Verein Deutscherlngenieure

D(isseldorf

Forsch. Ing.-Wes. Bd. 47 (1981) Nr. 3, S. 69 bis 100

ForSCmh.ung

Rotating Stall und Einlaufst6rungen in Axialverdichtern Zusammenfassende Darstellung neuer numerischer Theorien V o n Klaus Grahl und Heinz G. Neuhoff*)

Rotating Stall und Einlal~st6rungen sind instationiire Str6mungszustiinde, die auf das Betriebsverhalten yon Flugtriebwerks-Verdichtern einen bedeutenden Einfluff haben. Um diesen Eit~u[3 im Entwicklungsstadium beurteilen und handhaben zu kfnnen, sind experimentelle und theoretische Untersuchungen erforderlich. In der vorliegenden Arbeit werden neuere theoretische Verfahren verschiedener Verfasser gegeniibergestellt. Gemeinsame Grundlage dieser Gegeniiberstellung ist die numerische L6sung der die Str6mung beschreibenden Differentialgleichungssysteme. AIs wichtigste Unterscheidungsmerkmale sind zu nennen: die Formulierung der Absolutstr6mung, die Eitfiihrung der Schaufelreihen, die Beriicksichtigung der Kompressibilitfit und die verwendeten L6sungsalgorithmen, die in Zusammenhang mit den unterschiedlichen Differentialgleichungssystemen und Randbedingungen stehen. Die einzelnen Theorien werden in chronologischer ReihenJblge vorgestellt. Es ist zu erkennen, daJ3 die Entwicklung theoretischer Verfahren heute beide instationiiren Str6mungszustfinde im Zusammenhang erfassen muff. Diese Forderung wird yon den zuletzt beschriebenen Vetfahren erJfillt. Dabei ist zu beachten, daft die theoretische Beschreibung der instationiiren Strfmung durch Turbomaschinen auch bei diesen Verfahren gewissen Einschriinkungen unterliegt.

1. Einleitung Instation~ire Str~Smungen in Turbomaschinen haben verschiedenc Ursachen und Erscheinungsformen. Man unterscheidet je nach der Ausdehnung der instation~iren Str~5mungsbereiche und nach der Periodendauer grunds~itzlich sechs Str6mungsarten, siehe Tafel 1. So unterschiedlich wie ihre physikalischen Charaktere sind auch die theoretischen Beschreibungen der einzelnen Str~Smungsformen. So basiert z.B. die Untersuchung der durch Nachlaufdellen entstchenden instation~iren SchaufelkrMte auf der Beschreibung der instation~iren zweidimensionalen SchaufelkanalstrSmung, w~ihrcnd in den Theorien zur Bestimmung des Abreil3verhaltens diese Gitterstr6mung nur durch die empirisch ermittelten Gr~513en ,,Umlenkung" und ,,Verluste" pauschal beschrieben wird. Wegen der komplexen L6sungsverfahren der die instation~iren StriSmungen beschreibenden Differentialgleichungssysteme werden in diesem Beitrag nur die Verfahren verglithen, die zur Bestimmung der instation~iren Str~Smungsgr6Ben unter dem Einflul3 yon EinlaufstiSrungen und instabilen Betriebszust~inden (Rotating Stall) dienen. Dabei steht die Differenzierung der numerischen Verfahren im Vordergrund. *)

Prof. Dr.-Ing. Klaus Gr~hl und Dipl.-Ing. Heinz G. Neuhr Fachgebiet StriSmungsmaschinen, Universit~it Duisburg - Gesamthochschule.

Forsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

Die Herleitung allgemeingiiltiger Aussagen zu diesem Themenkreis erlangt bei modernen Verdichterkonzepten wachsende Bedcutung, was sich auch durch die zunehmcnden Forschungsaktivit~iten auf diesem Gebict verdeutlicht. Die beschriebenen Theorien gehen alle von der Formulierung nichtlinearer Gleichungssysteme aus, die mit finiten Differenzenmethoden numerisch gel6st werdcn. Die Grundlagen bilden aber die klassischen Betrachtungsweisen der linearen Theorien I-2 bis 9]; denn die Anwendung von ,,actuator-" bzw. ,semi-actuator-disc" als Ersatz der Schaufelreihe und die Ankniipfungsbedingungen zu den Fcldgleichungen in den neuen Verfahren entstammen den frfiheren Arbciten zu diesem Thema. Eine Obcrsicht fiber diese analytischen Mcthoden findet man in 1-10]. Zwei Grilnde rechtfer-

Tafel 1. Unterscheidungder Str6mungsarten. lnstation~ireStr;Smung

Ausdehnung

Periodendauer 1)

Turbulenz Nachlaufdellen Potentialstr6mungseinflul3 Einlaufst6rungen Rotating Stall Pumpen

Schaufelteilung Schaufelteihmg Schaufelteilung Umfang Umfang Verdichterl~inge

10 4s 10 4s 5.10 3s IO 2s 10- ~s

l) Daten aus [1]: n==12000rnin-1, z=50

69

tigen die Bestrebungen, numerische L6sungsverfahren fiir den angesprochenen Problemkreis zu entwickeln: Die auftretenden Amplituden erreichen Gr6Benordnungen, die zum einen den Einsatz linearer Theorien - im analytischen Sinne - nicht mehr rechtfertigen u n d zum anderen die lineare Approximation der station~iren Gittercharakteristik im betrachteten Teillastbereich nicht zulassen. Die numerischen L6sungsverfahren ffir die instationiiren Kontinuit~its-, Bewegungs- und Energiegleichungen in den schaufelfreien Ringr~iumen und die Verkniipfung mit der als ,,disc" eingeftihrten Schaufelreihe haben als gemeinsame Voraussetzungen: reibungsfreie, adiabate, zweidimensionale (evtl. quasi-dreidimensionale) Str6mung zwischen den Schaufelreihen. Insbesondere die zweidimensionale Betrachtung in Umfangs- und Achsenrichtung stellt eine Einschriinkung fiir alle Verfahren dar, da die radialen Zusammenh~inge der instation~iren Str6mungsgr6Ben nicht beriJcksichtigt werden. Aussagen zu den zeitinstation~iren Str6mungsph~inomenen in Verdichtern mit kleinen Nabenverh~iltnissen sind daher kaum realistisch. Wesentliche Bedeutung kommt bei einem numerischen L6sungsverfahren dem verwendeten Algorithmus sowie der Stabilit~it und Genauigkeit zu. Die ver6ffentlichten Ergebnisse der einzelnen Verfasser setzen die Erffillung dieser Bedingungen voraus. Die Wiedergabe der Teilpunkte Diskretisierung des Gleichungssystems und Fehlerabsch~itzung wtirde die Grenzen dieser Gegeniiberstellung iiberschreiten. Vielmehr gilt es,

Theoretische untersuchung der instationi~ren Str6mung in Turbomasd'inen I

I

/

9 to.oo~r. I I zeitabhiingige I Emloufsti~rungen I I Eint~

b -'C -'-

[stotion~ire[ [ Absolut - [ ~

/

\

I

\

I stationare StrSmung

J instation~rel [ AbsolutJ [ str6mung I

I

I vor 1.Laufrad, sonst [ instot" Abs~176

/" ---..

d ink~176

I

/

I

\

kompressibleinkompressible I~m~eessible

[striimung IIS~r,~3qlSt~mungC ~ ~llS,~r~s)llStr~m~g(1 )tJSe~,g(211

F.,

L

t

~_

s

Bild 1. Theoretische Methoden zur Untersuehung der instatio#iren Striimung in Turbomaschinen.

einzeln,e Verfahren aufgrund ihrer Voraussetzungen und Annahmen in einen systematischen Zusammenhang zu bringen. Hierzu wurde in Bild 1 ein Schema aufgestellt, das nur die Rotating-Stall- und die Einlaufst6rungsuntersuchungen detailliert aufschliisselt. Die Ebene a gibt noch einmal die in Tafel 1 vorgestellte Einteilung wieder, und die Ebene b spezifiziert die Einlaufst6rungen nach ihrem zeitlichen Verlauf. Die Ebene c bezieht sich auf die Str6mung in den schaufelfreien Ringrgumen. Hier f~llt auf, dab auch ffir zeit- ' unabh~ingige Einlaufst6rungen eine instation~ire Str6mung

Verwendete Formelzeichen

Schallgeschwindigkeit Fourierkoeffizienten zur Approximation Bk,~J einer beliebigen periodischen St6rfunktion b Gitterbreite C Gesamtgeschwindigkeit D Schaufell~inge(normiert mit Umfang) d Koordinate fiir betrachteten Schaufelschnitt (normiert mit Umfang) Fl~iche F h Enthalpie k k-te Harmonische tiber dem Umfang 1 l-te Harmonische tiber der Schaufelh6he L Abstand Vorleitrad-Laufrad m Meridiankoordinate rl Drehzahl n fl~ichennormalerEinheitsvektor Dissipation im Schaufelkanal Nw p Druck p* Druckdifferenz zu Bezugsdruck (Ruhedruck) r Radius R spezifische Gaskonstante ffir Luft S Sehnenlgnge s Entropie tG Schaufelteilung eines Gitters T Temperatur normierte Zeit (Bezugswert unterschiedlich) TR Umlaufzeit des Rotors Umlaufzeit des Rotating-Stall-Systems U Geschwindigkeit in x-Richtung I) Geschwindi~keit in y-Richtung W Geschwindigkeit in radialer Richtung U , V , W entsprechende station~ireGeschwindigkeiten x, y kartesische Koordinaten (im 1. Verfahren normierte GrtiBen) z Schaufelzahl eines Gitters 0+,0 - Ebene unmittelbar hinter bzw. vor Actuatorzdisc a

Ak, t

70

a fl fls Z t/ 0 x p , z % q~ ~k co o90 ~% e)R 6%

Str/Smungswinkelim ruhenden System Str6mungswinkel im mitbewegten System Staffelungswinkel Neigung der Meridiankoordinate Rotation der station~iren Str6mung Rotation Hilfskoordinate in Umfangsrichtung (normiert mit Umfang) Umfangswinkel for Zylinderkoordinaten Isentropenexponent Beiwert for kinetische Energiespeicherung Dichte Volumen Zeitkonstante ftir Bestimmung des instation~iren Verlustbeiwertes Potentialfunktion der,St6rstr6mung Stromfunktion Winkelgeschwindigkeit Verlustbeiwert (Totaldruck) Zusatzverluste aufgrund abgel6ster Schaufelstr6mung Winkelgeschwindigkeit Rotor Winkelgeschwindigkeitdes Rotating-Stall-Systems

Indizes a A E i rel ss t I, II 1,2

Auslegung Austritt Maschine Eintritt Maschine Profilanstellwinkel Gr6Ben im mitbewegten System station~irer Zustand thermodynamische GesamtgrSBe 1. Schaufelreihe,2. Schaufelreihe Eintritt, Austritt Schaufelreihe Mittelwert iiber eine Schaufelteilung der station~irenGr6Be zu fiberlagernde St6rgrSBe

Forsch. Ing.-Wes. 47, (1981)Nr. 3

im Absolutsystem betrachtet wird; d.h. eine Theorie, die diese Str6mung beschreibt, kann eine Instabilit~it, gekennzeichnet dutch umlaufende Bereiche verz6gerter Str6mung, bestimmen. Vorausgesetzt wird dabei, dab die Einlaufst6rung v o n d e r instabilen Str6mung nicht beeinfluBt wird, weil sie der Str6mung weir vor dem instabil arbeitenden Gitter aufgepr/igt wird. Weiterhin ist in Ebene c zu sehen, dab die Rotating-Stall-Theorien vor dem ersten Laufrad eine station~ire Str6mung zugrunde legen, was eine einfache Handhabung der Randbedingungen am Eintritt bedeutet. In der Ebene d verdeutlichen die gestrichelten Querverbindungen, dab die linksstehenden Verfahren allgemeingiiltigere Aussagen liefern, da sie aul3er der Untersuchung yon Einlaufst6rungen auch die Bestimmung der Stabilit/itsgrenze des ungestiSrt arbeitenden Verdichters erm6glichen. Die Zahlen kennzeichnen die Reihenfolge, in der die zugeh6rigen Theorien vorgestellt werden. Die gestrichelten bzw. strichpunktierten Hilfslinien zwischen den Ebenen b, c und d kennzeichnen eindeutig die von den Verfahren vier und fiinf erftillten Bedingungen.

sich die Kontinuifiitsgleichung fiir die St6rgeschwindigkeiten zn

V2 4) = 0 Die Bewegungsgleichungen lauten Ou au Ou ~-+U~x+V~yy=

10p P ~

(lb),

Ov ~v ~v ~+UTy+~y

10p pay

(1

Kontinuit~itsgleichung i

~x

2.1 S e l b s t i n d u z i e r t e G i t t e r i n s t a b i l i t ~ i t (rotating-stall) Die Vorausberechnung der Stabilit~itsgrenze von Axial: verdichtern ist ftir jede Neuentwicklung bedeutungsvoll. Theoretische Stabiliffitsuntersuchungen erm6glichen die Angabe einer AbreiBcharakteristik fiir alle Schaufelreihen der Verdichterstr/Smung, d.h. es kann die Umlauffrequenz und die Anzahl der rotierenden Abl6sezellen pro Schaufelreihe in Abh~ingigkeit vom station~iren Betriebspunkt bestimmt werden. Damit ist nattirlich keine direkte L6sung bzw. realistische Beschreibung der abgel6sten SchaufelstriSmung und der damit zusammenh~ingenden Geschwindigkeitsschwankungen im Totwassergebiet verbunden. Die AblSsung der SchaufelstriSmung wird lediglich dutch ein starkes Anwachsen der Totaldruckverluste erfaBt. Die Rechenverfahren unterscheiden sich ftir inkompressible und kompressible Str6mung erheblich. 2.1.1 Bestimmung der Stabilitiitsgrenze bei inkompressibler StrOmung

Ausgehend von der zweidimensionalen Formulierung der instation~iren Str6mung durch Axialverdichter wurde zu Beginn der 70er Jahre das erste numerische Rechenverfahren [11; 12] ftir einen Verdichter mit groBem Nabenverh~iltnis vorgestellt. Dieses wurde durch Einfiihrung der Radialkomponente der St6rgeschwindigkeit quasi auf drei Dimensionen erweitert. Weiterhin wurde der Einflug einer zweiten Schaufelreihe untersucht. S t r 6 m u n g in den s c h a u f e l f r e i e n Ringr~iumen Ftir die Str6mung vor und hinter einer Schaufelreihe werden in dieser Theorie unterschiedliche Voraussetzungen gemacht. Die vorausgesetzte Reibungsfreiheit und die Annahme, dab die am Gitter induzierten St6rgeschwindigkeiten weit vor der ersten Schaufelreihe eine drehungsfreie Str6mung liefern, bedeuten, dab die Str6mung im ganzen schaufelfreien Str6mungsfeld vor d e r ersten Schaufelreihe drehungsfrei .ist. Dies sind die Eigenschaften einer Potentialstr6mung. Mit der Einfiihrung der Potentialfunktion ergibt

F0rschl lng.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

C).

Hinter dem ersten Gitter liegt keine Potentialstr6mung mehr vor. Die in der Schaufelreihe induzierte Drehung der verlustbehafteten Gitterstr6mung wird dem Fluid stromabw/irts aufgepr/igt. Die Kontinuiffitsgleichung und die Bewegungsgleichungen ftir dieses Str6mungsfeld haben die Form:

~(U+u')

2. Besehreibung niehtlinearer Verfahren

(1 a).

q

~(V+v') ~y

0

(2a)

Bewegungsgleichungen

O(U+u') --+(U

O(U+u') +u')--

~t

Ox

O(U+u') +(V+v') - ~y

~(v+v') wot

10p p ~x

(2b),

.... O(v+v') +(U+u) 7 ox

' +(v+v') 0 (v+v) Oy

1 0p

p Oy

(2c).

Mit Einffihrung der Stromfunktion

u' =~ 00,

v' =~ O~O

(3a)

und der Rotation ~V I

Od

~". . . . ~x ~y

(3b)

reduziert sich dieses System auf V2 ~ = -- ~

(4a),

~+(v+u)G+(v+v)~=o

(4b).

Dieses zweidimensionale Rechenverfahren wird auf quasidreidimensional erweitert, indem zus~itzlich die Obertragung der radialen Komponente der St6rgeschwindigkeit beim Gitterdurchgang eingef'tihrt wird. Die Darstetlung der Potentialfunktion als Fourierreihe liefert die folgenden drei Geschwindigkeitskomponenten am Gittereintritt:

u'l

=Sq~= ~ ~rcr[Ak, lcos(2nky) ~x

k~oi=o

(5 a),

71

v'a=~vv = Z Z 2rck[-AkdSln(2rckY) Y

k=O/=O

(5b), /[ =a,= [Ak,cos(2 ky) W'l ad k~O l= 0

+ Bk3Sin(2rcky)]sin @l dD)

(5 c).

Es handelt sich nicht um eine rein dreidimensionale Erweiterung, da die radiale Komponente der station~iren Geschwindigkeit nicht in die Bewegungsgleichungen zur Beschreibung der Str6mungsfelder vor und hinter den Schaufelreihen einbezogen wird.

R a n d - und A n k n t i p f u n g s b e d i n g u n g e n Ftir die Ebene des Eintritts in den schaufelfreien Ringraum kann aus der Potentialfunktion und der Voraussetzung einer drehungsfreien StrSmung folgender Zusammenhang f'tir die StSrgeschwindigkeiten angegeben werden: 1 7 v(r/)

u'(y) =~- j ~Z~u~/ 2

(6a),

(lOa),

u'1 = u 2 = u '

(lOb),

/~2=f(/?O

OOc),

Die Bedingung konstanter axialer StSrgeschwindigkeit G1. (10b) gilt ftir alle zweidimensionalen inkompressiblen Str6mungen. Der AbstrSmwinkel 3z wird aus Griinden numefischer Vereinfachung als konstant angenommen. Ftir die Erweiterung des dreidimensionalen Ubertragungsverhaltens wird die Ankntipfungsbedingung w'~=w~

(6b).

Diese Beziehung gilt ftir jede Ebene vor der ersten Schaufelreihe. Dadurch ist es m6glich, die Eintrittsebene mit dem Gittereintritt gleichzusetzen. Fiir die Austrittsebene gelten zwei alternative Bedingungen: p(o%y) = const

(7 a),

,p(O +, y) = const

(7b).

Es sol1 also der statische Druck weit hinter der Schaufelreihe oder unmittelbar am Gitteraustritt ,tiber den Umfang konstant sein. Diese unterschiedlichen Randbedingungen wurden auch in linearen Theorien [6; 7] zugrunde gelegt. Ftir die Verkntipfung der Stri3mungsfelder vor und hinter der Schaufelreihe wird der Energiesatz fiir die instation~ire, inkompressible Str6mung fiir einen Schaufelkanal mit endlicher axialer Erstreckung (semi-actuator-disc) angesetzt: ~U t

(DD

P,, - P,2 - b ~ f c~ fls= ~-[(U + u')Z + (V1 +v',) 2]

(8).

Damit wird der EinfluB der Beschleunigungs- bzw. Verz6gerungsarbeit der im Schaufelkanal befindlichen Masse auf den Totaldruckanstieg berticksichtigt. Der instation~ire Verlustbeiwert coD wird nach der gew6hnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung berechnet [7; 22]: ~COD 27~ ~ - - -~- ('OD = O)ss

(9).

Dieser Zusammenhang zwischen dem station~iren und instation~iren Verlustbeiwert wird in [22] ftir bestimmte Profilgitter experimentell nachgewiesen. Die Schwierigkeit ftir beliebige Verz6gerungsgitter liegt in der Bestimmung der Zeitkonstanten %. Weitere Verkniipfungsbedingungen sind

(21)

gewiihlt. Die benutzte stationare Gittereharakteristik ergibt sich vereinfacht aus den in die x,y-Ebene projizierten Str6mungsgrSl3en. Die Randbedingungen stromauf sind f'tir die quasi-dreidimensionale und zweidimensionale Rechnung identisch. Hinter dem Gitter kann dagegen ftir das quasi-dreidimensionale Verfahren nur die Bedingung (7b) angesetzt werden. Aus diesem Grund ist die Verknfipfung mehrerer Schaufelreihen mit endlicher Schaufelliinge und endlichem Axialspalt nicht mSglich, da G1. (2) bis (4) ftir die dreidimensionale StrSmung nicht gel6st werden k6nnen. Bei der Erweiterung der Betrachtung auf mehrere Schaufelreihen ist der Ubergang auf das Relativsystem zu beachten, und ftir die Energiegleichung gilt dann:

~o

v'(y) = ~- _!ooy--r/U(r/)dq

72

/21 +u'l = U2 +u~

p,,-p,2-

b

/Su'

+

5u' '~

= - (~oRr) 2 + mRr [(71 + v'0 + ( U + u') tan/72]

+89wD{(U + u') 2 + [CORr -(I/1

+ t)'l)] 2 }

(22).

Wird der Axialspalt zwischen zwei Gittern als infinitesimal klein angenommen, so ist ftir diesen keine L6sung-der Feldgleichungen erforderlich. Die Austrittsgr6gen ,,Laufrad" sind dann gleich den EintrittsgrSBen ,,Leitrad". Bei Vorgabe des realistischen endlichen Axialspaltes werden jedoch die Stromfunktion und die Rotation im Axialspalt bestimmt, um damit den Laufradaustritt und den Leitradeintritt zu verkntipfen.

N u m e r i s c h e L 6 s u n g und A u s w e r t u n g Die numerische L6sung mit einem impliziten finiten Differenzenverfahren benutzt zentrale Differenzen ffir die 5rtlichen Ableitungen und Vorwiirts-Differenzen fiir die zeitlichen Ableitungen. Die Diskretisierung der Feldgleichungen ist in [11] dargestellt. Die Rechnung liefert den zeitabh~ingigen Verlauf aller Str6mungsgrSBen u, v, p ausgehend von einem Zeitpunkt t o. Zum Zeitpunkt t o wird der station/iren Str6mung eine sinusf6rmige St6rung der Axialgeschwindigkeit tiberlagert. Ihr Maximalwert ist um,x=0,01U. Bild 2 zeigt die zeitliche Entwicklung dieser Initialst6rung ftir den Fall, dab der station~ire Betriebspunkt dicht an der Stabilit~itsgrenze liegt. Nach ca. 1,2-Zeiteinheiten ist die Instabilitiit voll ausgebildet. Die St6rgeschwindigkeiten betragen bis zu 50~o der stationgren StrSmungsgeschwindigkeit. Die Umlauffrequenz wird aus dem gegenseitigen Versatz der einzelnen Kurven ermittelt. Nach Erreichen dieses ,,station~iren" Zustandes wird eine weitere Drosselung der station~ren StrSmungsgrSBen simuliert und dieses Verfahren wiederholt angewendet. Nun wird aber die urspriinglich berechnete StSrgeschwindigkeit als InitialstSrung angesetzt. Dabei erForsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

Abl6sungim

Teilbereich l~LGehause / ~

1,0

-1,0

, -

,

t -1,0

_

--1,0

,

':~ u

-1,0

u~J -1,ol ~"

_

,

_ ,

..._ -,,../

-I,oI "~= 1,2

2___

1,0

~:o,6

- 1 , 0 ~ f= 1,~, I - ~ Umfang ---,,-.

Bild 2. Entwicklung einer kleinen Initialstfirung (7"= 0) zu einer rotierenden Abli~sezelle (7"> 0,8) [12].

0,1

- - - - Geh~iuse 0 __,----- Mitte Nabe

.c E -"-0,5

l'O~be u'l ~,

uJ

x.x]/

/ /

-l'~__Umfang__.__~

-l'~---Umfang~

1'01Mitte

1'01Mitte

w'l

--- --O--- -~ i

0.60

0,65 COS

F.3

070

~'1

F.4

Bild 3. Amplituden der axialen Stiirgeschwindigkeit in Abh~ingigkeit vom Teillastzustand [12].

-

~

}31=55'2~

= 60,0 ~

Biid 4. Obergang von einer 6rtliehen Str6mnngsabl6sung (part span stall) zu einer vollstlindigen AbiSsung iiber der Sehaufelhiihe (full span stall) bei quasidreidimensionaler Reehnung [12].

[]

= ,

.c o

T= 0/*

~ '_;~

-1,0

0,5

~5

-1,0

1,o

o2

-o,I

Drosselung

u

F.2 I - - - U m f a n g ~

-0,1

l'OIM'tte

Abl6sung gesamte Scheufel 1'0[Gehiiuse C'~ u--i~ /

-1,o~T=1,2

1

,
I

o

0.1 L/27r r

F.6

~ =o,6

EJ 0,2

",4

-1,0~--.---~= 1,z,

_ I

- 1 , o I ~ o,8 v t ~-Umfang~

Bild 6. Anzabi der Stfirzellen in Abhiingigkeit vom Axialabstand zweier Schaufeireihen (gleicher Teillastznstand) [12].

1,0 -1,

~------Umfang-----~ ----(u'/u)~ (u'tu,~

Biid 5. Trennung einer rotierenden Abliisezelle in ein Zwei-ZellenSystem [12].

3 ~o,8 0,7 F.7

0

0,I

reichen die St6rgeschwindigkeiten in Str6mungsrichtung die Gr68enordnung der station/iren Geschwindigkeit, Bild 3. Es ist zu bedicksichtigen, dab der aus Bild 2 zu ermittelnde Gradient 0u/0y im Zusammenhang mit dem Gradienten Ov/Ox die Forderung der Drehungsfreiheit erf'fillen muB. Das gilt ebenso ffir Bild 4 und 5. Obwohl die Theorie nicht an die Einhaltung der vorgegebenen Zellenzahl gebunden ist, tritt die im Experiment beobachtete Aufspaltung des StallSystems bei der Drosselung hier nicht ein. Auch die verschiedensten Parameterkombinationen der Gitterkenngr6Ben und der Zeitkonstanten z erbrachten keine anderen Ergebnisse. Auch bei der quasi-dreidimensionalen Rechnung wird der gest6rten Str6mung die Anzahl der Zellen durch die vorgegebene St6rkonfiguration der Initialst6rung aufgepr~igt. Der 0bergang einer 6rtlichen Str6mungsabl6sung z.B. am Geh~iuse zu einem vollst~ndigen Abl6sen fiber der Schaufelh6he (,,full-span-stall") wird aber durch Simulation der Drosselung des station~ren Betriebszustandes erm6glicht. Dieser Ubergang ist in Bild 4 dargestellt. W/~hrend fdr den statioForsch. Ing.-Wes. 4"/ (1981) Nr. 3

0,2 0,3 Ll2~r r

oo

Bild 7. Anderung der Umlauffrequenz eines Rotating-Stall-Systems in Abh~ingigkeit vom Axialabstand (gleicher Teillastzastand) [12].

naren Gittereintrittswinkel flt=55,2~ der Nabenbereich noch keine negativen St6rgeschwindigkeiten aufweist, ist ftir fll = 60~ dieser Fall zu erkennen. Weitere numerische Untersuchungen behandeln die Interferenz zwischen zwei Schaufelreihen. Es wird unterschieden zwischen hintereinanderliegenden Gittern ohne und solchen mit endlichem Axialspalt. Wird das Rechenverfahren auf erstgenannte angewendet, so kann unterschieden werden zwischen kleinen und grogen Abl6sezellen in Umfangsrichtung sowie zwischen deren unterschiedlichen Umlaufgeschwindigkeiten. Aber auch hier tritt keine Aufsplitterung des Initialsystems in eine andere Zellenzahl ein. Die Interferenzeinflfisse zwischen Schaufelreihen, die bber einen endlichen Axialspalt verknfipft sind, liefern jedoch die im Experiment bei kontinuierlicher Drosselung zu beobachtende Aufsplitterung des AblSse-Zellensystems. Ffir eine Kombination Vorleitrad-Laufrad wird die Entwicklung eines Ein-ZellenSystems zum Zwei-Zellen-System bestimmt, Bild 5. Durch Variation der Axialspaltl~inge wird dessen EinfluB auf die Anzahl der Stall-Zellen und deren Umlauffrequenz nachgewiesen, Bild 6 und 7. Ffir den realistischen Bauzustand eines

73

Bild 8. Darsteilung der Hysterese beim Drosseln und Entdrosseln eines einstufigen Verdichters [12].

Anz~ahl d;r Zellen 0 , 7 84

"4

Mit der Einf'tihrung der Stromfunktion

00

pU=~m,

pv=

90

rgO

(14b)

wird die Kontinuit~itsgleichung auf die Form

9

-

Orosseln Entdrosseln

-

. . . .

O,

I

0).

[

0,5

_

o

oo'x

90 \pr 90 ! -f~mm tp Ore) = - re'

I

(15)

0,6

U/~ R

F.8

9 (19o'

_

einstufigen Kompressors mit Vorleitrad wird abschlieBend noch der Hysterese-Effekt zwischen Drosselung und Entdrosselung untersucht. Aus Griinden des numerischen Aufwandes wird dabei nur der Axialspalt zwischen dem Vorleitrad und dem Laufrad mit endlicher L~inge angegeben. Auger dem Hysterese-Effekt tritt hier auch der Obergang von drei kleinen Zellen zu einer groBen Zelle w~ihrend des Drosselvorgangs auf, Bild 8.

umgeschrieben. Diese Beschreibung der StrSmung beriicksichtigt im Gegensatz zu Abschnitt 2.1.1 die konvektive Anderung der Dichte entlang einer Stromlinie aufgrund der zeitinstation~iren StrSmungsgrSgen.

Rand- und Ankniipfungsbedingungen Mit der vorausgesetzten drehungsfreien Str6mung stromauf der Schaufelreihe ergibt sich f'tir die Eintrittsebene die Gleichung 1~

V

2.1.2 Bestimmung der Stabilitiitsgrenze bei kompressibler Str6mung

, ="rel =~'! o ~ d ~ /

Das in [13; 14] vorgestellte Rechenverfahren stimmt in einem wesentlichen Punkt mit der zuvor beschriebenen Methode iiberein: Die Str6mung ist auch hier vor der ersten Schaufelreiehe drehungsfrei, und damit ist das Verfahren dem in Abschnitt 2.1 beschriebenen zuzuordnen.

Fiir die Austrittsebene werden zwei verschiedene Randbedingungen formuliert:

(16).

,l a, 00

(~mm)+ = 0

S t r i S m u n g in d e n s c h a u f e l f r e i e n R i n g r i i u m e n Die Kontinuit~its- und Bewegungsgleichungen werden hier ftir das mitbewegte Relativsystem in Kugelkoordinaten formuliert: Kontinuiffitsgleichung

10(pru)

1 9(p Vrel)

r

r

- - 4 9m

0

80

(13a)

9U

VreI 9H _

~+u~m-~ r 80

^ 0/~re I

/)r2a

~ l sin e

10p

- 2 co/)reI sin e - 0)2 r sin e = . . .p. . 8m 9Vrel ,

+Vrr

(13b),

8Vrel . Vrel 9Vrel

0t ~u~-m-~ r

b

COSfls

(18).

Ftir ~ und ~r~ werden wegen der unbekannten Zustands~inderung entlang dem Schaufelkanal arithmetische Mittelwerte zwischen der Ein- und Austrittsebene eingesetzt. Die Kontinuit~it liefert ohne Berticksichtigung einer zeitlichen ,~nderung der Dichte den Zusammenhang (19a).

P2 U2 = P l gl

90

sin e

1 9p

+2CORrusine . . . . r p O0

(13c).

In der Kontinuit~itsgleichung erscheint nicht die lokale zeitliche Ver~inderlichkeit der Dichte. Zugunsten der Einf'tihrung einer Stromfunktion wird auf die exakte Formulierung des Kompressibilit~itseinflusses verzichtet. Die Gesamtgeschwindigkeiten werden in einen bekannten station~iren und den zu ermittelnden instation~iren Anteil zerlegt. Die Rotation liefert bei der zweidimensionalen Str6mung nur eine Komponente in radialer Richtung. Sie ist definiert als ( -=r9u0~- 9m0V (~=Z+ff')

74

Letztere ist physikalisch weniger zutreffend, aber numerisch einfacher zu behandeln. Die Ankniipfungsbedingungen zwischen Laufrad- bzw. Leitradein- und -austritt berticksichtigen die endliche axiale L~inge des Gitters, so dab der Energiesatz auch hier die schon in Abschnitt 2.1.1 aufgestellte Form erNilt:

Ptlrel--Pt2rel=('OD(Ptlrel--Pl)+ P -00

Bewegungsgleichungen 91A

(17b).

(14a).

Weiterhin gilt auch hier ffir die AbstrSmebene die Beziehung

V2rel+V'2rol=(U2+u'2)tanfl2 Vz +v'2=(Uz +u2)tana 2

(Rotor)

(Stator)

(19b), (19c).

Die zeitabhgngigen GrSgen coD und f12 (0~2) werden in Anlehnung an 1-22] bestimmt. Die Bestimmung des Verlustbeiwertes CODerh/ilt allerdings den Zusatzterm COd: 9coD % ~ - + coD= cos~+ COd

(20).

Die Einfiihrung von (z)d kann damit begrtindet werden, dab

Forsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

Initialst6rung

voll ausgebildete Zelle

1,0 ohne ~ Vorleitrad 0,9 ~ ,~ 3 Zellen 1 Zelle~

0,8

Umfangsposition

U1

-11

~

~

~

",~

?

F.9

Bihl 9. Unabl~nglgkelt der voll ausgebildeten Abl6sezelle von der Zellenzahl der Initialst~irung [14].

Initialst6rung 0,11

0,9

I ~.L--~[ Abstand " " ~ Vorleitrad 1120mm~

0.8

F.11

.

/

I

I

L.~2 ~

3 Zellen 1 ~

l

3

\

0.5

r'e

" AbstandVorleitr,ad [ ~ '~ 0'7"'120 i nm I _ I I :-~ ~ Zellen l

~

N

0,S

l ZZelle-

~

o,s

1,0! Abstand ' ~ Vorleitrad 30mr~ ~

0,7"--4 Zellen:~'-'~'~'-I Zelle 31Zell' --~%J ~

0,9,

0,6. 30mmAbstand Vorleitrad

0,8 0,1

roll ausgebildele Zelle

~ - ~ .

1,0

I

0,7 ohne Vorleitrad [ ~ellen a: 0,6

.3 !. 1 ~ 4 Ze,,fen' ', ' 0,2 0,3 0/-, 0,5 Dutch fluflkennz~l

Bild 11. Darstellung der theoretischen Ergebnisse im Verdichterkennfeld [-14].

sition

o,s.

0 F.12

I

I

l

0,3 0,4 0,5 Durchflul)kennzehl

Bild 12. Zusammenhang zwisehen der Umlaufgeschwindigkeit rest der Abliisezellen, der Umfangsgeschwindigkeit e~R des Laufrades und dem Axialabstand zwischen Laufrad und Vorleitrad [14].

0,1 -0,1 F.IO

Bild 10. Unabhiinglgkeit tier roll ausgebildeten Abltisezelle yon tier Amplitude tier [nitialstiirung [14].

die Verluste der abgel6sten Gitterstr6mung nicht nur durch die Profilgrenzschicht entstehen, sondern die Totwassergebiete gr6Bere Verluste produzieren als die Profilgrenzschicht allein. Bei der Auswertung wird angemerkt, dab fiber coa die Umlauffrequenzen in den einzelnen Radialschnitten aufeinander abgestimmt werden k6nnen. E r g e b n i s s e ftir ein L a u f r a d u n d eine V o r l e i t r a d - L a u f r a d - K o m b i n a t i o n Ftir beide Maschinentypen wird als Grundlage die Abh~ingigkeit des ausgebildeten St~Srzellensystems v o n d e r Initialst6rung untersucht. Bild 9 und 10 zeigen diese Abh~ingigkeit ftir unterschiedliche Frequenzen und unterschiedliche Amplituden der axialen St6rgeschwindigkeit fiir das in [11] beschriebene Verdichterkonzept (Vorleitrad-Laufrad). F fir diese gering belastete Maschine wird nachgewiesen, dab das ausgebildete St6rzellensystem unabhiingig vonder Zellenzahl und Amplitude der InitialstiSrung ist, Ffir ein einzelnes Laufrad kann diese Unabhiingigkeit nicht festgestellt werden; hier ist die Anzahl der ausgebildeten St6rzellen gleich der Anzahl der in der Initialst6rung vorgegebenen. Weitere Untersuchungen behandeln vorwiegend den EinfluB des Abstandes zwischen Vorleitrad und Laufrad auf die St6rzellenkonfiguration und deren Umlaufgeschwindigkeit bei einer simulierten Drosselung. In Bild 11 und 12 ist zu erkennen, dab mit abnehmender axialer Spaltliinge die Anzahl der maximal auftretenden St6rzellen gr6Ber wird und die Umlaufgeschwindigkeit anw~ichst, was auf den kleineren Resonanzraum zurfickzuffihren ist. Bei sehr kleinen Axialspalten treten allerdings numerische Konvergenzprobleme auf.

Forsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

2.2 E i n l a u f s t 6 r u n g e n Mit der Integration eines Flugtriebwerks in eine Flugzeugzelle treten unter bestimmten Bedingungen am Axialverdichter Eintrittszust~nde auf, die nicht mit der homogenen Zustr6mung auf dem Prfifstand iibereinstimmen. Durch die bekannten PhS.nomene wie Str6mungsabl6sung im Einlauf, unsymmetrische StoBkonfigurationen im Oberschalleinlauf oder unsymmetrische HeiBgasinjektionen bilden sich am Umfang unterschiedliche Totaldruck- oder Totaltemperaturverteilungen aus. Ffir das einzelne Laufrad stellen dabei die Gebiete kleiner Totaldriicke und -temperaturen eine hohe Belastung dar. Der ,,lokale" Teillastpunkt des gest6rten Verdichterkennfeldes liegt daher niiher an der Stabilit~itsgrenze als der des ungest~Srten Bereiches. Wie bekannte Untersuchungen darlegen, sind hier zwei Problemkreise anzusprechen: Erstens, welchen EinfluB hat die einzelne Schaufelreihe auf die Weiterentwicklung des gestSrten Einlaufprofils, und zweitens, welcher Zusammenhang besteht zwischen einer vorgegebenen Einlaufst6rung und deren Auswirkung auf die Stabiliditsgrenze bei einem bestimmten station~iren Teillastfall? Die Theorien zur L6sung des letZtgenannten Problems erm6glichen auch die Bestimmung der Stabilit~itsgrenze bei homogenem Einlaufprofil.

2.2.1 EiniaufstSrung und stationiire Absolutstr6mung Die Theorie [15; 16] geht davon aus, dab zu einem Zeitpunkt t o eine definierte St6rung im Einlauf vorhanden ist, und berechnet asymptotisch die StrBmungsgr6Ben an jedem Ort des zylindrischen Kreisringkanals. Da die Str6mung im Absolutsystem station/ir ist, kBnnen die Bereiche instabiler Str6mung (rotating stall) nicht ermittelt werden. 75

G e s t 6 r t e S t r 6 m u n g in den s c h a u f e l f r e i e n R i n g r g u men Die station~ire, zweidimensionale kompressible Str6mung erlaubt die Einfiihrung der Stromfunktion:

80

o0

pU=~y,

Die bei der Gitterstr6mung entstehenden Verluste ergeben sich als Entropiedifferenz zwischen Ein- und Austritt. Aus der Gibbsschen Gleichung kann das Totaldruckverh~iltnis /r Ptlrel

pv= -~x

~htlreP

(21). entwickelt werden. Die Entropiedifferenz AS ist zu bestimmen, wenn das Druckverh~iltnis fiber die empirische Verlustkorrelation ~oo ermittelt wird:

Die Str6mung ist nicht drehungsfrei, so dab Ov Ou - S x 8y ~ 0

(22)

eingef'tihrt wird. Die Verknfipfung der beiden Gleichungen liefert

Ffir den instation~iren Verlauf von (3)D gilt auch hier wieder

820 , 820

z , o ~ - + COD= Ogss

1 [Sp 80

8p 00

(28b).

P Wird ff fiber den Croccoschen Wirbelsatz durch die zu bestimmenden Gr6gen Temperatur, Entropie und Enthalpie bzw. deren Gradienten ausgedrfickt sowie die gasdynamische Beziehung zwischen statischer und totaler Enthalpie eingeRihrt, kann ftir die gesuchte Funktion 0 die Differentialgleichung 2

2" 8 2 0

-

a --u ) - ~ s =P

2 a 20ht

820

. " 2

2x 8 2 0

--v ) ~y2

2 a2 [a z + ( x - 1)(uZ +v2 -8S

~--P

~

)~j ]

AS =

Rand- und Anknfipfungsbedingungen Bei einer Berficksichtigung der Kompressibilit~it des Str6mungsmediums kommt dem endlichen, durch den Schaufelkanal begrenzten Fluidvolumen besondere Bedeutung zu; denn w~ihrend bei einer inkompressiblen Str6mung nur ein EinfluB der Massentr~igheit des im Schaufelkanal befindlichen Fluids vorliegt, ist durch die Kompressibilitiit eine zus~itzliche Beeinflussung der Str6mungsgr68en zu registrieren. Je nach Gr6Be der Beschleunigung oder Verz6gerung der Eintrittsgr6gen wird das Fluid im Kanal verdichtet, bzw. es expandiert (Massespeicher). Zur Vereinfachung wird ffir die Berechnung der Austrittsgr6Ben der Gitterstr6mung eine eindimensionale instation~ire kompressible Fadenstr6mung angenommen. Dabei ergibt die Anwendung der Kontinuit~its- und Energiegleichung folgende Zusammenhiinge:

ht2rel-

1

b

(25)

0 p 1 - _ h r l r e1 1

2pl u 1 0t ]

2p 1 u 1 St 1

b.

p u

8u dx

p~i,1 ! co~-~s 8t 2plu 1

76

2

+p~

S 2 -

S 1-

S 1 (to- b/up

(24)

geschrieben werden. Diese Gleichung 2. Ordnung in 0 ist von elliptischem Typ.

PzUz=PlUl-bO;t 1

Zur Bestimmung der Entropie am Rotoraustritt ist zu beachten, dab bei der Auswertung von A S = S 2 - S 1 der Zeitverzug fiir $1 zu berficksichtigen ist. Die Entropiedifferenz zum Zeitpunkt t o wird mit den augenblicklichen thermodynamischen Gr6Ben am Gitterein- und -austritt bestimmt. Die Gr6Be S 2 erf~ihrt jedoch eine Anderung, da das konvektiv fibertragene Entropieprofil tiber den Umfang, das am Gittereintritt vorliegt, mit einem Zeitverzug am Austritt eintrifft:

(26).

Die zeitunabh~ingigen Randbedingungen am Eintritt in den schaufelfreien Ringraum werden aus der Vorgabe des gest6rten Druck- oder Temperaturprofils oder einer gest6rten Str6mungsrichtung hergeleitet. Als Randbedingung ffir einen achsensymmetrischen Austrittsquerschnitt wird der Ausgleich des statischen Drucks fiber den Umfang vorausgesetzt:

Op/Oy=O

(29).

Da die Absolutstr6mung station~ir ist, sind Druckst6rungen, die yon der Schaufelreihe ausgehen und die Str6mung in der Ein- und Austrittsebene beeinflussen, bei Formulierung der Randbedingungen nicht zu berficksichtigen.

Parameterstudien verschiedener G i t t e r - und S t r 6 m u n g s k e n n g r 6 B e n und V e r g l e i c h mit e x p e r i m e n t e l l e n E r g e b n i s s e n Die L6sung der Differentialgleichung (24) wird mit zentralen Differenzen durchgeftihrt. Der verwendete Algorithmus fiihrt mit Hilfe eines D~impfungsfaktors zu stabilen L6sungen. Die einzelnen Rechnungen werden ftir einen einstufigen Verdichter aufgestellt. Eine sinusf'drmige TotaldruckstiSrung wird am Verdichtereintritt vorgegeben. Es erfolgt eine Variation der Sehnenl~inge, der Drehzahl, des Staffelungswinkels, der Intensifiit der St6rung sowie ihrer Ausdehnung fiber den Umfang. Die umfangreichen Ergebnisse der berechneten Str6mungsgr6gen vor und hinter einero Laufrad sind in [15] dargestellt. Weitere Rechnungen werden fiir einen ausgefiihrten einstufigen Verdichter durchgeftihrt und mit experimentellen Untersuchungen verglichen. Dabei wird eine Totaldruckst6rung durch ein St6rgitter erzeugt, welches ein Viertel der Eintrittsfl~iche bedeckt. In Bild Forsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

13 sind ftir den Mittelschnitt die berechneten und gemessenen Umfangsdruckverteilungen, die Str6mungswinkel vor und hinter dem Laufrad sowie der Anstellwinkel - bezogen auf einen gew~ihlten Referenzwert - dargestellt. Die Wiedergabe der statischen Druckst6rung weist eine gr6Bere Abweichung gegeniiber der gemessenen auf, da der statische

0,00 ' 0,02

Ptl

~t~l~

Druck unterbestimmt ist. Diese Abweichung beeinflul3t tiber die Massenstromdichte den Str6mungswinkel cq. Weiterhin wird die Totaldrucksttirung hinter dem Rotor f'tir den Naben-, Mittel- und GeNiuseschnitt untersucht, Bild 14. Die Ubereinstimmung zwischen Messung und Rechnung ist for den Mittelschnitt am besten. Die Abweichungen der Totaldruckamplituden im Geh~iusebereich k6nnen auf eine unzureichende Spaltverlustkorrelation zuriickgef'tihrt werden. Im Nabenbereich ist eine Phasenverschiebung der Drucksti3rung zwischen Theorie und Experiment zu erkennen, die auf eine falsche Aussage des statischen Druckgradienten zuriickgef0hrt wird.

0,04 -- ~k/xApl

2.2.2 Stationfire Einlaufst6rung und instationiire AbsolutstrOmung

I

O,O6 I0 o

Im Gegensatz zu Abschnitt 2.2,1 kann dieses Verfahren auch die Grenze des stabilen Arbeitsbereiches einer Schaufelreihe bestimmen [10; 17]. Die auftretenden Gitterinstabilit~iten erzeugen in den schaufelfreien Stri3mungsfeldern vor und hinter der instabil arbeitenden Schaufelreihe umlaufende Gebiete reduzierter Str6mungsgeschwindigkeiten, verbunden mit starken Richtungs~inderungen. Diese Erscheinungen k6nnen als ,,rotating stall" identifiziert werden.

J

A~I 0 ~

P" "~ ~ o o " "

- I0 0 10~

At~i 00

_

_

-I0 ~ 10~

Instation~ire Feldgleichungen

Aa2 0 0

Ftir die inkompressible Str6mung werden in den Eulerschen Bewegungsgleichungen die zeitlichen Anderungen der Geschwindigkeiten einbezogen:

=-,,-, .,r

o ~ Experiment 9 ~ Rechnung

-10 ~

0 Umfangsposition0 2~ F.13 Bild 13. Vergleich theoretiseher und experimenteiler Ergebnisse eines gestiirten Stdimungsfeldes eines cinstufigen Verdichters [15].

A Abweichunggegentiberder ungest~irtenStr6mungin gleicher Axialebene

OU

Ou

8u

1 8p

~-+U~xx+V~-y = -p

8v

8v

--

--8t+USx+V Sy -

8v

~s

1 8p p 8y

(30a), (30b).

Weil die Kontinuit~itsgleichung

- 0,02

/,11

0

I

0u

- '

Ov

Ox ~-~yy= 0

(30c)

0,02

~ r }i ~ 2

durch die Einfdhrung der Stromfunktion

I~ll/ [r :0~

0,04-

-0,02 Apt2 Pt2

il

"

00

8qJ

u = 0~'

v = - O~

(31)

0

erftillt wird, ist diese Vereinfachung des Differentialgleichungssystems mtiglich. Mit Einftihrung der Rotation

0,02

0,04

8v 0u = O ~ - O~

-0,02

(32)

beschreibt folgendes simultanes Gleichungssystem die instation~ire Str6mung: 0,02

0,04,

0,06

~176176 9 RechnumJ

~+U~xx~-V~y = v

'~ '~

"

]

Umfangsposition 0

020 020 .

t

21r

F.14 Bild 14. Veriinderung des Totaldrucks hinter dem Laufrad eines einstufigen Verdichters fiir versehiedene Radien [15].

A siehe Bild 13 Forsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

(33a),

I

8x 2 ~ y z = - C

(33b).

Mii den im folgenden beschriebenen Randbedingungen werden die Geschwindigkeiten u und v bestimmt. Die Berechhung des Gesamtdrucks geschieht durch numerische Inte-

77

gration in x- bzw. y-Richtung: ~

Ffir Nw gilt

~-+G

=v~

(34 a),

~

=-"~

(34b).

ot ~Uy

P 2 Nw=rhApt=rhc% ~cl

(37)

und ffir den instation~iren Verlustbeiwert gilt auch hier wieder die Differentialgleichung &% z,o~ - +

COD= COs,

(38).

Rand- und Anknfipfungsbedingungen Die Eintrittsebene in den schaufelfreien Ringraum liegt so weit stromaufw~irts, dab eine Interferenz mit den Instabilit~iten der Gitterstr6mung nicht auftritt. Zur Zeit t = 0 wird eine fiber den Umfang definierte GeschwindigkeitsstiSrung erzeugt. Diese pr~igt der Str6mung eine Rotation auf. Die mit den bekannten Geschwindigkeiten gewonnene Stromfunktion ~b=qJ(0,y) und die Rotation ( = ( ( 0 , y ) sind Startwerte ffir die L6sung des simultanen Gleichungssystems (33). Uber die Forderung eines fiber den Umfang konstanten statischen Drucks (Op/Oy=O) wird eine Randbedingung ffir die Stromfunktion am Austritt des Str6mungskanal s bestimmt. Mit Einffihrung van Stromfunktion und Rotation in die Bewegungsgleichung in Umfangsrichtung wird eine Bedingung ffir den axialen Gradienten der Stromfunktion hergeleitet. Diese erm6glicht bei der Diskretisierung die Bestimmung der Stromfunktion in der Austrittsebene zum Zeitpunkt t + At. Die Schaufelreihe wird in diesem Rechenverfahren mit ihrer axialen Ausdehnung berficksichtigt. Weil es sich um eine inkompressible Str6mung handelt, hat das endliche Schaufelkanalvolumen nut einen EinfluB auf die Energiebilanz aufgrund der Beschleunigungs- bzw. Verz6gerungsarbeit. Unter der Voraussetzung, dab der Potentialstr~SmungseinfluB unberficksichtigt bleibt, kann die Gitterkanalstr6mung als eindimensional angenommen werden. Ffir die Stromlinienkoordinate wird folgende instation~tre Energiegleichung aufgestellt: 0 1 2 /p 1 2~ ~t(gPC ) d z + ! ~p+SC ] ; c n d F = - N w

(35).

Da fiber die Dissipation im Schaufelkanal Nw keine direkte Aussage gemacht werden kann, wird der durch sie entstandene Totaldruckverlust aus MeBergebnissen ~,ergleichbarer Gitter ermittelt:

F fir das Fl~ichenintegral

/p cz ! (p+~)pcndF

! (P+~cE)pendF=(Pt2-Pt,)-~tt

~PCl

T

in der Energieglei-

~

chung durch bekannte Gr6Ben am Gitterein- oder -austritt zu ersetzen. Ffir die Gesamtgeschwindigkeit c 2 gilt: c2=u2 Wv2=u2sec2 fls ,

Bs=fls(X)

(41).

Mit Vernachl~issigung einer Veranderlichkeit in Umfangsrichtung wird aus dem Volumenintegral das Streckenintegral !~tt (pc2) dz= 89Pt~otu 0 2~ o sec2 flsdx 9

(42).

Wird ffir den axialen Verlauf des Mittelwertes sec 2 fls eine charakteristische Gittergr6Be ~-~meingefiihrt, so gilt ffir die Energiebilanz P t 2 - - P t l = - - P c 2 ('0D -

O0~Ut

PbEm

(43).

Umgeschrieben auf die statischen Gr6Ben Pl und P2 sowie auf die Str6mungswinkel erh~,lt man

_}_Pc2 / l _ s i n 2 f l l ] _ P ~

1k

sin2flz)

2

2 Cl'O)D

_

"w 0u POem 8t

(44).

Experiment instation6re Theorie "l;w =1,0 q u a s i - s t a t i o n & e Theorie "gto= 0 instotion~re ~'~=orie(Ekin=O) 1;~ = 1,0

N u m e r i s c h e L 6 s u n g und A u s w e r t u n g

_o 0

-3

Umfangsposition 0

2rr

F.15

Bild 15. Einflufl der instation~iren Verlustentwicklung und des instationiiren Verlaufs der kinetischen Energie auf die Druckberechnung bei maximalem Verdichterdruckverh~iltnis(n = const) [17].

78

!~t(89

Nun ist noch alas Integral

Wie in Bild 15 zu erkennen, ist der EinfluB der kinetischen Energie im endlichen Schaufelkanal bei der Berechnung der zeitinstation~iren Str6mungsgr6Ben bedeutender als der Einflug des zeitabh~ingigen Verlustbeiwertes.

1

0

(40).

(36).

Ptl --Pt2 (Dss -- 1 2

.... -.~

(39)

sind nur die Anteile fiir die Ein- und Austrittsebene zu nennen:

P.2=Pl

....

i

Die numerische Auswertung des aus der Verknfipfung van R~indern, Schaufelreihe und Feldgleichungen aufgestellten Algorithmus (Crank-Nicholson) kann im wesentlichen nach zwei unterschiedlichen Gesichtspunkten erfolgen. Einmal bietet das Verfahren die M6glichkeit, die Stabilit~itsgrenze eines ohne Einlaufst6rung arbeitenden Verdichters anzugeben. Ffir diese Rechnung wird zum Zeitpunkt t = 0 eine sehr kleine kosinusf6rmige St6rung der Axialgeschwindigkeit im Eintritt aufgebracht. Entwickeln sich hieraus groBe zeitliche Gradienten der Str6mungsgr6Ben, so zeigen diese die AusForsch. Ing.-Wes. 4"/ (1981) Nr. 3

bildung eines Rotating-Stall-Systerns an. Der zugeh6rige station~ire Betriebspunkt gibt AufschluB dartiber, bei welchem Massenstrom eine instabile Verdichterstr6mung zu erwarten ist. Zurn anderen ist mit diesem Verfahren der EinfluB der Einlaufst6rung auf die Str6mungsparameter zu untersuchen. Wiihrend bei der ersten Stabilitiitsuntersuchung die angenommene kosinusf6rmige St6rung nur ca. 1% der station~iten Geschwindigkeit betrggt, wird bei der zweiten eine kosinusf6rrnige Einlaufst6rung simuliert, deren Amplitude ca. 10 % der station/iren Axialgeschwindigkeit betr~gt. Wie in Bild 16 dargestellt, ist die St6rung arn Laufradeintritt fast auf den halben Maximalwert ged~impft, in Umfangsriehtung verschoben und zeitstation~ir; d.h. der station~ire Betriebs-

030 r

oo~i

, ~,., ~ v :

o I l/ I/A

-~

I/

~,~o

\

Laufrad-

/I

eintritt

~

~ ? = 2, ~)k

2.2.3 Zeitabhiingige Einlaufstdrungen und selbstinduzierte Gitterinstabilitiit

Irn folgenden wird der Gedanke einer gemeinsamen Betrachtung yon Einlaufst6rung und Betriebsgrenze weiterentwickelt. Wurde im Abschnitt 2.2.1 die Einlaufst6rung zum Zeitpunkt t o als zeitunabh~ingig aufgebracht, so soll nun ein Verfahren beschrieben werden, welches die St6rung nach einern vorgegebenen zeitlichen Verlauf entwickelt.

Kornpressible zeitinstation~ire Str6mung unter dern EinfluB z e i t a b M i n g i g e r E i n l a u f s t B r u n g e n Die Kombination der Eigenschaften kornpressibel und zeitinstation~ir lassen vorweg die Feststellung zu, dab hier die Einfdhrung einer Strornfunktion, welche die Kontinuitgtsgleichung identisch erftillt, nicht m6glich ist. Aus diesere Grund unterscheidet sich das im folgenden beschriebene Rechenverfahren grundlegend yon den bisher vorgestellten. Die in [18 bis 21] beschriebene Theorie formuliert die Kontinuit/its-, Bewegungs- und Energiegleichung fdr eine zweidimensionale Str6mung in folgender Form: Kontinuit~itsgleichung

V

I

I

0

2~

~

F.~ 6

Umfangsposition

Op

Op

Op .

/6u

Bild 16. Entwieklung einer kosinusr6rmigen Umfangsst6rung (0, 1 U) in Abh~ingigkeit yon der Zeit [17].

Bewegung in x-Richtung

Teillastpunkt ]~r= 42~

Ou

0,3

!

~0,2

t~ "~ ~J

Or.

\.~, -.I

/~'

~

A

T = 3,12 \

\f.

Ou

10p

Ox=0

Ov

Ov

10p

OS u OS OS 0 ~ - + ~x +V~y =

I\

-0,

7r

F.17

Ou

Umfangsposition

(45b)

(45 c)

Energiegleichung

0,1

-0,2

(45a).

Bewegung in y-Richtung

9 T : 3,64

9 o,'l

Ov

0

2g

Bild 17. Entwicklung einer kosinusfdrmigen Umfangsst6rung in Abhiingigkcit yon der Zeit [17].

s. Bild 16; ~1= 36~

punkt liegt so weit v o n d e r Stabilit~itsgrenze entfernt, dab auch dutch die groge St6rung keine Instabilidit auftritt. Durch eine Erh6hung der L~iuferdrehzahl wird nun der station~ire Betriebspunkt bei konstantem Massenstrorn n~iher an die Stabilit~itsgrenze gefdhrt. Dieses Vorgehen ?tihrt schlieNich zum Erreichen der Stabiliditsgrenze in Verbindung mit einer Einlaufst6rung bestimrnter Intensit~it. In Bild 17 ist die zeitliche Entv~icklung der Str6mungsgr6gen am Rotoreintritt bei einer cosinusf6rmigen Einlaufst6rung von maximal 30% dargestellt. Man erkennt deutlich, wie das Geschwindigkeitsrnaximum der St6rgeschwindigkeit am Umfang entlang wandert, also instabile Str6mung anzeigt. Ein Vergleich der 10%- und 30%-St6rung zeigt, dab die intensive Einlaufst6rung auch gr6Bere St6ramplituden der voll ausgebildeten Str6mung entwickelt. F o r s c h . Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

(45d).

Die kompressible instationgre Unterschallstr6mung liefert eln Differentialgleichungssystern hyperbolischen Typs. Da es bei der L6sung als Anfangswertproblem zu betrachten ist, werden zum Zeitpunkt t = 0 ftir alle Knotenpunkte eines x,y-Maschennetzes die Startwerte vorgegeben. Dies sind die Str6mungsgr6gen, die aus der statioNiren Kennfeldrechnung resultieren. D a das System auch die zeitliche Dichte~inderung beriicksichtigt, kommt der Behandlung der Randbedingungen in den begrenzenden Axialebenen hier besondere Bedeutung zu. Die Axialebenen werden als Diskontinuit~itsfl~ichen eingeftihrt. Dabei ist zwischen den Begrenzungen des Rechengebietes, wie Eintritts- und Austrittsebenen, und der Verknfipfung innerer Bereiche, zum Beispiel fiber eine Schaufelreihe, zu unterscheiden. Fiir die Diskontinuit~itsfl~ichen gelten bestirnrnte quasistation~ire Erhaltungss~itze und Beziehungen, die nach der Zeit abgeleitet auch die zeitlichen Gradienten der gesuchten Str6mungsgr6gen enthalten. Urn die Gradienten aller gesuchten Str6mungsgr6Ben auf den Diskontinuit~itsfliichen eindeutig bestimmen zu k6nnen, sind abet weitere Inforrnationen erforderlich. Diese erh~ilt man, in Anlehnung an die Charakteristikentheorie, aus den inneren Bereichen des betrachteten Rechengebietes. Entsprechend dieser Theorie werden zwei (u _+a)-Charakteristiken

79

und eine u-Charakteristik formuliert. Fiir die (u+_a)Charakteristiken erhiilt man aus der Zusammenfassung von Kontinuit~its- und Impulsgleichung in x-Richtung folgende Vertr~iglichkeitsbedingungen: 1 Sp

1

p Ot +p(U+-a)sx+p-

~p

v Sp

---

Sy

to-1 x-1 T+-~-K(u2+v2) = T A + - ~ -~

u2

Verlustfreie Austrittsdrossel S = SA

x r0u Su Ouq Ov + a t~-t - (u + - a ) ~ x - ~ y J = - ~C~y

(46),

12" x 0v p* ___--u* = -- x - a By

(47).

Unter Hinzunahme der aus den Vertraglichkeitsbedingungen gewonnenen zeitlichen Gradienten k6nnen alle gesuchten Str6mungsgr613en eindeutig bestimmt werden. Am Beispiel der Eintrittsebene sei dieses Verfahren im folgenden erl~iutert. Das Rechenverfahren beriJcksichtigt Richtungs-, Totaltemperatur- und Totaldruckst6rungen am Eintritt, was auf folgende Beziehungen zwischen den gesuchten Str6mungsgr6Ben innerhalb und den bekannten aul3erhalb (Index E) des betrachteten Feldes ffihrt: v = u tan fiE(Y)

(48 a),

K-1 T +~(u

(48 b),

(50b).

(50 c).

Mit diesen Randbedingungen wird f'tir die Austrittsebene nach dem gleichen Algorithmus wie am Eintritt eine Verkniipfung mit dem StrSmungsfeld durchgefiihrt. Die Diskontinuit~itsfliiche ,,Gitter" wird auch hier als actuator-disc angenommen. So kann die gerade bei der kompressiblen StrSmung wichtige Speichereigenschaft von Masse und Energie eines endlichen Schaufelkanalvolumens nicht berticksichtigt werden. Die Erhaltungss~itze der station~iren GitterstrSmung sind ffir das Laufrad folgende: Kontinuit~itsgleichung Paul _Pz uz

r,

(51a)

T2

Totalenthalpie r-1 2 ~-1 2 T1 + - ~ - K c, rel = T2 + ~ - K C2rel

(51 b)

Str6mungsrichtung

V2r~I---(DRr--u2 tariff 2

mit f12= f(fl2)

(51c)

Druckverlust

2 + v 2) = Tzt(y)

2 [PEt(Y)-- P']

9 O)o(y)= 89p(u2 + vZ)

(48 C).

Hierin werden die mit E indizierten Gr6Ben in Abh~ingigkeit von der Zeit und entlang dem Umfang vorgegeben. Werden diese Erhaltungsgleichungen nach der Zeit differenziert, so kann eine Beziehung, deren Unbekannte Sp/St und Su/St mit denen in G1. (46) korrespondieren, hergeleitet werden:

Sp ASu 1SPEttcM2( p p~t) 1 STEt Ot t- ~=P~tEt St t - ~ (DD + PEt St _(AutanflE)SflE Or

KM2 p O(DD 2 PEt ~t

_ 1 2 APt--~(DDPl c1,~

(51d).

Ffir den Abstr6mwinkel flz und den Verlustbeiwert (Do werden auch hier die VerzSgerungen fiber die Zeitkonstanten einbezogen. Nach einmaliger Ableitung des Gleichungssystems G1. (51) nach der Zeit liefert dieses unter Hinzunahme der Vertr~glichkeitsbedingungen die VerkniJpfung mit den Fe|dgleichungen. Die numerische Auswertung des gesamten Systems ist mit einem 2-Schritt-Verfahren [23] mSglich.

Beispiel fiir eine z e i t i n s t a t i o n i i r e rung (49)

Totaldruckst6-

In [19] wird der Einflul3 einer Totaldruckst6rung durch die numerische Simulation eines St6rgitters in der Eintrittsebene eines Verdichters mit einem Laufrad untersucht.

mit A = A(u, fiE, Pt/PEt, O)D,T, p). Aus dem linearen Gleichungssystem G1. (46) und GI. (49) werden die dort auftretenden zeitlichen Gradienten bestimmt. Mit einem finiten Differenzenverfahren werden aus diesen die Gr6gen u und p zum Zeitpunkt t + At bestimmt. Die Gr6Ben v und T ergeben sich aus G1. (48). In der Austrittsebene liefern die physikalischen Bedingungen folgende Zusammenh~inge zwischen den zu berechnenden Str6mungsgr6Ben im betrachteten StriSmungsfeld und hinter der Austrittsebene:

r

pA(Y)UAr/(y) TA

F~

mit r/=~-

~

9s

i

(50a). 0 FA8

Drallfreie Abstr6mung (letzter Stator hat schon drallfreie Abstr6mung) 80

illl

: J[lll /111 ~20

Kontinuit/it sgleichung pu

,of f ll/I

it

2E

Umfangsposition

Bild 18. Zeitlicher V e r l a u f der Isobaren a m Laufradeintritt unter dem Einflufl einer Einlaufstfirung [19].

Forsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

Literatur

o F.19

r~ Umfangsposition

2~

Bild 19. Zeitlicher Verlauf wie in Bild 18 [19].

Teillastpunkt nahe der Stabilit~itsgrenzefiihrt zur rotierenden Abl6sung.

Zum Zeitpunkt t=O w~ichst der Verlustbeiwert ~%(y,t) in der Eintrittsebene linear von 0 auf einen bestimmten Endwert an, wobei auch eine y-abhiingige Verteilung vorgegeben werden kann. Je nach zugrunde liegendem Teillastfall entwickelt sich aus dieser EinlaufstSrung eine station~ire gest6rte Str6mung, Bild 18, oder eine instationgre Str6mung im Absolutsystem, die als Rotating Stall ZU deuten ist, Bild 19. Die Darstellung der Isobaren in Bild 19 erm6glicht sofort die Bestimmung von Anzahl und Umlaufgeschwindigkeit der Rotating-Stall-Zellen. 3. Z u s a m m e n f a s s u n g und Ausblick

In dieser Arbeit wird die Entwicklung der numerischen Rechenverfahren zur Bestimmung der instation~iren Str6mungsgrSBen in Axialverdichtern unter dem EinfluB yon Rotating-Stall-Zust~inden und EinlaufstSrungen aufgezeigt. Dabei stellt sich heraus, dab ffir bestimmte Kategorien heute im Einsatz befindlicher Axialverdichter (Flugtriebwerkverdichter) ein bedeutender Zusammenhang zwischen den beiden genannten Ph~inomenen zu beriicksichtigen ist. War die urspfiingliche Idee, Rotating-Stall-Zust~tnde unter homogenen ZustrSmbedingungen und EinlaufstSrungen bei zeitlich stabilem Str6mungsfeld getrennt zu betrachten, so stellt sich heute immer dringlicher die Frage nach den Zusammenh~ingen zwischen den EinlaufstSrungen und deren Auswirkungen auf die Stabilitgtsgrenze. Offensichtlich liefern die hier beschriebenen numerischen Verfahren aussichtsreichere ProblemlSsungen als die linearisierten Theorien. Allerdings sind bei einem numerischen Verfahren aul3er den grunds~itzlichen Stabilit~its- und Konvergenzproblemen auch Einschr~inkungen 'in ihrer praxisbezogenen Anwendung deutlich geworden. Wegen des hohen numerischen Aufwandes wurden die beschriebenen Methoden zun~ichst nur fiir einstufige Maschinen angewendet. Abschliel3end sei noch angemerkt, dab alle vorgestellten Verfahren keine Aussage zum sogenannten ,,Pumpen" machen k6nnen. Der wesentliche Grund hierffir liegt darin, dab durch die Anwendung der numerischen Verfahren f'tir die interne Verdichterstr6mung kein Bezug zu den Einzelkomponenten wie Speicher, Drossel und Rohrleitungen besteht. Eindimensionale Theorien nach [24; 25], die den gesamten Verdichter als ,,actuator-disc" betrachten, haben eine andere physikalische Grundlage, stellen aber aus mathematischer Sicht das Nquivalent zu den hier vorgestellten dar. Forsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3

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Eingegangen am 21.7.1980

F3436

Distribution of temperature necessary for maintaining a crack in a prescribed shape By J.C. Misra and S.N. Maiti*)

The problem considered here is one dealing with the distribution of surface temperature required to maintain a crack in an elastic solid, in a prescribed shape.

1. Introduction

half-space z > 0 may be expressed in dimensionless form as

The distribution of surface stress necessary to maintain a penny-shaped crack in a prescribed shape was considered by Z. Olesiak and LN. Sneddon [1] and a simpler case was previously treated by L N. Sneddon [2]. Similar problems concerning the distribution of surface temperature required for maintaining the shape and size of a crack are of much interest to the designers of various structural elements in connection with assessing the strength of a material subjected to some temperature distribution. An attempt is made here to find the surface temperature necessary for maintaining a crack in a prescribed shape on that surface. Special attention is devoted to a particular example.

1

Let us assume that a crack occupies the region 0 < r < a , z = 0 in an infinite elastic continuum. Due to the symmetry of the problem about z-plane, in order to find the stress-field in the medium we need only consider the half space z > 0 . The boundary conditions are formulated as follows: T(r, 0)= -fir~a), _aT _

O
(1),

1

(8)

P a(1 - v ) o DP(r/) + q5(r/)] r/(1 + (r/) e-r

(pt/) dr/

(9)

in which v is the Poisson's ratio, p the modulus of rigidity and a is some typical length: r/=~a, r=pa, z=~a.

Nomenclature

a

~F1

H(x) J.(x)

~rr~(r, 0) = 0,

0
(3),

a=(r, 0)=0,

O
(4),

u,,u

r>a

(5)

/3

N

r~ Z

T

F(x) # v ~b,

r

82

(7),

and the corresponding expression for the normal stress is

(2),

*) Dr. J.C. Misra, Assistant Professor, Department of Mathematics, Indian Institute of Technology, Kharagpur, India, and Dr. S.N. Maiti, Lecturer in Mathematics, Jhargram Raj College, West Bengal, India.

(pr/) dr/

u.= i {~P(r/)+~[~p(r/)+~(r/)]}e-r

r>a

in which f(r/a) is a given function of r and T(r, z) denotes the temperature at any point (r,z). It was shown by Z. Olesiak a n d I.N. Sneddon [3] that solutions of the equations of heat conduction and equilibrium appropriate to the

~ {[~r/-(1-2v)] O(r/)

+ (1 + ~r/) q5(r/)} e-r

0z (r, 0) = 0,

u=(r,O)=O,

(6),

u,. 2 ( l - v ) o

~rz=

2. Method of solution for the crack problem

~ [r/~b(r/)e-;~Jo(pr/) ] dr/

T=(l + v)~a o

r/ tr~, a ~ og(x)

radius of the crack hypergeometric function Heaviside function Bessel functions of the first kind stress intensity factor radial and axial coordinates ternperature displacement components coefficient of linear thermal expansion positive constant gamma function constant modulus of rigidity poisson's ratio potential functions dimensionless coordinates product of r and a stress components function representing the prescribed shape of the crack Forsch. Ing.-Wes. 47 (1981) Nr. 3