Les invariants et les covariants, en q -ualit6 de crit6res pour les ravines d' une equation (par
H. SCHRAMM,
pro f.
et Wiener-Neustadt) .
(Continuazione .)
Pour completer la discussion des equations alg6bdques par moyen do Wes invariantifs (*), it nous rests encore a trouver une espice d'invariants, indiquant la conistence do r groupes a s racines 6gales . Posons d'abord, pour faciliter la deduction, r=3, s =4, et admettons qu'il y a un invariant dou6 de la propri6t6 d'avoir la valeur zero, lorsque l'6quation, a la forme do laquelle it appartient, contient 3 groupes a 4 racines 6gales ; cet. invariant aura h conserver une valeur sensible pour 1 2 ==3=4 5==6 ==1==8 9=10=11,
et
11
1
en denotant les ravines a ., a2 , a3, . . . de 1'6quation, simplement par 1, 2, 3, . . . Posons de plus, qu'on ait represents Finvariant eherch6, en fonction des differences des ravines al , a 2 . . ., savoir a
it est evident, que sons la dite condition la plus grande partie des termes de la somme 11 se r6dWra h zero, et qu'il n% restent except6s que les fermes, M Annali di Matematica Aura ed applicata : Serie IU, t . I.°, pag . 259 a pag. 279. Annali di Matematica, tomo 111 . 6
S c h ra mm : Crite
42
s pour Ies racines dune equation .
clans lesquels manqueront toutes les differences formees des racin s : 1, 2, 3, 4 ; de plus, Ies differences formees des racines 5, 6, 7, 8, et encore les differences formees des racines 9, 40, 11 . Ces termes-ci ne contiendront done que les differences suivantes (a.) Les differences formees des (rs-s) racines : 1, 2, 3, 4, et 5, 6, 7, 8, en combinant toujours une racine du groupe 1, 2, 3, 4 avec une des 5, 6, 7, 8 ; cela donne en tout (11$
(b .)
-S)
(rs -S
= 2
(r -1) (r - 2)
differences .
es (r s - s) racines : 1, 2, 3, . . . 7, 8, avec les (s - 1) racines : 9, 10, 11 ; en tout (s - 1) (rs - s) = s(s --1) (r -1) differences .
Les differences for
(c.) Les s (r-1) (n-rs+1) differences formees des (rs-s) racines : 4, 2, .. . avec les (n - r s + 1) racines : 12, 13n . (d.) Les (s-1)(n-rs+4) differences formees des (s-1) racines : 9, 10, 11, avee les (n-rs 4- 1) racines : 12, 13. . . . n. (e.) Les 1(n - rs) (n - r s 1- 1) differences, composees des (n - r s -1- 1) racines : 12, 13 . . n. En denotant encore, pour abreger, les produits des differences developpees en (a), (b), (c) . . . . par 5 ) (1, 9 ) (1, 12) (1, 12) (9, E= (12, 13) (12, A` (1, B= (1, C= (1, D =. (9,
6) . . . . (rs-2s, rs - s)
10) . . . . (rs-s, rs-1) 13) . . . . (rs - s, n ) 13) . . . . (r s -1, n ) 14) . . . . (n -- 4, n )
l'invariant en question prendra la forme Ic-r,8>
= N All B"
Cx Dr EZ .
Mais it faut de plus, quo chaque racine entre p fois dans chaque terme de la somme 6v,,; p denotant le degre de 1'invariant par rapport aux coefficients de 1'equation .
S ch r a m m : Qriteres pour les racines d'une equation .
43
En faisant done des n racines de l'equation les trois parties (I) 1, 2, 3, (rs - s) (II) (rs-s+1), (rs-s+2) (rs -1) rs+1, n (III) rs, it est facile a voir, qu'une quelconque des racines de la partie (I) entrera dans le produit A s (r 2) fois » » B, s-1 » C, in-rs+1 » >>
»
De meme une racine de la partie (II) entrera en B s (r -1) fois » D n-rs+1 >) et une racine de la partie (III) entrera en C s(r - 1) fois » D s-1 » » E n-rs » Il en resulte, que les exposants u, v, x, . . . soot lies aux conditions suivantes : s(r--2)u±(s-1)v±(n-rs+1)x=p s(r--1)v±(n-rs+1)y-p -1)y+ (n-rs) z =p. La premiere de ces equations (p) represente la somme des exposants d'une racine de la partie (I), la seconde et la troisieme la somme des exposants d'un racine resp. en (II) et en (III) . Les invariants determines par ces equations auront la propriete de prendre la valeur zero lorsqu'il y a dans 1'equation r suites a s racines egales, et ils conserveront une valeur sensible lorsque les r suites de racines ne sont pas completes . Aussi it va sans dire qu'ils restent egales a zero pour des valeurs plus grandes que r et s . On pent verifier la correspondance de ces equations generales avec celles
14
Schramm : Grit6res pour les racirles d'une equation,
trouvdes dans Particle precedent, en posant s = 2, et r -f-1 au lieu de r . La secoride et la troisi6me equation reprdsentera aloes identiquement la memo condition, en posant encore x = v . y = z, et it Won restent quo les deux equations seules : 2 (9- - 4) u -i- (n - 2 r) v =p 21-v + (n - 2 r - 1) z =p . Ce sent enn verit6 les m6mes equations, moyennant desquelles nous avions calculd les invariants designds par 1(r) (II, pag . 212) . Pour appliquer ces invariants dans la discussion des equations algdbriques it sera utile do calculer encore la sornine des exposants dans les produits ddveloppds de chaque terme de l'invariant . En d6notant par S cette somme des exposants, on aura S== 1 s'(r -- 1)(r - 2) u + s 's (v v +8 (r- 1)(n -rS + 1'x + (s -1)(11 + 1, (it - r S + 4) (11 - r 8) Z . Mais on peut transformer cette expression do la mani6re suivante : ;j ==± S 2Q__ 1) (r-- 2) u + is Q-- 1) (s-- 1) V + Is (r (11 - 1+1)x+ -S 2 2 2 (r - 1) v+-!2 (s-1)(n-rs 4- 1) y + + 's (r-4)(n-rs+I)x + 2 S== -I2 s (r - I)p + 2 1)p + I2 (II 1)p S== Te 2 4-19 2
(S
2
We equation est valable comme on salt pour chaque autre esp6ce d'invariants ; car it est evident, qu'un terme quelconque en V,,, contient chacune des ii racines p fois, ce qui fait, en tout, vp racines ; mais comme celles-ci sent combin6es par deux dans une difference, elles donnent unn produit do np 2
facteurs linbirec Ions un invariant, qui doit conserver son signe, memo quandd on change les signes de toutes les racines de Nquation, it faut que S soit un nombre pair, et le degrd p d'un tel invariant sera lid a la condition : ?t
Sohram
. : Griteres pour les rac
es d'une equation .
45
c'est A dire p=4p1R
pour
n=2m±1
p = 2p1
»
P =
»
n=4m+2 n=4m
p1
denotant un nombre entier quelconque. C'est aussi la condition sous lalivable dans la discussion des equations, parquelle un inva ceque toute autre inv arian identiquement la valeur zero, on pour des racines quelconques a 1 , a 2 , a. . . . on au moins pour la supposition
p1
= - a,
a1
- - an (*) Les formules generales pour le degre p deviennent impraticables pour r=1, ou mieux dit, elles prennent une forme plus simple ; car, dans cc cas particulier, it n'y aura plus de racines dans la partie (I) et par consequent les trois equations (p) se reduiront aux deux seules (n-s ;-1)y=p (s-1)y+(n-s)z=p .
Cette espece d'invariants aura la forme 1 (1,9)=I Dy L T.'z
D= (1, s) (1 ,s+1) . . . . (s-1, n) E=(s, s+1)(s, s+2) . . . .(n-1, n) avec les valeurs des exposants y et z _ y
p ' n-s + 1
_ p(n --2s -{-2) ti - (n-s) (n-s + 1)
( ) On trouve clans les Elemente der net
46
S ch ra m m : Criteres pour les racines d'une equation .
On prendra pour p un nombre entier, qui donne aussi aux exposants y et z une valeur positive et entiere . Cola ne sera possible que pour 2s
parceque pour 2 s > n + 2, z devient negatif. Voila une solution du probleme propose ; mais on ne pout pas dire qu' elle soit la solution la plus generale, parcequ'il y a pour la deduction des invariants do la dite propriete plusieurs voies, qui menent A des resultats en quelque part differents . Nous en donnerons un exemple pour le cas r =1, et s queleonque . Posons A ce but, qu'on ait fait des n racines de l'equation (s - 1) parties dont les premieres (s-2) parties contiennent p racines chacune, et la derniere le reste : 3, . . . .p 1, 2, 2p p+4, p+2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (s-2)p-1-4, (s-2)p±2, . . .
. . .91-1 1
En formant le produit de toutes les differences de chaque par
n. obtient :
A 1 = (1 , 2) (1, 3) . . . . (9-1, p) 14 2 -(9+4, p+2)(p+4, p±3) . . .(2p-4, 2p) Ag_1=[(s--2)p+4, (s--2)p+2] . . . . [n--1,
n]
Ces produits donneront un invariant de la forme ((,) x z x y Ip = ,,,, A I .A 2 . . . . A 8-2 A $ _ x
en supposant les exposants x et y sou (p -4)x= [n- (s - 2) p---1]y=p.
Il y a une difference essentielle entre ces invariants, et ceux trouves par la deduction precedente ; et pourtant ils ont la propriete commune d'avoir la valeur zero pour s racines egales . Car en supposant parmi les n racines d'une equation s racines egales, it est evident que Fun ou l'autre des produits A i , A 2 , A $_ f contiendra deux ou plus racines egales et par consequent chaque terme de la somme " aura zero en facteur .
Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .
47
Mais en examinant la derniere equation, on voit que la valeur de p peut varier entre les limites
n-1 P< s-L s-2
p>1,
et qu'il y aura Bans certains cas plusieurs invariants differents, pour la meme valeur de s . En posant pour p la plus simple valeur p=2, on aura pour x et y les equations X=P,
y
n-2 ±3
Ces invariants auront done en general le degre p-(n-2s+1)p 1
pendant que les autres, nommes 1(1,8), seront du degrep'=(n-s)(n-s±1)p l , ce qui donne en general p
IV. Passons maintenant a la recherche des crit6res invariantifs, indiquants la coexistence de plusieurs racines egales et imaginaires . Nous avions expose dans Part . II de ce travail, que les invariants 1(r) indiquent par le changement do signe 1'existence de 2(r±1) racines imagil'equation donnee, et qu'ils s'evanouissent lorsque les 2(r±4) racines sont deux a deux egales . Mais dans cc dernier cas, ils perdent aussi leur faculte de servir comme indices pour le nombre des racines imaginaires, et it faut qu'on les remplace par une autre espece d'invariants . 11 est pourtant tres difficile a donner des formules generales qui renfersibles, pour chaque combinaison do racines egales, et en partie imaginaires, et nous ne chercherons par consequent que les indices dans le cas special, quand 1'equation donnee contient r parties a 4 racines imaginaires et deux a, deux egales . En supposant done Bans cette equation r groupes a quatre racines imaon sait quo, celles-ci auront la forme a1 =a s =p4 qV-1
48
S c h ra m m : Criteres pour les racines d'une equation .
of en faisant q=0, q 1 =0, . . . ces racines seront reelles et quatre a quatre egales . a,=_a 2 =a a =a4 . Il faut done que l'invariant cherche passe par zero quand it y a 4 groupes a 4 racines 6-ales dans 1'equation, et it faut qu'il change le signe au moment, oit l'on donne a q, q l , q 2 , . . . une valeur sensible . Ces invariants resulteront des equations generales (p), en y posant s=4 : 4(r- 2)u+ 3v+(n-4r+t)x=p 4'r-1) v+(n -4 r+ 4 )y=p 4(r-t)x+3y+ (n-4r) z=p . On deduira aussi la valeur do l'exposant tc clans la plus haute puissance du produit d¢veloppe des quantites imaginaires .(V-r)," gg1q2 . . on ayant cgard a cc quo nous aeons explique dans fart . II do cc travail, pag . 273, savoir que l'on trouve cette puissance dans un terme de la Somme qui contient le plus petit nombre de differences formees de deux racines imaginaires . Cot exposant plus haut aura en general lea valeurs suivantes t . En supposant 4 r - 2 racines imaginaires dans 1'equation donnee u 1 =8(r-t)(r-2)u+t2(r-t)v+4(r-1)(n-4r+4)x+(n-4r+4)y . 2. En supposant 4r+2e' racines imaginaires dans l'equation ce 2 =8(r-t)(r-2)u+12(r-I)v+4(r-4)(n-4r+t)x+3 (n-4r±4)y +(2o'+1) (n-4r-a)z ou aussi plus on abrege, en placant 4 t au lieu des expressions avec le coefficient 4 : 111= 4 t+ (n--4r + t)y t' 2 =4t+3(n-4r+ 4)y+(2u'+t)(n-4r-a)z . Chaque riant de cette espece dolt rester positif pour 4r-2 racines imaginaires, memo en supposant les quantites q, q 1 , q 2 , . . . infiniment grandes ; it faut done quo It, soit un nombre de la forme 4t, ou V+1 .
Sorhamm : Criteres pour les racines d'une equation . Car en supposant
,u s
49
= 4 t, l' invariant P ,') aura pour
a1 = a -
q V-1 ,
= a 4 - .-qV-le meme signe qu'il a dans le cas ou l'on suppose al -a 3 -
a2
q,
a5 = a7 =
a4 =-q,
q1
a6 = as =- q1
(toujours pour des valeurs tres grandes do q, q 1 , . . .), on, pour 1'exprimer plus en general, it aura pour 4r-2 racines imaginaires le memo signe que pour n racines reelles . .--4t+1 donne an produit q q 1 . . . (V-1)I une La seconde supposition y, valour imaginaire ; mais on sait qu'un invariant rests reel pour de valeurs reelles des coefficients de l'equation . Ii en suit, quo les puissances impaires de 11-1 s'evanouissent, et quo le signe de l'invariant dependra de la puissance (VT)t`-1, ce qui conduit an memo cas : y --1= 4 t. En consequence dans le choix des valeurs de y ii faut avoir egard aux conditions (n-4r + 1) y= 4t , on (n- 4r+1)y-1-4t. Le meme invariant doit changer le signe pour 4r+2c racines imaginaires, et afin que cola soit possible, it faut quo It 2 ait la forme ,u2 =4t+2
ou
,u2
-4 = 4t+2 .
Considerons la premiere de ces conditions, en remettant la seconde A la discussion des equations de degre particulier, et posons ,u1 =4 t, ,u2 =4 t+ 2. Ces equations seront satisfaites en faisant
(n-4r+1)y=4t,
et
(n-4r-a)z=4t+2 .
Pour n= 2m+ 1, et a= 2 a,, on aura a satisfaire ontre que les equations. (p), encore les conditions (2m-4r+2) y=4t
(2m-4r--2c+1)z=4t+2 Annali di Matematica, tomo III .
7
50
S c h r a m m : Criteres pour les racines d'une equation .
ce que l'on pent toujours faire en posant z=4z 1 +2, et it sera alors : pour 4r-+-4a,, racines imaginaires, pour 4r+4c+2 » »
= 4 t+ 2 tc2= 4 t. a2
Tels invariants auront la faculte d'indiquer par un changement de signe la coexistence de 4r racines imaginaires, et lorsqu'il est en memo temps I(r,) =0, posant 2r-1=r 1 , ces 4r racines seront deux a deux egales . Les equations du degre n=2m donnent les conditions
y-4y 1 et tc 2 =4t+3(2m-4r+1)y+(2a 1 +1)(2m--4r-a)z=4t+2 . (2m-4r+ 1)y=4t,
ou
Mais en posant a=0, ce qui correspond a 4 r racines imaginaires, on deduira la valeur de (2m-4r)z des deux dernieres equations pour le degre (p), savoir
(2m-4r)z=4(r-1)(v-x)+(2in-4r-2)44y 1 =4t it sera pour y .-4y, toujours tt2 = 4t. Quant au second cas, lorsqu'il est t12 impair, on aura a satisfaire la condition PA
(2m-4r+1)y-1=4t ce qui donne t' 2
=4t+1±2(m-2r)z .
Cette fois it sera bien possible de donner a ,u 2 la forme 4 t+ 3, en supposant in et z impair ; et puisque cette puissance impaire de V-3 disparait, it est evident que le signe de 1' invariant dependra de la puissance inferieure avec l'exposant tt2 -1 =4t+2. Mais pour m pair, savoir pour les degres n = 4m, on trouve la valeur de It, : ,u2 =4t+1 ±4 (m1 --r)z=4 t'+1 . Vest ce qui nous apprend quo les invariants Fr , ), lorsqu'ils appartiennent aux equations du degre 4m, conservent pour 4r racines imaginaires le memo signe que pour 4m racines reelles, en sup-
Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .
51
posant q, q,, . . . infiniment grands . Ces invariants ne seront plus applicables en qualite d' indices des racines imaginaires . On fera de meme usage des formules donnees en III ., quand it s'agit de trouver des criteres invariantifs pour 6r, 8r, 10r, . . . racines imaginaires, trois a trois, quatre a quatre, . . . egales, en posant dans les equations (p) respectivement s=6, s=8, s=10 . . . . Dans le cas particulier : r = 1, on preferera la seconde espece d'invariants denotee par I(e) et determinee, en posant s=3, par les equations (9-1)x=(n-p-1 )y=p
x
IPe = JA 1A2 ,u= (2p-3)x + (2n-2p-3)y Par rapport a l'equation (p -1) x = (n - p -1) y, la valeurvde ,u sera transformee en ,u=4(p-1.)x-(x 4-y) . Afin que l'invariant it faut qu'on ait
I(Q)
puisse changer le signe pour 4 racines imaginaires,
x+y=4t-+-2,
ou
x+y-1-4t+2.
V. Application des formules precedentes, A la discussion de quelques equations du degre impair . 1 . Soit n-5 . Les equations du 5me degre n'ont d'autres invariants de la forme I(r , 8), que celui pour r ==l, et s=3, savoir (r,
=~D 4 C 2. Mais c'est identiquement le meme invariant du degre p =12, que noun avions designe par P 12 dans fart. II. de ce travail. Les autres equations determinant les invariants denotes par I() donnent pour : P=2, s = 3,
I4e+ =ZA1A2
52
Schramm . Crit6res pour les racines d'une equation .
et les valeurs des produits A 1 et A $ resulteront des formules generales A1 = (1, 2), A 2 = (3, 4) (4, 5) (3, 5) . Ici on voit, miex peut-titre que des formules precedents, qu'il y a dejA Bans les equations du 5me degre, pour les cas de trois racines egales, deux criteres differents et irreductibles, savoir
IQ =
112 =0, et
0.
Le dernier invariant sera encore un critere pour 4 racines imaginaires car on trouve des equations developpees en IV ., en posant p=2
x=[5-3]y .--4p1 ju=4x+(x+y)=4t+2 . Ces conditions seront satisfaites en prenant p 1 = 1, x=4, y=2, et l'invariant denote par le symbole : (Q) 2
14
=
j A1 A 2
indiquera par un changement de signe l'existence de 4 racines imaginaires dans les equations du 5 11 degre, et lorsqu'il est en meme temps 112 = 0 ces racines seront deux A deux egales . Voila done encore le troisieme critere invariantif de M .r SYLVESTER, resultant de nos equations generales . L e s e qu a t ions d u d e g r e n= 7 ont les invariants suivants de la forme
(r,p 8)
7 (r,8) 20 = J D4 E3 ~
pour r=-4, s=3, pour r=1,
l
s=4, I(r'8)= ~D 3 E 12 (r,8)
pour r=2, s=3,
120 = B 6 C4 DEC .
Les memes equations auront encore les invariants denotes par le symbole I,' (Q) pour p=2 S=3 I4= JA4A2 >)
p=3 s = 3
h$) -- JA,A4
p=2 s=4 I4Q)~~A ;AQA;.
Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .
On aura done les criteres invariantifs des equations du plusieurs racines egales
7me
degre indiquants
rs
Lorsqu'il est : I2Q' =ID4E3 =0 ou aussi : »
»
et pour :
I4Q) )
}, A ;
A2= 0
I12
_ I A,
A2=
112 $
= ID3E=0
1'equation contient trois racines egales
0,
»
ou aussi :
»
quatre racines egales
2;
rs
et encore pour 1 2 0
=2;B 6
C
4 DE 6 =0,
1'equation aura deux groupes a trois
racines egales . II est remarquable que tous ces invariants sont irreductibles, bien qu'ils possedent quelques proprietes communes . Car en considerant p . e. les trois rs
premiers invariants, on voit que I2 0 =ID4E3 s'evanouit deja en y supposant deux paires a deux racines egales, pendant que l'invariant I4Q>
= 2;(1,
2)4X (3, 4) (3, 5) . . . (6 , 7)
conserve une valeur sensible . Mais celui-ci devient egale paires de racines egales savoir en posant p . e.
a
zero pour trois
1=4, 2=5, 3 =6 parceque alors chaque terme contiendra au moins une des differences (1, 4)=0, (2, 5)=0,
(3, 6)=0 .
On voit encore que le troisieme invariant 2) (2, 3) (3, 1)]6 X [(4, 5) (4, 6) . . . (6,7)14 1i2)=1[(1,
reste different de zero pour la meme supposition, parceque dans le terme sous le signe 2, it n'y a aucune de ces differences nulles . Il est done tout
a
fait impossible que I4Q soit un facteur de 112'. ~
54
S c h r a m m : Criteres pour les racines d'una equation .
Les formules generales developpees en IV . nous donnent encore les crit8res pour la coexistence do 4 racines imaginaires, deux A deux egales savoir pour v) 140
et I4Q) = S' A ; A 2 = -
= 0
ou aussi
IQ2 = S ALAS _ -
car en designant par tt 1'exposant plus haut do la puissance imaginaire on trouve pour le premier invariant : ,u -1 = 10=4-2+2 et pour le second tz = 11k = 4 .3 + 2, pendant quo les invariants (r, 8) I20
et
(r.8) I12
donnent pour 4 racines imaginaires les valeurs respectives de ,u-1 = 60=4 .15,
at
-1
,u- 1=_40=4 .10
taut qu'ils ne seront plus applicables dans le cas mentionne . Ces resultats suffiront peut-titre A demontrer la possibilite d'une telle discussion des equations algebriques, d'un degre quelconque, au moyen des criteres invariantifs .
