur l'espace quotient W~'P(f2)/Pk(f2), 1orsque f2 est convexe.

Corollaire 3.1. Soient f2 un ouvert non vide born~ convexe de ~ " et s = k + a un nombre r~el, avec k~lN et a ~ ] 0 , 1 [ . Alors, pour tout p ~ [ 1 , + ~ ] , il existe une constante C telle que, pour route fonction v~ Ws'P(f2). min

[Iv-Oll~,~,~__< ClVls,~,~.

(3.7)

OePk(12)

DOmonstration. On salt qu'il existe une constante C, ne d6pendant d'ailleurs que de k, n e t p, telle que, pour toute fonction vEW"P(f2),

Ilvll~,p,~ C[[v]L,p,~,

(3.8)

avec 1 k

P

[[V]]s,p,~=(t~'__o[V]~,p,t~§

P

si p < + ~ ,

[ [ v ] ] . . . . ~ = m a x ( m a x [v]l ' ~,~, [v] . . . . ~),

si p = + ~ .

O<_l<=k

Etant donn6 que, pour tout p~[1, + ~ ] et pour presque tout a~f2, on a trivialement min [[u - ~ ] ] s , p , ~ < [[u --r a)]]s,p, ~, le r6sultat suit d'apr6s (3.8) et la Proposition 3.1, compte tenu du fait que

V~e~(o),

[v-r

[]

N o t o n s que la constante C de (3.7) peut 6tre calcul6e explicitement.

[]

Les espaces de Sobolev d'ordre non entier

311

4. Erreur de P-interpolation de Lagrange dans W~'P(~). Etude a partir d'une formule de Taylor multiponctuelle Soient toujours s u n n o m b r e r6el non entier positif, k e n et ere]0, 1[, avec s = k + a. On suppose dans ce paragraphe que ~
+oo

ou p = + oo,

(4.1)

et que (2 est un ouvert non vide born6 convexe de 1R".

(4.2)

Soient P un espace de dimension finie N de fonctions d6finies sur O, tel que (4.3)

Pk(O) = P ~ Ck(fi)

et ~ = {a~}i= 1..... N u n ensemble de points de ~. On suppose que est P-unisolvant.

(4.4)

On notera {Pl}i= 1..... N l'ensemble des fonctions de base de P relativement ~t et /-/ l'op4rateur de P-interpolation de Lagrange relativement /~ ~ (pour la terminologie utilis6e, cf., par exemple, Ciarlet [6]). Enfin, pour toute fonction veCk(~), pour tout a e ~ et pour tout x e O , on pose Rk(V; X, a) = v(x) -- Ok(V; a)(x). Dans ces conditions, on se propose, pour toute fonction uEW~'P(~), d'estimet l'erreur d'interpolation u - H u [on notera que (4.1) et (4.2) impliquent, d'apr& (2.2), que Ws'P(~2)~--*C~ et, plus pr6cis6ment, d'obtenir des majorations des semi-normes [u -Flu]re, p, ~, 0 < m < k. On a d ' a b o r d la

Proposition 4,1. On suppose v&ifi~es les hypothOses (4.1), (4.2), (4.3) et (4.4). AIors, pour toute fonction u e C k+ 1(~) et pour tout i= 1..... N, on a

1) pour l < p <

+or:

(J) IRk(U;ai")[~

2) pour p = + oo :

t

(k--i~.

+ \

[u]~,p,~h

P;

P~

(IJ) si k e N * ,

< C~o(k,G,0)

IG(u;a~,.)10,~,~= ~

[u] .... ~hs,

off C~(k, r O) est la constante d~finie en (3.1),

02~) si k=O,

]Ro(u; ai,-)]o, o o , o ~

[ u ] . . . . n hL

D&nonstration. 1) Supposons que 1 < p < + oo.

312

A.M. Sanchez et R. Arcangeli La relation (3.2), valable pour 1

!AEC k+

1(~,~), s'6crit,

avec x = a i, m = 0 et aef2:

1

Rk(U; a i, a) = (k - 1) ! ! (1 - t) k- l(Dku(a + t(a i -- a)) -- Dku(a)) 9(a i -- a) k dt.

(4.5)

On a donc 6videmment, pour tout beg2, la relation 1

1

Rk(U; ai, a) =(k - 1) ! ! (1 - t) k- l(Dku(a + t(a i --a)) - O k u ( b ) ) 9(a i - a ) k dt

+ ~

1

1

! (1 - t ) k- l(Dku(b) --Dku(a)) 9(a i --a) k dr.

(4.6)

Prenant la norme LP(f2x f2) des deux membres de (4.6) consid6r6s comme fonctions de a et b, il vient 1

hk

-

(mes O)PlRk(U; ai,.)lo,p,a<=(k_ 1)!

(4.7)

~1[l1/p ..1- ~i'l/P)l 2 ,,

avec Jl=

~ .Qxt2

J2 = f flx.O

(i (i

(1--t)k-1]lDku(a+t(ai--a))--Dku(b)]t

(1--t)k-llJDku(b)--Dku(a)lldt

;

dt

)P

dadb,

dadb.

On majore alors Jt comme dans [3]. Ecrivant ~_1

(l--t) k-1

(l-t)

q(1--0 k-l+L-~

off e est un nombre positif tel que k p - p ~ - n > O vient, en utilisant l'in6galit6 de H/51der,

et off q est tel que 1 + 1 = 1 , il P q

P__

Jl<

(J

~

(1 - - t ) P ( k - ~ ) - l l l D k u ( a + t ( a i - - a ) ) - - D k u ( b ) l l P d a d b d t

t2xOx]O,l[

et, apr6s avoir effectu6 le changement de variables a'=a+t(al-a

)

b'=b t' = t ,

on obtient en d6finitive, en prenant e = 1 ( k - ~ ) , P+I

J1 <=

(, [[Dku(a ' ) - D k u ( b ' ) l l p d a ' db'. t2xl~

Les espaces de Sobolev d'ordre non entier

313

On en d6duit la majoration P-+I

Jl <=

[u]P,p,ah "+pC.

(4.8)

On obtient d'autre part imm6diatement 1p

-

[u]f~ ~h "§

(4.9)

et (j) r6sulte alors de (4.7), (4.8) et (4.9). 2) Supposons que p = + oo. Si k e N * , on a, d'apr6s (4.5), pour tout a e f L

hS i IRk(U; al, a)l <(k - 1) ( o ( 1

--

t) k-

1

t a IlDku(a+t(al--a))--Dku(a)[] dt,

[t(ai-a)[ ~

d'ofi h~

'Rk(U;ai,.)[o.~,~ <(k_l)! (i (1--t)k-lt~ dt)[ u] .... ~, et UJ) suit. Si k=O, on a, pour tout aeO,

d'ofl

(jjj).

Ro(U ; ai, a) = u(ai) - u(a),

[]

On en d~duit le Th6or~me 4.1. On suppose v~rifides les hypotheses (4.1), (4.2), (4.3) et (4.4). Alors si {Pi}i=x..... N [resp. H ] d~signe l'ensemble des fonctions de base de P [resp. l'op&ateur de P-interpolation relativement d 2:], on a pour route fonction

ueWS'P(O) et pour tout entier m, avec O
Hu],.p~<-(mes~)-P/l+

1--~-\( u

)

"+"-

. ~r~ k _ ~ ] \i= 1 2)

pour p= + ~ : (jj) si k e N * ,

[u-nu] . . . . (jjj) si

C~(k'a'O) ( ~=l "--< ( k - l ) !

)

hS

~_ [p'] . . . . ~ [ u ] . . . . ~

,

k=O,

[u-HU]o, oo,n<

i]o, oo,a [u] . . . . \i= 1

D~monstration.

nhL

/

Le r6sultat est bas6 sur la relation (cf. Ciarlet-Raviart [7])

314

A.M. Sanchez et R. Arcangeli N

VveCk(O),

Vm=O, ...,k,

D"(Hv --v)(x) = ~ Rk(v; ai, x) D"pi(x),

Vxef2,

i=l

(4.10)

qui, pour m =0, constitute une "formule de Taylor multiponctuelle". On d6duit de (4.10) que, pour tout pe[1, + ~ ] ,

Vv6Ck(~),

g m = 0 ..... k, N

[V-- Hl)qm, p,O ~ 2 [Pi] . . . . ct[Rk(~); ai,')lO,p, t2 9

(4.11)

i=1

1) Pour l < p < + ~ , il suffit de montrer (j) pour u~ck+I(~), le cas g6n&al s'obtenant en raisonnant par densit6, compte tenu de (2.1). Or (j), pour u~Ck+ 1(~), r6sulte de (4.11) et de la proposition 4.1. 2) Pour p = + ~ , le r6sultat est imm6diat, puisque WS'~(f2)cCk(~), d'apr6s (2.3). []

Remarque 4.1. Le Th6or6me 4.1 s'applique 6videmment fi la th6orie des ~16ments finis. On v&ifie en effet, comme dans [3], que si ~ est une famille affine r~guli&e au sens de Ciarlet et Raviart [7] d'~16ments finis de Lagrange (K,P,Z) alors pour tout p c [ l , + ~ ] et pour tout entier m, avec O<_m
Vu6 W~'P(K),

lu --Hu[m,p,K< C[u]s,p, xh~K-",

off h r d6signe le diamStre de K. Le ThSor6me 4.1 g6n6ralise donc les rdsultats connus dans le cas des espaces de Sobolev d'ordre entier. []

Remarque 4.2. On peut trouver des r6sultats analogues ~t ceux du Th6orSme 4.1 en raisonnant par interpolation abstraite entre espaces de Banach ~ partir de r6sultats connus dans le cas des espaces de Sobolev d'ordre entier. D'aprSs un r6sultat de Arcangeli et G o u t [3] (on pourrait 6galement utiliser Meinguet [15] dans le cas p = 2 ) , on a la majoration

Vu~Wk+I"P(f2),

V m = 0 ..... k,

1

lu-llul,,,p,~k!

N o5 B,,= ~ lPil. . . . a, ainsi que ta majoration

1 -

-

k+l --

n BmlUlk+1,p,o hk+l' p

i=1

VueWk'p(t~),

1

Vm=O .... , k - l ,

lu-Iluim, p,a <=(k_l)!

1

n B~'IU[R'p'ahk

k-(et une relation analogue pour re=k: cf. [10]). On en d6duit que

w = o ..... k,

P

ir-r/s.~(w~+~,.(a), w " , . ( a ) ) n f f ( w ~ , . ( a ) , w",.(a)).

Les espaces de S o b o l e v d ' o r d r e n o n entier

315

Utilisons maintenant la m&hode K de Peetre [17] (on pourrait aussi bien utiliser la m6thode des moyennes de Lions et Peetre [14] ou la m & h o d e des traces de Lions, etc...). On sait que, si (W~,P(f2), W',P(f2)o,p , ofa l~N, m~lN et 0~]0,1[, d6signe l'espace d'interpolation de param6tre 0 entre W~'P(12) et W",P(f2) suivant la m6thode K, et []['Nltl-o,+om,p,~ la norme correspondante, alors (Wk+I'P(f2), Wk'P(f2))l_~,p= W~'P(f2), avec 6quivalence des normes, et que (wm'P(f2), W"'P(f2))I_~,p = Wm'P(f2). On v6rifie que, s i p < + o%

{

I_

~l/p

IIl'lllm,~,o-- \ p a ( 1 - c r ) !

IIll.,,p,~.

D'apr6s le th6or6me d'interpolation pour les applications lin6aires, on a V m = 0 ..... k,

I -HeLf(W~'P(f2), W"' P(f2)),

avec

< (111- H I!d
Vue W:'P(O),

Vm=O ..... k,

Ilu-llull~,p,a< C~lllull[:,p,oh ~,

(4.12)

avec, pour m = 0, ..., k - 1 et p < + oo par exemple,

Cm=I~Po(1--~!

\'~~

!k+l

_

k

1)'. k

(4.13)

I1 est difficile de c o m p a r e r les majorations d'erreur (4.12)-(4.13) et les majorations (j) du Th6or6me 4.1, dans la mesure o6 on ne connait pas explicitement les constantes d'6quivalence des normes LI" IIs.p,~ et Ill'llIs,.,~ (on peut d'ailleurs penser que ces constantes d6pendent de Q). On montre cependant le r6sultat suivant: la norme Ill-Ills,~.~ v6rifie la relation (de type-sur-additivit6) M

Vu~WS,~(a),

p IIlulllf,.,o>_-21-~i=1 ~', 11[U]]]~,p,a,,

(4.14)

ot~ l < p < + ~ et off {f21; i = 1 ..... M} d6signe un ensemble fini d'ouverts deux deux disjoints de r6union f2. Cornpte tenu de la relation (4.14), les majorations (4.12)-(4.13) redonnent a!ors les ordres asymptotiques des majorations de rerreur d'interpolation du Th6or~me 4.1.

5. Erreur de p-interpolation de Lagrange dans W~'P(12). Etude par la methode du domaine de reference. Dans ce paragraphe, on suppose toujours que s = k + a est un n o m b r e r6el non entier positif donn& avec k e n et a~]0, 1[, mais on abandonne les hypoth6ses

316

A.M. Sanchezet R. Arcangeli

(4.1) et (4.2): les estimations de l'erreur de P-interpolation de Lagrange dans un ouvert connexe seront obtenues par la m6thode du domaine de r6f6rence (cf. n Ciarlet et Raviart [7]) sous l'hypoth6se minimale: s > - , pe[1, + oe]. P Montrons d'abord une in6galit6 <>. Lemme 5.1. Soient f2 un ouvert non vide born~ de ~,.", f2* un sous-ouvert non vide de 12, et s = k + t r un nombre r~el avec k e N et aE]0,1[. Pour tout pE[1, + oo], pour tout o~eN", 1o~I =k, et pour toute fonction v~W~'P(O), on pose

L(v)= S ~ v d x .

(5.1)

I2"

Alors, pour tout p c [ l , + oo], il existe une constante C telle que

VveW+'P(O).

Ivlk.,.,
D~monstration. On se borne /i montrer le r6sultat pour d6monstration se simplifiant lorsque p = + oe.

l
la

Soient veW"P(f2) et ctelN" tel que [~l=k. Pour presque tout xef2 et presque tout yef2, on a trivialement

~ v(x) = ( ~ v ( x ) - ~ v(y)) + ~ v(y), d'ofi, apr+s int6gration en y sur f2* et majoration du second membre, on obtient, pour presque tout xsl2, (mes f2*)lt?~v(x)[< f 10~v(x)-t?~v(y)[ d y + [f~(v)l, I2"

soit, apr+s utilisation de l'in6galit6 de HSlder et majoration de l'int6grale, 1

1

(mes t2*)10"v(x)[ <(mes f2*)~(~ IUv(x) -O'v(y)l Pd y ) ; +

IL(v)l,

12

o/t 1 + 1 = 1. On prend alors les normes/Y(f2) des deux membres et on 616ve les P q deux membres/t la puissance p: il vient: mesO [L(v)lP}" IO=vlg.p. ~ < 2P-a t(me s t2*)-~ ~ ! ~ IO'v(x) - t3~v(y)[p d x dy + (mes f2*)p Compte tenu du fait que veWS'P(f2), on obtient, apr6s majoration, sommation pour I~1 = k et ~xtraction de la racine p-i~me,

L f h~r+n/p ~-~)l/p Ivlk'p'o<2+ ~(mes O.)l/p Ivl+,p,o-~ (mes mes t2* ce qui ach6ve la d6monstration.

[]

I~k If~(v)l '

Les espaces de Sobolev d'ordre non entier

317

On en d6duit un r6sultat d'6quivalence de normes sur respace quotient WS'P(f2)/Pk(f2), d6jfi d6montr6 lorsque D est convexe (Corollaire 3.1). Th6or6me 5.1. Soient f2 un ouvert non vide born~ connexe dt frontiOre lipschitzienne de ~n et s = k + a un hombre r~el avec kelN et a e ] 0 , 1 [. AIors, pour tout pe[1, + vo-], il existe une constante C telle que YveWS'P(f2),

min IIv - ~,ll~,p,~_<_Clvl~,p,~.

D~monstration. Le r6sultat ~t montrer est cons6quence imm6diate de la relation Vpe[1,+oo,],3C,

IIvL,,,~<=c(lvl~,p,~+ Y.

VveWS'P(O),

IL(v)l),

(5.2)

lal
ou, pour tout ~elN", I~1
Ilumll~,~,~= 1

VmeN*,

(5.3)

lira lu~l~,p,~ = 0 lim

(5.4)

~ If~(um)l=0.

(5.5)

m ~ + o o I:~1=
On peut se borner ~ &udier le cas k e N * , la d6monstration se simplifiant lorsque k = 0 . Lorsque k e N * , il r6sulte des hypotheses faites sur I2 que wk'P(f2) est inclus dans wk-LP(f2) avec injection compacte (d'apr6s un th6or6me de Ne~as [16,] si p < + o o et d'apr~s le th6or6me d'Ascoli si p = + o o ) . On en dbduit qu'il existe une sous-suite (u,,j)j~ N et une fonction ueWk-~'P(O) telles que lira Ilumj--ull~_ Lp,~=0. j~+oo

Mais alors le L e m m e 5.1, compte tenu de (5.4) et (5.5) montre qu'en fait lim Ilumj-ulb~,p,o=O. On v6rifie d'autre part que pour tout p c [ l , + ~,] et pour tout c~e~I",

I~l
f~ est une forme lin6aire continue sur W~'P(f2)

(5.6)

et que, puisque f2* est connexe, (vePk(f2) et lal-
[L(v)l=o)=(v=O).

(5.7)

318

A . M . S a n c h e z et R. A r c a n g e l i

Dans ces conditions, il rhsulte de (5.6) et (5.7) que u = lim umj=0, ce qui contredit (5.3). [] J~ + ~ Rappelons (cf. Ciarlet et Raviart [7]) que deux ouverts f2 et O de IR" sont dits affinement-Oquivalents s'il existe une application lin6aire affine inversible F de ~ " dans IR": ~--~B~+b, avec B ~ ( ~ " , ~ " ) et beR", telle que f2=F(f]). A toute fonction ~: f ] ~ R (resp. ~ toute fonction v: f2~F.,) on associe la fonction v = ~oF- ~ (resp. la fonction ~= voF). Dans ces conditions, on a l e Th6or~me 5.2. Soient 0 et 0 deux ouverts non rides bornOs d frontidre lipschitzienne de ~", affinement-kquivalents, s = k + a un nombre r~el avec kMN et ~r~]0, 1[, et p~[1, + ~ ] . Alors pour toute fonction v appartenant d W~'P(f2), la fonction ~ appartient d W~'P(~) et rkciproquement, et on a de plus: ~+,_ _z (i) VveWS'~(f2) [v']~,p,~
(ii) V~eWS'~(f]),

2

[v]~,p,r~
D~monstration. I1 suffit de vhrifier que si veWS'p(f2), alors ffeW~'P(f]) et de montrer l'in6galit6 (i). 1) Etudions d'abord le cas p < + oe. a) Suppons dans un premier temps que v ~ ( ~ ) . D'autre part, puisque veW~'P(f2), P [v]~,~, ~ - ~•

I1 est clair que f f ~ ( ~ ) .

IIDkv(x)--Dkv(y)llP d x d y < + oo. ix _ yl.+p ~

L'apptication (x, y)k-~(F- ~(x), F - l(y)) = (~, ;) 6tant un Cl-diff6omorphisme de t2 x t2 sur ~ x ~, on a Iv]if, p, o=ldetBI2 f~!D

IIDav(F(d))- Dkv(F(Y))IiP dd d y. IF(~)-F(~)I "+p~

Or, on v6rifie ais6ment que V~,

Vy~f],

IlDkff(d)--Dkff(~)ll
(5.8)

Comme, d'autre part, V2ef],

Vy~,

IIF(~)-F(3~)II< Ilnl1112-Yll,

(5.9)

on en d6duit que P [v']f,p, fi < Ilnflpa +"+ P'ldet n l - 2 [ ~3]s,p,o,

d'o6 le r6sultat lorsque ve~(ff). b) On consid6re alors l'application lin6aire q~: v~--~tT. I1 rhsulte du a) et de r6sultats analogues (cf. [62) pour les semi-normes [']t,p, fi et [']t,p,~, O
Les espaces de Sobolev d'ordre non entier

319

que 4) est un op6rateur lin6aire continu de ~(O), muni de la topologie de W~'P(O), darts W"P(O). Raisonnant par densit6, compte tenu de (2.1), on montre que (p admet un unique prolongement ~eLf(W',P(O), W',P(~'2~) et que q5 est encore d6fini par 4~(v)= ~. Le r6sultat suit, pour 1 < p < + oo. 2) Consid6rons maintenant le cas p = + oo. Soit vEW"~176 Alors v~Wk'~(O), ce qui (of. [6]) implique que 13~wk'~176 I1 suffit donc que l'on dSmontre que [v*],,p,b< +oo. Or, d'aprSs (2.3), vEcR(~), ce qui entratne que ~?~ck(-~). Utilisant l'in6galit6 (5.8), encore valable pour ~?~ck(o), il vient [v'] . . . . b < iIB II* s u p ess IIDkv(F(x))- Dkv(V(;))ll o• I~--y']~ ' d'ofl, compte tenu de (5.9), le r6sultat lorsque p = + ~ .

[]

On a alors le Th6or6me 5.3. Soient p ~ [ 1 , + ~ ] , f] un ouvert non vide bornk connexe d frontikre lipschitzienne de ~", m e n et qe[1, + ~ ] tels que

w,.~(b)~wm,~(~). Soit I1E~f(W~'P(O), W~'q(f2)) tel que

v ~P~(~),

flF=,L

Enfin, pour tout ouvert f2 affinement-)quivalent d ~, soit 1I o l'op~rateur d~fini par /'~ Vv~ W ~'P(f2), 1-1~v= fl~. Alors il existe une constante C telle que, pour tout ouvert ~ affinement~quivalent fi ~, 1 2 hS+-~ Vur lu-II~ul,,,,q,o<=C(mesO)q "tul~,,~,~ pr,,' off h ddsigne Ie diamdtre de (2 et p te maximum des diam~tres des boules contenues dans f2. D~monstration. Analogue h celle du r6sultat similaire dans le cas des espaces de Sobolev d'ordre entier (cf. Ciarlet [6]), en utilisant les Th6or+mes 5.1 et 5.2. [] Remarque 5.1. C o m m e le Th6or&ne 4.1, le Th6or+me 5.3 s'applique ~ la th6orie des 616ments finis et g6n6ralise les r6sultats connus dans le cas des espaces de Sobolev d'ordre entier. Soit en effect ~ une famille affine rOgulidre d'616ments finis de Lagrange (on se limite au cas de l'interpolation de Lagrange pour rester dans le cadre de notre 6tude, mais le r6sultat est g6n6ral) dont l'616ment g6n6rique et l'616ment de r6f6rence sont respectivement not6s (K, P, 27) et (/s /3, Z) [cf. [6] pour les notations utilis6es], et soient s = k + a , avec k e n et a ~ ] 0 , 1[, p~[1, + ~ ] , m e b l et qe[1, + ~ ] tels que:

320

A.M. Sanchez et R. Arcangeli r/ P

w=,~(g)~w",~(g), ~(g) c P c w m,q(g). O n v6rifie alors, c o r n m e d a n s [6], q u ' i l existe une c o n s t a n t e C telle q u e 1

V(K,P,Z)sff,

gu~W='V(K),

Off h x d & i g n e le d i a r n & r e L a g r a n g e r e l a t i v e m e n t / t 2;. Suppons maintenant que

1

lu-HKulm, q,K
et /-/K l ' o p 6 r a t e u r

(5.10)

de P - i n t e r p o l a t i o n

de

{K,~(K,P,X)6~}= U "Yh, h E ,,~

off (~)hE~r dOsigne u n e famille de t r i a n g u l a t i o n s de l ' a d h 6 r e n c e d ' u n o u v e r t f2 de P-.", a v e c h = r n a x h r . A l o r s si q

p, m o y e n n a n t une K~oq-h

~ h y p o t h 6 s e inverse)> sur (9-~h)h~e), o n p e u t d 6 d u i r e des m a j o r a t i o n s locales (5.10), par <~recollement)~, des m a j o r a t i o n s globales de l ' e r r e u r d ' i n t e r p o l a t i o n , c o m p t e t e n u d u fait q u e

Vh~Xe,

U K x K c ( U K)x( U K)=axo. K E,Y-h

Pour p=q=2,

K ~Y h

K eJh

on obtient par exemple 1

VheJr

VueW"Z(O),

( 2 lu-H~u[~,z,~)2
Remerciement. Nous remercions J.M. Thomas, dont la curiosit6 est 5. l'origine de ce travail, ainsi que L Thibault, pour l'aide qu'ils nous ont apport6e.

Bibliographie 1. Adams, R.A.: Sobolev spaces, New York: Academic Press 1975 2. Adams, R.D., Aronszajn, N., Smith, K.T.: Theory of Bessel potentials, part II. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 17, 1-135, (1967) 3. Arcangeli, R., Gout, J.L.: Sur l'6valuation de l'erreur d'interpolation de Lagrange dans un ouvert de R". R.A.I.R.O. Anal. Numer. 10, 5-27 (1976) 4. Bramble, J.H., Hilbert, S.R.: Estimation of Linear Functional on Sobolev Spaces with Applications to Fourier Transforms and Spline Interpolation. S.I.A.M.J. Numer. Anal. 7, 112124 (1970) 5. Bramble, J.H., Hilbert, S.R.: Bounds for a Class of Linear Functionals with Applications to Hermite Interpolation. Numer. Math. 16, 362-369 (1971) 6. Ciarlet, P.G.: The Finite Element Method for Elliptic Problems, Amsterdam: North Holland 1978 7. Ciarlet, P.G., Raviart P.A.: General Lagrange and Hermite Interpolation in R" with Application to Finite Element Methods. Arch. Rat. Mech. Anal. 46, 177-199 (1972)

Les espaces de Sobolev d'ordre non entier

321

8. Ciarlet, P.G., Wagschal, C.: Multipoint Taylor Formulas and Applications to Finite Element Method. Numer. Math. 17, 84-100 (1971) 9. Dupont, T., Scott, R.: Polynomial Approximation of Functions in Sobolev Spaces. Math. Comput. 34, 441-463 (1980) 10. Gout, J.L.: Th6se, Pau (1980) 11. Grisvard, P.: Commutativit6 de deux foncteurs d'interpolation et applications. J. Math. Pures Appl. 45, 143-290 (1966) 12. Grisvard, P.: Behaviour of the Solutions of an Elliptic Boundary Value Problem in a Polygonal or Polyhedral Domain, Numerical Solution of Partial Differential Equations III, Synspade 1975. Hubbard, B., (ed.). Academic Press, New York, 207-274 (1976). 13. Lions, J.L., Magenes, E.: Probl~mes aux limites non homog~nes et applications t. I, Dunod, Paris (1968) 14. Lions, J.L., Peetre, J.: Sur une classe d'espaces d'interpolation. Publications Math~matiques de I'I.H.E.S., Paris, 19, 5-68 (1964) 15. Meinguet, J.: Structure et estimations de coefficients d'erreurs. R.A.I.R.O. Anal. Numer. 11, 355-368 (1977) 16. Ne~as, J.: Les m6thodes directes en th6orie des 6quations elliptiques. Paris: Masson 1967 17. Peetre, J.: Espaces d'interpolation et th6or~me de Soboleff. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 16, 279-317 (1966) 18. Sanchez, A.M.: Th+se de 3~me cycle, Pau (1984) 19. Scott, R.: Applications of Banach Spaces Interpolation to Finite Element Theory, preprint (1978) 20. Strang, G.: Approximation in the Finite Element Method, Numer. Math. 19, 81-98 (1972) Received February 24, 1983 / March 20, 1984