S

T

U

D

I Tom

.,q

L

0

G

I

G

A

IV -- 1956

ZDZISLAW KRASZEWSKI

LOGIKA STOSUNKOW ZAKRESOWYCH (RACmmF.KZDA~ZAr.RESOWYCn) Tre/d 1. Wstr 2. Stosunki zakresowe i ich pewne wlasnogci. 3. Zdania kategoryczne i ich zvdgzki ze stosunkami zakresowymi. 4. Analiza konwersji zdafi od strony stosunk6w zakxesowych. 5. Analiza sylogistyki Arystotelesa (wnioskowania po~redniego). 6. Zmodyfikowana sylogistyka Arystotelesa. 7. Nowe sylogistyki (niearystotelesowe). 8. Analiza obwersji. 9. Konsekwencje praktyczne niniejszei rozprawy. 10. Zakoficzenie.

1. Przysttpuj~c do przedstawienia wynik6w analiz jakie przeprowadzi!em na erenie tradycyjnej sylogistyki, pragnt na wsttpie podad pewne 0kre~lenia oraz pewne tezy powszechnie znane i uznawane, kt6re w i ~ sit z badaniami, jakie zamierzam tu zrefcrowa6. ,,Nazwy s~ to wszystlde te i tylko te slowa i zwroty, kt6re nadaja sit .ha podmioty lub orzecznild zdafi o rzeczach lub osobach''1. Jak wiemy, ka~da nazwa (wyj~wszy puste, kt6rymi nie b~dt sit tu zajmowai) odnosi sit do jakiego~ ob~_ekm lub obiekt6w, kt6re nazywamy jej desygnatami. O wszystkich desygnatach danej nazwy razem wziqtych m6wimy, 2e stanowi~ one zakres danej nazwy. 2. Je~liby~my przegl~dali r62ne pary nazw, to zauwa2yliby~my, 2e w pewnych wypadkach wszystlde desygnaw jednej naz,~" s~ jednocze~nie desygnatami drugiej, w innych tyiko cze~6, a w ieszcze innych rile m a w og61e przedmiot6w, kt6re byiyby desygnatami obydvm nazw. Zale~.nie od tego, kt6ry z tych wypadk6w zachodzi, m6wimy, ~e nazwy pozostaj~ do siebie w takich to a takich stosunkach zakreso~jch. Stosunk6w zakresov,Tch dla nazw niepustych i niepowszechnych mo2e by6 siedem, a mianowicie: podrzcdrwgd, rdwnowa~.noid,nadrzcdnbgd, niezale~nogd, podprzeciwie~stwo, sp~ecz~togg i przedwie~stwo. Nie zamierzam tutaj omawia6 b!i2ej t3,ch stosunk6w, kt6re to om6wienie mo~.na znale2d w podrtcznikach logiki, i poprzestajt jedyrfie na ich geometrycznej ilustracji. 1 T. KOTARBIlqSKI: Kurs logiki dla prawnik6w. Warszawa 1951. [63]

Z. K r a s z e w s k i

64

[2]

S I

\ t ' ~

I pOdrzedno.~

Natomiast pragn~ tu zwr6ci6 uwag~ na niekt6re wtasno~ci I (_ ) I rOw~owoznosC stosunk6w zakresowych, mianoP wicie ich przechodnio~6 i ich S symetryczno~d. I ~ h I nogrzr P O jakim~ stosunku m6wimy, S 2e jest onprzechodni wtedy i tylI ~ I niezole2no~C ko wtedy, je2eli zachodzi mi~dzy P A i C, ilekro6 zachodzi mi~dzy Ir k "~ ~1 podprzeciw/er~two A i B oraz mi~dzy B i C. ~p S Latwo przekona6 sit, ~.ez inteF ~.. #I sprzecznoY~ resuj~cych nas stosunk6w podP rz~dno~6, r6wnowa2no~6 i nadS I ~ przeciwier~stwo rz~dnog6 spetniaj~ wy~.ej ~r P mienione warunld. Pozostate Rys.1 stosunld zakresowe wpowy~szym rozumieniu przechodnio~ci przechodnimi hie s~. Gdyby~my jednak przechodltim nazwali jaki~ stosunek wtedy i tylko wtedy, jet.eli zachodzi pomi~dzy A i D, ilekro~ zachodzi miqdzy A i B, mi~dzy B i C oraz mi~dzy C i D, to przy takim rozumieniu przechodnio~ci przechodnimi s~ wszystkie stosunki przechodnie w pierwszym rozumieniu przechodnio~ci oraz z interesuj~cych nas stosunk6w przechodni jest r6wnie~ stosunek sprzeczno~ci. Stosunki niezale~no~ci i przeciwiefistwa s~ - - j a k latwo s p r a w d z i 6 - nieprzechodnie zar6wno w pierwszym jak i w drugim rozumieniu przechodnio~ci. Stosunek podprzeciwiefistwa przy pierwszym rozumieniu przechodnio~ci monna uwa~a6 za stosunek przeciwprzechodni, tzn. dla wszelkich A, B, C, je~eli A pozostaje w stosunku podprzeciwiefistwa do B i B do C, to A hie pozostaje w stosunku podprzeciwiefistwa do C. Przy drugim rozumieniu przechodnio~ci stosunek podprzeciwiefistwa jest nieprzechodni. Przeciv,~orzechodni jest te2 stosunek sprzeczno~ci przy pier ~ wszym rommieniu prz:chodnio~ci. S

P

^

Symet~ycznym nazywamy stosunek zawsze i tylko, je~eli zachodzi on miqdzy B i A, ilekrod zachodzi mi~d y A i B. I tu tatwo przekonad siq, ~e z interesuj~cych nas stosunk6w symetrycznymi s~: ~6wnowa~.nogd, niezale~nos6, podprzeciwiefistwo, sprzeczno~d i przeciwiefistwo. Pozost~e stosunki: podrz~dno~6 i nadrz~dno~6 s~ asymetryczne; ~aden z tych sto~unk6w nie zachodzi miqdzy B i A i!ekrod zachodzi miqdzy A i B. Warto tu jesz:ze zaznaczyd, ~.e dla ka~.dego stosumku asymetrycznego istnieje stosunek, kt6ry nazwiemy stosunkiem wlaiciwie odwrotnym. Wprowadzone tu pojqcie stosunku wta~ciwie odwrotnego jest pewnego rodzaju zwq~.eniem pojqcia stosunku odwrotnego. Pojqcie to daje si~ okre~li6 nastqpuj~co: R jest stosunkiem wlaiciwie odwrotnym wzgl~dem S -- to tyle, co: je~eIi Rxy, to Syx i je~eli Sxy to Ryx oraz R jest r62ne od S. Po tym co zostato

[3]

Logika stosunk6w zakresowych

65

tu powiedziane tatwo stwierdzid, 2e stosunek zakresowy podrzqdnogci jest wtagciwie odwrotny do stosunku zakresowego nadrzqdnogci i odwrotnie. Kr6tko stosunld podrzqdnogci i nadrz~dno~ci s~ wzajemnie wlagciwie odwrome. Powy2sze stwierdzenie upowa~niad nas b~dzie do dokonywarda pewnych zast~piefi, kt6re o k a ~ sit bardzo wygodne przy przedstawianiu rachunku zdafi zakresowych. 3. Jak ju~ wy~ej zaznaczylem, przedmiotem moich analiz jest gl6wnie tzw. logika ldasyczna (tradycyjna sylogistyka), wobec tego hie zatrzymuj~c si~ nad og61n~ analiz~ zdafi kategorycznych, przejd~ od razu do analizy zdafi kategorycznych, kt6re wystqpuj~ w sylogistyce. Tak wi~c zamierzam obecnie poddad analizie zdania: og61no-twierdz~ce -- S a P, og61no-przecz~ce -- S e P, szczeg6lowo-twierdz~ce -- S i P i szczeg61owo-przecz~ce -- S o P. W istniej~cych podr~cznikach logiki bardzo mato m6wi sit o zale2nogciach pomi~dzy zdaniami kategorycznymi a stosunkarni zakresowymi. W przypadku gdy m6wi si~ na ten temat, to na og6t traktuje si~ zdania kategoryczne jako cog pierwotnego i przy ich pomocy omawia siq stosunld zakresowe. Naszym zdaniem podobne p0dej~cie jest niestuszne, ale zdajemy sobie spraw~ z tego, ~e jest to problem do dyskusji. Nie przeszkadza to ham jednak, ~e zgodnie z wyra~.onym na wstqpie pogl~dem postaramy sit przedstawi~ zale2nogci pomi~dzy zdaniami kategorycznymi a stosunkami zakresowymi traktuj~c te ostatnie jako cog pierwotniejszego i naturalniejszego. Najpierw jednak przyporz~dkujemy stosunkom zakresowym odpowiedniki zdaniowe: Stosunkowi rdwnowa~nogd odpowiadad b~dzie zdanie: S pozostaje w stosunku r6wnowa2nogci do P; symbolicznie: S R w P . Stosunkowi podrzgdnogd - - S pozostaje w stosunku podrzqdnogci do P --

-

SPdP.

Stosunkowi nadrzgdnogd - - S pozostaje w stosunku nadrz~dno~ci do P -SNAP.

Stosunkowi niezale~nogci - - S pozostaje w stosunku niezale2nogci do P -SNIP.

Stosunkowi p o d p r z e d w i e ~ s t w a - - S pozostaje w stosunku podprzeciwiefistwa do P - - S P p P . Stosunkowi sprzecznogci - - S pozostaje w stosunku sprzecznogci do P -SSpP.

Stosunkowi przeciwie~stwa - - S pozostaje w stosunku przeciwiefistwa do P -SPrP.

Obecnie mo2emy przejgd do zdefiniowania zdafi kategorycznych. SaP

= SPdP~SRwP, Df

S i P = SPdP-~SRwP:~SNaP~SNiP~SPpP, Df 5 Studia logica

t. IV.

66

Z. K r a s z e w s k i

[4]

S e P= SSpPz~SPrP, Df

S o P = S N a P ~ S Ni P ~ S Pp P : ~ S S p P ~ S Pr P, Df

gdzie funktor ~ znaczy, ~.e jedno i tylko jedno ze zdafi l~czonych za pomoc4 tego funktora jest prawdziwe, pozostale za~ zdania wchodz~ce w sklad prawych stron omawianych r6wnoznaczno~ci (definicji)s~ falszywe, je2eli definiowane zdanie kategoryczne jest prawdziwe. Formalna definicja tego funktora jest nast~puj~ca: n

P~ ~ . . .

p

~ Pn = 2 Pl D f i=x

9

.....

t

9

P~-~ 9 P~ 9 P i + ~ 9 ... 9 P ~ .

Nie maj~c dla tego funktora odpowiedniego wyra~.enia stownego, wyra2am go przez odpowiedni~ ilo~ powt6rzefi sp6jnika ,,albo . . . albo . . . albo...". Dlatego wprowadzamy tu ten nowy funktor, a hie uZywamy funktora r6wnowa~no~ci zaprzeczonej (alternatywy wyt~cznej), gdy2 funktor r6wnowa2no~ci zaprzeczonej u2yty do l~czenia kilku argument6w (wi~cej hi2 trzech) stwarza pewne wieloznaczno~ci, na kt6re pragniemy tu zwr6ci~ uwag~. Np. je2eli prawdziwe jest wyra2enie sldadaj~ce sit z czterech argument6w pol~czonych funktorem r6wnowa2no~ci zaprzeczonej, to mo2e tak by~ w dw6ch r62nych sytuacjach, a mianowir a) 1 ~g~0 ~ 0 ~ 0; b) 1 ~ 1 ~ 1 ~ 0; (bez Wzgl~du na kolejn o ~ argument6w i ustawienie nawias6w). Aby unikn~d takich wieloznaczno~ci wprowadzamy wta~nie funktor ~ , kt6ry informuje nas, 2e je2eli jakie~ wyra2enie zbudowane przy jego pomocy jest prawdziwe, to zawsze zachodzi sytuacja pierwsza, bez wzgl~du na ilog~ argument6w, natomiast wykluczone s~ inne sytuacje. Jasne jest r6wnio., ie zamiast tak okreglonego funktora mo2na by okre~li~ i przyj~ kilka fUnktor6w zdaniotw6rczych, ka~dy od innej ilo~ci argument6w, kt6re spetnialyby wy2ej wymienione warunki. Powy2sze zastrze2enia dotycz~ce sensu funktora :H: s~ konieczne, aby twierdzenia, kt6re b~dziemy w dalszym ci~gu formutowali za pomoc~ tego funktora, byty zgodne z nastqpuj~cym twierdzeniem: Ka:~de dwa zakresy, z kt6rych :~aden nie jest ani fusty ani powszechny, muszq pozostawad do siebie w jednym i tylko w jednym z podanych wy~ej stosunkdw zakresowych. W dalszym ci~gu zdania S PdP, S Rw P, itp. nazywad bqdziemy zdaniami zakresowymi prostymi. Tak wi~c w interpretacji zakresowej: Zdanie ,,Ka2de S jest P " znaczy ,,albo S pozostaje w stosunku podrz~dnogci do P, albo S pozostaje w stosunku r6wnowa2nogci do P". Zdanie ,,Niekt6re S s~ P" znaczy ,,albo S pozostaje w stosunku podrz~dno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku r6wnowa2nogci do P, albo S pozostaje w stosunku nadrz~dnogci do P, albo S pozostaje w stosunku niezale~nogci do P, albo S pozostaje w stosunku podprzeciwiefistwa do P".

[5]

Logika stosunk6w zakresowych

67

Zdanie ,,Zadne S hie jest P" znaczy,, albo S pozostaje w stosunku sprzeczno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku przeciwiefistwa do P". Zdanie ,,Niekt6re S hie s~ P" znaczy ,,albo S pozostaje w stosunku nadrztdno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku niezaletno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku podprzeciwiefistwa do P, albo Spozostaje w stosunku sprzeczno~cido P, albo S pozostaje w stosunku przeciwiefistwa do P". Na pierwszy rzut oka takie interpretowanie zdafi kategorycznych wydaje sit gmatwaniem rzeczy prostych. Takie jednak przekonanie mote powsta~ jedynie na skutek nawyk6w powstatych w czasie dtugich lat. Nie wnikaj~c tu gttbiej w tt sprawt zaczniemy kolejno analizowa~ wynikania zachodz~ce mitdzy zdaniami kategorycznymi. Na pocz~tek przypatrzmy sit zdaniom stwierdzaj~cym wynikanie z tzw. kwadratu logicznego po przetoteniu ich na jtzyk zdan" zakresowych. Okres warunkowy: ,,jeteli S a P, to S I P " jest r6wnoznaczny okresowi warunkowemu: ,,je2eli albo S Pd P, albo S Rw P, to albo S Pd P, albo S Rw P, albo S Na P, albo S Ni P, albo S Pp P". A oto jeszcze jeden przyldad: ,,jeteli S a P, to nieprawda, te S e P'" jest r6wnoznaczne z: ,,jeteli albo S Pd P, albo S Rw P, to nieprawda, Ze albo S Sp P, albo S Pr P". Przedstawmy sobie teraz prawa wnioskowania bezpo~redniego inne niZ prawa kwadratu logicznego, patrz~c na hie od strony stosunk6w zakresowych. Konwersja S a P ; okres warunkowy: ,,jeteli S a P~ to P i S " jest r6wnoznaczny z nasttpuj~cym okresem warunkowym: ,,jeteli albo S Pd P, albo S Rw P, to albo P Pd S, albo P Rw S, albo P Na S~ albo P Ni S, albo P Pp S". Jedna wielka nieokre~lono~ zakresowa! Przecie2 w praktyce wiemy doktadnie, ~e jeteli S a P, czyli je~eli albo S Pd P, albo S Rw P, to tylko albo P Na S, albo P Rw S. Po co w konkluzji dot~cza~ jeszcze trzy motliwo~ci (stosunki), jeteli one tam nigdy realnie wyst~pi~ nie mog~ ? Kr6tko -- dlaczego nie mamy wypowiada6 odpow~ednio mocnych twierdzefi takich, jakie w istocie zachodz~? To wina ramowo~ci zdafi kategorycznych. Konwersja S o P; ,,je~eli S o P, to -- ?'" czyli, je2eli albo S Na P albo S Ni P, albo S Pp P, albo S Sp P, albo S Pr P, to logika nie mo2e nic orzec og61nie o stosunkach P-6w do S-6w, co datoby sit wyrazi6 jednym z przyjttych w sylogistyce zdafi. Natomiast ucz~cy logiki wyja~niaj~c tt sytuacjt m6wi~: S Na P przechodzi na P Pd S; reszta stosunk6w hie ulega zmianie. Ale caty zesp6i stosunk6w warunkuj~cych zdanie S o P (Na, Ni, Pp, Sp, Pr) przechodzi przy konwersji zdania S o p na zesp6! (Pd, Ni, Pp, Sp, Pr), dla kt6rego to zespolu stosunk6w zakresowych nie mamy odpowiedniego zdania. Okre~lmy witc i przyjmijmy takie zdanle! Podobnych chod nieco odmiennych sytuacji mote by~ wi~cej. Doktadnie, przy siedmiu stosunkach zakresowych sytuacja wygl~da nast~puj~co: zdafi spelnianych tylko przez jeden stosunek zakresowy mo2e byd siedem; przez dwa -- 21; przez trzy -- 35; przez cztery -- 35; przez p i ~ - 21; przez 6 -- 7; oraz jedno nie Spetniane nigdy i jedno spetniane przez ka2dy 5*

68

Z. K r a s z e w s k i

[6]

stosunek zakresowy. Tak witc zdali, kt6rych prawdziwo~d zale2y od tych lub innych zespot6w stosunk6w zakresowych, mo~.e by6 126, hie licz~tc dw6ch ostatnich, kt6rymi hie btdziemy sit tu zajmowali. W dalszym ci~gu pierwsze siedem zdafi btdziemy nazywa6 zdaniami zakresowymi prostymi (patrz str. 66), pozostate za~ btdziemy nazywa6 zdaniami zakresowymi zto~onymi. Tak witc zdanie zakresowe zion.one, to zdanie warunkowane przez wiqcej ni~. jeden stosunek zakresowy. Bada6 wszystlde te 126 zdafi pod wzgltdem ich odwracalno~ci (konwersji) oraz zachodzenia lub niezachodzenia dla nich obwersji bytoby rzeczq nader uciq~tiw~ chocia~ wykonaln~. Mo~naby rozpatrzyd jeszcze zwi~zki logiczne ponfi:~d z y nimi, podobnie jak sit to czyni w kwadracie logicznym dla klasycznych zdati kategorycznych. Bytoby jednak niemo~liwe podad jakie~ zasady wnioskowania po~redniego, gdyby~my mieli oprzed sit wyl~cznie na badaniu polegai~cym na bezpo~rednim przegl~dzie wszystkich poszczeg61nych wypadk6w. Dwuzdanio~3rch uktad6w z tych 126 zdafi jest 126z; nadto, poniewa~ jako wynik mo2e wyst~powad ka~de zdanie, nale2atoby rozpatrzyd 126s takich tryb6~ z jakimi mamy do czynienia w sylogistyce. Tak wi~c 126~ -- to bytyby ju~.wszystkie mo21iwe tryby wnioskowania po~redniego. Lecz kt6~. i kiedy potrafitby zanalizowad te wszystkie tryby wy~ej wskazan~ metod~, skoro jest ich a~ 2000376? Tak wi~c widzimy, 2e przy wy2ej opisanej metodzie sprawdzania wnioskowafi po~rednich przyjmowanie nowych zdafi doprowadzitoby nas do tak wielkich trudno~ci, ~e w zwi~zku z nimi slusznie rodzi sit pytanie, czy w og61e warto sit nimi zajmowad. Czy mo2na podad lepsz~ metod~ sprawdzania wnioskowafi po~rednich, przy kt6rej przyjmowanie nowych zdafi bytoby celowe? Nie odpowiadaj~c na razie na postawione pytanie, przypatrzmy sit najpierw z bliska wnioskowaniom po~rednim sylogistyki, patrzqc na niq od strony zdafi zakresowych. Dla przyldadu we~.mytryb Barbara: ,,Je2eli M a P i S a M , to S a P"; wnioskowanie to jest r6wnoznaczne z nasttpuj~cym: ,,je2eli albo M pozostaje w stosunku podrzqdno~ci do P, albo M pozostaje w stosunku r6wnowa~no~ci do P i albo S pozostaje w stosunku podrz~dno~ci do M, albo S pozostaje w stosunku r6wnowa2no~ci do M, to albo S pozostaje w stosunku podrz~dno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku r6wnowa~no~ci do P". Trybowi temu przysluguje oczywistogd tylko pod warunkiem, ~e zdamy sobie sprawl, i~ w gruncie rzeczy m6wi on nam o dw6ch jedynie mo21iwych rozwi~zaniach czterech zalo~.onych sytuacji. Przypatrzmy sit jeszcze trybowi Ferio: ,,Je~eli M e P i S i M, to S o P"; wnioskowanie to jest r6wnoznaczne z nast~puj~cym: ,,je~eli albo M Sp P, albo M Pr P, i albo S Pd M, albo S Rw M, albo S Na M, albo S Ni M, albo S Pp M, to albo S Na P, albo S Ni P, albo S Pp P, albo ~S Sp P, albo S Pr P. Czy temu trybowi r6wnie2 przystuguje oczywisto~d? Je~eii tak, to czy kto~ przypisujqcy oczywisto~d temu trybowi zdawat sobie sprawq, 2e w gruncie rzeczy tryb ten m6wi o pitciu jedynie mo~liwych rozwi~zaniach dziesiqciu zato2onych sytuacji ?

[7]

Logika stosunk6w zakresowych

69

Przejdimy obecnie do analizy tzw. tryb6w rile konkluduj~cych. Zanalizujmy najpierw tryb o przestankach M e P i S e M. Odno~nie tego trybu logika tradycyjna stwierdza, Se z przestanek tych, jako dw6ch przecz~cych, nie monna wyciagn~6 2adnego wniosku, tzn. w uldadzie stosunk6w wyznaczonych przez przeshnki hie miegci sit bez reszty ~aden uldad stosunk6w wyznaczony przez kt6rekolwiek ze zdafi, kt6re w sylogistyce mogtyby wyst~pi4 jako wniosek. Tak wi~c, mimo 2e z przestanek tych cog wynika, to jednak do~6 przypadkowe i czysto konwencjonalne ramy zdafi kategorycznych przyj~tych w tradycyjnej sylogistyce pozbawiaj~ nas mo2no~ci uzyskania w tym przypadku rzetelnej wiedzy o rzeczach za pomoc~ wnioskowania. Zobaczmy bowiem, jak sprawa wnioskowania z tych przeslanek przedstawia sit na grtmcie zdafi zakresowych. Uktad stosunk6w wyznaczony przez przestanki M e P i S e M jest r6wnoznaczny z nast~puj~cym ukladem: albo M Sp P, albo M Pr P, i albo S Sp M, albo S Pr M. Rozdzielmy te zdania i zobaczmy, jak w6wczas przedstawi sit sprawa wnioskowania: 1) JO.eli M Sp P i S Sp 3"I, to S Rw P 2) Je2eli M Sp P i S Pr M, to S Pd P 3) Je2eli M P r P i S S p M , to S N a P 4) Je2eli M P r P i S P r M , to albo S P d P , albo S R w P , albo S N A P , albo S N i P albo S Pr P. Oto ilustracja tych wnioskowafi: 7 ( M S P Rzeczywi~cie -- je2eli przeglr~dad wszystkie zdania wyst~puj~ce w powy~.szych wnioskowaniach po slowie ,,to", to okazuje sit, ~e w istocie hie mo2na ich wyrazi6 jednym i tylko jednym Se zdafi przyj~tych w tradycyjnej sylogistyce. Obecnie wypada zastanowi6 ,h, sit nad najbardziej podstawowym zagadnieniem, dotycz4cym wszelkiego rodzaju wnioskowmi z teorii zakres6w. Jak jest w s pj I ciu, w praktyce, w konkretnych Rys. 2 symacjach: czy maj~c dwie konkretne nazwy (dwa terminy) wiemy o nich, 2e ich zakresy pozostaj~ do siebie w okreglonym stosunku zakresowym, czy tO. tylko domyglamy sit, ~.e ich zakresy p ozostaj~ w tyro albo w tyro, albo jeszcze w jakimg innym stosunku zakresowym, tak j ak to przedstawiaj~ nam zdania kategoryczne tradycyjnej sylogistyki ? Po kr6tkim zastanowieniu sit nie trudno b~dzie nam stwierdzid, ~.e gdy mamy dwie kon-

70

Z. K r a s z e w s k i

[8]

kretne nazwy, zwlaszcza gdy maj~ one nam sluty6 za punkt wyj~cia w jakim~ rozumowaniu, to raczej wiemy, w jakim konkremym stosunku zakresowym pozostaj~ one do siebie, a tylko w bardzo wyj~tkowych wypadkach zachodzi sytuacja druga. Powy2sze stwierdzenie i jut wcze~niej zauwatone zale2no~ci zachodz~ce mitdzy zdaniami kategorycznymi a stosunkami zakresowymi powinny nas sldoni6 do dok/adniejszego zbadania wszystkich zale2no~ci sylogistyki od zdafi zakresowych. Badania tych zaletno~ci rozpoczniemy od analizy konwersji i obwersji. 4. Najpierw sformulujemy definicjt konwersji prostej i ograniczonej. Konwersja prosta

Niechaj q~k,~Pl, ~m, btd~ zmiennymi, kt6rych warto~ciami s~ wszystkie (126) i-czlonowe ,,alternatywy" stosunk6w zakresowych (dla i----- 1, 2, . . . , 6). Powiemy, te zdanie A q~kB konwertuje sit prosto wtedy i tylko wtedy, gdy A (pk B ~ B q~k A . Konwersja ograniczona

Zdanie A q~ B konwertuje sit przez ograniczenie wtedy i tylko wtedy gdy A q~ B ~ B q~mA lub A opz B ---, B ~pmA , gdzie l, m = 1, . . . , 126 i m 4= l. Latwo daje sit zauwa~y6, ~.e konwersja dowolnego zdania zakresowego zloto~ego, a wiqc i klasycznych zdafi kategorycznych, zales 1~ od stosunk6w warunkuj~cych dane zdanie; 2~ od zdafi wchodz~cych z him do systemu, w ramach kt6rego rozwa~,ane jest dane zdanie (jednym z takich system6w jest logika Arystotelesa). Oczywiste jest, 2e na gruncie systemu wszystldch 126 zdafi motliwych, ka~de zdanie jest odwracalne, chocia~, hie ka2de odwraca sit prosto. Konwersja prosta jest niezalo.na od warunku drugiego. Warunkiem koniecznym i wystarczaj~cym zachodzenia konwersji prostej dla jakiego~ zdania jest jedynie to, by wszystkie stosunki zakresowe wanmkuj~ce to zdanie byty symetryczne, lub by w sldad stosunk6w warunkuj~cych je obok ewentualnie wyst~puj~cych stosunk6w symetrycznych wchodzila para stosunk6w wlagciwie odwromych. (Symbolicznie: A q~kB odwraca si~ prosto wtedy i tylko wtedy, jeteli jest warunkowane przezp~ . ~ . . . ~ Pn lubp~ ~ . . . ~ Pn ~ P d ~ Na, gdzie p ~ . . . p~ s~ stosunkami symetrycznymi.) Nie odwraca sit prosto, gdy tak nie jest. Tak wi~c zdanie zakresowe zion.one hie podlega konwersji prostej wtedy i tylko wtedy, gdy do zespotu stosunk6w warunkuj~cych je, obok ewentualnie wchodz~cych stosunk6w symetrycznych, wchodzi tylko jeden ze stosunk6w wla~ciwie odwrotnych -- podrztdno~6 albo nadrz~dno~d. (Symbolicznie: A (p~ B nie odwraca si~ prosto, tzn. konwertuje si~ przez ograniczenie wtedy i tylko wtedy, jO.eli warunkowane jest przez p~ 4~- . . . ~. P~ ~ P d lub px ~ . . . ~ p~ ~ Na, gdzie p t . . . p~ s~ stosunkami symetrycznymi.) Jeteli w interesuj~cym nas systemie wyst~puje zdanie wartmkowane przez zesp6t 1)1 ~ . . . ~. p~ ~ Pd, a pr6cz niego b~d~ wystqpuje zdanie warunkowane przez zesp6t p~ ~ - . . . ~ p~ ~ Na, b~d~ te$

[9]

Logika stosunk6w zakresowych

71

zdanie warunkowane przez zesp6i Pl ~ . . . ~ Pn ~ N a ~ Pn+l ~ . . . ~ Pm ~ (kt6rego czt~ci~ jest zesp6t px ~ . . . ~ Pn ~ N a ) , to o zdardu warunkowanym przez zesp6t pl ~ . . . @ Pn @ Pd m6wimy, ~e konwertuje sit na zdanie warunkowane przez zesp61Pl ~ 9 9 9 -~ Pn ~ N a lub~i ~ . . . ~ p~ ~ N a ~ P~ +I ~ 9 9 9 p~. W przypadku za~, gdy zesp6i otrzymany hie mie~ci sit bez reszty w ~.adnym z przyjttych w systemie zdafi, to o zdaniu wyj~ciowym m6wi sit, ~e hie daje sit ono konwertowa6 w ramach danego systemu (w zbiorze zda6 rozwa~anych). Analizt obwersji przeprowadzimy na str. 81 i nasttpnych. 5. Obecnie wypada nam przej~6 do analizy wnioskowafi po~rednich. Analiza ta da nam klucz do rozwi~zywania wszystkich wy2ej wymienionych zagadniefi i metodt sprawdzania wszystkich rozumowafi po~rednich w obrtbie wszystkich mo~liwych system6w sylogistycznych. (System6w analogicznych do sylogistyld Arystotelesa jest 2 ~2~ -- 1. Jest to liczba niepustych podzbior6w zbioru sldadaj~cego sit ze 126 element6w.) Wydaje sit, ~e ka~.dego, kto zetkn~t sit z tradyeyjn~ sylogistyk~, zawsze razito to, ~e wszelkie wnioskowanie tam dokonywane ma charakter pewnej nieokre~lono~ci zakresowej oraz to, ~.e sztywne rainy zdafi kategorycznych pozbawiaty nas rzetelnej wiedzy, kt6r~ wobec tego musieli~my opiera6 na niejednokrotnie zawodnej intuicji, co w rezultaeie cztsto ostabiato warto~6 stusznyeh, ale hie daj~cych sit wyprowadzi6 na gruncie sylogistyki, twierdzefi. Na przyldad, gdyby kto~ chciai ze zdafi: ,,~aden przedmiot ~ywy nie jest przedmiotem mart w y m " i ,,~aden kamiefi rile jest przedmiotem ~ywym", wnioskowa6, 2e ka~dy kamiefi jest przedmiotem martwym, t o stoj~c na gruncie sylogistyki stwierdzalo sit, ~.e wniosek taki formalnie hie jest poprawny. Dlatego te~. spr6bujemy zbudowa6 rachunek zdatl zakresowych, kt6ry by obejmowat wszystkie wnioskowania po~rednie sylogistyki; za dalsze postulaty postawimy to, by wnioskowania tego rachunku mialy charakter wnioskowafi jednoznacznych zakresowo oraz to, by system ten nie posiadat wad wynikaj~cych z ramowo~ei zdafi, co ma miejs c e w sylogistyce zdafi kategorycznych. Idzie ham tu o to, by hie wyprowadza6 z przeslanek wniosk6w sbbszych ni~ te, kt6re w istocie zachodz~, tzn. by wniosek rile byt alternatyw~ sldadaj~c~ sit m. in. ze zdatl wylduczonych przez przeslanki. Widzieli~my, ~.e w sylogistyce tradycyjnej nie dawato sit to zrealizowa6. System taki, budowany na wz6r tradyeyjnej sylogistyki, sklada6 sit btdzie ze wszystkich mo~liwych tryb6w zbudowanych z siedmiu zdafi zakresowych. Pocz~tkowo mo2e nas zniechtci6 liczba mo~liwych tryb6w, gdy2 przez analogit do sylogistyki widzimy, ~e tryb6w takich mo~e by6 7 z razy 4 (figury). Latwo jednak zauwa~.y6, ~.e nmo~nik 4 nie wchodzi tu w rachubt, gdy~, pojtcie figury hie ma tu zastosowania, a to dlatego, ~,e wszystkie rozumox~alia daj~ sit spro20czywi~cie mo2e si~ zdarzyd, 2e zesp6i (Pl : ~ : . . . 'f~Pn .~ Na) jest czg~ci~ zespolu nie jednego lecz kilku zdafi wystgpuj~cych w systemie. W sylogistyce Arystotelesa mo2emy zdanie SeP konwertowa6 zar6wno na zdanie PeS jak i na zdanie PoS, z tym, 2e w pierwszym przypad'.~u mamy konwersjr prost~, za~ w drughn -- ograniczon~.

72

Z. K r a s z e w s k i

[10]

wadzid do jednego zasadniczego uldadu. Wynika to z symetryczno~ci pi~ciu stosunk6w zakresowych i wta~ciwej odwrotno~ci pozostatych dw6ch. Np. uktady przestanek: S P d M . M Pd P, SPdM. PPdM, M P d S 9 M P d P, MPdS. PPdM,

S N a M . M Na P, SNaM. PNaM, M N a S 9 M N a P, MNaS. PNaM,

ze wzgl~du na r6wnowa~no~ci: 1) M P d S ---- S N a M , 2) P P d M =-- M N a P ,

3) M N a S =- S P d M , 4) P N a M =-- M P d P ,

sprowodzaj~ sit do czterech o tyro samym ukiadzie termin6w: SPdM. SPdM.

MPdP, MNaP,

SNaM 9 MNaP, SNaM. MPdP.

Progeiej przedstawia sit sprawa sprowadzenia mo~liwych uldad6w do jednego przyj~tego za podstawowy, gdy jednym ze stosunk6w jest stosunek symetryczny, a jeszcze progeiej, gdy oba stosunki s~ symetryczne. Tak wife odpada potrzeba rozr62niania figur i pozostaje nam do zanalizowania 7s uklad6w. Wyprzedzaj~c tok badafi przedstawiam tablic~ wynik6wwszystldeh wnioskowaft po~rednich, jakie mog~ wyst~powad w obr~bie zdafi zakresowych. (P. rys. 3) Tablica powy2sza jest zapowiedzianym kluczem. Pozostaje mi jeszcze wytlumaczyd, co stato sit z reszt~ tryb6w, skoro m6wilem, ~.e jest ich 73 tj. 343, za~ w tabeli podane s~ konkluzje tylko dla 49 tryb6w. Odpowied~ moja jest nast~puj~ca: w tabeli znajduj~ sit 343 konlduzje, a wi~c wszystlde. Przedstawi~ zaraz jak to sit dzieje, najpierw jednak powr6~my jeszeze do tradyeyjnej sylogistyki. Sylogistyka tradycyjna na 256 mo21iwych tryb6w stwierdza|a jedynie dla 48 tryb6w prawdziwo~d lub falszywo~d konlduzji przy zato2eniu prawdziwo~ei przeshnek. Tak wi~c sylogistyka mogta rozstrzygn~ jedynie 19~ z przedstawianych jej zagadniefi, reszta znajdowala si~ poza jej mo21iwo~ciami. Jak przedstawia sit analogiczua sytuaeja w systemie zdafizakresowych? Na 343 tryby, 274 posiada jednoznacznie okre~lon~ warto~ konkluzji wyznaczon~ przez prawdziwo~ przestanek. Aby doldadniej zrozumie6 ostamie twierdzenie, zastan6wmy sit had tyro, pod jaki sehemat podpadaj~t rozumowania pogrednie rachunku zdafi zakresowych. Schemat wszystkieh tyeh rozumowafi jest nast~puj~cy: je2eli mi~dzy terminem pierwszym a drugim zachodzi stosunek zakresowy x i mi~dzy terminem drugim a trzecim zachodzi stosunek zakresowy y, to mi~dzy terminem pierwszym a trzecim zachodzi stosunek zakresowy z. Widzimy wi~c, 2e r6$nych uldad6w przeslanek jest 49, zag ella ka~dego uktadu przesianek istnieje mo~liwo~6 wyst~powania siedmiu r6~nych konlduzji. W sylogistyce taldch wniosk6w mogto by~ eztery, ale nawet w trybach konkluduj~cych, rip. w Ferio, rile mogligmy stwierdzid, czy wnioski ,,e'" i ,,i'" dol~czone

[I I ]

73

Logika stosunk6w zakresowych

t,.

t,.

c~ cc

co I

Xt

to

t~

t~

C~

c~

ct. ~t ~

X~ C~

Q.

t~ o-~

c,')

e~

ct. r cO c~ ur)

C~4

~W.-.

b,.

c~ c~

c~

Q. u~

c2.

(o

Q. co

co co

co

74

Z. K r a s z e w s k i

[12]

do tych przeshnek b~d~ zawsze dawaty faisz. Inaczej wygl~da ta sprawa w teorii zdali zakresowych. Tu stwierdzenie jaldegog wniosku poci~ga za sob~ (na mocy stwierdzenia, ~.e ka2de dwa zakresy niepuste mog~ pozostawa~ w jednym i tylko j ednym z om6wionych wy~.ej zdmi zakresowych -- patrz str. 66) falszywog6 wszystldch pozostaiych zdafi zakresowych o tych samych i w tej samej kolejno~ci wyst~puj~cych terminach. Og61nie mo~.na powiedzied, ~.e tryby o tym samym uldadzie przeslanek i r6~nych oil jakiegog ju2 stwierdzonego wnioskach s~ zawsze falszywe. Dla jagniejszego przedstawienia sprawy we~my konkretny przyldad. Rozpatrzmy sytuacj~, kt6ra jest wyznaczona w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie naszej tabeli, a wi~c tryby, w kt6rych wyst~puj~ nast~puj~ce przestanki: S PdMS pozostaje w stosunku podrz~dno~ci do M i M P d P - - M pozostaje w stosunku podrz~dnogci do P; tryb6w takich jest siedem: 1) S P d M i M P d P - + S P d P 2) S P d M i

M Pd P--+ S Rw P

93) S P d M i M P d P---~ S N a P 4) S P d M i M Pd P ---~ S N i P 5) S Pd M i M P d P - - ~ S Pp P 6) S Pd M i M Pd P--~ S Sp P 7) S P d M i M P d P - + S P r P Pierwszy z wy2ej przedstawionych tryb6w jest poprawny, stwierdzam to na podstawie przechodnio~ci stosunku podrzqdno~ci; o pozostatych trybach stwierdzam, 2e s~ niepoprawne, a o podstawie tego stwierdzenia ju2 pisatem. Tych negatywnych stwierdze~ nie zaznaczam w tabeli, tylko og61nie o nich tu wspominam. Zanalizujmy jeszcze sytuacj~, kt6ra w tabeli zaznaczona jest w 3-cim wierszu pierwszej kolumny. Tu sytuacja, podobnie jak w wiqkszo~ci tryb6w tradycyjnej sylogistyki, hie jest pozytywnie jednoznacznie okre~lona, tzn. przy prawdziwogci przestanek S Na M i M Pd P nie wiadomo, w odniesieniu do konkretnych termin6w, kt6ry z nast~puj~cych wniosk6w: S P d P , S R w P , S N A P , S N I P , S P p P jest prawdziwy. Wiadomo tylko, ~e: 1) jet.eli S Na M i M Pd P, to niemo~liwe, by S Sp P; 2) je2eli S Na M i M Pd P, to niemo~.liwe, by S Pr P. Rozumiej~c w ten spos6b nasz~ tabelq widzimy, ~e rzeczywi~cie zawiera ona wszystlde sylogizmy z teorii stosunk6w zakresowych, zag odpowiedzi te warunkuj~ wszystkie odpowiedzi z teorii wnioskowafi po~rednich tradycyjnej sylogistyld. Obecnie przyst~pmy do analizy tradycyjnej sylogistyki. Przeprowadzenie analizy utatwi ham podana ni~ej tabela, w kt6rej pozaznaczane s~ wszystlde poprawne tryby tradycyjnej sylogistyld z tym, ~e tzw. zdania ,,a", wyst~puj~ce w wiqkszej przeslance drugiej figury oraz mniejszej przestance trzeciej figury i obu przeshnkach czwartej figury, nale~y sprawdza6 w kolurnnach i wierszach Na, Rw, za~ tzw. zdanie ,,o" wyst~puj~ce w sytuacjach wy~ej podanych nale~.y sprawdza6 w kolumnach i wierszach Pd, Ni, Pp, Sp i Pr.

[13]

Logika stosunk6w zakresow-ych

75

76

Z. K r a s z e w s k i

[14]

Powy~.sza tabela z odpowiednimi zaznaczeniami ilustruje nam prosty spos6b sprawdzania poprawno~ci wszystldch tryb6w tradycyjnej sylogistyki. Wobec tego, ~.e: MAP---- M P d P r ~ M R w P , za~ S a M -~ S Pd M ~ S Rw M, a ponadto M a P i S a M =-- M P d P i S P d M ~ M P d P i SPdM~ M RwPiSRw~

i SRwM-t~ MRwP

wife z M a P i S a M wyaika~ b~dzie alternatywa zto~.ona z tych zdatl, kt6re wynikaj~ z poszczeg6haych sldaclnik6w altematywy zio~.onej, r6wnoznacznej koniunkcii M a P i S a M. Z tabeli wida6, ~e jest to alternatywa S Pd P S Rw P, r6wnowa2na zdaniu S a P. Konkluzj~ wynikaj~c~ z przeslanek otrzymujemy wi~c tworz~c, alternatyw~ zto~.on~ ze zdafi zakresowych le~cych na skrzy~.owaniu tych kolumn i tych wierszy, kt6re odpowiadaj~ poszczeg6haym zdanSom zakresowym, b~d~cym odpowir skladnikami pierwszej i drugiej przeslanki. W przypadku przeslanek M a P i S a M b~dzie to alternatywa zdati zakresowych le~4cych na skrzy~owaniu pierwszych dw6ch kolumn z pierwszymi dwoma wierszami. Gdyby na kt6rym~ z tych przeci~6 wyst~powat jeszcze jaki~ inny stosunek, w6wczas hie monna byloby wyprowadzi~ konlduzji S a P. Z tabeli tej bezpo~rechaio te~. rzuca sit w oczy ograniczono~6 stosowalno~ci tradycyjnej sylogistyki oraz jej ogromna nieekonomiczno~6 polegaj~ca na tym, ~.e identyezne sytuacje s~ w niej omawiane po kilka razy przy pomocy r6~.nych tryb6w; rip. poprawne tryby Ferio, Festino, Ferison i Fresison omawiaj~ w gruncie rzeczy t~ sam~ sytuacj~. Ostamia wada (nieekonomiczno~6 sylogistyki) wynika z wady barclziej podstawowej; jest ni~ u~ywanie w przeslankach hie czterech lecz sze~ciu r6~.nych zdafi. To jest gl6wn,~ przyczyn~ owego ogrom_nego skomplikowania tradycyjnej sylogistyki. Komplikacja ta powi~kszona by~a przez to, ~.e chocia~ w przeslankach u # w a n o sze~ciu r6~.nych zdafi, to w konkluzji mogly wyst~powa~ tylko cztery z nich. W przestankach mogly w~yst~powa~ zdania warunkowane przez nast~puj~ce stosunki:

1) Pd :~ Rw 2) Pd ~ Rw r~ Na :~ Ni ~ Pp 3) Sp:~ Pr 4) Na ~ Ni :~ Pp ~ Sp ~ Pr 5) Na ~ Rw 6) Pd ~ Ni 4~ Pp ~i Slo ~ Pr, za~ tylko zdania warunkowane przez pierwsze cztery stosunki mogty wyst~powa6 w konkluzji. 6. W konsekwencji pow~szej analizy nale~atoby do~6 radykalnie zmieni6 wygl~d tradyeyjnej sylogistyki, o fie w og61e warto po~wi~ca6 jej osobne miejsce, w jakimkolwiek og61nym wyk/adzie logiki. W ka2dym razie, jet.eli zajdzie potrzeba

[15]

Logika stosunk6w zakresowych

77

wykladu sylogistyki, to wydaje sic wla~ciwe uwzglCdnienie projektu nast~puj~cych zmian. 1) Trzeba zdad sobie sprawl, ~.e zdanie og61notwierdz~ce M a P z trybu Barbara, r62ni si~ ocl zdania og61notwierdz~cego P a M z trybu Camestres. Og61nie: zdania og61notwierdz~ce z obu przestanek pierwszej figury, mniejszej przeslanki drugiej figury i wi~kszej przeslanki trzeciej figury r6~ni~ siC od zdafi og61notwierdz~tcych z obu przeslanek czwartej figury, mniejszej przestanki z trzeciej figury i wiqkszej przeslanki drugiej figury. Analogicznie przedstawia sit sprawa ze zdaniem ,,o'" w odpowiednich figurach i w odpowiednich przestankach. Wobee tego, zamiast zajmowad sit 64-ma ukladami przeslanek w czterech figurach, z kt6rych czqgd powtarza sit nawet 4 razy, np. el, ie, ee, ii, na skutek r6wnowa~no~ci: e = d (konwers e), i = i (konwers i), nale~j zaj~d siq 36-ma uk~adami przestanek zbudowanymi z sze~ciu faktycznie wystqpuj~cyeh w sylogistyce zdari: a, d, o, 6, i = i, e = d. Wszystlde te uklady posiadad bqd~ to samo polo~.enie terminu grechaiego, przy czym wyczerpuj~ one bez powtarzania wszystkie uktady tradycyjnej sylogistyki. Nale/3r r6wnio, dopugcidmo~liwo~dwystqpowaniawkonlduzji wszystkich sze~ciu zdmi, a nie tylko czterech, jak byto dotychczas. 2) Sprawdzanie tryb6w oprze6 na tabeli podanej, hie za~ na dyrektywach, kt6re w gruncie rzeczy ujmuj~ zagadnienie bardzo powierzchownie. Przedstawmy sobie obeenie sylogistykq klasyczn~ zmodyfikowan~ w spos6b wy~'ej zaproponowany. I. Defiuicje S a P ~ ,,Ka~de S jest P " r6wnoznaczne: ,,albo S pozostaje w stosunku podrzCduo~ci do P, albo S pozostaje w stosunku r6wnowa~.no~ci do P " ( S a P ~ S Pd P @ S Rw P). S d P - ,,Tylko S jest P'" r6wnoznaczne: ,,albo S pozostaje w stosunku r6wnowa~.nogci do P, albo S pozostaje w stosunku nadrzqdnogci do P " (SdP~S Na P @ S Rw P). S i P --,, Niek~6re S s~ P " r6wnoznaczne: ,,albo S pozostaje w stosunku podrz~dno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku r6wnowa~.no~ci do P, albo S pozostaje w stosunku nadrzqduogci do P, albo S pozostaje w stosunku niezale~'no~ci do P, albo S pozostaje w stosunku podprzeciwiefistwa do P " (SiP~S Pd P :~: S Rw P @ S Na P @ S N i P @ S Pp P). S e P - - ,,Zadne S hie jest P " r6wnoznaczne: ,,albo S pozostaje w stosunku sprzeczno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku przeciwiefistwa do P " ( S e P ~ S Sp P ~ S Pr P). S o P - - ,,Niekt6re S hie s~ P " r6wnoznaczne: ,,albo S pozostaje w stosunku nadrzqdno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku niezal&.no~ci do P, albo S pozostaje w stosunku podprzeciwiefistwa do P, albo S pozostaje w stosunku sprzecznogci do P, albo S pozostaje w stosunkti przeciwiefistwa do P'" (S o P : ~ S Na P _~=~S Ni P :~ S Pp P ,,,, '~ S Sp P =I:~ S Pr P).

78

Z. K r a s z e w s k i

[16]

S 6 P - - ,,Nie tylko S jest P'" r6wnoznaczne: ,,albo S pozostaje w stosunku podrz~dno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku niezale~no~ci do P, albo S pozostaje w stosunku podprzeciwiefistwa do P, albo S pozostaje w stosunku sprzeczno~ci do P, albo S pozostaje w stosunku przeciwiefistwa do P" ($6 P D~ S Pd P :,~ S N i P ~ S Pp P q~_S Sp P ~ S ~r P). II. Kwadrat logiczny SaP

pPzeciwiaSstwo

S e#

Rys. 5

Zdania S d P, S 6 P pozostaj~ w stosunku niezale~.no~ci do zdafi S a P, S o P III. Konwersja i obwersja SaP= PdS SaP = Se _p3 SdP=PaS SdP---~So--P, $6--P SiP=PiS SiP~So--P SeP=--PeS SeP=~Sa--P SoP-- PdS SoP = Si--P SdP~PoS S 6 P - - obwersji nie ma (p. s. 79-80). IV. Wnioskowanie po~rednie (Podaj~ tu tylko tryby konkluduj~ce w systemie zdafi przyj~tych, oczywigcie bez ,,ostabionych".) 1) M A P 2) M a P 3) M a P 4) M a P 5) M a P 6) M d P 7) M d P SaM SdM SiM SeM SdM SdM SeM SaP SiP SiP S dP SdP -SdP SeP 8)MdP 9) M i P 10) M i P 11) M e P 12) M e P 13) M e P 14) M o P SoM SdM SeM SaM SdM SiM SdM SoP(gi P S dP S e-I~ SoP ,SoP SoP 15) M 6 P SaM SdP 7. Przyst~pimy obecnie do analizy obwersji zdafi kategorycznych. Na wta:; Symbol , , - P "

r~ale2y czyta6: ,,nie P " .

[17]

79

Logika stosunk6w zakresowych

~ciwe i pelne zrozumienie obwersji naprowadz@ mnie systerny sylogistyk niearystotelesowych, to te2 analiz~ obwersji zamierzam poprzedzi6 przedstawieniem kilku system6w niearystotelesowych. W pierwszym wystgpowa6 b~dq cztery zdania, w drugirn -- sze~d. System pierwszy

I. Defmicje zdah S iiP~S

P d P ~ S R w P ~- S N a P

S~P~SSpP~SPrP S~P~S

P d P @ S R w P ~: S N a P

S6P~SNiP

r S N i P ~ S Pp P

~ SPpP ~ SSpP ~ SPrP

II. Kwadrat logiczny Jak tatwo sprawdzi6, stosunki mitdzy zdaniami tego systemu s~ identyczne ze stosunkami jakie zachodz~ mitdzy zdaniami tradycyjnej sylogistyki. III. Konwersja

sop

p,-.,e:i;~ienst~,.,o

~'~~ ~

o

~

.~ i ~

~d~~

S ii P ~ P ii S S ~P ~ P ~S S ~ P -- P ~S

/ <~,,~;

Sep

Sf / /

p~D'~e,'istwo

sip

SgiP ~ P O S

sop Rys. 6

Konwersja tych zdafi jest nieco inna od konwersji zdah tradycyjnej sylogistyki. Widzimy m, ~.e wszystkie zdania tego systernu odwracaj~ sit prosto. IV. Obwersja S ii P --->S 6 -- P S ~ P --> S ii -- P S ii P --> S ~ - - P S ~ P - - obwersji nie ma, bowiem zesp6t otrzymany w wyniku obwersji zdania ~ -- (Na, Ni, Pp, Sp, Pr) nie jest ani identyczny z zespotem kt6regokolwiek zdania przyjttego w systemie, ani nie jest cz~ci~ 2adnego z nich. (Patrz str. 81 i nast.) Dalsze przeksztalcenia otrzymujerny automatycznie tak~ sam~t metod~ jak w sylogistyce Arystotelesa. V. Wnioskowanie po~rednie W systemie tyro tryb6w wnioskowania po~redniego jest niewiele, bo utdad6w przeslanek jest 16. Sylogistykata pod wzglqdem dokonywania w jej rarnach wnioskowafi pogrednich jest zupetnie .r}ieprzydatna,gdy2 2aden tryb nie daje konkluzji wyra2alnej w systemie, to te2 nie widzt potrzeby przedstawiania tu tych bezwarto~ciowych tryb6w. "System ten przedstawiam tu jedynie w celu pokazania zdania, kt6re zupetnie hie daje sit obwertowadw rozpatrywanyrn systemie. Warto

80

[18]

Z. K r a s z e w s k i

zwr6cid uwag~ na to, Se zdaniem nie daj~cym sit tu obwertowa6 jest zdanie szczeg61owo twierd~ce. System drugi

I. Defmicje zdarl StPD~SNiP S S P Df S Rw P 4~ S ~I~ P SrP~fSPdP SuP~S

~_ S N a P

1~ S P p P ~ S P r P

N i P :~,~S R w P ~!i:S Sp P

S W P Df S N i P ~ S Pd P ~ S N a P

:~ S Pp P ~ S Pr P

S z P ~ S Rw P :[~ S Sp P ~ S Pd P :~ S N a P $sP

~ S Pp P :]~ S Pr P

II. Kwadrat logiczny Stosunki mi~dzy zdaniami tego systemu s~ analogiczne do stosunk6w, jakie zachodz,3 mi~dzy zdaniami tradycyjnej sylogistyki z t~ r6~.nic,3, ~e wyst~puj~ w wi~kszej ilo~ci. stp

SJ

III. Konwersja SrP=--PrS SsP=--PsS :~

StP

= PtS

SuP=--PuS SwP = PwS SzP=-PzS

Su~

Rys. 7

Widzimy, ~e konwersja zdafi tego systemu, tak sarno jak konwersja zdafi systemu poSzp przedniego, jest dla wszystkich zdafi prosta.

IV. Obwersja SrP

= Sr --P

SuP

SsP

--- S s - - P

S w P ---- S w - P

StP~St--P

SzP

=-- S u - P

=- S z

-P

[19]

Logika stosunk6w zakresowych

81

Obwersja zdafi tego systemu jest irma ai~ obwersja zdafi tradycyjnej sylogistyki i zdafi systernu poprzedniego. Obwersj~, z kt6r~ sit tu spotykamy, rno2emy uwa~a6 za prost~, za~ obwersj~, z jak~ mamy do czynienia w tradycyjnej sylogistyce, mo2emy uwa~.a6 za nieprost~. Poza tyro w systemie poprzednim wy= st~powalo zdanie, kt6rego hie mo~.na byto obwertowa6. Oczywiste jest, ze ze wzgl~du na konwersj~ i obwersj~ prost~ wszystkich zda6 tego systemu, w systemie tyro r6wnio, wszystkie zion.one przeksztaicenia (kontrapozycje, inwersje) b~d~ proste. V. Wnioskowanie pogrednie W systemie tym tryb6w wnioskowania po~redniego mamy wzgl~dnie niewiele, a oto one: 1) S r M

2) S r M

3) S r M

4) S r M

5) S r M

6) S r M

7) S s M

MrP ?

MsP SrP

MtP SwP

MuP SwP

MwP ?

MzP ?

MrP SrP

8) S s M

9) S s M

10) S s M

11) S s M

12) S s M

13) S t M

14) S t M

MsP SsP

MtP StP

MuP SuP

MzP SzP

MrP SwP

MsP StP

15) S t M

16) S t M

17) S t M

18) S t M

19) S u M

20) S u M

21) S u M

MtP ?

MuP ?

MzP SwP

MrP SwP

MsP SuP

MtP ?

22) S u M

23) S u M

25) S w M 26) S w M 27) S w M

28) S w M

MuP ?

MwP ?

24) S u M

MwP SwP

MwP ?

MzP ?

MrP ?

29) S w M 30) S w M

31) S z M

32) S z M

MrP ?

MsP SzP

MwP ?

MzP ?

MsP SwP

MtP ?

MuP ?

33) S z M

34) S z M

35) S z M

MtP SwP

MuP ?

MwP ?

36) S z M MzP ?

Poai~ej (Rys. 8) podaj~ sprawdzenie tryb6w przedstawionego ostatnio systemu przy P0mocy tabeli z tyro, ~.e w sarnej tabeli zmienilem kolejno~6 zdati zakresowych, co nie ma ~adnego zasadniczego znaczeaia. 8. Dla pehaego zrozumienia obwersji przeprowadzimy jeszcze pewn~ analizr poni~.szej tabeli. Je2eli przyjrzymy sit tabeli, to zauwaZ3rray, ~.e zdanie, kt6remu odpowiada stosunek zakresowy r6wnowa~.nogci, zestawiane zar6wno lewostronnie jak i prawostronnie z kt6rymkolwiek zdaniem, daje ham zawsze jako wyaik to samo zestawiane z aim zdaaie. R6wnowa2no~6 jest wi~c w pewnym sensie jednogciq grupy stosunk6w zakresowych z~ wzgl~du na zestawienia, kt6= 6 Studia logica

t. IV.

82

[20]

Z. Kraszewsk~

Q.

m

m

r

. . . . . . . .

~.. ~ . . ~

itl

ii

I

i|

~ ~ .....

'!i,,~..!

!

el.

~ ~-.,. : Q.

~t

~_._1/__ Itl

[21]

Logika stosunk6w zakresowych

83

rych tu dokonujemy (iloczyny wzgltdne). Drugim zdaniem zakresowym, kt6re r6wnie2 przy zestawieniu z kt6rymkolwiek zdaniem daje nam zawsze wynik pozytywny iednoznaczny, jest zdanie, kt6remu odpowiada stosunek zakresowy sprzeczno~ci (jest ona w pewnym sensie odwromo~ci~ jedno~ci). Rozwa~my bli~.ej zestawienia czterech pierwszych zdafi z tabeli ze zdaniem zakresowym sprzeczno~ci.

SPdM SSpM S Pp M SSpM

i i i i

MSpP-->SPrP MPdP-~SPpP M Sp P--> S Na P MPpP---~SPdP

SNaM S Sp M S Pr M SSpM

i i i i

MSpP-+SPpP M Na P-+ S Pr P M Sp P--->S Pd P MPrP--> S N a P

Z powy2szego zestawienia widzimy, ~.e jakkolwiek zes.tawialiby~my zdania Pd, Pp, Pr, Na z Sp, nigdy wynik tego zestawienia rile btdzie r6~.ny od zdafi: Pd, Pp, Pr, Na. Ze wzgltdu na t~ whsno~d m6wit o zdaniach Pd, Pp, Pr, Na, 2e stanowi~ one cykl zda~ (stosunkdw). Podobny cykl stosunk6w zakresowych stanowi~ r6wnowa2no~6 (Rw) i sprzeczno~6 (Sp). Trzeci cykl stanowi tylko jeden stosunek -- stosunek niezale~no~ci (Ni). Po powy~szych rozwa2aniach mo2emy przej~6 do zagadniefi samej obwersji. Obwersja prosta Niechaj q0k, q~t, qgm btd~ zmiennymi, kt6rych warto~ciami s~ wszystlde (126) i -- cztonowe ,,altematywy" stosunk6w zakresowych (dla i = 1, 2 , . . . , 6). Zdanie A qgk B obwertuje sit prosto wtedy i tylko wtedy, gdy A tpg B :=- A qgk --B, gdzie k = 1 , . . . , 126. Obwersja nieprosta Zdanie A q% B obwertuje sit nieprosto wtedy i tylko wtedy, gdy A qgLB :~ A q%~--B lub A q~LB --* A tpm --B, gdzie l, m -- 1 , . . . , 126 i m r l. Teraz mo~emy ju~ okre~li6 warunki, jakie musi spetnia6 dowolne zdanie, by obwertowalo sit prosto wzglcdnie nieprosto oraz wyja~ni6, dlaczego niekt6re zdania w pewnych systemach hie daj~ sit obwertowa6 zupehfie. Obwersja zdania~ podobnie jak i konwersja, zale~y: 1~ od stosunk6w warunkuj~cych dane zdanie, 2 o od zdafi wchodz~cych z him do systemu, w ramach kt6rego rozwa~ane jest dane zdanie: I tu oczywiste jest, ~.e na gruncie systemu wszystldch 126 zdati mo21iwych, ka~de zdanie daje si~ obwertowa6, chocia~ hie kaY.de b~dzie mo~.na obwertowa6 prosto. Obwersja prosta jak i konwersja prosta hie jest zale~na od warunku drugiego. Warunek drugi dotyczy jedynie zdafi, kt6re obwertuj~ sit nieprosto i decyduje jedynie o tyro, czy jakie~ zdanie daje sit obwertowa6 na gruncie rozpatrywanego systemu. Najog61niej obwersjt przedstawi6 mo2na nasttpuj~co: je~.eli jakie~ zdanie jest warunkowane przez zesp6! (x ~ y ~ z), to obwersja tego zdania warunkowana btdzie przez zesp61 (x Sp ~ y Sp @ z Sp) ~; ot6~., je~.eli zesp6! (x Sp ~ y Sp -li=z Sp) w wyniku redukcji na podstawie kolumny Sp 4 Symbol ,,xSp'" oznacza tu iloczyn wzgl~dny stosunku zakresowego x i stosunku sprzccznogci.

z. Kraszewski

84

[22]

wszystkich naszych tabel sprowadza sit do zespoha wyj~ciowego (x ~ y -H--z), to zdanie to obwertuje sig prosto. Latwo zauwa~y6, ~,eb~dzie tak wtedy, je2eli stosunki zespoha (x -~ y -~ z) nale2~ do tego samego cyklu i zarazem stanowi~ pehay komplet stosunk6w danego cyklu lub cyk16w. Stwierdzenie to jest warunkiem wystarczaj~cym obwersji prostej. Celem podania warunku wystarczaj~cego a zarazem koniecznego obwersji prostej wprowad~,my jeszcze poj~cie p61cyklu. Mianowicie w cyldu pierwszym (Pd, Na, Pp, Pr) wyr6~nimy p6tcylde (Pd, Pr) i (N a, Pp). Zdanie A q~B obwermje siq prosto wtedy i tylko wtedy, gdy jest warunkowane przez dowoln~ kombinacjq czterech nastqpuj~cych zestawiefi stosunk6w zakresowych (cykl6w i p6tcykl6w): (Pd, Pr), (Na, Pp), (Rw, Sp), (Ni). Je~eli za~ zesp6t (x Sp ~ y Sp ~: z Sp) sprowadza sit hie do uldadu wyj~cioWego, lecz do jakiego~ innego (u :~i-v ~!: t) i je~eli uldad otrzymany (u ~ v ~ t) odpow,iada pewnemu zdaniu w systemie (zawiera sit w zespole warunkuj~cym kt6rekolwiek zdanie przyjqte w rozwa~.anym systemie zdafi, tzn. w systemie wystqpuje b~d~ zdanie warunkowane przez sam zesp6t (u--i~ v--~ t) b~d~.przez zesp6t (u -~ v ~- t ~ p~ ~ . . . ~ p~,)) jak to ma miejsce w tradycyjnej sylogistyce), to zdanie wyj~ciowe warunkowane przez zesp6! (x ~ y ~ z) obwertuje sit nieprosto na gruncie rozpatrywanego systemu. Je~eli za~ uldadu (zespotu) otrzymanego hie monna zmiegci6 bez reszty w 2adnym z przyj~tych w systemie zdafi, to zdania tego hie monna obwertowa6 w rozpatrywanym systemie (patrz: system pierwszy). Z przeprowadzonej tu analizy obwersji widzimy, 2e podziat stosunk6w zakresowych ze wzgl~du na przynale~nogd do odpowiedniego cyldu jest bardziej istotny i bardziej przydatny do zrozumienia wnioskowmi w obrqbie zdafi zakresowych, a tym samym i w obr~bie zdafi kategorycznych, ni~ podzial stosunk6w zakresowych na stosunki zawierania, krzy~owania i wykluczania. 9. Na zakoficzenie pragn~ przedstaw~6 jeszcze jeden system sldadaj~cy sit z 16 zdafi, kt6ry w przeciwstawieniu do poprzednio przedstawionych system6w mo~e mie6 praktyczne znaczenie ze wzglqdu na wyra~alno~6 w j~zyku potocznym wszystkich zdmi w him wystqpuj~cych. Oczywi~cie podobnej wtasno~ci hie posiadaly systemy poprzednio przedstawione. 1. Definicje zda~ Ka~de S jest P, r6wnoznaczne z: S Pd P ~b S Rw P. Tylko S jest P, r6wnoznaczne z: S Rw P ~--;~S Na P. S e P - - Zadne S hie jest P, r6wnoznaczne z: S Sp P ~i: S Pr P. S ~ P -- Tylko S nie jest P, r6wnoznaczne z: S Sp P :~ S Pp P. (Zwracam uwag~, ~e zdanie: Tylko S e P -- Tylko ~adne S nie jest P - jest zdaniem r6~.nym od zdania S ~ P - Tylko S nie jest P.) S a P

--

S ~ P

--

S b P -- Tylko niekt6re S s~ tylko niekt6rymi P, r6wnoznaczne z: S Ni P :~ ~ S Pp P.

[23]

Logika stosunk6w zakresowych

85

Tylko niekt6re nie S s~ tylko niekt6rymi P, r6wnoznaczne z:

S c P -

S N i P J:~-S I'd P. S d P

--

Tylko niekt6re S s~t tylko niekt6rymi hie P, r6wnoznaczne z:

S N i P : ~ : S N a P. SfP Tylko niekt6re nie S s~ tylko niekt6rymi nie P, r6wnoznaczne z: S N i P - 4 ~ S Pr P. S g P -- S s~ tylko niekt6rymi P, r6wnoznaczne z: S P d P :!.~-S N i P :ilSPpP. S h P - - S s~ tylko niekt6rymi nie P, r6wnoznaczne z: S N a P :~ S N i P :~"-~SPr P. -HS i P -- Tylko niekt6re S s~ P, r6wnoznaczne z: S N a P:!!: S N i P .:" SPpP. S k P - - Tylko niekt6re S s~ nie P, r6wnoznaczne z: S P d P :!~ S N i P !7~SPrP. S i P - - Niekt6re S s~ P, r6wnoznaczne z: S P d P ~ S R w P -,~ S N a P ~ :~ S N i P :~': S Pp P. S i P ~ Nie tylko S hie jest P, r6wnoznaczne z: S P d P :1:~-SRwP :ii: .-~ S N a P :~'FS N i P @ S Pr P. S o P - - Niekt6re S hie s~ P, r6wnoznaczne z: S N a P :!~ S N i P :~: S Pp P .~~,'~S Sp P Y-.. S Pr P. S6P Nie tylko S jest P, r6wnoznaczne z: S P d P :i~-S N i P ~[: S P p P : . I : -:'- S Sp P @ S Pr 1,. II, Konwersja i obwersja SaP=--P6S SaP=-Se-P S d P -- P a S StiP - S d-P SeP=-PeS SeP-Sa -P S3 P = P dS S dP=-- S d - P S b P =-- P b S S b P =-- S d - P S cP ~ PdS S c P ---- S f - P S d P ~- P c S S d P =-- S b - P S f P =-- P f S S . f P =-- S c - P S g P =-- P j S S gP = Sh --P ShP~PkS ShP=--Sg--P Sj P= P g S SjP=-- Sj--P S k P =-- P h S S k P -=- S k - P SiP-~PiS SiP~So -P S i P -~ P i S S i P =-- S d - - P SoP=--P6S SoP~S i -P SdP-~ P oS SdP-= S i -P -

-

-

-

Pozostale przeksztalcenia mo~,na otrzymad analogicznie jak w sylogistyce Arystotelesa. Warto jeszcze zaznaczyd, ~e w systemie tyro ka~de przeksztalcenie ka~dego zdania jest wyra~alne.

86

Z. K r a s z e w s k i

[241

III. Ignioskowanie pogrednie (podaj~ tylko tryby konlduduj~ce i nieostabione) : 1) M a P 2) M a P 3) M a P 4) M a P 5) M a P 6) M a P 7) M a P SaM SaP

SdM SiP

Se.M S6P

SdM SdP

SbM SgP

8) M a P 9) M a P 10) M a P 11) M a P 12) M a P 9SfM SdP

SgM SgP

SjM SiP

SkM S6P

SiM SiP

ScM SgP

SdM S i P

13) M a P 14) M d P SdM SdP

SaM S i P

15) M d P 16) M d P 17) M d P 18) M d P 19) M d P 20) M d P 21) M d P SdM S dP

SeM SeP

SdM SoP

SbM SoP

ScM SiP

SdM ShP

SfM S h P

22) M d P 23) M d P 24) M d P 25) M d P 26) M d P 27) M e P 28) MeP S h h4 ShP

Sj M SoP

SkM SiP

SIM SIP

SoM SoP

SaM SeP

SdM S oP

29) M e P 30) M e P 31) M e P 32) M e P 33) M e P 34) M e P 35) M e P SeM SiP

SdM SdP

SbM ShP

ScM ShP

SdM SoP

SfM SiP

SgM S hP

36) M e P 37) M e P 38) M e P 39) M e P 40) M d P 41) M d P 42) M d P SjM SoP

SkM SiP

S i M SoP

SdM SiP

43) M d P 44) M dP 45) M d P 46) M ~ P 47) SiP

SbM SiI;

ScM SdP

SdM SgP

SaM SdP M~I"

SfM SgP

SdM SdP

SeM SaP

48) M ~ P 49) M ~ P ShM SgP

SjM S iP

50) M ~ P 51) M d P 52) M dP 53) M b P 54) M b P 55) M b P 56) M b P SkM S6P

SiM SdP

.

-

-

__,

SoM SiP

SaM SdP

SdM SjP

SeM SkP

SdM SiP

57) M c P 58) M c P 59) M c P 60) M c P 61) M d P 62) M d P 63) M d P SaM SkP

SdM SiP

SeM

SdM

SaM

SdM

SeM

s 6e

sip

s-i'-e

siP

S kP

64) M d P 65) M f P 66) M f P SdM SoP

SaM SkP

Sd.M So;"

67) M . f e 68) M f P 69) M g P 70) M g P SeM .S. .i.P

SdM

SiP

SaM S6P

SdM SiP

71) M g P 72) M g P 73) M h P 74) M h P . 75) M h P 76)MhP 77) M j P SeM SoP

SdM SiP

SaM SiP

SdM SoP

~Sem SiP

Sdm SoP

SdM SjP

[25] 78) M j P SeM SkP

Logika stosunk6w zakresowych 79) M k V 80) M k P SaM SdM SkP SjP

81) M i P SdM SiP

82) M i P SeM SdP

87 83) M I P SaM SiP

84) M i P SdM SoP

85) M o P 86) M o P 87) M d P 88) M d P SdM SeM SaM SdM So--P -S i V s dP siP Przyklad wnioskowania wedlug trybu 42: ,,Tylko niessaki nie s~ krtgowcami i ~.aden gryzofi hie jest niessakiem, witc ka2dy gryzofi jest krtgowcem". Dobranie przyldad6w ilustruj~cych pozostale tryby pozostawiam czytelnikowi. Nie przedstawiam tu te~. stosunk6w w jakich pozostaj~ do siebie wszystkie zdania przedstawionego ostatnio systemu (czegog analogicznego do kwadratu logicznego), uwa~am bowiem, ~.e bez witkszych trudnogci, ju• na podstawie samych defmicji zdafi, mo2na te zagadnienia swobodnie rozwi~zywa& 10. Na tyro koficzt analizy odnosz~ce sit do tradycyjnej sylogistyki. Nasuwaj~ce sit pewne zagadnienia z historii sylogistyld zamierzam przedstawi6 przy innej okazji. Obecnie powinienem przedstawi6 wynild badafi samego rachunku zdafi zakresowych. Uwa~am jednak, 2e zagadnieniu temu nale~y sit oddzielne om6wienie, to te~. tu tylko wspomnt o niekt6rych zale2nogciach wysttpuj~cych wgr6d zdati zakresowych. Np. wszelkie zdania zakresowe dad~ sit okregli6, a witc i sprowadzi6 (przy u2yciu kwantyfikator6w) do nasttpuj~cych trzech zdafi zakresowych: 1. kt6regokolwiek zdania zakresowego z pierwszego cyklu, 2. zdania zakresowego sprzecznogci, 3. zdania zakresowego niezale~.no~ci. Jako przyldad takiego okreflenia podajemy okre~lenie stosunku r6wnowa2nogci przez stosunek sprzecznogci: A RwB ~-f~(ASpM. MSpB).

Uwa~am r6wnie~, ~e pogttbione badania zdafi zakresowych mog~ rzuci6 pewne .~wiatlo na inne dzialy logiki. Na zakoficzenie pragnt zto~y~ wyrazy gor~cego podzitkowania prof. prof. Kazimierzowi AJDUKIEWICZOWI, Tadeuszowi KOTARBINSKIEMU, Andrzejowi MOSTOWSKIEMU i Wtadyslawowi WOLTEROWI za krytyczne uwagi i rady udzielone mi po zapoznaniu sit ze szkicem niniejszej rozprawy. Allatum est die 16 Junii 1954