Le problbme de D a r b o u x pour 1' 4quation s - - f ( x ,

y, z , p , q).

Par ~ASU0 HUKUHARA(~ Tokyo, Japon) A Giovanni Sansone nel sue 70me compleanno.

R~!sum(i. - Concernant l'dquation aux ddrivdes partielles (A) tY£. T. SAT6 a essayd d'dtabtir une thdorie analogue ~ celle des dquations diffdrentielles ordinaires [8, Chap. VII, [9]. [10]. Les hypotheses qa'it a sltpposdes sent de nature assez gdndrale. Mais la croissance d~ second membre de l'dquation a~txiliaire est une restriction un peu forte. Le but de ce prdse~tt article est de montrer que l'on pest lever cette restriction.

1. N o t a t i o n s

et

d d f l n i t i o n s . - Nous

consid~rons l'~tquation aux d~riv~es

partielles

(A)

s = f(x, y, z, p, q),

dent le second membre est d(ifini et eontinu duns ~ . Nous d~signons par a et b des valeurs d4termin(~es et par h et k des valeurs positives quelconques moindre~ que a et b respectivement. Soit R le rectangle d~fini par O~x~a,

O~y~b.

Nous d~siguons par R[h, k], R(h, k), R[h; k), R(h, k] les r e c t a n g l e s : O~x~h,

O~y~k;

O~x~h,

O~y~k;

O~x~h,

O~y~k;

O~x~h,

O~y~k

re~peetivement et par @[h, k] ['ensemble des points (x, y, z, p, q) de ~) tels que (x, y)E Rib, k]. Lee notations ~(h, k), ~[h, k), fD(h, k] auront la signifieation analogue. Nous consid~rerons des suites sur R. Duns ce cas, il ne sera pas n~cessaire de supposer que routes les fonctions de la suite soient d~finies sur R. Nous d~signerons par t a,~ } et i b, } des suites croissantes et eonvergeant v e r s a et b respecttvement. P a r exemple, dane le eas de la suite t ~.(x, y)t, nous supposerons quc ~,j(x, y) est d(ffinie duns R [ a , , b,].

40

M. tIuKuttARA : Le probl~me de Darboux pour ['dquation s --- f(x, y, z, p, q)

D ' u n e mani~re g~n(irale, par une suite sur _R, nous entendons que presque toutes les fonctions de la suite est d~finies duns une partie compacte queleonque de R. Nous dirons q u ' u n e suite converge uniform(!ment darts R si elle converge uniform(~ment dans une pattie compacte quelconque de R. Soit E un ensemble compact dans le plan des x, y. l~ous dirons q u ' u n e suite {f,(x, y)} est ~qui-continue duns E, si l ' o n peut faire eorrespondre un nombre positif donn~ ~ un entier N et un hombre positif ~ de manibre que l' on ait

] f,(x, y ) - f,,(x', y ' ) [ < pour n ~ ~Y et deux points (x, y), (:c', y') de E distants l ' u n de l ' a u t r e moins de ~. On doit r e m a r q u e r que cette d~finition n~entraine pas la continuit~ de chacune des fonctions f,(x, y). Mais si une suite de fonctions ~qui-continue dans E converge vers uue fonction, la convergence est uniforme et la fonction limite est continue dans E. Si une suite de fonctions sur R e s t ~qui-continue dans une partie compacte quelconque de R, nous dirons que la suite est ~qui-continue duns R. 2. Enoncd du thdor~me d'existence. - Si z - ~(x, y) est une solution de (A), la d~riv6e partielle q - - 3 u ~ ( x , y) satis[ait ~ 1~6quation diff~rentielle ordinaire en ~:

(B)

3~q = f(x, y, ~(x, y), p(x, y), q),

off p(x, y ) ~ 3x'~(x, y). I1 serait done naturel d ' i n t r o d u i r e une condition qui affirme l'unieit~ de la solution du probl~me de CAUCE¥ pour cette ~quation diff~rentielle ordinaire. Evidemment, on peut ~changer les r61es de x et de y. Nous introduisous done, avec ~[. T. S)_T0, l'hypoth~se suivante. (a) Si (x, y, z, p, q) et (x', y', z', p', q') appartiennent [f(x, y, z, p, q ) -

(I)

gG(y, [p--p'[)q-H(x,

~ ~[h, k], on a

f(x', y', z', p', ~/)1

Iq--q'[)+#(lx--x'l,

]Y--Y'[,

[z--z'[)

pour (2)

Ix--x'[,

lY--Y'l,

[z--z'l,

tP--P'I,

[ q--q'l

<~(h,k),

off ~(h, k) est un nombre positif et p(~, ~, ~) s'annule lorsque ~ + ~q --[- ~ --* 0 ; G(y, p) et H(x, q) soar des fouctions continues respeetivement dans les domaines (3)

0 ~ y ~_ k,

0 ~ p ~ ~(h, k),

(3')

o <_ x _< h,

o <_ q ~ ~(h, k)

),~. ]~UKUHARA: Le probl~mc de Darboux pour lYquation s ~- f(x, y, z, p, q)

41

respeetivement; la solution de l'~quation diff~rentielle

d p / d y = G(y, p)

(4)

s'annulant pour y - - ' 0 est unique et s'annule identiquement et il en est de m~me de l'~quation diff4rentielle

dq/dx -- H(x, q),

(4')

Soient to(x, y) et ~(x, y) des fonctions continues dans R(a, b) et admettant les d6riv~es-continues Ox~(x, y),

O~,~(x.y),

O~v~(x, Y) = ~vO~p(x, Y),

~(x,

~,(~(x, y),

~ y ~ ( x , y) = ~v~,;,(x, y).

y),

Nous supposons te domaine ~) d6fini par

(5)

t (x, y) E R(a, b), ~(x, y) <_ z <_ to(x, y), ~x(o(x,, y) <=p ~ ~xto(x, y),

~t,to(x, y) < q < $v~)(x, y).

Alors pour affirmer l'existenee de la solution, il suffit de supposer que l'on a (6) pour

(7)

(x, y) E R,

o)(x, y) __
p ~ ~(x,

y),

q < ~v~o(x, y),

rain l P -- ~ _ ( x , y), q - - Ovto__(x, y) } -- 0 et (6)

f(x, y, z, p, q ) < ~ , ~ ( x ,

y ) = ~,~v~)(x, y)

pour

(x, y) E R, (7)

m_(x, y) _~ <7 z _~ ~ - to(x, y),

~to(x, y) < p,

~vto(x, y) <~ q,

rain t Oxff)(x, y) - - p ,

Ov~)(x, y) - - q ! - - O.

42

~I. HUKU~aARA: Le probl~me de Darboux pour l'dquation s -----](x, y, z, p, q)

P l u s pr~cis~ment, soient ~(y) et X(x) des fonetions c o n t i n u e s a d m e t t a n t les d4riv~es c o n t i n u e s ~'(y) et X'(x) d a n s les i n t e r v a l l e s 0 ~ y ~ b e t 0_~ ~ ~ a r e s p e c t i v e m e n t . Si l ' o n a 4 ( 0 ) - X(0) et (8)

to(0, y) <~ q~(y) <__;o(0, y),

~vto(0, y) ~ q/(y) _< ~z,~o0, y),

(8')

to(z, 0) _< ×(x) __<~o(x, 0),

~,o(x, 0) ~ )((x) _< ~ ( x , 0),

l ' ~ q u a t i o n (A) a d m e t au moins une solution d~finie dans R et satisfaisant a u x conditions : z --- ~b(y) p o u r x -- 0 et z - - X(x) p o u r y - - 0. Ce th~orbme est l ' a n a l o g u e du th~or~me d ' e x i s t e n c e de M. 0. PERttO~ p o u r l'~quation diff~rentielle ordinaire, et on p o u r r a ]e d4montrer, c o m m e on te v e r r a d a n s les lignes suivantes, en a p p l i q u a n t ~ ]'dquation (B) le th~or~me de M. O. PERRO~ S0US la forme u n p e u g~n~raliseie. 3. L e m m e remplies :

1.

]~YI~OTIt]~SE.

-

Nous

supposons

les conditions

suivantes

(i) L e s %,'(x, y) sont c o n t i n u e s et a d m e t t e n t les d~riv~es ~ droite ~-+

~ %, r.~x, y) -- p,,'(x, y),

(9)

~+ ¢~.t (x, y) = q,, v(X , y)

et c e l l e s - c i sont c o n t i n u e s r e s p e c t i v e m e n t par r a p p o r t h y e~ h x et a d m e t t e n t les d~riv~es ~ droite

~p.'(x, y) = ~. q., ( , y) -- s.'(x, y) ;

(10)

(ii) On a la c o n v e r g e n c e u n i f o r m e

(1~)

~.'(x, y)--~o.(x, y ) ~ 0,

(12)

p.'(x, y ) - - p . ( x ,

(13)

s,,'(x, y ) - f(x, y,

y)--~ O,

q,,'(x, y)--q,,(x, y)--~ O,

~.(x, y), p . ( x . y),

q,,(x, y ) ) ~ 0

dans R ;

(iii) L e s suites i %,(x, y ) / , { p,,(x, y) }, f q,,(x, y) } c o n v e r g e n t respectivem e n t vers den fonetions c o n t i n u e s ~(x, y), p(x, y), q(x, y) uniform(iment dans R et le point (x, y, z, p, q) a p p a r t i e n t ~t ~ p o u r (x, y) E R, z - - ¢¢(x, y), p ~ p(x, y), q -- q(x, y). CONCLUSION. - Z == q~(X, y) satisfait et on a (14)

$~(x, y)----T(x, y),

~t t' ~quation

(A) dans le d o m a i n e

~v~{x, y ) - - q ( x , y).

R

i~. HUKUH:~RA: Le probl~me de Darbou~ pour l'dquation s ~ 1(x, y, z, p, q)

43

4. D d m o n s t r a t i o n d u l e m m e 1. - D'apr~s (ii) et (iii), les suites t %,'(x, y) I, t p.'(x, y)1, f q,'(x, y)! convergent respectivement vers ¢p(x, y), p(x, y), q(x, y) uniform~ment duns R. P u i s q u ' o n a (9), on a (14). La condition (iii) entraine la

convergence uniforme

f(x, y, ~,(x, y), p,,(x, y), q,(x, y))

f(x, y, ~(x, y), pix, y), q(x,, y)). Grace ~ la condition (13), on a la convergence uniforme

s,'(x, y ) ~ fix, y), ~(x, y), p(x, y), q(x, y)) et les relations (10) entralnent

~vp(x, y ) = ~q(x, y ) = f(x, y, ~(z, y), p(x,, y), q(x, y)). On a doric la conclusion annoncfie. 5. L e m m e 2. HYPOT~[~SE. - NOUS supposons remplies les conditions (a),

it), (it) et les suivantes: (iv) L ' e n s e m b l e ~[h, k] des points (x, y)E R[h, k] est compact.

(x, y, z, p, q) de ~

tels

que

iv) On a la convergence uniforme i15)

%,(0, y) --* ~(y),

q,,(O, y) -~ ~p'(y)

dans l'intervalle 0 ~ y ~ b, et la convergence uniforme

(15')

~.(x, 0)--. )~(x),

p.(z, 0 ) ~ ×'(~)

darts l'intervalle 0 < x < a, o~t ~(y) est continue dans 1~intervalle 0 < y ~ b ainsi que sa d6riv6e et X(x) est continue dans l'intervalle 0 < x < a ainsi que sa d~irivfie X'(x). CONCLUSION.- On peat extraire de la suite t ~,,(x, y)} une suite partielle uniform6ment convergente dans R et la fonction limite ~(x, y) est la solution de l'~iquation (A) satisfaisant aux conditions : z ~ ~(y) pour x = 0 et z - - xix) pour y = 0. 6. Ddmonstration du lemme 2 . - D ' a p r b s (v), la fonction limite d ' u n e suite partielle uniform6ment convergente de i ~ (x, y) t satisfait a u x conditions de la conclusion. I1 suffit done de d6montrer la normalit6 des suites {%,'(x, y)}, tp,'(x, y)l, {q,'(x, y)~, car alors, si l ' o n t e m p l a t e les suites {~,,'(x, y)}, {p,,'(x, y)!, ... par les suites partielles u n i f o r m f m e n t convergentes, la condition (iii) sera remplie.

44

M. HUKUHARA : L(' probl~;me de Darboux pour l'dquation s - - f(x, y, z, p, q) En vertu de (ii) et (iv), on p e u t trouver un nombre M(h, k) tel que l'on air

(16)

If(x, y, z, p, q) l ~ M(h, k)

dans

iig[h, k]

I s~'(x, Y) I ~ M(h, k)

dan~

R[h, k].

et (17)

En int6grant cette in~galit~, on obtient

(18)

I p.'(x, y) --p.'(x,

(18')

I q.'(x, y ) - - q.'(x', y) I ~ ! x -- x' I M(h, k).

y') ! ~ i Y -- Y' I M(h, k),

, D'apri~s (ii) et (v), les suites 1%, t (0, y) ~, f q., I(o , Y) l, i ~., I (x, 0) !, I p , t(x, 0) t convergent respeetivement vers ~(y), ~'(y), X(x), X'(x) unifocm~ment, les deux pre. m i t r e s dans l'intervalle 0 ~ y ~ b et les d e u x derni~res dans Fintervalle 0 ~ x ~ a. On pout done trouver des nombres P(h) et Q(k) tels que l ' o n air

I p',,(x, o) I ~ P(h), p o u r 0<~a:~
I q,/(o, y) I ~ Q(k)

En posant x'---0,

y':0

duns (18) et (18'), on

(19)

I p.'(x, y) t -<---P(h) ÷ I Y I M(h, k),

(19')

I q,'(x, y) l < Q(k) + ] x I M(h, k).

Puis, en appliquant la formule de la moyenne, on obtient

(20)

i ~.'(x. y)- ~.'(x', Y')I I x - - x' [ (P(h) Jr- kM(h, k)) -{- I Y - - Y' I (Q(k) + hM(h, k))

pour (x, y) E R[h, k], (x', y') E R[h, k]. La suite { q0,'(0, 0) / converge vers la valeur ~b(0)--X(0). La suite I%.'(x, y)! est done normale darts R[h, k] et par conseq u e n t dans R. Grfice h la condition (a), si ao est assez petit, la solution m a x i m a l e U(y, ~) de l'~quation diff~irentielle (21)

dU/dy -- G(y, U) ÷

p r e n a n t la valeur ~ pour y - - 0 reste inf~irieure ~ ~(h, k) pour O<_~y<_~k, 0_~<~o et converge uniform~ment vers 0 pour 0 < = y = < k lorsque a - - - 0 .

M. HUK (~HARA: LC probld~me tlc Darboux pour l'dquation s - - f(x, y, z, p, q)

45

Posons

g,(y, u; x, x ' ) - - f ( x , y, %,(x, y), p~,(x', y)"4-u, q,,(x, y))

--f(x', y, %.(x', y), p..(x', y). q.(x', y)), u,,(y; x, x')--p,~(x, y ) - - p . ( x ' ,

y),

u,,'(y; x, x')--p,,'(x, y ) - p,,'(x', y). g,,(y, u ; x, x') est d~finie pour

(x, y), (x', y)~ R[h, k],

u -- u.(y ; x, x')

et l ' o n a I

~yA- u . r(y; x, x') - g,~(y, u ; x, x') I

<= I s~,'(x, y ) - f(x, y, %,(x, y), p,,(x, y), q,~(x, y))l + i sn'(x', y ) -

f(z', y, %~(x', y), p,,(z', y), q,(x', y ) ) ] .

Grace ~t la condition (ii), le second membre devient plus petit q u ' u n nombre positif donn6 s lorsque n d~passe un certain hombre entier no. On a done "4-

y

•

Oy u , (y, x, x ' ) - g,,(y, un ; x, x') l ~ pour n > no, (x, y) et (x', y) appartenant /~ Rib, k]. Les in~galit~s (18') et (20) montrent que l ' o n a

l ~n I(x , Y ) - ~n'(x', Y) I < ~o(P(h) + kM(h, k)), I.~P l q,,(x, y ) - - q n ~ , y)] < ~oM(h, k) !

pour

]x--x'l

< ) , o et puis la condition (ii) entraine

(22)

1%,(x, y)

~,,(x, Y) I < 2)~o(P(h + kM(h, k)),

(23)

J q,,(x, y) -- q,~(x', y) I < 2koM(h, k)

pour n assez grand. Supposons donc que l ' o n a ces in~galit~s pour I x - - x ' [ < ),o, n > no. Si ).o est asse~ petit de sorte que les seconds membres de ces in6galit~s ainsi que ~o sont moindres que 5(h, k), on a

l g,,(Y, u,~ ; x, x ' ) l <

G(y, ] u,~ l ) - 4 - H ( x ,

-~ ~( l x - - x '

I q,,(x', y ) - q,,(x, y ) ] )

l , O, 1%.(x, y)--~.(x',

y) l ),

46

M..~UKUHARA: Le pcobldme de Darboux pour l'dquation s ~---f(x, y, z, p, q)

i u,, I 6rant suppos6 au plus 6gaI h 8(h, k). Les hypoth6ses relatives h H et e n t r a l n e n t que l'on a

H(x,

I q,,(x', y) ~ q,,(x, y) I ) < ~,

~( t x -- x' l , O, l ~.(x, y)-- %,(x', y) I ) < ~, pourvu que ~o soit assez petit. En vertu de (ii), on a

u,~'(y ; x, x') ~ u,,(y; x, x') -~ 0 uniform6ment pour (x, y), (x', y ) E R [ h , k] lorsque ' ~ u , ' l < 8(h, k)/2, on a u r a t u,~ t ~ ( h , k) et

[ G(y,

lu,~'[)--G(y,

]u,,I)]

n ~ co.

Par

suite,

si


pour n > no, no 6tant suppos6 assez grand. On a donc

I O~u,'(y; x, x')I < e(y,

I u,,'i)A-4~

pour n > n o h moins que l u~,'] ne d6passe 8(h, k)/2. Comme nous avons remarqn6 la convergence uniforme p,,'(x, 0 ) ~ X(x) et que la fonction limite X'(x) est continue par hypoth(~se, on pout supposer que F 0 n a l u,/(0; x, x')i < 4 ~ . On pout donc appliquer le th6or6me de comparaison pour los 6quations diff6rentielles ordinaires et on obtient l'in~galit6

! u,/(y; x, x') 1% U(y, 4s) duns l'intervalle 0 < y ~ k pourvu que U(y, 4 s ) < 8(h, k)/2. U(y, 4a) convergeant uniform6ment vers 0 lorsque ~--* 0, on a cette in6galit6 pour n assez grand. On a ainsi d~montr6 l'6qui-continuit6 de la suite {p,,'(x, y)t. La suite i p,,'(x, 0)! 6rant convergente, la suite t p,,'(x, y)! est normale dans R[h, k] et par cons6quent dans R. On pout d6montrer de m6me la normalit6 de la suite i q,,'(x, y)!.

7. D6monstration du thdor~me d'existence: Formation de fonctions %~(x. y), ~ '(x, y), etc. - Consid~rons d'abord l'6quation diff6rentielle ordinaire en q: 'X q). ~,~q = f(x, O, )~(x), y.(), Le second membre est d6fini dans le domaine 0 < x < a,

~(x,

0) < q < ~ ) ( x , 0)

~ . I~UKUHARA: Le probl~,mc de Darboux pour l'dquation s --- f(x, y, z, p, q)

47

et 3v(o(x, O) et ~ ( x , O) sont des fonction quasi inf~rieure et quasi sup~rieure pour l'~quation diffdrentielle. De plus, ~'(0) est une valeur entre ~¢o(0, 0) et ~v~o(0, 0). L'~quation admet done une solution prenant 1~ valeur '-V(0i Grace ta condition (a), la solution est unique. ~ o u s ta d~signons par q~(x, 0). On pose n a t u r e l l e m e n t %,(x, 0)--X(x), p,~(x, O)-" X'(x). P a r suite ~x%~(x, 0)----

pn(x, 0). Prenons deux suites croissantes t a,~ t et i b,~ } convergeant v e r s a et b respectivement et intercalons entre 0 et bn une suite croissante k~, k~, ..., k~v_~. L ' e n t i e r N, que nous supposons assez grand, d~pend en g~n~ral de n. ~ o u s posons ko = 0, kN = b~. j ~tant un entier non n~gatif moindre que N, nous supposons que nous avons d~fini les fonctions %,(x, y), p,,(x, y), q.(x, y) dans R[aa, k~] de mani~re que l'on ait (24)

(~(x, y) ~ ~(x, y) ~ ~o(x, y),

(25)

~,~)(x, y) ~ pn(x, y) ~ ~,So(x, y),

(26)

~(x,

(27)

%~(x, y) : ~b(y) -k / p.(x, y)dx

y) ~ qn(x, y) ~ ~ ( x ,

,

y),

2

0

dans R[a,, kj] et (28)

qn(o, y) = +'(y)

pour y -

O, kl, ..., kj. Posons

A

(29)

p,dx, y)-" p,(x, k~) + ( y - k~)f(x, kj, %,(x, kj), p~(x, kj), qa(x, k~)),

(30)

p,,(x, y) -- rain / m a x ip~n(x, y), a,~¢o(x, y) }, ~,(~(x y) }

dans le domaine Dj+I : O ~ x ~ an, kj < y ~ kj+~ et d~finissons par (27) les valeurs de %,(x, y) dans Dj+I. On a alors (24), (25) et (27) dans Dj+I. l~ous posons (31)

~.(x, y) -- rain t m a x i q.(x, k~), 3~o~(x, y) }, ~v(~(x, y) }

pour 0 ~ x ~ a , , ordinaire en q:

k~ <: y ~ kj+l, et puis consid~rons I' ~iquation diff~rentielle

~ q = f(z, kj+l, %,(x, kj+l), p,,(x, kj+l), q). Le second m e m b r e est d(tfini pour

0 _< x <_ a . ,

~v~(x kj+~) __
48

M. IIvK V~L~g~: Lc probl?,w de' Darbou:r pour l'~quation s--~ f(x, y, z, p, q)

~u~o(x, k j+~) et ~v~)(x, kj4.~) sont des fonctions quasi infdrieure et sup~rieure pour eette dquation et ~'(k~.~) est une valeur entre ~,¢o(0, k~+~) et $~,{0(0, k~+~). L ' d q u a t i o n admet donc une solution prenant la v~leur ,~'(k~÷~) pour x-----0 et l'unicit~ de la solution est :~ssur¢~e par la condition (a). Si on la. d6signe par q,~(x, k~+~) on a (26) dans D~+~ et (28) pour y - k~+~. On p e u t " a i n s i d~finir les fonctions %,(x, y), p,(x, y), q.(x, y) dans R[a,, b.~]. Elles satisfont aux relations (24), (25), (26). (27) dans R[a,. b,], "~ 1' 6g~lit~ (28) ponr y - - O , k~, ..., k.v et h t'~quation diff6rentielle

(32)

~ q ~ f(x, y, %,(x, y), p.,(x, y), q)

pour O ~ x ~ a . ,

y-~O, k~, .... kN. Oa a de plus (31) pour O_
kj < y < k,+~. Posons

%,'(x, y) =kj+~--kj k j + ~ - - y %,(x, kj)+

(33)

y--kj

~,(x, kj+~)

pour kj <=y <~ kj+~. p,'(x, y) et q,,'(x, y) sont d(tfinies par "'~'

p,'(x, y ) = ~ , ,

(34)

P'X

~ , y),

q,'(x, y ) = ~,j+ %, t (x, y).

On volt i m m ~ d i a t e m e n t que l ' o n a

(35)

p,,'(x, y) - k j + ~ - y p,,(x, kj) + , y_-- k_~ p,,(x, k+~), kt+ ~ --

pour O S x ~ a , , , (36)

kj

kiSy~kj+~

'~j+~ - -

"1

et

q,, t (x, Y) -

~,(x, kj+~)-- ~.(x, kj) kj-p1 - - ~J

pour k ] ~ y < kj+~, 0 ~ x <__a~,. On a ensuite (37)

s,((x, y) -" ~up,~'(x, Y) -" ~q,,'(x, y) --

p,(x, ki+,)--p,(x, kj) ki+~_ ki

p o u r 0 ~ x < a~ , kj ~ y .( ki+, .

8. D~monstration du th~or~me d'cxistence: Y~rification des conditions du l e m m e 2 . - La condition (iv) est ~videmment remplie. La condition (a) est suppos6e remplie. %~(x, 0), p,~(x, O) et q,~(x, O) sont continues dans l'intervalle O ~ x ~ a,~. Supposons que ~,~(x, y) et p,~(x, y) sont continues dans R[a~, k f et que q,~(x, y) sont continues pour O_<_x~a,~, y-~O, kl,..., k].

M. ]:[UKUItAR2t Le probldme de Darboux pour l'dquation s - - f(x, y, z, p, q) :

49

A

p~(x, y) est continue duns Dj+I et converge u n i f o r m 6 m e n t vers p~(x, ki) lorsque y--~ k i. p,~(x, y) e~ q%(x, y) sent done continues dans /)i+~: O ~ x ~ a n , k i<=y~ki+~, qn(x, y) est continue pour O ~ x ~ a ~ , k i ~ y < k t + ~ et pour O~_x_
I

y)

kj) l

e t t ~ ' ( Y ) - ~'(k/) I sent moindres que ~-:,, p o u r k i <=y < ki+ ~. P n i s q u ' o n a (28) pour y - - k i e t (31) pour kj < y < ki+1, on a

I q,,(o, y)-

+'Cy) I <

0 n a done la convergence uniforme qn(O, y)--~ $'(y). On a d ' a u t r e part %.(X, 0) -- X(x), p,(x, 0) = )((x) par d6finition. L a condition (v) est done v6rifi6e. Puisquc

l p,(x, y)--p,,(x, ki) j < ~ I Y - - k i l M ( a , , Oil

b,),

a A

dans Di+I, en supposant bien entendu, que routes les diff6rences kl+ 1 - k i sent assez petites. Sxto(x, y) et SxoS(x, y) 6tant continues, on a [ ~to(x, y) - - ~to(x, ki) [ < ~,~,

I fi)(x, y)-

duns Di+ 1. On a alors I P,,(:~, Y)--p,(x, kj) l < ~,,. E n y posant y - - k ~ + l , on obtient

l p~(x, ki+~)--p~(x, ki) t < e,. Annali di Matematica

kj) l <

M. ]~UKUHARA: Le probl~me de Darboux pour l'dquation s ~ f(x, y, z, p, q)

50

p.'(x, y) prenant une v a l e u r entre p~(x, ki) et p.(x, ki+~), on a

I p~'(x, y ) - p~(x, k~)l < ~.. On a par suite

dans R(a., b.]. La convergence d6montr~e. D' apr~s (27), on a

uniforme p,(x, y ) -

p/(x, y)--* 0 est, done

duns Di+t. P u i s q u e l'on suppose les differences k j + t - - k t assez petites, on a

La vuleur ~.'(x, y) se trouvant entre ¢p,(x, ki) et ~.(x, ki+~) pour (x, y)EDi+~ , Oil

a

1%,'(x, y ) - %,(x, y) t < 20 + a,,)~ dans B[a., b,]. La convergence uniforme 9n'(x, y ) - - ~ ' ( x , y ) ~ 0 est done dOmontrOe. Pour ~valuer ~q,.(' X , y) - - s,~'(x, y)__ eonsid~rons la difference pn(x, k j ÷ ~ ) p,,(x, ki). Si p,(x, kj+~) coincide avee pn(x, ki+t), on a

~q~'(x, y)= f(x, k~, ~(x, kj), p.(x, ki), q~(x, kl)), Si p..(x, ki+~) ne eoYneide pas avec p:(x, ki+l), elle coYncide avec 3~o(x, ki+~) ou 3~(x, kj+~). Supposons par exemple q u ' e l l e eoYneide avec 3x~_(x, ]~i+~)" On a dans ee eas A

p~(x, kj) >_ ~o(x, k~), d' off l ' o n d~duit

(ki+~- kj)f(x, k i, $,(x, kj), p.(~, ki), q.(x, ki))=p,(x, ki+l)--p.(x, k~)

Il existe entre k i et ki+t une valeur y telle que

p.(x, y) -- ~o(x, y).

M. HUKUHARA: Le probldme de Darboux pour lYquation s--- ](x, y, z, p, q)

5t

En r e m a r q u a n t (6) et (29), on obtient

p,(x, y) > pn(x, ki) - - (y - - kl)M(a,, b,,),

O~fx, y) =<=Ox~o(x, kt) -4- (Y

-

-

ki)M(a,, b,).

On a done

0 <= p,(x, ki) - - O~o(x, kl) _< 2(ki+1

--

kl)M(a~, b,).

Pnisque l'on suppose les differences k i + ~ - k/ assez petites, on a

If(x, kj, ~,~(x, kj), p.(x, kj), q.(x, kj)) --f(x, ki, ~,,(x, ki) , ~(x,

kj), q,~(x, k~)) i < ~,,.

La valeur m i n i m u m f(x, y), que prend la fonetion f(x, y, z, p, q) dans le domaine (7), est une fonetion continue dans R et satisfait /~ l'in~galit~

Ov~Q)(z, y) ~ f(x, y). En supposant toujours les difffirences k i + ~ - - k t assez petites, on a

fix, y) ~ f(x, ki) Jr. ~ duns Di+ ~. On a alors

~.?(z, k:+~) -- ~.T(x, kj) < (ki+. - - ki)(f(x , kj) + ~,,) =< ( k i + ~ - kj)(f(x, ks, ~.(x, k~), O~(x, kj), q.(x, ki) ) + ~.)

< (ki+~- kj)(f(x, ki, ~.(x, ki), p.(x, ki) , q,(x, k]))+ 21,). On a done (38)

~q-

p,

I ~ qn(z, y ) -

f(x, ki, ~.(x, ki) , p.(x, kj), q.(x, ki))[ < 2~,,,

en tenant eompte de (37). On verra de m~me que cette in4galit~ est valable duns le cas oh p,(x, k]+1) coincide avee ~x~(x, kj+l). En int~grant t' imigalit~ (38), on obtient

I

I q,,'(x, y ) -

q,~(x, k ~ ) -

~(ki+l ) -- ~(ki) I k j + 1 - k i + ~'(ki) 1 < 2e,,a,,

52

~]'. HUKUttARA, Le probldme de Darboux pour l'dquation s - - f(x, y, z, p, q)

valable pour O < x < a . , k s < y < ki+~. P u i s q u e 1' on suppose les difffirences ki+~--k~ assez petites, on a le droit de supposer [

k]+~ -- k]

- +'(k~) I <

et

I ~i,~(x, y)--3~,~(z, ki) t < s,,, pour 0 < x ~ a,,,

k t ~ y < ki+~.

Ces deux

[ q.(z, y ) -

dernibres

infigalit~s

entralnent

q.(x, ki) I < ~..

On a done

I q.'(~, y) -- q-(~, Y) l < 2~.(I + a.), de sorte que 1' on a la convergence uniforme q.'(x, y ) Les relations (37) et (38) entralnent

[ s.'(~, y)-

q,,(x, y ) - * 0

f(x, k s, ~,(~, kj), p.~x, kS), q.(x, kS))[ < 2~..

Ii est loisible de supposer les differences

y-

kj,

~,,(z, y ) - ~.(z, k~), p.(x, y)--p.(x, kj), q.(x, y ) - q.(z, kj)

assez petites pour (x, y)E Di+1, de sorte que

i f(~, Y, ~.(z, y), p.(~, y), q.(x, y)) - f(z, ks, ~.(x, k~), p.(x, ki), q.(~, ks)) f < ~.. On a par suite la convergence uniforme

s.'(x, y ) -

f(z, y, ~(x, y), p,(x, y), q,(x, y)) ~ O.

L a condition (iS) est donc v6rifi~ie. Ainsi lee conditions dans t'hypothi~se du lemme 2 sont routes v~rifi~es. On peut done a p p l i q u e r le lemme 2 et on obtient la conclusion du th(~or~me. 9. E x t e n s i o n s . - 1° On peut 6tendre le th~or~me d ' e x i s t e n c e ~ un systbme d'~quations. D ' u n e mani~re g6n~rale, supposons que z et f repr~sentent des points dans un espace ~ un nombre finS de dimensions et que p, q et s repr~sentent les d~riv~es partielles p -- ~,z, q ~ ~,,z, s - - ~vP -" ~ q ,

).~. tIuKUHARA : Le probldme de Darbou.~ pour l'dquation s - - f(x, y, z~ p, q)

53

x et y d6signant encore des variables r~elles. Soit o)(x, y) une foncti,)n r6elle continue dans le rectangle R : 0 < x < a, 0 < y < b ainsi que ses d6riv6es partielles

~(x,

y), ~vo)(x, y), ~vco(x, y ) = ~v~#o(x, y).

Nous supposons que les valeurs o~(x, y), ~xco(x, y), ~vo)(x, y) sont non n*gatives. D ' a u t r e part, soit S(x) une fonction continue positive, convexe et positivement lin~aire, cTest-i~-dire une fonction continue satisfaisant a u x conditions suivantes :

S(z)>O

pour

z=~=0;

S ( z ~ + z ~ ) < S(z~)+ S(z~) 2 -2 ; SO, z) = ),S(z)

pour

), > O.

Nous supposons que le second membre de l'~quation (A) est continu dans le domaine ~ :

(x, y) E R,

S(z) <~ ~) (x, y),

8(p) _<_O#o(x, y), S(q) <__Ovto(x, y)

et satisfait k 1' in~galit6

S(f(x, y, z, p, q ) -

f(x', y', z', p', q'))

< G(y, S ( p - - p')) + H(x, S(q - - q')) + ~( ] x - - x' [, i Y - - Y' [, S(z - - z')) pour

I • - - ~' I,

1 y --y' I,

8(~ - - ~'),

8(p -

p'),

8(q - - q') _<_ ~(h,

k),

la signification de G, H, ~, ~ ~tant la m0me q u ' a u n ° 2. Alors pour affirmer l ' e x i s t e n c e de la solution, il suffit de supposer que 1' on a

S(f(x, y, z, p, q)) g O,~v~o(x, y) = ~vO,~o(x,, y) pour

I (x, y) ~ R,

S(zj < ~(x, y),

I rain t~¢o'$, y) - - S(p),

Ovto(x, y) -- S(q) l = O.

Plus pr~cis~ment, soient ~(y) et X(x) des fonetions continues admettant les d6riv~ies continues +'(y) et X'(x) dans les intervalles 0 < y ~ b e t 0 < x ( a respectivement. Si 1' on a t~(0)---X(0) (--c) et

8(+(y)) <_ ~ol0,

y), S(x(x)) _<=~o(x, 0),

54

)[. I-IuKuHARA; L e p r o b l d m c de D a r b o u x p o u r l ' d q u a t i o n s - - f ( %

y, z~ p~ q)

l ' d q u a t i o n (A) a d m e t a u m o i n s u n e s o l u t i o n d d f i n i e d a n s R et s a t i s f a i s a n t a u x c o n d i t i o n s : z = ~(y) p o u r x = 0 et z = X(x) p o u r y - - 0. L a d d m o n s t r a t i o n du t h d o r ~ m e d' e x i s t e n c e e x p o s d e a u x n °s 7, 8 p e u t s' dtend r e h e e prefsent cas s a n s a u c u n c h a n g e m e n t e s s e n t i e l d a n s tes r a i s o n n e m e n t s si l ' o n t i e n t c o m p t e d e s th(ior~mes f o n d a m e n t a u x de la t h d o r i e des d q u ~ t i o n s d i f f d r e n t i e l l e s o r d i n a i r e s [8, Chap. I ] . 2 ° L e s r d s u l t a t s d e s d i v e r s a u t e u r s citds d a n s la b i b l i o g r a p h i c n o u s s u g g ~ r e de d i v e r s e s gdndralisa, tions. P a r exemple7 il ne s e r a i t p a s d i f f i c i l e de v o i r si l ' o n p e u t r a i s o n u e r de l a m ~ m e m a n i ~ r e d u n s le c a s o~ f n ' e s t p~s c o n t i n u e m a i s m e s u r a b l e p a r r a p p o r t i~ (x, y), e n r e m p l a c a n t t ' d q u a t i o n ~ u x d d r i v d e s p a r t i e l l e s (A) p a r F d q u a t i o n i n t d g r o - d i f f d r e n t i e l l e z(x, y ) - - ~ ( y ) +

X(x)--c

y

÷fff(x,-y7 0

~, Ox~(x7 Y), ~yz(x, y ) ) d y d x .

0

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