G. A. MAGGI

Sul significato, nel passato e nell'avvenire, delle equazioni dinamiche I1 signifieato delle equazioni del movimento dei eorpi eonforme alle lego'i na~urali, secondo Maupertuis, ehe abbvzzb il " Prineipio della Minima Azione ,,, 6, col minimo dispendio, ehe vi si eonnette, della quan~ith chiamata (lallo stesso Maupertuis " Quan~i~h d'Azione , , rivelazione della sao'gezza del Creatore (*). Per Euler, ehe precedette Lagrano'e nell'assestamento di quel Prineipio, quel significato, col semplice valor minimo che il movimento dei eorpi eonforme alle leo'gi naturali eonferisce ad una funzione deo'li elementi del moviment, o medesimo, ~ m'anifestazione della perfezione del Crea~o: il minimo e il massilno valore di una flmzione eostituendone i valori perfetti, come qaelli per eui la funzione ha finito di diminuire o di ereseere (**). Non ~ eer~o mia intenzione di mantenerei in questo ordine di eonsiderazioni, di spettanza della metafisica pih ehe della matematiea. Cib ehe io mi propong'o di esporre ~ una rivista, per sommi eapi, dei varii prineipii ehe si possono assegnare alia %rmazione delle equazioni delia Dinamiea, eiascun dei quali eonferisee un partieolare signifieato alle equazioni del movimento eonforme alle leggi na~urMi, come par(*) On ne peut douter que routes choses ne soient regl~es par un ~;tre Supreme, qui, pendant qu'il a imprim6 h la mati~re des forces qui denotent sa puissance, l'a destinge ~ executer des effets qui marquent sa sagesse. Accord des lois de la Nature. - - Oeuvres (Lyon, J. M. Bruyset, I768), tome IV, pag. 20. Principe G6n6ral. - - Lorsqu'il arrive quelque ehangement duns la Nature, la quantit6 d'aetion n6cessaire pour ce changement, est la plus petite qu'il soit possible. Lois du mouvement, Oeuvres (e. s.), tome IV, pug. 36. (**) Cumquo universa mundi fabrica sit perfectissima atque a creatore sapientissimo absoluta, nihil omnino in mundo contingit in quo non maximi minimivique ratio quaepiam eluceat. Methodus inveniendi lineas c,urvas m a x i m i minimive pro.prietate gaudentes (Lausannae, 1741).

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54

--

tieolare caratteristica atta a distinguerlo tra i movimenti possibili dello stesso mobile, alla lor volta, a priori pih o meno specializzati. Prineipii del passato e principii dell'awenire. Intendendo perb passato continuatire, per prender a prestito un vocabolo dai o'rammatici, che pub esser tradotto eel presente. E i l termine di a w e n i r e applicato ai principii novissimi, invece del presente, ehe terse preferirebbero alcuni, esprimendo il concerto che dalla lore etticacia g lecito aspettare tuttora la piena esplicazione.

E qui mi p e r m e t t o ricordare quella divisione della Dinamica in due p a r t i Dinamica Fisiea e Dinamiea dei Sistemi o Calcolo del i~Iovimento - - che, per non essere generalmente seo'uita, io non credo meno utile a ben in~endere la natura delle cose. I1 prineipale risulta¢o della Dinamiea Fisica 6 l'equazione fondamentale (~) A = _F , A accelerazione, al tempo g,'enerico t, del punto generico P del mobile, _F forza aeceleratrice appartenente, allo stesso tempo, allo stesso punto. La prima, A, elemento del movimento, atta a fornire il movimento del punto, data elle sia in tutto l'intervallo di tempo a eui il movimento si riferisce, c dati, ad un is~ante, ]a posizione e la veloeith. La seeonda, _F, determinata dai corpi considerati, quello eompreso a eui appar~iene P, e dalle lore condizioni fisiche, eonformemen~e alle relative leo.o.i elementari, e, con questo, elemento delle cireos~anze determinatriei del movimento. Fermandoci cluindi a quel risultato fondamentale della Dinamica Fisica, ~ impostor dalle eiredstanze determinatriei del movimen~o, in tutto l'intervallo di tempo, l'ac, celerazione dei punti del mobile. La posizione e la vcloci~h non intervene'one, per determinare Univocamente il movimento, ehe ad un istante. Ora, ]a stessa impos~azione~ non e h e l a risoluzione, dei problemi eoncreti, richiede ~'eneralmen~e che, col concerto di un'approssimazione della realtk, valida entre convenuti limiti, s'impono'ano, a priori, condizioni all'aLto di movimento, o alla posizione, da verificarsi in tutto l'intervallo di tempo considerate, come, nello stesso intervallo di tempo, dall'equazione fondamentale risulta asse~'nata l'aceelerazione d'o~o'ni punto. Queste condizioni costituiseono i eosl detti " v i n c o l i , imposti al movimento del mobile~ indipendenti o dipendenti dal tempo, secondo che atto di movimento e posizione eonformi al ~incolo sono invariabi]i o variabili col tempo. E celia introduzione dei vineoli, secondo l'accen-

--

5 5 - -

n a t a divisione della Dinamiea, eomineia Ia D i n a m i c a dei Sistemi o Caleolo del Movimento, il cut eompito divent, a i ' i n d a g i n e del m o v i m e n t o dei eorpi naturali, eoneepito come determ.mato da eerte forze " forze i m p r e s s e , t r a d u e e n t i l'effetto d'assegnati corpi, in assegnate eondizioni /isiehe, e eerti vineoli, tradueenti, in sostanza~ un effetto deg'li stessi e d'altri eorpi, d i r e t t a m e n t e postulato per l'atto di m o v i m e n t o e per la posizione del mobile.

Coll'intervento dei vineoli, la posizione del mobile eonforme ad essi, ad u n tempo qualsivoglia t, dotrg essere r a p p r e s e n t a t a per mezzo di u n eerto nurnero v di parametri, :r, chiamati " coordinate del mobile, o del s i s t e m a , eol concorso del tempo t, o senza, seeomlo t h e i vineoli sono d i p e n d e n t i o no dal tempo. Le x sono " coordinate libere ,, quando sono suseettibili di valoI'i arbitrarii, in quanto non debbono soddisfare ad equazioni. Quando s'intende ehe debbono soddisfare ad equazioni si postula ehe queste siano della forma F~

(2)

~j

~ 3"~-

X~,,. d:r,. = T~ dt

(i = 1, 2 , . . . ~,. < ,,)

t = to • :*',.= ~..(o~

I

dove le X,:,,. sono funzioni delle x e (li t, e la loro matrice h a caratteristiea l~.. E da queste equazioni s ' i n t e n d o n o , nel caso pi~t generale~ r a p p r e s e n t a t i i vinco]i, avvertendo t h e esse potranno (in parte, e anehe tutte) s e m p l i e e m e n t e t r a d u r r e relazioni intrinseehe fra le coordinate della supposta specie. Esse f o r m a n o a n sistema di [J. equazioni ai differenziali totali, tradueibile o no in un sis~ema di equazioni tinite

(~)'

E, (x, t) = o

(i = 1, 2 , . . .

t~. < .,),

secondo ehe 5 o no illimi~atamente inteo'rabile. In questo ease il sistema mobile si (lice " o l o n o m o , , e eomporta, in infiniti modi, un n u m e r o , - - ~z di coordinate libere; si chiama " a n o l o n o m o , nel case eon~rario. dxr Le (2) definiseono l'atto di movimento, d e t e r m i n a t e d a n e ~ , o, se si vuole, lo spostamento elementare, d e t e r m i n a t e dalle dx,., al tempo t, eonforme al ~ineolo. Si definisce ancora, per l'uso t h e si riserba di farne in seguito, l'atto di mo~imento,, o lo spostamento " ~ i r t u a l e ,,, al tempo t, indifferentemeni~e d e t e r m i n a t i dalle 8xr, con r~'V

(3)

~

x,.,. ~;r,. = o,

(i = 1, 2 , . . . ~,. <

,,).

--

56

--

In base alle quali relazioni, } facile riconoscere come v e n g a a competere al ~ lo stesso algoritmo del d, eolla particolaritg che non intacea il tempo esplicito t,

(4)

a f (a:, t) - -

"~' of

0-7,. a , , . .

Tutto cib premesso, rammentiamo brevemente il procedimento con cui la Meeeanica Razionale forma le equazioni del movimento, e stabilisee l'equazione di d'Alembert e Lagrange. Concepiamo il sistema mobile come composto di un numero finito di punti materiali, e rappresentino le x,., in numero di ,~, tre per ogni punto, coordinate cartesiane ortogonali. Postuliamo 1) che il sistema, inteso vineolato, possa essere considerato come libero, pur di ago'iungere alle forze impresse una " reazione v i n e o l a r e , : 2) che il lavoro delle reazioni vincolari, per ogni spostamento virtuale del sistema, sia nullo. II primo postulato ci fornisce, in base a (1), le ~ equazioni

(5)

J,. -~- X,. + X',.

( r ~ - 1, 2 , . . . ~),

(love le X',., componenti dellc reazioni vineolari, vanno considerate come ~ incoo'nite, non altrimenti che le .%.. II secondo postulato, eiob l'equazione

(6)

E

m , x',. a ~',- = O,

r:1

(love m,. ~ - m r + l - - ~ m , . + 2 , con r + 2 cono'ruo a tre, rappresenta la massa del punto di coordinate :r,, :r,.+i, x,.+~, applicato a tanti spostamenti virtuali quanti, in base a (3), risultano indipendenti, e eio~ a , ~ - [J., fornisce altre ,~--I* equazioni indipendenti tra le stesse incoo'nite xr e X ' r . Aggiungiamo le It. equazioni (2) traducenti i vincoli, e otteniam~) in tutto 2 ~ equazioni, tra le 2 , incognite suddette, fra le quali eliminando le X',., otterremo ~ equazioni tra le ~ ineognite principali x~. Si evita questa eliminazione a poste~'iori, introducendo le (5)nelle (6), con che si ottiene (7)

~

m,. ( x ' , - - X,.) ,~x,. :

O,

--

57

--

" equazione di d ' A l e m b e r t e Lagrano.e ,,, ]a quale, a p p l i c a t a ai suddetti , - - y . s p o s t a m e n t i v i r t u a l i i n d i p e n d e n t i , fornisce d i r e t t a m e n t e equazioni t r a ]e sole x,., " e q u a z i o n i p u r e , , ehe v a n n o c o m p l e t a t e colle (2) (*). Si t r a t t a ora di p o r r e ]a (7) sotto u n a f o r m a che abbia u n signif i c a t o per u n mobile qualsivoglia, al quale a p p a r t e n g o n o le c o o r d i n a t e x,., con u n sio'nificato p u r e qua]sivoglia, come nelle e q u a z i o n i ( 2 ) e (3): p e r postulare che essa valg'a p e r il mobile medesimo, e s e r v i r s e n e p e r la f o r m a z i o n e di e q u a z i o n i " e q u a z i o n i d i n a m i c h e , , atte a f o r n i r e le x , . in f u n z i o n e di t . Posto percib ,]

=

--

2

r=l

~

m~ v C-,

8--I

con the T rappresenta la forza viva del mobile al tempo t, osserviamo che, valendosi di d~ = ~d, si trova agevolmente "=~

d~' T '

~ m,. J,. ~x,. -~- d ~

(9)

~ T,

r=l

a'l':

(9)'

~ m,. x,. ~x,. -= r=

(9)"

1

~x,.

+ OT. ~x,. Oxr

, ' = 1 \ O:r;.

"=~

~' T ' =

~

r--

"~

.%. ~x,. -----

1

r=l

07'.

--=-~x,. O:/'r

'

P o n i a m o inoltre

(lo)

~'A =

y~ ,~,. x,.

~.~',..

I terzi membri delle (9)', (9)", inteso, in generale,

1 f T=-~-

lr e d i n ,

e il secondo m e m b r o di (10), h a n n o u n signifieato, a q u a l u n q u e m o b i l e si riferiscano, e q u a l u n q u e specie di coordinate sia i n d i c a t a da xr . (*) A pari ristfltato, col vantaggio ili una pih pronta applicazione a problemi concreti, si arriva valendosi di un sistema" di corpi rigidi, invece che di un sistema di punti, e delle equazioni cardinali, invece dell'equazione fondamentale. (Cfr. la mia Dinamica dei sistemi, Cap. III). Sem~nario

Mat. e Fis.

d$ M g l a n o

- vo].

IIL

--

58

--

L'equazione (7) si trasforma con questo in

~T + ~'A--

(11)

dS'T'

(t~'

the risponde al proposto scope. La (11), integrando in un intervallo di tempo (t,, te) appartenen{e al movimento - - se si vuole, in un interne di un valore prefissato t - fornisce

e-~8,T, (12)

(~T + a'A) dt---= t

tl

0

dove il valore O a l secondo membro eorrisponde all'ipotesi the, per gli estremi ti e t2 dell'intervallo, si assuma a x,. ~---0. Si sa come da questa formola, che pub considerarsi come la forma pih generale (tel teorema di Hamilton, si ricavi la forma pih generale delle equazioni dinamiche. Le quali, inteso che dalle (3) si ricavi (13)

a .%. =

s = ~ 7- E ,.,., ~,

(r-~-~ 1, 2 . . . ,,),

8~1

dove gli ~, indicano v--{~, parametri indipendenti, con the

(14)

a'A =

E,

.:,,,

8=1

e posto, per brevitg di serittura,

d OT

(15)

at

OT

- - - -

o~

ox.~

T,.

'

si possono scrivere

{16),.

~., E,., i ; = E ~

( S = 1, 2 , . . . v--lx).

Nel eas 0 d e i . sistemi olonomi,, con x, coordinate libere,, esse si riducon0 alle equazioni di Lagrange... (17)

T, =

E,,

(s =

1, .9, . . . . v _ # . ) .

---

59

--

Ma la (12) si presta ancora a tradursi in principii, che possono essere sos{ituiti all'equazione di d'Alembert e Lagrange - - se si vuole, al prineipio di d ' A l e m b e r t - per la formazione delle e q u a z i o n i dinamiche. 8iano le forze impresse conservative, cio~ (18)

~'A -~ a G

dove U indica una funzione delle coordinate e generalmente del tempo. Introducendo (18) in (12), e post, o

(19)

T+

U-~- L ,

con che L si chiama " funzione di Lagrange , , se ne ricava

[

t~

L dt ~

(20)

I

t,

t

O.

Ora, a ~x,. si pub a~tribuire, per ogni valore di t, nell'intervallo (ttt.,), il significato di variazione intinitesimale, defini~a dalle eondizioni (3), della funzione x,, di t, appartenente al movimento considerato. E ton questo, introdueendo il movimen~o variato infinitamente vicino, che chiameremo " virtuale s i n c r o n o , , colla successione delle posizioni (x,. -k- ~x,.), corrispondenti, pet singoli valori di t, nell'intervallo (t, t~), alle posizioni (x,.), coordinata alla stessa sutcessione dei valori di t, da ti a re, eol signifieato di tempo, nel movimento variato come nel movimento effe~tivo, la (20), col valore "0 al secondo membro, acquista ques~o significato, che il movimento determinato dai vineoli e dalle forze impresse, tonfronta~o con un movimen~o virtuale sinerono qualsivog'lia, purth~ abbas~anza vicino, che abbia comuni le posizioni estreme del mobile, eonferiste alle coordinate, tome funzioni del tempo, la qualitg di annu]lare la variazione prima dell'integrale V ~ r| t , L dt , dt~

"

e di essere, per conseguenza, le estremali di questo integrale, come forma per la quale l'integrale pub ricevere un valore estremo (massimo o minimo), confrontato cot valori che riceve per le forme delle funzioni xr di t, appartenenti a movimenti virtuali sincroni 7 abbastanza

--

60

- -

vicini, ehe abbiano eomuni, col movimento suddetto, le posizioni agli estremi del eonsiderato intervallo di fempo. E ques~o, nella forma pih g'enerale, il prineipio della " azione stazionaria ,, di Hamilton. Rappresenta questo principio una prerogatiYa, che disting'ue il movlmento determinat0 da vincoli e forze impresse dai movimenti puramente conformi ai vincoli? La domanda equi~ale a quest'altra: st, e so'to quali condizioni, la variazione ~, definita dalle (3), 6 conforme o no al vincolo, cio6, col sign~ficato del ~ nelle (3), si verifiea, conformemente a (2),

X~, ,. dx,. - - T~ dt = 0

( i = 1, 2,... ~J~),

che equivale infine a porre la domanda, se, e sotto quali condizioni, queste ultime eguao'lianze sono equivalenti a r ~

y , x,,,.

(i = 1, 2, . . . ~J.)

= o

t h e si ot~engono, diff'erenziando le (3) rispe~to a t. La risposta 6 che condizione necessaria e sufficiente per questa equivalenza, ossia perch6 la variazione ~ sia conforme al vincolo, 6 che le (2) formino un sistema di equazioni illimi~atamente integ'rabile, ossia che il sistema mobile sia olonomo. Un esempio semplice 6 quello del vincolo

7t d:ci + 99. dxe + 9a dx3--~ O, imposto al movimento di un punto (x~, xs, x,~). 8i trova come condizione necessaria e sufficiente per l'equivalenza di

8 (?~ dx, + ?2 d:r.z + 23 dx:~) e

d (9~ ,~xL + 9.2 ~x.,. + % 8.r.~)

la relazione

-

°

°

.

che 6 notoriamente la condizione d'mtegr:~blh~a del trinomio (*). (*) Cfr. H(JLDER. -Ueber die P r i n c i p i e n .yon H a m i l t o n uncl Maupertuis~ in 5rach richten tier Gesellschaft tier Wissensch~tfte~i z ~ G6tlinffeu, 1895.

- -

61

- -

Hamilton eoi nomi di teorema dell'azione stazionaria e dell'azione variante (*), ha eonservato il ~ermine di " azione ~ usa~o da $Iaupertuis nel suo prineipio generNe, ehiamato poi ~,o~eneralmente teorema della minima azione, il quale, eoi eomplementi in seg'uito reeativi, g eompreso nel teorema dell'azione stazionaria, ma, per cireostanze earatteristiehe, merita di essere par~ieolarmen~e eonsidera~o. ¥a, in questo easo, supposto ehe i vincoli e la funzione delle forze siano indipendenti dal ~empo, per modo ehe si verifiehi il ~eorema della eonservazione dell'energia. (21)

"T--

U=E~

con E costante, e i l movimento vir~uale, a eui si riferisce il 8, va inteso soddisfare a.questa equazione, per cui (22)

~ ( T - - U) ---- ,~ E ,

~ U = ~ T - - ~ ~' .

Introdueendo questo risultato in (20), se ne rieava

2~

;t.,. tl T d t

~ (t~ - - t~) ;3 1';.

E, col signifieato di movimen~o virtuale sinerono, non ~ leeito supporre E=

0, perehb la prima delle (22) fornisee con questo " ~ ' J ( 07'

,'=

1 ~ Ox,.

~x,. + .

OT Ox,.

.

d~x~

.

dt

OU ,~.r,.)

.

0,

Ox,.

ehe ~ un'equazione imposta alle ,~x,., oltre le (3), le quali devono essere necessarie e suificienti a definirle. Si ricorre al movimento asincrono, coordinando la successione delle posizioni variate nel precedente modo alia successione dei valori di una variabile t + ~t, dove ~t rappresenta una funzione disponibile di t, in modo che t + ~t sia i] tempo appartenente a]la posizione variata (x~ + ~x~), che corrispoade nel modo indieato alla posizione al tempo t he1 movimento effettivo. Indicando con h* la nuova variazione, si ha (23)

~* x -~- ~X, (*) On a general method in Dynamics, in Philoso:phical ~rransactions, 1834, pag. 252.

- -

62

- -

in conseguenza di che (24) mentre ~, . x=

d~t x Ti-i- , •

~x--

in conseguenza della quale e della (23), d~t

(25)

~* T = ~ 7'--- 2 T d--iSi pub allora porre ~*T - - ~* U = 0 ,

cio~ ~*E--~ 0 ,

perch~ questa equazione si sviluppa in

. oT r= 1

Ox,.

.

OT .

.

OU

0~,.

(lt

0.~',.

.',T a

t=o,

dt

la quale, in conseo'uenza della funzione disponibile ~t di t, non impone pih una nuova condizione alle ~x,.. P e r (24), (25) e (26) ~'1' + ~ U----- 2 ~* ( Tdt) ,

introducendo la quale e~'uag'lianza in (20), e no~ando che t vi sostiene la parte di variabile d'integrazione, se ne ricava (27)

~*

Tdt =

0,

,Jt~

che costituisce il teorema di Maupertuis o della minima azione. P e r il quale il movimento effettivo, che si suppone con vincoli e funzione delle forze indipendenti dal tempo, e soddisfare, per conseguenza, il principio della conservazione de]l'energia, confrontato con un movimento virtuale qualsivo~lia, purch~ abbastanza vieino, che ha comuni le po-

- -

63

- -

sizioni estreme de] mobile, e soddisfa egualmente il prineipio della eonservazione dell'energia, collo s{esso valore dell'euerg'ia totale (con(lizioni imponibili ad un movimento virtuale asincrono), eonferisee a]la forza viva totale, o, se si vuole, alla forza viva media, in un intervallo di tempo qua]sivoglia, purch~ abbas~anza limitato, il valore minimo. Nell'ipotesi neeessaria e sutfieiente del sistema olonomo, la proprieth in discorso riesce cara~teristica del movimento determina~o dai vincoli e dalle forze impresse, eonfrontate col movimen{i semp]ieemen~e conformi ai vineoli supposti (*).

Ad un risultato che comprende egualmente sistemi mobili olonomi e anolonomi p r o w e d e i l " principio delia minima eostrizionei,, di Gauss. Riprendiamo pereib le equazioni piit generali (16). Esse sono suseettibili di una forma semplicissima, sotto la qua]e furono ritrovate da Appell, eiob

oe~ = X ~

(s=1,2...,,--:,.),

dm

~S'=

(2s)

7"

Xs ~

A,.

+

~2r, s~ es. 8~1

I v - - y . parametri e., sono stall ehiamati da Volterra caratteristiche del movimento, e si vede come determinano, ad oo'ni istante, l'atto di movimenio. Le prime delle (24) possono scriversi 0 ,P ae,~ = o ,

'I) - ~

S-

s=~

fz

x,~ "e,~ + ,t"

dove W pub essere qualsivoglia, pureh~ non contenga ]ee. E con questo esse sono le condizioni pel minimo (limite inferiore di funzione limp rata e continua) di ,P, coneepita come funzione di t, xr, e~ e e~. , a parith di valore di t, xr, es, cio~, per un dato istante, una data posizione e un dato atto di movimento. Ora, rientra in questa espressione

(29)

I--~ 1--~f. (A-- E)2 dm, "7

(*) Cfr. H6L,~F,::. - - Op. cir.

--

64

--

al quale~ per eonseguenza~ il movimento effettivo conferisce il valor minimo, confrontato col movimeuti ehe soddisfano gli stessi vincoli, a parit~t di posizione e d'atto di movimento, al considerato istante. Ma si ha A - - F ~ - D.~ - - D.~',

posto 1

Ds = V Dt + 7

•

ADte'

Ds'

1

V D t + - f F D t 2,

con che D s rappresenta lo spostamento del punto generico tra t e t + D t , nel movimento effettivo, determinato dalle forze impresse col coneorso dei vincoli, e D s ' lo spostamento del punto, a parit~ di VelocitY, al tempo t, Iiberato dai vineoli, per effetto delle forze impresse. Con principio analogo a quello dei minimi quadrati, eoneependo I come misura della deformazione del movimento libero, prodotto, a parith di forze impresse, di posizione e d'a~to di movimento, dall'intervento dei vincoli, il movimento effettivo, conforme bile leggi dinamiche, risulta caratterizzato dal rendere questa deformazione, a parith d'atto di movimento, ]a minima possibile (*). Notisi come questa proprietor risutti appartenere precisamente al movimento eonforme, oltre ai vincoli, alle forze impresse. g~ g¢

Altro principio fondato sul confronto del movimento effettivo con un movimento variato qualsivoo'lia, purch~ abbastanza vieino, eonforme ai vincoli, valido egualmente per sistemi mobili olonomi e anolonomi, il principio della " direttissima ,, di Hertz, " Systema omne ]iberum perseverare in statu suo quiescendi vel moYendi uniformiter in directissimam ,, (**). Hertz eomineia coll'introdurre la trajettoria di un sistema comunque vincolato (con vincoli indipendenti dal tempo), come suceessione con(*) Es ist sehr merkwiirdig, dass die freien Bewegungen, wenn sie mit den nothwendigen Bedingungen nicht bestehen kSnnen, yon der Natur gerade auf dieselbe Art modificirt werden, wie der rechnende Mathematiker, nach der ]~Iethode tier Kleinen Quadrate, Erfahrungen ausgleicht, die sich auf unter einander durch nothwendige Abh~ingigheit verkniipfte GrSsse beziehen. GAuss. -- Ueber ein neues allgemeines Grundffe~etz der Mechanik-W'erke (GSttingen, ]867). V. Band., pag. 28. (**) Die :prinzipien der Mechanik in .~euem Zttsammenhange dargestellt (Leipzig, J. A. Barth, 1894), pag. 162.

- -

65

--

~inua e reo'olare di posizioni del sistema mobile, eonformi al vineolo, e deiinisce la grandezza deU'elemen~o d S di ~raiettoria con J' ds 2 d~,

(30)

dS ~ --

r = ,~, .~= ~~

-M

',

mr, s dXr (lxs,

mr, s --~- ms, r :

r~l~8~l

dXr

]a direzione dell'elemento col tensore

d~

' r-~- 1, 2...,, , la curva~ura

nel punto corrispondente allo stesso elemento col r a p p o r t o dell'ang'olo di conting'enza a d S 7 con ehe, intendendo x , xa, z3 coordinate cartesiane ortogonali, risul~a 1

,~-

\(1S~ ] d i n M

R e-

Per (30), 1

T = ~ M I "2,

posto

//

ds

d t - - [/

con ehe si ha pure (31)

dt --

2 dT -f~[

""

=

~'

I/t-'l-

e al principio della minima azione (efr. (27)) si pub dare la forma

JS~ ~

O.

Supponiamo le forze nulle. Allora T - - Cost. Ed essendo pure h ' T = 0, la preeedente equazione diventa

dS=

0.

S

P e r la quale, il movimento effettivo conferisce all'arco di trajettoria, termina~o a due posizioni, la proprieth d i possedere la minima lung'hezza, in eonfronto dell'areo, terminato alle stesse posizioni, della trajettoria di un qualsivoglia movimento virtuale abbastanza vicino. SemDlargo

Mat.

e Fis.

d~ M l l a ~ * o -

vo]. III.

9

- -

66

--

~[a questo movimento virtuale non ~ conforme ai vincoli che nella ipotesi del sistema mobile o]onomo. P e r eui soltanto in questa ipotesi la trajettoria del movimento effettivo ~ la " geode~iea, appartenente ai supposti vincoli. Invece, eo'ualmente per sistemi mobili olonomi e analonomi, riesee, in ogni punto della trajettoria del movimento effettivo, m i m i m a la curvatnra, in confronto di ogni altro movimento eonforme ai supposti vineoli, che abbia comune con essa quel punto, e, in quel punto, l a direzione. ProprietOr ehe definisce la " d i r e t t i s s i m a , appar~enente ai supposal vincoli. Infatti, risultando, nella presente ipotesi, per (31), dt ~

dS

]a (29), dove si faecia _F~---0. fornisce 1

~

3

"din ~

dm

--

the risulta minima, per la trajettoria del movimento effet~ivo, a parith di :c~(punto) e di

dx~ d t __ - - dx~ dS

(direzione).

Questa, secondo la .~[eccanica di Hertz, ~ l'unica legge del movimento dei corpi na~urali. Le forze impresse, secondo lo 8~esso Hertz~ puramente rivelano l'esistenz~t di " masse nascoste ,,, eoncependo le quali riunite col 8ist,ema considerato, si deve ottenere un sistema composto t h e soddisfa ]'enunciata ]eo~ge, co]l'essere la sua trajettoria In direttissima appartenente ai vineoli del sistema composto medesimo. $

Presta il passao~oio dalla Dinamica elassica alla Meccaniea ondulatoria, fondata da Lnioi de Broglie (*), efficacemente eoltivata da SehrSdinger (**), il teorema di Hamilton de]l'azione variante (cfr. (12)). Da questo teorema Hamilton dedusse un risultato, che, come fu poi perfezionato da Jacobi, si pub enuneiare nei termini seo'uenti. Supposto il sistema olonomo, con coordinate libere x, e verificato il teorema della conservazione dell'energia: posto questo teorema sotto In forma T (x, y ) - - U ( x ) = E , (*) A~nales de Physique, 1925. - - La Mdcanique Ondulatoire in Mdmorial des Sciences Physiques, fasc. I, 1928. (**) Abhandlungen z~tr W'ellenmechanik (Leipzig, J. A. B a r t h , 1927).

- -

67

- -

dove T (x, ! / ) r a p p r e s e n t a la eosidetta forma eovariante della forza viva, ottenuta eliminando (.::~la ~ forma eontrovariante T (x, .~'), le ~, dT colla posizione di Poisson dr, - - ~j' (r = 1, 2 . . . '0: posto iniine

IV ~ - - Et + S (:~c), dove S (x) rappresenta un integrale completo dell'equazione alle derir a t e parziali

OSI--U(x)=E, T ( x, Ox/

(33)

eontenente, oltre E = %, le cos~anti %, % . . . ~ , j _ , , sono equazioni integrali delle equazioni dinamiche, atte a fornire le xr in fdnzione di t e di 2,~ costanti arbitrarie, le OIV ~_~,. 0:~

(34)

(r=l,

2...~),

con E = %~ e indieando con ~r ~ nuove costanti arbitrarie. Ammesso questo risultato, ragioniamo, per mago'ior brevith ed evidenza, sopra un punto materiale, di massa 1, di cui x~, x2, xa rappresentano coordinate cartesiane ortoo'onati, a w e r t e n d o perb ehe, colin rapprese~tazione di Hertz, il ragionamento si estende agevolmente al punto, rappresentante il sistema mobile, eomunque vineolato, di cui x~, x~,...x,j rappresentano coordinate di qualsivog]ia specie. La (33) diventa , . = a / 0S ~2

Ora, per (32), OS 0,,.

OW -

le OIV

O.r,. ' e

"-077.

sono le componenti del vettore grad W. Per eui la (35) potrg seriversi grad e I V = 2 (E + U), donde (36)

tgrad W I =~/2(E+ Poniamo

(37)

I V = cost = C:

U).

--

68

m

cio~ (37')

- - E t + S = cost. = C.

Ne segue (37")

8~

C + Et.

Per cui ]'equazione (37), per ogni valore C della Cost., rappresenta una superfieie mobile, col ~ariare del tempo t, che, al tempo t, coincide colla superficie (37") della schiera fissa

(38)

S---- Cost.,

e coineidendo successivamen~e con ciascuna di esse, percorre tutta la schiera. Essendo poi - - E t + S ----- - - E (t + D t) + S + DS,

D S -~ E D t ,

ai tempi t e t + Dr, la superficie mobile W~-~ C coincide successi~camente colla superficie S e S + D S con D S ~ - E D t . Per modo c h e l a distribuzione hello spazio e nel tempo della fanzione W si presta ad essere deseritta come propag'azione di onde: le superficie d'onda essendo rappresentate dalle S~---cost., e la velocit'k di propag'azione, per ogni punto della superficie S, da dn

U=7/,

dove d n indica la grandezza dcl segmen~o normale nel punto considerato, compreso fra la superficie stessa e la S J r - D S , con D S - - ~ E d t . Essendo poi, per note formole (Cfr. (36)), dS dW --~---I d n-- dn

grad W I - = ~ / 2 ( E +

U) ,

si ha (39)

d W

dS

Edt

{ grad W[

[ grad W I

~/2 ( E ' + U)

e la Yelocit~ di propagazione risulta dn

(40)

u

=

at

E dt -

-

~/ 2 (E + U)

Yelocitk di propagazione variabile da punto a punto, ma indipendente dalla direzione, per cui corrispondente all'ipotesi di un mezzo di propagazione eterog'eneo, ma isotropo.

69

--

Grazie a (39), eostruita la superfieie S, si eostruirh la superfieie S + dS, punto per punto, innalzando, da ogni pun~o della prima l'elemento normale dn, nel debito senso, e eolla debit,a grandezza, data dalla stessa (39). Quest,o equivate eviden~emente a risu]tare la superfieie S + dS inviluppo delle superfieie sferiehe, con centro nei punti di S, e raggio dn, dalla snppost'a par~e di S. E si rit'rova eosl il.prineipio delle onde elementari di Huyo'ens, rappresenta~o dall'equazione jaeobi-hamiltoniana (31~, in quan~o si traduce nella (39). Rile¥iamo ora come la direzione della Yeloeit~ det nostro punt'o materiale mobile, eio~ la direzione della tangente alia sun t'rajet~oria, sia quello della normNe, nello stesso p~into, alla superfieie IV ~ Cost. o S ~ Cost, passante pel punt,o medesimo. Difa~ti le equazioni del movimento del punt,o (efr. (32), (34)) essendo

OS az~

OS oze

OS a~a

le due ult,ime sono le equazioni della trajett,oria: equazione, eiaseuna, di una superfieie, alia quale appart,iene la trajet~oria. Ora, derivando (35) rispetto ad ~s (s~--2, 3), si ha

"= a OS O ( OS t Z OgCr O.r,. \ ~ A S / ] = O,

9 (,~ :

3).

Per eui la normale a S-----Cost,., in og'ni puuto, ~ perpendicolare nell.() OS st,esso punto alla normale alla superficie 0~.~ = Cost,. ( s = l , 2, 3). He segue che detta normale a S = Cost,. ~ perpendieolare a due normali, cio~ al piano norton]e, nel punto eonsiderato, alla trajet,t,oria del punto mobile, e quindi la sua direzione ~ quella della tano'en~e alia t,rajett'oria, c. v. d. Inveee la grandezza, v, della veloeit't del punt'o mat'eriale non 5 quella, u, della propao'azione delle onde, ma essendo (41)

v~

ds ----=VJ2(E+ U) ? dt

si ha E V~----

• U

I1 precedente intervento della propagazione per onde, nella soluzione del problema del movimento di un sistema mobile sol]eeitato da forze conservatrici, pur rilevato e usufrui~o da IIamil[on, non h a pifi che carattere formale, parao'onabile con quello della stessa propaga-

--

70

- -

zione di o n d e le onde l u m i n o s e - nell'Ottiea Geometrica~ dove, per esempio~ le superficie d'onda fanno l'uificio di fornire~ colla direzione della normale in og'ni punto, quella del raggio ]uminoso passante per quel punto, come le superficie d'onda hamiltoniane forniscono, colla direzione della normale, quel]a della veloeit~ del mobile. Ora ~ noto che l'Ottica Geometrica non vale a render conto dei fenomeni in un eampo le cui dimensioni sono dell'ordine della lunghezza d'onda, dei quali si ottiene invece la spiegazione, conferendo alla propagazione della luce per onde un significato intrinseco. E poich~, d'altra parte, la Meecanica classiea sembra, alla sua volta, cadere in difetto, applieata ao'li spazii atomici e molecolari, ~ sorto il concerto di stabilire l'indao'ine di questi spazii sull'ipotesi dell'esistenza intrinsec,,u di onde come le hamiltoniane. Cos] ~ nata la Meceanica Ondulatoria. Ammettiamo l'esistenza di uno sealare, la eui distribuzione ne]lo spazio e nel tempo si presta ad essere rappresentata, in generale, come sistema di serie di onde armoniche, in virtfi, per oo'ni serie, di un fattore della forma (42)

cos \ - - - ~ - ~ - A

=cos

- h,

+--

h

+ ±

'

con ~ costante propria della serie, le quali si propaghino eolla velocit'~ /A '/t--

V/2 (E + U) La frequenza ne risulta E h per eui '~ h

(43)

u=~/,2(vh+

U)'

cio~ la veloeith di propagazioue dipendente dalla frequenza. Disponendo delle tre costanti ~ = E, %, ~-3~eontenute nell'integ'rale eompleto della (35), S = S @t, x2, x3, ~ %, %07 noi potremo ottenere ehe un'onda della serie d'onde rappresentata da (44)

I V = Cost -~-- Wo,

passi, al tempo to, pel punto Po, e ivi ta sua normale abbia u n a direzione prestabilita. Wo sark da determinarsi a posteriori, se s' intende assegnato a priori E, e viceversa. In ogni caso, sark: (45)

Wo z

W (to, xL°, x2°, x3°, ~-L,~-2, ~3).

D

71

- -

Consideriamo ora gl'integrali eompleti della stessa equazione differenziale relativi a valori ~,,. + d~-,. ( r - - 1, 2, 3) delle eostanti. Poniamo

=3)V0

d~,.--~Cost.

r~l

Concepite le d~,. invariabili, e variabile la Cost, al secondo membro, questa equazione, par og'ni insieme di valori delle d~.,., ~'appresenta una schiera di serie d'onde~ og'ni serie corrispondendo, alla sua volta, ad un particolar valore della Cost. al secondo membro, e formando un individuo della sehiera. Passerh~ al tempo to~ pel punto Po~ un'onda dell'individuo rappresentato da ,. a *'~I

,-=at OIV'~ d~. Off-),

*"

i

i 011" 't/° indiea il risultato della sostituzione (love t'Vo b dato da (45), e [~-~7-. dig

a t e di :r,.° a x,. in

OtV 0 Y'-~).

Ora, disponendo dei valori della costante a con I Ve ~V + dW, not potremo ottenere the, per t = to, e P = Po, la parentesi in (42) abbia lo stesso valore per la serie d'onde (44), come per la serie (47), che 6 come dire che le onde appartenenti rispettivamente alle serie (44) e (47) s'ineontrino, ~tl supposto tempo to, nel supposto punto Po, con eg'ual valore delia, fase angolare o fase propria, appartenente alla quanti~h e h e s i coneepisce propag'arsi per le supposte onde, conformemente a (38). Intendiamo ora ehe i~i (47) le d~., ( r = 1, 2, 3) rieevano tutti i valori (infinitesima]i) possibili. Con questo la (47) rappresenta un gruppo di serie di onde, appartenenti ad altrettante sehiere (46), a eiaseuna delle quali serie appartiene un'onda che, al Cempo to, ne] punto Po, incontra un'onda di eiaseuna delle rimanenti serie~ con egual va]ore della fase propria della quantith ehe si propaga per onde armoniehe. S'incontreranno onde delle stesse serie ad un altro tempo qualsivoglia t, in un punto p.9 A quesea domanda si deve rispondere negativamen.te, pereh~ la (47)~,. seritta per d~.,. quali si vogliano, equivale alle equazioni

azr = [ b}77-z,../o'

72

--

ehe sono quattro, per le tre incognite :r~, x,~, x:~, coordinate del supposto punto di eoncorso /~, al tempo assegnato t. 5[a le ~re ultime delle (48) valgono a determinare queste coordinate; introducendo le quali in W, si troverk (49)

I,V----- ~Vo + ~Wo.

Cib che vuo] dire che, al tempo t, s'inerocieranno nel punto P onde appartenenti a serie delle sehiere (46), ehe non sono le serie rappresentate da (47), m a n e differiseono per l'incremento, eg'uale per ~utte, ~Wo, della costante al seeondo membro; per modo c,be manterrh un egual valore con tut~e la fase propria della quantith ehe si propa~a per onde armoniche. Si trova cos] un punto mobile, pun~o d'incroeio, ad ogni istante, di un ~o'ruppo di onde appartenenti a serie contenute in altrettante sehiere, le schiere (46), ma, per oo'ni schiera, serie diverse, ai diversi istanti, colle quali va congiunto costantemente nn eoual wdore della fase propria delht quantith che si propaoa per onde armoniche, e le cui norma]i nel punto di concorso sono conteml~e in un cono d'aper~ura infinitesimale. Le coordinate x , x.~, x3, ~fl tempo qualsivog']ia t, di questo punto mobile sono fornite dalle ire ul~ime delle equazioni (48). E poieh~ queste eoincidono colle (34), neI easo di ,+~-3, detto punto di coneorso coincide col considerato punto materiale, soo'getto a forze eonservatriei. A] quale la Meceanica Ondulatoria conferiscc quindi il signifieato di punto di concorso, ed ogni istan~e, di un o.ruppo di onde hamiltoniane, con eo'uao'lianza di fase propria delle relative componenti del postulato scalare, e normali, ncl punto di coneorso, comprese entro un cono di aperturt~ infinitesimale. Un complemento si8'nificativo di questo risultato fornisce l'espressione

(50)

'U

- -

~j

d--

della grandezza della velocith del suddetto punto ma~eriale, ehe immediatamente si rieava da (41) e (43); l'espressione de] seeondo membro appartenendo alla cosl delta velocith di propagazione di un gruppo di onde, infinitamente poco differenti, con veloeith di propagazione u, dipendente da ,J (*). (*) Cfr. 8CURSm,~'OER, op. cir.

Ottantisierung als Eigenwertproblem, Zweite Mittheilung, §§ 1, 2.