Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus VOII

E. Bodewig

(Basel)

(Eingegangen am 11. Juli 1935)

Inhalt Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Untersuchungen zum Mendelismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Die gewShnliche Vererbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Die Monomerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Der allgemeine Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Das Entwicklungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Der natiirliche Verteflungszustand . . . . . . . . . . . II. Die Dimerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Die Polymerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Vererbung durch gleichsinnige Gene . . . . . . . . . . . . . . . I. Dimerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Trimerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Die geschlechtsgebundene Vererbung . . . . . . . . . . . . . . D. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Die Sippenmisehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Die Ver~eflung innerhalb der Verwandtsehaftslinien . . . . . . . . Literaturverzeichuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

soito . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

84 88 88 88 89 90 91 93 96 106 106 107 108 112 112 114

. . .

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Vorwort M e n d e l e r k a n n t e in seinem Vererbungsgesetz, d a b es biologische M e r k m a l e gibt, deren A u f t r e t e n bei je e i n e m I n d i v i d u u m einer G e n e r a t i o n K o l l e k t i v e bflden. M a n spricht y o n einem , , m e n d e l n d e n M e r k m a l " . E b e n s o e r k a n n t e er, d a b die V e r e r b u n g dieser m e n d e l n d e n Merkmale w i e d e r u m ein K o l l e k t i v ergibt, also z. B. regellos vor sich geht, wobei jeder der allelomorphen T y p e n des Gens die gleiehe VererbungsmSglichkeit hat. W a s M e n d e l als Biologe n i c h t durchffihrte, w a r e n die F o l g e r u n g e n , die sich aus seinem Gesetz ergeben ffir~die Ver~eflung eines Gens oder allgemeiner einer Gamete i n n e r h a l b einer ganzen Population. Es handel~ sieh d a b e i u m eine rein m a t h e m a t i s c h e Fragestellung. 1904 bewies P e a r s o n (Literaturverzeichnis 3) die K o n s t a n z der prozent u a l e n Verteflung e i n e s G e n s b e i M o n o h y b r i d i s m u s fiir den speziellen F a l l , d a b die A u s g a n g s v e r t e f l u n g 1 : 2 : 1 (fiir t t o m o z y g o t e , Heterozygote, Homozygote) war.

Mathematisehe Untersuchungen zum Mendelismus

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1908 zeigte H a r d y (4) die K o n s t a n z ffir eine b e l i e b i g e A u s g a n g s v e r t e i l u n g . 1909 bewies P e a r s o n (Proc. Roy. Soc. London, B, 81) den gleiehen Satz und fiigte hinzu: Er sei nieht schwer zu beweisen, sei aber seines Wissens zuerst yon H a r d y verSffentlieht worden. Dies alles bezog sich nur auf M o n o h y b r i d i s m u s . Aber im gleichen Jahre 1908/9, wo diese speziellen Entdeckungen gemacht wurden, verSffentliehte W e i n b e r g in der Zeitschr. fiir induktive Abstammungs- und Vererbungslehre (5) in einer yon groBer mathematischer Begabung zeugenden Arbeit neben anderem, was ebenfaUs welt fiber die bisherigen Resultate hinausging, den a l l g e m e i n e n S a t z ffir P o l y m e r i e u n d m u l t i p l e n A l l e l o m o r p h i s m u s : Die Verteilung ist im aUg. nicht stabil, vielmehr wird sie durch Panmixie im allg. in jeder Generation ge£ndert. Doeh n~hert sie sich im Laufe unbegrenzt vieler Generationen einer stabilen Verteilung als Grenzzustand. Eine Ausnahme tritt nur ein bei Monomerie, wo jede beliebige Verteilung stabil ist, und bei Polymerie, falls y o n A n f a n g an eine solche stabile Verteilung vorlag. Die ~berlegenheit dieses Resultates fiber die frfiheren, ganz ~trivialen Ergebnisse ist nicht zu verkennen. Es hat auch vielleicht niemand vorher oder naehher den ProzeB des Mendelns so klar erfaBt wie W e i n b e r g . Aber gerade darin liegt zugleich die S e h w i e r i g k e i t seines Beweises: Er verlangt yon dem Leser, dab er sich in den Prozel~ des Mendelns vSllig vertieft und aus diesem Gedankeng~ng heraus dann den Satz mehr oder weniger intuitiv erkennt. Mit andern Worten: ein eigentlieher mathematischer Beweis ist der Weinbergsche nicht. Er stiitzt sieh eben zu sehr auf gedankliche ~berlegungen, w~hrend der Leser gern h~tte, wenn man ihm alles wirklich vorrechnete, - - Andere Sehwierigkeiten entstehen dadurch, dab seine mathematische Bezeichnungsweise nieht die fibliche ist. So kam es wohl, daB leider nur wenige den eigenwilligen Gedanken W e i n bergs folgen konnten oder wollten, und dal] daher sein Satz sozusagen unbekannt blieb. Sogar Spezialf£11e des Satzes wurden daher mehrmals yon neuem entdeekt, so yon W e n t w o r t h und R e m i c k , sowie J e n n i n g s und R o b b i n s (7, 12, 13): Andere, wie S t a c k e l b e r g (8, 9), stellten sogar falsche S~tze auf. So fehlte lange Zeit ein strenger mathematischer Beweis des W e i n b e r g schen Satzes. Erst 1922 trug T i e t z e den ersten rechnerisehen Beweis auf der Deutschen Mathematiker-Versammlung in Leipzig vor (17). Leider hatte aueh T i e t z e die Arbeit yon W e i n b e r g nicht gekannt, wie er fiberhaupt gesteht, dab er als Mathematiker sich nieht um die biologische Literatur bekiimmert habe. Nur die nebens~ehlichen Arbeiten yon P e a r s o n und H a r d y fiber Monohybridismus waren ibm zug~nglieh. Auf der Versammlung selbst hatte ihm, wie ich aus T i e t z e s Arbeit sah, mein verehrter Lehrer S t u d y mitgeteilt, dab er selbst den Fall des Dihybridismus behandelt, jedoch nichts darfiber verSffentlieht babe. m Aueh di~ biologischen Kollegen, an die sich T i e t z e wegen Literatur wand~e, gaben ibm genau wie yon Mises mehrere nebens~chllche Literatur an, jedoeh nicht die Arbeit yon W e i n b e r g . Man mag daraus noehmal ersehen, wie vSlllg unbekannt jene wiehtigen Betrachtungen W e i n b e r g s in den versehiedensten wissensehaftlichen Kreisen geblieben sind.

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Aber auch der Beweis yon T i e t z e scheint wenig bekannt geworden sein. Denn 1924 verSffentlichte der doch gewi$ maBgebende P h i l i p t s c h e n k o in der Zeitschr. f. induktive Abstammungs- und Vererbungslehre eine Arbeit (11), worin sich kein Weft yon T i e t z e und W e i n b e r g finder. P h i l i p t s c h e n k o beweist yon neuem die Stabilit/~t jeder Verteflung bei M o n o h y b r i d i s m u s . Sodann gibt er die G l e i e h g e w i e h t s b e d i n g u n g ffir D i h y b r i d i s m u s u n d T r i h y b r i d i s m u s an. Er finder, dab im ersten Falle eine Relation, im zweiten Falle 4 Relationen zwisehen den GametenhAufigkeiten notwendig sin& Allerdings ist fiir den zweiten Fall der Beweis alles andere als klar. Er gibt nur an: dab ,,man sich davon iiberzeugen kann, dab die angegebenen Bedingungen riehtig sind". Bei der Ausfiihrlichkeit, mit der vorher die einfaeheren Dinge analysiert worden sind, klingt dies nicht sehr ermutigend. Das hat vielleieht seine Ursache darin, dab dieser ,,letzte, schwierigste SehluB liebenswiirdigerweise yon U s p e n s k y , Mitglied der russisehen Akademie der Wissensehaften, gefiihrt worden ist". P h i l i p t s c h e n k o weist selbst darauf hin, dab seine Gleiehgewiehtsbedingungen n u r n o t w e n d i g , n i c h t ~ber, dab s i e - h i n r e i e h e n d sind (S. 261, 265 der Arbeit). Aueh seine Behauptung (S. 263, 265, 274), dab bei beliebiger Ausgangsverteflung sieh die Gametenh/£ufigkeiten einem Gleiehgewiehtszustand nAhern, ist in keiner Weise bewiesen. Beides rfihrt daher, dab er eben nut den Gleichgewiehtszustand selbst untersucht, nieht aber die ~mderung des Zustandes yon einer Generation zur n~chsten bei beliebiger Ausgangsverteflung. Ja, er gibt sogar an (S. 265), dal~ es ,,eine sehr schwierige und undankbare Aufgabe sei, die Bedingungen der Abnahme oder Zunahme einer jeden der acht Gametensorten bei Trihybridismus in allgemeiner Form zu bestimmen". Deshalb mul~ er sich bei gegebener nnstabiler Verteiinng damit begniigen, an einigen Zahlenbeispielen, die er einige Generationen hindurch verfolgt, plausibel zu maehen, dab eine I stabile Verteilung als Grenzzustand eintritt. Es fehlt ibm die M6glichkeit, diesen Grenzzustand yon vornherein zu berechnen. Ebenso istes zuviel gesagt (S. 267), wenn er behauptet: ,,ganz denselben Erscheinungen wiirden wir begegnen, wenn wit uns yon Trihybridismus zu Tetraund Pentahybridismus wenden wiirden." Denn man sieht gar nicht, wie sieh die yon P h i l i p t s e h e n k o aufgestellten Formeln fiir diese F/~lle verallgemeinern lieBen. U n s e r Ziel wird daher darin bestehen, seine U n t e r s u e h u n g e n weitg e h e n d zu v e r a l l g e m e i n e r n : n/~mlich einmal die G l e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g e n fiir P o l y h y b r i d i s m u s u n d i i b e r h a u p t P o l y m e r i e a n z u g e b e n , s 0 d a n n die -~nderung der V e r t e i l u n g y o n e i n e r G e n e r a t i o n zur • n a c h s t e n in fiber s i c h t l i c h e r F o r m d a r z u s t e l l e n und schlieglieh die K o n v e r g e n z des P r o z e s s e s zu zeigen. Schlieglich hat Miehe, ebenfalls in der Zeitsehr fiir indukt. Abstamm.- u. Vererb.-Lehre (14), 1928 sieh kurz mit der Stabilit~tsfrage befagt. Doeh sind seine Ausfiihrungen einmal saehlich z. T. unriehtig, so wenn er W e i n b e r g nur die Entdeckung der Stabilit/~t bei Nfonomerie zuschreibt. Sodann besehr/~nkt er selbst sieh ebenfalls auf Monomerie und bezeiehnet sehon ira Falle der Dimerie

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,,die grol~e Anzahl der Glieder als hinderlich ffir die weiteren Untersuehungen, die eine sehr lange und sehwierige Reehnung erfordern °'. Ohne Beweis behauptet er dann, dab die Stabilit/~t nieht in einer Generation erreieht wird. E r sagt aueh nieht, dab die Verteflung sieh einem stabilen Grenzzustand n/~hert. Lediglieh ein Zahlenbeispiel gibt er an. Schlieglich stellt er die Bedingung fiir die Stabilit/~$ bei Dimerie zwar riehtig auf, doeh gibt er weder eine Begrfindung noch ein Zitat, so dab unklar bleibt, woher er diese Bedingung hat, ob yon P h i l i p t s c h e n k o oder sonst woher. Alle diese Arbeiten waren mir leider erst bekannt geworclen, als meine vorliegende Arbeit im wesentliehen fertig war. Wenn wir daher im Folgenden u . a . einen neuen Beweis des Satzes yon W e i n b e r g - T i e t z e geben, so halten wir uns nicht nur deshalb dazu bereehtigt, weft die genannten Autoren nicht bekannt geworden sind, sondern weft die Untersuehung aueh anders geffihrt wird. Der Beweis bei T i e t z e ist n~mlieh zun/~ehst etwas fiberladen mit Bezeiehnungen, in die man sieh erst hineindenken muG. Sodann glb~ er mel~rere S/~tze nur an, geht aber auf den Beweis entweder fiberhaupt nieht oder nur an Spezialf/~llen ein. Ferner ist seine Bedingung des Gleichgewiehtes (yon uns ,,natiirlieher Zustand", ,,natiirliche Verteilung" genannt) nicht durehsiehtig und daher praktisch nicht anwendbar. Auch unterl/~gt er, auf die Beziehung der Gametenverteilung zu den multilinearen Formen einzugehen, was ibm als ~ a t h e matiker doeh besonders h/~tte liegen miissen. Demgegenfiber ist unser Beweis ganz direkt. Er beginnt mit der Monomerie nnd leitet ganz einfaeh die Verteilung in der n/~ehsten Generation ab. Die dabei zun/~chst vielleicht etwas iiberflfissigen Schemata werden sp~ter bei der Untersuehung der Verteilung in den Verwandtsehaftslinien gebraucht. Grundlegend ist dabei der Begriff der D i s k r i m i n a n t e , der sp/~ter immer wieder auftritt. E r 1/~$t erst erkennen, worin der Prozeg des Mendelns eigentlich besteht. Es sehliegt sieh an der Fall der I ) i m e r i e . Der erste Fall, wo zum Bisherigen etwas Neues hinzukommt: zu der erw/£hnten Diskriminante (der Ph/~notypenh/~ufigkeiten) die D e t e r m i n a n t e der Gametenh/~ufigkeiten; aber aueh sehon der letzte Fall, wo man alles wirklich rechnerisch im einzelnen verfolgen kann. Deshalb wird dann sofort zum aUgemeinen Fall, der P o l y m e r i e , fiber. gegangen. Der Beweis wird ganz direkt gefiihrt und nur das bewiesen, was man wirklieh braueht. E r ffihrt yon Anfang an die Determinanten ein (Formel (15) des Abschnitts), und auf sie 1/~uft ja in Wirkliehkeit alles hinaus (wie ieh aus der Arbeit P h i l i p t s c h e n k o s sah, hat auch R o b b i n s ffir den Fall der Dimerie eine Formel aufgestellt, die man als Determinante ansprechen kSnnte. Ob es sieh wirklieh um eine solehe handelt, konnte ich nieht feststellen, da mir die fragliche Arbeit leider nieht zug/~nglieh war). Daraus ergibt sich dann sofor~ eine h i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g fiir d e n G l e i c h g e w i e h t s z u s t a n d : Das Versehwinden aller Determinanten, d. h. das vSllige Zerfallen der der Verteflung zugeordneten multilinearen Form in lineare Faktoren. Im Ansehlug daran wird gezeigt, dab die genannte Bedingung aueh n o t w e n d i g fiir d i e S t a b i l i t / ~ t ist. In Formel (15) ist zugleich die bisher fehlende praktische Bereelmung der Ver-

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teflungsgnderung angegeben. Die Spezialf~lle yon P h i l i p t s c h o n k o werden dadurch in jeder Richtung verallgemeinert und erggnzt. A b s c h n i t t B der Arbeit handelt yon den g l e i c h s i n n i g e n Genen. In seiner genannten Arbeit kommt auch P h i l i p t s c h e n k o auf diese Frage zu sprechen. Aber gemgl~ seiner Grundeinstellung gibt er auch hier n u r die Bed i n g u n g e n fiir die S t a b i l i t g t an, und auch nut die notwendigen Bedingungen. Er zeig~ nicht, dab die Bedingungen auch hinreichend sind, u n d e r zeigt ferner nicht, dab die Verteilung sich im Laufe der Generationen einer stabilen Verteflung nghert. Seine dahingehende Behauptung (S. 274) steht so ohne Beweis da. Das llegt auch hier wieder daran, dal3 er nicht die V e r t e i l u n g s / ~ n d e r u n g untersucht, die durch Panmixie entsteht. Deshalb kann er auch nicht die sich aus einer beliebigen Verteflung ergebende Grenzverteflung angeben, sondern muB sich auf ein Zahlenbeispiel beschr/~nken und den Grenzzustand durch Rechnung fiir einige Generationen n/£herungsweise bestimmen bzw. plausibel machen, dal~ man sich wirkUch einem Grenzzustand n~hert. Auch diese Liicken werden in vorliegender Arbeit beseitigt. Der Fall der Dimerie zeigt betr. der Gameten eine weitgehende Xhnlichkeit mit dem Fall der gew6hnlichen Monomerie betr. der Phgnotypen. Die Gleichgewichtsbedingung ist in beiden F/~llen dieselbe. Auch die Ver~eilungs/£nderung verl/~uft ghnlich. - Bef der Trimerie wird die Verteflungs/~nderung ebenfaUs angegeben und daraus die Existenz des Grenzzustandes bewiesen. I n A b s c h n i t t C wird die g e s c h l e c h t s g e b u n d e n e m o n o m e r e Vere r b u n g behandelt. Auch hier nghert sich die Verteilung im Laufe der Generationen einer stabilen Verteflung. Leider kam mir die Arbeit yon C h e r u w i m o w (16) ebenfalls erst zu sp~t zu Gesicht. Doch bfldet letztere in Inhalt und Form sowieso nur einen Tefl unseror Entwicklungen. Vor allem fehlt die Bezugnahme auf die quadratischen und linearen Formen vollstgndig. Als A n h a n g wird eine Anwendung auf die Sippenmischung und auf die Ph~notypenverteilung innerhalb der Verwandtschaftslinien gegeben.

Untersuchungen zum Mendelismus Wir ffihren folgende V o r a u s s e t z u n g e n ein, die wit aber sparer im eugenischen Tell der Reihe nach fallen lassen: 1. In der Population herrscht bzgl. der betrachteten Erbanlage gleichmgflige P a n m i x i e . 2. Die durchschnittliche F r u c h t b a r k e i t ist in allen Anlagetypen g l e i c h groIL 3. Es herrscht k e i n e Auslese.

A. Die gew~hnliche Vererbung I. Die Monomerie Die Bev6lkerung bestehe aus n = a + b -[- c weiblichen und n = a ~- b + c mgnnlichen Elementen, wo a, b, c die Anzah]en der Homozygoten ee, der Heterozygoten eE urrd der Homozygoten EE sind; e sei das rezessive, E das dominante Gen.

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus 1. D e r a l l g e m e i n e

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Fall

Es shad n 2 E h e k o m b i n a t i o n e n d e n k b a r (man erh~lt aber die gleichen Ergebnisse, wenn m a n nur m o n o g a m e E h e n voraussetzt u n d aus allen so entstehenden N a e h k o m m e n v e r t e i l u n g e n das Mittel nimmt). W e n n jeder E h e 4 N a e h k o m m e n entspringen, so verteilen sieh die 4 n 2 N a c h k o m m e n in folgender Weise: a

(1)

a b c

b

4a ~, , 2ab, 2ab, - --, 4ac, - -

c

2ab, 2ab, - b 2, 2b 2, b 2 --, 2be, 2be

, 4ac, --, 2be, 2be , , 4c ~

I). h. z u m Beispiel: Die d u r c h die a H o m o z y g o t e n u n d die b H e t e r o z y g o t e n entstehende N a c h k o m m e n s c h a f t h a t die Vertellung 2 ab, 2 ab, 0. Bildet m a n in jeder Zeile die S u m m e gleiehstelliger Glieder u n d aus den neuen Vertikalen u n d horizontalen Reihen wieder die Summen, so folgt:

(2)

~

b

I

6e

eE

I

4~p',

2bp',

4aq' 2bn 4cp'

2bq' 4cq'

4an 4bn 4cn

4p' ~

8p'q'

4q '~

I 4n~

EE

wo

(2a)

p'=a+l/2b,

p'=c+l/2b.

Setzen wir ein fiir allemal n = 1, d . h . driicken wir a, b, c als relative Haufigkeiten d e r G r u p p e n ee, eE, E E in der BevSlkerung aus u n d dividieren n o e h dureh 4, so erhalten wit aus (2) als relative H/~ufigkeiten innerhalb der N a e h k o m m e n s c h a f t der P o p u l a t i o n : eE

EE

ap' l/zb p'

aq' t/~b cp'

-~/2bq" cq'

b c

p'2

2p'q'

q'Z

1

ee

(3)

a b

I

C

I

Dividieren wir die horizontalen (bzw. vertikalen) Reihen durch ihre jeweiligen S u m m e n a, b, c (bzw. p , 2 2 p ' q ' , q'~), so erhalten wit die relativen H/£ufigkeiten innerhalb jeder Gruppe, n/~mlich: ee

(4)

It

b C

p'

1/,,p'

eE

q'

1/2

EE

--

1

% q'

1

q

1

mit der Matrix A.

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90 bzw.

a b

(4a)

]

a/p' b/2p'

a/2p' b/4p'q' c/2q'

b/2q' c/q'

1

1

1

C

I

mit der Matrix Ax

(4) gibt also die Verteilung innerhalb der yon Eltern der Beschaffenheib ee, eE, E E abstammenden Kinder an, (4a) jedoch die Verteilung der zu den I~indern der Beschaffenheit ee, eE, E E geh6rigen Elterngruppen. So ist z. B. die Verteilung der Eltern yon eE gegeben dureh die mi~tlere Kololme yon (4a). Aus (3) folgt, dab die Generation F 1 die Verteilung al, bl, cl hat, wo (5)

a I = 10'2, b 1 = 2 p ' q ' , c 1

q,2.

=

2. D a s E n t w i c k l u n g s g e s e t z Daraus ergibt sich a1 =

a + ~ - 1 (b2--4ae), b 1 = b -

1 (b 2: 4ae), e l = e ~-

+

1 (ba_4ac) ~-

Ffir die vorkommende Gr6Be, die sich als g r u n d l e g e n d fiir d i e g e s a m ¢ o V o r e r b u n g s l e h r e erweisen wird, ffihren wir die Bezeichnung ein (6) b 2-4ae = D. Dann wird (7)

1

a 1 ---- a + T D ,

1

b 1 ---- b - - ~ D ,

1

cl = c + ~ - D .

Wir sehen daraus: 1. Die ~nderung yon b verteilt sich gleichm£Big a u f a und e. 2. Gr6Be und Riehtung der Ver/~nderung yon a, b, e ist abhi~ngig yon D: Bei positivem D nehmen die Homozygoten zu und die Heterozygoten ab, bei nega~ivem D umgekehrt, bei D ---- 0 bleibt die Verteilung unge~Lndert. Da so die. Gr6Be D fiber die Anderung des Verteilangszustandes entscheidet, nennen wir.,sie die D i s k r i m i n a n t e des Zustandes, zugleich noch aus einem Grunde, der sp£ter ersichtlich wird. Formel (5) odor (7) gestattet also, aus jeder irgendwie gearteten Verteflung die Verteilung der n~ehsten Generation zu berechnen. Ferner folgt aus (5) oder (7): 1 1 1 1 a+~b ~-- a l + ~ - b 1, c + ~ - b C1 -~- ~ - b 1. =

Jeder dieser sehon in (2 a) auf~re~enden Ausdrfieke bleibt also in] Laufe der Generationen vSllig u n g e a n d e r t . Dies~ beiden Zahlen stellen aber die Gesamtzahlen der beiden Homozygotentypen dar, wenn man sich die Heterozygoten je zur H~lfte in die beiden Homozygo~enarten aufgespalSe~ denkt. (Das is¢ offenbar zul~ssig, denn die durehschnittliche Naehkommensehaft yon 2 Elementen des Typus eE isb die gleiche wie die eines Homozygoten ee und E E zu~ammengenommen.) Die Gesamtzahlen 1 b q,=c+ 1 (8)

p' =

a+

2

'

~-b

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jeder der beiden Homozygotenarten bleiben durch Panmixie unge/~ndert, l~ur der Antefl, den die Heterozygoten aus den beiden Homozygotenarten erhalten, verschiebt sich. Gleichzeitig sind p', q' die relat. H/iufigkeiten der zur Fortpfianzung zur Verfiigung stehenden Gene e und E. 3. D e r n a t f i r l i c h e V e r t e i l u n g s z u s t a n d Wichtig ist der Fall D ~- 0. Dann ist n/~mlich die Verteilung in F1, F~ usw. dieselbe wie in der Ausgangsgeneration. Es gibt also Verteilungen, die dadureh ausgezeichnet sind, dab sie sich im Laufe der Generationen nicht mehr /£ndern. Wir nennen sie , , n a t f i r l i e h e Z u s t / ~ n d e " . (9) Fiir einen natiirlichen Zustand ist notwendig und hinreichend, dab D = 0. Es liegt jedoch nahe, die Verteilung in der iibern/~chsten Generation Fg. zu bestimmen. Wir brauchen dazu nur (7) auf den neuen Zustand anzuwenden und b e k o m m e n d a n a drei neue Verteflungszahlen a S, b e, %. Die Diskriminante D 1 ist aber Null, wie sich am einfachsten aus (5) ergibt. D . h . der Verteilungszustand in F 1 war schon ein natiirlicher in obigem Sinne. E r / i n d e r t sich daher im Laufe der Generationen nicht mehr. So haben wir den g r u n d l e g e n d e n S a t z : (10) Dutch einmalige Panmixie wird aus jedem unnatiirliehen Zustand ein natiirlicher. Darauf bauen sich fast alle unsere e u g e n i s c h e n Untersuchungen auf. Ohne Auslese bleibt also die Verteilung hinsichtlieh eines Gens und seiner Ph/inot y p e n vSllig unge/~ndert. Die F o r m der Diskriminante D -~ b e - - 4 ac erinnert an die Diskriminante einer bin/~ren quadratischen Form, z . B . an die K r f i m m u n g e i n e r F1/~ehe. Wir nennen daher D auch die K r i i m m u n g des Zustandes und sprechen bei D = 0 von einer , , g e r a d e n V e r t e i l u n g " . gedenfalls werden wir dazu gefiihrt, einer Verteilung (a, b, e) eine q u a d r a t i s c h e F o r m mit eben diesen Koeffizienten zuzuordnen: Eine natiirliche oder gerade Verteflung wird dann abgebildet auf eine rein quadratisehe Form. Eine solche aber ist bekannt, wenn m a n einen ihrer Koeffizienten hnd noch eine weitere Beziehung kennt, etwa bei uns die Koeffizientensumme (n/~mhch 1). Freilich tritt dabei eine Zweideutigkeit auf, die a b e r bei uns wegen der Randbedingungen verschwindet. Es ergibt sich daher die A u f g a b e : Aus einer der drei Verteilungszahlen a, b, c d i e b e i d e n a n d e r n zu bestimmen. Dazu brauchen wir nur die zu (a, b, e) gehSrige Linearform zu bestimmen: ae 2 -t- beE A- cE ~ ---- (pe ~- ctE)2, d. h. a = pg., b = 2 p q , c = q2 und wegen a -4- b g- c ---- 1 : p A- q ----- ± 1 oder, da das untere Vorzeichen oftenbar unbrauchbar ist: p -4- ci ---- 1. Dann aber folgt fiir unsere friiheren GrSl~en p ' -=-- a - t (11) (12)

b = p, q' = e + ~ - b

= q. Wit s e t z e n d a h e r

ae ~ + beE g- cE ~ = (pe -4- qE) ~=, wo 1 1 p = a+~b = l/X-, q = c + y b

=

1/~.

92

Bodewig

Ist also eine der 3 Gr613en a, b, c gegeben, so lassen sieh sofort p und q = 1 - - p berechnen und daraus dann die beiden andern Gr61]en. Umgekehrt erh~lt man aus p oder q sofort a, b, c. Damit l~tBt sieh aus jeder statistischen Aufstellung fiber die H£ufigkeit einer monomer erbliehen Krankheit die prozentuale Verteilung der verdeckt Kranken und der vSllig Gesunden bestimmen. Denn sowohl bei einer rezessiven als einer dominanten Krankheit ist stets a bekannt. WelcheBedeutunghabennunpundq? Esistp=~/a. aandererseits ist die relative H~ufigkeit der Kombination ee, d. h. p ist die relative H~ufigkeit des Gens e, q die des Gens E. Daraus folgt noeh einmal, dab die relative H~ufigkeit des Komplexes eE gleieh 2 pq = b ist. Dabei hat man natfirlieh die ,,H~ufigkeit des Gens e" auf die Gesamtheit der in den doppelten Chromosomens~tzen enthaltenen Gene zu beziehen. Hingegen daft man nicht die ,,H~ufigkeit des Gens e" verweehseln mit der ,,H~ufigkeit der Tr~ger des Gens e". Denn letztere ist 2a q- b, also 2 p, wie ja auch selbstverst~ndlieh. Trotzdem wird bier oft gefehlt. So sagt z. B. F e t s e h e r l ) : ,,Ist ein Menseh unter hundert Tr£ger eines rozessiven Merkmals, so ist jeder 10. Mensch Tr~ger eines solchen Gens." In Wirkliehkeit ist jeder 5. Menseh TrKger des Gens. Anstatt der riehtigen Beziehung p -----~ - oder angeni~hert b -----2 l/a- wird also fMsehlieh b ---- ~/a- gesetzt. Dana braueht man sich fiber falsehe SehluBfolgerungen nieht zu wundern~). Aus (12), d. h. a q - ~1- b

---- ]/~, folgt noeh:

(13) Die natfirliche Verteilung ist dadurch ausgezeiehnet, dal~ bei ihr die relative H~ufigkeit des Gens e (E) gleich der relativen H~ufigkeit der Homozygoten ee (EE) ist. In der folgenden Tabelle ist b als Funktion yon a angegeben. Ebenso ist noeh das Verh~ltnis x ---- b/a = 2 q/p vermerkt. Wie man sieht, w~ehst es auBerordentlich raseh mit abnehmendem a. Man erkennt auch sehon den Grund, weshalb eine vollst~ndige positive Auslese (Sterilisation) bei kleinem a den Verteilungszustand kanm irgendwie beeinflul3t: Der weitaus gr6$te Tefl der Gone wird gar nicht in der Gruppe ee, welehe yon der Auslese betroffen wird, sondern in der heterozygoten Gruppe eE angetroffen. a: 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 b: 0,1 0,19 0,27 0,35 0,41 0,47 0,49 0,49 (14) x = b/a: 0,11 0,24 0,39 0,58 0,82 1,2 1,6 2,5 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 0,0005 0,43 0,35 0,24 0,18 0,132 0,086 0,060 0,044 4,3 7 12 18 26 43 60 88 Zum SchluB geben wir noch eine g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g der bisherigen Ergebniss e. z) In ,,Unterrichtsbl~$ter fiir hlathematik und Natttrwissenschaften" (39), 1933, Hr. 6, S. 183. Ebenso ,,Medizinische Klinik", 1933, S. 1197. ~) Dieser ~ehler wiegt um so sehwerer, als Lenz (19, S. 434, ~ul3note) sehon ausdrticklich auf Jim hinweis~.

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus

93

Fiir jede Verteflung a, b, c war a + b + c : 1. Letzere Beziehung aber gilt fiir die drei Senkreehten, die m a n yon einem beliebigen I n n e n p u n k t eines gleichseitigen Dreieeks auf die drei Seiten fallen kann. Daher l a s t sich j e d e ¥ e r t e i l u n g darstellen durch einen P u n k t i n n e r h a l b e i n e s g l e i c h s e i t i g e n D r e i e c k s . Die Dreiecksseiten entsprechen dabei den Zustanden a = 0 bzw. b = 0 bzw. c ---- O. F/ir einen natfirlichen Zustand grit b 2 - - 4 ae = 0. Dies ist aber eine Parabel, welche die Dreiecksseiten a = 0 und c = 0 in ihren Schnittpunkten mit b ----- 0 beriihrt, und zwar diejenige, welche die Mit~elsenkrechte yon b = 0 halbiert. Vertei]ungen mit negativer Diskriminante liegen im Innern der Parabel, solche mit positiver Diskriminante im XuSern. Eine gekriimmte Verteilung geht, wie wir wissen, gleich in der nachsten Generation in eine gerade fiber. Dabei sind die Anderungen yon a u n d c gleich. Alle so veranderten Zustande liegen aber auf einer Parallelen zur Mittelsenkreehten von b - - 0, d. h. der Parabelachse. D u r c h P a n m i x i e wird also ein Punkt verschoben parallel zur P a r a b e l a c h s e , b i s er a u f d i e P a r a b e l f a l l t . Fig. 1 II. Die Dimerie Der Ph/~notypus sei jetzt nicht mehr yon nut e i n e m Gen e (und seinem allelomorphen) bestimmt, sondern erst yon zwei Genen e, f. Wir haben also dann die vier P h a n o t y p e n el, eF, El, EF und neun Genotypen, welehe zugleich mit ihren relativen H/£ufigkeiten in folgendem Schema dargestellt sind :

I (1)

ee eEI EE

]

ff

•I

fF

FF

al

bl

.]

ol

a~ as

b2

I

%

b3

i

C3

Z. B. hat der Genotypus eefF die Haufigkeit b 1. Er bfldet nun zweierlei Fortpflanzungs-Genkomplexe (Gameten): ef nnd eF, und zwar beide in gleicher Zahl. Bei gleicher Fruchtbarkeit aller Genotypen haben also die yon diesem P h a n o t y p u s zur Fortpflanzung ge]angenden Gameten ef a n d eF beide die relative 1 Haufigkeit ~ b 1. Bezeichnet m a n also die relative I-I/~ufigkeit der bei der augenblicklichen Generation zur Fortpflanzung vorhandenen Gameten ef mit p, die yon eF mit q, die yon Ef mit r und die yon E F mit s, so ist 1 1 1

94

Bodewig 1

1

1

q = ~-bl-+Cl-4- ~-b~-4-~-e2 1 1 1 r = ~-a~+¥b~+ as+~bs

(2)

1

1

1

s = ~-b~ + ~ - c ~ + ~ - b

a+

,wopd-q+rd-s

= 1.

cs

(Die so entstehende Matrix ist symmetrisch und hat anch sonst mehrere Symmetrie-Eigenschaften.) Die Population kann also betr. ihrer Gameten dargestellt werden durch die bilineare Form: (3) per q- qeF -4- rEf q- sEF = (pf q- qF) e q- (rf q- sF) E

[

s --r

= (ped-rE) f-1-(qed-sE)F=----q

e i

p El.

Fol

Bei gleiehm~il~iger Panmixie entstehen daraus in der n£ehsten Generation G e n o t y p e n , deren Hgufigkeiten sich ergeben, wenn man das Quadrat yon (3) entwickelt, also eine S c h o l t z sehe Matrix: | , _ (4)

!

ee l eE ] EE

If

fF

FF

P~ 2 pr r~

2 pq 2 (ps q- qr) 2 rs

qZ 2 qs s~

mit der Determinante 2(ps-qr)8=2D s.

Von jeder der 6 Zeilen oder Spalten kSnnen wir eine Diskriminante bilden. Wie man sieht, ergibt sieh durch e i n m a l i g e P a n m i x i e eine Verteflung, in welcher a l l e ~ u B e r e n K r i i m m u n g e n v e r s c h w i n d e n (was ja fibrigens selbstverst~ndlich ist und sehon durch (3) sich ergibt). Bildet man jetzt die neuen Gametenh£ufigkeiten, so finder man: (5)

1 Pl = P - - 2 - D ,

1

ql = q q - ~ - D ,

t

r 1 = r q- ~ D ,

1

s~ = s - - ~ - D ,

wo D = p s - - q r . Also zun~chst: (6) Plq-ql = Pq-q, rid-s1 = rq-s P l q - rl = p q - r , q l d - s 1 = q q - s , d. h. die relativen H£ufigkeiten der einzelnen Gene e, f, E, F Smdern sich durch Panmixie nicht. ])as ist also die Verallgemeinerung yon I, 8 bei der Monomerie. Die Verteflung in F 1 ist also eine andere als in der Ausgangsgeneration; die G a m e t e n h i i u f i g k e i t e n b l e i b e n d a h e r d u r c h P a n m i x i e n i c h t u n v e r ~ n d e r t , wie es bei der Monomerie war. Sie sind es n u t d a n n , wenn

J

(7)

Pq D = /r s

=0.

Nach dem Satz fiber ger~nderte Determlnanten ist dann (3) eine bilineare Form, die in das Produkt zweier Lineafformen zerf~llt. ])as Schema ffir den stabilen Zustand lau~et also:

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus p2 2pr r2

(8)

2 pq 4ps = 4qr 2 rs

95

q2 2qs s ~'

l~ach (7) wird also eine n a t i i r l i c h e V e r t e i l u n g dargestellt durch das Q u a d r a t e i n e r z e r f a l l e n d e n b i l i n e a r e n b i n a r e n F o r m (mit v e r s e h w i n dender Diskriminante). In (8) verschwinden aber nicht nur die ~ugeren Kriimmungen, sondern alle Krfimmungen iiberhaupt. I m natiirlichen Zustand ist also jede Verteflung solcher Genotypen, die sich nur in einem Genkomplex unterscheiden, wiederum n a t ~ l i c h , auch wenn die Genotypen dureh Summierung zweier anderer Genotypen gebfldet werden. Z . B . ist die Verteilung yon elf, elF, eFF gleich p(p + r), 2 p(q + s), q(q + s), also natiirlieh. Wie gro$ wird nun p~, %, r2, s2 ? Die Determinante yon p' ---- p - - a D , q' = q + a D , r' = r + a D , s' = s - - a D wird (9)

D'

=

(1 - - a ) D .

1 Also ist fiir (5): D 1 = ~ D , d . h . 1 P~ = P I - - ~ D

3 = p--~-D,

q~=

3 q+~D,

3 r2 = r + ~ - D ,

s,=

3 s--~-D.

Aus (9) folgt, dal~ die Verteflung nur dann ungeandert bleibt, wenn seine Determinante D ---- 0, d. h. wenn fiir die vorhergehende Generation a ----- 1, Daraus ergibt sich sehon, dab im allgemeinen in j e d e r G e n e r a t i o n d i e V e r t e i l u n g e i n e a n d e r e i s t als in d e r v o r h e r g e h e n d e n , es sci delm, dab yon Anfang an eine natiirliche Verteflung zufgUig vorlieg~. Andererseits ergibt sich, dab sich die Ver~eflung im Laufe der Generationen immer mehr einem Grenzwert n/~hert, n/~mlioh einer Verteilung p*, q*, r*, s*, und dal~ in F n die Verteflung besteht: (10)

Pn - - P * = D / 2 n ,

qn - - q * =

-- D/2n,

r= - - r * =

D / 2 n, Sn - - s * =

- - D / 2 n.

Dabei ist (11)

l i m p n = p* = 1 3 - D, lim qn ~-~ q* = q + D l i m r n = r* = r + D , lira Sn = s* = s - - D . DaB diese Grenzverteflung dann stabil bleibt, folgt aus (9). (Ira iibrigen kann natiirlich keine der Zahlen p*, q*, .. negativ werden, da p, q, r, s alle grSBer als der absolute Betrag yon D sind.) ZusammengefaSt haben wir: (12) Bei Dimerie ist die Verteflung in jeder Generation eine andere. Eine natiirliche Verteihng gibt es nut, wenn zufMlig D = 0. Fiir D =]= 0 hingegen n/~hert sich die Verteilung immer mehr einer natiirlichen und fMlt in der Grenze mit ihr zusammen. Praktisch ist dieser Zustand in wenigen Generationen erreieht, denn D ist absolut genommen hSchstens gleich 1/4. Wie berechnet man nun beim natiirliehen Zustand aus der statistischen Aufstellung der Phanotypen die Genotypen~.

96

Bodewig

Die Ph~notypen gehen aus obigen Schemata hervor durch folgende Einre flung: f

F

p2 2pr + r 2

2 pq + q~ 4ps + 2qs + 2rs + s~

oder e E

A C

B D

Statistisch sind also gegeben A, B, C, D. Dann findet man aus p~ ---- A und ( p + q ) 2 __ A + B sofort 10 und q, p2 = A und ( p + r) 2 = A + C sofort p und r und daraus s ---- 1 - - p - - q - - r . III.

Die Polymerie

Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zum allgemeinen Fall, der Polymerie, fiber. Die n-verschiedenen Gene bezeichne~ wir mit e m : e 1, e ~, . . . . , en, ihre Allelomorphen nnterscheiden wir durch die unteren Indizes 0 und 1 : emo n n d em1. Eine Gamete sowie ein Ph/~notypus haben dann die Gestalt: (1)

elal ea2 2 ....

e ann '

wo alle ai = 0 oder 1 sind.

Ihre Anzahl i s t 2 n. Ein Genotypus hat die Formel (2) el el e~ e 2 al

fll a., fl~ . . . .

n

n

e a n efln"

Ihre Anzahl ist 3n. Da der obere Index der e gleich dem Index der a bzw. fl ist, so kSnnen wir yon jetzt an d e n o b e r e n I n d e x w e g l a s s e n . Da es 3n-ph~notypen gibt, benutzt man zur Darstellung einen n-dimensionalen Wfirfel yon der Kantenl~nge 3 oder ein n-dimensionales Gitter yon der Kantenl/~nge 21). Nimmt man also einen bestimmten /~uBeren Eckpnnkt des Gitters zum Ursprung und sind k 1, k 2. . . . . , k n die n-Einheitsvektoren, welehe vom Ursprung ausgehen und in die Gitterkanten fallen, so wird jeder P u n k t des Gitters dargestellt durch (3) ~1kl ~- ~2k2 -~- . . . . ~- ~nkn, wo die £ nur die Werte 0,1, 2 annehmen kSnnen. Jedem der 3n-Punkte des Gitters entspricht ein Ph~notypus, und in jedem denkt man sich die relative H/~ufigkeit des zugehSrigen Genotypus eingeschrieben. Den 2 n /~uBeren Ecken des Gitters entsprechen Genotypen, die in jedem Gen homozygot sind. Der Mittelpunkt des Gitters entspricht dem Genotyp, der in allen Genen heterozygot ist. Alle Genotypen, die eine vorgeschriebene Gamete enthalten, llegen in den Eeken eines Einheitswiirfels, des , , G a m e t e n w f i r f e l s " , yon welehem jedesmM eine Ecke der Mittelpunkt des Gitters ist und yon welchem eine andere Eeke in 1) Der Ausdruek ,,n-dimensional" ist natiirlich nut eine a b k f i r z e n d e B e z e i e h n u n g ; fiber die r~umllchen Realit~tsverh~]tnisse sagt er niehts aus.

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus

97

jene £u~ere Gitterecke f~llt, die demjenigen Genotyp entspricht, der die Gene der Gamete alle homozygot enth/ilt. Letztere Gitterecke nennen wir ,,die zu der Gamete gehSrige Ecke". Will m a n jetzt aus den relativen H~ufigkeiten der Genotypen die relativen tt~ufigkeiten der zur Fortpflanzung zur Verffigung stehenden Gameten bestimmen, so gehe man folgendermaBen v e t : Zungchst bilde man den zur Gamete geh5rigen Einheitswiiffel. Dann stelle m a n fiir jeden E c k p u n k t dieses Wiirfels die Anzahl 3 der Strecken lest, die m a n parallel zu den Koordinatenachsen ziehen muir, um zu der zugehSrigen Gametenecke zu kommen. Es ist also : ~i+~2q.... +~, wenn man in (3) unter k l , k 2 . . . . . , k n jetzt die Einheitsvektoren der Git~erkanten verstehL die yon der zur Gamete geh6rigen Gittereeke ausgehen. Dann dividiere m a n jede der gegebenen relativen H~ufigkeiten durch das zugeh6rige 2 ~ und addiere alle diese 2~-Zahlen. Ihre Summe ist dann die gesuehte relative H~ufigkeit. Einfacher erh/ilt man d aus (2), we es n~mlich angibt, wieviele der n-Paare heterozygot sind. Die relative H/iufigkeit jeder Gamete (1) bezeichne man dureh pa, z . . . . . a,. Die relative H/iufigkeit eines Genotyps (2) bezeiehne man mit aa,~,,~&, ..., a . ~ oder kfirzer mit ad, d, .... dn, w e 3 k ~ - ~k "d- ilk" Dann ist nach obigen Ausffihrungen: 1 (4) lea, -- - ( ~ aa,,l, ~]~2, ., (~n,ll) = ~ f(l~ a a , . . . *{~ii) . . . .

=

.

-

. . .

summiert fiber alle #k, we flk ~- 0 oder 1. Dabei ist (5)

J =

Summe aller n n g e r a d e n d~k ---- Anzahl der h e t e r o z y g o t e n Paare in ( a l f l l ) , . . . . , (an/~n)J e t z t wird die Bev61kerung betreffs ihrer Gametenzusammensetzung dargestellt durch die n - f a c h l i n e a r e b i n / i r e F o r m . (6)

P

: ~pa, a.....

a~ e a ~ e a , . . . , e ~

n, w o

~p

=

1.

I n der n/ichsten Generation F 1 erscheint dann jeder Genotyp (2) mit einer tt/iufigkeit, die gleich dem Koeffizienten des Genotyps in p2 ist. Es ist aber (7) Dabei ist

P~ ~--- ~a'a,p~ . . . . . . . . ~= ea~e~, . . . . e=nefl,.

(8) a'alfl ....... anti, ~ - a'dtd~ . . . . dn = p a , , ~ . . . . anP~,#~ . . . . fin -~- . . . . . wobei die folgenden Produkte aus dem ersten hervorgehen, indem m a n alle 4 k = 0 oder 2 die ak =/~k stehen lttBt, jedoch fiir solche ak, ilk, die voneinander verschieden sind, alle m6gliehen 2 d Vertauschungen (akflk) ausfiihr~. Falls fiberhaupt ein ungleiehos P e a r akflk vorkommt, erh/ilt man jedes Glied zweimM. Man kann daher e i n ungleiehes P a a r an allen Vertauscbungen unbeteiligt lessen, muB abet dalm des Resultat der fibrigen Vertauschungen mit 2 multiplizieren. Sehreib~ m a n also die neuen I-I/iufigkeiten der Genotypen wieder in ein n-dimensionales Gitter, so stehen an den 2 n t~uBeren Ecken dieses Gitters und nut deft lauter Quadrate, die iibrigen 3n - 2n-Gitterpunkte hingegen haben den F a k t o r 2, lind die Induktive Abstammungs- und Vererbungslehre. LXXI 7

98

Bodewig

A n z a h l der i n i h n e n v o r k o m m e n d e n P r o d u k t e ist gleieh der oben e r w ~ h n t e n Zahl 2 °~ odor 2 d - 1, je n a c h d e m m a n d e n vor der K l a m m e r s t e h e n d e n F a k t o r 2 i n die K l a m m e r h i n e i n z i e h t oder nicht. Aus (8) fo]gt: (9)

aa, a. . . . .

dn=

Pa, a~ . . . . an' w e n n kein d k ~--- l.

D. h. die Haufigkeitsziffern i n d e n E c k e n des n e u e n Gitters sind die Q u a d r a t e der H~ufigkeiten, die in d e n E e k e n des a l t e n Gametenwiirfels stehen. H i n gegen ist (10)

D~, s. . . . 1 . . . , n = a,,,~... 1 . . . . . we alle s =

. .. 0 . . . . = a ~ l , , . . . 2 . . . . . n 0 odor 2.

Dies folg~ aus a~, . . . . ~n =- 2 Pal . . . . an P~, . . . . Pn, w e n n y o n alien dk n u t e'mes gleieh 1 ist. Die drei P u n k t e m i t den Indizes elsz. .. 0 . . %, s x e ~ . . . 1 . . On, sls~ . . . 2 . . e, sind aber j e d e s m a l die drei P u n k t e einer ~ugeren G i t t e r k a n t e , u n d zwar i n derselben Reihenfolge. Die in (10) a u f t r e t e n d e GrS$e ist also die Diskriminante einer/~u$eren Gitterkante, kurz: e i n e / ~ u B e r e D i s k r i m i n a n t e odor / ~ u B e r e K r i i m m u n g . So h a b e n wit: (11)

Schon

eine einmalige Panmixie /~uBeren Kriimmungen

hat die Wirkung, versehwinden.

dab

alle

Das V e r s c h w i n d e n a n e r ~ u g e r e n K r i i m m u n g e n ist also u m g e k e h r t e i n Zeiehen dafiir, d a b P a n m i x i e s t a t t g e f u n d e n hat. B e i d e r m o n o m e r e n V e r e r b u n g , we es n u r e i n e K r i i m m u n g gibt, ist also tier natiirliche Z u s t a n d schon n a c h einmaliger P a n m i x i e erreieht. Fiir den Satz (11) l~Bt sieh iibrigens noeh ein a n d e r e r Bowels geben, der sieh nich~ auf die vorstehenden Entwieklungen stfitzt, sondern ganz einfacher Ar~ ist: Liegt b f o n o m e r i e vor, sind also die allelomorphen Gone e o und el, so ist die Gametenznsammensetzung der Population: poeo -4- p~ex. Die Ph~notypen tier n~chsten Generation werden gegeben dutch das Quadrat jones Ausdrueks, also versehwindet die Diskriminante der Phanotypen. Bei D i m e r i e zerlegt sieh P0 gewisserma$en in pooeo~+ p01e~,, ebenso Pl in pl0e~ + plle~. Zur Darstellung tier Ph~notypen branehe ieh jetzt ein Qudrat (vgl. den Absehnitt abet die ,,Dimerie"). p~ zerf~llt abet jetzt in eine dreigliedrige Summe, deren Diskriminanf~ natiirlieh versehwindet; denn es liegt ja derselbe Fall vet wie b e i d e r Monomerie, we eino ZaM p, die allerdings gleieh 1 war, in eine Summe zerlegt und dann quadriert wurde. Xhnlieh mit p~. I n den vier Ecken des Quadrates stehen also laufcr Quadrate und in den Mittelpunkten der Seiten die zugehfirigen doppelten Produkte. Bei T r i m e r i e wird nun P0o zerlegt in eine Summe: poooe]-4-poole~, ~hnlieh di~ anderen Koeffizienten, die bei tier Dimerie auftraten. Man hat also den gleiehen Fall wie beim l~bergang yon tier Monomerie zur Dimerie: namlieh an jede Seite des Dimerie-Quadrate, wird ein neues Quadrat angesetzt. Daher versehwindet die Diskrlminante jeder Kante des Trimerie-Wiirfels. So geht man immer eine Dimension hSher. Prinzipiell ~ndert sich niehts mehr. Mit dam Ansetzen jeder neuen Dimension setzt man an jede Kante des friiheren Wiirfels ein Quadrat an. Und an jeder solehen Kante treten also dieselben VerhMtnisse auf wie beim ~bergang yon der Monomerie zur Dimerie. Damit ist Satz (11) bewiesen.

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus

99

W i r k e h r e n zu u n s e r e n Gleichungen zurfiek. Bezeichnen wir die H ~ u f i g k e i t einer G a m e t e in d e r a u f d i e P a n m i x i e folgenden G e n e r a t i o n F 1 d u r c h einen A k z e n t : p~; . . . . a,, so i s t n a c h (4):

(12)

pl,

d. h. weil ~ p

....

=

..

=

.~ N

.,~, .....

.°~

=

~

Nae,

e.,

....

1:

,

P"I . . . . ~n - - Pal . . . . ~n =

~

~P~,~, . . . . ~n PSl~, . . . . ~

)

--

P~, . . . . a~ "~ P"

Die S u m m e ~ p h a t d a b e i so viele Glieder, wie d e r G a m e t e n w t t r f e l Eeke~n h a t , Mso 2 n. O r d n e n w i t die r e e h t e Seite in einer noeh zu b e s e h r e i b e n d e n Weise, so erhalten wit: (13)

p~, . . . . . .

--

P., ....

as =

la.: . . . .

as +

-~$1 +

1 gvS~

+

....

1

-t- 2 n _ ,

-~ Sn - - p,~ . . . . ,~. ~ P .

D a b e i ist ein b e s t i m m t e s $1 y o n d e r F o r m Sl

:

P

....

gi

....

1 :) . . . .

a'i

....

'

wo die d u r e h P u n k t e a n g e d e u t e t e n I n d i z e s b e i b e i d e n F a k t o r e n d e r R e i h e n a c h bzw. gleieh a 1, a2 . . . . . . an shad u n d n u r d e r i-re I n d e x bei b e i d e n v e r s c h i e d e n i s t : a i : [ : a ' i. I n 2~$1 durehl/tuft d a n n d e r ausgezeiehnete I n d e x 1 die R e i h e i, 2 . . . . . , n. E i n b e s t i m m t e s $2 h a t die F o r m S 2 : p

. . . .

i • • . ¢tk

• • • P

...

tt'i

. . . a' k

. . .

.71-

p . ,

. ¢¢1 • . . a r k

. • • P

.-,

: tg'i • • • ak

....

wo alle d u r e h P u n k t e a n g e d e u t e t e n I n d i z e s w i e d e r u m d e r R e i h e n a e h bei b e i d e n F a k t o r e n bzw. gleich a l , • • . , an sind u n d n u r die b e i d e n ausgesehriebenen I n d i z e s bei b e i d e n F a k t o r e n v e r s e h i e d e n s i n d : cq-I= a'i, ak =[= a'k. I n ,v $2 d u r e h l a u f e n d a n n die a u s g e z e i c h n e t e n I n d i z e s i u n d k unabh/~ngig v o n e i n a n d e r die R e i h e 1, 2, . . . , n, d o e h so, daI~ s t e t s i < k. A l l g e m e i n h a t ein b e s t i m m t e s Sr die F o r m Sr

: P

• • • ai

• -.

ak

• • • a . . . .

P

• • • a'i

• • . a~k

• • • a'm

• • •

-~

.....

w o die Z a h l d e r a u s g e z e i c h n e t e n I n d i z e s gleich r ist u n d in allen folgenden Prod u k t e n d e r e r s t e F a k t o r a n d e r Stelle i j e d e s m a l d e n I n d e x cq u n d der z w e i t e F a k t o r e n t s p r e e h e n d a ' i h a t , W0 a i =[= ai', w a h r e n d die a n d e r n I n d i z e s ak, am . . . . bzw. m i t ak', am', • • • alle m6gliehen 2 r - l - V e r t a u s c h u n g e n eingehen. I n ~ Sr durchlaufen d a n n die I n d i z e s i, k, m, . . . u n a b h £ n g i g v o n e i n a n d e r die R e i h e 1, 2, . . . , n; doeh so, d a b s t e t s i < k < m < . . . . ; d. h. alle K o m b i n a t i o n e n y o n 1, 2, . . . . . n, z u r K l a s s e r ohne W i e d e r h o l u n g . S~ h a t also 2 ~-~ S u m m a n d e n , ~ S~ h a t (~) S u m m a n d e n S r E s h a n d e l t sieh j e t z t n o e h u m die G r u p p i e r u n g y o n 2 p. M a n zerlege ~ p in O)

p~, .... ,~,

1) in solehe p, d e r e n I n d e x r e i h e sieh n u r in e i n e m Gliede y o n d e r R e i h e a 1 a~ . . . . . an u n t e r s e h e i d e t . W i r b e z e i e h n e n sie m i t Pl, 2) in solehe p, d e r e n I n d e x r e i h e sieh in zwei Gliedern y o n a l , . . - , an u n t e r s e h e i d e t . W i r b e z e i e h n e n sie m i t p~.

100 •

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Bodewig .

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o . . .

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o

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r) in solche p, deren Indexreihe sich in r-Gliedern v o n d e r Reihe a v . . . , an unterscheidet. Wir bezeichnen sic mit Pr" Die Gliederzahlen der einzelnen Klassen sind: 0) 1 1) n 2) (~) . . . . . . r) ( ~ ) . . . , , also genau so v i d e Glieder wie in -YSr-Summanden Sr v o r k o m m e n . Jedes p der Klasse r k a n n ich also einem bestimmten Sr beiordne~n, u n d zwar demjenigen St, welches an den gleichen Stellen Unterschiede gegeniiber der Reihe a 1 . . . . an aufweist wie jenes Pr" D a n n verschwindet aber in der letzten Gleichung auf der rechten Seite das erste Glied und die erste Summe, u n d es bleibt: 1

p',~, . . . . ,~ - - p,, . . . . . . ----

1

w(4pa ~

o =

--)-2

anPs--S 3) - -

(2p,~ . . . . .

%P,-s,)

1 --2r_~

w(2r--lpa I

anPr--Sr)

1 --

"''"

2 n-t2(2

n-lpa,.

....

nPn--S,),

wobei also in jeder K l a m m e r jedesmal di e gugeordneten Pr u n d Sr beieinander stehen. Die gesamten 2 r - ~-Produkte lOa. . . . . a, Pr werden also so verteilt, dab auf jeden S u m m a n d e n y o n S r e i n P r o d u k t k o m m t . Greifen wir abet einen solchen S u m m a n d e n y o n Sr z u s a m m e n mit PC .... anPr heraus, so ist diese Dffferenz nichts anderes als eine D e t e r m i n a n t e der p, ni~mhch - - wenn wir den Buehstaben p weglassen u n d nur die I n d i z e s schreiben - - : I ....................... r

(14)

ai.. t

ak...

t

[ . . . . a i . . a k . . . am . . . . . . .

am...

t

i

ai.. ak... am.--

WO die Anzahl der Indizcs i, k, m, . . . gleich r ist und in d e m Element rechts u n t e n alle angeschriebenen Indizes y o n den entsprechenden Indizes des Elementes links oben verschieden sind, w£hrend in den Elementen der Nebendiagonale nur die Indizes a~ u n d a'i I al lest sind u n d ferner die Artzahl der Akzente bei beiden Gliedern z u s a m m e n r sein muB, hingegen die Verteilung dieser Akzente auf die beiden Gheder der Nebendiagonale auf alle m6ghchen Weisen zu geschehen hat, jedoch so, dal~, werm ein Element an einer der in F r a g e k o m m e n d e n IndizesStellen einen A k z e n t hat, dieser beim andern Element der ~qebendiagonale an jener Stelle fehlt. Mit andern W o r t e n : Addiert m a n in der D e t e r m i n a n t e die Glieder jeder Diagonale, zi~hlt aber nur die Akzente, so erh/ilt m a n bci jeder Diagonale an den ausgezeichneten Stellen i, k, m, . . . jedesmal die Zahl 1, u n d sonst fiberall 0. W i r bezeichnen eine solche Determinante mit D~. D a n n ist unsere e n d g i i l t i g e F o r m e l ffir den U n t e r s c h i e d d e r H / i u f i g k e i t e i n e r b e s t i m m t e n Gamete in zwei aufeinanderfolgenden Generationen: , (15)

1

p a ..... "n - - P~, .... ~. = 1

-- 2r_~

1

-- ~- 2 D~--

~- 2 D, --

....

1

2 Dr --

.....

- - 2n _ ~ 2 D . .

Dabei ist 2Dr eigentlich eine Doppelsumme, wobei die innere S u m m e 2 D r a l l e r d i n g s n i c h t m e h r 2r - ~ S u m m a n d e n , sondern, well

Mathematlsche Untersuchungen zum Mendelismim

101

in jeder Summe die erste Determinante versehwindet, nur 2r-1--1 Glieder hat, wghrend d i e ~uflere S u m m e (n) S u m m a n d e n ~D r hat. I m g a n z e n s i n d a l s o i n u n s e r e r _~D r a u s (14): (2r - l 1) (~) D e t e r m i nanten D r enthalten. Kurz: Man bildet alle zweireihigen Superdeterminanten yon pa. . . . . an u n d d i v i d i e r t j e d e y o n i h n e n d u r c h 2 r - l , w o r a n g i b t , i n wieviel Indizes sieh das zweite Diagonal-Glied vom ersten un.terseheidet. Deuten wit das Vorhergehende an Hand lmseres G a m e t e n w i i r f e l s : Von jeder Wiiffeleeke aim, also auch yon der mit (a 1 . . . an) bezeichneten aim, gehen n-Wiirfelkauten. Jeder Kombination dieser Kanten zu je zweien entspricht eine Seitenfl~che des Wiirfels. Die in dieser Fl~che dem Punkte (al . . . an) , kurz a, gegeniiberliegende Ecke nennen wit eine ,,Gegenecke yon der Ordnung 2". Es gibt natiirlich genau so viele Gegeneeken yon der Ordmmg 2 wie Seitenfl~chen des Wiirfels, also (~). Jeder Gegenecke ent~pricht ein bestimmtes S~ und daher ein bestimmtes De, und umgekehrt. Jeder Kombination dieser Kanten zu je dreien entsprieht ein dreidimensionaler Wiirfel und daher eine ,,Gegeneeke yon der Ordnung 3", kurz eine ,,3-Gegeneeke". Die Verbindung yon a mit einer solchen Gegeneeke liefert eine ,,3-Diagonale". Die Gesamtzahl der zu a geh6renden 3-Gegeneeken ist daher (~). Jeder Gegeneeke, also auch jeder 3-Diagonalen entsprieht ein bestimmtes S3 und umgekehrt. A b e t es gibt zu jeder 3-Diagonalen 3 ,,Parallelogramme yon der 0rdnung 3", deren Eeken lauter Wiirfelecken sind, und deren Diagonale jene 3-Diagonale ist. Jedem solchen Parallelogramm entspricht ein besthnmtes D 3 und umgekehrt. In dieser Weise geht man weitmr. Allgemein entspricht jeder Kombination dieser Kanten zu j e r ein r-dimeimionaler Wiirfel und daher eine ,,r-Gegenecke". Die Verbindung yon a mit einer solehen Gegenecke liefert eine ,,r-Diagonale". Die Gesamtzahl der zu dem Punkt a geh6renden r-Gegeneeken ist daher (rn). Jeder Gegenecke, also aueh jeder r-Diagonalen entsprieht ein bestimmtes Sr und umgekehrt. Abet es gibt zu jeder r-Diagonalen 2r - l 1 ,,Parallelogramme yon der Ordnung r", deren Ecken also lauter Wiirfeleeken sind und deren Diagonale jene r-Diagonale lsb. Jedem r-Parallelogramm entspricht ein bestimmtes Dr und umgekehrt. Uimere G l e i e h u n g sagt nun aim: Man hat flit ein festes r alle mSglichen r-Parallelo; gramme mit der Eeke a zu bilden, hat aim den in den Eeken jenes ParaUelogrammes stehenden Zahlen die Determinanten zu bflden, wobei Pa natiirlich in der Hauptdiagonale zu stehen hat, hat alle diese Determinanten zu addieren, ihre Summe dutch 2r -- 1 zu dividieren. Maeht man dies fiir alle mfglichen r yon 2 bis n und addiert alle Ergebnisse, so hat man den Z u w a e h s , w e l e h e n die H ~ u f i g k e i t Pa d u r e h e i n m a l i g e P a n m i x i e e r f ~ h r t . W i r k e h r e n zu (15) zuriick. E s f r a g t sich zun/~chst: Welche Beziehung mul3 z w i s c h e n d e n p ....... . bestehen, damit die Verteilung eine natiirliche, d. h. s t a b i l e , sieh nieht mehr /~ndernde ist. W i t wollen d a z u die B e t r a c h t u n g gleieh e t w a s a l l g e m e i n e r noch fassen. W i r n e h m e n n/~mlich m u l t i p l e n Allelomorphismus an. J e d e s Gen e soll also n i c h t wie b i s h e r n u r u n t e r d e n b e i d e n F o r m e n e0, e 1 - - rezessiv u n d d o m i n a n t - - a u f t r e t e n , s o n d e r n u n t e r d e n m - F o r m e n : e0, e 1. . . . . . e~, wo # ----- m - - 1 . D i e griechischen B u c h s t a b e n a, fl d u r c h l a u f e n also n i e h t wie b i s h e r die Z a h l e n 0 u n d 1, s o n d e r n die l~eihe 0, 1, 2 . . . . . . /x. D a s gleiche gilt fOr die v e r s c h i e d e n e n in (3).

102

Bodewig

Jede Gametenverteilung wird auch jetzt wieder dargestellt durch eine m u l t i l i n e a r e (allerdings m-£re) F o r m (6), oder was dasselbe ist: wieder dureh ein n-dimensionales Gitter (allerdings mit der Kantenl~nge # start 2, also mit mn-Punkten). Alle Gitterpunkte pa . . . . . . . . welche an der r-ten Indexstelle die gte[che Zahl ar ---- c haben, bilden eine , , S c h i c h t " . D . h . die r-re Gitterkante (welehe in die r-re Dimension zeigt), wird yon der Schicht senkreeht durehschnitten im Abstande c vom Ursprung. ar ist also die N u m m e r der Sehicht der r-tefl Dimension. Dann ist der Z u s t a n d a u f j e d e n F a l l s t a b i l , wenn in (15) auf der reehten Seite alle Determinanten einzeln versehwinden, d . h . alle zweireihigen Determinanten der p. Dazu mul3 die m u l t i l i n e a r e F o r m (6) vollst~ndig zerfallen, d . h . das Produkt yon n-Linearformen sein: (16)

P =

e01 +

+

....

+ p ,1

+

...

+

.

.

.

.

(Dabei sind die oberen Zahlen Indizes, keine Exponenten!) Es besteht also zwisehen den Produkten der Genreihen der e und den entspreehenden Koeffizienten p formal kein Untersehied mehr. U n d e s ist P~z l ....

an

~

1 2 Pa 1 Pcc|

....

n P~z n"

In dem zugeordneten Gitter sind also ,,parallele" Sehichten untereinander proportional. Es versehwinden daher alle zweireihigen Determinanten der Form (14) oder (15). D i e V e r t e i l u n g i s t a l s o s t a b i l . Es handelt sieh jetzt noeh darum, die U m k e h r u n g z u b e w e i s e n : Die Verteilung ist n u r dann stabil, wenn die zugeordnete Form zeff~llt. Wir wir vorzugehen haben, zeigt die Riickbetraehtung des Falles der Dimerie. Die dortige Formel II, 5 l~13t sieh unter Benutzung yon II, 11 aueh so sehreiben: p, 1 1 1 1 , = ~p + ~(p--D) = ~p+~p. Dabei ist p* ---- p - - D ---- (p -k q) (p -b r). p -k q aber ~st die H£ufigkeit des Gens e, p - k r die des Gens f. Wenn wit also nieht nur das Gen e selbst, sondern auch seine relative H£ufigkeit m i t e bezeiehnen, so wird p* ---- ef und p, 1 1 1 = ~-ef+~p = ef + ~ - D , also p " = ef + ~1 D' = ef - ~ - 1D . Der Grenzzustand, dem sieh die Verteilung n~hert, ist also gegeben dureh eine zerfallende Form, und deren Linearfaktoren haben als Koeffizienten die relativen H~ufigkeiten yon e und E bzw. f u n d F. Gleiehzeitig sieht man, in welcher Weise sich jede H~ufigkeit ihrem Grenzwert n~hert: Der ~berschuB fiber den Grenzwert wird mit jeder Panmixie halbiert. Das gleiche gilt natfirlieh aueh, wenn multipler Allelomorphismus vorliegt. Danaeh ist man geneigt anzunehmen, dab aueh bei Polymerie die Verteilung sieh einem G r e n z z u s t a n d n~hert, der d u t c h d i e z u g e h 6 r i g e m u l t i l i n e a r e F o r m bestimmt ist, und man wird untersuchen, wie sieh die Differenz

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus

103

zwischen einer Gametenh~ufigkeit u n d der dureh die multilineare F o r m bes t i m m t e n Hiiufigkeit im Laufe der Generationen ~ndert. Die multilineare F o r m ist durch (16) gegeben, u n d dabei erh~lt m a n die Koeffizienten pk d u r c h Summierung. Denn es ist ja die H~ufigkeit des Gens eik gleich s u m m i e r t fiber alle a y o n o bis #, mit A u s n a h m e des I n d e x ak, der k o n s t a n t gleich i bleibt. D a (15) u n d (16) vSllig symmetriseh in den a sind, so genfigt es, die )~n. d e r u n g eines einzigen p zu veffolgen. Wir n e h m e n dazu Poo...oo u n d setzen: Poe .... oo -----P~P~ .... P~-' P~ ~- Coo .... oo u n d h a b e n d a n n die A n d e r u n g y o n % 0 .... oo zu untersuehen. Beschr/tnken wit uns der einfacheren Sehreibweise w e g e n auf Hybridismus, so addieren wit zu obiger Gleichung die entsprechende:

Poe .... o~ --- P~ P~ .... p ~ - ' p~ + Coo .... oi und

erhalten: Poe .... o =

P ~ P ~ .... p ~ - 1 _~ (Coo .... oo -{- % 0 .... oi).

D a b e i ist Poe. • • o die H~ufigkeit der Gamete %i %~. . . e~- 1. I n der n~chsten Generation ware, weil die pk ja unver~ndert bleiben, da sie die H~ufigkeiten je eines einzelnen Gens darstellen u n d da pk ~_ p~ = 1: P'00 ....

0 =

PoPe

....

P~

÷

(c'oo ....

o0 - b e ' o o

. . . . ol)

USW.

D a unser Satz fiir n = 2 gilt, wenden wir v o l l s t ~ n d i g e I n d u k t i o n a n u n d setzen voraus, da~ der zu beweisende Satz fiir die ,,um 1 niedrigere D i m e n sion", also fiir n - 1-Gene, gilt, d. h. dab die P o e . . . o sich im Laufe der Generationen d e m Grenzwert PoI Pos - . . P ~ - 1 n~hern. Daher h a b e n die S u m m e n der e d e n Grenzwert Null: e(r) O0

. . . .

.(r)

O0 " - ~ ~ 0 0

. . . .

Ol

---> 0 ffir r - -

*

E n t s p r e c h e n d erhMt m a n durch Summierung fiber den vorletzten, drittletzten usw. I n d e x : e(~) '(') oo . . . . co -~- ~oo

....

Io =

c(r) O0

~01

....

00

--

-- 0

~

r =

oo

~(r) 'JlO

. . . .

O0

-- --

,~

r -~

Qc

....

C(r)

oo

. . . .

O0 ~

oo-{-

,..(r)

0 ffir r ~

0

Die unendlieh vielen -oo "(~) .... oo haben, da sie zwischen ~ 1 u n d -~ 1 liegen, mindestens einen H~ufungspunkt. Einer y o n ihnen sei e. D a n n h a b e n alle ~(~) c(~. "(~) ~(~) ~00 .... 01~ . . . 10~ ..... ~ "¢01 . . . . 00~ ~10 .... O0 den H~ufigkeitspnnl~t ~ c. Ebenso h a b e n alle e (rJ, in deren Indexreihe zweimal eine 1 v o r k o m m t , den H ~ u f u n g s p u n k t c; alle e (r), in deren Indexreihe dreimal eine 1 v o r k o m m t , den H ~ u f u n g s p u n k t - - c usw, K u r z : Alle c(r), in deren Indexreihe eine ungerade Zahl y o n 1 v o r k o m m t , h a b e n den H / i u f u n g s p u n k t - - c,

104:

Bodewig

alle e (r), in deren Indexreihe eine gerade Zahl yon 1 v o r k o m m t , haben den H/~ufungspunkt e. Von einer gewissen Generation an unterseheidet sieh also Poe- • • oo unendlieh o f t um weniger als eine beliebig kleine Zahl ~ yon p~p~...p~-*p~ + c. Nehmen wit eine Generation, we dies der Fall ist und bflden naeh (15) ffir sie die zugehSrige _~nderung der Gametenh/~ufigkeit. Dann lautet z. B. eine der Determinante D~: 1

2

n--1

PoPe . .-Po.

11

Po. + e,. p ~ p ~ 1

Po~-' Pl~ - - c 2

n--I

popo..-m

n

+ c

])as gibt eine S u m m e yon 4 Determinanten, yon denen die erste und letzte versehwinden. Die Summe der beiden andern gibt: o.

pg- .

~ffberhaupt ist i

k

s

2 D 2 = c • -~PoP0 • • • Po, wobei i, k . . . . , s irgendeine Kombination yon 1 bis n zur Klasse n - - 2 ist und fiber a]le diese Kombinationen s u m m i e r t wird. ~anlich mit D S USW, Beginnen wit mit dem Fall der D i m ' e r i e , also n = 2. Der einfacheren Sehreibweise halber bezeichnen wir wieder die H/~ufigkeit jedes Gens mit dem Gen selbst, so da$ z. B. F zugleieh die HKufigkeit yon F bezeiehnet. Darm haben wit die einzige Determinante: (17)

D2

I

ef + c ,

eF--c

Ef--c,

EF+e

I ~ der n~ehsten Generation ist also der Unterschied gegenfiber ef nieht mehr o, 1

sondern ~ D

1

= -~c.

Daher in der dritten Generation e/4, . . . .

Die Unter-

sehiede konvergieren also gegen Null. D . h . c =]= 0 k a n n f i b e r h a u p t k e i n H / t u f u n g s p u n k t s e i n . D i e 0ben erw~hnten e(0 haben daher n u t e i n e n e i n z i g e n H~ufungspunkt: e = 0. 13 konvergiert also gegen el. D, h. f a r die Dimerie ist der Satz riehtig. Bei T r i m e r i e , also n = 3, sind die Determinanten D 2 dieselben wie (17), nur multipliziert noeh mit dem dritten Gen g bzw. (werm (17) mit den Genen fg gebfldet wird) m i t e bzw. (wenn (17) mit den Genen ge gebildet wird) mit f. Daher wird 1

~-2D 2 =

1

~ - C (e + f + g) =

1

~-e2e,

we die Summe bedeuten so]l, d a $ fiber die einzelnen Gene e, f, g summiert werden sell. Eine der Determinanten D 3 hingegen ist efg + c , e F G + c I = e(FG--fg) = c(1--f--g), (18) 1)3 = E f g ~ c, E F G - - e d.h. 2D a =

e'2(1--f--g)

= c(3--22e).

1 1 2"~D2+4-D3

=

Also 3

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus

105

~W/~hrend also bei Beginn der Untersehied gegeniiber efg gleieh c war, ist er jetzt 3c/4. Der Unterschiedkonvergiert also gegen Null. c=l=0 kann also keinHiiufungsp u n k t sein.. D . h . die oben erw/~hnten e (r) haben in Wirklichkeit nur einen einzigen H/~ufungspunkt: e = 0. Aueh fiir die Trimerie ist der Satz also richtig. Bei n ---- 4, mit den Genen e, f, g, h sind die Determinanten D~ dieselben wie (17), nur multipliziert mit d e m Produkt der beiden jewefls iibrigbleibenden Gene, d. h. -~D2 : c 2 e f . Ebenso sind die Determinanten D 3 dieselben wie in (18), nur multipliziert mit dem jeweiligen vierten Gen, d . h . 2"D3 = c 2 " h ( 3 - - 2 ~ e )

= e(3~e--4-~ef).

Eine der Determinanten D a hingegen ist (19)

efgh + c , E F G h - - c efgH - - e, E F G H -4- c

: c(efg+EFG) = e (1 - - e - - f - - g + ef + eg + fg)~

I m ganzen gibt es 4 solche Determinanten. Ihre Summe ist c(4-- 3~e + 2~ef). Ein anderer Typus von Da ist (19a)

efgh +4- c, E F g h + e e f G I t + c, E F G H + c

-- c ( e l -

EF) ( g h -

GH)

oder nach (18) : :

c(1--e--f)

(1--g~h).

Soleher Determinanten gibt es 3. Ihre Summe ist c(3~3~e

+ 2~ef).

Danaeh ist -~D 4 =

c(7--62e+42

"el),

also 1 1 21--D,+~-D3 +~D~

7 = ~e.

Also kann auch hier c =1= 0 kein Haufungspunkt der e (r) sein. Haufungspunkt ist vielmehr c = 0. Allgemein ist bei n - G e n e n die Jknderung:

Der einzige

\

1 1 Dn ~-D2 + ~-Da + . . . . + ~ _ l --

(1

1

2 n- I)

c

"

Die Jimderung konvergiert also gegen Null. Der einzige Haufungspunkt ist daher e ---- 0. U n d damit ist der Satz bewiesen: Satz. Die Verteilung i s t b e i P o l y m e r i e in j e d e r G e n e r a t i o n e i n e a n d e r e , es sei d e n n , d a b z u f a l l i g d i e A u s g a n g s v e r t e i l u n g schon eine natfirliehe war. In diesem Falle ist die Verteilung yon Anfang an stabil. S o n s t a b e r n / i h e r t sie s i c h i m L a u f e d e r G e n e rationen einer natiirliehen, stabilen Verteilung als Grenzzustand. D i e s e A n n / £ h e r u n g g e h t u m so l a n g s a m e r , j e g r 6 $ e r d i e Z a h l n d e r G e n e ist.

Bodewig

106

Die Verteilung ist dann und nur dann stabil, wenn die zugeordnete multilineare F o r m v611ig in L i n e a r f a k t o r e n zerf~llt. U n d d a z u i s t w i e d e r n o t w e n d i g u n d h i n r e i c h e n d , daJ] a l l e z w e i reihigen Determinanten der Gametenh~ufigkeiten pa . . . . . . verschwinden.

B.

Vererbung

durch gleichsinnige

Gene

o f t ist es so, dab mehrere Gene, deren jedes in derselben Weise wirkt, zusammenstoBen mfissen, um einen bestimmten Typus hervorzubringen. Sie heil~en gleichsinnige Gene. I. Dimerie Die beiden gleichsinnigen Gene seien e, f. Sie erzeugen drei Arten yon Gameten: el, eF + El, EF, d. h. solche mit 2, mit einem und mit keinem rezessiven Gen. Andererseits gibt es 5 m6gliche Ph/~notypen, solche mit 4, 3, 2, 1 und keinem rezessiven Gen, n~mlich T y p IV: eeff; T y p I I I : eefF, eEff ; T y p I I : eeFF, eFfF, EEff; T y p I : EEfF, e E F F ; T y p 0: E E F F . Bezeichnet m a n die H~ufigkeit der Gameten el, Ef + eF, E F mit a, b, c, so erh~lt m a n nach Panmixie eine Verteilung, die sich aus (a • ef + b • eF + e • EF) ~ ergibt, also fiir T y p I V : a s, T y p I I I : 2 a b , T y p I I : b e + 2 a c , T y p I : 2 b c , T y p 0 : c e. Die Gametenh~tufigkeit in dieser Generation ist demnach: a 1 ---- a m + a b (1)

bx :

3 ab+~b

+ 2

b e +~-ac

+ac

1 c 1 ~- c e + ~ - a c - + - b c

+bc 1 +o-b e

oder (2) a l - - a

1 =~-D,

bt--b

1 =--~-D,

%--c

1 = ~D,

wo D _-- b e - - 4 ac.

Es ist also auch hier a + b/2 : a 1 + bl/2, c + b/2 ---- c x + bl/2, d. h. die relative Hgufigkeit der Gameten e und f bleibt durch Panmixie ungegndert. Desgl. tritt auch bier die charakteristische Determinante auf: D ~ b e - - 4 ac, welche schon bei der gew6hnlichen monomeren Vererbung eine Rolle spielte. I n der T a t ist ja auch die Verteilung der Gameten el, Ef + eF, E F ganz ghnlich wie die Verteilung der Genotypen ee, eE + Ee, E E , zumal die Gene e, f gleichsinnig shad, man also in gewissem Sinne eines durch das andere ersetzen kann. D i e B e d i n g u n g fiir e i n e n a t t i r l i c h e V e r t e i l u n g d e r G a m e t e n bei Dimerie gleichsinniger Gene ist also dieselbe wie fiir eine natfirliche Verteilung der Genotypen bei Monomerie: D----0.

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus

107

Allerdings herrseht doch nicht ganz derselbe Saehverhalt in beiden F~llen. 1

So k o m m t es, dab bei Monomerie a 1 1 -- 8 Dist.

a = ~D

usw., w~hrend jetzt a l - - a

Das hat zur Folge, dab nicht, wie friiher, D 1 ----0 ist, d. h. die Ver-

teflung naeh der Panmixie sofort eine natiirliehe wird, sondern dab nunmehr D1 = 1~- D. Daher ist der Zustand in der n~ehsten Generation kein natiirlieher, hingegen n~hert er sich im Laufe der Generationen offenbar einer Grenze, mad diese kann, da sie eine natiirliche Verteflung darstellt, nur diejenige sein, die sieh 1 bei Monomerie gleich in der ersten Generation ergab, n~mlich a* ---- a + -~ D usw. I n der T a t is~ fiir a' ----a + sD, b' = b - - 2 sD, e' = e + sD : D' ---- (1

4s)D.

Also (3)

a n

:

1 a + ~" (1 - - 2 - n ) D , . . . .

mad 1

(4)

a* = l i m a n = a + ~ - D . . . . . II.

Trimerie

Hier gibt es drei gleiehsinnige Gene: e, f, g, also 4 Gametenarten: efg, efG + eFg + Efg, e F G + E f G + EFg, E F G . Ihre H/iufigkeiten seien p, q, r, s. Dann erh/~lt m a n 7 versehiedene Ph~notypen: solche *nit 6, 5, 4, 3, 2, 1 mad keinem rezessiven Gen. I h r e H£ufigkeiten (naeh Panmixie) ergeben sieh aus der Entwieklung yon (p -4- q + r + s) e. So folgt fiir die n/~chste Generation: 1

Px =

1

1 q~

pe + p q _ k ~ _ p r + ~ p s + ~ _

ps + 2 ~ 11 1 I e ~ - q + ~ - qr ~- ~ - qs -{- ~- r

qi = Pq + pr +

(4)

3

2

11

r 1 ---- rs + qs ~- ~ - p s + ~ - r e + ] ~ q r s1 =

1

q- 12-qr

1 1 s e + rs + ~ - q s + 4 - P S + - -

1 re

6-

1

1

+ ~-pr + ~-q

e

1

+.~qr

oder 12(pl--p) = --6pr--9ps+2qe+qr 12 ( q l - - q) = 12 pr + 9 p s - - 4 q ~ - - q r - - 6 qs + 2 r 2 12(r l - r ) = 12qs-]-9ps--4r~--qr--6pr+2q ~ 12(s l - s ) = --6qs--9ps+2r ~ -4-pr oder, wenn wit bezeichnen: (q-4-r) e - ( 3 p (5)

(6)

+q)

(r+3s)

qe__r e_3(pr_qs)

=

---- D,

D':

12(pl--p) 12(qx~q) 12(r i - r )

---- D + D ' = --D--3D' = ~D+3D'

12(s l-s)

=

D--D'.

108

Bodewig Es ist also

(7)

3(pl--p)+(ql--q)

=

(q--r)+3(s

l-s).

Aus (6) folgt als n o t w e n d i g e u n d h i n r e i c h e n d e dab der Z u s t a n d u n v e r ~ n d e r t bleibt: (8)

D

Bedingung

dafiir,

-----D' ----0.

Aus (6) folgt nun: 1 D 1 = ~-D,

(9)

D' 1 , 1 ----~-D + a D ,

we der F a k t o r 12a -----3 p + q - - r - - 3 s nach (7) g e n e r a t i o n s i n v a r i a n t Aus (9) ergibt sich nun:

ist, d. h, es ist a 1 = a.

1

1 D'

Sn = D - 4 - D ~ +

.... " + D n

D n -----2 ~ D , D n' = 4~

(10)

2n- 1

-}-~£~yaD =

(2--~)D

3

3

~ - S n' :

~-(D' ~- D I'-}- .... -4-Dn' ) ----[I

[

4)+ 1)D'

+(2--~+ d. h.,

(11)

12(pn--p)

---- S~-~ Sn'

12(qn--q) 12(ra--r) 12(Sn--S)

= - - S n - - 3 S n' = --Sn+3Sn' : S.--Sn'.

Da aber (12)

limSn =

S* = 2 D ,

limS.' =

S*',=

3

~-(2aDq-lY),

so ergibt sich clurch fortgesetzte Panmixie der G r e n z z u s t a n d p*, q*, r*, s*, dot aus (11) hervorgeht, wenn man dort S* an Stene yon Sn und S*' an Stelle yon S.' setzt. Dieser G r e n z z u s t a n d i s t n a t f i r l i c h ; denn ffir ihn grit: (13)

D* = D*' = 0.

C. Die geschlechtsgebundene Vererbung Bei der F r a u gibt es drei Ph/~notypen ee, eE, EE. Den Verteilungszustand kSnnen wir also durch eine q u a d r a t i s c h e F o r m darstellen : a e e ~- fl eE -[- 7 EE, we a die H/£ufigkoit yon ee angibt usw. Bei den M ~ n n e r n gibt es nur die Phy/inotpen ey, Ey, we y das Y'-Chromosore darsSellen sell. Die m/innliche Verteriung wird daher nicht dutch eino quad~'atische, sondern eine l i n e a r e F o r m angegeben: be + cE. Rechnen wir u m auf die zur Fortpflanzung zur Veffiigung stehenden Gone e bzw. E, so wird bei der F r ~ u

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus (1)

p' =

1

q,

a~-~fl,

u n d beim M a n n e (2)

1) =

b,

1

= 7 -~fl

Q =

cmit

mit

p,

P-t- Q =

+

q,

109

=

1

1.

Beim Manne h a b e n wir ferner als relative Hi~ufigkeit des Gens y : W ---- 1. N a c h P a n m i x i e ist d a n n offenbar beim Manne die Verteilung gleieh P i = p ' W = p', Q1 = q ' W = q', also (3) P i e -[- Qi E = p ' e + q ' E . 1). h. die m a n n l i c h e V e r t e i l u n g i s t g l e i c h d e r w e i b l i c h e n i n d e r v o r h e r gehenden Generation. Die weibliche Verteilung in F i wird hingegen gegeben durch die quadratische F o r m (4) aiee -~ flleE + 7 l E E = (p'e + q ' E ) (Pe ÷ QE) = (Pe + QE) (P1 e -4- QiE). Ihre Diskriminante ergibt sich zu: (5)

Zli ----fl~--4alyl = (pq,__Qp,)2 __ (p__p,)~ -- (p__pi)~. D a r a u s ersieht m a n z u n i e h s t : I s t die Diskriminante ~ = 0, d. h. ist P' = p = ~/al q' ~- q = 1/~, so b r a u c h t die Diskriminante der neuen Verteilung nicht zu verschwinden. U m g e k e h r t k a n n A i ~ 0 sein, ohne dab zi = 0; n£mlich wenn P = p', d. h. wenn die relative H£ufigkeit des Gens e b e i d e r m~nnlichen u n d bei der weiblichen Anfangsverteilung dieselbe ist. Wir sprechen d a n n y o n einer , , g l e i c h m ~ i g e n (Anfangs-) Verteilung". Eine solche liegt auch vor, wenn die mgnnliche Verteilung gleieh der mgnnliehen Verteilung in der n£chsten Generation ist, oder wenn zl i = 0. Bei einer gleichmi$igen Anfangsverteilung wird welter p~ = p', P~ ~ Pl = Pi, as = ai, fl~ = fli, 73 = 7i, A2 = 0 usw. Bezeiehnen wir wieder als eine , , n a t f i r l i e h e V e r t e i l u n g " eine solche, die in allen folgenden Generationen sowohl beim Manne als b e i d e r F r a u u n v e r i n d e r t bleibt, so erhalten wir: t

(6)

(7)

t

Ist die Anfangsverteilung g l e i e h m / ~ l ~ i g , so i s t d i e V e r t e i l u n g in der n/£chsten Generation eine natiirliche. Wir b r a u c h e n im folgenden noch die U m k e h r u n g : Ist die Verteilung eine natiirliehe, so w a r sie i n d e r v o r h e r gehenden Generation e i n e g l e i e h m ~ B i g e (insbes. eine natiirliche).

D e n n a u s P2 = P i folgt: a ~ e e + f l ~ e E + z ~ E E = (Pi e + QiE) 2. Also, da die ¥erteflung eine natiirliche ist, auch a i e e + flieE + 7 l E E = (Pi e + QiE) a odor wegen A i ~-- 0 : P = p'. Ferner ist allgemein (8)

(8 a)

P'i = Pi + i --

Pi

Pi + 1 - ----

1

1

2 (Pi -~- Pi + 1), also

(Pi -- 1 - -

Pi)

----

(- -1 )2 -,

(P1 --

P)-

Es karm also nur d a n n A i + i : 0 sein, wenn schon A i = 0 war, d. h. 1~ ~ P1 war. Ebenso k a n n Pi + 1 Pi nur d a n n sein, wenn schon P = P1 war. =

ll0

Bodewig

FaSt man alles zusammen: Eine natiirliche Verteilung tritt dann und nut dann ein, wenn die Anfangsverteilung eine gleichmagige war. Ist hingegen die Anfangsverteilung nicht gleichm/~Sig, so hat nach (8a) Pi + 1 - - P i wenigstens den G r e n z w e r t Null. Denn es ist (9)

Pi+l--

(10)

P*

=

1

P = ~-(P1--P) lira Pi =

( (i/) 2+

--~-

, also

1 1 ~ - ( P -5 2P1) = ~ (P -]- 2 p').

Demnach (11) a* ---- h m a l ---- p * 2 , ~* ~_~ lim~ i _~ 2 P ' Q * , y* = h m y i ---- Q,2, wo Q* -- I--P*. Diese Grenzverteflung ist stabfl, derm (12) A* = 0. (13) I s t die A n f a n g s v e r t e i l u n g k.eine g l e i c h m / i g i g e , so t r i t t e i n n a t f i r l i c h e r Z u s t a n d n i e m a l s ein. H i n g e g e n n~ihert s i c h i m Laufe der Generationen die Verteilung einem Grenzzustand, und dieser ist natfirlich. Praktisch ist dieser Grenzzustand s p i ~ t e s t e n s in 8 G e n e r a t i o n e n e r r e i c h t . Beim Fehlen einer A u s l e s e h e r r s c h t a l s o in j e d e r a b g e s c h l o s s e n e n P o p u l a t i o n e i n e n a t f i r l i e h e V e r t e i l u n g bzw. j e d e r g e s c h l e c h t s g e b u n d e n e n A n l a g e . t q a c h (11) 1/~$t s i c h d i e w e i b l i c h e V e r t e i l u n g b e rechnen, wenn man die m~nnliche Verteilung kennt. ][st Q* klein, so folgt aus (11): /3" -~ 7" = Q* (1 A- P*) = Q* ( 2 - Q*) -- ungef~hr 2 Q*, d. h. : Eine seltene geschlechtsgebundene dominante A n l a g e f i n d e r s i c h b e i d e r F r a u e t w a d o p p e l t so h / i u f i g w i e b e i m iVfanne. Als geschlechtsgebundene Krankheiten sieht man an : R o t g r i i n b l i n d h e i t , gewisse Formen der 1Vfuskelatrophie, Hemeralopie mit Myopie, Megalocornea, Ataxia Friedreich, Aplasia axialis extracorticalis, Bluterkrankheit. An z w e i B e i s p i e l e n sollen die F o m e l n besprochen werden. Die R o t g r f i n b l i n d h e i t ist bei iV[/innern mit einer IIaufigkeit yon etwa 5 ~/o verbreitet. Da man annehmen kann, dab eine so harmlose Erkrankung keinem AusleseprozeB unterworfen ist und auch die Fruchtbarkeit normal ist, so h/~tten wir eine natiirliche Verteilung vor uns. Daraus folgt, dab 0,25 % der Frauen die Krankheit manifest und 9,5 % sie fiberdeckt enthalten. In den Statistiken finder sich abet die tI/~ufigkeit 0,4 ~/o angegeben, also eine um 50 % h6here. L e n z , der den Prozentsatz der homozygoten Frauen ebenso bestimmt wie wirl), erklart den Widerspruch zwischen errechnetem und statistischem Ergebnis durch Verwandtenehen. Doch kann es wohl fiir ausgeschlossen gelten, 1) ,,Biologie und Pa~hologie des Weibes", 1924, I, S. 821f. Ebeaso in Lit. 19, Bd. I, S. 442.

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus

111

dab diese seltenen F/file den Prozentsatz derart verschieben kSnnen. Auch miiBte ja aus dem gleiehen Grunde auch der Prozentsatz der Gesunden steigen. Vielmehr hat man den Untersehied dutch die Beobachtungsfehler zu erkl/£ren. Denn erstens braucht der Prozentsatz der M/~nner nur ein klein wenig zu steigen, n~mlich yon 5 % auf 6 % - - dieser wird auch yon manehen Autoren direkt angegeben, ja yon W a a l e r (10) sogar auf 9 % festgestellt, so k o m m t man bei den Frauen auf 0,36 %, also die statistisehe Angabe. Es liegen aber genug Griinde vor, dab die H/£ufigkeit der M/~nner tats£chlieh hSher ist als die statistische, z. B. Berufsgrfinde, deretwegen der Mann seinen Mangel verheimlicht, w/£hrend bei der Frau diese Griinde nicht so maBgebend sind. Zweitens aber wird man umgekehrt unter den rotgriinblinden Frauen eine Reihe erfaBt haben, die an sieh dem heterozygoten Typ angehSren. Dieser aber ist ja verbreitet mit einer H/~ufigkeit von fast 10 %. l~immt man also nur 1--2 Zehntel % yon ihm weg, also nur 1--2 % yon den 10 %, so k o m m t man auf die statistische Zahl und dariiber. Dal] aber tats/~chlich heterozygote Frauen~nicht die normale Farbsichtigkeit haben, hat schon F l e i s c h e r 1920 festgestelltl). S i e m e n s land dann 19262) den ersten sicheren Fall einer heterozygoten rotgriinblindenden Frau und bewies damit die Manifestationsschwankung auch fiir die Rotgriinblindhei$. I n letzter Zeit ist die Frage dann dutch W a a l e r (10) mediziniseh und statistisch so eingehend untersucht worden, dab er mehrere Gene annehmen muBte, um seine statistischen Ergebnisse aueh theoretisch befriedigend darstellen zu k6nnen. Sieht man yon diesen neuen Statistiken W a a l e r s ab, die wohl noch erst best/~tigt werden miissen, so steht unsere Theorie, was die Rotgriinblindheit betrifft, in voller ~bereinstimmung mit der Erfahrung. Als zweites Beispiel diene die B l u t e r k r a n k h e i t . I n den (verh~ltnism/~Big kleinen) abgeschlossenen Gebieten, in denen sie vorkommt, hat sie eine H/£ufigkeit yon, sagen wir, 1 : 3000. Wenn die Krankheit wirklich monomer und gesehleehtsgebunden rezessiv ist - - bekanntlieh wird das noch immer nieht allgemein am genommen s) - - so erg/~be sich unter Voraussetzung yon Panmixie eine relative tt/~ufigkeit der weibhchen Bluter yon 1 : 9 Millionen und der tteterozygoten yon 1 : 1500. Nun ist freflieh die Existenz der w e i b l i e h e n B l u t e r bekanntlieh ein 1) ,,Die Vererbung geschle.chtsgebundener Krankheiten": ,,Es scheint, als ob gesunde Mfitter farbenblinder S6hne nieht so selten leieht~ Farbenschw~ehe zeigen, in/~hnlieher Weise wie aueh Nettelship leichte ~'arbenblindheit bei Konduktoren gefunden hat." 3) Klinisehe Monatsbl/~tter ffir Augenheilkunde, 1926, S. 769. 3) Z.B. nieht yon Klinger, der in seinen ,,Studien fiber H/~mophilie'! (Zeitschrift ffir Klini~che Medizin, 1921, 85) behauptet, dab aueh ohne Vererbung Bluter auftreten k6nnen; ebensowenig yon den Anh/~ngernder Lossenschen Regel, wie Bulloeh- Fildes, naeh welcher der m~nnliehe Bluter die Krankheit iiberhaupt nieht, aueh nieht auf Tfchter vererbt, sondem die Vererbung einzig und allein dutch die weiblichen Konduktoren effolgt; und vor aUem yon Llopis, der eine Erblichkeit fiberhaupt leugnet, eine Ansicht, die freilich yon den meisten Autoren, wie vor allem Schloessmann (,,Die H/~mophilie", 1930, 285), als Rfieksehritt bezeiehnet wird. (~brigens miiBte ja wohl auch Llopis auf Grund seiner Vitamin-Hypothese einen konstitutionellen ~aktor annehmen.)

112

Bodewig

hart umstrittenes Problem. Sie wird zwar 5fter bej~ht, neuerdings sogar noch yon S t a eh e l i n , Basel, der dem Verfasser in miindlichem Gespr~ch seine l]berzeugung v o n d e r Existenz weiblicher Bluter aussprachl). V0r allem aber hat M a d l e n e r 2) den ersten Fall entdeckt, wo ein seit Jahren an H~mophilie leidendes M£dchen tats~ehlich sp£ter verblutet ist. (Dieselbe Mitteilung ist such deshalb noeh interessant, weft sich in der gleichen F~milie ein Mitglied befindet, das sowohl an Bluterkrankheit als an Rotgriinblindheit leidet.). Gegentiber dieser Feststellung von M a d l e n e r dtirften die die weibliehe Hamophilie ablehnenden Autoren nieht mehr so sicher ihre Stellung behaupten wie bisher. Insbesondere diirfte die Theorie K. H. B a u e r s , wonach die Krankheit auf einem Lethalfaktor beruht, der das Auftreten weiblicher Bluter yon vornherein unmSglieh macht, zum ersten Male wesentlieh ersehiittert sein, wenngleieh sehon L e n z (19, I, 284) sic ablehnte. Unserer Theorie widerspricht natfirlieh weder die eine noch die andere Ansicht; denn sie gibt ja nur an, wieviele weibliehe Bluter g e z e u g t werden. Ja, sie zeigt vielleieht die Ursache, weshalb bisher weibliche Bluter nicht mit Sieherheit in den letzten Jahrzehnten .gefunden wurden. Die Zeit, die vergeht, bis in so kleinen abgeschlossenen Gebieten wie Graubiinden, in denen die Krankheir vorkommt, 9 Millionen Menschen geboren werden, ist eben zu groin. Anders verh£lt es sich mit den K o n d u k t o r e n , deren H~ufigkeit oben mit etwa 1 : 1500 ~ngegeben wurde (nat/irlieh wieder nur in jenen abgeschlossenen Gebieten, in denen die Krankheit vorkommt). Hier wird tats~chlieh fast iibereinstimmend yon den Autoren berichtet, dal~ viele Konduktoren und iiberhaupt weibliche Mitglieder yon Bluterfamilien an auffallender Blutungsneigung leiden. H o e s s l y - H a e r l e (Die Bluter yon Tenna. Archly der J u l i u s K l a u s - S t i f t u n g , 1930) bezeichnet sie als ,,Partial- oder rudiment~re Bluterinnen". ,,D~s gesunde Gen kann eben das kranke nicht ganz iiberdecken" (a. a. 0., 349, 322). Freilieh ist die Unterscheidung zwisehen der Konduktoreigenschaft und den pseudoh£mophflen Zust~nden zurzeit wohl noch nicht mSglieh. Denn die F o n i o s c h e Entdeckung der anormalen Besch~ffenheit der Blutpl£ttchen der Konduktoren bediirfen wohl noch der Best~tigung. So widerspricht, wie wir zeigten, die heute fast allgemein verbreitete Annahme, dab die H£mophilie auf einem einzelnen gesehleehtsgebundenen Gen beruht, den bisher angefiihrten Erfahrungen keineswegs. Anders wird es allerdings, wenn wir die Wirkung der Auslese auf die H~ufigkeit eines geschlechtsgebundenen Gens untersuchen.

D. Anwendungen I. Die Sippenmischung Zwei Sippen, die sich betr. der H/~ufigkeit nur eines e i n z i g e n Gens unterscheiden, mSgen sieh versehmelzen. Um den grSI~ten EinfluB, den die ,,Fremdsippe" auf die ,,Heimatsippe" ausiiben kann, abzusch~tzen, nehmen wir an, es handle sieh um eine Erbanlage, x) Vgl. Montanus, Schweizer. Medizin. Wochensehrfft, 1921. 2) ,,Eine Bluteffamilie". Archly f. Rassen- und Gesellscha~tsbiologie,(20), 1928, 391.

113

M a t h e m a t i s c h e U n t e r s u c h u n g e n z u m Mendelismus

die in den beiden Sippen entgegengesetzt vorkommt. Jede Sippe sei also homozygot. IhreVerteilung also sei 0, 0, 1 bzw. 1, 0, 0. Von der letzteren Sippe kommt ein gewisser Prozentsatz a zur vSlligen Verschmelzung mit der Heimataippe. Wir haben daher eine Misehpopulation mit der Verteilung (a, 0, 1) oder, um auf die Einheit zu bringen, fa, 0, f, wo f = 1/(1 + a). Die zugeh6rige Kriimmung ist D = ~ 4 fZa. In der n~chsten Generation herrscht also die Verteilung: a 1 : fa ( l - - f ) : a ~ / ( 1 + a) 2, b 1 = 2f~a = 2a/(1 -4- a) ~, e1 = f f 2 a = 1 / ( 1 - 4 - a ) 2Ist die Fremdsippe zahlenm/~flig kleiner als die Heimatsippe, also a < 1, so erhalten wir: al = a ~ - - 2 a S -4- . . . . bl = 2 a - - 4 a ~ -t - . . . . el = 1--2a-t-3a2--... Fiir k l e i n e a ist daher bis auf Glieder zweiter Ordnung: a 1 = 0, b 1 = 2 a , c 1 = 1 - - 2 a . D . h . muter den angegebenen Voraussetzungen: Bei Mischung einer zahlenm~$ig kleinen Fremdsippe mit einer Heimatsippe, treten in der n~chsten und daher in jeder folgenden Generation homozygotr e z e s s i v e der fremden Sippe nicht mehr auf. Die Fremdsippe ist sozusagen vfllig in der Heimatsippe aufgegangen. Die d o m i n a n t e n Anlagen der Fremdsippe hingegen finden sich mit der doppelten H/~ufigkeit in der Mischsippe wieder. Die H/~ufigkeit der durch die Fremdsippe hereingebraehten Gene ist im dominanten wie im rezessiven Falle bei der Mischsippe natiirlieh die gleiehe wie bei der Fremd. sippe, n/~mhch 2 a. Die bisherigen Betrachtungen galten fiir den Fall, dal~ eine Sippeneigensehaft m o n o m e r bestimmt sei. Bei D i m e r i e treten andere VerhMtnisse auf, worauf P h i l i p t s e h e n k o (11) hingewiesen hat. Angenommen, vor der Mischung seien die beiden Sippen beztiglich ihrer Gameten in nat/irlieher Verteilung. D. h., wenn p, q, r, s die H~ufigkeiten der Gameten el, eF, Ef, E F sind, so gilt naeh A, I I : p s - qr = 0. Diese H£ufigkeiten seien bei I: 1, 2, 3, 6 I I : 1, 3, 2, 6. Die irmere Kriimmung bei beiden verschwindet. Rezessive yon der Struktur eeff treten bei beiden im Verh/£1tnis 1 : 12 ~ ~ 0,69 °/o auf. Eine Misehung hingegen ver/~ndert dieses Rezessiven-Verh/~ltnis. Schon bei gleichm/~$iger Mischung ergibt sich das Verh/~ltnis 1 : 2,5 : 2,5 : 6, das nicht mehr natfirlich ist, wenn auch die inhere Kriimmung nur klein ist. Im Laufe der Gene. rationen wird sieh daher das Verh/~ltnis versehieben, nnd zwar ist nach A, II, (11): p* = 0,81, usw. Demnach p.2 = 0,66 %. Also schon etwa geringer als friiher. Finder die Mischung aber so start, dab das Gametenverh/~ltnis 1 : 2 : 2 : 7 herauskommt, so ist D = 3/1~. Der Grenzzustand wird also p* = 1/19.--s[laa 1]13 usw. Daher die H/~ufigkeit der reza~siven Merkmalstr/~ger gleich p*~ 0,39 %. Sie hat also gegeniiber dem Ausgangszustand der beiden Sippen auf etwa die H/~Ifte abgenommen. Indukfive Abstammungs- and Vererbungslehre. LXXI

8

114

Bodewig

Bei dem Mischungsresultat 1 : 3 : 3 : 5 wird p* = 1/12 - ~ 4/144 = 1/9 , p,2 ~ 1,1%. Die Rezessiven-tt/~ufigkeit ist d o p p e l t so grol~ wie in der Ausgangsgeneration. In beiden F/~llen tritt eine/~hnliche Wirkung wie bei einer A u s l e s e zntage. In Wirklichkeit handelt es sich jedoch einfach um die Folgen des ?¢Iendelns einer Population, die sich nicht in natfirlicher Verteflung befindet und sich daher einer Ver/inderung so lange unterwoffen sieht, bis der zugehSrige Grenzzustand praktisch erreicht ist. Stellt man daher statistisch eine in zwei his drei Generationen erfolgte Verschiebung der Rezessiven-It/iufigkeit lest, so kann man damit noch nieht yon einer Auslese sprechen. I)enn dieselbe Verschiebung kann auch dnrch Sippenmischung und darauffolgendes Mendeln entstanden sein. ~hnliches ergibt sich, wenn man Vererbung dutch g l e i c h s i n n i g e G e n e annimmt. Eine Reihe yon Eigensehaften h/ingt anch beim Mensehen sicherlich yon solchen Genen ab, besonders wahrscheinlieh geistige F~higkeiten oder ])eL fekte. Nehmen wir nun I ) i m e r i e an. Zwei Menschengruppen, deren Gametenverh/iltnis gleich etwa 1 : 4 : 4 ist, mSgen sich mischen. I h r e Diskriminante D versehwindet, sie befinden sich also beide im natfirlichen Verteilungszustand. Ihre Ph/inotypen haben dann die H/iufigkeiten 1,2 ~/o, 10 °/o, 30 °/o, 40 ~/o, 20 °/o. Naeh der Misehung nnd eingetretener Panmixie sei das Gametenverh/fltnis aber 1 : 3 : 5, also yon dem ursprfinglichen ,,nicht sehr verschieden". Die Verteilung hat dann die Hauptkrfimmung D ---- --11/s 1. In einigen Generationen hat sie praktisch den Grenzzustand erreicht: a* ---- 1/9--11/3~a, b* ---- a/9 ~-11/1~2, C$ : 5/911/324 , also a* : 7,8 %, b* ---- 40 %, c* ---- 52 %. Die H£ufigkeit der rezessiven Merkmalstr/iger ist daher gleich a .2 ~ 0,6 ~o. Gegenfiber dem Ausgangszustand ist sie also auf die It/~lfte zurfickgegangen. Kennt man wieder die Ursache nicht, so wird man entweder eine Auslese annehmen oder vermuten, dab der Rfickgang der Sippenmischung a n s i c h zu verdanken ist. Bei minderwertigen Anlagen wird man also zu dem Schlul~ kommen, dal3 die Sippenmischung degenerativ' wirke, bei hochwertigen Anlagen, dab sie empfehlenswert sei. In Wirklichkeit liil~t sich durch solche Statistik gar niehts fiber den Wert der Sipl0enmischung sagen.

II. Die Verteilung innerhalb der Verwandtschaftslinien Wir setzen M o n o m e r i e und einen n a t f i r l i c h e n Z u s t a n d voraus: a ~ 1o2, b = 2 pq, e = q2. Dann werden in A, I (3) die einzelnen HorizontalSummen gleieh den einzelnen Vertikal-Summen. Daher wird die M a t r i x (3) nach Anlage des ganzen Schemas s y m m e t r i s e h , was man durch direktes Einsetzen best/~tigt. Dann aber ist es natfirlich gleichgfiltig, ob man die relative H/£ufigkeit in den horizontalen oder vertikalen Reihen bestimmt: Die Zeilen yon A, I, (4) werden daher gleich den Spalten yon (4a). D . h . (1) I m natiirliehen Zustand sind die Matrizen (4) und (4a) aus A, I transponiert zueinander: A 1 = A'. Die Verteilung ffir die Kinder yon Angeh6rigen der

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus

115

Beschaffenheit ee bzw. eE bzw. E E ist daher dieselbe wie die fiir die Eltern dieser AngehSrigen. Darau.s folgt, dab auch die Verteilungen fiir die Enkel gleich denen fiir die GroBeltern sind. Uberhaupt : (2)

Die Verteflung in der n-ten Aszendenz sowie in der n-ten Deszendenz wird gegeben durch die Matrix A =.

Denn es ist z. B. p, q, 0 die Verteflung innerhalb der Kinder yon ee-Eltern. Daher ist die H~ufigkeit der Enkel yon ee, welche die Struktur ee bzw. eE bzw, E E haben, gleich pp d- 1 pq bzw. pq d- ~1 bzw. 1 q2. Uberhaupt erh~Llt m a n die H~Lufigkeit der zum Genotyp x gehSrigen, welche AngehSrige des Genot y p s y shad, indem man in (4) die Elemente der Zeile x mit den entsprechenden Elementen der Spalte y multipliziert und die einzelnen Produkte addiert. Das ist aber die M u l t i p l i k a t i o n s r e g e l ffir M a t r i z e n o d e r b i l i n e a r e F o r m e n . Aus der N a t u r der Sache folgt, dal3 in jeder Aszendenz die Verteihmg eine andere ist als ha einer friiheren oder sp~teren Aszendenz. Daher kann d i e ' M a t r i x A k e i n e e n d l i e h e O r d n u n g haben, d . h . es gibt keine Zahl n, so dab A ~ = E (gleich der Einheitsmatrix ist, deren Elemente also in der Hauptdiagonale alle gleieh 1 und auBerhalb davon gleich 0 sind). Vielmehr miissen sieh die aufoder absteigenden Generationen immer mehr einer Verteilung ni~hern, bei der es keine Rolle spielt, welche genotypische Beschaffenheit der Proband hat, weft ja mit jeder folgenden Generation genau so viele neue, willkfirlieh aus der Gesamtpopulation herausgegriffene Elemente, ,,zuf~llige" Elemente, hinzukommen, wie in der Generation selbst vorhanden shad,, so dab yon den 2n-Elementen der n-ten Generation nur eines in ursi~chlichem Zusammenhang zum Probanden steht, withrend die iibrigen aus der Gesamtpopulation zuf~llig herausgegriffen sind. Der Einflu$ der Probanden nimlnt also im Laufe der Generationen gegen Null ab, er wird in jeder Generation nur ,,halb so groB" sein wie in der vorhergehenden, und die Verteilung ha der n-ten Generation muI~ daher zur Grenze die allgemeine Verteilung p2, 2 pq, q2 haben. Der G r e n z w e r t y o n A n mu$ also eine Matrix mit drei gleichen Zeilen sein. Da A keine endliche Ordnung haben kann, ist es entweder yon unendlieher Ordnung oder hat die Determinante Null. Natiirlich ist letzteres der Fall, da j a yon den drei Zeilen yon A nur zwei linear unabhgngig sein kSnnen. I n der T a t finder sich Determ. A ---- 0. Will m a n jetzt die im vorletzten Absatz mehr instinktive Vermntung, dab A n gegen eine bestimmte Matrix konvergiert, b e w e i s e n , so transformlere man A auf eine Diagonalmatrix. Dazu braueht man die E l e m e n t a r t e i l e r yon A. Wegen Determ. A ~ 0 ist einer der Elementarteiler gleieh 0. Die beiden andern 1 sind 1 und ~ . Es gibt also eine Transformation S, so dal~ [1 S-1AS = T =

0

0

0

-2- 0

0

0

0 8*

Bodewig

116 In der Tat ist nun

lim T n = T* =

1 0 [0

0 0 0

0] 0 0

und lira A n ----- A* = S T * S - 1 , also eine ganz bestimmte Matrix, und zwar, wenn die Elemente yon S mit Sik, die algebraischen Komplemente yon sm mit Sik und die Elemente yon 3** mit A*m bezeichnet wcrden, so ist A*~ = s~ Ski. Dgraus k6nnte man die Matrix S bestimmen, und hinterher durch Transformation tier Matrix T n (deren Diagonalclemente ja 1, 2 - n , 0 und deren iibrige Elemento verschwinden) mit S die Matrix A n gewinnen. Bequemer ist es jedoch, die Matrix A n durch einige Multiplikationen und durch Erraten zu linden, und damn die Richtigkeit der Formel dutch vollstgndige Induktion nachzuweisen. So haben wir: (3) A n, ngmlich ( 1 - - a ) p2 + ap 2pq + a(q--p) q (l--a) q 2 ]

[

An =

(3a)

1 [(1--a) p2+~ap,

2(1--a)pq+~-a

[ (1 - - a) p2

2 pq + a

(p - -

1

q) p

(l~a)

1

q2+~2a q

(1 - - a) q2 + aq

j

we zur Abkiirzung a ---- 1/2n-I gesetzt wurde, konvergiert gegen die Matrix mit den drei gleichen Zeilen 1o3, 2 pq, q~, d. h. gegen die Verteilung in der Gesamtpopulation. Ferner ist Deform. A = 0.

Aber aus der einfachen Darstellung (1) in A, I I/iBt sich noch mehr heraushelen. Z . B . ist nach (1) oder (3) in A, I die Gesamtzahl der ,,kranken" Kinder, d. h. der Kinder der Struktur ee, gleich 103 ---- a. Andererseits verhalten sich die Zahlen d e r Kinder, deren Eltern beide, einer oder keiner manifest krank sind, zueinander wie 4 a S : 4 ab : b ~, odor wegen b 2 = 4 ac wie a : b : e. Da deren Summe gleich 1 ist, sind dies zugleich sehon die relativen Hgufigkeiten: (4) Die relativen Hgufigkeiten der Kinder mit zwei, einem bzw. keinem kranken Elter sind a, b, c. Fiir die Praxis wichtiger sind andere Feststellungen. Wir suchen zungchst die V e r t e i l u n g i n n e r h a l b d e r G e s c h w i s t e r . Es sei etwa die Verteilung der Gesehwister eines eE-Elementes gesucht. Nun ist nach A, I, 3 die Gesamtzahl der e]~-Elemente gleich 2 pq = b. Da die Matrix A, I, 1, wenn man in ihr den dritten Tefl jeder Zefle als neues Element auffaBt, symmetrisch ist, so ist die Summe symmetrischer eE-Elemente gleich 4 ab, 8 ac; 2 b 9', 4 be. Also ist die jeweilige relative H~ufigkeit der Elternkombinationen yon eE-Individuen gleich 1

1

a, ~ b, ~ b, c. Jede dieser Kombinationen hat man nach MaBgabe der ilmen entspr'mgenden Kinder aufzul6sen. Man kann dabei das Schema A, I, 1 selbs$

Mathematische Untersuchungen zum Mendelismus benutzen.

1

So erh~lt man als H&ufigkeit der ee-Gruppe: ~ - a +

1 ] -- 4 p (1 Jr p), als Hgufigkeit der e E - G r u p p e : ~ a - ~ -2

117

1 (1 + p q ) ,

als H~ufigkeit der E E - G r u p p e :

0+0+~b

1

0 + ~-b + 0

1 1 ~b+~-b 1

1 +~-c

1 +~e =

1

Yq

(i + q). So erh/~it man folgende Aufstellung fiir die Geschwisterverteilung:

(5)

ee

eE

aee

~(i + p)~

q(l+p)

1 2 -~q

bee

yp(l+p)

1

(1 +pq)

lq(l+q)

eEE

yP

1

1

~p(l~-q)

EE

mit der Matrix B

¼(1 + q)~

Aueh die Potenzen der Matrix B k6nnen, wie sich aus der l~atur der Sacho ergibt, keinen Zyklus bilden. B kann also auch keine endliche Ordnung haben, d. h. es gibt keine Zahl n, so da~ B n = E (gleich der EinheRsmatrix, vgl. oben) ist. Entweder ist also ihre Ordnung unendlich, oder sie hat die Determinante Null. In beiden F~llen mul~ sieh B n einem G r e n z w e r t n~hern, und dieser muB die Verteflung innerhalb der Gesamtpopulation angeben: p*, 2 pq, q~. In der Tat ist:

[(fl+~V) ~ (6)

Bn = | T P ( f l + T P )

!72p~

2rq(fl+rp)

r ~q~

f l + 2 7 ~pq

?q(fld-Tq)|,

]

27p(fl+Tq)

(fl+Tq)~ J

wo/5 = l / n , 7 = 1 - - fl gesetzt wurde. Jede Zeile yon B n geht gegen p2, 2 pq, q2. Ferner ist: (7) Determ. B ---- l/s, also lim Determ. B n = 0, Nun ergibt sich sofort: Die Verteflung innerhalb der Elterngeschwister (Geschwisterkinder) wird gegeben durch die Matrix AB. Durch Ausrechnen finder man ferner die wichtige Beziehung: (8) AB = BA = A ~, in Worten: (Sa) D i e V e r t e i l u n g e n i n n e r h a l b d e r E n k e l , G r o B e l t e r n , E l t e r n gesehwister und Gesehwisterkinder sind dieselben. Aus (8) wiirde normalerweise folgen B ---- A. Hier trifft dies nicht zu, weil n a c h (3a) Determ. A ~ 0. Nun lassen sich alle Verwandtschaften zusammensetzen (sind ,,Produkte") aus dem Verh<nis der Kindsehaft, der Elternschaft und der Gesehwisterschaft. Den beiden ersteren ist zugeordnet die Matrix A, dem letzteren die Matrix B. F,iner beliebigen Verwandtschaft entspricht also ein Produkt, dessen Faktoren

118

Bodewig

A und B sind. Nach (8) l~Bt sieh dieses Produkt, falls das Verwandtschaftsverh~ltnis nicht fiber Stiefgeschwister geht und nieht die Gesehwisterschaf~ selbst ist, ausdrficken dureh Potenzen yon A; d. h. (9)

I n einer beliebigen Verwandtschaft, die allerdings nicht fiber Stiefgeschwister fiihrt und nicht die Geschwisterschaft selbst ist, finden sich keine anderen Verteilungen als innerhalb der geraden Aszendenz (Deszendenz).

Praktisch wichtig sind die aufgestellten Verteilungsgesetze deshalb, weft man mittels ihrer viel leichter feststellen kann, ob eine Erbanlage monomer ist. Betrachtet m a n dazu n~mlich, wie es gew6hnlich geschieht, nur die Nachk o m m e n s c h a f t des Elternpaares, so stSi~t die Feststellung des Erbganges und der H~ufigkeit des Gens e auf Schwierigkei~en, weft die Zahlen zu klein sind, so dal~ zuf~llige Schwankungen den Erbgang ganz verdunkeln, z. B. start eines rezessiven einen dominanten Gang vort£usehen kSnnen. H a t m a n ~ber die Verteilungen auch in der Verwandtschaft, so werden die Zahlen wesentlich grSi~er, und der Einflu~ zuf~lliger Schwankungen sehwindet. Besonders gfinstig ist, dal~ sich alle Verwandtschaftsverteilungen auf Poteszen yon A reduzieren, dal~ man also z. B. alle Enkel, Groi~eltern, Onkel, Tanten, I~effen und I~iehten einfaeh addieren und als e i n h e i t l i c h e s ~ a t e r i a l behandeln kann, da ihre Verteilungen gleieh sind. Vor allem hierdurch w~ehst das Beobachtungsmaterial noch einmal stark an, so dal~ man in den meisten F~llen wird sagen k6nnen: I s t die Verteilung nieht gem~B unserer Formeln, so liegt k e i n e m o n o m e r e V e r e r b u n g vor.

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Mathematische Untersuchungen zum ~endelismus

li9

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