Kohomologie vonp-Lie-Algebren

...

5 downloads 81 Views 3MB Size

Math. Zeitschr. 104, 281--336 (1968)

Kohomologie von p-Lie-Algebren BODO PAREIGIS Eingegangen am 24. April 1967 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Definition der Kohomologiegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Eigenschaften von p-Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Definition der Kohomologiegruppen yon p-Lie-Algebren . . . . . . . . . . 3. Ein universelles Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Projektive Auft6sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Deutung einiger Kohomologiegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Erweiterungen yon p-Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Modulerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. p-Lie-Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Vollst~indige Kohomologie und Dualitfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, Vollstiindige Kohomologie und Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Berechnung einiger Kohomologiegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Cup-Produkt und Dualitfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV. Periodische Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Zyklischep-Lie-Algebren und Kohomologie abelscher p-Lie-Algebren . . . . . 2. Periodische Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V. Kohomologie infinitesimaler formeller Gruppen der H6he -< 1 . . . . . . . . . Anhang: Zur Kohomologie nicht-assoziativer Algebren . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281 282 282 285 289 293 297 297 302 306 309 309 310 314 319 319 323 326 332 335

Einleitung Eine Kohomologietheorie einer Klasse y o n ,,Algebren" sollte gewisse Erweiterungen und sog. Kerne mit der zweiten bzw. dritten K o h o m o l o g i e g r u p p e beschreiben. Ein Beispiel daftir ist etwa die K o h o m o l o g i e der Gruppen. Ffir die Klasse derp-Lie-Algebren tiber einem K 6 r p e r k der Charakteristikp wollen wir eine solche Kohomologietheorie H"(g,I)) entwickeln. A u s g a n g s p u n k t ist eine neue Verallgemeinerung der K o h o m o l o g i e von Lie-Algebren, die wir auffassen als rechtsabgeleitete F u n k t o r e n der G r u p p e der Derivationen einer LieAlgebra g in eine kommutative Lie-Algebra b, auf der g operiert. In [5] hat HOCHSCHILD eine andere Eigenschaft der K o h o m o l o g i e von LieAlgebren auf p-Lie-Algebren verallgemeinert. Mit dieser Kohomologietheorie /4n(g,D) wird j e d o c h das oben gestellte Problem nieht in befriedigender Allgemeinheit gel6st. T r o t z d e m werden wir auch diese Theorie welter entwickeln, da sich zeigen wird, dab beide Theorien ffir n > 3 dieselben K o h o m o l o g i e gruppen H " (g, D) =/~n (g, b) definieren. I m Kapitel I I werden die gewtinschten Beschreibungen der Erweiterungen und Kerne durch unsere K o h o m o l o N e t h e o r i e gegeben.

282

B. PAREIGIS:

Die Bemerkung, dab die assoziative p-Hfille einer endlich dimensionalen p-Lie-Algebra eine Frobenius-Algebra ist, erlaubt es, ffir die Hochschild-Kohomologie ein Cup-Produkt einzuffihren und mit diesem Dualit~itsaussagen zu machen und Fragen fiber die Periodizit~it der Kohomologiegruppen zu 16sen. Das soll in den Kapiteln III und IV geschehen. Viele Aussagen aus der Kohomologie der Gruppen finden sich auch hier in/ihnlicher Form wieder. Die Beweise, die im Fall yon Gruppen gegeben werden (etwa in [3]), lassen sich flierdings zum groBen Tell nicht verallgemeinern. Umgekehrt jedoch kann eine Anwendung der hier verwendeten Beweismethoden auf die Kohomologie der Gruppen neue und einfachere Beweise liefern, was hier jedoch nicht durchgeftihrt werden soll. Im V. Kapitel sollen unsere Ergebnisse auf die Kohomologie infinitesimaler formeller Gruppen der H6he <=1 fiber einem K6rper der Charakteristikp 4:0 angewendet werden. Die Kategorie dieser Gruppen ist n~imlich/iquivalent zur Kategorie der p-Lie-Algebren. Wir werden zeigen, dab bei dieser ,~quivalenz unsere Kohomologietheorie der Kohomologietheorie dieser Gruppen entspricht. Das erm6glicht es, die S/itze fiber periodische Kohomologie auf endliche infinitesimale formelle Gruppen der H6he < 1 zu fibertragen. Dabei wird das Ergebnis verwendet, dab H" (g,I?)= /~" (g, I~) ffir n >_ _ 3. Im Anhang wird die verallgemeinerte Kohomologietheorie auf nicht-assoziative Algebren angewendet. Von Interesse war zun~ichst der Zusammenhang zwischen der zweiten Kohomologiegruppe und den Erweiterungen von nichtassoziativen Algebren. Wir k6nnen zwischen diesen beiden Gruppen einen Monomorphismus angeben, und es stellt sich die Frage, wie man das Bild dieses Monomorphismus charakterisieren kann. Herrn P. GABRIELdanke ich ffir die Gespr/iche, die ich mit ihm fiber die vorliegende Arbeit ffihren konnte, und die Mitteilung verschiedener Ergebnisse aus der Theorie der formellen Gruppen, die ich im V. Kapitel im Satz 1 und den anschlieBendenBemerk~mgen daxgestellt habe, da sie bisher nut teilweise und in anderem Zusammenhang publiziert worden sind.

I. Definition der Kohomologiegruppen 1. Eigenschaften yon p-Lie-Algebren Wir wollen in diesem Paragraphen die im folgenden ben6tigten Eigenschaften yon p-Lie-Algebren zusammenstellen. Ausffihrliche Beweise und weitere Eigenschaften finden sich in [2, 7]. Sei k ein K6rper der Charakteristikp und sei g eine Lie-Algebra fiber k. g heiBt p-Lie-Algebra, wenn zus/itzlich eine sog. p-Abbildung g ~ gEplYOn g in g mit den folgenden Axiomen gegeben ist: (1.1)

(~ g)rpJ= ~p gEp~,

(1.2)

ad (gEpl)= (ad g)', p-1

0.3)

(go + gO

+

Z

i=1

Kohomologie von p-Lie-Algebren

283

wobei a e k ; g, go, gl~g und i'Sp-i(go,gl) der Koeffizient von 2 ~-1 bei der Entwicklung von (ad(go + 2g0) p- ~(gl) sei. Es ist also p--1

Ego-l-2 gl, [... [ g o + 2 g , , g,] ...3]= Z i. sp-,(go, g,)Z'-*. i=1

Daraus folgt sofort (1.4)

si(go,gl)=-l~t [g,o),[...[gt(p_,),g,]...]],

wobei t alle Abbildungen yon {1, ..., p - 1} nach {0,1} durchliiuft, die i-mal den Wert 0 annehmen. Also ist 1 (1.5) (go+"s,,s[']- 60 . t , ] -. ~ , _~v [g,(,) , [... [g,(,_,), g , ] ] ] , It-'(0)[

,

wobei t alle Abbildungen von {1..... p - l } kard{nl t(n) ---0} durchlfiuft. Nach [7] gilt auch

nach {0,1} mit l=
p-1

(1.6)

(ao+al)P=ag +ae,+ ~ si(ao, as) i=i

in einer beliebigen assoziativen Algebra A fiber k. In der zu A geh6rigen LieAlgebra AL 1/iBt sich si(ao, a 0 wie in (1.4) ausdrficken. Die rechts stehenden Klammerausdrficke haben aber auch in A ihre wohldefinierte Bedeutung als Summe von Produkten der ao und a> Wenn wir in einer assoziativen Algebra s~(ao, as) durch die Klammerausdrficke schreiben, so sei damit immer diese Bedeutung gemeint. SpezielI gilt ffir assoziative Algebren (1.5), wobei p statt [p] zu setzen ist. Eine p-Lie-Algebra D heil3e abelsch (oder kommutativ), wenn [ho, hi] =0 ffir alle hiet), t) heil3e stark abelsch, wenn I? abelsch ist und die p-AbbildungNull ist. Wenn I) eine abelsche p-Lie-Algebra fiber k ist, so bedeutet das, dab D ein Vektorraum fiber k ist, und dab wegen (1.5) gilt

(l.7)

(h ~ + h~)[p] _ l, [p]• l, rp]

Auf D ist also eine additive Operation (1.8)

P h = hEp~

definiert. Wir haben wegen (1.1) die Regel (1.9)

Pa=aPP

ffir ~ k .

Bilden wir den Ring k [P ] der formalen Polynome in P mit der Multiplikations-. regel (1.9), so erhalten wir einen nichtkommutativen Ring, der auf der GruppeD operiert, t) ist also ein k [P]-Modul. Umgekehrt definiert jeder k[P]-Modul t) wegen (1.7), (1.8) und (1.9) eine abelschep-Lie-Algebra fiber k.

284

B. PAREIGIS:

Unter einem p-Homomorphismus f einer p-Lie-Algebra gl in eine p-LieAlgebra g2 verstehen wir eine k-lineare Abbildung f : gl -~ g2 mit

f([g, g,]) = [f(g),f(g,)],

f(gEpl)=(f(g))tpl.

Die Kategorie der abelschen p-Lie-Algebren und p-Homomorphismen ist also isomorph zur Kategorie der k [P]-Links-Moduln. Sei A eine assoziative k-Algebra und D eine Derivation yon A. Dann gilt ftir a~A p--1

D(aP) = ~ aiD(a)a p-l-i. i=0

Nach ([71, S. 186, (61)) gilt daher D(a p) =(ad a) p-1 D(a).

(1.10)

Wir nennen eine Derivation D der p-Lie-Algebra g eine p-Derivation, wenn fiir alle g s g gilt (1.11) D(gEpl)=(ad g)P- ~D(g) . Wir zeigen zun/ichst, dab die p-Derivationen einer p-Lie-Algebra g eine Lie-Algebra D(g) bilden und zwar eine Unteralgebra der Lie-Algebra aller Derivationen. Offenbar bilden sie einen k-Vektorraum. Zu zeigen ist, dab ftir p-Derivationen D1, D2 auch DI D2 - D2 D~ wieder eine p-Derivation ist. Verwenden wir ([7], S. 197, Ex. 23), so ist (D 1 D2 _D 2 D1) (gEpl)=Dl((a d g)p-1 D2 g)_ D2 ((ad g)p-~ D1 g) =(ad g)P- 101 D2 g - ( a d g) p-1 DED1 g p--2

+ ~ (adg)p-2-iad(D1 g)(adg)iD2 g i=0 p-2

- ~ (adg)p-2-1ad(D2 g)(adg)iD1 g i=0

= (ad g)~- I(D~ D2 - D2 D1) (g). D (g) ist sogar eine p-Lie-Algebra. Es ist n~imlich

OP[g,g']-i= ~

[DP-lg,

g']=[OPg, g']+[g, OPg'].

Ehe wir zeigen, dab Dp eine p-Derivation ist, fiihren wir die assoziative pHtille U yon g ein. Sei U(g) die assoziative Htille von g, und sei Q das yon den Elementen gP-gtPJ in U(g) erzeugte zweiseitige Ideal far alle g~g. Dann ist U= U(g)/Q. Nach ([7], S. 196, Ex. 18) 1/igt sich eine p-Lie-Derivation D yon g zu einer Derivation/~ auf U fortsetzen. Dann ist auch Dp eine Derivation von

Kohomologieyon p-Lie-Algebren

285

U. Da/Tgeg fiir geg, ist auch/)Pgeg. Wegen (1.10) gilt also DPgP = (ad g)P- 1/~pg und wegen gP =g[P] in U und DPg =DPg gilt dann DPgtP]=(ad g)P-1DPg. Eine innere Derivation ad g yon gist eine p-Derivation und die Menge der inneren Derivationen von g bildet ein p-Ideal 1(9) von D (g). Also ist D (g)/I(g) wieder eine p-Lie-Algebra. Seien 8, g' p-Lie-Algebren fiber k, und sei

#: g----*D(9')/l(g') ein p-Homomorphismus. Sei b ~ g' das Zentrum yon g', d.h. die Menge der ge 9' mit [g, g']=0 ffir alle g'eg'. Eine Derivation D yon g' ffihrt I) wegen [Dh, g] =D [h, g]- [h, Dg] =0 in sich fiber, und eine innere Derivation von 9' annulliert b, also existiert ein p-Homomorphismus q: D(9')/I(g')~ D(b). Dadurch erhalten wir einen p-Homomorphismus q#: g--+DO)). Wir sagen, dab g auf D (durch p-Derivationen) operiert. Statt q p(g)(h) schreiben wir oft g h bzw. [g,h]. Wenn g' abelsch ist, dann ist D=9'. Dann gilt wegen (1.11) immer (1.12)

D(h['])=0.

Operiere die p-Lie-Algebra g auf der abelschen p-Lie-Algebra D. Dann ist durch g-~D([))c Homa(D,D) ein Ringhomomorphismus von U in Homk(1),I)) gegeben. Auf D operieren jetzt k [P] und U. Wegen (1.12) gilt far geg immer gPh =0. Wir bilden den Ring T=k [P] | U x mit der Multiplikation gP =0 ffir alle ge9. Dann ist D ein T-Modul. Umgekehrt ist jeder T-Modul t) eine abelsche p-Lie-Algebra, well k[P] c T. Wegen gP =0 operiert auch g auf D durch p-Derivationen. Wir nennen I? einen g-Modul. Seien D, I)' abelsche p-Lie-Algebren, auf denen 9 operiert, d.h. g-Moduln. Seif: D~I)' ein p-Homomorphismus derart, dab gf(h)=f(gh). Dann heil3tf auch g-Homomorphismus. Offenbar ist d a n n f auch ein T-Homomorphismus. Umgekehrt ist jeder T-Homomorphismus ein g-Homomorphismus. Die Kategorie der g-Moduln und g-Homomorphismen ist also isomorph zur Kategorie der T-Moduln. U ist ein unit/irer Unterring von T. Es existiert aber auch ein unit~irer Ringepimorphismus T ~ U, der durch P ~ 0 definiert wird. Diese beiden Ringhomomorphismen definieren (exakte) vergessende Funktoren [15] yon der Kategorie der T-Moduln in die Kategorie der U-Moduln und umgekehrt. Nach Definition von U ist die Kategorie der U-Moduln isomorph zur Kategorie der stark abelschen p-Lie-Algebren, auf denen g operiert.

2. Definition der Kohomologiegruppen yon p-Lie-Algebren Wir wollen zun~ichst die in der Einleitung schon erw~ihnte Definition von HOCHSCHILD geben. Sei dazu I) eine stark abelsche p-Lie-Algebra, auf der g operiert. Der K6rper k werde als stark abelsche p-Lie-Algebra aufgefaBt, auf 1 Das Tensorproduktohne n~ihereBezeichnungdes Ringessoll immerein Tensorprodukt fiber k sein.

286

B. PAREIOIS:

der g trivial operiert, d.h. gc~ =0 ftir geg, eek. Da w und k U-Moduln sind, ist die folgende Definition sinnvoll: (2.1)

/~"(g, b)= Ext,(k, f)).

Diese Definition wurde yon HOCHSCmLD in [5] gegeben. Wir wollen diese Definition noch ausdehnen auf abelsche (aber nicht notwendig stark abdsche) p-Lie-Algebren I). Jede solehe p-Lie-Algebra D kann zu einer stark abelschen p-Lie-Algebra I~* gemacht werden, indem wir die pAbbildung gleich Null setzen. Wegen (1.12) kann eine Operation yon g auf I) unver/indert auf ~* beibehalten werden. Wir bezeichnen also (2.2)

/t" (9, I?) = Ext~ (k, tj*)

als die Kohomologiegruppen yon HOCHSCn~LD. Diese Definition der Kohomologiegruppen liefert allerdings nicht die gewtinschte Bedeutung speziell der zweiten Kohomologiegruppe, auger in dem Falle, wo [? stark abelsch ist. Wit werden sie ffir andere Zwecke in den Kapiteln III und IV ben6tigen. Zur Beschreibung der Erweiterungen yon p-Lie-Algebren (in Kapitel II) ben6tigen wir also andere Kohomologiegruppen. U m diese zu definieren, betrachten wir zun/ichst die Kohomologie yon Lie-Algebren. Sei g eine LieAlgebra fiber k, die auf einer kommutativen Lie-Algebra t) operiert. Eine Derivation yon g in I~ sei eine k-lineare Abbildung c?: g -+ t? mit 0 [g, g'] =gOg ~- g ' ag. Wit bezeichnen mit Der(g,D) die Menge aller Derivationen yon g in D. Der(g,I)) ist als Funktor in I?, wobei I1 als g-Modul aufgefal3t wird, darstellbar, und die rechts-abgeleiteten Funktoren sind die Kohomologiegruppen H" (g,I)) f{ir n > 2. Wit bilden jetzt von g und I? das semidirekte Produkt g x I?, wobei g x D = g o b als k-Vektorraum ist und die Lie-Multiplikation [(g,h),(g',h')]= ([g,g'],gh'-g'h) tr~igt, g xb ist eine Lie-Algebra. Eine Derivation a: g--,[~ kann dann als Graph mit einer Untermenge yon g x D identifiziert werden. Weil k-linear ist, ist der Graph yon 0 ein k-Vektorraum in g x b und well 0 eine Derivation ist, ist der Graph yon a eine Lie-Unteralgebra yon g x D. Ist umgekehrt der Graph einer Abbildung a: g ~ t) in g x I? eine Lie-Unteralgebra, so ist a eine Derivation. Wir bezeichnen mit Lie-Graph (g,I)) die Menge der Abbildungen von g in I?, deren Graph in g x I? eine Lie-Unteralgebra ist. Da LieGraph (g,t))=Der(g,I~), ist Lie-Graph (g,l?) darstellbarer Funktor in D, und die rechts-abgeleiteten Funktoren sind die H" (g, [1) ffir n > 2. Diese Eigenschaft der Kohomologiegruppen wollen wir zur Definition der Kohomologiegruppen yon p-Lie-Algebren verwenden. Seien g eine p-LieAlgebra und b eine abelsche p-Lie-Algebra, auf der g operiert. Wir wollen auf g G l) eine p-Lie-Algebren-Struktur so definieren, dab g und I? p-Lie-Unteralgebren sind und die Operation von gauf [1 mit der Multiplikation yon g und D in g 9 [1 iibereinstimmt. Damit ist die Lie-Multiplikation festgelegt durch (2.3)

[(g, h), (g', h')] =([g, g'], g h ' - g' h).

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

287

Eine p-Abbildung mug speziell (1.5) erftillen, also (2.4)

(g, h)rpl = (grp], hEpa+ gp- * h).

Zu zeigen bleibt, dab in der Lie-Algebra g @ I) tiberhaupt eine p-Abbildung existiert. Sei U die assoziative Hiille yon g @ D- Wir rechnen in U aus: (ad (g, h)) p(g', h') = ad (gP + h p + 2 si(g, h)) (g', h') = (ad (g)P + ad (h) p + ad (gP-~ h)) (g', h') = [-(gEpl,ht,] + gp- * h), (g', h')], also ist (2.4) eine p-Abbildung in g 9 I). Die so erhaltene p-Lie-Algebra bezeichnen wir mit g x I). Sie heigt semi-direktes Produkt yon g und I). Mitp-Lie-Graph (g, I)) werde die Menge der Abbildungen yon g in I) bezeichnet, deren Graph in g x t) eine p-Lie-Unteralgebra bildet. Lemma 2.1. p-Lie-Graph(g,I)) ist ein darstelIbarer Funktor in der Kategorie der g-Moduln I). Beweis. Zun~ichst ist zu zeigen, dab p-Lie-Graph(g, I)) ein Funktor in I? ist. Sei I)' ein weiterer g-Modul, und self: I ) ~ b ' ein g-Homomorphismus. Dann definiert (g, h) ~ (g,f(h)) einen p-Homomorphismus yon g x I) in g x [)', wie man leicht an (2.3) und (2.4) nachprtift. Ein ~ ep-Lie-Graph (g, I)) definiert eine p-LieUnteralgebra in g x t). Diese geht fiber in eine p-Lie-Unteralgebra in g x 1)'. Diese ist der Graph v o n f 8, also istf Oep-Lie-Graph (g, b'). Man sieht damit, dab p-Lie-Graph(g,I)) ein Funktor in D ist. Sei 8 ~p-Lie-Graph (g, w Das gilt genau dann, wenn ~: g ~ [? k-linear ist und wenn gilt: (2.5)

8[g, g'J=gOg'-g'Og,

O(g[PJ)=@g)[P]+gP-l~g,

wie aus (2.3) und (2.4) sofort folgt. Damit erhalten wir einen T-Homomorphismus 1 | T| mit (1 | 8)(1 | [g, g'])= g a g ' - g' ag

=(I | a)(g | g ' - g' @ g) und (1 Q 8)(1 @ grpl)=(~g)tp~_i_gp-~ Og

=0 | o)((e + gp-b |

g),

d.h. einen T-Homomorphismus yon T | g in D, der den T-Untermodul K von T | g, der yon {1| [g, g']--g | g ' + g ' | g, 1 | gEpJ_(p+gp-*) | g} erzeugt wird, annulliert. Umgekehrt definiert ein solcher Homomorphismus einen k-Homomorphismus yon g in I1, der (2.5) erffillt. Sei C = T | g/K. Dann

288

B. PAREIGIS:

ist also (2.6)

p-Lie-Graph (g, b) -~ H o m r (C, D).

Dieser Isomorphismus ist trivialerweise funktoriell in D, wenn man I? gleichzeitig als g- und als T-Modul auffaBt. Wir definieren jetzt die Kohomologiegruppen der p-Lie-Algebra g mit Koeffizienten im g-Modul I) durch U ~ (g,

(2.7)

= o

H"(g, ~)) = Ext,-- 1(C, D),

n~l.

Wir wollen die Struktur von C n~iher bestimmen. Sei dazu {ui}i~ eine fest gewghlte k-Basis yon g mit einer geordneten Menge L Dann gilt Satz 2.2. Es existiert ein k [P ]-Isomorphismus C ~ k [P ] | U +, wobei U + das Augmentationsideal yon U ist.

Beweis. Der k-Vektorraum U + hat eine Basis {l-I ue'i fast alle el=O, p>ei>O, Z e i > 0 ) , wobei die Ordnung der Faktoren durch die Ordnung von I bestimmt wird. Es geniigt zu zeigen, dab C ein freier k [P ]-Modul mit einer Basis gleicher M/ichtigkeit ist. Dazu stellen wir C in anderer Form durch Erzeugende und Relationen dar. Seien R = U(g) die assoziative Hiille der 9 unterliegenden Lie-Algebra und R + das Augmentationsideal. kiP] | ist ein Ring mit der Multiplikation gP=O. Dann existiert ein k[P]| yon k [ P ] | + auf T|174174174 wobei ( g | 1 7 4 1 7 4 der durch alle Elemente der angegebenen Form erzeugte T-Untermodul ist. Der Kern besteht aus dem Untermodul ((gP-gtV~)u [geg, u~R +>von k [P] | R +. Bei dem Epimorphismus yon k [ P ] | + auf C wird der Kern von den Elementen (gP-gEpl)u und gP-gCVl + p g als k [P]| R-Modul erzeugt. Wir kennen eine k [P]-Basis von k [P] | R +, nfimlich {[I u~'l fast alie ei=O, e~>O, 2 e i > 0 } . isI

)khnlich wie in ([2], Ex. 2.6.b) ftihren wir eine neue Basis ein. Sei e =(ei)i~i eine Menge natiirlicher Zahlen mit 0 < ~e~ < oo. Die

S~= I l u;' i~I

sind dann die Basiselemente yon k[P] | 0_-
+. Schreiben wir ei=xi+pyi mit

= 1-I u;' isI

wobei

(u ip- - u i[p], [~1 i - - IA i

-t-_t" Ui ,

falls ein j > i mit es > O existiert sonst.

Kohomologie von p-Lie-Algebren

289

Der zweite Fall der Definition ffir ~, tritt also immer nur beim letzten yon t verschiedenen Faktor des Produkts in T, auf. Dabei kann Yi =0 sein. Die fibliche Graduierung yon R definiert eine Graduierung yon k [P] | R +. Sei I~1 =Y.ee. Dann zeigen wir zun~ichst durch vollst~ndige Induktion, dab {T,[]eI
II u?= iI-[ uT eI

ieI

+

+

wobei v~(k[P] | Durch vollstgndige Induktion nach r sieht man damit auch sofort, dab die {T,[ I~] = 0} eine k [P ]-Basis flit den Kern J von k [P] | R + ~ C ist. Nach Definition sind diese T~ alle in J enthalten. Sei v~J. Dann ist v = ~ a i v i mit ai~k[P] und vi=s(gP-g[P])u oder vi= s (gP-gtV~ + pg), wobei s~ R, u ~ R +, g e g sind. Da die Ausdfiicke ffir v, p-semilinear sind, genfigt es, Elemente der Form s (u~'- u[pJ) u bzw. s (ur- u[pl + P ui) durch die T, darzustellen. Wir betrachten den ersten Fall. Da u f - u [ p~ im Zentrum yon R liegt, kSnnen wir annehmen, dab su ein Basiselement yon R yon der Form T, ist. Ffigen wit jetzt up- u[v~ an der/-ten Stelle yon T, ein, so erhalten wir wieder ein Basiselement T,, mite[ =>p, also ](yi)[ >0. Ist im zweiten Fall s ein Basiselement aus R +, so ist sPu~=O, d.h. wir sind auf den ersten Fall zurfickgefiihrt. Ist sek, so ist ur-u[P]+Pui=T~ mit ej=6~jp, also I(y~)[>0. Also erzeugen die T~ mit [ (y~)[ > 0 den Kern J. Als k[P]-Modul ist C isomorph zum Komplement yon J in k[P] | R + beziiglich der Basis T,. Bei dem Epimorphismus k [ P ] | R + -~ Cgehen die T~ = S, mit [~1 > 0 und [(Yi)[ = 0 fiber in eine k[P]-Basis yon C. Die Bilder dieser S, bilden bei k [P] | R + ~ k [P] | U + auch genau die angegebene k [P]-Basis yon

k[P]|

+.

3. Ein universelles Problem Wir werden im zweiten Kapitel for eine p-Lie-Algebra g und einen g-Modul b Abbildungen z: g ^ g ~ b und ~: g -~ ~) mit folgenden Eigenschaften betrachten; a) "c ist k-linear, b) zr(~g)=~PTz(g), ffir c~Ek, g ~ g ,

c) (3.1)

(go) + (go + p- 1 1 = ~ , ~ l I t-i(0)l gt(i).., gt(,-1)'r(g,(o | adgt(i+l).., adgt(,_l)(gl)),

wobei t wie in (1.5) lfiuft. Offensichtlich spielt bier die p-Abbildung yon I1 keine Rolle. Wir kSnnen also annehmen, dab I) ein U-Modul ist, den wir jetzt mit M bezeichnen wollen. 21

Math. Z., Bd. 104

290

B. PAREIGIS :

Seien (v, rc) und (z',z') zwei Paare von Abbildungen von 9 A g bzw. g in M, die (3.1) erftillen. Dann erftillen auch (~ + z', 7z+ n') (3.1), wobei die Addition durch Addition der Werte definiert wird. Die Menge der Paare (r,z) mit (3.1) werde mit ~ (M) bezeichnet. ~ (M) bildet mit der soeben definierten Addition eine kommutative Gruppe. Sei N ein weiterer U-Modul und q0: M ~ N ein U-Homomorphismus. Dann erfiJllen (pr und ~oTrwieder (3.1). Also ist ~ ein kovarianter Funktor yon der Kategorie der U-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen. Wir wollen zeigen, dab ~ ein darstellbarer Funktor ist, d.h. dab es einen U-Modul E(9) gibt mit ~ ( M ) = Homv(E(g),M ) funktoriell in M. Nehmen wir zunfichst an, dab E(g) existiert. Dann entspricht 1 EHomv(E(g), E(g)) einem Paar (z*, 7z*)e@(E(g)). ** definiert einen U-Homomorphismus i=1|

U | (g A g)--~E(g).

U| (g ^ g) hat die Eigenschaft, dab ftir jeden k-Homomorphismusf von g A g in einen U-Modul M genau ein U-Homomorphismus yon U| (g A g) in M existiert, d e r f fortsetzt. Sei co: k ~ k definiert dutch o)(e)=c~ p. Sei k | der Vektorraum, der aus g durch Skalarerweiterung verm6ge o) entsteht. Sei U | o~g = U @ k | ~ g. Wir definieren ~: g A g ~ U | durch "c(gAg')=0 und 7c: g ~ U | durch n (g) = 1| g. Dann ist (3.1) erftillt. Also existiert q: E(g) ~ U | g- Da Bild (q)__. Bild(n), enthfilt Bild(q) den von {1@g} erzeugten U-Untermodul U| Also ist q ein Epimorphismus. Da U| U-projektiv ist, existiert zu q ein Schnitt s, so daB s(U| direkter Summand in E(g) ist. U| hat die Eigenschaft, dag ftir jedes Paar (z', n')s~(M) mit ~ ' = 0 genau ein U-Homomorphismus q): U| existiert mit q o ~ = z ' = 0 und Bisher haben wir universeUe Eigenschaften ffir , und 7~ getrennt untersucht. Aber (3.1c) bringt eine wechselseitige Beziehung hervor. Bezeichnen wir die rechte Seite yon (3. lc) mit a(go, g~). Man sieht leicht, dab a (~ go, ~ gl) = ~Pa(go, gl) und ~(go, g l ) = a ( g l , go) gelten. Anders ist es mit der folgenden Gleichung: (3.2)

a(go+g 1, gz)+o'(g0, g l ) - a ( g o , gl+gz)-cr(gl, g2)=0.

Diese Gleichung ist im allgemeinen fiir beliebige k-lineare -c nicht erftillt, etwa im Falle p = 3 ftir M = U | (g ^ g) und z (g ^ g') = 1 | g ^ g'. Die drei oben genannten Gleichungen sind jedoch yon der linken Seite von (3.1c) erfiillt wegen (3.1b) und der Modulgesetze. Daher k6nnen die ~ nur so gewfihlt werden, daB (3.2) gilt. Sei B d e r U-Faktormodul yon U| (g A g) nach den durch (3.2) definierten Relationen. Dann lal3t sich jedes ze('c, rc)~(M) eindeutig durch B faktorisieren. Also liil3t sich auch i durch i': B ~ E ( g ) faktorisieren.

Kohomologie von p-Lie-Algebren

291

Satz 3.1. Der Funktor ~ ist darsteltbar durch E(g), und die Folge

O---oB i' ,E(g)~ q >U| ist exakt. Beweis. Da q den Schnitt s hat, mul3 E(g)-~B | (U| g) sein. Setzen wir also E(g)=BO(UQ,~g), dann sind q, i' und s festgelegt. Wit definieren z*: g A g ~ E ( 9 ) durch z * = i v ' , wobei z'(gAg')=lQ(gAg'). Sei {g~) eine k-Basis von 9. Dann definieren wit 7c*: g -+ E(g) dutch rt * (gO = 1 | g~~ U | g _~ E(g) und Fortsetzung verm6ge (3.1b) und (3.1c). Durch (3.2) bzw. die Definition von B ist die Fortsetzung von ~z* eindeutig und wohldefiniert. Mit (3.2) zeigt man leicht, dab (~*, n*) die Bedingungen (3.1a) und (3.1b) erffillen. Gelte (3.1c) schon, wenn die Menge der Basiselemente bei der Darstellung yon g~ und g~ mit Koeffizienten . 0 kleiner als n ist. Seien

'i

go =

i=1

'i

~i g~,

gl =

i=1

fli gi.

Dann ist n*(g~+ g ] ) = n * ( a l g l + f l l gl +(go--~x g , ) + ( g ] - - i l l gl)) = 7r* (a~ g, + fi, ga) + n* ((g~ - a~ g,) + (g] + fl, g,))

-

- . , gO + (g; - / h gO)

= ~r* (0q g,) + rt* (fl, g,) + re*(go - ~, ga) + g* (g; -- fl* g,)

-o-((~, + f l , ) g , , ( g a - ~ , g a ) + ( g ; - f i , g,))

-cr(oq g,, fl, gO-a(g'o-cz, ga, g] - f i , g,) =

g0+

-- o ' ( g g , g lt)T- (- ~ l ' 9 t * t

(go)+-

g , ) + r ~ * ( g ; - f l , g,)

g l , gO--~l' g l ) -- O'(fll g l , gl' - - i l l g l ) t

Sei M ein U-Modul und (T", n " ) e ~ ( M ) . , " erffillt (3.2), definiert also eindeutig q~l: B--+M. Definieren wir ein neues Paar (0, Tt~')e~(M) durch ~t3'(gi)=Tc"(gi), so ist dadurch genau ein Homomorphismus q~2: U| ~M bestimmt. Sei (p =(q~, qo2): E(g) --+M. Dann ist q0z* = q~, z* = z"

und

q~7r*(g,) = q~27r*(g,) = q~2(1 | g~)= 7ro' (g,) = re" (&).

Da ~o zt* und rt" (3.1) geniigen, ist q~ z~* =z~" ffir alle geg. Damit haben wir einen zu (z", r~") geh6rigen Homomorphismus cpe Homv(E(g), M) konstruiert. Man sieht leicht, dab diese Konstruktion additiv ist. Sei jetzt q~ derart gegeben, dab ~oz*=0 und ~o~t*=0. Dann ist ~0i'=0 und rp(u|174 u cp~r*(g,) = 0. Also ist cp= 0. Damit ist gezeigt, dab @ durch E(g) darstellbar ist. Nach der Definition von B ist U| (g ^ ~) eine projektive Erweiterung yon B. Wir setzen diese zu einer projektiven Erweiterung (U | (9 A ~)) | (U | g) = P(9) yon E(~) fort. 21"

292

B. PAREIGIS:

Beispiel3.2. Seien M = U | ,:(gAg')=g|174174 und n(g)=gP-j`|174 Epl. Dann ist (z, rOs@(M ). Das zugehgrige ~o definiert einen U-Homomorphismus dl : P(g) ~ U | g. Wir mtissen beweisen, dab (z,n) der Bedingung(3.1c) gehorcht. Dazu ftihren wir den Polynomring k [xl, x2 .... ] in nichtkommutativen Unbestimmten x i ein. Er hat eine k-Basis, bestehend aus den Elementen x[l~)).., x{((",~, n > 1 mit i(r),j(r)e{1, 2, 3, ...} und i(r)q=i(r+ 1). Als weiteres Basiselement tritt 1 hinzu. Wir definieren eine k-lineare Abbildung 7: k [x J`, x2, ...] ~ U | g fiir eine Folge yon Elementen gl, g2, ..-eg durch

tl(~.J O)

. . . .

~J (.)'~_ 9

" 8i (n)

@ gi (n),

,10)=o. Man sieht sofort, dab

t l / v J ( j j (`2 ) ) t."i(,)

....

vj(n)'~__~j(j`) ," i(n)J--si(1)tl[Xi(2)

....

far n>_2 -9

~j(n)'~ i(n)]

Wir wollen jetzt t/ anwenden auf Ausdriicke, wie s~(xl, Xz) bzw. Ix> Ix,_ 1, x,] ...]]. Nach Definition ist *(g, ^ g2)=tl([gj`, g E l ) - 1 | [g,, g2] und ~z(g) = ,/(g') - 1 | grpl. Fiir n =>2 zeigt man durch vollst/indige Induktion ~ (Ix J`..... Ix,_ 1, x , ] . . . ] ) - 1 | [gl, ..., [ g , - , , g,]...] n--J.

(3.3)

= ~ g J` ... g,_, z(g, | ad(g~+,).., ad(g,_ 1)(g,)). i=l

Also ist p-1 i=1 p-1

(3.4)

-1 =~,=~1 It-x(0)l g ' ( j ` ) ' " g ' ( ' - l ) ~ ( g t ( ~ 1 7 4

wobei t analog zu (1.5) 1/iuft. Daraus folgt re(g1 + g2)=t] ((X, + x2) p) -- 1 @ (g, + g2) [p]

=,7 (x~) + ~ (x~)- 1 | g ~ - 1 | gg~ p-1

+ s (~(s,(x,, x 2 ) ) - 1 | s,(g,, g2)) i=1

=n(g,)+n(ga)-a(gl,

g2).

Damit ist die Behauptung aus dem Beispiel 3.2 bewiesen.

IX 2 ....

Kohomologie von p-Lie-Algebren

293

Wit betrachten jetzt den Funktor @T, der jedem T-Modul M die Menge der Paare (z, ~), die (3.1) erffillen, zuordnet. Fassen wir jeden T-Modul verm6ge U ~ T als U-Modul auf, so ist ~ r ( M ) ~ ( M ) . Da

e(M) ~ Horny(E (g), M) ~ Homr( r | wird ~T durch T| rung von T| ).

F~(g),M) ,

) dargestellt. T@vP(g ) ist eine T-projektive Erweite-

Satz 3.3. Der Funktor r

O--. T |

ist darstellbar durch T@vE(g) und die Folge B--. T |

E(g)--§ T |

g---~O

ist exakt. Genau wie in Beispiel 3.2 beweist man

Beispiel3.4. Seien M = T | z(gAg')=g|174174 und r~(g)=(P+gP-1)|174 Dann ist (T, rc)e~r(M). Das zugeh6rige ~oe Homr(T | E(g),M ) definiert einen T-Homomorphismus d: T | P(g) ~ T | g. Sei jetzt A : g | g | g ~ M fiir einen beliebigen U-Modul M und (% ~z)e ~ ( M ) definiert durch a (go | g, | g2)=Z(go A [g,, g2])+z(g, A [g2, go])+z(g2 A [go, gl]) (3.5)

+ go *(g, A g2) + g, *(g2 ^ go) + g2 *(go A g,),

und sei F: g x g -+ M definiert durch

F (g, g') = z (gtp~ ^ g,)_ g, re(g) (3.6)

p- 1 -

y, gP-l-'z(gA(adg)'(g')).

i=0

Sei F'(g) der U-Untermodul yon E(g), der yon den Elementen A (go | gl | g2) und F(gl, g2) - beziiglich (z*, n*) gebildet - erzeugt wird, und sei F(g) das volle Urbild yon F'(g) bei P(g)-+E(g). Dann ist E(g)/F'(g)'~P(g)/F(g). Seien (z, l r ) ~ ( M ) , die zus/itzlich A(go| und F(g,g')=O erfiillen. Die Untermenge dieser Paare von ~ ( M ) wollen wir ~3(M) nennen. ~3 ist wie ~ ein Funktor. Nach Definition von F'(g) und E(g) gilt Korollar 3.5. Der Funktor ~ ist darstellbar durch E(g)/F'(g). Entsprechend erhalten wir fiir T-Moduln M: (3.7)

~ r (M) =~Horn r (T | v (E (g)/F' (g)), M).

4. Projektive Aufl6sungen Satz 4.1. Die Folge

O__~T|

T @ v p ( g ) d ,T|

ist exakt, wobei d wie in Beispiel 3.4 gewiihlt ist.

294

B. PAREIGIS:

Beweis. Nach der Definition yon d in Beispiel 3.4 und von C am Ende vonw 2 ist a ~T|

T|

exakt. AuBerdem ist T | 1 7 4 ein Monomorphismus, weil T ein freier U-Rechtsmodul ist und F(9) ein Untermodul von P(9) ist. Nach Definition des z in Beispiel 3.4 erftillt z die Gleichung A(g o @ gl | g2)=0. Verwenden wir die Abbildung t/aus Beispiel 3.2 und die G1. (3.3), so ist mit der Definition von ~z aus Beispiel 3.4:

r(g, g') = gE.l | g,_ g, | gtpl_ 1 | [gtp~, g,] _ g, g p - 1 |

g + g, |

g~pl _ n ((ad x) p(x')) + 1 | (ad g)P (g')

=g[pl| g , _ g , gp-1 | g _ t / ( [ x p, x ' ] ) = 0 , also ist (z, r 0 ~ r ( T | g). Damit ist d(T| Es bleibt zu zeigen, dab T| der Kern yon dist. Das ist genau dann der Fall, wenn

T|

T|

|

| g--+C)=K

ist. Wir zeigen, dab Or(M)~Homr(K,M) ist, wobei z: g ^ g -+K und re: g -~K wie in Beispiel 3.4 definiert sind. Nach Definition yon d ist dann z =dz* bzw. r~=dTr*. Wegen (3.6) und d(T| sind auch A(go | und F(g, g')=0 erffillt. Wegen (3.6) ist der Satz dann bewiesen. Sei T * das i-fache Tensorprodukt yon T m i t sich selbst fiber k und sei Ta|174

e*~T|

e~

die Bar-Aufl6sung yon C ([11], X, 2). Sei B=Bild 8 , = K e r n Oo, sei M ein T-Modul und seien (z', 7r')e~3r(M). Dann erhalten wit das folgende kommutative Diagramm mit exakten Zeilen: 0--

-,K--

\_

,T|

T s | C--~T 2

r ~C-~0

~ C

>C--.0

M Wir definieren j(t|174174 Wegen Satz2.2 wollen wir die Untergruppe ( ( l | von C mit g identifizieren. Dann istj(t|174 Da B = Kern 8o, existiert genau ein T-Homomorphismus i: K ~ B, der das Diagramm kommutativ macht. Um f zu definieren, benttigen wit die exakte Folge

O__.TZ|174

~|

>T2|

Kohomologie von p-Lie-Algebren

295

Wir definieren f * : T s | g -~ M und zeigen, dab f * (T 2 | K) = 0 ist. Dadurch ist dann f : T 2 | C ~ M definiert mit f * =f(1 | (). Sei z~: gAg--*Ta| definiert durch z ~ ( g / ' , g ' ) = l | 1 7 4 1 7 4 1 7 4 l| und ~~: g ~ T 3 | durch 7z~(g)=l|174174 Dann ist 01(1| ~ = i v und 01(1| 0 ~z~ = i ~z nach Definition yon i und j. Wir werden f * so konstruieren, dab f * z ~ = z', f * ~~ = ~z' und f 02 = 0. Dann existiert f': B ~ M mit f'O~ = f ,

f'iz=z'

(4.2)

und f'i~z=~z'.

Sei (u~)z~i eine geordnete Basis yon g fiber k. U hat die Basis ui~ ... ue", mit i j < . - . < i , und O0. _ Dann hat T die k-Linksbasis P ~ul,e~... u~, e,, mit den angegebenen Nebenbedingungen. Wir definieren die L/inge eines solchen Basiselements ,,bezfiglich g" durch ~ ej und ,,bezfiglich P " durch i. Da f * ein T-Homomorphismus wird, genfigt es, f * auf den Elementen der Form 1| t | t'| u fiir Basiselemente t, t' und u zu kennen. Wir definieren also (4.3)

f*(l|174174174174174174174174

und rekursiv nach der L/inge von t bezfiglich g: f*(1 | 1 7 4 1 7 4 u)=0, (4.4)

f * ( 1 | t u i | 1 | u j) = f * ( 1 | t | 1 | [ui, uj]) + t ~' (ui A Ui) ffir i < j ,

f*(l|174174

far i > j ,

und rekursiv nach der L/inge von t bezfiglich P:

tP |174 u)=f*(l| t | 1 7 4

f*(l| (4.5)

Ep])

- f * ( 1 | tU p- I | ] | U)d-tTr'(u).

Durch lineare Fortsetzung gilt (4.3) fiir alle t, t'eT und us9. Also ist

f*(t | t ' | t" | g ) - f * ( l |

tt' | t" | g ) + f * ( l |

t | t't"|

=f*(t | t' t" | l | g ) - f * ( t t ' | t" | l | g) (4.6)

- f * ( 1 @ t t' t" | 1 @ g)+f*(t t' | t"|

1 | g)

+ f * ( 1 | tt' t" | 1 | g ) - f * ( t @ t' t" | 1 | g) =0.

Aus (4.4) folgt ffir Basiselemente t, u, v

tz'(u ^ v ) = f * ( l | tu | 1 7 4 1 7 4 (4.7)

- f * ( 1 | t | 1 | [u, v]).

tv| l |

g)

296

B. PAREIGIS:

Auch diese Gleichung gilt ffir alle teT; u, veg. Wegen (4.3) und (4.7) ist

f*(t |

(4.8)

t'| c'(u | v - v | u - 1 | D,, @ ) = o .

Sei jetzt u ein Basiselement yon g. Dann gilt (4.5) durch lineare Fortsetzung ffir alle teT. Also ist mit (4.3)

f*(t|

(4.9)

|174174

|

|

Wir wollen zeigen, daB (4.9) ffir alle gEg gilt. Gilt (4.9) ffir g, so gilt (4.9) f/it eg. Gelte (4.9) f/Jr go und gl. Wir verwenden wieder die Abbildung r/aus dem Beispiel 3.2. Damit erhalten wir wegen (4.8) ghnlich wie bei (3.3):

f*(t | t' | t"(P+(go+gl) p-l) | (go+gt)) = f * ( t | t ' | t"P | (go + g 0 ) + f * ( t | t ' | t"q ((x o + x 1)")) = f * ( t | t' | t" | g[oPl)+f*(t | t' | t" | g~P?) p-1

+ Z f * ( t | t' | t" N s,(go, gt)) i=l

= f * ( t | t' | t" | (go+g,)t'3). Also gilt (4.9) allgemein. Die G1. (4.5) impliziert f*(1 | (P+u p-l) | 1 | u) = rc'(u)

(4.10)

fiir Basiselemente u von g. Wenn (4.10) ffir g e g gilt, dana auch fiir o~g. Gelte (4.10) fiir go und gl aus g. Dann definieren wir i/: k[xj, x2, ...] ~ T s @ g dutch q/~./(1) ~ J (n)'~-- 1 t ~ ,a,J(1) ~ j (n)-- 1 k"vi (1) "'" ~ i (n)) - - ~ ~ ~i (1) "'" 5,i (n)

N 1 @ gi (.)

7(1)=o. Dann ist

f* (1 | (P + (go + gO "- 1) | 1 | (go + g~)) = f * r/((x o + xl) p) =f*(1 | ( P + gg- ~) | 1 | go) + f * ( 1 | ( P + gf- ~) | 1 | gl) p--1

+ Zf*qsi(xo,X,) i=1

= re(go + gl). (4.8) und (4.9) zeigen, daB f * (T 2 | K) = 0. (4.7) und (4.10) zeigen f * z ~ = z' und f*rc ~ =lr' und (4.6) zeigt fO2 =0. Damit erftillt f * alle geforderten Bedingungen. Der T-Homomorphismus f ' i erffillt also (4.2). Da K als T-Modul durch z (g A g) und re(g) erzeugt wird, ist f ' i die einzige Abbildung, die (4.2) erffillt. Daher ist ~ r ( M ) ~ Homr(K, M) funktoriell in M.

Kohomologieyon p-Lie-Algebren

297

Satz 4.2. Die Folge O---+F(g)--oP(g)

,U|

a,

do ~U ~ )k--+O

ist exakt, wobei ~ die Augmentation, do(uQg)=ug und d, wie in Beispiel 3.2 sind. Beweis. Wie in Satz 4.1 ist das einzige Problem zu zeigen, da$ F(g)= Kern d,. Seien Kern d 1 =~t und i: F(g)~!R die Einbettung. Dann sind die Folgen O-+T| ) T|174 >T| *|176174

T O--~T| l|

>T|

~---~C---~O

exakt und das linke Quadrat ist kommutativ. Wir zeigen, dal3 1| i die Identitiit ist. Dann ist F(g)=R. Sei x~TQvlR. Dann ist x = ~ t l j | 1 7 4 mit linear unabh~ngigen gi^gj bzw. gk; hi, tgeT und ( l | Also ist t, j (g, | gj - gj | g , - 1 | [g,, gj]) + Z tk(g~-* | gk -- 1 | gt,l) = 0. Wenden wir ( auf dieses Element an, so ist

(E tkP | gk) = 0. Durch die Multiplikation in T ist tkPek [P ], und die ~(1 | gk) sind in C tiber k[P] linear unabhiingig. Daher ist tkP=O, also ~ tkP| k =0. Damit ist auch (l| d.h. T|174 ). Also ist l | die Identit/it. Korollar 4.3. H"(g,D)~H"(g,D) fi~r n> 3 funktoriell in D und vertr@lich mit verbindenden Homomorphismen.

Bewe~. H"(g, I)) = Ext,-- 1(C, D) Ext,- 2(T | v (P (g)/F (g)), b) -~Ext,- 2(p (g)/F (g), I)) Ext~ (k, b)

=h"(~, b). Wghrend die Kohomologiegruppen Hl(g,b) und Hz(g,D) im allgemeinen keine k-Vektorrfiume sind, weft k nieht im Zentrum von T liegt, ist dies ffir H"(g,D) mit n__>3 der Fall. Diese Struktur werden wit in Kapitel II noch benStigen. II. Deutung einiger Kohomologiegruppen

1. Erweiterungen yon p-Lie-Algebren Seien g, D, e p-Lie-Algebren fiber k. Eine k-exakte Folge (1.1)

0-~b

~

,e-~+9-+o

298

B. PAaEIaIS:

heiBt p-Erweiterung yon g durch w wenn 2 und v p-Homomorphismen sind. Die Elemente von e operieren auf D durch p-Derivationen nach der Gleichung

eh=2-1[e, ;th],

(1.2)

wobei [, ] in e zu bilden ist. Es ist n/imlich v[e,)~h]=O, also ist [e,h] im Bild yon ~ enthalten. Well 2 ein p-Homomorphismus ist und [e, ] eine inhere p-Derivation yon e ist, ist (1.2) eine p-Derivation. Wir definieren einen p-Homomorphismus ~t: g --+D (t?)/I(D). Sei dazu g ~ g und eev-*(g). Dann sei die Klasse /~(g) durch die p-Derivation e bestimmt. Ist nhmlich e'ev-l(g), so ist e - e ' e 2 b , also eine innere p-Derivation yon t). Damit ist/~ wohldefiniert. Man rechnet leicht nach, dab # ein p-Homomorphismus ist. Sei I) eine abelsche p-Lie-Algebra. Dann definiert/z eine g-Modul-Struktur auf tl. Eine p-Erweiterung (i.1) von g durch einen .q-Modul I1 heigt zerfatlende p-Erweiterung, wenn ein p-Homomorphismus ~r: g ~ e so existiert, dab w =id. o- heiBt p-Schnitt yon (3.1). Der p-Schnitt a definiert eine Zerlegung von e in 0 @ l?, wobei in g @ b die Multiplikation und die p-Abbildung beschrieben werden durch (I.2.3) 2 und (I.2.4). e ist also ein semi-direktes Produkt von g und I). Sei a' ein weiterer p-Schnitt. Dann ist v(o'-a)(g)=O, also ( o ' - r ~r' definiert so eine Abbildung ~r'-cr von g in I?. Der Graph von o-'-o- besteht aus {(crg, (~r'-~r)(g))lgeg}. Dann ist g, (a' -

g), (cr g', (cr' - a) g')] =

[g, g'],

-

[g, g'j),

nach 0.2.3) und (I.2.4). Also ist cr'-o-6p-Lie-Graph(g,b). Umgekehrt sieht man leicht, dab f+~r f/it fEp-Lie-Graph(g,D) ein pSchnitt von (1.1) ist. Es ist also {p-Schnitt: g ~ e} ~-p-Lie-Graph(g,I)). Wegen (I.2.6) und (L2.7) gilt Satz 1.1. Die Gruppe der p-Schnitte eines semi-direkten Produktes yon g und [) ist isomorph zu HI(g,D). In der Kohomologie der Gruppen spielen die Schnitte, die durch Elemente yon b erzeugt werden, noch eine besondere Rolle. Im Fall yon p-Lie-Algebren mtiBte man die Abbildungen g ~ g + [ h , g ] yon g in e dazu betrachten. Aber dann ist gtpl~gtpl+ [h, gEpl] im allgemeinen verschieden yon (g + [h, g]);vl = gtpl + [h, g]Epl+ gp-1 [h, g] = gEpl+ [h, gCpl]+ Eh' g]Epl Also ist diese Abbildung kein p-Schnitt. (L2.3) bedeutet (2.3) in Kapitel I.

Kohomologie von p-Lie-Algebren

299

Zwei p-Erweiterungen von g durch t) heil3en /iquivalent, wenn es einen p-Isomorphismus so gibt, dab das Diagramm

(1.3)

~e 0---~ I)-~ e'---~ g--* 0

kommutativ ist. Die exakten Folgen zerfallen fiber k. Wir miissen also ffir O--~I) ~ ,g@t~

v ,g---,0

eine p-Lie-Algebren-Struktur auf g@l) definieren. Dazu seien e=g+h, e'= g'+ h' Elemente aus e = 9 @ I). Wir bezeichnen das Lie-Produkt in e m i t { , }. Dann gilt {h,h'}=O, da {h,h'}=2[h,h']=2(O). Weiter mug nach (1.2) gelten {g,h} =gh mit der Operation von 9 auf D. Wegen v({g,g'})=[g,g'] kann das Lie-Produkt yon g und g' in e nur um ein Element z(g| aus 1) von [g,g'] in 9 verschieden sein. Also ist (1.4)

{g+h, g' +h'}=[g, g']+ gh'-g' h+ z(g| g').

Werde die p-Abbildung in e durch e + e {p/ gekennzeichnet. Da 2 und v p-Homomorphismen sind, mul3 gelten (1.5)

(g + h)~p~= gEpl+ hcpl + gp- 1 h + re(g),

wobei rc eine nicht notwendig additive Abbildung von g in [ i s t . Wir wollen jetzt notwendige und hinreichende Bedingungen ftir die Abbildungen z: g | g ~ I) und zc: g -. b daftir aufstellen, dab g | b mit den durch (1.4) und (1.5) definierten Operationen eine p-Lie-Algebra ist. Damit die Lie-Multiplikation k-linear ist, mug gelten (1.6)

z ist k-linear.

Weiter sind die Gesetze {e, e} = 0 und {eo, {el, e2}} -b {el, {e2, eo}} + {e2, {eo, el}} = 0 ftir e , e ~ e = g @ D zu erftillen. {e,e}=0 ist genau dann erffillt, wenn (1.7)

z(g | g ) = 0

ftir alle g ~ g .

Wir fassen daher z als k-lineare Abbildung von g ^ 9 in [) auf. Durch die nach Definition von z geltende Gleichung {go, {gl, g2}) = [ g o , [gl, g23-j+goz(gl A g2)+z(g 0 A [gl, g2]) ist die Jacobi-Identit/it gquivalent mit

(1.8)

A(go | gl | g2) = 0 ,

wobei A wie in (I.3.5) definiert sei.

300

B. PAREIGIS :

Fiir die p-Abbildung mtissen in e die Gesetze (I.1.1), (1.1.2) und (I.1.3) bzw. (I.1.5) erftillt sein. (I.1.1)bedeutet (e g)tp] + rr (czg) = (e g){P}= c~p g{P}= c~p g[pl+ e Pz~(g). Also mug gelten (1.9)

rr(~ g) = ~" zr(g).

Bezeichnen wir in e die Multiplikation mit {e,e'} = A d e(e') und in g mit [g,g']=adg(g'). Aul3erdem werde die Funktion st von (I.1.4), in e gebildet, mit St bezeichnet. Da Adg(g')=[g,g']+,(g^g') ist, erh/ilt man durch Induktion i-1

(Ad g)*(g') = (ad g)~(g') + ~ g*- 1- j z (g a (ad g)*(g')). j=O

Um (I.1.2) zu erftillen, mug (Adg{P})=(Adg) p gelten. Wenden wit das auf

g'~ g an, so ist {g{P}, g'} = {gtP]+~z(g), g'} = -

g' rr(g)+ [gEp], g,] + ~(gEp]^ g,)= (Ad g)P (g').

Also ist

r(g, g ' ) = o ,

(1.10)

wobei wir F wie in (I.3.6) definieren. Die Bedingung (I.1.3) schlieglich irnpliziert p-1

,~(go+ g~)- ~(go)-,~(g~) = ~ (St(go, g 0 - ~,(go, gO). i=1

Rechnet man die

Si und s t nach (I.1.4) aus, so ergibt das

zr(go + g , ) - ~ ( g o ) - ~ ( g l ) (1.11)

p-1

1

Iz-l(0)l gto)"" gt(i-1) z(g'(o ^ad gt(i+1)'"ad g'(p-x>(gl)) '

wobei t wie in (I.1.5) 1/iuft. Man verifiziert leicht, dab die Bedingungen (1.9), (1.10) und (1.11) hinreichend dafiir sind, dab die Lie-Algebra e eine p-Lie-Algebra mit der pAbbildung (1.5) wird. Wir haben damit bewiesen, dab der Vektorraum g G t) eine p-Lie-Algebra ist und 2 und v p-Homomorphismen sind genau dann, wenn die Strukturabbildungen z und rt die Bedingungen (1.6) his (1.11) erfiillen. Wir haben ftir unsere Folge (1.1) bisher einen festen k-Homomorphsimus e--+g als Schnitt vorausgesetzt, der die Zerlegung e =g @ D definiert. Seijetzt ein weiterer Schnitt gegeben, der sich gegeniiber dem ursprtinglichen um ~: g -+ I) unterscheidet, also g-+ g + ~ (g). Seien z' und re' die zu diesem Schnitt gehSrigen

Kohomologie von p-Lie-Algebren

301

Strukturabbildungen. Dann ist [g, g'] + ~,([g, g'])+z'(ga g')={g+O(g), g' + ~b(g')} = [g, g'] +v(g ^ g ' ) + g r

~(g),

also

(1.12)

(Z'-- z)(g A g')= g~(g')--g' ~(g)--O([g, g']).

Welter ist gt,~ + r ( g % + ,~, (g) _ (g + ~, (g))~,~ = gEp~+ ~ (g) + r (g)~,J+ gp-1 r (g), also (1.13)

(n' - It) (g) = ~ (g)Cpl + gp-1 ~ (g) _ ~ (g[pl).

Ftir eine feste p-Lie-Algebren-Struktur sind die Strukturabbildungen (z, n) nur bis auf (1.12) bzw. (1.13) bestimmt, wobei ~9eHomk(g,D) beliebig gew~ihlt werden darf. (t.12) und (1.13) definieren auf der Menge der Strukturabbildungen {(z, rt)} eine Aquivalenzrelation. Jede p-Erweiterung bestimmt eine Klasse yon Strukturabbildungen. Ist eine/iquivalente Erweiterung nach (1.3) gegeben mit zwei festen Schnitten, so kann man q~ schreiben als cp(g+h)=g+~(g)+h, wobei ~eHOmk(g,[). Damit definiert eine/iquivalente p-Erweiterung dieselbe Klasse yon Strukturabbildungen. Sind umgekehrt zwei Strukturabbildungen durch CeHomk(g,I))miteinander /iquivalent, so definiert ~ (g + h) =g + h + ~ (g) eine Aquivalenz der zugeh6rigen p-Erweiterungen. Man rechnet nfimlich leicht nach, dab cp mit der Lie-Multiplikation und den p-Abbildungen vertr/iglich ist und das Diagramm (1.3) kommutativ macht. Also ist die Abbildung, die jeder ~quivalenzklasse vonp-Erweiterungen die zugeh6rige Klasse yon Strukturabbildungen zuordnet, eine Bijektion. Die ~quivalenzklassen yon p-Erweiterungen bilden eine kommutative Gruppe Opext(g,I)), deren Addition nach ([5], S. 566) wie folgt beschrieben wird: die Differenz der p-Erweiterungen (e,2, v) und (e', 2', v') wird gebildet als Unteralgebra D = {(e, e') l e ~ e, e' ~ e', v (e) = v' (e')} yon e @ e' mit der Aquivalenzrelation modulo J={(h,h)~D @D}. In D/J gilt dann bezfiglich fest gew/ihlter Schnitte tiber k: (1.14)

{g+h, g'+h'} =[g, g ' ] + g h ' - g ' h+z(g ^ g ' ) - z'(g A g'), (g+ h){p}= gtp] + htpl + gp- t h + re(g) -re' (g).

Die Aquivalenzklassen yon Strukturabbildungen bilden eine kommutative Gruppe S(g, •). Die Addition wird definiert durch (1.15)

(z, n)+(z', n')=(z + z', rc+ n'),

wobei die Addition der Abbildungen dureh Addition der Werte definiert wird. Da (1.6) bis (1.11) linear in 9 und n sind, erffillt die Summe (1.15) wieder (1.6) bis (1.11). Das neutrale Element ist (0, 0), das Inverse yon ('r, n) ist ( - ~, - re).

302

B. PAREIGIS:

Wegen (1.14) ist die Bijektion zwischen den Klassen von p-Erweiterungen und yon Strukturabbildungen ein Isomorphismus: (1.16)

Opext (g, b) ~ S (g, b).

Satz 1.2. H 2 (g,D)~ Opext(g,D).

Beweis. Die exakte Folge aus I Satz 4.1 induziert eine exakte Folge Homr (T | g, f))~ Homr (T | v (P (g)/F (g)), [~)--~H 2(g, ~) --~0 nach Definition von H2(g,I)). Da aber Hom T(1" | v (P (g)/F (g)), b) ~-5 r (w da Horn T(T| g, D)~-Homk (g, b), da (1.6) bis (1.11) den Bedingungen ([.3.1) und A (go | @g2)=0, F(g,g')=0 entsprechen, und da die Definition yon d in I Satz 4.1 mit (1.12) und (1.13) iibereinstimmt, ist der Kokern yon Homr( T | g, D)--~Homr(T | (P(.q)[F(fl)),I)) isomorph zu S(g,b), also nach (1.16) zu Opext (g, D). Wir bemerken bier noch, dab HOCHSCHILDin [5, 4] auch eine Aquivalenzrelation fiir die Folgen (1.1) mit festgehaltenem #: g ~ D(I))//(D) einffihrt. Die Menge dieser Aquivalenzklassen wollen wit auch mit Opext(g,D) bezeichnen. Sei e das Zentrum yon D, dann ist nach ([5], Th. 4.1) entweder Opext(g,t))=0 oder Opext (fl,D)~ Opext (g, c). Da wir den letzten Isomorphismus nicht weiter benStigen, verweisen wir auf die Details in [5]. Jedenfalls gentigt unser Satz 1.2 auch zur Beschreibung beliebiger Erweiterungen (1.1). Der Fall Opext(g,D)= 0 wird in w3 genauer untersucht werden.

2. Modulerweiterungen Wir wollen in diesem Paragraphen Erweiterungen von U-Moduln durch Kohomologiegruppen beschreiben. Dazu vergleichen wir zunfichst H" (g, b) und /t"(9,b) fiir stark abelsche p-Lie-Algebren. Satz 2.1. Fi~r stark abetsche p-Lie-Algebren D, auf denen g operiert, gilt H"(g,D) _-_Ext}- 1(U+,b)fi~r n> 1.

Beweis. Wir benStigen projektive AuflSsungen von U + und C, die nach den S/itzen 4.1 und 4.2 aus Kapitel I folgendermaBen gew~ihlt werden kSnnen: ...p'_JL~p(g) el > U |

...T|

l~__k~j_~d~T|

do

>U+--~0, d >T|

wobei P' ein freier U-Modul ist. Damit erhalten wir ein kommutatives Diagramm 0---~Homv(U | g, b)---*Homv(P(g), D)-~Homv(P', w (2.1) II 511 511 ~ll O--~Homr(T| g, D)--~ H o m r ( T | P(g),D)--,Homr(T| U, w

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

303

wobei die senkrechten Isomorphismen durch Operatorerweiterung definiert sind. Daher sind das dritte und alle folgenden Quadrate kommutativ. AuBerdem ist das erste Quadrat kommutativ. Sei ~oeHomr(T| Dann ist q~(Pu|174 Also kann ~o faktorisiert werden durch T|

g ~,I)

UNg wobei p: T@ g--+ U| g durch den in (I.1) definierten Ringhomomorphismus T--+ U induziert wird. Da U ~ T - + U die Identit~it von U ist, ist U| g -+T| g -+U| die Identit/it. U|174 wollen wir 0 nennen. Dann ist q~O= CpO =~,, also ist die Zuordnung (2.2) genau die in (2.1) verwendete. Bei p geht der Untermodul K von T| g fiber in den Untermodul p(K) von U| g, der nach der Definition yon K als U-Modul (oder auch als T-Modul) von

{g | g ' - g' | g - 1 | [g, g'], gP- 1 | g _ 1 | gEP]I g, g' e g} erzeugt wird. Also ist q)d(t| | | ). Damit ist die Kommutativit/it yon (2.1) nachgewiesen. Aus (2.1) folgt die Behauptung des Satzes nach Definition (I.2.7). Korollar 2.2. Fiir stark abelsche p-Lie-Algebren ~, auf denen g operiert, gilt H"(g,b)~ It"(g,t)) fi~r n> 2.

Beweis. Die U-exakte Folge 0 ~ U + -~ U ~ k --*0 induziert eine exakte Folge und Isomorphismen (2.3) (2.4)

0--,Homv(k, b)--,[~--,Homv(U +, b)---~Ext~v(k, I~)--~0, Ext~(U +, I))~ Ext,+ a(k, t)),

n> 1.

Da Ext~+ ~(k, [) =/~" + ~(g, t)), erhalten wir die Behauptung des Korollars. Seien jetzt M, N beliebige U-Moduln. Wir machen Homk(M, N) zu einem U-Modul. Dazu geniigt es, eine Lie-Operation yon g auf Homk(M,N ) anzugeben, die dann eindeutig zu einer Operation yon U auf Hom k(M, N) fortgesetzt wird. Seien geg, f ~ H o m k ( M , N ) und m~M. Dann ist (2.5)

(g f)(m) = g ( f ( m ) ) - f (g m) .

Von dieser Operation rechnet man leieht nach, dab sie eine Lie-Operation ist, d.h. dab [g, g ' ] f = g ( g ' f ) - g ' ( g f ) . Genauso machen wir M | N zu einem U-Modul durch (2.6)

g(m | n)=(g m) | n + m | (g n) .

Auch hier rechnet man leicht nach, dab diese Operation eine Lie-Operation ist.

304

B. PAREIGIS: Seien jetzt L, M, N U-Moduln. Dann ist

(2.7)

Homo(L, Homk(M, N))~ Homv(L | M, N)

funktoriell in L, M, und N. f ~Hom~(L, Homk(M,N)) ist ein U-Homomorphismus genau dann, wenn

f (g l) (m) = (g (f(I))) (m) = g ( f (l) (m)) -f(1) (gm), u n d f e Homk (L | M, N) ist genau dann ein U-Homomorphismus, wenn

g(f (l | m))=f(g(l | m))=f (g 1| m)+ f (l | gm). Diese beiden Bedingungen sind unter dem Isomorphismus Homk (L, Homk (M, N)) = Homg (L | M, N) gleichwertig. Speziell ist (2.8)

Hom o (k, Hom k(M, N)) ~ Hom o (M, N)

funktorM1 in M und N. Sei N U-injektiv und L' c L ein U-Untermodul yon L. Sei q) : L' -+ Horn k(M, N) ein U-Homomorphisrnus. Dieser induziert einen U-Homomorphismus L'| M --+N. Da L' | M ein U-Untermodul yon L | Mist, I/iBt sich dieser U-Homomorphismus fortsetzen zu einem U-Homomorphismus L | M--+ N, der wiederum einen U-Homomorphismus L-+Homk(M,N) induziert. Dieser ist eine Fortsetzung yon q~. Also ist Homk(M,N) U-injektiv. Lemma 2.3. Ist N ein U-injektiver Modul, so ist auch Horn k(M, N) U-injektiv bei der Operation (2.5). Sei M U-projektiv und L ' c L ein U-Untermodul yon L. Sei ~: L'-+ Homk(M,N ) ein U-Homomorphismus. Dieser induziert U-Homomorphismen L' | M ~ N und M-+ Hom k(L',N). L' c L induziert einen Epimorphismus Horn k(L, N) -* Homk (L', N). Da M U-projektiv ist, erhalten wir einen U-Homomorphismus M --+Hom k(L, N), tier einen U-Homomorphismus L ~ Homk (M, N) induziert. Dieser ist eine Fortsetzung yon ~o. Also ist Homk(M,N) U-injektiv. Lemma 2.4.1st M ein U-projektiver Modul, so ist Hom,(M,N) ein U-injektiver Modul bei der Operation (2.5). Sei L--+L' ein Epimorphismus und M ein U-projektiver Modul. Sei q~: ein U-Homomorphismus. Dann induziert q~ einen U-Homomorphismus M--+ Hom,(N,L'). Da Homk(N,L ) -+ Homk(N,L' ) ein U-Epimorphismus ist, existiert ein U-Homomorphismus M --+Horn k(N,L), also M | N--+L. Dieser ist eine Fortsetzung yon ~o.

M|

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

305

Lemma 2.5. Ist M ein U-projektiver Modul, so ist aueh M | N U-projektiv bei der Operation (2.6). Eine U-injektive AuflSsung X von N wird wegen Lemma 2.3 zu einer Uinjektiven Aufl6sung Homk(M,X) von Homk(M,N). Eine U-projektive Auf15sung X von M wird wegen Lemma 2.4 zu einer U-injektiven AuflSsung Hom~(X,N) von Homk(M,N ). Das zeigt, dab (2.8) auch f/Jr die in M bzw. N rechtsabgeleiteten Funktoren gilt (2.9)

Ext,(k, Hom k(M, N)) ~ Ext~ (M, N)

funktoriell in M und N und vertr/iglich mit verbindenden Homomorphismen. Als unmittelbare Folgerung erhalten wir Korollar 2.6. Fiir den trivialen U-Modul k gilt p-direr (k) = g/-dim (U). Korollar 2.7. U ist genau dann halbeinfaeh, wenn I~"(g,N)=O fi~r alle UModuln N und n > 1. In Kapiteln I I I w 3 werden wir eine weitere Charakterisierung ftir halbeinfache U angeben. Satz 2.8. Es gibt Homomorphismen, so daft die Folge 0--~ Horn v (M, N) -4 Homk (M, N) --* H~(g, Hom~ (M, N)) --~ Ext 1 (M, N) ~ 0 exakt ist. Es existieren Isomorphismen fiir n > 2 H"(g, HOmk(M, N)) ~ Ext~ (M, N). Die Homomorphismen und Isomorphismen sindfunktoriell in M und N. Beweis. Wir setzen dazu nur in (2.3) bzw. (2.4) fiir ~ den U-Modul Horn k(M, N) ein und verwenden dann Satz 2.1. Wie bei der Kohomologie yon Gruppen erhglt man auch hier zwei verschiedene U-Modul-Strukturen auf den abelschen Gruppen U | bzw. Homk (U, M). Wir definieren n~imlich u (u' | m) = u u' | m und (uf ) (u') =f(u' u). Diese U-Moduln wollen wir durch ( U | N ) bzw. (HOmk(U, N)) bezeichnen. Lemma 2.9. Es existieren U-Isomorphismen ~2.10)

U | N ~ ( U | NS,

(2.11)

Homk (U, N)-~ (Homk(U, N)).

Wir beweisen nur (2.11). Der Beweis von (2.10) verl/iuft analog. Wir definieten U-Homomorphismen ~: Homk(U,N ) ~ ( H o m k ( U , N ) ) 22

Math. Z., Bd. 104

und

fl: (HOmk(U,N)) ~ H o m k ( U , N )

306

B. PAREIGIS:

durch die Bedingungen (e f ) ( 1 ) = f ( 1 ) bzw. (S f ) ( 1 ) = f ( 1 ) und durch (2.12)

~(gf)=g(~f)

bzw.

fl(gf)=g(fif)

fiJr g e g .

Die Bedingung (2.12) impliziert, dab e und 8 U-Homomorphismen sind. Diese Bedingungen definieren schon vollst~ndig c~ und 8. Da U als k-Algebra yon g erzeugt wird, gentigt es zu zeigen, dab c~f bzw. flf auf Elementen der Form gl ... g,, erkl~trt ist. Wegen (2.12) gilt (~f)(gl .'. gn)=(gn(~ f))(gl "" g,-1)=c~(g,f)(gl ... g,-1), (2.13)

(flf)(g* "" g,,)=gl(fif(g2 "" gn))--(f(g*f))(g2 .'. g,).

Also sind cef und flf rekursiv definiert, allerdings nur auf der Tensoralgebra T(g). Es bleibt zu zeigen, dab ~ f bzw. fif das zweiseitige Ideal yon T(g), das yon { g | 1 7 4 gp_gtVl} erzeugt wird, annullieren. Mit (2.13) rechnet man fiir g, g' e g, t ~ T(g) aus: (c~f)(t(g g ' - g ' g - [ g , g']))=0, (0tf ) (t (gP- gtpl)) = 0,

(flf)((g g ' - g' g - [g, g ' ] ) t ) = 0 , (Sf)((g p - gtP3 t) = 0. Ist aber (c~f)(t) = 0 ftir ein festes t und allef, so ist auch (c~f)(t g) = e (g f)(t) = O. Ist (Sf)(t)=0, so ist ( S f ) ( g t ) = g ( S f ) ( t ) - ( 8 ( g f ) ) ( t ) = 0 . Damit sind c~f und 8 f auf U definiert, e und 8 sind U-Homomorphismen. Mit einer Induktion sieht man (fl e f ) ( g t) = g((8 ~ f ) ( t ) ) - 8(g czf)(t)

= g ( f ( t ) ) - ( 8 o~(gf))(t) =g(f(t))-(gf)(t) = f ( g t), also 8c~ =id. Umgekehrt ist

(c~8 f ) (t g) = (~ g fl f) (t) =(o:8(gf))(t) =(gf)(t) =f(t g), also c~8 =id. Damit sind ~ und 8 U-Isomorphismen. 3. p-Lie-Kerne Sei g eine p-Lie-Algebra und D ein g-Modul. Sei ~ eine weitere p-Lie-Algebra und #: fl --+D (~)/I(~) der in I w 1 definierte p-Homomorphismus. Sei ~ das Zentrum yon ~ und induziere/, die gegebene g-Modul-Struktur auf I). Dann heiBt (L/*) p-Lie-Kern fiber g. b heiBt der Nukleus yon (~,/~).

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

307

Wir sagen, daB (f, #) eine Erweiterung besitzt, wenn Opext (g, I ) 9 ~. Seien (i,/0 und (f',#') zwei beliebige Kerne fiber g mit dem Nukleus I). J c i @ 1' sei das p-Ideal {(h, - h)[heD}. Dann existiert ein p-Homomorphismus # + # ' : g--4D(~ G ~'lJ)/I(~ (~ i'lJ), so dab (f @ f'/J, # +/d) = (f,/~) + ([', #') ein p-Lie-Kern fiber g mit dem Nukleus t) wird. Wir ffihren eine Aquivalenzrelation auf der Menge der p-Lie-Kerne fiber g mit Nukleus I) ein. Es sei (~,/~)~,-(~',/d) genau dann, wenn p-Lie-Kerne (e, v) und (e',v') mit Nukleus I), die Erweiterungen besitzen, so existieren, dal3 (~,/0 + (e, v) ~ (f', #') + (e', v') sind. Die oben eingeftihrte Addition macht aus der Menge der *quivalenzklassen eine abelsche Gruppe p-Ker(g, I)) [6]. Wir bemerken noch, dab zu (r, # ) - (~', #') die Algebra f @ ~'/J mit J={(h, h) lh el)} geh6rt. HOCHSCHILD hat ffir stark abelschen Nukleus 13bewiesen: (3.1)

//3 (g, I))~ p-Ker (g, I)).

Zusammen mit I Korollar 4.3 ist daher ffir stark abelsche I): (3.2)

H a (g, [3)= p-Ker (g, [)).

Die linke Seite yon (3.2) ist aber ffir beliebige g-Moduln I? definiert und von der p-Abbildung in I) wegen I Korollar 4.3 unabh/ingig. Wir wollen daher (3.2) ffir beliebige g-Moduln 13zeigen. Sei I) eine abelsche p-Lie-Algebra, auf der g operiert. Sei I)* isomorph zu I) als U-Modul und sei diep-Abbildung in [3* die Nullabbildung: h rpl =0. Sei r die Menge der Elemente yon [), die von g annulliert wird. Sei (f, #) ein p-Lie-Kern fiber g mit Nukleus I). Wir definieren auf [ eine Abbildung x ~ x {p}= x rp] + (p(x), wobei ~0: f ~ c eine beliebige p-semilineare Abbildung ist. Die Abbildung ist nach [2] wieder eine p-Abbildung. Die so erhaltene p-Lie-Algebra nennen wir ~'. Entsprechend bilden wir I)' mit dieser neuen p-Abbildung. Die Abbildung #: g ~ D ([)/I(~) induziert eine Abbildung von g in D (~')/I(I'), die wir wieder mit/~ bezeichnen wollen. Sei pe#(g) eine p-Derivation von [. Da p(h)=gh ffir alle h~I), ist p (x {'}) = p (x t'] + ~0(x)) = (ad x) p -1 p (x) + g q~(x). Da q~(x)ec, ist g o ( x ) = 0 . Also ist p eine p-Derivation yon [' aus/~(g). Lemma 3.1. (f',#) ist ein p-Lie-Kern iiber g mit Nukleus t)'. Ist ~ =D', so ist (f', #) ~ (f, #)Beweis. Sei I? = D', d.h. sei die p-Abbildung in [3 ungegndert. Dann wollen wir zeigen, daB (f,#)-(f',/~) eine Erweiterung besitzt. Nach ([6], Lemma 1.1) haben wir das Verschwinden der Deviationen zu zeigen. Aber die Deviationen in [ und I' k6nnen gleich gew/ihlt werden, liegen also in J. Damit verschwinden die Deviationen in ( f , / 0 - (f',/0. 22*

308

B. PAREIGIS:

Wir bilden jetzt aus (~,#) einen p-Lie-Kern (~*,g) fiber g mit Nukleus b*. Sei ~ = VG b als k-Vektorraum. Sei qo: ~ --, c definiert durch ~o(v + h) = - h cp~. Dann ist ~)* eine stark abelschep-Lie-Unteralgebra yon ~* und nach Lemma 3.1 ist (~*, #) ein p-Lie-Kern. Aus (~*,#) bilden wir einen p-Lie-Kern (~',#) fiber g mit Nukleus I). Sei ~*= V* | als k-Vektorraum. Sei qr ~*-~c definiert durch ~ o ' ( v * + h ) = h tpl mit der ursprfinglichen p-Abbildung in I). Dann ist (~', #) ein p-Lie-Kern. Ftihren wir diese beiden Konstruktionen hintereinander aus, so ~indern wir die p-Abbildung um r#+~0'. Aber (q~+~o')(h)=0 ffir alle het), d.h. die p-Abbildung auf I) ist nicht ge~indert worden. Nach Lemma 3.1 erhalten wir so einen fiquivalenten p-Lie-Kern. Damit ist eine bijektive Abbildung zwischen p-Ker(g,b) und p-Ker(g,I)*) angegeben. Diese ist offenbar ein Gruppenisomorphismus, weil eine ~nderung der p-Abbildung nichts an der oben definierten Addition andert. Diese Methode definiert auch Isomorphismen p-Ker(g,[)) ~p-Ker (g,t)'), wobei in I)' die p-Abbildung um eine p-semilineare Abbildung ~o: ~)-~ c ge~indert wird. Mit diesen Isomorphismen ist dann das Diagramm p-Ker (g, I)) ~ p-Ker (g, b') (3.3)

\\% ~// p-Ker(g, I)*)

kommutativ. in [6] ffihrt HOCnSCmLD eine k-Modul-Struktur auf p-Ker(g,b*) ein, derart dab der Isomorphismus (3.2) ein k-Isomorphismus wird. Statt der Definition yon HOCI4SCHmDwollen wir eine andere Definition der Multiplikation verwenden und diese ffir beliebige g-Moduln l) definieren. Sei (~, #) ein p-Lie-Kern fiber g mit Nukleus I?. Wir wollen die Identifizierung yon b mit dem Zentrum von ~ durch i: I ) ~ bezeichnen. Sei ~ek und c~+0. Dann ist ~-1i: b ~ ein k-Monomorphismus yon D auf das Zentrum yon ~. Hat I) eine von Null verschiedene p-Abbildung, so ist c~- 1 i im allgemeinen kein p-Homomorphismus mehr. Andern wir aber die p-Abbildung in ~) urn ~o(h) = ( c d - v - 1 ) h rp~ und nennen wir diese neue p-Lie-Algebra I?', so ist ct - 1 i ( h tv~ + q) ( h ) ) = ~ - 1 i ( c d - p h rp])

= (~-1 i(h))tpl, also ist ct- 1 i ein p-Homomorphismus. Wir haben damit einenp-Lie-Kern (~',#) =~(~,#) fiber g mit dem Nukleus [?' konstruiert. Man rechnet leicht nach, dab c~: p-Ker(g,Ii)~p-Ker(g,b' ) ein Gruppenisomorphismus ist, der mit den in (3.3) verwendeten Isomorphismen kommutiert. Also erhalten wir Isomorphismen ~: p - K e r ( g , [ ) ) ~ p - K e r ( g , b ) . Das definiert eine k-Modul-Struktur auf p-Ker(g,D) derart, dab die Isomorphismen yon (3.3) k-Isomorphismen sind.

K ohomologie von p-Lie-Algebren

309

Satz 3.2. Es existiert ein k - I s o m o r p h i s m u s H3(9, I))~-p-Ker(9, 1)).

III. Vollst~indige Kohomologie und Dualit/it 9 sei in diesem Kapitel eine endlich-dimensionale p-Lie-Algebra. Wir werden uns ira wesentlichen mit einer Verallgemeinerung der Kohomologiegruppen /f" (9, 3) befassen. 1. Vollstiindige Kohomologie und H o m o l o g i e

Nach [1] ist die assoziative p-Hfille einer endlich-dimensionalen p-LieAlgebra eine Frobeniusalgebra. Also besitzt jeder endlich erzeugte U-Modul A eine endlich erzeugte freie vollstiindige Aufl6sung [10]: 92: . . . ----~ ;'~ A 1 - ~ A o - - ~

(1.1)

A _ 1 ~ - ~ , A _ 2 ~-~ 7...

\/ o/ \o

Die (vollst/indigen) Kohomologiegruppen yon A mit Koeffizienten in dem U-Modul ~) werden definiert durch (1.2)

Jq~(A, b)= H,(Homv(92, ~))).

Setzen wir ffir A den trivialen U-Modul k ein, so ist /~n(g,b)=H~(k,I)) ftir n > 0. Also definieren wir allgemein (1.3)

/4"(g, [))=/t~:(k, [~).

Wie im allgemeinen ffir Frobeniuserweiterungen kann man auch fiber U Homologiegruppen definieren. Wir wollen hier nur die vollst/indige Homologie betrachten, wobei ein Koeffizientenmodul wieder der triviale U-Modul k sei. Sei A ein U-Rechts-Modul und 92 eine endlich erzeugte freie vollstfindige Auf16sung yon A durch Rechts-Moduln. Sei I 4 V ( A , I ) ) = H , ( 9 2 | Ist A ein ULinks-Modul, dann ist A* = HOmk (A, k) ein U-Rechts-Modul und Hom k(92,k) = 92" eine endlich erzeugte freie vollst/indige Aufl6sung von A*. Also ist/~v (A*, D) definiert. Ist A der triviale U-Modul k, so ist k ~ - k * als zweiseitiger trivialer U-Modul. Da die Homologiegruppen unabh/ingig yon der vollst/indigen Auf^U ~ ~U 16sung sind, ist H, (k, b)= H, (k * , b). Wir definieren jetzt

(1.4)

t~,(9, ~) = ~,~(k, ~)_-__t),~(k *, b).

Wir ben6tigen jetzt einige Eigenschaften, die aus der Tatsache folgen, dab U eine Frobeniusalgebra ist. Zun~ichst ist U ~ Homk(U,k ) als U-Links-Moduln durch den Frobeniusisomorphismus. Der dem Bild von 1 e U entsprechende Frobenius-Homomorphismus werde mit ~: U ~ k bezeichnet. {r ist also ein

310

B. PAREIGIS:

freies Erzeugendensystem von Horn k(U, k) und zwar sowohl als U-Links-Modu! als auch als U-Rechts-Modul. Sei ue U. Dann existiert genau ein ve U, so dab uO = ~ v. Die Zuordnung u ~ v definiert einen Atgebrenautomorphismus q~* : U ~ U, der wie in [10] Nakayama-Automorphismus heil3e. ~* definiert einen vergessenden Funktor [15] yon der Kategorie der U-Moduln in die Kategorie der U-Moduln. )i.hnlich wie in [10] wollen wir das Bild eines Moduls t) bei diesem Funktor mit I~~ bezeichnen. Dann gilt wegen ([10], Satz 2) der

Satz 1.1. H,(g,[?)g/4-"-l(g,t)~ Damit sind die Homologiegruppen dutch Kohomologiegruppen vollstfindig beschrieben, und wit brauchen nur noch die letzteren genauer zu untersuchen. Wit wollen die Form des Nakayama-Automorphismus ~* noch genauer angeben. Sei dazu gl, ..., g, die Basis von g. Sei u = ~ cqg~'...gi#. Dann ist (u) = a(p_ 1..... p- 1), d.h. der Koeffizient yon g[- 1... g p- 1. Wir erhalten wegen ([1], Lemma): i (g~ ... g~ &) =

falls ij < p - 2 falls ij = p - 2, ein ik < p - 2, k 4 j falls ij = p - 2, alle ik = p-- 1, k :~j.

Dasselbe erhalten wir, wenn wir ~ (gj g]'.., g~")berechnen. Sei O (gf- 1...g,,p- lgj) = e und O(gjg~-~...gp-1)=fl. Dann ist

gn'o(gj--OO)=O((gj--fl)gl 1' . . ,g~) also ~* ( & - ~)=&--/~. Da ~* k-linear ist, existiert ffir jedes g ein ~, so dab (1.5)

~*(g)=g+~.

2. Berechnung einiger Kohomologiegruppen Zungchst wollen wir die Kohomologiegruppen H"(g,b) ftir besonders einfache abelsche p-Lie-Algebren g und I? angeben. Die einfaehste nicht-tfiviale p-Lie-Algebra ist die eindimensionale stark abelsche p-Lie-Algebra kX. Diese wollen wir aus Griinden, die in Kapitel V auftreten werden, ~* nennen. Die assoziative p-Hiille ist k [X]/(XP). Eine weitere kommutative p-Lie-Algebra ist die eindimensionale abelsche p-Lie-Algebra l~p=kX mit X tp] =X. Die assoziative p-Htille ist hierbei U=k [X]/(X"- X). Wir wollen untersuchen, wie c~* und #p auf ~* und/tp operieren k6nnen. Sei D: ~* ~ * eine p-Derivation. Dann ist D X = ~ X mit ~ k . D(X t'l) =0 = (ad X)"- 1D X ist immer erftillt. Sei ~0: ~,* --+D (c~*) ein p-Homomorphismus, und sei D =cp (fiX). Dann ist DP=D rpl -=~p((fiX)[pl) =0, also ~P=0. Damit ist c~=0, d.h. c~* operiert nur trivial auf ~*. Sei (p: #p ~ D ( e * ) ein p-Homomorphismus, und sei D=q)(X). Dann ist DP=~p(X[P])=~o(X)=D, also aP=c~. Damit gibt es mehrere Operationen yon #p auf c~*,n[imlich aul3er der trivialen Operation die Operationen ~0(X)(X) = ~X mit c~P-1 = 1.

Kohomologie von p-Lie-Algebren

311

Sei D: # p ~ # p eine p-Derivation. Dann ist D X = a X mit c~ek. D ( x t p J ) = D ( X ) = c ~ X = ( a d X ) P - ~ D ( X ) = O ist genau dann erffillt, wenn c~=0. Also ist D(#e) =0. a* und/lp k6nnen nur trivial auf #p operieren. Wir geben jetzt einfache projektive Aufl6sungen yon C (Kapitel I, w2) fiber T an ffir die beiden Fglle g =~* bzw. g =#p. Es sei X wie oben das erzeugende Element von U und X: T - + T die Rechtsmultiplikation mit X. Entsprechend seien die Abbildungen X ~-~, X p - l - 1, X p - ~ - 1 + P definiert, Da g als k-Modul isomorph zn k ist, k6nnen wir T | ersetzen durch T ~ C . Dann gilt: Lemma 2.1. Fftr g - % * i s t ... T x P - ~ ~T

X~T

x~ - ~ ~T

x > T - -x~- - ~~T+-P- ~ C - + O

eine projektive Aufl6sung. Fi~r g =#p ist .,, T

Xp-t-1

>T

X

Xp-I-I+P

>T - -

, T--~C-+O

eine projektive Aufl6sung.

Aus den Multiplikationsregeln ffir T sieht man sofort, dab die beiden Folgen Komplexe sind. Da g u n d U von X erzeugt werden, ist nach Definition C~- T/T (X p- ~ + P ) bzw. C ~ T / T ( X p- 1 _ 1 + P ). Die Exaktheit der Folgen folgt aus einem Koeffizientenvergleich. Ffir H " (%, * ~*) erhalten wir mit c~ = k Y den Komplex O---+k Y xp-~+e ;k y . x

k y

x~-~k Y

x ~k Y ....

Alle Abbitdungen sind Nullabbildungen. Also ist (2.1)

H"(a*, a*)~_ k,

n__>1.

Entsprechend erhalten wir bei trivialer Operation von #p auf a*: (2.2)

H"(pp, ~*) = 0 ,

n > 1.

Operiert/zp nicht trivial auf a*, so sind X p- 1 _ 1 + P und X ~- a - 1 Nullabbildungen und X ein Isomorphismus. Also ist (2.3)

HI(I,. , %*)~= k , 9

H"(/zp, ~*) = 0

fur n >_ 2 .

Ftir den Koeffizientenmodul/~p = k Y ist P~ Y=aP Y. Im allgemeinen ist ~-+ aP kein Epimorphismus. So erhalten wir wie oben (2.4)

H2( L p) k/k p,

, #p) = k H " (%,

fiir n =>3

und Hl(pp,pp)~-{o~lof =~z, a e k } ,

(2.5)

H" (#v, #p) = 0

H2(#p,pp)~k/{~P-~i~ek},

f i i r n > 3.

312

B. PAREIGIS;

(2.2) bis (2.4) zeigen, dab es zwar keine nicht-zerfallenden p-Erweiterungen yon/~p durch %* gibt, dab aber nur fiir perfekte K6rper alle p-Erweiterungen von %* durch ktp zerfallen. Da e* abelsch ist und trivial auf #p operiert, und da % ^ % --0 ist, sind alle p-Erweiterungen wegen (II. 1.4) kommutafiv. Mit (2.1) und (2.5) zeigt man, dab es nicht-zerfallende p-Erweiterungen yon (Xp * durch ~p* bzw. yon ~t~ durch gp gibt. Mit demselben Argument wie oben sind auch diese Erweiterungen kommutativ. Wir wollen jetzt die Kohomologiegruppen/t" (g, b) ffir endlich-dimensionale p-Lie-Algebren 9 ffir n =0, - 1 , - 2 beschreiben. Dazu geben wir jetzt den Anfang einer vollst/indigen U-projektiven Aufl6sung yon k an:

...U|

d~

u

\ / 0

if\

,U d~174

0

wobei e die Augmentation und do(u | seien. Der zweite Teil der Auf15sung entsteht, indem wir eine AuflSsung von k als trivialem U-Rechts-Modul ...g|

'~'~,U

~

,k--*0

dualisieren: 0---~HOmk(k, k)---,HOmk(U, k)--*Homk(g @ U, k)... und die U-Isomorphismen

k~-HOmk(k, k) U ~-HOmk(U, k) U | HOmk(g, k)= HOmk(U, HOmk(g, k))~_ HOmk(g | U, k) einsetzen. Die letzten Isomorphismen gelten wegen ([9], II): (2.7)

U | A ~ Homk(U, A).

Dieser Isomorphismus wird beschrieben durcb

u|

und f ~ r i | 1 6 2

wobei {re}, {li} zueinander duale Basen beztiglich ~ von U fiber k sind [13]. Sei =NO mit Ne U. N ist wegen (2.7) ffir A = k eindeutig bestimmt. In der Kohomologie der Gruppen wird N oft die Norm genannt. N ist unabh~ingig yon einer Grundk6rpererweiterung, da e und ~ dabei erhalten bleiben. Nach ([9], (9)) erhalten wir in U:

E ri e(li) =~. ri O(li N) = Z N r, ~ (1,)

=N und analog e (rl) l~= ~9"(N).

Kohomologie von p-Lie-Algebren

313

Man sieht durch Einsetzen der verschiedenen Homomorphismen rI (c0 = a N ,

d o (u) = u ~ r i @ p (li),

wobei p (l~)~ Horn k(g, k) definiert ist dutch p (li) (g) = 0 (gli). Da u 4')(0 =

ist (2.8)

=

u) = ( . N

und

~(u)N=uN

qs(u)=uN.

Damit wollen wir ffir einen U-Modul [ die Kohomologiegruppe/~o (g,b) aus

... Homv(U, I)) N* >Homv(U , I))a~ >Homv(U | ~, D)... berechnen. Setzen wit Homv(U,b)~ D in diese Folge ein, so geht der Homomorphismus N* in h ~ Nh fiber. Wir mfissen den Kern yon d* berechnen. Es ist d~ (fh) (u | g) =fh do (u | g) = ugh. Also ist d* (fh) = 0 genau dann, wenn g h = 0 ffir alle g~g. Wir nennen b g ={h]h~t), gh --0 ffir alle g~g} den Fixmodul yon t). Damit ist (2.9) /~ o(g, i1) ~ Dg/N b. Statt/t-~(O,b) direkt zu bestimmen, werden wit die nach Satz 1.1 dazu isomorphe Homologiegruppe/~o (g, b') bestimmen, wobei b' das Bild yon ~) bei dem durch (q~*)-~: U-~ U definierten vergessenden Funktor ist. Dazu benStigen wir eine AuflSsung yon k als U-Rechts-Modul: . . .

g|

-- .

a~

.

.

N'>U do .

.

> . . .

wobei wegen Vertauschung der Seiten N' definiert ist durch ~ = $ N ' , also N' = $ * ( N ) . In dem Komplex -..g|174

~~174174

w|174

gilt dann Bild (do @ 1)~gI)'= U + D'~Kern(N), wobei N(h) =Nh. Also ist (2.10)

/ t - *(g, D) ----Kern (N)/(~*)- *(U +) b.

Sei jetzt I) ein trivialer U-Modul. Wit wollen /~l(g,D) bestimmen. Nach Definition ist/tl(g,D) =TorV(k,[). Nach ([3], S. 184, (4)) ist TorU (k,D)~-(U+/(U+) z) | b.

Sei T(g) die Tensor-Algebra von g und T + = g 9 (g | g) @... das Augmentationsideal von T(g). Das Diagramm T + r >T+/(T+) 2 ~, >g/([g,g]+kg [ p ] ) ' U + ~ >U+/(U+)2/

314

B. PAREIGIS:

ist kommutativ, wobei ~, t/, 0, 2 die nattirlichen Abbildungen sind, ~ dutch T+/(T+)Z~-g induziert wird, und v durch die natiirliche Einbettung yon g in U + induziert wird. Die Elemente [g, g'] =g g ' - g ' g und agEpJ =agp liegen dabei in (U+) 2. Da 2t/ein Epimorphismus, ist auch vein Epimorphismus. Auch p~ ist ein Epimorphismus, also ist Kern v=/~(KernAt/). Sei I_~T(g) das zweiseitige Ideal, das von { g | | [g, g'], gP-g["] Ig, g'~g} erzeugt wird. Dann ist Kern2~l=I+(T+) z. Weiter ist l~([+(T+)2)=#~(I). Die einzigen Elemente von /, die nicht in (T+) z liegen, sind Linearkombinationen von g|174 g'] und gp_gtp] fiber k. Diese werden von g~ annulliert. Also ist Kernv =0, d.h. v ist ein Isomorphismus. Wir haben fiir triviale U-Moduln I) gezeigt: (2.11)

/~- 2 (g, Do) ~ (g/([g, g] + k g[P])) | l).

Wir wissen, dab dim k U < co ist, also ist die vollst/indige Aufl6sung (1.1) ftir endlich erzeugte U-Moduln A endlich-dimensional. Sei B auch ein endlich erzeugter U-Modul, so ist Ext}(A, B) endlich-dimensional. Spezielt gilt: Satz 2.2. Seien g und D endlich-dimensional. Dann ist auch /~"(g,D) endlich-

dimensional. 3. Cup-Produkt und Dualitdt Wie in der Kohomologie endlicher Gruppen wollen wir auch hier ein Produkt der Kohomologiegruppen/~" (g, D) einftihren. Da H" (g, l)) = 0 ftir injektive (und projektive) U-Moduln D ist, gilt wegen ([11], XII, Th. 7.2 und 7.6) Lemma 3.1./1" + 1(g, [~)~ S a/~,, (g, t)) und I~ "- l(g, D) - $1/t n(g, D) funktariell

fftr alle I) und n. Dabei bezeichnen S ~ bzw. S~ wie in [3] Rechts- bzw. Links-Satelliten. Der Diagonalhomomorphismus A: U--, U | U ist ein k-Algebrenhomomorphismus, der durch A (g) = g | 1 + 1 | g definiert ist. Ffir einen festen UModul B werde der Funktor A ~ A | B yon der Kategorie der U-Moduln in die Kategorie der U | U-Moduln, gefolgt yon dem durch A definierten vergessenden Funktor, mit ~ bezeichnet. Dann ordnet ~; dem U-Modul A den U-Modul A | B m i t der Multiplikation (II.2.6) zu. Nach Definition ist ~ exakt und mit direkten Summen vertauschbar. Wegen II Lemma 2.5 ffihrt 3; projektive Moduln in projektive Moduln fiber. Da in der Kategorie der U-Moduln die projektiven und injektiven Moduln fibereinstimmen, gilt ffir jeden additiven kovarianten Funktor ~ wegen ([t 1], XII, loc. cit.) Speziell gilt Lemma 3.2.

ItI"+l(fl, A | B)=SA(H (g, A | B)) und A|

funktoriell in A fi~r alle n.

A | B))

Kohomologie von p-Lie-Algebren

315

Lemma 3.3. H"(g,A) | (g,B) und l~"+m(g,A | B) sind fi~r festes m und B rechts-universe[l und links-kouniversell exakt verbundene Folgen yon Funktoren inA. Beweis. Wegen Lemma 3.1 und da . | exakt ist, gilt die Behauptung fiJr/4"(g,A) | Wegen Lemma 3.2, well 2; exakt ist, und/t"(8, .) exakt verbunden ist, gilt die Aussage auch ffir Jq" +" (g, A | Seien E: O--~ A ' --~ A --~ A " --~ O und E' : O---~B'--~ B--+ B"--+O

exakte Folgenvon U-Moduln. Bezeichnen wir den verbindenden Homomorphismus von H" (8, .) zu E m i t E., so ist der verbindende Homomorphismus von H"(g, .) @/tin (g,B)der Homomorphismus E . @ 1. Damit/t"(8, .) @/~'~ (g, .) ein exakt verbundener Bifunktor wird, mul3 zu E' der verbindende Homomorphismus (-1)"(1 | sein. Der verbindende Homomorphismus y o n / t " + " ( g , . | B) zu E ist (E@ B).. Satz 3.4. Sei 4: I~"~174176176176 | ein in A und B funktorieller Homomorphismus. Dann existiert genau eine Familie yon Homomorphismen ~0"'m: /f"(g, A) | B)---+H"+'(g, A @ B) fi~r alle n, m und alle U-Moduln A und B, so daft 1) ~o..... o = ~ ,

2. ~o"'~funktorielI in A und B ist,

3) ~o"+l,~(E, | 1)=(E| ~o",% 4) ( - 1)"q,",m+1(1 | =(A |

~o......

Beweis. Wir definieren q~,o,,,o= 4. Dann halten wir B und mo fest. Wegen 3.3 ist/~"(8,A) | Hm~ rechts-universell ffir n>no und/~"+m~ | linkskouniversell ffir n
@/~'~

) und

/-~"+m~

in A funktorielle Homomorphismen von H"(g,A)@ Hm~ [~n+m~

@7)q9"'~~ ) in

| B'),

die fiir n =no iibereinstimmen. Also stimmen sie wegen Lemma 3.3 ftir allen fiberein. Ffir festes n und A erhalten wit in gleicher Weise cp",m, die 2) und 4) erffillen. Es bleibt zu zeigen, dab die ~p"'~ auch 3) erffillen. Das beweist man genau wie ([11] ,XII, Th. 10.4).

316

B. PAREIGIS :

Korollar 3.5. Bei der Identifizierung A | B = B | A gilt ~o"'m(a | b ) = ( - l ) " ' q ~ .... ( b | Man rechnet n~imlich leicht nach, dab ( - 1 ) " " ~o"," die vier Eigenschaften von Satz 3.4 erffillt. Um das gewtinschte Produkt zu erhalten, definieren wir den Homomorphismus ~ ffir n = m = 0: (3.1)

~: /~o(g, A) |

B)__~/~o(g, A | B).

Wegen (2.9) ist dazu ein Homomorphismus (3.2)

~: A"/NA | B ~

| B)~/N(A | B)

anzugeben. ~ soll induziert werden yon der Identitfit auf A | B. FiJr a~A g und b~B ~ ist a | | B) g, denn g ( a | 1 7 4 1 7 4 Seien a~A ~ und b = N b ' s N B . Wit zeigen a Q b s N ( A | Da a~A g ist, ist g ( a Q b ' ) = a Q g b ' , also ftir alle u ~ U + u ( a Q b ' ) = a | Ffir ~ k ~ _ U gilt auch a ( a | Also ist N ( a Q b ' ) = a | =a| Analog zeigt man ffir a ~ N A und b s B g, dab a Q b ~ N ( A @B). Damit ist ~ yon (3.2) wohldefiniert. Seien as/~"(g.A) und b~Hm(g,B). Dann bezeichnen wir das Produkt 9 n'm(a | b ) = a . b, wobei (p.... nach Satz 3.4 mit dem ~ yon (3.1) gebildet wird. Sei A = k , dann ist I4~ Wir bezeichnen das dem Element 1 + N k ~ k / N k bei diesem Isomorphismus entsprechende Element yon/~o (g, k) mit 1. Lemma 3.6. Bei der Identifizierung k | B = B = B | k ist 1. b = b = b. 1. Beweis. H " ( ~ , B ) ist links-universell und rechts-kouniversell exakt verbunden. Die Abbildungen H m(g, B) ~ / 4 m(g, B)

a ~ ~om'~ | 1) a ~ (po,~(1 | a) stimmen fiir m =0 tiberein und sind mit verbindenden Homomorphismen vertauschbar, also stimmen sie f(ir alle m iiberein. Ahnlich zeigt man, dab das Produkt assoziativ ist. Ein Analogon zum Satz yon MASCHKEin der Theorie endlicher Gruppen ist Korollar 3.7. U ist genau dann separabel, wenn ~(N) :~ 0 ist. Beweis. Sei 8(N)~:0. In/4~ ist dann 1 --0. Also sind nach Lemma alle/~"(g,A) =0. Da/~n(g,A) =-/4"(~,A) flit n > 1, ist nach II Korollar 2.7 Algebra U halbeinfach. Sei U halbeinfach, dann ist k U-projekfiv, also H~ Da abet N ~ = ~ ( N ) ~ und N k = k , ist e(N)~:0. Da N Grundk6rpererweiterung erhalten bleibt, ist Korollar 3.7 bewiesen.

3.6 die ist bei

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

317

Beispiel 3.8. Die assoziativep-Hi~lle U yon Vp ist halbeinfach. Wir rechnen das zu #v gehSrige N aus. Es ist U=k [X]/(XP-X). Dann ist nach [1] r (X ~) =0 far i

'(g, A) ~ | E-t*/~o (g, Horn, (A, k~ |

l~oo,-,

(g, B)

i~oo,o

Hom (A, k~ e A)

Uom (A, k~ e B)

wobei ~ = (Horn k(,4, k ~ @ E ) , und 1 | E , Isomorphismen aus der langen exakten Kohomologiefolge sin& Wir wissen, dab /~o (g, Hom~(A, k~ | -~ Homv(A, k~

A) Homk(A, k ~ | Kern(N)/(r

I(U+) A.

Seif~Homk(A,k ~ und a~Kern(N). Sei qeP so gew~htt, dab v(q)=a. Dann ist (1 | E,)(f| a)=f| Nq, wobei Nq~2B. Nach Definition yon 9 0,0 geht der Repr~sentantf | Nq bei 9 0, ~ i n f | Nq. Andrerseits i s t f | a ein Repr~isentant eines Elements aus H - J ( g , HOmk(A,k ~ | A), denn es ist g ( f | a ) = gf|174 also N ( f | 1 7 4 Dann ist ~ ( f | N ( f | q) =f | Nq. Weil 1 | E , und 0 Isomorphismen sind, ist 9 0' - i ( f | a) = f | a anf den Reprgsentanten.

318

B. PAREIGIS:

Der Einsetzungshomomorphismus Z: HOmk(A, k~ | momorphismus, denn

~ ist ein U-Ho-

z ( g ( f | a ) ) = z ( g f | a + f | g a) = (gf)(a) + f ( g a) = g f ( a ) - f ( g a) + f ( g a) = g X( f @ a). Die Abbildung /~o (g, Homk(A ' ko))__~HOmk(/)-l(g, A), k), die durch /4 - l(g, HOmk(A , k ~ | A) --4/4 - l(g, ko) ~ k mit dem Einsetzungshomomorphismus Z und durch (po, - 1 definiert wird, werde genannt. Nach Definition ist ~ (f) (a) =/~ - l(g, ~) ~oo, - 1( f | a). Damit gilt Lemma 3.10. (: /~O(g, Homk(A ' kO))_~Homg(I~-~(g,A),k) ist ein Iso-

morphismus. definiert einen Homomorphismus Horny(A, k~

Homk(A, k ~ --, HOmk(Kern(N)/(O*)-I(U+)A, k).

Sei f : K e r n ( N ) ~ k gegeben mit f((O*)-l(U+)A)=O. Dann existiert ein k-Homomorphismus f ' : A ~ k , der eingeschr~inkt auf Kern(N) mit f fibereinstimmt. Es ist f'(@*)-I(U+)A)=O. Fassen wir k als U-Modul vermSge ~* auf, so ist (O*)-I(U+)f'(A)~-(O*) - 1(U+) k~ = ( U+ k) ~ = 0 . Also ist f ' ein U-Homomorphismus aus Homv(A,k ~ und f = ( f ' auf den Repdisentanten. Daher ist ( ein Epimorphismus. Um zu zeigen, dab ~ ein Monomorphismus ist, ben6tigen wir den Antiautomorphismus co: U ~ U, der dutch den p-Antiautomorphismus g--.-g yon g induziert wird. co 1/igt die Elemente aus k elementweise fest, also ist e(u)=e(e)(u)). Aul3erdem ist mit der Definition von $ in [I] O(u)=0(co(u)). Damit erhatten wir ffir alle u: (~/~/* (N)) (u) = (N ~/) (u) = e(u) = e(~o(u)) = (N ~/) (co(u)) = 0(co(u) N) = O(co(r Also ist co(N) = ~* (N). Sei jetzt feHomk(A,k~

N))=O(co(n)u)=(O c9(N))(u).

Dann ist wegen (1.5)

((0")- ~(g) f ) ( a ) = ((g + oOf)(a) = g f ( a ) + af(a) - f ( g a)

= (~*)- '(g) f(a) + f (~o(g) a) =f(a~ (g) a). Also gilt ffir alle ue U:

(u)a). Setzen wir speziell u = ~ * (N), so ist (3.5)

( n f) (a) = f (N a).

Kohomologie von p-Lie-Algebren

319

Sei jetzt f s Horny (A, k ~ mit f ( K e r n (N)) = 0. Die Folge 0-~Kern(N)--,A

N ~A

ist exakt, also auch Homk(A, k ~

N, , HOmk (A, k ~ --~ Horn k(Kern (N), k ~) ~ 0.

Also existiert ein f'eHomk(A,k ~ mit f(a)=f'(Na) ffir alle aeA. Wegen (3.5) ist f - - N f ' . Also ist ( ein Monomorphismus. Mit dem soeben bewiesenen Lemma k6nnen wir jetzt den Dualit/itssatz ftir Kohomologiegruppen von p-Lie-Algebren beweisen: Satz 3.11. Es existiert genau eine Familie yon Isomorphismen ~ , - 1 , - , : /~,,-l(g, Homk(A, k o) ) =~ H o m k ( H^ - , (g,A), k),

die funktoriell in A sind, fi2r die 70,-1 =~ ist, und die mit verbindenden Homomorphismen (in A) vertriiglich sind. Wegen II, Lemma 2.4, sind/~n-l(g, Hom~ (A, k~ und Homk(/~-n (g, A), k) rechts-universell und links-kouniversell exakt verbundene Folgen von kontravafianten Funktoren. Daher exisfiert eindeutig eine Familie yon Homomorphismen y , - 1 , - , mit den geforderten Eigenschaften. Da ( ein Isomorphismus ist, mfissen auch die 7" - 1 ' - " Isomorphismen sein. Bezeichnen wir den dualen Modul HOmk(A,k ~ als A*, so k6nnen wir die Dualit/it knrz schreiben als/~ "- l(g, A *) ~/4 - ~(g, A)*.

IV. Periodische Kohomologie I. Zyklische p-Lie-Algebren und Kohomologie abelscher p-Lie-Algebren Sei g eine endlich-dimensionale p-Lie-Algebra, die als p-Lie-Algebra fiber k yon einem Element X erzeugt wird. Dann nennen wir g zyklisch. Da X, X Epl, (XE"~)tp~, ... und alle Linearkombinationen sich gegenseitig mit dem Lie-Produkt annullieren, ist diese Menge schon ein Erzeugendensystem yon g fiber k, und gist abelsch. Also ist auch die assoziative p-Hfille U yon g eine kommutafive Algebra, die yon dem Element X als k-Algebra erzeugt wird. Sei N ~ U die Norm, d.h. e=Nt). Dann ist (uN~b)(v)=(N~b)(vu)=e(v)e(u)= (e(u)N~)(v), also ist uN=t(u)N. Speziell ist also XN=O. Da U kommutativ ist, ist auch NX=O. Sei dimkg=n. Dann ist dim~U--p" und d i m k U X = dim k U + =p" - 1. Weiter ist dim k UN = dimk e (U) N = diml~k N = 1. Also ist die Folge ...U~UN>U x )U N >U...

\/

/\ 0

0

eine vollst/indige U-projektive Aufl6sung yon k.

320

B. PAREIGIS:

Bilden wir die Kohomologiegruppen /~"(g,t)) mit dieser Aufl6sung, so haben wir die Homologie des Komplexes zu bilden. Also ist /~2 n(g, [)) _ Kern (X)/Bild (N), (1.2)

/~2, +1 (g, D) ~ Kern (N)/Bild (X).

Speziell gilt also /4n+z(g,f))~/t"(g,t)) fiir n > 0 funktoriell in D. A11gemein wollen wir die Kohomologie einer endlich-dimensionalen p-Lie-Algebra g periodisch nennen, wenn es ein q > 0 so gibt, dab /l"+q(g,t))~/~"(g,D) ftir n > 0 funktoriell in I). q heiBt dann eine Periode yon g. Mit q ist auch jedes ganzzahlige Vielfache yon q eine Periode yon g. Satz 1.1. Fine zyklische p-Lie-Algebra hat periodische Kohomologie mit der Periode 2. Wir kennen schon zwei Beispiele ftir zyklische p-Lie-Algebren, n~imlich %* und #v" Aber auch c~*@ lap ist zyklisch. Sei n/imlich ~* = k X mit X ;p] - 0 und lap= k Y mit yrp] = y. Dann ist %9 @ #p = k X @ k Y , und es ist (X+ y)Ep] -ytv] = y. Also erzeugt X + Y die p-Lie-Algebra c~*@/.tp. Sei jetzt g' ein p-Ideal yon g, wobei g und g' nicht notwendig endlichdimensional sind. Sei ~=g/g'. Seien U, V bzw. W die assoziativen p-Hiillen yon g, g' bzw. ~. Wir fassen V als Unteralgebra von U auf. Seien g'eg'~_ V und g~g_c U. Dann ist g'g=gg'+[g',g]. Da g' ein p-Ideal von gist, zeigt eine Induktion, dab U V + ein zweiseitiges Ideal yon U ist. Also ist im Sinne yon ([3], XVI, w 6) V normal in U. Man verifiziert leicht, dab g ~ einen Isomorphismus U/UV + ~- W induziert. AuBerdem ist U ein freier V-Modul. Nach ([3], XVI, Th. 6.1) erhalten wir fiir einen W-Modul A und einen U-Modul B die Spektralfolge Ext~v(A, Ext)(k, B)) =*-Ext,(A, B). Setzen wir speziell A =k, so erhalten wir den Satz 1.2. Sei g' ein p-Ideal in g. Dann existiert folgende Spektralfolge:

h'(~/~', h'(g', B)) ~ Fr(~, B). Korollar 1.3. Sei g' ein p-Ideal in g. Sei die assoziative p-H~lle yon g' halbeinfach. Dann gibt es funktorielle Isomorphismen h"(g/g', B~')~Fr(g, B). Beweis. Da U halbeinfach ist, ist/t~(g', B ) = 0 fiir m + 0 und/~o (g, B ) = H o m v ( k , B ) = B r Also brieht die Spektralfolge yon Satz 1.2 zusammen zu den Isomorphismen yon Korollar 1.3. Im Spezialfall g' =lay und B = k erhalten wir 0.3)

_0"(g/la~, k)~H"(~, k).

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

321

Korollar 1.4. Sei g' ein p-Ideal in g. Sei f=g/g', und sei die assoziative p-HiUle yon f halbeinfach. Dann gibt es funktorielle Isomorphismen

/~"(g',B)~ D"(mB). Wie oben erh~ilt man ftir triviale Operation auf k (1.4)

/4"(g', k)~/~"(g, k),

falls ~~/~p. Die in ([3 ], XVI, Th. 6.1) angegebene Operation yon/~p auf/~ n(g,, k) ist niimlich auch trivial. Als Anwendung von Korollar 1.4 erhalten wir, dab eine p-Lie-Algebra g, die eine endliche absteigende Folge von p-Lie-Unteralgebren 0 = g l ~g2"'" c g , = g besitzt, so dab gi p-Ideal in gi+l und g~+l/gi-~gp ist, verschwindende Kohomologie ftir n > 0 hat. Wir sagen auch, dab g eine Kompositionsreihe mit den Faktoren/~p hat. Die assoziative p-Hfille U von g ist dann halbeinfach. Korollar 1.5. Die assoziative p-HiUle einer endlich-dimensionalen p-LieAlgebra g, die eine Kompositionsreihe mit den Faktoren I~p besitzt, ist halbeinfaeh. Speziell hat 9 #p, eine endliche direkte Summe yon #p' s, eine halbeinfache assoziative p-Htille. Korollar 1.6. Sei g kommutativ, endlich-dimensional und erzeuge grpl die p-Lie-Algebra g i~ber k. Dann ist die assoziative p-HiUle yon g separabel. Sei N die Norm yon g. Bei Grundk6rpererweiterung zum algebraischen AbschluB k yon k bleiben N und die Voraussetzungen yon Korollar 1.6 erharem Dann ist aber k | von der Form | also ist e ( N ) # 0 nach III Korollar 3.7. Korollar 1.7. Sei g' ein p-Ideal in g. Dann existieren Homomorphismen, so daft die Folge 0--~/~ ~(g/g', A g') --~/~' (g, A)__~/~l(g,, A) /~2 (g/g,, A r ~ / ~ 2 (g, A) exakt ist. Beweis. Das ist eine Anwendung yon ([3], XV, Th.5.12) im Falle n = l auf die Spektralfolge yon Satz 1.2. Sei e*, die abelsche p-Lie-Algebra k X~ @ ... @ k X i mit ~ j - w lEP =l Xj ffir j<=i und X[ pl =0. ap* ist zyklisch. Sei g eine endlich-dimensionale p-Lie-Algebra. Seien I~r p-Ideale yon g, die durch [h = k . go,J und [?~= k . t)~P-11definiert werden. Da g endlich-dimensional ist, wird die Kette g _ [h ~-"" ~ [3, =t),+ 1"" konstant. Wir erhalten eine exakte Folge (s.5) o-->~),,-> ~ -+ g/~),,---+ o. Nach Korollar 1.6 ist die assoziative p-Hfille yon D, separabel, also ist nach Korollar 1.3 H"(g,A)~H'(g/I?~,At~n). Fassen wir t)n, g und g/[)~ als k[P]Moduln auf, so ist P"(g/l),)=0, weil P~(g)_~[), nach Definition yon ~)n. 23

Math. Z., Bd. 104

322

B. PAREIGIS:

Sei zun/ichst k algebraisch abgeschlossen. Dann zerf~llt g/I), in eine endliche direkte Summe 9 e*~ mit nicht notwendig gleichen i [2]. Die Anzahl der Summanden sei r. Aul3erdem ist I), = @ #p, wobei die Anzahl der Summanden s sei. Wir bezeichnen g auch mit U'~. Operiere U ' ~ trivial auf k. Wir wollen tYI'~(U'~,k) bestimmen. Nach (1.3) kSnnen wir annehmen, dab s = 0 ist. Seien Ut ..... U~die assoziativenp-Htillen der e*,. Dann ist Ua | | U~= W die assoziative p-Htille von U ' o. Wir zerlegen U ' o = c~*~@ L ' - ~' o mit den assoziativen p-Htillen U von %*, V yon L ' - t, o und U | V= W yon g. Seien (1.6)

... U

N-.~-.~U

X---~U ---~k --~ O

eine U-freie AuflSsung yon k und ... P2 ~ P l ~ P o - , k - ~ 0 eine V-freie AuflSsung von k. Wir bezeichnen 11. . . . U N *U x__L~U__~0, ....

p : - - ~ pa --~ po--~O.

11 und ~ sind Komplexe mit der Homologie k. 11| 2~ ist ein Doppelkomplex von freien U| V-Moduln. Dieser bildet nach ([3], XV, 6) eine Spektralfolge. Differenzieren wir erst nach den durch 1I induzierten Differentiationen, so erhalten wir aus diesem Doppelkomplex den Komplex k | ~ _-_B. Damit wird ffir die zu 11| ~ geh6rige Spektralfolge E ~176 = k und E'~."=O fiir m ~ 0 oder n:~0. Also ist 1 1 | eine U| Aufl6sung yon k. Bezeichnen wir mit 11j die Uj-freie Aufl6sung (1.5) von k, so ist 111| | 11~=~[B eine W-freie AuflSsung yon k. Wir haben also die Homologie yon H o m w ( ~ , k ) zu bestimmen. Da die e*, trivial auf k operieren, sind N und X jeweils die Nullabbildungen. Also sind auch alle Differentiationen in dem r-fachen Komplex Homw(~,k) Nullabbildungen. An jedem Punkt des rfachen Komplexes steht H o m w ( W , k ) ~ k . Also entsteht an jedem solchen Punkt genau ein eindimensionaler Anteil zur Kohomologie yon k. Eine einfache abz~ihlung zeigt, dab (r + : - 1) Punkte bei der Berechnung yon H"(g,k) zu berticksichtigen sind. Sei k jetzt ein beliebiger KSrper der Charakteristik p. g sei eine kommutative p-Lie-Algebra fiber k. Die Konstruktion der Folge (1.5) ist vertauschbar mit der GrundkSrpererweiterung zum algebraischen Abschlug k yon k, weil D, die maximale p-Lie-Unteralgebra von gist, ftir die P(I),) den Vektorraum I), erzeugt. Wenn g bei GrundkSrpererweiterung mit k die Form L r's erh~ilt, so bezeichnen wir auch schon g mit L ~"~. Verwenden wir jetzt die Isomorphismen | U(g)~ U(k | g) zwischen den assoziativen p-Htillen und H (g, k ) - E x t v ( ~ ) ( k ,

k) = Ext~ | v(g)(k, k ) ~ H n ( k | g, k ) ,

wobei g in /~"(g,k) als k-Algebra und k | aufgefal3t wird, so ist damit bewiesen:

in /7/n(~|

als k-Algebra

Kohomologie von p-Lie-Algebren

323

Satz 1.8. Sei g eine abelsche p-Lie-Algebra yon der Form U'~. Operiere g [r+m-l] trivial auf-k, dem algebraischen AbschluJ3 yon k. Dann ist H ~ (g, ~) ein ~ m }" dimensionaler -k- Vektorraum. Sei 2Ek*. Dann ist die Multiplikation mit 2 ein k-Vektorraum-Automorphismus von k. Also muB ein funktorieller Isomorphismus/~"(g, . ) ~ , n ( g , .) speziell ffir k ein k-Vektorraum-Isomorphismus /~ " (g, k) ~ /4 " (g, k) sein. Ist g v o n d e r Form U ' ~ und r > 1, so kann also H ~(g, .) nicht periodisch sein, weJl (r+m-1 t (r+m-1) < \ m j \ m+q

ffir q > 0 .

Sei g von der Form L 1'~. Dann ist k|174 also ist g/D,=e /-dimensional, P~(e) = 0 und P~- ~(e) ~ 0. Dann existiert ein Xe emit PZ- ~(X) + 0. Wir zeigen, dab die P J ( x ) m i t j = 0 , ..., i - 1 linear unabh~ingig fiber k sind. Sei

i-1 Z ~jPJ(X)=O. j=o

Sei h minimal mit ~h#0. Dann ist p i - h - l ( ~ ~j p j ( x ) ) = c ~ ' - h - , p i - l ( X ) , also ist c~h=0. Daher sind die P J ( x ) eine Basis von e, und e ist zyklisch. Wegen Korollar 1.3 und Satz 1.1 gilt also Korollar 1.9. Sei g = U " . g hat genau dann periodische Kohomologie, wenn r < l ist. Korollar 1.10. Sei g = U 's und [k:k]
324

B. PAREIGIS:

3) Es existiert ein geHq(g,k), so daft H " ( g , t ) ) ~ a ~ a "g~/t"+q(g,D)fftr a l l e n ein funktorieller Isomorphismus ist, der mit verbindenden Homomorphismen vertriiglich ist. 4) Fi~r allen existieren funktorielle Isomorphismen p: H" (g, ~))~ / t " +q (g, I)), die mit verbindenden Homomorphismen vertriiglieh sind. 5) Fi~rein n existiert ein funktorieller Isomorphismus p : / t " (9, w ~/~" +q (g, I)). Beweis. Triviale Schritte sind 1 ~ 2, 3 ~ 4 und 4 ~ 5. Sei 2 erffillt. Man w/ihle geJqq (g,k) und g - 1~/t -~(g,k) m i t g . g-~ = 1 ~ / t ~ (9,k). Sei a(a)=a.g -1 und z ( a ) = a . g . Dann ist a z ( a ) = a . g . g - l = a und v ~ r ( a ) = a . g - l . g = ( - 1 ) q a . g . g - l = ( - 1 ) q a . Also sind a und z Isomorphismen, Da das Produkt nach III, Satz 3.4, funktoriell und mit verbindenden Homomorphismen vertauschbar ist, gilt 3. Sei 5 erffillt. D a / t " ( g , .) und/4"+~ (g, .) links-universell rechts-kouniversell exakt verbundene Folgen yon Funktoren sind, gilt 4. Wit definieren eine Abbildung n ~ o durch das kommutative Diagramm

t?~

A) | ~?o(g, B) ~ o , ~ o ( g , A | B)

/tq(g, A) |

B)j_.y22~_~/~q(g' A | B).

~o,o 1/il3t sich zu einer Familie rcm'~ nach III, Satz 3.4, fortsetzen. Da p - 1 . q),+q, m(p | 1) funktoriell in A und mit verbindenden Homomorphismen vertauschbar sind, gilt zr"'" = p - i q)m+q,,(p | 1). Mit III, Korollar 3.5, erhalten wir das folgende kommutative Diagramm

~o(~, k) | ~o(g, k) ~o,o ,~o(g, k) p-l@l !p-1 v + ~-~(~, k) | ~o(~, k) ~-~.o,~_~(~, k) ~o(g, k) | H-~(g, k) Z~ -~ ,~-~(g, k)

/~(~, k) | ~-~(g, k) ~' -~,/~o(~, k) in dem alle Abbildungen, also auch speziell q~' -q Isomorphismen sin& Also gilt 1. Wit wollen die Kohomologiegruppen H"(g,A) periodisch nennen, wenn es ein q > 0 gibt, so dab H".(g,A)~H"+~(g,A) fiir n > 3 und funktoriell in A. Die Kohomologiegruppen H" (g, A) heiBen periodisch, wenn es ein q > 0 gibt, so dab/t"(g,A)---/tn+q(g,A) fiir allen und funktoriell in A. Wegen I, Korollar 4.3 und /t"(g,A)~Jq"(g,A) funktoriell in A und vertrgglich mit verbindenden Homomorphismen fiir n > 1 gilt

Kohomologie von p-Lie-Algebren

325

2.2. Aquivalent sin& a) I~"(~,A) sincl periodisch, b) t~n(g,A) sind periodisch, c) Hn(g,A) sind periodisch. Koro!lar

Aus der Aquivalenz yon 1) und 2) yon Satz 2.1 folgt weiter Korollar 2.3. Ist dim k Hq(~,k)> 1, so ist/tq(g,k) 9 H -q(g,k) =0. Habe g die Periode q. Dann gilt ffir die g d ~ ( ~ , k ) , die die Isomorphismen yon 3 aus Satz 2.1 erzeugen: g = g - g . g - 1 = ( _ 1)q g . g - i. g = ( _ 1)q g. Also gilt Korollar 2.4. Sei g eine p-Lie-Algebra mit Periode q, deren assoziative p-Hfdle nicht halbeinfach ist. Sei die Charakteristik yon k von 2 verschieden. Dann ist q gerade. Ist die Charakteristik 2, so gilt bei der AuflSsung (1.3) yon k beziiglich cz* die Gleichung N = X . Also ist wegen (1.2) die Periode 1. L e m m a 2.5. Sei 9' ~_g eine p-Lie- Unteralgebra von g, und babe g periodische Kohomologie mit der Periode q. Dann hat auch 9' periodische Kohomologie rnit der Periode q.

Beweis. Sei U die assoziative p-Hiille von g und U' die assoziative p-Hiille yon g'. Da g'_~ g ist, kSnnen wir annehmen, dag U' c_ U ist. Dann ist U frei und endlich erzeugt fiber U'. Also ist jede vollst/indige U-AuflSsung 3r yon k auch eine vollst/indige U'-AuflSsung von k. Sei A ein U-Modul, so ist A auch ein U'-Modul und es existiert ein Monomorphismus i: Homv(~, A)---~Homv,(5, A). Dieser induziert einen Homomorphismus

i(g, g'):

A) 0m(g ', A),

die sogenannte Restriktion, die funktorieU in A und mit verbindenden Homomorphismen vertr/iglich ist. Sei (pro,, das Produkt in iq*(g, .) und q~. . . . das Produkt i n / t * (g', .). Dann ist i(g, g') ~o~ o = (p,o, o i(g, g'). Da der vergessende Funktor, der durch U ' _ U erzeugt wird, exakt ist und projektive Moduln in projektive Moduln iiberftihrt, sind H*(g', .) und H*(g, .) rechts-universell und links-kouniversell exakt verbundene Folgen yon Funktoren in U-Moduln. Also sind i(g, g')~o .... =(p"'" i(g, g'), d.h. i(g, g') ist mit dem Cup-Produkt vertr/iglich. Man sieht leicht, dab i(g, g')(1)= 1. Sei geHq(g,k) mit g . g-1 = 1. Dann ist i(9, 9')(g)" i(g, g')(g- ~) = i(9, g')(g 9 g - l ) = 1, also ist Hq(g ', k) | H-q(g ', k)---, H~ (g ', k) ein Epimorphismus, d.h. g' hat die Periode q.

326

B. PAREIGIS:

Satz 2.6. Sei g eine p-Lie-Algebra. Ist die Kohomologie yon g periodisch, so ist jede abelsche p-Lie-Unteralgebra yon g yon der Form L ~ oder L 1'~. Beweis. Sei g' ~ 9 eine abelschep-Lie-Unteralgebra yon g. Wegen Lemma 2.5 hat g' periodische Kohomologie. Wegen Korollar 1.9 ist dann r < 1 ftir g' = L " ~.

V. Kohomologie infinitesimaler formeller Gruppen der Hiihe =<_1 Sei k wie vorher ein K6rper der Charakteristik p ~-0. Sei ~ die Kategorie der formellen Schemata tiber k. Sei 2, die Kategorie der linear kompakten k-Algebren mit stefigen k-Algebrenhomomorphismen. Nach [41 ist ~ dual zu 2,. Jede Algebra in 2, ist ein gefilterter projektiver Limes yon endlichdimensionalen k-Algebren mit der Topologie des projektiven Limes. Sei d die volle Unterkategorie yon 2' der endlich-dimensionalen (diskreten) kAlgebren. Endliche projektive Limites von Objekten in d existieren in ~g. Augerdem sind die Objekte yon .~ artinsch. Ffir s~ gilt nun der allgemeine Satz 1 (GRoTH~NDIECK). Sei d eine kleine Kategorie mit endlichen projektiven Limites und seien die Objekte yon d artinseh, Sei F: d ~ dge ein mit endlichen projektiven Limites vertauschbarer Funktor in die Kategorie der Mengen, so ist F ein gefilterter induktiver Limes yon darstellbaren Unterfunktoren. Beweis. Sei A ein Objekt in d und bezeichne A' den durch A dargestellten kovarianten Funktor. Allgemein gilt, dab F = lim(A', e), wobei a: A' ~ F ein funktorieller Morphismus ist ([16], Exp. 1).

Wir zeigen, dab sich e: A ' ~ F durch einen darstellbaren Unterfunktor fl: B ' ~ F faktorisieren liigt. Sei B ein minimales Unterobjekt von A, fiir das ein funktorieller Morphismus fi: B' ~ F existiert, durch den sich c~faktorisieren 1/iBt: A ' - ~ ~F

!/

Dann ist fl ein Monomorphismus yon Funktoren. Es geniigt zu zeigen, dab fl(C): B ' ( C ) ~ F ( C ) injektiv far alle C ist. Seien y , 6 ~ B ' ( C ) mit fi(C)?,= fi(C) 6. Sei D d e r Kern von (7, 6). Dann ist folgendes Diagramm kommutativ: C'

~ >B'

~D'.

$ F

Also existiert D ' - , F . Wegen der Minimalit/it von B ist D-~B, also ~ =6. Damit ist B' verm6ge fl ein Unterfunktor und eeBild(fi(A)). Also ist auch limmA' = F ftir alle darstellbaren Unterfunktoren A' yon F.

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

327

Um zu zeigen, aal3 der so gebildete Limes gefiltert ist, seien (A', e) und (B', fl) Unterfunktoren von F. Da F(A xB)-~F(A)xF(B) ist, ist Horn ((A x B)', F) ~ Hom (A', F) x Horn (B', f). Also existiert genau ein ?, so dab

A'--~(A x B)',--B'

\!<

kommutativ ist. 7 1/il3t sich durch einen Unterfunktor C' von F faktorisieren, also A'~ C' und B'~ C' induzieren Faktorisierungen yon e bzw. ft. Eine Algebra aus s ist der gefilterte projektive Limes ihrer endlichdimensionalen Faktoralgebren. Nach [4] ist dann Hom(Ii_im_mBi,C)---lira. Hom(B i, C). Das gilt speziell ffir C aus M. Damit ist aber ein linksexakter Funktor von M in J//e darstellbar durch eine linear kompakte Algebra in 5e. Umgekehrt ist auch jeder durch eine linear kompakte Algebra dargestellte Funktor linksexakt, d.h. mit projektiven Limites vertauschbar. Sei Sex(d, J/e) die Kategorie der linksexakten Funktoren, dannist die angegebene Zuordnung eine Anti/iquivalenz ~e ~ ---Sex(d, ~'e), also ~ ' ~ Sex(d, ~'e). Wir definieren jetzt ffir A, B aus c~ einen Funktor ~ s m (A, B) von d in ~(e durch ~f~,m(A,B)(C)L=Hom(A,B ~ C), die stetigen k-Algebrenhomomorphismen von A in B @ C, wobei | das vervollst~ndigte Tensorprodukt sei. Sei C = lim Cf ein endlicher projektiver Limes yon endlich-dimensionalen k-Algebren. Da das vervollst/indigte TensorProdukt linksexakt ist, ist B ~ C lira Ci-~limBQCi, also ist ~zym(A,B) aus S e x ( d , ~ e ) . Das zeigt, dab 2/gz~m(A,B) als Objekt yon 5~ aufgefal3t werden kann und ein in B kontravarianter und in A kovarianter Funktor yon ~ in 5e ist. Wir fassen daher (1)

Hom(~z,m(a, B), C)= Horn(A, B | C)

als Gleichung ffir endlich-dimensionale k-Algebren C auf. Da beide Funktoren ffir alle C aus ~ definiert sind und mit projektiven Limites vertauschbar sind, gilt (1) fiir alle C in ~. Seien X, Y, Z formelle Schemata, dann folgt aus der Anti~quivalenz von ~ und ~" und aus (1) (2)

H o m ~ ( X x Y, Z)-~ Hom~(Y, ~f'~m(X, Z)),

also existiert in o~ ein zum Produkt adjungierter Funktor. Seien A und B aus ~ und C aus M. Dann ist Hom~ (A, B (~ C)___-Homc, ~t(A @ C, B @ C), wobei Homc,~t aus den stetigen C-Homomorphismen der C-Algebren A ~ C und B | C bestehen. Sei A: Homc, st(A @ C, B + C)--~Homc, ~t(A + A + C, B (~ B 6 C)

328

B. PAREIGIS:

der jedem f den Morphismus f ~ f zuordnet. Da A funktoriell in C ist, erhalten wir einen Morphismus Jf.m (A, B)--~~'~

(A @ A, B~ B).

Dieser induziert ftir X und Y aus ~ den Morphismus

A: ~e,~(X, Y)---,~,em(X xX, Yx Y). Seien jetzt X und Y Gruppen in ~ , d.h. formelle Gruppen, mit den Multiplikationen mx und mr. In der Kategorie der Funktoren yon a / i n JCLeexistiert der Dffferenzkern yon ,,~om (pax, 1)

2~zym(X, Y) : _ _

~>2/~.m(X x X, Y)

dr'ore (1, pay) A

und ist wieder linksexakt. Wir bezeichnen ihn mit oq~-O'//CGr(X~Y), denn

3fzma~(X, Y)(C)~-HOmG,,c(X | C, Y| C), den Gruppenhomomorphismen der formellen C-Gruppen X| C in Y| C. ~ m G , ( X , Y) ist als projektiver Limes yon linksexakten Funktoren wieder linksexakt, also ein formeltes Schema. Seien X und Y isomorphe Gruppen. Dann bezeichne d~a~(X, Y) das Faserprodukt von ~r

g)-

1k

~

, Ye.~G~(x, Y) x ~ G r ( Y , x )

~r

1"

(X, X) x J&~~ ' Gr(Y, Y)

wobei (p einem Paar (f, g) zugeordnet das Paar (gf, f g ) und ~) auf das Paar (1, 1) abbildet. Das gilt natiirlich wieder bei Anwendung auf Objekte C aus s~und es ist d~G,(X, Y)(C)'~IsoG,,c(X| C, Y| C). Wie oben ist d~z,a~(X, Y) ein formelles Schema, also auch sgut~r(X ). Offenbar ist dUtGr(X) sogar eine formelle Gruppe. Sei G eine formelle Gruppe und Heine kommutative formelle Gruppe. G operiert auf H genau dann, wenn ein formeller Gruppenhomomorphismus G-~r ) gegeben ist und die Menge der m6glichen Operationen ist HOmGr(G,sdar Wir betrachten jetzt infinitesimale formelle Gruppen der H6he ~ 1, d.h. formelle Gruppen, deren affine Algebra lokal mit dem maximalen ideal 9X ist, so dab fiir alle xegJl gilt xP=0. Wir wollen solche Gruppen kurz IFG 1 bezeichnen. Nach ([4], 4.4.1, Corollar) ist die Kategorie der IFG 1 /iquivalent zur Kategorie der p-Lie-Algebren fiber k. Dabei entsprechen abelsche p-LieAlgebren komrnutativen IFG 1.

Kohomologievon p-Lie-Algebren

329

Operiere die IFG 1 G a u f der kommutativen IFG 1 /-I. Da Grundringerweiterungen mit dem Funktor Lie, der jeder IFG 1 die zugehSrige p-LieAlgebra zuordnet, kommutieren, ist ~4ur162162 wobei ~r162 die Menge der p-Lie-Algebren-Automorphismen der C-Algebra I)| C bedeutet und b die zu H gehSrige p-Lie-Algebra ist. Wit bilden die zu s~ur gehSrige p-Lie-Algebra wie in [16]: 0---*Lie(dut(D))--, dut(D ) (k [d])--~ dut(l)) (k). Lie(dur besteht aus denjenigen k[d]-Automorphismen von b | die D| k_~ I) lest lassen. Ein Element aus I)@ k [d] lfiBt sich schreiben als x | 1 + y | d. Sei 0 ein solcher Automorphismus, dann ist O(x | l + y | d ) = x |

l +y |

| d,

wobei D k-linear ist. 0 ist also durch D vollst~indig bestimmt. Andererseits mul3 9 ein Automorphismus der p-Lie-Algebra sein, well wir oben Gruppenautomorphismen betrachtet haben. Also mug gelten O([x 1 | 1 + Yl | d, x 2 | 1 + Ya | d]) = [0(xl | 1 +Yl | d), O(x2 | 1 +Yz | d)], was genau dann gilt, wenn D [xl, x2] = [D xl, x2] + [xa, D x2] . Entsprechend ist S mit der p-Abbildung genau dann vertrfiglich, wenn D (x rp~)= (adx)P-lDx gilt. Also werden die 0 bestimmt durch die p-Derivationen D: [?--*I), d.h. Lie(sdat(D))~D(D ). G ~ s / u t ( H ) induziert einen p-Homomorphismus g~D(I~). Wegen ([4], 4.2.2, Prop.) ist diese Zuordnung bijektiv. Also entsprechen die Operationen yon G auf H genau den Operationen von g auf D. Wir bezeichnen jetzt mit Hi(G,H) die Hochschild-Kohomologiegruppen, wie sie etwa in [16] und [13] beschrieben werden. Wir wollen beweisen: Satz 2. Es gibt in H bzw. D funktorielle und mit verbindenden Homomorphismen vertriigliche Isomorphismen H" (G, H) ~ H" (g, [1), n > O, wobei g bzw. D die p-Lie-Algebren yon G bzw. H sind und die Operation yon g auf [? durch die Operation yon G auf H induziert wird. Wir werden den Beweis folgendermaBen ftihren: wir zeigen H ~(G, H) =0 und Hi(G, H ) ~ H l ( g , D) funktoriell in I). Dann zeigen wir, dab die Funktoren Hn(G,H), n > l , rechts-universell exakt verbunden sind. Da dasselbe auch fiir die H'(g,I?), n> 1 gilt, setzt sich der Isomorphismus HI(G,H)_~Ha(g,I)) in der gewtinschten Form fort.

330

B. PAREIGIS;

N ach Definition ist H~ ein Faktormodul yon H o m ( k , H ) = 0 , da H infinitesimal ist. Also ist H~ Um zu zeigen, dab Ha(G, H) isomorph ist zur Menge der Gruppenschnitte einer zerfallenden Erweiterung

(3)

O--+H--~ E ~ G--) O,

verweisen wir auf den mengentheoretischen Fall ([11], IV, Prop.2.1). Der Beweis hier verl~uft genauso, wenn man die durch H, G und E dargestellten Funktoren verwendet. Man mul3 dabei nur beachten, dab wegen Hom (k, H) = 0 gilt Hi(G, H) =Za(G, H). Die Folge (3) geht bei der oben angegebenen Aquivalenz der Kategorien fiber in eine zerfallende p-Erweiterung. II, Satz 1.1, beweist dann, dag die Schnitte einer solchen Erweiterung eine zu Hl(g,I?) isomorphe Gruppe bilden, wobei g bzw. I) die zu G bzw. H geh6rigen p-Lie-Algebren sind. Man prtift jetzt leicht nach, dab die Isomorphie Hl(g,[))~ HI(G, H) funktoriell in I? bzw. Hist. Damit ist auch die zweite Behauptung zum Beweis des Satzes gezeigt. Um die letzte Behauptung zu zeigen, wollen wir einen Zusatz zu [13] formulieren. Sei ff eine Kategorie mit endlichen direkten Produkten und finalem Objekt. Seien G eine Gruppe und H ein unit/irer G-Modul in ft. Lemma 3. Existiert zu dem Funktor G x . yon ~ in ~ ein rechtsadjungierter Funktor ~f~m(G, .) yon ~ in ~, so sind die inhomogenen (Hochschild-)Kohomologiegruppen H"(G,H) for n > l auslgschbar durch den Monomorphismus H ~ 2/g~m(G, H) yon G-Moduln.

Zun/ichst ist ~4fz~m(G,H) eine kommutative Gruppe in ~, weil ~o: Horn(X, ~zrm(G, H ) ~ H o m ( G xX, H) isomorphe kommutative Gruppenfunktoren sind. Wir geben jetzt einen Morphismus G x o Y ' ~ m ( G , H ) ~ m ( G , X ) an, der die Operation yon G auf Jgc'z~m(G,H) definieren wird. Wir definieren Horn(Y, G) x Hom(Y, )Yam(G, X))--+ Hom(Y, Jg'~m(G, X)) g xf ~ g*f durch g*f=q)-l(q)(f)(mG x 1)(1 x(g, 1))). Das assoziative Gesetz yon G impliziert (gl g2) * f =g** (gz *f). Ffir X = Hist leicht nachzupr fifen g * ( f , +f2) = g * f , + g * f 2 , also ist Ygz,m(G,H) ein G-Modul. Sei p: G x H ~ H die Operation yon G auf H. Sei Hom (Y, H)---, Horn(Y, Yg~m(G, H)) definiert durch h ~ q)- ~(# (t ~, h)). Damit ist ein Morphismus ~: H-+ ~f'z~ (G, H) gegeben. Dieser ist ein G-Modul-Homomorphismus. Ist H ein unit/irer GModul, so ist c~ein Monomorphismus.

Kohomologie von p-Lie-Algebren

331

Das folgende Diagramm ist kommutativ. H o m ( G "-1,/e'z~m(G, H))

~ ,Hom(G", gf~ne(G, H))

Horn (G", H) ~

Horn (G" + 1, H)

wenn wir a wie in [13] und 6 definieren durch n--1

6f(Po .... , P,,) = ~ ( - 1)~f(Po ..... Pi & + 1,..., P,) + ( - 1)"f(Po . . . . . P, - 1). i-O

Sei t7: Horn (G" + 1, H) ~ Hom (G", H ) durch rI f(Po,..., P,,- 1) =f(e, P o,..., P,,- 1) mit e: G ~ G dem Einselement der Gruppenmultiplikation von G gegeben. Dann ist ~76 + 6q = 1. Also ist der Komplex Horn(G", H) mit den Differentiationen 6 exakt, d.h. H"(G,~fz~z,e(G,H))=O ffir n > 1. Wir kommen jetzt auf den Beweis von Satz 2 zurtick. Da G infinitesimal mit dem Restklassenk6rper k ist, ist auch G x... x G = G" infinitesimal mit dem Restklassenk6rper k. Also ist Horn(G", ~Y'~m(a, H)) ~ Horn(G", ~m(a,//)r,t), wobei ~(G,H)rat das folgende formelle Schema ist: die Punkte sind die rationalen Punkte, d.h. die Punkte mit Restklassenk6rper k von ~"z~e~e(G,H), und die Haime in den rationalen Punkten sind wieder diejenigen von ~ m (G, H). Man priift leicht nach, dab J/ff.~m(G, /-/)rat wieder ein G-Modul ist. Also ist H ~(G, ~z,m (G, H)~,t) = 0 fiir n-_ 1. Es existiert eine exakte Folge yon G-Moduln

O---~gg'v.z~(G,H)~

H)~at-+ Horn(G, H)k---,0,

wobei ~.om(G,H) ~ die zu Jg'.~(G,H)~at geh6rige infinitesimale Gruppe und Horn(G, H) k die zu ~f~m (G, H)rat geh6rige separable Gruppe, die eine konstante Gruppe ist, seien [4]. Da alle Restklassenk6rper k sind, existiert ein Schnitt Hom(G,H) g.-+~e(G,H)rat. Also existiert die lange exakte Kohomologiefolge:

... H"( G, ~'f'~'m(G, H)~

H"( G, ~r

G, H)~at)--~H"( G, Horn(G, H) k) ....

Da Horn(G",Hom(G,H)k)~-Hom(G,H) ist - G" ist wie oben gezeigt infinitesimal - , ist H"(G, H o m ( G , H ) k ) = 0 ffir n > l . Aus der exakten Kohomologiefolge folgt dann H'~(G, ~',~m(G, H) ~ = 0 ftir n =>2. Es ist Horn (G", ~z~m (G, H) ~ = Horn (G", r ~ f ~ (G, H)~ wobei F~.o.n~(G,H) ~ die Untergruppe von ~.o.~(G,H) ~ der HOhe __<1 ist. G" ist n~mlich infinitesimal und ftir alle x ~ 9J/, dem maximalen Ideal der affinen Algebra von G", gilt xP=0. Also ist auch (4)

H"(G, e~fY~e(G, H ) ~

fiir n > 2 .

332

B. PARE~GIS:

Der Monomorphismus H ~ f z , m(G,H) yon G-Moduln l~iBt sich durch den G-Modul F ~ m ( G , H ) ~ faktorisieren, well H infinitesimal yon der H6he < 1 ist. Also sind die Funktoren H"(G, .) ftir n > 2 ausl6schbar. In der Kategorie der kommutativen I F G 1, auf denen G operiert, besitzt jede exakte Folge O---~H'--4 H---. H "---, O einen Schemaschnitt H " ~ H. Das folgt aus der Struktur der affinen Algebren yon H, die die Form ([4], 4.4, Th.) k[[co]]/(xP)x~o, haben. Da n/imlich die Relationen ffir Elemente aus co bei Homomorphismen dieselben bleiben, lassen sich Schnitte konstruieren. Damit bilden die H"(G, .) ffir n > l eine rechtsuniversell exakt verbundene Folge von Funktoren, was zu beweisen war. In der Kategorie der I F G 1 k6nnen wir jetzt speziell die Resultate fiber die periodische Kohomologie aus IV formulieren. Wir nennen die Kohomologie yon G periodisch, wenn es ein q > 1 gibt, so dab funktorMl in H gilt H"(G,H)'~H"+e(G,H) ffir n>3. G heiBe endlich, wenn die affine Algebra von G endlich-dimensional ist. Durch IV, Satz 2.6, erhalten wir dann Korollar 4. Sei k ein algebraisch abgeschlossener K6rper. Ist die Kohomologie der endlichen Gruppe G periodisch, so ist jede kommutative Untergruppe yon G yon der Form /lp x... x/zp x~*, fFtr i>O, wobei c~*o=k sei. #p sei dabei die Gruppe der p-ten Einheitswurzeln und c~*,die duale Gruppe der Elemente mit x p' =0. Diese erw/ihnte Dualitht erzeugt eine Anti~iquivalenz der Kategorie der kommutativen formellen Gruppen fiber k zur Kategorie der kommutativen affinen algebraischen Gruppen fiber k. Eine p,Lie-Algebra g ist genau dann zyklisch, wenn die assoziative p-Hfille U yon g eine endlichdimensionale Faktoralgebra yon k [X] ist und wenn AX = X | 1 + t | X gilt, d.h. wenn X in g liegt. Das gilt aber genau dann, wenn U eine affine kommutative endliche Untergruppe yon G, definiert. Wegen der obigen Antihquivalenz heiBe also eine IFG 1 zyklisch, wenn sie endliche Faktorgruppe von G* ist, der zu G, dualen Gruppe.

Korollar 5. Eine zyklische infinitesimale formelle Gruppe der H6he < 1 hat periodische Kohomologie mit der Periode 2. Anhang: Zur Kohomologie nicht-assoziativer Algebren Sei k ein beliebiger K6rper. Wir verwenden die Bezeichnungen und S~itze aus [8]. Definiere S eine Klasse yon k-Algebren C(S) und habe S die Eigenschaften g und fl ([8], S. 125, 129). Darunter fallen assoziative, alternative, Lie- und Jordan-Algebren, wobei bei Jordan-Algebren die Einschr[inkung zu machen ist, dab die Charakteristik von k yon 2 verschieden sein mug. Sei ~[6C(S). Wegen [8], S. 147, existiert ein ,,universeller MultiplikationsFunktor", der jeder S-Algebra 9A eine assoziative Algebra U mit 1 zuordnet, derart, dab die Kategorie der ~l-Bimoduln isomorph zur Kategorie der UModuln wird.

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

333

Sei k ein trivialer 96-Bimodul, d.h. sei a ~ = 0 = T a ftir ~ek, ae96. Dann definieren wir wie in I (A.1) /1" (96, 99l)= Ext~ (k, 9J/) ffir 96-Bimoduln 93~. Sei ~ ein Bimodul fiir die S-Algebra 96. Dann ist 9 6 | eine SAlgebra mit der Multiplikation (a, m) (a', m') = (a a', a m' + m a'). WJe oben definieren wir S-Graph(96,gJ/) als die Menge der Abbildungen von 96 in ~Jl, deren Graph in 96 | ~ eine S-Unteralgebra definiert. Das bedeutet, dab f : 96 ~ 9~ die Eigenschaft (1.2)

f (a b) = a f (b) + f (a) b = a~f (b) + bPf (a)

haben mull Dann gilt Lemma 1. Der Funktor S-Graph(96,93~) ist in der Kategorie der U-Moduln repriisentierbar. Sei fsS-Graph(96,gJl). Dann definieren wir einen U-Homomorpbismus g: U| 96 ~gJ~ durch g(u @ a ) = u f ( a ) . (A.2) geht dann fiber in die Bedingung (A.3)

g(1 | a b) = g(a ~ | b) + g(b p | a).

Umgekehrt definiert jeder U-Homomorphismus g: U| 96 ~gJl, der (A.3) erffillt, ein Element feS-Graph(96, 9)1) durch f(a) = g ( l | a). Diese Zuordnungen sind bijektiv und funktorM1 in 9J/. Also ist C'~ U| 96/K, wobei K der yon den Elementen 1 | a b - a ~ | b - b~ | a erzeugte U-Untermodul von U | 96 sei, und (A.4) S-Graph (96, 9J~)= Horny (C, 9Jl). Wie in I definieren wit jetzt H" (96, 93l)= Ext,- I(C, 9)l) H~ ~ ) = 0.

(1.5)

n _>1,

Zur Berechnung yon H z (96,932) verwenden wir die Bar-AuflSsung von C fiber U: 9" - - ' U |

U|

C---,U| C--,C--~O.

Das definiert den Komplex 0---,Homv(U | C, 9Jl)---~Homv(U | U | C, 9)1)--* .... Da Horny (U |

B) ~ Hom~ (A, B), erhalten wir

0---*Homk(C, 9Jl)---*Homk(U | C, 93~)--, Homk(U | U | C, 9Jr) .... Sei rr~Homk(U| C,~19l)ein 2-Kozykel, d.h. sei u rr(v | c ) - a ( u v | c)+cr(u | vc)=0.

334

B. PAREIGIS:

a definiert einen k-Homomorphismus z: U | U | 91 ~ ~ mit Kern (z) ~_ U | K und

u~(vQw|174174174 Wir definieren einen k-Homomorphismus h: ~.i | 9 / ~ 9Jl durch (A.6)

h(a | b ) = r ( a z | 1 7 4 b)+ z(b p| 1| a).

Mit h k6nnen wir fiir ein festes r/ wie in [8], I, 6, S. 150, den k-Homomorphismus (t/,h): k{{X}}'-~fJJt definieren durch

(~, h) (x3 = 0 (if, h) (M~ M2) = m~ (t/, h) (M2) + m~ (t/, h) (M~), wobei M~ Monome sind und mi=t/(M,). Wir wollen zeigen, dab ffir alle

f e S gilt (rl,h)(f)=0. Sei/t: k {{Z}}' ~ ~1 9 U | 9/der k-Algebren-Homomorphismus mit ~ (x~) = , (x,) =a~ und #(Yi) = 1 | a,. Sei A : k{{X}}'-~ k{{Z}}' der k-Homomorphismus

A (f(x, .... , x.))=f(x 1+ Yl,..., x. + y , ) - f ( x l , . . . , x.). Dann ist wegen # ( ~ z ) - 0 : A (x~) = 1 | a~,

lxA(M1 M 2 ) = # ( M 1 M2(x+ 1))-M1 M2 (x)) (A.7)

= #(M, (~ + 1)) M2 (~ + 17)- M1 (~) Ma (~ + 0) + kl(M 1(~) Mz (~ + ~) - M 1(x) M2 (~))

=m~pA(M2)+m~#A(MO. Wegen [8], 1.2, (6), ist ffir a l l e f e S #Af=O. Wegen (A.7) k6nnen wit/~A auffassen als p A : k {{X}}' ~ U | 92. Wir zeigenjetzt, dab # A (f) - 1 | t/(f) rnod (K). Es ist #A(xi) = 1 | a~ = 1 | t/(x,). Welter ist

#A(MI M2)=m~#A(M2)+mPz#A(M1) = m~ | m 2 -b m~ | m 1--- 1 | m 1 m2 mod(K). Sei ~0: k{{X}}'~ U | U| definiert durch die Zusammensetzung yon #A mit u | a ~ u | 1 | a. Dann ist z ~ = (t/, h), denn

0(x,)=z(l | 1 | a~)=0=(~, h)(xi) und r (M1 M2) = z (m~ r (M2) + m~ r (M~)) = m~ v ~(M2)-[-m~ z ~ (MI)-~ z(m~ | 12A (M2)) -q-'r,(m~ | p. A (M1))

= m ~'(t/, h) (M2) + m[(t/, h) (M1) + z (rex | 1 | mz) + z (m~ | 1 | ml)

=(t/, h)(M 1 M2).

Kohomologie yon p-Lie-Algebren

335

D a m i t ist (A.8)

01, h ) ( f ) = 0

ftir alle f e S .

Also ist h ein F a k t o r e n s y s t e m im Sinne yon [8], S. 154. Sei jetzt v e i n K o r a n d , d.h. existiere ein H o m o m o r p h i s m u s z': U |

91 -~

mit

"c(u | v | a)=uz'(v | a)-v'(u v | a) und z'(1 | a b - a ~ |

b - b P @ a)=O.

D a n n ist

h(a | b ) = - ~ ' ( l

| ab)+a~l:'(1 | b)+bPz'(l|

a),

also ein triviales Faktorensystem. Die Z u o r d n u n g (A.6) definiert also einen H o m o m o r p h i s m u s q): H 2 (91, ~0l)--* Opext (gX,93t) nach [8], I, Th. 5, S. 153. Wir wollen den K e r n yon ~o bestimmen. Sei

h(a | b)=z(a z@ 1 | b)+ z(b p| l | D a n n definieren wir f(u | a) = z (u | 1| a). Wegen

z(u | v | 1 7 4

1 | a)+'c(uv| 1 | 1 7 4 1 7 4

a)

ist z ein K o r a n d , falls f den M o d u l K annulliert. Es ist

f(u| a b ) = r ( u @ 1 | a b)='c(u | a ~ @ b)+'c(u | be | a) = -u~(aZ | 1 | b)+ z(ua~ | l | b)-uz(bP | l N a)+ z(u bO| i Na) = f(u a;" | b)+ f(u b~ @ a), also ist f ( K ) = 0 und z ein K o r a n & Satz2.

Es existiert ein Monomorphismus ~o: H2(91,gJt)~Opext(g[,gJ~).

Der Beweis, dab ffir die Klasse der Lie-Algebren /4 " (91, ~9l) ---H " (9.[, 93~) ffir n > 2, l~il3t sich auf den allgemeinen Fall nicht iibertragen, und vermutlich ist diese Aussage ffir beliebige nicht-assoziative Algebren auch nicht richtig.

Bibliographic 1. BERKSON,A.: The u-algebra of a restricted Lie algebra is Frobenius. Proc. Am. Math. Soc. 15, 14-- t5 (1964). 2. BOURBAKI,N. : Groupes et alg~bres de Lie, Chap. I. Paris: Hermann 1960, 3. CARTAN,H., and S. E~ENBERC: Homological algebra. Princeton Press 1956. 4. GAB~EL, P. : Groupes formels. S6minaire M. DZMAZUREet A. GROTHENOISCK,Exp. VIIB. IHES 1962-- 1964. 5. HOCHSCHILD,G. : Cohomology of restricted Lie algebras. Am. J. of Math. 76, 555--580 (1954). 6. -- Lie algebra kernels and cohomology. Am. J. of Math. 76, 698--716 (1954). 7. JACOBSON,N.: Lie algebras. New York: [Interscience] John Wiley & Sons 1962.

336

B. PAREIGIS: Kohomologie yon p-Lie-Algebren

8. -- Representation theory of Jordan algebras. C.I.M.E. 2 Ciclo, Some aspects of ring theory. Roma 1966. 9. KASCH,F.: Projektive Frobenius-Erweiterungen. Sitzungsber. Heidelberger Akad. 89-109 (1960[61). 10. -- Dualit/itseigenscha[ten yon Frobenius-Erweiterungen. Math. Z. 77, 219--227 (1961). 11. MAcLANr, S.: Homology. Berlin-G6ttingen-Heidelberg: Springer 1963. 12. MAY, J. P.: The cohomology of restricted Lie algebras. J. Algebra 3, 123--146 (1966). 13. PARLmls, B.: Einige Bemerkungen tiber Frobenius-Erweiterungen. Math. Ann. 153, 1-- 13 (1964). 14. -- Cohomology of groups in arbitrary categories. Proc. Am. Math. Soc. 15, 803--809 (1964). 15. -- Vergessende Funktoren und Ringhomomorphismen. Math. Z. 93, 265--275 (1966). 16. S6minaire Heidelberg-Strasbourg, Groupes alg6briques lin6aires. 1965/66. Dozent Dr. BODO PAREIGIS Mathematisches Institut der Universit/~t 8000 Mtinchen 13, SchellingstraBe 2-- 8

Kohomologie vonp-Lie-Algebren

Recommend Documents