Parametrixmethode zur LSsung yon Randwertproblemen. Von
Ludwig Sauer
in Frankf~urt a m Main.
Teil 2.
B i l d u n g u n d E i g e n s c h a f t e n der P a r a m e t r i x . Die vorliegende Arbeit setzt inhaltlich und formal (fortlaufende Bezeichnung der Nummem, Formeln usw.) die Parametrixmethode Tell 1, Auf]Ssung yon Integralgleichungen zweiter Air, Math. Annalen l l 8 (1942), S. 385-440, fort. Im iibrigen verweise ich auf die Vorbemerkung des ersten Teiles. Die nachfolgenden Literaturhinweise beziehen sich auf d~s im Tell 1 zwischen VorbemerkLmg und Nr. 1 zusammengestellte Literaturverzeiclmis. Teil 1 brachte zuerst den Abschnitt I: ,,AuflS~ngstheorie der IntegIalgleichungeIi zweiter Art auf Grund von Kerniteration und Kelnabspaltung" (Nr. 1 his 8), danach den Anfang yon Abschnitt II: ,,Wesen und Bildung der Parametrix P fiir Randwertprobleme zweiter Ordnung im Zweidimensionalen" (Nr. 9 bis 11). Nachfolgend beende ieh den Abschnitt II (Nr. 12 his 17) und bringe anschliel]end den Abschnitt III: ,,Eigenschaften der Parametrix Y fiir Probleme zweiter Ordnung im Zweidimensionalen" voltstEndig. Eine sp~tere VerSffentlichung soll sich mit der AuflSsungstheorie fiir Randwertprobleme mittels der Parametrixmethode befassen (Abschnitt IV). 12. Das Wesen tier P-Methode. a. Die Parametrixmethode (P-Siethode) yon HiIbert ist neben der in Nr. 11 angedeuteten Method e zur AuflSsung elliptischer Randwertprob]eme mittels Greenscher Fudktionen (G-Methode) und derjenigen mittels GrundlSsungen eine dritte Integralgleichungsmethode. Hi]bert 15st die Differentialgleichung E U ----A -
+ 21 .
+ C.
mit A C - - / ~ > O ,
+ Ao.
A >0;
+ Bo.
+Co. U = F
vgl. (10.1).
Dabei ist der Ausgangsbereich b fiir die Punkte t ----t (x, y) die KugeloberfI/iche (Hilbert, 6. Mitt., S. 9 und 13). An Stelle einer eigentlichen Randbedingung wird eindeutiges Verhalten auf b gefordert (Hilbert, Kap. VIII, S. 65). AUe vorgegebenen Funktionen werden bei Hilbert beliebig oft differenzierbar vorausgesetzt CHilb~t, 6. Mitt., S. 10). Zum Beweis der beiden Defekts~tze und des LSsungssatzes wird tier Dffferentia]ausdruck • allgemein und zum 5*
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L. Sauer.
Beweis der Existenz einer Greenschen Funktion G wird dort der Kiirze halber tier sieh selbst adjungierte Fall/~ = E angenommen (Hilbert, S. 23); dabei ist
Hilbert bildet unmittelbar fiir E an Stelle von G eine ,,Parametrix" /) = P (t, t') = P (x, y; x', y'). Dieses P erfiillt vor allem die Eigenschaften I, I I und IV wie G in Nr. 11 a, d.h.: I. P ist zweimM stetig differenzierbar nach (x, y, x', y') flit t und t" in b, solange R --= R ( t , t') :> 0 ist; R e = (x -- x') 2 -~ (y -- y,)2; ferner ist P Q 1 + Ilog R I u n d die ersten Ablei~ungen yon P sind ~: 1 : R 1). II. P ist fiir R -> 0 in solcher Weise singular, dag die Greenschen Formeln 1.
und
~P.E'U'dt'=~Y_P.U'dt'--U
2. E J P . F ' dt'
-= J . E P . F ' d t ' -- E
bestehen; vgl. (11.1, 2). IV. ~ P . F ' d t ' hat die yon U allgemein geforderten Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften; vgl. (10. 3, 4, 5). Ferner gilt die Dffferentialu~gleichung (12.1)
/~P~I'R
und somit auch
E'P,~I'R
anstatt dem in Nr. l l a angegebenen I I I ; P geniigt demuach nicht einer homogenen Differentialgleichung wie G (und zwar homogen, wenn das urspriingliche und das adjungierte Randwertproblem keine Eigenl5sungen auBer Null haben, d.h. wenn r = 7 = 0 ist). Dann wird wegen II, 1 und E ' U' = F ' die Integralgteichung (12.2)
W -- ~ E-' P " W ' dr" = -- ~ P . F ' dt'
durch W == U gel5st, wobei flit den D e f e ~ r der Differentialgleiehung r ~ 0 gilt; (12.2) besitzt m5glieherweise aueh solche LSsungen, die nicht gleiehzeitig i) Ich setze (wie am Anfang der Nr. 3 angegeben) Iiir 2 Ausdriicke g und h, die Konstanten oder Funktionen sein mSgen, g ~ h, wenn ]gl < ]k. h[ gilt; dabei sei k eine positive, endliche Konstante oder eine beschr~nkte l~mktion gr6Ber als eine positive Konstante und im iibrigen unwesentlich. Entspreehend sind ~__~,~ , ~ , ~ zu defirderen. Danaeh wtirde P durch die bier nicht gestellte Forderung P < log R oder P <: 1 + log R wegen der M6glichkeit log R ~ 0 ffir R = 1 und 1 + l o g / t ~- 0 fiir /~ ~ l : e unerlaubt eingeschrgnkt. Wfirde andererseits yon /t gefordert, dab log R fiir t und t' in b nirgends Null w~re, so k6nnte dins n u t durch eine unerwiinschte Einschr~nkung des gr6Bten Durchmessers yon b erreicht werden. (Vgl. dagegen die ~uBnote zu Nr. 16a betreffs Absch~tzung dutch log n.)
Parametrixmethode. 2.
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die Differedtialgleichung • U = F befriedigen. (12.2) entspricht der fiir G abgeleiteten Integralgleichung (I1.5) und tritt jetzt an die Stelle yon (11.3)
U =--~G.F'dt'
fftr r = 0.
(12.2) ist eine der in Nr. 1 d angegebenen Integralgleichungen mit dem Kern N" R und ist nach Abschnitt I zu 15sen. Hi]bert bezieht sich auf die Fredholmsche AuflSsungstheorie (vgl. Hi]bert, S. 17, ferner Lit. Fredholm). Diese ist fiir (12. 2) nicht vollstt~ndig durchgeffihrt (wie in Nr. 2d festgestellt wurde), was in Nr. 5 nachgeholt wurde. Hilbert sondert fiir sein Beispiel aus der allgemeinen LSsung yon (12.2)die L5sung der Differentialgleichung E U -= F aus. (Hilbert, S. 8--24, und die Ankimdigung davon in der 5. Mitteilung, 1906, S. 480. Bedeutung und Wesen der ]~dlbertschen P-Methode erbrtern Hellinger, Nr. 21 daselbst, Lichtenstein Diff.gl., S. 1296 und 1307, Llehtenstein konf. Abb., S. 7--8. In allen dmsen Arbeiten wird aueh auf verwandte ~berlegungen hingewiesen. Die ]-Iilbertsche P-Methode wird fur elliptische Gleichungen im komplexen Gebiet yon Haupt fortgefuhrt; vgl. Literaturangabe. Haupt bildet ein abgeschlossenes P und beweist auch r = 7. Eine nahere Beziehung zu meiner Arbeit besteht nicht. Ferner vgl. M~thlsson; Eine neue Lostmgsmethode ffir Differentialgleichungen von normalem hyperbolisehem Typus, Math. hnualen 107 (1932), Hcft 3, S. 400--419. Er benutzt ein unsymmetrisches P, dessen Form er im Heft 4, S. 648, in einer fur die Anwendung unwesentlichen Weise berichtigt. Die Arbeit wird fortgesetzt in : Die Parametrixmethode in Anwendung auf hYl~rbol. Gleichungssysteme, Prace, mat. fiz. 41, S. 177--185, Warschau 1934. Das yon Mathisson gebildete P hat keine Beziehtmg zu dem P vorliegender Arbeit.)
b. Von der Hilbertschen P-Methode ausgehend entwickle ich ein Vet/ahren zur LSsung allgemeinerer Randwertprobleme der reellen Analysis. Dieses Verfahren wird im Abschnitt IV ftir folgende beiden Probleme durchgefiihrt: (10.7)
E U - = F in (b0--d0) und U = 0 auf do mit A C - - ~ B ~ = 1 und A > 0; b0 ein in Nr. 9b definierter eckenfreier Bereich m~t dem Rand do (Fig. 1);
(10.8)
~U§ TU=F in b ( ~ ' g l , g o _ , . . . , g p ) - - d ( n ' g l , . . . . g~) und U = 0 auf d ( . n ' g l , - . - , gp); b = b ( ~ ' g l , . . - , g..) ein in Nr. 9 c u n d d definierter Bereich mit den Eckenwinkeln u 9g~, ~" go, 9 9 z " g~ und dem Rand d = d(z" gl, . . . , qp) (Fig. 2); gl, g~, 9 9 -, gp h'gendwelche ZahieI~ der Reihe 2, 3, . . . ; T U ~ Ao" U~ -~ Bo, U~ -i- Co. U.
Die yon U zu fordernden und yon den vorgegebenen Funktionen .4 bis F angenommenen allgemeinen Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften wurden in Nr. 10a zusan~mengestellt; die Haupteigenschafter. yon F wiederhole ich in nachfolgender Nr. 20b, VI. Ferner wird die Grundlage des angelziindigten Veffahrens im Abschnitt V auf weitere Prc~bleme ausgedehnt. Dutch nachfolgende P-Methode werden 1. Probleme mit ,,e~gentl 9 " i cnen ~ " Randbedingungen und diese ,,unmittel~ar" getSst; ,,eigentlich" heiflt (wie in Nr. 10c n~her angegeben), dal~ ein
70
L. Sauer.
etliptisches Randwertproblem mit einem wirklichen Rand ~ vorliegt; ,,unmittelbar" wird anschliet}end 5 erkl~rt; 2. die Probleme grunds~tzhch einfacher getSst als mittels der in Nr. 11 angeffihrten G-Konstruktionen; 3. bisher nicht oder nut teilweise behandelte~ Probleme gefSrdert und erledigt; 4. die G dutch P so dargestellt, dab das Verhalten der G fiir R --> 0 und fiir t oder t' am Rande d und das Zusammentreffen yon singlfl~rem und Randverhaiten unmitteibar und im einzelnen mittels expliziten Formeln dutch das entsprechende Verhalten yon P wiedergegeben wird; man braucht sich also nicht nut auf Existenzaussagen wie bei G fiir komplizierte Probleme zu beschriinken;
Fig. 1. Eckenfreier Ausgangsbereich bo mit dem Rand do, (bo --do) dreifach zusammenhangend.
Fig. 2. Eckiger Ausgangsbereich b = b (zr: 2, 2, 3, 4, 4, 6, I0) mit dem Rand d, { b - d) vierfach zusammenhangend.
5. die L5sungstatsachen in ParaUele zu den entsprechenden der IntegralgJeichungstheorie gesetzt und insbesondere dutch die Theorie fiir die allgem~nste Greensche Funktion und ihrer kennzeichnenden Sondeff~Ue vervoU-
stencil. Unter ,unmJt~elbarer" ~Behandlung der Prob]eme vers~ehe ich den Yerzicht auf Grenzvorgii~uge ~ud auf die Zwischenschaltung einfacherer Probleme, die ich in Nr. 11 b u n d c e r w ~ n t e . In diesem Sinn w~ren die AuflSsungss~tze nach der friiheren G-Methode nut fiirbo bekannt und ,,geniigen also nicht, um die Randwertaufgabe fiir ein so einfaches Gebiet wie ein Dreieck aufzulSsen" (Itahn-Lichtenstein-Lense, S. 1309). In vorliegender Arbeit werden beispielsweise be[ zweidimensionalen Bereichen Eckenwinkel e = zr:g, g ganzzahlig und g > 1, zugelassen, ferner auch Doppe!stJicke des Randes, die bei der
Parametrixmethode. 2.
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mittels spezieller CJrenzvorg~nge erreichten Jordanschen Kurve beim G-Verfahren nicht auftreten diiffen (Lichtenstein, Diff.gI., S. 1291). Neben dieser P-Methode, die nach dem Vorgang yon Hilbert auf der eine partielle Integration ausdriickenden Greenschen Formel (Nr. 12a II 1) fuJ~t, gebe ich noch diejenige f'dr P auf Grand der eine Vertauschung von Differentiation und Integration bewerksteUigenden Greenschen Formel (Nr. 12a II 2) entsprechend "der an (11.6, 7) anschlieJ3eaden G-YIethode an. Dabei stelle ich geringere Ergebnisse auf einfachere Weise lest. Auch vervollst~,ndige ich damit den Vergleich der P-Methode mit der G-Methode. Die P-lYIethode kSnnte man mit Nr. l l b , III kombinieren; man wiirde dabei mittels P ein reduziertes G angeben, und zwar f'dr altgemeinere F~i~e als fiir den Differentialausdruck zJ und einen ecl~enfreien Bereich b0. Ferner kSnnte man die P-Methode auf den Fall r -~ 0 beschr~i~en und dann den Fall r > 0 mit der Eigenwerttheorie entsprechend (11.4) erledigen (ttilbert, S. 25--34). Auf beide l~ISglichI~eiten geht vorliegende Arbeit nicht ein. c. Der erste und e~tscheide~de Sch~'itt der lP-Methode beste]~t i~ der Bildu~g der Para~netrix P. Aul~er den in Nr. 12 a fiir das Hilbertsche P angegebenen Eigenschaften soll P in Erg~nzung der Differentialungleichung (12. 1) noch den in Nr. 11a unter III angegebenen Randbedingungen wie G geniigen, n~i~nlich
(12.3)
P = 0 fiir t auf d, wenn t' in b,
und
flit t' auf d, wenn t in b liegt; R > 0. Da G auJ]erdem einer (vollst~kudigen oder reduzierten) Differentialgleichung geniigt, l ~ t sich zeigen, daJ~G bis auf einen linearen Ausdruck in EigentSsungen yon E und E bestimmt ist (vgl. Abschnitt IV). Hingegen l~J~t die Differentialungleichung fiir P unendlichviele BildungsmSglichkeiten fiir P zu. Nachfolgend wfrd P fiir das Randwertproblem (10. 7) im allgemeinen in (16. 5) and in einem besonderen Fail in (16.6), weiter fiir das Randwertproblem (10. 8) im allgemeinen in (17.3) und in besonderen F~llen in (15. 2), (17.1) und (17.2) genau angegeben. Ferner wircr P fiir verschiedene Erweiterungen der Randwertprobleme im Abschnitt V an mehreren Stellen angegeben oder angedeutet. P wird auf unmittelbare ~Weise als eine Funktion gebildet, die wesentlich weitergehende Eigenschaften wie das P f'tir das ttflbertsche Beispiel hat. Denn es so]] das Unendlichwerden yon P fiir R --> 0 als kennzeicbnende Singularit~t (Nr. 12a, II)" n~t dem Nullwerden auf d als Raadeigenschaft unmittelbar zu einer explJziten Darstellung yon P derart verbunden werden~, dab vor allem der Kern yon (12. 2) im engeren Sinne uneigentlich singular wJrd (vgI. Nr. 2e) und insbesondere (12. 1) gilt. Hierbei
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L. Sauer.
sind weitergehende Fordenmgen zu be~iicksichtigen, die sich erst bei der Aussonderung der allgemeinen LSsung yon (10. 7 bzw. 8) aus der allgemeinen LSsung yon (12. 2) bemerkbar machen, Das griinde ich auf eine wesentliche Verallgemeinerung des bekannten t)rinzips der Spiegetung bei gewissen Abstandsfunktionen, wie in de~ niichsten Nr. 13 erkl~rt wird. (Vgl. IAchtenstein, Diff.gl., S. 1290, ferner Courant, Bd. 1, S. 297, 305, 310, 312~313, und ]3d. 2, S. 241--242. Nicht gemeint ist die Spiegelun~ fhr L(isungsfunktionen; vgl. Lichtenstein, Diff.gl., S. 1303, Fut~note 59, ferner Courant, Bd, 2, S. 247.)
Der Nachweis der weitergehenden Eigenschaften yon P macht eine wesentliche Vertiefung bekannter potentialtheoretischer Hiffss~tze und Methoden efforderlich. Sind die Haupts~tze bewiesen, so geniigt es zur Vorbereitung einer praktischen AuflSsung, das Randwertproblem dutch irgendeine P-~hnliche Funl~tion, die nicht die weitergehenden Eigenschaften wie P zu haben braucht, auf (12.2) zurfickzufiihren. Dann ist dutch Einsetzen der allgemeinen LSsung yon (12. 2) in E U = F aus dieser die allgemeine LSsung yon (10.7 bzw. 8) auszusondern. Ist bekannt, dal~ ,r = 0 gilt, so kann man auch den Ansatz U ~ ~ j" P . Z ' d t ' an Stelle yon (11. 6) benutzen. D a / ) gegeniiber G elementar gebildet wird, kSnnte man vielleicht so einer numerischen Behandlung der Randwertprob]eme einen Weg bereiten. Ein solcher ist fii~ die gleichen Probleme nach dem bisher iiblichen Verfahren im allgemeinen nicht gangbar (vgl. auch Hell.-Toepl., S. 1501--1502). 13. P ~
Halbebene and Winkelraum e - - ~ go : g zweier Geraden darch Spiegelp~mkte ausgedriickt.
Die Bildung einer Parametrix P fu~t auf dem angek~dudigten P~inzip der Spiegelung bei gewissen Abstandsfu~ionen (Nr. 13a). Dieses fiih~t anf Parametrizes P fiir tIalbebene (Nr. 13b) und oftenen Winke!raum zweier Geraden (Nr. 13c), die ieh sparer in allgemeinere P iibe~fiihre. Halbebene und oftener Winkelraum sind Ausnabmen von dem anfangs Nr. 9a eingeffihrten Berelch b, weil sie unbeschr~n]~ sind. Demnach sind sie als Grundbereiche fiir Randwertprobleme unzul~ssig. Ich benutze sie nut zum Aufbau allgemeinerer b. a. Es mSgen in der x y-Ebene die Geraden dl, d2, . . . vorIiegen, u, v, ..., seien positive, ganze Zahlen. Spiegele ich t zuerst an d~, dann diesen ~9/~geL punkt an d~ usw. his zur Spiegelumg an d~, so kpmme ich auf einen Punlct, den ich mit t(u, v , . . . , p) bezeichne. Gelegentlich setze ich t(0) -- t. Man schreibe M(u, v, . . . , p ) b z w . S ( u , v , . . . , io; u', v', . . . , p'), wenn mant - - - - t ( u , v , . . . , ~p) lind t' = t" (u', . . . , p') in irgendeine Ftmk~tion • -~ M (t) bzw. S -- S (t, f)
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Parametrixmethode. 2.
einsetzt. Dutch wiederholte Anwendnng yon R (u; 0) = R (0; u) 3) erh~lt man (Fig. 3) (13.1)
R ( u , ...,
s, q, ~a; o) = R ( u , . . . ,
s, ~l; , , )
= l~(u, . . . , s; p, q) . . . .
= R (0; lo, q, s , . . . , st). Ich betrachte (Fig. 4) die Punkte
(13.2)
t(UV a)
und
t(vu~),
w~iter
(13.a)
t ( u , v u ~)
und
t(v, u v a)
hierbei ist u v0 ~ (uv)o dutch l~ull zu -ersetzen; ferner bezeichnet uv ~(uv)" ffir a > 0 die a-real wiederholte doppelte Spiegelung erst an der Geraden du und dann an der Geraden d,. d~ und d~ sollen sich im Endlichen sctmeiden, e sei einer der mSglichen Winkelraume, die yon d~ und do gebildet werden. Stets sei
ffir a = 0 , 1 , 2 , . . . ;
/
e
o /,~)
~J.
(13.4) entweder 0 < e < < e <2~r. Fig. 3. R ( 2 , 4 , 1 , 3 ; 0 ) = R(2;3,],4). oder Dagegen sind in (9. 1) die Grenzen e = 0 u n d e - - z zugelassen. Alle genannten Punkte haben yore Schnittpunkt yon du :nit do den gleichen Abstand. Von diesem Abstand abgesehen bestimmt sich die Lage yon jedem Punkt t = t (u, v, . . , p) dutch den Winkd w --= w (u, v , . . . , ?), den der vom Schnittpunlct ausgehende Leitstrahl nach t m i t der den e=Raum abgrenzenden Halbgeraden yon d~ bildet, w soll im Sinne der Drehung der letztgenannten ttalbgeraden fiber den angrenzenden e-Ranm hinweg posi~iv geaommen werden, w ist bis auf positive oder negative ganzzahlige Vielfache voa 2 zr bestimmt. Ich beweise (13.5)
w ( u v a) =--- q- 2 ae + w(O) und
w ( v u a) ~- -- 2 ae q- w(O)
(rood 2 z) (rood 2 ~),
ferner w ( u , ~u~) = -
(13.6) und
2 a e - w(O)
w(v, u v a) == + 2 (a + 1) e -
w(0)
(rood 2 .~) (rood 2 ~),
2) Man beachte, dab R(t, t') den AbsCand des Punktes t yon t" bezeichnet (vgl. l~r. 12a I) und /~(u; v) den Abstand des Spiegelpunktes t(u) yon dem Spiegelpunkt t'(v). Insbesondere ist also R(t, t') ---- R(0; 0). i m Text ist R(u; 0) die ]Entfernung des Spiegelpunktes t(u) yore Parameterpunkt t' ~- t'(0).
74
L. Sauer.
stets fiir a = 0, 1, 2 , . . . bis zu einer beliebigen endlichen (positiven, ganzen) Zahl. Fiir a = 0 ist (13. 5) nach Definition und (13.6) nach elementargeometrischer t3berlegung richtig. Nel~me ich (13.6) fiir irgendein a der angegebenen ZaMenreihe als erwiesen an, so folgt daraus wegen der Giiltigkeit fiir a = 0 zuerst (13.5) fiir (a ~- 1) anstatt a und dann aus letzterem (13.6) f'tir ( a - 1) anstatt a. Damit sind alle vier Formeln bewiesen. g~3' e,
u'~v/X-i-:-~C. I 7," \ 'l
7
,/\tl
/
,~,
T""---.
/
.+ ' ~ ) , i = , - k
z:S
=trv~vap,~
~,:t;;2,/
\
.,' ) 7
'%
~ ,~
]l" SS
t (VU)o'~, ./
z=O
Z=5
/
o,
i v i
I/,/
A:s
-.:....
/
" ~ (zzva)
"~',,~=,9
~(vuej'/ . . . .
/z =2
\z =8
Fig. 4. Spiegelpunkte eines Strahlenbiischels. Die ftir w (0) = 2 ~ : 5 zusammenfallenden Punkte sind durch 0 gekennzeichnet.
Es sollen fiir jedes t(0) nut endlichviele verschiedene Spiegelpunkte (13.2, 3) vorhanden sein. Dann kann man zuerst die Existenz einer gaazen Zahl g fordern, fiir die
~,(uv ~+~) =_ w(u@)
(rood 2 ~)
gilt. Also mul3 (13.7)
e = ~go'g
sein; hierbei bedeutet go irgendeine ganze, zu g teileffremde Zahl, yon der wegen (13. 4) 0 < go < g oder y < go < 2 g anzunehmen ist. Dann gilt aueh w@u ~ w(u, vu ~
-= w (~u=)
(rood 2 n),
_ u ( u , vu=)
(rood 2 n),
w(v, u v =+g) ~_ w(v, u ~ )
(rood 2 ~).
75
Parametrixmethode. 2.
Mit gleichem Ergebnis k a n n man yon jeder der drei letzten Gleichnngen ausgehen. Umgekeh_rt fo]gen letztere vier w-GIeichnngen aus (13. 7). Demnach gilt der H i l f s s a t z I. (13.7) ist gIeichbedeutend mit der Existenz yon n u t endlichvielen unterei~ander verschiedene~ P u ~ k t e n (13.2, 3). Setzt man e = zgo" 2 c, c irgendeine ganze positive Zahl, in (13.5) bzw. e --- ~go" (2c + 1) in (13.6) ein, so finder man w ( u v c) ~ w ( v u r (rood 2 s ) bzw. w ( u , v u s) ~ w(v, u v ~) (mod 2 ~ ) . U m g e k e h r t sei ein c vorhanden, so dab die vorletzte bzw. letzte Gleichung fiir jades t(0) gilt. Dann mug e = :rg o 9 2 c bzw. e = 7rgo" (2 c q- 1) sein. Demnach gilt der t t i l f s s a t z II. e = xgo" 2 c bzw. e = :~go" (2 c + 1) ist gleichbedeutend mit t ( u v c) = t ( v u ~) bzw. t(u, v u ~) = t(v, uvc). I m FaU (13.7) e n t h a l t e n die P u n k t e (13.2, 3) fiir a = "0, . . . , (g 1) alle u n t e r e i n a n d e r verschiedenen P u n k t e dieser Art. Ich zeige, dab hierbei je zwei P u n k t e zusammenfallen. ~qach (13.5) ist w (uv a) = w (vu ~) (mod 2 ~) fiir a und m = 0, . . . , (g -- 1) a n d alle t(0), wenn entweder a = m = 0 oder a + m =- g ist. Somit ist t(uvo) = t(vuO) =- t(O) und t ( u v a) -- t ( v u q-a) f'fir a = l , . . . , ( g - - 1). Nach (13.6) ist w ( u , v u ~ ) ~ w ( v , u v ~) ( m o d 2 ~ ) fiir a u n d m -- 0, . . . , (q -- 1) und alle t(0), wenn a q- m q- 1 = g i s t . Somit ist t(u, v u a) = t(v, u v q - l - ~ ) fiir a = 0 , . . . , (g -- 1). Demnach gilt der -
Hilfssatz
III.
-
Jeweils g untereina~uter "~erschiedene P u n k t e sind
1. i m Fall e = :rgo" 2 c die lPuahe ( 1 3 . 2 ) / / / r a =: 1 , . . . , c ~ 2, dazu t(O) und t (uv ~) = t (vu~), w e n n c ~ 1; 2. i m Fall e = ~go " 2 c die P u n k t e (13. 3) ] i i r a = 0 , . . . , ~. im Fall e = ~ g o ' ( 2 c + 1 )
die P u n k t e
(13. 2)
(c -- t), w e n n (c -
1);
///r a = 1 , . . . , c ,
dazu t(0); 4. i m Fall e = ~go" (2 c + 1) die P u d k t e ( 1 3 . 3 ) / / / r a = 0, . . . , (c - 1), dazu t(u, v u ~) = t(v, uv~); alte weiteren P u n k t e yon .(13.2, 3) /allem mit vorstehen~n z u s a ~ m e n .
Diese u n t e r der Voraussetztmg (13.7) auftretenden l~micte bzauche ich auch in folgender Anordnung (Fig. 4). Zu w (0) bestimme ich eine Zahl z d u t c h
g) =<
< (z + 1)
g)
trod maehe z durch Beschr~nkung auf die Reihe
z = o,
1)
eindeutig, t c h bezeichne t (0) mit tz und den aus t~ durch SpiegeIung a m Strahl w = (m + I) (~r- g) bzw. w = m r : g hervorgehenden P a n l ~ mit t~ + 1 bzw.
76
L. Sauer.
t,~_ 1- H i e r i n sol1 m n a c h e i n a n d e r die Zahlen z, z + 1, z + 2 , . . . bzw. z, z - - 1, z -- 2 , . . . d u r c M a u f e n . D e m n a c h fallen die Punlcte t,, ffir m = 0 , . . . , (go - - 1) in d e n Winl~elraum e = go~" g zwischen d~, u n d d~. Liegt a u c h t (0) in diesem Winl~elraum, so ist einer d e r g e n a n n t e n P u n k t e gleich t (0). D a n n liegt in ibm n u r to = t(0), w e n n go = 1 ist. I c h beweise
(13.8)
w(t~n) ~ (m -- z ) ( g ' 9 ) + w(O) fiir m - - z
=0,
(rood 2 g)
~2,--4,
...,
ferner (13.9)
w(t~)=(m+z+
1) (x" g) - - w(0)
fiirm--z=~'
3 , ~1,--', 5,__
_
(rood 2 ~ ..
9
beidemal lguft (m -- z) bis zu einer beliebigen, endliehen (positiven, g a n z e n ) Zahl. (13.8) g e h t fiir m -- z = 0 a u s d e r D e f i n i t i o n y o n t~ hervor. N e h m e ich (13.8) fiir irgendeine g e r a d e Zahl (m -- z) als riehtig an, so folgt d a r a u s w e g e n (13. 6)" f'fir a = 0 z u e r s t (13.9) f'fir (m ~ 1) a n s t a t t m u n d d a n n aus l e t z t e r e m (13.8) fiir (m -:-' 2) a n s t a t t m. D a m i t sind beide F o r m e l n bewiesen. Aus ibnen folgt t.~+2g -=t,,,, f'fi_r m ~ 0 , ~ 1, ~ 2 , . . . . Vergleicht m a n u n t e r d e r V o r a u s s e t z u n g (13.7) einerseits (13.5) m i t (13.8) u n d a n d e r e r s e i t s (13.6) mit (13.9), so finder m a n d e n H i l f s s a t z IV. Die tm stimmen mit den Punkten ( 1 3 . 2 , 3) iiberein; insbesondere durchlau]e~ die g ira allgemeine~ unterei,aander versvhiedenen ~ /iir m--z-~0,2,4,...,2g--2bzw, ra--z =1,3,5,...,2g-ldieimHil]ssatz I I I angegebenen Punkte 1 ]iir g -= 2 c und 3 ]iir g -= 2 c + 1 bzw. 2 ]iir g -= 2 c und 4 / i i r g = 2 c + 1; dabei ist yon der Reihen]olge solcher 9 Punkte abzusehen a). Schliei31ich stelle ich die n o t w e n d i g e n u n d h i n r e i c h e n d e n B e d i n g u n g e n fiir d a s Z u s a m m e n f a l l e n v o n P u n k t e n t,~ lest, wobei m - z = 0, 1, 2 , . . . , 2 g - 1 sein soll. D i e l~unk-te (13.8) flit m - z = 0, 2 , . . . , 2 g - 2 sind ebenso wie die lbmlcte (13.9) f'dr m - z = 1, 3 , . . . , 2 g - 1 s t e t s u n t e r e i n a n d e r ~erschieden, da aus w (t~) ~ w (t,) (rood 2 ~) fiir n -- z = 0, 2, . . . , 2g--2 bzw. n - - z = 1, 3, . . . , 2 g - - 1 u n d e t w a n < m beidemal (m - - n) ( g ' ~ ~- 0 (mod 2 ~ ) , also m = n [olgt; die Punlcte (13.8) liegen ebensowenig wie die P u n k t e (13. 9) in b e n a c h b a r t e n WirLkelrii,umen ( ~ : g ) . W e l t e r schlieSt m a n aus w (tin) ----w (t,) (rood 2 x) fiir m - - z = 0, 2, . . . , 2 g - - 2 a) Durchlguft man also die Folge der 2 g untereinander verschiedenen Werte t m ffir m -- z = 0, 1 , . . . , 2 9 -- 1, so ergibt sich genau abwechselnd je ein Punkt yon
(13.2) und (13.3).
77
Parametrixmethode. 2.
und ~ - z = 1, 3 , . . . , 2 ff ~ 1, wenn also die P u n k t e Winkelr~umen ( s : g ) liegen, dal~ A ~ (m-- ~-- 2z--
1) (~r:g) A- 2w(0) ~ 0
in benaehbarten (mod 2 ~)
sein muir. Hierin ist nach Definition yon z
(m-s-1)(=-g)
=
1)
also entweder A =0,
w(O) = z ( x ' g ) ,
m--n--1
=0,
oder A =--2~r,
w (0) -= z (= " g), m - - s - - l - -
2g;
dabei kann m - - n - - 1 =--2g nut fOr m - - z = 0 und s - - z ~ 2 g - 1 eintreten. Ist u m g e k e h r t w (0) ~ z (s" g), d. h. liegt t (0) auf einem der ausgezeichneten 2 g Strahlen, so fallen for m - n - 1 = 0 oder m - s - 1 -= -- 2 g je zwei der angegebenen 2 g P u n k t e zusammen. Somit ergibt sich der t t i l f s s a t z V. Fiir w(O) = z ( s " g), w e n s also t(O) a.u/ dem R a n d eines Winkelraumes (7e'g) liegt, und ~ur da/iir /allen P u n k t e t,~ ]iir m - z 0, 1, 2, . . . , 2 g -- 1 zusammen, und zwar t,~ =:- t,~ ~_2 g- 1 ]iir m -- z -= 0 u n d t,~ = t,~_ 1 /iir m -- z ~- 2, 4, . . . , 2 g -- 2; im iibrigen, also i m al~emeinen Fall z ( z t ' g ) < w(O) < (z + 1) ( ~ ' g ) , w e n s demnach t(O) i m I n n e r s ein,es Winkelraumes (~" g) liegt, sind die t,~ ]iir m -- z -=- O, 1, 2 , . . . , 2 g -- 1 urdereisander verschieden. Somit decken sich auch die Pumkte (13.2, 3) paarweise unter Beriicksichtigung des i m Hil/ssatze IV angegebenen Zusammenhanges, wenn t au/ einem Strahl z (~" g)/iir z = 0, 1, 2, . . . , 2 g -- 1 liegt, u ~ n u t dann tritt sole]tes ein. b. Ich bezeichne die d u t c h (13. 10)
4 ~ - P = - - log R 2 (0; 0) § log R~ (0; u)
definierte F,mlrtion P a l s Parametrix ]iir den Fall E ~ / 1 -~ T, wean eine dutch die Gerade d~ abgegrenzte Halbebene an die Stelle yon b tritt. P ist beliebig oft differenzierbar nach (x, y, x', y') fiir t und t' in b, solange R > 0 ist. Denn es sind aUgemeiner x(u, v , . . . , p) und y(u, v, . . . , p) beliebig oft nach (x, y) dffferenzierbar. Es ist P ~. 1 % flog R 1. Die m-ten Ableitungen yon P sind ~. 1 : R ~. Insbesondere ist /1 P = 0 fiir R > 0. F e r n e r ist ( 4 ~ - P ~ log R ~) beliebig oft differenzierbar nach (x, y, x', y') fOr t in (b -- d) und t' in b einschlieBlich R -~ 0. Es gilt P = P " , das h e i s t P (t, f ) = P (t', t). Sehlie~lich geniigt P den Randbedingungen (12.3). e. Welter bi]de ich die P a r a m e t r i x / i i r den Fall E -- A -~ T, wenn ein oftener Wink~elraum e = 7~go : g zweier Geraden an die Stelle von b t r i t t ; go a n d g wiein (13.7). Die Beschrii.nlrung aufe- < ~ wie in Nr. 9d effolgt erst in Nr. 14c.
78
L. Sauer.
Die Geraden, an denen t mad t" wiederholt gespiegelt werden, bezeichneich mit d= und d~ und setze (13.11)
4 s . P = -- log R2(0; 0) + log R'z(0; u) + logR2(0; v) ~ - - entweder -- logR2(0; uv ~)
his
far g = 2 c
+ iogR~(0; u, vu ~) fiir g = 2 c -t- 1.
oder Dieses P ist gleichbedeutend mit
4:x- P = -- 2:,,,(--1> ~ - : - log tt2(t,t'~) = -- ~,~(-- 1)~-~. log R2(t,~,,t ") far m - - z
=0,...,(2g~1).
Die Endlichlceit des Veffahrens bedingt die Einschi~inkung yon e auf (~9o : 9)Letztere Form yon P besteht aus g Paaren yon Logaritbmen, yon denen jedes Paar far sich genommen dann und nut dana verschwindet, wezm t oder t' auf einem der StrahIen w -= z ~ : 9 far z =-0, 1 , 2 , . . . , 2 g -- 1 liegt. Also ist P = 0 far t oder t' auf allen 2 g Strahlen, )nsbesondere auf d,~ und d~. P hat im Fall go = 1 die far P yon (~3. 10) angegebenen allgemeinen Eigenschaften. Das gilt in sinngem/~er ~bertragung fiir den allgemeJnen Fall go > 1, wobei dann 9o singuli~re Werte R = 0 auftreten. Letzteres wende ich im Abschnitt V an.
14. P fiir Halbebene und Winkelraum e = ~ : g
zweier Geraden
dureh Abst~nde ausgedriickt.
Die durch (13. 10, 11) eingefiit~ten Parametrizes P dIiicke ich nactffolgend dutch R2 (0; 0) = Rz, ~ und n, aus, um diese P in :Nr. 16 und 17 bei krummiinigen Berandungen anwenden zu kSnnen; .t=~r dabei bedeu~et ~ bzw. ~ der Normalenabstand des l ~ n k t e s t = t ( 0 ) yon der geraden d, bzw. d,. o a. Zuerst werden die Abstandsqua-
drate
tCz(vua; O)
und
R2(u, vu'; O) f'fir
a = 0, 1, 2 , . . . bis zu einer beliebigen, endlichen (positiven, ganzen) ZaM [iir (I3.4) ~ ( 0 ; O) = .R~, ~, u~i[ n,~ ausgeitriickt. I m 9 ./~.o) lnut Fall 0 < e < ~ mSgen die negativen Richtungen yon n~ und n~ nirgends in das Innere des Winkelraumes e weisen; im Fall tr~ z~ < e < 2 ~ mSgen die positiven Richtungen /Fig. 5. ~ ( u ; 0) = ~-~ + 4 ~u~u. stets in das Innere zeigen. Aus (Fig. 5) ~~/
t
P a r a m e t r i x m e t h o d e . 2.
79
R2(u; 0) = R~ + 4 n~n', erhalte ich durch den angewandten Schlul~ yon a auf (a-4- 1)
in Nr. 13a wiederholt
R2(v~; O) = R~ + 4 _r~(n~(v, ~v~-~). ~'~ + n~(vu~-~).
~'~)
und
~(~, ~;
o) = R~ + 4 ~ ' u + 4 ~w(~(~v~) 9 ~ + ~o(~, ~ - ~ ) fiir w = ] , . . . , a
- ~'~)
und_ a = 1 , 2 , . . . 4 ) .
Dam_it ist der erste Sdhritt zur angekiindigten Umformung yon (13.10, getan. Ms zweiter Schritt werden in diesen Formeln die n~ und n~ der spiegelten Punkte durch n~ (0) und n~ (0) wiedergegeben. E~ ist, wie sich n~(v) = n~ + 2 cos e - n v und n~(u) --=---nu dutch den Schlul~ yon w (w + 1) unter Anwendung der Regeln fiir Binomialkoeffizienten ergibt,
11) geaus auf
n~(v, uvW) = Z~ ( _ 1)~+~ (2cos e)2m"(( w 2m + m )'n"+k [ w2§m + l n~) -2cose. und n~(uvw ) = Z, ( _ l ) ~ + ~ ( 2 c o s e ) 2 ~ "\~ ~{w+m w + m )l/2cose.n ~) 2m t]n,,-- [\2m+ fiir m = O , . . . , w und w = O, 1 , . . . ; dabei ist (2 cos e)O = 1 auch f'fir e = ~r : 2 uild
( O ) = 1 auch f'fir w = 0 zu setzen. Entsprechendes gilt fiir
und
n,(vuw). Man seize
(14.1)
]o=0 /a--
n~(u, vu w)
und
/~(e)-~ Xw Z'~(--1)~-l+m( w - 2 m l+ m). (2cos e)2~;
ferner
(14.2)
)~'-1 -= 0, ho = 0
und
ha = ha(e) -- X~ X ~ ( - - 1 ) ~ - I + ~ w + m ~-(2cose) 2~+1, \ 2 m + 1/
beidemal fiir m
...,(w--I);
w=-l,...,a;a=l,
2,...;
( 0 ) ==1 und 0~
1.
Somit finder man (unter Anwendung der Regeln f'tir Binomialkoeffizienten) das gewiinschte Ergebnis
(14.3)
R~(wa; 0)
= / ~ + 4/~(nun~ + ~n~) + + 4 (2 cos e-
]~ -- ha)nun'v + 4han~,n'u
~) D a r i n b e d e u t e t beispielsweise n , , ( v , u v w - l ) den Abstand yon der Geraden d= des erst an tier Geraden d v und d a n n ( r -- 1)-mat n a c h e i n a n d e r an d u trod d~ gespiegelten~ Punktes t ~ t(O). Ferner ist n~ der A b s t a n d des P u n k t e s t" = Y (0) yon der Geraden d u .
80
L. Sauer.
und
04.4)
'R2(u, ~)u a; 0) -~ R 2 + 4 ( ]
--
/a -~" 2 COS e. h~)n,,n'u § 4/,n~n',, -F + 4 ha(nun'v + n,,n~)
fiir a --- O, 1, . . . .
Entsprechende Formeln gelten fiir R2(uva; O) und Rg(v, uva; 0).
b. Eigenscha#en der in (14. 1, 2) eingefiihrten Koe//izienten /a (e) und h~ (e). I. e sei ein beliebiger Winkel zwischen 0 and 2 ~ mit Ausnahme yon 0, .und 2 ~. Aus (14. 1, 2) folgen die Rekursionsformeln 1~+1 = 1 -- ta + 2 cose. ha
(14.5) und (14. 6)
h~+l=2cose--2cose'/,+(4cos2e--1)h~
fiir a = 0 , 1 , 2 ,
....
Die Anfangsglieder y o n / o und h~ sind daher
Io =
0,
11 =
1,
(2 cose)~, /3 = 1 - - 2 (2 cos e) 2 + ( 2 c o s e ) 4 /9 =
usw..
ferner ~-1 = 0 ~ h0
= 0,
h1
~
2 COS e,
h2
=
-
ha
= 2 (2 cos e) -- 3 (2 cos e)3 + (2 cos e)5 usw.
2 cos e + (2 cos e)3,
Allgemein folgt aus (14. 5, 6), da~ (14.7)
h~ = 2 c o s e . f ~ + l - - h ~ + l
fiir a = - -
1,0,1,2,...
ist. Multipliziert man 1. (14.5) mit (--f~+l) und (14. 7) mit h~, ferner 2. (14. 5) ftir (a + 1) aastatt a mit ( - - / a + l ) und (14. 7) mit h~+l und uddiert jeweils die so entstandenen Gleichungen, so erh~lt man 1. (h~ - tot~
+ (h,,ha+~ - t,,+~ 2 + Io+~) = O,
fel21er 2. Also
2 (~a+l --
la+l ta+2)
~t_ (h a ~$a+1 - t?,+~ + to+,) - - o.
let hi
a+l -
Io+, t~+2 = h~ -
1~,to+, = . . .
= h~-
tot, = o.
Parametri~ethode. 2.
81
Somit besteht
(14.8) und
haha+l=]a+l(]a+l--1 )
(14.9)
fiir a := 0, 1, 2, . . . .
II. Insbesondere sei e = go ~" g wie in (13.7). Das ist nach dem Hilfssatz I I der Nr. 13a gleichwertig mit
R2(uve; O) " R2(v•e; O)
fiir g = 2 c
und R2 (u, v u ~; 0) = R2 (v, uv c; 0)
fiir g = - - 2 v + 1,
beidemal identisch in t und t'. Weiter ist letzteres und damit e = g o ~ ' 9 ~ nach (14.3, 7) bzw. (14. 4, 5) gleichwertig mit
(14.1o)
hc_l = h e
fiir g = 2 c
~nd
]c+I = ] ~
(14.11)
fiir g = 2 c + 1 ;
c =1,2,
....
III. Noch spezieller nehme ich e = ~" g fiir g = 2, 3, . . . an. Dann sind
1o, /1,
]2,
/3 ;
h_l,
ho,
hi,
h2,
h3,
fiir e - - ~ "
O,
1,
O,
1;
O.
O,
O,
O,
O,
fiir e--= -g-"
O,
1,
1,
O;
0,
O,
1,
O,
O,
0,
1,
0,
0,
die Anfangswerte"
2"I
ftire~_ T"
>2,
~1;
>1,
>1,
Aus (14. 3) folgt fiir R = 0 und nu = n~ > 0, da$
R2(uva;
0) = R 2 ( v u a ; 0) = / a "
8 n 2 " (1 2i- COS e) =
]a" R'Z(uv; O)
ist. Hierin ist (Fig. 6)
R(uva; O) > R(uv; O) f'fi.r a --=2,...,c, somit
(14. 12)
s > 1
fiir a = 2 , . . . , c u n d c > 1,
weiter wegen (14. 11) noch
]c+1 > 1 fiir g = 2 c - } - 1
und c > l .
Aus (14. 4) folgt fiir R -= 0 und n~ = n , > 0, dab
R'Z(u, vua; O) = R2(v, uva; 0) = (1 + 2 h~ + 2 cos e- ha). 4 n~. Mathematische Annalen. 119.
6
:>0.
82
L. Sauer.
ist. Hierin ist (Fig. 6) R (u, vu a; 0) > 2 nu
flit a ~
1, . . . , c ,
somit h. >=0
flit a = 1, . . . , c,
h~>l
fiir a = 1 , . . . , (c -- 1) und ~ > 1, und
he > 1
fiir q = 2 c +
also nach (14. 8, 12)
1 u n d c > 1,
schlieBlich wegen (14. 10) noch he > 1
fgr g = 2 c
u n d c > 1.
\ ~/.~v~ / t<,v,, 4,. "~'" ~ \ \ ' /
i \.. i
~m, v j
X%g,
.~.--'~eW4 ?~'<'l
'~ ",
/
~ ', \
Y~"'.q > "./, i l k
' "\i I "'
"\ '.qi ~
/ ,,v.
&~
-,
Fia. 6. R (uv'2; O) > t t ( u v ; O) u n d R (u, vua; O) >= 2 n~ f f i r a ~ 0 , 1 , 2 , w e n n / 7 = O, n u -~ n v > O.
Aus (14. 8, 9, 10, 11) folgt, wenn man /~>1
und
h~>l
fiirc>l
beriicksichtigt, (14. 13)
hr
= he -- 1 --/ar
fiir g = 2c-+- 1 und c > 1,
ferner 1~+~ = / o -
1 >0
und
hr
flit g = 2 c u n d c > l .
)_us (14. 8, 9) folgt h~+~. ~o = (s
- 1)'io
und somit hC ~-1
:> ha+l"h~
flit a = 2 , . . . , c u n d c > 1.
Parametraxmethode. 2.
83
Nun ist he" he_ 1 > 1 nach (14:. 10, 13) fiir c > 1. Demnach gilt ha > ha-1
fiir a = 2, . . . , (c -- 1) und c > 2,
und /~+1 -- 1 > [~
fiir a = 1 , . . . , (c -- 2) u n d c
> 2,
was dutch / ~ - - 1 >=/r
fiir c > l
zu erg~nzen ist. e. In (13. 10, 11) solIen P dutch R, n~ und n~ ausgedriickt werden, wobei ich mich auf go = 1 beschr~nke. Ich forme (13. 10, 11) mitte]s (14:. 3, 4) identisct~ um und beachte die Eigenschaften der/~ (g" g) und h~ (g" g). E//r d/v Halb~ene erhalte ich (14:. 14)
4 ~ - P = ~ log Re t log (R e 5- 4: nunu).
Ferner gewinne ich /iir den Winkelraum e = z~ : g zweier Geraden J
(14. 15) 4: z . P = -- log R e 5- log (R e + 4: n~n~) _L log (R e + 4 n~ n~) !
1
1
+ zo ( - ~og (Re + 4: ]~n~ n'u -- 4 / , n ~ n v 5- 4: h.a _ l n u ~ v -- log (R e 5-~ log (Re 5-
5- 4
t
ha n~ nu)
!
t
5- 4 han~n v ~- 4 hanvnu) !
!
§ log (R e 5- 4 ]a~,n'u + 4 /a+zn~n, + entwedeI ( - - log (R e § 4: h~_ 1n, n~ 5- 4: h~n~ nu) -- log (R z + 4: ]~nunu 5- 4: ]cn~nv 5- log (R e + 4:/~n~n u 5- 4: ]~n~,nv 5!
!
!
t
!
!
!
I
fiir g = 2 c § oder
(-- log (Re + 4:/o~,,G + 4:/o~'~ + 4:ho~u~; + 4:ho~u))
fiir g = 2c; hierin ist Z'~ zu streichen, wenn c = 1 ist, und ist Z'~ yon a = 1 bis ( c -
1) zu nehmen, wenn c = 2, 3 , . . .
ist.
Alle Logarithmen in P sind yon der :Form log (Re 5- 4 / n ~ u
5- 4 hr~,n'~ § 4 inun'~ 5- 4jn~nu);
dabei sind vier F~lle mSglich:
~14:. 16)
t = h = i = j = 0, ] = 1" und
h =i
h = 1 and
i =i =j =o,
/und
h>=l
nebst
=j
=0,
iundj~_0.
Der erste bzw. zweite, dritte Fall von (14. 16) fiihrt auf den 1. bzw. 2., 3. log in (14.15) und der vierte Fall kennzeichnet alle iibrigen Logarithmen. W~i~end
84
L. Sauer.
04. 15) auf dem Prinzip der wiederholten Spiegelnng an d~ und d~ beruht, gliedere ich P dutch folgeade identische Umformung (14. 16') in die sieh am Rand d~ und d~ ausgleichenden Logarithmenpaare.
(14.16')
4~" P = 4:,r = Sa(-- log (R9 + 4]anunu + 4]an~nv "Jr-4h~_ln~nv + 4]~an~nu) + log (/~ t~ t -- log (/~ + log (R2 + 4/~n~n~ + 4/~+:n~n~ + 4 h~n~n~,+ 4 h,~n~,nu)) + (g-- 2c)- (-- log(R2 + 4]~%,nu + 4/~n.n'~, + 4 h~_~n~n'~ + 4h~ n.n~) $
t
$
!
!
!
t
fiir a = O , . . . , ( c - -
s
I
/
1)
und ebenso ~ . P = 4 ~r. P (n~, n , ;
~', ~'~).
t Ia P (0, n~,; n'~, n'~) und P(O, n,; n~, n'~) verschwindet die Summe der beiden ersten und ebenso die der beiden letzten Logarithmen von jeder einzelaen K!ammer (...) i~ X~; ebenso verschwindet gegebenenfalls beidemal die letzte Klammer (...). ~hn!icherweise verschwindet in P ( ~ , n~; n~, 0) and P (n~, n~; n'v, 0) die Summe des ersten u~d letzten Logarithmus, ferner ebenso die der beiden mittleren Logarithmen yon jeder einzelnen K!ammer (.'.) in Z~; ebenso verschwindet gegebenenfalls beidema] die letzte Klammer (...). Somit ist P = 0, welm eine der GrSl~en ~ , ~%, n~, n~, verschwindet. Diejenigeng Paare yon Logarithmen, yon denen jedes Paar fiir etwa ~ = 0 verschwindet, Mben die Form I
!
t
+ log (R2 + 4 kn~n'~ -+- 4 pn~n" + 4 ~'~n~ + 4 rnvn'u) ; dabei siad vier F~l]e mSglich: (14. 17)
dazu tritt stets (14. is)
k = 1 und ? = q = r =0, k>p>l und r > q ~ O , p = 1 u~d k = r = 0 nebst p>k>l und q > r ~ O ; (p - ~)~ + (q - r)2 > o.
Demnach gilt in allen F~lea (14:. 19)
(p - - k) (q - - r ~ 0.
Eatspre~hendes gilt betreffs re=o,
n~,=o
uM
~$=o.
q>O,
Parametrixmethode. 2.
15. P
85
fiir Rechteck, gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck, gleichseitiges
Dreieck und halbes gleichseitiges Dreieck. a. Bevor ich eine Parametrix P fiir den eckenfreien Ausgangsbereich bo und ein P fiir den (ira allgemeinen nicht geradlinig begrenzten) Bereich b (~: gl, g~, ..., g~) mit den Eckenwinkeln z: gl, z : g~, ..., z : g~ (die gl, ..., g~ irgendwelche ganze positive ZaMen grSt~er als eins) aus den bisher in (14.14,15) angegebenen P bride, baue ich aus letzteren P die Parametrizes flit alle diejenigen b = b (z:gl, g2, 9 gp) auf, die yon Geradenstiicken begrenzt werden. Denn fiir solche P werde ich im Hinblick auf die AuflSsungstheorie fiir U=Fin
(15. 1)
(b--d)
und
U=0aufd
besonders giinstige Eigenschaften feststellen; darauf komme Nr. t 9 b X V I I zuriick. Es gibt genau vier solcher b, n~nlich I. II. III. IV.
ich
in
Rechteck b (~:2, 2, 2, 2), gleichschenl~lig rechtwinl~(iges Dreieck b (~: 2, 4, 4), gleichseitig~s Dreieck b (z:3, 3, 3), halbes gleichseitiges Dreieek b (~ : 2, 3, 6).
Denn die Winkelsumme gerad!iniger Vielecke mit p Winkeln e~ = ~ : g~ ist X~(s:gw) = g ( p - 2) fiir w =-1,'...~, p, p ~ 3; setzt man hierin die zul~sigen Werte gw = 2, 3, . . . in allen mSglichen Zusammenstel]ungen ein, so kommt man auf obige vier F~lle. Wegen ew = 7c : g~ sind bier nut einfachzusammenh~ngende b m5gIich. Das Rechteck bzw. jedes der drei genan~ten Dreiecke bestehe aus den Geraden d~ fiir u = 1, .., 4 bzw. u = 1, 2, 3. Gelegentlich schreibe ich (u + 4) bzw. (u + 3) anstatt u. t (u) bedeute be(m Rechteck die Normalprojektion von t auf d, und bei den Dreiecken die Zentralprojektion yon t yon ddr d~ gegeniiberliegenden Ecke aus auf d~ (Fig. 7 bis 10). t (u, v) sei der Sctmittpunkt yon d~ und d~; v = 1 , . . , 4 bzw. v = 1 , 2 , 3 . Man schreibe M ( u , v, r, . . . , p) bzw. S (u, v, r, . . . , p; u', v', r', ..., p'), wen n man t = t (u_, v, r, . . . , p) und t' = t' (u', v', r', . . . , p') in irgendeine Flml~tion M -- M ( t ) bzw. S = S i t , t') einsetzt. Hierbei kSnnen beliebigviele der Zeichen u, v, r, . . . , p bzw. u_', v', ~', . . . , p' bis auf eine~ gestrichen werden. ~oll in einem Z" jeder nach dem Bildungsgesetz mehrfach vorkommende Snmmand nut einmal gezS;h!t werden, so schreibe ich Xo anstatt X. Als den sich singultir verhaltenden JBestandteil yon P bestimme ich mittels (14. 16') So =
= 1,..,
b w. 3,
wenn das Reohteck bzw. eines der drei angegebenen Dreiecke vorliegt; die Eiazelangaben werden in Nr. 15e nachgetragen; insbesondere wird So daselbst
86
L. Sauer.
in den jeweils ersten geschweiften Klammern yon I b i s IV ausfiihrlich angeschrieben; dabei geniigt es in vorliegender ~r. 15, die urspriingliche
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]~ig. 7. Spiegelung beim Rechteck b (z : 2, 2, 2, 2).
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131
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_312
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,
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32,3
Za_es
23ja
Fig. 8. Spiegelung beim gleichschenklig-rechtwinkligen ])reieck b (zz : 2, 4, 4).
Form (13. 11) an Stelle der identischen Umformungen (14. 16') und (14.15) der Darstellung zugrunde zu legen. So hat im Fall E = A q- T die fii~ P
Parametrixmethode. 2.
87
m Nr. 13 b angegebenen allgemeinen Eigenschaften bis auf das Randverhalten yon P. Anstatt letzterem ist aUgemeiner So :~ 0 und So beliebig
Fig. 9. Slaiegelung beim gleichseitigen Dreieck 5 (zl : 3, 3, 3).
I i. 232,~ '
,
U
/ 2s~ I"8~!\ tl!a23)
~,7:
s
9
"U
"\ 131=813
/o'..~ 2313
Fig. 10. Spiegelung beim halben gleichseitigen Dreieck b (r~: 2, 3, 6). oft differenzierbar flit t und t' einschliel~lich R = 0, wenn t oder t" auf den Rand d beschr~z~kt wird. Denn n~hert sich t bzw. t' einem endlich
88
L. Sauer.
grogen bis zu ]gdken GIieder
Stiick yon d, das die Ecke t(v, v + 1) im Innern enthiilt und nicht einer weiteren Ecke reicht, oder einem Stiick yon d + , das beide ausschliel~t, so sind alle fiir R - + 0 sich singul/ir verhaltenden yon So in dem nach Null strebenden P(n~, n~+l; s'~, n'v+1) enthalten.
~ u . e 3 -z
-
I
'
<<'~ dZze8
".........
I l
o+(g)->>>. . . . . .
~
...... - ; x ; . . . . - t / a 3
s~=: !" i
t ( ~ +2)
s~=s
.>>~_........;~:~,I......................................
d~
d,u,+z
l~ig. 11. Faktorfunktion far das Rechteck.
B,,=7% ;/R..=n / & = o -~" :- ' - '..'<--~\-
/ a~z~ d u + 2
Fig. 12. ~aktorfunktion ffir das gleichseitige Dreieck.
wird dann j edoeh beliebig oft differenzierbar fiir t und t' einsehliel~lieh R = 0. b. Nach die~em ersten Schrigt der Bildung des singuliizen Bestandteiles So yon P gebe ich in (P - So) eine in b einschliel~lich R = 0 mindestens dreimal nach (x, y, x', y') stetig differenzierbare Fnnktion an, welche die stetigen Randwerte yon So zu 0 ausgleicht, damit P die Randbedingungen (12.3) erfiil]t, tIierzu fiibxe leg die ,,Fakt~rSmlrtion" B~ fiir ~t = 1 , . . , 4 (Rechteek) bzw. u = 1, 2, 3 (Dreieck) ein. Far u steht gelegentlich auch (st + 4) bzw. (st + 3). Es sei B~ = B~ (t) eine Funk*ion yon t im Reckteck oder m einem der drei angegebenen Dreiecke, die (Fig. 11 und 12)
und
B~=0
fiir ~ . > 8 9
geniigt. Im iibrigen sei B~ c-real stetig differenzierbar, wobei c eine beliebige ganze Zatd bedeute, die c > 3 geniigt. Dann gilt (-- and das ist der Sinn der vorstehenden oder einer ii,hn!ich mSgtichen Definition --) B,(~) = 1 im Rechteck und Dreieck, ferner B~(~t + 2) = 0 und
B~(0). B~+2(0) = 0 im Rechteck, schliel~lich
B~,N + 2)- B~+~(~t + 2) = 0 im Dreieek.
Parametrixmethode. 2.
89
Aus So bride ich nacheinander
=Sv_l-
+ B'u-s'v'_l,.) f' r v = 1 , 2 , 3 , 4 ;
hierin soll Sv_l, ~ dadurch aus Sv_l(~_; 0) gewpnnen werden, dab man die Bw (u) in S~_ 1 (u_u;0) durch Bw (0) -= Bw ersetzt; w = u + 1 und w = u + 3 beim Rechteck, w -- u + 1 und w =- u 5- 2 bei den Dreiecken. Zo wurde vor So eingefiihrt; insbesondere ist hier Xo~(. 9 .) ~- Z'u(...) n u t fiir v = 1. F e r n e r fallen Xo~ff~ 9 S~:~ und Z o ~ B : 9 S.~:~ weg, da diese Summen gleieh ihrea transponierten Werten sind. Die F u n ~ i o n e n Z o o ( . . . ) sind die in Nr. 15c in den jeweils zweiten bis fiinften gesehweiften K l a m m e r n yon I bis IV angegebenen Funlrtionen. ($3 - - S e ist fiir die drei Dreieeke formal der gleiehe Wert.) D a n n bestimme ieh
(15.2)
P = S~
als P a r a m e t r i x ffir das Reehteck oder eines der drei genannten Dreiecke im FalI E = A S- T.
Aus der allgemeinen 2Bil~ungsweise yon .P und ebenso aus der in Nr. 15e nachgetragenen Durchfiihrung fiir jeden einzelnen der genannten speziellen Bereiche b (~" gl, - 9 g~) ergeben sieh folgende Eigenschaflen yon P. ( P -- So) bzw. P ist c-real stetig differenzierbar naeh (x, y, x', y') ftir t u n d t' in b einschliel~lich bzw. aussehliel~lich R = 0; c > 3. Es ist P ~ 1 5- l log R] und die m-ten Ableitungen von P sind ~. 1 9 R ~ fiir m = 1, 2 , . . . , c. Die mSglichen Ableitungen yon d P naeh (x, y, x', y') sind in bezug auf x mad y von hSchstens (c -- 2)-ter Ordnmag, jedoeh in bezug auf x' mad y' von hSchstens c-ter 0rdnung. Die danach zuliissigen n-ten Ableitungen 5) sind stetig fiir t und t' in b einseMieglieh R = 0. F e r n e r ist (4 ~ - P 5-log R e) c-mai stetig differenzierbar naeh (x, y, x', y') fiir t in ( b - d) und t' in b einsehliel~lieh R = 0. Es gilt P = P " . Schiiel~lich erfiillt P die Randbedingungen (12.3). Das R a n d v e r h a l t e n yon P wurde in den 4 Sehritten fiir v -- 1, 2, 3, 4 erreieht. Es fugt auf den Eigenschaften yon Bu mad auf elementargeometrisehen tIiffsformeln, die aus (13. 1) folgen. Beispielsweise gelten beim Reehteck R(u_, v; u_)
= R ( u + 2, v; u + 2),
R(~_, v; u + 2)
= R(u + 2, v; u_),
R(u_, u + 2, v; u_) = R ( u + 2, u, v; u + 2) fiir u ~ 1
mad v - - - - 0 , 2 , 4
oder
u-=2
und v - - 0 , 1 , 3
und i~hn!iche Formeln. Entsprechende H i l f s f o m e l n gelten bei den Dreiecken. 5) Im Fall v ---- 3 ist beispielsweise (A P)z' v' zz', wobei n = 4 ist, zuI~sig, aber (A P ) ~ , wobei n -----2 ist, unzut~ssig.
90
L. Sauer.
e. Ein~langaben der P irn Fall E = A + T. Dabei wird jedes P in fiinf geschweifte K[ammern aufgeteilt; die erste derselben stellt jeweils das in Nr. 15a eingefiihrte So dar, die zweite bis fiinfte Klammer die in Nr. 15b bestimmte Funktion -- (S v -- S~_a) = + Xo,~(B,, 9S,_~.,, + / 7 , , . S;'_ x,,~) fiir v ---- 1 bis 4. I. b ----b (~- 2, 2, 2, 2) sei das Reehteck. Dann ist (Fig. 7) 4
: { - log
o) +
log
-
log i (o;
u + 1)} J
- - {Z'~B,, 9 ( l o g / ~ ( u ,
u § 2; 0) -- l o g / ~ ( s t ,
u -+-, 2, u + 1; 0) -- log/~
(st, u -f- 2, u + 3; 0)) A-
+ Z,B',,. (log Re(0; st, u + 2) -- log Re(0; _~, u + 2, u + 1) --- log Re (0; st, u + 2, u + 3))} -7
- - { Z,, B,, B,, ~_1 9 log Re (u, u + 1, u + 2, u + 3; 0) +
+ z,,/~'. B'.+~ .log Re(o; st, ~_+), ~ + 2, u + 3) + + (B1BI -'--B~B~)-(-- log i~(~; _1,3) + tog Re(~_;1_, 3, 2) + + log Re(l; 1, 3, 4)) Jr + (B2B~ -4- .B~B'~).(z logRe(2; 2, 4) -+-log/~(2; 2, 4,3) +
+ tog Re(~; 2, 4,1)) + §
a + BaB; ) 9 (-- log Re(l; 3) -- log/i~(1 ; 3, 2) -4-,log Re(l; 3, 4)) -4-
-1- (BzB' ~ + B , B ; ) . (-- l o g / ~ ( 2 ; 4) § log R2(2; 4_, 1) + l o g / ~ ( 2 ; 4, 3)) § -+- X , , B , B ' + ~ . l o g l ~ ( u ; u § +
u§
u+3) §
~ B~ ~_1 B~,. log Re (u + 1, u + 2, u + 3; st)}
-- { -- ~,,B,,(B~, ;1 B;~_~-t- B~, .a B'+:~).log Re{u, u -{- 1; u + l , u + 2 , u + 3 ) --- Z',,B~(B~+I -
-
-
~+~A-B,,_~sB~+l)-logRe(u,u+l;~+3, u-4-2)--
-~B'~ (B',.1 Bu+ ~ § B'~+a B,,+a)'log Re(u-4-1, u-t- 2, u + 3; u, u-4-1)--
2 ~ ' ( ~ ; + , ~ + ~ + B;+..~B~+,) .|og (Re(~ + 3,,~ + 2;,~,,~ + 1 ) } -
- {(~,Bi + ~ ) ( ~ . ~ , i
+ ~ ; ) . L o g Re(l, 2; 1,2,3, 4 ) +
"-4- (:B,B'~ + BzB'~) (B~,B'~ + B4B.~).log Re(l, 2; 4 , 1 , 3 ) +
+ (~,~.~ + ~ i )
(B~B"+ ~ ) .
+ (B~B~ + ~ ) ( ~ . ~ B ;
~og ~0_, 2; 2, 3, ~) +
+ ~,B~).Log Re0, 2; 3, ~)}.
Eiae zweite Form yon P f'~r ein gechteck finder sich in (17.2).
Parametrixmethode. 2.
91
H. b = b (~ : 2, 4, 4) sei das gleichschenkli 9 rechtwinIdige Dreieck, wobei dl und d2 den Winkel e = ~ : 2 einschliegen. ]:)ann ist (:Fig. 8) P
( -- log Re(0; 0) -t- 27~ log Re(0; u) -- log Re(0; 1, 2) --
-- (log Re(0; 1, 3) § log Re(0; 3, 1) -- log Re(0; 1, 3, 1) -- log Re(0; 3, 1, 3) -4-
+ ~og he(0; 13"-))-- (log Re(0; 2,3) q- log Re(0; 3,2) -- log Re(0; 2,3,2) -- log Ra(0; 3,2,3) q-f- log Re (0; 232)
)} .
t
-- { -- Ba" log/72(3, 1, 2; 0) q+ B2" (-- log Re (2, 1, 3; 0) -- log Re (2, 3, 1; 0) + log/?2 (2, 1, 3, 1; 0) +
+ log Re(2_, 3, 1, 3; 0) -- log Re(2, 132; 0)) + § B x . (-- log Re(l, 2, 3; 0) -- log Re(l, 3, 2; 0) § log Re(l, 2, 3, 2; 0) +
q- log Re(l, 3, 2, 3; 0)
-
-
log Re(I, 23,.; 0)) -+-
§ (elf hierzu transponierte logarithmische Ausdriicke mit den Faktoren
B~, B~ una ~ i ) } /
-- {Z',,BuB(~+, -log Re(u, u + 1 , u + 2; 0) + + & B ' , , / ~ +~ -log Re(0; u, u + 1, u + 2) + -k BaB~ .log/?2(3, 1, 2; 3) -t§ B2B ~ 9 (log/?2(2, 1, 3; 2) q- log R2(2, 3, 1; 2) -- log Re(2, 1, 3, 1; 2_) --- log Re(2, 3, 1, 3; 2) § log Ra(2, 132; 2)) -+q- B 1B]. (log Re(l, 2, 3; 1) -4- log Re(l, 3, 2; 1) -- log/~(1, 2, 3, 2; 1) --
- log Re(~_, 3, 2, 3; l) + log Re(i, 232; !)) + + ~,,.B,,B~,+~ .log Re(~_;u + 1, u + 2) + q- ~v~B'u/~.+ 1 -log R2(~t q- 1, u q- 2; u_)} --
-{-
z . & B~B.+I~; .log Re(u, ~ + 1, ~ + 2; ~_) X~
'
'
B~-logRU(v; u,~t + 1 , u + 2)
--
- {(B~B~'iB'~ + ~ I B ~ ; B ; + B ~ 3 B i & + ~ 2 ~ 1 ~ ; " log Re(~, 2; 3, ~) + + (~1B,. Bi B;. + B1 ~ Bi B; + B,. B~~i B;). log i~ (3, 1; 2, a) + + (~B~;~
+ B~B~iB~).log ~ ( 2 , 3; 2, 3, 1)}.
92
L. Sauer. III. b = b(~" 3, 3, 3) sei das g~4chseitige Dreievk. Dann ist (Fig. 9) P
{ -- log/?2(0; 0) § Z'~ l o g / ~ ( 0 ; u) -- X~ log R2(0; u, u A- 1) --- X~ l o g / ~ ( 0 ; u + 1, u) + Z'~ log/?2(0; u, u + 1, u)~ -)
-- {X~B~- (-- log R2(u,u §
+ 2; 0) ~ log/~(u_, u + 2, u § 1;0) + + l o g / ~ (u, u + 1, u + 2, u + 1; 0)) +
+ X,~B'~'(--logRz(O;u_,u+l,u+2)--loghC(O;u_,u+2, u + l ) + + log/ig(O; u, u + 1, u + 2, u + 1))} -f
-- {X~,B,~B,,+I" log Rz(u, u + 1, u + 2; O) + §
X~j~/~+~-log/~z(O; u; u § 1, u + 2) +
+ E~,B,,B'+~ - l o g / ~ ( u ; u + 1, u + 2) + +
Z,,B,,B~- 0og ~ ( ~ ; u, u + 1, u + 2) + l o g ~ ( ~ ; u ,
u + 2,u + 1)-
-- log Re (u_; u, a + 1, u + 2, u + 1))} --
--
"
Z~XvB
~
+ 2;v)-B ,+aBv'logR2(u,u+l,u '
- $= ~ o ~ ' ~ : + ~ ~
.~og ~(~; ~, ~ + 1, ~ + 2 ) } -
t
t
+
+ (~~;~
+ ~,~.~
3,..~..~....2 + BaB~B~2~) - l o g / ~ ( 1 , 2; 3, 1) +
+ ~~i).log
~(1, ~; 1,2, 3)}.
Eine zweite Form yon P fiir ein gleichseitiges Dreieck finder sich in Nr. 17b. IV. b = 5 (z~ : 2, 3, 4) sei das hMbe 9LeiehseitigeDreied~, wobei dz und d~ den Winkel e = ~ : 2, ferner d~ und ds den Winkel e = z~ : 3, also d.z uad de den Winkel e -= z : 6 einschlie~en. Dam1 ist (Fig. 10) 4 ~ - P = ~-- log/i~(0; 0) + X~ l o g / ~ ( 0 ; u) -- l o g / ~ ( 0 ; 1, 2) -( - (tog ~ ( o ; 1, s) + log ~ ( o ; s, 1) - log ~(o; ~, a, ~)) -
-- (log Rz(0; 2, 3) + l o g / ~ ( 0 ; 3, 2) -T ~-- + log Rz(0; 23s))} --{--
Ba- l o g / ~ ( 3 , 1, 2; 0) +
+ ~-(-
tog ~(2_, 1, 3;0) - log ~(~, 3, 1; o) +log Rz(~, 1, z, 1; o)) +
_+ B~, (--log l~Yz(1,2,3; 0)--log/i~z(1, 3,2; 0) ~ . . . .
log/i~(1, 233; 0)) +
Parametrixmethode. 2.
93
+ (dreizetm hierzu transponierte logarithmische Ausdriicke mit den Faktoren
.B~, .B~ nnd 1T~)} {Z~.B~_,
9log/~(u, ~ + 1, u + 2; 0)
+ X~5~ B~+I 9log R2(0; u, ~t § 1, u + 2) § § BsB.~ 9log R2(3, 1, 2; 3) + § B2B~ - (log R~(2_, 1, 3; 2) § log R'~(2, 3,~1; 2) -- log R2(2, 1, 3, 1;2)) § + .B~.B~. (log/~(1_, 2, 3; 1) + log R2(1, 3, 2; 1) -T-.- § log R2(1, 23s; 1)) t + X~/~B~+~ .log R2(u;u + 1 , u + 2 ) + + Z'~.B'~.B~+~-log R'Z(~ + 1, u + 2; ~ ) } - -
-~- 2:~ ~ . ~ + , ~
.~og ~ ( ~ , ~ + 1, ~ + 2; ~ ) -
-- Z'~,Z'~/~'~,/~',,+~/~-Iog R~(v; u, ~ + 1, u + 2)} --
_ {_r ~ : ~
(~+~+~
+ ~+~-,).
log R~(~, ~ + 1; ~ + 2, ~) +
~k
§ Z~B~I~+~/B'~B'~.a- 1 . l o g R ~ ( u , u - V l "~u , ~ . - r - l , u §
9
16. P fiir ecken~eie Bereiche. a. Zur Bildung yon Parametrizes P flit eckenfreie Bereiche b - - b o (Fig. 1 in Nr. 12b) bei dem allgemeinen elliptischen Differentialausdruck E ersetze ich in dem in (14. 14) angegebenen P f'tir die Halbebene die Funl~ion ~/~ -~n~ (t) dutch folgende Funktion J ----J (t) und ferner R~ dutch (Qz + Q2,,) : 2. Dabei bestimme ich
Q - Q(t, t') > O und Q~ = c . (x - x')~ - 2,B. (x - x') (y - y') + A- (y -- y,)2 fiir A G -- Bu = 1 und A > 0. Es ist Q" = Q (t', t). Fiir E - A + T wird Q == R. ES sei J > 0 in ( b o - do), weiter J ~ - ~ im Randstreffensystem 0 < ~ < m u n d 0 ~ s --<_s~ (vgl. Nr. 9 b), ferner J grSl~er als eine hi_nreichend klein gew~Jflte positive Konstante im iibrigen b0; dabei kann und soil m i m Hinblipk auf sp/itere Randabsch~itzungen dutch log n yon vornherein so klein gew~lt werden, dab log n nirgends verschwindet; ich fordeIe daher zusiitz]ich voa m, dal~ m kleiner sei als eine positive Konstante, die selbst kleiner als eins ist 6). Sonst sei J dreimal stetig differenzierbar in bo, abgesehen yon einer s) Das ist keine wesentliche Vorausse~zung, sondem nur eine Bequemliehkeitsforderung. Andernfalls w~ren ~Ile AbschEtzungen mittels log ~ durch die mit~els (1 -~ ~log ~t) zu ersetzen, Diese zus~tztiche Einschr~nkung yon m bedeu~et keinerlei ~ e h r ~ n k u n g yon bo. (Vgl. dagegen die I~u~note zu Nr. 12a I.)
94
L. Sauer.
wie bei n mSgiichea Doppeldeutigkeit der Ableitungen in den Doppelstiicken yon do (vgl. Nr. 9 b). Somit fiihre ich dutch den Ansatz (16. i)
4 ~ . H = -- log (Q~ + Qe") + log (Q~ + Q2,, + 8 J J ' )
eineFunktion H ein, die al~gemeiner ist a/s die nachfolgend dutch Einschr~inkuag von d gebildete Paramet~ix Po ]i~r bo.
b. Hierzu ist im Hinblick auf die dem Randwertproblem zuzuordnende Integralgleichung (12. 2), fiir deren Kern (12. 1) angestrebt wird, vor allem I~H abzuschiitzen. Das gesc~aieht in nachfolgenden vier Schritten: (I) Die Argumente der in H auftretenden Logarithmen werden dutch ( t ~ + J J ' ) uad diese Summe wird durch (R + j)2 abgeschgtzt. (II) Die Logarithmen selbst, ferner deren zulgssige Ableitungen and insbesondere der Differentialausd~uck ( ~ H ~ D H) werden abgeschatzt. (III) Weiter werden die Differentialansdriicke D yon Di~erenzen gewisser Logarithmen, in die sich/~H zerlegen lii~t, abgesch~tzt. (IV) Ms ,,kritischer" und daher wichtigster Beitrag zur Absch~itzung von E H wird D log (Q2,, + 4 J J ' ) festgestellt und abgesch~tzt. (V) Die Teilabsch~tzungen (II) bis (IV) werden zur endgiiltigen Absch~tzung yon E H zusammengesetzt. I. Allgemein folgt aus A C ~ ~ > 0 und A > 0 fiir zwei beliebige, reelle, endliche Zahlen g und h, da~ 7) (A O - -
Be) . (g2 + h e ) < ( A + C ) . ( A . q~ + 2 B .
g h + C . h 2) 9
<= (A + O)~. (~2 + h2) und ( A C -- B2). ( A . g~, + 2 B . gh + C. he) ~_ (A + C). ( A C - - B e ) - ( g e + h 2)
(A + C)~. (A . ge + 2B. ~h + C. h~), somit (vgl. Ful~note zu 5~r. 12 a I) A . g~ + 2 B . g h + C- he ~ g2 + t~2
gilt. Folglich besteht Q ~ R, weiter Q ~ + Q e , , _ ~ R e and
Qe+Qe,,+8Jd,,
Q~+4JJ',
Qe" + 4 J J " =- R~ + J J ' .
~) Es ist
A . (A . e 3 + 2 B - Oh + C . h~) =
(A . g + B . h) ~ + (A O - B ~) . h 2
>= (A C -- B~) . M, ~ ebenso O - (A - g~ + 2 B . gh + O.. h~) >= (A C -- B2) -q~, also
(A + C)" (A. g~ + 2 B- gh + O. h~) ~ (A U -- B~) " (yz + h~). Insbesondere ist A . ~ + 2 B - g h + C - h ~=>0, damit aueh U - g ~ - - 2 B - g h + A - h 2 ~ 0 , fotglich A . 9a + 2 B . gh + C . h2 <~ (A . gz + 2 B - g h + C . h2) + (C . g~ -- 2 B . gh + A . h~) = (A + C)-(g~ + h2). Daher gelten die im Text angegebenen Ungleichungen.
Parametrixmethode. 2.
95
AusJ' =(J'--J)+J~J+RfolgtJ'e=~R e+Je,alsoJ,~R e+ + J J ' fiir J ~ J'. Andererseits ist J'~. ~ R e + J d ' ffir J'~= J. Daher gilt stets J'~= Re+JJ
'.
Ebenso ist je ~ R~ + J J ' . Aus R ~"+ J J' -- R e + Je + J . (J' - j ) ~ R 2 + Je + J . R ~ R 2 + J z und R e + d d ' ~ Re'+ (Re + d d ' ) ~ Re + j2 folgt R ~+JJ'_-_R
e+Je.
Ebenso ist R e + J J ' ~ R e + J'e ~ (R + d)e ~ (R + J')e.
II. Es gilt log (Q2 + Q2,, + 8 J J ' ) , log (Q2 + 4 J J ' ) und log (Qe,, + 4 J- J') log (R + J) s). Die mSglichen Ableitungen nach (x, y, x', y') yon diesen Logarithmen sind in bezug auf x und y, ebenso in bezug auf x' und y' yon hSchstens dritter Ordnung. Die danach zul~ssigen m-ten Ableitungen 9) sind stetig fiir R + J :> 0 und ferner stets Y< 1" (R + j)m ~ 1 9 R ~. Das alles gilt auch, wenn man J durch :Null ersetzt. Folglich ist, wenn man D H -- A' 9 H ~ + 2 B ' . H ~ + C' 9 Hv~
setzt und (3.4) (vor (3. 1)) beriicksichtigt, E H -- DH
= (A - - A ' ) . H ~
+ 2 (B -- B') . H~
+ (C -- C'). H~,~ + Ao" H~ + Bo" H~, + Co" H ~ 1" R .
III. Ich beweise, dab (log (Qe + Q~,, + 8 J J') - log (Qe,, + 4 J J') - log 2) und ebenso (log (Qe § 4 J J') - log (Qe,, § 4 g J')) eine fiirt und t' in b einschliel]lich R + J = 0, d. h. fiir R und J gleichzeitig 0, stetige Funktion ist; die m-ten Ableitungen nach (x, y, x', y') yon jeder der beiden Klammern sind ~ 1: (R + j ) m - I ~. 1 : R "~-1. Folglich ist beidemal D ( . . . ) ~ 1: R. Das alles gilt auch, wenn man J' dutch Null ersetzt. s) Dabei ist die vSllig unwesentliche M6glichkeit, dab eines der Argumente den Wert 1 oder zu 1 benachbarte Werte yon etwa 0,9 bis 1,1 annimmt, auszuschlieBen; in solchem Falle geniigt es zu wissen, da6 dann der betreffende Logarithmus ~ 1 ist~ 0 log ( . . . ) 9) Beispielsweise ist ~ ~ 0y-78~ wobei m = 6 ist, zul~sig, aber 0log ( . . ) wobei m ~ 4 ist, nicht zulitssig.
96
L. Sauer. Dena setzt man z -= x oder z = y bzw. x', y', so ist (Qe + Qe,, A- 8 J J ' ) . (Q2,, _~ 4 J J ' ) . (log (Q2 A- Q2" + 8 J J ' ) -
log(Q~'" + ~ J J ' )
- . l o g 2)z
=_ (Q2 _ Q2,,). (Q2,, + 4 J J ' ) - (Q2 _ Q2,,). (Q2,, + 4 J J')~. Hieraus und aus ~hulichen Formeln ergeben sich obige Behauptungen. IV. Aus (Q2,, + 4 j j,)2. D log (Q~, + 4 J J ' ) = 4 J ' . (Q2'' -- 16J'.
(J' - - J - - (x' - - x ) . g ~ -
+
4 JJ')
. DJ-
(y' - - y ) . g~) - -
- - 16 J'2((A' -- A) . J 2 "Jr"2 (B' -- B) . J~ J~, § (C' -- C) . J~) - -- 16J'2-(A.
J : ~- 2 B . J ~ J v + C - g ~
- - 1)
folg
j, Dlog(Q~" q- 4 J J ' ) ~ (t~_~d,)2 § j , 2 . iA "d~ q- 2.8 .J~Ju + C,.J~ -- i1 (It --~ J')" ~ I ' R e fiir R - - k J > O.
Ersetzt man hierbei J ' dutch Null, so" erh~lt man (16.2)
DlogQe"=0
fiir
R>
0.
V. Aus der Identit~t (16.3)
4~-EH
=: 4 ~ . (.F_,H-- D H )
+ D (log (q2 -~ Q2" + 8 J J ' } - log (Q~" + 4 J J ' ) - log 2) -
( og
+
-
log
-
log 2) +
-i- D log (Qz,, q_ 4 J J ' ) - D log Q2"
folgt 1
1A.J~g:-2B.J:Jv--~=O.J~--I[
< t - R~. I m allgemeiaen gilt jedoch nicht (12.1) fiir H anstatt P. r U m E H ~ 1" R zu erreichen, w~hle ich J = Jo so, dab es der Diffe~entialbedingung (16.4)
A - Jo2~ + 2 J~. Jo~Jo~, ~ C. Joy -- 1 ~ Jo
genii~. Ich setze etwa j 2 =_ n2. (A . nz2 + 2 B . n~ n~, + C- n~) h a Randstreifensystem yon bo lind w~fl~le fin iibrigen Jo im Rahmen der J-Eigenschaften beiiebig. Das ist mit dea Anfordertmgen aa J vertr~@ich. Insbesondere ist Jo = ~ unct JZo~ q- Jo2v -- 1 = 0 ira Randstreifensystem ~on bo, wean E = A q- T vorliegt. Dann fi~hre ich dutch t (16.5) 4 ~ - P = 4 ~ . Po = - log (Q2 -4- Q2") + log (Q'z + Q~" + 8 Jo J~)
97
Parametrixmethode. 2.
die Parametrix [i~r bo bei allgemei~em E tin. Es gil~ (12. t) fiir P ~= Po- Die weiteren Eigenschaften yon Po werden in ~Nr. 19 und 2t zusammengesVettt. In der Tatsache, dab in der Definition vo'n 3"obei allgemeinem Differentialausd~uck J~ in der angegebenen Weise neben n noch ~ und n~y vorkommen, jedoch nx und n~ beim Normalfall (A + T) wegfallen, liegt begriindet, da~ ich die den Rand do y o n bo darstellenden Funktionen X(s) und Y(s) im Fall J~ viermal, dagegen im Fall (AI + T) nur dreimal nach der Bogenl/i~ge s stetig differenzierba~ annahm (Nr. 9 b, erster Absatz). Da,nn ist in beiden F~llen Jo dreimaI stetig dffferenzierbar nach (x, y), so wie ich es zur Herleitung der notwendigen Eigensehaften yon P benStige. d. Ich gebe noch ein P so an, daft A P weniger singular wird, d. h. weniger s~a,rk unendlich fiir R -> 0. Damit wird die Singulariti~t des Kerns der dem Randwertproblem (15. 1) flit b = bo rageordneten L u t ~ l g l e i c h t m g gemitde~t. Hierzu erg~inze man Jo im Randstreifensystem yon bo dutch passende Summanden, die he, ns, . . . als Faktoren enthalten. Unter Beschr~hnknmg auf (15.1) seize ieh J = Ja = n + M . n~ im Randstreifensystem von bo in (16. 1) an und bestimme M - - M ( t ) so, dal~ A H beschr~mkt wird. Ich entwickle (/~ + 4 J a J ; ) e " A l ~
AJa--
-- 16 J~, (J; -
J a - - (x' -
x ) - J a = - - (Y' -
Y)" J ~ y ) - -
- 16 j ' ~ ( J L + J L - 1)
im R~ndstreifensystem nach steigenden Potenzen yon n und ( x ' - - x) und (y' -- y). Man befiicksichtige folgende ttilfsformetn (vgl. Nr. 9b):
~ = - Y ~ , %=+X~, ~+~,,2--___1, k = X~ Y ~ -
n~
=
Au
=
Y~ Xs~ = Kfiimmung yon do in (X, Y),
+ X , X ~ , : (1 -
k:(1
-
n - k) =
-
Y~ Y ~ : (1 -
n . k),
~ . k),
+x~Y~+ Yf ~=~, - L x . + X f . k = ~ , Dann erhalte ich
( ~ + t go J~)~. ~ log ( ~ + t.,~ g-) --4J~-(2M
+ k)-(4~ 2 + 4n-(x' x ) . ~ - ~ 4~,. -- t g e + 2 ( x ' - - x ) ~. Y ~ - - 4 ( ~ ' - - x ) ( y ' - - y ) . X ~ - Y, + 2 ( y ' - - y ) ~- X ~ ) + + J~- (Glieder yon miudestdns drifter Ordnung in n, (x' -- x)und (y' -- y)).
~la~hema$iselle7tnaalen. 119.
-
-
98
L. Sauer.
Folglich ist 4 ~r- A H = A tog (ha + 4
Ja J'a) ~ 1
fiir 2 M + k = 0. Demnach setze ich (16.6)
4 ~- P = 4 ~- Pa --
log ha '+ log (ha + 4 J~ Ja)
mit J~ = n - - 89n 2. (X, Y ~ - - Y , X ~ ) im Randstreifensystem von' b0 fiir E = A ;im iibrigen sei Ja yon der Art wie J. Hierbei sollen die den Rand do von bo darstellenden X(s) und Y(s) iiber die bisherige Annahme (anfangs :Nr. 9b) hinausgehend in jedem Bereich s~_ 1 < s < s~ ///~/~mal stetig differenzierbar sein, um die weitele P-Methode durchfiibren zu kSnnen. Dann ist Ja dreim~l stetig differenzierbar. Es ist A P~ Q 1 und A P~ + Co" Pa ~- 1 + ]log (R + J)], also (A Pa + Co" Pa) nut unwesentlieh singul/irer als A P~. Ahnlich wird aueh die Singuiaritgt der Ableitnngen yon A P , gemildert. Dagegen wird A Pa + TP~ 7_. I " R , also (A Pa + T P~) gegeniiber (A Po + T Po) nicht gemildert. Die weitere P-Merhode wird mit J = Jo dnrehgefiihrt, wenn aueh die Eigenschaften der LSsungen der zugehSrigen Integralgleichung bei Verwendung von Ja wesentlich einfaeher festzustellen sind. gedoch ist J0 wesentlich allgemeiner als Ja verwertbar. Ist insbesondere bo eine Kreisfl~he, so geht Pa in die (in Nr. l l a eingefiihrte) Grgensche :Funktion G fiir z~ tiber, wie ich jetzt zeige. Ich verlege den MSttelpunlct der Kreisfl~he fix den Ursprung des Koordinatensystems und wS~hle die Einheit auf den Koordinatenachsen so, dab die Kriimmung k ~ 1 ist. Sehliel~t man vorerst den Mittelpunk~ dutch eine Kreisfl~che ] mit dem Halbmesser h Ffir 0 < h < 1 aus und beschr~rkt t u n d t' auf (b -- f), so gewinnt man 4 z - P~ = -- log ha + log (ha + (2n -- n2) 9 (2n' -- ~'~)) mit n = 1 -- "r
y2. Also ist
4 z - P , = -- log ha + log (I -- 2 (xx' + yy') + (x2 + y2) (x'~ + y,2))
P'o'. In letzterer Form 1/iSt sich Pa fiirt und t' im ganzen b bestimmen. Eine weitere identische Umformung ergibt
~( ~
4~t-Pa = log
"
+
+ (v ="
( z - z')~ + (y-- y')~
+.v,, j
(x'2 + y'2)t ,
Parametrixmethode. 2. ,"
x
y
99
der zu (x, y) inverse Punk't ist. Somit gilt ~ P~ = 0
fiir R > 0. Demnach i t P, die bekannte Greensche Funktion G Ffir das Randwertproblem (15.1) mit dem Einheitskreis als b (vgl. z.B. Courant, Bd. 1, S. 2 9 6 - 297). Man bildet obiges G mittels Spiegelung dutch reziproke Radien. Darum kann man das aUgemeine Verfahren zur Bildung yon P mittels J , als Spiegelung an den Kriimmungskreisen yon d auffassen, ~hnlich win das Verfahren mittels Jo als Spiegelung an den Tangenten yon d zu deuten ist. (Vgl. ferner die diesbeziiglichen grundsiitzlichen Erwiigungen in Abschnitt V.) 17. P
fiir Bereiche mit Ecken ~ : 9 .
a. Zur Bildung yon Pafamatrizes P / i i r die in Nr. 9 eingefiih~ven (nicht notwendig geradlinig begrenzten) JBereiche b = b (~ : g, . . . , g) rail umereinander 91eichen Ecken e = .~:g, die nicht auf einen der mSgliche.n Doppelpunkte des Randes d fallen, die also nicht an Selbstberiihrungen yon au$en beteiligt sind, ersetze ich in dem in (14.15) angegebenen Pfiir den Winkebaum e := ~ : g zweier Geraden n= durch Jo und n~ durch Joo; g eine natiirliche Zahl grSi~er a|s Eins. Dabei sind Jo und Joo win Jo der Nr. 16c fiir die in Nr. 9c I eingefiihrten eckenfreien Hilfsbereiche b0 und boo zu bestimmen (Fig. 13). Die Beschriink~ung auf den Fall R = A + T behalte ich zum Unteischied yon Nr. 16 Ffir alIe eckigen b bei. Somit entsteht aus (14.15) eine Funktion, die ich mit P ( ~ : g . . . . , g) bezeichne. Dana setze ich /
(17.1) P =
g).
/
Daneben benutze ich entsprechend (14. 16') die identischen Umformungen P = P ( J o , Joo; Jo, J~)'o) und t
r
P = P ( J o o , Jo; Joo, Jo)"
Fig. 13. l~berlagerung des schraffierten Ausgangsbereiches b = b (n: 3, 3, 3) durch die beiden Hilisbereiche bo mit dem gestrichelten Rand do und boo mit den) punktierten Rand doo.
Wiederum lassen sich ftir jeden einzelnen Logarithmus die vier F~ille (14. 16) und fiir jedes mit Jo = 0 verschwindende Paar yon Logarithmen die vier Fs (14. 17) nebst (14. 18) Uaterscheiden. Die Eigenschaften yon P ( ~ : g , . . . , 9 ) werden in Nr. 19 und 22a zusammengestellt.
100
L Sauer.
b. Als Beispiele fiir P.(z: g , . . . , g) gebe ich P / i i r ein Rechteck und P/ii: eir, gleichseitiges Dreieck im Fall ~ = A + T an und zwar somit in eine] zweiten neben der in Nr. 15c gebildeten Form: (17.2)
4 ~ - P = 4.~- P ( n : 2, 2, 2, 2)
= -- log R z -- log (Re + 4 Jo J~) 4 tog (Re ~- r Joo J~o) -- log (ha + 4 Jo J~) + 4 Joo Joo) fiir ein Rechteck r und 4~-P
=4~.P(x:3,3,3) = - log/~z + log (R ~ + -- log (R~ + 4 Jo J~ + -- log (R ~ + 4 J o J ; + + log (R ~ + 4 Jo J~) +
4 Jo J~) + log (R ~ + 4 Joo Jo~) -4 Joo J~)o + 4 Jo Joo) -4 JooJ~o + 4 JooJ~) + 4 Joo J~)o + ~ Jo Joo + 4 Joo Jo) I
fiir ein gleichseitiges Dreieck. Obiges P ( z : 2, 2, 2, 2) spezialisiere ich derart, dab P wieder die in hr. 15b angegebenen giinstigen Eigenschaften hat. Dazu (Fig. 14) verl~ingere ich die v[er das ~Rechteck r begrenzenden lit;it'i~iI ~lili:il i Strecken i~ jeder Richtung um da~ . . . . . . . . . -'l, jeweils gleiche Stiick und lege durch die Endpunkte dieser Stiicke das dem urspriingiichen Rechteck r parallele und r umfassende Rechteck, das ich mit q bezeichne. Dann w~J~le ich die R~knder do uad doo der Hilfsbereiche bo und boo so, dab die (ira Sinne der Nr. 9c I) zugeh6rigen Randstreifen innerhalb q mit denen zu je zwei gegeniiber:Fig. 14. Urspriingliches Rechteck r im liegenden Geraden yon ~identisch zfiHilfsrechteck q eingebettet. sammenfallen; die restlichen Randstreifenstiicke 1/ings do und doo soilen sich auBerhalb yon q befinden. Darm sind die do und doo darstellenden X(s) und" Y(s), solange dies~ zu q gehSren, beliebig oft differenzierbar und somit Jo bzw. Joo im ganzen bo bzw. boo c-fach stetig differenzierbar anzugeben. Hierbei bedeutet c (wie in Nr. 15 b) eine beliebige ganze ZaM, die grSller als zwei ist. Da die fiir das singu]~re Randverhalten voa P ( z : 2, 2, 2, 2) kritischen Randstreifenstiicke in q liegen und daselbst die Funktion P (~: 2, 2, 2, 2) im wesentlichen (in Eckean/ihe
~
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
t ~t genau) in den kritischen Summanden P(n~, ~+1,. n~, ~+l)yon So der
I01
P a r a m e t r i x m e t h o d e . 2.
l~r. 15 a iiberge-ht, haben beide Formen yon P (~ : 2, 2, 2, 2) die gleichen, in Nr. 15b angegebenen EJgenschaften. Dagegen verlguft fiir P(.~ : 3, 3, 3) der Randstreifen yon bound ebenso der von boo an irgendeiner Stel|e im Dreieck gekriimmt (Fig. 15). Man kann daher obiges Veffahren fi~r P (~ : 2, 2, 2, 2) nicht fiir P (~ : 3, 3, 3) iibertragen und nicht mehr die giinstigea P-Eigenschaften der l~r. 15b nachweisen. e. P / i i r die in :Nr. 9 ~
e~ngeffiJhrten
2ereiche
b = b (~" if1, fie, 9 9 ", g~)
r~it untefei~a~e~" vetschiede~n Ec]~e~t e =
~" g oder rait Ecken,
Fig. 15. I m gleichseitigen Dreieek b (n : 3, 3, 3) verlaufen die R a n d s t r e i f e n s y s t e m e des Bereiehes bo mit d e m R a n d do u n d die des Bereiches boo m i t d e m R a n d doo l&ngs einem Sttmk der Geraden d u g e k r u m m t .
die sich an einem mehrfachen Randpunkt beteiligen, seize ich folgendermagen aus den
~
~
/J ~
, 9
denden P ( z g~,..., g~) fiir die in Nr. 9 eingefiibrten T eilbereiche zusammen (Fig. 16). Bestc hr. mSglicherweise b~ ,arts getrennt tiegenden
50
x\
~la
,
/ ~z~/ /
~2 ', }\ '
aT_ata ~ _ ~ , a ....... ,/ ...... ,~
[ ~
nnd f sich im gleichen
//
Tell befinden, fiir diesen Rr. 17a zu bilden; belinden sich jedoch t and t' in verschiedenen Teiten, so ist P (z~: g~, 9. . ,
g~)~
0
zu
setzen,
Dabei l~uft u yon 2
\
\
/
"
i~
~ s~
&s
[
"
taa ~'ig. 16.
~dberdeckung yon b -=- b (~r : 2, 3, 3, 7) (lurch die Teilbereiche b~ = b~ (~r : 2), b~ = b~ (zt : 7) u n d b a = 5a (~ : 3, 3). h a b e i besteh$ b a erlaubterweise aus zwei g e t r e n n t e n Teilen. btz bzw. bta ist tier gemeinsnme Teil yon b x rni~ b~ bzw. b a. ( R t m d e t m a n die E c k e :z: 2 d e r I n n e n r a n d l i n i e d u t c h die p u n k t i e r t e Linie ab, so w i r d b~ = bo.)
his q und es kommt aoch P0 far b~ = bo oder P ( z : g~, . . . , g~) Ffir bz = b @ : gl, . . ., gl) hinzu.
102
L. Sauer.
Bo,, = Bo.(t)
seien far u = 2, . . . , q Funktionen, welche vor allem die (in Nr. 10a I I I angegebenen) Eigenschaften yon C. haben (Fig. 17). Dariiber hinaus sei jedes Bo~ eine positive, in b dreimal stetig differenzierbare Funktion. Welter sei Bo. = n~. in einem Randstreifen liings dx. auBerhalb der zu b= gehfrenden K(s,~, 4a) 1% ferner Bo. = 1 - n ~ in einem Randstreffen liings d l . innerhalb der zu b. gehSrenden a a ~ .~ K(s,~, 3 a); u > 1. Dann bestimme ich
~ ~~7222~,-~~
bl~
BuB"~=oB"(t)und fiir
s~
B'~' =
ble
u = 1,...,q
B~,, + B 3 . (1 - Bo,,)~
fiir u =
durch 2,
.,q, " '
ferner (1 - - BO z,) ~
B~ = P r o d u k t aller (t-- Bo ,,)~+ n~
~" ~z
fiir v = 2, r
.r 6~xx
Fig. 17. Die Definitionsbereiche fiir die Funktionen C2, Bo~ und Bg., femer fiir B x in Eckenn/~he. ~ Zu bla geh~ren auch die beiden schraffierten Randstreifen.
hierin ist das sei P
.
q.
Jedes B. ist dreimal stetig differenzierbar in b und alle ersten bis dritten Ableitungen yon B . lassen sieh in der :Form ~: C. fiir u == 1, . . . , q abseh~tzen. Ich bestimme (17.3)
P = :
P(g'g~, g2, 9.., gp) Z,,B,,B,~ P(~r" g u , . . , g ~ ) fiir
P(z~:gl,..., gi) dutch Po zu ersetzen, wenn far b(~:gi, g~.,..., g~,) im Fall E = A + T.
u ~ 1,...,
q;
bl = bo sein sollte;
1 ]og R~ far R = 0 gleich X , ~ In (17.3) ist. der Faktor yon -- 4-'~
= 1
ffir u --= 1, . . . , q. Denn entweder liegt t in einem und nur einem b, fiir ~t > 1 trod folglich
B:~ -- (1 - Bo,,)'." ((1 - Bo~)~ + BoO, 9. B2
=
B~=0
Bo . :
fiir
Bo,2 +
v4=uundv>l.
O d e r t liegt in bl au~erha|b aUer bs flit u > i und fotglich B~ = I und B~ = 0 far u > 1. Die n~theren Eigenschaften yon P ( ~ : gl, g2, .- ", g~) werdev in
Nr. 19 und St b zusammengesteUt. 1o) Die K(#,~, va) ~ v - - 1, . . . . , 6 sind die zu bgehSrenden Kreisausschnitte mit &or ~ a~r &lm Mittellmnkt und den HMbmessern va,
Parame~rixmethode. 2.
103
~/iit (17.3) ist die aIlgemeinste meiner Parametrizes aufgestellt. Damit stud die im vorstehenden Abschnitt II gefiih~en Untersachungen fiber Wesen und Bildung der Parametrix P flit Randwertprobleme zweiter Or4uung im Zweidimensionalen, n~zfiich fiir die in BTr. 12b wiederholten (10. 7, 8) beendet. III. E i g e n s c h a f t e n der P a r a m e t r i x P fh'r Probleme zweiter Ordnung im Zweidimensionalen.
Die in Nr. 10c aagekiindigte AuflSsungstheorie fiir die RandwerCprobleme (10. 7, 8) (vgl. Nr. 12b) wird mittels den in (15. 2), (16. 5, 6), (17.1, 2, 3) eingefiihrten seehs l~arametrizes P im Abschnitt IV durchgefiihrt. Hierzu stelle ich im vorIiegenden Abschuitt III die genauen EigenschaFcen dieser P lest. 18. Al~eh~tmmgen hetref/s der Grtmdbestandteffe yon 1). Die Eigenscha~en der Parametrizes *P f~l~en auf denen der in P vorkommenden einzehlen Logarithmen (Nr. 18a) und auf denen der am Rand.sich ausgleichenden Paare solcher Logarithmen (Nr. 18b). Damit werden diesbeziigliche bisherige Feststell~ugen (Nr. 16b) erweitert mad ferner erg~mzt (Nr. 18c). Das geschieht e~was al]gemeiner, als es zur Feststellung der Eigenschaften yon P nStig ist, um daran aaeh im Abschuitt u ankniipfen zu kSnnen. a. Ich setze
N = ] Jo J'o 5- hJooJ'oo "+-iJo J'oo -4-JJoo J'o fiir alle nach (14. 16) mSg[ichen Werte yon ], h, i, j. Es ist vorerst nicht nStig, diese Wer~e gleich den in P ei~geheuden Koeffizienten zu setzen, welche dutch die in (14. 1, 2) eingefiihrten ]a und h~ besti~mt sind. Dann geltea folgende Abschatzu~gen betre]]s log (Q~ -t-'4 N). I. Auf Grund yon Nr. 16b I ist, da Ftir ] = 0 und ebenso fiir h : 0 nur die MSglichkeit i = j = 0 besteht:
R e, / 5&"~ /Jo e, iY 3, iJ'oe, h J02o, h J'o~, JJ3o, 3joo. ,e ~. R e + ]Jo Jo' + h Joo J~. Somit ist
R ~ + / J o J'o + hJoo J ~ = R ~ + ]J3 + 7~Jo~ R ~ + tJ'J + hJ'o~o= (R + ]Jo + hJoo) ~ -~ (R +/J'~ + ~.rooi~. II. Es sind tog (Q~ + Q~",+ s ~), log (Qe + 4 N), log (Q~'" + 4 N) und log (R~ + 4 ~ ) ~m-mal stetig differenzierbar naoh (x, y, x', y') ffir R + ]Jo +
104
L. Sauer.
+ hJoo > 0. Diese Logarithmen sind ~- log (R + / J o + hJoo) n). Ihre m-tea Ableitungen nach (x, y, x', y') sind ~ 1 9 (R + ]Jo -t- h Joo) ~' C 1 9 R m. Dabei ist m wie in Nr. 16 b II zu w~hlen. I l I . Ich fiihre ei~e Konstante w ein durch
(]8.])
to = A - Jo= Joo= + B" Jo= Joo, + B - J o , Joo= + C- J o , J o o ,
fiir
Jo = J o o = 0 ,
also w = -- cos eim Normalfal] E - A + T. Dean dann ist w = cos (no, noo) fiir no = no o = 0. Folgende AbscM.tzungen gelten dann und nut daan, wean [, h, i, j aul~er (14. 16) noch die Bed/ngungen
(18.2)
(I)
/'~ + i2 - [ + 2 v [ i = 0 ,
=0, (III) Z l j + 2 h i - - i - j + 2 w / h + 2 w i j
(II)
h9 - + j 2 - h + 2 w h j
=0
erfiiUen. Es ist, wenn man
D ' S = A 9S,, x, + 2 B 9 S,, v, + C. Sy, y, definiert, D' log (Qe + 4N) ~ ([Jo + hJoo)" (R + /Jo + h J o o f
U_. l " (R + /Jo + hJoo) ~_. I " R. Die erste Ableitung yon D'log(O 2 + 4N) naeh z' oder y' ist
(/do + h Joo)'" (R + / J o + h Joo) 3. Die mSgUchen Ableitungea yon D'log (Qe + 4 N ) nach (x, y, x', y') sind in bezug auf x trod y yon hSchstens dritter Ordnuag, dagegen in bezug auf x' und y" von hSchstens erster Orchaung. Die demnach zafl~sigen m-ten Ableitungen sind ~ 1 : (R + ]Jo + hJoo) "~§ Zum Beweis gehe ich aus yon
4 D'N D' log (Q2 + 4 N) =Q2 +-4N -
(18.3) - - 16
31 (t, t)--29 (t, r ) - - ( z - - x ' ) . N~, -- (Y-- Y')" Nv, (Q'23v 4 N)2
- - 1 6 (A - - A ' ) . 37~,4-2 ( B - - B'). Nx, Ny'Jr-(C--O') .
(Q~ + 4 _,v)2
- - 16
A ' . N ~ ' + 2 B ' 9 Nz'Ny'+O'.
N.~, ~ 31 (t, t)
(O "~+ 4. 31)'~
n) Vgl. FnBnotr zum ersten Sat,z der Nr. 16b IL
N~t'
Parametrixmethode. 2.
105
Alie fiir D'log(Q 2 § 42V) behaupgeten Abseh~tzungen gelten fiir den ersten, zweiten und dritten Bruch, und zwar flit aloe ], h, i, j, die (I4.16) erfiiIlen, ohne dabei die Einschr/inknmgen (18. 2) zu fordern. Im letzten Bruch is/ A ' . N~ --k 2 B'. N~, Nu, § C'. N~,2 _ N (t,, t) -= ((]Jo -4- JJoo) 2" (a' . J'o~, § 2 B' . J'o~' J'o~' + C' . Jo~' -- 1)) + -+- ((i Jo -4- h Joo) 2. (A'. J'2 ' Joo,j' ' oo.~' + 2 B ' . Jooz' + 0 ' . J'oor -- 1)) + ~- (2 (]Jo -t- JJoo)" (iJo + hZoo)" (A'. J'o~, Joo,, § B " J'o,, J'oo.r + -i- B ' . J'ocJ~o,, § C'. J'o~, J~or ' + + (-- (]Jo + jgoo)" Jo -- (iJo -i- hJoo)" Joo q- (/Jo § jJoo) 2 A+ (iJo § hJoo)2). Der erste und ebenso der zweite Summaad (...) fiihrt nach (16.4) wieder auf die behaupteten Absch~tzungen fiir a]le nach (14. 16) zul/~ssigen ], h, i, j. Das gilt auch fiir den dritten Summanden (...), wenn man daselbst (A'. J'o:, J'oo,, §
§ c " g'or J'oo.r
(A'- J~z' J~o:, + " "
§ C'- Joy, J~)o~, -- w)
dutch ersetzt. Somit bleibt noch der Bruch 16
(18.4)
- - ( Q ~ + 4 . N ) ~ (2(/20 + jJoo)" (iJo -~ hJoo)W --- (/Jo -4- jJoo)" Jo -- (iJo -l- hJoo)" Joo § (]Jo + jJoo) ~ + A- (iJo + hJoo) ~)
abzusch~tzen: Dieser is/gleich (18.5)
-
16
( J 3 ( f + i2 - / + 2 w/i) +
+ J~oo" (h~ -4- jz -- h -4- 2 whj) -+- Jo Joo" (2 ]j + 2 hi -- i -- j + + 2 w ] h + 2 wij)). Folglich is/ er identisch Null, wenn ] " h = i = j = 0 oder ] = 1 und h =i=j=0 oder sehlieglieh h = l amd / = - i = j = 0 gilt. Er geht flit / und h =~ 1 nebst i und j > 0 im FaLl R = Joo = 0 in -- (]z + is -- ] +
+ 2 w/i)" ]e Jo~ fiber, was (wie ich behauptete) nur dann ~ 1 " / J o is/, wenn die Bedin~mang (I) yon (18. 2) erfiiUt is/. Entsprechend fiihrt R = Jo = 0 auf die !~ot-wendigkeit der Bedingtmg (II). Dann bleibt yon (18. 5) im Fall R = 0 trod Jo = Joo noch - -
(21j + 2 h i -- i - - j + 2wits + 2 w i j ) ' ( ]
+ h-4- i + j ) 2 Z g
iiblig, was aur dann ~ 1" ~] A- h)Jo is/, wenn die Bedingung (III) yon (18. 2) befriedigt is/. Umgekehrt versehwindet (18. 5) identisch in t und t; wenn (18. 2) erfiillt ist. Hierauf f'a$en die behaupteten Absch~tzungen.
106
L. Sauer.
IV. ~ den Koeffizientenquadrupel (], h, i, j) in N bestehen nach (14. 15) nur die vier M6glichkeiten
(t~,l~,ho_l, ho), (lo,/o, ho, ha-1), (to+~,to, h~ (/o, to+~,ho, ho)
( i s . 6)
ffir a = O , ! , . . . , c . Dabei sind die ] a u n d ha gem~i~ (14. 1, 2) bestimmte :Funktionen yon e. Es gilt der Hil]ssatz: Jeder der vorstehenden Koeffizientenquadrupel 15st das System der drei Gleichungen (18.2) ffir (/, h, i, j), wenn w ~ -- cos e und e irgendeine Zah] ist, die (13.4) geniigt, ttierbei braucht e nicht auf ~" g wie in Nr. 14c beschrS.nkt zu werden. Denn dann geht jede der Gleichurtgen (18.2) wegen (14.5, 7, 8) in h~ + 1~ -
l~ -
2 c o s ~ . ho io = Io(to +~ + Io -
~ -
2 ~ o s e - ha) = 0,
also in 0 -- 0 fiber. ~ u n trifft ~v = -- cos e ffir den NormalfaD E = A -4- T ein. Demnach besteht das
Ergdmis: Ffir A'log (R~ 4- 4N) gelten die ftir D'log (Q2 d- 4N) anschiie~end (18.2) augegebenen Absch/itzungen, wenn (/, h, i, j) irgendeiner der in P vorkommenden Koeffizientenquadrupel ist; ferner ist dann unter Hinzunahme yon II A' log(R2 -4- 4 N) § s log(R s 4- r N) .7. 1- (R + / J o § hJoo) ~ 1. R und die m-ten Ableitungen davon nach (x, y, x', y') sind
1. (R + / J o + ]~Joo)~-~ Z. 1. R ~+~. Dabei ist m wie in I I I zu w~hlen. b. Ieh setze
L = p Jo g'o + t ) Joo Woo d- q Jo Joo d- rgoo J'o nnd !
!
M --= k J o J ' o d- pJooJ'oo § VJoJoo d- rJooJ o ffir allenach (14.17) mSgIichen Werte yon k, p, q, ~. Es ist vorerst nicht nStig, diese Werte gleich den ia P eingehenden Xoeffizienten zu setzen, welche dutch die in (14. 1, 2) eingeffihrten ]aund ha bestimmt sind. Dann ge]ten folgende Abschatzungen betre//s log (Q~ 4- 4 L) -b log (Q2 d- 4 M). -
-
v. In -Iog(@ + 4 L ) + l o g (Q2 + 4 M ) Q~dc.4 L
= -log(l
,
So,
Qu• 4 M
Par~metrixmethode.
107
2.
ist naeh (14. 19) entweder (k -- p) J~ -}- (r -- q) Joo --~ 0 oder
(p--k) J~)§ fiir t' in b. ImFall k = l u n d
00 > -~-0
/~ = q = r - - 0 i s t
-- log (Q2 + 4 L) + log (Q~ + 4 M) = log 1 d- -4 -Jo~ -Jo~ - / - ~ log 1 + -~:-JoJo'~ - ~ / ~ = ~ log (/~ +/z~Jo): Im Fall p = 1 und k = r
=0nebst
- - 2 log (1 + ~ ) .
q>0ist
-- log (@ + 4 L) + log (Q~ + 4M) = -- log (1 + 4 J o"
-J~~q_Jo'o '~ ~ log ( 1 + Jo" 2 -~+ Jo + 2 Joo) (/~+ Joo) 72. ] Q~+4J00d'oo] = = 2tog
+
Jo
In den iibrigen Fgllen yon (1r 17) ist
=
-- log (Q2 _? 4 L) + log (Qe d- 43/) log (1 + Jo" Y~+J;~ ) Jo (R_~_jo__~Joo) ~ ~= log (1 -t- R_~_jo.~_j ~
o)
VI. Ich behaupte folgende Absehatzungen" Die n-ten Ableitnngen v o n -- log (Qed- 4 L ) d- log ( Q 2 + 4 M ) naoh (x', y') sind ==_ J o ' ( R + J o ) " R n im Fail k - - 1 und p----q-----r-=0; sie sind ~ J o ' ( R + J o + J o o ) ' ( R + J o o ) " ira Fall is -- I und k = r = 0 nebst q =>0; sie sind ~ Jo: (R+Jod-Joo) ~+1 in den tibrigen F/illen yon (14. 17); dabei ist n = 1, 2, 3. Die m-ten Ableitungen yon -- log (Q~ + 4 Z) -4- log (Q~ -t- 4 M ) nach (x, y, x', y') sind I : R ~ im Fall k----1 und p = q = r = 0 ; sie sind ~ t ' ( R - l - J o o ) ~ im Fall ~ = 1 und k = r ----0 nebst q ~ 0; sie sind ~ 1" (R -}- Jo -}- Jop)~ den iibrigen Fii]len yon (14. 17); hiermit sind sie ~ 1" R'* in alle~ Fiillen; dabei ist m wie in Nr. 16b I I za w ~ l e n . Zum Beweis setze man z ----x oder z -~y. Dann ist (-- log (Q2 A- 4 L) d- log (Q2 d- 4 M))~, __~ 4 J o '
(Q'2-~-4M).((k--p)
g'o-Jr-(r--q)J'oo)z, -- (@~,
4M)z," (.... )
(Q~-t-4 L ) - (Q'~-}- 4 M ) ~'~ J '
"5
~'
Das ist gleich 4 Jo" ~ " o~ -- ~ -o~ im
= 1 und p =q
=0,
ferner gleich , , j, j' , , , , 4 J o " Q~ (Jo-l'-qJoo)z'--Q~'( o-l-q so)d- 4Joo(JooJ.z'--Jooz'Jo) t l (Q~"+-4 Jo Jo'+'4 Joo Joo'l-4 q Jo J f oo)"(Q~-l-4JooJ'oo) imFall p = 1 und k = r = Onebst q => O, woraus vorstehendeAbschiitzungen folgen.
108
L. Sauer. VII. Ferner besteht die Abschatzung D ' ( - - log (Q~ + 4L) + log (Q~ + 4M)) 7, l : R
und die m-ten Ableitungen davon naeh (x, y, x', y') sind C 1 : Rm+l; dabei ist m wie in III zu w ~ e n ; das gilt dann und nur dann, wenn (k, p, q, r) aui~er (14. 17) noeh die Bedingungen (18. 2) fiir log (Q2 27 4s und die f'tir log (Q2 27 4 M) effiillen. Diese Bedingungen sind, wean w wie in (18. 1) bestimmt ist, (I) p ~ + q ~ - - p + 2 w p q =0, (18. 7) (II) p ~ + r ~ - - p + 2 w p ~ = 0 , (III) 2 p r + 2 p q - - q - - r + 2 w ~ + 2 c o q r =0, (IV)
ks +
-
k + 2 wk,
= o,
(V)
2kr+2pr--2r+2wkp272wr
~ -----0.
(18.7) sind nach III hinreichende Bedingungen; ihre Notwendigkeit beweise ieh folgendermaBen. Voriibergehend ldirze man die linken Seiten yon (18. 7, I . . . V) mit a, b, c, d, e ab. Darm ist naeh (18.5) derjenige Teil yon D' (-- log(Q~ + 4 L) + log(Q~ + 4M)), der nieht ~ 1" R ffir alle naeh (14.17) erlaubten (k, r, q, r) ist, gleieh der Differenz + 16 a J ] + b J ~ ~ 1 7 6 1 7 6 1 7 6-- 16 dJ2"27bJ]~176176176 (Q~+ 4 L) "2
(Q'~27 4 M)'2
Fiir g~) = g~)o-- 0 wird diese Differenz gleich 16Jo. ((a--d)Jo 27 ( c - e ) g o o ) ' Q ~. Das widersprieht der geforderten Abschgtzung, wen~ nicht (d--a)Jo 27 27 (e--C)Joo -~ O, also d = a und e = c besteht. Hierf'fir wird die Dffferenz gleieh -- 128 J0. (aJ~ 27 bJ~o 27 CJoJoo ) 9 (Q2 27 2Z27 2 M ) . (p--k)g'o27(q--r)g~)o Sie widersprieht mit Riicksicht auf (14. 18) der geforderten Absch~tzung, Web, nicht
a J~27bJ~o27CJ oJoo = 0 ,
also a = b
=c
=0
uod damit auch- d = e = 0 ist. Demnaeh sind (18. 7) aueh notwendige Bedingungen fiir die anfangs VII angegebenen Absch~tzangen. VIII. Fiir D' (-- log (Q~ ~- 4 L) 27 tog(Q~ + 4 M)) und die Abteitungen davon gebe ich bei effiiltten Bedingungen (18. 7) noch genauere Absch~tzungen an, aus denen das Randverhalten hervorgeht. Hierzu ist D' (. 9 .) als Differenz zweier Ausdriicke (18. 3) darzustellen. Dabei fallen die nach u ]rritisehen Bestandteile wegen erfiiUten (18. 7) weg. Die Differenzen entspreehender :Ei~elbriiche sind nach V und VI so zusammenzufassen, da]~ sie den gemeinsamen Faktor Jo erhalten, und dann nach dem dort angedeuteten Verfahren abzusch~tzen. Die Durchrecbnung fiihrt zn folgendem
Parametrixmethode. 2.
109
Ergebnis im allgemei.nen Fall: Ftir k = 1 und p = q = r = 0 sind Mle Bedingtmgen (18. 7) erffillt. Es ist D' (...) ~= J o ' ( R 3- Jo)e. Die erste Ableitung davon nach x' oder y' ist ~ Jo" (R 3- Jo) ~. Die m-ten Ableitungen davon nach (x, y, x', y') sind ~ 1" (R 3- Jo) ~+1. Ffir p = 1 und/~ = r = 0 nebst q => 0 sind die Bedingungen (II, IV, V) befriedigt und geht (III) in q -t- 2 w = 0 fiber, wodurch dann aueh (I) befriedigt wird. Ist letztere Bedingung erftiUt, so ist D' (...) -_
Ergebnis im Fall E = A 3- T: Fttr A' (-- log (hn 3- 4 L) 3- log (R 2 3- 4 M)) gelten die f'fir D' (...) in VII und VIII angegebenen Abschiitzungen. Weiter ist dann unter tIinzunabme yon VI
A'(...)+T'(...)<=Jo:(R+Jo).R
im Fall k-----1 und p = q = r = 0 ;
A' (...) 3- T ' ( . . . ) ~ J o : ( R 3- Jo 3- Joe)" (R + Joe) im Fall p = 1 und k = r = 0 m e b s t q =>0; A' (...) 3- T' (...) ~ Jo : (R 3- Jo § Joe) 2 in den iibrigen Fiillen von (14. 17); damit A" (...) + T' (. . .) ~, 1: R in allen Fallen. Die ersten Ableittmgen'von A' (...) 3- T' (...) nach x' oder y" und die m-ten Ableitungen davon naeh (x, y, x', y') werden genau so abgesehiitzt wie die entspreehenden (m 3- 1)-ten Ableitungen von (...) in VI. e. Es sind no& die Abscl~zungen der Nr. 16b ~ir b = be u~ter Beibehahunfl des a//geme/~e~ E entsprechend Nr. 18a, b zu ergS_.nzen. Jetzt treten e trod Joe nieht auf. Es geniigt, in den Abschiitzungsergebnissen J anstatt Jo zu sehreiben, wobei J (allgemeiner als Jo) i~ N~. 16a ei~gefiihrt ~atrde.
110
L. Sauer. X. Aus :Nr. 16b IV fiir J = Jo nnd (16.4) folgt
D' (-- tog Q2 + log (Q2 + 4 Jo Jo)) =D'Iog(Q~+4JoJ~)) ~ J'(R+J)~
< 1-(R+J)~I'R.
Die erste Ableitung davon nach x' oder y' ist ~ J" (R + J)a ~. 1" (R + j)2 1" R 2. D i e , t e n Ableitungen davon nach (x, y, x', y')sind ~ 1" (R~.J) 'n+l 1" Rm+l; dabei ist m wie in III ~u wEhlen. Dasselbe fo]gt aus III far ] =lundh =i =j =0undebensoausVIIIfark =lundp =q =r =0, da dann (18.2, 7) erf'fi]lt sind. XI. Aus X, ferner aus Nr. 16b II, ~II fiir J = Jo und (16.4) folgt unter Anwendung einer (16. 3) entsprechenden Identit~t, dab •' log(Q2 + Q2 ,, + 8 Jo J~)),
•' log (Q-~~ 4 Jo J~))
und E' log (Q2 ,, + 4 Jo J~) ~ 1" (R + J) siad. Die m-ten Ableitungen dieser drei /~' log(...) nach (x, y, x', y') sind 1" (R + j)~+l; dabei ist m wie in III zu w~hlen. Gleiches gilt, wenn man formal E durch E ersetzt; denn E geht aus E dutch hier unwesentliche Ab~nderungen der Faktorfunlctionen Ao, Bo, Co in Ao, Bo, Co hereof. Ebenso sind alle Beweise far Null anstatt Jo durchzuFfihren, wobei (16.2) zu beriicksichtigen ist. XII. Entsprechend V und VI gilt far dan in (16. 1) eingefiihrte H, daI~ H ~ log(1 + J }
ist.
Die n-ten Ableitungen yon H nach (x', y') sind
~. J ' ( R + J ) - R ~ far n = 1, 2, 3. Die m-ten Ableitungen yon H nach (x, y, x', y') sind ~ 1" R ~, wobei m wie in Nr. 16b II zu wiihlen ist. XIII. Schlie~lich beweise ich far das in (16.5) eingefii~te Po, dal~ E'Po _~ J ' ( R + J). R ist; die m-ten Ableitungen yon/i~'Po verhalten sich wie die (m + 1)-ten Ableitungen yon H gemi~$ XII; gleiches gilt ffir E anstatt E. Denn setzt man in (16.3) J =- Jo, also H = Po, und vertauscht t mttt', so finder man nach XII in (E' Po -- D' Po) und nach X in D' log (Q~ + 4 Jo J~) Fun]~tionen, die obigen Absch~tzungen geniigen. Weiter ist D' log Q~ = 0 wiein (16.2). Setzt man z = x oder z = y , so ist (-- log(Q2 + QV,) + log(Q2 + Q~" + 8 Jo Jo) + log Q~ - log(Q2. + 4 J o go))~, (Q-2_ ,4"~'~"'jz,9Q~-- (Q~--Q~-"). Q~, = 4Jo J0" (3 QU+ Q~"+ 8Jo J'o)"'(Q~+Q.Z,,+ 8 j o j o. ,) (Q2+4joj,o). (QZ+Q~,). Q.Z -- 4 Jo (Q~+ Q2,, + 8 Jo J~))" (Q~+ 4Jo J~)) ;
daraas folgt, dab auch die restlichen Glieder in (16.3) den behaupteten Abseh~tzungen geniigen.
Parametrixmethode. 2.
111
19. Gnmdlegende Eig-~sehafien yon P . a. Auf Gruad der Absch~tzungen in Nr. 18 and Nr. 16b, auf die ieh in dieser NL 19 im eiazelmen nicht mehr hfixweise, ergeben sich folgende/~/gensr yon der dutch (17. 3) eiagefiihr~en Parametrix s~ = P(~ : g~, g,z, .... 9~) und yon den dutch (17. 1) ~nd (16.5) efixgefiihrten P = P(~ : g , . . . , g) und
P=Po. I. P ist stetig solange R > 0. Die mSglichen Ablei~;ulxgen yon P sind in bezug auf x und y, ebenso in bezug auf x' and y' yon hbchstens drifter 0rdnung. Die danach zul~ssigen m4en Ableitu~gen sfixd stetig fiir t und t" in b, solange R > 0 ist. II. Es istP(g" gl, . . . , g~) G ~,~C+C~,- log(I -+- J+ R)f'Oxv =~ 1,..., q; dubei ist C~ wie fix Nr. 10a III anzugeben and ist fiix J~ der kleinere der Werte Jo + und Joo ~ zu nehmen. Ferner git~
;,o
tog(1+J:R);
(l~bei ist ~ J des kteiuere der Werte Jo und Joo bzw. J = Jo zu nehmen. III. Die m-ten Ableit,~gen yon P ( s ' g l , . . . , g~) nach (~', y') siud X~,C,,C'. J~" (R -+ J~,). R"L Die m-ten Ableitungen yon P(zr: g, . . . , g) mad Po nach (x', y') sind ~ J : (R + J ) . R ~. Beidemal ist ~ =: 1, 2, 3 u~d shnd C+, J~ und J wie in II aazugeben. Bei den Differentiationen erh~ilt man zuerst fiir U'~,andere Fank~ionen, jedoch mit den gleichen aUgemeinen Eigenschaften wie Gf~; sic tassen sich wieder dutch O~ absch~tzen. IV. Es ist P s 1 + ]logR t. Die ~-ten Ableitungen yon P nach (z, y, ~', y') sind < I- R ~'. Dabei ist m wie in I zu w~ihlen. V. Es ist
. . T. ' P ( .~ : 9 1 , A ' P ( ~ ' g l , . .,g~)-b
, gp) ~-_ .~,~C,~C~,. ~ ' J+ " (1:/,+ J~,). R.
Femer gilt~A" P(~" g, . . . , 9) -I- T' P (~" 9,- ~*, g) ~md E' Po G J : (R + J). R. (7,, J , und J sind wie in II anzugeben. VI. Die ersten Ableitungen yon zl' P(~ : 91, - . - , g~) q- T' P(~ : gI,-.., ~v) aach x' oder y' sind _~ Z',C,(J'v " J~ : (R § J , ) . R*. Die ersten Ableitungen yon A ' P ( ~ . g , . , . , g)4- T ' P ( : ~ : g , . . . , g) und E'Po nach x' oder y' sind J - (/i~ + d). R e. C~, J~ ~md J sind wie fix II anzugeben. VII. Es sfixd A ' P ( ~ : gI, . . . , gp)-4- T ' P ( ~ ' g ~ , . . . , g~), leaner A' P@- g, . . . , g) q- T' Y(~ : g, . . . , g) und /~' Po ~ 1" R. Die mSglichen Ableitungen dieser &ei Differen~ialausdriieke na~h (~, y, x', y') siud fix bezug a ~ x m~d y yon hSchstens dritter Ordntmg, dagegen in bezug auf x' und y" yon h6chstens erster Ordnung. Die danach z-al~ssigen m-ten Ableitungen sfixd <. 1 : R~§
112
L. Sauer.
VIII. 4 ~- P(x " gl, ..., gp) + log/~, ferner 4~- P(~" g, ..., 9) + logR~ und 4 n 9Po A- log (Q~ -+- Q~") shad stetig und haben stetige m-te :~bleitungen nach ( x , y , x ' , y ' ) for t in ( b - - d ) and t' in b, ebenso for t in b und t' in (b--d), und zwar einschliefi[ich R = 0. Dabei ist m wie in I zu wiihlen. IX. Esgilt4 x . P(n" gl, ---, gp) + logR2 ~ 1 + 12:,C,C'v. log ( R + J,)[. Ferner sind 4 x - P ( . ~ ' g , . . . , g ) + l o g R 2 und" 4 ~ - P o + log(Q2 + Q 9 ' ' ) Z. 1 + l log (R 4- J)[" Cv, J~ und J sind wie in II anzugeben. X. Die m-ten Ableitungen von 4 x 9P ( z " gl, 9 9 -, gv) + log R ~ nach (x, y, x', y') sind ~ X,C,C'~" (R + J~)'~. Die m-ten Ableitungen yon 4 ~ 9 P(~" g, . . . , g) + log/~2.und 4 zr 9 P0 + log(Q2 + Q2,,) nach (x, y, x', y') shad ~: 1 9(R + J)". Dabei ist m wie in I zu w/ihlen. C,, J , und J sind wie in II anzugeben. XI. Esmt A'(4 ~. P(~" g~, ..., g~) + iogR2)+ T'(...) 7, S,C,C'~:(R+J',). Ferner gilt A ' ( 4 ~ 9 P(~" g , . . . , g) + l o g ~ ) + T ' ( . . . ) u n d E ' ( 4 ~ - Po + log(Q~ + q2,,)) U~ 1 - ( R + J). C,, J , und J sind wie in II anzugeben. XII. Die m-ten Ableitungen yon A'(4.~" P(.~" g ~ , - . . , g~) + log ~-) + r ' ( . . . ) nach (x, y, x', y') sind ~ X,C,C~." (R + j~)~+l. Die m-ten Ab'leitungen yon A' (4 z~- P(~- 9, ---, g) + log R 2) + T' (...) und E' (4 ~ 9 Po + log (Q2 + Q2,,)) nach (x, y, x', y') sind ,~ 1" (R + j)m+l. Dabei ist m wie in VII zu w~hlen. C,, J~ und J sind wie in II arrzugeben. XIII. P = P", d.h. P ist sym_metrisch in t und t'. Man k6nnte allgemeiner P" = P verlangen, wobei P eine fOr (A + T) bzw. E anzugebende unsymmetrische Parametrix mit den Eigenschaften I b i s XII w/ire. (Das erg~be keine Vorteile, aber formale Erschwerungen.)
b. Zus~ze. XIV. Die genannten Eigenschaften gelten auch bei Vertauschung von t mit t'. Ferner gelten sie, wenn man T dutch T und J~ dutch E ersetzt. P ist in gleicher Weise Parametrix fiir das adjungierte Randwertproblem, also P = P. XV. Die Absch/~tzungen V, VI und VII werden for P(~" g , . . . , g) und Po giinstiger, das heist weniger singul~, werm man sich auf E =- A beschr~nlct. Es sind n~:mlich A ' P ( z ~ ' g , . . . , g) und A'Po ~ J" (R A- J)2. Die ersten Ableitungen dieser A ' P nach (x', y') sind ~ J " (.R + J)~. Die m-ten Ableittmgen dieser A ' P nach (x, y, x', y') sind ~ 1" (R + J)~+~; dabei ist m wie in VII zu w~len.
Parametrixmethode, 2.
113
Far P ( z ~ ' g l , . . . , gp) gilt nichts Entsprechendes, da die Faktoren B~ in (17.3) das Auftreten von'ersten Ableitungen yon P auch in A' P efforderhch machen und diese auf R bzw. auf Potenzen von Rim Nenner der Absch~t~angen fiihren. XVI. Neben den dutch (17.3), (17. !) und (16.5) eingefiihrten Parametrizes P (z" gl, 9 --, g~), P (~" g, -- -, g) und Po bestimmte ich noch P = $4 in (15. 2) als Parametrix fiir ein Rechteck oder eines der do1% genannten drei Dreiecke-im Fall/~ = A ~- T, weiter P = P(g" 2, 2, 2, 2)-in (17.2) als eine andere Parametrix far ein Rechteck, ferner P = Pa in (16. 6) als Parametrix fiir bo im Fall E = A, wenn die den Rand do yon bo darstellenden X(s) und Y(s) in jedem Bereich s~,-1 ~ s _~ s~, ]iinfmal stetig differenzierbar sind. St, P ( ~ ' 2 , 2, 2, 2) und Pa haben die entslorechenden Eigenschaften wie P(~" gl, . 9 -, g~), P(~" g, 9 - -, g) und Po- Ihr Verhalten ist (wie in Nr. 15b, 17b und 16d aagegeben wurde) t~ilweise wesentlich weniger singular. XVII. ( A P + T P ) far P = P ( ~ - g ~ , . . . , g ~ ) , P'=P(~-.q,...,g), P = S 4 und P = P(g" 2, 2, 2, 2), weiter/~Po und A P~, ferner die dazu transponierten und adjungierten DifferentialausdIiieke fiihren als Kerne der Integralgleichung ,
(1.1)
W--~K'W'dt'=M
t
in b
auf den SonderfaU Nr. l d mit K = N" R. Betreffs Ietzterem gilt die im Abschnitt I entwickelte AuflSsungstheorie. Fiir A P~ wird insbesondere K -- N. Ftir A S 4 und A P(u" 2, 2, 2, 2) und die transponierten F~l!e wird K sogar mehrfach stetig differenzierbar ftir t und t" einschiiel~lieh R = 0. In den letzten FS.11enist der Beweis der Hauptsiitze fiir (1.1) wesentlich einfacher als im Abschnitt I angegeben durchffihrbar. Darauf wurde im ersten Satz der Nr. 2c hingewiesen. Das bereehtigt die Bevorzugung der eingangs Nr. 15a angegebenen Bereiehe. Vom Randwertproblem herkommend unterscheide ieh vier Kerne yon (1.1), niim!ich ~/), (/~P)" = E' P, E P = E P und (E P)" = E' P einschliel~hob des Normaffalls (A + T) und 8onderfalls A v o n E.
20. Hilfss~tze betreffs Vertausehung yon Differenti~.tion und Integration. Diese benStige ich zum Nachweis d er in Nr. 21 bis 23 angegebenen weiteren Eigenschaften der Parametrix P. Dabei benutze ich wiederholt Absch~tzungen der Nr. 18 und 16b, olme darauf im einzelnen hinzuweisen. a. Zuerst bringe ich weitere Eigenschaften van log Q~. I. Ma~ setze vor'dbergehend K = log(Q~. + Q~") oder K = log Q~ oder K ~- log Q2,,. l~erner set u = ~ oder u = y und v = x oder v = y. Dam1 .~md (K,, + K.~,) u~d (K,,,~ + Ku,,, + K~,,, --{- K~,~,,) beschrgn!~ fiir t und f ]~,the~e
Aznaten. 119.
8
114:
L. Sauer.
in b einscMieBlich R = 0. Insbesondere ist (log R2)~ + (log R~)~, == 0. Die mSglichen Ableitungen yon (Ku + K~,) bzw. von (K~ + K~,~ + Kuv, + Ku,~,) nach (x, y, x', y') sind in bezug auf x und y, ebenso in bezug auf x' und y" yon hSchstens zweiter bzw. ereter Ordanng. Die danaeh zul~ssigen m-ten Ableitlmgen yon (Ku + Ku,) und ebenso yon ( K ~ + Ku, v + Ku ~, + Ku, v,) sind ~ 1" R ~. Diese Behauptungen ergeben sich aus (02 + O~") 9(log~(O2 + 02") + logu, (Q2 § Qe,,)) = (C~ -t- C~,). (x' - x)2 -- 2(B~ § B'~,).(x' -- x) (y' - y) + + + und fihnlichen Formeln. II. Man setze voriibergehend L = -- log Q2'" _~ log (Q~ + Q~"). Dann sind (L~ ~ L~,) und (Z,~ + Lu, v + Luv, + L~,~,) stetig fiir t und t" in b einschlie~lich R -= 01~); u und v wie in I. Die m-ten Abieitungen yon ( . . . ) nach (x, y, x', y') sind ~. 1: R "-1, wobei man m wie in I w~hle. Die erste Ableitung yon jedem Ausdruck ( . . . ) nach x oder y oder x' oder y' ist beschriinkt fiir t u n d t' in b einschliel~lich R ----0. Diese Behauptungen ergeben sich aus Q~,'. (Q2 § Q~,,). ( _ log,, Q'-~"+ tog,, (Q2..[_Q2,,) _ tog~, Q~" 6- log~, (Q2+ Q2 ,,)) = O2,,.
((C~ -
C'~,). (x' -
x)2 -
2(/~. -
B~,,)- (x' -
x) (y' -
y) §
+ (A~ -- A u , ) ' ( y ' -- y)2) _ _ ( Q 2 _ Q 2 , , ) . (C',.'(x' - x)2 - 2B'~,. ( x' - x) (y' - y) + A'~,. (y' - y)Z)
und ~hntiehen Formeln. III. t liege im Innern yon b, das heist in (b -- d). a sei eine positive Zahl, die man so w ~ e , da~ sich die Kreisfliiche um t m i t dem ttalbmesser a und dem Umfang u in (b ~ d) befindet, t' liege auf u und (X', Y') sei die Parameterdarstellung yon u. Dann ist S ((log QZ)~,. ( B - X ~ -- A . Y'e)+ (l~ Q~)v'" ( C . X : , -
B . Y',,))ds' = 4 ~
unabh~axgig yon a, wean sich d s' ~aber u bei in positiver Richtung fortschreitenden s'-Werten erstreckt, wie eine Ausreclmung des Integrals ergibt. Insbesondere ist (20. 1) i (log/~)~, ds' ---- 4 ~. b. Vertausvhuny yon Di/]erentiati~n und Integration.
IV. Es sei N = N (t, t') stetig differenzierbar aach x und y ffir t und t' in b, were1R > 0ist. Ferner seienN, N~und N~ ~ I:R~ fiir 0 =< 19< 2 . ~ :- ]q) babe die in l~r. 3a angegebenen Eigenschaften; ] - ~ ](t) sei ~ t in 12) Lusbesondere sind diese Au~driioke~/L
Parametrixmethode. 2.
b = b(s'gl,...,
115
gq) irgendeine integrierbare und besehr~nkte Funktion.
Liegt jedoch b = b0 vor, so verstehe ich unter e eine Konstante, die 2 e < 2 -- p und 0 < e < i geniigt und sonst willkqirlich ist; dann sei ] irgendeine in bo integrierbare und in (bo -- do) beschr/inkte Funktion, die / ~ 1" n e ira Randstreifensystem 0 < n(t) <=m (Fig. I in Nr. 12b) erfiillt. B sei ein Teilbereich yon b yon gleicher Art wie b, der auch mit b zusammenfallen kann. Dann gilt der
~ N . ]'dt" ist stetig di[/erenzierbar in b; dabei sind Di]/erentiation und Integration ve.rtauschbar; d t" soll sich iiber B erstrecken. Hilfssatz"
Der Beweis geht davon aus, dab ~ N.]'dt' und f N ~ - [ ' d t ' , ausfiihrlicher gesehrieben B
~N(x,y;x',y').](x',y')dx'dy'
und ~f N ~ ( x , y ; x ' , y ' ) . / ( x ' , y ' ) d x ' d y ' ,
B
B
nach (3.5) stetig in b sind. (z, y) sei ein fester Punkt in B und C der zu B gehSrende Teil des Rechteeks Iz -- x' i g e , IY -- Y'I < a fiir c > tz - x I, wobei c und a sonst willkiirliche, positive Zahlen sind. Dann folgt aus y; x', y')-
--
B-C
y; x',
y')d
'dy'
B-C
zB-C
mittels GrenzprozeB B
B
z
B
und hieraus
Entsprechendes gilt fiir die Differentiation nach y. u Es sei M = M(t, t') irgendeine stetige Fnn]rtion mit stetigen ersten Ableitungen nach x' und y'. Weiter sei N = N(t, t') stetig in t und t" in b, wenn R > 0 ist, und iiberall beschr/inkt. Ferner fiihre ich p und B ~vie in IV ein. Dann grit tier
[" N (t, w) . M(w, t') d~x hat d@ gleichen Eigenschaflen wie M; J t~v (t, ~,) dabei ist die Di/lerentiation navh x' oder y' mit der Integration vertauschbar. Hilfssatz:
I N(t'w) M~,(w,t')dw Bewe/s. Die Stetigkeit yon "~N(t,w) (t, w) M9( w , t ' ) d w , J/~--~q,-~)
vaad f N (t, w) Mu ' (so, t') dw in X und y gleicbm~iIlig in t' folgt aus (3. 5) und Rp (t, w)
8*
1 i6
L. Sauer.
diejenige in x' und y' gleiehm~i~ig in t folgt aus (3. 1). Daraus ergibt sich die Stetigkeit dieser Integrale in allen v~er Ver~inderliehen. Weiter ist der Unter-
~ ~(t,w) sehied zwisehen i R~N(t.(t,W)w)M~, (w, t ") d w bzw. 3i R (t, w) Mu,(w,t' ) dw und einem i N ( t ' ww) ) M(w, t')dw zugehSrigen Differenzenquotienten yon 3/~(t,
naeh (3.1)
beliebig klein zu machen, woraus die Vertauschung yon Differentiation und Integration, ferner die Stetigkeit der Ableitungen folgt. VI. F habe genau die Eigenschaften wie das. bekannte Gfied tier Differentialgleichung/~ U = F, also
(lo. 2) F = F (t) = F (x, y) sei stetig in b und stetig differenzierbar in (b -- d); ferner seien Fx und Fv ~ ]og n ~,X~C,,-logn~
mit v = l , . . : , q
fiir b -~ bo und
ffirb=b(:~'gl,...,gv).
Zur Absch~tzung durch log n und log n~ is) mache ich die gleichen Voraussetzungen wie in Nr. 10a; daselbst wird auch die Funktion C~ = C~ (t) def'miert. Dann gilt der Hilfssatz:
f log (Q2 _{_Q2,,). F'dt' ist ei'r~e in b stetig di/]ere~zierbare
Funktion u~t ihre ersten Ableitungen haben die gleichen allgemeinen Eigenscha]ten wie F. Zum Beweis verstehe man unter g = g(t) irgendeine zweimal stetig differenzierbare Funktion, die g > 0 in (b -- d) und g =Q ~ bzw. ~ XvCv" n~ wie. U in (10. 10) geniigt. Darm ist (unter Beriicksichtigung yon IV)
(f log(Q~-+ Q2") - F' dt')~ ----j'(log~-(Q2 § gg"
Q~") § log,~, (Q,z+ Q~,,)) ..F' dt' +
~.F')~ dt' --~(log(Q2+Q~" + gg')'F'),,dt" +
§ ~ log (Q2 + Q2,,). ~,, dt'. Das viertletzte Integral ist nach I und das letzte Integral nach dem Hilfssatz IV stetig differenzierbar. Das drittletzte Integral ist nach dem Gaul~schen Satz fiber die Umwandlung yon einem Bereichintegral in ein Randintegral. identisch N~]/. Beim vorletzten Integral ist in (b "d) eine nochmalige Differentiation mit der Integration vertausehbar; die erste Ableitung nach x oder y ist ~ log n bzw. ~ ~Y~C~-log ~ / Entsprechendes gilt Ffir die Differentiation nach y. Aus ahem folgt das Behauptete. ~s) VgL Ful~ote zu ~r. 16a~
Param~trixmethode. 2.
VII. H i l f s s a t z :
~a~
117
Ist F wieder die in (10.2) ei~e]iihrtv ~'waktion, so
.[ ~ log (Q~ + Q~") 9r ~ t ' una ~ 2log (Q~ ~- Q~") 9r d t ' ,~ie ~ i e ~
allgemeinen J~igenscha]ten wie ~.
Zum Beweis fiihre ich g wie in VI ein. Dann ist (A -- A')- logx~(Q 2 + Q2,,). F'dt"
g__g~' ~ p,
-i
((A -- A'). log,(Q2 + Q2" + gg') . F')z, dt' (A -- A')~, 9log,(Q ~-+ Q2,,). F' dr'
+ j" (A -- A')-log~(Q2 -4- Q~")" F'~, dt' + j" (A -- A') 9(log,(Q2 + Qe") + logz, (Q2 + Q2:,)). F' dt'. Das fiinftletzte Integral ist nach dem in VI erw~hnten GauBschen Satz identisch Null. Beim vierttetzten Integral ist in (b -- d) eine Differentiation mit der Integration vertauschbar; die erste Ableituag nach x oder y ist ~ log n bzw. Z'~0~- log n~. Das drittletzte Integral ist nach VI wie F, d'as zweitletzte nach IV uad das letzte nach I stetig differenzierbar. Somit ist ~"(A -- A')-log~(Q2 + Q~") . F" dr" yon der Art wie F, und gleiches gilt fiir (B -- B')-log~(Q2 + Q~") . F'dt' und [ ( C - - C ' ) . logvv(Q2 + Q2,,) . F' dt'. In ~hn!icher Weise ist f (-4 .E)' 9(-- logQ2" + l o g ( Q 2 + Q 2 " ) ) ~ d t ' zu zerlegen und zu untersuchen. Dabei tritt die A~wendung von II an die Stelle derjenigen von I. Man finder, da$ letzteres Integral trod ebenso die beiden weiteren Teilintegrale von f D( ~ logQ2" + log(Q2 + Q~"))- F'dt' yon der Art wie F sind. Dann ist wegen (16.2) auch j" D log(Q2 + Q~"). F d t ' yon der Art wie ~'. Aus allem folgt his jetzt, dab (A- log~ (Q~ + Q2,,) + 2- B log,~ (Q2 + Q2,,) + C- log~ (Q2 + Qe,,)). F'dt" -yon der Art wie E ist. Die restfichen Tei!integrale yon f E log(Q~ + Q2,,) .F'dt' und f ~log(Q2 + Qe")-F'dt" siad nach VI uad IV vonder Art wie •.
viii. ~ ' log(Q~+QV').rdt' = d ~2' log@ +Q~")-rdt" haben die gleichen ,aIlgemeinen Eigenschaften wie E, Das l ~ t sich auf die gleiche Art wie der vorstehende ]~lfssatz VII beweisen.
118
L. Sauer.
21. Eigenseha~n iterierter Differentialausdriieke yon -P fiir eekenfreie Bereiehe. P = Po ist die'durch (16. 5) eingefiihrte Parametrix fiir den eckenfreien Bereich b o u n d fiir den allgemeinsten eUiptischen Differentialausdruek •, somit auch fiir den zu E adjtmgierten Ausdruck E. NachfolgencT stelle ich die Stetigkeits--und Dffferenzierbarkeitseigensehaften der zweiten, dritten und vierten Iteration von E' Pound der zweiten Iteration yon ~' Po fest und sch~tze diese Iterationen and deren mSgliche Ableitungen in bezug auf ihr Verhalten am Rand und fiir R --> 0 ab. Hierzu benutze ich wiederholt die Ergebnisse der Nra. 3b, 16b, 18, 19 und 20, ferner den Gaul~schen Satz iiber die Umwandlung eines Bereichintegrals in ein Randintegral, ohne im einzelnen darauf hin.zuweisen. Diese Ergebnisse, insbesondere die fiir/~'Po uad E Po, warden unter wesentlieher Benutzung der Definition yon Jo gewon_~en. Erst nachdem diese Ergebnisse feststehen, geniigt es ftir das Folgende, in den bisherigen Absch~tmmgsergebnissen Jo erlaubterweise dutch das allgemeinere J, das in Nr. 16 a eingefiihrt warde, zu ersetzen; denn ich benutze in Nr. 21 yon Jo nicht mehr den genauen, im Randstreifensystem definierten Ausdruck fii~ Jo ~ r . 16 c), sortdern nut noch die (insbes9ndere auch f'~ir J0 giiltige) allgemeinere Eigenschaft von J, ni~mlieh J ~ n im Randstreffensystem. Damit werden abet keine Ergebnisse fiir das in (16.1) eingefiihrte H, sondern fiir Po gewonnen. Wenn nun in den folgenden Absch~tzungen J steht, so kann man dafiir ebenso Jo setzen.
a. JEigeqzsc]zaften yon .E' p~2). ZusammensteUung: Ich setze
E- P'o =
Po(t, q)- ff Po(q, t') dq.
Diese Funtction in t und t' ist stetig und hat stetige erste Ableitungea nach x und y fiirt und t' in b, wenn R > 0 ist. Ferner hat E'/)(02) stetige zweite und dritte Ableitungen nach x und y fiirt in (b -- d) und t' in b, wenn R > 0 ist. Es gilt E'/Xo2) Y~ 1 + [ l o g R l und/~'.~o2)~ J " R. Die ersten bzw. zweiten, dritten Ableitungen yon E' P(o2) nach (x, y) sind 1 ~ l~-log (1-~ R : J) < ~- bzw. <: /~2 ,
~ 1 1 < ~A-R2.j"
Bewe/s: I. ~'.~o2) ist s~etig fiir R > 0 und ist
- ~ 1 1 dq ~ 1 + t l o g R ] . <- .~ R (t, q)" R (q, t')
119
Parametrixmethode. 2.
Ferner ist
--
f
J (t)
.
E'P(2) <--~ R ( t , q ) . ( R ( t , q ) ~ - J ( q ) ) "~ J"
f
J (q)
R(q,t').(R(q,t')+g(q))
dq
1 1 dq
II. Ich setze voriibergehend 4 x . N = 4 x . Po + log(Q 2 + Q2,,) u_ud 1
J (q)
R (q,t,). (R (q,t,) +J (q))"
(R (t, q) --~J (q))m+l
Die m-ten Ableitungen von nach
f E%N(t, q). E'-'Po(q, t') dq
nach (x, y) sind dem-
~ f Fmdq Ffir m = 1, 2, 3. Es ist'
f
F1 d q ~ i tt~.~1e (t, q) Re- e1(q, r d q ~ . l ' R .
ba sei eine Kreisfl/iche u m t m i t dem Halbmesser a, sofern sie zu b gehSrt, und etwa a - = R ' 2 .
D a n n ist
..~ 1
F~ dq < ~. . ba
also
f
dq
(R (t, q).-t-J)'~'
ba
1 log(1 + R " J ) fiir m = 2 <_ ~.~.
und
1
fiir
m~3.
Ferner ist 1
! F dq
I
b-b a
(R (t, q ) + J (q))m+e R(q, t'). (R(q,t')+J (q))l-e dq
b-b a
-1 I 1 1 dq < (R_t_.g)~-2+2e " R'z-e (t,q~ " R2-e(q,t,) b~ba
1
1
< (R_t_j)~_2" R-'~i
fiir m - - 2
und 3.
Demnaeh gelten die Behauptungen fiir die Ableitungen von
E--N (t, q) . B~"Po(q, t') dq. I I I . Es
sind
noch
die
m-ten
Ableitungen
yon
~'log(Q2(t,q)+
+ Q~"(t, q)). E'Po(q, t') dq nach (x, y) fiir m = 1, 2, 3 zu lmtersuchen, to sei eia festbleibender P u n k t yon b und Ro seine Entferntmg yon t'. Der v e r ~ d e r fiche P u n k t t liege nicht welter als etwa Ro" 4 yon to entfernt, also R - Ro.
120
L. Sauer.
Den zum Ausgangsbereich b gehSrenden Tell der K_reisfli~che um to mit dem Halbmesser/~o" 2 bezeichne ich mit k. Ferne~ sei q = (~z,z). Dann ist i ~ l~ Q2(t' q) § Q2", (t, q)). Z" Po(q, t') dq b
= i .~'log(Q~(t, q) ~ Qe" (t, q))- E' Po(q, t') dq b~t,
+ ! (A(q) -- A(t)). log~,~o(Q2(t,q) +Q~"(t,q)). E~'Po(q,t')dq + 2J'(B(q) - B(t))-log~(Q2(t, q) + QZ"(t, q)). YE'Po(q,t')dq k
+ j (C(q) - C(t))'log,~(Q2(t, q) + Q2"'(t, q))'yE'Po(q, t')dq k
+ ~ D' [-- log Qe(t, q) + log(Q~(t, q) -t- Q~"(t, q))]- ~" Po(g, t')dq k
+ j" D' log Q~(t, q). ~," Po(q, t')dq k
+ .[ Ao(q). log~(Q~(t, q) + Q~" (t, q)). F, ~ Po(q, t')dq k
+S B0(q)" log.~(Qz(t, q) -4- Q2,, (t, q)) . ~' -Po(q, t:) dq k
Co(q)" log (Q~(t, q) + Q2" (t, q)) " ~ffJ-Po(q, t')dq. /r
Das viertletzte Integral verschwindet identisch wegen (16.2). Das Integral fiber ( b - k) hat stetige m-te Ableitungen nach x and y f'fir R > 0, die 1 dq ~ I ' R ~ sind. <_ ~, S~+l1 q, q) " ~ (q,t-----~
Die Ableitungen der iibrigen
b-k
Teilintegrale sind einzeln den (am Anfang der Nr. 21a zusammengesteUten) Behauptungen gem~i~ abzusch~tzen. Dabei siad wiederholt partielle Integrationen und weitere Zerleguagen Khnlich der obigen anzuwenden. Die Einzelabsch~tmmgen verlaufen dann ~hnlieh wie die vorstehend in II oder in ~qr. 20 VII angegebenen. Es treten aneh Randi~tegrale fiber den in (b -- d) liegenden Teil des Kreisumfangs yon k auf, die sich ira Ergebnis ebenso wie die Integrale fiber k abseh~zen lassen. Die genaue Durehrechnung beweist die ei~gangs behauptete Zusammenstellung der Eigenschaften yon ~'/~oz)-
Zusamme~stell~mq: Ieh setze ~" t~oa) = j B" Po(t, q) " B'-i-P(dz, ('q, t')dq ~- ~ ~' P(o2)(t, q) . ~' JPo(q, t')dq. Diese lb~_nktion "ist st.etig ffir t m~d t ' i n b einschlieilljch R = 0; es gilt ~'/Xoa' ~ J - ( 1 + tlog R1). Welter hat E'P(o3) stetige erste AbteiSungen
Parametrix~nethode. 2.
12I
nach x und y fiir t und t' in b, we~u R > 0 ist; diese sind ~ 1 + [logR 1. Ferner hat •' ~3) stetige zweite und dritte Ablettungen nach x und y ffir t in (b -- d) und t' in b, wenn R :> 0 ist; diese sind
<-- 1+~----~1 R -iJ l o g ( l. + R:J) R
und
<- R2+e_~I R 1+el9 J
wobei e ixgendeine 0 < e < 1 geniigeade Zahl bedeute. Dutch genaueres Eingehen auf E' P(oa) kann man sch~rfere Absch~tzungen angeben, die ich jedoch bei der Anwendung nicht benStige. Der Beweis verl~uft ~i.hnlich dem entsprechenden ffir ~'/)~2) und unterseheidet sich giinstigerweise im wesentlichen dadurch yon ibm, dab die ersten Ableitungen des Faktors g'/~z) (t, q) nach (x, y) und ebenso von/~' z~02)(q, t') nach (w, z) im Gegensatz zu den entsprechenden yon g'/)o integrierbar sind. Datum lassen sich die Aussagen fiber die ersten Ableitungen yon E' Po(s) otme die in a III angegebeae Zerlegung beweisen. Zur Untersuchung der zweiten und dritten Ableitungen ist jedoch eine solche Zerlegung zu benutzen. Dabei ist die Abtrennung der Integration fiber k erst nach partieller Integration und anschlieBender Vertauschung .yon Integration und einmaliger Differentiation erforderlich. Andexerseits tritt gegeniiber dem Beweis f ~ E' p~2) eine neue Schwierigkeit auL D_enn in den nach obigem Verfahren vorkommenden Teilintegralen der Art .[ log~(Qe(t, q) + Q2,, (t, q)) 9 E"5 ,(2) ~o w~(q,t')dq kann man nicht mehr k partiell integrieren, um sie einer nochmaligen Differentiation zugiinglich zu machen, weil .E'P(o2)ww~(q, t') trotz der Beschr~.nknmg yon q auf k wegen des RandverhaItens wie 1 9J (q) nicht integrierbar ist. In solchen F~illen gebe man eine ganz im In:aern yon k gelegene Kreisfliiche h um to mit dem Halbmesser a an und beschrgnke t so, dal~ t nicht welter als etwa a" 2 yon to entfernt liegt. t~erner w~hle man a < Ro" 4 und a so klein, dab//(q) ~ J (t) fiir q in hist. ttierdurch kann man die beiden Sonderfiille, dab q auf dem Rand d yon b 1leg}_ and dal~ q mit t zusammenfiillt, verschiedenen Integraten zuweisen. Dam,. lii~t sieh log~ (Q~(t, q) + Qg,, (t, q))-/!/"50(2) - o ,o,(q, t')dq k
k-h
h
h
in dex geforderten Weise abschgtzen. e. gige
scha
n yon g '
Zugam_menstellung" Ich seize ~,' P(o4) = ~ E" Po(t, q) " .~ P~os)(q, t') dq = ~ Z%/xos)(t, q)" E-' Po(q, t') dq.
122
L. Sauer.
Di~se Fun~io~ ist stetig und hat stetige erste Ableit~ngen nach x und y flit t und t' in b einschliefllich R = 0; es gill/~'/~o4) ~ J. Ferner hat E'Pom stetige zweite und dritte Ableitungen nach x und y fitr t in (b -- d) und t' in b, wenn _1 R > 0 ist; diese sind <. ~ - ~ l t o g J ! - I l o g R I u n d ~" 1 , i + I o g O + / t : Y ) vcobei e irgendeine 0 <: e < 1 geniigende ZaM bedeute. Dutch genaueres Eingehen auf/~' P~o*) kann man sehgrfere Absehgtzungen angeben, die ieh jedoch bei der Amwendung nieht benStige.Der Beweis verl~uft ~i,bnlich dem fiir E'/~o~) uncl R'/xo3). Nunmehr lassen sich auch. die Aussagen fiber die zweiten Ableitungen yon ~ P~o~ ohne die in a III angegebene Zerlegung beweisen. Jedoch ist zur Untersuchung der dritten Ableittmgen die beim Beweis fiir E"/~oa) eingefiikrte Zerlegung gewisser Integrale in die fiber (b -- h) und die fiber h erforderlich.
Z~sa~nmenstellung: Ieh setze Diese Ftmktion ist stetig fiir t u n d t' in b, wenn R :> 0 ist; es gilt E~o 2) ~ 1 q- ]logR I. Ferner hat EP~;z) stetige erste Ableitungen nach x und y fdr t in (b -- d) und t' in b, wenn R 2> 0 ist; diese sind ~ t q- log (1-}-R: J) R Der Beweis ist ~hn]ich dem ffir die ersten Ableitungen von/~' P(omzu fiihren. Wa20xend beidemal nach den im ersten Faktor yon ~... dq vorkommen4en x und y zu differenzieren ist, steht jetzt i m Z ~ e r der Absch~tzung des ersten bzw. zweiten Faktors J(q) bzw. J (t') zum Unterschied von J~t) bzw. J(q) in ~'/xa~) = j . . . dq. Es koala daher cler Z~hler des zweiten Faktors den Nenner des ersten jetzt n[oht mehr absch~tzen. Das bedingt die angegebene Abweichung des obigen Ergebnisses yon dem der Nr. 21a auf Grand folgender Ab~iadenmg des Beweisveffahrens. N und b~ ffihre ich wie in a II ein. Die ers~en Ableitungen von ~ EN (t, q)- E Po(q, t')dq naeh x und y sind deznnaeh .
(R(t,~t) -Jr- J (q))~ " ~(---~,t'---)d q b
"<'R "
(R-.}-.J~ .,4;- ( R - } " J ) e ba
R~.-e (t,q)
R(q,r
b -- ba
,.~log (1+ R :J) 1 < _~ +~ in ~ b e r e i n s t i ~ u n g mi~ cter Behauptung. In entaprech~nder W e r e sinct die Absch~zungen c~e~ weiteren Teitintegrale abzu~udern.
123
Parametrixmethode. 2.
22. E i g e n s c h ~ e n iterierter Dif~erentialausdriicke von P ffw Bereiche mit Ecken ~ : g-
a. Die in Nr. 21 flit P = Po nachgewiesenen Eiqenscl~a]te~ gelten aueh [iir die dnreh (17. 1) eingefiihrte Parametrix P-= P ( s ' g , . . . , g) ffrr den Bereieh b = b ( s ' g , . . . , g) mit untereinander gleiehen Ecken e -= s ' q , die nicht auf einen der mSglichen Doppelpun~te des R~ndes d fallen, wenn man daselbst E -- A + T (Igormalform yon E) setzt und in den Absehiitzungsergebnissen unter J den kleineren der Werte Jo und Joo versteht. Zum Beweise schreibe ieh die ite~ierten Ausdriieke (A' P ( s " g, . . . , g) + 4- T-"P(~" g, ..., g))(v>fiir v -= 2, 3, 4 wieder in der Form ~ L(t,q)'M(q,t')dq = N(t, t') an; dabei bedeutet L = L(t, t') "and ebenso M = M(t, t') eine Iteration yon (A'P 4- T' P) yon niedrigerem als v-ten Grad bzw. diese Funktion selbst entsprechend den Definitionen eingangs Nr. 2ta, b, c und d. ttierauf wende ich die in Nr. 21 benutzten Zerlegungen der Integrationsbereiche und Integranden, ferner Differentia~ionen und partielle Integrationen soweit a]s mSglich an, wenn nur die Tel]integrate wieder vonder Form N sind
•d L yon (A' P (t, q) + T' P (t, q)) allein und
yon (d' P
t') + T' P
t'))
allein abstammt. Dabei bringen die Reduktionen yon E auf (A -+- T) und Q auf R einige Vereinfaehungen mit sieh. In solehen N seh~tze man~ sofern das in dem Verfahren der Nr. 21 vorgesehen ist, sowohl L als auch M fiir sich genommen (und nicht gegenseitig) dutch R trod J a b . Fallen alle J aus dem Ifftegranden heraus, so ist N wie in Nr. 21 zu majorisieren. Die iibrigen TeLlinte~ale haben wieder die Form N. Naeh diesem ersten Abseh~tzungssehritt tritt J in L bzw. in M nur als Funktion yon t bzw. q auf. J (t) als Faktor des Z~Mers yon L i s t wie m Nr. 21 entweder aus dem Integral herauszunehmen oder gegen eine positive Potenz des l~e, ners R(t, q)+ J(t) auszugleiehen. Bezeichne ieh die so aus L hervorgehende Funktion wieder mit L, dann kommt J in L nut im Igenner vorund dieser ist eine positive Potenz yon R (t, q) + J (t). Dabei ist J(t) der kleinere der Werte Jo(t) und Joo(t). Ich zerlege b so in ko tmd koo, dal] Jo <- Joo ffir t in ko und Joo < Jo ffir t in koo gilt und setze b =/Co +/~oo- Fiir N nehme ich zuerst an, daJ~ t in/~o liegt, also J (t) -- Jo (t) ~st. Soweit sieh dq in N nut fiber ko erstrectct, ist J = Jo(g) in M zu setzen :und die weitere Absch~tzung wie in Nr. 21 durehzufi~hren. Sofern sieh dq ~flber koo erstreckt, ist J = doo(q) in M zu setzen. Dann t~ihre ieh R(t, q) + + Jo(q)~ R(t, q)+ Jo(t) ira Nenner yon L ein (das ist der Kernpunkt dieses Beweises)und ersetze R (t, q) + Jo (q) dutch das kleinere R (t, q) -t- Joo(~); welter seh~tze ieh wie~ler wie in l~r. 21 ab. Demaach geht im Ergebnis vorerst J -~Joo(t) und zwar im Nenner ein, was ieh durch das fiir t in ~ kleinere Jo(t) ersetze. Liegt andrerseits voa vornhe~ein t in koo, so erseheint nach gleiehem Veffahren J - - ' J o o ( t ) im endgfiltigen Ergebnis. Damit ist die Behauptung
124
L. Sauer.
hinsichtlich ( A ' P ( ~ ' g , ..., g) § T ' P @ " g, -.-, g))r fiir v = 2, 3, 4 bewiesen. Entsprechend ist betreffs (A P ( ~ " g , . . . , g) + :T P (~" g,..., 9)) r zu verfahren. b. Die in Nr. 21 fiir P = Po nachgewiesenen .Eigenscha]um gelten ferner auch///r die durch (17.3) eingefiihrte Parametrix P = t~(n 9 gl, - - . , 9v) ffir den aUgemeineren eckigen Bereich b = b(~r" gl, . . - , gp)- wenn man daselbs~ /~ = A § T und in den Ab3ch/itz~mgsergebnissen X,,C~C'~. J~, anstatt J, welter ~'~ C~ C'~" J~ anstatt 1 9J. femer IZ~ C~ C'~- log J~l anstatt Ilog J I und achliel~lich X,C,C'~. log(1 § R :J~) anstatt log(1 § R ' J ) setzt; dabei ist G~ wie in Nr. 10 a I I I aazugeben uad ist fiir J , der kleinere der Werte Jo~ trod Joo~ zu nehmen. Bewei~. Bildet man ( A ' P @" gl, . . . , gv) -4- T' P(:~" gl, 9 9 (17.3), so kommt in (...)r beispielsweise der Summand
gp))(~') aus
.Y,,,X,B,,B'~. IB,,(q). 21"P ( ~ " g,,, ..., g,,; t,q). B~(q). A" P ( ~ " 9,~, 9..,9~; q,t')dq vor. Ein jeder der hierin atiftretenden Integranden ist nur dann nicht identisch Null, werm q sowohl in b~ als auch in b,, liegt, daher in folgenden drei Fallen: I. II. III.
q in b,, wenn u = v > 1 ist, q in b~, wenn u = I u n d v > 1 ist, q in b ~ , wean v ' 1 und st > 1 ist.
Der sonst noch eintretende Fall ist u > 1 und v > 1, werm u ~= v ist; dann verschwindet der Integrand identisch. Im Fail :I hat ~ . . . dq die in Nr. 2 2 a angegebenen Eigenschaften yon A'/~2)(~r. g=, . . . . g~). I m Fall II ist, wenn q innerhalb K(s~w, 3a) liegt, B~,(q) =- B~(q) ~= J ~ , und, wenn q aullerhalb K (s~ w, 4 a) liegt, B~ (q) ~ J~ v; beides f~ihrt auf giinstigere Absch/~tzungen als gefordert wurden; liegt q im Ringstiick K(s~,~,4a) - - K ( s ~ , 3a), so sind die Absch~tztmgen im wesentlichen die gleichen wie im Fall I. Also hat ~ . . . dq ira Fail I I und nach gleichem Yerfahren im Fall I I I die in Nr. 22a angegebenen Eigenschaften yon (A' P ( ~ " g ~ , . . . , gw) §
-4- T ' P ( : ~ ' g w , . . . , g~))~) ffir w =-v uud w = u. Die iibrigen Summanden yon (A' P ( z ' g l , . 9 9p) A- T ' P ( u " gl, - - . , 9v))(e) sind von ~iJanlicher Form wie die oben beha~delten. Damit ist tier Satz betreffs (...)r bewiesen und ~ n l i c h I~llt er sich fiir die iibrigen Iterationen beweisen.
23. Yerallgemeinerte Greensche Formeln fiir die Singulafit~enfim!ction. Znm SchluJ~ der Herleitung der Eigenschaften der Parametrix P zeige ich, i~wiefern diese eine Verallgemeinerung der Eigenschaften der Greenschen lhruktioa G sind, die in Nr. l l a I bis IV zusammeagestellt trod in Nr. 12a als Eigenschaften der Parametrix fiir das Hilbertsche Beispiel gekiirzt wiederholt
Parametrixmethode. 2.
125
w,jrden. Nr. l l a I i s t auch fiir P anstatt G erfiillt. An Stel[e von :Nr. l l a III ~ritt aUgemeiner (12. 1) als Ersatz dafiir, da6 P im Gegensatz zu G keiner Differentialgleichung geniigt; dazu kommt noch, da6 P die gleichen, dort und in (12.3) angegebenen Randbedingungen wie G erfi~t. Letzteres gilt, wie ich im Abschnitt IV ausf'dhren werde, nicht mehr fiir das allgemeinste' G, dal~ ich aus P bilde. Ich werde in dieser Nr. 23 nachweisen, dalil die G-Eigenschaften l~r. l l a II und IV auch fiir die im Abschnitt II gebildeten P anstatt G bestehen. AUgemeiner beweise ich im Hinblick auf die Eigenschaften yon dem aus P zu bildenden aUgemeinsten G die Greenschen Fo~meln Nr. l l a II flit eine gewisse, P umfassende Funktion, die ich Singularit~tenfunktion nenne (ira Anschlu6 an das am Ende yon l~r. 11 c I Geschriebene). Ich babe dabei auch U und F durch allgemeiaere Funktionen zu ersetzen und Einschr~i~kungen in bezug auf die Gi~]tigkeit am Rand vorzunehmen. Aus diesen so veraUgemeinerten Greenschen Formeln werde ich dann folge~n, da6 .f P" ~" dt" entsprechend lk~r. l l a IV die allgemeinen U-Eigenschaften hat.
a. H = H(t, t') sei irgendeine Funlction, die folgende Voraussetzungen effiil]t 14). I. H sei zweimaI stetig differenzierbar nach (x, y) fiia" t und t' in b, solange R>0ist. Ferner s e i e n H ~ l ~ - t l o g R l , H~undHv~l'R. II. Es seien E H und E ' H Q 1" R. III. Es sei 4 ~- H § log (Q2 § Q2,,) zweimal stetigdffferenzierbar nach (x, y) fiirt in (b -- d) und t' in b einschIie61ich R = 0. (Q wurde in l~r. 16a eingefiihrt.) Gleiches genre f i i r t in b und t' in ( b - d). IV. H" = H" (t, t') = H(t', t) erfiille I his I I I fiir H" anstatt H. Insbesondere bezeictme ich H mit Ho =-Ho(t, t'), wenn V. H0 = 0 flit t auf d, t' in b, und Ho -= 0 fiir t' auf d, t in b, besteht; beidemal soll R > 0 scin. Ich nenne S -~ S(t,t') eine Singularitriten]u~ktw~a in bezug auf einen in b vorgegebenen Dffferentialausdruck E, wenn in S -- H + (S -- H) der,,Hauptbestandteil" H obige Voraussetzungen I b i s IV effiillt. Weiter sollen der ,,Nebenbestandteil" (S -- H) sowie alle ersten und zweiten Ableitungen yon ( S - H) nach (x, y) in dem nachfolgend angdgebenen Umfang sich ebenso absch~tzen lassen wie J~/~a) und seine Ableitungen gem~i~ Nr. 21b und 22. ~Entsprechendes gelte bei Vertauschung yon t mit t'. VI. (S -- H) sei stetig fiir t und t' in b einsch!ie61ich R -~ 0. (S -- H) babe stetige erste bzw. zweite Ableit~m_gennach (x, y) fiirt in b bzw. t in (b --d) und t' in b, solange R :> 0 ist. Die ersten Ableitungen yon ( S - H) nach (x, y) seien ~ ! + ]Iog R]. 14) DieseFunktion H h~t nichts mit der 4uret~ (16. t) eingeffihrten Funktion zu tun.
126
L. Sauer.
VII. Die zweiten Ableitungen yon (S - H) nach (x, y) seien 1
log(l+R:n)
fiir
b = bo
und
<- R 1+el.~_ R1. X~C,,U'~" log (1 Q- R ' n ~ )
fiir
b = b(~" gl, 9 .., gp),
wenn t, ~ und C~ die Voraussetzungen I, II und III der Nr. 10a erffillen. Dabei sind die log ( i - t - R : ~) und log (1 + R:n~) aulterhalb der Randstreifen, in denen n und n~ erkliirt sind, zu streichen. VIII. ( S " - H " ) effiille VI und VII fiir ( S " - - H " ) anstatt ( S - H). Von einer spezieUeren Singularitatenfunktion So -= So(t, t') fordere ich, d a b in So -----Ho + (So -- Ho) der ttauptbestandteil Ho obige Voraussetzungen I his V und der Nebenbestandteil ( S o - / t o ) aul]er den u VI bis VIII noch IX. ~'o--Ho ~--0 ffir t a u f d und t' in b, ferner S o - - H o = 0 fiir t" auf d und t in b, beidemal einschlie~lich R = 0, erfiiUt. So geniigt damit V fiir So anstatt Ho. P(~ : gl, . - -; g~), P(~ : g, 9 9 g), P = S~ und P(~ : 2, 2, 2, 2) besitzen fiir E = A -t- T, ferner Po bei allgemeinem/~ und Pa fiir E = A die fiir Ho angegebenen Eigensehaften. Folglieh ist mit der Existenz yon P aueh die yon Ho, H, So und S in den angegebenen F~llen bewiesen 15). b, Ieh behaupte fiir obige Singularit~tenfunktion So die (11.1) verallgemeinemde partielle Integration (vgl. Nr. 12a!II 1) 1)
S o E'g'
t' =
g'dt' -
t
b;
d a b e i sei g - g(t) irgendeine Funktion, die (10. 3, 6) fiir g anstatt U erfiillt,
n~dich: g sei stetig in b und zweimal stetig differenzierbar in (b ~ d); gx und g~ seien beschr~nlrt in b; Eg sei integrierbar in b (etwa ~ : n "~ usw.); ferner: g = 0 auf d. Zum Beweis miigen t u n d die Kreisfl~che k um t mit einem Halbmesser a :> 0 und dem Umfang u vorerst in (b -- d) liegen. Ferner sei c ein Liniensystem in "(b -- d), das parallel zu d zwischen d und u in hinreichender Niihe y o n d verliiuft. Bei eck~en Bereichen wurden aUe Eckenwinl~el e < x~ angenommen. Dann sind die fiberschiissigen Stiicke der c bildenden Parallel![nien zu d, die fiber die' Ecken hinausgehen, zu streichen. Das Randstreifen11)~Demnaeh ist H selbet eine Singul~rit~tenfunktion und insbesondere P wie H o Sing~arlttttentunktion yon der Art wie 8 o.
127
Parametrixmethode. 2.
system yon b zwischen d u n d c bezeichne ich in nachfolgender Formel m i t r . Ich gehe yon einer Greenschen Formel fiir Funktionen aus, die in einem abgeschlossenen Bereich durchweg zwe~nal stetig d~fferenzierbar sind (Lit. Sternberg, S. 1134). Danach besteht So" ]E' g'dt' = b--k~r
~ ~ ' S o " g'dt" -+b--k--r
+ [. ((g'. So~, - So. g'~,). (A'.co~ (~', ~') + ~'.cos (**', y,)) + § (g" Sou, -- So. g~,)-(~', cos (~', x') § C'. cos (n', y')) § + So- g'- ~A~, + 2~, - A~). cos (~.', x') +
+ so- g'- (B~, + c~, - ~ ) . oo~ (,', y')) d~' + ~ (...) ds'; die beiden Randintegrale sollen sich fiber die in positiver Richtung fortschreitenden s-Werte erstrecken; n auf u ist die yon t wegweisende No,male; ~bauf c soil ffir c --> d in n auf d fibergehen. Hieraus folgt ffir c --> d, wenn man die Eigenschaften yon So, ferner Nr. 3a, 16b III und 20a III berficksichtigt"
so. ~'g'at' = ~ ~'So. g'at' + f (...) ds', b--k
b-k
u
somit
4~. (is0- z'g'dt' - f ~'s0. g'dt') = 1 ~ ~ . ~ b
b
= - g . f ((log Q % .
a ---)- 0
(...)d,' u
( B . X;, -- A . Y',) +
U
§ (log Q2)~,. (C. X', - .B. Y'~,)) ds' = -- 4:~. g. Denn der Weft des angeffihrten lira 4 ~ . f (...) ds' bleibt erhalten, wenn ich U
im Integranden 1) alle Glieder mit dem Faktor So streiche, 2) die Ableitungen yon 4 ~ . So = (4 ~ . so + log (Q2 + @,,)) _ - ( - log Q2 § log (Q~ § Q2,,)) _ log Q~
durch die yon (--log Q~) ersetze, 3) g, A, B, G anstatt g', A', .B', G' schreibe, 4) cos in, x) -- - Y8 u n d cos (n, y) -- + X8 ei-ftihre. Damit ist die Giiltigkeit der Gleichung (23. 1) unter Beschr~inkung von t auf (b -- d) bewiesen. Da g und die beiden Integrale in (23. 1) wegen (3. 5) stetig sind und (23. 1) in 0 = 0 ftir t auffl iibergehV, besteht (23. 1) vollstg~dig.
128
L. Sauer.
c. Feraer behaupte ich flit die a!lgemeine Singularit~itemSm~l"on S die (11.2) veral]gemeinernde Vertauschung van Di]]erentiation und Integration (vgI. Nr. 12a II 2):
(23.2)
E . t ' S . /'dt' =
ES.
-- /
(b--d);
in
dabei sei / = ] (t) irgendeine in (b -- d) stetig dffferenzierbare and im ganzen b integrierbare Funktion. Ich lasse somit beispielsweise / ~ 1 d- l log n I,/* und ]~ ~ 1" n im Randstreffen 0 ~ n ~ m, 0 ~ s ~ s~ l~ngs do zu. Man kann b dutch irgendeinen Teilbereich yon b, der die gleichen allgemeinen Eigenschafte~ wie b hat, ersetzen. Zum Beweis sei to ein Punkt in (b ~ d) und a eine positive ganze Zahl so, dab die Kreisfl~iche k um to mit dem Halbmesser a und dem Umfang u in (b -- d) liegt und t im Innern enth/ilt. Ich werde (23. 2) aus der Identit~t
4~ t'S. ]'dt' = 4 g - f . S . ] ' d t ' - - ~ f ( 4 ~ v . . s - - ~ l o g ( Q 2 + Q 2 " ) ) . f ' d t ' b
b--k
k
-- j" (-- logQ~ § log(Q~ § Q~")) 9 fdt" -- ~ log Q2 9 k
k
folgern. Unter Beriicksichtigung der Eigenschaften yon S, weiter von einigen Ergebnissen der Nra. 3a, 16b und 20, ferner yon dem in Nr. 20b VI e r w ~ t e n Gaul]schen Satz, erhalte ich: 1) l i m e f S . f d t ' b--k
= f ES.]'dt' fiir a ->0, w e i l ~ E S . / ' d t ' ~, a ist. b
k
2) l i m E ~ ( 4 = - S § log(Q~ + Q~")) 9 fdt' = lira y E(...)" fdt' = 0 k
k
fiir a --> 0. 3) l i m e j" (-- logQ 2 d- log(Q2 + Q2,,)). ]'$t' ~- o, k
weil ~ E (...). ]'dt' ~ a ist. k
4) Aus(] log Q2. fidt'). = I (log.Q2 + tog., Q~) - fdt' § ~logQe-]'~,dt' + k
/a
+ f l o g Q 2 . f . Y',,ds' folgt (flogQ2.fdt')~x = ~ (logxQ~+logx, Q~)~-]'dt' + u
k
+ J'log, Q~. l'~,dt" + j"tog:Q2./"- Y'~,ds', k
--.~logxQ~.f..Y:,ds ' ) . fiir a =~ 0.
u
k
somit
lim((SlogQ~-fdt'),,-k
-----lira((J log Q~. fdt'),~,--F / 9"f Iogz, u Q~ Y',,ds') = 0
Parametrixmethode. 2.
129
Entsprechende Formeln gelten f'fir (~ tog Q2. fdt')xv, ferner ffir ( . . . ) ~ /r
und ( . . . ) ~ .
Beriieksiehtigt man. noeh lira (~ Q~-- ['dt')~ = 0,
lim (...)y = 0
k
und lim(...) =0 so erhs
fiir a - ~ 0 ,
man
lira E S log Q2. ],dt, -----lira ]. ~ ((log Q~)~, - (B- X;, - A- Y',) § k
U
+ (logQ2)~,. (C. X'~, - B . Y~,))ds' = 4 ~ . ]. Aus 1) bis 4) folgt (23. 2). Am Beweis ~indert sich nichts, wenn man dabei b durch einen Teilbereich yon b ersetzt, der die gleichen allgemeinen Eigenschaften wie b hat.
d. Zus~ze zu den Greenschen Formeln. I. Das rechts in (23.2) vorkommende Integral ist bei Einschr~xkmng yon S auf H nach (3.5) stetig in b. Demnach gilt (23.2) bei stetigem ] mit S .... H fiir lira (x, y) -+ (X, Y), abet im allgemeinen nicht ffir (x, y) -~ (X, Y). Ich fiihre Eo wie in (~0. 4) ein, d.h. ich setze Eo M = E M in ( b - d) und ~ o M =: l i m E M ffir (x, y) -~ (X, Y) ffir jede in (b -- d) zweimal stetig dffferenzierbare Funktion M ----M(t), ffir die der angegebene lim existiert. Somit besteht, wenn ] insbesondere stetig in b ist, (23.3)
Eo~H./'dt'--=~EH.]'dt'
"] in b.
(Das gilt nicht ffir S anstatt H.) II. Es gelten entsprechende Greensche Formehl fhr S o und S ' , ferner in den adjungierten F~llen. Denn E und E unterscheiden sich nur formal in den Koeffizienten A, B, C und A, B, C bei sonst gleichen a]lgemeinen Eigenschaften. III. Die Integrale fiber ES, E S und derg]eichen sind uneigentliche, bei denen im Integranden R = 0 auszuschiieBen ist. Im iibrigen wird stets fiber b integriert, wenn nichts anderes vermerkt ist. IV. Die Greenschen Formeln und die vorstehenden Zus~itze gelten erst recht ffir P anstatt So oder S, da alle eingefiihrten P yon der Art wie Ho sind. Somit gilt Nr. l l a II fiir P anstatt G. e. Aus obigen verallgemeinerten Greenschen Formeln nebst Zusiitzen und aus den Eigenschaften von P folgere ich die JEigenscha]ten yon j" P . F'd t' und ~ihnlichen Inta]raten, wobeiF' die Eigenschaften (10. 2), die ich in Nr. 20 b VI wiederholt babe, besitzen so]/. Insbesondere beweise ich, da$ ~ P . F d t ' die M a t h e m a t i s c h e A n n a I e n . 119 9
130
L. Sauer, Parametrixmethode. 2.
Eigenschaften (10. 10, 9, 4, 5) und daher erst recht (10. 6, 3, 4, 5) an Stelle yon U besitzt. Somit wird nebenbei gezeigt, dab Nr. 11 a IV auch fiir P anstatt G gilt. Man setze nachfolgend bei eckigen Ausgangsbereichen E:A+TundQ :R. I. Ist L = Z(t) irgendeine beschr~inlrte und integrierbare ~-~onlrtion, so geniigen j P . L'dt" und damit j" P . _F'dt' der Randeigenachaft (10. 10) wie U. -- Das geht aus ~ log (1 + J~" R)dt' ~ J~ hervor. II. ~ P . _F'dt' befriedigt (10. 9) wie U. -- Denn das gilt yon beiden Integralen auf der rechten .Seite yon P.
"at' :
P + log(Q
+
'dt' --
~ log(Q~ + Q2,,) . F'dt'
(insbesondere vom letzten Integral wegen Nr. 20b VI). IJI. ~. P . _F'dt' effii]lt (10. 4) wie U. -- Das ergibt sich aus
~ P . $"dt" -~ ~ E P . F'dt" -- e in (b -- d). IV. ~ P . $"dt' geniigt (]0. 5) wie U; dann ist aueh JEo ~ P" .F'dt" yon der Art wie $' in b. -- Denn beide Integrale auf der rechten Seite yon 4 : r - E o ~ P" P'dt' = f / ~ ( 4 ~ - P + log(Q2 + Q~")). Fdt" -- f E l o g (Q2 + Q~,,). Fdt" - 4zl. F sind yon der Art wie ~' (insbesondere das letzte Integral wegen Nr. 20b VII). V. ~ E P . F dt' und ~ ff~P. F'dt' haben die gleiehen allgemeinen Eigensehaften wie P in b. ~ Das folgt wegen
~JEP'F'dt' = e 0 ~ P ' F ' d t ' + F in b aus I I I u n d
IV.
VI. Ist M = M (t) eine l~unktion, welche die Eigenschaften (10.10, 9, 4, 5) wie U hat und sonst beliebig ist, so hat auch ~ E' P . M'dt' diese Eigensehaften. - - Das ergibt sieh aus
wegen I bis IV f'tir Bo M anstatt iv. VII. 2"P. F d t ' ist yon der Art wie ~. -- Das folgt aus Nr. 20b VIII. (]flier I~i~t sich eine Greensche Formel nicht anwenden.)
(Eingegangen
am
14. 1. 1 9 4 1 . )
