~o9

SOPRA UN TIP0 DI ALGEBRE PRIVE DI DIVISOR[DELL0 ZERO. Memoria di F r a n 0 e 8 0 0 C 0 0 i 0 n i (Livorno).

Ad'ananza dei 22 aprile x92 ~,

Premessa. t. /~ nota l'importanza che ha, per la teoria generale delle algebre lineari associative (definite in un campo di ra[ionalitdt z) arbitrariamente dato), ta considerazione delle algebre prive di divisori dello zero, dette da alcuni autori algebre primitive, da DtCKSON e da altri division algebras; alia determinazione di queste algebre si riduce infatti ta determinazione deUe algebre semplici (con modulo) ~). Nel campo totate e net campo reate it problema della determinazione di tati algebre ~ risoluto comptetamente da un noto teorema di FROBEmUS; ma in ogni altro campo di razionalidt non si conoscono altri tipi di algebre prive di divisori delto zero, cbe non siano commutative 3), atl'infuori di un tipo trovato da DtCKSO~ *), e studiato poi anche da WEDI~EI~BtSRS, che qui ora appunto accenniamo. Sia f ( x ) - - - o un'equazione abeliana cidica, di grado n, in un campo di razionalidt t) Pu6 vedersi, a proposito di questo concetto, i[ recente libro di G. SCORZA, Corpi numerici e algebre [Messina, Principato, 1921]. a) j. H. MACLAGA~r WEDDERBtIR~, On hypercomplex numbers [Proceedings of the London Mathematical Society, (2), vol. VI (19o8), pp. 77-II8], p. lO9. Cir. anche, ad es., G. SCORZA, libro cit. x), p. 34o; G. SCORZA, Le algebre di ordine qualunque e le matrici di I~IEMANN [Rendicondi del Circolo Matematico di Palermo, t. XLV (I92I), pp. I-2o4], p. 82; L. E. DICKSO~, Linear Algebras [Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physic, n ~ i6, Cambridge, University Press, 1914], p. 66. In questi lavori, e speciaImente ne[ libro detlo Sco~tzA, pu6 trovarsi una esposizione deUe propriet~ generali relative alle algebre lineari associative. 8) Le algebre primitive e commutative sono, manifestamente, dei corpi numerici. Nei corpi finiti tutte le algebre primitive sono commutative; v. WEDDERBURN, On a theorem on finite algebras [Transactions of the American Mathematical Society, vol. VI 09o5), pp. 349-352], e SCORZX, libro tit. t), pp. 45o-454. 4) L. E. DIcKsou, Linear associative algebras and abelian equations [Transactions of the American Mathematical Society, voL XV (I914), pp. 3v46]. Rind. Cir~. Matcm. palermo, t. XLVH 0 9 2 3 ) . - - S t a m p a t r

il 15 ~r162

19~.~.

~7

~-IO

FRANCESCO

CECIONI.

K (contenente i suoi coetticienti), irriducibile in questo campo, e siano 9 ,

=

=

=

...,

=

=

le sue radici: 0(x) rappresenta un polinomio di grado n - I (al massimo) col coefficienti in K~ ed 6 manifesto il signifi:ato simbolico degli esponenti in parentesi; ~ poi 0("~(~) ~---x. Consideriamo un'unit~t i tale che l'equazione di grado minimo cui essa soddisfa [equazione minima s)] sia f ( i ) = o, e sia j un'altra uniter per la quale ji=

o(i)j

e

j" =

dove g 6 un numero di K, e supponiamo che j" = g sia l'equazione minima di j. Le uniter fondamentali dell'algebra di DmKsos (di ordine n') sono allora le n ~ unit~! i,j

($, k ~

O, I , . . .

, n ~

I).

Se non esiste alcun numero nel campo di razionalit~ [K, ~] (cio6 alcun polinomio ?(~) coi coefficienti in K) la cui norma 6) sia uguale ad una poten~a di g minore dell'n *';'~, l'algebra di DmKso~, cosl definita, 6 effettivamente priva di divisori dello zero (nel campo K) 7). In un recente lavoro s) WEI)DERBUmq ritornando suli'argomento (e dimostrando fra l'altro che le algebre di DlcKsolq, per n = 2 e n = 3, sono le uniche algebre primitive non commutative dei rispettivi ordini 4 e 9) ha occasione di porre la questione se esistano algebre primitive di un tipo analogo a quello di DmKSON, ma corrispondenti ad un'equazione abeliana irriducibile qualunque (non ciclica)f(x)---o; in esse non si deve pifi avere una sola unitA come la j, ma tante quante sono le radici di f ( x ) - - o . Precisamente queste algebre (che formano appunto l'argomento del presente lavoro) sono algebre primitive in un dato campo di raxionalit~ K, rordine deUe quali k un quadrato perfetto n ~, e che contengono un elemento i la cui equazione minima ~ un'eq1~azione abeliana di grado n (I) f ( i ) = o, col coe~cienti in K (ed irriducibile in K). Quest'ultima proprietA ~ necessaria dato che l'algebra 6 primitiva. Se l'equazione (i) 6 ciclica si ottiene l'atgebra di DmKSON sopra accennata. Supporremo qttindi la (I) non cidica.

s) ScoRzA, libro cit. ~), p. 228; Memoria cit. 2), pp. 33-34. 6) 1~ ben noto chela norma di ~(~) ~ il prodotto (razlonale in K) q0(~)~(~z) ... ~?(%-x)" 7) Per 1~=2, n = 3 cib h stato dimostrato da DICKSON nella Memoria cir. 4); per n qualunque da WEDDER~URlq, A type of primitive Algebra [Trans. of the American Mathematical Society, vol. XV (I914), pp. I62-I66]. 8) W~DDERBORN, On division Algebras [Trans. of the American Mathematical Society, vol. XXII (1920, pp. 129 135].

SOPRA UN TIPO DI ALGEBRE PRIVE DI DIVISORI DELLO ZERO,

2If

Queste algebre [con la (x) non ciclica] le chiamer6, per brevit~i, algebre P~ o algebre deI tipo P. Per queste algebre P lo WEDDERBURN ha dimostrato a) che, se 09

=

0o(

) =

...,

=

=

(dove i 0 ( ~ ) sono polinomi in ~, di grado n ~ I al massimo, col coetticienti in K) sono le radici (tutte distinte) di f ( x ) - - o , corrispondentemente ad ognuna di queste radici esiste nell'algebra un elemento ] non nullo tale che si ha per esso

i,i---

9 (2)

O(i)j,

(r=o,

~.

. . . .

n--

I);

fra questi elementi lo Jo pub st~pporsi evidentemente essere il modulo (unit~. principale) dell'algebra. Si possono assumere allora come unidt fondamentali dell'algebra le seguenti (3)

Io,

iio, . . . , i"-'Jo,

j,,

ii,, ... , i*-'L, ... , L_,,

i j . _ , , . . . , i"-'i._,.

Per persuaderci di ci6 basta/provare che gli elementi (3) sono linearmente indipendenti, e ci6 si vede subito. Se infatti si avesse una relazione lineare fra essi, cio8 una relazione

dove i %(i) sono polinomi in i, di grado n tale relazione per le (2) si dedurrebbe

I

al massimo, coi coefficienti in K, da

~ + ~ ( i ) 0 (i)j --- o, onde, di nuovo per le (2), e cosi seguitando --~--

~

, + , ( i ) Or( 0

nFl

,

Jr =

o.

Se ora in tutte queste uguaglianze si sostituisce l'unit:l i con una radice ~ dell'equazione f ( x ) - - o , e le unitli ]o, J,, . . . , ],._, con akrettante incognite yo, y , , . . . , y , _ , , le uguaglianze di sopra divengono un sistema d i n equazioni lineari omogenee helle incognite Yo, Y,, . . . , Y,_,, ed il determinante risuka differente da o dato c h e l a f ( x ) - - - o ha tutte le radici distinte ,o); da queste equazioni si deduce quindi Y o - - Y , - " "'" = y , _ , - - o . 9) V. la Memoria di WEDDERBURNtit. in 8), p. i34. Per il caso ciclico vedasi anche l'akra Memoria di WEDDER~URNcir. in 7). ~o) Con ci6 si suppone ~r ( ~ ) ~ o per tutti i valori di r, cio~, per la irrlducibilit/l di f(x)== o, ~r (x) non identi~amente nullo. Se per6 qualeuno dei polinomi % (x) fosse identicamente nullo basterebbe, nella successiva deduzione delle relazioni ~ , (i)er(i)'], = o, giungere fino ad un tale s r da avere tante equazioni quante incognite; ed il ragionam~to va bene ugualment~,

~i:~

#R,Nc~Sco C t c l o s i .

Pdch~ neli'applicazione della regola di CRAMrR si pub manifestamente al simbolo ~t sostituire di nuovo il simbolo i (dato c h e l a f ( x ) ~ irriducibile) e poich~ l'algebra priva di divisori dello zero, si deduce ugualmente/o = J, = "'" = J,,-, = o, il che non ~. Dunque gli elementi (3) sono effettivamente indipendenti. L'demento generale dell'algebra P risulta allora il seguente

Zrg (i)ir, dove i gr (i) sono polinomi arbitrari (di grado n - - I al massimo, col coefficienti in K). Lo WEDDERBUR~ha lasciata indecisa la questione se tall algebre P esistano effettivamente, pure esprimendo la convinzione che l'esistenza di tall algebre gli sembra probabile "). Nel presente lavoro studier6 alcune propriet~l delle algebre P e di algebre ana!oghe ad esse, fermandomi poi in modo speciale sul caso n = 4, ed otterr6 esempi di algebre P di 16 esim~ ordine, dimostrando cos| l'e'sistenza di algebre di questo tipo. In tale studio prescinderb dapprima dalt'ipotesi che l'algebra da considerare sia primitiva; precisamente studierb quelle algebre, definite in un dato campo di razionalit~l K, che soddisfano alle condizioni seguenti: i ~ il loro ordine b n=; 2 ~ contengono un demento i la cui equazione minima b un'equazione abeliana (non ciclica) di grado n

(I)

f(i)--o,

irriducibile nel dato campo di razionalit~t K [contenente i coefficienti di f(x)]; 3 ~ corrispondentemente ad ogni radice % - - 0 r ( x ) di f ( x ) - - o esiste nell'algebra un elemento it, non divisore dello zero, tale che si abbia per esso (2)

iri = o ( i ) L ,

= o, ,, . . . , .

-

o,

avendo i polinomi 0 ( x ) il significato fissato dalle (~'). Chiamer6 algebre S, o algebre del tipo S, le algebre abe soddisfano a queste condi~ioni. Essendo il polinomio f ( x ) irriducibile, it suo termine costante ~ y~ o, e quindi nella 2 ~ condizione ~ implicito che le algebre S sono dotate di modulo; intenderemo che il modulo sia l'elemento jo. Gli dementi (3), che, come sopra abbiamo visto, sono linearmente indipendenti, costituiscono una base ,2) dell'algebra. Passer6 dipoi a considerare le algebre P dette in principio, le quali algebre P manifestamente non sono altro che le algebre S prive di divisori ddto zero. In questa parte mi dovr6 limitare quasi esclusivamente al caso n = 4. i*) V. Mere. clt. s), p. i3 4 (in nora). Ia) ~ noto the si chiama base di un'algebra un sistema di unitkfondamentali dell'algebrasteasa.

SOPRA U~ TIi~O Dt ALCESREPRIVE D! DIVlSORI I)ELLO ZEJtO.

~i|J

Osservo esplicitamente che rimane perb sospesa ogni questione riguardante l'equivalenza di due atgebre di DiCKSO~ o del tipo P, argomento che non ~ stato studiato neppure nel caso particolare di DICKSON, e riguardo al quale non ho potuto ottenere alcun risultato, tranne il fatto (che risulta evidente da facili esempi) che anche partendo da dati diversi [cio~ da diverse equazioni f ( x ) - - " o e, nel caso di DmKso~q, da valori diversi dig] possono ottenersi algebre equivalenti. Osservo per ultimo che il campo K di razionalidt, nel quale sono definite le algebre da considerare, ~ necessariamente infinito, per quanto fu detto alia nora 3); anzi, dovendo applicare nella trattazione del presente argomento [come accade anche nelle Memorie di DicKSOlq.e di WEDDF.RBURNcitate alle note 4), O, s)] teorie algebriche che sono sempre state svolte partendo dai concetto comune di campo di rationalitY, questa frase sar~ intesa appunto, nel presente lavoro, nel suo significato comune, nel senso cio~, secondo la nomenclatura adottata dello SCORZA, di corpo numerico con sottocorpo fondamentale infinito, isomorfo quindi (detto sottocorpo) al corpo degli ordinari humeri razionali ~3). E cib perch,, come risulta dal citato libro dello SCORZA (ad es. p. 23, p. 165), i corpi numerici, anche infiniti ma con sottocorpo fondamentale finito, possono presentare, nelle loro proprietY, divergenze notevoli da quelli con sottocorpo fondamentale infinito. Avverto infine che, seguendo WVDDF.RBVRN e SCORZA, la sola parola , algebra ~, va pensata come equivalente a , algebra lineare associativa ,~ ossia , sistema associativo di numeri a pifi unitli ~. 2.

ProprietOr generali delle algebre S. a. Ricordiamo anzitutto quanto segue circa le equazioni abeliane t4). i ~ Siano, come sopra e come sempre nel seguito, % - - ~ , 9 . . . , %_, le radici deU'equazione abeliana f ( x ) - - o di grado n, irriducibile nel dato campo di razionalitli K; avremo ~r = Or(~) (r -- o, ~, 2. . . . . " - - O, 0 ') essendo O~(x) dei polinomi di grado n ~ x al massimo col coefiicienti in K, e Oo(x) = x; le operazioni 0 sono due a due permutabili. II gruppo di GALOIS dell'equazione f ( x ) = o ~ di ordine n e d /~ semplicementr

*s) SCORZA,libro tit. in t), p. zt. x4) V. ad es., L. BiANcm, Le~ioni sulla teoria gel gruppi di sostitu~ioni e &lie equa~ioni alge~icbe suondo GALOIS[Pisa, Spoerri, I899] ; H. WEsEa, Lebrbucb der Algebra, I "r tM. [Braunschweig,Vieweg und Sohn, IglZ].

'~lz[

FRANC~E$CO

CECIORI.

transitivo; detta T r quella sostituzione del gruppo, perfettamente determinata, che porta in %, si vede subito, eseguendo sulia relazione razionale % - - 0 (~) la sostituzione T , che questa sostituzione T porta % in 0 ( % ) - - 0 (~). Cio~ l'opera~ione Or produce sulle radici % %, . . . , %_, la soslituKione T r del gruppo di GALOIS di f ( x ) - - o. In particolare qualunque siano gli indici r e d s esiste sempre un indice u per il quale 0 , ( q = 0 [0,(~)]. 2 ~ Sia [T,, T~, . . . , Tk] una base del gruppo (abeliano), ed n,, n,, . . . , n~ i rispettivi periodi delle sostituzioni T,, T,, . . . , Tk; si pu6 supporre, se si vuole, che i humeri n,, n,, ..., n k siano gli invarianti del gruppo; h in ogni caso n - - n , n , ... n k is). Siano 0 , , 0 2 , . . . , 0~ le operazioni 0 corrispondenti ordinatamente alle sostituzioni T,, T2, ... , T~. Ricordando le proprietor della base di un gruppo abeliano, e quanto sopra abbiamo ricordato, vediamo the tutte h operaKioni 0 si hanno, ciascuna una volta sola, dalrespressione '~) 0(,) = I 07( ) 2 " "" (St

=

O,

i,

...

, n

--

I ; $2 =

O,

I,

. ..

, 11,2 ~

I ; . ..

; Sk ~

O,

I, . . . ,

nk

--

I).

Le 0 , 0 2 , . . . , 0k sono indipendenti, cioh da 0(*~/0(~1..., 9 0~*k)(~)--~ si deduce s~. ~ o (rood. nz) 0' --- ~, 2, . . . , k). 8" Deduciamo ora dalla (2) alcune uguaglianze in modo analogo a quello seguito da DmKso~q *~) nello studio della sua algebra. Si deduce dalla (2) 9 .2 ,-72",2 . 1~ ~ --- O,'(i)jri "-- 0, 0 ) Jr' e cosl, successivamente, ha generale

jri ~---

(4)

O~j,,

(r = o, ,, . . . , , , -

O,

e pifl generalmente ancora, indicando con ?(i) un polinomio arbitrario,

j,~(i)

(4') Da questa si deduce

j~ ~(i) - -

-- ~[O(i)]j,,

jr~p[O (i)]jr --- 9 [07)(i)]j~ ,

e, per induzione, (4") Da questa si ha ancora j~j~(i)

=

- - j~, $[O~')(i)]j~r - - i'IrO(Z)0(~),O)}],]r" .~.z,

libro ck. z4), p. 7; e segg. 16) Veramente si dovrebbe scrivere 01~, ! )r0(~2 L 2 I,~ ~'~ 0ra e dopo in casi analoghi le ometteremo. zT) DICKSON,loco tit. 4), p. 34. zS) BIANCHI,

[0~k)(a)Jl]; ma, per evltare troppe parentesi,

~OPRA UN TIPO DI ALC,EBRE PRIVE DI DIVISORI DELLO ZERO.

2I]~

e cosi anche (5)

9, .~ .x

ltl, lr~(

i)

~0(~)0 ~) 0 ~1 (i'~;';~; x s r ',,q,t,,,r"

"-" ~ , t

manifesto che una formula analoga vale per pih unit,t j. La (5) comprende come casi particolari le precedenti. DaUa (4") si deduce che per il prodotto di due qualunque delle unidt (3) vale la formula (6) s = ihO-f(F)'j,j, - - q, (i)j,j,, essendo +(i) un certo polinomio di grado n - I al massimo coi coefficienti in K. 4. Passiamo ora allo studio di alcune propriet~i delle algebre S definite al n ~ I. Si ha anzitutto il seguente teorema: II prodotto di due delle unitd~ jr (r = i, 2, ..., n -- I), uguali o distinte, ~ dato da una formula del tipo (7)

j,j,

=

%,(i)/,,

if, s =

,, 2 . . . . .

,,-

,)

dove i ?,,, sono polinomi (di grado n - - I al massimo) col coefl~cienti in K, non identicamente nulli, e u ~ quell'indice per il quale si ha 0.[0 ( ~ ) ] - 0 ( ~ ) (cfr. n ~ 2, I~ Essendo (3) una base dell'algebra dovrA intanto aversi certamente una formula del tipo j,j, = '~" ~('*>rill,,

dalla quale, mohiplicando a deslra per i ed applicando poi al primo membro la (.5) ed al secondo la (2), si deduce O (i)jd, = '~" . ix) ~ x V,,,(i)Ox (i)j~. ;

eliminando ora Ira queste due relazioni j,], si ha O ( i ) _ x ~,,,(~)jx = ~ x v,,,(i)O~ (i)jx,

onde, per la indipendenza delle unit,i (3), -

0x(i)l

=

o.

Poich~ un'algebra potenziale is) generata da un elemento a equazione minima irriducibile ~ (manifestamente) priva di divisori dello zero "), deve aversi o r = o, o

ts) Come ~ noto, chiamansi algebre poten~iaU quelle generate dalle potenze di un elemento e soddisfacente ad un'equazione ~ ( e ) = o. *9) Si osservi appunto, e cib si applicher~ anche in seguito, che il calcolo con le funzioni razionali di i (col coefficienti in K) ~ identir al calcolo con le funzioni razionali (r coefficienti in K) del numero ~ radice di f ( x ) = o.

'II~

FRANCE$CO

CECIONI.

0 ( i ) = 0~(i); ma 0 ( i ) = 0z(i ) significa che i polinomi 0 e 0z sono identici, e quindi, per le (1'), che 6 ~ . - - ~ z , ossia u = 2.; per X 5~ u ~ dunque identicamente

?o.) .,, (x) = o

0, # .),

il che dimostra la (7). I polinomi %,,(X) non possono poi essere identicamente nulli perch6 le unit',i j, non sono divisori dello zero. DaUa proprietY, dimostrata si deducono subito le seguenti conseguenze. Scambiando nella (7) r con s risulter~t generalmente ?,,, (x) -7~ ?,,, (x), mail valore di u non muta; si ha perci6 intanto la formula

(8)

J,J, - . z , , , ( O L J ,

o., s = ,, :~. . . . , , , -

o,

essendo, al solito, i Z,,, dei polinomi di grado n -- I al massimo col coeflicienti in K. Supponendo, in secondo luogo, nella (7) r - - s , essa diviene

j~ =~,,(i)j,, dove 6 ora 0(~)--0(/)(00; cosl analogamente j3. _. %,,(i)i,j,.-- %,,.(i)?,,,,,(i)j, -- q~,.(i)j,,

dove 1 6 quell'indice per il quale si ha 0z(~ ) --" 0 [0 (x)] - - O(/)(~). Seguitando si vede che se n, ~ il periodo della operazione 0 , ossia della sostituzione T (n ~ 2, 2~ [~ allora 07,)(~ ) = :c = 0o(~)] , si ha, poich6 ]o 6 il modulo, (9)

j? = z,(i)

( ~ = ,, ~ , . ,

,,-

o,

dove, al solito, i Z, sono polinomi, di grado n - I al massimo, col coefficienti in K. 5. Ricerchiamo ora alcune propriett dei polinomi Z,(x) e Z,,,(x). La (9) e la (4') d~mno JT'+' -- Jr;G (i) = Z, [0 (i)]/,, e la (9) stessa d~, anche j~'+' - - Z, ( i ) j , ;

ne segue z,(i) =

Z,[Or(i)]

os$ia

(10) cio~ it polinomio Z,(X) rimane invariato [rood./(x)] eseguendo sulla variabile l'operazione 0 . Riguardo ai polinomi Z,,,(x), dalla (8) si deduce innanzi tutto

(ii)

Z,,,(~)Z,,rO0=

i.

Se poi vi ~ qualche operazione 0 il cui periodo n ~ - - 2 , dall'uguaglianza j ~ j , - - j , ( j , j , ) si deduce, per mezzo della formula (8) e della (4') e tenendo presenti

~t 7

S O P R A U~q TIPO DI ALGEBRE PR1VE DI DIVI$ORI DELLO ZERO.

le (9), la relazione (i2)

z,(~) =

z,[o,(~)]z,,,(~)z,,,[o,(~)]

(,,, = ~),

la quale, risoluta rispetto a Zr[0 (~)], dA [per le ( i i ) ]

(1 "9

z, [0 (~)] = z, (~) z,,, (~) z,,, [Or(~)]

(,, = ~)

Quest'ultima poteva dedursi anche direttamente dalla ],j~ - - (],]r)], nel modo tenuto per la (12) 2o). 6. Le propriet~l precedenti non determinano in modo unico, nell'algebra considerata, gli elementi /', j~, . . . , j .... . Vogliamo ora vedere appunto come possano cambiarsi le u n i t : t / ' , / ' , . . . , j .... nella nostra algebra S in modo perb che valgano per le nuove unit/t J~ , 1 "* , , . . . , L"*- . tutte le propriet:t ora osservate per le antiche. Osserviamo perci6 che le propriet~t notate nei n ~ precedenti sono conseguenza esclusivamente di quelle notate al n ~ I; baster:l quindi scegliere le jr* in modo che per esse valgano le propriet~l enunciate al detto n ~ I, cio~ in modo che anch'esse soddisfino alle equazioni ( 2 ) ~ ' ) e non siano divisori dello zero. (Notiamo esplicitamente che con ci6 g! i elementi dell'algebra formati con le Jr* come i (3) sono formati con le / ' , sono, per il ragionamento fatto al n o x, linearmente indipendenti). Per far ci6 nel modo pifi opportuno per il seguito prendiarno una base del gruppo (abeliano) di GALOIS dell'equazione f ( x ) = o; possiamo supporre che tale base sia costituita dalle k sostituzioni [ T , T , . . . , Tk], i periodi delle quali indichiamo, come ai n i 2 e 4, con n , nl, . . . , n~. Le uniter j~ che corrispondono a queste sostituzioni (che sono le prime k ira quelle considerate nei n i precedenti) le indicheremo anche, per comodit/t di notazione, con y,, Y2, . . . , Yk; porremo cio~

y, = L ,

~,~=L, . . . ,

Consideriamo ora gli n, n~ . . . n k - - n

y~=J~.

elementi

(13) ', '~ . . . y ' / y,y~ (tz = o , I . . . . , n z - - O ; in virtth della formula (5) vediamo che ciascuno di essi soddisfa aUa corrispondente equazione in j /i =

0,:,,07,

..

o~'~'(i).i

che ~ una delle equazioni (2); ma variando ogni tal modo (per il n ~ 2, 2~ senza ripetizioni, tutte menti (13) non sono divisori dello zero, ne viene elementi che godono appunto delle proprieth dette

tz da o a n z - I si ottengono in le equazioni (2); poich6 gli n eleche essi costituiscono un sistema di al n ~ t per le uniter ] . Essi perci6,

2o) Altre relazioni ira i pollnomi Z~,s(x) potrebbero similmente ottenersi dalle uguaglianze (]rJs)Jt =]r(JsJt)" Non le scriviarno perch6 in questa forma non le adopreremo (cfr. n ~ 7). az) Ogni equazione (2) ammette infinite soluzioni; se infatti 1, vi soddis~a, vi soddisfa anche ?(i)], (~0 polinomio arbitrario). Rend. Circ..'ff~tem..Paler,w, t. XLVII 0 9 2 3 ) . - Stampato il

~;

scttcmbrr 1923.

2S

~,I~

FRANCESCO

CECIONI.

in base all'osservazione fatta in principio di questo n ~ possono essere assunti come nuove unitS. :~, * e varranno per queste nuove uniter tutte le proprietY, osservate nei n i precedenti. Per non moltiplicare inutihnente le notazioni potremo dunque supporre sengaltro

cbe le unitd jo, j , , . . . , j , _ , adoperate nei n ~ prececlenti siano proprio Ie n espressioni (13), e precisamente the Jo sia il modulo (corrispondente a t =

. - . = t k = o) e sia

j,=y,,

/,=)',,...,j~=)'~.

7. Vediamo ora quale aspetto assumono, in seguito alla scelta cosl fatta delle j,, le formule di moltiplicazione delle unit',i j, fra loro, formule che debbono essere, come sappiamo, del tipo (7). Osserviamo anzitutto che YzY~ ~ uguale ad una delle unit',i fondamentali j, se ~x.I" [~ (supponiamo, se ). = ~., che sia n z > 2), mentre se ~ ), > ~. si ha, per le (8),

t (I4)

YzY~ = Zz,~(i)(y~.Yz) 0 ' = i, 2. . . . .

k; t~= I, 2 , . . ,

k - ~; ) , > ~ ) ,

dove, dunque, Y~Yz ~ una delle unith j . Le (9) d~lnno poi 05) y;[Z = zz(i)

(x = ~, ~. . . . .

k);

e nel caso, test~ escluso, che sia ). ~--/J. e n z - - 2 , la corrispondente formula (I5) completa, insieme a quanto ora ~ stato osservato, il sistema delle formule di moltiplicazione delle uniter Yz" Ricordiamo poi che i polinomi Zz,~ e Zz soddisfano, come tutti i polinomi ;G,, e 7.; (r, s - - I, 2, . . . , n - - I), aile condizioni (IO), (I2) e (I2'), che qui appresso riscriviamo facendo le necessarie modificazioni al campo di variabilit~i degli indici (adesso sempre ), ) ~ . ) : 06) 07) 08)

(;~-----I, 2 . . . . .

= z,.[%.('0] Xz(~) = Zz[%(~)]Oz,,,(~)Xz,~[Oz(~)]

0', I~ =

I, 2 . . . .

(X, ~ . - ~ t, 2, . . . ,

=

, k; n ; = 2 ; k; n z =

k)

x>

~.)

2; x <

~).

Qui la 0 8 ) (7, . < ~,.) non a pit~ conseguenza della (x7) (). > u.). Premesso ci6, andiamo a studiare i prodotti H," Ogni tale prodotto j,j, ~, per il n ~ precedente, della forma y~y~

..

,k , , y ; 2 9 Yk Y ,

..

,~. " Yk,

applicando ripetutamente, in questa espressione, le ( I 4 ) e la (5) del n ~ 3, ciascuno

goPRA ON TIPO Di ALGEBRE PRI;CE Di DIVlSORI OELLo ZERO.

219

dei fattori y, di y], si pu6 invertire con ciascuno dei fattori Yk, . " , Y~ che lo precedono, moItiplicando ogni volta (a sinistra) l'espressione stessa per un polinomio in i; operando in modo analogo per y~'~ ~ ecc. si ottiene cosi

09)

j,j, - - %,,(i)y,i,+,ty]~+,~ . . . y;k+~k

if, s = ,, 2, ..., n-- O,

dove %,,(i) 6 un certo polinomio in i che, eseguendo effettivamente le trasformazioni test~ indicate, si trova essere dato da ,.,.k (I9a)

~--'

(Or,s(i)---" I~Hi i k>l~

o

s

r%-i

[ 7J.o ~,'1* [ 0 ( r ' + s ' ) o

"'"

O~l~v'+sl~-')O(rlx+'r)o(rlx+') t~ ~+i "'"

0~X'~-'}0.0~)(i)] -

ove devesi intendere che, se ~ r z = o oppure s~ = o, al posto del corrispondente polinomio Zz.~ si ponga l'unitL Posto ora r z + s~. - - qz nz nt- ~z (o Z ~. < n~ ; ). = ,, 2, ..., k) avremo, per le (I5), )~ - - " JZ J;L - - {Zz (i)tqZY~.Z; yrZ+,z ,az,x,.ez la (I9) assume quindi la forma [si ricordi ancora la 45)]

J~J, -" % , ( )(Y,Pz Y,P2 . . . 7~0

ossia 0 0) dove si~ ~ posto

j,j,

.= %,~ (i)j.

(~'~ $ ~

I~ 2~ . , . ~ ?~ ~

I)

j. = ye, y~, . . . y~k, k

009

% (i) =

%,,(0

[0,?,, . . .

essendo o,,,(i) il polinomio "dato dalla (I9~), ed intendendo che per X - - - I sia Z, [O~~ (i)] = x,(i). La ] = y ~ , y e 2 . . . y~k che compare nella (20) ~ poi una delle uniter fondamentali ] date dalla (13) , e precisamente tin conformit~t del teorema del n~ 4) q uell'unit,~t corrispondente a quel valore dell'indice u per il quale si ha 0 [0

=

Ricordando allora la (6) del n ~ 2 si vede infine che: Scelta la base dell'algebra S come ~ indicato al n ~ precedente, tutte le costanti di moltiplicazione relative alle unit?t di questa base sono esprimibili (ra~ionalmente) per mezzo dei coeflicienti dei polinomi Zz,~ e Zz (di grado n - - I al rnassimo, coi coefficienti in K) cbe figurano nelle (14) e 0 5 ) (e di queUi dei polinomi Or e d f). Le espressioni effenive si ottengono dalle formule ([6) e (20). S'intende che i polinomi %,,(i), dati dalle (2%), vanno ridotti [rood. f(i)] al

~o

i, g x r ~ c E s c o CECio~ri

grado n - I (al massimo). I coefficienti dei polinomi Zz,~,, e, per nz---2, anche quelli dei Zz, rappresentano essi stessi alcune delle costanti di moltiplicazione. I polinomi Xz,~ e Zz soddisfano (come sappiamo) alle relazjoni (I677 (I7) e (I87; soddisfano inoltre a tutte le condizjoni seguenti: (20

=

t=

.....

dove u e v sono quelli indici pei quali si ha 0r[0,(~)] = Ou(~),

Os[O,(~)] -- 0.(~ 7.

(S'intende che i polinomi %,,, ?,,,, ecc. sono quelli espressi dalle ( 2 0 ) ; si noti che le (i9~) e (20,) dhnno %,,(i) --- % , ~ i, e quindi, se uno degli indici r, s, t si fa - - o ~ le (2"i) sono soddisfatte identicamente). Queste relazioni (2i 7 si ottengono semplicemente sviluppando le uguaglianze

(J,J,)J, -- L(J,J,), con l'applicazione successiva delle formule (2o). [Si ricordino le (4'7]. Vedremo an(i in seguito cbe le rela(ioni 067, (I7) e (18) sono conseguen(a delle (217.

$3. Rappresentazione delle algebre S per mezzo di sistomi lineari di matrici.

8. Per continuare lo studio delle algebre S, e poi deUe algebre P, ci varremo della nora rappresentazione di un'algebra per mezzo di un sistema lineare di matrici quadrate, osservata da C. S. PmRCe ~7. Sia, con le consuete notazioni, eI~

~2~ " " " ~ ~m

un sistema di unit~i fondamentali di un'algebra di ordine m, definita in un campo di razionalit/t K, dotata di modulo (tali sono le algebre S)~ e siano

(22)

m

e, ek = ~ , "(',L' Cs

aa) Cfr., per quanto segue, ad es. ScoaZA, libro cit.*), parte 2% cap. V; oppure SCORZA,Me. moria r ~), pp. 8995.

sOPRA iJN TIPO DI ALGEBRE PRivE D! DIVISORI DELLO ZERO.

:2~t

le formule di moltiplicazione di queste unit~, dove le y~ k,, soddisfano aUe note condizioni m

~2

( 2'3 che esprimono la legge associativa della moltipIicazione. Se consideriamo le m matrici d'ordine m .S, = (~,,,.,,), ~,, = (': ..... ), . . . , .S,,, = (-,'......), dove r ~ l'indice delle donne ed s quello delle rigbe, si verifica subito, in base alle (22'), che esse (messe al posto delle corrispondenti e~) soddisfano alle equazioni (22). Inoltre esse sono linearmente indipendenti; ove infatti fosse, per certi valori ),,, ~ , ~,,Ei - - o, cio~ .~.~; ;.:,.,,, --- o ( r , s -- I, 2,

.

m), si avrebbe, come subito

si verifica, x,e ) =

o

qualunque siano le x~; l'elemento ~'~,~e~ sarebbe quindi un nullifico sinistro deU'algebra, il che ~ (manifestamente) contro l'ipotesi dell'esistenza del modulo. Le rn rnatrid E,, E~, . . . , E rappresentano dunque una base dell'algebra considerata. Analogamente si vede che le m matrici F: - - (r,:,,), . . . ,

F, --- (r ..... ),

F,,, -.- (u ..... )

(dove ora r ~ l'indice deUe rigbe, s delle colonne) rappresentano pure una base dell'algebra considerata. Si chlama poi algebra reciproca dell'algebra data qudla definita da certe unit~. e,, e~, . . . , e,, che soddisfano aUe equazioni in

ottenute .dalle (22) scambiando ,:~,,., con 7,,~,,; e si vede subito che le matrici trasposte delle E e deUe F

El

E'

F',,

..., ;'

rappresentano appunto, sl le une come le altre, l'algebra reciproca. t~ manifesto da ci6, in seguito ad un noto teorema di FROB~.mUS sull'equazione minima di una matrice ~), che l'equazione minima alia quale soddisfa l'elemento

an) V. ad es. G. FROBENIU$,Ueber vertauscbbare Matri~en [Sitzungsberichte der K6niglich Preus. sis&en Akademie der Wissenschaften (1896), pp. 6ox-614], p. 6067. V. anche SCORZA, libro cit, *)~ p. Uo e segg.

~2

FRANCESCO

CECIONI,

~ x k E k di un'algebra ~ la stessa alla quale soddisfa l'elemento corrispondente ~ x kE~ dell'algebra reciproca. Inoltre SHAW ~4) ha osservato, e si verifica subito, che E i Fk' "--- F"kE . , per tutti i valori di i, k (e r naturalmente F~E I --E~Fk); si vede perci6 che: Di due algebre reciprocbe si possono dare due rappresenta(ioni per matrici tall cbe dascuna matrice di una delle due algebre ~ permutabile con ciascuna matrice delraltra. Notiamo pure che un'algebra pub essere rappresentata con matrici anche in modi diversi da quello ora esamiuato. Osserviamo infine quanto segue. I1 fatto che le matrici E,, E,, . . . , E soddisfano aUe equazioni (22) ~ conseguenza delle relazioni (22'); viceversa per dimostrare, daft i "l'i,~,,, la validit~t delle (22') (cio~ la validitY., in una data algebra, della legge associativa della moltiplicazione) baster,~ provare l'esistenza d i m matrici linearmente indipendenti le quali, poste in luogo ddle 6, q, " ' , era, soddisfano alle equazioni (22); e cib perch~ la moltiplicazione ddle matrici ~ associativa (e distributiva). 9. Ci6 posto, consideriamo ora un'algebra X di ordine n ~, definita in un certo campo di razionalifft K, la quale contenga un elemento i la cui equazione minima f ( i ) - - o sia di grado n e d irriducibile in K. Rappresentiamo con matrici l'algebra X e l'algebra reciproca nel modo indicato nell'enunciato del n ~ precedente; quindi, ad es., prendendo rispettivamente per basi (E,, E~, . . . , E=) ed (F;, F ' ~ , . . . , FI,0. Per quanto abbiamo osservato al n ~ precedente stesso, fra le matrici dell'algebra reciproca ve ne 6 una, M, per la quale l'equazione minima ~ f ( M ) - - o , e le matrici che costituiscono l'algebra X sono tutte permutabili con M. Poich~ l'equazione f ( x ) - - o ~ irriducibile in .If, ricordando il teorema di FROBESlUS citato aUa nota *~) e le proprietor dei divisori elementari di una matrice 25), si vede che i divisori elementari, nel campo K, della matrice M ~ Ex, dove E 6 la matrice unitit d'ordine n ~ I

E---

O

o 9

0

,.,

I ,

9

O

... 9

0...

,

o ,

,

I

u4) j. B. SHAW, Theory of llnear associative Algebra [Transactions of the American Mathematical Society, vol. IV (I9o3), pp. 25x-287], p. 256. us) Per le proprietA dei divisori elementari vedasi, ad es., P. MUTIt, Theorie und Anwendung der El,mentartheiler [Leipzig, Teubner, I899]. Akre indicazioni su questi argomenti possono vedersi nella mia Memoria Sopra alcune opera~ioni algebricbe sulle matrici [Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, t. XI, I9o9].

SOPRA

UN

TIPO

DI

ALGEBRE

PRIVE

DI

DIVISORI

DELLO

ZERO.

22~

sono tutti uguali a f(x). Se allora poniamo

f('O = x+ + b x"-' + b2x+-~ + ... + b,,_, x - I - b , 0

I

0

...

0

0

0

I

...

0

0

0

0

...

I

--b

--b,, , - - b

~...--b

col che 6 f ( N ) -- o, la forma normale di M nel campo ~K 6 N

o ... o

O N...

Mo--

9

.

.

o

9

o

o

.

9

.

...

N

ed esiste una matrice P, con gli elementi in K, che trasforma M in Mo, per la quale cio~ si ha P - ' M P - - Mo "~). Se trasfomfiamo ora per mezzo della matrice P tutte le matrici elementi dell'algebra s.;, si ottiene un altro sistema lineare di matrici (aventi ancora tutti gli etementi in K ) che possiamo assumere ugualmente a rappresentare l'algebra ~. Ma le nuove matrici cosi ~ottenute sono permutabili con M o (poich~ le antiche erano permutabili con M); esse sono quindi tutte delia forma %. (N) (23)

9,,2(N) . . . %,.(N)

%,,(N) 9

9

9

9

% , , ( N ) . . . %,,,(X) .

%,, (N)

9

.

9

,

9

9

9

.

9

9

9

9

~?.,~(N) . . . 9~,,,(N)

dove i ~ i , k sono polinomi (di grado n - I al massimo) col coefficienti in K *7). Una base dell'algebra ~ pub dunque essere rappresentata con n 2 matrici

G,, G., . . . , G~ della forma (23). Sia ~ una radice dell'equazione f ( x ) - - o ed in ciascuna di queste n' matrici .G,, G., . . . , G,,2 sostituiamo ~ al posto di N; otterremo n ~ matrici

H,

H2, . . . , H:

26) Vedasi per tutto cio la mia Memoria, citata in as), pp. 28-4i. 27) V. la mia Mcmoria, citata in 2s), p.' 48 e pp. $3"~5.

224

FRANCE$CO

CECIONI.

di ordine n e della forma

(24)

%,,(~) 9

9

,

9

~ 2 , : ( ~ ) . . . q~,,(~t) *

9

9

9

9

9

,

9

,

9

9

9

dove i ~;,~ sono rispettivamente gli stessi polinomi che compaiono helle matrici Gz. ]~ manifesto che le matrici H z sono linearmente indipendenti nel campo K come le Gz, e soddisfano alle stesse leggi di moltiplicazione come le Gz; e ci6 perch~ tanto il simbolo N delle une come il simboto ~ delle altre non figurano nei calcoli che come elementi che soddisfano alla equazione (minima) irriducibile f ( x ) = o. L'atgebra Z pu6 dunque anche essere rappresentata prendendo come base le matrici fondamentali H , H , , . . . , H , , di ordine n, gli elementi delle quali appartengono al campo [K, ~] (ma i coefficienti delle loro formule di moltiplicazione appartengono al campo K). Ricordiamo ora che, per dato, un elemento i dell'algebra ~: ha per equazione rain2 nima la f ( i ) - - o; esiste dunque una matrice H --- ~ x kH k, con gli x~ in K, la cui equazione minima ~ f ( H ) - - o . Indichiamo, come al n o i, con % - - ~ , 0t, ~ , . . . , ~_, le radici dell'equazione f ( x ) = o; la forma normale di H nel campo [K, ~o, ~x~ ""~ ~n--1] allora (25)

A--

~o

0

...

0

~

...

*

0

,

9

*

0

9

9

,..

0 0 9

9

9

o:n_:

ed esiste una matrice Q, con gli elementi nel campo [K, %, ~,, . . . , quale Q-'HQ=A.

%_,], per la

Se trasformiamo, anche adesso, per mezzo della matrice OO ciascuna delle matrici H , H~, . . . , H., che costituiscono una base dell'algebra .~, otteniamo una nuova rappresentazione deU'algebra stessa con matrici ancora di ordine n, ma con gli elementi nel campo [K, %, 0~, . . . , ~.... ]; e la matrice .,4 appartiene all'algebra. Riassumendo abbiamo: Ogni algebra di ordine n ~ (definita in un campo K di razionalit~0, un elemento i della quale abbia come equa~ione minima una equa~ione di grado n irriducibile in If, pub essere rappresentata per mezzo di un sistema Iineare di matrici di ordine n, aventi perb i Ioro elementi nel campo di razionalit~ [K, %, ~,, . . . , o~.... ], ampliato con Faggiunta ddle radici di f ( x ) -- o; ed in modo cbe l'elemento i sia rappresentato dalla matrice A data datla (25). - - II modulo ~ rappresentato manifestamente dalla matrice unitA E di ordine n.

$OPRA UN TIPO

DI A L G E B R E PRIVE DI D I V I S O R I D E L L O ZERO.

22j

IO. Supponiamo ora che l'equazione f ( x ) = o sia Abeliana, e siano soddisfatte le altre condizioni dette al n ~ x. Supponiamo cio~ che l'algebra X di cui al n ~ precedente sia proprio un'algebra del nostro tipo S, che intendiamo dunque rappresentata nel modo de,to nel precedente enunciato; solo che il campo ampliato [K, %, i , ..., ~%_,] coincide ora col campo [K, ~]. Siano Bo, B , . . . , B .... le matrici che rappresentano ordinatamente gli elementi Jo., J., " - , J,-.; poich~ J o e il modulo dell'algebra, sara

(26)

/30

(E matrice unitk di ordine n), mentre B,, B~, . . . , B .... dovranno essere matrici, aventi gli elementi nel campo [K, m], che (con le solite notazioni dei n ~ z e 2) soddisfano alle rispettive equazioni [le (2) del n ~ I]

0, (.4)B, = B, A 0,(A)B, = B~S

(27)

0._, (A) B _ , = B._, A, ed hanno il determinante diverso da zero, dato che ciascuno degli elementi j~, j~, ..., j._, non dovendo essere un divisore dello zero, ammette un inverso. 1~ facile ora determinare le rispettive soluzioni generali B~, B,, . . . , B,,_,, nel campo [K, e], di queste equazioni fra matrici. Sia infatti Tr - -

C:'",'"" ) "-'

la sostituzione che l'operazione 0 produce suUe a.o, ix, . . . ,

(~)

(r = I, 2. . . . , n - I) ~_~ (n ~ 2); avremo

)

r0

e quindi 0tro

O

. 9 9

L(i/)=I'~%o

O

('g =

I , 2~ 9 9 . ~ ,1. - -

I).

r~t--I

L'equazione Or(A)B r - - B A si risolve allora subito, determinando direttamente gli elementi di B r per mezzo deUo sviluppo effettivo dei prodotti indicati nei due membri, e del confronto degli elementi corrispondenti helle due matrici prodotto. Senza alcuna difl:icolt~t si trova cosl che in ciascuna rig~a ed in ciascuna colonna di B, tutti gli elementi sono nulli eccetto uno solo, il quale rimane arbitrario; e precisamente l'elemento arbitrario della i ~ riga ~ l'(r~-~-I) ~im~', della # l'(r, + I) ~sim~ ecc. Se Rend. Circ. Matem. Paltrmo, t. XLVII ( x 9 ~ 3 ) . -

Stampato il 22 settembre 1923.

29

9~26

FRANCESCO

CECIONI.

poi si considera la sostituzione inversa della Tr,

( %0' %,' " " '

~P,,-,~

si vede subito che l'elemento arbitrario della I a colonna di Br 6 il (t~o+ i) es~'~ della

2" il (t~ + i) cSim~ ecc. Si pu6 dunque scrivere O

O

...

O

O

9 ..

9

(28)

a r -"

9

9

9

o

POo, o 9

9

9

9

9

9

0

~

9

9

9

9

9

O

,

9

9

~

9

9

.

9

9

,

,

9

9

9

9

9

.

.

~

9

9

9

,

.

.

9

9

9

,

9

,

9

.

.

.

9

~

~

,

,

.

.

9

~o,r ~

O ...

O

...

O

O

~x,r x

.

~pl, I .

0 9

,

O

~

9

~

9

9

9

9

9

9

~

,

9

9

9

,

9

9

9

,

9

9

9

9

~

.

.

0

.

0

clove i ~p,r sono humeri arbltrari nel campo nel quale le (27) debbono essere risolute, vale a dire nel campo [K, ~]; e gli indici apposti agli elementi ~ indicano, al solito, il loro posto nella matrice Br, intendendo perb che gli indici &lie righe e &lie colonne in questa matrice siano o~ I~ 2~ . . . ~ n - I.

Osserviamo ancora quanto appresso. Sia/~ quella speciale matrice B, che ha tutti gli elementi arbitrari uguali ad x:

(o) O)

(29)

Br'--

(",)

0

0

...

0

0

...

I 9

o ~

.

~

,

o 9

0 0

.

.

,

.

,

9

9

I . 9

(~o)

I

. 9

.

~

. 9

. ~

9

9

. ,

. ,

I

0

0

9

0

...

0

.

.

9

9

9

. ,

...

o 9

9

9

9

9

~

9

,

9

9

~

9

~

9

.

(o) O) (~o);

o !(p,)

~i re& ~ubito ~he K.,4 a una mat~iee del tipo (28), ~ ~o~i pure F V ( ~ ) , dov~ 'V(~)

6 un polinomio arbitrario (di grado n - I al massimo) col coeffldenti in [K, ~] as). Inversamente variando ad arbitrio i coefficienti del polinomio ~'(d) nel campo [K, ~] il prodotto B~'(A) dA la pii~ generale matrice B~; difattl l ubuaghanza fra matrici B~(A)--B, equivale al sistema Cr

9 (%) = ~O,~o,

,v(%) = L,~,, . . . ,

,v(%_,) = ~..... ._,

2s) Indicheremo, ora ed in seguito, con lettera maiuscola (nel caso attuale IF) quei polinomi cui coefficienti appartengono al campo ampEato [ K , ~ ] .

i

~Oi~RA rjN TIPO Dt ALGEBREPRivE DI DIVlsoRI ~Et.LO ZER0.

~2~

lineare rispetto ai coeflicienti del polinomio u2, che sono appunto le incognite; e il determinante (di VASDERMOSDE) di questo sistema ~ diverso da zero. Poich~ nella nostra algebra S ~ IB,.I~ o, possiamo dunque dire: Rappresentando un'algebra S he1 modo indicato al n ~ precedente, le matrid B,, B~, . . . , B,_, corrispondenti agli elementi j,, j~, . . . , j,,_~ sono necessariamente della [orma (28), dove i ~e,, sono certi numeri non nulli del campo [K, ~]. Le B r sono anche esprimibili nella forma (30)

B = B, v , ( A ) ,

~_-

~, ~ . . . . .

, -

,~,

dove le B~ sono le matrici (29), e gli tF sono certi polinomi di grado n -- I (al massimo) col coejficienti in [K, ~.], pei quali risulta ]W (A)I # o. E se i numeri ~p,r nelle (28), o i coeJficienti dei polinomi ~'r helle ( 3 @ sono humeri arbitrari del campo [K, ~], le (28), o le (3@ dgtnno le soluzioni generali delle rispettive equaz~ioni (27). Cib poteva anche dedursi, invece che direttamente, dalla teoria deU'equazione fr~, matrici A X = X B ,a). Ricaviamo ancora due formule che ci saranno utili in seguito. Essendo soddisfatte le equazioni (27) , ~ manifesto che le formule del n ~ 3 si possono applicare sostituendo at posto di i e di j~ rispettivamente A e B,; dalla (3o) si deduce allora (essendo, at solito, n, il periodo di 0) B,":= v [o,(A)]v

[o,:,(s)]

. . . vr[o~"~'(A)].8- - n r .

f

Ma ~ 0 ~ , ) ( A ) = A, e per la (9) si ha B"' -- z, (A); ~ dupque (30

z,(A) = v~(,4),v

[0 (,4)] . . .

~, [0~",-"(a)].~:~.

Si ha ora B,"' -- E; cib potrebbe verificarsi direttamente dalla (29), ma pith presto si vede indirettamente osservando che, per la (3I), B "~ risulta uguale ad un polinomio in A, e che d'altra parte tutti gli elementi non nuUi della matrice B~" sono [come risulta dalla (29) ] uguali ad I. La (3I), sostituendo i a d A, diviene allora (32')

z,(i)=

Vr (i) V, [0~ (i)] ... ~F~[0["'-') (i)]

( r = ,, 2. . . . , , - - 0 ,

~'A~) ":,[0,(~)]

~r_-~, 2, . . . , , , - o.

che pub scriversi anche zr(~) -

a~) V. la mia Mcmoria, r

in as), Cap. II.

...

,L[0~,-'~(~)]

Osserviamo infine the sviluppando il prodotto di matrici indicato nella (3 o) si ottengono per i numeri iSo,r, che figurano nella (28), le seguenti espressioni (che del resto erano girl state notate poco sopra)

(33)

~o,~o---"

I~r(O~ro)'

~',", ---

liYr(0r ):~ " ' ' '

~ ..... r,,_, "--" Iler(O:rn_,)"

I I. Prima di lasciare quest'argomento osserviamo quanto segue.

a) Le matrici Br date dalla (29) formano un gruppo oloedricamente isomorfo al gruppo di GALOIS dell'equazione f ( x ) - - o . Esse intanto sono in corrispondenza biunivoca con le sostituzioni del gruppo. Posto T T , - " T,, per la (4') e per te (27) si ha poi BrB, a -- B O(a)B, = O [O (d)]B B -- 0,(A)BrB~, e da cib vediamo the BrB ~ soddisf'a alia u e~im" delle equazioni (27) , ed 6 perci6 una B, data dalla (28) (per r = u); ma tutti gli elementi non nulli di B , B sono manifestamente uguali ad i; 6 dunque proprio

il the dimostra ci6 che abbiamo detto. Se allora, per fissare le idee, B , B,, . . . , Bk sono le ~ corrispondenti alle sostituzioni di una base del gruppo (Abeliano) deil'equazione f ( x ) = o (r n~ 2, 2~ tutte le matrici B, sono date dai prodotti ~

~

'

Jc

dove si descrive un sistema completo di resti (mod. n;). b) Osserviamo infine che date due matrici B~ (o B,), corrispondenti a valori dffferenti di r, i posti occupati dagli elementi non nulli dell'una sono tutti diversi dai posti occupati dagli elementi non nulli deli'altra. Infatti due distinte sostituzioni T, non possono portare ambedue una medesima radice ~, nella medesima radice % (v. n ~ 2).

Costruzione delle algebre S. x2. Andiamo ora ad invertire il risultato del n~ 7, ottenendo cosl, sulla base delle considerazioni svolte nel n ~ 7 stesso, una traccia per la costruzione delle algebre del tipo S. Cominciamo naturalmente col prendere un'equazione f ( x ) - ~ - o di grado n, abe-

80i~RA UIq TIPo flI ALCEBR~ PRIVE DI DIVISORI DELLO zERO.

229

liana [non ciclica ao)] ed irriducibile in un campo di razionalM K, e teniamo per essa tutte le notazioni adoperate nei n i precedenti. Assumiamo dipoi : 1~ Un'unit5 i, che penseremo poi soddisfacente all'equazlone minima f ( i ) ~ - o , e consideriamo come altrettante uniter indipendenti le potenze i ~ jo (modulo dell'alge9 , , 9 ~ in--l~ bra), i, ~2, 2 ~) k unit~ y , , y~, . . . , Yk (v. n i 6 e 7), e consideriamo come altrettante uniter indipendenfi le n espressioni (I3)

~/llyl*22 J* 9 y'~k

(~ =

O9 I9 , * . , ~*~1~- ][)~

Identifichiamo col modulo Jo la yOyO ... yOk; le altre le indichiamo con j , , j , , . . . , j . _ , , ponendo in particolare J, - " y , ,

L = y~, . . . ,

J~, = Yk.

Assumiamo allora come base dell al~ebra S da costruire le n * espressioni (cfr. n ~ i ) (3)

jo,

ijo,...,

i ~-I"Jo,

J,,

. . .. . , I ~ .- , , . ~J,-,, . i~,, . . . , i"-' J,, . . . , ~ ~-~'I,-,.

Con cib non abbiamo fatto altro che spiegare la forma nella quale vogliamo rappresentare le unitA di questa base a~). Andiamo ora a definire l'algebra S che vogliamo costruire, cio~ ad assegnare le leggi elementari di moltiplicazione delle unifft (3). Per far ci6 prendiamo anzitutto k polinomi (per ora col coefficienti indeterminati) Zz(x)

e

k(k- ,) 2

(x =

~, 2 . . . . .

k),

polinomi (anch'essi per ora col coefficienti indeterminati) Z~,~ (x)

(x, t* = ~, 2. . . . ,/~; x > ~),

tutti di grado ~ n I e col coefficienti in K. Dipol, corrispondentemente ad ogni coppia ordinata j,, j, (r, s = o, x, . . . , n - - I), formiamo il polinomio ?,,,(x) (di grado ~ n , , 7 I), definito dalla formula (2%) del n ~ 7; questi polinomi %,,(x) sono

ao) Ci6 the segue vale, del resto, anche se requazione ~ ciclica. Applicando anzi at caso ciclir la teoria che svolgiamo nel presente S 4 si ottengono (come ~ facilmente verificabile) algebre S aventi la stessa struttura delle algebre di DmKsos, solo che la costante g (v. n ~ I) non ~ pica vincolata dalle condizioni (enunciate al n~ x) che assicurano la primitivit~t dell'algebra. Non insistiamo dunque su caso r162 perch~ esso conduce a tipi gi~ noti. a*) In modo formalmente pi~ esatto potrebbe dirsi che si assumono n2 uniter rappresentate, ad es., dai s i m b o l i ir, q,t2,...,t k ( r ~ O, I . . . . , n -- I ; tz = o, !, . . . . n~. -- r), definendo i loro prodotti nel modo che risulta da quanto segue nel testo, pensando c h e ir, t,,ta,...,tk rappresenti ci6 the sopra indicato con i r jr.

~;9

/,i~AsC~SCO C~.ClO~i.

dunque espressi per mezzo dei polinomi 7.z e Xz,t,. Ci6 fatto si scelgano i polinomi Xz(X) e Z~.,~(x) in modo da soddiffare alle seguenti condi@ni: I a) Nessuno de! polinomi Zz(x) sia identicamente hullo. Segue poi dalle condizioni successive (v. in principio del n ~ seguente) che neppure i Zz,~ sono identicamente nulli. 2 ~) I polinomi Zz(x), Zz,~(x) soddisfino alle relazioni, gi~l trovate come necessarie al n ~ 7,

(2i)

vr,,(~)~,,(~) = ?~,o(~)?,,,[0 (~)1

(,., ,, ~ =

~, ~, . . . , , _

o,

dove u e v sono determinati da

~[0(~)]= 0(~),

0[0~(~)]= 0(~).

Ci6 posto, definiamo finalmente le leggi elementari di moltiplicazione delle uniat (3) nel modo seguente: a) Jo ~ il modulo; i soddisfa all'equazione minima

f(i) - - o;

(I)

con ci6 sono definiti i prodotti di due qualunque delle unit~ i ~ = Jo, i, i ~ . . . , i "-~. b) I[ prodotto di due delle unit~i Jo, J,, " ' , J,,-t ~ dato dalle (co) del n o 7, cio~

(2o)

J~Js = %,, (i)j~

rr, s = o, ~, . . . , n --~ ; 0~E0,(~)] = 0, (~)].

(Dalle (2%) risulta %,0 = %,, = I; perci6 abbiamo senz'altro incluso Io o Ira i valori da darsi ad r e a d s ) . c) I1 prodotto infine di due qualunque delle unit~ (3) b dato dalle formule (6) del n ~ 2 e successivamente dalle (20), come appresso:

(6')

(ihj~)(i~j,) = i ~ z j , j ,

= +~,,,~(i)(jrj,) = [+b,~,~(i)~L,,(i)]j.

(h, r, l, s = o ,

i, 2. . . . .

n--O.

In questa definizione ogni polinomio p(i) the vi compare va (s'intende) ridotto rood. f(x), ed ogni espressione del tipo

p(i)i, = (ai"-' + bi "-~ + ...)j, va interpetrata come identica ad

a(i"-tj,) + b(P-~jt) + .... In base a queste leggi di moltiplicazione le (3) [e le (13)] acquistano, come subito si vede, significato di prodotti. Q.uesta definizione risulta necessaria da quanto abtgamo visto al n ~ 7. Dobbiamo ora dimostrare che:

Le formule elementari di moltiplica~ione cosi definite determinano effettivamente un'algebra (associativa)'di ordine n ~, e che questa ~ del tipo S.

$OPRA UN TIPO DI ALOE;3RE PR1VE DI DIVISORI DELLO ZERO.

2~I

Prima di passare a questo osserviamo esplicitamente che, in seguito alle leggi b) di moltiplicazione, risultano soddisfatte (col Zz e Zz,~ assegnatf) le (I4) e le (15); basta, per persuadersi di ci6, ricordare il modo col quale, al n ~ 7, sono stati ottenuti i polinomi .%,. x8. L'ultima parte dell'enunciato (ammessa vera, per un momento, la prima) senz'altro manifesta. Facendo infatti nel[e (6') b = s = o, l - - I si ottiene intanto

Li = 0 (i)jr the 6 appunto la (2) del n ~ i. Inokre, essendo l'equazione f ( x ) - - o irridncibile, f~dlmente si riconosee che nessun polinomio in i (non identicamente nulb) pu6 essere, nell'algebra test6 definita, un divisore dello zero; ne segue, per la (I5), c h e y : , G, " " , Yk non sono divisori dello zero (essendo i polinomi Zz(f) non identicamente nulli)~ e quindi [v. le .(13) ] neppure le j , , j~, . . . , j,, sono divisori dcllo zero. (Segue di qui, per le 0 4 ) , the, come era stato annunziato al n ~ precedente, i Zz.~ non sono identicamente nuUi). Le condizioni (v. n ~ I) che definiscono le algebre S sono dunque soddisfatte. Rimane percib solo da dimostrare la prima parte dell'enundato; e per dimostrare questa basterft trovare (eft. ultima osservazione del n ~ 8) n matrid the prese rispettivamente in luogo delle i, j,, . . . , j .... (in luogo di Jo si prende la matrice unit/t E) soddisfino alle leggi di moltiplicazione poste al n~ precedente, e siano tall inoltre che le corrispondenti matrici (3) siano linearmente indipendenti. Per far ci6 prendiamo come matrice corrispondente ad i la solita matrice d data dalla (25) del n ~ 9, la cui equazione minima 6 appunto f ( d ) = o; prendiamo poi come matrice corrispondente all'unit~. Jr ( r - = I, 2, ... n - - I) la B, data dalla (28) del n ~ 1o, ponendo in essa (34) ~,,,,-- %,~(~). Dobbiamo verificare che con questi valori dei 60,, le matrici B, soddisfano alle (20); si ha cio6 (35) B,B, --- ~ r , , ( d ) B Jr, s . = I, '2 . . . . . n - I ; 0r [0,(~)] = 0~(~)]. (Abbiamo escluso r = o ed s = o perch6 in tal caso le (35) Eseguiamo percib effettivamente i due prodotti di matrici della (35), e per abbreviare tale calcolo osserviamo [v. n ~ ~I possiamo dire a priori che i due prodotti saranno due matrici nuIli disposti come nella B . Osservato ci6 si ponga V---

sono manifeste). indicati nei due membri a) e formula (30)] che aventi gli elementi non

rL;

l'elemento non nullo della riga (t + I) ~i~ dcl prodotto BrB ~ ~ allora [ 5 ~,,,. L'ele-

~2

FRANCESCO

CECIONI.

mento corrispondente nel 2~ membro 6 ~,,~(o~,)~,,,,. Si deve dunque verificare che

~,~,~ ..... = ~,~(~,)~,,~,, ossia, tenendo presente la (34),

(3s')

,%(~)~,,,(~) - ,% [0,(~)]~,,,(,).

Ora questa non ~ che una delle uguaglianze (2~): infatti da v - - r t segue, per le (~) del n ~ ~o, ~ = 0 (~,), ossia 0 ( ~ ) - - - 0 [0,(~)]; d'altra parte ~ 0 (~)---0 [0 (,)]. La (35') a dunque esatta, e le (35) sono cosi verificate. Le matrici B r soddisfano alle equazioni 0 (2/)B~--Br,,q; perci6 (v. n ~ 3) le (6') sono senz'altro verificate ponendo _4, B , . . . , B~_, al posto di i, j,, . . . , j , _ . Le matrici [corrispondenti alle unit',t (3)]

E,

A, . . . , A"-',

B,,

A B , , . . . , A"-'B , . . . ,

B,_,,

AB_,,

. . . , A"-~B,_,

sono poi linearmente indipendenti, come segue daUa indipendenza delle E,. M, A ~ , . . . , A"-', e d a l n ~ xI b). L'enuflciato del n ~ precedente ~ cosl completam~nte dimostrato. Questa dimostrazione ci ha fornito una rappresentazione per matrici delle algebre S, del .tipo appunto studiato al n ~ Io, essendo i ~p,, daft dalle (34). Con la presente dimostrazione 6 anche giustificata l'affermazione fatta in fine al n ~ 7.

Le algebre S di x6~ ordine. x4. Applichiamo quanto precede al caso n ~ 4. L'equazione f ( x ) - - o i~ ora di 4 ~ grado; manterremo per essa le solite notazioni dei n ~ precedenti. II suo gruppo di GAtols sar,~, esst:n~o l'equazione non ciclica, il noto gruppo formato dalle sostituzioni T o = i,

T = (~, ~ ) ( ~ ,

che ha per base, ad es., [ T ,

(36)

' 0 [%(~)]=0(~),

%),

T, - - ( ~ , % ) ( ~ ,

%),

T 3 - - ( ~ , ~3)(a , ~,),

72]; ~ k - - 2, n, - - 2, n, --- 2, ed abbiamo

~ = 0 [ 03( ~ ) ] = 0 (,.),

0 (~) = ~, 0 [0(~)]=0(~).

La determinazione delle algebre S, corrispondenti all'equazione f ( x ) = o, ~ ridotta, per il n ~ 12, atla determinazione di k - - 2 polinomi Z, (x),

Z~(x),

$OPRA UN TIPO DI ALGEBRE PRIVE DI DIVI$ORI DELLO ZERO.

e di k ( k -

2~

I ) _ _ I polinomio 2

z2,, (~)

z (~)

=

(tutti tre di terzo grado al massimo e coi coefficienti in .K), che soddisfino aUe condizioni ( 2 0 . Ora noi sappiamo (ultirna oss. del n o r j) che di queste condizioni (2I) sono conseguenza le 06), (I7) e (I8), che qui riportiamo appticate al caso attuale

063

z, (~) = z,[0,(~)]

063

z:(:)

073

z,(~) = z2[0,(~)]z(~)z[L(~)]

=

z2[L(~)]

z,[L(~)] = z,(~)z(~)z[o,(q];

083

ma 6 facile persuaderci che nel caso attuale le (2I) si riducono a queste sole condizioni, vale a dire che, viceversa, soddisfatte le 06,), (I6=), 0 % ) , ( z S ) sono pure soddisfatte le (2I). Per vedere ci6 calcoliamo intanto effettivamente i polinomi ?..,(i), cio6 le formule (2o) di mokiplicazione delle uniter j,, j=,/3; ci6 pub farsi sia adoperando direttamente le formule 09~ e (2%), sia ripetendo nel caso attuale il procedimeuto adoperato in generale al n ~ ?" per ottenere dette formule, col ricordare che si ha qui (cfr. n ~ 6) J,--Y,, J~ = Y~, J3 --" Y,Y~; in un modo o nell'altro si ottiene:

I 9 j~ = Z, (i), (2%))121, z(i)J3, ~ J3J, Iz[O,(i)]z,(i)}J~,

J,J, = J3, J~ = Z,(i), J3J, - - G[O,(i)]J,,

J,J, - - )C, (i)J2, J2J~ : Iz(i)G[O,(i)]}J,, J: - - z[O,(i)]z,(i))c~(i) 9

Sarebbe facile adesso verificare col calcolo diretto the le uguaglianze (2I) sono conseguenza delle 06,), 06~), (~71), (I8). Ma ci si persuade delia cosa pia rapidamente osservando (con metodo gia altra volta seguito) the le matrici (cfr. n ~ I3)

A--

~

0

0

o o

I

0

0

~x

0

0

o

~,

o

o

o

~3

B,=

'

B2 ~

0

I

0

Z~(~)

0

0

0

o

o

o

Z(~)

o

o

z[0(~)]z,(~)

0

0

I

0

'

o

0 '~

0

0

0

I

Z2(~)

0

0

0

o

z,[L(:O]

o

o

Rend. Circ. M~$erA. P~lermo, t. XLVll (1920 --Stampato il : : settembre x925.

'

30

2j~

FRANCESCO

B3=

CECIONI.

0

0

0

I

o

o

7., ( ~ )

o

o

Z(~)Z,[0,(~)]

o

o

Z[0 (~)]Z,(~)Z,(~.)

o

o

o

'

messe rispettivamente al posto di i , / , , J2, 13 soddisfano effettivamente alle equazioni (20,) in conseguen~a dell'essere verificate le sole rela~ioni (I6), (I6,), (I7,), (18); esse inokre (cfr. sempre n ~ x2 e ~3) soddisfano al[e (~) e (6'), e le corrispondenti matrici (3) sono linearmente indipendenti. Le condi~ioni (2x) si riducono dunque, per n = 4, alle 06,), (I6~1, (I7,1, 0 8 , ) 9 I5. Per il seguito ci occorre studiare pith da vicino il sistema formato delle (i6,),

(I621 , (I7,), (I8). Per fare ci6 poniamo intanto, in coerenza con la (9) del n o 4 [cfr. le (2o)],

(37)

z3(~) = z[0,(~-)]z,(~)z~(,-)

~');

operando con l'operazione 03 (si ricordino le note proprietor del gruppo di GALOlS) si ha subito, per le (3 6) e le (I6), (i6~) stesse,

z3[03(~)] = z [0, (~)] z, [02 (~)] z, [0, (~.)], onde, per le ( I S , ) e (I7,) successivamente,

z~[0~(,~)] = x[0d~-)]z,(~)x(~)z[0, (.~)]x~[0, (~)] = z, (~) z, (,) y. [0, (,)], ossia, per la (37), (163)

7.3[0 (~)] --- Z~(~-)"

Prenderemo Z3(xl come polinomio ausiliario per determinare i polinomi che vogliamo. Dalla (37/, operando con l'operazione 0 , si ha

(38)

Z(~) =

Z, [0' (~)]

Z, (~) Z,[0 (~)] ;

moltiplicando la (x8) per Z,(~/ e ricordando la (37) abbiamo pure (39)

Z, [0,(')] Z,(") -- 7~(")Z3(');

da queste ultime due abbiamo infine (4o1

Z3(~)z3[O,(a)]-- Z,(~),/.[0(,117.,(~)7.,[0(,)].

Supponiamo viceversa di aver determinato tre polinomi Z,(x), Z,(x), Z3(x) che soddisfino alle 06,), (I6), 0 6 0 ed alla (40), e definiamo con la (38) il polinomio a~) Anchc Z~(x) s'intende ridotto, come gli altri, ad un grado ~ 3.

SOI~

UN TIPO DI ALGEBREPRIVE DI

DiVIsORJDELLOZER(J.

~

Z(x). Dalla (38) stessa, cambiando ~ in 0(a), si deduce la (37); dalle (38) e (4 o) si deduce la (39); dalle (37) e (39) si deduce la ( I 8 ) ; cambiando infine, neUa (37), in 03 (~) ed osservando che, per la (I 6), il primo membro rimane inalterato, e qnindi anche il secondo, si ottiene

Z{ O,(~)] Z, (~)/.~ (~) = Z [% (~)] Z, [% ('-)] Z~ [0, (~)], onde eliminando il l~olinomio Z, con la ( I 8 ) si ha infine anche la (17,). I polinomi Z,(x), 7.:(x), Z(X) cosi ottenuti soddisfano dunque al dato sistema [costituito dalle (I6,), (I6:), (17,) e (I8,)]. Abbiamo dunque : I piu generali polinomi Z,(x), Z~(x), Z.(x), che soddisfano al sistema delle (i6,), (i6~), (i7,), (I8,), si ottengono determinando i piu generali polinomi Z, (x), Z,(x), Z3 (x) che soddisfano alle ( i 6 ) , (i6z) , (I63) , (46) e definendo poi Z(x) con la (38). E facile poi ved ere che 6 possibile soddisfare al sistema delle (I 6,), (I 6), (x 63), (40). Per soddisfare alia ( I 6 ) basra (e bisogna) prendere una funzione razionale delle radici di f ( x ) = o, che abbia per sottogruppo numerico 33) il sottogruppo (I, T,), ed esprimere poi in questa funzione le ~ , %, % per mezzo di ~; siha cosl una funzione di ~ che, espressa come polinomio di 3~ grado (al massimo) in a, d~t appunto il pifi generale polinomio Z,(~) che soddisfa alla (I6,). In modo analogo pu6 soddisfarsi a ciascuna delle ( i 6 ) , (163). Per vedere che pub soddisfarsi contemporaneamente anche alla (4 o) basta prendere ad es.

essendo g,, g:, g3 tre numeri di K; con ci6 si soddisfa manifestamente alle ( t 6 ) , (16~), (I63) , e (posto f(x) = ao14 + a,x 3 -]- a~x" .q- a3x + a4) la (4 o) diviene a

basta quindi prendere

a4

_2

a4

g'-" g: a--~"g" a-'f; g3 = H- g,g~-~o

perch~ anche la (4 o) sia soddisfatta. 1~ manifesto per6, e risulta anche dall'esempio che faremo in seguito, che anche in altri modi pub soddisfarsi al sistema delle ( i 6 ) , (i6~), (I63) e 440). 16. Riassumendo abbiamo dunque: Per la determinazione della pifi. generale algebra del tipo S, di ordine I6, corrispondente ad un'equazione di 4~ grado f ( x ) - o, abeliana non ciclica ed irriducibile in

3a) V., ades., BIANCHI, loco cir. ~4), pp. 156.r58 ,

:~j6

FRANCESCO

r

un dato campo di razionalit~ K, si determinino anzitutto i pifi generali polinomi Z, (x), G(x), 13(x) (di grado / 3 , col coefficienti in K) soddisfacenti alle quattro condizioni (I6)

z. (~) = z, [0 (~)]

063

z , ( q = z2[0,(q]

(I6,)

z,(~) = z,[0,(~)]

(40)

z, (~) z, [0, (~)] = z, (~)z,[%C~)]z,(~)z,[0, (q].

Ci6 fatto (si tenga presente il n ~ I2) una base dell'algebra in questione sar~i rappresentata nella forma (3,) Jo, ijo, i'jo, i3jo, J,, ij,, iF, , i7, , L,

iL, i%, VL, j,, ij,,

i%, Vj~,

dove Jo indica il ml]dulo; e le corrispondenti formule di moltiplicazione saranno le seguenti [si tengano presenti le formule (2o~), (37) e (38)]:

f ( i ) = o;

O)

(202)

(6')

J~ = z,(i), z~[0,(O] J~J, = ~., (i)z,[O (i)] J3, z~(i) J 3 J , - )r

J,J, -- J,, J~ = Z, (i),

J3J, -- G[O~(i)]J, ,

J,J, :

7., (i)/2, z~[0,(0].

J2J~ - -

ZI (i)

]I '

s~ = ~(i);

l (#j~)(i'j,) = i~O~*j~j, = :,~,~,, ( i) Or" J,) " -- [+~,~,,(i) ~,, (OIL (b, r, l, s = o , I, 2, 3). -

-

Per gli schiarimenti relativi a queste formule ci riferiamo a quanto fu detto in generale al n ~ i2. La rappresentazione di una tale algebra per matrici, nel modo visto al n ~ I3, si ottiene prendendo come matrici corrispondenti alle unit~ i, j,, J2, J; rispettivamente le matrici A, B~, B2, B 3 del n ~ I5.

$6. Le algebre P. I7. Passiamo ora, nei n i che seguono, a considerare le algebre del tipo P, che formano appunto l'oggetto di questo lavoro, e che non sono altro (v. n ~ I) che le algebre S prive di divisori dello zero. La ricerca da fare sarebbe quindi quella di trovare delle condizioni necessarie e sufficienti, relativamente semplici, affinch6 un'algebra S sia

~OPRA UN TIPO Di ALGEBRE PRIVE DI DIVISORI DELLO zERo.

2J7

priva di divisori dello zero; ma, per le difficolt~l incontrate, ho dovuto limitarmi quasi esclusivamente al caso n = 4. Una prima condizione necessaria (ma non sufficiente) potrA tuttavia essere stabilita in generale. Osserviamo intanto che se un'algebra b, con un metodo qualunque, rappresentata per mezzo di un sistema lineare di matrici, in modo che il modulo dell'algebra corrisponda alla matrice unitA E (e ci6 appunto accade nella rappresentazione delle algebre S indicata al n ~ Io), l'algebra 6 primitiva allora e solo allora che tutte le matrici del sistema abbiano il determinante diverso da zero. Sia infatti M una matrice (numero) dell'algebra; se ne esiste un'akra N tale che sia M N - - E (come sempre accade helle algebre primitive1, sarA ]M[.IN[ = x e quindi IM[ ~ o; e se invece ne esiste una R tale che sia M R - - o (o R M -- o1, sara IMI = o. Calcoliamo ora il determinante della matrice E-{- B~, dove B, ~ una matrice del solito tipo (28)corrispondente alia sostituzione T~. Decomponiamo questa in cicli, e sia

L = C,..Cr,2.C,,3 . . . ; tutti i cicli C,.,, Cra , . . . sono di ugual ordine n~ 84), ed il primo ciclo C,, sia, ad es., (cfr. le notazioni del n ~ IO) C r , ' -~. (~t, ~ro , i r i ,

...

, ~,j,

O~rhl,

dove ~ naturalmente (411

O~ro " ' - i r -"" O r ( O t i ,

~ri ~-

Or(O~roi---

Oir2)(O~l, " ' ' 9 0 ~ r j - - ' O { r n r - - i ) ( f f ~ l ,

O~rh - " - Oirnr--l)(o~l"

Consideriamo nella matrice E + B r la matrice parziale M, formata dalle righe che hanno ordinatamente gli indici 8s) o, ro, r~, . . . , ri, rb, e quella, M~, formata dalle colonne che hanno, pure ordinatamente, gli stessi indic!; ricordando (,n~ Io) come sono disposti gli elementi ~e.~ nella B r, e tenendo presenti le notazioni adottate, si vede subito che le due matrici parziali anzidette (prese le linee nelrordine stabilito) si intersecano nella matrice quadrata seguente~ di ordine n , I

~o,r ~

0

I

0

0

0

...

0

0

~ro, rl . . .

0

0

0

0

I

...

9 9 . 9 ~ ~ . 9 . o . 9 , 9 ~ .

0

0

0

...

I

~ri,rb

~rh, o

0

0

...

0

I

84) V. ad es. WEBER, IOCO cit. xr p. 579" 3S) Ricordiamo (n ~ xo) che nella matrice B, gli indici delle righe e ddle colonne sono o, z

~38

F~ASCESC0 C E e / o s / .

il determinante della quale & manifestamente

~ + ( - I) ''+' L,,o ~,o,,; "" ~,>,.hL,,,o e gli altri elementi delle due matrici parziali anzidette, non contenuti in questa matrice quadrata, sono tutti nulli. Naturalmente la matrice quadrata di ordine n ora scritta si presenterA in E - l - B con le righe e le colonne neli'ordine nel quale ora sono state scritte, solo se r o ~ rl ~ . . . <[ r / ~ r~; altrinaenti per dedurre dalla matrice scritta la matrice quale si presenta in E-ai- B occorrerA fare una certa sostituzione sulle righe e la medesima sulle colonne; ma con ci6 il determinante non cambierfi. Sviluppando il determinante [E + B( per una delle matrici parziali M, od M,, e cosl continuando sul minore complementare, si ha manifestamente I E + & [ - - n{i + ( - - I)",+'~o,,.of~,.o,~ ... ~,.i,~f~j,,o}

442)

il prodotto essendo esteso a tutti i cicli di T . 18. Premesso ci6 consideriamo un'algebra del tipo P, cio6 un'algebra S primitiva, che rappresentiamo per matrici nel modo indicato ai n ~ 9 e 1o. I suoi elementi, rappresentati dalle matrici ,1-- I

~,g~(s)Br dove i g~(x) sono polinomi arbitrari (di ordine ~ n -- I, coi coefficienti in K), debbono avere i rispettivi determinanti diversi da zero, e sar~t quindi in particolare IE -oI- g, (.el)Brl ~6 o

(r = 1, 2. . . . .

n -- I),

qualunque siano i polinomi g~(x). Ora un tale determinante 6 del tipo (42), e si ha quindi per esso, come subito si vede,

FE+g,.(.,'t)B,.I

= nit +(--O"~+~L,ro~o,~,

... ,L,,,oe~(~)g~(%)

... g,(%)t;

deve dunque aversi i +(-

O"'+'L,,o~ror, . . . ~ J r ( , ) g ~ ( % )

...

r

( ~ = ', ~ . . . . , " - - ~ ) ,

e le analoghe per gli altri cicli; ossia, per le (33), I + ( - - I)nr+11Fr(~)lFr(llro ) . . .

IFr(~rb)gr(~)gr(~ro ) . . . gr(~rh) #

O,

owero, per le (4 I) e le (32),

i + (-- O"r+~Zr(~)g,(~)g,[O(~)] ... g,[0~"'-~)(~)] ~ O, ( r = ~, 2, ... , n - - O; inutile ora tener conto delle relazioni analoghe per gli altri cicli perch6, per le propriefi del gruppo di GALOISdi un'equazione e dei gruppi Abeliani, esse sono conseguenza di queste.

SOPRA UN TIPO DI ALGEBRE PRIVE DI DIVI$ORI DELLO ZERO,

Osserviamo ora che, essendo i

gr

239

polinomi arbitrari rood. f(x), posto

g~(x)p, (x) ~- -- i [rood.f (x)], anche i polinomi p~(x), cosl definiti, saranno da riguardarsi come polinomi arbitrari mod. f(x); le disuguaglianze ottenute potranno quindi infine scriversi

z, (~) -~ p, (,)p, [0 (,.)] ... p, [07,-,, (~)]

(~=,,= .... ,,,-

o,

dove i p,(x) sono polinomi arbitrari. Vediamo dunque che; Se un'algebra S ~ priva di divisori dello zero, dascuno dei polinomi Z,(X) deftniti dalle formule (9)gode della propriet?t cbe per nessun polinomio p(x) (di grado .~ n - I, coi coefficienti in K) si ba X,(~) = p(~)p[0 (~)] ... p[0>-"(~)]. Osserviamo in particolare che di qui segue che in ogni algebra P i polinomi tF di cui al n~ Io debbono avere almeno un coefficiente fuori del campo K. x9. La condizione espressa nell'enunciato del n ~ precedente non ~ sufficiente, come risulter~t in seguito, affinch~ l'algebra S sia primitiva; osserviamo per6 the detta condir ~ suficiente per poter concludere che hell'algebra S non esistono divisori dello zero della forma (43) g,(A)B, + g~(A)B, (r, s = ~, 2. . . . . n - ,) (dove g, e gr denotano polinomi, di grado L n -- I, arbkrari). Non esistono infatti, intanto, divisori dello zero della forma g,(A) perch6 l'equazione f(x)----o 6 irriducibile; B, non 6 poi un divisore dello zero per la definizione stessa &lie algebre S; quindi non esistono divisori dello zero della forma g,(A)Br. Se poi esistesse un divisore M dello zero della forma (43)~ si noti che anche

M' --

I

Z,(J)gs(A)

M BT'-'

sarebbe un divisore dello zero. Si ha ora, per la (9), g, (A) B B~"-' M ' = E + z,(~)g,(A) ossia, applicando ripetutamente la (7),

M' = ~" + f(A)~3,. Ma, per il ragionamento del n ~ precedente, un divisore dello zero di questa forma non pub, per le condizioni poste, esistere.

240

FRANCESCO

CECIONI.

Le algebre P di i 6 ~ ordine.

20. Limitiamoci ora al caso n = 4" Riprendiamo le notazioni i, j,,/'~, ]~ in luogo delle .4, B,, ... perch~ non ci varremo pith dalla rappresentazione per matrici. Un numero della nostra algebra go (i) + g, (/)J, + g~ (i)L + g3 (i)L, Io diremo (per brevit/t) di forma quadrinomia se nessuno dei polinomi go(i), g, (i), ... identicamente nullo; se poi uno ~ nullo e tre non sono identicamente nulli, diremo che il numero ~ di forma trinomia; ecc. In nessuna algebra S (v. n ~ precedente) esistono divisori monomi deUo zero. I1 n ~ precedente d~l poi le condizioni a~nch~ in un'algebra S non esistano divisori binomi dello zero; supponendo soddisfatte tali condi~ioni dobbiamo ora cercare, nel nostro caso n - - 4 , quelle relative alla mancanza dei divisori trinomi e quadrinomi dello zero. Sia

M --go(i)-]-g,(i)], "{-g20)]~ "at-g3(i)]3 un divisore, trinomio o quadrinomio, dello zero, e supponiamo, se 6 trinomio, che si abbia g~(i)::/~ o; sia poi Q un nullifico (destro ad es.) per M: MQ=o. Anche ]3M, ad es., e 9(i)M (*?(i)indica un l~olinomio arbitrario di 3~ grado col coefficienti in K) saranno, manifestamente, divisori dello zero, e saranno effettivamente distinti, perch~ da J3 M - - ~ ( i ) M seguirebbe [1"3- - ~?(i)] M = o, onde esisterebbe un divisore binomio deUo zero [ ] 3 - q~(i)], contro la supposizione test~ fatta. La differenza ]3 M -- ,?(i)M ~ dunque un effettivo divisore dello zero. Ora dalle leggi di moltiplicazione dell'algebra in questione [le (2%) e (6') e le conseguenze del n ~ 3] si deduce:

J3 M - - ~?(i) M - - g o ( i ) + -g, (i)], + g~(i)]~ + [go [03 (i)] - - ~(i)g3(i)]]~, dove go(/), g (i), g-,(i) sono certi polinomi; se quindi scegliamo ~(i) in modo che ~ia

*?(i)g3(i) = go[03(i)] (e con .ci6 nessuno dei polinomi g-o(i), g-(i), larsi), e poniamo

potty, per quarto precede, a n l-

M' --- [fo(i)]-~[j 3U - - 9(i) M],

$OPRA UN TIPO DI ALGEBRE PRIVE DI DIVI$ORI DELLO ZERO.

:241

M' risulterh della forma M' = J o + %(i)j, "-I- %(i)j2,

e sar~t ancora

M'Q=o. Si pu6 ora operare analogamente su Q e troveremo

M'Q' = o, dove Q' ha la stessa forma di M': Q' -- Jo + +, (i)J, + +2 (i)J2. Sostituiamo adesso le espressioni di M' e Q' nella M' Q ' = coli secondo le leggi di moltiplicazione del n ~ 16 risulta

o; eseguendo i cal-

r, (i) +, [o (i)] z, (i)-+ r~ (0 +2[0~(i)] zXi) + ~ = o ~, (0 + +,(i) = o r~(i) + +2(0 = o

~,(i)qJ2[O,(i)]z,(i)z~[O~(i)] + %(i)+,[O~(i)]z3[O (i)] = o; e di qui, eliminando +, e +2, e ponendo poi :t al posto di i, si ottiene infine (44)

1% (~)r [O'Ot)]Z' (~) "+" %(~)%[02(~)]G(~)

---i

Se dunque, soddisfatte le condizjoni trovate al n ~ 18, esistono poi divisori deUo zero, esistono due polinomi 9, e % (di grado ~ / 3 , coi coefficienti in K) che soddisfano alle (44); e viceversa se le (44) sono soddisfatte, posto + , ( i ) - - %(0 e d?~(i) --- ~ % (i), si avr~t effettivamente M' Q' = o. L'ulteriore condizione necessaria, ed insieme alle precedenti sufficiente (nel caso attuale n - - 4 ) , per la non esistenza dei divisori dello zero, 6 dunque che non si possa soddisfare al sistema 444). Riassumendo abbiamo dunque: Tutte e sole le algebre del tipo P, di I6 ~sim~ordine, corrispondenti ad un'equa~ione di 4~ grado f ( x ) = o, abeliana non ciclica ed irriducibile in un dato campo di razionalitd K, si ottengono nel modo descritto al n ~ I6, purchk i tre polinomi Z, (x), Z2 (x), Z3(X), oltre soddisfare le condi~ioni (x6), (~6), 063), (4o1 espresse in detto n~ x6, siano ancbe tall cbe : a) Nessuna delle seguenti equa~ioni Z,(~) = P (qP[0,(~)],

Z2(~) = P(~)P[% (~)],

X,(~) = P(~)P[%(~)]

ammetta (nel campo K) soluzioni rispetto al polinomio fncognito p (x). b) Il sistema 444) non ammetta (nel campo K) alcuna soluzione rispetto ai polinomi incogniti % (x), %(x). lCtnd. Circ. Maiem. Palermo, t, XLVII 0 9 2 3 ) . - $tampato il 2} settembre t923.

31

249.

FRANCESCO

CECION'I.

Le condizioni espresse in questo enunciato non sono semplici; l'esempio che adesso tratteremo mostrcrA per6 che non sono incompatibili. Mostreremo pure con un esempio che la condizione b) non ~ conseguenza delle altre (le quali sono manifestamente indipendenti), e cosl sark anche giustificata l'affermazione fatta i n principio del n ~ I9.

58. E s e m p i o di algebra P di I6 ~ ordine. 21. Per dare l'accennato esempio occorre premettere tre lemmi. a

LEM~A ,4). - - Sia p - - T

(a e b interi primi Ira loro) un numero razionale

[ordinario 36)] tale che :

a) Nk 2 - p, nk ~ 2 -

2--p

p, n~ ~ + p siano quadrati perfetti, ed a sia dispari 87).

b) II numero intero b(a q 2b) contenga almeno un fattore primo dispari ~ della forma 4 n ~t_ 3, con esponente dispari ; sara dunque con la consueta nota~ione di LEG~NDRE, _

_

i

c) a - 2 b contenga almeno un fattore primo dispari re, con esponente dispari, rispetto al quale - - b ( a + 2b) ~ non residuo (quadratico); oppure a-q--2b contenga almeno un fattore primo dispari r:, con esponente dispari, rispetto al quale m b(a--'2 b) non residuo. Sotto queste condizjoni requa~ione (45)

(t--P2)x2--PY'--u2+zpux+2yv=--px~--r~+v~+2ux

non ammette alcuna solu6one rationale (eccetto la soluzione nuUa). Ad es. per p - - - - I9, p - - - - 31 le condizioni poste sono verificate. Dimostreremo il lemma per assurdo. Sia x, y, u, v una soluzione rationale dell'equazione (45), con x =~ o. Poniamo

y+v=~,

y--v=~,

--px2--y*+v~+2ux=O;

risolvendo queste rispetto a y, v, u e sostituendo nella (45) si ottiene [ - - pX' + 2X 2 - -

~):t]~2__2~0~ +

(4 --P2) ~4 -- P'gx2 + 2I)Ox~- 2~"x~ - - 40x2 - - 0' = O.

36) Cio~ un numero razionale deU'aritmetica ordinaria. Avvertiamo anzi the in tutti e tre i lemmi, ed in tutto cib che segue, intenderemo di operare sempre nel r dei humeri razionali ordinari. 37) Dall'ipotesi the -- 2 -- p non sia quadrato segue 2 q-- p ~ o.

$r

UN TIPO Di ALGEBRE PRiVE DI DIVISORr DELLO ZERO.

243

Riguardando questa come un'equazione in ~, della forma A ; . 2 + B~ + C - " o, l'espressione B 2 - 4 A C deve essere un quadrato perfetto, che chiameremo 4Z:; si ottiene con ci6, dopo opportune trasformazioni,

(p + 2 ) ~

2+

I

0(_22+J-P)']' +pJ 40~(P-- 2)--0.

(p + 2) ~ (2 - p)x 2 - r

Di qui si deduce 0--# o; ore infatti fosse 0 - - o dall'uguaglianza ottenuta seguirebbe o che p 2 6 un quadrato, contro l'ipotesi a), o che 6 ( 2 - - p ) x 2 - ~ = o; e da ci6 si otterrebbe (avendo supposto x 51= o) che 2 - p 6 un quadrato, contro l'ipotesi a). Cosl si trova anche che ~ ( 2 -

p)x 2 - ~2

0~ ( 2-- ~ p) _~o, e z : # o .

Possiamo dunque determinare tre humeri interi non nulli e privi di fattori comuni, X, Y, Z, tali cbe sia (p + 2)X ~ + y2 _[_ GO _ 2)Z 2 = o, ossia (46)

(a + 2 b)X 2 + b r 2 + (a - - 2 b ) Z ~ --- o.

Siano ora d , d2, d 3 (primi fra loro) i massimi comuni divisori rispettivamente di Y e Z, Z e X, X e Y; avremo che a A f - 2 b ~ o (mod. d~), b ~ o (mod. d:),

a--2b--~-o(mod, d~), e ponendo X - - d 2 d 3 X , Y--d3d ' Y, Z - - d d , ~ a.+2b=d~o~, b - - d: ~, a -- 2 b = d 23"f, avremo (47)

~ ..~ + ~ ~2 + y 22 = o,

con X, Y, Z prim! fra loro (due a due); ed i coefficienti ~, ~, "~ sono pure (come facilmente si vede) primi fra loro (si ricordi che a ~ dispari), t~ inoltre manifesto che [se, per fissare le idee, supponiamo verificata la prima delle ipotesi c)] ": contiene il fattore primo ~ (con esponente dispari), mentre n~ d,, n~ d~ (a causa di a + 2 b = d: ~, b "-- d: ~) sono divisibili per ~. Avendosi poi - - b (a + 2 b) - ~ ~ (dx d 2)~, segue dalla ipotesi c) che ~ ( - - ~ )

- - -- i.

DaNa equazione (47) si deduce invece as)

~2 ?~ ~ _ ~ ~ :~2 (mod.

=),

onde (ricordando che x, ~, -[ come pure X, Y~ Z sono pnmi fra loro) si ricava (-~)----~-I. %

Siamo dunque caduti in contradizione.

/

Analogo ragionamento vale supponendo verificata la seconda delle ipotesi c). La (45) non ammette dunque soluzioni razionali con x =/~ o. as) Si confronti al riguardo P. G. LEj~usE DIRICHLET, Le;(ioni suUa teoria cZeihumeri, tradotte da A. FAIFOrER [Venezia, Tip. Emiliana, I88i], pp. 408 e segg.

"

F R A N C E S C O cEcIONI~.

~44

Consideriamo ora una solur rationale non nulla della (45) con x - - - o , una soluzione (razionale) y, u, v dell'equazione

(45,)

cio~

_ py2 _ u" + 2y v - - - - y" + v'.

Non pu6 essere y2__. v'; si dedurrebbe infatti da y - - u - - o e quindi anche v - - o, contro l'ipotesi, fetto, pure contro le ipotesi. Se poniamo anche qui dunque ~ :?6 o, 0-76o; e risolvendo rispetto ad y e con opportune trasformazioni +

+

(p - -

ci6 u ~ - - (--p___+ 2)y ', onde o oppure - - p ! z quadrato pery v - - -~,, y2 - - v' = - - 0 , sar~ v e sostituendo nella (45,), si ha -

-

- - 0)' =

o.

Di qui segue che non pub essere ~' - - 0 = o, perch~ sarebbe altrimenti ~ - - o, n~ pub essere u - - o ; si possono quindi determinare tre numeri interi non nulli e privi di fattori comuni pei quail sia X ~ + Y ~ + ( p - - 2 ) Z ~ = o , ossia b'X~+b ~Y 2 + b ( a - - 2 b ) Z ~ = o ; esistono perci6 tre numeri interi non nulli, X', Y', Z', e privi di fattori comuni, pei quail si ha (48) X '~ nt- V '' -1- b (a - - 2 b ) Z '2 - - o . Se oi'a d ~ il massimo comun divisore di X' e Y', d' divide b(a ~ 2b); posto quindi X ' = d X ,

Y'--dY,

b(a--zb)=d

~a, si h a . . g = + Y 2 + a Z " = o ,

dove

X, I7, Z' risultano primi fra loro. Segue di qui, come nel caso precedente, ricordando l'ipotesi b), ( ~ - - ~ ) =

+ I, contro l'ipotesi b)stessa.

I1 lemma ~ cos| dimostrato as). a

u2. L~.MMA B). ~ Siano p = 7 - (a e b interi primi fra loro) h e g tre numeri razionali (ordinari) tall che: a) N~ 2 - - p, n~ - - 2 ~ p, n~ p" ~ 4 siano quadrati perfetti. b) b(a - - 2 b) contenga almeno un fattore primo dispari ~ delia forma 4 n + 3 con esponente dispari; sari~ dunque ( - ~ )

=--

I.

c) S i a g " nt- (p + 2)h ~ - - - - k', con k eventualmente nullo. (Se ~ k - - o sara. anche, poich~ - - 2 ~ p non ~ un quadrato, h - - g - - - o ) .

ag) Si pub notare chele condizioni enunciate in questo lemma sono sufficienti ma, manifestamente, non necessarie per la non esistenza di soluzioni razionali non nulle dell'equazione (45). Se, ad es., invece delHpotesi b) ~ soddisfatta Hpotesi (meno restrittiva) b(a--2b)~> o la tesi vale ugualmente. Ma per cib che segue servono le condizioni che abbiamo enunciato. Osservazione analoga vale per i lemmi seguenti B) e 19).

SOPRA UN TIPO DI ALGEBRE PRIVE DI DIVI$ORi DELLO ZERO.

24j

Sotto queste condi(ioni il sistema

i xyTyu+.v+O-P)~=h

(49)

--x

+y

--u~+C+pxu--pyv-'-g

non ammette alcuna soluzjone rationale (eccetto la soluzione nulla se h - - g - - o ) . Ad es. per p = - - x9 e g - - b, oppure g = 4, b --- I, tutte le condizioni poste sono verificate; cosl pure sono verificate per p --- - - 3 x, g - - 2, b - - I; ecc. Dimostreremo anche questo lemma per assurdo. Sia x, y, u, v una soluzione ra(ionale d d sistema (49), ndla quale sia x 5~ u. E[iminando y ira le due equazioni si ottiene

(2 - - p ) ( x ~-]- u ~ - - pxu)v ~ - - h(2 - - p)(x Jr- u)v + h ~- - (x - - u)~(x ~+ u ~- - p x u + g ) - - o, la quale ~ del tipo A C + B v q--C = o; ne segue che l'espressione B 2 - 4.4 C deve essere un quadrato perfetto K~; dopo opportune trasformazioni si ottiene

(p-2)(2x~+2.~-2px.+gy+ ~ _ .

+~-2)k'=o.

Di qui si deduce, come nel lemma d), che k, Z e 2 x : + 2u ~ " 2 p x u + g sono diversi da zero [si ricordino le ipotesi a) e c)]. Si ha quindi anche qui, con evidenti posizioni, (p - - 2)X 2 -at- Y2 + (p - - 2 ) Z ~ = 0 con X :g: o, Y 5/= o, Z -76 o, ossia (a - - 2 b) X 2 + b Y~ + (a - - 2 b) Z * = o, e moltiplicando questa per a - - 2 b vediamo che esistono tre numeri interi non nulli, X', Y', Z', e privi di fattori comuniy pei quali si ha x '~+b(a-2b)Y '~+z '~=o. Ragionando su questa come sulla (48) e ricordando ripotesi b) il lemma risuka, nel caso attuale x 5~-u, dimostrato. Consideriamo ora una solu(ione rationale non nulla del sistema (49) ndla quale sia x - - u , ciob una soluzione rationale del sistema

(2 - -

p)xv = b

(p - - a) x' + y2 -at- v" - - p y v - - g, e supponiamo dapprima cbe sia b =~ o, e quindi x--76 o. Eliminando v, ordinando rispetto a y, e procedendo poi come nel caso generale, otteniamo

(p -

2)[2 (p - - 2 ) ~ - g]-" +

x(p :~ - 2) ) ' + (p - - 2) k2 = o.

Ora 6 k 5,6 o, perch~ altrimenti sarebbe g - - b = o, contro l'ipotesi test6 fatta che sia b : ~ o; e quindi ~ (cfr. il caso precedente) ~ :fi 0 e 2 ( p - 2 ) x : - - g ~ o. Esistono

246

~RANCESCO CEClONi.

allora tre numeri interi X, Y, Z non nulli e privi di divisori comuni pei quali si ha (p - - 2)X ~ -[-Y~ -[- (p - - 2 ) Z ~ - - o, e si ricade con ci6 nel caso gi~ trattato. Se supponiamo poi h - - o, da g~ -{- (p -]- 2) b~ - - - - k: si deduce g - - k - - o; e si trova facilmente c h e l a soluzione considerata non pub essere che la soluzione nulla. OSSERVAZIONE. - - Si noti che per k - - o (e quindi g - - b = o) l'ipotesi b) 6 superflua. a 0.8. LE~tMA C). - Siano p -- ~ - (a e b interi primi )ra loro), b e g tre numeri

razionali tall the: a) N~ - - p + 2, n~ - - p - - 2, n~ p" - - 4, n~ p - - 2 siano quadrati perfetti ; a sia dispari. b) a - - 2 b contenga almeno un fattore primo dispari ~, con esponente dispari, tale cbe sia ( - - b(aT:"-~ 2 b ) ) = - -

i ; oppure a -~- 2b contenga almeno un fattore primo

esponente dispari, tale cbe sia ( b ( a - - 2 b ) ~ - _ _ . _ I. ] \ c) Sia g~ + ( p - - 2) b~ - - ( p - 2 ) k ~, con k eventualmente nullo. (Se ~ k - - o sar~t anche, poich6 - - p - [ - 2 non 6 un quadrato, h - - g - - o ) . Sotto queste condizioni il sistema dispari

(50)

con

t - - xy - - y u - - uv + (I - s r . p ) x v - - h x ~ + y~ + u" + v ~ - p x u - p y v =g

non ammette alcuna soluzione ra6onale (eccetto la soluzione nulla quando h - - g ~---o). Ad es. per p - - - - 19, oppure per p - - - - 31, e g - - o le condizioni poste sono verificate. Supposto dapprima x + u # o, si proceda come nella dim. del lemma B); si giunge con cib aUa relazione (p -[- 2 ) ( 2 X 2 -1- 2Ua - - 2 p X U

g)*

+

~

--

(p" - - 4)k ~ = o,

e di qui si deduce [cfr. ancora la dim. del Iemma B)] che ~ k =76 o, ~:76 o, 2x ~ -{-- 2 u ~ - - 2 p x u - - g =fi o. Si ha quindi, con evidenti posizioni, (p + 2 ) X ~ +

II' - - ( p ' - -

4)Z ~ -" o

con X -76 o, Y -76 o, Z : ~ o, ossia b (a -[-- 2 b) X* --[- b2 Y* - - (a ~ - - 4 b~) Z~ - - o, e moltiplicando questa per a - [ - 2 b vediamo che esistono tre humeri interi non nuUi, X', Y', Z', e privi di fattori comuni, pei quali si ha /,x

+ (a + 2b) r

- - (a -

2b)Z

-

o.

SOPRA UN T1PO DI ALGEBRE PRIVE DI DIVISORI DELLO ZERO.

2~7

Ragionando su questa come sulla (4 6) [tenendo presente, naturalmente, l'ipotesi b)], il lemma risulta, nel caso attuale, dirnostrato. Se poi ~ x-]--u = o ma h--~ o, ragionando come nel 2~ caso del lemma B) si ricade sull'equazione (p --}- 2)X ~ 3i- Y~ - - (p~ -- 4)Z~ - - o, cio6 sul caso gi/t trattato. E se infine 6 x + u - - o, b "-- o si trova, come nel lemma B), c h e l a considerata soluzione ~ la soluzione nuUa. 24. Premesso ci6, andiamo a dare un esempio di algebra P di 16 ~im~ ordine. Teniamo presente, naturalmente, l'enunciato finale del n ~ 2o. Contrassegneremo con humeri romani I), II), . . . le condizioni che successivamente incontreremo. Prendiamo come campo di razionalit~ il campo assoluto K----[x], e come equazione, abeliana non ciclica ed irriducibile in detto campo, l'equazione

(sx)

+ px" +

= o,

dove p indica un numero razionale che soddisfa alia condizione seguente: I). N~ + 2 - - p, n~ - - 2 - - p, n~ p~ - - 4 siano quadrati perfati. Con queste condizioni effettivamente si verifica che la (51) ~ irriducibile4n detto campo, ed ~ poi abeliana non ciclica, poich~ se con % - - - ~ indichiamo una sua radice, le altre radici sono date, come subito si vede, da

%--02(~)_-=,3+p~,

9

~ --0 (,)--

- - ~3 - - p ,

ed 0 [0 (~)] = ,., Dobbiamo ora determinare i tre polinomi Z,(x), Z~(x), ?L3(x) che soddisfacciano a tutte le condizioni accennate nell'enunciato del n ~ 2o. Per quanto riguarda le condizioni ( I 6 ) , (16,), (163) si vede subito, eseguendo i relativi calcoli, che affinch~ esse siano soddisfatte ~ necessario e sufficiente prendere Z,(x)=h,x2+g,,

Z2Cx)=h2[x3+(p+I)x]+g.,

Z,(x)=b3[.~3+60-- I)X]+g;;

e noi prenderemo in particolare 40)

g,--h,#o.

g3=o,

Esaminiamo ora la condizione (40). Con le espressioni test~ scritte dei Z,(x), Z2 (x), Z3 (x), e con g3 ' - o, g, - - h,, la condizione (4 o) diviene (4o~)

- - h~ =

h~[g~+ (p +

2)h~];

e, posto b 3 = + h, k, si vede quindi che: 4o) Si osservi che ci basta solamente dare esempi di algebre P, dato the il problema di determinare tu~ le algebre P, r all'equazione (50, si presenta di diffir soluzione.

248

FRAIqCESCO CECION'L

II).

Occorre determinare tre numeri razionali non nulli cx) g,, h~, k tall che sia

(s2)

g: .+ (p + 2)h: = - ks. Bisogna perci6 porte le condizioni affinch~ questa equazione sia risolubile nel

campo K - - [ I ] .

a + 2t, hl b ~"

Ponendo p

a ~----b-

(a e b interi primi fra loro), essa pu6 scriversi

- - g~ -{- k~' od anche (indicando con u, v, w tre convenienti interi non

nulli) - - b (a + 2 b) w ~ - - u ~ + v*. Di qui segue o ) che: III). Deve essere b (a + 2 b) < o, e tutti i fattori primi di b (a + 2 b), che compaiono in b(a + 2b) stesso con esponente dispari, debbono essere della forma 4 n dr- i. Se viceversa questo accade, si pu6 soddisfare 43) con humeri interi non nulli alla --b(a + 2 b ) w ~ - - u * + v *, e quindi aUa (I2) con humeri razionali. Tenendo presenti le condizioni poste g3 " - o, g, = h 526 o, b 3 - - __+ h k si ha poi

t zZ=(X) , ( x ) == h,(x + (pI) + I)X] + g, h~[x'~ + z~(x) = + hxk[x3 + (p - x)x],

IV)

(h, # o~

Poste dunque le condizioni II), III), IV), la condizione (4%), e ciok la (40), k soddisfatta, come pure sono soddisfatte le 0 6 ) , (I6~), (163) , e si ottiene cosl intanto, mediante l'applicazione del n ~ I6, un'algebra del tipo S. Andiamo ora ad esaminare la condizione a) del detto enunciato del n ~ 20. Posto p(x)

X x 3 + r x ~ + Wx + g,

vediamo, eseguendo i calcoli, che detta condizione si riduce a questa che i numeri p, h,, h~, g~, k debbono esser determinati in modo che nessuno dei tre sistemi

(00

i (I - - p ~) X~ -- p Y ~ - U* -+. 2 p X U .3t- 2 y y --- h ' ~--px ~- Y'+ z'+2x~= h,

(~')

XY-- YU+ UV+ VX--pVX--h - - X ~ + Y~ -- U ~ + V ~ + p X U - - p

('()

- - X Y - - Y U - - U V + V X + p V X = -C- h k X~+ Y~+ US+ V~--pXU--pYV--o

t

a YV =g~

4~) Se fosse nu|lo uno di essi dalla (52) segue, per la condizione I), che sarebbero nuUi tutti e tre, e quindi Z~ (x) identicamente hullo, il che non deve essere. r DIRICtiLET, 1OCOtit. 3S), p. I56. 43) DIR~Cm.ET,Ioco cit. 33), p. i56, o, pi~ in generale, p. 421.

SOPRA UN TIPO DI ALGEBRE PRIVE DI DIVISORI DELLO ZERO.

249

possegga soluzioni razionali. Ora dal sistema (~) si deduce

(i - - p ' ) X ~ - - p Y~ - - U" + 2pXU.-]- 2 Y V = - - p X 2 - - u -~- V ~ .-1- 2 X U , la quale equazione non ~ c h e l a (45) del lemma .4). Se dunque imponiamo la condizione : V). II numero p deve soddisfare alle condi~ioni poste nelrenunciato del lemma .4); il sistema (~) non avr~t soluzioni razionali (si ricordi che ~ b, :~: o). Cosl pure se, ricordando i lemmi B) e C), imponiamo le condjzioni seguenti: VI). I humeri p, b=, g, debbono soddisfare alle condi~ioni poste nell'enunciato del lemma B) rispettivamente per i humeri p, b, g; VII). I humeri p, +__b, k, o debbono soddisfare alle condi~ioni poste nell'enunciato del lemma C) rispettivamente-per i humeri p, b, g; vediamo che n~ il sistema (~5) n~ ii sistema (u avranno soluzioni razionali (si ricordi che ~ b~ & o, g, =7~ o, b k 5& o), e percib la condi~ione a) delrenundato del n~ 2o sarc~ soddisfatta. Rimane adesso solamente la condizione b) di detto enunciato. Osserviamo perci6 che la prima delle (44) d/t cbe la funzione della radice 0~ (44')

%(~)~,[0 (~)]~.,(~) - - r

-

-

qh(~)qh[0 (~)]Z,(~)

rimane invariata per le operazioni 0 e 0 , ed 6 quindi razionalmente nota 44). Ma ponendo

?2(~)---Xx3.gff Y~a-l-U~.q-V ,

L=--X'+

M--- X Y - - Y U +

Y'--U~+V'+pXU--pYV,

U V + V X - - p VX,

in base ai calcoli precedenti si trova subito .%(~) % [0 (~)] Z~(~ --= [L b, q- Me, ] [~' -q- (p -]-, ) o~] -~- Lg~ -- (p dr- 2) M b,. Deve dunque essere hullo il coefficiente di ~3_]_ (p _1_.i)~; si ha cio~ necessariamente L b2 q - M g ~ - - o , ossia, poich~ n~ g~ n~ b~ sono nulli, L = ~og,,

M-- ~ob~,

dove o ~ un conveniente numero razionale (eventualmente nullo). Se quindi (rimettendo per L, M i loro valori) i numeri g, =~ o, b, 5~ o sono tall cbe il sistema

i - - X'-]- Y ' - - U'q.- V ~ - [ - p X U - - p Y V = o g ,

(8)

XY-- YU + U V + VX--pVX-----ob,

44) Si potrebbe fare ugual considerazione per la funzione go,; [cfr. la nota 4o)]. Rend. Circ. Ma~em. Palermo, t. XLVII ( 1 9 z 3 ) . - Stampato il 23 settembre ~923.

2jO

FRAI~CESCO C E C I O N I .

non possegga, qualunque sia il numero rationale o~, alcuna soluzione razionale all'infuori della soluzione nulla per co = o, risukerA necessariamente X - - Y = U - - F = o, cio~ c?2(~t) identicamente nulto. Ma allora la (44') diviene =

i

I

che ~ in contradizione con la giA posta condizione a) del n ~ 2o. Soddisfatta dunque la condizione test~ enunciata per il sistema (~), la prima delle (44) non potrA mai essere verificata, e l'ultima condizione del teorema del n ~ 20 sara con cib certamente soddisfatta. Osservando poi che il sistema (~) ~, come (~), del tipo del sistema (49)esaminato nel lemma B), e che si ha [per la (52)] (0,g,y + ( p

+ 2)(-

= -

vediamo c h e l a condizione enunciata per il sistema (~) ~ senz'akro verificata in seguito aUa giA posta condizione VI). Esaminate cosl tutte le condizioni dell'enunciato del n o 2o non rimane da fare altro che enunciate esplicitamente, con la scorta dei lemmi A), B), C), le condizioni accennate sotto i numeri I), II), . . . , VII), esprimendo una sola volta quelle ripetute. Cosl, ad es., si osservi c h e l a conclizione VI) risulta assorbita dalle precedenti; nell'esaminare la VII) si noti che da b(a + 2 3 ) ~ o [condizione III)] segue a fortiori p - - 2 ~ o, e quindi non quadrato perfetto; ecc. Si giunge cosl infine al risultato seguente. Per coslruire un esempio di algebra di i6 e'im~ ordine del tipo P s i cominci dal deter-

minare un numero razionale p - - Ta (a e b primi Ira loro) < - - 2, tale the: I ~ Nb 2 - - p, nk - - 2 -- p, nk p~ - - 4 siano quadrati perfetti 4s). 9.~ Il numero a sia dispari. 3~ Tutti ifattori primi di b ( a + 2 b ) , the compaiono in b ( a + 2b) stesso con esponente dispari, siano della [orma 4 n + I. 4 ~ 11 numero b ( a - 2b) contenga almeno un fattore primo dispari della forma 4 n + 3, con esponente dispari. 5~ I1 numero a--- 2 b contenga almeno un fattore primo dispari ~, con esponente dispari, tale che sia ( " b(a + 2b) ) = - - I ;

45) Dire the non sia quadrato perfetto p~ - - 4 equivale a dire che non 1o sia 2 - p . --2~IO

$OPRA uN TIPO Di ALGEBRE PRIVE DI DI~,'IgORi DELLO ZERO.

25i

oppure il numero a + 2 b oontenga almeno un fattore primo dispari ~,, ed almeno uno

% (uguale o diverso da n ) , ambedue con esponente dispari, tall cbe sia rispettivamente b (a-

2 b)

--

~,

=

--

i.

Determiniamo dipoi (come sopra, nella ricerca della condizione III), si a dimostrato essere possibile) tre numeri razionali non nulli g2, b,, k tall cbe sia (s2)

g: + (p + 2)b: = -

k ~.

Fatto cib consideriamo Vequa6one

(~x)

f(x) = x' + p x" + I = o,

e poniamo

l ~,(x) = h,(x=+

,) z,(*) = h,[,' + (p + ,),] + g= z,(x) = + h,k[x' + ( p - - 0"1,

IV)

dove b. ~ un numero rationale arbitrario non nullo. L'algebra costruita partendo dalle ( 5 0 e IV), e seguendo le indicazioni del n ~ 16, appunto un'algebra del tipo P nel campo assoluto di razionalit& Si noti che i humeri, ad es., p = - - 19, p - - - - 31 soddisfano alle condizioni test~ enunciate, il che prova la compatibilit~t di esse.

Indipendenza delle condizioni che definiseono le algebre P di x6~ ordine. 25. Per giustificare l'affermazione, fatta alia fine del n ~ 2% c h e l a condizione b) delrenunciato di detto numero ~ effettivamente indipendente dalle akre, andremo ora "infine a mostrare un esempio di algebra del tipo S, che soddisfa ino~e alla condi~ione a) del detto n~ 20, ma non soddisfa alla b), e non ~ quindi primitiva. Ci varremo perci6 dei lemmi seguenti.

LEM~tA D). ~ Condi~ione necessaria e suffciente a~ncbk il sistema (53)

( g = -b-'~

l x ~ -- u* + 2 y v - - o v ~ -- y* + 2 u x = g a e b interi primi fra loro e non nulli

)

ammetta soluzioni razionali, ~ cbe

il prodotto a b non possegga alcun divisore primo della forma 8n + 5 con esponente dispari.

~$2

FRANCESCO

LEMMA E ) . (s4)

CECIONL

Condi~ione necessaria e sufficiente afinchk il sistema t v x + x y + u v - - uy = o _ ~ + ~ _ r + v~ = g

ammetta solu~ioni ra~ionali, b cbe il prodotto a b non possegga alcun divisore primo della ~orma 8 n + 3 con esponente dispari. LEMMA 1 7 ) . - Condi~ione necessaria e su~ciente a~nchb il sistema

(ss)

t vx--

xy--

uy - - u v - -

x~ + y~ + ~ + ~ = g

o

ammetta solu~ioni ra~ionali, ~ cbe il prodotto a b sia .positivo, e non possegga alcun divisore primo della forma 8 n + 7 con esponente dispari. Si osservi la relazione fra questi sistemi ed i sistemi (49) e (5 o) e l'equazione (45). A noi occorre solamente valerci della necessitit delle condizioni suddette, e percib ci limiteremo qui a dimostrare solo questa. 26. Cominciando dal lemma D) si indichi con 2' il prodotto dei fattori primi distinti che figurano in a b con esponente dispari, cosl che sia a b - - 2 ' q ' ; si vede facilmente intanto c h e s e it sistema (53) ammette soluzioni razionali, il sistema (helle cinque incogrtite x, y, u~ v, w) l x 2 ~ u~ + 2 y v - - o (56) C - - y~ + 2 u x --- y w ~

sar~t risolubile in numeri interl, che possiamo supporre privi di divisori comuni. Risulta ora dalla prima delle (56) che x ~ u ed x + u sono pari; posto allora x ~ u - - 2x', x + u - - 2 u', e supposto v ~ o, eliminando y si deduce (s7)

(v ~ - - 2 ~ " ) ( e + 2 r

= 2'v'w '.

Supponiamo v dispari; di qui si ricava che ogni fattore primo di v divide o x' o u'; si vede quindi subito che si pub decomporre v in due fattori in modo che uno divida x' e l'altro u'; v - - Z t , x ' - - Z ~ , u ' ' - t ~ ; e la (57) diviene con ci6

(58)

(t'-

~ ~ ) ( ~ + 2~ ~) = 2 ' ~ .

Sia allora z: un fattore primo dispari di y; esso non pub dividere t e ~, perch~ altrimenti dividerebbe v, x, u, y, w contro l'ipotesi; e cosl non pub dividere ~ ed , ; d'altra parte divide o t ~ - 2;. 2 o Z.* + 2 C ; si deduce quindi che almeno uno dei due n u m e r i + 2, - - 2 ~ residuo quadratico di ~, e quindi 7: non pub essere della forma 8 n -~-5, c. d. d. Se poi v k pari, v ~ 2 v', sostituendo nella (57) si ragiona come sopra. Se infine ~ v - - o dal sistema (56) si deduce - - y * ! 2 x 2 - ' 2 ' w *, onde --y2+ 2 x * ~ o (rood. ~), e si ragiona ancora come sopra.

$OPRA UN TIPO DI ALGEBRE PRIVE DI DIVISORI DELLO ZERO.

2~3

a7. Per quanto riguarda il sistema (54) [lemma E)] si osservi, come nel n ~ precedente e con le notazioni ivi adoperate, che sar~ risolubile in numeri interi (privi di divisori comuni) il sistema v x + xy + u v - - uy = o

- - x ' + y ' - - u ~ + v ~ - - , f w ~. Supposto u + x =~ o, eliminand9 v si ottiene (u ~ .ql_ x'){2y" -- (u .qt. x)'} = Vw'(u -1t- x)'; sia ~ il massimo comun divisore di u ed x, e poniamo u - - ~ u ' , x - - ~ x ' ; si ricava dall'ultima equazione c h e y ~ divisibile per u' + x'; y -- (u' + x')y'; e si ha quindi

(r

+ x")(2y" - ~') = r ~ ' .

Su questa equazione si ragiona poi come sulla (58). Con molta faciliui si tratta poi il caso u + x - - o . Con procedimento del tutto simile a questo si dimostra pure la necessitA della condizione espressa nel lemma F) (si comincia, anche per esso, con l'eliminare v). 28. Per dare l'esempio annunciato al principio del n ~ 25 prendiamo, anche qui, come campo di razionalit~t il campo assoluto, e come equazione, abeliana non ciclica ed irriducibile in detto campo, l'equazione X4+

[caso particolare, per p - - o ,

I --'0

della ( 5 0 ] ; si ha per essa (n ~ 24)

0 (x) = - x,

0 (x) = x,,

0 (x) = -

x,.

Prendiamo poi z , ( x ) =g,,

z~(x) = g , ,

z , ( x ) = g 3 = +g,g,,

g, e g, essendo numeri razionali arbitrari. Con ci6 le condizioni (16), (16,), (I63) e (4 o) del n ~ 16 sono manifestamente verificate, e perci6, col solito procedimento indicato al n ~ 16 stesso, si ottiene, partendo da questi daft, un'algebra del fipo S. Ponendo ora, come al n ~ 24, p ( x ) - - X x 3 - - ~ Yx'-q - U x + ~ V , ed eseguendo i calcoli, si trova che la condizione a) del n ~ 20 si riduce a questa che i numeri g, e g, debbono essere tall cbe nessuno dei Ire sistemi IX'--U'+2YV--o

{VX+XY+UV--UY--o

IVX--XY--UY--UV--o

possegga solu~ioni ra~ionali. Ora questi sistemi sono appunto i sistemi (53), (54) e (55); perci6 a queste condizioni pu6 soddisfarsi (ed in infiniti modi) sulla base dei tre

254

FRANCESCO C r C i O ~ I .

lemmi precedenti; basta prendere, come esempio particolarissimo, gz "-- 5,

g2 =

21,

g3 "-- + g i g "

--- IO~.

Ma con questi valori g, - - 5, g2 ~--- 2I, g3 ~ I05 Ia condizione b) dd n ~ 20 non soddisfatta ; ponendo ~,(x) =

2 x 2,

~2(x) =

i

si soddisfa infatti, come si verifica col caicolo diretto , -aUe equazioni (44). L'esempio annunciato al principio del n ~ 25 ~ cosi effettivamente ottenuto. Livorno, ottobre 1922. FRANCESCO

CECIONI.