Le Memorie di Volterra e Peano sul Movimento dei Poli ANGELO GUERRAGGIO

Memoria presentata da C. TRUESDELL

Indite 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le memorie di Volterra del 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le memorie di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La polemica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Successivi interventi di Volterra sul moto dei poli . . . . . . . . . . . . . Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 98 108 111 119 122

1. Introduzione La maggior parte delle note dedicate da VOLTERRA allo studio del movimento dei poli terrestri viene publicata nel 1895. In esse l'analisi generale dei sistemi nei quali sussistono moti dovuti all'azione di forze interne 6 condotta con particolare riferimento--anche se in termini progressivamente modificati--al caso della terra, in cui tali movimenti sono indubbiamente presenti: si trattava di valutare l'influenza da essi esercitata sulla posizione dei poli e, di conseguenza, sulle variazioni delle latitudini. L'interesse di questi articoli, redatti nel periodo "torinese", sta anzitutto nella questione in s6 (di rilevante attualith scientifica alla fine del X I X secolo) e nelle originali soluzioni avanzate all'interno di una tradizione ormai consolidata di studi meccanici. Dal loro esame, nel paragrafo 2, emergeranno poi chiaramente le caratteristiche con cui VOLTERRA,gi~t in quegli anni, considera l'applicazione di un discorso strettamente matematico. Le memorie che hanno per oggetto i movimenti del polo terrestre offrono in questo senso un'occasione quanto mai stimolante, dato che sullo stesso argornento --sempre nel periodo 1895/96--interviene PEANO che vi scorge la possibilit~t di un'utile applicazione del calcolo geometrico. Questi suoi lavori verranno discussi nel paragrafo 3, in modo da puntualizzare i contenuti della polemica tra PEANO e VOLTERRA che costituisce episodio certa-

98

A. GUERRAGGIO

mente non marginale sia per le istituzioni e i singoli matematici che ne furono coinvolti, sia per i temi sollevati. In particolare, nel paragrafo 4, saranno commentate quelle memorie in cui entrambi affrontano esplicitamente le questioni della priorit& e della maggior o minor adeguatezza dell'approccio seguito. La corrispondenza inedita rinvenuta nel " F o n d o VOLTEgRA" presso l'Accademia Nazionale dei Lincei a R o m a I svolge un ruolo sostanziale nella ricostruzione complessiva degli interventi di VOLTERRA e PEANO. Innanzitutto la chiarificazione di alcuni termini della disputa facilita una comprensione piO precisa dei loro lavori, fino a quelli del 1899 e del 1938 in cui VOLTEgRA riprende i temi affrontati nelle memorie del 1895/96 (il paragrafo 5 sar& dedicato ad un'analisi di questi successivi interventi per coglierne continuit'~ ed elementi innovativi). La stessa polemica, al di 1/t dei suoi esiti, risulta quanto mai significativa per una storia della matematica di quel periodo; le problematiche coinvolte, che attraverso la "scuola italiana" riguardano uno scenario ben pif~ vasto, verranno discusse nelle conclusioni.

2. Le memorie di Volterra del 1895 Punto di riferimento sicuro per inquadrare gli studi compiuti da VOLTERRA attorno al 1895 sui movimenti del polo 6--anche stando alle sue indicazioni--it "Traitd de mdcanique cdleste". Qui, nel capitolo X X I X del tomo II, F. TISSERAND riporta le indagini compiute per stabilire, dopo le prime risposte di LAPLACE e POlSSON, s e e in che misura la permanenza del movimento di rotazione terrestre pub essere modificata da fenomeni meteorologici e geologici quali terremoti, esplosioni vulcaniche, glaciazioni, sedimentazioni secolari: " L a pr6cision toujours croissante des observations astronomiques ne permet plus de s'en tenir ~ ces conclusions sommaires, et les g6om6tres ont commenc6 ~ se pr6occuper de l'6valuation num6rique des effets perturbateurs auxquels le mouvement de rotation de la terre pourrait &re soumis. ''2 Nel capitolo successivo viene allora analizzato il movimento di rotazione di un corpo la cui forma pi/J variare. Rimangono perb sempre trascurati per VOLTERRA quei moti ciclici che, presenti sulla superficie della terra e al suo interno, non modificano sensibilmente la forma della superficie e su di essa la distribuzione delle masse; d'altra parte nulla esclude che tall moti (che avvengono sotto l'azione di forze interne e non alterano gli assi di inerzia della terra n6 i suoi momenti principali d'inerzia) possano esercitare una sensibile influenza sulla posizione dei poli. Cosi VOLTERRA i Tale deve ritenersi la collocazione delle lettere qui riportate, salvo esplicita indicazione contraria. Le lettere dirette a VOLTERRAsaranno crate in relazione all'originale, mentre per quelle di VOLTERRAsi far~t riferimento alla loro minuta. Desidero ringraziare il prof. GIUSEPPE MONTALENTI, presidente della Acczdemia Nazionale dei Lincei, e la direzione e il personale di questa biblioteca per avermi agevolato la consultazione del materiale ad essa affidato. Analogo sentito ringraziamento va alia signora LUlSA VOLTE~A D'ANcoNA che segue con interesse le mie ricerche storiche sulla figura di suo padre. 2 F. T I S S E ~ , 1891, p. 477.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

99

spiega le motivazioni della sua indagine in una lettera del 13 giugno '95 allo stesso TISSERAND: " M i prendo la libert~t di inviarvi alcune memorie che ho pubblicato sulla questione della rotazione della terra, nelle quali ho considerato l'effetto dei movimenti che hanno luogo sulla terra mostrando the, anche senza alterare i momenti di inerzia e senza deformazione, essi possono produrre degli spostamenti del polo. Schiaparelli ha trovato che questa idea ~ nuova e mi ha incoraggiato in questi studi. In generale, nella teoria dei movimenti del polo, si esaminano i movimenti che cambiano la distribuzione delle masse sulla terra e di conseguenza i momenti d'inerzia, ma oltre a questi vi sono dei movimenti sulla superficie della terra (e altri possono esisterne all'interno) che senza cambiare la posizione degli assi di inerzia n6 la grandezza dei momenti di inerzia possono esercitare un'azione potente sullo spotamento del polo della terra. Io credo che non si sia esaminato l'effetto di questi movimenti. Per esempio, tra i movimenti di questo tipo che hanno luogo alla superfieie sulla terra ci sono le correnti marine costanti, quelle atmosferiehe, i movimenti continui delle acque dei fiumi verso il mare e la loro evaporazione e quindi la loro condensazione sulle montagne. Questi movimenti ciclici che hanno luogo alla superficie sulla terra non eambiano sensibilmente la distribuzione delle masse in modo che in prima approssimazione possono anche ritenersi stazionari." VOLTERRA pubblica la prima nota sull'argomento in "Astronomische Nachr i c h t e n " - - s u indicazione di SCHIAPAREI~LI--con la data del 1 febbraio '95. [V. 1] contiene molti dei t e m i - - n o n tutti ancora ugualmente sviluppati--ricorrenti helle successive memorie che ad essa comunque faranno sempre riferimento; evidenzia inoltre le caratteristiche generali dell'approccio seguito da VOLTERRA: sottolineare fenomeni solitamente trascurati e nel contempo isolare un nucleo semplice ma essenziale che consenta l'instaurazione di un procedimento di soluzione e favorisca poi l'inserimento in esso di ipotesi pifi complesse. [V. 2] 6 semplicemente una sintesi della precedente, che trova un suo motivo d'interesse nel fatto che proprio "Sulla teoria dei moti del polo terrestre" 6 la comunicazione presentata ali'Accademia delle Scienze di Torino nella seduta del 3 febbraio quando VOrTERRA 6 designato soeio nazionale residente. 3 In [V. 1] il problema viene presentato in termini generali considerando un corpo qualsiasi al cui interno o sulla cui superficie avviene, causato da forze interne, un moto stazionario di una sua parte, che per6 non ne altera la forma e la distribuzione di densit~t. I calcoli vengono quindi riferiti in particolare ad un corpo omogeneo che ruota attorno al proprio baricentro e al cui interno una parte ruota uniformemente attorno ad un suo asse, in modo che tutto il resto

3 Alia elezione a 5 posti di socio nazionale residente concorsero 8 candidati. I 15 soci votanti scrissero su una scheda i nomi di al pi~t 5 candidati; VOLTERRArisultb il primo tra gli eletti con 13 voti.

100

A. GUERRAGGIO

del corpo conserva la propria rigidit~t e n6 il baricentro n6 gli assi d'inerzia n6 i momenti principali d'inerzia A, B, C risultano modificati. Nell'ipotesi che il modello sia caratterizzato dall'assenza di forze esterne, VOLTERRA pervienne al sistema 4:

I Ap -~ M1) oq + (Bq -+- M2) az -J- (Cr -~ M3) o¢3 ~- 0

(a)

(Ap q- MI) fl~ q- (Bq -k M2) [32 +(Cr -t- M3) t33 -~ 0 [ (Ap -4- M~)y~ q-(Bq ~- Mz)V2 + ( C r q- M3) ~'3 = 0

e da questo alle condizioni:

A dp/dt + (C -- B) qr q- M3q -- Mzr = 0

(b)

B dq/dt -k (A -- C)pr + M~r -- M3p -~ 0 C dr/dt -k (B -- A) pq -k M~p -- M~q = 0

"Queste equazioni sono analoghe a quelle di Eulero e dimostrano che le reazioni prodotte sul corpo dai moti interni equivalgono ad una coppia motrice di componenti M2r -- M3q, M3p -- Mlr, M l q -- M2p ''5. La loro integrazione si svolge "senza difficolt~"; in IV. 1], tuttavia, VOLTERRA si limita a condurre il problema alle quadrature osservando che gi~ da questo emerge l'interesse del modello in quanto nel caso della terra il sistema (b) assegna dp/dt" dq/dt =4=0 (se M1M2 =~ 0) e "in conseguenza l'asse principale d'inerzia ~ non sadt un asse permanente di rotazione, ma l'asse stesso tenderh a variare ''6.

In questa prima nota, il movimento del sistema viene studiato geometricamente con metodi "~t la Poinsot". Cosl VOLTERRA perviene al risultato centrale di [V. 1]: la determinazione dell'equazione della polodia, come intersezione delle quadriche

M1

~2

S2

+

M2 ' ~ Z + C 2 ~ +

M3

kz

in cui h e k rappresentano delle costanti assegnate. La polodia assegna tutte le possibili posizioni assunte dall'asse istantaneo di rotazione permettendo di deter4 Ms, M2, -/1//3 rappresentano le componenti secondo gli assi principali centrali d'inerzia delle coppie di quantit~t di moto dovute ai movimenti stazionari; p, q, r sono le componenti rispetto alle stesse direzioni della velocit~t angolare del sistema; ai,/3i, ~i sono infine i coseni degli angoli formati dalla terna degli assi fissi con quella degli assi principali centrali d'inerzia. s [V, 2], p. 109. 6 IV. 1], p. 90.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

101

minare, in relazione a ciascuna di esse, la velocit~t angolare di rotazione del corpo 7. Lo studio dei suoi punti multipli risolve la questione della individuazione degli assi permanenti di rotazione, rinvenuti nelle congiungenti i punti multipli della polodia con il baricentro. Da qui segue una diversa caratterizzazione degli spostamenti del polo nei casi, rispettivamente, in cui la polodia abbia o meno punti multipli; nella prima situazione il polo non torner~, al punto di partenza ma si avviciner~t indefinitamente al punto singolare laddove, nella seconda circostanza, la polodia sar~ una linea chiusa con il polo dunque che riassumer~t la posizione iniziale. Queste considerazioni vengono applicate ai moti della terra (giungendo in tale caso a formulare una condizione necessaria e sufficiente per l'inversione dei poli) e generalizzate riumovendo l'ipotesi della stazionarietS, dei moti interni. L'integrazione del nuovo sistema A dp/dt + (C -- B) qr + Maq -- M 2 r -k dM~/dt ---- 0

(b')

B dq/dt -k (A - - C ) p r -k M~r - - M a p + dM2/dt = 0 C dr/dt -~- (B - - A) pq + M 2 p - - M~q + dMa/dt = 0

(sempre nel caso A----B) avviene per approssimazioni successive, esprimendo per mezzo di serie convergenti--qualora gli intervalli di tempo siano opportunamente limitati--sia p, q, r in funzione di M1, M2, m3 sia, viceversa, trovando i moti interni capaci di provocare un qualsiasi movimento assegnato del polo di rotazione. La soluzione analitica del problema generale rappresentato dai sistemi (a) e (b) si trova nella terza, quarta e quinta nota presentate, sempre all'Accademia delle Scienze di Torino, nelle sedute del 3 e 31 marzo '95. In [V. 1] VOLTERRA aveva indicato come dal sistema (b) si potesse ricavare t in funzione d i p o di q 0 di r ottenendo, per mezzo di inversioni, le leggi delle componenti della velocit~t angolare. Per il calcolo effettivo, VOLTERRA segue invece un procedimento differente. In [V. 3] nota anzitutto c h e l a ricerca di p, q, r 6 equivalente a quella delle coordinate del polo, che appartiene ad un luogo esprimibile come intersezione di due quadriche (sulle quali viene operata una trasformazione lineare per ricondurle a forma canonica); questa osservazione permette di esprimere le quantit~t cercate in funzione di un parametro u attraverso le funzioni ellittiche trl, a2, ~r3, tr. Non rimane che assegnare, in funzione di u, anche t. Sostituendo in (b) i valori trovati per p, q, r, VOLTERRAtrova che dt/du 6 funzione doppiamente periodica; d'altra parte le ipotesi fatte sui dati iniziali de1 problema 8 7 Avendo sempre come riferimento i risultati raggiunti per i moti di EULERO,VOLTERRA dimostra anche che, in questo caso, il moto del sistema avviene in modo che "l'ellissoide d'inerzia rotola sul piano polare, mentre questo ruota in ciascun istante attorno alla generatrice secondo cui incontra la rigata assiale". I1 moto del sistema 6 inoltre tale che esso non Viene qualitativamente alterato se lo si compone con una rotazione uniforme attorno all'asse della coppia di quantit~t di moto. 8 VOLTERRA, in particolare, suppone che A, B, C siano diversi Ira loro e che M1 • 3//2" M3 sia diverso da zero.

102

A. GUERRAGGIO

escludono che dt/du possa diventare infinita, p o r t a n d o cosi essa sia costante: t = n(u - - Uo), con n costante che viene in La soluzione analitica 6 completata nella quinta nota 9 determinazione delle leggi con cui variano i coseni direttori dalla terna mobile con gli assi fissi.

alia conclusione che seguito determinata. il cui obiettivo 6 la degli angoli formati

(...) ho p o t u t o dimostrare che se in un problema qualunque di rotazione le componenti della rotazione p, q, r sono funzioni uniformi del tempo, e tre fra i nove coseni ~ , )J2, 7a sono pure funzioni uniformi del tempo e nei punti di singolarit/z gli ordini di infinito delle p, q, r non superano quello di uno almeno delle ~1, ~2, Va anche i rimanenti dei coseni sono funzioni uniformi del tempo 1°. Nel caso di un sistema al cui interno sussistono moti stazionarii avevo gi~ calcolato nelle note precedenti p, q, r, ~,~, )J2, ~'a ed 6 facile riscontrare che queste quantit/~ soddisfano alle condizioni del teorema precedente, sicch6 tutti i coseni possono esprimersi come funzioni uniformi del tempo. Eseguendo il calcolo effettivo si ottengono tutti i coseni espressi per mezzo di funzioni a, tantoch6 pub andarsi anche in questo caso in f o n d o alia soluzione, come nel caso di Jacobi, m a i risultati sono notevolmente diversi. 1~ In particolare, VOLTERRA ricorda come i nove coseni siano esprimibili razionalmente mediante le quantit~ 1 -~ 7~, 72 -]- i73, ~X1 -~- i~l (senza cos] ricorrere a funzioni trascendenti necessariamente implicate invece dall'uso degli angoli di EULERO); poich6 le prime due si ottengono facilmente a partire da p, q, r - - c a l colate in [V. 3]--il "calcolo effettivo" si riduce alla determinazione di oq -~ ifl~ che viene trovata i n t e g r a n d o - - u n i c a quadratura, dunque, necessaria--una funzione di p, q, r; 9 In [V. 4] VOLTERRAgeneralizza i risultati di [V. 3] considerando il sistema dp/dt = d(fl, A)/d(q, r)

(c)

dq/dt = d ( f l, A)/d(r, p) dr~tit = d(fl, A ) / d ( p , q)

in cui fl e f2 sono funzioni intere di secondo grado di p, q, r mentre i secondi membri esprimono i relativi determinanti funzionali. Ripetendo, con qualche leggera variazione, il procedimento seguito in IV. 3], VOLTERRAtrova risultati che estendono la validith di quanto ricavato nella nota del 3 marzo. lo Precisamente, in [V. 5] il teorema viene cosi enunciato: [A] "Sep, q, r; 9'1, 72, 7a sono funzioni uniformi del tempo e non hanno altre singolarit~ che dei poli, e in questi punti gli ordini d'infinito dellep, q, r non superano quello di uno almeno delle 71, 72, 7a, anche i rimanenti coseni saranno funzioni uniformi del tempo aventi delle singolarit5. polari soltanto". In realtor, non 6 questo teorema che viene applicato ma il seguente che VOLTERRAdimostra essere equivalente: []3] "Se si possono porre p, q, r; 71, )'2, Ya sotto la f o r m a p = P/D, q = Q/D, r = R/D; 71 = P1/D, 72 / , 2 / D , 73 = PaID con P, Q, R; F~, /'2, /'a; D funzioni uniformi ed intere del tempo, e se /,1, /,2, /,a, D non hanno alcun zero comune, anche i rimanenti sei coseni saranno funzioni uniformi del tempo con sole singolarith polari". ~1 Lettera di VOLTERRA a L. BIANCHI del 18.5.'95. =

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

103

L'ultimo paragrafo di IV. 5] sottolinea proprio questo rapporto di continuit~t e progresso (gi~t indicato nella lettera a BIANCHI) che VOLTERRAassegna alla propria ricerca, in relazione ai classici lavori sulla rotazione dei corpi. E' il teorema [A] che gli permette di semplificare notevolmente la parte dello studio di JACOB~ tesa alia ricerca dei rimanenti coseni direttori, 6 lo stesso teorema [A] che esprime una comoda condizione sufficiente per la verifica di quella circostanza--l'esistenza del divisore 2i--nella cui presenza gi~t JACOBI aveva individuato una garanzia per il successo del suo provedimento di integrazione. Queste cinque memorie rappresentano il primo momento dello studio di VOLTERRA;e a d esse che si riferiscono alcune osservazioni critiche di V. CERRUTI. La prima ~ contenuta in una lettera a VOLTERRA del 24 aprile dove si nota che il procedimento impiegato in IV. 3] e [V. 4] per la trasformazione delle forme quadratiche " n o n differisce, nella sostanza, da quello che io avevo seguito nelle mie lezioni". Sempre con espressioni molto cortesi, di chi giustifica il proprio intervento con il fatto che "in questo pandemonio di Roma, quanto a studi, si vive isolatissimi e bisogna contentarsi di confabutare con se stessi", in una successiva lettera del 6 maggio CERRUTI "si permette" di riportare per sommi capi-in relazione alla dimostrazione con cui VOLTERRAaveva ottenuto il sistema (b)-"una dimostrazione che soglio dare nei miei corsi di certe equazioni, che includono come caso particolare quella che Ella ha incontrato e trattato nei suoi lavori", dimostrazione--viene osservato--neppure molto originale (perch6 riprende quella di LAGRANGE e LIOUVILLE) e comunque tale da mostrare "che i risultati da lei ottenuti sono validi anche in condizioni fisiche pi/a generali di quelle da Lei presupposte". Non stupisce l'immediata reazione di VOLTERRA,espressa in due lettere del 7 e 8 maggio: lo specifico rilievo mossogli poteva alimentare il dubbio ben pi~ pesante che tutto il suo lavoro fosse deducibile senza molte difficolfft da equazioni fondamentali della dinamica, addirittura pervenendo ad una maggiore generalith. Le risposte a CERRUTI sorlo interessanti anche per altri motivi: oltre a contenere ulteriori elementi per il giudizio sul valore delle sue note, esprimono tratti significativi della personalittt di VOLTERRAin quegli a n n i e rappresentano uno dei primi momenti in cui affiora la polemica con PEANO. "Mi affretto a rispondere alla pregiata sua di ieri che ho ricevuto oggi stesso. Avevo piena conoscenza delle equazioni di Lagrange-Liouville di cui Ella mi parla, le quali sono riportate e dimostrate nel Cap. XXX del secondo volume del Tisserand; capitolo esplicitamente citato nella prima delle mie note (Sulla teoria dei moti del polo terrestre). Sono anzi queste formule che formano il punto di partenza delle belle memorie di Gylden del 1877 e di un'analisi estesa data dallo stesso Tisserand nel medesimo capitolo. Trovo soltanto che le equazioni di Lagrange dicono troppo nel senso che esse valgono per un sistema di punti su cui non si 6 fatta alcuna specializzazione. Le formule che ho dato sono certamente incluse in quelle di Lagrange-Liouville ma vi sono incluse come esse sono pure incluse nelle equazioni generali della dinamica di Lagrange e in quella simbolica del moto o per meglio dire nel principio delle aree. Certamente la deduzione delle mie formule avviene molto facilmente da quelle di Lagrange, ma mi sembra che esse vengano altrettanto

104

A. GUERRAGGIO

facilmente partendo direttamente dall'enunciato ordinario del principio delle aree, di cui le equazioni di Lagrange rappresentano appunto la traduzione analitica. In a!tri termini: le mie equazioni sono la espressione analitica del principio delle aree nel easoparticolare immaginato; quelle di Lagrange sono la espressione del principio delle aree nel caso generale, e quindi mi sembra la stessa cosa il partire dal principio delle aree come ho fatto o i l partire dalle equazioni di Lagrange-Liouville. Ci6 che preme di notare 6 che deducendole nel primo modo non vengo ad attribuirmi nulla di pifa di quanto mi attribuirei deducendole da quelle di Lagrange-Liouville. Io ho preferito il primo modo, giacch6 senza complicare n6 eliminare le cose potevo cosl fare a meno di riportare le equazioni di Lagrange-Liouville che in vari trattati che vanno helle mani di tutti (come per es. il Kirchkoff) non si trovano riportate." "Mi prendo al libert~t di far seguito alla mia lettera di ieri colla presente. Probabilmente nella fretta non ho esplicitato abbastanza bene e chiaramente il mio pensiero. Mi scuser~t, l a prego, della fretta con cui Le scrissi; ma io ero molto angustiato temendo che Ella potesse ritenere che io non conoscessi la esistenza delle equazioni Lagrange-Liouville, e the io mi fossi accinto a pubblicare qualche cosa sulla questione senza avere una sufficiente preparazione, e perci6 non ho voluto tardare un momento a scriverle. Spero the Ella nella sua bont~t vorr~t compatire questo mio sentimento pensando quanto peso io dia al suo giudizio. (...) Mi scusi, egregio professore, della mia insistenza e voglia compatirmi. In questi giorni ebbi l'animo assai amareggiato da parte del collega Peano. Questo senza avvertirmi in nessun modo ha presentato all'Accademia una Nota nella quale ripete gli stessi calcoli e te stesse considerazioni da me fatte per i moti del polo, riportando la cosa quasi come nuova e dicendo alcune frasi ugualrnente finte che non mi 6 possibile di accogliere benevolmente. Inoltre egli ha tentato l'applicazione numerica partendo dall'esame della corrente del Golfo sul moto del polo. Ritengo che quest'ultimo calcolo sia condotto in maniera inesatta, senza contare che i dati da cui parte non sono attendibili e i risultati in nulla conformi alla realth. Ad ogni modo mi sono trovato costretto domenica stessa a presentare all'Accademia le Note sul confronto del calcolo con i risultati empirici di Chandler che io avevo gi~t pronte ma su cui volveo ancora ripensare con calma." La questione "PEANO" non 6 raccolta dal CERRUTI,che non ne fa menzione nelle successive lettere. Per il resto la risposta di VOLTER~A, the sostanzialmente giudica inessenziale l'appunto specifico mossogli mentre ribadisce i motivi di originalitfi del suo lavoro, viene accettata; il confronto si chiude con CERRtlTI che consulta i capitoli indicatigli del manuale di TlSS~gAND e spiega ehe la sua "lettera non aveva altro scopo the di rilevare il grado di generalith, stando in un campo meramente astratto" dei risultati ottenuti da VOLTERRA"con un'intuizione fisica veramente felice". Diverse le indicazioni che VOLTERRAriceve da SCHIAPARELLI;questi, a proposito della parte di IV. 1] in cui VOLTERRA aveva riferito il suo discorso al caso specifico della terra, in una lettera a F. PORRO del 24 gennaio aveva osservato:

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

105

Le restituisco la rnemoria del Professor Volterra, la quale rni pare di non poca novit~t ed irnportanza; non essendomi noto che alcuno degli scrittori, i quali si sono occupati della rotazione terrestre, abbia considerato il problerna sotto questo punto di vista: credo pertanto che farebbe bene renderlo di pubblica ragione per chiamare l'attenzione dei Matematici anche sopra l'influsso dei moti stazionari the senza dubbio sono sulla superficie della Terra molto nurnerosi e molto potenti. Perb non credo che con poca rnacchina si possa ottenere l'inversione dei poll sopra uno sferoide come la Terra, in cui dei 3 rnomenti A, B, C uno 6 notabilrnente superiore agli altri due. Quando A = B = C basta nulla o quasi nulla per ottenere qualunque gran moto dei poli, perch6 questo 6 il caso limite della rotazione stabile, anzi si pub dire che una rotazione intorno ad un asse qualunque 6 stabile od instabile a piacirnento. M a quando uno dei 3 rnomenti A B C sia sensibilmente superiore agli altri due, se lo sferoide sar~t rigido, difficilrnente si potr~t ottenere grandi movimenti del polo di rotazione stabile con piccole circolazioni stazionarie di materia: forse si otteranno piccole oscillazioni periodiche che sarebbe del pifi alto interesse esarninare. E' questo un dubbio che nulla toglie all'interesse del problema trattato dal Prof. Volterra, anzi lo accresce, se possibile: e potrebbe dargli a trattare come esempio un caso meno semplice, rna pi/a vicino alia realt~ delle cose, Scrivendo direttarnente a VOLTERRA, SCHIAPARELLI aggiunge: "per la terra con piccoli rnoti stazionari non si ban che rninime oscillazioni periodiche di periodo uguale a quello assunto pei moti stazionari, combinate con altre del solito periodo euleriano. Cosi almeno trovo esarninando le equazioni a occhio e croce. N6 sarebbe forse improbabile fare uscire di qui il periodo di Chandler, 432 giorni. L'idea mi pare degna di essere coltivata". I suoi suggerirnenti sono raccolti in [V. 6] e [V. 7], presentate sernpre all'Accademia delle Scienze di Torino nelle sedute del 5 rnaggio e 23 giugno. In esse, "volendo fare un'applicazione della teoria ai rnoti effettivi terrestri", VOLTERRA sernplifica l'aspetto analitico con la soppressione di alcuni termini ritenuti trascurabili e assume come ipotesi che i rnoti del polo siano gi~ assegnati come "decomponibili in una serie di moti armonici". Sotto questa ipotesi continua, con A = B e M1, M2, M3 non necessariamente costanti, lo studio delle interazioni tra i rnovimenti del polo e quelli interni che li possono provocare, pervenendo alla conclusione che essi "hanno eguali periodi, due eccettuati, ciascuno dei quali 6 proprio 12 ad uno dei movirnenti ed tale che l'altro non pu6 possederlo". Questo risultato viene utilizzato in relazione alla congettura di CHANDLER: senza impegnarsi a discutere la validith di tali ipotesi, VOLTERRA deterrnina--in base a quanto p r o v a t o - - l e caratteristiche dei rnoti interni perch6 i rnovimenti del polo risultino contraddistinti da un simile periodo. 12 IV.

7] ~ appunto rivolta alia chiarificazione dell'espressione "periodo proprio"

che VOLTERRAUsa in riferimento ad un corpo che pub assumere un moto arrnonico

qualsiasi di quel periodo. La nota fa pensare ad incomprensioni o polemiche suscitate da IV. 6]; tuttavia la precisazione di VOLTERRAnon riguarda la polemica c o n PEANO, anche se il contenuto di queste due memorie sar~t direttamente coinvolt0 nella contesa.

106

A. GUERRAGGIO

Sernpre ad una ricerca di SCHIAPARELLI fa riferimento [V. 8], l'ultima nota sull'argornento presentata a Torino e nella quale effettua lo studio gi~ piCa volte annunciato, delle perturbazioni causate dalla plasticit~t terrestre sui rnoti del polo dovuti a movirnenti interni. Non 6 comunque solo il riferimento a SCHIAPARELLI che induce VOLTERRA ad attribuire notevole importanza alla questione. L'analisi delle conseguenze provocate dalla considerazione della plasticith consente una prima verifica della produttivit~t dell'approccio seguito, che risulta valido anche nella misura in cui favorisce l'introduzione di ipotesi piia generali; la plasticit~ inoltre perrnette di arricchire il quadro, descritto in [V. 6] e [V. 7], delle "effettive applicazioni" riportando in evidenza la congettura della reale consistenza dei moti del polo dato che--cosi VOLTERRA aveva anticipato in [V. 6] anche se poi l'argornentazione non ~ pi/a ripresa--queste "perturbazioni possono essere tali da non escludere in certi casi la possibilith di un lento rnoto progressivo de1 polo". La decisione di presentare IV. 8] nella seduta del 9 giugno appare cornunque rnotivata anche dalla necessit~t di rafforzare la propria presenza e irnrnagine su un argornento e in un ambiente in cui PEANO era gi~tintervenuto piCavolte. Lo stesso stile della cornunicazione riflette una acquisizione dei terni trattati ritenuta non ancora definitiva la, con esiti perb tutt'altro che trascurabili. Ancor piCa che in altre occasioni, VOLTERRA indica di non avere interesse a!cuno nell'isolare il risultato finale dal problema da cui ~ sorto e nel nascondere i passaggi intermedi; cosi IV. 8] 6 inizialmente la ritrascrizione in forrna diversa di quanto gi~t ottenuto, al fine di favorire la "rnessa in equazione" del nuovo problema. Questo viene risolto, lirnitatamente perb all'ipotesi c h e l a plasticit~t della terra si rnanifesti nell'avvicinare il polo di inerzia a quello di rotazione con una velocit~t che risulti funzione crescente della distanza tra i due punti. Le rirnanenti note appaiono negli Annali di Matematica e nei Re1:diconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei. VOLTERRAavverte che il confronto con PEANO 6 orrnai inevitabile e cerca maggiore diffusione e ulteriori consensi alia sua irnpostazione; alcuni accenni presenti nelle lettere di BIANCHI permettono di aggiungere, quale ulteriore rnotivazione di questo suo "disimpegno" da Torino, un certo disagio e insoddisfazione che egli prova di fronte alle reazioni suscitate all'interno dell'Accademia dai primi sviluppi detla polernica. Sono memorie in cui generalizza risultati trovati nelle prime note o riprende discorsi in esse accennati, senza cornunque che da cib derivi un minor respiro o una piatta e poco significativa estensione di quanto gi~t provato. Risalta anzi, quale elernento caratteristico, l'uso di diversi linguaggi e la padronanza che VOLTERRArnostra nel loro irnpiego. Mentre nelle prime ricerche, che si avvalevano principalrnente della teoria delle funzioni ellittiche, i punti di riferimento erano dunque costituiti dai lavori di HALPHEN,WEIERSTRASS,HERMITE, [V. 10] ad esernpio 6 la ripresa in termini geornetrici dell'esame iniziato in [V. 1] delle rotazioni permanenti al fine di qualificare ora i corrispondenti assi dal punto di vista della loro stabilitY. VOLTERRA la Ancora in una lettera a G. H. DARWIN del 1896 (senza ulteriore data) VOLTERRA dichiara che "nell'insieme dei miei lavori la considerazione delia plasticit~t 6 stata trattata solo incidentalmente". L'introduzione di [V. 15], che compare nel 1898, confermer~t che tale studio rimane in VOLTERRAsolo "abbozzato".

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

107

verifica che le rotazioni permanenti del sistema sono caratterizzate dalle posizioni di equilibrio dell'indice della rotazionea% situate a loro volta nei punti doppi delle quartiche

2 1/ABC [(Ap + Ma) 2 T (Bq + M2) 2 q- (Cr + M3) 2] = cost. ( = hi) (d)

1 2 I/~--C 1 [Ap2 + Bq2 + Cr2] = cost. ( = h2).

Ne deduce, trarnite il teorerna centrale della nota, che le rotazioni perrnanenti stabili sono cornpletamente individuate dai punti isolati delle quartiche (d); tali rotazioni permanenti godono anzi di una doppia stabilit~ rispetto alle alterazioni sia del rnoto di rotazione del sistema che dei moti internP 5. I1 teorerna ha conseguenze immediate su problemi gib. affrontati in [V. 6] e [V. 7]: l'esistenza e l'individuazione di rotazioni permanenti stabili permettono infatti di afferrnare che eventuali piccole oscillazioni di un sisterna attorno ad una posizione di equilibrio non necessariarnente si riferiscono al polo di inerzia. Attraverso lo studio di queste piccole vibrazioni e dei loro periodi, VOLTERRA 6 ora in grado in precisare gli effetti causati dai moti interni. Quando non esistono moti interni vi 6 una sola posizione stabile del polo di rotazione (...) corrispondente a p ----Po, q = r ----0, ed il periodo di vibrazione del polo attorno ad esso 6 il periodo euleriano 2~B/(B -- A)Po- I rnoti interni, dunque, oltre a dar luogo a infinite posizioni stabili del polo, alterano anche il periodo euleriano rendendolo suscettibile di assurnere i valori dati dalla formula precedente.16 Altra nota molto "impegnata" 6 [V. 11] in cui lo studio sulle variazioni delle latitudini ~ inserito nel contesto pifi ampio di sistema ciclico (introdotto da HELMrIOLTZ e ripreso poi da HERTZ) 17. L'analisi di un qualsiasi sistema girevole attorno ad un punto fisso, caratterizzato da parametri costanti e nel quale si rnantengono pure costanti le intensit~t cicliche dei moti interni, ~ irnrnediatamente riconducibile al rnodello generale preso in considerazione da VOLTERRA in cui forze interne rendevano stazionari i moti interni; in particolare, in assenza di forze esterne, si potranno dunque utilizzare i risultati di [V. 3] e [V. 5]. I1 problerna sorge se si elirnina la richiesta della presenza di forze interne per conservare costanti le intensit~ cicliche dei moti interni: VOLTERRA dimostra che tale generalizzazione effettiva in quanto essi, tolte alcune situazioni ben individuate, non si mantengono 14 Le cordinate (p, q, r) dell'indice della rotazione coincidono, a meno di una costante di proporzionalit~, con quelle del polo di rotazione. ~5 L'unica eccezione a questa proposizione si ha quando l'indice della rotazione sta in equilibrio in ogni punto dello spazio; in questo caso la stabilitb, riguarda solo le alterazioni del rnoto di rotazione del sistema. J6 IV. 10], p. 185. 17 I risultati di IV. 11] sono anticipati, senza per6 alcuna dimostrazione, in IV. 9].

108

A. GUERRAGGIO

isociclici. Vi 6, in altre parole, una reciproca influenza t r a i l moto complessivo del sistema e i suoi moti ciclici interni dato che, come questi modificano la rotazione del sistema, cosi essa altera la caratterizzazione dei moti interni. Anche in questo caso, comunque, valgono i risultati di [V. 3] e [V. 5] in quanto "un corpo di cui costante la forma e la distribuzione di densit/t, nell'interno del quale esiste un sistema policiclico i cui parametri possono ritenersi invariabili e sulle cui coordinate cicliche non agisce alcuna forza, ruota, sotto l'azione di una coppia motrice, attorno ad un punto fisso, come un altro corpo in cui esistono moti interni stazionari e che b sollecitata dalla stessa coppia motrice ''~8. Sono sempre le funzioni ellittiche, anche in una ulteriore generalizzazione che contiene sia il caso del moto isociclico che di quello adiabatico, a fornire l'espressione analitica delle grandezze che individuano la dinamica del sistema. I1 problema che in tal modo resta risoluto 6 assai pig complesso di quello Eulero-Jacobi di un sistema rigido; pure le stesse trascendenti, cio6 le funzioni ellittiche e le funzioni Jacobiane bastano per ottenere la soluzione; soltanto queste trascendenti compariscono nelle formule finali in maniera diversa che nella soluzione di Jacobi relativa al sistema rigido? 9 IV. 11] chiude sostanzialmente la ricerca iniziata con [V. 1] e sintetizza, anche nella frase sopra riportata, il percorso compiuto da VOLTERRA. In tutte le note analizzate sono sempre stati presenti sia il problema "concreto" dello spostamento dei poli terrestri che ha costituito la motivazione iniziale dell'indagine sia il suo inquadramento in un modello pig generale. 1 rapporti tra questi due momenti hanno avuto per6 una loro dinamica: nelle prime memorie ~ fortemente esplicitata l'attenzione alla questione particolare, sia nei titoli degli articoli, sia ripetutamente nelle presentazioni che ne fa VOLTERRA helle lettere sia nello spazio e collocazione che tale problema viene ad avere; quello che potrebbe essere individuato come punto di svolta si ha con [V. 6] in relazione--come si 6 visto--alle osservazioni di SCmAPARELLI. Da questo momento diventa prevalente l'interesse che VOLTERRA stesso definisce "analitico" o "funzionale". Non che vengano a mancare i riferimenti alla questione iniziale; piuttosto essi perdono il precedente carattere di centralitfi per divenire esempi di un discorso pig generale, sempre in ogni modo sviluppati nei termini di quelle piccole oscillazioni in cui SCHIAPPRELLI aveva invidivuato la possibile effettiva applicazione.

3. Le memorie di Peano

Le questioni di priorith costituiranno, come quasi sempre accade, uno dei motivi pig ricorrenti nella polemica; a VOLTERRAthe osserva come la sua prima memoria sull'argomento porti la data del 1 febbraio, PEANO replicherh ricordando "I1 principio delle aree e la storia di un gatto" apparsa nel gennaio '95 nella sua "Rivista di Matematica". is [V. 11], p. 202. 19 [V. 9], p. 169.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

109

In [P. 1], in effetti, PEANO si limita a riferire della discussione avvenuta all'Accademia delle Scienze di Parigi 2° sui motivi per i quali un gatto, comunque abbandonato, cade sempre sulle zampe; la questione era stata ripresa in seguito ad una serie di fotografie che documentavano in tal senso la dinamica di caduta. [P. 1] 6 dunque quello che oggi verrebbe chiamato un articolo di divulgazione scientifica, di buon livello e indubbiamente brillante nello stile. In esso PEANO avanza anche una sua spiegazione dei fatti: "questo animale abbandonato a s6, descrive colla sua coda un cerchio nel piano perpendicolare all'asse del suo corpo. In conseguenza, pel principio delle aree, il resto del suo corpo deve ruotare in senso opposto al moto della coda; e quando ha rotato della quantit~ voluta, egli ferma la sua coda e con ci6 arresta contemporaneamente il moto suo rotatorio, salvando in tal guisa sO ed il principio delle aree". N o n compare invece alcun riferimento ai problemi connessi con la rotazione della terra. Dell'analogia tra i due fenomeni, basata sul fatto che in entrambe le circostanze movimenti ciclici interni possono modificare l'orientamento complessiv o d e l corpo, P~ANO parla invece con i colleghi ed 6 proprio la freddezza con cui la sua congettura viene accolta--~ il caso, certamente di VOLTERRA--che 10 motiva ad affrontare esplicitamente la questione. Sotto l'aspetto meccanico la questione 6 identica. Ma spetta al prof. Volterra il merito d'averla pel primo proposta. Egli ne fece l'oggetto di alcune Note presentate a quest'Accademia, e delle quali la 1a 5 in data del 3 febbraio scorso (...). Oggetti di questa nota si 6 di esporre come si possa fare il calcolo degli spostamenti prodotti sulla terra dal moto relativo di sue parti, e di fame una applicazione numerica. I1 calcolo si fa senza quadrature, applicando il solo principio delle aree". 21 Cosl scrive PEANO nella introduzione di [P. 2] presentata alla Accademia delle Scienze di Torino il 9 maggio. In realth, l'unico risultato contenuto nella nota 5 il teorema per il quale la velocit~t del continente (con tale termine viene designata la parte della terra che si suppone rigida) 5 data dalla "differenza fra la velocit~t che avrebbe tutta la terra, supposta rigida, corrispondente alla quantit& di moto costante h, meno la velocith corrispondente alla quantit~t di moto relativa •miPiRi ''22. In [P. 2] PEANO si ferma qui: in questo modo non compare alcuna integrazione in quanto la dimostrazione del teorema richiede unicamente l'additivit~t (rispetto alla prima variabile) della forma di seconda specie che esprime la quantitb, di moto h = ?(C, a) in funzione del corpo e della sua velocit~t, assieme all'additivit~t--rispetto alla seconda variabile--della sua "inversa" a = ~(C, h). Quando la quantit~t di moto relativa 6 un bivettore, "il moto dovuto a questo bivettore ~ rotatorio attorno ad un asse passante per il baricentro della terra. Si 2o Una pifi dettagliata ricostruzione della questione, in relazione all'intervento di PEANO, si trova in H. C. KENNEDY, Peano. Life and works of Giuseppe Peano, 1980 (efr. pp. 56-57). 21 [p. 2], pp. 288-289. 22 [p. 2], p. 293.

110

A. GUERRAGGIO

ha ad esempio questo caso quando le parti dell'oceano si muovono in cicli ''23. E' proprio ad esso che si riferisce l'applicazione numerica che appare non tanto come verifica ed esemplificazione del teorema precedente quanto, piuttosto, come strumento per riaffermare la correttezza dell'ipotesi iniziale. L'effettiva possibilit/t dello spostamento delle terre polari viene constatata considerando quale moto interno quello della corrente del Golfo (anche se PEAYO avverte che i risultati numerici trovati valgono solo come indici dell'ordine di grandezza delle quantit/~ coinvolte, in quanto i dati a disposizione non permettono una precisione maggiore). I1 discorso, a livello teorico, viene ripreso in [P. 3] sempre supponendo che la quantit/~ di moto relativa sia un bivettore; l'obiettivo dichiarato a di completare il quadro della memoria precedente, dando gli strumenti per individuare la posizione del polo dopo un certo intervallo di tempo. Anche qui (come in [P. 2]) la prima parte 5 dedicata ad un'esposzione dei principali elementi del calcolo geometrico e ad una ritrascrizione in tale linguaggio dei concetti e dei teoremi di meccanica poi utilizzati; successivamente PEANO perviene alia

dK (1)

dt

l ] (R -- W) K --

A m

che assegna la velocit~ di K 2., non facendola in particolare dipendere dallo schiacciamento della terra. I calcoli per ottenere la (1) non sono n6 difficili n6 pesanti--rnerito del calcolo geometrico, secondo PEANO; quello che perb ~ ancora pifi significativo ~ la "leggerezza" dell'elaborazione analitica anche nella fase successiva, quando dalla (1)--punto centrale dell'indagine di PEANO--Occorrerebbe ricavare tutte le conseguenze atte a individuare la posizione del polo. In effetti l'obiettivo primo di [P. 3] continua ad essere quello di [P. 2]: non tanto la ricerca della traiettoria del polo quanto la dimostrazione che esso si sposta. Perb molti autori ritengono che, supposto rigido il continente terrestre, e data la relativa piccolezza della quantitg di moto delle parti, e la sensibile differenza dei momenti d'inerzia della terra, il polo non possa fare che piccole oscillazioni, e non possa assumere un moto progressivo. Per decidere siffatta questione occorre fare completi i calcoli, nulla trascurando. Oggetto di questa nota sono questi calcoli. Da essi risulta che, anche supposto il continente terrestre rigido, dei moti relativi comunque piccoli, agendo per6 per un tempo sufficiente, possono produrre uno spostamento secolare del polo, in modo da portare ad es. le regioni polari all'equatore 2s. Cosi, dop0 una breve analisi qualitativa della (1) che comprova questa congettura, il problema dell'integrazione dell'equazione differenziale viene risolto 2a [p. 2], p. 293. 24 K ~ uno dei versori diretti secondo gli assi d'inerzia della terra, A ~ uno dei suoi momenti d'inerzia (rispetto agli stessi assi) e R e W sono, rispettivamente, gli indici dei bivettori delle quantit/t di moto del sistema e della quantit~ di moto relativa. 22 [p. 3], p. 297.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

111

in poche battute. Se W = 0, si ha il problema di EULERO; ugualmente ad esso si 6 ricondotti nel caso di W costante, purch6 al vettore costante R si sostituisca l'altro vettore costante R -- W. Nessuna novita neppure quando W 4 variabile, in quanto la (1) si riduce ad un'equazione lineare la cui integrazione 6 "un problerna arnpiarnente trattato" : cos] PEANO non fa altro che rinviare ad un suo scritto sulFintegrazione per serie. Se si pensa al nurnero di pagine e alle quantit~t di calcoli dedicate invece da VOLTERRA alia risoluzione delle stesse questioni, si cornprende--giS, solo da questo aspetto--come il contrasto metodologico non possa essere pifi evidente.

4. La polemica Alla luce della diatriba del '95/'96 appare quasi un'ironia della sorte che l'occasione per la conoscenza tra PEANO e VOLTERRA sia fornita da una rnancata citazione di VOLTERRA da parte di PEANO. L'articolo in questione 6 "Sulla integrabilit~t delle funzioni", pubblicato nel 188326, in cui PEANO trascura la ricerca di VOL~ERRA contenuta in "Sui principii del calcolo integrale ''27. Cos] PEANO si giustifica in una lettera a VOLTERRA del 10. novernbre '82: Ricevetti la memoria, e la lettera che Ella l-hi spedi, ed ora bench6 in ritardo, le scrivo. La nota ch'io presentai l'anno scorso all'Accademia delle Scienze di Torino non 6 che una lezione da me fatta all' UniversitL Non trovando soddisfacenti le dirnostrazioni date dalla rnnassirna parte dei trattati della esistenza dell'integrale, basate sulla rappresentazione geornetrica, consultai quelle attre dimostrazioni analitiche e rigorose che potei trovare nei principali trattati e ne dedussi l'esposizione elementare che diedi in iscuola, e fu capita da tutti, e che presentai all'Accademia con puro scopo didattico. Sono assai dolente di non aver avuto prima cognizione della sua rnemoria; spero per6 di poterne fare onorevole ammenda, se non prima, nella pubblicazione d'un corso di Calcolo, fatto secondo i metodi del prof. Genocchi, di cui fui allievo, ed ora assistente. I1 primo volume di questo trattato 6 attualrnente in corso di stampa; sono qui a Torino in vendita, per comodit~t degli studenti, i primi fogli stampati, di cui le faccio omaggio. Vivamente la ringrazio della rnernoria speditarni, e delle gentili espressioni della sua lettera. Lietissimo d'aver cosl fatta la sua conoscenza, si serva di me in ogni circostanza in cui le possa tornar utile. Le sarei riconoscente se Ella mi vorr~ scrivere qualche volta, e, se ne avrh tempo e voglia, dirrni le sue osservazioni sul libro che pubblico. 26 PEANO, Sull'integrabilitb. delle funzioni (Atti Accad. Scienze Torino, XVIII, 1883, 439-446), Opere scelte, 1957, 1, 25-32. 27 VOLT~RRA, Sui principii det calcolo integrale, Giornale di Matematiehe, XIX, 1881, 333-372.

112

A. GUERRAGGIO

I1 riconoscimento del contributo di VOLTERRA 28 chiude la questione e i rapporti tra i due si sviluppano in un clima di normale cordialit&. Nel '90 VOLTERRA fa parte della commissione giudicatrice per il concorso alla cattedra di calcolo infinitesimale presso l'universit/t di Torino: PEANO ne risulta vincitore, a pari merito c o n PASCAL, e viene nominato professore straordinario. Negli anni successivi PEANO invita piia volte VOLTERRA a collaborare alla nuova Rivista di Matematica ed 6 anche in risposta a queste amichevoli pressioni che, sul finire de1 '93, VOLTERRA propone la pubblicazione (realizzata poi solo parzialmente) di alcune note di fisica matematica di carattere prevalentemente didattico 29. Tutt'altro clima si instaura con il trasferimento di VOLTERRA a Torino: BIANCttI insinua che tale fatto non sia de1 tutto estraneo alla polemica, dato che PEANO pensa che con cib gli sia preclusa "la via all'ordinariato". Di fatto, hello specirico della controversia, i toni sono subito decisi, neppure attenuati dalle consuete frasi di circostanza: secondo VOLTERRA PEANO Si ~ appropriato de1 suo lavoro, limitandosi a rivestirlo con il linguaggio dei vettori. [P. l] 6 "una semplice e modesta recensione di lavori altrui"; [P. 2], "sia pel linguaggio, sia per le conclusioni, (...) 6 uno strano insieme di idee confuse e di risultati assurdi ''a° che comunque lo obbligano ad anticipate la presentazione di [V. 6]. Non avevo fretta di pubblicare questa Nota che mi riservavo di pubblicare in seguito; m a i l Peano mi ci ha costretto. Questi, bench6 lo vegga tutti i giorni, senza dirmi nulla si ~ messo a rifare i miei calcoli e domenica ha presentato all'Accademia una Nota in cui ritrovava gli stessi miei risultati, riportandoli quasi come nuovi e tentando un'applicazione numerica al caso del moto della terra, al I1 verbale riservato dell'Accademia documenta l'immediata opposizione di VOLTERRA al contenuto di [P. 2] e al tentativo di PEANO di introdurre elementi di equivoco e confusione sulla sua prioritY, sia per quanto riguarda i calcoli numerici che i risultati teorici. I1 socio Peano presenta e legge una sua Nota: "Sullo spostamento del polo terrestre" nella quale si applicano delle formole generali a stabilire l'ordine di grandezza dello spostamento prodotto dalla corrente del Gulf stream. I1 socio Volterra osserva che i calcoli numerici del soeio Peano partono dalle idee che egli ha gi~ esposto nelle sue varie note, ma sono fondati sopra dati 28 eft. PEANO, Annotazioni al trattato di calcolo del 1884, Opere Scelte, 1957, 1, 47-73 (in particolare p. 73). 29 Cosi VOLTERRApropone a PEANO: "Gli articoli di cui Le parlo sarebbero quattro: 1) Sulla teoria del potenziale; 2) Sopra la interpretazione meccanica di una formula di calcolo delle variazioni e la teoria di Maxwell contrapposta a quella delle azioni a distanza; 3) Sopra un problema di elasticit/~ analogo ad un problema di idrodinamica di Dirichlet; 4) Sopra alcune formule della teoria dell'elasticith analoghe ad una formula di Gauss sulla teoria de1 potenziale". ao Lettera di VOLTERRA a E. BELTRAMIdel 2. 1. '96. al Lettera di VOLTERRA a L. BIANCI-IIdel 18.5. '95.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

113

numerici poco attendibili. In quelle note ed in una memoria inviata gi/i da lungo tempo alle Astronomische Nachrichten egli aveva svolta la questione. Quanto ad applicazioni numeriche fondate su dati effettivi e rigorosi egli gig da vario tempo ne aveva eseguito partendo dagli importanti risultati dovuti al Chandler, ed applicando altre olla ipotesi dei moti interni altra ipotesi speciale circa l'effetto della plasticitg della terra; ma egli si riserbava il presentarle all'Accademia dopo aver svolta la teoria analitica della questione, la quale almeno nelle sue linee generali, veniva ultimata colla nota ch'egli intende presentare oggi stesso. In seguito alla presentazione della nota del socio Peano egli desidererebbe presentare oggi stesso un'altra nota "Sui moti periodici del polo terrestre" i cui risultati egli aveva gig da lungo tempo comunicati in una lettera privata al professore Schiaparelli. I1 socio Berruti osserva che per conformarsi alla massima regolaritg sarebbe necessaro che il socio Volterra presentasse seduta stante Io scritto annunciato. I1 socio Volterra chiede il tempo necessario per andare a prendere quello scritto e intanto presenta l'altro suo lavoro intitolato: "Teorema sulla rotazione dei corpi e sua applicazione al moto di un sistema nel quale sussistono moti interni stazionari". I1 tono del verbale 6 ancora misurato ed 6 facile immaginare come ogni espressione sia sta scelta con cura in modo da non creare ulteriori tensioni. Si ha un'idea molto pi/~ diretta della gravitg con cui l'intera vicenda viene vissuta leggendo gli appunti finora inediti di VOLTERRAaa. E' il suo primo commento : pur preparati ad uno stile meno asettico--si tratta di materiale preparatorio a successivi interventi pubblici--si rimane ugualmente colpiti dallo stato d'animo di VOLT~RRA e dalla drasticitg dei suoi giudizi. Nella seduta del 5 maggio ultimo scorso il socio Peano leggeva all'Accademia delle Scienze di Torino, e quindi rendeva cosa pubblica una sua Nota SuIla teoria del moto dei poli terrestri. La detta nota non ha manifestamente scopo scientifico ma solo quello (senza fare una apparente critica delle mie ricerche) di divulgare delle affermazioni, altrettanto malevoli, quanto gratuite ed ingiuste a mio riguardo, onde denigrare l'opera mia. Sono altamente meravigliato di questo contegno strano ed inesplicabile del Prof. Peano; (...) mi trovo quindi costretto, mio malgrado, anzi con sommo mio rincrescimento, a prendere per la prima volta la penna per una incresciosa polemica col prof. Peano e denunziare al pubblico il modo di procedere del resto non nuovo, di costui. C h e l a nota del professor Peano non abbia scopo scientifico resulta chiaramente da cib: the egli non fa che un'inutile ripetizione di studi e di ricerche che io ho gig pubblicato, n6 un'applicazione numerica che egli tenta ed eseguisce con una strana precipitazione fondandosi su dati inattendibili pub giustificare la sua nota. Anzi a questo proposito tengo a porre in guardia il pubblico che se i suoi risultati potranno anche apparire assurdi, cib non infirma le idee teoriche da me esposte e da cui egli ~ partito. II professor Peano a2 Si tratta di appunti scritti prevalentemente t r a i l 5 e il 19 maggio, conservati senza numerazione.

114

A. GOERRAGGIO

afferma che l'idea da cui io mi sono mosso 6 cosi semplice da presentarsi alla mente di tutti. Non discuterb su tale critica fanciullesca, solo osserverb che del valore di un'idea deve giudicarsi solo dalla importanza delle applicazioni, non gih dalla minore o maggiore sua semplicith. (...) Leggendo la memoria del Peano sembra in qualche modo che io abbia posto la questione ed egli l'abbia risolta. Ci6 6 una menzogna, perch6 egli non fa che ripetere inutilmente i calcoli che ho gih fatto io e questo nell'applicazione numerica che egli d~t non ha alcun significato anche perch6 parte da dati non attendibili come ho gih avuto occasione di parlare con lo Schiaparelli. (...) Era suo dovere quello di avvertirmi: 6 una cosa che ogni persona educata suole fare. (...) Cib che 6 assolutamente falso 6 cib che dice il Peano che una volta posta la idea la questione pub dirsi risolta. Infatti: 1) Dal punto di vista di porre in equazione il problema la cosa non 6 tanto semplice ma occorrono vari calcoli, come egli deve fare copiando i miei risultati. 2) Dal punto di vista di sviluppare la soluzione analitica del problema la via 6 molto difficile. (...) Sono rimasto molto dispiaciuto di quanto 6 avvenuto ieri. I1 Prof. Peano ha fatto proprio una cattiva azione. (...) NeUa sua fretta di denigrare l'opera altrui il Prof. Peano ha mostrato la completa mancanza di preparazione. (...) I1 Prof. Peano si permette di fare la storia del modo come io sono pervenuto a svolgere ed applicare l'idea di moti ciclici. Le sue asserzioni a questo riguardo sono perfettamente gratuite, dir6 di pifi sono del tutto false come sempre avviene a chi con incredibile leggerezza e non basandosi sopra alcun dato vuol leggere nel pensiero altrui. (...) Non 6 mia abitudine di entrare in polemica e tanto meno di usare un linguaggio, quale oggi mi occorre di usare, ma la condotta abituale del Prof. Peano me lo permette, quanto mi esenta dall'obbligo di quei riguardi cui mai si attenne costui. (...) l'assurdo risultato che il polo terrestre si sposta verso lo Spitzberg di alcuni metri all'anno! Chiunque sarebbe rimasto colpito da un cosi ridicolo e assurdo risultato, non per6 il prof. Peano il quale colla petulanza di chi non ha conoscenza di una questione, ha creduto di averla risolta, mentre non ha fatto altra cosa che quella di non comprenderla. (...) Di qui la htminosa idea che due problemi in cui si applica il principio delle aree sono sicuramente la stessa cosa. Chiunque abbia la pifa lontana pratica dei problemi di meccanica comprender~t facilmente quanto sia assurda questa idea ! (...) l'assoluta mancanza del professor Peano di ogni cultura riguardo al problema [6 evidente nel fatto] che gli sono sconosciuti i lavori pih importanti della meccanica di Eulero, Lagrange, Jacobi, Hermite, ecc.; o crede egli con un tratto della sua penna di cancellare le opere loro ? (...) Non 6 piacevole cosa seguire il Prof. Peano helle sue elucubrazioni [e] nella sua via, dir6 cosl tanto animalesca. (...) Non 6 certo coltivando il campo della cosiddetta logica per cui sono superflui o l'impegno o la cultura che ci si pub preparare allo studio dei problemi della natura.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

115

La critica di VOLTERRA ~ talmente incalzante che costringe PEANO a ritirare una successiva nota presentata sempre all'Accademia delle Scienze di Torino nella seduta del 19 maggio. Nel carteggio VOLTERRA c'e il telegramma di PEANO del 27 rnaggio che gli comunica "Riconosciuto errore mio", liberandolo--sono parole di VOLTERRA--"dall' obbligo molto increscioso di rispondergli per le stampe". 33 VOLXZRRA non riesce invece a eludere tale obbligo per [P. 3] che, a suo avviso, riproduce quasi totalmente i contenuti della nora ritirata del 19 maggio. E' vero che in questa rnemoria, a differenza di [P. 2], non compare nessuna allusione polemica nei confronti di VOLTERRA (che, a partire dal 3 f e b b r a i o - - d o p o la sua nota sul ,,gatto,,, dunque!--avrebbe proposto una questione risolta da PEANO) m a - - a n c o r peggio--il nome di VOLTERRA neppure viene citato nell'introduzione in cui si f a u n a breve storia degli ultimi studi sui moti del polo. Sempre nell'introduzione PEANO puntualizza che "per decidere siffatta questione occorre fare completi i calcoli, nulla trascurando;" VOLTERRA 10 interpreta come un attacco personale e una provocazione che lo presenta come matematico che esegue ogni passaggio fino alia soluzione finale, quando questi sono poco significativi, mentre, d'altra parte, trascura elementi di calcolo importanti. [P. 3], come si 6 detto, scatena le ostilith. VOLTERRAscrive una censura dell'operato di PEANO che compare con la data del 15 settembre nei "Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei"; PZANO vi risponde, nella stessa sede, con una memoria presentata da BELTRAM~ il 1 dicembre, in cui--questa volta la provocazione 6 esplicita--legge [V. 12] come autocritica dello stesso VOLTERRA. I1 1 gennaio '96 sempre i "Rendiconti" pubblicano una lettera al presidente BRIOSCHI nella quale VOLTERRA ribadisce la propria posizione e considera chiusa da parte sua la questione. L'ultima parola spetta a PEANO che il 1 marzo riprende, in apparenza senza alcun accenno alia controversia 34, i risultati delle sue precedenti note traducendole perb in coordinate cartesiane ed esponendo anche le relative dimostrazioni. Come 6 facile immaginare, considerati i matematici e le istituzioni scientifiche coinvolte, la polemica iniziale si allarga presto in numerosi episodi collaterali. 33 VOLTERRA,dopo aver ricevuto il telegramma, insiste perch6 venga ritirata anche [P. 2]; PEANOnon accetta il "suggerimento" perch6, a proposito di [P. 2], "gli pare di non doversene pentire" (cosl riferisce A. ~N~IACCARIin una lettera a VOLTERRAdel 5.6. '95). Sempre con NACCARI (segretario della classe di scienze fisiche, matematiche e naturali) e con D'OvIDIO, VOLTERRAha una fitta corrispondenza per la stesura dei verbali delle adunanze in modo che compaia pubblicamente quello che PEANO aveva riconosciuto con il suo telegramma. I1 compromesso raggiunto soddisfa VOLTERRAper quanto riguarda la seduta del 5 maggio, meno per quelle successive dove non c'6 traccia dei motivi che hanno indotto PEANO a ritirare la memoria. Solo nel verbale interno del 23 giugno compare l'espressione: "II segretario avverte chela Nota presentata dal socio PEANOnella seduta del 19 maggio intitolata "Confronto di alcuni lavori sul moto del polo" fu ritirata dall'autore". 34 I1 26. 2. '96 cosi VOLTERRAscrive a Bgloscnl: "Ho saputo dal Prof. COSSA che lo seppe da Lei, che il Peano desiste dal continuare la polemica; ne sono lieto e La ringrazio. I1 Cossa disse che il Peano Le ha fatto pervenire una nota, ma che Ella lo assicur6 che 6 estranea al detto argomento" (questa lettera si trova presso la Biblioteca del Politecnico di Milano).

116

A. GUERRAGGIO

Uno di questi--non proprio marginale--6 fornito da [P. 4] che, come detto, viene presentata alt'Accademia dei Lincei da BELTRAMI: VOLTERRA chiede con insistenza come BELTRAMI abbia potuto presentare una tale memoria dopo la sua censura, accettata sempre dai "Rendiconti". Non ti devi impressionare troppo per avere il Beltrami presentato ai Lincei la nota di Peano. Per verit~ la cosa mi ha sorpreso molto perch6 male si accorda questo modo di procedere colla seriet~, e la rettitudine del Beltrami. Parlandone col Maggi, tornato allora da Roma, seppi che il Beltrami gli disse che doveva andare alla seduta dei Lincei per presentare una nota del Peano; ma senza annettervi importanza alcuna ed anzi il Maggi ritiene che vi abbia appena data una scorsa. Ma tutto ci6 ~ sommamente leggiero e dimostra c h e s e non avessi visto stampato presentato da Beltrami non lo crederei possibile !35. In realtor, nella circostanza, BELTRAMI--come BRIOSCm--tenta di assumere una posizione mediatrice. Cos] nella stessa lettera a VOLTERRA in cui riconosce pienamente i suoi meriti, cerca anche di "salvare" il procedimento di PEANO almeno quando ci si limiti "alle deduzioni pifl sommarie"; la risposta di VOLTERRA al solito perentoria: "i suoi calcoli non si prestano nemmeno alle deduzioni pih sommarie". Lo sviluppo della polemica, prescindendo comunque da questi episodi, permette di individuare i punti--alcuni dei quali gi~t toccati nella precedente ricostruzione--che assegnano a tutta la vicenda uno spessore che va al di l~t della semplice vicenda. La controversia PEANo-VOLTERRAsi rivela tessera quanto mai utile per seguire alcune delle principali dinamiche in atto nella matematica (italiana e non) di fine secolo. La prima questione sollevata riguarda la priorit~ nell'affrontare il problema specifico dello spostamento dei poll. La diatriba, che vede contrapposti [V. 1] e la nota "del gatto" ha in s6 scarso interesse, come spesso accade per questo tipo di problemi; ne acquista invece se si valuta l'atteggiamento di PEANO al di l& del fatto contingente. La difesa di [P. 1] ribadisce l'importanza data al momento logico-strutturale; per PEANO l'elemento decisivo non 6 la soluzione, in tutti i suoi dettagli, del problema quanto la comprensione della sua struttura the permette di associarlo ad altri, apparentemente diversi, deducendone la dinamica da modelli gi~. analizzati. VOLTERRA non crede invece a questo programma o, perlomeno, non ritiene che esso venga realizzato da PEANO. Non ~ corretto trovare, come dice il Peano, identit/~ fra due problemi di meccanica essenzialmente diversi, e trattarli, con metodi diversi per la sola ragione che ~ comune ad ambedue l'impiego di principi fondamentali di questa scienza; se cib potesse pensarsi, si potrebbe sempre ricondurre due problemi meccanici qualunque ad un solo, perch6 ambedue debbono necessariamente farsi dipendere dagli stessi principi. 36 as Lettera di L. BIANCHI a VOLTERRAdel 2. 1. '96. a6 [V. 13], p. 213.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

117

VOLTERRA continua a pensare che PEANO si sia limitato a rivestire con altro linguaggio i suoi lavori (che peraltro si "dimentica" di citare) ricavandone immediate conseguenze in un contesto, perb, di palesi errori, a7 Neppure quindi la validit~t e l'originalit~t dei risultati pub giustificare la scorrettezza del suo atteggiamento. A questo secondo livello--quello dei contenuti--le osservazioni di VOLTERRA sono estremamente precise nel denunciare l'assurdit~ dei risultati, m e n o - per il momento--nell'individuare i punti in cui l'errore 6 commesso. I suoi appunti, prima citati, mettevano in evidenza come non si potesse dar credito all'applicazione numerica contenuta in [P. 2]; ora IV. 13] ribadisce quanto gi~t aftermato nella seduta del 19 maggio e che compare anche nella lettera a BELTRAMI del 18 dicembre '95: PEANO non risolve il problema affrontato da VOLTERRA ma solo un suo caso particolare, che si verifica quando l'elissiode d'inerzia 6 una sfera; cosi i suoi calcoli applicati alla terra risultano del tutto inattendibili. Come 6 possibile dare questa soluzione senza integrazioni quando un problema, quale quello di Eulero di un sistema rigido, the 6 un caso particolare di esso, richiede necessariamente delle integrazioni? Ed io appunto nel fare la integrazione mi sono attenuto ad un procedimento analogo a quello che si fa per integrare le equazioni di Eulero. Credo che bastava questa osservazione delle funzioni (ellittiche) necessarie per ottenere la soluzione per accorger(si) esser vano quanto osserva il Peano. N6 in [P. 4] n6 in [P. 5] PEANO risponde a questa critica specifica, dato che egli ammette l'errore commesso. I1 suo telegramma del 27 maggio 6 seguito da una lettera del 30 maggio in cui scrive a VOLTERRA: " D o p o le sue osservazioni riconobbi l'influenza dello schiacciamento terrestre sul moto polare". La sua replica sul piano dei contenuti contrattacca nel tentativo di mostrare come sia per6 VOLTERRAad occuparsi di casi particolari. Di fronte alla sua ricerca che non ha mai escluso la possibilit~ di effettivi moti progressivi dei poll (causati da moti interni anche piccoli ma considerati per un arco di tempo sufficientemente lungo), VOLTERRA ha in realt~ studiato solo le piccole oscillazioni, evitando cosl di affrontare il problema generale. Ugualmente in [V. 6], " a d onta di queste limitazioni, il moto progressivo de1 polo, quale io trovai, non gli sarebbe del tutto sfuggito se ...". L'argomentazione di PEANO avanzata in [P. 4] coglie effettivamente un momento interessante e problematico della ricerca di VOLTERRA; come si 6 visto, [V. 6] registra una modifica nei suoi orientamenti, di cui si 6 mostrata la genesi nei suggerimenti di SCHIAPARELLI. Tuttavia il modo in cui 6 portata avanti a7 Si possono solo immaginare le reazioni di VOLTERRAquando B. LEVI,rievocando il pensiero e l'opera di PEANO,arriva a sostenere quello che neppure PEANOaeva potuto dichiarare: "(...) fu pure il Peano a dare uno dei primi e pifi notevoli esempi con una bella serie di Note (...)sulla questione dello Spostamento del polo della terra divenuta d'attualit~t nel 1895-96 in seguito al cosiddetto esperimento del gatto e ad un felice parallelismo rilevato dal Volterra ira detto esperimento e il fenomeno astronomico" (BUMI, 1932, 253-262).

118

A. GUERRAGGIO

particolarmente debole. VOLTERRA non ha difficolt~t, riferendosi alle sue prime Note, a provare che il caso di moti progressivi dei poll non 6 stato escluso, nella misura in cui 6 stato impostato e risolto il probtema della determinazione di moti interni capaci di generare una qualsiasi polodia assegnata; soprattutto non ha difficolt~t a mostrare la contraddizione interna al ragionamento di PEANO che cerca il moto progressivo proprio in quella [V. 6] in cui esso non poteva essere considerato per le particolari ipotesi fatte. E' evidente ora che, una volta partito come dato dalla ipotesi di un solido simmetrico il cui polo ha un moto decomponibile in piccoli moti armonici, nessun artificio di calcolo poteva condurre a vedere fra quei moti armonici un moto progressivo, cio8 un risultato in contraddizione coi dati. 38 Sempre in [P. 4] si pub rintracciare un ultimo livello--quello metodologico-in cui si articola la discussione. PEANO sottolinea nuovamente la produttivit~ del calcolo geometrico attraverso la semplicith dei calcoli cui esso conduce; la contrapposizione con il metodo seguito da VOLTERRA~ poi esplicitata nella lettera diretta allo stesso VOLTERRA del 30 maggio ' 9 5 : " P e r 6 Ella converrh che il suo modo di trattare la questione importa tre integrazioni con altrettante costanti arbitrarie superflue, provenienti dall'aver derivato le tre prime equazioni". Qui la risposta di VOLTERRA 8 forse meno persuasiva. Non perch6 non riesca a giustificare il proprio operato: la semplicith vantata da PEANO 6 solo una conseguenza della superficialith della sua indagine, n6 appunti si possono muovere al suo approccio che si muove nel solco di tutta una grande tradizione. Cosi risponde a PEANO il 2 giugno '95: Ricevo oggi la sua lettera del 30 maggio. I1 procedimento di integrazione che ho tenuto non importa tre costanti arbitrarie, come Ella dice. La derivazione delle equazioni esprimenti il principio delle aree, le quali includono tre costanti arbitrarie, per la scelta speciale degli assi x, y, z 6 necessaria per stabilire le equazioni della rotazione, ossia per eliminare dalle equazioni i nove coseni. Del resto il procedimento d'integrazione 6 quello reguito per ogni problema di rotazione da Eulero fino ai nostri giorni; Ella pu6 consultare qualsiasi libro di Meccanica. In effetti, VOLTERRA non prova alcun interesse verso il calcolo geometrico, che anzi mostra di non capire appieno (queste note di PEANO,del resto, non sono un esempio di chiarezza). Ci6 che gli manca 6 la volont~t di confrontarsi realmente con PEANO, che lo provoca continuamente a "presentare le sue osservazioni" anche ad un livello metodologico; qui, invece, VOLTERRAsceglie una linea ineccepibile ma chiusa a difesa del "consolidato". E' ovvio, dopo quanto analizzato, che al suo atteggiamento non manca alcuna giustificazione: PEANO "attacca" male, con grande debolezza, per di pih ricercando il confronto proprio su uno dei pih sperimentati campi della matematica dell'Ottocento; i risultati the 3s [V. 13], p. 215.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

119

ottiene, q u a n d o n o n scorretti, sono in ogni caso esigui. Cosi nessun aiuto viene da VOLTERRA allo sviluppo di un tentativo innovatore che nella circostanza rivela notevoli carenze, quasi che il rigore e t a completezza di una formalizzazione siano ritenuti requisiti da esigere a priori e non il risultato di una costruzione: " D i o ci liberi dai suoi simboli, se sono questi i risultati a cui possono condurre". 39

5. Successivi interventi di Volterra sul moto dei poli Sulle questioni affrontate nelle memorie sul movimento dei poli, VOLTERRA interviene esplicitamente altre due volte. La prima 6 motivata dalla convinzione - - c o m e si legge anche in una lettera a J. O. BACKLUND del 27. 5. ' 9 7 - - c h e gli articoli precedenti avevano avuto scarsa diffusione oltre i confini nazionali; cosi nel '98 c o m p a r e su Vierteljahrschrift der Astr. Gesell [V. 14], una breve nota che presenta i temi poi trattati in [V. 15]. Questa appare nello stesso a n n o sugli Acta Mathematica, riprendendo sistematicamente tutte le argornentazioni delle memorie del '95. A distanza di quaranta anni, analoga operazione porta alla stampa, nella collana diretta da E. BORI~L e M. BRILLOUIN, del primo volume dedicato a "Quelques Questions de Mdcanique et de Physique Mathdmatique". IV. 16] si occupa a p p u n t o della " R o t a t i o n des corps dans lesquels existent des mouvements internes" e viene redatto da P. COSTABEL con la supervisione finale di E. FREDA e la direzione di J. P~R~S. E n t r a m b e queste memorie si presentano dunque come sistemazioni degli articoli del '95. Cosi [V. 15], a parte un pi~ organico inserimento ed utilizzo della generalizzazione data in [V. 4] e qualche precisazione riferita a [V. 11], ribadisce pressoch6 puntualmente q u a n t o ottenuto nelle note di tre anni prima. Le uniche differenze di un certo rilievo sono la citazione e il confronto con alcuni contributi nel frattempo comparsi (JANSKHE4°, WANGERIN), l'articolo X del capitolo IV in cui le formule trovate in [V. 11] sono applicate al caso del movimento di un corpo solido con un liquido o m o g e n e o che riempie una sua cavit/~ e alcune osser39 Lettera di C. SOMIGLIANAa VOLTERRAdel 26.4. '96. 40 A proposito del contenuto di [V. 5], in [V. I5] VOLTERRAscrive che "M. Janskhe tout r6cenment dans quelques Notes exprime 1'intention de revenir sur la question clue j'ai trait6e". I1 significato di questa frase si ha da una lettera dello stesso JANSKHE,a VOLTERRA, in cui valuta i risultati di [V. 5] non ancora espressi nella loro forma definitiva e finale: '%..) j'ai trouv6 que les solutions d'une classe 6tendue de probl6mes--qui renferme les probl6mes de rotation et en particulier le probl6rne trait6 par vous--appartiennent ~t un meme type 6tabli dans les C. R. CXXVI, Havril 1898. Or, les expressions que vous avez trouv66s pour les trois premiers cosinus appartiennent h ce type, tandis que vos expressions (20) p. 18 1.c. 6tablies par un th6or6me fort int6ressant n'y appartiennent pas. C'est pourquoi je me suis permis de dire que vous n'avez pas mis les expressions des six autres cosinus sous la forme la plus simple et que la solution due a vous n'est pas definitive. (...) Cependant je suis parfaitement d'accord avec vous que la question envisag6e du point de vue des mouvements polycicliques et que vous avez trait6e dans plusieurs M6moires et beaucoup plus g6n6rate que celle de M. Wangerin. Ce g6om6tre, du reste, s'est content6 de ramener le probl6me (...) aux quadratures".

120

A. GUERRAGGIO

vazioni dedotte nell'articolo I I del capitolo V .1 dal teorema di PICARD-LINDELOF sul metodo delle approssimazioni successive. La riproposizione consapevole dell'itinerario realizzato da [V. 1] a [V. 13] 6 l'elemento pih interessante di [V. 15], nel suo conffonto con gli articoli del '95. VOLTERRA ribadisce che il punto iniziale della sua indagine 6 consistito nel problema specifico legato alla rotazione della terra. L'elaborazione di un modello generale e le osservazioni di SCHIAPARELLI, che hanno portato a ritenere tale discorso scarsamente utilizzabile per lo studio dei movimenti del polo (per un complesso di altre cause), hanno indirizzato questo interesse verso una sottolineatura dell'aspetto teorico, anche se tall sviluppi non trovavano una diretta lettura nei termini del problema iniziale. I1 risalto assegnato in [V. 14] e [V. 15] alle idee di HERTZ e HELMHOLTZdocumenta il momento terminale della ricerca di VOLTERRA. La rotazione della terra 6 ora una esemplificazione (sempre meno centrale) situata in un contesto generale~ soprattutto, questa applicazione 6 fatta riferendosi a piccole oscillazioni del polo restringendo cosl drasticamente le ipotesi iniziali. VOLTERRA si e convinto che questo sia l'unico caso, di fatto, in cui il suo studio possa essere applicato al movimento della terra ma, anche per difendersi dagli attacchi di PEANO, non trascura occasione per ricordare che i risultati raggiunti non escludono in via di principio un moto progressivo dei poll. Un'eco della polemica 6 ancora ravvisabile in una precisazione di [V. 15]: On peut donc g6n6raliser la proposition pr6c6dente en disant que par des mouvements internes aussi petits que l'on veut le p61e peut 8tre conduit d'un point/~ un autre situ6s int6rieurement h la mSme r6gion de l'ellipsoide. (...) Si A = B, c'est/t dire a = b, alors K = 0, les polodies sont les parall6les de l'ellipsoide et les propositions pr6c6dentes, valables pour chaque r6gion, peut s'6tendre/~ toute la surface de l'ellipsoide par les mSmes raissonnements qu'on vient de daire. 5. Nous avons calcul6 darts cet article les composantes du couple de quantit6 de mouvement relatif au mouvement interne, qui correspond ~t un mouvement donn6 du p61e. 42 L'evoluzione dell'opinione di VOLTERRA sull'argomento 6 confermata dal volume del 1938; le novit~t di [V. 16] sono pitt rilevanti, n6 poteva essere diversa41 VOLTERRA non cita qui (come del resto non aveva fatto in [V. 1]) i lavori di PEANO: Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari (Atti Accad. Scienze Torino, 1887, 437-446), Int6gration par s6ries des 6quations diff6rentielles lin6aires (Mathematische Annalen, 1888, 450-456) a cui invece fa riferimento lo stesso PrANO in [P. 3]. La cosa 6 naturhlmente comprensibile visto il climo polemico instauratosi da qualche anno; nello specifico il giudizio di VoLvrgga SU questi contributi di PEANO pu6 essere rintracciato in due sue lettere a P. PAINLEVf,. In quella del 19 agosto '99 giudica che essi contengano anche alcuni interessanti risultati, ma che siano bisognosi di una qualche traduzi0ne che li renda comprensibili, essendo redatti con i simboli della logica. I1 7 settembre dello stesso anno la critica 6 pifi decisa; "M. Peano n'a rien fait de nouveau par la m6thode des approssimations successives, car il n'a jamais examin6 par c6tte m6thode le cas g6n6ral comme M. Picard a fait. I1 s'est born6 au cas des 6quations lin6aires qui avait 6t6 d6j/~ trait6 par Fuchs". 42 [V. 15], p. 550.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

121

mente visto il periodo di tempo intercorso rispetto alle prime memorie e il diverso "taglio" della pubblicazione. Un primo confronto pub essere ricavato da una lettera di P. COSTABEL a VOLTERRA (anche se, come gi~ detto, bisogna tenere conto del successivo apporto di FREDA e Pi~R~S): I1 n'y a je crois, que fort peu de chose ~. faire pour cela puisque j'ai remis Monsieur P6r6s, dans le courant du mois de mai les ajouts concernant la solution g60m6trique, le cas particulier examin6 par Monsieur Ena et de mouvement du p61e, terrestre. J'ai tir6 la plus grande partie du m6moire de Monsieur Ena: en dehors des r6sultats fournis dans le cas particulier qu'il envisage, et qui sont int6ressants, il m ' a permis d'avancer un peu dans la solution g60m6trique et les pages que j'ai remises ~t Monsieur Ena forment, je crois, une rue assez compl6te de la question. En ce qui concerne le mouvement du p61e, je me suis content6 de r6sumer ce que contient votre m6moire des Acta Math6matica. Cela suffit me semble-t-il, ~t illustrer ce que peut ~tre l'application de la th60rie math6matique /t une question aussi difficile, son succ6s et ses limites. I1 y manque peut-~tre des r6sultats d'observations r6cents, mais outre que la documentation h c e sujet est difficile, elle peut entralner trop loin 43. Le principali novith di [V. 16] possono essere cosi sintetizzate: un paragrafo dedicato ad una breve storia delle funzioni ellittiche e delle loro applicazioni (pp. 45-47); l'approfondimento del discorso, a livello geometrico, legato al teorema di SYLVESTER(pp. 23--30); la ripresa di un particolo di ENA44 del 1908; dove per6 maggiormente si avvertono i 40 anni trascorsi 6 (oltre che in una minor enfasi sulla impostazione seguita da HERTZ e HELMHOLTZ) proprio nel diverso rapporto della ricerca generale con l'applicazione al caso della terra.

Bien entendu, il ne saurait ~tre question de tirer d'une telle dtude l'explication des mouvements du p6le et du phdnom~ne (qui en r&ulte) de la variation des latitudes gdographiques. Les mouvements sensiblement cycliques que l'on veut observer h la surface de la terre sont relativement trop peu importants pour pouvoir rendre compte des effets observ6s et, avant d'introduire des mouvements internes (inv6rifiables) d'un magme central, il convient d'6puiser toutes les cons6quences qu'am6nent les propri6t6s d'61asticit6 et de plasticit6 du globe terrestre. C'est bien dans se sens que sont dirig6s les travaux th6ori4a Lettera di P. COSTABEL a VOLTERRAdel 15.8. '35. 4, In "Intorno alla rotazione dei corpi muniti di movimenti ciclici stazionari" (Atti della R. Accad. Lincei, Memorie, 1908) S. ENA aveva sviluppato i temi della sua tesi di laurea con VOLTERRAdel 1905 avente per titolo "Sopra la rotazione dei corpi muniti di movimenti ciclici stazionari". L'articolo del 1908 6 cosi presentato da MAGGInella seduta dei Lincei del 7 febbraio 1909: "(...) L'Autore si 6 proposto di arrecare a queste ricerche [di VOLTERRA]il contributo di un complemento collo studio delle proprietor del movimento del corpo nello spazio fisso: lato del problema da Volterra non particolarmente indagato, come meno interessante per le questioni fisiche da lui prese in considerazione".

122

A. GUERRAGGIO

ques, nombreux et tr6s importants, sur les causes de la variation des latitudes. 45

11 percorso compiuto da VOLTERRA ha raggiunto--favorito in questo dallo sviluppo della questione astronomica--il suo esito finale: quanto notato in [V. 15] ha subito un'ulteriore accentuazione e il caso della terra 6 ora un esempio che pub avere "qualque int6r~t" per "pr6ciser et compl6ter l'analyse du paragraphe pr6c6dent darts un cas qui am6ne qualques semplifications". Tale esemplificazione avviene unicamente nell'ipotesi che il movimento del polo sia decomponibile in una series di movimenti armonici; l'accenno a spostamenti pitt considerevoli (e quindi indirettamente ai problemi sollevati da PEANO), ancora contenuto in V. 15], 6 definitivamente scomparso.

6. Conclusioni

Se quindi mutano i confini tra studio generale e indagine particolare, rimane costante in VOLTERRAl'esigenza di non "assolutizzare" mai il suo discorso, sempre oscillando con profitto (ed eleganza) tra queste due polarit~t. L'affermazione che VOLTERRA sia un matematico "applicato" pu6 essere utile per proporne una prima identith ma rischia di generare equivoci se non si precisano le caratteristiche della sua "matematica applicata", anche rispetto alla evoluzione che tale espressione ha subito. Dalla ricostruzione dei suoi interventi sulla questione del movimento dei poli emerge chiaramente come si sia trattato di uno studio serio ed organico 46, in cui il momento "concreto" ha avuto sempre un'importanza notevole (tanto da costituire la motivazione iniziale) senza per6 mai produrre un puro e semplice trasferimento ad esso di proposizioni e formule generali. VOLTERRA crede nel valore produttivo della scienza (e i suoi interventi negli anni successivi nella politica scientifica italiana lo ribadiranno esplicitamente) ma ugualmente ritiene che esso non sia obiettivo sempre raggiungibile immediatamente. L'applicazione in VOLTERRA ~ tensione costante che si realizza solo attraverso una matematica di rilevante spessore; l'affermazione ~ quasi ovvia se si considera tutta la sua produzione scientifica ma vale la pena di ribadirla perch6 essa gi/t emerge, in questi anni, nel caso specifico trattato e risulta una significativa chiave di lettura nella ricostruzione della "scuola italiana" di analisi, per spiegare le sue fortune e il suo rapido declino. Diversi, naturalmente, i contenuti che PEANO di fatto attribuisce alia applicazione del calcolo geometrico: il suo obiettivo primario non 6 affrontare e risolvere un problema specifico quanto piuttosto dimostrare tutte le potenzialit/~ insite nel nuovo metodo e, ancor prima, nel sottolineare l'importanza di un approccio che 45 [V. 16], pp. 74-75. 46 L'impegno di VOLTERRAfU recepito dalla comunith matematica; BIANCm nella lettera del 11 giugno '95 gli riferisce the BRIOSCm che aveva ritenuto the l'impegno scientifico di VOLTERRAavesso subite dei rallentamenti si era pubblicamente ricreduto proprio in geguito alia pubblicazione delle memorie del '95.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

123

colga l'unitariet~ di problemi apparentemente diversi. Gli scrupoli che PEANO esibisce in [P. 5] verso una applicazione non sufficientemente realistica sembrano piuttosto un espediente tattico per coprire certi suoi silenzi, soprattutto se si tiene conto che essi si inseriscono in una ricerca iniziata calcolando i metri di cui ogni anno le terre polari si sarebbero dovute spostare a causa della corrente del Golfo. In realtor, la fiducia nel calcolo geometrico 6 tale che il progetto di una sua diffusione viene portato avanti con rigore alterno, non sempre confrontandosi seriamente con la specificit~ della questione trattata. Caratteristiche, queste che alimentano l'immagine di PEANO come matematico ottocentesco; non vanno per6 dimenticati, sempre negli articoli del '95, quei tratti di novit~ the proiettano la sua opera verso sviluppi successivi. Come si 6 avuto modo di vedere, anche la ricerca di diverse e pi~ profonde strutture unificanti non fu hello specifico apprezzata. La polemica si conclude chiaramente con la "sconfitta" di PEANO, tanto che essa pub essere ravvisata a diversi livelli. Non 6 innanzitutto casuale che i contributi di VOLTERRAcontinuino ad essere citati 47 e lo stesso VOLTERRAabbia avuto l'occasione di riproporli organicamente a 40 anni di distanza, mentre il silenzio cala sui medesimi lavori di PEANO. II diverso successo 6 certamente imputabile anche al diverso giudizio di valore che le rispettive produzioni scientifiche, nel loro complesso, hanno incontrato ma comincia a delinearsi comunque subito negli anni della polemica. Nel periodo '95/'96 l'ultima parola spetta a PEANO; si 6 visto che neppure la pubblicazione di [P. 5] distoglie VOLTERRA dal proposito di ritenere ufficialmente chiusa la contesa. I1 suo epistolario mostra per8 come lo stesso lavoro venga sottoposto ad un'analisi molto attenta, tanto pi/a che [P. 5] scritto da PEANO per togliere ogni possibilit~ di equivoco--"le formule diventano pi/~ lunghe: m a i l ragionamento non perde punto della sua semplicit/:"--6 invece apprezzata da VOLTERRA proprio perch6 cos] "gli errori saltano manifestamente agli occhi". La sua critica che prima si era limitata, per quanto riguarda i contenuti, piuttosto alle assurdit~ cui perveniva PEANO pu~ ora farsi puntuale indicando il momento preciso dell'errore. L'errore in cui incorre il Peano sta in questo: che egli ritiene che in un sistema rigido in moto, i momenti d'inerzia rispetto ad assi passanti per baricentro ed aventi direzioni fisse sono quantit~ costanti come risulta indubbiamente da questo :che egli passa direttamente dalle (4) alla (7) cio~ prendendo come assi principali d'inerzia degli assi aventi direzioni fisse. Del resto tutto il complesso della Nota rivela lo stesso errore, altrimenti che cosa significherebbe a p. 165 il dire che dalla (4) si possono ricavare l, m, ..., r e quindi le veloci~ dei vari punti ? Se i momenti di inerzia rispetto ad assi fissi sono, come di fatto, variabili, essi sono funzioni incognite del tempo, e percib come si pub fare a ricavare l, m . . . . . r ? L'origine dell'errore risale probabilmente a questo, 47 Nel 1920 F. PORRO, ad esempio, pur attenuando certe sue affermazioni del 1896, cita a proposito degli spostamenti de1 polo i lavori di VOLTERRAtra quelli di GYLDEN, NEWCOMB e SCHIAPARELLI(Trattato di astronomia, I, p. 131).

124

A. GUERRAGGIO che il Peano suppone che cib che 6 lecito nel caso in cui l'ellissoide d'inerzia una sfera, Io sia in generale. 48

I giudizi dei colleghi cui VOLTERRA invia le proprie osservazioni sono tutti concordi nel denunziare l'errore di PEANO49. G. A. MAGGI quasi ripete le parole usate da VOLTERRA: " C ' e ben da meravigliarsi che possa commettere si grave svista chi ha pur dato chiara prova di saper ragionare. (...) E di pitl a c h e si riduce, in tal caso la conclusione dello scritto ?-5o C. SOMIGLIANA e LEVI-CIVITA,increduli dello "strano equivoco", scrivono a PEANO le loro (e di VOLTERRA)critiche ma, di fronte alla sua risposta, aggiungono solo: " n o n c'6 dubbio: in questo modo tutto si giustifica, ma non si fa fare un passo alla questione. Resteremo sempre al punto di partenza, n6 vale la pena di scrivere delle note ''51. La comunith matematica concorda anche (stando agli elementi rinvenuti) su un giudizio piO generale. Si leggono, a parte le ovvie frasi di circostanza, commenti elogiativi al lavoro di VOLTERRA in BELTRAMI, SCHIAPARELLI,PORRO, TISSERAND, PICART, DARWIN, tutti impegnati direttamente-- sia pure da diversi versanti--nella questione in oggetto. Ugualmente si leggono critiche anche pesanti all'attivit~ di PEANO in lettere di BELTRAMI,BIANCHI,MAGGI, SOMIGLIANA: il fatto che le uniche fonti disponibili siano corrispondenze dirette a VOLTERRA non sminuisce l'autorevolezza dei giudizi. (...) Tanto grande 6 la distanza che corre tra t e e lui nella realtor e nella stima del mondo scientifico, che il solo fatto del Peano, revisore e critico dei tuoi lavori 6 girl per s6 supremamente ridicolo. Che egli, con la sua logica matematica, non abbia saputo levare un ragno da un buco n6 trovare la pifJ piccola proposizione di qualche valore 6 cosa notoria e per me da un pezzo credo che quella sia una maschera per nascondere la nullit~ dei risultati 52. L'asprezza della polemica 6 evidente e gli stessi protagonisti ne sono visibilmente trascinati. VOLTERRA non ha esitazione a dichiarare a BELTRAMI the la polemica lo "addolora straordinariamente" e sempre nella corrispondenza con BELTRAMI (e D'OVIDIO) ripete quasi ossessivamente di essere sempre pronto ad esibire il famoso telegramma di PEANO. LO stesso suo linguaggio diventa particolarmente duro; se scrivendo direttamente a PEANO finisce con il consigliargli di "consultare qualsiasi libro di Meccanica", con altri 6 pifa esplicito: "pare the l'unica cosa che Peano abbia riconosciuto 6 c h e l a terra non 6 una sfera (...); gli 6 ignota la meccanica da Eulero ai nostri giorni ''53 e le sue argomentazioni 4s Lettera di VOLTERRA a E. ~BELTRAMIdel 15.4. '96. 49 Le argomentazioni qui usate varrebbero anche per un articolo (Su un teorema di Peano ed il moto del polo, Rend. Ist. Lombardo, 1958, 631-655) in cui U. CASSINA, avvalendosi del "calcolo vettoriale italiano" ritrova i teoremi e i risultati numerici di PEANO (¢fr. in particulare p. 641). 5o Lettera di G. A. MAGG1 a VOLTERRAdel 10. 4. '96. sl Lettera di C. SOMIGLIANAa VOLTERRAdel 26. 4. '96. s2 Lettera di L. ~BIANCHIa VOLTERRAde1 21.5. '95. sa Lettera di VOLTERRA a C. SEGRE del 2. 6. '95.

Volterra e Peano sul Movimento dei Poli

125

"dimostrano tanta stranezza nel loro autore (...) che non pare valga la pena di spendere parole intorno ''s4. II linguaggio di PEANO appare pig pacato ma anch'egli indubbiamente toccato dallo sviluppo della polemica se ~ vero che, nel caso di un atteggiamento pi~ rigido da parte di VOLTERRA era pronto a ripresentare all'Accademia delle Scienze di Torino quella stessa nora che aveva ritirato. Per PEANO comunque l'elemento che risalta maggiormente ~ l'isolamento nel quale si viene a trovare giS. negli ultimi anni del secolo rispetto alla cultura nazionale. L. GEYMONAT (che fu suo allievo nel 1930/31) lo ricorda proprio in contrapposizione "all'altissima stima di cui Peano godeva, anche dopo la sua morte, fuori d'Italia ''Ss. E' un'emarginazione rispetto al mondo filosofico (prima del positivismo e successivamente dell'idealismo di CROCE e GENTILE) e anche rispetto alla stessa cultura matematica. Gli sviluppi della polemica con VOLTERRA indicano come tale situazione si presenti, e non solo a Torino, gig sul finite dell'Ottocento; i contenuti delle memorie del '95 mostrano anche come non sia possibile distinguere nettamente "due PEANO", il primo brillante matematico che cede successivamente il posto ad un ricercatore confuso nelle sue indagini di logica e di linguistica. Le note sullo spostamento dei poli negano questa rottura; gli elementi che caratterizzeranno PEANO filosofo-matematico sono, almeno in una certa misura, gig presenti in questa fase. N o n ~ dato prevedere quale sarebbe stata l'orizzonte di PEANO senza gli episodi del '95/'96. E' per6 certo che il rapporto con VOLTERRA non si ricompone 56 e che il mancato confronto, pur su posizioni distinte, tra due personalitS, come VOLTERRA e PEANO non pu6 non aver nuociuto allo sviluppo della matematica italiana. Quanto L. GEYMONAT sostiene a proposito del rapporto PEANO/ENRIQUES - - " l a loro mancata collaborazione fu uno dei fattori principali della frattura via via pig profonda the si produsse in Italia, nella prima metg del secolo, tra la scienza matematica e la filosofia"--pu6 essere esteso a VOLTERRA, non per ipotizzare improponibili unanimismi ma per sottolineare un processo di settorializzazione sicuramente non estranea all'inaridirsi della "scuola italiana".

Memorie di Peano sul movimento dei poli [P. 11 I1 principio delle aree e la storia d'un gatto (Rivista di Matematica, gennaio '95, 31-32), Opere Scelte, 1959, 3, 285-287. [P. 21 Sopra lo spostamento del polo sulla terra (Atti Accad. Scienze Torino, XXX, 5 maggio '95, 515-523), Opere Scelte, 1959, 3, 288-295. [P. 3] Sul moto del polo terrestre (Atti Accad. Scienze Torino, XXX, 23 giugno '95, 845-852), Opere Scelte, 1959, 3, 296-303. s4 Lettera di VOLTERRA a E. BELTRAMIdel 2. 1. '96. 55 L. GEYMONAT, L'opera di Giuseppe Peano di fronte alla cultura italiana (Celebrazioni in memoria di Giuseppe Peano nel cinquantenario della morte, Aecademia delle Scienze di Torino, 27-28 ottobre 1982). 56 Aneora nel 1899 VOLTERRAracconta a DINI di aver avuto "un dispiacere a questo riguardo a eagione al solito del Peano". Si trattava di una proposta di libera docenza e "al solito quando si tratta di qualche persona di valore il Peano si oppone sempre'.

A. GUERRAGGIO

126

Sul moto di un sistema nel quale sussistono moti interni variabili (Rend. Accad. Lintel, IV, 1 dicembre '95, 280-282), Opere Scelte, 1959, 3, 304-306. [P. 51 Sul moto del polo terrestre (Rend. Acead. Lincei, V, 1 marzo '96, 163-168), Opere Seelte, 1959, 3, 309-313. [P. 4]

Memorie di Volterra sul movimento dei poli

[v. 1] Sulla teoria dei movimenti del polo terrestre (Astronomisehe Nachriehten, 138, 1 febbraio '95, 33-52), Opere matematiche, 1956, II, 87-107.

[v. 2] Sulla teoria dei rnoti del polo terrestre (Atti Acead. Seienze Torino, XXX, 3 febbraio '95, 301-406), Opere Matematiche, 1956, II, 108-112.

[v. 3] Sul rnoto di un sistema nel quale sussistono moti interni stazionari (Atti Aecad. Seienze Torino, XXX, 3 marzo '95, 372-384), Opere Matematiche, 1956, II, 113-119.

[V. 4] Sopra un sistema di equazioni differenziali (Atti Accad. Scienze Torino, XXX, 31 marzo '95, 445-454), Opere Matematiche, 1956, II, 122-128.

[V. 5] Un teorema sutla rotazione dei corpi e sua applicazione al moto di un sistema nel quale sussistono moti interni stazionari (Atti Acead. Scienze Torino, XXX, 31 marzo '95, 524-541), Opere Matematiehe, 1956, II, 129-140. [v. 6] Sui moti periodici del polo terrestre (Atti Aecad. Scienze Torino, XXX, 5 maggio '95, 547-561), Opere Matematiche, 1956, II, 141-151. [v. 7] Osservazioni sulla mia nota: Sui moti periodici del polo terrestre (Atti Accad. Scienze Torino, XXX, 23 giugno '95, 817-820), Opere Matematiche, 1956, II, 152-154. [v. 8] Sulla teoria del moti del polo nella ipotesi della plasticit/~ terrestre (Atti Aecad. Scienze Torino, XXX, 9 guigno '95, 729-743), Opere Matematiche, 1956, II, 155-165. [v. 91 Sulla rotazione di un corpo in cui esistono sistemi ciclici (Rend. Aeead. Lincei, IV, 1 settembre '95, 93-97), Opere Matematiche, 1956, II, 166-169. [v. 101 Sulle rotazioni permanenti stabili di un sistema in cui sussistono moti interni stazionari (Annali di Matematica, 23, 2 luglio '95, 269-285), Opere Matematiehe, 1956, II, 173-186. [V. 111 Sulla rotazione di un corpo in cui esistono sistemi policiclici (Annali di Matematica, 24, 8 agosto '95, 29-58), Opere Matematiche, 1956, II, 187-212. [V. 12] Sul moto di un sistema nel quale sussistono moti interni variabili (Rend. Aecad. Lineei, IV, 15 settembre '95, 107-110), Opere Matematiehe, 1956, II, 170-172. [V. 13] Replica ad una nota del prof. Peano (Rend. Aecad. Lincei, V, 1 gennaio '96, 4-7), Opere Matematiche, 1956, II, 213-214. [V. 141 Sur la th6orie des variations des latitudes (Vierteljahrshrift der Astr. Gesell, 33, 1898, 275-279), Opere matematiehe, 1956, II, 379-382. [V. 151 Sur la th6orie des variations des latitudes (Aeta Mathematica, 22, 1898, 201-357), Opere matematiehe, 1956, II, 452-573. [V. 161 Rotation des corps dans lesquels existent des mouvements internes, Paris, 1938. Dipartimento di Matematica Universith di Milano

( Pervenuta alla redazione i120 Maggio 1983)