PROBLEMA DE LA. SELECCION DE L~ CARTERA
por JUAN M. GARCh~ GARCIA Instituto de Investigactones Es~adLsflcas
Estudiamos en este traba]o la soluci6n del llamado .problema de la selecci6n ,d .°, l a c a r t e r a , en la siguiente forma (~). Se tienen en bolsa una serle de valores o tipos de acciones, obligaciones o
(~) Este estudio nos fu~ propuesto y dirigido por el Prof. Sixto Rfos, c0m0 m e m o r i a del Diplomado e n Estadtstiea Matemfitiea de la Eseuela de Estadfstiea X.le Madrid.
266
JUAN M. G A R C l A
TABLa
GARCIA
I
COTIZACIONES ~' E c H A
1944
1495
1946
1947
1948
Enero .... Febrero . . . Matzo . . . Abril . . . . Mayo . . . . Junio .... Julio . . . . . Agosto . . . Septiembre. Octubre... "Noviembre.. Diciembre . Enero . . . Febrero . . Matzo . . . Abril . . . . . Mayo . . . . . Junio .... J'ulio . . . . Ag0sto . . . Septlembre. Octubre... Noviembre. Diciembre . Enero . . . Febrero . . Marzo . . . Abril . . . . Mayo. . . . . Junio ..... Julio . . . . . Agosto . . . . Septiembre.. Octubre .... Noviembre. Diciembr_e . . Enero .... Febrero . . Matzo .... Abrll . . . . . . Mayo . . . . . Junlo ..... Julio . . . . . Agosto . . . . Septiembre.. Octubre .... Novlembre. Diciembre . . Enero .... Febrero . . Marzo ....
Papel n. ° 1
Papel n. ° 2
Papel n. ° 3
Papel n. ° 4
395,--
149,-149,50 160,~ 156,-156,-158,-157,-159,50 169,-169, - -
262,-242,-254,-248,--
2:33,--
280,-298,--
252,-255,--
400,-420,-440,-475,-453, 4fO~,~
463,~ 460,-471,~ 471,~ 475,--
186,-195,50 210,-217,~
310,-310,--
31o;-3;53,~ 365,380,--
232,-243,-250,-261~---296,-3,q;5,-320,-330, - 331,--
327,--
Papel n.* 5
90,50 90,50 90,50 92,--
92,-92,-92,-92,-96,-9-'2,-92,--
213,50 210,-210,-213,50
400,-404,--369,-330~---345.-350,-383,-375,-375,-379,-379,-379,--
445,-436,-450,-453,-484L--48l,-480,-520, 488,~ 484,--
225,-253,-2&q.-272,~ 289,-285,-328,-332,-3,50,-370,369,-420,~
400,-415,~ 458,-48~,-482,-48~,-482,-482,489,-482,-482,-785,--
383,-387,-434,-431,-429,-445,--
473,--
506,
850,-970,1.150,-270,-273,-247,--
43~5,-417,-485,-547,-541,-51"1,--
88,75 88,75 88,75 88,70 88,50 88,70
256,-244,-244,--
475,~
89,~ 89,--
480,--4f30,----
457,-467,~ 467,~
471,-458,-45~,--
445,~
440, 432,-430~
214,-211,-212,-2f11,~ 218,--
530~--
459,-467,~ 460,-445,-43~,~
437, 442,-430,~
428,-432,~
425,~ 410,--
574,~ 580,-540,-51.5,-4~0, 460,-459,--
4~,~ 420,-415,-400,-363, 368,--
230, -2~30,-194,-180,--
364,-385,-374,-366,-359,-354,-320,-326,~ 32.,3,-333,-341,~ 348,-3.56,-361,-389,--
3,75,--
90,90 91,50 91,65 9_9,-93,--
94,25 94,-93,50 93,50. 9"2,70 92,70 92,80 9~,30 92,30 92,30 91,50 91,50 91,50 91,25
91,25 91,25 90,eft),_ 89,25
529,-520,-493,~ 499,-477,--
88,-87,75 87,75
4&q,-435,-381,--
88,-88,50
89,50
88,25
267
PROBLEMA DE LA SELECCION DE LA CARTERA
TABLA I ( C o n t i n u a c i 6 n ) Pal)el n. ° 1
FECHA
Papel n. ~ 2
Papel n. ° 3
Papel n.* 4
Papel n.* 5
366,-334,~ 353,-323,-340,-342,-328,-312,-320,--
87,75 88,25 88,-87,50 88,25 87,50 87,-87,50 87,50 87,--
Abril . . . . . Mayo .... Junlo .... J;ullo . . . . Agosto . . . Septiembre. Octubre... Noviembre. Diciembre .
4~,-
~o,-
169,---
392,-,~0, '-370,-372,-385,-372,-376,, 374,-- .
310,-3~0,-29(L-272,-315,-300,-288(-272,--
159,-162;-147,--154,-152,-150,-144,--
Enero.. Febrero . . Matzo . . . Abril . . . . Mayo.... Junio . . . . Julio ~. , . . Agosto . . . Septiembre. Octubre... Noviembre. Diclembre .
379,-380,-386 - 370 - 372 - 369-365-378 370 - 375 ~ 370 - 370,.--
290,-290,-295~72ff0,-250,-235,-205.-2'26,-265,-~90,-227,-230,---
147,-141,-148,-141,50 144,-144,--
~2,W 284,-337,-312,-302,--
142,~
•2 5 9 , - 275,-2~8,~ 297,-2q9,-22"0,--
1950. E n e r o . . . Febrero . . Matzo . . . Abril . . . . Mayo.... Junlo .... J'ulio . . . . . Agosto . . . Sepfiembre. Octubre... Noviembre. Diciembre .
369,-36,5,-369,-365 - 366,-368,-369,-365,~ 365,-365,7-363,-367,--
2~0,-25,%-252,-253,-24.5,-2-39,-9'29.-232,~ 238,~ 22,9,-?~6,-259,~
149,75 150,50 163,--164,~ 160,-145,25 146,~ 155,-156,50 157,50 161,50
275,-'278,-'280,-292,-284,-260,2.~55---, '263,-256,-253,-253,-259,--
1951
369,~ 3S2,~ 399,-397,-402,~ 401,-419,-405,-426.~ 426,50
~)3,-306,-g15,-308,-300,-300,-296,-300,~ 307,~ 503,--
168,-170,-175,-167,50 167,50 165,~ 170,-17l,~ 176,50 177,M 176,~ 167,50
290,-297,-331,-314,-295,-241 , - 281,-279,-284,-277,-265,-260,--
84,75 84,75 84,-85,50 84,-83,50 83,-83,50 84,50 84,35 83,50 8,5,50
159,50 165,~ 166,25 !73,5(} 171,~ 167,-165,50 167,50 167,50
265,-269,-274,-263,-260,-2~51,_-254,-261,-268,--
84,50 83,50
1949
1952
Enero . . . Febrero . Marzo . . . Abril..'.. Mayo ..... Junio .... }ulio . . . . Agosto . . . Septlembre. Octubre... Noviembre'. Diciembre . Enero... Febrero . . Marzo .... Abril . . . . . Mayo. .... lunio .... Jlulio . . . . Agosto . . . Septiembre.
415,-432,-440,~
1 I ] ]
440.-445,~ 444,~ 442,~ 450,~ 450,~ 451,~ 485,~
~9o,-299,--
300,-300,-307,~ 321,-~.5,-319,-318,-318,~ 334,--
•145,
149,25 147,50 154,-151,-147,25
158,50
¢2~ 1- -
87,60 88,25 86,75 86,75
87,-8~,30 86,-86,~
85,75 86,25 86~--
86,25 86,25 86,-85,25 85~
85,~ 85~--
85,-85,-85,25 85,50 -
84,~
84,50 84,~
88,50 .
85,~ 85,--
'
JUAN M. GARCIA GARCIA
"268
TABI.A I (Continuaci6n P a p e l n. ° 1
P a p c l n. o 2
Octubre . . . . Noviembre. • Diciembre . .
478,-486,-496,--
314, 319,--
1953 Enero Febrero . . • Marzo. Abril Mayo . . . . : Junio Jtulio Agosto Septiembre.. Oetubre . . . . Noviembre.. Diciemhre .
503,--518,-52~,520,-521,--
312,-319,--
548~--
321,--
FECHA
1954
1955
Enero Febrero. .. .. i " Marzo . . . Abrll Mayo . . . . Junio . . . . . .~ulio Agosto Septiembre. • Oetubre . . . . Noviembre.. Diciembre . . Enero Febrero . . . Matzo Abril Mayo. Junio Julio Agosto Septiembre.. Oetubre . . . . Noviembre. Dieiembre . .
1956 Enero Febrero . . . Matzo Abril Mayo. Junio JMio Agosto Septiembre.. Octubre . . . . Noviembre.. Diclembre . .
540,-542,-550,-589,-579,-602,-673,-655,--
655,664,-664,-670,-6,99,-701.-70~,706~-713,-730,~ 733,-773,-744,-764,-770,-778,-800°--
805,~ 818,-820,-826,-864,-830,-840.-800,--
801,-817,-870, 862, 830,-89~,~
P a p e l n. ° 4
166,50 167,75
260,-26] ,. 256,--
83,75 88,90 84,50
164,50
231,-74] , - 245,-242,-243,232,-231,-237,-2~6,. 265,-278,~ 284,--
83,. 83,50 83,85 83,50 84, 84,~5 83, 83,2.5
269,-260,-271,50 277,-~o6, 270, - 274,. 291, £88,--
83,50 83,45 83,--
161,--
166,~ 165,-165,50 167,75 lC~5,-~62,-162,-167,50 158,-162,~
321,--
34'2,-364,--367,_ 390,--
161,--
4(~,--
171,-172,-174,50 174.50 181,75 178,-190,-199,-197,50 199,75 190,50 191,50
412,-426,452,~ 420.-416,-426~----444,-- • 462.-470,-470,-493,-506,-,.504,-=53%~ 528,-520,-519,-537,--546,-591,--
341 ,, 340,-346,. 342,-331 , - 333,-351 ,366,-389,. 398,: 414¢ 426,--
304,--
643,-645, 6Po4,~ e/8Oj~
• 667,-677.--" 707,~ 736,-753,~ 825.~ 820,--
346,.
980,~ ~,~
606,~..
655~
.3~ 3....~,.
213,-2(~,75 2'24,-239,-237,50 235,-253,50 277.~ 289,50 298,50
6o~,-625,~
~
Papel n25
P a p e l n. ° 8
31.3,-351.-351,-340,-335,-373,-384,-. 400.-353, 351,
I !
392,-4] 2,-442,-431,. 425¢ 438 .. 462,-534,. 532¢ 618,. 606,50 596,--
84,10 83,10 83,75 83,.~)
82,50 82,25 83,25 82,50 82,75 83,25 82.6O 82,75 83, 83, 82,90 82,60 82,50 87,50 82-.75 82,90 82. 82,35 83, 82,-82,60 82,35 81,50 81,75 81,95 81,25 81,50 81,20 80,20 • 80,40
PROBLEMA 'DE LA SELECCION DE LA CARTERA
269
¢~iguiendo las evoluciones del valor en estudio durante el perfod0 de tiempo ~:onsiderado, se han tornado adem~s de las cotizaciones indicadas, las fechas de pago de dividendos o cupones pagados, as/ como su c a n t i d a d ; tambiSn las fechas y tipos de las ampliaciones de capital. Con objeto de limar en lo posible las irregularldades glue aparecen en las rentas al conslderar perlodos de tiempo de un rues, debido por un lado a la periodicidad de los dividendos o cupones y po/" otro a l a s ampliaciones y agrupando h~ menos posible para poder disponer de una serie de datos suficientemente grande se han tornado los intervalos de tiempo de tres meses. L a prlmera dificultad que surge en el c~Iculo de la renta es el efecto que produce una ampliaci6n de capital, pues los demos efectos, varlaci6n de la cotizaci6n y dividendos, son f~tcihnente medibles. P a r a poder dar una medida se ha recurrido al slguiente procedimiento; Sean : A... n6mero de acciones, cupones, necesarlos para suscribir una nueva .acci6n P... p r e c i o de la nueva acci6n que se suscribe. C = C o t i z a c i 6 n de la" acci6n ex-derecho. (Se ha tomado la de la fecha m~is p r 6 x i m a a la ampliaci6n y posterior a ella.) B = B e n e f i c l o obtenldo en la operaci6n de suscripci6n de la nueva acci6n. (El ideal hubiera sldo disponer d e s d e las primeras fcehas del dato de la cotizaci6n del derecho de suscripci6n o cup6n, pero la carencia de este dato ha obligado a este c~dculo artificloso.) A la vista de las anterlores definiciones estableceremos el beneficio como C--P A Es decir, suponemos que se adqulere la nueva acci6n a q~ae tenemos derecho y se vende a contlnuaci6n, con lo cual, como diferencia, tendremos el beneficio o ,renta,~ produclda por la acci6n en la ampliaci6n. P a r a poder hacer un estudlo comparatlvo a trav6s del tiempo, llber~ndonos de la influencia del tndice de preclos creciente, el paso slgulente es la reducci6n de las cotizaciones tomadas en la fecha t : ~Ct a la base del afio 1940, y tendremos : i C t = C o t i z a c i 6 n de la acci6n en la fecha t [
C't=Cotizaci6n reducida al afio 1940 como base. I0=100
Indice de precios del afio 1940.
I t = I n d i c e de precios en la fecha t. Tendremos as/: . . . . . . . .
.
t
it
-An~lo.gamente efectuaremos las reducciones para l o s divldendos y las ampliaclones. La reducci6n se ha hecho con el {ndice de la fecha supuesta de venta del papel. 8
270
JUAN 1~1. GARCIAGARCIA
Los p a s 0 s slgulentes efectuados para el c~ilculo de las rentas, y que se detallan en el cuadro, s o n : 1." columna : Fecha, t. Indlce de precios de la fecha, i. P. 3 , I~
))
4 .~
)}
t.~,a'
))
Cotizacidn de la fecha, Ct. • Cotizacidn reducida con el lndice de precios, C ' t . D,iferencias de cotizacidn, C%+,-C't.
6 , a'
))
Divldendo reducido con el fildice de precios de la fecha, D'>
,7.a,
))
Renta, -R't.
Resumiendo, obtenemos" la renta trimestral m e d i a n t e : . R'~ =
0%+, -
0% + ])%
.-
C q
Asl se han obtenido los valotres de las tablas II, I I I , IV, V y V I . Para tenet una nmyor idea de coniunto de los datos anteriores s e - a c o m p a fian para cada valor grgdico con: 1.--4Cotizaci6n de la f e c h a = C t . 2 . ~ C o t i z a c i 6 n reducida a 1940=C't. 3 . - - I n d i t e de p v e c i o s = I , P. 4 . - - R e n t a = R.
C 80C
;k^^
A
^
.
7O0
600 :
:.00
I.P.
..
40(3 30C
f____a
200 100 1 2 345
0
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;
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15
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:
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Gr6fico
'
1
30
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I
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411 "'I
SO I
PROBLEMA
DE
LA $ E L E C C I O N
DE
271
LA C A R ' r E R A
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700 eO0 /
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.
400 p
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Gr6fico 2
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1945 .
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I
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272
JUAN M. GARCIA GARC[A
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......
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t
I
t
t 19sst
273
PROBLE~MA DE LA SELECCION DE 12x CARTERA
TABLA I I PAPEL I.P.
FECHA
1944. E , n e m Abril
. . ....
Julio . Ocmbre . 1945. E n e r o . Abril . . . . Julio . Octubre . 1946.. E n e r o . Abril . . . . Julio . Octubre . . 1947. E n e r o Abril . . . . Julio . Ocmbre . 1948.
Enero
. .
. .
.
.
.
. .
Abril . . . . Julio . Octabre . . 1949. E n e r o Abril . . . . Julio . Octubre . . 1950. E n e r o Abril
. . . . .
....
Julio . Octubre . . 1951. E n e r o Abril . . . . Julio . Octubre . 1952. E n e r o . Abril . . . . Julio . Octubre . . 1953. E n e r o Abril . . . . Julio . ()ct,tbre . 19,54. ~ 11( q ' O . Abril . . . . Julio . Octubre . 1955. E n e r o . . Abril . . . . Julio . . Octubre . 1956. E n e r o . . Abril . . . . Julio . . Octubre .
. . . . . . . . . . .
. . .
150,8 1.52,2 155,1 163,0 ] 66,2 167,5 171,5 183,6 187,9 192,3 203,8 231,4 233,8 233,3 244,0 2,53,9 257,8
395
' 251,5 268,4
400 W0 372 379 370 366 375 369 365
270,3
269,2 275,2 277,5 286,8 293,1 310,1 318,1 370,8 417,9 416,7 431,4 432,3 418,3 420,1 437.4 443,1 454,7 460,0 467.3 4.59,3 456,7 4.50,2 461,3 468,9
. . . .
488,1 496,6 517,7 513,6 530,9
1
O'____l____t
2.61,9 289,1 29q,,5 276,1 288,8
520 473
419 426
274,6 242,4 228,8 226,7 237,5 2@4,7 202,3 200,2: ] 78,3 169,4 168,3 1.59,0 143,2 137,6 140,8 134,4 131,5
1217
125,9 117,7 116.0 98,4 89,4 95,0 1.00,6 98,9
101,8 450 478 ,5O3 520 540 :':a9 C~5 670 70"2 730 744 778 818 814 ~8 817 862
106,1 107,1 109,3 113,5 114,4 117,4 126,0 1:38,7 143,4 148,8 152,2 ],55,7 158,1 ].62,9 ]67,6 ]74.0 161,9 159,1 162,4
C't+ 1 -- C' t
D'
27,2 9,4 --22,4
4,2
12,7 --16,0 !,8
• 272,8 471
412,7
470,5 477,7
.
Ct
NUME,RO
--32,2 --13,6 2,1 10,8
3,4 3,8
- -
.
--12,8
--22,4 - 2,1 --21,9 --- 8,9 --1,1 - 9,3 --15,8 - 5,6 3,2 --- 6,4 - -
2 , 9
0,8 - - 4,8 - 8,2 - 1,7 --17,6
3,2 3,2
2,6 2,7 y--
2,6
F4 2,7
- -
- -
;-4 2,1
9,0
5,6 5,6 - 1,7 9,9 4,3 1,0 2,0 4,2 0,9 3,0 8,6 12.7 4,7 5,4 3,4 3,5 2,4 4,8 4,7 6,4 6,4 --12,1 - 2,8 3,3
V,9 1,6
7,4 V8 7,5 T9 7,8 70 7,9 7,0 7,8 7,°
R'
• 10,39 4,70 - - 7,50 4,60 - , 4,36 2,05 --11,73 - 5,61 0,48 ~,18
5,39 - - 9,97 0,20 - - 9,55 - - 4,99 - - 0,65 3,98 --- 9,94 - - 2,23 2,32 - - 2,62 - 2,16 1,14 -
-
3,81
4,61 0,34 --15,17 - 9,15 8,39 5,89 -
-
-
-
0,10 2,93 6,.58 0,94 3,73 3,84 3,~0 2,6"2, 8,94 I0,~ 5,41
3,77 3,73. 2,30 3,40 3,94 4,11
3,82 - - 5,34 1,73 3,33
-
-
JUAN M. GARCIA OARCIA
"274
• TABLA I I I
PAPEL
I.P.
FECHA
1944. E n e r o . . ~bril ..... Julio .... Octubre . 1945. E n e r o . . Abril .... Julio .... Octubre . 1946. E n e r o . . Abril .... Julio .... O'ctubve . 1947. E n e y o . . Abril
.
. .
. .
. . . . . . . .
. .
. . .
. .
1,0'3,7
210 2.11
12,6 4 126,0
218 2.10
127,1 114,4 119/7
450 4;36 400 330 2(90 300 290 270 20-5 290 250
•
'239 30-q .q&S
296
. .
. .
Octubre . . Enoro . . . Abril .... Julio .... Octubre . . Abril
169
....
Julio .... Octubre . 1951. E n e r o . . Abril. ;.. Julio .... Octubre . 1952. E n e r o . . Abril .... Julio .... Octubre . 1953. E n e r o . . Abril ....
1955. E n e r o
• "
: .
Octubre
9'8,8 I0~2,5 101,'2
~
.
. . . ....
Julio .... Octubre . . ]9.56. t n e r o . . . Abrll .... Julio .... Octt,bre . .
C',
149 156 157
225 272 318 370 08~
.
1950. E n e r o
i954.
] ]
....
Julio .... Octubre 1948. g n e r o . Abril . Julio .... Octubre 1949. E n e r o . Abril .... J.ulio . . . .
AbH1
150,8 152,2 155,1 1 0
C t •
NUMERO
141,4 156,0 159,9 216 0 248 6 ] 84 4 171.7 155,2 1.31 2 112 2 111 o 107 7 93 1 ~3 , 9 101,1 85,3 81,6 72,0 6.~, 5 73,4 73,7 ~1 , 0
70,2 (19,4 76,7 75,~ 76,8 70,4 70,6
71,3 77,9. 87,5 99,0 94,6 101,9 107.9 112,2 112,4 123,3 199,5 131,3 131,8 141,8
2
D'
Crt+1 - - C* t
3,7 1,3 2,5 22,7 -- 0,4 1,1 --12,7 5,3 21,7 14,6 3,9
56,1 32,6 --4.14,9 --12,1 --16,5 --24,0 --19,0 --1,2 --- 3 , 3 - 9,6 --24,2 27,2 --15,8 - 3,7 - -
9 , 6
7,5 8,9 0,3 - 2,7 -- 0,8 -- 0,8 1,3 - 1,0 1,1 -- 6,4 9,2 0,7 6,6 9,6 11,5 - 4,4 7,3 6,0 4,3 0,2 10,9 6,2 1,8 (1,5
1,27 4,64 21,8.'4 ~ 1,34 0,87 -- 8,50 4,63 19,7'2 10,33 4,74 37,6,5 15,0.9 --17,34 - -
.
5 3,5 4,1 2.T1 1,6
- -
6 , 0 2
9,60 --14,50 --14,48 0,~ - 2,97 - -
1,5
Y,8
-
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2
4
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- -
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1w
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5 u3 V,4
1,7
7,8
13,80 0,41 --- 2,04 --- 1 , 1 3 - 1,14 10,52 0,52 1,45 0,52 0,28 0,99
10,94 1~,32 13,14 2;, 9 3 7,72 7.16 5,56 0,18
10,94 11,35
1,39 1,37 8,57
.
PROBLEMA D E LA SELECCION D E
275
LA CARTERA
TABLA IV PAPEL
_
FECHA
1944.
1945.
1946.
1947.
1948.
1949.
197)0.
1951.
1952.
19&~.
1954.
1955. : 19,56.
Enero . . Abril .... Julio.... Octut)re . Enero . . Abril .... Jutio ..... Octubre . Enero . . Abrll .... Julio .... Octubre . Enero . . Abril .... Julio .... Octubre . Enero . . Abril .... Julio . . . Octubre . Enero . . Abril .... Jiulio .... Octubre . Enero . . Abril .... Julio .... Octubre . Enero . . Abrll .... Julio .'... Octubre . Enero . . Abril . . . Julio , ; . Octubre . Enero . . Abril .... Julio .... Octubre . Enero . . Abril .... Julio .... Octubre . Enero . . Abrll .... .lulio.... Octubre . Enero . . Abril .... lulio .... Octubre .
.
.
I.P.
. .
I 262,-I 1-046, -
155.1 16310
I 3]o,--I
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. .
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2,61 3,52 4,54 7,41 2,78 1,47 4,49 0,49 1,22 15,47
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2,5
"
5,63
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--
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---
251,3 0,94 -I --16,49 --. ~ 17,27
1,4 0,9
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--: 18,16 13,35 -- 7,57 3,15
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11,83 2,69 13,:~.5
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197,0 2'28,3 206,4 2.19,9
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I
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150,8 152,2 --
NUMERO
2,oI 14,32
--
l
11,89
"--
I
15,25
]o,~:~
276
JUAN M. GARCIA GARCIA
TaBLA V PAPEL
~. F.
FEC~A
1944. Enero . . Abril .... Julio .... O ctubre . 1948. Enero . . Abril .... Julio .... Octubre . 1946. Enero . . Abril .... Julio .... Octubre . 1947. Ener0 . . Abril . ... Julio .... Octubre . 1948. Enero . . Abril ..... Julio .... Octubre . 1949. Enero . Abril .... Jnllo .... Octubre . 1950. Enero . Abril .... Julio .... Octubre . 1951. Enero . Abril : . . Jullo .... Octubre . 195"2. g n e r o . Abril .... Julio .... Octubre . 1953. Enero . Abril-.... .lulio .... Octubre . 1954. Enero . Abril .... Jullo .... Octubrc . 1955. Enero . Abrll
c,
NUMERO
4
. c',
c,,+,____n- c',
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1~,3
168,0 162,2
. .
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196,3 196,7 2¢23,3 206,4
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348 361 .'/83 431
155,2 187,7 187,9 186,3
~
186,1
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28,0 0,4 26,6 --16,9
. .
. .
. . . . .
. .
9,3 9,5
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194,r
-a9,s
194,2 170,3 1-I5,5
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1,6
--11,48
--
125,0
--'20,5
1,6
121,3 119,0
--
--14,56 --13,00 -- 2,96 0,O0
912
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259 2.97
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.
• .lullo .... Octubre . . 19,~. Enero . . Abril .... Julio .... O(:tubre . .
27,3
3,77 1.6,64 1,48 13,52 --- 6,54
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254 . .
2,5
--30,5
234,5 . .
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3,7 1,7
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4,8 --12,5 1,6 -- 2 , 9 1,6 -- 2,4 -- 1,1 -- 7,3 1,1 -- 3 , 9 6,5 1,9 %1
6<9
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65,0 72,7 72,7 73,5 81,5
4,1 7~7 0,0 0,8 8,0
rs,9 83,3 90,0 116,4
~- 5,18 1-7,5
--14,0
15,1 62,6 64,2 B1,3 '62,9 60,5 59,4 52,1 ,53,2 50,2 56, ~ ,58,6 60,7
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-
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-
2,6 4,4 6,7
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o,:~ 7,3
~9
6,73 23,08 0,00 1,10 10,88
6,5o 5..58 8,04
~0,33
27"/
PROBLEMA DE LA SELECCION DE LA CARTERA
TABLA VI PAPEL FECHA
I. P_.__:
1944. E n e r o A b r i l
1945.
1946.
1947,
1948.
1949.
. .
.
. .
. .
Julio .... Octubre . . Enero . . Abri] . . . . Julio .... Oetubre . . Enero . . Abril . . . . Julio .... Octubre . . Enero . . Abril . . . . Julio .... Octubre .. Enero . . Abri] . . . . Julio .... Oetubre . . Enero . . Ahril
. . . .
J'ulio . . . . Octubre . . 1950. E n e r o Abril . . Julio .... Octubre . 1951. E n e r o . . Abril .... Julio .... Octubre . 1~52. E n e r o . . Abril
1953.
1954.
1965.
1956.
. . . . . .
. . . .
Julio .... Octubre . Enero . . Abril . . . . Julio .... Octubre . Enero . . Abri] . . . . Julio .... Octubre... Enero . . Abrll . . . . Julio .... Octubre , E:nero . . Abrll . . . . .lulio . . . . Octub~e .
152,2
. . . .
. .
.
.
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92,00 92,00 0O,90 92,00
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1,11 ~,~ --0,~
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1,09 1,03 1,0O
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86,25 85,25 85,00
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29,43 26,72
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--5,88
1,87 1,74 1,7o
1,56 --1,55
--0,50 --o,42 --130
] / [
185,0o / 84,75
--032 --4,3'2 --1,:~r --1,54
/
2,06 1,96 1,93 1,91
726
59,32 [ 56,44 ] 54,69 54,931
/ 94,00 [ 92.,z0 192,30 / 91,50
] .
5
ct o't 90,50160,01
150,8
165,5 163,0
NUMERO
18,,~ ] 7,91 17,70 ]7,56 17,77 16,~ 16,5l 16,51
--3,80 --2,~
0,86 0,78
--11,00 - . 6,95
--o,o~ -4),54 --0,37 0,00 0,60 -0,,~9 ---0,61
0,77 0,77 0,74 0,~4 0,77 0,76 0,~3
3,36 1,12 1,86 3,79 7,01 1,84 0,61
o,72.
1,57
I I
-0,37
.-~),32 .--o,,2(~
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1,76 2,97 2,,~3
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0,40 --0,12 0,27 ---0,42
0,70 f),70 0,71 0,69
~0,14 -0,39 --0,37 -0,29 --O,77~ 0,07
0,68 0,67 9,66 0,64 0,62 a,62
6,19 3,19 5,43 1,47 2,62 2,94 1,71 1,69 2 08
I I
I I
I I
115,741 /
15,81
1
80,00 1 15,07 I
-4),21
-0,74
0,68
0,6o
---0,91 ,
3,49
-0,89
278
JUAN" M. GARCIA GARCIA
O b t e n l d o s los d a t o s de las r e n t a s a to l a r g o de un p e r i o d o tle d e m p o , v a m o s a a p r o v c c h a r l o en ]o posible, e f e c t u a n d o los 9 s t u d i o s q u e d e t a l l a m o s a conti. nuaci6n :
Estudio
de Ia regresi6n
y
correlaciSn
entre
las cotizaciones
y
la renta.--
P a r a el[o y a p a r t i r de 1o~ d a t o s s u m i n i s t r a d o s por las t a b l a s I I - V L s e procede ,ql a j u s t e p o r el m 4 t o d o de los m i l f i m o s c u a d r a d o s de las r e c t a s de r e g r e s i S n de la r e n t a s o b r e la cotizaciSn (reducida), y al cfilculo de los coeficientes de correlaci6n correspondiente. L o s r e s u l t a d o s q u e se o b t i e n e n p a r a l o s d i s t i n t o s w d o r e s h a n sido los siguientes :
Papel nfim. 1 n=ndmero
de o b s e r v a d o n e s = 5 1 Z C =8477,50
:166,225
E R = 1,65
=0,032
v C ~ = 1588131,49C0
a . o = 31139,8:33
Z R ~ =1711,4677 .
ao+ = 3 3 , 5 5 8 a~t = - - 6 9 , 4 1 3
E CR = . - 3 5 ~ 0 , 0 5 2 0 m . 0 = ~509,682
'D/II = - 74,732
too. = 3 3 , 5 5 7 SR = 5 , 8 1
s c = 59,25
p = --0,217
boa = - 0,021
E c u a c i 6 n : R - 0,03 = - 0,021 (C - 166,2)
PapeI nfim. 2 ~
=
51 Z C =5600,10
= 109,806
Z R = 158,61
=3,110
Z C: = 68936813500
a2o = 13517,0"26
Z R ~ = 7191,5367
"o: ----141,011
Z CR = 14666,0440
a u =287,569
m :6 = 14.59,668 so = 39,21 'bca = - 0,0369
Ecuaci6n : R-3,11=-0;037
m o2 = 131,339 sR = 11,46 p = - 0,123
(C-109,8)
m n =--53,928
279
PROBLEMA DE LA SELECCION DE LA CARTERA
Papel n(tm. 3 n =51 Z C =4908,20
C =96,239
• Z R =153,93
=3,018
£ C 2 = 793815,,5800
a.o =15565,011
£ R ~ = 109'26,7455
ao2 = 2 1 4 , 2 5 0
Z CR =18859,6950
a n = 369,798 m l * = 79,349
mo2 = 205,142
m oo = 6303,066
sa
so = 7 9 , 3 9
=
14,32
p =0,0608
bca = 0 , 0 1 2 6
E c u a c i 6 n : R - 3 , 0 2 = 0,013 ( C - 9 6 , 2 )
Papel nSm. 4 ~ =51 Z C = 5897,00
C = 115,627
Z R =71,78
R =1,407
E C' =814067,2800
a.~o = 1 ' ~ 0 , 3 3 9
Z R ~=54t3,5914
aoz = 106,149
Z CR = -781,3230
an =15,320
mit ------147,367
too, = 104,160
m,,o = 3180,736
sa
so = 56,39 bca = -0,0463
=
10,21
,o = 0,256
E c u a c i 6 n : R - I , 4 1 = -0,046 (C-I15,6)
Papel n{rm. 5 n = 51 Z C ~1566,95
U = 30,,725
Z R =50,59
]~ = 0 , 9 9 2
-~ C ' = 58276,0357
c,~o = 114_o,667
Z R ~ = 662,~91
ao.. =.12,997
Z CR =1050,9314
~q, = 2 0 , 6 0 6
280
JUAN M. GARCIA GARCIA
m., 0-~198,641
m0, =12,013
Sc =14,09
m n = '-9,873
sR =3,46
• beR = -- 0,049.7
p = -- 0,-903
Ecuaci6n : R - 0 , 9 9 = - 0 , 0 5 ( R - 3 0 , 7 )
Contraste de los coeficientes de regresi&~ y de correlaci6n h a l l a d o s . - - S e des i g n a por fly× el coeficiente de regresi6n de l a y sobre la .~ de u n a poblaci6n y por by~ el coeficiente de regresi6n de una m u e s t r a , s a b e m o s que el estadfstico: t ~ - s_..~xJ / n - 2 Sy ~/1 - - #'~ se distribuye segtln una t de S t u d e n t con n - 2 grados de Iibertad. A la vista d e l o s valores obtenidos para los distnitos c o e f i c i e n t e s de reg:.'esidn en los cinco valores considerados parece natural c o n t r a s t a r la hip6tesis de que el coeficiente de regresi6n sea nulo, es decir, la recta sea paralela al eje de kls cotizaciones y, por t a n t o , la r e n t a sea constante i n d e p e n d i e n t e m e n t e de la cotizaci6n. V a m o s , por tanto, a v e r si los coeficientes bc~~ obtenidos son consistentes con la hip6tesis f l = 0 . H a l l a n d o los "valores de la t e n hi fdrmula anterior se obtiene en cada uno de los c a s o s : Papel Papel Papel Papel Papel
ndm. ndm. ndm. ntlm. ndm.
1 2 3 4 5
... ... ... ... ...
t=-1,536 t=-0,870 t = 0,506 t=-1,842 t=-1,455.
E n las tablas de la t de S t u d e n t se encuentra que para 49 grados tie libertmt y al nivel de un ~ por 100 el valor de la t es d e : t0,0~=2,011, pot t a n t o ninguno de 10s valores de t hallados es significativo a[ nivel elegido, por t a n t o conclufm o s q u e es eonsistente la hip6tesis de ser f l = 0 . Anfilogamente al ver los coeficientes de correlaci6n obtenklos en los distintos casos, se nos ocurrlr~i contra~tar la hip6tesis de ser eero el coefi,.:iente de correlaci6n de la poblacidn, para efectuar el contraste de esta hip6tesis, sabemos que el estad~'stico: ~"I f .
-
2
t= ]/1
~
r ~-
se distribuye como una t de S t u d e n t con n - 2 grados de tibertad. ~Calculados los valores de la t de Student m e d i a n t e la f6rmula anterior se han obtenido los siguientes r e s u l t a d o s : P'apel Papel Papel Papel Papel
nfm. ndm. n6m. ndm. ndm.
1 ... 2 ... 3... 4 ... 5 ...
t=-1,,556 t=-0,868 t= 0,490 t= 1,8,55 t=-1,451.
PROBLF..,MA D E
LA S E L E C C I O N
DE
'28t'
LA CARTERA
L a t de Student correspondlente tiene, en este caso, 49 grados de libertacl .y con un nivel de 5 pot 100 se tiene una to,o~=2,011, pot tanto ninguno de los valores de t obtenldos resulta significatlvo, es consistente, por tanto, la hip6tesis de Set nulo el coeflciente de correlaci6n de la renta y la cotizaci6n reducida. Se acompafia el gr/dico nfim. 6 en el que se ban representado las observaciones y la recta de regresi6n ajustada para el valor nfim. 2, a las variables renta, cotizaciSn reducida.
R~ i
) Q
QQ
10
3 1
5O'"':
1OO"
150
2
~
:'-
o
REPRESENTACION
DE
LA
o
• RENTA-COTIZAClON VALOR N°-2
Gr6fico 6
Estudio de la regresi6~z y correZacidn entre las rentas de valores de distintos tipos.--Como se indica expl~citamente en el tftulo se pretende estudiar sl existe alguna relaci6n entre valores (por sus rentas) de diferentes ripos, pot ejemplo, entre acciones de tlpo bancario y acciones de tipo el6ctrico, o entre fondos pfiblicos y valores de tipo acci6n. ,Entre las posibilidades que proporcionaban los cinco valores que h e m o s venido considera-ndo hasta aqu~ se han ajustado las rectas de regresi6n y hallado los coeticientes de correlaci6n, que se detallan a continuaci6n: I)
Papeles del tlpo prim. 1 y nrim. 2.
X ... renta produclda p o r el pape! nfim. 1. ¥ ... renta producida por el papel nfim. 2. Recta de regresi6n: Y - 3 , 1 1 = 0 , 5 4 8 (X-0,032). Coeficiente de correlaci6n: p=0,276.
"
282
JUAN M, GARCIA GARCIA
II)
Papeles del tipo 116111. 2 y ndm. 3.
X ... r e n t a producida pot el papel n d m . 3. Y ... r e n t a producida pot el papel ndm. 2. R e c t a de regresidn : Y-3,11=0~,460 (X--3~018): Coeficiente de correlacidn: p=0,586. 1tl)
Papele.s del til.'O n d m . 2. y n d m . g.
X ... r e n t a producida p o d el p a p e l n d m . 5. Y ... r e n t a producida por el papel ndm. B. R e c t a ' d e regresidn : Y - 3 , I I = - 0 , 1 3 3 (X-0,,992). Coeficiente de coi'relacidn: p = - 0 , 0 4 0 . E n f o r m a c o m p l e t a m e n t e an/tioga a como hicimos en el pfirrafo anterior e f e c t u a r e m o s aqui el ~:entraste de los coeficientes tie corretacidn obtenidos. Cont r a s t a r e m o s la hipdtesis de set cero el coeficiente de correlacid.n, l o s valores que s e - h a n obtenido para la t S t u d e n t han sido los s i g u i e n t e s : • Caso Caso
I-
... t=2.014.
II . . . .
Caso I I I -
...
t =5,064.
t=0,281.
A la vista de los cuales s61o en el caso I l I es posible admitir que sea nulo el coeficiente de correlaci6n, en los otros dos casos y al nivel del ,5 por 100 h e m o s de r e c h a z a r esta hip6tesis. Se acompafian los grfificos nfim. 7 y nfim. 8 en que s e ban rel),resentado 1-as rectas de regresi6n de rentas de distintos valores,
Y
•
.- b , 0 ~
ZO 15. "10
•
5
X
.J~
;5 "1(0 15 20
.
" RECTA DE REGRESION DE LAS RENTAS [)E LOS VALORES N-" 2 Y N=- 3 Gr6fico .7
283
PR-OBLE.MA DE. LA SELECCION DE LA CARTERA
2O
• 15
:
10
"'l
~,...._,~ I
".
RECTA DE REORESION DE LAS RENTAS DE LOS VALORES N" 2 Y N~ 5
":.
:
X
="; ~
"
-,o -5.. "5"'5.io i5~ ~ 9 "., -lo
2)
.
.
.15
Grdfico 8
Valores medios y desviaciones de las.rentas.--A p a r t i r de los datos s u m i m s t r a d o s por las t a b l a s I [ - V I se hart a g , ' u p ~ i d o l a s r e n t a s como Se detalla en ]a r e p r e s e n t a c i d n y se h a n construldo los c o r r e s p o n d i e n t e s , h i s t o g r a m a s de frecuencias a g r u p a d a s , j u n t o con eada u n a de ellas se acoml).afia el valor de la m e d i a y de la desviacidn t/pica de la serie estad~stica f o r m a d a por las r e n t a s . E s t o s son los valores que f i n a l m e n t e t o m a r e m o s como r e n t a esperadn del papel y riesgo del m i s m o y que t o m a r e m o s como base p a r a la s e g u n d a p a r t e del Pr0blema , es decir, la seleecidn de la cartera. Se e n c u e n t r a n todos r e s u m i d o s en gr'~ficos que desde el ntlm. 9 al nfim. 13, .ambos inclu{dos.
VALOR
se e n c u e n t r a n
nume.rados
Ntl VALOR
N-° 2
R.- 0;032
R= 3,11
S,=5,81
S==11.46
"-9
-7-5-3
-1
1. 3
Gr6fico 9
5 7
9
-9-7-5-3-1 Gr,6fico
1 3 10
r'-
5
7
9
284
JUAN M. GARCIA GARCIA
VALOR
N"- 3 VALOR
R= 3.018
N-6 4
R=1.407
8~=14,32
-1
i
S~= i0.21
I --9 -3~
..-z -1
1
3
5
in_9 -7-5
7
-3 -1
1 3
5
7
9
Gr6fico 12.
Gr6fico ! 1
VALOR
N'- 5
R-0,992
-L
~ . : 3.46
-9-7
-5-3-1
3
5
7
9
Gr6fico 13
Curva de formacidn de capitales.--Para la construcci(>n de e s t a s curva~ hemos s u p u e s t o u n a inversi6n iniclal igual en todos los papeles en estudio, en cada uno de ellos v a m o s cobrando todos los intereses q u e - s e p u e d a n cobrar, lo m i s m o de dividendos como de ampliaeiones de capital y e n cada f e c h a tend r e m o s como capital en ese i n s t a n t e el valor de la c a n t i d a d i n v e r t i d a que irfi v a r i a n d o con la cotlzaci6n m~s la s u m a de todos los intereses d e v e n g a d o s h a s t a aquella feeha. P o r la simple inspecci6n de estas curvas p o d e m o s t e n e t u n a idea b:,stante a p r o x i m a d a de lo que h u b i e r a sido u n a m a l a o b u e n a inversi6n segtin va var i a n d o el tiempo. Nos p e r m i t e t a m b i 6 n el c~lculo i n m e d i a t o de la r e n t a produeida p o t el papel e n un i n t e r v a l o de tiempo sin mSs que efectuar lag leeturas de la o r d e n a d a de la e u r v a en los e x t r e m o s de tiempo en cuesti6n. H u b i e r a podido construlrse la c u r v a invirtiendo slempre l a c a n t l d a d cobrad . por intereses n u e v a m e n t e en el papel, pero p a r a el cS.lculo de las r e n t a s que nos .preoeupa ser/a u n a compllcaci6n inneeesaria pues se llega a los m i s m o s
PR(~BLEMA DE LA SELECCION DE ~
TABLA
P a p e l n. ° 1
t,:,. I
3 4 5 6 7 8 9 S~e
15
K.~
25
I 35 " ' "
!
K,;
i
45
[,:,°
-
•
.
.
100,0 110,4 115,6 107,0 111,9 107,1 109,2 96,9 91,7 92,I 97,5 92,6 84,0 84,2 76,9 73,5 73,1 70,5 84,5 6.3,3 64,5 63,1 62,0 1~2,5 C~,7 58,5 58,6 51,9 48,5 51,4 53,5 53,5 . 54,6 57,1 57,5 59,0 60,6 61,9 63,1 67,1 71,9 74,8 76,9 78,9 80,3' " 82,3 ~4,1 86,7 g9,1 85,6 84,5 8e,5
Papel n.* | t00,0 106,2 104,9 10~},6 132,6 134,3 135,4 1'24,5 129,5 1.53,7 1C8,5 176,0 236,9 269,9 .'>2,6,3 215,0 198,4 175,6 ] 56,4 ] 57,0 153,6 145,
7
121,3 148,8 156,7 1.52,9 144,7 ]37,1 146,2 146,5 144,9 144,1 14.3,3 150,7 151,1 152,2 152,6 ] 52,8 15,3,5 161,4 171,2 182,8 185,7
193,1 200,5 206,6 206,8 219,2 , 233,4 235,2 237~0 248,5
CARTERA
•285
Vll
P a p e l n. o
100,0 • 93,8 115,1 1'24,7 13~,6 113,4 1~,6 115,8
I'22,6 144,3
136,2 !19,9 209,3 211,3 990,3 210,0 189,9 • 183,9 ]TS,B 177,8 • 177,8 175,9 176,5 178,0 177,1 1.78,2 176,8 174,8 174,9 17~,8 174,8 1.75,0 175,2 1.7, ,9 177,4 176,6 176.4 176,0 175,4 lraj 179,0 ] 79,6 182,5 183,1 186,8 189,9 191,8 196,4 200.0 '203,8 204,5 '208,6
P a p e l n. °
I(K),O 106,3 110,4 1~8,5 130,4 147,6 1.3~,1 118,4 125,8 127,4 . 127,6 126,5 130,1 161,4 137,7 135,3 1'20,9 104,9 92,6 ,90,2 • 90,2 86,2 74,2 80,8 74,5 74,8 76,8 60,1 62,1 65,2 63,8 64,8 63,6 ~4,7 84,0 63,3 61,2 61,9 60,0 64,2 69,3 70,6. 70,7 73,4 83,1 83,1 83,6 88,8 92,2 95,1 , 99,4 116,5
P a p e l n., 5
I00,0 104,2 105,8 104,2 104,5 108,1 III,0 106,7 107,3 107,5 10&4 97,9 .e@8,7 101,0 100,7 99,7 101,1 104,3 104,6 10,3,8 106,0 106,6 107,8 107,7 108,7 107,2 107,6 10'2,7 100,0
101,2 101,6 102,2 103,4 105,7 106,3 106.5
_
107,0 107,6 10~,2 10~,9 110,7 111.,7 113,3 113,8 1].4,6 115,6 115,9 1l~,4 117,0 116,8 117,9 117,7
'
286
JUAN M.. GARCIA GARCIA
m c o o
o,
8
.
~J
s 1
/p°
I
0
0 0
I
0 ~r~
0 0
0 i,n
PROBLEMA DE:LA SELECCION DE LA CARTERA
28"/
resultados, como es f'~cil ver sin mdts que t e n e t en c u e n t a el proceso de f o r m a cidn enunciado. E n la t a b l a V I I se hallan situados en cada u n a de las c o l u m n a s y p a r a los distintos p a p e l e s los capitales que se h a n ido f o r m a n d o desde eI i n s t a n t e inicial K s h a s t a l a t~!tima fecha, en el 195(3, K=~, valores que se h a n o b t e n i d 0 :|e las tablas I I - V I . F i n a l m e n t e , en el gr/~fico n d m . 14 se da u n a representaci6n de estas c u r v a s de formaci6n de capitales.
L a seleccidn de la cartera.--A la vista de los resuttados conseguidos en los p~trrafos a n t e r i o r e s e s t a m o s a h o r a en condiciones de resolver el p r o b l e m a de la seleccidn de unos d e t e r m l n a d o s valores en las condiciones que enunci~ibamos el problema. T e n e m o s ya asociado a cada valor ei u n a r e n t a m e d i a #i Y un riesgo Wi = ob~ tenido como Fi ----- E [ri]
~rit =])t
[ri] = al 1 = Ol t
T o m e m o s u n a combinaci6n lineal de v a l o r e s :
e s decir, e m p l e a m o s un capit:ll t o t a l V de f o r m a que en el valor i-dsimo se h a y a n e m p l e a d o ~xi p e s e t a s . E s t a c o m b i n a c i 6 n nos producir~ u n a r e n t a y tendrA u'n riesgo que vendr~ medido p o t : E [r] = E IX 2 i ri] =
X 2 i E [ri] = X x i ~i
I ) ' [r] ~ I) z [~ gCi ri] ~ V a.it ctii + 2 Z zi Xj ~ij i*j P a r a n u e s t r o caso en que n=5 tenemos las c o n d i c i o n e s :
xl + 2. + z3 + ~4 + ~e5= l
[tl
donde se h a de cumplir adem~s la serie de ¢tesigualdades :"
x~>/o
z,>/o
x~>/o
~,>/o
~,>/o
[21
y la que fija la r e n t a : -
El riesgo viene medido p o t : W2
=
~ 1 1 X l $ . - [ . - ( ~ t 2 flff2t .-{- . . .
-{-"~55 XSZ-+-2.1tZ¢1X:~-'}- . . . ~l- 2 a~4 x5 645
[4]
t r a t a m o s e n t o n c e s de b u s c a r el m / n i m o del riesgo, V~~, p a r a u n a r e n t a fijada d e a n t e m a n o , es decir, el m l n i m o de [4] condicionado por las [1], ['2], [3]. E s u n p r o b l e m a de m ~ x i m 0 s o m l n i m o s condiclonados, del tipo en que la soluci6n se p r e s e n t a en el contorno y no es a c u s a d a p o t el m6todo de los m u l tiplicadores de L a g r a n g e , por 1o cual t e n e m o s que r e c u r r i r a otros procedimlentos. V a m o s a e s t u d i a r p r e v i a m e n t e y p a r a faeilitar la compvesi6n r n e d i a n t e la r e p r e s e n t a c i 6 n geom~trica el caso de n = 3 .
JUANM.GARCIA GARCIA
288
F r e t e n d e m o s e n c o n t r a r el m i n i m o de la f o r m a c u a d r ~ f i c a : "W't = ]~ *ij Xi Xj ----- qt! Xl.. "~ "22 X,.. + ¢~33X3.. "~ 2ZI" Xl X:~ + 2(~13 X I X a "-~ 2(~3 X I X 3
en las variables x~, xz, x v E s t a f o r m a cuadr~.tica es la :
representa
un
cuS.drica
t *Jr ~t..
~13
0t
• *'3*~3
*3a
0
0
0
cuya
matriz
(~l
representativa
[61
0 --W~
A1 ser la m a t r i z de los m o m e n t o s :
( *,, z,.. *,,.) :,3 ~.., *,.3 t
"13
*23
[7]
~33
tal que el valor del d e t e r m i n a n t e por ella f o r m a d o tiene un v a l o r no n e g a t i v o la f o r m a cuadrtttica r e p r e s e n t a d a p o t la m a t r l z [6] r e p r e s e n t a u n elipsolde. .A1 v a r i a r los valores de "vV2 o b t e n e m o s u n a f a m i l i a de elipsoides homot6ticos D e esta f a m i l i a de elipsoldes i n t e r e s a aquel que h a g a m{nlmo ~vV~ con las condiciones :
t~, x I + t~. ~.. + t~3x~ ----R
[8]
x , -J- x.. -~- x 3 ---- 1
[91
E1 v o l u m e n del elipsoide [5] viene dado p o r :
V~
3/0 F(~-+I)
W.. ~/A
con
A=[Gij
t
luego de a q u f :
por tanto, o b t e n d r e m o s el m f n i m o de W con el m~nimo del v o l u m e n , pues los d e m l s factores son constantes. E1 v o l u m e n ser~ na{ninao c u a n d o el ellpsoide sea l:angente a la r e c t a determin a d a por las e c u a c i o n e s : x, + x. + x 3 = I
y
th ~, + ~.. x.. -+ t~3 x 3 = R
V e a m o s a c o n t i n u a c i 6 n la f o r m a d e d e t e r m i n a r el p u n t o de t a n g e n c l a , es decir, de los x x, x~, x.~, que h a c e n m f n i m o V~z c u m p l i e n d 0 las r e s t a n t e s condiclones. Sea el plano t a n g e n t e el elipsolde:
r.~-- Axt + B x , + C x s + D-----O
[10]
PROBL'RMA DE` LA SELI'-'CCION DE. LA CARTERA
289
El piano tangente contendrdt a la recta tangente, e s declr, se verificar~ : siendo : (q - - 1~1 :c I + ~: -
V.:en + ~ , x 3 = I~
x , + ~r: +
~rn
= 1
Sean (Xx, Xz, X~) las coordenadas del punto ~n=~ra+% es equivalente a l a s : A -----Itt -[- )" I B =Fn+),
d e tangencia.
La
coildici6n
0 = tt3 -[- k D=--R--X
Ahora blen, de la ecuaci6n del elipsolde "W~=Xo'ijxixj la ecuaci6n del plant) tangente en el punto (Xx, X2, X3) , nos da para los coeficientes A, B, C, D los valores : A = O11 X 1 + ~10.X2 Di- o13 X,t
B = otn X l + ott X . + *n3 X z C = 013 X t + o:a X . + °33 Xa Wt
D~
ldentificando los coeficientes r e s u l t a :
I~:= ~ ' + ) " = t ~ , - t - ~ _ A
B
,%+x (3
it+), Wn
Este conjunto de ecuaclones con la E(X1, X 2, X ~ ) = W ~' nos permite calcular W ~ y X~, X~, X v Si los valores de X t, X 2 y X 3 asf ob.tenldos cumplen X i ~ 0 , tenemos la soluci6n del problema, m~s en general entonces para resolverle, bastar~ hallar las intersecciones de
y la X t + X 2 + X 3 = I la condlci6n de ser esto no suceder~t y la r e c t a :
Xt+Xt+Xn=I I t~1Xl + t~..Xn + t~n Xn = It con los planos coordenados, y de los puntos que resuitasen con sus coordenadas positivas tomar aqu~l que diese menor valor para W ~ . - Q u e d a asf resuelto totalmente el problema, para el easo n = 3 . C'aso n = 4 .
En princi, pio la soluci6n exactamente igual que pare el caso n = 3 , si al encontrar las coordenadas del punto de tangencla resulta alguna coordenada negative, veamos como podemos continuer el problema. T e n e m o s W z = .~ oij :fixj que es un elipsoide en E a ; y las condiciones
•
xl + x,. + ~3 + a-0 = 1 _~ ~, ~t xl + P-nx. + tlzx n = R ~-~ ~n
% Y ~n son dos hiperplanos an E.~, es decir, espaclos de dimensi6n 3. Su inter-
290
JUAN M. GARCIA GARCIA
secci6n ~r es un p i a n o de dimensi6n 2. Sobre ~r la familia de elipsoides h o m o t & i cos, i n t e r c e p t a u n a familia de elipses h o m o t & i e a s , de e s t a s elipses la de m e n o r grea, que c u m p l a las derails condiciones ,x,>0 sergt la que d~ v o l u m e n m i n i m o al elipsoide. Qu'eda reducido el p r o b l e m a a buscar, en el piano, de u n a f a m i l l a :ie elipses h o m o t & i c a s aquella de firea m i n i m a que c o n t e n g a p u n t o s del conj u n t o f o r m a d o pot la :intersecci6n de ~r con el recinto x ~ > 0 , x~>0, x.s>O, x~>.O. Podr~a t a m b i d n h a b e r s e r e s u e l t o el p r o b l e m a b u s e a n d o los m i n i m o s s o b r e c a d a uno de los pl:mos coordenados x~=O; x2=O, * a = 0 , x4=O. En estos p i a n o s se seguirfin a n u l a n d o variables, es declr, b u s c a n d o 'm~nimos sobre o t r o s p i a n o s y f l n a l m e n t e h a s t a sobre o t r a s rectas, p a r a luego t o m a r el m l n i m o de todos ellos, ~,o d e t a l l a r e m o s este caso, pues Io h a r e m o s p a r a el caso de n=5.
Caso de n=5. Tenemos
la ecuaci6n del elipsoide: W - ' = v ~i.i aq x.i Ij
( i , j = 1, 2, a, 4, 5)
la de los h i p e r p l a n o s :
x,-t- xa + xa -k *, + x5 = 1 ~- ~. v, x, + I*, x. + ~, ms + I*, a~, + I*sars = R -- r., y las relaciones de desigualdad :
x,>/0
x2>/0
xs>/0
a~,>/0
x~>/0
E x p r e s a n d o el hiperplano t a n g e n t e eomo combinaei6n lineal de ,r~ y ~a, o b t e n e m o s a l igual que en el easo de n = 3 las r e l a e i o n e s :
los
~tanos
A = at~ X, + a,.. X2 + a,3 X3 + ~,4 X~ + a,~ X5 B =~,.. X, + ~,.. X , + a. s X3 + ~,, X , + ~.-5X~
o = 0,, x, + o , , x , + o,. x , + o d x , + %~x~ E = o~ X , + o.~ X , + %.,,X3 + % X , + o~ X.~ F ,=
W~
i d e n t i f i c a n d o coeficientes I(---- ~ t q - ) ' A
}~..4-k _ B
}Ls 4-), = C
}qq-k = I)
l~sq-), = E
R-{-k ~V'
q u e nos p e r m i t e n Calcular los va!ores de X 1, X ~ X s X, L X a en funci6n de W '= valores que sustituidos en la e c u a e i 6 n del ellpsoide nos d a n u n a ecuaei6n en W = o u e r e s u e l t a nos da el valor de -~a, q u e s u s t i t u i d o en l o s Xi nos' da sus valores. E n et easo de que todas las Xl fuesen p o s i t i v a s estarfa resuelto el p r o b ! e m a y en caso de p r e s e n t a r s e soluclones' n e g a t i v a s veremos a e o n t i n u a c i 6 n e o m o pod e m o s resolver el problema. D o s c a m i n o s posibles se nos p r e s e n t a n :
.
PROBLEM~A DE LA SELECCION DE LA C~RTERA
1. °)
29].
La intersecclbn de los hiperplanos 7r~ y ,r e
.
~j=--x,+ x . + . . . +x+---+":', ~
Y" x t ~ i =
t
R
d a u n hiperplano ~r que es un espacio de tres dimensiones. L a intersecci6n de 7r +=on X y t = ~ *ij x i x j es, un :elipsoide. L a intersecci6n del reclnto en que
x,>/0
x:>0
~,>6
x,>0
~+>0
,con ~ es u n recinto R= , queda as~ reducido el p r o b l e m a . a b u s c a r e n t r e la familia de eli.psoides homotdticos aque! de v o l u m e n m f n i m o que c o n t e n g a p u n t o s del recinto R~ , en el caso de n = ~ la r e p r e s e n t a c i 6 n en u n p l a n o e r a i n m e d i a t a .y, p o t tanto, se conocfa la f o r m a de R= , pero a h o r a en el espacio de tres di: , n e n s i o n e s no se tiene u n a representaci6n f ~ c i l del recinto R x y, p o t t a n t o , tat-. es sencilla la d e t e r m i n a c i 6 n del p u n t o de m l n i m o V¢~', podr~a irse b u s c a n d o el m l n i m o sobre las caras, rectas y p u n t o s e x t r e m o s del recinto lo cual serfa bast a n t e engorros0, por lo cual y a u n q u e presente t a m b i d n b a s t a n t e s difieultades, p e r o de tipo calculatorio, nos inclinaremos p r ~ c t i c a m e n t e pot el s i g u i e n t e proce-.timiento que p e r m i t e el c~.leulo de u n a f o r m a automStica. 2. °) B u s c a r e m o s el mfnimo de W ~ sobre los pianos coordenados, e s h a l l a n d o las intersecciones d e :
decir,
~,V" ~--- X zij X i Xj
E t~i x i = R ~:o,1 los pianos coordenados y b u s c a n d o las c o o r d e n a d a s Xt que den un m i n i m o p a r a V¢" = ~ z i j z a i x j en cada caso. Segulrfamos el proceso a n u l a n d o o t r a "variable i.i
de todas las f o r m a s posibles y h a l l a n d o los m~nirnos correspondientes, se repite el proceso h a s t a llegar a e n c o n t r a r un punto, que t e n g a sus e o o r d e n a d a s no ne@ativas. E n el caso de no a n u l a r n i n g u n a de las variables, h a l l a m o s el elipsoide t a n .gente a u n h i p e r p l a n o de dimensi6n 3. C u a n d o a n u l e m o s u n a de elias hallarem o s los elipsoides t a n g e n t e s a hlperplanos de d i m e n s i d n 2. C u a n d o a n u l e m o s dos d e las variables h a l l a r e m o s los elipsoides t a n g e n t e s a r e e t a s , nos e n c o n t r a m o s en el caso de dimensi6n tres ya estudiado y puede con¢luirse eomo alll se detall6. E s t u d i e m o s el n d m e r o de pasos que t e n d r e m o s que d a r p a r a a l c a n z a r a po~ter discenir eual es el m~aimo dentro de todos los posibles. l
(0)
p a r a el prilner paso con his cinco wlriables: p a r a h a l l a r los m f n i m o s con u n a de las v a r i a b l e s nula. p a r a h a l l a r 10s m f n i m o s con d o s de las wwlables nulas. p a r a h a l l a r los mfniijms Con t r e s d e las variables nulas.
292
JUAN M. GARCIA GARCIA ~
E n total t e n e m o s
come n d m e r o de pasos necesarios para la obtenci6n del m f n l m o de W *. E l p r o b l e m a m~s complicado es la resoluci6n de los s i s t e m a s de ecu~lclones~ que se nos p r e s e n t a n , m a s este problema q u e d a muy simplificado, si e m p i e a m o s p a r a su resoluci6n el m6todo de Doolittle, del c u a l - d a m o s a continuaci6n un e s q u e m a reducido de c o m e se opera sin la justificaci6n que, p e r o~ra parte,. resulCa evidente sin m,4s que u n a s sencillas com.pfobaciones. P r e s e n t a este procedimiento aparte de la rapidez de resoluci6n del s i s t e m a en sf m e d i a n t e mgtquinas de calcular, Ia v e n t a j a de que resuelto el s i s t e m a inio cial e n que intervengan las xx, x2, X,, xa y ~% q u e a b r e v i a d a m e n t e d e s i g n a r e m o s . per el 12345, t e n e m o s resuelto e l sistema 1234, el 123 y el 12 que son necesarios. p a r a la continuaci6n del problema. Adem~ts, tenlendo la soluci6n del 12345, t e n e m o s resuelta la m a y o r p a r t e del sistema 123-b y otros angdogos, los cual nos lleva a una g r a n reducciSn en el n d m e r o de operaciones necesarias y adem~s una gran simplificaci6n en a~guno~ de los que no quedan resueltos t o t a l m e n t e con otro anterior. E x p o n e m o s a continuaci6n m6todo de Doolittle.
el e s q u e m a a n u n c l a d o
de la reso~hcidn p e r
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . primera ecuaci6n.
II . . . . . . . . . . . . . . . . . . segunda ecuaci6n. I I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . tercera ecuaci6n. I V . . . . . . . . . . . . . . . . . . cuarta ecuaci6n. V . . . . . . . . . . . . . . . . . . quinta ecuaci6n. I ...........
($11 a l s
($13
($14
¢~15
kl
II . . . . . . . . . . I[I . . . . . . . . .
ajs a13
as..
($:s
($s4
($.,s
h'.,
e~3 ($14 as4
($33 . e~S4 ($34 ¢t44
($35 (1"45
kS
a,5
a:5
as,
at5
a.~
k.~
¢£14
at5
/t~l
IV
.........
V .......... I ...........
I' . . . . . . . . . . II ..........
all
--1 ($12
]~'4
(*12
(%13
A'It
A',s A'. A't6 K'I
a2s
a23
(l~4
(125
]fz
I I --1 . . . . . . ... X: . . . . . . . . . . II'.
nI
I I - - 1 = A'lt • I
0
At..
-1
........
.........
a,s
A.. a
A:,
A'ta A',4 ...s
ass
($st
A2~
Ka
A'=5
K'5
($s~
ks
I I I --1 . . . . . . n 1 - 2
Xs = I I + I I - - 1 II' = - - E~/A.,2
I I I - - I = = A~,3 • I I I I . 2 = A ' . . Z~
......
X3 . . . . . . . . . . III'. ........
I'=--I/a.
0
0
A3, --1
A34 A's,
A, A's5
Ks K's
Zs = I I I + I I I - - I + I I I - - 2 II[' = - - Xs/As3
eT
PROBLEMA
D 1(" ~
SELF~CION
DE
29~
LA CARTERA
-
IV ..... .... IV--! ...... IV --2 ...... IV 3 ......
au
~ ; .........
0
-
a~
a4a
k4 "
IV--1 ~- A' u • I I V - - 2 - - A ' u • E, I V - 2 ---- A ' , , . 2 ,
-
0
0
IV' ......... V ..........
V '1 V --2 V--3 V--4 ~s
a4i
a84
A** -- 1
A,,~
K~
A',~
K'¢
X, '-" I V q L I V - - 1 + I V I V ' = -- X d A ' ,
2+IV--g
at5
....... ........ ....... .......
..........
•
:
g--1 V--2 V--3 V--4
Q
°,
0
0
0
0
V' ..........
A,~
--1
I{~
K'~
= = = =
A',5.I A'z~- X, A's.~ • Xa A ' , ~ - ~',
X~ = V + V - - 1
+V-2+V--3
+V--,I-
• V ' = - - Xd-%n
E l c ~ l c u l o de l a s x i es i n m e d i a t o de t a s e c u a c i o n e s 1', | I ' , I I I ' , IV" y V ~ pot recurrencia. P a r a la r e s o l u c i 6 n del s i s t e m a e n n u e s t r o c a s o n e c e s i t a m o s el c~Iculo previo. d e l a s o.ij, q u e se a c o m P a f i a n a c o n t i n u a c i d n . XR1RI=
1711,4677
o.n=
33,5571
941,5-'2,16
%==
18,3617
XR1R3=
241,5675
%2=
4,6400
XR1R,=
1142,1392
%4=
2'~,3498
XR1R 5=
629,7662
%:-
12,3167
XRxR~
=
E R 2 R . 2 = 7191,5867
%2=131,3385
£R~R3=
5382,0S17
o-:~ =
96,1450
Xl~R4=
3815,5431
%4=
70,4388
2,78,8761
o-=5=
2,3831
XR2R 5=
~ R 3 R a = 10026,745.5
o-,.~= 2 0 5 , 1 3 4 6
GRaR~=
2894,7380
0-3,= 52,5133
~R3R 5=
508.6010
o-3~=
6,9787
X R , R 4 - :5413,5944
¢~.~= 104,1681
XR,K~= 417,a2~4
o-~=
£R:R.~ =
o-55= 12,0136
66'21,9314
6.7871
LOs valores de las P i son: #i=0,0324 ;
ran
t1= = 3~1100 ;
~ a = 3,0182 ;
/x4-- 1,407Q
;
.~5 =O, fl@19
E l s i s t e m a q u e h e m o s de r e s o l v e r en p r i m e r ,lugar es aqu61 e n q u e se c o n s i d e e i n c o i n c 6 g n i t a s x v x2, x v x v x 5. Las
s o l u c i o n e s de e s t e s i s t e m a s o n : oq = -- 0,0045
x.~ = .
x 2 = +0,12'28
x4= +0,0177
0,0512
x 5 -- + 1,0(O1
294
JUAN M. GARCIA GARCIA
y el r i e s g o es "VV==10,65. P e r o e s t a soluci6n n o es vfilida p u e s h a y v a l o r e s neg a t i v o s en las v a r i a b l e s x x y xa. Eta el caso de a n u l a c i 6 n de u n a de las v a r i a b l e s l a s s o l u c i o n e s q u e se obtien e n y los riesgos c o r r e s p o n d i e n t e s s e r f a n : 1. °)
.3. °)
o
-%=0 x 2=0,2618 ~ca = 0,0262 x , = - 0,09'74 x s = 0,8094 ~q=-0,4846 x 2 = 0, 2550 xz=0 x 4 = 0,0079 x~ = 1,2'217
2. ° )
x~ = - 0 , 7 4 3 9 Xo =0
W 2 = 20,4
W '~= 12,4
xz=0,1117 x,L = 0 , 1 6 0 8 x5 = 1,4428
4. °) W2--I9,4
xx= -0,5487 X2 = 0,2747 xa = --0,0494
I.. W "~= 16,6
x,t = O x a = 1,3234
5. ° )
x=,=0,3608 x 2 =0,4680
I W 2 = 61,9
xa=0,1773 x ~= - 0,0082
N i n g u n a de las soluciones a n t e r i o r e s es a c e p t a b l e p u e s t o d a s p r e s e n t a n ~ a '-xi n e g a t i v a . E n el easo de a n u l a c i 6 n de dos v a r i a b l e s las soluclones o b t e n i d a s s o n : 1. o) X z = 0 X2 = 0 'x a = 0,4688 x~= -0,0045 x 5 = 0,5313
.3.°)
xx =O x 2 = 0,3924
xa = 0 , 0 6 7 3 X.t=0 x 5 = 0,520:3 ,5. °)
72)
x~ = - 0 , 9 3 8 9 % =0 xa=0 ~q, = 0,2556 ~% = 1 , 6 8 1 7
2. o) W~=54,6
x~=0 X2 = 0, 5176 W TM= 30,3
xa=O X ~ = -- 0 , 2 ~ 3
x~ = 0 , 6 9 1 6
lI
I
42)
6. °)
x~=O 'x2 = 0 , 1 9 7 1 xa=0,1668 x 4 = 0,6361 tx:. = 0
I
W~=92, 5
x 1 = -0,6,942 kX::~-~--0
W 2 = 26,6
x~ = O, 1682
W~=26,3
X4-~O
x~ = 1,5259 8. °)
x 1=0,1783 X,2 ~ 0
xa = 0 , 5 0 0 0 x~ = O, 3217 :x z = 0
algu-
f W2=84,4
*
x I = =0,5208 x 2= 0,2378 xa=O X4~0
xa = 1,'2837'
.!
W'~=16,8
295
PROBLEMA DE LA SELECCION DE LA CARTERA
:92)
x,~=0,5490
~
x 2 = O,4134 x.~=0 x4=0,0368 ~¢~=0
10.)
I .
x~=0,3939 x z = 0,4340 xz=O,1740 x~=0 X~=0
W~=iI3,3
~,V-~= 59,6
D e todos e l l i s son soluciones factibles la 3.', 4. ~ 7. ~, 8. ~ y 9.% pero la de mfmimo rlesgo, Vq'~=2ff,6, es la 3. ~. C u a n d o se a n u l e n tres de las variables se o b t i e n e :
2. o) x~=O "X2 2- 0
X2~O
I~TM= 592,4
x 3 =0,5024
x.~= -- 1,4118 x;=2,4118 -32)
W2=57,8
x4=O
x n =0,4976 .
x~=0 ~2 = 0 -':~= 0,6326 x a = O, 3674
42)
W-"=93,7
x~=O '-"q= 0,5225 xn=O x~=0
W2=31,5
x 5 =0,4775
-5.0) x~=6 x~=0 =x4=0,3470 ' ~=0
W-" = 91,7
-7:°) ~1=0,09~
6.") x~ = 0 :'¢2= O,2635 x 3 = 0,7387 .x,=O xs=0 8. °)
"W":= 34,5 X4~O
I0.) x~ =0,6~391
~v~=0,7536
x~ =0,2464 "¢t = 0
\Va = 1 9 3 , 4
X6-.=O
L~n= --0,0465 :9. °)
X~=1,4875 x==0 x =0 x.t = - 0,4375
W == 147,5
I
W ~ = 106,9
x 2 = 0,3609 'x 3 = 0
x.L:0
~,V~= 666, 3
x~=0
~:5~0
Aqul son. soluciones factibles la's: 2. ~, 3.% 4. ~, 5.% 6. ~, 9. n y 10. n y llt de mft:imo riesgo, W2'=31,5, la 4. • pero es de riesgo superior a la de m f n i m o eta el •caso de a n u l a c i 6 n de dos variables, Vv'~=Sq',6, luego la inversi6n 6 p t i m a en el •caso presente, r e n t a deseable igual al 2 p o t 100 t r i m e s t r a l y riesgo m / n i m o , su.pone efectuar la inversidn ell IOS di'ferentes papeles s e g 6 n . l a relaci6n : •
Papel Papel Papel Papel Papel
nfim nfim. nfim. nfim. nfim.
1=0 2 = 3 9 , ~ 4 por 100 de la inversidn 3 = b,73 por 100 de la inversidn 4=0 5 = 5 2 , 0 8 pot 100 de la i n v e r s i d n .
