La notion de ddriv6e eomme base d'une th orie des ensembles abstraits. Von

W. Sierpifiski

in

Warsohau.

Introduction. Depuis la Th~se de M. Fr6chet on connatt quelques essais de baser la Topologie (Analysis Situs) sur telle ou telle notion primitive, p. e. sur celle de la limite (Fr6chet), du point d'accumulation (F. Riesz), de l'6cart, du voisinage (Hausdorff, Fr6chet), de la fermeture (Kuratowski). Le but de ce m6moire es~ de montrer comment on pourrait d6velopper la Topologie en admettant comme primitive la notion de 1'ensemble d6riv6. Dans le w 1 nous d6duisons quelques propri6t6s 616mentaires des images, valables pour les images des ensembles sans aucune restriction, ou pour les images biunivoques. Dans les w167 2--6 nous ne raisons encore aucune hypoth~se sur la nature des 61$menfa des ensembles consid6r6s, outre ceale qu'b. tout sous-ensemble E d'un ensemble fondamental K consid6r6 (d'ailleurs quelconque) correspond (d'apr~s une loi tout ~ fair arbitraire) un sous-ensemble E' de K, qui est, par d6finiVion, l'ensemble ddriv6 de E~). Nous montrons clue, maIgr6 Ia g6n6raht6 de cette hypoth~se, on peut introduire phsieurs notions importantes (comme celle de rensembh ferm6, dense en soi, parfait, isol6, connexe, dune fonction continue) et d6montrer quelques propositions d'Analysis Situs. Dans le w 7 nous introduisons une hypoth~se sur les ensembles d6riv~s qu'on pourrait appeler celle de monoto~'e (l'hypoth~se que la formule E 1 = E entralne toujours E~ = E') et nous en d6duisons plusieurs th6or~mes, en particulier quelques propri~t6s importances des ensembles eonnexes. Dams le w 8 nous admettons la notion de r ensemble ferm6 comme primitive et nous obtenons une th6orie 6quivalente ~ eelle qui est bas6r sur la notion des 1) Un tel ensemble K est une olssse topdogique abstrait~ de M. Fr6chet; voir M, Fr6ohet, Sur la terminologie des ensembles abstraits (CongrAs Soo. Say. Dijon 1924); el.M. Frdchet, Ann. Eo. Norm. 38 (1921), p. 356 et son ~
322

W. Sierpifiski.

ensembles d6riv~s satisfaisant & Ia condition de monotonie. Enfin, dans le w 9 nous signalons comment on pourrait d6velopper la Topologie en introduisant encore d'autres hypotheses sur les ensembles d~riv~s. 1. Soient P et Q deux ensembles donn~s, dont les ~l~ments sont tout ~ fait arbitraires. Supposons qu'& tout ~16ment de l'ensemble P correspond un ~l~ment de rensembte Q (le m~me ~l~ment de Q pouvant eorrespondre aux plusieurs 61~ments de P et, d'autre part, dam Q pouvant exister des ~16ments qui ne correspondent ~ aueun ~l~ment de P). Nous dirons d'une telle correspondance qu'elle d6t~rmine une application de l'ensemble P sur l'ensemble Q ou bien qu'elle d~finit une ]onction univoque d~l~ments de l'ensemble P; si, de plus, q d6sigae l'~l~ment de Q eorrespondant s l'616ment io de P, nons ~erirons q = f(79)

et appellerons q image de l'~l~ment p. L'ensemble P* de tousles ~l~ments f(79) eorrespondant aux ~l~nenrs p de P sera dit image de l'ensembte P (produit par la fonetion f) et sera d6sign6 par f(P). Si, de plus, aux ~l~ments diff~rents 79x et 79~ de P correspondent ~ujours des ~l~ments diff6rents f(lol) et f(79~) de Q, la fonetion ~tablit une eorrespondanee tdunivoque entre lea 616ments des ensembles P e t P*=f(P); pour tout 616ment q de P* il existe alors un et un seul 6t~ment 7 9 = ~ ( q ) de P, tel que f(79)=q, et la fonetion ~ d6termine une eorrespondanee inverse par rapport ~ eelle qui est d6termin6e par ta fonetion f, notamment une application de Fensemble P* sur l'ensemble P, et o n

P.

En partieulier, les ensembles P e t Q peuvent eoineider: nous avons alors une application de l'ensemble P sur lui-m6me (p. e. route fonetion r6elle d'une variable r6elle fournit une application de l'ensemble de tous les hombres r~els sur tui-m6me). f 6rant une fonetion univoque, d6finie pour les 616ments de l'ensemble P, et E 6rant un sous-ensemble donn~ queleonque de P, nous designerons par f(E)l'ensemble de t o u s l e s ~16ments f(p) eorrespondant aux ~]~" ments p de ~. On voit sans peine que pour to'ate fonetion (univoque)f, d~finie dans l'ensemble P, on a, pour E a = P e t E~ = P ~) Ia formule

f(E, -~ E~)= f(E~) q- f(E~), et, g6n~ralement, pour toute somme S = ~ E des ensembles E eontenas dans P: x.) ~

p d~igne clue l'ensemble ~ est eontenu d~ns ~P.

D6riv~e et ensembles abstrait~.

323

la sommation s'~tendant ~ t o u s l e s ensembles E formant |a somme S, Done: l'image crune somme eat la somme des images2). Quant ~ l'image d'une difference, nous pouvons seulement affirmer (dans le cas g~n~ral) que

f ( E 1 -- E ~ ) ~ f ( E I ) - - f(E~), c'est-~-dire clue /'image dune di//drence contient la di//~renz~e des images. ~) Si E I = E ~ = P , nous avons 4videmment f(E~)=f(Eo), dest-~-dir~

l'image ~Tune pattie d~un ensemble est une pattie de rimage de cet ensembleS). I1 en r~sulte tout de suite qu'on a pour ~ u t produit H E d'ensembles donn4s E contenus dans P, la formate

f(I1E)~H f(E)

(1)

(le produi~ ~ droito s'6tendant ~ tous les ensembles-facteurs du produit H E ) , dest-~-dire: ~image d'un produit est contenu dans le produit des images. Or, si la fonction f 4tablit une correspondance biunivoque (pour les ~14ments de l'ensemble P ) , nous avons toujours

f ( H E ) - - IIW(E)

(2)

(pour tout produit H E de sous-ensembles E de P ) . D'apr~s (1) il suffit de d6montrer settlement Ia formule

f (TI E) ~ H f ( E). Soit done q tm 616ment de l'ensemble IIf(E). Nous avons done pour tout ensemble E, facteur du produit IIF,, q E f(E)a). Soit E~ un faeteur donn6 du produit HE: il sera done qEf(E~), c'est-~-dire q=f(p), off iv est un 616merit de E~. Soit maintenant ~ un facteur donn$ quelconque du produit HE: d'apr6s q E f(E), nous avons q = f ( ~ ) , o~ ~r est un 616ment de E. Nous averts done f (p)= f(z), ce qui donne (la fonction f 6tablissant (3)

une eorrespondanee biunivoque pour les 616merits de/~): p = ~, d'ofi p E E (puisque E E). Nous averts done p E :E pour tout facteur E du produit HE, ce qui donne pEIIE, et parsuito q= f ( p ) E f ( l I ~ ) . Nous avons ainsi ~t~bti la formule (3) qui entralne, d'apr~s (1), l%galit~ (2). Pareillement on pourrait d~montrer sans peine clue s i f est une image biunivoque de l'ensemble P, et si Ea~P, E~,= P, on a

f(E~ -- E~)= f ( E ~ ) - f(E~). f(p) ~ n t

une fonction univoque (pas n ~ s s a i r e m e n t biunivoque) d~fiaie dans l'ensemble P, d6~igaons, pou~ tout ~ous-en~mbte H de f(P), s) c~tte propri6t~ subsiste d'aflleurs pour les fonetions p!urivoquvs (off ~, ohaxiue 61~ment p de _P correspond un sous-ensemble f(p) de Q, ot oh on comprond par f ( ~ ) rensemble-somme do tous las ensembles f(p) oorrespondaa~ux ~14ment~p

do ~).

~) ~ E H d6signe que ~ est un ~16anea!t de t'ensemble H. 21"

W. Sierpifski.

324

par g(H) l'eBsemble de t o u s l e s $1~ments p de P, pour lesquels f(p)6 H. On v~rifie sans peine les formules:

g(z1 pour toute somme ~ H

)= z g(H),

des ensembles contenus dans f(P),

g(H1-- H,.)-~ g(H1) -- g(He), pour H 1~ f(P) et /~. = f(P), et g(BH)

=

pour tout produit I1H d'ensembles contenus darts f(P). Dans le cas oft la fonction f(p) est biunivoque dans P, et oft ~(q) d6signe leur fonction inverse, on a 6videmment g(.H)= q~(H) pour

Her(P). Remarquons que, d'apr~s une notation de M. Lebesgue, on pourrait d6signer l'ensemble g(H) par E [ f ( p ) E H ] . 2. Soit K un ensemble donn~ quelconque, dont les ~l&nents sont de nature tout ~ fait arbitraire, et supposons seulement fix6e une loi d'apr& laquelle s tout ensemble E ~ K corresponde ua ensemble d6termin~ E ' c K (pouvant ~tre d'ailleurs vide) qu'on appellera ensemble ddriv~ de E. Aucune hypot~se sp6ciale sur la loi de cette correspondance ne sera pas suppos6e dans les w167 2--6. Malgr6 la g6n6ralit6 de notre hypoth~se, il est possible d'introduire plusieurs notions importantes et de d6duire plusieurs propri6t6s de ces notions. Appelons un ensemble E ~ K /erred, si E ' ~ E 4), dense en soi, si 0 ~ - E = E ' , par]ait, si E ~ E', clairsemd, s'il n e eontient aucun sousensemble dense en sol. Un 616ment 79 de E sera dit isold, si 1o non E E'. Un ensemble est dit isol~, si E E ' ~ O. (On voit sans peine que pour qu'tm ensemble soit isol6, il faut et il suffit clue chactm de ses 616ments soit isol6.) Deux ensembles A e t (4)

A#0,

B (contenus dans K) seront dits se'pargs, si

B#O,

AB--AB'=A'B=O.

Un ensemble .~ K est dit connexe, s'il n'est pas une somme de deux ensembles s~par6s. On dit qu'un ensemble E 1 est /erred claus E, si E~E~ E~. On peut d6montrer sans peine que pour qu'un ensemble E soit connexe, il ]aut et 4) L'ensemble d~riv6 de tout ensemble ~ c K ~tant con~enu dans K, il en ~.i suite que l'en~mble .K est ferm6 (puisque K ' ~ ' ) -

D6riv~e et ensembles abstraits.

-~5

il su//it qu'il ne soit pets une somme de deu~ ensembles non vldes dis. joints, /ermds dans E. Supi~sons , en effer que 1'ensemble E eat une somme de deux ensembles non rides, disjoints, ferm~s duns E. Nous aeons done ~_,= A + JR, off (5) D'apr~s ~ = A + ~ ,

(6)

A~-O,

B#O,

AB=O,

A'~A,

13"E~B.

nous aeons A = A j g , J~=J~J~, e~ la formule (5) donne A B ' = A E B ' ~ A B = O, d'od A B ' = O,

et de m~me

(7)

A'B = A ' E B c A B = O, d'ofi A ' B = 0.

D'apr~s (5), (6) e~ (7), nous aeons done les formules (4) c~ qui prouve que les ensembles A et B sont sdpards. Notre condition est done ndcessaire. Or, supposons que l'ensemble E n'est pas eonnexe. L'ensemble ~ est done une somme E = A + B de deux ensemble s6par6s, done satisfaisant aux conditions (4). D'apr6s E-= A + B et (4), nous trouvons A'E = A' (A + B) = A'A + A'B = A'A ~ A, done A ' E ~ A , ee qui prouve que Fensemble A est ferm6 dans E. Pareillemen~ nous prouvons que l'ensemble B est ferm6 clans E. L'ensemble ~ est done une somme de deux ensembles non rides, disjoints (d'apr~s (4)), ferm~s clans ~. La condition de notre th~or~me est done snffisante~ 3, Soient m a i n f ~ n a n t K et K * deux ensembles, pour lea sous-ensembles desquelles sont d~finis les ensembles d~riv~s. Supposons que la fonetion f d~termine une application d ' u n ensemble E o c K sur u n ensemble H o ~ K * . Nous dirons que la fonction f est continue dans E o p o u r r~ldment p de cet ensemble, si pour tout ensemble E ~ E o, tel clue ~ E E ' , on a la formule

:(p) r {f(E - ( v ) ) + (off (p) d~signe l'ensemble form6 d'un seul 614ment p)5). Si la ~onc~ion f est continue duns E o pour tout 414ment p de Eo, on dit que r e n s e m b l e H o = f ( E o ) est une image coutinue de l ' e n s e m b l e Eo, produit par l a fonction f . On voit sans peine que si p E E~ ~ E o et si la fonction f est continue dans E o pour t'6t6ment p , elle est aussi continue duns E I pour l'616ment p . It en r6sulte clue si t t o -~ f ( E c ) est une image continue de l'ensemble Eo, produit par la fonction f, f ( E ) est une image continue de r e n s e m b l e E ,

quel que soit rensemble E ~ Eo. Th6or~me 1. L'image r~mzinue ~ u n ensemble r

eat u~ en-

semble connexe. 5) On pourrai$ d6montrer sans peine ClUe pour les estraces (D] de ~ (ddnommds par M. Hausdorff espaces mdtriques) r ddfinit~ion est dCl!liv~lente Is ddfmition habituelle.

326

W. Sierpif~ski.

D6monstration. Soit E o ua ensemble connexe, H o = f(Eo) -- son image continue, et admettons que l'ensemble H o u'est pas eormexe. Nous aurions done la d6composition Ho----A1 ~-B~, off

D6signons par A rensembte de $ous les 616ments p de E o, pour lesquels f ( p ) E A , et par B ~ l'ensemble de t o u s l e s 616ments p de Eo, pour lesquels f ( p ) E B ~ . D'apr~s (8) et A~ + B ~ : Ho = f(Eo), nous aurons 4videmment A # 0, B =~ 0, A B ~ O. L'ensemble E o 6rant connexe, il en r6sulte qu'il ne peut ~tre s la lois A B ' ~ 0 et A ' B = O. Admettons que AB'~= O. I1 existe done un 616ment p E A B ' . D'apr~s p E B ' et B ~ E o , la fonc~ion f 6rant continue duns Eo, nous avons

f ( p ) E ( f ( B - - ( p ) ) -{- [ f ( B ) ] ' ) .

(9)

Or, d'aprgs f ( A ) = A~, f(B)-.-~ ;B~, 4;B~ = O et p ~ A , noas trouvons

f(p)EA~

(lo) et

f ( p ) non E f ( B ) , et la formule (9) donne

(11)

f(p) e It(B)}' = B;.

Donc, d'aprgs (10) et (11): f ( p ) s d'ofi A 1 B ; + O, contrairemerit ~ (8). Pareillement l'hypoth4se que A ' B ~ 0 implique une contradiction. Nous avons ainsi d6montr6 que l'easemble H o - - f ( E o ) est connexe. 4. T h 6 o r 4 m e 2. Si la /onction f e.st continue clans ~ensemble E o

pour l'dl~ment p de cet ensemble et si la /onction g es~ continue dans l'ensemble H o ~ f(Eo) pour l'~ldment q = f ( p ) de cet ensemble, la /onction q~( p ) -- g [ f ( p ) ] est continue dans Eo pour l'dldment p . D ~ m o n s t r a t i o n . Soit E un ensemble dona6 ~ Eo, tel que p E E ' . De l'hypoth~se que la fonction f est continue duns F,o pour F$I6ment 2 r6sulte que

f@) e { f ( ~ - (p)) + If (~)]'). Si

f(p) s f ( E - (~)), nous avons

g [f(~)] e9 [ f ( E - (p))]. Or, s/

f(:~)e [f(~)]' alors, en pos~nt

q=f(~),

H=f(E),

nons ~ u m n s (d'apr~s E ~ o ) : ~ e~ darts _Ho pour l'~l~ment q, nons trouverons:

qEH t,

et, la fonetion ~q ~tant continue

g (q) e (g ( ~ - (q)) + [g (H) ]'),

DSriv4e e~ ensembles abstvaits.

327

doI1c

g [f(~)] e {g If(E) - f(p)] + (g [feE)I)'} ~ {g [ f ( E - (~))] + (g [f.(E)])'}

[puisque f ( E ) - f (p) ~ f ( g - (p))]. Darts tous lea eas nous ~vons done

g If(p)] 6 {g [f (2g-- (p))] + [g (f(E))]'} l~our J ~ E o , T E ~ ' , ee qui prouve que la reaction duns E 0 pour l'61~ment p, e. q. f. d.

q~(p)=g[f(p)] es~ continue

Si, en particulier, la fonction f eat continue clans tout ensemble E o et si ]a fonction g est continue darts tout ensemble H o ~- f(Eo), la fonction F(P)-~g[f(P)] sera continue clans tout ensemble E o. l~oas exprimons cela tout court, en disant qu'une image continue d'une image continue

~un ensemble est une image continue de vet ensemble. 5. Si la fonction f ~tablit une correspondance biunivoque entre tes ~l~ments des ensembles E o e t H o et si la fonction f est continue clans E~ et lear fonction inverse 99 est continue dans He, nous disons ClUe Fensemble H a est une image biunivoque et bicon~inue de l'ensemble E o. L'ensemble E o est alors aussi (comme on le volt sans peine) une image biunivoque et bicontinue de l'ensemble H o. De deux ensembles E o et H o qui sent des images biunivoques et bicontinues Fun de l'autre, ont dit qu'ils sent homdomorphes, ce que nous exprimerons en ~crivant: E o h H o, ~) et, pour exprimer clue la fonction f transforme d'une fa~on biunivoque et bicontinue l'ensemble E o en l'ensemb|e He, nous ~crirons: EohfH o. On volt sans peine (w 3) que si l'on a

EohfHo, on a

Ex = E o

aussi

et

1tl = f(Ex),

E hrH

Done: lorsque deux ensembles sent hom4omorphes, routes deux parties correspondantes de ces ensembles sent aussi hom~omorphes. Du w 4 r~sulte que si

Eo r//o

Hoh M

et si Fen pose duns E o on a u r a

Eo h~ Mo : la relation d'hom~omorphie est done transitive. 6) II est otair quo nous avons alors aussi ~tohJgo: la relation d'hom6onmrphie e~t done sym~tr/4me.

W. Sierpifiski.

328

Supposons maintenant que la fonction f 6tablit une hom6omorphie entre les ensembles E o e t H o. Soit E un ensemble donn6 quelconque ~ E 0 et p an 616merit donn6 quelconque de l'ensemble EoE'. La ionction f &ant continue darts E o pour l'616ment p, nous aurons (w 3)

( ~2)

f(~)e { f ( E -

(~,))+ If(E)]'};

or, la fonetion f 6rant biunivoque dans Eo, il ne peut 6tre

f(p)Ef(E--(p)) (puisqu'il en r6sulterait que pour deux ~16ments distincts de l'ensemble E, notamment pour p e t pour an ~l~ment Pl de l'ensemble E - (p), on a f ( p ) = f(pt), ce qai est impossible): la formule (12) donne done:

f(p)E[f(E)]'.

(13)

La formule (13) subsistant pour tout 61&ment p de I'ensemble EoE', nOllS a v o n s :

f(Eo E') = [ f(E) ]',

done aussi

(14)

f(EoE' ) c f(Eo) . [ f ( E ) ] ' pour tout ensembIe E c E o [puisque, d'apr~s E o E ' ~ E o, nous avons

f(EoE')=f(Eo)]. Soit maintenant r la fonction inverse par rapport &, f (d~finie dans Ho): nous aurons done Hohq~Eo et, d'une faqon analogue que nous avons d6duit de l'hypoth~se E o hf H o la formule (14), nous d6duirons de H0 he E~ la formule (15)

r

) c r (Ho)- [7, (H)]'

pour tout ensemble H ~ H o . Soit E un ensemble donn6 quelconque ~ E o : posons H = f(E): d'apr~s E = E o , nous aurons f(E)=f(Eo) , done H=Ho, ce qui entralne la formule (15). Or, d'apr&s H o = f(Eo) , H = f(E), 7' 6rant la fonction inverse de f dans Eo, nou~ avons ~(Ho) = Eo, ~ ( R ) = E et pa~s~te 7"(Ho)-[7"(•)3' = &~', d'oa, d'apr~s (15) : (16)

f[q~ ( / / o H ' ) ] ~- f(EoE' ) . Or, la fonetion ~ 6rant inverse de f, nous avons

W[7,(HoH')] = Holt'-'-- f(Eo). [ f ( E ) ] ' , e~ la-formule (16) donne:

W(Eo) . [r(E)]' = r(Eo E')

D~riv~e e~ enaembles abstract.

329

pour tout ensemble E ~ E o, d'ofi, d'apr~s (14), r6sutte l'6galit6

f(EoE" ) = f(Eo). [ f ( E ) ] '

(17)

pour tout ensemble E r o. Nous avons done demontr4 que si EohfHo, la fonetion f satisfait & la condition (17). Or, on voit sans peine que si la fonction f (d~finie clans l'ensemble Eo) satisfait & la condition (17) et si elle est biunivoque, alors, en posant Ho---f(Eo), on a EohfH 0 . En effet, pour tout 61~ment p de E o et pour tout ensemble E ~ E o, tel qae p e E ' , nous avons P E E o E ' , et la formule (17)donne f ( p ) E [ f ( E ) ] ' et, h plus forte raison:

f ( p ) E (W(E - - ( p ) ) Jr- IF(E)]'}, ce qui prouve que ]a fonction f est continue clans E o pour tout ~14ment

pae Eo. Or, si la fonction f est biunivoque dams E o et si ~ d6signe Ieur fonetion inverse; en posant E = ~ ( H ) pour H ~ H o , nous aurons, d'apr6s (17), en remarquant quo f ( E o ) = tto, W(E).= 1t, la formule

f ( E o E ' ) = HoH',

d'ofi

~ (Ho) 9[~ (H)]' = E o E ' = c p [ f ( E o E ' ) ] = q ~ ( H o H ' ),

done cf (HoH') = q~(Ho) . [cp (H) ]'

(18)

pour tout ensemble H ~ H o. De-m6me comme de la formule (17) r~sultait la continuit4 de la ionction f dams Eo, il r4sulte de la formule (18) la continuit6 de la fonction T dams H o. La fonction f transforme done l'ensemble E o en rensemble H o d'une fa~on biunivoque et bicontinue, et nous avons E o h., H o , o. q. f. d. Nous avons ainsi d~montr4 le suivant

Pour qu'une /onction biunivoque f dtablisse une hom~omorphie entre les ensembles E o et H o = f(Eo), il /aut et il su//it qu'on air f(EoE' ) -~- f(Eo).[f(E)]' pour tout ensemble E c E o. T h 6 o r 6 m e 3z).

6. Toute propri6t6 de l'ensembte B qui subsiste pour tout ensemble hom4omorphe & E est dire invariant topologique de l'ensemble g . L~obj~ ~) Cf~ S. Saks, Fund~meata Mathonat.iea~ 5 (1924), p. 29t.

330

W. Sierpifiski.

de la Topologir (Analysis Situs) est l'6tude des invaxiants topologiques, c'est-~-dire des propri6t6s des ensembles qui restent invariantes par rapport aux transformations biunivoques et bicontinues. Voici quelques exemples des invariants topologiques. La densit~ en soi d'un ensemble est un invariant topologique. En effet, supposons que EohfHo : nous avons done la formule (17), pour E = E o (d'apr~s le th~or~me 6tablit au w 5). Or, l'ensemble E o 6rant dense ell sol, nous avons (w 2) Eo= Eo, done E o = EoZo, et la formule (17) donne (pour E = Eo): H0= f(Eo)= f(Eog)-~ f(Eo)'[f(Eo)]'= Hog, donc / t o = HoH o = Ho, ce qui prouve que l'ensemble Ho~- f(Eo) est dense en sol, c. q. f. d. Du fair que la densit6 en soi est un invariant topologique, il r6sulte tout de suite (w 2, w 5) que /a propridtd d'un ensemble d'dtre clairsem~ est un invariant topologique. Du th6or~me 3 resulte aussi sans peine (pour E = Eo) que /a propidtd a~un ensemble d'gtre isold est un invariant topologique. D'apr~s le th6or~me d6montr6 au w 3, ta connexit6 est un invariant des transformations univoques et contlnues (dans un sens). Done, ~ plus forte ~aison, /a connexitd est un invariant topologique. 7. Nous n'avons admis jusqu'ici aucune hypoth~se sur les propri6t& des ensembles d6riv6s (en supposant seulement qu'iis sont d6finis pour tout ensemble E d'616ments de 1'ensemble fondamental K eonsid6r6), et cependant nous avons pu d6montrer quelques th6or~mes important, connus de la th6orie des ensembles de points. Nous allons maintenanr d6duire plusieurs autres th6or~mes importants de cette th6orie, en admettant quelques propri6t6s des ensembles d6riv6s. Nous commeneerons par admettre une seule qu'on pourrait appeler monotonie des ensembles ddriv~s. C'est la propri6t6 suivante:

(I )

La /ormule E 1 c E entra~ne : E~ ~ E'

quels que soient les ensembles E et E,, contenus clans l'ensemble fondamental K consid6r6. En d'autre mots, notts supposerons que /a ddrivde d'une pattie d'un ensemble et toujours une pattie de la ddriv~e de ca ensemble. t~ous allons maintenant d6duire de cette propri6t6 quelques th~or~mes importants. T h 6 o r ~ m e 4. Le produit a~un ensemble qudcon~e d'ensembles ]ermds et un ensemble ]erred. D 6 m o n s t r a t i o n . Soit P - - T I E un produit donn6 d'ensembles ferm~s E. bTous avons done P ~ E pour tout Iacteur E du prodait P, d'ofi, d'apr~s (I)- P ' c E ' e t parsuite P ' c E, puisque E ' ~ E , rensembte

DSriv~e et ensembles abstraits.

~31

E 4rant Ierm~ (w 2). La formute P ' ~ E subsistant pour tout Iacteur E du produit P, il en r4sulte P ' = H E , done P ' c P, ce qui prouve clue l'ensemble P est fermi, c. q. f. d. Th4or~me 5. Si l'ensemble E est ]erred, tout ensemble contenu dans E et contenant E' est ]erm& D ~ m o n s t r a t i o n . Si E est fermi, on a E ' a E . Or, si l'ensemble H satisfait aux conditions E ' ~ H ~ E , on a, d'apr~s H ~ E et en vertu de (I): H ' c E ' , donc, d'apr~s E ' c H, on trouve H ' ~ H, ce qui prouve que Fensemble H est ferm4. Donc, en particulier, l'ensemble d4riv4 d'un ensemble ierm4 est toujours fermi. Th~or~me 6. S i l'ensemble E est dense en soi, tout ensemble contenant E et contenu darts E' est dense en s o l D 4 m o n s t r a t i o n . Si l'ensemble E est dense en soi, nous avons BeE' (w Or, si l'ensemble H satisfait aux conditions E r on a, d'apr~s E c H et (I): E ' = H ' , done, d'apr~s H r on trouve H c H', ce qui prouve que l'ensemble H est dense en sol, c. q. f. d. Th4orSme 7. Une somme d'un ensemble quelconque d'ensembles denses en soi est dense en soi. D~monstration. Soit S ~ - . Z E une somme donn4e d'ensembles denses en soi. Nous avons donc E ~ E' pour tout ensemble E, terme de Ia somme ~ E - ~ S . Or, d'apr~s E ~ S et (I), nous avons E ' c S ' . I1 en r&ulte que E r pour tout terme E de la somme S , ce qui donne S= S' et prouve que l'ensemble S est dense en sol, c. q. ~. d. D~signons, pour tout ensemble E donn4, pat N ta somme de tous les ensembles denses en soi, contenus duns E: d'apr~s le th$or~me d~montr~ tout s l'heure, l'ensemble N sera dense en soi (ou vide). Or, on voit sans peine ClUeN e s t le plus grand sous-ensemble dense en soi de E, notamment un sons-ensemble de N, contenant tout sous-ensembte dense ea sol de N. l~ous appelons N noyau de l'ensemble E. Un ensemble dont le noyau est vide, est dit clai~sem4 (cf. w 2). Th4or~me 8.

Tout ensemble E est une somme E=N-~R,

o~ N est le noyau de E et 04 R est un ensemble clairsemd (on vide).

En effet, si N d~signe le noyau de l'ensemble E, nons avons N ~ E et nous pouvons tmser E - N - ~ R, off I ~ E , ce qui donne E ~ N ~ R. Si l'ensemble R n'~tait pas clairsem4 (ni vide), it contiendr~t un sonsensemble dense en sol qui, d'apr~s la d~nition du noyau, dev~ai$ entror

W. Sierpifiski.

332

dams N, ee qui est impossible, puisque, par d6fmition de R, NR-=0. L'ensemble R e s t done elairsem6 (ou vide), ce qui prouve notre th6orgme. T h ~or bme 9.

Le noyau d'un ensemble est ]erred dans cet ensemble.

D~monstration. Soit N le noyau de l'ensemble E. Le noyau de E grant dense en soi et contenu dans E, nous avons N = N ' E , et, puisque 6videmment N ' E ~ N ' , nous eoneluons, d'aprgs le th6orgme 6, que l'ensemble N ' E est dense en sol, done (comme un sous-ensemble dense en soi de E) contenu dans le noyau N de E. Nous avons done N'E= N, ee qui prouve (w 2) que l'ensemble N est ferm6 clans E, c. q. f. d. Si l'ensemble E~ est eontenu dans un ensemble ferm6 E et si E~ eat ferm6 dans E, E~ est un ensemble ferm6. En effet, si E ~ E , E'=g, E ; E ~ E ~ , nous avons, d'apr~s (I) 9 E~? = W p = E , done E;! ~ E;Er . Il en r~sulte, d'apr~s le th6or6me 9, que le noyau d'un ensemb]e ferm6 est ferm~ et dense en soi, done parfait. La densit6 en soi d'un ensemble 6tant un invariant topologique (w 6), on voit sans peine (w 5) que par une transformation hom~omorphe le noyau d'un ensemble se transforme en te noyau de l'image. T h 6 o r ~ m e 10. S i les ensembles A et B sont sdpards, et si A~ a B~ sont des ensembles, tels que (19)

AI + 0 ,

B1+0,

AI = A ,

BI=B,

les ensembles A 1 at BI sont s@ards.

D6monstration. Les ensembles A et B 6rant s6par6s, nous avons les formules ( 4 ) ( w I1 en r~sulte, d'apr~s (19): A ~ B I = A B = O , P p p t donc A 1 B x = O. D'apr~s (19) et (I) nous avons A1 = A , B1 = B , done, ! d'apr~s (4) et (19)" A I B ~ = A ' B - = O et A ~ B ~ = A B ' ~ O , ee qui doanr t ! A1B~ = A1B~----O. Les ensembles A 1 et B~ sont done s6parbs, c. q. f. d. T h 4 o r ~ m e 11. Un ensemble connexe, cxmtenu clans une somme de deux ensembles s~pards, est contenu clans un de ces ensembles. Supposons, en effet, que l'ensemble connexe E est r dans ls somme de deux ensembles s6par6s A et B. Nous avons done les for. mules (4) et E ~ A -b B, d'ofi: E = E ( A + B ) = E A + E B . Posons E A ~ A l,

EB = B 1:

nous au_rons done AI~A,

BlaB

et A 1B 1 = E A B -- 0

(puisque, d'apr~s (4), A B ~ 0). S'il 6taft A 1 + 0, B~ + 0, les ensemble A~ et B~ satisferaient aux conditions du th6or~me 10, eb parsuite s e ~

D~riv~e et ensembles abstraits.

333

sSpar~s, ce qui est impossible, puisque E ~- E A ~- E B ~ A1 + B1, et E est connexe. II est done soit A ~ 0 , soit B 1 ~ - 0 , done soit E-= BI ~ E B ~ B, soit E - - Ax ~ E A ~ A, c. q. f. d. T h ~ o r ~ m e 12. Pour qu'un ensemble ]erm~ soit connexe, il ]aut et il su]]it qu'il ne soit pas une somme de deux ensembles ]erm~s disjoints, non vides. D6monstration. Dans le w 2 noas avons d6montr6 que pour qu'un ensemble E soit connexe, il faut et il suffit qu'il ne soit pas une somme de deux ensembles non vides, disjoints, ierm~s dans E. Or, si E est ferm6, tout sous-ensemble de E, ferm6 dans E, est ferm6, et d'autre part, tout ensemble ferm6 est ferm6 dans E. I1 en r~sulte imm4diatement le th~or~me 12. T h 6 o r 6 m e 13. S i l'ensemble E est connexe, tout ensemble r nant E et conte~u darts E - ~ - E ' est connexe. D ~ m o n s t r a t i o n . Soit E un ensemble eonnexe et E~ un ensemble tel que E ~ E 1 ~ E -Jr E ' e t admettons que 1'ensemble E 1 n'est pas connexe. On pourrait done poser E~ ~ A ~ B, off les ensembles A et B sont s~par~s. L'ensemble E 4rant connexe et ~ El, E est, d'apr~s le th~or~me 1 l, contenu dans un des ensembles A et B, soit E = A . I1 en r6sult% d'apr~s (I)E ' c A ' , done E ' B ~ A ' B . Or A ' B - ~ O, puisque A et B sont s~par4s" nous avons done E ' B ~ O. D'autre part, E B ~ O, puisque E = A et A B ~ O. D'apr~s B = E~ ~ E ~ E', on aarait done B = (E ~- E ' ) B =: E B -~ E ' B : O,

ee qui est impossible.

L'ensemble E~ est done connexe, c. q. i. d.

En particulier iI r~sulte, du th4or~me 13 que s/ ~ensemble E es~ connexe, l'ensemble E ~ E' es$ aussi connexe. D'apr~s les hypotheses faites ]usqu'~ pr6sent sur les ensembles d4riv4s, Fensemble E ~-E' n'est pas n~r fermi. Or, soit E an ensemble' donn~; il existe toujours des ensembles ferm~s contenant E~ p.e. l'ensemble K (w 2). D~ignons par E le produi~ de tous les e~sembles ferm4s contenant E : d'apr~ Ie th~or~me 4 ee sera un ensemble fermi: nous l'appellerons fermeture de ~. C'est done le plus petit ensemble ferm~ eontenant E. D'apr~s ~ E nous avons, d'apr~s (I): ( E ) ' ~ E ~ d'o% Pensembte E Stanr fermi: ~ E ' et pars~ite

~(~+~'). Or, oa volt sans peine que l~ fermeture satisfa~t aus~ ~ la condition de moaotoaie, e es~a-d~re

(~ai~tue~ es~ le plus petit e~somble ferm$ cc~at~na~t ~ est an des ensembles ferm~s c o a t , a n t ~ ) .

et, d ' ~

~,~J~

334

W. Sierpifiski.

On volt sans laeine que pour qu'un ensemble soit ferm6, fl faut et il suftit qu'~ coincide avee sa fermeture~ I1 en r~sulte que nous aeons toujours ~ = E , c'e~t~ dire la fermeture de la fermeture d'un ensemble est ]a fermeture de cet ensemble. On volt aussi sans peine que ]es ensembles E . e t E ' E ' ont ]a m~me fermeture. Th6or6me

14. Za fermeturr d'un ensemble connexe est eonn~re.

D6monstration. h d m e t t o n s que la fermeture E d ' u n ensemble conneze ne aoit pa~ connexe. D ' a p r ~ le th6or6me 12, nous pouvons done poser E = A § od A et B sent des ensembles f e r m ~ et A - ~ 0, B ~ 0, A B = 0 . Les ensemblesA e t ~ 6tant ferm6s, nous aeons A' ~ B , B" ~ B, done A B ' ~ A B = 0 et A ' B ~ A B = O , donc A ' B = A B ' = O . Les ensembles A e t B sent done s~par6s. Or, d'apr~ ~ E -- A ~ B et d'apr~s le th6or~me 11, l'ensemble E, comme connexe, est contenu dans un des ensembles A et B , p. e. E ~ A. Il en r$_sulte, d'apr~s (20): ~ A , done, l'ensembe A 6rant ferm6: E-'~ A, ce qui eat impossible, puisque E = A Jr B, AB=O et B 4 0. L'ensemble E est done connexe, e. q. f. d.

E 6tant un sous-ensemble d'un ensemble fondamental K donn6, nous appe|lerons compldmentaire de E (par rapport s K) et d~signerons par CE, l'ensemble K ~ E. Un ~l~ment p sera dit intdrieur ~ u n ensemble E, s'il appartient ~ s sans appartenir ~ (CE)'. Un 414ment est extdrieur s E, s'il est int4riea~ CE. Les 41~ments de K qui ne sent ni int4rieurs ni ext6rieurs h E ferment la/ronti~re de E. On vole sans peine que la fronti~re de l'ensemble E est l'ensemble E . ( C E ) ' q - E ' . C E . Deux ensembles compl~mentaires ont ~videmmen~ la m~me fronti~re. T h ~ o r ~ m e 15. Un ensemble connexe, conienant des dldments de chacun de deux ensembles compl~mentaires, contient au moins un dldme~ de leur /ronti~re. D~monstration. Soit S u n ensemble connexe, icontenant des ~t& ments de chacun de deux ensembles compl4mentaires E er H . Posons A ~ E S , B ~ HS: nous aurons $videmment S ~ A ~ B et A =~ 0,/~ ~ 0, A B ~-O. L'ensemble S ~tant connexe, les formules (4) ne peuvent pas subsister: nous aeons done A B ' q- A ' B ~ O. Or, d'apr~s A ~ E S ~ E , B:HS=H et d'apr~s (I), nous aeons A ' = E ' , B " - H ' , done

A B ' ~- A'B ~ E S H ' -~ E ' H S , d'ofi

S(EH'-~HE')=AB'

q- A ' B ~ O,

ce qui prouve notre th~orbme, puisque l'ensemble E H ' -~ t i E ' est (d'apr~s H = CE) la fronti~re de E. 0bservons encore qu'en s'appuyant sur le tb6or~me 10 on pourradt d6montrer sans peine la proposition suivante (due ~ M. HausdoriI): U~ somme tf un ensemble quelconque aVensembles connexes, dent tout deuz ad! un d l ~ a t commun, est un ensemble connexe.

D~riv6o et ensembtos abstraits.

335

8. Dans le w 7 nous avons consicl~r~ comme notion primitive cel!e des ensembles d~riv~s, en admettant seulemen~ qu'ils sont d~finis pour tout sous-ensemble E de l'ensemble fondament~l K consid6r~e et qu'i!s satisfon~ & la condition de monotonie. Or, on pourrait zegaxder comme primitive une autre notion fondamentale de la th~orie des ensembles de points, p. e. celle de l'ensemble ~erm6. Nous avons appel~ dans le w 2 ferm~ tout ensemble qui contient son ensemble d~riv6. De cette d~finition et des propri~t6s admises des ensembles d~riv6s (de la propri6t~ qu'& tout ensemble E ~ K correspond an ensemble d~rivg E'= K, et de la formule (I)) nous averts d~duit les propri~t4s suivantes des ensembles ferm~s: 1~ L'ensemble K est fermi. 2~ Le produit d'un ensemble quelconque d'ensembles ferm~s est fermi. Soit maintenant K un ensemble fondamental donn~e quelconque et supposons seulement que parmi les sons-ensembles de K on a convenu d'appeler cortains ]erm~s, cette convention ~tant d'ailleurs absolument quelconque, assujettie settlement & satisfaire aus conditions 1o. et 2~ Je dis que l'~tude de telles c l a s s e s - appetons tes classes ( F ) - es~ 6quivalenge l'~tude des classes, o~ sont d6finis les ensembles d6riv6s, satisfaisants la condition de monotonie. Pour le d~montrer il suffira ~videmment de prouver que, une classe (iv) ~tant donn~e, on peut toujours d~finir (pour les sons-ensembles de cette classe) les ensembles d6riv~s de sorte qu'ils satisfassent &la condition de monotonie et que les ensembles ferm~s coincident avec les ensembles qui contiennent ses ensembles d~riv4s. Soit done K une classe (~') donn6e. E ~tant un ensemble donn~ quelconque d'~l~ments de la classe K, appelons ensemble d6riv6 E ' de E |'ensemble de tous les $1~ments l0 de K qui satisfont s la condition suivante: (21)

Tout ensemble/erm~ contenan~ E - - ( p ) , contient p.

I1 en r&ulte tout de suite que tes ensembles d6riv& ainsi d ~ A s satisfont s la condition de monotonie. I1 nous reste done ~ demonSrer que pour qu~un ensemble soit fermi, fl faut et il s u ~ t qu'il contienne son ensemble d6riv& Soit donc E un ensemble fexm6 (clans co sens qu'il satisfait ~ux conditions 1% et 2~ et soit p u n ~16ment de son ensemble d4riv6 E'. On a done (21). L'ensemble E ~tant fexm6, it r6sulr en parficulier, de (21), que E contient T- Donc, E contient tout 616ment p de E', et parsui~e " t E ~ E'. l~ous avons done d~montr6 que tout ensemble lerm~9 r son ensemble d4riv6. Or, soit E un ensemble ~ K, gel qu~ E ~ E'. D ' ~ 1~ il ensembles ferm~s contenant E: designons par .~' lo prodai~ do

336

W. Sierpi5skl.

les ensembles ferm4s c K qui contiennent E; d'apr6s 2~ E sera un ensemble ferm6. Je dis que E = E. En effet, nous avons E = E ; s'il n'&ait pes E - - E, il existerait donc un 616ment p des E n'appartenant pas ~ E. On aurait donc

E--(p)=E

(22) et

pEE.

(23)

Soit ~5 un ensemble ferm6 quelconque, tel que qs= [E--(p)]. D'apr~s (22) nous avons donc ~ = E, donc, d'apr~s la d6finition de ~', 9 = E et, d'apr~s (23): p 6 r L'616ment p satisfait done ~ la condition (21), d'ofi r~sulte (d'apr~s la d6finition adopt6e des ensembles d&iv&) que p 6 E ' , ce qui est impossible, puisque E= E' et p non 6 E. Nous avons doric E = E, ce qui prouve que l'ensemble E est ferm& Nous avons ainsi d6montr6 que tout ensemble contenant son ensemble d6riv~ est ferm6. 0bservons encore que si l'on voulait regarder comme notion primitive celle de fermetureS), alors, pour obtenir des classes dont l'&ude est ~quivalente s cetle des classes ( F ) , il faudrait assujettiz la fermeture E de l'ensemble E aux conditions suivantes: 1o. A tout ensemble E d'616ments de la classe K consid6r6e correspond un ensemble E ~ K, off E = E . 2~. Si B i c E c K ,

on a E 1 c E .

3 ~ Si E i = E , off E = K , on a E l = E ~ . Pour obtenir une classe (F) 6quivalente, fl sufllrait d'appeler ferm& les ensembles E c K , pour lesquels E = E . On prouverait alors sans peine que le produit de tousles ensembles ferm& c K contenants E est E. 9. Dans le w 7 nous avons dfmontr6 plusieurs th6orgmes sur les ensembles d'61fments d'une classe K off sont d6finis les ensembles dfiriv& satisfaisant ~ la condition (I). Pour d6duire plusieurs autres th~orgmes, il faadra ajouter s la condition (I) encore d'autres conditions, p.e. les deux suivantes 9 (II)

Si E, c K el E~c K, on a (Ex + E~)'c E;--~ E.(. 9)

(III)

Si E est un ensemble compos~ d?un seul dl4ment de let elasse K, l'ensemble E' est vide.

s) M. C. Kuratowski considdrait la fermeture comme notion pri'mitive clans san m6moire ,Sur l'opdration A d'An~ysis Situs", Fundamenta Mathematicae 8 (1922), p. 182--199. 9) Les conditions ( I ) et (H) prises ensemble sont 6videmment 6quivalentes ~ I~ suivanto: Si E, ci~- et ~ c K , on a (Ej-PE~)'=~'+~'. -

D~riv~e e~ ensembles abstraits.

337

Les conditions (I), (II) et (III) sont 6quivalentes aux trois conditions que M. F. Riesz a impos6,s aux 616ments d'aecumulation dans une communication faite ea 1908 au Congr&s de Rome1~ Des conditions (I), ( I I ) e t ( I I I ) r~sutte sans peine que t'ensemble d6riv6 d'un ensemble fini ou vide esg toujours vide, et qu'on ne change pas l'ensemble d~riv~ d'un ensemble E, en retranchant de E un nombre fini d'6t6ments." On d6montre aussi sans peine qu'une somme d'un nombre fini d'ensembtes ferm6s est ferm6. On diG, d'apr~s M. Fr6chet, qu'un ensemble E c K est compact, si tout sous-ensemble infini de E a un ensemble d6riv~ non vide. On d~duit alors de (I), ( I I ) et ( I I I ) Ie th6or~me suivant de Cantor" Si / g l = E . ~ = E ~ . . . est une saite infinie descendante d'ensembles non vides, ferm6s et compacts, le produit de ces ensembles est non vide. On appelle ouvert tout ensemble dont le compl6mentaire est ferm6. De (I), (II) et ( I I I ) r6sulte le th6or~me suivant de Bore1: Si E est un ensemble ferm6 et compact et si Q1, Q~, Q a , . - . est une suite infinie d'ensembles ouverts, tels que E c Q1 + Q~ + Q8 - ~ - . -, il existe un nombre fini n, teI que E = Qx + Q~ + . . . -[- Q,. Pour obtenir d'autres th6or~mes encore, on pourrait adopter encore la condition suivante:

(IV)

Si E = K,

on a E ' = (E')'

(en d'au~res roots: tout ensemble d~riv~ es~ fermi). On pourrai~ d~montrer que l'~tude des classes off sont d$fiuis les ensembles d~riv~s satisfaisant aux conditions (I) s (IV) est~ Squivalente l'~tude des classes (H) de M. Ft~chetn). lo) F. Riesz, Stetigkeit und ab$tralcte Mengenlehre. ht~i deI IV. Congresso intern. dei Matematici, VoI. II, Roma 1909, p. 19. 11) Of. M. Fr~het, E,squisse d'une th&rie des ensembles abst~aits. Sir Asutosh Mookerjee's Commemoration volumos, II, C~lcu~ta 19~-2, p. 367. (Eingegaugen am 27. 1. 1926.)