H-Simplifiabilit6 et les Equivalences Rn, TH et S~ (*). Lov~s LE~[mcx (Montr6~l, Canada)
R@sum$. - ~ous montrons ici que les 6quivale~ces SH et T~ coincident si H est un complexe ]iqt,i d'un demi-groupe D. 2~ous i~troduisons la notio~ de dem/i-grou~e H-sempliJ~able h gauche et nous monstrous que tt n S~ sin les dem~groupes H-simpli]iables h gauche. 2~ous montrons ensuite que P(E) (te demi-treiUis des parties de 1~) v&'i]ie la co~ditio~ (p), aiusi que tous sez eoraplex~s, et sont p-lofts ~ droite. L'~qu~vale~ee T~, restrei'ate ~ P ( ~ ) - W(E) est l'dgalitd. ~Vous don~ems ensuite des exemples simples de demi-treiUis p-lofts h droite eq* gen. drds ~ t'a~de de la condition (~) ~ar des demi-t~'eillis non 1a-lofts ~ droite. Bn]in, nous mon. trons que si u~ eom~lexe 1t d'un demi.treillis T veri]ie la condition (p), T H est quasi.sire. pll]~able et que si TH est quasl-simpli]iablc, H est p.]ort. =
Introduction. Duns d e u x m6moires d6j~ publi6s duns ces Annales (voir [1] et [5]) nous avons 6tudi6 deux 6quivalences r6guli~res ~ droite T H et S H associ6es ~ l'6quivalence principale ~ droite ~ tCa d6finie p a r PAuL DLT~RE~L ([3] et [2], p. 233). Nous comparons ici les 6quivalences/~H, T~ et S~ sur certaines classes de demigroupes ou de sous demi-groupes at ajou~ons quetques r6sultats sur la quasi-simp]ifiabilit~ de Ta sur les demi-treillis. Rappelons d ' a b o r d les d6finitions et propositions qui nous serviront par la suite (voir [1] et [5] p o u r les preuves).
1. - Equivalences r@guli~res /t droite Tn et SH. Soient H u n complexe e t a u n p a r H l a la /amille H / a : lhl ." al,,e . Si H ne eontient qu'u~ 616merit H / a est une famille d'ensembles jamais vide puisque m~me si W H =
616ment d ' u n demi-groupe D. N o u s ddsignons (1). h, f h l / a = th." a l. alors que H . ' a est un ensemble. H / a n'est D, H / a = t Ol.
DI~FINITION 2.1. -- Soit H u n complexe d ' u n demi-groupe D, ddfinie dans D d partir de H~ en posant: aTHbc=>H/a= H/b
Y . est u~e relation
a, b e D .
P~OPOSITION 2.2. - L a relation T R e s t une 6quivalence.
(*) Entrata in Redazione il 9 ottobre 1971. (1) I1 est entendu que quel que soit le nombre des @l~ments h~ de H tels que h 5 ." a soit vide, ~ n'apparait qu'une seule fois comme 61@ment de H/a.
46
Lou~s L]~Evx:
2. -
H-simpliJiabilitd et Ies dquivalenees R n , T n et S~
Remarque.
Si aT~b, nous p o u v o n s 4erire a ~ b (rood. T~) ou s i m p l e m e n t a ~ b(T~.). Si a et b ne s o n t pus ~qaiva.lents m o d u l o TH, o n ~crit a ~ b(T~). L a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e p e a t servir de d4finition 4 q u i v a l e n t e ~ l%quivalence T~. PROPOSITION 2.3. - a T z b ¢~Vh~ e H, ~ h~, h~ e H leIs que hi ." a = h~ ." b e t h~ • b -= h~; ." a, a, b ~ D. D u n s eertains eas, il est c o m m o d e de consid4rer c o m m e g q u i v a l e n t s les 414men~es a, b de D tels que H / a et H / b diffgren$ u n i q u e m e n t p a r c e que l ' e n s e m b l e v i d e a p p a r t i e n t l ' u n e de ces familles et n o n ~ l ' a u t r e . C ' e s t p o u r q u o i n o u s allons d4finir u n e a u t r e r e l a t i o n d u n s D, voisine de l'~quivalenee T z . X e e t t e fin, d4signons p a r P * ( D ) la famille des p a r t i e s n o n - r i d e s d ' a n d e m i - g r o u p e D. P * ( D ) -= I X ] X c_D, X ~ 0 I P o s o n s H 7~ a = H / a (3 P * ( D ) , a e D. D£FINITION 2.4. -- Soit H u n d partir de H en posant:
eomplexe de D.
a S , b <:~ H C a = H C b
S~ est une relation dd]inie dans D
a, b e D .
P R o P o s I ~ I O ~ .°.5. - L a relation S~ est une dquivalence. THI~0Rt~fE 2.7. -- L e r~sidu d droite g~,, s'il n'est pas vide, est une classe modulo T , et S n . TJ~£om~m~ 2.8. - Soit H c D u n eomplexe d ' u n demi-groupe.
On a
T~ c_ Srr C R ~ . T]~£0~g)Xg 2.11. - Les dquivalenees T H et Sxr sont rdguli~res d droite.
3. -
Definition.
H est u n eomplexe fort dans D si H • a ~ H " b => H • a = H " b, a, b e d
( d ' a p r b s [23,
p. 235)(1). (1) E t a n t donn6 deux ensembles E 1 et E 2, E ~ E 2 signifie E l n E 2 ~ = O. De m5me~ JC1, 5Ce 6rant des farailles &ensembles. JC1 ~5C2 signifie iei N1 ( ~ N 2 : ~ { 0 / e t ¢ / 1{ t d~signant une famille vide &ensembles. En d'autres term es, ~1 ~ 5C2 signifie que 3X tel que X:/: O, XeJC1, XeJC2.
L o u i s L]~IIEUX: H-simplifiabilitd et les dquivalences R . ,
haDest
fortdansDsih
est fort car D.'a
"a~h.'b~h.'a.--h.'b,
a, b a D .
ft'n et Sn
47
Tout demi-groupeD
= D, ~ a a D
COrOLLAtE 1.2. - h~ ' a # h ~ E n effet, h ~ . ' a ~ h ~ . ' b
"bet h~..'a=h~ "b~h~.'a=h~ 'b. (t h ~ . ' a = h ~ " b ~ h ~ . " b ~ h ~ "b. D ' o f i h ~ = h ~ : et hs "a--=-
=: h~ "b
Un eomplexe H d'un demi-gro~pe D est dit p-fort ~ droite si
D~I~I-NITIO~" 3.5. -
H/a ~H[b ~ H/a =- H/b
a, b ~ D .
Un complexe H est p-fort it droite si et seulement si h~ "a ........h j . ' b ~ = O ~ H / a - - H / b
h~, h j e H ,
e t p ~ r s u i t e a ~ b(Tn). TIt]~OR.~[E 3.9. - Si H est p-]ort d droite, Sn--= T , . T H ~ O R ~ r E 4.6. -- Darts un demi-treillis 2', la relation
h~ ." a = hj " b ~ 0
entraCne h~ .... hj .
D ~ F I ~ I T I 0 ~ 4.15. - Un triplet ordonn6 (h, a, b} d'un demi-treillis T e s t un ensemble th, a , b t de T tel que h > a , h > b , a ¢ b avec en plus la condition a > b si aOb. C0~VE~T]ON 4.16. - Quand nous dirons que des dlgments h, a, b de T ]orment un triplet ordonn6 (h, a, b}, nous supposerons toujours qu'ils out 6t6 d'abord choisis dan un ordre tel que si le deuxi~me 6lgment est comparable au troisi~me, aIors il est strictemerit plus grand que ce dernier. C e t t e c o n v e n t i o n n ' e s t p a s n S c e s s a i r e si a e t b n e s o n t pas compatibles.
C0~DITION (p) 4.17. - Un triplet ordonn6 (h, a, b), vdri]ie la condition (p) si et seulement si 3c~T,
cOa
tel que b ~ c < h
et a c = h .
P l u s g ~ n ~ r a l e m e n t , un complexe H d'un demi-treillis I' vdrifie ta condition (p) si et seulement si tout triplet ordon~t6 (h, a, b} h ~ H, a, b ~ T, vdri]ie la condition (p). lgE~fAt~QUE 4.18. -- Si (h, a, b} e s t u n t r i p l e t o r d o n n 6 v ~ r i f i a n t l a c o n d i t i o n (p), l'~16ment c t e l q u e b < c < h n ' e s t 5gal ~ b q u e si boa. S i n o n , c = b e t boa e n t r a i n e cOa, ce q u i e s t c o n t r a d i e t o i r e .
LoIJts L E ~ I E v x : H-simplifiabilitd et les dquivatenoes Ra, T~ et S~
'48
CO~OLLAI~E 6.21. -- Ni H C_T vdri]ie la conditio¢~ (p), alors
c'est immgdiat. CO~OLLAI]~E 6.22. -- Si H C_T vdri]ie la condition (p) et si H'c_ H, H ' vdri]ie la condition (p) et H' cst p-loft g droite (1). E n particulic~', si T v&ifie la condition (p) tous se complexes vgri]ient la conditio~ (p) et sont p-lofts dz droite. Ttt£O~:,g~IE 4.26. - Un demi-treillis T e s t p-/ort ~, droitc si et seulemcnt si T v&iJie
la condition (p).
4. - Simplifiabilit6 de Sz et TE. l%~ppelons 1~ d ~ f i n i t i o n s u i v a n t e ([2], p. 237): ~tne dquivalence S est simpli/iable
d droite sur un corap~exe K de D si axcK,
a'x~K
et
ax -~ a'x(S)
e n t r a i n e n t a -==a'(S).
Si K : D, S est dite simpli]iabIc h droite. P n o i , osITIO~" 5.5 - Une dquivalencc S est simp~i]iabIe h droite sur K c D si et seu-
lement si x =-$'(S) x "a~x'.'a ~
x, x ' c K %a~D
entrainent a=--a'(S)
5. - Quasi-simplitiabilit6 de ~H et T~. ])]%'INITION 5.10. -- Une dquivalence t~ cst elite quasi-simpli]iabIe d droite sur un complexe K de D si los relations: i)
x =x'(R),
2)
x.'a-~x'.'a'¢O
x,x'eK e n t r a i n e n t a ~-- a ' ( R ) .
Tmgo~#.~IE 5.11. - Toute dquivalence simp~i]iable d droite sq~r un complexc K de D est q~asi-simp~i]iablc ~ droite sq~r K . Fin
des
r~ppels.
LOUIS LEMIEUX: H-simplifiabi~itd et les dquivalenees tg~t, Tn et S~
49
6. - Comparison des 6quivalences Ra, Ta et ~ . T ~ o l ~ v m 6.1. - Soit tt, un eomplexe d'un demi-groupe D. Si l'dquivalence prinvipa~e d droite R~ es~ P~galitd, ators R~ = S~ = T~. I1 suffi¢ de m o n t r e r que / ~ 7 S . c Tn. Si R~ est l'6galit6, on a ~ b(/~z) <=~ a ---- b
.'. a ~ a(R,) ~ a =- a(S,)
a, b ~ D
et
a -~ a(T H) ,
les relations S H e t T . & a n t r6flexives. T H g O ~ ] ~ 6.2. - Si t t est un eomp~exe fini de D, Su = T~. E n particulier si D est un demi-groupe fini, S , = TH, V H C_D (1). Soit H = lh~l ( i - - 1 , 2, 3, ..., n) un complexe fini de n 616ments de D. I t suffit de m o n t r e r que S , c T~.
Soit a ~-- b(S,), a, b e D : 1) Si a, b ~ W , , a ~ b(TH) (th6or~me 2.7). 2) a e WH et b ~ W , , ou l'inverse, est incompatible avec l'hypothSse a ~-- b(SH). 3) Si a 6 W,, b 6 W,, il existe h~, hs~ l t *e]s que h~ ." a ¢ O e y h~ ." b ¢ O. D'ofl
0 ~ a encore a ~ b(TH). Sinon: a ~ b(TH) ~ t t / a ~ tt/b Comme H ~ a = H/a n P*(D) et H ~ b ==tt/b n P*(D).
Or, 0 ~ P*(D), H/a ~ tt/b
et
H ~ a = tt ~ b entratne,
0 e tt/a
et
0 ~ H/b
ou l ' i n v e r s e .
(1) Pour des d6finitions directes &ensemble fini (c'est-~-dire l'ind6pendantes de la notion de nombre naturel), voir [2]. p. 46 et note (I). pp. 401-410. Un expos6 syst6matique de 27 des d6finitions les plus connues &ensemble fini et l'&ablissement de leur ~quivalence font l'objet du m6moire: Louis LLMI~VX, Sur les ensembles finis, Facult6 des Sciences, Universit6 de Montr6~l, ~ofit 1957. 4 -
Annati
di
~,~[alemaliea
Loves L]~EVx:
5O
tt-simpti]iabilitd et les dquivalenees Ra, T~ et S~
P r e n o n s 0 ~ H / a et 0 ¢ H/b. OCH/b~h~.'bV:O
Vh~eH
.'. 11~b contient n quotients non r i d e s et 11 ~ b ~galement. D ' ~ u t r e p~rt~ 0 ~ H / a ~ ~ h~ ~ H tel que h~ ." a = 0. P ~ r d6finition~ 0 ¢ H ~ a .'.hj.'a¢tt÷a. 11 ~ a est done une furnille d ' e n s e m b l e s c o n t e n a n t a u plus ( n - - 1 ) 614ments ~lors que H ~ b en contient n, .'.H~
aV=H~ b
(deux fumilles 4gales ~ y a n t le re&me n o m b r e cardinal). D'ofl a ~ b(S~) ce qui cont r e d i t l'hypoth~se. D u n s ¢ous los cas, Sg_c T . . L'~gulit~ s'en suit. E n purticulier, si D est fini, tous sos complexes sont finis et le th~or6me s'~pplique. 0OROLLAI2~E 6.3. - P o u r que £'H et T z di//&ent, il ]aut que H ne soit pas /ini, a /ortiori que D soit pas /ini (~). CO~OLLAIR:E 6.4. -- Si 1t est un complexe de D ne eontenant qu'un seul gldment, E n effet, soient H = lel ( c ~ D ) , a e t
b deux ~lSments de D.
R~ c Tz ~ e~r
a =- b(R,) ~ e . ' a
=
e.'b.
D'o~
ic "a/----/c hi, .'. 11[a = tt/b ,
a = b(Tn)
et
R~ _c T a .
I t r~sutte que
D]~FINITION 6.5. -- Soit t t c_D un complexe. Un dldment a de D est dit l t - s i m pli/iable d gauche si la relation ax = ay = h E 1t entra~ne x = y. ~i tous los dl~ments de 1) sont 11-simpli/iables ~ gauche, D est appeld 11-simpli]iable h gauche. (1) Pour des d6finitions directes d'ensemble fini (o'est-~-dire ind~pendantes de la notion de nombre naturel), voir [4], p. 46 et note (~), pp. 401-410. Un expos4 syst4matique de 27 des dgfinitions los plus eonnues (suite (1) page suivante).
L o u i s LE~tIEUX: H-simpli]iabilitd et les dquivalenees R n , T~ et S~
51
Lorsque H est t o u t le demi-groupe D, cette d4finition est 4quivalente ~ la r~gle de simplification ~ gauche sur D ([2], p. 85). PgOPOS~TmN 6.6. - S i 1t est u n complexe d ' u n demi-groupe D qui vdri]ie la r~gle de simpli/ieation de gauche, D est 11-simpli]iable de gauche. L a conclusion se d4duit d i r e c t e m e n t de la d6finition de la r~gle de simplification gauche et de la d4finition qtti 10r~c~de. PgOPOSITIO~ 6.7. -- S i a e D est H-simpli]iable de gauche sur u n eomplexe t t de D et si 11'C H , a est 11'-simpli/iable de gauche. E n effet, si t t ' Ct t , ax = ay = h' ~ H ' ~ ax = ay = h' e H .'.x---y .
T H ~ O ~ I E 6.8. - Soit 11 u n complexe de D. S i D est H - s i m p l i / i a b l e de gauche, R R - - S~ et R~, = S H, p o u r tout H'c_ H . E n particulier si D vdri]ie la r~gle de simpli/ication de gauche, R ~ - - S~ p o u r tout complexe H de D. Soient / ~ - - f h ~ l ~ u n complexe de D e t a e D. h ~ e / / ~ h~ " a - 0 ou h~ . ' a = lull, a n ensemble unit~ire (i). E n effet, x e h~ " a
et
y ~ h~ ." a ~ ax = ay = h~ .
Comme D est H-simplifiable ~ gauche, x = y
.
Montrons que RRc_ S H. L'dgalitd de R z et de Sn sera prouvge.
Soient a, b e D
tels que a ~ b(RH):
1) S i a, b a W~, a -~ b(R B e t
a ~ b(S~) (th4or~me 2.7).
2) On ne peut pas avoir a e Wa et b ~ Wn, ou l'inverse, (th~or~me 6,2, 2 ~ p~rtie). 3) S i a ~ VV~ et bC W , . (1) a ~ b(RE) :~ H . " a = H . " b, ¢ 0 .
(2) (3) D e
5
h~ETI
R.'b
~a~=ht;'a
=
Z
last •
(1) Un ensemble tmitaire est un ensemble ne cont~nant qu'un seul 414ment.
52
Lows LE~UX:
H-simpli/iabititd et tes dquivalences R n , T , ct S z
Les relations (1), (2) e~ (3) e n t r a l n e n t :
D'ofl
l j1 =
n
.'. H / a (~ P * ( D ) : H / b ~ P * ( D ) , H ~- a = 11 ~ b
et
a =---b(S~) .
D u n s tous les eas, a ~- b(Rz) => a ~- b(S~) .'. R H = ~ , . Si H ' c _ H , d'apr6s la proposition 6.7, D est H'-simplifiable ~ guuche. Enfin, si D v~rifie lu r6gle de simplification ~ gauche, D est H-simplifiable ~ g~uche p o u r t o u t eomplexe HC_D (proposition 6.6) et le th6or6me s'applique. C01¢0LLAn~E 6.9. -- Une condition ndcessaire pour que t{~ V= S= et t~= ¢ T , ( H C_D) est qu'il existe a e D et h ~ t t teLs que l'dquation ax = h admette au m o i n s deux solutions distinctes. Si Vh e / / e t et V a e D .
Va e D l'6quation ax = h n ' a d m e t ~ucune solution, h ." a = 0, ~/h e H
.'. Wn : D
et
/~z = S= :
T. : At .
Si l'6quation ax = h a d m e t uu plus une solution unique quels que soient h e H e t a e 39, ulors ax:ay=heH
~x=y,
Vh~H.
D est H-simplifiable ~ gauche, ce qui entraine, d'apr6s le th6or6me 6.8,/~H---- S~. . ' . P o u r que I ~ ¢ = S H , il f a u t que a x = h a d m e t t e a u m o i n s d e u x solutions distinctes. Enfin, si I~:/:S~,I:Rv:T z car / ~ = T H ~ / ~ : S~. • ".
COI~OLLAIRE 6.10. - S i D est H-simpli/iable d gauche et si la division ~ droite de tout h e H p a r u n dldment quelconque a ~ D est toujours possible (h . ' a ~ 0), alors $¢H = S z = TH"
LOUIS LE)IIEUX: H-simpti]iabilitd et les dquivalenves R~, T~ et S~
53
E n effet, si D est H-simplifiable h. gauche, /~,~= S~ (theor~me 6.8).
Si de plus, h • a f= O, Vh e H, Ya ~ D, alors 0 ¢ H/a quel que soit a~D
et
H/a
=
H/a ~ P*(D)
:
H
+
a.
I1 s'en suit que S ~ = T~ et R a = S ~ = T z. CO~OLZ~E 6.11.
-
Ra = S~ = T~ pour tout complexe H d'un groupe G.
En effet, un groupe G verifiant la r~gle de simplification ~ gauche est H-simplifiable quel que soit H_c G. De plus, la division est toujours possible s u r u n groupe. I~E~rA]~QUE 6.12. -- Si D e s t H-simplifiable ~ gauche, d~apr~s le theor~me 6.8 /¢~ = SB, mais R~ n'egale pas n~cessairement T~ comme te montre l'exemple suivant: Soit i v = I1, 2, 3, ..., n, ""l le demi-groupe des entiers naturesl par rapport ~ la multiplication, iV verifie la r~gle de simplification ~ gauche, donc iv est H-simplifiable gauche et R ~ - S R pour tout complexe H de h r. Cependant /~B~ T~ iv " l = i v ,
[2},/3/, ..., b}, ...t, N/2 =/Io},
[21, {3}, ..., b}, ...[,
N.'2=N,
1 ~ 2(R~.) et I =:2(S=), mais l # 2 ( T = ) car OEN/2 mais O ~ N ] I .
I~,Ei~At~QUE 6.13. - 21t,-- S,, ou RH,= TB,, VHrc_H n'entraine pas que /) soit H-simplifiable ~ gauche somme on peut le constater sur D = I1, 2, 3, 41 par rapport Foperation d~finie par la table: TABLE 1
2
1
1
2
2
3
3
3
4
4
4
I
Ra = S~ = T~ quel que soit H c/9~ mais D n~est pas D-simplifiable ~ gauche ( D n e verifie pas la r~gle de simplification ~ gauche) car 2.1 ----9.2
msis
1 ~ 2.
54
Louis LE~Evx:
H-simpli]iabilit6 et les dquivalenees R~, TR et Sn
RE~AI~QUE 6.14. -- P o u r q u ' u n demi-groupe D ne soit pus H-simplifiable ~ gauche, il suffit qu'il existe deux 416ments a, b de D tels que a =--b(RH) e t a ~ b(SB). E n particulier, pour qu'un demi-groupe D lie soit pus D-simplifiable ~ gauche, c'est-~-dire pour qu'il ne vdri]ie pas la r~gle de simplification ~ gauche (en partieulier, que D ne soit pus u n groupe), il su]]it que S~:/= tt (R~ 6rant l'6quiv~teiice universelle #). ] ~ E ~ l ~ q l m 6.15. - Si D est H-simplifiable ~ gauche et si D est fini, ehaque ~14m e n t h de H n'appurMt qu'une lois pal' rang6e duns la table de multiplication car bx-~by = a ~ x = y .
7. - D e m i - t r e i l l e s et c o n d i t i o n (p).
Ensemble P(E) des parties d'un ensemble E. On suit que l'ensemble P ( E ) des parties d'uii ensemble E, ordonn6 par l'inelusion, est un treillis eomplet. L~ borne sup6rieure est 1s r6union au sens de la th6orie des ensembles. P ( E ) est uii demi-treillis eomplet (i). T I ~ o ~ v m 7.1. - Soit P ( E ) re demi-treillis des parties d'un ensemble E, ordonnd par l'inclusion P(E) vdri]ie la condition (p). L a relatioii d'ordre partiel 6t~nt l'inclusioii, et l'op6ration la r6union, ona
X~_Y~XUY~--
:YuX:X
X,Y~P(E).
Soit (H, A, B} un triplet ordonn6 d'616Inents de P(E). Ii suffit de m o n t r e r que ( H , A~ B} v6rifie la condition (p). P a r d6finitioii, H o A , H o B , AV=B avec en plus A o B si A O B d'ofi, H=/: O,
A :/:0.
Posons (7 --- A ' U B ou A ' est le compldment de A duns tt. Comme A ' = Ixlx EH,
x¢A l oH, on A' V=0
puisque
A cH
et
A'eP(E)
car
A'cHc_E
ainsi que Co_H, ear A ' c H et B c H. L'eiisemble C v6rifie les relatioiis suivantes: a) B_C C imm6diat. (i) [2], pp. 48, 50 et exemple 2, p. 54. Un demi-treiltis T est complet si route parties non vide do T poss~de une borne sup6rieure. Un demi-treillis fini est eomplet.
L o v I s LE~I~Eux: H-simp~i]iabilitd et les dquivalences R~, I'~ et Sa
b) C o g .
55
E n effet, A @ B et si AOB, alors A ~ B
.'. 3 x 6 A
tel que
x~B
i.e.
3x6A'
et
x6B,
.'.x6C=:A'WB. I1 suit
x~AcH
(1)
et
x6C,
par eons4quent, C ~ H, d'ofi C c H. c) C¢,)t A. D'apr~s (1), A ~ C. Inversement, C ~ A, car
C c _ A = ~ A ' u BCA=>A'c_A , ce qul eat contradictoire.
d) A u C = H ,
car A U C = A W A ' U B - - H W B = H .
L'existence et les propri~t4s de l'ensemble C entraine que ( H , A, B} v~rifie la condition (p). G0~OLLAII~v, 7.2. - P(E) et tous ses complexes v&i]ient la condition (p) et sont p-]orts h groite. C'est un eas particulier du Corollaire 4.22. C01~0LLAIRE 7.3. - Si H est un comp~exe de P(E), l'dquivalence Tz, restreinte d P(E) -- W~, est lYgalitd. En particulier, si H est net d droite, alors T , = ~ dans P(E). Ceci d4coule de la description des classes modulo T : , lorsque H vSrifie 1~ condition (p).
Exemples simples de demi4reillis pqorts ~ droite engendr&, ?~l~aide de la condition (p), par des demi-treiUis non p-/orts d droite. Pour qu'un demi-treillis T n e soit pas p 4 o r t droite, il suffit qu'il existe dans T a n triplet ordonn4 ne v~rifiant pus la condition (p) (th~or~me 4.26). Darts ehacun des exemples suivunts (g l'exception du dernier) un demi-treillis non p-fort g droite est d4fini p~r un diagramme, ainsi que le demitreillis p-fort g droite qa'il engendre g l'aide de la condition (p). Zes triplets ordonn~s ne v~rifiant p~s la condition (p) sont successivement ~limin~s. L'~quivalence T r ~tant l'~galit4, pour v&~ifier si un demi-treillis eat p-fort g droite, il suffit de mont~er l'existence de deux quotients ~gaux (h . ' a = h .'b ¢=0) et non vides par des 414merits distinets de T.
LovIs LE~IEUX: H-simpli]iabi]itg et Ies ~quiva~ences _Rn, T~ et S~
56 E x ~
7.4. - T = IX, a, b, cI (sans le pointill6) n'est pas p-fort ~ droite ear
h "a=h
" b = l h , c I.
ne v6rifie pas la condition (p).
\ b
T, = lh, a, b, c I (avee le pointill6) est p-fort b~ droite et v6rifie la condition (p). EXS~PLE 7.5. -- T----/h, d, a, bI n'est pas p-fort ~ droite car • o =
lhl
=
, par exemple, ne v6rifie pas la condition (p).
e o///'/~~""~
c
a
b
!/x,i
T~ lh, d, a, b, cI n'est pas p-fort ~ droite (c est tell6 ~ h e t b par deux pointi116s) car =
h." a = lh, c I =- h." d. ne v6rifie pas 1~ condition (p). Enfin T2 ~- Ih, d, a, b, e, e t (tous les pointill6s compris) est p-fort ~ droite et v6rifle la condition (p)
L o w s LE~'~IEVX: H-simp~i]iabilitg et les dquivalenees Rs, Tn ct S~
57
EXE~YPLE 7.6. - T1 = lh, a, b, c, d, e t (s~ns pointill4) n'est pus p-fort £ droite c~r =
=
(h, b, c), p~r exemple, ne v~rifie pas lu condition (p).
h
"'-..py
s4
//
c
d
e
T~ = lh, a, b, c, d, e, [, gl (les pointill6s compris) est p-fort ~ droite et v6rifie 1~ condition (p). E X E ~ L E 7.7. - Les demi-treillis T1, T~, T3~ T4 suivants ne sont pas p-forts droite. Engendr4s par TI~ ch~cun contient un triplet ordonn~ ne v~rifiant pas la condition (p). Ts v~rific 1~ condition (p)~ par consequent T5 est p-fort ~ droite. T5 ~t~ engendr~ put T~.
(h, a, b ) ~ (p) (1)
(a, b, c~)~ (p)
h~
h 4
b~
b~
d(
d
(1) ~ (p) signifie dans cet e x c m p l e quc le ~riple~ ordonn6 en question ne v6rifie p a s la c o n d i t i o n (Io).
58
L o u i s LE)~IE~:X: H-simpIi]iabilitd et les dquiva.Iences RH, Tn ct SH
(h, a, d} ~ (p) h~
~
(h, b, g} ~ (p) l I
C
i
e~il \ d Ts
T~
/"5 v6rifle Is condition (p) et T5 est p-fort ~ droite. h
T5 E X E M P L E 7.8. - T ~--- fl, 2, 3, ~, 5, 6, 7, 81 (sans pointill~) n'est pas p-fort ~ droite car 2 .'8 = I2,51 = 2 . 6 T~-- I1, 2, 3, 4, 6, 7, 81 (avec le pointill~) cst p-fort ~ droite
et v6rifie ls condition (p).
1
Louis LE~IEux:
tt-simpli/iabilitg et les dquivalenves RR~ Tz et SR
59
R e m a r q u o n s que le d i a g r a m m e d u demi-treillis T repr~sente Fensemble des parties d ' u n ensemble de trois 416ments. E n effet, si l ' o n pose E---- la, b, el, on a
P(E) = It., b, el,/~, b/, l:, ~}, Ib, c/,/~l, {hi, ig, o/. 1
Le l:b/:
diagramme 2 ..
2
eorrespondant
3
~
4
5
6
7
8
P(E) est celui de T~, avec la, b, c l = l ,
etc.
EXE~n'LE 7.9. - Nous nous limitons ici ~ m o n t r e r que les deux demi-treillis d~finis p a r les d i a g r a m m e s suivants ne sont pas p-forts ~ droite et, p a r cons4wuent~ ne v~rifient p a s 1~ condition (p). D a n s les d e u x cas on t r o u v e : = 10t =
.b.
h
(1
C
8. - Quasi-semplifiabilit6 de TH sur u n d e m i - t r e i l l i s T.
Tm~ol~ff,lvm 8.1. -
Soit H u n
complexe d'un demi-treillis T:
a) Si H vJrifie la condition (p), Ta est quasi-simpti/iable. b) Si T~, est quasi-simpli]iable, H est p-fort.
a) Soient les relations
1) x ~x'(TH) 2) x ." a ----x'
x,x'eY, a' ¢ 0
L a relation 2) entralne x = x' (th6or~rne 4.6). poor
D'ofi la relation 1) est v6rifi4e
x := x ' E H .
On a
x.'a~x.'a'~O,
xEH.
60
~ouIs: ~EBIIEUX: H-simpli]iabilit~ et ~es dquivalences R~, T~ et S~ Si H v6rifie la condition (p), d'apr6s le corollaire ~.21 il suit:
.'. a ~ a'(T~). T B e s t qu~si-simplifi~ble. b) Soient h~, h ~ e H tels que h~.'a=hj.'a'
¢O
a, a r ~ T .
D~lor~s le th~or~me 4.6, h~ = h~.= h . Ta ~t~nt qu~si-simplifiabl% les relations: 1) h =-- h(T~) 2) h . ' a - ~ - h "a'=/=O .'. H]a -~ H/a'
e n t r ~ l e n t a ~ a'(T,~)
et
H est p - f o r t .
Co~oL~An~v, 8.2. - T B est quasi-simpli]iable si et seulement si H est p.fort. L~ condition es~ suffis~nte c~r~ si H est p-fort,
COR.OLLAIR.]~8.3. -- L~quiva~ence T~ est quasi-simpli/iable si et seulement si T e s t p-]ort, o~ ce qui est ~quivalent~ si T v~ri/ie la condition (p). Ceci d4couie imm4di~tement de ce th6or&me et du th4or&me 4.26. On loeut d6montrer ce corollah'e directement, l'4quiv~lence T , 4rant l~6g~lit4. EXEM~LE 8.4. -- Soient T = lh, a, b, c/ le demi-treillis d6fini par le diagr~mme
sui
nt ho
a(
bo
CO
L o u i s LEMtEVX: H-simpliJiabilitd et les dquivatences R~, TH et N~r
61
Les relations: h ~ h(T.)
~) h.'b==h "a= lh i n ' e n t r a l n e n t pas a -~ b(T~) car et
H/b = I{hl, Ia}i.
De mgme, T H n ' e s t pas quasi-simplifiable car
T~ n'es~ pas quasi-simplifiable. tes relations
b
= h
=
114
n ' e n t r a i n e n t p a s b ~ c(Tz) puisque b se c ( T z - ~). T n e v6rifie pas la c o n d i t i o n (p), d o n e 2' n ' e s t pas p-fort.
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