203

SOPRA ALCUNE LIMITAZIONI VALIDE PER LE FUNZIONI ARMONICHE E LE LORO DERIVATE. Memoria di 6 i u I i o S u p i n o (Bologna).

Adunanza del 13 aprile x93o.

x. La soluzione di molti problemi della Meccanica dei sistemi continui dipende dalla conoscenza di funzioni armoniche assegnate per mezzo dei valori, dati sul contorno del campo, per esse o per ta toro derivata normale; ed anche altri problemi, di carattere pith complesso, si possono ricondurre a questi mediante la considerazione di opportune combinazioni di funzioni armoniche o di derivate seconde della funzione di GREEn i). Nell'intento di stabilire alcune propriet~ generali di questi sistemi meccanici, mi sono proposto la ricerca di espressioni che valgono a limitare, in un punto qualunque del campo, il valore della funzione armonica assegnata sul contorno e a caratterizzare (per quanto sia possibile senza ricorrere a formule troppo complesse)l'andamento della funzione stessa. Per chiarire meglio il problema enunciato, fissiamo per un momento il contorno ponendoci in due dimensioni nelle condizioni pi6 semplici, e considerando, per esempio, 1) Si ricordino le soluzlonl dirette di ALMANSI nel caso della ehsticit;t: Sutla integra~ione della equazione differen[iale A 2" ~ o [Annali di Matematica pura ed applicata serie 3a, t. III 0898), pp. I-5I] e hello stesso campo il teorema di CERRUTI-Bu~GATrL Vedasi: P. BOR6ATTI, Sopra due utili forme dell'integrale generale dell'equazione per l'equilibrio dei solidi elastici isotropi [Memorie della R. Accademia delle Scienze delHstituto di Bologna. Classe di Scienze Fisiche, Serie VIII, Tomo III 0926), pp. 63-67]. Si vedano pure alcune dimostrazioni del LmttTENSTEI.n sulla eslstenza della soluzione in problemi di elasticitA ed idrodinamica; e precisamente : L. LmtITENSTEIN, Ueber die erste Randwertaufgabe der Elasti~it~tstbeorie [Mathematische Zeitschrift, Bd. 2o 0924), pp. 21-28] ; Ueber einige Existenzprobleme der

Hydrodynamik bomogener um~usammendrukbarer reibungsloser Flassigkeiten und die HELMOTZscben Wirbels[ttge [Mathematische Zeitschrift, Bd. 23 0925), pp. 89-I54, 3o9-3163; Ueber einige Existenzprobleme der Hydrodynamik. (Zweite Abbandlung) [Mathematische Zeitschrift, Bd. 26 0927), pp. r96-323]; Ueber einige Existen~probleme der Hydrodynamik. (Dritte Abbandlung) [Mathematische ZeitschrifL Bd. 28 0928), pp. 387-4t 5].

204

GIULIO

~UPIRO.

un campo circolare; la funzione armonica U uguale ad M in un tratto ~ della circonferenza, nulla nella rimanente zona G, pu6 essere rappresentata dalla formula: M ~ , cos (n, r) d G - - -M- z U ( A) = -4r nella quale r - - P A , P 6 un punto di G, n ~ la normale interna in P, A 6 un punto interno al campo ed ~ t'angolo visuale secondo cui da un punto (qualunque)della circonferenza si vede ~r. Dalla precedente si ricava (indicando con x una direzione arbitraria). 3 U a M j ] c o, s ( 7n : x ) - - 2 c o s (2n , r r)cos(r, X)d¢ sicchh, nel caso presente, si pub affermare che, se una funzione armonica 6 nulla su tutta una zona della circonferenza ed eguale ad M nel rimanente tratto , , , si ha certamente in un punto generico A, interno al campo, M f

0)

G < -F-

cos (n, r) d

,-

va I

ed, essendo

2 cos (n, r) cos (r, x) --- cos (n r + r x) + cos (n r - - r x ) - - cos (n, x) + cos (nr +_ r x),

[_L

(2)

,

La limitazione vale a fortiori per ogni funzione armonica F" the assuma in G valori minori od eguali ad M (perch6 la funzione U ~ / 1 positiva o nulla sul contorno 6 positiva o nulla in ogni punto interno) e lo stesso si pu6 dire per la Iimkazione relativa alla derivata perch6 conffontando questa con la relazione

cqU x O x a -" ~

0 Gv U(P)~-ff-vO--x., a¢*

[G~ funzione di GR~.~]

I

OU si osserva subito the la limitazione per ~ implica una limitazlone per la derivata secoma della funzione di GtlEui~ a) e da questa si deduce la stessa limitazione (:2) per la funzione /1.

") Le ¢ondizioni dt contlnuit/t per On_/,~x----~che permettono di confrontare le due espressioni sono qui soddisfatte. La dimostrazione particolareggiata sara data al n ° 4 ~2 G chiamata al n ° 8. Del resto, nel caso presente, la limitazione per ~ mente dalla espression~ nota di G nel cerchio.

relativamente a ~ -

e ri-

pub essem ricavata diretta-

SOPRA ALCUNE LIMITAZIONI VAL~DE PER L]~ FUNZIONI ARMONICHE E LE LORO DERIV&TE.

:205

t~ possibile ricavare dalle formule analoghe, se anche meno precise, valide in oghi campo convesso e dedurne da esse, come net caso presente, limitazioni per te derivate prime e seconde della funzione di GRF.EN. I risultati ottenuti in questo ordine di idee sono staff in parte pubblicati nei Ren• diconti della R. Accademia Nazionale dei Lincei 3). Nella presente memoria intendo esporre, in modo sistematico, quanto ho ricavato hello studio di limitazioni per il problema (interno) di DmmnLEX; rimandando ad altra occasione le ricerche relative al problema di NEUMANN (nello spazio). I1 lavoro 6 diviso in quattro parti; ne]la prima dimostro le limitazioni valide nel piano e hello spazio per le funzioni armoniche; nella seconda e nella terza quelle valide (in due o tre dimensioni) per le derivate di una funzione armonica: la quarta accenna ad alcune applicazioni meccaniche.

Le limitazioni per le funzioni armoniche (Problema inferno). 2. Consideriamo un campo C a due dimensioni, semplicemente connesso e convesso; e dividiamo il suo contorno S in due zone (complementari) ~, e %. Cercheremo in un punto interno a C un valore maggiorante per la funzione armonica U assegnata su S con la condizione che U sia eguale ad M in ~ , nulla in %. Supponiamo dapprima che ~, sia un segmento rettilineo con gli estremi nei punti P, e P,. Se indichiamo con p la retta determinata da questi due punti, la funzione armonica

W(A) =

M/'P2cos ~, d dPx

r

(nella quale A ~ un punto generico del piano di C, P u n

punto di o , n la normale

in P diretta verso % ; ed ~ r "-~PA, q~ - - n, r) assume il valore M su ~, e il valore zero sulla rimanente parte d i p e 'all'infinito. Sul contorno S (~-~-a, + %) ~ W ~ U, perch~ su % ~ W - - M - - U mentre in un punto A generico di % W(A) =

M

--w~ 7~

>

o

(si indica con w~ l'angolo visuale secondo cui da A si vede o e si osserva che

3) Cfr. G. Suvmo, Alcune limitazfoni vatide per le funzion{ arrnonicbe [Rendiconti delia R. Accademia Naz. dei Lincei, Serie 6", Vol. 8° (2 ° sere. I928 ), pag. I34-I38]. Alcune limttazioni valide per 16 derivate di una funitone armonica [ibid., pp. 658.663].

206

wA

GIULIO

"

-

-

SUPINO.

f ~ c -ofsi -~~ d. a ~ sempre positivo cio6 cos q~~ o, per Hpotesi che il campo sia

convesso); ne segue che nel campo C ~ sempre W ' ~ U e quindi vale la diseguaglianza : M J ] , cos?d ~ M

U(A) _ _ / ~

r

~ -- --~ w~

od anche M

6-

u(.4) < 7

~-

essendo R la minima distanza di A da %. 8. Supponiamo ora che C sia un campo convesso qualunque (cio~ che % non sia necessariamente un segmento di retta). Ricordiamo che, se per A interno a C

W ( A ) - - fstZ(P) C ~ d S , quando A tende ad un punto P' del contorno, W(A) tende a ~ W(P') --~ ~bt(P') -J- ~ S ~(P) COS ~-ct5. pp' .

Poniamo allora M f~ cos~d% 2~--~ , r

W(A)--

dove 2" rappresenta l'angolo visuale massimo secondo cui da un punto variabile di y, si vede %. Se P' 6 un punto d i ¢ , segue per il gi~t ricordato comportamento dei potenziali di doppio strato,

W(P') --

~M

2~--~,

j_

M

f~,

2 ~

cos q~,

-P-F ~ '

e poich~, per il significato di y, f~ c o s ? ~ r . _ y

pp,--

si deduce

W(P') _~_ M.

Poichb si verifica subito come aL n. precedente che su ¢2 ~ W_~o; (6 c o s ~ o ) , le diseguaglianze M j], cos ?d% M (0

(2) -

v(.4)

~

_

2 ~_ -

.,,

r .,

v(,~) < - ~r.--y

--

g

2~ -

v WA

$OPRA ALCUNE LIMITAZIONI VALIDE PER LE FUNZIONI ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

207

valgono in qualsiasi campo convesso. Si osservi che "i' ~ generalmente minore di x; e solo se % sia un segmento rettilineo 6 -(-----Tz; per6 per ~ ~ o si ha , ( ~ z . Si ricordi pure che le (I) e (2) valgono afortiori per ogni funzione armonica minore od eguale ad M in % (e nulla in %) e pith generaimente per qualunque funzione armonica che assuma nel contorno valori minori ai valori (I). 4, Confrontiamo la O ) con la relazione

(3) (nella quale ~

la derivata normale in P della run,lone di GRV,t~N relativa al

punto P del contorno e al punto ,4 interno al campo), Dalle formule precedenti si ricava the f~,(2cOS~r

a G vv)

--

qualunque sia l'ampiezza di %; poich~ inoltre si suppone che A non appartenga a ~, i due termini sotto il segno di integrale sono continui nel campo di integrazione; si deduce quindi la diseguaglianza:

a 2 cos (n, c9ni~ < r

(4)

%

Questo risultato pu6 essere espresso in forma diversa ricordando i lavori di E. E. LEVI e P. L~.vY~ nei quali si dimostra che in punti prossimi al contorno

c) n v

r

dove h~ ~ una funzione limitata. Dalla (4) si deduce in piit che, se C ~ convesso, h~ certamente negativa. 5. Pu6 essere interessante mostrare come si possa giungere direttamente aUa formula (I) (di cui al n. 3 ne ~ soltanto verificata la validitY). Ricordiamo perci6 che quando i valori della U, daft su S, sono continui in S stesso (salvo, al pifi, in un numero finito di punti) e quando S ha tangente in ogni punto (e anche essa varia generalmente con continuit:i) si pu6 deterrninare la funzione armonica in C e che su

4) Ricordando the ~

6 sempre positiva sul contorno ( s e n indica la normale intema) la di-

seguaglianza pu6 essere scritta in modo pifl completo come segue

Gi~ 2 cos (,~, r) ° < F'#v <

208

GIULIO

SUPINO.

5 ~ uguale U per mezzo di uu potenziale di doppio strato. Si pone

u(A)=~

I f s

~.(e) c

°rS ' d S

dove ~ ( P ) ~ una funzione incognita dei punti P di S che si determina per mezzo della equazione integrale

(s)

+ f

cos as , =

ds

u(e)

[e, P' sono punti di S].

r

La (5) pub essere risolta per approssimazioni successive col procedimento di NEUMA~N; infatti osservando cite se P ~ su S

f

¢°s g d Sv, -- ~r r

(r = P P'~ ~ = P P', n)

-

la (5) si scrive neUa forma (5')

I f_ [~"(P') -- F (P)] ~cos - - d Sl,, --- U (P) ~,~.

F (P) + ~r.

e posto ~.o(P) = U(P), I ~., (e) = y~

F. (P) - - ~

o;

[~, (V) -- ~, (V')] -COS - 7 - d S~,, [F._, (P) - - F,_, (P')]

d Sv, ,

si dimostra che la serie ~ F . ( P ) converge helle condizioni poste per S e U sicch~ ~ 0

la sua somma d~ luogo alla funzione F(P) cercata. 6. Supponiamo ora che la funzione U sia assegnata su S nel modo indicato al n ° 2; sia cio~ uguale ad M in a , nulla in %, essendo a e ~ due parti complementari di S. In relazioue a questi valori si ricaver~ dalla (5'), e seguendo il procedimento di successive approssimazioni, una funzione F ( P ) in modo che sara.

(6)

I

f

. ~. COS

U(A) -- ~:-~j p.(v) r ~' ds

con

.=oo

~.(P) - - ~ o ~ . ( P ) ;

e, per quelto che si ~ esposto al n ° precedente, i primi due termini di questa serie saranno M /" cos M in ~r ~ d ~ P P ' d% No (P) = l o in ~, (P) = , M f cos ~¢d

-~d~,pp~, %"

$OPRA ALCUNE LIMITAZIONI VALIDE PER LE FUNZlONI ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

~o 9

Si osservi ora che si pub certamente scrivere I ~

COS~

I f.~

v(A)= Js 'o r

COS

r aS

e che la funzione armoniza I

.~-~

~dS

cos

J S n~,

assume sul contorno i valori rappresentati da /* (P) [perch~ se si applica il procedimento di N~.UM:,mq alla funzione armonica che assume sul contorno i valori 8.,(P)si ob

ottiene appunto la serie ~. ~,(P)]; se quindi a ~, (P) si sostituisce la funzione n--I

I MY

in

%

0

I11

~a

[che ~ certamente maggiore a l*, (P) se y indica l'angolo visuale massimo secondo cui da un punto di ~ si vede %, perch6 in ~. (P) b

-7

d%/y,

•

2~,]~. r

Lo]

i p e se si considera la serie y ~.( )che si ottiene applicando a ~.~w il procedimento di I~EUMANN

avremo

U(A) __ ~

~"o r ' ~ S + 2---~

'" (P)- r" d S.

Ma i primi due termini della serie ~-~.'(P)sono I

My

t My 0

SU

ff

SU

~a

•

I f _ cos~ d if2

f

2 7 g 2 ~ ,Jo. ~

e quindi seal posto di

r'

,f:_

si scrive

l'ultimo termine di questa espressione rappresenta la funzione armonica che assume sul contorno i valori ~ ( P ) ; ripetendo allora it procedimento precedente potrb sosti.Rend. Circ. Malcm. Palcrmo~ t. LV ( t g ] t ) , - - 8tampato il 9 aprile 19tl,

27

210

OlULIO

SUPIIgO.

tuire a p.~(P) la funzion¢ ~(P)

=

M o

in

*

in

%.

Cosi proseguendo si ottiene la diseguaglianza I

, n . cos ~?

I

r as+

cos :? d S + ~

,.,

,.

e da questa si deduce che la somma delia serie ~o(P) -Jr- ~:(P) + ? " ( P ) -]- "'"

(7)

determina per p. (P) un valore p.-(P) che sostituko nella (6) d~ luogo ad una funzione maggiore od eguale ad U. Ma la serie (7) ha per somma ~-(P) - -

M Y

; sosti-

2~

tuendo questo valore nella (6) si ritrova la (~) s). opportuno rilevare esplicitamente che questo procedimento, mentre consente di ottenere una limitazione per la U non d~i affatto una limitazione per p.(P), corrispondente ai valori assegnati per la U stessa. Le limitazioni dei numeri precedenti si estendono senza difficolt~ allo spazio; poich& il potenziale di doppio strato ha qul per espressione fs

P

cos o

si ottiene con lo stesso ragionamento dei n ~ 2-3- 4 la limkazione: M -

poich~ qul 6 y / (4')

-

_

f

cos ~pd

--

M

M

{7!

•

4=--7

_

2~, e per % ~

o y,~

R~, segue hello spazio

GR 2 cos o o < -~np~'~ r--T~

s) I1 procedimento indicato in questo n° h quello della mia prima nota ai Lincei gia ricordata in a).

SOPRA ALCUNE LIMITAZ[ONI VALIDE PER LE FU,~ZIONI ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

21I

2.

Le limitazioni per le derivate nei campi in due dimensioni (Problema interno). 7. Consideriamo ora le derivate. Distinguerb nella ricerca il caso di un campo a due dimensioni dal caso spaziale perch~ le dimostrazioni relative sono in qualche parte diverse per quanto il metodo seguko sia sostanzialmente lo stesso. Poniamoci dapprima nel caso del problema piano. Sia S u n contorno convesso e supponiamo assegnata entro il campo C limitato da S la funzione armonica U, uguale ad M in %, nulla in % (% e % sono al solito due patti complementari di S). Consideriamo un punto A di %, la retta t tangente a % in A, e la retta p congiungente gli estremi P,, P di %. Se t non ~ parallela a p (questo caso particolare rimane poi incluso con ovvio passaggio al limite, come sara. rilevato in seguito) si fissi l'attenzione sul campo angolare che contiene % ed ~ limitaro dalle semirette p e t uscenti dalla comune intersezione 0 e volte verso C. La funzione armonica W, regolare in questo campo, uguale ad M in P P~, nulla nella rimanente parte di p e su t ha a comune con la U quella parte C' del campo C limitata da % e da P P~. Quando il campo ~ convesso si ha sempre sul contorno (e quindi in C') U / W ; in particolare in A ~ U(A) -- W ( A ) = o. Ne segue

Se quindi considerando il campo angolare compreso tra due semirette p e t (che fanno tra loro un angolo arbitrario 0), riusciamo ad assegnare una limitazione per la cgW derivata normale ~ della funzione armonica W assegnata nel modo ricordato pifi sopra, questa limitazione sar,'t valida pet" la derivata normale sul contorno di qualunque campo convesso. Se poi a questa limitazione aggiungiamo a dimostrazione che la funzione armonica U' nulla in % e uguale ad M in P , P , ha le linee U'(x, y ) - - K tutte convesse, allora la limitazione ottenuta potr~i essere estesa anche ad uri punto generico A interno al campo; infatti considerando la tinea di livello per A si osserva che il massimo valore delle derivate di U' secondo una direzione uscente da A coincide col valore della derivata eseguita nella direzione norma!e alia linea di livello; e la derivata in questa direzione relativa alla funzione U' uguale ad M in % e a K ) o sulla linea di livello per A pub essere sostituita con la ricerca della derivata della funzione U" uguale ad M - - K in ~ , nulla sulla linea di livello fissata. Poich~ questa linea ~ convessa, la ri~erca ~ coincide con quella relativa ad un punto deI contorno; essa ~ otto-

212

GIULIO

SUPlNO,

nuta per la funzione U' (uguale ad M in P, P~, nulla in %); ma facendo tendere a au'

~u

zero ¢,, si possa dalla limitazione per ~

ou

a quella per ~-x" E poich~ limitando c~--x

si viene complicitamente a limitare anche la derivata seconda della funzione di GREEn, COSi la limitazione trovata vale anche se U nulla in ¢2 ~ minore od eguale ad M in %. 8. Sia 0 l'intersezione di x - - p e t e si indichi con y la perpendicolare a p per 0. La funzione armonica

(I)

W ( A ) - M f f 2 Y dx =dpd

2

[d" - - ( x a m x v ) ~ + y~, A punto generico del semipiano dalla parte delle y positive,

P punto d i ¢ - - x 2 - x ] ~ uguale ad M i n %, nulla sulla rimanente parte di x e all'infinito. Eseguendo su di essa la trasformazione (conforme) x - - ?" cos n 0,

y - - {~"sen n 0

l'integrale ( I ) diviene M /~P2

n ~,-' ~,~ sen n 0 d ?v

e rappresenta la fanzione armonica richiesta nel campo limitato dalle semirette p e t comprendenti l'angolo 0 tale c h e n 0 - - K . Consideriamo la derivata rispetto a 0 in un punto situato suUa retta t; semplificando si trova aW

M

P' n ' ( e a pp)"-' d P

e se m

A

r = PA

/,x

~ - - rp4 ,

~ = rpv

onde r sen ~. P a - - senO '

r sen ~ ~ P - - senO

r sen (I4 - - ~) senO

K--~O)

segue chW

_

n ~ sen ~ 0 [sen ~ sen ( K - - ~)]~-' d p r: [sen ~ ~ + sen ~ ( K - - a)]*

Ora il massimo dell'espressione

[sen x sen ( K - - ,0] ~-' si ha per ~ = ( K - - ,¢) 6) [sen" ,¢ -at- sen" ( K - - ~]'

¢) A giustifieazione dt questo asserto v. la nota alla fine della presente memoria,

g O P R A ALCUNE L I M I T A Z I O N I VALIDE PER LE F U N Z l O N I ARMONICHE E LE L O R O DERIVATE,

~ 0

e poich& 0 ~ diverso da zero ne segue a -

Per questo valore di ~ si ha

2

.ft'~ --

~

0 n2 Sell 2 _ _

0 4r2 cos2 2

OW

Se 0 - - ~

ten& a zero ~

r'

M= fP'd@ ;

tende a - -

n

4

de,

d?.

ma per 0 diverso da zero il

r

~M ~" o" fattore numerico delimteorale risuka sempre minore di - - ; 4 ogni caso 7) ~, ~W r.M% (2) /~ 4 r~ ove si ponga P, Ricordando contorno di un Osservando

")I~

si deduce cosl che in

P, --- % e r sia ta minima distanza di z/ da un punto P di %. quanto si & affermato al n ° 7 la (4) vale in un punto qualunque del generico campo convesso. che in questo si pub sempre scrivere W(A)=

~

e quindi

/"

-

W(P wce)

OS t.~2 G P

,a

ds

si deduce dalla (2) in modo del tutto analogo a quello del n ° 6 la limitazione

(3)

o ,£

<

r----=

valida per la derivata seconda dalla funzione di GREaN. Questa limitazione ricavata per ora, sul contorno del campo si estende senz'altro ai punti interni appena risulti estesa ad essi la (2) (ci6 che si vedr',t al n ° che segue). La limitazione (.3) completa quella

~') La deduzione ~ ottenuta per 0 ~;~ o ma piccolo a piacere; si estende quindi per continuit/I al caso in cui p e t siano parallele.

~ G~

s) La limitazione inferiore - - - - -

i~na~np

~ o proviene dalla osservazione the posto U = M in %, nullo --

in % sipu6 sempre scrivere se A 6 un punto d i o 2 , P u n punto di %: U I ~ posifiva o nulla s e n ~ dlretta verso l'interno del campo. e "~'d

Bnla

2~.Jpabna~np

:~4

OIULIO

c) G

gi~ ottenuta per ~

SUPINO.

e sembra notevole oltre che per la sua semplicit~ per il fatto che

nessuna limitazione di questo tipo 6 ancora nota per le derivate seconde. 9. La limitazione precedente pub essere estesa al caso che il punto A sia interno al campo, considerando, come si 6 detto al n ° 8, in luogo della funzione U, la funzione U' nulla in % uguale ad M in P t52 e dimostrando che le linee di livello di U' sono tutte convesse (quando il campo C sh convesso). Questa proposizione pub essere soMtuita con l'affermazione equivalente che segando il campo C con una tetra a (arbitraria) la U' non possa avere su a e internamente a C nessun minimo (relativo). A questa si giunge con una dimostrazione per assurdo. Poniamoci infatti netla ipotesi opposta e tracciati nel piano x, ), il campo (2 e nello spazio (x, y, K) la superficie < == U'(x, y) consideriamo la curva u intersezione di questa superficie col piano verticale per a. Sia q la tangente alla u nel suo punto di minimo Q e n, n' ]e tangcnti in due punti di massimo N e N' nel cui intervailo 6 compreso Q. Ii punto Q esiste per ipotesi: t'esistenza dei due punti N e N' invece assicurata dal fatto c h e l a ~ non negativa e crescente ndl'intorno di Q dave annullarsi nei due punti estremi (di C su a). Facciamo muovere la a nel fascio determinato da essa e da P P, : le rette q, n, n' si muovono anch'esse descrivendo tre rigate. Ma poich~ la U' 6 armonica e nei punti di massimo 0~ Oa

--

OU' - Oa

--

O)

02u Oa 2 -

c~U '

0

a~

~ 0

--

ne segue che indicando con ~ l'angolo della a con una retta fissa del fascio sar~i O~U 00d , "~ o cio~ le rigate descritte d a n

e n' sono concave verso ralto.

Analogamente

si osserva the la rigata descritta da q ~ invece convessa verso l'alto. Ora, per ipotesi la q ~ distinta da n, n' sulla a data ed ~ a quota pifl bassa di esse: ma quando a si muove verso % allora la quota delle tre rigate tende a zero per valori positivi, e poich~ il campo ~ convesso e i l segmento N N " c o m p r e n d e Q la q verr~l necessariamente a coincidere con una della rette n, n' prima di giungere su %. Supponiamo per fissare le idea the q venga a coincidere con n e facciamo muovere la a verso la retta P. P~ ; allora i punti N e N' tendono alla quota M (essendo punti di massimo) il punto Q compreso tra essi tender~l quindi ad un punto della stessa quota. Ne segue che Ie due r/gate q ed ~z hanno a comune due rette (almeno), essendo ino!tre neil'intervailo tra le rette comuni, q a quota pih bassa d i n . Ma dalle osservazioni svohe precedentemente sulla concavit~l e convessit~l della tre rigate risulta facilmente che corrispondentemente a possibili differenze nel valore iniOU'

ziale (cio~ sulla a data) di ~

si potra avere al pii~ da una sola parte di a la coin-

gOPRA ALCUNE LIMITAZIONI VALIDE PhR LE F U N Z I O N I ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

~I~

cidenza di una retta q con una retta n; poich~ invece la costruzione indicata mostra come la coesistenza della q e delle condizioni imposte al contorno, presupponga che dalle due parti di a si abbia almeno una retta q coincidente con una retta n, si pub senz'ahro concludere che ~ assurda l'ipotesi che esistano piani verticali secanti la U' secondo curve che ammettono punti di minimo interni a C e quindi le linee di livello di U' sono linee convesse. La limitazione (3) ~ cosl estesa, per la funzione U' a un punto qualunque interno al campo; e poich~ quando ¢ tcnde a zero U' tende ad U l a limitazione stessa viene estesa anche alia funzione armonica U.

Le limitazioni per le derivate nello spazio (Problema interno). Io. Come abbiamo osservato al n ° 7 la ricerca di una limitazione per le derivate di una funzione armonica si svolge nel piano e nello spazio in modo analogo, i particolari delle dimostrazioni sono per6 diversi. Ponendoci ora in tre dimensioni supponiamo dato il solido S, convesso, e, sutla sua superficie limite, la zona ¢ , limitata dalla linea piana C ed il punto A (arbiu'ario) in %. (1~ ~ la zona complementare a ~ sulta superficie limite del solid@ Si cerca un valore maggiorante per ~0 -U . ~/ essendo U uguale ad M in 'h, nulla in %. Si consideri perci6 il piano ~ per C ed il piano ~, tangente a % in A. Si indiclli con 0 i an~,olo del diedro ~[~; con S' il campo angolare che ~ compreso tra questi due piani e contiene ,~2 ° La funzione armonica W' regolare in S', uguale ad M in ~' (proiezione di ~ sn ~) nulla sul restante contorno di S' ha a comune con U quella parte del campo S limitata da ¢' e da %. Quando S sia convesso ~ W ' __~ U in ogni punto, del contorno del campo comune : e in particolare & U ( A ) = / 4 " ( A ) = o. Ne segue

c3w' F

os g

sicch~ la ricerca di una limitazione per c~ ~ U 1.4 pub essere sostituita con quella relativa a o~/4/" On /ls , essendo W ' la funzione armonica definita nel modo sopraindicato. L'ipotesi che C costituisca una linea piana non rappresenta limitazione nel risultato poich~ passando al limke per % ~-~ o si trova con lo stesso procedimento seguito in due dimensioni (n ° 8) una limitazione per la derivata seconda della funzione di GREEN; limitazione valida in un punto qualunque del campo. Trovata con questo procedimento la

~tI6

C - I U L I O $ L I P I N O.

limitazione in un punto del ¢ontorno passeremo come nel caso in due dimensioni a dimostrare che la limitazione vale in un punto interno qualunque perch~ le superficie di livello di una funzione armonica U' ausiliaria sono tutte convesse. (Cfr. n o 7). 03W' **. Per la valutazione di 03n ,~ seguirb un metodo assai diverso da quello adot. tato nel paragrafo precedente; questo metodo potrebbe essere applicato anche nei campi in due dimensioni, ma porterebbe ad una limitazione meno precisa di quella ivi ottenuta. L'esposizione che qui svolgo, si limita per brevitA, alia considerazione del caso (meno semplice) in cui sia 0 = o cio6 al campo limitato da due piani ~ e 13 tra loro paralleli; il lettore pu6 senza difficoltA considerate il caso generale. Dati dunque i due piani paraUeli ~ e t3, si associ ad essi il piano ~' simmetrico di ~ rispetto a 6; e sia ,~ la zona di ~' simmetrica d i , , y e y' le due normali ad e ad ~' dirette verso 13 (onde il verso di y ~ opposto a quello di y'). La funzione (I)

W ' -'-- 2"7~ d~l t/~ I Cos(Y,r ~ r) d%

2~Mj~,~cos (y',r '~ r ' ) d , :

assume certamente il valore zero su ~,; su ~ assumerebbe il valore M in , zero nella rimanente parte se non vi fosse l'influenza del secondo termine

(2)

w:=

M f~

,

il valore

cos (y', r') d , ' r

M il quale su x assume valori negativi uguali a - - - - w ( , ' . ) 2~:

essendo w ( , [ )

l'angolo

vi-

suale secondo cui da un punto generico di ~ si vede ~:. Occorre quindi eliminare questi valori negativi e ci6 sara fatto in modo diverso, secondo la posizione del punto considerato su [~. Tracciamo perci6 la perpendicolare a ~ che congiunge % con ~ (si pub parlare di una sola perpendicolare dato che le zone ~ , , ' possono essere pensate puntiformi); e consideriamo il punto A su [5 e su questa perpendicolare. In questo caso si possono eliminate i valori (2) considerando la funzione /~V~ armonica uguale a W(*[)m~ SU X e uguale a zero in i~. Questa funzione ~ conosciuta; indicando con y' la perpendicolare tracciata per A e prendendo l'origine delle coordinate su [5 (positive verso ~:) si ha: t

(3)

=

essendo d la distanza 1 3 - ~ 9). Sommando la ( i ) con la (3) si ottiene una funzione 9) Se 13 e c~ formano uri angolo 0o la funzione armonica nulla in 13 e uguale ad M in ~ si pub scrivere nella forma W" ~ M 0 (prendendo l'origine degli archi in 13 e contandoli positivi verso ~,). 0o

$OPRA ALCUNE L I M I T A Z I O N I VALIDE PER LE F U N Z I O N I ARMONICHE E LE L O R O DERIVATE.

:217

maggiorante alia funzione cercata; poich6 / 4 / ' + W~ ~ nulla in A segue o~W' On

-

0-~ (w,+

L

/Via ~ in generale 03_Ye~'t M / " cos (y, n) -- 3 cos (y, r) cos (r, n) d 6"I On / . ~ - ~" .1~, r3

(4)

(r = P A , P punto di %) e quindi nel nostro caso

O _[' L 2M*, On - - ~cl+ e d'altra parte c3n

¢

d

M +',

onde segue o~W'

M% [

.

Data la posizione del punto A ~ d 3 - - p---~3 = r 3 onde nel caso presente si ha (s)

0 W ' < K 7M~, -

"

Si chiede ora se si pub scrivere la (5) anche quando il punto considerato B non si trovi sulla perpendicolare da % a ~. La (4) mostra che una scrittura analoga alia (.5) ~ possibile per la parte relativa alia W--~; non sembra invece possibile per la parte relativa a W~. Ma cib dipende (come vedremo) soltanto dalla maggiorazione scelta; cerchiamo dunque, in primo luogo entro quali limiti pub muoversi B poich~ facendo uso della funzione W-' + W' si possa scrivere la (5) ponendo per K un valore minore od eguale a - - . Dalla (4) risulta subito che quando B si muove in ~ allonta4 nandosi da A il fattore numerico sotto il segno di integrale, cio~ cos (y, n) -- 3 cos (y, r) cos (r, n) diminuisce; sicch~ potremo sempre scrivere ~/~_' 2M%_~__ I M% c3n B "~ - -~-rq 8~ d 3 gend. Circ. Malem. Palermo, t. LV ( x 9 3 I ) . - St~mpato il Io aprile 19]t.

;~

2~8

OIULIO

$ U P I ' N O,

Ora fino a c h e sia r 3 <~ 2d 3 si ricava da questa relazione

O W' ~ M% On ~ < 4 - --Yr ;

(6)

quindi finch~ B si trova entro entro il cerchio che ~ traccia sul piano i~ del cono uscente da P e le cui generatrici fanno con y un angolo ~ tale che cos 3 ~ ~> - ~I si pu6 sempre scrivere la (6): ma si osservi che quando sia cos ~ ~ = I

2

allora si ricava

dalla (4) M ~!3cos2~-OOn f-P

invece del valore

~

=

T

I

r3

M% d,! < - -,: r3

2 M (~ ~ ' di cui si ~ tenuto conto finora; volendo conservare la limita~r 3

zione (6) si pub dunque proseguire fino a valori pifi elevati di r; per esempio la (6) I risulta verificata anche finch~ sia r 3 < 8d 3, cio6 finch~ sia c o s 8 - - - e quindi 2

3 12. Come si ~ giA osservato, conviene ora proseguire maggiorando in modo diverso la funzione HI'. Considereremo ancora la /41' come somma di due funzioni diverse; la prima di queste sara ancora espressa dalla ( I ) m a i valori negativi /471 [espressi dalla (2)] saranno eliminati supponendo di avere nell'intorno di .4 (su ~) una zona ,!" uguale a ,!; la funzione armonica //V'3 ----- -M ~- jC ,, cos (y',r~_ r)d~'' !

assume allora valore 2 M in ~" valore zero nella rimanente parte di ~ ed eliminare i valori negativi (2) perchh su ~ si ha

i

atta ad

i

ed ~ r 3 ~ r~. Un punto qualunque di ~ ~ ~O W' f

OW'3 On

w

,I.¢r3t

~n (W'+

W'3),• ed inoltre

r,--=AB

e per i punti B esterni al cerchio traccia su I3 del cono uscente da P (in %) e le cui

SOPRA ALCUNE LIMITAZIONI VALIDE PER LE FUNZIONI ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

generatrici fanno con y un angolo ~---~ x 3

2I~

risulta

r. ---~r sen ~ > 0,8 r sicch~ si pub scrivere 0 W'3 On

1,25 M ~,, <

~

r~

0W' Poich~ helle stesse condizioni risulta - 0 7 < o la diseguaglianza (6) ~ ora dimostrata ad esuberanza. Come si ~ avvertito in principio questo procedimento ~ meno preciso di quello eseguito nel piano; dagli stessi numer[ adottati risulta che nella (6) invece di - - si 4 poteva porte i ; e non ~ escluso si possa trovare anche una limitazione migliore; 4 non di molto per6 perch8 il valore 2 risulta dalla considerazione della sola W---' ed quindi insufficiente. I3. Dobbiamo ora estendere la limitazione ottenuta ad un punto A generico interno al campo. Come ~ stato osservato al n ° IO potremo snpporre senza restrizione essenziate che la zona % sia timitata ad una tinea piana C; indicando allora con ~ il piano di C e con ~i la proiezione di % su ~ considereremo, in analogia al metodo seguito nei campi a due dimensioni, invece della funzione U, la funzione U', uguale ad M in ¢] nulla in %; dimostreremo quindi che U' ha le superficie di livello tutte convesse. Osserviamo perci6 che se questa condizione ~ verificata segando il solido S con un piano "~ e considerando in ogni punto di ~, interno ad S la funzione U', questa non pu6 ammettere (qualunque sia -t,) un minimo (relativo) interno ad S; se invece qualche superficie di livello ~. sia non convessa allora potremo certamente tracciare un piano ~ tangente a ). in modo c h e l a U' (considerata come funzione dei soli punti di 7) zimmetta un minimo (relativo) interno alla intersezione di S con ~. Siccome per6 le superficie di livello estreme (cio~ % e ~') sono convesse @', ~ piana), cosi uscendo da ?, e considerando altre superficie di livello troveremo certamente dalle due patti di X superficie convesse; ed in particolare due di esse (almeno) X, e ~.~ che ammettono un piano tangente stazionario (una di queste pu6 coincidere con =). Indichiamo con .t,, -~ questi piani tangenti e siano R, e R~ i punti di contatto su 3,, e ),= rispettivamente; in R, e R~ avremo due punti di massimo (stazionarii). Muoviamoci ailora nel fascio (-,~,, ~=)considerando per dascun piano del fascio il punto di minimo Q di U': Q viene cosl a descrivere una linea q. Analogamente in ciascun piano considereremo la linea dei massimi (che circonda Q) e in questa linea sceglieremo il massimo P; nel movimcnto anche P dcscrive una linea p.

220

GIULIo

SUPINO.

Ora, fissato un sistema di coordinate cilindriche che abbla per asse ~ l'asse del fascio (~,, ~,) in un qualunque punto Q o~U o3r -- o, O' U' e quindi ~ l

o~U' c~: ---' o,

o~' U' Or' ~ o ,

o~'U'

~<~

~o

o perch~ U' ~ armonica.

Se dunque da un punto Q, fissato ad arbitrio, si passa ad un punto T distante da Q di rdO (si prende dO positivo e si pongono dr - - d< = o) avremo che 0u'

o~0 r L

c~0 e"

Se ora nel piano ~ in cui si considera T si prende in esame il punto Q (cio~ -

c~U'

il ,lm,nto di minimo in ~) ed in esso ~

si trova subito

c~U'-

c~U'

perch~ per la definizione di Q ~ certo ed insieme

U'(Q) L U'(T) ov¢ si indichi con T it punto the ha le stesse coordinate r e ~ di Q e ta stessa ~ di

Q. Si deduce dalte di,segnaglianze precedenti

or, c30~ ~

c30 Q

e quindi se si costruisce un diagramma che abbia come ascisse le 0 e come ordinate il valore minimo di U' per ogni 0 (cio~ il valore di U' su q) avremo che la linea U'(0~) ha nel diagramma la convessit~ verso l'alto. Consideriamo dopo cib un qualunque punto P; ~ in P O U'

O U'

o~r -- o3< - - ° ;

e~ U '

e~ U '

o~r2 L o,

~<, L o

O'U' e quindi ~ "~ o. Costruendo allora nel diagramma gi~ preparato la linea U' (Oo) che si ottiene descrivendo la linea p cost come si ~ ottennta U'(Oq) osserveremo che U'(Op) ha la concavitl verso l'alto. Ma U' (Op) e U' (Oq) comindano ambedue col valore di U' in R,(su 'q) e terminano col valore di U' in R,(su ~ ) mentre in un

SOPR~. ALCUNE L I M 1 T A Z I O N I VALIDE PER LE F U N Z : O N I ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

22I

punto intermedio del diagramma ~ sempre U ' ( % ) > U'(%). Si verifica dunque, associando a questo risultato le.osservazioni circa la concavM e la convessit~t di queste linee, che anche in questo caso (come in quello gi'a dimostrato a due dimensioni) l'insieme delle condizioni poste conduce ad un assurdo.

Cenni sulle applicazioni fisiche e meccaniche. x4. Le formule ottenute nei n( precedenti sono state ricavate (come si 6 gi~t osservato) con Io scopo di indicare alcune limitazioni quantitative in problemi fisici e meccaniei. Qui si vuole accennare in modo particolare alle applicazioni di esse in tre campi diversi, la teoria della propagazione del calore, ]a idromeccanica e la elasticitL Consideriamo un solido convesso e supponiamo divisa in due zone (complementari) ~, e % la sua superficie limite; se T ~ la temperatura costante sulla zona %, T O quella pure costante di % possiamo affermare. x) che in un punto P distante R da ~ la temperatura T non pub superare il valore 7"0% % --~--a% < ~TO+T 27"¢

~

"--

2) che la quantitY, di calore A Q che neIHntervallo di tempo At passa attraverso la superficie piana A~, (per P) vale al pifl r:c ( T , 4

To)% a t ± o ,

,o).

R3

Sono immediate le modificazioni da apportarsi alle formule precedenti nel caso del problema piano. I5. Vediamo ora una applicazione alia idrodinamica piana dei liquidi perfetti, t~ necessario perci6 ricavare dalle limitazioni assegnate per il problema di DmmHLET una limitazione valida per il problema di NEUMANN. II procedimento ~ assai semplice (nei campi piani). Se U ~ assegnata su S per mezzo della sua derivata normale si consideri la funzione V coniugata ad U: ~ °)~-nUs --" dd SV; da questa, per integrazione, si ottiene V .sul contorno. E quando sia determinato un valore maggiorante per la de*ivata di U secondo una direzione arbitraria questo valore serve anche per le derivate to) Indico con cil ¢oeffidente dl conducibilitc~: ¢io~ la quantit~ di calore che nell'unit~ di tempo passa attraverso un elemento unitario dl parete quando due pareti parallde a distanza unitaria sono mantenute a temperatura costante, dlversa dall'una aU'altra dell'unit~ di temperatura.

GIULIO

222

SUPINO.

di U perch~ aU

0V

~x ~ ~y '

OU

0V

Oy

c)x

Supponiamo ora che c~ U sia nulla in %, diversa da zero in % e sia M il massimo valore (assoluto) assunto in questo tratto. Poich~

lOUd ~

¢, ~ o n e

segue che

f s3OnUdS si pu6 porre uguale a zero in %; sara, allora uguale al pit~ ad

V--.]o

M ~' in ~ ; dalla limitazione assegnata al ~ 2 segue cosi 2

~X~x~ au

~ m~ R•

se R rappresenta la distanza di A da a . Indichiamo ora con U(t; x, y), V(t; x, y) le componenti della velocitY, in un punto generico del piano (x, y) e in un determinato istante t; [si pensa ad un sistema cartesiano ( O ; x, y) di riferimento]. S e i l liquido + incompressibile qualunque sia il valore di p(t; x, y) (pressione unitaria) e delle £orze di massa si pub porre come noto 0+ aq,

U = by'

F-

Ox

(,~ funzione di corrente).

Se il moto ~ irrotazionale si ha _%+ - - o (comunque varii il moto stesso col tempo). Supponiamo ora che il campo di moto del liquido sia limitato da una parete fissa, convessa, parete che chiude il campo stesso salvo che nelle zone a; b; c; . . . ; indicando con Vv(t ) la velocit~ massima in queste zone al tempo t con ¢ il tratto compreso tra gli estremi detle zone pi~l lontane si osserva subito che se il moto ~ irrota~io-

hale, comunque variino la pressione e Ie forze cli massa e Ia velociti~ stessa nel recipiente sempre ~ in un punto A interno a C e in un dato istante t: 2

v( 4) = f F

+

/

I1 caso qui eonsiderato ha riscontro fisico in quello di un recipiente cilindrico nel quale venga immessa acqua per una fenditura a e t o m per altre fenditure b, c. Pu6 anche essere the a, b, c, . . . formino una sola apertura; il risultato darebbe allora una limitazione per la velocitY, dell'acqua in un'insenatura per effetto di ¢orrenti provenienti da largo. x6. Si pub obbicttare the la limitazione ottenu:a sussiste soltanto nell'ipotesi di

8OPRA ALCIJNE LI/~IITAZIONI VALIDE PER LE FUNZIONI ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

22~

moto irrotazionale; ma fondandosi sul teorema di LAGRAIqGE possiamo affermare che il moto irrotazionale 6 caratterlstico dei liquidi perfetti. Se vogliamo tener conto dei vortici dovremo considerare liquidi viscosi *~) e lo studio delle loro equazioni si ricollega con lo studio delle equaz/oni dell'elasticit£ In questa ultima teoria i risukati the ho ottenuto sono riassunti dai seguenti enunciati che mi propongo dimostrare in un prossimo lavoro : ~( Se in un solido elastico, privo di forze di massa, gli spostamenti daft sulla sua superficie limite, sono diversi da zero soltanto in una zona superficiale ~ , allora le caratteristiche di sollecitazione diminuiscono di intensM all'allontanarsi da ~ e in un punto fissato tendono ad un limite determinato e finito (generalmente diverso da zero) quando ¢ tende a zero ~>. Per i sistemi elastici piani si pub anche dimostrare la proposizione simmetrica. Se in un corpo elastico in due dimensioni, le forze esterne sono applicate soltanto sulla zona e del suo contorno, allora le caratteristiche delia sollecitazione diminuiscono di intensit:t all'allontanarsi da ~s, e in un punto finito tendono a zero insieme con ~, stessa. Questo secondo teorema costituisce per i sistemi piani, la dimostrazione del principio del SAINT-VF.SANT. NOTA Sul massimo

d e l l a e s p r e s s i o n e F = --- [sen :~ sen (K - - ~)],-i [sen" ~z + s e n " ( K - 2)]' "

I. Si b affermato al n ° 8 che il massimo della funzione F si ha per ~ - - K - - 0 ~ . Ritengo utile esporre i calcoli che giustificano questa affermazione. Derivando la F ed annultando poi la derivata si trova la condizione O)

5

cos ~ sen ( K - - ~)[(n - - i) s e n " ( K -- ~) -- (n -~- I) sen" a] ~t. c o s ( K - - ~) sen ~ [(n -~- x) sen" ( K - - 2) - - (n - - I) sen" ~] - - o

che 6 verificata per ~ ~ K - -

~ onde z - -

2

Questo primo risultato era preve-

dibile poich~ ~ pu6 variare tra zero e K e la F contiene simmetricamente ~ e K - - ~ . Per verificare che it massimo assoluto delia F si ha proprio per ~ K - - ~ si osservi c h e l a F, nulla per x ~ o e ~ - - K , 6 positiva in questo intervallo; tra i due estremi avremo un punto, almeno, in cui la derivata si annulla e si potrk affermare senz'altro I I) Si ricordi che nella teoria dei liquidi perfetti i vortici sono assegnati ad arbitrio alHnizio del tempo, l~ dunque impossibile, senza partico]ari condizioni iniziali, dedurre una limitazione per questo caso,

224

GIULIO

S U P I I ~ O.

che in questo punto si ha il massimo assoluto della funzione se in nessun altro punto dF nell'intervallo sia 2-~.--o. Per la simmetria rilevata nella F basta verificare che dF d--~ # o nelrintervallo compreso tra ~ - - - o e a nell'intervallo successivo

(

da • --

K--O 2

(questo estremo esduso);

ad ~ - - ~ - - 0 - - K 2

)

il fatto risulta allora.

scambiando ~- con K - ~. a. Ricordando che

cos(K--~)=cos(~-- 0 - - ~ ) = - - c o s ( 0 + ~ ) ;

s e n ( K - - ~) "-- sen(0 -~--~)

la ( i ) si pub scrivere nella forma

sen(O+~))" tg~ tg(O --~- ~)

(2)

n+ I

~-n~

n --

I

--n+

I (sen 0 all- ~ ) " n--~\ sen~ --I

Per discutere questa equazione supponiamo dapprima n ,~ 0 = n

~

2.

Ricordando che

allora finch~ sia sen (0,--~ ~))"

sTn~

n + x

> n~

il primo membro della (2) risulta negativo mentre il secondo 6 positivo, sicch~ la condizione espressa dalla (2) stessa non pub essere verificata in questo intervallo. Appena sia \

sen~

)-

--n--I

allora i due membri della (2) risultano dello stesso segno; si osserva per6 facilmente che finch~ sia sen (0 + ~) ~ sen ~. il primo membro ~ (in valore assoluto) minore del secondo. Infatti essendo - - n - - I

il secondo membro della (2) ~ minore, in valore assoluto di

(3)

n --I

(sen 0 +

- - F - ~, s~-~ ~)"

n

+2

I

D'altra parte, appena sia sen(O-Jl-~)'~¢

n'-/'-Isen~-I

SOPRA ALCUNE LIMITAZIONI VAUDE PER LE FUNZIONI ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

225

si ha anche , tg 9

1+

/« - j - 1 1

sen 6

t g a>

tT^ ^ V Y^~i c^sl '

^~Z~~ lA^l-cosO \

n~ 1

da cui segue n

i

, _ Cos 6 |/2L±JL r^

tg« _ tg 6 tg x — 1 tg g9 + « I +. tg 9 -^ • ._

4

fc

X n—\ _ , • ,-_—

x*

1/!L+if|/-±i_eo.o) \

n — \ \ \ n —1

/

Ora per I .I = il secondo membro della ("2") e nullo mentre il r v y \ sen a / « -— 1 primo e negativo; prima che i due membri diveDgano eguali si dovra dunque verificare l'eguaglianza, che risulta dalle (3) e (4), « u ;

\

sen«

/

n—i

n

n—i

.—.— / " , — : —

\

'

1/£T(I/^--) dove Ks risulta minore di ———. Supponiamo ora di essere giunti ad un valore di a, tale che sia \

sen a

/ — '

Segue allora, con lo stesso procedimento ora seguito, che n

tga

1 — cos 0 ]/Kx

quindi l'uguaglianza tra i due membri della (2) non si potra avere prima che sia (^

/sen(e + a ) \ " _ _ « + i ^

S£na

;

n

~

l

2 n

~

1- c o s 8 ^ 1

^(i/F.-cosO)

_

R

'"

II numero K2 che risulta da questa equazione consente di affermare che le radici eventuali della (2) si avranno per un valore di a > xi e tale che sia \

sen«

/ —

2

JJBKIJ. Circ, Matem. Palermo, t. LV (1931)' — Stampato il 2j aprile 1931,

' 29

2t(;

0IULIO SUPIlqO. Cosl possiamo proseguire; si osserva subito

K~, . . . , K

b una

che la successione di numeri

decrescente; essendo

successione

K, <

K,,

n -{-___.~Irisulta necessarian-- I

mente anche K~ < K [come si vede confrontando la ( 5 ) e la ( 6 ) ] ; K 3 < K~, . . . etc. ; escluso soltanto il caso che risulti K - - I perchb allora tutti i K successivi risultano eguali ad uno. Ma per K m - - I sen (0 + ~) - - sen ,t c. d. d. 3. Si supponga ora n c o m p r e s o tra 2 e 6. O s s e r v i a m o allora c h e l a scrivere nella f o r m a

¢seo0 (2') e che

k

+.

sen~

I L t-g ~

n + ;]

. +,,g0 +,

n

n

per n minore di 6 e 0 + ~ L ! --

--

-

-

I

tg

*(

--

(2) si pub

I

vale la r e l a z i o n e 2

( s e n 0 _+ ~ ')" sen 0t ~

2(n-3f - I) t'/ - - I

,2).

z2) Si osservi infatti che il valore minimo di sen (0 + ~) tra o e - - si ha per 0 -{- %-- - - . sen g 2 2 Allora s e n ( 0 + ~)__ I Ma dallo svituppo in serie del coseno segue sen ~ cos 0" cos - -

< I -

4

+

mentre daUo sviluppo in serie binomiale si ha

! ( l~.n-l) j n - - I ,~n

(

! n - - ~ ~n

++log(

n.3~ ~ ~

2(n-i- I)1

2(n-J- I ) /

I

(2(n-{-!)]

n

\ n-

I ]

Ora s e n < 6 $egue _L n--I n I E2~(nJf-I)~ > I - - - - n

mentre

X cos--
6 --n2

onde risulta A_

cos - ~

<

2~-~

c. d. d.

Naturalmente questa relafione vale soltanto per questi valori din. Per n tendente ali'infinito sussiste soltanto la diseguaglianza:

I n-- I n

SOPRA ALCUNE LIMITAZIONI VALIDE PER LE FUNZIONI ARMONICHE E LE LORO DERIVATE.

22')7

Sostituendo questo valore nel primo membro della (2') si trova che esso ~ maggiore di )I n "nt- I tg 0 + *e -J- ~n + I ( t g 0 + ~ tg,t " n -I tg~ ..__

Ora il valore minimo di t g O + ~ si ha per ~ - tg 0c di questo valore tg0 _l_ :c

-I-tg T

tg ~

>

~

0

4

2

(n + I']

::

- - tg

in corrispondenza

-- 2

sicch~ il primo membro della (2') risulta in definitiva maggiore di n+Itg0+oc n--I tg~t

n+I 4n [ n--I(n-i)'

e questo per n ~ 6 ~ a sua volta maggiore del secondo membro della (2'). Resta cosl dimostrato c h e l a compreso tra ~ -

2

(2') non pu6 avere radici per 0 "31- ~ _•_ -~~ ; nell'intervallo 0 e ~-

~:

0 si giunge al risultato nello stesso modo

2

2

gill visto al n ° I. 4. Resta da considerare il caso in cui sia n ~ 6. Basta allora osservare, che con trasformazioni assai semplici la (2) si pub scrivere nella forma (7)

[ sen~ )" nsenO--sen(O+2~) \sen0--T7 I "-- risen0 nt- sen(0 -~- 2x)

x3).

Derivaudo il primo membro della (7) si trova

(8)

d ~ ksen ~--Tr

,t)

- - sen =t sen (0 2V~ ) ksen~+--~+~

derivando il secondo membro si ha

(9)

d n sen 0 - - sen (0 + 2 2) _ _ _ 4 c ° s ( 0 + a ~ ) n - - s e n 0 d-~ n sen 0 2V sen (0 -J- 2 ,t) [n sen O 71- sen (0 71- 2 ~)]*"

xa) A questa espressione si giunge anche direttamente derivando la F scritta nella forma ches¢. gue, equivaleate alia data: sen ~

~"

F-~ 'se~-'qT- ~:

I

!

II + ,sen-6-..iZ/sen~.~)"3~ sen v..sen (0 + ~) '

2~8

OIOLIO

Ora per • = o i l nm

- - ; n+I

I

SUPINO.

primo membro della (7) ~ zero; il secondo membro vale

successivamente il primo membro cresce con x mentre il secondo membro di0

Per questo valore di 2 4 il primo membro della (6) ~ ancora minore del secondo: infatti il primo membro vale

minuisce [come risulta dalla (9)] finch~ non sia ~ -

tg -~-

I

<

2

I +tg

+-~-

I

+T 2

+Y Ma

= =

I ~--

con m = n - - - -

2

e questa espressione di-

2 minuisce quando m cresce tendendo al limite ad e~; il primo membro della (7) I

dunque minore d i e - " ~ -~- mentre il secondo membro cresce con n e per n = 6 d~ luogo (essendo n sen 0 - - 3) al valore I__. Quando 0c sia maggiore di ~ 0 2 4 2, allora tanto il primo membro che il secondo membro della (7) sono crescenti; perci6 l'uguaglianza dei due membri non pub avvenire prima che sia sen~ ) ) " ~ t sen (0 + ~ - - -2-" sen Per questo valore di sen (0 + ~) ~ ancora il 2° membro della (7) maggiore del primo; ma da questo punto in poi risulta dall'esame delle (8) e (9) c h e l a I

del primo membro ~ maggiore di - - n 2

derivata

sen 0 e quella del secondo membro ~ minore

sen ~ di 4 9 n sen O; poich~ i due membri sono eguali quando sen (0 + ~) - - I risulta di qui che essi assumono lo stesso valore soltanto se sen 0t = sen (0 + ~)

c.d.d.

Bologna, Aprile z93o. GIULIO SUPZNO.