manuscripta math. 111, 513–528 (2003)

© Springer-Verlag 2003

Antoine Ducros

Parties semi-alg´ebriques d’une vari´et´e alg´ebrique p-adique Received: 4 July 2002 / Revised version: 28 February 2003 Published online: 2 July 2003 Abstract. Let k be a field complete with respect to an ultrametric absolute value, let A be a finitely generated k-algebra and let X be its spectrum. We denote by X an the analytification a` la Berkovich of the algebraic variety X. We say that a subset of X an is semi-algebraic if it can be defined by a boolean combination of inequalities |f |
 λ|g| where f and g are in A, where
 is a symbol belonging to {<, >, ≤, ≥} and where λ is a positive real number. In this text we show that the image of any semi-algebraic subset under an algebraic map between affine varieties is semi-algebraic, and that a semi-algebraic subset has only finitely many connected components, each of which is semi-algebraic. In fact our results concern not only algebraic varieties, but also analytic families of algebraic varieties which are parametrized by an affinoid space.

1. Introduction Soit X une vari´et´e alg´ebrique sur R et A l’anneau des fonctions polynomiales sur X . Une partie de X (R) est dite semi-alg´ebrique si elle peut eˆ tre d´efinie par une combinaison bool´eenne d’in´egalit´es entre fonctions appartenant a` A. Les deux assertions suivantes sont classiques : a) Soit ϕ : Y → X un morphisme entre R-vari´et´es alg´ebriques affines. L’image par ϕ de toute partie semi-alg´ebrique de Y(R) est une partie semi-alg´ebrique de X (R) (cf. [3], th. 2.2.1) ; b) soit X une R-vari´et´e alg´ebrique affine de type fini et P une partie semialg´ebrique de X (R). Les composantes connexes de P sont en nombre fini et sont semi-alg´ebriques (cf. [3], th. 2.2.4 et th. 2.2.5). Le but de cet article est d’´etablir des r´esultats analogues pour les vari´et´es alg´ebriques sur un corps k complet pour une valeur absolue ultram´etrique. Si l’on munit simplement l’ensemble des k-points (ou mˆeme des points a` valeurs dans une clˆoture alg´ebrique donn´ee de k) d’une telle vari´et´e de la topologie induite par celle de k on obtient un espace qui est totalement discontinu, ce qui oˆ te tout espoir d’obtenir un e´ nonc´e du type b). Aussi a-t-on fait ici le choix de se placer dans le cadre de la th´eorie des espaces analytiques de Berkovich qui sont munis d’une topologie “sympathique” : ainsi chacun de leurs points a une base de voisinages compacts et connexes par arcs. A. Ducros: IRMAR Universit´e de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes CEDEX, France. e-mail: [email protected]

DOI: 10.1007/s00229-003-0382-4

514

A. Ducros

Si X est une k-vari´et´e on lui associe de mani`ere naturelle un espace analytique X an , et tout morphisme ϕ : Y → X entre k-vari´et´es induit une application ϕ an : Y an → X an entre leurs analytifications. Soit X une k-vari´et´e alg´ebrique affine et A l’anneau des fonctions polynomiales sur X . Une partie de X an sera dite semialg´ebrique si elle peut eˆ tre d´efinie par une combinaison bool´eenne d’in´egalit´es de la forme |f |
 λ|g| o`u f et g sont e´ l´ements de A, o`u λ est un r´eel positif, et o`u
 est un symbole appartenant a` {<, ≤, >, ≥}. Les deux r´esultats principaux de ce texte sont les suivants: Proposition 2.5. Soit ϕ : Y → X un morphisme entre deux k-vari´et´es alg´ebriques affines. L’image par ϕ an de toute partie semi-alg´ebrique de Y an est une partie semi-alg´ebrique de X an . Th´eor`eme 3.2. Soit X une k-vari´et´e affine et soit P une partie semi-alg´ebrique de X an . Les composantes connexes de P sont en nombre fini et sont semi-alg´ebriques. La proposition 2.5 est la cons´equence d’un r´esultat plus g´en´eral portant sur certaines familles de semi-normes et e´ tabli a` l’aide de l’´elimination des quantificateurs dans la th´eorie des corps valu´es alg´ebriquement clos et du Nullstellensatz analytique. Quant au th´eor`eme 3.2 on ram`ene essentiellement sa preuve, apr`es un certain nombre de r´eductions qui utilisent des techniques de base de g´eom´etrie alg´ebrique (compactification, e´ clatement, normalisation) ainsi que la proposition 2.5, a` celle du lemme ci-dessous (rappelons qu’un espace strictement affino¨ıde est le lieu des z´eros d’une famille de fonctions analytiques sur un polydisque unit´e ferm´e, et dans la th´eorie de Berkovich un tel espace est compact): Lemme 3.1.2. Soit X un espace strictement affino¨ıde e´ quidimensionnel et r´eduit
la fl`eche de sur un corps ultram´etrique complet alg´ebriquement clos et ρ : X → X r´eduction modulo la boule unit´e ouverte du corps de base. Soit F un ferm´e Zariski
L’ouvert ρ −1 (F) de X est connexe. connexe de X.
qui est dˆu a` Bosch ([4], Kor. 6.2), est Le cas particulier o`u F est un point de X, un ingr´edient essentiel de la d´emonstration de ce lemme. Les deux e´ nonc´es figurant ci-dessus ne sont que des cas particuliers de la proposition 2.5 et du th´eor`eme 3.2 de l’article, qui s’appliquent non seulement a` des vari´et´es alg´ebriques mais a` des “familles analytiques a` base affino¨ıde de vari´et´es alg´ebriques affines”, les in´egalit´es e´ tant a` prendre entre “familles analytiques de fonctions alg´ebriques”; en termes plus techniques on s’int´eresse au spectre d’une alg`ebre B de type fini sur une alg`ebre affino¨ıde A (et a` l’analytification dudit spectre) et aux fonctions qui appartiennent a` B. Le choix de ce point de vue permet d’avoir des r´esultats nettement plus g´en´eraux que si l’on se limitait au cadre des vari´et´es alg´ebriques, sans que cela entraˆıne de r´eelles complications dans les d´emonstrations.

Parties semi-alg´ebriques d’une vari´et´e alg´ebrique p-adique

515

0. Rappels et notations (0.1) D´efinition. Un corps valu´e sera dans la suite du texte un corps k muni d’une valeur absolue ultram´etrique que l’on notera | | sauf mention expresse du contraire. (0.2) Soit k un corps valu´e complet. Dans cet article le terme espace k-analytique sera a` prendre au sens de Berkovich; sa th´eorie est d´evelopp´ee dans les deux textes fondateurs [1] et [2]; les r´esultats et d´efinitions essentiels de [1], Chap. 1, 2, et 3 et de [2], § 1, § 2 et § 3 seront suppos´es connus et utilis´es pour la plupart sans rappels ni justification. L’espace k-analytique associ´e a` une alg`ebre k-affino¨ıde A sera not´e M(A). Si X est un espace k-analytique et L un corps valu´e complet extension de k on notera XL le transform´e de X par changement de base de k a` L. Si A est une alg`ebre k-affino¨ıde on d´esignera par Ao le sous-anneau de A form´e des e´ l´ements de norme spectrale major´ee par 1 et par Aoo l’id´eal de Ao form´e des e´ l´ements de
norme spectrale strictement major´ee par 1; le quotient Ao /Aoo sera not´e A. (0.3) Soit A une alg`ebre affino¨ıde sur un corps valu´e complet k et soit X un A-sch´ema de type fini. L’analytification de X a e´ t´e d´efinie par Berkovich (cf. [2], Prop. 2.6.1) et sera not´ee X an . Elle est munie d’un morphisme naturel vers M(A). Le normalis´e Y de X est fini sur X et les domaines analytiques de Y an sont normaux (sur cette question, cf. l’appendice). Si X est le spectre d’une A-alg`ebre de type fini B un domaine affino¨ıde V de X an sera dit de Weierstraß s’il peut eˆ tre d´efini par une combinaison bool´eenne d’in´egalit´es de la forme |f1 | ≤ λ1 et . . . et |fn | ≤ λn o`u les fi sont des e´ l´ements de B et les λi des r´eels strictement positifs; notons que sous cette hypoth`ese l’image de B est dense dans l’anneau des fonctions analytiques sur V . Si ϕ est un A-morphisme entre deux A-sch´emas de type fini la fl`eche correspondante entre les analytifications sera not´ee ϕ an . (0.4) Soit k un corps valu´e complet et soit r = (ri ) une famille finie de r´eels strictement positifs. L’alg`ebre affino¨ıde   Tn S1 Sn T1 , . . . , , −1 , . . . , −1 /(T1 S1 − 1, . . . , Tn Sn − 1) k r1 rn r 1 rn  est isomorphe a` l’alg`ebre des s´eries formelles aI TI o`u le multi-indice I parcourt (Z)n telles que |aI |rI tende vers z´ero lorsque |I | tend vers l’infini (si I = (i1 , . . . , in ) on d´esigne par |I | l’entier positif |i0 | + · · · |in |). Sa norme est l’application aI TI → max |aI |rI . Cette alg`ebre sera not´ee kr . Si la famille (ri ) ∗ /|k ∗ |) ⊗ Q alors k est un corps. est libre dans (R+ r Z Soit r une famille de r´eels strictement positifs. Si X est un espace k-analytique on notera Xr le produit fibr´e X ×k M(kr ). Si A est une alg`ebre k-affino¨ıde et si B (resp. X ) est une A-alg`ebre (resp. un A-sch´ema) de type fini on notera Br (resp. k kr ) (resp. le sch´ema X ×Spec A (Spec A⊗ k kr ) ). Xr ) l’alg`ebre B ⊗A (A⊗

516

A. Ducros

1. Parties semi-alg´ebriques et stabilit´e sous un morphisme affine (1.1) Soit A un anneau et X un ensemble de semi-normes multiplicatives ultram´etriques sur A dont les restrictions a` Z co¨ıncident. Soit P un e´ l´ement de X. Son noyau est un id´eal premier de A; le corps des fractions de l’anneau quotient correspondant est naturellement muni d’une valeur absolue r´esiduelle | |. On notera H(P ) son compl´et´e pour cette derni`ere. Si f est un e´ l´ement de A on d´esignera par f (P ) son image dans H(P ). La valeur en f de la semi-norme P est e´ gale a` |f (P )| par la d´efinition mˆeme de la valeur absolue r´esiduelle | |. (1.2) D´efinition. On appelle partie semi-alg´ebrique (resp. partie strictement semialg´ebrique) de X relativement a` A toute partie de X d´efinie par une combinaison bool´eenne d’in´egalit´es de la forme |f |
 λ|g| o`u f et g sont deux e´ l´ements de A, o`u
 est un symbole appartenant a` {<, >, ≤, ≥}, et o`u λ est un r´eel positif (resp. un e´ l´ement de {0, 1}). (1.3) Remarque. S’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, ce qui sera le cas la plupart du temps, l’expression “relativement a` A” sera omise. (1.4) Remarque. Il est clair d’apr`es la d´efinition ci-dessus que les parties semialg´ebriques (resp. strictement semi-alg´ebriques) de X relativement a` A constituent une sous-alg`ebre de Boole de P(X). (1.5) Soit B une A-alg`ebre de type fini et soit P un point de X. Toute semi-norme multiplicative de B ⊗A H(P ) dont la restriction a` H(P ) est e´ gale a` | | induit une semi-norme multiplicative sur B au-dessus de P ; notons YP l’ensemble des seminormes ainsi construites, et Y la r´eunion des YP pour P parcourant X. On dira que Y est la vari´et´e affine au-dessus de X d´efinie par B. On note π la fl`eche de Y vers X dont la fibre en un point P est pr´ecis´ement YP . (1.6) Proposition. Soit U une partie semi-alg´ebrique (resp. strictement semialg´ebrique) de Y . Alors π(U ) est une partie semi-alg´ebrique (resp. strictement semi-alg´ebrique) de X. D´emonstration. On proc`ede en deux temps. (1.6.1) Supposons d’abord que U est strictement semi-alg´ebrique. Soit P un point de X. La fibre YP de Y en P est en bijection naturelle avec l’ensemble sous-jacent a` l’espace strictement H(P )-analytique (Spec (B ⊗A H(P )) )an . L’intersection de U avec cet espace est, par sa forme mˆeme, r´eunion finie d’espaces strictement H(P )-analytiques. En vertu du Nullstellensatz analytique (cf. [5], 6.1.2 Cor. 3) elle est non vide si et seulement si elle poss`ede un point sur une extension alg´ebrique finie de H(P ). La th´eorie de l’´elimination des quantificateurs sur un

Parties semi-alg´ebriques d’une vari´et´e alg´ebrique p-adique

517

corps valu´e alg´ebriquement clos (cf. [9], 4.17 ou [10]) permet alors de conclure que π(U ) est strictement semi-alg´ebrique. (1.6.2) Dans le cas g´en´eral soit (r1 , . . . , rn ) une famille finie de r´eels strictement positifs tels que chacun des λ non nuls intervenant dans la combinaison d’in´egalit´es d´efinissant U soit l’un des ri . Soit A l’alg`ebre   1 1 A T1 , . . . , Tn , , . . . , T1 Tn o`u les Ti sont des ind´etermin´ees. Soit P un point de X. L’application max |aI (P )|rI est une semi-norme multiplicative sur A .



aI TI →

I

Notons X l’ensemble des semi-normes ainsi obtenues. L’application qui a` une semi-norme sur A associe sa restriction a` A induit une bijection ηX : X → X. D´esignons par Y la vari´et´e affine au-dessus de X d´efinie par B ⊗A A et par π la fl`eche naturelle Y → X . La restriction de B a` B induit une application ηY : Y → Y de sorte que le diagramme Y ηY

 Y

π

/ X ηX

π

 /X

commute. Consid´erons l’une des in´egalit´es |f |
 λ|g| entrant dans la d´efinition de U (et donc de ηY−1 (U )); si λ est non nul c’est par hypoth`ese l’un des ri et donc on peut r´ee´ crire cette e´ galit´e sous la forme |f |
 |Ti g|; ceci montre que ηY−1 (U ) est une partie strictement semi-alg´ebrique de Y . D’apr`es le 1.6.1 ci-dessus le sousensemble π (ηY−1 (U )) est une partie strictement semi-alg´ebrique de X . −1 (π(U )). En effet l’inclusion D’autre part π (ηY−1 (U )) est e´ gal a` ηX −1 π (ηY−1 (U )) ⊂ ηX (π(U ))

provient de la commutativit´e du diagramme. Pour l’inclusion r´eciproque, soit P un point de X et soit Q un point de U tel que π(Q) = ηX (P ). La semi-norme  bI TI → max |bI (Q)|rI d´efinit un e´ l´ement Q de Y qui appartient a` ηY−1 (U ) I

(puisque ηY (Q ) = Q); par d´efinition de Q on a π (Q ) = P , et donc P appartient a` π (ηY−1 (U )). −1 (π(U )) est donc une partie strictement semi-alg´ebrique Le sous-ensemble ηX de X ; la d´efinition de ηX permet d’en d´eduire imm´ediatement que π(U ) est une partie semi-alg´ebrique de X, et ceci ach`eve la d´emonstration. 

518

A. Ducros

2. Parties semi-alg´ebriques dans certains espaces de Berkovich On fixe pour tout le paragraphe un corps valu´e complet k. (2.1) D´efinition. Soit A une alg`ebre k-affino¨ıde et soit B une A-alg`ebre de type fini dont on note X le spectre. On dit qu’une partie de X an est semi-alg´ebrique si elle est semi-alg´ebrique (au sens de la d´efinition 1.2) relativement a` l’anneau B. (2.2) Remarque. Les parties d’un espace k-analytique X d´efinies par des combinaisons bool´eennes d’in´egalit´es de la forme |f |
 |g| o`u f et g sont des fonctions analytiques quelconques sur X, ainsi que les images de telles parties sous certaines projections, ont e´ t´e e´ tudi´ees par diff´erents auteurs sous les appellations respectives de parties semi-analytiques et sous-analytiques. On pourra consulter par exemple [7] ou [8], la liste n’est pas exhaustive et chacun de ces deux textes contient lui-mˆeme de nombreuses r´ef´erences sur la question. (2.3) Un exemple de partie semi-alg´ebrique. Si X est un espace k-affino¨ıde alors tout domaine analytique compact de X est semi-alg´ebrique. Cela r´esulte en effet du lemme suivant (dont M. Temkin a e´ galement donn´e une preuve, ind´ependamment de l’auteur): (2.4) Lemme. Soit X un espace k-affino¨ıde et Y un domaine k-affino¨ıde de X. Alors Y est une r´eunion finie de domaines rationnels de X. D´emonstration. Soit r une famille finie non vide de r´eels strictement positifs ∗ /|k ∗ |)⊗ Q telle que X et Y soient strictement lin´eairement ind´ependants dans (R+ r r Z affino¨ıdes sur kr . D’apr`es le th´eor`eme de Gerritzen-Grauert (cf. [5], § 7.3.5, Cor. 3 du Th. 1) on peut e´ crire Yr comme une r´eunion finie Y1 ∪ . . . ∪ Ym o`u les Yi sont des domaines strictement kr -rationnels de Xr . Pour tout entier i compris entre 1 et m il existe donc des fonctions gi , fi,1 , . . . , fi,ni sur Xr sans z´ero commun sur Xr et telles que Yi soit d´efini par les in´egalit´es |fi,1 | ≤ |gi |, . . . , |fi,ni | ≤ |gi |. Notons A l’alg`ebre des fonctions de X et| |∞ la semi-norme spectrale sur A. Toute fonction analytique sur Xr peut s’´ecrire aI TI o`u les aI sont dans A et sont tels que |aI |∞ rI tende vers z´ero lorsque |I | tend l’infini. Soit σ la section continue de Xr → X  vers qui envoie P sur le point bI Ti → max |bI (P )|rI . Fixons un i et employons  γI TI les notations  g, f1I, . . . , fn au lieu de gi , fi,1 , . . . , fi,ni . Ecrivons g = et fj = αI,j T . Les fj et g n’ayant pas de z´ero commun sur Xr la fonction g ne peut s’annuler sur Yi . Comme Yi ∩ σ (X) est compact la fonction |g| y est minor´ee par un r´eel λ strictement positif. Soit I un ensemble fini de multi-indices tel que pour tout I en dehors de I les r´eels |γI |∞ rI , |αI,1 |∞ rI , . . . , |αI,n |∞ rI soient strictement inf´erieurs a` λ. Soit P un point de X. Alors σ (P ) appartient a` Yi si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites : (i) |γI (P )|rI ≥ λ pour au moins un e´ l´ement I de I. (ii) sup |γI (P )|rI ≥ sup |αI,j (P )|rI pour tout j compris entre 1 et n. I ∈I

I ∈I

Parties semi-alg´ebriques d’une vari´et´e alg´ebrique p-adique

519

Pour tout e´ l´ement I de I, notons I le domaine rationnel de X d´efini par les in´egalit´es |γI |rI ≥ λ, |γI |rI ≥ |γJ |rJ , |γI |rI ≥ |αJ,j |rJ o`u J parcourt I et j l’ensemble des entiers compris entre 1 et n. On d´eduit de ce qui pr´ec`ede que σ −1 (Yi ) est la r´eunion des I . Or Y est la r´eunion des σ −1 (Yi ), ce qui ach`eve la d´emonstration du lemme.  (2.5) Proposition. Soit A une alg`ebre k-affino¨ıde et ϕ : Y → X un morphisme entre A-sch´emas affines de type fini. L’image par ϕ an d’une partie semi-alg´ebrique de Y an est une partie semi-alg´ebrique de X an . D´emonstration. C’est une cons´equence imm´ediate de la proposition 1.6.  (2.6) Corollaire. Soit A une alg`ebre k-affino¨ıde, soit X un A-sch´ema affine de type fini, soit (resp. F) un ouvert affine (resp. un ferm´e) de X . Toute partie semi-alg´ebrique de an (resp. de F an ) est une partie semi-alg´ebrique de X an .  (2.7) Remarque. Le corollaire ci-dessus peut se prouver directement de mani`ere e´ l´ementaire (sans utiliser l’´elimination des quantificateurs). 3. Enonc´e et preuve du th´eor`eme principal Commen¸cons par e´ tablir la proposition suivante: (3.1) Proposition. Soit k un corps valu´e complet dont la valeur absolue n’est pas triviale, soit A une alg`ebre strictement k-affino¨ıde e´ quidimensionnelle et soit X l’espace M(A). Soit n un entier, soit λ1 , . . . , λn une famille de r´eels strictement positifs de torsion modulo |k ∗ | et soient ξ1 , . . . , ξn une famille de n e´ l´ements de A tels que |ξi | ≤ λi sur A pour tout i. Soit U l’ouvert de X d´efini comme le lieu de validit´e de la condition |ξ1 | < λ1 et . . . et |ξn | < λn . Il existe une extension finie s´eparable L de k telle que l’image r´eciproque de U par la fl`eche XL → X ait un nombre fini de composantes connexes, chacune d’elles pouvant eˆ tre d´efinie par une combinaison d’in´egalit´es de la forme |g1 | < 1 et . . . et |gm | < 1 pour une certaine famille g1 , . . . , gm de fonctions analytiques sur XL toutes major´ees par 1 en norme spectrale. D´emonstration. On commence par remplacer chacune des ξi par son e´ l´evation a` une puissance convenable pour se ramener au cas o`u les λi sont tous e´ gaux a` 1. On proc`ede ensuite en deux e´ tapes. (3.1.1) Supposons tout d’abord que k est alg´ebriquement clos. On peut quotienter A par l’id´eal des e´ l´ements nilpotents. Dans ce cas A est strictement k-affino¨ıde et

520

A. Ducros


est de type fini ([5], 6.4.3 Cor. r´eduite donc distingu´ee ([5], 6.4.3/1). La
k-alg`ebre A
et ρX
d’un e´ l´ement f de Ao sera not´ee f
. Soit X
le spectre de A 3). L’image dans A
(cf. [1], 2.4). L’ouvert U est l’image r´eciproque par la fl`eche de r´eduction X → X
d´efini par l’id´eal qu’engendrent les ξ
i et que l’on notera ρX du ferm´e Zariski de X
. Du lemme suivant on d´eduira imm´ediatement que les composantes connexes de U U sont exactement les images r´eciproques par ρX des composantes connexes de
, ce qui montrera a` la fois qu’elles sont en nombre fini et qu’elles ont la forme U souhait´ee.
L’ouvert ρ −1 (F) est connexe. (3.1.2) Lemme. Soit F un ferm´e irr´eductible de X. X −1 D´emonstration. Soit une composante connexe de ρX (F). Comme X est localement connexe est un ouvert, et est par cons´equent r´eunion de domaines strictement affino¨ıdes de X. Soit Y l’un d’eux. Le diagramme

ρY

Y

/X


Y

 /X


ρX


est e´ vident) est commutatif, les fl`eches verticales (le sens des notations ρY et Y sont surjectives et la fl`eche du bas est de type fini. On en d´eduit que ρX (Y ) est une partie constructible de F, puis que ρX ( ) est ind-constructible. D’apr`es un r´esultat de Bosch ([4], Kor. 6.2) l’image r´eciproque par ρX d’un point −1 (F). ferm´e de F est connexe, donc incluse dans une et une seule composante de ρX −1 L’intersection des images par ρX de deux composantes disjointes de ρX (F) est donc une partie ind-constructible de F ne contenant aucun point ferm´e, c’est par −1 cons´equent l’ensemble vide. Les images par ρX des composantes de ρX (F) sont donc deux a` deux disjointes. −1 Soit 0 l’unique composante de ρX (F) dont l’image par ρX contient le point g´en´erique ξ de F et soit P un point de 0 tel que ρX (P ) = ξ . La composante 0 est un ouvert de X; le point P poss`ede par cons´equent un voisinage strictement affino¨ıde Y inclus dans 0 . Le morphisme d’inclusion de Y dans X est int´erieur en P (au sens de [1], 2.5.7 et en vertu de [2], 1.5.5). Comme |k ∗ | est divisible et comme Y est strictement affino¨ıde la norme spectrale de toute fonction analytique sur Y est un e´ l´ement de |k ∗ | ([1], Cor. 2.1.6). D´esignons par Dk (resp. Dok ) le disque unit´e ferm´e (resp. ouvert) sur k. On d´eduit de ce qui pr´ec`ede, a` l’aide du lemme 2.5.11 de [1], que l’inclusion de Y dans X se factorise comme suit X × Dnk x< ι xxx x xx  xx /X Y

Parties semi-alg´ebriques d’une vari´et´e alg´ebrique p-adique

521

o`u n est un entier et o`u ι est une immersion ferm´ee telle que ι(P ) appartienne a` k-vari´et´es: X × (Dok )n . Ce diagramme en induit un dans la cat´egorie des

× An X
k z<
ι zz zz zz z  z /X

Y
× An → X
correspondant a` l’origine de An . Le Soit σ la section de la fl`eche X

k k morphisme
ι envoie l’image de P sur σ (ξ ). Comme
ι est fini ([5], 6.3.5 Th. 1) son image est ferm´ee et contient donc σ (F). En cons´equence F ⊂ ρX (Y ) ⊂ ρX ( 0 ). −1 (F) Ceci montre que ρX ( 0 ) = F et donc (les images des composantes de ρX −1 e´ tant deux a` deux disjointes) que 0 = ρX (F), ce qui ach`eve la d´emonstration du lemme.  (3.1.3) Supposons maintenant k quelconque, et soit K le compl´et´e d’une clˆoture alg´ebrique de k. Soit p la fl`eche XK → X. L’ouvert p −1 (U ) de XK a d’apr`es ce qui pr´ec`ede un nombre fini de composantes connexes, chacune d’elles e´ tant de la forme voulue. Soit ksep la fermeture s´eparable de k dans K. La densit´e de ksep dans K (cf. [5], 3.4.1/6) entraˆıne l’existence d’une extension finie s´eparable L de k telle que toutes les fonctions analytiques en jeu dans les in´egalit´es qui d´efinissent les composantes connexes de p−1 (U ) puissent eˆ tre choisies de mani`ere a` provenir de fonctions analytiques sur XL . Le corps L satisfait alors clairement les conclusions de la proposition.  Enon¸cons maintenant le th´eor`eme principal de cet article: (3.2) Th´eor`eme. Soit k un corps valu´e complet et soit A une alg`ebre k-affino¨ıde. Soit B une A-alg`ebre de type fini et soit Y son spectre. Soit U une partie semialg´ebrique de Y an . Les composantes connexes de U sont en nombre fini et sont semi-alg´ebriques. D´emonstration. On peut supposer les in´egalit´es qui d´efinissent U reli´ees uniquement par des conjonctions et, ce qui ram`ene le probl`eme au cas o`u U est d´efini par une combinaison |f1 |
1 λ1 |g1 | et . . . et |fn |
n λn |gn | o`u les fi et gi appartiennent a` B, o`u les λi sont des r´eels positifs et les
i des e´ l´ements de {<, >, ≤, ≥}. Identifions Y a` un ouvert dense d’un A-sch´ema projectif Y. D´esignons par U 1 )n (resp. (P1 )n ); pour tout i donnons-nous un syst` (resp. Z) le sch´ema (PY eme de Y

coordonn´ees homog`enes (Si , Ti ) sur sur le i-`eme facteur P1 et notons ξi l’´el´ement Y Ti inversible de l’anneau total des fractions de Z. En tout point z de Z l’une au Si

522

A. Ducros

moins des deux fonctions ξi et ξi−1 appartient a` OZ ,z . Si P est un point de Z an et si ξi n’appartient pas a` OZ an ,P on posera |ξi (P )| = +∞; modulo cette convention |(1/ξi )(P )| = 1/|ξi (P )| pour tout point P de X an et toute partie d´efinie par une ∗ ∪ {+∞} est un ouvert in´egalit´e stricte (resp. large) entre |ξi | et un e´ l´ement de R+ an (resp. un ferm´e) de Z . Pour tout i appartenant a` {1, . . . , n} soit Ei le sous-ensemble de U d´efini par la condition (qui d´epend du symbole
i ) : • • • •

fi gi gi fi

= 0 si
i = 0 si
i = 0 si
i = 0 si
i

est e´ gal a` ≤. est e´ gal a` <. est e´ gal a` ≥. est e´ gal a` >.

Soit maintenant I un sous-ensemble de {1, . . . , n}. On introduit les notations suivantes : • WI d´esignera le sous-ensemble de Z an d´efini comme le lieu de validit´e simultan´ee de toutes les in´egalit´es |ξi |
i λi pour i parcourant I ; • FI d´esignera le ferm´e Zariski de U d´efini par le syst`eme d’´equations {Si fi − Ti gi = 0}i∈I ;  • VI d´esignera l’ouvert d’inversibilit´e dans U de la fonction fi gi ; i∈I

• GI d´esignera le ferm´e Zariski de U d´efini par le syst`eme d’´equations {fi gi = 0}i ∈I / ; • EI d´esignera l’intersection des Ei pour i parcourant le compl´ementaire de I ; • I d´esignera l’intersection WI ∩FIan ∩GIan ∩VIan ∩EIan . C’est un sous-ensemble de U an . Soit p la fl`eche structurale U an → Y an . Le sous-ensemble U auquel on s’int´eresse est la r´eunion des p( I ) pour I parcourant l’ensemble des parties de {1, . . . , n}. Supposons que l’on sache montrer que pour tout I et tout ouvert affine de Z l’intersection I ∩ an a un nombre fini de composantes connexes, chacune d’entre-elles e´ tant une partie semi-alg´ebrique de an ; alors en recouvrant U par un nombre fini d’ouverts affines et en appliquant la proposition 2.5 on ach`eve la preuve du th´eor`eme. Or I est combinaison bool´eenne de la partie WI et d’un certain nombre d’analytifications d’ouverts et ferm´es Zariski de Z. Il suffit donc de d´emontrer l’assertion ci-dessous: (3.2.1) Nouvelle version de l’assertion a` e´ tablir. Soit Z un A-sch´ema projectif, soit n un entier et soit (ξ1 , . . . , ξn ) une famille d’´el´ements inversibles de l’anneau total des fractions de Z telle que pour tout i et pour tout point z de Z l’une au moins des deux fonctions ξi et ξi−1 appartienne a` OZ ,z . Soit (λ1 , . . . , λn ) une famille de scalaires positifs, soit (
1 , . . . ,
n ) une famille de symbole appartenant a` {<, ≤, >, ≥} et soit W le sous-ensemble de Z an d´efini par la conjonction d’in´egalit´es |ξ1 |
1 λ1 et . . . et |ξn |
n λn .

Parties semi-alg´ebriques d’une vari´et´e alg´ebrique p-adique

523

On se donne un ferm´e F et deux ouverts V et de Z; on suppose que est affine. Sous ces hypoth`eses F an ∩ W ∩ V an ∩ an a un nombre fini de composantes connexes, et ce sont des parties semi-alg´ebriques de an . (3.2.2) Si λi est nul pour un certain i on peut retrancher l’in´egalit´e |ξi |
i λi de la d´efinition de W et la faire rentrer dans celle de F ou de V. Ceci permet de se ramener au cas o`u tous les λi sont strictement positifs. Quitte a` remplacer ξi par ξi−1 pour certains i on peut alors supposer que les symboles
i appartiennent tous a` {<, ≤}. On les r´eordonne e´ ventuellement de sorte que
i soit e´ gal a` < pour i compris entre 1 et un certain r et a` ≤ si i appartient a` {r + 1, . . . , n}. On peut e´ galement (en r´eduisant F, puis en traitant le probl`eme composante par composante) supposer que F est int`egre; soit η son point g´en´erique et soit i compris entre 1 et n. Si ξi (η) = 0 alors pour tout x de F on a ξi (x) = 0 et donc |ξi |
i λi sur F an ; on peut en cons´equence retirer l’in´egalit´e |ξi |
i λi de la combinaison qui d´efinit W . Si ξi n’appartient pas a` OZ ,η alors ξi−1 est nulle en tout point de F et donc F an ∩ W est vide, et la preuve est termin´ee. On s’est finalement ramen´e au cas o`u chaque ξi est un e´ l´ement inversible de OZ ,η , et donc d´efinit par restriction un e´ lement inversible du corps des fractions de F not´e encore ξi ; si x est un point de F alors l’une au moins des deux fonctions ξi et ξi−1 appartient a` OF ,x . On peut alors, en vertu du corollaire 2.6, remplacer Z par F et donc de supposer que F = Z et que Z est irr´eductible. Enfin la proposition 2.5 permet de remplacer Z par son normalis´e (qui est fini sur Z, cf. l’appendice) et donc de le supposer normal. (3.2.3) Notons W le ferm´e de Z an d´efini comme le lieu de validit´e de la combinaison |ξ1 | ≤ λ1 et . . . et |ξn | ≤ λn . Soit P un point de W . Il existe un ouvert affine T de Z sur lequel les ξi sont d´efinies et tel que P appartienne a` T an . Il existe un domaine affino¨ıde de Weierstraß T de T an qui est un voisinage de P dans T an . D`es lors T ∩W est un voisinage de P dans W . La compacit´e de W (qui est un ferm´e dans le compact Z an ) permet de ramener le probl`eme trait´e a` la question suivante : montrer que les composantes connexes de V an ∩ an ∩ T ∩ W sont en nombre fini et sont des parties semi-alg´ebriques de an . Notons que pour tout i la fonction ξi est major´ee en norme par λi sur T ∩ W . ∗ /|k ∗ |) ⊗ Q telle que Soit r = (r1 , . . . , rm ) une famille de r´eels libre dans (R+ Z soit non trivial, telle que les λi soient tous de torsion modulo |kr∗ | et telle que T ∩ W soit strictement kr -affino¨ıde.

|kr∗ |

L’ouvert W ∩ T de W ∩ T est d´efini par la combinaison bool´eenne |ξ1 | < λ1 et . . . et |ξr | < λr . Le groupe |kr∗ | n’est pas trivial, les λi sont de torsion modulo |kr∗ | et |ξi | ≤ λi sur T ∩ W pour tout i; la proposition 3.1 assure en cons´equence l’existence d’une extension

524

A. Ducros

finie s´eparable L de kr telle que (W ∩ T )L ait un nombre fini de composantes connexes, chacune d’elle e´ tant d´efinie par une conjonction d’in´egalit´es de la forme |ψ| < 1 o`u ψ est une fonction analytique sur (W ∩ T )L major´ee en norme par 1.  1 1 . Munie de la norme Soit K la k-alg`ebre k T1 , . . . , Tm , , . . . , T1 Tm aI TI → max |aI |rI elle s’identifie a` une sous-alg`ebre dense de kr . Le lemme de Krasner assure alors l’existence d’une K-alg`ebre finie L telle que L ⊗K kr soit isomorphe a` L; notons que L se plonge de mani`ere dense dans L. Soit C l’anneau des fonctions du sch´ema affine T . Comme W ∩ T est un domaine de Weierstraß de T an l’anneau C ⊗k L est dense dans l’anneau des fonctions analytiques sur (W ∩ T )L . Chaque composante connexe de (W ∩ T )L peut donc eˆ tre d´ecrite par une conjonction d’in´egalit´es de la forme |ψ| < 1 o`u ψ est une fonction provenant de C ⊗k L et major´ee en norme par 1 sur (W ∩ T )L . (3.2.4) L’espace analytique T an est naturellement hom´eomorphe a` un certain ensemble de semi-normes sur C. Comme la famille (r1 , . . . , rm ) est libre dans ∗ /|k ∗ |) ⊗ Q l’espace (T an ) s’identifie a (R+ ` l’ensemble des semi-normes sur L Z C ⊗k L dont la restriction a` C appartient a` T an et dont la valeur en Tp est e´ gale a` rp pour tout entier p compris entre 1 et m. D´esignons par S la vari´et´e affine au-dessus de T an , toujours vu comme un ensemble de semi-normes de C, associ´ee a` C ⊗k L (rappelons que cette notion a e´ t´e d´efinie au 1.5). Alors d’apr`es ce qui pr´ec`ede chaque composante connexe de (W ∩ T )L s’identifie a` une partie semi-alg´ebrique de S, puisque c’est l’ensemble des points en lesquels sont v´erifi´ees : • les e´ galit´es |Tp | = rp pour tout p; • les majorations en norme de fonctions de C qui d´efinissent W et le domaine de Weierstraß T ; • les majorations en norme de fonctions de C ⊗k L qui, sur (W ∩ T )L , d´ecrivent la composante en question (l’existence de telles majoration a e´ t´e mentionn´ee plus haut). (3.2.5) On d´eduit alors de la proposition 1.6 que l’image dans T an d’une telle composante est une partie semi-alg´ebrique, n´ecessairement connexe et bien sˆur incluse dans W ∩ T . En cons´equence les composantes connexes de W ∩ T sont en nombre fini et sont des parties semi-alg´ebriques de T an . Soit une telle composante. C’est un ouvert du domaine analytique W ∩ T de Z an . Comme Z est normal est donc elle-mˆeme un espace analytique normal et connexe (cf. l’appendice). On en d´eduit que ∩ an ∩ V an est connexe ([1], cor. 3.3.15). C’est une partie semi-alg´ebrique de T an , donc de T an ∩ an (notons que T ∩ est affine puisque Z est projectif sur A donc s´epar´e). Or T ∩ est un ouvert de , et le corollaire 2.6 assure alors que ∩ an ∩ V an est une partie semi-alg´ebrique de an , ce qui ach`eve la d´emonstration. 

Parties semi-alg´ebriques d’une vari´et´e alg´ebrique p-adique

525

(3.3) Remarque. Mˆeme lorsque les scalaires et les fonctions en jeu dans la combinaison d’in´egalit´es qui la d´efinissent sont non nuls une partie semi-alg´ebrique n’est pas en g´en´eral un domaine analytique de l’espace ambiant. Ainsi soit k un corps valu´e complet, soit X le spectre de k[T1 , T2 ] et soit U la partie de X an d´efinie par l’in´egalit´e |T1 | ≤ |T2 |. Alors U n’est pas un domaine analytique de X an car l’origine est un point rigide de X an qui est situ´e sur le bord topologique de U dans X an . (3.4) Remarque. Un morphisme entre espaces affino¨ıdes ne transforme pas en g´en´eral une partie semi-alg´ebrique en partie semi-alg´ebrique. Par exemple, soit X un espace affino¨ıde, soit Y un domaine affino¨ıde int`egre de X et soit F un ferm´e Zariski strict de Y dont l’adh´erence Zariski dans X est e´ gal a` X tout entier (de tels tripl´es (X, Y, F ) existent effectivement, cf. [2], rem. 2.2.9). Sous ces hypoth`eses le sous-ensemble F de X, qui est l’image de l’immersion compos´ee F → Y → X, n’est pas semi-alg´ebrique.

Appendice : analytification des sch´emas normaux Le but de cet appendice est d’´etablir la proposition ci-dessous. Si l’on se limite a` des alg`ebres strictement affino¨ıdes et a` des domaines strictement analytiques elle est essentiellement connue, la d´emonstration de Berkovich du th´eor`eme 2.2.1 de [2], e´ nonc´e avec des hypoth`eses plus restreintes, s’appliquant en fait sans probl`eme ici. Proposition. Soit k un corps valu´e complet et soit A une alg`ebre k-affino¨ıde. Soit X un A-sch´ema de type fini. i) La normalisation Y de X est un X -sch´ema fini; ii) tout domaine analytique de Y an est normal; iii) si x est un point d’un bon domaine analytique W de X an d’image x dans X alors OW,x est normal si et seulement si OX ,x l’est. D´emonstration. Observons pour commencer que iii) d´ecoule de i) et ii), de la fid`ele platitude de X an → X ([2], prop. 2.6.2) et de la platitude du morphisme d’anneaux induit par l’immersion d’un domaine affino¨ıde ([2], 2.2.4 (ii)). Montrons maintenant i). On peut supposer que X est le spectre d’une A-alg`ebre B de type fini int`egre. Prouvons que pour toute famille r de r´eels strictement positifs l’anneau Br est int`egre. Soit r une telleIfamille etf et Ig deux e´ l´ements de Br de produit nul. On peut e´ crire f = aI T et g = bI T o`u les aI et les bI appartiennent a` B. La restriction de f g a` chacune des fibres de Xran → X an est nulle. Or ses fibres sont int`egres (par exemple parce que chacune d’elles devient, apr`es une extension de corps convenable, isomorphe au cercle unit´e) , ce qui implique que pour tout P appartenant a` X an ou bien tous les aI (P ) ou bien tous les bI (P ) sont nuls. Soit Ia (resp. Ib ) l’id´eal de B engendr´e par les aI (resp. les bI ). Ce qui

526

A. Ducros

pr´ec`ede implique que tout point P de X an s’envoie ou bien sur le ferm´e Zariski de X d´efini par Ia ou bien sur celui d´efini par Ib . Comme X an → X est surjective et comme B est int`egre l’un au moins des id´eaux Ia et Ib est trivial, et donc l’une au moins des fonctions f et g est nulle. Soit r une famille de r´eels strictement positifs telle que kr soit un corps sur lequel Ar soit strictement affino¨ıde. Comme les alg`ebres strictement affino¨ıdes sur un corps sont des anneaux excellents le raisonnement suivi par Berkovich dans [2], th´eor`eme 2.2.1 (pour la partie concernant pr´ecis´ement la normalit´e) s’applique ici : le normalis´e alg´ebrique Xrnorm de Xr est fini sur Xr , et il existe une fonction b non nulle appartenant a` Br telle que bOXrnorm ⊂ Br ; on en d´eduit aussitˆot (cf. [2], paragraphe pr´ec´edent le corollaire 2.2.6) l’existence d’une fonction b non nulle appartenant a` B telle que b OX norm ⊂ B, ce qui ach`eve la d´emonstration de i). On va maintenant montrer le ii). On peut oublier X et s’int´eresser uniquement a` Y. On se ram`ene imm´ediatement au cas o`u ce dernier est le spectre d’une A-alg`ebre de type fini int`egre (et donc int´egralement close) C. Lemme. Soit r une famille finie de r´eels strictement positifs. L’anneau Cr est int´egralement clos. D´emonstration. Notons d´ej`a pour commencer que cet anneau est int`egre, par le raisonnement d´ej`a tenu ci-dessus. Soit s une famille de r´eels strictement positifs telle que ks soit un corps sur lequel As soit strictement affino¨ıde, et telle que chacun des r´eels de la famille r soit de torsion modulo |ks∗ |. L’anneau (Cs )r (toujours int`egre pour les mˆemes raisons) est l’anneau des fonctions d’un domaine strictement ks affino¨ıde d’un espace affine relatif sur Ys . Par des arguments identiques a` ceux utilis´es par Berkovich dans [2], et fond´es sur l’excellence des alg`ebres strictement affino¨ıdes ainsi que sur l’identit´e des compl´et´es des anneaux locaux alg´ebrique et analytique en un point rigide (cf. [2], lemme 2.6.3) on montre que la fermeture int´egrale de(Cs )r dans son corps des fractions est pr´ecis´ement le sous-anneau form´e des s´eries cI TI o`u chacun des cI appartient a` la fermeture int´egrale de Cs dans son corps des fractions; comme Cs est japonais il existe un e´ l´e ment c de Cs tel que tout e´ l´ement de la clˆoture int´egrale de (Cs )r soit de la forme c−1 cI TI o`u cI est pour tout I un e´ l´ement de Cs tel que c−1 cI soit entier sur Cs . Soit f un e´ l´ement de la clˆoture int´egrale Cr ; il appartient a fortiori a` la clˆoture  de int´egrale de (Cs )r et peut donc s’´ecrire c−1 cI TI pour une certaine famille (cI ) d’´el´ements de Cs , le terme c−1 cI e´ tant entier sur Cs pour tout I. Par ailleurs f est e´ l´ement du corps des fractions de Cr et est en cons´equence de la forme  γI TI  δI TI o`u les γI et les δI appartiennent a` C. Comme c appartient a` Cs il existe une famille (λJ ) d’´el´ements de C telle que c= λJ SJ .

Parties semi-alg´ebriques d’une vari´et´e alg´ebrique p-adique

Pour tout I on peut de mˆeme e´ crire cI = Partant de c



γI TI =



il vient

λJ γI T I S J =

I,J

I,J



 

527

µI,J SJ o`u les µI,J appartiennent a` C.

δI TI





cI TI 

δI0 µI1 ,J  TI SJ ,

I0 +I1 =I

les sommes infinies d’´el´ements de C e´ tant a` prendre au sens de la convergence uniforme sur tout compact de Y an . Comme c est non nul il existe J tel que λJ soit non nul. Fixons un tel J. De ce qui pr´ec`ede d´ecoule l’´egalit´e    λJ γ I TI = δI0 µI1 ,J  TI I

I

I0 +I1 =I

que l’on peut r´ee´ crire  µI,J γI TI  = TI , λJ δI TI l’indice de sommation e´ tant I. On reconnaˆıt dans le membre de gauche l’´el´ement µI,J f ; en cons´equence on a par identification c−1 cI = pour tout I. λJ µI,J En particulier est pour tout I un e´ l´ement du corps des fractions de C entier λJ sur Cs et donc, par un calcul imm´ediat, entier sur C. Or ce dernier est int´egralement µI,J clos par hypoth`ese. En cons´equence appartient a` C pour tout I. D`es lors f est λJ e´ l´ement de Cr et la d´emonstration du lemme est termin´ee.  Pour prouver ii) on peut supposer que W est affino¨ıde. Soit r une famille de r´eels strictement positifs telle que M(A)r et Wr soient strictement kr -affino¨ıdes. D’apr`es le lemme ci-dessus l’anneau Cr est normal et donc l’espace strictement kr -analytique Yran l’est aussi, et il en va de mˆeme de son domaine strictement kr -analytique Wr (puisque le lieu de normalit´e de ce dernier est un ouvert de Zariski qui contient tous les points rigides). De la fid`ele platitude de la fl`eche Wr → W (cf. [1], 2.2.4 (ii) ) on d´eduit que W est normal, ce qui ach`eve la d´emonstration de la proposition.  Remerciements. Je tiens a` remercier tout particuli`erement le rapporteur. La premi`ere mouture de ce texte e´ tait tr`es diff´erente ; par ses remarques la concernant (et notamment par sa mention d’une erreur, ou a` tout le moins d’une s´erieuse lacune, dans la preuve d’un lemme) il a inspir´e une refonte a` peu pr`es compl`ete de l’article, et une

528

A. Ducros

extension des r´esultats initiaux. Je lui sais e´ galement gr´e de sa lecture attentive de la deuxi`eme version et des commentaires et suggestions qu’il a faits a` son sujet. Ma gratitude va aussi a` Vladimir Berkovich pour la promptitude avec laquelle il r´epond a` mes questions, pour l’int´erˆet qu’il a manifest´e pour ce travail et pour ses conseils et encouragements.

References [1] Berkovich, V.: Spectral theory and analytic geometry over non-archimedean fields, Mathematical Surveys and Monographs 33, AMS, Providence, RI, 1990 ´ [2] Berkovich, V.: Etale cohomology for non-archimedean analytic spaces, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 78, 5–161 (1993) [3] Bochnak, J., Coste et, M., Roy, M.-F.: G´eom´etrie alg´ebrique r´eelle. Ergeb. Math. Grenzgeb (3)12, Springer-Verlag, 1986 [4] Bosch, S.: Eine bemerkenswerte Eigenschaft der formellen Fasern affinoider R¨aume, Math. Ann. 229, 25–45 (1977) [5] Bosch, S., G¨untzer, U., Remmert, R.: Non-Archimedean analysis. A systematic approach to rigid analytic geometry, Grundl. Math. Wiss. 261, Springer-Verlag, 1984 [6] Gruson, L.: Th´eorie de Fredholm p-adique, Bull. Soc. Math. France 94, 67–95 (1966) [7] Lipshitz, L.: Rigid subanalytic sets. Amer. J. Math. 115(1), 77–108 (1993) [8] Lipshitz, L., Robinson, Z.: Rings of separated power series and quasi-affinoid geometry. Ast´erisque No. 264, 2000 [9] Prestel, A.: Einf¨uhrung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg (Braunschweig), 1986 [10] Weispfenning, V. Quantifier Elimination and Decision Procedures for Valued Fields, In: Models and Sets, Aachen, 1983, Lecture Notes in Math. 1103. 419–472, SpringerVerlag 1984