Mdthodes d'Approximation et d'Itdration pour les Ope'rateurs Monotones HArM B ~ Z l S & Mdis~ SIBONY
M~moire pr~sent~ par J. L. LIONS Introduction
Soit V un Banach sur 1R; V' son dual. On se propose de r6soudre num~riquement certaines 6quations de la forme
(1)
A u =f
pour f donn6 dans V'
ofa A est un op6rateur monotone non n&essairement lin6aire de V dans V'. Nous donnons un th6or6me d'existence et d'unicit& On consid~re ensuite l'6quation: (2)
Aua+2Bux=f
avec B monotone born6 de V dans V'. On montre, sous certaines hypoth&es que ux~u dans V f o r t quand 2 ~ 0 off u est la solution de (1). A l'espace V, nous associons un espace Vh de dimension finie. Dans Vh nous avons alors l'6quation discr&is6e: (3)
Ah Uh=A.
Sous certaines hypothbses la solution un de (3) converge fortement dans V vers la solution u de (1). Enfin nous donnons une m6thode it6rative permettant de r6soudre explicitement (3). Le plan est le suivant: 1. Un th6or~me d'existence et d'unicit6. 2. Propri&6s de l'op6rateur A - i . 3. Propri&6 de la solution de l'6quation A ua + 2 Bua =f. 4. Applications. 5. M6thodes d'approximations num6riques. 6. Application aux families d'approximation (w~"p, Vh, P~, rh}. 7. R6solution du problbme discr6tis6: m&hode it&ative. 8. Applications h la r6solution num6rique de certaines 6quations aux d6riv~es partielles. 9. R6sultats num6riques.
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H. BREZIS• M. SIBONY: I. Un th6or~me d'existenee et d'unicit6
D6iinition 1.1. On dit qu'un espace norm6 V e s t uniform6ment convexe si, V e tel que 0 < e < 2, 3 6 (~) > 0 tel que les relations:
[lull
LIvll<__l et
[lu-vlL>=~Hu+vll<2-6.
Soit v un Banach sur ~,. uniform6ment convexe de norme IL I]- Soit V' son dual. Soit .4 un op6rateur non n&essairement lin6aire de V dans V'. On cherche u~ V
v~rifiant: (1.1)
Au=f
pour f donn6 dans V'.
Th6or6me 1.1. Si l'op~rateur A vOrifie les conditions (1.2)
( A u - A v, u-v)>-_(q~(llull)-~(llvl3)(
Itull -
IIvii)
pour tout u et ve V, o~ tp est une application strictement croissante de ~ + -* ~( telle que lira r + oo y-'~ -[- O0
et (1.3)
les restrictions de .4 aux segments de V sont continues dans V' faible,
alors V f e V', 3 ue V unique tel que A u = f . Existence. La condition r strictement croissante entralne: (1.4)
( A u - A v , u--v)>=O.
D'autre part, si on f a i t v = 0 dans (1.2) il vient (au, u)>__(`4(0), u)+(q)(llull)-~p(O)) llul[ , (`4u, u) > _ il`4(O)llv,+(q)(lluD-q)(O)), Ilull = d'ofi (A u, u) lim - - = II.I[~+o0 Ilull
(1.5)
+ 0%
et l'on sait qu'avec les hypoth6ses (1.3) (1.4) et (1.5) le probl~me (1.1) admet une solution (of. [3] et [4]). Avant de d6montrer l'unicit6, nous avons besoin de deux lemmes. Lenlme 1.1. On suppose (1.2) et (1.3). Alors l' ensemble S de solutions de lYquation A u = f est un convexe fermg de V.
D6monstration. L'6quation A u = f est 6quivalente h la relation (1.6) En effet:
(Av-f,v-u)>=O Au=f=~(Au-f,
Vv~V.
v-u)>O
et (Av-f, v-u)=(Au-f, d'apr~s la monotonie de A.
v-u)+ (Av-Au, v-u)>O
M6thodes d'Approximation pour les Op6rateurs Monotones
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Rdciproquement posons v = u + t q~, t > 0 ; (1.6) donne: V ~o~ V ( A ( u + t cp)f , ~0)> 0 et l'on fair t ~ 0. D'o/l Au=f
.
Svo = { u l ( A v o - f , v 0 - u ) > 0 } est un demi espace fermd de V. Done S=ensemble des solutions de A u = f est un eonvexe fermd de V, car
S=
0 Svo. voeV
Lemme 1.2. L'ensemble des solutions de A u = f est situ~ sur une sphere de V. D6monstration. Soient u~ et u2 deux solutions de l'dquation A u =f. En reportant dans (1.2) il vient:
(~0 ([Iux II)- ~o(llu2 tl)) (llux It - Ilu2 II) =0. D'ofl: ]lul [I = ]lu2 I1. Unleit6. L'ensemble S des solutions est un convexe fermd de V situd sur une sph6re. Comme Vest uniformdment convexe, S est rdduit ~t un point, d'o/1 l'unicitd. II. Propri~t~s de l'ol~rateur A - I Lemme 2.1. Soit re ~ + et rag R + , V 2:>0. Soit ~o une application strictement croissante de ]R+ ~ IR telle que (~o(rl)--@(r))(ra--r)
i'~~ >0.
Alors r I ~ r quand 2 --* O.
D~monstration. On montre facilement que r~ est bornd. Supposons maintenant que r).-~r. A1ors on pourrait extraire r~ - + p E r et cp(r~) ~(p(r). Deux cas: 1) Si p < r . Soit rl tel que p < r I < r ~ partir d'un certain rang r~ r . Soit rl tel que r < r i < p ~ partir d'un certain rang r~_->rl ce qui entra~ne: q~(r.)_~ ~o(rl) > q~(r) et h la limite
~(r)>~(rl)>~(~) ce qui est absurde.
Thdor~me 2.1. On suppose (I .2) et (I .3). Alors A - i est monotone, bornd (c'est ~t dire transforme les ensembles bornds en des ensembles bombs) et continu de V' f o r t dans V fort.
D~monstration. I1 est dvident que A - 1 est monotone. Soit A u = f a v e c [Jf II < M. On a ( A u - A (O), u ) = ( f -- a(o), u)~(q~(llul[)-q~(0))Ilu[[.
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H. BREZIS & M. SIBONY:
D'ofl:
~o(llull) < M + IIA(0)[I + q~(0). Ceci montre que A - ~ est born6. Montrons que A - ~ est continu de V' fort dans V fort. I1 suffit de montrer que sif~ = A u , et s i f , ~ f = A u dans V' fort, alors u. ~ u dans V fort. La suitef, est born6e; donc u,, aussi. Suivant un ultrafiltre plus fin u.-~ ~ dans V faible, A u~ ~ f dans V' fort. Par suite A ~ = f = A u. D'ofl u = ~ d'apr6s l'unicit6. II en r6sulte que u, ~ u dans V faible. D'autre part (Au,-Au,
u~-u)>=(~(llu~ll)-q~(llu II)) (llu, II-Ilull) >_-0
et ( A u ~ - A u, u ~ - u ) = ( A u ~ - f , Un--U ) --~ O. Donc
(*# (llu~l[)- ~0 (llu It)) (llunll - Ilull) ~ 0. D'apr~s le L e m m e 2.1, I1un I1~ 11UnII. D ' o ~ u.--,u dans V fort.
HI. Propri~t~ de la solution de l'~quation A ux+~B ux=f Th~or~me 3.1. Soit A un op~rateur de V dans V' v~rifiant (1.2) et (1.3) et soit B un opOrateur monotone born~ de V ~ V' tel que les restrictions aux segments de V soient continues dans V' faible. Alors 1) V f e V', V 2 > 0 l'Oquation (3.1) Au~+2Bu~=f admet une solution unique u~. 2) ua ~ u dans V fort quand 2 ~ 0 o~ u est la solution de l'~quation A u =f.
D6monstration. 1) Pour l'existence et l'unicit6 on applique le Th6or~me 1.1 ~t l'6quation (3.1). 2) Montrons que u~ ~ u dans V fort quand 2 ~ 0 a) -qM > 0 tel que I[ux [1< M. Nous avons en effet; pour tout ). assez petit ( A u z - A ( O ) , ua)>__(q~([lua][ - q~(0)) [luall ; or
Au~=f-2Bu~ d'ofi ( f - 2 n u x - A ( O ) , u~)>__(~(IluA)-q~(0))IluA. D'autre part (Bux-B(O), uz)>O entraine
ua)>_-(q~(iiuA)- ~(o)) Ilu~ll + ~.(n(0), u~) I q~(llu~ll)-q~(0)l ilu~ll- IIf-a(o)-&n(O)llv, Iluallv.
(f-a(o), D'ofi (3.2)
~(lluA)__< ~o(0)+ IIf-A(O)-2B(O)H v,
ce qui entraine [1u~ 1[ born6, car sinon il existerait u~ telle que IIuv 1[~ + ~ et on aurait alors 9([1 u~ 1[)~ + oo ce qui est contraire ~ (3.2).
M6thodes d'Approximation pour les Op6rateurs Monotones
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b) u z ~ u f a i b l e m e n t q u a n d 2 ~ 0 . E n effet c o m m e B e s t born6, l[ ux II __=O V we V et ~ la limite ( f - A w , v-w)>__O V w~V, o r ceci est 6quivalent h Av=f. D o n c u x o u f a i b l e m e n t q u a n d 2 ~ 0. c) M o n t r o n s que u~ --, u f o r t e m e n t q u a n d 2 ~ 0. O n a
(Au~-Au, uz-u)_-__ (cp (lluxll)- q'(llu II) (lluxll- Ilu II)
( f - 2 B u x - A u , u,~-u)_~(q,(llu,dl- q'(llu II)) (lluxll- IIu II), ce qui d o n n e
-2(nu~, u~-u)>(~o(llu~ll)-~o(llu II))(llu~ll-
Ilu II) 9
Comme u a - u et Bu;, s o n t born6s, q u a n d 2 ~ 0 le p r e m i e r m e m b r e tend vers 0. D o n c :
(9(lluxll)-~0(llull)) (IluA-lind
~-*o ,0.
I1 r6sulte d u L e m m e 2.1 que 11uz II-~ [Iu II, et c o m m e V e s t u n i f o r m 6 m e n t c o n v e x e o n en d6duit que u z ~ u dans V fort.
IV. Applications E x e m p l e 4.1. ~2 6tant un o u v e r t born6 de IRn. Soit norme
p\l/p/
[Jullv= (--~1 IID~U][LpI
i=
V= W~'P(12) 1 m u n i de la
p> 2.
V est un B a n a c h u n i f o r m 6 m e n t convexe p o u r cette norme. L ' o p 6 r a t e u r
A u = - ~ Di([Diu]p-2 D~u) i=1
applique
Wlo'V(Q) d a n s W - 1, p (s
avee ( l / p ) + ( l / q ) = 1.
M o n t r o n s que A v~rifie les hypoth6ses d u Th6or6me 1.1 avec En effet:
9 (r)= rp- x, r > O.
(au, u)= ~ lIDi ullf.,, =/lu II~i=1
(Au, v)= ~([DiulV-2D~u, Div)< i IID~ullP~-1 [ID, v[IL, " i=1 n
i=1
n
(Au, v)~ Ilullf, -1 Ilvllv. 1 On d6signe par WI,P(s 1< p < o0, l'espace des (classes des) fonctions u~LP(f2)telles que c~u D~u = ~ ~L p(s les d6riv6es 6tant prises au sens des distributions sur s W~,P(s est l'adh6mnce de ~(s
dans WI,P(s
L'espace W-l,q(s
1/p+l/q=l, d6signe le dual fort de WoLP(s
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H. BREZIS(~ M. StaoNV:
Donc ( A u - A v , u - - v ) > Ilullr - [lullf: x Ilvllv-Ilvllf,-x Ilullv+ Ilvllf,, d'ofl
( a u - a v , u-v)>(ilu[l~,-1--11vll~-X)(llullv-IlvlIv)
Vu, v~V,
Doric la condition (2.1) est v~rifi6e. I1 est 6vident que l'application t -~ (A (u + t v), w) est continue V u, v, w~ V, d'ofl (1.3). Par cons6quent pour f donn6 dans W -1' ~(12), il existe u~ Wo~,P(f2) unique tel que Au =f . Exemple 4.2. Plus g6n6ralement les probl~mes (4.1)
Au+su=f
(4.2) avec
A u - s Au =f II
A U = - - ~D~(ID~uII'-ZD~u),
p>2,
i=l n
Au=~DZiu,
s>=O,s
r6el,
l=l
admettent une solution unique u s I4"o1'p(~) pour f donn6 dans W ~ 1, q(~).
V. M~thodes d'approximation num~rique Soit V un espace de Banach de norme [[ [[, et soit h--(hl, ..., hn)e]R~. , h ~ 0 , un param~tre destin6 ~ tendre vers 0. D~finition 5.1 (cf. [I]). Nous appellerons h-approximation de l'espace V, le quadruplet { V, Vh, ,Oh, rh} d6fini par la donn~e de 1) Un espace Vh de dimension finie et de norme [I [th, 2) Une application Ph~-~(Vh, V) appel6e prolongement de Vh dans V, 3) Une application rh~s Vh) appel6e restriction de V dans Vh.
D~finition 5.2. La famille { V, Vh, Ph, rh} est dite consistante si dans V fort Iim ph rh v= v
V v ~ V.
h~O
Soit V~ le dual de Vh. Nous notons par (,)h la dualit6 entre Vhet V~. V~ est muni de la norme duale
IIAII~'-- sup oh~v.
I(fh'vh)h[
VAeV;.
ilvhll~
D6signons par r* l'adjoint de Ph et par p* l'adjoint de r h. Nous avons (r~ f , Uh)h= ( f , Ph Uh)
(p* A , u) = ( A , r, u)~
V f ~ V', Uh~ Vh
VA ~ V~', u ~ v.
M 6 t h o d e s d ' A p p r o x i m a t i o n p o u r les Op6rateurs M o n o t o n e s
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D6finition 5.3. On dit q u e f , r V[ converge discr~tement v e r s f ~ V' si lim ilr~f-A]l~ = 0. h--*O
Soit V un Banach sur JR, uniform6ment convexe, de norme II II. Soit V' son dual. Soit A un op6rateur non n6cessairement lin6aire de V dans V'. On se donne une famille d'approximation { V, Vh, Ph, rh} de l'espace Vet l'on fait les hypotheses suivantes: ( H I ) A est un op6rateur born6 v6rifiant (1.2) et (1.3). (H2) La famille {V, V,, Ph, rh} est consistante et Ph est injective. On pose Ah=r~ A ph: Vh ~ V~. Nous avons alors le sch6ma suivant: V
a
,V'
On munit Vh de la norme IIu, 11,= II/'hUh IIv. I1 en r~sulte que
IIr~fll~ < Ilfllv'
~'fe V'.
D'autre part s i f , converge discr~tement v e r s f alors Ilfhll* est born& En effet: Ilfhlln = lit, f - A l l , + Ilr~fli,
(5.1)
A, Uh=A.
De plus, si fh converge discr~tement vers f ~ V', alors phuh converge clans V fort vers la solution u de (1.1). Lemme 5.1. L'~quation (5.1) admet une solution unique. D6monstration. Appliquons le Th6or~me 1.1 h l'op6rateur dh. 1) Montrons que V, muni de la norme 11uh lib- II p, uh It est uniform6ment convexe. En effet: re>0, 0<8<2 3 ~(~) tel que si jlp, v, l l = l et Ilph(Uh--Vh)ll>8 lip, Uhll = 1, on a
d'apr~s l'uniforme convexit6 de V, et ceci entraine
Uh'~-Vh < 1 - - ~
~
h=
2) Formons
(Ah uh-- Ah vh, uh-- Vh)h= (1"* A Ph uh-- r~ A Ph Vh, Uh-- Vh)h= X . 5 Arch. Rational Mech. Anal., Vol. 28
66
H. BREZIS• M. SiaoNY:
Done X = ( A Ph uh--A Ph Vh, Ph uh--Ph Vh)
>=(~O(llPh uhlt)--q~(If,~ v~lt)) (IfPh Uhlf - [IW V~fl) >_(tp(l[UhHh)-- tp(][ Vhllh))(HUhl]h-- [IVhllh). 3) L'applieation t ~ ( A h ( t Uh+Vh), Wn)h= (APh(t Uh+Vn), Ph % ) est continue d'apr6s (1.3). D'ofi l'existence et l'unicit6 de Uh solution de (5.1). Lemme 5.2. Si fh converge discrdtement vers f alors [IPnUh I[ = I[Un ][hest bornL D6monstration. (A hU h
--
A h(0), Uh)h> (~0([] Uh H)-- q9(0)) []UhI[hce qui donne:
( A - a~ (o), u~)~ >__(~ (It u~ IIh) - ,p (o)) IIuh lib.
D'ofi
~o(lluhll~)<~0(0)+ IIA-Ah(0)[IL la convergence discr&e defh versf=~ []fh [1" born6 et [IAh(0)l[*----[Ir* A(0)l[* < IIA(0)Hv, 9 On a donc cp(ll uh Ilh)< C 'e- Ceci entraine que IIUh [Ih est born6 car sinon, il existerait une suite extraite u k telle que [lUk[Ik~O0 et on aurait ~O([lUk][k)~O0 ce qui est impossible. Lemme 5.3. Si fh converge discrOtement vers f , alors p , Uh converge vers u clans V faible, et A phUh converge vers f dans V' faible. D6monstration. D'apr6s le lemme pr6c6dent I1PhUh1[ ~ Cte. Donc suivant un ultrafiltre og, phUh ~ ~ dans V faible, et comme A phu hest born6, A PhUh .---rrI dans V' faible. Montrons que r / = A u = f . Soit v~ V,
(Ah Uh, rh V)h=(fh, rh V)h=(A ph Uh, Ph rh v); or
(A Ph Uh, Ph rh v)--* (q, V)
(d'apr~s l'hypoth~se de consistance). D'autre part (fh, rhV)h "-*( f , V). En effet: ( f h ' rh V)h : (fh -- r~ f~ r h l))h Jr"(l~ f~ r h v).
Mais: [(fh -- r* f, rh V)h1< [{fh -- r* f [[* [Jr h v [[h < [[A -- r~' f {[~ [[Ph rh v [I ---"0 (d'apr~s la convergence discr&e defh versf), et (r* f. rh v)h = (L ph rh v) -~ (f. v)
d'ofi
(q, v) =
(f. v)
Vv ~ V
et par cons6quent: ~ / = f = A u . Par aiUeurs: (A Ph Uh, Ph Uh) = ( A , Uh)h= ( A - - r~f, Uh)h + (r~f, Uh)h
M r t h o d e s & A p p r o x i m a t i o n p o u r les O p r r a t e u r s M o n o t o n e s
67
et
( A - & f, uA -, o (r'f, Uh)h= (f, Pn Uh) ~ (f, ~). D'ofl lim sup (A p, uh, Ph Uh)< (f, ~). r
Rappelons, cf. [2], que si un filtre x, converge vers x dans Vfaible, A x, --*y dans V' faible et lira sup (A x~ , xi) <-(y, x), alors A x = y . I1 en r6sulte que A ~ = f = A u , et done d'apr6s l'unicit~ de la solution u = ~ . D'ofl le lemme.
D6monstration du Th~or~me 5.1. On a (A Ph Uh-- A u, Ph uh-- u) = ( f h, uh)n-- (A Ph uh, u) - (J; Ph Un- u). Mais (fh, Uh)h~ (f, U) puisque
(fh, Uh)h= (fh -- r~f, uh)h + (f,
Ph
Uh)
on en drduit que lim (A phuh--Au, phUh--u)=O.
h~O D'o6
uaIl)-~(Ilull))(llpa uhl I --Itull)=O
lim (r
h...*o
et par cons6quent ]]Pn ua 1]~ ]lu I]. On en d6duit que Ph uh -* u dans V fort.
VI. Application aux families d'approximation {Wl~' P, Vn, p~, r~} Soit Wil'P={~oIq~LP(D), D~q~LP(O)}. 0 ~tant un ouvert bornd de IRn e t Diq~ =(3q~)/(dx~) prise au sens des distributions. Choix de Oh. Nous ddsignons par R n le rdseau des points M de la forme
M=(mlhl,...,m,h,,),
m : e Z , i = 1 . . . . . n,
h = ( h l . . . . . h,), h~lR~_, h=l=0.
Nous posons:
q =(qi)t ~ i~,, qi entier positif, / q [ = ~ qi, i=1
et (Dh, q Iql
Enfin:
D~={MIMeRh,p~=a}. M e.o~,
$*
68
H. BREZIS & M. SIBONY:
Choix de Vn. Posons Vh=espace des suites de nombres r6els, Uh=(Uh~)M~',. Soit xef2 h. On pose Uh(X)=Uh~ si X~09~O. Vh est un espace de dimension finie, que nous mettons en dualit6 avec Vh par le produit scalaire: (uh,Vh)h=hl...h, ~ uMvMa. M E f2'h
Posons
V,u, 6tant d6fini Vu,~ Va, x~2a, et r Choix de p~. Notons
r
uh).
0~,'= fonction caract6ristique de [(m, - 89 h,, (m, + 89 h,] 1 o Zhi = h l Oh~ n M mt 0~ = fonction caract6ristique de C0h. 0 = | Oh, i=1
Zh_
1
h I -- h, O~
?l~(h, 9
Alors p~ Uh =
~"
M uhM ZhrOh~
((*) 6tant 1'op6rateur de convolution) est un prolongement de Vh dans Wi1,'. On a identifi6 Uh ~t la fonction
Z " OhM.
MeD~
Vh est muni de la norme (-~1
il.hII = ,
)I/,
\ l/p ( ~=1
/.
Im, p' . IIL
:
,
llv,.
' ~/P nL)
Choix de rh. Soit une suite de fonctions ?h~ W I' ~o tt support dans
rh= y0 " Me~
tendant vers l dans W t' oo. Posons alors r h (p ( M ) = <'Yaqo, Zh>
V M ~ t2'h, CpE W~1' P.
On sait (cf. [1]) que les approximations { W~~,p, Va(Oh), p~, ra} sont consistantes. Application 6.1. Soit A: Wo~'P(~2)--* W-~'q(t2) d6fini par
Au=-~D,(IDiulp-2DIu)+su
s>=O, p>2.
i=I
t2 6tant un ouvert bornd de 1R" de fronti~re F t~tr~s r6guli~re)). Au probl~me de Dirichlet: (6.1)
Au=f
Ulr=O
pour f e/~(O)
M6thodes d'Approximation pour les Op6rateurs Monotones
69
nous associons la formulation variationnelle
a(u, v) = ( f , v)
(6.2)
Vv~ Wo1' v(~2)
avec
a ( u , v ) = ~ [. IDiulV-2DsuDsvdx+s~uvdx. 5=1
1'2
/2
Comme n
w', ~(a) = ~ w:, ~(a) 561
la famille { Wi1"0, Vh, p~, rh} pr~c6demment consid&6e permet de discr6tiser (6.2). Nous avons alors: (6.3)
ah(u/~ '
Vh)=(Aphtth, PnVt~)=(f, pO Uh)
Vl)h~Vh pour f donn6 dans Lq(O)
avec
(AphUh,PhVh)=~ SI DiPhUh[ 5 p-2 DsPhUhDiphVhdx+s ~ i S Ph0 gh Ph0 Vhd x , i=l D
( A ph Uh, ph vh) = ~
12
$ I Viuhl "-2
~ uh V~Ohd X + s w Uh Vh d X .
i=lfl
/~
D'apr6s la d6finition de Ah, nous avons:
5=i
En posant
1 ifOhUdx f h - hl ... hn a on se ram~ne ~t une 6quation discr6tis6e de la forme:
ah Uh=fh
(6.4)
etfh converge discrbtement versf. D'apr~s le Th6or~me 5.1, il existe uh~ Vh unique v&ifiant (6.4) et l'on a P~hUh~ U darts W51'P(fl) fort, u &ant la solution du probl~me (6.1).
Application 6.2. On cherche u~ Wo~'P(O) v&ifiant Au-s3 u=f
(6.5) avec
A.=-
s>O,
f donn6 dans U(s
X D,(IDsu:-20,") 9 i=1
On v6rifie ais6ment que le Th6or~me 1.1 s'applique et l'on a done l'existence et l'unicit6 de la solution u de (6.5). Comme dans l'exemple pr6c6dent (6.5) discr&is6e se met sous la forme (6.6)
-
~,, i=l
Vi([ViUh[P-2Viuh)--S~,Vii 2 Uh=Sh, 5=1
fh~Lq(~'~),
70
H. BREZIS• M. SIBONY:
Si fh converge discr~tement vers f on peut appliquer le Th6or~me 5.1, qui assure l'existence et l'unicit6 de la solution uh de (6.6) et de plus nous avons:
pihUh---~U
dans Wil'P(f2) fort.
VII. R6solution du probl6me diser6tis6 par une m6thode it6rative 1
On se p r o p o s e dans ce p a r a g r a p h e de donner une m6thode it6rative permettant de r6soudre dans Vh (de dimension finie) l'6quation
AhUh=fh;
fh donn6 clans V~.
Plus g6n6ralement suit ~r ~ un espace de Hilbert sur ]R muni du produit scalaire (,) et de la n o r m e 1[ []. On se propose de r6soudre dans ~ l'6quation A u =f, p o u r f donn6 dans g~', off A est un op6rateur non-lin6aire de ~ dans ~ ' . On se donne une application S~ S ~ ( ~ , ~g') v6rifiant:
(Su, v)=(u, Sv)
(7.1) (7.2)
Vu, v ~ . .
I1 existe une constante a > 0 telle que (Su, u)>a][uH 2.
On pose [u] 2 =(Su, u). [u] d6finit sur Jet~ une n o r m e 6qualivalente ~t II [I. On suppose que l'op6rateur A v6rifie: (7.3) (7.4)
(Au-Av,
u-v)>=k[u-v] 2
avec k > 0 ,
Vu, v ~ . .
Quelque soit N > 0, ~ une constante C(N) telle que V u, v ~ W , avec [u]
N o u s avons avons le Th6or6me 7.1. Avec les hypotheses (7.1), (7.2), (7.3), (7.4) l'~quation A u = f admet une solution unique u~ z/f et la suite Un d~finie par l'it~ration
S u. +1 = S u , - p (A u n - f ) converge fortement vers u pour p > 0 et UoE ~ eonvenablement ehoisis. D~moltstration. L'existence et l'unicit6 r6sultent du Th6or~me 1.1. D ' a u t r e part, l'it6ration a un sens puisque S est bijective. Or
Su,+l=Su,-p(Au.-f), Su=Su-p(Au-f). En retranchant m e m b r e h m e m b r e :
Su.+ 1 - S u = S u . - S u - p ( A u . - A u ) . Posons e. = u ~ - u il vient:
S en+ I ---S e n - p(A u n - A u) , e,+x=e,-pS-'(Au,-Au), [e,+,]2 = (S 8~+ 1, e ~ + l ) = ( S e , - p ( A u , - A u ) ,
e.-pS-l(Au.-Au)),
[e.+ ,]2 = [e,]2 - 2 p ( A u . - A u, 8,) + p2(A u , - A u, S - I ( A u . - A u)). 1 Une methode analogue est expos6e dans [5].
M6thodes d'Approximation pour les Op6rateurs Monotones
71
En utilisant (7.3): [en+ 2] 2 =<[e.] z - 2 p k [e.] +pZ(A u . - A u, S-a(A u . - A u)). Soit No tel que [u] __No]2; on fait l'hypoth~se de r6eurrence [ u . - u] = [e.]_< No~2. Ceci entralne que [u.] < No. Or
(Au.-Au, S-I(Au.-Au))=[S-'(Au.-Au)] 2 et d'apr~s (7.4) et l'hypoth~se de r6currence on a pour C(No)= C
(Aun-Au, S-I(Au.-Au))<=CEs.JES-I(Au.-Au)J. D'ofl [ S - I(A u n - A u)] ~ C[e.] ce qui entralne
[en+ l]2 ~=(1- Z p k + p 2 C2) [gn]2=O[F,n] 2. On choisit p tel que 0 < 1 et l'hypothbse de r6currence est v6rifi6e. Par cons6quent e, -> 0. Ce qui ach~ve la d6monstration.
Remarque 7.1. En particulier la suite u, converge vers u pour Uo=0,
No-
2 [[f-A(0)[[
kV ~
k
,
C=C(No) et popt=~-~
ce qui donne k2
0=1-~-~<1.
VIII. Applications ~ la r~solution num~rique de certaines ~quations aux d~riv~es partielles Dans ce qui suit nous nous proposons d'appliquer ~ quelques exemples les m6thodes pr6c6dentes. Exemple 8.1. On cherche u~ WoI'P(O) v6rifiant l'6quation
Au=f
(8.1) avec
Au=-
i=l
L),(lO,ul"-'O,u)+su,
p o u r f donn6 dans Lq(•). Consid6rons le probl~me discr~tis6 associ6 ~ (8.1): On cherche Uhe Vh tel que (8.2) Ah uh= f h avec
ahUh = -- ~ Vi([Vil~h[P-2VilAh)"~SUh, i=1 et
A - h,
1
f~
s>O
72
H. BREZIS & M. SIBONY"
Th6oribme 8.1. i) L'dquation (8.1) admet une solution unique ue W~'P(t2). ii) Le probldme (8.2) admet une solution unique uhe Vh. De plus nous avons
Ph un ~ u
dans W~' P(f2) fort.
iii) L'~quation (8.2) peut se rksoudre par l'it~ration suivante: n+l
Un
n
n
-~-Uh--p(AhUn--fn )
avec p convenablement choisi et u~ = 0 . D6monstration. Les points i) et ii) on d6j~t dtd ddmontrds aux paragraphes 4 et 6. Pour ddmontrer iii), appliquons les rdsultats du Thdor~me 7.1 en posant = Vn muni du produit scalaire
(un, Vh)~=(un, v~)~. Posons
Suh=uh,
[un]=llunllL~.
Comme
(An Uh-- An Oh, Un-- Vh)h> S Ilun-- vhll~ on a avec les notations du Thdor~me 7.1, k =s.
Calcul de C(N). Supposons que [un]< No, [Vh]< No on a: [Uh]2-~hlh2...hn
Z [uh(M)[ z M e O'h
ce qui entraine [Uh] 2 ~ hi... hn sup lun(M)I z.
D e m~me nous avons
I ~ un(x) l<~-~i sup luh(Y) l 9 yeO
d'ofa
I N uh (x) l =<
(8.3)
2
hiV~
[u,] _<
2_No_ - N/. h,~/h I ...h~
Par ailleurs
(AhUh---4hVh,W~)h=~ (I ~Uhlp-2 ~'~Uh--IEvnl~-2 ~Vn, ~Wh)h+S(Un--Vn, Wh)h i=1
ce qui donne
I(A.u.-hnva,wn)hl <
Ill ~unl p-z ~ un-tV, vnlp-2 ViVhlt i=
lIE wnll2 i
+sl[uh--vhll Ilwhll; or p o u r Ict I < N ' , 1131< N ' , ~ et fl rdels on a:
I 1~1~-2 ~-1/~1~-2 ~ I_<(p- 1) N'P-~ I~-/~ I En p o s a n t e = FiUh(X), fl = Vivh(x), il vient c o m p t e tenu de (8.3)
ill v, i=1
v, n-I v, nl,
v, nll z(p-
V; - llV,(un- n)tl i=1
M6thodcs d'Approximation pour les Op6rateurs Monotones
73
or:
IlViuhllL,= h~ IIUlIL'. Done: (--~1 4Ni'2 (p-2)
I(AhUh--ahVa'Wa)hl<=(P--1)
i
h~
[lun-vnlle
)89( =~1~4 ilwh[l2)89 ~
+ s Ilu~-v~ll IIw~ll, d'ofi
4N,'2('-2)~ ' (~ ~-~t +s'~ [uh-v.] [wh].
I(A~ u~-A~ vD.l_< (p-l)
Or N,'-
2No
hi V ~ "" h. Done on a avec les notations du th6or~me 7.2
C(N~
(hl...h,) (p-z)/=
*
h
,
-~
+s.
Calcul de No. No=2[Uh]=21luhllL,. Or
(hh uk, UDh=(A, uDh> ~ II~ uhllL, i=1
ce qui donne
IIV, unlls = IIAIIL, Iluhll~ i=1 or
IluhllL* ~ Cl(['~h)
n
E tl v, unllL
(Poineard).
i=1
D'ofl
Iluhll[~ 1 ~ Cl tlAIIL~. Done N O= 2 II uh IlL, est une constante inddpendante de h. En posant S
p =-C-Z(No) l'it6ration ~+1 = ~ _ p (Ahu~--f,) est convergente d'apr~s le Thdor~me 7.1.
Remarque8.1. SifEL2(I2) on pourrait prendre aussi No = 2 llfh IlL,IS. Remarque8.2. Posons 0 = 1 - s 2 / C 2, u ~ nous avons alors la formule de majoration de l'erreur suivante:
[ u ~ - u d z = ling- uhll~2 < 0 ~+1 Iluhll~2 9 Le nombre d'itdrations ndcessaires pour avoir [u~-uh] < e peut 8tre estim6 it l'aide de la formule 2 Log e - 2 Log [Iu 11 Log 0
74
H. BREZIS & M. SIBONY:
Exemple 8.2. On cherche ue W~'P(Q) v6rifiant l'6quation A u =f
(8.6)
pour f donn6e dans Lp([2)
avec
~Di(IDiuIp-2DIu)-sAu,
Au=-
s>0.
i=l
Consid6rons le problbme discr6tis6 associ6: on cherche Uhe Vh v6rifiant
(8.7)
Ah Uh = f h
avec
n
Ahuh= -- ~ V~(I Viuhl p-2 ViUh)--S ~ Vi2 Uh, i=l
et
S>0
i=l
1 I.fO~dx. fh-- lh . .. hn Th~or~me 8.2. i) L'dquation (8.6) admet une solution unique u~ Wlo'P(Q). ii) Le probl~me (8.7) admet une solution unique Uhe Vh. De plus on a phu. h-~O'u clans Wlo ' p (f2) fort. iii) L'dquation discr~tisd (8.7) peut se rdsoudre gl raide de la formule itdrative suivante: S h u~ + 1 = Sh U~ -- p (Ah U~,--fn) avec Sh Uh= -- ~ Vi= Uh, i=l
p convenablement choisi et u~ =0. D4monstration. Les points i) et ii) ont 6t6 d6montr6s dans les paragraphes 4 et 6. Pour iii), nous appliquons les r6sultats du thdor~me 7.1 en posant: o~f = Vh(~2h) muni du produit scalaire (Uh, Vh)h :(l'lh, I)h)L2 S h u h : -- ~ [7i2 tl h i=l
[Uh]2= ~ IlV~u~ll~. i=l
Comme (& uh-
2 & Vh, Uh-- Vh)h> S ~ I[~(U.-- vk)llL2 i=l
il en r6sulte que k = s avec les notations du Th6or~me 7.1. Calcul de C(No). Supposons que [Uh]< N, [Vh]=
Euhl
i=1
tl ,Uhll 2=
i=1
hi
hn 2
MEI2~
IV,u.(M)l
Donc
Iv, u,(x)l_-<
[u,] I/h1 ..- h.
-N'
Vx
et
Vi.
M6thodes d'Approximation pour les Op6rateurs Monotones
75
I1 en r6sulte comme dans l'exemple prdc6dent: I (Ah uh -- Ah v~,, Wh) I <=((p -- 1) N' "- 2 + s) [u h 0h] [I~,"h] 9 -
-
Doric
C(N)=(p-1)N'p-2+s. D'ofl
C(No)=(p-1)
(8.8)
(hi
N~-2 ... hn) ( p - 2 ) / 2
~-s.
Calcul de No. On a ( & uh, uD_> ~ lie uhll[p i=l
IIE Uh[l~,< II/hllL, ITUhlIL,,
[l~ Uh[l~, i
==~
UhllLp
(~q/PllILIhllLq s IIq/P :< "~1
i
or Lp ~ L z avec injection continue pour p >_-2. Donc n
Donc No = C t~ ind6pendante de h. En posant p-~--s/C 2 (N) l'it6ration
ShU~,+ 1 =Sh U'~--p(Ahu"h--A) est convergente. D'ofi le tMor~me. Remarque 8.3. 1) (8.9)
SifeL 2(f2) on pourrait prendre aussi 211AIIL2
No -
S
2) Si on pose u~ =0, 0 = 1 - s 2 / C 2 ( N ) nous avons alors la formule de majoration de l'erreur suivante:
Cx(O) Iluh< uhll~ " ,2 = ~
IIEuh-Vi"uh[I,~
i=1
o~ C1 (f2) est une constante ne d~pendant que de l'ouvert f2. 3) Si 2 Log 8 - 2 Log IIu II n ~Log 0 alors on a:
lluT,- UhlI~2~ Cx(a)
et
~ IIEuT,-Euhll~2<~~=1
Remarqne 8.4. On suppose q u e f e L 2 ( ~ ) . Si l'ouvert ~ = ( 0 , 1)x(0, 1) et h~ = h2 = h alors on a: p-2
(8.10)
C(N)=(p-1)~+s
avec
N=V211AIIL~o
76
H. BREZIS& M. SIBONY:
En effet:
IIUhIIL~IIV*uhIIL~ pour
i=1,2
~ 211uhll~llVlun[l~+11172 Uh[IL~2=l-Uh]2.
D'ofi V 2 IIuh II ~ [u]. Comme A(0) =0, on a
N = V2 IIAIIL=$ D'of~ (8.10).
Casparticulier. Si f2=(0, 1), nous avons alors N p- 2
(8.11)
C(N)=(p-1)---b-=T+s
avec
2 [IAIIL~
N = _ _
h-Z-
IX. Applications num~riques Probl~me dune dimension On cherche u~ Wo1' 3 (0, 1) v6rifiant l'6quation (9.1)
Au=f
avec
Au=-~
pour f donn6e dans L~l(0, 2)
d [du dU~_s d2u \ ~
dx]
d~--'
s>O.
Au probl6me (9.1) on associe le probl6me discr6tis6
Ah Uh= fh
(9.2) avec Ahuh = (9.3)
V(I Vul)-s 172u, s > 0 , et l'it6ration
S u~+1 = S u~- p (A h u~--fh)
avec p =siC 2 et S = - V 2. La formule (8.11) donne
C - - -4- [ifll ks. Posons -8x+2s+4 f(x)=
8x+2s-4
six< 89 si
x> 89
Alors la solution exacte de (9.2) est u(x)=x-x 2
x~[0, 1].
Posonsfh(X) = f ( x ) dans la formule (9.3) et calculons u~ pour h = ~Ao;h = ~o; h = ~0, A chaque it6ration principale, nous inversons l'op6rateur S = - 172 par la m6thode bien connue de Gauss-Seidel [6].
M 6 t h o d e s d ' A p p r o x i m a t i o n p o u r les O p 6 r a t e u r s M o n o t o n e s
77
Les itdrations internes devant se poursuivre jusqu'~ ce que la norme dans L 2 de la diffdrence de deux itdrdes successives soit infdrieure ~ e = 10 -a. Nous avons constatd en effet qu'il dtait inutile d'inverser compl~tement par des itdrations internes l'opdrateur -172 et r o n pourrait m~me se contenter de ~= 10 -a. Nous avons alors les rdsultats suivants: 1~ Pour h = ~ , les rdsultats se stabilisent tout ~ fait au bout de N = 8 0 itdrations. L'erreur dans L 2 = tl U~--U 11,2 =9,8519.10-*. Tableau 1
u (x) 0.00000000 9.00000000 1.60000000 2.10000000 2.40000000 2.50000000 2.40000000 2.10000000 1.60000000 9.00000000 0 . ~
uh(x), h = ~
10 - 2 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 2
0.0000000 8.89415221 1.59999990 2.08564120 2.39999980 2.48171918 2.39999980 2.08564119 1.59999990 8.89415220 0.00000000
( u - uh)/u
10 - 2 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 2
0.00000000 --1.17608651.10 -2 --6.25959728.10 -s --6.83752566.10 -a --8.20970551-10 -s --7.31232690.10 -3 --8.25821189-10 -s --6.83752677.10 -3 --6.33008312.10 -s - - 1.17608669 9 10 - 2 0.00000000
2 ~ Pour h = ~ , les rdsultats se stabiliscnt tout ~ fait pour N = 8 0 itdrations. On a alors IIu ~ - u IIL~= 4 , 0 5 4 9 10 -4. Tableau 2
u (x)
uh (x), h = - ~
(u - u~/u
0.00000000 4 . 7 5 0 0 0 0 0 0 - 10 - 2 9 . 0 0 0 0 0 0 0 0 " 10 - 2 1 . 2 7 5 0 0 0 0 0 " 10 - 1 1 . 6 0 0 0 0 0 0 0 " 10 - 1 1 . 8 7 5 0 0 0 0 0 - 10 - 1 2 . 1 0 0 0 0 0 0 0 - 10 - 1 2.27500000.10 -1 2.40000000.10 -1 2.47500000.10 -1 2.50000000.10 -1 2.47500000.10 -1 2 . 4 0 0 0 0 0 0 0 . 10 - 1 2.27500000.10 -1 2.10000000.10 -1 1.87500000.10 -1 1.60000000.10 -1 1.27500000.10 -1 9.00000000.10 -2 4 . 7 5 0 0 0 0 0 0 - 10 - 2 0.00000000
0.00000000 4.68637111 9 10 - 2 9 . 0 0 1 2 7 0 4 3 9 10 - 2 1 . 2 6 9 1 7 8 8 6 " 10 - 1 1 . 6 0 0 1 2 7 0 0 " 10 -I 1 . 8 6 9 5 7 7 7 8 - 10 - 1 2.09996448.10 - 1 2.26980889.10 -1 2.39962473.10 - 1 2.46986883.10 -1 2.49911431 9 10 - 1 2.46977547.10 -1 2.39945747.10 -1 2.26955563.10 -1 2.09968012.10 -1 1.86923946.10 -1 1.59981709.10 -1 1 . 2 6 8 8 6 6 3 7 - 10 - 1 8.99909616.10 -2 4 . 6 8 4 7 9 4 1 4 - 10 - 2 0.00000000
-- 0.00000000
- - 1.33935568 9 10 - 2 1 . 4 1 1 5 8 4 6 9 " 10 - 4 - - 4 . 5 6 5 5 9 6 5 8 " 10 - 3 7 . 9 3 7 5 3 0 8 8 " 10 - s - - 2 . 8 9 1 8 5 1 7 4 " 10 - 3 - - 1.69166015 9 10 - s - - 2 . 2 8 1 8 0 5 9 7 9 10 - 3 - - 1.56364513 9 10 - 4 - - 2.07319981 9 10 - 3 - - 3 . 5 4 2 7 6 1 8 4 " 10 - 4 - - 2 . 1 1 0 9 2 0 1 4 " 10 - 3 - - 2 . 2 6 0 5 4 0 9 0 " 10 - 4 - - 2 . 3 9 3 1 3 1 3 8 " 10 - 3 - - 1.52321653 9 10 - 4 - - 3.07228913 9 10 - 3 - - 1.14315958 9 10 - 4 - - 4 . 8 1 0 6 9 2 1 2 " 10 - 3 - - 1 . 0 0 4 2 6 2 8 4 " 10 - 4 - - 1 . 3 7 2 7 5 4 9 2 " 10 - 2 0 . ~
78
H . BREZIS t~ M . SIBONY:
3 ~ Pour h = ~ les r6sultats se stabilisent p o u r N = 1 6 0 i t 6 r a t i o n s . IIu~-u IlL2=2,22665 9 10 -4.
On a
Tableau 3
u(x) 0.00000000 2.43750000 4.75000000 6.93750000 9.00000000 1.09375000 1.27500000 1.44375000 1.60000000 1.74375000 1.875000001.99375000 2.10000000 2.19375000 2.27500000 2.34375000 2.40000000 2.44375000 2.47500000 2.49375000 2.50000000 2.49375000 2.47500000 2.44375000 2.40000000 2.34375000 2.27500000 2.19375000 2.10000000 1.99375000 1.87500000 1.74375000 1.60000000 1.44375000 1.27500000 1.09375000 9.00000000 6.93750001 4.75000001 2.43750001 0.00000000
10 - 2 10 - 2 10 - 2 10 - 2 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 1 10 - 2 10 - 2 10 - 2 10 - 2
u h (x), h = ,-~
(u-- uh)/u
0.00000(O 2.40567640.10 -2 4 . 7 4 9 4 1 8 4 0 . 10 - 2 6.90566555.10 -2 8 . 9 9 8 8 3 1 4 7 " 10 - 2 1.09056547.10 -1 1 . 2 7 4 8 2 3 9 3 . 10 - 1 1 . 4 4 0 5 6 4 4 2 " 10 - 1 1.59976420.10 -1 1.74056340.10-1 1 . 8 7 4 7 0 3 9 8 - 10 - 1 1 . 9 9 0 5 6 2 4 7 " 10 - 1 2 . 0 9 9 6 4 3 2 8 " 10 - 1 2 . 1 9 0 5 6 1 6 4 " 10 - 1 2 . 2 7 4 5 8 2 1 3 . 10 - 1 2 . 3 4 0 5 6 0 9 5 - 10 - 1 2 . 3 9 9 5 2 0 5 5 - 10 - 1 2.44056045 9 10 - 1 2 . 4 7 4 4 5 8 5 9 " 10 - 1 2 . 4 9 0 5 6 0 1 9 " 10 - 1 2 . 4 9 9 3 9 6 2 7 " 10 - 1 2 . 4 9 0 5 6 0 2 2 " 10 - 1 2.47445865.10 -1 2 . 4 4 0 5 6 0 5 4 " 10 - 1 2.39952066.10 -1 2.34056108.10 -1 2.27458228.10 -1 2.19056180.10 -1 2.09964346.10 -1 1.99056265.10 -1 1.87470417.10 -1 1.74056359.10 -1 1 . 5 9 9 7 6 4 3 9 . 10 - 1 1.44056459.10-1 1.27482409.10 -1 1.09056562.10 -1 8.99883270.10 -2 6 . 9 0 5 6 6 6 5 3 - 10 - 2 4.74941908.10 -2 2.40567676.10 -2 0.00000000
0.00000(O - - 1 . 3 0 5 5 8 3 7 2 " 10 - 2 - - 1 . 2 2 4 4 2 7 6 3 - 10 - 4 --4.58874898.10 -3 --1.29836796.10 -4 - - 2 . 9 1 1 5 6 6 8 2 - 10 - 3 - - 1 . 3 8 0 9 3 6 2 4 . 10 - 4 --2.20646563.10 -3 --1.47372998.10 -4 - - 1 . 8 2 7 4 3 8 8 6 " 10 - 3 - - 1 . 5 7 8 7 7 3 7 6 " 10 - 4 --1.59876296.10 -3 - - 1 . 6 9 8 6 6 5 5 1 9 10 - 4 - - 1 . 4 5 3 3 8 5 3 9 . 10 - 3 - - 1 . 8 3 6 8 0 1 5 9 " 10 - 4 --1.36066172.10 -3 - - 1 . 9 9 7 7 0 2 9 9 " 10 - 4 - - 1 . 3 0 5 1 8 7 0 5 " 10 - 3 - - 2 . 1 8 7 5 3 3 2 7 " 10 - 4 - - 1 . 2 7 9 1 2 3 3 9 . 10 - 3 --2.41490983.10 -4 --1.27911087.10 -3 --2.18728838.10 -4 - - 1 . 3 0 5 1 5 1 0 5 " 10 - 3 - - 1 . 9 9 7 2 3 1 5 7 " 10 - 4 --1.36060417.10 -3 - - 1 . 8 3 6 1 2 2 9 2 - 10 - 4 --1.45330838.10 -3 --1.69780279.10 -4 - - 1 . 5 9 8 6 6 8 7 4 . 10 - 3 --1.57774969.10 -4 --1.82732975.10 -3 --1.47256947.10 -4 - - 2 . 2 0 6 3 4 3 9 7 - 10 - 3 --1.37966337.10 -4 - - 2 . 9 1 1 4 3 4 8 4 - 10 - 3 - - 1 . 2 9 7 0 0 8 3 6 - 10 - 4 --4.58860883.10 -3 --1.22300940.10 -4 --1.30556899.10 -2 0.00000000
Nous r6sumons dans un tableau les temps d'ex6cution sur l'ordinateur C. D. C. 3600 en fonction du nombre de points et du nombre d'it6rations n6cessaires ~ la stabilisation des r6sultats. Tableau 4 N o m b r e de p o i n t s
Nombre d'it6rations
temps en secondes
11
80
1,6 s
21 41
80 160
6,4 s 67,2 s
M6thodes d'Approxirnation pour tes Op6rateurs Monotones
79
Remarque 9.1. Le nombre d'itdrations que nous donnons est un maximum, car il n'est pas ndcessaire d'attendre la stabilitd compl&e des rdsultats. Si l'on se eontente par exemple d'une erreur IIu~+1 -u~ ILL2<10 -4, on pourrait diviser le nombre d'itdrations par 2. On pourrait am61iorer le temps d'exdcution en inversant l'opdrateur -172 ~t l'aide d'une m&hode de relaxation successive, cf. [6]. Remarque 9.2. Pour ces calculs on apris s = 2 0 . On pourrait prendre s = 5 ou s = 1 ce qui oblige h augmenter le nombre d'it&ations; car le coefficient de contraction 0 = 1 - s 2 / C 2 devient assez voisin de 1. Probldme gt 2 dimensions Soit f~ =(0, 1) x (0, 1), o n cherche u e W~' a (O) vdrifiant rdquation: (9.4) avec
A u =f
pour f donnde dans L~(O) 2
Au=-
~_Di(lDiulD, u ) - s A u ,
s>0.
i=1
Au probl~me (9.4) nous associons le probl~me discrdtisd:
Ah Uh=fh
(9.5) avec 2
2
Ahun=- Z v,(I v, unl v, unl-s Z v: uh, i=1
s>0,
i=1
et l'itdration
Sh u"n+a = Sh U~,-- O(An u~ -fh)
(9.6) avec
2
S n = - ~ V ~ 2 et
p=~.
i=1
C dtant donnd par la formule (8.10). Si on pose u (x, y) = (x-- x 2) (y - y2)
(x, y) E [0, 1] x [0, 1],
on tire de la formule (9.4) en posant:
B(x, y) = 4 ( 1 - 2 x ) ( y - y 2 ) ,
C(x, y)=2s(x--x2 + y--y2),
0_
B(x, y)+ B(y, x)+ C(x, y) B (x, y)-- B(y, x) + C (x, y) f ( x , y)=
- B(x, y) + B(y, x) + C (x, y)
pour
- B ( x , y ) - B ( y , x)+ C(x, y)
89
O=
89
89
Posons pour simpfifier fn(x, y) =f(x, y) dans la formule (9.5) et calculons ~t l'aide de (9.6) u~,(x, y) pour h = ~ ; h = ~o; h = ~ sur les deux coordonndes. A chaque itdration principale, nous inversions l'opdrateur 2
sn=-Xv? i=I
par la mdthodc de Gauss-Seidel par points cf. [6].
80
H. BREZIS & M. S1BONY" Les
it6rations
internes
devant
se
II u~ + 1 _ u~ II,5 < 1 0 - 4. O n Nous
pourrait mSme avons alors les r6sultats suivants:
poursuivre
jusqu'~t
se contenter
de
ce
que
la
1~ Pour h---~6 les r6sultats se stabilisent tout h fait au bout de N=50 t i o n s . O n a a l o r s I[ ~ - u l l L ~ = 3 , 1 7 2 9 2 1 9 10-5. Nous
donnons
les r6sultats
de la 56me colonne
norme
II ~ + 1 _ u~ IIL2 < 1 0 - 3. it6ra-
d u r ~ s e a u u(1, 5) p o u r h = ~ ;
e l l e c o i n c i d e a v e c u(I, 9) p o u r h = ~ e t a v e c u ( L 11) p o u r h = ~ . O n p o u r r a i t lire les r6sultats d'une mSme colonne pour des pas h diff6rents.
ainsi
Tableau 5 u(x, 0.4) 0.00000000 2.16000000 3.84000000 5.04000000 5.76000000 6.00000000 5.76000000 5.04000000 3.84000000 2.16000000 0.00000000
2~
10 - 2 10 - 2 10 - 2 10 - 2
10 - 2 10 - 2 10 - 2 10 - 2 10 - 2
u h (x, 0.4), h = x~
(u-- uh)/u
0.00000000 2.15514995 9 10 - 2 3.84000000- 10 - 2 5.03665587.10 -2
0.00000000 --2.24539568- 10 - 3 2 . 3 6 8 4 7 5 7 9 . 1 0 -11 --6.63517204- 10 - 4 6.31593543 9 10 -11 - - 6 . 0 6 3 8 3 4 4 6 - 10 - 4 6.31593543 9 10 -11 --6.63516410" 10 - 4 1.18423789 9 10 - 1 ~ --2.24538425 9 10 - 3 0.00000000
5 . 7 6 0 0 0 0 0 0 " 10 - 2
5.99636170.10 -2 5.76000000.10 -2 5.03665588 9 10 - 2 3.84000000.10 -2 2.15514997.10 -2 0.00000000
Pour h = ~, les r6sultats se stabilisent compl6tement
On a alors
IIu~-u IlL2=
1,2162.10
pour N = 70 it6rations.
-5. Tableau 6
u (x, 0.4)
u h (x, 0.4), h = ~
(u -- uh)/u
0.00000000 1.14000000 10 - 2 2.16000000 10 - 2 3.06000000 10 - 2 3.84OOOOOO 1 0 - 2 4.50000000 10 - 2 5.04000000 10 - 2 5.46000000 10 - 2 5.76000000. 10 - 2 5.94000000. 10 - 2 6.00000000. 10 - 2 5.94000000. 10 - 2 5.76000000. 10 - 2 5.46000000- 10 - 2 5.04000000. 10 - 2 4.50000000- 10 - 2 3.84000000. 10 - 2 3.06000000. 10 - 2 2.16000000. 10 - 2 1.14000000. 10 - 2 0.00000000
0.00000000 1.13776646" 10 - 2
0 . ~ --1.95924601 9 10 - a --6.11809507- 10 - 5 --5.63956651 9 10 - 4 --7.00356869" 10 -5 --3.19207215.10 -4 --8.08658988 9 10 - 5 --2.34805646.10 -4 --9.45208632.10 -5 --2.04644254.10 -4 --1.13607287.10 -4 --2.04645159.10 -4 --9.45208790.10 -s --2.34812376.10 -4 --8.08658808.10 -5 --3.19254549" 10 - 4 --7.00355211 9 10 - 5 --5.64357706.10 -4 --6.11806349 9 10 - s --1.96541863.10 -a 0.00000(~
2.15986785.10 -2
3.05827429" 10 - 2 3.83973106. 10 - 2 4.49856357" 10 - 2 5.03959244" 10 - 2 5.45871796.10_ 2 5.75945556.10 - 2 5.93878441 9 10 - 2 5.99931836.10 - 2 5.93878441 9 10 - 2 5.75945556.10- 2 5.45871792.10 - 2 5.03959244.10 -2 4.49856335" 10 - 2 3.83973106" 10 - 2 3.05827306- 10 - 2 2 . 1 5 9 8 6 7 8 5 " 10 - 2 1.13775942.10 -2
0.00000000
M6thodes d ' A p p r o x i m a t i o n pour les Op6rateurs M o n o t o n e s 3 ~ Pour h = ~s les r6sultats 11u ~ - / , / [ t L ~ = 1 , 0 1 2 2 4 " 10 - 5 .
se stabilisent
pour
N=80
it6rations.
81 On
a
Tableau 7
u(x, 0.4) 0.00000000 9.21600000.10
-3
1.76640000.10 - 2 2.53440000.
10 - 2
3.22560000- 10 - 2 3.84000000.10 - 2 4.37760000. 10 - 2 4.83840000.10 - 2 5.22240000.10 - 2 5.52960000.10 - 2 5.76000000.10 - 2 5.91360000.10 - 2 5.99040000.10 - 2 5.99040000- 10 - 2 5.91360000 10 - 2 5.76000000 10 - 2 5 . 5 2 9 6 0 ( 0 10 - 2 5.22240000 10 -2 4.83840000 10 - 2 4.37760000 10 - 2 3.84000000
10 -2
3.22560000 2.53440000 1.76640000 9.21600002 0.00000000
10 - 2 10 - 2 10 - 2 10 - 3
Uh(X, 0.4), h = ~
(bl--Uh)/U
0.00000000 9.19872813.10 - 3 1.76627579- 10 - 2 2.53295384.10 - 2 3.22535164.10 - 2 3.83872100.10 - 2 4.37722860.10 - 2 4.83721062.10 - 2 5.22190774.10 - 2 5.52844527. 10 - 2 5.75938904- 10 - 2 5.91243752.10 - 2 5.98967012. 10 - 2 5.98919130- 10 - 2 5.91278197. 10 - 2 5.75903327 10 - 2 5.52868084 10 - 2 5.22164886 10 - 2 4.83735406 10 - 2 4.37704841 10 - 2 3.83878238 10 -2 3.22523784 10 - 2 2.53293789 10 - 2 1.76622074 10 - 2 9.19781072 10 -3 0.00000000
0.00000000 1.87411837.10 - 3 - 7.03194540 9 10 - 5 5.70611894 9 10 - 4 - 7.69967793 910 - s - 3.33074250.10 - 4 8.48410257 9 10 - 5 2.45821621 9 10 - 4 - 9.42591016 - 10 - 5 2.08836536.10 - 4 - 1.06069977 9 10 - 4 - 1.96577031 9 10 - 4 1.21842441 9 10 - 4 -2.01773428.10 -4 1.38330690- 10 - 4 1.67835026.10 - 4 - 1.66226029 9 10 - 4 1.43829959.10 -4 -2.16174018.10 -4 1.26003431 9 1 0 - 4 -3.17088199.10 - 4 - - 1.12278187- 10 - 4 -
--5.76905867.
10 -4
1.01486381 9 1 0 - 4 - - 1.97366528 9 10 - 3 0.00000000 --
Le temps d'ex6cution en Control Data 3600 en fonction du nombre de points e t d u h o m b r e d ' i t 6 r a t i o n s n 6 c e s s a i r e s ~t l a s t a b i l i s a t i o n t o t a l e d e s r 6 s u l t a t s e s t r 6 s u m 6 d a n s le t a b l e a u s u i v a n t : Tableau 8 N o m b r e de points du r6seau
N o m b r e d'it6rations
Temps d'ex6cution en secondes
121 441 676
50 70 80
19 s 126 s 310 s
R e m a r q u e 9 . 3 . O n p o u r r a i t a m 6 1 i o r e r g r a n d e m e n t le t e m p s d ' 6 x 6 c u t i o n e n i n v e r s a n t le L a p l a c i e n p a r l a m & h o d e d e r e l a x a t i o n s s u c c e s s i v e s p a r b l o c s (el. [6]) au lieu de la m6thode de Gauss-Seidel par points.
R e m a r q u e 9 . 4 . Si l ' o n c o n n a i t u n e m a j o r a t i o n ~t p r i o r i d e l a s o l u t i o n u, o n p o u r r a i t p o s e r d a n s les f o r m u l e s ( 8 . 1 0 ) e t ( 8 . 1 1 ) N = 2 [u], c e q u i d i m i n u e g r a n d e m e n t le n o m b r e d ' i t 6 r a t i o n s . M a i s ici n o u s n ' a v o n s u t i l i s 6 q u e d e s m a j o r a t i o n s p r i o r i s u r l ' o p 6 r a t e u r l u i - m ~ m e , q u i c o n d u i s e n t ~t u n c o e f f i c i e n t N m o i n s f a v o r a b l e . 6
Arch.Rational
Mech.
Anal.,
Vol.
28
82
H. BREZISt~ M. SIBONY: M6thodes d'Approximation pour les Op6rateurs Monotones
Remarque 9.5. P o u r les essais num6riques en d i m e n s i o n 2, n o u s avons pris s = 4 0 . D e m~me q u ' e n d i m e n s i o n 1, on p o u r r a i t d i m i n u e r la valeur de s, t a n t que le coefficient de c o n t r a c t i o n 0 = 1 - s 2 / C 2 n'est pas t r o p voisin de l'unit6. ( O n p e u t r6soudre le p r o b l ~ m e p o u r s = 5.) P a r contre, si on p o u v a i t a v o i r un p a r a m ~ t r e p = p , f o n c t i o n croissante d u n o m b r e des it6rations c o m m e 0 = 1 - s p , o n en d6duirait un coefficient de c o n t r a c t i o n t o u j o u r s inf6rieur h 0,9 p a r exemple, ce qui p e r m e t t r a i t de r6soudre le p r o b l ~ m e de la r6gularisation d u p a r a g r a p h e 3.
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(Manuscrit refule I mai 1967}
