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LA TEORIA DEI CIRCUITI,ELETTRICI E LE EQUAZIONI DI MAXWELL. Memoria di D'a r i o 13r a f I i (Bologna).

Adunanza del 9 aprile r939-xvti.

Introduzione. La

teoria dei circuiti elettrici, di cosi grande

importanza nell'Elettrotecnica e

nella Radiotecnica, si svolge in base ad alcune ipotesi di cui la pifi importante & queila che si conc'reta nella cosl detta.legge di OHM generalizzata. Nel caso di un circuito chiuso, senza diramazioni , e lontano da altri circuiti, questa legge viene espressa trascurando i'effetto pellicolare ' ) mediante la formula: (I)

ri =

e --

ai

Q

dt

C'

dove, al solito, i ~ l'intensitk di corrente nel circuito, e la forza elettromotrice impressa, r e ~ la resistenza ohmica e l'induttanza, C la capacitk del condensatore 2) eventualmente inserito nel circuito, Q la carica sulla sua armatura positiva a). Nel caso di un circuito magneticamente influenzato da altri, o di un tronco di circuito, alia ( I ) si sostituiscono formule ben note, che del resto avremo occasione di scrivere pifi innanzi. Ora, nella redazione di un Capitolo del Trattato sulla Teoria Matematica dell'Elettricit~t e Magnetismo che il compianto prof. BURGA:rTI ed io stavamo compilando

x) Q.ui e nel seguito chiamiamo per brevi~t cceffetto pellicolare >~ il complesso dei fatti dipendenti da non uniforme ripartizione della corrente nella sezione trasversale dei conduttori. u) Per semplicit~t di esposizione, noi supporremo che nel circuito sia inserito un solo condensatore. L'estensione dei nostri risultati al caso di pi~ r ~ assai facile. a) Per armatura positiva del condensatore intendiamo, al solito, la prima armatura the si incontra perr il circuito nel suo verso positivo a partire da un punto esterno al condensatore. R=nd. Cir~. Mat=re. Palermo, t. LXII (1938-xg19-xvtO.-- Stampato il 7 agosto x939-xvzz.

32

.~50

DARIO

GRAFFI.

(e che, se le mie forze lo consentiranno, spero poter terminare), mi si ~ affacciata la seguente questione: dedurre la (I) dalle equazioni di MAXWELL, che, come ~ noto, reggono tutto l'Elettromagnetismo. Ed ho creduto opportuno studiare tale questione perch~ essa non mi sembra svoha in inodo esauriente in nessuno dei trattati che mi ~ stato possibile consuhare. Mentre la mia ricerca era in corso, mi fu segnalato che gi~ il CARsoN 4) 2veva fatto studi sullo stesso argomento. Per6 il mio metodo differiva sensibilmente da quello dell'illustre Autore ora citato, in quanto che io seguivo una via energetica, mentre il CARSO~ procedeva per una via che si potrebbe chiamare circuitale. Inoltre io avevo preso in considerazione anche i corpi ferromagnetici- trascurando per6 l'is t e r e s i - cui invece il Cxl~SOl~ appena accenna; ed infine la via da me seguita mi aveva consentito una trattazione organica, forse nuova, della teoria dei circuiti, applicabile anche quando non sia lecito trascurare l'effetto pellicolare. Per queste ragioni ho creduto opportuno completare le mie ricerche e raccoglierle nella presente Memoria, dove, ohre alla trattazione di nuovi argomenti, il Lettore potr~t vedere approfondite parecchie questioni sorvolate dal CARsos. La deduzione della ( I ) dalle equazioni di MAXWELL non ha importanza sohanto per l'unit~, della Scienza e per Fapprezzamento delle approssirnazioni sotto le. quali valida la legge da essa espressa; ma anche e sopratutko perch~ il processo stesso di deduzione consente di chiarire opportunamente alcune nozioni, come ad es. quelle di induttanza propria e mutua di circuiti aperti, resistenza in aha frequenza ecc., e di precisare il significato col quale esse intervengono nelle relazioni comunemente usate, il che nei trattati viene lasciato spesso in ombra s). A questo punto appare opportuna una osservazione. Nel caso di un solo circuito, si potrebbe obbiettare c h e l a (I) non ~ che la traduzione pura e semplice della seconda equazione di MAXWF.LL e della ordinaria legge di OHm. Ci6 sarebbe esatto se i circuiti fossero chiusi e di sezione infinitesima. Ma, come ~ noto, si debbono talvolta considerare circuiti non chiusi (porzioni di circuiti) e generalmente poi non si, pu6 ammettere, neppure approssimativamente, the la sezione dei circuiti sia infinitesima; da una tale ammissione invero conseguirebbe che, ritenendosi finita l'intensitk della corrente, il campo magnetico e tutte le grandezze che da esso dipendono - - ad es. Find u t t a n z a - non risuherebbero finite. Ci6 posto, riassumiamo brevemente questo lavoro. Cominceremo "col ricordare e

4) Electromagnetic Theory and the fondations of electric Circuits Theory (Bell System Technical Journal, x927), pag. I. s) Tanto per citare un problema spesso sorvolato dai trattatisti, osserveremo che le leggi per i circuiti a correnti ahernate vengono dedotte dalla equazlone (I), dimenticando che essa ~ valida soltanto quando si trascuri Ueffetto pellicolare.

LA TEoRIA DEi CIRCUITI ELETTRICi E LE EQUAZION! DI MAXWELL.

~I

precisare alcune nozioni geometriche, quali il concerto di filo e di condensatore, e con lo stabilire alcune ipotesi fondamentali. Passeremo poi a richiamare le espressioni del calore di JouLE nonch~ dell'energia magnetica ed elettrica, trattand.o anche i corpi ferromagnetici, per i quali ritroveremo ed estenderemo alcuni noti teoremi. Cosl introdurremo in modo sicuro i concerti di resistenza, di induttanza propria e mutua, di capacitor, e stabiliremo sotto quali condizioni sono valide le formole comunemente usate per l'energia; anche il concerto di , forza elettromotrice impressa ~ ricever~t opportune precisazioni. Dopo ci6 dedurremo dalle equazioni di MAXWELL la legge di OH~ generalizzata per i circuiti chiusi ed aperti, sotto l'ipotesi c h e l a corrente sia distribuita in modo uniforme nelle loro sezioni, Per i circuiti aperti, oltre a precisare le nozioni suindicate, studieremo anche le loro proprietfi, segnalando, specie per il caso di corpi ferromagnetici, alcuni teoremi forse nuovi. Poi tratteremo il caso in cui l'effetto pellicolare non sia trascurabile lasciando da parte i corpi ferromagnetici, e limitandoci al caso, in 'pratica importantissimo, deUe correnti periodiche, pervenendo a stabilire le equazioni fondamentali dei relativi circuiti.

9 A l c u n e definizioni e p r i m e ipotesi. I circuiti elettrici dell'Elettrotecnica e della Radiotecnica Sono, molto spesso, costituiti da conduttori filiformi, intrammezzati eventualmente da qualche condensatore. Un filo pu6 definirsi come quella figura geometrica ottenuta da un cilindro di altezza grande rispetto alle dimensioni l a t e r a l i - quando il suo asse si disponga secondo una generica curva c, avente raggio di curvatura grande rispetto alle dimensioni della sezione 6). Pi0, generalmente si pu6 definire filo una figura che si ottiene deformando nel modo anzidetto un , cilindroide ~ cio~ un cilindro le cui sezioni siano state alterate, ma in guisa tale che clue sezioni sensibilmente diverse si tro~vino a distanza grande rispetto alle loro dimensioni lineari. La curva c secondo cui si dispone l'asse del cilindro o del cilindroide verr~, chiamata asse del filo, le sezioni con piani normali all'asse si chiameranno sezioni normali del filo. Si abbia un filo percorso da corrente inserito in un circuito semplice (cio~ senza diramazioni) o fra due nodi di un circuito a rete, ed eventualmente inframmezzato da condensatori. Noi supporremo che l'intensitk della corrente (di conduzione)sia ad ogni istante sensibilmente la stessa in ogni sezione (normale o no) del "filo, o meglio tra6) O uesta definizione (con una restrizione) ~ dovuta in sostanza ad A. SIGNORINI, Resisten~a effettiva e resistenza ohmica (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie V~ vol. XXIV, I ~ semestre I915, pp. 577-584).

DARIO

:~5~

GRAF~I.

scureremo le eventuali variazioni che l'intensitl stessa presentasse lungo iI filo. Questa ipotesi ~ essenziale, altrimeuti la legge d~ OHS~ generalizzata, che noi vogliamo stabilire, in quanto contempla u n solo valore di corrente, non avrebbe senso. Giova per6 osservare the, tale ip0tesi non essendo esattamente verificata si avr~, necessariamente una variazione nel tempo delle cariche elettriche esistenti alla superficie del filo. Si tratter.~, ~ vero, di variazioni trascurabili rispetto alia carica che durante queste variazioni fluisce attraverso il circuito; per6 potranno non essere trascurabili le fluttuazioni del campo elettrico generato dalle cariche in discorso. Si sa infatti che anche una piccola carica elettrica (cio~ una carica di valore irrilevante rispetto a quelle con le quali spesso si ha a c h e fare nella pratica) pu6 dar luogo ad un campo elettrico relativamente notevole 7). Abbiamo creduto opportuno chiarire questo punto perch~ il trascurarlo farebbe perdere il senso fisico ad alcune deUe equazioni che in seguito avremo occasione di scrivere (precisamente quelle che contengono' il potenziale scalare). Abbiamo accennato come nei circuiti della pratica si trovi spesso inserito un condensatore. Pertanto noi ci troveremo a dover parlare di c~regione compresa fra le armature di un condensatore ~. A rigore, una tale nozione ha significato preciso soltanto quando una delle armature del condensatore sia completamente interna all'altra, come ad es. accade in un condensatore sferico. All'infuori di questo caso, ad una soddisfacente definizione della nozione stessa, si pub pervenire nel modo seguente: il vettore spostamento D , in ogni dielettrico senza cariche, come nei casi comuni, ~ solenoidale; a causa di tale solenoidaliti, le linee d i / 9 che fanno capo ad una delle armature del condensatore, in parte raggiungeranno l'altra armatura, in parte si disperderanno all'infinito. Orbene, chiameremo regione compresa fra le armature del condensatore io spazio occupato dalle linee del primo tipo, i cui estremi ricopriranno sulle rispettive armature due aree limitate da due certe linee chiuse S, ed S, s). La regione compresa fra le armature del condensatore sari dunque quella limitata dalle armature stesse e dal tubo (del yettore D ) che passa per S, ed S~. Poich~ in generale le armature sono molto vicine, ~ intuitivo che S, ed S 2 coincideranno sensibilmente con gli

7) Per es. una caries di elettrico di intensit~

Io - s

coulomb d~, nel vuoto, alla distanza di un centimetro, un campo F=

x~ 4" ~ ~o IO--;~

cio~, essendo (sistema

I0--9 GIORGI) ~o ,-,o 3 6 = : G =

r

9 voh/mm

un campo quale pu6 aversi fro le armature, distanti un ram. di un condensatore carlcato a 9 volt. s) Tall S, ed S~ potranno, in qualche caso esser9 costituite da pi~ di una lines chiusa.

LA T#..ORIA DI~I CIRCUlTI ELETTRICI ELE 1~O_UAZION'ID• MAle.WELL.

"~j~

orli delle armature, e le linee di D appoggiantisi ad S, ed S: saranno praticamente normali alle armature stesse o). Ci6 induce ad ammettere poi che, se D varia col tempo, la regione interna al condensatore rimanga sensibilmente-invariata sicch~ il o3D vettore - ~ - si potrA supporre parallelo a D , al limite laterale delia regione e perci6 tangente alla superficie limite stessa. 1~ ovvio allora che l'intensitA della corrente di spostamento attraverso ogni sezione della regione predetta' sara costante. Inoltre ammetteremo, come ~ intuitivo pet fatto che S, ed S~ sono molto prossime agli orli delle armature, che detta intensit.4 sia uguale a quella della corrente di conduzione che attraversa il circuito in cui ~ inserito il condensatore. Queste ammissioni, per quanto intuitive, sono, come si ~ detto, spesso sottintese nelle trattazioni ordinarie.

2.

Considerazioni sulle e q u a z i o n i di M a x w e l l . Per il nostro studio ~ necessario apportare alcune Semplificazioni alle equazioni di MAXWELL.

Cominceremo col trascurare il campo magnetico generato dalle correnti di spostamento, escluse quelle delle regioni comprese fra le armature dei condensatori. Con ci6, nella prima equazione di MAXWELL: (2)

rot .//- - - e,

il vettore e si identifica, nei conduttori, colla densitA di corrente di conduzione u, mentre, nella regione compresa fra le armature dei condensatori, esso coinciderA colla 8D densitA di corrente di spostamento - ~ - ed in ogni altra parte dello spazio sara nullo. Quindi il vettore e si ammetter~i solenoidale in tutto lo spazio v in cui & diverso da zero (cio~ nella regione~occupata dai vari circuiti), e con componente normale nulla alla superficie limite dello spazio stesso (cio~ alia superficie esterna dei circuiti) il che conseguenza delle equazioni generali di MAXWELL e dell'aver supposto che l'intensit't di corrrente sia la stessa in ogni sezione.

9) ]~ quanto si suppone comunemente nel caso dei condensatori piani o cilindrici per i quali in generale si trascura l'effetto degli orli.

2#4

flAl~to ~RAF~. t. Indichiamo con A il potenziale vettore dovuto alle correnti e, cio6 poniamo

(3)

I [ ' e dv ~i = T~ L T ,

dove r 6, al solito, la distanza tra d v e ii punto in cui si calcola A. t~ noto c h e s e il mezzo non 6 magnetico, il campo magnetico ~ vale rot A. Se invece il mezzo 6 magnetico, allora si ammette che .//-sia decomponibile in una parte / I o - - rot A equivalente al campo generato dalle cori-enti, ed un'altra / t - - - - g r a d V dovuta.alla magnetizzazione dei corpi magnetici, caratterizzata alla sua volta da una certa distribuzione dell'intensitfi di magnetizzazione or. II calcolo di Or e quindi d i / / ed H - s i fa, almeno i n via teorica, sfruttando la solenoidalidl del vettore induzione B - - ~Xo//nt- d , una opportuna relazione fra B e d / f e d alcune ovvie condizioni di convergenza all'infinito io).. Ci6 porta a scrivere anche le seguenti formole " ) : (4)

(s)

B--'rotG

G=~oA-~rot f

4~rdv.

L'ukimo integrale l'abbiamo esteso a tutto io spazio % , ma 6 ovvio che esso pu6 anche supporsi esteso alla sola regione (generalmente finita) in cui Or non 6 nulla. Dobbiamo ancora osservare che la (2) 6, a stretto rigore, valida soltanto per corpi in quiete. Per6, specie in Elettrotecnica, non si pu6 prescindere dai corpi in moto perch6 in questo caso si dovrebbero escludere le macchine elettriche. Per una trattazione completa occorrerebbe dunque ricorrere all'elettrodinamica dei corpi in moto. Per evitare eccessive complicazioni, ci converr~, ritenere soddisfatte alcune ipotesi semplificative, e precisamente quelle che, per i corpi in moto detle ordinarie questioni di Elettrotecnica e di Radiotecnica, conducono a buoni risukati. Noi riterremo dunque

lo) Queste condizioni determinano univocamente /-/. I1 teorema pih generale in proposito, che tlene conto anche dei fenomeni di isteresi, si tr0va nel mio lavoro: Sopra una equa~ione.funiionale e Ia sua applica~ione ad un probLema di fisica ereditaria. Annali di matematica I93I. ~ ovvio che in questo studio trascuriamo le correnti di FOUEAULT. zz) La dimostrazione di queste formole si ottiene partendo da

ed osservando che gli uhimi due termini del secondo membro valgono il rot del secondo termine dell'espressione (5). [CAr. JEANS, Electricity and magnetism (I933) , pag. 393"5941. Da notarsi-che nel libro ora citato si usa il sistema di unit~ e. m., l'intensit~ di magnetizzazione viene indicata con ~,., e si suppone il mezzo magnetico ridotto ad un elemento in cui dr ha la direzione dell'asse ~. Ma l'e~tensione al nostro caso ~ immediata,

LA TEORIA DEI C I R C U I T I ELETTRICI E LE EQUAZION'I DI MAXWELL.

2~

c h e l a (2), e la (5) che da essa discende, valgano anche quando i corpi, cui si riferiscono le grandezze in esse considerate, sono in moto, ed inoltre supporremo poi che le costanti caratteristiehe del mezzo (permittivit~i, conduttivit~., permeabilit.4) siano indipendenti dal movimento. Tall ipotesi non sono del tutto esatte (si rifletta invero che l'ammetterle conduce a trascurare varii fenomeni, ad es. le correnti di convezione); comunque, ripetiamolo, esse, per il nostro caso, possono essere ammesse, e del resto sono implicitamente accettate helle ordinarie trattazioni. 1~ infine da notare c h e l a (2) x2) ~ indipendente dal sistema a cui si riferisce il moto, purch6 per le correnti di spostamento si convenga che, potendosi - - come spesso e~D accade --considerare ogni condensatore come un corpo rigido, la ~ sia calcolata da un osservatore solidale con esso. Dei resto ~ da osservarsi che, qtlando si parla di elettrodinamica dei corpi in quiete, per cui vale la (2), tale quiete viene intesa rispetto ad un osservatore solidale con la terra, in quanto c h e l a (2) ~ stata stabilita mediante esperienze relative ad un tale riferimento. Percib, perch& i condensatori sono" in generale fermi rispetto alia terra, la nostra convenzione appare ben giustificata. Cib posto, osserviamo che le variazioni di G nel tempo possono verificarsi sia perch~ varia v - e di conseguenza J - - s i a perch6 si muovono i corpi sede dei fenomeni che generano il campo. Avremo allora per ogni punto P dello spazio e ad ogni istante t: (6)

,3t =

FF

m

+

F-/-

c

'

dove la prima derivata a secondo membro ~ fatta mantenendo le e costanti ed uguali ai valori all'istante t, mettendo cio~ in conto le sole variazioni dovute ai moti dei corpi; mentre la seconda ~ calcolata mantenendo fissi i corpi nella loro posizione all'istante.t, e mettendo quindi in c o n t o soltanto le variazioni nel tempo d i e . I~ ovvio che, variando il sistema di riferimento, la prima derivata muta, mentre altrettanto non avviehe nella seconda. Passiamo ora aila seconda equazione di MAXWELL. Come ha dimostrato questo illustre scienziato x3), l'intensit~. _F' del campo elettrico ~ data da (7)

.F' = .B'~ -~- v /~ B

,2) Si intende questa equazione assor

~G c) t

grad %

con le relazioni

dove ~ ~ sono la r e la permittivitfi, .F' il r I3) Traitd de dlectricitd el magnetisme, par. 398.

elettrico.

256

GRAFFI.

DARIO

dove F~ ~ il campo dovuto a pile, forze termoelettriche, ecc., v la velocidt del puuto in cui si calcola F xr B l'induzione magnetica, ? il potenziale scalare. L a v e la variano mutando il sistema di riferimento; perb, come ha mostrato M•xm

WELL xs),. cambiando sistema, la (7) non cessa di essere valida purch~ si alteri convenientemente la ?. 0G Ora, se nella (7) sostituiamo a - - ~ il suo valore (6) e poniamo

(8)

, + v A B--

-fly,

abbiamo

(9)

F -- F.

-~

0 - - gr~d ?,

da cui

(io)

rot ( F - / ~ ; . )

,4) S'intende qui tendosi che ogni punto i s ) L. c. par. 6oo. Siano (O) e (O1) i due

= - - rot

r

-~-

o.

parlare della velocit~ delia materia che si trova nel punto considerato, ammetdello spazio sia in generale occupato da materia, sia pure molto rarefatta. I1 risuhato di MAXWELL si pub ritrovare per via vettoriale del seguente modo. osservatori, v e v, la vetocit~ di un punto generico P rispetto ad ((9) e a d (O[).

Se v s ~ la velocit~t di P rispetto ad (O) qualora esso fosse rigidamente connesso ad (O1), si avrebbe

v = v , +v;-:---v, + u-+ ~ A ( P - - o,), dove u indica la velocit~t del punto O, connesso coli'osservatore (0,) e to il vettore che definisce la rotazione [ben inteso rispetto ad (0)] di un sistema rigidamente connesso ad (0,). Allora, indicando con ,~,,/{~-~-G~ )e

(-~)

rispettivamente la derivata di G calcolata in P d a t

(0) e da (0~), si avdt:

aG

~t =

(~G' t

~G

~t ] , - - - g T v ' + ~ - A

G,

quindi

v /~ B - - -~-f = -- rot G /~ v -[- -~-ff .v, -- to /~ G - --

-~-

t--rotGAv,-]----~ffv,--o~A

~v~ ed osservando the h ~ = t o A , vA B

-

-

K

G.-~v, A B - -

~--o~A,

=--rotGAv~--

,"["K-~vs--ta

A G,

si ha

~~G- - F = v i A B - - ([ -~~ GT\ .] + K ~- G ~ - v , + K - ~~,,, p-G=v,

il the prova il nostro asserto.

-~-

AB-- (-~t) +grad(v/XG)

LA T E O R I A DEI CIRCUIT][ E L E T T R I E I E LE EQUAZION'I DI MAXWELL.

257

Ora, essendo

la precedente si pub scrivere:

(IO

rot (/;' - - _F'~) - -

0B sottintendendo l'indice c a l i a - ~ - ,

OB Ot '

cio~ ritenendo che la derivata di B

a secondo

membro di ( I I ) sia calcolata supponendo variabile solo v. 1~ questa la ordinaria forma della seconda equazione di MAXWELL La /~/ si chiama , forza elettrica impressa >). Dalla sua definizione ( 9 ) s i vede che essa dipende dal sistema di riferimento, ma, come abbiamo osservato, i diversi valori che le spettano al variare di quello differiscono soltanto per un vettore derivante da un potenziale, fatto questo che verrk spesso invocato i'n seguito. In particolare, poich~ rot grad ~ identicamente hullo, si ha che la (I I) vale, con gli stessi valori di /~ e B , per qualsivoglia sistema di riferimento. Comunque, come vedremo, l'ambiguitk da cui affetta //'~ non porta ad alcun inconveniente (e del resto, in molti casi, il sistema di riferimento coincide con il terrestre). ft. utile osservare che dalla (7) risulta subito, a causa della continuiui di ,% 'che la componente tangenz.iale di / ~ - - , 1~i 6 continua alla superficie di separazione fra due mezzi diversi. Mtrettanto pub dirsi del campo magnetico / / , perch& / / o ed / / - derivano da potenziali (vettore, rispettivamente scalare). Quindi al vettore ( / / ' - - / ~ . ) / ~ .H" si pub applicare in qualunque regione dello gpazio if teorema della divergenza.

53 Espressione

del l a v o r o delle forze e l e t t r i c h e i m p r e s s e

e del c a l o r e di JOULi~.

Indichiamo con v il volume di una certa regione dello spazio. Ii lavoro elementare 8 L in esso compiuto dalle forze impresse nel tempuscolo 8t ~, per definizione, /1

(12) Ovviamente, siccome ~ v : ~ o sokanto nell'interno dei circuiti, l'integrale sopra scritto potrk estendersi alle sole parti di v occupate dai circuiti stessi. Per fissare le idee, supporremo che in v sia contenuto un solo circuito o un solo tronco di circuito, ma ~ ovvia la estensione al caso generale. Re~d. Circ. Matcm. Palermo, t. LXII (1938-t939-xvx0.--Stampato il 7 agosto 1939-x'cm

3.~

258

DARIO

GRAFFI.

Per procedere ad una opportuna trasformazione della (12) conviene introdurre una ipotesi semplificativa, che appare abbastanza conforme all'intuizione: supporremo cio~ che le linee di corrente, almeno nella parle conduttrice ~6) del circuito siano sensibilmente ortogonali alle sezioni normali del circuito stesso. Dividiamo una sezione normale generica X in elementi dX e, fissata l'attenzione sul filetto di corrente (tubo del vettore c) che passa per l'elemento d X, calcoliamo l'integrale di / ~ X o lungo di esso ,7). Essendo dX la sezione del filetto fatta fiell'elemento generico ds del suo asse s, potremo scrivere d X . d s in luogo di dr; poi, se con dP indichiamo il vettore infinitesimo tangente ad s, di modulo ds e diretto nel senso positivo del circuito, avremo (13)

eds - - +____cdP I

dove sar~ da prendersi il segn 0 superiore o l'inferiore secondo c h e e ha il verso di d P o l'opposto ts). Quindi it nostro integrale vale ~ i +-- ~ X d P . c d X che, essendo cdx costante lungo il filetto, potremo anche scrivere c d X f +

~-'i X dP. Sommando

ItS

tutti gli analoghi integrali relativi agli elementi d X della sezione e moltiplicando poi per ~t, si ottiene ~L. Ora ~ essenziale osservare che 1'/'/~ i X d P ~ costante lurJgo tutti i filetti del pezzo del circuito considerato '~). Questa ipotesi, che viene comunemente ammessa, si pu6 ritenere giustificata osservando che, per le forze di origine chimica, essa ~ largamente confermata dalla esperienza, e, per quelle dovute al moto, altrettanto pu6 dirsi per es. nel caso delle macchine elettriche (generatori e motori)in

x6) Non approfondiamo Hpotesi nella parle dielettrica del circuito perch~ in essa, come si vedr~t, si pu6 supporre .F'i = o. Del resto anche se ci6 non fosse vero, it nostro procedimento ~ sempre valido perch6 si escludono anche nel dielettrico correnfi (di spostamento) vorticose il che 6 intuitivo. "x T) Si noti c h e l a nostra ipotesi conduce a ritenere che Hnsieme dei tubi di flusso passanti per i vari elementi d X di una sezione generica riempiano tutta la regione di v in cui e non 6 nulla. Infatti, essendo e sensibilmente solenoidale, non vi saranno tubi di flusso terminanti alia superficie del conduttore; o, pit~ esattamente, se questi esistono, potranno trascurarsi. Poi l'ipotesi assunta nel testo porta ad escludere l'esistenza di tubi di flusso t h e si chiudano senza incontrare tutte le sezioni normali del circuito, (il che equlvale ad escludere l'esistenza di correnti vorticose). Perci6 tutti i tubi di flusso debbono intersecare ogni sezione X, o in ahre parole, l'insieme dei tubi che tagliano X ricopre tutta la regione di v in cui 6 c 5;f o, c.D.D. xS) ]~ noto come in un circuito convenga stabillre a priori un senso positivo, cosicch6, se le cariche positive vanno di preferenza secondo esso, la corrente 6 positiva, se nel verso opposto, negativa. O uindi, se o ha il verso concorde col verso positivo del circuito, Hntensit~ di corrente nel filetto positiva, nel caso contrario negativa, conformemente a (I3). xg) Noi supporremo che il contorno di v tagli il tronco di conduttore secondo una sua sezione normale. Q.uesta supposizione, come si vedr~ in seguito, ~ per noi sempre lecita.

LA TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI E LE EQ.UAZIONI DI MAXWELL.

2~9

quanto la G, la B e l a v possono supporsi distribuite uniformemente in ogni sezione dei conduttori indotti. Indicando allora con e questo integrale, che potremo estendere anche all'asse del circuito e chiamare , forza elettromotrice impressa ~) nel tronco di circuito considerato, avremo:

~L -- e~t ~+__cdX, o, poich~ l'integrale che figura a secondo membro non ~ altro che la intensit~ di corrente i: (I4) ~L = eiSt. Se si tratta di un intero circuito chiuso, la e cosi definita risulta indipendente dal sistema di riferimento rispetto a cui ~ calcolata F~, perch6 cambiando il sistema, a questo ultimo vettore si aggiunge un termine la cui circuitazione, estesa all'asse dell'intero circuito, ~ nulla ~o). Pifl generalmente, se entr0 v sono contenuti n circuiti chiusi, si avr~: (I5)

8L =

~-re, i~t,

dove er e i r sono rispettivamente le f. e. m. e le correnti del circuito r m~ Come ~ noto, si definisce il calore di JouLE sviluppato nel tempo 8t nel volume v mediante la espressione

(~6)

~Q= ~tf F x u.dv,

dove u ~ la densit~i di corrente di conduzione, legata al campo elettrico dalla relazione (I7)

u--*F,

in conseguenza della quale la precedente pu6 scriversi

(I6')

U2

~Q=~t~--~-dv.

I1 calcolo dell'integrale a secondo membro non pu6 farsi finch~ non si conosce la distribuzione del vettore u . Qui e nei cinque paragrafi seguenti porremo l'ipotesi

20) Del resto nel caso di un circulto chiuso si dimostra facilmente the ~L dato dalla ( I 2 ) n o n dipende dal sistema di riferimento. Ci6 perch~ cambiando sistema .El aumenta di un termine che deriva da un potenziale, termine che per la solenoidalifft eli e porta un r nullo all'espressione di EL.

~60

bARIO

~ R A F F][,

c h e l a densit:l di corrente sia uniforme in tendo variare da sezione a sezione, salvo il caso generale ~). Ammesso dunque che u sia costante i valore sar',t ovviamente --~-. Per calcolare

ogni sezione normale X del filo, pur poesaminare successivamente (paragrafi 9, IO) per i vari punti di ogni sezione 2~, il suo il nostro integrale~ pensiamo il filo conte-

nuto in v suddiviso in elementi cilindrici aventi per altezza l'elemento d s dell'asse e per base la sezione normale generica :~, il cui volume ~ misurato da V.ds; l'elemento i2 dell'ifitegrale vale allora ~,---~~dsdt e pertanto la ( I 6 ' ) si riduce a

8 Q --- ri~t~ avendo posto :

(I8)

r

fds

dove l'integrazione ~ estesa a tutto il conduttore contenuto in v. La r data dalla (18) corrisponde precisamente alla resistenza ohmica del circuito considerato, quale viene definita elementarmente.

~4.

Espressione d e l l ' e n e r g i a m a g n e t i c a . Come ~ noto, la variazione 8 ~ del tempuscolo 8t dell'energia magnetica ~ contenuta nel volume v si definisce mediante l'espressione:

(i9)

Bdv , 8 ~ = 8 t f~ i~FX O -~T

essendo Hutegrale esteso all'intero spazio (infinito) v.., che per semplicit;t di scrittura sarA, in questo paragrafo, indicato con v.

~B

L'integrale (19) converge perch,, come si deduce dalla (5), 1 t e -b-f sono, all'infinito, infinitesimi almeno del secondo ordine. Per semplicidt supporremo che nell'intero spazio esistano due soli circuiti chiusi, essendo poi owia l'estensione al caso generale.

~z) Come 6 nolo, la uniformith della densit~i di corrente in ogni sezione non pub, a rigor e, aversi se non nel caso delle correnti continue; per6 essa 6 sensibilmente verificata anche in ahri casi di notevole interesse pratir (r lentamente variabili, correnti alternate di bassa frequenza).

LA TEOR~A DEI CIRCUiTI ELETTRICI E L~ EQ.OAZIONi Dl MAXWELL.

2~I

Per studiare ~ ~ anzitutto necessario precisare la natura della materia contenuta hello spazio. Ne[ caso in cui questa sia costituita da corpi ferromagnetici, riterremo trascurabile gisteresi, cio~ supporremo che it vettore B sia funzione univoca del vettore B . Tale funzione pei corpi isotropi ~ del tipo ?(H~).tt, e pei corpi debolmente magnetici la funzione ? si riduce ad una costante F, la cosi detta permeabilit~ 22). In ogni caso all'espressione ( I 9 ) si pub dare l'aspetto:

(20)

8~;=

f~ t r X 2-~8tt.dv. dB

Ora l'ammettere l'esistenza dell'energia m a g n e t i c a - o meglio della sua densifft (r ~quale funzione dell'intensitA del campo magnetico, porta alla conseguenza che l'espressione :

d B s.tt, in quanto rappresenta la variazione 8 ~ conseguente alla variazione ~a~ del campo H , deve essere un differenziale esatto. Ma, la condizione necessaria e sufficiente a ci6

dB

che l'omografia ~

sia una dilatazione 2a). Questa proprietY, che estende ai corpi

ferromagnetici una nota propriet~i dei corpi debolmente magnetici, va tenuta presente nel seguito. Ora, analogamente a quanto si ~ fatto nel paragrafo precedente, anche qui ammetteremo le linee di corrente sensibilmente ortogonali alla sezione normale del conduttore, e la densit~i di corrente sia costante su ogni sezione, con che]a direzione del

u2) Anzi, con le locuzioni e corpi ferromagnetici)~ rispettivamente r debolmente magnetici,~ intenderemo qui e nel seguito i corpi a caratteristica di magnetizzazione non lineare, rispettivamente lineare, cio6 quelli per i quali la relazione fra B e / / " ~ del tipo . B = ~ ( H 0 . B r rispettivamente 13 = ~.//" con F- indipendente da B'. 23) Per provare ci0 si ponga:

If=

P-

O,

.B = f ( P -

0),

essendo 0 un punto fisso e P variabile. Sar~:

~

dB clB = (P -- O) X "~-~-~ P ~ K - d - F ( P - - O) X ~ P.

dB Affinch~ 8 ~ sia un differenziale esatto, il vettore K - f ~ ( P dB dB cade soltanto se ~ -= ~ tica Italiana z938 , n ~ 4).

O) deve essere un gradiente, e el6 ac-

~ di|atazione, come abbiamo provato altrove (Bollettino Unione Matema-

2~2

D AP.I 0 G R A F F I .

vettore u

i!

potrk supporsi invariabile col tempo e di modulo ~

nel primo circuito,

i, nel secondo. Si potra perci6 scrivere, rispettivamente pel primo e pel secondo x circuito, e = i=h., e - - i2h~, dove h, e h 2 sono vettori dipendenti soltanto dalla posizione e configurazione geometrica dei circuiti, e quindi indipendenti da i e i= ; e da ci6 segue che il potenziale vettore A sara una funzione lineare di i, e i . ben vero che le equazioni soprascritte valgono solo per le parti conduttive dei circuiti, ma si pub intuitivamente ammetterle valide anche per le parti dielettriche, tanto pifi che per la piccolezza dello spazio compreso fra le armature dei condensatori il contributo che la parte dielettrica apporta ad A sar~i, in generale, trascurabile. Avremo allora H o - - r o t A --" i , k + i k : , (2i)

(22)

Br

-

-

-

-

grad V,

dove k, e k 2 al pari di h, e h=, sono due vettori dipendenti soltanto dalla configurazione geometrica dei circuiti, e quindi non dipendeuti da i e i= e neppure dal. tempo se i due circuiti sono in quiete, V ~ il potenziale dovuto alla magnetizzazione della materia ~4); quindi :

(23)

i i r = B ~ + _H = i~ k, + i, k= - - grad V.

Ora, siccome alHnfinito ~ inoltre B ~ solenoidale si ha: --

e B sono infinitesimi almeno del secondo ordine ed

grad g )< - ~ - d v --- - -

div

Y

d v = o,

e pertanto (24)

J,,

o3=

J,,

Se poi si tiene presente che le ~

o'~

( ../~,

o'*

J,,

o*

)

sono qui valutate supponendo i corpi fermi,

ur Si nod c h e l a (2I) ~ conseguenza delle e ~---i, h~, e-----i2 h~, le quali equazioni possono valere anche senza invocare Hpotesi del1'uniforme distribuzione di u nella sezione normale generica del conduttore.

LA TEORIA

DEI CIRCUITI ELETTRICI

E LE EO_UAZIONI

26J

DI M A X W E L L .

le variazioni rispetto al tempo di B saranno soltanto quelle provocate da variazioni nel tempo delte c0rrenti i, e is, cio~ si avr~i:

OB Ot

O B di

O B Oi,

Oi, dt -Jr- Oi~ dt "

Pertanto alla (24) si potr~i dare l'aspetto

I air (2s)

oB Oi,

ai dt,J~s

OB Oi~

'

di lPk 2 X O B dv + . di, / k[~, +i,--~-

X _xT-.dr,

Chiameremo coeflicienti di autoinduzione (o induttanze proprie) !~ e !~ e coefficienti di mutua induzione (induttanze mutue) g2~ e ~ , , le espressioni:

~ = f~ k,

(26) ~--

OB X~i-[dv,

f

k, X bv]dv,

f

Oi. o.

"

Esse sono in generale funzioni di i e i2, salvo il caso dei corpi debolmente magnetici, in quanto che per questi, non soltanto B-o, ma anche H- e B, come 6 facile provare, OB ~B sono funzioni lineari di i e i , cosicch~ ~ e -~, e di conseguenza le B e d M, risultano indipendenti da i, e /,. E facile vedere the sussiste l'eguaglianza:

(27)

~,~ =

~%,.

OB 6 solenoidale al pari di B, imitando il ragionamento che ci

Infatti, poichh ~

ha condotto alla (24) si ha

~1~'2--dB

Ora, poich~ ~

k'--gradOV

XdH

Oi-, d r =

XdtT

Oi2

~ una dilatazione, scambiando gli indici I e 2, ii secondo mernbro

non varia, quindi segue la (27). I1 risultato ora ottenuto generalizza una notissima proprietk dei coeflicienti di

264

DARIO

GRAFFI.

mutua induzione. Esso fu gik ottenuto dal Cous fin dal I9oo ,s), per via diversa dalla nostra, pid precisamente con riferimento ad una definizione pifi approssimata del coefficiente di mutua induzi0ne, di cui diremo pifi innanzi. Osserviamo intanto che, introducendo i coefficienti E ed ~ - - ~ , , = ~ , , l'espressione di 8~: diviene

8~ = ~ i,~i, + ~ ( i Si + isis) + ~ i Si~.

(28)

A prima vista pu6 sembrare che le precedenti definizioni dei coefficienti ~ e ~X differiscano da quelle comunemente usate, ma, come vedremo ira poco, ci6 non ~. Si osservi che, per la (4), si ha

fi, , x F~TB

(29) = --

dv -----..... ff (i k, X o~-Trot G ) d v

(

div i,k, /~ -~-

dv +

rot(r k , ) X c)G F-i-dr.

Ora, il primo integrale a terzo membro ~ nullo per il teorema di GAuss, in OG quanto che, alHnfinito, i,k, A ~ ~ infinitesimo almeno del terzo ordine; quanto al secondo integrale, siccome i k, coincide col rotazionale del potenziale vettore calcolato nell'ipotesi che soltanto il primo circuito sia percorso da corrente, rot ( i k , ) ~ dovunque hullo salvo in v volume del primo circuito ore vale e. Si ha pe[tanto:

(30)

f

~n . f egg , f egg di, . f OG di~ . i,k~X -~--~-Tdv-- ! ex~-:-, av,-- I eX~-:-- -vTdv,--t- I eX--r -v:-.dv, :

at

Jr,

at

.]~,

cn , ar

d~,

eL

as

c~B Sviluppando - ~ - al primo membro di (29) come in (25) ed osservando che

di,

di

anche se i, e i sono fissati, le loro derivate -d-7 e -d-/sono, entro cerfi limiti, arbi9

trarie, si conclude che ~:

(30

~' = 7 ]

cX

~ =

e X - -o~i d r2,

e analogamente (32)

!lX ---=I f~ o X OG d

OG ~ - - f ~ e X-w-:-dv~.

as) Co~ts, Das elektromagnetisabeFelcl (Leipzig, i9oo), pag. 523.

LA T E O R I A DEI C l R C U I T I E L E T T R I C I E LE EQ.D'AZIONI DI MAXWELL.

265

Queste espressioni sf possono facilmente trasformare, con procedimento analogo a quello usato nel paragrafo precedente. Riferendoci, per fissare le idee alia prima delie ( 3 0 , dividiamo una sezione X dei circuito in elementi dX e scindiamo Hntegrale esteso a v nei suoi elementi estesi ai filetti di corrente passanti per i singoli d X. Imitando' un analogo calcolo fatto nel numero precedente si ottieD.e:

(33)

'

-

-

d, Oi,

Ora, per il teorema di STo~Es, l'integrale esteso a d s equivale alia derivata rispetto a i, dei flusso 9 di B attraverso una superficie che si appoggia ad s, e, poich~ le linee s sono molto vicine, questi flussi possono ritenersi praticamente uguali a quello attraverso i'asse del circuito ~8); con che si perviene a (34)

~i --- - ac~il r

,

conformemente alia definizione che si suol dare dell'induttanza nei caso di corpi a magnetizzazione n o n lineare. Quando non siano presenti corpi ferromagnetici, Z si riduce ad una funzione lineare di i e i 2 ed in tal caso, mediante facile passaggi che omettiamo, si vede subito che le precedenti defiuizioni di ~ e ~ coincidono con le usuali. I1 calcolo delle ~ e ~ , sia con le (31), sia con le (26)i richiederebbe, noti i e i , e perci6 A, e A~ (in quanto per le nostre convenzioni si conosce u), ia risoluzione di un probiema di distribuzione dell'induzione magnetica, in generale difficile specie nei casi di corpi ferro~agnetici. Tale problema invece non sussiste nei caso di corpi non magnetici, pel quale, come ~ facile dimostrare, le ~ ed ~ sono espresse dalle classiche formole di NFUMA~I,T ~7). Ricorderemo qui che, specie per i circuiti a forma di spirale, si conoscono formule pratiche molto semplici per il calcolo di ~ e ~E~5~. 26) Per asse del circuito si pu6 intendere l'asse del filo completato con un tratto rettilineo entro il condensatore. aT) Si osservi infatti che, nel caso considerato, G coincide con ~ o A , il quale vale , % ( A , + A 2 ) se .A, e -~/2 sono rispettivamente il potenziale vettore del primo e del secondo circuito. Ora, A , sar~ ~G .A., proporzionale ad i,, 2t t ad i2. Q uindi si avr~ -~T- = T - - . Allora, per la ( 3 0 , ~:

~,=2W

W = ~o ff A, X e d v ~ .

Ci6 posto, con lo stesso procedimento usato nella mia nota Sul calr

d~l r

di autoin-

duKione. (UElettrotecnica, :928, n ~ 2.0 si ritrovano le formole di NEU~ANN, salvo il fattore Fo dipendente dalle diverse unit~ di misura ivi usate. Per le ~ormole sulla mutua induttanza si vedr~ pi~ innanzi. Rend. Cim. Matem. Palermo, t. LXII (x938-19~9-xvtt).--Stampato iI 7 agosto I939-xvzt.

4~

34

266

DARIO

GRAFFI.

Espressione dell'energia elettrica. Analogamente a quanto si ~ fatto nel paragrafo precedente per l'energia magnetica, definiremo la variazione 81I del['energia elettrostatica mediante l'espressione:

~tl = ~tf _E'xODd -37v nella quale il volume v cui ~ estesa l'integrazione si riduce alle sole regioni comprese ira le armature dei condensatori. Per il calcolo di ~R, osserviamo innanzi tutto che, per la (9), si ha: (35)

F = .F~

OG ~t

grad %

Per la valutazione di E'~, noi possiamo scegliere un sistema di riferimento fermo rispetto ai condensatori; cib invero non costituisce una restrizione dal punto di vista pratico, in quanto the i condensatori sono quasi sempre fermi rispetto alla terra o al sistema cui si riferiscono le macchine elettriche ~S)" Ora, entro un condensatore v / k B (~G) ~ nulla ed altrettanto pub dirsi di - ~ - ,. in quanto che le pard mobili sono per lo pifi Iontane dal condensatore, e, nel caso delle macchine, il campo magneticO ad esse dovuto ~ conveniemtemente.schermato. Siccome poi entro il condensatore non vi sono in generale altre forze impresse, si pub ritenere che in tutta la regione ad essi interna sia ~ - " o. Ora, per il nostro scopo ~ essenziale osservare che in generale, almeno per frequenze non molto elevate, - 0~ -G pub ritenersi trascurabile rispetto a grad ?. N o n

~ fa-

cile 'dimostrare la cosa in tutta la sua generalitA; qui ci limiteremo a rendercene conto su un esempio. In un mezzo non magnetico si abbia un circuito costituito da un filo di sezione uniforme e da un condensatore percorso da corrente alternata sinusoidale di pUlsazione o e di intensit.~ massima I. Se .4 m ~ il valore massimo del modulo di 9

SG

A, il valore massimo del modulo di ~

sar;~ o Y.oAm. Possiamo calcolare un valore

2s) Del resto, se viene cambiato il sistema di riferimento, /vi si accresce di un termine del tipo grad ~, ma dovendo rimanere invariata F, grad ? si muter/t in grad (~?- ,$), sicch6 il valore di 8Lt non muta.

LA TEORIA DE! ~IRCUITI ELETTR]tCi E I~ l!0.UA~IOIqI 13i MAXWELL.

2~

maggiorante per A,., relativo ad un punto generico P posto entro le armature del condensatore, nel modo che segue. Condotta da P la semiretta r normale a una armatura del condensatore su cui sia fissato un verso positivo, si pensino riportati su di essa i singoli elementi ds del filo, senza akerarne le distanze da P, ed in modo che gli elementi di corrente risultino tutti positivi su r. Si costituir~, cosl uu circuito fittizio, formato da un cilindro avente per asse un certo segmento della tetra r, ma di cui alcuni elementi potranno essere ripetuti un certo numero v di volte. Indichiamo con 1 la lunghezza di quell'asse ('tale 1 cosi corrisponder~ alla massima distanza di P dai punti del circuito reale) e con n i l massimo dei numeri v. I1 potenziale vettore A' in P relativo al circuito fittizio cosl costituito avr.4 i suoi elementi (vettoriali)eguali in modulo a quelli del potenziale vettore A relativo al circuito effettivo; per6 tall elementi avranno tutti uguale direzione e verso, mentre altrettanto non avviene degli elementi di A, e pertanto il modulo di A ' ~ certo non inferiore a quello di A ~9). Allora il multiplo secondo n del potenziale newtoniano .4" relativo al cilindro di altezza I, di I sezione uguale a quella ~ a ' del ~ilo con densitk p = ~ costituir~ un valore maggiorante di A , . Ora, tale potenziale vale al massimo p ~ a ~ log 7

+

quindi si ha

l_ n Ilog

+

.

Per apprezzare il valore di grad q~, si supponga, per semplicit~i, che il condensa-

~9) A rigore, questo ragionamento sarebbe esatto soltanto se la sezione del filo fosse infinitesima; essa pertanto 'pub praticamente accettarsi quando, come d'ordinario accade, la sezione del filo d i dimensioni piccole rispetto alla lunghezza. ao) Si divida il cilindro in ~ranelli ~ coassiali, il generico dei quali avrii per base la corona circolare di raggi x ed x "1- ~x (o .~ x - / a ) e si dlvida tale anello in elementi cilindrici di altezza d~ medlante piani normali all'asse. Se Q 6 un punto generico di questo elemento, 0 l'angolo tra P Q e

2~xdxdO sen 0

l'asse, con facile calcolo si riconosce che il potenziale dell'elemento in discorso ~

3

talch~ il potenziale A" cercato vale

' = - - F 2 ~Pxdx.[02 9,o

dO

dot sen0

0 02 ~( l o g t g -~--logtg-~-)xdx, ["2~pxdx(logtg_~_)O~_2~,:

___

do

essendo 0, e 02 i limiti entro cui varia 0. Possiamo supporre che il cilindro si prolunghi fino a P (in quanto

fa aumentare il cercato valore maggiorante) con che risulta 0, ---~- ~ - ; quanto a 0a , esso x

ovviamente vale arc t a n g - F- che, per essere in generale l ~ x , a

a

x

pub identificarsl con ~F--" Si ha cost: aS

a

2/

I

~6g

DARI(J

GRA?Ft.

tore, di capacit~ C, sia ad armature plane e Parallele di area S, distanti d l'tina dall'altra, con dielettrico omogeneo. Allora, poich~, come in seguito giustificheremo, 9 si pub ritenere costante su ciascuna delle armature del coudensatore, si avr~t lgrad 9 1 -

9,-

d

% essendo 9, e 9, i valori di 9 sutle due armature. Ora, siccome

I dalla teoria delle correnti alternate a,) sappiamo che 9, - - 9= vale al massimo ~ - ~ , si I conclude che igrad 91 vale al pifi co C d -

I

~co S ' essend~ ~ la permettivit~t del dielettrico

interposto fra le armature. In definitiva dunque, per il rapporto [~ fra le ampiezze di OG c~--T e di grad % si ha il valore maggiorante:

I 0 -x6 sec:

Supponendo ad es. n - -

io, S--- I o - : m 2, c o - - - 2 ~ . i o 6, ~V.o--

9

m'

(vuoto)

a ---- o,i cm, 21 --- I m, risulterebbe [5 L 3,5 9 lO-4, quantitfi, come si vede, molto piccola. SG Ci6 posto, trascuriamo ~ entro il condensatore e andiamo a calcolare 9. Ricordiamo che, quando le cariche sono ferme, il vettore grad 9 ~ rigorosamente normale alle armature del condensatore; ma si pub ammettere che ci6 awenga anche nel nostro caso perch,, essendo molto piccole le correnti di conduzione Iungo le armature in cgnfronto alla corrente di spostamento (corrente principale), la componente di F tangente alle armature sark trascurabile ~n confronto a quella in direzione normale; ci6 significa potersi ritenere che su ciascuna delle due armature 9 abbia valori costanti, i quali indicheremo con 9, e o . Siccome poi nella regione v, limitata del condensatore, F vale - - grad 9, ivi sar~t / ) --" r grad o, e poich~ entro v, non vi sono cariche elettriche a,), sar~ : div (~ grad 9) - - o.

3t) Si potrebbe obbiettare che questa formola ~ corrseguenza di quanto vogliamo dimostrare. Siccome perb essa ~ in accordo con t'esperienza, possiamo qui considerarla come un dato sperimentale. ~G au) Si noti the questa formola vale, se il dielettrico ~ omogeneo, anche se ~ non ~ trascubG rabile; basta tener presente che ~ ~ solenoidale. Allora nel condensatore piano, supposto ? costante sulle armature, ne risulta per grad ~ la formola che abbiamo applicata poco fa, la quale quindi ~ indi~G pendente dal valore di ~t

LA TEORIA BEt CIRCUITI ELETTRIC! i~ LE EQt.J'AZIONI DI MAXWELL.

2~ 9

Inoltre 6 / ) X n = o, in ogui punto della superficie cclaterale, che limita v,; perci6 si conclude che ~ si distribuisce in v come nel caso elettrostatico aa). Quindi se Q, la carica sulla armatura positiva del condensatore, C la sua capacitS, si a vr~:

(36)

~, - ~, = ~ .

Cib premesso, calcoliamo la variazione ~ U dell'energia contenuta in %. Ricor0D dando che --07- ~ s~176 avremo:

I

~SU=at

g

Fx~Ddv----at ~

f,

grad~X

f

&D c3t dv------- at

div q~O-t

dv

vx

essendo X, e X~ le superfici delle armature del condensatore, n vettore unitario diretto verso l'interno di v . tivamente - - i ,

(38)

cgaD attraverso X e ~2 vale i , Siccome poi il flusso di -g7

rispet-

tenendo presente la (36), la precedente diviene:

~ u = ~ t O, i C,

formola fondarnentale per quanto avremo da esporre in seguito.

$6. D e d u z i o n e della l e g g e di OHM g e n e r a l i z z a t a p e r circuiti semplici. Le considerazioni precedenti ci permettono di dedurre dalle equazioni di MAXWELL la legge di OHM generalizzata. Consideriamo dapprima un solo circuito semplice, cio~ senza diramazioni. II procedimento, che ora esporremo, per giungere alla (I), 6, per questo caso, ben noto, ma per comprendere chiaramente i successivi sviluppi ~ opportuno ripeterlo. Applicando il teorema di POYXTING a tutto lo spazio infinito, o meglio applicando

as) Affinch~ r avvenga, non ~ necessario parlare deIHntera superficie the llmitata tui } bastano le solite condizloni di r alHnfinito.

AT0

bAltI6 G~AI:FL

alle (2) e ( i x ) il procedimento col quale si suole ricavare l'espressione di detto teorema, si ha (39) 8L = 8~; + 811 + 8 Q. I1 termine che, nel caso generale, rappresen?a l'energia irradiata risulta qui hullo perch6 all'infinito il campo magnetico ~ infinitesimo del secondo ordine e il campo 'elettrico, o meglio i ~ - /'~, del primo ordine, e perci6 il vettore di POXNTI~m del terzo ordine a4). Allora, trattandosi di un solo circuito, dalle (I4), (I8), (28), (38), segue (40)

e, i S t = ~ i

St+

Q, il~t

da cui, dividendo per i S t, 'si ottiene subito la (I). Passiamo ora al r di due circuiti semplici, avvertendo che la estensione ad. un numero qualunque ~ immediata. Qui non pub bastare il solo principio dell'energia perch~ esso darebbe una sola equazione; ma una seconda relazione pu6 ottenersi dalle stesse equazioni di MAXWELL mediante il seguente artificio, forse nuovo. Consideriamo il vettore i k, - - tIo,. Poich~ esso rappresenta -il campo magnerico generato dal primo circuito qualora il mezzo non sia magnetico e nessuna corrente fluisca nel secondo, il suo rotazionale coincider~l con la densivi di corrente del primo circuito, cio~ si avrA: (40 rot .H-o, = e, dove e deve considerarsi ~ o soltanto nel volume v del prihlo circuito. Riscriviamo ora la seconda equazione di MAXWELL: 03B (42) rot ( F - - .F'~) ~--03t " Moltiplichiamo scalarmente la (4 l) per / ~ ' - - / ~ , la ( 4 I ) per //-o,, sottragghiamc membro a membro, moltiplichiamo per d v e integriamo su tutto lo spazio infinito Otteniamo : div (Bo, A / ~ " --/~'~) d v =

c X Ed v --

'e X/~;- d v -q-

//o, X --gT-

"

Si osservi ora che l'!ntegrale a primo membro 6 nullo per le solite ragioni: quanu ai primi due integrali a secondo membro (i quali sono estesi al solo volume v de 8~) Ci6 dipende dal fatto che si sono trascurate le correnti di spostamento fuori del conder satore.

LA T E O R I A DEI C I R C U I T I E L E T T R I C I E LE EQ.UAZIONI D I MAXWELL.

27I

primo circuito, perch~ solo in esso non ~ nulla e), il primo di essi si compone di due parti che valgono rispettivamente r,i '"

QC, ,i ,il

secondo vale - - e i ~ ,

e infine

per l'ultimo si ha:

~

OBdv f .ITo, X -~-[ -- i ~

OBdi'dv k ' X Oi , d t voo

+it

voo

~Bdi'dv k' X ~ i~ d--[

--" i

'

'~,

d-[

-[-

dt] '

pertanto la precedente si riduce a

e' -- r' i' -~- -CT, + e'

-~-

dr."

Questa ~ l'espressione della legge di OHM generalizzata per il primo circuito. Scambiando gli indici I e 2 si ottiene l'analoga equazione per il secondo. Cosi il problema per i circuiti semplici ~ risolto. Si nod che in queste formole e ed. e: rappresentando integrali d i / ~ lungo curve chiuse, sono indipendenti dal sistema di riferimento.

$7. S t u d i o di u n circuito a p e r t o . Consideriamo ora un circuito aperto (o meglio un tronco senza diramazioni di un circuito chiuso) limitato fra due sezioni normali dei circuito stesso. Pifi generalmente potremo supporre di avere uno o pid circuiti semplici o a rete di averli divisi in n tronchi Y , , "f2, 9 " . , Y,, del tipo sopr'adescritto, ordinati in modo opportuno, e contenenti, in generale, ciascuno un condensatore. Le corrispondenti correnti i,i ' i , . . . , i non saranno in realtY, arbitrarie, in quanto fra esse esistono i legami dettati dalle relazioni di continuitL Noi per6 nel seguito, salvo avviso 'contrario, supporremo .anche che le i , i , . . . , i non soddisfino alle equazioni di continuitL Si avranno cosi dei sistemi, in geuerale fittizi, i quali si ridurranno reali quando le i , i , . . . , i soddisfino alle predette relazioni 3s), o, come brevemente diremo, costituiscano un sistema coerente. as) La distribuzione deUe densit/t di corrente nei sistemi fittizi pu6 essere date dalle formole it , ~ t -~---'~'t C x , /'!

qualora i~, . . . ,

.

~2 ~

i2 , _~7"-r ~ 2 , ~2

...

e~, . . . siano le correnti e le densit/t corrispondenti ad una distribuzione coerente.

Date le nostre ipotesi sulle distribuzioni delle correnti, ~ facile provare le unicit/t di queste e.

272

DAR'IO

GRAFPI.

Comunque potremo parlare di un p0tenziale vettore A, ritenendolo definito mediante la (3) e considerarlo scisso in parti 2t.,, Ate, . . . , At, ciascuna delle quali corrispondente all'integrale di - esteso ai volumi v,, v~, . . . , 4~r "i'., "&, - " , "1'," Avremo cosi : At = At, +

(43)

+

v dei singoli tronchi

. . . + At,.

Definiremo allora conae campo magnetico dovut0 al circuito y, l'espressione (44)

.//o, --- rot A t ;

tale At, sar~ evidentemente proporzionale ad i , ma essa in generale non soddisfer~t alla prima equazione di MAXWELL, perch,:

A,

~

Vs

r

non ~ solenoidale; pertanto la differenza fra-rot-//o, e e, non nulla. Pifl precisamente, poich~, indicando con X e X le sezioni terminali di v, si ha :

4v~

,

r

~

r

4= d~,

r

dove *~ ~ vettore unitario diretto nel senso da X a X (che assumeremo come verso positivo'del circuito) tatch~ n sara. diretta verso l'interno di v su x , verso l'esierno su X~, sarA, per note proprietA dei potenziali: (45)

rot .Ho, - - e, + grad +,,

dove, lo ripetiamo, e, deve considerarsi nullo dovunque salvo in %. Se noi chiamiamo campo magnetico dovuto all'intero sistema l'espressione

=

+

+-"

+

tale .//o coinciderA col campo magnetico generato dal sistema circuitale dato, in assenza di materia magnetica, ogni qualvolta le correnti i,, i , . . . , i costituiscano un sistema coerente. ' Risolvendo un problema di induzione magnetica, si potrebbe, in presenza di materia magnetizzabiie, calcolare la magnetizzazione, in generale fittizia, 'che sorge sotto l'azione di iX/o; e si potrk cosl definire un potenziale vettore G, che risuher~l una certa funzione di i , i:, . . . , i , e che, nel caso in cui non siano presenti corpi fer-

LA TEORIA DEI ClRCUITI ELETTRICI E LE EO_UAZIONI DI MAXWELL.

27J

romagnetici, potra porsi sotto la forma:

G=G,+G,+...

+G,,

dove G,, potenziale vettore corrispondente alia magnetizzazione dovuta al campo tlo, , ovviamente proporzionale ad i . Ci6 posto, per definizione, chiameremo mutua induttanza fra i circuiti s"~~ ed m "~~ rispettivamente induttanza propria del circuito s~~ l'espressione a6)

I ;(~(~~'." = -F[d% ~ X ed%

(46)

calcolata per m-76 s, rispettivamente per m = s. Per il calcolo effettivo di g2,., & necessario avere preventivamente proceduto alla determinazione di G, problema questo in generale alquanto complesso. Comunque sar~ bene sviluppare la precedente in alcuni casi particolari per ben comprenderne il significato. Supponiamo innanzi tutto che il mezzo non sia magnetico; avremo allora G - - N o A, non solo, ma A., sara proporzionale ad i m sicch6 OG vale ~ ~ ' Oil, i

dal che segue:

_ ~Zo / A , , X e d v , . ~,,~ -- imi--~] Orbene, se si sviluppa questa espressione si trova che essa corrisponde all'integrale di NeuM~N~, cio~ (47)

gj~ ,, = ~ . o '

.

4 ,x ~ , t

Lf ~,

e s )< e , d % d % ,

dove e., e e, sono i valori d i e in v m, %. Questo integrale si pub semplificare - - riducendolo da sestuplo a doppio -- quando le dimensioni delle sezioni normali di % e v siano piccole rispetto alia minima distanza fra i punti di %. e %. Per dimosu'are ci6, consideriamo due sezioni normali ~ e X di v m e v,, dividiamole in etementi dX , d X , e consideriamo i filetti passanti per questi. Per calcolare ~,,,, si pu6 integrate la funzione sotto il segno lungo una coppia di tali filetti, poi sommare i contributi dovuti ad ogni coppia. Con i soliti procedimenti, ricordando la (I3), dove per chiarezza approrremo a dP l'indice s o mse-

a6) Queste derivate s'intendono calcolate m a n t e n e n d o i circuiti fermi, conformemente a quanto si ~ fatto in precedenza. gJm~. Circ. Matem. Palermoj t. LXII (z938-K939-xvu).~ StamF~.to il 7 agosto tglg-xvu.

3~

274

DARZO

GRAPFL

condo che ci si riferisce a e, o a e , , si trova:

~,~_,

4r~i,.is~'~ f~ f c d x . % d X ~ , ~ f ,

dPm)r

essendo s,, e s, gli assi dei filetti passanti per d X, e ' d X . Ora, se le dimensioni di X e X;. sono piccole rispetto alle loro distanze, si pub, con errore trascurabile, sostituire ad r la distanza R fra l'intersezione degli assi del circuit0 con X, e X ; poi, essendo gli assi sensibilmente paralleli alle linee di corrente, si potra, con errore pure trascurabile, sostituire a d P., e d iv, gli elementi d Q~ e d Q, degli assi Qm, Q, dei due circuiti, talch6 la preceden.te si riduce a (48 )

g2,,,. --

4 ~ ~o i.i,

fQ~ fQ, d Q, -R>( d Q, f~,, f~ , % d .,

cs d x s,

coincidente con la solita formola di NEUMANN per i coefficienti di mutua induzione 37). Si noti per6 che questa formola ~ stata ricavata in una ipotesi che non ~ del tutto verificata quando si tratti di pezzi di circuito consecutivi. Comunque, se si vuole applicare anche in questo caso la formola (48), si ottiene un valore finito per ~,,,, (mentre altrenanto non si verificherebbe qualora detta formola venisse applicata per s - - m , cio~ pel calcolo di una induttanza propria). I~ da notate poi che da (47) segue subito (49)

~,,~=gRm,,,

cosicch~ questa relazione di simmetria rimane, per ora, verificata soltanto nel c a s o in cui non siano presenti corpi magnetici. Vogliamo ora generalizzare il nostro risukato e trovare per le mutue induttanze una espressione soddisfacente alla (49) e valida anche s e i l mezzo ~ magnetico. Osserviamo innanzi tutto che si pub porre

G--'?oA + G' con ovvio significato di G'. Sostituendo nella (46), abbiamo a11ora per guente espressione per la mutua induttanza fra i due tronchi di circuito:

ssm

la se-

! fOG'

37) 1~ utile osservare the per la deduzione di questa formula non 6 necessaria Hpotesi deU'uniforme distribuzione.

]LA TEORIA DE] CIRCUITI ELETTI~I(~I E LE ]~QOAZIONI D]~ MAXWELL.

]~j

dove ~(,~),. indica il valore che la stessa m. i. avrebbe nell'ipotesi di mezzo non magnetico. Vediamo ora di trasformare in modo opportuno l'integrale ~ che compare a secondo membro di (5o). A questo scopo ricordiamo che s e a ed m sono un venore solenoidale ed uno scalare, regolari, continui e nulli all'infinito, il primo almeno del secondo ordine, it secohdo almeno del primo ordine, si ha: P

(50

La

P

X gra d m , d v = L d i v ( m a ) d v

o~

essendo gli integrali estesi allo spazio infinito vo~. Ci6 posto, se supponiamo e~ nullo fuori di %, l'integrale ~ si pub supporre esteso a tutto v| Poi essendo G' solenoidale as) in quanto rotazionale di un vettore, e nullo all'infinito del secondo ordine, per la (5I) l ' f ~ 0303(7" i---~-X grad ,~, d v ~ nullo e perci6 si pub aggiungerlo ad 8. Tenendo poi presente la (45), si ha

i f 0 3 ~Gi ,',

= -/~

)~(e-~grad

+,)dv---

f03G' Ho, fro, ~-T~-Xr~ . -- / -=-

03G',a v

Xrot ~

l'ulfimo passaggio giustificandosi con le stesse considerazioni fatte a proposito di (29). Ora, poich~ A~ ~ proporzionale a i 9

'

si ha //o, " " i -- 033~o~ 03i ' e siccome, ira i termini

che compongono t / o , il solo .Ho, , come si deduce dalle (43) e (44-), dipende da i,, si conclude che in questa ultima espressione si pub scrivere .Ho, in luogo di 1/o,, talch~ si ha

f~03 Ho "~ - -

03rot G'

03i, X

03i ~

dr.

Ora, essendo, per la (4), rot G' - - .B -- V-o-//o, segue

--

poi, siccome f

&

X w~- d v - - 8"o

03grad o3i, P" X -03B - d r03i,~

~x~ -w-:-- d v ;

(qualora V indichi il potenziale del campo dovuto

alia magnetizzazione conseguente a ./To) ~ hullo, si pub aggiungerI0 nell'espressione di

as) Si noti che G ' ~ tale anche se non sono soddisfatte le condizioni di continuit~ per le correnfi.

276

bARIO

ORAF~t.

.~, con che si ottiene:

02)

dB

Basta ora ricordare che ~

~ dilatazione, per concludere che il secondo membro di

(52) non muta scambiando gIi indici s ed m, percib testa provata la (49). Dalla (52), se fosse conosciuta la distribuzione di B per ogni sistema di correnti i , i,, . . . , i , si potrebbero calcolare i coefficienti di mutua induzione anche nel caso di mezzo magnetico. La cosa ~ teoricamente possibile, praticamente per6 tale problema d~ luogo, generale, ad enormi difficok5.

Ss. E q u a z i o n i p e r u n t r o n c o di circuito. Ritenendo ora le i soddisfacenti alle equazioni di continuith, moltiplichiamo scalarmente la ( 4 5 ) p e r /~'--.F'i, la (I1) per-//-o,, sottragghiamo membro a membro, moltiplichiamo per d ved integriamo a tutto lo spazio %. Dopo i solifi passaggi si ottiene:

(53) "~,f~ : x e ' d v ' = f

~ X e ' d v + f~ofB'---~)Xgrad+'dv+ ... __~_X~o dv

L'integrale a primo membro vale la potenza istantanea ddle forze impresse nel circuito aperto considerato, cio~ e,i,, s e e ~ la f. e. m. in %; il primo integrale a Q,i, secondo membro vale al solito r,i~-J - , essendo C, la capacitA del condensatore, s c - C, Q, la carica suUa sua armatura positiva; poi, ricordando-la (9), si ha che il secondo termine, che indicheremo con .~, si pu6 scrivere:

s---- f( +grad ,)Xgrad
L

grad ~? X grad +, d v -" - -

1 o~

div (a? grad +s) d v

LA TEORIA DEI CIRCi3ITI ELETTRICI E LE EOj.TA~IONI DI MAXWELL.

2~7

Ma, per la piccolezza delle aree ~ e %2, potremo ritenere che su ciascuna di esse 9 sia sensibilmente costante 3o), talch~ in definitiva risulta ~ q - - - - - ( 9 , - %)is, essendo 9, e % i valori di 9 su _v e ~2. Infine, all'ultimo integrale che compare nella (53), in virtfi della (5), si pu6 sostituire: ~.flot 06; X//_o d v = f

06; X r o t tto,dv=C ~ t Xe,dv-l-f,, ~ t X g r a d d/dv.

L'ultimo termine dell'ultimo membro ~ nullo, a causa della (51), in quanto 0G div-~---o e ~ , come ~ facile vedere dalla sua espressione, ~ nullo all'infinito d'or-

v --

.di

dine superiore al primo, mentre l'altro, per la (46), vale .m~JJt,, Z --tiT-. Pertanto la

(53) si riduce a: (54)

di, e' -av g ' -- 9~ = r' i' + -~, + ~ ~J~',~ d t '

equazione fondamentale per il circuito aperto, mediante la quale, nell'ordinaria teoria delle refi, si.pu6, note le e, calcolare le i. I~ qui da notare che le e~," trattandosi di circuito aperto, dipendono dal sistema di riferimento. Per6, mutando questo, cambiano .F~ e 9, ma rimanendo invariati .F' ed / / , il secondo membro di (54) non cambia, quindi non mutano i valori delle correnti che da esse si ricavano.

~9. Circuiti c o n c o r r e n t e n o n u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i t a . G e n e r a l i z z a z i o n e clei c o n c e t t i di r e s i s t e n z a , a u t o i n d u z i o n e e capacit/~.

Finora abbiamo supposto le correnti distribuite uniformemente nelle sezioni normall dei circuiti considerati. Ora, come gi~t si ~ accennato, ~ ben noto che una tale ammissione, se ~ accettabile per correnti lentamente variabili (in particolare alternate a bassa frequenza) non pu6 pifi esserlo per i pifi elevati valori delle frequenze che ricorrono in certe applicazioni, e ci6 a causa del ben noto fenomeno della pelle (skin-effect). In tal caso, le nozioni di resistenza, induttanza e capacit;l possono venire stabilite, almeno nel caso delle correnti alternate, mediante considerazioni di carattere energetico, che fra poco ricorderemo. ag) Altrimenti le ~, e ~2, di cui si parla nella seguefite riga, sarebbero i valori di medi di'$ Su ~ , ~ .

~78

DhRtO

dRAFrt.

In questo paragrafo ci occuperemo del problema relativo ad un solo circuito chiuso, riservando al successivo il caso dei sistemi di circuiti e dei circuiti aperti. Per evitare gravi complicazioni escluderemo d'ora in poi la presenza di corpi a magnetizzazione non lineare e ci limiteremo al caso - - di grande importanza pratica - - di correnti alternate, o per meglio dire di campi elettromagnetici alternati. Definiremo la resistenza R di un circuito percorso da corrente alternata sinusoi2~

dale di intensit~t massima I e pulsazione co - - cio~ di periodo T - - - - - - mediante il r

rapporto T (ss)

R =

I f o 8 0_ .

I

.X

fra la potenza media corrispondente al calore sviluppato in un periodo ed il quadrato del valore efficace ( ~ - ~ ) d e l l a corrente (quadrato medio dei valoriistantanei). 1~ ovvio c h e s e la distribuzione della corrente tende a diventare uniforme, la R tende alla resistenza ohmica del circuito, quale fu definita mediante la (I8). Nelle stesse condizioni definiremo l'induttanza L del circuito mediante il rapporto

(s6)

Ifo

L _ 14 r

Zdt

t r a i l doppio del valore medio in un periodo della energia magnetica e il quadrato del valore efficace della corrente; ed infine chiameremo capacitor C del condensatore la grandezza definita da: i 4co 2 i fr (57) ~= [P " T J o 11dt, cio~ l'inverso rapporto f r a i l doppio del valore medio dell'energia elettrostatica ed il I quadrato del valore efficace ~ - ~ della carica. da notare che alia (57) si perverrebbe senz'altro ritenendo l'energia 1I data dalla stessa espressione: 11--

2C

valida in elettrostatica. Osserviamo anzi che, poich~ tale espressione dell'energia vale anche nei casi precedentemente considerati e sottocondizioni indipendenti dalla distribuzione della corrente, si pu6 asserire, che, anche nel caso attuale, ~ lecito ritehere la C coincidente con la capacit~t definita elettrostaticamente. Ci6 premesso, cominciamo col notare c h e s e il campo elettromagnetico associato

LA TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI

279

E LE EQUAZIONI DI MAXWELL.

al nostro circuito ~ alternativo sinusoidale, occorrer~t supporre che tali siano le / ~ . Allora altrettanto avverr~t della f. e. m. impressa, the pertanto potremo rappresentare con un numero complesso ~. Analogamente indicheremo con ~ il complesso rappresentativo della corrente, e chiameremo 8 il rapporto fra tali due numeri complessi, cio~" porremo : (58)

=

II comp!esso 3---= ~ + / ~

3

sara l'impedenza de[ circuito.

Ci proponiamo di dimostrare 4o) che ~ ~ - - R + ]

Lco~

cio~

I

(59)

=

R,

=

L

- - -

C(o ~

essendo R, L, C le grandezze definite da (Lr (56), (57). 1~ assai facile dimostrare che ~ coincide con R. Invero, integrando la (.39) da o a T e tenendo presente che ~ ed 1I sono in questo caso funzioni periodiche di peT riodo - - , si ha 2

(6o)

/

,,T

do

8L-~-

fo.T

8Q.

I1 primo membro, per cose note 4,), vale f o r e i d t - - ~[~ T

2

RP T

e confrontando questo valore col secondo membro che, per la (55), vale - -

2

subko ~

-

-

,

segue

R.

4o) In tutta questa dimostrazione e quella del paragrafo successivo si suppone ~, ~r, ~. invariabili punto per punto nel tempo. Inoltre si supporr~i derivando la (2), che tale derivata coincida con quella che si ottiene mantenendo i corpi fermi. Ci6 non ~ del tutto esatto nelHnterno delle macchine elettriche, ma poich~ i circuiti ordinari si estendono principalmente fuori delle macchine, le nostre approssimazioni si mostrano largamente sufficenti e del resto sono in gran parte implicite nell'aver supposto ahernativo i| cimpo. 4x) Infatti, da ~ ~ ~ ,

uguagliando i moduli de/ due membri, segue E----I/a=--t- 1~2 .L D'altra 9 at

parte, Io spostamento di fase 9 fra l~ ed ~ equivale all'argomento di ~, cio6 si ha cos ?----- 1/__W~

i lot

quindi - - ~ 9

eid t

--

EIcos~ 2

~

I: I/~=-- -{- ~

--

2

"t/

~_~

~2

~P 2

2~0

DARIO

GRAFFI.

Per dimostrare la seconda delle ( 5 9 ) , partiamo daila relazione (6 0

rot 0 / /

0u

0~D

~ i - = at + a :

4,)

che si ottiene derivando rispetto al tempo la ( I 2 ) ; moltiplichiamola scalarmente per F--F~,

sottragghiamone il prodotto scalare della

(II)

per--gT-' moltiplichiamo per

d v e integriamo a tutto lo spazio infinito. Dopo facili passaggi si ottiene:

Applicando ai primo membro la trasformazione di cui ci siamo serviti nel calc01o di ~

aI n ~ 2, si riconosce che esso vale e d i

Ci6 posto, uguagliamo i valori medi

dr"

dei due membri di (.62) nell'intervai[o

da o a T. I1 primo membro d~ co ~ / 2 4a) ; 2

OF

quello del primo termine del secondo membro ~ nullo perch~ F e 0-t- -- - G-O~- sono in quadratura; e, quanto al secondo e terzo t e r m i n e prodotto di - - ~' per D e che

c~// OB 0 t ' 0t

osservando che - -

Ot

vale i!

non sono altro che i vettori in quadratura

rispetto ad co/-/, c o b - - , si deduce che i loro valori medi corrispondono al prodotto di - - 2 o:, rispettivamente 2o:, per il valore medio dell'energia elettrica, rispettiva~ P ~ LP mente magnetica, cio~, per [e (57), (56), 2~o~C ' 2 Si ha dunque: ~I

~ 2

o2LP

P

2

2 C

----

cio6

B = f co - - - "

I

c.D.D.

C

Possiamo osservare che la ~ non muta moltiplicando i vettori ~

3D 42) Per comodith, abbiamo scritto qui u - t - - ~ nulla -~~D- ,

per un numero

in luogo di e, con the nei conduttori sar~

nel dielettrico t~.

4a) La grandezza alternativa - ~ ,

rappresentata daI complesso ]~o~, ~ sfasata di ~ - - - ~ di

spetto ad e, quindi il valore medio di e ~ - vale

Eto~rco s ( +

) Pt~ --~p =

32

9

~

ri-

o~I 2

LA T E O R I A DEI C I R C U I T I E L E T T R I C I E LE E Q U A Z I O N I DI MAXWELL.

28I

costante o sfasandoli comunque. Infatti, mutando //'~ in n F ~ , la ~ si muta in n@; m a l e corrispondenti soluzioni dell'equazione di MAXWELLsaranno n F , n / / se _iv, / / sono le solazioni corrispondenti ad 1~'~, quindi ~ si muter~i in n ~ , e pertanto iI rapporto ~

rimane invariato. Che altrettanto avvenga variando della stessa quantitY, la

fase di ogni F~, si deduce riflettendo che ci6 equivale ad un semplice cambiamento dell'origine dei tempi. Dunque .~ non pub dipendere che dalla distribuzione di /~ e dalla natura del circuito. La dipendenza dalla distribuzione di _Iv sembra trascurabile. II caicolo effettivo di 8 per via teorica sarebbe possibile a tutto rigore soltanto risolvendo le equazioni di MAXW~Lr.. In qualche c.~so, con opportune ipotesi sulla disrribuzione delle linee di corrente, ~ possibile prevedere il valore di ~3. Per lo pith per6 si ricorre direttamente ali'esperienza.

IO.

C a s o dei s i s t e m i di circuiti e dei circuiti a p e r t i . Estenderemo ora i risultati precedenti ai sistemi di circuiti, anzi tratteremo il caso pith generale d i n circuiti aperti costituiti nel loro insieme uno o pit~ circuiti chiusi; il caso dei sistemi di circuiti chiusi sar~i pertanto un caso particolare di questo. Innanzi tutto dobbiamo definire l'induttanza di un circuito aperto, la mutua induttanza di due tall circuit/, etc. Come al n o 5, indichhmo con A , , A~, . . . , A i potenziali vettori parziali, attenendoci per6 all'ipotesi che le correnti i,, i2, . . . , i abbiano valori coerenti. Posto rot A, = Ho~, si calcoler~i la magnetizzazione dovuta ad /iro, , e successivamente il potenziale vettore G,. Poich~ qui escludiamo la presenza i corpi ferromagnetici, sar',i: (63)

G -= G, -Jr- G2 q- "'" -t- G .

Definiremo come induttanza L del tronco s~~ occupante ii volume %, percorso da corrente alternativa di valore massimo I , l'espressione (64)

L --

i2 $

r

dt

G, X c d v . ~VS

l~ facile dimostrare c h e s e il circuito b chiuso, il coefficiente di _/2 corrisponde al doppio dell'energia magnetica media che si avrebbe qualora soltanto il circuito considerato fosse percorso dalla corrente I . La esatta definizione di mutua induttanza fra due tronchi di circuiti porterebbe a Rend. Circ. Ma~era. Palermo, t. LXII (1938-~939-xvxx). - - Stampato il 7 agosto zglg-xvIz.

36

:282

DARIO

GRAFFI.

formole inestricabili. Per evitarle ci converr'~ ammettere soddisfatte alcune ipotesi sempiificative. A questo scopo poniamo

e supponiamo: I ~ che siano soddisfatte le condizioni per cui si pub applicare l'integrale di NEUMAN• per il calcolo delia mutua induttanza in assenza dei corpi magnetici, 2 ~ che questi corpi abbiano dai circuiti distanze grandi rispetto alle dimensioni delle sezioni di questi. Tall ipotesi portano subito a supporre G-' sensibilmente costante lungo ogni sezione dei circuiti. Inoltre, poich~ G'N, nei mezzi magnetizzabili, dipende soltanto dalla cor~ente totale i m 4,) e non dalla iegge secondo cui essa ~ distribuita nella sezione, ne segue che G',, sar~i esso pure dipendente soltanto da i N . si avr~i dunque

Jl

(65)

s

G,, X e, dv, = 9X t~ i,.i~ + i N m,s

-~m ~ X c, d v * "VO

essendo 9XC~ la mutua induttanza calcoiata neli'ipotesi di assenza di corpi magnetici. Ora, dividendo al solito in filetti di corrente il volume %, ~ facile dimostrare 4s) (coUo stesso procedimento usato per ~L) che l'ultimo integrale ~ proporzionale a i ed ~ indipendente dalla distribuzione della corrente nelia sezione del circuito. Dunque tutto il secondo membro di (.65) risulta indipendente da tale distribuzione; pertanto potremo applicare le formole ricavate nell'ipotesi di distribuzione uniforme, sicch~ si avr~t NI$

(66)

,

f G~, X v d v , - - ~f3~ , i i , ..%

dove ad ~,~,, spetta il valore calcolato al n ~ 7. La R, e la C, si potranno definite con formole analoghe a (55) e (.57) considerando, per la prima, tutto il calore di JOULE sviluppato neila parte metaliica di %, per la seconda l'energia elettrostatica compresa fra le armature del relativo condensatore. Cib posto, riprendiamo le equazioni di MAXWELL adattate ad un pezzo di circuito. 1~ qui opportuna una osservazione: se indichiamo con .H-, il campo magnetico somma

44) Infatti, per il calcolo del campo magnetico a distanze grandi rispetto alle dimensioni del filo, si pub supporre, come 8 ben noto, la corrente concentrata sull'asse. 48) Occorre tener presente che, essendo molto piccola la sezione del conduttore, la circuitazione di G 's si pub supporre abbia lo stesso valore lungo ogni linea di corrente.

LA TEORIADEi CI~,C0"ITIELETTlttCi E LI~ kO.t/AZlONtbi ~IAxwELL. di Z/o, e di quello / /

2~3

dovuto alia magnetizzazione Oro, causata da //-o,, avremo:

(67)

F B' - - rot G,.

Poich~ / / deriva da un potenziale, potremo scrivere la prima equazione di MAXWELL per i circuiti aperti: (68) r o t / T --- e, -t- grad +,, Quanto alla seconda equazione, in base a (63) e a (7), potremo scriverla (69)

rot

+

N-

= o

oppure rot ( / ~ - - E', + X' a G,~~ -FT-I

(70)

alir at

'

dove l'accento alia sommatoria sta ad indicare che essa b estesa a tutti i valori dell'indice escluso s. Moltiplichiamo scalarmente la (68) per 1 9 " - _F.-sc- x ' - ~ ,

la (7 o) per i / ' , , sot-

tragghiamo membro a membro, moltiplichiamo per dr, ed integriamo a tutto lo spazio. Con semplici passaggi, otteniamo

Is (71)

I-t-s

( / ~ ] - - x ' oat ]

,

~.

(F--l~')Xgradd6d v-- L~t

.vo -gt - X g r a d + , d v

'Xgrad+'dv+f_F//'XO--~''dat J~_ v.

Osservia'mo ora che il secondo integrale a secondo membro @nullo i~er la (5I), il quarto integrale si pu6 trasformare nell'integrale di (72)

+, div O 7 - = Fo +, div ---' - - Fo +,

il terzo vale poi, per le considerazioni fatte al n ~ 8 , -

;

~)i;

(~-

membro della (7I), esso, per la ( 6 6 ) e la ( i 4 ) , si riduce a [ e -

\

quanto al primo

N"~!J~ dimX"

46) l~ opportuno chiarire un passaggio: se calcoliamo la (65) scrivendo ~-~tt~ in luogo di dim sicch6 sara si trova che quel vettore 6 proporzionale a --~-,

di m Z ~ - ~ 2 X e, dv,----~JRs,m-~i , . _

e analogamente

Z ~Gm

des .

di m di, dl

-~t-X-dt -dv = gyq'm dt

284

b~,~io GR,iF~I.

Si ha c o s i : e--

a,,a +./~f. . n,•

di , Z~,,,7;)i,+(,_r,si=fTv•162

dr.

Integriamo ora rispetto al tempo da o a T: i due ukimi integrali a secondo membro danno risultato nuUo, ed il primo, per la definizione di R,, d~l

R,I~ - - , T 2

es-

sendo /, il valore massimo di i . Si ottiene dunque (735

e, -

Y~,.77

+ ~, -

J

"

~

i dt --

2

Applichiamo ora alia (68) derivata rispetto al tempo ed alla dimento; si ottiene : (745

f r,•"

a~

(69)

il solito proce-

r r v • at dv--f~,,~'radgXgrad--~ o a+,-dr" j ~ ,0a - ~ X 0-~av=J~,

Le solite trasformazioni mostrano facilmente che il primo integrale a primo membro di, -~-. Moltivale e-d-~-, e che l'ultimo integrale a secondo membro vale - - ( 9 , 9=5 d/' plichiamo ( 7 4 ) p e r

aG d t e integriamo da o a T. Se scomponiamo l a - - ~ - i n

aG~ ~" a t m

e o, in ~,-37 a D tenendo presente che e, 6 :~ o solo in %, potremo scrivere -gT'

[,r di, Jo dtdt -[-

Y ~

s

di'dt %Sdt

(9,

a--~-i-av, G , , , __

' rdt $

Tdt ~

0

9

v$

rdt /ol au, X FT

.lFdv,

oo,

~ t ~ X--~-[-dv, "Jr- rd t ir 0

tl

*Js

FY

X

ffi

v,' .

Di qui, osservando, come al numero precedente che la ~T di un vettore alternativc coincide col vettore stesso moltiplicato per o~ e sfasato in anticipo di un quarto di pe riodo, si deduce facilmente

fo r edt

--

+ dt(~,,--~377- - Z '

fo Z , G, X e, dv t f .OG,~

d~,-~x

Oc, dv

at

,

--

P r

~c"

t i 'P~oRiA OEI ciRdurri ELE~"rRICI E LE EO.UAZIONIUi MAXWELL.

:Z85

la quale equazione, ricordando la (64) e (66), si pu6 scrivere

(75)

it(

~R'.*~di,. e'-- ~--' dt -31-(~,,--%) )di. ~ d t = - - I,2 T ( L o~' m

Ora le e, i,,,

9,--% sono grandezze alternative, quindi rappresentabili con i numeri

complessi @,, ~,, % -

%. D'altra parte si ha:

~,--j~

(76) essendo ot + j ~

~

'

~,,,~m--~,,--%-~"

-

-

( ~ + J f O , % ,

il complesso corrispondente al rapporto fra il primo membro e ~,.

Ora, il primo membro di (73) vale ~I~_____T,quello di (75), ~ I " , , segue dunque 2

(

~ -t- j ~ = R. + j s co

')

C o~ ---23.'

dove ,8, ~ rimpedenza di %. Pertanto la (7 6) diventa:

~,-, -~-~ + e, = 8,,% + / ~ Z'~,,,,%. m

Questa ~ l'equazione fondamentale usata nella teoria dei circuiti. Ovviamente il termine 9 , - % scompare nel caso di circuiti chiusi. 1~ d a notate che, a tutto rigore, 23, dipende non solo da ~, e da %, ma anche dai =ircuiti vicini, e ci6 anche se il circuito ~ chiuso. Nelle applicazioni concrete si cerca per6, per quanto ~ possibile, di suddividere i circuiti in modo che l'influenza degli altri pezzi,sia trascurabile. Anche te ricerche teoriche su 23, finora svolte vengono generalmente fatte trascu-rando l'azione degli altri circuiti e facendo opportune ipotesi sulla distribuzione delle linee di corrente. Bologna, 22 dicembre 1938-xvII. DARIO

GRAFFI.