PURA ED APPLICATA.
265
LA TEORlCA DEI COVARIANTI E DEGLI INVARIANTI DELLE FORME BINARIE E LE SUE PRINCIPALI APPLICAZIONI.
MONOGRAFIA DEJ~
SIG. PROF. FRANCESCO BRIOSCHI. (Continuazione V. pag. 85).
CAP?
V?
DEI COVARIANTI E DEGLI INVARIANTI NON LEGATI FlU LORO DA RELAZIONI LINEARI.
1.? Eulero, nelle sue ricerche sulla partizione dei numeri (*), ha dimostrato, che il numero dei modi in cui un m.I,~ero s puo esser formato da una somma di r termini della serie 0, i, 2, .... n; (supponendo che ciascun elemento possa essere ripetuto un indefinito numero di velte), e eguale al coefficiente eli a;s zr nella sviluppo della espressione : 1. (1 - z)(1 - xz)(1 - x z) .... (1 - xnz;)
z=
.
"
Supponiamo :
Z = 1. Cambiando la x
A1z
+
A" z2 -t- A3 Z3
+ ....
xz si ha :
In
(1 -
+
z)Z = (1 -
x n + 1z)(i
+
A1xz
+
A"X 2 Z2
+ ...) ,
e dal confronto dei coefficienti delle potenze dlz : x'') = Ar _
Ar (1. dalla quale :
x n+I)(1 -
(1 -
($0)
(1 -
x)(1 -
l(l
-
x"+')
x n +,,) .... (1. _ x n+r) x 2)
••••
(1 -
x r)
Se quindi col simbolo P(s, r, n) indichiamo il numero dei termini di una funzione omogenea del grado r, omogenea in indice dell' ordine s , e formata cogli elementi ao , a1 , a2 . . . . a,. si avril. evidentemente : .
(5'1)
.
.'
. (1_xn+l)(1_xn+2) .... (1_xn+r) (1 _ x)(1 _ x 2 ) •••• (1 _ z") .
P(s, r, n) = coefflciente di x nella sviluppo di
2? La espressione del secondo membra dell'equazione (50) non cambia di valore (¥) Introductio in Analysin infinitorum. Caput X VI.
TOlD. II. N: 5. iS5!).
34
ANNAL! DIMATEMATICA
266
~(x) Sl
permutaudo-glieepeaerui :r.,n ; -cioe indicando quella -espressionaeon
= "!l.. \ ~ 'w""'''+''11\7 (.II
o/(x)
J.
...'-+2",).
~'h2
(1. -::- :vHi -
inoltre la funzione
~(x)
•.•••
X -) ••••
ha .
('" '-+") -J. · - nW
(1 -
x)
soddisfa all'equazione :
quindi si hanno per la funzione P(s, r, n) le seguenti proprieta :
P(s, r, n) = P(s, n, r)
(52)
P(s, r, n) = P(nr -
(53)
s, r, n)
aile quali possiamo aggiungere Ia:
P(s, r, n) = 0
(54)
s >1'11.
per
Un'altra interessante proprieta della stessa funzione ouiensi osservando che : (1_X7l + 1'+ 1) (1 - x,.) -
(1- x"+2)(1_xn+ 3 ) x" f(x) ----:
(1 _ x)(1- x 2 )
(1_x 7l +2 )(1_x n+ 3 ) (1-x"+") (1- x)(1 - x 2 ) (1_ X"-I)
per cui :
P(s, r, n)
=
P(s + r, r, n + 1) -
o cambiando la s in s - r e la n in n -
P(s, r, n) -
P(s + r, r - 1 , n
1.)
1 :
P(s, r - 1., n) = P(s - r, r, n -
dalla quale:
+
1.)
,.
P(s, r, n)
(55)
=
~m
P(s -
m, m, n - 1).
o
Da ultimo nello sviluppo della funzione : (56)
2z)
(1 -xz)(1-x
.... (1-x"z) = 1
+
BIz
+
B 2z
2
+ .... +
B,.z'
si ottiene come superiormente: (1
-
Itm)
B",Z =
-BIlL-I x m(1 _ x,.->n+ l )
ed in oonseguenza : B
",=
- x,.-m+2) .... (1 - xl") (1 ~ x"-m+I)(1 --"..-~-~--"";' (1) '".X·!m(",+x) .'----~~. (1 _ x)(1 _ x 2 ) •••• (1 _ x tn )
-
,
Ora sostituendo questo valore nella (56) e ponendo z = x n si ha : ,.
(1_x n + I ) ( 1 _ x " ' + 2 ) ... (1_x n+,.)= ~m(_1)mxm7l+!m(m+l) o
('1 -
x,.-m+ l )
....
(1 -
(1 - x) .... (1 -
z") m fr x )
PURA ED APPIJCATA. quindi per la (51) sara r:
P(s, r, n)
(57)
Im(-1)'" coefficiente di
=
(1 -
x)(1 -
x
......
)
S
In
1
xhtn+~m(m+ 1) 2
X
o
x-m) (1 -
(1 -
x)(1 ~ x
2 ......
)
(1 _ x r m)'
od anche :
P(s, r, n)
~",(-1) coefficiente di xC/.
=
1
x~m("'+J)
(1 -
x)(1 -
x
2 )
In
o
....
(1 -
x
m
) •
(1 -
x)(1 -
x
2
) ....
(1 _ x r -
m
)
essendo Ct. = s - mn. Osserviamo che per l'equazione (53) si potranno avere tutti i valori di P(s, r, n) allorquando si conoscano quelli pei quali sia s non> di Tn; quindi se indichiamo con p un numero che e pari se 10 e il prodouo rn ; e dispnri nel caso contrario, e poniamo nella formola superiore s = (nr-p) si avra
t
t
P[ ~ (nr - p), r, n] =
(58) (1 essendo y =
x)(1 -
i
~",(_l)zn coefficiente di xn'l
In
o
1
xP 2 x )
....
(1 -
2m) , p =~
x
m
[p +
) •
(1 -
x}(1 -
+
J.
x
2 )
....
(1 _ x r -
m
)
e evidente
che i termini della sommatoria del secondo membro corrispondcnti a valori di m pei quali risulta »r - p < 0 sono eguali a zero j quindi la sommatoria medesima potra estendersi r - 1, c pel caso r dispari da m = 0 pel caso di r pari da m = 0 -ad m = ad m = -i (r - 1.). 3~ Supponiamo r pari e poniamo per brevita : (r -
m(m
1)
Ora
t
F(x)
=
(1 -
x) .... (1 -
xm)
•
(1 -
x) .... (1 _ x r -
m
)
si avra : !r-l
P[
i
(nr -
p),r,n}
al , b l , SI avra :
C1
....
xP
2
~m(-1)''' coefficiente di xn'l in FR(x)
1 - xo, 1 - xc, . . . . .i fattori di F(x), e siano i minimi multipli comuni ai numeri a, b, c. ~ ., ed al numero "/;
Happresentiamo con 1 -
x
=
lZ
,
(59)
essendo ep(x)
UM
Iunzione intiera di
$.
Ossia ponendo .
ANNALf DI :MATEMATICA
268
al.
fix) = (1 -
a;
c.
bi
)(1 ~ x )(1.- x ) ...•
e : lr_l 2
[~(nr
p), r, nJ
l:m .
(_1)m coefficiente di X"I in xPrp(x) . ~. fi~ Ora gli esponenti di x nel polinomio I(x) sono evidentemente multipli di "yj quindi nel polinomio x P rp(x) si potranno trascurare quei termini nei quali l'esponente della a: non e un multiplo di "y giacche i medesimi non influiscono sul valore del coefficiente di x·'"I. Indicando con A(x"l) il polinomio risultante dal trascurare quei termini, e ponendo }(x) = fJ.(x"I) si avra : P
-
=
l.
;r-l
p [ ~ (nr - p), r, n) ossia :
=
I",
(-tr coeffieiente di
x""1
. A(X Y) fl(X"l)
Ill--
o
t
'2"-l
P [~(nr - p), r, nJ
!
= .. m (_1)'" coefficiente di
x" in
i
od anche:
A~
fl(X)
!.r-l
P[
-i (nr
- p), r, nJ = coefficiente di x" in
2~
~'"
(_
L)" A(X) . fl(x)
Se r e dispari ponendo :1/ in luogo di x nel secondo membro dell'equazione (58), si potra anche in questo caso applicare la trasformazione superiore e si giungera alIa i
P
[~ (nr
~(r-Il)
-
p), r, n] = coefficiente di z' in
~m(-1.)'" ~:~:~
nella quale A1(X) , fll(X) sono due funzioni intere di x. Quindi tanto pel' r pari, quanto per r dispari si avra l'equazione: P [{- (nr - p), r, nJ= coefficiente di x" in
:~j
essendo u(x) una funzione intiera di x, e v(x) il prodouo di fattori della forma 1. _ x 9• (lIf) Esempio. Sieno r = 4 , P = 2 l'equazione (58) dara : ") Cayley -
Researches on the Partition of Numbers. Philosophical Transactions -
1855,
PURA ED APPLICATA. p [~ (4n - 2), 4,
nJ =
coefficiente di
X
2 1
in (:-:1.--~"')~(1.O::----';-:-:-:---~~-~ 3)(1 4 ..v
.- coefficiente di x·' in (1.
269 x
-
x)
"(1
x2 -
-
x")(1. -
" x )(1 -
x
-
x
)
3
x )
PC1' ridurre la prima frazione osserviamo che essendo ordinatamente 2, 2, 6, 4minimi multipli comuni ai numeri 1, 2, 3, 4 ed al numero 2 si ha :
quindi la prima frazione equivale' alla . x(1.
+
x
+
x 3+ x 4)
e trascurando i termim del numeratore nei quali gli esponeuti della x non sono multipli di due, si giungera alla . x + x2 P(2n - 1, 4, n) = coefficiente di x·' III (1 _ X)2(1. _ x")(1. _ x 3)
o riducendo : P(2n 4~
1., 4, n) =
x coefficiente di x' in (1 _ x)"(l _ x2)(1. _ x 3)
La espressione cp(x) [equazione (59)] si pUG ottenere nel seguente modo.
Posto : (60)
Si indichino con
e con ai'
a,
~,
~l , '/1 •.•.
'/ ....
quelle della: (1 -
ora indicando con
8m
Ie radici dell'equazione :
at
x )(1 -
-,
X
)(1 -
C{
x ) ..... = 0;
Ia espressione: 1
81
ha facilmente:
1
ANN ALI DI MATEMATICA
2'70
~ ;(~)-
i
=
quindi, deducendosi dalla. f6-0}
+
+
SIX
szx 2 +
S3X3+
.... ,
·(.a.r
CI + 2C 2 x + 3C 3X 2 + .... ~(x) = 1 + CIx + C2X 2 + C3X 3 + ...
ep'(x)
SI
avranno Ie seguenti relazioni :
C1 +
SI=
0
2C 2 + C1 S 1 + (61)
S2=
0
3C3 + C2 S Z + C I S2 + I~C4+
S3=
0
C3S I + Czsz+ CI S 3 + s4= 0 ee.....
I valori delle SI , S2'" si oltengono, per una nota proprieta delle equazioni binomie, dalla seguente formola:
nella quale il simbolo E
G)
visihile esattamente per k ed
rappresenta una quantita che
e eguale
e nulla
sc h non
a k nel caso contrario.
Esempio. P ( {n, 3, n)
=
eoefficiente di x
3 "
III
(1 _ x2)(1
~ x 4)(1 _
2
-
coefficiente di x" in
(1
~
x . 2 x )2(1 -~ x 4)
o riducendo col metodo suesposto :
P ( %n, 3, n) =
=
coefflciente di z" in
coefficiente di x"
1.
+ x4
---...,=-=---~ 2
(1 -
x )2(1 -
x 4)
l - x8 III
od anche supponendo n pari : " 1. - x 4 3 3) . di 2". P ( in, ,n = coefficiente 1 X III (1. _ xr(1. _
Ora ponendo:
X2)2'
x 6)
e di-
PURA ED APPLICATA. coefficienti C 1
,
C2
211
saranno dati dalle formole (61) nelle quali:
...
ossia : quindi:
P(3, 3, 2)
;:=::
C1 = 2,
P(6, 3, 4)
P(9, 3, 6) = C3 = 8 ,
=
C2
=
5,
P(12, 3, 8) = C4= 13, ....
5? Supponiamo ehe la funzione omogenea del grado r omogenea in indice dell' ordine s e formata cogli elementi ao , a l , .... an dehba soddisfare all'equazione (62)
Operando col primo membro della equazione superiore sulla funzione data ottieusi evidentemente una funzione delle ao ' a I . . . . a" omogenea di grado T, di indice s-1., e quindi composta di un numero P(s -- 1, T, n) di termini. Mediante l'equazione superiore si potra in conseguenza determinate un numero P(s - l,r, n) di coefficicnti numerici della funzione proposta, e sara :
Q(s, T, n) = P(s, T, n) - P(s - 1,
T,
n)
il numero dei coefflcienti indeterminati della medesima. Se a questi eoefficienti indeterminati si danno dei valori arbitrarj si potranno ottenere moltissime forme differenti fra 101'0 , rna di queste non saranno indipendenti ehe un numero Q(s, T, n) essendo Ie altre legate ad esse per mezzo di equazioni lineari a coefficienti numerici. Dunque il numero delle forme cornposte dagli elementi a o , c, .... all di grado r e di indice 5, Ie quali soddisfano all'equazione (62), e sono indipendenti cioe non legale da relazioni Iineari e Q(s, T, n). (~) Ora per Ia equazione (51) si ha : •
Q(s,
T,
•
s
•
.
n) = coefficiente di x nello sviluppo di
(1-X"+I)(1-x"+2) ...(1-x"+I') (l_x2)(I_x3) ..•• (I-xl')
quindi analogamente alle equazioni (52), (53), (55) si hanno Ie:
Q(s, r, n)
=
Q(s, n, r) ,
(63)
=
Q(nr - s, r, n)
,. Q(s, r,n)
(OJ Cayley -
Q(s, r, n)
= ~lI.Q(S o
-
m, m, n - 1)
A. Second Memoir upon Quantics - Phylosophical Transactions.
ANNALl OJ MATEMATJCA 272 ed analogamente alIa (58) (64) Q [Hnr - p), r, n] 1.
P
=}:m(-1.t coefficiente di z'v in ( m)( x X) ( ) o 1.-x 1.-ar- ... 1.-x Operando come al §~ 3~ per la funzione P si giungera alia: Q [ ~ (nr ~ p), r, n] = coefficiente di x" in
~~:~
nella quale U(x) e una funzione intiera di x e V{x) il prodotto di fauori della forma 1. - xo, 6~ Rammentando (Cnp~ 1~ §~ 1.~ - Cap" 3~ §~ 3~) che una funzione omogenea di grado r delle ao , ax , a2. '" a", la quale sia omogenea in indice dell'ordine ~ nr e soddisfi all'equazione (62) e un invariante della forma dell'ennesimo grado, e chiaro che In espressione Q ( i- nr, r, n) determiners per quella forma il numero degli invarianti indipendenti del grado r . Cosi siccome una funzione omogenea di grado r delle ao ' ax .. , an' la quale sin omogenea in indice dell' ordine Hnr - p) e soddisfi all' equazione (62) e il primo coefficiente di un covariante dell' ordine p della forma dcll'ennesimo grade, la espressione Q [ t (nr - p), r, n] dadl per la forma medesima it numero dei covarianti indipendenti di grado r e di ordine P: Quindi se nr e pari il numero totale degli invarianti e dei covarianti indipendenti di grado r della forma dell'ennesimo grado sara: Q ( ~ nr, r, n)
+
Q [ Hnr -
+
+ Q [ Hnr P ( -i nr, r, n)
2), r, n]
Q ( 1., r, n) =
-
4), r, n]
+ ....
e nel caso di nr dispari it numero totale dei covarianti indipendenti di grado r della forma stessa sara :
Q U ( nr -
1.), r, n]
+ Q(l,
+
Q [ i (nr - 3), r, nJ +
....
r, n) = P U (nr-i), r, n].
Osserviamo che essendo (63) :
Q [i(nr - p), r,
nJ =Q [i (rn - p), n,r]
la espressione Q [i (nr - p), r, n] rappresentera tanto il numero dei covarianti mdipendenti di grado r e di ordine p della forma dell'ennesimo grad OJ quanta quello dei covarianti indipendenti di grade n e di ordine p della forma dell'erresimo grado. Talche pub dirsi che ad ogni covariante d' ordine p e di grado r della forma di grado n corrisponde un covariante d'ordine p e di grado n della forma di grado T.
PURA ED APPLICATA. 273 Questa proprieta dei covarianti la quale vale evidentemente anche per gli invarianti viene denominata legge di reciprociui. 7? Lc Tabelle A, B, C .... segucnti furono ealcolate coi metodi esposti ai §i.2?, 3?, 4? Dalla Tabella A essendo : Q(n, 2, n) = coefficiente di z" in i + x 2 + x 4+ .... deducesi che tulle Ie forme di grado pari hanno uno, ed un solo, invariante quadratico (Cap? i? §? 4?). Dalla stessa Tabella essendo : Q(n, 3, n) = coefficiente di x" in '1
+ x 4+ x 8 + ....
=
Si ha che Ie sole forme di grado 0 (mod. 4) hanno un invariante cubico; quindi pet' la legge di reciprocita la forma cubica avril un iuvariante di quarto grado ( il discriminante di quella forma), uno di grado ouavo (il quadrate del discriminante) ec..... Dalla Tabella B si ha :
Q(n - 1, 2, n)
= coefficiente di
x" in x
+ x 3+ x 5 + x 7 + ....
quindi tuue Ie forme di grado dispari avranno uno, ed un solo covariante di secondo grado e di secondo ordine. COS! per la medesima tabella essendo:
Q [ i (3n -
2), 3, nJ = coefficiente di x" in x 2(i
+
x 4+ x 8 +
... )
Q(2n - 1, 4, n) = 0
=
deducesi che le sole forme di grado 2 (mod. 4) hanno un covariante di terzo grado e di secondo ordine, e che nessuna forma binaria ha covariante di quarto grado e di secondo ordine. Dalla Tabella C si avril che tutte Ie forme di grado pari hanno uno, ed un solo, 0 covariante di secondo grado e di quarto ordine j che Ie sole forme di grado (mod. !~) hanno un covariante di terzo grado e di quarto online j e che Ie forme dei gradi 3m, 3m - 1 , 3m - 2 hanno ciascuna m covarianti di quarto grado e di quarto ordine. Qalla Tabella G essendo :
=
QU (3n-l),
3,
nJ =
0
deducesi che nessuna forma puo avere covariante lineare e di terzo grado j e reciprocameute che la forma cubica non ha covariante lineare, Da ultimo dalle Tabelle N, P si ha che il numero totale degli invarianti e dei covarianti di secondo grado pel' le forme dei gradi 2m, 2m + 1 e m + I ; e che il numcro totale dei covarianti di terzo grado per una forma di grado 2m + '1 f\,
(m + l)(m + 2) 2 rom.
n.
N~
5. i85U.
35
ANNALI DI lVIATEMATICA Tabella A.
Q( i nT, )', n) = coefficiente di x" in A(r) 1. = 1. 1. - x 2
+
+
.
A(3) =
1. = 1. 1. - x 4
+ x 4+ x 8 +
.
A(l~) =
(1 _
A(2)
=
X2~(1 _
x 2 + X(I
=
coefficiente di x" in A(n)
x 3)
1. - X 36 A(5) = (1 _ x4)(1. _ x 8)(1 _ X I2)(1. _ X18) . A(6)
=
1. - x 30 (1. _ x")(1. _ x4)(1 _ x 6)(1. _ x 1 0 )(1 _ X15)
1._x6+2x8_XIO+5xI2+2xI4+6xI6+2xI8+5x20_X22+2x24_X26+X32 A(1) = (1 _ x4)(1 _ x 6)(1 _ x 8)(1 _ x I O)(1 _ X12) A(8) -
\1-x)(1 +x-x3_X 4+x 6+x' +x8+X9+XIO_XI2_XI3+XI5+XI6) (1 - X2)2(1 - X3)2(1 - x 4)(1 - x 5)(1 - x 7) Tabella B.
Q [ ~ (nr-2), r, nJ
=
coefficiente di x" in B(r) = coefficiente di x,. in B(n)
B (2)
= 1
B(4)
=
B(5) -
x 2 -x
=
x(l
+
x
2
+
x
4
+ .... )
0 x 2 (1 _ ('1 -
X 12 )
x 4Y (1 - x 6 )(1. -
B(6) = (1 _ X2)2(1
.
Xli)
x3 _ x4)(1 _ x5)
Tabella C.
Q[ -i (nr-4), r, nJ = coefficiente di 2
C(2) = 1. x
-x
2
=
x 2(1
+
x
x" in C(r) =
2+ 4+ x .... )
coefficiente di x'· in C(n)
PURA ED APPLICATA. C( 3)
=
C(4) =
1
2'75
x4
8 4 4 - x 4 = x (t + x + x + . . .. )
(1-X)~1-X3) =
x(1
+
x
+ x"+ 2x 3+ 2x 4+ 2x 5 + .... + mx 3m - 3 + mx 3m - + mx 3m - + ... ) 2
x 4(2 + x + 2x 4) C(5) = (1 _ x4)(1 _ x 6 )(1 _
1
2
x
X 8)
2
C(6) = (1 _ X2)2(1. _ X3)(1. -
X4) Tabella O.
Q[ i- (nr
6), r, nJ = coefficiente di x" in O(r)
3
= coefficiente di x r- in O(n)
= x 3 (1 + x + x 4 + .... )
0(2)
=
1 x
0(3)
=
x 2 (1. _ x 6 ) = x 2(1 + x 2+ 2x 4+ x 6 + 2x 8 + x 1 0 + 2X'2 (1 ~ x 2 )(1 - x 4)
2
-x
2
+ ....)
x3 O( 4) = (1. _ x 2 )(1. _ x3)
x (1 _ x 5 ) 2
0(5) = (1. _ x)(1 -x4)(1- x 6)(1. _ x 8 ) 0(6) = (1 _
X
2
x(1 - x 7 ) )2(1. _ x 3)(1 _ x4)(1 _ x 5 )
Tabella E.
Q[ i- (nr
-
8),
nJ
T,
E(2) =1 x
=
coefficiente di x" in E(r) = coefficiente di x" in E(n)
4
-x
2=X
4(1 + x2 + x4+ .... )
x(l(l - x 6 ) E(3) = (1 _ x 2 )(1 _ x4) 2
E(4)
x = (1. _ x)(1 -
x 4(2
E(5)
=
+
2x
2
x.)
+
(1 _
2x 4- 3x8 - 3x 1 0 -,3x 12 + X1 6 ) x4)'(1. _ x 6)(1. _ x8)
x (1. - x 3 ) E( ) - (1. _ x)(1 _ x )" (i _ x4}(1 _ 6 _
2
2
x5 ) *
ANNAL! DI MATEMATICA
276
Tabella F.
Q[ ~ (nr - 10), r, n]
= coefficiente di x lL in F(r) = coefficiente di x,. in F(n)
x5 F(2) = 1 - x'" F(3)
=
x 6 (1 - x 6 ) (1 _ x 2 )(1 _ x 4) 4
F(4) _ x -. (1 - x)(1 - x 3 ) x'"(1 + x'"+ 3x4+ 3x6+ 4x8 + x I O _ F(5) = (1 _ x4)(1 - x6)(1 __ x8)
F(6) =
XI4
_
X 16)
x 3 (1 - x 3 _ x 4) (1 _ x'"y(1 _ x 3)(1 _ x4) Tabella G.
Q[ i (nr - 1), r, n]
=
cocfficiente di x" in G(r) -
coefficiente di xl' in G(n)
G(3) = 0
x5
G(5)
=
(1 _ x'")(1 _ x 6)(1 _ x 8 ) Tabella H.
Q[ ~ (nr - 3), r, n]
=
coefficiente di X' in H(r) = coefficiente di x" in H(n)
Tabella K.
Q[ ~ (nr - 5), T, n]
=
coefficiente di x in K(r) = coefficiente di xl' in K(n) lL
3
K(3)
=
1 x
'"
-x
=
x 3 (1
+
x 2 + x 4+
.... )
x(l - XU) K(5) = (1 _ x 2 )(1 _ x4)(1 _ x 6 )(1. _ x 8 )
ANNAL! DI MATEMATICA Tabella L.
Q[ Hnr - 7), r, n]
= coefficiente di
5
L(3) L(5)
=
=
x
i-x
2
=
x 5(1. + x
2
x" in _L(r) = coefficiente di x in L(n) T
+
x 4+ .... )
x 3(1 + x 2_ 2x 6 - x 8+ 2xt4+ x t6_ x tB) (1 _ x 2)(1 _ x4)2(1 _ x 6)(1. _ XB) Tabella M.
Q[ ~ (nr - 9), r, n) = coefficiente di x" in M(r) = coefflciente di x in M(n) T
x 3(1. _ x 8 ) M(3) = (1. _ x 2 )(i _ x4)
M(5)
=
x 3(1. + 3x 2+ 2X(I- 2x8 - 3x 1 0 _ X1 2 _ X14+ xtS) (1 _ x4r(1. _ x 6 )(1 _ xB) Tabella N.
P (i nr, r, n) = coefficiente di z" in N(r) = coefficiente di xl' in N(n)
N(2)
= (
1
1.-x
)(1.
2
-x)
=1.+x+2x:l+2x3+ ... +(m+1.)x2"'+(m+1.)x2m+l+ ."
l - x8
N(3)
=
(1. _ x 2Y(1. _ X4)2
1-x6 N(4) = (1 _ x)(1 _ X2)2(1 _ x 3? 1 + x 2+ 6x 4+ 9x 6+ 1.2x8 + 9x t o + 6x 12+ X14+ XIB N(5) = (1 _ x 2)2(1 _ x4)(1 _ x 6)(1 _ x 8 )
1. N(6)
=
+
2+ x 3x 3+ 4x 4+ 4x 5+ 4x 6+ 3x 7+ X8+X 1 0 (1. _ x)(1. _ x 2)2(1 _ x 3)(1. _ x4)(1. _x 5 )
Tabella P. P [t (m' - 1), r, nJ = coefficiente di x" in P(r) = coefficiente di x in P(n) T
P(3) =
(1.~X)3
=x(1.+3X2+6X(I+1.0x6+ ... +
8x 4+ 1.0x6+ 10x 8 + 8x 1 0 + 4x 12 + x t4) (1 _ x2r(1. _ x4)(1. - x 6 )(1 _ xB)
x(1. + 4x
P(5} =
2+
(m+1.~m+2)X2"'+
00000
....)
