401

SOPRA Ih YAM]RE MASSIMO E IL SIG.N1FICATO FISICO DELLA FUNZIONE Tree DI MAXWELL.

R ~ e e r e h e d i A. GARBASSO ~) (in Torin o).

w 1. Secondo la <>, che dobbiamo al Maxwell =), le intensitg delle coer'enti, essendo devivate di tempo delle vaviabili etettviche (y,.), entvano nell' espvessione dell' eneegia cinetica del sistema appunto come le velocitg relative alle coordinate geometviche (x,). Quindi 1' enevgia cinetica (T) visultevA in genevale datla riunione di tve somme, le quail, seguendo il Maxwell, vogliamo indicate vispettivamente con le lettere T,,, T e e Tree. I1 polinomio T m contiene in ogni sue tevmine un quadcato o un vet~,angolo di velocita geomeWiche, e Tr invece ha i vettangoli e i quadvati delle COl'eenti. Quanto a Tm~ ogni devivata della peima categoria moltiplica in esso una devivata della seconda; quindi la sua espvessione ha la fovma:

essendo le Ks,,- funzioni delle vaeiabili e, peopeiamen~e, come facile eiconosceee, delle sole var'iabili geometviche. 8e ci me,flame nel case sempliee di un tore metallico, vigido, gieevole interne al sue asse, e peecovso in q~al-

1) Della priraa parte di questo ]avoro (paragrafi 1-12 e 14) fll pubblieato un ri~ssanto negli Af,ti delia R, hcc~demia di Todno (hduu~uz~ del 24 Febbraio 1 9 0 1 ) . - L'o esperienze fl~rono eseguite nell'Istituto Fisieo, diretto dal Prof. h. Naeeari, al quale 1" A. esprime tutta la sua riconoscenza. 2) J. C. Maxwell. A Treatise on Electricity and Magnetism. (Oxford 1873). Vol. 2, Part. 4 . Chap. 6. 8~ria t r. FoL L

26

A. GARBASSO

402

che modo da un flusso di elettrieits z' altro:

potremo scr'ivere sen-

Tm = ~ - 1- M x ~ 1

9

Te - - ~ L Y

*,

dove le singole lettere, tolta la K, h a n n o un significato fisico ben chiaro. Se non vi 6 corrente, infatti, ogni cosa si riduce alia f o r m a semplice: 1 Mx 2 dunque M 6 il m o m e n t o di inerzia del toro intorno al suo asse; se invece le masse ponderali sono in riposo e 1' elettricits si m u o v e ~: T~Tez~-2

1

9

Ly~ ,

e perb L r a p p r e s e n t a il coefliciente di autoindumone del nostro circuito. Resta a vedersi quale sia il significato della costante K e pel' questo giova considelmre il solito biciclo del Maxwell. I m a g i n i a m o (fig. 1) un sistema del quale fanno parte due

j - -

Fig. 1.

ruote R, e R~ mobili intorno ad un medesimo asse ( a ) ; siano M~ e M v ,~t e x~ rispe~tivamenie i loro m o m e n t i di inerzia e

SU LA

FUNZIONE

403

Tree D I M A X W E L L

le velocits angolari. 8i abbia ancora un manicotto il quate porti un alteo asse (a"), normale al primo, e intorno a questo girl una tei-za ruota R a. Sia poi Ms, ~ il momento di a" e R a intorno ad a' e Ma,.a il momento della ruota Ra intoeno ad a". Vogliamo ancora supporre che quest' ultima ruota six fornita di denti, i quali ingranino con altH denti, disposti sopra R~ e R 2 in dub ceechi, uguali fra loro e al eontorno di Ra. P e r mezzo di calcoli noti 1' eneegia cinetica complessiva del sistema si sceiveeg sotto la forma:

9

1 (

Ma, ,

~

"

) 9

\

1 (

2

/'

Ma, I Ma,~\" = +7-+-T-}x +

1

"

"

+ T (M., - - M.=) x, x , . Se si confronta la espressione presente con quelle, che abbiamo ottenuto per il sistema da noi considerate innanzi, si pub concludere senz' altro c h e l a costante K dow'h interpretarsi come carattecistica dei vincoli, ehe legano 1' elettcicitg alia mate,qa ponderale. Se K 5 zero le cose vanno c o m e .re questi vineoli non esistessero; sebbene non si possa concludere senz' alteo alla loro mancanza (si confronti il paragrafo decimoquinto). w 2. Volendo procedere innanzi nel calcolo consdene notare che, nel caso della nosWa disposizione, la sola coordinata geometsica variabile (la x) 6, come la y, una coordinata ciclica, quindi le tee costanti M, L, K non possono dipendese da essa. Ora, poich6 le espressioni delle forze, secondo le formole di Lagrange, sono liaeasi ed omogenee nelle derivate di T, si potsanno scindere tutte in tre eomponenti, in corrispondenza del modo, nel quale s i ~ divisa 1' energia. La forza X, per esempio, che agisce su la variabile angolase x, avrA la forma: X --- X m "4" X e d" X . ~ e ,

404

A. GAIRBASSO

essendo : Xm ~

d dTm____M~,

d DT e - - 0 , Xe -~ dt ~ [C d 0T,,,e a t o~,

E se la forza esterna ~ zero, come possiamo per piccole x, in prima approssimazione, avremo

(1)

ammettere, :

M ~ -t- K y = 0 ,

e quindi : M ~v 4- K y ~ c o s t a n t e .

Ma se non c ' ~ c o r r e n t e e l ' a n e l l o ~ in riposo il primo m e m b r o ~ hullo, e per5 la costante deve essere sempre uguale allo zero. Abbiamo dunque : MX-I" Ky--

0,

e, di conseguenza: M x + K y -~ costante.

Anche questa costante dovr~t porsi uguale allo zero, se si conviene di contare gli angoli a p a r t i t e dalia quiete; dunque : Mx--~Ky~O, tale equazione esprime per il nostro sistema il principio dello aree. Da essa risulta senz' altro : K

(2)

x -= -- -~ y.

w 3. S e m b r a che il Maxwell abbia fatto alcune esperienze con un apparecchio, la teoria del quale si riduce alla formola (1) ; egli serive infatti ~) : 1) L. r pag. 200,

SU LA FUNZIONE Tree DI MAXWELL

405

<
406

a. GARBASSO

In tale ipotesi 6 facile scPivepe il valoPe della y, ehe vuol essePe intPodotto nella formola (2). E per vePo, se l'intensitg del campo fosse H, e 1' area interna dell' anello S, la vaPiazione del flusso sarebbe : --HS, dunque: HS R '

Y--

(3)

X

--

KHS M R

Qu] si psesenta una quistione, che pep la peatiea 6 molto impoPtante; e rio6 quale sostanza e forma sia da prefePiPsi per 1' anello conduttoPe, e quale mezzo si debba impiegaee pep la psoduzione del eampo, se un elettPomagnete simile a quello di Faraday, o una sempliee spisale peseoPsa da eorrente. w 5. Bisogna ossePvaPe in 1)Phno luogo che, restando inaltePata ]a foPma e la grandezza del toPo, il pPodotto M R vaPiePh pPopopzionalmente al prodotto delia denss (d) e della r e s i s t e n z a specgfica (e); 6 facile dunque deeidePe quale sia il matePiale pih indicato per le espePienze. Si tPova inCatti : I

AI

i

Cu

d 10-a~

2,65 i 8,95 2,889i 1,584

10 -a dp

7,6B

114,18

Ag

I

Zn

10,47 6,86 1,4~2 1 5,580 15,62

38,28

Au

Fe i Pt 19,29 7,79 20,18 2,04i 9,636 ' 8,98I 39,37 75,06 181,24

e peP6 in primo luogo si raccomanda I' alluminio; dopo di esso sestano in condizioni quasi pari 1' argento e i l same. w 6. Ci6 1)remesso eerehiamo quale sia la forma, ehe eonviene meglio.

SU LA F U N Z I O N E Tree DI M A X W E L L

407

Pet ~ urt aneilo circolare, cicavato da u n a lastra di spessot'e h, quando il t~aggio i n t e r n o sia r~ e l ' e s t e r n o r., si avr~ : I~ /~

2z % [--f--

9

]

0

J

0

--~2 z h d . f

r3 d~ ~ ,

1

(4)

r~

----~,hd.

(r~ ~ -

r~ ~) .

E la t~esis~enza, I~, m a n i f e s t a m e n t e si ottiene p o n e n d o : 1 ~_.~_~

1

Od~,dh d~dh 2~rrp h PI ~

h

log ~ff-~

Risulta dunque, nel caso n o s t r o : K H ~'l 2

x~

log r~ /Pt

P e r andave i n n a n z i nel caleolo c h i a m e r e m o I la l a r g h e z z a dell' anello, di modo che si avr'~ : ~ ~r

t -4- ~,

408

A.

(~ARBASSO

dunque:

rff

--

r'

I

(r,+~)*

__

l o g ~_A~

--

~'t

~

log ~'~ + l

(

~*! "-0 l ~ + - -

I

log ~'~ -I- l ossia, ponendo :

( PI 4- l~ + ~'~*--~*

, Z--

log r.~

~1--4

log z~

Z--

1

log z

7"1

Quindi, sostituendo : (5)

KH

x = 4~r~d

P z-- 1 ' log z

Si noters per prima eosa t h e 1o spessore h non intevviene nella formola finale; si pub dunque pvendere la lastra pifl o meno sottile, seeondo ehe place meglio. Quanto ad r~ convertS, come appare, di pvendevlo piccolissimo. Veniamo al fattove log z ' nel quale, manifestamente, la z b maggiore di uno. facile pvovare che esso cvesce sempre con 1' argomento; e, poich8 i valovi pig grand[ della x corvispondevanno ai pig piccoli di questa funzione, bisognerk dunque fare la z piccola per quanto 8 possibile, vale a dire limitave la l, che g la lm~ghezza dell' anello.

SU LA F U N Z I O N E

Z--I

Che ~ g z

409

Tree DI M A X W E L L

evesca s e m p v e , n e l nostvo caso, c o n z, si pub

d i m o s t l ' a c e cosl. Sav~ :

cl [ z - - I \

log z

a-~ \ ~ J ; - "

1 1) z

(z

=

log ~-z zlog z--

'

( z - - 1)

z l o g '~ z

'

avvemo una funzione c~escente quando sia:

e per5

tog z - - (z - - l) > 0 , cio~ : z--1 l o g z ~ Z

,

o a n c h e , p a s s a n d o d a i l o g a v i t m i ai n u m e r i : z--1 z ~ e

z

,

z-1 ->1+~.+,

(z--tF2tz~-+.

(z--l) ~ 3!z~+

(z-l)' 4!z------c -

m a questo si vevifica s e n z a dubbio se ~ : z -- I

"" t 2--

>e---+

l

2!z--~- + ~ + ~ §

(z --

1) ~

-z- - + - - ~ r -, -z-~ i

z

Z3

(z -- 1) ~

z > l + ~ +

(z

--

i) ~

2! z ~

1

Z~

1

+ ~-~ -t- ~. + . . .

,

t 2

Sotto altt-a f o r m a la m e d e s i m a c o n d i z i o n e pub s e v i v e r s i : 1

z "~- - e z "~. + . 2 z - - ~ > O , ossia : (z ~ - - 0,99 z + 0,28) (z - - 1,73) > 0 ;

4]0

.r GhRBASSO

e ques~o si verifica semp~'e qua:lib) si~t: z~

1,73 .

Quanto all' i n t e r v a l l o che cocre p e r z da 1 a 1,73 possiamo r e n d e r c e n e conto o s s e c v a n d o che in esso si pub s e m p r e f a r e :

senza che u a r r i v i alL' uniter, quindi il l o g a c i t m o di z pub svilupparsi con la nora serie, che d~t il l o g a r i t m o di 1 + u p e r u m i n o r e di uno. S a r s log z -----log (1

+u),

- - u - - ~f + y - ~

+5---...,

z log z - - (z - - ] ) - - - ( 1 + u )

log(1 +u)--u,

e dunque :

-~-=u--~-+

3

4 -I- 5

~+~--7+...

+u ~

--!u'- ] u 3 + - ! -

-

2

:u~(2

~

1

3.4u~--

u) 2.3

+

'~

(3

14

u~ ~ ' ' ' ' u)-I" ~

"''

'

la quale serie h a senza dubbio u n a s o m m a positiva i). 1) Per una via meno diretta, e coil un procedimento somm~rio, si pub dimostrare la stessa rosa nel modo che segue. Si cambii ]~ variabilr ponendo: u ------log z , verr~

:

Z ~

8 ~/ ~

SU L A F U N Z I O N E

Tree

411

DI M A X W E L l ,

Riassumendo conviene, per la sensibilitg dell' appaveechio, the il raggio inteeno dell' anello sia piccolo e la larghezza pure. In pratica anzi convervg di prendere piccola la lavghezza e pieeolissimo il raggio, peechg, almeno da pvineipio, z--1 il fattore r~ 2 cresee piil presto ehe log z Infatti pep : r, ::-

1

2

3

4

5

10

si ha : ~'~: - -

1

4

9

16

25

100,

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

2,0

1,23

1,48

1,76

2,12

2,90

5,41,

mentre per : Vz

-~

viene : z- 1 _ log z

e quindi, mentre, moltTplicando pep 10 il raggio, il primo fattore si moltiplica pet" 100, moltiplieando per 10, da peineipio, la lavghezza dell' anello, il secondo fattore si moltiplica sola5,41 mente per 1,23--4,40. Bisogna perb notate che, scrivendo I' equazione di pavtenza, si ~ supposto implicitamente the il momento di inerzia del toro lbsse grande rispetto al momento delle altre pavti dell' equipaggio mobile. Ora, se si fa piccola la lavghezza e piceolissimo il raggio dell' anello, vi 6 un solo modo per ottenere un momento sensibile, ed ~ di fare grande

e; z--

1

eu--1

log" z

u ( =

u2 u~ ) ,t + =~., + ~ . , -JF ... ~

1 ,~-,

u2

=1 + ~ y + T., + . - . ; ora questo secoMo membro crasce manifestamonte con u, e quindi con z.

412

A. GABBASSO

1' altezza /z. La fot'ma piit eonveniente del eonduttore da impiegarsi non ~ dunque peopeiamente quella di un disco annulace, ma piuttosto quella di u n tubic*no (d" agluminio) a fore c~igga~'e. w 7. Qul per6 i n t e r v i e n e la consideeazione di un alteo e l e m e n t o ; per impiegaee un eonduttoee in forma di tube bisogna infatti r i n u n e i a r e a producer il eampo con un elettrom a g n e t e del ripe di Faraday, e sostituire quest" ultimo con una sempliee spirale, peeeoesa da eoerente, gi6 porta una limitazione se~'sibile nella g~!andezza di H, e r i m a n e a vedersi se e o n v e n g a di guadagnaee eosi da u n a ~ a e t e , m e n t e e si peede dalt' altea. PeP d e d d e e e questo osseeveeemo anzitutto ehe se il oampo magnetieo dovesse prodursi con due bobine, e il eondutto~-e muovepsi hello spazio interposto, l a h non potrebbe eresem'e molto senza ohe si indebolisse coceispondentemente il eampo. Quindi il peoblema in questo ease doveebbe poesi in tuft' altro mode. II m e m e n t o di ineezia 6 date, o almeno non deve essere inferiot'e ad un oerto limite, la h p u r e ~ data, si t r a t t a di errcare i valot'i piu convenienti pet" r~ e l. La rosa non presenta nessuna ditticoltg. gssendo : a. (r, ~- - r, ~) = O~ , con O eostante, si tratta di rendeee massimo :

(3~ , In plqma approssimazione si pu6 p o r t e -~- m luogo di r~ ~, quindi :

r

HI

IKt.

r,= l o g ( loa

C~ )

c

413

SU LA FUNZIONE Tree DI MAXWELL

o, s c r i v e n d o

u p e r r~l,/-d:

r La condizione

-

-

2~ p-C;~/:d u { ~

del massimo

_ d_C_IKI.I~I

--u "

s:~k:

C ~og----u

d Z - - 2 ~, p C~ ] / d

~---0

u

ossia : C log -- -- 1 ~ 0, g -C- - - e

1),

e: C

M& o F a : __

Y'29 _

C

~--~

dunque :

r j --{- 1 --

I/re

'

l) Si tratta verameni;e di un massimo, poichb risulta: d2~ du---2 ~--- _ per

~f ~

C -g

.

IKI.IHF~

414

A. GARBASSO

e perb :

(6)

= 0,65 r~ .

Bisogna dunque premiere, con la h preseritta, un raggio tale che, essendo la larghezza dell' anello i due terzi di esso all' ineirea, il m e m e n t o d' inerzia riesea non inferiore al limite assegnato. Quanto al t'attoee numerico, essendo il prodotto p//'-c/ sensibilmente eostante p e r l' alluminio, il r a m e e 1' atgenre si potrgt impiegaee ad arbitrio uno di ques~i tee metalli. Infatti si t r o v a :

Cu

Ag

2,889

8,95 2,99 1,584

i0,47 3,24 1,492

4,71

4,74

A1 2,65

d

1,63 10.3 10 -a ~ Vrd

14,83 I

w 8. P e r farci un' idea della praticit~ delle due soluzioni calcoliamo il coefficiente : log z 4~rl~d~(z

-

1)

per due diversi conduttori. I1 primo sar5 un anello d' argento, definite dalle cos~anti: r' 1 ~

0,30

*:., -~ 0,50

h' -~- 0,10,

e l' altro un tubieino d' alluminio con le dimensioni : ~"~ ~- 0,05

~"~ ~ 0,15

h" - - 4 2 , 9 9 ;

eaggio e spessore di quest' ultimo sono peesi di tale gpandezza da rendeee possibile senza troppo disagio la lavoraziene ; la h, della quale per e r a n o a si ha a tener'e conto, g seelta in mode che i m o m e n t i di inerzia dei due tori risultino uguali.

SU L A FUNZIONE

Tree DI M A X W E L L

415

Si ottiene : c" --- 0,0000172 , c" ==

0,0002283.

Perch~ le quantitg c tt si uguagliassero nei due casi hisognerebbe fare : t:[ ~

C~ O

H" ,

_~ 13,27 H", e se fosse, p e r esempio: H"~

100,

the, per una semplice spieale, 6 gig un campo notevole, si dovrebbe a v e r e : H' - - 1327 , rosa non difflcile da otteneee con un eletteomagnete di Faraday. Un a r g o m e n t o poi t h e ci porta a seegliere 1' anello d' argento, piuttosto t h e il tubo d' alluminio, ~ 1' a e g o m e n t o del peso. Coa i dati, ehe abbiamo ammesso poc' anzi, si teoveeebbe infatti t h e il primo sistema i m p o r t a 0,5263 g r . , m e n t r e il secondo r a g g i u n g e 7,1597 gr. Ouindi la necessitg di i m p i e g a r e nel caso del tubicino d' alluminio un filo di gt'an lunga pifl robusto per sospendere 1' equipaggio; ci6 t h e porterebbe natur'almente ad i n t e o d u r r e una forza di torsione pifl grande. I1 resultato di questa analisi minuta si pub r i a s s u m e r e dunque nell' opportunitk di scegliere un anello d ' a r g e n t o come conduttore, e u n e l e t t r o m a g n e t e p e r la produzione del campo. w 9. Ho costsuito all' uopo I' apparecchio, t h e la ligura 2 ~'appresenta in peospettiva.

416

: . GARBASSO

Due bobine uguali, coll nucleo di fe1'ro, sono disposte verticalmente, una sol,fa l' altra. L' inferiore ~ fiss~ta alia taro-

Fig. 2.

letta del sostegno, la supeviore invece si r e g g e pet" mezzo di due grosse viti, che ingl~anano in due feminine praticate nella lastra metallica L, mentce passano senza movdePe pet" la tcavecsa M N, e vi s' appoggiano con le testate. Due guide, delle quali una sola, G, si scorge bene nella figura, scorrendo lungo le aste vecticali A e B, impediscono alla bobina superiore i movimenti di beccheggio. A questa stessa bobina, in alto, sopca l' opifizio del fo~'o, che 1' a t t r a v e r s a in tutta la luughezza, ~ fissata una camera, C, munita di finestca; la quale si p c o h m g a alla sua volta con un tubo~di v e t r o lungo e sotti}e, T. Ii tubo passa liberamente per

SU LA F U N Z I O N E Trne DI M A X W E L L

5,]7

un ampio foro, pratieato nella parte mediana delle due lastre ortogonali M N e V W, e reca all' estremits superiore, S, gli organi necessarii per la sospensione. Ogni bobina ~ alta in tutto dodici centimetri; le lastre terminali avendo un centimetro di spessore, ne r i m a n g o n o dieci per la parte di mezzo, destinata a ricevere il filo: vi sono di questo undici strati e in ciascun strato q u a r a n t u n a spire. II diametro del conduttore b di due millimetri all' incirca. Quanto ai fori assiali, che t r a v e r s a n o le bobine, essi h a n n o una lure di un centimetro e mezzo; perb, agli estremi, sono ineastrati dei cilindretti cavi, eoa cinque millimetri appena di diametro interno ~). w 10. I1 toro mobile fu 1' anello d' argento, del quale ho discorso innanzi ~); il rapporto dei raggi : ~A - - r 4- t ~'~

Y*l

l 0,5 --1 + -----1,67 ~'~

0,3

fornisce : 1 = 0,67 r 4 ,

1) In alcune esperienze preliminari avevo ado[taro ]a disposizione, c h e l a rappresenta scbematicamente; qui ]a distanza fl'a ]e bobino era di ql~a]che centimeiro, il campo, deiermicato con il metodo delte correnti indotte, risuftb di i00 u n i ~ o poco pii~. ]l toro impiezato fu un anello di tame, definito dal]e seguenti costanti:

figura 8

r t ~--- 0~I0 r~ ~ 0,75 h ~--"0,10 ; facondo il ca]colo nel modo indic~to al dodicesimo paragrafo risulta: I K[ ~" 2 circa. Ques~o esempio pub indicate quale vantaggio imporFig. 3. ~ino le condizioni consigliate dalla teoria. E dubbio soamenfce se le formole si poss~no ancora applicare~ quando la sospeltsioDe ~ fatta con ]ue fiii. 2) Si confi'onti il paragrafo ottavo. 9q~rle V. Vol. L

27

418

A. GARBASSO

con che b rispet[ata, all' ingrosso, la eondizione espressa con la [bmnula (6). 11 vatore poi di r', e di h li seelsi in base al eoncetto t h e il m o m e n t o del toro dovesse visultare a l m e n o c i n q u a n t a volte pifl g r a n d e di quello delle p a t t i r i m a n e n t i della sospensione. Questa 6 fatta p e r mezzo di un tubicino cilindrico di vetro, l u n g o 15 eentimetri, spesso 0,050; il suo peso e r a 0,085 gr., la densit'~, d e t e p m i n a t a con una m i s u r a diretta, si t r o v 6 u g u a l e p r o s s i m a m e n t e a 3,0. Posto : hd.

(r 2 - - r~ ~) :

0,085 '),

si ricava con questi d a f t :

r, ~--- 0,005. Su la faccia i n f e r i o r e dell' ai~ello d' a v g e n t o b incollato un foglio di caeta, con un forellino al c e n t r o . T r e fiti di t a m e sottilissimi, l u n g h i un c e n t i m e t r o , attorti a tveceia p e r mets della loro l u n g h e z z a , e r.ipiegati poi a n o v a n t a gradi dMta direzione primitiva, a c e n t o v e n t i urto dell' altro ~), s e r v o n o per a s s i c u r a r e al tubetto di vetl'o il sistema dell' anello. A tale scopo si fa r i p o s a r e il disco di c a r t e sopra i tre fill, come sopra u n a mensola, f e r m a n d o l o ad essi con u n a goceia di c e r a ; e la treccia si i n t r o d u c e a forza nel eavo del tubieino. Alla papte superiore di questo, in cor'rispondenza della camm~a C, si fissa poi, a n c h e con un po' di cera, to specchietto. Esso a v e v a helle mie esperienze un r a g g i o di 0,375 c e n t i m e t r i , e un peso di 0,042 g r a m m i ; la sue densits mi risultb u g u a l e a 2,4. Ponendo : lr h d r '~ ~-- 0,042 , si ottiene : h --- 0,040.

1) lndieo il peso dell'unitg di volume con la stessa lettera, cho ho impiegato a rappresentaJe la densi~h. 2) La fig. 4 a l i rappresen~a nella scala di 8 a 1.

SU

LA

FUNZIONE

Tree DI MAXWELL

419

La figura 4 b dk un' idea dell' equipaggio mobile, videtto alla met~ della sua geandezza reale. Con i dati, t h e ho riferito, riesce facile adesso di calcolave i momenti di inerzia relativi all' anello (MA), al tubetto di vetvo (M~), e allo specehio Ms ).

J

9

l,

& /

/

.,i/

i

Fig. 4.

Fig. 5.

P e r 1' anello e il tubetto il calcolo va fatto in- base alia formola (4), si ottiene: MA z 0,08947 , M~ ~ 0,00003 . Per 1o sp~cchio ~ necessm% ricava~e u n a n u o v a espressione, la quale, del resto, ei sa~'~ utile anehe nel seguito. I1 problema eonsiste nel dete,~minace il momento di inerzia di una ruota massiccia, le eui basi sono parallele all' asse di rotazione; si a g g i u n g e aneoca ehe la nomnale alle basi nel centco viene a tagliave l ' a s s e pcedetto in un suo punto O. Assumet'emo (fig. 5) questo punto come origine di un sistema di coordinate, p,'endendo per asse y l' asse di rotazione, p e r

420

A. GARBASSO

asse z la n o r m a l e da 0 alte basi, e p e r asse x f l n a l m e n t e la n o r m a l o c o m u n e ad y e z. L a d i s t a n z a di un p u n t o , P, d e l l a r u o t a d a l l ' asse di rot a z i o n e b la d i s t a n z a di P dal p u n t o Q, c h e h a la stessa y ; avremo dunque : Qp2 .dv,

dMzd.

_

~d.

_

m

(QG ~+GP').dv,

--" d . (z ~ + x ~) d x d y d z ,

e, i n f e g r a n d o :

M--d.

ff;(z

-~ M = d .

2 +x

~)dxdydz,

(z ~ + a;~ ) d x ,

dz h

o

h

o

o

e s s e n d o s i i n d i c a t o con 5 la d i s t a n z a d e l l a p r i m a base d a l l ' a s s e . P e r i n t e g r a t e c o n v i e n e face u n c a m b i a m e n t o di v a r i a b i l e ; posto : (C A , x') - - 0 verr~t : y - - - r s e n (},

dy---rcosOdO,

V r ~ - - y S _ ~ r cos 0 , e, s o s t i t u e n d o :

421

SU LA FUNZIONE Tree DI MAXWELL r162

A+h 1

TM=cl

9. ; d z ( r ~ z ~ . f c o s ~ O d O ' - ~ - 3 h

r~- /'cos* Od O) ,

o

h+h "--d

It

~

0

~r

~r

~

2

~-

9

l+cos40

dO+

4

2

dO),

0 r,,+z,

~d

..

z ~.'z'yV+-y

V+--S-~-

,

h

4 --~'--~rr~d I (5+h)33

5~3 "O-~-~hj ,

--~ z r~-~d4 " A ~ h + h~ A + -3 + ossia

:

(7)

(

,,'

Se si adopera questa formola nel caso nostro risulta : Ms ~ 0,00158 ; dunque: MA

~ ~ 55,5 ,

L ~equipaggio 5 sospeso con un filo di bozzolo, che nel mio apparecchio aveva all' ineirca un mezzo metro di lunghezza; l' anello d' argento viene a trovacsi, come bene si comprende, nello spazio che sta fen le due bobine, e i l tubetto di vetro traversa in tutta la sua lunghezza la bobina superiore. L' intero apparecchio fu coperto con un cilindro di cartone, munito di finestra a vetri.

422

A. GARBASSO

w 11. P e r la misura del europe elettromagnetico mi sono valso di uua spin'ale di bismuto ~), costrutta e t a r a t a dalla casa H a t [ m a n n e BPaun di Franco~'orte s. Meno. Le indicazioni, t h e si o~tengono per questa via hanno una coneordanza suffieiente, se pure non perfettissima. La resistenza della spirale eambia infatti da un giorno all ' a l t r o senza t h e si possa e e r c a r n e la eausa in condizioni esterne mutate, per esempio nella t e m p e r a t u r a : ma 1' incremento relativo si m a n t i e n e press' a poco uniforme. I dati, t h e riporto piit avauti, offrono di tale fenomeno un esempio caratteristico. Del resto a me i m p o r t a v a sopra tutto di eonoseere l' o f diae di grandezza dei campi impiegati, e d' altra p a r t e mi octom'eva un metodo di misura, ehe non impedisse di t e n e r e e s t r e m a m e n t e ~,icini i due nuclei dell' e l e t t r o m a g n e t e . Nelle esperienze definitive la eom~ente dentro le bobine fu s e m p r e di 20 k m p b r e , la distanza fra le superfiei affaeeiate dei nuclei di 0,2 centimetri. RiWovavo questa eondizione eollocando su la bobina inferiore dei pezzetti di lastra di rame, e allentando poi le viti in modo ehe 1' a l t r a bobina vi si venisse ad appoggiare. Ho det:eemiuato con qualehe e u r a il campc) eorrispondente, ripeteudo 1' esperienza cinque volte ill diverse giornate. Riporte,-b, come saggio di tall determinazioni, i numeri, t h e si rifeNscono a due misure. 1~ e s p . - -

23

Gennaio

1901.

Resistenza di confl'onto 32 Ohm. Posizione del corsoio suI file

Corrente nulla >>

di 20 Amp.

Resistenz,~ delia spiraIe

49,2

30,99

49,6

31,49 ~RR~- 0,0161.

I) Spirale N. 225~ avuta in prestige da| Prof. O Grassi del R. Museo lndus~riale.

423

SU LA FUNZIONE Tree DI MA.XWELL

2(, esp.

-

27 Get,halo 1901.

-

Resistenza di eonfronto 82 Ohm. Posizione del eorsoio sul filo

Corrente nulla ~>

di 20 Amp.

Rosistenza delia spirale

50,9

33,17

51,3

33,72 5R R ~ 0,0166.

Come media di queste e delle We esperienze r i m a n e n t i si pub a s s u m e r e : aR ~ - == 0,016 ; ora la c u r v a di taratusa, delia quale riprodueo una porzione nella figura 6, i m p o r t e r e b b e in corrispondenza di questa ordinata un campo di circa mille unitk (C. G. S).

j ~ ~Fj o

d~ao

~-f /@oo

Fig. 6.

w 12. Lo specchietto essendo piano le osservazioni si 5~cevano con scala e cannocchiale nel modo oPttinaPiO; t' obbiettivo di quest' ultimo e r a disposto a due metri e s a t t a m e n t e dal1' asse dell' equipaggio mobile. It resultato della ~'icerca y~ negativo. Quando si stabitisce la e o r r e n t e si vede nel campo del cannocchiale uno spostamento della scala, che, anci~e nei casi pih favorevoli, importa sempce un paio di divisioni (millimetri). Quest() spostamen~o non si inver.~e con la forza magnetica, e dura quanto il flusso ; deve quindi aseriversi ad azioni attr'atrive, la cui risultante viesce diversa da zero per le dissimeteie inevitabili dell' equipaggio.

424

A. G-ARBASS0

i n t e t - r o m p e n d o Ia c o r r e n t e si r r alia posizione d' eqnilibt, io, con un g r a n numer'o d' oscillazioni. A n c h e qui il senso della foeza m a g n e t i c a non semb,-a eset~citaee la m i n i m a influenza. Le espeeienze conducono senz' alteo alia d e t e c m i n a z i o n e di un limite m a s s i m o p e r la costante K. Spostandosi la scala della quantitA s, ment~'e la distanza lea 1o specchio e I' obbiettivo b t,, 1' angolo x desct'itto dal1' e q u i p a g g i o mobile si d e t e e m i n e r g con 1' e q u a z i o n e : 3

-~ = tg 2 x, ~-2x~ .

dalla quale si vicava : S

X =2--5 ' nel caso nost~% poich5 lo s p o s t a m e n t o senza dubbio, a una di~dsione, a v r e m o :

ceecato b infeeiore,

0.1

< 0,00025. La foemola (5) fornisce :

IKI.FHI

txl=

z,--X

~

4~tf'~ ~ d p l o g z e quindi :

IK[:Jnl

<0,00025

4~.t~ dp z-- 1 logz ossia :

0,00025

[Kt < l~171-5~-z 4 ~r,'a~ ( z - 1).

425

SU LA F U N Z I O N E Tree DI M A X W E L L

Se si intsoducono Rel secondo membco di questa disuguaglianza i valori nume~'ici giA noti, e che siporto ancora una volta nello specchio seguente : \~'1 /

r~ ~ 0,5 d - - 10,47

I H ] - - 1000

p --- 1,492 . 10' si ottiene

:

t K I < 0,015. w 13. Questo numeco acciuisfa un signif}cafo solamente se lo si p a r a g o n a con i valori numerici dei coefficienti degli altri termini dell' e n e r g i a cinetica. Quanto al momento di ineczia ho gib~ dato la sua espressione e la sua g r a a d e z z a ; r i m a n e solo da calcolare il coeffi. ciente di autoinduzione. La cosa si t'a agevohnente, applicando una fomnola de[ Maxwell, che fot'nisce iI coefficiente di induzione m u t u a (P) di due cecchi, posti in piani paralleli per modo che i cent~'i stiano s o v a um~ perpendicolare alla giacitura comune '). La focmola ~ la seguente : P~4~ra

(

1.r

x.~+3y

+4,a(

16a~

~

,~__ ~ ~

)

+...

2--a'~

8a

log~-

3x'--Y~.~ 16a"

) "'"

'

in essa : a ~ il raggio di uno dei due cerchi, a + x 6 il raggio del secondo cerchio, y 6 la distanza fra i due piani, b ~ la distanza m i n i m a fl'a u a punto del pcimo e uno deI secondo cerchio. 1) L. c. pag. 311.

426

A.

GARBASSO

P e r face il calcolo nel caso nosteo si consideri una sezione fatta ~on un pia~m passante pee 1' asse d e l l " a n e l l o ; 1' anello vet'rg segato secondo due rettangoli, uno dei quali ~ s e g n a t o in figura (fig. 7).

/

I Fig. 7.

Nel piano della sezione si p r e n d a n o due assi oetogonali, uno di essi (x) sia secondo il eaggio dell' anello, 1' altro (y) perpendicola,'e a questo pcimo. L' o r i g i n e saeg nell' ineonteo delte diagonali del e e t t a n golo di traeeia ; ogni p u n t o di questo r e t t a n g o l o d e t e r m i n a un cecehio, e i l coetlieiente di autoinduzione dell' anello si calcola t e n e n d o conto dell' i n d u z i o n e m u t u a di tutte le coppie possibili di questi cet'ehi a sezione infinitesima. Indieando con (xi Y,) e (x.~ y,) e i s p e t t i v a m e n t e due punti t,cesi a easo d e n h ' o il ~'ettangolo, e sceivendo r p e r r,-4-~% bisogneeg nella fomnola di Maxwell potage : in luogo di a . . . . . . . . . .

~" - + - x , ,

'>

>>

>> Y . . . . . . . . . .

Y~ - - Yl ,

;,

~,

,,

l/(x,--x,)~.4.(y,--y,)

~

. . . . . . . . . .

= .

Viene d u n q u e : __

7

x~--x,

P--4~(r+x,)kl+2(r+xO

§

~

( . ~ - - ~ ) ~ - ~ 3(y~--y,) ~

4-

~) I--2

16~.,~j~).~ x~ - - x , 2 (r+x,)

~-

n

~- -~ ;~

§ ...jlog8v(x2__x,)~§

3 (x~ - - x , ) ' - - (g~ - - y,)~ -~ ""1 -- 1 6 (r § x~) ~ '

SU LA FUNZIONE Tree DI MAXWELL

42'7

ossia : P = .1~.~"(1+- y)L .~r ' r

1+

+ 4 ~r r ( 1 + 9 )

~--2--

~

2r

/~

x.~\V

3 (x:

9)

+ (x~--~v~)~+3(y~--Y~)~16 ~*

4-"

x, +

--

x,\

x,7

~)~

--

(y~ --

+...~,

y,)'-

16,"~(l +

(1--29)-4-...j

.~ x~--37~1~

--

§

log8

3 (x~--x~)~--(y~--y~) ~,'

9

-= 9 ) +...] ,

37~, --~g~ ~ .4.. 2~'-'

~ .+. (x~ - - x , ) ~ -4" 3 (y~ - - y~)2 16 ~'~ + . . . j log 8 V

+4~.7'

1

.4. xl , __9 ~'7]

--4~ ~ - 4 ~ 9 I f - + - -X2+~7~2~,,

-4- 4 e ~~ I - - 2

X~--X~ ~ 2 ~

2

~,~

-1'

e-

(x~-x,) ~+(y~--y,)-"

16 ~"-"

(x~--x'):'4"3(y~--Y')" lOv ~ +... 1 log8 x~ - - x , - - 2 ~

v + x,

+ ...

V (x~-x, p+(y.,--yj~

3(x~--xJ~--(Y~--Y')~ 16 r ~

l

+ ....

A questo p u n t o si notePh che 6 : ~+x,

'r q- ~

o~ s v (~ _ -_- y= O = ~~,+~ --~log8 + log =log8

=1o~ 8+1og

-- log 8

V (x:--x.,)'<+-(y,--y,):

r

1/(~-x~) ~+(y~Ty,) ~ r

V (x~--x,)~§

(1+ 9)

+log (1+ 9)

, ,

~

~

V (x~--x~) 2 +(Y2--YL) 2

'

+- x,

r'

x, ~ + . . . .

2~"

428

A. G A R B A S S O

e quindi, sostituendo :

P=4.~'[ I + ' ~ - H

(SG--~')~*3(Y'--Y')~ ] log8 ]6 r '

~ ~

_

[--2- x,--x~ ~2 x,

+4~r

L

x,

+ ~-: -4' rLl§

_4

2 ~'

r

(x~+x,)x,

2~

.

-

x,-t'x,

---4"~'l~

-

x,) ~ (Y2 Y,)~ - t -

-

1st'

-

_l l o g s g i x _ x , ) ~ + ( v _ y , ) ~

x~x~ +3(cG--x,)~--(Y~--Y~)~j

+

2 ~"

Ps log V (x,

-

16 r ~

~2-r

16 r ~

2-----~ + (~--x')2+3(y2--Y')']I6~

.+. ~r L

-

-

~

2~'~J '

2r

-

3 (x~ +

V (x~-xY+(y~--u,)

X,~l

2 r~

+4~rrI~2

- - Pi

J

-

"F ~ - +

xi)' + (y~

-

-

-

16 r 2

'

J

j

y,)~.

C o n s e r v a n d o a l l e l e t t e r e l e d h il l o r o s i g n i f i c a t o ') pot r e m o s c r i v e r e iI coefficiente di a u t o i n d u z i o n e d e l l ' a n e l l o sotto la f o r m a : h

+-E

L=

1

h

+~-

G,&

t~ n . I

.I

h 2

h 2

1

l

+~-

+-~-

Y

,!

1 '2

1 2

B i s o g n a adesso f a r e la s o s t i t u z i o n e ed e s e g u i r e i calcoli. I) Si confroati il sosto paragrafo.

1

SlJ-LA FUNZIONE

429

Tree DI M A X W E L L

Pom'emo anzitutto : L ~ L l - - L~ ,

I, I ~ l~ ha

ffff

y~ dy~ d:v~ d~e~ P~ ,

L,--z@ ffffdy~ dY, dX~ dx, P21ogy (x,--xJ'§

.

I1 p r i m o t e r m i n e si c a l c o l a i m m e d i a t a m e n t e e f o r n i s c e :

§

--2l~h"§ 1

§

--2+

r~

l2

96

)2glJ'

1 h~

1 l~ 32 r ~

1 h~. 96 r---~?'

l~ h ~ se si t'a 1' i p o t e s i - c h e i t e c m i n i in ~:~, ~ s i a n o t c a s c u c a b i l i cis p e t t o a g l i altci r i s u l t a : L'~ ~ - 4 ~r r (log 8

r

--

2) .

Ed o r a c e s t a da c a l c o l a c e il s e c o n d o t e r m ] h e , c i o g :

It

t

!JJfl

questo pub scindecsi in quattPo, p o n e n d o sua e s p c e s s i o n e . Sac~ i n f a t t i :

L~--'L m § con

in

luogo

m + L~ls+L:n,

:

h h +=z z + - i - + - i - ~- + - i -

Lm-~l.hZ

Y2 9

Y

x

x., log V (x.--x,)~-4-(Y.--y,)" ,

r

h

h

t

1

2

2

2

2

di P~ la

4:~0

A. h

h

@A R B A S S O

l

+~- + ~

1

+T2 + T

L,,,=~.~,~,.4"" =~ [.l:J..fd,J,Id...fd.,#..+..,)~ogr(...--*.,)" " ~r.?

" .]

,I

3

h

h

1

l

2

2

2

2

5

h

l

'+(V,--Y,)-.~

1

+ T + - g +-5- +-~ h 2

h 2

l 2

l 2

+~-h +-gh + y l +~-l 4~'?"

3

"

h

~t

h '2

2

l 2

"

--

2

~ .

l 2

I1 primo di tali tel'mini, L~,,, fu gig calcolato dal Maxwell *), a meno del fattove 4 ~ r esso rappresenta infatti il l o g a r / t m o della d i s t a n z a g e o m e t r i c a m e d i a (m) del rettangolo da se medesimo, ~ quindi : L=,~ = 4 ~

~- log (lg + l 2)

l o g m - - 4~rr

I ?~'

12 1~ log

t~+/'~

e l

12

h

/~ log 1+ .l']

e a

a

25]

~. z,=! ~- ~- TavtgT +-wTavtg h

II secondo termine, I.,~,=, 6 nullo, come 6 facile vedere; in genecale infatti si a v r g : l +-g+-j-1

J.

+ yZ

l

l

j

2

`2

2

dx

+ - gl

1

d x X o3 ,so ) = clx 1

l

0

l

--q-T "-r-Y

0

l

l

l

l

1

-~ 2

~

~ q e

2

l

[" e-

+. [ dx=fdx~X; 0

0

t ) L. e. pad. 296.

0

0

0

0

0

0

SU LA F U N Z I O N E Tree DI M A X W E L L

431

considmqamo in paeticolave il p c i m o temnine, p o n e n d o pel" X (oJ~, x~) la sua espressione, vale a dice occupiamoci dell' integcale :

b

" doG f

dog, ( ~ + og~) log y (og~---x,) ~ + .O=

o

PPendendo delle n u o v e vaviabiii, definite dalie relazioni :

Z~

esso d i v e n t a : l

1

2

2

- - . ; d.Z~ .f'o~Z, (Z~ + &) log V (G - - &)= + ca , 0 0 e poieh&, teattandosi di integ~'ali definiti, i nomi delle bill non impoPtano, potpg scPiversi a n e h e : 1

1

2

2

vaPia-

--- ['cgx~ lax, (:& * x t ) l o g V (s - x , ) ~--~ c ' ; 0

0

il pPimo t e r m i n e nell' espPessione di L~,= si d i s t e u g g e d u n q u e con 1' ultimo. S i m i l m e n t e si t c o v e c e b b e ehe il secondo a n n u l l a il tel'zo, essendo :

l

l

-- f dx~ ;dxt (,z~ + rt} log y (x~ -- x~)2 + c ~-~ o o l l

f ~ 0

0

_

a~l) s - ~ c ~ ;

vuol dice ehe L.2,~ 6 nutlo idenCicamente, c o m e si ePa a n n u n ciato. Restano a calcolaPsi Ls, a e L~,~, m a st capisce che i c a l -

432

a. GARBASSO

coli, che sevvono pet" uno di questi integvali sono a n c h e utili pep 1' alWo, dal m o m e n t o che, a m e n o di un fattove numeeico, si passa dal pPimo al secondo s e m p l i c e m e n t e scambiando le x con le y. F a c c i a m o dunque, p e r esempio, 1' i n t e g e a z i o n e d i : h

l

1

+-Y +-g

h

+T

q-T

f < f .., f h 2

h 2

+ (Y, - - y,)' .

l 2

1 2

Gli sviluppi Piescono assai l u n g h i e tediosi, m a non offvono n e s s u n a speciale difficoltg; le fopmole, che s' i m p i e g a n o un gean n u m e v o di volte nel covso del caleolo, sono le seguenti, le quali tutte possono deduvsi p e r mezzo di successive integvazioni pavziali :

a). fro.,

~em-]-I

2

log (m~ + c ~) elm - - m.-t-,1 log (a~2 +, c ~) - - m + i 2

C~ Xm - 8

Xm - I

+ ~

c~ m - - 1

~ 2

~

m+l

xm+l

~-~+--1 +

2

Oet

+ ... --4-~ G I c"-1 ~-w-

cm+l -~1 log (x ~ + c ~) + C, (pep m i n t e r o e disparq)

b).

X

m log

a~m-~-I

+~--~c ~ ' ~2

o

( ~ + c ~) dao-- m + - i log (ao' + c ~)

~ cm'-~1 a r t g c

m+l

~

m+l

a~m.+l m+]

-a-

~-7-3 + ' ' ' + ~ e ' ' a ~ m + l

"-1- 0 ,

(per m i n t e r o e pari)

r

f mm log m~"da~ ~ a~mOrl m+---~ log x ~

2

m+l

Oem+l + C

m.+.l

(per m qualunque)

'

433

SU LA FUNZIONE Tree DI M A X W E L L f~

d).

C

~m-4-1

C

0, avtg ~- dx=__~ ~m--4

C~

C

~Ln

artg ~- + m + l m Cm

cm-Jrl

Ca

Offm--2

m + l m--2 + ce

+ m-Pl m --j. - - " " -4--~+-~ ~ _~ ~-~-~ artg c 4- C , (per m intevo e dispavi) j~

e).

C

xm"~ I

,,, ar~g x d x = ~m--4

C~

,4"

C

C

~-n-~ avtg ~- 4 - m §

Wm

m

0s

X m-2

~ n + l m - - 2 4-

-4 C.... ~ X~ _ C'~+l 1 log (~'~-4-C~)+C, (per m intero e pari)

x d~=xartg f). f avtg ~-

w c

~e log (x ~ + c ~) + O.

Eseguendo il calcolo per intevo risulta : h

h

+Y

1

+Y +7

l

+~-

h

h

l

1

2

2

2

2

-

2

+-g-[ Ph ~ log (l~..~h "~)--

]-~ l/r artg -1

" ~ l p hs l~ (l' + h ~ ) - - ~ l h~ artg Th § -51 l~/~artg ~-I . Si ottiene dunque senz' a]tro : + T" + T

d-

dy~ ;dy,

+§

d~z~;d'c,

h

It

l

1

2

2

2

2

~ 2-0 h I - - ~

t"l--- ~j/t6 log

+]~l?l~log(h~+l') & t i e y . Fol. L

log

l

hl~artg~§

(1-f. h2'~

l?lartg-[ - . 28

434

A. GARBASSO

Con questi elementi si possono valutave con tutta facilitk i termini Lj, 3 e L~,, del nostro coemciente di autoinduzione. Viene infatti : 4~ ~

i

/6log

l~h~ -

+ l h61og (l + ~--~/)~+ l ph'log(l~+h')-- ~ lh~al'tg Th 1

+ -~-/~hartg ~- 4- 3 f - -

1 h.~ h ~--6 - l a~tg l 4,r

1

1 1 h artg 15

19) l~h~ (19 3. ~.~) l~ h,

I(1

-- ~--3.~6

--

! t

h -+

.

4,~

1

-- l~h~ " 1 6 r ~ [

89 - 1~-~0l~h~-- ~O

12 + ~ l ]

2

z

l hartg ~ - J , 1/6log(l+/?

~

IVt~"~"

-i~]

~ artg 89

, .~

41

1

l*

h~

- - 4 x ~ ' . 1--6-~ I--" P220n - - 3-6-6l" + ~ ~ log ( l - 0 - ~ ) __ 1 8 h~

+(1

~].

-0 ~-~ -~- artg / . ,

l~ .~ 1

SU LA FUNZIONE Tree DI M A X W E L L

e, s3 si fa l' ipotesi che i t e r m i n i

435

p h~ . ill )-5, ~ slano trascurabili

rispetto agli altci, r i s u l t a : L'~,, ~ L~,, -~ 4 ~ r log

m

L'2~~ + L'~y~ ~ 0 ; viene dunque, in p r i m a approssimazione : L~---L'=L', --L'~, -~-4 ~r r ( l o g 8 r ' - - 2) - - 4 ~r ~" l o g m , --'4~r~ ~ log)-~2

-~ 4~ ~ -I- ~%

2

,

og

m

2

2

r r~) -7- 2 ~r (r~ + r~) [ log 4 ( r , -m

(8)

' 2 1 '"

t h e 4 la for, mola, che io ho dato ia u n a n o t a p r e v e n t i v a , nelta quale ho ~iassunto la p r i m a pavte di questo l a v o r o J). Nel caso pifi g e n e r a l e si ottiene i n v e c e : L --- Ll - - L~ ,

{ log

4.e

1

8 ~" "( 1 +

["

1 hl~' ~ ' ~1+ ~~5),- - -

89

41 l~

1

"1 r ~ l o g m - - 2 + 321 hP~ ~ '96

l',

/.

h~x

]

h',

/

P\

16r'L

-:- -~

7~ h* log (l~+h2) 4- -[g -i- artg--

:::2~r (~', + ~ ) 1

F

log 4 (r~ + ~'~). I +

h~

~

1

l~

24 1

+ ~- (r,~r~i~ j - - log m -- 2 +

~ 221 p +

(r,.+r,) ~ [1440

(9) P

240

~

L' +

-

h~

1 ]P

,

l~

~ -P

L"

I) A~ti doll~ R. Aeeadomia di Torino (Adunanza dol 24 Fobbraio 1901).

23 h~ 1~

436

A. G'ARBASSO

Fatto i! caleolo viene : L ' --- 9 , 4 4

L':

,

0,12 ,

e quindi : L ~ 9,56 , il quale resultato fa v e d e r e come la formola (8) possa impie. garsi senza e c r o r e no tevole nei casi della p,'atiea. w 14, Siamo in grade adesso di eonfe.ontal~e tr'a lore i tre coetIicienti dei ter'miai dell' ene~gia, Viene infa~ti ; L

9560

iKi> l-W,

M

89

o

600,

~ 6 circa,

Dei tre ter'mini dunque, ehe eostituiseono 1' espressione di T, quello ehe eorrisponde all' energia magnetiea g di gt-an lunga il pifi i m p o r t a n t e ; e i l t e r m i n e del rettangolo si pub rigorosamente t r a s e u r a r e rispetto ad esso. Non ~ leei~o coneludet-e per ol~a ehe sia anehe trasem'abile davanti all' altro, ehe esprime 1' energia einetiea della masse ponderali. Ad ogni mode per6, anehe nel ease pifi favorevole, 1' effetr di eodesto temnine in pratica non ~i sente. 15. Resta a ve(tersi da ultimo come i resultali delle no~tre esperienze si poss:mo inte1"pveta~'o dal punto di vi.~ta della teot'ia; eonside~et~emo all' uopo un po' pi~l da vicino un modello del fenomeno. E sal'~'~ 1' ingt'anaggio diffe~'enziale, studiato dal Maxwell, del quale he fatto eenno m,1 pl,imo pat'agt'afo. In questo ease pa~'tieolare il termine del ~'ettangolo, a meno di un f'attm'e numat'ieo, ha pet" eoafIiciente la diffex'enza : M s , ~ --- M ~ , ~ ,

ed b ben ehiaro che, nelle eondizioui helle quali l' apparecchio fu impiegato dal Maxwell, dall' E b e r t e ultimamente da me, codesto binomio deve esset~e sempr'e positivo.

SU LA FUNZIONE Tree DI M A X W E L L

437

La vuota R.~ ha infatti lo stesso diametvo delle altre due, il suo raggio misuva dunque la distanza dall' asse a'. Ne viene cosi che il valove minimo assunto da r nell' espressione di M3,1 pareggia il valore massimo, del quale si deve telaer conto per valutave 1' alteo momento; e perb : M,,~ > M3,~ 9

Del resto la cosa si vede anche meglio riferendosi alle foemole. Sark infatti, secondo la (7):

M~,,=,~'a. r ' h + h ' r + y §

m e n t r e che, per la (4) deve scriversi: 1

M3,~ z ~- ~ r h d r * ; segue dunque :

la quale somma, avendo tutti i teemini posi~ivi, 6 positiva, Questa ~ la ragione, che pende l' appavecchio bene adatto pee vappvesentave i fenomeni induttivi fea due ciecuiti; neI caso dell' elettr'odinamica iabttti il coefticiente del vettangolo unit quantitg maggiore di zero. Le eonelusioni d81 paeagvafo deeimoquarto inveee portevebbevo ad ammetteve ehe, nei bieielo eonsiderato da noi, deve r.itenevsi K, pvatieamente, uguate allo zeeo. Questo avviene senza dubbio s~ non vi sono vineoli fi-a il primo e i l secondo sistema pavziale; ma non & leeito eoneludeee senz' altvo ehe i vineoli manehino quando il eoeflieiente del vettangolo si annulla: ia eosa rimane a deeidevsi. Noi possiamo anzi peopovei un pvoblema pifi geneeale, se cio~ vi siano delle disposizioni che rendano n o n p o M t i v o il polinomio : (M~,, - - Mp,,), P

438

A. GARBASSO

dove la somma accenna all' esistenza di altri organi accessorii nel sistema di trasmissione. Studiamo a questo scopo 1' effetto di un anello, connesso rigidamente con la ruota Ra, e centrato sopra a". II sao momento intorao all' asse ia discorso si deduce at solito dalla (4), ha dunque pec g r a n d e z z a : M~,~ ~ - ~

1

~ hd.(ri*--rt"

) ;

quanto al memento relativo all' asse a' possiamo ricavaclo per differenza dalla formola (7), sottraendo dall' espressione, che vale per la ruota piena di raggio ~'~ e sloessore h, il momento della ruota definita dalle costanti ~-~ e h. Quindi sar~t :

(

MA,,~ ~d.

~'2 ~ h ~

~

5 ~ h -P r ~ h~ 5 4" ~ - -

r~ ~ h \

.r - ~ - )

r , ' ,P

r ~ h)

.

Nel caso particotal-e in cui 6 5 - - 0 , caso che in pratica pub -v'eHficacsi sol() peL' appcossimazione, v e r r e b b e : M',,,---- ~ d.

--

(r~ ~ - - r , ~) + ~ - ( r 2 - - r , ~)

,

sarebbe dunque ' M'~, i--MA,~--Ird

.1-]._#

h

h,

,

~,l

L O m

h~

h

rt,) ]

la quale differenza pub manifestamente rendersi negativa. Quando # data la ruota R3, val~ a dire ~ dato il binomio ; M3.

--

M~,~ --- ]~l,

bisogner&, par anuullare o i n v e r t i r e l' effetto dei vincoli rendere :

~l+~d.

(r~'--r, ~)-

]

(r~~ - r ? ) ~ 0 ,

439

SU I,A FUNZIONE Tree DI MAXWELL

ossia : I

h~

.hal.

(r?--r,')

(r,~ +

r } ) - - G >k

,

Se, p e r esempio, ci diamo la condizione h = 1, risulta I

Io ho posto, in un modello, c h e ho r e a l m e n t e c o s t r u i t o : /=5, vale a dire: r~ = r ,

+5,

sostitueado i quali valori si ottiene :

,rd.(25+lO,.t)(2r,2+25-t-10~',

1 ) ~,~,

4

3

~

P e r la r u o t a R~ si ha, nel mio a p p a r e c c h i o : r---6, h=l, e pero :

Ms, l - - Ms, ~ = }~ = ,r d . 1200 . Ira condizione che d e t e r m i n a r , ~ d u n q u e :

(25 +

10 r , ) {2 ~,2 +, 25 -I- 10 r , \ 4

e da essa si d e d u c e : r I > 3,42.

1

--

- ~ ) ~ 1200,

440

A. ~ A R B A S S O

Non sal'ebbe possibile, in pratica, un anello con il caggio di 3,42 cm., il compreso dentco lo spazio limitato ruote. Conviene invece p r e n d e r e un per modo che il caso limite :

appticare all' apparecchio quale riuscil'ebbe in par'te dall' asse a' e dalle tre anello assai pifi gcande;

M~, i - - Ms, i + Ma,, -- MA,~ -- 0,

si verifichi pei" una distanza non nulla dall' asse e cosi si abbiano con l'acilit& i fenomeni corrispondenti alle tee ipotesi :

< Ma,, - - M~,~ + MA,, - - MA,~ ~

0 .

La cosa @ tanto pifl consigliabile per cib che, nell' appat~ecehio reale, vi sono altri o~'gani, i cui momenti sono lungi dall' essere tcascul'abili, e l*iescono sempce pifl gcandi intorno ad a' che a d a " . Vi 6 (fig. 8) il mauicotto e l' asse, che portano la ruota R,, un altro manicotto fisso, che impedisce al pt-imo di spo-

Fig. 8.

sfarsi lungo a", e un tel~zo, at quale, con 1' intecmezzo di due robuste braccia di ferco, si raccomanda 1' anello,

SU LA F U N Z I O N E Tree DI M A X W E L L

Pro" abbondanza he scelto di daPe a quest ultimo le mensioni :

441 di-

~h=12, 'r~ = 17 , h

=I').

He poi aggiunto, s i m m e t r i c a m e n t e ad R~, una quarta r u o t a ed un secondo anello, pep equilibcace il sistema. L ' a p p a r e c c h i o Pisponde, bench6 in mode gpossolano, a cib c h e l a teoma pi.e. v e d e ; del resto non si potrebbe pPetendere una concordanza molto buena, dal m e m e n t o che tatuni organi importanti, come, pep esempio, i pignoni, non hanno che in mode appPossimato la forma semplice, che s ' 6 supposta nei Calcoli. Si tPova ad ogni mode che, portando gli anelli vicinissimi all' asse a', i fenomeni d' induzione Piescono opposti di segno a quel]i ordinarii; mentPe p e r una certa distanza non v ' 6 effetto sensibile del pPimo sul secondo sistema paPziale. AI di 1s di questo limite le azioni induttive Pipeendono, come 6 facile intendere, il solito carattePe. Se ne deduce in 1)Pimo luogo che il coefficiente K ' ) p u b benissimo annullarsi senza che i vincoli faceiano difetto. Che so poi nel sistema si esercitano azioni induttive, i vineoli sono senza dubbio presenti, m a non 6 lecito dal segno di az, conctudepe a quello di x.a dat moment, o c h e l a K non necessaHamente positiva. w 16. Lo stesso resultato potrebbe anche ottenersi con la considePazione dell' ingPanaggio di HuyghenG che fu pPoposto da LoPd Rayleigh pal m illustcace i fenomeni del biciclo 8). 1) Tenendo conto dei &~ti presenti, e degli altri rela~ivi ai singoli organi, the he ricordato dianzi, si trova, p. e.~ per A ------ I :

(Mp,, - - Mp,~) < o . P

i~) Ciob, per 1' ingranaggio differenziale, la somma:

(Mp,, -- Mp,,). P

3) Phil. M~g. (6), XXX, 30, 1890.

a. GARBASSO

442

Due puleggie uguali, P~ e P~, (fig. 9), ~) sono poriate da un medesimo asse, AB, pul~ rimanendo indipendenti, e helle

Fig'. 9,

loro gole scorPe una catena senza fine, la quale eeca alice due carrucole, simili in tutto a quolle prime. La distanza fra P~ e P~, contata da gola a gola lungo A_B, ha per misu~'a il loro comune diarnet~o. Siam il momento di inerzia di ogni pulegg!a intocno al suo asse, e /~ la massa, e ~" il raggio; siano poi m~ e x~ le ve|ocitk angolari di P~ e P~, L' enePgia cinetica del sistema pub sct'ivel~si manifestamente : T=I

.~

1 9 2[3

1

9

1

l

o

~.~)_~ 1 9 ~ 1 3

1

1

~

, 9 9 ~'~--)n

1~ facile vedece che, in queste condizioni, il coeflfcient~' del rettangolo 6 sempre positivo. Sara infatti: 1

I) Nella fig'ur~t 11o aggiuato i volani solamen{:e alla quar~ pule~*gia, per non complicare troppo il disogno,

443

SU LA FUNZIONE Tree DI MAXWELL e dunque :

,

~

,(

1

(~ ~a - - - m ) _~- ~

~_--

1 4

lr h d ~'" - - - ~ z h cl ~a

),

z l~ d ~,~ .

Ma se si i m a g i n a di a g g i u n g e c e sopca gli assi delle pul e g g i e P~ e P, due coppie di volani le cose possono c a m b i a r e . In eealt'~, essendo p e r questi volani m ' il m o m e n t o e ~' la m~ssa~ ~v'epFa, :

V' m~, + -~ m x ; + ~ .

E- m

1 1

1

9

9~

+ 4. ~- m ~ , - T - - }

" ""

~

1 (m+2m')(a;,

: -~ ma~l~+ ~ ma~ + -4-

1

, r(~,+~;,)

~,

~-2~,~,§

1

1

9~

9

3

1

§

,)/

+~.~ ~:- 0' + 2 ,:') r' - - (m + e m') Adesso si ealeoler'g a g e v o l m e n t e m ' e ~' secondo le mole : 1

for-

m ' = T '~ a a . (s= ~ - - r, '~) , .s :

,r h d . (*'~ - - ~'~'),

supponendo, p e r semplifieaee, t h e i v o l a n i abbiano lo stesso spessoee delle careucole, e siano ricavati dallo stesso mateeiale. It coefl%iente del e e R a n g o l o d i v e n t a :

~- [(~ + 2 s')

(m +

----

=

--el ~ a a [ - g r

[,,age'

+ ( , . , -~-, ) [2r'-(r='~- r,')] j

444

A. GAB.BASSO

Supponiamo ancora, onde i n t r o d u r r e una determinazione ulteriore, che il raggio inferno degli anelli (r~) sin uguale all' esterno delle carrucole (#') e scriviamo : A

per

r ~,

A+ B

per

s2;

verrA :

1

I z~ d [(~ + 2 j) ~-= -- (m + 2 m')] -----~-.

si riesee dunque zione facendo :

ad annullare

(,~ IA~

o invertire i fenomeni

IA~ B~> F

B ~) ",

di indu-

'

cib che ~ s e m p r e possibile. w 17. Oueste cose, che abbiamo constatato con lo studio di due modelli dinamici e che potrebbero dunque, per cib solo, come g note, vevificarsi anche in infiniti altri modi, pecmettono di e n u n c i a r e alcune conseguenze sopra la n a t u r a dei vincoil, che collegano 1' eletWicits con la m a t e r i a ponderale. a) Appare infatti in primo luogo che p r a t i c a m e n t e le rose v a n n o come se tall vincoli n o n eMstessero. b) Malgrado questo, quando anche coil ulteriore approssimazione si potesse m e t t e r e in sodo la m a n c a n z a del t e r m i n e , che contiene il prodotto della velocit.& a n g o l a r e e della intensit'& di corz'ente, sarebbe s e m p r e lecito s u p p o ~ ' e the ~ vincoli esistono, bensi sono dotati di ce~te speclali p ~ o p r i e t h . c) Che se in qualche caso particolare si manifestasse uu tecmine della forma K x y nell' espressione di T seguirebbe bens:t con ce~'tezza l' e s i s t e n z a dei vincol~, m a n o n st potrebbe a [ f e r m w r e nulla sttl ve~so, nel quale si m u o v e l' elett:rlcith nei conduttori, che gu~dano le c o r r e n t L Torino, Maggio 1901.